Prawdopodobieństwo warunkowe i całkowite - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Prawdopodobieństwo warunkowe

W zadaniach wymagających obliczenia prawdopodobieństwa często zdarza się, że wystąpienie jednego zdarzenia w jakiś sposób wpływa na prawdopodobieństwo drugiego. Przykładem może być sytuacja, w której losujemy kulkę z jednej z dziesięciu urn.

W urnach nieparzystych znajduje się po pięc kul białych i dwie zielone, w parzystych zaś po trzy białe i osiem zielonych. Pytanie brzmi: wiedząc, że nasza urna miała numer nieparzysty, jaką mamy szansę na wylosowanie kuli zielonej?

Od razu widać, że nasz wybór urny determinuje prawdopodobieństwo wylosowania określonego koloru kuli - w przypadku wybrania urny nieparzystej nich mamy dużo większą szansę wyciągnąć kulę białą (szansa wynosi $${5}/{7}$$), w przypadku nieparzystej - prawdopodobnie wyciągniemy zieloną (z prawdopodobieństwem równym $${8}/{11}$$).

Układ taki nazywa się prawdopodobieństwem warunkowym - pierwszy wybór (urny) wpływa na prawdopodobieństwo drugiego (koloru kuli).

Do obliczenia tego prawdopodobieństwa posłużymy się wzorem:

$$P(A|B) = {P(A ∪ B)}/{P(B)}$$

$$P(A ∪ B)$$ to prawdopodobieństwo wyciągnięcia kuli zielonej z urny nieparzstej - czyli $${8}/{22}$$.

$$P(B)$$ oznacza szansę na wylosowanie urny nieparzystej - jest to po prostu $${1}/{2}$$.

Jak widać, prawdopodobieństwo warunkowe wynosi w tym przypadku $${ {8}/{22} }/{ {1}/{2} } = {8}/{11}$$

Prawdopodobieństwo całkowite

Twierdzenie o prawdopodobieństwie całkowitym to sposób na obliczanie sytuacji, które mogą zdarzać się na różne sposoby. Wróćmy do poprzedniego zadania: taki sam rozkład kul w urnach parzystych i nieparzystych, jednak tym razem pytamy, jakie jest w ogóle prawdopodobieństwo wyciągnięcia zielonej kuli.

Do obliczenia tego posłuży nam wzór:

$$P(A) = sum_{i = 1}^{n} P(A|H_i)P(H_i)$$

Mówi on tyle, że jeśli jest $$n$$ sposobów zajścia zdarzenia i każdy sposób ma prawdopodobieństwo zajścia $$P(H_i)$$, to prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia jest równe sumie prawdopodobieństw warunkowch przemnożonych przez prawdopodobieństwa sposobów.

Stosując wzór na prawdopodobieństwo warunkowe możemy przekształcić równanie otrzymując:

$$P(A) = sum_{i = 1}^{n} P(A cup H_i)$$

Zawile to brzmi, jednak na przykładzie można przekonać się, że jest całkiem proste.

W naszym zadaniu istnieją dwie "drogi" wybrania kuli zielonej zależne od tego, czy najpierw wylosujemy urnę parzystą, czy nieparzystą.

Każde z tych zdarzeń ma prawdopodobieństwo zajścia równe $${1}/{2}$$.

Prawdopodobieństwo wylosowania zielonej kuli w przypadku urn parzystych wynosi $${2}/{7}$$, w przypadku nieparzystych - $${8}/{11}$$.

Sumując otrzymujemy:

$$P(A) = {2}/{7} × {1}/{2} + {8}/{11} × {1}/{2} = {39}/{77}$$
 

Zadanie

Oblicz prawdopodobieństwo wyrzucenia szóstki przynajmniej raz rzucając kością do gry wedle zasad:

1) Rzucamy pierwszy raz - jeśli wypadła szóstka, kończymy grę.
2) Jeśli nie było szóstki, ale była liczba parzysta, to rzucamy dwoma kościami i kończymy grę.
3) Jeżeli wypadła liczba nieparzysta, rzucamy jedną kością jeszcze raz.

Nasze zdarzenie może zajść na kilka sposobów:

1) Z prawdopodobieństwem $${1}/{6}$$ wyrzucimy ją za pierwszym razem.

2) Z prawdopodobieństwem $${2}/{6}$$ dojdzie do sytuacji, gdy będziemy rzucali dwiema kościami - szansa na wyrzucenie chociaż jednej szóstki wzrasta wtedy do $${11}/{36}$$, ponieważ wszystkich możliwych kombinacji rzutów jest 36, a możliwych kombinacji bez 6 - 25.

3) Z prawdopodobieństwem $${3}/{6}$$ dojdzie do sytuacji, gdy będziemy rzucali jeszcze raz jedną kością - szansa wylosowania szóstki wynosi wtedy oczywiście $${1}/{6}$$.

Korzytając z poznanego wzoru możemy obliczyć prawdopodobieństwo całkowite - jest ono równe prawdopodobieństwu wystąpienia każdej z sytuacji pomnożonemu przez prawdopodobieństwo wyrzucenia w tej sytuacji szóstki.

Mamy więc:

$$P(6) = {1}/{6}*1 + {2}/{6}×{11}/{36} + {3}/{6}×{1}/{6}$$
$$P(6) = {19}/{54}$$

Spis treści

Rozwiązane zadania
Dany jest romb ABCD...

Wyznaczymy równanie prostej zawierającej przekątną AC przechodzącą przez punkt S:

 

 

 

 

 

zatem

 

 

 

 

 

Wyznaczymy teraz równanie przekątnej BD, przechodzącej przez punkt S. Prosta ta będzie prostopadła do prostej zawierającej przekątną AC, zatem współczynnik kierunkowy wynosi:

 

  

 

  

Podstawmy współrzędne punktu S:

 

 

 

 

 

Punkt B jest punktem przecięcia się prostej BD oraz prostej y=3x-3.

 

Stąd:

  

 

 

czyli

  

 

 

Obliczmy długości przekątnych AC i BD:

 

 

 

 

 

Pole rombu:

 

Odpowiedź C

Na rysunku przedstawiono wykres ...

 

 

 

 

 

 

 

 

  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

    

Oblicz odległość środka odcinka AB od początku

Obliczamy najpierw współrzędne środka odcinka AB a poźniej jego odległość od początku układu współrzędnych.Początek układu współrzędnych to punkt o współrzędnych (0,0).

a)

 

b)

 

c)

Oblicz odległość punktu P od początku ...

Odległość między punktami  i  obliczamy ze wzoru

.

 

    

Odległość punktu  od początku układu współrzędnych wynosi .  {premium}


     

Odległość punktu  od początku układu współrzędnych wynosi .


    

Odległość punktu  od początku układu współrzędnych wynosi .


    

Odległość punktu  od początku układu współrzędnych wynosi .

Rozwiąż równanie.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Po uwzględnieniu dziedziny rozwiązaniami równania są liczby:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Po uwzględnieniu dziedziny jedynym rozwiązaniem równania jest liczba 3.

Na ile sposobów

Na stanowisko przewodniczącego może zostać wybrana jedna z dziesięciu osób. 

Na stanowisko wiceprzewodniczącego może zostać wybrana jedna z dziewięciu pozostałych osób. 

Na stanowisko sekretarza może zostać wybrana jedna z ośmiu pozostałych osób. 

Zgodnie z regułą mnożenia liczba możliwości jest równa:

 

 

Rozwiąż równania:

 

Równanie ma postać  gdzie 

   

Najlepiej będzie zapisać najpierw ten wielomian w postaci czynników możliwie najmniejszego stopnia.

Zauważmy, że  zatem:

   

  

Stąd:

 trójmian  nie ma pierwiastków, bo  

Czyli:

 

Odp. Rozwiązaniem równania są liczby  

 

          

Równanie ma postać  gdzie 

   

Najlepiej będzie zapisać najpierw ten wielomian w postaci czynników możliwie najmniejszego stopnia.

Po zastosowaniu wzorów skróconego mnożenia, otrzymujemy następującą postać  

 

 

Stąd:

 

Odp. Rozwiązaniem równania są liczby    

 

      

Równanie ma postać  gdzie 

   

Najlepiej będzie zapisać najpierw ten wielomian w postaci czynników możliwie najmniejszego stopnia.

Po przekształceniach otrzymujemy następującą postać  

 

 

Stąd:

 

Odp. Rozwiązaniem równania są liczby   

 

    

Równanie ma postać  gdzie 

   

  

Zastosujemy podstawienie     

Otrzymujemy wówczas:

 

 

 

Zakładaliśmy, że   więc pierwsze rozwiązanie odrzucamy. Zostaje nam:

 

Przenieśmy  na lewą stronę równania. Otrzymujemy:

 

Równanie ma postać  gdzie 

 

Zapiszmy ten wielomian w postaci czynników możliwie najmniejszego stopnia:

 

Mamy:

    

Stąd:

 

Wszystkie powyższe przekształcenia były równoważne, zatem rozwiązaniem równania  są liczby  i      

W trójkącie ABC poprowadzono prostą równoległą do boku AC...

Rysunek poglądowy:

 

 

A więc:

 

 

 

 

 

 

 

A więc:

 

Wskaż wzór funkcji, której wykres ...

Wzór każdej funkcji kwadratowej można doprowadzić do postaci kanonicznej:

 ,

gdzie   i   są współrzędnymi wierzchołka paraboli.

 

Współrzędne wierzchołka odczytujemy z wykresu funkcji

 

i podstawiamy podane wartości do wzoru funkcji kwadratowej w postaci kanonicznej

 .

Doprowadzamy powyższy wzór funkcji do postaci ogólnej{premium}

(korzystamy przy tym ze wzoru skróconego mnożenia)

 .

 

Podstawiając współrzędne punktu należącego do wykresu tej paraboli do wzoru funkcji,

wyznaczymy wartość współczynnika  . Weźmy np. punkt  

 

 

 

 

 

 

 

Wzór funkcji przedstawionej na wykresie:

 

 

Odpowiedź: B

W ciągu arytmetycznym...

 

 

 

Dodając stronami otrzymujemy:

 

 

 

 

Odp. D