Prawdopodobieństwo warunkowe i całkowite - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Prawdopodobieństwo warunkowe i całkowite - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Prawdopodobieństwo warunkowe

W zadaniach wymagających obliczenia prawdopodobieństwa często zdarza się, że wystąpienie jednego zdarzenia w jakiś sposób wpływa na prawdopodobieństwo drugiego. Przykładem może być sytuacja, w której losujemy kulkę z jednej z dziesięciu urn.

W urnach nieparzystych znajduje się po pięc kul białych i dwie zielone, w parzystych zaś po trzy białe i osiem zielonych. Pytanie brzmi: wiedząc, że nasza urna miała numer nieparzysty, jaką mamy szansę na wylosowanie kuli zielonej?

Od razu widać, że nasz wybór urny determinuje prawdopodobieństwo wylosowania określonego koloru kuli - w przypadku wybrania urny nieparzystej nich mamy dużo większą szansę wyciągnąć kulę białą (szansa wynosi ${5}/{7}$), w przypadku nieparzystej - prawdopodobnie wyciągniemy zieloną (z prawdopodobieństwem równym ${8}/{11}$).

Układ taki nazywa się prawdopodobieństwem warunkowym - pierwszy wybór (urny) wpływa na prawdopodobieństwo drugiego (koloru kuli).

Do obliczenia tego prawdopodobieństwa posłużymy się wzorem:

$P(A|B) = {P(A ∪ B)}/{P(B)}$

$P(A ∪ B)$ to prawdopodobieństwo wyciągnięcia kuli zielonej z urny nieparzstej - czyli ${8}/{22}$.

$P(B)$ oznacza szansę na wylosowanie urny nieparzystej - jest to po prostu ${1}/{2}$.

Jak widać, prawdopodobieństwo warunkowe wynosi w tym przypadku ${ {8}/{22} }/{ {1}/{2} } = {8}/{11}$

Prawdopodobieństwo całkowite

Twierdzenie o prawdopodobieństwie całkowitym to sposób na obliczanie sytuacji, które mogą zdarzać się na różne sposoby. Wróćmy do poprzedniego zadania: taki sam rozkład kul w urnach parzystych i nieparzystych, jednak tym razem pytamy, jakie jest w ogóle prawdopodobieństwo wyciągnięcia zielonej kuli.

Do obliczenia tego posłuży nam wzór:

$P(A) = sum_{i = 1}^{n} P(A|H_i)P(H_i)$

Mówi on tyle, że jeśli jest $n$ sposobów zajścia zdarzenia i każdy sposób ma prawdopodobieństwo zajścia $P(H_i)$, to prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia jest równe sumie prawdopodobieństw warunkowch przemnożonych przez prawdopodobieństwa sposobów.

Stosując wzór na prawdopodobieństwo warunkowe możemy przekształcić równanie otrzymując:

$P(A) = sum_{i = 1}^{n} P(A cup H_i)$

Zawile to brzmi, jednak na przykładzie można przekonać się, że jest całkiem proste.

W naszym zadaniu istnieją dwie "drogi" wybrania kuli zielonej zależne od tego, czy najpierw wylosujemy urnę parzystą, czy nieparzystą.

Każde z tych zdarzeń ma prawdopodobieństwo zajścia równe ${1}/{2}$.

Prawdopodobieństwo wylosowania zielonej kuli w przypadku urn parzystych wynosi ${2}/{7}$, w przypadku nieparzystych - ${8}/{11}$.

Sumując otrzymujemy:

$P(A) = {2}/{7} × {1}/{2} + {8}/{11} × {1}/{2} = {39}/{77}$
 

Zadanie

Oblicz prawdopodobieństwo wyrzucenia szóstki przynajmniej raz rzucając kością do gry wedle zasad:

1) Rzucamy pierwszy raz - jeśli wypadła szóstka, kończymy grę.
2) Jeśli nie było szóstki, ale była liczba parzysta, to rzucamy dwoma kościami i kończymy grę.
3) Jeżeli wypadła liczba nieparzysta, rzucamy jedną kością jeszcze raz.

Nasze zdarzenie może zajść na kilka sposobów:

1) Z prawdopodobieństwem ${1}/{6}$ wyrzucimy ją za pierwszym razem.

2) Z prawdopodobieństwem ${2}/{6}$ dojdzie do sytuacji, gdy będziemy rzucali dwiema kościami - szansa na wyrzucenie chociaż jednej szóstki wzrasta wtedy do ${11}/{36}$, ponieważ wszystkich możliwych kombinacji rzutów jest 36, a możliwych kombinacji bez 6 - 25.

3) Z prawdopodobieństwem ${3}/{6}$ dojdzie do sytuacji, gdy będziemy rzucali jeszcze raz jedną kością - szansa wylosowania szóstki wynosi wtedy oczywiście ${1}/{6}$.

Korzytając z poznanego wzoru możemy obliczyć prawdopodobieństwo całkowite - jest ono równe prawdopodobieństwu wystąpienia każdej z sytuacji pomnożonemu przez prawdopodobieństwo wyrzucenia w tej sytuacji szóstki.

Mamy więc:

$P(6) = {1}/{6}*1 + {2}/{6}×{11}/{36} + {3}/{6}×{1}/{6}$
$P(6) = {19}/{54}$

Spis treści

Rozwiązane zadania
Wskaż współczynnik a funkcji ...

Do wykresu funkcji kwadratowej należą punkty (-1,-6) oraz (1,-2). Mamy więc: 

  

oraz: {premium}

  


Tworzymy układ równań i obliczamy wartość jednej ze zmiennych (a, b lub c). 

  

  

 

  

 


Pierwsza współrzędna wierzchołka paraboli ma wartość -1. 

   

Obliczamy ile wynosi wartość współczynnika a. 

   


Uzasadnienie:

Korzystamy ze wzoru na pierwszą współrzędną wierzchołka paraboli, który ma postać: 

 


Poprawna odpowiedź: B. 1

Wykaż, że wyrażenie...

Założenie:

 {premium}

 

 

 

 

A więc:

  

Wprowadźmy oznaczenie:

 

Zatem kwadrat naszego wyrażenia to:

Zauważmy, że dla:

 

Zatem

 

Czyli:

 

A więc:

 

Co było do udowodnienia.

Obrazem okręgu o1 o promieniu ...

 

 

 

{premium}

 

 

 

 

 

 

 

   

Mamy 240 metrów bieżących siatki ...

 

 

 

{premium}  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Przedstaw każdą z podanych liczb

{premium}

Prostokąt zbudowano z ośmiu...

Przyjmijmy, że mały kwadrat ma bok długości 1. Wówczas pole prostokąta jest równe:{premium}

 


Zaznaczony czworokąt składa się z dwóch trójkątów sklejonych podstawami o długości 1. Wysokość jednego trójkąta jest równa 1, a wysokość drugiego jest równa 3. Obliczamy pole czworokąta jako sumę pól trójkątów:

 


Obliczamy, jaką część pola prostokąta stanowi pole czworokąta:

 

Podaj miarę łukową kąta.

 

 

   

 

 

 

{premium}  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  

                         

Określ dziedzinę ...

a)

Wyrażenie pod pierwiastkiem musi być liczbą nieujemną, więc:

 


Wyznaczamy miejsce zerowe funkcji .{premium}

 

 


Wyznaczamy miejsce zerowe funkcji .

 

 

 


Szkicujemy wykresy funkcji.


Nierówność jest spełniona dla:

 


b)

Wyrażenie pod pierwiastkiem musi być liczbą nieujemną, więc:

 

 


Wyznaczamy miejsce zerowe funkcji .

 

 

Wyznaczamy miejsce zerowe funkcji .

 

 

 


Szkicujemy wykresy funkcji.


Nierówność jest spełniona dla:

 


c)

Wyrażenie pod pierwiastkiem musi być liczbą nieujemną, a wyrażenie w mianowniku ułamka nie może być równe zero, więc:

 


Wyznaczamy miejsce zerowe funkcji .

 

 

Wyznaczamy miejsce zerowe funkcji .

 

 

 

 


Szkicujemy wykresy funkcji.


Nierówność jest spełniona dla:

 

Podaj zbiór wartości ...

Aby wyznaczyć zbiór wartości funkcji, wyznaczymy drugą współrzędną wierzchołka paraboli.

 

    

Współczynniki: , ,  

 

Ramiona paraboli skierowane są do dołu, ponieważ 

Zbiorem wartości tej funkcji jest przedział .{premium}


    

Współczynniki: , ,  

 

Ramiona paraboli skierowane są do góry, ponieważ  . 

Zbiorem wartości tej funkcji jest przedział 


    

Współczynniki: , ,  

 

Ramiona paraboli skierowane są do dołu, ponieważ .

Zbiorem wartości tej funkcji jest przedział .


    

Współczynniki: , ,  

 

Ramiona paraboli skierowane są do dołu, ponieważ .

Zbiorem wartości tej funkcji jest przedział .


    

Współczynniki: ,  

 

Ramiona paraboli skierowane są do góry, ponieważ .

Zbiorem wartości tej funkcji jest przedział .


   

Współczynniki: , ,  

 

Ramiona paraboli skierowane są do dołu, ponieważ .

Zbiorem wartości tej funkcji jest przedział .

Rozwiąż równanie.

W zadaniu będziemy korzystać ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów:

 


 

 {premium}

 

Iloczyn dwóch liczb jest równy 0 wtedy i tylko wtedy gdy, co najmniej jedna z tych liczb jest zerem. Stąd:

 

  

 


 

 

 

Iloczyn dwóch liczb jest równy 0 wtedy i tylko wtedy gdy, co najmniej jedna z tych liczb jest zerem. Stąd:

 

 

 


 

 

 

Iloczyn dwóch liczb jest równy 0 wtedy i tylko wtedy gdy, co najmniej jedna z tych liczb jest zerem. Stąd:

 

 

 


 

 

 

Iloczyn dwóch liczb jest równy 0 wtedy i tylko wtedy gdy, co najmniej jedna z tych liczb jest zerem. Stąd: