Prawdopodobieństwo warunkowe i całkowite - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Prawdopodobieństwo warunkowe i całkowite - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Prawdopodobieństwo warunkowe

W zadaniach wymagających obliczenia prawdopodobieństwa często zdarza się, że wystąpienie jednego zdarzenia w jakiś sposób wpływa na prawdopodobieństwo drugiego. Przykładem może być sytuacja, w której losujemy kulkę z jednej z dziesięciu urn.

W urnach nieparzystych znajduje się po pięc kul białych i dwie zielone, w parzystych zaś po trzy białe i osiem zielonych. Pytanie brzmi: wiedząc, że nasza urna miała numer nieparzysty, jaką mamy szansę na wylosowanie kuli zielonej?

Od razu widać, że nasz wybór urny determinuje prawdopodobieństwo wylosowania określonego koloru kuli - w przypadku wybrania urny nieparzystej nich mamy dużo większą szansę wyciągnąć kulę białą (szansa wynosi ${5}/{7}$), w przypadku nieparzystej - prawdopodobnie wyciągniemy zieloną (z prawdopodobieństwem równym ${8}/{11}$).

Układ taki nazywa się prawdopodobieństwem warunkowym - pierwszy wybór (urny) wpływa na prawdopodobieństwo drugiego (koloru kuli).

Do obliczenia tego prawdopodobieństwa posłużymy się wzorem:

$P(A|B) = {P(A ∪ B)}/{P(B)}$

$P(A ∪ B)$ to prawdopodobieństwo wyciągnięcia kuli zielonej z urny nieparzstej - czyli ${8}/{22}$.

$P(B)$ oznacza szansę na wylosowanie urny nieparzystej - jest to po prostu ${1}/{2}$.

Jak widać, prawdopodobieństwo warunkowe wynosi w tym przypadku ${ {8}/{22} }/{ {1}/{2} } = {8}/{11}$

Prawdopodobieństwo całkowite

Twierdzenie o prawdopodobieństwie całkowitym to sposób na obliczanie sytuacji, które mogą zdarzać się na różne sposoby. Wróćmy do poprzedniego zadania: taki sam rozkład kul w urnach parzystych i nieparzystych, jednak tym razem pytamy, jakie jest w ogóle prawdopodobieństwo wyciągnięcia zielonej kuli.

Do obliczenia tego posłuży nam wzór:

$P(A) = sum_{i = 1}^{n} P(A|H_i)P(H_i)$

Mówi on tyle, że jeśli jest $n$ sposobów zajścia zdarzenia i każdy sposób ma prawdopodobieństwo zajścia $P(H_i)$, to prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia jest równe sumie prawdopodobieństw warunkowch przemnożonych przez prawdopodobieństwa sposobów.

Stosując wzór na prawdopodobieństwo warunkowe możemy przekształcić równanie otrzymując:

$P(A) = sum_{i = 1}^{n} P(A cup H_i)$

Zawile to brzmi, jednak na przykładzie można przekonać się, że jest całkiem proste.

W naszym zadaniu istnieją dwie "drogi" wybrania kuli zielonej zależne od tego, czy najpierw wylosujemy urnę parzystą, czy nieparzystą.

Każde z tych zdarzeń ma prawdopodobieństwo zajścia równe ${1}/{2}$.

Prawdopodobieństwo wylosowania zielonej kuli w przypadku urn parzystych wynosi ${2}/{7}$, w przypadku nieparzystych - ${8}/{11}$.

Sumując otrzymujemy:

$P(A) = {2}/{7} × {1}/{2} + {8}/{11} × {1}/{2} = {39}/{77}$
 

Zadanie

Oblicz prawdopodobieństwo wyrzucenia szóstki przynajmniej raz rzucając kością do gry wedle zasad:

1) Rzucamy pierwszy raz - jeśli wypadła szóstka, kończymy grę.
2) Jeśli nie było szóstki, ale była liczba parzysta, to rzucamy dwoma kościami i kończymy grę.
3) Jeżeli wypadła liczba nieparzysta, rzucamy jedną kością jeszcze raz.

Nasze zdarzenie może zajść na kilka sposobów:

1) Z prawdopodobieństwem ${1}/{6}$ wyrzucimy ją za pierwszym razem.

2) Z prawdopodobieństwem ${2}/{6}$ dojdzie do sytuacji, gdy będziemy rzucali dwiema kościami - szansa na wyrzucenie chociaż jednej szóstki wzrasta wtedy do ${11}/{36}$, ponieważ wszystkich możliwych kombinacji rzutów jest 36, a możliwych kombinacji bez 6 - 25.

3) Z prawdopodobieństwem ${3}/{6}$ dojdzie do sytuacji, gdy będziemy rzucali jeszcze raz jedną kością - szansa wylosowania szóstki wynosi wtedy oczywiście ${1}/{6}$.

Korzytając z poznanego wzoru możemy obliczyć prawdopodobieństwo całkowite - jest ono równe prawdopodobieństwu wystąpienia każdej z sytuacji pomnożonemu przez prawdopodobieństwo wyrzucenia w tej sytuacji szóstki.

Mamy więc:

$P(6) = {1}/{6}*1 + {2}/{6}×{11}/{36} + {3}/{6}×{1}/{6}$
$P(6) = {19}/{54}$

Spis treści

Rozwiązane zadania
Które z liczb należących do zbioru

 

Można byłoby podstawiać kolejne liczby w miejsce x, ale możemy też klasycznie rozwiązać równanie. 

Szukamy pierwiastków wielomianu w, więc chcemy rozwiązać równanie:

 

 

Podstawmy:

 

Wtedy równanie jest postaci:

 

 

 

{premium}  

 

Odrzucamy pierwsze rozwiązanie (jest ujemne). Mamy więc:

 

Pierwiastkami równania są więc liczby -3 oraz 3. 

 

 

 

 

Na pierwszy rzut oka nie widać sprytnego rozwiązania równania, więc podstawmy.

 

 

 

 

 

 

 

 

Pierwiastkami wielomianu w są liczby -2, 1, 3.

 

 

Zauważmy, że wielomian w można łatwo zapisać w postaci iloczynowej.

 

Pierwiastkami wielomianu w są więc liczby -2, 4, -4. 

Z liczb należących do podanego zbioru jedynym pieriwastkiem wielomianu w jest -2.

 

 

 

Na pierwszy rzut oka nie widać sprytnego rozwiązania równania, więc podstawmy.

 

 

 

 

 

 

 

Podaj miary kątów ...

Przyjmijmy oznaczenia jak na poniższym rysunku.

Z twierdzenia o kątach wpisanym i środkowym opartych na tym samym łuku okręgu: {premium}

 

Kąty 𝛼 oraz 𝛼1 tworzą kąt pełny, zatem:

 


Przyjmijmy oznaczenia jak na poniższym rysunku.

Kąty 𝛽1 oraz 280o tworzą kąt pełny, zatem:

 

Z twierdzenia o kątach wpisanym i środkowym opartych na tym samym łuku okręgu:

 


Wykonajmy rysunek pomocniczy.

Z twierdzenia o kątach wpisanym i środkowym opartych na tym samym łuku okręgu:

 


Przyjmijmy oznaczenia jak na poniższym rysunku.

Z twierdzenia o kątach wpisanym i środkowym opartych na tym samym łuku okręgu:

 

Kąty 𝜹1 oraz 𝜹2 tworzą kąt pełny, zatem:

 

Z twierdzenia o kątach wpisanym i środkowym opartych na tym samym łuku okręgu:

 

Pierwszy wyraz ciągu geometrycznego...

 

 

 

 

 

    {premium}

 

 

 

 

 

 

Odp. Co najmniej 6 początkowych wyrazów.


 

 

 

 

 

 

 

 

 

Odp. Co najmniej 8 początkowych wyrazów.

Wyznacz najmniejszą i największą ...

 

Wyznaczamy ekstrema lokalne funkcji  w przedziale  

Obliczamy pochodną funkcji  

 

Rozwiązujemy równanie  {premium}

 

 

 

Funkcja  nie posiada ekstremów.

Obliczamy wartości funkcji  na końcach przedziału  

 

 

Stąd otrzymujemy, że

 

 


 

Wyznaczamy ekstrema lokalne funkcji  w przedziale  

Obliczamy pochodną funkcji  

 

Rozwiązujemy równanie  

 

 

 

 

 

W punkcie  funkcja  może mieć ekstremum.

Rozwiązujemy nierówność  

 

 

 

 

 

Rozwiązujemy nierówność  

 

 

 

 

 

Rozwiązaniem nierówności  jest zbiór  W przedziałach  oraz  funkcja  jest rosnąca.

Rozwiązaniem nierówności  jest przedział  W przedziale tym funkcja  jest malejąca.

Pochodna funkcji  zmienia znak z "" na "" w punkcie  Stąd otrzymujemy, że w punkcie  funkcja  ma maksimum.

 

Obliczamy wartości funkcji  na końcach przedziału  

 

 

Stąd otrzymujemy, że

 

 


 

Wyznaczamy ekstrema lokalne funkcji  w przedziale  

Obliczamy pochodną funkcji  

 

Rozwiązujemy równanie  

 

 

 

 

Tylko w punktach   oraz  funkcja  może mieć ekstrema.

Rozwiązujemy nierówność  

 

 

 

 

Rozwiązujemy nierówność  

 

 

 

 

Rozwiązaniem nierówności  jest zbiór  W przedziałach  oraz  funkcja  jest rosnąca.

Rozwiązaniem nierówności  jest zbiór  W przedziałach  oraz  funkcja  jest malejąca.

Pochodna funkcji  zmienia znak z "" na "" w punkcie  i z "" na "" w punktach  oraz  Stąd otrzymujemy, że w punkcie  funkcja  ma maksimum, a w punktach  oraz  ma minimum.

 

 

 

Obliczamy wartości funkcji  na jednym końcu przedziału  

 

Stąd otrzymujemy, że

 

 


 

Wyznaczamy ekstrema lokalne funkcji  w przedziale  

Obliczamy pochodną funkcji  

 

Rozwiązujemy równanie  

 

 

 

 

 

W punktach  oraz  funkcja  może mieć ekstrema.

Rozwiązujemy nierówność  

 

 

 

 

 

Rozwiązujemy nierówność  

 

 

 

 

 

Rozwiązaniem nierówności  jest zbiór  W przedziałach   oraz  funkcja  jest rosnąca.

Rozwiązaniem nierówności  jest przedział  W przedziale tym funkcja  jest malejąca.

Pochodna funkcji  zmienia znak z "" na "" w punkcie  Stąd otrzymujemy, że w punkcie  funkcja  ma maksimum.

 

Obliczamy wartości funkcji  na końcach przedziału  

 

 

Stąd otrzymujemy, że

 

 


 

Wyznaczamy ekstrema lokalne funkcji  w przedziale  

Obliczamy pochodną funkcji  

 

 

Rozwiązujemy równanie  

 

 

 

W punkcie  funkcja  może mieć ekstremum.

Rozwiązujemy nierówność  

 

 

 

 

Rozwiązujemy nierówność  

 

 

 

 

Rozwiązaniem nierówności  jest przedział  W przedziale tym funkcja  jest rosnąca.

Rozwiązaniem nierówności  jest przedział  W przedziale tym funkcja  jest malejąca.

Pochodna funkcji  zmienia znak z "" na "" w punkcie  Stąd otrzymujemy, że w punkcie  funkcja  ma minimum.

 

Obliczamy wartości funkcji  na końcach przedziału  

 

 

Stąd otrzymujemy, że

 

 


 

Wyznaczamy ekstrema lokalne funkcji  w przedziale  

Obliczamy pochodną funkcji  

 

 

 

 

 

 

Rozwiązujemy równanie  

 

 

 

 

 

W punktach oraz  funkcja  może mieć ekstrema.

Rozwiązujemy nierówność  

 

 

 

 

 

Rozwiązujemy nierówność  

 

 

 

 

 

Rozwiązaniem nierówności  jest zbiór  W przedziałach  oraz  funkcja  jest rosnąca.

Rozwiązaniem nierówności  jest przedział  W przedziale tym funkcja  jest malejąca.

Pochodna funkcji  zmienia znak z "" na "" w punkcie  i z "" na "" w punkcie  Stąd otrzymujemy, że w punkcie  funkcja  ma maksimum, a w punkcie  funkcja  ma minimum.

 

 

Obliczamy wartości funkcji  na końcach przedziału  

 

 

Stąd otrzymujemy, że

 

 

Uwzględnij dane przedstawione na rysunku, gdzie...

a) Obliczmy miarę kąta  :

   {premium}


b) Obliczmy miarę kąta  :

 


c) Obliczmy miarę kąta  :

 

 

 

Pole koła opisanego...

  - długość promienia okręgu opisanego na trójkącie równobocznym o wysokości  h.

 

 

 

{premium}

 

 

Odp.: D

Dla jakich liczb x i y iloczyn xy...

 

 

Obliczamy iloczyn liczb x i y:{premium}

 

Oznaczmy:

 

Współczynnik przy y2 jest ujemny, więc ramiona paraboli będącej wykresem funkcji f są skierowane do dołu. Wynika stąd, że funkcja f przyjmuje wartość największą w wierzchołku paraboli.

Obliczamy pierwszą współrzędną wierzchołka paraboli:

 

Wówczas:

 

 


 

 

 

Obliczamy iloczyn liczb x i y:

 

Oznaczmy:

 

Współczynnik przy y2 jest ujemny, więc ramiona paraboli będącej wykresem funkcji f są skierowane do dołu. Wynika stąd, że funkcja f przyjmuje wartość największą w wierzchołku paraboli.

Obliczamy pierwszą współrzędną wierzchołka paraboli:

 

Wówczas:

 

 

Dany jest wielomian

Jeśli liczba -1 jest dwukrotnym pierwiastkiem wielomianu w, to wielomian w jest podzielny dwukrotnie przez dwumian (x+1). 

Przy dzieleniu przez (x+1) wielomian w daje więc resztę 0, więc w(-1)=0.

 

 

Z drugiej strony wiemy także, że do wykresu należy punkt A=(1; -1), więc w(1)=-1. 

{premium}

 

Jeśli dodamy do siebie zależności oznaczone gwiazdką i dwoma gwiazdkami, to otrzymamy: 

Wyznaczmy z tej zależności c:

 

Podstawmy tak zapisane c do zależności oznaczonej dwoma gwiazdkami:

 

Wielomian w(x) jest więc postaci:

 

Z drugiej strony wiemy jednak, że liczba -1 jest dwukrotnym pierwiastkiem wielomianu w, więc wielomian w jest podzielny przez (x+1)². Jeśli podzielimy wielomian w (stopnia 6) przez wielomian (x+1)² (stopnia 2), to otrzymamy pewien wielomian stopnia 4. Współczynnik przy najwyższej potędze tego wielomianu będzie równy 1, bo współczynniki przy najwyższych potęgach wielomianu w oraz (x+1)² są równe 1. Zachodzi więc równość:

Wykonajmy działania i uporządkujmy wielomian w ze względu na zmienną x:

 

 

Dwa wielomiany są równe, jeśli mają jednakowe wspólczynniki stojące przy tych samych potęgach, więc możemy porównać wspólczynniki powyższego wielomianu ze wspólczynnikami wielomianu oznaczonego trzema gwiazdkami:

 

 

Mamy więc do rozwiązania układ równań, w którym tak na prawdę interesuje nas wyłącznie wartość współczynnika a:

Obliczone wartości a oraz e spełniają trzecie równanie, więc mamy rozwiązanie układu równań:

 

Pozostało jeszcze wyznaczyć wartość współczynnika c:

 

Ostatecznie możemy zapisać odpowiedź:

 

 

 

Z poprzedniego podpunktu wiemy, że:

 

Jeśli liczba 2 ma być podwójnym pierwiastkiem wielomianu w, to musi być podwójnym pierwiastkiem wielomianu u. Sprawdźmy, czy wielomian u można podzielić dwukrotnie bez reszty przez dwumian (x-2):

 

Wielomian u jest podzielny dwukrotnie przez dwumian x-2, mamy więc równość:

  

Rozłóż na czynniki wielomiany:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

{premium}


 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


 

  

 

 

 

 

 

 

 

 

  

 

Podaj przykład nierówności kwadratowej:

a) Przykład nierówności sprzecznej:

   {premium}


b) Przykład nierówności, której zbiorem rozwiązań jest podana suma przedziałów:

 


c) Przykład nierówności, której zbiorem rozwiązań jest zbiór liczb rzeczywistych:

  


d) Przykład nierówności, której zbiór rozwiązań jest jednoelementowy:

 


e) Przykład nierówności, której zbiorem rozwiązań jest podany przedział liczbowy:

 


f) Przykład nierówności, której zbiorem rozwiązań jest zbiór liczb rzeczywistych z wyłączeniem liczby -5