Zgoda na przetwarzanie danych osobowych

25 maja 2018 roku zacznie obowiązywać Rozporządzenie Parlamentu Europejskiego i Rady (UE) 2016/679 z dnia 27 kwietnia 2016 r. znane jako RODO.

Dlatego aby dalej móc dostarczać Ci materiały odpowiednie do Twojego etapu edukacji, potrzebujemy zgody na lepsze dopasowanie treści do Twojego zachowania. Dzięki temu możemy zapamiętywać jakie materiały są Ci potrzebne. Dbamy o Twoją prywatność, więc nie zwiększamy zakresu naszych uprawnień. Twoje dane są u nas bezpieczne, a zgodę na ich zbieranie możesz wycofać na podstronie polityka prywatności.

Klikając "Przejdź do Odrabiamy", zgadzasz się na wskazane powyżej działania. W przeciwnym wypadku, nie jesteśmy w stanie zrealizować usługi kompleksowo i prosimy o opuszczenie strony.

Polityka prywatności

Drogi Użytkowniku w każdej chwili masz prawo cofnąć zgodę na przetwarzanie Twoich danych osobowych. Cofnięcie zgody nie będzie wpływać na zgodność z prawem przetwarzania, którego dokonano na podstawie wyrażonej przez Ciebie zgody przed jej wycofaniem. Po cofnięciu zgody wszystkie twoje dane zostaną usunięte z serwisu. Udzielenie zgody możesz modyfikować w zakładce 'Informacja o danych osobowych'

Prawdopodobieństwo warunkowe i całkowite - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Prawdopodobieństwo warunkowe

W zadaniach wymagających obliczenia prawdopodobieństwa często zdarza się, że wystąpienie jednego zdarzenia w jakiś sposób wpływa na prawdopodobieństwo drugiego. Przykładem może być sytuacja, w której losujemy kulkę z jednej z dziesięciu urn.

W urnach nieparzystych znajduje się po pięc kul białych i dwie zielone, w parzystych zaś po trzy białe i osiem zielonych. Pytanie brzmi: wiedząc, że nasza urna miała numer nieparzysty, jaką mamy szansę na wylosowanie kuli zielonej?

Od razu widać, że nasz wybór urny determinuje prawdopodobieństwo wylosowania określonego koloru kuli - w przypadku wybrania urny nieparzystej nich mamy dużo większą szansę wyciągnąć kulę białą (szansa wynosi $${5}/{7}$$), w przypadku nieparzystej - prawdopodobnie wyciągniemy zieloną (z prawdopodobieństwem równym $${8}/{11}$$).

Układ taki nazywa się prawdopodobieństwem warunkowym - pierwszy wybór (urny) wpływa na prawdopodobieństwo drugiego (koloru kuli).

Do obliczenia tego prawdopodobieństwa posłużymy się wzorem:

$$P(A|B) = {P(A ∪ B)}/{P(B)}$$

$$P(A ∪ B)$$ to prawdopodobieństwo wyciągnięcia kuli zielonej z urny nieparzstej - czyli $${8}/{22}$$.

$$P(B)$$ oznacza szansę na wylosowanie urny nieparzystej - jest to po prostu $${1}/{2}$$.

Jak widać, prawdopodobieństwo warunkowe wynosi w tym przypadku $${ {8}/{22} }/{ {1}/{2} } = {8}/{11}$$

Prawdopodobieństwo całkowite

Twierdzenie o prawdopodobieństwie całkowitym to sposób na obliczanie sytuacji, które mogą zdarzać się na różne sposoby. Wróćmy do poprzedniego zadania: taki sam rozkład kul w urnach parzystych i nieparzystych, jednak tym razem pytamy, jakie jest w ogóle prawdopodobieństwo wyciągnięcia zielonej kuli.

Do obliczenia tego posłuży nam wzór:

$$P(A) = sum_{i = 1}^{n} P(A|H_i)P(H_i)$$

Mówi on tyle, że jeśli jest $$n$$ sposobów zajścia zdarzenia i każdy sposób ma prawdopodobieństwo zajścia $$P(H_i)$$, to prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia jest równe sumie prawdopodobieństw warunkowch przemnożonych przez prawdopodobieństwa sposobów.

Stosując wzór na prawdopodobieństwo warunkowe możemy przekształcić równanie otrzymując:

$$P(A) = sum_{i = 1}^{n} P(A cup H_i)$$

Zawile to brzmi, jednak na przykładzie można przekonać się, że jest całkiem proste.

W naszym zadaniu istnieją dwie "drogi" wybrania kuli zielonej zależne od tego, czy najpierw wylosujemy urnę parzystą, czy nieparzystą.

Każde z tych zdarzeń ma prawdopodobieństwo zajścia równe $${1}/{2}$$.

Prawdopodobieństwo wylosowania zielonej kuli w przypadku urn parzystych wynosi $${2}/{7}$$, w przypadku nieparzystych - $${8}/{11}$$.

Sumując otrzymujemy:

$$P(A) = {2}/{7} × {1}/{2} + {8}/{11} × {1}/{2} = {39}/{77}$$
 

Zadanie

Oblicz prawdopodobieństwo wyrzucenia szóstki przynajmniej raz rzucając kością do gry wedle zasad:

1) Rzucamy pierwszy raz - jeśli wypadła szóstka, kończymy grę.
2) Jeśli nie było szóstki, ale była liczba parzysta, to rzucamy dwoma kościami i kończymy grę.
3) Jeżeli wypadła liczba nieparzysta, rzucamy jedną kością jeszcze raz.

Nasze zdarzenie może zajść na kilka sposobów:

1) Z prawdopodobieństwem $${1}/{6}$$ wyrzucimy ją za pierwszym razem.

2) Z prawdopodobieństwem $${2}/{6}$$ dojdzie do sytuacji, gdy będziemy rzucali dwiema kościami - szansa na wyrzucenie chociaż jednej szóstki wzrasta wtedy do $${11}/{36}$$, ponieważ wszystkich możliwych kombinacji rzutów jest 36, a możliwych kombinacji bez 6 - 25.

3) Z prawdopodobieństwem $${3}/{6}$$ dojdzie do sytuacji, gdy będziemy rzucali jeszcze raz jedną kością - szansa wylosowania szóstki wynosi wtedy oczywiście $${1}/{6}$$.

Korzytając z poznanego wzoru możemy obliczyć prawdopodobieństwo całkowite - jest ono równe prawdopodobieństwu wystąpienia każdej z sytuacji pomnożonemu przez prawdopodobieństwo wyrzucenia w tej sytuacji szóstki.

Mamy więc:

$$P(6) = {1}/{6}*1 + {2}/{6}×{11}/{36} + {3}/{6}×{1}/{6}$$
$$P(6) = {19}/{54}$$

Spis treści

Rozwiązane zadania
Uzasadnij, że ...

`a)` 

`"Czy"\ \ sinalpha^2+cosalpha^2=1?` 

 

`alpha-"kąt ostry"` 

`L=sin^2alpha+cos^2alpha` 

`cos alpha=a/c` 

`sin alpha=b/c` 

`L=(b/c)^2+(a/c)^2=(a^2+b^2)/c^2` 

`"Z tw. Pitagorasa wiemy, że:"` 

`c^2=a^2+b^2` 

 

`L=(a^2+b^2)/c^2=c^2/c^2=1` 

 

`"Pokazaliśmy, że"\ sin^2alpha+cos^2alpha=1.` 

 

`b)` 

`"Czy"\ \tg\ alpha=sin alpha / cos alpha?` 

 

`L=tg\ alpha=b/a` 

`P=sin alpha / cos alpha=(b/c)/(a/c)=b/c*c/a=b/a` 

`L=P`          

Wykonaj działania:

`a)` 

`(3x^2-4x)(3x^2+4x)=(3x^2)^2-(4x)^2=9x^4-16x^2` 

{premium}

 

`b)` 

`(5x^3-6x)^2=25x^6-60x^4+36x^2` 

 

`c)` 

`(3x^7+2x)^2=9x^14+12x^8+4x^2` 

 

`d)` 

`(9x^7-x^3)(9x^7+x^3)=(9x^7)^2-(x^3)^2=81x^14-x^6` 

Podstawą graniastosłupa

Wiemy, że podstawą graniastosłupa jest romb o kącie ostrym 30° i boku 12 cm. Wykonajmy rysunek pomocniczy:

Korzystając z zależności między długościami boków w trójkącie o kątach 90°, 60° 30° możemy obliczyć, jaką długość ma wysokość rombu (h). Przypomnijmy tę zależność:

U nas:

`2a=12\ \ \ |:2` 

`h=a=6` 

 

Wysokość ma więc długość 6 cm.

Romb jest w szczególności równoległobokiem (bo ma 2 pary boków równoległych), więc jego pole możemy obliczyć tak, jak pole równoległoboku - mnożąc długość podstawy razy długość wysokości. Obliczmy więc pole podstawy graniastosłupa, czyli pole rombu o podstawie 12 cm i wysokości 6 cm.

`P_p=12*6=72\ [cm^2]` 

 

Wysokość graniastosłupa ma 8 cm. Na pole powierzchni bocznej składają się pola 4 prostokątów o wymiarach 8 cm x 12 cm.

`P_b=4*8*12=384\ [cm^2]` 

 

Obliczamy pole powierzchni całkowitej (należy pamiętać, że składa się na nie pole dwóch jednakowych podstaw oraz pole powierzchni bocznej graniastosłupa).

`P_c=2*72+384=144+384=528\ [cm^2]` 

 

 

`ul("uwaga")` 

Długość wysokości (h) można było obliczyć także w inny sposób - korzystając z funkcji trygonometrycznych. Na przykład:

`h/12=sin30^o` 

`h/12=1/2` 

`2h=1*12` 

`2h=12\ \ \ |:2` 

`h=6` 

 

 

Sprawdź, czy dowolne ...

`a)` 

`alpha in(90^@;180^@)` 

`beta in (180^@;270^@)` 

Załóżmy dla tego i dalszych podpunktów, że:

`P_1 =(x_1;x_2)-`  pewien punkt leżący na ramieniu końcowym kąta alfa

`P_2=(x_2;y_2)-`  pewien punkt leżący na ramieniu końcowym kąta beta

  

`sinalphastackrel{?}>tgbeta`     

`sinalpha=y_1/sqrt(x_1^2+y_1^2)`    

`tgbeta=y_2/x_2` 

Weźmy przykładowe wartości spełniające założenia zadania:

`tgbeta=-3/-1=3>1` 

`max{sinalpha: alpha-"dowolny kąt"}<=1`  

Rozważana nierówność nie jest prawdziwa.

 

`b)` 

`sinalpha+cosbeta<0`  

`sinalpha<-cosbeta`  

`y_1/sqrt(x_1^2+y_1^2)<-x_2/sqrt(x_2^2+y_2^2)`  

`x_1,x_2,y_2<0`  

`y_1>0`   

Zauważmy, że dla następujących wartości nierówność nie jest zachowana.

`(x_1;y_1)=(-1;2)`   

`(x_2;y_2)=(-1;-2)`  

`y_1/sqrt(1^2+4^2)<-x_2/sqrt(1^2+4^2)`   

`y_1<-x_2` 

`2<1`    

Rozważana nierówność nie jest prawdziwa.

 

`c)` 

`tgalpha+ctgbeta/2<0` 

`tgalpha<-ctgbeta/2` 

Oznaczmy:

`gamma=beta/2` 

`gamma in (90^@;135^@)`    

`P_3=(x_3;y_3)-`  pewien punkt leżący na ramieniu końcowym kąta gamma

 

`tgalpha<-ctggamma`   

`y_1/x_1<-x_3/y_3` 

`x_1,x_3 <0` 

`y_1,y_3>0` 

 

 

Zauważmy, że lewa strona nierówności jest zawsze ujemna a prawa zawsze dodatnia.

Nierówność jest prawdziwa.

 

`d)`    

`tgbeta  < tgalpha` 

`y_2/x_2 < y_1/x_1`   

`x_1,y_2,x_2<0` 

`y_1>0` 

Zauważmy, że lewa strona nierówności jest zawsze dodatnia a prawa zawsze ujemna.

Rozważana nierówność nie jest prawdziwa.

Dodatni pierwiastek równania...

`3sqrt5(x^2+1)=sqrt5(2x+3) \ \ \ |:sqrt5` 

`3(x^2+1)=2x+3` 

`3x^2+3=2x+3` 

`3x^2+3-2x-3=0` 

`3x^2-2x=0` 

`x(3x-2)=0` 

`x=0 \ \ \ \ \ "lub" \ \ \ \ \ 3x-2=0` 

`x=0 \ \ \ \ \ "lub" \ \ \ \ \ x=2/3` 

 

Odp. A

Naszkicuj w jednym układzie współrzędnych wykresy...

a)

`f(x)=4/x` 

`g(x)=4/(x-6)` 

`A=(2, 2)` 

`B=(8, 2)` 

 

`|AB|=sqrt((8-2)^2+(2-2)^2)=sqrt(6^2)=6` 


b)

`f(x)=-3/(x-1)` 

`g(x)=-3/(x-1+4)` 

`g(x)=-3/(x+3)` 

`A=(-1/2, 2)` 

`B=(-4 1/2, 2)` 

 

`|AB|=sqrt((-4 1/2-(-1/2))^2+(2-2)^2)=sqrt((-4)^2)=4` 


c)

`f(x)=6/x` 

`g(x)=6/x+1` 

`A=(3, 2)` 

`B=(6, 2)` 

 

`|AB|=sqrt((6-3)^2+(2-2)^2)=sqrt(3^2)=3` 


d)

`f(x)=-12/(x+2)` 

`g(x)=-12/(x+2)-4` 

`A=(-4, 2)` 

`B=(-8, 2)` 

 

`|AB|=sqrt((-8-(-4))^2+(2-2)^2)=sqrt((-4)^2)=4` 

Dany jest wielomian W(x)=...

`W(x)=(x+1)(x^2+(p+3)x+9)` 

`st.W(x)=3,` więc wielomian `W(x)` może mieć co najwyżej trzy pierwiastki.

Jednym z pierwiastków wielomianu `W(x)` jest `-1,` bo `W(-1)=0.` 

Liczba pozostałych pierwiastków wielomianu `W(x)` zależy od parametru `p.` 

Niech:

`Q(x)=x^2+(p+3)x+9` 

{premium}

Wielomian `Q(x)` jest trójmianem kwadratowym, więc liczba jego pierwiastków zależy od wyróżnika `Delta.` 

Obliczamy:

`Delta=(p+3)^2-36=(p+3-6)(p+3+6)=(p-3)(p+9)` 

Mamy:

`1)\ Delta< 0\ <=>\ p in (-9,\ 3)` 

Wówczas wielomian `Q(x)` nie ma pierwiastków.

 

`2)\ Delta= 0\ <=>\ p in {-9,\ 3}` 

Wówczas wielomian `Q(x)` ma jeden pierwiastek dwukrotny.

Dla `p=-9` wielomian `Q(x)` ma postać:

`Q(x)=x^2-6x+9=(x-3)^2` 

Pierwiastkiem dwukrotnym jest liczba `3.` 

Dla `p=3` wielomian `Q(x)` ma postać:

`Q(x)=x^2+6x+9=(x+3)^2` 

Pierwiastkiem dwukrotnym jest liczba `-3.` 

 

`3)\ Delta> 0\ <=>\ p in (-oo,-9) uu (3,+oo)` 

Wówczas wielomian `Q(x)` ma dwa pierwiastki jednokrotne.

Sprawdźmy, czy istnieje wśród nich pierwiastek równy `-1.` 

`Q(-1)=1-p-3+9=-p+7` 

`Q(-1)=0\ <=>\ -p+7=0\ <=>\ p=7` 

Zatem dla `p=7` jednym z pierwiastków wielomianu `Q(x)` jest `-1.` 

 

Podsumowując:

`1)` Dla `p in (-9,\ 3)` wielomian `W(x)` ma jeden pierwiastek jednokrotny.

`2)` Dla `p in {-9,\ 3,\ 7}` wielomian `W(x)` ma jeden pierwiastek jednokrotny i jeden pierwiastek dwukrotny.

`3)` Dla `p in (-oo,-9) uu (3,\ 7) uu (7,+oo)` wielomian `W(x)` ma trzy pierwiastki jednokrotne.

Wyznacz promień podstawy i wysokość stożka, jeśli...

a)

`P_p=30pi` 

`pir^2=30pi \ \ \ |:pi` 

`r^2=30` 

`r=sqrt30` 

 

`P_b=40pi` 

`pirl=40pi \ \ \ |:pi` 

`sqrt30*l=40 \ \ \ |:sqrt30` 

`l=40/sqrt30` 

`l=(40sqrt30)/30` 

`l=(4sqrt30)/3` 

 

`r^2+h^2=l^2` 

`sqrt30^2+h^2=((4sqrt30)/3)^2` 

`30+h^2=(16*30)/9 \ \ \ |-30` 

`h^2=480/9-270/9` 

`h^2=210/9` 

`h=sqrt210/3` 


b)

`P_p=25pi` 

`pir^2=25pi \ \ \ |:pi` 

`r^2=25` 

`r=5` 

 

`30%P_c=P_p` 

`0,3(pir^2+pirl)=pir^2` 

`0,3(25pi+pirl)=25pi` 

`7,5pi+0,3pirl=25pi \ \ \ |-7,5pi` 

`0,3pi*5*l=17,5pi \ \ \ |:1,5pi` 

`l=175/15` 

`l=35/3` 

 

`r^2+h^2=l^2` 

`5^2+h^2=(35/3)^2` 

`25+h^2=1225/9 \ \ \ |-25` 

`h^2=1225/9-225/9` 

`h^2=1000/9` 

`h=sqrt1000/3` 

`h=(10sqrt10)/3` 


c)

`Obw.=2r+2l` 

`2r+2l=12 \ \ \ |:2` 

`r+l=6 \ \ \ |-r` 

`l=6-r` 

 

`P_b=2*P_p` 

`pirl=2*pir^2 \ \ \ |:pir` 

`l=2r` 

`6-r=2r \ \ \ |+r` 

`6=3r \ \ \ |:3` 

`r=2` 

 

`l=6-2` 

`l=4` 

 

`r^2+h^2=l^2` 

`2^2+h^2=4^2` 

`4+h^2=16 \ \ \ |-4` 

`h^2=12` 

`h=sqrt12` 

`h=2sqrt3` 

W urnie znajdują się

W każdym z trzech rzutów możemy uzyskać trzy wyniki - 1, 2 lub 3. 

Liczba gdy jej ostatnia cyfra jest parzysta. W tym przypadku mamy do dyspozycji wyłącznie cyfry 1, 2, 3, więc liczba będzie parzysta, gdy jej ostatnią cyfrą będzie 2. Mamy 9 możliwości (podkreślono na drzewku):

Te liczby parzyste to: 112, 122, 132, 212, 222, 232, 312, 322, 332.

 

 

Liczba dzieli się przez 6, jeśli dzieli się przez 3 (suma jej cyfr dzieli się przez 3) oraz dzieli się przez 2 (jej ostatnia cyfra jest parzysta). 

Musimy sprawdzić, które z dziewięciu liczb parzystych dzielą się przez 3. 

Wypiszmy sumy cyfr tych liczb, sumy podzielne przez 3 zostaną podkreślone:

`1+1+2=4` 

`1+2+2=5` 

`1+3+2=ul6`  

`2+1+2=5` 

`2+2+2=ul6` 

`2+3+2=7` 

`3+1+2=ul6` 

`3+2+2=7` 

`3+3+2=8`    

 

Możemy otrzymać 3 liczby podzielne przez 3 (są to liczby 132, 222, 312). 

Oblicz w pamięci miejsca zerowe...

{premium}Niech  `x_1,\ x_2` będą miejscami zerowymi funkcji `f.` 

Korzystając ze wzorów Viete'a obliczamy w pamięci sumę i iloczyn pierwiastków,

a następnie zgadujemy liczby spełniające oba warunki.

`"a)"\ x_1=-2,\ x_2=-3` 

`"b)"\ x_1=4,\ x_2=-2` 

`"c)"\ x_1=1,\ x_2=7` 

`"d)"\ x_1=2,\ x_2=10` 

`"e)"\ x_1=1,\ x_2=-5` 

`"f)"\ x_1=3,\ x_2=-9`