Zgoda na przetwarzanie danych osobowych

25 maja 2018 roku zacznie obowiązywać Rozporządzenie Parlamentu Europejskiego i Rady (UE) 2016/679 z dnia 27 kwietnia 2016 r. znane jako RODO.

Dlatego aby dalej móc dostarczać Ci materiały odpowiednie do Twojego etapu edukacji, potrzebujemy zgody na lepsze dopasowanie treści do Twojego zachowania. Dzięki temu możemy zapamiętywać jakie materiały są Ci potrzebne. Dbamy o Twoją prywatność, więc nie zwiększamy zakresu naszych uprawnień. Twoje dane są u nas bezpieczne, a zgodę na ich zbieranie możesz wycofać na podstronie polityka prywatności.

Klikając "Przejdź do Odrabiamy", zgadzasz się na wskazane powyżej działania. W przeciwnym wypadku, nie jesteśmy w stanie zrealizować usługi kompleksowo i prosimy o opuszczenie strony.

Polityka prywatności

Drogi Użytkowniku w każdej chwili masz prawo cofnąć zgodę na przetwarzanie Twoich danych osobowych. Cofnięcie zgody nie będzie wpływać na zgodność z prawem przetwarzania, którego dokonano na podstawie wyrażonej przez Ciebie zgody przed jej wycofaniem. Po cofnięciu zgody wszystkie twoje dane zostaną usunięte z serwisu. Udzielenie zgody możesz modyfikować w zakładce 'Informacja o danych osobowych'

Prawdopodobieństwo warunkowe i całkowite - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Prawdopodobieństwo warunkowe

W zadaniach wymagających obliczenia prawdopodobieństwa często zdarza się, że wystąpienie jednego zdarzenia w jakiś sposób wpływa na prawdopodobieństwo drugiego. Przykładem może być sytuacja, w której losujemy kulkę z jednej z dziesięciu urn.

W urnach nieparzystych znajduje się po pięc kul białych i dwie zielone, w parzystych zaś po trzy białe i osiem zielonych. Pytanie brzmi: wiedząc, że nasza urna miała numer nieparzysty, jaką mamy szansę na wylosowanie kuli zielonej?

Od razu widać, że nasz wybór urny determinuje prawdopodobieństwo wylosowania określonego koloru kuli - w przypadku wybrania urny nieparzystej nich mamy dużo większą szansę wyciągnąć kulę białą (szansa wynosi $${5}/{7}$$), w przypadku nieparzystej - prawdopodobnie wyciągniemy zieloną (z prawdopodobieństwem równym $${8}/{11}$$).

Układ taki nazywa się prawdopodobieństwem warunkowym - pierwszy wybór (urny) wpływa na prawdopodobieństwo drugiego (koloru kuli).

Do obliczenia tego prawdopodobieństwa posłużymy się wzorem:

$$P(A|B) = {P(A ∪ B)}/{P(B)}$$

$$P(A ∪ B)$$ to prawdopodobieństwo wyciągnięcia kuli zielonej z urny nieparzstej - czyli $${8}/{22}$$.

$$P(B)$$ oznacza szansę na wylosowanie urny nieparzystej - jest to po prostu $${1}/{2}$$.

Jak widać, prawdopodobieństwo warunkowe wynosi w tym przypadku $${ {8}/{22} }/{ {1}/{2} } = {8}/{11}$$

Prawdopodobieństwo całkowite

Twierdzenie o prawdopodobieństwie całkowitym to sposób na obliczanie sytuacji, które mogą zdarzać się na różne sposoby. Wróćmy do poprzedniego zadania: taki sam rozkład kul w urnach parzystych i nieparzystych, jednak tym razem pytamy, jakie jest w ogóle prawdopodobieństwo wyciągnięcia zielonej kuli.

Do obliczenia tego posłuży nam wzór:

$$P(A) = sum_{i = 1}^{n} P(A|H_i)P(H_i)$$

Mówi on tyle, że jeśli jest $$n$$ sposobów zajścia zdarzenia i każdy sposób ma prawdopodobieństwo zajścia $$P(H_i)$$, to prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia jest równe sumie prawdopodobieństw warunkowch przemnożonych przez prawdopodobieństwa sposobów.

Stosując wzór na prawdopodobieństwo warunkowe możemy przekształcić równanie otrzymując:

$$P(A) = sum_{i = 1}^{n} P(A cup H_i)$$

Zawile to brzmi, jednak na przykładzie można przekonać się, że jest całkiem proste.

W naszym zadaniu istnieją dwie "drogi" wybrania kuli zielonej zależne od tego, czy najpierw wylosujemy urnę parzystą, czy nieparzystą.

Każde z tych zdarzeń ma prawdopodobieństwo zajścia równe $${1}/{2}$$.

Prawdopodobieństwo wylosowania zielonej kuli w przypadku urn parzystych wynosi $${2}/{7}$$, w przypadku nieparzystych - $${8}/{11}$$.

Sumując otrzymujemy:

$$P(A) = {2}/{7} × {1}/{2} + {8}/{11} × {1}/{2} = {39}/{77}$$
 

Zadanie

Oblicz prawdopodobieństwo wyrzucenia szóstki przynajmniej raz rzucając kością do gry wedle zasad:

1) Rzucamy pierwszy raz - jeśli wypadła szóstka, kończymy grę.
2) Jeśli nie było szóstki, ale była liczba parzysta, to rzucamy dwoma kościami i kończymy grę.
3) Jeżeli wypadła liczba nieparzysta, rzucamy jedną kością jeszcze raz.

Nasze zdarzenie może zajść na kilka sposobów:

1) Z prawdopodobieństwem $${1}/{6}$$ wyrzucimy ją za pierwszym razem.

2) Z prawdopodobieństwem $${2}/{6}$$ dojdzie do sytuacji, gdy będziemy rzucali dwiema kościami - szansa na wyrzucenie chociaż jednej szóstki wzrasta wtedy do $${11}/{36}$$, ponieważ wszystkich możliwych kombinacji rzutów jest 36, a możliwych kombinacji bez 6 - 25.

3) Z prawdopodobieństwem $${3}/{6}$$ dojdzie do sytuacji, gdy będziemy rzucali jeszcze raz jedną kością - szansa wylosowania szóstki wynosi wtedy oczywiście $${1}/{6}$$.

Korzytając z poznanego wzoru możemy obliczyć prawdopodobieństwo całkowite - jest ono równe prawdopodobieństwu wystąpienia każdej z sytuacji pomnożonemu przez prawdopodobieństwo wyrzucenia w tej sytuacji szóstki.

Mamy więc:

$$P(6) = {1}/{6}*1 + {2}/{6}×{11}/{36} + {3}/{6}×{1}/{6}$$
$$P(6) = {19}/{54}$$

Spis treści

Rozwiązane zadania
Wśród poniższych funkcji znajdują się funkcje kwadratowe

Funkcje kwadratowe są postaci y=ax²+bx+c, gdzie a, b, c to liczby rzeczywiste, a jest liczbą różną od 0.

 

`a)\ y=2+5x^2-4x=5x^2-4x+2\ \ \ \ tak`

`b)\ y=x^3+x^2-1\ \ \ nie`

`c)\ y=(x^3+2x+4x^2)/x\ \ \ nie`

`d)\ y=8-5x^2=-5x^2+8\ \ \ tak`

`e)\ y=(2x^2+3)/5-7x=2/5x^2-7x+3/5\ \ \ tak`

`f)\ y=3sqrtx-2x^2+8\ \ \ nie`

Pewien kierowca ma zwyczaj tankowania ...

a) Kierowca tankuje benzynę za 60 zł. Wraz ze wzrostem ceny benzyny, maleje ilość litrów paliwa, które można zatankować. Wielkosci te są więc odwrotnie proporcjonalne.

Wzór funkcji opisującej zależność między ceną benzyny (za litr) a liczbą zatankowanych litrów przedstawia wzór:

`y=60/x\ \ \ \ "dla"\ x>0`

x - cena benzyny

y- ilość zatankowanych litrów paliwa

 

Obliczmy, ile litrów benzyny kierowca zatankuje, gdy cena paliwa wynosi 5 zł za litr.

`y=60/5=12`

Jeżeli benzyna kosztuje 5 zł za litr, to kierowca zatankuje 12 litrów paliwa.

 

Obliczmy, ile litrów benzyny kierowca zatankuje, gdy cena paliwa wynosi 5,20 zł za litr.

`y=60/(5,2)=600/52=150/13=11 7/13`

Jeżeli benzyna kosztuje 5,20 zł za litr, to kierowca zatankuje 11 7/13 litrów paliwa.

 

Obliczmy o ile litrów benzyny kierowca zatankuje przy cenie 5 zł za litr niż przy cenie 5,20 zł za litr.

`12-11 7/13=6/13`

Odp: Przy cenie 5 zł za litr benzyny, kierowca zatankuje o 6/13 litra więcej niż gdyby tankował za 5,20 zł za litr.

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))`

b) Wzór funkcji nadal jest taki sam, jak w punkcie a).

`y=60/x`

 

Obliczmy, ile litrów benzyny kierowca tankował, gdy cena paliwa wynosiła x zł za litr.

`y=60/x`

Jeżeli benzyna kosztowała x zł za litr, to kierowca tankował 60/x litrów paliwa.

 

Po jakimś czasie cena benzyny wzrosła o 10 groszy (10 groszy = 0,1 zł), czyli kosztowała x+0,1 zł.

Obliczmy, ile litrów benzyny kierowca zatankował, gdy cena paliwa wzrosła i wynosiła x+0,1 zł za litr.

`y=60/(x+0,1)`

Gdy cena benzyny wzrosła o 10 groszy, to kierowca tankował  60/x+0,1 litrów paliwa.

 

Z treści zadania wiemy, że gdy cena benzyny wzrosła, to kierowca tankował o jeden litr paliwa mniej. 

Możemy ułożyć równanie (gdy do ilości litrów paliwa przy cenie x+0,1 zł za litr dodamy 1, to otrzymamy ilość paliwa tankowaną przy cenie benzyny x zł za litr).

`60/(x+0,1)+1=60/x`

`(60+x+0,1)/(x+0,1)=60/x`

`strike(60x)+x^2+0,1x=strike(60x)+6`

`x^2+0,1x-6=0`

Rozwiązujemy równanie kwadratowe.

`Delta=1/100+24=24 1/100=2401/100`

`sqrtDelta=sqrt(2401/100)=49/10`

`x_1=(-1/10-49/10)/2=(-50/10)/2=-2,5 !in D_f\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (x>0)`

`x_2=(-1/10+49/10)/2=(48/10)/2=48/20=2 8/20=2 2/5=2,4`

 

Odp: Kilka lat temu benzyna kosztowała 2,4 zł za litr.

Na zakup...

Cenę za kilogram oznaczmy przez x, liczbę kupionych kilogramów przez y.

Skoro przeznaczamy 12 złotych na kupno gruszek to znaczy, że:

`x*y=12 \ \ \ |:x`  

`y=12/x` 

 `x`  `12`  `6`  `4`  `3`  `2`  `1` 
 `y`  `1`  `2`  `3`  `4`  `6`  `12` 

Wykres

Oblicz długość boku sześciokąta foremnego ...

`"Dłuższa przekątna przecina się w połowie z innymi przekątnymi tej samej długości."` 

`x=10/2=5` 

`(n-2)*180^@=4*180^@=720^@` 

`720^@/6=120^@` 

`beta+lambda=gamma+delta=120^@` 

`alpha=360^@/6=60^@` 

`"Zauważmy, że dłuższe przekatne są dwusiecznymi katów."` 

`beta=lambda=120^@/2=60^@`  

`delta=gamma=60^@`   

 

`"Tym samym trójkąt ABO jest trójkątem równobocznym."` 

`a=x=5` 

`ul(a=5` 

 

`b)` 

`"Zauważmy, że połowa krótszej przekątnej jest wysokością trójkąta równobocznego o boku długości a."` 

`3/2=1,5` 

`1,5=(asqrt(3))/2` 

`a=3/sqrt3=sqrt3` 

`ul(a=sqrt3` 

 

`c)` 

`"Długość dłuższej przekatnej jest równa długości dwóch boków sześciokąta foremnego. (2a)"` 

`"Długość krótszej przekątnej jest równa długości dwóch wysokości trójkąta równobocznego o boku a."` 

`2x-"długość dłuższej przekątnej"` 

`y-"długość krótszej przekątnej"`   

 

`2x=2a` 

`y=2*(asqrt3)/2=asqrt3` 

 

`2a-asqrt3=1` 

`a(2-sqrt3)=1` 

`a=1/(2-sqrt3)=(2+sqrt3)/(4-3)=ul(2+sqrt3`      

Wyznacz wszystkie wartości m, dla których...

`"a)"\ f(x)=(m+3)x-4` 

`x_0=2` jest miejscem zerowym funkcji `f,` stąd:  

`f(2)=0` 

`2(m+3)-4=0` 

`2(m+3)=2\ "/":2` 

`m+3=1` 

`m=-2` 

 

`"b)"\ f(x)=(m^2-1)x-3`  

`x_0=1` jest miejscem zerowym funkcji `f,` stąd:  

`f(1)=0` 

`m^2-1-3=0` 

`m^2-4=0` 

`m^2=4` 

`m=-2\ vv\ m=2` 

 

`"c)"\ f(x)=x+2m-5`  

`x_0=-1` jest miejscem zerowym funkcji `f,` stąd:  

`f(-1)=0` 

`-1+2m-5=0` 

`2m=6\ "/":2` 

`m=3` 

 

`"d)"\ f(x)=(4m-2)x+m+3` 

`x_0=0,5` jest miejscem zerowym funkcji `f,` stąd:  

`f(1/2)=0` 

`1/2(4m-2)+m+3=0` 

`2m-1+m+3=0` 

`3m=-2\ "/":3` 

`m=-2/3` 

 

`"e)"\ f(x)=6mx` 

`x_0=7` jest miejscem zerowym funkcji `f,` stąd:  

`f(7)=0` 

`6m*7=0\ "/":6*7` 

`m=0` 

 

`"f)"\ f(x)=2x+m^2-2`  

`x_0=-5` jest miejscem zerowym funkcji `f,` stąd:  

`f(-5)=0` 

`2*(-5)+m^2-2=0` 

`-10+m^2-2=0` 

`m^2=12` 

`m=-2sqrt3\ vv\ m=2sqrt3`  

Wykres funkcji kwadratowej f powstał w wyniku przesunięcia

Przydatne będą wzory skróconego mnożenia na kwadrat sumy i kwadrat różnicy: 

`(a+b)^2=a^2+2ab+b^2` 

`(a-b)^2=a^2-2ab+b^2` 

Czasem manipulując tymi wzorami da się łatwo przejść do postaci kanonicznej, z której odczytujemy współrzędne wierzchołka. 

 

Można także skorzystać ze wzorów: 

`vecv=[p,\ q],\ \ \ \ p=(-b)/(2a),\ \ \ \ q=(-Delta)/(4a)`

 

 

 

`a)` 

`f(x)=-10x^2+20x-2`

`p=(-20)/(2*(-10))=(-20)/(-20)=1` 

`q=(-(20^2-4*(-10)*(-2)))/(4*(-10))=(-(400-80))/(-40)=(-320)/(-40)=8`  

`y=-10x^2,\ \ \ vecv=[1,\ 8]` 

 

 

`b)` 

`Delta=(-5)^2-4*5/6*0=25` 

`p=-(-5)/(2*5/6)=` `5/(5/3)=5:5/3=5*3/5=3` 

`q=-25/(4*5/6)=` `(-25)/(20/6)=-25:20/6=-25*6/20=` `-25*3/10=-75/10=-7 1/2` 

`y=5/6x^2,\ \ \ \ vecv=[3,\ -7 1/2]` 

 

 

`c)` 

`Delta=4^2-4*(-3)*3 2/3=` `16+4*3*11/3=16+44=60` 

`p=-4/(2*(-3))=4/6=2/3` 

`q=(-60)/(4*(-3))=60/12=5` 

`y=-3x^2,\ \ \ \ vecv=[2/3,\ 5]` 

 

 

 

`d)`  

`f(x)=33/2x^2+12x+18=3/2x^2+3/2*2/3*12x+3/2*2/3*18=` 

`\ \ \ \ \ \ \ =3/2x^2+3/2*8x+3/2*12=3/2(x^2+8x+12)=`  

`\ \ \ \ \ \ \ = 3/2(x^2+8x+16-4)=3/2((x+4)^2-4)=` 

`\ \ \ \ \ \ \ =3/2(x+4)^2-12/2=3/2(x+4)^2-6`  

`y=3/2x^2,\ \ \ \ vecv=[-4, -6]`    

Ile jest wszystkich liczb

Cyfry rózne od 0 to cyfry 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 - jest ich dziewięć. 

Najpierw obliczymy, ile jest liczb czterocyfrowych o różnych cyfrach, w których zapisie nie ma 0. 

Na pierwszym miejscu możemy postawić jedną z 9 cyfr - 9 możliwości. 

Na drugim miejscu możemy postawić jedną z 8 pozostałych cyfr - 8 możliwości. 

Na trzecim miejscu możemy postawić jedną z 7 pozostałych cyfr - 7 możliwości. 

Na czwartym miejscu możemy postawić jedną z 6 pozostałych cyfr - 6 możliwości. 

Zgodnie z regułą mnożenia ilość takich liczb jest równa:

`9*8*7*6=3024` 

Zauważmy, że jest to liczba czteroelementowych wariacji bez powtórzeń zbioru dziewięcioelementowego. 

 

Teraz obliczymy, ile jest liczb pięciocyfrowych o różnych cyfrach, w których zapisie nie ma 0. 

Na pierwszym miejscu możemy postawić jedną z 9 cyfr - 9 możliwości. 

Na drugim miejscu możemy postawić jedną z 8 pozostałych cyfr - 8 możliwości. 

Na trzecim miejscu możemy postawić jedną z 7 pozostałych cyfr - 7 możliwości. 

Na czwartym miejscu możemy postawić jedną z 6 pozostałych cyfr - 6 możliwości. 

Na piątym miejscu możemy postawić jedną z 5 pozostałych cyfr - 5 możliwości.

Zgodnie z regułą mnożenia ilość takich liczb jest równa:

`9*8*7*6*5=15\ 120` 

Zauważmy, że jest to liczba pięcioelementowych wariacji bez powtórzeń zbioru dziewięcioelementowego. 

Na rysunku obok przedstawiono wykres...

a) ma granicę, ale nie jest ciągła

b) nie ma granicy, nie jest ciągła

c) ma granicę, punkt nie należy do dziedziny więc nie możemy badać ciągłości

d) ma granicę, jest ciągła

Narysuj wykres funkcji...

a) Wykres:

 

b) Wykres:

 

c) Wykres:

Do banku wpłacono pewną kwotę ...

`"a)"\ r=4%` 

Oznaczamy x - kwota wpłacona do banku.

`x*(1,04)^n=1,5*x`

`(1,04)^n=1,5`

`n=log_(1,04)1,5=(log1,5)/(log1,04)~~(0,1761)/(0,0170)~~10,4`

Oszczędności podwoją się po 11 latach.

 

`"b)"\ r=3%` 

Oznaczamy x - kwota wpłacona do banku.

`x*(1,03)^n=1,5*x` 

`(1,03)^n=1,5`

`n=log_(1,03)1,5=(log1,5)/(log1,03)~~(0,1761)/(0,0128)~~13,8` 

Oszczędności podwoją się po 14 latach.