Prawdopodobieństwo warunkowe i całkowite - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Prawdopodobieństwo warunkowe

W zadaniach wymagających obliczenia prawdopodobieństwa często zdarza się, że wystąpienie jednego zdarzenia w jakiś sposób wpływa na prawdopodobieństwo drugiego. Przykładem może być sytuacja, w której losujemy kulkę z jednej z dziesięciu urn.

W urnach nieparzystych znajduje się po pięc kul białych i dwie zielone, w parzystych zaś po trzy białe i osiem zielonych. Pytanie brzmi: wiedząc, że nasza urna miała numer nieparzysty, jaką mamy szansę na wylosowanie kuli zielonej?

Od razu widać, że nasz wybór urny determinuje prawdopodobieństwo wylosowania określonego koloru kuli - w przypadku wybrania urny nieparzystej nich mamy dużo większą szansę wyciągnąć kulę białą (szansa wynosi $${5}/{7}$$), w przypadku nieparzystej - prawdopodobnie wyciągniemy zieloną (z prawdopodobieństwem równym $${8}/{11}$$).

Układ taki nazywa się prawdopodobieństwem warunkowym - pierwszy wybór (urny) wpływa na prawdopodobieństwo drugiego (koloru kuli).

Do obliczenia tego prawdopodobieństwa posłużymy się wzorem:

$$P(A|B) = {P(A ∪ B)}/{P(B)}$$

$$P(A ∪ B)$$ to prawdopodobieństwo wyciągnięcia kuli zielonej z urny nieparzstej - czyli $${8}/{22}$$.

$$P(B)$$ oznacza szansę na wylosowanie urny nieparzystej - jest to po prostu $${1}/{2}$$.

Jak widać, prawdopodobieństwo warunkowe wynosi w tym przypadku $${ {8}/{22} }/{ {1}/{2} } = {8}/{11}$$

Prawdopodobieństwo całkowite

Twierdzenie o prawdopodobieństwie całkowitym to sposób na obliczanie sytuacji, które mogą zdarzać się na różne sposoby. Wróćmy do poprzedniego zadania: taki sam rozkład kul w urnach parzystych i nieparzystych, jednak tym razem pytamy, jakie jest w ogóle prawdopodobieństwo wyciągnięcia zielonej kuli.

Do obliczenia tego posłuży nam wzór:

$$P(A) = sum_{i = 1}^{n} P(A|H_i)P(H_i)$$

Mówi on tyle, że jeśli jest $$n$$ sposobów zajścia zdarzenia i każdy sposób ma prawdopodobieństwo zajścia $$P(H_i)$$, to prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia jest równe sumie prawdopodobieństw warunkowch przemnożonych przez prawdopodobieństwa sposobów.

Stosując wzór na prawdopodobieństwo warunkowe możemy przekształcić równanie otrzymując:

$$P(A) = sum_{i = 1}^{n} P(A cup H_i)$$

Zawile to brzmi, jednak na przykładzie można przekonać się, że jest całkiem proste.

W naszym zadaniu istnieją dwie "drogi" wybrania kuli zielonej zależne od tego, czy najpierw wylosujemy urnę parzystą, czy nieparzystą.

Każde z tych zdarzeń ma prawdopodobieństwo zajścia równe $${1}/{2}$$.

Prawdopodobieństwo wylosowania zielonej kuli w przypadku urn parzystych wynosi $${2}/{7}$$, w przypadku nieparzystych - $${8}/{11}$$.

Sumując otrzymujemy:

$$P(A) = {2}/{7} × {1}/{2} + {8}/{11} × {1}/{2} = {39}/{77}$$
 

Zadanie

Oblicz prawdopodobieństwo wyrzucenia szóstki przynajmniej raz rzucając kością do gry wedle zasad:

1) Rzucamy pierwszy raz - jeśli wypadła szóstka, kończymy grę.
2) Jeśli nie było szóstki, ale była liczba parzysta, to rzucamy dwoma kościami i kończymy grę.
3) Jeżeli wypadła liczba nieparzysta, rzucamy jedną kością jeszcze raz.

Nasze zdarzenie może zajść na kilka sposobów:

1) Z prawdopodobieństwem $${1}/{6}$$ wyrzucimy ją za pierwszym razem.

2) Z prawdopodobieństwem $${2}/{6}$$ dojdzie do sytuacji, gdy będziemy rzucali dwiema kościami - szansa na wyrzucenie chociaż jednej szóstki wzrasta wtedy do $${11}/{36}$$, ponieważ wszystkich możliwych kombinacji rzutów jest 36, a możliwych kombinacji bez 6 - 25.

3) Z prawdopodobieństwem $${3}/{6}$$ dojdzie do sytuacji, gdy będziemy rzucali jeszcze raz jedną kością - szansa wylosowania szóstki wynosi wtedy oczywiście $${1}/{6}$$.

Korzytając z poznanego wzoru możemy obliczyć prawdopodobieństwo całkowite - jest ono równe prawdopodobieństwu wystąpienia każdej z sytuacji pomnożonemu przez prawdopodobieństwo wyrzucenia w tej sytuacji szóstki.

Mamy więc:

$$P(6) = {1}/{6}*1 + {2}/{6}×{11}/{36} + {3}/{6}×{1}/{6}$$
$$P(6) = {19}/{54}$$

Spis treści

Rozwiązane zadania
Ćwiczenie 3

`a)` 

`alpha=24^@` 

 

`b)` 

`alpha=25^@` 

 

`c)` 

`alpha~~30^@` 

 

`d)` 

`alpha~~23^@` 

Zaznacz dany zbiór

Dany jest odcinek...

`A=(1,2)` 

`B=(9,6)`

 

Punkt C jest środkiem odcinka AB:

`C=((1+9)/2,(2+6)/2)= (10/2, 8/2) = (5,4)`

 

Punkt D jest środkiem odcinka AC:

`D=((1+5)/2,(2+4)/2)=(6/2,6/2) = (3,3)`

 

Punkt E jest środkiem odcinka AD:

`E=((1+3)/2,(2+3)/2)=(4/2,5/2)=(2,5/2)`

Rozwiąż równanie

`a)`

`|1-x|=3`

`1-x=3\ \ |-1\ \ \ "lub"\ \ \ 1-x=-3\ \ |-1`

`-x=2\ \ |*(-1)\ \ \ "lub"\ \ \ -x=-4\ \ \ |*(-1)`

`x=-2\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ "lub"\ \ \ x=4`

 

`x in {-2;\ 4}`

 

 

`b)`

`|4-x|=4`

`4-x=4\ \ \ |-4\ \ \ "lub"\ \ \ 4-x=-4\ \ \ |-4`

`-x=0\ \ \ |*(-1)\ \ \ "lub"\ \ \ -x=-8\ \ \ |*(-1)`

`x=0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ "lub"\ \ \ x=8`

 

`x in {0;\ 8}`

 

 

`c)`

`|2+x|=5/2`

`2+x=5/2\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ "lub"\ \ \ 2+x=-5/2`

`2+x=2 1/2\ \ \ |-2\ \ \ "lub"\ \ \ 2+x=-2 1/2\ \ \ |-2`

`x=1/2\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ "lub"\ \ \ x=-4 1/2`

 

`x in {-4 1/2;\ 1/2}`

 

 

`d)`

`|1/2-x|=1/4`

`|x-1/2|=1/4`

`x-1/2=1/4\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ "lub"\ \ \ x-1/2=-1/4`

`x-2/4=1/4\ \ \ \|+2/4\ \ \ "lub"\ \ \ x-2/4=-1/4\ \ \ |+2/4`

`x=3/4\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ "lub"\ \ \ x=1/4`

 

`x in {1/4;\ 3/4}`

  

 

 

 

  

 

Korzystając z podanego obok ...

`"a)"\ p=log_(3)5` 

`\ \ \ p=(log5)/log3` 

 

`"b)"\ p=log_(7)11` 

`\ \ \ p=log11/log7` 

 

`"c)"\ p=log_(1/2)3`    

`\ \ \ p=log3/(log_()1/2)` 

 

`"d)"\ p=log_(sqrt2)9` 

` \ \ \ p=log9/logsqrt2` 

a) Pole wycinka koła wyznaczonego przez ...

a) Wiemy, że kąt środkowy, który wyznacza wycinek, jest równy 140o:

`alpha=140^@`

Pole wycinka wynosi:

`P_w=7pi\ [j^2]`  

Wyznaczamy promień koła:

`P_w=alpha/(360^@)*pi*r^2` 

Podstawiamy dane do wzoru:

`7pi=(strike(140^@)^7)/(strike(360^@)^18)*pi*r^2\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ |*18` 

`126pi=7pir^2\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ |:7pi` 

`18=r^2` 

`r=sqrt18=3sqrt2` 

Odp: Długość promienia zadanego koła jest równa 32.

 

 

b) Wiemy, że pole wycinka koła o promieniu r wyznaczonego przez kąt mniejszy od 180o jest równe P:

`P=alpha/(360^@)*pir^2`

Wyznaczamy pole wycinka koła o promieniu 2r, wyznaczonego przez kąt `2^alpha` :

`P_w=(2alpha)/(360^@)*pi*(2r)^2` 

`P_w=(2alpha)/(360^@)*pi*4r^2=8*#underbrace(alpha/360^@*pir^2)_(P)=8P`

Odp: Pole koła o promieniu 2r wyznaczonego przez kąt `2^alpha` jest równa 8P.

Długości odcinków ...

`q=0,9=9/10` 

`"Zauważmy, że suma będzie największa gdy zsumujemy wszystkie odcinki."` 

`"Sprawdzmy czy taka suma będzie mniejsza od  20."` 

 

`a_1-"pierwszy, najdłuższy odcinek"` 

`a_1=2` 

`a_(2)=a_1*q=2*9/10=18/10=1,8` 

`a_3=1,8*0,9=1,62` 

`a_4=1,62*0,9=1,458` 

 

`"Zauważmy, że wyrazy ciągu maleją. Chcemy pokazać, że dowolna ich suma jest mniejsza od 20."` 

`S_n-"suma dowolnej liczby wyrazów naszego ciągu. (n może być nawet równe nieskończoność"\ infty .)` 

 

`S_n=a_1(1-q^n)/(1-q)=2*(1-(9/10)^n)/(0,1)` 

`"Zauważmy, że gdy n będzie bardzo duże to ułamek 0,9 do potęgi n będzie coraz mniejszy aż jego wartość będzie niemal równa 0."`  

`"Przyjmując, że tak jest otrzymamy, że nasza suma jest równa:"` 

 

`S_n=2*(1-x)/(0,1)=20-x/10`  

`x-"bardzo mała wartość niemal równa 0"`  

 

`"Jak łatwo zauważyć nasza suma zawsze będzie mniejsza od 20, nawet bardzo minimalnie bo nasz x nie jest zerem. Jednak może być bardzo mały tj. bliski 0."` 

      

``    

 

Korzystając ze szkicu wykresu

`a)`

`w(x)>=0`

`x in <<-1;\ 1>>uu<<2;\ +infty)`

 

 

`b)`

`w(x)>=0`

`x in <<-2;\ 0>>uu{3}`

 

`c)`

`w(x)>=0`

`x in (-infty;\ 1>>uu<<2;\ +infty)`

Oblicz

`a)\ root(5)(-3,2)*root(5)(-0,0032)=root(5)(-3,2*(-0,0032))=root(5)(3,2*0,0032)=root(5)(32*0,1*0,0001*32)=` 

`\ \ \ =root(5)(32*0,00001*32)=root(5)32*root(5)(0,00001)*root(5)32=2*0,1*2=0,4` 

`b)\ root(3)(-0,064)*root(3)(0,008)=-0,4*0,2=-0,08` 

`c)\ root(3)(-0,04)*root(3)(-0,36)*root(3)(-0,12)=root(3)(-0,04*(-0,36)*(-0,12))=root(3)(-0,04*0,36*0,12)=` 

`\ \ \ =root(3)(-4*0,01*4*9*0,01*4*3*0,01)=root(3)(-64*27*0,000001)=` 

`\ \ \ =root(3)(-64)*root(3)27*root(3)(0,000001)=-4*3*0,01=-0,12` 

`d)\ root(3)(-3 3/4):root(3)(-1 23/25)=root(3)(-15/4):root(3)(-48/25)=root(3)(-15/4:(-48/25))=root(3)(15/4:48/25)=` 

`\ \ \ =root(3)(strike15^5/4*25/strike48^16)=root(3)(125/64)=5/4=1 1/4` 

`e)\ root(5)(15/64):root(5)(-7,5)=root(5)(15/64:(-7,5))=root(5)(15/64:(-7 1/2))=root(5)(15/64:(-15/2))=root(5)(strike15^1/strike64^32*(-strike2^1/strike15^1))=root(5)(-1/32)=-1/2` 

`f)\ root(3)(root(5)((-32)^3))=root(3)(root(5)(((-2)^5)^3))=root(3)(root(5)(((-2)^3)^5))=root(3)((-2)^3)=-2`        

Funkcja liniowa f jest opisana wzorem f(x)=2x-3b+4

`a)`

`f(0)=7`

`2*0-3b+4=7`

`-3b+4=7\ \ \ |-4`

`-3b=3\ \ \ |:(-3)`

`b=-1`

 

 

`b)`

`f(8)=0`

`2*8-3b+4=0`

`16-3b+4=0`

`20-3b=0\ \ \ |-20`

`-3b=-20\ \ \ |:(-3)`

`b=20/3=6 2/3`