Prawdopodobieństwo warunkowe i całkowite - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Prawdopodobieństwo warunkowe

W zadaniach wymagających obliczenia prawdopodobieństwa często zdarza się, że wystąpienie jednego zdarzenia w jakiś sposób wpływa na prawdopodobieństwo drugiego. Przykładem może być sytuacja, w której losujemy kulkę z jednej z dziesięciu urn.

W urnach nieparzystych znajduje się po pięc kul białych i dwie zielone, w parzystych zaś po trzy białe i osiem zielonych. Pytanie brzmi: wiedząc, że nasza urna miała numer nieparzysty, jaką mamy szansę na wylosowanie kuli zielonej?

Od razu widać, że nasz wybór urny determinuje prawdopodobieństwo wylosowania określonego koloru kuli - w przypadku wybrania urny nieparzystej nich mamy dużo większą szansę wyciągnąć kulę białą (szansa wynosi $${5}/{7}$$), w przypadku nieparzystej - prawdopodobnie wyciągniemy zieloną (z prawdopodobieństwem równym $${8}/{11}$$).

Układ taki nazywa się prawdopodobieństwem warunkowym - pierwszy wybór (urny) wpływa na prawdopodobieństwo drugiego (koloru kuli).

Do obliczenia tego prawdopodobieństwa posłużymy się wzorem:

$$P(A|B) = {P(A ∪ B)}/{P(B)}$$

$$P(A ∪ B)$$ to prawdopodobieństwo wyciągnięcia kuli zielonej z urny nieparzstej - czyli $${8}/{22}$$.

$$P(B)$$ oznacza szansę na wylosowanie urny nieparzystej - jest to po prostu $${1}/{2}$$.

Jak widać, prawdopodobieństwo warunkowe wynosi w tym przypadku $${ {8}/{22} }/{ {1}/{2} } = {8}/{11}$$

Prawdopodobieństwo całkowite

Twierdzenie o prawdopodobieństwie całkowitym to sposób na obliczanie sytuacji, które mogą zdarzać się na różne sposoby. Wróćmy do poprzedniego zadania: taki sam rozkład kul w urnach parzystych i nieparzystych, jednak tym razem pytamy, jakie jest w ogóle prawdopodobieństwo wyciągnięcia zielonej kuli.

Do obliczenia tego posłuży nam wzór:

$$P(A) = sum_{i = 1}^{n} P(A|H_i)P(H_i)$$

Mówi on tyle, że jeśli jest $$n$$ sposobów zajścia zdarzenia i każdy sposób ma prawdopodobieństwo zajścia $$P(H_i)$$, to prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia jest równe sumie prawdopodobieństw warunkowch przemnożonych przez prawdopodobieństwa sposobów.

Stosując wzór na prawdopodobieństwo warunkowe możemy przekształcić równanie otrzymując:

$$P(A) = sum_{i = 1}^{n} P(A cup H_i)$$

Zawile to brzmi, jednak na przykładzie można przekonać się, że jest całkiem proste.

W naszym zadaniu istnieją dwie "drogi" wybrania kuli zielonej zależne od tego, czy najpierw wylosujemy urnę parzystą, czy nieparzystą.

Każde z tych zdarzeń ma prawdopodobieństwo zajścia równe $${1}/{2}$$.

Prawdopodobieństwo wylosowania zielonej kuli w przypadku urn parzystych wynosi $${2}/{7}$$, w przypadku nieparzystych - $${8}/{11}$$.

Sumując otrzymujemy:

$$P(A) = {2}/{7} × {1}/{2} + {8}/{11} × {1}/{2} = {39}/{77}$$
 

Zadanie

Oblicz prawdopodobieństwo wyrzucenia szóstki przynajmniej raz rzucając kością do gry wedle zasad:

1) Rzucamy pierwszy raz - jeśli wypadła szóstka, kończymy grę.
2) Jeśli nie było szóstki, ale była liczba parzysta, to rzucamy dwoma kościami i kończymy grę.
3) Jeżeli wypadła liczba nieparzysta, rzucamy jedną kością jeszcze raz.

Nasze zdarzenie może zajść na kilka sposobów:

1) Z prawdopodobieństwem $${1}/{6}$$ wyrzucimy ją za pierwszym razem.

2) Z prawdopodobieństwem $${2}/{6}$$ dojdzie do sytuacji, gdy będziemy rzucali dwiema kościami - szansa na wyrzucenie chociaż jednej szóstki wzrasta wtedy do $${11}/{36}$$, ponieważ wszystkich możliwych kombinacji rzutów jest 36, a możliwych kombinacji bez 6 - 25.

3) Z prawdopodobieństwem $${3}/{6}$$ dojdzie do sytuacji, gdy będziemy rzucali jeszcze raz jedną kością - szansa wylosowania szóstki wynosi wtedy oczywiście $${1}/{6}$$.

Korzytając z poznanego wzoru możemy obliczyć prawdopodobieństwo całkowite - jest ono równe prawdopodobieństwu wystąpienia każdej z sytuacji pomnożonemu przez prawdopodobieństwo wyrzucenia w tej sytuacji szóstki.

Mamy więc:

$$P(6) = {1}/{6}*1 + {2}/{6}×{11}/{36} + {3}/{6}×{1}/{6}$$
$$P(6) = {19}/{54}$$

Spis treści

Rozwiązane zadania
Sprawdź, czy jeśli funkcja...

`a) \ h^' (t) = 29,4(t)^' - 4,9 (t^2)^' = 29,4 -9,8t = v^' (t)` 

 

`b)` 

`t[s]`  `0`  `1`  `2`  `3`  `4`  `5`  `6` 
`v[m/s]`  `29,4`  `19,6`  `9,8`  `0`  `-9,8`  `-19,6`  `-29,4` 
W tabeli zestawiono oceny...

Średnia arytmetyczna ocen dziewcząt:

`(2*1+3*5+4*8+5*5+6*1)/20 = (2+15+32+25+6)/20 = 80/20=4` 

 

Średnia arytmetyczna ocen chłopców:

`(2*4+3*x+4*5+5*y+6*1)/(10+x+y)=4` 

`(8+3x+20+5y+6)/(10+x+y)=4` 

`(3x+5y+34)/(10+x+y)=4` 

`3x+5y+34 = 40 + 4x + 4y` 

`y=6+x` 

 

Skoro dominanta jest równa 4 to znaczy, że:

`5+x<13 \ \ ^^ \ \ 5+y<13` 

`x < 8 \ \ ^^ \ \ y<8` 

`x<8 \ \ ^^ \ \ x+6<8` 

`x < 8 \ \ ^^ \ \ x < 2` 

A więc:

`{(x=0),(y=6):} \ \ vv \ \ {(x=1),(y=7):}` 

A więc wszystkich ocen będzie albo 36 lub 38. Rozpatrzmy przypadki:

I przypadek:

`{(x=0),(y=6):}` 

Mediana to średnia arytmetyczna liczb stojących na 18 i 19 miejscu.

`(4+4)/2 =4` 

II przypadek:

`{(x=1),(y=7):}` 

Mediana to średnia arytmetyczna liczb stojących na 19 i 20 miejscu.

`(4+4)/2=4` 

 

Odpowiedź C

Określ dziedzinę funkcji f...

`a) \ f(x) = (4x+1)/(2x+1) = (4x+2-1)/(2x+1) = (4x+2)/(2x+1) - 1/(2x+1) = 2 - 1/(2x+1)` 

`D_f = R \ \\ \ {-1/2}` 

 

`f^' (x) = (2)' - (1/(2x+1))^' = - ((1)^'(2x+1)-(1)(2x+1)^')/((2x+1)^2) = - (-2)/((2x+1)^2) = 2 /((2x+1)^2)` 

`D_(f^') = R \ \\ \ {-1/2}` 

 

`b)  \ f(x) = x^2 /(1-2x)` 

`D_f = R \ \\ \ {1/2}` 

 

`f^' (x) = ((x^2)^' (1-2x) - (x^2) (1-2x)^')/((1-2x)^2) = (2x(1-2x)-x^2 *(-2))/((1-2x)^2) = (2x-4x^2+2x^2)/((1-2x)^2) = (-2x^2+2x)/((1-2x)^2)` 

`D_(f^') = R \ \\ \ {1/2}` 

 

`c) \ f(x) = (5x-1)/x^2` 

`D_f = R \ \\ \ {0}` 

 

`f^' (x) = ((5x-1)^' (x^2) - (5x-1) (x^2)^')/((x^2)^2) = (5x^2 -2x(5x-1))/(x^4) = (5x^2-10x^2+2x)/(x^4) = (-5x^2+2x)/(x^4) = (-5x+2)/(x^3)` 

`D_(f^') = R \ \\ \ {0}` 

 

`d) \ f(x) = (x^2+1)/(3x-1)` 

`D_f = R \ \\ \ {1/3}` 

 

`f^' (x) = ((x^2+1)^' (3x-1) - (x^2+1) (3x-1)^')/((3x-1)^2) = (2x(3x-1) -3(x^2+1))/((3x-1)^2) = (6x^2-2x -3x^2-3)/((3x-1)^2) = (3x^2-2x-3)/((3x-1)^2)` 

`D_(f^') = R \ \\ \ {1/3}` 

 

`e) \ f(x) = (6x+2)/(1-x^2) = (6x+2)/((1-x)(1+x))` 

`D_f = R \ \\ \ {-1,1}` 

 

`f^' (x) = ((6x+2)^' (1-x^2) - (6x+2) (1-x^2)^')/((1-x^2)^2) = (6(1-x^2)-(-2x)(6x+2))/((1-x^2)^2) = (6-6x^2+12x^2+4x)/((1-x^2)^2) = (6x^2+4x+6)/((1-x^2)^2)` 

`D_(f^') = R \ \\ \ {-1,1}` 

 

`f) \ f(x) = (2x^2-x+1)/(3x-x^2) = (2x^2-x+1)/(x(3-x))` 

`D_f = R \ \\ \ {0,3}` 

 

`f^' (x) = ((2x^2-x+1)^' (3x-x^2) - (2x^2-x+1) (3x-x^2)^')/((3x-x^2)^2) = ((4x-1)(3x-x^2)-(2x^2-x+1)(3-2x))/((3x-x^2)^2)=` 

`=(12x^2-4x^3-3x+x^2 -6x^2+4x^3+3x-2x^2-3 +2x)/((3x-x^2)^2) = (5x^2+2x-3)/((3x-x^2)^2)` 

`D_(f^') = R \ \\ \ {0,3}` 

 

`g) \ f(x) = (x^3-x^2)/(x^2-1) = (x^2(x-1))/((x-1)(x+1)) = (x^2)/(x+1)` 

`D_f = R \ \\ \ {-1,1}` 

 

`f^' (x) = ((x^2)^' (x+1) - (x^2) (x+1)^')/((x+1)^2) = (2x(x+1) -x^2)/((x+1)^2) = (2x^2+2x-x^2)/((x+1)^2) = (x^2 + 2x)/((x+1)^2) = (x(x+2))/((x+1)^2)` 

`D_(f^') = R \ \\ \ {-1,1}` 

Dziedzina pochodnej funkcji może być co najwyżej równa dziedzinie funkcji

 

`h) \ f(x) = (x^2(x+1)-(x+1))/(x+1) = ((x+1)(x^2-1))/(x+1) = x^2-1` 

`D_f = R \ \\ \ {-1}` 

 

`f^'(x) = (x^2)^' -(1)^' = 2x` 

`D_(f^') = R \ \\ \ {-1}` 

Dziedzina pochodnej funkcji może być co najwyżej równa dziedzinie funkcji

 

`i) \ f(x) = ((x-2)^2)/(1-x) = (x^2-4x+4)/(1-x)` 

`D_f = R \ \\ \ {1}` 

 

`f^' (x) = ((x^2-4x+4)^' (1-x) - (x^2-4x+4) (1-x)^')/((1-x)^2) = ((2x-4)(1-x)+x^2-4x+4 )/((1-x)^2) = (2x-2x^2-4+4x+x^2-4x+4)/((1-x)^2)=` 

`=(-x^2+2x)/((1-x)^2) = -(x(x-2))/((1-x)^2)` 

`D_(f^') = R \ \\ \ {1}` 

 

`j) \ f(x)=1/(5x-1) + 1/x` 

`D_f = R \ \\ \ {0 , 1/5}` 

 

`f^' (x) = ((1)^' (5x-1) - (1) (5x-1)^')/((5x-1)^2) -1/x^2 = -5/((5x-1)^2) - 1/x^2` 

`D_(f^') = R \ \\ \ {0,1/5}` 

 

`k) \ f(x) = 1/(1-x^4) - 2/x^3` 

`D_f = {-1,0,1}` 

 

`f^' (x) = ((1)^' (1-x^4) - (1) (1-x^4)^')/((1-x^4)^2) - ((2)' (x^3) - (2) (x^3)')/((x^3)^2) = (4x^3)/((1-x^4)^2) - (-6x^2)/(x^6) = (4x^3)/((1-x^4)^2) + (6)/(x^4)` 

`D_(f^') = R \ \\ \ {-1,0,1}` 

 

`l ) \ f(x) = 3/(x^3-2) - 1/(4x^4)` 

`D_f = R \ \\ \ {0, root(3)(2)}` 

 

`f^' (x) = ((3)^' (x^3-2) - (3) (x^3-2)^')/((x^3-2)^2) - ((1)' (4x^4) - (1) (4x^4)^')/((4x^4)^2) = (-9x^2)/((x^3-2)^2) - (-16x^3)/(16x^8) = -(9x^2)/((x^3-2)^2) + 1/x^5` 

`D_(f^') = R \ \\ \ {0,root(3)(2)}` 

 

Mamy 240 metrów bieżących siatki ...

`a,b-"długości boków prostokąta"` 

 

`2a+2b=240` 

`a+b=120` 

`a=120-b` 

 

`a*b=(120-b)*b=-b^2+120b` 

`f(b)=-b^2+120b` 

`"Szukamy wartości największej funkcji f."` 

`"Wykres f jest parabolą o ramionach zwróconych w doł, zatem wartość największa to"\ f(x_w).` 

`x_w=-120/(-2)=60` 

`f(60)=-(60)^2+120*60=-3600+7200=3600` 

`ul(b=60)` 

`ul(a=120-b=60` 

Oblicz

`a)\ 8^(4/3)=(root(3)8)^4=2^4=16`

`b)\ 32^(3/5)=(root(5)(32))^3=2^3=8`

`c)\ 81^(1,5)=81^(3/2)=sqrt81^3=9^3=729`

`d)\ 4^(-3/2)=(1/4)^(3/2)=sqrt(1/4)^3=(1/2)^3=1/8`

`e)\ 125^(-2/3)=(1/125)^(2/3)=root(3)(1/125)^2=(1/5)^2=1/25`

`f)\ (1/81)^(-3/4)=81^(3/4)=root(4)(81)^3=3^3=27`

`g)\ (1/4)^(-2,5)=4^(2,5)=4^(5/2)=sqrt4^5=2^5=32`

`h)\ (8/27)^(-2/3)=(27/8)^(2/3)=root(3)(27/8)^2=(3/2)^2=9/4`

Wyznacz miejsca zerowe funkcji f...

`a) \ f(x) = x^2-4x+6x - 24 = x(x-4)+6(x-4) = (x-4)(x+6)` 

Miejscami zerowymi są liczby -6, 4. Parabola ma ramiona skierowane ku górze.

`f(x) > 0  \ \ \ "dla" \ x in (-oo, -6) \cup (4,oo)` 

`f(x) < 0 \ \ \ "dla" \ x in (-6, 4)` 

 

`b) \ f(x)=-x^2+3x+4 = -(x^2-3x-4) = -(x^2+x-4x-4) = -(x(x+1)-4(x+1))=-(x+1)(x-4)` 

Miejscami zerowymi są liczby -1, 4. Parabola ma ramiona skierowane ku dołowi.

`f(x) > 0 \ \ \ "dla" \ x in (-1, 4)` 

`f(x) < 0 \ \ \ "dla" \ x in (-oo, -1) \cup (4,oo)` 

 

`c) \ f(x) = 3x^2-12x+9 = 3(x^2-4x+3) = 3(x^2-x-3x+3) = 3(x(x-1)-3(x-1)) = 3(x-1)(x-3)` 

Miejscami zerowymi są liczby 1, 3. Parabola ma ramiona skierowane ku górze.

`f(x) > 0 \ \ \ "dla" \ x in (-oo, 1) \cup (3,oo)` 

`f(x) < 0 \ \ \ "dla" \ x in (1,3)` 

 

`d) \ f(x) = 1/2x^2 + 2x = 1/2x(x+4)` 

Miejscami zerowymi są liczby -4, 0. Parabola ma ramiona skierowane ku górze.

`f(x) > 0 \ \ \ "dla" \ x in (-oo, -4) \cup (0, oo)` 

`f(x) < 0 \ \ \ "dla" \ x in (-4,0)` 

 

`e) \ f(x) = x^2-6x+9 = (x-3)^3` 

Miejscem zerowym jest liczba 3. Parabola ma ramiona skierowane ku górze.

`f(x) > 0 \ \ \ "dla" \ x in R \ \\ \ {3}` 

`f(x) < 0 \ \ \ "dla" \ x in emptyset` 

 

`f) \ f(x) - 2x^2+4x-2 = -2(x^2-2x+1) =-2(x-1)^2` 

Miejscem zerowym jest liczba 1. Parabola ma ramiona skierowane ku dołowi.

`f(x) > 0 \ \ \ "dla" \ R \ \\ \ {1}`

`f(x) < 0 \ \ \ "dla" \ x in emptyset`  

Drugi wyraz malejącego ...

`a_n-"malejący ciąg geometryczny"` 

`S_10=?` 

 

`a_2=20=a_1q\ implies\ a_1=20/q`   

`a_4=5=a_1q^3 ` 

 

`a_1q^3=20/q*q^3=5` 

`q^2=1/4` 

`q_1=1/2\ \ \vv\ \ \q_2=-1/2`   

Zauważmy, że dla ujemnego q ciąg nie jest malejący. 

`q=1/2` 

`a _1=20/q_1=40`  

`S_10=a_1(1-q^10)/(1-q)=40*(1-1/1024)/(1/2)=80*(1023/1024)=5*1023/64=ul(79 59/64`   

Dany jest wyraz ogólny ciągu nieskończonego...

Wiemy, że wyraz ogólny ciągu `(a_n)` zadany jest wzorem:

`a_n=-n^2+3n` 

W takim razie, by wyznaczyć `a_8` i `a_101,` wystarczy wstawić `n=8` lub `n=101` do wzoru na wyraz ogólny ciągu.

Obliczamy `a_8:` 

`a_8=-8^2+3*8=-64+24=-40`  

Obliczamy `a_101:`  

`a_101=-101^2+3*101=-10201+303=-9898` 

Obliczamy `a_(n+1):` 

`a_(n+1)=-(n+1)^2+3(n+1)=-(n^2+2n+1)+3n+3=-n^2-2n-1+3n+3=-n^2+n+2`           

Drugi wyraz ciągu arytmetycznego jest równy...

`{(a_2=4),(a_4=16):}` 

`{(a_1+r=4 \ \ \ |-r),(a_1+3r=16):}` 

`{(a_1=4-r),(4-r+3r=16):}` 

`{(a_1=4-r),(4+2r=16 \ \ \ |-4):}` 

`{(a_1=4-r),(2r=12 \ \ \ |:2):}` 

`{(a_1=4-r),(r=6):}` 

`{(a_1=4-6),(r=6):}` 

`{(a_1=-2),(r=6):}` 

 

`S_10=(2a_1+(10-1)*r)/2*10` 

`S_10=(2*(-2)+9*6)/2*10` 

`S_10=(-4+54)/2*10` 

`S_10=50/2*10` 

`S_10=25*10` 

`S_10=250` 

 

 

Oblicz kąty wewnętrzne czworokąta...

a)

`|/_A|+|/_C|=|/_B|+|/_D|=180^o` 

 

`|/_A|+|/_C|=180^o` 

`|/_2C|+|/_C|=180^o` 

`|/_3C|=180^o \ \ \ |:3` 

`|/_C|=60^o` 

 

`|/_A|=|/_2C|=2*60^o=120^o` 

 

`|/_B|+|/_D|=180^o` 

`|/_1/2D|+|/_D|=180^o` 

`|/_3/2D|=180^o  \ \ \ |:3/2` 

`|/_D|=180^o*2/3` 

`|/_D|=120^o` 

 

`|/_B|=1/2*120^o=60^o` 


b)

`|/_A|+|/_C|=|/_B|+|/_D|=180^o` 

 

`|/_A|+|/_C|=180^o` 

`|/_3C|+|/_C|=180^o` 

`|/_4C|=180^o \ \ \ |:4` 

`|/_C|=45^o` 

 

`|/_A|=|/_3C|=3*45^o=135^o` 

 

`|/_B|+|/_D|=180^o` 

`|/_2C|+|/_D|=180^o` 

`2*45^o+|/D|=180^o` 

`90^o+|/_D|=180^o` 

`|/_D|=90^o` 

 

 

`|/_B|=180^o-90^o=90^o`