Pochodne funkcji wymiernych - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Wprowadznie do pochodnych

Badając funkcje matematycy uznali, że przydatne byłoby jakieś narzędzie umożliwiające sprawdzenie, jak szybko się ona zmienia. Wprowadzili więc "pochodną" - pewną wielkość przypisywaną każdemu punktowi funkcji i określającą szybkość jej zmiany.

Ścisle podchodząc do sprawy: pochodna to granica:

$$lim↙{△ x → 0} {f(x_0 + △ x) - f(△ x)}/{△ x}$$
którą zwykle zapisujemy symbolicznie jako:

$$lim↙{△ x → 0} {△ y}/{△ x} = {dy}/{dx} = f'(x)$$

Podchodząc do tego geometrycznie:

1

Jak widać, robimy coraz bliższe sieczne - jeśli przejdziemy przez granicę, zbiegają one po prostu do stycznej do wykresu. W ujęciu geometrycznym pochodną funkcji jest właśnie styczna do jej wykresu.
 

Pochodne funkcji wymiernych

Oczywiście obliczanie pochodnej każdej funkcji z definicji byłoby dość kłopotliwe. Tak jak przy okazji granic, tak tutaj też istnieją wzory określające pochodną sumy, różnicy, iloczynu i ilorazu, z których zwykle korzysta się przy obliczaniu pochodnych.

Pochodna sumy i różnicy jest po prostu sumą i różnicą pochodnych - nie ma w tym nic skomplikowanego. Trudniej zaczyna się robić, gdy mamy do czynienia z iloczynem albo ilorazem funkcji.

Suma: $$(f(x) + g(x))' = f'(x) + g'(x)$$

Różnica: $$(f(x) - g(x))' = f'(x) - g'(x)$$

Iloczyn: $$(f(x)×g(x))' = f'(x)×g(x) + g'(x)×f(x)$$

Iloraz: $$({f(x)}/{g(x)})' = {f'(x)×g(x) + g'(x)×f(x)}/{(g(x))^2}$$


Warto także znać wzór na pochodną funkcji złożonej: $$(f(g(x)))' = f'(g(x))g'(x)$$.

Oczywiście funkcja stała ma pochodną równą 0 - w ogóle nie rośnie.

Ponadto trzeba zapamiętać pochodną funkcji potęgowej:
$$(x^n)' = nx^{n-1}$$

Tylko to i powyższe cztery wzory pozwalają nam obliczyć pochodną dowolnej funkcji wymiernej.

Przykład: Obliczyć pochodną

$$f(x) = x^4 + 3x - 1$$

1) Jest to suma funkcji potęgowych, więc możemy skorzystać z tego, że pochodna sumy jest równa sumie pochodnych:
$$(x^4 + 3x - 1)' = (x^4)' + (3x)' - (1)'$$

2) Teraz pozostaje tylko obliczyć każdy ze składników korzystając ze wzoru na pochodną funkcji potęgowej:
$$f'(x) = 4x^3 + 12 - 0$$

Weźmy inną funkcję, tym razem bardziej skomplikowaną:
$$f(x) = {(x-1)(x-2)}/{x^2 - 1}$$

1) Na początek rozłóżmy mianownik na iloczyn ze wzoru skróconego mnożenia i skróćmy ułamek:
$$f(x) = {(x-1)(x-2)}/{(x-1)(x+1)}$$
$$f(x) = {x-2}/{x+1}$$

2) Dostaliśmy prostą funkcję wymierną: korzystając ze wzoru na pochodną ilorazu dostajemy:
$$f'(x) = {(x-2)'(x+1) + (x-2)(x+1)'}/{(x+1)^2}$$

3) Pochodną funkcji liniowej jest oczywiście 1, więc w wyniku dostajemy:
$$f'(x) = {x+1+x-2}/{(x+1)^2}$$
$$f'(x) = {2x-1}/{(x+1)^2}$$


Trzeci przykład - obliczanie pochodnej funkcji złożonej.

Weźmy funkcję $$f(x) = √{x^2 + x} = (x^2 + x)^{ {1}/{2} }$$.

Oznaczmy sobie $$g(x) = √{x} = x^{ {1}/{2} }$$ oraz $$h(x) = x^2 + x$$. Wtedy funkcja $$f(x)$$ jest po prostu złożeniem dwóch funkcji $$g(h(x))$$.

Jej pochodna jest w takim razie równa $$f'(x) = {1}/{2}(x^2+x)^{ {1}/{2}-1}×(x^2 + x)' = {1}/{2}(x^2+x)^{ -{1}/{2} }×(2x + 1)$$

Spis treści

Rozwiązane zadania
Dla jakich x istnieje granica skończona...

`a) \ q = 2/(x+1)` 

A więc:

`|2/(x+1)|< 1` 

`-1 < 2/(x+1) < 1` 

A więc:

`-1 < 2/(x+1) \ \ ^^ \ \ 2/(x+1) < 1` 

`0 < 2/(x+1) +1 \ \ ^^ \ \ 2/(x+1) - 1 < 0` 

`0 < (x+3)/(x+1) \ \ ^^ \ \ (1-x)/(x+1) < 0` 

`0 < (x+3)(x+1) \ \ ^^ \ \ (1-x)(x+1) < 0` 

`x_1 = -3 \ \ vv \ \ x_2 = -1 \ \ \ ^^ \ \ \ x_1 = 1 \ \ vv \ \ x_2 = -1` 

`x in (-oo, -3) \cup (-1, oo) \ \ \ cap \ \ \ x in (-oo, -1) \cup (1, oo)` 

A więc istnieje granica skończona gdy:

`x in (-oo, -3) \ cup (1,oo)` 

 

Obliczmy ją:

`lim_(n -> oo)=S = a_1/(1-q) = (2/(x+1))/(1-2/(x+1)) = (2/(x+1))/((x-1)/(x+1)) = 2/(x+1)*(x+1)/(x-1) = 2/(x-1)` 

 

`b) \ |q|< 1` 

`-1 < sqrt2cosx< 1` 

`-sqrt2/2 < cos x < sqrt2/2` 

A więc granica istnieje dla:

`x in (-pi/4 + 2kpi , pi/4 + 2kpi)` 

 

Obliczmy ją:

`lim_(n -> oo) = S = a_1/(1-q) = (sqrt2cosx)/(1- sqrt2cosx) *(1+sqrt2cosx)/(1+sqrt2cosx) = (sqrt2cosx(1+sqrt2cosx))/(1 - 2cos^2x) = (sqrt2cosx(1+sqrt2cosx))/((1-sqrt2cosx)(1+sqrt2cosx)) = (sqrt2cosx)/(1-sqrt2cosx)` 

Czy istnieje kąt ostry ...

`a)` 

`sin alpha=sqrt3/2` 

`cos alpha=1/3` 

`sin^2alpha+cos^2alpha=3/4+1/9 ne 1` 

`"Nie istnieje taki kąt ostry"\ alpha."` 

 

`b)` 

`sinalpha=1/sqrt2` 

`cos alpha=1/sqrt2` 

`sin^2alpha+cos^2alpha=1/2+1/2=1` 

`"Istnieje taki kąt"\ alpha.` 

 

`c)` 

`tg\ alpha=3/4` 

`sin alpha=3/5` 

`tg\ alpha=sin alpha/cos alpha=(3/5)/x` 

`x=(3/5)/(tg\ alpha)=3/5*4/3=4/5`  

`cos alpha=x=4/5`  

 

`sin^2alpha+cos^2alpha=9/25+16/25=1`  

`"Istnieje taki kąt"\ alpha.`  

 

`d)` 

`tg\ alpha=sqrt5` 

`cosalpha=1/3` 

 

`tg\ alpha=sin alpha/ cos alpha=x/(1/3)` 

`x/(1/3)=sqrt5` 

`x=sin alpha=sqrt5/3` 

`sin^2alpha+cos^2alpha=5/9+1/9=6/9 ne 1` 

`"Nie istnieje taki kąt"\ alpha.`   

Promień okręgu opisanego na trójkącie...

`(2R)^2=6^2+10^2`

`4R^2=136`

`R^2=34`

`R=sqrt(34)\ cm`

Inwestor za kwotę K złotych...

a - pieniądze zainwestowane w firmę A

b - pieniądze zainwestowane w firmę B

 

`{(a+b=K),(104%*a + 108%*b = 107%*K):}` 

`{(a+b=K),(1,04a + 1,08b = 1,07K):}`  

`{(b=K-a),(1,04a + 1,08(K-a) = 1,07K):}` 

Rozwiążmy osobno drugie równanie:

`1,04a + 1,08K - 1,08a = 1,07K` 

`-0,04a = -0,01K` 

`4a = K` 

`a = 1/4K*100% = 25%K` 

A więc 

`b = 75%K` 

Odpowiedź: Inwestor zainwestował 25% początkowego kapitału w akcje firmy A i 75% w akcje firmy B.

Na rysunku przedstawiono szkic

Współczynnik ato współczynnik przy trzeciej, czyli najwyższej potędze. Ten współczynnik stawiamy na początku przy postaci iloczynowej. 

 

`a)`

Liczba -2 to pierwiastek dwukrotny wielomianu (wykres nie zmienia znaku), a liczba 1 to pierwiastek jednokrotny wielomianu (wykres zmienia znak). 

`w(x)=-1/4(x+2)^2(x-1)`

 

`b)`

Liczba -2 to pierwiastek dwukrotny wielomianu (wykres nie zmienia znaku), a liczba 1 to pierwiastek jednokrotny wielomianu (wykres zmienia znak). 

`w(x)=1/4(x+2)^2(x-1)`

 

`c)`

Liczba -1 to pierwiastek dwukrotny wielomianu (wykres nie zmienia znaku), a liczba 2 to pierwiastek jednokrotny wielomianu (wykres zmienia znak). 

`w(x)=1/4(x+1)^2(x-2)`

Wyznacz współczynnik kierunkowy

Funkcja liniowa jest postaci y=ax+b. Za każdym razem tworzymy układ równań, podstawiając pierwszą współrzędną punktu w miejsce x, a drugą współrzędną punktu w miejsce y. 

 

`a)`

`{(5=ax_0 +b), (7=a(x_0 +1)+b):}`

`{(5=ax_0 +b), (7=ax_0 +a+b):}\ \ \ |-`

`-2=-a\ \ \ |*(-1)`

`a=2`

 

 

`b)`

`{(-3=a(x_0+1)+b), (-6=ax_0+b):}`

`{(-3=ax_0+a+b), (-6=ax_0+b):}\ \ \ |-`

`-3-(-6)=a`

`a=-3+6=3`

 

 

`c)`

`{(2=ax_0+b), (2=a(x_0+1)+b):}`

`{(2=ax_0+b), (2=ax_0+a+b):}\ \ \ |-`

`0=-a\ \ \ |*(-1)`

`a=0`

 

 

 

`d)`

`{(8=ax_0+b), (3=a(x_0+5)+b):}`

`{(8=ax_0+b), (3=ax_0+5a+b):}\ \ \ |-`

`5=-5a\ \ \ |:(-5)`

`a=-1`

 

 

 

`e)`

`{(1=a(x_0+3)+b), (-1=ax_0+b):}`

`{(1=ax_0+3a+b), (-1=ax_0+b):}\ \ \ |-`

`1-(-1)=3a`

`3a=1+1\ \ \ |:3`

`a=2/3`

 

 

`f)`

`{(10=ax_0+b), (2=a(x_0+2)+b):}`

`{(10=ax_0+b), (2=ax_0+2a+b):}\ \ \ |-`

`8=-2a\ \ \ |:(-2)`

`a=-4`

Instalacja doprowadzająca wodę do basenu

x - liczba odkręconych zaworów, x=1, 2, ..., 8, 9

y - czas całkowitego napełniania basenu

 

Iloczyn czasu napełniania basenu i liczby odkręconych zaworów musi być stały.

 

`a)`

`4*4 1/2=xy`

`18=xy`

`y=18/x`

 

Rysujemy wykres pamiętając, że dziedzieną jest zbiór liczb {1, 2, ..., 8, 9}

 Narysujmy tabelkę z wartościami przyjmowanymi przez funkcję:




`x`  `1`  `2`  `3`  `4`  `5`  `6`  `7`  `8`  `9` 
`y`  `18/1=18`  `18/2=9`  `18/3=6`  `18/4=4 1/2`  `18/5=3 3/5`  `18/6=3`  `18/7=2 4/7`  `18/8=2 1/4`  `18/9=2` 

 

 

`b)`

`4*2 1/4=xy`

`9=xy`

`y=9/x`



`x`  `1`  `2`  `3`   `4`  `5`  `6`  `7`  `8`  `9` 
`y`  `9/1=9`  `9/2=4 1/2`  `9/3=3`  `9/4=2 1/4`  `9/5=1 4/5`  `9/6=1 1/2`  `9/7=1 2/7`  `9/8=1 1/8`  `9/9=1` 

 

 

 

Kąt BAC ma miarę 30 ...

`a)` 

`beta=180^o-90^o-30^o=60^o` 

`delta=180^o-beta=120^o` 

`alpha=180^o-45^o-120^o=15^o` 

`e=6` 

`cos30^o=sqrt3/2=e/d=6/d` 

`d=6*2/sqrt3=(12sqrt3)/3=4sqrt3` 

Trójkąt ACE ma kąty o mierze 45, 45 i 90 stopni. Wynika stąd, że ACE jest równoramienny.

`|EC|=d=4sqrt3` 

Skorzystamy z następującej tożsamości trygonometrycznej:

`tg\ (x-y)=(tg\ x - tg\ y)/(1+tg\ x*tg\ y)` 

`tg\ 15^o=tg\ (60^o-45^o)=(sqrt3-1)/(1+sqrt3)=((sqrt3-1)(sqrt3-1))/(3-1)=(3-2sqrt3+1)/2=2-sqrt3` 

`tg\ 15^o=e/y=6/y` 

`6/y=2-sqrt3` 

`y=6/(2-sqrt3)=(6(2+sqrt3))/(4-3)=12+6sqrt3` 

`P_(ABD)=1/2*6*(12+6sqrt3)=ul(18(2+sqrt3)` 

 

`b)`          

`"Czy"\ sin15^o=(sqrt6-sqrt2)/4?` 

 

Z Pitagorasa:

`f^2=d^2-e^2=48-36=12` 

`f=2sqrt3`    

`sin 15^o=e/x=g/z`  

Z własności trójkąta prostokątnego równoramiennego:

`d=gsqrt2` 

`g=(dsqrt2)/2=(4sqrt6)/2=2sqrt6` 

Wiemy, że:

`z=y-f=12+6sqrt3-2sqrt3=12+4sqrt3`  

`sin15^o=g/z=(2sqrt6)/(12+4sqrt3)=sqrt6/(6+2sqrt3)=(sqrt6(6-2sqrt3))/(36-12)=(6sqrt6-2sqrt18)/24=ul((sqrt6-sqrt2)/4`      

`cos^2 15^o +sin^2 15^o=1` 

`cos15^o=sqrt(1-(6-2sqrt12+2)/16)=sqrt((8+4sqrt3)/2)=sqrt(2+sqrt3)/2` 

Dana jest funkcja f(x) ...

`f(x)=-1/2x+1` 

 

`a)` 

`f(x)=-1/2x+1` 

`ZW=[-2;4]` 

`f-"liniowa, zatem monotoniczna"`  

 

`-1/2x+1=-2` 

`x=6` 

 

`-1/2x+1=4` 

`x=-6` 

`ul(D=[-6;6]`  

 

`f(x)>=0` 

`-1/2x+1>=0` 

`x>=2` 

`f-"malejąca"` 

`ul(x in (-oo;2]\ \ \wedge\ \ \D=[-6;2]`  

 

`b)` 

`f(x)=-1/2x+1` 

`ZW=(-2;0)cup[1;4]` 

 

`-1/2x+1=-2` 

`x=6` 

 

`-1/2x+1=0` 

`x=2` 

 

`-1/2x+1=1` 

`x=0` 

 

`-1/2x+1=4` 

`x=-6` 

 

`ul(D=[-6;0]cup(2;6)`   

 

`f(x)>=0`  

`-1/2x+1>=0` 

`x>=2` 

`f-"malejąca"`  

`ul(x in (-oo;2]\ \ wedge\ \ \D=[-6;0]`   

 

`c)`   

`f(x)=-1/2x+1` 

`ZW={-2}cup(2;4)`   

 

`-1/2x+1=-2` 

`x=6` 

 

`-1/2x+1=2`  

`x=-2`  

 

`-1/2x+1=4` 

`x=-6` 

 

`ul(D=(-6;-2)cup{6}`    

 

`f(x)>=0`  

`-1/2x+1>=0` 

`x>=2` 

`f-"malejąca"`  

`ul(x in (-oo;2]\ \ \ wedge\ \ \D=(-6;-2)`    

Podstawą graniastosłupa

Podstawa graniastosłupa to trójkąt równoramienny o ramionach 8 cm i kącie 120°. 

Obliczmy, jaka jest miara kąta przy podstawie w tym trójkącie (korzystamy z tego, że suma miar wszystkich kątów w trójkącie jest równa 180°, a kąty przy podstawie w trójkącie równoramiennym mają jednakowe miary). 

`(180^o-120^o):2=60^o:2=30^o` 

 

Możemy wykonać rysunek pomocniczy:

Teraz wystarczy skorzystać z funkcji trygonometrycznych, na przykład:

`x/8=sin60^o` 

`x/8=sqrt3/2\ \ \ |*8` 

`x=4sqrt3\ [cm]` 

 

Możemy więc zapisać długość podstawy tego trójkąta (składa się ona z dwóch odcinków x):

`2*4sqrt3=8sqrt3\ [cm]` 

 

Wysokość graniastosłupa jest równa 11 cm. Na pole powierzchni bocznej tego graniastosłupa składają się pola trzech prostokątów o boku 11 cm oraz drugim boku takim, jak krawędź podstawy (boki trójkąta równoramiennego). 

Możemy obliczyć pole powierzchni bocznej:

`P_b=11*8sqrt3+11*8+11*8=88sqrt3+88+88=88sqrt3+176\ [cm^2]` 

 

 

`ul("uwaga")` 

Aby wyznaczyć długość x, można było skorzystać także z zależności między długościami boków w trójkącie o kątach 30°, 60°, 90°. Przypomnijmy tę zależność:

U nas:

`2a=8\ \ \ |:2` 

`a=4` 

`x=asqrt3=4sqrt3` 

 

Stąd także otrzymalibyśmy długość podstawy równą:

`2*4sqrt3=8sqrt3\ [cm]` 

 

Dalej rozwiązanie przebiega tak samo.