Zgoda na przetwarzanie danych osobowych

25 maja 2018 roku zacznie obowiązywać Rozporządzenie Parlamentu Europejskiego i Rady (UE) 2016/679 z dnia 27 kwietnia 2016 r. znane jako RODO.

Dlatego aby dalej móc dostarczać Ci materiały odpowiednie do Twojego etapu edukacji, potrzebujemy zgody na lepsze dopasowanie treści do Twojego zachowania. Dzięki temu możemy zapamiętywać jakie materiały są Ci potrzebne. Dbamy o Twoją prywatność, więc nie zwiększamy zakresu naszych uprawnień. Twoje dane są u nas bezpieczne, a zgodę na ich zbieranie możesz wycofać na podstronie polityka prywatności.

Klikając "Przejdź do Odrabiamy", zgadzasz się na wskazane powyżej działania. W przeciwnym wypadku, nie jesteśmy w stanie zrealizować usługi kompleksowo i prosimy o opuszczenie strony.

Polityka prywatności

Drogi Użytkowniku w każdej chwili masz prawo cofnąć zgodę na przetwarzanie Twoich danych osobowych. Cofnięcie zgody nie będzie wpływać na zgodność z prawem przetwarzania, którego dokonano na podstawie wyrażonej przez Ciebie zgody przed jej wycofaniem. Po cofnięciu zgody wszystkie twoje dane zostaną usunięte z serwisu. Udzielenie zgody możesz modyfikować w zakładce 'Informacja o danych osobowych'

Pochodne funkcji wymiernych - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Wprowadznie do pochodnych

Badając funkcje matematycy uznali, że przydatne byłoby jakieś narzędzie umożliwiające sprawdzenie, jak szybko się ona zmienia. Wprowadzili więc "pochodną" - pewną wielkość przypisywaną każdemu punktowi funkcji i określającą szybkość jej zmiany.

Ścisle podchodząc do sprawy: pochodna to granica:

$$lim↙{△ x → 0} {f(x_0 + △ x) - f(△ x)}/{△ x}$$
którą zwykle zapisujemy symbolicznie jako:

$$lim↙{△ x → 0} {△ y}/{△ x} = {dy}/{dx} = f'(x)$$

Podchodząc do tego geometrycznie:

1

Jak widać, robimy coraz bliższe sieczne - jeśli przejdziemy przez granicę, zbiegają one po prostu do stycznej do wykresu. W ujęciu geometrycznym pochodną funkcji jest właśnie styczna do jej wykresu.
 

Pochodne funkcji wymiernych

Oczywiście obliczanie pochodnej każdej funkcji z definicji byłoby dość kłopotliwe. Tak jak przy okazji granic, tak tutaj też istnieją wzory określające pochodną sumy, różnicy, iloczynu i ilorazu, z których zwykle korzysta się przy obliczaniu pochodnych.

Pochodna sumy i różnicy jest po prostu sumą i różnicą pochodnych - nie ma w tym nic skomplikowanego. Trudniej zaczyna się robić, gdy mamy do czynienia z iloczynem albo ilorazem funkcji.

Suma: $$(f(x) + g(x))' = f'(x) + g'(x)$$

Różnica: $$(f(x) - g(x))' = f'(x) - g'(x)$$

Iloczyn: $$(f(x)×g(x))' = f'(x)×g(x) + g'(x)×f(x)$$

Iloraz: $$({f(x)}/{g(x)})' = {f'(x)×g(x) + g'(x)×f(x)}/{(g(x))^2}$$


Warto także znać wzór na pochodną funkcji złożonej: $$(f(g(x)))' = f'(g(x))g'(x)$$.

Oczywiście funkcja stała ma pochodną równą 0 - w ogóle nie rośnie.

Ponadto trzeba zapamiętać pochodną funkcji potęgowej:
$$(x^n)' = nx^{n-1}$$

Tylko to i powyższe cztery wzory pozwalają nam obliczyć pochodną dowolnej funkcji wymiernej.

Przykład: Obliczyć pochodną

$$f(x) = x^4 + 3x - 1$$

1) Jest to suma funkcji potęgowych, więc możemy skorzystać z tego, że pochodna sumy jest równa sumie pochodnych:
$$(x^4 + 3x - 1)' = (x^4)' + (3x)' - (1)'$$

2) Teraz pozostaje tylko obliczyć każdy ze składników korzystając ze wzoru na pochodną funkcji potęgowej:
$$f'(x) = 4x^3 + 12 - 0$$

Weźmy inną funkcję, tym razem bardziej skomplikowaną:
$$f(x) = {(x-1)(x-2)}/{x^2 - 1}$$

1) Na początek rozłóżmy mianownik na iloczyn ze wzoru skróconego mnożenia i skróćmy ułamek:
$$f(x) = {(x-1)(x-2)}/{(x-1)(x+1)}$$
$$f(x) = {x-2}/{x+1}$$

2) Dostaliśmy prostą funkcję wymierną: korzystając ze wzoru na pochodną ilorazu dostajemy:
$$f'(x) = {(x-2)'(x+1) + (x-2)(x+1)'}/{(x+1)^2}$$

3) Pochodną funkcji liniowej jest oczywiście 1, więc w wyniku dostajemy:
$$f'(x) = {x+1+x-2}/{(x+1)^2}$$
$$f'(x) = {2x-1}/{(x+1)^2}$$


Trzeci przykład - obliczanie pochodnej funkcji złożonej.

Weźmy funkcję $$f(x) = √{x^2 + x} = (x^2 + x)^{ {1}/{2} }$$.

Oznaczmy sobie $$g(x) = √{x} = x^{ {1}/{2} }$$ oraz $$h(x) = x^2 + x$$. Wtedy funkcja $$f(x)$$ jest po prostu złożeniem dwóch funkcji $$g(h(x))$$.

Jej pochodna jest w takim razie równa $$f'(x) = {1}/{2}(x^2+x)^{ {1}/{2}-1}×(x^2 + x)' = {1}/{2}(x^2+x)^{ -{1}/{2} }×(2x + 1)$$

Spis treści

Rozwiązane zadania
Rozwiąż równania:

`a)` 

`x^4-1=0` 

`x^4=1` 

`x=1\ \ \vee\ \ \x=-1` 

`x in {-1,1}` 

 

`b)` 

`81x^4-625=0` 

`x^4=625/81` 

`x=5/3\ \ \vee \ \ \x=-5/3` 

`x in {-5/3,5/3}` 

   

`c)` 

`10000x^4-81=0` 

`x^4=81/10000` 

`x=3/10\ \ \vee \ \ \x=-3/10` 

 

`x in {-3/10,3/10}` 

 

`d)` 

`x^4-256=0` 

`x^4=256` 

`x=4\ \ \vee\ \ \x=-4` 

 

`x in {-4,4}` 

 

`e)` 

`(x^2+2x)^2-x^2=0` 

`(x^2+2x-x)(x^2+2x+x)=0` 

`(x^2+x)(x^2+3x)=0` 

`x^2(x+1)(x+3)=0` 

 

`x=0` 

`x=-1` 

`x=-3` 

 

`x in {-1,-3,0}` 

 

`f)` 

`(x^2+4)^2-4x^2=0`  

`(x^2+4-2x)(x^2+4+2x)=0` 

 

`x^2+4-2x=0` 

`Delta=4-16=-12<0` 

 

`x^2+4+2x=0` 

`Delta=4-15=-12<0` 

 

`"Brak rozwiązań."` 

 

`g)` 

`x^4-(3x+2)^2=0` 

`(x^2-(3x+2))(x^2+3x+2)=0` 

`(x^2-3x-2)(x^2+3x+2)=0` 

 

`x^2-3x-2=0` 

`Delta=9+8=17` 

`sqrtDelta=sqrt17` 

`x_1=(3-sqrt17)/2` 

`x_2=(3+sqrt17)/2` 

 

`x^2+3x+2=0` 

`Delta=9-8=1` 

`sqrtDelta=1` 

`x_1=(-3-1)/2=-2` 

`x_2=(-3+1)/2=-1` 

 

`x in {-2;-1;(3-sqrt17)/2;(3+sqrt17)/2}` 

 

`h)` 

`x^4-(2x-1)^2=0` 

`(x^2-2x+1)(x^2+2x-1)=0` 

`(x-1)^2(x^2+2x-1)=0` 

 

`x-1=0` 

`x=1`   

 

`x^2+2x-1=0` 

`Delta=4+4=8` 

`sqrtDelta=2sqrt2` 

 

`x_1=(-2-2sqrt2)/2=-1-sqrt2` 

`x_2=-1+sqrt2` 

 

`x in {-1-sqrt2;-1+sqrt2;1}` 

 

` `

Wyznacz wzory funkcji...

Funkcja `f(x)` 

`f(x)=a(x-p)^2+q` 

`y=a(x+4)^2-4` 

`y=a(x^2+8x+16)-4` 

Wstawmy punkt `A=(2,0)` 

`0=a(2^2+8*2+16)-4` 

`0=a(4+16+16)-4`  

`0=a*36-4` 

`4=36a \ \ \ |:36` 

`1/9=a` 

 

`f(x)=1/9(x+4)^2-4` 


Funkcja `g(x)` 

`g(x)=a(x-p)^2+q` 

`y=a(x+1)^2+1` 

`y=a(x^2+2x+1)+1` 

Wstawmy punkt `B=(2,2)` 

`2=a(2^2+2*2+1)+1` 

`2=a(4+4+1)+1` 

`2=a*9+1` 

`1=a*9 \ \ \ |:9` 

`1/9=a` 

 

`g(x)=1/9(x+1)^2+1` 


a) `1/9(x+4)^2-4 >= 1/9(x+1)^2+1 \ \ \ |*9` 

`(x+4)^2-36>=(x+1)^2+9` 

`x^2+8x+16-36>=x^2+2x+1+9` 

`8x-20>=2x+10 \ \ \ |-2x` 

`6x-20>=10 \ \ \ |+20` 

`6x>=30 \ \ \ |:6` 

`x>=5` 

`x in <5, +oo)` 


b) `1/9(x+4)^2-4>2x-x^2 \ \ \ |*9` 

`(x+4)^2-36>18x-9x^2` 

`x^2+8x+16-36>18x-9x^2` 

`x^2+8x-20-18x+9x^2>0` 

`10x^2-10x-20>0 \ \ \ |:10` 

`1x^2-1x-2>0` 

`Delta=(-1)^2-4*1*(-2)=1+8=9` 

`sqrt(Delta)=3` 

`x_1=(-(-1)-3)/(2*1)=(1-3)/2=(-2)/2=-1` 

`x_2=(-(-1)+3)/(2*1)=(1+3)/2=4/2=2` 

`x in (-oo, -1)uu(2,+oo)` 

`` 

Zaznacz w układzie współrzędnych

`a)` 

Pierwsza współrzędna jest oddalona od liczby -3 o nie więcej niż 2 jednostki - możemy "pójść" nie więcej niż 2 jednostki w lewo od -3 (-3-2=-5) oraz nie więcej niż 2 jednostki w prawo od -3 (-3+2=-1). 

Druga współrzędna jest oddalona od liczby 4 o nie więcej niż 1 jednostkę - możemy "pójść" nie więcej niż 1 jednostkę w lewo od 4 (4-1=3) oraz nie więcej niż 1 jednostkę w prawo od 4 (4+1=5). 

 

`{(|x+3|<=2), (|y-4|<=1):}\ \ \ =>\ \ \ {(x in <<-5;\ -1>>), (y in <<3;\ 5>>):}` 

 

Wykonujemy rysunek:

 

`ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ )`   

 

`b)` 

Zauważmy, że pierwszą nierówność można przekształcić:

`|2x-4|<6` 

`|2|*|x-2|<6` 

`2|x-2|<6\ \ \ |:2` 

`|x-2|<3` 

 

Pierwsza współrzędna jest więc oddalona od liczby 2 o mniej niż 3 jednostki - możemy "pójść" mniej niż 3 jednostki w lewo od 2 (2-3=-1) oraz mniej niż 3 jednostki w prawo od liczby 2 (2+3=5). 

Druga współrzędna jest oddalona od liczby -2 o więcej niż 3 jednostki - możemy więc "pójść" więcej niż 3 jednostki w lewo od -2 (-2-3=-5) oraz więcej niż 3 jednostki w prawo od liczby -2 (-2+3=1). 

`{(|2x-4|<6), (|y+2|>3):}\ \ \ =>\ \ \ {(x in (-1;\ 5)), (y in (-infty;\ -5)uu(1;\ +infty)):}` 

 

 

`ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ )` 

 

 

`c)` 

Przekształćmy nierówności:

`|3x+6|>=9` 

`|3|*|x+2|>=9` 

`3|x+2|>=9\ \ \ |:3` 

`|x+2|>=3` 

 

 

`|2x-1|>1` 

`|2|*|x-1/2|>1` 

`2|x-1/2|>1\ \ \ |:2` 

`|x-1/2|>1/2` 

 

Pierwsza współrzędna jest więc oddalona od liczby -2 o nie mniej niż 3 jednostki - możemy "pójść" nie mniej niż 3 jednostki w lewo od 2 (-2-3=-5) oraz nie mniej niż 3 jednostki w prawo od liczby -2 (-2+3=1). 

Druga współrzędna jest oddalona od liczby 1/2 o więcej niż 1/2 jednostki - możemy więc "pójść" więcej niż 1/2 jednostki w lewo od 1/2 (1/2-1/2=0) oraz więcej niż 1/2 jednostki w prawo od liczby -1/2 (1/2+1/2=1). 

 

`{(|3x+6|>=9), (|2x-1|>1):}\ \ \ =>\ \ \ {(x in (-infty;\ -5>>uu<<1;\ +infty)), (y in (-infty;\ 0)uu(1;\ +infty)):}` 

 

Bierzemy udział w następującej grze

 

 

`a)` 

Obliczamy wartość oczekiwaną:

`2/6*50+4/6*(-40)=1/3*50-2/3*40=50/3-80/3=-30/3=-10` 

 

 

`b)` 

`2/6*45+4/6*(-15)=1/strike3^1*strike45^15-2/strike3^1*strike15^5=15-10=5` 

 

 

`c)` 

Gra jest sprawiedliwa, jeśli wartość oczekiwana gry jest równa 0.

`2/6*x_1+4/6*(-50)=0` 

`1/3x_1-2/3*50=0\ \ \ \ |*3`  

`x_1-2*50=0` 

`x_1-100=0\ \ \ |+100` 

`x_1=100` 

Wygrana musiałaby być równa 100 zł.    

Dla jakich wartości parametrów

W każdym przykładzie najpierw wykonamy mnożenie wielomianu po prawej stronie równości. 

Następnie skorzystamy z faktu, że dwa wielomiany są równe wtedy i tylko wtedy, gdy współczynniki stojące przy jednakowych potęgach są równe. 

 

`a)`

`(x^2-ax+b)(x^2-1)=x^4-x^2-ax^3+ax+bx^2-b=`

`=x^4-ax^3+(-1+b)x^2+ax-b`

 

Porównujemy współczynniki stojące przy jednakowych potęgach: 

`x^4:\ \ \ 1=1`

`x^3:\ \ \ -1=-a\ \ \ =>\ \ \ a=1`

`x^2:\ \ \ 2=-1+b\ \ \ =>\ \ \ b=2+1=3`

`x^1:\ \ \ 1=a\ \ \ =>\ \ \ a=1`

`x^0:\ \ \ -3=-3b\ \ \ =>\ \ \ b=3`

 

Możemy zapisać odpowiedź:

`{(a=1), (b=3):}`

 

 

`b)`

`(ax^2+bx+1)(x^2+x)=ax^4+ax^3+bx^3+bx^2+x^2+x=`

`=ax^4+(a+b)x^3+(b+1)x^2+x`

 

`x^4:\ \ \ -1=a\ \ \ =>\ \ \ a=-1`

`x^3:\ \ \ 3=a+b\ \ \ =>\ \ \ 3=-1+b\ \ \ =>\ \ \ b=3+1=4`

`x^2:\ \ \ 5=b+1\ \ \ =>\ \ \ b=5-1=4`

`x^1:\ \ \ 1=1`

 

Możemy zapisać odpowiedź:

`{(a=-1), (b=4):}`

 

 

`c)`

`(x^2+x+1)(ax+b)=ax^3+bx^2+ax^2+bx+ax+b=`

`=ax^3+(b+a)x^2+(b+a)x+b`

 

`x^3:\ \ \ 4=a\ \ \ =>\ \ \ a=4`

`x^2:\ \ \ 1=b+a\ \ \ =>\ \ \ 1=b+4\ \ \ =>\ \ \ b=1-4=-3`

`x^1:\ \ \ b+a=1\ \ \ =>\ \ \ (-3)+4=1`

`x^0:\ \ \ -3=b\ \ \ =>\ \ \ b=-3`

 

Możemy zapisać odpowiedź:

`{(a=4), (b=-3):}`

 

 

`d)`

`(x^3+ax+b)(x^2-2)=x^5-2x^3+ax^3-2ax+bx^2-2b=`

`=x^5+(-2+a)x^3+bx^2-2ax-2b`

 

`x^5:\ \ \ 1=1`

`x^3: \ \ \ -2+a=-1\ \ \ =>\ \ \ a=-1+2=1`

`x^2:\ \ \ -2=b\ \ \ =>\ \ \ b=-2`

`x^1:\ \ \ -2=-2a\ \ \ =>\ \ \ a=-2:(-2)=1`

`x^0:\ \ \ 4=-2b\ \ \ =>\ \ \ b=4:(-2)=-2`

 

Możemy zapisać odpowiedź:

`{(a=1), (b=-2):}`

Rozwiązaniem równania...

`(-1)^3 - 2*(-1)^2 + 4*(-1) + 7a =0` 

`-1 -2 -4 + 7a =0` 

`7a = 7` 

`a = 1` 

Odpowiedź C

Odcinki AB i CD są zawarte ...

`k=|CD|/|AB|=3/2` 

`"lub"` 

`k=-|CD|/|AB|=-3/2` 

W piwnicy stoją dwie 77- litrowe ...

Beczkę pełnąbędziemy nazywać beczką A.

Beczkę początkowo pustą będziemy nazywać beczką B.

 

Rozważmy beczkę A. Ilość wypływającej wody z beczki w poszczególnej sekundzie tworzy

ciąg arytmetyczny o następujących parametrach:

`a_n-"ciąg arytmetyczny"` 

`a_1= 4 ` 

`r_a= -0,2 `   

`S_n= 77`

 

Rozważmy beczkę B. Ilość wpływającej wody do beczki w poszczególnej sekundzie tworzy

ciąg arytmetyczny o następujących parametrach:

`b_k-"ciąg arytmetyczny"` 

`b_1=1,5 ` 

`r_b=0,5 `    

`S_k=77` 

 

`i-"sekunda w której poziom wody w oby beczkach jest równy"` 

 

`S_i=77-(a_1+a_i)/2*i=(b_1+b_i)/2*i`    

`154/i-a_1-a_i=b_1+b_i`   

`154/i-4-4+0,2*(i-1) =1,5+1,5+(i-1)*0,5`   

`154/i+1/5i-1/5-1/2i+1/2=11` 

`-3/10i^2-107/10i+154=0` 

`3i^2+107i-1540=0` 

`Delta=11449+18480=29929` 

`sqrtDelta=173` 

`i_1=(-107-173)/6<0` 

`i_2=(-107+173)/6=11`   

Poziomy wody w obu beczkach wyrównają się po 11 sekundach.

Krawędź boczna ostrosłupa

`a)` 

Podstawą ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest kwadrat. Wykonajmy rysunek pomocniczy:

`H/6=sin60^o` 

`H/6=sqrt3/2\ \ \ |*6` 

`H=3sqrt3\ [cm]`  

 

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa obliczmy, jaką długość ma odcinek a, czyli połowa przekątnej podstawy:

`a^2+(3sqrt3)^2=6^2` 

`a^2+9*3=36` 

`a^2+27=36\ \ \ |-27` 

`a^2=9` 

`a=3\ [cm]` 

 

Przekątna podstawy ma więc długość 6. Podstawą ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest kwadrat. Kwadrat jest w szczególności rombem (bo ma 2 pary boków równoległych, a wszystkie boki są jednakowej długości), więc jego pole możemy obliczyć tak, jak pole rombu - biorąc połowę iloczynu długości przekątnych. 

`P_p=1/strike2^1*strike6^3*6=18\ [cm^2]` 

 

Obliczamy objętość:

`V=1/3P_p*H=1/strike3^1*18*strike3^1sqrt3=18sqrt3\ [cm^3]` 

 

 

`b)` 

 

`a/h=cos60^o` 

`a/h=1/2\ \ \ |*h` 

`a=1/2h\ \ \ |*2` 

`2a=h` 

`h=2a` 

 

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa oraz z zależności h=2a wyrazimy H za pomocą a:

`a^2+H^2=h^2` 

`a^2+H^2=(2a)^2` 

`a^2+H^2=4a^2\ \ \|-a^2` 

`H^2=3a^2` 

`H=sqrt(3a^2)=asqrt3` 

 

Musimy obliczyć sinus kąta alfa:

  

`sinalpha=H/c` 

 

Długość H mamy wyrażoną za pomocą a. Musimy więc wyrazić długość c za pomocą a - wtedy a się skróci i otrzymamy wartość sinusa. 

Znamy długość wysokości ściany bocznej (h) w zależności od a. Wykonajmy więc rysunek pomocniczy - narysujmy ścianę boczną. 

Z twierdzenia Pitagorasa:

`a^2+(2a)^2=c^2` 

`a^2+4a^2=c^2` 

`c^2=5a^2` 

`c=sqrt(5a^2)=asqrt5`  

 

 

Obliczamy szukaną wartość sinusa:

`sinalpha=H/c=(asqrt3)/(asqrt5)=sqrt3/sqrt5=(sqrt3*sqrt5)/(sqrt5*sqrt5)=sqrt15/5` 

 

W równoległoboku ABCD boki ...

`a)` 

`|DE|=4` 

`b=5` 

`a=2sqrt5` 

`P=b*h=4*5=20` 

`P=a*|DF|=20` 

`|DF|=20/(2sqrt5)=2sqrt5`  

 

`b)` 

`x^2=a^2-4^2=4` 

`x=2` 

`b-x=3` 

 

`|DC|^2=|DF|^2+|CF|^2` 

`|CF|=sqrt(25-20)=sqrt5` 

`|BF|=|BC|-|CF|=sqrt5` 

 

`Obw=b-x+|DE|+|DF|+|BF|=7+3sqrt5` 

`P_(DEBF)=P_(ABCD)-P_(DFC)-P_(ADE)=20-1/2*2sqrt5*sqrt5-1/2*2*4=11`