Pochodne funkcji wymiernych - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Wprowadznie do pochodnych

Badając funkcje matematycy uznali, że przydatne byłoby jakieś narzędzie umożliwiające sprawdzenie, jak szybko się ona zmienia. Wprowadzili więc "pochodną" - pewną wielkość przypisywaną każdemu punktowi funkcji i określającą szybkość jej zmiany.

Ścisle podchodząc do sprawy: pochodna to granica:

$$lim↙{△ x → 0} {f(x_0 + △ x) - f(△ x)}/{△ x}$$
którą zwykle zapisujemy symbolicznie jako:

$$lim↙{△ x → 0} {△ y}/{△ x} = {dy}/{dx} = f'(x)$$

Podchodząc do tego geometrycznie:

1

Jak widać, robimy coraz bliższe sieczne - jeśli przejdziemy przez granicę, zbiegają one po prostu do stycznej do wykresu. W ujęciu geometrycznym pochodną funkcji jest właśnie styczna do jej wykresu.
 

Pochodne funkcji wymiernych

Oczywiście obliczanie pochodnej każdej funkcji z definicji byłoby dość kłopotliwe. Tak jak przy okazji granic, tak tutaj też istnieją wzory określające pochodną sumy, różnicy, iloczynu i ilorazu, z których zwykle korzysta się przy obliczaniu pochodnych.

Pochodna sumy i różnicy jest po prostu sumą i różnicą pochodnych - nie ma w tym nic skomplikowanego. Trudniej zaczyna się robić, gdy mamy do czynienia z iloczynem albo ilorazem funkcji.

Suma: $$(f(x) + g(x))' = f'(x) + g'(x)$$

Różnica: $$(f(x) - g(x))' = f'(x) - g'(x)$$

Iloczyn: $$(f(x)×g(x))' = f'(x)×g(x) + g'(x)×f(x)$$

Iloraz: $$({f(x)}/{g(x)})' = {f'(x)×g(x) + g'(x)×f(x)}/{(g(x))^2}$$


Warto także znać wzór na pochodną funkcji złożonej: $$(f(g(x)))' = f'(g(x))g'(x)$$.

Oczywiście funkcja stała ma pochodną równą 0 - w ogóle nie rośnie.

Ponadto trzeba zapamiętać pochodną funkcji potęgowej:
$$(x^n)' = nx^{n-1}$$

Tylko to i powyższe cztery wzory pozwalają nam obliczyć pochodną dowolnej funkcji wymiernej.

Przykład: Obliczyć pochodną

$$f(x) = x^4 + 3x - 1$$

1) Jest to suma funkcji potęgowych, więc możemy skorzystać z tego, że pochodna sumy jest równa sumie pochodnych:
$$(x^4 + 3x - 1)' = (x^4)' + (3x)' - (1)'$$

2) Teraz pozostaje tylko obliczyć każdy ze składników korzystając ze wzoru na pochodną funkcji potęgowej:
$$f'(x) = 4x^3 + 12 - 0$$

Weźmy inną funkcję, tym razem bardziej skomplikowaną:
$$f(x) = {(x-1)(x-2)}/{x^2 - 1}$$

1) Na początek rozłóżmy mianownik na iloczyn ze wzoru skróconego mnożenia i skróćmy ułamek:
$$f(x) = {(x-1)(x-2)}/{(x-1)(x+1)}$$
$$f(x) = {x-2}/{x+1}$$

2) Dostaliśmy prostą funkcję wymierną: korzystając ze wzoru na pochodną ilorazu dostajemy:
$$f'(x) = {(x-2)'(x+1) + (x-2)(x+1)'}/{(x+1)^2}$$

3) Pochodną funkcji liniowej jest oczywiście 1, więc w wyniku dostajemy:
$$f'(x) = {x+1+x-2}/{(x+1)^2}$$
$$f'(x) = {2x-1}/{(x+1)^2}$$


Trzeci przykład - obliczanie pochodnej funkcji złożonej.

Weźmy funkcję $$f(x) = √{x^2 + x} = (x^2 + x)^{ {1}/{2} }$$.

Oznaczmy sobie $$g(x) = √{x} = x^{ {1}/{2} }$$ oraz $$h(x) = x^2 + x$$. Wtedy funkcja $$f(x)$$ jest po prostu złożeniem dwóch funkcji $$g(h(x))$$.

Jej pochodna jest w takim razie równa $$f'(x) = {1}/{2}(x^2+x)^{ {1}/{2}-1}×(x^2 + x)' = {1}/{2}(x^2+x)^{ -{1}/{2} }×(2x + 1)$$

Spis treści

Rozwiązane zadania
Dany jest romb ABCD...

Wyznaczymy równanie prostej zawierającej przekątną AC przechodzącą przez punkt S:

 

 

 

 

 

zatem

 

 

 

 

 

Wyznaczymy teraz równanie przekątnej BD, przechodzącej przez punkt S. Prosta ta będzie prostopadła do prostej zawierającej przekątną AC, zatem współczynnik kierunkowy wynosi:

 

  

 

  

Podstawmy współrzędne punktu S:

 

 

 

 

 

Punkt B jest punktem przecięcia się prostej BD oraz prostej y=3x-3.

 

Stąd:

  

 

 

czyli

  

 

 

Obliczmy długości przekątnych AC i BD:

 

 

 

 

 

Pole rombu:

 

Odpowiedź C

Na rysunku przedstawiono wykres ...

 

 

 

 

 

 

 

 

  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

    

Oblicz odległość środka odcinka AB od początku

Obliczamy najpierw współrzędne środka odcinka AB a poźniej jego odległość od początku układu współrzędnych.Początek układu współrzędnych to punkt o współrzędnych (0,0).

a)

 

b)

 

c)

Oblicz odległość punktu P od początku ...

Odległość między punktami  i  obliczamy ze wzoru

.

 

    

Odległość punktu  od początku układu współrzędnych wynosi .  {premium}


     

Odległość punktu  od początku układu współrzędnych wynosi .


    

Odległość punktu  od początku układu współrzędnych wynosi .


    

Odległość punktu  od początku układu współrzędnych wynosi .

Rozwiąż równanie.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Po uwzględnieniu dziedziny rozwiązaniami równania są liczby:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Po uwzględnieniu dziedziny jedynym rozwiązaniem równania jest liczba 3.

Na ile sposobów

Na stanowisko przewodniczącego może zostać wybrana jedna z dziesięciu osób. 

Na stanowisko wiceprzewodniczącego może zostać wybrana jedna z dziewięciu pozostałych osób. 

Na stanowisko sekretarza może zostać wybrana jedna z ośmiu pozostałych osób. 

Zgodnie z regułą mnożenia liczba możliwości jest równa:

 

 

Rozwiąż równania:

 

Równanie ma postać  gdzie 

   

Najlepiej będzie zapisać najpierw ten wielomian w postaci czynników możliwie najmniejszego stopnia.

Zauważmy, że  zatem:

   

  

Stąd:

 trójmian  nie ma pierwiastków, bo  

Czyli:

 

Odp. Rozwiązaniem równania są liczby  

 

          

Równanie ma postać  gdzie 

   

Najlepiej będzie zapisać najpierw ten wielomian w postaci czynników możliwie najmniejszego stopnia.

Po zastosowaniu wzorów skróconego mnożenia, otrzymujemy następującą postać  

 

 

Stąd:

 

Odp. Rozwiązaniem równania są liczby    

 

      

Równanie ma postać  gdzie 

   

Najlepiej będzie zapisać najpierw ten wielomian w postaci czynników możliwie najmniejszego stopnia.

Po przekształceniach otrzymujemy następującą postać  

 

 

Stąd:

 

Odp. Rozwiązaniem równania są liczby   

 

    

Równanie ma postać  gdzie 

   

  

Zastosujemy podstawienie     

Otrzymujemy wówczas:

 

 

 

Zakładaliśmy, że   więc pierwsze rozwiązanie odrzucamy. Zostaje nam:

 

Przenieśmy  na lewą stronę równania. Otrzymujemy:

 

Równanie ma postać  gdzie 

 

Zapiszmy ten wielomian w postaci czynników możliwie najmniejszego stopnia:

 

Mamy:

    

Stąd:

 

Wszystkie powyższe przekształcenia były równoważne, zatem rozwiązaniem równania  są liczby  i      

W trójkącie ABC poprowadzono prostą równoległą do boku AC...

Rysunek poglądowy:

 

 

A więc:

 

 

 

 

 

 

 

A więc:

 

Wskaż wzór funkcji, której wykres ...

Wzór każdej funkcji kwadratowej można doprowadzić do postaci kanonicznej:

 ,

gdzie   i   są współrzędnymi wierzchołka paraboli.

 

Współrzędne wierzchołka odczytujemy z wykresu funkcji

 

i podstawiamy podane wartości do wzoru funkcji kwadratowej w postaci kanonicznej

 .

Doprowadzamy powyższy wzór funkcji do postaci ogólnej{premium}

(korzystamy przy tym ze wzoru skróconego mnożenia)

 .

 

Podstawiając współrzędne punktu należącego do wykresu tej paraboli do wzoru funkcji,

wyznaczymy wartość współczynnika  . Weźmy np. punkt  

 

 

 

 

 

 

 

Wzór funkcji przedstawionej na wykresie:

 

 

Odpowiedź: B

W ciągu arytmetycznym...

 

 

 

Dodając stronami otrzymujemy:

 

 

 

 

Odp. D