Pochodne funkcji wymiernych - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Pochodne funkcji wymiernych - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Wprowadznie do pochodnych

Badając funkcje matematycy uznali, że przydatne byłoby jakieś narzędzie umożliwiające sprawdzenie, jak szybko się ona zmienia. Wprowadzili więc "pochodną" - pewną wielkość przypisywaną każdemu punktowi funkcji i określającą szybkość jej zmiany.

Ścisle podchodząc do sprawy: pochodna to granica:

$lim↙{△ x → 0} {f(x_0 + △ x) - f(△ x)}/{△ x}$
którą zwykle zapisujemy symbolicznie jako:

$lim↙{△ x → 0} {△ y}/{△ x} = {dy}/{dx} = f'(x)$

Podchodząc do tego geometrycznie:

1

Jak widać, robimy coraz bliższe sieczne - jeśli przejdziemy przez granicę, zbiegają one po prostu do stycznej do wykresu. W ujęciu geometrycznym pochodną funkcji jest właśnie styczna do jej wykresu.
 

Pochodne funkcji wymiernych

Oczywiście obliczanie pochodnej każdej funkcji z definicji byłoby dość kłopotliwe. Tak jak przy okazji granic, tak tutaj też istnieją wzory określające pochodną sumy, różnicy, iloczynu i ilorazu, z których zwykle korzysta się przy obliczaniu pochodnych.

Pochodna sumy i różnicy jest po prostu sumą i różnicą pochodnych - nie ma w tym nic skomplikowanego. Trudniej zaczyna się robić, gdy mamy do czynienia z iloczynem albo ilorazem funkcji.

Suma: $(f(x) + g(x))' = f'(x) + g'(x)$

Różnica: $(f(x) - g(x))' = f'(x) - g'(x)$

Iloczyn: $(f(x)×g(x))' = f'(x)×g(x) + g'(x)×f(x)$

Iloraz: $({f(x)}/{g(x)})' = {f'(x)×g(x) + g'(x)×f(x)}/{(g(x))^2}$


Warto także znać wzór na pochodną funkcji złożonej: $(f(g(x)))' = f'(g(x))g'(x)$.

Oczywiście funkcja stała ma pochodną równą 0 - w ogóle nie rośnie.

Ponadto trzeba zapamiętać pochodną funkcji potęgowej:
$(x^n)' = nx^{n-1}$

Tylko to i powyższe cztery wzory pozwalają nam obliczyć pochodną dowolnej funkcji wymiernej.

Przykład: Obliczyć pochodną

$f(x) = x^4 + 3x - 1$

1) Jest to suma funkcji potęgowych, więc możemy skorzystać z tego, że pochodna sumy jest równa sumie pochodnych:
$(x^4 + 3x - 1)' = (x^4)' + (3x)' - (1)'$

2) Teraz pozostaje tylko obliczyć każdy ze składników korzystając ze wzoru na pochodną funkcji potęgowej:
$f'(x) = 4x^3 + 12 - 0$

Weźmy inną funkcję, tym razem bardziej skomplikowaną:
$f(x) = {(x-1)(x-2)}/{x^2 - 1}$

1) Na początek rozłóżmy mianownik na iloczyn ze wzoru skróconego mnożenia i skróćmy ułamek:
$f(x) = {(x-1)(x-2)}/{(x-1)(x+1)}$
$f(x) = {x-2}/{x+1}$

2) Dostaliśmy prostą funkcję wymierną: korzystając ze wzoru na pochodną ilorazu dostajemy:
$f'(x) = {(x-2)'(x+1) + (x-2)(x+1)'}/{(x+1)^2}$

3) Pochodną funkcji liniowej jest oczywiście 1, więc w wyniku dostajemy:
$f'(x) = {x+1+x-2}/{(x+1)^2}$
$f'(x) = {2x-1}/{(x+1)^2}$


Trzeci przykład - obliczanie pochodnej funkcji złożonej.

Weźmy funkcję $f(x) = √{x^2 + x} = (x^2 + x)^{ {1}/{2} }$.

Oznaczmy sobie $g(x) = √{x} = x^{ {1}/{2} }$ oraz $h(x) = x^2 + x$. Wtedy funkcja $f(x)$ jest po prostu złożeniem dwóch funkcji $g(h(x))$.

Jej pochodna jest w takim razie równa $f'(x) = {1}/{2}(x^2+x)^{ {1}/{2}-1}×(x^2 + x)' = {1}/{2}(x^2+x)^{ -{1}/{2} }×(2x + 1)$

Spis treści

Rozwiązane zadania
Rozwiąż nierówność

Wyznacz współrzędne ...

 

 

 

  

 

 

 

 

 

 

  

  

  

 

 

 

 

 

  

  

 

  

 

 

 

 

  

    

  

 

   

Z urny, w której jest dwa razy więcej

 

Opiszmy zdarzenie na drzewku. Na gałęziach drzewka zapisano odpowiednie prawdopodobieństwa

 

 

Zaznaczono gałęzie, które opisują zdarzenie A. 

 

 

 

 

 

 

 

 

Powierzchnia zadrukowanej części kartki...

 

Wymiary kartki to:

 

 

Pole zadrukowanej części wynosi 192 cm2 a więc:

 

 

 

Czyli funkcja opisująca pole kartki jest równa:

Obliczmy pochodną

 

Znajdźmy punkty podejrzewane o bycie ekstremum:

 

 

 

 

 

 

Zauważmy, że jest to minimum gdyż:

 

czyli

 

Zatem wymiary kartki wynoszą:

 

 

Oblicz:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  

 

 

Wykaż, że w trójkącie prostokątnym...

 

 

 

Chcemy pokazać, że  

 

 

 

 

Jest to twierdzenie Pitagorasa, więc powyższe równanie jest spełnione w każdym trójkącie prostokątnym.

  

 

Wyznacz wszystkie wartości parametru...

Założenia:

 

 

 

 

 

 

 

{premium}

Jeżeli równanie ma mieć dwa różne rozwiązania to wyróżnik funkcji musi być dodatni.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

podglad pliku

 

 

Zauważmy, że jeżeli x = 2m, to równanie po lewej stronie jest równe 0 a liczba 2m będzie pierwiastkiem. Łatwo wtedy zauważyć, że nie będziemy mieli wtedy kolejnych rozwiązań.

Podstawmy pod równanie kwadratowe x = 2m, jeżeli wyliczone wartości parametru m będą należeć do rozwiązania równania to musimy je odrzucić z rozwiązania gdyż wtedy mamy tylko jedno rozwiązanie.

 

 

 

 

 

 

 

Zatem odrzucamy liczbę  

 

Zatem uwzględniając powyższe założenie otrzymujemy, że:

 

Przedstaw liczbę w postaci...

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Naszkicuj wykres funkcji...

a)

 

Przesuwając o wektor  otrzymujemy:{premium}

 

 

 

Dwa rozwiązania dla  


b)

 

Przesuwając o wektor  

 

 

 

Dwa rozwiązania dla  


c)

 

Przesuwając o wektor  otrzymujemy:

 

 

 

Dwa rozwiązania dla  

Wyznacz współrzędna wierzchołków trójkąta...

 

 

 

 

     {premium}

 

 

 

 

   

 

Z pierwszego i trzeciego równania otrzymujemy:

 

 

 

 

 

 

Z drugiego i czwartego równania otrzymujemy:

 

 

 

 

 

 

Z drugiego równania otrzymujemy:

 

 

 

 

Z trzeciego równania otrzymujemy:

 

 

 

 

 

 

 

 

Rysunek pomocniczy:

Thumb 48 285

Łatwo zauważyć, że jest to trójkąt prostokątny.

 

 

 

 

 

 

 

Równanie okręgu: