Zgoda na przetwarzanie danych osobowych

25 maja 2018 roku zacznie obowiązywać Rozporządzenie Parlamentu Europejskiego i Rady (UE) 2016/679 z dnia 27 kwietnia 2016 r. znane jako RODO.

Dlatego aby dalej móc dostarczać Ci materiały odpowiednie do Twojego etapu edukacji, potrzebujemy zgody na lepsze dopasowanie treści do Twojego zachowania. Dzięki temu możemy zapamiętywać jakie materiały są Ci potrzebne. Dbamy o Twoją prywatność, więc nie zwiększamy zakresu naszych uprawnień. Twoje dane są u nas bezpieczne, a zgodę na ich zbieranie możesz wycofać na podstronie polityka prywatności.

Klikając "Przejdź do Odrabiamy", zgadzasz się na wskazane powyżej działania. W przeciwnym wypadku, nie jesteśmy w stanie zrealizować usługi kompleksowo i prosimy o opuszczenie strony.

Polityka prywatności

Drogi Użytkowniku w każdej chwili masz prawo cofnąć zgodę na przetwarzanie Twoich danych osobowych. Cofnięcie zgody nie będzie wpływać na zgodność z prawem przetwarzania, którego dokonano na podstawie wyrażonej przez Ciebie zgody przed jej wycofaniem. Po cofnięciu zgody wszystkie twoje dane zostaną usunięte z serwisu. Udzielenie zgody możesz modyfikować w zakładce 'Informacja o danych osobowych'

Pochodne funkcji wymiernych - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Wprowadznie do pochodnych

Badając funkcje matematycy uznali, że przydatne byłoby jakieś narzędzie umożliwiające sprawdzenie, jak szybko się ona zmienia. Wprowadzili więc "pochodną" - pewną wielkość przypisywaną każdemu punktowi funkcji i określającą szybkość jej zmiany.

Ścisle podchodząc do sprawy: pochodna to granica:

$$lim↙{△ x → 0} {f(x_0 + △ x) - f(△ x)}/{△ x}$$
którą zwykle zapisujemy symbolicznie jako:

$$lim↙{△ x → 0} {△ y}/{△ x} = {dy}/{dx} = f'(x)$$

Podchodząc do tego geometrycznie:

1

Jak widać, robimy coraz bliższe sieczne - jeśli przejdziemy przez granicę, zbiegają one po prostu do stycznej do wykresu. W ujęciu geometrycznym pochodną funkcji jest właśnie styczna do jej wykresu.
 

Pochodne funkcji wymiernych

Oczywiście obliczanie pochodnej każdej funkcji z definicji byłoby dość kłopotliwe. Tak jak przy okazji granic, tak tutaj też istnieją wzory określające pochodną sumy, różnicy, iloczynu i ilorazu, z których zwykle korzysta się przy obliczaniu pochodnych.

Pochodna sumy i różnicy jest po prostu sumą i różnicą pochodnych - nie ma w tym nic skomplikowanego. Trudniej zaczyna się robić, gdy mamy do czynienia z iloczynem albo ilorazem funkcji.

Suma: $$(f(x) + g(x))' = f'(x) + g'(x)$$

Różnica: $$(f(x) - g(x))' = f'(x) - g'(x)$$

Iloczyn: $$(f(x)×g(x))' = f'(x)×g(x) + g'(x)×f(x)$$

Iloraz: $$({f(x)}/{g(x)})' = {f'(x)×g(x) + g'(x)×f(x)}/{(g(x))^2}$$


Warto także znać wzór na pochodną funkcji złożonej: $$(f(g(x)))' = f'(g(x))g'(x)$$.

Oczywiście funkcja stała ma pochodną równą 0 - w ogóle nie rośnie.

Ponadto trzeba zapamiętać pochodną funkcji potęgowej:
$$(x^n)' = nx^{n-1}$$

Tylko to i powyższe cztery wzory pozwalają nam obliczyć pochodną dowolnej funkcji wymiernej.

Przykład: Obliczyć pochodną

$$f(x) = x^4 + 3x - 1$$

1) Jest to suma funkcji potęgowych, więc możemy skorzystać z tego, że pochodna sumy jest równa sumie pochodnych:
$$(x^4 + 3x - 1)' = (x^4)' + (3x)' - (1)'$$

2) Teraz pozostaje tylko obliczyć każdy ze składników korzystając ze wzoru na pochodną funkcji potęgowej:
$$f'(x) = 4x^3 + 12 - 0$$

Weźmy inną funkcję, tym razem bardziej skomplikowaną:
$$f(x) = {(x-1)(x-2)}/{x^2 - 1}$$

1) Na początek rozłóżmy mianownik na iloczyn ze wzoru skróconego mnożenia i skróćmy ułamek:
$$f(x) = {(x-1)(x-2)}/{(x-1)(x+1)}$$
$$f(x) = {x-2}/{x+1}$$

2) Dostaliśmy prostą funkcję wymierną: korzystając ze wzoru na pochodną ilorazu dostajemy:
$$f'(x) = {(x-2)'(x+1) + (x-2)(x+1)'}/{(x+1)^2}$$

3) Pochodną funkcji liniowej jest oczywiście 1, więc w wyniku dostajemy:
$$f'(x) = {x+1+x-2}/{(x+1)^2}$$
$$f'(x) = {2x-1}/{(x+1)^2}$$


Trzeci przykład - obliczanie pochodnej funkcji złożonej.

Weźmy funkcję $$f(x) = √{x^2 + x} = (x^2 + x)^{ {1}/{2} }$$.

Oznaczmy sobie $$g(x) = √{x} = x^{ {1}/{2} }$$ oraz $$h(x) = x^2 + x$$. Wtedy funkcja $$f(x)$$ jest po prostu złożeniem dwóch funkcji $$g(h(x))$$.

Jej pochodna jest w takim razie równa $$f'(x) = {1}/{2}(x^2+x)^{ {1}/{2}-1}×(x^2 + x)' = {1}/{2}(x^2+x)^{ -{1}/{2} }×(2x + 1)$$

Spis treści

Rozwiązane zadania
Oblicz współczynnik a

`a)` 

`2^2+a*2+3=1` 

`4+2a+3=1` 

`7+2a=1\ \ \ |-7` 

`2a=-6\ \ \|:2` 

`a=3` 

 

 

`b)` 

`-2*(-1)^5+4*(-1)^4+a*(-1)=3` 

`-2*(-1)+4*1-a=3` 

`2+4-a=3` 

`6-a=3\ \ \ |-6` 

`-a=-3\ \ \ |*(-1)` 

`a=3` 

 

 

`c)` 

`1/2*(-2)^5+a*(-2)^3-3=5` 

`1/2*(-32)+a*(-8)-3=5` 

`-16-8a-3=5` 

`-19-8a=5\ \ \ |+19` 

`-8a=24\ \ \ |:(-8)` 

`a=-3` 

 

 

`d)` 

`9*(-1/3)^3+a*(-1/3)^2-6*(-1/3)=1` 

`9*(-1/27)+a*1/9+2=1` 

`-1/3+1/9a+2=1\ \ \ |*9` 

`-3+a+18=9` 

`a+15=9\ \ \ |-15` 

`a=-6` 

 

Dopisz trzy następne wyrazy ciągu arytmetycznego ...

`a)`  `a_1=sqrt(12)+1``a_2=1/(2-sqrt(3))` 

Obliczamy różnicę `r` ciągu arytmetycznego

`a_2-a_1=1/(2-sqrt(3))-(sqrt(12)+1)=1/(2-sqrt(3))*(2+sqrt(3))/(2+sqrt(3))-(sqrt(12)+1)=`

`=(2+sqrt(3))/(4-3)-(sqrt(12)+1)=2+sqrt(3)-(sqrt(12)+1)=`  

`=2+sqrt(3)-sqrt(4*3)-1=2+sqrt(3)-sqrt(4*3)-1=`  

`=2+sqrt(3)-sqrt(4*3)-1=2+sqrt(3)-2sqrt(3)-1=1-sqrt(3)`.

Wyznaczamy trzy następne wyrazy ciągu arytmetycznego

`a_3=1/(2-sqrt(3))+1-sqrt(3)=1/(2-sqrt(3))*(2+sqrt(3))/(2+sqrt(3))+1-sqrt(3)=` 

`=(2+sqrt(3))/(4-3)+1-sqrt(3)=2+sqrt(3)+1-sqrt(3)=3`,

`a_4=3+1-sqrt(3)=4-sqrt(3)`,

`a_5=4-sqrt(3)+1-sqrt(3)=5-2sqrt(3)`.

Obliczamy `S_5` {premium}

`S_5=(sqrt(12)+1+5-2sqrt(3))/2*5=(2sqrt(3)+1+5-2sqrt(3))/2*5=6/2*53*5=15`.


`b)`  `a_1=sqrt(18)``a_2=2/(sqrt(2)-1)` 

Obliczamy różnicę `r` ciągu arytmetycznego

`a_2-a_1=2/(sqrt(2)-1)-sqrt(18)=2/(sqrt(2)-1)*(sqrt(2)+1)/(sqrt(2)+1)-sqrt(18)=`

`=(2(sqrt(2)+1))/(2-1)-sqrt(9*2)=2sqrt(2)+2-3sqrt(2)=`  

`=2-sqrt(2)`.

Wyznaczamy trzy następne wyrazy ciągu arytmetycznego

`a_3=2/(sqrt(2)-1)+2-sqrt(2)=2sqrt(2)+2+2-sqrt(2)=4+sqrt(2)`,

`a_4=4+sqrt(2)+2-sqrt(2)=6`,

`a_5=6+2-sqrt(2)=8-sqrt(2)`.

Obliczamy `S_5` 

`S_5=(sqrt(18)+8-sqrt(2))/2*5=(3sqrt(2)+8-sqrt(2))/2*5=(8+2sqrt(2))/2*5=`

`=(4+sqrt(2))*5=5(4+sqrt(2))`.


`c)`  `a_1=2sqrt(5)-1``a_2=5/sqrt(5)` 

Obliczamy różnicę `r` ciągu arytmetycznego

`a_2-a_1=5/sqrt(5)-(2sqrt(5)-1)=5/sqrt(5)*sqrt(5)/sqrt(5)-2sqrt(5)+1=`

`=5sqrt(5)/5-2sqrt(5)+1=sqrt(5)-2sqrt(5)+1=-sqrt(5)+1=1-sqrt(5)`.

Wyznaczamy trzy następne wyrazy ciągu arytmetycznego

`a_3=5/sqrt(5)+1-sqrt(5)=sqrt(5)+1-sqrt(5)=1`,

`a_4=1+1-sqrt(5)=2-sqrt(5)`,

`a_5=2-sqrt(5)+1-sqrt(5)=3-2sqrt(5)`.

Obliczamy `S_5` 

`S_5=(2sqrt(5)-1+3-2sqrt(5))/2*5=2/2*51*5=5`.


`d)`  `a_1=sqrt(27)-2``a_2=(11)/(2sqrt(3)+1)` 

Obliczamy różnicę `r` ciągu arytmetycznego

`a_2-a_1=(11)/(2sqrt(3)+1)-(sqrt(27)-2)=(11)/(2sqrt(3)+1)*(2sqrt(3)-1)/(2sqrt(3)-1)-(sqrt(9*3)-2)=`

`=(11*(2sqrt(3)-1))/(12-1)-(3sqrt(3)-2)=(strike(11)*(2sqrt(3)-1))/strike(11)-(3sqrt(3)-2)`  

`=2sqrt(3)-1-3sqrt(3)+2=1-sqrt(3)`.

Wyznaczamy trzy następne wyrazy ciągu arytmetycznego

`a_3=(11)/(2sqrt(3)+1)+1-sqrt(3)=2sqrt(3)-1+1-sqrt(3)=sqrt(3)`,

`a_4=sqrt(3)+1-sqrt(3)=1`,

`a_5=1+1-sqrt(3)=2-sqrt(3)`.

Obliczamy `S_5` 

`S_5=(sqrt(27)-2+2-sqrt(3))/2*5=(3sqrt(3)-2+2-sqrt(3))/2*5=(2sqrt(3))/2*5=5sqrt(3)`.

W czworokącie wypukłym ABCD połączono ...

`"Odpowiedź D."`

{premium}

`"Zauważmy, że przekatne czworokąta ABCD są tak naprawdę osiami symetrii powstałej figury."` 

`"Boki nowej figury będą równoległe do przekątnych czworokąta ABCD."` 

Z wykresu funkcji f oczytaj

`a)` 

`"miejsca zerowe:"\ \ \ x=-3,\ \ \ x=2` 

`f(x)>0\ \ \ "dla"\ \ \ x in <<-4;\ -3)` 

`f(x)<=0\ \ \ "dla"\ \ \ x in <<-3;\ 6>>` 

 

 

`b)` 

`"miejsca zerowe:"\ \ \ x=-3,\ \ x=-1,\ \ x=3,\ \ \ x=5` 

`f(x)>0\ \ \ "dla"\ \ \ x in <<-4;\ -3)uu(-3;\ -1)uu(3;\ 5)` 

`f(x)<=0\ \ \ "dla"\ \ \ x in {-3}uu<<-1;\ 3>>uu{5}` 

 

Wyznacz brakujące długości odcinków.

a) Z twierdzenia o siecznych:

`3*x =4*6` 

`3x = 24` 

`x = 8` 

 

b) Z twierdzenia o siecznych:

`2*5 = x*(2x+1)` 

`10 = 2x^2 + x` 

`2x^2+ x - 10=0` 

`2x^2 -4x + 5x - 10=0` 

`2x(x-2)+5(x-2)=0` 

`(x-2)(2x+5) =0` 

`x = 2 \ \ vv \ \ x = -5/2` 

x musi być dodatni gdyż jest odległością, a więc rozwiązaniem jest:

`x=2` 

 

c) Z twierdzenia o siecznych:

`4*(x+4) = (x+1)*(3+x+1)` 

`4(x+4) = (x+1)(x+4)` 

`4x + 16 = x^2 + 4x + x + 4` 

`16 = x^2 + x + 4` 

`x^2 + x -12=0` 

`x^2 - 3x + 4x-12=0` 

`x(x-3)+4(x-3)=0` 

`(x-3)(x+4)=0` 

`x= 3 \ \ vv \ \ x= -4` 

x musi być dodatni gdyż jest odległością, a więc rozwiązaniem jest:

`x = 3`  

Wyrażenie (3t^2w^3)(-2tw^2)^3....

`(3t^2w^3)(-2tw^2)^3=(3t^2w^3)(-8t^3w^6)=-24t^5w^9`

Wykaż prawdziwość podanego wzoru

Dla n=5 wzór jest postaci: 

`(a-1)(1+a+a^2+a^3+a^4)=a^5-1`

 

Aby udowodnić wzór rozpiszemy lewą stronę równości i w ten sposób dojdziemy do jej lewej strony:

`(a-1)(1+a+a^2+a^3+a^4)=a*(1+a+a^2+a^3+a^4)-1*(1+a+a^2+a^3+a^4)=`

`=a+a^2+a^3+a^4+a^5-1-a-a^2-a^3-a^4=a^5-1`

 

Oblicz ...

`sin(alpha+beta)=?`  

`cos(alpha+beta)=?` 

 

`a)` 

`sin alpha=sqrt2/2` 

`cosbeta=1/2` 

`sin^2beta=1-cos^2beta=1-1/4=3/4`  ` <br> `

`sinbeta=sqrt3/2\ \ \vee\ \ \sinbeta=-sqrt3/2`  

`beta in (0;pi/2)` 

`"W powyższym przedziale sinus jest dodatni."` 

`sin beta=sqrt3/2` 

 

`cos^2alpha=1-sin^2alpha=1-2/4=1/2` 

`cosalpha=1/sqrt2\ \ \vee\ \ \cosalpha=-1/sqrt2`  

`alphain(pi/2;pi)` 

`"W powyższym przedziale cosinus jest ujemny."` 

`cosalpha=-1/sqrt2` 

 

`sin(alpha+beta)=sinalphacosbeta+cosalphasinbeta=`  

`=sqrt2/2*1/2-1/sqrt2*sqrt3/2=ul((sqrt2-sqrt6)/4` 

 

`cos(alpha+beta)=cosalphacosbeta-sinalphasinbeta=` 

`=1/2*(-1/sqrt2)-sqrt2/2*sqrt3/2=ul(-(sqrt2+sqrt6)/4`     

 

`b)` 

`sin alpha=-sqrt3/2` 

`cosbeta=sqrt2/2` 

`cos^2alpha=1-3/4=1/4` 

`cosalpha=1/2\ \ \vee\ \ \cosalpha=-1/2` 

`alpha in (3/2pi;2pi)`  

`"W powyższym przedziale cosinus jest dodatni."` 

`cosalpha=1/2` 

 

`sin^2beta=1-cos^2beta=1-1/2=1/2` 

`sin beta=1/sqrt2\ \ \vee\ \ \sin beta=-1/sqrt2` 

`beta in (3/2pi;2pi)` 

`"W powyższym przedziale sinus jest ujemny."` 

`sin beta=-1/sqrt2` 

`sin(alpha+beta)=sinalphacosbeta+cosalphasinbeta=`  

`=-sqrt3/2*sqrt2/2+1/2*(-1/sqrt2)=ul(-(sqrt6+sqrt2)/4` 

`cos(alpha+beta)=cosalphacosbeta-sinalphasinbeta=` 

`=1/2*sqrt2/2-sqrt3/2*1/sqrt2=ul((sqrt2-sqrt6)/4` 

 

`c)` 

`sin alpha=1/3` 

`cosbeta=(2sqrt2)/3` 

`cos^2alpha=1-sin^2alpha=8/9` 

`cosalpha=sqrt8/3\ \ \vee\ \ \cosalpha=-sqrt8/3` 

`alpha in (pi/2;pi)` 

`"Wpowyższym przedziale cosinus jest ujemny."` 

`cosalpha=-sqrt8/3` 

 

`sin^2 beta=1-cos^2beta=1-8/9=1/9` 

`sin beta=1/3\ \ \vee\ \ \sin beta=-1/3` 

`beta in (3/2pi;2pi)` 

`"W powyższym przedziale sinus jest ujemny."` 

`sinbeta=-1/3` 

`sin(alpha+beta)=sinalphacosbeta+sinbetacosalpha=`

`=1/3*(2sqrt2)/3+sqrt8/3*1/3=(4sqrt2)/9`  

`cos(alpha+beta)=cosalphacosbeta-sinalphasinbeta=` 

`=(-sqrt8/3)(2sqrt2)/3-1/3*(-1/3)=-7/9`    

Podaj przybliżenia liczb 5^(sqrt3) i 5^(sqrt5)

`5^sqrt3~~5^(1,7321)~~16,2437` 

`5^sqrt5~~5^(2,2361)~~36,5567`   

 

Przedstaw wyrażenie w postaci ilorazu dwóch uporządkowanych wielomianów

Musimy zadbać o to, aby mianownik każdego z tych ułamków był różny od 0 oraz o to, aby licznik trzeciego ułamka (przez który dzielimy) także był różny od 0 (gdyby licznik był równy 0, to cały ułamek byłby równy 0, czyli dzielilibyśmy przez 0)

 

`x-3ne0\ \ \ wedge\ \ \ x^2-1ne0\ \ \ wedge\ \ \ x^2-5x+6ne0\ \ \ wedge\ \ \ x^2+8x+16ne0` 

`xne3\ \ \ wedge\ \ \ x^2ne1\ \ \ wedge\ \ \ x^2-5x+6ne0\ \ \ wedge \ \ \ (x+4)^2ne0` 

`xne3\ \ \ wedge\ \ \ xne1\ \ \ wedge\ \ \ xne-1\ \ \ wedge\ \ \ x^2-5x+6ne0\ \ \ wedge\ \ \ xne-4` 

 

Liczymy deltę trójmianu kwadratowego, który pojawia się w założeniach:

`x^2-5x+6` 

`Delta=(-5)^2-4*1*6=` `25-24=1` 

`sqrtDelta=sqrt1=1` 

`xne(5-1)/2\ \ wedge\ \ \ xne(5+1)/2` 

Ten trójmian możemy zapisać w postaci iloczynowej: 

`x^2-5x+6=(x-2)(x-3)` 

 

 

Ostatecznie mamy warunki:

`xne3\ \ \ wedge\ \ \ xne1 \ \ \ wedge\ \ \ xne-1\ \ \ wedge\ \ \ xne2\ \ \ wedge\ \ \ xne 3\ \ \ wedge\ \ \ xne -4`      

 

Zapisujemy dziedzinę wyrażenia: 

`D=RR-{-4;\ -1;\ 1;\ 2;\ 3}` 

 

 

Zanim przejdziemy do upraszczania wyrażenia, zapiszmy jeszcze licznik pierwszego ułamka w postaci iloczynowej: 

`x^2+3x-4` 

`Delta=3^2-4*1*(-4)=9+16=25` 

`sqrtDelta=sqrt25=5` 

`x_1=(-3-5)/2=-8/2=-4\ \ \ vee\ \ \ x_2=(-3+5)/2=2/2=1` 

`x^2+3x-4=(x+4)(x-1)` 

 

 

Teraz przechodzimy do upraszczania wyrażenia:

`(x^2+3x-4)/(x-3)*(x^2+2x+1)/(x^2-1):(x^2+8x+16)/(x^2-5x+6)=` 

`=((x+4)strike((x-1))^1)/(x-3)*(x+1)^2/(strike((x-1))^1(x+1)):(x+4)^2/((x-2)(x-3))=`  

`=(x+4)/(x-3)*(x+1)^2/(x+1)*((x-2)(x-3))/(x+4)^2=` 

`=(x+4)/strike(x-3)^1*(x+1)*((x-2)strike((x-3))^1)/((x+4)*(x+4))=` 

`=strike((x+4))^1*(x+1)*(x-2)/(strike((x+4))^1*(x+4))=` 

`=(x+1)*(x-2)/(x+4)=` `((x+1)*(x-2))/(x+4)=` 

`=(x(x-2)+1(x-2))/(x+4)=` `(x^2-2x+x-2)/(x+4)=` 

`=(x^2-x-2)/(x+4)`  - iloraz dwóch uporządkowanych wielomianów 

 

`w(x)=(x^2-x-2)/(x+4)` 

`w(6)=(6^2-6-2)/(6+4)=` `(36-6-2)/10=28/10=2,8`  - wartość wyrażenia dla x=6