Pochodne funkcji wymiernych - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Pochodne funkcji wymiernych - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Wprowadznie do pochodnych

Badając funkcje matematycy uznali, że przydatne byłoby jakieś narzędzie umożliwiające sprawdzenie, jak szybko się ona zmienia. Wprowadzili więc "pochodną" - pewną wielkość przypisywaną każdemu punktowi funkcji i określającą szybkość jej zmiany.

Ścisle podchodząc do sprawy: pochodna to granica:

$lim↙{△ x → 0} {f(x_0 + △ x) - f(△ x)}/{△ x}$
którą zwykle zapisujemy symbolicznie jako:

$lim↙{△ x → 0} {△ y}/{△ x} = {dy}/{dx} = f'(x)$

Podchodząc do tego geometrycznie:

1

Jak widać, robimy coraz bliższe sieczne - jeśli przejdziemy przez granicę, zbiegają one po prostu do stycznej do wykresu. W ujęciu geometrycznym pochodną funkcji jest właśnie styczna do jej wykresu.
 

Pochodne funkcji wymiernych

Oczywiście obliczanie pochodnej każdej funkcji z definicji byłoby dość kłopotliwe. Tak jak przy okazji granic, tak tutaj też istnieją wzory określające pochodną sumy, różnicy, iloczynu i ilorazu, z których zwykle korzysta się przy obliczaniu pochodnych.

Pochodna sumy i różnicy jest po prostu sumą i różnicą pochodnych - nie ma w tym nic skomplikowanego. Trudniej zaczyna się robić, gdy mamy do czynienia z iloczynem albo ilorazem funkcji.

Suma: $(f(x) + g(x))' = f'(x) + g'(x)$

Różnica: $(f(x) - g(x))' = f'(x) - g'(x)$

Iloczyn: $(f(x)×g(x))' = f'(x)×g(x) + g'(x)×f(x)$

Iloraz: $({f(x)}/{g(x)})' = {f'(x)×g(x) + g'(x)×f(x)}/{(g(x))^2}$


Warto także znać wzór na pochodną funkcji złożonej: $(f(g(x)))' = f'(g(x))g'(x)$.

Oczywiście funkcja stała ma pochodną równą 0 - w ogóle nie rośnie.

Ponadto trzeba zapamiętać pochodną funkcji potęgowej:
$(x^n)' = nx^{n-1}$

Tylko to i powyższe cztery wzory pozwalają nam obliczyć pochodną dowolnej funkcji wymiernej.

Przykład: Obliczyć pochodną

$f(x) = x^4 + 3x - 1$

1) Jest to suma funkcji potęgowych, więc możemy skorzystać z tego, że pochodna sumy jest równa sumie pochodnych:
$(x^4 + 3x - 1)' = (x^4)' + (3x)' - (1)'$

2) Teraz pozostaje tylko obliczyć każdy ze składników korzystając ze wzoru na pochodną funkcji potęgowej:
$f'(x) = 4x^3 + 12 - 0$

Weźmy inną funkcję, tym razem bardziej skomplikowaną:
$f(x) = {(x-1)(x-2)}/{x^2 - 1}$

1) Na początek rozłóżmy mianownik na iloczyn ze wzoru skróconego mnożenia i skróćmy ułamek:
$f(x) = {(x-1)(x-2)}/{(x-1)(x+1)}$
$f(x) = {x-2}/{x+1}$

2) Dostaliśmy prostą funkcję wymierną: korzystając ze wzoru na pochodną ilorazu dostajemy:
$f'(x) = {(x-2)'(x+1) + (x-2)(x+1)'}/{(x+1)^2}$

3) Pochodną funkcji liniowej jest oczywiście 1, więc w wyniku dostajemy:
$f'(x) = {x+1+x-2}/{(x+1)^2}$
$f'(x) = {2x-1}/{(x+1)^2}$


Trzeci przykład - obliczanie pochodnej funkcji złożonej.

Weźmy funkcję $f(x) = √{x^2 + x} = (x^2 + x)^{ {1}/{2} }$.

Oznaczmy sobie $g(x) = √{x} = x^{ {1}/{2} }$ oraz $h(x) = x^2 + x$. Wtedy funkcja $f(x)$ jest po prostu złożeniem dwóch funkcji $g(h(x))$.

Jej pochodna jest w takim razie równa $f'(x) = {1}/{2}(x^2+x)^{ {1}/{2}-1}×(x^2 + x)' = {1}/{2}(x^2+x)^{ -{1}/{2} }×(2x + 1)$

Spis treści

Rozwiązane zadania
Po rozszerzeniu ułamka...

Zapiszmy wielomian w postaci iloczynowej:{premium}

 

 

A więc:

 

Odpowiedź C

Podaj dziedzinę funkcji ...

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

{premium}  

 

   

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  

 

     

 

 

 

  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

   

 

    

 

 

 

 

    

Wyznacz x, jeśli:

a)

 

Zauważmy, że:    

      {premium}

 

 

Zatem otrzymujemy:

 

 

 

 


b)

 

Zauważmy, że:

 

Zatem otrzymujemy:

 

 

 

 

 

 


c)

 

Zauważmy, że:

 

 

 

Zatem otrzymujemy:

 

 

 

 


d)

 

 

 

 

 

 


e)

 

Zauważmy, że:

 

 

Zatem otrzymujemy:

 

 

 

 

 


f)

 

Zauważmy, że:

  

 

Zatem otrzymujemy: 

 

 

 

 

 

 

 

Rzucamy symetryczną, sześcienną kostką ...

 

 

a) A - wypadła parzysta liczba oczek lub mniejsza niż 3 {premium}

 

 

Uwaga!!!

W odpowiedziach podano błędny wynik.

 

b) B - wypadła nieparzysta liczba oczek i jednocześnie nie będąca dzielnikiem liczby 6

 

 

 

Liczba dodatnia a jest o 50% większa...

Wiemy, że:

   {premium}

 

 

Obliczmy, o ile procent iloczyn ab jest większy od iloczynu liczb p i q: 

 

 

Odp.: Iloczyn liczb a i b jest większy od iloczynu liczb p i q o 20%.

Okrąg o promieniu 2 cm...

Rysunek poglądowy:{premium}

Punkty styczności dzielą trójkąt prostokątny na kwadrat i dwa deltoidy(promienie tworzą z bokami kąty proste) jak na rysunku powyżej. Skoro:

 

to długości boków naszego trójkąta są następujące:

 

 

Prosta y=3/2x-3 jest nachylona ...

Prosta ma postać:   . 

Współczynnik kierunkowy funkcji jest równy tangensowi kąta nachylenia. Czyli: {premium}

 


Zauważmy, że: 

 

 

zatem: 

 

czyli:

 

czyli: 

  


Poprawna odpowiedź: C. (45o ; 60o)

Zbadaj, czy istnieje trójkąt, w którym...

a) Pole trójkąta o boku długości a i wysokości opuszczonej na ten bok(bądź jego przedłużenie) możemy wyrazić za pomocą wzoru:

 

 

A więc:

 

 

 

 

Stąd:

 

Wyznaczmy zależności pomiędzy długościami odcinków dla b oraz c

 

 

 

{premium}   

 

 

Sprawdźmy czy spełniona jest nierówność trójkąta:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Zgadza się, istnieje taki trójkąt.

 

b) analogicznie jak w podpunkcie a)

 

 

 

 

Stąd:

 

 

Wyznaczmy zależności pomiędzy długościami odcinków dla b oraz c

 

 

 

  

 

 

Sprawdźmy czy spełniona jest nierówność trójkąta:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Zgadza się.

W trójkącie prostokątnym ABC...

Wiemy, że:

 

  {premium}

zatem:

 

 

Korzystamy z twierdzenia o odcinkach w trójkącie prostokątnym:

 

 

 

 

 

 

więc:

 

 

Odp.: Długość odcinka BD to 4, a długość odcinka AB to 16. 

Rozłóż wielomian na czynniki.

 

 

{premium}  

 

 

 

Zauważmy, że jeden z dwumianów można doprowadzić do prostszej postaci(mamy tutaj na myśli nierozkładalnej):