Pochodne funkcji wymiernych - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Pochodne funkcji wymiernych - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Wprowadznie do pochodnych

Badając funkcje matematycy uznali, że przydatne byłoby jakieś narzędzie umożliwiające sprawdzenie, jak szybko się ona zmienia. Wprowadzili więc "pochodną" - pewną wielkość przypisywaną każdemu punktowi funkcji i określającą szybkość jej zmiany.

Ścisle podchodząc do sprawy: pochodna to granica:

$lim↙{△ x → 0} {f(x_0 + △ x) - f(△ x)}/{△ x}$
którą zwykle zapisujemy symbolicznie jako:

$lim↙{△ x → 0} {△ y}/{△ x} = {dy}/{dx} = f'(x)$

Podchodząc do tego geometrycznie:

1

Jak widać, robimy coraz bliższe sieczne - jeśli przejdziemy przez granicę, zbiegają one po prostu do stycznej do wykresu. W ujęciu geometrycznym pochodną funkcji jest właśnie styczna do jej wykresu.
 

Pochodne funkcji wymiernych

Oczywiście obliczanie pochodnej każdej funkcji z definicji byłoby dość kłopotliwe. Tak jak przy okazji granic, tak tutaj też istnieją wzory określające pochodną sumy, różnicy, iloczynu i ilorazu, z których zwykle korzysta się przy obliczaniu pochodnych.

Pochodna sumy i różnicy jest po prostu sumą i różnicą pochodnych - nie ma w tym nic skomplikowanego. Trudniej zaczyna się robić, gdy mamy do czynienia z iloczynem albo ilorazem funkcji.

Suma: $(f(x) + g(x))' = f'(x) + g'(x)$

Różnica: $(f(x) - g(x))' = f'(x) - g'(x)$

Iloczyn: $(f(x)×g(x))' = f'(x)×g(x) + g'(x)×f(x)$

Iloraz: $({f(x)}/{g(x)})' = {f'(x)×g(x) + g'(x)×f(x)}/{(g(x))^2}$


Warto także znać wzór na pochodną funkcji złożonej: $(f(g(x)))' = f'(g(x))g'(x)$.

Oczywiście funkcja stała ma pochodną równą 0 - w ogóle nie rośnie.

Ponadto trzeba zapamiętać pochodną funkcji potęgowej:
$(x^n)' = nx^{n-1}$

Tylko to i powyższe cztery wzory pozwalają nam obliczyć pochodną dowolnej funkcji wymiernej.

Przykład: Obliczyć pochodną

$f(x) = x^4 + 3x - 1$

1) Jest to suma funkcji potęgowych, więc możemy skorzystać z tego, że pochodna sumy jest równa sumie pochodnych:
$(x^4 + 3x - 1)' = (x^4)' + (3x)' - (1)'$

2) Teraz pozostaje tylko obliczyć każdy ze składników korzystając ze wzoru na pochodną funkcji potęgowej:
$f'(x) = 4x^3 + 12 - 0$

Weźmy inną funkcję, tym razem bardziej skomplikowaną:
$f(x) = {(x-1)(x-2)}/{x^2 - 1}$

1) Na początek rozłóżmy mianownik na iloczyn ze wzoru skróconego mnożenia i skróćmy ułamek:
$f(x) = {(x-1)(x-2)}/{(x-1)(x+1)}$
$f(x) = {x-2}/{x+1}$

2) Dostaliśmy prostą funkcję wymierną: korzystając ze wzoru na pochodną ilorazu dostajemy:
$f'(x) = {(x-2)'(x+1) + (x-2)(x+1)'}/{(x+1)^2}$

3) Pochodną funkcji liniowej jest oczywiście 1, więc w wyniku dostajemy:
$f'(x) = {x+1+x-2}/{(x+1)^2}$
$f'(x) = {2x-1}/{(x+1)^2}$


Trzeci przykład - obliczanie pochodnej funkcji złożonej.

Weźmy funkcję $f(x) = √{x^2 + x} = (x^2 + x)^{ {1}/{2} }$.

Oznaczmy sobie $g(x) = √{x} = x^{ {1}/{2} }$ oraz $h(x) = x^2 + x$. Wtedy funkcja $f(x)$ jest po prostu złożeniem dwóch funkcji $g(h(x))$.

Jej pochodna jest w takim razie równa $f'(x) = {1}/{2}(x^2+x)^{ {1}/{2}-1}×(x^2 + x)' = {1}/{2}(x^2+x)^{ -{1}/{2} }×(2x + 1)$

Spis treści

Rozwiązane zadania
Napisz równanie prostej, której wykres jest podany na poniższych rysunkach

Nie jest to wykres funkcji, ponieważ dla argumentu x=-3 jest przyjmowane nieskończenie wiele wartości.

 

{premium}

Jest to wykres funkcji, dla każdego argumentu jest przyjmowana dokładnie jedna wartość, ta wartość to 2. 

 

 

Podstawiamy w miejsce x i y współrzędne punktów, które należą do wykresu funkcji, np. (-2, 0) i (0, 3):

Jest to wykres funkcji - dla każdego argumentu jest przyjmowana dokładnie jedna wartość. 

Punkty A, B i C wyznaczają...

a) Rzuty prostokątne odpowiednich prostych zostały zaznaczone kolorem czerwonym:{premium}

Rzutem prostokątnym prostej PA jest odcinek AS.

Rzutem prostokątnym prostej PB jest odcinek BS.

Rzutem prostokątnym prostej PC jest odcinek CS.


b) Kąty nachylenia odpowiednich prostych zostały zaznaczone kolorem pomarańczowym:

Kątem nachylenia prostej PA jest kąt PAS.

Kątem nachylenia prostej PB jest kąt PBS.

Kątem nachylenia prostej PC jest kąt PCS.

 

a) Dany jest ciąg arytmetyczny ...

   

 

 

      {premium}

 

 

Zatem:

 

 

Z treści zadania wiemy, że:

 

 

 

 

 

 

 

 

 


 

 

 

 

 

Rozwiązując drugą równość otrzymujemy:

 

 

 

 

 

 

 

Łatwo zauważyć, że  nie spełnia pierwszego równania.

Dla  otrzymujemy:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Dla  otrzymujemy:

 

 

  

 

 

 

 

 

Wyznacz wartość najmniejszą...

a) rozwiązane w ćwiczeniach

 

b)

 

{premium}  

 

 

 

 

 

Uzasadnij, że pole trójkąta równobocznego...

Wiemy, że:

{premium}  

Trójkąt równoboczny ma wszystkie boki równej długości, zatem:

 

Beata poprosiła koleżanki o pomoc ...

x - liczba poproszonych koleżanek

y - liczba zaproszeń przypadająca na jedną osobę (w przypadku gdy mamy x koleżanek)

  

 

{premium}   

 

 

 

 

 

 

 

 

  

           

 

Pamiętajmy, że dwie Panie nie przyszły, zatem 6-2=4.

Zaproszenia wypisywały 4 osoby.  

Suma kwadratów trzech kolejnych liczb parzystych niepodzielnych przez 4...

Wypiszmy kilka kolejnych liczb parzystych: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, ... . 

Widzimy, że co druga liczba parzysta jest podzielna przez 4, więc:{premium}

2n, 2n+4, 2n+8 - trzy kolejne liczby parzyste niepodzielne przez 4 (∈ C)

(zakładamy, że n jest dobrane tak, by liczba 2n była niepodzielna prze 4; będziemy później sprawdzać, czy n jest odpowiednie)


Suma kwadratów tych liczb jest równa 1004, więc:

 

 

 

 

 

 

 


Dla n=-11:

 

 

 


Dla n=7:

 

 

 


W obu przypadkach  żadna z otrzymanych liczb nie jest podzielna przez 4, więc oba otrzymane rozwiązania są prawidłowe.


Odp. Szukane liczby to -22, -18, -14 lub 14, 18, 22.

 

Naszkicuj w jednym układzie współrzędnych

 

Rysujemy wykres funkcji f. 

Wykres funkcji g otrzymujemy, przesuwając wykres funkcji f o{premium} 1 jednostkę w prawo wzdłuż osi OX. 

Wykres funkcji h otrzymujemy, przesuwając wykres funkcji g o 2 jednostki w dół wzdłuż osi OY. 

Zauważmy, że aby otrzymać wykres funkcji h można przesunąć wykres funkcji f o 1 jednostkę w prawo wzdłuż osi OX oraz 2 jednostki w dół wzdłuż osi OY, czyli o wektor [1, -2].

 

  

 

 

 

Rysujemy wykres funkcji f. 

Wykres funkcji g otrzymujemy, przesuwając wykres funkcji f o 3 jednostki w prawo wzdłuż osi OX. 

Wykres funkcji h otrzymujemy, przesuwając wykres funkcji g o 2 jednostki w górę wzdłuż osi OY. 

Zauważmy, że aby otrzymać wykres funkcji h można przesunąć wykres funkcji f o 3 jednostki w prawo wzdłuż osi OX oraz 2 jednostki w górę wzdłuż osi OY, czyli o wektor [3,2].

 

 

Zaznacz na osi liczbowej

Wyznacz współrzędne punktu przecięcia przekątnych...

Równanie ogólne prostej:

 

 

Wyznaczmy równania prostych AC i BD.

 

  • Prosta AC:

 

 

Stąd:

 

{premium}  

Przyjmijmy, że B = 1, wtedy:

 

czyli

 

 

 

 

Równanie ogólne prostej:

 

 

Prosta BD:

 

 

Stąd

 

 

 

zatem

 

 

Przyjmijmy, że B = 1, wtedy

C = 1

Równanie ogólne prostej:

 

 

Punkt przecięcia prostych zawierających przekątne czworokąta:

 

 

 

 

 

Punkt przecięcia ma współrzędne: