Pochodne funkcji wymiernych - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Pochodne funkcji wymiernych - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Wprowadznie do pochodnych

Badając funkcje matematycy uznali, że przydatne byłoby jakieś narzędzie umożliwiające sprawdzenie, jak szybko się ona zmienia. Wprowadzili więc "pochodną" - pewną wielkość przypisywaną każdemu punktowi funkcji i określającą szybkość jej zmiany.

Ścisle podchodząc do sprawy: pochodna to granica:

$lim↙{△ x → 0} {f(x_0 + △ x) - f(△ x)}/{△ x}$
którą zwykle zapisujemy symbolicznie jako:

$lim↙{△ x → 0} {△ y}/{△ x} = {dy}/{dx} = f'(x)$

Podchodząc do tego geometrycznie:

1

Jak widać, robimy coraz bliższe sieczne - jeśli przejdziemy przez granicę, zbiegają one po prostu do stycznej do wykresu. W ujęciu geometrycznym pochodną funkcji jest właśnie styczna do jej wykresu.
 

Pochodne funkcji wymiernych

Oczywiście obliczanie pochodnej każdej funkcji z definicji byłoby dość kłopotliwe. Tak jak przy okazji granic, tak tutaj też istnieją wzory określające pochodną sumy, różnicy, iloczynu i ilorazu, z których zwykle korzysta się przy obliczaniu pochodnych.

Pochodna sumy i różnicy jest po prostu sumą i różnicą pochodnych - nie ma w tym nic skomplikowanego. Trudniej zaczyna się robić, gdy mamy do czynienia z iloczynem albo ilorazem funkcji.

Suma: $(f(x) + g(x))' = f'(x) + g'(x)$

Różnica: $(f(x) - g(x))' = f'(x) - g'(x)$

Iloczyn: $(f(x)×g(x))' = f'(x)×g(x) + g'(x)×f(x)$

Iloraz: $({f(x)}/{g(x)})' = {f'(x)×g(x) + g'(x)×f(x)}/{(g(x))^2}$


Warto także znać wzór na pochodną funkcji złożonej: $(f(g(x)))' = f'(g(x))g'(x)$.

Oczywiście funkcja stała ma pochodną równą 0 - w ogóle nie rośnie.

Ponadto trzeba zapamiętać pochodną funkcji potęgowej:
$(x^n)' = nx^{n-1}$

Tylko to i powyższe cztery wzory pozwalają nam obliczyć pochodną dowolnej funkcji wymiernej.

Przykład: Obliczyć pochodną

$f(x) = x^4 + 3x - 1$

1) Jest to suma funkcji potęgowych, więc możemy skorzystać z tego, że pochodna sumy jest równa sumie pochodnych:
$(x^4 + 3x - 1)' = (x^4)' + (3x)' - (1)'$

2) Teraz pozostaje tylko obliczyć każdy ze składników korzystając ze wzoru na pochodną funkcji potęgowej:
$f'(x) = 4x^3 + 12 - 0$

Weźmy inną funkcję, tym razem bardziej skomplikowaną:
$f(x) = {(x-1)(x-2)}/{x^2 - 1}$

1) Na początek rozłóżmy mianownik na iloczyn ze wzoru skróconego mnożenia i skróćmy ułamek:
$f(x) = {(x-1)(x-2)}/{(x-1)(x+1)}$
$f(x) = {x-2}/{x+1}$

2) Dostaliśmy prostą funkcję wymierną: korzystając ze wzoru na pochodną ilorazu dostajemy:
$f'(x) = {(x-2)'(x+1) + (x-2)(x+1)'}/{(x+1)^2}$

3) Pochodną funkcji liniowej jest oczywiście 1, więc w wyniku dostajemy:
$f'(x) = {x+1+x-2}/{(x+1)^2}$
$f'(x) = {2x-1}/{(x+1)^2}$


Trzeci przykład - obliczanie pochodnej funkcji złożonej.

Weźmy funkcję $f(x) = √{x^2 + x} = (x^2 + x)^{ {1}/{2} }$.

Oznaczmy sobie $g(x) = √{x} = x^{ {1}/{2} }$ oraz $h(x) = x^2 + x$. Wtedy funkcja $f(x)$ jest po prostu złożeniem dwóch funkcji $g(h(x))$.

Jej pochodna jest w takim razie równa $f'(x) = {1}/{2}(x^2+x)^{ {1}/{2}-1}×(x^2 + x)' = {1}/{2}(x^2+x)^{ -{1}/{2} }×(2x + 1)$

Spis treści

Rozwiązane zadania
Ile osi symetrii ma...

a) 

Trójkąt równoboczny ma 3 osie symetrii, są nimi proste, w których zawierają się wysokości trójkąta.{premium}


b) 

Równoległobok, który nie jest rombem i nie jest prostokątem nie ma osi symetrii


c)

Prostokąt jeśli nie jest kwadratem ma 2 osie symetrii, są nimi proste łączące środki przeciwległych boków prostokąta. 

Prostokąt jeśli jest kwadratem ma 4 osie symetrii, są nimi proste, w których zawierają się przekątne kwadratu i proste przechodzące przez środki przeciwległych boków kwadratu. 


d)

Sześciokąt foremny ma 6 osi symetrii, są nimi proste, w których zawierają się dłuższe przekątne sześciokąta i proste przechodzące przez środki przeciwległych boków sześciokąta. 

Dłuższe ramię trapezu prostokątnego...

Przyjmijmy oznaczenia takie jak na poniższym obrazku {premium}

Styczna do okręgu jest prostopadła do promienia w punkcie styczności, czyli 

 

czyli na mocy twierdzenia odwrotnego do twierdzenia o dwóch prostych przeciętych trzecią prostą dostajemy, że odcinek KO jest równoległy do podstaw AB i CD trapezu.

Ponadto zauważmy, że odcinek KO przechodzi przez środek O ramienia BC, czyli jest to odcinek łączący środki ramion trapezu

Korzystając z tego faktu, dostajemy, że długość odcinka KO jest równa średniej arytmetycznej podstaw trapezu ABCD, czyli 

 

czyli suma długości podstaw trapezu jest równa długości dłuższego ramienia. 

 

c.n.d.

W trójkącie prostokątnym dany jest ...

 

 

 

 

  

 

Korzystając z tw. Pitagorasa obliczamy długość boku c (przeciwprostokątnej):

{premium}  

 

 

 

   

 

 

Obliczamy obwód trójkąta:

 

 

Wyznaczamy sinα oraz cosα:

 

 

 

  

     

   

Korzystając z tw. Pitagorasa obliczamy długość boku c (przeciwprostokątnej):

 

   

   

   

     

 

 

Obliczamy obwód trójkąta:

  

 

Wyznaczamy sinα oraz cosα:

  

 

Rozłóż wielomian na czynniki...

  {premium}


 

 


 

 


 

 


 


 

 


 

 


 

 

Przerysuj poniższą tabelę do zeszytu ...

 

  

       {premium}

 

 

  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

   

 

Zauważmy, że do ramienia końcowego kąta 0o należy punkt (1, 0), zatem:

 

 

 

 

Zauważmy, że do ramienia końcowego kąta 90o należy punkt (0, 1), zatem:

 

 

 

 

Zauważmy, że do ramienia końcowego kąta 180o należy punkt (-1, 0), zatem:

 

 

 

 

α

30°

45°

60°

90°

120°

135°

150°

180°

sin α

 

 

 

           

cos α

 

 

 

     

 

 

 

tg α

 

       

 

 

 

 

 

Narysuj płaszczyznę...

a) Rzutem prostokątnym prostej k na płaszczyznę π jest{premium} prosta m. Prosta k zawiera się w płaszczyźnie π' równoległej do płaszczyzny π.


b) Rzutem prostokątnym prostej k na płaszczyznę π jest punkt P. Prosta k zawiera się w płaszczyźnie π' prostopadłej do płaszczyzny π.


c) Rzutem prostokątnym prostej k na płaszczyznę π jest prosta m.

Sprawdź, czy proste k i l są ...

 

Sprawdzamy, czy jest spełniony warunek:

 

 

 

 

Zatem proste k i l są równoległe.


 

Sprawdzamy, czy jest spełniony warunek:

 

 

 

 

Zatem proste k i l są równoległe.


 

Sprawdzamy, czy jest spełniony warunek:

 

 

 

 

Zatem proste k i l nie są równoległe.


 

Sprawdzamy, czy jest spełniony warunek:

 

 

  

Zatem proste k i l nie są równoległe.

W graniastosłupie prawidłowym trójkątnym ...

Rysunek pomocniczy:

podglad pliku

Z tw. cosinusów otrzymujemy:    {premium}

   

 

 

Obliczmy wysokość tego graniastosłupa:

 

 

 

 

 

 

Obliczmy objętość tego graniastosłupa.

 

 

 

 

Uzasadnij, że spośród punktów...

Jeśli punkt leży wewnątrz okręgu to potęga jest równa  

Niech  - będzie środkiem okręgu

Niech  {premium}  - będzie punktem, przez który prowadzimy prostą przecinającą okrąg w punktach  

 

 

 

 

 

 

Zauważmy, że  

Potęga ta będzie najmniejsza, gdy   

Zauważmy, że odległość  będzie równa  gdy punkt  pokryje się z punktem  , czyli środek będzie punktem P, co należało pokazać.

W trzycyfrowej liczbie naturalnej liczba jedności ...

 

 

 

{premium}