Okresowość funkcji trygonometrycznych - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Okresowość funkcji trygonometrycznych

Z tego, co powiedzieliśmy przy okazji definicji funkcji trygonometrycznych i miary łukowej oczywiście wynika, że funkcje te są okresowe. Zauważmy, że jeśli weźmiemy na przykład kąt $$45°$$ i kąt $$405°$$, to wartości wszystkich funkcji będą dla nich takie same: kąty te leżą "w tym samym miejscu" na okręgu.

2

Oczywiście wszystkie funkcje mają okres równy $$2×∏$$, czyli pełnemu obrotowi. Wynikają z tego wzory:

$$sin α = sin (α + k×2×∏)$$
$$cos α = cos (α + k×2×∏)$$
$$ an α = an (α + k×2×∏)$$
$$ctg α = ctg (α + k×2×∏)$$

gdzie $$k ∈ N$$, czyli inaczej mówiąc: że od wartości kąta możemy odjąć $$2×∏$$, a wartość funkcji pozostanie taka sama.

Teraz można zapytać, czy okres pełnego obrotu jest okresem podstawowym, czyli czy nie da się znaleźć innej, mniejszej liczby, po której wartości funkcji by się powtarzały.

Okazuje się, że rzeczywiście dla funkcji tangens i cotangens istnieje mniejszy okres równy $$∏$$. Wynikają z tego wzory:

$$ an α= an(α + k×∏)$$
$$ctg α = ctg(α + k×∏)$$

Okresowość funkcji widać dość dobrze na ich wykresach:

2a

2b

2c

2d

Trzeba także wiedzieć, że funkcje $$ an (x)$$ oraz $$ctg (x)$$ posiadają asymptoty pionowe, czyli miejsca, gdzie nie mają wartości (ich granice w tym miejscu są rozbieżne do $$∞$$.).

Wynika to bezpośrednio z ich definicji - w przypadku $$ an (x)$$ miejsc, gdzie $$x = 0$$, czyli:

$$α = {∏}/{2} + k×∏$$

(dzielenie przez zero, ponieważ $$ an (x) = {y}/{x}$$).

W przypadku $$ctg (x)$$ - miejsc, gdzie $$y = 0$$, czyli $$α =∏ + k×∏$$ , gdzyż $$ctg (x) = {x}/{y}$$.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Dany jest romb ABCD...

Wyznaczymy równanie prostej zawierającej przekątną AC przechodzącą przez punkt S:

 

 

 

 

 

zatem

 

 

 

 

 

Wyznaczymy teraz równanie przekątnej BD, przechodzącej przez punkt S. Prosta ta będzie prostopadła do prostej zawierającej przekątną AC, zatem współczynnik kierunkowy wynosi:

 

  

 

  

Podstawmy współrzędne punktu S:

 

 

 

 

 

Punkt B jest punktem przecięcia się prostej BD oraz prostej y=3x-3.

 

Stąd:

  

 

 

czyli

  

 

 

Obliczmy długości przekątnych AC i BD:

 

 

 

 

 

Pole rombu:

 

Odpowiedź C

Na rysunku przedstawiono wykres ...

 

 

 

 

 

 

 

 

  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

    

Oblicz odległość środka odcinka AB od początku

Obliczamy najpierw współrzędne środka odcinka AB a poźniej jego odległość od początku układu współrzędnych.Początek układu współrzędnych to punkt o współrzędnych (0,0).

a)

 

b)

 

c)

Oblicz odległość punktu P od początku ...

Odległość między punktami  i  obliczamy ze wzoru

.

 

    

Odległość punktu  od początku układu współrzędnych wynosi .  {premium}


     

Odległość punktu  od początku układu współrzędnych wynosi .


    

Odległość punktu  od początku układu współrzędnych wynosi .


    

Odległość punktu  od początku układu współrzędnych wynosi .

Rozwiąż równanie.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Po uwzględnieniu dziedziny rozwiązaniami równania są liczby:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Po uwzględnieniu dziedziny jedynym rozwiązaniem równania jest liczba 3.

Na ile sposobów

Na stanowisko przewodniczącego może zostać wybrana jedna z dziesięciu osób. 

Na stanowisko wiceprzewodniczącego może zostać wybrana jedna z dziewięciu pozostałych osób. 

Na stanowisko sekretarza może zostać wybrana jedna z ośmiu pozostałych osób. 

Zgodnie z regułą mnożenia liczba możliwości jest równa:

 

 

Rozwiąż równania:

 

Równanie ma postać  gdzie 

   

Najlepiej będzie zapisać najpierw ten wielomian w postaci czynników możliwie najmniejszego stopnia.

Zauważmy, że  zatem:

   

  

Stąd:

 trójmian  nie ma pierwiastków, bo  

Czyli:

 

Odp. Rozwiązaniem równania są liczby  

 

          

Równanie ma postać  gdzie 

   

Najlepiej będzie zapisać najpierw ten wielomian w postaci czynników możliwie najmniejszego stopnia.

Po zastosowaniu wzorów skróconego mnożenia, otrzymujemy następującą postać  

 

 

Stąd:

 

Odp. Rozwiązaniem równania są liczby    

 

      

Równanie ma postać  gdzie 

   

Najlepiej będzie zapisać najpierw ten wielomian w postaci czynników możliwie najmniejszego stopnia.

Po przekształceniach otrzymujemy następującą postać  

 

 

Stąd:

 

Odp. Rozwiązaniem równania są liczby   

 

    

Równanie ma postać  gdzie 

   

  

Zastosujemy podstawienie     

Otrzymujemy wówczas:

 

 

 

Zakładaliśmy, że   więc pierwsze rozwiązanie odrzucamy. Zostaje nam:

 

Przenieśmy  na lewą stronę równania. Otrzymujemy:

 

Równanie ma postać  gdzie 

 

Zapiszmy ten wielomian w postaci czynników możliwie najmniejszego stopnia:

 

Mamy:

    

Stąd:

 

Wszystkie powyższe przekształcenia były równoważne, zatem rozwiązaniem równania  są liczby  i      

W trójkącie ABC poprowadzono prostą równoległą do boku AC...

Rysunek poglądowy:

 

 

A więc:

 

 

 

 

 

 

 

A więc:

 

Wskaż wzór funkcji, której wykres ...

Wzór każdej funkcji kwadratowej można doprowadzić do postaci kanonicznej:

 ,

gdzie   i   są współrzędnymi wierzchołka paraboli.

 

Współrzędne wierzchołka odczytujemy z wykresu funkcji

 

i podstawiamy podane wartości do wzoru funkcji kwadratowej w postaci kanonicznej

 .

Doprowadzamy powyższy wzór funkcji do postaci ogólnej{premium}

(korzystamy przy tym ze wzoru skróconego mnożenia)

 .

 

Podstawiając współrzędne punktu należącego do wykresu tej paraboli do wzoru funkcji,

wyznaczymy wartość współczynnika  . Weźmy np. punkt  

 

 

 

 

 

 

 

Wzór funkcji przedstawionej na wykresie:

 

 

Odpowiedź: B

W ciągu arytmetycznym...

 

 

 

Dodając stronami otrzymujemy:

 

 

 

 

Odp. D