Zgoda na przetwarzanie danych osobowych

25 maja 2018 roku zacznie obowiązywać Rozporządzenie Parlamentu Europejskiego i Rady (UE) 2016/679 z dnia 27 kwietnia 2016 r. znane jako RODO.

Dlatego aby dalej móc dostarczać Ci materiały odpowiednie do Twojego etapu edukacji, potrzebujemy zgody na lepsze dopasowanie treści do Twojego zachowania. Dzięki temu możemy zapamiętywać jakie materiały są Ci potrzebne. Dbamy o Twoją prywatność, więc nie zwiększamy zakresu naszych uprawnień. Twoje dane są u nas bezpieczne, a zgodę na ich zbieranie możesz wycofać na podstronie polityka prywatności.

Klikając "Przejdź do Odrabiamy", zgadzasz się na wskazane powyżej działania. W przeciwnym wypadku, nie jesteśmy w stanie zrealizować usługi kompleksowo i prosimy o opuszczenie strony.

Polityka prywatności

Drogi Użytkowniku w każdej chwili masz prawo cofnąć zgodę na przetwarzanie Twoich danych osobowych. Cofnięcie zgody nie będzie wpływać na zgodność z prawem przetwarzania, którego dokonano na podstawie wyrażonej przez Ciebie zgody przed jej wycofaniem. Po cofnięciu zgody wszystkie twoje dane zostaną usunięte z serwisu. Udzielenie zgody możesz modyfikować w zakładce 'Informacja o danych osobowych'

Okresowość funkcji trygonometrycznych - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Okresowość funkcji trygonometrycznych

Z tego, co powiedzieliśmy przy okazji definicji funkcji trygonometrycznych i miary łukowej oczywiście wynika, że funkcje te są okresowe. Zauważmy, że jeśli weźmiemy na przykład kąt $$45°$$ i kąt $$405°$$, to wartości wszystkich funkcji będą dla nich takie same: kąty te leżą "w tym samym miejscu" na okręgu.

2

Oczywiście wszystkie funkcje mają okres równy $$2×∏$$, czyli pełnemu obrotowi. Wynikają z tego wzory:

$$sin α = sin (α + k×2×∏)$$
$$cos α = cos (α + k×2×∏)$$
$$ an α = an (α + k×2×∏)$$
$$ctg α = ctg (α + k×2×∏)$$

gdzie $$k ∈ N$$, czyli inaczej mówiąc: że od wartości kąta możemy odjąć $$2×∏$$, a wartość funkcji pozostanie taka sama.

Teraz można zapytać, czy okres pełnego obrotu jest okresem podstawowym, czyli czy nie da się znaleźć innej, mniejszej liczby, po której wartości funkcji by się powtarzały.

Okazuje się, że rzeczywiście dla funkcji tangens i cotangens istnieje mniejszy okres równy $$∏$$. Wynikają z tego wzory:

$$ an α= an(α + k×∏)$$
$$ctg α = ctg(α + k×∏)$$

Okresowość funkcji widać dość dobrze na ich wykresach:

2a

2b

2c

2d

Trzeba także wiedzieć, że funkcje $$ an (x)$$ oraz $$ctg (x)$$ posiadają asymptoty pionowe, czyli miejsca, gdzie nie mają wartości (ich granice w tym miejscu są rozbieżne do $$∞$$.).

Wynika to bezpośrednio z ich definicji - w przypadku $$ an (x)$$ miejsc, gdzie $$x = 0$$, czyli:

$$α = {∏}/{2} + k×∏$$

(dzielenie przez zero, ponieważ $$ an (x) = {y}/{x}$$).

W przypadku $$ctg (x)$$ - miejsc, gdzie $$y = 0$$, czyli $$α =∏ + k×∏$$ , gdzyż $$ctg (x) = {x}/{y}$$.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Wyznacz dziedzinę wyrażenia wymiernego...

`a) \ (b^2 - 16)/(b^2+4b - 32) = (b^2 - 16)/(b^2 - 4b + 8b - 32) = (b^2 - 16)/(b(b-4)+8(b-4)) = (b^2-16)/((b-4)(b+8))` 

Wyrażenie w mianowniku musi być różne od zera:

`b-4 ne 0 \ \ ^^ \ \ b+8 ne 0` 

`b ne 4 \ \ ^^ \ \ b ne -8` 

`D = R \ \\ \ {-8,4}` 

 

`b) \ (3y^2-4y)/(3y^3 - 16y^2 + 16y) = (3y^2-4y)/(3y^3 - 12y^2 - 4y^2 + 16y)= (3y^2 - 4y)/(3y^2(y-4)-4y(y-4)) = (y(3y-4))/((y-4)(3y^2-4y))` 

Wyrażenie w mianowniku musi być różne od zera:

`y-4 ne 0 \ \ ^^ \ \ 3y^2 - 4y ne 0` 

`y ne 4 \ \ ^^ \ \ y(3y-4) ne 0`  

`y ne 4 \ \ ^^ \ \ y ne 0 \ \ y ne 4/3` 

`D = R \ \\ \ {0, 4/3 , 4}` 

 

`c) \ (x^2-y^2)/(x^3 - y^3)` 

`x^3 - y^3 ne 0` 

`x^3 ne y^3` 

`x ne y` 

 

`(x^2-y^2)/(x^3 - y^3) = ((x-y)(x+y))/((x-y)(x^2+xy+y^2)) = (x+y)/(x^2+xy+y^2)` 

Sporządź odpowiednią tabelę ...

`"a)"\ f(x)=2/x\ \ \ \ \ \ \ \ \ x \in RR \\{0}`

Tabela:

x

-4

-2

-1

-1/2

1/2

1

2

4

y

-1/2

-1

-2

-4

4

2

1

1/2

Wykres:

 

`"b)"\ f(x)=3/x\ \ \ \ \ \ \ \ \ x \in RR \\{0}`

Tabela:

x

-6

-3

-1

-1/3

1/3

1

3

6

y

-1/2

-1

-3

-9

9

3

1

1/2

Wykres:

`"c)"\ f(x)=8/x\ \ \ \ \ \ \ \ \ x \in RR \\{0}`

Tabela:

x

-8

-4

-2

-1

1

2

4

8

y

-1

-2

-4

-8

8

4

2

1

Wykres:

Oblicz resztę z dzielenia wielomianu w

Wiemy, że reszta z dzielenia wielomianu w(x) przez wielomian (x-a) jest równa w(a). 

 

`a)`

`"reszta"=w(-2)=(-2)^4-5*(-2)^2+7=16-5*4+7=16-20+7=3`

 

 

`b)`

`"reszta"=w(3)=2*3^3+6*3^2+2*3-8=-2*27+6*9+6-8=`

`=-54+54+6-8=-2`

 

`c)`

`"reszta"=w(-1/2)=8*(-1/2)^4-10*(-1/2)^3+(-1/2)-3=8*1/16-3*1/4-1/2-3=`

`=1/2-3/4-1/2-3=-3 3/4`

 

`d)`

Zauważmy, że:

`q(x)=3x-1=3(x-1/3)`

Jeśli wielomian będzie podzielny przez pewien dwumian (x-a), to będzie także podzielny przez każdą niezerową wielokrotność tego dwumianu - w wyniku dzielenia zmienią się tylko odpowiednio współczynniki przy każdej potędze.

Reszta z dzielenia wielomianu w(x) przez dwumian (x-a) bedzie taka sam, jak reszta z dzielenia wielomianu w(x) przez pewną niezerową wielokrotność dwumianu (x-a).

`"reszta"=w(1/3)=27*(1/3)^3-3*(1/3)^2+4=27*1/27-3*1/9+4=1-1/3+4=4 2/3`

 

`e)`

Zauważmy, że: 

`q(x)=2x+1=2(x+1/2)`

`"reszta"=w(-1/2)=-4*(-1/2)^4+5*(-1/2)^2+6*(-1/2)+5=`

`=-4*1/16+5*1/4-3+5=-1/4+5/4-3+5=4/4-3+5=1-3+5=3`

Naszkicuj wykres funkcji f

`a)` 

Wyznaczmy współrzędne dwóch punktów należących do pierwszej części wykresu - przez te punkty poprowadzimy półprostą. 

`x=-4\ \ \ ->\ \ \ y=-4+4=0\ \ \ ->\ \ \ "punkt"\ (-4,\ 0)` 

`x=-3\ \ \ ->\ \ \ y=-3+4=1\ \ \ ->\ \ \ "punkt"\ (-3,\ 1)` 

 

Druga część wykresu to wartość bezwzględna z x. 

 

Wyznaczmy współrzędne dwóch punktów należących do trzeciej części wykresu - przez te punkty poprowadzimy półprostą. 

`x=5\ \ \ ->\ \ \ y=8-5=3\ \ \ ->\ \ \ "punkt"\ (5,\ 3)` 

`x=6\ \ \ ->\ \ \ y=8-6=2\ \ \ ->\ \ \ "punkt"\ (6,\ 2)` 

 

 

Szkicujemy wykres funkcji f:

 

Musimy "przecinać" wykres funkcji f(x) prostymi poziomymi o równaniach y=m i sprawdzać, ile punktów wspólnych ma prosta i wykres.

`{("2 rozwiązania, gdy"\ m in (-infty;\ 0)), ("3 rozwiązania, gdy"\ m=0), ("4 rozwiązania, gdy"\ m in (0;\ 2)), ("3 rozwiązania, gdy"\ m =2), ("2 rozwiązania, gdy"\ m in (2;\ 4)), ("1 rozwiązanie, gdy"\ m=4),("brak rozwiązań, gdy"\ m in(4;\ +infty)):}` 

 

Ostatecznie możemy zapisać odpowiedź:

`{("brak rozwiązań, gdy"\ m in (4;\ +infty)), ("1 rozwiązanie, gdy"\ m=4), ("2 rozwiązania, gdy"\ m in (-infty;\ 0)uu(2;\ 4)), ("3 rozwiązania, gdy"\ m in{0;\ 2}), ("4 rozwiązania, gdy"\ m in (0;\ 2)):}`   

 

`"Równanie ma jedno rozwiązanie dla"\ m =4..`  

`"Równanie ma trzy rozwiązania dla"\ m in {0,\ 2}. `  

 

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ )) ` 

 

 

`b)` 

Wyznaczmy współrzędne dwóch punktów należących do pierwszej części wykresu - przez te punkty poprowadzimy półprostą. 

`x=-4\ \ \ ->\ \ \ y=-4+6=2\ \ \ ->\ \ \ "punkt"\ (-4;\ 2)` 

`x=-3\ \ \ ->\ \ \ y=-3+6=3\ \ \ ->\ \ \ "punkt"\ (-3;\ 3)` 

 

Druga część wykresu to wykres funkcji y=x2.

 

Wyznaczmy współrzędne dwóch punktów należących do trzeciej części wykresu - przez te punkty poprowadzimy półprostą. 

`x=3\ \ \ ->\ \ \ y=3+2=5\ \ \ ->\ \ \ "punkt"\ (3;\ 5)` 

`x=4\ \ \ ->\ \ \ y=4+2=6\ \ \ ->\ \ \ "punkt"\ (4;\ 6)` 

 

Szkicujemy wykres funkcji f:

 

 

`{("1 rozwiązanie, gdy"\ m in(-infty;\ 0)), ("2 rozwiązania, gdy"\ m=0), ("3 rozwiązania, gdy"\ m in(0;\ 4)), ("2 rozwiązania, gdy"\ m=4), ("1 rozwiązanie, gdy"\ m in (4;\ +infty)):}` 

 

Ostatecznie możemy zapisać odpowiedź:

`{("1 rozwiązanie, gdy"\ m in (-infty;\ 0)uu(4;\ +infty)), ("2 rozwiązania, gdy"\ m in {0,\ 4}), ("3 rozwiązania, gdy"\ m in (0;\ 4)):}` 

 

`"Równanie ma jedno rozwiązanie dla"\ m in (-infty;\ 0)uu(4;\ +infty). ` 

`"Równanie ma trzy rozwiązania dla"\ m in (0;\ 4).` 

 

 

 

Równania y=-5/3x+3 oraz ...

`y=-5/3x+3`, `10x+6y-9=0` 

 

Równanie drugiej prostej zapiszmy w{premium} postaci kanonicznej

`10x+6y-9=0 \ \ \ \ \ \ \ \|-6y` 

`10x-9=-6y \ \ \ \ \ \ \ \ |:6` 

`(10)/6x-9/6=-y` 

`5/3x-3/2=-y \ \ \ \ \ \ \ \ |*(-1)` 

`-5/3x+3/2=y` 

`y=-5/3x+3/2`.

 

Równania `y=-5/3x+3` i `y=-5/3x+3/2` mają równe współczynniki kierunkowe (`a=-5/3`), dlatego przedstawiają proste równoległe.

 

Dwie proste o równaniach kierunkowych:

`y_1=a_1x+b_1`  i `y_2=a_2x+b_2` 

są równoległe, gdy spełniają warunek 

`a_1=a_2`.

 

Odpowiedź: C

Dla jakich wartości k dana suma...

`a)\ 4m^2-4m+k=(2m)^2-2*2m*1+k`

`k=1^2=1`

 

`b)\ 4p^2+kp+9=(2p)^2+kp+3^2`

`kp=2*2p*3`

`k=12`

 

`c)\ 25p^4-kp^2q^2+16q^4=(5p^2)^2-kp^2q^2+(4q^2)^2`

`-kp^2q^2=-2*5p^2*4q^2`

`k=40`

 

Znajdź dwie liczby, których suma...

Oznaczmy te liczby przez x,y. Wtedy:

`x+y=3` 

`y=3-x` 

 

`a) \ x^2 + y^2 = 65` 

`x^2 + (3-x)^2 = 65` 

`x^2 + 9 - 6x + x^2 = 65` 

`2x^2 - 6x + 9 = 65` 

`2x^2 - 6x -56=0` 

`x^2 -3x -28=0` 

`Delta = (-3)^2 - 4*1*(-28) = 9 + 112 = 121` 

`sqrtDelta = sqrt121 = 11`  

`x_1 = (3-11)/2 = -8/2 = -4`  

`x_2 = (3+11)/2 = 14/2 = 7` 

 

A więc:

`{(x_1 = -4),(y_1 = 7):} \ \ \ vv \ \ \ {(x_2=7),(y_2 = -4):}` 

Odpowiedź: Szukane liczby to -4, 7.

 

`b) \ x^2 - y^2 = 33`

`(x-y)(x+y) =33` 

`(x-y)*3 = 33` 

`x-y = 11` 

`x-(3-x) = 11` 

`x-3+x = 11` 

`2x = 14` 

`x = 7` 

`y = -4` 

Odpowiedź: Szukane liczby to 7, -4.

Wykaż, że ciąg (an) jest arytmetyczny...

`a) \ a_n = 4n - 3` 

`a_(n+1) = 4(n+1)-3 = 4n+4-3 = 4n+1` 

 

Różnica:

`a_(n+1) - a_n = 4n + 1 - (4n-3) = 4n+1 - 4n + 3 = 4`  

Różnica dowolnych dwóch elementów jest stała i wynosi 4. Zatem ciąg jest ciągiem arytmetycznym rosnącym.

 

`b) \ a_n = -1/2 n + 6` 

`a_(n+1) = -1/2(n+1) + 6 = -1/2n - 1/2 + 6 = -1/2n + 5 1/2` 

 

Różnica:

`a_(n+1) - a_n = -1/2n + 5 1/2 -(-1/2n+6) = -1/2n + 5 1/2 + 1/2n - 6 = -1/2` 

Różnica dowolnych dwóch elementów jest stała i wynosi -1/2. Zatem ciąg jest ciągiem arytmetycznym malejącym.

 

`c) \ a_n = (5n-1)/4` 

`a_(n+1) = (5(n+1) -1)/4 = (5n+5-1)/4 = (5n+4)/4` 

 

Różnica:

`a_(n+1) - a_n = (5n+4)/4 -(5n-1)/4 = (5n+4-(5n-1))/4 = (5n+4-5n+1)/4 = 5/4` 

Różnica dowolnych dwóch elementów jest stała i wynosi 5/4. Zatem ciąg jest ciągiem arytmetycznym rosnącym.

 

`d) \ a_n = 2 - sqrt3n` 

`a_(n+1) = 2 - sqrt3(n+1) = 2 - sqrt3n - sqrt3` 

 

Różnica:

`a_(n+1) - a_n = 2 - sqrt3n - sqrt3 -(2-sqrt3n) = 2 - sqrt3n - sqrt3 - 2 + sqrt3n = -sqrt3` 

Różnica dowolnych dwóch elementów jest stała i wynosi `-sqrt3` . Zatem ciąg jest ciągiem arytmetycznym malejącym.

Betonowa kostka ma kształt

Każdy sześciokąt foremny o boku a można podzielić na 6 jednakowych trójkątów równobocznych o boku a:

Korzystając ze wzoru na pole trójkąta równobocznego, możemy obliczyć więc pole sześciokąta foremnego:

`P=6*(a^2sqrt3)/4=(3a^2sqrt3)/2` 

 

 

`a)` 

Zacznijmy od zapisania założeń. Długości boków muszą być wyrażone liczbami dodatnimi. 

`x>0` 

`ul(x in (0;\ +infty))` 

 

Zapiszmy wielomian opisujący pole podstawy:

`P_p(x)=(3x^2sqrt3)/2` 

 

Wiemy, jakim wzorem dana jest wysokość graniastosłupa, więc możemy zapisać wielomian opisujący objętość graniastosłupa:

`V(x)=(3x^2sqrt3)/2*x=(3x^3sqrt3)/2` 

 

Wiemy, ile ma wynosić objętość, więc możemy zapisać równanie:

`(3x^3sqrt3)/2=6sqrt3\ \ \ \ |:sqrt3` 

`(3x^3)/2=6\ \ \ |:3` 

`x^3/2=2\ \ \ |*2` 

`x^3=4` 

`x=root(3)4\ [dm]` 

Otrzymane rozwiązanie spełnia założenia, jest więc poprawne. 

 

 

 

`b)` 

Zacznijmy od zapisania założeń. Podobnie jak w poprzednim podpunkcie, długości boków muszą być wyrażone liczbami dodatnimi. 

`{(x-1/2>0\ \ \ |+1/2), (2x-3>0\ \ \ |+3):}\ \ \ =>\ \ \ {(x>1/2), (2x>3\ \ \ |:2):}\ \ \ =>\ \ \ {(x>1/2), (x>3/2):}\ \ \ =>\ \ \ ul(x in (3/2;\ +infty))` 

 

Zapiszmy wielomian opisujacy pole podstawy:

`P_p(x)=(3(2x-3)^2sqrt3)/2` 

 

Zapiszmy wielomian opisujący objętość graniastosłupa:

`V(x)=(3(2x-3)^2sqrt3)/2(x-1/2)=(3(2x-3)^2(x-1/2)sqrt3)/2` 

 

 

Wiemy, ile ma wynosić objętość, więc możemy zapisać równanie:

`(3(2x-3)^2(x-1/2)sqrt3)/2=(9sqrt3)/4\ \ \ \ |:sqrt3` 

`(3(2x-3)^2(x-1/2))/2=(9)/4\ \ \ \ |:3` 

`((2x-3)^2(x-1/2))/2=3/4\ \ \ \ |*4` 

`2(2x-3)^2(x-1/2)=3` 

`2(4x^2-12x+9)(x-1/2)=3` 

`(4x^2-12x+9)(2x-1)=3` 

`8x^3-4x^2-24x^2+12x+18x-9=3\ \ \ |-3`  

`8x^3-28x^2+30x-12=0\ \ \ \ |:2` 

`#underbrace(4x^3-14x^2+15x-6)_(w(x))=0` 

 

Chcemy zapisać wielomian w w postaci iloczynowej. Wiemy, że jeśli wielomian w ma pierwiastek całkowity, to ten pierwiastek jest dzielnikiem wyrazu wolnego. Wyraz wolny wielomianu w jest równy -6. Dzielniki -6 to -6, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 6. Szukamy wśród nich pierwiastków wielomianu w:

`w(2)=4*2^3-14*2^2+15*2-6=32-56+30-6=0` 

Liczba 2 jest więc pierwiastkiem wielomianu w, więc wielomian w jest podzielny przez dwumian (x-2). Wykonajmy dzielenie pisemne.

 

    

 

Możemy więc zapisać równanie w następującej postaci:

`(x-2)#(#underbrace((4x^2-6x+3))_(Delta=(-6)^2-4*4*3=))_(=36-48<0)=0` 

Czynnik kwadratowy ma ujemną deltę, więc nie daje pierwiastków. Równanie ma tylko jedno rozwiązanie (spełniające założenia).

`x=2` 

 

Obliczamy, jaką długość ma wysokość graniastosłupa:

`x-1/2=2-1/2=1 1/2\ [dm]`  

 

Figury F1 i F są podobne ...

`a)` 

`k=(3/4)/1=3/4` 

`k^2=9/16` 

`9/16=0,5625` 

`100%-56,25%=ul(43,75%` 

{premium}

 

`b)` 

`k=F_1/F=(8/10)/1=8/10` 

`k^2=64/100` 

`100%-64%=ul(36%` 

 

`c)` 

`k=1/(5/3)=3/5` 

`k^2=9/25=36/100`   

`100%-36%=ul(64%`  

 

`d)` 

`k=1/(1,4)=10/14=5/7`  

`k^2=25/49~~51/100` 

`100%-51%=ul(49%`