Okresowość funkcji trygonometrycznych - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Okresowość funkcji trygonometrycznych

Z tego, co powiedzieliśmy przy okazji definicji funkcji trygonometrycznych i miary łukowej oczywiście wynika, że funkcje te są okresowe. Zauważmy, że jeśli weźmiemy na przykład kąt $$45°$$ i kąt $$405°$$, to wartości wszystkich funkcji będą dla nich takie same: kąty te leżą "w tym samym miejscu" na okręgu.

2

Oczywiście wszystkie funkcje mają okres równy $$2×∏$$, czyli pełnemu obrotowi. Wynikają z tego wzory:

$$sin α = sin (α + k×2×∏)$$
$$cos α = cos (α + k×2×∏)$$
$$ an α = an (α + k×2×∏)$$
$$ctg α = ctg (α + k×2×∏)$$

gdzie $$k ∈ N$$, czyli inaczej mówiąc: że od wartości kąta możemy odjąć $$2×∏$$, a wartość funkcji pozostanie taka sama.

Teraz można zapytać, czy okres pełnego obrotu jest okresem podstawowym, czyli czy nie da się znaleźć innej, mniejszej liczby, po której wartości funkcji by się powtarzały.

Okazuje się, że rzeczywiście dla funkcji tangens i cotangens istnieje mniejszy okres równy $$∏$$. Wynikają z tego wzory:

$$ an α= an(α + k×∏)$$
$$ctg α = ctg(α + k×∏)$$

Okresowość funkcji widać dość dobrze na ich wykresach:

2a

2b

2c

2d

Trzeba także wiedzieć, że funkcje $$ an (x)$$ oraz $$ctg (x)$$ posiadają asymptoty pionowe, czyli miejsca, gdzie nie mają wartości (ich granice w tym miejscu są rozbieżne do $$∞$$.).

Wynika to bezpośrednio z ich definicji - w przypadku $$ an (x)$$ miejsc, gdzie $$x = 0$$, czyli:

$$α = {∏}/{2} + k×∏$$

(dzielenie przez zero, ponieważ $$ an (x) = {y}/{x}$$).

W przypadku $$ctg (x)$$ - miejsc, gdzie $$y = 0$$, czyli $$α =∏ + k×∏$$ , gdzyż $$ctg (x) = {x}/{y}$$.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Cena brutto komputera jest równa cenie netto plus 23% podatku

 

Obliczamy cenę brutto komputera: 

 

 

Obliczamy, jaki procent ceny {premium}brutto stanowi podatek VAT: 

   

 

 

 

 

n - cena netto tego komputera

 

 

 

 

 

 

 

Obliczamy, ile procent ceny brutto stanowi cena netto

 

 

 

 

n - cena netto

b - cena brutto

 

 

 

 

 

 

 

 

Obliczamy cenę brutto komputera, gdyby jego cena netto została podniesiona o 100 zł (czyli gdyby cena netto wynosiła 2100+100=2200 zł)

Zostało to już obliczone w podpunkcie a) - cena brutto tego komputera wynosiłaby wtedy 2706 zł. 

Rzucamy raz sześcienną kostką

 

Jeśli wyrzucimy 1, to na kolejncyh pozycjach (nie licząc pierwszej) możemy uzyskać 2 wyniki - orzeł lub reszka. 

Jeśli wyrzucimy 2, to na kolejncyh pozycjach (nie licząc pierwszej) możemy uzyskać 4 wyniki - na każdym z dwóch miejsc możemy postawić orła lub reszkę (2∙2=4).

Jeśli wyrzucimy 3, to na kolejncyh pozycjach (nie licząc pierwszej) możemy uzyskać 8 wyników - na każdym z trzech miejsc możemy postawić orła lub reszkę (2∙2∙2=8).

Jeśli wyrzucimy 4, to na kolejncyh pozycjach (nie licząc pierwszej) możemy uzyskać 16 wyników - na każdym z czterech miejsc możemy postawić orła lub reszkę (2∙2∙2∙2=16).

Jeśli wyrzucimy 5, to na kolejncyh pozycjach (nie licząc pierwszej) możemy uzyskać 32 wyników - na każdym z pięciu miejsc możemy postawić orła lub reszkę (2∙2∙2∙2∙2=32).

Jeśli wyrzucimy 6, to na kolejncyh pozycjach (nie licząc pierwszej) możemy uzyskać 64 wyników - na każdym z sześciu miejsc możemy postawić orła lub reszkę (2∙2∙2∙2∙2∙2=64).

 

Liczba wszystkich możliwości jest więc równa:

 

 

 

 

Wyniki doświadczenia rozpoczynające się od liczby nieparzystej to:

Jeśli wyrzucimy 1, to na kolejncyh pozycjach (nie licząc pierwszej) możemy uzyskać 2 wyniki - orzeł lub reszka. 

Jeśli wyrzucimy 3, to na kolejncyh pozycjach (nie licząc pierwszej) możemy uzyskać 8 wyników - na każdym z trzech miejsc możemy postawić orła lub reszkę (2∙2∙2=8).

Jeśli wyrzucimy 5, to na kolejncyh pozycjach (nie licząc pierwszej) możemy uzyskać 32 wyników - na każdym z pięciu miejsc możemy postawić orła lub reszkę (2∙2∙2∙2∙2=32).

Ilość wyników nieparzystych:

 

 

Pozostałe wyniki rozpoczynają się więc od liczby parzystej, czyli ich ilość jest równa:

 

 

Wyników zaczynających się od liczby parzystej jest więc rzeczywiście 2 razy więcej niż tych zaczynających się od liczby nieparzystej:

 

 

Dla jakich wartości parametru k...

 

Zauważmy, że wraz ze wzrostem n-ów mianownik będzie rosnąc. Jeżeli w liczniku będzie liczba dodatnia to wartość wyrażenia będzie maleć. Zatem:

 

 

 

 

Zauważmy, że:

 

będzie maleć gdy k będzie dodatnie, gdyż wraz ze wzrostem n-ów wartość wyrażenia będzie maleć. A więc:

 

Sprawdź, czy wektory ...

Wektory u i v mają ten sam kierunek i zwrot gdy istnieje dodatnia liczba a taka, że u=av.

 

 

 

 

 

Wektory u i v mają wspólny kierunek, lecz przeciwny zwrot. {premium}

 

 

 

 

 

 

Wektory u i v mają wspólny kierunek i zwrot.

 

 

 

 

 

 

 

 

Takie a nie istnieje.

Wektory mają różne zwroty i kierunki.

 

       

  

 
 

 

  

 

 

Istnieje takie a, czyli wektory u i v mają zgodne zwroty i kierunki.  

Liczba r jest pierwiastkiem wielomianu W(x)...

 

Obliczamy:

 

Z twierdzenia Bezouta wiemy, że liczba  jest pierwiastkiem wielomianu  wtedy i tylko wtedy,

gdy  

Sprawdźmy, dla jakiego  tak jest.

 

 

 

 

Wówczas wielomian  ma postać:

 

Wiemy, że liczba  jest pierwiastkiem wielomianu  

Oznacza to, że wielomian  jest podzielny przez dwumian  

Wykonajmy dzielenie  algorytmem Hornera:

         
         
         

 

W wyniku dzielenia wielomianu  przez dwumian  

otrzymaliśmy iloraz  

Wielomian  możemy zapisać następująco:

 

{premium}

 

Szukamy teraz pierwiastków trójmianu  Jest to trójmian kwadratowy, więc obliczamy:

 

 

Odp. Pozostałe pierwiastki wielomianu  to:  


 

Obliczamy:

 

 

Z twierdzenia Bezouta wiemy, że liczba  jest pierwiastkiem wielomianu  wtedy i tylko wtedy,

gdy  

Sprawdźmy, dla jakiego  tak jest.

 

 

 

 

Wówczas wielomian  ma postać:

 

Wiemy, że liczba  jest pierwiastkiem wielomianu  

Oznacza to, że wielomian  jest podzielny przez dwumian  

Wykonajmy dzielenie  algorytmem Hornera:

          
         
         

 

W wyniku dzielenia wielomianu  przez dwumian  

otrzymaliśmy iloraz  

Wielomian  możemy zapisać następująco:

 

Niech  

 

Szukamy teraz pierwiastków trójmianu  Jest to trójmian kwadratowy, więc obliczamy:

 

 

Odp. Pozostałe pierwiastki wielomianu  to:  


 

Obliczamy:

 

Z twierdzenia Bezouta wiemy, że liczba  jest pierwiastkiem wielomianu  wtedy i tylko wtedy,

gdy  

Sprawdźmy, dla jakiego  tak jest.

 

 

 

 

 

Wówczas wielomian  ma postać:

 

Wiemy, że liczba  jest pierwiastkiem wielomianu  

Oznacza to, że wielomian  jest podzielny przez dwumian  

Wykonajmy dzielenie  algorytmem Hornera:

         
          
         

 

W wyniku dzielenia wielomianu  przez dwumian  

otrzymaliśmy iloraz  

Wielomian  możemy zapisać następująco:

 

 

Szukamy teraz pierwiastków trójmianu  Jest to trójmian kwadratowy, więc obliczamy:

 

 

Odp. Pozostałe pierwiastki wielomianu  to:  


 

Obliczamy:

 

Z twierdzenia Bezouta wiemy, że liczba  jest pierwiastkiem wielomianu  wtedy i tylko wtedy,

gdy  

Sprawdźmy, dla jakiego  tak jest.

 

 

 

 

 

Wówczas wielomian  ma postać:

 

Wiemy, że liczba  jest pierwiastkiem wielomianu  

Oznacza to, że wielomian  jest podzielny przez dwumian  

Wykonajmy dzielenie  algorytmem Hornera:

         
         
         

 

W wyniku dzielenia wielomianu  przez dwumian  

otrzymaliśmy iloraz  

Wielomian  możemy zapisać następująco:

 

Niech  

 

Szukamy teraz pierwiastków trójmianu  Jest to trójmian kwadratowy, więc obliczamy:

 

 

Odp. Pozostałe pierwiastki wielomianu  to:  

Wyznacz punkty

 

  

 

 

  

 

Pole obszaru ograniczonego osiami układu i wykresem funkcji to {premium}pole trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych 9 i 3:

 

 

 

 

 

 

 

 

Pole obszaru ograniczonego osiami układu i wykresem funkcji to pole trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych 14 i 8:

 

 

 

 

 

 

 

Pole obszaru ograniczonego osiami układu i wykresem funkcji to pole trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych 2,5 i 7,5:

 

 

 

 

Nie trzeba pamiętać podanych powyżej wzorów. Wystarczy rozumieć, co oznacza punkt przecięcia z daną osią.

Zauważmy, że jeśli punkt przecina oś OX, to jego druga współrzędna jest równa 0. Możemy więc podstawić y=0 i wyliczyć x.

Zróbmy to dla kolejnych przykładów.

 

 

 

 

  

 

 

 

 

 

   

   

 

 

 

 

 

 

 

Zauważmy, że jeśli punkt przecina oś OY, to jego pierwsza współrzędna jest równa 0. Możemy więc podstawić x=0 i wyliczyć y.

Zróbmy to dla kolejnych przykładów.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Dla jakich wartości parametru a

Liczba 5 ma być dwukrotnym pierwiastkiem wielomianu w. Z powyższej postaci widać, że liczba 5 jest już jednokrotnym pierwiastkiem wielomianu w. Aby była dwukrotnym pierwiastkiem wielomianu w, musi być jednokrotnym pierwiastkiem wielomianu u: 

 

Musimy jeszcze sprawdzić, czy dla a=6 liczba 5 jest rzeczywiście tylko jednokrotnym pierwiastkiem wielomianu u: 

 

Liczba 5 jest jednokrotnym pierwiastkiem wielomianu w, jest więc dwukrotnym pierwiastkiem wielomianu w. Możemy zapisać odpowiedź:

 

 

 

 

 

Liczba 3 ma być dwukrotnym pierwiastkiem wielomianu w. Z powyższej postaci widać, że liczba 3 jest już jednokrotnym pierwiastkiem wielomianu w. Aby była dwukrotnym pierwiastkiem wielomianu w, musi być jednokrotnym pierwiastkiem wielomianu u: 

 

Otrzymaliśmy dwie wartości a. Musimy sprawdzić, czy dla tych wartości liczba 3 jest rzeczywiście jednokrotnym pierwiastkiem wielomianu u:

W tym przypadku liczba a jest jednokrotnym pierwiastkiem wielomianu u.

 

W tym przypadku liczba a jest jednokrotnym pierwiastkiem wielomianu u.

 

W obu przypadkach liczba 3 jest jednokrotnym pierwiastkiem wielomianu w, jest więc dwukrotnym pierwiastkiem wielomianu w. Możemy zapisać odpowiedź:

 

 

 

 

Jeśli liczba -½ ma być dwukrotnym pierwiastkiem wielomianu w, to wielomian w musi być iloczynem wyrażenia (x+½)² oraz pewnego innego wyrażenia. To drugie wyrażenie musi być stopnia drugiego (ponieważ wielomian w jest stopnia 4, a wielomian (x+½)²  jest stopnia 2, a 4-2=2). Możemy więc zapisać:

Wykonajmy działania i uporządkujmy powyższy wielomian ze względu na x:

 

Z drugiej strony z treści zadania wiemy, że wielomian w jest postaci:

 

Dwa wielomiany są równe, jeśli mają jednakowe współczynniki stojące przy tych samych potęgach, więc możemy zapisać:

Jedyną liczbą, która spełnia oba podkreślone warunki, jest a=2.

Parametry są więc liczbami:

Wtedy wielomian w(x) jest postaci:

Z równości oznaczonej gwiazdką możemy jednak zapisać ten wielomian w postaci iloczynowej i sprawdzić, że dla obliczonych wartości parametrów liczba -½ jest rzeczywiście tylko dwukrotnym pierwiastkiem wielomianu w:

Dla czynnika kwadratowego otrzymaliśmy inne niż -½ pierwiastki, więc możemy zapisać rozwiązanie:

 

 

 

 

Jeśli liczba -1 ma być trzykrotnym pierwiastkiem wielomianu w, to wielomian w musi być iloczynem wyrażenia (x+1)³ oraz pewnego innego wyrażenia. To drugie wyrażenie musi być stopnia pierwszego (ponieważ wielomian w jest stopnia 4, a wielomian (x+1)³  jest stopnia 3, a 4-3=1). Możemy więc zapisać:

Wykonajmy działania (korzystając przy tym ze wzoru skróconego mnożenia na sześcian sumy) i uporządkujmy powyższy wielomian ze względu na x:

 

Z drugiej strony z treści zadania wiemy, że wielomian w jest postaci:

Dwa wielomiany są równe, jeśli mają jednakowe współczynniki stojące przy tych samych potęgach, więc możemy zapisać:

Jedyną liczbą, która spełnia oba podkreślone warunki, jest a=2.

Parametry są więc liczbami:

Wtedy wielomian w(x) jest postaci:

Z równości oznaczonej gwiazdką możemy jednak zapisać ten wielomian w postaci iloczynowej i sprawdzić, że dla obliczonych wartości parametrów liczba -1 jest rzeczywiście tylko trzykrotnym pierwiastkiem wielomianu w:

Czwarty pierwistek wielomianu w to 2, więc liczba -1 jest trzykrotnym pierwiastkiem tego wielomianu. Możemy więc zapisać odpowiedź:

 

 

 

Uzasadnij równość, jeżeli...

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Równość zachodzi.

 

 

 

 

 

 

 

Równość zachodzi.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Równość zachodzi.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Równość zachodzi.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Równość zachodzi.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Równość zachodzi.

Wykaż, że nie istnieje ...

 

 {premium}

 

 

 

   

 

    

Na jednej prostej zaznaczono

Najpierw obliczymy, ile jest trójkątów, których wierzchołki leżą w zaznaczonych punktach. 

Możemy wybrać 2 wierzchołki z górnej prostej i 1 wierzchołek z dolnej prostej lub wybrać 1 wierzchołek z górnej prostej oraz 2 wierzchołki z dolnej prostej. 

  

        

 

 

 

Teraz obliczymy, ile jest czworokątów, których wierzchołki leżą w zaznaczonych punktach. 

Musimy wybrać 2 wierzchołki z górnej prostej i 2 wierzcholki z dolnej prostej.