Okresowość funkcji trygonometrycznych - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Okresowość funkcji trygonometrycznych - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Okresowość funkcji trygonometrycznych

Z tego, co powiedzieliśmy przy okazji definicji funkcji trygonometrycznych i miary łukowej oczywiście wynika, że funkcje te są okresowe. Zauważmy, że jeśli weźmiemy na przykład kąt $45°$ i kąt $405°$, to wartości wszystkich funkcji będą dla nich takie same: kąty te leżą "w tym samym miejscu" na okręgu.

2

Oczywiście wszystkie funkcje mają okres równy $2×∏$, czyli pełnemu obrotowi. Wynikają z tego wzory:

$sin α = sin (α + k×2×∏)$
$cos α = cos (α + k×2×∏)$
$ an α = an (α + k×2×∏)$
$ctg α = ctg (α + k×2×∏)$

gdzie $k ∈ N$, czyli inaczej mówiąc: że od wartości kąta możemy odjąć $2×∏$, a wartość funkcji pozostanie taka sama.

Teraz można zapytać, czy okres pełnego obrotu jest okresem podstawowym, czyli czy nie da się znaleźć innej, mniejszej liczby, po której wartości funkcji by się powtarzały.

Okazuje się, że rzeczywiście dla funkcji tangens i cotangens istnieje mniejszy okres równy $∏$. Wynikają z tego wzory:

$ an α= an(α + k×∏)$
$ctg α = ctg(α + k×∏)$

Okresowość funkcji widać dość dobrze na ich wykresach:

2a

2b

2c

2d

Trzeba także wiedzieć, że funkcje $ an (x)$ oraz $ctg (x)$ posiadają asymptoty pionowe, czyli miejsca, gdzie nie mają wartości (ich granice w tym miejscu są rozbieżne do $∞$.).

Wynika to bezpośrednio z ich definicji - w przypadku $ an (x)$ miejsc, gdzie $x = 0$, czyli:

$α = {∏}/{2} + k×∏$

(dzielenie przez zero, ponieważ $ an (x) = {y}/{x}$).

W przypadku $ctg (x)$ - miejsc, gdzie $y = 0$, czyli $α =∏ + k×∏$ , gdzyż $ctg (x) = {x}/{y}$.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Rozwiąż nierówność

Wyznacz współrzędne ...

 

 

 

  

 

 

 

 

 

 

  

  

  

 

 

 

 

 

  

  

 

  

 

 

 

 

  

    

  

 

   

Z urny, w której jest dwa razy więcej

 

Opiszmy zdarzenie na drzewku. Na gałęziach drzewka zapisano odpowiednie prawdopodobieństwa

 

 

Zaznaczono gałęzie, które opisują zdarzenie A. 

 

 

 

 

 

 

 

 

Powierzchnia zadrukowanej części kartki...

 

Wymiary kartki to:

 

 

Pole zadrukowanej części wynosi 192 cm2 a więc:

 

 

 

Czyli funkcja opisująca pole kartki jest równa:

Obliczmy pochodną

 

Znajdźmy punkty podejrzewane o bycie ekstremum:

 

 

 

 

 

 

Zauważmy, że jest to minimum gdyż:

 

czyli

 

Zatem wymiary kartki wynoszą:

 

 

Oblicz:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  

 

 

Wykaż, że w trójkącie prostokątnym...

 

 

 

Chcemy pokazać, że  

 

 

 

 

Jest to twierdzenie Pitagorasa, więc powyższe równanie jest spełnione w każdym trójkącie prostokątnym.

  

 

Wyznacz wszystkie wartości parametru...

Założenia:

 

 

 

 

 

 

 

{premium}

Jeżeli równanie ma mieć dwa różne rozwiązania to wyróżnik funkcji musi być dodatni.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

podglad pliku

 

 

Zauważmy, że jeżeli x = 2m, to równanie po lewej stronie jest równe 0 a liczba 2m będzie pierwiastkiem. Łatwo wtedy zauważyć, że nie będziemy mieli wtedy kolejnych rozwiązań.

Podstawmy pod równanie kwadratowe x = 2m, jeżeli wyliczone wartości parametru m będą należeć do rozwiązania równania to musimy je odrzucić z rozwiązania gdyż wtedy mamy tylko jedno rozwiązanie.

 

 

 

 

 

 

 

Zatem odrzucamy liczbę  

 

Zatem uwzględniając powyższe założenie otrzymujemy, że:

 

Przedstaw liczbę w postaci...

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Naszkicuj wykres funkcji...

a)

 

Przesuwając o wektor  otrzymujemy:{premium}

 

 

 

Dwa rozwiązania dla  


b)

 

Przesuwając o wektor  

 

 

 

Dwa rozwiązania dla  


c)

 

Przesuwając o wektor  otrzymujemy:

 

 

 

Dwa rozwiązania dla  

Wyznacz współrzędna wierzchołków trójkąta...

 

 

 

 

     {premium}

 

 

 

 

   

 

Z pierwszego i trzeciego równania otrzymujemy:

 

 

 

 

 

 

Z drugiego i czwartego równania otrzymujemy:

 

 

 

 

 

 

Z drugiego równania otrzymujemy:

 

 

 

 

Z trzeciego równania otrzymujemy:

 

 

 

 

 

 

 

 

Rysunek pomocniczy:

Thumb 48 285

Łatwo zauważyć, że jest to trójkąt prostokątny.

 

 

 

 

 

 

 

Równanie okręgu: