Okresowość funkcji trygonometrycznych - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Okresowość funkcji trygonometrycznych - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Okresowość funkcji trygonometrycznych

Z tego, co powiedzieliśmy przy okazji definicji funkcji trygonometrycznych i miary łukowej oczywiście wynika, że funkcje te są okresowe. Zauważmy, że jeśli weźmiemy na przykład kąt $45°$ i kąt $405°$, to wartości wszystkich funkcji będą dla nich takie same: kąty te leżą "w tym samym miejscu" na okręgu.

2

Oczywiście wszystkie funkcje mają okres równy $2×∏$, czyli pełnemu obrotowi. Wynikają z tego wzory:

$sin α = sin (α + k×2×∏)$
$cos α = cos (α + k×2×∏)$
$ an α = an (α + k×2×∏)$
$ctg α = ctg (α + k×2×∏)$

gdzie $k ∈ N$, czyli inaczej mówiąc: że od wartości kąta możemy odjąć $2×∏$, a wartość funkcji pozostanie taka sama.

Teraz można zapytać, czy okres pełnego obrotu jest okresem podstawowym, czyli czy nie da się znaleźć innej, mniejszej liczby, po której wartości funkcji by się powtarzały.

Okazuje się, że rzeczywiście dla funkcji tangens i cotangens istnieje mniejszy okres równy $∏$. Wynikają z tego wzory:

$ an α= an(α + k×∏)$
$ctg α = ctg(α + k×∏)$

Okresowość funkcji widać dość dobrze na ich wykresach:

2a

2b

2c

2d

Trzeba także wiedzieć, że funkcje $ an (x)$ oraz $ctg (x)$ posiadają asymptoty pionowe, czyli miejsca, gdzie nie mają wartości (ich granice w tym miejscu są rozbieżne do $∞$.).

Wynika to bezpośrednio z ich definicji - w przypadku $ an (x)$ miejsc, gdzie $x = 0$, czyli:

$α = {∏}/{2} + k×∏$

(dzielenie przez zero, ponieważ $ an (x) = {y}/{x}$).

W przypadku $ctg (x)$ - miejsc, gdzie $y = 0$, czyli $α =∏ + k×∏$ , gdzyż $ctg (x) = {x}/{y}$.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Kwadrat i sześciokąt foremny mają...

Pole kwadratu obliczamy korzystając z wzoru:

 


Pole trójkąta równobocznego obliczamy korzystając z wzoru:   {premium}

 


wiemy, że:

 

 

 

 

 

 

 

 

 


Obliczmy, ile razy bok kwadratu jest dłuższy od boku sześciokąta foremnego:

 

Podaj przykład trójkąta prostokątnego

 

Twierdzenie Pitagorasa mówi, że w trójkącie prostokątnym suma kwadratów długości przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej. Musimy więc znaleźć takie długości przyprostokątnych x oraz y, że zachodzi równość:

 

 

 

Równość jest spełniona na przykład dla x=2 oraz y=1. Wtedy pole trójkąta jest równe:

{premium}  

 

 

 

 

Weźmy na przykład długości przyprostokątnych równe √2 oraz √8. Wtedy pole jest liczbą wymierną:

 

 

Sprawdźmy jeszcze, czy długość przeciwprostokatnej wyraża się wtedy liczbą niewymierną. Obliczmy długość przeciwprostokątnej korzystając z twierdzenia Pitagorasa. 

 

 

 

 

 

Trójkąt prostokątny o bokach długości √2, √8 oraz √10 spełnia warunki zadania. 

 

 

Podajemy drugi przykład. Weźmy długości przyprostokątnych równe √3 oraz √27. Wtedy pole jest liczbą wymierną:

 

 

Sprawdźmy jeszcze, czy długość przeciwprostokatnej wyraża się wtedy liczbą niewymierną. Obliczmy długość przeciwprostokątnej korzystając z twierdzenia Pitagorasa. 

 

 

 

 

Na SKS uczęszczają uczniowie z trzech klas: ...

3x - ilość uczniów klasy IIa uczęszczających na SKS (x jest liczbą naturalną dodatnią)

2x - ilość uczniów klasy IIb uczęszczających na SKS

5x - ilość uczniów klasy IIc uczęszczających na SKS

10x - łączna ilość uczniów uczęszczających na SKS {premium}

 

Ilość wszystkich możliwości (wylosowane jednej osoby z wszystkich uczęszczających na SKS):

 

 

A - wylosowano osobę z klasy IIa

 

 

W pewnej firmie przeprowadzono ankietę ...

Ilość wszystkich pracowników:

     {premium}

 

Ilość pracowników, którzy znają tylko jeden język:

 

 

Ilość pracowników, którzy znają przynajmniej dwa języki:

 

 

Prawdopodobieństwo, że losowo wybrana osoba z grupy badanych zna co najmniej dwa języki obce:

 

 

Odp. D

 

Oblicz: ...

a) 

 

 

 

 

  {premium}


 

 

 

 

 

 


 

 

 

 

 


 

 

 

 

 

 

 


 

 

 

 

 

 


 

 

 

 

 

 


b) 

 

 

 

 

 


 

 

 

 

 

 


 

 

 

 

 

 


 

 

 

 

 

 

 


 

 

 

 

 

 

 

 

 


 

 

 

 

 

 

 

 


c) 

 

 

 

 

 

 

 


 

 

 

 

 

 

 


 

 

 

 

 

 

 


 

 

 

 

 

 

 


 

 

 

 

 

 

 


 

 

 

 

 

 

 

 

Wykres funkcji f(x)=...

{premium}  

 

 

 

Odp. C

Oblicz

 

 

 

 

 

 

{premium}  

 

            

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Zauważmy, że w tym podpunkcie, podobnie jak w poprzednim, po wykonaniu operacji usunięcia niewymierności z mianownika, kolejne pierwiastki, poza pierwszym i ostatnim, ulegną skróceniu. 

 

  

 

 

 

 

 

W ostrosłupie ABCS podstawa ABC...

Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku poniżej:{premium}


Mamy dane:

 


Trójkąty ABC i BCS są równoboczne. Ze wzoru na wysokość trójkąta równobocznego:

 


Trójkąty ABC i BCS zawierają się w płaszczyznach prostopadłych, więc trójkąt ADS jest prostokątny, ponadto jest równoramienny, więc jest połówką kwadratu. Ze wzoru na przekątną kwadratu:

 

Liczby...

O ciągu arytmetycznym wiemy, że

zatem {premium}

więc ogólny wyraz tego ciągu jest postaci 

 

Odp. A.

Narysuj na kartonie dowolny...

z