Zgoda na przetwarzanie danych osobowych

25 maja 2018 roku zacznie obowiązywać Rozporządzenie Parlamentu Europejskiego i Rady (UE) 2016/679 z dnia 27 kwietnia 2016 r. znane jako RODO.

Dlatego aby dalej móc dostarczać Ci materiały odpowiednie do Twojego etapu edukacji, potrzebujemy zgody na lepsze dopasowanie treści do Twojego zachowania. Dzięki temu możemy zapamiętywać jakie materiały są Ci potrzebne. Dbamy o Twoją prywatność, więc nie zwiększamy zakresu naszych uprawnień. Twoje dane są u nas bezpieczne, a zgodę na ich zbieranie możesz wycofać na podstronie polityka prywatności.

Klikając "Przejdź do Odrabiamy", zgadzasz się na wskazane powyżej działania. W przeciwnym wypadku, nie jesteśmy w stanie zrealizować usługi kompleksowo i prosimy o opuszczenie strony.

Polityka prywatności

Drogi Użytkowniku w każdej chwili masz prawo cofnąć zgodę na przetwarzanie Twoich danych osobowych. Cofnięcie zgody nie będzie wpływać na zgodność z prawem przetwarzania, którego dokonano na podstawie wyrażonej przez Ciebie zgody przed jej wycofaniem. Po cofnięciu zgody wszystkie twoje dane zostaną usunięte z serwisu. Udzielenie zgody możesz modyfikować w zakładce 'Informacja o danych osobowych'

Okresowość funkcji trygonometrycznych - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Okresowość funkcji trygonometrycznych

Z tego, co powiedzieliśmy przy okazji definicji funkcji trygonometrycznych i miary łukowej oczywiście wynika, że funkcje te są okresowe. Zauważmy, że jeśli weźmiemy na przykład kąt $$45°$$ i kąt $$405°$$, to wartości wszystkich funkcji będą dla nich takie same: kąty te leżą "w tym samym miejscu" na okręgu.

2

Oczywiście wszystkie funkcje mają okres równy $$2×∏$$, czyli pełnemu obrotowi. Wynikają z tego wzory:

$$sin α = sin (α + k×2×∏)$$
$$cos α = cos (α + k×2×∏)$$
$$ an α = an (α + k×2×∏)$$
$$ctg α = ctg (α + k×2×∏)$$

gdzie $$k ∈ N$$, czyli inaczej mówiąc: że od wartości kąta możemy odjąć $$2×∏$$, a wartość funkcji pozostanie taka sama.

Teraz można zapytać, czy okres pełnego obrotu jest okresem podstawowym, czyli czy nie da się znaleźć innej, mniejszej liczby, po której wartości funkcji by się powtarzały.

Okazuje się, że rzeczywiście dla funkcji tangens i cotangens istnieje mniejszy okres równy $$∏$$. Wynikają z tego wzory:

$$ an α= an(α + k×∏)$$
$$ctg α = ctg(α + k×∏)$$

Okresowość funkcji widać dość dobrze na ich wykresach:

2a

2b

2c

2d

Trzeba także wiedzieć, że funkcje $$ an (x)$$ oraz $$ctg (x)$$ posiadają asymptoty pionowe, czyli miejsca, gdzie nie mają wartości (ich granice w tym miejscu są rozbieżne do $$∞$$.).

Wynika to bezpośrednio z ich definicji - w przypadku $$ an (x)$$ miejsc, gdzie $$x = 0$$, czyli:

$$α = {∏}/{2} + k×∏$$

(dzielenie przez zero, ponieważ $$ an (x) = {y}/{x}$$).

W przypadku $$ctg (x)$$ - miejsc, gdzie $$y = 0$$, czyli $$α =∏ + k×∏$$ , gdzyż $$ctg (x) = {x}/{y}$$.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Naszkicuj trapez ABCD, którego kąty ostre mają miary

`|angleADC|=180^o-60^o=120^o` 

`|angleBCD|=180^o-30^o=150^o` 

 

Miary kątów w trapezie ABCD wynoszą 60°, 30°, 120°, 150° .

 

`|angleDEB|=180^o-60^o=120^o`  (kąt przyległy do kąta AED)

`|angleEDC|=180^o-120^o=60^o` 

`|angleBCD|=180^o-30^o=150^o` 

Miary kątów w trapezie EBCD wynoszą 60°, 30°, 120°, 150° .

 

Te trapezy posiadają kąty o takich samych miarach.

 

Oblicz promień okręgu opisanego na równoramiennym

Oznaczmy sobie przyprostokątne tego trójkąta jako a, a przeciwprostokątną trójkąta jako x. Uzależnijmy długość przeciwprostokątnej od długości przyprostokątnej

`a^2+a^2=x^2`

`2a^2=x^2`

`x=sqrt2a`

 

a)

`O=4+2sqrt2`

`a+a+sqrt2a=4+2sqrt2`

`2a+sqrt2a=4+2sqrt2`

`a(2+sqrt2)=4+2sqrt2`

`a=(4+2sqrt2)/(2+sqrt2)*(2-sqrt2)/(2-sqrt2)=(8-4sqrt2+4sqrt2-4)/(2^2-(sqrt2)^2)=4/(4-2)=4/2=2`

`asqrt2=2sqrt2`

 

Promień okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym stanowi połowę przeciwprostokątnej tego trójkąta:

`r=2sqrt2:2=ul(ul(sqrt2))`

 

b)

`O=4`

`O=a+a+asqrt2`

`a+a+asqrt2=4`

`2a+asqrt2=4`

`a(2+sqrt2)=4`

`a=4/(2+sqrt2) *(2-sqrt2)/(2-sqrt2)=(8-4sqrt2)/(2^2-(sqrt2)^2)=(8-4sqrt2)/(4-2)=(8-4sqrt2)/2=4-2sqrt2`

`asqrt2=(4-2sqrt2)*sqrt2=4sqrt2-4`

Promień okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym stanowi połowę przeciwprostokątnej tego trójkąta:

`r=(4sqrt2-4):2=ul(ul(2sqrt2-2))`

 

c)

`O=1`

`O=a+a+asqrt2`

`a+a+asqrt2=1`

`2a+asqrt2=1`

`a(2+sqrt2)=1`

`a=1/(2+sqrt2) *(2-sqrt2)/(2-sqrt2)=(2-sqrt2)/(2^2-(sqrt2)^2)=(2-sqrt2)/(4-2)=(2-sqrt2)/2`

`asqrt2=(2-sqrt2)/2*sqrt2=(2sqrt2-2)/2=sqrt2-1`

 

Promień okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym stanowi połowę przeciwprostokątnej tego trójkąta:

`r=(sqrt2-1):2=ul(ul((sqrt2-1)/2)`

 

 

 

 

Oblicz szerokość prostokątnej ramy obrazu ...

`2a+2b=28+2(a-2x)+2(b-2x)` 

`a+b=14+a+b-4x` 

`4x=14` 

`x=7/2=3,5`  

 

`"Szerokość ramy wynosi 3,5 cm."`   

 

Sinus jednego z kątów ostrych...

`sin alpha = a/c` 

`a/c = 1/4` 

`4a = c` 

Oznaczmy długość drugiej przyprostokątnej przez b, wtedy z twierdzenia Pitagorasa:

`a^2 + b^2 = c^2` 

`a^2 + b^2 = (4a)^2` 

`a^2 + b^2 = 16a^2` 

`b^2 = 15a^2` 

`b = sqrt15a` 

 

`"Dla" \ a = 1` 

`b = sqrt15` 

Odpowiedź D

W tabeli podano ceny jednej akcji

`X:\ \ \ (24,3-18)/18*100%=(6,3)/18*100%=630/18%=210/6%=35%`

` `

`Y:\ \ \ (27-24)/24*100%=3/24*100%=1/8*100%=100/8%=12,5%`

Rzucono kamień pionowo do góry

Funkcja S(t) jest funkcją kwadratową o ujemnym współczynniku a=-5, zatem ramiona paraboli są skierowane w dół, funkcja osiąga maksimum w wierzchołku.

Obliczmy, dla jakiego czasu t wysokość kamienia jest maksymalna:

`t_(max)=t_w=-b/(2a)=(-12)/(2*(-5))=12/10=1,2` 

 

Teraz obliczamy, ile będzie wynosić ta wysokość: 

`S_(max)=S(1,2)=12*1,2-5*(1,2)^2=` `14,4-6*1,2=14,4-7,2=7,2\ m` 

a) Najdłuższy bok trójkąta ma długość...

a)

`alpha=20^o` 

`beta=120^o` 

`gamma=180^o-(120^o+20^o)=40^o` 

`10/(sin120^o)=2R`  

`sin120^o=sin(90^o +30^o)=cos30^o=sqrt3/2` 

`10/(sqrt3/2)=2R` 

`10*2/sqrt3=2R` 

`20/sqrt3=2R \ \ \ |:2` 

`20/sqrt3*1/2=R` 

`10/sqrt3=R` 

`(10sqrt3)/3=R` 


b)

`R=6` 

`alpha=135^o` 

`sinalpha=sin135^o=sin(90^o +45^o)=cos45^o=sqrt2/2` 

 

`a/(sinalpha)=2R` 

`a/(sin135^o)=2*6` 

`a=12sin135^o=12*sqrt2/2=6sqrt2` 


c)

`alpha=15^o` 

`beta=15^o` 

`gamma=180^o-(15^o -15^o)=150^o` 

`sin150^o=sin(90^o +60^o)=cos60^o=0,5` 

 

`a/sinalpha=2R`  

`a/(sin150^o)=2R` 

`a/0,5=2R` 

`2a=2R \ \ \ |:2` 

`a=R` 

Na rysunku...

a) Skala k=2 czyli odległość każdego odcinka musi zwiększyć dwukrotnie, rysunek:

 

b) Skala k=-2 czyli odległość każdego odcinka musimy zwiększyć dwukrotnie i zaznaczyć ją po drugiej stronie punktu O:

a) Naszkicuj wykres funkcji ...

`"a)"\ log_(8)a=1/3` 

`\ \ \ a=8^(1/3)=root(3)8=2` 

 

Szkicujemy wykres funkcji:

`f(x)=2^x-2` 

Rysujemy wykres funkcji y=2x, a nastepnie przesuwamy go o 2 jednostki w dół.

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))` 

`"b)"\ a=log_(0,25)16=log_(1/4)16=-2` 

 

Szkicujemy wykres funkcji:

`f(x)=2^(x-(-2))=2^(x+2)`  

Rysujemy wykres funkcji y=2x, a nastepnie przesuwamy go o 2 jednostki w lewo.

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))`  

`"c)"\ a=log_(3)1/27=-3` 

 

Szkicujemy wykres funkcji:

`f(x)=(1/2)^x-3`   

Rysujemy wykres funkcji y=1/2x, a nastepnie przesuwamy go o 3 jednostki w dół.

Znajdź rozwiązania podanego równania...

`a) \ sin x geq 0 \ \ "dla" \ x in [0, pi]` 

`sinx * sinx = 1/4` 

`sin^2x = 1/4` 

`sin^2x -1/4 =0` 

`(sinx - 1/2)(sinx + 1/2)=0` 

`sin x = 1/2 \ \ vv \ \ sinx = -1/2 < 0` 

Uwzględniamy założenie i zostaje nam:

`sin x = 1/2` 

`x_1 = pi/6 \ \ vv \ \ x_2 = (5pi)/6` 

 

`sin x < 0 \ \ "dla" \ x in (pi , 2pi)` 

`sin x * (-sinx) = 1/4` 

`-sin^2x = 1/4` 

`sin^2x = -1/4` 

Brak rozwiązań.

 

Rozwiązaniami równania są liczby:

`pi/6 \ , \ (5pi)/6` 

 

`b) \ tg \ x geq 0 \ \ \ "dla" \ x in [0, pi/2) \cup [pi, 3/2 pi)` 

`sinx * tg \ x = 3/2` 

`sinx * sinx/cosx = 3/2` 

`sin^2x/cosx = 3/2`  

`sin^2x = 3/2 cosx` 

`1 - cos^2x - 3/2 cosx =0 \ \ \ |*(-1)` 

`cos^2x + 3/2cosx - 1 =0` 

Podstawienie pomocnicze:

`t = cosx`  

`t in [-1,1] \ \\ \ {0}`   

 

`t^2 + 3/2t - 1 =0` 

`2t^2 + 3t - 2 =0` 

`2t^2 + 4t - t - 2 =0` 

`2t(t+2)-(t+2)=0` 

`(t+2)(2t-1)=0` 

Po uwzględnieniu założenia zostaje nam:

`2t-1 =0` 

`t = 1/2` 

`cos x = 1/2` 

`x_1 = pi/3 \ \ vv \ \ x_2 = (5pi)/3 notin [0,pi/2) \cup [pi, 3/2pi)` 

A więc:

`x_1 = pi/3`  

 

`tg \ x < 0 \ \ \ "dla" \ x in (pi/2 , pi) \cup (3/2 pi , 2pi)` 

`sin x * (-tg \ x) = 3/2` 

 

`-sinx *sinx/cosx = 3/2` 

`-sin^2x = 3/2cosx` 

`-(1-cos^2x) -3/2 cosx=0` 

`-1 + cos^2x - 3/2cosx=0` 

`cos^2x - 3/2cosx -1=0 \ \ \ |*2` 

`2cos^2x - 3cosx - 2 =0` 

Podstawienie pomocnicze:

`u= cosx` 

`u in [-1,1]` 

 

`2u^2 -3u-2=0` 

`Delta = (-3)^2 - 4*2*(-2) = 9 + 16 = 25` 

`sqrtDelta = sqrt25 = 5` 

`u_1 = (-(-3)-5)/4 = -1/2` 

`u_2 = (-(-3)+5)/4 = 2` 

Po uwzględnieniu dziedziny:

`cos x = -1/2` 

`x = (2pi)/3` 

A więc rozwiązaniami są liczby:

`pi/3 \ , \ (2pi)/3` 

 

`c) \ ctg \ x * |cosx| = sqrt2/2` 

`cos x geq 0 \ \ "Dla" \ x in [0, pi/2] \cup [3/2 pi , 2pi]` 

`ctg \ x * cos x = sqrt2/2` 

`cosx/sinx * cosx = sqrt2/2` 

`cos^2x = sqrt2/2 sinx` 

`1 - sin^2x - sqrt2/2 sinx =0` 

Podstawienie pomocnicze:

`t = sin x`  

`t in [-1,1]` 

`-t^2 -sqrt2/2 t + 1 =0` 

`t^2 + sqrt2/2t - 1=0` 

`Delta = (sqrt2/2)^2 -4*1*(-1) = 1/2 + 4 = 9/2` 

`sqrtDelta = sqrt(9/2) = sqrt9/sqrt2 = 3/sqrt2 = (3sqrt2)/2` 

`t_1 = (-sqrt2/2 - (3sqrt2)/2)/2 = (-(4sqrt2)/2)/2 = -sqrt2<-1` 

`t_2 = (-sqrt2/2 +(3sqrt2)/2)/2 = (2sqrt2)/4 = sqrt2/2` 

 

`sin x = sqrt2/2`  

`x_1 = pi/4 \ \ vv \ \ x_2 = (3pi)/4 notin [0, pi/2] \cup [3/2pi, 2pi]` 

A więc z tego przedziału rozwiązaniem jest liczba:

`pi/4` 

 

`cos x < 0 \ \ "Dla" \ x in (pi/2 , 3/2 pi)` 

`ctg \ x * (-cosx) = sqrt2/2` 

`-cosx/sinx *cosx = sqrt2/2` 

`-cos^2x/sinx = sqrt2/2` 

`-cos^2x = sqrt2/2 sinx` 

`-cos^2x - sqrt2/2 sinx =0` 

`-(1-sin^2x) -sqrt2/2 sinx =0` 

`-1+sin^2x -sqrt2/2 sin x =0` 

`sin^2x - sqrt2/2sinx -1 =0` 

Podstawienie pomocnicze:

`t = sinx` 

`t^2 - sqrt2/2t -1=0` 

`Delta = (-sqrt2/2)^2 -4*1*(-1) = 1/2 + 4 = 9/2`  

`sqrtDelta = sqrt(9/2) = 3/sqrt2 = (3sqrt2)/2` 

 `t_1 = (sqrt2/2 - (3sqrt2)/2)/2 = (-2sqrt2)/4 = -sqrt2/2` 

`t_2 = (sqrt2/2 + (3sqrt2)/2)/2 = (4sqrt2)/4 = sqrt2 > 1` 

A więc:

`sin x = -sqrt2/2`  

`x_3 = -(3pi)/4 + 2pi = (5pi)/4 in (pi/2 , (3pi)/2)` 

`x_4 = -pi/4 + 2pi = (7pi)/4 notin (pi/2 , (3pi)/2)` 

A więc rozwiązaniami są liczby:

`pi/4 \ , \ (5pi)/4`