Okresowość funkcji trygonometrycznych - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Okresowość funkcji trygonometrycznych

Z tego, co powiedzieliśmy przy okazji definicji funkcji trygonometrycznych i miary łukowej oczywiście wynika, że funkcje te są okresowe. Zauważmy, że jeśli weźmiemy na przykład kąt $$45°$$ i kąt $$405°$$, to wartości wszystkich funkcji będą dla nich takie same: kąty te leżą "w tym samym miejscu" na okręgu.

2

Oczywiście wszystkie funkcje mają okres równy $$2×∏$$, czyli pełnemu obrotowi. Wynikają z tego wzory:

$$sin α = sin (α + k×2×∏)$$
$$cos α = cos (α + k×2×∏)$$
$$ an α = an (α + k×2×∏)$$
$$ctg α = ctg (α + k×2×∏)$$

gdzie $$k ∈ N$$, czyli inaczej mówiąc: że od wartości kąta możemy odjąć $$2×∏$$, a wartość funkcji pozostanie taka sama.

Teraz można zapytać, czy okres pełnego obrotu jest okresem podstawowym, czyli czy nie da się znaleźć innej, mniejszej liczby, po której wartości funkcji by się powtarzały.

Okazuje się, że rzeczywiście dla funkcji tangens i cotangens istnieje mniejszy okres równy $$∏$$. Wynikają z tego wzory:

$$ an α= an(α + k×∏)$$
$$ctg α = ctg(α + k×∏)$$

Okresowość funkcji widać dość dobrze na ich wykresach:

2a

2b

2c

2d

Trzeba także wiedzieć, że funkcje $$ an (x)$$ oraz $$ctg (x)$$ posiadają asymptoty pionowe, czyli miejsca, gdzie nie mają wartości (ich granice w tym miejscu są rozbieżne do $$∞$$.).

Wynika to bezpośrednio z ich definicji - w przypadku $$ an (x)$$ miejsc, gdzie $$x = 0$$, czyli:

$$α = {∏}/{2} + k×∏$$

(dzielenie przez zero, ponieważ $$ an (x) = {y}/{x}$$).

W przypadku $$ctg (x)$$ - miejsc, gdzie $$y = 0$$, czyli $$α =∏ + k×∏$$ , gdzyż $$ctg (x) = {x}/{y}$$.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Zaznacz w układzie współrzędnych ...

`{(2x-y-2<=0),(x-3y+9>=0),(x+y+5>=0):}`  

`{( y>=2x-2),(y<=x/3+3),( y>=-x-5):}`   

`A-"zbiór oznaczony naciemniejszym kolorem (A- trójkąt wraz z krawędziami)" `  

 

 

`a)` 

`3x+4y=m` 

`k: \ y=-3/4x+m/4`  

Skoro A jest figurą wypukłą, to wartość minmalna i maksymalna parametru m 

dla którego prosta k ma punkt wspólny z obszarem A zostanie osiągnięta, gdy

prosta k będzie przechodzić przez, któryś z wierzchołków trójktą ABC.

`A=(-6;1)` 

`k: \ y=-3/4x+m/4`   

`1=-3/4*(-6)+m/4` 

`4-18=m` 

`m=-14` 

 

`B=(3; 4)`    

`k: \ y=-3/4x+m/4`   

`4=-3/4* 3 +m/4`  

`m=16+9=25`  

 

`C=(-1;-4)`  

`k: \ y=-3/4x+m/4`   

`-4=-3/4(-1)+m/4` 

`m=-16-3=-19` 

 

 

`ul(max {-19;-14;25}=25`  

`ul(min {-19;-14;25}=-19`   

 

`b)` 

`P=(x;y) in A` 

`f(x,y)=2y-x` 

`minf(x;y)=?`       

 

Szukamy takiego punktu aby współrzędna x była "duża", a współrzędna y "mała".

Zauważmy, że wystarczy rozważyć punkty na brzegu zbioru.

Brzeg zbioru składa się z trzech funkcji liniowych:

 

`"I."\ y=-x-5,\ x in [-6;-1]` 

`f(x,y)=2y-x` 

Podstawmy y:

`f(x)=2(-x-5)-x=-3x-10` 

Sprawdźmy wartości maksymalne i minimalne funkcji f na odpowiedniej dziedzinie ( [-6;-1]).

`f(-6)=18-10=8`

`f(-1)=4-10=-6`   

 

`"I."\ y=2x-2,\ x in [-1;3]`  

`f(x,y)=2y-x` 

Podstawmy y:

`f(x)=2(2x-2)-x=4x-4` 

`f(-1)=-4-4=-8` 

`f(3)=12-4=8` 

 

`"I."\ y=x/3+3,\ x in [-6;3]`   

`f(x,y)=2y-x` 

`f(x)=2(x/3+3)-x=-1/3x+6` 

`f(-6)=8` 

`f(3)=-1+6=5` 

 

`min f(x)=f(-1)=-8` 

`x=-1` 

`y=2x-2=-4` 

 

`ul(P=(-1;-4)`  

Sporządź tabelkę...

a) `f(x)=-2/x` 

`x`  `-2`  `-1`  `1`  `2` 
`f(x)`  `1`  `2`  `-2`  `-1` 

 

 

`D_f=(-oo,0)uu(0,+oo)` 

`ZW_f=(-oo,0)uu(0,+oo)` 

Funkcja nie ma miejsc zerowych.

Funkcja jest rosnąca w przedziałach.


b) `f(x)=-4/x` 

 `x`  `-2`  `-1`  `1`   `2` 
 `f(x)`   `2`  `4`   `-4`  `-2` 

 

 

`D_f=(-oo,0)uu(0,+oo)` 

`ZW_f=(-oo,0)uu(0,+oo)` 

Funkcja nie ma miejsc zerowych.

Funkcja jest rosnąca w przedziałach.


c) `f(x)=(-1/2)/x=-1/2*1/x=-1/(2x)` 

 `x`  `-2`   `-1`   `1`   `2` 
 `f(x)`   `1/4`   `1/2`   `-1/2`   `-1/4` 

 

 

`D_f=(-oo,0)uu(0,+oo)` 

`ZW_f=(-oo,0)uu(0,+oo)` 

Funkcja nie ma miejsc zerowych.

Funkcja jest rosnąca w przedziałach.


d) `f(x)=(-1/4)/x=-1/4*1/x=-1/(4x)` 

 `x`  `-2`   `-1`  `1`  `2` 
 `f(x)`  `1/8`   `1/4`   `-1/4`   `-1/8`  

 

 

`D_f=(-oo,0)uu(0,+oo)` 

`ZW_f=(-oo,0)uu(0,+oo)` 

Funkcja nie ma miejsc zerowych.

Funkcja jest rosnąca w przedziałach.

W trójkącie prostokątnym równoramiennym najkrótsza wysokość...

a - przyprostokątna

`P=1/2*a*a=1/2*asqrt2*2`

`a^2=2sqrt2 *a\ \ |:a`

`a=2sqrt2 \ cm`

Na rysunku przedstawiono wykres ciągu ...

`a)` 

`(2;3)` 

`2=sqrt4=a_4` 

`3=sqrt9=a_9` 

`"Do przedziału należą cztery wyrazy:"\ a_5,a_6,a_7,a_8."`

 

`b)` 

`(3;4)` 

`3=sqrt9=a_9` 

`4=sqrt16=a_16` 

`"Do przedziału należy sześć wyrazy:"\ a_10,...,a_15."`  

 

`c)` 

`(4;5)` 

`4=sqrt16=a_16` 

`5=sqrt25=a_25` 

`"Do przedziału należy osiem wyrazy:"\ a_17,...,a_24."` 

 

`d)` 

`(11;12)` 

`11=sqrt121=a_121` 

`12=sqrt144=a_144` 

 

`"Do przedziału należy 22 wyrazy:"\ a_122,...,a_143.."`   

Podaj odpowiednie założenia i wykonaj dzielenie

`a)`

`{(4xne0), (2x^2ne0):}\ \ \ =>\ \ \ {(xne0), (xne0):}\ \ \ =>\ \ \ D=RR\\{0}`

 

`3/(4x):1/(2x^2)=3/(4strikex)*2x^strike2=(6x)/4=(3x)/2`

 

`x=-1/2inD\ \ \ =>\ \ \ (3x)/2=(3*(-1/2)):2=-3/2*1/2=-3/4`

 

 

 

`b)`

`{(5x^2ne0), (10xne0):} \ \ \ =>\ \ \ {(xne0), (xne0):}\ \ \ =>\ \ \ D=RR\\{0}`

 

`6/(5x^2):3/(10x)=strike6^2/(5x^2)*(10x)/strike3^1=(20x)/(5x^2)=4/x`

 

`x=-1/2inD\ \ \ =>\ \ \ 4/x=4/(-1/2)=4:(-1/2)=4*(-2)=-8`

 

 

 

 

`c)`

`{(x^2ne0), (xne0):}\ \ \ =>\ \ \ {(xne0), (xne0):}\ \ \ =>\ \ \ D=RR\\{0}`

 

`(4x+2)/(x^2):2/x=(strike2*(2x+1))/(x^2)*x/strike2^1=((2x+1)*x)/x^2=(2x+1)/x`

 

`x=-1/2inD\ \ \ =>\ \ \ (2x+1)/(x)=(2*(-1/2)+1)/(-1/2)=0`

 

 

 

`d)`

`{(xne0), (x^2ne0):}\ \ \ =>\ \ \ {(xne0), (xne0):}\ \ \ =>\ \ \ D=RR\\{0}`

 

`(6x-9)/x:3/x^2=(strike3*(2x-3))/x*x^2/strike3^1=((2x-3)*x^2)/x=(2x-3)x`

 

 

`x=-1/2inD\ \ \ =>\ \ \ (2x-3)*x=(2*(-1/2)-3)*(-1/2)=(-1-3)*(-1/2)=(-4)*(-1/2)=2`

 

 

 

`e)`

`{(x-4ne0), (2x-8ne0):}\ \ \ =>\ \ \ {(xne4), (xne4):}\ \ \ =>\ \ \ D=RR\\{4}`

 

`x/(x-4):3/(2x-8)=x/strike(x-4)*(2*strike((x-4)))/3=(2x)/3`

 

`x=-1/2inD\ \ \ =>\ \ \ (2x)/3=(2*(-1/2))/3=-1/3`

 

 

 

`f)`

`{(3x-1ne0), (2-6xne0):}\ \ \ =>\ \ \ {(xne1/3), (xne2/6):}\ \ \ =>\ \ \ D=RR\\{1/3}`

 

`(20x)/(3x-1):5/(2-6x)=(strike20^4x)/strike(3x-1)*(-2*strike((3x-1)))/strike5^1=-8x`

 

`x=-1/2inD\ \ \ =>\ \ \ -8x=-8*(-1/2)=4`

          

Uzasadnij podane powyżej wiadomości ...

`"Rozważmy trójkąt prostokątny:"` 

`2.`

`"Czy"\ cos(90^o-alpha)=sinalpha?`   

`180^@=alpha+beta+90^@` 

`beta=90^@-alpha` 

 

`sinalpha=b/c` 

`cos beta=b/c` 

`sin alpha=cos beta=cos (90^@-alpha)`  

`ul(cos(90^o-alpha)=sinalpha`

 

`3.`   

`"Czy"\ tg\ (90^o-alpha)=ctg\ alpha?`   

`tg alpha=b/a` 

`tg (90^@-alpha)=tg beta=a/b` 

`ctg\ alpha=1/(tg\ alpha)=1/(b/a)=a/b` 

`tg\ (90^@-alpha)=a/b=1/(tg\ alpha)=ctg\ alpha`

`ul(tg\ (90^o-alpha)=ctg\ alpha`  

 

`4.` 

`"Czy"\ ctg\ (90^o-alpha)=tg\ alpha?` 

`tg \ alpha=b/a` 

`ctg (90^o-alpha)=ctg\ beta=b/a` 

`ul(ctg\ (90^o-alpha)=tg\ alpha`   

 

 

`a)` 

`sin (90^@-alpha)=3/10=cos alpha` 

`ul(cos alpha=3/10` 

`sin^2alpha+cos^2alpha=1` 

`sin^2alpha=1-9/100=91/100` 

`ul(sin alpha=sqrt91/10` 

 

`ul(tg alpha=sin alpha/cos alpha=(sqrt91/10)/(3/10)=sqrt91/3` 

`ul(ctg\ alpha=3/sqrt91=(3sqrt91)/91`

 

`b)`     

`cos(90^@-alpha)=sqrt3/2` 

`ul(sin alpha=sqrt3/2`  

 

`sin^2alpha+cos^2alpha=1` 

`3/4+cos^2alpha=1` 

`cos^2alpha=1/4` 

`ul(cos alpha=1/2`  

`ul(tg\ alpha=sin alpha/ cos alpha=(sqrt3/2)/(1/2)=sqrt3` 

 `ul(ctg\ alpha=1/sqrt3=sqrt3/3` 

 

`c)` 

`ctg\ (90^@-alpha)=2/5` 

`ul(tg\ alpha=2/5`  

`ctg alpha=1/(tg\ alpha)=1/(2/5)=5/2` 

`ul(ctg\ alpha=5/2` 

 

`cosalpha/sinalpha=5/2` 

`5sinalpha=2cosalpha` 

`cosalpha=5/2sinalpha` 

`sin^2alpha+cos^2alpha=1` 

`sin^2alpha+25/4sin^2alpha=1` 

`sin^2alpha=4/29` 

`ul(sinalpha=2/sqrt29=(2sqrt29)/29`  

`ul(cosalpha=5/2sinalpha=(5sqrt29)/29`   

Rozwiąż trójkąt prostokątny...

a) Rysunek poglądowy:

Z twierdzenia Pitagorasa:

`(4a)^2 + a^2 = c^2` 

`16a^2 + a^2 = 153` 

`17a^2 = 153`  

`a^2 = 9` 

`a = 3` 

a więc drugi bok ma długość:

`4a = 12` 

 

`tg \ alpha = (4a)/a` 

`tg \ alpha = 4` 

Z tablic odczytujemy:

`tg \ 76^o approx 4,0108`  

A więc:

`alpha approx 76^o` 

 

b) Rysunek poglądowy:

 

 

`alpha + 4alpha = 90^o` 

`5 alpha = 90^o` 

`alpha = 18^o` 

 

Zatem drugi kąt ma miarę:

`4 alpha = 72^o` 

 

`tg \ 4alpha = a/4` 

`a = tg \ 72^o * 4 approx 3,0777*4 = 12,3108 approx 12,3`   

 

`cos 18^o = a/c` 

`c = a/(cos 18^o) approx (12,3)/(0,9511) approx 12,9` 

Naszkicuj wykres funkcji f ...

`a)` 

`f(x)=-sin(x-pi/6)` 

`x_0-"miejsca zerowe funkcji f"` 

`x_0={7/6pi-kpi:k in CC}` 

 

`b)` 

`f(x)=-sin(x+pi/3)` 

`x_0={5/3pi-kpi:k in CC}` 

 

`c)` 

`f(x)=-sin(x+pi/2)` 

`x_0={pi/2+kpi:k in CC}` 

 

`d)` 

`f(x)=-cos(x-pi/3)` 

`x_0={pi/6-kpi:k in CC}`   

 

`e)` 

`f(x)=-cos(x-pi/6)` 

`x_0={2/3pi+kpi:k in CC}` 

 

`f)` 

`f(x)=-cos(x+pi/4)` 

`x_0={pi/4+kpi:k in CC}` 

Podaj przykład wielomianu ...

`W(x)=x^9+x^8+x^7+x^6+x^5` 

Rozwiąż równanie

`a)` 

`x+1ne0\ \ \ =>\ \ \ x ne-1\ \ \ =>\ \ \ D=RR\\{-1}` 

 

`4/(x+1)+2/(x+1)=1\ \ \ |*(x+1)`  

`4+2=x+1` 

`6=x+1\ \ \ |-1`  

`x=5inD` 

 

 

 

`b)` 

`x-2ne0\ \ \ =>\ \ \ x ne2\ \ \ =>\ \ \ D=RR\\{2}` 

 

`3/(x-2)-1/(x-2)=5\ \ \ |*(x-2)` 

`3-1=5x-10` 

`2=5x-10\ \ \ |+10` 

`5x=12\ \ \|:5` 

`x=12/5inD` 

 

 

 

`c)` 

`x+1ne0\ \ \ =>\ \ \ xne-1\ \ \ =>\ \ \ D=RR\\{-1}` 

 

`6+1/(x+1)=-2/(x+1)\ \ \ |*(x+1)` ` `

`6(x+1)+1=-2\ \ \ |-1` 

`6(x+1)=-3\ \ \ |:6` 

`x+1=-3/6` 

`x+1=-1/2\ \ \ |-1` 

`x=-1 1/2inD`