Okresowość funkcji trygonometrycznych - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Okresowość funkcji trygonometrycznych - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Okresowość funkcji trygonometrycznych

Z tego, co powiedzieliśmy przy okazji definicji funkcji trygonometrycznych i miary łukowej oczywiście wynika, że funkcje te są okresowe. Zauważmy, że jeśli weźmiemy na przykład kąt $45°$ i kąt $405°$, to wartości wszystkich funkcji będą dla nich takie same: kąty te leżą "w tym samym miejscu" na okręgu.

2

Oczywiście wszystkie funkcje mają okres równy $2×∏$, czyli pełnemu obrotowi. Wynikają z tego wzory:

$sin α = sin (α + k×2×∏)$
$cos α = cos (α + k×2×∏)$
$ an α = an (α + k×2×∏)$
$ctg α = ctg (α + k×2×∏)$

gdzie $k ∈ N$, czyli inaczej mówiąc: że od wartości kąta możemy odjąć $2×∏$, a wartość funkcji pozostanie taka sama.

Teraz można zapytać, czy okres pełnego obrotu jest okresem podstawowym, czyli czy nie da się znaleźć innej, mniejszej liczby, po której wartości funkcji by się powtarzały.

Okazuje się, że rzeczywiście dla funkcji tangens i cotangens istnieje mniejszy okres równy $∏$. Wynikają z tego wzory:

$ an α= an(α + k×∏)$
$ctg α = ctg(α + k×∏)$

Okresowość funkcji widać dość dobrze na ich wykresach:

2a

2b

2c

2d

Trzeba także wiedzieć, że funkcje $ an (x)$ oraz $ctg (x)$ posiadają asymptoty pionowe, czyli miejsca, gdzie nie mają wartości (ich granice w tym miejscu są rozbieżne do $∞$.).

Wynika to bezpośrednio z ich definicji - w przypadku $ an (x)$ miejsc, gdzie $x = 0$, czyli:

$α = {∏}/{2} + k×∏$

(dzielenie przez zero, ponieważ $ an (x) = {y}/{x}$).

W przypadku $ctg (x)$ - miejsc, gdzie $y = 0$, czyli $α =∏ + k×∏$ , gdzyż $ctg (x) = {x}/{y}$.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Udowodnij, że różnica kwadratów...

Kwadrat liczby p to wyrażenie:

{premium}

Kwadrat liczby o dwa mniejszej od p:

Różnica tych liczb:

Dowolna liczba pierwsza większa od 2 jest liczbą nieparzystą, zatem wyrażenie p-1 jest parzyste. Możemy zatem zapisać:

Wtedy:

Liczba 8 jest składnikiem iloczynu zatem cała liczba jest podzielna przez 8.

Osią symetrii...

Dana jest funkcja kwadratowa postaci

Osią symetrii wykresu funkcji kwadratowej jest prosta 

gdzie p jest pierwszą współrzędną wierzchołka wykresu funkcji. {premium}

Zatem osią symetrii wykresu tej funkcji jest prosta

 

 

 

Odp. D.   

Oblicz sumę wszystkich liczb trzycyfrowych ...

Przypadek I.

Są to liczby, których cyfry są takie same, czyli: 111, 222, 333. {premium}

Suma powyższych liczb:

 

 

Przypadek II.

Są to liczby, których wszystkie cyfry są różne, czyli: 123, 132, 213, 231, 312, 321.

Suma powyższych liczb:

 

 

Przypadek III.

Są to liczby, których dwie cyfry są takie same, czyli: 112, 121, 211, 122, 212, 221, 113, 131, 311, 133, 313, 331, 223, 232, 322, 233, 323, 332.

Suma powyższych liczb:

 

 

Zatem suma wszystkich liczb wynosi:

 

Wypisz wszystkie współczynniki oraz określ stopień podanego wielomianu.

Przyjmujemy oznaczenia takie jak w definicji wielomianu:

 


 {premium}

 

 


 

 

 


 

 

 


 

 

 

Rzucamy symetryczną monetą

Opiszmy zdarzenie na drzewku. Na gałęziach drzewka zapisano odpowiednie prawdopodobieństwa

 

Zaznaczono gałęzie, które opisują zdarzenie A. 

 

{premium}

 

 

 

 

 

Odp. B

Wykaż, że dla dowolnej wartości parametru m równanie...

 

 

Równanie ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste, gdy{premium} Δ>0:

 

 

 

Współczynnik przy m2 jest dodatni i wyróżnik Δm jest ujemny, więc parabola 4m2-8m+13 znajduje się w całości nad osią m. Oznacza to, że wyrażenie 4m2-8m+13 jest dodatnie dla każdej wartości parametru m. Stąd Δ>0 dla każdego ∈ R, co należało dowieść.

Zaznacz na płaszczyźnie kartezjańskiej...

a) Rysujemy wykres funkcji y=x2 i na jego podstawie wykres funkcji y=2x2.

{premium}

Zaznaczamy zbiór rozwiązań nierówności y≤2x2.


b) Oznaczmy:

 

Przekształcamy wzór funkcji f do postaci kanonicznej:

 

Aby narysować wykres funkcji f, wystarczy przysunąć wykres funkcji y=x2 równolegle o wektor [2, 0]. Otrzymamy wówczas wykres funkcji g(x)=(x-2)2. Następnie na postawie wykresu funkcji g należy narysować wykres funkcji f(x)=1/2g(x).

Zaznaczamy zbiór rozwiązań nierówności y1/2x2-2x+2.

 

Która z liczb jest równa...

Najmniejsza dwucyfrowa, parzysta liczba to 10, największa to 98. Różnicą tego ciągu jest liczba 2. Obliczmy ile jest takich liczb:{premium}

 

 

 

 

  

 

 

Obliczmy sumę 45 początkowych wyrazów naszego ciągu:

 

Odpowiedź A

Wykaż, że równanie...

Mamy dane równanie:

 

Obliczmy dla jakiej wartości k to równanie ma jedno rozwiązanie, czyli:  {premium}

 

 

 

 

 

zatem:

 

 

zatem:

 

c.n.w.

Dany jest trójkąt prostokątny o przyprostokątnych długości 6 i 8 ...

 

Rysunek pomocniczy:

Środkowe, których długości szukamy, to odcinki DC oraz BE.     {premium}

Korzystając z tw. Pitagorasa dla trójkąta ADC mamy:

 

 

 

Korzystając z tw. Pitagorasa dla trójkąta ABE mamy:

 


 

Rysunek pomocniczy:

Zatem mamy:

 

 

Wobec tego:

 

 

czyli otrzymujemy:

 

 

 

Korzystając z tw. Pitagorasa dla trójkąta ADC mamy:

 

 

Korzystając z tw. Pitagorasa dla trójkąta ABE mamy: