Okresowość funkcji trygonometrycznych - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Okresowość funkcji trygonometrycznych

Z tego, co powiedzieliśmy przy okazji definicji funkcji trygonometrycznych i miary łukowej oczywiście wynika, że funkcje te są okresowe. Zauważmy, że jeśli weźmiemy na przykład kąt $$45°$$ i kąt $$405°$$, to wartości wszystkich funkcji będą dla nich takie same: kąty te leżą "w tym samym miejscu" na okręgu.

2

Oczywiście wszystkie funkcje mają okres równy $$2×∏$$, czyli pełnemu obrotowi. Wynikają z tego wzory:

$$sin α = sin (α + k×2×∏)$$
$$cos α = cos (α + k×2×∏)$$
$$ an α = an (α + k×2×∏)$$
$$ctg α = ctg (α + k×2×∏)$$

gdzie $$k ∈ N$$, czyli inaczej mówiąc: że od wartości kąta możemy odjąć $$2×∏$$, a wartość funkcji pozostanie taka sama.

Teraz można zapytać, czy okres pełnego obrotu jest okresem podstawowym, czyli czy nie da się znaleźć innej, mniejszej liczby, po której wartości funkcji by się powtarzały.

Okazuje się, że rzeczywiście dla funkcji tangens i cotangens istnieje mniejszy okres równy $$∏$$. Wynikają z tego wzory:

$$ an α= an(α + k×∏)$$
$$ctg α = ctg(α + k×∏)$$

Okresowość funkcji widać dość dobrze na ich wykresach:

2a

2b

2c

2d

Trzeba także wiedzieć, że funkcje $$ an (x)$$ oraz $$ctg (x)$$ posiadają asymptoty pionowe, czyli miejsca, gdzie nie mają wartości (ich granice w tym miejscu są rozbieżne do $$∞$$.).

Wynika to bezpośrednio z ich definicji - w przypadku $$ an (x)$$ miejsc, gdzie $$x = 0$$, czyli:

$$α = {∏}/{2} + k×∏$$

(dzielenie przez zero, ponieważ $$ an (x) = {y}/{x}$$).

W przypadku $$ctg (x)$$ - miejsc, gdzie $$y = 0$$, czyli $$α =∏ + k×∏$$ , gdzyż $$ctg (x) = {x}/{y}$$.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Drewniany klocek

`ul(ul("pierwsza możliwość"))` 

Obliczmy, jaką długość ma przekątna ściany o wymiarach 3 dm x 5 dm. 

`3^2+5^2=d^2` 

`9+25=d^2` 

`d^2=34` 

`d=sqrt34\ [dm]` 

 

Przekrój podzielił klocek na dwa graniastosłupy trójkątne. Podstawa tego trójkąta jest trójkąt prostokątny o przyprostokątnych 3 dm i 5 dm. Na pole powierzchni bocznej składają się pola prostokątów o wymiarach 3 dm x 4 dm, 5 dm x 4 dm, √34 dm x 4 dm.

Obliczamy pole powierzchni całkowitej:

`P=2*1/2*3*5+3*4+5*4+sqrt34*4=15+12+20+4sqrt34=47+4sqrt34\ [dm^2]` 

Suma pól dwóch takich graniastosłupów:

`2*(47+4sqrt34)=94+8sqrt34~~94+8*5,8=94+46,4=140,4\ [dm^2]`   

 

 

 

`ul(ul("druga możliwość"))` 

Obliczmy, jaką długość ma przekątna ściany o wymiarach 3 dm x 4 dm. 

`3^2+4^2=d^2` 

`9+16=d^2` 

`d^2=25` 

`d=5\ [dm]` 

 

Przekrój podzielił klocek na dwa graniastosłupy trójkątne. Podstawa tego trójkąta jest trójkąt prostokątny o przyprostokątnych 3 dm i 4 dm. Na pole powierzchni bocznej składają się pola prostokątów o wymiarach 3 dm x 5 dm, 4 dm x 5 dm, 5 dm x 5 dm.

 

Obliczamy pole powierzchni całkowitej:

`P=2*1/2*3*4+3*5+4*5+5*5=12+15+20+25=72\ [dm^2]` 

Suma pól dwóch takich graniastosłupów:
`2*72=144\ [dm^2]` 

 

 

`ul(ul("trzecia możliwość"))` 

Obliczmy, jaką długość ma przekątna ściany o wymiarach 4 dm x 5 dm.

`4^2+5^2=d^2` 

`16+25=d^2` 

`d^2=41` 

`d=sqrt41\ [dm]` 

 

Przekrój podzielił klocek na dwa graniastosłupy trójkątne. Podstawa tego trójkąta jest trójkąt prostokątny o przyprostokątnych 4 dm i 5 dm. Na pole powierzchni bocznej składają się pola prostokątów o wymiarach 4 dm x 3 dm, 5 dm x 3 dm, √41 dm x 3 dm.

Obliczamy pole powierzchni całkowitej:

`P=2*1/2*4*5+4*3+5*3+sqrt41*3=20+12+15+3sqrt41=47+3sqrt41\ [dm^2]` 

 

Suma pól dwóch takich graniastosłupów:

`2*(47+3sqrt41)=94+6sqrt41~~94+6*6,4=94+38,4=132,4\ [dm^2]` 

Wyznacz wartości parametru m...

Równanie ma dokładnie jeden pierwiastek, gdy `Delta=0` 

 

a) `x^2+(m-3)x+m=0` 

`Delta=(m-3)^2-4*1*m=m^2-6m+9-4m=m^2-10m+9` 

`m^2-10m+9=0` 

`Delta_m=(-10)^2-4*1*9=100-36=64` 

`sqrt(Delta_m)=8` 

`m_1=(10-8)/2=2/2=1` 

`m_2=(10+8)/2=18/2=9` 

Odp`m in {1, 9}` 


b) `3x^2+(m+3)x+m=0` 

`Delta=(m+3)^2-4*3*m=m^2+6m+9-12m=m^2-6m+9` 

`m^2-6m+9=0` 

`(m-3)^2=0` 

`m-3=0` 

`m=3` 

Odp. `m=3` 


c) `-mx^2+4mx+4m-12=0` 

Założenie: `-m!=0 \ \ \ "czyli" \ \ \ m!=0` 

`Delta=(4m)^2-4*(-m)*(4m-12)=16m^2+4m(4m-12)=16m^2+16m^2-48m` 

`32m^2-48m=0 \ \ \ |:16` 

`2m^2-3m=0` 

`m(2m-3)=0` 

`m=0 \ \ "sprzeczność" \ \ \ \ \ "lub" \ \ m=3/2` 

Odp. `m=3/2` 


d) `(m+2)x^2+mx-1=0` 

Założenie: `m+2!=0 \ \ \ "czyli" \ \ \ m!=-2` 

`Delta=m^2-4(m+2)*(-1)=m^2+4m+8` 

`m^2+4m+8=0` 

`Delta_m=4^2-4*1*8=16-32=-16 < 0` 

 

Jeśli `m=-2`  otrzymujemy funkcję liniową (posiada jedno miejsce zerowe)

`-2x-1=0` 

`-2x=1 \ \ \ |:(-2)` 

`x=-1/2` 

Odp. `m=-2` 

Oblicz.

W zadaniu korzystamy z następujących własności:

`sin(180^@-alpha)=sinalpha` 

`cos(180^@-alpha)=-cosalpha` 

`"tg"(180^@-alpha)=-"tg"alpha` 

 

 

`"a)"\ cos120^@-sin30^@` 

Wyznaczamy wartość cos120o:

`cos120^@=cos(180^@-60^@)=-cos60^@=-1/2` 

Wiemy, że:

`sin30^@=1/2` 

Stąd otrzymujemy:

`cos120^@-sin30^@=-1/2-1/2=-1` 

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))`   

`"b)"\ cos135^@*"tg"150^@` 

Wyznaczamy wartość cos135o:

`cos135^@=cos(180^@-45^@)=-cos45^@=-sqrt2/2` 

Wyznaczamy wartość tg150o:

`"tg"150^@="tg"(180^@-30^@)=-"tg"30^@=-sqrt3/3` 

 

Stąd otrzymujemy:

`cos135^@*"tg"150^@=-sqrt2/2*(-sqrt3/3)=sqrt6/6`   

 

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))`   

`"c)"\ sin120^@*"tg"120^@` 

Wyznaczamy wartość sin120o:

`cos120^@=cos(180^@-60^@)=sin60^@=sqrt3/2` 

Wyznaczamy wartość tg120o:

`"tg"120^@="tg"(180^@-60^@)=-"tg"60^@=-sqrt3` 

 

Stąd otrzymujemy:

`sin120^@*"tg"120^@=sqrt3/2*(-sqrt3)=-3/2`    

Średnie zarobki w firmie...

Będziemy korzystać ze wzoru na wariancję:

`sigma^2 = stackrel(-)(x^2) - (stackrel(-)(x))^2`  

 

`a) \ stackrel(-)(x)=(x_1 + x_2 + ... + x_n)/n = 4500` 

`sigma^2 = stackrel(-)(x^2) - (stackrel(-)(x))^2` 

`stackrel(-)(x^2) = 500^2 + 4500^2` 

`stackrel(-)(x^2) = 250000 + 20250000` 

`stackrel(-)(x^2) = 20500000` 

 

 

`stackrel(-)(y)=(x_1 +200 + x_2+200 + ... + x_n+200)/n=(x_1+x_2+...+x_n)/n + (200n)/n = 4500 + 200 = 4700` 

 

`stackrel(-)(y^2) = ((x_1+200)^2 + (x_2+200)^2 + ... + (x_n+200)^2)/n = (x_1^2 + 400x_1 +40000 + x_2^2 + 400x_2 + 40000 + ... + x_n^2 + 400x_n + 40000)/n =` 

`=(x_1^2 + x_2^2 + ... + x_n^2)/n + 400*(x_1+x_2+...+x_n)/n + (40000n)/n = 20500000+400*4500 + 40000 = 22340000` 

 

`sigma_1^2 = stackrel(-)(y^2) - (stackrel(-)(y))^2 = 22340000-22090000=250000` 

`sigma_1 = sqrt(250000) = 500 \ ["zł"]` 

 

 

`b) \ stackrel(-)(y)=(x_1*1,05 + x_2 *1,05+ ... + x_n *1,05)/n= (x_1 + 0,05x_1 + x_2 + 0,05x_2 + ... + x_n + 0,05x_n)/n = (x_1+x_2+...+x_n)/n+0,05*(x_1+x_2+...+x_n)/n = 4500+0,05*4500=4725`

 

`stackrel(-)(y^2) = ((1,05x_1)^2 + (1,05x_2)^2 + ... + (1,05x_n)^2)/n = (1,1025x_1^2 + 1,1025x_2^2 + ... + 1,1025x_n^2)/n = 1,1025*stackrel(-)(x^2) = 1,1025*20500000=22601250` 

 

Skorzystamy ze wzoru na wariancję:

```sigma^2 = stackrel(-)(y^2) - (stackrel(-)(y))^2 = 22601250 - 4725^2 = 22601250 - 22325625 = 275625` 

`sigma = sqrt(275625)=525 \ ["zł"]` 

Oblicz

`a)\ 1/2+2/3+5/6=3/6+4/6+5/6=12/6=2`

`b)\ 1 1/2+1/3+2 3/4=1 6/12+4/12+2 9/12=3 19/12=4 7/12`

`c)\ 5/12+5/18=15/36+10/36=25/36`

`d)\ 11/45-9/30=22/90-27/90=-5/90=-1/18`

`e)\ 3/5+4/15-2/25=9/15+4/15-2/25=13/15-2/25=65/75-6/75=59/75`

`f)\ 5/12-2/15-3/10=25/60-8/60-18/60=-1/60`

 

Oblicz pole i obwód trapezu równoramiennego ...

a) Rysunek pomocniczy:

Przyjmujemy takie oznaczenia, jak na rysunku.

Wiemy, że:

`|DC|=4\ "cm"` 

`|AB|=8\ "cm"` 

`|AC|=10\ "cm"` 

W trapezie ABCD prowadzimy dwie wysokości DE oraz CF.

Punkty E i F dzielą podstawę AB na trzy odcinki:

`|EF|=|DC|=4\ "cm"` 

`|AE|=|FB|=2\ "cm"` 

Zauważmy, że:

`|AF|=|AE|+|EF|=2+4=6\ ["cm"]` 

Korzystając z tw. Pitagorasa wyznaczamy długość wysokości trapezu, czyli długość odcinka CF:

`|CF|^2=|AC|^2-|AF|^2`  

`|CF|^2=10^2-6^2=100-36=64` 

`|CF|=sqrt64=8\ ["cm"]` 

 

Obliczamy pole trapezu ABCD:

`P_(ABCD)=((8+4)*strike8^4)/strike2^1=12*4=ul(ul(48\ ["cm"^2]))`  

 

Korzystając z tw. Pitagorasa dla trójkąta FBC wyznaczamy długość odcinka CB, czyli długość ramienia trapezu:

`|CB|^2=|FB|^2+|CF|^2` 

`|CB|^2=2^2+8^2=4+64=68` 

`|CB|=sqrt68=2sqrt17\ ["cm"]`  

 

Obliczamy obwód trapezu:

`O=8+4+2sqrt17+2sqrt17=ul(ul(12+4sqrt17\ ["cm"]))`  

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))` 

b) Rysunek pomocniczy:

Przyjmujemy takie oznaczenia, jak na rysunku.

Wiemy, że:

`|DC|=4\ "cm"`  

`|AB|=6\ "cm"`  

Przekątne AC i DB przecinają się pod kątem prostym. Oznaczamy punkt przecięcia przekatnych jako P.

Zauważmy, że trójkąt ABP jest równoramiennym trójkątem prostokątnym (miary jego kątów wynoszą 90o, 45o i 45o).

Korzystając z własności trójkąta o takich miarach kątów otrzymujemy:

`|AP|=|BP|=3sqrt2\ "cm"`  

Podobnie trójkąt CDP jest równoramiennym trójkątem prostokątnym. Wówczas:

`|DP|=|CP|=2sqrt2\ "cm"` 

 

Obliczamy długości przekątnych AC i DB:

`|AC|=|DB|=|AP|+|CP|=3sqrt2+2sqrt2=5sqrt2\ ["cm"]` 

 

W trapezie ABCD prowadzimy dwie wysokości DE oraz CF.

Punkty E i F dzielą podstawę AB na trzy odcinki:

`|EF|=|DC|=4\ "cm"` 

`|AE|=|FB|=1\ "cm"` 

Zauważmy, że:

`|AF|=|AE|+|EF|=1+4=5\ ["cm"]` 

Korzystając z tw. Pitagorasa wyznaczamy długość wysokości trapezu, czyli długość odcinka CF:

`|CF|^2=|AC|^2-|AF|^2`  

`|CF|^2=(5sqrt2)^2-5^2=50-25=25`  

`|CF|=sqrt25=5\ ["cm"]`   

 

Obliczamy pole trapezu ABCD:

`P_(ABCD)=((4+6)*5)/2=(strike10^5*5)/strike2^1=ul(ul(25\ ["cm"^2]))`   

 

Korzystając z tw. Pitagorasa dla trójkąta FBC wyznaczamy długość odcinka CB, czyli długość ramienia trapezu:

`|CB|^2=|FB|^2+|CF|^2` 

`|CB|^2=1^2+5^2=1+25=26`  

`|CB|=sqrt26\ ["cm"]`   

 

Obliczamy obwód trapezu:

`O=4+6+sqrt26+sqrt26=ul(ul(10+2sqrt26\ ["cm"]))` 

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))` 

c) Rysunek pomocniczy:

Przyjmujemy takie oznaczenia, jak na rysunku.

Wiemy, że:

`|DC|=12\ "cm"` 

`|AB|=16\ "cm"` 

Kąt ostry trapezy ma miare równą 30o.

W trapezie ABCD prowadzimy dwie wysokości DE oraz CF.

Punkty E i F dzielą podstawę AB na trzy odcinki:

`|EF|=|DC|=12\ "cm"`  

`|AE|=|FB|=2\ "cm"` 

 

Ramię trapezu AD, wysokość DE oraz odcinek AE tworzą trójkąt prostokątny AED.

Miary kątów w tym trójkącie wynoszą 90o, 60o i 30o, gdyż miara kąta ostrego trapzeu, a więc jednego z kątów trójkąta AED wynosi 30o.

Korzystając z własności trójkąta o takich miarach kątów otrzymujemy:

`|AE|=|DE|sqrt3` 

`2=|DE|sqrt3\ \ \ \ \ \ \ \|:sqrt3` 

`|DE|=2/sqrt3\ stackrel("usuwamy niewymiernośc")=\ 2/sqrt3*sqrt3/sqrt3=(2sqrt3)/3\ ["cm"]`  

`|AD|=2*|DE|=2*(2sqrt3)/3=(4sqrt3)/3\ ["cm"]`   

 

Obliczamy pole trapezu ABCD:

`P_(ABCD)=((12+16)*(2sqrt3)/2)/2=(strike28^14*(2sqrt3)/strike2^1)/2=(strike28^14sqrt3)/strike2^1=ul(ul(14sqrt3\ ["cm"^2]))`   

 

Obliczamy obwód trapezu:

`O=16+12+(4sqrt3)/3+(4sqrt3)/3=ul(ul(28+(8sqrt3)/3))\ ["cm"]`   

W dziewięciowyrazowym ...

`a)` 

`a_n-"ciąg arytmetyczny"`  

 

`a_1=4` 

`a_1,a_3,a_7-"ciąg geometryczny"` 

 

`a_3^2=a_1a_7` 

`(a_1+2r)^2=a_1(a_1+6r)` 

`(4+2r)^2=4(4+6r)` 

`16+16r+4r^2=16+24r` 

`4r^2-8r=0` 

`r^2-2r=0` 

`r(r-2)=0`   

`r=0\ \ \vee\ \ \r=2` 

 

`"Dla r=0:"` 

 

`S_9=(2*4+(9-1)*0)/2*9=4*9=36` 

 

`"Dla r=2:"` 

 

`S_9=(2*4+(9-1)*2)/2*9=12*9=108` 

 

`b)` 

`a_n-"ciąg arytmetyczny"` 

`a_1=-1` 

 

`a_1,a_2,a_5-"ciąg geometryczny"` 

 

`a_2^2=a_1a_5` 

`(a_1+r)^2=a_1(a_1+4r)` 

`(-1+r)^2=-1(-1+4r)` 

`1-2r+r^2=1-4r` 

`r^2+2r=0 implies r(r+2)=0` 

`r=0\ \ \vee\ \ \r=-2` 

 

`"Różnice równą zero nie bierzemy pod uwagę, ponieważ ciąg ma być malejący. Gdy r=0 to ciąg jest stały."` 

 

`S_6=(2*a_1+(6-1)(-2))/2*6=(-2-10)/2*6=-6*6=ul(-36)`         

Wypisz sześć ...

`a)` 

`a_1=2` 

`a_2=2-3=-1` 

`a_3=-1-3=-4` 

`a_4=-4-3=-7` 

`a_5=-7-3=-10` 

`a_6=-10-3=-13` 

 

`b)` 

`a_1=-3` 

`a_2=2*(-3)=-6` 

`a_3=2* (-6)=-12` 

`a_4=2*(-12)=-24` 

`a_5=2*(-24)=-48` 

`a_6=2*(-48)=-96` 

 

`c)`` ` 

`a_1=1/64` 

`a_2=2^1*1/64=1/32` 

`a_3=2^2*1/32=1/8` 

`a_4=2^3*1/8=1` 

`a_5=2^4*1=16` 

`a_6=2^5*16=32*16=512`   

 

`d)` 

`a_1=0` 

`a_2=3` 

`a_3=a_2+a_1=0+3=3` 

`a_4=a_3+a_2=3+3=6` 

`a_5=6+3=9`  

`a_6=9+6=15` 

 

`e)` 

`a_1=1` 

`a_2=1` 

`a_3=a_2^2-a_1=1-1=0` 

`a_4=0^2-1=-1` 

`a_5=(-1)^2-0=1` 

`a_6=1^2+1=2` 

 

`f)` 

`a_1=2` 

`a_2=1` 

`a_3=a_2*a_1-2=0` 

`a_4=0*1-3=-3` 

`a_5=-3*0-4=-4` 

`a_6=-3*(-4)-5=7` 

 

 

Rozwiąż graficznie podane równanie.

a) Rysunek poglądowy:

 

b) Rysunek poglądowy:

 

Wyrażenie jest równe

`(sqrta+sqrtb)/(a-b):(a*b)/(sqrta-sqrtb)=(sqrta+sqrtb)/(a-b)*(sqrta-sqrtb)/(a*b)=((sqrta+sqrtb)*(sqrta-sqrtb))/((a-b)*a*b)=(sqrta^2-sqrtb^2)/((a-b)*a*b)=(a-b)/((a-b)*a*b)=1/(a*b)=`

`=1/((3+sqrt2)*(3-sqrt2))=1/(3^2-sqrt2^2)=1/(9-2)=1/7\ \ \ \ \ \ \ \ odp.\ A`