Odległość punktu od prostej - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Odległość punktu od prostej - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Spis treści

Rozwiązane zadania
Punkty A=(0, 0) i C=(2,8)

Wyznaczmy współrzędne dwóch punktów należących do prostej, w której zawiera się przekątna BD. {premium}

Zaznaczmy w układzie współrzędnych prostą BD oraz odcinek AC, punkt przecięcia prostej z odcinkiem oznaczmy jako S:

Wyznaczmy równanie prostej AC, a następnie sprawdzimy, czy proste AC oraz BD są prostopadłe. Jeśli tak, to będzie to oznaczać, że czworokąt ABCD jest kwadratem (ponieważ prostokąt mający prostopadłe przekątne to kwadrat). 

Prosta AC przecina oś OY w punkcie (0; 0), więc współczynnik b jest równy 0, więc prosta AC ma równanie:

 

Podstawmy teraz współrzędne punktu C do powyższego równania:

 

Mamy równanie prostej AC:

 

Sprawdźmy, czy proste AC i BD są równoległe - musimy sprawdzić, czy iloczyn współczynników kierunkowych tych prostych jest równy -1:

Proste AC i BD są więc równoległe, czyli prostokąt ABCD jest kwadratem. 

Przekątne w kwadracie są jednakowej długości, przecinają się w połowie i pod kątem prostym. Korzystając z twierdzenia Pitagorasa obliczymy długość odcinka SA - jest to połowa długości przekątnej kwadratu:

Wiemy już, że połowa przekątnej kwadratu ma długość √17. Korzystając z twierdzenia Pitagorasa obliczymy, jaką długość ma bok kwadratu. Wykonajmy rysunek pomocniczy:

  

 

Obliczamy pole i obwód kwadratu:

 

W okręgu narysowano dwie średnice...

{premium}

Wszystkie kąty czworokąta KMLN są proste, bo są oparte na średnicy, więc jest to prostokąt.

Oznaczmy przez ...

 

 

 

 

a) 1, 2, 3, 4, 4 {premium}

 

 

 

 

 

b) 10,10,15,16,17

 

 

 

 

 

c) 1, 2, 10, 50, 50

 

 

 

 

 

d) 1,1,2,3,4

 

 

 

 

 

Oblicz granicę ciągu...

{premium}  

 

 

 

 

 

 

W prostokącie ABCD bok AB ma długość...

Rysunek pomocniczy:

Mamy dane:

 

Wiemy też, że bok  jest o  {premium}  krótszy od przekątnej, więc możemy przyjąć oznaczenia takie, jak na rysunku.

Obliczamy, korzystając z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta  długość boku  

 

  

      

 

 

Obliczamy obwód prostokąta:

 

 

Odp. Obwód prostokąta jest równy  

Rozwiąż nierówność f(x) > ...

Wielomian w(x):{premium}

rozkładamy na czynniki (mozna wyłączyć -x ze składników wielomianu).

Sprawdzamy czy trójmian kwadratowy ma pierwiastki.

Wielomian w(x) możemy zapisać w postaci:

Pierwiastkami wielomianu w(x) są liczby: -2, -2/3 oraz 0.

Każda z liczb jest pierwiastkiem jednokrotnym (zmieniają znak wielomianu).

Współczynnik przy najwyższej potędze jest liczbą ujemną.

Szkicujemy wykres wielomianu.

Odczytujemy, dla których argumentów, wielomian przyjmuje wartości dodatnie.

Wielomian w(x):

rozkładamy na czynniki (można wyłączyć x ze składników wielomianu).

Szukamy pierwiastków drugiego czynnika wielomianu w(x), czyli wielomianu v(x)=x3+x2+x-3

Będziemy korzystać z tw. o pierwiastkach całkowitych (an≠0, a0≠0 oraz współczynniki są liczbami całkowitymi).

Dzielniki wyrazu wolnego, czyli -3 to: -1, 1, -3, 3.

Sprawdzamy, która z liczb jest pierwiastkiem wielomianu v(x).

1 jest pierwiastkiem wielomianu v(x).

Aby wyznaczyć kolejne pierwiastki, dzielimy wielomia v(x) przez (x-1).

Sprawdźmy czy trójmian kwadratowy ma pierwiastki.

 

Wielomian w(x) możemy zapisać w postaci:

Pierwiastkami wielomianu w(x) sa liczby 0 oraz 1.

Każdy z tych pierwiastków jest pierwiastkiem jednokrotnym.

Współczynnik przy najwyższej potędze jest liczbą dodatnią.

Szkicujemy wykres wielomianu.

Odczytujemy, dla których argumentów, wielomian przyjmuje wartości dodatnie.

Wielomian w(x):

rozkładamy na czynniki (można wyłączyć x ze składników wielomianu).

Sprawdzamy czy trójmian kwadratowy ma pierwiastki.

 

Wielomian w(x) możemy zapisać w postaci:

Pierwiastkami wielomianu w(x) sa liczby 0, 1 oraz 3/2.

Każdy z tych pierwiastków jest pierwiastkiem jednokrotnym.

Współczynnik przy najwyższej potędze jest liczbą dodatnią.

Szkicujemy wykres wielomianu.

Odczytujemy, dla których argumentów, wielomian przyjmuje wartości dodatnie.

Rozważmy wszystkie trójkąty równoramienne o obwodzie...

Przypadek I:

{premium}


Trójkąt obracamy wokół prostej AB. Otrzymujemy dwa stożki "sklejone" podstawami o promieniu R i wysokości a. Zatem objętość bryły obliczymy następująco:

 


Z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta ADC:

 

 


Obwód trójkąta ABC jest równy 2p. Stąd:

 

 

 

 

 


Mamy więc:

 

Niech:

 


Obliczamy V1':

 

Chcemy znaleźć największą objętość V1więc szukamy punktu, w którym funkcja V1 osiąga największą wartość:

 

 

 

 

 

 


Zatem:

 



Przypadek II:


Trójkąt obracamy wokół prostej CD. Otrzymujemy stożek o promieniu podstawy a i wysokości R. Zatem objętość stożka obliczymy następująco:

 


Z obliczeń do poprzedniego przypadku mamy:

 

 

oraz 

 


Zatem:

 

Niech:

 


Obliczamy V2':

 

Chcemy znaleźć największą objętość V2więc szukamy punktu, w którym funkcja V2 osiąga największą wartość:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


Zatem:

 


Obliczamy V1:V2:

 

Dane są zbiory: A={a: a ∈ N ...

Wyznaczmy elementy zbioru A.

 

    {premium}

 

 

 

 

 

 

Wyznaczmy elementy zbioru B.

 

 

 

Liczbę a można wybrać na 5 sposobów, liczbę b można wybrać na 7 sposobów.

 Łączna ilość wyborów pary (a,b):

 

 

Odp. Jest 35 takich par.

Niech A i B będą zdarzeniami losowymi...

Narysujmy pomocniczy kwadrat o boku 1 żeby opisać P(B):

Zauważmy, że

to  oraz{premium}

to  

Łatwo zauważyć, że:

 

Stąd:

 

 

 

 

Ze wzoru na prawdopodobieństwo warunkowe:

 

 

 

Ze wzoru na prawdopodobieństwo sumy zdarzeń:

 

 

 

 

 

Zbadaj, czy dwumian f może wystąpić...

a) Zbadajmy czy dwumian f(x)=x-1 może wystąpić w rozkładzie na czynniki wielomianu g, wtedy musi istnieć taki h, że:

 

Wielomian h musi być 2 stopnia a współczynnik przy najwyższej potędze musi być równy 1. Wyraz wolny wynosi 3.

 

 

Wykonajmy mnożenie:

{premium}  

Zatem:

 

 

Stąd a =0, zatem wielomian f wystąpi w rozkładzie na czynniki wielomianu g.

 

b) Analogicznie, sprawdźmy czy istnieje taki wielomian k, że:

 

Wielomian k musi być stopnia 2, współczynnik przy najwyższej potędze wynosi 2 a wyrazy wolny jest równy 1.

 

Wykonajmy mnożenie:

 

Zatem:

 

 

 

Stąd b = -3, zatem wielomian f wystąpi w rozkładzie na czynniki wielomianu g.