Odległość punktu od prostej - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Odległość punktu od prostej - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Spis treści

Rozwiązane zadania
Punkty A=(5, 1), B=(8, 4) są końcami ...

Odległość między punktami  i  obliczamy ze wzoru

.

 

Okrąg  jest to krzywa, której wszystkie punkty leżą w tej samej odległości od danego punktu  zwanego środkiem okręgu. 

 

Punkt  jest punktem jednakowo oddalonym od punktów  i .

Wtedy , zatem{premium}

 

 

 

Równanie to opisuje wszystkie punkty jednakowo oddalone od punktów  i ,

ale my szukamy takiego punktu, który dodatkowo znajduje się na prostej

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Pierwsza współrzędna środka okręgu równa jest .

Drugą obliczymy podstawiając  do wzoru prostej, na której leży ten punkt.

 

 

.

Punkt  ma współrzędne równe .

 

Promień okręgu jest równy

.

 

Dla jakich wartości parametru

Wielomian w jest podzielny przez dwumian x-a, jeśli w(a)=0. 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Dana jest funkcja...

Wiemy, że pierwsza współrzędna wierzchołka jest równa średniej arytmetycznej miejsc zerowych (bo miejsca zerowe są równo odległe od wierzchołka paraboli).

 

 

Najmniejsza wartość wynosi -4 zatem wierzchołek ma współrzędne:

 

 

 

 

 

 

 

 

Na podstawie wzoru funkcji kwadratowej f w postaci

Miejsca zerowe muszą być symetryczne względem osi symetrii, dlatego równanie osi symetrii możemy wyznaczyć biorąc średnią arytmetyczną miejsc zerowych: 

Oś symetrii paraboli przechodzi przez jej wierzchołek, więc pierwsza współrzędna wierzchołka jest równa -13. 

Funkcja f(x) ma dodatni współczynnik a (równy 0,5), więc jej ramiona są skierowane w górę. Zatem:

 

Wyznacz liczbę rozwiązań równania we względu na wartość parametru m

 

 

 

 

 

 

 

  

   ("wyrzucamy" 0, bo takie są założenia (2)) 

 

 

 

 

 

Ostatecznie funkcję g(m) można opisać następująco: 

 

 

    

Sprawdź rachunkowo, czy przekątne równoległeob

Wyznaczamy równanie prostej AC. Należą do niej punkty A oraz C, więc wystarczy do równania ogólnego prostej y=ax+b podstawić współrzędne punktów A=(-4; -2) i C=(6; 2). 

Podstawiamy obliczoną wartość a do drugiego równania ostatniego układu: {premium}

 

 

 

Wyznaczamy równanie prostej BD. Należą do niej punkty B oraz D, więc wystarczy do równania ogólnego prostej podstawić współrzędne punktów B=(0; -4) i D=(2; 4). 

 

 

 

Punkt przecięcia prostych AC i BD to punkt przecięcia przekątnych równoległoboku ABCD. Wystarczy teraz rozwiązać układ równań złożony z równań tych dwóch prostych, aby otrzymać współrzędne tego punktu przecięcia. 

Otrzymaliśmy punkt o współrzędnych (1; 0). 

a) Wykaż, że długość odcinka łączącego ...

a)

Rysunek pomocniczy:

podglad pliku

Z treści zadania:

 

 

 

Aby udowodnić, że:

      {premium}

wykorzystamy własności wektorów.

 

Zauważmy, że:

 

 

Dodając stronami otrzymujemy:

 

 

Zauważmy, że 

 

 

Zatem otrzymujemy: 

 

 

 

 


b)

Rysunek pomocniczy:

podglad pliku

 

 

 

 

 

 

Wyrażenie (4x^2+1+2x)(4x^2+1-2x) jest równe

 

Stożek o promieniu podstawy 3 ...

Rysunek pomocniczy:

podglad pliku

Z treści zadania wiemy, że:

 

 

     {premium}

 

Z podobieństwa trójkątów otrzymujemy:

 

 

 

 

 

 

Obliczmy objętość stożka nad płaszczyzną podziału.

 

 

 

 

 

Obliczmy objętość stożka pod płaszczyzną podziału.

 

 

 

 

Oblicz współczynnik kierunkowy

 

Prosta EF ma więc równanie:

{premium}

Wartość współczynnika b obliczymy, podstawiając do powyższego równania współrzędne jednego z punktów E lub F. Podstawmy współrzędne punktu E:

 

 

 

 

 

Prosta EF ma więc równanie:

 

Podstawiamy współrzędne punktu F:

 

 

 

 

Prosta EF ma więc równanie: 

 

Podstawiamy współrzędne punktu E:

 

 

 

 

Prosta EF ma więc równanie:

 

Podstawiamy współrzędne punktu F: