Nierówności wymierne - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Nierówności wymierne

Skoro zgłębiliśmy już temat nierówności wielomianowych, możemy zabrać się za ich rozwinięcie - nierówności wymierne. Tak naprawdę wymagają one jedynie jednego "kroku" więcej i wszystko dalej sprowadza się do rozwiązywania nierówności wielomianowych.

Najprościej będzie zobaczyć to na przykładzie:

$${3x-2}/{4x-7}$$ > $${1-3x}/{5-4x}$$

1) Pierwszą rzeczą, którą robimy po zobaczeniu takiej nierówności, jest przeniesienie wszystkich składników na jedną stronę.

$${3x-2}/{4x-7} - {1-3x}{5-4x}$$ > $$0$$

2) Sprowadzamy oba ułamki do wspólnego mianownika:

$${(3x-2)(5-4x)}/{(4x-7)(5-4x)} - {(1-3x)(4x-7)}/{(4x-7)(5-4x)}$$ > $$0$$

3) Dodajemy ułamki i rozpisujemy ich liczniki

$${(3x-2)(5-4x) - (1-3x)(4x-7)}/{(4x-7)(5-4x)}$$ > $$0$$
$${-2x-3}/{(4x-7)(5-4x)}$$ > $$0$$

4) Teraz następuje najważniejszy krok: zamieniamy iloraz wielomianów na ich iloczyn. Możemy to zrobić, ponieważ taka operacja nie zmienia znaku lewej strony. Otrzymujemy więc nierówność:

$$(-2x-3)(4x-7)(5-4x)$$ > $$0$$

5) Następnym krokiem jest wyznaczenie miejsc zerowych każdego z czynników oraz sprawdzenie, czy przy najwyższej potędze $$x$$-a jest znak dodatni, czy ujemny:

$$-2x-3 = 0$$
$$x = -{3}/{2}$$
$$4x-7 = 0$$
$$x = -{7}/{4}$$
$$-4x+5 = 0$$
$$x = -{5}/{4}$$

Teraz sprawdzenie znaku:

$$(-2)×4×(-4) = 32$$ > $$0$$

6) Mając miejsca zerowe i znając znak współczynnika możemy narysować schematyczny wykres wielomianu i odczytać z niego przedziały, gdzie jest on dodatni:

1

Jak widać nierówność jest prawdziwa dla $$x$$-ów leżących w przedziałach $$(-{3}/{2}, {5}/{4})$$ oraz $$({7}/{4}, ∞)$$.

Metoda ta powinna zadziałać we wszystkich zadaniach z nierówności wymiernych, które mogłyby pojawić się na maturze.

Warto jeszcze tylko dodać, że krok 3 mógł rozwinąć licznik do wielomianu wyższego stopnia - na przykład funkcji kwadratowej. Należałoby wtedy po prostu znaleźć jej pierwiastki i zapisać w postaci iloczynu - dalsze kroki byłyby takie same.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Wykres funkcji f(x)=-2x^2...

 

 

 

 

 

Funkcja rośnie w przedziale:  

Funkcja maleje w przedziale:  

 

Trójkąt prostokątny, którego przeciwprostokątna ...

 

Jeżeli opiszemy okrąg na trójkącie prostokątnym równoramiennym to połowa c jest równa promieniowi okręgu.

Wysokość poprowadzona z wierzchołka kąta prostego jest również równa promieniowi. 

 

 

  

Płaszczyzna przechodząca przez środki trzech krawędzi...

Obliczmy pole powierzchni mniejszego wielościanu. Jest to ostrosłup trójkątny.

Trzy ściany boczne to trójkąty równoramienne prostokątne o przyprostokątnych długości  

Jedna ściana boczna to trójkąt równoboczny o boku długości  

 

{premium}

 

 

 

 

 

Obliczmy pole powierzchni większego wielościanu.

Trzy ściany to kwadraty o boku długości a.

Trzy ściany to pięciokąty (od kwadratów o boku a zostały wycięte trójkąty równoramienne prostokątne o przyprostokątnych długości  )

Jedna ściana boczna to trójkąt równoboczny o boku długości  

 

 

 

 

 

 

Stosunek tych pól wynosi:

 

Usuwając niewymierność z mianownika otrzymujemy:

 

 

Wysokość walca wpisanego w stożek o promieniu 4...

 - promień stożka

 - promień walca

 - wysokość stożka

 - wysokość walca

 

 

 

 

Z podobieństwa trójkątów otrzymujemy:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Wynik nie zależy od promienia podstawy stożka.

 

 

Oblicz sinus kąta

Wykonajmy rysunek pomocniczy:

 

 

 

Podstawą ostrosłua prawidłowego trójkątnego jest kwadrat. Bok kwadratu ma 18 cm. Odcinek ES ma taką długość, jak połowa boku tego kwadratu. 

 

 

Wysokość ostrosłupa ma 12 cm:

 

 

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta ESW obliczymy, jaką długość ma odcinek EW:

 

 

 

 

 

Sinus kąta w trójkącie prostokątnym to stosunek długości przeciwprostokątnej znajdującej się naprzeciw tego kąta do długości przeciwprostokątnej. 

 

 

 

 

Jeśli wszystkie krawędzie mają długość 10 cm, to odcinek AB także ma 10 cm. Odcinek ES jest 2 razy krótszy:

 

 

Jeśli wszystkie krawędzie ostrosłupa mają 10 cm, to ściana boczna jest trójkątem równobocznym o boku 10 cm. Odcinek EW jest wysokością tego trójkąta. Korzystając ze wzoru na wysokość trójkąta równobocznego możemy obliczyć, jaką długość ma odcinek EW:

 

 

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta ESW obliczymy, jaką długość ma odcinek SW:

 

 

 

 

 

 

Obliczamy szukaną wartość sinusa:

 

 

 

Oblicz pole trapezu prostokątnego opisanego na okręgu...

 Rysunek pomocniczy:

  

Mamy dane:

 

 

Obliczamy  

    

 

Obliczamy  

  

 

 

Wiemy, że trapez jest opisany na okręgu, stąd:

  

 

Obliczamy pole trapezu: 

 

 

Odp. Pole trapezu jest równe  

 

 Rysunek pomocniczy:     

 

Mamy dane:

 

 

Zauważmy, że trójkąt  jest prostokątny, bo odcinki  i  są dwusiecznymi kątów trapezu.

Obliczamy  korzystając z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta  

 

 

 

 

 

Obliczamy  korzystając ze wzoru na wysokość trójkąta prostokątnego.

 

 

Obliczamy pole koła.

   

  

Odp. Pole koła jest równe  

Oblicz...

  

 

n = 20

 

    

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  

Na rysunku obok przedstawiono wykresy ...

Na wykresie przedstawiono funkcje wykładnicze postaci:

 

 

Dla 0<a<1 funkcja jest malejąca, stąd:

     {premium}

Dla a=1 funkcja jest stała, stąd:

 

Dla a>1 funkcja jest rosnąca. Im większa wartość a tym bliżej osi y znajduje się wykres, stąd:

 

 

Wykonaj dzielenie z resztą wielomianu W(x) przez wielomian...

  

 

 

 

  

Który z podanych ciągów nie jest ciągiem arytmetycznym ...

A.   

Sprawdzamy, czy różnica pomiędzy każdymi dwoma sąsiednimi wyrazami jest stała

 {premium}

 

 

Ciąg jest arytmetyczny.


B.   

Sprawdzamy, czy różnica pomiędzy każdymi dwoma sąsiednimi wyrazami jest stała

 

 .

Ciąg nie jest arytmetyczny.

 

Odpowiedź: B