Nierówności wymierne - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Nierówności wymierne - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Nierówności wymierne

Skoro zgłębiliśmy już temat nierówności wielomianowych, możemy zabrać się za ich rozwinięcie - nierówności wymierne. Tak naprawdę wymagają one jedynie jednego "kroku" więcej i wszystko dalej sprowadza się do rozwiązywania nierówności wielomianowych.

Najprościej będzie zobaczyć to na przykładzie:

${3x-2}/{4x-7}$ > ${1-3x}/{5-4x}$

1) Pierwszą rzeczą, którą robimy po zobaczeniu takiej nierówności, jest przeniesienie wszystkich składników na jedną stronę.

${3x-2}/{4x-7} - {1-3x}{5-4x}$ > $0$

2) Sprowadzamy oba ułamki do wspólnego mianownika:

${(3x-2)(5-4x)}/{(4x-7)(5-4x)} - {(1-3x)(4x-7)}/{(4x-7)(5-4x)}$ > $0$

3) Dodajemy ułamki i rozpisujemy ich liczniki

${(3x-2)(5-4x) - (1-3x)(4x-7)}/{(4x-7)(5-4x)}$ > $0$
${-2x-3}/{(4x-7)(5-4x)}$ > $0$

4) Teraz następuje najważniejszy krok: zamieniamy iloraz wielomianów na ich iloczyn. Możemy to zrobić, ponieważ taka operacja nie zmienia znaku lewej strony. Otrzymujemy więc nierówność:

$(-2x-3)(4x-7)(5-4x)$ > $0$

5) Następnym krokiem jest wyznaczenie miejsc zerowych każdego z czynników oraz sprawdzenie, czy przy najwyższej potędze $x$-a jest znak dodatni, czy ujemny:

$-2x-3 = 0$
$x = -{3}/{2}$
$4x-7 = 0$
$x = -{7}/{4}$
$-4x+5 = 0$
$x = -{5}/{4}$

Teraz sprawdzenie znaku:

$(-2)×4×(-4) = 32$ > $0$

6) Mając miejsca zerowe i znając znak współczynnika możemy narysować schematyczny wykres wielomianu i odczytać z niego przedziały, gdzie jest on dodatni:

1

Jak widać nierówność jest prawdziwa dla $x$-ów leżących w przedziałach $(-{3}/{2}, {5}/{4})$ oraz $({7}/{4}, ∞)$.

Metoda ta powinna zadziałać we wszystkich zadaniach z nierówności wymiernych, które mogłyby pojawić się na maturze.

Warto jeszcze tylko dodać, że krok 3 mógł rozwinąć licznik do wielomianu wyższego stopnia - na przykład funkcji kwadratowej. Należałoby wtedy po prostu znaleźć jej pierwiastki i zapisać w postaci iloczynu - dalsze kroki byłyby takie same.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Napisz równanie prostej, której wykres jest podany na poniższych rysunkach

Nie jest to wykres funkcji, ponieważ dla argumentu x=-3 jest przyjmowane nieskończenie wiele wartości.

 

{premium}

Jest to wykres funkcji, dla każdego argumentu jest przyjmowana dokładnie jedna wartość, ta wartość to 2. 

 

 

Podstawiamy w miejsce x i y współrzędne punktów, które należą do wykresu funkcji, np. (-2, 0) i (0, 3):

Jest to wykres funkcji - dla każdego argumentu jest przyjmowana dokładnie jedna wartość. 

Punkty A, B i C wyznaczają...

a) Rzuty prostokątne odpowiednich prostych zostały zaznaczone kolorem czerwonym:{premium}

Rzutem prostokątnym prostej PA jest odcinek AS.

Rzutem prostokątnym prostej PB jest odcinek BS.

Rzutem prostokątnym prostej PC jest odcinek CS.


b) Kąty nachylenia odpowiednich prostych zostały zaznaczone kolorem pomarańczowym:

Kątem nachylenia prostej PA jest kąt PAS.

Kątem nachylenia prostej PB jest kąt PBS.

Kątem nachylenia prostej PC jest kąt PCS.

 

a) Dany jest ciąg arytmetyczny ...

   

 

 

      {premium}

 

 

Zatem:

 

 

Z treści zadania wiemy, że:

 

 

 

 

 

 

 

 

 


 

 

 

 

 

Rozwiązując drugą równość otrzymujemy:

 

 

 

 

 

 

 

Łatwo zauważyć, że  nie spełnia pierwszego równania.

Dla  otrzymujemy:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Dla  otrzymujemy:

 

 

  

 

 

 

 

 

Wyznacz wartość najmniejszą...

a) rozwiązane w ćwiczeniach

 

b)

 

{premium}  

 

 

 

 

 

Uzasadnij, że pole trójkąta równobocznego...

Wiemy, że:

{premium}  

Trójkąt równoboczny ma wszystkie boki równej długości, zatem:

 

Beata poprosiła koleżanki o pomoc ...

x - liczba poproszonych koleżanek

y - liczba zaproszeń przypadająca na jedną osobę (w przypadku gdy mamy x koleżanek)

  

 

{premium}   

 

 

 

 

 

 

 

 

  

           

 

Pamiętajmy, że dwie Panie nie przyszły, zatem 6-2=4.

Zaproszenia wypisywały 4 osoby.  

Suma kwadratów trzech kolejnych liczb parzystych niepodzielnych przez 4...

Wypiszmy kilka kolejnych liczb parzystych: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, ... . 

Widzimy, że co druga liczba parzysta jest podzielna przez 4, więc:{premium}

2n, 2n+4, 2n+8 - trzy kolejne liczby parzyste niepodzielne przez 4 (∈ C)

(zakładamy, że n jest dobrane tak, by liczba 2n była niepodzielna prze 4; będziemy później sprawdzać, czy n jest odpowiednie)


Suma kwadratów tych liczb jest równa 1004, więc:

 

 

 

 

 

 

 


Dla n=-11:

 

 

 


Dla n=7:

 

 

 


W obu przypadkach  żadna z otrzymanych liczb nie jest podzielna przez 4, więc oba otrzymane rozwiązania są prawidłowe.


Odp. Szukane liczby to -22, -18, -14 lub 14, 18, 22.

 

Naszkicuj w jednym układzie współrzędnych

 

Rysujemy wykres funkcji f. 

Wykres funkcji g otrzymujemy, przesuwając wykres funkcji f o{premium} 1 jednostkę w prawo wzdłuż osi OX. 

Wykres funkcji h otrzymujemy, przesuwając wykres funkcji g o 2 jednostki w dół wzdłuż osi OY. 

Zauważmy, że aby otrzymać wykres funkcji h można przesunąć wykres funkcji f o 1 jednostkę w prawo wzdłuż osi OX oraz 2 jednostki w dół wzdłuż osi OY, czyli o wektor [1, -2].

 

  

 

 

 

Rysujemy wykres funkcji f. 

Wykres funkcji g otrzymujemy, przesuwając wykres funkcji f o 3 jednostki w prawo wzdłuż osi OX. 

Wykres funkcji h otrzymujemy, przesuwając wykres funkcji g o 2 jednostki w górę wzdłuż osi OY. 

Zauważmy, że aby otrzymać wykres funkcji h można przesunąć wykres funkcji f o 3 jednostki w prawo wzdłuż osi OX oraz 2 jednostki w górę wzdłuż osi OY, czyli o wektor [3,2].

 

 

Zaznacz na osi liczbowej

Wyznacz współrzędne punktu przecięcia przekątnych...

Równanie ogólne prostej:

 

 

Wyznaczmy równania prostych AC i BD.

 

  • Prosta AC:

 

 

Stąd:

 

{premium}  

Przyjmijmy, że B = 1, wtedy:

 

czyli

 

 

 

 

Równanie ogólne prostej:

 

 

Prosta BD:

 

 

Stąd

 

 

 

zatem

 

 

Przyjmijmy, że B = 1, wtedy

C = 1

Równanie ogólne prostej:

 

 

Punkt przecięcia prostych zawierających przekątne czworokąta:

 

 

 

 

 

Punkt przecięcia ma współrzędne: