Zgoda na przetwarzanie danych osobowych

25 maja 2018 roku zacznie obowiązywać Rozporządzenie Parlamentu Europejskiego i Rady (UE) 2016/679 z dnia 27 kwietnia 2016 r. znane jako RODO.

Dlatego aby dalej móc dostarczać Ci materiały odpowiednie do Twojego etapu edukacji, potrzebujemy zgody na lepsze dopasowanie treści do Twojego zachowania. Dzięki temu możemy zapamiętywać jakie materiały są Ci potrzebne. Dbamy o Twoją prywatność, więc nie zwiększamy zakresu naszych uprawnień. Twoje dane są u nas bezpieczne, a zgodę na ich zbieranie możesz wycofać na podstronie polityka prywatności.

Klikając "Przejdź do Odrabiamy", zgadzasz się na wskazane powyżej działania. W przeciwnym wypadku, nie jesteśmy w stanie zrealizować usługi kompleksowo i prosimy o opuszczenie strony.

Polityka prywatności

Drogi Użytkowniku w każdej chwili masz prawo cofnąć zgodę na przetwarzanie Twoich danych osobowych. Cofnięcie zgody nie będzie wpływać na zgodność z prawem przetwarzania, którego dokonano na podstawie wyrażonej przez Ciebie zgody przed jej wycofaniem. Po cofnięciu zgody wszystkie twoje dane zostaną usunięte z serwisu. Udzielenie zgody możesz modyfikować w zakładce 'Informacja o danych osobowych'

Nierówności wymierne - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Nierówności wymierne

Skoro zgłębiliśmy już temat nierówności wielomianowych, możemy zabrać się za ich rozwinięcie - nierówności wymierne. Tak naprawdę wymagają one jedynie jednego "kroku" więcej i wszystko dalej sprowadza się do rozwiązywania nierówności wielomianowych.

Najprościej będzie zobaczyć to na przykładzie:

$${3x-2}/{4x-7}$$ > $${1-3x}/{5-4x}$$

1) Pierwszą rzeczą, którą robimy po zobaczeniu takiej nierówności, jest przeniesienie wszystkich składników na jedną stronę.

$${3x-2}/{4x-7} - {1-3x}{5-4x}$$ > $$0$$

2) Sprowadzamy oba ułamki do wspólnego mianownika:

$${(3x-2)(5-4x)}/{(4x-7)(5-4x)} - {(1-3x)(4x-7)}/{(4x-7)(5-4x)}$$ > $$0$$

3) Dodajemy ułamki i rozpisujemy ich liczniki

$${(3x-2)(5-4x) - (1-3x)(4x-7)}/{(4x-7)(5-4x)}$$ > $$0$$
$${-2x-3}/{(4x-7)(5-4x)}$$ > $$0$$

4) Teraz następuje najważniejszy krok: zamieniamy iloraz wielomianów na ich iloczyn. Możemy to zrobić, ponieważ taka operacja nie zmienia znaku lewej strony. Otrzymujemy więc nierówność:

$$(-2x-3)(4x-7)(5-4x)$$ > $$0$$

5) Następnym krokiem jest wyznaczenie miejsc zerowych każdego z czynników oraz sprawdzenie, czy przy najwyższej potędze $$x$$-a jest znak dodatni, czy ujemny:

$$-2x-3 = 0$$
$$x = -{3}/{2}$$
$$4x-7 = 0$$
$$x = -{7}/{4}$$
$$-4x+5 = 0$$
$$x = -{5}/{4}$$

Teraz sprawdzenie znaku:

$$(-2)×4×(-4) = 32$$ > $$0$$

6) Mając miejsca zerowe i znając znak współczynnika możemy narysować schematyczny wykres wielomianu i odczytać z niego przedziały, gdzie jest on dodatni:

1

Jak widać nierówność jest prawdziwa dla $$x$$-ów leżących w przedziałach $$(-{3}/{2}, {5}/{4})$$ oraz $$({7}/{4}, ∞)$$.

Metoda ta powinna zadziałać we wszystkich zadaniach z nierówności wymiernych, które mogłyby pojawić się na maturze.

Warto jeszcze tylko dodać, że krok 3 mógł rozwinąć licznik do wielomianu wyższego stopnia - na przykład funkcji kwadratowej. Należałoby wtedy po prostu znaleźć jej pierwiastki i zapisać w postaci iloczynu - dalsze kroki byłyby takie same.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Napisz równanie okręgu o środku...

`a) \ (x-4)^2 + (y-(-3))^2 = r^2` 

`(x-4)^2 + (y+3)^2 = r^2` 

Wstawmy współrzędne punktu A:

`(6-4)^2 + (1+3)^2 = r^2` 

`4 + 16 = r^2` 

`r^2 = 20` 

Równanie:

`(x-4)^2 + (y+3)^2 = 20`  

 

`b) \ (x-4)^2 + (y+3)^2 = r^2` 

Wstawmy współrzędne punktu A:

`(0-4)^2 + (-2+3)^2 = r^2` 

`16 + 1 = r^2` 

`r = 17` 

Równanie:

`(x-4)^2 + (y+3)^2 = 17` 

 

`c) \ (x-4)^2 + (y+3)^2 = r^2` 

Wstawmy współrzędne punktu A:

`(4-4)^2 + (0+3)^2 = r^2` 

`r^2 = 9` 

Równanie:

`(x-4)^2 + (y+3)^2 = 9` 

Punkt P(a, b) należący do wykresu ...

`F(x)=(-9)/x` 

`P(a,b)-"punkt należący do wykresu funkcji F(x)"` 

`b=a+6` 

`P(a, b)=P( a;-9/a)` 

`-9/a=a+6` 

`D=RR\\{0}` 

`-9/a=a+6\ \ \|*a` 

`-9=a^2+6a` 

`a^2+6a+9=0` 

`(a+3)^2=0` 

`a=-3` 

`b=a+6=3` 

 

Zauważmy, że:

`log_(27)b=log_27(3)=log_(27)27^(1/3)=1/3` 

`-1/a=-1/(-3)=1/3` 

Czyli:

`log_(27)b=-1/a` 

 

`"Odpowiedź D."`   

Wartość wyrażenia ...

`(sin150^@+tg\ 135^@)*(tg \ 120^@)/cos 150^@=(sin (180^@-150^@)-tg\ (180^@-135^@))*(-tg\ (180^@-120^@))/-cos(180^@-150^@)=` 

`=(sin30^@-tg\ 45^@)*(tg\ 60^@/cos30^@)=(1/2-1)*(sqrt3/(sqrt3/2))=-1/2*1/(1/2)=-1/2*2=-1` 

`"Liczba przeciwna do -1 to 1."` 

`"Odpowiedź B."` 

         

Jeśli 2x/3-y/2=0...

`(2x)/3-y/2=0` 

`(2x)/3=y/2 \ \ \ |*6` 

`4x=3y \ \ \ |:4` 

`x=(3y)/4` 

 

`x/y=((3y)/4)/y=(3y)/4*1/y=3/4` 

 

Odp. B

Rozwiąż równanie ...

`"a)"\ x^3+x=2`

Rozwiązujemy równanie korzystając z twierdzenia o pierwiastkach całkowitych.

Doprowadźmy równanie do takiej postaci, aby po prawej stronie znajdowało się 0.

`x^3+x=2`

`x^3+x-2=0`

Wypiszmy dzielniki wyrazu wolnego, czyli -2:

`p={-1,\ 1,-2,\ 2}`

Sprawdzamy, która z liczb jest pierwiastkiem wielomianu w(x)=x3+x-2=0.

`w(-1)=(-1)^3+(-1)-2=-1-1-2!=0`

`w(1)=1^3+1-2=1+1-2=0`

Liczba 1 jest pierwiastkiem wielomianu w(x).

Aby zanleźć kolejne pierwiastki dzielmy:

`(x^3+x-2):(x-1)=x^2+x+2`

`x^3+x-2=(x-1)*(x^2+x+2)`

Szuakmy pierwiastków równania kwadratowego:

`x^2+x+2=0`

`Delta=1^2-4*1*2<0`

Odp: Pierwiastkiem początkowego równania jest 1.

 

b) Obliczamy pierwiastek równania ze wzoru Cardano:

`x=root(3)(b/2+sqrt(((b/2)^2+(a/3)^3)))-root(3)(-\ b/2+sqrt(((b/2)^2+(a/3)^3))`

Ze wazoru tego korzystamy, gdy mamy równanie postaci:

`x^3+ax=b`

Nasze równanie ma taką postać:

`x^3+x=2`

Stąd:

`a=1`

`b=2`

Podstawiamy do wzoru:

`x=root(3)(2/2+sqrt(((2/2)^2+(1/3)^3)))-root(3)(-\ 2/2+sqrt(((2/2)^2+(1/3)^3))`

`x=root(3)(1+sqrt((1+1/27)))-root(3)(-\ 1+sqrt((1+1/27))`

`x=root(3)(1+sqrt(28/27))-root(3)(-\ 1+sqrt(28/27)`

`x=root(3)(1+sqrt(28/27))-root(3)(sqrt(28/27)-1)`

Odp: Pierwiastkiem poczatkowego równania jest liczba x.

Prostokątny obraz wraz z ramą ...

`P-"pole obrazu"` 

`P=3567\ "cm"^2` 

`P_o-"pole obrazu bez ramy"` 

`P_o=(82*36)\ "cm"^2=2952\ "cm"^2` 

`x- "szerokość ramy"` 

 

`(82+x)(36+x)=3567`

`2956+118x+x^2=3567` 

`x^2+118x-615=0` 

 

`Delta=13924+2460=16384` 

`sqrt(Delta)=128` 

 

`x_1=(-118-128)/2<0` 

`"Szerokość ramy nie może być mniejsza od zera."` 

`x_2=(-118+128)/2=5` 

 

`"Pamiętajmy, że ramę liczyliśmy dwa razy.( z lewej i prawej oraz z góry i dołu)"`  

`5/2=2,5` 

 

`"Rama masz szerokość 2,5 cm."`    

 

   

 

Jaką kwotę ulokowała w banku...

`1823=k(1,05)^4`

 `k = 1499,79`

 

`1823=k(1,025)^4`

  `k = 1651,55` 

Naszkicuj wykres funkcji

Rysujemy wykres funkcji y=-x2

 

 

`a)` 

Zbiorem wartości funkcji y=-x2 jest zbiór (-∞; 0>. Musimy więc przesunąć wykres o 1 jednostkę w górę wzdłuż osi OY. 

`g(x)=-x^2+1` 

 

 

`b)` 

Funkcja y=-x² dla argumentów 2 i -2 przyjmuje wartości -4. Chcemy, aby te argumenty były miejscami zerowymi, więc musi być przyjmowana dla nich wartość 0. Stąd musimy przesunąć wykres funkcji f o 4 jednostki w górę wzdłuż osi OY. 

 

`g(x)=-x^2+4` 

 

 

`c)` 

Funkcja f(x) dla argumentu -2 przyjmuje wartość -4. Chcemy, aby dla argumentu -2 była przyjmowana wartość -5, więc musimy przesunąć wykres funkcji f o 1 jednostkę w dół wzdłuż osi OY. 

 

`g(x)=-x^2-1` 

 

W trapezie równoramiennym ABCD ...

`d=1,1` 

`x=0,5` 

`P=1,32` 

 

`a)` 

`d=(a+b)/2=1,1` 

`P=1,32=(a+b)/2*h=1,1*h` 

`h=(1,32)/(1,1)=1,2` 

{premium}

 

`b)` 

`a+b=2*1,1=2,2` 

`|AD|=|CB|` 

`|AD|^2=x^2+h^2=0,25+1,44=1,69` 

`|AD|=1,3` 

 

`Obw=1,3+1,3+2,2=4,8` 

Dana jest funkcja f(x) ...

`f(x)={(x-3,\ x<3),((x-a)^2,\ x>=3):}`  

 

`a)` 

`f(x)ne0,\ dla\ x in RR`  

`(x-a)^2-"wykresem tej funkcji jest parabola"`   

Aby funkcja f nie miała miejsc zerowych, to wierzchołek paraboli 

musi znajdować się na lewo od prostej x=3.

a-pierwsza współrzędna wierchołka paraboli.

`a<3` 

`ul(a in (-oo;3)` 

 

`b)` 

Funkcja f nie będzie montoniczna, gdy wierzchołek paraboli

będzie znajdował się na prawo od prostej x=3. 

a-pierwsza współrzędna wierchołka paraboli.

`ul(a in (3;+oo)`