Zgoda na przetwarzanie danych osobowych

25 maja 2018 roku zacznie obowiązywać Rozporządzenie Parlamentu Europejskiego i Rady (UE) 2016/679 z dnia 27 kwietnia 2016 r. znane jako RODO.

Dlatego aby dalej móc dostarczać Ci materiały odpowiednie do Twojego etapu edukacji, potrzebujemy zgody na lepsze dopasowanie treści do Twojego zachowania. Dzięki temu możemy zapamiętywać jakie materiały są Ci potrzebne. Dbamy o Twoją prywatność, więc nie zwiększamy zakresu naszych uprawnień. Twoje dane są u nas bezpieczne, a zgodę na ich zbieranie możesz wycofać na podstronie polityka prywatności.

Klikając "Przejdź do Odrabiamy", zgadzasz się na wskazane powyżej działania. W przeciwnym wypadku, nie jesteśmy w stanie zrealizować usługi kompleksowo i prosimy o opuszczenie strony.

Polityka prywatności

Drogi Użytkowniku w każdej chwili masz prawo cofnąć zgodę na przetwarzanie Twoich danych osobowych. Cofnięcie zgody nie będzie wpływać na zgodność z prawem przetwarzania, którego dokonano na podstawie wyrażonej przez Ciebie zgody przed jej wycofaniem. Po cofnięciu zgody wszystkie twoje dane zostaną usunięte z serwisu. Udzielenie zgody możesz modyfikować w zakładce 'Informacja o danych osobowych'

Nierówności wymierne - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Nierówności wymierne

Skoro zgłębiliśmy już temat nierówności wielomianowych, możemy zabrać się za ich rozwinięcie - nierówności wymierne. Tak naprawdę wymagają one jedynie jednego "kroku" więcej i wszystko dalej sprowadza się do rozwiązywania nierówności wielomianowych.

Najprościej będzie zobaczyć to na przykładzie:

$${3x-2}/{4x-7}$$ > $${1-3x}/{5-4x}$$

1) Pierwszą rzeczą, którą robimy po zobaczeniu takiej nierówności, jest przeniesienie wszystkich składników na jedną stronę.

$${3x-2}/{4x-7} - {1-3x}{5-4x}$$ > $$0$$

2) Sprowadzamy oba ułamki do wspólnego mianownika:

$${(3x-2)(5-4x)}/{(4x-7)(5-4x)} - {(1-3x)(4x-7)}/{(4x-7)(5-4x)}$$ > $$0$$

3) Dodajemy ułamki i rozpisujemy ich liczniki

$${(3x-2)(5-4x) - (1-3x)(4x-7)}/{(4x-7)(5-4x)}$$ > $$0$$
$${-2x-3}/{(4x-7)(5-4x)}$$ > $$0$$

4) Teraz następuje najważniejszy krok: zamieniamy iloraz wielomianów na ich iloczyn. Możemy to zrobić, ponieważ taka operacja nie zmienia znaku lewej strony. Otrzymujemy więc nierówność:

$$(-2x-3)(4x-7)(5-4x)$$ > $$0$$

5) Następnym krokiem jest wyznaczenie miejsc zerowych każdego z czynników oraz sprawdzenie, czy przy najwyższej potędze $$x$$-a jest znak dodatni, czy ujemny:

$$-2x-3 = 0$$
$$x = -{3}/{2}$$
$$4x-7 = 0$$
$$x = -{7}/{4}$$
$$-4x+5 = 0$$
$$x = -{5}/{4}$$

Teraz sprawdzenie znaku:

$$(-2)×4×(-4) = 32$$ > $$0$$

6) Mając miejsca zerowe i znając znak współczynnika możemy narysować schematyczny wykres wielomianu i odczytać z niego przedziały, gdzie jest on dodatni:

1

Jak widać nierówność jest prawdziwa dla $$x$$-ów leżących w przedziałach $$(-{3}/{2}, {5}/{4})$$ oraz $$({7}/{4}, ∞)$$.

Metoda ta powinna zadziałać we wszystkich zadaniach z nierówności wymiernych, które mogłyby pojawić się na maturze.

Warto jeszcze tylko dodać, że krok 3 mógł rozwinąć licznik do wielomianu wyższego stopnia - na przykład funkcji kwadratowej. Należałoby wtedy po prostu znaleźć jej pierwiastki i zapisać w postaci iloczynu - dalsze kroki byłyby takie same.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Rozwiąż równanie.Rozwiąż równanie.

`a)` 

`(4x+3)/(2x-5)=4` 

`D:` 

`2x-5 ne0\ implies\ x ne 5/2` 

`D=RR\\{5/2}` 

 

`(4x+3)/(2x-5)=4` 

`4x+3=4(2x-5)` 

`4x+3=8x-20` 

`4x=23` 

`ul(x=23/4= 5 3/4`       

    

`b)` 

`(2x-3)/(2x+3)=1`  

`D:` 

`2x+3ne0\ implies\ x ne -3/2` 

`D=RR\\{-3/2}` 

   

`(2x-3)/(2x+3)=1`   

`2x-3=2x+3` 

`-3=3` 

Sprzeczność - brak rozwiązań.      

 

`c)` 

`(8x-6)/(12-16x)=1/2` 

`D:` 

`12-16x ne0\ implies\ x ne 3/4` 

`D=RR\\{3/4}` 

 

`(8x-6)/(12-16x)=1/2` 

`8x-6=6-8x` 

`16x=12` 

`x=3/4 notin D` 

Brak rozwiązań.     

 

`d)` 

`3/(x-2)=4/(x+2)` 

`D:` 

`x-2ne0\ implies\ x ne 2` 

`x+2ne0\ implies\ x ne -2` 

`D=RR\\{-2;2}` 

 

`3/(x-2)=4/(x+2)` 

`3(x+2)=4(x-2)` 

`3x+6=4x-8` 

`ul(x=14`      

 

`e)` 

`5/(2x-4)=6/(3x+5)` 

`D:` 

`2x-4ne0\ implies\ x ne 2` 

`3x+5ne0\ implies\ x ne -5/3` 

`D=RR\\{-5/3;2}` 

 

`5/(2x-4)=6/(3x+5)` 

`5(3x+5)=6(2x-4)` 

`15x+25=12x-24` 

`3x=-49` 

`ul(x=-49/3=-16 1/3`  

 

`f)` 

`(4-x)/(x+1)=(10-3x)/(x+4)` 

`D:` 

`x+1ne0\ implies\ x ne -1` 

`x+4ne0\ implies\ x ne -4` 

`D=RR\\{-4;-1}` 

 

`(4-x)/(x+1)=(10-3x)/(x+4)`     

`(4-x)(x+4)=(10-3x)(x+1)` 

`16-x^2=10x+10-3x^2-3x` 

`2x^2-7x+6=0` 

`Delta=49-48=1` 

`sqrtDelta=1` 

`ul(x_1=(7-1)/4=3/2`  

`ul(x_2=(7+1)/4=2`        

 

`g)` 

`(2x-5)/(2x+1)=(x-1)/(x+3)`  

`D:` 

`2x+1ne0\ implies\ x ne -1/2` 

`x+3ne0\ implies\ x ne -3` 

`D=RR\\{-3;-1/2}` 

 

`(2x-5)/(2x+1)=(x-1)/(x+3)`  

`(2x-5)(x+3)=(x-1)(2x+1)` 

`2x^2+6x-5x-15=2x^2+x-2x-1` 

`2x-14=0` 

`ul(x=7`        

 

`h)` 

`(x+4)/(2x)=(x+4)/(x-4)` 

`D:` 

`2xne 0\ implies\ x ne0` 

`x-4ne0\ implies\ x ne4` 

`D=RR\\{0;4}` 

 

`(x+4)/(2x)=(x+4)/(x-4)` 

`(x+4)(x-4)=2x(x+4)` 

`x^2-16=2x^2+8x` 

`x^2+8x+16=0`   

`(x+4)^2=0` 

`x+4=0` 

`ul(x=-4`     

     

 

 

`i)` 

`(5x)/(5x-2)=(x+1)/(x-1)` 

`D:` 

`5x-2ne0\ implies\ x ne 2/5` 

`x-1ne0\ implies\ x ne 1` 

`D=RR\\{2/5;1}`        

 

`(5x)/(5x-2)=(x+1)/(x-1)` 

`5x(x-1)=(x+1)(5x-2)` 

`5x^2-5x=5x^2-2x+5x-2` 

`8x-2=0` 

`ul(x=1/4`       

Podstawa ostrosłupa

Podstawą ostrosłupa prawidłowego trójkątnego jest trójkąt równoboczny. Oznaczmy długość boku tego trójkąta (czyli długość krawędzi ostrosłupa) jako a. Korzystając ze wzoru na pole trójkąta równobocznego możemy zapisać równanie:

`(a^2sqrt3)/4=25sqrt3\ \ \ |*4` 

`a^2sqrt3=100sqrt3\ \ \ |:sqrt3` 

`a^2=100` 

`a=10\ [cm]` 

 

Wiemy, że pole powierzchni całkowitej jest siedmiokrotnie większe od pola podstawy. 

Obliczmy więc, ile wynosi pole powierzchni bocznej ostrosłupa:

`P_c=7*P_p` 

Na pole powierzchni całkowitej składa się pole podstawy oraz pole powierzchni bocznej.

`P_b+P_p=7P_p\ \ \ |-P_p` 

`P_b=6P_p` 

`P_b=6*25sqrt3`  

`P_b=150sqrt3\ [cm^2]` 

 

Wiemy już, że krawędź podstawy tego ostrosłupa ma 10 cm. Oznaczmy szukaną wysokość ściany bocznej tego ostrosłupa jako h. 

Na pole powierzchni bocznej ostrosłupa składają się pola 3 trójkątów równoramiennych o podstawie 10 cm i wysokości h. 

`3*1/strike2^1*strike10^5*h=150sqrt3` 

`15*h=150sqrt3\ \ \ |:15` 

`h=10sqrt3\ [cm]` 

 

Na rysunku przedstawiono wykres ciągu ...

`a)` 

`(2;3)` 

`2=sqrt4=a_4` 

`3=sqrt9=a_9` 

`"Do przedziału należą cztery wyrazy:"\ a_5,a_6,a_7,a_8."`

 

`b)` 

`(3;4)` 

`3=sqrt9=a_9` 

`4=sqrt16=a_16` 

`"Do przedziału należy sześć wyrazy:"\ a_10,...,a_15."`  

 

`c)` 

`(4;5)` 

`4=sqrt16=a_16` 

`5=sqrt25=a_25` 

`"Do przedziału należy osiem wyrazy:"\ a_17,...,a_24."` 

 

`d)` 

`(11;12)` 

`11=sqrt121=a_121` 

`12=sqrt144=a_144` 

 

`"Do przedziału należy 22 wyrazy:"\ a_122,...,a_143.."`   

Podaj wymiary prostopadłościanu, jeśli wiadomo...

Oznaczmy krawędzie prostopadłościanu przez a,b,c takie, że:

`a< b< c` 

Wtedy:

`{(P_1 = 42),(P_2 = 54),(P_3 = 63):}` 

`{(ab=42),(ac=54),(bc=63):}` 

`{(ab=42),(c=54/a),(c=63/b):}` 

Stąd:

`54/a = 63/b` 

`54b = 63a` 

`b = (63a)/54=(7a)/6` 

 

A więc:

`{(a*(7a)/6=42),(b=(7a)/6),(c=63/b):}` 

`{(7a^2 = 252),(b=(7a)/6),(c=63/b):}` 

`{(a^2=36),(b=(7a)/6),(c=63/b):}` 

`{(a=6),(b=(7*6)/6),(c=63/b):}` 

`{(a=6),(b=7),(c=9):}` 

Odpowiedź: Wymiary prostopadłościanu to 6 x 9.

Na podstawie wykresu funkcji...

a) Rozpatrzmy ciągi:

`a_n = -1/n -1 = -1/n -n/n = - (1+n)/n` 

`b_n = 1/n -1 = 1/n -n/n = (1-n)/n` 

Wtedy:

`lim_(n -> oo) f(a_n) = -1` 

`lim_(n -> oo) f(b_n) = 0` 

Granica funkcji w punkcie x0=-1 nie istnieje gdyż:

`lim_(n -> oo) f(a_n) ne lim_(n -> oo) f(b_n)` 

 

 

b) \ Rozpatrzmy ciągi:

`a_n = 1/n+1 = 1/n + n/n = (n+1)/n` 

`b_n = -1/n + 1 = (n-1)/n` 

Wtedy:

`lim_(n -> oo) f(a_n) = 3` 

`lim_(n -> oo) f(b_n) = 2` 

Granica funkcji w punkcie x0=1 nie istnieje gdyż:

 `lim_(n -> oo) f(a_n) ne lim_(n -> oo) f(b_n)` 

 

 

c) Rozpatrzmy ciągi:

`a_n = -1/n - 1` 

`b_n =  1/n -1` 

`c_n = -1/(2n) +2` 

`d_n = 1/n +2` 

Wtedy:

`lim_(n -> oo) f(a_n) =1` 

`lim_(n -> oo) f(b_n) = -2` 

`lim_(n -> oo) f(c_n) = 1` 

`lim_(n -> oo) f(d_n) = -1` 

 

Granica funkcji w punkcie x0=-1 nie istnieje gdyż:

`lim_(n -> oo) f(a_n) ne lim_(n -> oo) f(b_n)`  

Granica funkcji w punkcie x0=2 nie istnieje gdyż:

`lim_(n -> oo) f(c_n) ne lim_(n -> oo) f(d_n)` 

Suma pięciu początkowych wyrazów...

`a_n=3/(2^n)` 

`a_1=3/2` 

`a_2=3/4` 

`a_3=3/8` 

`a_4=3/16` 

`a_5=3/32` 

 

`a_1+a_2+a_3+a_4+a_5=3/2+3/4+3/8+3/16+3/32=48/32+24/32+12/32+6/32+3/32=93/32` 

 

Odp. C

Oblicz sumę dziesięciu początkowych wyrazów...

`a) \ a_10 = a_1 + 9r = -2+9*3 = -2+27 = 25` 

 

`S_10 = (a_1 + a_10)/2 * 10 = (-2+25)*5 = 23*5 = 115` 

 

`b) \ a_10 = a_1 + 9r = 4 +9*(-5) = 4 - 45 = -41` 

 

`S_10 = (a_1+a_10)/2*10 = (4-41)*5 = -37*5 = -185` 

 

`c) \ a_10 = a_1 + 9r = 1,5 + 9*(-0,1) = 1,5 - 0,9 = 0,6` 

 

`S_10 = (a_1 + a_10)/2*10 = (1,5+0,6)*5 = 2,1 * 5 = 10,5` 

 

`d) \ a_10 = a_1 + 9r = 1-sqrt2+9*sqrt2 = 1 - sqrt2 + 9sqrt2 = 1+8sqrt2` 

 

`S_10 = (a_1+a_10)/2*10 = (1-sqrt2+1+8sqrt2)*5 = 5(2+7sqrt2)` 

Dla jakich argumentów funkcja ...

`a)` Szukamy liczby, dla której  `f(x)=1`. Podstawiamy wartość  `1` do wzoru funkcji  

`f(x)=-x^2-2x+1`, a następnie rozwiązujemy równanie.

`1=-x^2-2x+1 \ \ \ \ \ |-1`

`0=-x^2-2x \ \ \ \ \|+x^2` 

`x^2=-2x \ \ \ \ \|+2x`

`x^2+2x=0`

`x(x+2)=0`   

`a*b=0` wtedy i tylko wtedy, gdy  `a=0` lub  `b=0`.

`x=0`

lub 

`x+2=0 \ \ \ \ \|-2`  

`x=-2` 

Zatem `x=-2` lub  `x=0`.    

 

Szukamy liczby, dla której  `f(x)=-2`.  Podstawiamy wartość  `-2` do wzoru funkcji  `f(x)=-x^2-2x+1`, a następnie rozwiązujemy równanie.

`-2=-x^2-2x+1 \ \ \ \ \ |+2`

`0=-x^2-2x+3 \ \ \ \ \|+x^2`

`x^2=-2x+3 \ \ \ \ \|+2x`

`x^2+2x=3 \ \ \ \ \|-3`  

`x^2+2x-3=0`{premium}

Współczynniki: `a=1`,  `b=2`,  `c=-3`

`Delta=b^2-4ac=2^2-4*1*(-3)=4+12=16>0`, 

więc równanie ma dwa rozwiązania dane  wzorami: 

`x_1=(-b-\sqrt(Delta))/(2a)`,      `x_2=(-b+\sqrt(Delta))/(2a)` .

Wyznaczamy rozwiązania równania:

`x_1=(-2-\sqrt(16))/(2*1)=(-2-4)/2=(-6)/2=-3`

`x_2=(-2+\sqrt(16))/(2*1)=(-2+4)/2=2/2=1`

 

Szukamy liczby, dla której  `f(x)=3`.  Podstawiamy wartość  `3` do wzoru funkcji  `f(x)=-x^2-2x+1`, a następnie rozwiązujemy równanie.

`3=-x^2-2x+1 \ \ \ \ \ |-3`

`0=-x^2-2x-2 \ \ \ \ \|+x^2`

`x^2=-2x-2 \ \ \ \ \|+2x`

`x^2+2x=-2 \ \ \ \ \|+2`   

`x^2+2x+2=0`

 Współczynniki: `a=1`,  `b=2`,  `c=2`

`Delta=b^2-4ac=2^2-4*1*2=4-8=-4<0`, 

 więc równanie nie ma rozwiązania, tzn., że funkcja nie przyjmuje wartości `3`.


 

`b)` Szukamy liczby, dla której  `f(x)=-3`. Podstawiamy wartość  `-3` do wzoru funkcji  

`f(x)=2x^2-8x+5`, a następnie rozwiązujemy równanie.

`-3=2x^2-8x+5 \ \ \ \ \ |+3`

`0=2x^2-8x+8` 

`2x^2-8x+8=0` 

`2(x^2-4x+4)=0 \ \ \ \ \|:2`

`x^2-4x+4=0`

Stosujemy wzór skróconego mnożenia `a^2-2ab+b^2=(a-b)^2` 

`x^2-2*x*2+2^2=0`

`(x-2)^2=0`

`x-2=0 \ \ \ \ \ |+2` 

`x=2`  

  

Szukamy liczby, dla której  `f(x)=-1`. Podstawiamy wartość  `-1` do wzoru funkcji  

`f(x)=2x^2-8x+5`, a następnie rozwiązujemy równanie.

`-1=2x^2-8x+5 \ \ \ \ \ |+1`

`0=2x^2-8x+6` 

`2x^2-8x+6=0` 

`2(x^2-4x+3)=0 \ \ \ \ \|:2`

`x^2-4x+3=0`

Współczynniki: `a=1`,  `b=-4`,  `c=3`

`Delta=b^2-4ac=(-4)^2-4*1*3=16-12=4>0`, 

więc równanie ma dwa rozwiązania dane  wzorami: 

`x_1=(-b-\sqrt(Delta))/(2a)`,      `x_2=(-b+\sqrt(Delta))/(2a)` .

Wyznaczamy rozwiązania równania:

`x_1=(-(-4)-\sqrt(4))/(2*1)=(4-2)/2=2/2=1`

`x_1=(-(-4)+\sqrt(4))/(2*1)=(4+2)/2=6/2=3`

 

Szukamy liczby, dla której  `f(x)=2`. Podstawiamy wartość  `2` do wzoru funkcji  

`f(x)=2x^2-8x+5`, a następnie rozwiązujemy równanie.

`2=2x^2-8x+5 \ \ \ \ \ |-2`

`0=2x^2-8x+3` 

`2x^2-8x+3=0` 

Współczynniki: `a=2`,  `b=-8`,  `c=3`

`Delta=b^2-4ac=(-8)^2-4*2*3=64-24=40>0`, 

więc równanie ma dwa rozwiązania dane  wzorami: 

`x_1=(-b-\sqrt(Delta))/(2a)`,      `x_2=(-b+\sqrt(Delta))/(2a)` .

Wyznaczamy rozwiązania równania:

`x_1=(-(-8)-\sqrt(40))/(2*2)=(8-\sqrt(4*10))/4=(8-\sqrt(4)*sqrt(10))/4=(8-2*sqrt(10))/4=(8-2sqrt(10))/4=(strike2(4-sqrt(10)))/strike4_2=(4-sqrt(10)))/2=4/2-(sqrt(10)))/2=2-(sqrt(1))/2`

`x_2=(-(-8)+\sqrt(40))/(2*2)=(8+\sqrt(4*10))/4=(8+\sqrt(4)*sqrt(10))/4=(8+2*sqrt(10))/4=(8+2sqrt(10))/4=(strike2(4+sqrt(10)))/strike4_2=(4+sqrt(10)))/2=4/2+(sqrt(10)))/2=2+(sqrt(1))/2`

 

Oblicz promień okręgu wpisanego...

a)

Zauważmy, że jest to trójkąt prostokątny równoramienny.

`|AB|=4` 

`|AC|=4sqrt2` 

 

`P=1/2*4*4` 

`P=8` 

 

`r=(2P)/(a+b+c)=(2*8)/(4+4+4sqrt2)=(16)/(8+4sqrt2)=4/(2+sqrt2)=(4(2-sqrt2))/(2^2-sqrt2^2)=`

 `\ \ \ =(8-4sqrt2)/(4-2)=(8-4sqrt2)/2=4-2sqrt2` 


b)

`5/|AC|=sin30^o` 

`5=sin30^o*|AC|` 

`5=1/2*|AC| \ \ \ |*2` 

`10=|AC|` 

 

`5/|AB|=tg30^o` 

`5=tg30^o *|AB|` 

`5=sqrt3/3*|AB| \ \ \ |:sqrt3/3` 

`5*3/sqrt3=|AB|` 

`(15sqrt3)/3=|AB|` 

`5sqrt3=|AB|` 

 

`P=1/2*5*5sqrt3=25/2sqrt3` 

 

`r=(2P)/(a+b+c)=(2*25/2sqrt3)/(5+10+5sqrt3)=(25sqrt3)/(15+5sqrt3)=(5sqrt3)/(3+sqrt3)=` 

`\ \ \ =(5sqrt3(3-sqrt3))/(3^2-sqrt3^2)=(15sqrt3-15)/(9-3)=(15sqrt3-15)/6=(5sqrt3-5)/2` 

Na rysunku obok przedstawiono wykres funkcji