Nierówności wymierne - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Nierówności wymierne - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Nierówności wymierne

Skoro zgłębiliśmy już temat nierówności wielomianowych, możemy zabrać się za ich rozwinięcie - nierówności wymierne. Tak naprawdę wymagają one jedynie jednego "kroku" więcej i wszystko dalej sprowadza się do rozwiązywania nierówności wielomianowych.

Najprościej będzie zobaczyć to na przykładzie:

${3x-2}/{4x-7}$ > ${1-3x}/{5-4x}$

1) Pierwszą rzeczą, którą robimy po zobaczeniu takiej nierówności, jest przeniesienie wszystkich składników na jedną stronę.

${3x-2}/{4x-7} - {1-3x}{5-4x}$ > $0$

2) Sprowadzamy oba ułamki do wspólnego mianownika:

${(3x-2)(5-4x)}/{(4x-7)(5-4x)} - {(1-3x)(4x-7)}/{(4x-7)(5-4x)}$ > $0$

3) Dodajemy ułamki i rozpisujemy ich liczniki

${(3x-2)(5-4x) - (1-3x)(4x-7)}/{(4x-7)(5-4x)}$ > $0$
${-2x-3}/{(4x-7)(5-4x)}$ > $0$

4) Teraz następuje najważniejszy krok: zamieniamy iloraz wielomianów na ich iloczyn. Możemy to zrobić, ponieważ taka operacja nie zmienia znaku lewej strony. Otrzymujemy więc nierówność:

$(-2x-3)(4x-7)(5-4x)$ > $0$

5) Następnym krokiem jest wyznaczenie miejsc zerowych każdego z czynników oraz sprawdzenie, czy przy najwyższej potędze $x$-a jest znak dodatni, czy ujemny:

$-2x-3 = 0$
$x = -{3}/{2}$
$4x-7 = 0$
$x = -{7}/{4}$
$-4x+5 = 0$
$x = -{5}/{4}$

Teraz sprawdzenie znaku:

$(-2)×4×(-4) = 32$ > $0$

6) Mając miejsca zerowe i znając znak współczynnika możemy narysować schematyczny wykres wielomianu i odczytać z niego przedziały, gdzie jest on dodatni:

1

Jak widać nierówność jest prawdziwa dla $x$-ów leżących w przedziałach $(-{3}/{2}, {5}/{4})$ oraz $({7}/{4}, ∞)$.

Metoda ta powinna zadziałać we wszystkich zadaniach z nierówności wymiernych, które mogłyby pojawić się na maturze.

Warto jeszcze tylko dodać, że krok 3 mógł rozwinąć licznik do wielomianu wyższego stopnia - na przykład funkcji kwadratowej. Należałoby wtedy po prostu znaleźć jej pierwiastki i zapisać w postaci iloczynu - dalsze kroki byłyby takie same.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Dla jakich wartości parametru m równanie...

 

 

Równanie kwadratowe ma dwa różne pierwiastki x1, x2, gdy:

 {premium}

 

 

 

 

 

 

Suma kwadratów pierwiastków równania jest większa od 10, gdy:

 

 

Ze wzorów Viete'a:

 

 

 

 

 

 

 

Równanie ma dwa pierwiastki, których suma kwadratów jest równa 22, gdy jednocześnie są spełnione warunki (1) i (2):

 

 

Przerysuj i uzupełnij tabelę ...

Uzupełniamy tabelę. {premium}

Graniastosłupy
 Liczba ścian 7 5 8
 Liczba krawędzi 15 9 18
 Liczba wierzchołków 10 6 12


Poniżej znajdują się rysunki poszczególnych graniastosłupów.

Oblicz najmniejszą i największą ...

 

Wyznaczamy ekstrema lokalne funkcji  w przedziale  

Obliczamy pochodną funkcji  

 

Rozwiązujemy równanie  {premium}

 

 

 

Kwadrat dowolnej liczby rzeczywistej jest nieujemny.

Funkcja  nie posiada ekstremów.

Obliczamy wartości funkcji  na końcach przedziału  

 

 

Stąd otrzymujemy, że

 

 


 

Wyznaczamy ekstrema lokalne funkcji  w przedziale  

Obliczamy pochodną funkcji  

 

Rozwiązujemy równanie  

 

 

 

Tylko w punktach   funkcja  może mieć ekstrema.

Rozwiązujemy nierówność  

 

 

 

 

Rozwiązujemy nierówność  

 

 

 

 

Rozwiązaniem nierówności  jest przedział  W przedziale tym funkcja  jest rosnąca.

Rozwiązaniem nierówności  jest zbiór  W przedziałach  oraz  funkcja  jest malejąca.

Pochodna funkcji  zmienia znak z "" na "" w punkcie  i z "" na "" w punkcie  Stąd otrzymujemy, że w punkcie  funkcja  ma maksimum, a w punkcie  ma minimum.

 

 

Obliczamy wartości funkcji  na końcach przedziału  

 

 

Stąd otrzymujemy, że

 

 

Funkcja f określona jest wzorem...

Funkcja f dana jest wzorem:

 


a) Obliczmy miejsca zerowe funkcji f:

 {premium}

 

 

 

Odp.: Miejsca zerowe funkcji f to: 3 i 1. 


b) Obliczmy rzędną punktu przecięcia wykresu funkcji f z osią OY:

(odcięta tego punktu wynosi 0)

 

Odp.: Współrzędne tego punktu to (0, -3).


c) Obliczmy współrzędne wierzchołka paraboli będącej wykresem funkcji f:

 

 

Odp.: Współrzędne wierzchołka tej paraboli to: (2, 1).


d) Naszkicujmy wykres funkcji f:

Oceń prawdziwość podanych zdań ...

A. PRAWDA

_ _ _ _ _ 2

Ilość wszystkich możliwości: {premium}

 

 

B. FAŁSZ

_ _ _ _ _ _

Cyfrą jedności może być 1 lub 3.

Ilość wszystkich możliwości: 

 

 

C. FAŁSZ

_ _ _ _ _ _

Dwie ostatnie cyfry muszą być 12 lub 32.

Ilość wszystkich możliwości:

 

 

Kolejne składniki sumy tworzą...

 

 

zatem:

    {premium}

 

 

 

 


 

 

zatem:

 

 

 

 

 


 

 

zatem:

 

 

 

 

 

 

 

 


 

 

zatem:

 

 

 

 

 


 

 

zatem:

 

 

 

 

 

 

 

 

 


 

 

zatem:

 

 

 

 

 

 

Skorzystaj z tego...

a) Obliczmy współrzędne punktów:

 

 

 

Wraz ze wzrostem argumentów rośną wartości tak więc funkcja jest rosnąca.

{premium}


b) Obliczmy współrzędne punktów:

 

 

 

Wraz ze wzrostem argumentów rośną wartości tak więc funkcja jest rosnąca.


c) Obliczmy współrzędne punktów:

 

 

 

Wraz ze wzrostem argumentów maleją wartości tak więc funkcja jest malejąca.


d) Obliczmy współrzędne punktów:

 

 

 

Wraz ze wzrostem argumentów maleją wartości tak więc funkcja jest malejąca.

Naszkicuj wykres wielomianu...

 

Pierwiastkami wielomianu w są liczby: -5, -1, 3.

Współczynnik przy najwyższej potędze zmiennej x jest dodatni, więc wykres wielomianu zaczynamy rysować od prawej strony od góry. Pierwiastki wielomianu są jednokrotne, więc w każdym pierwiastku wielomian zmienia znak.{premium}


Mamy:

 

 

Zatem najmniejszą liczbą całkowitą z przedziału (-√30, √10) jest -5, a największą: 3.

Obliczamy wartości wielomianu dla argumentów: -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3.

 

 

 

 

 

 

 

 

 


a) Spośród otrzymanych wartości 3 są równe 0, 3 są dodatnie i 3 są ujemne.


b)

 

 

 

 

Zatem:

 

Wynikiem działania...

Zgodnie z własnościami działań na potęgach otrzymujemy:{premium}

 

Odpowiedź B

W trójkącie równoramiennym...

Przyjmijmy oznaczenia takie jak na poniższym obrazku {premium}

Z treści zadania wiadomo, że zachodzi

 


Zauważmy, że pole trójkąta ABC możemy obliczyć na dwa sposoby:

 

skąd mamy zależność


Rozważmy trójkąt ABE

Korzystając z określenia funkcji trygonometrycznych w trójkącie prostokątnym mamy 

 


Rozważmy trójkąt ADC

Korzystając z określenia funkcji trygonometrycznych w trójkącie prostokątnym mamy 

 


Rozwiązując otrzymaną równość mamy

Użyjemy podstawienia 

wtedy dostajemy równanie postaci 

   

     

czyli 

wracając do podstawienia mamy