Nierówności wymierne - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Nierówności wymierne

Skoro zgłębiliśmy już temat nierówności wielomianowych, możemy zabrać się za ich rozwinięcie - nierówności wymierne. Tak naprawdę wymagają one jedynie jednego "kroku" więcej i wszystko dalej sprowadza się do rozwiązywania nierówności wielomianowych.

Najprościej będzie zobaczyć to na przykładzie:

$${3x-2}/{4x-7}$$ > $${1-3x}/{5-4x}$$

1) Pierwszą rzeczą, którą robimy po zobaczeniu takiej nierówności, jest przeniesienie wszystkich składników na jedną stronę.

$${3x-2}/{4x-7} - {1-3x}{5-4x}$$ > $$0$$

2) Sprowadzamy oba ułamki do wspólnego mianownika:

$${(3x-2)(5-4x)}/{(4x-7)(5-4x)} - {(1-3x)(4x-7)}/{(4x-7)(5-4x)}$$ > $$0$$

3) Dodajemy ułamki i rozpisujemy ich liczniki

$${(3x-2)(5-4x) - (1-3x)(4x-7)}/{(4x-7)(5-4x)}$$ > $$0$$
$${-2x-3}/{(4x-7)(5-4x)}$$ > $$0$$

4) Teraz następuje najważniejszy krok: zamieniamy iloraz wielomianów na ich iloczyn. Możemy to zrobić, ponieważ taka operacja nie zmienia znaku lewej strony. Otrzymujemy więc nierówność:

$$(-2x-3)(4x-7)(5-4x)$$ > $$0$$

5) Następnym krokiem jest wyznaczenie miejsc zerowych każdego z czynników oraz sprawdzenie, czy przy najwyższej potędze $$x$$-a jest znak dodatni, czy ujemny:

$$-2x-3 = 0$$
$$x = -{3}/{2}$$
$$4x-7 = 0$$
$$x = -{7}/{4}$$
$$-4x+5 = 0$$
$$x = -{5}/{4}$$

Teraz sprawdzenie znaku:

$$(-2)×4×(-4) = 32$$ > $$0$$

6) Mając miejsca zerowe i znając znak współczynnika możemy narysować schematyczny wykres wielomianu i odczytać z niego przedziały, gdzie jest on dodatni:

1

Jak widać nierówność jest prawdziwa dla $$x$$-ów leżących w przedziałach $$(-{3}/{2}, {5}/{4})$$ oraz $$({7}/{4}, ∞)$$.

Metoda ta powinna zadziałać we wszystkich zadaniach z nierówności wymiernych, które mogłyby pojawić się na maturze.

Warto jeszcze tylko dodać, że krok 3 mógł rozwinąć licznik do wielomianu wyższego stopnia - na przykład funkcji kwadratowej. Należałoby wtedy po prostu znaleźć jej pierwiastki i zapisać w postaci iloczynu - dalsze kroki byłyby takie same.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Oblicz.

`a) \ sin(-855^o) = -sin885^o = - sin(720^o + 135) = - sin135^o = -sin(180^o - 45^o ) = - sin45^o = - sqrt2/2` 

 

Zauważmy, że:

`sin(15^o) = sin(45^o  -30^o) = sin45^o cos30^o - cos 45^o sin 30^o = sqrt2/2 * sqrt3/2 - sqrt2/2 * 1/2 = sqrt6/4 - sqrt2/4 = (sqrt6-sqrt2)/4` 

 

A więc:

`= - (sqrt6-sqrt2)/4 = (sqrt2-sqrt6)/4` 

 

 

`b) \ cos2490^o = cos(2160^o + 330^o) = cos(6*360^o + 330^o) = cos(330^o) = cos(360^o - 30^o) = cos 30^o = sqrt3/2` 

 

`c) \ tg \ 570^o = tg (540^o + 30^o) = tg \ 30^o = sqrt3/3` 

 

`d) \ ctg(-450^o) = - ctg(450^o) = -ctg(360^o + 90^o) = - ctg \ 90^o = -0 = 0` 

 

`e) \ sin(25/4 pi) = sin(24/4 pi + 1/4pi) = sin(6pi + 1/4pi) = sin(3*2pi + 1/4pi) = sin(1/4pi) = sqrt2/2` 

 

`f) \ cos(-37/6 pi) = cos(37/6 pi) = cos(36/6 pi + 1/6pi) = cos(3*2pi + 1/6pi) = cos(1/6pi)= sqrt3/2` 

 

`g) \ tg(-51/4pi) = -tg (51/4pi) = -tg(48/4 pi + 3/4pi) = -tg(12*pi + 3/4pi) = - tg(3/4pi) =` 

`=- tg(pi - 1/4pi) = - (-tg(1/4pi)) = tg(1/4pi) = 1` 

 

`h) \ ctg \ 13/6 pi = ctg (12/6 pi + 1/6pi) = ctg(2*pi + 1/6pi) = ctg \ 1/6pi = sqrt3` 

W trójkącie prostokątnym równoramiennym najkrótsza wysokość...

a - przyprostokątna

`P=1/2*a*a=1/2*asqrt2*2`

`a^2=2sqrt2 *a\ \ |:a`

`a=2sqrt2 \ cm`

Wyznacz równanie prostej równoległej ...

`a)` 

`2x+y-3=0` 

`y=-2x+3` 

`k: \ y=ax+b - "szukana prosta"` 

`k: \ y=-2x+b` 

`P=(-1;4)` 

`4=-2*(-1)+b\ implies\ b=2` 

`ul(k:\ y=-2x+2` 

 

`b)` 

`2x+6y-5=0` 

`y=(-2x+5)/6=-1/3x+5/6` 

`k: \ y=ax+b - "szukana prosta"` 

`k: \ y=-1/3x+b`  

`P=(-1;4)` 

`4=-1/3*(-1)+b\ implies \ b=3 2/3` 

`ul(k:\ y=-1/3x+4 1/3` 

 

`c)` 

`2/3x-4/3y+2=0` 

`y=2/3*(3/4)x+2*3/4` 

`y=1/2x+3/2` 

`k: \ y=ax+b - "szukana prosta"` 

`k: \ y=1/2x+b`   

`P=(-1;4)` 

`4= 1/2*(-1)+b\ implies \ b=4 1/2` 

`ul(k:\ y=1/2x+4 1/2` 

 

`d)` 

`x+2/5y=0` 

`y=-5/2x` 

`k: \ y=ax+b - "szukana prosta"` 

`k: \ y=-5/2x+b`    

`P=(-1;4)`

`4=-5/2*(-1)+b\ implies\ b=4-5/2=1 1/2` 

`ul(k:\ y=-5/2x+ 1 1/2`   

Podaj wzór ogólny i zbadaj monotoniczność...

a) W liczniku mamy ciąg arytmetyczny (bn) taki, że:

`b_1 = 4` 

`r = 4` 

`b_n = 4n` 

Suma tego ciągu:

`S_n = (b_1 + b_n)/2 * n = (4+4n)/2*n = (2+2n)*n = 2n^2 + 2n` 

 

`a_n = (2n^2+2n)/(n+2) = (2n(n+1))/(n+2)` 

`a_(n+1) = (2(n+1)(n+2))/(n+3)` 

 

Zbadajmy iloraz:

`(a_(n+1))/(a_n) = (2(n+1)(n+2))/(n+3) *(n+2)/(2n(n+1))= (2(n+1)(n+2)^2)/(2(n+1)*n(n+3)) = (n^2 + 4n + 4)/(n^2 + 3n)>1 \ \ "dla" \ n geq 1`  

Ciąg rosnący.

 

b) W liczniku mamy ciąg arytmetyczny (bn) taki, że:

`b_1 = 6` 

`r = 6` 

`b_n = 6n` 

Suma tego ciągu:

`S_n = (b_1+b_n)/2*n = (6+6n)/2*n = (3+3n)*n` 

 

`a_n = ((3+3n)*n)/n^2 = (3+3n)/n = (3(n+1))/n` 

`a_(n+1) = (3+3(n+1))/(n+1) = (3n+6)/(n+1) = (3(n+2))/(n+1)` 

 

Zbadajmy iloraz:

`(a_(n+1))/a_n = (3(n+2))/(n+1) * n/(3(n+1)) = (n(n+2))/((n+1)^2) = (n^2 + 2n)/(n^2 + 2n + 1)<1 \ \ "dla" \ n geq 1` 

Ciąg malejący.

 

c) W liczniku mamy ciąg arytmetyczny (bn) taki, że:

`b_1 = 3` 

`r = 4` 

`b_n = 4n-1` 

Suma tego ciągu:

`S_n = (b_1 + b_n)/2*n = (3+4n-1)/2*n = (4n+2)/2*n = (2n+1)*n` 

 

`a_n = ((2n+1)*n)/(n(n+1)) = (2n+1)/(n+1)= (n+n+1)/(n+1) = n/(n+1) + (n+1)/(n+1) = n/(n+1) + 1` 

`a_(n+1) = (n+1)/(n+2) +1` 

Zbadajmy różnicę:

`a_(n+1) - a_n = (n+1)/(n+2) + 1 - n/(n+1) - 1 = ((n+1)^2)/((n+2)(n+1)) - (n(n+2))/((n+2)(n+1))=(n^2 + 2n + 1 - n^2 - 2n)/((n+2)(n+1)) = 1/((n+2)(n+1))>0` 

Ciąg rosnący.

W sali wykładowej w pierwszym rzędzie...

`a_1=10` 

`a_2=12` 

`a_3=14` 

`a_4=16` 

`a_5=18` 

`a_6=20` 

`a_7=22` 

 

`S_7=(10+22)/2*7` 

`S_7=32/2*7` 

`S_7=16*7` 

`S_7=112` 

 

`b_1=25` 

`b_2=28` 

`b_3=31` 

`b_9=25+8*3` 

`b_9=25+24` 

`b_9=49` 

 

`S_9=(25+49)/2*9` 

`S_9=74/2*9` 

`S_9=37*9` 

`S_9=333` 

 

`112+333=445` 

 

Odp. W sali może usiąść 445 studentów.

W ciągu arytmetycznym...

`{(a_5=23),(a_11=5):}` 

`{(a_1+4r=23 \ \ \ |*(-1)),(a_1+10r=5):}` 

`{(-a_1-4r=-23),(a_1+10r=5):}` 

Dodając stronami otrzymujemy:

`-4r+10r=-23+5` 

`6r=-18 \ \ \ |:6` 

`r=-3` 

 

Odp. D

Uzasadnij, że podane wyrażenie

`a)` 

Wartość bewzględna przyjmuje wyłącznie wartości nieujemne:

`|x|>=0` 

Po obustronnym odjęciu 4 dostajemy tezę:

`|x|-4>=-4` 

 

 

 

`b)` 

Zauważmy, że prawdziwa jest równość:

`|x|^2=x^2` 

Łatwo można ją uzasadnić:

`x<0\ \ \ =>\ \ \ |x|^2=(-x)^2=(-x)*(-x)=x^2` 

`x>=0\ \ \ =>\ \ \ |x|^2=x^2` 

 

 

Musimy pokazać, że prawdziwa jest nierówność:

`x^2-4|x|>=-4` 

 

Tę nierówność możemy zapisać w postaci równoważnej:

`x^2-4|x|+4>=0` 

 

 

Rozpiszmy lewą stronę i zauważmy, że faktycznie jest ona nieujemna:

`x^2-4|x|+4=|x|^2-4|x|+4=|x|^2-2*|x|*2+2^2=(|x|-2)^2>=0` 

Kwadrat dowolnego wyrażenia jest nieujemny. 

 

 

 

`c)` 

`|x+1|>=0\ \ \ |-8` 

`|x+1|-8>=-8\ \ \ |:2` 

`(|x+1|-8)/2>=-4` 

 

 

`d)` 

Musimy pokazać, że prawdziwa jest nierówność:

`x^2-6|x|+5>=-4`  

 

 

 

Tę nierówność możemy zapisać w postaci równoważnej:

`x^2-6|x|+5+4>=0` 

`x^2-6|x|+9>=0` 

 

 

Rozpiszmy lewą stronę i zauważmy, że faktycznie jest ona nieujemna:

`x^2-6|x|+9=|x|^2-6|x|+9=|x|^2-2*|x|*3+3^2=(|x|-3)^2>=0` 

 

W urnie jest dziesięć kul

Najpierw obliczmy, na ile sposobów możemy wylosować ze zwracaniem 2 kule spośród 10. Pierwszą kulę możemy wylosować na 10 sposobów, podobnie drugą kulę możemy wylosować na 10 sposobów. 

`overline(overline(Omega))=10*10=100` 

 

 

`A\ \ -\ \ "numer drugiej wylosowanej kuli jest o 2 większy od numeru pierwszej kuli"` 

`A={(1,3),\ (2,4),\ (3,5),\ (4,6),\ (5,7),\ (6,8),\ (7,9),\ (8,10)}` 

`overline(overline(A))=8` 

`P(A)=8/100=2/25` 

 

Podaj przykład wielomianów u i w takich

`a)\ u(x)=x^4,\ \ \ w(x)=3x^4,\ \ \ u(x)+w(x)=4x^4`

 

`b)\ u(x)=x^4+x^3,\ \ \ w(x)=-x^4,\ \ \ u(x)+w(x)=x^3`

 

`c)\ u(x)=x^4+x^2,\ \ \ w(x)=-x^4+1,\ \ \ u(x)+w(x)=x^2+1`

 

`d)\ u(x)=2x^4+2x,\ \ \ w(x)=-2x^4+3,\ \ \ u(x)+w(x)=2x+3`

 

`e)\ u(x)=3x^3+2,\ \ \ w(x)=-3x^3+6,\ \ \ u(x)+w(x)=8`

 

Punkt A(3,-5) jest wierzchołkiem rombu ...

`A=(3;-5)` 

`P=(2;-2)` 

`B=(b_1;b_2)` 

`C=(c_1;c_2)` 

`D=(d_1;d_2)` 

`k:\ y-x=0` 

 

`k:\ y=x` 

`AP:\ y=ax+b` 

`{(-5=3a+b),(-2=2a+b):}` 

`{( 5=-3a-b),(-2=2a+b):}` 

`3=-a` 

`a=-3` 

`b=-2-2a=4` 

`AP:\ y=-3x+4`   

`|AP|=sqrt((2-3)^2+(-2+5)^2)=sqrt10` 

Przekątne rombu przecinają się w połowie.

`vec(AP)=[2-3;-2+5]=[-1;3]` 

`vec(AP)=vec(PC)` 

`[c_1-2;c_2+2]=[-1;3]` 

`c_1-2=-1\ implies\ c_1=1` 

`c_2+2=3\ implies \ c_2=1` 

`ul(C=(1;1)`     

 

(Zamiast korzystać z własności wektorów można zapisać nieznane współrzędne punktu C następująco:

`C=(c;-3c+4)` 

(punkt C leży na prostej y=-3x+4)

następnie:

`|PC|=|AP|=sqrt((2-3)^2+(-2+5)^2)=sqrt10` 

`|AC|=sqrt((2-c)^2+(-2+3c-4)^2)=sqrt10` 

Z powyższej zależności wyznaczymy c, czyli współrzędne wierzchołka C bez użycia wektorów.)

 

Przekątne rombu przecinają się pod kątem prostym, zatem: 

` BD:\ y=1/3x+b`  

`P=(2;-2)` 

`-2= 2/3+b`  

`b=-8/3`  

`ul(BD:\ y=1/3x-8 /3`  

Rozwiązaniem poniższego układu są współrzędne jednego z wierzchołków rombu.

`{(k:\ y=x),(BD:\ y=1/3x-8/3):}`  

`x=1/3x-8/3` 

`2x=-8` 

`x=-4` 

`y=-4` 

`ul(D=(-4;-4)`  

 

`vec(DP)=[2+4;-2+4]=[6;2]=vec(PB)` 

`[6;2]=vec(PB)=[b_1-2;b_2+2]` 

`b_1-2=6\ implies\ b_1=8` 

`b_2+2=2\ implies\ b_2=0` 

`ul(B=(8;0)` 

 

Wyznaczmy nieznane równania prostych zawierających boki rombu.

`ul(BD:\ y=1/3x-8 /3`  

 

`AB:\ y= ax+b` 

`{(0=8a+b),(-5=3a+b):}` 

`{(0=8a+b),( 5=-3a-b):}` 

`5a=1` 

`a=1` 

`b=-8a=-8` 

`ul(AB:\ x-8` 

 

`BC:\ y=ax+b` 

`{(0=8a+b),(1=a+b):}`       

 

`{(0=-8a-b),(1=a+b):}`       

`-7a=1` 

`a=-1/7` 

`b=-8a=8/7` 

`ul(BC:\ y=-1/7x+8/7` 

 

`CD:\ y=ax+b` 

`{(1=a+b),(-4=-4a+b):}` 

`{(-1=-a-b),(-4=-4a+b):}` 

`-5=-5a` 

`a=1` 

`b=-a+1=0` 

`ul(CD: \ y=x`