Nierówności wymierne - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Nierówności wymierne

Skoro zgłębiliśmy już temat nierówności wielomianowych, możemy zabrać się za ich rozwinięcie - nierówności wymierne. Tak naprawdę wymagają one jedynie jednego "kroku" więcej i wszystko dalej sprowadza się do rozwiązywania nierówności wielomianowych.

Najprościej będzie zobaczyć to na przykładzie:

$${3x-2}/{4x-7}$$ > $${1-3x}/{5-4x}$$

1) Pierwszą rzeczą, którą robimy po zobaczeniu takiej nierówności, jest przeniesienie wszystkich składników na jedną stronę.

$${3x-2}/{4x-7} - {1-3x}{5-4x}$$ > $$0$$

2) Sprowadzamy oba ułamki do wspólnego mianownika:

$${(3x-2)(5-4x)}/{(4x-7)(5-4x)} - {(1-3x)(4x-7)}/{(4x-7)(5-4x)}$$ > $$0$$

3) Dodajemy ułamki i rozpisujemy ich liczniki

$${(3x-2)(5-4x) - (1-3x)(4x-7)}/{(4x-7)(5-4x)}$$ > $$0$$
$${-2x-3}/{(4x-7)(5-4x)}$$ > $$0$$

4) Teraz następuje najważniejszy krok: zamieniamy iloraz wielomianów na ich iloczyn. Możemy to zrobić, ponieważ taka operacja nie zmienia znaku lewej strony. Otrzymujemy więc nierówność:

$$(-2x-3)(4x-7)(5-4x)$$ > $$0$$

5) Następnym krokiem jest wyznaczenie miejsc zerowych każdego z czynników oraz sprawdzenie, czy przy najwyższej potędze $$x$$-a jest znak dodatni, czy ujemny:

$$-2x-3 = 0$$
$$x = -{3}/{2}$$
$$4x-7 = 0$$
$$x = -{7}/{4}$$
$$-4x+5 = 0$$
$$x = -{5}/{4}$$

Teraz sprawdzenie znaku:

$$(-2)×4×(-4) = 32$$ > $$0$$

6) Mając miejsca zerowe i znając znak współczynnika możemy narysować schematyczny wykres wielomianu i odczytać z niego przedziały, gdzie jest on dodatni:

1

Jak widać nierówność jest prawdziwa dla $$x$$-ów leżących w przedziałach $$(-{3}/{2}, {5}/{4})$$ oraz $$({7}/{4}, ∞)$$.

Metoda ta powinna zadziałać we wszystkich zadaniach z nierówności wymiernych, które mogłyby pojawić się na maturze.

Warto jeszcze tylko dodać, że krok 3 mógł rozwinąć licznik do wielomianu wyższego stopnia - na przykład funkcji kwadratowej. Należałoby wtedy po prostu znaleźć jej pierwiastki i zapisać w postaci iloczynu - dalsze kroki byłyby takie same.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Określ monotoniczność funkcji f.

`a) \ f(x) = 2 - 3x - 3(4-2x) = 2 -3x -12+6x = 3x-10` 

Współczynnik przy x jest dodatni a więc funkcja jest rosnąca.

 

`b) \ f(x) = (3x+2)/2 - (x+3)/4 - (4x-1)/3 = (18x+12)/12 -(3x+9)/12 - (16x-4)/12 = (18x+12-3x-9-16x+4)/12=` 

`=(-x +7)/12 = -1/12x+7/12` 

Współczynnik przy x jest ujemny a więc funkcja jest malejąca.

 

`c) \ f(x) = (2-x)(2+x) + (2+x)^2 = (2+x)(2-x+2+x) = (2+x)*4 = 8+4x=4x=8` 

Współczynnik przy x jest dodatni a więc funkcja jest rosnąca.

 

`d) \ f(x) = (1-2x)^2 -(2-x)^2 -3x^2 = (1-4x+4x^2)-(4-4x+x^2)-3x^2 = 1-4x+4x^2 -4+4x-x^2-3x^2=` 

`=-3` 

Współczynnik przy x wynosi 0 a więc funkcja jest stała.

Liczbą ujemną jest:

ODP:  D

 

`"A."\ log_(1/4)1/4=1` 

 

`"B."\ log_(1/4)1/2=log_(1/4)sqrt(1/4)=1/2` 

 

`"C."\ log_(4)2=log_(4)sqrt4=log_(4)4^(1/2)=1/2` 

 

`"D."\ log_(4)1/2=log_(4)sqrt(1/4)=log_(4)(1/4)^(1/2)=log_(4)(4^-1)^(1/2)=log_(4)4^(-1/2)=-1/2`   

Naszkicuj wykres funkcji...

a)

`"ZW"="R"` 

Miejsca zerowe: `x_1=-pi, x_2=0, x_3=pi` 

b)

`"tg" x < 0 \ \ \ "dla" \ \ \ x in (-pi/2, 0), (pi/2, pi)` 

 

Sprawdźmy czy punkt P należy do wykresu funkcji.

`y="tg"x` 

`sqrt2/2="tg"pi/4` 

`sqrt2/2=1` 

Sprzeczność, więc punkt P nie należy do wykresu funkcji.

 

Sprawdźmy czy punkt R należy do wykresu funkcji.

`y="tg"x` 

`sqrt3/3="tg"pi/6` 

`sqrt3/3=sqrt3/3` 

prawda, więc punkt R należy do wykresu funkcji.

 

Oblicz długość promienia okręgu wpisanego...

`c^2=4^2+6^2=16+36=52`

`c=2sqrt13`

`r=(4+6-2sqrt13)/2=5-sqrt13`

Zaproponuj wzór na n-ty wyraz ciągu...

a) Zauważmy, ze każdy kolejny wyraz powstaje poprzez dodanie liczby 11 do poprzedniego wyrazu. Pierwszym wyrazem jest 11, zatem:

`a_n = 11n` 

 

`a_8 = 11*8=88` 

 

b) Pierwszy wyraz jest ujemny a każdy następny wyraz jest liczbą przeciwną do poprzedniego, zatem:

`a_n = 5*(-1)^n` 

 

`a_8 = 5*(-1)^8 = 5*1=5` 

 

c) Zauważmy, że każdy kolejny wyraz jest sześcianem kolejnej dodatniej liczby naturalnej, zatem:

`a_n = n^3` 

 

`a_8 = 8^3 = (2^3)^3 = 2^9 = 512` 

 

d) Ciąg opisuje liczby, które przy dzieleniu przez 5 dają resztę 1. Zauważmy, że dla n = 1 wartość musi wynosić 1, zatem:

`a_n = 1 + 5(n-1) = 1 + 5n - 5 = 5n-4` 

 

`a_8 = 5*8 - 4 = 36` 

 

e) Każdy kolejny wyraz powstaje poprzez dodania do licznika i mianownika liczby 2. Pamiętajmy, że dla n = 1 wartość musi być równa:

`1/3` 

zatem:

`a_n = (1+2(n-1))/(3+2(n-1)) = (1+2n-2)/(3+2n-2) = (2n-1)/(2n+1)`  

 

`a_8 = (2*8-1)/(2*8+1) = (16-1)/(16+1) = 15/17` 

 

f) Każdy kolejny wyraz powstaje poprzez dodatnie liczby 1 do liczby pierwiastkowanej znajdującej się w mianowniku.

`a_n = 1/(sqrt(n))`  

 

`a_8 = 1/sqrt8 = 1/(2sqrt2) *sqrt2/sqrt2 = sqrt2/(2*2) = sqrt2/4 ` 

 

g) Zauważmy, że:

`a_1 = 1` 

`a_2 = 1+10` 

`a_3 = 1+10+100` 

`a_4 = 1+10+1000+10000` 

Zatem musimy przekształcić liczby tak aby powstało nam wyrażenie zależne od n, np:

`a_1 = 1 = 1/1 = (10-1)/9` 

`a_2 = 11 = 99/9 = (100-1)/9 = (10^2 -1)/9` 

`a_3 = 111 = 999/9 = (1000-1)/9 = (10^3 -1)/9` 

`a_n = (10^n -1)/9`  

 

`a_8 = 11 \ 111 \ 111` 

 

h) Zauważmy, że:

`a_1 = 1 = 1` 

`a_2 = 21 = 1+20= 1+2*10= 1+2*10^1` 

`a_3 = 321 =1+20+300= 1+2*10 + 3*100 = 1+2*10 +3*10^2` 

`a_4 = 4321 = 1 + 20 + 300 + 4000 = 1+2*10+3*10^2 + 4*10^3` 

A więc:

`a_n = 1*10^0 + 2*10^1 + 3*10^2 + 4*10^3 + ... + n*10^(n-1)` 

 

`a_8 = 87 \ 654 \ 321` 

Przeczytaj informację ...

`"Wykres funkcji f jest oznaczony kolorem czerwonym. Wykres 2f jest koloru zielonego, "` 

`"natomiast wykres funkcji 0,5f jest koloru niebieskiego."` 

 

`a)` 

`b)`  

`c)` 

`d)` 

Odcinek CD jest wysokością trójkąta ABC przedstawionego na rysunku

`tw.\ P i tago rasa\ dla\ DeltaCDB`

`6^2+|DB|^2=10^2`

 `36+|DB|^2=100\ \ \ |-36` 

`|DB|^2=64`

`|DB|=8`

 

 

`P_(DeltaABC)=1/2*|AB|*|CD|=1/2*(4+8)*6=3*12=36`

 

Oblicz sumy...

Wzór na sumę ciągu arytmetycznego:

`S_n = (a_1 + a_n)/2 * n` 

 

`a) \ a_n = 2n-1` 

`a_1 = 2*1-1 = 2-1 = 1` 

`a_9 = 2*9-1 = 18-1 = 17` 

`a_18 = 2*18 - 1 = 36 - 1 = 35` 

 

`S_9 = (a_1 + a_9)/2 *9 = (1+17)/2*9 = 18/2 * 9 = 9*9 = 81` 

 

`S_18 = (a_1 + a_18)/2 * 18 = (1+35)*9 = 36 * 9=324` 

 

`b) \ a_n = 5 +(n-1)*(-3) = 5-3n+3 = 8-3n` 

`a_1 = 8-3*1 = 8-3=5` 

`a_9 = 8-3*9 = 8 - 27 = -19` 

`a_18 = 8-3*18 = 8 - 54 = -46` 

 

`S_9 = (a_1+a_9)/2*9 = (5-19)/2 * 9 = (-14)/2 * 9 = -7*9 = -63` 

 

`S_18 = (a_1 + a_18)/2 * 18 = (5-46)*9 = -41*9 = -369` 

 

`c) \ a_n = -1/2 +3/2(n-1) = -1/2 + 3/2n - 3/2 = 3/2n -2` 

`a_1 = 3/2*1-2 = 3/2 - 2 = -1/2` 

`a_9 = 3/2 * 9 - 2 = 27/2 - 2 = 23/2` 

`a_18 = 3/2 * 18 - 2 = 3*9 - 2 = 27 - 2 = 25` 

 

`S_9 = (a_1+a_9)/2 * 9 = (-1/2 +23/2)/2*9 = (22/2)/2 * 9 = 11/2 * 9 = 99/2 = 49 1/2` 

 

`S_18 = (a_1+a_18)/2*18 = (-1/2 + 25)*9 = (-1/2 + 50/2)*9 = 49/2*9 = 441/2 = 220 1/2` 

Wyznacz wzór ...

`a)`

`a_n=a_1+(n-1)r` 

`a_3=(a_2+a_4)/2=8/2=4` 

`a_4-a_3=6-4=2=r` 

 

`a_1=a_2-r=0` 

`a_n=2(n-1)` 

 

`b)` 

`a_2=a_1+r` 

`a_5=a_1+4r` 

 

`{(a_1+r=0),(a_1+4r=9):}` 

`a_1=-r` 

` ` `-r+4r=9 implies r=3` 

 

`a_1=-3` 

`a_n=-3+3(n-1)=3n-6` 

 

`c)` 

`a_4=a_1+3r` 

`a_10=a_1+9r` 

 

`{(a_1+3r=2),(a_1+9r=-10):}` 

`a_1=2-3r` 

`2-3r+9r=-10 implies 6r=-12` 

`r=-2` 

 

`a_1=2-3*(-2)=8` 

`a_n=8-2(n-1)=-2n+10`    

 

Dany jest trójkąt ograniczony ...

`{(x=6),(2y-x=2),(x+y=-2):}\ implies\ {(x=6),(y=x/2+1),(y=-x-2):}`    

Oznaczmy wierzchołki trójkąta, ograniczonego powyższymi równaniami, przez ABC.

`k:\ y=-1/2x-1`     

Narysujmy w układzie współrzędnych proste o powyższych równaniach.

`P_(ABC)-"pole trójkąta ABC"` 

`P_(ABC)=1/2*|CB|*|AS|=1/2*12*8=48`  

Zauważmy, że prosta k dzieli trójkąt ABC na dwa trójkąty o wysokości h=8 i podstawach równych 4 i 8.

`P_(ACD)=1/2*|CD|*|AS|=1/2*4*8=16` 

`P_(ADB)=1/2|BD|*|AS|=1/2*8*8=32` 

 

`"Odpowiedź D."`