Nierówności wymierne - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Nierówności wymierne - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Nierówności wymierne

Skoro zgłębiliśmy już temat nierówności wielomianowych, możemy zabrać się za ich rozwinięcie - nierówności wymierne. Tak naprawdę wymagają one jedynie jednego "kroku" więcej i wszystko dalej sprowadza się do rozwiązywania nierówności wielomianowych.

Najprościej będzie zobaczyć to na przykładzie:

${3x-2}/{4x-7}$ > ${1-3x}/{5-4x}$

1) Pierwszą rzeczą, którą robimy po zobaczeniu takiej nierówności, jest przeniesienie wszystkich składników na jedną stronę.

${3x-2}/{4x-7} - {1-3x}{5-4x}$ > $0$

2) Sprowadzamy oba ułamki do wspólnego mianownika:

${(3x-2)(5-4x)}/{(4x-7)(5-4x)} - {(1-3x)(4x-7)}/{(4x-7)(5-4x)}$ > $0$

3) Dodajemy ułamki i rozpisujemy ich liczniki

${(3x-2)(5-4x) - (1-3x)(4x-7)}/{(4x-7)(5-4x)}$ > $0$
${-2x-3}/{(4x-7)(5-4x)}$ > $0$

4) Teraz następuje najważniejszy krok: zamieniamy iloraz wielomianów na ich iloczyn. Możemy to zrobić, ponieważ taka operacja nie zmienia znaku lewej strony. Otrzymujemy więc nierówność:

$(-2x-3)(4x-7)(5-4x)$ > $0$

5) Następnym krokiem jest wyznaczenie miejsc zerowych każdego z czynników oraz sprawdzenie, czy przy najwyższej potędze $x$-a jest znak dodatni, czy ujemny:

$-2x-3 = 0$
$x = -{3}/{2}$
$4x-7 = 0$
$x = -{7}/{4}$
$-4x+5 = 0$
$x = -{5}/{4}$

Teraz sprawdzenie znaku:

$(-2)×4×(-4) = 32$ > $0$

6) Mając miejsca zerowe i znając znak współczynnika możemy narysować schematyczny wykres wielomianu i odczytać z niego przedziały, gdzie jest on dodatni:

1

Jak widać nierówność jest prawdziwa dla $x$-ów leżących w przedziałach $(-{3}/{2}, {5}/{4})$ oraz $({7}/{4}, ∞)$.

Metoda ta powinna zadziałać we wszystkich zadaniach z nierówności wymiernych, które mogłyby pojawić się na maturze.

Warto jeszcze tylko dodać, że krok 3 mógł rozwinąć licznik do wielomianu wyższego stopnia - na przykład funkcji kwadratowej. Należałoby wtedy po prostu znaleźć jej pierwiastki i zapisać w postaci iloczynu - dalsze kroki byłyby takie same.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Rozwiąż równania:

a) 

Zał:

 

 

 

 

    {premium}

 

 

 

 

 

 

 

 

    


b)

Zał:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


c) 

Zał:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


d)

Zał:

 

 

 

 

 

 

 

 

  

 

 

 

 

 

 

Wiadomo, że...

Przekształcamy b:{premium}

 


Zatem:

 


Wszystkie zdania są prawdziwe.

Określ wzajemnie położenie okręgu o środku S

Wzajemnie położenie określanie przez obliczenie odległości pomiędzy środkami i okręgów oraz obliczenie sumy i wartości bezwzględnej z różnicy promieni.

Obliczmy promień okręgu o środku S

{premium}

a)

Zatem 

Jeśli wartość bezwzględna z różnicy promieni jest równa odległości między środkami okręgów to okręgi są styczne wewnętrznie.

b)

Zauważamy, że odległość między środkami jest równa sumie długości promien, zatem nie obliczamy już różnicy promieni.

Okręgi są styczne zewnętrznie.

Dla jakich wartości parametrów m i n liczba...

Oznaczmy:

 


Liczba 3 jest pierwiastkiem wielomianu W(x), więc:

 

 {premium}

 

 

 

 

Dla n=18-3m wielomian przyjmuje postać:

  


Liczba 3 jest pierwiastkiem wielomianu W(x), więc wielomian W(x) jest podzielny przez dwumian x-3.

Wykonujemy dzielenie W(x):(x-3), stosując schemat Hornera:

  1 -5 m 18-3m
3 1 -2 m-6 0

Otrzymujemy:

 


Liczba 3 jest dwukrotnym pierwiastkiem wielomianu W(x), więc jest też pierwiastkiem wielomianu P(x)=x2-2x+m-6. Stąd:

 

 

 

 

 

 

Wówczas:

 


 

W prostokątnym układzie współrzędnych ...

Zał:

 

 

      {premium}

 

 

 

 

Wystarczy narysować funkcję f(x)=(x-2)2, gdzie x∈(2,3)∪(3,+oo).

         
         

Zaznaczmy wszystkie te punkty w prostokątnym układzie współrzędnych.

Podaj rozwiązanie nierówności...

 

 

 

 

zatem:{premium}

 


 

 

 

 

zatem:

 


 

 

 

Wartość bezwzględna każdej liczby jest liczbą nieujemną, zatem:

 


 

Kwadrat każdej liczby rzeczywistej jest liczbą nieujemną, zatem:

 


 

 

 

 

 

zatem:

 


 

 

 

 

 

Kwadrat każdej liczby rzeczywistej jest liczbą nieujemną, zatem:

 

W ciągu arytmetycznym...

 

{premium}  

 

Dodając stronami otrzymujemy:

 

 

 

 

Odp. D

Wyznacz zbiór wartości...

a) Dziedziną jest zbiór liczb rzeczywistych.

 

Do zbioru wartości będą należeć m takie, że:

 

(2x)/(x^2+1) = m

 

 

 

Jeżeli m = 0 to

 

{premium}

Jeżeli  to równanie kwadratowe ma rozwiązanie gdy:

 

 

 

 

 

 

 

Zbiór wartości to:

 

 

 

 

 

Wyznaczmy zbiór wartości funkcji:

  

 

 

 

 

 

 

 

 

Równanie ma rozwiązania gdy:

 

 

 

 

podglad pliku

 

 

A więc:

 

 

 

 

Zbiorem wartości funkcji W(x) jest:

 

Przyjmijmy, że liczby oznaczone...

 

      {premium}

 

 

 

 

 



 

 

 

 

 

 


 

 

 


 

 

 

 

 

 

 

Wyznacz objętość graniastosłupa prawidłowego czworokątnego...

Korzystając z tw. Pitagorasa możemy obliczyć przekątną ściany bocznej.

 

 

Korzystając z tw. Pitagorasa możemy wyliczyć przekątną tego graniastosłupa.

 

 

 

Korzystając z tw. cosinusów w zaznaczonym trójkącie otrzymujemy:

 

 

 

{premium}  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Założenie: