Nierówności wymierne - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Nierówności wymierne

Skoro zgłębiliśmy już temat nierówności wielomianowych, możemy zabrać się za ich rozwinięcie - nierówności wymierne. Tak naprawdę wymagają one jedynie jednego "kroku" więcej i wszystko dalej sprowadza się do rozwiązywania nierówności wielomianowych.

Najprościej będzie zobaczyć to na przykładzie:

$${3x-2}/{4x-7}$$ > $${1-3x}/{5-4x}$$

1) Pierwszą rzeczą, którą robimy po zobaczeniu takiej nierówności, jest przeniesienie wszystkich składników na jedną stronę.

$${3x-2}/{4x-7} - {1-3x}{5-4x}$$ > $$0$$

2) Sprowadzamy oba ułamki do wspólnego mianownika:

$${(3x-2)(5-4x)}/{(4x-7)(5-4x)} - {(1-3x)(4x-7)}/{(4x-7)(5-4x)}$$ > $$0$$

3) Dodajemy ułamki i rozpisujemy ich liczniki

$${(3x-2)(5-4x) - (1-3x)(4x-7)}/{(4x-7)(5-4x)}$$ > $$0$$
$${-2x-3}/{(4x-7)(5-4x)}$$ > $$0$$

4) Teraz następuje najważniejszy krok: zamieniamy iloraz wielomianów na ich iloczyn. Możemy to zrobić, ponieważ taka operacja nie zmienia znaku lewej strony. Otrzymujemy więc nierówność:

$$(-2x-3)(4x-7)(5-4x)$$ > $$0$$

5) Następnym krokiem jest wyznaczenie miejsc zerowych każdego z czynników oraz sprawdzenie, czy przy najwyższej potędze $$x$$-a jest znak dodatni, czy ujemny:

$$-2x-3 = 0$$
$$x = -{3}/{2}$$
$$4x-7 = 0$$
$$x = -{7}/{4}$$
$$-4x+5 = 0$$
$$x = -{5}/{4}$$

Teraz sprawdzenie znaku:

$$(-2)×4×(-4) = 32$$ > $$0$$

6) Mając miejsca zerowe i znając znak współczynnika możemy narysować schematyczny wykres wielomianu i odczytać z niego przedziały, gdzie jest on dodatni:

1

Jak widać nierówność jest prawdziwa dla $$x$$-ów leżących w przedziałach $$(-{3}/{2}, {5}/{4})$$ oraz $$({7}/{4}, ∞)$$.

Metoda ta powinna zadziałać we wszystkich zadaniach z nierówności wymiernych, które mogłyby pojawić się na maturze.

Warto jeszcze tylko dodać, że krok 3 mógł rozwinąć licznik do wielomianu wyższego stopnia - na przykład funkcji kwadratowej. Należałoby wtedy po prostu znaleźć jej pierwiastki i zapisać w postaci iloczynu - dalsze kroki byłyby takie same.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Niech x będzie taka liczbą, że ...

Przyjmujemy, że:

`log_(2)x=0,4` 

 

`"a")"\ log_(2)2x^2=1,8`  

`"L"=log_(2)2x^2=log_(2)(2*x^2)=log_(2)2+log_(2)x^2=1+2log_(2)x=1+2*0,4=1+0,8=1,8`  

`"P"=1,8` 

`"L"="P"` 

 

`"b)"\ log_(2)16x^3=5,2` 

`"L"=log_(2)16x^3=log_(2)(16*x^3)=log_(2)16+log_(2)x^3=log_(2)2^4+3log_(2)x=4+3*0,4=4+1,2=5,2` 

`"P"=5,2` 

`"L"="P"` 

 

`"c)"\ log_(2)x^4/2=0,6` 

`"L"=log_(2)x^4/2=log_(2)x^4-log_(2)2=4log_(2)x-1=4*0,4-1=1,6-1=0,6` 

`"P"=0,6` 

`"L"="P"`    

Wskaż wyrażenia wymierne...

`A. -(a-b)/(a+b) = (-a+b)/(a+b) = (b-a)/(a+b)` 

Wyrażenia są równe

 

`B. \ -(b-a)/(a-b) = (a-b)/(a-b) = 1 ne (b-a)/(a+b)` 

Wyrażenia są różne

 

`C. \ -(-(b-a))/(a+b) = (b-a)/(a+b)` 

Wyrażenia są równe

 

`D \ -(a-b)*(b+a) = (b-a)/(a+b)` 

Wyrażenia są równe

Zapisz wyrażenie w postaci potęgi...

`a) \ sqrt(3^7) = (3^(1/2))^7 = 3^(1/2*7) = 3^(7/2)` 

 

`b) \ root(3)(2^2) * sqrt(2^4) = (2^(1/3))^2*(2^4)^(1/2) = 2^(1/3*2)*2^2 = 2^(2/3)*2^2 = 2^(2/3+2) = 2^(2 2/3) = 2^(8/3)` 

 

`c) \ sqrt(7^(1/2)) = (7^(1/2))^(1/2) = 7^(1/2*1/2) = 7^(1/4)` 

 

`d) \ root(5)(5^(3/4)) = (5^(3/4))^(1/5) = 5^(3/4*1/5) = 5^(3/20)` 

Przez punkty (-1, 2) i (7,4) przechodzi...

Podpunkt A:

`(-1+1)(2-2)=(-1-7)(2-4)` 

`0 = -8*(-2)` 

Sprzeczność, punkt (-1, 2) nie należy prostej.

 

Podpunkt B:

`-1-4*2 + 9 =0` 

`-1-8+9=0` 

`-9+9=0` 

`0=0` 

 

`7-4*4+9=0` 

`7-16+9=0` 

`-9+9=0` 

`0=0` 

Oba punkty należą do prostej.

Odpowiedź B

Dana jest funkcja okresowa ...

`f:RR->RR` 

`T=4` 

 

`"Dla"\ x in <<-2;2)\ "funkcja wyraża się wzorem:"\ f(x)=x^2.`     

 

`a)` 

`f(x)=1\ \ wedge\ \ x in <<-2;2)` 

`x^2=1\ implies\ x =1\ \ \vv\ \ \x=-1` 

Biorąc pod uwagę całą dziedzinę funkcji g otrzymujemy:

`ul(x in {-1+4k;1+4k},\ "gdzie"\ k in CC`     

 

`b)` 

`f(x)=3\ \ wedge\ \ x in <<-2;2)` 

`x^2=3` 

`x=sqrt3\ \ \vv\ \ \ x=-sqrt3`      

Biorąc pod uwagę całą dziedzinę funkcji g otrzymujemy:

`ul(x in {-sqrt3+4k;sqrt3+4k},\ "gdzie"\ k in CC` 

 

`c)` 

`f(x)<=1` 

`x^2<=1\ \ wedge\ \ x in <<-2;2)` 

`x in <<-1;1>>` 

Biorąc pod uwagę całą dziedzinę funkcji g otrzymujemy:

`ul(x in <<-1+4k;1+4k>>,\ k in CC`  

 

`d)` 

`f(x)>2\ \ wedge\ \ x in <<-2;2)`

`x^2>2` 

`x>sqrt2\ \ \vv\ \ \x<-sqrt2`  

`x in (-oo;-sqrt2>> cup << sqrt2; +oo)\ \ wedge\ \ x in <<-2;2)` 

`x in <<-2;-sqrt2>>` `cup` `<< sqrt2;2)`    

Biorąc pod uwagę całą dziedzinę funkcji g otrzymujemy:

`x in <<-2+k;-sqrt2+k>>` `cup` `<< sqrt2+k;2+k),\ k in CC`  

Proste m i l przecinają się...

Oba kąty przyległe tworzą, wraz z kątem alfa, kąty półpełne.

`alpha = 35^o` 

`180- alpha = 180-35^o = 145^o` 

 

Suma kątów przyległych to:

`145^o + 145^o = 290^o` 

Odpowiedź A

Oblicz, wiedząc, że...

`a) \ sin x + cos x = sqrt5/5 \ \ \ | ()^2` 

`sin^2x + 2sinxcosx+cos^2x=5/25` 

`1 + 2 sin x cos x = 1/5` 

`2 sinxcosx = -4/5` 

`sinxcosx = -2/5` 

 

`b) \ sin^2x + cos^2x = 1 \ \ \ | ()^2` 

`sin^4 \ x + 2 sin^2xcos^2x + cos^4x = 1` 

`sin^4x + 2 (sinxcosx)^2 + cos^4x=1` 

`sin^4x + 2 *4/25 + cos^4x = 1` 

`sin^4x + cos^4x = 17/25` 

 

`c) \ sin^3x + cos^3x = (sinx + cosx)(sin^2x - sinxcosx+cos^2x) = sqrt5/5 * (1 - (-2/5)) = sqrt5/5 * 7/5 = (7sqrt5)/25` 

 

`d) \ (sin x - cosx)^2 = sin^2x - 2sinxcosx + cos^2x = 1 - 2(-2/5) = 9/5` 

 

`(sin x - cosx)^2 = 9/5 \ \ \ | sqrt` 

`|sin x - cosx| = 3/sqrt5 * sqrt5/sqrt5 = (3sqrt5)/5` 

Ćwiczenie 3 Podaj ...

`a)` 

`r=a_2-a_1=2` 

`a_n=a_1+(n-1)r=2+2(n-1)=2n` 

`a_20=2*20=40` 

 

`b)` 

`r=a_2-a_1=1/2` 

`a_n=a_1+r(n-1)=4+1/2(n-1)` 

`a_20=4+1/2*19=4+19/2=13 1/2` 

 

`c)` 

`r=a_2-a_1=-1` 

`a_n=3-(n-1)=-n+4` 

`a_20=-16`     

Liczby x1 i x2 są pierwiastkami równania...

`sqrt12x^2+sqrt8x-sqrt3=0` 

 

`1/(x_1^2+x_2^2)=?` 

`(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=(-b/a)^2-2*c/a=(((-sqrt8)/sqrt12)^2-2*(-sqrt3)/sqrt12)=8/12+(2sqrt3)/sqrt12=2/3+(2sqrt3)/(2sqrt3)=2/3+1=1 2/3=5/3` 

`1/(x_1^2+x_2^2)=1/(5/3)=1*3/5=3/5` 

 

Odp. D

 

Wykaż, że...

Założenia:

Mianowniki obu ułamków nie mogą być zerami. Ponadto tangens kąta `alpha` musi istnieć. Stąd:

`1-cos2alpha!=0\ \ \ \ ^^\ \ \ \ "tg"alpha!=0\ \ \  \ ^^\ \ \ \ alpha!=pi/2+kpi,\ k in bbC` 

`cos2alpha!=1\ \ \ \ ^^\ \ \ \ alpha!=0+kpi,\ k in bbC\ \ \ \ ^^\ \ \ \alpha!=pi/2+kpi,\ k in bbC`     

`2alpha!=0+2kpi,\ k in bbC\ \ \ \ ^^\ \ \ \ alpha!=kpi,\ k in bbC\ \ \ \ ^^\ \ \ \alpha!=pi/2+kpi,\ k in bbC` 

`alpha!=kpi,\ k in bbC\ \ \ \ ^^\ \ \ \ alpha!=kpi,\ k in bbC\ \ \ \ ^^\ \ \ \alpha!=pi/2+kpi,\ k in bbC` 

Stąd otrzymujemy:

`alpha!=(kpi)/2,\ k in bbC` 

Teza:  `(1+cos2alpha)/(1-cos2alpha)=1/("tg"^2alpha)` 

Dowód:

Rozpisujemy lewą stronę ze wzoru na cosinus podwojonego kąta oraz z jedynki trygonometrycznej, otrzymując:

`(1+cos2alpha)/(1-cos2alpha)=(sin^2alpha+cos^2alpha+cos^2alpha-sin^2alpha)/(sin^2alpha+cos^2alpha-cos^2alpha+sin^2alpha)=(2cos^2alpha)/(2sin^2alpha)=(cos^2alpha)/(sin^2alpha)=1/(sinalpha/cosalpha)^2=1/("tg"^2alpha)` 

Pokazaliśmy, że

`(1+cos2alpha)/(1-cos2alpha)=1/("tg"^2alpha),` 

co kończy dowód.