Nierówności wielomianowe - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Nierówności wielomianowe - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Spis treści

Rozwiązane zadania
Parabola o równaniu...

Oznaczmy odciętą punktu C jako c, wtedy współrzędne punktu C możemy zapisać jako:

 {premium}

Założenie:

 

 

 

   

Punkt D ma współrzędne:

 

Zatem:

 

Łatwo zauważyć, że:

 

Wysokość trapezu wynosi:

 

Pole trapezu wyraża funkcja:

  

Pochodna funkcji:

 

 

Wyznaczmy miejsca zerowe pochodnej:

 

 

  

 

 

 

 

Bierzemy pod uwagę tylko c należące do dziedziny pochodnej. Wyznaczmy przedziały w których pochodna ma znak dodatni/ujemny:

 

 

 

 

 

 

 

Skoro:

 

to funkcja P rośnie w tym przedziale oraz

 

to funkcja P maleje w tym przedziale. Zatem funkcja P osiąga maksimum w punkcie c = 2/3. Współrzędne punktu C:

 

Korzystając z podanej wartości ...

a) Wyznaczamy tangensa kąta 𝛼.

 

Wobec tego: {premium}

 

 


b) Wyznaczamy sinusa kąta 𝛽.

 

Wobec tego:

 

 

 

 


c) Wyznaczamy cosinusa kąta 𝛾.

 

Wobec tego:

 

 

 

 

Wartość wyrażenia ...

Wyznaczmy długość przeciwprostokątnej, korzystając z tw. Pitagorasa.

 

 

 

 

 

Zatem:

 

 

 

 

Obliczmy wartość wyrażenia.

 

 

Odp. C

Prosta o równaniu y=-3x+1 ...

Wykres funkcji g(x)=f(-x) otrzymujemy przez symetryczne odbicie wykresu funkcji y=f(x) względem osi OY.

 

Wykresy funkcji f i g oraz oś x ograniczają trójkąt. {premium}



Wyznaczamy współrzędne punktu przecięcia wykresu funkcji f z osią x.

 

 

 

 

 

Zatem:

 

Punkt B jest symetryczny do punktu A względem osi OY, więc:

 

Punkt C ma współrzędne (0, 1).

Wyznaczamy pole trójkąta ABC.

 

Wyznaczamy długości ramion trójkąta ABC.

 

Wyznaczamy obwód trójkąta ABC.

 


 

Na ile sposobów trzy rozróżnialne kule

Trzy rozróżnialne szuflady  {premium}  

Każdą z czterech kul możemy wrzucić do jednej z trzech szuflad, więc dla każdej z czterech kul mamy 3 możliwości. 

 


Pięć rozróżnialnych szuflad

Każdą z czterech kul możemy wrzucić do jednej z pięciu szuflad, więc dla każdej z czterech kul mamy 5 możliwości. 

 

W ostrosłupie...

Zauważmy, że jeśli ostrosłup czworokątny ma wszystkie krawędzie równej długości to ma w podstawie kwadrat. {premium}

Sposób I:

Przyjrzyjmy się poniższemu rysunkowi

Zauważmy, że trójkąty ABD i DBA  mają równe długości boków, więc są przystające. 

Trójkąt ABD jest trójkątem równoramiennym (jako połowa kwadratu rozciętego wzdłuż przekątnej), więc

  


Sposób II:

Długość krawędzi ostrosłupa oznaczmy przez a, a > 0

Przyjrzyjmy się poniższemu rysunkowi {premium}

Zauważmy, że wysokość ostrosłupa H tworzy z krawędzią boczną a i odcinkiem  x trójkąt prostokątny. 

Długość odcinka x jest równa połowie przekątnej podstawy, czyli 

 

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa dostajemy, że

więc

     

otrzymaliśmy więc, że 

czyli trójkąt OBS jest trójkątem prostokątnym równoramiennym, więc

 

 

Odp. B. 

O jaki wektor należy przesunąć ...

Naszkicujemy wykres funkcji 

W poniższej tabelce obliczmy wartości funkcji dla kilku wybranych argumentów:

         
         

Szkicujemy wykres funkcji i otrzymujemy {premium}


 

 

Dostajemy 

 

 

 

Dostajemy 

  

   

 

Dostajemy

Obrazem okręgu o: ...

Wyznaczmy środek okręgu oraz promień.

 

 

Wyznaczmy jeszcze jeden punkt należący do tego okręgu.  {premium}

Zauważmy, że do tego okręgu należy również punkt A(2+√3, 0).  

 

Wyznaczmy obraz środka okręgu.

 

Wyznaczmy obraz punktu A.

 

Wyznaczmy promień nowego okręgu.

 

 

Zatem otrzymujemy:

 

 

Odp. D

Podaj wzór ogólny ciągu ...

Z treści zadania wiemy, że:

 

    {premium}

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Wyznaczmy wzór ogólny tego ciągu.

 

 

 

 

 

Z punkt A poprowadzono ...

Styczna do okręgu jest prostopadła do promienia poprowadzonego do punktu styczności.

Wykonajmy rysunek pomocniczy.


A. Trójkąt ABC jest prostokątny, więc spełniony jest warunek: {premium}

 

Zdanie jest prawdziwe.


B. Suma miar kątów wewnętrznych w każdym czworokącie jest równa 360o, więc:

 

Zdanie jest prawdziwe.


C. Pole czworokąta ACBD jest równe sumie pól trójkątów ABC oraz ABD. Odcinki BC oraz BD są promieniami okręgu o środku w punkcie B, więc ich długość jest taka sama. Z twierdzenia o odcinkach stycznych do okręgu otrzymujemy, że odcinki AC i AD są równe. Możemy więc zapisać:

 

Zdanie jest prawdziwe.


D. Odcinek AC jest jedną z przyprostokątnych trójkąta ABC, natomiast odcinek AB jest przeciwprostokątną tego trójkąta. Przeciwprostokątna trójkąta prostokątnego jest dłuższa od każdej przyprostokątnej takiego trójkąta, więc AC>AB. Z poprzedniego podpunktu wiemy, że że odcinki AC i AD mają taką samą długość. Stąd otrzymujemy, że:

 

Podana równość jest fałszywa.


Odpowiedź: D