Nierówności wielomianowe - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Nierówności wielomianowe - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Spis treści

Rozwiązane zadania
W trójkącie ABC dwusieczne kątów o wierzchołkach...

Rysunek poglądowy:

{premium}


a) Z twierdzenia o dwusiecznej dla trójkąta ADC i kąta DAC:

 


b) Z twierdzenia o dwusiecznej dla trójkąta ADC i kąta DAC:

 

 

Z twierdzenia o dwusiecznej dla trójkąta AEC i kąta ACE:

 

 

Zatem:

 


c) Z twierdzenia o dwusiecznej dla trójkąta ADC i kąta DAC:

 

Zatem:

 

Z twierdzenia o dwusiecznej dla trójkąta ABC i kąta BAC:

 

Otrzymujemy:

 

Znajdź równanie ...

a) 

Prosta  jest asymptotą wykresu funkcji wykładniczej . Wykres funkcji  powstał przez przesunięcie wykresu funkcji  o  jednostek w górę, więc asymptotą tego wykresu jest prosta o równaniu .

Wykres funkcji wykładniczej  przecina oś  w punkcie , więc wykres funkcji  przecina tę oś w punkcie .

Wykres funkcji  nie przecina osi .

{premium}


b) 

Wykres funkcji  powstał przez przesunięcie równoległe wzdłuż osi  wykresu funkcji , więc asymptotą tego wykresu nadal jest prosta o równaniu .

Wyznaczamy współrzędne punktu przecięcia wykresu z osią .

 

 

 

 

Wykres funkcji  przecina tę oś w punkcie .

Wykres funkcji  nie przecina osi .


c)

Wykres funkcji  powstał przez przesunięcie wykresu funkcji  o  jednostki w lewo i o  jednostek w górę, więc asymptotą tego wykresu jest prosta o równaniu .

Wyznaczamy współrzędne punktu przecięcia wykresu z osią .

 

 

 

 

Wykres funkcji  przecina tę oś w punkcie .

Wykres funkcji  nie przecina osi .


d)

Wykres funkcji  powstał przez przesunięcie wykresu funkcji  o  jednostkę w dół, więc asymptotą tego wykresu jest prosta o równaniu .

Wyznaczamy współrzędne punktu przecięcia wykresu z osią .

 

 

 

Wykres funkcji  przecina osie współrzędnych w punkcie .


e)

Wykres funkcji  powstał przez przesunięcie wykresu funkcji  o  jednostki w dół, więc asymptotą tego wykresu jest prosta o równaniu .

Wyznaczamy współrzędne punktu przecięcia wykresu z osią .

 

 

 

Wykres funkcji  przecina tę oś w punkcie .

Wyznaczamy współrzędne punktu przecięcia wykresu z osią .

 

 

 

 

Wykres funkcji  przecina tę oś w punkcie .


f)

Wykres funkcji  powstał przez przesunięcie wykresu funkcji  o  jednostki w lewo i o  jednostek w dół, więc asymptotą tego wykresu jest prosta o równaniu .

Wyznaczamy współrzędne punktu przecięcia wykresu z osią .

 

 

 

 

Wykres funkcji  przecina tę oś w punkcie .

Wyznaczamy współrzędne punktu przecięcia wykresu z osią .

 

 

 

 

 

 

 

Wykres funkcji  przecina tę oś w punkcie .

Oblicz pochodną funkcji...

 

{premium}  

 

 

 

Zbadaj, czy istnieje liczba m, dla której...

Funkcja liniowa ma nieskończenie wiele miejsc zerowych, jeżeli jej wyraz wolny

i współczynnik kierunkowy są jednocześnie równe zero.

Musimy więc sprawdzić, czy istnieje wspólne  takie, że  

 

   

Mamy:

 współczynnik kierunkowy

 wyraz wolny

Szukamy rozwiązań równania  

 

 

 

Szukamy rozwiązań równania  

 

 

{premium}  

Widzimy, że rozwiązaniem obu równań jest liczba  więc istnieje liczba,

dla której funkcja  ma nieskończenie wiele miejsc zerowych.

 

   

Mamy:

 współczynnik kierunkowy

 wyraz wolny

Szukamy rozwiązań równania  

 

 

 

Sprawdzamy, czy któraś z powyższych liczb jest rozwiązaniem równania  

 

Dla  

 

 

 

 spełnia równanie  

Dla  

 

  

 nie spełnia równania  

Widzimy, że rozwiązaniem obu równań jest liczba  więc istnieje liczba,

dla której funkcja  ma nieskończenie wiele miejsc zerowych.

 

   

Mamy:

 współczynnik kierunkowy

 wyraz wolny

Szukamy rozwiązań równania  

 

 

 

Sprawdzamy, czy  jest rozwiązaniem równania  

 

 

 

 

Widzimy, że rozwiązaniem obu równań jest liczba  więc istnieje liczba,

dla której funkcja  ma nieskończenie wiele miejsc zerowych.

 

   

Mamy:

 współczynnik kierunkowy

 wyraz wolny

Szukamy rozwiązań równania  

 

  

 

Sprawdzamy, czy  jest rozwiązaniem równania  

 

 

 

Widzimy, że nie istnieje liczba, dla której funkcja  ma nieskończenie wiele miejsc zerowych.  

Wyznacz wymiary prostokąta o maksymalnym ...

Rysunek pomocniczy:

Dwa wierzchołki tego prostokąta należą do osi OX, zatem są postaci: {premium}

 

Dwa wierzchołki tego prostokąta należą do paraboli  , zatem są postaci:

 

 

Długość boku AB:

 

Długość boku BC jest równa drugiej współrzędnej paraboli  , zatem wynosi:

 

Pole prostokąta ABCD w zależności od wartości x:

 

 

Aby wyznaczyć wartość, dla której pole prostokąta jest największe należy wyznaczyć pochodną tej funkcji, a następnie zbadać jej ekstrema.

 

 

Sprawdźmy kiedy P'(x)=0.

 

 

 

 

 

Wyznaczmy wymiary prostokąta.

 

 

 

Odp. Wymiary prostokąta o największym polu to 2√3 i 2.

 

 

W stadzie liczącym osiemdziesiąt...

Obliczmy, ile ogierów liczyło początkowo to stado:  {premium}

 

 

Obliczmy, jaki procent stada stanowią ogiery jeżeli właściciel sprzedał pięć z nich:

 

 

Odp.: Ogiery stanowią teraz 4% stada.

Graniastosłup ma 20 wierzchołków...

Graniastosłup n-kątny ma:

  • 2n wierzchołków,
  • n+2 ściany,
  • 3n krawędzi.

Graniastosłup ma 20 wierzchołków. Stąd:{premium}

 

 


Obliczamy stosunek liczby krawędzi do liczby ścian tego graniastosłupa:

 


Prawidłowa odpowiedź to A.

W urnie jest 48 kul białych...

Ilość białych kul:  

Ilość czarnych kul:  

{premium}  - ilość dołożonych kul 

 

Ilość wszystkich kul:  

 

Prawdopodobieństwo wylosowania czarnej kuli:  

 

 

 

 

 

 

 

Odp. D

Wskaż, który z punktów...

a) Skoro

 

to{premium}

Zatem punkt R jest punktem leżącym pomiędzy punktami P i S.

 

 

 

czyli

 

Zatem punkt P jest punktem leżącym pomiędzy punktami R i S.

 

 

 

 

czyli

 

Zatem punkt S jest punktem leżącym pomiędzy punktami R i P.

 

 

 

czyli

 

Zatem punkt S jest punktem leżącym pomiędzy punktami R i P. 

Na ile sposobów można ustawić w kolejce

 

Na pierwszym miejscu w kolejce może stać jedna z pięciu osób - 5 możliwości. 

Na drugim miejscu w kolejce może stać jedna z czterech pozostałych osób - 4 możliwości. 

Na trzecim miejscu w kolejce może stać jedna z trzech pozostałych osób - 3 możliwości. 

Na czwartym miejscu w kolejce może stać jedna z dwóch pozostałych osób - 2 możliwości. 

Na piątym miejscu w kolejce może stać jedna osoba - 1 możliwość. 

Zgodnie z regułą mnożenia liczba wszystkich możliwości jest równa:

{premium}  

 

 

Analogicznie jak poprzednio, na pierwszym miejscu może stać jedna z sześciu osób, na drugim - jedna z pięciu pozostałych itd. 

 

 

 

Analogicznie jak poprzednio, na pierwszym miejscu może stać jedna z ośmiu osób, na drugim - jedna z siedmiu pozostałych itd.