Miara łukowa - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Przeliczanie kątów

Czasami musimy przeliczyć kąt z jednej miary na drugą. Robimy to korzystając z dwóch wzorów na długość łuku:

$$l = 2×Π×R×{α}/{360°}$$
$$l = β×R$$

gdzie $$α$$ to miara wielkość kąta w stopniach, a $$β$$ - w radianach.

Jeśli przyrównamy te dwa wzory do siebie (lewe strony są takie same, więc prawe też muszą być równe) otrzymujemy:

$$2×Π×R×{α}/{360°} = β×R$$
$$2×Π{α}/{360°} = β$$

oraz
$$α = {β × 360°}/{2×Π}$$
 

Ciekawostka

Miara łukowa jest używana w fizyce i wielu zadaniach technicznych, ponieważ dla małych kątów kąt w radianach jest równy sinusowi tego kąta: można więc pozbyć się z równania kłopotliwych funkcji trygonometrycznych uzyskując całkiem dobre przybliżenie wyniku. Np. w równaniu $$ sin α = 0,087156$$ możemy spokojnie opuścić sinus i powiedzieć, żę kąt $$α$$ jest w przybliżeniu równy właśnie $$0,087156$$ radianów.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Niech x=a+b oraz y=a-b...

 

 

 

  

 

 

Uzasadnij, że nierówność

  

    

 

Zauważmy, że aby wykazać nierówność z tezy, możemy wykazać nierówność równoważną:

 

 

Rozpiszmy lewą stronę powyższej nierówności:

 

 

Zauważmy, że każdy z (n-1) czynników jest ułamkiem o liczniku 1 oraz o mianownikach będących kolejnymi liczbami naturalnymi od 2 do n. Z założenia wiadomo, że n jest liczbą naturalną większą od 2. Ułamek 1/3 jest mniejszy niż 1/2, podobnie ułamek 1/4 jest mniejszy od 1/2, tak samo wszystkie pozostałe ułamki są mniejsze od 1/2. Stąd możemy zapisać:

  

 

    

 

Żądana nierówność zachodzi, co kończy dowód. 

Rzucamy cztery razy kostką ...

a)

 {premium}

 

b)

Prawdopodobieństwo nie otrzymania szóstki:

 

Prawdopodobieństwo otrzymania jednej szóstki:

 

Prawdopodobieństwo otrzymania dwóch szóstek: 

 

 

Prawdopodobieństwo otrzymania co najwyżej dwóch szóstek:

 

 

Oblicz długość okręgu opisanego...

a)

 

 

 

 

 

 


b)

Obliczmy kąt przy wierzchołku C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Suma wszystkich wyrazów nieskończonego ciągu ...

 

 

 

 

 

 

 

    

 

 

 

 

 

 

   

 

 

 

 

 

 

 

 

  

    

Określ stopień wielomianu u+w w zależności od parametru a

{premium}

 

 

 

 

Dany jest wzór funkcji kwadratowej f w postaci ogólnej

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Wykres funkcji f powstaje przez przesunięcie paraboli y=x² o 1 jednostkę w górę (wiemy to dzięki wierzchołkowi).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Wykres funkcji f powstaje przez przesunięcie paraboli y=-1/2x²  o 2 jednostki w górę. 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Wykres funkcji f powstaje przez przesunięcie paraboli y=3x² o 1 jednostkę w prawo i 3 jednostki w dół (wierzchołek ma współrzędne (1, -3))

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  

 

 

 

 

 

 

 

 

Wykres funkcji f otrzymamy przesuwając parabolę y=1/2x²  o 3 jednostki w prawo i 2 jednostki w dół. 

 

 

 

 

 

 

  

 

 

 

 

 

  

 

 

 

 

 

 

Wykres funkcji f otrzymamy przesuwając parabolę y=-x²  o 1 jednostkę w prawo i 1 jednostkę w dół. 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Wykres funkcji f powstaje przez przesunięcie paraboli y=-x²  o 3 jednostki w lewo. 

 

 

 

 

 

 

 

  

 

 

Dla jakich wartości parametru a rozwiązania...

Skorzystamy z następującego twierdzenia:

Jeżeli  są rozwiązaniami równania  to

 

 

 

Chcemy, by rozwiązania równania spełniały warunki:

 

 

Podstawiamy powyższe warunki do pierwszego równania w układzie z twierdzenia i wyznaczamy  

 

{premium}

 

 

 

Stąd:

 

 

 

Podstawiamy wyznaczone rozwiązania do drugiego równania w układzie z twierdzenia i wyznaczamy  

 

 

 

Odp.  

Oblicz.

 

 

 

 

  

 

Wśród uczniów pewnej szkoły przeprowadzono ...

Oznaczmy jako x ilość odpowiedzi "TAK" na pytanie A. 

Ilość odpowiedzi "TAK": {premium}

 

 

 

 

 

 

 

Odp. 90% uczniów, którzy odpowiadali na pytanie A odpowiedziało, że lubi szkołę.