Miara łukowa - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Przeliczanie kątów

Czasami musimy przeliczyć kąt z jednej miary na drugą. Robimy to korzystając z dwóch wzorów na długość łuku:

$$l = 2×Π×R×{α}/{360°}$$
$$l = β×R$$

gdzie $$α$$ to miara wielkość kąta w stopniach, a $$β$$ - w radianach.

Jeśli przyrównamy te dwa wzory do siebie (lewe strony są takie same, więc prawe też muszą być równe) otrzymujemy:

$$2×Π×R×{α}/{360°} = β×R$$
$$2×Π{α}/{360°} = β$$

oraz
$$α = {β × 360°}/{2×Π}$$
 

Ciekawostka

Miara łukowa jest używana w fizyce i wielu zadaniach technicznych, ponieważ dla małych kątów kąt w radianach jest równy sinusowi tego kąta: można więc pozbyć się z równania kłopotliwych funkcji trygonometrycznych uzyskując całkiem dobre przybliżenie wyniku. Np. w równaniu $$ sin α = 0,087156$$ możemy spokojnie opuścić sinus i powiedzieć, żę kąt $$α$$ jest w przybliżeniu równy właśnie $$0,087156$$ radianów.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Pole trójkąta ABC jest równe 21 ...

`|RB|=x` 

`|RB|=1/3|AB|` 

`|AB|=3|RB|` 

`|AR|=|AB|-|RB|=3|RB|-|RB|=2|RB|`  

`|AR|=2x` 

 

`|PC|=y` 

`|PC|=1/3|BC|` 

`3|PC|=|BC|`

`|BP|=|BC|-|PC|=3|PC|-|PC|=2|PC|` 

`|BP|=2y` 

 

`|QA|=z` 

`|QA|=1/3|CA|` 

`3|QA|=|CA|` 

`|QC|=|CA|-|QA|=3|QA|-|QA|=2|QA|` 

`|QC|=2z` 

Literki umieszczone w poszczególnych trójkątach są wartosciami pól tych trójkątów. Przykładowo:"

`P_(AFE)=h` 

`(**)\ a+b+c+d+e+f+g+h+k+x=21`   

 

`c=2d` 

`e=2f` 

`b=2a` 

`(**)\ a+2a+2d+d+2f+f+g+h+k+x=21`   

`3a+3d+3f+g+h+k+x=21` 

 

`h+c+x=2(k+d)` 

`h+2d+x=2k+2d` 

`h+x=2k` 

 

`k+x+e=2(f+g)` 

`k+x+2f=2f+g`

 

`k+x=2g ` 

 

`g+x+b=2(h+a)` 

`g+x+2a=2h+2a` 

`g+x=2h` 

 

Otrzymaliśmy trzy równania:

`{(h+x=2k),(k+x=2g),(g+x=2h):}` 

Dodajmy równania stronami:

`3x+h+k+g=2k+2g+2h` 

`3x=2k+2g+2h-h-k-h=k+g+h` 

`3x=k+g+h` 

 

`P_(RBC)=1/3*21=7=P_(AQB)=P_(ACP)`  

`a+3d+h=7` 

`d+k+3f=7` 

`f+g+3a=7` 

Dodajmy do siebie powyższe trzy równania.

`a+d+f+3d+3f+3a+h+k+g=21` 

`k+g+h+4a+4d+4f=21` 

`k+g+h=21-4(a+d+f)` 

 

`P_(ABC)=k+g+h+3a+3d+3f+x=21` 

`21-4(a+d+f)+3(a+d+f)+x=21`  

`x=a+d+f` 

 

`P_(ABC)=f+g+h+3a+3d+3f+x=f+g+h+3(a+d+f)+x=21` 

`f+g+h=3x` 

`a+d+f=x` 

`f+g+h+3(a+d+f)+x=3x+3x+x=21`  

`ul(x=3` 

Na rysunku obok przedstawiono okrąg o środku

Wielkości P i Q^2 są odwrotnie proporcjonalne...

`P_1*Q_1^2=P_2*Q_2^2` 

`8*6^2=P_2*2^2` 

`8*36=P_2*4 \ \ \ |:4` 

`(8*36)/4=P_2` 

`(8*strike36^9)/(strike4^1)=P_2` 

`8*9=P_2` 

`72=P_2` 

 

Odp. C

Wyznacz różnice r ciągu ...

`a)` 

`a_1=7` 

`a_29=133` 

`a_29=a_1+28r` 

`133=7+28r` 

`28r=126` 

`r=4,5` 

 

`b)` 

`a_1=-12` 

`a_34=65` 

`a_34=a_1+33r` 

`65=-12+33r` 

`33r=77` 

`r=77/33=2 1/3` 

 

`c)` 

`a_1=28,5` 

`a_46=6` 

`a_46=a_1+45r` 

`6=28,5+45r` 

`45r=-22,5` 

`r=-1/2` 

 

`d)` 

`a_1=3sqrt3` 

`a_16=-42sqrt3` 

`a_16=a_1+15r` 

`-42sqrt3=3sqrt3+15r` 

`15r=-45sqrt3`  

`r=-3sqrt3` 

Uzasadnij, że dla każdej liczby całkowitej wartość wielomianu

`a)`

`w(x)=8x^3+12x^2-2x-3=`

`\ \ \ \ \ \ \ =4x^2(2x+3)-(2x+3)=`

`\ \ \ \ \ \ \ =(2x+3)(4x^2-1)=`

`\ \ \ \ \ \ \ =(2x+3)(2x-1)(2x+1)\ \ -\ \ "iloczyn trzech liczb nieparzystych"`

 

Jeśli x jest liczbą całkowitą, to liczba 2x jest parzysta, zatem liczba większa o 3 (2x+3), mniejsza o 1 (2x-1) i większa o 1 (2x+1) muszą być nieparzyste. Iloczyn trzech liczb nieparzystych jest nieparzysty. 

 

 

 

 

`b)`

`w(x)=x^5-2x^4+2x^3-4x^2-3x+6=`

`\ \ \ \ \ \ \ =x^4(x-2)+2x^2(x-2)-3(x-2)=`

`\ \ \ \ \ \ \ =(x-2)(x^4+2x^2-3)=\ |[x^2=t],[y=t^2+2t-3],[Delta=4+12=16],[sqrtDelta=4],[t_1=(-2-4)/2=-3],[t_2=(-2+4)/2=1],[y=(t+3)(t-1)]|\ =(x-2)(x^2+3)(x^2-1)=`

`\ \ \ \ \ \ \ =(x-2)#((x^2+3))^(Delta=0-12<0)(x-1)(x+1)=`

`\ \ \ \ \ \ \ =ul(ul((x-2)(x-1)))(x+1)(x^2+3)`

 

Dwie podkreślone liczby to kolejne liczby całkowite. Wśród 2 kolejnych liczb całkowitych jedna musi być parzysta, a jedna nieparzysta. Jeśli w iloczynie znajduje się liczba parzysta, to cały iloczyn jest liczbą parzystą.  

 

Rozwiąż równanie

`a)`

`(x^2-x)(x+2)=0`

`x(x-1)(x+2)=0`

`x=0\ \ \ vee\ \ \ x-1=0\ \ \ vee\ \ \ x+2=0`

`x=0\ \ \ vee\ \ \ x=1\ \ \ \ \ \ \ \ vee\ \ \ x=-2`

 

 

`b)`

`(x^2+x)(x-3)=0`

`x(x+1)(x-3)=0`

`x=0\ \ \ vee\ \ \ x+1=0\ \ \ vee\ \ \ x-3=0`

`x=0\ \ \ vee\ \ \ x=-1\ \ \ \ \ \ vee\ \ \ x=3`

 

 

 

`c)`

`x^3-2x^2-3x=0`

`x(x^2-2x-3)=0`

`x=0\ \ \ vee\ \ \ x^2-2x-3=0`

`\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ Delta=(-2)^2-4*1*(-3)=4+12=16`

`\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ sqrtDelta=4`

`\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x_1=(2-4)/2=-2/2=-1`

`\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x_2=(2+4)/2=6/2=3`

 

`x in {0,\ -1,\ 3}`

 

 

 

`d)`

`x^3+5x^2-6x=0`

`x(x^2+5x-6)=0`

`x=0\ \ \ vee\ \ \ x^2+5x-6=0`

`\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ Delta=5^2-4*1*(-6)=25+24=49`

`\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ sqrtDelta=7`

`\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x_1=(-5-7)/2=-12/2=-6`

`\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x_2=(-5+7)/2=2/2=1`

`x in {0,\ -6,\ 1}`

      

 

Na rysunku obok...

`f: \ 1, 2` 

`g: \ 0, 1, 2, 3` 

`h: \ -3, -2, -1, 0 , 1, 2, 3` 

Oblicz pole trapezu prostokątnego: a) o podstawach

a)

`tg60^o=h/6`

`sqrt3=h/6`

`h=6sqrt3cm`

`P=((13cm+19cm)*6sqrt3cm)/2=(192sqrt3cm^2)/2=96sqrt3cm^2`

b)

`x^2+5^2=10^2`

`x^2+25=100`

`x^2=75`

`x=sqrt75`

`x=sqrt(25*3)`

`x=5sqrt3 cm`

 

`a=4cm`

`b=4cm+5sqrt3cm=(4+5sqrt3)cm`

`P=((4cm+4cm+5sqrt3cm)*5cm)/2=(40cm^2+25sqrt3cm^2)/2=ul(ul( (20+25/2sqrt3) cm^2)`

Rzucamy cztery razy monetą

`A={(o,o,o,o),\ (r,o,o,o),\ (o, r, o, o),\ (o, o, r, o), \ (o, o, o, r),\ (r,r,o,o),\ (r,o,r,o),\ (r,o,o,r),\ (o,r,r,o),\ (o,r,o,r),\ (o,o,r,r)}` 

`B={(r,r,o,o),\ (r,o,r,o),\ (r,o,o,r),\ (o,r,r,o),\ (o,r,o,r),\ (o,o,r,r)}` 

 

Sporządź tabelkę...

a) `f(x)=-2/x` 

`x`  `-2`  `-1`  `1`  `2` 
`f(x)`  `1`  `2`  `-2`  `-1` 

 

 

`D_f=(-oo,0)uu(0,+oo)` 

`ZW_f=(-oo,0)uu(0,+oo)` 

Funkcja nie ma miejsc zerowych.

Funkcja jest rosnąca w przedziałach.


b) `f(x)=-4/x` 

 `x`  `-2`  `-1`  `1`   `2` 
 `f(x)`   `2`  `4`   `-4`  `-2` 

 

 

`D_f=(-oo,0)uu(0,+oo)` 

`ZW_f=(-oo,0)uu(0,+oo)` 

Funkcja nie ma miejsc zerowych.

Funkcja jest rosnąca w przedziałach.


c) `f(x)=(-1/2)/x=-1/2*1/x=-1/(2x)` 

 `x`  `-2`   `-1`   `1`   `2` 
 `f(x)`   `1/4`   `1/2`   `-1/2`   `-1/4` 

 

 

`D_f=(-oo,0)uu(0,+oo)` 

`ZW_f=(-oo,0)uu(0,+oo)` 

Funkcja nie ma miejsc zerowych.

Funkcja jest rosnąca w przedziałach.


d) `f(x)=(-1/4)/x=-1/4*1/x=-1/(4x)` 

 `x`  `-2`   `-1`  `1`  `2` 
 `f(x)`  `1/8`   `1/4`   `-1/4`   `-1/8`  

 

 

`D_f=(-oo,0)uu(0,+oo)` 

`ZW_f=(-oo,0)uu(0,+oo)` 

Funkcja nie ma miejsc zerowych.

Funkcja jest rosnąca w przedziałach.