Miara łukowa - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Przeliczanie kątów

Czasami musimy przeliczyć kąt z jednej miary na drugą. Robimy to korzystając z dwóch wzorów na długość łuku:

$$l = 2×Π×R×{α}/{360°}$$
$$l = β×R$$

gdzie $$α$$ to miara wielkość kąta w stopniach, a $$β$$ - w radianach.

Jeśli przyrównamy te dwa wzory do siebie (lewe strony są takie same, więc prawe też muszą być równe) otrzymujemy:

$$2×Π×R×{α}/{360°} = β×R$$
$$2×Π{α}/{360°} = β$$

oraz
$$α = {β × 360°}/{2×Π}$$
 

Ciekawostka

Miara łukowa jest używana w fizyce i wielu zadaniach technicznych, ponieważ dla małych kątów kąt w radianach jest równy sinusowi tego kąta: można więc pozbyć się z równania kłopotliwych funkcji trygonometrycznych uzyskując całkiem dobre przybliżenie wyniku. Np. w równaniu $$ sin α = 0,087156$$ możemy spokojnie opuścić sinus i powiedzieć, żę kąt $$α$$ jest w przybliżeniu równy właśnie $$0,087156$$ radianów.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Rozwiąż nierówność.

a) 

`2sin^2x+sinx-1>=0` 

Podstawmy `sinx=t, \ \ \ t in < -1, 1>` 

`2t^2+t-1>=0` 

`Delta=1^2-4*2*(-1)=1+8=9` 

`sqrt(Delta)=3` 

`t_1=(-1-3)/(2*2)=(-4)/4=-1` 

`t_2=(-1+3)/(2*2)=2/4=1/2` 

`t in (-oo, -1>uu< 1/2,+oo)` 

Uwzględniając założenie: `t in {-1}uu< 1/2, 1>` 

 

Narysujmy wykres funkcji `y=sinx` i odczytajmy rozwiązania dla `-1 \ \ "oraz" \ \  < 1/2, 1>` 

`x in < pi/6, 5/6pi>uu{-pi/2, 3/2pi}` 


b)

`(1+2cosx)/sinx <=0` 

Założenie: `sinx!=0 \ \ \ "czyli" \ \ \ x!=0+kpi, \ \ k in "C"` 

 

`(1+2cosx)/sinx <=0 \ \ \ |*sin^2x` 

`(1+2cosx)sinx <=0` 

 

Przypadek I.

`x in (0, pi)` 

`sinx >0` 

Aby nierówność była prawdziwa `1+2cosx<=0` 

`2cosx<=-1 \ \ \ |:2` 

`cosx<=-1/2` 

`x in <2/3pi, pi)` 

 

Przypadek II. 

`x in (pi, 2pi)` 

`sinx < 0` 

Aby nierówność była prawdziwa `1+2cosx>=0` 

`2cosx>=-1` 

`cosx>=-1/2` 

`x in <4/3pi, 2pi)` 

 

Odp. `x in <2/3pi, pi)uu<4/3pi, 2pi)` 


c) 

`tgx > sinx` 

`sinx/cosx >sinx \ \ \ |*cos^2x` 

`sinxcosx>sinxcos^2x` 

`sinxcosx-sinxcos^2x >0` 

`sinxcosx(1-cosx)>0` 

 

Przypadek I. 

`x in (0, pi/2)` 

`sinx>0 , \ \ cosx>0, \ \ 1-cosx> 0` 

Wobec tego `sinxcosx(1-cosx)>0` 

 

Przypadek II.

`x in (pi/2, pi)` 

`sinx>0, \ \ cosx< 0, \ \ 1-cosx>0` 

Wobec tego `sinxcosx(1-cosx) < 0` 

Sprzeczność.

 

Odp`x in (0, pi/2)` 

Rozwiąż równanie

`a)`  

`|x|-4=0\ \ \ |+4` 

`|x|=4` 

`x=4\ \ \ "lub"\ \ \ x=-4` 

 

 

 

`b)` 

`3-2|x|=0\ \ \ |+2|x|` 

`3=2|x|\ \ \ |:2` 

`|x|=3/2` 

`x=3/2\ \ \ "lub"\ \ \ x=-3/2` 

 

 

`c)` 

`(6-|x|)/2=5\ \ \ |*2` 

`6-|x|=10\ \ \ |-6` 

`-|x|=4\ \ \ \ \ \ |*(-1)` 

`|x|=-4` 

Powyższe równanie nie ma rozwiązania - wartość bezwględna określa odległość, więc przyjmuje wyłącznie wartości nieujemne. 

 

 

`d)` 

`3|x|+12=0\ \ \ |:3` 

`|x|+4=0\ \ \ |-4` 

`|x|=-4` 

Powyższe równanie nie ma rozwiązania - wartość bezwględna określa odległość, więc przyjmuje wyłącznie wartości nieujemne. 

 

 

Wartość wyrażenia dla x=-2 jest równa

`(-2-1)/((-2)^2+(-2))+(-2+1)/((-2)^2-(-2))=` `(-3)/(4-2)+(-1)/(4+2)=-3/2-1/6=-1 3/6-1/6=-1 4/6=-1 2/3 \ \ \ odp.\ C`  

Rzucamy dwa razy sześcienną kostką

`A={(6,5),\ (5,6),\ (6,6)}` 

 

Przypomnijmy, że liczba pierwsza to liczba naturalna posiadająca wyłącznie dwa dzielniki. Liczby pierwsze dzielą się tylko przez 1 i przez siebie. Przyjmuje się, że liczby 0 i 1 nie są ani złożone ani pierwsze.

`B={(2,1),\ (3,1),\ (5,1),\ (1,2),\ (1,3),\ (1,5)}` 

`C={(1,3),\ (2,4),\ (3,5),\ (4,6)}` 

`D={(2,2),\ (3,2),\ (4,2),\ (6,2),\ (2,3),\ (3,3),\ (4,3),\ (6,3),\ (2,4),\ (3,4),\ (4,4),\ (6,4),\ (2,6),\ (3,6),\ (4,6),\ (6,6)}`   

Oblicz lim f(x)...

`"a)"\ lim_(x->-oo)(sqrt(3+x^2))/(x+5)= lim_(x->-oo)(|x|*sqrt(3/x^2+1))/(x+5)= lim_(x->-oo)(-x*sqrt(3/x^2+1))/(x+5)== lim_(x->-oo)(-sqrt(3/x^2+1))/(1+5/x)=-1`   

`lim_(x->+oo)(sqrt(3+x^2))/(x+5)= lim_(x->+oo)(|x|*sqrt(3/x^2+1))/(x+5)= lim_(x->+oo)(x*sqrt(3/x^2+1))/(x+5)== lim_(x->+oo)(sqrt(3/x^2+1))/(1+5/x)=1` 

 

`"b)"\ lim_(x->-oo)(sqrt(9x^2+1)+3x)*(sqrt(9x^2+1)-3x)/(sqrt(9x^2+1)-3x)=lim_(x->-oo)(9x^2+1-9x^2)/(sqrt(9x^2+1)-3x)=` 

`=lim_(x->-oo)1/(|x|*sqrt(9+1/x^2)-3x)=lim_(x->-oo)1/(-x*sqrt(9+1/x^2)-3x)=lim_(x->-oo)1/(-x*(sqrt(9+1/x^2)-3))=0` 

`lim_(x->+oo)(sqrt(9x^2+1)+3x)=lim_(x->+oo)(|x|*sqrt(9+1/x^2)+3x)=lim_(x->+oo)(x*sqrt(9+1/x^2)+3x)=` 

`=lim_(x->+oo)(x(sqrt(9+1/x^2)+3))=+oo`  

 

`"c)"\ lim_(x->-oo)(root(3)(x+1)-root(3)(x))*(root(3)((x+1)^2)+root(3)(x(x+1))+root(3)(x^2))/(root(3)((x+1)^2)+root(3)(x(x+1))+root(3)(x^2))=`   

`=lim_(x->-oo)(x+1-x)/(root(3)((x+1)^2)+root(3)(x(x+1))+root(3)(x^2))=lim_(x->-oo)1/(root(3)(x^2+2x+1)+root(3)(x^2+x)+root(3)(x^2))=` 

`=lim_(x->-oo)1/[|x|(root(3)(1+2/x+1/x^2)+root(3)(1+1/x)+root(3)(1))]=lim_(x->-oo)1/[-x(root(3)(1+2/x+1/x^2)+root(3)(1+1/x)+root(3)(1))]=0`   

  

 

`lim_(x->+oo)(root(3)(x+1)-root(3)(x))*(root(3)((x+1)^2)+root(3)(x(x+1))+root(3)(x^2))/(root(3)((x+1)^2)+root(3)(x(x+1))+root(3)(x^2))=` 

`=lim_(x->+oo)(x+1-x)/(root(3)((x+1)^2)+root(3)(x(x+1))+root(3)(x^2))=lim_(x->+oo)1/(root(3)(x^2+2x+1)+root(3)(x^2+x)+root(3)(x^2))=` 

`=lim_(x->+oo)1/[|x|(root(3)(1+2/x+1/x^2)+root(3)(1+1/x)+root(3)(1))]=lim_(x->+oo)1/[x(root(3)(1+2/x+1/x^2)+root(3)(1+1/x)+root(3)(1))]=0`  

Równanie jest spełnione przez liczbę

`x^3+25=0\ \ \ |-25`

`x^3=-25`

`x=root(3)(-25)`

 

`root(3)(-27)<root(3)(-25)<root(3)(-8)`

`-3<root(3)(-25)< -2`

`x in (-3, \ -2)\ \ \ =>\ \ \ x in <<-3,\ -2)\ \ \ \ odp.\ D`

W pięciu konkurencjach teleturnieju...

Średnia ważona:

`(10*5+30*8+20*6+40*3+10*n)/(10+30+20+40+n) = (50+240+120+120+10n)/(n+100) = (10n+530)/(n+100) = (10n+1000-470)/(n+100)= (10n+1000)/(n+100) - 470/(n+100)=` 

`=10* (n+100)/(n+100) - (470)/(n+100) = 10 - (470)/(n+100)` 

Średnia ważona co najmniej równa 7:

`10 - 470/(n+100) geq 7` 

`-470/(n+100) geq -3` 

`470/(n+100) leq 3`  

`470 leq 3n+300` 

`170 leq 3n` 

`170/3 leq n` 

`(168+2)/3 leq n` 

`168/3 + 2/3 leq n`

`56 + 2/3 leq n` 

Najmniejsza naturalna wartość wagi n wynosi 57.

Odpowiedź C 

Zaznacz w układzie współrzędnych ...

`"a)"\ alpha=315^@` 

 `ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))`

`"b)"\ alpha=-120^@` 

 `ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))`

`"c)"\ alpha=570^@` 

`alpha=360^@+210^@` 

Ramię końcowe pokrywa się z ramieniem końcowym kąta 210o.

 `ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))`

`"d)"\ alpha=-1305^@` 

`alpha=-1440^@+135^@=(-4)*360^@+135^@` 

Ramię końcowe pokrywa się z ramieniem końcowym kąta 135o.

  `ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))`

`"e)"\ alpha=-2130^@`

`alpha=-2160^@+30^@=(-6)*360^@+30^@`

Ramię końcowe pokrywa się z ramieniem końcowym kąta 30o.

 `ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))`

`"f)"\ alpha=4260^@`

`alpha=3960^@+300^@=11*360^@+300^@`

Ramię końcowe pokrywa się z ramieniem końcowym kąta 300o.

(na rysunku zaznaczono tylko ostatni łuk, ominięto 11 kątów pełnych):

Zbiór R\{1} jest zbiorem ...

ODP: C

 

Możemy zauważyć, że:

A. Dla x=2 funkcja f(x) przyjmuje wartość 1.

 

B. Dla dowolnego x funkcja f(x) przyjmuje wartość 1.

 

C. Przekształćmy wzór funkcji f(x):

`f(x)=x/(x-2)=(x-2+2)/(x-2)=(x-2)/(x-2)+2/(x-2)=2/(x-2)+1` 

Aby wartość funckji f(x) była równa 1 musi zachodzić:

`2/(x-2)+1=1\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ |-1`  

`2/(x-2)=0`  

Dla dowolnego x nie otrzymamy równości wyrażenia po lewej stronie i 0, czyli 1 nie należy do zbioru wartości funkcji f(x).

 

D. Aby wartość funkcji była równa 1 musi zachodzić:

`(2x+1)/(x+2)=1\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ |*(x+2),\ \ "zał:" x!=-2` 

`2x+1=x+2\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ |-x-1` 

`x=1` 

Dla x =1 funkcja f(x) przyjmuje wartość 1.  

Student przygotowywał się do egzaminu...

`a_1=20` 

`r=20` 

 

`a_26=?` 

`a_26=a_1+25r` 

`a_26=20+25*20` 

`a_26=20+500` 

`a_26=520` 

 

`520 \ "min"=8 \ "h" \ 40 \ "min"` 

 

Odp. W ostatnim dniu nauki student poświęcił 8 h 40 min na naukę.