Miara łukowa - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Przeliczanie kątów

Czasami musimy przeliczyć kąt z jednej miary na drugą. Robimy to korzystając z dwóch wzorów na długość łuku:

$$l = 2×Π×R×{α}/{360°}$$
$$l = β×R$$

gdzie $$α$$ to miara wielkość kąta w stopniach, a $$β$$ - w radianach.

Jeśli przyrównamy te dwa wzory do siebie (lewe strony są takie same, więc prawe też muszą być równe) otrzymujemy:

$$2×Π×R×{α}/{360°} = β×R$$
$$2×Π{α}/{360°} = β$$

oraz
$$α = {β × 360°}/{2×Π}$$
 

Ciekawostka

Miara łukowa jest używana w fizyce i wielu zadaniach technicznych, ponieważ dla małych kątów kąt w radianach jest równy sinusowi tego kąta: można więc pozbyć się z równania kłopotliwych funkcji trygonometrycznych uzyskując całkiem dobre przybliżenie wyniku. Np. w równaniu $$ sin α = 0,087156$$ możemy spokojnie opuścić sinus i powiedzieć, żę kąt $$α$$ jest w przybliżeniu równy właśnie $$0,087156$$ radianów.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Skorzystaj z tego, że ...

Przyjmujemy, że:

 

 

 

 

 

  

 

Wykaż, że dany ciąg jest arytmetyczny

Ciąg jest arytmetyczny, jeśli różnica wyrazu o indeksie (n+1) i n jest stała (jest to r, czyli różnica ciągu arytmetycznego)

 

 

 

 `-4` 

 

 

 

Udało nam się znaleźć r, więc ten ciąg jest arytmetyczny. 

 

 

 

Można to także uzasadnić, korzystając z twierdzenia 2 ze strony 175. 

Musimy sprawdzić następujący warunek:

 `(a_(n+1)+a_(n-1))/2` 

 

 `((-4(n+1)+17)+(-4(n-1)+17))/2=` 

 

 `(-8n+34)/2=-4n+17=a_n`        

Oblicz.

 

 

 

 

 

 

Rozwiąż równanie.

a)

 

 

 

 

Możemy zapisać krócej:

 


b)

 

 

 

 

 


c)

 

 

 

 

 (kolor zielony)

 (kolor pomarańczowy)

 (kolor fioletowy)

 

Pomocniczo:

 

 

 

 

Odp.  

Łatwiej możemy zapisać: 

 


d)

 

 

 (kolor zielony)

 (kolor pomarańczowy)

 (kolor fioletowy)

Pomocniczo:

 

 

 

 

 

 

Odp.  

 

Które wyrazy ciągu (an) należą ...

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  

  

 

     

 

 

 

 

 

 

  

  

 

     

 

 

` `

Wyznacz zbiór rozwiązań...

 

 

 

  ` `

 

 

   - zbiór rozwiązań

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  - zbiór rozwiązań

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Rozważmy stożek o promieniu podstawy równym...

Rozważmy przekrój osiowy stożka i okrąg w niego wpisany i na nim opisany - będą one

odpowiadały stożkowi i kulom: wpisanej i opisanej na tym stożku.

Ze wzoru na promień okręgu wpisanego w trójkąt będziemy chcieli obliczyć  

Obliczamy pole  

 

Obliczamy długość przeciwprostokątnej      

 

 

Obliczamy  

      

Analogicznie, ze wzoru na promień okręgu opisanego na trójkącie obliczamy   

 

 

Obliczamy  

 

Obliczamy granicę:

     

 

 

Wyprowadź wzór

{premium}

 

 

 

 

   

Wykaż, że proste zawierające wysokości trójkąta...

Dowód:

Trójkąt ABC są rozwartokątny. Punkt D jest punktem ptzrecięcia dwóch wysokości (które są poza trójkątem).

Trójkąt BCD jest ostrokątny, więc jaego wysokości przecinają się w jednym punkcie. Wysokość trójkąta ABC wychodząca z wierzchołka A pokrywa się z wysokością trójkąta BCD wychodzącą z wierzchołka D.

Więc wszystkie wysokości trójkąta ABC przecinają się w punkcie D.

Dane są funkcje ...