Miara łukowa - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Miara łukowa - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Przeliczanie kątów

Czasami musimy przeliczyć kąt z jednej miary na drugą. Robimy to korzystając z dwóch wzorów na długość łuku:

$l = 2×Π×R×{α}/{360°}$
$l = β×R$

gdzie $α$ to miara wielkość kąta w stopniach, a $β$ - w radianach.

Jeśli przyrównamy te dwa wzory do siebie (lewe strony są takie same, więc prawe też muszą być równe) otrzymujemy:

$2×Π×R×{α}/{360°} = β×R$
$2×Π{α}/{360°} = β$

oraz
$α = {β × 360°}/{2×Π}$
 

Ciekawostka

Miara łukowa jest używana w fizyce i wielu zadaniach technicznych, ponieważ dla małych kątów kąt w radianach jest równy sinusowi tego kąta: można więc pozbyć się z równania kłopotliwych funkcji trygonometrycznych uzyskując całkiem dobre przybliżenie wyniku. Np. w równaniu $ sin α = 0,087156$ możemy spokojnie opuścić sinus i powiedzieć, żę kąt $α$ jest w przybliżeniu równy właśnie $0,087156$ radianów.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Drugi wyraz ciągu arytmetycznego jest równy...

 

 

 

 

     {premium}

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Odp. Siódmy wyraz tego ciągu jest równy 25.

 

a) Środek okręgu opisanego na trapezie...

a)

 

Korzystając z tw. Pitagorasa możemy wyliczyć  

 

 

 

 

 

 

 

Zauważmy, że  

 

 

 

 

 

 


b)

 

Zauważmy, że  jes średnicą więc,  

Trójkąt  jest trójkątem charakterystycznym o kątach  

  

 

 

 

 

Promienie sześciu rozłącznych kół tworzą ciąg geometryczny...

Oznaczmy promień pierwszego koła przez r. Skoro promienie rozłącznych kół tworzą ciąg geometryczny o ilorazie to znaczy, że promień drugiego koła wynosi:

 

Zatem promień trzeciego koła wynosi:

 

A więc promień każdego kolejnego koła będzie dwukrotnie większy, zatem utwórzmy ciąg arytmetyczny (an) taki, że:{premium}

 

 

To znaczy, że 6 wyraz ciągu będzie promieniem największego koła:

 

Promień największego koła wynosi 32 cm, zatem:

 

 

 

Pole najmniejszego koła wynosi:

 

 

 

 

 

 

Łatwo zauważyć, że pola tworzą również ciąg geometryczny (bn) taki, że:

 

a iloraz wynosi:

 

Zatem suma 6 pierwszych wyrazów tego ciągu jest równa łącznej powierzchni, którą zajmują koła:

 

 

Odpowiedź: Koła zajmują w sumie    

Rozwiąż nierówność.

  

Założenie:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Założenie:

  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Rozwiąż nierówność ...

 

 

      {premium}

 

Przypadek, gdy  

 

 

sprzeczność

 

Przypadek, gdy  

 

 

 

 

 

Przypadek, gdy  

 

 

 

 

Suma całkowitych rozwiązań mniejszych od 15:

 

 

Prosta ...

Postać kierunkowa tej prostej to:

 

 

 

 

Współczynnik kierunkowy tej prostej to  .

Wobec tego prosta równoległa do tej prostej jest postaci  

 

Odp. B

Czy można tak dobrać...

a)

 

 

Nie można dobrać a, tak aby funkcja była ciągła.


b)

 

Wystarczy wybrać  

Wtedy:

 

Określ liczbę ekstremów ...

a)

 

I Przypadek, gdy  

     {premium}

Jest to funkcja liniowa, więc brak ekstremum

 

II przypadek, gdy  

 

Sprawdźmy kiedy  

 

 

 

Jedno ekstremum


b)

 

I Przypadek, gdy  

 

 

 

Brak ekstremum

 

II przypadek, gdy  

 

Sprawdźmy kiedy  

 

 

 

 

Dwa ekstrema


c)

 

I Przypadek, gdy  

 

 

 Sprawdźmy kiedy  

 

 

Jedno ekstremum

 

II przypadek, gdy  

 

Sprawdźmy kiedy  

 

 

 

 

Dwa ekstrema

Na rysunku jest przedstawiony wykres...

 litrów

 litrów

 po sześciu minutach

 Niech:

liczba litrów wody w pojemniku

czas wyciekania wody w minutach,   

Wówczas:

  

Funkcje liniowe f(x)= ...

 

  

 

 

 

 

 

  

 

 

 

 

 

 

    

Skoro g jest funkcją malejącą to a<0.