Miara łukowa - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Przeliczanie kątów

Czasami musimy przeliczyć kąt z jednej miary na drugą. Robimy to korzystając z dwóch wzorów na długość łuku:

$$l = 2×Π×R×{α}/{360°}$$
$$l = β×R$$

gdzie $$α$$ to miara wielkość kąta w stopniach, a $$β$$ - w radianach.

Jeśli przyrównamy te dwa wzory do siebie (lewe strony są takie same, więc prawe też muszą być równe) otrzymujemy:

$$2×Π×R×{α}/{360°} = β×R$$
$$2×Π{α}/{360°} = β$$

oraz
$$α = {β × 360°}/{2×Π}$$
 

Ciekawostka

Miara łukowa jest używana w fizyce i wielu zadaniach technicznych, ponieważ dla małych kątów kąt w radianach jest równy sinusowi tego kąta: można więc pozbyć się z równania kłopotliwych funkcji trygonometrycznych uzyskując całkiem dobre przybliżenie wyniku. Np. w równaniu $$ sin α = 0,087156$$ możemy spokojnie opuścić sinus i powiedzieć, żę kąt $$α$$ jest w przybliżeniu równy właśnie $$0,087156$$ radianów.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Sporządź odpowiednią tabelę ...

`a)` 

                                   

`"ZW":\ y in\ <-5,5>` 

`"MZ - miejsca zerowe"` 

`"MZ":\ x=3/2` 

 

`b)` 

`"ZW:"\ y in \ <5,-2>` 

`"MZ":\ x=1` 

 

`c)` 

`"ZW":\ y in\ <-1,8>`

`"MZ":\ x=-1,\ \ \x=1` 

 

`d)` 

 

`"ZW":\ y in\ <-2,4>` 

`"MZ":\ x=-2,\ \ \x=2`  

Zaznacz w układzie współrzędnych

`a)`

Najpierw narysujemy wykres funkcji liniowej y=1/2x-2. Narysujemy go ciągłą linią, ponieważ mamy słabą nierówność (znak "większe lub równe"). 

 

Wyznaczmy współrzędne dwóch punktów, przez które przechodzi wykres tej funkcji. 

`x=0\ \ \ ->\ \ \ y=1/2*0-2=0-2=-2\ \ \ ->\ \ \ "punkt"\ (0;\ -2)`

`x=4\ \ \ ->\ \ \ y=1/2*4-2=2-2=0\ \ \ ->\ \ \ "punkt"\ (4;\ 0)`

 

 

Teraz wystarczy zaznaczyć odpowiednią część płaszczyzny. Wybierzmy jeden punkt i sprawdźmy, czy leży on po dobrej stronie:

`"punkt"\ (0;\ 0)`

`0#(>=)^?1/2*0-2`

`0#(>=)^?0-2`

`0#(>=)^?-2`

Nierówność jest prawdziwa, więc należy zaznaczyć tę część płaszczyzny, w której leży punkt (0; 0). 

 

`ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ )`

 

`b)`

Najpierw narysujemy wykres funkcji liniowej y=2/3x+3. Narysujemy go ciągłą linią, ponieważ mamy słabą nierówność (znak "większe lub równe"). 

 

Wyznaczmy współrzędne dwóch punktów, przez które przechodzi wykres tej funkcji. 

`x=0\ \ \ ->\ \ \ y=2/3*0+3=0+3=3\ \ \ ->\ \ \ "punkt"\ (0;\ 3)`

`x=3\ \ \ ->\ \ \ y=2/3*3+3=2+3=5\ \ \ ->\ \ \ "punkt"\ (3;\ 5)`

  

Teraz wystarczy zaznaczyć odpowiednią część płaszczyzny. Wybierzmy jeden punkt i sprawdźmy, czy leży on po dobrej stronie:

`"punkt"\ (0;\ 0)`

`0#(>=)^?2/3*0+3`

`0#(>=)^?0+3`

`0#(>=)^?3`

Nierówność nie jest prawdziwa, więc należy zaznaczyć tę część płaszczyzny, w której nie leży punkt (0; 0). 

 

`ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ )`

 

 

`c)`

Przekształćmy podaną nierówność:

`x+y-4<=0\ \ \ |-x+4`

`y<=-x+4`

 

Najpierw narysujemy wykres funkcji liniowej y=-x+4. Narysujemy go ciągłą linią, ponieważ mamy słabą nierówność (znak "mniejsze lub równe"). 

 

Wyznaczmy współrzędne dwóch punktów, przez które przechodzi wykres tej funkcji. 

`x=0\ \ \ ->\ \ \ y=-0+4=0+4=4\ \ \ ->\ \ \ "punkt"\ (0;\ 4)`

`x=3\ \ \ ->\ \ \ y=-3+4=1\ \ \ ->\ \ \ "punkt"\ (3;\ 1)`

 

 

Teraz wystarczy zaznaczyć odpowiednią część płaszczyzny. Wybierzmy jeden punkt i sprawdźmy, czy leży on po dobrej stronie:

`0#(<=)^?-0+4`

`0#(<=)^?0+4`

`0#(<=)^?4`

Nierówność jest prawdziwa, więc należy zaznaczyć tę część płaszczyzny, w której leży punkt (0; 0). 

 

`ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ )`

 

 

`d)`

Przekształćmy podaną nierówność:

`x+3y+6>0\ \ \ |-x-6`

`3y> -x-6\ \ \ |:3`

`y> -1/3x-2`

 

Najpierw narysujemy wykres funkcji liniowej y=-1/3x-2. Narysujemy go przerywaną linią, ponieważ mamy silną nierówność (znak większości). 

Wyznaczmy współrzędne dwóch punktów, przez które przechodzi wykres tej funkcji. 

`x=0\ \ \ ->\ \ \ y=-1/3*0-2=0-2=-2\ \ \ ->\ \ \ "punkt"\ (0;\ -2)`

`x=3\ \ \ ->\ \ \ y=-1/3*3-2=-1-2=-3\ \ \ ->\ \ \ "punkt"\ (3;\ -3)`

 

  

Teraz wystarczy zaznaczyć odpowiednią część płaszczyzny. Wybierzmy jeden punkt i sprawdźmy, czy leży on po dobrej stronie:

`"punkt"\ (0;\ 0)`

`0#>^?-1/3*0-2`

`0#>^?0-2`

`0#>^?-2`

 

Nierówność jest prawdziwa, więc należy zaznaczyć tę część płaszczyzny, w której leży punkt (0; 0). 

Dane są punkt P leżący na płaszczyźnie...

Skoro prosta nie ma punktów wspólnych z płaszczyzną `pi` 

 

a) JEDNA

Przez punkt P można poprowadzić jedną prostą równoległą do prostej k. Skoro prosta jest równoległa do płaszczyzny `pi` to znaczy, że również jest równoległa do prostej przechodzącej przez punkt P i równoległej do płaszczyzny `pi` 

 

b) NIESKOŃCZENIE WIELE

Do prostej równoległej do płaszczyzny nie mającej z nią punktów wspólnych, można łatwo wyznaczyć jedną prostą równoległą zawierającą się w tej płaszczyźnie. Do tej prostej można dopisać nieskończenie wiele prostych równoległych zawierających się w tej samej płaszczyźnie.

 

c) JEDNA

Poprowadźmy sobie dowolną płaszczyznę przez prostą k równoległą do płaszczyzny `pi` 

Zauważmy, że dowolna płaszczyzna nierównoległa do `pi`  będzie miała część wspólną z tą płaszczyzną. Tą częścią wspólną będzie prosta równoległa do k. Zatem jedyny przypadek będzie kiedy przez prostą k przejdzie tylko jedna płaszczyzna równoległa do płaszczyzny `pi` .

 

d) JEDNA

Istnieje tylko jedna prosta prostopadła do płaszczyzny `pi`  przechodząca przez punkt P. Skoro prosta k jest równoległa do płaszczyzny `pi` , która jest prostopadła do prostej przechodzącej przez punkt P to znaczy, że prosta jest również prostopadła do tej prostej.

Na rysunku przedstawiono wykresy funkcji

Musimy obliczyć pierwsze współrzędne punktów, w których funkce f i g są równe (zauważmy, że z rysunku nie możemy odczytać wszystkich współrzędnych). Funkcja f opisana jest wartością bezwzględną, więc musimy rozpatrzeć dwa przypadki (w zależności od znaku wyrażenia pod wartością bezwzględną, opuszczamy wartość bezwzględną ze zmianą lub bez zmiany znaku). 

Sprawdźmy więc, kiedy wyrażenie pod wartością bezwzględną przyjmuje wartość ujemną.

`x(x+1)(x-2)<0` 

Naszkicujmy wykres wielomianu. Współczynnik przy najwyższej potędze jest dodatni, więc rozpoczynamy rysowanie od góry po prawej stronie. Przy pierwiastkach krotności parzystej nie zmieniamy znaku wykresu, a przy pierwiastkach krotności nieparzystej zmieniamy znak wykresu. W tym przypadku wszystkie pierwiastki są krotności nieparzystej (krotności 1).

 

Odczytujemy zbiór rozwiązań nierówności: 

`x in (-infty;\ -1)uu(0;\ 2)` 

 

 

 

Mamy więc już te dwa przypadki:

`x(x+1)(x-2)<0\ \ \ <=>\ \ \ x in (-infty;\ -1)uu(0;\ 2)` 

`x(x+1)(x-2)>=0\ \ \ <=>\ \ \ x in <<-1;\ 0>>uu<<2;\ +infty)` 

 

 

Szukamy rozwiązań równania f(x)=g(x). 

Zanim przejdziemy dalej, wykonajmy jeszcze mnożenie:

`f(x)=|x(x+1)(x-2)|=|(x^2+x)(x-2)|=|x^3-2x^2+x^2-2x|=|x^3-x^2-2x|`  

 

`1)\ x in (-infty;\ -1)uu(0;\ 2)` 

`\ \ \ \ |x^3-x^2-2x|=x^4-5x^2+4` 

`\ \ \ \ -(x^3-x^2-2x)=x^4-5x^2+4` 

`\ \ \ \ -x^3+x^2+2x=x^4-5x^2+4\ \ \ \ |-x^4+5x^2-4` 

`\ \ \ \ -x^4-x^3+6x^2+2x-4=0\ \ \ |*(-1)` 

`\ \ \ \ x^4+x^3-6x^2-2x+4=0` 

`\ \ \ \ x^4+x^3-4x^2-2x^2-2x+4=0`  

`\ \ \ \ x^4+x^3-4x^2+4-2x^2-2x=0`    

`\ \ \ \ x^3(x+1)-4(x^2-1)-2x(x+1)=0` 

Skorzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów:

`\ \ \ \ x^3(x+1)-4(x-1)(x+1)-2x(x+1)=0` 

Wyciągamy (x+1) przed nawias:

`\ \ \ \ (x+1)(x^3-4(x-1)-2x)=0` 

`\ \ \ \ (x+1)(x^3-4x+4-2x)=0` 

`\ \ \ \ (x+1)#underbrace((x^3-6x+4))_(w(x))=0`  

Wiemy, że jeśli wielomian ma pierwiastki całkowite, to są one dzielnikami wyrazu wolnego. Wyraz wolny wielomianu w jest równy 4. Dzielniki 4 to -4, -2, -1, 1, 2, 4. Poszukajmy wśród tych dzielników pierwiastków wielomianu w:

 `w(1)=1^3-6*1+4=1-6+4=-1ne0` 

`w(2)=2^3-6*2+4=8-12+4=0` 

Liczba 2 jest więc pierwiastkiem wielomianu w, więc wielomian w jest podzielny przez dwumian (x-2). Wykonajmy dzielenie pisemne. 

 

Możemy więc zapisać równanie w następującej postaci: 

`(x+1)(x-2)#(#(#(#(#underbrace((x^2\ +\ 2x\ -\ 2))_(Delta=2^2-4*1*(-2)=))_(=4+8=12))_(sqrtDelta=sqrt4*sqrt3=2sqrt3))_(x_1=(-2-2sqrt3)/2=-1-sqrt3))_(x_2=-1+sqrt3)=0` 

`(x+1)(x-2)(x+1+sqrt3)(x+1-sqrt3)=0` 

`x=-1notin (-infty;\ -1)uu(0;\ 2)\ \ \ \ \ \ "lub"\ \ \ \ \ \ x=2notin (-infty;\ -1)uu(0;\ 2)\ \ \ \ \ \ "lub"\ \ \ \ \ \ x=#(-1-sqrt3)^(^(~~-1-1,73=-2,73))in (-infty;\ -1)uu(0;\ 2)\ \ \ \ \ \ "lub"\ \ \ \ \ \ x=#(-1+sqrt3)^(^(~~-1+1,73=0,73))in (-infty;\ -1)uu(0;\ 2)` 

 

W zadanym przedziale mamy więc dwa rozwiązania: 

`ul(ul(x =-1-sqrt3))\ \ \ \ "lub"\ \ \ \ ul(ul(x=-1+sqrt3))`  

 

 

 

`2)\ \ \ \ x in <<-1;\ 0>>uu<<2;\ infty)`  

`\ \ \ \ |x^3-x^2-2x|=x^4-5x^2+4 ` 

`\ \ \ \ x^3-x^2-2x=x^4-5x^2+4\ \ \ \ \ \ |-x^4+5x^2-4` 

`\ \ \ \ #underbrace(-x^4+x^3+4x^2-2x-4)_(u(x))=0` 

Wiemy, że jeśli wielomian ma pierwiastki całkowite, to są one dzielnikami wyrazu wolnego. Wyraz wolny wielomianu u jest równy -4. Dzielniki -4 to -4, -2, -1, 1, 2, 4. Poszukajmy wśród tych dzielników pierwiastków wielomianu u:

`u(1)=-1^4+1^3+4*1^2-2*1-4=` 

`\ \ \ \ \ \ \ =-1+1+4-2-4=-2ne0` 

`u(2)=-2^4+2^3+4*2^2-2*2-4=`  

`\ \ \ \ \ \ \ =-16+8+4*4-4-4=`  

`\ \ \ \ \ \ \ =-16+8+16-8=0` 

Liczba 2 jest więc pierwiastkiem wielomianu u, więc wielomian u jest podzielny przez dwumian (x-2). Wykonajmy dzielenie pisemne. 

Możemy więc zapisać równanie w następującej postaci: 

`(x-2)(-x^3-x^2+2x+2)=0\ \ \ \ |*(-1)` 

`(x-2)(x^3+x^2-2x-2)=0` 

`(x-2)(x^2(x+1)-2(x+1))=0` 

`(x-2)(x+1)(x^2-2)=0` 

`(x-2)(x+1)(x-sqrt2)(x+sqrt2)=0`  

`x=2in<<-1;\ 0>>uu<<2;\ infty)\ \ \ \ "lub"\ \ \ \ x=-1in<<-1;\ 0>>uu<<2;\ infty)\ \ \ \ "lub"\ \ \ \ x=#(sqrt2)^(^(~~1,41))notin<<-1;\ 0>>uu<<2;\ infty)\ \ \ \ "lub"\ \ \ \ x=#(-sqrt2)^(^(~~-1,41))notin<<-1;\ 0>>uu<<2;\ infty)` 

   

W zadanym przedziale mamy więc dwa rozwiązania: 

`ul(ul(x =2))\ \ \ "lub"\ \ \ ul(ul(x=-1))` 

 

Mamy więc cztery puntky przecięcia wykresów funkcji f oraz g, uporządkujmy je rosnąco. 

`x=-1-sqrt3,\ \ \ \ x=-1,\ \ \ \ x=-1+sqrt3,\ \ \ \ x=2` 

 

Możemy teraz odczytać zbiór rozwiązań nierówności: 

`f(x)>g(x)\ \ \ <=>\ \ \ x in (-1-sqrt3;\ -1)uu(-1+sqrt3;\ 2)` 

 

W klasie IIIa

`a)` 

Obliczmy średnią arytmetyczną ocen w klasie IIIa:

`overlinex_a=(4*1+6*2+4*3+2*4+5*5+3*6)/24=(4+12+12+8+25+18)/24=79/24=3 7/24` 

 

Wypiszmy w kolejności rosnącej oceny uzyskane przez uczniów klasy IIIa:

`1,\ 1,\ 1,\ 1,\ 2,\ 2,\ 2,\ 2,\ 2,\ 2,\ 3,\ ul3,\ ul3,\ 3,\ 4,\ 4,\ 5,\ 5,\ 5,\ 5,\ 5,\ 6,\ 6,\ 6`  

Mamy 24 oceny, więc mediana będzie średnią 12. i 13. oceny (zostały one podkreślone). 

`M_a=(3+3)/2=6/2=3`  

 

Najwięcej razy (aż 6) wystąpiła ocena 2.

`D_a=2`  

 

 

 

`b)` 

Obliczmy średnią arytmetyczną ocen w klasie IIIb:

`overlinex_b=(2*1+2*2+6*3+12*4+5*5+1*6)/28=(2+4+18+48+25+6)/28=103/28=3 19/28` 

 

Wypiszmy w kolejności rosnącej oceny uzyskane przez uczniów klasy IIIb:

`1,\ 1,\ 2,\ 2,\ 3,\ 3,\ 3,\ 3,\ 3,\ 3,\ 4,\ 4,\ 4,\ ul4,\ ul4,\ 4,\ 4, \ 4,\ 4,\ 4,\ 4,\ 4,\ 5,\ 5, \ 5,\ 5,\ 5,\ 6`  

Mamy 28 ocen, więc mediana będzie średnią 14. i 15. oceny (zostały one podkreślone). 

`M_b=(4+4)/2=8/2=4` 

 

Najwięcej razy (aż 12) wystąpiła ocena 4. 

`D_b=4` 

 

 

 

`c)` 

Zapiszmy w tabelce ilość danych ocen uzyskanych przez uczniów obu klas trzecich:

 
`"ocena"`  `1`  `2`  `3`  `4`  `5`  `6` 
`"ilość"`  `4+2=6`  `6+2=8`  `4+6=10`  `2+12=14`  `5+5=10`  `3+1=4` 

 

Obliczamy średną ocen w obu klasach:

`overlinex=(6*1+8*2+10*3+14*4+10*5+4*6)/(6+8+10+14+10+4)=(6+16+30+56+50+24)/52=182/52=91/26=7/2=3 1/2` 

 

  Z tabeli możemy odczytać, że jeśli ułożymy wyniki w listę posortowaną rosnąco, to:
  • oceny od 1. do 6. to 1
  • oceny od 7. do 14. to 2
  • oceny od 15. do 24. to 3
  • oceny od 25. do 38. to 4
  • oceny od 39. do 48. to 5
  • oceny od 49. do 52. to 6

Mamy 52 oceny, więc mediana będzie średnią 26. i 27. oceny. 

`M=(4+4)/2=8/2=4` 

 

Najwięcej razy (aż 14) wystąpiła ocena 4. 

`D=4` 

 

`ul("uwaga")` 

Średnią można było obliczyć także, korzystając ze średnich obliczonych w podpunktach a) i b). 

Wiemy, że 24 uczniów liczy klasa IIIa, natomiast klasa IIIb liczy 28 osób. 

Możemy więc obliczyć średnią ogółu uczniów klas III:

`overlinex=(24*overlinex_a+28*overlinex_b)/(24+28)=(24*79/24+28*103/28)/52=(79+103)/52=182/52=91/26=7/2=3 1/2` 

Lewa strona równania jest sumą...

`a) \ r = -3` 

 

`S_n = (a_1 + a_n)/2*n = (2a_1 + (n-1)r)/2*n` 

Sprawdźmy dla jakiego n suma jest równa -45:

`(2*7-3(n-1))/2*n = -45` 

`(14-3n+3)*n=-90` 

`-3n^2 + 17n + 90=0` 

`3n^2-17n-90=0` 

`3n^2-27n + 10n - 90=0` 

`3n(n-9)+10(n-9)=0` 

`(n-9)(3n+10)=0 \ \ \ |:(3n+10)` 

`n-9 =0` 

`n = 9` 

 

A więc:

`x=a_9 = a_1 + 8r = 7-24=-17` 

 

`b) \ r = 7` 

 

`S_n = (2*(-5) +7(n-1))/2*n=75` 

`(-10+7n-7)*n = 150` 

`7n^2 -17n-150=0` 

`Delta = (-17)^2 -4*7*(-150)=289 +4200= 4489` 

`sqrtDelta = sqrt4489=67` 

`n_1 = (17-67)/14 < 0` 

`n_2 = (17+67)/14 =6` 

 

A więc:

`x = a_6 = a_1+5r=-5+5*7 = -5+35 = 30` 

 

`c) \ r = 2` 

 

`S_n = (2*(-3) +2(n-1))/2*n=4x` 

`(-6+2n-2)*n = 8x` 

`2n^2 -8n=8x` 

 

 

 

Zauważmy, że:

`x = a_1+(n-1)r = -3 +2(n-1) = -3 + 2n-2 = 2n-5` 

Zatem

 

`2n^2-8n = 8(2n-5)` 

`2n^2 -8n = 16n - 40` 

`2n^2 - 24n + 40 =0` 

`n^2 - 12n + 20 =0` 

`n^2 - 2n - 10n + 20 =0` 

`n(n-2)-10(n-2)=0` 

`(n-2)(n-10)=0` 

`n_1 = 2 \ \ vv \ \ n_2 = 10` 

Stąd wynika, że:

`x_1 = 2*2-5 \ \ vv \ \ x_2 = 2*10 -5` 

`x_1 = -1 \ \ vv \ \ x_2 = 15` 

 

`d) \ r = -3/2` 

 

`S_n = (2*4 -3/2(n-1))/2*n=2x+3` 

`(8-3/2n + 3/2)*n = 4x+6`  

`(19/2-3/2n)*n = 4x+6` 

`19/2n - 3/2n^2 = 4x+6`  

 

Zauważmy, że:

`x = a_1+(n-1)r = 4 -3/2(n-1) = 4 -3/2n +3/2 = 11/2 - 3/2n` 

Zatem

 

`19/2n-3/2n^2 = 4*(11/2-3/2n)+6` 

`19/2n - 3/2n^2 = 22 - 6n+6` 

`19/2n - 3/2n^2 = 28 - 6n \ \ \ |*2` 

`19n - 3n^2 = 56 - 12n`  

`3n^2 - 31n + 56=0` 

`Delta = (-31)^2 - 4*3*56 = 961-672=289`  

`sqrtDelta = sqrt289 = 17` 

`n_1 = (31-17)/6 = 14/6 notinN` 

`n_2 = (31+17)/6 = 48/6 = 8` 

A więc:

 

`x = 11/2 -3/2*8 = 11/2 -3*4 = 5,5-12 = -6,5` 

 

Zapisz zbiory C2 i C3

`a)`

`C_1=<<0;\ 1/3>>uu<<2/3;\ 1>>`

Dzielimy pierwszy przedział na trzy równe części. Obliczmy najpierw, jaką długość ma ten przedział i podzielmy ją na trzy równe części:

`(1/3-0):3=1/3:3=1/3*1/3=1/9`

 

Dzielimy pierwszy przedział na trzy przedziały o jednakowej długości:

`<<0;\ 1/3>>=<<0;\ 1/9>>uu<<1/9;\ 1/9+1/9>>uu<<1/9+1/9;\ 1/3>>=<<0;\ 1/9>>uu<<1/9;\ 2/9>>uu<<2/9;\ 1/3>>`

Wyrzucamy środkową część, otrzymując pierwszą część zbioru C2:

`<<0;\ 1/9>>uu<<2/9;\ 1/3>>`

 

Dzielimy drugi przedział będący częścią C2 na trzy równe części. Ten przedział ma taką samą długość, jak poprzedni, więc obliczamy analogicznie:

`<<2/3;\ 1>>=<<2/3;\ 2/3+1/9>>uu<<2/3+1/9,\ 2/3+1/9+1/9>>uu<<2/3+1/9+1/9;\ 1>>=<<2/3;\ 7/9>>uu<<7/9;\ 8/9>>uu<<8/9;\ 1>>`

Wyrzucamy środkową część, otrzymując drugą część zbioru C2:

`<<2/3;\ 7/9>>uu<<8/9;\ 1>>`

 

Możemy więc zapisać zbiór C2:

`C_2=<<0;\ 1/9>>uu<<2/9;\ 1/3>>uu<<2/3;\ 7/9>>uu<<8/9;\ 1>>`

 

 

 

 

Każdy z przedziałów tworzących zbiór C2 ma długość 1/9. Podzielmy tą długość na trzy równe części:

`1/9:3=1/9*1/3=1/27`

 

Dzielimy każdy z przedziałów tworzących zbiór C2 na 3 równe części i usuwamy środkową część. 

`<<0;\ 1/9>>=<<0;\ 1/27>>uu<<1/27;\ 1/27+1/27>>uu<<1/27+1/27;\ 1/9>>=<<0;\ 1/27>>uu<<1/27;\ 2/27>>uu<<2/27;\ 1/9>>\ \ \ ->\ \ \ <<0;\ 1/27>>uu<<2/27;\ 1/9>>`

`<<2/9;\ 1/3>>=<<2/9;\ 2/9+1/27>>uu<<2/9+1/27;\ 2/9+1/27+1/27>>uu<<2/9+1/27+1/27;\ 1/3>>=<<2/9;\ 7/27>>uu<<7/27;\ 8/27>>uu<<8.27;\ 1/3>>\ \ \ ->\ \ \ <<2/9;\ 7/27>>uu<<8/27;\ 1/3>>`

`<<2/3;\ 7/9>>=<<2/3;\ 2/3+1/27>>uu<<2/3+1/27;\ 2/3+1/27+1/27>>uu<<2/3+1/27+1/27;\ 7/9>>=<<2/3;\ 19/27>>uu<<19/27;\ 20/27>>uu<<20/27;\ 7/9>>\ \ \ ->\ \ \ <<2/3;\ 19/27>>uu<<20/27;\ 7/9>>`

`<<8/9;\ 1>>=<<8/9;\ 8/9+1/27>>uu<<8/9+1/27;\ 8/9+1/27+1/27>>uu<<8/9+1/27+1/27;\ 1>>=<<8/9;\ 25/27>>uu<<25/27;\ 26/27>>uu<<26/27;\ 1>>\ \ \ ->\ \ \ <<8/9;\ 25/27>>uu<<26/27;\ 1>>`

 

Możemy zapisać zbiór C3:

`C_3=<<0;\ 1/27>>uu<<2/27;\ 1/9>>uu<<2/9;\ 7/27>>uu<<8/27;\ 1/3>>uu<<2/3;\ 19/27>>uu<<20/27;\ 7/9>>uu<<8/9;\ 25/27>>uu<<26/27;\ 1>>`

 

 

 

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))`

 

 

 

`b)`

`C_2=<<0;\ 1/9>>uu<<2/9;\ 1/3>>uu<<2/3;\ 7/9>>uu<<8/9;\ 1>>`

Każdy z czterech przedziałów wchodzących w skład powyższego zbioru ma długość 1/9. Obliczamy, jaka jest suma długości tych przedziałów:

`4*1/9=4/9`

 

 

`C_1=<<0;\ 1/3>>uu<<2/3;\ 1>>`

Każdy z dwóch przedziałów wchodzących w skład powyższego zbioru ma długość 1/3. Obliczamy, jaka jest suma długości tych przedziałów:

`2*1/3=2/3`

 

 

Obliczamy, ile wynnosi stosunek sumy długości przedziałów wchodzących w skład zbioru C2 do sumy długości przedziałów wchodzących w skład zbioru C1:

`4/9:2/3=strike4^2/strike9^3*strike3^1/strike2^1=2/3`

 

 

 

`c)`

Zbiór C4 powstanie, jeśli każdy przedział wchodzący w skład zbioru C3 zostanie podzielony na trzy równe części, a następnie środkowa część z każdego przedziału zostanie usunięta. W skład zbioru C₃ wchodzi osiem przedziałów o długości 1/27. Obliczmy, jaką długość będzie miał przedział stanowiący trzecią część takiego przedziału:

`1/27:3=1/27*1/3=1/81`

Z każdego z ośmiu przedziałów o długości 1/27 otrzymamy dwa przedziały (środkowy przedział usuwamy, więc zostają tylko dwa) o długości 1/81. Obliczmy, jaka będzie łączna długość tych przedziałów:

`8*2*1/81=16/81`

 

Długość zbioru C0 jest równa 1. Obliczamy szukany stosunek:

`16/81:1=16/81`

 

Określ dziedzinę funkcji f...

`a) \ f(x) = 1 + x + x^2 + x^3 + ...`

`a_1 = 1`

`q=x`

Gdy:

`|q|<1`

 

`f(x) = S = 1/(1-x)`

Dziedzina:

`1-x ne 0 => x ne 1`

Wykres:

`Z_w = R \\ {0}`

 


 `b) \ f(x) = 1 - 1/x + 1/x^2 - 1/x^3 + . . .`

`a_1 = 1`

`q = -1/x`

Gdy:

`|q|<1`

 

 

`f(x) = S = 1/(1-(-1/x)) = 1/(1+1/x) = 1/(x/x + 1/x) = 1/((1+x)/x) = x/(1+x)`

Dziedzina:

`D_f = R \\ {-1}`

Wykres:

 

`Z_w = (-oo; 1) \ cup (1, oo)` 

 

Wyznacz miary kątów α i ß.

Na rysunku przedstawiono...

a) Wykres:

`T=pi` 

 

b) Wykres:

`T=pi` 

c) Wykres:

 

`T=pi`