Miara łukowa - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Miara łukowa - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Przeliczanie kątów

Czasami musimy przeliczyć kąt z jednej miary na drugą. Robimy to korzystając z dwóch wzorów na długość łuku:

$l = 2×Π×R×{α}/{360°}$
$l = β×R$

gdzie $α$ to miara wielkość kąta w stopniach, a $β$ - w radianach.

Jeśli przyrównamy te dwa wzory do siebie (lewe strony są takie same, więc prawe też muszą być równe) otrzymujemy:

$2×Π×R×{α}/{360°} = β×R$
$2×Π{α}/{360°} = β$

oraz
$α = {β × 360°}/{2×Π}$
 

Ciekawostka

Miara łukowa jest używana w fizyce i wielu zadaniach technicznych, ponieważ dla małych kątów kąt w radianach jest równy sinusowi tego kąta: można więc pozbyć się z równania kłopotliwych funkcji trygonometrycznych uzyskując całkiem dobre przybliżenie wyniku. Np. w równaniu $ sin α = 0,087156$ możemy spokojnie opuścić sinus i powiedzieć, żę kąt $α$ jest w przybliżeniu równy właśnie $0,087156$ radianów.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Rozwiąż równania:

 

 {premium}

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Zamieńmy miarę kątową na miarę łukową:

 

 

  

 

 

 

 

 

 

W podpunkcie a) obliczyliśmy, że:

  

 

zatem

 

 

 

 

Wiemy, że:

 

zatem wyznaczmy rozwiązanie:

stąd 

 

Zamieńmy na miarę łukową:

 

a więc:

 

Otrzymujemy zatem, że:

 

 

Rozwiązaniem jest:

 

Punkt P należy do ramienia końcowego ...

 

 

 

{premium}  

 

 

  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  

 

     

           

Wyznacz współczynniki b i c trójmianu ...

  

 

 

 

 

{premium}  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

    

 

 

 

 

 

   

Wyznacz równanie osi symetrii odcinka AB.

a)

Wyznaczmy środek odcinka AB.

 

 

     {premium}

 

Wyznaczmy równanie prostej AB.

Zauważmy, że współrzędne  punktu  i punktu  są takie same, wobec tego prosta ma wzór  

 

Wyznaczmy równanie osi symetrii odcinka AB.

Prosta prostopadła do tej prostej, przechodząca przez punkt  ma wzór  


b)

Wyznaczmy środek odcinka AB.

 

 

 

 

Wyznaczmy równanie prostej AB.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Wyznaczmy równanie osi symetrii odcinka AB.

Prosta prostopadła do tej prostej, przechodząca przez punkt  ma wzór

 

 

 

 

 


c)

Wyznaczmy środek odcinka AB.

 

 

 

 

Wyznaczmy równanie prostej AB.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Wyznaczmy równanie osi symetrii odcinka AB.

Prosta prostopadła do tej prostej, przechodząca przez punkt  ma wzór 

 

 

 

 

 

 

 

 

  

Ćwiczenie 1

   

{premium}    

      

     

 

   

Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny...

Wiemy, że:

 

 

 

{premium}

Wobec tego możemy wyznaczyć wysokość ściany bocznej.

 

 

 

Zauważmy, że wysokość ostrosłupa możemy wyznaczyć wykorzystując tw. Pitagorasa:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Obliczmy promień kuli opisanej na tym ostrosłupie.

Korzystając z tw. Pitagorasa otrzymujemy:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Liczba x...

 

{premium}  

 

 

 

Odpowiedź C

a) W trapez równoramienny o podstawach...

a)

Rysunek pomocniczy:

Korzystając z tw. o okręgu wpisanym w czworokąt otrzymujemy:

 

 

 

 

 

 

Korzystając z tw. Pitagorasa otrzymujemy:

 

 

 

 

 

 

{premium}  

 


b)

Rysunek pomocniczy:

 

Korzystając z tw. o okręgu wpisanym w czworokąt otrzymujemy:

 

 

 

 

 

 

 


c)

Rysunek pomocniczy:

Korzystając z tw. o okręgu wpisanym w czworokąt otrzymujemy:

 

 

 

 

 

 

 

 

Korzystając z tw. Pitagorasa otrzymujemy:

 

 

 

 

 

 

 

  

 

 

 


d)

Rysunek pomocniczy:

 

 

 

 

 

 

  

Korzystając z tw. o okręgu wpisanym w czworokąt otrzymujemy:

 

 

 

 

zauważmy, że:

 

   (ponieważ kąt ostry trapezu ma miarę 45o)

zatem:

 

 

 

 

 

a) Oblicz promień okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym

a)

 

{premium}

 

b)

 

 

c)

 

Wykonaj mnożenie

{premium}