Miara łukowa - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Miara łukowa - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Przeliczanie kątów

Czasami musimy przeliczyć kąt z jednej miary na drugą. Robimy to korzystając z dwóch wzorów na długość łuku:

$l = 2×Π×R×{α}/{360°}$
$l = β×R$

gdzie $α$ to miara wielkość kąta w stopniach, a $β$ - w radianach.

Jeśli przyrównamy te dwa wzory do siebie (lewe strony są takie same, więc prawe też muszą być równe) otrzymujemy:

$2×Π×R×{α}/{360°} = β×R$
$2×Π{α}/{360°} = β$

oraz
$α = {β × 360°}/{2×Π}$
 

Ciekawostka

Miara łukowa jest używana w fizyce i wielu zadaniach technicznych, ponieważ dla małych kątów kąt w radianach jest równy sinusowi tego kąta: można więc pozbyć się z równania kłopotliwych funkcji trygonometrycznych uzyskując całkiem dobre przybliżenie wyniku. Np. w równaniu $ sin α = 0,087156$ możemy spokojnie opuścić sinus i powiedzieć, żę kąt $α$ jest w przybliżeniu równy właśnie $0,087156$ radianów.

Spis treści

Rozwiązane zadania
W trójkącie naprzeciw boków mających ...

 

Z sumy miar kątów w trójkącie mamy:

 

Z tw. sinusów mamy:   {premium}

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


Z tw. sinusów mamy:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Przypadek I.

 

Wtedy mamy:

 

 

Z tw. cosinusów mamy:

 

 

 

 

 

     sprzeczność, ponieważ c jest najdłuższym bokiem (leży naprzeciwko największego kąta)

 

 

Przypadek II.

 

Wtedy mamy:

 

 

Z tw. cosinusów mamy:

 

 

 

 

 

     

      sprzeczność, ponieważ c jest najkrótszym bokiem (leży naprzeciwko najmniejszego kąta)

 

W tabeli przedstawiono przeciętne dalsze trwanie ...

a) Piramida populacji:

    {premium}


b) Obliczmy o ile procent różni się przeciętne dalsze trwanie życia dziewcząt i chłopców w grupie noworodków.

 


c) Obliczmy o ile procent różni się przeciętne dalsze trwanie życia dziewcząt i chłopców w grupie 10-latków.

 

Funkcja f jest opisana za pomocą tabelki:

g(x)=f(-x), więc funkcja g przyjmuje te same wartości co funkcja f, ale dla przeciwnych argumentów do danych.

Zatem tabelki wyglądają następująco:{premium}

a)

x -7 -2 -1 3 4 6 10
g(x) 13 5 2 0 -1 -4 -5

b)

x -67 -28 -17 -1 0 26 46
g(x) 13 11 22 -23 -7 46 -5

 

Napisz równanie prostej...

 

Obliczmy współczynnik kierunkowy a:

 

 

 

Korzystamy z wzoru:

 

zatem:{premium}

 

 

 


 

Obliczmy współczynnik kierunkowy a:

 

 

 

Korzystamy z wzoru:

 

zatem:

 

 

 


 

Obliczmy współczynnik kierunkowy a:

 

 

 

Korzystamy z wzoru:

 

zatem:

 

 

 


 

Obliczmy współczynnik kierunkowy a:

 

 

 

Korzystamy z wzoru:

 

zatem:

 

 

 


 

Obliczmy współczynnik kierunkowy a:

 

 

 

Korzystamy z wzoru:

 

zatem:

 

 


 

Obliczmy współczynnik kierunkowy a:

 

 

 

Korzystamy z wzoru:

 

zatem:

 

 

 

 

Dana jest funkcja...

 

 

 

 

{premium}  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

c) Zbiór wartości sin x to przedział  , a więc jego długość to  . Jeżeli pomnożymy sin x przez   to zbiór wartości będzie miał postać   a jego długość wynosi  . Analogicznie jeżeli pomnożymy przez  .

 

 

 

Pole...

Obliczmy długości boków w tym trójkącie{premium}

Zauważmy, że

więc w trójkącie ABC zachodzi 

zatem na podstawie twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Pitagorasa ten trójkąt jest prostokątny. 

Pole tego trójkąta jest więc równe 

 

 

Odp. B.

Do zbioru rozwiązań nierówności...

 

Liczba x4+1 jest dodatnia dla każdej liczby rzeczywistej, więc{premium} możemy podzielić nierówność stronami przez x4+1, nie zmieniając znaku nierówności.

 

 

 

 

 

Spośród danych liczb do zbioru rozwiązań nierówności nie należy liczba 3.


Prawidłowa odpowiedź to D.

Zbadaj liczbę rozwiązań równania...

 

Dla m2-1=0, czyli ∈ {-1, 1}, równanie jest liniowe.{premium}

Dla m=-1:

 

 

 

Czyli dla m=-1 równanie ma jedno rozwiązanie, jest nim x=-1/4.

Dla m=1:

 

Równanie jest sprzeczne.

Czyli dla m=1 równanie nie ma rozwiązań.


Dla m≠-1 i m≠1 równanie jest kwadratowe. Wówczas liczba rozwiązań równania zależy od znaku wyróżnika Δ.

 

  • równanie ma dwa rozwiązania, gdy Δ>0:

 

 

 

  • równanie ma jedno rozwiązanie, gdy Δ=0:

 

 

 

 

Zakładaliśmy, że m≠1, więc tę możliwość odrzucamy. Zostaje nam tylko:

 

  • równanie nie ma rozwiązań, gdy Δ<0:

 

 

 


Podsumowując:

1) Równanie nie ma rozwiązań dla ∈ (0, 1>.

2) Równanie ma jedno rozwiązanie dla m ∈ {-1, 0}.

3) Równanie ma dwa rozwiązania dla m ∈ (-∞, -1) ∪ (-1, 0) ∪ (1, +∞).

 

Zaznacz zbiór A w układzie współrzędnych ...

  

 

Zatem otrzymujemy:

{premium}

 podglad pliku

Zbiór A to zbiór punktów, które spełniają obie te nierówności, czyli obszar wspólny.

Punkty należące do zbioru A, których obie współrzędne są całkowite:

 

Takich punktów jest: 2


 

 

Zatem otrzymujemy:

 

 

Aby narysować nierówność  najpierw narysujemy funkcję  

 

 

 

 

Narysujmy te nierówności w układzie współrzędnych:

podglad pliku

Zbiór A to zbiór punktów, które spełniają obie te nierówności, czyli obszar wspólny.

Punkty należące do zbioru A, których obie współrzędne są całkowite:

 

Takich punktów jest: 1

Dziedziną funkcji y=f(x) jest przedział ...

Z treści zadania wiemy, że:

 

 

 

 

Wykres funkcji g powstaje przez przesunięcie o 2 jednostki w prawo i 3 jednostki w górę, zatem: {premium}