Zgoda na przetwarzanie danych osobowych

25 maja 2018 roku zacznie obowiązywać Rozporządzenie Parlamentu Europejskiego i Rady (UE) 2016/679 z dnia 27 kwietnia 2016 r. znane jako RODO.

Dlatego aby dalej móc dostarczać Ci materiały odpowiednie do Twojego etapu edukacji, potrzebujemy zgody na lepsze dopasowanie treści do Twojego zachowania. Dzięki temu możemy zapamiętywać jakie materiały są Ci potrzebne. Dbamy o Twoją prywatność, więc nie zwiększamy zakresu naszych uprawnień. Twoje dane są u nas bezpieczne, a zgodę na ich zbieranie możesz wycofać na podstronie polityka prywatności.

Klikając "Przejdź do Odrabiamy", zgadzasz się na wskazane powyżej działania. W przeciwnym wypadku, nie jesteśmy w stanie zrealizować usługi kompleksowo i prosimy o opuszczenie strony.

Polityka prywatności

Drogi Użytkowniku w każdej chwili masz prawo cofnąć zgodę na przetwarzanie Twoich danych osobowych. Cofnięcie zgody nie będzie wpływać na zgodność z prawem przetwarzania, którego dokonano na podstawie wyrażonej przez Ciebie zgody przed jej wycofaniem. Po cofnięciu zgody wszystkie twoje dane zostaną usunięte z serwisu. Udzielenie zgody możesz modyfikować w zakładce 'Informacja o danych osobowych'

Miara łukowa - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Przeliczanie kątów

Czasami musimy przeliczyć kąt z jednej miary na drugą. Robimy to korzystając z dwóch wzorów na długość łuku:

$$l = 2×Π×R×{α}/{360°}$$
$$l = β×R$$

gdzie $$α$$ to miara wielkość kąta w stopniach, a $$β$$ - w radianach.

Jeśli przyrównamy te dwa wzory do siebie (lewe strony są takie same, więc prawe też muszą być równe) otrzymujemy:

$$2×Π×R×{α}/{360°} = β×R$$
$$2×Π{α}/{360°} = β$$

oraz
$$α = {β × 360°}/{2×Π}$$
 

Ciekawostka

Miara łukowa jest używana w fizyce i wielu zadaniach technicznych, ponieważ dla małych kątów kąt w radianach jest równy sinusowi tego kąta: można więc pozbyć się z równania kłopotliwych funkcji trygonometrycznych uzyskując całkiem dobre przybliżenie wyniku. Np. w równaniu $$ sin α = 0,087156$$ możemy spokojnie opuścić sinus i powiedzieć, żę kąt $$α$$ jest w przybliżeniu równy właśnie $$0,087156$$ radianów.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Dane są funkcje f(x)= ...

`a)` 

`f(x)=-2x^2-8x-4=-2(x^2+4x+4-2)=-2(x+2)^2+4`  

`g(x)=f(-x)` 

`g(x)=-2(-x+2)^2+4=-2(x-2)^2+4` 

 

`b)` 

`f(x)>=g(x)` 

`x in (-oo;0]` 

Dany jest wyraz ogólny ciągu nieskończonego

`a_8=-8^2+3*8=-8*8+24=` `-64+24=40` 

 

 

`a_101=-101^2+3*101=` `-101*101+3*101=` 

`\ \ \ \ \ \ =101*(-101+3)=` `101*(-98)=-9898` 

 

 

`a_(n+1)=` `-(n+1)^2+3*(n+1)=` 

`\ \ \ \ \ \ \ =` `-(n^2+2n+1)+3n+3=` 

`\ \ \ \ \ \ \ =-n^2-2n-1+3n+3=` 

`\ \ \ \ \ \ \ =-n^2+n+2`   

` ` ` ` 

` ` 

 

` ` 

` ` 

` `  

   

Oblicz...

a) Z twierdzenia Talesa:

`|PB|/|AB| = (|PB|+|BD|)/|CD|`

`3/2=(3+|BD|)/3`

`9=2(3+|BD|)`

`9=6+2|BD| \ \ \ |-6`

`2|BD|=3 \ \ \ |:2`

`|BD|=1,5`

 

Z twierdzenia Talesa:

`|PB|/|PA| =|PD|/|PC|`

`3/|PA| = (4,5)/|PC|` 

`3|PC| = 4,5 |PA| \ \ \ |:3`

`|PC| = 1,5|PA|`

Mamy zależność pomiędzy bokami, skorzystajmy ponownie z twierdzenia Talesa:

`|PB|/|AB| = |PF|/|EF|` 

`3/2 = 9/|EF|`

`3|EF|=18 \ \ \ |:3`

`|EF|=6`

 

Znając długość boku EF możemy obliczyć długości boków PC i PA

`|PA|/|PE| = |AB|/|EF|`  

`|PA|/(|PC|+6) = 2/6`

`6|PA|=2|PC|+12`

`6|PA| = 2*1,5|PA| + 12`

`6|PA|-3|PA|=12`

`3|PA|=12 \ \ \ |:3`

`|PA|=4`

`|PC|=1,5*4=6`

 

 

 

b)

`|PB|/|PD| = |PA|/(|PA|+4)`

`2/4 = (|PA|)/(|PA|+4)`

`2|PA| +8 = 4|PA|`

`2|PA|=8 \ \ \ |:2`

`|PA|=4`

 

 

 

`|PA|/|PE| = |AB|/|EF|`

`4/14 = |AB|/12`

`48 = 14|AB| \ \ \ |:14`

`|AB|= (strike48^24)/(strike14^7) = 24/7`

 

 

 

`|PB|/|PF| = |AB|/|EF|`

`2/(4+|DF|) = (24/7)/12`

`24 = 24/7(4+|DF|)`

`1 = 1/7(4+|DF|)`

`7 = 4+|DF|`

`|DF| = 3`

 

 

 

`|PB|/|AB| = |PD|/|CD|`

`2/(24/7) = 4/|CD|`

`2|CD| = 4*24/7 \ \ \ |:2`

`|CD| = 2 * 24/7`

`|CD| = 48/7` ``

Oblicz.

`a)` 

`ctg\ (-pi/6)=-ctg\ pi/6=sqrt3` 

 

`b)`   

`ctg\ (-pi/4)=-ctg\ (pi/4)=-1` 

 

`c)` 

`ctg\ (-pi/3)=-ctg\ (pi/3)=-sqrt3/3` 

Wyznacz miejsca zerowe, o ile istnieją

`a)\ f(x)=4x^2-8x=4x(x-2)`

`\ \ \ f(x)=0`

`\ \ \ 4x=0\ \ \ vee\ \ \ x-2=0`

`\ \ \ x=0\ \ \ \ vee\ \ \ x=2`

 

 

`b)\ f(x)=1/2x^2+12x=x(1/2x+12)`

`\ \ \ f(x)=0`

`\ \ \ x=0\ \ \ vee\ \ \ 1/2x+12=0\ \ |-12`

`\ \ \ x=0\ \ \ vee\ \ \ 1/2x=-12\ \ |*2`

`\ \ \ x=0\ \ \ vee\ \ \ x=-24`

 

 

`c)\ f(x)=-8x^2+4x=-4x(2x-1)`

`\ \ \ f(x)=0`

`\ \ \ -4x=0\ \ \ vee\ \ \ 2x-1=0\ \ |+1`

`\ \ \ x=0\ \ \ \ \ \ \ vee\ \ \ 2x=1\ \ |:2`

`\ \ \ x=0\ \ \ \ \ \ \ vee\ \ x=1/2`

 

`d)\ f(x)=3/4x^2-3x=x(3/4x-3)`

`\ \ \ f(x)=0`

`\ \ \ x=0\ \ \ vee\ \ \ 3/4x-3=0\ \ |+3`

`\ \ \ x=0\ \ \ vee\ \ \ 3/4x=3 \ \ \ |*4/3`

`\ \ \ x=0\ \ \ vee\ \ \ x=4`

 

 

`e)\ f(x)=5x^2+10x=5x(x+2)`

`\ \ \ f(x)=0`

`\ \ \ 5x=0\ \ \ vee\ \ \ x+2=0`

`\ \ \ x=0\ \ \ \ \ vee \ \ \ x=-2`

 

`f)\ f(x)=2/3x^2-6x=x(2/3x-6)`

`\ \ \ x=0\ \ \ vee\ \ \ 2/3x-6=0\ \ |+6`

`\ \ \ x=0\ \ \ vee\ \ \ 2/3x=6\ \ |*3/2`

`\ \ \ x=0\ \ \ vee\ \ \ x=18/2=9`

 

   

     

Konrad wybrał się w podróż z miasta A ...

Zauważmy, że Konrad podróżował pociągiem przez 6h.

`v_p-"prędkość pociągu"` 

`v_p=60(km)/h`    

`v=s/t\ implies\ s=vt` 

`s_p=6h*v_p=360\ km` 

 

`v_b-"prędkość autobusu"` 

`v_b=40 (km)/h`   

`s_b=2*v_b=80\ km` 

`360+80=440` 

 

Odległość między miastami A i B wynosi 440 km.

 

`s(t)={(60t,\ t in[0;6]),(360,\ t in (6;7)),(40t+80,\ t in [7;9]):}`  

Oblicz stosunek pola koła opisanego...

R - promień okręgu opisanego

r - promień okręgu wpisanego

`R=2/3h`

`r=1/3h`

gdzie

`h=(9sqrt3)/2`

`(P_o)/(P_w)=(piR^2)/(pi r^2)=(4/9h^2)/(1/9h^2=4/1)`

Oblicz długość promienia okręgu wpisanego...

`a)\ r=1/3*(1/3 sqrt3)/2=sqrt3/18`

`b)\ a=6,\ b=6sqrt3,\ c=12`

`P=pr`

`r=P/p`

`r=(1/2*6*6sqrt3)/((6+6sqrt3+12)/2)=(36sqrt3)/(6(3+sqrt3))=(6sqrt3(3-sqrt3))/(9-3)=3sqrt3-3`

 

W trójkącie ABC są dane...

`|/_BCA| = 180^o - (|/_CAB|+|/_ABC|) = 180^o - 75^o = 105^o` 

 

A więc:

`(|AB|)/(sin105^o) = 12/sin(180^o - 75^o) = 12/(sin 75^o) = 12/((sqrt2+sqrt6)/4) = 48/(sqrt6+sqrt2)*(sqrt6-sqrt2)/(sqrt6-sqrt2) = (48(sqrt6-sqrt2))/(6-2) =(48(sqrt6-sqrt2))/4 = 12(sqrt6-sqrt2)` 

 

`(|AC|)/(sin45^o) = 12(sqrt6-sqrt2) \ \ \ |*sin45^o` 

`|AC| = 12sin45^o(sqrt6-sqrt2) = 12*sqrt2/2 (sqrt6-sqrt2) = 6sqrt2(sqrt2*sqrt3-sqrt2) = 6sqrt2*sqrt2(sqrt3-1) = 12(sqrt3-1) \ ["cm"]` 

 

`(|BC|)/(sin30^o) = 12(sqrt6-sqrt2) \ \ \ |*sin 30^o` 

`|BC| = 12sin30^o(sqrt6-sqrt2) = 12*1/2(sqrt6-sqrt2) = 6(sqrt6-sqrt2) \ ["cm"]` 

 

Promień okręgu opisanego na tym trójkącie:

`R = (|AB|)/(2*sin 105^o) = 1/2 *(|AB|)/(sin105^o) = 1/2*12(sqrt6-sqrt2) = 6(sqrt6-sqrt2) \ ["cm"]` 

Zapisz zbiór rozwiązań układu nierówności...

`a) \ {(2x-5 leq 11),(1-4x<5):}` 

`{(2x leq 16),(-4x < 4):}` 

`{(x leq 8),(x > -1):}` 

`-1 < x leq 8` 

`x in (-1, 8]` 

Liczby całkowite należące do tego przedziału to:

`0 \ , \ 1 \ , \ 2 \ , . . . , \ 8`  

 

`b) \ {(6x+4 > 10),(-4+2x leq 8):}` 

`{(6x > 6),(2x leq 12):}` 

`{(x>1),(x leq 6):}` 

`1 

`x in (1, 6]` 

Liczby całkowite należące do tego przedziału to:

`2 \ , \ 3 \ , \ 4 \ , \ 5 \  , \ 6`  

 

`c) \ {(7x<0),(3x+7>4):}` 

`{(x<0),(3x > -3):}` 

`{(x<0),(x > -1):}` 

`-1 < x < 0` 

`x in (-1, 0)` 

Zbiór liczb całkowitych należących do tego przedziału jest pusty.