Zgoda na przetwarzanie danych osobowych

25 maja 2018 roku zacznie obowiązywać Rozporządzenie Parlamentu Europejskiego i Rady (UE) 2016/679 z dnia 27 kwietnia 2016 r. znane jako RODO.

Dlatego aby dalej móc dostarczać Ci materiały odpowiednie do Twojego etapu edukacji, potrzebujemy zgody na lepsze dopasowanie treści do Twojego zachowania. Dzięki temu możemy zapamiętywać jakie materiały są Ci potrzebne. Dbamy o Twoją prywatność, więc nie zwiększamy zakresu naszych uprawnień. Twoje dane są u nas bezpieczne, a zgodę na ich zbieranie możesz wycofać na podstronie polityka prywatności.

Klikając "Przejdź do Odrabiamy", zgadzasz się na wskazane powyżej działania. W przeciwnym wypadku, nie jesteśmy w stanie zrealizować usługi kompleksowo i prosimy o opuszczenie strony.

Polityka prywatności

Drogi Użytkowniku w każdej chwili masz prawo cofnąć zgodę na przetwarzanie Twoich danych osobowych. Cofnięcie zgody nie będzie wpływać na zgodność z prawem przetwarzania, którego dokonano na podstawie wyrażonej przez Ciebie zgody przed jej wycofaniem. Po cofnięciu zgody wszystkie twoje dane zostaną usunięte z serwisu. Udzielenie zgody możesz modyfikować w zakładce 'Informacja o danych osobowych'

Miara łukowa - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Przeliczanie kątów

Czasami musimy przeliczyć kąt z jednej miary na drugą. Robimy to korzystając z dwóch wzorów na długość łuku:

$$l = 2×Π×R×{α}/{360°}$$
$$l = β×R$$

gdzie $$α$$ to miara wielkość kąta w stopniach, a $$β$$ - w radianach.

Jeśli przyrównamy te dwa wzory do siebie (lewe strony są takie same, więc prawe też muszą być równe) otrzymujemy:

$$2×Π×R×{α}/{360°} = β×R$$
$$2×Π{α}/{360°} = β$$

oraz
$$α = {β × 360°}/{2×Π}$$
 

Ciekawostka

Miara łukowa jest używana w fizyce i wielu zadaniach technicznych, ponieważ dla małych kątów kąt w radianach jest równy sinusowi tego kąta: można więc pozbyć się z równania kłopotliwych funkcji trygonometrycznych uzyskując całkiem dobre przybliżenie wyniku. Np. w równaniu $$ sin α = 0,087156$$ możemy spokojnie opuścić sinus i powiedzieć, żę kąt $$α$$ jest w przybliżeniu równy właśnie $$0,087156$$ radianów.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Wyznacz m wiedząc, że wykres funkcji

Jeśli dwie proste są równoległe, to mają takie same współczynniki kierunkowe. 

 

`a)` 

`2m-3=-4\ \ \ |+3` 

`2m=-1\ \ \ |:2` 

`m=-1/2` 

 

 

`b)` 

`3=4+m\ \ \ |-4` 

`m=-1` 

 

 

`c)` 

`1-m=2m-5\ \ \ |+m+5` 

`6=3m\ \ \ |:3` 

`m=2` 

 

 

 

`d)` 

`0=m-10` 

`m=10` 

 

 

 

`e)` 

`-(2m+sqrt2)=sqrt2m+2` 

`-2m-sqrt2=sqrt2m+2\ \ \ |-sqrt2m+sqrt2` 

`-2m-sqrt2m=2+sqrt2` 

`-m(2+sqrt2)=2+2sqrt2\ \ \ |:(2+sqrt2)` 

`-m=1\ \ \ *|(-1)` 

`m=-1` 

 

 

 

`f)` 

`sqrt3+m=5+sqrt3m\ \ \ |-sqrt3m-sqrt3` 

`m-sqrt3m=5-sqrt3` 

`m(1-sqrt3)=5-sqrt3\ \ \ |:(1-sqrt3)` 

`m=(5-sqrt3)/(1-sqrt3)=((5-sqrt3)(1+sqrt3))/((1-sqrt3)(1+sqrt3))=`  `(5+5sqrt3-sqrt3-3)/(1^2-sqrt3^2)=` `(2+4sqrt3)/(1-3)=(2+4sqrt3)/(-2)=-1-2sqrt3` 

W równoległoboku ABCD o kacie ostrym...

 

a)

Zauważmy, że `|/_ADC|=|/_ABC|=180^o-alpha` 

 

W trójkącie AED:

`|/_ADE|=180^o-(90^o +alpha)=90^o-alpha` 

 

W trójkącie CDF:

`|/_FDC|=180^o-(90^o +alpha)=90^o-alpha` 

 

`|/_ADC|=|/_ADE|+|/_EDF|+|/_FDC|` 

`180^o-alpha=90^o-alpha+|/_EDF|+90^o-alpha` 

`180^o-alpha=180^o-2alpha+|/_EDF| \ \ \ |-180^o+2alpha` 

`alpha=|/_EDF|` 


b)

`|DE|=4` 

`|DF|=3sqrt2` 

`P_(ABCD)=24` 

 

`24=|AB|*|DE|` 

`24=|AB|*4 \ \ \ |:4` 

`6=|AB|` 

 

`24=|BC|*|DF|` 

`24=|BC|*3sqrt2 \ \ \ |:3sqrt2` 

`8/sqrt2=|BC|` 

`(8sqrt2)/2=|BC|` 

`4sqrt2=|BC|` 

 

`P_(EBFD)=P_(ABCD)-P_(AED)-P_(FCD)` 

`P_(EBFD)=24-1/2*|AD|*|DE|*sin(90^o-alpha)-1/2*|DC|*|DF|*sin(90^o-alpha)` 

`P_(EBFD)=24-1/2*4sqrt2*4*cosalpha-1/2*6*3sqrt2*cosalpha` 

`P_(EBFD)=24-8sqrt2cosalpha-9sqrt2cosalpha` 

`P_(EBFD)=24-17sqrt2cosalpha` 

`sinalpha=|DE|/|AD|=4/(4sqrt2)=1/sqrt2=sqrt2/2` 

`alpha=45^o` 

`cosalpha=sqrt2/2` 

`P_(EBFD)=24-17sqrt2*sqrt2/2` 

`P_(EBFD)=24-17` 

`P_(EBFD)=7` 

Punkty A i B są punktami przecięcia ...

`y=3/5x-6` 

`y=0` 

`3/5x-6=0` 

`x=10` 

`A=(10;0)` 

 

`x=0` 

`y=-6` 

`B=(0;-6)` 

 

`D=(1;4)` 

 

Odległość punktu D od podstawy AB jest równa wysokości równoległoboku.

`y=3/5x-6\ implies\ 3/5x-y-6=0` 

`d=|3/5*1-1*4-6|/sqrt((3/5)^2+(-1)^2)=(9 2/5)/sqrt(34/25)=(47/5)/(1/5*sqrt34)=47/sqrt34` 

`|AB|=sqrt((-10)^2+(-6)^2)=sqrt136=2sqrt34`  

`P=1/2*2sqrt34*47/sqrt34=ul(47`        

Dany jest ciąg arytmetyczny...

`(a_2+a_4+a_6+. . . + a_20)/(a_1 + a_3 + a_5 + . . . + a_ 19) = 9/8` 

`(a_1+r+a_3+r+a_5+r+ . . . + a_19+r)/((a_1+a_3+a_5+ . . . + a_19))= 9/8` 

`8(a_1+a_3+a_5+. . . + a_19 + 10r) = 9(a_1+a_3+a_5+. . . + a_19)` 

`8(a_1+a_3+a_5+ . . . +a_19) + 80r = 8(a_1+a_3+a_5 + . . . + a_19) + a_1 + a_3 + a_5 + . . . + a_19` 

`80r = a_1+a_3+a_5+ . .. + a_19` 

`80r = (a_1 + a_19)/2*10` 

`80r = 5(a_1+a_19)` 

`16r = a_1 + a_19` 

`16r= a_1 + a_1 + 18r` 

`-2r = 2a_1` 

`a_1 = -r` 

 

 

`a_3 + a_7 = 12` 

`a_1 + 2r+a_1 + 6r = 12`  

`2a_1 +8r =12` 

`-2r + 8r = 12` 

`6r = 12` 

`r = 2` 

 

`a_1 = -2` 

 

Wzór ogólny:

`a_n = a_1 + (n-1)r = -2+2(n-1) = -2 + 2n - 2 = 2n - 4` 

Trójkąt A'B'C' jest obrazem trójkąta...

a) Wierzchołkami trójkąta są punkty które powstały poprzez przesunięcie punktów A, B , C o 2 jednostki w prawo, równolegle do osi.

Pole części wspólnej:

`P = 1/2 *|A'C|*|h = 1/2 * 4 * 4 = 8` 

 

b) Wierzchołkami trójkąta są punkty które powstały poprzez przesunięcie punktów A, B , C o 1 jednostkę w prawo oraz 1 jednostkę w dół, równolegle do osi.

 

Policzmy pola trójkątów BQC' oraz PBC'

 

`P_(BQC') =1/2 *|BC'| *h_Q =  1/2*2 * 3 = 3` 

`P_(PBC') = 1/2*|BC'|*h_P =  1/2*2*1/2 = 0,5` 

 

A więc pole części wspólnej trójkątów ABC , A'B'C' jest równe:

`P_(PQC') = P_(BQC') - P_(PBC') = 3 - 0,2 = 2,5` 

 

c) Wierzchołkami trójkąta są punkty które powstały poprzez przesunięcie punktów A, B , C o 2 jednostki w prawo oraz 1 jednostkę w dół, równolegle do osi.

`|BQ| = sqrt((3-6)^2+(-1-2)^2) = sqrt((-3)^2 +(-3)^2) = sqrt(9+9) = sqrt(9*2) = 3sqrt2` 

`|QC'| = sqrt((0-3)^2+(5-(-1))^2) = sqrt((-3)^2 +6^2) = sqrt(9+36) = sqrt45 = 3sqrt5` 

`|BC'| = sqrt((0-6)^2+(5-2)^2) = sqrt((-6)^2 +3^2) = sqrt(36+9) = sqrt45 = 3sqrt5` 

 

Zatem trójkąt jest równoramienny, a więc wysokość h opuszczona z wierzchołka C' na podstawę BQ jest równa:

`(1/2|BQ|)^2 + h^2 = |QC'|^2`  

`(1/2*3sqrt2)^2 + h^2 = (3sqrt5)^2` 

`18/4 + h^2 = 45` 

`9/2 + h^2 = 45`  

`h^2 = 40 1/2` 

`h^2 = 81/2` 

`h = 9/sqrt2*sqrt2/sqrt2 = (9sqrt2)/2` 

 

Pole części wspólnej jest równe:

`P_(BQC') = 1/2*|BQ|*h = 1/2 * 3sqrt2 * (9sqrt2)/2 = (27*2)/4 = 27/2 = 13,5` 

Ciąg (an) jest ciągiem kolejnych liczb ...

`"Zauważmy, że mamy do czynienia z ciągiem arytmetycznym. Policzmy sumę wyrazów tego ciagu począwszy od wyrazu o wartosci 1."`  

`a_1=1` 

`r=3` 

`a_n=a_1+r(n-1)=1+3n-3=3n-2` 

 

`a_n=97 implies 3n-2=97` 

`3n=99 implies n=33` 

 

`S_33=(1+97)/2*33=1617`   

`"Musimy odjąć wyrazy nie spełniające założeń zadania to znaczy wyrazy mniejsze lub równe od 10."`  

`1617-1-4-7-10=1617-22=1595`     

 

`"Poprawna jest odpowiedź A."` 

Zaznacz na płaszczyźnie punkty A, B i C spełniające

Wybranej grupie kobiet zadano pytanie...

Niech n oznacza liczbę ankietowanych kobiet.

 

`a) \ stackrel(-)(x)=(0,2n*25 + 0,25n*50 + 0,4n * 75 + 0,15n*100)/n = (5n + 12,5n + 30n + 15n)/n = (62,5n)/n = 62,5 \ ["zł"]` 

 

`sigma^2 = (0,2n*(25-62,5)^2 + 0,25n*(50-62,5)^2 + 0,4n*(75-62,5)^2 + 0,15n * (100-62,5)^2)/n =` 

`=0,2*1406,25  + 0,25*156,25 + 0,4*156,25 + 0,15*1406,25=281,25 +39,0625 + 62,5 + 210,9375 = 593,75` 

 

`sigma = sqrt(593,75) approx 24,37 \ ["zł"]` 

 

b) Bez straty ogólności możemy przyjąć, że wydatki o 10 zł zwiększyła część kobiet, które wydawały 25zł miesięcznie.

`stackrel(-)(y)=(0,1n*25 + 0,1n*35 + 0,25n*50 + 0,4n*75 + 0,15n*100)/n = (2,5n + 3,5n +12,5n + 30n + 15n)/n = (63,5n)/n = 63,5 \ ["zł"]` 

 

 

`stackrel(-)(y) - stackrel(-)(x)=63,5 - 62,5 = 1 \ ["zł"]` 

Średnia wzrośnie o 1 zł.

Oblicz objętość ostrosłupa prawidłowego...

a)

Zauważmy, że `x=2/3h=2/3*(asqrt3)/2=(asqrt3)/3=(3sqrt3)/3=sqrt3` 

`x^2+H^2=sqrt19^2` 

`sqrt3^2+H^2=19` 

`3+H^2=19 \ \ \ |-3` 

`H^2=16` 

`H=4` 

 

`V=1/3*P_p*H` 

`P_p=(a^2sqrt3)/4=(3^2sqrt3)/4=(9sqrt3)/4` 

`V=1/3*(9sqrt3)/4*4` 

`V=3sqrt3` 


b)

Zauważmy, że `x=(asqrt2)/2=(3sqrt2)/2` 

`x^2+H^2=((9sqrt2)/2)^2`  

`((3sqrt2)/2)^2+H^2=(81*2)/4` 

`(9*2)/4+H^2=162/4` 

`18/4+H^2=162/4 \ \ \ |-18/4` 

`H^2=144/4` 

`H^2=36` 

`H=6` 

 

`V=1/3*P_p*H` 

`V=1/3*3^2*6` 

`V=1/3*9*6` 

`V=18` 


c)

Zauważmy, że `x=3` 

`H^2+x^2=sqrt73^2` 

`H^2+3^2=73` 

`H^2+9=73 \ \ \ |-9` 

`H^2=64` 

`H=8` 

 

`V=1/3*P_p*H` 

`P_p=6*(a^2sqrt3)/4=6*(3^2sqrt3)/4=6*(9sqrt3)/4=(54sqrt3)/4` 

`V=1/3*(54sqrt3)/4*8` 

`V=(54*2sqrt3)/3` 

`V=36sqrt3` 

 

Różnica pola koła opisanego na ośmiokącie...

Rysunek pomocniczy:

Mamy dane:

`P_o-P_w=4pi` 

Stąd:

`piR^2-pir^2=4pi`  

`pi(R^2-r^2)=4pi\ "/":pi`  

`R^2-r^2=4`  

Zapisujemy twierdzenie Pitagorasa dla trójkąta `DeltaBOC` i wyznaczamy długość boku ośmiokąta.

`r^2+(1/2a)^2=R^2`  

`1/4a^2=R^2-r^2\ "/"*4` 

`a^2=4(R^2-r^2)` 

`a^2=4*4` 

`a^2=16` 

`a=4` 

Odp. Bok ośmiokąta ma długość `4.`