Logarytmy - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Logarytmy

Matura rozszerzona w zakresie logarytmów nie wymaga tak naprawdę więcej niż dwóch dodatkowych rzeczy w odniesieniu do matury podstawowej.

Pierwszą z nich jest wyłączenie przed logarytm wykładnika. Z poprzedniego tekstu o logarytmach, wiecie już, że $$log_{a} b^c = c×log_{a} b$$

Co jednak, jeśli mamy sytuację $$log_{(a^b)} c$$.
Okazuje się, że coś takiego jest równe po prostu $${1}/{b} log_{a} c$$.

Dlaczego?
Dowód jest całkiem prosty:

Najpierw korzystamy z własności, że $$log_{a} b = {1}/{ {log_{b} } a$$ i otrzymujemy $$log_{(a^b)} c = {1}/{log_{c} } (a^b)$$. Później wyłączamy wykładnik przed logarytm i znowu odwracamy ułamek, w efekcie otrzymując faktycznie $${1}/{b} log_{a} c$$.

Składając to z poprzednim wzorem w ogólności otrzymujemy:
$$log_{(a^b)} c^d = {d}/{b} log_{a} c$$

(Łatwo zapamiętać: górny wykładnik wchodzi na górę ułamka, dolny - na dół).

Przykłady:

$${log_{2} }^4 3^3 = 3/4 log_{2} 3$$
$$log_{8} 32 = {log_{2} }^3 2^5 = 5/3 log_{2} 2 = 5/3$$


Drugi nowy wzór jest nieco bardziej skomplikowany i służy do zamiany podstawy logarytmu. Możemy użyć go do zamiany niewygodnej dla nas podstawy na taką, którą łatwiej operować: w szczególnośi możemy na przykład zamienić każdy logarym na logarytm dziesiętny lub naturalny. Wygląda on tak:

$$log_{a} b = { log_{c} b} / {log_{c} a}$$

Jego dowód:
$$ log_{a} b = {log_{c} b}/{ log_{c} a}$$
$$log_{a} b ×log_{c} a= log_{c} b$$

Korzystamy ze wzoru na włączenie potęgi:

$$log_{c} a^{log_{a} b} = log_{c} b$$

Oczywiście $$a^{log_{a} b}$$ jest równe b - podnosimy a do tej potęgi, do jakiej należy podnieść a, żeby otrzymać b) i w efekcie dostajemy:

$$log_{c} b = log_{c} b$$

Czyli wzór rzeczywiście działa.

Widać z niego, że dowolne dwa logarytmy o ustalonych podstawach: na przykład $$log_{2} x$$ i $$log_{100} x$$ różnią się jedynie o pomnożenie przez stałą $${1}/{log_{2} 1000}$$.


Ćwiczenie 1. Uprość wyrażenie:

a) $$log_{2} 3^10$$

Wyłączamy po prostu przed logarytm wykładnik otrzymując $$10 log_{2} 3$$

b) $$log_{2^9} 4^9$$

Zamieniając $$4$$ na $$2^2$$ dostajemy:
$$log_{2^9} (2^2)^9 = log_{2^9} (2^9)^2$$, czyli tak naprawdę $$log_a a^2$$ - co z definicji jest równe $$2$$ (do jakiej potęgi należy podnieść $$a$$, aby otrzymać $$a^2$$?).

c) $$log_{5} 1000$$

Rozkładając $1000$ na czynniki pierwsze dostajemy:
$$log_{5} 1000 = log_{5} 5^3×2^3$$

Teraz możemy podzielić logarytm na dwie części zamieniając mnożenie na dodawanie:

$$log_{5} 5^3×2^3 = log_{5} 5^3 + log_{5} 2^3 = 3 + 3log_{5} 2$$.



Ćwiczenie 2. Zamień podstawę logarytmu $$log_{5} 3600$$ na 10 i uprość.
 

Tak jak w poprzednim zadaniu rozkładamy $$3600$$ na czynniki - tyle, że tym razem interesuje nas ilość 10 mieszczących się w argumencie.

$$log_{5} 3600 = log_{5} 10^2 × 2^2×3^2$$

Teraz możemy zamieniać podstawy logarytmu:

$$log_5 3600 = {log_10 3600}/{log_10 5} = {log_10 10^2 × 2^2×3^2}/{log_10 5} = {2(2log_10 2 + log_10 3 + log_10 5)}/{log_10 5} =$$
$$= 2 + {4log_10 2}/{log_10 5} + {2log_10 3}/{log_10 5}$$

Spis treści

Rozwiązane zadania
Sporządź tabelkę...

a) `f(x)=-2/x` 

`x`  `-2`  `-1`  `1`  `2` 
`f(x)`  `1`  `2`  `-2`  `-1` 

 

 

`D_f=(-oo,0)uu(0,+oo)` 

`ZW_f=(-oo,0)uu(0,+oo)` 

Funkcja nie ma miejsc zerowych.

Funkcja jest rosnąca w przedziałach.


b) `f(x)=-4/x` 

 `x`  `-2`  `-1`  `1`   `2` 
 `f(x)`   `2`  `4`   `-4`  `-2` 

 

 

`D_f=(-oo,0)uu(0,+oo)` 

`ZW_f=(-oo,0)uu(0,+oo)` 

Funkcja nie ma miejsc zerowych.

Funkcja jest rosnąca w przedziałach.


c) `f(x)=(-1/2)/x=-1/2*1/x=-1/(2x)` 

 `x`  `-2`   `-1`   `1`   `2` 
 `f(x)`   `1/4`   `1/2`   `-1/2`   `-1/4` 

 

 

`D_f=(-oo,0)uu(0,+oo)` 

`ZW_f=(-oo,0)uu(0,+oo)` 

Funkcja nie ma miejsc zerowych.

Funkcja jest rosnąca w przedziałach.


d) `f(x)=(-1/4)/x=-1/4*1/x=-1/(4x)` 

 `x`  `-2`   `-1`  `1`  `2` 
 `f(x)`  `1/8`   `1/4`   `-1/4`   `-1/8`  

 

 

`D_f=(-oo,0)uu(0,+oo)` 

`ZW_f=(-oo,0)uu(0,+oo)` 

Funkcja nie ma miejsc zerowych.

Funkcja jest rosnąca w przedziałach.

Wyznacz x...

Korzystamy z zależności:  `a_k^2=a_(k-1)*a_(k+1)` 

 

`(5x+10)^2=(x-2)*(x-50)` 

`25x^2+100x+100=x^2-50x-2x+100 \ \ \ |-100` 

`25x^2+100x=x^2-52x \ \ \ |-x^2+52x` 

`24x^2+152x=0 \ \ \ |:8` 

`3x^2+19x=0` 

`x(3x+19)=0` 

 

`x=0 \ \ \ "lub" \ \ \ 3x+19=0` 

`x=0 \ \ \ "lub" \ \ \ x=-19/3` 

Uzupełnij tabele

Oblicz.

`"a)"\ log_(1/2)1/2+log_(1/2)2=1+log_(1/2)(1/2)^(-1)=1+(-1)=0` 

 

`"b")"\ log_(1/3)9+log_(1/3)27=log_(1/3)3^2+log_(1/3)3^3=log_(1/3)((1/3)^-1)^2+log_(1/3)((1/3)^-1)^3=` 

`\ \ \ =log_(1/3)(1/3)^-2+log_(1/3)(1/3)^-3=-2+(-3)=-5` 

 

`"c)"\ log_(1/2)1/4-log_(2)sqrt2=log_(1/2)(1/2)^2-log_(2)2^(1/2)=2-1/2=1 1/2` 

 

`"d)"\ log_(3)sqrt3-log_(1/3)root(3)3=log_(3)3^(1/2)-log_(1/3)3^(1/3)=1/2-log_(1/3)((1/3)^-1)^(1/3)=1/2-log_(1/3)(1/3)^(-1/3)=1/2-(-1/3)=5/6` 

 

`"e)"\ log_(4)2+log_(1/4)1/8=log_(4)sqrt4+log_(1/4)(1/2)^3=log_(4)4^(1/2)+log_(1/4)(1/sqrt4)^3=1/2+log_(1/4)(1/(4^(1/2)))^3=`    

`\ \ \ =1/2+log_(1/4)(1/4)^3/2=1/2+3/2=4/2=2` 

 

`"f)"\ log_(6)6sqrt6-log_(1/6)36=log_(6)6^(1+1/2)-log_(1/6)(6^2)=log_(6)6^(3/2)-log_(1/6)((1/6)^-1)^2=` 

`\ \ \ =3/2-log_(1/6)(1/6)^-2=3/2-(-2)=3/2+2=3 1/2`

Mamy 3 kule białe

Mamy 9 kul - 3 białę, 3 czarne i 3 zielone. Każdą z 9 kul możemy umieścić w jednym z 3 pudełek. Dla pierwszej kul mamy więc 3 możliwości umieszczenia, podobnie dla drugiej, trzeciej i każdej następnej. 

`overline(overline(Omega))=3*3*3*3*3*3*3*3*3=3^9` 

 

`A\ \ -\ \ "w każdym pudełku będzie kula każdego koloru"` 

 

Wybieramy 1 z 3 białych kul i wkładamy do pierwszego pudełka - 3 możliwości. 

Wybieramy 1 z 3 czarnych kul i wkładamy do pierwszego pudełka - 3 możliwości. 

Wybieramy 1 z 3 zielonych kul i wkładamy do pierwszego pudełka - 3 możlwości. 

Wybieramy 1 z 2 pozostałych białych kul i wkładamy do drugiego pudełka - 2 możliwości. 

Wybieramy 1 z 2 pozostałych czarnych kul i wkładamy do drugiego pudełka - 2 możliwości. 

Wybieramy 1 z 2 pozostałych zielonych kul i wkładamy do drugiego pudełka - 2 możliwości. 

Ostatnią białą kulę wkładamy do trzeciego pudełka - 1 możliwość. 

Ostatnią czarną kulę wkładamy do trzeciego pudełka - 1 możliwość. 

Ostatnią zieloną kulę wkładamy do trzeciego pudełka - 1 możliwość. 

`overline(overline(A))=3*3*3*2*2*2*1*1*1=27*8` 

 

Obliczamy szukane prawdopodobieństwo:

`P(A)=(27*8)/(3^9)=(27*8)/(3^3*3^6)=(strike27^1*8)/(strike27^1*729)=8/729` 

 

 

 

Trapez ABCD o kątach ostrych...

Zauważmy, że trójkąt `ADE` to trójkąt charakterystyczny o kątach `30^o, 60^o, 90^o` 

`|DE|=a=2*r=2sqrt3` 

`|AE|=asqrt3=2sqrt3*sqrt3=2*3=6` 

`|AD|=2a=2*2sqrt3=4sqrt3` 

 

Zauważmy, że trójkąt `BCF` to trójkąt charakterystyczny o kątach `30^o, 60^o, 90^o` 

`|FC|=bsqrt3=2*r=2sqrt3` 

`|FB|=b=2` 

`|BC|=2b=2*2=4` 

 

`a+c=b+d` 

`a+c=|AD|+|BC|` 

`a+c=4sqrt3+4` 

 

`P_(ABCD)=((4sqrt3+4)*2sqrt3)/2=(4sqrt3+4)*sqrt3=12+4sqrt3` 

`"Obw"=a+b+c+d=2*(4sqrt3+4)=8sqrt3+8` 

 

Zaznacz na osi liczbowej zbiór ...

`"a)"\ {(1-5x^2>=0),(x^2-x<=0):}`

Rozwiązujemy pierwszą nierówność:

`1-5x^2>=0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \|+5x^2`   

`5x^2<=1 \ \ \ |:5`

`x^2 <= 1/5`  

`x leq sqrt((1*5)/(5*5))` 

`x leq sqrt5/sqrt25`

 

`x leq sqrt5/5`  

Łatwo zauważyć, że nierówność ta jest spełniona dla:

` ul(ul(x in<<-sqrt5/5,sqrt5/5>>))`   

 

Rozwiązujemy drugą nierówność:

`x^2-x<=0`   

Wyznaczamy rozwiązania równania:

`x^2-x=0`  

`x(x-1)=0` 

`x=0\ \ \ "lub"\ \ \ x=1` 

 

Szkicujemy parabolę:

Zbiór rozwiązań drugiej nierówności to:

`ul(ul(x in<<0,1>>))`  

 

Zaznaczamy na osi liczbowej oba zbiory i wyznaczamy ich część wspólną.

 

Zbiór rozwiązań nierówności to:

`x in<<0,sqrt5/5>>`   

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))`  

`"b)"\ {(x^2-4x+3>0),(-x^2+4x+5>=0):}`   

Rozwiązujemy pierwszą nierówność:

`x^2-4x+3>0` 

Szukamy rozwiązań równania:

`x^2-4x+3=0` 

`Delta=(-4)^2-4*1*3=16-12=4` 

`sqrtDelta=sqrt4=2` 

`x_1=(4-2)/2=2/2=1` 

`x_2=(4+2)/2=6/2=3` 

Szkicujemy parabolę:

Zbiór rozwiązań nierówności pierwszej to:

`ul(ul(x in(-oo,1)cup(3,+oo)))` 

 

Rozwiązujemy drugą nierówność:

`-x^2+4x+5>=0` 

Szukamy rozwiązań równania:

`-x^2+4x+5=0` 

`Delta=4^2-4*(-1)*5=16+20=36` 

`sqrtDelta=sqrt36=6` 

`x_1=(-4-6)/(-2)=(-10)/-2=5` 

`x_2=(-4+6)/-2=2/-2=-1` 

 

Szkicujemy parabolę:

Zbiór rozwiązań drugiej nierówności to:

`ul(ul(x in<<-1,5>>))`   

 

Zaznaczamy na osi liczbowej oba zbiory i wyznaczamy ich część wspólną.

Zbiór rozwiązań nierówności to:

`x in<<-1,1)cup(3,5>>`  

Oblicz długość krawędzi sześcianu o objętości V

`a)\ a=root(3)1=1`

`b)\ a=root(3)(64)=4`

`c)\ a=root(3)216=6`

`d)\ a=root(3)8000=20`

Podpisz zbiory punktów

`a)`

 

 

`b)`

 

  

 

Wyznacz równanie prostej równoległej ...

`a)` 

`2x+y-3=0` 

`y=-2x+3` 

`k: \ y=ax+b - "szukana prosta"` 

`k: \ y=-2x+b` 

`P=(-1;4)` 

`4=-2*(-1)+b\ implies\ b=2` 

`ul(k:\ y=-2x+2` 

 

`b)` 

`2x+6y-5=0` 

`y=(-2x+5)/6=-1/3x+5/6` 

`k: \ y=ax+b - "szukana prosta"` 

`k: \ y=-1/3x+b`  

`P=(-1;4)` 

`4=-1/3*(-1)+b\ implies \ b=3 2/3` 

`ul(k:\ y=-1/3x+4 1/3` 

 

`c)` 

`2/3x-4/3y+2=0` 

`y=2/3*(3/4)x+2*3/4` 

`y=1/2x+3/2` 

`k: \ y=ax+b - "szukana prosta"` 

`k: \ y=1/2x+b`   

`P=(-1;4)` 

`4= 1/2*(-1)+b\ implies \ b=4 1/2` 

`ul(k:\ y=1/2x+4 1/2` 

 

`d)` 

`x+2/5y=0` 

`y=-5/2x` 

`k: \ y=ax+b - "szukana prosta"` 

`k: \ y=-5/2x+b`    

`P=(-1;4)`

`4=-5/2*(-1)+b\ implies\ b=4-5/2=1 1/2` 

`ul(k:\ y=-5/2x+ 1 1/2`