Logarytmy - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Logarytmy - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Logarytmy

Matura rozszerzona w zakresie logarytmów nie wymaga tak naprawdę więcej niż dwóch dodatkowych rzeczy w odniesieniu do matury podstawowej.

Pierwszą z nich jest wyłączenie przed logarytm wykładnika. Z poprzedniego tekstu o logarytmach, wiecie już, że $log_{a} b^c = c×log_{a} b$

Co jednak, jeśli mamy sytuację $log_{(a^b)} c$.
Okazuje się, że coś takiego jest równe po prostu ${1}/{b} log_{a} c$.

Dlaczego?
Dowód jest całkiem prosty:

Najpierw korzystamy z własności, że $log_{a} b = {1}/{ {log_{b} } a$ i otrzymujemy $log_{(a^b)} c = {1}/{log_{c} } (a^b)$. Później wyłączamy wykładnik przed logarytm i znowu odwracamy ułamek, w efekcie otrzymując faktycznie ${1}/{b} log_{a} c$.

Składając to z poprzednim wzorem w ogólności otrzymujemy:
$log_{(a^b)} c^d = {d}/{b} log_{a} c$

(Łatwo zapamiętać: górny wykładnik wchodzi na górę ułamka, dolny - na dół).

Przykłady:

${log_{2} }^4 3^3 = 3/4 log_{2} 3$
$log_{8} 32 = {log_{2} }^3 2^5 = 5/3 log_{2} 2 = 5/3$


Drugi nowy wzór jest nieco bardziej skomplikowany i służy do zamiany podstawy logarytmu. Możemy użyć go do zamiany niewygodnej dla nas podstawy na taką, którą łatwiej operować: w szczególnośi możemy na przykład zamienić każdy logarym na logarytm dziesiętny lub naturalny. Wygląda on tak:

$log_{a} b = { log_{c} b} / {log_{c} a}$

Jego dowód:
$log_{a} b = {log_{c} b}/{ log_{c} a}$
$log_{a} b ×log_{c} a= log_{c} b$

Korzystamy ze wzoru na włączenie potęgi:

$log_{c} a^{log_{a} b} = log_{c} b$

Oczywiście $a^{log_{a} b}$ jest równe b - podnosimy a do tej potęgi, do jakiej należy podnieść a, żeby otrzymać b) i w efekcie dostajemy:

$log_{c} b = log_{c} b$

Czyli wzór rzeczywiście działa.

Widać z niego, że dowolne dwa logarytmy o ustalonych podstawach: na przykład $log_{2} x$ i $log_{100} x$ różnią się jedynie o pomnożenie przez stałą ${1}/{log_{2} 1000}$.


Ćwiczenie 1. Uprość wyrażenie:

a) $log_{2} 3^10$

Wyłączamy po prostu przed logarytm wykładnik otrzymując $10 log_{2} 3$

b) $log_{2^9} 4^9$

Zamieniając $4$ na $2^2$ dostajemy:
$log_{2^9} (2^2)^9 = log_{2^9} (2^9)^2$, czyli tak naprawdę $log_a a^2$ - co z definicji jest równe $2$ (do jakiej potęgi należy podnieść $a$, aby otrzymać $a^2$?).

c) $log_{5} 1000$

Rozkładając $1000$ na czynniki pierwsze dostajemy:
$log_{5} 1000 = log_{5} 5^3×2^3$

Teraz możemy podzielić logarytm na dwie części zamieniając mnożenie na dodawanie:

$log_{5} 5^3×2^3 = log_{5} 5^3 + log_{5} 2^3 = 3 + 3log_{5} 2$.



Ćwiczenie 2. Zamień podstawę logarytmu $log_{5} 3600$ na 10 i uprość.
 

Tak jak w poprzednim zadaniu rozkładamy $3600$ na czynniki - tyle, że tym razem interesuje nas ilość 10 mieszczących się w argumencie.

$log_{5} 3600 = log_{5} 10^2 × 2^2×3^2$

Teraz możemy zamieniać podstawy logarytmu:

$log_5 3600 = {log_10 3600}/{log_10 5} = {log_10 10^2 × 2^2×3^2}/{log_10 5} = {2(2log_10 2 + log_10 3 + log_10 5)}/{log_10 5} =$
$= 2 + {4log_10 2}/{log_10 5} + {2log_10 3}/{log_10 5}$

Spis treści

Rozwiązane zadania
Oblicz sumę miar kątów wewnętrznych.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

   

 

 

Oblicz wartość wyrażenia...

Jeśli tg ...

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  

 

        

Dane są trzy parami przecinające się...

Pierwszy przypadek, czyli okrąg O1 przecina okręgi{premium} O2 i O3 w punktach A i B:

{premium}

Zauważmy, że punkty A i B dzielą okrąg O1 na dwa łuki, analogicznie okrąg O2 i okrąg O3. Tych łuków jest zatem:

 

 

Drugi przypadek jest taki, że okrąg O1 przecina okrąg O2 w punktach A i B oraz okrąg O3 w punktach A i C.

Każde dwa punkty wyznaczają na jednym okręgu dwa łuki. Na okręgu O1 mamy trzy pary punktów:

 

 

 

A więc łuków na okręgu O1 jest 6. Na okręgach O2 i O3 mamy po jednej parze punktów zatem łuków jest:

 

Wszystkich łuków jest:

 

Trzeci przypadek jest taki, że okręgi O1 i O2 mają dwa punkty wspólne A i C, natomiast okręgu O1 i O3 mają dwa punkty wspólne B i D. 

 

 

Na okręgu O1 mamy cztery punkty A, B, C i D. Takich par jest:

 

 

 

 

 

 

Każda para wyznacza dwa łuki, zatem:

 

 

Na okręgu O2 mamy dwa punkty A i C. Zatem te dwa punkty dzielą okrąg na 2 łuki. Analogicznie punkty B i D dzielą okrąg O3 na dwa łuki. W sumie tych łuków mamy:

 

Wyprowadź podane obok wzory ...

 

 

 

  

 

 

 

  

 

 

 

Dla jakich wartości parametru a

Liczba 5 ma być dwukrotnym pierwiastkiem wielomianu w. Z powyższej postaci widać, że liczba 5 jest już jednokrotnym pierwiastkiem wielomianu w. Aby była dwukrotnym pierwiastkiem wielomianu w, musi być jednokrotnym pierwiastkiem wielomianu u: 

 

Musimy jeszcze sprawdzić, czy dla a=6 liczba 5 jest rzeczywiście tylko jednokrotnym pierwiastkiem wielomianu u: 

 

Liczba 5 jest jednokrotnym pierwiastkiem wielomianu w, jest więc dwukrotnym pierwiastkiem wielomianu w. Możemy zapisać odpowiedź:

 

 

 

 

 

Liczba 3 ma być dwukrotnym pierwiastkiem wielomianu w. Z powyższej postaci widać, że liczba 3 jest już jednokrotnym pierwiastkiem wielomianu w. Aby była dwukrotnym pierwiastkiem wielomianu w, musi być jednokrotnym pierwiastkiem wielomianu u: 

 

Otrzymaliśmy dwie wartości a. Musimy sprawdzić, czy dla tych wartości liczba 3 jest rzeczywiście jednokrotnym pierwiastkiem wielomianu u:

W tym przypadku liczba a jest jednokrotnym pierwiastkiem wielomianu u.

 

W tym przypadku liczba a jest jednokrotnym pierwiastkiem wielomianu u.

 

W obu przypadkach liczba 3 jest jednokrotnym pierwiastkiem wielomianu w, jest więc dwukrotnym pierwiastkiem wielomianu w. Możemy zapisać odpowiedź:

 

 

 

 

Jeśli liczba -½ ma być dwukrotnym pierwiastkiem wielomianu w, to wielomian w musi być iloczynem wyrażenia (x+½)² oraz pewnego innego wyrażenia. To drugie wyrażenie musi być stopnia drugiego (ponieważ wielomian w jest stopnia 4, a wielomian (x+½)²  jest stopnia 2, a 4-2=2). Możemy więc zapisać:

Wykonajmy działania i uporządkujmy powyższy wielomian ze względu na x:

 

Z drugiej strony z treści zadania wiemy, że wielomian w jest postaci:

 

Dwa wielomiany są równe, jeśli mają jednakowe współczynniki stojące przy tych samych potęgach, więc możemy zapisać:

Jedyną liczbą, która spełnia oba podkreślone warunki, jest a=2.

Parametry są więc liczbami:

Wtedy wielomian w(x) jest postaci:

Z równości oznaczonej gwiazdką możemy jednak zapisać ten wielomian w postaci iloczynowej i sprawdzić, że dla obliczonych wartości parametrów liczba -½ jest rzeczywiście tylko dwukrotnym pierwiastkiem wielomianu w:

Dla czynnika kwadratowego otrzymaliśmy inne niż -½ pierwiastki, więc możemy zapisać rozwiązanie:

 

 

 

 

Jeśli liczba -1 ma być trzykrotnym pierwiastkiem wielomianu w, to wielomian w musi być iloczynem wyrażenia (x+1)³ oraz pewnego innego wyrażenia. To drugie wyrażenie musi być stopnia pierwszego (ponieważ wielomian w jest stopnia 4, a wielomian (x+1)³  jest stopnia 3, a 4-3=1). Możemy więc zapisać:

Wykonajmy działania (korzystając przy tym ze wzoru skróconego mnożenia na sześcian sumy) i uporządkujmy powyższy wielomian ze względu na x:

 

Z drugiej strony z treści zadania wiemy, że wielomian w jest postaci:

Dwa wielomiany są równe, jeśli mają jednakowe współczynniki stojące przy tych samych potęgach, więc możemy zapisać:

Jedyną liczbą, która spełnia oba podkreślone warunki, jest a=2.

Parametry są więc liczbami:

Wtedy wielomian w(x) jest postaci:

Z równości oznaczonej gwiazdką możemy jednak zapisać ten wielomian w postaci iloczynowej i sprawdzić, że dla obliczonych wartości parametrów liczba -1 jest rzeczywiście tylko trzykrotnym pierwiastkiem wielomianu w:

Czwarty pierwistek wielomianu w to 2, więc liczba -1 jest trzykrotnym pierwiastkiem tego wielomianu. Możemy więc zapisać odpowiedź:

 

 

 

Po przeprowadzeniu testu stwierdzono

 Jeśli wypadła liczba nieparzysta, to wypadło 1, 3 lub 5. 

 

 

Aby obliczyć prawdopodobieństwo warunkowe P(A|B) musimy podzielić prawdopodobieństwo iloczynu zdarzeń A i B (wypadła nieparzysta liczba oczek i nie wypadło 6 oczek, czyli wypadła nieparzysta ilość oczek - to prawdopodobieństwo liczyliśmy już wcześniej) przez prawdopodobieństwo zdarzenia B (nie wypadło 6 oczek, czyli wypadło 1, 2, 3, 4 lub 5 oczek)

 

 

 

Aby obliczyć prawdopodobieństwo warunkowe P(A|C) musimy podzielić prawdopodobieństwo iloczynu zdarzeń A i C (wypadła nieparzysta liczba oczek i wypadły co najmniej 4 oczka, czyli wypadło 5 oczek) przez prawdopodobieństwo zdarzenia C (wypadły co najmniej 4 oczka, czyli wypadło 4, 5 lub 6 oczek)

 

 

 

 

Aby obliczyć prawdopodobieństwo warunkowe P(C|A') musimy podzielić prawdopodobieństwo iloczynu zdarzeń C i A' (wypadły co najmniej 4 oczka i wypadła liczba parzysta, czyli wypadło 4 lub 6 oczek) przez prawdopodobieństwo zdarzenia A' (wypadła liczba parzysta, czyli wypadło 2, 4 lub 6 oczek)

 

Ćwiczenie 5

 

 

 

 

 

 

 

Wyznacz wartości a i b, jeśli wiesz, że punkt...

 

 

Porównajmy współrzędne:

 

 

 

 

 

 

 

 

Porównajmy współrzędne:

 

 

 

 

 

 

 

 

Porównajmy współrzędne:

 

 

 

 

Równanie...

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Odp. D