Zgoda na przetwarzanie danych osobowych

25 maja 2018 roku zacznie obowiązywać Rozporządzenie Parlamentu Europejskiego i Rady (UE) 2016/679 z dnia 27 kwietnia 2016 r. znane jako RODO.

Dlatego aby dalej móc dostarczać Ci materiały odpowiednie do Twojego etapu edukacji, potrzebujemy zgody na lepsze dopasowanie treści do Twojego zachowania. Dzięki temu możemy zapamiętywać jakie materiały są Ci potrzebne. Dbamy o Twoją prywatność, więc nie zwiększamy zakresu naszych uprawnień. Twoje dane są u nas bezpieczne, a zgodę na ich zbieranie możesz wycofać na podstronie polityka prywatności.

Klikając "Przejdź do Odrabiamy", zgadzasz się na wskazane powyżej działania. W przeciwnym wypadku, nie jesteśmy w stanie zrealizować usługi kompleksowo i prosimy o opuszczenie strony.

Polityka prywatności

Drogi Użytkowniku w każdej chwili masz prawo cofnąć zgodę na przetwarzanie Twoich danych osobowych. Cofnięcie zgody nie będzie wpływać na zgodność z prawem przetwarzania, którego dokonano na podstawie wyrażonej przez Ciebie zgody przed jej wycofaniem. Po cofnięciu zgody wszystkie twoje dane zostaną usunięte z serwisu. Udzielenie zgody możesz modyfikować w zakładce 'Informacja o danych osobowych'

Logarytmy - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Logarytmy

Matura rozszerzona w zakresie logarytmów nie wymaga tak naprawdę więcej niż dwóch dodatkowych rzeczy w odniesieniu do matury podstawowej.

Pierwszą z nich jest wyłączenie przed logarytm wykładnika. Z poprzedniego tekstu o logarytmach, wiecie już, że $$log_{a} b^c = c×log_{a} b$$

Co jednak, jeśli mamy sytuację $$log_{(a^b)} c$$.
Okazuje się, że coś takiego jest równe po prostu $${1}/{b} log_{a} c$$.

Dlaczego?
Dowód jest całkiem prosty:

Najpierw korzystamy z własności, że $$log_{a} b = {1}/{ {log_{b} } a$$ i otrzymujemy $$log_{(a^b)} c = {1}/{log_{c} } (a^b)$$. Później wyłączamy wykładnik przed logarytm i znowu odwracamy ułamek, w efekcie otrzymując faktycznie $${1}/{b} log_{a} c$$.

Składając to z poprzednim wzorem w ogólności otrzymujemy:
$$log_{(a^b)} c^d = {d}/{b} log_{a} c$$

(Łatwo zapamiętać: górny wykładnik wchodzi na górę ułamka, dolny - na dół).

Przykłady:

$${log_{2} }^4 3^3 = 3/4 log_{2} 3$$
$$log_{8} 32 = {log_{2} }^3 2^5 = 5/3 log_{2} 2 = 5/3$$


Drugi nowy wzór jest nieco bardziej skomplikowany i służy do zamiany podstawy logarytmu. Możemy użyć go do zamiany niewygodnej dla nas podstawy na taką, którą łatwiej operować: w szczególnośi możemy na przykład zamienić każdy logarym na logarytm dziesiętny lub naturalny. Wygląda on tak:

$$log_{a} b = { log_{c} b} / {log_{c} a}$$

Jego dowód:
$$log_{a} b = {log_{c} b}/{ log_{c} a}$$
$$log_{a} b ×log_{c} a= log_{c} b$$

Korzystamy ze wzoru na włączenie potęgi:

$$log_{c} a^{log_{a} b} = log_{c} b$$

Oczywiście $$a^{log_{a} b}$$ jest równe b - podnosimy a do tej potęgi, do jakiej należy podnieść a, żeby otrzymać b) i w efekcie dostajemy:

$$log_{c} b = log_{c} b$$

Czyli wzór rzeczywiście działa.

Widać z niego, że dowolne dwa logarytmy o ustalonych podstawach: na przykład $$log_{2} x$$ i $$log_{100} x$$ różnią się jedynie o pomnożenie przez stałą $${1}/{log_{2} 1000}$$.


Ćwiczenie 1. Uprość wyrażenie:

a) $$log_{2} 3^10$$

Wyłączamy po prostu przed logarytm wykładnik otrzymując $$10 log_{2} 3$$

b) $$log_{2^9} 4^9$$

Zamieniając $$4$$ na $$2^2$$ dostajemy:
$$log_{2^9} (2^2)^9 = log_{2^9} (2^9)^2$$, czyli tak naprawdę $$log_a a^2$$ - co z definicji jest równe $$2$$ (do jakiej potęgi należy podnieść $$a$$, aby otrzymać $$a^2$$?).

c) $$log_{5} 1000$$

Rozkładając $1000$ na czynniki pierwsze dostajemy:
$$log_{5} 1000 = log_{5} 5^3×2^3$$

Teraz możemy podzielić logarytm na dwie części zamieniając mnożenie na dodawanie:

$$log_{5} 5^3×2^3 = log_{5} 5^3 + log_{5} 2^3 = 3 + 3log_{5} 2$$.



Ćwiczenie 2. Zamień podstawę logarytmu $$log_{5} 3600$$ na 10 i uprość.
 

Tak jak w poprzednim zadaniu rozkładamy $$3600$$ na czynniki - tyle, że tym razem interesuje nas ilość 10 mieszczących się w argumencie.

$$log_{5} 3600 = log_{5} 10^2 × 2^2×3^2$$

Teraz możemy zamieniać podstawy logarytmu:

$$log_5 3600 = {log_10 3600}/{log_10 5} = {log_10 10^2 × 2^2×3^2}/{log_10 5} = {2(2log_10 2 + log_10 3 + log_10 5)}/{log_10 5} =$$
$$= 2 + {4log_10 2}/{log_10 5} + {2log_10 3}/{log_10 5}$$

Spis treści

Rozwiązane zadania
W trapezie ABCD o podstawach AB i CD...

Rysunek poglądowy:

Trójkąt ADE jest trójkątem prostokątnym o kątach ostrych mających miary 30o, 60o. Wiemy, że przeciwprostokątna jest dwa razy większa od boku leżącego naprzeciwko kąta o mierze 30o. A więc:

`|AE|=2` 

 

Wtedy bok DE ma miarę długości:

`|DE| = |AE|*sqrt3 = 2sqrt3` 

 

Pole trapezu ABCD:

`P = (|AB|+|CD|)/2*|DE| = 26/2*2sqrt3 = 13*2sqrt3 = 26sqrt3` 

 

Trapezy A'B'C'D' i ABCD są podobne, stosunek pól tych trapezów jest równy kwadratowi skali podobieństwa:

`(P_("A'B'C'D'"))/(P_("ABCD")) = (650 sqrt3)/(26sqrt3) = 650/26 = 25` 

`k^2 = 25` 

`k = 5` 

 

A więc obwód trapezu A'B'C'D' jest pięc razy większy od obwodu trapezu ABCD. Poprowadźmy wysokość z wierzchołka C która dzieli następująco podstawę:

 

A więc z twierdzenia Pitagorasa:

`|BF|^2 +h^2 = |BC|^2` 

`4^2 + (2sqrt3)^2 = |BC|^2` 

`|BC|^2 = 16 + 12` 

`|BC|^2 = 28` 

`|BC| = sqrt28 = sqrt4*sqrt7 = 2sqrt7` 

 

A więc obwód trapezu ABCD wynosi:

`O_("ABCD") = |AB|+|BC|+|CD|+|DA| = 16 + 2sqrt7 + 10 + 4 = 30 + 2sqrt7`  

 

Obwód trapezu A'B'C'D' jest pięć razy większy:

`O_("A'B'C'D'") = 5*O_("ABCD") = 5*(30+2sqrt7) = 150 + 10 sqrt7` 

 

Suma obwodów:

`S = O_("ABCD")+O_("A'B'C'D'") = 30 + 2sqrt7 + 150 + 10 sqrt7 = 180 + 12 sqrt7` 

Oblicz wyrazy ...

`a_1=(1*2*3)/3=2` 

`a_2=(2*3*4)/3=8` 

`a_3=(3*4*5)/3=20` 

`a_8=(8*9*10)/3=8*3*10=30*8=240` 

 

 

`"Każdy wyraz tego ciągu będzie liczbą naturalną, ponieważ licznik jest sumą trzech kolejnych liczb naturalnych dla dowolnego n."` 

`"Zauważmy, że co najmniej jedna liczba z trzech kolejnych liczb naturalnych jest podzielna przez 3. Zawsze możemy skrócić "` 

`"mianownik z jedną z liczb w liczniku podzielną przez 3. Zostaję wtedy iloczyn liczb naturalnych, który jak wiemy jest liczba naturalną."`     

W kwadrat ABCD o boku 2 wpisano ...

Wykonajmy rysunki pomocnicze:

 

1. Punkty `K` i  `L`  leżą na bokach `BC` i  `CD` 

+ przypadek, kiedy pokrywają się z punktami `B` i  `D`.  

 

2. Punkty `K` i  `L`  leżą na bokach `AB` i  `AD`    

 

 

Pole trójkąta obliczamy ze wzoru: 

 

W trójkącie prostokątnym równoramiennym o przyprostokątnych długości  `a`,

przeciwprostokątna ma długość  `a sqrt(2)`.  

Stosując twierdzenie Pitagorasa otrzymujemy:

`\sqrt(a^2+2^2)=sqrt(2a^2)=sqrt(2*a^2)=sqrt(2)*sqrt(a^2)=sqrt(2)*a=a sqrt(2)` 

 

Wykorzystujemy powyższe informacje dla trójkąta `ABC`  i obliczamy długość przekątnej  `AC` 

`a = 2`

`a sqrt(2)=2 sqrt(2)` 

Przekątna `AC` ma długość `2 sqrt(2)` .

 

 

Przypadek 1.  

Dla  `h in << \sqrt(2), \ 2 sqrt(2))` .

Do obliczenia pola trójkąta `AKL` o wysokości  `|PA|=h`  potrzebna nam będzie długość jego podstawy `LK`.

 

Wiemy, że trójkąt {premium} `AKL`  jest równoramienny i jego wysokość `h` zawarta jest w przekątnej `AC`.

Trójkąt  `LPC` jest przystający (taki sam)  do trójkąta `KPC`.

Trójkąty te są równoramienne i prostokątne (ich kąty mają miary   `45^o`,  `90^o`,  `45^o`,

bo każdy kąt w kwadracie ma  `90^o`, przekątna   `AC` dzieli kąt  `BCD` na dwa kąty,  które mają po  `45^o`,

a odcinek  `LK` jest prostopadły do przekątnej  `AC`, dlatego kąty  `LPC` i  `KPC` są proste).

 `|LP|=|CP|=|KP|` 

 

Wiemy już, że długość połowy podstawy trójkąta `AKL` jest równa długości odcinka  `PC` 

 `|LP|=|PC|=|AC|-|PA|=|AC|-h=2 sqrt(2)-h`   

Długość całej podstawy trójkąta `AKL`wynosi

`|LK|=2(2 sqrt(2)-h)` 

 

Pole trójkąta `AKL` jako funkcja wysokości `h` 

`P(h)=1/strike2 *strike2(2 sqrt(2)-h)*h=2 sqrt(2) *h - h*h=-h^2+2 sqrt(2)h` 

`P(h)=-h^2+2 sqrt(2)h` 

 

Aby narysować wykres funkcji Obliczmy wartości dla kilku argumentów:

`P(-1)=-(-1)^2+2 sqrt(2)*(-1)=-1-2sqrt(2)~~-1-2*1,41=-1-2,82=-3,82` 

`P(0)=-0^2+2 sqrt(2)*0=0` 

`P(1)=-1^2+2 sqrt(2)*1=-1+2sqrt(2)~~-1+2*1,41=-1+2,82=-1,82` 

`P(2)=-2^2+2 sqrt(2)*2=-4+4sqrt(2)~~-4+4*1,41=-4+5,64=1,64`

`P(3)=-3^2+2 sqrt(2)*3=-9+6sqrt(2)~~-9+6*1,41=-9+8,46=-0,54`

Ramiona paraboli skierowane są do dołu, ponieważ współczynnik przy najwyższej potędze jest ujemny.

 

 

Największą wartość funkcja będzie miała w wierzchołku.

 

Przypomnijmy, że wierzchołek paraboli o równaniu `y=ax^2+bx+c`,  `a!=0`, ma współrzędne:

`p=(-b)/(2a) `,    `q=(-Delta)/(4a)`,  gdzie  `Delta=b^2-4ac`. 

 

Do wskazania argumentu, dla którego funkcja będzie miała największe pole, wystarczy policzyć pierwszą współrzędną wierzchołka. 

`P(h)=-h^2+2 sqrt(2)h` 

Współczynniki: `a=-1`,  `b=2 sqrt(2)`,  `c=0`   

`p=(- 2 sqrt(2))/(2*(-1))=(-2sqrt(2))/(-2)=sqrt(2)~~1,41`   

 

Największe pole dla `h=sqrt(2)`.

Jest tak w przypadku, gdy punkty `K` i  `L`  pokrywają się z punktami `B` `D`   

 

 

Przypadek 2.  

Dla `h in (0, \ sqrt(2))` 

Do obliczenia pola trójkąta `AKL` o wysokości  `|PA|=h`  potrzebna nam będzie długość jego podstawy `LK`.

 

Wiemy, że trójkąt {premium} `AKL`  jest równoramienny i jego wysokość `h` zawarta jest w przekątnej `AC`.

Trójkąt  `LPA` jest przystający (taki sam)  do trójkąta `KPA`.

Trójkąty te są równoramienne i prostokątne (ich kąty mają miary   `45^o`,  `90^o`,  `45^o`,

bo każdy kąt w kwadracie ma  `90^o`, przekątna   `AC` dzieli kąt  `BAD` na dwa kąty,  które mają po  `45^o`,

a odcinek  `LK` jest prostopadły do przekątnej  `AC`, dlatego kąty  `LPA` i  `KPA` są proste).

 `|LP|=|AP|=|KP|` 

Wiemy też, że  odcinek `AP` jest wysokością trójkąta, czyli

`|LP|=h=|PK|`

Zatem `|LK|=2h`  

 

Pole trójkąta `AKL` jako funkcja wysokości `h` 

`P(h)=1/(strike2) *strike2 h *h=h^2`  

 `P(h)=h^2 ` 

 

Aby narysować wykres funkcji Obliczmy wartości dla kilku argumentów:

`P(-2)=(-2)^2=4` 

`P(-1)=(-1)^2=1` 

`P(0)=0^2=0` 

`P(1)=1^1=1` 

`P(2)=2^2=4` 

 

Funkcja nie przyjmuje wartości największej, ponieważ jej ramiona są skierowane do góry.

Podaj nierówność

`b)\ |x|>2`

(zaznaczono liczby oddalone od zera o więcej niż dwie jednostki)

`c)\ |x|<=2`

(zaznaczono liczby oddalone od zera o nie więcej niż dwie jednostki)

`d)\ |x|>=2`

(zaznaczono liczby oddalone od zera o nie mniej niż dwie jednostki)

 

Wyznacz wartość a tak, aby liczba -2 ...

`W(x)=x^4+8x^3+(4a^2+8)x^2+a^4-a^2` 

`W(-2)=0` 

 

`W(-2)=16-64+4(4a^2+8)+a^4-a^2=0` 

`a^4+16a^2-a^2-16=0` 

`a^4+15a^2-16=0` 

`x=a^2` 

 

`x^2+15x-16=0` 

`Delta=225+64=289` 

`sqrtDelta=17` 

 

`x_1=(-15-17)/2=-16` 

`x_2=(-15+17)/2=1` 

 

`a^2=-16` 

`"Brak rozwiązań."` 

 

`a^2=1` 

`a=-1\ \ \vee\ \ \a=1` 

 

`ul(a in {-1;1}` 

 

`W(x)=x^4+8x^3+12x^2` 

`W(x)=x^2(x^2+8x+12)` 

`Delta=64-48=16` 

`sqrtDelta=4` 

 

`x_1=(-8-4)/2=-6` 

`x_2=(-8+4)/2=-2` 

 

`W(x)=x^2(x+6)(x+2)`   

Punkty: A=(-3;2) ...

`A=(-3;2)` 

`B=(1;2)` 

`C=(5;6)` 

`D=(1;6)` 

 

`|AB|=|CD|=sqrt((1-5)^2+(6-6)^2)=4` 

`|BC|=|DA|=sqrt((-3-1)^2+(2-6)^2)=sqrt(16+16)=4sqrt2`    

`Obw_(ABCD)=2*4+2*4sqrt2=8+8sqrt2=8(1+sqrt2)~~19,3` 

`19,3 in (19;22]` 

 

`"Odpowiedź C."` 

Zbadaj liczbę pierwiastków równania ...

`(a^2-1)x^2+(a-1)x+1=0` 

 

`Delta=(a-1)^2-4(a^2-1)=a^2-2a+1-4a^2+4=-3a^2-2a+5` 

 

`"I. Równanie ma jedno rozwiązanie gdy"\ Delta=0.` 

`-3a^2-2a+5=0` 

`Delta_a=4+60=64` 

`sqrtDelta_a=8` 

 

 

`a_1=(2+8)-6=10/-6=-5/3 `

`a_2=(2-8)/-6=1`  

`"Równanie ma jedno rozwiązanie dla"\ a=1\ "i"\ a=-5/3.` 

`"II. Rówanie ma dwa rozwiązania dla"\ Delta>0.` 

`-3a^2-2a+5>0` 

`a_1=-5/3`  

`a_2=1` 

`"(Na rysunku"\ x_1=a_1,\ x_2=a_2\ ".)`   

`a in (-5/3;1)` 

`"Równanie ma dwa pieriwastki dla"\ a in (-5/3;1).` 

`"III. Równanie nie ma rozwiązań dla"\ Delta<0.` 

`-3a^2-2a+5<0` 

`a_1=-5/3` 

`a_2=1`    

`"Równanie nie ma pierwiastków dla"\ a in (-infty;-5/3)cup(1;+infty)`  

Pole powierzchni całkowitej...

Obliczmy promień kuli wpisanej w tej stożek, czyli promień okręgu wpisany w trójkąt równoramienny. 

`P_(Delta)=1/2*2r*H=r*H` 

Zauważmy, że `r^2+H^2=l^2 \ \ \ rArr \ \ \ H^2=l^2-r^2 \ \ \ rArr \ \ \ H=sqrt(l^2-r^2)` 

Wobec tego `P_(Delta)=r*sqrt(l^2-r^2)` 

Korzystając ze wzoru `P_(Delta)=p*r` otrzymujemy:

`P_(Delta)=(2l+2r)/2*x=(l+r)*x` 

Zatem:

`r*sqrt(l^2-r^2)=(l+r)*x \ \ \ |:(l+r)` 

`r*sqrt(l^2-r^2)/(l+r)=x` 

 

`P_("stożka")=pir^2+pirl` 

`P_("kuli")=4pix^2` 

Z treści zadania wiemy, że:

`pir^2+pirl=2*4pix^2 \ \ \ |:pi` 

`r(r+l)=8x^2` 

`r(r+l)=8*r^2(l^2-r^2)/(l+r)^2 \ \ \ |:r` 

`r+l=8r((l-r)(l+r))/(l+r)^2` 

`r+l=8r(l-r)/(l+r) \ \ \ |*(r+l)` 

`(r+l)^2=8r(l-r)` 

`r^2+2rl+l^2=8rl-8r^2 \ \ \ |-8rl+8r^2` 

`9r^2-6rl+l^2=0` 

`(3r-l)^2=0` 

`3r-l=0` 

`3r=l` 

 

`cosalpha=r/l` 

`cosalpha=r/(3r)` 

`cosalpha=1/3` 

Skróć ułamki ...

`a)` 

`U(x)=(x^4-3x^2-4)/(2x^4-8x^2)` 

`2x^4-8x^2ne0` 

`2x^2(x^2-4)ne0` 

`2x^2(x-2)(x+4)ne0` 

`2x^2xne0\ \ \wedge\ \ \x-2 ne0\ \ \wedge\ \ \x+2ne0`  

`xnotin{0;2;-2}`   

 

Rozważmy licznik naszego ułamka. Podstawmy:

`t=x^2` 

`t^2-3t-4=0` 

`Delta=9+16=25` 

`sqrtDelta=5` 

`t_1=(3-5)/2=-1` 

`t_2=(3+5)/2=4` 

`U(x)=(x^4-3x^2-4)/(2x^4-8x^2)=((t+1)(t-4))/(2x^2(x^2-4))=((x^2+1)(x^2-4))/(2x^2(x^2-4))=(x^2+1)/(2x^2)`  

 

`b)` 

`U(x)=(x^4-x^2-12)/(x^4+8x^2+15)` 

`x^4+8x^2+15ne0` 

`t=x^2` 

`t^2+8t+15=0` 

`Delta=64-60=4` 

`sqrtDelta=2` 

`t_1=(-8-2)/2=-5` 

`t_2=(-8+2)/2=-3` 

`x^2ne-5` 

`x^2ne-3` 

`x in RR` 

 

Rozważmy licznik naszego ułamka. Podstawmy:

`s=x^2` 

`s^2-s-12=0` 

`Delta=1+48=49` 

`sqrtDelta=7` 

`s_1=(1-7)/2=-3` 

`s_2=(1+7)/2=4` 

`U(x)=(x^4-x^2-12)/(x^4+8x^2+15)=((x^2-4)(x^2+3))/((x^2+3)(x^2+5))=(x^2-4)/(x^2+5)`  

 

`c)` 

`U(x)=(x^4+5x^2+6)/(x^4+2x^2-3)` 

`x^4+2x^2-3ne0` 

`t=x^2` 

`t^2+2t-3ne0`    

`Delta=4+12=16` 

`sqrtDelta=4` 

`t_1=(-2-4)/2=-3` 

`t_2=(-2+4)/2=1` 

`x^2ne-3` 

`x^2ne1\ implies\ xne1\ \ \vv\ \ \xne-1` 

`x notin{-1;1}`   

 

Rozważmy licznik naszego ułamka. Podstawmy:

`s=x^2` 

`s^2+5s+6=0` 

`Delta=25-24=1` 

`sqrtDelta=1` 

`s_1=(-5-1)/2=-3` 

`s_2=(-5+1)/2=-2` 

`U(x)=(x^4+5x^2+6)/(x^4+2x^2-3)=((x^2+3)(x^2+2))/((x^2+3)(x^2-1))=(x^2+2)/(x^2-1)` 

 

`d)` 

`U(x)=(x^4-8x^2-9)/(x^4-13x^2+36)` 

`x^4-13x^2+36ne0` 

`t=x^2` 

`t^2-13t+36ne0` 

`Delta=169-4*36=25` 

`sqrtDelta=5` 

`t_1=(13-5)/2=4` 

`t_2=(13+5)/2=9` 

`x^2=4\ implies\ x=2\ \ \vee\ \ \ x=-2`    

`x^2=9\ implies\ x=3\ \ \vv\ \ \x=-3` 

`x notin {-3;-2;2;3}` 

 

Rozważmy licznik naszego ułamka. Podstawmy:

`s=x^2` 

`s^2-8s-9=0` 

`Delta=64+36=100` 

`sqrtDelta=10` 

`s_1=(8-10)/2=-1` 

`s_2=(8+10)/2=9` 

`U(x)=(x^4-8x^2-9)/(x^4-13x^2+36)=((x^2+1)(x^2-9))/((x^2-9)(x^2-4))=(x^2+1)/(x^2-4)`  

Przedstaw liczbę w postaci a^x

`a)\ 2^(sqrt7-6)*4^3=2^(sqrt7-6)*(2^2)^3=2^(sqrt7-6)*2^6=2^(sqrt7-6+6)=2^sqrt7` 

`b)\ 2^(sqrt3+3):8=2^(sqrt3+3):2^3=2^(sqrt3+3-3)=2^sqrt3` 

`c)\ 9^(sqrt5/2)*27^(sqrt5/3)=(3^2)^(sqrt5/2)*(3^3)^(sqrt5/3)=` `3^sqrt*3^sqrt5=3^(sqrt5+sqrt5)=3^(2sqrt5)` 

`d)\ 27*(3^(sqrt3))^2=3^3*3^(2sqrt3)=3^(3+2sqrt3)` 

`e)\ 1/3*9^(pi+1/2):81^(2pi)=` `1/3*9^(1/2)*9^pi:(9^2)^(2pi)=` `1/3*3*9^pi:9^(4pi)=9^(pi-4pi)=9^(-3pi)` 

`f) \ 7^(-2sqrt2):49^(pi+sqrt2)=` `7^(-2sqrt2):(7^2)^(pi+sqrt2)=` `7^(-2sqrt2):7^(2pi+2sqrt2)=7^(-2sqrt2-2pi-2sqrt2)=7^(-4sqrt2-2pi)`