Logarytmy - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Logarytmy - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Logarytmy

Matura rozszerzona w zakresie logarytmów nie wymaga tak naprawdę więcej niż dwóch dodatkowych rzeczy w odniesieniu do matury podstawowej.

Pierwszą z nich jest wyłączenie przed logarytm wykładnika. Z poprzedniego tekstu o logarytmach, wiecie już, że $log_{a} b^c = c×log_{a} b$

Co jednak, jeśli mamy sytuację $log_{(a^b)} c$.
Okazuje się, że coś takiego jest równe po prostu ${1}/{b} log_{a} c$.

Dlaczego?
Dowód jest całkiem prosty:

Najpierw korzystamy z własności, że $log_{a} b = {1}/{ {log_{b} } a$ i otrzymujemy $log_{(a^b)} c = {1}/{log_{c} } (a^b)$. Później wyłączamy wykładnik przed logarytm i znowu odwracamy ułamek, w efekcie otrzymując faktycznie ${1}/{b} log_{a} c$.

Składając to z poprzednim wzorem w ogólności otrzymujemy:
$log_{(a^b)} c^d = {d}/{b} log_{a} c$

(Łatwo zapamiętać: górny wykładnik wchodzi na górę ułamka, dolny - na dół).

Przykłady:

${log_{2} }^4 3^3 = 3/4 log_{2} 3$
$log_{8} 32 = {log_{2} }^3 2^5 = 5/3 log_{2} 2 = 5/3$


Drugi nowy wzór jest nieco bardziej skomplikowany i służy do zamiany podstawy logarytmu. Możemy użyć go do zamiany niewygodnej dla nas podstawy na taką, którą łatwiej operować: w szczególnośi możemy na przykład zamienić każdy logarym na logarytm dziesiętny lub naturalny. Wygląda on tak:

$log_{a} b = { log_{c} b} / {log_{c} a}$

Jego dowód:
$log_{a} b = {log_{c} b}/{ log_{c} a}$
$log_{a} b ×log_{c} a= log_{c} b$

Korzystamy ze wzoru na włączenie potęgi:

$log_{c} a^{log_{a} b} = log_{c} b$

Oczywiście $a^{log_{a} b}$ jest równe b - podnosimy a do tej potęgi, do jakiej należy podnieść a, żeby otrzymać b) i w efekcie dostajemy:

$log_{c} b = log_{c} b$

Czyli wzór rzeczywiście działa.

Widać z niego, że dowolne dwa logarytmy o ustalonych podstawach: na przykład $log_{2} x$ i $log_{100} x$ różnią się jedynie o pomnożenie przez stałą ${1}/{log_{2} 1000}$.


Ćwiczenie 1. Uprość wyrażenie:

a) $log_{2} 3^10$

Wyłączamy po prostu przed logarytm wykładnik otrzymując $10 log_{2} 3$

b) $log_{2^9} 4^9$

Zamieniając $4$ na $2^2$ dostajemy:
$log_{2^9} (2^2)^9 = log_{2^9} (2^9)^2$, czyli tak naprawdę $log_a a^2$ - co z definicji jest równe $2$ (do jakiej potęgi należy podnieść $a$, aby otrzymać $a^2$?).

c) $log_{5} 1000$

Rozkładając $1000$ na czynniki pierwsze dostajemy:
$log_{5} 1000 = log_{5} 5^3×2^3$

Teraz możemy podzielić logarytm na dwie części zamieniając mnożenie na dodawanie:

$log_{5} 5^3×2^3 = log_{5} 5^3 + log_{5} 2^3 = 3 + 3log_{5} 2$.



Ćwiczenie 2. Zamień podstawę logarytmu $log_{5} 3600$ na 10 i uprość.
 

Tak jak w poprzednim zadaniu rozkładamy $3600$ na czynniki - tyle, że tym razem interesuje nas ilość 10 mieszczących się w argumencie.

$log_{5} 3600 = log_{5} 10^2 × 2^2×3^2$

Teraz możemy zamieniać podstawy logarytmu:

$log_5 3600 = {log_10 3600}/{log_10 5} = {log_10 10^2 × 2^2×3^2}/{log_10 5} = {2(2log_10 2 + log_10 3 + log_10 5)}/{log_10 5} =$
$= 2 + {4log_10 2}/{log_10 5} + {2log_10 3}/{log_10 5}$

Spis treści

Rozwiązane zadania
W trójkącie...

Oznaczmy przez x długość najkrótszego boku w tym trójkącie. 

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa dostajemy {premium}

 

więc

Zatem obwód tego trójkąta jest równy

 

 

Odp. D.     

Wyznacz dziedzinę funkcji.

 

 

{premium}  

Dziedzina:

 

 

 

 

 

 

 

 

Dziedzina:

 

Oblicz granicę ciągu...

a) Zauważmy, że:

 

To suma ciągu geometrycznego takiego, że:

 

{premium}  

Zatem ze wzoru na sumę ciągu geometrycznego:

 

 

Zatem

 

 

 

 

b) Zauważmy, że:

 

 

Suma ciągu arytmetycznego:

 

 

 

 

 

Podaj zbiór rozwiązań ...

 

 

Szukamy takich liczb na osi liczbowej, których odległość od liczby 0 jest mniejsza lub równa 0. {premium}

Zauważmy, że jedynie x=0 spełnia tę nierówność.


 

 

Zauważmy, że z lewej strony nierówności mamy liczbę dodatnią, a z prawej strony mamy liczbę ujemną.

Zatem nierówność jest sprzeczna. Możemy zapisać:

 


 

 

 

 

Zauważmy, że z lewej strony nierówności mamy liczbę dodatnią, a z prawej strony mamy liczbę ujemną.

Zatem nierówność jest spełniona przez każdą liczbę rzeczywistą. Możemy zapisać:

 


 

 

Szukamy takich liczb na osi liczbowej, których odległość od liczby 3 jest większa od 0.

Zatem otrzymujemy:

 


 

 

Zauważmy, że z lewej strony nierówności mamy liczbę dodatnią, a z prawej strony mamy liczbę ujemną.

Zatem nierówność jest spełniona przez każdą liczbę rzeczywistą. Możemy zapisać:

 


 

 

 

Szukamy takich liczb na osi liczbowej, których odległość od liczby -4 jest mniejsza lub równa 0. {premium}

Zauważmy, że jedynie x=-4 spełnia tę nierówność.

Zapisz słowami w dwóch różnych językach...

Poniżej przykładowe rozwiązanie.{premium}


Język polski.

jeden, dwa, trzy, cztery, pięć, sześć, siedem, osiem, dziewięć, dziesięć

                 
                 

Obliczmy średnią arytmetyczną długości wyrazów:{premium}

 

Obliczmy odchylenie standardowe długości wyrazów:

 

 


Język angielski.

one, two, three, four, five, six, seven, eight, nine, ten

           
           

Obliczmy średnią arytmetyczną długości wyrazów:{premium}

 

Obliczmy odchylenie standardowe długości wyrazów:

 

 

Wierzchołki trójkąta ABC mają współrzędne...

Obliczamy współrzędne wektorów tworzących boki trójkąta:

 {premium}

 

 


Obliczamy długości boków trójkąta:

 

 

 


Sprawdzamy, czy boki trójkąta spełniają twierdzenie Pitagorasa. Przeciwprostokątną może być tylko bok AB, bo jest najdłuższy.

 

 

Otrzymaliśmy:

 

Twierdzenie Pitagorasa dla trójkąta ABC jest spełnione, więc trójkąt jest prostokątny.

Na półce stoi 28 książek ...

I. Ze zbioru 48-elementowego chcemy wybrać podzbiór 5-elementowy. Liczba możliwości wynosi więc: {premium}

 

* Gdyby książki można było zwracać, to liczba możliwości byłaby równa 548.

Zdanie jest fałszywe.


II. Ze zbioru 28-elementowego chcemy wybrać podzbiór 2-elementowy, a ze zbioru 20-elementowego chcemy wybrać podzbiór 3-elementowy. Liczba możliwości wynosi więc: 

 

Zdanie jest fałszywe.


III. Ze zbioru 28-elementowego chcemy wybrać podzbiór 3-elementowy, a ze zbioru 20-elementowego chcemy wybrać podzbiór 2-elementowy. Liczba możliwości wynosi więc: 

 

Zdanie jest prawdziwe.


IV. Wszystkie książki mają należeć do serii "Arcydzieła Kultury Antycznej". Ze zbioru 28-elementowego chcemy wybrać podzbiór 5-elementowy. Liczba możliwości wynosi więc: 

 

Zauważmy, że:

 

Zatem:

 

Zdanie jest prawdziwe.

Wartość wyrażenia ...

Przypomnijmy, że:

 

gdzie  

Funkcja cosinus jest parzysta, więc: {premium}

 

Obliczamy wartość danego wyrażenia, korzystając z powyższych wzorów oraz odpowiednich wzorów redukcyjnych (wszystkie znajdują się na stronie 318).

 

 

 

 

 

 

 

 


Odpowiedź: A

Wykres funkcji postaci...

 

W wyniku przesunięcia wykresu funkcji f(x)=ax o wektor [0, b] otrzymamy wykres funkcji

 


a) Podstawiamy współrzędne{premium} punktów A i B do wzoru funkcji g - otrzymujemy układ równań, z którego wyznaczamy a oraz b:

 

 

 

 

Dodajemy równania stronami.

 

 

 

 

 

a=a1 odrzucamy, ponieważ nie należy do rozważanego przedziału.

a=a2 podstawiamy do dowolnego równania w układzie i wyznaczamy b.

 

 

 

Otrzymujemy:

 


b) Podstawiamy współrzędne punktów A i B do wzoru funkcji g - otrzymujemy układ równań, z którego wyznaczamy a oraz b:

 

 

 

 

Dodajemy równania stronami.

 

 

 

 

 

 

a=a1 odrzucamy, ponieważ nie należy do rozważanego przedziału.

a=a2 podstawiamy do dowolnego równania w układzie i wyznaczamy b.

 

 

 

 

Otrzymujemy:

 

Oblicz sumę wszystkich współczynników ...

 

Suma wszystkich współczynników wynosi:

 


   {premium}

Suma wszystkich współczynników wynosi:

 


 

Zauważmy, że:

 

 

Zwróćmy uwagę, że suma wszystkich współczynników wielomianu to wartość tego wielomianu dla jedynki (ponieważ jedynka podniesiona do każdej potęgi nadal pozostaje jedynką):

 

{premium}   

   

       

 

Zatem mamy:

 

Zatem suma wszystkich współczynników wynosi 2.


 

 

Zatem mamy:

 

Zatem suma wszystkich współczynników wynosi -1.