Logarytmy - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Logarytmy - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Logarytmy

Matura rozszerzona w zakresie logarytmów nie wymaga tak naprawdę więcej niż dwóch dodatkowych rzeczy w odniesieniu do matury podstawowej.

Pierwszą z nich jest wyłączenie przed logarytm wykładnika. Z poprzedniego tekstu o logarytmach, wiecie już, że $log_{a} b^c = c×log_{a} b$

Co jednak, jeśli mamy sytuację $log_{(a^b)} c$.
Okazuje się, że coś takiego jest równe po prostu ${1}/{b} log_{a} c$.

Dlaczego?
Dowód jest całkiem prosty:

Najpierw korzystamy z własności, że $log_{a} b = {1}/{ {log_{b} } a$ i otrzymujemy $log_{(a^b)} c = {1}/{log_{c} } (a^b)$. Później wyłączamy wykładnik przed logarytm i znowu odwracamy ułamek, w efekcie otrzymując faktycznie ${1}/{b} log_{a} c$.

Składając to z poprzednim wzorem w ogólności otrzymujemy:
$log_{(a^b)} c^d = {d}/{b} log_{a} c$

(Łatwo zapamiętać: górny wykładnik wchodzi na górę ułamka, dolny - na dół).

Przykłady:

${log_{2} }^4 3^3 = 3/4 log_{2} 3$
$log_{8} 32 = {log_{2} }^3 2^5 = 5/3 log_{2} 2 = 5/3$


Drugi nowy wzór jest nieco bardziej skomplikowany i służy do zamiany podstawy logarytmu. Możemy użyć go do zamiany niewygodnej dla nas podstawy na taką, którą łatwiej operować: w szczególnośi możemy na przykład zamienić każdy logarym na logarytm dziesiętny lub naturalny. Wygląda on tak:

$log_{a} b = { log_{c} b} / {log_{c} a}$

Jego dowód:
$log_{a} b = {log_{c} b}/{ log_{c} a}$
$log_{a} b ×log_{c} a= log_{c} b$

Korzystamy ze wzoru na włączenie potęgi:

$log_{c} a^{log_{a} b} = log_{c} b$

Oczywiście $a^{log_{a} b}$ jest równe b - podnosimy a do tej potęgi, do jakiej należy podnieść a, żeby otrzymać b) i w efekcie dostajemy:

$log_{c} b = log_{c} b$

Czyli wzór rzeczywiście działa.

Widać z niego, że dowolne dwa logarytmy o ustalonych podstawach: na przykład $log_{2} x$ i $log_{100} x$ różnią się jedynie o pomnożenie przez stałą ${1}/{log_{2} 1000}$.


Ćwiczenie 1. Uprość wyrażenie:

a) $log_{2} 3^10$

Wyłączamy po prostu przed logarytm wykładnik otrzymując $10 log_{2} 3$

b) $log_{2^9} 4^9$

Zamieniając $4$ na $2^2$ dostajemy:
$log_{2^9} (2^2)^9 = log_{2^9} (2^9)^2$, czyli tak naprawdę $log_a a^2$ - co z definicji jest równe $2$ (do jakiej potęgi należy podnieść $a$, aby otrzymać $a^2$?).

c) $log_{5} 1000$

Rozkładając $1000$ na czynniki pierwsze dostajemy:
$log_{5} 1000 = log_{5} 5^3×2^3$

Teraz możemy podzielić logarytm na dwie części zamieniając mnożenie na dodawanie:

$log_{5} 5^3×2^3 = log_{5} 5^3 + log_{5} 2^3 = 3 + 3log_{5} 2$.



Ćwiczenie 2. Zamień podstawę logarytmu $log_{5} 3600$ na 10 i uprość.
 

Tak jak w poprzednim zadaniu rozkładamy $3600$ na czynniki - tyle, że tym razem interesuje nas ilość 10 mieszczących się w argumencie.

$log_{5} 3600 = log_{5} 10^2 × 2^2×3^2$

Teraz możemy zamieniać podstawy logarytmu:

$log_5 3600 = {log_10 3600}/{log_10 5} = {log_10 10^2 × 2^2×3^2}/{log_10 5} = {2(2log_10 2 + log_10 3 + log_10 5)}/{log_10 5} =$
$= 2 + {4log_10 2}/{log_10 5} + {2log_10 3}/{log_10 5}$

Spis treści

Rozwiązane zadania
Punkty: A, B, C są wierzchołkami ...

 

 

 

 

 

Prosta zawierająca odcinek AB jest prostopadła do prostej zawierającej odcinek BC.

 

 

 

 

 

 

 

{premium}  

 

     

 

 

 

 

 

 

Prosta zawierająca odcinek AB jest prostopadła do prostej zawierającej odcinek BC.

 

 

 

  

  

  

 

 

 

 

      

 

 

 

 

 

 

Prosta zawierająca odcinek AB jest prostopadła do prostej zawierającej odcinek BC.

 

 

 

  

 

 

 

 

   

     

 

 

 

 

 

 

Prosta zawierająca odcinek AB jest prostopadła do prostej zawierającej odcinek BC.

 

 

 

  

 

  

 

 

 

 

      

Suma pierwszego, trzeciego i piątego wyrazu...

 

 

 

Iloraz jest różny od -1 bo jest monotoniczny oraz jest różny od 1 bo różnica elementu trzeciego i pierwszego jest różna od 0.

{premium}  

A więc:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Skoro ciąg jest monotoniczny to q nie może być ujemne.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Na rysunku przedstawiono wykres funkcji...

Wiemy, że

{premium}  

A więc:

 

Dane są funkcje...

 

{premium}  

 

Skoro y = -7 jest asymptotą wykresu funkcji to znaczy, że b = -7

 

 

 

  

 

 

 

 

 

Spodnie...

Oznaczmy przez x cenę spodni przed obniżką. 

Po obniżce o 30 % spodnie kosztowały 126 zł, 

czyli możemy zapisać{premium}

     

 

Odp. B. 

Określ stopień wielomianu.

 

Jednomiany naszego wielomianu są stopnia:

 

{premium}  

 

Najwyższy stopień jednomianów to 5 a więc cały wielomian jest stopnia 5.

 

 

Jednomiany naszego wielomianu są stopnia:

 

 

 

Najwyższy stopień jednomianów to 7 a więc cały wielomian jest stopnia 7.

 

 

Jednomiany naszego wielomianu są stopnia:

 

 

 

Najwyższy stopień jednomianów to 9 a więc cały wielomian jest stopnia 9.

Pole powierzchni całkowitej czworościanu foremnego...

Czworościan foremny składa się z czterech trójkątów równobocznych, pole jednego to:

 

    {premium}

Pole trójkąta równobocznego jest równe:

 

 

 

Jeżeli poprowadzimy wysokość H czworościanu z jego wierzchołka opadającą na podstawę to otrzymamy trójkąt:

Wysokość czworościanu dzieli wysokość podstawy w stosunku 2:1. Obliczmy wysokość trójkąta równobocznego:

 

A więc:

 

 

Z twierdzenia Pitagorasa:

 

 

 

 

Odpowiedź A

Dane są punkty: A(1;-1) ...

 

 

 

{premium}

 

  

  

 

 

 

 

 

 

 

  

  

 

 

Na podstawie cechy podobieństwa BBB dane trójkąty nie są podobne.

(Stosunki długości boków nie zgadzają się)

   

Na rysunku przedstawiono

 

             
             
{premium}

 

 

 

             
             
     

 

Wskaż wzór funkcji...

Funkcja dana wzorem:{premium}

 

leży w I i III ćwiartce gdy a>0.

Odpowiedź B