Logarytmy - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Logarytmy

Matura rozszerzona w zakresie logarytmów nie wymaga tak naprawdę więcej niż dwóch dodatkowych rzeczy w odniesieniu do matury podstawowej.

Pierwszą z nich jest wyłączenie przed logarytm wykładnika. Z poprzedniego tekstu o logarytmach, wiecie już, że $$log_{a} b^c = c×log_{a} b$$

Co jednak, jeśli mamy sytuację $$log_{(a^b)} c$$.
Okazuje się, że coś takiego jest równe po prostu $${1}/{b} log_{a} c$$.

Dlaczego?
Dowód jest całkiem prosty:

Najpierw korzystamy z własności, że $$log_{a} b = {1}/{ {log_{b} } a$$ i otrzymujemy $$log_{(a^b)} c = {1}/{log_{c} } (a^b)$$. Później wyłączamy wykładnik przed logarytm i znowu odwracamy ułamek, w efekcie otrzymując faktycznie $${1}/{b} log_{a} c$$.

Składając to z poprzednim wzorem w ogólności otrzymujemy:
$$log_{(a^b)} c^d = {d}/{b} log_{a} c$$

(Łatwo zapamiętać: górny wykładnik wchodzi na górę ułamka, dolny - na dół).

Przykłady:

$${log_{2} }^4 3^3 = 3/4 log_{2} 3$$
$$log_{8} 32 = {log_{2} }^3 2^5 = 5/3 log_{2} 2 = 5/3$$


Drugi nowy wzór jest nieco bardziej skomplikowany i służy do zamiany podstawy logarytmu. Możemy użyć go do zamiany niewygodnej dla nas podstawy na taką, którą łatwiej operować: w szczególnośi możemy na przykład zamienić każdy logarym na logarytm dziesiętny lub naturalny. Wygląda on tak:

$$log_{a} b = { log_{c} b} / {log_{c} a}$$

Jego dowód:
$$log_{a} b = {log_{c} b}/{ log_{c} a}$$
$$log_{a} b ×log_{c} a= log_{c} b$$

Korzystamy ze wzoru na włączenie potęgi:

$$log_{c} a^{log_{a} b} = log_{c} b$$

Oczywiście $$a^{log_{a} b}$$ jest równe b - podnosimy a do tej potęgi, do jakiej należy podnieść a, żeby otrzymać b) i w efekcie dostajemy:

$$log_{c} b = log_{c} b$$

Czyli wzór rzeczywiście działa.

Widać z niego, że dowolne dwa logarytmy o ustalonych podstawach: na przykład $$log_{2} x$$ i $$log_{100} x$$ różnią się jedynie o pomnożenie przez stałą $${1}/{log_{2} 1000}$$.


Ćwiczenie 1. Uprość wyrażenie:

a) $$log_{2} 3^10$$

Wyłączamy po prostu przed logarytm wykładnik otrzymując $$10 log_{2} 3$$

b) $$log_{2^9} 4^9$$

Zamieniając $$4$$ na $$2^2$$ dostajemy:
$$log_{2^9} (2^2)^9 = log_{2^9} (2^9)^2$$, czyli tak naprawdę $$log_a a^2$$ - co z definicji jest równe $$2$$ (do jakiej potęgi należy podnieść $$a$$, aby otrzymać $$a^2$$?).

c) $$log_{5} 1000$$

Rozkładając $1000$ na czynniki pierwsze dostajemy:
$$log_{5} 1000 = log_{5} 5^3×2^3$$

Teraz możemy podzielić logarytm na dwie części zamieniając mnożenie na dodawanie:

$$log_{5} 5^3×2^3 = log_{5} 5^3 + log_{5} 2^3 = 3 + 3log_{5} 2$$.



Ćwiczenie 2. Zamień podstawę logarytmu $$log_{5} 3600$$ na 10 i uprość.
 

Tak jak w poprzednim zadaniu rozkładamy $$3600$$ na czynniki - tyle, że tym razem interesuje nas ilość 10 mieszczących się w argumencie.

$$log_{5} 3600 = log_{5} 10^2 × 2^2×3^2$$

Teraz możemy zamieniać podstawy logarytmu:

$$log_5 3600 = {log_10 3600}/{log_10 5} = {log_10 10^2 × 2^2×3^2}/{log_10 5} = {2(2log_10 2 + log_10 3 + log_10 5)}/{log_10 5} =$$
$$= 2 + {4log_10 2}/{log_10 5} + {2log_10 3}/{log_10 5}$$

Spis treści

Rozwiązane zadania
Wyznacz różnicę wielomianów

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Kolorem...

`a) \ y=tg3/2x  \ \ \ " jej okres podstawowy" \ T = pi/(3/2) = (2pi)/3`  

 

 

 

 

 

  

Naszkicuj w jednym układzie współrzędnych

Zapiszmy funkcje w postaci kanonicznej, wyznaczamy w tym celu współrzędne wierzchołka: 

 

 

  

 `25/4-50/4+6=` 

 `-6 1/4+6=-1/4` 

     

 

 

 

 

 

 

 

  

 

   

   

 

 

 

Te wykresy są symetryczne względem osi OY. 

 

 

 

 

Rzucamy trzy razy

 

{premium}

 

 

 

Wyznacz brakujące długości odcinków.

a) Z twierdzenia o siecznych:

 

 

 

 

b) Z twierdzenia o siecznych:

 

 

 

 

 

 

 

x musi być dodatni gdyż jest odległością, a więc rozwiązaniem jest:

 

 

c) Z twierdzenia o siecznych:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x musi być dodatni gdyż jest odległością, a więc rozwiązaniem jest:

  

Przekątna równoległoboku długości 24 cm...

Rysunek poglądowy:

Kąt wewnętrzny przy wierzchołku D ma miarę 110o, zatem kąt przy wierzchołku A ma miarę 70o. Kąty naprzemianległe mają równe miary, zatem:

 

 

A więc trójkąt ABD jest równoramienny, zatem:

 

 

Z twierdzenia sinusów:

   

 

Stąd:

 

 

 

Pole równoległoboku:

 

 

Obwód równoległoboku:

 

Uzasadnij, że ...

 

 

 

  

       

 

 

  

   

  

           

Punkty A, B i C są wierzchołkami czworokąta ABCD...

Żeby czworokąt ABCD miał środek symetrii to musi być równoległobokiem.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Okrąg o środku S i promieniu 1 jest styczny...

Oznaczmy środek szukanego okręgu przez:

 

 

Środek i promień okręgu o równaniu:

 

  

 

Środek i promień okręgu o równaniu:

 

 

 

Jeżeli okręgi o środkach S1 i S są styczne wewnętrznie to:

  

 

 

 

 

Jeżeli okręgi o środkach S2 i S są styczne zewnętrznie to:

 

 

 

 

 

Rozwiążmy układ równań:

 

 

 

 

 

 

 

 

stąd:

 

 

 

  

 

Współrzędne środka wynoszą:

 

Naszkicuj...

 

  • Wykres -f(x):

Odbijamy symetrycznie względem osi OX

  • Wykres -f(x)+2:

Przesuwamy wykres o 2 jednostki w górę

 

 

 

 

  • Wykres -f(x):

Odbijamy symetrycznie względem osi OX

  • Wykres -f(x)+2:

Przesuwamy wykres o 2 jednostki w górę