Zgoda na przetwarzanie danych osobowych

25 maja 2018 roku zacznie obowiązywać Rozporządzenie Parlamentu Europejskiego i Rady (UE) 2016/679 z dnia 27 kwietnia 2016 r. znane jako RODO.

Dlatego aby dalej móc dostarczać Ci materiały odpowiednie do Twojego etapu edukacji, potrzebujemy zgody na lepsze dopasowanie treści do Twojego zachowania. Dzięki temu możemy zapamiętywać jakie materiały są Ci potrzebne. Dbamy o Twoją prywatność, więc nie zwiększamy zakresu naszych uprawnień. Twoje dane są u nas bezpieczne, a zgodę na ich zbieranie możesz wycofać na podstronie polityka prywatności.

Klikając "Przejdź do Odrabiamy", zgadzasz się na wskazane powyżej działania. W przeciwnym wypadku, nie jesteśmy w stanie zrealizować usługi kompleksowo i prosimy o opuszczenie strony.

Polityka prywatności

Drogi Użytkowniku w każdej chwili masz prawo cofnąć zgodę na przetwarzanie Twoich danych osobowych. Cofnięcie zgody nie będzie wpływać na zgodność z prawem przetwarzania, którego dokonano na podstawie wyrażonej przez Ciebie zgody przed jej wycofaniem. Po cofnięciu zgody wszystkie twoje dane zostaną usunięte z serwisu. Udzielenie zgody możesz modyfikować w zakładce 'Informacja o danych osobowych'

Logarytmy - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Logarytmy

Matura rozszerzona w zakresie logarytmów nie wymaga tak naprawdę więcej niż dwóch dodatkowych rzeczy w odniesieniu do matury podstawowej.

Pierwszą z nich jest wyłączenie przed logarytm wykładnika. Z poprzedniego tekstu o logarytmach, wiecie już, że $$log_{a} b^c = c×log_{a} b$$

Co jednak, jeśli mamy sytuację $$log_{(a^b)} c$$.
Okazuje się, że coś takiego jest równe po prostu $${1}/{b} log_{a} c$$.

Dlaczego?
Dowód jest całkiem prosty:

Najpierw korzystamy z własności, że $$log_{a} b = {1}/{ {log_{b} } a$$ i otrzymujemy $$log_{(a^b)} c = {1}/{log_{c} } (a^b)$$. Później wyłączamy wykładnik przed logarytm i znowu odwracamy ułamek, w efekcie otrzymując faktycznie $${1}/{b} log_{a} c$$.

Składając to z poprzednim wzorem w ogólności otrzymujemy:
$$log_{(a^b)} c^d = {d}/{b} log_{a} c$$

(Łatwo zapamiętać: górny wykładnik wchodzi na górę ułamka, dolny - na dół).

Przykłady:

$${log_{2} }^4 3^3 = 3/4 log_{2} 3$$
$$log_{8} 32 = {log_{2} }^3 2^5 = 5/3 log_{2} 2 = 5/3$$


Drugi nowy wzór jest nieco bardziej skomplikowany i służy do zamiany podstawy logarytmu. Możemy użyć go do zamiany niewygodnej dla nas podstawy na taką, którą łatwiej operować: w szczególnośi możemy na przykład zamienić każdy logarym na logarytm dziesiętny lub naturalny. Wygląda on tak:

$$log_{a} b = { log_{c} b} / {log_{c} a}$$

Jego dowód:
$$log_{a} b = {log_{c} b}/{ log_{c} a}$$
$$log_{a} b ×log_{c} a= log_{c} b$$

Korzystamy ze wzoru na włączenie potęgi:

$$log_{c} a^{log_{a} b} = log_{c} b$$

Oczywiście $$a^{log_{a} b}$$ jest równe b - podnosimy a do tej potęgi, do jakiej należy podnieść a, żeby otrzymać b) i w efekcie dostajemy:

$$log_{c} b = log_{c} b$$

Czyli wzór rzeczywiście działa.

Widać z niego, że dowolne dwa logarytmy o ustalonych podstawach: na przykład $$log_{2} x$$ i $$log_{100} x$$ różnią się jedynie o pomnożenie przez stałą $${1}/{log_{2} 1000}$$.


Ćwiczenie 1. Uprość wyrażenie:

a) $$log_{2} 3^10$$

Wyłączamy po prostu przed logarytm wykładnik otrzymując $$10 log_{2} 3$$

b) $$log_{2^9} 4^9$$

Zamieniając $$4$$ na $$2^2$$ dostajemy:
$$log_{2^9} (2^2)^9 = log_{2^9} (2^9)^2$$, czyli tak naprawdę $$log_a a^2$$ - co z definicji jest równe $$2$$ (do jakiej potęgi należy podnieść $$a$$, aby otrzymać $$a^2$$?).

c) $$log_{5} 1000$$

Rozkładając $1000$ na czynniki pierwsze dostajemy:
$$log_{5} 1000 = log_{5} 5^3×2^3$$

Teraz możemy podzielić logarytm na dwie części zamieniając mnożenie na dodawanie:

$$log_{5} 5^3×2^3 = log_{5} 5^3 + log_{5} 2^3 = 3 + 3log_{5} 2$$.



Ćwiczenie 2. Zamień podstawę logarytmu $$log_{5} 3600$$ na 10 i uprość.
 

Tak jak w poprzednim zadaniu rozkładamy $$3600$$ na czynniki - tyle, że tym razem interesuje nas ilość 10 mieszczących się w argumencie.

$$log_{5} 3600 = log_{5} 10^2 × 2^2×3^2$$

Teraz możemy zamieniać podstawy logarytmu:

$$log_5 3600 = {log_10 3600}/{log_10 5} = {log_10 10^2 × 2^2×3^2}/{log_10 5} = {2(2log_10 2 + log_10 3 + log_10 5)}/{log_10 5} =$$
$$= 2 + {4log_10 2}/{log_10 5} + {2log_10 3}/{log_10 5}$$

Spis treści

Rozwiązane zadania
Na trójkącie równoramiennym o podstawie długości...

`h^2=10^2-8^2`

`h=6\ cm`

`(R-6)^2+8^8=R^2`

`R^2-12R+36+64=R^2`

`12R=100`

`R=8 1/3\ cm>h`

Promień okręgu opisanego na tym trójkącie jest dłuższy od wysokości, więc środek okręgu jest poza trójkątem

 

Wpisz okrąg w trójkąt...

Opis konstrukcji:

1. Skonstruuj dwusieczną każdego kąta (opis konstrukcji na stronie 54)

2. Punkt przecięcia tych dwusicznych (wystarczą dwusieczne dwóch kątów) wyznacza środek okręgu wpisanego.

3. Zakreśl okrąg.

Wielomian...

Pomocniczo dla przejrzystości zapisu podnieśmy drugi nawias do 3 potęgi osobno:

`(-2tw^2)^3 = (-2)^3 (t)^3 (w^2)^3 = -8t^3w^6`  

zatem:

`(3t^2w^3)(-8t^3w^6)` 

z przemienności mnożenia:

`(3*-8)(t^2*t^3)(w^3 *w^6) = -24t^5w^9` 

Odpowiedź D

Wyznacz wartości parametru m...

a)

`-x^2+(3-m)x-m < 0` 

`Delta=(3-m)^2-4*(-1)*(-m)=9-6m+m^2-4m=m^2-10m+9` 

`Delta_m=(-10)^2-4*1*9=100-36=64` 

`sqrt(Delta_m)=8` 

`m_1=(-(-10)-8)/(2*1)=(10-8)/2=2/2=1` 

`m_2=(-(-10)+8)/(2*1)=(10+8)/2=18/2=9` 

Odp. `m in (1, 9)` 


b) 

`(1+m)x^2+4x+m < 0` 

Założenie: `1+m < =0 \ \ "czyli" \ \ m< =-1` 

`Delta=4^2-4*(1+m)*m=16-4m-4m^2=-4m^2-4m+16` 

`-4m^2-4m+16 < 0 \ \ \ |:(-4)` 

`m^2+1m-4 > 0` 

`Delta_m=1^2-4*1*(-4)=1+16=17` 

`sqrt(Delta_m)=sqrt17` 

`m_1=(-1-sqrt17)/2` 

`m_2=(-1+sqrt17)/2` 

 

Odp. `m in (-oo, (-1-sqrt17)/2)` 

 

 

 

 

Wykres funkcji f ...

`f(x)=6/(x+p^3)` 

`x=2` 

 

Zauważmy, że asymptotą funkcji f jest prosta o równaniu:

`x=-p^3` 

Zatem:

`-p^3=2` 

`p^3=-2` 

`p=root(3)(-2)` 

 

`"Odpowiedź B."`         

Obwód trójkąta prostokątnego jest równy 30 ...

`a)` 

Najdłuższy bok trójkąta prostokątnego to przeciwprostokątna tego trójkąta. Oznaczmy przez x i y długości przyprostokątnych tego trójkąta (oczywiście x i y są liczbami dodatnimi). 

Możemy zapisać układ równań (jedno równanie otrzymujemy z tw. Pitagorasa, a drugie dzięki temu, że znamy obwód trójkąta)

 

`{(x^2+y^2=13^2\ \ \ \ \ \ \ \ \), (x+y+13=30\ \ \ \ |-13-y):}`

`{(x^2+y^2=169), (x=17-y\ \ \ \ ):}`

 

Wstawiamy x z drugiego równania do pierwszego równania: 

`(17-y)^2+y^2=169`

`289-34y+y^2+y^2=169\ \ \ \ |-169`

`2y^2-34y+120=0\ \ \ \ |:2`

`y^2-17y+60=0`

`Delta=(-17)^2-4*1*60=289-240=49`

`sqrtDelta=sqrt49=7`

`y_1=(17-7)/2=10/2=5\ cm`

`y_2=(17+7)/2=24/2=12\ cm`

 

`{(y=5\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ), (x=17-5=12):}\ \ \ \ vee\ \ \ {(y=12\ \ \ \ \ \ \ ), (x=17-12=5):}`

 

`b)` 

Oznaczmy długości przyprostokątnych przez x i y (oczywiście x i y to liczby dodatnie). 

Możemy zapisać układ równań (pierwsze równanie powstaje dzięki tw. Pitagorasa, a drugie dzięki informacji z zadania o średniej)

 

`{(x^2+y^2=2^2), (x=(y+2)/2):}`

`{(x^2+y^2=4), (2x=y+2\ \ \ |-2):}`

`{(x^2+y^2=4), (y=2x-2):}`

 

Wstawiamy y z drugiego równania do pierwszego równania: 

`x^2+(2x-2)^2=4`

`x^2+4x^2-8x+4=4 \ \ \ |-4`

`5x^2-8x=0\ \ \ |:5`

`x^2-8/5x=0`

`x(x-8/5)=0`

 

`x=0\ \ \ \ vee\ \ \ \ x-8/5=0`

`\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x=8/5`

 

Odrzucamy pierwsze rozwiązanie (przyprostokątna nie może mieć długości 0)

 

`{(x=8/5\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ), (y=2*8/5-2=16/5-10/5=6/5):}`

 

`O_(Delta)=8/5+6/5+2=14/5+2=2 4/5+2=4 4/5=4,8\ cm`

Na zakup gruszek przeznaczono

Iloczyn ceny za kilogram (x) oraz liczby kupionych kilogramów gruszek (y) musi być równy 12. 

Uzupełniamy tabelkę. 

`x`  `1`  `2`  `3`  `4`  `6`  `12` 
`y`  `12`  `6`  `4`  `3`  `2`  `1` 

 

Szkicujemy wykres zależności y od x:

 

Na rysunku przedstawiono hiperbolę ...

`a)` 

`f(x)=3/(2x)` 

`vecu=[u_1;u_2]` 

`h-"szukana hiperbola"` 

 

`h:\ y=3/(2x)-2`  

`vecu=[0;-2]`       

 

`A=(9/2;1)` 

`1=3/2*2/9-2`  

`1=1/3-6/3` 

`1ne-5/3`  

Punkt A nie należy do hiperboli h.

 

`B=(3/2;-1)` 

`-1=3/2*2/3-2`  

`-1=1-2` 

`-1 =-1`  

Punkt B należy do hiperboli h.

        

`b)`  

`f(x)=3/(2x)`  

`vecu=[u_1;u_2]`  

`h-"szukana hiperbola"`  

 

`h:\ y=3/(2(x-3))=3/(2x-6)`    

`vecu=[3;0]`       

 

`A=(9/2;1)` 

`1=3/(2*9/2-6)` 

`1=3/3` 

`1=1`     

Punkt A należy do hiperboli h.

 

`B=(3/2;-1)` 

`-1=3/(2*3/2-6)` 

`-1=3/(3-6)` 

`-1=-1` 

Punkt B należy do hiperboli h.

 

`c)` 

`f(x)=3/(2x)`  

`vecu=[u_1;u_2]`  

`h-"szukana hiperbola"`  

 

`h:\ y=3/(2(x+2))+1=3/(2x+4)+1`     

`vecu=[-2;1]`       

 

`A=(9/2;1)` 

`1=3/(2*9/2+4)+1`  

`1=3/13+1` 

`1 ne 16/13`   

 

Punkt A nie należy do hiperboli h.

 

`B=(3/2;-1)` 

`-1=3/(2*3/2+4)+1`  

`-1=3/7+7/7`  

`-1ne10/7`  

Punkt B nie należy do hiperboli h.

Wyznacz liczbę rozwiązań równania...

Zauważmy, że wyrażenie `x^2+5x+6` możemy zapisać w postaci iloczynowej `(x+2)(x+3).` 

Stąd równanie ma postać:

`|(x+2)(x+3)|=m|x+2|` 

Korzystając z własności wartości bezwzględnej, otrzymujemy:

`|x+2|*|x+3|=m|x+2|` 

`|x+2|*|x+3|-m|x+2|=0` 

`|x+2|(|x+3|-m)=0` 

`|x+2|=0\ vv\ |x+3|=m` 

{premium}

Równanie `|x^2+5x+6|=m|x+2|`  przekształciliśmy równoważnie, otrzymując alternatywę prostych

równań z wartością bezwzględną.

Równanie `|x+2|=0` ma jedno rozwiązanie równe `-2.` 

Liczbę rozwiązań równania `|x+3|=m` ustalimy, interpretując to równanie graficznie jako równość wartości

funkcji `y=|x+3|` oraz `y=m.`   

 

Na podstawie rysunku widzimy, że równanie `|x+3|=m` 

`1)` nie ma rozwiązań, gdy `m in (-oo,\ 0),` 

`2)` ma jedno rozwiązanie, gdy `m=0,` 

`3)` ma dwa rozwiązania, gdy `m in (0,+oo).` 

 

Zauważmy, że jeśli `m=1,` to równanie `|x+3|=m` ma dwa rozwiązania, z których jednym jest wcześniej

wyznaczone `x=-2.` 

 

Wynika stąd, że równanie `|x^2+5x+6|=m|x+2|` 

`1)` ma jedno rozwiązanie, gdy `m in (-oo,\ 0),` 

`2)` ma dwa rozwiązania, gdy `m in {0,\ 1},` 

`3)` ma trzy rozwiązania, gdy `k in (0,\ 1) uu (1,+oo).` 

Na rysunku przedstawiono wykres funkcji...

`a) \ f(x) = -x^3 + 3x^2 -1` 

Funkcja rośnie:

`x in [0,2]` 

Funkcja maleje w przedziałach:

`x in (-oo, 0] \ \ "i" \ \ x in [2,oo)` 

 

Zbadajmy znak pochodnej:

`f^' (x) = -3x^2 + 6x` 

`f^' (x) > 0` 

`-3x(x-2) > 0` 

`x(x-2) < 0` 

Funkcja rośnie w przedziałach:

`x in (-oo, 0] \ \ "i" \ \ x in [2, oo)` 

Maleje na przedziale:

`x in [0,2]` 

Zgadza się.

 

 

`b) \ f(x) = - (8x)/(x^2+1)` 

Funkcja rośnie:

`x in (-oo, -1] \ \ "i" \ \ x in [1, oo)` 

Funkcja maleje:

`x in [-1,1]` 

 

`f^' (x) = -((8x)^' (x^2+1) - (8x) (x^2+1)^')/((x^2+1)^2) = -(8(x^2+1) - 8x*2x)/((x^2+1)^2) = -(8x^2+8 -16x^2)/((x^2+1)^2) = (8x^2-8)/((x^2+1)^2) = (8(x^2-1))/((x^2+1)^2)` 

Zbadajmy znak pochodnej:

`f^'(x) geq 0` 

`(8(x^2-1))/((x^2+1)^2) geq 0` 

`8(x-1)(x+1) geq 0` 

Funkcja rośnie w przedziałach:

`x in (-oo, -1] \ \ "i" \ \ x in [1, oo)` 

Maleje na przedziale:

`x in [-1,1]`