Logarytmy - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Logarytmy - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Logarytmy

Matura rozszerzona w zakresie logarytmów nie wymaga tak naprawdę więcej niż dwóch dodatkowych rzeczy w odniesieniu do matury podstawowej.

Pierwszą z nich jest wyłączenie przed logarytm wykładnika. Z poprzedniego tekstu o logarytmach, wiecie już, że $log_{a} b^c = c×log_{a} b$

Co jednak, jeśli mamy sytuację $log_{(a^b)} c$.
Okazuje się, że coś takiego jest równe po prostu ${1}/{b} log_{a} c$.

Dlaczego?
Dowód jest całkiem prosty:

Najpierw korzystamy z własności, że $log_{a} b = {1}/{ {log_{b} } a$ i otrzymujemy $log_{(a^b)} c = {1}/{log_{c} } (a^b)$. Później wyłączamy wykładnik przed logarytm i znowu odwracamy ułamek, w efekcie otrzymując faktycznie ${1}/{b} log_{a} c$.

Składając to z poprzednim wzorem w ogólności otrzymujemy:
$log_{(a^b)} c^d = {d}/{b} log_{a} c$

(Łatwo zapamiętać: górny wykładnik wchodzi na górę ułamka, dolny - na dół).

Przykłady:

${log_{2} }^4 3^3 = 3/4 log_{2} 3$
$log_{8} 32 = {log_{2} }^3 2^5 = 5/3 log_{2} 2 = 5/3$


Drugi nowy wzór jest nieco bardziej skomplikowany i służy do zamiany podstawy logarytmu. Możemy użyć go do zamiany niewygodnej dla nas podstawy na taką, którą łatwiej operować: w szczególnośi możemy na przykład zamienić każdy logarym na logarytm dziesiętny lub naturalny. Wygląda on tak:

$log_{a} b = { log_{c} b} / {log_{c} a}$

Jego dowód:
$log_{a} b = {log_{c} b}/{ log_{c} a}$
$log_{a} b ×log_{c} a= log_{c} b$

Korzystamy ze wzoru na włączenie potęgi:

$log_{c} a^{log_{a} b} = log_{c} b$

Oczywiście $a^{log_{a} b}$ jest równe b - podnosimy a do tej potęgi, do jakiej należy podnieść a, żeby otrzymać b) i w efekcie dostajemy:

$log_{c} b = log_{c} b$

Czyli wzór rzeczywiście działa.

Widać z niego, że dowolne dwa logarytmy o ustalonych podstawach: na przykład $log_{2} x$ i $log_{100} x$ różnią się jedynie o pomnożenie przez stałą ${1}/{log_{2} 1000}$.


Ćwiczenie 1. Uprość wyrażenie:

a) $log_{2} 3^10$

Wyłączamy po prostu przed logarytm wykładnik otrzymując $10 log_{2} 3$

b) $log_{2^9} 4^9$

Zamieniając $4$ na $2^2$ dostajemy:
$log_{2^9} (2^2)^9 = log_{2^9} (2^9)^2$, czyli tak naprawdę $log_a a^2$ - co z definicji jest równe $2$ (do jakiej potęgi należy podnieść $a$, aby otrzymać $a^2$?).

c) $log_{5} 1000$

Rozkładając $1000$ na czynniki pierwsze dostajemy:
$log_{5} 1000 = log_{5} 5^3×2^3$

Teraz możemy podzielić logarytm na dwie części zamieniając mnożenie na dodawanie:

$log_{5} 5^3×2^3 = log_{5} 5^3 + log_{5} 2^3 = 3 + 3log_{5} 2$.



Ćwiczenie 2. Zamień podstawę logarytmu $log_{5} 3600$ na 10 i uprość.
 

Tak jak w poprzednim zadaniu rozkładamy $3600$ na czynniki - tyle, że tym razem interesuje nas ilość 10 mieszczących się w argumencie.

$log_{5} 3600 = log_{5} 10^2 × 2^2×3^2$

Teraz możemy zamieniać podstawy logarytmu:

$log_5 3600 = {log_10 3600}/{log_10 5} = {log_10 10^2 × 2^2×3^2}/{log_10 5} = {2(2log_10 2 + log_10 3 + log_10 5)}/{log_10 5} =$
$= 2 + {4log_10 2}/{log_10 5} + {2log_10 3}/{log_10 5}$

Spis treści

Rozwiązane zadania
Podstawa trójkąta równoramiennego...

W wyniku obrotu trójkąta ABC wokół prostej BC otrzymamy dwa stożki "sklejone" podstawami jak na rysunku poniżej: {premium}


Mamy dane:

 

 


Z tw. Pitagorasa dla trójkąta AEC:

 

 

 

 

 


Porównując wzory na pole dla trójkąta ABC otrzymujemy:

 

 

 

 


Pole powierzchni całkowitej otrzymanej bryły jest równe sumie pól powierzchni bocznych dwóch stożków:

 


Objętość otrzymanej bryły jest równa sumie objętości dwóch stożków:

 


 

Oblicz wartość wyrażenia. Zapisz konieczne założenia.

a) Założenia:

 


Obliczamy wartość wyrażenia:{premium}

 



b) Założenia:

 


Obliczamy wartość wyrażenia:

 

Określ, czy funkcja jest jednomianem

 

Nie jest to jednomian, ponieważ wykładnik potęgi (-1) nie jest liczbą naturalną. 

 

{premium}  

 

 

Nie jest to jednomian, ponieważ pierwiastek kwadratowy to potęga 1/2 - nie jest to liczba naturalna. 

 

 

 

 

 

 

Rozwiąż graficznie i algebraicznie układ ...

 

 

 

 

 

 

Rozwiązujemy drugie równanie:{premium}

 

 

 

 

 

 

Punkty przecięcia wykresów to P1=(1,3) oraz P2=(-3,-1).

 

Rozwiązanie graficzne:

 

 

 

 

 

 

  

Rozwiązujemy drugie równanie:

  

  

 

 

  

  

 

  

Punkty przecięcia wykresów to P1=(3,-4) oraz P2=(-2,1).

 

Rozwiązanie graficzne:

 

  

 

 

  

 

   

Rozwiązujemy drugie równanie:

  

   

   

 

   

  

   

 

     

Punkty przecięcia wykresów to P1=(-2,1) oraz P2=(-4,-3).

 

Rozwiązanie graficzne:

Dane są zbiory

Liczby 2log2(x-2), log2(x-2), 1/2 ...

Zał:

 

 

 

 

Między sąsiednimi wyrazami ciągu geometrycznego zachodzi związek:

 

Zatem otrzymujemy: {premium}

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Wyznaczmy pierwszy i drugi wyraz tego ciągu, a następnie iloraz tego ciągu.

 

 

 

 

Wyznaczmy wzór ogólny tego ciągu.

 

 

Oś y układu współrzędnych...

a) Skoro oś y jest osią symetrii trójkąta i punkt C leży na tej osi to znaczy, że punkt B jest obrazem punktu A w symetrii względem tej osi:

 

 

b) Skoro trójkąt ma oś symetrii to jest trójkątem równoramiennym lub równobocznym.

{premium}  

 

Obliczmy długości boków:

 

  

 

A więc trójkąt ABC jest trójkątem równoramiennym.

 

c) Wysokość opuszczona z wierzchołka C na bok AB wynosi

 

 

Długość boku AB na który opuszczamy wysokość z wierzchołka C wynosi:

 

 

Pole trójkąta:

 

Obwód wynosi:

 

Rozwiąż nierówność.

a) Wyznaczamy dziedzinę nierówności:

 

 

 

Rozwiązujemy nierówność:{premium}

 

 

 

 

 

 

 

 

 


b) Wyznaczamy dziedzinę nierówności:

 

 

 

Rozwiązujemy nierówność:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


c) Wyznaczamy dziedzinę nierówności:

 

 

 

Rozwiązujemy nierówność:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


d) Wyznaczamy dziedzinę nierówności:

 

 

 

Rozwiązujemy nierówność:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Łączymy odpowiednio środki ścian...

Policzmy długość krawędzi ośmiościanu, ośmiościan to dwa sklejone ze sobą podstawami ostrosłupy prawidłowe czworokątne. Rysunek ostrosłupa:

Przekątna kwadratu jest równa długości krawędzi sześcianu. Wysokość ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest połową długości krawędzi sześcianu.

 

 

Długość krawędzi policzymy z twierdzenia Pitagorasa:

 

{premium}  

 

 

Ścianą ośmiościanu jest trójkąt równoboczny. Mamy 8 takich trójkątów a więc pole powierzchni to ośmiokrotne pole trójkąta równobocznego.

Wzór na pole trójkąta równobocznego o boku długości a:

 

Pole powierzchni całkowitej

 

 

Ośmiościan to dwa ostrosłupy czworokątne prawidłowe sklejone podstawami. Objętość ostrosłupa możemy obliczyć ze wzoru:

 

Wiemy, że przekątna kwadratu jest dana wzorem:

 

  

 

 

 

Obliczmy podwojoną objętość ostrosłupa żeby poznać objętość ośmiościanu.

 

Wyznacz zbiory A, B

{premium}