Logarytmy - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Logarytmy

Matura rozszerzona w zakresie logarytmów nie wymaga tak naprawdę więcej niż dwóch dodatkowych rzeczy w odniesieniu do matury podstawowej.

Pierwszą z nich jest wyłączenie przed logarytm wykładnika. Z poprzedniego tekstu o logarytmach, wiecie już, że $$log_{a} b^c = c×log_{a} b$$

Co jednak, jeśli mamy sytuację $$log_{(a^b)} c$$.
Okazuje się, że coś takiego jest równe po prostu $${1}/{b} log_{a} c$$.

Dlaczego?
Dowód jest całkiem prosty:

Najpierw korzystamy z własności, że $$log_{a} b = {1}/{ {log_{b} } a$$ i otrzymujemy $$log_{(a^b)} c = {1}/{log_{c} } (a^b)$$. Później wyłączamy wykładnik przed logarytm i znowu odwracamy ułamek, w efekcie otrzymując faktycznie $${1}/{b} log_{a} c$$.

Składając to z poprzednim wzorem w ogólności otrzymujemy:
$$log_{(a^b)} c^d = {d}/{b} log_{a} c$$

(Łatwo zapamiętać: górny wykładnik wchodzi na górę ułamka, dolny - na dół).

Przykłady:

$${log_{2} }^4 3^3 = 3/4 log_{2} 3$$
$$log_{8} 32 = {log_{2} }^3 2^5 = 5/3 log_{2} 2 = 5/3$$


Drugi nowy wzór jest nieco bardziej skomplikowany i służy do zamiany podstawy logarytmu. Możemy użyć go do zamiany niewygodnej dla nas podstawy na taką, którą łatwiej operować: w szczególnośi możemy na przykład zamienić każdy logarym na logarytm dziesiętny lub naturalny. Wygląda on tak:

$$log_{a} b = { log_{c} b} / {log_{c} a}$$

Jego dowód:
$$log_{a} b = {log_{c} b}/{ log_{c} a}$$
$$log_{a} b ×log_{c} a= log_{c} b$$

Korzystamy ze wzoru na włączenie potęgi:

$$log_{c} a^{log_{a} b} = log_{c} b$$

Oczywiście $$a^{log_{a} b}$$ jest równe b - podnosimy a do tej potęgi, do jakiej należy podnieść a, żeby otrzymać b) i w efekcie dostajemy:

$$log_{c} b = log_{c} b$$

Czyli wzór rzeczywiście działa.

Widać z niego, że dowolne dwa logarytmy o ustalonych podstawach: na przykład $$log_{2} x$$ i $$log_{100} x$$ różnią się jedynie o pomnożenie przez stałą $${1}/{log_{2} 1000}$$.


Ćwiczenie 1. Uprość wyrażenie:

a) $$log_{2} 3^10$$

Wyłączamy po prostu przed logarytm wykładnik otrzymując $$10 log_{2} 3$$

b) $$log_{2^9} 4^9$$

Zamieniając $$4$$ na $$2^2$$ dostajemy:
$$log_{2^9} (2^2)^9 = log_{2^9} (2^9)^2$$, czyli tak naprawdę $$log_a a^2$$ - co z definicji jest równe $$2$$ (do jakiej potęgi należy podnieść $$a$$, aby otrzymać $$a^2$$?).

c) $$log_{5} 1000$$

Rozkładając $1000$ na czynniki pierwsze dostajemy:
$$log_{5} 1000 = log_{5} 5^3×2^3$$

Teraz możemy podzielić logarytm na dwie części zamieniając mnożenie na dodawanie:

$$log_{5} 5^3×2^3 = log_{5} 5^3 + log_{5} 2^3 = 3 + 3log_{5} 2$$.



Ćwiczenie 2. Zamień podstawę logarytmu $$log_{5} 3600$$ na 10 i uprość.
 

Tak jak w poprzednim zadaniu rozkładamy $$3600$$ na czynniki - tyle, że tym razem interesuje nas ilość 10 mieszczących się w argumencie.

$$log_{5} 3600 = log_{5} 10^2 × 2^2×3^2$$

Teraz możemy zamieniać podstawy logarytmu:

$$log_5 3600 = {log_10 3600}/{log_10 5} = {log_10 10^2 × 2^2×3^2}/{log_10 5} = {2(2log_10 2 + log_10 3 + log_10 5)}/{log_10 5} =$$
$$= 2 + {4log_10 2}/{log_10 5} + {2log_10 3}/{log_10 5}$$

Spis treści

Rozwiązane zadania
Wpisz
         
         
         
         
         
Wykonaj dzielenie wielomianów.

A więc otrzymaliśmy iloraz bez reszty:

 

 

 

A więc otrzymaliśmy iloraz bez reszty:

 

 

 

 

A więc otrzymaliśmy iloraz:

 

z resztą  równą 1.

 

 

 

A więc otrzymaliśmy iloraz:

 

z resztą równą 3.

Wykres funkcji kwadratowej ...

 

 

 

 

Oblicz granicę.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Uzasadnij, że równanie...

a)

 

 

Sprawdźmy kiedy  czyli kiedy równanie ma jedno lub dwa rozwiązania.

 

 

Dla każdego  


b) 

 

 

 

Sprawdźmy kiedy  czyli kiedy równanie ma jedno lub dwa rozwiązania.

 

 

Dla każdego   

Trójkąt prostokątny, którego przeciwprostokątna ...

 

Jeżeli opiszemy okrąg na trójkącie prostokątnym równoramiennym to połowa c jest równa promieniowi okręgu.{premium}

Wysokość poprowadzona z wierzchołka kąta prostego jest również równa promieniowi. 

 

 

  

Oblicz skalę, w jakiej wykonany ...

 

 

 

 

{premium}

 

 

 

 

 

   

    

Wykaż, że jeśli...

Skorzystajmy z założenia:

 {premium}

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Wskaż równanie...

Sprawdźmy A.

 

 

 

 

brak rozwiązań


Sprawdźmy B.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

brak rozwiązań


Sprawdźmy C.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


 Sprawdźmy D.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Odp. D

Oblicz, wiedząc, że...