Kombinatoryka - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Kombinatoryka

W zadaniach z rachunku prawdopodobieństwa często zdarza się, że musimy policzyć ilość przypadków, w jakich może występować zdarzenie. Służy do tego kombinatoryka - w tym rozdziale omówimy podstawowe jej pojęcia, takie jak permutacja, kombinacja, wariacja i wariacja z powtórzeniem.
 

Permutacje

Załóżmy, że mamy ciąg $$n$$ liczb, od $$0$$ do $$n-1$$. Chcielibyśmy wiedzieć, na ile sposobów da się postawić te liczby w ciągu, czyli poznać liczbę wszystkich jego permutacji.

Zauważmy, że pierwszy element możemy wybrać na $$n$$ sposobów. Drugi element: na $$n-1$$, trzeci: na $$n-2$$ i tak dalej. Wymnażając wszystkie te liczby otrzymujemy iloczyn $$1×2×3×4×...×(n-1)×n$$, który oznacza się symbolem $$n!$$ i nazywamy "silnią". Warto wspomnieć, że możemy ją także zdefiniować rekurencyjnie, jako ciąg $$n! = (n-1)!×n$$ i $$0! = 1$$.
 

Kombinacje (bez powtórzeń)

Zacznijmy od pytania: na ile sposobów jesteśmy w stanie wybrać trzy piłki ze zbioru 10 ponumerowanych piłek?

Pierwszą możemy wybrać na 10 sposobów. Drugą - na 9, trzecią na 8. Wydawałoby się, że odpowiedzią będzie więc $$10×9×8$$. Jednak sytuację, kiedy wybraliśmy piłki o numerach 0, 1 i 2 policzyliśmy kilka razy - na przykład w kolejności 0,1,2 i 0,2,1. Musimy więc podzielić otrzymaną liczbę przez ilość permutacji wybranego zbioru, czyli przez $$3! = 1×2×3 = 6$$. Ostatecznie dostajemy $${8×9×10}/{3!}$$.

Jednak jeśli zamiast 10 piłek mielibyśmy ich 1000, a zamiast wybierać 3 kazanoby nam wybrać 100, zapisanie tego w postaci takiego ułamka byłoby dość czasochłonne. Możemy jednak zauważyć, że zamiast pisać $$1000×(1000-1)×(1000-2)×...×(1000-99)$$, możemy po prostu napisać $${1000!}/{(1000-100)!}$$.

W ogólności wzór na ilość kombinacji będzie więc wyglądał tak:

$${n!}/{(n-k)!} × {1}/{k!} = {n!}/{(n-k)!k!}$$

Aby jeszcze bardziej uprościć zapis, taki ułamek będziemy oznaczali jako $$( able n;k)$$.
 

Kombinacje (z powtórzeniami)

Teraz czas na pytanie innego rodzaju: na ile sposobów jesteśmy w stanie wybrać dwie piłki spośród czterech, przy czym po wybraniu pierwszej wrzucamy ją spowrotem do worka?

Rozpisując wszystkie kombinacje można się przekonać, że isnieje ich dokładnie 10 - do "standardowych", które policzylibyśmy korzystając z poprzedniego podpunktu $$( able 4;2) = 6$$ należy dodać jeszcze cztery zawierające dwa takie same elementy: $$(0,0), (1,1), (2,2)$$ i $$(3,3)$$.

Jednak takie podejście nie zadziała w ogólności, ponieważ przy wybieraniu większej ilości piłek możemy mieć kombinacje składające się na przykład z trzech takich samych i dwóch innych.

Rozwiązanie zadania opiera się na pomyśle, aby każdej kombinacji przyporządkować pewien ciąg zer i jedynek. Liczba zer w ciągu będzie wynosiła $$n-1$$, jedynek - $$k$$.

Ciąg przyporządkowywujemy w ten sposób, że każda jedynka odpowiada elementowi o numerze równym ilości zer przed jedynką. Inaczej mówiąc: jeśli przed trzecią jedynką jest na przykład 5 zer, to znaczy to, że w kombinacji znajduje się piątka. Jako że ilość sposobów rozmieszczenia k jedynek na n+k-1 miejscach wynosi $$(n+k-1 choose k)$$, a każdy taki sposób odpowiada jednej kombinacji z powtórzeniami, to właśnie tyle jest kombinacji z powtórzeniami.

Przykład:

Załóżmy że $$n=5, k=3$$. Wtedy kombinacji $$(1,2,3)$$ odpowiada ciąg $$(0,1,0,1,0,1,0)$$. Kombinacji $$(0,2,2)$$ odpowiada zaś ciąg $$(1,0,0,1,1,0,0)$$.
 

Wariacje

Wariacje, w odróżnieniu od kombinacji, są ciągami, a nie zbiorami. Oznacza to, że kolejność ma w nich znaczenie: jedyną zmianą, jaką w takim razie wprowadzamy we wzorze jest usunięcie składnika $$k!$$. Ilość wariacji bez powtórzeń jest więc równa:
$${n!}/{(n-k)!}$$

zaś z powtórzeniami:
$$n^k$$, ponieważ na pierwsze miejsce można każdy z $$n$$ elementów, na drugi - także, itd.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Naszkicuj wykres funkcji...

Funkcja postaci:

rownanie matematyczne 

ma asymptotę poziomą daną równaniem:

rownanie matematyczne 

 

 

a) Naszkicujmy wykres funkcji:

rownanie matematyczne 

Przesuńmy wykres funkcji o 3 jednostki w dół:

rownanie matematyczne 

 

 

Równanie asymptoty poziomej to:

rownanie matematyczne 

Własności:

rownanie matematyczne 

 

rownanie matematyczne 

 

rownanie matematyczne 

 

rownanie matematyczne 

 

Funkcja rosnąca.

 

b) Naszkicujmy wykres funkcji:

rownanie matematyczne 

Przesuńmy wykres funkcji o 1 jednostkę w górę:

rownanie matematyczne 

Równanie asymptoty poziomej to:

rownanie matematyczne 

 

Własności:

rownanie matematyczne 

 

rownanie matematyczne 

 

rownanie matematyczne 

 

rownanie matematyczne 

 

Funkcja rosnąca.

 

c) Naszkicujmy wykres funkcji:

rownanie matematyczne  

Przesuńmy wykres funkcji o 2 jednostki w dół:

Równanie asymptoty poziomej to:

rownanie matematyczne  

 

Własności:

rownanie matematyczne 

 

rownanie matematyczne 

 

rownanie matematyczne 

 

rownanie matematyczne 

 

Funkcja malejąca.

 

d) Naszkicujmy wykres funkcji:

rownanie matematyczne 

Przesuńmy wykres funkcji o 3/2 jednostki w górę.

Równanie asymptoty poziomej to:

rownanie matematyczne 

 

Własności:

rownanie matematyczne 

 

rownanie matematyczne 

 

rownanie matematyczne 

 

rownanie matematyczne 

 

Funkcja malejąca.

Wykresem funkcji f jest prosta ...

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne     

Zamień miarę stopniową...

a) rownanie matematyczne 

 

b) rownanie matematyczne 

 

c) rownanie matematyczne 

 

d)  rownanie matematyczne  

Oblicz granicę.

rownanie matematyczne 

 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

 

rownanie matematyczne 

Wyznacz przedziały monotoniczności funkcji f.

a) rozwiązane w ćwiczeniach

 

b)

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

 

rownanie matematyczne 

 

funkcja rośnie w rownanie matematyczne 

funkcja maleje w rownanie matematyczne 

Ćwiczenie 2

rownanie matematyczne      

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne   

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne    

rownanie matematyczne 

 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne  

W trójkącie równoramiennym kąt między ramionami

a)

Dorysowujemy kąt środkowy AOB oparty na tym samym łuku co kąt ACB. Kąt środkowy oparty na tym samym łuku co kąt wpisany ma miarę dwa razy większą od tego kąta wpisanego:

rownanie matematyczne

Trójkąt AOB jest równoramienny i prostokątny. Jego ramiona pokrywają się promieniami, dlatego długość promienia może obliczyć z twierdzenia Pitagorasa:

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

b)

 I przypadek:

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne      rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

Obliczamy długość ramienia tego trójkąta:

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne   rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

 

II przypadek:

 

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne          /rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

Obliczamy długość ramienia trójkąta:

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne    rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

 

Punkt M=(a,b) należy do wykresu funkcji ...

Punkt rownanie matematyczne należy do wykresu funkcji rownanie matematyczne, więc podstawiamy jego współrzędne do wzoru funkcji

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

Współrzędna rownanie matematyczne ma być większa od liczby rownanie matematyczne.

rownanie matematyczne.

Zatem{premium}

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

 

Współczynnik przy najwyższej potędze jest liczbą większą od rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne,

dlatego ramiona paraboli są skierowane do góry.

 

 

Odczytujemy z wykresu dla jakich rownanie matematyczne nierówność rownanie matematyczne jest spełniona

rownanie matematyczne.

Aby współrzędna rownanie matematyczne była większa od rownanie matematyczne, współrzędna rownanie matematyczne musi być mniejsza od rownanie matematyczne lub większa od rownanie matematyczne, czyli

rownanie matematyczne lub rownanie matematyczne.

Poziom wody w zbiorniku

Tworząca stożka ma 50 cm. Średnica podstawy stożka ma 60 cm. Promień podstawy stożka jest 2 razy krótszy od średnicy. 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

 

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa obliczmy, jaką długość ma wysokość stożka:

  

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

 

Obliczmy, jaka jest objętość stożka:

rownanie matematyczne 

 

Wiemy, że woda sięga połowy wysokości stożka. Woda tworzy więc stożek o wysokości 20 cm. Trójkąty będące przekrojami osiowymi małego i dużego stożka są trójkątami podobnymi, jeśli więc wysokość niebieskiego stożka (wody) jest 2 razy krótsza od wysokości dużego stożka (zbiornika), to promień podstawy niebieskiego stożka także jest 2 razy krótszy od promienia podstawy dużego stożka. Promień podstawy niebieskiego stożka ma więc 15 cm. 

Obliczamy objętość niebieskiego stożka (objętość wody):

rownanie matematyczne 

 

Obliczamy, ile wody trzeba dolać:

rownanie matematyczne   

Oblicz sumę wszystkich liczb:

rownanie matematyczne 

Wypiszmy kilka wyrazów tego ciągu:

rownanie matematyczne 

Wyraz pierwszy to:

rownanie matematyczne 

Różnica to:

rownanie matematyczne 

Wyraz ostatni to:

rownanie matematyczne 

Obliczmy, z ilu wyrazów składa się ten ciąg. W tym celu rozpisujemy ze wzoru ogólnego ciągu arytmetycznego wyraz ostatni:

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne

 

Ciąg składa się z 15 wyrazów.

Obliczamy sumę tego ciągu:

rownanie matematyczne  

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne   

Wypiszmy kilka wyrazów tego ciągu:

rownanie matematyczne 

Wyraz pierwszy to:

rownanie matematyczne 

Różnica to:

rownanie matematyczne   

Wyraz ostatni to:

rownanie matematyczne  

Obliczmy, z ilu wyrazów składa się ten ciąg. W tym celu rozpisujemy ze wzoru ogólnego ciągu arytmetycznego wyraz ostatni:

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne  

rownanie matematyczne  

rownanie matematyczne  

rownanie matematyczne  

rownanie matematyczne  

 

Ciąg składa się z 33 wyrazów.

Obliczamy sumę tego ciągu:

rownanie matematyczne  

rownanie matematyczne   

 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne   

Aby obliczyć sumę liczb dwucyfrowych, które przy dzieleniu przez 7 dają resztę 5 lub 7, dzielimy ten ciąg na dwa ciągi:

pierwszy, składający się z liczb dwucyfrowych, które przy dzieleniu przez 7 dają resztę 5 oraz drugi, składający się z liczb

dwucyfrowych, które przy dzieleniu przez 7 dają resztę 6.

Wypiszmy kilka wyrazów ciągu, który przy dzieleniu przez 7 daje resztę 5:

rownanie matematyczne 

Wyraz pierwszy to:

rownanie matematyczne 

Różnica to:

rownanie matematyczne    

Wyraz ostatni to:

rownanie matematyczne   

Obliczmy, z ilu wyrazów składa się ten ciąg. W tym celu rozpisujemy ze wzoru ogólnego ciągu arytmetycznego wyraz ostatni:

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne   

rownanie matematyczne   

rownanie matematyczne   

rownanie matematyczne   

rownanie matematyczne  

 

Ciąg składa się z 13 wyrazów.

Obliczamy sumę tego ciągu:

rownanie matematyczne  

rownanie matematyczne    

 

Wypiszmy kilka wyrazów ciągu, który przy dzieleniu przez 7 daje resztę 6:

rownanie matematyczne 

Wyraz pierwszy to:

rownanie matematyczne 

Różnica to:

rownanie matematyczne    

Wyraz ostatni to:

rownanie matematyczne   

Obliczmy, z ilu wyrazów składa się ten ciąg. W tym celu rozpisujemy ze wzoru ogólnego ciągu arytmetycznego wyraz ostatni:

 

rownanie matematyczne   

rownanie matematyczne   

rownanie matematyczne   

rownanie matematyczne   

rownanie matematyczne  

 

Ciąg składa się z 13 wyrazów.

Obliczamy sumę tego ciągu:

rownanie matematyczne  

rownanie matematyczne 

 

Obliczamy sumę wyrazów obu ciągów:

rownanie matematyczne     

 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne     

Aby obliczyć sumę liczb dwucyfrowych z przedziału <50;150> podzielnych przez 3 lub przez 5, dzielimy ten ciąg na dwa ciągi:

pierwszy, składający się z liczb z  przedziału <50;150>, które podzielne są przez 3 oraz drugi składający się z liczb

dwucyfrowych, które dzielą się przez 5.

Wypiszmy kilka wyrazów ciągu liczb z przedziału <50,150> podzielnych przez 3:

rownanie matematyczne 

Wyraz pierwszy to:

rownanie matematyczne 

Różnica to:

rownanie matematyczne     

Wyraz ostatni to:

rownanie matematyczne    

Obliczmy, z ilu wyrazów składa się ten ciąg. W tym celu rozpisujemy ze wzoru ogólnego ciągu arytmetycznego wyraz ostatni:

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne   

rownanie matematyczne    

rownanie matematyczne    

rownanie matematyczne    

rownanie matematyczne   

 

Ciąg składa się z 34 wyrazów.

Obliczamy sumę tego ciągu:

rownanie matematyczne   

rownanie matematyczne      

 

Wypiszmy kilka wyrazów ciągu liczb, które dzielą się przez 5:

rownanie matematyczne  

Wyraz pierwszy to:

rownanie matematyczne 

Różnica to:

rownanie matematyczne     

Wyraz ostatni to:

rownanie matematyczne    

Obliczmy, z ilu wyrazów składa się ten ciąg. W tym celu rozpisujemy ze wzoru ogólnego ciągu arytmetycznego wyraz ostatni:

 

rownanie matematyczne   

rownanie matematyczne   

rownanie matematyczne    

rownanie matematyczne   

rownanie matematyczne   

 

Ciąg składa się z 21 wyrazów.

Obliczamy sumę tego ciągu:

rownanie matematyczne  

rownanie matematyczne  

 

Obliczamy sumę wyrazów obu ciągów:

rownanie matematyczne      

 

Musimy zwrócić uwagę, że w obu ciągach powtarzają się wyrazy, które są podzielne równocześnie przez 3 i przez 5.

W sumie policzyliśmy te wyrazy podwójnie. Musimy więc je odjąć.

Wypiszmy ciag składający się z wyrazów podzielnych równocześnie przez 3 i przez 5:

rownanie matematyczne 

Obliczamy sumę tego ciągu:

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

 

Od sumy wyrazów ciągu licb podzielnych przez 3 lub przez 5 odejmujemy sumę wyrazów ciągu liczb podzielnych przez 3 i przez 5:

rownanie matematyczne 

Suma liczb należących do przedziału <50;150> podzielnych przez 3 lub przez 5 wynosi 4782.