Zgoda na przetwarzanie danych osobowych

25 maja 2018 roku zacznie obowiązywać Rozporządzenie Parlamentu Europejskiego i Rady (UE) 2016/679 z dnia 27 kwietnia 2016 r. znane jako RODO.

Dlatego aby dalej móc dostarczać Ci materiały odpowiednie do Twojego etapu edukacji, potrzebujemy zgody na lepsze dopasowanie treści do Twojego zachowania. Dzięki temu możemy zapamiętywać jakie materiały są Ci potrzebne. Dbamy o Twoją prywatność, więc nie zwiększamy zakresu naszych uprawnień. Twoje dane są u nas bezpieczne, a zgodę na ich zbieranie możesz wycofać na podstronie polityka prywatności.

Klikając "Przejdź do Odrabiamy", zgadzasz się na wskazane powyżej działania. W przeciwnym wypadku, nie jesteśmy w stanie zrealizować usługi kompleksowo i prosimy o opuszczenie strony.

Polityka prywatności

Drogi Użytkowniku w każdej chwili masz prawo cofnąć zgodę na przetwarzanie Twoich danych osobowych. Cofnięcie zgody nie będzie wpływać na zgodność z prawem przetwarzania, którego dokonano na podstawie wyrażonej przez Ciebie zgody przed jej wycofaniem. Po cofnięciu zgody wszystkie twoje dane zostaną usunięte z serwisu. Udzielenie zgody możesz modyfikować w zakładce 'Informacja o danych osobowych'

Kombinatoryka - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Kombinatoryka

W zadaniach z rachunku prawdopodobieństwa często zdarza się, że musimy policzyć ilość przypadków, w jakich może występować zdarzenie. Służy do tego kombinatoryka - w tym rozdziale omówimy podstawowe jej pojęcia, takie jak permutacja, kombinacja, wariacja i wariacja z powtórzeniem.
 

Permutacje

Załóżmy, że mamy ciąg $$n$$ liczb, od $$0$$ do $$n-1$$. Chcielibyśmy wiedzieć, na ile sposobów da się postawić te liczby w ciągu, czyli poznać liczbę wszystkich jego permutacji.

Zauważmy, że pierwszy element możemy wybrać na $$n$$ sposobów. Drugi element: na $$n-1$$, trzeci: na $$n-2$$ i tak dalej. Wymnażając wszystkie te liczby otrzymujemy iloczyn $$1×2×3×4×...×(n-1)×n$$, który oznacza się symbolem $$n!$$ i nazywamy "silnią". Warto wspomnieć, że możemy ją także zdefiniować rekurencyjnie, jako ciąg $$n! = (n-1)!×n$$ i $$0! = 1$$.
 

Kombinacje (bez powtórzeń)

Zacznijmy od pytania: na ile sposobów jesteśmy w stanie wybrać trzy piłki ze zbioru 10 ponumerowanych piłek?

Pierwszą możemy wybrać na 10 sposobów. Drugą - na 9, trzecią na 8. Wydawałoby się, że odpowiedzią będzie więc $$10×9×8$$. Jednak sytuację, kiedy wybraliśmy piłki o numerach 0, 1 i 2 policzyliśmy kilka razy - na przykład w kolejności 0,1,2 i 0,2,1. Musimy więc podzielić otrzymaną liczbę przez ilość permutacji wybranego zbioru, czyli przez $$3! = 1×2×3 = 6$$. Ostatecznie dostajemy $${8×9×10}/{3!}$$.

Jednak jeśli zamiast 10 piłek mielibyśmy ich 1000, a zamiast wybierać 3 kazanoby nam wybrać 100, zapisanie tego w postaci takiego ułamka byłoby dość czasochłonne. Możemy jednak zauważyć, że zamiast pisać $$1000×(1000-1)×(1000-2)×...×(1000-99)$$, możemy po prostu napisać $${1000!}/{(1000-100)!}$$.

W ogólności wzór na ilość kombinacji będzie więc wyglądał tak:

$${n!}/{(n-k)!} × {1}/{k!} = {n!}/{(n-k)!k!}$$

Aby jeszcze bardziej uprościć zapis, taki ułamek będziemy oznaczali jako $$( able n;k)$$.
 

Kombinacje (z powtórzeniami)

Teraz czas na pytanie innego rodzaju: na ile sposobów jesteśmy w stanie wybrać dwie piłki spośród czterech, przy czym po wybraniu pierwszej wrzucamy ją spowrotem do worka?

Rozpisując wszystkie kombinacje można się przekonać, że isnieje ich dokładnie 10 - do "standardowych", które policzylibyśmy korzystając z poprzedniego podpunktu $$( able 4;2) = 6$$ należy dodać jeszcze cztery zawierające dwa takie same elementy: $$(0,0), (1,1), (2,2)$$ i $$(3,3)$$.

Jednak takie podejście nie zadziała w ogólności, ponieważ przy wybieraniu większej ilości piłek możemy mieć kombinacje składające się na przykład z trzech takich samych i dwóch innych.

Rozwiązanie zadania opiera się na pomyśle, aby każdej kombinacji przyporządkować pewien ciąg zer i jedynek. Liczba zer w ciągu będzie wynosiła $$n-1$$, jedynek - $$k$$.

Ciąg przyporządkowywujemy w ten sposób, że każda jedynka odpowiada elementowi o numerze równym ilości zer przed jedynką. Inaczej mówiąc: jeśli przed trzecią jedynką jest na przykład 5 zer, to znaczy to, że w kombinacji znajduje się piątka. Jako że ilość sposobów rozmieszczenia k jedynek na n+k-1 miejscach wynosi $$(n+k-1 choose k)$$, a każdy taki sposób odpowiada jednej kombinacji z powtórzeniami, to właśnie tyle jest kombinacji z powtórzeniami.

Przykład:

Załóżmy że $$n=5, k=3$$. Wtedy kombinacji $$(1,2,3)$$ odpowiada ciąg $$(0,1,0,1,0,1,0)$$. Kombinacji $$(0,2,2)$$ odpowiada zaś ciąg $$(1,0,0,1,1,0,0)$$.
 

Wariacje

Wariacje, w odróżnieniu od kombinacji, są ciągami, a nie zbiorami. Oznacza to, że kolejność ma w nich znaczenie: jedyną zmianą, jaką w takim razie wprowadzamy we wzorze jest usunięcie składnika $$k!$$. Ilość wariacji bez powtórzeń jest więc równa:
$${n!}/{(n-k)!}$$

zaś z powtórzeniami:
$$n^k$$, ponieważ na pierwsze miejsce można każdy z $$n$$ elementów, na drugi - także, itd.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Pan Iksiński wziął ...

Skoro raty płacone kwartalnie, to liczba rat wynosi 8.

`200+7*50=550` 

(Nie odliczamy 50 od pierwszej raty - stąd 7 a nie 8.)

 

`"Odpowiedź B."` 

Oblicz pole n-kąta foremnego opisanego ...

Dany jest okrąg o średnicy długości 6.

Średnica jest dwa razy dłuższa od promienia okręgu, stąd promień okręgu:

`r=1/strike2^1*strike6^3=3` 

 

`"a)"\ n=3` 

Chcemy obliczyć pole trójkąta równobocznego opisanego na zadanym okręgu.

Inaczej mówiąc okrąg jest wpisany w trójkąt rownoboczny.

Przyjmijmy, że trójkąt równoboczny ma bok długości a.

Wówczas promień okręgu wpisanego w trójkąt obliczamy korzystając ze wzoru:

`r=(asqrt3)/6` 

Stąd:

`3=(asqrt3)/6\ \ \ \ \ \ \ \ \|*6` 

`18=asqrt3\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ |:sqrt3` 

`a=18/sqrt3\ stackrel("usuwamy niewymierność")=\ 18/sqrt3*sqrt3/sqrt3=(strike18^6sqrt3)/strike3^1=6sqrt3` 

 

Wyznaczamy pole trójkąta równobocznego:

`P_(Delta)=(a^2sqrt3)/4=((6sqrt3)^2sqrt3)/4=(strike108^27sqrt3)/strike4^1=27sqrt3\ [j^2]` 

`ul(ul( \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))`     

`"b)"\ n=6`  

Chcemy obliczyć pole sześciokąta foremnego opisanego na zadanym okręgu, czyli dany okrąg jest wpisany w sześciokąt foremny.

Przyjmijmy, że bok sześciokąta ma długości b.

Wówczas promień okręgu wpisanego w sześciokąt foremny obliczamy korzystając ze wzoru:

`r=(asqrt3)/2` 

Stąd:

`3=(asqrt3)/2\ \ \ \ \ \ \ \ \|*2` 

`6=asqrt3\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ |:sqrt3` 

`a=6/sqrt3\ stackrel("usuwamy niewymierność")=\ 6/sqrt3*sqrt3/sqrt3=(strike6^2sqrt3)/strike3^1=2sqrt3` 

 

Wyznaczamy pole sześciokąta foremnego o boku długości a:

`P_("sz")=6*(a^2sqrt3)/4=6*((2sqrt3)^2sqrt3)/4=6*(strike12^3sqrt3)/strike4^1=6*3sqrt3=18sqrt3\ [j^2]` 

Rozwiąż równanie.

a) `x-8sqrtx+15=0` 

`x>=0` 

Wstawmy `x=t^2` przy założeniu `t>=0` 

`t^2-8t+15=0` 

`Delta=(-8)^2-4*1*15=64-60=4` 

`sqrt(Delta)=2` 

`t_1=(-(-8)-2)/(2*1)=(8-2)/2=6/2=3` 

`t_2=(-(-8)+2)/(2*1)=(8+2)/2=10/2=5` 

`x=3^2 \ \ "lub" \ \ x=5^2` 

`x=9 \ \ "lub" \ \ x=25` 


b) `x+sqrt(3x)-1/4=0` 

`x>=0` 

Wstawmy `x=t^2` przy założeniu `t>=0` 

`t^2+sqrt3t-1/4=0` 

`Delta=(sqrt3)^2-4*1*(-1/4)=3+1=4` 

`sqrt(Delta)=2` 

`t_1=(-sqrt3-2)/(2*1)=(-sqrt3-2)/2 \ \ "sprzeczność"` 

`t_2=(-sqrt3+2)/(2*1)=(-sqrt3+2)/2` 

`x=((-sqrt3+2)/2)^2=(2-sqrt3)^2/4=(4-4sqrt3+3)/4=(7-4sqrt3)/4` 


c) `6x+sqrtx=1` 

`x>=0` 

Wstawmy `x=t^2` przy założeniu `t>=0` 

`6t^2+t=1` 

`6t^2+t-1=0` 

`Delta=1^2-4*6*(-1)=1+24=25` 

`sqrt(Delta)=5` 

`t_1=(-1-5)/(2*6)=(-6)/12=-1/2 \ \ "sprzeczność"` 

`t_2=(-1+5)/(2*6)=4/12=1/3` 

`x=(1/3)^2=1/9` 


d) `sqrt2x-sqrtx=0` 

`x>=0` 

Wstawiamy `x=t^2` przy założeniu `t>=0` 

`sqrt2t^2-t=0` 

`t(sqrt2t-1)=0` 

`t=0 \ \ "lub" \ \ sqrt2t-1=0` 

`t=0 \ \ "lub" \ \ t=sqrt2/2` 

 

`x=0 \ \ "lub" \ \ x=1/2`  


e) `x^3-9xsqrtx+8=0` 

`x^3-9sqrt(x^3)+8=0` 

`x>=0` 

Wstawiamy `x^3=t^2` przy założeniu `t>=0` 

`t^2-9t+8=0` 

`Delta=(-9)^2-4*1*8=81-32=49` 

`sqrt(Delta)=7` 

`t_1=(-(-9)-7)/(2*1)=(9-7)/2=2/2=1` 

`t_2=(-(-9)+7)/(2*1)=(9+7)/2=16/2=8` 

 

`x^3=1 \ \ "lub" \ \ x^3=64` 

`x=1 \ \ "lub" \ \ x=4` 


f) `x^3-sqrt(27x^3)=0` 

`x^3-3sqrt3sqrt(x^3)=0` 

`x>=0` 

Wstawiamy `x^3=t^2` przy założeniu `t>=0` 

`t^2-3sqrt3t=0` 

`t(t-3sqrt3)=0` 

`t=0 \ \ "lub" \ \ t=3sqrt3` 

 

`x^3=0 \ \ "lub" \ \ x^3=27` 

`x=0 \ \ "lub" \ \ x=3` 

 

Na rysunku obok przedstawiono ...

`f:\ [-4;7]->RR` 

`g:\ [-4;7]->RR` 

 

`a)` 

`f(x)=0` 

`x in {-3;1/3;3}` 

 

`f(x)>0` 

`x in (-3;1/3)cup(3;7]` 

 

`b)` 

`g(x)=1` 

`x in {0}cup[3;7]` 

 

`g(x)<=1` 

`x in [-4;0]cup[3;7]`  

 

`c)` 

`f(x)=g(x)` 

`x in {0;4}` 

 

`f(x)<g(x)` 

`x in (0;4)` 

Z punktu D należącego do boku AB...

Obliczmy długość odcinka AB:

`|AC|^2 + |BC|^2 = |AB|^2` 

`36 + 64 = |AB|^2` 

`|AB|^2 = 100` 

`|AB|=10` 

 

 

 

`(|AF|)/(|DF|) = (|AC|)/(|BC|)` 

`(|AF|)/(|DF|)` 

 

Rysunek poglądowy:

Z twierdzenia Talesa:

`(|AF|)/(|DF|) = (|AC|)/(|BC|)` 

`(6-x)/y = 6/8` 

`6-x = 3/4y` 

`y = 6*4/3 - 4/3x` 

`y = 8 - 4/3x` 

 

Pole prostokąa CEDF opisuje funkcja:

`P(x) = xy = x*(8-4/3x) = 8x - 4/3x^2`  

Największe pole jest w wierzchołku gdyż parabola ma ramiona skierowane ramiona ku dołowi:

`p = (-b)/(2a) = (-8)/(2*(-4/3)) = 8/(8/3) = 8 * 3/8 = 3` 

 

Zatem:

`|AF| = 6-3 = 3` 

`|DF| = 8 - 4/3*3 = 8 - 4 = 4` 

 

Z twierdzenia Pitagorasa:

`|AF|^2 + |DF|^2 = |AD|^2` 

`3^2 + 4^2 = |AD|^2` 

`|AD|^2 = 9+16` 

`|AD|^2 = 25` 

`|AD| = 5` 

Pole trójkąta ABC wynosi...

Rysunek poglądowy:

 

`a) \ P_("ABC") = 1/2 * |AC|*|AB|* sin beta` 

`54 = 1/2 * |AC|*16 * sqrt3/2` 

`54 = 4sqrt3 |AC|` 

`a = 54/(4sqrt3)  * sqrt3/sqrt3 = (54sqrt3)/12 = (18sqrt3)/4 = (9sqrt3)/2 approx  7,8 \ ["cm"]`  

 

`b) \ P_("ABC") = 1/2*|AC|*|AB| * sin beta`   

`54 = 1/2*a*16*sin 130^o` 

`54 = 8 * a * sin 50^o` 

`54/(8*0,766) =a`  

`a approx 8,812 approx 8,8 \ ["cm"]` 

 

`c) \ gamma = 5beta` 

`alpha = 3 beta` 

 

A więc:

`alpha + beta + gamma = 180^o` 

`3 beta + beta + 5 beta = 180^o` 

`9 beta = 180^o` 

`beta = 20^o` 

 

Z twierdzenia sinusów:

`(|AC|)/(sin alpha) = (|AB|)/(sin gamma)` 

`|AC| = 16/sin gamma * sin alpha = 16/(sin100^o) * sin 60^o = 16/(sin 80^o)* sqrt3/2 approx 16/(0,9848)*(1,732)/2 approx 14,1 \ ["cm"]` 

Skorzystaj z danych z przykładu 3...

Wzór:

`N = N_0 * e^(kt)` 

`k approx 0,013` 

`N_0 = 1650 * 10^6` 

 

`a) \ t = 15` 

 

`N = 1650*10^6 * e^(0,013*15) = 1650 * 10^6 * e^(0,195) approx 2005*10^6` 

 

`b) \ t = 30` 

 

`N = 1650 * 10^6 * e^(0,013*30) = 1650*10^6 * e^(0,390) = 2437 * 10^6` 

 

W okolicach 1930 roku było około 2000 mln ludzi.

 

`c) \ t=60` 

 

`N = 1650 * 10^6 * e^(0,013*60) = 1650 * 10^6 * e^(0,780) = 3599*10^6`  

 

W roku 1960 było około 3000 mln ludzi.

 

`d) \ t = 112` 

 

`N = 1650 * 10^6 * e^(0,013*112) = 7076*10^6` 

 

W roku 2011 było około 7000 mln ludzi.

Pan kozłowski złożył do banku ...

`K_0=8000` 

`K_n=26290` 

`p=4,5%=45/1000` 

 

`26290=8000(1+n45/1000)+1000(1+45/1000(n-2))+...+1000(1+45/1000)+1000 `  

`26290=8000+(n-2)1000+1000+360n+(45+45*2+...+45(n-2))` 

`45+2*45+...+(n-1)45=(45+(n-2)45)/2*n` 

`26290=7000+1360n+(45+(n-2)45)/2*n` 

`52580=14000+2720n+45n+45n^2-90n` 

`45n^2+2675n-38580=0` 

`Delta=7155625+6944400=14100025` 

`sqrtDelta=3755` 

`n_1=(-2675-3755)/90<0` 

`n_2=(-2675+3755)/90=12` 

`ul(n=12`  

Na rysunku obok przedstawiono ...

`f:\ [-4;8]->RR` 

`g(x)=-f(x)` 

 

`a)` 

`|g(x)|-1>0` 

`|g(x)|>1` 

`x in (-3;1)cup(1;5)cup(7;8]` 

 

`b)` 

`(g(x))^2<=4` 

`g(x)<=2\ \ \wedge\ \ \g(x)>=-2` 

`x in [-4;-2]cup[0;2]cup[4;8]`     

W 1946 r. Polskę zamieszkiwało około 24 mln osób...

Wiemy ze strony 195, że wzór opisujący teoretyczną liczbę mieszkańców ma postać:

`N=N_0 * e^(kt)` 

 

`30*10^6 = 24*10^6*e^(14k)` 

`e^(14k) = 1,25` 

Stąd:

`14k approx 0,223144` 

`k approx 0,01594` 

 

 

A więc teoretyczna liczba mieszkańców w 2011 roku będzie wynosić:

`N = N_0 * e^(kt) = 24*10^6*e^(0,01594*65) approx 67,6369*10^6 approx 68 *10^6` 

Liczba mieszkańców Polski w 2011 roku wynosiła 38 mln.

 

Różnica wynika między innymi z emigracji zarobkowych, głównie na zachód: USA, Francja, RFN. W 2000 roku Irlandia i Wielka Brytania. Dodatkowo czynnikiem wpływającym jest też emigracja żydów na skutek utworzenia państwa Izrael.