Kombinatoryka - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Kombinatoryka - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Kombinatoryka

W zadaniach z rachunku prawdopodobieństwa często zdarza się, że musimy policzyć ilość przypadków, w jakich może występować zdarzenie. Służy do tego kombinatoryka - w tym rozdziale omówimy podstawowe jej pojęcia, takie jak permutacja, kombinacja, wariacja i wariacja z powtórzeniem.
 

Permutacje

Załóżmy, że mamy ciąg $n$ liczb, od $0$ do $n-1$. Chcielibyśmy wiedzieć, na ile sposobów da się postawić te liczby w ciągu, czyli poznać liczbę wszystkich jego permutacji.

Zauważmy, że pierwszy element możemy wybrać na $n$ sposobów. Drugi element: na $n-1$, trzeci: na $n-2$ i tak dalej. Wymnażając wszystkie te liczby otrzymujemy iloczyn $1×2×3×4×...×(n-1)×n$, który oznacza się symbolem $n!$ i nazywamy "silnią". Warto wspomnieć, że możemy ją także zdefiniować rekurencyjnie, jako ciąg $n! = (n-1)!×n$ i $0! = 1$.
 

Kombinacje (bez powtórzeń)

Zacznijmy od pytania: na ile sposobów jesteśmy w stanie wybrać trzy piłki ze zbioru 10 ponumerowanych piłek?

Pierwszą możemy wybrać na 10 sposobów. Drugą - na 9, trzecią na 8. Wydawałoby się, że odpowiedzią będzie więc $10×9×8$. Jednak sytuację, kiedy wybraliśmy piłki o numerach 0, 1 i 2 policzyliśmy kilka razy - na przykład w kolejności 0,1,2 i 0,2,1. Musimy więc podzielić otrzymaną liczbę przez ilość permutacji wybranego zbioru, czyli przez $3! = 1×2×3 = 6$. Ostatecznie dostajemy ${8×9×10}/{3!}$.

Jednak jeśli zamiast 10 piłek mielibyśmy ich 1000, a zamiast wybierać 3 kazanoby nam wybrać 100, zapisanie tego w postaci takiego ułamka byłoby dość czasochłonne. Możemy jednak zauważyć, że zamiast pisać $1000×(1000-1)×(1000-2)×...×(1000-99)$, możemy po prostu napisać ${1000!}/{(1000-100)!}$.

W ogólności wzór na ilość kombinacji będzie więc wyglądał tak:

${n!}/{(n-k)!} × {1}/{k!} = {n!}/{(n-k)!k!}$

Aby jeszcze bardziej uprościć zapis, taki ułamek będziemy oznaczali jako $( able n;k)$.
 

Kombinacje (z powtórzeniami)

Teraz czas na pytanie innego rodzaju: na ile sposobów jesteśmy w stanie wybrać dwie piłki spośród czterech, przy czym po wybraniu pierwszej wrzucamy ją spowrotem do worka?

Rozpisując wszystkie kombinacje można się przekonać, że isnieje ich dokładnie 10 - do "standardowych", które policzylibyśmy korzystając z poprzedniego podpunktu $( able 4;2) = 6$ należy dodać jeszcze cztery zawierające dwa takie same elementy: $(0,0), (1,1), (2,2)$ i $(3,3)$.

Jednak takie podejście nie zadziała w ogólności, ponieważ przy wybieraniu większej ilości piłek możemy mieć kombinacje składające się na przykład z trzech takich samych i dwóch innych.

Rozwiązanie zadania opiera się na pomyśle, aby każdej kombinacji przyporządkować pewien ciąg zer i jedynek. Liczba zer w ciągu będzie wynosiła $n-1$, jedynek - $k$.

Ciąg przyporządkowywujemy w ten sposób, że każda jedynka odpowiada elementowi o numerze równym ilości zer przed jedynką. Inaczej mówiąc: jeśli przed trzecią jedynką jest na przykład 5 zer, to znaczy to, że w kombinacji znajduje się piątka. Jako że ilość sposobów rozmieszczenia k jedynek na n+k-1 miejscach wynosi $(n+k-1 choose k)$, a każdy taki sposób odpowiada jednej kombinacji z powtórzeniami, to właśnie tyle jest kombinacji z powtórzeniami.

Przykład:

Załóżmy że $n=5, k=3$. Wtedy kombinacji $(1,2,3)$ odpowiada ciąg $(0,1,0,1,0,1,0)$. Kombinacji $(0,2,2)$ odpowiada zaś ciąg $(1,0,0,1,1,0,0)$.
 

Wariacje

Wariacje, w odróżnieniu od kombinacji, są ciągami, a nie zbiorami. Oznacza to, że kolejność ma w nich znaczenie: jedyną zmianą, jaką w takim razie wprowadzamy we wzorze jest usunięcie składnika $k!$. Ilość wariacji bez powtórzeń jest więc równa:
${n!}/{(n-k)!}$

zaś z powtórzeniami:
$n^k$, ponieważ na pierwsze miejsce można każdy z $n$ elementów, na drugi - także, itd.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Punkty A=(5, 1), B=(8, 4) są końcami ...

Odległość między punktami  i  obliczamy ze wzoru

.

 

Okrąg  jest to krzywa, której wszystkie punkty leżą w tej samej odległości od danego punktu  zwanego środkiem okręgu. 

 

Punkt  jest punktem jednakowo oddalonym od punktów  i .

Wtedy , zatem{premium}

 

 

 

Równanie to opisuje wszystkie punkty jednakowo oddalone od punktów  i ,

ale my szukamy takiego punktu, który dodatkowo znajduje się na prostej

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Pierwsza współrzędna środka okręgu równa jest .

Drugą obliczymy podstawiając  do wzoru prostej, na której leży ten punkt.

 

 

.

Punkt  ma współrzędne równe .

 

Promień okręgu jest równy

.

 

Dla jakich wartości parametru

Wielomian w jest podzielny przez dwumian x-a, jeśli w(a)=0. 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Dana jest funkcja...

Wiemy, że pierwsza współrzędna wierzchołka jest równa średniej arytmetycznej miejsc zerowych (bo miejsca zerowe są równo odległe od wierzchołka paraboli).

 

 

Najmniejsza wartość wynosi -4 zatem wierzchołek ma współrzędne:

 

 

 

 

 

 

 

 

Na podstawie wzoru funkcji kwadratowej f w postaci

Miejsca zerowe muszą być symetryczne względem osi symetrii, dlatego równanie osi symetrii możemy wyznaczyć biorąc średnią arytmetyczną miejsc zerowych: 

Oś symetrii paraboli przechodzi przez jej wierzchołek, więc pierwsza współrzędna wierzchołka jest równa -13. 

Funkcja f(x) ma dodatni współczynnik a (równy 0,5), więc jej ramiona są skierowane w górę. Zatem:

 

Wyznacz liczbę rozwiązań równania we względu na wartość parametru m

 

 

 

 

 

 

 

  

   ("wyrzucamy" 0, bo takie są założenia (2)) 

 

 

 

 

 

Ostatecznie funkcję g(m) można opisać następująco: 

 

 

    

Sprawdź rachunkowo, czy przekątne równoległeob

Wyznaczamy równanie prostej AC. Należą do niej punkty A oraz C, więc wystarczy do równania ogólnego prostej y=ax+b podstawić współrzędne punktów A=(-4; -2) i C=(6; 2). 

Podstawiamy obliczoną wartość a do drugiego równania ostatniego układu: {premium}

 

 

 

Wyznaczamy równanie prostej BD. Należą do niej punkty B oraz D, więc wystarczy do równania ogólnego prostej podstawić współrzędne punktów B=(0; -4) i D=(2; 4). 

 

 

 

Punkt przecięcia prostych AC i BD to punkt przecięcia przekątnych równoległoboku ABCD. Wystarczy teraz rozwiązać układ równań złożony z równań tych dwóch prostych, aby otrzymać współrzędne tego punktu przecięcia. 

Otrzymaliśmy punkt o współrzędnych (1; 0). 

a) Wykaż, że długość odcinka łączącego ...

a)

Rysunek pomocniczy:

podglad pliku

Z treści zadania:

 

 

 

Aby udowodnić, że:

      {premium}

wykorzystamy własności wektorów.

 

Zauważmy, że:

 

 

Dodając stronami otrzymujemy:

 

 

Zauważmy, że 

 

 

Zatem otrzymujemy: 

 

 

 

 


b)

Rysunek pomocniczy:

podglad pliku

 

 

 

 

 

 

Wyrażenie (4x^2+1+2x)(4x^2+1-2x) jest równe

 

Stożek o promieniu podstawy 3 ...

Rysunek pomocniczy:

podglad pliku

Z treści zadania wiemy, że:

 

 

     {premium}

 

Z podobieństwa trójkątów otrzymujemy:

 

 

 

 

 

 

Obliczmy objętość stożka nad płaszczyzną podziału.

 

 

 

 

 

Obliczmy objętość stożka pod płaszczyzną podziału.

 

 

 

 

Oblicz współczynnik kierunkowy

 

Prosta EF ma więc równanie:

{premium}

Wartość współczynnika b obliczymy, podstawiając do powyższego równania współrzędne jednego z punktów E lub F. Podstawmy współrzędne punktu E:

 

 

 

 

 

Prosta EF ma więc równanie:

 

Podstawiamy współrzędne punktu F:

 

 

 

 

Prosta EF ma więc równanie: 

 

Podstawiamy współrzędne punktu E:

 

 

 

 

Prosta EF ma więc równanie:

 

Podstawiamy współrzędne punktu F: