Kombinatoryka - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Kombinatoryka

W zadaniach z rachunku prawdopodobieństwa często zdarza się, że musimy policzyć ilość przypadków, w jakich może występować zdarzenie. Służy do tego kombinatoryka - w tym rozdziale omówimy podstawowe jej pojęcia, takie jak permutacja, kombinacja, wariacja i wariacja z powtórzeniem.
 

Permutacje

Załóżmy, że mamy ciąg $$n$$ liczb, od $$0$$ do $$n-1$$. Chcielibyśmy wiedzieć, na ile sposobów da się postawić te liczby w ciągu, czyli poznać liczbę wszystkich jego permutacji.

Zauważmy, że pierwszy element możemy wybrać na $$n$$ sposobów. Drugi element: na $$n-1$$, trzeci: na $$n-2$$ i tak dalej. Wymnażając wszystkie te liczby otrzymujemy iloczyn $$1×2×3×4×...×(n-1)×n$$, który oznacza się symbolem $$n!$$ i nazywamy "silnią". Warto wspomnieć, że możemy ją także zdefiniować rekurencyjnie, jako ciąg $$n! = (n-1)!×n$$ i $$0! = 1$$.
 

Kombinacje (bez powtórzeń)

Zacznijmy od pytania: na ile sposobów jesteśmy w stanie wybrać trzy piłki ze zbioru 10 ponumerowanych piłek?

Pierwszą możemy wybrać na 10 sposobów. Drugą - na 9, trzecią na 8. Wydawałoby się, że odpowiedzią będzie więc $$10×9×8$$. Jednak sytuację, kiedy wybraliśmy piłki o numerach 0, 1 i 2 policzyliśmy kilka razy - na przykład w kolejności 0,1,2 i 0,2,1. Musimy więc podzielić otrzymaną liczbę przez ilość permutacji wybranego zbioru, czyli przez $$3! = 1×2×3 = 6$$. Ostatecznie dostajemy $${8×9×10}/{3!}$$.

Jednak jeśli zamiast 10 piłek mielibyśmy ich 1000, a zamiast wybierać 3 kazanoby nam wybrać 100, zapisanie tego w postaci takiego ułamka byłoby dość czasochłonne. Możemy jednak zauważyć, że zamiast pisać $$1000×(1000-1)×(1000-2)×...×(1000-99)$$, możemy po prostu napisać $${1000!}/{(1000-100)!}$$.

W ogólności wzór na ilość kombinacji będzie więc wyglądał tak:

$${n!}/{(n-k)!} × {1}/{k!} = {n!}/{(n-k)!k!}$$

Aby jeszcze bardziej uprościć zapis, taki ułamek będziemy oznaczali jako $$( able n;k)$$.
 

Kombinacje (z powtórzeniami)

Teraz czas na pytanie innego rodzaju: na ile sposobów jesteśmy w stanie wybrać dwie piłki spośród czterech, przy czym po wybraniu pierwszej wrzucamy ją spowrotem do worka?

Rozpisując wszystkie kombinacje można się przekonać, że isnieje ich dokładnie 10 - do "standardowych", które policzylibyśmy korzystając z poprzedniego podpunktu $$( able 4;2) = 6$$ należy dodać jeszcze cztery zawierające dwa takie same elementy: $$(0,0), (1,1), (2,2)$$ i $$(3,3)$$.

Jednak takie podejście nie zadziała w ogólności, ponieważ przy wybieraniu większej ilości piłek możemy mieć kombinacje składające się na przykład z trzech takich samych i dwóch innych.

Rozwiązanie zadania opiera się na pomyśle, aby każdej kombinacji przyporządkować pewien ciąg zer i jedynek. Liczba zer w ciągu będzie wynosiła $$n-1$$, jedynek - $$k$$.

Ciąg przyporządkowywujemy w ten sposób, że każda jedynka odpowiada elementowi o numerze równym ilości zer przed jedynką. Inaczej mówiąc: jeśli przed trzecią jedynką jest na przykład 5 zer, to znaczy to, że w kombinacji znajduje się piątka. Jako że ilość sposobów rozmieszczenia k jedynek na n+k-1 miejscach wynosi $$(n+k-1 choose k)$$, a każdy taki sposób odpowiada jednej kombinacji z powtórzeniami, to właśnie tyle jest kombinacji z powtórzeniami.

Przykład:

Załóżmy że $$n=5, k=3$$. Wtedy kombinacji $$(1,2,3)$$ odpowiada ciąg $$(0,1,0,1,0,1,0)$$. Kombinacji $$(0,2,2)$$ odpowiada zaś ciąg $$(1,0,0,1,1,0,0)$$.
 

Wariacje

Wariacje, w odróżnieniu od kombinacji, są ciągami, a nie zbiorami. Oznacza to, że kolejność ma w nich znaczenie: jedyną zmianą, jaką w takim razie wprowadzamy we wzorze jest usunięcie składnika $$k!$$. Ilość wariacji bez powtórzeń jest więc równa:
$${n!}/{(n-k)!}$$

zaś z powtórzeniami:
$$n^k$$, ponieważ na pierwsze miejsce można każdy z $$n$$ elementów, na drugi - także, itd.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Zaznacz zbiór na osi liczbowej

Dobierz punkty x1 i x2...

 

 

 

 

 


 

I równość,którą trzeba rozwiązać:

 

 

Przypadek I.

 

 

  

 

 

 

Sprzeczność  

Przypadek II.

 

 

 

 

Sprzeczność.

Przypadek III.

 

 

 

 

 

 

Przypadek IV.

 

Nie trzeba rozpatrywać tego przypadku, ponieważ część wspólna powyższych zbiorów to zbiór pusty.


 

II równość,którą trzeba rozwiązać:

 

Przypadek I.

 

 

 

 

 

 

 

Przypadek II.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Przypadek III.

 

 

 

 

 

 

  

 

Przypadek IV.

 

Nie trzeba rozpatrywać tego przypadku, ponieważ część wspólna powyższych zbiorów to zbiór pusty.


 

Odp.  

Oblicz długość boku c ...

 

Korzystając z tw. cosinusów:

      {premium}

 

 

 

 

 

 

 

Korzystając z tw. cosinusów:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Dwa sześciany mają wspólną ścianę

 

     {premium}

 

 

 

 

 

 

Przeczytaj podany w ramce przykład

  

 

  

 

 

 

 

 

Dane jest koło o środku w punkcie S(-3,1) i promieniu

a)

b)

c)

Do wykresu funkcji liniowej f należą punkty

Szukamy wzoru postaci y=ax+b, w zasadzie tylko współczynnika a, podstawiając w miejsce x pierwsze współrżedne punktów, a w miejsce y drugie współrzędne punktów. 

Współczynnik a to tangens kąta nachylenia wykrsu funkcji f do osi OX. 

 

 

 

 

 

   (odczytujemy z tablic)

Odcinek R_1S_1 jest rzutem

 

Odcinek RS jest przeciwprostokątną w trójkącie, w którym przyprostokątna ma taką samą długość jak odcinek R₁S₁. Przeciwprostokątna jest dłuższa od przyprostokątnej, więc odcinek RS na pewno jest dłuższy niż odcinek R₁S₁. 

 

Gdyby odcinek RS był równoległy do płaszczyzny P, to odcinki RS i R₁S₁ miałyby jednakową długość. 

W stadninie zważono

Najpierw wyznaczymy medianę wag ogierów. 

Mamy 8 wag. Uporządkujmy je rosnąco:

 {premium}

Mediana będzie średnią czwartej i piątej wagi:

 

 

Teraz wyznaczymy medianę wag klaczy. 

Mamy 6 wag. Uporządkujmy je rosnąco:

 

Mediana będzie średnią trzeciej i czwartej wagi:

 

 

Na koniec obliczymy medianę wag wszystkich koni. Mamy 14 wag. Uporządkujmy je rosnąco:

 

Mediana będzie średnią siódmej i ósmej wagi:

 

 

Naszkicuj wykres funkcji...

a)  

Funkcję tę otrzymamy przesuwając funkcję  o wektor  


b)  

Funkcję tę otrzymamy przesuwając funkcję  o wektor  

 


c)  

Funkcję tę otrzymamy przesuwając funkcję  o wektor  

Funkcja  pokrywa się z funkcją