Kombinatoryka - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Kombinatoryka

W zadaniach z rachunku prawdopodobieństwa często zdarza się, że musimy policzyć ilość przypadków, w jakich może występować zdarzenie. Służy do tego kombinatoryka - w tym rozdziale omówimy podstawowe jej pojęcia, takie jak permutacja, kombinacja, wariacja i wariacja z powtórzeniem.
 

Permutacje

Załóżmy, że mamy ciąg $$n$$ liczb, od $$0$$ do $$n-1$$. Chcielibyśmy wiedzieć, na ile sposobów da się postawić te liczby w ciągu, czyli poznać liczbę wszystkich jego permutacji.

Zauważmy, że pierwszy element możemy wybrać na $$n$$ sposobów. Drugi element: na $$n-1$$, trzeci: na $$n-2$$ i tak dalej. Wymnażając wszystkie te liczby otrzymujemy iloczyn $$1×2×3×4×...×(n-1)×n$$, który oznacza się symbolem $$n!$$ i nazywamy "silnią". Warto wspomnieć, że możemy ją także zdefiniować rekurencyjnie, jako ciąg $$n! = (n-1)!×n$$ i $$0! = 1$$.
 

Kombinacje (bez powtórzeń)

Zacznijmy od pytania: na ile sposobów jesteśmy w stanie wybrać trzy piłki ze zbioru 10 ponumerowanych piłek?

Pierwszą możemy wybrać na 10 sposobów. Drugą - na 9, trzecią na 8. Wydawałoby się, że odpowiedzią będzie więc $$10×9×8$$. Jednak sytuację, kiedy wybraliśmy piłki o numerach 0, 1 i 2 policzyliśmy kilka razy - na przykład w kolejności 0,1,2 i 0,2,1. Musimy więc podzielić otrzymaną liczbę przez ilość permutacji wybranego zbioru, czyli przez $$3! = 1×2×3 = 6$$. Ostatecznie dostajemy $${8×9×10}/{3!}$$.

Jednak jeśli zamiast 10 piłek mielibyśmy ich 1000, a zamiast wybierać 3 kazanoby nam wybrać 100, zapisanie tego w postaci takiego ułamka byłoby dość czasochłonne. Możemy jednak zauważyć, że zamiast pisać $$1000×(1000-1)×(1000-2)×...×(1000-99)$$, możemy po prostu napisać $${1000!}/{(1000-100)!}$$.

W ogólności wzór na ilość kombinacji będzie więc wyglądał tak:

$${n!}/{(n-k)!} × {1}/{k!} = {n!}/{(n-k)!k!}$$

Aby jeszcze bardziej uprościć zapis, taki ułamek będziemy oznaczali jako $$( able n;k)$$.
 

Kombinacje (z powtórzeniami)

Teraz czas na pytanie innego rodzaju: na ile sposobów jesteśmy w stanie wybrać dwie piłki spośród czterech, przy czym po wybraniu pierwszej wrzucamy ją spowrotem do worka?

Rozpisując wszystkie kombinacje można się przekonać, że isnieje ich dokładnie 10 - do "standardowych", które policzylibyśmy korzystając z poprzedniego podpunktu $$( able 4;2) = 6$$ należy dodać jeszcze cztery zawierające dwa takie same elementy: $$(0,0), (1,1), (2,2)$$ i $$(3,3)$$.

Jednak takie podejście nie zadziała w ogólności, ponieważ przy wybieraniu większej ilości piłek możemy mieć kombinacje składające się na przykład z trzech takich samych i dwóch innych.

Rozwiązanie zadania opiera się na pomyśle, aby każdej kombinacji przyporządkować pewien ciąg zer i jedynek. Liczba zer w ciągu będzie wynosiła $$n-1$$, jedynek - $$k$$.

Ciąg przyporządkowywujemy w ten sposób, że każda jedynka odpowiada elementowi o numerze równym ilości zer przed jedynką. Inaczej mówiąc: jeśli przed trzecią jedynką jest na przykład 5 zer, to znaczy to, że w kombinacji znajduje się piątka. Jako że ilość sposobów rozmieszczenia k jedynek na n+k-1 miejscach wynosi $$(n+k-1 choose k)$$, a każdy taki sposób odpowiada jednej kombinacji z powtórzeniami, to właśnie tyle jest kombinacji z powtórzeniami.

Przykład:

Załóżmy że $$n=5, k=3$$. Wtedy kombinacji $$(1,2,3)$$ odpowiada ciąg $$(0,1,0,1,0,1,0)$$. Kombinacji $$(0,2,2)$$ odpowiada zaś ciąg $$(1,0,0,1,1,0,0)$$.
 

Wariacje

Wariacje, w odróżnieniu od kombinacji, są ciągami, a nie zbiorami. Oznacza to, że kolejność ma w nich znaczenie: jedyną zmianą, jaką w takim razie wprowadzamy we wzorze jest usunięcie składnika $$k!$$. Ilość wariacji bez powtórzeń jest więc równa:
$${n!}/{(n-k)!}$$

zaś z powtórzeniami:
$$n^k$$, ponieważ na pierwsze miejsce można każdy z $$n$$ elementów, na drugi - także, itd.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Oblicz pole trójkąta prostokątnego, którego

a)

Obliczamy długość drugiej przyprostokątnej z twierdzenia Pitagorasa:

 

 

b)

W oparciu o znajomość wartości sinusa kąta przy podstawie obliczamy długość przyprostokątnej leżącej naprzeciwko tego kąta 

 

Z twierdzenia Pitagorasa obliczamy długość drugiej przyprostokątnej:

 

 

c)

W oparciu o znajomość wartości tangensa jednego z kątów ostrych uzależniamy długość jednej przyprostokątnej od drugiej.

 

Długość tych przyprostokątnych obliczamy z twierdzenia Pitagorasa:

Wstawiamy a=2,4b

 

 

 

Przekształć równania układu do postaci

Współczynniki kierunkowe obu prostych są różne, więc proste nie są równoległe i przecinają się w jednym punkcie. 

 

Obliczamy, jakie jest rozwiązanie układu: 

 

 

 

Współczynniki kierunkowe obu prostych są jednakowe, a ich wyrazy wolne są różne, więc proste są równoległe i różne, więc układ nie ma rozwiązania. 

 

 

Współczynniki kierunkowe obu prostych są różne, więc proste nie są równoległe i przecinają się w jednym punkcie. 

 

Obliczamy, jakie jest rozwiązanie układu: 

 

 

Punkty: A, B, C są środkami trzech ...

 

 

 

 

 

 

 

 

  

   

 

  

  

    

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  

   

 

  

  

     

` `

` `

Ciąg jest określony....

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Odp. B

Dany jest wzór funkcji kwadratowej f w postaci iloczynowej

  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

    

Oblicz granicę.

a)  


b)  


c)  

W ostrosłup prawidłowy czworokątny, w którym kąt dwuścienny...

Zauważmy, że wykorzystując funkcje trygonometryczne otrzymujemy:

 

 

 

{premium}

 

 

 

 

Chcemy obliczyć pole boczne, czyli:

 

 

Zauważmy, że bryła ta widziana z przodu wygląda następująco:

Pole tego trójkąta możemy obliczyć na dwa sposoby.

Pierwszy sposób:

 

 

 

 

 

Drugi sposób:

 

 

 

 

Wobec tego otrzymujemy równość:

 

 

 

 

 

 

 

 

Wobec tego:

  

 

Dodatkowo zauważmy, że:

 

 

 

 

 

Więc:

 

 

Punkty S(-1,5), T(1,4) i U(3,3) dzielą odcinek ...

Oznaczmy współrzędne punktu A oraz punktu B:

 

 

Dany są punkty S, T oraz U:

 

 

Punkt T jest środkiem odcinka AB. Punkt S jest środkiem odcinka AT. Natomiast punkt U jest środkiem odcinka TB.

 

Korzystając ze wzoru na środek odcinka TB wyznaczamy wswpółrzędne punktu B:

 

Rozwiązujemy dwa równania:

     

Równanie I:

 

Równanie II:

 

 

 

Współrzędne punktu B to B=(5,2).

 

Korzystając ze wzoru na środek odcinka AT wyznaczamy wswpółrzędne punktu A:

  

Rozwiązujemy dwa równania:

      

Równanie I:

 

 

  

Równanie II:

 

 

  

 

Współrzędne punktu A to A=(-3,6).

 

Odp: Szukane punkty to A(-3,6) oraz B(5,2).

Jeden z boków równoległoboku jest dwa razy krótszy...

Rysunek poglądowy:

Zauważmy, że w trójkącie ABE mamy:

 

oraz w trójkącie BFC mamy:

 

 

Zatem:

 

 

 

 

 

 

Stąd:

 

Zatem:

 

Druga wysokość ma długość:

 

 

Odpowiedź: Długości wysokości to 2, 4.

Sinus kąta ostrego α jest równy ...