Kombinatoryka - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Kombinatoryka - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Kombinatoryka

W zadaniach z rachunku prawdopodobieństwa często zdarza się, że musimy policzyć ilość przypadków, w jakich może występować zdarzenie. Służy do tego kombinatoryka - w tym rozdziale omówimy podstawowe jej pojęcia, takie jak permutacja, kombinacja, wariacja i wariacja z powtórzeniem.
 

Permutacje

Załóżmy, że mamy ciąg $n$ liczb, od $0$ do $n-1$. Chcielibyśmy wiedzieć, na ile sposobów da się postawić te liczby w ciągu, czyli poznać liczbę wszystkich jego permutacji.

Zauważmy, że pierwszy element możemy wybrać na $n$ sposobów. Drugi element: na $n-1$, trzeci: na $n-2$ i tak dalej. Wymnażając wszystkie te liczby otrzymujemy iloczyn $1×2×3×4×...×(n-1)×n$, który oznacza się symbolem $n!$ i nazywamy "silnią". Warto wspomnieć, że możemy ją także zdefiniować rekurencyjnie, jako ciąg $n! = (n-1)!×n$ i $0! = 1$.
 

Kombinacje (bez powtórzeń)

Zacznijmy od pytania: na ile sposobów jesteśmy w stanie wybrać trzy piłki ze zbioru 10 ponumerowanych piłek?

Pierwszą możemy wybrać na 10 sposobów. Drugą - na 9, trzecią na 8. Wydawałoby się, że odpowiedzią będzie więc $10×9×8$. Jednak sytuację, kiedy wybraliśmy piłki o numerach 0, 1 i 2 policzyliśmy kilka razy - na przykład w kolejności 0,1,2 i 0,2,1. Musimy więc podzielić otrzymaną liczbę przez ilość permutacji wybranego zbioru, czyli przez $3! = 1×2×3 = 6$. Ostatecznie dostajemy ${8×9×10}/{3!}$.

Jednak jeśli zamiast 10 piłek mielibyśmy ich 1000, a zamiast wybierać 3 kazanoby nam wybrać 100, zapisanie tego w postaci takiego ułamka byłoby dość czasochłonne. Możemy jednak zauważyć, że zamiast pisać $1000×(1000-1)×(1000-2)×...×(1000-99)$, możemy po prostu napisać ${1000!}/{(1000-100)!}$.

W ogólności wzór na ilość kombinacji będzie więc wyglądał tak:

${n!}/{(n-k)!} × {1}/{k!} = {n!}/{(n-k)!k!}$

Aby jeszcze bardziej uprościć zapis, taki ułamek będziemy oznaczali jako $( able n;k)$.
 

Kombinacje (z powtórzeniami)

Teraz czas na pytanie innego rodzaju: na ile sposobów jesteśmy w stanie wybrać dwie piłki spośród czterech, przy czym po wybraniu pierwszej wrzucamy ją spowrotem do worka?

Rozpisując wszystkie kombinacje można się przekonać, że isnieje ich dokładnie 10 - do "standardowych", które policzylibyśmy korzystając z poprzedniego podpunktu $( able 4;2) = 6$ należy dodać jeszcze cztery zawierające dwa takie same elementy: $(0,0), (1,1), (2,2)$ i $(3,3)$.

Jednak takie podejście nie zadziała w ogólności, ponieważ przy wybieraniu większej ilości piłek możemy mieć kombinacje składające się na przykład z trzech takich samych i dwóch innych.

Rozwiązanie zadania opiera się na pomyśle, aby każdej kombinacji przyporządkować pewien ciąg zer i jedynek. Liczba zer w ciągu będzie wynosiła $n-1$, jedynek - $k$.

Ciąg przyporządkowywujemy w ten sposób, że każda jedynka odpowiada elementowi o numerze równym ilości zer przed jedynką. Inaczej mówiąc: jeśli przed trzecią jedynką jest na przykład 5 zer, to znaczy to, że w kombinacji znajduje się piątka. Jako że ilość sposobów rozmieszczenia k jedynek na n+k-1 miejscach wynosi $(n+k-1 choose k)$, a każdy taki sposób odpowiada jednej kombinacji z powtórzeniami, to właśnie tyle jest kombinacji z powtórzeniami.

Przykład:

Załóżmy że $n=5, k=3$. Wtedy kombinacji $(1,2,3)$ odpowiada ciąg $(0,1,0,1,0,1,0)$. Kombinacji $(0,2,2)$ odpowiada zaś ciąg $(1,0,0,1,1,0,0)$.
 

Wariacje

Wariacje, w odróżnieniu od kombinacji, są ciągami, a nie zbiorami. Oznacza to, że kolejność ma w nich znaczenie: jedyną zmianą, jaką w takim razie wprowadzamy we wzorze jest usunięcie składnika $k!$. Ilość wariacji bez powtórzeń jest więc równa:
${n!}/{(n-k)!}$

zaś z powtórzeniami:
$n^k$, ponieważ na pierwsze miejsce można każdy z $n$ elementów, na drugi - także, itd.

Spis treści

Rozwiązane zadania
W jakim trójkącie...

a) Wysokość i środkowa zawierają się w dwusiecznej zatem{premium} wysokość dzieli podstawę na połowy a kąt przy wierzchołku, z którego wychodzi wysokość jest podzielony na dwa kąty o takiej samej mierze:

Jest to trójkąt równoramienny.

b) Niech wysokością będzie odcinek CE, odcinek CF będzie zawierał się w dwusiecznej a odcinek CD będzie środkową. Wtedy:

Trójkąt ABC jest różnoboczny.

Dla jakich wartości parametru a...

Wykresem pochodnej funkcji f jest parabola z ramionami skierowanymi ku dołowi. Żeby nie było ekstremum to funkcja opisująca pochodną funkcji f nie może mieć dwóch miejsc zerowych gdyż dojdzie do zmiany znaku pochodnej w każdym, zatem:

 

 

 

{premium}  

 

  

 

 

Wykresem pochodnej funkcji f jest parabola z ramionami skierowanymi ku górze. Żeby nie było ekstremum to funkcja opisująca pochodną funkcji f nie może mieć dwóch miejsc zerowych gdyż dojdzie do zmiany znaku pochodnej w każdym, zatem:

 

 

 

 

 

 

 

 

Prostokątna działka na planie ...

 

  

 

{premium}

 

  

  

    

Podaj przybliżenia liczb 5^(sqrt3) i 5^(sqrt5)

 

{premium}

   

 

Napisz równanie prostej, której wykres jest podany na poniższych rysunkach

Nie jest to wykres funkcji, ponieważ dla argumentu x=-3 jest przyjmowane nieskończenie wiele wartości.

 

{premium}

Jest to wykres funkcji, dla każdego argumentu jest przyjmowana dokładnie jedna wartość, ta wartość to 2. 

 

 

Podstawiamy w miejsce x i y współrzędne punktów, które należą do wykresu funkcji, np. (-2, 0) i (0, 3):

Jest to wykres funkcji - dla każdego argumentu jest przyjmowana dokładnie jedna wartość. 

W rozwinięciu wyrażenia...

Skorzystamy ze wzoru na sześcian sumy:{premium}

 

Współczynnik przy xy2:

 

wynosi

 

Odpowiedź C

Zapisz liczbę w postaci potęgi o podstawie 5

{premium}

Wyznacz pierwiastki wielomianu przedstawionego w postaci iloczynu.

 

 

 

 

Odp. Pierwiastkami wielomianu są:  {premium}


 

 

 

 

 

 

Odp. Pierwiastkami wielomianu są:  


 

 

 

 

 

Odp. Pierwiastkami wielomianu są:  


 

 

 

 

 

Odp. Pierwiastkami wielomianu są:  

Które z podanych liczb są ...

 

 

Liczba  jest liczbą naturalną, ma  cyfry. {premium}


 

 

Liczba  nie jest liczbą naturalną, ma  cyfr po przecinku.


 

 

 

 

 

Liczba  jest liczbą naturalną, ma  cyfr.


 

 

 

 

Liczba  nie jest liczbą naturalną, ma  cyfr przed przecinkiem i  cyfr po przecinku.


 

 

 

 

Liczba  jest liczbą naturalną, ma  cyfr.


 

 

 

Liczba  nie jest liczbą naturalną, ma  cyfr przed przecinkiem i  cyfr po przecinku.

Dla jakich wartości parametru m każde z dwóch...

 

Sprawdźmy najpierw, dla jakich wartości parametru  równanie ma dwa różne rozwiązania.

Będzie tak, gdy:  

Obliczamy:

 

Rozwiązujemy nierówność:

 

 

{premium}

 

Chcemy, aby każde z rozwiązań było mniejsze od  czyli:

 

Co jest równoważne:

 

Z wzorów Viete'a mamy:

  

 

 

 

 

 

Po dołączeniu warunku na  otrzymujemy:

 

 

Odp.