Kombinatoryka - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Kombinatoryka - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Kombinatoryka

W zadaniach z rachunku prawdopodobieństwa często zdarza się, że musimy policzyć ilość przypadków, w jakich może występować zdarzenie. Służy do tego kombinatoryka - w tym rozdziale omówimy podstawowe jej pojęcia, takie jak permutacja, kombinacja, wariacja i wariacja z powtórzeniem.
 

Permutacje

Załóżmy, że mamy ciąg $n$ liczb, od $0$ do $n-1$. Chcielibyśmy wiedzieć, na ile sposobów da się postawić te liczby w ciągu, czyli poznać liczbę wszystkich jego permutacji.

Zauważmy, że pierwszy element możemy wybrać na $n$ sposobów. Drugi element: na $n-1$, trzeci: na $n-2$ i tak dalej. Wymnażając wszystkie te liczby otrzymujemy iloczyn $1×2×3×4×...×(n-1)×n$, który oznacza się symbolem $n!$ i nazywamy "silnią". Warto wspomnieć, że możemy ją także zdefiniować rekurencyjnie, jako ciąg $n! = (n-1)!×n$ i $0! = 1$.
 

Kombinacje (bez powtórzeń)

Zacznijmy od pytania: na ile sposobów jesteśmy w stanie wybrać trzy piłki ze zbioru 10 ponumerowanych piłek?

Pierwszą możemy wybrać na 10 sposobów. Drugą - na 9, trzecią na 8. Wydawałoby się, że odpowiedzią będzie więc $10×9×8$. Jednak sytuację, kiedy wybraliśmy piłki o numerach 0, 1 i 2 policzyliśmy kilka razy - na przykład w kolejności 0,1,2 i 0,2,1. Musimy więc podzielić otrzymaną liczbę przez ilość permutacji wybranego zbioru, czyli przez $3! = 1×2×3 = 6$. Ostatecznie dostajemy ${8×9×10}/{3!}$.

Jednak jeśli zamiast 10 piłek mielibyśmy ich 1000, a zamiast wybierać 3 kazanoby nam wybrać 100, zapisanie tego w postaci takiego ułamka byłoby dość czasochłonne. Możemy jednak zauważyć, że zamiast pisać $1000×(1000-1)×(1000-2)×...×(1000-99)$, możemy po prostu napisać ${1000!}/{(1000-100)!}$.

W ogólności wzór na ilość kombinacji będzie więc wyglądał tak:

${n!}/{(n-k)!} × {1}/{k!} = {n!}/{(n-k)!k!}$

Aby jeszcze bardziej uprościć zapis, taki ułamek będziemy oznaczali jako $( able n;k)$.
 

Kombinacje (z powtórzeniami)

Teraz czas na pytanie innego rodzaju: na ile sposobów jesteśmy w stanie wybrać dwie piłki spośród czterech, przy czym po wybraniu pierwszej wrzucamy ją spowrotem do worka?

Rozpisując wszystkie kombinacje można się przekonać, że isnieje ich dokładnie 10 - do "standardowych", które policzylibyśmy korzystając z poprzedniego podpunktu $( able 4;2) = 6$ należy dodać jeszcze cztery zawierające dwa takie same elementy: $(0,0), (1,1), (2,2)$ i $(3,3)$.

Jednak takie podejście nie zadziała w ogólności, ponieważ przy wybieraniu większej ilości piłek możemy mieć kombinacje składające się na przykład z trzech takich samych i dwóch innych.

Rozwiązanie zadania opiera się na pomyśle, aby każdej kombinacji przyporządkować pewien ciąg zer i jedynek. Liczba zer w ciągu będzie wynosiła $n-1$, jedynek - $k$.

Ciąg przyporządkowywujemy w ten sposób, że każda jedynka odpowiada elementowi o numerze równym ilości zer przed jedynką. Inaczej mówiąc: jeśli przed trzecią jedynką jest na przykład 5 zer, to znaczy to, że w kombinacji znajduje się piątka. Jako że ilość sposobów rozmieszczenia k jedynek na n+k-1 miejscach wynosi $(n+k-1 choose k)$, a każdy taki sposób odpowiada jednej kombinacji z powtórzeniami, to właśnie tyle jest kombinacji z powtórzeniami.

Przykład:

Załóżmy że $n=5, k=3$. Wtedy kombinacji $(1,2,3)$ odpowiada ciąg $(0,1,0,1,0,1,0)$. Kombinacji $(0,2,2)$ odpowiada zaś ciąg $(1,0,0,1,1,0,0)$.
 

Wariacje

Wariacje, w odróżnieniu od kombinacji, są ciągami, a nie zbiorami. Oznacza to, że kolejność ma w nich znaczenie: jedyną zmianą, jaką w takim razie wprowadzamy we wzorze jest usunięcie składnika $k!$. Ilość wariacji bez powtórzeń jest więc równa:
${n!}/{(n-k)!}$

zaś z powtórzeniami:
$n^k$, ponieważ na pierwsze miejsce można każdy z $n$ elementów, na drugi - także, itd.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Podaj przykład wzoru funkcji postaci ...

a)  Asymptotą wykresu funkcji  jest prosta .

Wykres funkcji  powstał przez przesunięcie wykresu funkcji  o  jednostki w prawo, więc asymptotą tej funkcji jest prosta o równaniu .{premium}


b)  Wyznaczamy wzór funkcji przecinającej oś  w punkcie o współrzędnych 

 

Z definicji logarytmu:

 

 

Mamy więc:

 


c)  Miejscem zerowym wykresu funkcji  jest punkt o współrzędnych 

Wykres funkcji  powstał przez przesunięcie wykresu funkcji  o  jednostkę w prawo, więc miejsce zerowe tej funkcji ma współrzędne .


d)  Asymptotą wykresu funkcji  jest prosta .

Wykres funkcji  powstał przez przesunięcie wykresu funkcji  o  jednostkę w lewo i o  jednostek wzdłuż osi . Asymptotą tej funkcji jest więc prosta o równaniu .

Wyznaczamy wartość , wiedząc że funkcja przecinającej oś  w punkcie o współrzędnych 

 

 

 

 

Mamy więc:

 


e)  Asymptotą wykresu funkcji  jest prosta .

Wykres funkcji  powstał przez przesunięcie wykresu funkcji  o  jednostki w lewo i o  jednostek wzdłuż osi . Asymptotą tej funkcji jest więc prosta o równaniu .

Wyznaczamy wartość , wiedząc że funkcja przechodzi przez początek układu współrzędnych.

 

 

 

 

Mamy więc:

 

Rozwiąż nierówność.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Rozwiążmy pierwszą część nierówności:

 

 

 

 

 

{premium}  

 

 

Druga część nierówności:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Część wspólna warunków:

 

a więc:

 

 

 

 

 

Założenie:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Wyznaczmy przedział lewej strony alternatywy:

  

 

 

 

Podsumowując:

 

x musi być różny od -2 tak więc rozwiązaniem nierówności będzie powyższy przedział z wyłączeniem liczby -2:

 

 

 

 

 

Założenie:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Lewa nierówność:

 

 

 

Prawa nierówność:

 

 

 

 

Suma dwóch zbiorów:

 

Liczbę 2 musimy wyrzucić ze zbioru rozwiązań:

 

 

 

 

 

 

Założenie:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Pierwsza nierówność:

  

Druga nierówność:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Suma dwóch zbiorów:

 

Ze zbioru rozwiązań musimy wyrzucić liczbę 2/3, ostatecznie:

 

 

 

 

 

 

Założenie:

 

 

 

Pierwsza nierówność:

 

 

 

 

 

 

  

 

 

 

 

Druga nierówność:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Część wspólna obu rozwiązań:

 

 

Liczba -1 jest poza dziedziną więc musimy wyrzucić ją ze zbioru rozwiązań:

 

Przedstaw podane wyrażenie ...

a)   {premium}


b)   

 

W wycinek koła o promieniu...

Wykonajmy rysunek pomocniczy:

  {premium}

Obliczmy pole wycinka tego koła:

 

Obliczmy długość promienia okręgu wpisanego w ten wycinek:

 

 

 

oraz

 

 

 

 

więc:

 


Obliczmy pole koła wpisanego w ten wycinek:

 


Obliczmy stosunek pola koła wycinka do pola koła wpisanego w ten wycinek:

 


Odp.: Stosunek pola wycinka koła do pola koła wpisanego w ten wycinek wynosi 3:2. 


Zbadaj ciągłość funkcji.

a)

    {premium}

 

Funkcja jest ciągła w 0.


b)

 

 

Funkcja nie jest ciągła w 1.

Sprawdź wartości podane ...

Sprawdzamy wartości funkcji kąta 45°:

 

{premium}  

 

 

 

Sprawdzamy wartości funkcji kąta 30°:

  

  

  

 

 

Sprawdzamy wartości funkcji kąta 60°:

  

  

  

 

Obwód czworokąta jest równy 52 cm

Rysunki są tylko pomocnicze - trójkąt równoboczny nie musi wyglądać na nim jak rówboboczny, ważne są długości boków, które oznaczamy literą x. 

W pierwszym przypadku trójkąt ACD jest równoboczny, a odcinek AC jest ramieniem trójkąta równoramiennego. 

W pierwszym przypadku trójkąt ACD jest równoboczny, a odcinek AC jest podstawą trójkąta równoramiennego. 

 

{premium}

`4x=46`

`x=46/4=23/2=11,5`

W pierwszym przypadku boki czworokąta mają długość 11,5 cm, 11,5 cm, 11,5 cm oraz 17,5 cm. 

 

 

`4x-12=52\ \ \ |+12`

`4x=64\ \ \ |:4`

W drugim przypadku boki czworokąta mają długość 16 cm, 16 cm, 10 cm, 10 cm. 

Oblicz pole kwadratu, gdy dane ...

I przypadek

Wierzchołki K=(-1,1) i M=(2,1) są sąsiednimi wierzchołkami. 

Odcinek KM jest wtedy bokiem kwadratu. Obliczamy ile wynosi długość boku tego kwadratu. {premium}

  

Bok kwadratu ma długość 3. 

UWAGA!!! 

Można zauważyć, że rzędne tych punktów są takie same  i wynoszą 1. 

Punkty te leżą więc na prostej równoległej do osi OX. 

Odległość między tymi punktami wynosi: 

|KM|=|2-(-1)|=|2+1|=|3|=3


Pole tego kwadratu wynosi: 

 



II przypadek

Wierzchołki K=(-1,1) i M=(2,1) są przeciwległymi wierzchołkami. 

Odcinek KM jest wtedy przekątną kwadratu. 

    

Przekątne kwadratu mają równe długości i przecinają się pod kątem prostym. 

Każdy kwadrat jest rombem, więc obliczając pole kwadratu możemy skorzystać ze wzoru na pole rombu. 

 

Liczba...

Korzystając z tablic trygonometrycznych dostajemy, że 

 

więc{premium}

 

więc

 

Odp. C. 

Dany jest prostokąt o bokach...

Pole prostokąta:

 

 

a) Bok a:

  

  • Bok b:

{premium}  

 

Pole prostokąta:

 

 

Odpowiedź: Pole zmaleje o 4%.

 

b) Bok a:

 

  • Bok b:

 

 

Pole prostokąta:

 

 

Odpowiedź: Pole nie ulegnie zmianie.