Zgoda na przetwarzanie danych osobowych

25 maja 2018 roku zacznie obowiązywać Rozporządzenie Parlamentu Europejskiego i Rady (UE) 2016/679 z dnia 27 kwietnia 2016 r. znane jako RODO.

Dlatego aby dalej móc dostarczać Ci materiały odpowiednie do Twojego etapu edukacji, potrzebujemy zgody na lepsze dopasowanie treści do Twojego zachowania. Dzięki temu możemy zapamiętywać jakie materiały są Ci potrzebne. Dbamy o Twoją prywatność, więc nie zwiększamy zakresu naszych uprawnień. Twoje dane są u nas bezpieczne, a zgodę na ich zbieranie możesz wycofać na podstronie polityka prywatności.

Klikając "Przejdź do Odrabiamy", zgadzasz się na wskazane powyżej działania. W przeciwnym wypadku, nie jesteśmy w stanie zrealizować usługi kompleksowo i prosimy o opuszczenie strony.

Polityka prywatności

Drogi Użytkowniku w każdej chwili masz prawo cofnąć zgodę na przetwarzanie Twoich danych osobowych. Cofnięcie zgody nie będzie wpływać na zgodność z prawem przetwarzania, którego dokonano na podstawie wyrażonej przez Ciebie zgody przed jej wycofaniem. Po cofnięciu zgody wszystkie twoje dane zostaną usunięte z serwisu. Udzielenie zgody możesz modyfikować w zakładce 'Informacja o danych osobowych'

Granice funkcji - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Granice funkcji

Przy okazji ciągów poznaliśmy definicję "granicy". W ramach przypomnienia: była to liczba, do jakiej dążył ciąg - od pewnego miejsca kolejne wyrazy ciągu coraz bardziej zbliżały się do niej.

Granica funkcji jest pojęciem rozwijającym granicę ciągu. Istnieją dwie definicje. Funkcja ma granicę w punkcie $$x_0$$, jeśli:

I. (Definicja Heinego)
dla każdego ciągu ($$x_n$$) takiego że $$lim↙{n →∞} x_n = x_0$$ zachodzi $$lim↙{n →∞} f(x_n) = g$$. (inaczej mówiąc: jeśli wybierzemy dowolny ciąg zbieżny do $$x_0$$ i ciąg $$f(x_n) będzie dążył do $$g$$, to funkcja ma w punkcie $$x_0$$ granicę równą $$g$$).

II. (Definicja Cauchego)
dla każdej liczby $$ε > 0$$ istnieje liczba $$△$$ > $$0$$ taka, że jeśli $$0$$ < $$|x - x_0|$$ < $$△$$, to $$|f(x) - g|$$ < $$ε$$

1

Definicja Cauchego może wydawać się skomplikowana, ale tak naprawdę jest ścisłym zapisem tego, że jeśli weźmiemy dowolną "wysokość" $$ε$$, to znajdziemy taką liczbę $$△$$, że dowolne dwa punkty na wykresie leżące bliżej (w poziomie) niż $$△$$ będą miały odległość w pionie mniejszą niż $$ε$$.

Kolejne pojęcie: granica jesdnostronna - oznacza po prostu, że "zbliżamy się" do punktu $$x_0$$ tylko z jednej strony.
 

Działania na granicach

Analogicznie do granic ciągów, na granicach funkcji także możemy wykonywać działania artytmetyczne - na przykład jeśli granicą funkcji $$f(x)$$ jest $$A$$, a granicą $$g(x)$$ - $$B$$, to granicą funckcji $$h(x) = f(x) + g(x)$$ będzie po prostu $$A+B$$.

Funkcja ciągła

Funkcja ciągła to intuicyjnie taka funkcja, którą można narysować bez odrywania ołówka od kartki - nie ma żadnych nagłych "przeskoków". Jednak ta definicja, poza tym, że jest mało precyzyjna, zawiera błąd. Na przykład funkcję $$f(x) = frac{1}{x}$$ nazywamy funkcją ciągłą, mimo, że przecież nie da się narysować jej wykresu od $$-1$$ do $$1$$ bez odrywania ołówka. Dzieje się tak, ponieważ funkcja może być ciągła tylko w swojej dziedzinie - poza dziedziną przecież "nie istnieje", więcn nie można nic o niej powiedzieć.

Precyzyjną definicją ciągłości jest to, czy dla każdego $$x f(x)$$ jest równe granicy w tym punkcie. Intuicyjnie wydaje się to poprawne: jeśli coraz bardziej zbliżamy się do punktu $$x_0$$ i jesteśmy coraz bliżej jego wartości, to jeśli w końcu dotrzemy w $$x_0$$, to powinniśmy tam znaleźć wartość właśnie $$f(x_0)$$.

Funkcje ciągłe mają tę ciekawą właściwość, że na przedziale przyjmują wszystkie wartości pośrednie. To znaczy, że jeśli na przykład w punkcie $$x = 0 f(x) = 2$$, a w punkcie $$x = 1 f(x) = -2$$, to wiemy, że w tym przedziale na pewno znajdzie się taki punkt $$a$$, że $$f(a) = 0$$. (Oczywiście funkcja musi być określona na całym tym przedziale)

Ważne jest to, że wykonując operacje arytmetyczne oraz składając funkcje ciągłe otrzymujemy zawsze funkcje ciągłe - dlatego wszystkie "normalne", tzn określone "prostym" wzorem (jak na przykład wielomiany lub funkcje trygonometryczne) będą ciągłe.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Oblicz ...

Przy rozwiązaniu korzystamy ze wzorów:

`log_a (x*y)=log_a x + log_a y` 

`log_a (x/y)=log_a x - log_a y` 

`k*log_a x=log_a x^k` 

 

`log_3 6+log_3 18-2log_3 2=`{premium}`log_3 (6*18)-log_3 2^2=log_3 (108)-log_3 4=` 

`=log_3 ((108)/4)=log_3 ((108)/4)=log_3 27=log_3 3^3=3` 

Rozwiąż równania:

`a)` 

`3(x^2+2x+5)=x(25-3x)` 

`3x^2+6x+15-25x+3x^2=0` 

`6x^2-19x+15=0` 

`Delta=361-360=1` 

`sqrt(Delta)=1` 

 

`x_1=(19-1)/12=3/2`  

`x_2=(19+1)/12=5/3` 

 

`x in {3/2,\ 5/3}` 

 

{premium}

`b)` 

`11-14x=(2x+1)^2` 

`11-14x=4x^2+4x+1` 

`4x^2+18x-10=0` 

`2x^2+9x-5=0` 

`Delta=81+40=121` 

`sqrt(Delta)=11` 

 

`x_1=(-9-11)/4=-5` 

`x_2=(-9+11)/4=1/2` 

 

`x in {-5,\ 1/2}`  

 

`c)` 

`17-5x=6x^2+(x-3)^2` 

`17-5x=6x^2+x^2-6x+9` 

`7x^2-x-8=0` 

`Delta=1+224=225` 

`sqrt(Delta)=15` 

 

`x_1=(1+15)/14=8/7` 

`x_2=(1-15)/14=-1` 

 

`x in {8/7,-1}`    

 

`d)` 

`8x(7-3x)+1=4(2-x)(2+x)` 

`56x-24x^2+1=4(4-x^2)` 

`-20x^2+56x-15=0` 

`Delta=3136-1200=1936` 

`sqrt(Delta)=44` 

 

`x_1=(-56+44)/-40=12/40=6/20=3/10` 

`x_2=(-56-44)/-40=10/4=5/2` 

 

`x in {3/10,\ 5/2}`  

 

`e)` 

`x^2-(3x-1)^2=56x-43` 

`x^2-9x^2+6x-1=56x-43` 

`-8x^2-50x+42=0` 

`4x^2+25x-21=0` 

`Delta=625+336=961` 

`sqrt(Delta)=31` 

 

`x_1=(-25+31)/8=3/4` 

`x_2=(-25-31)/8=-7` 

 

`x in {-7,\ 3/4}`  

 

 

`f)` 

`2x^2+11x+21=-(x-5)(x+5)` 

`2x^2+11x+21=-x^2+25` 

`3x^2+11x-4=0` 

`Delta=121+48=169` 

`sqrt(Delta)=13` 

 

`x_1=(-11+13)/6=1/3` 

`x_2=(-11-13)/6=-4` 

 

`x in {-4,\ 1/3}`  

 

Wyznacz punkty nieciągłości funkcji f.

`"a)"` Sprawdzamy, czy funkcja jest ciągła dla `x=2.` 

`lim_(x->2^-)f(x)=lim_(x->2^-)(4x^2-1)=4*2^2-1=4*4-1=16-1=15`   

`lim_(x->2^+)f(x)=lim_(x->2^+)(3x+1)=3*2+1=6+1=7` 

`lim_(x->2^-)f(x)!=lim_(x->2^+)f(x),` więc funkcja nie jest ciągła w punkcie `2.` 

Sprawdzamy, czy funkcja jest ciągła dla `x=3.`   

`lim_(x->3^-)f(x)=lim_(x->3^-)(3x+1)=3*3+1=9+1=10` 

`lim_(x->3^+)f(x)=lim_(x->3^+)(7-2x)=7-2*3=7-6=1`

 `lim_(x->3^-)f(x)!=lim_(x->3^+)f(x),` więc funkcja nie jest ciągła w punkcie `3.` 

Odp. Punkty nieciągłości funkcji  `f` to `x=2` oraz `x=3.`   

 

`"b)"` Sprawdzamy, czy funkcja jest ciągła dla `x=-1.` 

`lim_(x->-1^-)f(x)=lim_(x->-1^-)-2x=-2*(-1)=2`    

`lim_(x->-1^+)f(x)=lim_(x->-1^+)2=2`    

`lim_(x->-1^-)f(x)=lim_(x->-1^+)f(x),`  więc funkcja jest ciągła w punkcie `-1.` 

`lim_(x->1^-)f(x)=lim_(x->1^-)2=2` 

`lim_(x->1^+)f(x)=lim_(x->1^+)5/(x+4)=5/(1+4)=5/5=1` 

`lim_(x->1^-)f(x)!=lim_(x->1^+)f(x),`  więc funkcja nie jest ciągła w punkcie `1.` 

Odp. Punktem nieciągłości funkcji `f` jest `x=1.`  

 

Wykres funkcji f(x)=-2x^2...

`f(x)=-2x^2` 

`g(x)=-2(x+3)^2+4` 

`W=(-3,4)` 

 

`ZW_f=(-oo, 4>` 

Funkcja rośnie w przedziale: `(-oo, -3>` 

Funkcja maleje w przedziale: `< 3,+oo)` 

 

Wykonaj dzielenie, odpowiedź podaj ...

`"a)"\ 3/(4x):(x-1)/(6x)`  

Zakładamy, że:

`4x!=0\ \ \ \ \ \ \ "i" \ \ \ \ \ \ \ \ 6x!=0\ \ \ \ \ \ \ "i"\ \ \ \ \ \ x-1!=0` 

`\ \ x!=0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x!=0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x!=1`  

Dziedzina wyrażenia to:

`x\in RR\\{0,1}` 

 

`3/(4x):(x-1)/(6x)=3/(4x)*(6x)/(x-1)=(strike(18)^9strike(x))/(strike(4)^2strike(x)(x-1))=9/(2(x-1))`  

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))`

`"b)"\ (2x+4)/(x-3):(3-x)/(x+2)` 

Zakładamy, że:

`x-3!=0\ \ \ \ \ \ "i"\ \ \ \ \ \ x+2!=0\ \ \ \ \ \ \ \ "i"\ \ \ \ \ \ \ \ 3-x!=0` 

`\ \ x!=3\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x!=-2\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x!=3`

Dziedzina wyrażenia to:

`x \in RR\\{-2,3}` 

 

`(2x+4)/(x-3):(3-x)/(x+2)=(2x+4)/(x-3)*(x+2)/(3-x)=(2(x+2)*(x+2))/((x-3)*(-1)(x-3))=-(2(x+2)^2)/((x-3)^2)`  

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))` 

`"c)"\ (10x+2)/(x^2):(5x+1)/(x)` 

Zakładamy, że:

`x^2!=0\ \ \ \ \ \ "i"\ \ \ \ \ \ x!=0\ \ \ \ \ "i"\ \ \ \ \ \ 5x+1!=0` 

`x!=0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x!=-1/5`

Dziedzina wyrażenia to:

`x \in RR\\{-1/5,0}`

 

`(10x+2)/(x^2):(5x+1)/(x)=(10x+2)/(x^2)*(x)/(5x+1)=(2*strike((5x+1))*strike(x))/(x^strike(2)*strike((5x+1)))=2/x`  

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))`

`"d)"\ (6-4x)/((1-x)^2):(2x-3)/(x-1)`

Zakładamy, że:

`(1-x)^2!=0\ \ \ \ \ \ \ "i"\ \ \ \ \ \ \ \ x-1!=0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ "i"\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 2x-3!=0`

`\ \ \ x!=1\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x!=1\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x!=3/2` 

Dziedzina wyrażenia to:

`x \in RR\\{1,3/2}` 

 

`(6-4x)/((1-x)^2):(2x-3)/(x-1)=(6-4x)/((1-x)^2)*(x-1)/(2x-3)=(-2strike((-3+2x))*(-1)*strike((1-x)))/((1-x)^strike(2)*strike((2x-3)))=2/(1-x)` 

 `ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))` 

`"e)"\ (x^3)/(6x-2):(2x)/(1-3x)` 

Zakładamy, że:

`6x-2!=0\ \ \ \ \ \ \ \ "i"\ \ \ \ \ \ \ 1-3x!=0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ "i"\ \ \ \ \ \ \ \ 2x!=0` 

`\ \ x!=1/3\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x!=1/3\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x!=0`

Dziedzina wyrażenia to:

`x \in RR \\{0,1/3}` 

 

`(x^3)/(6x-2):(2x)/(1-3x)=(x^3)/(6x-2)*(1-3x)/(2x)=(x^strike(3)^2*strike((1-3x)))/(-2strike((-3x+1))*2strike(x))=-x^2/4`   

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))` 

`"f)"\ (x+1)/((x+2)^2):(x^2-1)/(x^2-4)` 

Zakładamy, że:

`(x+2)^2!=0\ \ \ \ \ \ \ \ \ "i"\ \ \ \ \ \ \ \ x^2-4!=0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ "i"\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x^2-1!=0`

`\ \ \ x!=-2\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x!=2\ \ "i"\ \ \ x!=-2\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x!=1\ \ "i"\ \ \ x!=-1` 

Dziedzina wyrażenia to:

`x \in RR \\{-2,-1,1,2}` 

`(x+1)/((x+2)^2):(x^2-1)/(x^2-4)=(x+1)/((x+2)^2)*(x^2-4)/(x^2-1)=(strike((x+1))(x-2)strike((x+2)))/((x+2)^strike(2)*(x-1)strike((x+1)))=(x-2)/((x+2)(x-1))`     

Oblicz objętość stożka o średnicy...

`R=5 ["cm"]` 

`r=4 ["cm"]` 

 

Korzystając z tw. Pitagorasa otrzymujemy:

`4^2+h^2=l^2` 

`16+h^2=l^2` 

 

`P_(Delta)=1/2*8*h=4h` 

`P_(Delta)=(abc)/(4R)=(8*l*l)/(4*5)=(8l^2)/20=(2l^2)/5` 

`4h=(2l^2)/5 \ \ \ |*5` 

`20h=2l^2 \ \ \ |:2` 

`10h=l^2` 

`10h=16+h^2 \ \ \ |-10h` 

`0=h^2-10h+16` 

`Delta=(-10)^2-4*1*16=100-64=36` 

`h_1=(10-6)/2=4/2=2` 

`h_2=(10+6)/2=16/2=8` 

 

Przypadek I.

`h=2` 

`V=1/3*P_p*h=1/3pi*4^2*2=1/3pi*16*2=32/3pi ["cm"^3]` 

 

Przypadek II.

`h=8` 

`V=1/3*P_p*h=1/3pi*4^2*8=1/3pi*16*8=128/3pi ["cm"^3]` 

 

 

Proste BD, CE i ST są równoległe ...

`a)` 

 `|DE|=x` 

`2/x=(2+4)/(x+6)` 

`2/x=6/(x+6)` 

`2(x+6)=6x` 

`2x+12=6x\ \ \ |-2x` 

`12=4x \ \ \ \ |:4` 

`x=3` 

 

`b)` 

`|AD|=y,\ \ \ \ |BD|=z,\ \ \ \ |ST|=w` 

`4/z=(4+2)/3\ \ \ =>\ \ \ ` `4*3=6z\ \ \ =>\ \ \ z=12/6=2` 

`4/y=(4+2)/(y+3)\ \ \ =>\ \ \ 4(y+3)=6y\ \ \ =>\ \ \ 4y+12=6y\ \ \ =>\ \ \ 12=2y\ \ \ =>\ \ \ y=12/2=6` 

`10/w=4/z\ \ \ =>\ \ \ 10/w=4/2\ \ \ =>\ \ \ 10*2=4w\ \ \ =>\ \ \ w=20/4=5`       

Ile wyrazów ma podany ciąg?

`a_n=a_1*q^(n-1)` 

 

a)

`a_1=2` 

`q=3` 

 

`1458=2*3^(n-1) \ \ \ |:2` 

`729=3^(n-1)` 

`3^6=3^(n-1)` 

`6=n-1 \ \ \ |+1` 

`7=n` 


b)

`a_1=16` 

`q=-1/2` 

 

`1/4=16*(-1/2)^(n-1) \ \ \ |:16` 

`1/64=(-1/2)^(n-1)` 

`(-1/2)^6=(-1/2)^(n-1)` 

`6=n-1 \ \ \ |+1` 

`7=n` 


c)

`a_1=-1/10` 

`q=-10` 

 

`10^6=(-1/10)*(-10)^(n-1) \ \ \ |:(-1/10)` 

`10^6*(-10)=(-10)^(n-1)` 

Korzystając z tego, że `10^6=(-10)^6` otrzymujemy:

`(-10)^7=(-10)^(n-1)` 

`7=n-1 \ \ \ |+1` 

`8=n` 

 

Uzasadnij, że funkcja f...

`a) \ f^' (x) = (-x^3-3x+10)^' =-(x^3)^' -(3x)^' + (10)^' = -3x^2 -3` 

Przyrównajmy wartość pochodnej do 0.

`-3x^2 -3 =0 \ \ \ |:(-3)`  

`x^2 + 1 =0` 

Zauważmy, ze wyrażenie jest stale większe od zera zatem nie istnieje punkt w którym wartość pochodnej jest równa 0, zatem nie zachodzi warunek konieczny na istnienie ekstremum.

 

`b) \ f^'(x) = (1/(x^3+x))^' = ((1)^' *(x^3+x) - 1*(x^3+x)^')/((x^3+x)^2) = (-(x^2+1))/((x^3+x)^2)` 

Zauważmy, że:

`x^2 + 1> 0` 

`-(x^2+1) < 0` 

Zatem nie istnieje punkt w którym wartość pochodnej wynosi 0 a więc nie jest spełniony warunek konieczny na istnienie ekstremum.

Naszkicuj wykres funkcji f ...

a) Wykres funkcji `f(x)`  otrzymamy po przesunięciu funkcji `g(x)=2/x` o 4 jednostki w górę.

`D_f=(-oo, 0)uu(0,+oo)` 

`ZW_f=(-oo, 4)uu(4,+oo)` 

Funkcja jest malejąca w przedziałach, w których jest określona.

Prosta x=0 jest asymptotą pionową.

Prosta y=4 jest asymptotą poziomą.


b) Wykres funkcji `f(x)`  otrzymamy po przesunięciu funkcji `g(x)=-3/x` o 1 jednostkę w dół.

`D_f=(-oo, 0)uu(0,+oo)` 

`ZW_f=(-oo, -1)uu(-1,+oo)` 

Funkcja jest rosnąca w przedziałach, w których jest określona.

Prosta x=0 jest asymptotą pionową.

Prosta y=-1 jest asymptotą poziomą.


c) Wykres funkcji `f(x)`  otrzymamy po przesunięciu funkcji `g(x)=3/x` o 1 jednostkę w prawo i 2 jednostki do góry.

`D_f=(-oo, 1)uu(1,+oo)` 

`ZW_f=(-oo, 2)uu(2,+oo)` 

Funkcja jest malejąca w przedziałach, w których jest określona.

Prosta x=1 jest asymptotą pionową.

Prosta y=2 jest asymptotą poziomą.