Granice funkcji - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Granice funkcji - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Granice funkcji

Przy okazji ciągów poznaliśmy definicję "granicy". W ramach przypomnienia: była to liczba, do jakiej dążył ciąg - od pewnego miejsca kolejne wyrazy ciągu coraz bardziej zbliżały się do niej.

Granica funkcji jest pojęciem rozwijającym granicę ciągu. Istnieją dwie definicje. Funkcja ma granicę w punkcie $x_0$, jeśli:

I. (Definicja Heinego)
dla każdego ciągu ($x_n$) takiego że $lim↙{n →∞} x_n = x_0$ zachodzi $lim↙{n →∞} f(x_n) = g$. (inaczej mówiąc: jeśli wybierzemy dowolny ciąg zbieżny do $x_0$ i ciąg $f(x_n) będzie dążył do $g$, to funkcja ma w punkcie $x_0$ granicę równą $g$).

II. (Definicja Cauchego)
dla każdej liczby $ε > 0$ istnieje liczba $△$ > $0$ taka, że jeśli $0$ < $|x - x_0|$ < $△$, to $|f(x) - g|$ < $ε$

1

Definicja Cauchego może wydawać się skomplikowana, ale tak naprawdę jest ścisłym zapisem tego, że jeśli weźmiemy dowolną "wysokość" $ε$, to znajdziemy taką liczbę $△$, że dowolne dwa punkty na wykresie leżące bliżej (w poziomie) niż $△$ będą miały odległość w pionie mniejszą niż $ε$.

Kolejne pojęcie: granica jesdnostronna - oznacza po prostu, że "zbliżamy się" do punktu $x_0$ tylko z jednej strony.
 

Działania na granicach

Analogicznie do granic ciągów, na granicach funkcji także możemy wykonywać działania artytmetyczne - na przykład jeśli granicą funkcji $f(x)$ jest $A$, a granicą $g(x)$ - $B$, to granicą funckcji $h(x) = f(x) + g(x)$ będzie po prostu $A+B$.

Funkcja ciągła

Funkcja ciągła to intuicyjnie taka funkcja, którą można narysować bez odrywania ołówka od kartki - nie ma żadnych nagłych "przeskoków". Jednak ta definicja, poza tym, że jest mało precyzyjna, zawiera błąd. Na przykład funkcję $f(x) = frac{1}{x}$ nazywamy funkcją ciągłą, mimo, że przecież nie da się narysować jej wykresu od $-1$ do $1$ bez odrywania ołówka. Dzieje się tak, ponieważ funkcja może być ciągła tylko w swojej dziedzinie - poza dziedziną przecież "nie istnieje", więcn nie można nic o niej powiedzieć.

Precyzyjną definicją ciągłości jest to, czy dla każdego $x f(x)$ jest równe granicy w tym punkcie. Intuicyjnie wydaje się to poprawne: jeśli coraz bardziej zbliżamy się do punktu $x_0$ i jesteśmy coraz bliżej jego wartości, to jeśli w końcu dotrzemy w $x_0$, to powinniśmy tam znaleźć wartość właśnie $f(x_0)$.

Funkcje ciągłe mają tę ciekawą właściwość, że na przedziale przyjmują wszystkie wartości pośrednie. To znaczy, że jeśli na przykład w punkcie $x = 0 f(x) = 2$, a w punkcie $x = 1 f(x) = -2$, to wiemy, że w tym przedziale na pewno znajdzie się taki punkt $a$, że $f(a) = 0$. (Oczywiście funkcja musi być określona na całym tym przedziale)

Ważne jest to, że wykonując operacje arytmetyczne oraz składając funkcje ciągłe otrzymujemy zawsze funkcje ciągłe - dlatego wszystkie "normalne", tzn określone "prostym" wzorem (jak na przykład wielomiany lub funkcje trygonometryczne) będą ciągłe.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Opisz za pomocą układu nierówności...

 Odczytujemy z rysunku równania prostych  i    

 

 

Niech prosta  ma równanie  Wstawiamy współrzędne punktów  i  i wyznaczamy współczynniki  

 

Odejmujemy równania stronami.       

    

    

    

    

    

Stąd:

 

Zatem szukany układ nierówności wygląda następująco:

  

 

 Odczytujemy z rysunku równania prostych  i   

 

 

Wyznaczamy równanie prostej  Jest ona prostopadła do powyższych prostych, więc:

 

Po wstawieniu współrzędnych punktu  {premium}  mamy:

 

    

 

Stąd: 

 

Analogicznie wyznaczamy równanie prostej  

 

Po wstawieniu współrzędnych punktu  mamy:

 

 

 

Stąd:

 

Zatem szukany układ nierówności wygląda następująco:

 

 

 Odczytujemy z rysunku równania prostych  i    

 

 

Proste  i  są równoległe. Mają więc ten sam współczynnik kierunkowy. Odczytujemy z rysunku, że jest równy  

Stąd:   

 

 

Wstawiamy kolejne współrzędne punktów  i  i wyznaczamy współczynniki  i  

   

 

 

 

 

Stąd:

 

 

 

Zatem szukany układ nierówności wygląda następująco:

 

 

 Odczytujemy z rysunku równania prostych  oraz  

   

 

Prosta  jest prostopadła do powyższych prostych, stąd  

Wstawiamy do równania prostej współrzędne punktu  i wyznaczamy  

      

 

 

 

Stąd: 

 

Wyznaczamy równanie prostej  Wstawiamy do równania współrzędne punktów  i  

i wyznaczamy  

 

Odejmujemy równania stronami.     

   

   

   

   

   

   

   

   

Stąd:

 

Zatem szukany układ nierówności wygląda następująco:

 

 

 Niech  Wstawiamy współrzędne punktów  i  i wyznaczamy  

 

Odejmujemy równania stronami.      

 

Stąd:

 

Niech teraz  Wstawiamy współrzędne punktów  i  i wyznaczamy  

 

Odejmujemy równania stronami:

 

 

 

 

 

Stąd:

 

 

Zatem szukany układ nierówności wygląda następująco:

 

 

 Niech  Odczytujemy z rysunku współczynnik kierunkowy prostej:

 

Wstawiamy współrzędne punktu  i wyznaczamy wyraz wolny.

   

 

 

 

Stąd:

 

 

Niech teraz  Odczytujemy z rysunku współczynnik kierunkowy prostej:

 

Wstawiamy współrzędne punktu  i wyznaczamy wyraz wolny.

 

 

 

 

Stąd:

 

 

Zatem szukany układ nierówności wygląda następująco:

 

Ktoś zaczął palić papierosy ...

 ]

 

 

{premium}  

 

 

 

 

 

Zauważmy, że następujący ciąg jest ciągiem geometrycznym:

 

 

 

 

 

 

              

Prostokąt EFGH jest podobny do prostokąta ...

Z treści zadania wiemy, że:

 

 

      {premium}

 

 

 

 

Zatem otrzymujemy:

 

 

 

Wyznaczmy długość boku EF.

 

 

 

Wyznaczmy długość boku FG.

 

 

 

Wyznacz pochodną funkcji f.

 

 

{premium}  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Hubert ma w szufladzie 20 skarpetek...

 

a) A - wyjmiemy dwie skarpetki w tym samym kolorze (czyli wyjmiemy{premium} dwie beżowe skarpetki lub wyjmiemy dwie granatowe skarpetki lub wyjmiemy dwie białe skarpetki)

 


b) B - wyjmiemy jedną skarpetkę beżową i jedną skarpetkę białą

 

Z dwóch symetrycznych monet jedna jest prawidłowa

 

{premium}  

 

 

 

 

Wybieramy losowo jedną z dwóch monet: 

 

 

 

Jeśli dwukrotnie rzucamy monetą z dwoma orłami, to na pewno wyrzucimy orły - wyrzucenie dwóch orłów w dwukrotnym rzucie niesymetryczną monetą jest zdarzeniem pewnym. 

 

 

Jeśli dwukrotnie rzucamy monetą symetryczną, to w każdym rzucie możemy wyrzucić orła z prawdopodobieństwem jedna druga (bo w rzucie monetą symetryczną wyrzucienie orła i reszki są jednakowo prawdopodobne). Możemy więc obliczyć prawdopodobieństwo wyrzucenia dwóch orłów w dwukrotnym rzucie symetryczną monetą:

 

 

Obliczamy szukane prawdopodobieństwo:

 

Oblicz.

   

{premium}  

 

 

   

  

 

Samochód rozpoczął hamowanie. W ciągu pierwszej sekundy...

Samochód w ciągu pierwszej sekundy przejechał 20 km. W ciągu kolejnej przebył tylko 3/4 odległości przebytej w pierwszej sekundzie, czyli:

 

W ciągu kolejnej sekundy przebył znowu 3/4 odległości przebytej w drugiej sekundzie hamowania, czyli:

 {premium}

Odległości, które przejeżdżał samochód w kolejnych sekundach tworzą nam ciąg geometryczny taki, że:

 

 

 

 

Iloraz ciągu to:

 

 

Żeby obliczyć odległość, którą przejechał samochód w pierwszych 10 sekundach, musimy obliczyć sumę dziesięciu pierwszych wyrazów powyższego ciągu geometrycznego. Zatem:

 

Przypomnijmy wzór na sumę n początkowych wyrazów ciągu geometrycznego:

 

 

Podstawmy znane nam wartości:

 

Przekształćmy wyrażenie w nawiasie:

  

 

W przybliżeniu:

 

 

Odpowiedź: Samochód w ciągu pierwszych 10 sekund hamowania przejechał około 75,5 metra.

W tabeli podano, ile medali...

a) Obliczamy średnią liczbę medali zdobytych przez Polaków:{premium} (sumę zdobytych medali dzielimy przez ilość igrzysk - w tabeli mamy dane z 20 igrzysk)

`barx=(2+5+7+6+1+4+9+21+23+18+21+26+32+16+19+17+14+10+10+10)/20=271/20=13,55~~14` 


b) Porządkujemy niemalejąco ilość zdobytych medali: 1, 2, 4, 5, 6, 7, 9, 10, 10, 10, 14, 16, 17, 18, 19, 21, 21, 23, 26, 32.

Mamy parzystą liczbę wyników, więc mediana jest średnią arytmetycznych dwóch środkowych wartości (10-tej i 11-tej):

`"Me"=(10+14)/2=24/2=12` 

Modą (dominantą) danych liczb jest D=10.


c) Obliczamy wariancję liczby zdobytych medali:

`sigma^2~~((1-14)^2+(2-14)^2+(4-14)^2+(5-14)^2+(6-14)^2+(7-14)^2+(9-14)^2+(10-14)^2+(10-14)^2+(10-14)^2+(14-14)^2+(16-14)^2+(17-14)^2+(18-14)^2+(19-14)^2+(21-14)^2+(21-14)^2+(23-14)^2+(26-14)^2+(32-14)^2)/20=(169+144+100+81+64+49+25+16+16+16+0+4+9+16+25+49+49+81+144+324)/20=1381/20=69,05` 


Obliczamy odchylenie standardowe zdobytych medali:

`sigma=sqrt(sigma^2)~~sqrt(69,05)~~8,31` 

W trójkącie o wierzchołkach...

Wyznaczmy równanie prostej AB:

 

{premium}  

 

 

 

czyli

 

 

 

a więc:

 

 

Prosta zawierająca wysokość opuszczoną na podstawę AB(lub jej przedłużenie) musi być prostopadła do prostej AB. Prostą prostopadłą do prostej AB jest prosta:

 

bo iloczyn ich współczynników kierunkowych wynosi -1

Odpowiedź C