Granice funkcji - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Granice funkcji

Przy okazji ciągów poznaliśmy definicję "granicy". W ramach przypomnienia: była to liczba, do jakiej dążył ciąg - od pewnego miejsca kolejne wyrazy ciągu coraz bardziej zbliżały się do niej.

Granica funkcji jest pojęciem rozwijającym granicę ciągu. Istnieją dwie definicje. Funkcja ma granicę w punkcie $$x_0$$, jeśli:

I. (Definicja Heinego)
dla każdego ciągu ($$x_n$$) takiego że $$lim↙{n →∞} x_n = x_0$$ zachodzi $$lim↙{n →∞} f(x_n) = g$$. (inaczej mówiąc: jeśli wybierzemy dowolny ciąg zbieżny do $$x_0$$ i ciąg $$f(x_n) będzie dążył do $$g$$, to funkcja ma w punkcie $$x_0$$ granicę równą $$g$$).

II. (Definicja Cauchego)
dla każdej liczby $$ε > 0$$ istnieje liczba $$△$$ > $$0$$ taka, że jeśli $$0$$ < $$|x - x_0|$$ < $$△$$, to $$|f(x) - g|$$ < $$ε$$

1

Definicja Cauchego może wydawać się skomplikowana, ale tak naprawdę jest ścisłym zapisem tego, że jeśli weźmiemy dowolną "wysokość" $$ε$$, to znajdziemy taką liczbę $$△$$, że dowolne dwa punkty na wykresie leżące bliżej (w poziomie) niż $$△$$ będą miały odległość w pionie mniejszą niż $$ε$$.

Kolejne pojęcie: granica jesdnostronna - oznacza po prostu, że "zbliżamy się" do punktu $$x_0$$ tylko z jednej strony.
 

Działania na granicach

Analogicznie do granic ciągów, na granicach funkcji także możemy wykonywać działania artytmetyczne - na przykład jeśli granicą funkcji $$f(x)$$ jest $$A$$, a granicą $$g(x)$$ - $$B$$, to granicą funckcji $$h(x) = f(x) + g(x)$$ będzie po prostu $$A+B$$.

Funkcja ciągła

Funkcja ciągła to intuicyjnie taka funkcja, którą można narysować bez odrywania ołówka od kartki - nie ma żadnych nagłych "przeskoków". Jednak ta definicja, poza tym, że jest mało precyzyjna, zawiera błąd. Na przykład funkcję $$f(x) = frac{1}{x}$$ nazywamy funkcją ciągłą, mimo, że przecież nie da się narysować jej wykresu od $$-1$$ do $$1$$ bez odrywania ołówka. Dzieje się tak, ponieważ funkcja może być ciągła tylko w swojej dziedzinie - poza dziedziną przecież "nie istnieje", więcn nie można nic o niej powiedzieć.

Precyzyjną definicją ciągłości jest to, czy dla każdego $$x f(x)$$ jest równe granicy w tym punkcie. Intuicyjnie wydaje się to poprawne: jeśli coraz bardziej zbliżamy się do punktu $$x_0$$ i jesteśmy coraz bliżej jego wartości, to jeśli w końcu dotrzemy w $$x_0$$, to powinniśmy tam znaleźć wartość właśnie $$f(x_0)$$.

Funkcje ciągłe mają tę ciekawą właściwość, że na przedziale przyjmują wszystkie wartości pośrednie. To znaczy, że jeśli na przykład w punkcie $$x = 0 f(x) = 2$$, a w punkcie $$x = 1 f(x) = -2$$, to wiemy, że w tym przedziale na pewno znajdzie się taki punkt $$a$$, że $$f(a) = 0$$. (Oczywiście funkcja musi być określona na całym tym przedziale)

Ważne jest to, że wykonując operacje arytmetyczne oraz składając funkcje ciągłe otrzymujemy zawsze funkcje ciągłe - dlatego wszystkie "normalne", tzn określone "prostym" wzorem (jak na przykład wielomiany lub funkcje trygonometryczne) będą ciągłe.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Skorzystaj z tego, że ...

Przyjmujemy, że:

 

 

 

 

 

  

 

Wykaż, że dany ciąg jest arytmetyczny

Ciąg jest arytmetyczny, jeśli różnica wyrazu o indeksie (n+1) i n jest stała (jest to r, czyli różnica ciągu arytmetycznego)

 

 

 

 `-4` 

 

 

 

Udało nam się znaleźć r, więc ten ciąg jest arytmetyczny. 

 

 

 

Można to także uzasadnić, korzystając z twierdzenia 2 ze strony 175. 

Musimy sprawdzić następujący warunek:

 `(a_(n+1)+a_(n-1))/2` 

 

 `((-4(n+1)+17)+(-4(n-1)+17))/2=` 

 

 `(-8n+34)/2=-4n+17=a_n`        

Oblicz.

 

 

 

 

 

 

Rozwiąż równanie.

a)

 

 

 

 

Możemy zapisać krócej:

 


b)

 

 

 

 

 


c)

 

 

 

 

 (kolor zielony)

 (kolor pomarańczowy)

 (kolor fioletowy)

 

Pomocniczo:

 

 

 

 

Odp.  

Łatwiej możemy zapisać: 

 


d)

 

 

 (kolor zielony)

 (kolor pomarańczowy)

 (kolor fioletowy)

Pomocniczo:

 

 

 

 

 

 

Odp.  

 

Które wyrazy ciągu (an) należą ...

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  

  

 

     

 

 

 

 

 

 

  

  

 

     

 

 

` `

Wyznacz zbiór rozwiązań...

 

 

 

  ` `

 

 

   - zbiór rozwiązań

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  - zbiór rozwiązań

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Rozważmy stożek o promieniu podstawy równym...

Rozważmy przekrój osiowy stożka i okrąg w niego wpisany i na nim opisany - będą one

odpowiadały stożkowi i kulom: wpisanej i opisanej na tym stożku.

Ze wzoru na promień okręgu wpisanego w trójkąt będziemy chcieli obliczyć  

Obliczamy pole  

 

Obliczamy długość przeciwprostokątnej      

 

 

Obliczamy  

      

Analogicznie, ze wzoru na promień okręgu opisanego na trójkącie obliczamy   

 

 

Obliczamy  

 

Obliczamy granicę:

     

 

 

Wyprowadź wzór

{premium}

 

 

 

 

   

Wykaż, że proste zawierające wysokości trójkąta...

Dowód:

Trójkąt ABC są rozwartokątny. Punkt D jest punktem ptzrecięcia dwóch wysokości (które są poza trójkątem).

Trójkąt BCD jest ostrokątny, więc jaego wysokości przecinają się w jednym punkcie. Wysokość trójkąta ABC wychodząca z wierzchołka A pokrywa się z wysokością trójkąta BCD wychodzącą z wierzchołka D.

Więc wszystkie wysokości trójkąta ABC przecinają się w punkcie D.

Dane są funkcje ...