Granice funkcji - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Granice funkcji - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Granice funkcji

Przy okazji ciągów poznaliśmy definicję "granicy". W ramach przypomnienia: była to liczba, do jakiej dążył ciąg - od pewnego miejsca kolejne wyrazy ciągu coraz bardziej zbliżały się do niej.

Granica funkcji jest pojęciem rozwijającym granicę ciągu. Istnieją dwie definicje. Funkcja ma granicę w punkcie $x_0$, jeśli:

I. (Definicja Heinego)
dla każdego ciągu ($x_n$) takiego że $lim↙{n →∞} x_n = x_0$ zachodzi $lim↙{n →∞} f(x_n) = g$. (inaczej mówiąc: jeśli wybierzemy dowolny ciąg zbieżny do $x_0$ i ciąg $f(x_n) będzie dążył do $g$, to funkcja ma w punkcie $x_0$ granicę równą $g$).

II. (Definicja Cauchego)
dla każdej liczby $ε > 0$ istnieje liczba $△$ > $0$ taka, że jeśli $0$ < $|x - x_0|$ < $△$, to $|f(x) - g|$ < $ε$

1

Definicja Cauchego może wydawać się skomplikowana, ale tak naprawdę jest ścisłym zapisem tego, że jeśli weźmiemy dowolną "wysokość" $ε$, to znajdziemy taką liczbę $△$, że dowolne dwa punkty na wykresie leżące bliżej (w poziomie) niż $△$ będą miały odległość w pionie mniejszą niż $ε$.

Kolejne pojęcie: granica jesdnostronna - oznacza po prostu, że "zbliżamy się" do punktu $x_0$ tylko z jednej strony.
 

Działania na granicach

Analogicznie do granic ciągów, na granicach funkcji także możemy wykonywać działania artytmetyczne - na przykład jeśli granicą funkcji $f(x)$ jest $A$, a granicą $g(x)$ - $B$, to granicą funckcji $h(x) = f(x) + g(x)$ będzie po prostu $A+B$.

Funkcja ciągła

Funkcja ciągła to intuicyjnie taka funkcja, którą można narysować bez odrywania ołówka od kartki - nie ma żadnych nagłych "przeskoków". Jednak ta definicja, poza tym, że jest mało precyzyjna, zawiera błąd. Na przykład funkcję $f(x) = frac{1}{x}$ nazywamy funkcją ciągłą, mimo, że przecież nie da się narysować jej wykresu od $-1$ do $1$ bez odrywania ołówka. Dzieje się tak, ponieważ funkcja może być ciągła tylko w swojej dziedzinie - poza dziedziną przecież "nie istnieje", więcn nie można nic o niej powiedzieć.

Precyzyjną definicją ciągłości jest to, czy dla każdego $x f(x)$ jest równe granicy w tym punkcie. Intuicyjnie wydaje się to poprawne: jeśli coraz bardziej zbliżamy się do punktu $x_0$ i jesteśmy coraz bliżej jego wartości, to jeśli w końcu dotrzemy w $x_0$, to powinniśmy tam znaleźć wartość właśnie $f(x_0)$.

Funkcje ciągłe mają tę ciekawą właściwość, że na przedziale przyjmują wszystkie wartości pośrednie. To znaczy, że jeśli na przykład w punkcie $x = 0 f(x) = 2$, a w punkcie $x = 1 f(x) = -2$, to wiemy, że w tym przedziale na pewno znajdzie się taki punkt $a$, że $f(a) = 0$. (Oczywiście funkcja musi być określona na całym tym przedziale)

Ważne jest to, że wykonując operacje arytmetyczne oraz składając funkcje ciągłe otrzymujemy zawsze funkcje ciągłe - dlatego wszystkie "normalne", tzn określone "prostym" wzorem (jak na przykład wielomiany lub funkcje trygonometryczne) będą ciągłe.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Wyznacz wielomian V zmiennej x opisujący

Objętość ostrosłupa prawidłowego czworokątnego obliczymy korzystając ze wzoru: 

 

Do wyznaczenia dziedziny wystarczy pamiętać o tym, że a oraz h, jako długości odcinków muszą być liczbami dodatnimi. 

 

 

 

 

{premium}

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Drugie równanie jest sprzeczne - kwadrat liczby nie może być ujemny. 

 

 

Określ, czy poniższe przybliżenie jest przybliżeniem z niedomiarem

{premium}

 

 

 

 

Dane są wielomiany ...

 

 

 

 

 

       {premium}

 

Jest to wielomian trzeciego stopnia.

 

 

 

 

 

Jest to wielomian trzeciego stopnia.

 

 

 

 

 

 

Jest to wielomian trzeciego stopnia.

 

 

 

 

 

 

Jest to wielomian drugiego stopnia.

 

Rozwiąż równanie:

Jeżeli suma ma być skończona to:{premium}

 

zatem

 

Z własności wartości bezwzględnej

 

 

Z definicji wartości bezwzględnej:

 

 

 

A więc dziedzina równania to:

 

 

wtedy możemy skorzystać ze wzoru na sumę zbieżnego ciągu geometrycznego:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Uwzględniając dziedzinę równania otrzymujemy, że rozwiązaniem jest liczba

 

Odczytaj z wykresu własności...

 

 

 

 

Miejsca zerowe  

Funkcja monotoniczna przedziałami:

- rosnąca w przedziałach  

- malejąca w przedziale  

 

Sprawdź współliniowość punktów ...

Punkty są współliniowe.

 

 Punkty nie są współliniowe. 

Na rysunku obok

 {premium}

 

 

W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym...

Zauważmy, że dla pierwszego trójkąta otrzymujemy:

 

Zauważmy, że dla drugiego trójkąta otrzymujemy:

 

 

Zatem otrzymujemy:

 

 

 

 

 

 

 

 

Wobec tego otrzymujemy:

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                

 

 

Dla wielomianu w(x)=x³-2x²+3x+1 ...

Obliczamy pierwiastek wielomianu w(x) metodą bisekcji.

Sprawdźmy, czy w(1)>0 oraz w(2)<0.{premium}

Istniej pierwiastek  x∈ (1;2).

Środek przedziału to 1,5. Obliczamy w(1,5).

Mamy w(1)>0 oraz w(1,5)<0, więc istnieje pierwiastek x∈ (1 ; 1,5). 

Środek przedziału to 1,25. Obliczamy w(1,25).

Mamy w(1,25)>0 oraz w(1,5)<0, więc istnieje pierwiastek x∈ (1,25 ; 1,5). 

Wyznaczamy pierwiastek z dokładnością do 0,05, więc przyjmując jako pierwiastek środek powyższego przedziału, otrzymamy żądaną dokładność.

Podstawą graniastosłupa prostego jest trójkąt prostokątny...

Rysunek:

Wiemy, że:

 

oraz

 

Ściana o największym polu to kwadrat o bokach długości c. Zatem:

   

 

 

 

Zatem:

 

 

   

 

Korzystając z tw. Pitagorasa:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Zatem przyprostokątne są równe 6 i 8.

 

Pole powierzchni całkowitej to podwojone pole podstawy i suma pól prostokątów, które są ścianami bocznymi.