Granice funkcji - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Granice funkcji - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Granice funkcji

Przy okazji ciągów poznaliśmy definicję "granicy". W ramach przypomnienia: była to liczba, do jakiej dążył ciąg - od pewnego miejsca kolejne wyrazy ciągu coraz bardziej zbliżały się do niej.

Granica funkcji jest pojęciem rozwijającym granicę ciągu. Istnieją dwie definicje. Funkcja ma granicę w punkcie $x_0$, jeśli:

I. (Definicja Heinego)
dla każdego ciągu ($x_n$) takiego że $lim↙{n →∞} x_n = x_0$ zachodzi $lim↙{n →∞} f(x_n) = g$. (inaczej mówiąc: jeśli wybierzemy dowolny ciąg zbieżny do $x_0$ i ciąg $f(x_n) będzie dążył do $g$, to funkcja ma w punkcie $x_0$ granicę równą $g$).

II. (Definicja Cauchego)
dla każdej liczby $ε > 0$ istnieje liczba $△$ > $0$ taka, że jeśli $0$ < $|x - x_0|$ < $△$, to $|f(x) - g|$ < $ε$

1

Definicja Cauchego może wydawać się skomplikowana, ale tak naprawdę jest ścisłym zapisem tego, że jeśli weźmiemy dowolną "wysokość" $ε$, to znajdziemy taką liczbę $△$, że dowolne dwa punkty na wykresie leżące bliżej (w poziomie) niż $△$ będą miały odległość w pionie mniejszą niż $ε$.

Kolejne pojęcie: granica jesdnostronna - oznacza po prostu, że "zbliżamy się" do punktu $x_0$ tylko z jednej strony.
 

Działania na granicach

Analogicznie do granic ciągów, na granicach funkcji także możemy wykonywać działania artytmetyczne - na przykład jeśli granicą funkcji $f(x)$ jest $A$, a granicą $g(x)$ - $B$, to granicą funckcji $h(x) = f(x) + g(x)$ będzie po prostu $A+B$.

Funkcja ciągła

Funkcja ciągła to intuicyjnie taka funkcja, którą można narysować bez odrywania ołówka od kartki - nie ma żadnych nagłych "przeskoków". Jednak ta definicja, poza tym, że jest mało precyzyjna, zawiera błąd. Na przykład funkcję $f(x) = frac{1}{x}$ nazywamy funkcją ciągłą, mimo, że przecież nie da się narysować jej wykresu od $-1$ do $1$ bez odrywania ołówka. Dzieje się tak, ponieważ funkcja może być ciągła tylko w swojej dziedzinie - poza dziedziną przecież "nie istnieje", więcn nie można nic o niej powiedzieć.

Precyzyjną definicją ciągłości jest to, czy dla każdego $x f(x)$ jest równe granicy w tym punkcie. Intuicyjnie wydaje się to poprawne: jeśli coraz bardziej zbliżamy się do punktu $x_0$ i jesteśmy coraz bliżej jego wartości, to jeśli w końcu dotrzemy w $x_0$, to powinniśmy tam znaleźć wartość właśnie $f(x_0)$.

Funkcje ciągłe mają tę ciekawą właściwość, że na przedziale przyjmują wszystkie wartości pośrednie. To znaczy, że jeśli na przykład w punkcie $x = 0 f(x) = 2$, a w punkcie $x = 1 f(x) = -2$, to wiemy, że w tym przedziale na pewno znajdzie się taki punkt $a$, że $f(a) = 0$. (Oczywiście funkcja musi być określona na całym tym przedziale)

Ważne jest to, że wykonując operacje arytmetyczne oraz składając funkcje ciągłe otrzymujemy zawsze funkcje ciągłe - dlatego wszystkie "normalne", tzn określone "prostym" wzorem (jak na przykład wielomiany lub funkcje trygonometryczne) będą ciągłe.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Oblicz współrzędne wierzchołka paraboli

 

 

 

 

{premium}  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  

  

   

Funkcję f: ... przedstawiono za pomocą tabelki ...

a) Z tabelki łatwo odczytać, że dla argumentu 3 wartość funkcji jest równa 0. {premium}

b) Z tabelki łatwo odczytać, że dla argumentów 0, 1 i 5 wartość funkcji jest równa 1.

c) Z tabelki łatwo odczytać, że dla argumentu 2 wartość funkcji jest równa -2.

d) Z tabelki łatwo odczytać, że nie istnieje taki argument, dla którego wartość funkcji jest równa -1.

Zapisz liczbę w notacji wykładniczej

{premium}  

 

W wyniku podzielenia wielomianu...

 

 

 

 

Wielomian  jest wielomianem stopnia czwartego, a  wielomianem stopnia drugiego. 

Wynika stąd, że  również jest stopnia drugiego.

Zapiszmy wielomian  w następującej postaci:

{premium}

 

gdzie  są pewnymi liczbami rzeczywistymi, które chcemy wyznaczyć.

 

Wiemy, że 

 

stąd:

 

 

Obliczymy wartość iloczynu  a następnie porównamy współczynniki przy odpowiednich

potęgach zmiennej  tak, jak robiliśmy to wcześniej.

 

 

 

 

Porównujemy współczynniki z wielomianem  

 

 

 

 

 

 

Podstawiamy wyznaczone  do pozostałych równań i sprawdzamy, czy nie są sprzeczne.

 

 

 

 

Wstawiamy wyznaczone współczynniki do wzoru na  

 

Odp.  

Podaj przykład wielomianu ...

Chcemy, by szukany wielomian miał postać:

  

{premium}

Wyznaczymy wartość wyrazu  

 

 

  

Zapisz w postaci przedziałów...

1. Zbiór liczb rzeczywistych:  {premium}

 


2. Zbiór liczb rzeczywistych niedodatnich:

 


3. Zbiór liczb rzeczywistych ujemnych:

 

Uzasadnij, że jeśli punkt S jest ...

 

{premium}

 

   

  

 

Wypisz sześć ...

 

 

 

 

{premium}  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Rozwiąż układ równań i podaj jego ...

 

 

 

 {premium}

 

 

 

 

 

 

 

  

  

 

 

 

   

 

 

 

 

 

 

 

 

        

 

  

Wskaż zdanie nieprawdziwe...

Wiemy, że{premium} pierwiastek parzystego stopnia nie może być liczbą ujemną, zatem:

 

Odpowiedź B