Granice funkcji - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Granice funkcji

Przy okazji ciągów poznaliśmy definicję "granicy". W ramach przypomnienia: była to liczba, do jakiej dążył ciąg - od pewnego miejsca kolejne wyrazy ciągu coraz bardziej zbliżały się do niej.

Granica funkcji jest pojęciem rozwijającym granicę ciągu. Istnieją dwie definicje. Funkcja ma granicę w punkcie $$x_0$$, jeśli:

I. (Definicja Heinego)
dla każdego ciągu ($$x_n$$) takiego że $$lim↙{n →∞} x_n = x_0$$ zachodzi $$lim↙{n →∞} f(x_n) = g$$. (inaczej mówiąc: jeśli wybierzemy dowolny ciąg zbieżny do $$x_0$$ i ciąg $$f(x_n) będzie dążył do $$g$$, to funkcja ma w punkcie $$x_0$$ granicę równą $$g$$).

II. (Definicja Cauchego)
dla każdej liczby $$ε > 0$$ istnieje liczba $$△$$ > $$0$$ taka, że jeśli $$0$$ < $$|x - x_0|$$ < $$△$$, to $$|f(x) - g|$$ < $$ε$$

1

Definicja Cauchego może wydawać się skomplikowana, ale tak naprawdę jest ścisłym zapisem tego, że jeśli weźmiemy dowolną "wysokość" $$ε$$, to znajdziemy taką liczbę $$△$$, że dowolne dwa punkty na wykresie leżące bliżej (w poziomie) niż $$△$$ będą miały odległość w pionie mniejszą niż $$ε$$.

Kolejne pojęcie: granica jesdnostronna - oznacza po prostu, że "zbliżamy się" do punktu $$x_0$$ tylko z jednej strony.
 

Działania na granicach

Analogicznie do granic ciągów, na granicach funkcji także możemy wykonywać działania artytmetyczne - na przykład jeśli granicą funkcji $$f(x)$$ jest $$A$$, a granicą $$g(x)$$ - $$B$$, to granicą funckcji $$h(x) = f(x) + g(x)$$ będzie po prostu $$A+B$$.

Funkcja ciągła

Funkcja ciągła to intuicyjnie taka funkcja, którą można narysować bez odrywania ołówka od kartki - nie ma żadnych nagłych "przeskoków". Jednak ta definicja, poza tym, że jest mało precyzyjna, zawiera błąd. Na przykład funkcję $$f(x) = frac{1}{x}$$ nazywamy funkcją ciągłą, mimo, że przecież nie da się narysować jej wykresu od $$-1$$ do $$1$$ bez odrywania ołówka. Dzieje się tak, ponieważ funkcja może być ciągła tylko w swojej dziedzinie - poza dziedziną przecież "nie istnieje", więcn nie można nic o niej powiedzieć.

Precyzyjną definicją ciągłości jest to, czy dla każdego $$x f(x)$$ jest równe granicy w tym punkcie. Intuicyjnie wydaje się to poprawne: jeśli coraz bardziej zbliżamy się do punktu $$x_0$$ i jesteśmy coraz bliżej jego wartości, to jeśli w końcu dotrzemy w $$x_0$$, to powinniśmy tam znaleźć wartość właśnie $$f(x_0)$$.

Funkcje ciągłe mają tę ciekawą właściwość, że na przedziale przyjmują wszystkie wartości pośrednie. To znaczy, że jeśli na przykład w punkcie $$x = 0 f(x) = 2$$, a w punkcie $$x = 1 f(x) = -2$$, to wiemy, że w tym przedziale na pewno znajdzie się taki punkt $$a$$, że $$f(a) = 0$$. (Oczywiście funkcja musi być określona na całym tym przedziale)

Ważne jest to, że wykonując operacje arytmetyczne oraz składając funkcje ciągłe otrzymujemy zawsze funkcje ciągłe - dlatego wszystkie "normalne", tzn określone "prostym" wzorem (jak na przykład wielomiany lub funkcje trygonometryczne) będą ciągłe.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Korzystając z tożsamości...

`a) \ ctg alpha = 1/7` 

`tg alpha = 1/(ctg alpha) = 1/(1/7) = 7`

 

 

`(1/7)^2 + 1 = 1/(sin^2 alpha)`

`50/49 = 1/(sin^2 alpha)`

`sin^2 alpha =49/50`

`sin alpha = 7/(sqrt50) = 7/(sqrt(25*2)) = 7/(5sqrt2) = (7sqrt2)/10`

 

 

`cos^2 = 1 - sin^2 alpha`

`cos^2 alpha = 1-49/50 = 1/50`

`cos alpha = 1/(sqrt50) * sqrt50/sqrt50 = sqrt50/50 = (5sqrt2)/50 = sqrt5/10` 

 

 

 

 

`b) \ ctg alpha = 3`

`tg alpha = 1/(ctg alpha) = 1/3`

 

 

`ctg^2 alpha + 1 = 1/(sin^2 alpha)`

`3^2 + 1 = 1/(sin^2 alpha)`

`sin^2 alpha = 1/10`

`sin alpha = sqrt10/10`

 

 

`cos^2 alpha = 1 - sin^2 alpha`

`cos^2 alpha = 1 - 1/10`

`cos^2 alpha = 9/10`

`cos alpha = 3/sqrt10 * sqrt10/sqrt10 = (3sqrt10)/10`

 

 

 

`c) \ ctg alpha = 20/21`

`tg alpha = 1/(ctg alpha) = 1/(20/21) = 21/20`

 

`ctg^2 alpha + 1 = 1/(sin^2 alpha)`

`(20/21)^2 + 1 = 1/(sin^2 alpha)`

`400/441 + 1 = 1/(sin^2 alpha)`

`841/441 = 1/(sin^2 alpha)`

`sin^2 alpha = 1/(841/441)`

`sin^2 alpha = 441/841`

`sin alpha = 21/29`

 

`cos^2 alpha = 1 - sin^2 alpha`

`cos^2 alpha = 1 - 441/841`

`cos^2 alpha = 400/841`

`cos alpha = 20/29`

Ciąg geometryczny o pierwszym wyrazie równym...

Jeżeli pierwszy wyraz wynosi -2 to granicą niewłaściwą może być tylko `-oo` 

 

Zatem iloraz musi być dodatni tak aby ciąg dążył do `-oo` 

 

`D. q = 2pi - 3 approx 2*3,14 - 3 > 0` 

Odpowiedź D

Które z punktów P, Q, R należą do wykresu wielomianu u?

`a)`

`u(-2)=2*(-2)^3-3*(-2)^2-5*(-2)+1=2*(-8)-3*4+10+1=`

`\ \ \ \ \ \ \ \ \ =-16-12+11=-17ne7\ \ \ =>\ \ \ "P nie należy do wykresu u"`

 

`u(0)=2*0^3-3*0^2-5*0+1=1\ \ \ =>\ \ \ "Q należy do wykresu u"`

 

`u(2)=2*2^3-3*2^2-5*2+1=2*8-3*4-10+1=`

`\ \ \ \ \ \ \ \ \ =16-12-9=-5\ \ \ =>\ \ \ "R należy do wykresu u"`

 

 

 

`b)`

`u(-1)=4*(-1)^3-2*(-1)^2+3*(-1)+1/2=4*(-1)-2*1-3+1/2=`

`\ \ \ \ \ \ \ \ \ =-4-2-3+1/2=-9+1/2=-8 1/2ne8 1/2\ \ \ =>\ \ \ "P nie należy do wykresu u"`

 

`u(1/2)=4*(1/2)^3-2*(1/2)^2+3*1/2+1/2=4*1/8-2*1/4+3/2+1/2=`

`\ \ \ \ \ \ \ \ \ =1/2-1/2+4/2=4/2=2\ \ \ =>\ \ \ "Q należy do wykresu u"`

 

`u(-1/2)=4*(-1/2)^3-2*(-1/2)^2+3*(-1/2)+1/2=4*(-1/8)-2*1/4-3/2+1/2=`

`\ \ \ \ \ \ \ \ \ =-1/2-1/2-3/2+1/2=-4/2=-2ne-1\ \ \ =>\ \ \ "R nie należy do wykresu u"`

    

Miara kąta ...

`alpha=7^@30'=7,5^@` 

`(7,5^@)/180^@=15/360pi=3/72pi=pi/24` 

 

`"Odpowiedź D."`       

Styczna do wykresu...

`f(x)=x^2-4` 

`f'(x)=2x` 

`f'(2)=4` 

 

`a=tgalpha` 

`4=tgalpha` 

`alpha ~~ 76^o` 

 

`|beta- 76^o| \ \ \ "najmniejsze"` 

`|beta- 76^o|=0` 

`beta- 76^o =0` 

`beta= 76^o` 

 

Odp. D

Ćwiczenie 5 Dla ...

`a)` 

`k+1-3=3k-6-k-1` 

`ul(k=5)` 

 

`b)` 

`k+3-2k=1/2k-k-3` 

`-k=-1/2k-6` 

`-1/2k=-6`    

`ul(k=12)`  

 

`c)` 

`k^2-1=k^2+2k+2-k^2` 

`k^2-2k-3=0` 

`Delta=4+12=16` 

`sqrt(Delta)=4` 

`k_1=(2-4)/2=-1` 

`k_2=(2+4)/2=3` 

`"Dla oby k podany ciąg jest ciągiem arytmetycznym."` 

`"Dla"\ k=-1\ "ciąg jest stały czyli arytmetyczny z r=0."`    

  

 

W trójkącie prostokątnym o polu...

`P=1/2*2R*2sqrt3=8sqrt3`

`R=4\ cm`

`Obw=8 pi\ cm`

Wykonaj dzielenie wielomianów

`a)` 

`(2x^2-3x+4):(x-3)=2x+3\ \ \ "r."\ 13`  

 

`"iloraz:"\ \ \ 2x+3` 

`"reszta:"\ \ \ 13` 

 

 

 

`b)` 

`(12x^2-x-6):(3x-1)=4x+1\ \ \ \ "r."\ -5`   

 

`"iloraz:"\ \ \ 4x+1` 

`"reszta:"\ \ \ -5` 

 

Oblicz współrzędne wierzchołka ...

`a)` 

`y=x^2-2x+5` 

`Delta=(-2)^2-4*1*5=4-20=-16` 

 

`x_w=(-b)/(2a)=2/2=1` 

`y_w=-Delta/(4a)=16/4=4` 

`y=(x-1)^2+4` 

 

`b)` 

`y=x^2+6x+3` 

`Delta=6^2-4*3=36-12=24` 

 

`x_w=-b/(2a)=-6/2=-3` 

`y_w=-Delta/(4a)=-24/4=-6` 

 `y=(x-(-3))^2-6=(x+3)^2-6` 

`c)` 

`y=-x^2+x-1` 

`Delta=1-4(-1)(-1)=-3` 

 

`x_w=-b/(2a)=-1/(-2)=1/2` 

`y_w=-Delta/(4a)=3/(-4)=-3/4` 

`a=-1` 

`y=a(x-x_w)^2+y_w=-(x-1/2)^2-3/4` 

Podaj twierdzenie o pierwiastkach wymiernych

`ul(ul("twierdzenie o pierwiastkach wymiernych wielomianu"))` 

`"Jeżeli wielomian o współczynnikach całkowitych" ` 

`w(x)=a_nx^n+a_(n-1)x^(n-1)+...+a_2x^2+a_1x+a_0`   

`"ma pierwiastki wymierne postaci"\ p/q,\ "to"\ p\ "jest dzielnikem wyrazu wolnego"\ a_0,` 

`"a"\ q\ "jest dzielnikiem wyrazu przy najwyższej potędze"\ a_n.` 

 

 

 

`a)` 

`#underbrace(2x^3+3x^2+5x+2)_(w(x))=0` 

`"dzielniki wyrazu wolnego"\ (2):\ \ \ -2,\ -1,\ 1,\ 2` 

`"dzielniki wyrazu przy najwyższej potędze"\ (2):\ \ \ -2,\ -1,\ 1,\ 2` 

 

Szukamy pierwiastków wymiernych wielomianu w:

`w(-1/2)=2*(-1/2)^3+3*(-1/2)^2+5*(-1/2)+2=` 

`\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =2*(-1/8)+3*1/4-5/2+2=` 

`\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =-1/4+3/4-10/4+8/4=0` 

 

Liczba -1/2 jest więc pierwiastkiem wielomianu w, więc wielomian w jest podzielny przez dwumian (x+1/2). Wykonajmy dzielenie pisemne:

 

Możemy więc zapisać równanie w następującej postaci:

`(x+1/2)(2x^2+2x+4)=0` 

Szukamy pozostałych pierwiastków równania:

`Delta=2^2-4*2*4=4-32<0` 

Czynnik kwadratowy ma ujemną deltę, więc nie daje pierwiastków. Równanie ma tylko jedno rozwiązanie:

`ul(ul(x=-1/2))` 

 

`ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ )` 

 

 

`b)` 

`#underbrace(2x^3+x^2-5x+2)_(w(x))=0` 

 

Zauważmy, że wielomian w ma pierwiastek całkowity 1:

`w(1)=2*1^3+1^2-5*1+2=2+1-5+2=0` 

 

Liczba 1 jest więc pierwiastkiem wielomianu w, więc wielomian w jest podzielny przez dwumian (x-1). Wykonajmy dzielenie pisemne:

 

Możemy więc zapisać równanie w następującej postaci:

`(x-1)(2x^2+3x-2)=0` 

 

Szukamy pozostałych pierwiastków równania:

`Delta=3^2-4*2*(-2)=9+16=25` 

`sqrtDelta=5` 

`x_2=(-3-5)/(2*2)=(-8)/4=-2` 

`x_3=(-3+5)/(2*2)=2/4=1/2` 

Równanie ma trzy rozwiązania:

`ul(ul(x in {-1/2;\ 1;\ 2}))` 

 

 

`ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ )` 

 

`c)` 

`#underbrace(2x^3-x^2-x-3)_(w(x))=0` 

`"dzielniki wyrazu wolnego"\ (-3):\ \ \ -3,\ -1,\ 1,\ 3` 

`"dzielniki wyrazu przy najwyższej potędze"\ (2):\ \ \ -2,\ -1,\ 1,\ 2` 

 

 

Szukamy pierwiastków wymiernych wielomianu w:

`w(1/2)=2*(1/2)^3-(1/2)^2-1/2-3=` 

`\ \ \ \ \ \ \ \ \ =2*1/8-1/4-1/2-3=`  

`\ \ \ \ \ \ \ \ \ =1/4-1/4-1/2-3=-3 1/2` 

 

`w(3/2)=2*(3/2)^3-(3/2)^2-3/2-3=` 

`\ \ \ \ \ \ \ \ \ =2*27/8-9/4-3/2-3=` 

`\ \ \ \ \ \ \ \ \ =27/4-9/4-6/4-12/4=0` 

 

Liczba 3/2 jest więc pierwiastkiem wielomianu w, więc wielomian w jest podzielny przez dwumian (x-3/2). Wykonajmy dzielenie pisemne:

Możemy więc zapisać równanie w następującej postaci:

`(x-3/2)(2x^2+2x+2)=0` 

 

Szukamy pozostałych pierwiastków równania:

`Delta=2^2-4*2*2=4-16<0` 

 

Czynnik kwadratowy ma ujemną deltę, więc nie daje pierwiastków. Równanie ma tylko jedno rozwiązanie:

`ul(ul(x=3/2))` 

 

`ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ )` 

 

 

`d)` 

`#underbrace(3x^3-5x^2+4x+2)_(w(x))=0` 

`"dzielniki wyrazu wolnego"\ (2):\ \ \ -2,\ -1,\ 1,\ 2` 

`"dzielniki wyrazu przy najwyższej potędze:"\ (3):\ \ \ -3,\ -1,\ 1,\ 3` 

Szukamy pierwiastków wymiernych tego wielomianu:

`w(1/3)=3*(1/3)^3-5*(1/3)^2+4*1/3+2=` 

`\ \ \ \ \ \ \ \ \ =3*1/27-5*1/9+4/3+2=` 

`\ \ \ \ \ \ \ \ \ =1/9-5/9+12/9+18/9ne0` 

  

Liczba 3/2 jest więc pierwiastkiem wielomianu w, więc wielomian w jest podzielny przez dwumian (x-3/2). Wykonajmy dzielenie pisemne:

 

Możemy więc zapisać równanie w następującej postaci:

`(x+1/3)(3x^2-6x+6)=0` 

Szukamy pozostałych pierwiastków równania:

`Delta=(-6)^2-4*3*6=36-72<0` 

Czynnik kwadratowy ma ujemną deltę, więc nie daje pierwiastków. Równanie ma tylko jedno rozwiązanie:

`ul(ul(x=-1/3))`