Granice funkcji - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Granice funkcji - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Granice funkcji

Przy okazji ciągów poznaliśmy definicję "granicy". W ramach przypomnienia: była to liczba, do jakiej dążył ciąg - od pewnego miejsca kolejne wyrazy ciągu coraz bardziej zbliżały się do niej.

Granica funkcji jest pojęciem rozwijającym granicę ciągu. Istnieją dwie definicje. Funkcja ma granicę w punkcie $x_0$, jeśli:

I. (Definicja Heinego)
dla każdego ciągu ($x_n$) takiego że $lim↙{n →∞} x_n = x_0$ zachodzi $lim↙{n →∞} f(x_n) = g$. (inaczej mówiąc: jeśli wybierzemy dowolny ciąg zbieżny do $x_0$ i ciąg $f(x_n) będzie dążył do $g$, to funkcja ma w punkcie $x_0$ granicę równą $g$).

II. (Definicja Cauchego)
dla każdej liczby $ε > 0$ istnieje liczba $△$ > $0$ taka, że jeśli $0$ < $|x - x_0|$ < $△$, to $|f(x) - g|$ < $ε$

1

Definicja Cauchego może wydawać się skomplikowana, ale tak naprawdę jest ścisłym zapisem tego, że jeśli weźmiemy dowolną "wysokość" $ε$, to znajdziemy taką liczbę $△$, że dowolne dwa punkty na wykresie leżące bliżej (w poziomie) niż $△$ będą miały odległość w pionie mniejszą niż $ε$.

Kolejne pojęcie: granica jesdnostronna - oznacza po prostu, że "zbliżamy się" do punktu $x_0$ tylko z jednej strony.
 

Działania na granicach

Analogicznie do granic ciągów, na granicach funkcji także możemy wykonywać działania artytmetyczne - na przykład jeśli granicą funkcji $f(x)$ jest $A$, a granicą $g(x)$ - $B$, to granicą funckcji $h(x) = f(x) + g(x)$ będzie po prostu $A+B$.

Funkcja ciągła

Funkcja ciągła to intuicyjnie taka funkcja, którą można narysować bez odrywania ołówka od kartki - nie ma żadnych nagłych "przeskoków". Jednak ta definicja, poza tym, że jest mało precyzyjna, zawiera błąd. Na przykład funkcję $f(x) = frac{1}{x}$ nazywamy funkcją ciągłą, mimo, że przecież nie da się narysować jej wykresu od $-1$ do $1$ bez odrywania ołówka. Dzieje się tak, ponieważ funkcja może być ciągła tylko w swojej dziedzinie - poza dziedziną przecież "nie istnieje", więcn nie można nic o niej powiedzieć.

Precyzyjną definicją ciągłości jest to, czy dla każdego $x f(x)$ jest równe granicy w tym punkcie. Intuicyjnie wydaje się to poprawne: jeśli coraz bardziej zbliżamy się do punktu $x_0$ i jesteśmy coraz bliżej jego wartości, to jeśli w końcu dotrzemy w $x_0$, to powinniśmy tam znaleźć wartość właśnie $f(x_0)$.

Funkcje ciągłe mają tę ciekawą właściwość, że na przedziale przyjmują wszystkie wartości pośrednie. To znaczy, że jeśli na przykład w punkcie $x = 0 f(x) = 2$, a w punkcie $x = 1 f(x) = -2$, to wiemy, że w tym przedziale na pewno znajdzie się taki punkt $a$, że $f(a) = 0$. (Oczywiście funkcja musi być określona na całym tym przedziale)

Ważne jest to, że wykonując operacje arytmetyczne oraz składając funkcje ciągłe otrzymujemy zawsze funkcje ciągłe - dlatego wszystkie "normalne", tzn określone "prostym" wzorem (jak na przykład wielomiany lub funkcje trygonometryczne) będą ciągłe.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Przedstaw na rysunku taki przekrój...

a) {premium}


b) |AI|=|CI|


c) AC || IJ

Używając symbolu wartości ...

     {premium}

 

 

 

Napisz równania prostych zawierających...

 

Dwusieczna kąta to zbiór punktów równo odległych od ramion kąta, zatem:

 {premium}

 

 

 

zatem:

  lub  

    lub      

    lub      


 

Dwusieczna kąta to zbiór punktów równo odległych od ramion kąta, zatem:

 

 

 

 

 

zatem:

   lub  

    lub      

    lub      

    lub      

    lub      

Dla jakiej wartości a ...

Podstawiając współrzędne punktu  do równania funkcji , wyliczymy dla jakich wartości  

punkt  należy do wykresu tej funkcji.{premium}

Dla  punkt  należy do wykresu funkcji .

 

Odpowiedź: D    

Dla jakich wartości parametru m równanie...

 

 


Równanie ma dwa różne pierwiastki, gdy Δ>0:{premium}

 

 

 

 

 


Pierwiastki są tego samego znaku, gdy ich iloczyn jest dodatni. Korzystając ze wzorów Viete'a, otrzymujemy:

 

 

 

 

 


Pierwiastki są ujemne, gdy są tego samego znaku (warunek (2)) i gdy ich suma jest ujemna. Korzystając ze wzorów Viete'a, otrzymujemy:

 

 

 

 

 

 


Znalezione m musi spełniać jednocześnie warunki (1), (2) i (3), więc bierzemy część wspólną znalezionych rozwiązań:

 

 

 

Zatem:

 


 

Wyznacz wartość k...

 

Zauważmy, że:

 

A więc:

{premium}

 

Zauważmy, że:

 

A więc:

 

 

Zauważmy, że:

 

 

 

A więc:

 

 

Zatem:

 

 

 

 

W trapezie prostokątnym o polu 90 ...

Rysunek pomocniczy:

Zauważmy, że:

            {premium}

oraz

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Zatem długość krótszej podstawy:

Długość dłuższej podstawy:

 

 

 

 

 

 

 

Zatem:

 

 

Wyznacz najmniejszą i największą ...

 

 

Wyznaczmy współrzędne wierzchołka paraboli.

    {premium}

 

 

 

Wyznaczmy wartości funkcji na końcach przedziału.

 

 

 

Wartość największa:   dla argumentu  

Wartość najmniejsza   dla argumentu  


 

 

Wyznaczmy współrzędne wierzchołka paraboli.

 

Zauważmy, że  

 

Wyznaczmy wartości funkcji na końcach przedziału.

 

  

 

Wartość największa:   dla argumentu  

Wartość najmniejsza   dla argumentu  

Cztery grupy osób spytano, ile razy w miesiącu chodzą ...

Odchylenie standardowe jest tym większe, im {premium}bardziej dane różnią się od ich średniej arytmetycznej, więc najniższą wartość odchylenia standardowego ma zestawy danych w grupie czwartej.


Odpowiedź: D

Średnie miesięczne ...

Oznaczmy:

 

 

Z treści zadania wiadomo, że: 

 

 

Wiemy zatem, że suma wynagrodzeń 20 pracowników jest równa 64 000 zł. {premium}

 

 

Wiemy, że zatrudniono nowego pracownika. Oznaczmy jego miesięczne zarobki jako y. 

Wiemy, że średnie miesięczne wynagrodzenie w tej firmie jest o 2% wyższe niż poprzednio. 

  

Wiemy, ile wynosi suma miesięcznych wynagrodzeń 20 pracowników, więc możemy postawić:

 

 

 

 

 

Odp. Nowy pracownik zarabia 4544 zł miesięcznie.


 

Wiemy, że zatrudniono nowego pracownika. Oznaczmy jego miesięczne zarobki jako y. 

Wiemy, że średnie miesięczne wynagrodzenie w tej firmie jest o 1% niższe niż poprzednio. 

 

 

 

 

 

 

Odp. Nowy pracownik zarabia 2528 zł miesięcznie.