Zgoda na przetwarzanie danych osobowych

25 maja 2018 roku zacznie obowiązywać Rozporządzenie Parlamentu Europejskiego i Rady (UE) 2016/679 z dnia 27 kwietnia 2016 r. znane jako RODO.

Dlatego aby dalej móc dostarczać Ci materiały odpowiednie do Twojego etapu edukacji, potrzebujemy zgody na lepsze dopasowanie treści do Twojego zachowania. Dzięki temu możemy zapamiętywać jakie materiały są Ci potrzebne. Dbamy o Twoją prywatność, więc nie zwiększamy zakresu naszych uprawnień. Twoje dane są u nas bezpieczne, a zgodę na ich zbieranie możesz wycofać na podstronie polityka prywatności.

Klikając "Przejdź do Odrabiamy", zgadzasz się na wskazane powyżej działania. W przeciwnym wypadku, nie jesteśmy w stanie zrealizować usługi kompleksowo i prosimy o opuszczenie strony.

Polityka prywatności

Drogi Użytkowniku w każdej chwili masz prawo cofnąć zgodę na przetwarzanie Twoich danych osobowych. Cofnięcie zgody nie będzie wpływać na zgodność z prawem przetwarzania, którego dokonano na podstawie wyrażonej przez Ciebie zgody przed jej wycofaniem. Po cofnięciu zgody wszystkie twoje dane zostaną usunięte z serwisu. Udzielenie zgody możesz modyfikować w zakładce 'Informacja o danych osobowych'

Granice funkcji - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Granice funkcji

Przy okazji ciągów poznaliśmy definicję "granicy". W ramach przypomnienia: była to liczba, do jakiej dążył ciąg - od pewnego miejsca kolejne wyrazy ciągu coraz bardziej zbliżały się do niej.

Granica funkcji jest pojęciem rozwijającym granicę ciągu. Istnieją dwie definicje. Funkcja ma granicę w punkcie $$x_0$$, jeśli:

I. (Definicja Heinego)
dla każdego ciągu ($$x_n$$) takiego że $$lim↙{n →∞} x_n = x_0$$ zachodzi $$lim↙{n →∞} f(x_n) = g$$. (inaczej mówiąc: jeśli wybierzemy dowolny ciąg zbieżny do $$x_0$$ i ciąg $$f(x_n) będzie dążył do $$g$$, to funkcja ma w punkcie $$x_0$$ granicę równą $$g$$).

II. (Definicja Cauchego)
dla każdej liczby $$ε > 0$$ istnieje liczba $$△$$ > $$0$$ taka, że jeśli $$0$$ < $$|x - x_0|$$ < $$△$$, to $$|f(x) - g|$$ < $$ε$$

1

Definicja Cauchego może wydawać się skomplikowana, ale tak naprawdę jest ścisłym zapisem tego, że jeśli weźmiemy dowolną "wysokość" $$ε$$, to znajdziemy taką liczbę $$△$$, że dowolne dwa punkty na wykresie leżące bliżej (w poziomie) niż $$△$$ będą miały odległość w pionie mniejszą niż $$ε$$.

Kolejne pojęcie: granica jesdnostronna - oznacza po prostu, że "zbliżamy się" do punktu $$x_0$$ tylko z jednej strony.
 

Działania na granicach

Analogicznie do granic ciągów, na granicach funkcji także możemy wykonywać działania artytmetyczne - na przykład jeśli granicą funkcji $$f(x)$$ jest $$A$$, a granicą $$g(x)$$ - $$B$$, to granicą funckcji $$h(x) = f(x) + g(x)$$ będzie po prostu $$A+B$$.

Funkcja ciągła

Funkcja ciągła to intuicyjnie taka funkcja, którą można narysować bez odrywania ołówka od kartki - nie ma żadnych nagłych "przeskoków". Jednak ta definicja, poza tym, że jest mało precyzyjna, zawiera błąd. Na przykład funkcję $$f(x) = frac{1}{x}$$ nazywamy funkcją ciągłą, mimo, że przecież nie da się narysować jej wykresu od $$-1$$ do $$1$$ bez odrywania ołówka. Dzieje się tak, ponieważ funkcja może być ciągła tylko w swojej dziedzinie - poza dziedziną przecież "nie istnieje", więcn nie można nic o niej powiedzieć.

Precyzyjną definicją ciągłości jest to, czy dla każdego $$x f(x)$$ jest równe granicy w tym punkcie. Intuicyjnie wydaje się to poprawne: jeśli coraz bardziej zbliżamy się do punktu $$x_0$$ i jesteśmy coraz bliżej jego wartości, to jeśli w końcu dotrzemy w $$x_0$$, to powinniśmy tam znaleźć wartość właśnie $$f(x_0)$$.

Funkcje ciągłe mają tę ciekawą właściwość, że na przedziale przyjmują wszystkie wartości pośrednie. To znaczy, że jeśli na przykład w punkcie $$x = 0 f(x) = 2$$, a w punkcie $$x = 1 f(x) = -2$$, to wiemy, że w tym przedziale na pewno znajdzie się taki punkt $$a$$, że $$f(a) = 0$$. (Oczywiście funkcja musi być określona na całym tym przedziale)

Ważne jest to, że wykonując operacje arytmetyczne oraz składając funkcje ciągłe otrzymujemy zawsze funkcje ciągłe - dlatego wszystkie "normalne", tzn określone "prostym" wzorem (jak na przykład wielomiany lub funkcje trygonometryczne) będą ciągłe.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Niech A będzie zbiorem liczb rzeczywistych...

`A=(3, +oo)` 

`B=(-oo,5>>` 

 

Część wspólna tych zbiorów:

`A nn B=(3, 5>>` 

 

Odp. A

Wskaż pary nierówności

`A.`

`-6(2x-1)>=-4(2x-1)\ \ \ |:(-2)`

`3(2x-1)<=2(2x-1)`

`6x-3<=4x-2\ \ \ \ |+3`

`6x<=4x+1\ \ \ |-4x`

`2x<=1\ \ \ |:2`

`x<=1/2`

 

 

`B.`

`3/2(x-2/3(x-12))<=10\ \ \|*2`

`3(x-2/3(x-12))<=20`

`3x-2(x-12)<=20`

`3x-2x+24<=20`

`x+24<=20\ \ \ |-24`

`x<=-4`

 

 

`C.`

`-2(x+1)+4<=2(1-x)\ \ \ |:2`

`-(x+1)+2<=1-x`

`-x-1+2<=1-x`

`-x+1<=1-x\ \ \ |+x`

`1<=1`

Nierówność jest spełniona przez każdą liczbę rzeczywistą x. 

 

 

`D.`

`(2x+3)/2-(13-6x)/6<=(2x+1)/3\ \ \ \ |*6`

`3(2x+3)-(13-6x)<=2(2x+1)`

`6x+9-13+6x<=4x+2`

`12x-4<=4x+2\ \ \ |-4x`

`8x-4<=2\ \ \ |+4`

`8x<=6\ \ \ |:8`

`x<=3/4`

 

 

`E.`

`x-3(x+1)<5-2x`

`x-3x-3<5-2x`

`-2x-3<5-2x\ \ \ \|+2x`

`-3<5`

Nierówność jest spełniona przez każdą liczbę rzeczywistą x. 

 

 

`F.`

`1-3x<=4(1,25-x)-3,25`

`1-3x<=5-4x-3,25`

`1-3x<=1,75-4x\ \ \ |+4x`

`1+x<=1,75\ \ \ |-1`

`x<=0,75`

`x<=3/4`

 

 

`G.`

`10-4x<=6(1-1/2x)-2x`

`10-4x<=6-3x-2x`

`10-4x<=6-5x\ \ \ |+5x`

`10+x<=6\ \ \ |-10`

`x<=-4`

 

 

`H.`

`(x-1/2)/3>=(6x-3)/2-(2x-1)/3\ \ \ \ \|*6`

`2(x-1/2)>=3(6x-3)-2(2x-1)`

`2x-1>=18x-9-4x+2`

`2x-1>=14x-7\ \ \ |-14x`

`-12x-1>=-7\ \ \ |+1`

`-12x>=-6\ \ \ |:(-12)`

`x<=1/2`

 

 

Nierówności równoważne mają jednakowe zbiory rozwiązań. Pary nierówności równoważnych to: A i H, B i G, C i E, D i F. 

 

Proste o równaniach...

`"a)"` Obliczamy współrzędne punktu przecięcia prostych `y=sqrt3x-3,\ y=-sqrt3x+6sqrt3+3:` 

`{(y=sqrt3x-3),(y=-sqrt3x+6sqrt3+3):}` 

Dodajemy równania stronami.

`{(y=sqrt3x-3),(2y=6sqrt3\ "/":2):}` 

`{(y=sqrt3x-3),(y=3sqrt3):}` 

`{(3sqrt3=sqrt3x-3),(y=3sqrt3):}` 

`{(sqrt3x=3sqrt3+3\ "/":sqrt3),(y=3sqrt3):}` 

`{(x=(3sqrt3+3)/sqrt3*sqrt3/sqrt3=3+sqrt3),(y=3sqrt3):}`  

`{(x=3+sqrt3),(y=3sqrt3):}`  

Wykresy przecinają się powyżej prostej `y=0` i po dodatniej stronie układu współrzędnych.

W takim razie trójkąt ograniczony prostymi jest opisany przez układ nierówności:

`{(yge0),(ylesqrt3x+3),(yle-sqrt3x+6sqrt3+3):}` 

 

`"b)"` Aby dowieść, że trójkąt jest równoboczny, musimy pokazać, że długości boków tego trójkąta mają równe długości.

Wyznaczyliśmy już jeden wierzchołek trójkąta:

`C=(3+sqrt3,\ 3sqrt3)` 

Wyznaczamy współrzędne drugiego wierzchołka:

`{(y=0),(y=sqrt3x-3):}` 

`{(y=0),(0=sqrt3x-3):}` 

`{(y=0),(sqrt3x=3\ "/":sqrt3):}` 

`{(y=0),(x=3/sqrt3*sqrt3/sqrt3=sqrt3):}` 

`{(y=0),(x=sqrt3):}` 

`A=(sqrt3,\ 0)` 

Wyznaczamy współrzędne trzeciego wierzchołka:

`{(y=0),(y=-sqrt3x+6sqrt3+3):}` 

`{(y=0),(0=-sqrt3x+6sqrt3+3):}` 

`{(y=0),(sqrt3x=6sqrt3+3\ "/":sqrt3):}` 

`{(y=0),(x=(3(2sqrt3+1))/sqrt3*sqrt3/sqrt3=6+sqrt3):}` 

`{(y=0),(x=6+sqrt3):}` 

`B=(6+sqrt3,\ 0)` 

Obliczamy długości boków trójkąta:

`|AB|=|6+sqrt3-sqrt3|=6` 

`|BC|=sqrt((3+sqrt3-6-sqrt3)^2+(3sqrt3)^2)=sqrt(9+27)=sqrt(36)=6` 

`|CA|=sqrt((sqrt3-3-sqrt3)^2+(3sqrt3)^2)=sqrt(9+27)=6` 

`|AB|=|BC|=|CA|,` co dowodzi, że trójkąt `DeltaABC` jest równoboczny.

 

Obliczamy pole trójkąta:

`P=(6^2sqrt3)/4=(36sqrt3)/4=9sqrt3` 

 

`"c)"` Obliczamy wysokość trójkąta:

`h=(6sqrt3)/2=3sqrt3` 

Wiemy, że promień koła opisanego na trójkącie `R=2/3h,` a promień koła wpisanego w trójkąt `r=1/3h,` czyli:

`R=2/3*3sqrt3=2sqrt3` 

`r=1/3*3sqrt3=sqrt3` 

Obliczamy pole koła opisanego na trójkącie:

`P_o=piR^2`  

`P_o=pi*(2sqrt3)^2=12pi` 

Obliczamy pole koła wpisanego w trójkąt:

`P_w=pir^2` 

 `P_w=pi*(sqrt3)^2=3pi` 

 

Naszkicuj wykres funkcji g. Podaj ...

`"a)"\ g(x)=3^(x-1)` 

Tabelka:

x

-2

-1

0

1

f(x)=3x + 1

3

1

3

9

 

`y=1\ \ "dla"\ \ x=1` 

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))` 

`"b)"\ g(x)=2^(x+2)` 

Tabelka:

x

-2

-1

0

1

f(x)=2x + 2

1

2

4

8

 

`y=1\ \ "dla"\ \ x=-2` 

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))` 

`"c)"\ g(x)=(1/2)^(x-2)`  

Tabelka:

x

-1

0

1

2

f(x)=(½)x - 2

8

4

2

1

 

`y=1\ \ "dla"\ \ x=2` 

Uzasadnij, że okrąg ...

`a)` 

`K_1:x^2+10x+y^2-6y-15=0` 

`K_1:(x+5)^2+(y-3)^2=49` 

`S_1=(-5;3)` 

 

`K_2:x^2-10x+y^2+6y-15=0` 

`K_2:(x-5)^2+(y+3)^2=49` 

`S_2=(5;-3)` 

Okrąg K2 jest obrazem okręgu K1 w pewnej symetrii, ponieważ okręgi są

przystające. (Mają równy promień.)

Znajdzmy środek odcinka łączącego środki rozważanych okręgów.

`S=((-5+5)/2;(-3+3)/2)=(0;0)` 

Szukany środek symetrii to punkt (0;0).

 

`b)` 

`K_1:x^2+8x+y^2+4y-12=0` 

`K_1:(x+4)^2+(y+2)^2=32` 

`S_1=(-4;-2)` 

 

`K_2:x^2-4x+y^2-12y+8=0` 

`K_2:(x-2)^2+(y-6)^2=32` 

`S_2=(2;6)` 

Okrąg K2 jest obrazem okręgu K1 w pewnej symetrii, ponieważ okręgi są

przystające. (Mają równy promień.)

Znajdzmy środek odcinka łączącego środki rozważanych okręgów.

`S=((-4+2)/2;(-2+6)/2)=(-1;2)` 

Szukany środek symetrii to punkt (-1;2).

Dana jest nierówność kwadratowa ...

`(5a-4x)(x-1)>=0` 

`"Rozwiązaniem jest przedział:"\ x in << -3,\ 1>>` 

 

`x_2=1` 

`x-1=0\ implies\ x=1` 

 

`x_1=-3` 

{premium}

 

`5a-4x=0` 

`x=5/4 a` 

`5/4a=-3` 

`ul(a=-12/5` 

 

 

Punkt A(3,-5) jest wierzchołkiem rombu ...

`A=(3;-5)` 

`P=(2;-2)` 

`B=(b_1;b_2)` 

`C=(c_1;c_2)` 

`D=(d_1;d_2)` 

`k:\ y-x=0` 

 

`k:\ y=x` 

`AP:\ y=ax+b` 

`{(-5=3a+b),(-2=2a+b):}` 

`{( 5=-3a-b),(-2=2a+b):}` 

`3=-a` 

`a=-3` 

`b=-2-2a=4` 

`AP:\ y=-3x+4`   

`|AP|=sqrt((2-3)^2+(-2+5)^2)=sqrt10` 

Przekątne rombu przecinają się w połowie.

`vec(AP)=[2-3;-2+5]=[-1;3]` 

`vec(AP)=vec(PC)` 

`[c_1-2;c_2+2]=[-1;3]` 

`c_1-2=-1\ implies\ c_1=1` 

`c_2+2=3\ implies \ c_2=1` 

`ul(C=(1;1)`     

 

(Zamiast korzystać z własności wektorów można zapisać nieznane współrzędne punktu C następująco:

`C=(c;-3c+4)` 

(punkt C leży na prostej y=-3x+4)

następnie:

`|PC|=|AP|=sqrt((2-3)^2+(-2+5)^2)=sqrt10` 

`|AC|=sqrt((2-c)^2+(-2+3c-4)^2)=sqrt10` 

Z powyższej zależności wyznaczymy c, czyli współrzędne wierzchołka C bez użycia wektorów.)

 

Przekątne rombu przecinają się pod kątem prostym, zatem: 

` BD:\ y=1/3x+b`  

`P=(2;-2)` 

`-2= 2/3+b`  

`b=-8/3`  

`ul(BD:\ y=1/3x-8 /3`  

Rozwiązaniem poniższego układu są współrzędne jednego z wierzchołków rombu.

`{(k:\ y=x),(BD:\ y=1/3x-8/3):}`  

`x=1/3x-8/3` 

`2x=-8` 

`x=-4` 

`y=-4` 

`ul(D=(-4;-4)`  

 

`vec(DP)=[2+4;-2+4]=[6;2]=vec(PB)` 

`[6;2]=vec(PB)=[b_1-2;b_2+2]` 

`b_1-2=6\ implies\ b_1=8` 

`b_2+2=2\ implies\ b_2=0` 

`ul(B=(8;0)` 

 

Wyznaczmy nieznane równania prostych zawierających boki rombu.

`ul(BD:\ y=1/3x-8 /3`  

 

`AB:\ y= ax+b` 

`{(0=8a+b),(-5=3a+b):}` 

`{(0=8a+b),( 5=-3a-b):}` 

`5a=1` 

`a=1` 

`b=-8a=-8` 

`ul(AB:\ x-8` 

 

`BC:\ y=ax+b` 

`{(0=8a+b),(1=a+b):}`       

 

`{(0=-8a-b),(1=a+b):}`       

`-7a=1` 

`a=-1/7` 

`b=-8a=8/7` 

`ul(BC:\ y=-1/7x+8/7` 

 

`CD:\ y=ax+b` 

`{(1=a+b),(-4=-4a+b):}` 

`{(-1=-a-b),(-4=-4a+b):}` 

`-5=-5a` 

`a=1` 

`b=-a+1=0` 

`ul(CD: \ y=x` 

Wyznacz wzór ...

`a)` 

`{(a_6=-4),(a_10=-1/64=a_6q^4):}` 

`a_6=(-1/64)/q^4=-1/(64q^4)` 

`-1/(64q^4)=-4 implies q^4=-1/64*(-1/4)=1/256` 

`q=1/4\ \ \vee\ \ \q=-1/4` 

`"Zauważmymy, że dla ujmenego q ciag nie będzie monotoniczny dlatego nie bierzemy go w tym zadaniu pod uwagę."` 

`a_1=a_6/q^5=(-4)/(1/4)^5=-4/4^(-5)=-4*4^5=-4^6`       

`a_n=-4^6*1/4^(n-1)=-4^6*4(-n+1)=-4^(-n+7)` 

 

`b)` 

`a_2^2=25a_3^2` `implies a_2=5a_3\ \ \vee\ \ \-a_2=-5a_3`  

`a_2=5a_2q implies 5q=1` 

`q=1/5` 

`a_1=a_5^(-1)` 

`a_1=1/(a_1*q^4)` 

`a_1^2=1/q^4 implies a_1=1/q^2=25\ \ \vee\ \ \a_1=-25`  

 

`a_n=5^2*5(-n+1)=5^(3-n)\ \ \vee\ \ \a_n=-5^(3-n)` 

 

`c)` 

`a_2^2+a_3^2=5=a_1^2q^2+a_1^2q^4`   

`a_2*a_4=a_1q*a_1q^3=a_1^2*q^4=1 implies a_1^2=1/q^4` 

 

`5=a_1^2q2+a_1^2q^4=1/q^4*q^2+1/q^4*q^4=1/q^2+1=5` 

`1/q^2=4 implies q^2=1/4` 

`q=1/2\ \ \vee\ \ \q=-1/2` 

`"Iloraz ujemny odrzucamy, bo inaczej ciąg nie byłby monotoniczny."`  

`a_1^2=1/q^4` 

`a_1=1/q^2=4\ \ \vee\ \ \a_1=-1/q^2=-4` 

`a_n=4*(1/2)^(n-1)\ \ \vee\ \ \a_n=-4*(1/2)^(n-1)`    

Rzucamy trzy razy symetryczną monetą

Wypiszmy zbiór wszystkich zdarzeń elementarnych:

`Omega={(o,o,o),\ (r,o,o),\ (o,r,o),\ (o,o,r),\ (o,r,r),\ (r,o,r),\ (r,r,o),\ (r,r,r)}` 

Zbiór ten ma 8 elementów:

`overline(overline(Omega))=8` 

 

 

`A\ \ -\ \ "za pierwszym razem wypadł orzeł"` 

`A={(o,o,o),\ (o,r,o),\ (o,o,r),\ (o,r,r)}` 

`overline(overline(A))=4` 

`P(A)=4/8=1/2` 

 

 

 

`B\ \ -\ \ "za drugim razem wypadł orzeł"` 

`B={(o,r,o),\ (o,r,r),\ (r,r,o),\ (r,r,r)}` 

`overline(overline(B))=4` 

`P(B)=4/8=1/2` 

 

 

`C\ \ -\ \ "wypadły co najmniej dwa orły"` 

`C={(o,o,o),\ (r,o,o),\ (o,r,o),\ (o,o,r)}` 

`overline(overline(C))=4` 

`P(C)=4/8=1/2` 

 

 

`D\ \ -\ \ "wypadły co najwyżej dwie reszki"` 

`D={(o,o,o),\ (r,o,o),\ (o,r,o),\ (o,o,r),\ (o,r,r),\ (r,o,r),\ (r,r,o)}` 

`overline(overline(Omega))=7` 

`P(D)=7/8` 

 

 

Napisz tożsamość...

`a) \ (a/c)/(b/c) = sin alpha/cos alpha ` 

`a/b = tg alpha`

Czyli:

`sin alpha/cos alpha = tg alpha`

 

 

`b) \ 1/(a/b) =b/a`

`a/b = tg alpha`

`b/a = ctg alpha`

Czyli:

`1/(tg alpha) = ctg alpha`

 

 

 

`c) \ a/b * b/a = 1`

`a/b = tg alpha`

`b/a = ctg alpha`

Czyli:

`tg alpha * ctg alpha = 1`