Granica ciągu - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Granica ciągu - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Obliczanie granic ciągów

W niniejszej sekcji zajmiemy się obliczaniem granic ciągów korzystając z twierdzeń o granicach ciągów i granic znanych nam ze wcześniejszych lekcji.

Krótkie przypomnienie:

Fakt 1: granica ciągu w nieskończoności $a_n = {1}/{n}$ to $0$.

Fakt 2: Twierdzenie o granicach ciągów mówi, że jeśli mamy trzy ciągi: na przykład $(a_n)$, $(b_n)$ i $(c_n)$ i $c_n= a_n + b_n$, a $lim↙{ → ∞} a_n = A$ i $lim↙{n → ∞} b_n = B$, to $lim↙{n → ∞} c_n = A+B$. Oczywiście nie musi być tam dodawania: równie dobrze może być odejmowanie, mnożenie lub dzielenie.

To niepozorne i w miarę logiczne twierdzenie (skoro dodajemy każde dwa wyrazy dwóch ciągów i tworzymy z tych sum trzeci ciąg, a poprzednie zbiegały do jakichśtam granic, to ten będący sumą zbiega do granicy będącej sumą tamtych), to bardzo przydaje się w normalnych zastosowaniach: nie trzeba wtedy liczyć wszystkiego z definicji, a wystarczy po prostu skorzystać z granic znanych ciągów.

Inaczej mówiąc: jeśli mamy ciąg, którego wyrazy możemy w prosty sposób otrzymać z wyrazów znanych nam już ciągów (dodając je, mnożąc itp), to możemy próbować obliczyć granicę nowego ciągu korzystając jedynie z granic tamtych.

Dla przykładu obliczmy granicę w nieskończoności ciągu

$b_n = {1}/{n^2}$.

Zauważmy, że $b_n = {1}/{n^2} = {1}/{n} × {1}/{n}$. Skoro $lim↙{n → ∞} b_n = a_n×a_n$, to korzystając z twierdzenia o granicach ciągów otrzymujemy $lim↙{n → ∞} b_n = lim↙{n → ∞} b_n = a_n × lim↙{n → ∞} a_n = 0×0 = 0$

Obliczmy granicę innego ciągu:
$p_n = {n^3 - 3n^2 + 2}/{2n^3 + 100n - 10}$

Jest to bardzo często spotykany typ ciągów.

Ponieważ na razie zarówno mianownik, jak i licznik dążą do nieskończoności i nie da się tego stwierdzić od razu, musimy doprowadzić wzór do postaci, z której będziemy mogli wyodrębnić ciągi, których granice już znamy.

Podzielnmy więc obie strony ułamka przez $n^3$ - największą potęgę $n$ występującą we wzorze. Otrzymujemy:

$p_n = {1 - 3{1}/{n} + 2{1}/{n^3} }/{2 + 100{1}/{n^2} + 10{1}/{n^3}}$

Z tej postaci możemy już powiedzieć, do czego dąży każdy składnik:

1) Granicą $1$ i $2$ są po prostu $1$ i $2$.
2) Granicami wszystkich pozostałych ułamków są zera - dla ${1}/{n^2}$ pokazywaliśmy to w poprzednim przykładzie.

Z twierdzenia o działaniach artytmetycznych na granicach możemy więc powiedzieć, że:

$lim↙{n → ∞} p_n = lim↙{n → ∞} {1 - 3{1}/{n} + 2{1}/{n^3} }/{2 + 100{1}/{n^2} + 10{1}/{n^3} } = {(lim↙{n → ∞} 1) - (lim↙{n → ∞} 3{1}/{n}) + (lim↙{n → ∞} 2{1}/{n^3})}/{(lim↙{n → ∞} 2) + (lim↙{n → ∞} 100{1}/{n^2}) + lim↙{n → ∞} (10{1}/{n^3})} =$
$= {1 - 3×0 + 2×0}/{2 + 100×0 + 10×0} = {1}/{2}$

Spis treści

Rozwiązane zadania
Liczba a jest pierwiastkiem

 

Jeśli liczba 2 jest pierwiastkiem wielomianu w, to wielomian w jest podzielny przez dwumian x-2. Wykonajmy dzielenie pisemne:

 

 

Możemy więc zapisać wielomian w w następującej postaci:

 

 

{premium}   

 

 

 

 

Jeśli liczba 6 jest pierwiastkiem wielomianu w, to wielomian w jest podzielny przez dwumian x-6. Wykonajmy dzielenie pisemne:

 

Możemy więc zapisać wielomian w w następującej postaci:

 

Czynnik kwadratowy ma ujemną deltę, więc wielomian nie ma innych pierwiastków.

 

 

 

 

Oczywiście możemy wykonać dzielenie pisemne, jak w poprzednich podpunktach, ale zauważmy, że wielomian w można łatwo przedstawić w postaci iloczynowej (przydatny będzie wzór skróconego mnóżenia na różnicę sześcianów). 

  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Jeśli liczba -5 jest pierwiastkiem wielomianu w, to wielomian w jest podzielny przez dwumian x+5. Wykonajmy dzielenie pisemne:

 

Możemy więc zapisać wielomian w w następującej postaci:

 

 

 

  

Na diagramie kołowym przedstawiono ...

Suma miar kątów środkowych na tym diagramie wynosi 360o. Zatem: {premium}

  


Zdarzenie A polega na wylosowaniu buku. 

Obliczamy ile wynosi miara kąta środkowego odpowiadającego tej odpowiedzi. 

 

Zatem: 

 


Obliczamy ile wynosi prawdopodobieństwo zdarzenia A. 

 

Przyjmijmy, że ciąg ...

Na pewno rosnące są ciągi:

 

 {premium}

 


Ciąg (cn) będzie malejący (bo ciąg (an) jest rosnący).

Na przykład:

 

 


Ciąg (dn) nie musi być rosnący.

Na przykład:

 

 

Wypiszmy kilka początkowych wyrazów tego ciągu:

 

 

 

Ciąg (dn) nie jest ani rosnący, ani malejący.

Wykaż, że jeśli...

 

 

 

 {premium}

 

A więc:

 

Za 16 biletów do cyrku zapłacono 303 zł

{premium}

 

 

Oblicz f(-2), f(0)...

        {premium}

 

 



 

 

 


 

 

 

Rozwiąż nierówność.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  

 

  

 
 

 

 

 

 

 

 

 

 

  

    

 

 

 

 

{premium}  

 

 

 

   

 

 

 

        

 

 

 

 

 

 

 

       

  

 

 

 

 

 

    

 

 

 

 

 

        

 

 

  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  

 

 

 

 

 

 

 

    

 

 

 

 

 

 

       

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

          

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

      

Ze zbioru {1, 2, 3, ..., 11}

Mamy 11 liczb - 6 liczb nieparzystych (1, 3, 5, 7, 9, 11) oraz 5 liczb parzystych (2, 4, 6, 8, 10). 

Obliczmy, na ile sposobów można wybrać 2 z 11 liczb:

 

 

Obliczmy, na ile sposobów można wybrać 2 z 6 liczb nieparzystych:

{premium}  

 

 

Obliczmy, na ile sposobów można wybrać parę złożoną z liczby parzystej i nieparzystej:

 

 

Obliczmy, na ile sposobów można wybrać 2 z 5 liczb parzystych:

 

 

Obliczamy prawdopodobieństwa, które zapiszemy na gałęziach drzewka:

 

 

  

 

Rysujemy drzewko i zapisujemy na gałęziach odpowiednie prawdopodobieństwa.

  

 

 

 



 

 

  

Określ monotoniczność funkcji

 

 

{premium}  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Wyznacz przybliżone rozwiązanie ...

 

 

 

 

 

 

{premium}