Granica ciągu - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Granica ciągu - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Obliczanie granic ciągów

W niniejszej sekcji zajmiemy się obliczaniem granic ciągów korzystając z twierdzeń o granicach ciągów i granic znanych nam ze wcześniejszych lekcji.

Krótkie przypomnienie:

Fakt 1: granica ciągu w nieskończoności $a_n = {1}/{n}$ to $0$.

Fakt 2: Twierdzenie o granicach ciągów mówi, że jeśli mamy trzy ciągi: na przykład $(a_n)$, $(b_n)$ i $(c_n)$ i $c_n= a_n + b_n$, a $lim↙{ → ∞} a_n = A$ i $lim↙{n → ∞} b_n = B$, to $lim↙{n → ∞} c_n = A+B$. Oczywiście nie musi być tam dodawania: równie dobrze może być odejmowanie, mnożenie lub dzielenie.

To niepozorne i w miarę logiczne twierdzenie (skoro dodajemy każde dwa wyrazy dwóch ciągów i tworzymy z tych sum trzeci ciąg, a poprzednie zbiegały do jakichśtam granic, to ten będący sumą zbiega do granicy będącej sumą tamtych), to bardzo przydaje się w normalnych zastosowaniach: nie trzeba wtedy liczyć wszystkiego z definicji, a wystarczy po prostu skorzystać z granic znanych ciągów.

Inaczej mówiąc: jeśli mamy ciąg, którego wyrazy możemy w prosty sposób otrzymać z wyrazów znanych nam już ciągów (dodając je, mnożąc itp), to możemy próbować obliczyć granicę nowego ciągu korzystając jedynie z granic tamtych.

Dla przykładu obliczmy granicę w nieskończoności ciągu

$b_n = {1}/{n^2}$.

Zauważmy, że $b_n = {1}/{n^2} = {1}/{n} × {1}/{n}$. Skoro $lim↙{n → ∞} b_n = a_n×a_n$, to korzystając z twierdzenia o granicach ciągów otrzymujemy $lim↙{n → ∞} b_n = lim↙{n → ∞} b_n = a_n × lim↙{n → ∞} a_n = 0×0 = 0$

Obliczmy granicę innego ciągu:
$p_n = {n^3 - 3n^2 + 2}/{2n^3 + 100n - 10}$

Jest to bardzo często spotykany typ ciągów.

Ponieważ na razie zarówno mianownik, jak i licznik dążą do nieskończoności i nie da się tego stwierdzić od razu, musimy doprowadzić wzór do postaci, z której będziemy mogli wyodrębnić ciągi, których granice już znamy.

Podzielnmy więc obie strony ułamka przez $n^3$ - największą potęgę $n$ występującą we wzorze. Otrzymujemy:

$p_n = {1 - 3{1}/{n} + 2{1}/{n^3} }/{2 + 100{1}/{n^2} + 10{1}/{n^3}}$

Z tej postaci możemy już powiedzieć, do czego dąży każdy składnik:

1) Granicą $1$ i $2$ są po prostu $1$ i $2$.
2) Granicami wszystkich pozostałych ułamków są zera - dla ${1}/{n^2}$ pokazywaliśmy to w poprzednim przykładzie.

Z twierdzenia o działaniach artytmetycznych na granicach możemy więc powiedzieć, że:

$lim↙{n → ∞} p_n = lim↙{n → ∞} {1 - 3{1}/{n} + 2{1}/{n^3} }/{2 + 100{1}/{n^2} + 10{1}/{n^3} } = {(lim↙{n → ∞} 1) - (lim↙{n → ∞} 3{1}/{n}) + (lim↙{n → ∞} 2{1}/{n^3})}/{(lim↙{n → ∞} 2) + (lim↙{n → ∞} 100{1}/{n^2}) + lim↙{n → ∞} (10{1}/{n^3})} =$
$= {1 - 3×0 + 2×0}/{2 + 100×0 + 10×0} = {1}/{2}$

Spis treści

Rozwiązane zadania
Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że ...

Styczeń - 7 liter

Luty - 4 litery  {premium}

Marzec - 6 liter

Kwiecień - 8 liter

Maj - 3 litery

Czerwiec - 8 liter

Lipiec - 6 liter

Sierpień - 8 liter

Wrzesień - 8 liter

Październik - 11 liter

Listopad - 8 liter

Grudzień - 8 liter

 

Ilość wszystkich miesięcy:  

Ilość miesięcy, których nazwa składa się przynajmniej z ośmiu liter:  

Szukane prawdopodobieństwo:  

Podstawą ostrosłupa jest romb o kącie ...

Rysunek pomocniczy:

Z treści zadania wiemy, że:

 

Zatem wysokość rombu wynosi 4,8 dm. Z funkcji trygonometrycznych mamy:  {premium}

 

 

 

 

 

Obliczmy pole podstawy tego ostrosłupa, czyli pole rombu. 

 

 

 

 

Z funkcji trygonometrycznych mamy:

 

 

 

 

Obliczmy objętość tego ostrosłupa.

 

 

 

W przybliżeniu do 1 dm3 mamy:

 

 

Obliczmy wysokość ściany bocznej.

 

 

 

 

 

Obliczmy pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa.

 

 

 

 

 

W przybliżeniu do 1 dm2 mamy:

 

 

Punkty A=(2, -1) i B=(6, -1)...

Obliczmy długość boku AB tego tego trójkąta:

 

 

Wiemy, że trójkąt ABC jest równoboczny, zatem:{premium}

 

 

 

Obliczmy współrzędne trzeciego wierzchołka tego trójkąta:

 

 

więc:

 

 

 

 

 

 

zatem:

 

 

 

 

 

 

więc punkt C ma współrzędne:

 

Wykres funkcji

 

Asymptotą funkcji f jest prosta o równaniu y=0. Jeśli asymptotą funkcji g jest prosta o równaniu y=1, to oznacza to, że wykres funkcji f przesunięto o 1 jednostkę do góry wzdłuż osi OY. 

 

 

Aby obliczyć wartość współczynnika a, wystarczy podstawić współrzędne punktu P do powyższego równania:

{premium}  

 

  

 

 

 

Rysujemy wykres funkcji f, a następnie przesuwamy zaznaczone punkty o 1 jednostkę w górę, dzięki czemu kreślimy wykres funkcji g. 

 

 

Asymptotą funkcji f jest prosta o równaniu y=0. Jeśli asymptotą funkcji g jest prosta o równaniu y=-2, to oznacza to, że wykres funkcji f przesunięto o 2 jednostki w dół wzdłuż osi OY. 

 

 

 

Aby obliczyć wartość współczynnika a, wystarczy podstawić współrzędne punktu P do powyższego równania:

 

 

 

 

 

 

 

Rysujemy wykres funkcji f, a następnie przesuwamy zaznaczone punkty o 1 jednostkę w górę, dzięki czemu kreślimy wykres funkcji g. 

Zaznaczone punkty...

Równanie prostej:

{premium}

 

 

b) Skoro każdy punkt ciągu an zawiera się w prostej y=3/2x-11/2 to znaczy, że jeżeli będziemy podstawiać pod x liczby naturalne to będziemy otrzymywać wartości kolejnych wyrazów ciągu an.

 

 

c) Wykres:

  

Oblicz pole zamalowanego obszaru...

 

A więc trójkąt jest równoramienny, kąt przy wierzchołku B ma miarę:

 

 

Prowadzimy wysokość z wierzchołka S na bok AB która podzieli go na dwie równe części, wtedy:

{premium}   

 

 

Obliczmy teraz długość odcinka AB:

 

 

 

 

Obliczmy teraz pole wycinka koła

 

 

Pole zamalowanego obszaru to różnica pola wycinka koła i trójkąta:

 

Ciąg (an) jest określony wzorem ...

Z treści zadania wiemy, że ciąg (xn) jest geometryczny, zatem zachodzi:

 

Zatem otrzymujemy: {premium}

 

 

 

Zatem pokazaliśmy, że ciąg (logxn) jest arytmetyczny.

 

Odp. C

 

Jeśli wiesz, że...

a) Przekształćmy równanie:{premium}

 

 

 

Podstawy są takie same zatem porównamy wykładniki:

 

 

 

 

Podstawy są takie same zatem porównamy wykładniki:

 

Oblicz długości boków...

Korzystamy z twierdzenia Pitagorasa:

     {premium}

 

 

 

 


 

 

 

 


 

 

 

 

 


 

 

 

 

 

 

Niech każdy uczeń w Twojej klasie ...

Indywidualne