Granica ciągu - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Granica ciągu - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Obliczanie granic ciągów

W niniejszej sekcji zajmiemy się obliczaniem granic ciągów korzystając z twierdzeń o granicach ciągów i granic znanych nam ze wcześniejszych lekcji.

Krótkie przypomnienie:

Fakt 1: granica ciągu w nieskończoności $a_n = {1}/{n}$ to $0$.

Fakt 2: Twierdzenie o granicach ciągów mówi, że jeśli mamy trzy ciągi: na przykład $(a_n)$, $(b_n)$ i $(c_n)$ i $c_n= a_n + b_n$, a $lim↙{ → ∞} a_n = A$ i $lim↙{n → ∞} b_n = B$, to $lim↙{n → ∞} c_n = A+B$. Oczywiście nie musi być tam dodawania: równie dobrze może być odejmowanie, mnożenie lub dzielenie.

To niepozorne i w miarę logiczne twierdzenie (skoro dodajemy każde dwa wyrazy dwóch ciągów i tworzymy z tych sum trzeci ciąg, a poprzednie zbiegały do jakichśtam granic, to ten będący sumą zbiega do granicy będącej sumą tamtych), to bardzo przydaje się w normalnych zastosowaniach: nie trzeba wtedy liczyć wszystkiego z definicji, a wystarczy po prostu skorzystać z granic znanych ciągów.

Inaczej mówiąc: jeśli mamy ciąg, którego wyrazy możemy w prosty sposób otrzymać z wyrazów znanych nam już ciągów (dodając je, mnożąc itp), to możemy próbować obliczyć granicę nowego ciągu korzystając jedynie z granic tamtych.

Dla przykładu obliczmy granicę w nieskończoności ciągu

$b_n = {1}/{n^2}$.

Zauważmy, że $b_n = {1}/{n^2} = {1}/{n} × {1}/{n}$. Skoro $lim↙{n → ∞} b_n = a_n×a_n$, to korzystając z twierdzenia o granicach ciągów otrzymujemy $lim↙{n → ∞} b_n = lim↙{n → ∞} b_n = a_n × lim↙{n → ∞} a_n = 0×0 = 0$

Obliczmy granicę innego ciągu:
$p_n = {n^3 - 3n^2 + 2}/{2n^3 + 100n - 10}$

Jest to bardzo często spotykany typ ciągów.

Ponieważ na razie zarówno mianownik, jak i licznik dążą do nieskończoności i nie da się tego stwierdzić od razu, musimy doprowadzić wzór do postaci, z której będziemy mogli wyodrębnić ciągi, których granice już znamy.

Podzielnmy więc obie strony ułamka przez $n^3$ - największą potęgę $n$ występującą we wzorze. Otrzymujemy:

$p_n = {1 - 3{1}/{n} + 2{1}/{n^3} }/{2 + 100{1}/{n^2} + 10{1}/{n^3}}$

Z tej postaci możemy już powiedzieć, do czego dąży każdy składnik:

1) Granicą $1$ i $2$ są po prostu $1$ i $2$.
2) Granicami wszystkich pozostałych ułamków są zera - dla ${1}/{n^2}$ pokazywaliśmy to w poprzednim przykładzie.

Z twierdzenia o działaniach artytmetycznych na granicach możemy więc powiedzieć, że:

$lim↙{n → ∞} p_n = lim↙{n → ∞} {1 - 3{1}/{n} + 2{1}/{n^3} }/{2 + 100{1}/{n^2} + 10{1}/{n^3} } = {(lim↙{n → ∞} 1) - (lim↙{n → ∞} 3{1}/{n}) + (lim↙{n → ∞} 2{1}/{n^3})}/{(lim↙{n → ∞} 2) + (lim↙{n → ∞} 100{1}/{n^2}) + lim↙{n → ∞} (10{1}/{n^3})} =$
$= {1 - 3×0 + 2×0}/{2 + 100×0 + 10×0} = {1}/{2}$

Spis treści

Rozwiązane zadania
Rozwiąż układ równań.

 

 

Tylko jedna interpretacja geometryczna pasuje do naszych odpowiedzi:

 

 

 

 

Widać, że drugie równanie po prawej stronie będzie miało liczbę ujemna a żadna liczba podniesiona do kwadratu nie będzie ujemna. Nie ma rozwiązań.

Przekształćmy równania okręgów by móc odczytać współrzędne środków i długości promieni:

 

 

 

Układ sprzeczny, brak rozwiązań.
Przekształćmy równania okręgów by móc odczytać współrzędne środka i długości promieni, pierwsze równanie przekształciliśmy w poprzednim podpunkcie:

 

Wyznacz x, jeśli:

 

Okres funkcji tangens wynosi π, znajdźmy rozwiązanie w przedziale [-π, 0] a następnie dzięki okresowości funkcji łatwo wyznaczymy rozwiązanie w przedziale [10π, 11π]

 

 

A więc:

 

 

 

 

Okres funkcji cotangens wynosi π, znajdźmy rozwiązanie w przedziale [ 0,π] a następnie dzięki okresowości funkcji łatwo wyznaczymy rozwiązanie w przedziale [-6π, -5π]

 

 

A więc:

 

 

 

Okres funkcji cotangens wynosi π, znajdźmy rozwiązanie w przedziale [0,π] a następnie dzięki okresowości funkcji łatwo wyznaczymy rozwiązanie w przedziale [6π, 7π]

 

A więc:

 

 

 

Okres funkcji tangens wynosi π, znajdźmy rozwiązanie w przedziale [0, π] a następnie dzięki okresowości funkcji łatwo wyznaczymy rozwiązanie w przedziale [-9,-6]

 

A więc:

  

Odczytaj pierwiastki równania ...

    

 wtedy i tylko wtedy, gdy  lub .

 

 

lub 

 

 

Zatem  lub .     {premium}


    

 wtedy i tylko wtedy, gdy  lub .

 

 

lub 

 

 

Zatem  lub .


    

 wtedy i tylko wtedy, gdy  lub .

 

 

lub 

 

 

Zatem  lub 


    

 wtedy i tylko wtedy, gdy  lub .

 

 

lub 

 

 

Zatem  lub .


    

 wtedy i tylko wtedy, gdy  lub .

 

 

lub 

 

 

Zatem  lub  .


    

 wtedy i tylko wtedy, gdy  lub .

 

 

lub 

 

 

Zatem  lub .

Zapisz nierówności, które są spełnione przez liczby

{premium}

 

 

Sprawdź, czy proste k i l...

a) Musi zachodzić równość pomiędzy stosunkami długości odpowiednich boków:

 

 

 

Proste nie są równoległe

 

  

 

 

 

Proste nie są równoległe

 

 

 

  

 

 

Proste są równoległe

Ćwiczenie 8 Wypisz ...

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Bierzemy udział w następującej grze

 

Rzucając kostką możemy uzyskać 6 wyników (1, 2, 3, 4, 5, 6). 

Jeśli wypadnie 2, 4 lub 6, to wygrywamy 10 zł (3 możliwości z 6). 

Jeśli wypadnie 5, to wygrywamy 120 zł (1 możliwość z 6). 

Jeśli wypadnie 1 lub 3, to przegrywamy 90 zł (2 możliwości z 6). 

 

       
        

 

Obliczamy wartość oczekiwaną tej gry:

 

 

 

 

Gra jest sprawiedliwa, jeśli jej wartość oczekiwana jest równa 0. 

 

 

 

 

 

Wysokość przegranej powinna wynosić 75 zł. 

Wyznacz cztery początkowe wyrazy ...

 

 

 

 

 

 

  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Prosta m jest styczna...

Rysunek poglądowy:{premium}

Z twierdzenia o kącie pomiędzy styczną a cięciwą wiemy, że:

 

 

Wiemy również, że:

 

zatem

 

 

 

Oblicz 4^-2