Granica ciągu - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Granica ciągu - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Obliczanie granic ciągów

W niniejszej sekcji zajmiemy się obliczaniem granic ciągów korzystając z twierdzeń o granicach ciągów i granic znanych nam ze wcześniejszych lekcji.

Krótkie przypomnienie:

Fakt 1: granica ciągu w nieskończoności $a_n = {1}/{n}$ to $0$.

Fakt 2: Twierdzenie o granicach ciągów mówi, że jeśli mamy trzy ciągi: na przykład $(a_n)$, $(b_n)$ i $(c_n)$ i $c_n= a_n + b_n$, a $lim↙{ → ∞} a_n = A$ i $lim↙{n → ∞} b_n = B$, to $lim↙{n → ∞} c_n = A+B$. Oczywiście nie musi być tam dodawania: równie dobrze może być odejmowanie, mnożenie lub dzielenie.

To niepozorne i w miarę logiczne twierdzenie (skoro dodajemy każde dwa wyrazy dwóch ciągów i tworzymy z tych sum trzeci ciąg, a poprzednie zbiegały do jakichśtam granic, to ten będący sumą zbiega do granicy będącej sumą tamtych), to bardzo przydaje się w normalnych zastosowaniach: nie trzeba wtedy liczyć wszystkiego z definicji, a wystarczy po prostu skorzystać z granic znanych ciągów.

Inaczej mówiąc: jeśli mamy ciąg, którego wyrazy możemy w prosty sposób otrzymać z wyrazów znanych nam już ciągów (dodając je, mnożąc itp), to możemy próbować obliczyć granicę nowego ciągu korzystając jedynie z granic tamtych.

Dla przykładu obliczmy granicę w nieskończoności ciągu

$b_n = {1}/{n^2}$.

Zauważmy, że $b_n = {1}/{n^2} = {1}/{n} × {1}/{n}$. Skoro $lim↙{n → ∞} b_n = a_n×a_n$, to korzystając z twierdzenia o granicach ciągów otrzymujemy $lim↙{n → ∞} b_n = lim↙{n → ∞} b_n = a_n × lim↙{n → ∞} a_n = 0×0 = 0$

Obliczmy granicę innego ciągu:
$p_n = {n^3 - 3n^2 + 2}/{2n^3 + 100n - 10}$

Jest to bardzo często spotykany typ ciągów.

Ponieważ na razie zarówno mianownik, jak i licznik dążą do nieskończoności i nie da się tego stwierdzić od razu, musimy doprowadzić wzór do postaci, z której będziemy mogli wyodrębnić ciągi, których granice już znamy.

Podzielnmy więc obie strony ułamka przez $n^3$ - największą potęgę $n$ występującą we wzorze. Otrzymujemy:

$p_n = {1 - 3{1}/{n} + 2{1}/{n^3} }/{2 + 100{1}/{n^2} + 10{1}/{n^3}}$

Z tej postaci możemy już powiedzieć, do czego dąży każdy składnik:

1) Granicą $1$ i $2$ są po prostu $1$ i $2$.
2) Granicami wszystkich pozostałych ułamków są zera - dla ${1}/{n^2}$ pokazywaliśmy to w poprzednim przykładzie.

Z twierdzenia o działaniach artytmetycznych na granicach możemy więc powiedzieć, że:

$lim↙{n → ∞} p_n = lim↙{n → ∞} {1 - 3{1}/{n} + 2{1}/{n^3} }/{2 + 100{1}/{n^2} + 10{1}/{n^3} } = {(lim↙{n → ∞} 1) - (lim↙{n → ∞} 3{1}/{n}) + (lim↙{n → ∞} 2{1}/{n^3})}/{(lim↙{n → ∞} 2) + (lim↙{n → ∞} 100{1}/{n^2}) + lim↙{n → ∞} (10{1}/{n^3})} =$
$= {1 - 3×0 + 2×0}/{2 + 100×0 + 10×0} = {1}/{2}$

Spis treści

Rozwiązane zadania
Wykonaj dzielenie ułamków algebraicznych. Podaj dziedziny wyrażeń.

 Wyznaczamy dziedzinę:

 

 

{premium}  

Wykonujemy dzielenie ułamków:

      

 

 Wyznaczamy dziedzinę:

 

 

 

Wykonujemy dzielenie ułamków:

 

 

 Wyznaczamy dziedzinę:

  

 

 

Wykonujemy dzielenie ułamków:

 

 

Ćwiczenie 8 Oblicz ...

  {premium}  

  

  

a) Z prostokątnego arkusza tekstury ...

a) Rysunek pomocniczy:

   {premium}

Otrzymane pudełko ma wymiary: x, 30-2x, 20-2x.

Obliczmy pojemność tego pudełka.

 

 


b) Otrzymane pudełko ma wymiary: x, 40-2x, 40-2x.

Obliczmy pojemność tego pudełka.

 

 

Oblicz miary pozostałych kątów...

a)

 

 

 

 

{premium}  

 

 

 

 

 

 

 

 

 


b)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Średnia waga ośmiu wioślarzy pewnej ...

Obliczamy, ile łącznie ważą wioślarze.{premium}

 


Obliczamy średnią wagę wszystkich zawodników tej osady.

 

Wskaż w pokoju ...

a) Płaszczyzny równoległe: sufit i podłoga w pokoju.   {premium}

b) Płaszczyzny przecinające się: sufit i ściana, na której znajduje się okno.

c) Dwie proste skośne: prosta zawarta w suficie i prosta zawarta podłodze.

d) Prosta i płaszczyzna do niej równoległa: prosta zawarta w suficie i płaszczyzna podłogi. 

Oblicz, w zaokrągleniu do 1 minuty...

 

 

 

{premium}  

 

Z definicji logarytmu:

  

 

Nasz logarytm w przybliżeniu jest równy:

 

 

 

Zamieńmy ułamek na taki o mianowniku 60:

  

 

 

 

A więc:

 

A więc czas połowicznego rozkładu leku wynosi 26godzin 19minut.

Pole powierzchni bocznej ostrosłupa ...

Rysunek pomocniczy:

Z treści zadania wiemy, że: {premium}

 

 

 

 

 

 

 

 

Obliczmy wysokość tego ostrosłupa.

 

 

 

 

 

 

Obliczmy objętość tego ostrosłupa.

 

 

 

Jeśli 1/9, b, c, 9...

 

 

 

 

 

{premium}  

 

 

 

 

Przypadek I.

 

 

 

 

 

 

 

 

Przypadek II.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Odp. D

Oblicz granicę.

    {premium}