Granica ciągu - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Obliczanie granic ciągów

W niniejszej sekcji zajmiemy się obliczaniem granic ciągów korzystając z twierdzeń o granicach ciągów i granic znanych nam ze wcześniejszych lekcji.

Krótkie przypomnienie:

Fakt 1: granica ciągu w nieskończoności $$a_n = {1}/{n}$$ to $$0$$.

Fakt 2: Twierdzenie o granicach ciągów mówi, że jeśli mamy trzy ciągi: na przykład $$(a_n)$$, $$(b_n)$$ i $$(c_n)$$ i $$c_n= a_n + b_n$$, a $$lim↙{ → ∞} a_n = A$$ i $$lim↙{n → ∞} b_n = B$$, to $$lim↙{n → ∞} c_n = A+B$$. Oczywiście nie musi być tam dodawania: równie dobrze może być odejmowanie, mnożenie lub dzielenie.

To niepozorne i w miarę logiczne twierdzenie (skoro dodajemy każde dwa wyrazy dwóch ciągów i tworzymy z tych sum trzeci ciąg, a poprzednie zbiegały do jakichśtam granic, to ten będący sumą zbiega do granicy będącej sumą tamtych), to bardzo przydaje się w normalnych zastosowaniach: nie trzeba wtedy liczyć wszystkiego z definicji, a wystarczy po prostu skorzystać z granic znanych ciągów.

Inaczej mówiąc: jeśli mamy ciąg, którego wyrazy możemy w prosty sposób otrzymać z wyrazów znanych nam już ciągów (dodając je, mnożąc itp), to możemy próbować obliczyć granicę nowego ciągu korzystając jedynie z granic tamtych.

Dla przykładu obliczmy granicę w nieskończoności ciągu

$$b_n = {1}/{n^2}$$.

Zauważmy, że $$b_n = {1}/{n^2} = {1}/{n} × {1}/{n}$$. Skoro $$lim↙{n → ∞} b_n = a_n×a_n$$, to korzystając z twierdzenia o granicach ciągów otrzymujemy $$lim↙{n → ∞} b_n = lim↙{n → ∞} b_n = a_n × lim↙{n → ∞} a_n = 0×0 = 0$$

Obliczmy granicę innego ciągu:
$$p_n = {n^3 - 3n^2 + 2}/{2n^3 + 100n - 10}$$

Jest to bardzo często spotykany typ ciągów.

Ponieważ na razie zarówno mianownik, jak i licznik dążą do nieskończoności i nie da się tego stwierdzić od razu, musimy doprowadzić wzór do postaci, z której będziemy mogli wyodrębnić ciągi, których granice już znamy.

Podzielnmy więc obie strony ułamka przez $$n^3$$ - największą potęgę $$n$$ występującą we wzorze. Otrzymujemy:

$$p_n = {1 - 3{1}/{n} + 2{1}/{n^3} }/{2 + 100{1}/{n^2} + 10{1}/{n^3}}$$

Z tej postaci możemy już powiedzieć, do czego dąży każdy składnik:

1) Granicą $$1$$ i $$2$$ są po prostu $$1$$ i $$2$$.
2) Granicami wszystkich pozostałych ułamków są zera - dla $${1}/{n^2}$$ pokazywaliśmy to w poprzednim przykładzie.

Z twierdzenia o działaniach artytmetycznych na granicach możemy więc powiedzieć, że:

$$lim↙{n → ∞} p_n = lim↙{n → ∞} {1 - 3{1}/{n} + 2{1}/{n^3} }/{2 + 100{1}/{n^2} + 10{1}/{n^3} } = {(lim↙{n → ∞} 1) - (lim↙{n → ∞} 3{1}/{n}) + (lim↙{n → ∞} 2{1}/{n^3})}/{(lim↙{n → ∞} 2) + (lim↙{n → ∞} 100{1}/{n^2}) + lim↙{n → ∞} (10{1}/{n^3})} =$$
$$= {1 - 3×0 + 2×0}/{2 + 100×0 + 10×0} = {1}/{2}$$

Spis treści

Rozwiązane zadania
Wykonaj działania, odpowiedź podaj

 

 

 

  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

   

Podaj współrzędne punktów...

 

 

 

 

 

 

Dane są dwa okręgi styczne zewnętrznie...

Rysunek pomocniczy:

Chcemy pokazać, że  

Zauważmy najpierw, czworokąt  jest trapezem, bo  

Wiemy, że suma kątów przy jednym ramieniu trapezu wynosi  stąd:

 

 

Trójkąty  oraz  są równoramienne, stąd:

 

   

oraz

 

 

 

Z równości  i  dostajemy:

 

 

 

Zauważmy teraz, że kąty  i  tworzą wspólnie kąt półpełny, stąd:

 

Podstawiając  otrzymujemy:

 

 co należało dowieść.    

Rozwiąż układy równań metodą podstawiania

 

 

 

 

 

 

 `{((x-3)(x+3)+3y-x+2=(x-2)^2+y), (-2x+y=2\ \ \ |+2x):}`  

 `{(-7+3y-x=-4x+4+y\ \ \ |+4x-4-y), (y=2+2x):}` 

 

 

 

Równanie spełniają wszystkie pary postaci (x, -x-12) 

   

Dane są wielomiany...

Uporządkujmy wielomiany:

 

 

 

 

Porównajmy tylko najwyższe potęgi poszczególnych wielomianów:

Najwyższymi potęgami są

   

 

 

 

a) Zatem najwyższa potęga wielomianu

 

to:

 

 

 

b) Zatem najwyższa potęga wielomianu

 

to:

 

 

 

c) Zatem najwyższa potęga wielomianu

 

to:

Punkty S(-1,5), T(1,4) i U(3,3) dzielą odcinek ...

Oznaczmy współrzędne punktu A oraz punktu B:

 

 

Dany są punkty S, T oraz U:

 

 

Punkt T jest środkiem odcinka AB. Punkt S jest środkiem odcinka AT. Natomiast punkt U jest środkiem odcinka TB.

 

Korzystając ze wzoru na środek odcinka TB wyznaczamy wswpółrzędne punktu B:

 

Rozwiązujemy dwa równania:

     

Równanie I:

 

Równanie II:

 

 

 

Współrzędne punktu B to B=(5,2).

 

Korzystając ze wzoru na środek odcinka AT wyznaczamy wswpółrzędne punktu A:

  

Rozwiązujemy dwa równania:

      

Równanie I:

 

 

  

Równanie II:

 

 

  

 

Współrzędne punktu A to A=(-3,6).

 

Odp: Szukane punkty to A(-3,6) oraz B(5,2).

Rozwiąż równania:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  

 

   

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

    

Wykorzystując znaczenie współczynników we wzorze funkcji liniowej...

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Wyznacz współrzędne punktu przecięcia środkowych...

Rysunek poglądowy:

 

Wyznaczmy środek odcinka AB:

 

Wyznaczmy równanie prostej PC:

 

 

 

 

 

 

  

stąd

 

 

a więc:

 

 

Wyznaczmy środek odcinka BC:

 

 

Zauważmy, że punkty A i Q leżą na prostej danej równaniem x = 2. Punkt przecięcia się tych prostych jest punktem przecięcia się środkowych trójkąta:

 

 

 

Punkt przecięcia ma współrzędne:

 

Oblicz sumę odległości środka cężkości...

W trójkącie równobocznym środkowa pokrywa się z wysokością. Odległość środka ciężkości od jdnego boku to trzecia część wysokości, więc (ponieważ mamy trzy takie odległości) szukana suma to długość wysokości: