Granica ciągu - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Obliczanie granic ciągów

W niniejszej sekcji zajmiemy się obliczaniem granic ciągów korzystając z twierdzeń o granicach ciągów i granic znanych nam ze wcześniejszych lekcji.

Krótkie przypomnienie:

Fakt 1: granica ciągu w nieskończoności $$a_n = {1}/{n}$$ to $$0$$.

Fakt 2: Twierdzenie o granicach ciągów mówi, że jeśli mamy trzy ciągi: na przykład $$(a_n)$$, $$(b_n)$$ i $$(c_n)$$ i $$c_n= a_n + b_n$$, a $$lim↙{ → ∞} a_n = A$$ i $$lim↙{n → ∞} b_n = B$$, to $$lim↙{n → ∞} c_n = A+B$$. Oczywiście nie musi być tam dodawania: równie dobrze może być odejmowanie, mnożenie lub dzielenie.

To niepozorne i w miarę logiczne twierdzenie (skoro dodajemy każde dwa wyrazy dwóch ciągów i tworzymy z tych sum trzeci ciąg, a poprzednie zbiegały do jakichśtam granic, to ten będący sumą zbiega do granicy będącej sumą tamtych), to bardzo przydaje się w normalnych zastosowaniach: nie trzeba wtedy liczyć wszystkiego z definicji, a wystarczy po prostu skorzystać z granic znanych ciągów.

Inaczej mówiąc: jeśli mamy ciąg, którego wyrazy możemy w prosty sposób otrzymać z wyrazów znanych nam już ciągów (dodając je, mnożąc itp), to możemy próbować obliczyć granicę nowego ciągu korzystając jedynie z granic tamtych.

Dla przykładu obliczmy granicę w nieskończoności ciągu

$$b_n = {1}/{n^2}$$.

Zauważmy, że $$b_n = {1}/{n^2} = {1}/{n} × {1}/{n}$$. Skoro $$lim↙{n → ∞} b_n = a_n×a_n$$, to korzystając z twierdzenia o granicach ciągów otrzymujemy $$lim↙{n → ∞} b_n = lim↙{n → ∞} b_n = a_n × lim↙{n → ∞} a_n = 0×0 = 0$$

Obliczmy granicę innego ciągu:
$$p_n = {n^3 - 3n^2 + 2}/{2n^3 + 100n - 10}$$

Jest to bardzo często spotykany typ ciągów.

Ponieważ na razie zarówno mianownik, jak i licznik dążą do nieskończoności i nie da się tego stwierdzić od razu, musimy doprowadzić wzór do postaci, z której będziemy mogli wyodrębnić ciągi, których granice już znamy.

Podzielnmy więc obie strony ułamka przez $$n^3$$ - największą potęgę $$n$$ występującą we wzorze. Otrzymujemy:

$$p_n = {1 - 3{1}/{n} + 2{1}/{n^3} }/{2 + 100{1}/{n^2} + 10{1}/{n^3}}$$

Z tej postaci możemy już powiedzieć, do czego dąży każdy składnik:

1) Granicą $$1$$ i $$2$$ są po prostu $$1$$ i $$2$$.
2) Granicami wszystkich pozostałych ułamków są zera - dla $${1}/{n^2}$$ pokazywaliśmy to w poprzednim przykładzie.

Z twierdzenia o działaniach artytmetycznych na granicach możemy więc powiedzieć, że:

$$lim↙{n → ∞} p_n = lim↙{n → ∞} {1 - 3{1}/{n} + 2{1}/{n^3} }/{2 + 100{1}/{n^2} + 10{1}/{n^3} } = {(lim↙{n → ∞} 1) - (lim↙{n → ∞} 3{1}/{n}) + (lim↙{n → ∞} 2{1}/{n^3})}/{(lim↙{n → ∞} 2) + (lim↙{n → ∞} 100{1}/{n^2}) + lim↙{n → ∞} (10{1}/{n^3})} =$$
$$= {1 - 3×0 + 2×0}/{2 + 100×0 + 10×0} = {1}/{2}$$

Spis treści

Rozwiązane zadania
Zapisz liczbę w postaci 3k, 3k+1 lub 3k+2

`a)\ 26=3*8+2`

`b)\ 76=3*25+1`

`c)\ 108=3*36`

`d)\ 127=3*42+1`

`e)\ 713=3*237+2`

Prosta y=-x-6 przecina okrąg ...

`y=-x-6` 

`x^2+y^2=20` 

`A,B-"punkty przecięcia prostej i okregu"` 

`x^2+(-x-6)^2=20` 

`x^2+x^2+12x+36=20` 

`x^2+6x+8=0` 

`Delta=36-32=4` 

`sqrtDelta=2` 

 

`x_1=(-6-2)/2=-4` 

`x_2=(-6+2)/2=-2` 

`y_1=-x_1-6=4-6=-2` 

`y_2=-x_2-6=-4` 

 

`A=(-4;-2)` 

`B=(-2;-4)` 

`|AB|=sqrt((-2+4)^2+(-4+2)^2)=sqrt8=ul(2sqrt2` 

Z prostokątnego arkusza kartonu o wymiarach 30 cm na 40 cm

`a)`

Podstawą pudełka jest prostokąt o wymiarach 30-2x i 40-2x, wysokość pudełka to x. Wszystkie te wielkości wyrażają długość, więc muszą być dodatnie:

`{(x>0), (30-2x>0), (40-2x>0):}\ \ \ =>\ \ \ {(x>0), (x<15), (x<20):}\ \ \ =>\ \ \ x in (0,\ 15)`

 

 

Mamy wyznaczoną dziedzinę, teraz obliczamy objętość pudełka: 

`V(x)=(30-2x)(40-2x)*x=(30-2x)(40x-2x^2)=`

`\ \ \ \ \ \ \ =30(40x-2x^2)-2x(40x-2x^2)=`

`\ \ \ \ \ \ \ =1200x-60x^2-80x^2+4x^3=`

`\ \ \ \ \ \ \ =4x^3-140x^2+1200x`

 

 

`b)`

Objętość jest największa gdy x wynosi około 6 cm. 

`x=6\ cm`

`30-2x=30-2*6=30-12=18\ cm`

`40-2x=40-2*6=40-12=28\ cm`

Pudełko o największej objętości ma wymiary równe około 6 cm x 18 cm x 28 cm. 

 

 

 

`c)`

Patrząc na wykres możemy przypuszczać, że nierówność jest nieprawdziwa. 

Sprawźmy to jeszcze algebraicznie, podstawiając do wzoru: 

`V(10)=4*10^3-140*10^2+1200*10=`

`\ \ \ \ \ \ \ =4000-14000+12000=2000\ cm^3`

 

`V(2,5)=4*(2,5)^3-140*(2,5)^2+1200*2,5=`

`\ \ \ \ \ \ \ \ \ =4*15,625-140*6,25+3000=`

`\ \ \ \ \ \ \ \ \ =62,5-875+3000=2187,5\ cm^3`

 

`V(10)<V(2,5)`

 

Nierówność podana w treści zadania nie jest prawdziwa

Wyznacz cztery początkowe...

a)

`a_1=11` 

 

`a_2=11+3` 

`a_2=14` 

 

`a_3=14+3` 

`a_3=17` 

 

`a_4=17+3` 

`a_4=20` 


b) 

`a_1=1/4` 

 

`a_2=1/4+2/3` 

`a_2=3/12+8/12` 

`a_2=11/12` 

 

`a_3=11/12+2/3` 

`a_3=11/12+8/12` 

`a_3=19/12` 

 

`a_4=19/12+2/3` 

`a_4=19/12+8/12` 

`a_4=27/12` 


c) 

`a_1=2a` 

 

`a_2=2a+b+3` 

 

`a_3=2a+b+3+b+3` 

`a_3=2a+2b+6` 

 

`a_4=2a+2b+6+b+3` 

`a_4=2a+3b+9` 

Oblicz granicę ciągu ...

`a)` 

`a_n=(n+3)/(10n-6)` 

`lim_(n->oo)a_n=lim_(n->oo)(n+3)/(10n-6)=lim_(n->oo)(1+3/n)/(10-6/n)=(lim_(n->oo)(1+3/n))/(lim_(n->oo)(10-6/n))=1/10`      

 

`b)` 

`a_n=(1-4n)/(2n-5)` 

`lim_(n->oo)a_n=lim_(n->oo)(1-4n)/(2n-5)=lim_(n->oo)(1/n-4)/(2-5/n)=(lim_(n->oo)(1/n-4))/(lim_(n->oo)(2-5/n))=-4/2=-2`         

 

`c)` 

`a_n=(6-8n)/(4-3n)` 

`lim_(n->oo)a_n=lim_(n->oo)(6-8n)/(4-3n)=lim_(n->oo)(6/n-8)/(4/n-3)=(lim_(n->oo)(6/n-8))/(lim_(n->oo)(4/n-3))=8/3`          

W okrąg został wpisany trójkąt ...

`x^2+y^2=20` 

`r=sqrt20` 

`S=(0;0)` 

Zauważmy, że przeciwprostokątna trójkąta ABC jest średnicą okręgu.

`C=(2;4)` 

`A=(x_a;y_a)` 

`B=(x_b;y_b)` 

Wyzanczmy równanie prostej k zawierającej odcinek CS.

`k:y=ax+b` 

`0=0*a+b\ implies b=0` 

`4=2a+0` 

`a=2` 

`k:y=2x` 

Prosta zawierająca odcinek AB ma równanie:

`l:y=cx+d` 

`0=0*c+d` 

`d=0` 

`y=-1/2x` 

Punkt wspólne powyższej prostej i okręgu to punkty A i B.       

Wstawmy równanie prsotej l do równania okręgu:

`x^2+y^2=20=x^2+(-1/2x)^2=5/4x^2` 

`x^2=80/5=16` 

`x_1=4\ \ \vv\ \ x_2=-4`  

`y_1=-1/2x_1=-2\ \ \vv\ \ \ \y_2=-1/2x_2=2` 

Współrzedne pozostałych wierzchołków to:

`{(x=4),(y=-2):}\ \ \wedge\ \ \{(x=-4),(x=2):}`     

Wyznacz rozwiązania równania należące do przedziału ...

`ul(k inCC` 

 

`a)` 

`tgx=1` 

`x=pi/4+kpi` 

`x in(pi/2;3/2pi)` 

`x_1=5/4pi` 

 

`b)` 

`tg^2x=1` 

`tgx=1\ \ \vee\ \ \tgx=-1` 

`x=pi/4+kpi\ \ \vee\ \ \x=-pi4+kpi` 

`x in (-pi/2;pi/2)` 

`x_1=pi/4` 

`x_2=-pi/4` 

 

`c)` 

`|tgx|=sqrt3` 

`tgx=sqrt3\ \ \vee\ \ \tgx=-sqrt3\ iff\ tg(-x)=sqrt3` 

`x=pi/3+kpi\ \ \vee\ \ \ -x=pi/3+kpi\ implies\ x=-pi/3+kpi` 

`x in (2pi;3pi)` 

`x_1=7/3pi` 

`x_2=8/3pi` 

 

`d)` 

`ctgx=1` 

`x=pi/4+kpi` 

`x in (pi;2pi)` 

`x_1=5/4pi` 

 

`e)` 

`ctg^2 x=1` 

`ctgx=1\ \ \vee\ \ \ctgx=-1\ iff\ ctg(-x)=1`  

`x=pi/4+kpi\ \ \vee\ \ \-x=pi/4+kpi\ iff\ x=-pi/4+kpi` 

`x in (pi;2pi)` 

`x_1=5/4pi` 

`x_2=7/4pi` 

 

`f)` 

`|ctgx|=sqrt3/3` 

`ctgx=sqrt3/3\ \ \vee\ \ \ctgx=-sqrt3/3\ iff\ ctg(-x)=sqrt3/3` 

`x=pi/3+kpi\ \ \vee\ \ \-x=pi/3+2kpi\ iff\ x=-pi/3+kpi` 

`x in (-pi;0)` 

`x_1=-pi/3` 

`x_2=-2/3pi`

Na rysunku poniżej przedstawiono ...

`a)` 

`f(x)=-1/2sinx` 

`g(x)=-sinx` 

`h(x)=-2sinx` 

  

`ZW_{f}=[-1/2;1/2]` 

`ZW_{g}=[-1;1]` 

`ZW_{h}=[-2;2]` 

 

`b)` 

`f(x)=1/2xcos` 

`g(x)=cosx` 

`h(x)=2cosx`  

`ZW_{f}=[-1/2;1/2]` 

`ZW_{g}=[-1;1]` 

`ZW_{h}=[-2;2]` 

Oblicz.

`"a)"\ log_(4)2+log_(4)8=log_(4)(2*8)=log_(4)16=2` 

`"b)"\ log2+log50=log(2*50)=log100=2` 

`"c)"\ log_(1/6)3+log_(1/6)2=log_(1/6)(3*2)=log_(1/6)6=-1` 

`"d)"\ log_(0,1)0,2+log_(0,1)0,5=log_(0,1)(0,2*0,5)=log_(0,1)0,1=1` 

`"e)"\ log_(15)3+log_(15)5=log_(15)(3*5)=log_(15)15=1` 

`"f)"\ log_(20)100+log_(20)4=log_(20)(100*4)=log_(20)400=2`  

Rozłóż wielomian na czynniki...

`a) \ 8a^2 - 72 = 8(a^2 - 9) = 8(a^2 - 3^2) = 8(a-3)(a+3)` 

 

`b) \ 16x^2y^2 - 225 = (4xy)^2 -15^2 = (4xy-15)(4x+15)` 

 

`c) \ (2c+7)^2 -121d^2 = (2c+7)^2 - (11d)^2 = (2c+7-11d)(2c+7+11d)` 

 

`d) \ (17-a)^2 -(8+a)^2 = (17-a-8-a)(17-a+8+a) = (9-2a)*25 = 25(9-2a)` 

 

`e) \ 27x^3 - 0,001y^3 = (3x)^3 - (0,1y)^3 = (3x-0,1y)((3x)^2 +3x*0,1y + (0,1y)^2) = (3x-0,1y)(9x^2 + 0,3xy + 0,01y^2)` 

 

`f) \ 8a^3 + (2a-1)^3 = (2a)^3 - (2a-1)^3 = (2a-2a+1)((2a)^2 + 2a*(2a-1) + (2a-1)^2) = 1*(4a^2 + 4a^2 - 2a + 4a^2 - 4a + 1)=` 

`=12a^2-6a+1` 

 

`g) \ 625t^4 - 16w^4 = (25t^2)^2 -(4w^2)^2 = (25t^2-4w^2)(25t^2+4w^2) = ((5t)^2 - (2w)^2)(25t^2+4w^2) = (5t-2w)(5t+2w)(25t^2+4w^2)` 

 

`h) \ x^6 - y^6 = (x^3)^2 - (y^3)^2 = (x^3-y^3)(x^3+y^3) = (x-y)(x^2+xy+y^2)(x+y)(x^2-xy+y^2)` 

 

`i)a^8 - b^8 = (a^4)^2 - (b^4)^2 = (a^4-b^4)(a^4+b^4) = ((a^2)^2-(b^2)^2)(a^4+b^4) =(a^2-b^2)(a^2+b^2)(a^4+b^4) = (a-b)(a+b)(a^2+b^2)(a^4+b^4)`