Granica ciągu - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Obliczanie granic ciągów

W niniejszej sekcji zajmiemy się obliczaniem granic ciągów korzystając z twierdzeń o granicach ciągów i granic znanych nam ze wcześniejszych lekcji.

Krótkie przypomnienie:

Fakt 1: granica ciągu w nieskończoności $$a_n = {1}/{n}$$ to $$0$$.

Fakt 2: Twierdzenie o granicach ciągów mówi, że jeśli mamy trzy ciągi: na przykład $$(a_n)$$, $$(b_n)$$ i $$(c_n)$$ i $$c_n= a_n + b_n$$, a $$lim↙{ → ∞} a_n = A$$ i $$lim↙{n → ∞} b_n = B$$, to $$lim↙{n → ∞} c_n = A+B$$. Oczywiście nie musi być tam dodawania: równie dobrze może być odejmowanie, mnożenie lub dzielenie.

To niepozorne i w miarę logiczne twierdzenie (skoro dodajemy każde dwa wyrazy dwóch ciągów i tworzymy z tych sum trzeci ciąg, a poprzednie zbiegały do jakichśtam granic, to ten będący sumą zbiega do granicy będącej sumą tamtych), to bardzo przydaje się w normalnych zastosowaniach: nie trzeba wtedy liczyć wszystkiego z definicji, a wystarczy po prostu skorzystać z granic znanych ciągów.

Inaczej mówiąc: jeśli mamy ciąg, którego wyrazy możemy w prosty sposób otrzymać z wyrazów znanych nam już ciągów (dodając je, mnożąc itp), to możemy próbować obliczyć granicę nowego ciągu korzystając jedynie z granic tamtych.

Dla przykładu obliczmy granicę w nieskończoności ciągu

$$b_n = {1}/{n^2}$$.

Zauważmy, że $$b_n = {1}/{n^2} = {1}/{n} × {1}/{n}$$. Skoro $$lim↙{n → ∞} b_n = a_n×a_n$$, to korzystając z twierdzenia o granicach ciągów otrzymujemy $$lim↙{n → ∞} b_n = lim↙{n → ∞} b_n = a_n × lim↙{n → ∞} a_n = 0×0 = 0$$

Obliczmy granicę innego ciągu:
$$p_n = {n^3 - 3n^2 + 2}/{2n^3 + 100n - 10}$$

Jest to bardzo często spotykany typ ciągów.

Ponieważ na razie zarówno mianownik, jak i licznik dążą do nieskończoności i nie da się tego stwierdzić od razu, musimy doprowadzić wzór do postaci, z której będziemy mogli wyodrębnić ciągi, których granice już znamy.

Podzielnmy więc obie strony ułamka przez $$n^3$$ - największą potęgę $$n$$ występującą we wzorze. Otrzymujemy:

$$p_n = {1 - 3{1}/{n} + 2{1}/{n^3} }/{2 + 100{1}/{n^2} + 10{1}/{n^3}}$$

Z tej postaci możemy już powiedzieć, do czego dąży każdy składnik:

1) Granicą $$1$$ i $$2$$ są po prostu $$1$$ i $$2$$.
2) Granicami wszystkich pozostałych ułamków są zera - dla $${1}/{n^2}$$ pokazywaliśmy to w poprzednim przykładzie.

Z twierdzenia o działaniach artytmetycznych na granicach możemy więc powiedzieć, że:

$$lim↙{n → ∞} p_n = lim↙{n → ∞} {1 - 3{1}/{n} + 2{1}/{n^3} }/{2 + 100{1}/{n^2} + 10{1}/{n^3} } = {(lim↙{n → ∞} 1) - (lim↙{n → ∞} 3{1}/{n}) + (lim↙{n → ∞} 2{1}/{n^3})}/{(lim↙{n → ∞} 2) + (lim↙{n → ∞} 100{1}/{n^2}) + lim↙{n → ∞} (10{1}/{n^3})} =$$
$$= {1 - 3×0 + 2×0}/{2 + 100×0 + 10×0} = {1}/{2}$$

Spis treści

Rozwiązane zadania
Ćwiczenie 1

   

   

      

     

 

   

W ostrosłupie prawidłowym sześciokątnym...

Rysunek poglądowy:

Podstawa ostrosłupa to sześciokąt foremny, składa się on z sześciu trójkątów równobocznych.

Pole podstawy:

 

 

Pole powierzchni bocznej:

 

Pole powierzchni bocznej składa się z 6 trójkątów równoramiennych. Obliczmy wysokość trójkąta, który stanowi ścianę boczną:

 

 

 

 

Zaznaczmy wysokość kolorem pomarańczowym:

Nasz trójkąt wygląda następująco:

Pomarańczowy bok to wysokość ściany bocznej:

 

 

Niebieski bok to wysokość trójkąta równobocznego:

 

 

Z twierdzenia Pitagorasa:

 

 

 

 

 

Objętość ostrosłupa:

 

Wyznacz punkt P...

Niech:

 

 

 

 

 

Stąd:

 

 

 

 

 

 

 

 

Stąd:

 

 

 

  

Uprość wyrażenie i oblicz ...

 

Założenia:xy i x-y.

Obliczamy wartość wyrażenia dla x=2 oraz y=-4.

 

 

 

Założenia:xy i y0.

Obliczamy wartość wyrażenia dla x=2 oraz y=-4.

 

 

 

Założenia:xy.

Obliczamy wartość wyrażenia dla x=2 oraz y=-4.

 

Funkcja f przyporządkowuje każdej ...

 

Liczba naturalna ma dwa dzielniki naturalne gdy jest liczbą pierwszą.

Liczby pierwsze należące do dziedziny funkcji f to:2, 3, 5, 7, 11 , 13 i 17.

Funkcja przyjmuje wartość dwa dla 7 argumentów. 

Rozłóż wielomian w na czynniki

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

   

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  

 

    

 

 

 

 

 

 

 

   

 

Oblicz granicę i zbadaj monotoniczność...

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Aby policzyć monotoniczność należy obliczyć pochodną funkcji  

 

 

 

 

 

Zauważmy, że  dla każdego  

Wobec tego ciąg ten jest rosnący.

Jeśli f ...

 

 

 

Sprawdźmy czy:

    

  

 

 

 

 

 

Oblicz, wiedząc, że...

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Wyjaśnienie gwiazdki:

 

 

 

 

 

 

 

Poniżej przedstawiono wykres ...

  

Aby narysować wykres funkcji g(x), odbijamy wykres funkcji f(x) symetrycznie względem osi OX.

Zbiór wartości:

 

Miejsce zerowe:

 

Równanie asymptoty poziomej:

 

 

 

Aby narysować wykres funkcji g(x), odbijamy wykres funkcji f(x) symetrycznie względem osi OX.

Zbiór wartości:

 

Miejsce zerowe:

  

Równanie asymptoty poziomej:

 

 

 

Aby narysować wykres funkcji g(x), odbijamy wykres funkcji f(x) symetrycznie względem osi OX.

Zbiór wartości:

 

Miejsce zerowe:

  

Równanie asymptoty poziomej: