Granica ciągu - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Obliczanie granic ciągów

W niniejszej sekcji zajmiemy się obliczaniem granic ciągów korzystając z twierdzeń o granicach ciągów i granic znanych nam ze wcześniejszych lekcji.

Krótkie przypomnienie:

Fakt 1: granica ciągu w nieskończoności $$a_n = {1}/{n}$$ to $$0$$.

Fakt 2: Twierdzenie o granicach ciągów mówi, że jeśli mamy trzy ciągi: na przykład $$(a_n)$$, $$(b_n)$$ i $$(c_n)$$ i $$c_n= a_n + b_n$$, a $$lim↙{ → ∞} a_n = A$$ i $$lim↙{n → ∞} b_n = B$$, to $$lim↙{n → ∞} c_n = A+B$$. Oczywiście nie musi być tam dodawania: równie dobrze może być odejmowanie, mnożenie lub dzielenie.

To niepozorne i w miarę logiczne twierdzenie (skoro dodajemy każde dwa wyrazy dwóch ciągów i tworzymy z tych sum trzeci ciąg, a poprzednie zbiegały do jakichśtam granic, to ten będący sumą zbiega do granicy będącej sumą tamtych), to bardzo przydaje się w normalnych zastosowaniach: nie trzeba wtedy liczyć wszystkiego z definicji, a wystarczy po prostu skorzystać z granic znanych ciągów.

Inaczej mówiąc: jeśli mamy ciąg, którego wyrazy możemy w prosty sposób otrzymać z wyrazów znanych nam już ciągów (dodając je, mnożąc itp), to możemy próbować obliczyć granicę nowego ciągu korzystając jedynie z granic tamtych.

Dla przykładu obliczmy granicę w nieskończoności ciągu

$$b_n = {1}/{n^2}$$.

Zauważmy, że $$b_n = {1}/{n^2} = {1}/{n} × {1}/{n}$$. Skoro $$lim↙{n → ∞} b_n = a_n×a_n$$, to korzystając z twierdzenia o granicach ciągów otrzymujemy $$lim↙{n → ∞} b_n = lim↙{n → ∞} b_n = a_n × lim↙{n → ∞} a_n = 0×0 = 0$$

Obliczmy granicę innego ciągu:
$$p_n = {n^3 - 3n^2 + 2}/{2n^3 + 100n - 10}$$

Jest to bardzo często spotykany typ ciągów.

Ponieważ na razie zarówno mianownik, jak i licznik dążą do nieskończoności i nie da się tego stwierdzić od razu, musimy doprowadzić wzór do postaci, z której będziemy mogli wyodrębnić ciągi, których granice już znamy.

Podzielnmy więc obie strony ułamka przez $$n^3$$ - największą potęgę $$n$$ występującą we wzorze. Otrzymujemy:

$$p_n = {1 - 3{1}/{n} + 2{1}/{n^3} }/{2 + 100{1}/{n^2} + 10{1}/{n^3}}$$

Z tej postaci możemy już powiedzieć, do czego dąży każdy składnik:

1) Granicą $$1$$ i $$2$$ są po prostu $$1$$ i $$2$$.
2) Granicami wszystkich pozostałych ułamków są zera - dla $${1}/{n^2}$$ pokazywaliśmy to w poprzednim przykładzie.

Z twierdzenia o działaniach artytmetycznych na granicach możemy więc powiedzieć, że:

$$lim↙{n → ∞} p_n = lim↙{n → ∞} {1 - 3{1}/{n} + 2{1}/{n^3} }/{2 + 100{1}/{n^2} + 10{1}/{n^3} } = {(lim↙{n → ∞} 1) - (lim↙{n → ∞} 3{1}/{n}) + (lim↙{n → ∞} 2{1}/{n^3})}/{(lim↙{n → ∞} 2) + (lim↙{n → ∞} 100{1}/{n^2}) + lim↙{n → ∞} (10{1}/{n^3})} =$$
$$= {1 - 3×0 + 2×0}/{2 + 100×0 + 10×0} = {1}/{2}$$

Spis treści

Rozwiązane zadania
Oblicz wartość wyrażenia...

Z urny, w której jest 8 kul białych

Obliczymy najpierw, ile elementów ma zbiór wszystkich zdarzeń elementarnych. Mamy 10 kul (8 białych i 2 czarne), losujemy z nich jednocześnie 9 kule:

 

 

 

Jeśli w urnie ma zostać biała kula, to musimy wylosować 7 z 8 białych kul oraz 2 z 2 czarnych kul. 

 

 

 

 

Rozwiąż nierówność...

 

Podstawienie:

 

 

Rozwiążmy wpierw równanie:

 

 

Wróćmy do nierówności:

 

Rysunek:

Skoro t=4x, to :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Rozwiążmy równanie:

 

 

Zauważmy, że:

 

 

Ostatecznie:

  

Rysunek:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A więc jedyna możliwość to:

 

 

Na diagramie kołowym przedstawiono...

Ilość 1:  

Ilość 2:  

Ilość 3:  

Ilość 4:  

Ilość 5:  

Ilość 6: 

 

Średnia arytmetyczna:

 

 

Odchylenie standardowe:

 

 

 

 

Prosta o równaniu y=x+3 przecina ...

 

 

 

 

 

 

 

 

     

 

 

 

 

 

   

    

 

 

 

 

 

  

 

      

 

 

 

 

 

W kulę wpisano prostopadłościan...

Zauważmy, że połowa przekątnej tego prostopadłościanu to promień kuli.

Wyznaczmy przekątną tego prostopadłościanu.

 

 

 

 

 

Przekątna podstawy wynosi 10

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Rozwiąż nierówność ...

 

 

Sprawdzamy. dla jakich  spełnione będzie równanie równanie .

 lub .

 

Współczynnik przy najwyższej potędze jest liczbą większą od  

 (mnożymy współczynniki stojące przy )

dlatego ramiona paraboli są skierowane do góry.

 

 

Odczytujemy z wykresu , dla których nierówność  jest spełniona

.{premium}


 

 

Sprawdzamy, dla jakich  spełnione będzie równanie równanie .

 

 

 

 

lub 

  

 

 

Współczynnik przy najwyższej potędze jest liczbą mniejszą od  

 (mnożymy współczynniki stojące przy )

dlatego ramiona paraboli są skierowane do dołu.

 

 

Odczytujemy z wykresu , dla których nierówność  jest spełniona

 .


 

 

Sprawdzamy, dla jakich  spełnione będzie równanie równanie .

 

 

 

lub 

  

 

 

Współczynnik przy najwyższej potędze jest liczbą mniejszą od  

 (mnożymy współczynniki stojące przy )

dlatego ramiona paraboli są skierowane do dołu.

 

 

Odczytujemy z wykresu , dla których nierówność  jest spełniona

.


 

 

Sprawdzamy, dla jakich  spełnione będzie równanie równanie .

 

 

 

lub 

  

 

 

 

Współczynnik przy najwyższej potędze jest liczbą większą od  

(mnożymy współczynniki stojące przy )

dlatego ramiona paraboli są skierowane do góry.

 

 

Odczytujemy z wykresu , dla których nierówność  jest spełniona

.


 

 

Sprawdzamy, dla jakich  spełnione będzie równanie równanie .

 

lub 

  

 

 

 

Współczynnik przy najwyższej potędze jest liczbą większą od  

(mnożymy współczynniki stojące przy )

dlatego ramiona paraboli są skierowane do góry.

 

 

Odczytujemy z wykresu , dla których nierówność  jest spełniona

.


 

 

Sprawdzamy, dla jakich  spełnione będzie równanie równanie .

 

 

 

lub 

  

 

 

Współczynnik przy najwyższej potędze jest liczbą większą od  

 (mnożymy współczynniki stojące przy )

dlatego ramiona paraboli są skierowane do góry.

 

 

Odczytujemy z wykresu , dla których nierówność  jest spełniona

.

W n ponumerowanych

W n ponumerowanych szufladach umieszczamy losowo n ponumerowanych kul. Pierwszą kulę możemy włożyć do jednej z n szuflad - n możliwości. Podobnie drugą, trzecią i każdą kolejną kulę. 

 

 

 

 

 

Jeśli dokładnie jedna szuflada ma być pusta, to w jednej szufladzie muszą znajdować się 2 kule, w n-2 szufladach musi znajdować się po 1 kuli, w jednej szufladzie nie ma żadnej kuli. 

Wybieramy 2 z n kul. 

Następnie wybieramy jedną z n szuflad, do której włożymy te 2 kule - n możliwości. 

Zostało nam n-2 kul do dyspozycji oraz n-1 szuflad do dyspozycji. Od tego momentu do każdej szuflady wkładamy po jednej kuli, dzięki czemu dokładnie jedna szuflada zostanie pusta. 

Pierwszą kulę wkładamy do jednej z n-1 szuflad - n-1 możliwości. 

Drugą kulę wkładamy do jednej z n-2 pozostałych szuflad - n-2 możliwości. 

I tak dalej.

(n-3)-cią kulę wkładamy do jednej z 3 pozostałych szuflad - 3 możliwości. 

Ostatnią, (n-2)-gą kulę wkładamy do jednej z 2 pozostałych szuflad - 2 możliwości. 

Jedna szuflada zostaje pusta. 

 

 

 

Obliczamy szukane prawdopodobieństwo:

  

Zapisz wzory trzech różnych funkcji logarytmicznych...

  

Funkcja rosnąca

 

 

Funkcja rosnąca

 

 

Funkcja malejąca

Wyróżnik funkcji kwadratowej jest równy 0 ...

 

Wyrażenie  nazywamy {premium}wyróżnikiem funkcji kwadratowej.

 

  

 

 

 

         
           

Thumb str 2024 20  207