Zgoda na przetwarzanie danych osobowych

25 maja 2018 roku zacznie obowiązywać Rozporządzenie Parlamentu Europejskiego i Rady (UE) 2016/679 z dnia 27 kwietnia 2016 r. znane jako RODO.

Dlatego aby dalej móc dostarczać Ci materiały odpowiednie do Twojego etapu edukacji, potrzebujemy zgody na lepsze dopasowanie treści do Twojego zachowania. Dzięki temu możemy zapamiętywać jakie materiały są Ci potrzebne. Dbamy o Twoją prywatność, więc nie zwiększamy zakresu naszych uprawnień. Twoje dane są u nas bezpieczne, a zgodę na ich zbieranie możesz wycofać na podstronie polityka prywatności.

Klikając "Przejdź do Odrabiamy", zgadzasz się na wskazane powyżej działania. W przeciwnym wypadku, nie jesteśmy w stanie zrealizować usługi kompleksowo i prosimy o opuszczenie strony.

Polityka prywatności

Drogi Użytkowniku w każdej chwili masz prawo cofnąć zgodę na przetwarzanie Twoich danych osobowych. Cofnięcie zgody nie będzie wpływać na zgodność z prawem przetwarzania, którego dokonano na podstawie wyrażonej przez Ciebie zgody przed jej wycofaniem. Po cofnięciu zgody wszystkie twoje dane zostaną usunięte z serwisu. Udzielenie zgody możesz modyfikować w zakładce 'Informacja o danych osobowych'

Granica ciągu - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Obliczanie granic ciągów

W niniejszej sekcji zajmiemy się obliczaniem granic ciągów korzystając z twierdzeń o granicach ciągów i granic znanych nam ze wcześniejszych lekcji.

Krótkie przypomnienie:

Fakt 1: granica ciągu w nieskończoności $$a_n = {1}/{n}$$ to $$0$$.

Fakt 2: Twierdzenie o granicach ciągów mówi, że jeśli mamy trzy ciągi: na przykład $$(a_n)$$, $$(b_n)$$ i $$(c_n)$$ i $$c_n= a_n + b_n$$, a $$lim↙{ → ∞} a_n = A$$ i $$lim↙{n → ∞} b_n = B$$, to $$lim↙{n → ∞} c_n = A+B$$. Oczywiście nie musi być tam dodawania: równie dobrze może być odejmowanie, mnożenie lub dzielenie.

To niepozorne i w miarę logiczne twierdzenie (skoro dodajemy każde dwa wyrazy dwóch ciągów i tworzymy z tych sum trzeci ciąg, a poprzednie zbiegały do jakichśtam granic, to ten będący sumą zbiega do granicy będącej sumą tamtych), to bardzo przydaje się w normalnych zastosowaniach: nie trzeba wtedy liczyć wszystkiego z definicji, a wystarczy po prostu skorzystać z granic znanych ciągów.

Inaczej mówiąc: jeśli mamy ciąg, którego wyrazy możemy w prosty sposób otrzymać z wyrazów znanych nam już ciągów (dodając je, mnożąc itp), to możemy próbować obliczyć granicę nowego ciągu korzystając jedynie z granic tamtych.

Dla przykładu obliczmy granicę w nieskończoności ciągu

$$b_n = {1}/{n^2}$$.

Zauważmy, że $$b_n = {1}/{n^2} = {1}/{n} × {1}/{n}$$. Skoro $$lim↙{n → ∞} b_n = a_n×a_n$$, to korzystając z twierdzenia o granicach ciągów otrzymujemy $$lim↙{n → ∞} b_n = lim↙{n → ∞} b_n = a_n × lim↙{n → ∞} a_n = 0×0 = 0$$

Obliczmy granicę innego ciągu:
$$p_n = {n^3 - 3n^2 + 2}/{2n^3 + 100n - 10}$$

Jest to bardzo często spotykany typ ciągów.

Ponieważ na razie zarówno mianownik, jak i licznik dążą do nieskończoności i nie da się tego stwierdzić od razu, musimy doprowadzić wzór do postaci, z której będziemy mogli wyodrębnić ciągi, których granice już znamy.

Podzielnmy więc obie strony ułamka przez $$n^3$$ - największą potęgę $$n$$ występującą we wzorze. Otrzymujemy:

$$p_n = {1 - 3{1}/{n} + 2{1}/{n^3} }/{2 + 100{1}/{n^2} + 10{1}/{n^3}}$$

Z tej postaci możemy już powiedzieć, do czego dąży każdy składnik:

1) Granicą $$1$$ i $$2$$ są po prostu $$1$$ i $$2$$.
2) Granicami wszystkich pozostałych ułamków są zera - dla $${1}/{n^2}$$ pokazywaliśmy to w poprzednim przykładzie.

Z twierdzenia o działaniach artytmetycznych na granicach możemy więc powiedzieć, że:

$$lim↙{n → ∞} p_n = lim↙{n → ∞} {1 - 3{1}/{n} + 2{1}/{n^3} }/{2 + 100{1}/{n^2} + 10{1}/{n^3} } = {(lim↙{n → ∞} 1) - (lim↙{n → ∞} 3{1}/{n}) + (lim↙{n → ∞} 2{1}/{n^3})}/{(lim↙{n → ∞} 2) + (lim↙{n → ∞} 100{1}/{n^2}) + lim↙{n → ∞} (10{1}/{n^3})} =$$
$$= {1 - 3×0 + 2×0}/{2 + 100×0 + 10×0} = {1}/{2}$$

Spis treści

Rozwiązane zadania
Uzasadnij, że równanie nie ....

`"a)"\ x^3-5x^2-2x+24=0`

Wielomian ma współczynniki całkowite, wyraz wolny a0≠0, więc skorzystamy z tw. o pierwiastkach całkowitych, aby znaleźć pierwiastek równania.

Wypiszmy dzielniki wyrazu wolnego, czyli 24.

`p={-1,\ 1,-2,\ 2,-3,\ 3,-4,\ 4,-6,\ 6,-8,\ 8,-12,\ 12,-24,\ 24}`

Sparwdzmy, która z liczb jest pierwiastkiem wielomianu w(x)=x3-5x2-2x+24.

`w(1)=1^3-5*1^2-2*1+24=1-5-2+24!=0`

`w(-1)=(-1)^3-5*(-1)^2-2*(-1)+24=-1-5+2+24!=0`

`w(2)=2^3-5*2^2-2*2+24=8-20-4+24!=0`

`w(-2)=(-2)^3-5*(-2)^2-2*(-2)+24=-8-20+4+24=0`

Liczba -2 jest pierwiastkiem welomianu w(x).

Aby znaleźć kolejny pierwiastek wykonujemy dzielenie:

`(x^3-5x^2-2x+24):(x+2)=x^2-7x+12`

`x^3-5x^2-2x+24=(x+2)(x^2-7x+12)`

Szukamy pierwiastka równania kwadratowego:

`x^2-7x+12=0`

`Delta=49-4*1*12=49-48=1`

`sqrtDelta=sqrt1=1`

`x_1=(7-1)/2=3`

`x_2=(7+1)/2=4`

 `x^3-5x^2-2x+24=(x+2)(x-3)(x-4)` 

Równanie możemy więc zapisać w postaci iloczynowej:

`(x+2)(x-3)(x-4)=0`

Wyjściowe równanie ma więc trzy pierwiastki: -2, 3 i 4. Każdy z tych pierwiastków jest jednokrotny.

Równanie nie ma pierwiastków wielokrotnych.

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))`

`"b)"\ 3x^3+x^2-12x-4=0`

Wielomian ma współczynniki całkowite, wyraz wolny a0≠0, więc skorzystamy z tw. o pierwiastkach całkowitych, aby znaleźć pierwiastek równania.

Wypiszmy dzielniki wyrazu wolnego, czyli -4.

`p={-1,\ 1,-2,\ 2,-4,\ 4}`

Sparwdzmy, która z liczb jest pierwiastkiem wielomianu w(x)=3x3+x2-12x-4.

`w(1)=3*1^3+1^2-12*1-4=3+1-12-4!=0`

`w(-1)=3*(-1)^3+(-1)^2-12*(-1)-4=-3+1+12-4!=0`

`w(2)=3*2^3+2^2-12*2-4=24+4-24-4=0`

Liczba 2 jest pierwiastkiem wielomianu w(x).

Aby znaleźć kolejny pierwiastek wykonujemy dzielenie:

`(3x^3+x^2-12x-4):(x-2)=3x^2+7x+2`

`3x^3+x^2-12x-4=(x-2)*(3x^2+7x+2)`

Szukamy pierwiastka równania kwadratowego:

`3x^2+7x+2=0`

`Delta=49-4*3*2=49-24=25`

`sqrtDelta=sqrt25=5`

`x_1=(-7-5)/6=-2`

 

`3x^3+x^2-12x-4=3(x-2)(x+2)(x+1/3)`

Równanie możemy więc zapisać w postaci iloczynowej:

`3(x-2)(x+2)(x+1/3)=0`

Wyjściowe równanie ma więc trzy pierwiastki: -2, -1/3, 2. Każdy z tych pierwiastków jest jednokrotny.

Równanie nie ma pierwiastków wielokrotnych.

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))`

`"c)"\ 2x^3+8x^2+9x+2=0`

Wielomian ma współczynniki całkowite, wyraz wolny a0≠0, więc skorzystamy z tw. o pierwiastkach całkowitych, aby znaleźć pierwiastek równania.

Wypiszmy dzielniki wyrazu wolnego, czyli 2.

`p={-1,\ 1,-2,\ 2}`

Sprawdzmy, która z liczb jest pierwiastkiem wielomianu w(x)=2x3+8x2+9x+2.

`w(1)=2*1^3+8*1^2+9*1+2=2+8+9+2!=0`

`w(-1)=2*(-1)^3+8*(-1)^2+9*(-1)+2=-2+8-9+2!=0`

`w(2)=2*2^3+8*2^2+9*2+2=16+32+18+2!=0`

`w(-2)=2*(-2)^3+8*(-2)^2+9*(-2)+2=-16+32-18+2=0`

Liczba -2 jest pierwiastkiem welomianu w(x).

Aby znaleźć kolejny pierwiastek wykonujemy dzielenie:

`(2x^3+8x^2+9x+2):(x+2)=2x^2+4x+1`

`2x^3+8x^2+9x+2=(x+2)(2x^2+4x+1)`

Szukamy pierwiastka równania kwadratowego:

`2x^2+4x+1=0`

`Delta=16-8=8`

`sqrtDelta=sqrt8=2sqrt2`

`x_1=(-4-2sqrt2)/4=-1-sqrt2/2`

`x_2=(-4+2sqrt2)/4=-1+sqrt2/2`

 `2x^3+8x^2+9x+2=(x+2)(x-x_1)(x-x_2)`    

Równanie możemy więc zapisać w postaci iloczynowej:

`2(x+2)(x-x_1)(x-x_2)=0`

Wyjściowe równanie ma więc trzy pierwiastki: -2, x1, x2. Każdy z tych pierwiastków jest jednokrotny.

Równanie nie ma pierwiastków wielokrotnych.

 

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))`

`"d)"\ x^3+6x^2+8x+15=0`

Wielomian ma współczynniki całkowite, wyraz wolny a0≠0, więc skorzystamy z tw. o pierwiastkach całkowitych, aby znaleźć pierwiastek równania.

Wypiszmy dzielniki wyrazu wolnego, czyli 15.

`p={-1,\ 1,-3,\ 3,-5,\ 5,-15,\ 15}`

Sprawdzmy, która z liczb jest pierwiastkiem wielomianu w(x)=x3+6x2+8x+15.

`w(1)=1^3+6*1^2+8*1+15=1+6+8+15!=0`

`w(-1)=(-1)^3+6*(-1)^2+8*(-1)+15=-1+6-8+15!=0`

`w(3)=3^3+6*3^2+8*3+15=27+54+24+15!=0`

`w(-3)=(-3)^3+6*(-3)^2+8*(-3)+15=-27+54-24+15!=0`

`w(5)=5^3+6*5^2+8*5+15=125+150+40+15!=0`

`w(-5)=(-5)^3+6*(-5)^2+8*(-5)+15=-125+150-40+15=0`

Liczba -5 jest pierwiastkiem wielomianu w(x).

Aby znaleźć kolejny pierwiastek wykonujemy dzielenie:

`(x^3+6x^2+8x+15):(x+5)=x^2+x+3`

`x^3+6x^2+8x+15=(x+5)(x^2+x+3)`

Szukamy pierwiastka równania kwadratowego:

`x^2+x+3=0`

`Delta=1-12< 0`

Równanie kwadratowe nie ma pierwiastków.

Wyjściowe równanie możemy więc zapisać w postaci iloczynowej:

`(x+5)(x^2+x+3)=0`

Wyjściowe równanie ma jeden pierwiasteki -5.Pierwiastek ten jest jednokrotny.

Równanie nie ma więc pierwiastków wielokrotnych.

Pierwiastkiem wielomianu w(x) = ...

Liczba a jest pierwiastkiem wielomian w(x), jeżeli w(a)=0.

`w(x)=x^3-(4+2sqrt3)x`

 

Sprawdzamy odpowiedź A:

`w(-sqrt3)=(-sqrt3)^3-(4+2sqrt3)(-sqrt3)=-3sqrt3-(-4sqrt3-6)=`

`=-3sqrt3+4sqrt3+6=sqrt3+6!=0`

 

Sprawdzamy odpowiedź B:

`w(sqrt3)=(sqrt3)^3-(4+2sqrt3)sqrt3=3sqrt3-4sqrt3-6=-sqrt3-6!=0`

 

Sprawdzamy odpowiedź C:

`w(1-sqrt3)=(1-sqrt3)^3-(4+2sqrt3)(1-sqrt3)=1-3sqrt3+9-3sqrt3-(4-4sqrt3+2sqrt3-6)=`

`=10-6sqrt3-(-2-2sqrt3)=10-6sqrt3+2+2sqrt3=12-4sqrt3!=0`

 

Sprawdzamy odpowiedź D:

`w(1+sqrt3)=(1+sqrt3)^3-(4+2sqrt3)(1+sqrt3)=1+3sqrt3+9+3sqrt3-(4+4sqrt3+2sqrt3+6)=`

`=10+6sqrt3-(10+6sqrt3)=10+6sqrt3-10-2sqrt3=0`

 

Odp: Prawidłowa odpowiedź to odpowiedź D. 

Wykres funkcji f

`a)` 

Wykres funkcji f otrzymano przesuwając wykres funkcji y=x2 o 2 jednostki w prawo wzdłuż osi OX oraz o 2 jednostki w dół wzdłuż osi OY. 

`f(x)=(x-2)^2-2` 

 `vecu=[2;\ -2]` 

 

 

`b)` 

Wykres funkcji f otrzymano przesuwając wykres funkcji y=x2 o 1 jednostkę w prawo wzdłuż osi OX oraz o 2 jednostki w górę wzdłuż osi OY. 

`f(x)=(x-1)^2+2` 

 `vecu=[1;\ 2]` 

 

 

 

`c)` 

Wykres funkcji f otrzymano przesuwając wykres funkcji y=x2 o 2 jednostki w lewo wzdłuż osi OX oraz o 1 jednostkę w dół wzdłuż osi OY. 

`f(x)=(x+2)^2-1` 

`vecu=[-2;\ -1]` 

Wielomian p(x)=3x^2-2x-6 otrzymujemy

`w(x)=p(x)*q(x)=(3x^2-2x-6)(x+3)=`

` \ \ \ \ \ \ \ =3x^3-2x^2-6x+9x^2-6x-18=`

`\ \ \ \ \ \ \ =3x^3+7x^2-12x-18\ \ \ \ odp.\ C`

Wyznacz brakujące długości odcinków.

a) Z twierdzenia o siecznych:

`3*x =4*6` 

`3x = 24` 

`x = 8` 

 

b) Z twierdzenia o siecznych:

`2*5 = x*(2x+1)` 

`10 = 2x^2 + x` 

`2x^2+ x - 10=0` 

`2x^2 -4x + 5x - 10=0` 

`2x(x-2)+5(x-2)=0` 

`(x-2)(2x+5) =0` 

`x = 2 \ \ vv \ \ x = -5/2` 

x musi być dodatni gdyż jest odległością, a więc rozwiązaniem jest:

`x=2` 

 

c) Z twierdzenia o siecznych:

`4*(x+4) = (x+1)*(3+x+1)` 

`4(x+4) = (x+1)(x+4)` 

`4x + 16 = x^2 + 4x + x + 4` 

`16 = x^2 + x + 4` 

`x^2 + x -12=0` 

`x^2 - 3x + 4x-12=0` 

`x(x-3)+4(x-3)=0` 

`(x-3)(x+4)=0` 

`x= 3 \ \ vv \ \ x= -4` 

x musi być dodatni gdyż jest odległością, a więc rozwiązaniem jest:

`x = 3`  

Przeczytaj podany w ramce przykład

`a)`

`w(x)=x^4+2x^2+4=(x^2+2)^2-4x^2+2x^2=(x^2+2)^2-2x^2=(x^2+2+sqrt2x)(x^2+2-sqrt2x)=#((x^2+sqrt2x+2))^(Delta=2-8<0)#((x^2-sqrt2x+2))^(Delta=2-8<0)`

 

 

`b)`

`w(x)=x^4-3x^2+9=(x^2+3)^2-6x^2-3x^2=(x^2+3)^2-9x^2=(x^2+3-3x)(x^2+3+3x)=#((x^2-3x+3))^(Delta=9-12<0)#((x^2+3x+3))^(Delta=9-12<0)`

 

 

`c)`

`w(x)=4x^5+x^3+x=x(4x^4+x^2+1)=x((2x^2+1)^2-4x^2+x^2)=x((2x^2+1)^2-3x^2)=x(#((2x^2-sqrt3x+1))^(Delta=3-8<0)#((2x^2+sqrt3x+1))^(Delta=3-8<0))`

 

W trójkącie ABC dane są...

Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku poniżej:

Mamy dane:

`gamma=75^@` 

`beta=45^@` 

`b=2` 

Obliczamy sinus kąta `gamma:` 

`singamma=sin75^@=sin(30^@+45^@)=sin30^@cos45^@+sin45^@cos30^@=1/2*sqrt2/2+sqrt2/2*sqrt3/2=(sqrt2+sqrt6)/4`    

Obliczamy długość boku `c,` korzystając z twierdzenia sinusów:

`c/singamma=b/sinbeta\ "/"*singamma`     

`c=(bsingamma)/sinbeta` 

`c=(2*(sqrt2+sqrt6)/4)/(sqrt2/2)=(sqrt2+sqrt6)/2*2/sqrt2=(sqrt2+sqrt6)/sqrt2=1+sqrt3` 

Prawidłowa odpowiedź to `"C."` 

a) Oblicz pole rombu o boku 12 i kącie ostrym

a)

Romb to również równoległobok, zatem możemy korzystać ze wzoru:

`P=ab sin alpha`

Romb ma boki o równej długości, zatem dla tej figury przekształcamy ten wzór na:

`P=a*a sin alpha=a^2sin alpha`

Wstawiamy dane:

`P=12^2sin60^o=144*sqrt3/2=ul(ul(72sqrt3))`

Zauważamy, że średnica tego okręgu jest jednocześnie wysokością rombu opisanego na tym okręgu. Obliczamy więc wysokość rombu, korzystając ze wzoru:

`P=a*h`

`72sqrt3=12*h`         `/:12`

`h=6sqrt3`

`h=d=2r`

`2r=6sqrt3`       `/:2`

`r=ul(ul(3sqrt3))`

b)

`O=24cm`

Obliczamy długość jednego boku:

`4a=24 cm`     `/:4`

`a=6 cm`

Korzystamy z wzoru na pole:

`P=a^2sin alpha`

`18cm^2=(6cm)^2sin alpha`

`18cm^2=36cm^2sin alpha`             `/:36 cm^2`

`sinalpha=1/2`

Zastanawiamy się, dla jakiego kąta funkcja sinus przyjmuje wartość 1/2.

`alpha=ul(ul(30^o))`

Kąt ostry tego rombu ma miarę 30o.

c)

Obliczmy najpierw pole tego rombu ze wzoru:

`P=1/2d_1*d_2`

`P=1/2*12cm*16cm=96 cm^2`

Obliczmy teraz z twierdzenia Pitagorasa długość boku tego rombu:

`(6cm)^2+(8cm)^2=a^2`

`36cm^2+64cm^2=a^2`

`a^2=100cm^2`            `/sqrt`

`a=10cm`

 

Teraz obliczamy sinus kąta ostrego podstawiając dane do wzoru:

`P=a^2sinalpha`

`96cm^2=(10cm)^2sinalpha`

`96cm^2=100cm^2*sinalpha`      `/:100cm^2`

`sinalpha=ul(ul(0,96))`

Przedstaw wzór funkcji w postaci iloczynowej

`a)\ f(x)=-4/3x^2+1/3=1/3(-4x^2+1)=1/3(1-4x^2)=1/3(1^2-(2x)^2)=1/3(1-2x)(1+2x)=`

 `\ \ \ \ =1/3*(-2)(-1/2+x)*2(1/2+x)=-4/3(x-1/2)(x+1/2)` 

`b)\ f(x)=2/5x^2-1 3/5x=2/5x^2-8/5x=2/5x(x-4)`

 

`c)\ f(x)=-1/2x^2-3x-4 1/2=-1/2x^2-6/2x-9/2=-1/2(x^2+6x+9)=-1/2(x+3)^2`

 

`d)\ f(x)=5/9x^2+1`

`\ \ \ Delta=0^2-4*5/9*1<0\ \ \ =>\ \ \ "brak postaci iloczynowej"`

 

`e)\ f(x)=-sqrt2x^2-2x=-sqrt2x^2-sqrt2*sqrt2x=-sqrt2x(x+sqrt2)`

 

`f)\ f(x)=2/3x^2-54=2/3x^2-2/3*3/2*54=2/3x^2-2/3*81=2/3(x^2-81)=2/3(x-9)(x+9)`

 

 

Powyższe rozwiązania są "sprytne" - wykorzystują wzory skróconego mnożenia.

Można także rozłożyć na postać iloczynową w standardowy sposób - obliczając deltę i wyliczając miejsca zerowe.

      

Rozwiąż równanie

`a)` 

`x^3+3x^2-9x-27=0` 

`x^2(x+3)-9(x+3)=0` 

`(x+3)(x^2-9)=0` 

`(x+3)(x^2-3^2)=0` 

`(x+3)(x-3)(x+3)=0` 

`(x+3)^2(x-3)=0` 

`x+3=0\ \ \ |-3\ \ \ "lub"\ \ \ x-3=0\ \ \ |+3` 

`x=-3\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ "lub"\ \ \ x=3` 

 

 

 

`b)` 

`x^3-5x^2-2x+10=0` 

`x^2(x-5)-2(x-5)=0` 

`(x-5)(x^2-2)=0` 

`(x-5)(x^2-sqrt2^2)=0` 

`(x-5)(x-sqrt2)(x+sqrt2)=0` 

`x-5=0\ \ \ |+5\ \ \ \ "lub"\ \ \ \ x-sqrt2=0\ \ \ \|+sqrt2\ \ \ \ "lub"\ \ \ \ x+sqrt2=0\ \ \ |-sqrt2` 

`x=5\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ "lub"\ \ \ \ x=sqrt2\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ "lub"\ \ \ x=-sqrt2` 

 

 

 

`c)` 

`2x^3+8x=5x^2+20\ \ \ \ |-5x^2-20` 

`2x^3+8x-5x^2-20=0` 

`2x(x^2+4)-5(x^2+4)=0` 

`(x^2+4)(2x-5)=0` 

`x^2+4=0\ \ \ |-4\ \ \ "lub"\ \ \ 2x-5=0\ \ \ |+5` 

`x^2=-4\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ "lub"\ \ \ 2x=5` 

Kwadrat dowolnej liczby jest zawsze nieujemny, nie może więc być równy -4. Stąd równanie ma tylko jedno rozwiązanie. 

`2x=5\ \ \ |:2`    

`x=5/2` 

 

 

 

`d)` 

`6x^3+2x^2=3x+1\ \ \ \ |-3x-1` 

`6x^3+2x^2-3x-1=0` 

`2x^2(3x+1)-(3x+1)=0` 

`(3x+1)(2x^2-1)=0` 

`(3x+1)((sqrt2x)^2-1^2)=0` 

`(3x+1)(sqrt2x-1)(sqrt2x+1)=0` 

`3x+1=0\ \ \ |-1\ \ \ \ "lub"\ \ \ \ sqrt2x-1=0\ \ \ |+1\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ "lub"\ \ \ \ sqrt2x+1=0\ \ \ |-1`  

`3x=-1\ \ \ |:3\ \ \ \ \ \ \ \ "lub"\ \ \ \ sqrt2x=1\ \ \ |:sqrt2\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ "lub"\ \ \ \ sqrt2x=-1\ \ \ |:sqrt2`  

`x=-1/3\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ "lub"\ \ \ \ x=-1/sqrt2=(sqrt2)/(sqrt2*sqrt2)=sqrt2/2\ \ \ "lub"\ \ \ \ x=-sqrt2/2`       

 

 

`e)` 

`x^5+x^2=8x^3+8\ \ \ \ |-8x^3-8` 

`x^5+x^2-8x^3-8=0` 

`x^2(x^3+1)-8(x^3+1)=0` 

`(x^3+1)(x^2-8)=0` 

`(x+1)(x^2-x+1)(x^2-sqrt8^2)=0` 

`(x+1)(x^2-x+1)(x^2-(sqrt4*sqrt2)^2)=0`  

`(x+1)(x^2-x+1)(x^2-(2sqrt2)^2)=0` 

`(x+1)#(#underbrace((x^2-x+1))_(Delta=(-1)^2-4*1*1=))_(=1-4<0)(x-2sqrt2)(x+2sqrt2)=0` 

Czynnik kwadratowy ma ujemną deltę, więc nie daje rozwiązania. 

`x+1=0\ \ \ |-1\ \ \ \ "lub"\ \ \ \ x-2sqrt2=0\ \ \ |+2sqrt2\ \ \ \ "lub"\ \ \ \ x+2sqrt2=0\ \ \ |-2sqrt2` 

`x=-1\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ "lub"\ \ \ \ x=2sqrt2\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ "lub"\ \ \ \ x=-2sqrt2` 

 

 

 

 

`f)` 

`2x^4+x^3=1/4x+1/8\ \ \ \ |-1/4x-1/8` 

`2x^4+x^3-1/4x-1/8=0` 

`x^3(2x+1)-8(2x+1)=0` 

`(2x+1)(x^3-8)=0` 

`(2x+1)(x^3-2^3)=0` 

`(2x+1)(x-3)#(#underbrace((x^2+2x+4))_(Delta=2^2-4*1*4=))_(=4-16<0)=0` 

Czynnik kwadratowy ma ujemną deltę, więc nie daje rozwiązania. 

`2x+1=0\ \ \ |-1\ \ \ "lub"\ \ \ x-3=0\ \ \ |+3` 

`2x=-1\ \ \ |:2\ \ \ \ \ \ "lub"\ \ \ x=3` 

`x=-1/2\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ "lub"\ \ \ x=3`