Granica ciągu - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Obliczanie granic ciągów

W niniejszej sekcji zajmiemy się obliczaniem granic ciągów korzystając z twierdzeń o granicach ciągów i granic znanych nam ze wcześniejszych lekcji.

Krótkie przypomnienie:

Fakt 1: granica ciągu w nieskończoności $$a_n = {1}/{n}$$ to $$0$$.

Fakt 2: Twierdzenie o granicach ciągów mówi, że jeśli mamy trzy ciągi: na przykład $$(a_n)$$, $$(b_n)$$ i $$(c_n)$$ i $$c_n= a_n + b_n$$, a $$lim↙{ → ∞} a_n = A$$ i $$lim↙{n → ∞} b_n = B$$, to $$lim↙{n → ∞} c_n = A+B$$. Oczywiście nie musi być tam dodawania: równie dobrze może być odejmowanie, mnożenie lub dzielenie.

To niepozorne i w miarę logiczne twierdzenie (skoro dodajemy każde dwa wyrazy dwóch ciągów i tworzymy z tych sum trzeci ciąg, a poprzednie zbiegały do jakichśtam granic, to ten będący sumą zbiega do granicy będącej sumą tamtych), to bardzo przydaje się w normalnych zastosowaniach: nie trzeba wtedy liczyć wszystkiego z definicji, a wystarczy po prostu skorzystać z granic znanych ciągów.

Inaczej mówiąc: jeśli mamy ciąg, którego wyrazy możemy w prosty sposób otrzymać z wyrazów znanych nam już ciągów (dodając je, mnożąc itp), to możemy próbować obliczyć granicę nowego ciągu korzystając jedynie z granic tamtych.

Dla przykładu obliczmy granicę w nieskończoności ciągu

$$b_n = {1}/{n^2}$$.

Zauważmy, że $$b_n = {1}/{n^2} = {1}/{n} × {1}/{n}$$. Skoro $$lim↙{n → ∞} b_n = a_n×a_n$$, to korzystając z twierdzenia o granicach ciągów otrzymujemy $$lim↙{n → ∞} b_n = lim↙{n → ∞} b_n = a_n × lim↙{n → ∞} a_n = 0×0 = 0$$

Obliczmy granicę innego ciągu:
$$p_n = {n^3 - 3n^2 + 2}/{2n^3 + 100n - 10}$$

Jest to bardzo często spotykany typ ciągów.

Ponieważ na razie zarówno mianownik, jak i licznik dążą do nieskończoności i nie da się tego stwierdzić od razu, musimy doprowadzić wzór do postaci, z której będziemy mogli wyodrębnić ciągi, których granice już znamy.

Podzielnmy więc obie strony ułamka przez $$n^3$$ - największą potęgę $$n$$ występującą we wzorze. Otrzymujemy:

$$p_n = {1 - 3{1}/{n} + 2{1}/{n^3} }/{2 + 100{1}/{n^2} + 10{1}/{n^3}}$$

Z tej postaci możemy już powiedzieć, do czego dąży każdy składnik:

1) Granicą $$1$$ i $$2$$ są po prostu $$1$$ i $$2$$.
2) Granicami wszystkich pozostałych ułamków są zera - dla $${1}/{n^2}$$ pokazywaliśmy to w poprzednim przykładzie.

Z twierdzenia o działaniach artytmetycznych na granicach możemy więc powiedzieć, że:

$$lim↙{n → ∞} p_n = lim↙{n → ∞} {1 - 3{1}/{n} + 2{1}/{n^3} }/{2 + 100{1}/{n^2} + 10{1}/{n^3} } = {(lim↙{n → ∞} 1) - (lim↙{n → ∞} 3{1}/{n}) + (lim↙{n → ∞} 2{1}/{n^3})}/{(lim↙{n → ∞} 2) + (lim↙{n → ∞} 100{1}/{n^2}) + lim↙{n → ∞} (10{1}/{n^3})} =$$
$$= {1 - 3×0 + 2×0}/{2 + 100×0 + 10×0} = {1}/{2}$$

Spis treści

Rozwiązane zadania
Dana jest funkcja f(x) =5x-2...

Rozpatrzmy ciąg:

`a_n = 5n - 2` 

 

Zauważmy, że wartości ciągu an zawierają się w wartościach funkcji f.

`a_n sub f` 

 

A więc:

`a_2 = f(2)` 

`a_5 = f(5)`  

...

`a_29 = f(29)` 

 

`a_2 = 8` 

`a_29 = 143` 

 

Ciąg (an) jest ciągiem arytmetycznym zatem sumę obliczymy z:

`S = (a_2+a_29)/2*10 = (8+143)*5 = 151*5=755` 

 

A więc:

`a_2+a_5+a_8+...+a_29 = f(2) + f(5) + f(8) + . .  + f(29) = 755`  

Rozwiąż równanie

`a)`

`x^3-5x-4=0`

`x^3-x-4x-4=0`

`x(x^2-1)-4(x+1)=0`

`x(x-1)(x+1)-4(x+1)=0`

`(x+1)[x(x-1)-4]=0`

`(x+1)(x^2-x-4)=0`

`x=-1\ \ \ vee\ \ \ x^2-x-4=0`

`\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ Delta=(-1)^2-4*1*(-4)=1+16=17`

`\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x=(1-sqrt17)/2\ \ \ vee\ \ \ x=(1+sqrt17)/2`

 

 

 

 

`b)`

`x^3-3x+2=0`

`x^3-x-2x+2=0`

`x(x^2-1)-2(x-1)=0`

`x(x+1)(x-1)-2(x-1)=0`

`(x-1)[x(x+1)-2]=0`

`(x-1)(x^2+x-2)=0`

`x=1\ \ \ vee\ \ \ x^2+x-2=0`

`\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ Delta=1^2-4*1*(-2)=1+8=9`

`\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ sqrtDelta=3`

`\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x=(-1-3)/2=-2\ \ \ vee\ \ \ x=(-1+3)/2=1`

 

 

 

`c)`

`x^4-7x^2+6x=0`

`x^4-x^2-6x^2+6x=0`

`x^2(x^2-1)-6x(x-1)=0`

`x^2(x-1)(x+1)-6x(x-1)=0`

`(x-1)[(x^2(x+1)-6x]=0`

`(x-1)(x^3+x^2-6x)=0`

`(x-1)(x^2+x-6)x=0`

`x=1\ \ \ vee\ \ \ x=0\ \ \ vee\ \ \ x^2+x-6=0`

`\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ Delta=1^2-4*1*(-6)=1+24=25`

`\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ sqrtDelta=5`

`\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x=(-1-5)/2=-3\ \ \ vee\ \ \ x=(-1+5)/2=2`

 

 

Zbadaj monotoniczność ciągu o wyrazie...

`a_1 = 1` 

`a_2 = (3*2-2)/(3-2*2) = (6-2)/(3-4) = 4/(-1) = -4` 

`a_3 = (3*3-2)/(3-2*3) = (9-2)/(3-6) = 7/(-3) = -7/3` 

`a_4 = (3*4-2)/(3-2*4) = (12-2)/(3-8) = 10/(-5)  = -2` 

 

`a_(n+1) = (3(n+1)-2)/(3-2(n+1)) = (3n+3-2)/(3-2n-2) = (3n+1)/(1-2n)` 

 

`a_(n+1) - a_n = (3n+1)/(1-2n) - (3n-2)/(3-2n) = ((3n+1)(3-2n))/((1-2n)(3-2n)) - ((3n-2)(1-2n))/((3-2n)(1-2n))` 

`=(9n -6n^2 + 3 - 2n -(3n-6n^2-2+4n))/((3-2n)(1-2n))` 

`=(9n-6n^2+3-2n -(-6n^2+7n-2))/((3-2n)(1-2n))` 

`=(-6n^2 +7n + 3 +6n^2 -7n + 2)/((3-2n)(1-2n))` 

`=5/((3-2n)(1-2n))` 

 

Zauważmy, że dla każdego n większego od 1 mianownik jest stale dodatni zatem ciąg jest rosnący.

Oblicz wartości funkcji trygonometrycznych ...

`a)` 

`|AB|=3` 

`|AC|=2` 

Z twierdzenia Pitagorasa:

`|CB|^2=3^2+2^2=13` 

`|CB|=sqrt13` 

 

`sinalpha=cosbeta=3/sqrt13=(3sqrt13)/13` 

`sinbeta=cosalpha=2/sqrt13=(2sqrt13)/13` 

`tg\ alpha=ctg\ beta=3/2` 

`ctg\ alpha=tg\ beta=2/3` 

 

`b)` 

`|AB|=6` 

`|BC|=4` 

Z twierdzenia Pitagorasa:

`|AC|^2=6^2+4^2=36+16=52`  

`|AC|=sqrt52=2sqrt13`  

 

`sinalpha=cosbeta=4/(2sqrt13)=(2sqrt13)/13` 

`sinbeta=cosalpha=6/(2sqrt13)=(3sqrt13)/13` 

`tg\ alpha=ctg\ beta=4/6=2/3`   

`ctg\ alpha=tg\ beta=6/4=3/2`   

 

`c)` 

`|AC|=|-6|+6=12` 

`|CB|=|-4|+1\=5` 

Z twierdzenia Pitagorasa:

`|AB|^2=12^2+5^2=169`  

`|AB|=13`   

 

`sinalpha=cosbeta=5/13` 

`sinbeta=cosalpha=12/13`  

`tg\ alpha=ctg\ beta=5/12`   

 

`ctg\ alpha=tg\ beta=12/5`    

 

`d)` 

  

Aby wyznaczyć długości boków trójkąta posłużymy się pomocniczymi odcinkami x, y, z, e, f i g. 

`x=6` 

`y=3` 

`z=5` 

`e=10` 

`f=4` 

`g=8` 

 

Z twierdzenia Pitagorasa:

`|AC|^2=x^2+y^2=36+9=45=3sqrt5` 

`|AC|=3sqrt5` 

 

`|AB|^2=z^2+e^2=100+25=125` 

`|AB|=5sqrt5` 

 

`|CB|^2=g^2+f^2=64+16=80` 

`|CB|=4sqrt5`   

`"Czy trójkąt ABC jest prostokątny?"` 

`|AB|^2 stackrel?=|CB|^2+|AC|^2` 

`(5sqrt5)^2stackrel? =(4sqrt5)^2+(3sqrt5)^2`     

`125 stackrel?=80+45`  

`125=125` 

`"Trójkąt ABC jest prostokątny."` 

 

`sinalpha=cosbeta=|CB|/|AB|=(4sqrt5)/(5sqrt5)=4/5`  

`sinbeta=cosalpha=|AC|/|AB|=(3sqrt5)/(5sqrt5)=3/5`   

`tg\ alpha=ctg\ beta=|CB|/|CA|=(4sqrt5)/(3sqrt5)=4/3`    

 

`ctg\ alpha=tg\ beta=|CA|/|CB|=(3sqrt5)/(4sqrt5)=3/4`      

Wykresy funkcji f i g przecinają się ...

`a)` 

`f(x)=x+1` 

`g(x)=x^2+1` 

`f(x)=g(x)` 

`x^2+1=x+1` 

`x(x-1)=0` 

`x_1=0` 

`x_2=1` 

`y_1=f(x_1)=1` 

`y_2=f(x_2)=2`   

 

`P_1=(0;1)` 

`P_2=(1;2)` 

`vec(P_1P_2)=[1-0;2-1]=[1;1]` 

 

`b)` 

`f(x)=-2x+3` 

`g(x)=x^2` 

`f(x)=g(x)` 

`-2x+3=x^2` 

`x^2+2x-3=0` 

`Delta=4+12=16` 

`sqrtDelta=4` 

`x_1=(-2-4)/2=-3` 

`x_2=(-2+4)/2=1` 

`y_1=g(x_1)=9` 

`y_2=g(x_2)=1` 

`P_1=(-3;9)` 

`P_2=(1;1)` 

`vec(P_1P_2)=[1+3;1-9]=[4;-8]` 

 

`c)` 

`f(x)=x+1` 

`g(x)=-2x^2+3` 

`f(x)=g(x)` 

`x+1=-2x^2+3` 

`2x^2+x-2=0` 

`Delta=1+16=17` 

`sqrtDelta=sqrt17` 

`x_1=(-1-sqrt17)/4` 

`x_2=(-1+sqrt17)/4` 

`y_1=f(x_1)=(-1-sqrt17)/4-4/4=(-5-sqrt17)/4` 

`y_2=f(x_2)=(-5+sqrt17)/4` 

`P_1=((-1-sqrt17)/4;(-5-sqrt17)/4)` 

`P_2=((-1+sqrt17)/4;(-5+sqrt17)/4)` 

`vec(P_1P_2)=[(-1+sqrt17)/4-(-1-sqrt17)/4;(-5+sqrt17)/4-(-5-sqrt17)/4]=` 

`=[sqrt17/2;sqrt17/2]`     

Oblicz granicę ciągu ...

`a)` 

`a_n=(2n^2+1)/(n-8)` 

 

`lim_(n->oo)(2n^2+1)/(n-8)= lim_(n->oo)(2n+1/n )/(1-8/n)=oo/1=oo`    

` `

`b)` 

`a_n=(n^3-1)/(2-n^2)` 

`lim_(n->oo)(n^3-1)/(2-n^2)= lim_(n->oo)(n-1/n^2)/(2/n^2-1)=oo/(-1)=-oo`   

 

`c)` 

`a_n=(n^4+2n-5)/(n^2-n+3)` 

`lim_(n->oo)(n^4+2n-5)/(n^2-n+3)= lim_(n->oo)(n^2+2/n-5/n^2)/(1-1/n+3/n^2)=oo/1=oo`  

 

`d)` 

`a_n=((2n+3)(3n-1)(4n+3))/((n-1)(1-n))`  

`lim_(n->oo)((2n+3)(3n-1)(4n+3))/((n-1)(1-n))= lim_(n->oo)((2+3/n)(3-1/n)(4n+3))/((1-1/n)(1/n-1))=(6*oo)/(1*(-1))=-oo`    

Przez punkty (-1, 2) i (7,4) przechodzi...

Podpunkt A:

`(-1+1)(2-2)=(-1-7)(2-4)` 

`0 = -8*(-2)` 

Sprzeczność, punkt (-1, 2) nie należy prostej.

 

Podpunkt B:

`-1-4*2 + 9 =0` 

`-1-8+9=0` 

`-9+9=0` 

`0=0` 

 

`7-4*4+9=0` 

`7-16+9=0` 

`-9+9=0` 

`0=0` 

Oba punkty należą do prostej.

Odpowiedź B

Wyznacz trzeci, czwarty...

a)

`a_n=-3n+7` 

 

`a_3=-3*3+7` 

`a_3=-2` 

 

`a_4=-3*4+7` 

`a_4=-5` 

 

`a_8=-3*8+7` 

`a_8=-17` 

 

`a_(2k-3)=-3*(2k-3)+7` 

`a_(2k-3)=-6k+9+7` 

`a_(2k-3)=-6k+16` 


b)

`b_n=(-1)^(n+1)` 

 

`b_3=(-1)^4` 

`b_3=1` 

 

`b_4=(-1)^5` 

`b_4=-1` 

 

`b_8=(-1)^9` 

`b_8=-1` 

 

`b_(2k-3)=(-1)^(2k-3+1)` 

`b_(2k-3)=(-1)^(2k-2)`  


c)

`c_n=(3n-1)/(n^2+1)` 

 

`c_3=(3*3-1)/(3^2+1)` 

`c_3=8/10` 

`c_3=4/5` 

 

`c_4=(3*4-1)/(4^2+1)` 

`c_4=11/17`  

 

`c_8=(3*8-1)/(8^2+1)` 

`c_8=23/65` 

 

`c_(2k-3)=(3*(2k-3)-1)/((2k-3)^2+1)` 

`c_(2k-3)=(6k-9-1)/(4k^2-12k+9+1)` 

`c_(2k-3)=(6k-10)/(4k^2-12k+10)` 


d)

`d_n=2sqrtn-3` 

 

`d_3=2sqrt3-3` 

 

`d_4=2sqrt4-3` 

`d_4=2*2-3` 

`d_4=1` 

 

`d_8=2sqrt8-3` 

`d_8=2*2sqrt2-3` 

`d_8=4sqrt2-3` 

 

`d_(2k-3)=2sqrt(2k-3)-3` 


e)

`e_n=(n^2-4)/(4n+8)` 

 

`e_3=(3^2-4)/(4*3+8)` 

`e_3=5/20` 

`e_3=1/4` 

 

`e_4=(4^2-4)/(4*4+8)` 

`e_4=12/24` 

`e_4=1/2` 

 

`e_8=(8^2-4)/(4*8+8)` 

`e_8=60/40` 

`e_8=3/2` 

 

`e_(2k-3)=((2k-3)^2-4)/(4*(2k-3)+8)`  

`e_(2k-3)=(4k^2-12k+9-4)/(8k-12+8)` 

`e_(2k-3)=(4k^2-12k+5)/(8k-4)` 


f)

`f_n=(-1)^n*2^(n-4)` 

 

`f_3=(-1)^3*2^(3-4)` 

`f_3=-1*2^(-1)` 

`f_3=-1/2`  

 

`f_4=(-1)^4*2^(4-4)` 

`f_4=1*2^0` 

`f_4=1` 

 

`f_8=(-1)^8*2^(8-4)` 

`f_8=1*2^4` 

`f_8=16` 

 

`f_(2k-3)=(-1)^(2k-3)*2^(2k-3-4)` 

`f_(2k-3)=(-1)^(2k-3)*2^(2k-7)` 

Naszkicuj wykres f(x)=|x|-1 ...

`g(x)<=0` 

`"Zauważmy, że 0 jest najmniejszą wartością funkcji f."` 

`"Funkcja osiąga wartość zero dla x=0."` 

`ul(x=0)` 

 

`h(x)<0` 

`h(x)=f(x)-4=|x|-5` 

`"Obliczmy miejsca zerowe tej funkcji:"` 

`|x|-5=0` 

`|x|=5` 

`x=5\ \ \vee\ \ \x=-5` 

`x_1=5` 

`x_2=-5` 

 

`"Odczytajmy z rysunku przedział w którym h(x) jest mniejsze od zera.:"` 

`ul( x in (-5,5))`    

Wyznacz podstawę logarytmu, jeśli:

`a) \ log_x 81 = 2` 

Założenia:

`x > 0 \ \ ^^ \ \ x ne 1`  

Z definicji logarytmu:

`x^2 = 81`  

`x^2 = 9^2` 

`x = 9` 

 

`b) \ log_x 10000 = 4` 

Założenia:

`x > 0 \ \ ^^ \ \ x ne 1`  

`x^4 = 10000` 

`x^4 = 10^4` 

`x = 10` 

 

`c) \ log_x 625 = 2` 

Założenia:

`x>0 \ \ ^^ \ \ x ne 1` 

`x^2 = 625` 

`x^2 = 25^2` 

`x = 25` 

 

`d) \ log_x 8 = -2` 

Założenia:

`x > 0 \ \ ^^ \ \ x ne 1` 

`x^(-2) = 8` 

`x^(-2) = (2sqrt2)^2` 

 `x^(-2) = (1/(2sqrt2))^(-2)`  

`x = 1/(2sqrt2)`