Zgoda na przetwarzanie danych osobowych

25 maja 2018 roku zacznie obowiązywać Rozporządzenie Parlamentu Europejskiego i Rady (UE) 2016/679 z dnia 27 kwietnia 2016 r. znane jako RODO.

Dlatego aby dalej móc dostarczać Ci materiały odpowiednie do Twojego etapu edukacji, potrzebujemy zgody na lepsze dopasowanie treści do Twojego zachowania. Dzięki temu możemy zapamiętywać jakie materiały są Ci potrzebne. Dbamy o Twoją prywatność, więc nie zwiększamy zakresu naszych uprawnień. Twoje dane są u nas bezpieczne, a zgodę na ich zbieranie możesz wycofać na podstronie polityka prywatności.

Klikając "Przejdź do Odrabiamy", zgadzasz się na wskazane powyżej działania. W przeciwnym wypadku, nie jesteśmy w stanie zrealizować usługi kompleksowo i prosimy o opuszczenie strony.

Polityka prywatności

Drogi Użytkowniku w każdej chwili masz prawo cofnąć zgodę na przetwarzanie Twoich danych osobowych. Cofnięcie zgody nie będzie wpływać na zgodność z prawem przetwarzania, którego dokonano na podstawie wyrażonej przez Ciebie zgody przed jej wycofaniem. Po cofnięciu zgody wszystkie twoje dane zostaną usunięte z serwisu. Udzielenie zgody możesz modyfikować w zakładce 'Informacja o danych osobowych'

Granica ciągu - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Obliczanie granic ciągów

W niniejszej sekcji zajmiemy się obliczaniem granic ciągów korzystając z twierdzeń o granicach ciągów i granic znanych nam ze wcześniejszych lekcji.

Krótkie przypomnienie:

Fakt 1: granica ciągu w nieskończoności $$a_n = {1}/{n}$$ to $$0$$.

Fakt 2: Twierdzenie o granicach ciągów mówi, że jeśli mamy trzy ciągi: na przykład $$(a_n)$$, $$(b_n)$$ i $$(c_n)$$ i $$c_n= a_n + b_n$$, a $$lim↙{ → ∞} a_n = A$$ i $$lim↙{n → ∞} b_n = B$$, to $$lim↙{n → ∞} c_n = A+B$$. Oczywiście nie musi być tam dodawania: równie dobrze może być odejmowanie, mnożenie lub dzielenie.

To niepozorne i w miarę logiczne twierdzenie (skoro dodajemy każde dwa wyrazy dwóch ciągów i tworzymy z tych sum trzeci ciąg, a poprzednie zbiegały do jakichśtam granic, to ten będący sumą zbiega do granicy będącej sumą tamtych), to bardzo przydaje się w normalnych zastosowaniach: nie trzeba wtedy liczyć wszystkiego z definicji, a wystarczy po prostu skorzystać z granic znanych ciągów.

Inaczej mówiąc: jeśli mamy ciąg, którego wyrazy możemy w prosty sposób otrzymać z wyrazów znanych nam już ciągów (dodając je, mnożąc itp), to możemy próbować obliczyć granicę nowego ciągu korzystając jedynie z granic tamtych.

Dla przykładu obliczmy granicę w nieskończoności ciągu

$$b_n = {1}/{n^2}$$.

Zauważmy, że $$b_n = {1}/{n^2} = {1}/{n} × {1}/{n}$$. Skoro $$lim↙{n → ∞} b_n = a_n×a_n$$, to korzystając z twierdzenia o granicach ciągów otrzymujemy $$lim↙{n → ∞} b_n = lim↙{n → ∞} b_n = a_n × lim↙{n → ∞} a_n = 0×0 = 0$$

Obliczmy granicę innego ciągu:
$$p_n = {n^3 - 3n^2 + 2}/{2n^3 + 100n - 10}$$

Jest to bardzo często spotykany typ ciągów.

Ponieważ na razie zarówno mianownik, jak i licznik dążą do nieskończoności i nie da się tego stwierdzić od razu, musimy doprowadzić wzór do postaci, z której będziemy mogli wyodrębnić ciągi, których granice już znamy.

Podzielnmy więc obie strony ułamka przez $$n^3$$ - największą potęgę $$n$$ występującą we wzorze. Otrzymujemy:

$$p_n = {1 - 3{1}/{n} + 2{1}/{n^3} }/{2 + 100{1}/{n^2} + 10{1}/{n^3}}$$

Z tej postaci możemy już powiedzieć, do czego dąży każdy składnik:

1) Granicą $$1$$ i $$2$$ są po prostu $$1$$ i $$2$$.
2) Granicami wszystkich pozostałych ułamków są zera - dla $${1}/{n^2}$$ pokazywaliśmy to w poprzednim przykładzie.

Z twierdzenia o działaniach artytmetycznych na granicach możemy więc powiedzieć, że:

$$lim↙{n → ∞} p_n = lim↙{n → ∞} {1 - 3{1}/{n} + 2{1}/{n^3} }/{2 + 100{1}/{n^2} + 10{1}/{n^3} } = {(lim↙{n → ∞} 1) - (lim↙{n → ∞} 3{1}/{n}) + (lim↙{n → ∞} 2{1}/{n^3})}/{(lim↙{n → ∞} 2) + (lim↙{n → ∞} 100{1}/{n^2}) + lim↙{n → ∞} (10{1}/{n^3})} =$$
$$= {1 - 3×0 + 2×0}/{2 + 100×0 + 10×0} = {1}/{2}$$

Spis treści

Rozwiązane zadania
Proste przedstawione na rysunku ...

`k:\ y=3/4x` 

 

`l_1:y=3/4x+4` 

`l_2:\ y=3/4x+1` 

`l_3:\ y=3/4x-2` 

Wykres funkcji f przesuwamy w podany sposób

`a)` 

`"wzór otrzymanej funkcji:"\ \ \ g(x)=-2/x+1` 

 

Zaznaczamy odpowiednie punkty i kreślimy wykres funkcji f, a następnie przesuwamy punkty o 1 jednostkę w górę, otrzymując wykres funkcji g. 

 

 

`b)` 

`"wzór otrzymanej funkcji:"\ \ \ g(x)=3/x-2`  

 

Zaznaczamy odpowiednie punkty i kreślimy wykres funkcji f, a następnie przesuwamy punkty o 2 jednostki w dół, otrzymując wykres funkcji g. 

 

 

 

`c)` 

`"wzór otrzymanej funkcji:"\ \ \ g(x)=-4/(x+3)` 

 

Zaznaczamy odpowiednie punkty i kreślimy wykres funkcji f, a następnie przesuwamy punkty o 3 jednostki w lewo, otrzymując wykres funkcji g. 

 

 

`d)` 

`"wzór otrzymanej funkcji:"\ \ \ g(x)=6/(x-2)` 

 

Zaznaczamy odpowiednie punkty i kreślimy wykres funkcji f, a następnie przesuwamy punkty o 2 jednostki w prawo, otrzymując wykres funkcji g. 

Zapisz w postaci sumy algebraicznej

`a)\ (x+1)^3=x^3+3*x^2*1+3*x*1^2+1^3=x^3+3x^2+3x+1`

`b)\ (x-1)^3=x^3+-3*x^2*1+3*x*1^2-1^3=x^3-3x^2+3x-1`

`c)\ (x+3)^3=x^3+3*x^2*3+3*x*3^2+3^3=x^3+9x^2+27x+27`

`d)\ (x-4)^3=x^3-3*x^2*4+3*x*4^2-4^3=x^3-12x^2+48x-64`

`e)\ (2x+3)^3=(2x)^3+3*(2x)^2*3+3*2x*3^2+3^3=8x^3+36x^2+54x+27`

`f)\ (2x-1)^3=(2x)^3-3*(2x)^2*1+3*2x*1^2-1^3=8x^3-12x^2+6x-1`

`g)\ (3x+1)^3=(3x)^3+3*(3x)^2*1+3*3x*1^2+1^3=27x^3+27x^2+9x+1`

`h)\ (1-3x)^3=1^3-3*1^2*3x+3*1*(3x)^2-(3x)^3=1-9x+27x^2-27x^3`

 

 

Wypisz sześć początkowych wyrazów ciągu...

`a) \ a_(2+1) = (a_2^2)/(a_(2-1))` 

`a_3 = (a_2^2)/(a_1)` 

`a_3 = (2^2)/1` 

`a_3 = 4` 

 

`a_(3+1) = (a_3^2)/(a_(3-1))` 

`a_4 = (a_3^2)/(a_2)` 

`a_4 = (4^2)/2 = (2^2)^2/2 = 2^4/2 = 2^3 = 8` 

 

`a_5 = 16` 

`a_6 = 32` 

Wzór ogólny to:

`a_n = 2^(n-1)` 

 

Udowodnijmy wzór:

`a_(n+1) = (a_n^2)/(a_(n-1))`  

`2^(n+1-1) = ((2^(n-1))^2)/(2^(n-1-1))` 

`2^n * 2^(n-2) = 2^(n-1) * 2^(n-1)` 

`2^n * 2^n * 2^(-2) = 2^n * 2^(-1) *2^n * 2^(-1)` 

`2^n * 2^n = 2^n * 2^n` 

`0=0` 

Równanie tożsamościowe a więc wzór jest prawdziwy dla dowolnego n.

 

 

`b) \ a_(2+1) = (a_2^2 -1)/(a_(2-1))` 

`a_3 = (a_2^2 -1)/a_1` 

`a_3 = (2^2 -1)/1 = (4-1)/1 = 3/1 = 3` 

 

`a_(3+1) = (a_3^2 -1)/(a_(3-1))`  

`a_4 = (a_3^2-1)/a_2` 

`a_4 = (3^2 -1)/2 = (9-1)/2 = 8/2 = 4` 

 

`a_(4+1) = (a_4^2 -1)/(a_(4-1))` 

`a_5 = (a_4^2 -1)/a_3` 

`a_5 = (4^2 -1)/3 = (16-1)/3 = 15/3 = 5` 

 

 

`a_(5+1) = (a_5^2 -1)/(a_(5-1))` 

`a_6 = (a_5^2 -1)/a_4` 

`a_6 = (5^2-1)/4 = (25-1)/4 = 24/4 = 6` 

 

Wzór ogólny to:

`a_n = n` 

Udowodnijmy wzór:

`a_(n+1) = (a_n^2 -1)/(a_(n-1))` 

`n+1 = (n^2-1)/(n-1)` 

`n+1  = ((n-1)(n+1))/(n-1)` 

`n+1 = n+1` 

`0=0` 

Równanie tożsamościowe a więc wzór jest prawdziwy dla dowolnego n.

Suma kwadratów dwóch liczb ...

`x,y - "szukane liczby"` 

`"Załóżmy, że x">"y".` 

`y=x-4` 

 

`x^2+(x-4)^2=400` 

{premium}

`x^2+x^2-8x+16=400` 

`2x^2-8x-384=0` 

`x^2-4x-192=0` 

 

`Delta=16+768=784`   

`sqrt(Delta)=28` 

 

`x_1=(4+28)/2=16` 

`x_2=(4-28)/2=-12`  

 

`y_1=16-4=12` 

`y_2=-14-4=-16`  

 

`{(y_1=12),(x_1=16):}\ \ "lub"\ \ {(y_2=-16),(x_2=-12):}`    

     

W której ćwiartce układu współrzędnych...

Mając dane końce odcinka AB:

`A=(x_a, y_a)` 

`B=(x_b, y_b)` 

Możemy obliczyć środek odcinka korzystając ze wzoru:

`S_(AB) = ((x_a + x_b)/2 , (y_a + y_b)/2)` 

 

`a) \ A=(-17,3) , \ B=(7,19)` 

`S_(AB) = ((-17+7)/2 , (3+19)/2)= (-5, 11)` 

Środek odcinka znajduje się w II ćwiartce.

 

`b) \ A=(3/2 , 1/3) , \ B=(-3/4, 2/3)` 

`S_(AB) = ((3/2 + (-3/4))/2 , (1/3 + 2/3)/2) = ((6/4 - 3/4)/2 , 1/2) = ((3/4)/2, 1/2) = (3/8, 1/2)` 

Środek odcinka znajduje się w I ćwiartce.

 

`c) \ A=(root(3)(-8) , \ sqrt163) , \ B=(sqrt((-8)^2), -13)` 

`S_(AB) = ((root(3)(-8) + sqrt((-8)^2))/2 , (sqrt163 - 13)/2) = ((-2+8)/2 , (sqrt163 - sqrt169)/2)` 

Pierwsza współrzędna jest dodatnia natomiast druga jest ujemna, Środek odcinka znajduje się w IV ćwiartce.

 

`d) \ A=(sqrt2,-pi) , \ B=(-7/2, 3,14)` 

`S_(AB) = ((sqrt2 - 3 1/2)/2,(-pi + 3,14)/2)` 

Pierwsza współrzędna jest ujemna, druga również gdyż 3,14 to przybliżenie liczby π z niedomiarem. Środek odcinka znajduje się w III ćwiartce.

Mała firma produkuje dwa modele...

`x-`liczba wyprodukowanych "PhoneForAll", `x in bbN` 

`y-`liczba wyprodukowanych "PhoneForYou", `y in bbN` 

Funkcja opisująca zysk ze sprzedaży:

`f(x,\ y)=60x+150y` 

Czas pracy maszyn produkujących zadaje następujące ograniczenia:

`4x+6yle600` 

Koszty promocji zadają następujące ograniczenia:

`15x+45yle2700` 

Funkcja `f` będzie przyjmowała największą wartość w punkcie przecięcia prostych ograniczających obszar

zadany powyższymi nierównościami.

Wyznaczamy współrzędne punktu przecięcia prostych:

`{(4x+6y=600\ "/":2),(15x+45y=2700\ "/":15):}` 

`{(2x+3y=300),(x+3y=180):}` 

`{(2x+3y=300),(x=180-3y):}` 

`{(2(180-3y)+3y=300),(x=180-3y):}` 

`{(360-6y+3y=300),(x=180-3y):}` 

`{(-3y=-60\ "/":(-3)),(x=180-3y):}` 

`{(y=20),(x=180-3y):}` 

`{(y=20),(x=180-60):}` 

`{(y=20),(x=120):}` 

Odp. Należy wyprodukować `120` telefonów "PhoneForAll" i `20` telefonów "PhoneForYou".  

 

Przedstaw zbiór

`a)` 

Zaznaczony zbiór to zbiór elementów, które należą do jednego ze zbiorów A lub B oraz nie należą do zbioru C.

`(AuuB)\\C` 

 

Zaznaczony zbiór to suma elementów, należącyh do zbioru A i nienależących do zbioru C oraz należących do zbioru B i nienależących do zbioru C. 

`(A\\C)uu(B\\C)` 

 

Zaznaczony zbiór to suma zbiorów A, B oraz C z wyłączeniem zbioru C.

`(AuuBuuC)\\C` 

 

Powyższy przykład pokazuje, że można opisać zbiory na kilka sposobów.

 

 

 

`b)` 

Podajemy kilka przykładowych opisów zbioru. 

`((AnnB)uu(BnnC))\ \\\ (AnnBnnC)` 

 `((AnnB)uu(BnnC))\ \\\ (AnnC)` 

 

 

`c)`

Ze zbioru C wyłączamy elementy sumy zbiorów A i B, a następpnie dokładamy iloczyn zbiorów A, B, C. 

 

`(C\\(AuuB))\ uu\ (AnnBnnC)` 

W kwadrat ABCD o boku 6 wpisano ...

`3x-"długość boku kwadratu ABCD"` 

`a-"długośc boku kwadratu wpisanego w ABCD"` 

 

`3x=6` 

`x=2` 

`"Z tw. Pitagorasa:"` 

`a^2=x^2+(2x)^2=5x^2` 

`a=xsqrt5` 

 

`a^2=5x^2=20` 

 

`"Odpowiedź C."` 

Oblicz x+|x|

`a)`

`x+|x|=-3+|-3|=-3+3=0`

`x-2|x|=-3-2*|-3|=-3-2*3=-3-6=-9`

 

 

`b)`

Najpierw określimy, czy x jest liczbą dodatnią czy ujemną: 

`x=4-2sqrt6=sqrt16-sqrt4*sqrt6=sqrt16-sqrt24<0\ \ \ \ ("bo"\ \ 16<24,\ \ "czyli"\ \ sqrt16<sqrt24)`

`x+|x|=4-2sqrt6+|4-2sqrt6|=4-2sqrt6-(4-2sqrt6)=0`

`x-2|x|=4-2sqrt6-2|4-2sqrt6|=4-2sqrt6+2(4-2sqrt6)=4-2sqrt6+8-4sqrt6=12-6sqrt6`

 

 

`c)`

Najpierw określimy, czy x jest liczbą dodatnią czy ujemną: 

`x=6sqrt2-8=sqrt36*sqrt2-sqrt64=sqrt72-sqrt64>0\ \ \ ("bo"\ \ 72>64,\ \ "czyli"\ \ sqrt72>sqrt64)`

`x+|x|=6sqrt2-8+|6sqrt2-8|=6sqrt2-8+6sqrt2-8=12sqrt2-16`

`x-2|x|=6sqrt2-8-2|6sqrt2-8|=6sqrt2-8-2(6sqrt2-8)=6sqrt2-8-12sqrt2+16=8-6sqrt2`

 

 

 

`d)`

Najpierw określimy, czy x jest liczbą dodatnią czy ujemną: 

`x=pi-2sqrt3~~3,14-2*1,73<0`

`x+|x|=pi-2sqrt3+|pi-2sqrt3|=pi-2sqrt3-(pi-2sqrt3)=0`

`x-2|x|=pi-2sqrt3-2|pi-2sqrt3|=pi-2sqrt3+2(pi-2sqrt3)=pi-2sqrt3+2pi-4sqrt3=3pi-6sqrt3`