Dzielenie wielomianu przez dwumian - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Dzielenie wielomianu przez dwumian - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Dzielenie wielomianu przez dwumian

W rozdziale dotyczącym wyrażeń algebraicznych pojawiło się już dzielenie wielomianów przez dwumiany. W tym rozdziale poznamy nowe i niezwykle użyteczne twierdzenie pozwalające szybko obliczać resztę z dzielenia wielomianu przez dwumian postaci $(x-a)$.

Twierdzenie o dzieleniu wielomianu $W(x)$ przez dwumian $(x-a)$ mówi, ze reszta z tego dzielenia jest równa $W(a)$. Od razu widać, że jeśli reszta jest równa zero, to twierdzenie rzeczywiście działa - $a$ jest wtedy pierwiastkiem wielomianu. Sprawdźmy je na przykładzie.

Weźmy wielomian $W(x) = x^4 - 3x^3 - 3x + 1$ i podzielmy go znanym już sposobem przez dwumian $(x-3)$ (schemat Hornera).

Dzielenie wielomianu przez dwumian - schemat Hornera

Jak widać, reszta z dzielenia to $(-8)$. Obliczając teraz $W(3)$ wynik także wychodzi $(-8)$.

Pierwiastki wymierne wielomianu

Gdy mamy obliczyć pierwiastki równania kwadratowego, nie sprawia to żadnego problemu - są na to gotowe wzory. Przy równaniu stopnia trzeciego pojawia się już problem, ale istnieją wzory także na równania sześcienne - i na równania stopnia czwartego także. Są one wprawdzie dość skomplikowane, ale przy dużej dozie samozaparcia da się dojść do wyniku.

Pytanie więc, co dzieje się w przypadku wielomianów stopnia wyższego niż 4? Wzory po prostu nie istnieją - i to w takim sensie, że została matematycznie udowodniona niemożliwość ich znalezienia.

Istnieją jednak pewne techniki umożliwiające szukanie pierwiastków takich wielomianów.

Twierdzenie o pierwiastkach wymiernych wielomianów mówi, że jeżeli wielomian ma wszystkie współczynniki całkowite, to jego pierwiastki wymierne (postaci ${p}/{q}$, oczywiście ułamek jest nieskracalny) spełniają warunki: 1) Wyraz wolny wielomianu jest podzielny przez $p$. 2) Współczynnik przy najwyższej potędze $x^n$ jest podzielny przez $q$.

Dowód tego faktu opiera się na zapisaniu wielomianu w postaci:
$a_n({p}/{q})^n + a_{n-1}({p}/{q})^{n-1} + ... + a_1{p}/{q} + a_0 = 0$

Jeśli pomnożymy teaz obie strony przez $q^n$:
$a_np^n + a_{n-1}p^{n-1}q + ... + a_1pq^{n-1} + aq^n = 0$

I przeniesiemy ostatni składnik na drugą stronę:
$a_np^n + a_{n-1}p^{n-1}q + ... + a_1pq^{n-1} = -aq^n$

to skoro lewa strona jest podzielna przez p - prawa także musi być. Ale liczby $p$ i $q$ nie miały wspólnych dzielników (ułamek był nieskracalny) - wynika z tego, że właśnie $a$ musi dzielić się przez $p$.

Dowód części drugiej jest zupełnie analogiczny, wymaga jedynie zrobienia kroku zerowego: przemnożenia obu stron przez $({q}/{p})^n$.

Nasze twierdzenie pozwala nam więc znajdować wszystkie pierwiastki wymierne wielomianu poprzez proste sprawdzenie wszystkich możliwych kombinacji dzielników wyrazu wolnego i wyrazu stojącego przy najwyższej potędze $x$-a.

Należy jednak zaznaczyć, że nie każdy taki ułamek będzie pierwiastkiem.

Przykład: znaleźć wszystkie wymierne pierwiastki wielomianu $W(x) = 6x^4-11x^3-13x^2+16x+12$.

Naszym pierwszym krokiem jest wypisanie wszystkich dzielników pierwszego i ostatniego wyrazu:
a) Dzielniki 6 to: 1, 2, 3, -1, -2, -3.
b) Dzielniki 12 to: 1, 2, 3, 4, 6, 12, -1, -2, -3, -4, -6, -12.

Teraz możemy sprawdzić, czy któraś z liczb powstałych przez podzielenie jednego dzielnika przez drugi jest pierwiastkiem.

Sprawdźmy po kolei:
$W({1}/{1}) = 10$ - nie jest pierwiastkiem
$W({2}/{1}) = 0$ - znaleźliśmy pierwiastek

Skoro mamy jeden pierwiastek, możemy podzielić nasz wielomian przez dwumian $(x-2)$ używając schematu Hornera - dzięki temu zmniejszymy o jeden stopień wielomianu i będzie nam łatwiej podstawiać kolejne liczby; zmniejszy się także wyraz wolny, a więc liczba potrzebnych do sprawdzenia dzielników.

$W(x) ÷ (x-2) = 6x^3+x^2-11x-6$

Dzielniki 6 to: 1, 2, 3, -1, -2, -3.

Sprawdzamy dalej:
$W({1}/{2}) = -{21}/{2}$ - nie jest pierwiastkiem
$W(-{1}/{2}) = -1$ - nie jest pierwiastkiem
$W({3}/{1}) = 132$ - nie jest pierwiastkiem
$W(-{3}/{1}) = -126$ - nie jest pierwiastkiem

$W({3}/{2}) = 0$ - znaleźliśmy kolejny pierwiastek.
Ponownie możemy podzielić wielomian korzystając ze schematu Hornera otrzymując:
$(W(x) ÷ (x-2))÷(x-{3}/{2}) = 6x^2+10x+4$

Moglibyśmy dalej kontynuować zgadywanie, ale jako że doszliśmy już do równania kwadratowego, łatwiej będzie po prostu obliczyć deltę i rozwiązać je za pomocą wzorów.

$△ = 4$
$x_1 = -1$
$x_2 = -{2}/{3}$

Jak widać akurat w tym przykładzie wszystkie pierwiastki były wymierne: nie musi tak jednak być i czasami, mimo że współczynniki wielomianu są całkowite, jego pierwiastki są na przykład tylko niewymierne.

Warto na koniec wspomnieć o jednej rzeczy, która, jeśli się jej nie zna, może mocno zaszkodzić przy rozwiązywaniu zadania. Należy zawsze sprawdzać pierwiastek drugi raz, żeby przekonać się, czy nie był podwójnym. Jeśli tego nie zrobimy, to możemy stwierdzić, że "przecież wszystkie pozostałe kombinacje zostały sprawdzone, więc nie ma już żadnych pierwiastków wymiernych" - co okaże się później poważnym błędem.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Naszkicuj wykres funkcji f ...

 

 

 

 

{premium}  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

   

Dwie różne cięciwy...

Zauważmy, że dwie różne cięciwy mogą{premium} nie mieć punktu wspólnego, przecinać się w punkcie leżącym na brzegu koła lub w punkcie leżącym wewnątrz koła:

Zatem dwie różne cięciwy dowolnego koła dzielą je na 3 lub 4 figury wypukłe.

Odpowiedź C

Wskaż zbiór rozwiązań nierówności...

Naszkicujmy wykres nierówności:

 {premium}

 

zatem:

 

 

Odp.: B

Oblicz pole powierzchni całkowitej i objętość ostrosłupa...

Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku poniżej:{premium}


Ze wzoru na wysokość trójkąta równobocznego:

 


Spodek wysokości ostrosłupa jest punktem przecięcia wysokości trójkąta równobocznego. Wysokości trójkąta dzielą się w stosunku 2:1, licząc od wierzchołka. Stąd:

 

 


Krawędzie boczne są nachylone do płaszczyzny podstawy pod kątem 45°, więc trójkąt ASW jest równoramienni i stąd:

 


Z tw. Pitagorasa dla trójkąta SDW:

 

 

 

 

 

 


Obliczamy pole podstawy ostrosłupa:

 


Obliczamy pole powierzchni bocznej ostrosłupa:

 


Obliczamy pole powierzchni całkowitej ostrosłupa:

 


Obliczamy objętość ostrosłupa:

 

W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym ...

Z treści zadania wiemy, że:

 

Zatem:

 

 

Oznaczmy R jako środek odcinka BC.   {premium}

Zauważmy, że SR to długość okręgu opisanego na kwadracie o boku długości 26√2 cm, zatem:

 

Korzystając z wzoru na pole trójkąta dla trójkąta SR otrzymujemy:

 

Z drugiej strony:

 

Zatem otrzymujemy:

 

 

Korzystając z tw. Pitagorasa dla trójkąta WSR otrzymujemy:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Wyznacz zbiór wartości oraz przedziały...

Wykresem funkcji f(x)=a(x-xw)2+yw jest parabola o wierzchołku w punkcie W(xw, yw).

Jeśli a>0, to:

  • f(D)=<yw, +oo);
  • funkcja jest malejąca w przedziale (-oo, xw> i rosnąca w przedziale <xw, +oo).

Jeśli a<0, to:

  • f(D)=(-oo, yw>;
  • funkcja jest rosnąca w przedziale (-oo, xw> i malejąca w przedziale <xw, +oo).

 

Obliczamy współrzędne wierzchołka paraboli:

 

 

Wierzchołkiem paraboli jest punkt W(4, -16).{premium}

a>0, więc:

  • f(D)=<-16, +oo),
  • funkcja jest malejąca w przedziale (-oo, 4> i rosnąca w przedziale <4, +oo).

 

Obliczamy współrzędne wierzchołka paraboli:

 

 

Wierzchołkiem paraboli jest punkt W(3, 9).

a<0, więc:

  • f(D)=(-oo, 9>,
  • funkcja jest rosnąca w przedziale (-oo, 3> i malejąca w przedziale <3, +oo).

 

Obliczamy współrzędne wierzchołka paraboli:

 

 

Wierzchołkiem paraboli jest punkt W(-1, -5).

a>0, więc:

  • f(D)=<-5, +oo),
  • funkcja jest malejąca w przedziale (-oo, -1> i rosnąca w przedziale <-1, +oo).

 

Obliczamy współrzędne wierzchołka paraboli:

 

 

Wierzchołkiem paraboli jest punkt W(1/2, 3).

a<0, więc:

  • f(D)=(-oo, 3>,
  • funkcja jest rosnąca w przedziale (-oo, 1/2> i malejąca w przedziale <1/2, +oo).

 

Obliczamy współrzędne wierzchołka paraboli:

 

 

Wierzchołkiem paraboli jest punkt W(-3, 19).

a<0, więc:

  • f(D)=(-oo, 19>,
  • funkcja jest rosnąca w przedziale (-oo, -3> i malejąca w przedziale <-3, +oo).

 

Obliczamy współrzędne wierzchołka paraboli:

 

 

Wierzchołkiem paraboli jest punkt W(-6, -8).

a>0, więc:

  • f(D)=<-8, +oo),
  • funkcja jest malejąca w przedziale (-oo, -6> i rosnąca w przedziale <-6, +oo).
Wyznacz najmniejszą i największą wartość...

Zauważmy, że wartości  są zbyt duże, żeby narysować dany obszar.

Dlatego musimy obliczyć współrzędne wierzchołków wielokąta, który powstanie po przecięciu prostych.

Zrobimy to, rozwiązując układy równań.

Wyznaczamy współrzędne pierwszego punktu:

 

 

 

 

 

Wyznaczamy współrzędne drugiego punktu:

 

 

{premium}  

 

 

Wyznaczamy współrzędne trzeciego punktu:

 

 

 

 

Wyznaczamy współrzędne czwartego punktu:

 

 

 

 

 

 

 

 

Wyznaczamy współrzędne piątego punktu:

 

 

 

 

 

 

 

 

Wyznaczamy współrzędne szóstego punktu:

 

 

 

 

 

 

 

Należy teraz sprawdzić, czy wyznaczone punkty spełniają wszystkie nierówności. 

Punkty  nie spełnia nierówności  bo:

 

Pozostałe punkty spełniają wszystkie nierówności.

W takim razie obszar wyznaczony przez układ nierówności będzie wielokątem o pięciu wierzchołkach -

punktach     

Wiemy, że funkcja liniowa dwóch zmiennych, określona w obszarze będącym wielokątem wypukłym,

przyjmuje wartość największą/najmniejszą w jednym z wierzchołków tego wielokąta.

Obliczymy wartości funkcji  w wierzchołkach wielokąta i ocenimy, która jest największa, a która najmniejsza. 

 

 

 wartość największa

 

 wartość najmniejsza

Wielomian W(x) rozłóż ...

 

 

 

            {premium}

 

 


 

 

 

 


 

 

 

 

 


 

 

 

 

 

 


 

 

 

 


 

 

 

 

 

 

Zatem trójmian kwadratowy   jest nierozkładalny.


 

 

 

 

 

 

Zatem trójmian kwadratowy   jest nierozkładalny.


 

 

 

 

 

 

 

Zatem trójmian kwadratowy    jest nierozkładalny.

Rozwiąż nierówność ...

Treść:

Rozwiąż nierówność 2x2-3x>5.


Rozwiązanie:

 

 

      {premium}

 

 

 

 

Rysunek:

Odczytujemy zbiór rozwiązań nierówności.

 

 

Proste...

Przypomnijmy, że proste są równoległe, gdy ich współczynniki kierunkowe są równe. {premium}

Dane są proste

te proste są równoległe, gdy zachodzi

     

 

Odp. B.