Dzielenie wielomianu przez dwumian - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy
Dzielenie wielomianu przez dwumian
W rozdziale dotyczącym wyrażeń algebraicznych pojawiło się już dzielenie wielomianów przez dwumiany. W tym rozdziale poznamy nowe i niezwykle użyteczne twierdzenie pozwalające szybko obliczać resztę z dzielenia wielomianu przez dwumian postaci $$(x-a)$$.
Twierdzenie o dzieleniu wielomianu $$W(x)$$ przez dwumian $$(x-a)$$ mówi, ze reszta z tego dzielenia jest równa $$W(a)$$. Od razu widać, że jeśli reszta jest równa zero, to twierdzenie rzeczywiście działa - $$a$$ jest wtedy pierwiastkiem wielomianu. Sprawdźmy je na przykładzie.
Weźmy wielomian $$W(x) = x^4 - 3x^3 - 3x + 1$$ i podzielmy go znanym już sposobem przez dwumian $$(x-3)$$ (schemat Hornera).
Jak widać, reszta z dzielenia to $$(-8)$$. Obliczając teraz $$W(3)$$ wynik także wychodzi $$(-8)$$.
Twierdzenie o dzieleniu wielomianu $$W(x)$$ przez dwumian $$(x-a)$$ mówi, ze reszta z tego dzielenia jest równa $$W(a)$$. Od razu widać, że jeśli reszta jest równa zero, to twierdzenie rzeczywiście działa - $$a$$ jest wtedy pierwiastkiem wielomianu. Sprawdźmy je na przykładzie.
Weźmy wielomian $$W(x) = x^4 - 3x^3 - 3x + 1$$ i podzielmy go znanym już sposobem przez dwumian $$(x-3)$$ (schemat Hornera).
Jak widać, reszta z dzielenia to $$(-8)$$. Obliczając teraz $$W(3)$$ wynik także wychodzi $$(-8)$$.
Pierwiastki wymierne wielomianu
Gdy mamy obliczyć pierwiastki równania kwadratowego, nie sprawia to żadnego problemu - są na to gotowe wzory. Przy równaniu stopnia trzeciego pojawia się już problem, ale istnieją wzory także na równania sześcienne - i na równania stopnia czwartego także. Są one wprawdzie dość skomplikowane, ale przy dużej dozie samozaparcia da się dojść do wyniku.
Pytanie więc, co dzieje się w przypadku wielomianów stopnia wyższego niż 4? Wzory po prostu nie istnieją - i to w takim sensie, że została matematycznie udowodniona niemożliwość ich znalezienia.
Istnieją jednak pewne techniki umożliwiające szukanie pierwiastków takich wielomianów.
Twierdzenie o pierwiastkach wymiernych wielomianów mówi, że jeżeli wielomian ma wszystkie współczynniki całkowite, to jego pierwiastki wymierne (postaci $${p}/{q}$$, oczywiście ułamek jest nieskracalny) spełniają warunki: 1) Wyraz wolny wielomianu jest podzielny przez $$p$$. 2) Współczynnik przy najwyższej potędze $$x^n$$ jest podzielny przez $$q$$.
Dowód tego faktu opiera się na zapisaniu wielomianu w postaci:
$$a_n({p}/{q})^n + a_{n-1}({p}/{q})^{n-1} + ... + a_1{p}/{q} + a_0 = 0$$
Jeśli pomnożymy teaz obie strony przez $$q^n$$:
$$a_np^n + a_{n-1}p^{n-1}q + ... + a_1pq^{n-1} + aq^n = 0$$
I przeniesiemy ostatni składnik na drugą stronę:
$$a_np^n + a_{n-1}p^{n-1}q + ... + a_1pq^{n-1} = -aq^n$$
to skoro lewa strona jest podzielna przez p - prawa także musi być. Ale liczby $$p$$ i $$q$$ nie miały wspólnych dzielników (ułamek był nieskracalny) - wynika z tego, że właśnie $$a$$ musi dzielić się przez $$p$$.
Dowód części drugiej jest zupełnie analogiczny, wymaga jedynie zrobienia kroku zerowego: przemnożenia obu stron przez $$({q}/{p})^n$$.
Nasze twierdzenie pozwala nam więc znajdować wszystkie pierwiastki wymierne wielomianu poprzez proste sprawdzenie wszystkich możliwych kombinacji dzielników wyrazu wolnego i wyrazu stojącego przy najwyższej potędze $$x$$-a.
Należy jednak zaznaczyć, że nie każdy taki ułamek będzie pierwiastkiem.
Przykład: znaleźć wszystkie wymierne pierwiastki wielomianu $$W(x) = 6x^4-11x^3-13x^2+16x+12$$.
Naszym pierwszym krokiem jest wypisanie wszystkich dzielników pierwszego i ostatniego wyrazu:
a) Dzielniki 6 to: 1, 2, 3, -1, -2, -3.
b) Dzielniki 12 to: 1, 2, 3, 4, 6, 12, -1, -2, -3, -4, -6, -12.
Teraz możemy sprawdzić, czy któraś z liczb powstałych przez podzielenie jednego dzielnika przez drugi jest pierwiastkiem.
Sprawdźmy po kolei:
$$W({1}/{1}) = 10$$ - nie jest pierwiastkiem
$$W({2}/{1}) = 0$$ - znaleźliśmy pierwiastek
Skoro mamy jeden pierwiastek, możemy podzielić nasz wielomian przez dwumian $$(x-2)$$ używając schematu Hornera - dzięki temu zmniejszymy o jeden stopień wielomianu i będzie nam łatwiej podstawiać kolejne liczby; zmniejszy się także wyraz wolny, a więc liczba potrzebnych do sprawdzenia dzielników.
$$W(x) ÷ (x-2) = 6x^3+x^2-11x-6$$
Dzielniki 6 to: 1, 2, 3, -1, -2, -3.
Sprawdzamy dalej:
$$W({1}/{2}) = -{21}/{2}$$ - nie jest pierwiastkiem
$$W(-{1}/{2}) = -1$$ - nie jest pierwiastkiem
$$W({3}/{1}) = 132$$ - nie jest pierwiastkiem
$$W(-{3}/{1}) = -126$$ - nie jest pierwiastkiem
$$W({3}/{2}) = 0$$ - znaleźliśmy kolejny pierwiastek.
Ponownie możemy podzielić wielomian korzystając ze schematu Hornera otrzymując:
$$(W(x) ÷ (x-2))÷(x-{3}/{2}) = 6x^2+10x+4$$
Moglibyśmy dalej kontynuować zgadywanie, ale jako że doszliśmy już do równania kwadratowego, łatwiej będzie po prostu obliczyć deltę i rozwiązać je za pomocą wzorów.
$$△ = 4$$
$$x_1 = -1$$
$$x_2 = -{2}/{3}$$
Jak widać akurat w tym przykładzie wszystkie pierwiastki były wymierne: nie musi tak jednak być i czasami, mimo że współczynniki wielomianu są całkowite, jego pierwiastki są na przykład tylko niewymierne.
Warto na koniec wspomnieć o jednej rzeczy, która, jeśli się jej nie zna, może mocno zaszkodzić przy rozwiązywaniu zadania. Należy zawsze sprawdzać pierwiastek drugi raz, żeby przekonać się, czy nie był podwójnym. Jeśli tego nie zrobimy, to możemy stwierdzić, że "przecież wszystkie pozostałe kombinacje zostały sprawdzone, więc nie ma już żadnych pierwiastków wymiernych" - co okaże się później poważnym błędem.
Pytanie więc, co dzieje się w przypadku wielomianów stopnia wyższego niż 4? Wzory po prostu nie istnieją - i to w takim sensie, że została matematycznie udowodniona niemożliwość ich znalezienia.
Istnieją jednak pewne techniki umożliwiające szukanie pierwiastków takich wielomianów.
Twierdzenie o pierwiastkach wymiernych wielomianów mówi, że jeżeli wielomian ma wszystkie współczynniki całkowite, to jego pierwiastki wymierne (postaci $${p}/{q}$$, oczywiście ułamek jest nieskracalny) spełniają warunki: 1) Wyraz wolny wielomianu jest podzielny przez $$p$$. 2) Współczynnik przy najwyższej potędze $$x^n$$ jest podzielny przez $$q$$.
Dowód tego faktu opiera się na zapisaniu wielomianu w postaci:
$$a_n({p}/{q})^n + a_{n-1}({p}/{q})^{n-1} + ... + a_1{p}/{q} + a_0 = 0$$
Jeśli pomnożymy teaz obie strony przez $$q^n$$:
$$a_np^n + a_{n-1}p^{n-1}q + ... + a_1pq^{n-1} + aq^n = 0$$
I przeniesiemy ostatni składnik na drugą stronę:
$$a_np^n + a_{n-1}p^{n-1}q + ... + a_1pq^{n-1} = -aq^n$$
to skoro lewa strona jest podzielna przez p - prawa także musi być. Ale liczby $$p$$ i $$q$$ nie miały wspólnych dzielników (ułamek był nieskracalny) - wynika z tego, że właśnie $$a$$ musi dzielić się przez $$p$$.
Dowód części drugiej jest zupełnie analogiczny, wymaga jedynie zrobienia kroku zerowego: przemnożenia obu stron przez $$({q}/{p})^n$$.
Nasze twierdzenie pozwala nam więc znajdować wszystkie pierwiastki wymierne wielomianu poprzez proste sprawdzenie wszystkich możliwych kombinacji dzielników wyrazu wolnego i wyrazu stojącego przy najwyższej potędze $$x$$-a.
Należy jednak zaznaczyć, że nie każdy taki ułamek będzie pierwiastkiem.
Przykład: znaleźć wszystkie wymierne pierwiastki wielomianu $$W(x) = 6x^4-11x^3-13x^2+16x+12$$.
Naszym pierwszym krokiem jest wypisanie wszystkich dzielników pierwszego i ostatniego wyrazu:
a) Dzielniki 6 to: 1, 2, 3, -1, -2, -3.
b) Dzielniki 12 to: 1, 2, 3, 4, 6, 12, -1, -2, -3, -4, -6, -12.
Teraz możemy sprawdzić, czy któraś z liczb powstałych przez podzielenie jednego dzielnika przez drugi jest pierwiastkiem.
Sprawdźmy po kolei:
$$W({1}/{1}) = 10$$ - nie jest pierwiastkiem
$$W({2}/{1}) = 0$$ - znaleźliśmy pierwiastek
Skoro mamy jeden pierwiastek, możemy podzielić nasz wielomian przez dwumian $$(x-2)$$ używając schematu Hornera - dzięki temu zmniejszymy o jeden stopień wielomianu i będzie nam łatwiej podstawiać kolejne liczby; zmniejszy się także wyraz wolny, a więc liczba potrzebnych do sprawdzenia dzielników.
$$W(x) ÷ (x-2) = 6x^3+x^2-11x-6$$
Dzielniki 6 to: 1, 2, 3, -1, -2, -3.
Sprawdzamy dalej:
$$W({1}/{2}) = -{21}/{2}$$ - nie jest pierwiastkiem
$$W(-{1}/{2}) = -1$$ - nie jest pierwiastkiem
$$W({3}/{1}) = 132$$ - nie jest pierwiastkiem
$$W(-{3}/{1}) = -126$$ - nie jest pierwiastkiem
$$W({3}/{2}) = 0$$ - znaleźliśmy kolejny pierwiastek.
Ponownie możemy podzielić wielomian korzystając ze schematu Hornera otrzymując:
$$(W(x) ÷ (x-2))÷(x-{3}/{2}) = 6x^2+10x+4$$
Moglibyśmy dalej kontynuować zgadywanie, ale jako że doszliśmy już do równania kwadratowego, łatwiej będzie po prostu obliczyć deltę i rozwiązać je za pomocą wzorów.
$$△ = 4$$
$$x_1 = -1$$
$$x_2 = -{2}/{3}$$
Jak widać akurat w tym przykładzie wszystkie pierwiastki były wymierne: nie musi tak jednak być i czasami, mimo że współczynniki wielomianu są całkowite, jego pierwiastki są na przykład tylko niewymierne.
Warto na koniec wspomnieć o jednej rzeczy, która, jeśli się jej nie zna, może mocno zaszkodzić przy rozwiązywaniu zadania. Należy zawsze sprawdzać pierwiastek drugi raz, żeby przekonać się, czy nie był podwójnym. Jeśli tego nie zrobimy, to możemy stwierdzić, że "przecież wszystkie pozostałe kombinacje zostały sprawdzone, więc nie ma już żadnych pierwiastków wymiernych" - co okaże się później poważnym błędem.
Spis treści
Rozwiązane zadania
Uzasadnij, że równanie ma rozwiązanie w podanym przedziale.
a)
`2x^3+4x-5=0`
`f(x)=2x^3+4x-5`
`f(0)=2*0^3+4*0-5=-5`
`f(1)=2*1^3+4*1-5=2+4-5=1`
Istnieje przynajmniej jeden argument `c in (0, 1)` taki, że `f(c)=0`
b)
`x^3+x=-4`
`f(x)=x^3+x+4`
`f(-2)=(-2)^3+(-2)+4=-8-2+4=-6`
`f(-1)=(-1)^3+(-1)+4=-1-1+4=2`
Istnieje przynajmniej jeden argument `c in (-2, -1)` taki, że `f(c)=0`
c)
`2/x^2=sqrtx+1/2`
`f(x)=2/x^2-sqrtx+1/2`
`f(1)=2/1^2-sqrt1+1/2=2-1+1/2=1 1/2`
`f(4)=2/4^2-sqrt4+1/2=2/16-2+1/2=1/8-16/8+4/8=-11/8=-1 3/8`
Istnieje przynajmniej jeden argument `c in (1, 4)` taki, że `f(c)=0`
d)
`sinx=3-2x`
`f(x)=sinx-3+2x`
`f(0)=sin0-3+2*0=-3`
`f(pi/2)=sin pi/2-3+2*pi/2=1-3+pi=pi-2`
Istnieje przynajmniej jeden argument `c in (0, pi/2)` taki, że `f(c)=0`
Ćwiczenie 1
`S_n=a_1*n
`
Opisz podane przykłady za pomocą wzoru.
a) l - obwód koła, k - liczba obrotów, s - droga
`l*k=s`
b) F - siła, d - odległość między ładunkami
`F*d^2="const."`
c) f - częstotliwość dźwięku, `lambda` - długość fali dźwięku
`f*lambda="const."`
d) V - objętość, p - ciśnienie
`V*p="const."`
Punkty A i B leżą na okręgu o środku...
Rysunek pomocniczy:
Najkorzystniej będzie skorzystać z następującego wzoru na pole trójkąta:
`P=1/2ab sinalpha,` gdzie `a,b` są długościami boków trójkąta, a `alpha` kątem między nimi.
W naszym zadaniu `a=b=r.` Mamy więc:
`P=1/2r^2sinalpha`
Chcemy, żeby pole było możliwie największe.
Zauważmy, że `1/2r^2` to część stała, która zależy od długości promienia, więc nie mamy na nią wpływu.
Możemy za to manipulować kątem `alpha.`
Dla `0^@< alpha< 180^@` sinus przyjmuje wartości z przedziału `(0,\ 1].` W takim razie trójkąt będzie miał
największe pole dla największej wartości sinusa, czyli `sinalpha=1.` Pole to będzie równe:
`P=1/2r^2`
Punkt O jest środkiem okręgu przedstawionego...
`"a)"` Rysunek pomocniczy:
Po dorysowaniu odcinków `OA` i `OB` łatwo zauważyć, że kąty `gamma` i `ADB` to kąty oparte na tym samym łuku.
Kąt `gamma` jest kątem środkowym, a `ADB` kątem wpisanym, więc mamy:
`gamma=2*55^@=110^@`
Z sumy kątów czworokąta obliczamy miarę kąta `beta.`
`gamma^@+2*90^@+beta=360^@`
`110^@+180^@+beta=360^@`
`290^@+beta=360^@`
`beta=70^@`
Trójkąt `DeltaABC` jest równoramienny, więc z sumy kątów trójkąta łatwo obliczymy miarę kąta `alpha.`
`2alpha+beta=180^@`
`2alpha+70^@=180^@`
`2alpha=110^@\ "/":2`
`alpha=55^@`
Odp. `alpha=55^@,\ beta=110^@.`
`"b)"` Rysunek pomocniczy:
Zauważmy, że trójkąt `DeltaDOC` jest równoramienny. Stąd `/_COD=130^@` oraz `/_AOC=50^@.`
Trójkąt `DeltaAOC` również jest równoramienny. Obliczamy miarę kąta `delta.`
`2delta+50^@=180^@`
`2delta=130^@\ "/":2`
`delta=65^@`
Kąt `alpha` jest przyległy do kąta `delta,` więc:
`alpha+delta=180^@`
`alpha+65^@=180^@`
`alpha=115^@`
Z sumy kątów trójkąta dla `DeltaAOC` obliczamy miarę kąta `gamma:`
`gamma+90^@+50^@=180^@`
`gamma+140^@=180^@`
`gamma=40^@`
Z sumy kątów trójkąta dla `DeltaABC` obliczamy miarę kąta `beta:`
`alpha+beta+gamma=180^@`
`115^@+beta+40^@=180^@`
`155^@+beta=180^@`
`beta=25^@`
Odp. `alpha=115^@,\ beta=25^@,\ gamma=40^@.`
`"c)"` Rysunek pomocniczy:
Obliczymy najpierw miarę kątów `delta` i `2delta.`
Zauważmy, że trójkąt `DeltaAOC` jest równoramienny oraz, że `/_CAO=/_OCA=96^@-90^@=6^@.`
W takim razie, z sumy kątów trójkąta dla `DeltaAOC,` mamy:
`2*6^@+delta+2delta=180^@`
`12^@+3delta=180^@`
`3delta=168^@\ "/":3`
`delta=56^@`
`2delta=112^@`
Zauważmy teraz, że kąty `alpha` oraz `2delta` są oparte na tym samym łuku `AB.`
Kąt `2delta` to kąt środkowy, a `alpha` to kąt wpisany, więc
`alpha=1/2*2delta=delta`
`alpha=56^@`
Analogicznie zauważamy, że kąty `delta` oraz `gamma` są oparte na tym samym łuku.
Mamy więc:
`gamma=1/2delta`
`gamma=1/2*56^@=28^@`
Z sumy kątów trójkąta dla `DeltaABC` mamy:
`alpha+beta+gamma=180^@`
`56^@+beta+28^@=180^@`
`beta+84^@=180^@`
`beta=96^@`
Odp. `alpha=56^@,\ beta=96^@,\ gamma=28^@.`
Wykaż, że liczba...
`lim_(n->oo) (1+1/n)=?`
Musimy wykazać, że `g=2` nie jest granicą tego ciągu
Otoczenie liczby 2 o promieniu `epsi >0` to przedział `(2-epsi, 2+epsi)`
Wyznaczmy wszystkie liczby naturalne, dla których jest spełniona nierówność `|a_n-g|< epsi`
`|(1+1/n)-2|< epsi`
`|1+1/n-2|< epsi`
`|1/n-1|< epsi`
Ponieważ `n >0` otrzymujemy:
`-1/n+1 < epsi`
`1-1/n < epsi`
Dla `0 < epsi < 1` ta nierówność jest sprzeczna.
Liczba 2 nie jest zatem granicą ciągu o wzorze ogólnym `a_n=1+1/n`
Deltoid:
{premium}`"Deltoid ma tylko jedną oś symetrii wzdłuż dłużeszj przekątnej."`
W tabeli podano długości
Długość połowy obwodu różni się od liczby pi o mniej niż 0,01 dla dwóch ostatnich wielokątów (wyniki zostały podkreślone).
Ostrosłup o wysokości 8 cm przecięto płaszczyzną...
`h_2=8`
`h_1/h_2=k`
`h_1/8=k`
`(h_1)^2/64=k^2`
Objętość bryły nad płaszczyzną:
`V_1=1/3*P_1*h_1=1/3*h_1^2/64*P_2*h_1`
Objętość bryły pod płaszczyzną:
`V_2=1/3*P_2*h_2-1/3*P_1*h_1=1/3P_2*8-1/3*h_1^2/64*P_2*h_1=1/3P_2(8-h_1^3/64)`
Wiemy, że objętości te są takie same, więc:
`V_1=V_2`
`1/3*h_1^2/64*P_2*h_1=1/3P_2(8-h_1^3/64) \ \ \ |:1/3P_2`
`h_1^3/64=8-h_1^3/64 \ \ \ |+h_1^3/64`
`(2h_1^3)/64=8`
`h_1^3/32=8 \ \ \ |*32`
`h_1^3=256`
`h_1=root(3)(256)`
`h_1=root(3)(4^3*4)`
`h_1=4root(3)(4) ["cm"]`
Iloczyn trzech liczb całkowitych ...
`x-"pewna liczba"`
`x(x+3)(x+2)=-30`
`x(x^2+5x+6)+30=0`
`x^3+5x^2+6x+30=0`
`x^2(x+5)+6(x+5)=0`
`(x+5)(x^2+6)=0`
`x=-5`
`x^2=-6`
`"Sprzeczność."`
`x+3=-2`
`x+2=-3`
`"Szukane liczby to -5, -3 i -2."`
© 2018 Odrabiamy.pl