Dzielenie wielomianu przez dwumian - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Dzielenie wielomianu przez dwumian

W rozdziale dotyczącym wyrażeń algebraicznych pojawiło się już dzielenie wielomianów przez dwumiany. W tym rozdziale poznamy nowe i niezwykle użyteczne twierdzenie pozwalające szybko obliczać resztę z dzielenia wielomianu przez dwumian postaci $(x-a)$.

Twierdzenie o dzieleniu wielomianu $W(x)$ przez dwumian $(x-a)$ mówi, ze reszta z tego dzielenia jest równa $W(a)$. Od razu widać, że jeśli reszta jest równa zero, to twierdzenie rzeczywiście działa - $a$ jest wtedy pierwiastkiem wielomianu. Sprawdźmy je na przykładzie.

Weźmy wielomian $W(x) = x^4 - 3x^3 - 3x + 1$ i podzielmy go znanym już sposobem przez dwumian $(x-3)$ (schemat Hornera).

Dzielenie wielomianu przez dwumian - schemat Hornera

Jak widać, reszta z dzielenia to $(-8)$. Obliczając teraz $W(3)$ wynik także wychodzi $(-8)$.

Pierwiastki wymierne wielomianu

Gdy mamy obliczyć pierwiastki równania kwadratowego, nie sprawia to żadnego problemu - są na to gotowe wzory. Przy równaniu stopnia trzeciego pojawia się już problem, ale istnieją wzory także na równania sześcienne - i na równania stopnia czwartego także. Są one wprawdzie dość skomplikowane, ale przy dużej dozie samozaparcia da się dojść do wyniku.

Pytanie więc, co dzieje się w przypadku wielomianów stopnia wyższego niż 4? Wzory po prostu nie istnieją - i to w takim sensie, że została matematycznie udowodniona niemożliwość ich znalezienia.

Istnieją jednak pewne techniki umożliwiające szukanie pierwiastków takich wielomianów.

Twierdzenie o pierwiastkach wymiernych wielomianów mówi, że jeżeli wielomian ma wszystkie współczynniki całkowite, to jego pierwiastki wymierne (postaci ${p}/{q}$, oczywiście ułamek jest nieskracalny) spełniają warunki: 1) Wyraz wolny wielomianu jest podzielny przez $p$. 2) Współczynnik przy najwyższej potędze $x^n$ jest podzielny przez $q$.

Dowód tego faktu opiera się na zapisaniu wielomianu w postaci:
$a_n({p}/{q})^n + a_{n-1}({p}/{q})^{n-1} + ... + a_1{p}/{q} + a_0 = 0$

Jeśli pomnożymy teaz obie strony przez $q^n$:
$a_np^n + a_{n-1}p^{n-1}q + ... + a_1pq^{n-1} + aq^n = 0$

I przeniesiemy ostatni składnik na drugą stronę:
$a_np^n + a_{n-1}p^{n-1}q + ... + a_1pq^{n-1} = -aq^n$

to skoro lewa strona jest podzielna przez p - prawa także musi być. Ale liczby $p$ i $q$ nie miały wspólnych dzielników (ułamek był nieskracalny) - wynika z tego, że właśnie $a$ musi dzielić się przez $p$.

Dowód części drugiej jest zupełnie analogiczny, wymaga jedynie zrobienia kroku zerowego: przemnożenia obu stron przez $({q}/{p})^n$.

Nasze twierdzenie pozwala nam więc znajdować wszystkie pierwiastki wymierne wielomianu poprzez proste sprawdzenie wszystkich możliwych kombinacji dzielników wyrazu wolnego i wyrazu stojącego przy najwyższej potędze $x$-a.

Należy jednak zaznaczyć, że nie każdy taki ułamek będzie pierwiastkiem.

Przykład: znaleźć wszystkie wymierne pierwiastki wielomianu $W(x) = 6x^4-11x^3-13x^2+16x+12$.

Naszym pierwszym krokiem jest wypisanie wszystkich dzielników pierwszego i ostatniego wyrazu:
a) Dzielniki 6 to: 1, 2, 3, -1, -2, -3.
b) Dzielniki 12 to: 1, 2, 3, 4, 6, 12, -1, -2, -3, -4, -6, -12.

Teraz możemy sprawdzić, czy któraś z liczb powstałych przez podzielenie jednego dzielnika przez drugi jest pierwiastkiem.

Sprawdźmy po kolei:
$W({1}/{1}) = 10$ - nie jest pierwiastkiem
$W({2}/{1}) = 0$ - znaleźliśmy pierwiastek

Skoro mamy jeden pierwiastek, możemy podzielić nasz wielomian przez dwumian $(x-2)$ używając schematu Hornera - dzięki temu zmniejszymy o jeden stopień wielomianu i będzie nam łatwiej podstawiać kolejne liczby; zmniejszy się także wyraz wolny, a więc liczba potrzebnych do sprawdzenia dzielników.

$W(x) ÷ (x-2) = 6x^3+x^2-11x-6$

Dzielniki 6 to: 1, 2, 3, -1, -2, -3.

Sprawdzamy dalej:
$W({1}/{2}) = -{21}/{2}$ - nie jest pierwiastkiem
$W(-{1}/{2}) = -1$ - nie jest pierwiastkiem
$W({3}/{1}) = 132$ - nie jest pierwiastkiem
$W(-{3}/{1}) = -126$ - nie jest pierwiastkiem

$W({3}/{2}) = 0$ - znaleźliśmy kolejny pierwiastek.
Ponownie możemy podzielić wielomian korzystając ze schematu Hornera otrzymując:
$(W(x) ÷ (x-2))÷(x-{3}/{2}) = 6x^2+10x+4$

Moglibyśmy dalej kontynuować zgadywanie, ale jako że doszliśmy już do równania kwadratowego, łatwiej będzie po prostu obliczyć deltę i rozwiązać je za pomocą wzorów.

$△ = 4$
$x_1 = -1$
$x_2 = -{2}/{3}$

Jak widać akurat w tym przykładzie wszystkie pierwiastki były wymierne: nie musi tak jednak być i czasami, mimo że współczynniki wielomianu są całkowite, jego pierwiastki są na przykład tylko niewymierne.

Warto na koniec wspomnieć o jednej rzeczy, która, jeśli się jej nie zna, może mocno zaszkodzić przy rozwiązywaniu zadania. Należy zawsze sprawdzać pierwiastek drugi raz, żeby przekonać się, czy nie był podwójnym. Jeśli tego nie zrobimy, to możemy stwierdzić, że "przecież wszystkie pozostałe kombinacje zostały sprawdzone, więc nie ma już żadnych pierwiastków wymiernych" - co okaże się później poważnym błędem.

Spis treści

Rozwiązane zadania

Naszkicuj wykres funkcji:

Z definicji wartości bezwzględnej:

Stąd:

Sprowadźmy wzór funkcji do postaci kanonicznej:

Zatem:

Wykres funkcji jest sumą wykresów funkcji:

gdzie oraz gdzie

Wykres funkcji otrzymamy, przesuwając równolegle wykres funkcji o wektor

Obliczamy wartości funkcji i na końcach przedziałów, na których są określone:

Szkicujemy wykresy funkcji i na wyznaczonych przedziałach.

Na rysunku przedstawiony jest wykres funkcji

{premium}

Z definicji wartości bezwzględnej:

Stąd:

Sprowadźmy wzór funkcji do postaci kanonicznej:

Zatem:

Wykres funkcji jest sumą wykresów funkcji:

gdzie oraz gdzie

Wykres funkcji otrzymamy, przesuwając równolegle wykres funkcji o wektor

Obliczamy wartości funkcji i na końcach przedziałów, na których są określone:

Szkicujemy wykresy funkcji i na wyznaczonych przedziałach.

Na rysunku przedstawiony jest wykres funkcji

Z definicji wartości bezwzględnej:

Stąd:

Wykres funkcji jest sumą wykresów funkcji:

gdzie oraz gdzie

Sprowadzamy wzór funkcji do postaci kanonicznej:

Wykres funkcji otrzymamy, przesuwając równolegle wykres funkcji o wektor

Obliczamy wartości funkcji i na końcach przedziałów, na których są określone:

Szkicujemy wykresy funkcji i na wyznaczonych przedziałach.

Na rysunku przedstawiony jest wykres funkcji

dla

Z definicji wartości bezwzględnej:

Stąd:

Wykres funkcji jest sumą wykresów funkcji:

gdzie oraz gdzie

Sprowadzamy wzór funkcji do postaci kanonicznej:

Wykres funkcji otrzymamy, przesuwając równolegle wykres funkcji o wektor

Obliczamy wartości funkcji i na końcach przedziałów, na których są określone:

Szkicujemy wykresy funkcji i na wyznaczonych przedziałach.

Na rysunku przedstawiony jest wykres funkcji

Sformułuj definicję...

Niech f będzie funkcją określoną w przedziale (-∞;b). Liczba g jest{premium} granicą funkcji f w -∞, jeśli dla każdego ciągu (x_n) rozbieżnego do -∞, o wyrazach należących do dziedziny funkcji f, ciąg (f(x_n)) jest zbieżny do g.

Wyznacz asymptoty poziome...

Asymptota

{premium}

Asymptota

Poprawnym zaokrągleniem liczby

Zaokrąglenie liczby 0,4998973 do sześciu miejsc po przecinku to 0,499897, więc odpowiedź A jest błędna.

{premium}

Zaokrąglenie liczby 0,4998973 do pięciu miejsc po przecinku to 0,49990=0,4999, więc odpowiedź B jest błędna.

Zaokrąglenie liczby 0,4998973 do trzech miejsc po przecinku to 0,500=0,5, więc odpowiedź C jest błędna.

Zaokrąglenie liczby 0,4998973 do całości to 0, więc odpowiedź D jest prawidłowa.

Na rysunku przedstawiono fragment wykresu...

a) Wierzchołek ma współrzędne (1,2). Jedno z miejsc zerowych to liczba 0, oba miejsca zerowe są równo odległe od wierzchołka. Drugie miejsce zerowe łatwo można bez obliczeń wyznaczyć patrząc na wykres ale dla ćwiczenia wyliczymy je:

Zbiór wartości:

Funkcja rosnąca dla:

Funkcja malejąca dla:

Obliczmy współczynnik a posługując się postacią iloczynową.

{premium}

Postać iloczynowa i postać kanoniczna:

b) Z wykresu możemy odczytać, że miejscami zerowymi są liczby -1,3. Pierwsza współrzędna wierzchołka to:

Postać iloczynowa:

Z wykresu możemy odczytać:

A więc postać iloczynowa jest równa:

wyznaczmy drugą współrzędną wierzchołka:

Postać iloczynowa jest równa postaci kanonicznej:

Zbiór wartości:

Funkcja malejąca:

Funkcja rosnąca:

c) Miejscami zerowymi są liczby -2 i 1 zatem pierwsza współrzędna wierzchołka to:

Z wykresu można odczytać, że:

zatem:

Postać iloczynowa:

Obliczmy drugą współrzędną wierzchołka paraboli:

Postać kanoniczna:

Zbiór wartości:

Funkcja malejąca:

Funkcja rosnąca:

Oblicz promień okręgu wpisanego w trójkąt

Obliczamy długość przeciwprostokątnej:

{premium}

Obliczamy długość przeciwprostokątnej:

Oblicz sumę wszystkich ujemnych ...

Dany jest ciąg arytmetyczny -9,2 ; -8,8 ; -8,4 ; ...

Zatem:

{premium}

Wzór na n-ty wyraz tego ciągu ma postać:

Wyznaczamy numery wyrazów ciągu, które są ujemne.

Wyrazy są ujemne, czyli 23 początkowe wyrazy tego ciągu są ujemne.

Obliczamy ile wynosi suma tych wyrazów.

Liczba a jest dwukrotnym pierwiastkiem wielomianu

Jeśli liczba a jest dwukrotnym pierwiastkiem wielomianu w, to możemy dwukrotnie podzielić wielomian w przez dwumian (x-a).

Po dzieleniu otrzymaliśmy trójmian kwadratowy. Oczywiście można by było wykonać drugi raz dzielenie pisemne przez (x+1), ale możemy szybko rozłożyć trójmian na czynniki używając do tego delty.

{premium}

Wykonujemy dwukrotnie dzielenie pisemne: