Dzielenie wielomianu przez dwumian - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Dzielenie wielomianu przez dwumian - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Dzielenie wielomianu przez dwumian

W rozdziale dotyczącym wyrażeń algebraicznych pojawiło się już dzielenie wielomianów przez dwumiany. W tym rozdziale poznamy nowe i niezwykle użyteczne twierdzenie pozwalające szybko obliczać resztę z dzielenia wielomianu przez dwumian postaci $(x-a)$.

Twierdzenie o dzieleniu wielomianu $W(x)$ przez dwumian $(x-a)$ mówi, ze reszta z tego dzielenia jest równa $W(a)$. Od razu widać, że jeśli reszta jest równa zero, to twierdzenie rzeczywiście działa - $a$ jest wtedy pierwiastkiem wielomianu. Sprawdźmy je na przykładzie.

Weźmy wielomian $W(x) = x^4 - 3x^3 - 3x + 1$ i podzielmy go znanym już sposobem przez dwumian $(x-3)$ (schemat Hornera).

Dzielenie wielomianu przez dwumian - schemat Hornera

Jak widać, reszta z dzielenia to $(-8)$. Obliczając teraz $W(3)$ wynik także wychodzi $(-8)$.

Pierwiastki wymierne wielomianu

Gdy mamy obliczyć pierwiastki równania kwadratowego, nie sprawia to żadnego problemu - są na to gotowe wzory. Przy równaniu stopnia trzeciego pojawia się już problem, ale istnieją wzory także na równania sześcienne - i na równania stopnia czwartego także. Są one wprawdzie dość skomplikowane, ale przy dużej dozie samozaparcia da się dojść do wyniku.

Pytanie więc, co dzieje się w przypadku wielomianów stopnia wyższego niż 4? Wzory po prostu nie istnieją - i to w takim sensie, że została matematycznie udowodniona niemożliwość ich znalezienia.

Istnieją jednak pewne techniki umożliwiające szukanie pierwiastków takich wielomianów.

Twierdzenie o pierwiastkach wymiernych wielomianów mówi, że jeżeli wielomian ma wszystkie współczynniki całkowite, to jego pierwiastki wymierne (postaci ${p}/{q}$, oczywiście ułamek jest nieskracalny) spełniają warunki: 1) Wyraz wolny wielomianu jest podzielny przez $p$. 2) Współczynnik przy najwyższej potędze $x^n$ jest podzielny przez $q$.

Dowód tego faktu opiera się na zapisaniu wielomianu w postaci:
$a_n({p}/{q})^n + a_{n-1}({p}/{q})^{n-1} + ... + a_1{p}/{q} + a_0 = 0$

Jeśli pomnożymy teaz obie strony przez $q^n$:
$a_np^n + a_{n-1}p^{n-1}q + ... + a_1pq^{n-1} + aq^n = 0$

I przeniesiemy ostatni składnik na drugą stronę:
$a_np^n + a_{n-1}p^{n-1}q + ... + a_1pq^{n-1} = -aq^n$

to skoro lewa strona jest podzielna przez p - prawa także musi być. Ale liczby $p$ i $q$ nie miały wspólnych dzielników (ułamek był nieskracalny) - wynika z tego, że właśnie $a$ musi dzielić się przez $p$.

Dowód części drugiej jest zupełnie analogiczny, wymaga jedynie zrobienia kroku zerowego: przemnożenia obu stron przez $({q}/{p})^n$.

Nasze twierdzenie pozwala nam więc znajdować wszystkie pierwiastki wymierne wielomianu poprzez proste sprawdzenie wszystkich możliwych kombinacji dzielników wyrazu wolnego i wyrazu stojącego przy najwyższej potędze $x$-a.

Należy jednak zaznaczyć, że nie każdy taki ułamek będzie pierwiastkiem.

Przykład: znaleźć wszystkie wymierne pierwiastki wielomianu $W(x) = 6x^4-11x^3-13x^2+16x+12$.

Naszym pierwszym krokiem jest wypisanie wszystkich dzielników pierwszego i ostatniego wyrazu:
a) Dzielniki 6 to: 1, 2, 3, -1, -2, -3.
b) Dzielniki 12 to: 1, 2, 3, 4, 6, 12, -1, -2, -3, -4, -6, -12.

Teraz możemy sprawdzić, czy któraś z liczb powstałych przez podzielenie jednego dzielnika przez drugi jest pierwiastkiem.

Sprawdźmy po kolei:
$W({1}/{1}) = 10$ - nie jest pierwiastkiem
$W({2}/{1}) = 0$ - znaleźliśmy pierwiastek

Skoro mamy jeden pierwiastek, możemy podzielić nasz wielomian przez dwumian $(x-2)$ używając schematu Hornera - dzięki temu zmniejszymy o jeden stopień wielomianu i będzie nam łatwiej podstawiać kolejne liczby; zmniejszy się także wyraz wolny, a więc liczba potrzebnych do sprawdzenia dzielników.

$W(x) ÷ (x-2) = 6x^3+x^2-11x-6$

Dzielniki 6 to: 1, 2, 3, -1, -2, -3.

Sprawdzamy dalej:
$W({1}/{2}) = -{21}/{2}$ - nie jest pierwiastkiem
$W(-{1}/{2}) = -1$ - nie jest pierwiastkiem
$W({3}/{1}) = 132$ - nie jest pierwiastkiem
$W(-{3}/{1}) = -126$ - nie jest pierwiastkiem

$W({3}/{2}) = 0$ - znaleźliśmy kolejny pierwiastek.
Ponownie możemy podzielić wielomian korzystając ze schematu Hornera otrzymując:
$(W(x) ÷ (x-2))÷(x-{3}/{2}) = 6x^2+10x+4$

Moglibyśmy dalej kontynuować zgadywanie, ale jako że doszliśmy już do równania kwadratowego, łatwiej będzie po prostu obliczyć deltę i rozwiązać je za pomocą wzorów.

$△ = 4$
$x_1 = -1$
$x_2 = -{2}/{3}$

Jak widać akurat w tym przykładzie wszystkie pierwiastki były wymierne: nie musi tak jednak być i czasami, mimo że współczynniki wielomianu są całkowite, jego pierwiastki są na przykład tylko niewymierne.

Warto na koniec wspomnieć o jednej rzeczy, która, jeśli się jej nie zna, może mocno zaszkodzić przy rozwiązywaniu zadania. Należy zawsze sprawdzać pierwiastek drugi raz, żeby przekonać się, czy nie był podwójnym. Jeśli tego nie zrobimy, to możemy stwierdzić, że "przecież wszystkie pozostałe kombinacje zostały sprawdzone, więc nie ma już żadnych pierwiastków wymiernych" - co okaże się później poważnym błędem.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Wyznacz wzór funkcji kwadratowej w postaci ogólnej

 

Patrząc na zbiór wartości widzimy, że funkcja osiąga maksimum, zatem ramiona paraboli są skierowane w dół, co oznacza, że współczynnik a musi być ujemny. 

Zapiszmy informacje podane w treści zadania i wywnioskujmy z nich:

 

Wiemy, że:

 

 

Podsumujmy te informacje:

Wstawiamy do ostatniego równania pierwsze równanie

 

Zajmijmy się ostatnim równaniem: 

 

Mamy dwie możliwości:

Pierwszą możliwość odrzucamy - jeśli a=b=0, to mamy funkcję stałą. 

Zatem odpowiedzią jest: 

Wykres funkcji f przesuń ...

 

 

 

 

Sprawdźmy czy punkt A należy do tej funkcji.   {premium}

 

 

 

 

Punkt A należy do tej funkcji.


 

 

  

 

Sprawdźmy czy punkt A należy do tej funkcji.

 

 

 

 

 

Punkt A należy do tej funkcji.


 

 

 

 

Sprawdźmy czy punkt A należy do tej funkcji.

 

 

 

 

 

Punkt A nie należy do tej funkcji.

`` 

 

Rozwiąż układy równań

`{(4(2x-y+3)-3(x-2y+3)=48), (3(3x-4y+3)+4(4x-2y-9)=48):}`{premium}

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Wykaż, że jeśli wielomian W(x)=...

 

Wiemy, że:

 

 

 

Obliczamy: 

 

 

 

Stąd:

 

 

{premium}

Odejmujemy równania stronami, otrzymując:

 

 

Zauważmy, że jeśli współczynniki  będą liczbami całkowitymi, to lewa strona równania będzie liczbą parzystą.

Natomiast prawa strona równania jest zawsze liczbą nieparzystą.

Wynika stąd, że przynajmniej jeden ze współczynników  nie jest liczbą całkowitą, co należało dowieść.

Dla jakiej wartości a ...

Podstawiając współrzędne punktu  do równania funkcji , wyliczymy dla jakich wartości  

punkt  należy do wykresu tej funkcji.{premium}

Dla  punkt  należy do wykresu funkcji .

 

Odpowiedź: D    

Udowodnij, że dla każdej liczby naturalnej n ...

a)

 

Jest to iloczyn trzech kolejnych liczb (nieparzystej, parzystej, nieparzystej), więc cała liczba jest podzielna przez 6.  {premium}

 

b)

 

Odjemna jest podzielna przez 6, ponieważ jest to iloczyn trzech kolejnych liczb naturalnych.

Odjemnik jest podzielny przez 6, ponieważ jest to iloczyn 6 i liczby naturalnej.

Wobec tego cała liczba jest podzielna przez 6.

 

c)

 

Jest to iloczyn trzech kolejnych liczb naturalnych oraz liczb   i   

Iloczyn trzech kolejnych liczb naturalnych jest podzielny przez 6.

 

 

W trapezie ABCD przekątna ...

 

 

 

 

 

  

 

   

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

    

 

Jak należy przekształcić wykres ...

 

 

    {premium}

Aby otrzymać wykres funkcji g(x) musimy wykres funkcji f(x) przesunąć o 4 jednostki w prawo. 

 

 

Aby otrzymać wykres funkcji g(x) musimy wykres funkcji f(x) przesunąć o 10 jednostek w prawo. 

 

 

Aby otrzymać wykres funkcji g(x) musimy wykres funkcji f(x)  przesunąć o 1/2 jednostki w lewo. 

Korzystając z diagramu wyznacz zbiory

{premium}

 

Kolarz znajduje się w odległości 120 km od mety

Skoro za 4 godziny kolarz przekroczy linię mety, to w ciągu 1 godziny kolarz pokonuje 120 km:4=30 km. 

Odległość kolarza od mety maleje z każdą godziną o 30 km, zatem prawdziwa jest odpowiedź C.