Czworokąt wpisany i opisany w okrąg - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Czworokąt wpisany i opisany w okrąg - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Czworokąty wpisane w okrąg

Pierwszym zagadnieniem, którym się zajmiemy, będą warunki wpisywalności i opisywalności okręgów na czworokątach. Trzeba bowiem wspomnieć, że w przeciwieństwie do trójkątów - mogą istnieć czworokąty, na których nie da się opisać lub wpisać w nie okręgu.

Warunkiem wystarczającym i koniecznym do opisania okręgu na czworokącie jest to, czy naprzeciwległe kąty sumują się do $180°$.

Zaznaczmy na rysunku trzy punkty leżące na okręgu i zastanówmy się, gdzie może leżeć czwarty wierzchołek.

1

1) Suma kątów jest mniejsza od 180° - czwarty wierzchołek będzie leżał poza okręgiem. 2) Suma kątów jest większa od 180° - czwarty wierzchołek będzie leżał w okręgu. 3) Suma kątów jest równa 80° - czwarty wierzchołek będzie leżał dokładnie na okręgu, ponieważ suma kątów (a więc łuków) na całym okręgu musi być równa $180°$ (a więc $2Π$).
 

Okrąg wpisany w czworokąt

W przypadku okręgów wpisanych w czoworkąty warunek zależy od długości odpowiednich boków: musi zachodzić:
$AB + CD = BC + AD$

2

Dlaczego? Jeśli poprowadzimy cztery promienie (tak jak na rysunku) - przekonamy się, że zaznaczone trójkąty są podobne, więc sumując odpowiednie odcinki otrzymjemy:

$AW + CD = AW + WB + CY + YD = AZ + BX + CX + DZ = BC + AD$

 

Spis treści

Rozwiązane zadania
Napisz równanie prostej, której wykres jest podany na poniższych rysunkach

Nie jest to wykres funkcji, ponieważ dla argumentu x=-3 jest przyjmowane nieskończenie wiele wartości.

 

{premium}

Jest to wykres funkcji, dla każdego argumentu jest przyjmowana dokładnie jedna wartość, ta wartość to 2. 

 

 

Podstawiamy w miejsce x i y współrzędne punktów, które należą do wykresu funkcji, np. (-2, 0) i (0, 3):

Jest to wykres funkcji - dla każdego argumentu jest przyjmowana dokładnie jedna wartość. 

Punkty A, B i C wyznaczają...

a) Rzuty prostokątne odpowiednich prostych zostały zaznaczone kolorem czerwonym:{premium}

Rzutem prostokątnym prostej PA jest odcinek AS.

Rzutem prostokątnym prostej PB jest odcinek BS.

Rzutem prostokątnym prostej PC jest odcinek CS.


b) Kąty nachylenia odpowiednich prostych zostały zaznaczone kolorem pomarańczowym:

Kątem nachylenia prostej PA jest kąt PAS.

Kątem nachylenia prostej PB jest kąt PBS.

Kątem nachylenia prostej PC jest kąt PCS.

 

a) Dany jest ciąg arytmetyczny ...

   

 

 

      {premium}

 

 

Zatem:

 

 

Z treści zadania wiemy, że:

 

 

 

 

 

 

 

 

 


 

 

 

 

 

Rozwiązując drugą równość otrzymujemy:

 

 

 

 

 

 

 

Łatwo zauważyć, że  nie spełnia pierwszego równania.

Dla  otrzymujemy:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Dla  otrzymujemy:

 

 

  

 

 

 

 

 

Wyznacz wartość najmniejszą...

a) rozwiązane w ćwiczeniach

 

b)

 

{premium}  

 

 

 

 

 

Uzasadnij, że pole trójkąta równobocznego...

Wiemy, że:

{premium}  

Trójkąt równoboczny ma wszystkie boki równej długości, zatem:

 

Beata poprosiła koleżanki o pomoc ...

x - liczba poproszonych koleżanek

y - liczba zaproszeń przypadająca na jedną osobę (w przypadku gdy mamy x koleżanek)

  

 

{premium}   

 

 

 

 

 

 

 

 

  

           

 

Pamiętajmy, że dwie Panie nie przyszły, zatem 6-2=4.

Zaproszenia wypisywały 4 osoby.  

Suma kwadratów trzech kolejnych liczb parzystych niepodzielnych przez 4...

Wypiszmy kilka kolejnych liczb parzystych: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, ... . 

Widzimy, że co druga liczba parzysta jest podzielna przez 4, więc:{premium}

2n, 2n+4, 2n+8 - trzy kolejne liczby parzyste niepodzielne przez 4 (∈ C)

(zakładamy, że n jest dobrane tak, by liczba 2n była niepodzielna prze 4; będziemy później sprawdzać, czy n jest odpowiednie)


Suma kwadratów tych liczb jest równa 1004, więc:

 

 

 

 

 

 

 


Dla n=-11:

 

 

 


Dla n=7:

 

 

 


W obu przypadkach  żadna z otrzymanych liczb nie jest podzielna przez 4, więc oba otrzymane rozwiązania są prawidłowe.


Odp. Szukane liczby to -22, -18, -14 lub 14, 18, 22.

 

Naszkicuj w jednym układzie współrzędnych

 

Rysujemy wykres funkcji f. 

Wykres funkcji g otrzymujemy, przesuwając wykres funkcji f o{premium} 1 jednostkę w prawo wzdłuż osi OX. 

Wykres funkcji h otrzymujemy, przesuwając wykres funkcji g o 2 jednostki w dół wzdłuż osi OY. 

Zauważmy, że aby otrzymać wykres funkcji h można przesunąć wykres funkcji f o 1 jednostkę w prawo wzdłuż osi OX oraz 2 jednostki w dół wzdłuż osi OY, czyli o wektor [1, -2].

 

  

 

 

 

Rysujemy wykres funkcji f. 

Wykres funkcji g otrzymujemy, przesuwając wykres funkcji f o 3 jednostki w prawo wzdłuż osi OX. 

Wykres funkcji h otrzymujemy, przesuwając wykres funkcji g o 2 jednostki w górę wzdłuż osi OY. 

Zauważmy, że aby otrzymać wykres funkcji h można przesunąć wykres funkcji f o 3 jednostki w prawo wzdłuż osi OX oraz 2 jednostki w górę wzdłuż osi OY, czyli o wektor [3,2].

 

 

Zaznacz na osi liczbowej

Wyznacz współrzędne punktu przecięcia przekątnych...

Równanie ogólne prostej:

 

 

Wyznaczmy równania prostych AC i BD.

 

  • Prosta AC:

 

 

Stąd:

 

{premium}  

Przyjmijmy, że B = 1, wtedy:

 

czyli

 

 

 

 

Równanie ogólne prostej:

 

 

Prosta BD:

 

 

Stąd

 

 

 

zatem

 

 

Przyjmijmy, że B = 1, wtedy

C = 1

Równanie ogólne prostej:

 

 

Punkt przecięcia prostych zawierających przekątne czworokąta:

 

 

 

 

 

Punkt przecięcia ma współrzędne: