Zgoda na przetwarzanie danych osobowych

25 maja 2018 roku zacznie obowiązywać Rozporządzenie Parlamentu Europejskiego i Rady (UE) 2016/679 z dnia 27 kwietnia 2016 r. znane jako RODO.

Dlatego aby dalej móc dostarczać Ci materiały odpowiednie do Twojego etapu edukacji, potrzebujemy zgody na lepsze dopasowanie treści do Twojego zachowania. Dzięki temu możemy zapamiętywać jakie materiały są Ci potrzebne. Dbamy o Twoją prywatność, więc nie zwiększamy zakresu naszych uprawnień. Twoje dane są u nas bezpieczne, a zgodę na ich zbieranie możesz wycofać na podstronie polityka prywatności.

Klikając "Przejdź do Odrabiamy", zgadzasz się na wskazane powyżej działania. W przeciwnym wypadku, nie jesteśmy w stanie zrealizować usługi kompleksowo i prosimy o opuszczenie strony.

Polityka prywatności

Drogi Użytkowniku w każdej chwili masz prawo cofnąć zgodę na przetwarzanie Twoich danych osobowych. Cofnięcie zgody nie będzie wpływać na zgodność z prawem przetwarzania, którego dokonano na podstawie wyrażonej przez Ciebie zgody przed jej wycofaniem. Po cofnięciu zgody wszystkie twoje dane zostaną usunięte z serwisu. Udzielenie zgody możesz modyfikować w zakładce 'Informacja o danych osobowych'

Czworokąt wpisany i opisany w okrąg - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Czworokąty wpisane w okrąg

Pierwszym zagadnieniem, którym się zajmiemy, będą warunki wpisywalności i opisywalności okręgów na czworokątach. Trzeba bowiem wspomnieć, że w przeciwieństwie do trójkątów - mogą istnieć czworokąty, na których nie da się opisać lub wpisać w nie okręgu.

Warunkiem wystarczającym i koniecznym do opisania okręgu na czworokącie jest to, czy naprzeciwległe kąty sumują się do $$180°$$.

Zaznaczmy na rysunku trzy punkty leżące na okręgu i zastanówmy się, gdzie może leżeć czwarty wierzchołek.

1

1) Suma kątów jest mniejsza od 180° - czwarty wierzchołek będzie leżał poza okręgiem. 2) Suma kątów jest większa od 180° - czwarty wierzchołek będzie leżał w okręgu. 3) Suma kątów jest równa 80° - czwarty wierzchołek będzie leżał dokładnie na okręgu, ponieważ suma kątów (a więc łuków) na całym okręgu musi być równa $$180°$$ (a więc $$2Π$$).
 

Okrąg wpisany w czworokąt

W przypadku okręgów wpisanych w czoworkąty warunek zależy od długości odpowiednich boków: musi zachodzić:
$$AB + CD = BC + AD$$

2

Dlaczego? Jeśli poprowadzimy cztery promienie (tak jak na rysunku) - przekonamy się, że zaznaczone trójkąty są podobne, więc sumując odpowiednie odcinki otrzymjemy:

$$AW + CD = AW + WB + CY + YD = AZ + BX + CX + DZ = BC + AD$$

 

Spis treści

Rozwiązane zadania
Wyznacz trzeci, czwarty...

a)

`a_n=-3n+7` 

 

`a_3=-3*3+7` 

`a_3=-2` 

 

`a_4=-3*4+7` 

`a_4=-5` 

 

`a_8=-3*8+7` 

`a_8=-17` 

 

`a_(2k-3)=-3*(2k-3)+7` 

`a_(2k-3)=-6k+9+7` 

`a_(2k-3)=-6k+16` 


b)

`b_n=(-1)^(n+1)` 

 

`b_3=(-1)^4` 

`b_3=1` 

 

`b_4=(-1)^5` 

`b_4=-1` 

 

`b_8=(-1)^9` 

`b_8=-1` 

 

`b_(2k-3)=(-1)^(2k-3+1)` 

`b_(2k-3)=(-1)^(2k-2)`  


c)

`c_n=(3n-1)/(n^2+1)` 

 

`c_3=(3*3-1)/(3^2+1)` 

`c_3=8/10` 

`c_3=4/5` 

 

`c_4=(3*4-1)/(4^2+1)` 

`c_4=11/17`  

 

`c_8=(3*8-1)/(8^2+1)` 

`c_8=23/65` 

 

`c_(2k-3)=(3*(2k-3)-1)/((2k-3)^2+1)` 

`c_(2k-3)=(6k-9-1)/(4k^2-12k+9+1)` 

`c_(2k-3)=(6k-10)/(4k^2-12k+10)` 


d)

`d_n=2sqrtn-3` 

 

`d_3=2sqrt3-3` 

 

`d_4=2sqrt4-3` 

`d_4=2*2-3` 

`d_4=1` 

 

`d_8=2sqrt8-3` 

`d_8=2*2sqrt2-3` 

`d_8=4sqrt2-3` 

 

`d_(2k-3)=2sqrt(2k-3)-3` 


e)

`e_n=(n^2-4)/(4n+8)` 

 

`e_3=(3^2-4)/(4*3+8)` 

`e_3=5/20` 

`e_3=1/4` 

 

`e_4=(4^2-4)/(4*4+8)` 

`e_4=12/24` 

`e_4=1/2` 

 

`e_8=(8^2-4)/(4*8+8)` 

`e_8=60/40` 

`e_8=3/2` 

 

`e_(2k-3)=((2k-3)^2-4)/(4*(2k-3)+8)`  

`e_(2k-3)=(4k^2-12k+9-4)/(8k-12+8)` 

`e_(2k-3)=(4k^2-12k+5)/(8k-4)` 


f)

`f_n=(-1)^n*2^(n-4)` 

 

`f_3=(-1)^3*2^(3-4)` 

`f_3=-1*2^(-1)` 

`f_3=-1/2`  

 

`f_4=(-1)^4*2^(4-4)` 

`f_4=1*2^0` 

`f_4=1` 

 

`f_8=(-1)^8*2^(8-4)` 

`f_8=1*2^4` 

`f_8=16` 

 

`f_(2k-3)=(-1)^(2k-3)*2^(2k-3-4)` 

`f_(2k-3)=(-1)^(2k-3)*2^(2k-7)` 

Wyznacz ciąg ...

`a)` 

`a_3=a_2*q implies q=a_3/a_2` 

`q=(2/15)/(5/12)=2/15*12/5=24/75=8/25`    

`a_2=a_1*q implies a_1=a_2/q=5/12*25/8=125/96`    

`b)` 

`q=a_4/a_3=(1 1/4)/(1 1/2)=5/4*2/3=10/12=5/6` 

`a_3=a_1*q^2 implies a_1=a_3/q^2=(3/2)/(5/6)^2=3/2*36/25=108/50`  

 

`c)` 

`a_4=a_2*q^2 implies q^2=a_4/a_2=28/7=4` 

`q=2\ \ \vee\ \ \q=-2` 

`a_1=a_2/q=7/2\ \ \vee\ \ \a_1=-7/2` 

 

`d)` 

`a_6=a_3*q^3 implies q^3=a_6/a_3=(-24)/-3=8` 

`q=root(3)(8)=2` 

`a_1=a_3/q^2=-3/4`   

 

`e)` 

`a_10=a_6*q^4 implies q^4=a_10/a_6=2/32=1/16` 

`q=root(4)(1/16)=1/2\ \ \vee\ \ \q=-1/2` 

`a_1=a_6/q^5=32/(1/32)=1024\ \ \vee\ \ \a_1=32/(1/-32)=-1024` 

 

`f)` 

`a_8=a_6*q^2 implies q^2=a_8/a_6=9` 

`q^2=9`  

`q=3\ \ \vee \ \ \q=-3` 

`a_1=a_6/q^5=1/3^5=1/243\ \ \vee \ \ \a_1=1/(-3)^5=1/-243` 

Wykaż, że dla dowolnych ...

`"a)"\ log_()x/y+log_()y/x=0`  

`"L"=log_()x/y+log_()y/x=log_()(strikex^1/strikey^1*strikey^1/strikex^1)=log1=0` 

`"P"=0` 

`"L"="P"` 

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))`

`"b)"\ logx^2y^2=2logx+2logy` 

`"L"=logx^2y^2=logx^2+logy^2=2logx+2logy` 

`"P"=2logx+2logy` 

`"L"="P"` 

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))` 

`"c)"\ logx^2y-logxy^2=logx-logy` 

`"L"=logx^2y-logxy^2=logx^2+logy-(logx+logy^2)=2log+logy-(logx+2logy)=`  

`\ \ \ =2logx+logy-logx-2logy=logx-logy` 

`"P"=logx-logy` 

`"L"="P"` 

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))` 

`"d)"\ logx^3y^4-logx^2y^3=logx+logy` 

`"L"=logx^3y^4-logx^2y^3=logx^3+logy^4-(logx^2+logy^3)=3logx+4logy-(2logx+3logy)=` 

`\ \ \ \ =3logx+4logy-2logx-3logy=logx+logy` 

`"P"=logx+logy` 

`"L"="P"` 

Przekątna równoległoboku długości 24 cm...

Rysunek poglądowy:

Kąt wewnętrzny przy wierzchołku D ma miarę 110o, zatem kąt przy wierzchołku A ma miarę 70o. Kąty naprzemianległe mają równe miary, zatem:

`|/_BDC| = |/_DBA|` 

 

A więc trójkąt ABD jest równoramienny, zatem:

`|AB| = 24` 

 

Z twierdzenia sinusów:

`(|AB|)/(sin70^o) approx 24/(0,9397) approx 25,54`   

 

Stąd:

`(|AD|)/(sin40^o) approx 25,54` 

`|AD| approx 25,54 * sin 40^o approx 25,54* 0,6428 approx 16,42` 

 

Pole równoległoboku:

`P = |AB|*|AD|*sin 70^o = 24 * 16,42 * 0,9397 approx 370 \ ["cm"^2]` 

 

Obwód równoległoboku:

`O = 2*|AB|+2*|AD| = 2*24 +2*16,42 = 48 + 32,84 = 80,8 \ ["cm"^2]` 

Krawędzie boczne ostrosłupa, którego podstawą jest prostokąt...

`sin^2beta+cos^2beta=1` 

`(1/3)^2+cos^2beta=1` 

`1/9+cos^2beta=1 \ \ \ |-1/9` 

`cos^2beta=8/9` 

`cosbeta=(2sqrt2)/3` 

{premium}

 `tgbeta=sinbeta/cosbeta=(1/3)/((2sqrt2)/3)=1/(2sqrt2)=sqrt2/4` 

`5/(1/2b)=tgbeta` 

`5/(1/2b)=sqrt2/4 \ \ \ |*1/2b` 

`5=sqrt2/8b \ \ \ |:sqrt2/8` 

`40/sqrt2=b` 

`(40sqrt2)/2=b` 

`20sqrt2=b` 


`5/(1/2a)=tgalpha` 

`5/(1/2a)=4/3 \ \ \ |*1/2a` 

`5=2/3a \ \ \ |:2/3` 

`15/2=a` 


`"Obw"=2a+2b=2*15/2+2*20sqrt2=15+40sqrt2` 

  

Ile miejsc zerowych ma funkcja f

W każdym przykładzie zaczniemy od wyznaczenia dziedziny. Kreska ułamkowa oznacza dzielenie. Nie można dzielić przez 0, dlatego musimy zadbać o to, aby wyrażenie w mianowniku nie przyjmowało wartości 0. 

 

`a)` 

`(x-1)^2(x+2)^2ne0` 

`x-1ne0\ \ \ "i" \ \ \ x+2ne0` 

`xne1\ \ \ \ \ \ \ \ "i"\ \ \ xne-2` 

`D=RR\\{-2;\ 1}` 

 

Szukamy miejsc zerowych:

`((x^2-1)(x^2-4)(x^2+9))/((x-1)^2(x+2)^2)=0\ \ \ \ \ |*(x-1)^2(x+2)^2` 

`(x^2-1)(x^2-4)(x^2+9)=0` 

`(x-1)(x+1)(x-2)(x+2)(x^2+9)=0` 

`x-1=0\ \ \ "lub"\ \ \ x+1=0\ \ \ "lub"\ \ \ x-2=0\ \ \ "lub"\ \ \ x+2=0\ \ \ "lub"\ \ \ x^2+9=0` 

`x=1\ \ \ \ \ \ \ \ "lub"\ \ \ x=-1\ \ \ \ \ \ "lub"\ \ \ x=2\ \ \ \ \ \ \ \ "lub"\ \ \ x=-2\ \ \ \ \ \ "lub"\ \ \ x^2=-9` 

Ostatnie równanie nie ma rozwiązania - kwadrat dowolnej liczby rzeczywistej jest nieujemny, więc nigdy nie przyjmie wartości równej -9.

Stąd mamy czterech "kandydatów na miejsce zerowe". Sprawdzamy, które z otrzymanych rozwiązań należą do dziedziny. 

`x=1notinD\ \ \ "lub"\ \ \ x=-1inD\ \ \ "lub"\ \ \ x=2inD\ \ \ "lub"\ \ \ x=-2notinD` 

Odrzucamy rozwiązania nienależące do dziedziny i ostatecznie mamy dwa miejsca zerowe:

`ul(ul(x=-1\ \ \ "lub"\ \ \ x=2))` 

 

 

`ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ )`   

 

 

`b)` 

`x^2-4x+4ne0` 

Korzystając ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat różnicy możemy zapisać:

`(x-2)^2ne0` 

`x-2ne0` 

`xne2` 

`D=RR\\{2}` 

 

Szukamy miejsc zerowych:

`(x^2(x^2-2)(x-2)^2)/(x^2-4x+4)=0\ \ \ \ \ |*(x^2-4x+4)` 

`x^2(x^2-2)(x-2)^2=0` 

`x^2(x-sqrt2)(x+sqrt2)(x-2)^2=0` 

`x=0inD\ \ \ \ "lub"\ \ \ \ x=sqrt2inD\ \ \ \ "lub"\ \ \ \ x=-sqrt2inD\ \ \ \ "lub" \ \ \ \ x=2notinD` 

Odrzucamy rozwiązania nienależące do dziedziny i ostatecznie mamy trzy miejsca zerowe:

`ul(ul(x=0\ \ \ "lub"\ \ \ x=sqrt2\ \ \ "lub"\ \ \ x=-sqrt2))` 

 

`ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ )` 

 

 

`c)` 

`x(x^2+6x+9)ne0` 

`x(x+3)^2ne0` 

`xne0\ \ \ "i"\ \ \ xne-3` 

`D=RR\\{-3;\ 0}` 

 

Szukamy miejsc zerowych:

`(x^2(x^2-9)(9x^2+6x+1))/(x(x^2+6x+9))=0\ \ \ \ \ \ \ |*x(x^2+6x+9)` 

`x^2(x^2-9)(9x^2+6x+1)=0` 

`x^2(x-3)(x+3)(3x+1)^2=0` 

`x=0notinD\ \ \ "lub"\ \ \ x=3inD\ \ \ "lub"\ \ \ x=-3notinD\ \ \ "lub"\ \ \ x=-1/3inD` 

Odrzucamy rozwiązania nienależące do dziedziny i ostatecznie mamy dwa miejsca zerowe:

`ul(ul(x =3\ \ \ "lub"\ \ \ x=-1/3))` 

 

 

`ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ )` 

 

 

`d)` 

`(x^2+4)(x+4)^2ne0` 

`x^2+4ne0\ \ \ "i"\ \ \ x+4ne0` 

`x^2ne-4\ \ \ \ \ \ "i"\ \ \ xne-4` 

Pierwszy warunek jest spełniony przez każdą liczbę rzeczywistą, ponieważ kwadrat dowolnej liczby jest nieujemny, więc na pewno nie będzie równy -4.

`D=RR\\{-4}` 

 

Szukamy miejsc zerowych:

`((4x-1)^2(1-4x)^2(x^2+4x+4))/((x^2+4)(x+4)^2)=0\ \ \ \ \ \ |*(x^2+4)(x+4)^2` 

`(4x-1)^2(1-4x)^2(x^2+4x+4)=0` 

`(4x-1)^2(1-4x)^2(x+2)^2=0` 

`x=1/4inD\ \ \ \ "lub"\ \ \ x=1/4inD\ \ \ \ "lub"\ \ \ \ x=-2inD` 

Wszystkie otrzymane rozwiązania należą do dziedziny, więc funkcja ma dwa miejsca zerowe:

`ul(ul(x=1/4\ \ \ "lub"\ \ \ x=-2))` 

Budynek rzuca ...

`x-"wysokość budynku"` 

 

`tgalpha=tg 55^@=x/19`  

`x=19*tg55^@~~19*1,4281=27,1339` 

 

`"Wysokość budnku wynosi 27,1339 m."`   

 

 

Kwadrat o boku 2π rozcięto na dwa...

Rysunek pomocniczy:

`V_1=pir^2h=pix^2*2pi=2pi^2x^2` 

`V_2=pi(2pi-x)^2*2pi=2pi^2(4pi^2-4pix+x^2)=2pi^2x^2-8pi^3x+8pi^4` 

{premium}

`V_1+V_2=4pi^2x^2-8pi^3x+8pi^4` 

Funkcja sumy objętości tych walców w zależności od x jest następująca:

`f(x)=4pi^2x^2-8pi^3x+8pi^4` 

Jest to funkcja kwadratowa.

Aby wyznaczyć najmniejszą możliwą objętość należy obliczyć wierzchołek tej funkcji.

Następnie należy wyznaczyć wartość tej funkcji w wyznaczonym argumencie.

`a=4pi^2, \ \ b=-8pi^3, \ \ c=8pi^4` 

`p=(-b)/(2a)=(8pi^3)/(2*4pi^2)=(8pi^3)/(8pi^2)=pi` 

 

`f(pi)=4pi^2*pi^2-8pi^3*pi+8pi^4` 

`f(pi)=4pi^4-8pi^4+8pi^4` 

`f(pi)=4pi^4` 

 

Odp. Najmniejsza możliwa suma objętości tych walców to `4pi^4` .

 

Uwaga !!!

W odpowiedziach w książce podano błędną odpowiedź.

a) Liczba permutacji zbioru (n+1) ...

a)

Liczba permutacji zbioru (n+1)-elementowego: (n+1)!

Liczba permutacji zbioru n-elementowego: n!

Otrzymujemy równanie:

`(n+1)! =n!+600` 

`n!*(n+1)=n!+600` 

`n!*n+n! =n!+600 \ \ \ |-n!` 

`n!*n=600` 

{premium}

Spróbujmy zgadnąć dla jakiej liczby naturalnej powyższa równość jest prawdziwa.

Możemy zauważyć, że `6! =720` więc liczba ta na pewno jest mniejsza niż 6.

Sprawdźmy `n=5` 

`5!*5=600` 

`120*5=600` 

`600=600` 

Równość jest prawdziwa dla `n=5` 


b)

Liczba permutacji zbioru (n+3)-elementowego: (n+3)!

Liczba permutacji zbioru n-elementowego: n!

Otrzymujemy równanie:

`(n+3)! =n!*120` 

`n!*(n+1)*(n+2)*(n+3)=n!*120 \ \ \ |:n!` 

`(n+1)(n+2)(n+3)=120` 

`(n^2+2n+1n+2)(n+3)=120` 

`(n^2+3n+2)(n+3)=120` 

`n^3+3n^2+3n^2+9n+2n+6-120=0` 

`n^3+6n^2+11n-114=0` 

 

Szukamy pierwiastków wielomianu `W(x)=x^3+6x^2+11x-114` 

Pierwiastkami mogą być: 1,-1, 2,-2, 3,-3, 19,-19, 38,-38, 57,-57.

Sprawdźmy x=3

`W(3)=3^3+6*3^2+11*3-114=27+54+33-114=0` 

Podzielmy wielomian W(x) przez dwumian (x-3) aby rozłożyć ten wielomian to czynniki niższego stopnia.

 

Zatem równanie `n^3+6n^2+11n-114=0` możemy zapisać następująco

`(n-3)(n^2+9n+38)=0` 

Sprawdźmy, czy `n^2+9n+38=0` dla pewnego n

`Delta=9^2-4*1*38=81-152=-71 < 0` 

Wobec tego jedynym rozwiązaniem tego równania jest liczba `n=3` 

Naszkicuj na rysunku przedstawiającym wykres ...

`a)` 

`b)` 

`c)`