Czworokąt wpisany i opisany w okrąg - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Czworokąty wpisane w okrąg

Pierwszym zagadnieniem, którym się zajmiemy, będą warunki wpisywalności i opisywalności okręgów na czworokątach. Trzeba bowiem wspomnieć, że w przeciwieństwie do trójkątów - mogą istnieć czworokąty, na których nie da się opisać lub wpisać w nie okręgu.

Warunkiem wystarczającym i koniecznym do opisania okręgu na czworokącie jest to, czy naprzeciwległe kąty sumują się do $$180°$$.

Zaznaczmy na rysunku trzy punkty leżące na okręgu i zastanówmy się, gdzie może leżeć czwarty wierzchołek.

1

1) Suma kątów jest mniejsza od 180° - czwarty wierzchołek będzie leżał poza okręgiem. 2) Suma kątów jest większa od 180° - czwarty wierzchołek będzie leżał w okręgu. 3) Suma kątów jest równa 80° - czwarty wierzchołek będzie leżał dokładnie na okręgu, ponieważ suma kątów (a więc łuków) na całym okręgu musi być równa $$180°$$ (a więc $$2Π$$).
 

Okrąg wpisany w czworokąt

W przypadku okręgów wpisanych w czoworkąty warunek zależy od długości odpowiednich boków: musi zachodzić:
$$AB + CD = BC + AD$$

2

Dlaczego? Jeśli poprowadzimy cztery promienie (tak jak na rysunku) - przekonamy się, że zaznaczone trójkąty są podobne, więc sumując odpowiednie odcinki otrzymjemy:

$$AW + CD = AW + WB + CY + YD = AZ + BX + CX + DZ = BC + AD$$

 

Spis treści

Rozwiązane zadania
Jeśli...

Z jedynki trygonometrycznej:

 

 

 

 

Kąt alfa jest kątem ostrym a więc sinus jest dodatni.

 

 

 

 

 

Zatem:

 

Odpowiedź D

Rozwiąż układy równań

`{(4(2x-y+3)-3(x-2y+3)=48), (3(3x-4y+3)+4(4x-2y-9)=48):}`{premium}

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Naszkicuj...

Zbiór wartości funkcji f(x) to zbiór:

 

 

Funkcja g(x) to funkcja f(x) przesunięta o 3/2 jednostki w górę. Jej zbiór wartości to:

 

 

Funkcja h(x) to funkcja f(x) przesunięta o 1 jednostkę w dół. Jej zbiór wartości to:

 

 

Wykresy:

W trójwyrazowym ciągu arytmetycznym ...

Przypomnijmy, że w ciągu arytmetycznym  zachodzi zależność

 

dla wszystkich  i .

 

W szczególności warunek ten zachodzi pomiędzy {premium}trzema sąsiednimi wyrazami.

Wiemy, że drugi wyraz ciągu jest równy , zatem

 

.

Możemy obliczyć już sumę wszystkich wyrazów tego ciągu

.

Oblicz granicę ciągu określonego...

a) 

 

 

 

 

 

 


b) 

 

 

 

 

 

 


c) 

 

 

 

Ile punktów wspólnych wykresów funkcji ...

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

          

 

 

 

  

 

 

 

  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  

          

 

 

 

 

 

 

 

   

  

  

 

 

 

 

 

 

 

  

          

W chórze śpiewa 9 dziewcząt

 

 

 

Do wykonania utworu trzeba wybrać 6 z 9 dziewcząt oraz 2 z n chłopców. Liczba takich wyborów jest równa:

 

 

 

Wiemy, że liczba wszystkich takich wyborów jest 84 razy większa od liczby członków chóru:

 

 

 

 

 

 

  

         

 

Oczywiście liczba chłopców musi być wyrażona liczbą naturalną, dlatego n=6. 

Liczba wszystkich członków chóru jest więc równa 9+6=15, czyli prawidłowa jest odpowiedź B. 

Ciąg (an) jest ciągiem geometrycznym...

a) Wyznaczmy pierwszy wyraz podanego ciągu stosując zależność:

 

Podstawmy podane wartości z treści zadania:{premium}

 

 

 

Ze wzoru na n początkowych wyrazów ciągu geometrycznego:

 

a więc:

 

Stąd:

 

 

 

Pomocniczo przekształćmy wyrażenie po lewej stronie równania:  

 

 

 

A więc:

 

 

 

 

 

 

 

 

Podstawy potęgi są takie same oraz funkcja wykładnicza jest różnowartościowa. Możemy więc porównać ze sobą wykładniki:

 

 

b) Obliczmy pierwszy wyraz tego ciągu:

  

 

 

 

 

 

Wiemy, że n-ty wyraz ciągu geometrycznego wyraża się wzorem:

Zatem:

 

 

 

 

 

 

Analogicznie jak w podpunkcie a), możemy porównać ze sobą wykładniki:

 

 

 

c) Dowolny n-ty wyraz ciągu geometrycznego możemy opisać wzorem:

 

 

 

 

 

Porównajmy wykładniki.

 

 

 

 

d) Zauważmy, że:

 

 

 

 

Dodatkowo zauważmy, że:

 

Stąd wynika:

 

Wiemy, że:

 

Tak więc:

 

Przeczytaj podany w ramce ...

 

 

 

 

    

Wykonaj działania ...