Zgoda na przetwarzanie danych osobowych

25 maja 2018 roku zacznie obowiązywać Rozporządzenie Parlamentu Europejskiego i Rady (UE) 2016/679 z dnia 27 kwietnia 2016 r. znane jako RODO.

Dlatego aby dalej móc dostarczać Ci materiały odpowiednie do Twojego etapu edukacji, potrzebujemy zgody na lepsze dopasowanie treści do Twojego zachowania. Dzięki temu możemy zapamiętywać jakie materiały są Ci potrzebne. Dbamy o Twoją prywatność, więc nie zwiększamy zakresu naszych uprawnień. Twoje dane są u nas bezpieczne, a zgodę na ich zbieranie możesz wycofać na podstronie polityka prywatności.

Klikając "Przejdź do Odrabiamy", zgadzasz się na wskazane powyżej działania. W przeciwnym wypadku, nie jesteśmy w stanie zrealizować usługi kompleksowo i prosimy o opuszczenie strony.

Polityka prywatności

Drogi Użytkowniku w każdej chwili masz prawo cofnąć zgodę na przetwarzanie Twoich danych osobowych. Cofnięcie zgody nie będzie wpływać na zgodność z prawem przetwarzania, którego dokonano na podstawie wyrażonej przez Ciebie zgody przed jej wycofaniem. Po cofnięciu zgody wszystkie twoje dane zostaną usunięte z serwisu. Udzielenie zgody możesz modyfikować w zakładce 'Informacja o danych osobowych'

Czworokąt wpisany i opisany w okrąg - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Czworokąty wpisane w okrąg

Pierwszym zagadnieniem, którym się zajmiemy, będą warunki wpisywalności i opisywalności okręgów na czworokątach. Trzeba bowiem wspomnieć, że w przeciwieństwie do trójkątów - mogą istnieć czworokąty, na których nie da się opisać lub wpisać w nie okręgu.

Warunkiem wystarczającym i koniecznym do opisania okręgu na czworokącie jest to, czy naprzeciwległe kąty sumują się do $$180°$$.

Zaznaczmy na rysunku trzy punkty leżące na okręgu i zastanówmy się, gdzie może leżeć czwarty wierzchołek.

1

1) Suma kątów jest mniejsza od 180° - czwarty wierzchołek będzie leżał poza okręgiem. 2) Suma kątów jest większa od 180° - czwarty wierzchołek będzie leżał w okręgu. 3) Suma kątów jest równa 80° - czwarty wierzchołek będzie leżał dokładnie na okręgu, ponieważ suma kątów (a więc łuków) na całym okręgu musi być równa $$180°$$ (a więc $$2Π$$).
 

Okrąg wpisany w czworokąt

W przypadku okręgów wpisanych w czoworkąty warunek zależy od długości odpowiednich boków: musi zachodzić:
$$AB + CD = BC + AD$$

2

Dlaczego? Jeśli poprowadzimy cztery promienie (tak jak na rysunku) - przekonamy się, że zaznaczone trójkąty są podobne, więc sumując odpowiednie odcinki otrzymjemy:

$$AW + CD = AW + WB + CY + YD = AZ + BX + CX + DZ = BC + AD$$

 

Spis treści

Rozwiązane zadania
Wyznacz cztery pierwsze wyrazy ...

`n in NN_+` 

`a_n+a_(n+1)=(2n+1)/(n^2+n)` 

`a_n-a_(n+1)=1/(n^2+n)`   

`a_n+a_(n+1)+a_n-a_(n+1)=(2n+1)/(n^2+n)+1/(n^2+n)` 

`2a_n=(2n+2)/(n^2+n)` 

`a_n=(n+1)/(n(n+1))=1/n` 

Wyznaczmy pierwsze cztery wyrazy otrzymanego ciągu.

`a_1=1` 

`a_2=1/2` 

`a_3=1/3` 

`a_4=1/4`   

Podaj trzy pary liczb

`a)`

Zauważmy, że drugie równanie powstało przez pomnożenie pierwszego równania razy 3. Jeśli jedno równanie jest wielokrotnością drugiego, to układ jest nieoznaczony. Każda para liczb spełniająca jedno równanie, spełnia także drugie równanie. Wyznaczmy więc trzy pary liczb spełniające pierwsze równanie.  Najpierw wyznaczymy y z pierwszego równania - pozwoli to łatwo znajdować pary liczb. 

`2x-y=3\ \ \ |-2x`

`-y=-2x+3\ \ \ |*(-1)`

`y=2x-3`

 

Wyznaczmy trzy pary liczb spełniające pierwsze równanie, a więc spełniające cały układ równań:

`x=0\ \ \ ->\ \ \ y=2*0-3=0-3=-3\ \ \ ->\ \ \ "para"\ (0;\ -3)`

`x=3\ \ \ ->\ \ \ y=2*3-3=6-3=3\ \ \ ->\ \ \ "para"\ (3;\ 3)`

`x=10\ \ \ ->\ \ \ y=2*10-3=20-3=17\ \ \ ->\ \ \ "para"\ (10;\ 17)`

 

 

 

`b)`

Zauważmy, że drugie równanie powstało przez pomnożenie pierwszego równania razy -2. Jeśli jedno równanie jest wielokrotnością drugiego, to układ jest nieoznaczony. Każda para liczb spełniająca jedno równanie, spełnia także drugie równanie. Wyznaczmy więc trzy pary liczb spełniające pierwsze równanie.  Najpierw wyznaczymy y z pierwszego równania - pozwoli to łatwo znajdować pary liczb. 

`2x-3y=4\ \ \ \ |-2x`

`-3y=-2x+4\ \ \ |:(-3)`

`y=2/3x-4/3`

 

Wyznaczmy trzy pary liczb spełniające pierwsze równanie, a więc spełniające cały układ równań:

`x=0\ \ \ ->\ \ \ y=2/3*0-4/3=0-4/3=-4/3\ \ \ ->\ \ \ "para"\ (0;\ -4/3)`

`x=2\ \ \ ->\ \ \ y=2/3*2-4/3=4/3-4/3=0\ \ \ ->\ \ \ "punkt"\ (2;\ 0)`

`x=-1\ \ \ ->\ \ \ y=2/3*(-1)-4/3=-2/3-4/3=-6/3=-2\ \ \ ->\ \ \ "punkt"\ (-1;\ -2)`

 

 

`c)`

Zauważmy, że pierwsze równanie powstało przez pomnożenie drugiego równania razy -6. Jeśli jedno równanie jest wielokrotnością drugiego, to układ jest nieoznaczony. Każda para liczb spełniająca jedno równanie, spełnia także drugie równanie. Wyznaczmy więc trzy pary liczb spełniające pierwsze równanie.  Najpierw wyznaczymy y z pierwszego równania - pozwoli to łatwo znajdować pary liczb. 

`-3x+4y=6\ \ \ |+3x`

`4y=3x+6\ \ \ |:4`

`y=3/4x+6/4`

`y=3/4x+3/2`

 

 

Wyznaczmy trzy pary liczb spełniające pierwsze równanie, a więc spełniające cały układ równań:

`x=0\ \ \ ->\ \ \ y=3/4*0+3/2=0+3/2=3/2\ \ \ ->\ \ \ "para"\ (0;\ 3/2)`

`x=2\ \ \ ->\ \ \ y=3/4*2+3/2=3/2+3/2=6/2=3\ \ \ ->\ \ \ "para"\ (2;\ 3)`

`x=-2\ \ \ ->\ \ \ y=3/4*(-2)+3/2=-3/2+3/2=0\ \ \ ->\ \ \ "para"\ (-2;\ 0)`

 

Uzasadnij, że funkcja f ...

`a)` 

`f(x)=(1/2x-3)/(x-6)=(1/2x-3)/(2(1/2x-3))=1/2` 

`x-6ne0\ implies xne6`   

`D=RR\\{6}`  

`ZW={1/2}`       

 

`b)` 

`f(x)=(2-x)/(1-1/2)=4-2x` 

`D=RR` 

`ZW=RR` 

 

`c)` 

`f(x)=(4-6x)/(9x-6)=(-2(3x-2))/(3(3x-2))=-2/3` 

`9x-6ne0\ implies\ x ne 2/3` 

`D=RR\\{2/3}`  

`ZW={-2/3}`            

Samochód osobowy jadący ...

Obliczenia prowadzimy w następujących jednostkach:

-prędkość - km/h

-czas - h (godziny)

-droga - km

  

`v_1=70`  

`t=2 12/60=2,2` 

`v_2=22` 

`s-"rozważana droga"` 

`x-"szukany czas przejazdu motorowerem drogi s"`   

 

`s=v_1*t`  

`v_1*t=v_2*x` 

`x=(v_1t)/v_2=(70*2,2)/22=7` 

Motorowerzysta pokona trasę s w czasie siedmiu godzin.  

 

`t_2=3,5` 

`y-"szukana prędkość"` 

`v_1*t=y*t_2` 

`y=(v_1t)/t_2=(70*2,2)/(7/2)=22/(1/2)=44` 

Aby pokonać trasę w czasie 3,5 godziny należy poruszać się z predkością 44 kilometrów na godzinę. 

Wyznacz równanie prostej o współczynniku...

a)

`y=ax+b` 

`y=x+b` 

 

`6=5+b \ \ \ |-5` 

`1=b` 

 

`y=x+1` 


b)

`y=ax+b` 

`y=2x+b` 

 

`3=2*(-2)+b` 

`3=-4+b \ \ \ |+4` 

`7=b` 

 

`y=2x+7` 


c)

`y=ax+b` 

`y=-3/2x+b` 

 

`-1=-3/2*1/2+b` 

`-1=-3/4+b \ \ \ |+3/4` 

`-1/4=b` 

 

`y=-3/2x-1/4` 

Punkt A(3,-5) jest wierzchołkiem rombu ...

`A=(3;-5)` 

`P=(2;-2)` 

`B=(b_1;b_2)` 

`C=(c_1;c_2)` 

`D=(d_1;d_2)` 

`k:\ y-x=0` 

 

`k:\ y=x` 

`AP:\ y=ax+b` 

`{(-5=3a+b),(-2=2a+b):}` 

`{( 5=-3a-b),(-2=2a+b):}` 

`3=-a` 

`a=-3` 

`b=-2-2a=4` 

`AP:\ y=-3x+4`   

`|AP|=sqrt((2-3)^2+(-2+5)^2)=sqrt10` 

Przekątne rombu przecinają się w połowie.

`vec(AP)=[2-3;-2+5]=[-1;3]` 

`vec(AP)=vec(PC)` 

`[c_1-2;c_2+2]=[-1;3]` 

`c_1-2=-1\ implies\ c_1=1` 

`c_2+2=3\ implies \ c_2=1` 

`ul(C=(1;1)`     

 

(Zamiast korzystać z własności wektorów można zapisać nieznane współrzędne punktu C następująco:

`C=(c;-3c+4)` 

(punkt C leży na prostej y=-3x+4)

następnie:

`|PC|=|AP|=sqrt((2-3)^2+(-2+5)^2)=sqrt10` 

`|AC|=sqrt((2-c)^2+(-2+3c-4)^2)=sqrt10` 

Z powyższej zależności wyznaczymy c, czyli współrzędne wierzchołka C bez użycia wektorów.)

 

Przekątne rombu przecinają się pod kątem prostym, zatem: 

` BD:\ y=1/3x+b`  

`P=(2;-2)` 

`-2= 2/3+b`  

`b=-8/3`  

`ul(BD:\ y=1/3x-8 /3`  

Rozwiązaniem poniższego układu są współrzędne jednego z wierzchołków rombu.

`{(k:\ y=x),(BD:\ y=1/3x-8/3):}`  

`x=1/3x-8/3` 

`2x=-8` 

`x=-4` 

`y=-4` 

`ul(D=(-4;-4)`  

 

`vec(DP)=[2+4;-2+4]=[6;2]=vec(PB)` 

`[6;2]=vec(PB)=[b_1-2;b_2+2]` 

`b_1-2=6\ implies\ b_1=8` 

`b_2+2=2\ implies\ b_2=0` 

`ul(B=(8;0)` 

 

Wyznaczmy nieznane równania prostych zawierających boki rombu.

`ul(BD:\ y=1/3x-8 /3`  

 

`AB:\ y= ax+b` 

`{(0=8a+b),(-5=3a+b):}` 

`{(0=8a+b),( 5=-3a-b):}` 

`5a=1` 

`a=1` 

`b=-8a=-8` 

`ul(AB:\ x-8` 

 

`BC:\ y=ax+b` 

`{(0=8a+b),(1=a+b):}`       

 

`{(0=-8a-b),(1=a+b):}`       

`-7a=1` 

`a=-1/7` 

`b=-8a=8/7` 

`ul(BC:\ y=-1/7x+8/7` 

 

`CD:\ y=ax+b` 

`{(1=a+b),(-4=-4a+b):}` 

`{(-1=-a-b),(-4=-4a+b):}` 

`-5=-5a` 

`a=1` 

`b=-a+1=0` 

`ul(CD: \ y=x` 

Wskaż największą spośród liczb...

`a = -1 + log_sqrt(0,5) sqrt3 = log_sqrt(0,5) 1/sqrt(1/2) + log_sqrt(0,5) sqrt3 log_sqrt(1/sqrt2) sqrt2 + log_(1/sqrt2) sqrt3 = log_(sqrt2/2) sqrt6` 

`b  = 4+ log_(sqrt2/2) 3 = log_(sqrt2/2) (1/4) + log_(sqrt2/2) 3 = log_(sqrt2/2) (1/4*3) = log_(sqrt2/2) (3/4)` 

`c = 1 + log_(sqrt2/2) sqrt2 = log_(sqrt2/2) (sqrt2/2) + log_(sqrt2/2) sqrt2 = log_(sqrt2/2) (sqrt2/2 * sqrt2) = log_(sqrt2/2) 1` 

`d = -2log_(sqrt2/2) 3 = log_(sqrt2/2) 3^(-2) = log_(sqrt2/2) (1/9)` 

Funkcja jest malejąca zatem największą liczbą będzie ta, której liczba logarytmowana jest najmniejsza. Zauważmy, że

`1/9 < 3/4 < 1 < sqrt6` 

A więc:

`log_(sqrt2/2) > log_(sqrt2/2) (3/4) > log_(sqrt2/2) 1 > log_(sqrt2/2) sqrt6` 

`d > b > c > a` 

 

Odpowiedź D

Napisz równanie okręgu o środku w punkcie...

`(x-2)^2 +(y-(-5))^2 = 4^2` 

`(x-2)^2 + (y+5)^2 = 16` 

Pole trójkąta ABC jest równe 21 ...

`|RB|=x` 

`|RB|=1/3|AB|` 

`|AB|=3|RB|` 

`|AR|=|AB|-|RB|=3|RB|-|RB|=2|RB|`  

`|AR|=2x` 

 

`|PC|=y` 

`|PC|=1/3|BC|` 

`3|PC|=|BC|`

`|BP|=|BC|-|PC|=3|PC|-|PC|=2|PC|` 

`|BP|=2y` 

 

`|QA|=z` 

`|QA|=1/3|CA|` 

`3|QA|=|CA|` 

`|QC|=|CA|-|QA|=3|QA|-|QA|=2|QA|` 

`|QC|=2z` 

Literki umieszczone w poszczególnych trójkątach są wartosciami pól tych trójkątów. Przykładowo:"

`P_(AFE)=h` 

`(**)\ a+b+c+d+e+f+g+h+k+x=21`   

 

`c=2d` 

`e=2f` 

`b=2a` 

`(**)\ a+2a+2d+d+2f+f+g+h+k+x=21`   

`3a+3d+3f+g+h+k+x=21` 

 

`h+c+x=2(k+d)` 

`h+2d+x=2k+2d` 

`h+x=2k` 

 

`k+x+e=2(f+g)` 

`k+x+2f=2f+g`

 

`k+x=2g ` 

 

`g+x+b=2(h+a)` 

`g+x+2a=2h+2a` 

`g+x=2h` 

 

Otrzymaliśmy trzy równania:

`{(h+x=2k),(k+x=2g),(g+x=2h):}` 

Dodajmy równania stronami:

`3x+h+k+g=2k+2g+2h` 

`3x=2k+2g+2h-h-k-h=k+g+h` 

`3x=k+g+h` 

 

`P_(RBC)=1/3*21=7=P_(AQB)=P_(ACP)`  

`a+3d+h=7` 

`d+k+3f=7` 

`f+g+3a=7` 

Dodajmy do siebie powyższe trzy równania.

`a+d+f+3d+3f+3a+h+k+g=21` 

`k+g+h+4a+4d+4f=21` 

`k+g+h=21-4(a+d+f)` 

 

`P_(ABC)=k+g+h+3a+3d+3f+x=21` 

`21-4(a+d+f)+3(a+d+f)+x=21`  

`x=a+d+f` 

 

`P_(ABC)=f+g+h+3a+3d+3f+x=f+g+h+3(a+d+f)+x=21` 

`f+g+h=3x` 

`a+d+f=x` 

`f+g+h+3(a+d+f)+x=3x+3x+x=21`  

`ul(x=3` 

Na zakup...

Cenę za kilogram oznaczmy przez x, liczbę kupionych kilogramów przez y.

Skoro przeznaczamy 12 złotych na kupno gruszek to znaczy, że:

`x*y=12 \ \ \ |:x`  

`y=12/x` 

 `x`  `12`  `6`  `4`  `3`  `2`  `1` 
 `y`  `1`  `2`  `3`  `4`  `6`  `12` 

Wykres