Czworokąt wpisany i opisany w okrąg - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Czworokąt wpisany i opisany w okrąg - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Czworokąty wpisane w okrąg

Pierwszym zagadnieniem, którym się zajmiemy, będą warunki wpisywalności i opisywalności okręgów na czworokątach. Trzeba bowiem wspomnieć, że w przeciwieństwie do trójkątów - mogą istnieć czworokąty, na których nie da się opisać lub wpisać w nie okręgu.

Warunkiem wystarczającym i koniecznym do opisania okręgu na czworokącie jest to, czy naprzeciwległe kąty sumują się do $180°$.

Zaznaczmy na rysunku trzy punkty leżące na okręgu i zastanówmy się, gdzie może leżeć czwarty wierzchołek.

1

1) Suma kątów jest mniejsza od 180° - czwarty wierzchołek będzie leżał poza okręgiem. 2) Suma kątów jest większa od 180° - czwarty wierzchołek będzie leżał w okręgu. 3) Suma kątów jest równa 80° - czwarty wierzchołek będzie leżał dokładnie na okręgu, ponieważ suma kątów (a więc łuków) na całym okręgu musi być równa $180°$ (a więc $2Π$).
 

Okrąg wpisany w czworokąt

W przypadku okręgów wpisanych w czoworkąty warunek zależy od długości odpowiednich boków: musi zachodzić:
$AB + CD = BC + AD$

2

Dlaczego? Jeśli poprowadzimy cztery promienie (tak jak na rysunku) - przekonamy się, że zaznaczone trójkąty są podobne, więc sumując odpowiednie odcinki otrzymjemy:

$AW + CD = AW + WB + CY + YD = AZ + BX + CX + DZ = BC + AD$

 

Spis treści

Rozwiązane zadania
Podaj przykład zestawu czterech danych, których ...

Przykładowy zestaw danych, których średnia arytmetyczna wynosi 10, a odchylenie standardowe wynosi 3: {premium}

 

 

 Uzasadnienie:

 

 

 

Suma dwudziestu początkowych...

a)

 

 

 

 

 

{premium}  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Odp. 205 początkowych wyrazów tego ciągu.

Podaj przykład wielomianu...

 {premium}

 

Szukamy wielomianu  stopnia pierwszego.

 

Zapiszmy wielomian  w postaci iloczynowej:

 

 

 

 

zatem:

 

 

Porównując postacie wielomianów  i  łatwo stwierdzić, że:

 będzie podzielny przez  , gdy np.  

 

Odp.: 

 

Zapisz równanie kwadratowe, którego...

Rozwiążmy podany układ równań:

    {premium}

 

zatem:

 

 

 

 

 

 

 


Równanie spełniające ten układ równań może wyglądać następująco:

 

Ile jest liczb naturalnych ...

Wypiszmy liczby naturalne trzycyfrowe podzielne przez 15: {premium}

105, 120, 135, 150, 165, 180, 195, ..., 990

Obliczmy ile jest tych liczb.

 

 

 

 

 

 

 

Wypiszmy liczby naturalne trzycyfrowe podzielne przez 20:

100, 120, 140, 160, 180, 200, 220, ..., 980

Obliczmy ile jest tych liczb.

 

 

 

 

 

 

 

Zauważmy, że liczby podzielne przez 15 i przez 20 policzyliśmy dwukrotnie.

Takie liczby to: 120, 180, ..., 960

Obliczmy ile jest tych liczb.

 

 

 

 

 

 

 

Obliczmy ile jest wszystkich trzycyfrowych liczb podzielnych przez 15 i przez 20:

 

 

Odp. Jest 90 takich liczb.

Podstawą ostrosłupa jest trójkąt równoboczny...

Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku poniżej:{premium}


Mamy dane:

 


Ze wzoru na wysokość trójkąta równobocznego:

 


Z zależności trygonometrycznych dla trójkąta WCD:

 

 

 

oraz 

 

 

 


Obliczamy pole podstawy ostrosłupa:

 


Obliczamy pole powierzchni bocznej ostrosłupa:

 


Obliczamy pole powierzchni całkowitej ostrosłupa:

 


Obliczamy objętość ostrosłupa:

 


 

Podaj przykład dwóch ...

Rozwiązanie zostało przedstawione na poniższym rysunku: {premium}

Uzasadnij, że jeśli liczby...

Zakładamy, że:

 

 

Przekształćmy podaną nierówność:

   {premium}

 

 

 

 

 

Wiemy, że:

 oraz  

zatem:

 

c.n.u.

Rozwiąż równanie...

Rozwiążmy podane równanie:

 

  {premium}

 

 

 

 

 

Odp.: Podane równanie ma dwa rozwiązania: -1 i 4. 

Ustal, jakie długości mają odpowiednie...

a) 

 

    {premium}

 


 

 

 


 

 

 


b)