Czworokąt wpisany i opisany w okrąg - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Czworokąt wpisany i opisany w okrąg - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Czworokąty wpisane w okrąg

Pierwszym zagadnieniem, którym się zajmiemy, będą warunki wpisywalności i opisywalności okręgów na czworokątach. Trzeba bowiem wspomnieć, że w przeciwieństwie do trójkątów - mogą istnieć czworokąty, na których nie da się opisać lub wpisać w nie okręgu.

Warunkiem wystarczającym i koniecznym do opisania okręgu na czworokącie jest to, czy naprzeciwległe kąty sumują się do $180°$.

Zaznaczmy na rysunku trzy punkty leżące na okręgu i zastanówmy się, gdzie może leżeć czwarty wierzchołek.

1

1) Suma kątów jest mniejsza od 180° - czwarty wierzchołek będzie leżał poza okręgiem. 2) Suma kątów jest większa od 180° - czwarty wierzchołek będzie leżał w okręgu. 3) Suma kątów jest równa 80° - czwarty wierzchołek będzie leżał dokładnie na okręgu, ponieważ suma kątów (a więc łuków) na całym okręgu musi być równa $180°$ (a więc $2Π$).
 

Okrąg wpisany w czworokąt

W przypadku okręgów wpisanych w czoworkąty warunek zależy od długości odpowiednich boków: musi zachodzić:
$AB + CD = BC + AD$

2

Dlaczego? Jeśli poprowadzimy cztery promienie (tak jak na rysunku) - przekonamy się, że zaznaczone trójkąty są podobne, więc sumując odpowiednie odcinki otrzymjemy:

$AW + CD = AW + WB + CY + YD = AZ + BX + CX + DZ = BC + AD$

 

Spis treści

Rozwiązane zadania
Rozwiąż nierówność

Wyznacz współrzędne ...

 

 

 

  

 

 

 

 

 

 

  

  

  

 

 

 

 

 

  

  

 

  

 

 

 

 

  

    

  

 

   

Z urny, w której jest dwa razy więcej

 

Opiszmy zdarzenie na drzewku. Na gałęziach drzewka zapisano odpowiednie prawdopodobieństwa

 

 

Zaznaczono gałęzie, które opisują zdarzenie A. 

 

 

 

 

 

 

 

 

Powierzchnia zadrukowanej części kartki...

 

Wymiary kartki to:

 

 

Pole zadrukowanej części wynosi 192 cm2 a więc:

 

 

 

Czyli funkcja opisująca pole kartki jest równa:

Obliczmy pochodną

 

Znajdźmy punkty podejrzewane o bycie ekstremum:

 

 

 

 

 

 

Zauważmy, że jest to minimum gdyż:

 

czyli

 

Zatem wymiary kartki wynoszą:

 

 

Oblicz:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  

 

 

Wykaż, że w trójkącie prostokątnym...

 

 

 

Chcemy pokazać, że  

 

 

 

 

Jest to twierdzenie Pitagorasa, więc powyższe równanie jest spełnione w każdym trójkącie prostokątnym.

  

 

Wyznacz wszystkie wartości parametru...

Założenia:

 

 

 

 

 

 

 

{premium}

Jeżeli równanie ma mieć dwa różne rozwiązania to wyróżnik funkcji musi być dodatni.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

podglad pliku

 

 

Zauważmy, że jeżeli x = 2m, to równanie po lewej stronie jest równe 0 a liczba 2m będzie pierwiastkiem. Łatwo wtedy zauważyć, że nie będziemy mieli wtedy kolejnych rozwiązań.

Podstawmy pod równanie kwadratowe x = 2m, jeżeli wyliczone wartości parametru m będą należeć do rozwiązania równania to musimy je odrzucić z rozwiązania gdyż wtedy mamy tylko jedno rozwiązanie.

 

 

 

 

 

 

 

Zatem odrzucamy liczbę  

 

Zatem uwzględniając powyższe założenie otrzymujemy, że:

 

Przedstaw liczbę w postaci...

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Naszkicuj wykres funkcji...

a)

 

Przesuwając o wektor  otrzymujemy:{premium}

 

 

 

Dwa rozwiązania dla  


b)

 

Przesuwając o wektor  

 

 

 

Dwa rozwiązania dla  


c)

 

Przesuwając o wektor  otrzymujemy:

 

 

 

Dwa rozwiązania dla  

Wyznacz współrzędna wierzchołków trójkąta...

 

 

 

 

     {premium}

 

 

 

 

   

 

Z pierwszego i trzeciego równania otrzymujemy:

 

 

 

 

 

 

Z drugiego i czwartego równania otrzymujemy:

 

 

 

 

 

 

Z drugiego równania otrzymujemy:

 

 

 

 

Z trzeciego równania otrzymujemy:

 

 

 

 

 

 

 

 

Rysunek pomocniczy:

Thumb 48 285

Łatwo zauważyć, że jest to trójkąt prostokątny.

 

 

 

 

 

 

 

Równanie okręgu: