Czworokąt wpisany i opisany w okrąg - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Czworokąt wpisany i opisany w okrąg - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Czworokąty wpisane w okrąg

Pierwszym zagadnieniem, którym się zajmiemy, będą warunki wpisywalności i opisywalności okręgów na czworokątach. Trzeba bowiem wspomnieć, że w przeciwieństwie do trójkątów - mogą istnieć czworokąty, na których nie da się opisać lub wpisać w nie okręgu.

Warunkiem wystarczającym i koniecznym do opisania okręgu na czworokącie jest to, czy naprzeciwległe kąty sumują się do $180°$.

Zaznaczmy na rysunku trzy punkty leżące na okręgu i zastanówmy się, gdzie może leżeć czwarty wierzchołek.

1

1) Suma kątów jest mniejsza od 180° - czwarty wierzchołek będzie leżał poza okręgiem. 2) Suma kątów jest większa od 180° - czwarty wierzchołek będzie leżał w okręgu. 3) Suma kątów jest równa 80° - czwarty wierzchołek będzie leżał dokładnie na okręgu, ponieważ suma kątów (a więc łuków) na całym okręgu musi być równa $180°$ (a więc $2Π$).
 

Okrąg wpisany w czworokąt

W przypadku okręgów wpisanych w czoworkąty warunek zależy od długości odpowiednich boków: musi zachodzić:
$AB + CD = BC + AD$

2

Dlaczego? Jeśli poprowadzimy cztery promienie (tak jak na rysunku) - przekonamy się, że zaznaczone trójkąty są podobne, więc sumując odpowiednie odcinki otrzymjemy:

$AW + CD = AW + WB + CY + YD = AZ + BX + CX + DZ = BC + AD$

 

Spis treści

Rozwiązane zadania
Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, że ...

Ω - losowanie jednej karty spośród 52 kart

 

A - wylosowano kartę, która nie jest pikiem {premium}

Zauważmy, że w talii 52 kart 13 kart jest pikiem, a 39 kart nie jest pikiem.

 

 

Uzasadnij, ze jeżeli wszystkie ściany ostrosłupa są nachylone do...

Rysunek pomocniczy:

Zauważmy, że:

 

{premium}

Wobec tego otrzymujemy  

Zauważmy, że spodek wysokości jest równoodległy (leży w takiej samej odległości) od środków krawędzi bocznych.

Z definicji promienia okręgu wpisanego w wielokąt - to odcinki łączące środek tego okręgu z punktami styczności na bokach wielokąta.

Zatem spodek wysokości jest środkiem okręgu wpisanego w podstawę.

Oblicz pierwszy wyraz ciągu geometrycznego ...

 

 

{premium}  

 

 

 

 

 

 

 

   

Sprawdź, czy punkt

Wiemy, że prosta y=ax+b przecina oś OY w punkcie o współrzędnych (0, b). 

 

Prosta przecina oś OY w punkcie (0; -1), więc b=-1. Prosta ma więc wzór:{premium}

Wartość współczynnika a obliczymy, podstawiając do powyższego wzoru współrzędne punktu P (wiemy, że punkt P należy do wykresu). 

Prosta ma więc równanie: 

 

Teraz wystarczy sprawdzić, czy współrzędne punktu Q spełniają to równanie: 

Równość nie jest prawdziwa, więc punkt Q nie należy do tej prostej.

 

 

Prosta przecina oś OY w punkcie (0; 3), więc b=3. Prosta ma więc wzór:

Wartość współczynnika a obliczymy, podstawiając do powyższego wzoru współrzędne punktu P (wiemy, że punkt P należy do wykresu). 

 

Prosta ma więc równanie: 

 

Teraz wystarczy sprawdzić, czy współrzędne punktu Q spełniają to równanie: 

Równość nie jest prawdziwa, więc punkt Q nie należy do tej prostej.

 

 

 

Prosta przecina oś OY w punkcie (0; 2), więc b=2. Prosta ma więc wzór:

Wartość współczynnika a obliczymy, podstawiając do powyższego wzoru współrzędne punktu P (wiemy, że punkt P należy do wykresu). 

 

Prosta ma więc równanie: 

 

 

Teraz wystarczy sprawdzić, czy współrzędne punktu Q spełniają to równanie: 

Równość jest prawdziwa, więc punkt Q należy do tej prostej.

Kartka papieru kserograficznego formatu A4 ma kształt...

Rysunek poglądowy:

Jeżeli prostokąty są podobne to musi zachodzić zależność:

  

 

Stosunek długości krótszego boku do dłuższego boku dużego prostokąta można wyrazić jako:

{premium}   

 

Z podobieństwa prostokątów:

 

 

 

 

Stosunek długości krótszego boku do dłuższego dla kartki formatu A4 wynosi  

Wyznacz współrzędne środka okręgu ...

Szukany okrąg jest styczny do dodatnich półosi układ współrzędnych, zatem środek tego okręgu jest postaci S(a,a), gdzie a>0. {premium}

Równanie okręgu jest postaci:

 

Wyznaczmy odległość punktu S od prostej k, czyli promień tego okręgu.

 

 

 

Przypadek I.

Jeśli wyrażenie pod wartością bezwzględną jest dodatnie, to :

 

 

 

 

 

 

Licznik otrzymanej wartości jest dodatni, a mianownik jest ujemny, zatem jest to liczba ujemne, więc założenie a>0 nie jest spełnione.

 

Przypadek II.

 

 

 

 

 

Współrzędne środka szukanego okręgu:

 

 

Narysuj czworościan foremny ...

Rysunek: {premium}

Wyznacz pole powierzchni całkowitej...

a)

 

 

 

 

 

 

 

 

Zauważmy że pole podstawy bryły A2 i bryły A3 to pierścienie kołowe.

 

{premium}  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


b)

 

 

Zauważmy, że pole boczne musimy policzyć "na zewnątrz" oraz "wewnątrz" tej bryły.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Wyznacz równania prostych ...

a)

Rysunek pomocniczy:

podglad pliku

Współrzędne punktu D to  

 

Równanie prostej przechodzącej przez punkt A i C    {premium}

 

 

 

 

 

Podstawiając współrzędne punktu A otrzymujemy:

 

 

 

 

 

 

 

Równanie prostej przechodzącej przez punkt B i D

 

 

 

 

 

Podstawiając współrzędne punkt B otrzymujemy:

 

 

 

 

 

 

Wyznaczmy punkt przecięcia przekątnych

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Zatem punkt przecięcia ma współrzędne:  


b)

Rysunek pomocniczy:

podglad pliku

Współrzędne punktu D to  

 

Równanie prostej przechodzącej przez punkt A i C

 

 

 

 

 

Podstawiając współrzędne punktu A otrzymujemy:

 

 

 

 

 

Równanie prostej przechodzącej przez punkt B i D

 

 

 

 

 

Podstawiając współrzędne punkt B otrzymujemy:

 

 

 

 

 

 

Wyznaczmy punkt przecięcia przekątnych

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Zatem punkt przecięcia ma współrzędne:  

 

 

Liczba a jest o 20% mniejsza ...

Liczba a jest o 20% mniejsza od liczby b, czyli:  {premium}

 


Obliczamy jakim procentem liczby a jest liczba b. 

    

Liczba b stanowi 125% liczby a. 


Poprawna odpowiedź: D. 125%