Czworokąt wpisany i opisany w okrąg - matura-rozszerzona - Baza Wiedzy

Czworokąty wpisane w okrąg

Pierwszym zagadnieniem, którym się zajmiemy, będą warunki wpisywalności i opisywalności okręgów na czworokątach. Trzeba bowiem wspomnieć, że w przeciwieństwie do trójkątów - mogą istnieć czworokąty, na których nie da się opisać lub wpisać w nie okręgu.

Warunkiem wystarczającym i koniecznym do opisania okręgu na czworokącie jest to, czy naprzeciwległe kąty sumują się do $$180°$$.

Zaznaczmy na rysunku trzy punkty leżące na okręgu i zastanówmy się, gdzie może leżeć czwarty wierzchołek.

1

1) Suma kątów jest mniejsza od 180° - czwarty wierzchołek będzie leżał poza okręgiem. 2) Suma kątów jest większa od 180° - czwarty wierzchołek będzie leżał w okręgu. 3) Suma kątów jest równa 80° - czwarty wierzchołek będzie leżał dokładnie na okręgu, ponieważ suma kątów (a więc łuków) na całym okręgu musi być równa $$180°$$ (a więc $$2Π$$).
 

Okrąg wpisany w czworokąt

W przypadku okręgów wpisanych w czoworkąty warunek zależy od długości odpowiednich boków: musi zachodzić:
$$AB + CD = BC + AD$$

2

Dlaczego? Jeśli poprowadzimy cztery promienie (tak jak na rysunku) - przekonamy się, że zaznaczone trójkąty są podobne, więc sumując odpowiednie odcinki otrzymjemy:

$$AW + CD = AW + WB + CY + YD = AZ + BX + CX + DZ = BC + AD$$

 

Spis treści

Rozwiązane zadania
Oblicz iloraz ...

`a)` 

`a_2/a_1=64/128=1/2=q` 

`a_n=a_1*q^(n-1)=128*(1/2)^(n-1)=2^7*(2)^(-n+1)=2^(-n+8)`  

`a_7=2^(-7+8)=2` 

 

`b)` 

`(1/4)/(1/16)=4=q` 

`a_n=a_1*q^(n-1)=1/16*4^(n-1)=4^(-2)*4^(n-1)=4^(n-3)` 

`a_7=4^4=256` 

 

`c)` 

`a_2/a_1=(-1/81)/(1/243)=-3` 

`a_n=a_1*q^(n-1)=1/243*(-3)^(n-1)=3^(-5)*(-3)^(n-1)=3^(n-6)` 

`a_7=3` 

 

`d)` 

`q=a_2/a_1=(125/64)/(625/256)=125/64*256/625=1*4/5=4/5` 

`a_n=625/256*(4/5)^(n-1)=(4/5)^(-4)*(4/5)^(n-1)=(4/5)^(n-5)` 

`a_7=(4/5)^2=16/25` 

`e)` 

`q=a_2/a_1=-2/sqrt(2)` 

`a_n=a_1*q^(n-1)=sqrt(2)(-2/sqrt(2))^(n-1)` 

`a_7=sqrt(2)*(64/8)=8sqrt(2)` 

 

`f)` 

`q=a_2/a_1=(1/3)/(2/9)=1/3*9/2=3/2` 

`a_n=2/9*(3/2)^(n-1)` 

`a_7=2/9 *729/64=(1458)/(9*64)=162/64=81/32`    

Uzasadnij, że równanie nie ma...

`a) \ 5 + (1) /(x-4) = (5-x) / (x-4)` 

`x!=4` 

`5 = (5-x)/(x-4) - (1)/(x-4)`  

`5=(4-x)/(x-4)` 

`5=(-strike((x-4))^1)/(strike((x-4))_1)` 

`5=-1`     co nie jest prawdą, więc to równanie nie ma rozwiązania

 

`b)\ (1)/(x-5)+6=(6-x)/(x-5)` 

`(1)/(x-5)-(6-x)/(x-5)=-6` 

`(x-5) / (x-5) = - 6` 

`1=-6`   co nie jest prawdą, więc to równanie nie ma rozwiązania

 

`c)\ (8-x)/(x-7)=8+(1)/(x-7)` 

` (8-x)/(x-7)-(1)/(x-7)=8` 

`(7-x)/(x-7)=8` 

`-1 = 8`  co nie jest prawdą, więc to równanie nie ma rozwiązania

 

Wyznacz wartości parametru k ...

`a)` 

`f(x)=x^2+(2k-1)x+1`   

`"f jest malejąca dla"\ x in (-oo;2].` 

`"f jest rosnąca dla"\ x in [2;+oo)` 

`p=2` 

`p=-b/(2a)=-(2k-1)/2` 

`2=-(2k-1)/2` 

`-2k+1=4` 

`ul(k=-3/2`         

 

`b)` 

`f(x)=kx^2+k(k^2-5)x+1`   

`"f jest malejąca dla"\ x in (-oo;2].`  

`"f jest rosnąca dla"\ x in [2;+oo)` 

`p=2` 

`p=-b/(2a)=-(k(k^2-5))/(2k)`  

`-k(k^2-5)=4k`  

`kne0\ "ponieważ funkcja f nie jest stała."` 

`-k(k^2-5)=4k\ \ |:(-k)`    

`k^2-5=-4`  

`k^2=1`   

`k=1\ \ \vv\ \ \k=-1` 

`"f jest rosnąca dla"\ x in [2;+oo)\ implies \ a>0` 

`a=k>0\ implies\ k=1` 

`ul(k=1`  

Sprawdź, czy równanie ma pierwiastki ...

`a)` 

`6x^2-17x+11=0` 

`Delta=289-4*11*6=289-264=25>0` 

 

`x_1+x_2=-b/a=17/6` 

`x_1*x_2=c/a=11/6` 

`{(x_1*x_2>0),(x_1+x_2>0):}\ \ implies\ x_1,x_2\ "są dodatnie."`     

 

`b)` 

`-1/4x^2+1,2x-1=0` 

`Delta=1,44-4*(-1/4)*(-1)=0,44>0` 

`x_1+x_2=-b/a=(-1,2)/(-1/4)=4,8>0` 

`x_1*x_2=c/a=-1/(-1/4)=4>0`  

 

` {(x_1*x_2>0),(x_1+x_2>0):}\ \ implies\ x_1,x_2\ "są dodatnie."` 

 

 

`c)` 

`sqrt6x^2+sqrt3x-sqrt2=0` 

`Delta=3+4sqrt12=3+8sqrt3` 

`x_1+x_2=-b/a=-sqrt3/sqrt6=-sqrt18/6=-sqrt2/2<0`  

`x_1*x_2=c/a=-sqrt2/sqrt6=-sqrt12/6<0`   

`{(x_1*x_2<0),(x_1+x_2<0):}\ \ implies\ x_1,x_2\ "są różnych znaków."` 

 

`d)` 

`(1-sqrt2)x^2+x+1=0`   

`Delta=1-4(1-sqrt2)=-3+4sqrt2~~2,66` 

`x_1+x_2=-b/a=1/(1-sqrt2)=(1+sqrt2)/-1=-1-sqrt2<0`  

`x_1*x_2=c/a=1/(1-sqrt2)=-1-sqrt2<0` 

`{(x_1*x_2<0),(x_1+x_2<0):}\ \ implies\ x_1,x_2\ "są różnych znaków."` 

We wspólnym układzie współrzędnych ...

`f(x)={(x\ "dla"\ x in (1;+oo)cup{1} ),(2-x\ "dla"\ x in (-oo;1)):}`    

`g(x)=(3x-2)/x=(3x)/x-2/x=-2/x+3`   

`x ne0` 

`g(x)ne3` 

`f(x)=g(x)`  

Zauważmy, że punkty wspólne wykresów funkcji g i funkcji f to: (-2;4), (1;1), (2;2).

`ul(x in {-2;1;2}`   

Wskaż liczbę, która nie jest równa

`a)` 

`x=sqrt50+sqrt98=sqrt25*sqrt2+sqrt49*sqrt2=5sqrt2+7sqrt2=12sqrt2` 

`y=sqrt75+sqrt108=sqrt25*sqrt3+sqrt36*sqrt3=5sqrt3+6sqrt3=11sqrt3` 

`z=sqrt8+sqrt200=sqrt4*sqrt2+sqrt100*sqrt2=2sqrt2+10sqrt2=12sqrt2` 

 

Należy wskazać liczbę y. 

 

 

 

`b)` 

`x=sqrt48-sqrt243=sqrt16*sqrt3-sqrt81*sqrt3=4sqrt3-9sqrt3=-5sqrt3` 

`y=-sqrt192+sqrt12-sqrt75=-sqrt64*sqrt3+sqrt4*sqrt3-sqrt25*sqrt3=-8sqrt3+2sqrt3-5sqrt3=-11sqrt3` 

`z=sqrt300-sqrt147-8sqrt3=sqrt100*sqrt3-sqrt49*sqrt3-8sqrt3=10sqrt3-7sqrt3-8sqrt3=-5sqrt3` 

 

Należy wskazać liczbę y.      

Wyznacz zbiory: A ∪ B, ...

`"a)"\ A={x inbbR:x>=4/x}` 

Rozwiązujemy nierówność, zakładamy, że x0:

`x>=4/x\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ |-4/x` 

`x-4/x>=0` 

`x^2/x-4/x>=0` 

`(x^2-4)/x>=0` 

Iloraz dwóch liczb ma taki sam znak, jak iloczyn tych liczb, stąd:

`x(x^2-4)>=0` 

`x(x-2)(x+2)>=0` 

Szkicujemy wykres wielomianu: x(x-2)(x+2)

Zbiorem rozwiązań nierówności (po uwzglednieniu dziedziny) jest:

`x in <<-2,0) cup <<2,+oo)`  

 

 

`B={x in bbR:(x-7)/(x-4)<=2}`  

Rozwiązujemy nierówność, zakładamy, że x4:

`(x-7)/(x-4)<=2\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ |-2` 

`(x-7)/(x-4)-2<=0` 

`(x-7)/(x-4)-(2(x-4))/(x-4)<=0` 

`(x-7-2x+8)/(x-4)<=0` 

`(1-x)/(x-4)<=0` 

Znak ilorazu jest taki sam, jak znak iloczynu, stąd:
`(1-x)(x-4)<=0` 

Szkicujemy wykres wielomianu: (1-x)(x-4)

Zbiorem rozwiązań nierówności (po uwzglednieniu dziedziny) jest:

`x in (-oo,1>>cup(4,+oo)`  

 

Zbiór A możemy zapisać w postaci:

`A=<<-2,0) cup <<2,+oo)` 

Zbiór B możemy zapisać w postaci:

 `B=(-oo,1>>cup(4,+oo)`  

 

`A cupB=<<-2,0)cup<<2,+oo)cup(-oo,1>>cup(4,+oo)=(-oo,1>>cup<<2,+oo)` 

`AcapB=(<<-2,0)cup<<2,+oo))\ cap\ ((-oo,1>>cup(4,+oo))=<<-2,0)cup(4,+oo)` 

`A\\B=(<<-2,0)cup<<2,+oo))\ \\\ ((-oo,1>>cup(4,+oo))=<<2,4>>` 

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))`

`"b)"\ A={x inbbR:(x^2+1)/(x+1)<1}`  

Rozwiązaujemy nierówność, zakładamy, że x-1:

`(x^2+1)/(x+1)<1\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ |-1`  

`(x^2+1)/(x+1)-1<0`  

`(x^2+1)/(x+1)-(x+1)/(x+1)<0` 

`(x^2+1-x-1)/(x+1)<0`   

`(x^2-x)/(x+1)<0`  

Iloraz dwóch liczb ma taki sam znak, jak iloczyn tych liczb, stąd:

`x(x-1)(x+1)<0`  

Szkicujemy wykres wielomianu: x(x-1)(x+1)

Zbiorem rozwiązań nierówności (po uwzglednieniu dziedziny) jest:

`x in (-oo,-1)cup(0,1)`   

 

 

`B={x in bbR:((x-2)^2(x+1))/(x+2)>=0}`   

Rozwiązujemy nierówność, zakładamy, że x≠-2:

`((x-2)^2(x+1))/(x+2)>=0` 

Znak ilorazu jest taki sam, jak znak iloczynu, stąd:
`(x-2)^2(x+1)(x+2)>=0` 

Szkicujemy wykres wielomianu: (x-2)2(x+1)(x+2)

Zbiorem rozwiązań nierówności (po uwzglednieniu dziedziny) jest:

`x in (-oo,-2)cup<<-1,+oo)`   

 

Zbiór A możemy zapisać w postaci:

`A=(-oo,-1)cup(0,1)` 

Zbiór B możemy zapisać w postaci:

 `B=(-oo,-2)cup<<-1,+oo)`  

 

`A cupB=(-oo,-1)cup(0,1)cup(-oo,-2)cup<<-1,+oo)=bbR` 

`AcapB=((-oo,-1)cup(0,1))\ cap\ ((-oo,-2)cup<<-1,+oo))=(-oo,-2)cup(0,1)`   

`A\\B=((-oo,-1)cup(0,1))\ \\\ ((-oo,-2)cup<<-1,+oo))=<<-2,-1)` 

Rozwiąż równanie.

a)

`2cos^2x=1` 

`cos^2x=1/2` 

`cosx=sqrt2/2 \ \ \ "lub" \ \ \ cosx=-sqrt2/2` 

`x=pi/4+2kpi, \ \ x=-pi/4+2kpi, \ \ x=3/4pi+2kpi, \ \ x=5/4pi+2kpi` 

Możemy zapisać krócej:

`x=-pi/4+(kpi)/2, \ \ k in "C"` 


b)

`sin^2x=sinx` 

`sin^2x-sinx=0` 

`sinx(sinx-1)=0` 

`sinx=0 \ \ \ "lub" \ \ \ sinx=1` 

`x=0+kpi \ \ \ "lub" \ \ \ x=pi/2+2kpi, \ \ k in "C"` 


c)

`|2sin4x|=1` 

`2|sin4x|=1` 

`|sin4x|=1/2` 

 

`y_1=sinx` (kolor zielony)

`y_2=sin4x` (kolor pomarańczowy)

`y_3=|sin4x|` (kolor fioletowy)

 

Pomocniczo:

`"sin"pi/6=1/2 \ \ \ "oraz" \ \ \ sin5/6pi=1/2` 

`4x=pi/6 \ \ \ "oraz" \ \ \ 4x=5/6pi` 

`x=pi/24 \ \ \ "oraz" \ \ \ x=5/24pi` 

 

Odp. `pi/24+(kpi)/2, 5/24pi+(kpi)/2, 7/24pi+(kpi)/2, 11/24pi+(kpi)/2, \ \ k in "C"` 

Łatwiej możemy zapisać: 

`pi/24+(kpi)/4, 5/24pi+(kpi)/4, \ \ k in "C"` 


d)

`|tg(x-pi/3)|=sqrt3/3` 

 

`y_1="tg"x` (kolor zielony)

`y_2="tg"(x-pi/3)` (kolor pomarańczowy)

`y_3=|"tg"(x-pi/3)|` (kolor fioletowy)

Pomocniczo:

`"tg"pi/6=sqrt3/3` 

`x-pi/3=pi/6` 

`x=pi/6+pi/3` 

`x=3/6pi` 

`x=pi/2` 

 

Odp. `x=pi/2+kpi, \ \ x=pi/6+kpi, \ \ k in "C"` 

 

Do wykresu funkcji liniowej f należą

Aby wyznaczyć kąt alfa, potrzebujemy współczynnika kierunkowego a, który jest równu tangensowi kąta alfa. 

Równanie prostej to y=ax+b, tworzymy układ równań podstawiając współrzędne podanych punktów w miejsce x i y. 

 

`a)`

`{(23=63a+b), (141=-159a+b):}\ \ \ |-`

`23-141=63a-(-159a)`

`-118=63a+159a`

`-118=222a\ \ \ |:222`

`a=-118/222=-0,531531...~~-0,532`

`tgalpha~~-0,532\ \ \ =>\ \ \ -tgalpha~~0,532\ \ \ =>\ \ \ tg(180^o-alpha)~~0,532\ \ \ =>\ \ \ 180^o-alpha=28^o\ \ \ =>\ \ \ alpha~~180^o-28^o=152^o`

 

 

`b)`

`{(123=137a+b), (-134=87a+b):}\ \ \ |-`

`123-(-134)=137a-87a`

`123+134=50a`

`257=50a\ \ \ |:50`

`a=5,14`

`tgalpha=5,14 \ \ \ =>\ \ \ alpha~~79^o`

 

 

 

`c)`

`{(257=-76a+b), (257=196a+b):}\ \ \ |-`

`0=-76a-196a`

`a=0`

`tgalpha=0\ \ \ =>\ \ \ alpha=0^o`

 

 

 

`d)`

`{(86=321a+b), (-123=210a+b):}\ \ \ |-`

`86-(-123)=321a-210a`

`86+123=111a`

`209=111a\ \ \ |:111`

`a=1,882882...~~1,883`

`tgalpha~~1,883\ \ \ =>\ \ \ alpha~~62^o`

Kwadrat K1 jest obrazem kwadratu ...

`a)` 

`P-"środek jednokładności"` 

`P=(x;y)` 

`a-"bok kwadratu"\ K_1` 

`b-"bok kwadratu"\ K_2` 

`k=a/b=2/4=ul(1/2`  

`A-"ustalony wierzchołek kwadratu"\ K_1`   

`A'-"ustalony wierzchołek kwadratu"\ K_2\ "odpowiadający wierzchołkowi A w"\ K_1` 

`A=(2;3)` 

`A'=(-2;-1)` 

 

`vec(A'P)=1/2vec(AP)` 

`[x+2;y+1]=1/2[x-2;y-3]`  

`x+2=1/2x-1\ implies\ x=-6` 

`y+1=1/2y-3/2\ implies\ y=-5`     

`ul(P=(-6;-5)`  

 

`"lub"` 

 

`k=-a/b=-1/2` 

`P=(-2;-1)` 

 

`b)` 

`P-"środek jednokładności"` 

`P=(x;y)`  

`a-"bok kwadratu"\ K_1` 

`b-"bok kwadratu"\ K_2` 

`k=a/b=4/2=ul(2`  

`A-"ustalony wierzchołek kwadratu"\ K_1`   

`A'-"ustalony wierzchołek kwadratu"\ K_2\ "odpowiadający wierzchołkowi A w"\ K_1` 

`A=(2;3)` 

`A'=(3;-1)`  

 

`kvec(A'P)=vec(AP)` 

`2[x-3;y+1]=[x-2;y-3]`  

`2x-6=x-2\ implies\ x=4`  

`2y+2= y-3\ implies\ y=-5`     

`ul(P=(4;-5)`   

 

`"lub"` 

 

`k=-a/b=-2` 

`P=(4;-1)`