Zależności i tożsamości trygonometryczne - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Zależności i tożsamości trygonometryczne

Z działu trygonometria powinniśmy już potrafić praktycznie wszystko (jeśli nie to zachęcam do przeczytania poprzednich tematów: przeczytaj). Został jeden temat, który często się przewija. Między Funkcjami trygonometrycznymi występują specjalne zależności, o których właśnie napiszemy w tym temacie. Oto najważniejsze z tych zależności:
 
  • $$sin^2 α+cos^2 α=1$$
  • $$ g α={sin α}/{cos α} $$
  • $$ctg α={cos α}/{sin α} $$
  • $$ g α=1/{ctg α} $$

Powyższe zależności będą nam się przewijać w tak zwanych Tożsamościach trygonometrycznych. Czym one są?

Jest to równość zawsze prawdziwa, czyli takie równanie, gdzie lewa strona będzie się równać prawej, niezależnie od tego jaki kąt α wstawimy do tego równania (np. cztery podane powyżej zależności też są tożsamościami trygonometrycznymi).

Aby udowodnić tożsamość musimy doprowadzić jedną ze stron do identycznej postaci jak druga, czyli np. zmienić lewą aby przypominała prawą. Oczywiście możemy dążyć do ujednolicenia z obu stron naraz, czyli zmieniać zarówno lewą, jak i prawą stronę równania. Możemy przy tym używać 4 podanych wcześniej zależności (ich nie musimy udowadniać). Oczywiście wszystko najlepiej widać na przykładzie.

Przykład:

Udowodnij, że równanie $$1+tg^2 α=1/{cos^2 α}$$ jest poprawne.

Pamiętajmy o dziedzinie! W mianowniku nie może być 0, czyli:

$$cos α≠0$$

Musimy tutaj próbować użyć wszelkich dostępnych nam wzorów. Zacznijmy od małej analizy, nie traktujmy jedynki jak liczbę, lecz jako zależność z punktu pierwszego (patrz na cztery punkty wymienione na początku tematu):

$$sin^2 α+cos^2 α+tg^2 α=1/{cos^2 α}$$

Niby bardziej skomplikowane, ale prowadzi nas do rozwiązania. Rozbijmy teraz tangens za pomocą kolejnego wzoru (drugi z czterech podanych na początku punktów):

$$sin^2 α+cos^2 α+{sin^2 α}/{cos^2 α}=1/{cos^2 α}$$

Przenieśmy teraz ułamek tak, aby był wspólny mianownik:

$$sin^2 α+cos^2 α=1/{cos^2 α}-{sin^2 α}/{cos^2 α}$$

$$sin^2 α+cos^2 α={1-sin^2 α}/{cos^2 α}$$

Zobaczmy na licznik, mamy tu ewidentnie ukryty wzór nr 1:

$$sin^2 α+cos^2 α={cos^2 α}/{cos^2 α}$$

$$sin^2 α+cos^2 α=1$$

Co się zgadza z naszym wzorem nr 1, więc piszemy, że lewa strona jest równa prawej.

$$L=P$$
 

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Udowodnij tożsamość: $$sin^2 x=(1-cos x)(1+cos x)$$

Jedna z najprostszych tożsamości. Zacznijmy i praktycznie skończmy na przekształceniu wzoru skróconego mnożenia:

$$sin^2 x=1-cos^2 x$$

Jeśli jeszcze nie widać zależności, dodajmy stronami $$cos^2 x$$:

$$sin^2 x+cos^2 x=1 $$

$$L=P$$  

Zadanie 2.

Udowodnij tożsamość: $$ g x-ctg x=( g x-1)(ctg x+1)$$

Również nie jest trudna jeśli się za nią odpowiednio zabierzemy. Zgodnie z poradami, wymnóżmy nawiasy w prawej stronie równania:

$$ g x-ctg x= g x ⋅ ctg x-ctg x+ g x-1$$

Przenieśmy wszystkie tangensy i cotangensy na stronę lewą:

$$ g x- g x-ctg x+ctg x= g x ⋅ ctg x-1$$

Jak widać redukują się

$$ g x ⋅ ctg x-1=0$$

Przenieśmy jedynkę

$$ g x ⋅ ctg x=1$$

Teraz zamieńmy np. tangens

$$1/{ctg x} ctgx=1$$

Jak widać nam się skracają

$$1=1$$

$$L=P$$  

Spis treści

Rozwiązane zadania
Skreśl liczby mające rozwinięcia dziesiętne

`sqrt(1,44)=1,2`

`sqrt125=sqrt25*sqrt5=5sqrt5`

`1,(037)=1,037037...\ \ -\ \ "rozwinięcie dziesiętne nieskończone okresowe"`

`sqrt(2 1/4)=sqrt(9/4)=3/2=1 1/2=1,5`

Liczba pi ma rozwinięcie dziesiętne nieskończone nieokresowe. Jeśli pomnożymy ją przez 10, to nadal będzie mieć ona rozwinięcie dziesiętne nieskończone nieokresowe. Podobnie, jeśli odejmiemy od liczby pi liczbę 3,14,  to otrzymana liczba będzie mieć rozwinięcie dziesiętne nieskończone nieokresowe. 

 

`"odp:"\ \ \ strike(2sqrt2)\ \ \ sqrt(1,44)\ \ \ strike(sqrt125)\ \ \ 1,(037)\ \ \ sqrt(2 1/4)\ \ \ strike(10pi)\ \ \ strike(pi-3,14)`

Przyjmij, że log₉4=a ...

Przyjmujemy, że:

`log_(9)4=a`

 

`log_(9)16=log_(9)(4*4)=log_(9)4+log_(9)4=a+a=2a`

`log_(9)36=log_(9)(4*9)=log_(9)4+log_(9)9=a+1`

`log_(9)27/8=log_(9)27-log_(9)8=log_(9)3^3-log_(9)2^3=3log_(9)3-3log_(9)2\ \stackrel(star)=\ 3*1/2-3*1/2a=3/2-3/2a`

`ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ )`

`star`   przekształćmy początkową zależność:

`log_(9)4=log_(9)2^2=2log_(9)2`

`2log_(9)2=a`

`log_(9)2=1/2a` 

`ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ )` 

`log_(9)2sqrt2=log_(9)(2*2^(1/2))=log_(9)2^(3/2)=3/2log_(9)2\ \stackrel(star)=\ 3/2*1/2a=3/4a` 

`log_(4)81\ \stackrel(starstar)= \ (log_(9)81)/(log_(9)4)=2/(log_(9)(2*2))=2/(log_(9)2+log_(9)2)=2/(1/2a+1/2a)=2/a` 

`(starstar)`  korzystamy z twierdzenia o zmianie podstawy logarytmu (jako podstawę przyjmujemy 9):

`"Jeśli"\ a>0,\ a!=1,\ b>0\ "i"\ c>0,\ c!=1,\ "to"\ log_(a)b=(log_(c)b)/(log_(c)a)`  

 

Wyznacz równania prostych AB, AC i BC

`a)`

`ul(prosta\ AB)`

Korzystając z twierdzenia podanego na stronie 109 obliczamy współczynnik kierunkowy: 

`a=(2-5)/(4-1)=(-3)/3=-1`

`y=-x+b`

Podstawiamy współrzędne jednego z punktów A lub B (wybieramy punkt A):

`5=-1+b`

`b=5+1=6`

`ul(ul(y=-x+6))`

 

 

`ul(prosta\ AC)`

`a=(5-5)/(7-1)=0/6=0`

`y=0*x+b=b`

Mamy funkcję stałą, przyjmuje ona ciągle wartość taką, jak druga współrzędna. 

`ul(ul(y=5))`

 

 

`ul(prosta\ BC)`

`a=(2-5)/(4-1)=(-3)/3=-1`

`y=-x+b`

Podstawiamy współrzędne punktu B

`2=-4+b`

`b=2+4=6`

`ul(ul(y=-x+6)`

 

Ten trójkąt nie jest prostokątnych, ponieważ wśród trzech prostych AB, AC, BC nie ma pary prostych prostopadłych - nie ma pary współczynników kierunkowych, których iloczyn byłby równy -1. 

 

 

 

`b)`

`ul(prosta\ AB)`

`a=(-3-(-1))/(0-(-2))=(-3+1)/(0+2)=-2/2=-1`

`y=-x+b`

Podstawiamy współrzędne punktu B:

`-3=-0+b`

`b=-3`

`ul(ul(y=-x-3))`

 

 

 

`ul(prosta\ AC)`

`a=(5-(-1))/(4-(-2))=(5+1)/(4+2)=6/6=1`

`y=x+b`

Podstawiamy współrzędne punktu C:

`5=4+b`

`b=5-4=1`

`ul(ul(y=x+1))`

 

 

 

`ul(prosta\ BC)`

`a=(5-(-3))/(4-0)=(5+3)/4=8/4=2`

`y=2x+b`

Podstawiamy współrzędne punktu B:

`-3=2*0+b`

`b=-3`

`ul(ul(y=2x-3))`

 

Proste AB i AC są prostopadłe (iloczyn ich współczynników kierunkowych jest równy -1), więc trójkąt ABC jest prostokątny. 

 

 

 

`c)`

`ul(prosta\ AB)`

Punkty A i B mają jednakową drugą współrzędną, więc będzie to prosta pozioma:

`ul(ul(y=-2))`

 

`ul(prosta\ AC)`

`a=(3-(-2))/(-2-(-7))=(3+2)/(-2+7)=5/5=1`

`y=x+b`

Podstawiamy współrzędne punktu C:

`3=-2+b`

`b=3+2=5`

`ul(ul(y=x+5))`

 

 

`ul(prosta\ BC)`

`a=(3-(-2))/(-2-8)=(3+2)/(-10)=5/(-10)=-1/2`

`y=-1/2x+b`

Podstawiamy współrzędne punktu C:

`3=-1/2*(-2)+b`

`3=1+b`

`b=3-1=2`

`ul(ul(y=-1/2x+2))`

Ten trójkąt nie jest prostokątnych, ponieważ wśród trzech prostych AB, AC, BC nie ma pary prostych prostopadłych - nie ma pary współczynników kierunkowych, których iloczyn byłby równy -1. 

 

Wyznacz miejsce zerowe funkcji f

Zaznacz zbiór na osi liczbowej i zapisz

a)

 

 

`(-oo,-5>>uu<<4,+oo)`

  b)

 

 

`(-oo,4)uu(6,+oo)`

c)

`(-oo,-3>>uu(-2,+oo)`

d)

`(-oo,1)uu<<4,+oo)`

Wyznacz dziedzinę funkcji.

a) Każdą liczbie możemy przyporządkować jej podwojenie, zatem dziedzina to zbiór liczb rzeczywistych.

`D = R` 

 

b) Każdej liczbie możemy przyporządkować liczbę 3, zatem dziedzina to zbiór liczb rzeczywistych.

`D = R` 

 

c) Każdej liczbie możemy przyporządkować sumę jej kwadratu i liczby siedmiokrotnie od niej większej, zatem dziedzina to zbiór liczb rzeczywistych.

`D = R` 

 

d) Każdej liczbie możemy przyporządkować różnicę jej sześcianu i liczby 1, zatem dziedzina to zbiór liczb rzeczywistych.

`D = R` 

Gorączkującego pacjenta przyjęto na ...

a) Po 8 godzinach zaobserwowano, że leki zaczynają obniżać gorączkę.

 

b) Wzrost temperatury zaobserwowano o godzinie 10:00.

Temperaturę mierzono co 4 godziny. O godzinie 6:00 temperatura była niższa niż w poprzednich godzinach. Dopiero w czasie kolejnego pomiaru zauważono, że temperatura wzrosła.

Możemy powiedzieć, że temperatura wzrastała od godziny 6:00, ale jej wzrost zaobserwowano o godzinie 10:00 (gdyż wtedy był kolejny pomiar).

 

c) Najniższa temperatura jaką miał pacjent to 36,0ºC.

 

d) Największy spadek temperatury nastąpił między godziną 14:00 a godziną 18:00 (w piątek!).

Zapisz warunek, który spełniają liczby należące do danego przedziału

Napisz wzory i naszkicuj ...

`a)` 

`f(x)=x^2-4` 

`g(x)=|f(x)|=|x^2-4|` 

`h(x)=f(|x|)=|x|*|x|-4=x^2-4` 

Zauważmy, że:

`f(x)=h(x)` 

 

`b)` 

`f(x)=(x-4)^2`    

`g(x)=|f(x)|=|(x-4)^2|=(x-4)^2`  

`h(x)=f(|x|)=(|x|-4)^2` 

Zauważmy, że:

`f(x)=g(x)`  

 

`c)` 

`f(x)=|x|-3` 

`g(x)=|f(x)|=||x|-3|` 

`h(x)=f(|x|)=|x|-3` 

Zauważmy, że:

`f(x)=h(x)`  

Oblicz

`a)\ |1-|1-|1-4|||=|1-|1-|-3|||=|1-|1-3||=|1-|-2||=|1-2|=|-1|=1`

`b)\ |3-|2-5||=|3-|-3||=|3-3|=|0|=0`

`c)\ |2-sqrt3|+|2+sqrt3|=2-sqrt3+2+sqrt3=4`

`d)\ |sqrt3-5|+|sqrt3-1|=-(sqrt3-5)+sqrt3-1=-sqrt3+5+sqrt3-1=4`

`e)\ |3-sqrt2|/|sqrt2-3|=(3-sqrt2)/(-(sqrt2-3))=(3-sqrt2)/(-sqrt2+3)=(3-sqrt2)/(3-sqrt2)=1`

`f) \ |2-4sqrt6|/|2sqrt6-1|=(-(2-4sqrt6))/(2sqrt6-1)=(-2+4sqrt6)/(2sqrt6-1)=(4sqrt6-2)/(2sqrt6-1)=(2(2sqrt6-1))/(2sqrt6-1)=2`