Zależności i tożsamości trygonometryczne - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Zależności i tożsamości trygonometryczne

Z działu trygonometria powinniśmy już potrafić praktycznie wszystko. Został jeden temat, który często się przewija. Między Funkcjami trygonometrycznymi występują specjalne zależności, o których właśnie napiszemy w tym temacie. Oto najważniejsze z tych zależności:
 

  • $$sin^2 α+cos^2 α=1$$
  • $$g α={sin α}/{cos α}$$
  • $$ctg α={cos α}/{sin α}$$
  • $$g α=1/{ctg α}$$


Powyższe zależności będą nam się przewijać w tak zwanych Tożsamościach trygonometrycznych. Czym one są?

Jest to równość zawsze prawdziwa, czyli takie równanie, gdzie lewa strona będzie się równać prawej, niezależnie od tego jaki kąt α wstawimy do tego równania (np. cztery podane powyżej zależności też są tożsamościami trygonometrycznymi).

Aby udowodnić tożsamość musimy doprowadzić jedną ze stron do identycznej postaci jak druga, czyli np. zmienić lewą aby przypominała prawą. Oczywiście możemy dążyć do ujednolicenia z obu stron naraz, czyli zmieniać zarówno lewą, jak i prawą stronę równania. Możemy przy tym używać 4 podanych wcześniej zależności (ich nie musimy udowadniać). Oczywiście wszystko najlepiej widać na przykładzie.

Przykład:

Udowodnij, że równanie $$1+tg^2 α=1/{cos^2 α}$$ jest poprawne.

Pamiętajmy o dziedzinie! W mianowniku nie może być 0, czyli:

$$cos α≠0$$

Musimy tutaj próbować użyć wszelkich dostępnych nam wzorów. Zacznijmy od małej analizy, nie traktujmy jedynki jak liczbę, lecz jako zależność z punktu pierwszego (patrz na cztery punkty wymienione na początku tematu):

$$sin^2 α+cos^2 α+tg^2 α=1/{cos^2 α}$$

Niby bardziej skomplikowane, ale prowadzi nas do rozwiązania. Rozbijmy teraz tangens za pomocą kolejnego wzoru (drugi z czterech podanych na początku punktów):

$$sin^2 α+cos^2 α+{sin^2 α}/{cos^2 α}=1/{cos^2 α}$$

Przenieśmy teraz ułamek tak, aby był wspólny mianownik:

$$sin^2 α+cos^2 α=1/{cos^2 α}-{sin^2 α}/{cos^2 α}$$

$$sin^2 α+cos^2 α={1-sin^2 α}/{cos^2 α}$$

Zobaczmy na licznik, mamy tu ewidentnie ukryty wzór nr 1:

$$sin^2 α+cos^2 α={cos^2 α}/{cos^2 α}$$

$$sin^2 α+cos^2 α=1$$

Co się zgadza z naszym wzorem nr 1, więc piszemy, że lewa strona jest równa prawej.

$$L=P$$
 

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Udowodnij tożsamość: $$sin^2 x=(1-cos x)(1+cos x)$$

Jedna z najprostszych tożsamości. Zacznijmy i praktycznie skończmy na przekształceniu wzoru skróconego mnożenia:

$$sin^2 x=1-cos^2 x$$

Jeśli jeszcze nie widać zależności, dodajmy stronami $$cos^2 x$$:

$$sin^2 x+cos^2 x=1 $$

$$L=P$$  

Zadanie 2.

Udowodnij tożsamość: $$ g x-ctg x=( g x-1)(ctg x+1)$$

Również nie jest trudna jeśli się za nią odpowiednio zabierzemy. Zgodnie z poradami, wymnóżmy nawiasy w prawej stronie równania:

$$ g x-ctg x= g x ⋅ ctg x-ctg x+ g x-1$$

Przenieśmy wszystkie tangensy i cotangensy na stronę lewą:

$$ g x- g x-ctg x+ctg x= g x ⋅ ctg x-1$$

Jak widać redukują się

$$ g x ⋅ ctg x-1=0$$

Przenieśmy jedynkę

$$ g x ⋅ ctg x=1$$

Teraz zamieńmy np. tangens

$$1/{ctg x} ctgx=1$$

Jak widać nam się skracają

$$1=1$$

$$L=P$$  

Spis treści

Rozwiązane zadania
Suma dwóch liczb jest równa...

Niech będą liczbami, o których mowa w zadaniu.

Suma tych liczb jest równa co zapiszemy następująco:

 

Natomiast różnica wynosi  czyli:

 

Zapisujemy równania jako układ równań i go rozwiązujemy:

 

Dodajemy równania stronami, otrzymując:

 

 

Podstawiamy  do dowolnego równania z igrekiem i wyznaczamy  

 

 

 

Rozwiązaniem układu równań jest para liczb:

 

Odp. Szukane liczby to               

Boki prostokąta mają długość 30 cm i 20 cm...

Krótszy bok po wydłużeniu ma długość:

 

Dłuższy bok po skróceniu ma długość:

 

 

Pole prostokąta ma zmianach długości boków:

 

Największa wartość funkcji będzie w wierzchołku zatem:

 

 

Odpowiedź C

Uzasadnij, że jeżeli

 

 

 

Przeprowadzimy dowód przez sprowadzenie do sprzeczności. Zastanówmy się, co by było, gdyby teza nie była spełniona. Iloczyn xy musiałby być wtedy ujemny. Iloczyn dwóch liczb jest ujemny, jeśli jedna z nich jest dodatnia, a druga ujemna. Mamy więc dwie możliwości.

 

 

 

Przeanalizujmy pierwszy przypadek. 

 

 

Wtedy lewa strona równości z założenia może przyjmować 2 wartości:

 

 

Prawa strona równości:

 

 

Nie zachodzi więc równość z tezy, co jest sprzecznością z założeniem. Pierwszy przypadek nie jest więc możliwy.

Przeanalizujmy teraz drugi przypadek:

 

 

Wtedy lewa strona równości z założenia może przyjmować 2 wartości:

 

Prawa strona równości:

 

 

Nie zachodzi więc równość z tezy, co jest sprzecznością z założeniem. Drugi przypadek nie jest więc możliwy.

 

Oba przypadki doprowadziły do sprzeczności, co oznacza, że nie zachodzi nierówność xy<0, czyli xy≥0, co należało dowieść. 

Wiedząc, że przybliżenie liczby...

 {premium}


 


 


 

Na podstawie wykresu funkcji...

a) Przesuwamy wykres funkcji o 2 jednostki w lewo i 2 jednostki w górę.

 

b) Przesuwamy wykres funkcji o 2 jednostki w prawo i 1 jednostkę w dół.

 

c) Przesuwamy wykres o 4 jednostki w prawo i 4 jednostki w dół.

Mamy c cukierków i rozdajemy...

Skoro mamy c cukierków i rozdając je dzieciom sprawimy, że każde będzie miało po k cukierków wtedy wiemy, że zajdzie wzór:

 

A więc n są wielkościami odwrotnie proporcjonalnymi.

 

A. Fałsz

B. Prawda

C. Fałsz

Wyłącz czynnik przed pierwiastek

{premium}

Wyznacz równanie paraboli, wiedząc, że przecina ona osie układu współrzędnych

Wykorzystując podane współrzędne, zapisujemy jakie wartości osiąga funkcja dla danych argumentów: 

Mając miejsca zerowe możemy zapisać postać iloczynową:

 

Wykorzystując punkt A znajdujemy parametr a:

 

 

 

 

 

 

 

Naszkicuj wykres funkcji

Aby narysować wykres funkcji liniowej, wyznaczamy współrzędne dwóch punktów, zaznaczamy je w układzie współrzędnych i prowadzimy przez nie prostą.

 

Aby sprawdzić, czy podany punkt należy do wykresu funkcji, podstawiamy pierwszą współrzędną punktu w miejsce x i obliczamy y - jeśli jest równy drugiej współrzędnej, to punkt należy do wykresu, a jeśli jest różny od drugiej współrzędnej, to punkt nie należy do wykresu. 

 

Sześcian S2 jest obrazem sześcianu ...