Zależności i tożsamości trygonometryczne - matura-podstawowa - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Zależności i tożsamości trygonometryczne - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Zależności i tożsamości trygonometryczne

Z działu trygonometria powinniśmy już potrafić praktycznie wszystko. Został jeden temat, który często się przewija. Między Funkcjami trygonometrycznymi występują specjalne zależności, o których właśnie napiszemy w tym temacie. Oto najważniejsze z tych zależności:
 

  • $sin^2 α+cos^2 α=1$
  • $g α={sin α}/{cos α}$
  • $ctg α={cos α}/{sin α}$
  • $g α=1/{ctg α}$


Powyższe zależności będą nam się przewijać w tak zwanych Tożsamościach trygonometrycznych. Czym one są?

Jest to równość zawsze prawdziwa, czyli takie równanie, gdzie lewa strona będzie się równać prawej, niezależnie od tego jaki kąt α wstawimy do tego równania (np. cztery podane powyżej zależności też są tożsamościami trygonometrycznymi).

Aby udowodnić tożsamość musimy doprowadzić jedną ze stron do identycznej postaci jak druga, czyli np. zmienić lewą aby przypominała prawą. Oczywiście możemy dążyć do ujednolicenia z obu stron naraz, czyli zmieniać zarówno lewą, jak i prawą stronę równania. Możemy przy tym używać 4 podanych wcześniej zależności (ich nie musimy udowadniać). Oczywiście wszystko najlepiej widać na przykładzie.

Przykład:

Udowodnij, że równanie $1+tg^2 α=1/{cos^2 α}$ jest poprawne.

Pamiętajmy o dziedzinie! W mianowniku nie może być 0, czyli:

$cos α≠0$

Musimy tutaj próbować użyć wszelkich dostępnych nam wzorów. Zacznijmy od małej analizy, nie traktujmy jedynki jak liczbę, lecz jako zależność z punktu pierwszego (patrz na cztery punkty wymienione na początku tematu):

$sin^2 α+cos^2 α+tg^2 α=1/{cos^2 α}$

Niby bardziej skomplikowane, ale prowadzi nas do rozwiązania. Rozbijmy teraz tangens za pomocą kolejnego wzoru (drugi z czterech podanych na początku punktów):

$sin^2 α+cos^2 α+{sin^2 α}/{cos^2 α}=1/{cos^2 α}$

Przenieśmy teraz ułamek tak, aby był wspólny mianownik:

$sin^2 α+cos^2 α=1/{cos^2 α}-{sin^2 α}/{cos^2 α}$

$sin^2 α+cos^2 α={1-sin^2 α}/{cos^2 α}$

Zobaczmy na licznik, mamy tu ewidentnie ukryty wzór nr 1:

$sin^2 α+cos^2 α={cos^2 α}/{cos^2 α}$

$sin^2 α+cos^2 α=1$

Co się zgadza z naszym wzorem nr 1, więc piszemy, że lewa strona jest równa prawej.

$L=P$
 

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Udowodnij tożsamość: $sin^2 x=(1-cos x)(1+cos x)$

Jedna z najprostszych tożsamości. Zacznijmy i praktycznie skończmy na przekształceniu wzoru skróconego mnożenia:

$sin^2 x=1-cos^2 x$

Jeśli jeszcze nie widać zależności, dodajmy stronami $cos^2 x$:

$sin^2 x+cos^2 x=1 $

$L=P$  

Zadanie 2.

Udowodnij tożsamość: $ g x-ctg x=( g x-1)(ctg x+1)$

Również nie jest trudna jeśli się za nią odpowiednio zabierzemy. Zgodnie z poradami, wymnóżmy nawiasy w prawej stronie równania:

$ g x-ctg x= g x ⋅ ctg x-ctg x+ g x-1$

Przenieśmy wszystkie tangensy i cotangensy na stronę lewą:

$ g x- g x-ctg x+ctg x= g x ⋅ ctg x-1$

Jak widać redukują się

$ g x ⋅ ctg x-1=0$

Przenieśmy jedynkę

$ g x ⋅ ctg x=1$

Teraz zamieńmy np. tangens

$1/{ctg x} ctgx=1$

Jak widać nam się skracają

$1=1$

$L=P$  

Spis treści

Rozwiązane zadania
Przyprostokątne trójkąta prostokątnego mają długości ...

Przyprostokątne trójkąta prostokątnego mają długość 6 i 8 . 

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa obliczamy ile wynosi długość przeciwprostokątnej (c, c > 0) tego trójkąta. 

     
{premium}


Przyjmijmy oznaczenia jak na poniższym rysunku. 

Zauważmy, że przeciwprostokątna trójkąta jest jednocześnie średnicą okręgu opisanego na tym trójkącie. 

Średnia okręgu (d) ma więc długość: 

 

Promień jest 2 razy krótszy od średnicy. Obliczamy ile wynos długość promienia okręgu opisanego na tym trójkącie. 

  

Promień okręgu opisanego na tym trójkącie ma długość R = 5

 

Przyjmijmy teraz oznaczenia jak na poniższym rysunku. 

Przeciwprostokątna tego trójkąta ma długość 10. 

Możemy więc napisać równanie: 

    

Promień okręgu wpisanego w ten trójkąt ma długość r = 2

Wyznacz największą wartość N i najmniejszą ...

 

Wykresem funkcji  jest prosta. Funkcja  jest malejąca. Przedział  jest lewostronnie otwarty, więc funkcja  w tym przedziale nie przyjmuje wartości największej. Obliczamy wartość funkcji dla argumentu 1.

 

Mamy więc:{premium}

 

 


 

Wykresem funkcji  jest parabola symetryczna względem osi . Jej ramiona skierowane są do dołu, więc największą wartość funkcja  będzie przyjmowała dla argumentu 0. Obliczamy wartości funkcji dla argumentów -1 i 0.

 

 

Mamy więc:

 

 


 

Wykresem funkcji  jest parabola symetryczna względem osi . Jej ramiona skierowane są do góry, więc najmniejszą wartość funkcja  będzie przyjmowała dla argumentu 0. Obliczamy wartości funkcji dla argumentów 2 i 0.

 

 

Mamy więc:

 

 


 

Funkcja  jest malejąca. Przedział  jest nieograniczony. Oznacza to, że w tym przedziale funkcja  nie przyjmuje wartości najmniejszej. Obliczamy wartość funkcji dla argumentu 1.

 

Mamy więc:

 

 

Funkcję f określono za pomocą ...

Wykres funkcji  otrzymujemy przez symetryczne odbicie wykresu funkcji  względem osi .

Szkicujemy wykres funkcji . {premium}

Wykres funkcji  powstał przez symetryczne odbicie wykresu funkcji  względem osi . W tym samym układzie współrzędnych szkicujemy wykres funkcji .

Jeden z wierzchołków kwadratu znajduje się w początku układu współrzędnych, a dwa inne - leżą na wykresie funkcji . Mamy więc:

Czyli:

 

Zbiór A jest zbiorem naturalnych potęg liczby 5 nie

Wypiszmy elementy obu opisanych zbiorów:

{premium}         (elementy mają być nie większe od 125, zatem ta potęga należy do bioru)

       (elementy mają być mniejsze od 25, dlatego ta wielokrotność nie należy do zbioru)

Wtedy:

Czy ciąg (an) jest arytmetyczny? ...

Ciąg (an) będzie arytmetyczny, jeśli różnica tego ciągu będzie dowolną (konkretną) liczbą rzeczywistą. 

(an) - ciąg arytmetyczny, gdy r = const. 

 

a) Obliczamy ile wynosi różnica tego ciągu. 

 

 

czyli: {premium}

  

Oznacza to, że ciąg (an) jest arytmetyczny


b) Obliczamy ile wynosi różnica tego ciągu. 

 

 

czyli: 

 

Oznacza to, że ciąg (an) nie jest arytmetyczny. 


c) Obliczamy ile wynosi różnica tego ciągu. 

    

   

czyli: 

 

Oznacza to, że ciąg (an) jest arytmetyczny

Oblicz wartość wyrażenia...

 

{premium}

 

 

 

 

Przeczytaj podany w ramce przykład i rozwąż...

 

Korzystając z własności x2=|x|2, równanie możemy zapisać następująco:{premium}

 

Podstawiamy |x|=t, t≥0.

 

 

 

Liczba t=-1 nie spełnia warunku t≥0, więc ją odrzucamy. Otrzymujemy:

 

Wracamy z podstawieniem do zmiennej x.

 

 

Uwaga: Odpowiedzi podane w zbiorze są błędne.

Oblicz:

 bo       {premium}

 bo  

 bo  

 bo  

 bo  

 bo  

 bo  

 bo  

Jaki błąd bezwzględny popełnimy, jeżeli za

a)

{premium}

b)

c)

Do zbioru rozwiązań układu ...

Rozwiązując układ równań mamy:

 

     {premium}

Zatem jest to układ nieoznaczony.

Rozwiązaniem tego układu równań są pary postaci (2+4y, y).

Łatwo zauważyć, że para (2, 1) nie jest powyższej postaci.

 

Odp. C