Zgoda na przetwarzanie danych osobowych

25 maja 2018 roku zacznie obowiązywać Rozporządzenie Parlamentu Europejskiego i Rady (UE) 2016/679 z dnia 27 kwietnia 2016 r. znane jako RODO.

Dlatego aby dalej móc dostarczać Ci materiały odpowiednie do Twojego etapu edukacji, potrzebujemy zgody na lepsze dopasowanie treści do Twojego zachowania. Dzięki temu możemy zapamiętywać jakie materiały są Ci potrzebne. Dbamy o Twoją prywatność, więc nie zwiększamy zakresu naszych uprawnień. Twoje dane są u nas bezpieczne, a zgodę na ich zbieranie możesz wycofać na podstronie polityka prywatności.

Klikając "Przejdź do Odrabiamy", zgadzasz się na wskazane powyżej działania. W przeciwnym wypadku, nie jesteśmy w stanie zrealizować usługi kompleksowo i prosimy o opuszczenie strony.

Polityka prywatności

Drogi Użytkowniku w każdej chwili masz prawo cofnąć zgodę na przetwarzanie Twoich danych osobowych. Cofnięcie zgody nie będzie wpływać na zgodność z prawem przetwarzania, którego dokonano na podstawie wyrażonej przez Ciebie zgody przed jej wycofaniem. Po cofnięciu zgody wszystkie twoje dane zostaną usunięte z serwisu. Udzielenie zgody możesz modyfikować w zakładce 'Informacja o danych osobowych'

Zależności i tożsamości trygonometryczne - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Zależności i tożsamości trygonometryczne

Z działu trygonometria powinniśmy już potrafić praktycznie wszystko. Został jeden temat, który często się przewija. Między Funkcjami trygonometrycznymi występują specjalne zależności, o których właśnie napiszemy w tym temacie. Oto najważniejsze z tych zależności:
 

  • $$sin^2 α+cos^2 α=1$$
  • $$g α={sin α}/{cos α}$$
  • $$ctg α={cos α}/{sin α}$$
  • $$g α=1/{ctg α}$$


Powyższe zależności będą nam się przewijać w tak zwanych Tożsamościach trygonometrycznych. Czym one są?

Jest to równość zawsze prawdziwa, czyli takie równanie, gdzie lewa strona będzie się równać prawej, niezależnie od tego jaki kąt α wstawimy do tego równania (np. cztery podane powyżej zależności też są tożsamościami trygonometrycznymi).

Aby udowodnić tożsamość musimy doprowadzić jedną ze stron do identycznej postaci jak druga, czyli np. zmienić lewą aby przypominała prawą. Oczywiście możemy dążyć do ujednolicenia z obu stron naraz, czyli zmieniać zarówno lewą, jak i prawą stronę równania. Możemy przy tym używać 4 podanych wcześniej zależności (ich nie musimy udowadniać). Oczywiście wszystko najlepiej widać na przykładzie.

Przykład:

Udowodnij, że równanie $$1+tg^2 α=1/{cos^2 α}$$ jest poprawne.

Pamiętajmy o dziedzinie! W mianowniku nie może być 0, czyli:

$$cos α≠0$$

Musimy tutaj próbować użyć wszelkich dostępnych nam wzorów. Zacznijmy od małej analizy, nie traktujmy jedynki jak liczbę, lecz jako zależność z punktu pierwszego (patrz na cztery punkty wymienione na początku tematu):

$$sin^2 α+cos^2 α+tg^2 α=1/{cos^2 α}$$

Niby bardziej skomplikowane, ale prowadzi nas do rozwiązania. Rozbijmy teraz tangens za pomocą kolejnego wzoru (drugi z czterech podanych na początku punktów):

$$sin^2 α+cos^2 α+{sin^2 α}/{cos^2 α}=1/{cos^2 α}$$

Przenieśmy teraz ułamek tak, aby był wspólny mianownik:

$$sin^2 α+cos^2 α=1/{cos^2 α}-{sin^2 α}/{cos^2 α}$$

$$sin^2 α+cos^2 α={1-sin^2 α}/{cos^2 α}$$

Zobaczmy na licznik, mamy tu ewidentnie ukryty wzór nr 1:

$$sin^2 α+cos^2 α={cos^2 α}/{cos^2 α}$$

$$sin^2 α+cos^2 α=1$$

Co się zgadza z naszym wzorem nr 1, więc piszemy, że lewa strona jest równa prawej.

$$L=P$$
 

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Udowodnij tożsamość: $$sin^2 x=(1-cos x)(1+cos x)$$

Jedna z najprostszych tożsamości. Zacznijmy i praktycznie skończmy na przekształceniu wzoru skróconego mnożenia:

$$sin^2 x=1-cos^2 x$$

Jeśli jeszcze nie widać zależności, dodajmy stronami $$cos^2 x$$:

$$sin^2 x+cos^2 x=1 $$

$$L=P$$  

Zadanie 2.

Udowodnij tożsamość: $$ g x-ctg x=( g x-1)(ctg x+1)$$

Również nie jest trudna jeśli się za nią odpowiednio zabierzemy. Zgodnie z poradami, wymnóżmy nawiasy w prawej stronie równania:

$$ g x-ctg x= g x ⋅ ctg x-ctg x+ g x-1$$

Przenieśmy wszystkie tangensy i cotangensy na stronę lewą:

$$ g x- g x-ctg x+ctg x= g x ⋅ ctg x-1$$

Jak widać redukują się

$$ g x ⋅ ctg x-1=0$$

Przenieśmy jedynkę

$$ g x ⋅ ctg x=1$$

Teraz zamieńmy np. tangens

$$1/{ctg x} ctgx=1$$

Jak widać nam się skracają

$$1=1$$

$$L=P$$  

Spis treści

Rozwiązane zadania
W baku samochodu znajduje się 48 l benzyny

`a)`

`"liczba przejechanych"` 

`"kilometrów"` 

`100`  `200`  `300`  `400`  `500`  `600`  `700`  `800` 
`"ilość benzyny w baku [l]"`   `48-6=42`  `48-2*6=36`  `48-3*6=30`  `48-4*6=24`  `48-5*6=18`  `48-6*6=12`  `48-7*6=6`  `48-8*6=0`  

 

 

 

`b)` 

`D=<<0,\ 800>>` 

Dziedzina informuje nas, ile kilometrów możemy przejechać, mając w baku 48 litrów benzyny. 

 

 

`c)` 

Z wykresu lub z tabelki odczytujemy, że po przejechaniu 300 km w baku pozostanie 30 l benzyny. 

 

`d)` 

Jeśli w baku był 48 l, a azostał tylko 5 l, to oznacza, że wykorzystano już 48-5=43 l paliwa. 

Wiemy, że samochód spala 6 l paliwa na 100 km, musimy obliczyć, na ile km starczą 43 l paliwa. 

`6\ l\ \ \ -\ \ \ 100\ km` 

`43\ l\ \ -\ \ \ x` 

`6/43=100/x` 

`6x=100*43`  

`6x=4300\ \ \ \ |:6`  

`x=716 2/3\ km` 

 

 

`e)` 

Z tabelki i wykresu można odczytać, że benzyna skończy się po przejechaniu 800 km, więc tym samochodem można przejechać 675 km bez tankowania. 

W trójkącie prostokątnym przeciwprostokątna

Na rysunku wyznaczono środek ciężkości trójkąta- jest on punktem przecięcia się środkowych.

W trójkącie prostokątnym środkowa poprowadzona z wierzchołka kąta protego ma długość połowy przeciwprostokątnej.

Środkowata zatem ma długość:

30cm:2=15cm

Środek cięzkości dzieli środkową w stosunku 1:2. 

15cm:3=5cm

5cm*2=10cm

Odcinek x wyniesie więc 10 cm.

Naszkicuj wykres funkcji

Wykonajmy tabelkę wartości funkcji, która ułatwi narysowanie wykresu:

 
`x`  `-2`  `-1`  `-1/2`  `1/2`  `1`  `2` 
`f(x)`  `1/2`  `1`  `2`  `-2`    `-1`  `-1/2` 

 

 

 

`a)` 

`"Wartość najmniejsza:"\ \ \ 1/2\ \ \ "dla"\ \ \ x=-2` 

`"Wartość największa:"\ \ \ 1\ \ \ "dla"\ \ \ x=-1` 

 

 

`b)` 

`"Wartość najmniejsza:"\ \ \ -2\ \ \ "dla"\ \ \ x=1/2`  

`"Wartość największa:"\ \ \ -1/4\ \ \ "dla"\ \ \ x=4`

 

 

`c)` 

`"Wartość najmniejsza:"\ \ \ -1\ \ \ "dla"\ \ \ x=1` 

`"Wartość największa:"\ \ \ 2\ \ \ "dla"\ \ \ x=-1/2` 

Wyznacz równanie prostej zawierającej wysokość...

Rysunek poglądowy:

 

Wyznaczmy prostą AB:

`{(f(-3)=1),(f(4)=-1):}` 

`{(-3a+b=1),(4a+b=-1):}` 

`underline(underline(stackrel(\)(-) \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))` 

`-7a = 1-(-1)` 

`-7a = 2` 

`a = -2/7` 

Zatem:

`-3*(-2/7) + b = 1`  

`6/7 + b = 1` 

`b = 1/7` 

 

Wzór funkcji:

`f(x) = -2/7x+1/7` 

 

Wyznaczmy wzór funkcji prostopadłej do tej prostej przechodzącej przez punkt C:

`g(x) = 7/2x + b` 

`g(2)=6` 

`7/2*2+b=6` 

`7+b=6` 

`b = -1` 

 

`g(x) = 7/2x -1` 

Wyłącz wspólny czynnik przed nawias

`a)\ 2abc-6abd+14abcd=2ab*c+2ab*(-3d)+2ab*7cd=2ab(c-3d+7cd)`

`b)\ -5x^2y+20x^3y^2=5x^2y*(-1)+5x^2y*4xy=5x^2y(-1+4xy)`

`c)\ 6mk^2p-6mkp^2+m^2k^2p^2=mkp*6k+mkp*(-6p^2)+kmp*mkp=mkp(6k-6p^2+mkp)`

`d)\ (tu)/2+(uw)/4-tuw=u*t/2+u*w/4+u*(-tw)=u(t/2+w/4-tw)`

Rozwiąż równanie.

`a) \ 5 + (x^2-2)^2 = 2x^4 - 12x^2` 

`5 + x^4 - 4x^2 + 4 = 2x^4 - 12x^2` 

`x^4 -8x^2-9=0` 

Podstawienie pomocnicze:

`t = x^2` 

`t geq 0` 

 

`t^2 -8t - 9 =0` 

`t^2 +t -9t-9=0` 

`t(t+1)-9(t+1)=0` 

`(t+1)(t-9)=0 \ \ \ |:t+1`  

`t-9=0` 

`t=9` 

`x^2=9` 

`x_1 = 3 \ \ vv \ \ x_2 = -3` 

 

`b) \ (x^2-3)(x^2+3)+1=3x^4-2x^2` 

`x^4-9+1 = 3x^4-2x^2` 

`2x^4 - 2x^2 + 8 =0` 

`x^4 -x^2 + 4 =0` 

Podstawienie pomocnicze:

`t = x^2` 

`t geq 0` 

`t^2 - t + 4=0`  

`Delta = (-1)^2 -4*1*4 = 1 - 16 < 0` 

 

`c) \ -x^4-6x^2-9=0`  

Równanie jest stale mniejsze od 0 bo od dwóch liczb niedodatnich odejmujemy liczbę ujemną a więc brak rozwiązań.

 

`d) \ 3x^4-5x^2 -2=0` 

Podstawienie pomocnicze:

`t = x^2`  

`t geq 0` 

 

`3t^2 -5t - 2=0` 

`Delta = (-5)^2 -4*3*(-2) = 25 + 24 = 49` 

`sqrtDelta = sqrt49 = 7`  

`t_1 = (5-7)/6 = -1/3` 

`t_2 = (5+7)/6 = 2` 

Po uwzględnieniu dziedziny:

`x^2 = 2` 

`x_1 = sqrt2 \ \ vv \ \ x_2 = -sqrt2` 

 

`e) \ x - sqrt(2-x)=4 \ \ \ |-2` 

`x - 2 - sqrt(2-x) = 2` 

`-(2-x)-sqrt(2-x)=2` 

Podstawienie pomocnicze:

`t = sqrt(2-x)` 

`t geq 0` 

 

`-t^2 -t=2` 

`t^2 + t + 2=0` 

Brak rozwiązań bo jeżeli do sumy dwóch liczb nieujemnych dodamy dodatnią to funkcja będzie stale większa od 0. Zatem brak rozwiązań.

 

`f) \ sqrt(x-3)=x-5` 

`sqrt(x-3) = x-3-2` 

Podstawienie pomocnicze:

`t = sqrt(x-3)` 

`t geq 0` 

 

`t=t^2-2` 

`t^2 - t - 2 =0` 

`t^2 + t - 2t - 2 =0` 

`t(t+1)-2(t+1)=0` 

`(t+1)(t-2)=0` 

`t_1 = -1 \ \ t_2 = 2` 

Po uwzględnieniu dziedziny:

`sqrt(x-3)=2` 

`x-3 = 4` 

`x=7` 

Prosta o równaniu x=-9 jest osią symetrii wykresu...

Ponieważ prosta o równaniu `x=-9` jest osią symetrii wykresu, to odciętą wierzchołka paraboli jest `x_w=-9.` 

Na podstawie tego, że zbiór wartości to przedział `(-oo,-3>>` możemy stwierdzić, że `a>0,` czyli funkcja maleje

w przedziale `(-oo,-9>>` oraz rośnie w przedziale `<< -9,+oo).` 

 

`"a)"\ x_w notin<< 2,\ 3>>` i dany przedział leży na prawo od wierzchołka, więc funkcja w nim rośnie.

W takim razie najmniejszą wartość funkcja przyjmuje dla `x=2,` a największą dla `x=3.` 

 

`"b)"\ x_w in << -9,\ 0>>,` więc funkcja przyjmuje najmniejszą wartość w wierzchołku paraboli, czyli dla `x=-9,` 

a największą na drugim końcu przedziału, czyli dla `x=0.` 

 

`"c)"\ x_w in << -10,\ -3>>,` więc funkcja przyjmuje najmniejszą wartość w wierzchołku paraboli, czyli dla `x=-9,` 

a największą na jednym z końców przedziału. Jest to punkt `x=-3,` bo `-10` leży bliżej osi symetrii wykresu.

 

`"d)"\ x_w notin<< -12,-11>>` i dany przedział leży na lewo od wierzchołka, więc funkcja w nim maleje.

W takim razie najmniejszą wartość funkcja przyjmuje dla `x=-11,` a największą dla `x=-12.`         

  

Oszacuj powierzchnię stanu Wyoming ...

Skala 1:40 000 000 oznacza, że 1 cm na mapie odpowiada 40 000 000 cm w terenie. 

`40\ 000\ 000\ cm=400\ 000\ m=400\ km`

 

Obliczmy, jakie wymiary ma ten prostokąt w rzeczywistości: 

`1,1*400\ km=440\ km`

`1,5*400\ km=600\ km`

 

`P=440\ km*600\ km=264\ 000\ km^2`

Dane są liczby 243 500 618, 352 010 481

18=2*9

Liczba jest podzielna prze 18, jeśli jest podzielna przez 2 i przez 9. Liczba jest podzielna przez 2, jeśli ostatnią jej cyfrą jest 0,2,4,6 lub 8, a podzielna przez 9, jeśli suma jej cyfr jest podzielna przez 9.

Sprawdzamy po kolei podzielność wymienionych liczb przez 18:

  • Liczba 243 500 618 jest podzielna przez 2. Jednak suma cyfr liczby 243 500 618 wynosi 29- nie jest podzielna przez 9, zatem nie jest podzielna przez 18.
  • Liczba  352 010 481 na pewno nie jest podzielna przez 18, ponieważ nie jest podzielna przez 2 (ostatnia cyfra to 1).
  • Liczba 540 420 138 jest podzielna przez 2, a  suma jej cyfr wynosi 27- liczba podzielna przez 9. Jeśli liczba jest podzielna zarówno przez 2 jak i przez 9, to liczba ta jest podzielna przez 18.
  • Liczba 134 560 026 jest podzielna przez 2, a  suma jej cyfr wynosi - liczba podzielna przez 9. Jeśli liczba jest podzielna zarówno przez 2 jak i przez 9, to liczba ta jest podzielna przez 18.

 

Zaokrąglij dane z tabeli

Zaokrąglamy liczby z tabeli do dwóch miejsc znaczących.

Dwa pierwsze przykłady to zaokrąglenie do dziesiątek, jednak w pierwszym przykłądzie pokrywa się ono z zaokrągleniem do setek: 

`798~~800` 

`591~~590` 

Dwie kolejne liczby mają już dwie cyfry znaczące:

`290~~290` 

`621~~620` 

`46~~46` 

Zaokrąglamy dalej:

`1382~~1400` 

`1231~~1200` 

`759~~760` 

`676~~680`  

``Ostatnia liczba ma już dwie cyfry znaczące:

`25~~25` 

 

Obliczamy błędy względne przybliżeń dotyczących Polski:

`|290-290|/|290|=|0|/290=0/290=0` 

`|759-760|/|759|=|-1|/759=1/759=0,001317523...=0,1317523...%~~0,1318%`