Zależności i tożsamości trygonometryczne - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Zależności i tożsamości trygonometryczne

Z działu trygonometria powinniśmy już potrafić praktycznie wszystko. Został jeden temat, który często się przewija. Między Funkcjami trygonometrycznymi występują specjalne zależności, o których właśnie napiszemy w tym temacie. Oto najważniejsze z tych zależności:
 

  • $$sin^2 α+cos^2 α=1$$
  • $$g α={sin α}/{cos α}$$
  • $$ctg α={cos α}/{sin α}$$
  • $$g α=1/{ctg α}$$


Powyższe zależności będą nam się przewijać w tak zwanych Tożsamościach trygonometrycznych. Czym one są?

Jest to równość zawsze prawdziwa, czyli takie równanie, gdzie lewa strona będzie się równać prawej, niezależnie od tego jaki kąt α wstawimy do tego równania (np. cztery podane powyżej zależności też są tożsamościami trygonometrycznymi).

Aby udowodnić tożsamość musimy doprowadzić jedną ze stron do identycznej postaci jak druga, czyli np. zmienić lewą aby przypominała prawą. Oczywiście możemy dążyć do ujednolicenia z obu stron naraz, czyli zmieniać zarówno lewą, jak i prawą stronę równania. Możemy przy tym używać 4 podanych wcześniej zależności (ich nie musimy udowadniać). Oczywiście wszystko najlepiej widać na przykładzie.

Przykład:

Udowodnij, że równanie $$1+tg^2 α=1/{cos^2 α}$$ jest poprawne.

Pamiętajmy o dziedzinie! W mianowniku nie może być 0, czyli:

$$cos α≠0$$

Musimy tutaj próbować użyć wszelkich dostępnych nam wzorów. Zacznijmy od małej analizy, nie traktujmy jedynki jak liczbę, lecz jako zależność z punktu pierwszego (patrz na cztery punkty wymienione na początku tematu):

$$sin^2 α+cos^2 α+tg^2 α=1/{cos^2 α}$$

Niby bardziej skomplikowane, ale prowadzi nas do rozwiązania. Rozbijmy teraz tangens za pomocą kolejnego wzoru (drugi z czterech podanych na początku punktów):

$$sin^2 α+cos^2 α+{sin^2 α}/{cos^2 α}=1/{cos^2 α}$$

Przenieśmy teraz ułamek tak, aby był wspólny mianownik:

$$sin^2 α+cos^2 α=1/{cos^2 α}-{sin^2 α}/{cos^2 α}$$

$$sin^2 α+cos^2 α={1-sin^2 α}/{cos^2 α}$$

Zobaczmy na licznik, mamy tu ewidentnie ukryty wzór nr 1:

$$sin^2 α+cos^2 α={cos^2 α}/{cos^2 α}$$

$$sin^2 α+cos^2 α=1$$

Co się zgadza z naszym wzorem nr 1, więc piszemy, że lewa strona jest równa prawej.

$$L=P$$
 

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Udowodnij tożsamość: $$sin^2 x=(1-cos x)(1+cos x)$$

Jedna z najprostszych tożsamości. Zacznijmy i praktycznie skończmy na przekształceniu wzoru skróconego mnożenia:

$$sin^2 x=1-cos^2 x$$

Jeśli jeszcze nie widać zależności, dodajmy stronami $$cos^2 x$$:

$$sin^2 x+cos^2 x=1 $$

$$L=P$$  

Zadanie 2.

Udowodnij tożsamość: $$ g x-ctg x=( g x-1)(ctg x+1)$$

Również nie jest trudna jeśli się za nią odpowiednio zabierzemy. Zgodnie z poradami, wymnóżmy nawiasy w prawej stronie równania:

$$ g x-ctg x= g x ⋅ ctg x-ctg x+ g x-1$$

Przenieśmy wszystkie tangensy i cotangensy na stronę lewą:

$$ g x- g x-ctg x+ctg x= g x ⋅ ctg x-1$$

Jak widać redukują się

$$ g x ⋅ ctg x-1=0$$

Przenieśmy jedynkę

$$ g x ⋅ ctg x=1$$

Teraz zamieńmy np. tangens

$$1/{ctg x} ctgx=1$$

Jak widać nam się skracają

$$1=1$$

$$L=P$$  

Spis treści

Rozwiązane zadania
Dany jest trójkąt prostokątny ...

 

 

   

 {premium}

 

 

  

 

 

 

 

 

  

 

  

 

Wyznacz liczbę, której przybliżeniem jest

Błąd przybliżenia to różnica między daną liczbą a jej przybliżeniem. 

Szukaną liczbę oznaczymy jako x. 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Na rysunku jest przedstawiony wykres...

Funkcja nie przyjmuje wartości największej bo widzimy, że:

 

Lecz 4 nie należy do dziedziny funkcji a więc im większy argument mniejszy od 4 weźmiemy tym większą otrzymamy wartość.

 

Funkcja przyjmuje wartość najmniejszą dla x = 1, wartość ta wynosi y = -2.

 

A. Zdanie fałszywe.

 

B. Zdanie fałszywe.

 

C. Zdanie prawdziwe.

 

D. Zdanie fałszywe. 

 

Określ dziedzinę funkcji f. Naszkicuj...

 

Wyznaczamy dziedzinę funkcji f:

 

 

Nierówność jest zawsze spełniona. Zatem:

 


Aby narysować wykres funkcji f, zauważmy, że wzór tej funkcji możemy przekształcić następująco:{premium}

 

Z definicji wartości bezwzględnej:

 

W takim razie w przedziale (-∞, 5) rysujemy wykres funkcji y=-x+5, zaś w przedziale <5, +∞) - wykres funkcji y=x-5.

Rysujemy wykres funkcji f:


Odczytujemy z wykresu zbiór wartości funkcji f:

 



 

Wyznaczamy dziedzinę funkcji f:

 

 

 

 


Aby narysować wykres funkcji f, zauważmy, że wzór tej funkcji możemy przekształcić następująco:

 

Z definicji wartości bezwzględnej:

 

Stąd:

 

Mamy więc:

 

Rysujemy wykres funkcji f:


Odczytujemy z wykresu zbiór wartości funkcji f:

 



 

Wyznaczamy dziedzinę funkcji f:

 

 

 

 


Aby narysować wykres funkcji f, zauważmy, że wzór tej funkcji możemy przekształcić następująco:

 

Rysujemy wykres funkcji f:


Odczytujemy z wykresu zbiór wartości funkcji f:

 



 

Wyznaczamy dziedzinę funkcji f:

 

 

 

 

 


Aby narysować wykres funkcji f, zauważmy, że wzór tej funkcji możemy przekształcić następująco:

 

Z definicji wartości bezwzględnej:

 

Stąd:

 

Mamy więc:

 

Rysujemy wykres funkcji f:


Odczytujemy z wykresu zbiór wartości funkcji f:

 

Wyznacz biory wartości funkcji: a) f(x)=x²

a)

Dziedzinę określa pięć argumentów. Znajdujemy wartości przyporządkowane podanym argumentom podstawiając za x konkretne argumenty i obliczając w ten sposób f(x).

b)

Dziedzinę funkcji określa zbiór argumentów większych i równych -2. Znajdujemy wartości przyporządkowane kilku wybranym argumentom należącym do dziedziny.

Zauważamy, że podstawiając kolejne argumenty, przyporządkowane im wartości są coraz większe. Gdybyśmy tak podstawiali kolejne argumenty: 2,3,4,5.. , dostawalibyśmy coraz większe wartości w nieskończoność. Zbiór wartości zaczyna się więc od liczby 7 (wartość dla najmniejszego argumentu dziedziny funkcji) i jest nieograniczony z prawej strony. 

Funkcja f każdej naturalnej liczbie dwucyfrowej...

a) Zacznijmy od wyznaczenia dziedziny funkcji f. Są to wszystkie liczby naturalne dwucyfrowe, czyli:{premium}

 

Suma dwóch liczb może być równa 3, gdy tymi liczbami są 0 i 3 lub 1 i 2. Z liczb 0 i 3 możemy ułożyć liczbę 30, a z liczb 1 i 2 - liczby: 12 i 21.

Zatem funkcja f przyjmuje wartość 3 dla argumentów: 12, 21, 30.


b) Najmniejszą wartością, jaką przyjmuje funkcja f jest 1 (dla argumentu 10). Największą wartością, jaką przyjmuje funkcja f jest 18 (dla argumentu 99).

Zapisz warunek, który spełniają liczby należące do danego przedziału

Wskaż przedział, do którego nie należy

Do przedziału A należy liczba 9. Do przedziału C należy liczba 102. Do przedziału D należy liczba 3. Te liczby są podzielne przez 3. Należy więc zaznaczyć odpowiedź B. 

Przekształć wyrażenie, korzystając z wzoru na

a)

b)

c)

d)

 

 

Właściciele kotów zastanawiają się...

 

 

 

A więc wzór funkcji to:

 

 

 

 

 

 

 

 

Odpowiedź: Koty 7-, 11- i 15- letnie mają w przeliczeniu na lata ludzkie odpowiednio 44, 60 i 76 lat.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Odpowiedź: Lata kotów, których wiek wyrażony w latach ludzkich wynosi 45, 50 i 90 lat wynoszą odpowiednio 7 lat i 3 miesiące, 8 lat i 6 miesięcy oraz 18 lat i 6 miesięcy.