Zależności i tożsamości trygonometryczne - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Zależności i tożsamości trygonometryczne

Z działu trygonometria powinniśmy już potrafić praktycznie wszystko (jeśli nie to zachęcam do przeczytania poprzednich tematów: przeczytaj). Został jeden temat, który często się przewija. Między Funkcjami trygonometrycznymi występują specjalne zależności, o których właśnie napiszemy w tym temacie. Oto najważniejsze z tych zależności:
 
  • $$sin^2 α+cos^2 α=1$$
  • $$ g α={sin α}/{cos α} $$
  • $$ctg α={cos α}/{sin α} $$
  • $$ g α=1/{ctg α} $$

Powyższe zależności będą nam się przewijać w tak zwanych Tożsamościach trygonometrycznych. Czym one są?

Jest to równość zawsze prawdziwa, czyli takie równanie, gdzie lewa strona będzie się równać prawej, niezależnie od tego jaki kąt α wstawimy do tego równania (np. cztery podane powyżej zależności też są tożsamościami trygonometrycznymi).

Aby udowodnić tożsamość musimy doprowadzić jedną ze stron do identycznej postaci jak druga, czyli np. zmienić lewą aby przypominała prawą. Oczywiście możemy dążyć do ujednolicenia z obu stron naraz, czyli zmieniać zarówno lewą, jak i prawą stronę równania. Możemy przy tym używać 4 podanych wcześniej zależności (ich nie musimy udowadniać). Oczywiście wszystko najlepiej widać na przykładzie.

Przykład:

Udowodnij, że równanie $$1+tg^2 α=1/{cos^2 α}$$ jest poprawne.

Pamiętajmy o dziedzinie! W mianowniku nie może być 0, czyli:

$$cos α≠0$$

Musimy tutaj próbować użyć wszelkich dostępnych nam wzorów. Zacznijmy od małej analizy, nie traktujmy jedynki jak liczbę, lecz jako zależność z punktu pierwszego (patrz na cztery punkty wymienione na początku tematu):

$$sin^2 α+cos^2 α+tg^2 α=1/{cos^2 α}$$

Niby bardziej skomplikowane, ale prowadzi nas do rozwiązania. Rozbijmy teraz tangens za pomocą kolejnego wzoru (drugi z czterech podanych na początku punktów):

$$sin^2 α+cos^2 α+{sin^2 α}/{cos^2 α}=1/{cos^2 α}$$

Przenieśmy teraz ułamek tak, aby był wspólny mianownik:

$$sin^2 α+cos^2 α=1/{cos^2 α}-{sin^2 α}/{cos^2 α}$$

$$sin^2 α+cos^2 α={1-sin^2 α}/{cos^2 α}$$

Zobaczmy na licznik, mamy tu ewidentnie ukryty wzór nr 1:

$$sin^2 α+cos^2 α={cos^2 α}/{cos^2 α}$$

$$sin^2 α+cos^2 α=1$$

Co się zgadza z naszym wzorem nr 1, więc piszemy, że lewa strona jest równa prawej.

$$L=P$$
 

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Udowodnij tożsamość: $$sin^2 x=(1-cos x)(1+cos x)$$

Jedna z najprostszych tożsamości. Zacznijmy i praktycznie skończmy na przekształceniu wzoru skróconego mnożenia:

$$sin^2 x=1-cos^2 x$$

Jeśli jeszcze nie widać zależności, dodajmy stronami $$cos^2 x$$:

$$sin^2 x+cos^2 x=1 $$

$$L=P$$  

Zadanie 2.

Udowodnij tożsamość: $$ g x-ctg x=( g x-1)(ctg x+1)$$

Również nie jest trudna jeśli się za nią odpowiednio zabierzemy. Zgodnie z poradami, wymnóżmy nawiasy w prawej stronie równania:

$$ g x-ctg x= g x ⋅ ctg x-ctg x+ g x-1$$

Przenieśmy wszystkie tangensy i cotangensy na stronę lewą:

$$ g x- g x-ctg x+ctg x= g x ⋅ ctg x-1$$

Jak widać redukują się

$$ g x ⋅ ctg x-1=0$$

Przenieśmy jedynkę

$$ g x ⋅ ctg x=1$$

Teraz zamieńmy np. tangens

$$1/{ctg x} ctgx=1$$

Jak widać nam się skracają

$$1=1$$

$$L=P$$  

Spis treści

Rozwiązane zadania
Dane są dwie liczby naturalne, z których

Liczba, która przy dzieleniu przez 3 daje resztę 1:

`3n+1`

Liczba, która przy dzieleniu przez 3 daje resztę 2:

`3n+2`

`(3n+1)^2+(3n+2)^2=(3n)^2+2*3n*1+1^2+(3n)^2+2*3n*2+2^2=`

`=9n^2+6n+1+9n^2+12n+4= 18n^2+18n+5=18(n^2+n)+5`

 

Sprawdźmy resztę z dzielenia przez 3 tej liczby

`(18(n^2+n)+5)/3=(18(n^2+n))/3+5/3=6(n^2+n)+ 1+ ul(ul(r.2))`

Widzimy, że reszta z dzielenia przez 3 to 2.

Oblicz: a) |-7*3| i |-7|*|3|,

a)

`|-7*3| =|-21|=-(-21)=21`

`|-7|*|3|=-(-7)*3=21`

b)

`|-12*(-2)|=|24|=24`

`|-12|*|-2|=-(-12)*-(-2)=12*2=24`

c)

`(|-16|)/(|2|)=|-16/2|=|-8|=-(-8)=8`

`|-16/2|=|-8|=-(-8)=8`

Wykres danej funkcji przekształć ...

`a)` 

`f(x)=y=pix-1,5`  

`y_s-"funkcja symetryczna do funkcji y względem osi Y"` 

 

`y_s=f(-x)=-pix-1,5`  

 

`b)` 

`f(x)=y=3x^2+2` 

`y_s=f(-x)=3(-x)^2+2=3x^2+2` 

 

`c)` 

`f(x)=y=-3|x|+x` 

`y_s=f(-x)=-3|-x|-x=-3|x|-x` 

 

`d)` 

`f(x)=y=-x^3+x` 

`y_s=f(-x)=-(-x)^3-x=x^3-x`     

Oblicz

`a)\ root(4)(2sqrt64)=root(4)(2*8)=root(4)16=2`

`b)\ sqrt(-2root(3)(-8))=sqrt(-2*(-2))=sqrt4=2`

`c)\ root(7)(-root(6)(-root(5)(-1)))=root(7)(-root(6)(-(-1)))=root(7)(-root(6)1)=root(7)(-1)=-1`

`d)\ ((root(3)(root(5)3))^3)^5=(root(5)(3))^5=3`

Sprawdź, czy podane przyporządkowanie...

a) Przyporządkowanie jest funkcją gdyż rzeka nie może mieć dwóch lub więcej długości.

b) Przyporządkowanie jest funkcją gdyż trójkąt nie może mieć dwóch lub więcej obwodów.

c) Przyporządkowanie nie jest funkcją gdyż instytucje mogą mieć takie same numery, dopiero numer kierunkowy będzie je rozróżniał.

d) Przyporządkowanie jest funkcją gdyż każda dodatnia liczba całkowita ma ustaloną liczbę dzielników zatem zostanie przyporządkowana pewna liczba naturalna.

e) Przyporządkowanie nie jest funkcją gdyż uczeń może uczyć się dwóch języków (np. angielski i hiszpański) zatem istnieje możliwość przyporządkowania dwóch lub więcej elementów.

f) Przyporządkowanie jest funkcją gdyż każdy uczeń dostanie pewną liczbę naturalną, która będzie porządkować uczniów w klasie.

g) Przyporządkowanie jest funkcją gdyż istnieje tylko jedna reszta z dzielenia dla każdej liczby naturalnej przez 7. 

h) Przyporządkowanie jest funkcją gdyż każdej liczbie naturalnej zostanie przyporządkowany iloczyn trzech takich liczb naturalnych.

Podaj część całkowitą i część ułamkową każdej z liczb

`[15,7]=15`

`15,7-15=0,7`

Część całkowita to 15, a część ułamkowa to 0,7.

 

 

 

`[32]=32`

`32-32=0`

Część całkowita to 32, a część ułamkowa to 0. 

 

 

`[-8]=-8`

`-8-(-8)=-8+8=0`

Część całkowita to -8, a część ułamkowa to 0. 

 

 

 

`[-54,79]=-55`

`-54,79-(-55)=-54,79+55=0,21`

Część całkowita to -55, a część ułamkowa to 0,21.

 

 

 

`[-sqrt7]=[-2,64...]=-3`

`-sqrt7-(-3)=-sqrt7+3=3-sqrt7`

 Część całkowita to -3, a część ułamkowa to 3-√7.  

 

Na rysunku obok przedstawiono...

a) `f(x)=|x^2+bx+c|` 

`A=(0,0)` 

`B=(4,0)` 

Podstawmy współrzędne punktu A.

`0=|0^2+b*0+c|` 

`0=|c|` 

`c=0` 

 

Podstawmy współrzędne punktu B. 

`0=|4^2+b*4+0|` 

`0=|16+4b|` 

`0=16+4b` 

`-4b=16 \ \ \ |:(-4)` 

`b=-4` 


b) ALGEBRAICZNIE

`|x^2-4x|=|x^2-4x+6|` 

I przypadek:

`x^2-4x=x^2-4x+6` 

`0=6` 

sprzeczność

II przypadek: 

`x^2-4x=-(x^2-4x+6)` 

`x^2-4x=-x^2+4x-6` 

`x^2-4x+x^2-4x+6=0` 

`2x^2-8x+6=0 \ \ \ |:2` 

`x^2-4x+3=0` 

`Delta=(-4)^2-4*1*3=16-12=4` 

`sqrt(Delta)=2` 

`x_1=(-(-4)-2)/(2*1)=(4-2)/2=2/2=1` 

`x_2=(-(-4)+2)/(2*1)=(4+2)/2=6/2=3` 

 

GRAFICZNIE

`f(x)=|x^2-4x|` 

`g(x)=|x^2-4x+6|` 

 


c) ALGEBRAICZNIE

`|x^2-4x|=|1/4x^2-x+3 3/4|` 

I przypadek:

`x^2-4x=1/4x^2-x+3 3/4` 

`x^2-4x-1/4x^2+x-3 3/4=0` 

`3/4x^2-3x-15/4=0 \ \ \ |*4` 

`3x^2-12x-15=0 \ \ \ |:3` 

`x^2-4x-5=0` 

`Delta=(-4)^2-4*1*(-5)=16+20=36` 

`sqrt(Delta)=6` 

`x_1=(-(-4)-6)/(2*1)=(4-6)/2=(-2)/2=-1` 

`x_2=(-(-4)+6)/(2*1)=(4+6)/2=10/2=5` 

II przypadek:

`x^2-4x=-(1/4x^2-x+3 3/4)` 

`x^2-4x=-1/4x^2+x-3 3/4` 

`x^2-4x+1/4x^2-x+3 3/4=0` 

`1 1/4x^2-5x+3 3/4=0` 

`5/4x^2-5x+15/4=0 \ \ \ |*4` 

`5x^2=20x+15=0 \ \ \ |:5` 

`x^2-4x+3=0` 

`Delta=(-4)^2-4*1*3=16-12=4` 

`sqrt(Delta)=2` 

`x_1=(-(-4)-2)/(2*1)=(4-2)/2=2/2=1` 

`x_2=(-(-4)+2)/(2*1)=(4+2)/2=6/2=3` 

 

GRAFICZNIE

`f(x)=|x^2-4x|` 

`g(x)=|1/4x^2-x+3 3/4|` 

Zaznacz na osi liczbowej zbiór rozwiązań

`a)`

`{(2(7-x)+1>=3-4(x-2)), (6(x+2)-5x<3x+10):}`

`{(14-2x+1>=3-4x+8), (6x+12-5x<3x+10):}`

`{(15-2x>=11-4x \ \ \ |+4x), (x+12<3x+10\ \ \ |-3x):}`

`{(15+2x>=11\ \ \ |-15), (-2x+12<10\ \ \ |-12):}`

`{(2x>=-4\ \ \ |:2), (-2x<-2\ \ \|:(-2)):}`

`{(x>=-2), (x<1):}\ \ \ =>\ \ \ x in (1;\ +infty)`

  

  

 

 

`b)`

`{(9(x+1)-7(x+1)>3(x+2)+1), (1/2(x-2)+5>=4-1 1/2x\ \ \ |*2):}`

`{(2(x+1)>3x+6+1), (x-2+10>=8-3x):}`

`{(2x+2>3x+7\ \ \ |-3x), (x+8>=8-3x\ \ \ |+3x):}`

`{(-x+2>7\ \ \ |-2), (4x+8>=8\ \ \ \|-8):}`

`{(-x>5\ \ \ |*(-1)) , (4x>=0\ \ \ |:4):}`

`{(x< -5), (x>=0):}\ \ \ =>\ \ \ "układ nie ma rozwiązań"`

  

 

 

`c)`

`{((x-2)/3>(3-x)/5-1\ \ \ |*15), ((3x-1)^2-1<=3(x-2)^2+6(x^2+3)):}`

`{(5(x-2)>3(3-x)-15), (9x^2-6x+1-1<=3(x^2-4x+4)+6x^2+18):}`

`{(5x-10>9-3x-15), (9x^2-6x<=3x^2-12x+12+6x^2+18):}`

`{(5x-10> -6-3x\ \ \ |+3x), (9x^2-6x<=9x^2-12x+30\ \ \ |-9x^2):}`

`{(8x-10> -6\ \ \ |+10), (-6x<=-12x+30\ \ \ |+12x):}`

`{(8x>4 \ \ \ |:8), (6x<=30 \ \ \ |:6):}`

`{(x>1/2), (x<=5):}\ \ \ =>\ \ \ x in (1/2;\ 5>>`

  

 

 

`d)`

`{((5-x)^2+3(x-1)^2<(2x+1)(2x-1)-3), (2(x-3)^2-(4-x)^2<5+(x+1)^2):}`

`{(25-10x+x^2+3(x^2-2x+1)<4x^2-1-3), (2(x^2-6x+9)-(16-8x+x^2)<5+x^2+2x+1):}`

`{(25-10x+x^2+3x^2-6x+3<4x^2-4), (2x^2-12x+18-16+8x-x^2<x^2+2x+6):}`

`{(4x^2-16x+28<4x^2-4\ \ \ |-4x^2), (x^2-12x+2<x^2+2x+6\ \ \ |-x^2):}`

`{(-16x+28<-4\ \ \ |-28), (-12x+2<2x+6\ \ \ |-2x):}`

`{(-16x< -32\ \ \ |:(-16)), (-14x+2<6\ \ \ |-2):}`

`{(x>2), (-14x< 4\ \ \ |:(-14)):}`

`{(x>2), (x> -2/7):}\ \ \ =>\ \ \ x in (2;\ +infty)`

 

  

Wykresy funkcji f, g, h, k

Wykres funkcji f otrzymano przesuwając wykres funkcji y=6x² o 6 jednostek w lewo:

`f(x)=6(x+6)^2\ \ #=^(^((a+b)^2=a^2+2ab+b^2))\ \ 6(x^2+12x+36)`

 

 

Wykres funkcji g otrzymano przesuwając wykres funkcji y=6x² o 3 jednostki w lewo:

`g(x)=6(x+3)^2=6(x^2+6x+9)\ \ \ \ odp.\ B`

 

Wykres funkcji h otrzymano przesuwając wykres funkcji y=6x² o 1 jednostkę w lewo oraz o 2 jednostki w górę:

`h(x)=6(x+1)^2+2=6(x^2+2x+1)+2`

 

Wykres funkcji k otrzymano przesuwając wykres funkcji y=6x² o 1 jednostkę w prawo oraz o 1 jednostkę w górę:

`k(x)=6(x-1)^2+1=6(x^2-2x+1)+1`

 

Dana jest funkcja f(x) ...

`f(x)=3-x` 

 

`a)` 

`g(x)=f(|x|)=3-|x|`  

`h(x)=1-f(|x|)=1-(3-|x|)`  

Zauważmy że powstały prostokąt można podzielić na dwa trójkąty o podstawie równej 5 i wysokości równej 2,5.

`P=2*1/2*2,5*5=12,5` 

 

`b)` 

`g(x)=|f(x)|=|3-x|`  

`h(x)=f(|x-2|)=3-|x-2|`  

Zauważmy że powstały prostokąt ma boki następującej długości:

`sqrt2 \ "i"\ 2sqrt2` 

`P=sqrt2*2sqrt2=4`