Zależności i tożsamości trygonometryczne - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Zależności i tożsamości trygonometryczne

Z działu trygonometria powinniśmy już potrafić praktycznie wszystko. Został jeden temat, który często się przewija. Między Funkcjami trygonometrycznymi występują specjalne zależności, o których właśnie napiszemy w tym temacie. Oto najważniejsze z tych zależności:
 

  • $$sin^2 α+cos^2 α=1$$
  • $$g α={sin α}/{cos α}$$
  • $$ctg α={cos α}/{sin α}$$
  • $$g α=1/{ctg α}$$


Powyższe zależności będą nam się przewijać w tak zwanych Tożsamościach trygonometrycznych. Czym one są?

Jest to równość zawsze prawdziwa, czyli takie równanie, gdzie lewa strona będzie się równać prawej, niezależnie od tego jaki kąt α wstawimy do tego równania (np. cztery podane powyżej zależności też są tożsamościami trygonometrycznymi).

Aby udowodnić tożsamość musimy doprowadzić jedną ze stron do identycznej postaci jak druga, czyli np. zmienić lewą aby przypominała prawą. Oczywiście możemy dążyć do ujednolicenia z obu stron naraz, czyli zmieniać zarówno lewą, jak i prawą stronę równania. Możemy przy tym używać 4 podanych wcześniej zależności (ich nie musimy udowadniać). Oczywiście wszystko najlepiej widać na przykładzie.

Przykład:

Udowodnij, że równanie $$1+tg^2 α=1/{cos^2 α}$$ jest poprawne.

Pamiętajmy o dziedzinie! W mianowniku nie może być 0, czyli:

$$cos α≠0$$

Musimy tutaj próbować użyć wszelkich dostępnych nam wzorów. Zacznijmy od małej analizy, nie traktujmy jedynki jak liczbę, lecz jako zależność z punktu pierwszego (patrz na cztery punkty wymienione na początku tematu):

$$sin^2 α+cos^2 α+tg^2 α=1/{cos^2 α}$$

Niby bardziej skomplikowane, ale prowadzi nas do rozwiązania. Rozbijmy teraz tangens za pomocą kolejnego wzoru (drugi z czterech podanych na początku punktów):

$$sin^2 α+cos^2 α+{sin^2 α}/{cos^2 α}=1/{cos^2 α}$$

Przenieśmy teraz ułamek tak, aby był wspólny mianownik:

$$sin^2 α+cos^2 α=1/{cos^2 α}-{sin^2 α}/{cos^2 α}$$

$$sin^2 α+cos^2 α={1-sin^2 α}/{cos^2 α}$$

Zobaczmy na licznik, mamy tu ewidentnie ukryty wzór nr 1:

$$sin^2 α+cos^2 α={cos^2 α}/{cos^2 α}$$

$$sin^2 α+cos^2 α=1$$

Co się zgadza z naszym wzorem nr 1, więc piszemy, że lewa strona jest równa prawej.

$$L=P$$
 

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Udowodnij tożsamość: $$sin^2 x=(1-cos x)(1+cos x)$$

Jedna z najprostszych tożsamości. Zacznijmy i praktycznie skończmy na przekształceniu wzoru skróconego mnożenia:

$$sin^2 x=1-cos^2 x$$

Jeśli jeszcze nie widać zależności, dodajmy stronami $$cos^2 x$$:

$$sin^2 x+cos^2 x=1 $$

$$L=P$$  

Zadanie 2.

Udowodnij tożsamość: $$ g x-ctg x=( g x-1)(ctg x+1)$$

Również nie jest trudna jeśli się za nią odpowiednio zabierzemy. Zgodnie z poradami, wymnóżmy nawiasy w prawej stronie równania:

$$ g x-ctg x= g x ⋅ ctg x-ctg x+ g x-1$$

Przenieśmy wszystkie tangensy i cotangensy na stronę lewą:

$$ g x- g x-ctg x+ctg x= g x ⋅ ctg x-1$$

Jak widać redukują się

$$ g x ⋅ ctg x-1=0$$

Przenieśmy jedynkę

$$ g x ⋅ ctg x=1$$

Teraz zamieńmy np. tangens

$$1/{ctg x} ctgx=1$$

Jak widać nam się skracają

$$1=1$$

$$L=P$$  

Spis treści

Rozwiązane zadania
Kat utworzony przez przekątne prostokąta...

Rysunek pomocniczy:

Przekątne prostokąta przecinają się w połowie, więc rownanie matematyczne 

Dla rownanie matematyczne mamy:

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczneskorzystaliśmy z wartości sinusa podanych w zadaniu rownanie matematyczne      

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

oraz 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

Obliczamy pole prostokąta.      

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

Odp. Pole prostokąta jest równe rownanie matematyczne 

Wyznacz rozwiązania układów równań

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

 

 

 

rownanie matematyczne 

 

 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne   

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

 

 

 

` ` `ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))` 

 

 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne  

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

 

 

rownanie matematyczne 

 

 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

 

 

Inne ukłądy równań, które spełnia ta para liczb: 

rownanie matematyczne 

 

 

rownanie matematyczne 

  

 

 

 

Rozwiązaniem układu równań jest

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

Dane jest twierdzenie: "Jeśli czworokąt...

Prawidłowa odpowiedź to{premium} B.

Oblicz niewiadomą x:

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

Podaj liczbę punktów wspólnych okręgu opisanego...

Równanie okręgu o środku w punkcie S=(1,3) i promieniu r:

rownanie matematyczne 

 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

 

Odległość środków:

rownanie matematyczne 

 

  • 0 punktów wspólnych

Okręgi rozłączne zewnętrznie dla:

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

Okręgi rozłączne wewnętrznie dla:

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

Suma obu przypadków:

rownanie matematyczne 

 

  • 1 punkt wspólny:

rownanie matematyczne 

 

  • 2 punkty wspólne:

rownanie matematyczne 

 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

 

Odległość środków:

rownanie matematyczne 

 

 

  • 0 punktów wspólnych

Okręgi rozłączne zewnętrznie dla:

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

Okręgi rozłączne wewnętrznie dla:

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

Suma obu przypadków:

rownanie matematyczne 

 

  • 1 punkt wspólny:

rownanie matematyczne 

 

  • 2 punkty wspólne:

rownanie matematyczne 

Wyznacz równanie prostej prostopadłej...

rownanie matematyczne Na podstawie wniosku na stronie rownanie matematyczne wiemy, że prosta prostopadła do prostej

o równaniu rownanie matematyczne gdzie rownanie matematyczne ma równanie postaci rownanie matematyczne      

Powiedzmy, że chcemy wyznaczyć równanie prostej rownanie matematyczne która jest prostopadła do prostej rownanie matematyczne 

Ponieważ rownanie matematyczne to mamy:

rownanie matematyczne 

Wstawiamy do równania współrzędne punktu rownanie matematyczne i wyznaczamy rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

Zatem:

rownanie matematyczne 

 

rownanie matematyczne Na podstawie wniosku na stronie rownanie matematyczne wiemy, że prosta prostopadła do prostej

o równaniu rownanie matematyczne gdzie rownanie matematyczne ma równanie postaci rownanie matematyczne      

Powiedzmy, że chcemy wyznaczyć równanie prostej rownanie matematyczne która jest prostopadła do prostej rownanie matematyczne 

Ponieważ rownanie matematyczne to mamy:

rownanie matematyczne 

Wstawiamy do równania współrzędne punktu rownanie matematyczne i wyznaczamy rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

Zatem:

rownanie matematyczne 

 

rownanie matematyczne Zauważmy, że prosta jest równoległa do osi rownanie matematyczne 

Oznacza to, że prosta do niej prostopadła, będzie równoległa do osi rownanie matematyczne 

Czyli będzie miała równanie zadane przez współrzędną iksową punktu rownanie matematyczne 

Stąd prosta prostopadła do prostej rownanie matematyczne to rownanie matematyczne     

 

rownanie matematyczne Zauważmy, że prosta jest równoległa do osi rownanie matematyczne 

Oznacza to, że prosta do niej prostopadła, będzie równoległa do osi rownanie matematyczne 

Czyli będzie miała równanie zadane przez współrzędną igrekową punktu rownanie matematyczne 

Stąd prosta prostopadła do prostej rownanie matematyczne to rownanie matematyczne 

         

W trójkącie prostokątnym jeden z kątów ostrych ma miarę 60° ...

W trójkącie prostokątnym o kątach 90°, 60°, 30° boki mają długość: 

rownanie matematyczne

Bok długości a to przeciwprostokątna tego trójkąta.

 

Wiemy, że dłuższa przyprostokątna ma długość 9: 

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

 

Średnica okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym, to przeciwprostokątna tego trójkąta, zatem promień to połowa długości przeciwprostokątnej: 

rownanie matematyczne

Pole koła opisanego na rozważanym trójkącie wyraża się wzorem:

rownanie matematyczne  

Rowerzysta miał do przejechania 60 km

Wiemy, że pierwszą połowę trasy (czyli 60 km:2=30 km) przejechał z prędkością 15 km/h. 

Obliczymy, w jakim czasie rowerzysta pokonał tą pierwszą połowę. 

Prędkość 15 km/h oznacza, że w ciągu 1 godziny rowerzysta pokonał 15 km, więc na pokonanie 30 km potrzebował: 

rownanie matematyczne

 

Wiemy, że średnia prędkość na całej trasie była równa 20 km/h. Obliczamy, w jakim czasie rowerzysta pokonał całą trasę: 

rownanie matematyczne

 

Zatem na pokonanie drugiej połowy trasy rowerzysta potrzebował:

rownanie matematyczne

 

Obliczamy, jaka była prędkość na drugiej połowie trasy (odcinek 30 km rowerzysta przejechał w czasie 1 h)

rownanie matematyczne

 

Teraz chcemy narysować wykres ilustrujący zależność przebytej drogi od czasu. 

W pierwszym etapie rowerzysta pokonał 30 km w czasie 2 h, a w drugim etapie pokonał 30 km w czasie 1 h. 

 

Trójkąt A'B'C' jest symetryczny ...

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne   

rownanie matematyczne  

 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne   

 

rownanie matematyczne  

rownanie matematyczne   

rownanie matematyczne