Zależności i tożsamości trygonometryczne - matura-podstawowa - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Zależności i tożsamości trygonometryczne - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Zależności i tożsamości trygonometryczne

Z działu trygonometria powinniśmy już potrafić praktycznie wszystko. Został jeden temat, który często się przewija. Między Funkcjami trygonometrycznymi występują specjalne zależności, o których właśnie napiszemy w tym temacie. Oto najważniejsze z tych zależności:
 

  • $sin^2 α+cos^2 α=1$
  • $g α={sin α}/{cos α}$
  • $ctg α={cos α}/{sin α}$
  • $g α=1/{ctg α}$


Powyższe zależności będą nam się przewijać w tak zwanych Tożsamościach trygonometrycznych. Czym one są?

Jest to równość zawsze prawdziwa, czyli takie równanie, gdzie lewa strona będzie się równać prawej, niezależnie od tego jaki kąt α wstawimy do tego równania (np. cztery podane powyżej zależności też są tożsamościami trygonometrycznymi).

Aby udowodnić tożsamość musimy doprowadzić jedną ze stron do identycznej postaci jak druga, czyli np. zmienić lewą aby przypominała prawą. Oczywiście możemy dążyć do ujednolicenia z obu stron naraz, czyli zmieniać zarówno lewą, jak i prawą stronę równania. Możemy przy tym używać 4 podanych wcześniej zależności (ich nie musimy udowadniać). Oczywiście wszystko najlepiej widać na przykładzie.

Przykład:

Udowodnij, że równanie $1+tg^2 α=1/{cos^2 α}$ jest poprawne.

Pamiętajmy o dziedzinie! W mianowniku nie może być 0, czyli:

$cos α≠0$

Musimy tutaj próbować użyć wszelkich dostępnych nam wzorów. Zacznijmy od małej analizy, nie traktujmy jedynki jak liczbę, lecz jako zależność z punktu pierwszego (patrz na cztery punkty wymienione na początku tematu):

$sin^2 α+cos^2 α+tg^2 α=1/{cos^2 α}$

Niby bardziej skomplikowane, ale prowadzi nas do rozwiązania. Rozbijmy teraz tangens za pomocą kolejnego wzoru (drugi z czterech podanych na początku punktów):

$sin^2 α+cos^2 α+{sin^2 α}/{cos^2 α}=1/{cos^2 α}$

Przenieśmy teraz ułamek tak, aby był wspólny mianownik:

$sin^2 α+cos^2 α=1/{cos^2 α}-{sin^2 α}/{cos^2 α}$

$sin^2 α+cos^2 α={1-sin^2 α}/{cos^2 α}$

Zobaczmy na licznik, mamy tu ewidentnie ukryty wzór nr 1:

$sin^2 α+cos^2 α={cos^2 α}/{cos^2 α}$

$sin^2 α+cos^2 α=1$

Co się zgadza z naszym wzorem nr 1, więc piszemy, że lewa strona jest równa prawej.

$L=P$
 

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Udowodnij tożsamość: $sin^2 x=(1-cos x)(1+cos x)$

Jedna z najprostszych tożsamości. Zacznijmy i praktycznie skończmy na przekształceniu wzoru skróconego mnożenia:

$sin^2 x=1-cos^2 x$

Jeśli jeszcze nie widać zależności, dodajmy stronami $cos^2 x$:

$sin^2 x+cos^2 x=1 $

$L=P$  

Zadanie 2.

Udowodnij tożsamość: $ g x-ctg x=( g x-1)(ctg x+1)$

Również nie jest trudna jeśli się za nią odpowiednio zabierzemy. Zgodnie z poradami, wymnóżmy nawiasy w prawej stronie równania:

$ g x-ctg x= g x ⋅ ctg x-ctg x+ g x-1$

Przenieśmy wszystkie tangensy i cotangensy na stronę lewą:

$ g x- g x-ctg x+ctg x= g x ⋅ ctg x-1$

Jak widać redukują się

$ g x ⋅ ctg x-1=0$

Przenieśmy jedynkę

$ g x ⋅ ctg x=1$

Teraz zamieńmy np. tangens

$1/{ctg x} ctgx=1$

Jak widać nam się skracają

$1=1$

$L=P$  

Spis treści

Rozwiązane zadania
Oblicz współrzędne wierzchołka ...

 

 

 

{premium}

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

   

 

W prostokącie o polu P jeden...

Wprowadźmy oznaczenie:

b- długość drugiego boku tego prostokąta

wiemy, że:   {premium}

 

 

 

zatem:

 


Odp.: C

O funkcji kwadratowej f wiadomo, że...

Zapisujemy wzór funkcji kwadratowej w postaci kanonicznej: {premium}

   

Ponieważ  tylko dla  to  

 

Obliczamy odciętą wierzchołka paraboli:

 

W takim razie mamy:

 

Obliczamy  i wyznaczamy  

 

 

 

 

 

 

Podajemy wzór funkcji:

        

 

Oblicz ...

  {premium}


 


 


 

 

 

Oblicz długość przekątnej sześcianu o krawędzi a

 Długość przekątnej sześcianu (d) o boku a wyraża się wzorem: 

 

 

{premium}

Odległość z miasta A do B samochód osobowy...

 czas jazdy z miasta A do B

 czas jazdy z miasta B do A

 odległość między miastami A i B


Mamy dane:

 prędkość na drodze z A do B

 prędkość na drodze z B do A


Przypomnijmy wzór na prędkość w ruchu jednostajnym:  {premium}

 

Stąd:

 


Obliczamy czas jazdy z miasta A do B:

 

 


Obliczamy czas jazdy z miasta B do A:

 

 


Obliczamy średnią prędkość na całej trasie:

  


Odp. Samochód jechał ze średnią prędkością  

Oblicz:

 


 {premium}


 


 


 


 

Przeczytaj ciekawostkę. a) Korzystając...

a) Wykonajmy rysunek pomocniczy:

  {premium}

 

 


 

 


Odp.: Parsek to ok. 206265 j. a. 


b) Obliczmy, ile kilometrów ma parsek:

 

zatem:

 


Odp.: Rok świetlny to mniej niż parsek. 


Podaj pięć elementów zbioru wszystkich

  Merkury, Wenus, Ziemia, Mars, Saturn{premium}

 

 

 fortepian, skrzypce, gitara, perkusja, flet

Naszkicuj wykres funkcji danej wzorem f(x)=-1/x

{premium}

Gdyby była to funkcja rosnąca w całej swojej dziedzinie, to dla coraz większych argumentów z dziedziny musiałaby przyjmować coraz większe wartości. Jednak tak nie jest - na przykład dla argumentu -1 funkcja przyjmuje wartość 11, a dla większego argumentu 1 przyjmuje mniejszą wartość równą -1.