Wzory skróconego mnożenia dla kwadratów - matura-podstawowa - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Wzory skróconego mnożenia dla kwadratów - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Usuń niewymierność z mianownika $1/{3x+√3}$

Postępujemy identycznie jak w przykładzie. Wiemy, że jeśli pomnożymy coś przez 1 to nadal mamy tą samą liczbę.

Zatem:

$ 1/{3x+√3}×{3x-√3}/{3x-√3} $

W celu skorzystania z wzoru skróconego mnożenia nr 3

$ {3x-√3}/{(3x+√3)(3x-√3)}={3x-√3}/{9x^2-3} $

Możemy jeszcze sobie wyciągnąć przed nawias trójkę w mianowniku:

$ {3x-√3}/{9x^2-3}={3x-√3}/{3(3x^2-1)} $

Taką postać również prędzej znajdziemy w odpowiedziach niż pierwotną

Zadanie 2.

Uprość wyrażenie: ${(a^2-3)}^2-{(3+a^2 )}^2$

Należy po prostu stosować podmianę za pomocą naszych wzorów skróconego mnożenia

$(a^2-3)^2-(3+a^2 )^2$

Jak widzimy mamy najpierw

$(a^2-3)^2$

Jest podobny do naszego wzoru skróconego mnożenia:

$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$ -> w naszym działaniu $a$ z wzoru wynosi $a^2$ zaś b=3

Podmieniamy więc: $(a^2-3)^2=(a^2 )^2-2a^2×3+3^2=a^4-6a^2+9$

Analogicznie z drugą częścią

$(3+a^2 )^2=3^2+2×3×a^2+(a^2 )^2=9+6a^2+a^4 $

Zatem całość to (Pamiętamy o minusie przed drugim wyrażeniem!):

$(a^2-3)^2-(3+a^2 )^2=a^4-6a^2+9-(9+6a^2+a^4 )$

$a^4-6a^2+9-(9+6a^2+a^4 )=a^4-6a^2+9-9-6a^2-a^4$

$a^4-6a^2+9-9-6a^2-a^4=-12a^2$
 

Zadanie 3.

Oblicz wartość wyrażenia $(y-3)^2-(y+2)(y-2)$ dla $y=4$

Najprostszy typ zadań tego działu, nie musimy znać wzorów, które nie zawsze ułatwiają życie, zróbmy po prostu podmianę z $y=4$

$(y-3)^2-(y+2)(y-2)$

$(4-3)^2-(4+2)(4-2)$

$1^2-6×2=1-12=-11$

Odp.: Wartość wyrażenia wynosi $-11$.

Spis treści

Rozwiązane zadania
a) Wahadło starego zegara ma długość...

a) Obliczmy, ile sekund ma 1 godzina:

 

wykonajmy rysunek pomocniczy:    {premium}



Wahadło w ciągu dwóch sekund pokonuje drogę od lewej do prawej i z powrotem:

Obliczmy długość tej drogi:

 

Obliczmy jaką drogę pokona to wahadło w czasie 3600 s:

 


Odp.: To wahadło w ciągu godziny pokona drogę o długości 360π m. 


b) 

Obliczmy długość drogi, którą pokonuje dziecko podczas 20 pełnych wahnięć:

 


Odp.: Dziecko pokonuje drogę 200/9π m. 

Wyznacz współczynniki a, b i c...

 

Skoro znamy współrzędne wierzchołka to zapiszmy postać kanoniczną

Policzmy od razu ile wynosi współczynnik kierunkowy podstawiając współrzędne punktu P

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Skoro znamy współrzędne wierzchołka to zapiszmy postać kanoniczną

Policzmy od razu ile wynosi współczynnik kierunkowy podstawiając współrzędne punktu P

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Skoro znamy współrzędne wierzchołka to zapiszmy postać kanoniczną

Policzmy od razu ile wynosi współczynnik kierunkowy podstawiając współrzędne punktu P

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Skoro znamy współrzędne wierzchołka to zapiszmy postać kanoniczną

Policzmy od razu ile wynosi współczynnik kierunkowy podstawiając współrzędne punktu P

 

 

 

 

 

 

 

Na ile części rozcinają płaszczyznę...

Przypadek pierwszy - wszystkie proste są równoległe.

Wówczas proste rozcinają płaszczyznę na  części.

Thumb zad4.34astr100{premium}


Przypadek drugi - dwie proste są równoległe.

Wówczas proste rozcinają płaszczyznę na  części.

Thumb zad4.34bstr100


Przypadek trzeci - żadne dwie proste nie są równoległe.

Wówczas proste rozcinają płaszczyznę na  części.

Thumb zad4.34cstr100

Sprawdź, czy wartość wyrażenia ...

 

 

 

    

Dane są dwa niepuste i nierozłączne...

Weźmy następujące zbiory  oraz przestrzeń  

Thumb zad1.46str17

Zbiory są niepuste i nierozłączne, więc w przestrzeni  mogą być położone np. następująco:

Thumb zad1.46estr17


Dowodzimy prawo  

Rysujemy zbiór  a następnie zbiór  

Thumb zad1.46astr17

{premium}


Rysujemy zbiory  i  a następnie zbiór  

Thumb zad1.46bstr17


Otrzymaliśmy  co należało dowieść.


Dowodzimy prawo  

Rysujemy zbiór  a następnie zbiór  

Thumb zad1.46cstr17


Rysujemy zbiory  i  a następnie zbiór  

Thumb zad1.46dstr17


Otrzymaliśmy  co należało dowieść.

 

Wyznacz równanie okręgu o środku ...

 

  

 

 

 {premium}

 

 

   

 

 

 

 

 

 

 

  

 

 

 

  

 

 

 

 

  

Naszkicuj wykres funkcji i określ, czy jest ona monotoniczna

Stwórzmy tabelę wartości dla funkcji c) - przyda się ona także dla podpunktów a) oraz b):

 

                   
 

 

   

 

   

 

   

 

   

 

   

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

   

Funkcja jest rosnąca w całej swojej dziedzinie:

 

 

 

 

 

Funkcja jest malejąca w całej swojej dziedzinie: 

 

 

 

 

 

 

Funkcja nie jest monotoniczna, ale jest monotoniczna przedziałami: 

 

 

 

 

Przypomnijmy sobie definicję wartości bezwględnej. Przypisuje ona liczbie x odległość tej liczby od zera na osi liczbowej - liczbom dodatnim przypisuje tą samą liczbę, a liczbom ujemnym przypisuje liczbę przeciwną. Liczbie zero przypisuje zero. 

  

 

 

 

Funkcja jest rosnąca w całej swojej dziedzinie:

 

 

 

Funkcja jest malejąca w całej swojej dziedzinie:

 

 

 

 

 

Funkcja nie jest monotoniczna w całej swojej dziedzinie, ale jest monotoniczna przedziałami:

  

 

 

Kąt BAC ma miarę 30 ...

{premium}

 

 

 

 

 

 

 

Trójkąt ACE ma kąty o mierze 45, 45 i 90 stopni. Wynika stąd, że ACE jest równoramienny.

 

Skorzystamy z następującej tożsamości trygonometrycznej:

 

 

 

 

 

 

 

          

 

 

Z Pitagorasa:

 

    

  

Z własności trójkąta prostokątnego równoramiennego:

 

 

Wiemy, że:

  

      

 

 

Pole pewnego równoległoboku wynosi...

Pole równoległoboku obliczamy korzystając z wzoru:

 

wiemy, że:    {premium}

 

 


Obliczmy długość tego boku:  

 

 

 

 

 


Odp.: Długość tego boku wynosi 2 √3. 

Sprawdź, czy punkty ...

 

 

 

 

{premium}

 

 

 

Zatem punkty P, Q i R są współliniowe.

 

 

  

  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Nie istnieje taka liczba a, że zachodzi:

 

Punkty P, Q i R nie są współliniowe.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  

 

Nie istnieje takie alfa, zatem punkty P, Q i R nie są współliniowe.