Wzory skróconego mnożenia dla kwadratów - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Usuń niewymierność z mianownika $$1/{3x+√3}$$

Postępujemy identycznie jak w przykładzie. Wiemy, że jeśli pomnożymy coś przez 1 to nadal mamy tą samą liczbę.

Zatem:

$$ 1/{3x+√3}×{3x-√3}/{3x-√3} $$

W celu skorzystania z wzoru skróconego mnożenia nr 3

$$ {3x-√3}/{(3x+√3)(3x-√3)}={3x-√3}/{9x^2-3} $$

Możemy jeszcze sobie wyciągnąć przed nawias trójkę w mianowniku:

$$ {3x-√3}/{9x^2-3}={3x-√3}/{3(3x^2-1)} $$

Taką postać również prędzej znajdziemy w odpowiedziach niż pierwotną

Zadanie 2.

Uprość wyrażenie: $${(a^2-3)}^2-{(3+a^2 )}^2$$

Należy po prostu stosować podmianę za pomocą naszych wzorów skróconego mnożenia

$$(a^2-3)^2-(3+a^2 )^2$$

Jak widzimy mamy najpierw

$$(a^2-3)^2$$

Jest podobny do naszego wzoru skróconego mnożenia:

$$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$$ -> w naszym działaniu $$a$$ z wzoru wynosi $$a^2$$ zaś b=3

Podmieniamy więc: $$(a^2-3)^2=(a^2 )^2-2a^2×3+3^2=a^4-6a^2+9$$

Analogicznie z drugą częścią

$$(3+a^2 )^2=3^2+2×3×a^2+(a^2 )^2=9+6a^2+a^4 $$

Zatem całość to (Pamiętamy o minusie przed drugim wyrażeniem!):

$$(a^2-3)^2-(3+a^2 )^2=a^4-6a^2+9-(9+6a^2+a^4 )$$

$$a^4-6a^2+9-(9+6a^2+a^4 )=a^4-6a^2+9-9-6a^2-a^4$$

$$a^4-6a^2+9-9-6a^2-a^4=-12a^2$$
 

Zadanie 3.

Oblicz wartość wyrażenia $$(y-3)^2-(y+2)(y-2)$$ dla $$y=4$$

Najprostszy typ zadań tego działu, nie musimy znać wzorów, które nie zawsze ułatwiają życie, zróbmy po prostu podmianę z $$y=4$$

$$(y-3)^2-(y+2)(y-2)$$

$$(4-3)^2-(4+2)(4-2)$$

$$1^2-6×2=1-12=-11$$

Odp.: Wartość wyrażenia wynosi $$-11$$.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Wykaż, że jeśli a >3b i b>0

 

 

 

 

 

  

W ułamku  licznik jest dodatni, ponieważ a>3b, mianownik także jest dodatni, więc cały ułamek jest dodatni. 

        

Zapisz wyrażenie jako kwadrat sumy

Przydatne będą wzory skróconego mnożenia na kwadrat sumy lub kwadrat różnicy:

 

 

 

Obliczamy, kiedy wyrażenie przyjmie {premium}wartość zero.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  

 

Oblicz

{premium}

 

 

 

 

 

          

Zaokrąglij dane z tabeli

Zaokrąglamy liczby z tabeli do dwóch miejsc znaczących.

Dwa pierwsze przykłady to zaokrąglenie do dziesiątek, jednak w pierwszym przykłądzie pokrywa się ono z zaokrągleniem do setek: 

 

 

Dwie kolejne liczby mają już dwie cyfry znaczące:

 

 

 

Zaokrąglamy dalej:

 

 

 

  

Ostatnia liczba ma już dwie cyfry znaczące:

 

 

Obliczamy błędy względne przybliżeń dotyczących Polski:

 

 

Na rysunku przedstawiono wykres funkcji f

UWAGA:

Funkcja jest malejąca w każdym z tych przedziałów z osobna, ale nie jest malejąca w całej swej dziedzinie - dla coraz większych argumentów z całej dziedziny wcale nie przyjmuje coraz mniejszych wartości - np. dla argumentu 2 nie przyjmuje mniejszej wartości niż dla argumentu -2.

 

Prawidłowa jest odpowiedź D. 

Naszkicuj wykres funkcji, której dziedziną jest...

W określonej dziedzinie rysujemy wykres dowolnej funkcji, która przyjmuje wszystkie wartości z podanego zbioru wartości.

Przykładowy wykres:{premium}

Podaj miejsca zerowe

Miejscem zerowym funkcji jest taki każdy argument, dla którego funkcja przyjmuje wartość 0. Jeśli funkcja jest zapisana w postaci iloczynowej, to łatwo odczytać miejsca zerowe - iloczyn jest równy 0, jeśli przynajmniej jeden z czynników jest równy 0. 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

   

 

Za 6 lat Wojtek będzie cztery razy starszy

 

 

Wiemy, że za 6 lat Wojtek będzie 4 razy starszy od Aleksandry oraz że 4 lata temu był od niej 14 razy starszy:

 

Zapisz liczbę w postaci dziesiętnej

{premium}

Na podstawie wykresu funkcji f podaj:

Funkcją f ze zbioru X w zbiór Y (zbiory X i Y są niepuste) nazywamy takie odwzorowanie, w którym każdemu elementowi ze zbioru X został przyporządkowany dokładnie jeden element ze zbioru Y. Funkcję tę oznaczamy f:X→Y.

Zbiór X nazywamy dziedziną funkcji f. Oznaczmy ją symbolem Df.

Zbiór Y nazywamy przeciwdziedziną funkcji f.

Zbiór tych elementów ze zbioru Y, które zostały przyporządkowane elementom ze zbioru X nazywamy zbiorem wartości funkcji f. Oznaczamy go symbolem ZWf.{premium}