Wzory skróconego mnożenia dla kwadratów - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Usuń niewymierność z mianownika $$1/{3x+√3}$$

Postępujemy identycznie jak w przykładzie. Wiemy, że jeśli pomnożymy coś przez 1 to nadal mamy tą samą liczbę.

Zatem:

$$ 1/{3x+√3}×{3x-√3}/{3x-√3} $$

W celu skorzystania z wzoru skróconego mnożenia nr 3

$$ {3x-√3}/{(3x+√3)(3x-√3)}={3x-√3}/{9x^2-3} $$

Możemy jeszcze sobie wyciągnąć przed nawias trójkę w mianowniku:

$$ {3x-√3}/{9x^2-3}={3x-√3}/{3(3x^2-1)} $$

Taką postać również prędzej znajdziemy w odpowiedziach niż pierwotną

Zadanie 2.

Uprość wyrażenie: $${(a^2-3)}^2-{(3+a^2 )}^2$$

Należy po prostu stosować podmianę za pomocą naszych wzorów skróconego mnożenia

$$(a^2-3)^2-(3+a^2 )^2$$

Jak widzimy mamy najpierw

$$(a^2-3)^2$$

Jest podobny do naszego wzoru skróconego mnożenia:

$$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$$ -> w naszym działaniu $$a$$ z wzoru wynosi $$a^2$$ zaś b=3

Podmieniamy więc: $$(a^2-3)^2=(a^2 )^2-2a^2×3+3^2=a^4-6a^2+9$$

Analogicznie z drugą częścią

$$(3+a^2 )^2=3^2+2×3×a^2+(a^2 )^2=9+6a^2+a^4 $$

Zatem całość to (Pamiętamy o minusie przed drugim wyrażeniem!):

$$(a^2-3)^2-(3+a^2 )^2=a^4-6a^2+9-(9+6a^2+a^4 )$$

$$a^4-6a^2+9-(9+6a^2+a^4 )=a^4-6a^2+9-9-6a^2-a^4$$

$$a^4-6a^2+9-9-6a^2-a^4=-12a^2$$
 

Zadanie 3.

Oblicz wartość wyrażenia $$(y-3)^2-(y+2)(y-2)$$ dla $$y=4$$

Najprostszy typ zadań tego działu, nie musimy znać wzorów, które nie zawsze ułatwiają życie, zróbmy po prostu podmianę z $$y=4$$

$$(y-3)^2-(y+2)(y-2)$$

$$(4-3)^2-(4+2)(4-2)$$

$$1^2-6×2=1-12=-11$$

Odp.: Wartość wyrażenia wynosi $$-11$$.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Oblicz. Odpowiedź podaj w notacji wykładniczej

Wynik w notacji wykładniczej został podkreślony jedną linią, a wynik w postaci dziesiętnej został podkreślony dwoma liniami. 

 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne `42*65*10^3*10^2=` 

rownanie matematyczne 

{premium}

 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne `16*10^2*125*10^-4=` `16*125*10^2*10^-4=` 

rownanie matematyczne 

 

 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne `44*55*10^-4*10^-3=` 

rownanie matematyczne `ul(ul(0,000242))=ul(2,42*10^-4)` 

 

 

 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne `6,05*86*10^-2*10^2=` 

rownanie matematyczne  

Dla danych zbiorów A i B wyznacz A∪B, A∩B, A\B, B\A

a)

 

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

b)

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

 

c)

 

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

d)

 

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

 

Podaj wartości funkcji trygonometrycznych ...

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne   

 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne  

rownanie matematyczne   

 

rownanie matematyczne  

rownanie matematyczne   

rownanie matematyczne  

rownanie matematyczne   

 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne   

 

rownanie matematyczne  

rownanie matematyczne   

rownanie matematyczne   

rownanie matematyczne   

 

rownanie matematyczne   

rownanie matematyczne   

rownanie matematyczne   

rownanie matematyczne    

 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne   

 

rownanie matematyczne  

rownanie matematyczne   

rownanie matematyczne   

rownanie matematyczne   

 

rownanie matematyczne   

rownanie matematyczne   

rownanie matematyczne   

rownanie matematyczne    

 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne    

 

rownanie matematyczne  

rownanie matematyczne   

rownanie matematyczne   

rownanie matematyczne   

 

rownanie matematyczne   

rownanie matematyczne  

rownanie matematyczne   

rownanie matematyczne    

Funkcja y=1500+12x opisuje miesięczne koszty

rownanie matematyczne

Obliczamy, jaki był koszt wyprodukowania 1800 krasnali: 

rownanie matematyczne

 

Obliczamy, jaki był zysk firmy (od kwoty uzyskanej ze sprzedaży 1800 sztuk krasnali po 37 zł odejmujemy koszt ich wyprodukowania)

rownanie matematyczne

 

ODP: Półroczny zysk firmy wyniósł 33 000 zł. 

 

 

rownanie matematyczne

Teraz miesięczne koszty w złotych wyprodukowania x krasnali są równe: 

rownanie matematyczne

 

Obliczmy kilka wartości tej funkcji, dzięki temu łatwiej będzie narysować wykres: 

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

   

Oblicz pole trójkąta ABC, gdy: a) |AB|=6, |BC|=10 ...

a)

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

 

c)

Obliczamy miarę kąta zawartego między bokami AB i AC

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

Rozwiązaniem równania...

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

Odpowiedź C

Wysokość, jaką uzyskuje kula wystrzelona pionowo...

a) Maksymalna wysokość będzie w wierzchołku, obliczmy pierwszą współrzędną:

rownanie matematyczne 

A więc:

rownanie matematyczne 

 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

Punkty A, B i C są wierzchołkami czworokąta ABCD...

Żeby czworokąt ABCD miał środek symetrii to musi być równoległobokiem.

 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

 

rownanie matematyczne 

 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

 

rownanie matematyczne

Rozwiąż równanie.

rownanie matematyczne 

Podstawienie pomocnicze:

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

 

rownanie matematyczne 

Podstawienie pomocnicze:

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

Po uwzględnieniu dziedziny.

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

 

rownanie matematyczne 

Zauważmy, że:

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

Jeżeli sumy liczb niedodatnich odejmiemy liczbę ujemną to całe równanie będzie stale mniejsze od zera. Stąd otrzymujemy, że nasze równanie jest sprzeczne.

 

Wyznacz współczynnik

rownanie matematyczne 

Jeśli podana liczba ma być miejscem zerowym funkcji f, to musi zachodzić równość:

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

 

Funkcja f jest więc dana wzorem:

rownanie matematyczne 

Wystarczy więc wykres funkcji g(x)=|3x| przesunąć o 1/2 jednostki w prawo wzdłuż osi OX.   

 

 

 

rownanie matematyczne 

Jeśli podana liczba ma być miejscem zerowym funkcji f, to musi zachodzić równość:

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

 

Funkcja f jest więc dana wzorem:

rownanie matematyczne 

 

Wystarczy więc wykres funkcji g(x)=|1/2x| przesunąć o 4 jednostki w lewo wzdłuż osi OX.