Zgoda na przetwarzanie danych osobowych

25 maja 2018 roku zacznie obowiązywać Rozporządzenie Parlamentu Europejskiego i Rady (UE) 2016/679 z dnia 27 kwietnia 2016 r. znane jako RODO.

Dlatego aby dalej móc dostarczać Ci materiały odpowiednie do Twojego etapu edukacji, potrzebujemy zgody na lepsze dopasowanie treści do Twojego zachowania. Dzięki temu możemy zapamiętywać jakie materiały są Ci potrzebne. Dbamy o Twoją prywatność, więc nie zwiększamy zakresu naszych uprawnień. Twoje dane są u nas bezpieczne, a zgodę na ich zbieranie możesz wycofać na podstronie polityka prywatności.

Klikając "Przejdź do Odrabiamy", zgadzasz się na wskazane powyżej działania. W przeciwnym wypadku, nie jesteśmy w stanie zrealizować usługi kompleksowo i prosimy o opuszczenie strony.

Polityka prywatności

Drogi Użytkowniku w każdej chwili masz prawo cofnąć zgodę na przetwarzanie Twoich danych osobowych. Cofnięcie zgody nie będzie wpływać na zgodność z prawem przetwarzania, którego dokonano na podstawie wyrażonej przez Ciebie zgody przed jej wycofaniem. Po cofnięciu zgody wszystkie twoje dane zostaną usunięte z serwisu. Udzielenie zgody możesz modyfikować w zakładce 'Informacja o danych osobowych'

Wzory skróconego mnożenia dla kwadratów - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Usuń niewymierność z mianownika $$1/{3x+√3}$$

Postępujemy identycznie jak w przykładzie. Wiemy, że jeśli pomnożymy coś przez 1 to nadal mamy tą samą liczbę.

Zatem:

$$ 1/{3x+√3}×{3x-√3}/{3x-√3} $$

W celu skorzystania z wzoru skróconego mnożenia nr 3

$$ {3x-√3}/{(3x+√3)(3x-√3)}={3x-√3}/{9x^2-3} $$

Możemy jeszcze sobie wyciągnąć przed nawias trójkę w mianowniku:

$$ {3x-√3}/{9x^2-3}={3x-√3}/{3(3x^2-1)} $$

Taką postać również prędzej znajdziemy w odpowiedziach niż pierwotną

Zadanie 2.

Uprość wyrażenie: $${(a^2-3)}^2-{(3+a^2 )}^2$$

Należy po prostu stosować podmianę za pomocą naszych wzorów skróconego mnożenia

$$(a^2-3)^2-(3+a^2 )^2$$

Jak widzimy mamy najpierw

$$(a^2-3)^2$$

Jest podobny do naszego wzoru skróconego mnożenia:

$$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$$ -> w naszym działaniu $$a$$ z wzoru wynosi $$a^2$$ zaś b=3

Podmieniamy więc: $$(a^2-3)^2=(a^2 )^2-2a^2×3+3^2=a^4-6a^2+9$$

Analogicznie z drugą częścią

$$(3+a^2 )^2=3^2+2×3×a^2+(a^2 )^2=9+6a^2+a^4 $$

Zatem całość to (Pamiętamy o minusie przed drugim wyrażeniem!):

$$(a^2-3)^2-(3+a^2 )^2=a^4-6a^2+9-(9+6a^2+a^4 )$$

$$a^4-6a^2+9-(9+6a^2+a^4 )=a^4-6a^2+9-9-6a^2-a^4$$

$$a^4-6a^2+9-9-6a^2-a^4=-12a^2$$
 

Zadanie 3.

Oblicz wartość wyrażenia $$(y-3)^2-(y+2)(y-2)$$ dla $$y=4$$

Najprostszy typ zadań tego działu, nie musimy znać wzorów, które nie zawsze ułatwiają życie, zróbmy po prostu podmianę z $$y=4$$

$$(y-3)^2-(y+2)(y-2)$$

$$(4-3)^2-(4+2)(4-2)$$

$$1^2-6×2=1-12=-11$$

Odp.: Wartość wyrażenia wynosi $$-11$$.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Adam i Marek pokonali rowerami trasę 50 km

Wiemy, że Marek wyruszył pół godziny później, więc czerwony wykres opisuje ruch Marka, a niebieski wykres opisuje ruch Adama. 

 

`a)\ P`

Od 11:00 do 12:30 Marek pokonał 30 km (40-10=30)

Od 11:00 do 12:30 Adam pokonał także 30 km. 

 

 

`b)\ F`

O 12:00 Adam pokonał 20 km, natomiast Marek pokonał około 35 km. Marek pokonał większy dystans, więc był bliżej celu. 

 

`c)\ F`

Od 11:30 do 12:00 Adam nie pokonał żadnego dystansu, co oznacza, że miał postój, nie jechał. 

 

`d)\ P`

Zarówno Adam jak i Marek pokonali odległość 50 km w czasie 3,5 godziny. 

Narysuj wykres przykładowej funkcji...

a) Miejscem zerowym ma być x = -3

 

b) Miejscami zerowymi mają być x = -2 i x = 2

 

c) Miejscami zerowymi mają być wszystkie argumenty większe bądź równe od 1

 

d) Miejscami zerowymi mają być wszystkie argumenty większe bądź równe od -1 oraz mniejsze bądź równe 2.

Oblicz wartość wyrażenia:

`a) \ tg \ 45^o * cos 60^o - sin 60^o * ctg \ 60^o = 1 * 1/2 - sqrt3/2 * sqrt3/3 = 1/2 -3/6 = 1/2 - 1/2 = 0` 

 

`b) \ 2 sin30^o + tg \ 45^o + 3 cos 60^o = 2 * 1/2 + 1 + 3 * 1/2 = 1 + 1 + 3/2 = 2 + 1 1/2 = 3 1/2` 

Wyznacz wszystkie liczby x spełniające podany

a)

`x=-2sqrt3`

`x=2sqrt3`

b)

`x>=-7 \ \ \ \ vv \ \ \ \ x<=7`

`x in<<-7,7>>`

c)

`x>5 \ \ \ vv \ \ \ \ x<-5`

`x(-oo,-5>>uu<<5,+oo)`

 

 

Dane są zbiory A

Rozwiążmy nierówność opisującą zbiór A:

`5/2x<3/4(x+2)\ \ \ \ |*4`  

`10x<3(x+2)`

`10x<3x+6\ \ \ |-3x` 

`7x<6\ \ \ |:7` 

`x<6/7` 

Zbiór A to zbiór liczb całkowitych spełniających powyższą nierówność:

`A={...,-4,\ -3,\ -2,\ -1,\ 0}` 

 

Rozwiążmy równość opisującą zbiór B:

`|x+1|=3` 

`x+1=3\ \ \ |-1\ \ \ \ \ "lub"\ \ \ \ \ x+1=-3\ \ \ |-1` 

`x=2\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ "lub"\ \ \ \ \ x=-4` 

`B={-4;\ 2}` 

 

 

Rozwiążmy nierówność opisującą zbiór C:

`|x|<=2` 

`x<=2\ \ \ "i"\ \ \ x>=-2` 

`C=<<-2;\ 2>>` 

 

 

`a)` 

`AuuB={...,\ -4,\ -3,\ -2,\ -1,\ 0,\ 2}` 

`(AuuB)nnC={-2;\ -1;\ 0;\ 2}` 

 

 

`b)` 

`AnnB={-4}` 

`(AnnB)uuC={-4}uu<<-2;\ 2>>`  

 

`c)` 

`AnnBnnC=emptyset` 

 

`d)` 

`C\\A=(-2;\ -1)uu(-1;\ 0)uu(0;\ 2>>` 

 

`e)` 

`AuuB={...,\ -4,\ -3,\ -2,\ -1,\ 0,\ 2}` 

`C\\(AuuB)=(-2;\ -1)uu(-1;\ 0)uu(0;\ 2)` 

 

`f)` 

`C\\A=(-2;\ -1)uu(-1;\ 0)uu(0;\ 2>>` 

`C\\B=<<-2;\ 2)` 

`(C\\A)nn(C\\B)=(-2;\ -1)uu(-1;\ 0)uu(0;\ 2)` 

Oblicz wartości funkcji dla kilku argumentów z podanego przedziału

`a)`

`f(-3)=-2*(-3)+1=6+1=7`

`f(0)=-2*0+1=0+1=1`

`f(4)=-2*4+1=-8+1=-7`

 

 

Wartość najmniejsza: y=-7 (dla x=4)

Wartość największa: y=7 (dla x=-3)

 

 

 

`b)`

`g(-2)=2+(-2)^2=2+4=6`

`g(0)=2+0^2=2+0=2`

`g(1)=2+1^2=2+1=3`

`g(3)=2+3^2=2+9=11`

 

 

Wartość najmniejsza: y=2 (dla x=0)

Wartość największa: brak

 

 

`c)`

Zauważmy, że jest to funkcja stale równa -3.   

Wartość najmniejsza jest zarazem wartością największą: y=-3. 

 

 

`d)`

`f(-16)=-1/16` 

`f(-8)=-1/8` 

`f(-4)=-1/4` 

 

 

Wartość najmniejsza: brak

Wartość największa: y=-1/4  (dla x=-4)

 

Punkty E i F są środkami boków...

a) Rysunek poglądowy:

Zauważmy, że trójkąty:

AED i CFH są przystające bo:

`|AD|=|BC|` 

`|AE|=|CF|` 

`/_EAD = /_FCB` 

cecha bkb.

 

A więc:

`|AG|=|CH|` 

 

Zauważmy dodatkowo, że trójkąty AEG i ABH są podobne.

`/_BAH = /_EAG` 

`/_GEA = /_HBA` 

`/_AGE = /_AHB` 

cecha kkk.

 

Zatem:

`|AG|=|GH|` 

 

Stąd:

`|AG|=|GH|=|HC|` 

 

b) Rysunek:

Trójkąty AGD i ABC są podobne zatem:

`(|AD|)/(|AG|)=(|AC|)/(|BC|)` 

`|AD|*|BC| = |AG|*|AC|` 

oczywiście:

`|AD| = |BC|` 

`3|AG|=|AC|` 

zatem

`|AD|^2 = 3|AG|^2` 

`|AD| = sqrt3 |AG|` 

 

Z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie ABC:

`|AB|^2 +|BC|^2 = |AC|^2` 

`5^2 + (sqrt3|AG|)^2 = (3|AG|)^2` 

`25 + 3|AG|^2 = 9|AG|^2` 

`25 = 6|AG|^2` 

`|AG|^2 = 25/6` 

`|AG| = 5/sqrt6*sqrt6/sqrt6 = (5sqrt6)/6` 

 

zatem

`|AD| = sqrt3*(5sqrt6)/6 = (5sqrt18)/6 = (5*3sqrt2)/6 = (5sqrt2)/2 \ ["cm"]` 

 

Pole:

`P = |AB|*|AD| = 5*(5sqrt2)/2 = (25sqrt2)/2 \ ["cm"^2]` 

Oblicz

`a)\ log_(1/2) 2=log_(1/2) (1/2)^-1=-1`

`b)\ log_(1/2) 1/4=log_(1/2) (1/2)^2=2`

`c)\ log_(1/3) 1/81=log_(1/3) (1/3)^4=4`

`d)\ log_(1/3) 1/27=log_(1/3) (1/3)^3=3`

`e)\ log_(1/4) 1/2=log_(1/4)sqrt(1/4)=log_(1/4) (1/4)^(1/2)=1/2`

 

Dana jest funkcja...

a) Zapiszmy funkcję w postaci iloczynowej:

`f(x) = - (x+4)(x-3) = -(x^2 -3x + 4x - 12) = -(x^2+x-12) = -x^2 - x + 12` 

`b = -1  \ , \ c = 12` 

 

b) Obliczmy odciętą wierzchołka paraboli

`x_w = p = (-4+3)/2 = -1/2` 

`f(p) = q` 

`f(-1/2) = -(-1/2+4)(-1/2 -3) = -7/2 * (-7/2) = 49/4` 

Współrzędne wierzchołka paraboli:

`W = (-1/2, 49/4)` 

`f(x) < 0 \ \ "dla" \ x in (-oo, -4) \cup (3, oo)` 

 

 

c) oś symetrii to odcięta wierzchołka paraboli, czyli:

`x_w = -1/2` 

Wyznacz równanie okręgu symetrycznego ...

`x^2+y^2+6x-4y-3=0` 

`(x+3)^2+(y-2)^2=16` 

`r=4` 

`S=(-3;2)` 

 

`a)` 

`k:y=x-3` 

`S'-"punkt syetryczny do punkt S względem prostej k"` 

`S'=(s;t)` 

Wyznaczmy prostą m prostopadłą do prostej k i zawierającą punkt S.

`m:y=-x+b` 

`2=-(-3)+b` 

`b=-1` 

`m:y=-x-1` 

Znajdzmy punkt przecięcia P prostych m i k.

`{(y=x-3),(y=-x-1):}` 

`x-3=-x-1` 

`2x=2` 

`x=1` 

`y=1-3=-2` 

`P=(1;-2)` 

 

`vec(SP)=vec(PS')` 

`[1+3;-2-2]=[s-1;t+2]` 

`s-1=4\ implies \ s=5` 

`t+2=-4\ implies \ t=-6` 

`S'=(5;-6)` 

`ul((x-5)^2+(y+6)^2=16` 

 

`b)` 

`k:y=-2x+6` 

`S'-"punkt syetryczny do punkt S względem prostej k"` 

`S'=(s;t)`  

Wyznaczmy prostą m prostopadłą do prostej k i zawierającą punkt S.

`m:y=1/2x+b` 

`2=1/2(-3)+b` 

`b=2+3/2=7/2`  

`m:y=1/2x+7/2`  

Znajdzmy punkt przecięcia P prostych m i k.

`{(y=-2x+6),(y=1/2x+7/2):}`  

`-2x+6=1/2x+7/2`  

`-5/2x=-5/2` 

`x=1` 

`y=-2x+6=-2+6=4` 

`P=(1;4)` 

 

`vec(SP)=vec(PS')` 

`[1+3;4-2]=[s-1;t-4]`  

`s-1=4\ implies \ s=5` 

`t-4=4-2\ implies \ t=6` 

`S'=(5;6)` 

`ul((x-5)^2+(y-6)^2=16`