Wzory skróconego mnożenia dla kwadratów - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Usuń niewymierność z mianownika $$1/{3x+√3}$$

Postępujemy identycznie jak w przykładzie. Wiemy, że jeśli pomnożymy coś przez 1 to nadal mamy tą samą liczbę.

Zatem:

$$ 1/{3x+√3}×{3x-√3}/{3x-√3} $$

W celu skorzystania z wzoru skróconego mnożenia nr 3

$$ {3x-√3}/{(3x+√3)(3x-√3)}={3x-√3}/{9x^2-3} $$

Możemy jeszcze sobie wyciągnąć przed nawias trójkę w mianowniku:

$$ {3x-√3}/{9x^2-3}={3x-√3}/{3(3x^2-1)} $$

Taką postać również prędzej znajdziemy w odpowiedziach niż pierwotną

Zadanie 2.

Uprość wyrażenie: $${(a^2-3)}^2-{(3+a^2 )}^2$$

Należy po prostu stosować podmianę za pomocą naszych wzorów skróconego mnożenia

$$(a^2-3)^2-(3+a^2 )^2$$

Jak widzimy mamy najpierw

$$(a^2-3)^2$$

Jest podobny do naszego wzoru skróconego mnożenia:

$$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$$ -> w naszym działaniu $$a$$ z wzoru wynosi $$a^2$$ zaś b=3

Podmieniamy więc: $$(a^2-3)^2=(a^2 )^2-2a^2×3+3^2=a^4-6a^2+9$$

Analogicznie z drugą częścią

$$(3+a^2 )^2=3^2+2×3×a^2+(a^2 )^2=9+6a^2+a^4 $$

Zatem całość to (Pamiętamy o minusie przed drugim wyrażeniem!):

$$(a^2-3)^2-(3+a^2 )^2=a^4-6a^2+9-(9+6a^2+a^4 )$$

$$a^4-6a^2+9-(9+6a^2+a^4 )=a^4-6a^2+9-9-6a^2-a^4$$

$$a^4-6a^2+9-9-6a^2-a^4=-12a^2$$
 

Zadanie 3.

Oblicz wartość wyrażenia $$(y-3)^2-(y+2)(y-2)$$ dla $$y=4$$

Najprostszy typ zadań tego działu, nie musimy znać wzorów, które nie zawsze ułatwiają życie, zróbmy po prostu podmianę z $$y=4$$

$$(y-3)^2-(y+2)(y-2)$$

$$(4-3)^2-(4+2)(4-2)$$

$$1^2-6×2=1-12=-11$$

Odp.: Wartość wyrażenia wynosi $$-11$$.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Dany jest trójkąt równoramienny ABC, w którym...

W zadaniu przyda nam się następujące twierdzenie:

Jeżeli kąty naprzemianległe wewnętrzne są równe, to dwie proste przecięte trzecią prostą są równoległe.


Trójkąt  jest równoramienny. Stąd:

 


Oznaczmy:

 

 

 


Kąty  oraz  tworzą kąt półpełny. Stąd:

 {premium}


Z sumy kątów trójkąta  wynika, że:

 


Zatem:

 

 

 


Wynika stąd, że kąty  i  mają równe miary. Są to kąty naprzemianległe wewnętrzne.

Zatem z twierdzenia przytoczonego na początku rozwiązania wynika, że proste  i  są równoległe,

co należało dowieść.

Na rysunku przedstawiono...

Miara kąta w 9-kącie foremnym wynosi:

Trójkąt ABC jest równoramienny więc przy podstawach ma kąty mające miarę 20°.

Kąt ACD i kąt przy podstawie trójkąta ABC tworzą kąt wewnętrzny 9-kąta, zatem:

 

Trapez ABCD:

Kąty przy wierzchołkach B i C są równe i wynoszą 140°.

Trapez jest równoramienny gdyż jego ramiona to boki naszego 9-kąta.

Zatem kąty przy podstawie AD są równe i w sumie mają miary 80° bo suma kątów wewnętrznych w trapezie wynosi 360°.

Kąt ADC wynosi więc 40° a razem z kątem ADE tworzą kąt wewnętrzny 9-kąta, zatem:

 

Trójką AEF

Kąty przy podstawie EF są równe.

W każdym z trójkątów ABC, ACD, ADE, AEF kąt przy wierzchołku A wynosi 20°.

Tak więc suma kątów w podstawie trójkąta AEF wynosi 160° a więc kąt AEF wynosi 80°.

Na rysunku przedstawiono wykres funkcji f

Aby otrzymać wykres funkcji g wystarczy odbić wykres funkcji f symetrycznie względem osi OX. 

 

 

 

 

 

 

 

 

Sprawdź rachunkowo, czy przekątne równoległeob

Wyznaczamy równanie prostej AC. Należą do niej punkty A oraz C, więc wystarczy do równania ogólnego prostej y=ax+b podstawić współrzędne punktów A=(-4; -2) i C=(6; 2). 

Podstawiamy obliczoną wartość a do drugiego równania ostatniego układu: 

 

 

 

Wyznaczamy równanie prostej BD. Należą do niej punkty B oraz D, więc wystarczy do równania ogólnego prostej podstawić współrzędne punktów B=(0; -4) i D=(2; 4). 

 

 

 

Punkt przecięcia prostych AC i BD to punkt przecięcia przekątnych równoległoboku ABCD. Wystarczy teraz rozwiązać układ równań złożony z równań tych dwóch prostych, aby otrzymać współrzędne tego punktu przecięcia. 

Otrzymaliśmy punkt o współrzędnych (1; 0). 

Wyznacz wszystkie liczby rzeczywiste x spełniające

a)

Szukamy liczb x takich, że ich odległość od liczby 0 jest mniejsza lub równa 2/3.

        b) Szukamy liczb x takich, że ich odległość od liczby 0 jest mniejsza niż 2,5   c) Szukamy liczb x takich, że ich odległość od liczby 0 jest większa lub równa 3,7.   d) Szukamy liczb x takich, że ich odległość od liczby 0 jest większa niż 1 2/5.
Przez które ćwiartki układu współrzędnych...

a) Skoro współczynnik kierunkowy jest dodatni to znaczy, że funkcja jest rosnąca czyli przechodzi przez ćwiartkę I, II i III lub I, III i IV lub I i III. Skoro współczynnik b jest dodatni to znaczy, że funkcja na pewno nie przechodzi przez IV ćwiartkę. Funkcja przechodzi przez ćwiartki I, II i III.

 

b) Skoro współczynnik kierunkowy jest ujemny to znaczy, że funkcja jest malejąca czyli przechodzi przez ćwiartkę I, II i IV lub II, III i IV lub II i IV. Skoro współczynnik b jest dodatni to znaczy, że funkcja na pewno nie przechodzi przez III ćwiartkę. Funkcja przechodzi przez ćwiartki I, II i IV.

 

c) Skoro współczynnik kierunkowy jest dodatni to znaczy, że funkcja jest rosnąca czyli przechodzi przez ćwiartkę I, II i III lub II, III i IV lub I i III. Skoro współczynnik b jest równy 0 to znaczy, że funkcja przechodzi przez tylko dwie ćwiartki. Funkcja przechodzi przez ćwiartki I i III.

 

d) Skoro współczynnik kierunkowy jest równy 0 to znaczy , że funkcja przechodzi przez ćwiartkę I i II lub III i IV lub żadną. Skoro współczynnik b jest równy 0 to znaczy, że funkcja przechodzi przez ćwiartkę I i II.

Na rysunku obok

 

 

 

Dana jest funkcja...

 

Sprowadźmy do postaci kanonicznej

 

 

A. Funkcja nie ma miejsc zerowych gdyż a > 0  i  q > 0

B. Funkcja rośnie w przedziale   a więc tym bardziej rośnie w przedziale  

Odpowiedź B

Oblicz...

 

 

 

 

Rysunek:

Oblicz za pomocą wzorów skróconego ...

   

 

 

    

Korzystamy ze wzorów:

 

 

 

      

 

 

 

 

 

 

Zauważmy, że powyższe wyrażenie możemy zapisać za pomoca wzoru na sumę sześcianów:

  

W naszym przykładzie:

  

 

Stąd:

 

 

 

Zauważmy, że powyższe wyrażenie możemy zapisać za pomoca wzoru na różnicę sześcianów:

   

W naszym przykładzie:

  

  

Stąd: