Wzory skróconego mnożenia dla kwadratów - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Usuń niewymierność z mianownika $$1/{3x+√3}$$

Postępujemy identycznie jak w przykładzie. Wiemy, że jeśli pomnożymy coś przez 1 to nadal mamy tą samą liczbę.

Zatem:

$$ 1/{3x+√3}×{3x-√3}/{3x-√3} $$

W celu skorzystania z wzoru skróconego mnożenia nr 3

$$ {3x-√3}/{(3x+√3)(3x-√3)}={3x-√3}/{9x^2-3} $$

Możemy jeszcze sobie wyciągnąć przed nawias trójkę w mianowniku:

$$ {3x-√3}/{9x^2-3}={3x-√3}/{3(3x^2-1)} $$

Taką postać również prędzej znajdziemy w odpowiedziach niż pierwotną

Zadanie 2.

Uprość wyrażenie: $${(a^2-3)}^2-{(3+a^2 )}^2$$

Należy po prostu stosować podmianę za pomocą naszych wzorów skróconego mnożenia

$$(a^2-3)^2-(3+a^2 )^2$$

Jak widzimy mamy najpierw

$$(a^2-3)^2$$

Jest podobny do naszego wzoru skróconego mnożenia:

$$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$$ -> w naszym działaniu $$a$$ z wzoru wynosi $$a^2$$ zaś b=3

Podmieniamy więc: $$(a^2-3)^2=(a^2 )^2-2a^2×3+3^2=a^4-6a^2+9$$

Analogicznie z drugą częścią

$$(3+a^2 )^2=3^2+2×3×a^2+(a^2 )^2=9+6a^2+a^4 $$

Zatem całość to (Pamiętamy o minusie przed drugim wyrażeniem!):

$$(a^2-3)^2-(3+a^2 )^2=a^4-6a^2+9-(9+6a^2+a^4 )$$

$$a^4-6a^2+9-(9+6a^2+a^4 )=a^4-6a^2+9-9-6a^2-a^4$$

$$a^4-6a^2+9-9-6a^2-a^4=-12a^2$$
 

Zadanie 3.

Oblicz wartość wyrażenia $$(y-3)^2-(y+2)(y-2)$$ dla $$y=4$$

Najprostszy typ zadań tego działu, nie musimy znać wzorów, które nie zawsze ułatwiają życie, zróbmy po prostu podmianę z $$y=4$$

$$(y-3)^2-(y+2)(y-2)$$

$$(4-3)^2-(4+2)(4-2)$$

$$1^2-6×2=1-12=-11$$

Odp.: Wartość wyrażenia wynosi $$-11$$.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Okręgi...

Zauważmy, że trójkąty KAC i CBL są równoramienne, zatem kąty przy podstawie KC są równe

`/_ AKC = 46^o = /_KCA` 

 

Analogicznie z podstawą CL

`/_LCB = /_ BLC` 

 

Zauważmy ponadto, że

`/_KCA = /_ LCB` 

są równe gdyż są to kąty wierzchołkowe.

 

A więc:

`beta = 46^o` 

 

Suma miar kątów w trójkącie wynosi 180o, zatem:

`2 beta + alpha = 180^o` 

`92^o + alpha = 180^o` 

`alpha = 88^o` 

Odpowiedź D

Na rysunku obok przedstawiono wykres funkcji

Wyznacz współrzędne wektora ...

`f(x)=-12x^2` 

 

`a)` 

`g(x)=-12(x-7)^2` 

`vec v=[7;0]` 

 

`b)` 

`g(x)=-12x^2-1` 

`vecv=[0;-1]` 

 

`c)` 

`g(x)=-12(x+5)^2+2` 

`vecv=[-5;2]` 

Rozwiąż graficznie równanie

`a)` 

Oznaczmy:

`f(x)=x^2` 

`g(x)=|2x|` 

 

Wykonajmy tabelki wartości funkcji f i g, co ułatwi narysowanie wykresów. 

   
`x`  `-3`  `-2`  `-1`  `0`  `1`  `2` 
`f(x)`  `9`  `4`  `1`  `0`  `1`  `4` 

 

     
`x`  `-3`  `-2`  `-1`  `0`  `1`  `2` 
`g(x)`  `|-6|=6`  `|-4|=4`  `|-2|=2`  `|0|=0`  `|2|=2`  `|4|=4` 

 

Szkicujemy wykresy w jednym układzie współrzędnych:

 

 

`x^2=|2x|\ \ \ "dla"\ \ \ x in {-2;\ 2}` 

`x^2<|2x|\ \ \ "dla"\ \ \ x in (-2;\ 0)uu(0;\ 2)` 

 

 

 

 

`b)` 

Oznaczmy:

`f(x)=x^2` 

`g(x)=-x+2` 

 

Wykonajmy tabelę wartości dla funkcji g (funkcję f mamy już w poprzednim podpunkcie). 

 
`x`  `-2`  `0`  `-1`  
`g(x)`  `2+2=4`  `0+2=2`  `1+2=3`  

 

   Szkicujemy wykresy w jednym układzie współrzędnych:       `x^2=-x+2\ \ \ "dla"\ \ \ x in {-2;\ 1}`  `x^2>=-x+2\ \ \ "dla"\ \ \ x in (-infty;\ -2>>uu<<1;\ +infty)` 
Rozwiąż nierówność.

`a)` 

`3|x-1|-|x-1|>2` 

`2|x-1|>2` 

`x-1=0\ implies\ x=1` 

 

`"I".\ x in (-oo;1)` 

`-2x+2>2` 

`-2x>0` 

`x<0` 

`x in (-oo;0)`    

 

`"II".\ x in [1;+oo)` 

`2x-2>2` 

`2x>4` 

`x>2` 

`x in (2;+oo)` 

 

`"Z I i II"\ implies\ul( x in (-oo;0)cup(2;+oo)`  

 

`b)` 

`2|x|-3<=|x|-5` 

`|x|<=-2` 

`"Wartość bezwzględna z x nie mozę być ujemna."`  

`"Brak rozwiązań."` 

 

`c)` 

`23+|x+1|>=4|x+1|+5` 

`18>=3|x+1|` 

`|x+1|<=6` 

`x+1=0\ implies\ x=-1` 

 

`"I".\ x in (-oo;-1)` 

`-x-1<=6` 

`-x<=7` 

`x>=-7` 

`x in [-7;-1)` 

 

`"II".\ x in [-1;+oo)`   

`x+1<=6` 

`x<=5` 

`x in [-1;5]` 

 

`"Z I i II"\ implies\ul( x in[-7;-1)cup[-1;5]=[-7;5]`    

Podaj przykład wzoru funkcji...

a) Każdemu elementowi przyporządkowujemy jego kwadrat.

`f(x) = x^2` 

 

b) Każdemu elementowi przyporządkowujemy sumę jego podwojonej wartości i liczby 3.

`f(x) = 2x+3` 

Wystarczy zwrócić uwagę, że

`0 -> 3` 

A więc załóżmy, że funkcja dodaje każdemu elementowi 3. Wtedy łatwo zauważyć, że elementy rzeczywiście są podwajane:

`0 -> 0*2+3=3` 

`1 -> 1*2 +3=5` 

`2->2*2+3=7` 

`3 ->3*2+3 = 9` 

 

c) Każdemu elementowi przyporządkowujemy element o 1 mniejszy.

`f(x) = x-1` 

 

d) Każdemu elementowi przyporządkowujemy element cztery razy większy.

`f(x) = 4x` 

Przeczytaj podany w ramce przykład

`a)\ 91*89=(90+1)*(90-1)90^2-1^2=8100-1=8099` 

`b)\ 26*24=(25+1)*(25-1)=25^2-1^2=625-1=624` 

`c)\ 82*78=(80+2)*(80-2)=80^2-2^2=6400-4=6396` 

`d)\ 170^2-70^2=(170-70)*(170+70)=100*240=24\ 000` 

`e)\ 102^2-98^2=(102-98)*(102+98)=4*200=800` 

`f)\ (15/29)^2-(14/29)^2=(15/29-14/29)*(15/29+14/29)=1/29*29/29=1/29*1=1/29` 

`g)\ sqrt(52^2-48^2)=sqrt((52-48)*(52+48))=sqrt(4*100)=sqrt400=20` 

`h)\ sqrt(218^2-182^2)=sqrt((218-182)*(218+182))=sqrt(36*400)=sqrt36*sqrt400=6*20=120` 

 

Podaj dziedzinę

`a)` 

`x^2-9ne0` 

`(x-3)(x+3)ne0` 

`xne3\ \ \ "i"\ \ \ xne-3` 

`D=RR\\{-3;\ 3}` 

 

Szukamy miejsc zerowych:

`1/(x^2-9)=0\ \ \ \ |*(x^2-9)` 

`1=0` 

Otrzymaliśmy sprzeczność, więc funkcja f nie ma miejsc zerowych.

 

`ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ )` 

 

`b)`   

`x^2-4ne0` 

`(x-2)(x+2)ne0` 

`xne2 \ \ \"i"\ \ \ xne-2` 

`D=RR\\{-2;\ 2}` 

 

Szukamy meijsc zerowych:

`(x-2)/(x^2-4)=0\ \ \ \ |*(x^2-4)` 

`x-2=0\ \ \ |+2` 

`x=2notinD` 

Otrzymane rozwiązanie nie należy do dziedziny, więc funkcja nie ma miejsc zerowych. 

 

`ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ )` 

 

 

`c)` 

`x^2-25ne0` 

`(x-5)(x+5)=0` 

`xne5\ \ \ "i"\ \ \ xne-5` 

`D=RR\\{-5;\ 5}` 

 

Szukamy miejsc zerowych:

`(x^2-9)/(x^2-25)=0\ \ \ |*(x^2-25)` 

`x^2-9=0` 

`(x-3)(x+3)=0` 

`x=3inD\ \ \ "lub"\ \ \ x=-3inD` 

Oba otrzymane rozwiązania należą do dziedziny, więc funkcja ma dwa miejsca zerowe. 

 

 

`ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ )` 

 

 

`d)` 

`x^2-2ne0` 

`(x-sqrt2)(x+sqrt2)ne0` 

`xnesqrt2\ \ \ "i"\ \ \ xne-sqrt2` 

`D=RR\\{-sqrt2;\ sqrt2}` 

 

Szukamy miejsc zerowych:

`(x+4)/(x^2-2)=0\ \ \ |*(x^2-2)` 

`x+4=0\ \ \ |-4` 

`x=-4inD` 

Otrzymane rozwiązanie należy do dziedziny, więc funkcja ma jedno miejsce zerowe. 

`ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ )` 

 

 

`e)` 

`x^2+1ne0\ \ \ |-1` 

`x^2ne-1` 

Kwadrat dowolnej liczby jest nieujemny, więc powyższy warunek jest spełniony dla każdej liczby rzeczywistej. 

`D=RR` 

 

Szukamy miejsc zerowych:

`(2x^2)/(x^2+1)=0\ \ \ |*(x^2+1)` 

`2x^2=0\ \ \ |:2` 

`x^2=0` 

`x=0inD` 

Otrzymane rozwiązanie należy do dziedziny, więc funkcja ma jedno miejsce zerowe. 

 

`ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ )`  

 

 

`f)` 

`x^2+9ne0\ \ \ |-9` 

`x^2ne-9` 

Kwadrat dowolnej liczby jest nieujemny, więc powyższy warunek jest spełniony dla każdej liczby rzeczywistej.

`D=RR` 

 

Szukamy miejsc zerowych:

`(x+1)/(x^2+9)=0\ \ \ \ |*(x^2+9)` 

`x+1=0\ \ \ |-1` 

`x=-1inD` 

Otrzymane rozwiązanie należy do dziedziny, więc funkcja ma jedno miejsce zerowe. 

 

 

`ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ )` 

 

 

`g)` 

`x+9>=0\ \ \ |-9` 

`x>=-9` 

`D=<<-9;\ +infty)` 

 

Szukamy miejsc zerowych:

`sqrt(x+9)=0` 

`x+9=0\ \ \ \|-9` 

`x=-9inD` 

Otrzymane rozwiązanie należy do dziedziny, więc funkcja ma jedno miejsce zerowe. 

 

 

`ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ )` 

 

 

`h)` 

`2x-3>=0\ \ \ |+3` 

`2x>=3\ \ \ |:2` 

`x>=3/2` 

`D=<<3/2;\ +infty)` 

 

Szukamy miejsc zerowych:

`sqrt(2x-3)=0` 

`2x-3=0\ \ \ |+3` 

`2x=3\ \ \ |:2` 

`x=3/2inD` 

Otrzymane rozwiązanie należy do dziedziny, więc funkcja ma jedno miejsce zerowe. 

 

`ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ )` 

 

 

`i)` 

`{(x>=0), (x-3ne0\ \ \ |+3):}` 

`{(x in <<0;\ +infty)), (xne3):}`  

`D=<<0;\ 3)uu(3;\ +infty)` 

 

Szukamy miejsc zerowych:

`(sqrtx)/(x-3)=0\ \ \ |*(x-3)` 

`sqrtx=0` 

`x=0inD` 

Otrzymane rozwiązanie należy do dziedziny, więc funkcja ma jedno miejsce zerowe. 

 

`ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ )` 

 

 

`j)` 

`{(x-3>=0\ \ \ |+3), (xne0):}` 

`{(x>=3), (xne0):}` 

`D=<<3;\ +infty)` 

 

Szukamy miejsc zerowych:

`(sqrt(x-3))/x=0\ \ \ |*x` 

`sqrt(x-3)=0` 

`x-3=0\ \ \ |+3` 

`x=3inD` 

Otrzymane rozwiązanie należy do dziedziny, więc funkcja ma jedno miejsce zerowe. 

 

`ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ )` 

 

 

`k)` 

`x-3>0\ \ \ |+3` 

`x>3`   

`D=(3;\ +infty)` 

 

Szukamy miejsc zerowych:

`x/(sqrt(x-3))=0\ \ \ |*sqrt(x-3)` 

`x=0notinD` 

Otrzymane rozwiązanie nie należy do dziedziny, więc funkcja nie ma miejsc zerowych. 

 

 

`ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ )` 

 

 

`l)` 

`x+3>0\ \ \ |-3` 

`x> -3` 

`D=(-3; \ +infty)` 

 

Szukamy miejsc zerowych:

`x/(sqrt(x+3))=0\ \ \ |*sqrt(x+3)` 

`x=0inD` 

Otrzymane rozwiązanie należy do dziedziny, więc funkcja ma jedno miejsce zerowe. 

Oceń, czy poniższe zdania...

a) Prawda, liczby naturalne to nieskończony zbiór {0,1,2,3,4,...} 

Liczba 0 jest nieujemne ani niedodatnie a każda liczba większa od niego jest dodatnia. Zatem każda liczba naturalna jest nieujemna.

 

b) Prawda, dowolna ujemna liczba całkowita nie jest liczbą naturalną.

 

c) Fałsz, kontrprzykład:

Weźmy liczbę -2, liczba przeciwna do niej to:

`-(-2) = 2` 

A więc liczba przeciwna do niej jest dodatnia.

 

d) Prawda, Tą liczbą jest liczba 1, bo:

`n = 1/n \ \ \ |*n` 

`n^2 = 1` 

`n = 1` 

 

e) Prawda, tą liczbą jest 0, bo:

`sqrtx = 0 \ \ \ |()^2` 

`|x| = 0` 

`x = 0` 

 

f) Fałsz, kontrprzykład:

`n = 1` 

`1^2 = 1` 

Dla jakich wartości a i b suma przyjmuje wartość najmniejszą?

`a)` 

`a+b=4\ \ \ \-a` 

`b=4-a` 

 

`a^2+b^2=a^2+(4-a)^2=` `a^2+16-8a+a^2=` 

`=2a^2-8a+16` 

 

Współczynnik stojący przy a² jest dodatni, więc ramiona paraboli są skierowane w górę, jest osiągane minimum (w wierzchołku). Wartość sumy kwadratów liczb a i b będzie najmniejsza dla a będącego pierwszą współrzędną wierzchołka paraboli:

`a=a_w=-(-8)/(2*2)=8/4=2` 

`b=4-a=4-2=2` 

 

 

`b)` 

`a-b=3\ \ \ |+b` 

`a=b+3` 

 

`a^2+b^2=(b+3)^2+b^2=b^2+6b+9+b^2=` 

`=2b^2+6b+9` 

 

Współczynnik stojący przy b² jest dodatni, więc ramiona paraboli są skierowane w górę, jest osiągane minimum (w wierzchołku). Wartość sumy kwadratów liczb a i b będzie najmniejsza dla b będącego pierwszą współrzędną wierzchołka paraboli:

`b=b_w=-6/(2*2)=-6/4=-3/2=-1 1/2` 

`a=b+3=-1 1/2+3=1 1/2` 

 

 

 

`c)` 

`2a+b=1\ \ \ |-2a` 

`b=1-2a` 

 

`a^2+b^2=a^2+(1-2a)^2=a^2+1-4a+4a^2=` 

`=5a^2-4a+1` 

Współczynnik stojący przy a² jest dodatni, więc ramiona paraboli są skierowane w górę, jest osiągane minimum (w wierzchołku). Wartość sumy kwadratów liczb a i b będzie najmniejsza dla a będącego pierwszą współrzędną wierzchołka paraboli:

`a=a_w=-(-4)/(2*5)=4/10=2/5` 

`b=1-2a=1-2*2/5=1-4/5=1/5`