Wzory skróconego mnożenia dla kwadratów - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Usuń niewymierność z mianownika $$1/{3x+√3}$$

Postępujemy identycznie jak w przykładzie. Wiemy, że jeśli pomnożymy coś przez 1 to nadal mamy tą samą liczbę.

Zatem:

$$ 1/{3x+√3}×{3x-√3}/{3x-√3} $$

W celu skorzystania z wzoru skróconego mnożenia nr 3

$$ {3x-√3}/{(3x+√3)(3x-√3)}={3x-√3}/{9x^2-3} $$

Możemy jeszcze sobie wyciągnąć przed nawias trójkę w mianowniku:

$$ {3x-√3}/{9x^2-3}={3x-√3}/{3(3x^2-1)} $$

Taką postać również prędzej znajdziemy w odpowiedziach niż pierwotną

Zadanie 2.

Uprość wyrażenie: $${(a^2-3)}^2-{(3+a^2 )}^2$$

Należy po prostu stosować podmianę za pomocą naszych wzorów skróconego mnożenia

$$(a^2-3)^2-(3+a^2 )^2$$

Jak widzimy mamy najpierw

$$(a^2-3)^2$$

Jest podobny do naszego wzoru skróconego mnożenia:

$$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$$ -> w naszym działaniu $$a$$ z wzoru wynosi $$a^2$$ zaś b=3

Podmieniamy więc: $$(a^2-3)^2=(a^2 )^2-2a^2×3+3^2=a^4-6a^2+9$$

Analogicznie z drugą częścią

$$(3+a^2 )^2=3^2+2×3×a^2+(a^2 )^2=9+6a^2+a^4 $$

Zatem całość to (Pamiętamy o minusie przed drugim wyrażeniem!):

$$(a^2-3)^2-(3+a^2 )^2=a^4-6a^2+9-(9+6a^2+a^4 )$$

$$a^4-6a^2+9-(9+6a^2+a^4 )=a^4-6a^2+9-9-6a^2-a^4$$

$$a^4-6a^2+9-9-6a^2-a^4=-12a^2$$
 

Zadanie 3.

Oblicz wartość wyrażenia $$(y-3)^2-(y+2)(y-2)$$ dla $$y=4$$

Najprostszy typ zadań tego działu, nie musimy znać wzorów, które nie zawsze ułatwiają życie, zróbmy po prostu podmianę z $$y=4$$

$$(y-3)^2-(y+2)(y-2)$$

$$(4-3)^2-(4+2)(4-2)$$

$$1^2-6×2=1-12=-11$$

Odp.: Wartość wyrażenia wynosi $$-11$$.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Oblicz bez korzystania z tablic...

Skoro kąt alfa jest wypukły a cosinus jest dodatni to znaczy, że kąt alfa jest kątem ostrym. Zatem sinus i tangens również będą dodatnie. Z jedynki trygonometrycznej:

 

`sin^2 alpha + cos^2 alpha = 1`  

`sin^2 alpha + (12/13)^2 = 1` 

`sin^2 alpha + 144/169 = 1` 

`sin^2 alpha = 25/169` 

`sin alpha = 5/13` 

 

`tg \ alpha = sin alpha/cos alpha = (5/13)/(12/13) = 5/13*13/12 = 5/12`

Dawne prawo chińskie określało minimalny wiek ...

`x-"wiek mężczyzny"` 

`y-"wiek kobiety"` 

 

`{(x+y>52),(x>=22),(y>=20):}` 

`{(y> -x+52),(x>=22),(y>=20):}`  

`"Czerwona powierzchnia jest rozwiązaniem naszego układu nierówności."` 

W samochodzie dostawczym

Jeśli samochód został wypełniony w 55% ładowności, to można jeszcze załadować 100%-55%=45% samochodu. Obliczamy, ile wynosi 45% z 1200 kg:

`45%*1200\ kg=45/100*1200\ kg=9/strike20^1*strike1200^60\ kg=540\ kg`

 

 

Obliczamy, ile co worków o wadze 10,5 kg zmieści się do samochodu:

`540\ kg:10,5\ kg=540:10,5=5400:105=51,428...~~51`

W takim przypadku zawsze zaokrąglamy w dół, ponieważ chcemy wiedzieć, ile pełnych worków zmieści się do samochodu. 

Podaj współrzędne wierzchołka paraboli...

PRZYPOMNIENIE:

Postać kanoniczna `y=a(x-p)^2+q` 

Współrzędne wierzchołka paraboli:

`W=(p,q)=(-b/(2a), (-Delta)/(4a))` 

Punkty przecięcia z osią OX to miejsca zerowe funkcji.


a) `y=x^2-0,01` 

`a=1, \ \ b=0, \ \ c=-0,01` 

`Delta=0^2-4*1*(-0,01)=0,04` 

`sqrt(Delta)=0,2` 

`x_1=(-b-sqrt(Delta))/(2a)=(-0-0,2)/(2*1)=(-0,2)/2=-0,1` 

`x_2=(-b+sqrt(Delta))/(2a)=(-0+0,2)/(2*1)=0,2/2=0,1` 

`p=(-0)/2*1=0` 

`q=(-0,04)/(4*1)=0,04/4=4/400=1/100` 

`W=(0, 1/100)` 


b) `y=4x^2+5` 

`a=4, \ \ b=0, \ \ c=5` 

`Delta=0^2-4*4*5=-80 < 0` 

Brak miejsc zerowych.

`p=(-0)/(2*4)=0` 

`q=(-(-80))/(4*4)=80/16=5` 

`W=(0, 5)` 


c) `y=(x-1/4)^2` 

`W=(1/4, 0)` 

Obliczmy miejsce zerowe.

`(x-1/4)^2=0` 

`x-1/4=0 \ \ \ |+1/4` 

`x=1/4` 


d) `y=(x+3)^2-4` 

`W=(-3, -4)` 

Obliczmy miejsce zerowe.

`(x+3)^2-4=0 \ \ \ |+4` 

`(x+3)^2=4` 

`(x+3)^2=2^2` 

`|x+3|=2` 

`x+3=2 \ \ \ \ \ "lub" \ \ \ \ \ x+3=-2` 

`x=-1 \ \ \ \ \ "lub" \ \ \ \ \ x=-5` 


e) `y=-2/3(x-1)^2+2` 

`W=(1, 2)` 

Obliczmy miejsce zerowe.

`-2/3(x-1)^2+2=0 \ \ \ |-2` 

`-2/3(x-1)^2=-2 \ \ \ |:(-2/3)` 

`(x-1)^2=-2:(-2/3)` 

`(x-1)^2=-2*(-3/2)` 

`(x-1)^2=3`  

`x^2-2x+1=3 \ \ \ |-3` 

`x^2-2x-2=0` 

`a=1, \ \ b=-2, \ \ c=-2` 

`Delta=(-2)^2-4*1*(-2)` 

`Delta=4+8` 

`Delta=12` 

`sqrt(Delta)=sqrt12=sqrt(4*3)=2sqrt3` 

`x_1=(-b-sqrt(Delta))/(2a)=(-(-2)-2sqrt3)/(2*1)=(2-2sqrt3)/2=1-sqrt3` 

`x_2=(-b+sqrt(Delta))/(2a)=(-(-2)+2sqrt3)/(2*1)=(2+2sqrt3)/2=1+sqrt3` 


f) `y=x^2+8x+21` 

`a=1, \ \ b=8, \ \ c=21` 

`Delta=8^2-4*1*21` 

`Delta=64-84` 

`Delta=-20 < 0` 

brak miejsc zerowych.

`p=(-8)/(2*1)=(-8)/2=-4` 

`q=(-Delta)/(4a)=(-(-20))/(4*1)=20/4=5` 

`W=(-4, 5)` 

Oblicz: a) √16+9, √4+9+36

a)

`sqrt(16+9)=sqrt25=5`

`sqrt(4+9+36)=sqrt49=7`

`sqrt(6-sqrt4)=sqrt(6-2)=sqrt4=2`

b)

`root(3)(sqrt64)=root(3)8=2`

`5sqrt(9-4root(3)(-8))=5sqrt(9-4*(-2))=5sqrt(9+8)=5sqrt17`

`sqrt64+root(3)64=8+4=12`

 c)

`sqrt(11 9/17)*sqrt(17/64)=sqrt(196/17)*sqrt(17/64)=sqrt(196/(strike17)*(strike17)/64)=sqrt(196/64)=14/8`

`root(3)(8 1/3):root(3)(1 4/5)= root(3)(25/3:9/5)=root(3)(25/3*5/9)=root(3)(125/27)=5/3`

`sqrt(25/64):root(3)(-125/64)=5/8: -5/4=5/(strike8)*-(strike4)/5=-1/2`

 

Wykaż, że istnieje tylko jeden trójkąt prostokątny ...

`a)`

Kolejne liczby naturalne: n, n+1, n+2

Przeciwprostokątna to najdłuższy bok trójkąta prostokątnego, ma więc długość n+2. 

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa możemy zapisać: 

`n^2+(n+1)^2=(n+2)^2`

`n^2+n^2+2n+1=n^2+4n+4`

`2n^2+2n+1=n^2+4n+4\ \ \ |-n^2-4n-4`

`n^2-2n-3=0`

 

`Delta=(-2)^2-4*1*(-3)=4+12=16`

`sqrtDelta=sqrt16=4`

`n_1=(2-4)/2notin NN`

`n_2=(2+4)/2=6/2=3`

 

`n=3,\ \ n+1=4,\ \ n+2=5`

 

Równanie kwadratowe miało tylko jeden pierwiastek naturalny, co oznacza, że jedynym trójkątem o bokach, których długości są kolejnymi liczbami naturalnymi, jest trójkąt o bokach 3, 4, 5. 

 

`b)`

Kolejne naturalne liczby parzyste: 2n, 2n+2, 2n+4

Przeciwprostokątna to najdłuższy bok trójkąta prostokątnego, ma więc długość 2n+4. 

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa zapisujemy: 

`(2n)^2+(2n+2)^2=(2n+4)^2`

`4n^2+4n^2+8n+4=4n^2+16n+16`

`8n^2+8n+4=4n^2+16n+16\ \ \ \ |-4n^2-16n-16`

`4n^2-8n-12=0\ \ \ |:4`

`n^2-2n-3=0`

Dostaliśmy takie samo równanie, jak w a, jego jedynym naturalnym rozwiązaniem jest n=3.

`2n=2*3=6,\ \ 2n+2=8,\ \ 2n+4=10`

 

Równanie kwadratowe miało tylko jeden pierwiastek naturalny, co oznacza, że jedynym trójkątem o bokach, których długości są kolejnymi parzystymi liczbami naturalnymi, jest trójkąt o bokach 6, 8, 10.

Wyznacz wszystkie pary liczb naturalnych...

Skoro 5 musi być wspólnym dzielnikiem obu liczb to znaczy, że obie muszą być podzielne przez 5.

`50 - (5+5) = 50 - 10 = 40` 

 

A więc wszystkie możliwości liczb, których suma wynosi 50 a ich wspólny dzielnik wynosi 5 to:

`50 = 5+45` 

`50 = 10+40` 

`50 = 15+35` 

`50 = 20 + 30` 

`50 = 25 + 25` 

Wyznaczmy teraz tylko te pary liczb, których największym wspólnym dzielnikiem jest 5. Te pary to:

`(4, 45) \ , \ (15,35)`  

Oblicz

`a)\ 2 2/3-5 1/4+0,75=2 8/12-5 3/12+3/4=-(5 3/12-2 8/12)+3/4=`

`\ \ \ =-(4 15/12-2 8/12)+3/4=-2 7/12+9/12=-(2 7/12-9/12)=`

`\ \ \ =-(1 19/12-9/12)=-1 10/12=-1 5/6`

 

`b)\ 1 7/12+1 5/6-1/2:2/3=1 7/12+1 10/12-1/2*3/2=1 7/12+1 10/12-3/4=`

`\ \ \ =2 17/12-3/4=2 17/12-9/12=2 8/12=2 2/3`

 

`c)\ -3,625-7 3/4+3 1/2:(-1 1/3)=-3 5/8-7 3/4+7/2:(-4/3)=`

`\ \ \ =-3 5/8-7 6/8+7/2*(-3/4)=-3 5/8-7 6/8-21/8=`

`\ \ \ =-10 11/8-2 5/8=-12 16/8=-14`

     

Na rysunku obok dany jest...

a) Odbijamy symetrycznie wykres funkcji f względem osi y a następnie przesuwamy go o 3 jednostki w prawo.

 

b) Odbijamy symetrycznie wykres funkcji f względem osi x a następnie przesuwamy go o 2 jednostki w lewo i 1 jednostkę ku górze.

 

c) Ta część wykresu która znajduje się po lewej stronie osi y zastępowana jest odbiciem symetrycznym prawej części wykresu względem osi y. Następnie powstały wykres odbijamy symetrycznie względem osi x.

 

 

d) Wykres odbijamy symetrycznie względem osi y a następnie wszystko co znajduje się poniżej osi x odbijamy symetrycznie względem osi x.

Oblicz sinus kąta...

Wprowadźmy punkty A i B do układu współrzędnych i stwórzmy trójkąt tak jak na poniższym rysunku:

Z twierdzenia Pitagorasa:

`5^2 + 6^2 = r^2` 

`r^2 = 25 + 36`  

`r^2 = 61` 

`r = sqrt61` 

 

`sin alpha = y/r = 6/sqrt61 approx 0,7682 approx 0,8`