Zgoda na przetwarzanie danych osobowych

25 maja 2018 roku zacznie obowiązywać Rozporządzenie Parlamentu Europejskiego i Rady (UE) 2016/679 z dnia 27 kwietnia 2016 r. znane jako RODO.

Dlatego aby dalej móc dostarczać Ci materiały odpowiednie do Twojego etapu edukacji, potrzebujemy zgody na lepsze dopasowanie treści do Twojego zachowania. Dzięki temu możemy zapamiętywać jakie materiały są Ci potrzebne. Dbamy o Twoją prywatność, więc nie zwiększamy zakresu naszych uprawnień. Twoje dane są u nas bezpieczne, a zgodę na ich zbieranie możesz wycofać na podstronie polityka prywatności.

Klikając "Przejdź do Odrabiamy", zgadzasz się na wskazane powyżej działania. W przeciwnym wypadku, nie jesteśmy w stanie zrealizować usługi kompleksowo i prosimy o opuszczenie strony.

Polityka prywatności

Drogi Użytkowniku w każdej chwili masz prawo cofnąć zgodę na przetwarzanie Twoich danych osobowych. Cofnięcie zgody nie będzie wpływać na zgodność z prawem przetwarzania, którego dokonano na podstawie wyrażonej przez Ciebie zgody przed jej wycofaniem. Po cofnięciu zgody wszystkie twoje dane zostaną usunięte z serwisu. Udzielenie zgody możesz modyfikować w zakładce 'Informacja o danych osobowych'

Wyznaczanie środka odcinka - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Wyznaczanie środka odcinka

W tym temacie dowiecie się w jaki sposób znaleźć bez rysowania środek odcinka znajdującego się w układzie współrzędnych.

Aby znaleźć taki punkt oczywiście jest nam potrzebny wzór:
S $$({x_1+x_2}/2;{y_1+y_2}/2)$$

Odcienk ma dwa końce A($$x_1$$,$$y_1$$) i B($$x_2$$,$$y_2$$). Punkt S jest połową odcinka. Rysując odcinek i zaznaczając na nim punkt środkowy możemy zauważyć, że zarówno na osi X jak i na osi Y jest taka sama odległość od końców odcinka. Dlatego we wzorze dzielimy sumę wartości osi x i y na dwa.

Przykład:

Znajdź współrzędne środka S odcinka AB, jeśli A(0,3) , B(1,5).
Zatem musimy zrobić to według następującego schematu:
S $$({x_1+x_2}/2;{y_1+y_2}/2)$$

Pamiętamy, że nasze x i y to po prostu podane punkty, więc wszystko jest jak na dłoni. Podstawiamy:
S $$({0+1}/2;{3+5}/2)$$

I ostatecznie:
S $$(1/2;4)$$


W celu wyznaczenia jednego z końców odcinka (B), mając jego środek (S) i drugi koniec (A), wystarczy dołożyć do połowy odcinka (AS) drugą połowę (czyli też AS). W tym celu wystarczy przesunąć środek S o tyle samo, o ile jest odsunięty od punktu A. Przykładowo:

A(1,1) --- S(2,3) --- B(x,y)

Więc B(2+(2-1);3+(3-1))
Zatem B (3;5)

Zapis formalny:
$$B(x,y)$$ -> szukany punkt
$$S(x_1,y_1)$$ -> środek odcinka
$$A(x_2,y_2)$$ -> drugi punkt odcinka

$$x=x_1+x_1-x2$$
$$y=y_1+y_1-y_2$$

 

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Znajdź współrzędne środka odcinka AB, gdzie A(-2;-1), B(-6;5).

Mamy tutaj wszystko na talerzu, zatem bierzemy nasz wzór:
S $$({x_1+x_2}/2;{y_1+y_2}/2)$$

oraz nasze punkty:
A(-2;-1)
B(-6;5)

Podmieniamy nasze zmienne na liczby:
S $$({-2-6}/2;{-1+5}/2)$$
S $$({-8}/2;4/2)$$
S $$(-4;2)$$

Zatem nasz punkt to: S $$(-4;2)$$

Zadanie 2.

Znajdź koniec B odcinka AB, jeżeli A(1;4), a S(2;7), gdzie S jest środkiem odcinka.

B(x,y) -> szukany punkt
S$$(x_1,y_1)$$ -> S(2;7), czyli $$x_1=2$$, a $$y_1=7$$
A$$(x_2,y_2)$$ -> A(1;4), czyli $$x_2=1$$, a $$y_2=4$$

$$x=x_1+x_1-x_2$$
$$y=y_1+y_1-y_2$$
$$x=2+2-1=3$$
$$y=7+7-4=14-4=10$$

Zatem punkt B(3;10).

Spis treści

Rozwiązane zadania
Rozwiąż układ nierówności

`a)` 

`{(sqrt(x^2)>4), (|x+2|<5):}` 

`{(|x|>4), (|x+2|<5):}` 

Pierwsza nierówność opisuje zbiór liczb, które są oddalone od 0 o więcej niż 4 jednostki. 

Druga nierówność opisuje zbiór liczb, które są oddalone od -2 o mniej niż 5 jednostek. Możemy więc "iść" mniej niż 5 jednostek w lewo od -2 (-2-5=-7) i mniej niż 5 jednostek w prawo od -2 (-2+5=3). 

`{(x in (-infty;\ -4)uu(4;\ +infty)), (x in (-7;\ 3)):}` 

`ul(ul(x in (-7;\ -4)))` 

 

 

`b)` 

`{(sqrt(x^2)<=5), (sqrt(x^2)>3):}`  

`{(|x|<=5), (|x|>3):}` 

Pierwsza nierówność opisuje zbiór liczb, które są oddalone od 0 o nie więcej niż 5 jednostek. 

Pierwsza nierówność opisuje zbiór liczb, które są oddalone od 0 o więcej niż 3 jednostki. 

`{(x in <<-5;\ 5>>), (x in (-infty;\ -3)uu(3;\ +infty)):}` 

`ul(ul(x in <<-5;\ -3)uu(3;\ 5>>))` 

 

 

`c)` 

`{(sqrt(4x^2-4x+1)<7), (|x-2|>=1):}` 

`{(sqrt4*sqrt(x^2-x+1/4)<7), (|x-2|>=1):}` 

`{(2sqrt((x-1/2)^2)<7\ \ \ |:2), (|x-2|>=1):}` 

`{(sqrt((x-1/2)^2)<7/2), (|x-2|>=1):}`  

`{(|x-1/2|<3 1/2), (|x-2|>=1):}`  

Pierwsza nierówność opisuje zbiór liczb, które są oddalone od liczby ½ o mniej niż 3½ jednostki. Możemy więc "iść" mniej niż 3½ jednostki w lewo od ½ (1/2-3½=-3) i mniej niż 3½ jednostki w prawo od ½ (½+3½=4). 

Druga nierówność opisuje zbiór liczb, które są oddalone od liczby 2 o nie mniej niż 1 jednostkę. Możemy więc "iść" nie mniej niż 1 jednostkę w lewo od liczby 2 (2-1=1) lub nie mniej niż 1 jednostkę w prawo od liczby 2 (2+1=3).

`{(x in (-3;\ 4)), (x in (-infty;\ 1>>uu<<3;\ +infty)):}`  

`ul(ul(x in (3;\ 1>>uu<<3;\ 4)))`  

 

 

`d)` 

`{(sqrt(x^2+10x+25)<3), (|x-2|<10):}` 

`{(sqrt((x+5)^2)<3), (|x-2|<10):}` 

`{(|x+5|<3), (|x-2|<10):}` 

Pierwsza nierówność opisuje zbiór liczb, które są oddalone od liczby -5 o mniej niż 3 jednostki. Możemy więc "iść" mniej niż 3 jednostki w lewo od -5 (-5-3=-8) i mniej niż 3 jednostki w prawo od -5 (-5+3=-2).

Druga nierówność opisuje zbiór liczb, które są oddalone od liczby 2 o mniej niż 10 jednostek. Możemy więc "iść" mniej niż 10 jednostek w lewo od 2 (2-10=-8) i mniej niż 10 jednostek w prawo od 2 (2+10=12).

`{(x in (-8;\ -2)), (x in (-8;\ 12)):}` 

`ul(ul(x in (-8;\ -2)))` 

   

   

 

Wskaż dziedzinę D...

`D=[-3, 5)` 

`Z_w = (-2, 2]` 

Odpowiedź D

Dla jakich wartości parametru m

Rozwiązaniem ma być liczba -2, więc możemy podstawić x=-2. 

`(m+3)*(-2)-5=3m` 

`-2m-6-5=3m` 

`-2m-11=3m\ \ \ |-3m` 

`-5m-11=0\ \ \ |+11` 

`-5m=11\ \ \ |:(-5)` 

`m=-11/5` 

 

Zaznacz na osi liczbowej i zapisz za pomocą

Podaj liczbę punktów wspólnych okręgu opisanego...

Równanie okręgu o środku w punkcie S=(1,3) i promieniu r:

`(x-1)^2 + (y-3)^2 = r^2` 

 

`a) \ x^2 + y^2 + 4x + 2y + 1 =0` 

`x^2+4x + y^2 + 2y + 1 =0` 

`x^2+4x + 4 - 4 + y^2 + 2y + 1 =0` 

`(x+2)^2 -4+ (y+1)^2=0` 

`(x+2)^2 + (y+1)^2 = 4` 

`O = (-2, -1) \ , \ r_0 = 2` 

 

Odległość środków:

`|SO| = sqrt((x_O - x_S)^2+(y_O - y_S)^2) = sqrt((-2-1)^2+(-1-3)^2) = sqrt((-3)^2 +(-4)^2) = sqrt(9+16) = sqrt25 = 5` 

 

  • 0 punktów wspólnych

Okręgi rozłączne zewnętrznie dla:

`|SO| > r + r_0` 

`5 > r+2` 

`3 > r>0` 

`r in (0, 3)` 

Okręgi rozłączne wewnętrznie dla:

`|SO| < |r - r_0|` 

`5 < |r - 2|` 

`5< r-2 \ \ vv \ \ -5 > r-2` 

`7< r \ \ vv \ \ -3 > r` 

`r in (7, oo)` 

Suma obu przypadków:

`r in (0, 3) \cup (7, oo)` 

 

  • 1 punkt wspólny:

`r in {3,7}` 

 

  • 2 punkty wspólne:

`r in (3, 7)` 

 

`b) \ x^2+y^2-8x+6y=0` 

`x^2-8x+y^2+6y=0` 

`x^2-8x + 16 -16 + y^2 + 6y + 9 - 9 =0` 

`(x-4)^2 -16 + (y+3)^2 -9 =0` 

`(x-4)^2 +(y+3)^2 = 25` 

`O = (4, -3) \ , \ r_0 = 5` 

 

Odległość środków:

`|SO| = sqrt((x_O - x_S)^2+(y_O - y_S)^2) = sqrt((4-1)^2+(-3-3)^2) = sqrt(3^2 +(-6)^2) = sqrt(9+36) = sqrt45 = 3sqrt5` 

 

 

  • 0 punktów wspólnych

Okręgi rozłączne zewnętrznie dla:

`|SO| > r + r_0` 

`3sqrt5 > r+5` 

`3sqrt5 -5> r` 

`r in (0, 3sqrt5-5)` 

Okręgi rozłączne wewnętrznie dla:

`|SO| < |r - r_0|` 

`3sqrt5 < |r - 5|` 

`3sqrt5< r-5 \ \ vv \ \ -3sqrt5>r-5` 

`3sqrt5+5< r \ \ vv \ \ -3sqrt5+5 > r` 

`r in (3sqrt5+5, oo)` 

Suma obu przypadków:

`r in (0, 3sqrt5-5) \cup (3sqrt5+5, oo)` 

 

  • 1 punkt wspólny:

`r in {3sqrt5-5,3sqrt5+5}` 

 

  • 2 punkty wspólne:

`r in (3sqrt5-5,3sqrt5+5)` 

Naszkicuj wykres funkcji f spełniającej następujące warunki

W każdym podpunkcie podajemy po dwa przykłady funkcji. 

 

`a)`

 

 

`b)`

 

 

`c)`

 

 

`d)`

Na rysunku przedstawiono parabolę, która jest ...

Przypomnijmy wzór funkcji kwadratowej w postaci iloczynowej:

`y=a(x-x_1)(x-x_2)` 

gdzie x1, x2 - miejsca zerowe funkcji.

 

a) Z rysunku odczytujemy miejsca zerowe funkcji:

`x_1=-2\ \ \ \ x_2=0` 

Zapisujemy wzór funkcji w postaci iloczynowej:

`y=a(x-0)(x-(-2))=ax(x+2)` 

Aby wyznaczyć wartość współczynnika a odczytujemy z rysunku punkt należący do wykresu funkcji

i podstawiamy jego współrzedne do wyznaczonego wzoru.

Bez problemu z rysunku odczytujemy współrzędne dowolnego punktu:

`(1,3)` 

Podstawiamy współrzędne do wzoru:

`3=a*1*(1+2)` 

`3=3a\ \ \ \ \ \ |:3` 

`a=1` 

Ostatecznie otrzymujemy wzór funkcji w postaci iloczynowej:

`y=x(x+2)` 

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))` 

b) Z rysunku odczytujemy miejsca zerowe funkcji:

`x_1=-3\ \ \ \ x_2=5`  

Zapisujemy wzór funkcji w postaci iloczynowej:

`y=a(x-5)(x-(-3))=a(x-5)(x+3)` 

 

Z rysunku odczytujemy współrzędne dowolnego punktu:

`(1,4)`  

Podstawiamy współrzędne do wyznaczonego wzoru:

`4=a(1-5)(1+3)` 

`4=a*4*4`   

`4=16a\ \ \ \ \ \ |:16`  

`a=1/4`  

Ostatecznie otrzymujemy wzór funkcji w postaci iloczynowej:

`y=1/4(x-5)(x+3)` 

Korzystając z geometrycznej interpretacji

`a)` 

Na osi liczbowej odległość liczby x od zera jest większa lub równa niż odległość liczby x od 2. 

Odległość ta będzie równa, gdy x będzie znajdował się dokładnie w połowie między liczbami 0 i 2, czyli gdy będzie równy 1. 

Ta odległość ma być większa lub równa, więc zaznaczamy liczby większe lub równe 1. 

 

 

`b)` 

Na osi liczbowej odległość liczby x od zera jest mniejsza lub równa niż odległość liczby x od 6. 

Odległość ta będzie równa, gdy x będzie znajdował się dokładnie w połowie między liczbami 0 i 6, czyli gdy będzie równy 3. 

 

Ta odległość ma być mniejsza lub równa, więc zaznaczamy liczby mniejsze lub równe 3. 

 

 

`c)` 

Na osi liczbowej odległość liczby x od liczby 2 jest większa niż odległość liczby x od -2. 

Odległość ta będzie równa, gdy x będzie znajdował się dokładnie w połowie między liczbami 2 i -2, czyli gdy będzie równy 0. 

 

Ta odległość ma być większa, więc zaznaczamy liczby większe od 0.

Rozwiąż równanie, korzystając ze wzoru ...

`a)` 

`4x^2-4x+1=0` 

`(2x-1)^2=0` 

`(2x-1)(2x-1)=0` 

`2x-1=0` 

`ul(x=1/2)` 

 

`b)` 

`x^2-14x+49` 

`(x-7)^2=0` 

`(x-7)(x-7)=0`  

`x-7=0` 

`ul(x=7)` 

 

`c)` 

`9x^2-6x+1=0` 

`(3x-1)^2=0` 

`(3x-1)(3x-1)=0` 

`3x-1=0` 

`ul(x=1/3)`        

Czy prosta przechodząca przez punkty

Proste są równoległe, jeśli mają jednakowe współczynniki kierunkowe. Wyznaczamy współczynnik kierunkowy prostej przechodzącej przez punkty P i Q:

`a=(-1-8)/(-2-4)=(-9)/(-6)=3/2`

 

`a)\ a=(0-6)/(-4-0)=(-6)/(-4)=3/2`

Prosta przechodząca przez punkty P i Q jest równoległa do prostej przechodzącej przez punkty R i S.

 

 

`b)\ a=(7-4)/(1-(-2))=3/(1+2)=3/3=1ne3/2`

Prosta przechodząca przez punkty P i Q nie jest równoległa do prostej przechodzącej przez punkty R i S.

 

 

`c)\ a=(2-(-5/2))/(8-5)=(2+5/2)/3=(4/2+5/2):3=9/2:3=3/2`

Prosta przechodząca przez punkty P i Q jest równoległa do prostej przechodzącej przez punkty R i S.