Wyznaczanie środka odcinka - matura-podstawowa - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Wyznaczanie środka odcinka - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Wyznaczanie środka odcinka

W tym temacie dowiecie się w jaki sposób znaleźć bez rysowania środek odcinka znajdującego się w układzie współrzędnych.

Aby znaleźć taki punkt oczywiście jest nam potrzebny wzór:
S $({x_1+x_2}/2;{y_1+y_2}/2)$

Odcienk ma dwa końce A($x_1$,$y_1$) i B($x_2$,$y_2$). Punkt S jest połową odcinka. Rysując odcinek i zaznaczając na nim punkt środkowy możemy zauważyć, że zarówno na osi X jak i na osi Y jest taka sama odległość od końców odcinka. Dlatego we wzorze dzielimy sumę wartości osi x i y na dwa.

Przykład:

Znajdź współrzędne środka S odcinka AB, jeśli A(0,3) , B(1,5).
Zatem musimy zrobić to według następującego schematu:
S $({x_1+x_2}/2;{y_1+y_2}/2)$

Pamiętamy, że nasze x i y to po prostu podane punkty, więc wszystko jest jak na dłoni. Podstawiamy:
S $({0+1}/2;{3+5}/2)$

I ostatecznie:
S $(1/2;4)$


W celu wyznaczenia jednego z końców odcinka (B), mając jego środek (S) i drugi koniec (A), wystarczy dołożyć do połowy odcinka (AS) drugą połowę (czyli też AS). W tym celu wystarczy przesunąć środek S o tyle samo, o ile jest odsunięty od punktu A. Przykładowo:

A(1,1) --- S(2,3) --- B(x,y)

Więc B(2+(2-1);3+(3-1))
Zatem B (3;5)

Zapis formalny:
$B(x,y)$ -> szukany punkt
$S(x_1,y_1)$ -> środek odcinka
$A(x_2,y_2)$ -> drugi punkt odcinka

$x=x_1+x_1-x2$
$y=y_1+y_1-y_2$

 

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Znajdź współrzędne środka odcinka AB, gdzie A(-2;-1), B(-6;5).

Mamy tutaj wszystko na talerzu, zatem bierzemy nasz wzór:
S $({x_1+x_2}/2;{y_1+y_2}/2)$

oraz nasze punkty:
A(-2;-1)
B(-6;5)

Podmieniamy nasze zmienne na liczby:
S $({-2-6}/2;{-1+5}/2)$
S $({-8}/2;4/2)$
S $(-4;2)$

Zatem nasz punkt to: S $(-4;2)$

Zadanie 2.

Znajdź koniec B odcinka AB, jeżeli A(1;4), a S(2;7), gdzie S jest środkiem odcinka.

B(x,y) -> szukany punkt
S$(x_1,y_1)$ -> S(2;7), czyli $x_1=2$, a $y_1=7$
A$(x_2,y_2)$ -> A(1;4), czyli $x_2=1$, a $y_2=4$

$x=x_1+x_1-x_2$
$y=y_1+y_1-y_2$
$x=2+2-1=3$
$y=7+7-4=14-4=10$

Zatem punkt B(3;10).

Spis treści

Rozwiązane zadania
Naszkicuj wykres funkcji ...

Szkicujemy wykres funkcji .

{premium}

 

Wykres funkcji  powstał przez przesunięcie wykresu funkcji  o 1 jednostkę w dół wzdłuż osi .

 


Szkicujemy wykres funkcji .


 

Wykres funkcji  powstał przez przesunięcie wykresu funkcji  o 1 jednostkę w prawo wzdłuż osi  i o 2 jednostki w górę wzdłuż osi .

 

Szkicujemy wykres funkcji .


 

Wykres funkcji  powstał przez odbicie symetryczne wykresu funkcji  względem osi  i przesunięcie otrzymanego wykresu o 3 jednostki w górę wzdłuż osi .

 

Szkicujemy wykres funkcji .

Na wykresach przedstawiono dane...

Wprowadźmy oznaczenie:

 -liczba uczniów szkół ponadpodstawowych w roku szkolnym 1999/2000

 

a) Obliczmy, ilu chłopców uczęszczało w roku szkolnym 1999/2000 do LO:  {premium}

 

Obliczmy, ilu chłopców uczęszczało w roku szkolnym 1999/2000 do ZSZ:

 

 

 

Odp.: Więcej chłopców uczęszczało w tym roku szkolnym do ZSZ.


b) Obliczmy, ile dziewcząt uczęszczało w roku szkolnym 1999/2000 do szkół ponadpodstawowych:

 

 

 

Obliczmy, ilu chłopców uczęszczało w roku szkolnym 1999/2000 do szkół ponadpodstawowych:

 

 

Odp.: W roku szkolnym 1999/2000 do szkół ponadpodstawowych uczęszczało więcej chłopców.


c) Obliczy, o ile procent liczba uczniów techników i liceów zawodowych była większa od liczby uczniów liceów ogólnokształcących:

 

 

 

Odp.: Liczba uczniów techników i liceów zawodowych była większa o ok. 11,5% od liczby uczniów liceów ogólnokształcących.    

Wyznacz współrzędne punktów A', B', C', D', E' ...

Przesuwając punkt o 3 jednostki w prawo zwiększamy jego pierwszą współrzędną o 3:

{premium}

 

 

Przesuwając punkt o 4 jednostki w lewo zmniejszamy jego pierwszą współrzędną o 4: 

 

 

Przesuwając punkt o  jednostki w lewo zmniejszamy jego pierwszą współrzędną o  :

Naszkicuj wykres funkcji

 

 

 

Zauważmy, że po skróceniu funkcja f jest stale równa 1:

 

 

Musimy więc narysować funkcję stale równą 1 w określonej przez nas dziedzinie:{premium}

 

 

 

 

 

 

Korzystając z definicji wartości bezwzględnej możemy zapisać:

W powyższych przedziałach nie uwzględniamy 0, ponieważ nie należy ono do dziedziny. 

 

Rysujemy wykres:

Pan Antoni zainwestował na giełdzie ...

Kwotę, jaką pan Antoni zainwestował na giełdzie oznaczmy przez .


Po roku stan rachunku pana Antoniego zwiększył się o 5%. Wynosił więc:

  {premium}

W drugim roku stan rachunku pana Antoniego zmniejszył się o 4,5%. Wynosił więc:

 

 

W trzecim roku stan rachunku pana Antoniego zwiększył się o 6%. Wynosił więc:

 

 


Po trzech latach stan rachunku pana Antoniego wyniósł 2125,83 zł. Możemy więc zapisać:

 

 

 


Pan Antoni zainwestował 2000 zł.

Połowa sumy ...

Przekształcamy podane wyrażenie. {premium}

 


Połowa jest równa:

 


Odpowiedź: B

Liczba...

Przypomnijmy, że

 {premium}


  

 

Odp. D. 

W stałej temperaturze ciśnienie gazu...

a) Oznaczmy szukane ciśnienie gazu jako x.

Ponieważ ciśnienie jest odwrotnie proporcjonalne do objętości, to zachodzi:

{premium}  

Wyznaczamy z równania x:

 

Odp. Ciśnienie będzie wynosiło        


b) Oznaczmy szukane ciśnienie gazu jako x.

Ponieważ ciśnienie jest odwrotnie proporcjonalne do objętości, to zachodzi:

 

Wyznaczamy z równania x:

 

Odp. Ciśnienie będzie wynosiło     


c) Oznaczmy szukane ciśnienie gazu jako x.

Ponieważ ciśnienie jest odwrotnie proporcjonalne do objętości, to zachodzi:

 

Wyznaczamy z równania x:

 

Odp. Ciśnienie będzie wynosiło     

Przedstawione na rysunku wielokąty są ...

Stosunek długości odpowiadających sobie odcinków w wielokątach podobnych nazywamy skalą podobieństwa (zwykle oznaczamy ją literą ). {premium}

Wyznaczamy skalę podobieństwa przedstawionych wielokątów.

 

Obliczamy długości odcinków .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Mając dany wykres funkcji y=h(x), narysuj...

 

 

Wykres funkcji  przesuwamy o trzy jednostki w prawo.

Otrzymujemy wykres funkcji  

Następnie wykres funkcji  przesuwamy o jedną jednostkę w górę.

Otrzymujemy wykres funkcji  

 

Wykres funkcji  przesuwamy o jedną jednostkę w lewo.

Otrzymujemy wykres funkcji  {premium}  

Następnie wykres funkcji  przesuwamy o cztery jednostki w dół.

Otrzymujemy wykres funkcji  

 

Wykres funkcji  przesuwamy o pięć jednostek w prawo.

Otrzymujemy wykres funkcji  

Następnie wykres funkcji  przesuwamy o dwie jednostki w dół.

Otrzymujemy wykres funkcji  

 

Wykres funkcji  przesuwamy o trzy jednostki w lewo.

Otrzymujemy wykres funkcji  

Następnie wykres funkcji  przesuwamy o cztery jednostki w górę.

Otrzymujemy wykres funkcji  

 

 

 

Wykres funkcji  przesuwamy o trzy jednostki w prawo.

Otrzymujemy wykres funkcji  

Następnie wykres funkcji  przesuwamy o jedną jednostkę w górę.

Otrzymujemy wykres funkcji  

 

 

Wykres funkcji  przesuwamy o jedną jednostkę w lewo.

Otrzymujemy wykres funkcji  

Następnie wykres funkcji  przesuwamy o cztery jednostki w dół.

Otrzymujemy wykres funkcji  

 

 

Wykres funkcji  przesuwamy o pięć jednostek w prawo.

Otrzymujemy wykres funkcji  

Następnie wykres funkcji  przesuwamy o dwie jednostki w dół.

Otrzymujemy wykres funkcji  

 

 

Wykres funkcji  przesuwamy o trzy jednostki w lewo.

Otrzymujemy wykres funkcji  

Następnie wykres funkcji  przesuwamy o cztery jednostki w górę.

Otrzymujemy wykres funkcji