Wyznaczanie środka odcinka - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Wyznaczanie środka odcinka

W tym temacie dowiecie się w jaki sposób znaleźć bez rysowania środek odcinka znajdującego się w układzie współrzędnych.

Aby znaleźć taki punkt oczywiście jest nam potrzebny wzór:
S $$({x_1+x_2}/2;{y_1+y_2}/2)$$

Odcienk ma dwa końce A($$x_1$$,$$y_1$$) i B($$x_2$$,$$y_2$$). Punkt S jest połową odcinka. Rysując odcinek i zaznaczając na nim punkt środkowy możemy zauważyć, że zarówno na osi X jak i na osi Y jest taka sama odległość od końców odcinka. Dlatego we wzorze dzielimy sumę wartości osi x i y na dwa.

Przykład:

Znajdź współrzędne środka S odcinka AB, jeśli A(0,3) , B(1,5).
Zatem musimy zrobić to według następującego schematu:
S $$({x_1+x_2}/2;{y_1+y_2}/2)$$

Pamiętamy, że nasze x i y to po prostu podane punkty, więc wszystko jest jak na dłoni. Podstawiamy:
S $$({0+1}/2;{3+5}/2)$$

I ostatecznie:
S $$(1/2;4)$$


W celu wyznaczenia jednego z końców odcinka (B), mając jego środek (S) i drugi koniec (A), wystarczy dołożyć do połowy odcinka (AS) drugą połowę (czyli też AS). W tym celu wystarczy przesunąć środek S o tyle samo, o ile jest odsunięty od punktu A. Przykładowo:

A(1,1) --- S(2,3) --- B(x,y)

Więc B(2+(2-1);3+(3-1))
Zatem B (3;5)

Zapis formalny:
$$B(x,y)$$ -> szukany punkt
$$S(x_1,y_1)$$ -> środek odcinka
$$A(x_2,y_2)$$ -> drugi punkt odcinka

$$x=x_1+x_1-x2$$
$$y=y_1+y_1-y_2$$

 

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Znajdź współrzędne środka odcinka AB, gdzie A(-2;-1), B(-6;5).

Mamy tutaj wszystko na talerzu, zatem bierzemy nasz wzór:
S $$({x_1+x_2}/2;{y_1+y_2}/2)$$

oraz nasze punkty:
A(-2;-1)
B(-6;5)

Podmieniamy nasze zmienne na liczby:
S $$({-2-6}/2;{-1+5}/2)$$
S $$({-8}/2;4/2)$$
S $$(-4;2)$$

Zatem nasz punkt to: S $$(-4;2)$$

Zadanie 2.

Znajdź koniec B odcinka AB, jeżeli A(1;4), a S(2;7), gdzie S jest środkiem odcinka.

B(x,y) -> szukany punkt
S$$(x_1,y_1)$$ -> S(2;7), czyli $$x_1=2$$, a $$y_1=7$$
A$$(x_2,y_2)$$ -> A(1;4), czyli $$x_2=1$$, a $$y_2=4$$

$$x=x_1+x_1-x_2$$
$$y=y_1+y_1-y_2$$
$$x=2+2-1=3$$
$$y=7+7-4=14-4=10$$

Zatem punkt B(3;10).

Spis treści

Rozwiązane zadania
Przepisz i uzupełnij równoważność, aby ona

a)

`x<4 \ "lub" \ x>4 \ \ \ <=> \ \ \ x!=4`

b)

`sqrt16=4 \ \ \ <=> \ \ \ 4^2=16`

c)

`x^2=1 \ \ \ <=> \ \ \ x=1 \ \ "lub"\ \ x=-1`

d)

`x*y!=0 \ \ \ <=> \ \ \ x!=0\ "i"\ y!=0`

e)

`x^2=9 \ \ \ <=> \ \ \ x=-3 \ "lub" \ \ x=3`

f)

`x!=-5 \ i \ x!=5 \ \ <=> \ \ x^2!=25`

g)

` root(3)(-27)=-3 \ \ <=> \ \ (-3)^3=-27`

 

 

Wyznacz najmniejszą i największą wartość funkcji...

Najmniejsza wartość funkcji |x| jest dla x=0 a im dalej liczba jest oddalona od 0 tym wartość będzie większa.

 

`a) \ y_("min") = 5 \ \ "Dla" \ x = 5` 

`y_("max") = 7 \ \ "Dla" \ x = 7` 

 

`b) \ y_("min") = 0 \ \ "Dla" \ x = 0` 

`y_("max") = 3 \ \ "Dla" \ x = 3` 

 

`c) \ y_("min") = |-4| = 4 \ \ \ "Dla" \ x = -4` 

`y_("max") = |-6| = 6 \ \ \ "Dla" \ x = -6` 

 

d) Nie ma największej wartości gdyż dziedzina jest przedziałem nieograniczonym z góry.

`y_("min") = 10 \ \ \ "Dla" \ x = 10`  

Stawka za godzinę pracy

Obliczamy, jak długo pracował robotnik:

`16\ h\ 10\ m i n-7\ h\ 40 \ m i n=15\ h\ 70\ mi n-7\ h\ 40\ mi n=8\ h\ 30\ m i n=8 30/60\ h=8 1/2\ h`

Wiemy, że za każdą godzinę pracy robotnik dostaje 8,40 zł, a kwota rozliczana jest co do minuty. Obliczamy, ile zarobił robotnik:

`8 1/2*8,40\ "zł"=8,5*8,40\ "zł"=71,40\ "zł"`

 

Dane są punkty ...

`A=(-6;2)` 

`B=(3;8)`  

`C=(7;-6)` 

`P=(x;y)` 

`vec(AB)=vec(CP)` 

 

`vec(AB)=[3+6;8-2]=[9;6]` 

`vec(CP)=[x-7;y+6]` 

`[9;6]=[x-7;y+6]` 

`x-7=9\ implies\ x=16` 

`y+6=6\ implies\ y=0` 

`P=(16;0)` 

 

`"Odpowiedź D."`  

Podana liczba jest równa

`(5root(3)1250+2root(3)640-3root(3)5120):root(3)10=5root(3)(1250:10)+2root(3)(640:10)-3root(3)(5120:10)=` 

`=5root(3)125+2root(3)64-3root(3)512=5*5+2*4-3*8=25+8-24=9\ \ \ \ \ \ odp.\ A` 

 

 

Do pewnej liczby dwucyfrowej dopisano raz z przodu...

Pewną liczbę dwucyfrową zapiszemy następująco `10a+b,` gdzie `a, b` są liczbami całkowitymi i `a!=0.` 

Ta liczba dwucyfrowa z dopisaną trójką z przodu będzie wyglądała następująco: `3ab,` czyli możemy zapisać ją jako:

`300+10a+b` 

Zaś liczba dwucyfrowa z dopisaną trójką z tyłu będzie wyglądała następująco: `ab3,`możemy zapisać ją jako:     

`100a+10b+3` 

Różnica między otrzymanymi liczbami wynosi `207,` czyli:

`300+10a+b-(100a+10b+3)=207`       lub        `100a+10b+3-(300+10a+b)=207`  

Przekształcamy równania:

`300+10a+b-100a-10b-3=207`         lub         `100a+10b+3-300-10a-b=207`  

`297-90a-9b=207`                                          lub          `90a+9b-297=207`   

`-90a-9b=-90\ "/":(-9)`                             lub          `90a+9b=504\ "/":9`  

`10a+b=10`                                                           lub           `10a+b=56`  

Odp. Szukaną liczbą dwucyfrową jest `10` lub `56.`           

Oblicz

`a)\ (3sqrt2)^3=3^3*sqrt2^3=27*2sqrt2=54sqrt2`

`b)\ (2sqrt3)^4=2^4*sqrt3^4=16*9=144`

`c)\ (2sqrt2)^5=2^5*sqrt2^5=32*4sqrt2=128sqrt2`

`d)\ (2sqrt5)^6=2^6*sqrt5^6=64*125=8000`

Podaj co najmniej trzy liczby niewymierne...

 

`a) \ sqrt2 < 1,00001sqrt2 < 1,0001sqrt2 < 1,001sqrt2 < sqrt3` 

 

`b) \ sqrt11 < sqrt(11,5) < sqrt12 < sqrt(12,5) < sqrt13` 

 

`c) \ sqrt191 < sqrt(191,1) < sqrt(191,2) < sqrt192 < sqrt193` 

Przekształć wyrażenie (x-y)², korzystając z

(x-y)^2=(x-y)(x-y)=x^2-xy-yx+y^2=x^2-2xy+y^2

Podaj trzy pary liczb

`a)`

Zauważmy, że drugie równanie powstało przez pomnożenie pierwszego równania razy 3. Jeśli jedno równanie jest wielokrotnością drugiego, to układ jest nieoznaczony. Każda para liczb spełniająca jedno równanie, spełnia także drugie równanie. Wyznaczmy więc trzy pary liczb spełniające pierwsze równanie.  Najpierw wyznaczymy y z pierwszego równania - pozwoli to łatwo znajdować pary liczb. 

`2x-y=3\ \ \ |-2x`

`-y=-2x+3\ \ \ |*(-1)`

`y=2x-3`

 

Wyznaczmy trzy pary liczb spełniające pierwsze równanie, a więc spełniające cały układ równań:

`x=0\ \ \ ->\ \ \ y=2*0-3=0-3=-3\ \ \ ->\ \ \ "para"\ (0;\ -3)`

`x=3\ \ \ ->\ \ \ y=2*3-3=6-3=3\ \ \ ->\ \ \ "para"\ (3;\ 3)`

`x=10\ \ \ ->\ \ \ y=2*10-3=20-3=17\ \ \ ->\ \ \ "para"\ (10;\ 17)`

 

 

 

`b)`

Zauważmy, że drugie równanie powstało przez pomnożenie pierwszego równania razy -2. Jeśli jedno równanie jest wielokrotnością drugiego, to układ jest nieoznaczony. Każda para liczb spełniająca jedno równanie, spełnia także drugie równanie. Wyznaczmy więc trzy pary liczb spełniające pierwsze równanie.  Najpierw wyznaczymy y z pierwszego równania - pozwoli to łatwo znajdować pary liczb. 

`2x-3y=4\ \ \ \ |-2x`

`-3y=-2x+4\ \ \ |:(-3)`

`y=2/3x-4/3`

 

Wyznaczmy trzy pary liczb spełniające pierwsze równanie, a więc spełniające cały układ równań:

`x=0\ \ \ ->\ \ \ y=2/3*0-4/3=0-4/3=-4/3\ \ \ ->\ \ \ "para"\ (0;\ -4/3)`

`x=2\ \ \ ->\ \ \ y=2/3*2-4/3=4/3-4/3=0\ \ \ ->\ \ \ "punkt"\ (2;\ 0)`

`x=-1\ \ \ ->\ \ \ y=2/3*(-1)-4/3=-2/3-4/3=-6/3=-2\ \ \ ->\ \ \ "punkt"\ (-1;\ -2)`

 

 

`c)`

Zauważmy, że pierwsze równanie powstało przez pomnożenie drugiego równania razy -6. Jeśli jedno równanie jest wielokrotnością drugiego, to układ jest nieoznaczony. Każda para liczb spełniająca jedno równanie, spełnia także drugie równanie. Wyznaczmy więc trzy pary liczb spełniające pierwsze równanie.  Najpierw wyznaczymy y z pierwszego równania - pozwoli to łatwo znajdować pary liczb. 

`-3x+4y=6\ \ \ |+3x`

`4y=3x+6\ \ \ |:4`

`y=3/4x+6/4`

`y=3/4x+3/2`

 

 

Wyznaczmy trzy pary liczb spełniające pierwsze równanie, a więc spełniające cały układ równań:

`x=0\ \ \ ->\ \ \ y=3/4*0+3/2=0+3/2=3/2\ \ \ ->\ \ \ "para"\ (0;\ 3/2)`

`x=2\ \ \ ->\ \ \ y=3/4*2+3/2=3/2+3/2=6/2=3\ \ \ ->\ \ \ "para"\ (2;\ 3)`

`x=-2\ \ \ ->\ \ \ y=3/4*(-2)+3/2=-3/2+3/2=0\ \ \ ->\ \ \ "para"\ (-2;\ 0)`