Zgoda na przetwarzanie danych osobowych

25 maja 2018 roku zacznie obowiązywać Rozporządzenie Parlamentu Europejskiego i Rady (UE) 2016/679 z dnia 27 kwietnia 2016 r. znane jako RODO.

Dlatego aby dalej móc dostarczać Ci materiały odpowiednie do Twojego etapu edukacji, potrzebujemy zgody na lepsze dopasowanie treści do Twojego zachowania. Dzięki temu możemy zapamiętywać jakie materiały są Ci potrzebne. Dbamy o Twoją prywatność, więc nie zwiększamy zakresu naszych uprawnień. Twoje dane są u nas bezpieczne, a zgodę na ich zbieranie możesz wycofać na podstronie polityka prywatności.

Klikając "Przejdź do Odrabiamy", zgadzasz się na wskazane powyżej działania. W przeciwnym wypadku, nie jesteśmy w stanie zrealizować usługi kompleksowo i prosimy o opuszczenie strony.

Polityka prywatności

Drogi Użytkowniku w każdej chwili masz prawo cofnąć zgodę na przetwarzanie Twoich danych osobowych. Cofnięcie zgody nie będzie wpływać na zgodność z prawem przetwarzania, którego dokonano na podstawie wyrażonej przez Ciebie zgody przed jej wycofaniem. Po cofnięciu zgody wszystkie twoje dane zostaną usunięte z serwisu. Udzielenie zgody możesz modyfikować w zakładce 'Informacja o danych osobowych'

Wyznaczanie środka odcinka - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Wyznaczanie środka odcinka

W tym temacie dowiecie się w jaki sposób znaleźć bez rysowania środek odcinka znajdującego się w układzie współrzędnych.

Aby znaleźć taki punkt oczywiście jest nam potrzebny wzór:
S $$({x_1+x_2}/2;{y_1+y_2}/2)$$

Odcienk ma dwa końce A($$x_1$$,$$y_1$$) i B($$x_2$$,$$y_2$$). Punkt S jest połową odcinka. Rysując odcinek i zaznaczając na nim punkt środkowy możemy zauważyć, że zarówno na osi X jak i na osi Y jest taka sama odległość od końców odcinka. Dlatego we wzorze dzielimy sumę wartości osi x i y na dwa.

Przykład:

Znajdź współrzędne środka S odcinka AB, jeśli A(0,3) , B(1,5).
Zatem musimy zrobić to według następującego schematu:
S $$({x_1+x_2}/2;{y_1+y_2}/2)$$

Pamiętamy, że nasze x i y to po prostu podane punkty, więc wszystko jest jak na dłoni. Podstawiamy:
S $$({0+1}/2;{3+5}/2)$$

I ostatecznie:
S $$(1/2;4)$$


W celu wyznaczenia jednego z końców odcinka (B), mając jego środek (S) i drugi koniec (A), wystarczy dołożyć do połowy odcinka (AS) drugą połowę (czyli też AS). W tym celu wystarczy przesunąć środek S o tyle samo, o ile jest odsunięty od punktu A. Przykładowo:

A(1,1) --- S(2,3) --- B(x,y)

Więc B(2+(2-1);3+(3-1))
Zatem B (3;5)

Zapis formalny:
$$B(x,y)$$ -> szukany punkt
$$S(x_1,y_1)$$ -> środek odcinka
$$A(x_2,y_2)$$ -> drugi punkt odcinka

$$x=x_1+x_1-x2$$
$$y=y_1+y_1-y_2$$

 

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Znajdź współrzędne środka odcinka AB, gdzie A(-2;-1), B(-6;5).

Mamy tutaj wszystko na talerzu, zatem bierzemy nasz wzór:
S $$({x_1+x_2}/2;{y_1+y_2}/2)$$

oraz nasze punkty:
A(-2;-1)
B(-6;5)

Podmieniamy nasze zmienne na liczby:
S $$({-2-6}/2;{-1+5}/2)$$
S $$({-8}/2;4/2)$$
S $$(-4;2)$$

Zatem nasz punkt to: S $$(-4;2)$$

Zadanie 2.

Znajdź koniec B odcinka AB, jeżeli A(1;4), a S(2;7), gdzie S jest środkiem odcinka.

B(x,y) -> szukany punkt
S$$(x_1,y_1)$$ -> S(2;7), czyli $$x_1=2$$, a $$y_1=7$$
A$$(x_2,y_2)$$ -> A(1;4), czyli $$x_2=1$$, a $$y_2=4$$

$$x=x_1+x_1-x_2$$
$$y=y_1+y_1-y_2$$
$$x=2+2-1=3$$
$$y=7+7-4=14-4=10$$

Zatem punkt B(3;10).

Spis treści

Rozwiązane zadania
Na podstawie wykresu funkcji określ:

Dziedzina to zbiór argumentów którym przyporządkowano wartość. Każdy argument z dziedziny ma wartość a ich zbiór nazywamy zbiorem wartości funkcji.

Miejsca zerowe to punkty w których wykres funkcji przecina oś OX czyli punkt w którym wartość funkcji w punkcie wynosi 0.

Punkt przecięcia z osią OY ma pierwszą współrzędną równą 0.

Wartości dodatnie to te, które znajdują się ponad osią OX, natomiast ujemne znajdują się poniżej jej.

Wyznaczając przedziały w którym funkcja rośnie patrzymy dla jakich argumentów z danego przedziału zachodzi warunek:

`x_1 < x_2 => f(x_1) < f(x_2)` 

Wyznaczając przedziały w których funkcja maleje patrzymy dla jakcih argumentów z danego przedziału zachodzi warunek:

`x_1 < x_2 => f(x_1) > f(x_2)` 

 

Przez wartość funkcji 

`f(D)` 

 

`a) \ D_f = [-6,6] \ , \ Z_w = [-6,3]` 

`M_z = {-6,-2,4}` 

`P=(0,-5)` 

`f(x) > 0 \ \ "Dla" \ x in (-6,-2) \cup (4,6) \ \ \ f(x) < 0 \ \ "Dla" \ x in (-2,4)` 

`"Rosnąca dla" \ x in [-6,-4] \ "i" \ [1,6] \ \ \ "malejąca dla" \ x in [-4,1]` 

`f(x) geq 2 \ \ "Dla" \ x in [-5,-3] \cup {6}` 

`y in [-3,0] \ \ "Dla" \ x in [-2,-1] \cup [3,4] \ \ \ \ \ y in [0,2] \ \ "Dla" \ x in [-6,-5] \cup [-3,-2] \cup [4,6]` 

 

 

`b) \ D_f = (-7,8] \ , \ Z_w = [-2,2]` 

`M_z = {-5,-2,2,4}` 

`P=(0,1)` 

`f(x) > 0 \ \ "Dla" \ x in (-7,-5) \cup (-2,2) \cup (4,8] \ \ \ f(x) < 0 \ \ "Dla" \ x in (-5,-2) \cup (2,4)` 

`"Rosnąca dla" \ x in [-3,0] \ "i" \ [3,8] \ \ \ "malejąca dla" \ x in (-7,-3] \cup [0,3]` 

`f(x) geq 2 \ \ "Dla" \ x in {8}` 

`y in [-3,0] \ \ "Dla" \ x in [-5,-2] \cup [2,4] \ \ \ \ \ y in [0,2] \ \ "Dla" \ x in (-7,-5] \cup [-2,2] \cup [4,8]` 

 

Wyznacz równanie okręgu opisanego na trójkącie...

Żeby wyznaczyć równanie okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym musimy:

- Wyznaczyć długość przekątnej (przekątna w trójkącie prostokątnym jest średnicą okręgu opisanego na tym trójkącie).

- Znając długość średnicy znamy długość promienia(stanowi on połowę średnicy okręgu).

- Wyliczyć współrzędne środka przekątnej trójkąta, jest to środek okręgu opisanego na tym trójkącie.

 

a) Obliczmy długości boków żeby wyznaczyć przekątną:

`|AC| = sqrt((x_C - x_A)^2+(y_C - y_A)^2) = sqrt((3-(-1))^2+(4-2)^2) = sqrt(4^2+2^2) = sqrt(16+4) = sqrt20 = 2sqrt5` 

`|AB| = sqrt((x_B - x_A)^2+(y_B - y_A)^2) = sqrt((6-(-1))^2+(-2-2)^2) = sqrt(7^2 + (-4)^2) = sqrt(49+16) = sqrt65` 

`|BC| = sqrt((x_C - x_B)^2+(y_C - y_B)^2) = sqrt((3-6)^2+(4-(-2))^2) = sqrt((-3)^2 + 6^2) = sqrt(9+36) = sqrt45` 

 

zatem:

`r = (|AB|)/2 = sqrt65/2`

`r^2 = 65/4` 

 

`S_("AB") = ((x_A+x_B)/2,(y_A+y_B)/2) = ((-1+6)/2,(2+(-2))/2) = (5/2,0)` 

 

Równanie okręgu:

`(x-5/2)^2 + y^2 = 65/4`

 

b) Obliczmy długości boków żeby wyznaczyć przekątną:

`|AC| = sqrt((x_C - x_A)^2+(y_C - y_A)^2) = sqrt((-3-2)^2+(-7-3)^2) = sqrt((-5)^2+(-10)^2) = sqrt(25+100) = sqrt125 = 5sqrt5` 

`|AB| = sqrt((x_B - x_A)^2+(y_B - y_A)^2) = sqrt(5-2)^2+(-1-3)^2) = sqrt(3^2 + (-4)^2) = sqrt(9+16) = sqrt25 = 5` 

`|BC| = sqrt((x_C - x_B)^2+(y_C - y_B)^2) = sqrt((-3-5)^2+(-7-(-1))^2) = sqrt((-8)^2 + (-6)^2) = sqrt(64+36) = sqrt100 = 10` 

 

zatem:

`r = (|AC|)/2 = (sqrt125)/2`

`r^2 = 125/4` 

 

`S_("AC") = ((x_A+x_B)/2,(y_A+y_B)/2) = ((2+(-3))/2,(3+(-7))/2) = (-1/2,-2)` 

 

Równanie okręgu:

`(x-(-1/2))^2 + (y-(-2))^2 = 125/4`

`(x+1/2)^2 + (y+2)^2 = 125/4` 

Na rysunku przedstawiono szkic ...

`y=x^2-6x+9` 

`a)` 

`x^2-6x+9>0` 

`x in RR\\{3}` 

 

`b)` 

`x^2-6x+9>=0` 

`x in RR` 

 

`c)` 

`x^2-6x+9<0` 

`x in emptyset` 

 

`d)` 

`x^2-6x+9<=0` 

`x in {3}` 

 

Oblicz

`a)\ root(3)8*root(3)64=2*4=8`

`b)\ root(5)(-2)*root(5)16=root(5)(-2*16)=root(5)(-32)=-2`

`c)\ root(4)(4)*root(4)(1/8)*root(4)(2)=root(4)(4*1/8*2)=root(4)1=1`

`d)\ (root(7)(-3))^14=((root(7)(-3))^7)^2=(-3)^2=9`

 

Wykonhaj działania. a) (3√2+2√5)(3√2-2√5)

a)

`(3sqrt2+2sqrt5)(3sqrt2-2sqrt5)=(3sqrt2)^2-(2sqrt5)^2=9*2-4*5=18-20=(-2)`

b)

`(3sqrt7-sqrt2)^2=(3sqrt7)^2-2*3sqrt7*sqrt2+(sqrt2)^2=9*7-6sqrt14+2=`

`=63+2-6sqrt14=65-6sqrt14`

c)

`(sqrt6+2sqrt3)^2=(sqrt6)^2+2*sqrt6*2sqrt3+(2sqrt3)^2=6+4sqrt18+4*3=`

`=6+4sqrt(2*9)+12=6+4*3sqrt2+12=18+12sqrt2=6(3+2sqrt2)`

d)

`(2root(3)3+3root(3)2)^2=` `(2root(3)3)^2+2*2root(3)3*3root(3)2+(3root(3)2)^2=4root(3)9+12root(3)6+9root(3)4`

 

Na okręgu odmierzono kolejno łuki ...

Jeżeli łuki na okręgu podzielone są w stosunku 1:7:10, to miary kątów środkowych wyznaczone przez te łuki także podzielone są w stosunku 1:7:10.

Kąty środkowe zostaną wyznaczone przez podzielenie kąta pełnego w stosunku 1:7:10. Oznaczmy więc miarę pierwszego kąta środkowego jako x, drugiego jako 7x, a trzeciego jako 10x. 

Możemy wówczas zapisać równanie:

`x+7x+10x=360^"o"`

`18x=360^"o"\ \ \ |:18`

`x=ul(ul(20^"o"))` 

 

Znamy miarę pierwszego kąta obliczmy miary pozostałych kątów:

`7x=7*20^"o"=ul(ul(140^"o"))`

`10x=10*20^"o"=ul(ul(200^"o"))` 

Odp: Miary kątów wyznaczone przez łuki AB, BC i CA wynoszą odpowiednio 20°, 140° i 200°.

W pewnym mieście działają trzy salony fryzjerskie

`ul(ul("rok 2006"))`

Wiemy, że salony odwiedziło łącznie 600 klientów, więc możemy obliczyć, ilu klientów miał każdy z podanych salonów. 

`"salon X:"\ \ \ 45%*600=45/100*600=9/strike20^1*strike600^30=270`

`"salon Y:"\ \ \ 35%*600=35/100*600=7/strike20^1*strike600^30=210`

`"salon Z:"\ \ \ 20%*600=0,2*600=120`

 

 

`ul(ul("rok 2007"))`

Wiemy, że łączna liczba klientów była o 20% wyższa niż w roku 2006. Obliczmy, jaka była łączna liczba klientów w roku 2007: 

`1,2*600=720`

 

Wiemy, że udział w rynku firmy Y wzrósł o 5 punktów procentowych, więc był równy 35%+5%=40%. Udział firmy Z pozostał bez zmian i nadal wynosił 20%. Udział firmy X musiał więc wynosić 100%-40%-20%=40%. Obliczamy, ile klientów odwiedziło poszczególne salony w 2007 roku: 

`"salon X:"\ \ \ 40%*720=0,4*720=288`

`"salon Y:"\ \ \ 40%*720=288`

`"salon Z:"\ \ \ 20%*720=0,2*720=144`

Oblicz

`a)\ 9^2=9*9=81`

`\ \ \ 9^3=9^2*9=81*9=729`

`\ \ \ 9^4=9^3*9=729*9=6561`

 

`b)\ (3/4)^2=3/4*3/4=9/16`

`\ \ \ (3/4)^3=(3/4)^2*3/4=9/16*3/4=27/64`

`\ \ \ (3/4)^4=(3/4)^3*3/4=27/64*3/4=81/256`

 

`c)\ (-2/5)^2=(-2/5)*(-2/5)=4/25`

`\ \ \ (-2/5)^3=(-2/5)^28(-2/5)=4/25*(-2/5)=-8/125`

`\ \ \ (-2/5)^4=(-2/5)^3*(-2/5)=(-8/125)*(-2/5)=16/625`

Optymalne tętno dorosłego człowieka wynosi

a)

Godzina- 60 minut, czyli wymnażamy:

70*60=4200=4,2*10^3

b)

Doba- 24 godziny, czyli 24 razy wynik z podpunktu a.

24*4,2 10^3=100,8 *10^3=1,008 *10^5

c)

Rok-około 365 dni, czy 365 razy wynik z podpunktu b.

365*1,008 *10^5=367,92 *10^5= 3,6792*10^7

d)

70 lat, czyli 70 razy wynik z podpunktu c.

70* 3,6792*10^7=257,544 *10^7=2,57533*10^9

Należy oszacować wynik z dokładnością do miliarda, czyli do 1 000 000 000= 1*10 9

2,57533*10^9~~3*10^9

Oblicz wartości funkcji dla kilku argumentów z podanego przedziału

`a)`

`f(-3)=-2*(-3)+1=6+1=7`

`f(0)=-2*0+1=0+1=1`

`f(4)=-2*4+1=-8+1=-7`

 

 

Wartość najmniejsza: y=-7 (dla x=4)

Wartość największa: y=7 (dla x=-3)

 

 

 

`b)`

`g(-2)=2+(-2)^2=2+4=6`

`g(0)=2+0^2=2+0=2`

`g(1)=2+1^2=2+1=3`

`g(3)=2+3^2=2+9=11`

 

 

Wartość najmniejsza: y=2 (dla x=0)

Wartość największa: brak

 

 

`c)`

Zauważmy, że jest to funkcja stale równa -3.   

Wartość najmniejsza jest zarazem wartością największą: y=-3. 

 

 

`d)`

`f(-16)=-1/16` 

`f(-8)=-1/8` 

`f(-4)=-1/4` 

 

 

Wartość najmniejsza: brak

Wartość największa: y=-1/4  (dla x=-4)