Wyznaczanie środka odcinka - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Wyznaczanie środka odcinka

W tym temacie dowiecie się w jaki sposób znaleźć bez rysowania środek odcinka znajdującego się w układzie współrzędnych.

Aby znaleźć taki punkt oczywiście jest nam potrzebny wzór:
S $$({x_1+x_2}/2;{y_1+y_2}/2)$$

Odcienk ma dwa końce A($$x_1$$,$$y_1$$) i B($$x_2$$,$$y_2$$). Punkt S jest połową odcinka. Rysując odcinek i zaznaczając na nim punkt środkowy możemy zauważyć, że zarówno na osi X jak i na osi Y jest taka sama odległość od końców odcinka. Dlatego we wzorze dzielimy sumę wartości osi x i y na dwa.

Przykład:

Znajdź współrzędne środka S odcinka AB, jeśli A(0,3) , B(1,5).
Zatem musimy zrobić to według następującego schematu:
S $$({x_1+x_2}/2;{y_1+y_2}/2)$$

Pamiętamy, że nasze x i y to po prostu podane punkty, więc wszystko jest jak na dłoni. Podstawiamy:
S $$({0+1}/2;{3+5}/2)$$

I ostatecznie:
S $$(1/2;4)$$


W celu wyznaczenia jednego z końców odcinka (B), mając jego środek (S) i drugi koniec (A), wystarczy dołożyć do połowy odcinka (AS) drugą połowę (czyli też AS). W tym celu wystarczy przesunąć środek S o tyle samo, o ile jest odsunięty od punktu A. Przykładowo:

A(1,1) --- S(2,3) --- B(x,y)

Więc B(2+(2-1);3+(3-1))
Zatem B (3;5)

Zapis formalny:
$$B(x,y)$$ -> szukany punkt
$$S(x_1,y_1)$$ -> środek odcinka
$$A(x_2,y_2)$$ -> drugi punkt odcinka

$$x=x_1+x_1-x2$$
$$y=y_1+y_1-y_2$$

 

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Znajdź współrzędne środka odcinka AB, gdzie A(-2;-1), B(-6;5).

Mamy tutaj wszystko na talerzu, zatem bierzemy nasz wzór:
S $$({x_1+x_2}/2;{y_1+y_2}/2)$$

oraz nasze punkty:
A(-2;-1)
B(-6;5)

Podmieniamy nasze zmienne na liczby:
S $$({-2-6}/2;{-1+5}/2)$$
S $$({-8}/2;4/2)$$
S $$(-4;2)$$

Zatem nasz punkt to: S $$(-4;2)$$

Zadanie 2.

Znajdź koniec B odcinka AB, jeżeli A(1;4), a S(2;7), gdzie S jest środkiem odcinka.

B(x,y) -> szukany punkt
S$$(x_1,y_1)$$ -> S(2;7), czyli $$x_1=2$$, a $$y_1=7$$
A$$(x_2,y_2)$$ -> A(1;4), czyli $$x_2=1$$, a $$y_2=4$$

$$x=x_1+x_1-x_2$$
$$y=y_1+y_1-y_2$$
$$x=2+2-1=3$$
$$y=7+7-4=14-4=10$$

Zatem punkt B(3;10).

Spis treści

Rozwiązane zadania
Znajdź wszystkie liczby czterocyfrowe

`a)`

Liczba jest podzielna przez 15, jeśli dzieli się przez 3 i przez 5, czyli gdy suma jej cyfr jest liczbą podzielną przez 3 i  jej ostatnią cyfrą jest 0 lub 5. 

Niech najpierw y=0. Wtedy suma cyfr jest równa: x+9+6+0=x+15. Aby suma x+15 była podzielna przez 3, to x może być jedną z cyfr: 0, 3, 6, 9. Jednak x stoi na pierwszym miejscu, więc nie może być równa zero. Mamy więc trzy liczby spełniające warunki zadania: 3960, 6960, 9960. 

Niech teraz y=5. Wtedy suma cyfr jest równa x+9+6+5=x+20. Aby suma x+20 była podzielna przez 3, to x może być jedną z cyfr: 1, 4, 7. Mamy więc trzy liczby spełniające warunki zadania: 1965, 4965, 7965. 

Wszystkie liczby czterocyfrowe spełniające warunki zadania to:

`3960,\ 6960,\ 9960,\ 1965,\ 4965,\ 7965`

 

 

`b)`

Liczba jest podzielna przez 9, jeśli suma jej cyfr jest liczbą podzielną przez 9.

Sprawdźmy więc kolejne możliwości.

Jeśli x jest równe 1, to suma cyfr wynosi 1+9+6+y=16+y. Aby suma była podzielna przez 9, to y musi być równe 2 (i wtedy mamy sumę cyfr równą 18). Otrzymaliśmy liczbę 1962. 

Jeśli x jest równe 2, to suma cyfr wynosi 2+9+6+y=17+y. Aby suma była podzielna przez 9, to y musi być równe 1 (i wtedy mamy sumę cyfr równą 18). Otrzymaliśmy liczbę 2961.  

Jeśli x jest równe 3, to suma cyfr wynosi 3+9+6+y=18+y. Aby suma była podzielna przez 9, to y musi być równe 0 lub 9 (i wtedy mamy sumę cyfr równą 18 lub 27). Otrzymaliśmy liczby 3960 oraz 3969 .  

Jeśli x jest równe 4, to suma cyfr wynosi 4+9+6+y=19+y. Aby suma była podzielna przez 9, to y musi być równe 8 (i wtedy mamy sumę cyfr równą 27). Otrzymaliśmy liczbę 4968.  

Jeśli x jest równe 5, to suma cyfr wynosi 5+9+6+y=20+y. Aby suma była podzielna przez 9, to y musi być równe 7 (i wtedy mamy sumę cyfr równą 27). Otrzymaliśmy liczbę 5967.  

Jeśli x jest równe 6, to suma cyfr wynosi 6+9+6+y=21+y. Aby suma była podzielna przez 9, to y musi być równe 6 (i wtedy mamy sumę cyfr równą 27). Otrzymaliśmy liczbę 6966.  

Jeśli x jest równe 7, to suma cyfr wynosi 7+9+6+y=22+y. Aby suma była podzielna przez 9, to y musi być równe 5 (i wtedy mamy sumę cyfr równą 27). Otrzymaliśmy liczbę 7965.  

Jeśli x jest równe 8, to suma cyfr wynosi 8+9+6+y=23+y. Aby suma była podzielna przez 9, to y musi być równe 4 (i wtedy mamy sumę cyfr równą 27). Otrzymaliśmy liczbę 8964.  

Jeśli x jest równe 9, to suma cyfr wynosi 9+9+6+y=24+y. Aby suma była podzielna przez 9, to y musi być równe 3 (i wtedy mamy sumę cyfr równą 27). Otrzymaliśmy liczbę 9963.

Wszystkie liczby czterocyfrowe spełniające warunki zadania to:

`1962,\ 2961,\ 3960,\ 3969,\ 4968,\ 5967,\ 6966,\ 7965,\ 8964,\ 9963`

 

 

`c)`

Liczba jest podzielna przez 4, jeśli liczba utworzona z dwóch jej ostatnich cyfr jest podzielna przez 4. Liczba postaci 6y musi być więc podzielna przez 4, więc y może być równe 0, 4 lub 8 (bo liczby 60, 64 i 68 dzielą się przez 4). W miejsce x możemy wstawić dowolną cyfrę różną od 0.

Wszystkie liczby czterocyfrowe spełniające warunki zadania to:

`1960,\ 2960,\ 3960,\ 4960,\ 5960,\ 6960,\ 7960,\ 8960,\ 9960,`

`1964,\ 2964,\ 3964,\ 4964,\ 5964,\ 6964,\ 7964,\ 8964,\ 9964,`

`1968,\ 2968,\ 3968,\ 4968,\ 5968,\ 6968,\ 7968,\ 8968,\ 9968`

 

Czy każda funkcja a) rosnąca b) malejąca

a)

Każda funkcja rosnąca jest różnowartościowa.

Uzasadnienie:

Porównajmy definicję funkcji różnowartościowej i definicję funkcji rosnącej. Funkcja rosnąca to taka funkcja, która dowolnym argumentom x1 i x2, takim, że x1<x2 przyporządkowuje wartości f(x1) i f(x2), takie, że f(x1)<f(x2). Funkcja różnowartościowa dowolnym argumentom x1 i x2, takim, że x1≠x2, przyporządkowuje wartości f(x1) i f(x2), takie, że f(x1)≠f(x2). 

Jeśli:

`x_1<x_2`          to jednocześnie        `x_1!=x_2`

A jeśli

`f(x_1)<f(x_2) `               to jednocześnie        `f(x_1)!=f(x_2)`

b)

Każda funkcja malejąca jest różnowartościowa.

Uzasadnienie:

Porównajmy definicję funkcji różnowartościowej i definicję funkcji malejącej. Funkcja malejąca to taka funkcja, która dowolnym argumentom x1 i x2, takim, że x1<x2 przyporządkowuje wartości f(x1) i f(x2), takie, że f(x1)>f(x2). Funkcja różnowartościowa dowolnym argumentom x1 i x2, takim, że x1≠x2, przyporządkowuje wartości f(x1) i f(x2), takie, że f(x1)≠f(x2). 

Jeśli:

`x_1<x_2`          to jednocześnie        `x_1!=x_2`

A jeśli

 `f(x_1)>f(x_2)`               to jednocześnie        `f(x_1)!=f(x_2)`

Klient złożył w banku 4000 zł

Obliczmy, jaką kwotą dysponował klient po roku (wpłacił 4000 zł na lokatę oprocentowaną 4% w skali roku):

`4000+4%*4000=4000+0,04*4000=4000+160=4160` 

 

Obliczmy, jaką kwotą dysponował klient po dwóch latach (wpłacamy 4160 zł na lokatę oprocentowaną 4% w skali roku):

`4160+4%*4160=4160+0,04*4160=4160+166,4=4326,4` 

 

Obliczmy, jaką kwotą dysponował klient po trzech latach (wpłacamy 4326,4 zł na lokatę oprocentowaną 4% w skali roku):

`4326,4+4326,4*4%=4326,4+4326,4*0,04=4326,4+173,056=4499,456~~4499,46` 

 

Po trzech latach klient zgromadził 4499,46 zł. 

 

Gdyby klient za każdym razem składał na lokacie kwotę 4000 zł, a odsetki wypłacał, to za każde z trzech lat uzyskałby 160 zł odsetek, więc po 3 latach dysponowałby kwotą:

`4000+3*160=4000+480=4480` 

 

Obliczamy, o ile mniejsze byłyby wtedy jego oszczędności:

`4499,46-4480=19,46` 

 

  

Korzystając z oznaczeń na rysunku uzupełnij równości

`a)`

`|AD|/|AE|=|BD|/|CE|`

`|AC|/|BC|=|AE|/|DE|`

 

 

`b)`

`|AD|/|AB|=|AE|/|AC|, \ \ \ \ \ \ \ \ \ oznaczmy\ |AD|=x`

`x/(3,6)=(x+1,2)/(5,4)`

`5,4x=3,6(x+1,2)`

`5,4x=3,6x+4,32\ \ \ |-3,6x`

`1,8x=4,32\ \ \ \ |:1,8`

`x=2,4`

Ile liczb całkowitych spełnia nierówność?

`a)`

`(2x+3)^2<=(x-3)^2\ \ \ \ \ \ \ |-(x-3)^2`

`(2x+3)^2-(x-3)^2<=0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ |a^2-b^2=(a-b)(a+b)`

`[(2x+3)-(x-3)]*[(2x+3)+(x-3)]<=0`

`[2x+3-x+3]*[2x+3+x-3]<=0`

`(x+6)*3x<=0\ \ \ |:3`

`x(x+6)<=0`

 

    

`(x in <<-6,\ 0>>\ \ \ i\ \ \ x in C)\ \ \ =>\ \ \ x in {-6,\ -5,\ -4,\ -3,\ -2,\ -1,\ 0}\ \ -\ \ 7 \ liczb`

 

 

 

`b)`

`(1-1/2x)^2>(3/2x-5)^2\ \ \ \ \ \ \ \ |-(3/2x-5)^2`

`(1-1/2x)^2-(3/2x-5)^2>0`

`[(1-1/2x)-(3/2x-5)]*[(1-1/2x)+(3/2x-5)]>0`

`[1-1/2x-3/2x+5]*[1-1/2x+3/2x-5]>0`

`(6-2x)*(x-4)>0\ \ \ |:2`

`(3-x)*(x-4)>0`

 

(zwróć uwagę, że x² powstanie z przemożenia -x∙x, więc współczynnik a będzie wynosić -1, czyli jest ujemny, więc ramiona paraboli będą skierowane w dół)

`(x in (3,4)\ \ \ i\ \ \ x in C)\ \ \ =>\ \ \ x in emptyset\ \ -\ \ 0\ liczb`

Czy dla podanej pary liczb zachodzi równość

`a)`

`|p+q|=|-5+(-7)|=|-5-7|=|-12|=12`

`|p|=|-5|=5`

`|q|=|-7|=7`

`5+7=12,\ \ \ \ "czyli"\ \ \ \ |p+q|=|p|+|q|`

 

 

`b)`

`|p+q|=|5+(-7)|=|5-7|=|-2|=2`

`|p|=|5|=5`

`|q|=|-7|=7`

`5+7=12ne2,\ \ \ \ "czyli"\ \ \ \ |p+q|ne|p|+|q|`

 

 

`c)`

`|p+q|=|-4+2|=|-2|=2`

`|p|=|-4|=4`

`|q|=|2|=2`

`4+2=6ne2,\ \ \ \ "czyli"\ \ \ \ |p+q|ne|p|+|q|`

Stosując odpowiednie przesunięcie wykresu funkcji

Wartość bewzględna określa odległość od zera na osi liczbowej danej liczby. Liczbom nieujemnym przypisuje tą samą liczbę, a liczbą ujemnym przypisuje liczbę przeciwną:

`f(x)=|x|={(x\ \ \ \ \ gdy\ \ \ x>=0), (-x\ \ \ gdy\ \ \ x<0):}`

 

`a)`

Wystarczy przesunąć wykres funkcji y=|x| o 2 jednostki w górę.

 

 

`b)`

Wystarczy przesunąć wykres funkcji y=|x| o 2 jednostki w dół. 

 

 

`c)`

Wystarczy przesunąć wykres funkcji y=|x| o 3 jednostki w dół. 

 

 

`d)`

Wystarczy przesunąć wykres funkcji y=|x| o 1/2 jednostki w górę .

Rozwiązaniem układu równań jest

`{(3x-2y=7), (y=5-7x):}`

`{(3x-2(5-7x)=7), (y=5-7x):}`

`{(3x-10+14x=7), (y=5-7x):}`

`{(17x-10=7\ \ \ \ |+10), (y=5-7x):}`

`{(17x=17\ \ \ \ |:17), (y=5-7x):}`

`{(x=1), (y=5-7*1=5-7=-2):}\ \ \ \ \ \ odp.\ C`

Wyznacz wszystkie liczby rzeczywiste ...

`"a)"\ sqrt(x^2-3x+9/4)<=3/4` 

Wyrażenie pod pierwiastkiem możemy, korzystajac ze wzoru skróconego mnożenie, zapisać jako kwadrat różnicy:

`sqrt((x-3/2)^2)<=3/4` 

Korzystamy z zależności:

`sqrt(a^2)=|a|` 

i otrzymujemy:

`|x-3/2|<=3/4` 

Szukamy takich liczby rzeczywistych, których odległość od liczby 3/2 jest mniejsza lub równa 3/4

Liczby spełniajace warunek:

`|x-3/2|<=3/4` 

to liczby należace do zbioru:

`x in <<3/4;2 1/4>>` 

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))` 

`"b)"\ sqrt(9-6x+x^2)>2`  

Wyrażenie pod pierwiastkiem możemy, korzystajac ze wzoru skróconego mnożenie, zapisać jako kwadrat różnicy:

`sqrt((3-x)^2)>2`   

Korzystamy z zależności:

`sqrt(a^2)=|a|` 

i otrzymujemy:

`|3-x|>2` 

Liczbę objętą wartością bezwzględną przekształćmy do postaci x-a:

`|3-x|=|(-1)*(-3+x)|=|-1|*|-3+x|=|-3+x|=|x-3|` 

Stąd:

`|x-3|>2` 

Szukamy takich liczby rzeczywistych, których odległość od liczby 3 jest większa od 2. 

Liczby spełniajace warunek:

`|x-3|>2` 

to liczby należace do zbioru:

`x in (-oo;1)cup(5;+oo)`  

Skreśl liczby równe 2^10

`ul(ul("obliczenia:"))`

`2^3*2^2+2^5=2^(3+2)+2^5=2^5+2^5=2*2^5=2^6`

`4^-1:64^(-2)=(2^2)^(-1):(2^6)^(-2)=2^(2*(-1)):2^(6*(-2))=2^-2:2^-12=2^(-2-(-12))=2^(-2+12)=2^10`

`0,25^-1*4^4=(1/4)^-1*4^4=4*4^4=4^5=(2^2)^5=2^(2*5)=2^10`

`(2^5)^5-2^15=2^(5*5)-2^15=2^25-2^15`

`((-2)^4)^-5:(2^-10)^3=(-2)^(4*(-5)):2^(-10*3)=(-2)^(-20):2^(-30)=2^-20:2^-30=2^(-20-(-30))=2^(-20+30)=2^10`

`2*2^8+2*2^2=2^9+2^3`

`2^9+2*2^8=2^9+2^9=2*2^9=2^10`

 

 

`ul(ul("odpowiedź:"))`

`2^3*2^2+2^5\ \ \ \ \ \ \ \ \ strike(4^-1:64^-2)\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \strike(0,25^-1*4^4)\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ strike1024`

`(2^5)^5-2^15\ \ \ \ \ \ \ \ strike((-2)^4)^-5:(2^-10)^3\ \ \ \ \ \ \ \ 2*2^8+2*2^2\ \ \ \ \ \ \ \ strike(2^9+2*2^8)`