Wyznaczanie prostych równoległych i prostopadłych przechodzących przez dany punkt - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Wyznaczanie prostych równoległych i prostopadłych przechodzących przez dany punkt

W tym rozdziale będziemy operować tylko i wyłącznie na postaciach kierunkowych, ponieważ w większości takie pojawiają się na testach czy maturze. Wzory ogólne są omówione w dziale poświęconym prostej przechodzącej przez dwa zadane punkty.

Przypomnienie:
Mając wzory dwóch prostych $$y=a_1x+b_1$$ oraz $$y=a_2x+b_2$$ proste są:
Równoległe jeśli $$a_1=a_2$$
Prostopadłe jeśli $$a_1×a_2=-1$$

Naszym jedynym dodatkowym utrudnieniem w tym dziale jest wprowadzenie punktu. Punkt będzie miał współrzędne (x,y) i to właśnie na tych zmiennych będziemy operować w naszych wzorach.

Aby w ogóle mówić o szukaniu punktu musimy mieć już znalezioną prostą prostopadłą/równoległą do danej, zazwyczaj wtedy znamy już współczynnik $$a$$, $$b$$ może być dowolną liczbą, więc jest nieznane. Znane zmienne ze wzoru $$y=ax+b$$ to $$a$$ oraz, gdy mamy dany punkt, przez który przechodzi ta prosta, także $$x$$ i $$y$$.

Na razie nadal nie znamy $$b$$, ale skoro prosta przechodzi przez konkretny punkt, $$b$$ już nie może być dowolne (w naszym punkcie znamy x i y). Pozostaje nam obliczyć to $$b$$, co będzie łatwe, bo mamy równanie z jedną niewiadomą.

Przykład:
Znaleźć prostą równoległą do y=3x-8 przechodzącą przez punkt A(1,5).

Zacznijmy od najbardziej nieznanego wzoru szukanej prostej:
$$y=ax+b$$
Zajmijmy się zmienną a, szukamy prostej równoległej zatem:
$$a_1=a=3$$

Uzupełnijmy nasz wzór:
$$y=3x+b$$

Teraz mamy punkt A(1,5)
$$x=1$$
$$y=5$$

Uzupełnijmy wzór o kolejne zmienne:
$$5=3×1+b$$

Pozostaje obliczyć b:
$$5=3+b$$
$$b=2$$

Uzupełnijmy wzór zyskując wzór ostateczny na szukaną prostą:
$$y=3x+2$$
To nie przypadek, że dostaliśmy taki sam wzór jak dla wyjściowej prostej - gdy dwie proste są do siebie równoległe i przechodząą przez co najmniej 1 wspólny punkt, to są identyczne!

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Znajdź prostą równoległą do $$y=2x-2$$ przechodzącą przez punkt A(3,3).

Zadanie analogiczne do przykładu:
Zaczynamy od kierunkowego wzoru:
$$y=ax+b$$

Zajmujemy się zmienną a, szukamy prostej równoległej zatem:
$$a_1=a=2$$

aktualny wzór:
$$y=2x+b$$

Teraz mamy punkt A(3,3), więc:
$$x=3$$
$$y=3$$

aktualny wzór:
$$3=2×3+b$$

Obliczamy b:
$$3=6+b$$
$$b=-3$$

Wzór ostateczny po wszystkich uzupełnieniach:
$$y=2x-3$$

Zadanie 2.

Znajdź prostą prostopadłą do $$y=1/3 x-4$$ przechodzącą przez punkt B(0;2).

Również bardzo podobnie, zaczynamy od kierunkowego wzoru:
$$y=ax+b$$

Zajmujemy się zmienną a, szukamy prostej prostopadłej zatem:
$$a_1×a_2=-1$$
$$1/3×a_2=-1$$ $$|×3$$
$$a_2=-3$$

aktualny wzór:
$$y=-3x+b$$

Teraz mamy punkt B(0,2), więc:
$$x=0$$
$$y=2$$

aktualny wzór:
$$2=2×0+b$$

Obliczamy b:
$$b=2$$

Wzór ostateczny po wszystkich uzupełnieniach:
$$y=-3x+2$$

Zadanie 3.

Znajdź prostą prostopadłą do $$y=-1/2 x$$ przechodzącą przez punkt C(2,1). Czy punkt D(0,-3) należy do tej prostej?

Przypominam, że przy postaci $$y=-1/2 x$$, $$b_1$$ jest równe 0. Chociaż tutaj nie ma to żadnego znaczenia. Zadanie to ma dwie części, najpierw znajdźmy prostą prostopadłą, analogicznie do zadania 2. Zaczynamy od kierunkowego wzoru
$$y=ax+b$$

Zajmujemy się zmienną a, szukamy prostej prostopadłej zatem:
$$a_1×a=-1$$
$$-1/2×a=-1$$ $$|×(-2)$$
$$a=2$$

aktualny wzór:
$$y=2x+b$$
Teraz mamy punkt C(2,1), więc:
$$x=2$$
$$y=1$$

aktualny wzór:
$$1=2×2+b$$

Obliczamy b:
$$1=4+b$$
$$b=-3$$

Wzór ostateczny po wszystkich uzupełnieniach:
$$y=2x-3$$

Sprawdźmy teraz czy punkt D(0;-3) należy do prostej $$y=2x-3$$. Czyli podstawmy znów do $$y=2x-3$$
$$x=0$$
$$y=-3$$
$$-3=2×0-3$$
$$-3=-3$$

Lewa strona jest równa prawej, zatem punkt należy do prostej.

 

Spis treści

Rozwiązane zadania
Ile jest równe pole koła...

Przeciwprostokątna jest średnicą koła, zatem promień wynosi:

 

Pole koła wynosi:

 

Odpowiedź C

Oblicz...

 

 

 

Niech S będzie środkiem odcinka AB, T środkiem odcinka BC, P środkiem odcinka CD, Q środkiem odcinka AD:

 

Obwód prostokąta:

Narysuj wykres funkcji y=f(x), a następnie...

 Obliczymy wartości funkcji dla kilku argumentów  

 

 

Zaznaczamy punkty i prowadzimy przez nie prostą. Będzie to wykres funkcji       

W symetrii względem osi  otrzymamy funkcję określoną wzorem  Wyznaczamy wzór:

    

 

 Obliczymy wartości funkcji dla kilku argumentów  

 

 

Zaznaczamy punkty i prowadzimy przez nie prostą. Będzie to wykres funkcji       

W symetrii względem osi  otrzymamy funkcję określoną wzorem  Wyznaczamy wzór:

    

Czy funkcja, która każdej liczbie rzeczywistej

Nie. Liczbą rzeczywistą jest również 0. Ten argument podniesiony do kwadratu daje wartość 0, która nie jest dodatnia(jest jedynie nieujemna). Opisana funkcja przekształca więc zbiór liczb rzeczywistych w zbiór liczb reczywistych nieujemnych. 

Wartością największą funkcji...

 

Funkcja jest funkcją rosnącą a więc do najmniejszego argumentu z przedziału będzie przyporzadkowana największa wartość.

 

Odpowiedź B

Wypisz dzielniki podanej liczby

`a)\ 14:\ \ \ 1,\ 2,\ 7,\ 14`{premium}

 

Oblicz sumę miar kątów wewnętrznych:

a) Sześciokąt jest złożony z czterech trójkątów. Suma miar kątów wewnętrznych w każdym trójkącie jest równa 180o. A więc suma miar kątów sześciokącie wynosi:

 

 

b) Ośmiokąt jest złożony z sześciu trójkątów. Suma miar kątów wewnętrznych w każdym trójkącie jest równa 180o. A więc suma miar kątów w ośmiokącie wynosi:

 

 

c) Sześciokąt jest zbudowany z czterech trójkątów, ośmiokąt jest zbudowany z sześciu trójkątów zatem n-kąt jest zbudowany z n-2 trójkątów. Suma miar kątów wewnętrznych w n-kącie wynosi:

 

Wyznacz rozwiązania układów równań

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

   

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

` ` `ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))` 

 

 

 

  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Inne ukłądy równań, które spełnia ta para liczb: 

 

 

 

 

  

 

 

 

Proste są prostopadłe

 

 

Proste są prostopadłe, jeśli iloczyn ich współczynników kierunkowych jest równy -1:

  

 

 

 

Kwadrat dowolnej liczby jest nieujemny, więc powyższe równanie nie ma rozwiązania. 

Prawidłowa jest odpowiedź D. 

Przeczytaj podany w ramce przykład, a następnie zapisz

 

 `2x*1/2y+2x*3+7*1/2y+7*3=`