Wyznaczanie prostych równoległych i prostopadłych przechodzących przez dany punkt - matura-podstawowa - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Wyznaczanie prostych równoległych i prostopadłych przechodzących przez dany punkt - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Wyznaczanie prostych równoległych i prostopadłych przechodzących przez dany punkt

W tym rozdziale będziemy operować tylko i wyłącznie na postaciach kierunkowych, ponieważ w większości takie pojawiają się na testach czy maturze. Wzory ogólne są omówione w dziale poświęconym prostej przechodzącej przez dwa zadane punkty.

Przypomnienie:
Mając wzory dwóch prostych $y=a_1x+b_1$ oraz $y=a_2x+b_2$ proste są:
Równoległe jeśli $a_1=a_2$
Prostopadłe jeśli $a_1×a_2=-1$

Naszym jedynym dodatkowym utrudnieniem w tym dziale jest wprowadzenie punktu. Punkt będzie miał współrzędne (x,y) i to właśnie na tych zmiennych będziemy operować w naszych wzorach.

Aby w ogóle mówić o szukaniu punktu musimy mieć już znalezioną prostą prostopadłą/równoległą do danej, zazwyczaj wtedy znamy już współczynnik $a$, $b$ może być dowolną liczbą, więc jest nieznane. Znane zmienne ze wzoru $y=ax+b$ to $a$ oraz, gdy mamy dany punkt, przez który przechodzi ta prosta, także $x$ i $y$.

Na razie nadal nie znamy $b$, ale skoro prosta przechodzi przez konkretny punkt, $b$ już nie może być dowolne (w naszym punkcie znamy x i y). Pozostaje nam obliczyć to $b$, co będzie łatwe, bo mamy równanie z jedną niewiadomą.

Przykład:
Znaleźć prostą równoległą do y=3x-8 przechodzącą przez punkt A(1,5).

Zacznijmy od najbardziej nieznanego wzoru szukanej prostej:
$y=ax+b$
Zajmijmy się zmienną a, szukamy prostej równoległej zatem:
$a_1=a=3$

Uzupełnijmy nasz wzór:
$y=3x+b$

Teraz mamy punkt A(1,5)
$x=1$
$y=5$

Uzupełnijmy wzór o kolejne zmienne:
$5=3×1+b$

Pozostaje obliczyć b:
$5=3+b$
$b=2$

Uzupełnijmy wzór zyskując wzór ostateczny na szukaną prostą:
$y=3x+2$
To nie przypadek, że dostaliśmy taki sam wzór jak dla wyjściowej prostej - gdy dwie proste są do siebie równoległe i przechodząą przez co najmniej 1 wspólny punkt, to są identyczne!

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Znajdź prostą równoległą do $y=2x-2$ przechodzącą przez punkt A(3,3).

Zadanie analogiczne do przykładu:
Zaczynamy od kierunkowego wzoru:
$y=ax+b$

Zajmujemy się zmienną a, szukamy prostej równoległej zatem:
$a_1=a=2$

aktualny wzór:
$y=2x+b$

Teraz mamy punkt A(3,3), więc:
$x=3$
$y=3$

aktualny wzór:
$3=2×3+b$

Obliczamy b:
$3=6+b$
$b=-3$

Wzór ostateczny po wszystkich uzupełnieniach:
$y=2x-3$

Zadanie 2.

Znajdź prostą prostopadłą do $y=1/3 x-4$ przechodzącą przez punkt B(0;2).

Również bardzo podobnie, zaczynamy od kierunkowego wzoru:
$y=ax+b$

Zajmujemy się zmienną a, szukamy prostej prostopadłej zatem:
$a_1×a_2=-1$
$1/3×a_2=-1$ $|×3$
$a_2=-3$

aktualny wzór:
$y=-3x+b$

Teraz mamy punkt B(0,2), więc:
$x=0$
$y=2$

aktualny wzór:
$2=2×0+b$

Obliczamy b:
$b=2$

Wzór ostateczny po wszystkich uzupełnieniach:
$y=-3x+2$

Zadanie 3.

Znajdź prostą prostopadłą do $y=-1/2 x$ przechodzącą przez punkt C(2,1). Czy punkt D(0,-3) należy do tej prostej?

Przypominam, że przy postaci $y=-1/2 x$, $b_1$ jest równe 0. Chociaż tutaj nie ma to żadnego znaczenia. Zadanie to ma dwie części, najpierw znajdźmy prostą prostopadłą, analogicznie do zadania 2. Zaczynamy od kierunkowego wzoru
$y=ax+b$

Zajmujemy się zmienną a, szukamy prostej prostopadłej zatem:
$a_1×a=-1$
$-1/2×a=-1$ $|×(-2)$
$a=2$

aktualny wzór:
$y=2x+b$
Teraz mamy punkt C(2,1), więc:
$x=2$
$y=1$

aktualny wzór:
$1=2×2+b$

Obliczamy b:
$1=4+b$
$b=-3$

Wzór ostateczny po wszystkich uzupełnieniach:
$y=2x-3$

Sprawdźmy teraz czy punkt D(0;-3) należy do prostej $y=2x-3$. Czyli podstawmy znów do $y=2x-3$
$x=0$
$y=-3$
$-3=2×0-3$
$-3=-3$

Lewa strona jest równa prawej, zatem punkt należy do prostej.

 

Spis treści

Rozwiązane zadania
W trójkącie równoramiennym podstawa ma długość...

Środkiem ciężkości trójkąta nazywamy punkt przecięcia środkowych.


Skorzystamy z następującego twierdzenia:

W dowolnym trójkącie trzy środkowe przecinają się w jednym punkcie,

który dzieli każdą z nich w stosunku  licząc od wierzchołka.


Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku poniżej:

Thumb zad5.70str121


Mamy dane:

 

 


Z twierdzenia Pitagorasa dla  {premium}

 

 

 

 

 

 


Obliczamy obwód trójkąta  

 


Odp. Obwód trójkąta wynosi  

Podczas meczu pewien koszykarz...

Wprowadźmy oznaczenia:

x - liczba skutecznych rzutów za 3 punkty

y- liczba skutecznych rzutów za 2 punkty   {premium}


 

 

 

 

 

 

 

 


Odp.: Ten zawodnik wykonał 6 skutecznych rzutów za 3 punkty. 

Skorzystaj z tablic wartości...

 {premium}

 

 

 

 

 

W pewnej klasie liczba dziewcząt ...

Przyjmijmy oznaczenia: 

x - liczba wszystkich uczniów 

60%x = 0,6x - liczba dziewcząt w tej klasie [bo liczba dziewcząt stanowi 60% liczby wszystkich uczniów]

x - 0,6x = 0,4x - liczba chłopców w tej klasie


6 dziewcząt pojechało mecz siatki. W klasie jest teraz tyle samo dziewcząt co chłopców. {premium}

Mamy więc: 

 

 

  

   

Klasa liczy 30 uczniów.


Obliczamy ilu chłopców jest w tej klasie. 

 


Odpowiedź: Klasa liczby 30 uczniów. Chłopców jest 12. 

Trójkąt o wierzchołkach A(-3, -2), B(0, 0), C(-1, 4) przesunięto ...

W układzie współrzędnych rysujemy trójkąt . {premium}


Trójkąt  jest obrazem trójkąta  w przesunięciu o wektor . Rysujemy ten trójkąt w układzie współrzędnych.


Współrzędne wierzchołków trójkąta  zapiszemy na poniższym rysunku.

Rozwiąż równanie ...

 

    {premium}

 

 

 

 

 

Przy narożniku domu chcemy ogrodzić siatką...

Wykonajmy rysunek pomocniczy:

{premium}

Wiemy, że:

 

 

 

 

zauważmy, że:

 


Obliczmy pierwszą współrzędną wierzchołka równania:

 

 

zatem:

 

Obliczmy długość najdłuższego boku tego obszaru:

 

 


Odp.: Aby powierzchnia tego obszaru była możliwie największa boki tego obszaru powinny mieć następujące długości: 4 m, 3 m, 7 m, 7 m, 3 m, 4 m. 

Dla jakich wartości parametru ...

 

 

 

 

{premium}

  

 

 

 

 

 

 

 

  

 

 

  

 

 

 

 

   

  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

       

 

     

 

 

 

 

  

 

 

Δ>0, więc równanie ma dwa różne pierwiastki dla każdego m R.

Współczynnik przy x2 jest dodatni, więc ramiona paraboli są skierowane do góry. Mamy więc sytuację jak na rysunku poniżej:

Wówczas oba pierwiastki są większe od 2, gdy f(2)>0 oraz odcięta wierzchołka xw jest większa od 2, gdzie f(x)=x2-2(m+1)x+m.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Łącząc warunki (1) i (2) otrzymujemy, że równanie ma dwa różne pierwiastki większe od 2 dla

 

Chłopcy postanowili zmierzyć wysokość wzgórza...

Pierwszy przypadek:

 

 

 

 

{premium}

Użyjmy zależności pomiędzy hx

 

 

 

A więc:

 

 

Drugi przypadek:

 

 

 

 

 

 

 

 

A więc:

 

a) Korzystając z tabeli na stronie...

a) Korzystając z tabeli na stronie 230 wiemy, że:  {premium}

 

 


 

 


 

 


 

 


b) Korzystając z kalkulatora: