Wyznaczanie prostych równoległych i prostopadłych przechodzących przez dany punkt - matura-podstawowa - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Wyznaczanie prostych równoległych i prostopadłych przechodzących przez dany punkt - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Wyznaczanie prostych równoległych i prostopadłych przechodzących przez dany punkt

W tym rozdziale będziemy operować tylko i wyłącznie na postaciach kierunkowych, ponieważ w większości takie pojawiają się na testach czy maturze. Wzory ogólne są omówione w dziale poświęconym prostej przechodzącej przez dwa zadane punkty.

Przypomnienie:
Mając wzory dwóch prostych $y=a_1x+b_1$ oraz $y=a_2x+b_2$ proste są:
Równoległe jeśli $a_1=a_2$
Prostopadłe jeśli $a_1×a_2=-1$

Naszym jedynym dodatkowym utrudnieniem w tym dziale jest wprowadzenie punktu. Punkt będzie miał współrzędne (x,y) i to właśnie na tych zmiennych będziemy operować w naszych wzorach.

Aby w ogóle mówić o szukaniu punktu musimy mieć już znalezioną prostą prostopadłą/równoległą do danej, zazwyczaj wtedy znamy już współczynnik $a$, $b$ może być dowolną liczbą, więc jest nieznane. Znane zmienne ze wzoru $y=ax+b$ to $a$ oraz, gdy mamy dany punkt, przez który przechodzi ta prosta, także $x$ i $y$.

Na razie nadal nie znamy $b$, ale skoro prosta przechodzi przez konkretny punkt, $b$ już nie może być dowolne (w naszym punkcie znamy x i y). Pozostaje nam obliczyć to $b$, co będzie łatwe, bo mamy równanie z jedną niewiadomą.

Przykład:
Znaleźć prostą równoległą do y=3x-8 przechodzącą przez punkt A(1,5).

Zacznijmy od najbardziej nieznanego wzoru szukanej prostej:
$y=ax+b$
Zajmijmy się zmienną a, szukamy prostej równoległej zatem:
$a_1=a=3$

Uzupełnijmy nasz wzór:
$y=3x+b$

Teraz mamy punkt A(1,5)
$x=1$
$y=5$

Uzupełnijmy wzór o kolejne zmienne:
$5=3×1+b$

Pozostaje obliczyć b:
$5=3+b$
$b=2$

Uzupełnijmy wzór zyskując wzór ostateczny na szukaną prostą:
$y=3x+2$
To nie przypadek, że dostaliśmy taki sam wzór jak dla wyjściowej prostej - gdy dwie proste są do siebie równoległe i przechodząą przez co najmniej 1 wspólny punkt, to są identyczne!

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Znajdź prostą równoległą do $y=2x-2$ przechodzącą przez punkt A(3,3).

Zadanie analogiczne do przykładu:
Zaczynamy od kierunkowego wzoru:
$y=ax+b$

Zajmujemy się zmienną a, szukamy prostej równoległej zatem:
$a_1=a=2$

aktualny wzór:
$y=2x+b$

Teraz mamy punkt A(3,3), więc:
$x=3$
$y=3$

aktualny wzór:
$3=2×3+b$

Obliczamy b:
$3=6+b$
$b=-3$

Wzór ostateczny po wszystkich uzupełnieniach:
$y=2x-3$

Zadanie 2.

Znajdź prostą prostopadłą do $y=1/3 x-4$ przechodzącą przez punkt B(0;2).

Również bardzo podobnie, zaczynamy od kierunkowego wzoru:
$y=ax+b$

Zajmujemy się zmienną a, szukamy prostej prostopadłej zatem:
$a_1×a_2=-1$
$1/3×a_2=-1$ $|×3$
$a_2=-3$

aktualny wzór:
$y=-3x+b$

Teraz mamy punkt B(0,2), więc:
$x=0$
$y=2$

aktualny wzór:
$2=2×0+b$

Obliczamy b:
$b=2$

Wzór ostateczny po wszystkich uzupełnieniach:
$y=-3x+2$

Zadanie 3.

Znajdź prostą prostopadłą do $y=-1/2 x$ przechodzącą przez punkt C(2,1). Czy punkt D(0,-3) należy do tej prostej?

Przypominam, że przy postaci $y=-1/2 x$, $b_1$ jest równe 0. Chociaż tutaj nie ma to żadnego znaczenia. Zadanie to ma dwie części, najpierw znajdźmy prostą prostopadłą, analogicznie do zadania 2. Zaczynamy od kierunkowego wzoru
$y=ax+b$

Zajmujemy się zmienną a, szukamy prostej prostopadłej zatem:
$a_1×a=-1$
$-1/2×a=-1$ $|×(-2)$
$a=2$

aktualny wzór:
$y=2x+b$
Teraz mamy punkt C(2,1), więc:
$x=2$
$y=1$

aktualny wzór:
$1=2×2+b$

Obliczamy b:
$1=4+b$
$b=-3$

Wzór ostateczny po wszystkich uzupełnieniach:
$y=2x-3$

Sprawdźmy teraz czy punkt D(0;-3) należy do prostej $y=2x-3$. Czyli podstawmy znów do $y=2x-3$
$x=0$
$y=-3$
$-3=2×0-3$
$-3=-3$

Lewa strona jest równa prawej, zatem punkt należy do prostej.

 

Spis treści

Rozwiązane zadania
Wykres funkcji f(x)...

{premium}

Figura ograniczona wykresami obu funkcji jest kwadratem.

W trapezie ABCD, AB || CD, poprowadzono...

Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku poniżej:{premium}


Z poprzedniego zadania wiemy, że pola trójkątów BEC i DEA są równe.


Pole trójkąta CDE możemy obliczyć następująco:

 


Ze wzoru na pole trójkąta ABE:

 

 


Ze wzoru na pole trójkąta BEC:

 

 

 

 

 

 


Ze wzoru na pole trójkąta DEA:

 

 

 

 


Stąd:

 


Odp. Pole trójkąta CDE jest równe 34 2/3.

Popatrz na rysunek obok...

Jeśli punkty A, B, C leżą na jednej prostej to kąt ABC ma miarę {premium}180o:   


 


miara kąta ABC jest mniejsza niż 180o, zatem punkty A, B, C nie leżą na jednej prostej.

W wyścigu wioślarskim na dystansie 2000 m...

a) Prędkość osady z Kamfort opisuje wykres{premium} B.

Prędkość osady z Oksbridż opisuje wykres C.


b) Osada z Jelitkowa w pierwszej fazie wyścigu "oszczędzała siły",
a w drugiej zaczęła się rozpędzać i na finiszu uzyskała największą prędkość. 

Naszkicuj wykres funkcji f ...

 

{premium}  

 

 

 

 

 

 

 

 

  

Dziedziną funkcji f jest przedział...

a) Dziedzina funkcji f przesunie się o wektor [3, 0], a {premium}zbiór wartości funkcji f - o wektor [0, -5]. Otrzymamy:

 

 


b) Dziedzina funkcji f przesunie się o wektor [-2, 0], a zbiór wartości funkcji f - o wektor [0, 1]. Otrzymamy:

 

 


c) Dziedzina funkcji f przesunie się o wektor [13, 0], a zbiór wartości funkcji f - o wektor [0, 40]. Otrzymamy:

 

 


d) Dziedzina funkcji f przesunie się o wektor [-124, 0], a zbiór wartości funkcji f - o wektor [0, -87]. Otrzymamy:

 

 

Wykaż, że dla dowolnych liczb a i b

Rozpisując prawą stronę równości otrzymujemy:   {premium}

Zaznacz na osi liczbowej

 

Zbiór A to zbiór liczb rzeczywistych, których odległość od zera jest nie większa niż 5. 

{premium}  

 

Zbiór B to zbiór liczb rzeczywistych, których odległość od zera jest nie mniejsza niż 4. 

 

 

Zaznaczamy zbiory oraz ich iloczyn na osi liczbowej. 

 

 

 

 

 

Zbiór A to zbiór liczb rzeczywistych, których odległość od zera jest mniejsza niż 7. 

 

 

Zbiór B to zbiór liczb rzeczywistych, których odległość od zera jest nie mniejsza niż 3. 

 

 

Zaznaczamy zbiory oraz ich iloczyn na osi liczbowej.

 

Zaokrąglij daną liczbę do jednego miejsca po przecinku:

 

 {premium}

 

 

 

 

Dane są liczby a=(⁴√8)²⁰⁰ i b= (⁵√64)¹⁰⁰. Wtedy

Uprośćmy liczby a i b.

{premium}

Zatem poprawną odpowiedzią jest również: