Wyznaczanie prostych równoległych i prostopadłych przechodzących przez dany punkt - matura-podstawowa - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Wyznaczanie prostych równoległych i prostopadłych przechodzących przez dany punkt - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Wyznaczanie prostych równoległych i prostopadłych przechodzących przez dany punkt

W tym rozdziale będziemy operować tylko i wyłącznie na postaciach kierunkowych, ponieważ w większości takie pojawiają się na testach czy maturze. Wzory ogólne są omówione w dziale poświęconym prostej przechodzącej przez dwa zadane punkty.

Przypomnienie:
Mając wzory dwóch prostych $y=a_1x+b_1$ oraz $y=a_2x+b_2$ proste są:
Równoległe jeśli $a_1=a_2$
Prostopadłe jeśli $a_1×a_2=-1$

Naszym jedynym dodatkowym utrudnieniem w tym dziale jest wprowadzenie punktu. Punkt będzie miał współrzędne (x,y) i to właśnie na tych zmiennych będziemy operować w naszych wzorach.

Aby w ogóle mówić o szukaniu punktu musimy mieć już znalezioną prostą prostopadłą/równoległą do danej, zazwyczaj wtedy znamy już współczynnik $a$, $b$ może być dowolną liczbą, więc jest nieznane. Znane zmienne ze wzoru $y=ax+b$ to $a$ oraz, gdy mamy dany punkt, przez który przechodzi ta prosta, także $x$ i $y$.

Na razie nadal nie znamy $b$, ale skoro prosta przechodzi przez konkretny punkt, $b$ już nie może być dowolne (w naszym punkcie znamy x i y). Pozostaje nam obliczyć to $b$, co będzie łatwe, bo mamy równanie z jedną niewiadomą.

Przykład:
Znaleźć prostą równoległą do y=3x-8 przechodzącą przez punkt A(1,5).

Zacznijmy od najbardziej nieznanego wzoru szukanej prostej:
$y=ax+b$
Zajmijmy się zmienną a, szukamy prostej równoległej zatem:
$a_1=a=3$

Uzupełnijmy nasz wzór:
$y=3x+b$

Teraz mamy punkt A(1,5)
$x=1$
$y=5$

Uzupełnijmy wzór o kolejne zmienne:
$5=3×1+b$

Pozostaje obliczyć b:
$5=3+b$
$b=2$

Uzupełnijmy wzór zyskując wzór ostateczny na szukaną prostą:
$y=3x+2$
To nie przypadek, że dostaliśmy taki sam wzór jak dla wyjściowej prostej - gdy dwie proste są do siebie równoległe i przechodząą przez co najmniej 1 wspólny punkt, to są identyczne!

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Znajdź prostą równoległą do $y=2x-2$ przechodzącą przez punkt A(3,3).

Zadanie analogiczne do przykładu:
Zaczynamy od kierunkowego wzoru:
$y=ax+b$

Zajmujemy się zmienną a, szukamy prostej równoległej zatem:
$a_1=a=2$

aktualny wzór:
$y=2x+b$

Teraz mamy punkt A(3,3), więc:
$x=3$
$y=3$

aktualny wzór:
$3=2×3+b$

Obliczamy b:
$3=6+b$
$b=-3$

Wzór ostateczny po wszystkich uzupełnieniach:
$y=2x-3$

Zadanie 2.

Znajdź prostą prostopadłą do $y=1/3 x-4$ przechodzącą przez punkt B(0;2).

Również bardzo podobnie, zaczynamy od kierunkowego wzoru:
$y=ax+b$

Zajmujemy się zmienną a, szukamy prostej prostopadłej zatem:
$a_1×a_2=-1$
$1/3×a_2=-1$ $|×3$
$a_2=-3$

aktualny wzór:
$y=-3x+b$

Teraz mamy punkt B(0,2), więc:
$x=0$
$y=2$

aktualny wzór:
$2=2×0+b$

Obliczamy b:
$b=2$

Wzór ostateczny po wszystkich uzupełnieniach:
$y=-3x+2$

Zadanie 3.

Znajdź prostą prostopadłą do $y=-1/2 x$ przechodzącą przez punkt C(2,1). Czy punkt D(0,-3) należy do tej prostej?

Przypominam, że przy postaci $y=-1/2 x$, $b_1$ jest równe 0. Chociaż tutaj nie ma to żadnego znaczenia. Zadanie to ma dwie części, najpierw znajdźmy prostą prostopadłą, analogicznie do zadania 2. Zaczynamy od kierunkowego wzoru
$y=ax+b$

Zajmujemy się zmienną a, szukamy prostej prostopadłej zatem:
$a_1×a=-1$
$-1/2×a=-1$ $|×(-2)$
$a=2$

aktualny wzór:
$y=2x+b$
Teraz mamy punkt C(2,1), więc:
$x=2$
$y=1$

aktualny wzór:
$1=2×2+b$

Obliczamy b:
$1=4+b$
$b=-3$

Wzór ostateczny po wszystkich uzupełnieniach:
$y=2x-3$

Sprawdźmy teraz czy punkt D(0;-3) należy do prostej $y=2x-3$. Czyli podstawmy znów do $y=2x-3$
$x=0$
$y=-3$
$-3=2×0-3$
$-3=-3$

Lewa strona jest równa prawej, zatem punkt należy do prostej.

 

Spis treści

Rozwiązane zadania
Wyprowadź wzór

{premium}

 

 

 

 

   

Oblicz miary kątów wierzchołkowych...

Dwa kąty mniejsze od kąta półpełnego nazywamy kątami wierzchołkowymi wtedy,

gdy ramiona jednego kąta są przedłużeniami ramion drugiego kąta.

Kąty wierzchołkowe są równe.


 Oznaczmy:

 

Kąt  jest przyległy do kąta o mierze  Stąd:

 

Odp.  {premium}


 stąd:

 

 

Zatem:

 

Odp.  


 Oznaczmy:

 

Kąty  i  również są wierzchołkowe, stąd:

 

 

Zatem:

 

Kąty  i  są przyległe. Stąd:

 

Odp.  


 Zauważmy, że kąty oznaczone jako  tworzą kąt półpełny. Stąd:

 

 

Odp.  

Z prostokątnego arkusza blachy...

Rysunek poglądowy:

Pole powierzchni bocznej to suma dwóch pól prostokąta o bokach x80-2x i dwóch pól prostokąta o bokach x120-2x

 

Pole powierzchni bocznej można wyrazić funkcją:

 

Ramiona paraboli są skierowane ku dołowi a więc wartość największa będzie w wierzchołku. Obliczymy odciętą wierzchołka paraboli licząc średnią arytmetyczną miejsc zerowych (gdyż są równo odległe od wierzchołka paraboli).

 

Odpowiedź: Każdy z wycinanych kwadratów powinien mieć bok długości 25cm.

Z punktu leżącego na zewnątrz kąta ABC o mierze...

Rysunek pomocniczy:

Thumb zad4.42str101{premium}


Zauważmy, że miara kąta między prostymi  i  jest taka sama jak miara kąta  

bo są to kąty odpowiadające.


Obliczamy miarę kąta  z sumy kątów trójkąta:

 


Odp. Kąt między narysowanymi prostymi ma miarę  

Znajdź obrazy następujących figur w przesunięciu...

{premium}




W pewnym zakładzie fotograficznym...

Pamiętajmy, że

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Wykres:

Oblicz wartości funkcji trygonometrycznych...

 

Z twierdzenia Pitagorasa:

  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Z twierdzenia Pitagorasa:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Z twierdzenia Pitagorasa:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Z twierdzenia Pitagorasa:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

W trapezie ACD podstawy AB i DC mają długość

|angleASB|=|angleCSD| ( kąty wierzchołkowe)

|angleDCA|=|angleCAB| (kąty naprzemianległe)

|angleCDB|=|angleDAB| (kąty naprzemianległe)

Z zasady kkk trójkąty CDS i ABS są podobne.

Stosunek pól trójkątów CDS i ABS jest równy kwadratowi skali podobieństwa.

Podaj liczbę punktów wspólnych okręgu opisanego...

Równanie okręgu o środku w punkcie S=(1,3) i promieniu r:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Odległość środków:

 

 

  • 0 punktów wspólnych

Okręgi rozłączne zewnętrznie dla:

 

 

 

 

Okręgi rozłączne wewnętrznie dla:

 

 

 

 

 

Suma obu przypadków:

 

 

  • 1 punkt wspólny:

 

 

  • 2 punkty wspólne:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Odległość środków:

 

 

 

  • 0 punktów wspólnych

Okręgi rozłączne zewnętrznie dla:

 

 

 

 

Okręgi rozłączne wewnętrznie dla:

 

 

 

 

 

Suma obu przypadków:

 

 

  • 1 punkt wspólny:

 

 

  • 2 punkty wspólne:

 

Wyznacz równanie prostej przedstawionej na rysunku

Prosta ma równanie y=ax+b. W celu wyznaczenia współczynników a oraz b podstawiamy współrzędne punktów (na każdej prostej wyraźnie zaznaczono dwa punkty) w miejsce x i y - mamy układ równań, z którego wyznaczymy a i b. Mając równanie prostej, podstawiamy współrzędne punktu (-10, -5) do równania - jeśli jest ono spełnione, to punkt należy do prostej, a jeśli nie, to punkt nie należy do prostej .{premium}

 

 

 

Mamy punkty o współrzędnych:

 

 

 

Warto zauważyć, że pierwszy punkt to miejsce przecięcia wykresu z osią OY, zatem jego druga współrzędna jest równa współczynnikowi b (wiemy to z twierdzenia na stronie 101). 

Zatem prosta ma równanie:

 

 

Teraz wystarczy podstawić współrzędne drugiego punktu w miejsce x i y:

 

 

 

 

Mamy więc równanie prostej:

 

 

Sprawdzamy, czy punkt (-10, -5) należy do tej prostej:

 

 

równość nie jest spełniona, więc punkt (-10, -5) nie należy do tej prostej

 

 

 

 

 

Mamy zaznaczone dwa punkty:

 

 

 

Tworzymy układ równań:

 

 

 

 

 

 

 

Prosta ma więc równanie: 

 

 

Sprawdzamy, czy punkt (-10, -5) należy do tej prostej: 

 

 

 

 

`` równość nie jest spełniona, więc punkt (-10, -5) nie należy do tej prostej

 

 

 

 

Mamy zaznaczone dwa punkty:

 

 

 

Tworzymy układ równań:

 

     odejmujemy równania stronami

  

   

 

Wstawiamy do pierwszego równania:

 

 

Zatem prosta ma równanie:

 

 

Sprawdzamy, czy punkt (-10, -5) należy do tej prostej:

 

 

 

równość jest spełniona, więc punkt (-10, -5) należy do tej prostej