Wyznaczanie prostych równoległych i prostopadłych przechodzących przez dany punkt - matura-podstawowa - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Wyznaczanie prostych równoległych i prostopadłych przechodzących przez dany punkt - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Wyznaczanie prostych równoległych i prostopadłych przechodzących przez dany punkt

W tym rozdziale będziemy operować tylko i wyłącznie na postaciach kierunkowych, ponieważ w większości takie pojawiają się na testach czy maturze. Wzory ogólne są omówione w dziale poświęconym prostej przechodzącej przez dwa zadane punkty.

Przypomnienie:
Mając wzory dwóch prostych $y=a_1x+b_1$ oraz $y=a_2x+b_2$ proste są:
Równoległe jeśli $a_1=a_2$
Prostopadłe jeśli $a_1×a_2=-1$

Naszym jedynym dodatkowym utrudnieniem w tym dziale jest wprowadzenie punktu. Punkt będzie miał współrzędne (x,y) i to właśnie na tych zmiennych będziemy operować w naszych wzorach.

Aby w ogóle mówić o szukaniu punktu musimy mieć już znalezioną prostą prostopadłą/równoległą do danej, zazwyczaj wtedy znamy już współczynnik $a$, $b$ może być dowolną liczbą, więc jest nieznane. Znane zmienne ze wzoru $y=ax+b$ to $a$ oraz, gdy mamy dany punkt, przez który przechodzi ta prosta, także $x$ i $y$.

Na razie nadal nie znamy $b$, ale skoro prosta przechodzi przez konkretny punkt, $b$ już nie może być dowolne (w naszym punkcie znamy x i y). Pozostaje nam obliczyć to $b$, co będzie łatwe, bo mamy równanie z jedną niewiadomą.

Przykład:
Znaleźć prostą równoległą do y=3x-8 przechodzącą przez punkt A(1,5).

Zacznijmy od najbardziej nieznanego wzoru szukanej prostej:
$y=ax+b$
Zajmijmy się zmienną a, szukamy prostej równoległej zatem:
$a_1=a=3$

Uzupełnijmy nasz wzór:
$y=3x+b$

Teraz mamy punkt A(1,5)
$x=1$
$y=5$

Uzupełnijmy wzór o kolejne zmienne:
$5=3×1+b$

Pozostaje obliczyć b:
$5=3+b$
$b=2$

Uzupełnijmy wzór zyskując wzór ostateczny na szukaną prostą:
$y=3x+2$
To nie przypadek, że dostaliśmy taki sam wzór jak dla wyjściowej prostej - gdy dwie proste są do siebie równoległe i przechodząą przez co najmniej 1 wspólny punkt, to są identyczne!

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Znajdź prostą równoległą do $y=2x-2$ przechodzącą przez punkt A(3,3).

Zadanie analogiczne do przykładu:
Zaczynamy od kierunkowego wzoru:
$y=ax+b$

Zajmujemy się zmienną a, szukamy prostej równoległej zatem:
$a_1=a=2$

aktualny wzór:
$y=2x+b$

Teraz mamy punkt A(3,3), więc:
$x=3$
$y=3$

aktualny wzór:
$3=2×3+b$

Obliczamy b:
$3=6+b$
$b=-3$

Wzór ostateczny po wszystkich uzupełnieniach:
$y=2x-3$

Zadanie 2.

Znajdź prostą prostopadłą do $y=1/3 x-4$ przechodzącą przez punkt B(0;2).

Również bardzo podobnie, zaczynamy od kierunkowego wzoru:
$y=ax+b$

Zajmujemy się zmienną a, szukamy prostej prostopadłej zatem:
$a_1×a_2=-1$
$1/3×a_2=-1$ $|×3$
$a_2=-3$

aktualny wzór:
$y=-3x+b$

Teraz mamy punkt B(0,2), więc:
$x=0$
$y=2$

aktualny wzór:
$2=2×0+b$

Obliczamy b:
$b=2$

Wzór ostateczny po wszystkich uzupełnieniach:
$y=-3x+2$

Zadanie 3.

Znajdź prostą prostopadłą do $y=-1/2 x$ przechodzącą przez punkt C(2,1). Czy punkt D(0,-3) należy do tej prostej?

Przypominam, że przy postaci $y=-1/2 x$, $b_1$ jest równe 0. Chociaż tutaj nie ma to żadnego znaczenia. Zadanie to ma dwie części, najpierw znajdźmy prostą prostopadłą, analogicznie do zadania 2. Zaczynamy od kierunkowego wzoru
$y=ax+b$

Zajmujemy się zmienną a, szukamy prostej prostopadłej zatem:
$a_1×a=-1$
$-1/2×a=-1$ $|×(-2)$
$a=2$

aktualny wzór:
$y=2x+b$
Teraz mamy punkt C(2,1), więc:
$x=2$
$y=1$

aktualny wzór:
$1=2×2+b$

Obliczamy b:
$1=4+b$
$b=-3$

Wzór ostateczny po wszystkich uzupełnieniach:
$y=2x-3$

Sprawdźmy teraz czy punkt D(0;-3) należy do prostej $y=2x-3$. Czyli podstawmy znów do $y=2x-3$
$x=0$
$y=-3$
$-3=2×0-3$
$-3=-3$

Lewa strona jest równa prawej, zatem punkt należy do prostej.

 

Spis treści

Rozwiązane zadania
Wykaż, że ...

Obie strony równania podnosimy do kwadratu. 

 

 


Mamy więc: {premium}

 

 

 

 

 

 


Zatem:

 

Wykres funkcji y=f(x) przekształć w symetrii...

 

 

{premium}  

 

Funkcja przyjmuje wartości dodatnie dla 

     

 

 

  

 

 

Funkcja przyjmuje wartości dodatnie dla

    

Trzy punkty leżące na jednej prostej wyznaczają na niej ...

Rysunek pomocniczy:

    {premium}

Ilość odcinków wyznaczonych przez te punkty: 3 (AB, BC, AC).

Ilość półprostych wyznaczonych przez te punkty: 6 (na lewo i na prawo od punktu A, na lewo i na prawo od punktu B, na lewo i na prawo od punktu C).

 

Odp. B

Osią symetrii paraboli ...

Prosta x=-3 jest osią symetrii, zatem pierwsza współrzędna wierzchołka paraboli jest równa -3, zatem:  {premium}

 

 

 

 

 

Zatem otrzymujemy:

 

Podstawiając współrzędne punktu A=(-2, 4) otrzymujemy:

 

 

 

 

 

Obliczmy współczynnik b.

 

 

 

Znajdź wzór funkcji liniowej...

a) Niech szukana funkcja dana będzie wzorem:

 

Wstawiamy{premium} współrzędne punktów A=(3, 7) i B=(5, 1) do wzoru funkcji - otrzymujemy układ równań, z którego wyznaczamy a oraz b.

 

 

 

Podstawiamy b=1-5a do pierwszego równania.

 

 

 

Podstawiamy a=-3 do drugiego równania.

 

 

 

Zatem szukana funkcja ma wzór y=-3x+16.


b) Niech szukana funkcja dana będzie wzorem:

 

Wstawiamy współrzędne punktów P=(-2, 7) i R=(-1, -3) do wzoru funkcji - otrzymujemy układ równań, z którego wyznaczamy a oraz b.

 

 

 

Podstawiamy b=a-3 do pierwszego równania.

 

 

 

Podstawiamy a=-10 do drugiego równania.

 

 

Zatem szukana funkcja ma wzór y=-10x-13.

Wstaw brakującą współrzędną , tak aby punkty...

 Wyznaczamy równanie prostej przechodzącej przez punkty  i   

Wstawiamy do równania prostej  współrzędne punktu  Otrzymujemy:

 

Wstawiamy do równania prostej  współrzędne punktu  Otrzymujemy:

 

Zapisujemy wyznaczone równania jako układ równań i wyliczamy z niego  

 

Dodajemy równania stronami i dopisujemy jedno równanie z pierwszego układu.

 

 

 

 

Zatem prosta przechodząca przez punkty  i   dana jest wzorem:

{premium}  

Obliczamy, jaką liczbę należy wstawić w miejsce  by punkty  były współliniowe.

 

Odp.  

 

 Wyznaczamy równanie prostej przechodzącej przez punkty  i   

Wstawiamy do równania prostej  współrzędne punktu  Otrzymujemy:

 

Wstawiamy do równania prostej  współrzędne punktu  Otrzymujemy:

 

Zapisujemy wyznaczone równania jako układ równań i wyliczamy z niego  

 

Dodajemy równania stronami i dopisujemy jedno równanie z pierwszego układu.

 

 

 

 

Zatem prosta przechodząca przez punkty  i   dana jest wzorem:

 

Obliczamy, jaką liczbę należy wstawić w miejsce  by punkty  były współliniowe.

 

 

 

Odp.  

 

 

 Wyznaczamy równanie prostej przechodzącej przez punkty  i   

Wstawiamy do równania prostej  współrzędne punktu  Otrzymujemy:

 

Wstawiamy do równania prostej  współrzędne punktu  Otrzymujemy:

 

Zapisujemy wyznaczone równania jako układ równań i wyliczamy z niego  

 

Dodajemy równania stronami i dopisujemy jedno równanie z pierwszego układu.

 

 

 

 

Zatem prosta przechodząca przez punkty  i   dana jest wzorem:

 

Obliczamy, jaką liczbę należy wstawić w miejsce  by punkty  były współliniowe.

 

 

 

 

Odp.  

 

 Wyznaczamy równanie prostej przechodzącej przez punkty  i   

Wstawiamy do równania prostej  współrzędne punktu  Otrzymujemy:

 

Wstawiamy do równania prostej  współrzędne punktu  Otrzymujemy:

 

Zapisujemy wyznaczone równania jako układ równań i wyliczamy z niego  

 

Dodajemy równania stronami i dopisujemy jedno równanie z pierwszego układu.

 

 

 

 

Zatem prosta przechodząca przez punkty  i   dana jest wzorem:

 

Obliczamy, jaką liczbę należy wstawić w miejsce  by punkty  były współliniowe.

 

Odp.     

Rozwiąż równanie ...

Rozwiązujemy podane równanie. Korzystamy ze wzorów na różnicę kwadratów oraz kwadrat różnicy. 

 

 


Mamy więc: {premium}

 

  

 

 

   


Rozwiązaniem równania jest liczba 12. 

Wyznacz funkcję kwadratową...

Ze wzorów Viète'a:

{premium}  

 

 

 

Droga wznosi się pod kątem...

Wykonajmy rysunek pomocniczy{premium}

Niech kąt CAB będzie kątem pod jakim wznosi się droga, którą szedł Janek

Niech długość odcinka AC będzie równa drodze jaką przeszedł Janek

Niech długość odcinka BC będzie szukaną wysokością. 

Zauważmy, że trójkąt ABC jest prostokątny.

Korzystając z definicji funkcji trygonometrycznych, zauważmy, że prawdziwa jest równość

 

odczytajmy wartość sin 6° z tablic trygonometrycznych

zatem dostajemy

 

Odp. Janek pokonał wysokość ok. 68 m.    

Dwie siły vec(F_1) i vec(F_2) zaczepione w tym samym punkcie...

Siła wypadkowa 

będzie równa sumie sił składowych, czyli

ponieważ wektory

są zaczepione w jednym punkcie,

to, do wyznaczenia sumy tych wektorów możemy 

zastosować tzw. "regułę równoległoboku".{premium}

W tym celu kreślimy równoległobok wyznaczony przez te wektory.

Wektor wyznaczony przez przekątną równoległoboku,

(zaczepiony w tym samym punkcie co wektory składowe)

jest sumą wektorów składowych,

co ilustruje poniższy rysunek

 

zauważmy, że ponieważ siły

działają prostopadle oraz

 

to powstały równoległobok jest kwadratem,

a wektor 

jet przekątną tego kwadratu. 

Korzystając ze wzoru na przekątną kwadratu o boku 10 dostajemy,

że wartość siły wypadkowej (z dokładnością do drugiego miejsca po przecinku) jest równa