Zgoda na przetwarzanie danych osobowych

25 maja 2018 roku zacznie obowiązywać Rozporządzenie Parlamentu Europejskiego i Rady (UE) 2016/679 z dnia 27 kwietnia 2016 r. znane jako RODO.

Dlatego aby dalej móc dostarczać Ci materiały odpowiednie do Twojego etapu edukacji, potrzebujemy zgody na lepsze dopasowanie treści do Twojego zachowania. Dzięki temu możemy zapamiętywać jakie materiały są Ci potrzebne. Dbamy o Twoją prywatność, więc nie zwiększamy zakresu naszych uprawnień. Twoje dane są u nas bezpieczne, a zgodę na ich zbieranie możesz wycofać na podstronie polityka prywatności.

Klikając "Przejdź do Odrabiamy", zgadzasz się na wskazane powyżej działania. W przeciwnym wypadku, nie jesteśmy w stanie zrealizować usługi kompleksowo i prosimy o opuszczenie strony.

Polityka prywatności

Drogi Użytkowniku w każdej chwili masz prawo cofnąć zgodę na przetwarzanie Twoich danych osobowych. Cofnięcie zgody nie będzie wpływać na zgodność z prawem przetwarzania, którego dokonano na podstawie wyrażonej przez Ciebie zgody przed jej wycofaniem. Po cofnięciu zgody wszystkie twoje dane zostaną usunięte z serwisu. Udzielenie zgody możesz modyfikować w zakładce 'Informacja o danych osobowych'

Wyznaczanie prostych równoległych i prostopadłych przechodzących przez dany punkt - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Wyznaczanie prostych równoległych i prostopadłych przechodzących przez dany punkt

W tym rozdziale będziemy operować tylko i wyłącznie na postaciach kierunkowych, ponieważ w większości takie pojawiają się na testach czy maturze. Wzory ogólne są omówione w dziale poświęconym prostej przechodzącej przez dwa zadane punkty.

Przypomnienie:
Mając wzory dwóch prostych $$y=a_1x+b_1$$ oraz $$y=a_2x+b_2$$ proste są:
Równoległe jeśli $$a_1=a_2$$
Prostopadłe jeśli $$a_1×a_2=-1$$

Naszym jedynym dodatkowym utrudnieniem w tym dziale jest wprowadzenie punktu. Punkt będzie miał współrzędne (x,y) i to właśnie na tych zmiennych będziemy operować w naszych wzorach.

Aby w ogóle mówić o szukaniu punktu musimy mieć już znalezioną prostą prostopadłą/równoległą do danej, zazwyczaj wtedy znamy już współczynnik $$a$$, $$b$$ może być dowolną liczbą, więc jest nieznane. Znane zmienne ze wzoru $$y=ax+b$$ to $$a$$ oraz, gdy mamy dany punkt, przez który przechodzi ta prosta, także $$x$$ i $$y$$.

Na razie nadal nie znamy $$b$$, ale skoro prosta przechodzi przez konkretny punkt, $$b$$ już nie może być dowolne (w naszym punkcie znamy x i y). Pozostaje nam obliczyć to $$b$$, co będzie łatwe, bo mamy równanie z jedną niewiadomą.

Przykład:
Znaleźć prostą równoległą do y=3x-8 przechodzącą przez punkt A(1,5).

Zacznijmy od najbardziej nieznanego wzoru szukanej prostej:
$$y=ax+b$$
Zajmijmy się zmienną a, szukamy prostej równoległej zatem:
$$a_1=a=3$$

Uzupełnijmy nasz wzór:
$$y=3x+b$$

Teraz mamy punkt A(1,5)
$$x=1$$
$$y=5$$

Uzupełnijmy wzór o kolejne zmienne:
$$5=3×1+b$$

Pozostaje obliczyć b:
$$5=3+b$$
$$b=2$$

Uzupełnijmy wzór zyskując wzór ostateczny na szukaną prostą:
$$y=3x+2$$
To nie przypadek, że dostaliśmy taki sam wzór jak dla wyjściowej prostej - gdy dwie proste są do siebie równoległe i przechodząą przez co najmniej 1 wspólny punkt, to są identyczne!

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Znajdź prostą równoległą do $$y=2x-2$$ przechodzącą przez punkt A(3,3).

Zadanie analogiczne do przykładu:
Zaczynamy od kierunkowego wzoru:
$$y=ax+b$$

Zajmujemy się zmienną a, szukamy prostej równoległej zatem:
$$a_1=a=2$$

aktualny wzór:
$$y=2x+b$$

Teraz mamy punkt A(3,3), więc:
$$x=3$$
$$y=3$$

aktualny wzór:
$$3=2×3+b$$

Obliczamy b:
$$3=6+b$$
$$b=-3$$

Wzór ostateczny po wszystkich uzupełnieniach:
$$y=2x-3$$

Zadanie 2.

Znajdź prostą prostopadłą do $$y=1/3 x-4$$ przechodzącą przez punkt B(0;2).

Również bardzo podobnie, zaczynamy od kierunkowego wzoru:
$$y=ax+b$$

Zajmujemy się zmienną a, szukamy prostej prostopadłej zatem:
$$a_1×a_2=-1$$
$$1/3×a_2=-1$$ $$|×3$$
$$a_2=-3$$

aktualny wzór:
$$y=-3x+b$$

Teraz mamy punkt B(0,2), więc:
$$x=0$$
$$y=2$$

aktualny wzór:
$$2=2×0+b$$

Obliczamy b:
$$b=2$$

Wzór ostateczny po wszystkich uzupełnieniach:
$$y=-3x+2$$

Zadanie 3.

Znajdź prostą prostopadłą do $$y=-1/2 x$$ przechodzącą przez punkt C(2,1). Czy punkt D(0,-3) należy do tej prostej?

Przypominam, że przy postaci $$y=-1/2 x$$, $$b_1$$ jest równe 0. Chociaż tutaj nie ma to żadnego znaczenia. Zadanie to ma dwie części, najpierw znajdźmy prostą prostopadłą, analogicznie do zadania 2. Zaczynamy od kierunkowego wzoru
$$y=ax+b$$

Zajmujemy się zmienną a, szukamy prostej prostopadłej zatem:
$$a_1×a=-1$$
$$-1/2×a=-1$$ $$|×(-2)$$
$$a=2$$

aktualny wzór:
$$y=2x+b$$
Teraz mamy punkt C(2,1), więc:
$$x=2$$
$$y=1$$

aktualny wzór:
$$1=2×2+b$$

Obliczamy b:
$$1=4+b$$
$$b=-3$$

Wzór ostateczny po wszystkich uzupełnieniach:
$$y=2x-3$$

Sprawdźmy teraz czy punkt D(0;-3) należy do prostej $$y=2x-3$$. Czyli podstawmy znów do $$y=2x-3$$
$$x=0$$
$$y=-3$$
$$-3=2×0-3$$
$$-3=-3$$

Lewa strona jest równa prawej, zatem punkt należy do prostej.

 

Spis treści

Rozwiązane zadania
Narysuj wykresy przykładowych funkcji...

Wyznacz miejsce zerowe funkcji y=f(x).

Miejsce zerowe funkcji to taki argument dziedziny, dla którego funkcja przyjmuje wartość zero.

Wystarczy zatem rozwiązać równanie `f(x)=0.` 

`"a)"\ 5x-2=0` 

`5x=2\ "/":5` 

`x=2/5->` miejsce zerowe funkcji `y=f(x)`       

 

`"b)"\ -1/3x+1=0` 

`-1/3x=-1\ "/"*(-3)` 

`x=3->`  miejsce zerowe funkcji `y=f(x)`      

 

`"c)"\ x-sqrt2=0` 

 `x=sqrt2->`  miejsce zerowe funkcji `y=f(x)`      

 

`"d)"\ sqrt2x=0\ "/":sqrt2` 

`x=0->`  miejsce zerowe funkcji `y=f(x)`

 

`"e)"` Funkcja `f(x)=-4` nie ma miejsc zerowych, ponieważ `ZW={-4}.` 

 

`"f)"\ sqrt3x-3=0` 

`sqrt3x=3\ "/":sqrt3` 

`x=3/sqrt3*sqrt3/sqrt3=sqrt3` 

`x=sqrt3->`  miejsce zerowe funkcji `y=f(x)`   

Przedstaw wyrażenie w postaci kwadratu

`a)\ x^2+6x+9=x^2+2*x*3+3^2=(x+3)^2`

`b)\ 4x^2+4x+1=(2x)^2+2*2x*1+1^2=(2x+1)^2`

`c)\ x^2-x+1/4=x^2-2*x*1/2+(1/2)^2=(x-1/2)^2`

`d)\ 4x^2-20x+25=(2x)^2-2*2x*5+5^2=(2x-5)^2`

`e)\ 16x^2+24x+9=(4x)^2+2*4x*3+3^2=(4x+3)^2`

`f)\ x^2-3x+9/4=x^2-2*x*3/2+(3/2)^2=(x-3/2)^2`

 

Liczba ... jest równa

`root(10)(100root(6)(10root(3)10))=root(10)(100root(6)(10*10^(1/3)))=root(10)(100root(6)(10^(4/3)))=root(10)(100*10^(4/3*1/6))=root(10)(10^2*10^(2/9))=`   

`=root(10)(10^(20/9))=10^(20/9*1/10)=10^(2/9)=root(9)(10^2)=root(9)100` 

 

Odp: A

Zbiorem wartości funkcji f jest przedział...

Aby otrzymać wykres funkcji `y=f(x)-5,` należy przesunąć wykres funkcji `f` o `5` jednostek w dół.   

Zbiór wartości funkcji przesunie się tak samo, więc będzie to przedział `<< -16,-2>>.` 

Prawidłowa odpowiedź to `"A."` 

Wyznacz dziedzinę i zbiór rozwiązań...

a) Liczba pod pierwiastkiem musi być nieujemna, jednakże pod pierwiastkiem mamy liczbę podniesioną do kwadratu. Zatem dziedziną wyrażenia są wszystkie liczby rzeczywiste gdyż każda liczba rzeczywista podniesiona do kwadratu jest nieujemna.

Dziedzina:

`D = R`   

 

Zauważmy, że nasze wyrażenie jest zawsze nieujemne, jedyny przypadek w którym będzie równe 0 jest wtedy, gdy argument będzie równy 0. A więc zbiór rozwiązań to:

`R \ \\ \ {0}` 

 

b) Dziedziną nierówności są wszystkie liczby rzeczywiste gdyż każda liczba rzeczywista może być podnoszona do kwadratu.

Dziedzina:

`D = R` 

 

Wiemy, że dowolna liczba rzeczywista podniesiona do kwadratu jest nieujemna, dodając do niej liczbę dodatnią dostaniemy liczbę stale większą od 0. Zbiorem rozwiązań jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych.

`R` 

 

Dziedzina i zbiór rozwiązań są równe a więc jest to nierówność tożsamościowa.

 

c) Wiemy, że mianownik musi być różny od zera, zatem dziedziną są wszystkie liczby rzeczywiste z wyłączeniem 0.

Dziedzina:

`D = R \ \\ \ {0}`  

 

Zauważmy, że w mianowniku mamy liczbę zawsze większa od 0. Mianownik jest również dodatnia a więc całe wyrażenie jest dodatnie. Zatem zbiorem rozwiązań nierówności jest zbiór pusty.

`emptyset` 

 

Nierówność jest sprzeczna gdyż żaden element dziedziny nie jest rozwiązaniem.

Wyłącz czynnik przed pierwiastek

`a)\ sqrt44=sqrt(4*11)=sqrt4*sqrt11=2sqrt11`

`b)\ sqrt63=sqrt(9*7)=sqrt9*sqrt7=3sqrt7`

`c)\ root(3)(80)=root(3)(8*10)=root(3)8*root(3)10=2root(3)10`

`d)\ root(3)56=root(3)(8*7)=root(3)8*root(3)7=2root(3)7`

Liczbą wymierną jest

`A.\ (2sqrt6-sqrt16)/2=(2sqrt6-4)/2=sqrt6-2notinW` 

`B.\ (3-sqrt3)/sqrt3=((3-sqrt3)*sqrt3)/(sqrt3*sqrt3)=` `(3sqrt3-3)/3=sqrt3-1notinW` 

`C.\ (sqrt25+sqrt5)/sqrt5=(5+sqrt5)/sqrt5=((5+sqrt5)sqrt5)/5=(5sqrt5+5)/5=sqrt5+1notinW` 

`D.\ (sqrt2*sqrt3)/sqrt54=sqrt6/sqrt54=sqrt(6/54)=sqrt(1/9)=1/3inW`    

Podane poniżej rozwiązanie

`a)`

`2.\ "Jeśli"\ 3x-2>=0,\ "czyli"\ x in <<2/3;\ +infty),`

`\ \ \ "to równanie przybiera postać:"`

`\ \ \ 3x-2+x=10`

`\ \ \ 4x-2=10\ \ \ |+2`

`\ \ \ 4x=12\ \ \ |:4`

`\ \ \ x=3`

`\ \ \ "Zauważmy, że"\ 3 in <<2/3;\ +infty)`

`"Liczbami spełniającymi równanie są"\ -4\ "i"\ 3.`

 

 

`b)`

`1.\ "Jeśli"\ 5x-2<0,\ "czyli"\ x in (-infty;\ 2/5),`

`\ \ \ "to równanie przybiera postać:"`

`\ \ \ -(5x-2)-3x=2`

`\ \ \ -5x+2-3x=2`

`\ \ \ -8x+2=2\ \ \ |-2`

`\ \ \ -8x=0\ \ \ |:(-8)`

`\ \ \ x=0`

`\ \ \ "Zauważmy, że"\ 0 in (-infty;\ 2/5)`

 

`"Liczbami spełniającymi równanie są"\ 0\ "i"\ 2.`

 

 

 

`c)`

`1.\ "Jeśli"\ 4x+2<0,\ "czyli"\ x in (-infty;\ -1/2),`

`\ \ \ "to równanie przybiera postać:"`

`\ \ \ -(4x+2)-x=3`

`\ \ \ -4x-2-x=3`

`\ \ \ -5x-2=3\ \ \ |+2`

`\ \ \ -5x=5\ \ \ |:(-5)`

`\ \ \ x=-1`

`\ \ \ "Zauważmy, że"\ -1 in (-infty;\ -1/2)`

 

 

`2.\ "Jeśli"\ 4x+2>=0,\ "czyli"\ x in <<-1/2;\ +infty),`

`\ \ \ "to równanie przybiera postać:"`

`\ \ \ 4x+2-x=3`

`\ \ \ 3x+2=3\ \ \ |-2`

`\ \ \ 3x=1\ \ \ |:3`

`\ \ \ x=1/3`

`\ \ \ "Zauważmy, że"\ 1/3in <<-1/2;\ +infty)`

 

`"Liczbami spełniającymi równanie są"\ -1 \ "i"\ 1/3.`

 

 

Rozwiąż nierówność

`xsqrt3<1+2x\ \ \ |-2x`

`xsqrt3-2x<1`

`x(sqrt3-2)<1\ \ \ |:(sqrt3-2)<0`

`x>1/(sqrt3-2)`

`x>(sqrt3+2)/((sqrt3-2)*(sqrt3+2))`

`x>(sqrt3+2)/(sqrt3^2-2^2)`

`x>(sqrt3+2)/(3-4)`

`x>(sqrt3+2)/(-1)`

`x> -sqrt3-2`

 

`-sqrt3-2~~-1,73-2=-3,73`

 

 

Najmniejsza liczba całkowita spełniająca nierówność to -3.