Wyznaczanie prostych równoległych i prostopadłych przechodzących przez dany punkt - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Wyznaczanie prostych równoległych i prostopadłych przechodzących przez dany punkt

W tym rozdziale będziemy operować tylko i wyłącznie na postaciach kierunkowych, ponieważ w większości takie pojawiają się na testach czy maturze. Wzory ogólne są omówione w dziale poświęconym prostej przechodzącej przez dwa zadane punkty.

Przypomnienie:
Mając wzory dwóch prostych $$y=a_1x+b_1$$ oraz $$y=a_2x+b_2$$ proste są:
Równoległe jeśli $$a_1=a_2$$
Prostopadłe jeśli $$a_1×a_2=-1$$

Naszym jedynym dodatkowym utrudnieniem w tym dziale jest wprowadzenie punktu. Punkt będzie miał współrzędne (x,y) i to właśnie na tych zmiennych będziemy operować w naszych wzorach.

Aby w ogóle mówić o szukaniu punktu musimy mieć już znalezioną prostą prostopadłą/równoległą do danej, zazwyczaj wtedy znamy już współczynnik $$a$$, $$b$$ może być dowolną liczbą, więc jest nieznane. Znane zmienne ze wzoru $$y=ax+b$$ to $$a$$ oraz, gdy mamy dany punkt, przez który przechodzi ta prosta, także $$x$$ i $$y$$.

Na razie nadal nie znamy $$b$$, ale skoro prosta przechodzi przez konkretny punkt, $$b$$ już nie może być dowolne (w naszym punkcie znamy x i y). Pozostaje nam obliczyć to $$b$$, co będzie łatwe, bo mamy równanie z jedną niewiadomą.

Przykład:
Znaleźć prostą równoległą do y=3x-8 przechodzącą przez punkt A(1,5).

Zacznijmy od najbardziej nieznanego wzoru szukanej prostej:
$$y=ax+b$$
Zajmijmy się zmienną a, szukamy prostej równoległej zatem:
$$a_1=a=3$$

Uzupełnijmy nasz wzór:
$$y=3x+b$$

Teraz mamy punkt A(1,5)
$$x=1$$
$$y=5$$

Uzupełnijmy wzór o kolejne zmienne:
$$5=3×1+b$$

Pozostaje obliczyć b:
$$5=3+b$$
$$b=2$$

Uzupełnijmy wzór zyskując wzór ostateczny na szukaną prostą:
$$y=3x+2$$
To nie przypadek, że dostaliśmy taki sam wzór jak dla wyjściowej prostej - gdy dwie proste są do siebie równoległe i przechodząą przez co najmniej 1 wspólny punkt, to są identyczne!

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Znajdź prostą równoległą do $$y=2x-2$$ przechodzącą przez punkt A(3,3).

Zadanie analogiczne do przykładu:
Zaczynamy od kierunkowego wzoru:
$$y=ax+b$$

Zajmujemy się zmienną a, szukamy prostej równoległej zatem:
$$a_1=a=2$$

aktualny wzór:
$$y=2x+b$$

Teraz mamy punkt A(3,3), więc:
$$x=3$$
$$y=3$$

aktualny wzór:
$$3=2×3+b$$

Obliczamy b:
$$3=6+b$$
$$b=-3$$

Wzór ostateczny po wszystkich uzupełnieniach:
$$y=2x-3$$

Zadanie 2.

Znajdź prostą prostopadłą do $$y=1/3 x-4$$ przechodzącą przez punkt B(0;2).

Również bardzo podobnie, zaczynamy od kierunkowego wzoru:
$$y=ax+b$$

Zajmujemy się zmienną a, szukamy prostej prostopadłej zatem:
$$a_1×a_2=-1$$
$$1/3×a_2=-1$$ $$|×3$$
$$a_2=-3$$

aktualny wzór:
$$y=-3x+b$$

Teraz mamy punkt B(0,2), więc:
$$x=0$$
$$y=2$$

aktualny wzór:
$$2=2×0+b$$

Obliczamy b:
$$b=2$$

Wzór ostateczny po wszystkich uzupełnieniach:
$$y=-3x+2$$

Zadanie 3.

Znajdź prostą prostopadłą do $$y=-1/2 x$$ przechodzącą przez punkt C(2,1). Czy punkt D(0,-3) należy do tej prostej?

Przypominam, że przy postaci $$y=-1/2 x$$, $$b_1$$ jest równe 0. Chociaż tutaj nie ma to żadnego znaczenia. Zadanie to ma dwie części, najpierw znajdźmy prostą prostopadłą, analogicznie do zadania 2. Zaczynamy od kierunkowego wzoru
$$y=ax+b$$

Zajmujemy się zmienną a, szukamy prostej prostopadłej zatem:
$$a_1×a=-1$$
$$-1/2×a=-1$$ $$|×(-2)$$
$$a=2$$

aktualny wzór:
$$y=2x+b$$
Teraz mamy punkt C(2,1), więc:
$$x=2$$
$$y=1$$

aktualny wzór:
$$1=2×2+b$$

Obliczamy b:
$$1=4+b$$
$$b=-3$$

Wzór ostateczny po wszystkich uzupełnieniach:
$$y=2x-3$$

Sprawdźmy teraz czy punkt D(0;-3) należy do prostej $$y=2x-3$$. Czyli podstawmy znów do $$y=2x-3$$
$$x=0$$
$$y=-3$$
$$-3=2×0-3$$
$$-3=-3$$

Lewa strona jest równa prawej, zatem punkt należy do prostej.

 

Spis treści

Rozwiązane zadania
Podaj cechę przystawania, na podstawie której można stwierdzić

`a)` 

`|angleDCE|=|angleACB|`   (kąty wierzchołkowe)

`|angleDEC|=|angleCAB|`   (kąty naprzemianległe)

`|AC|=|CE|` 

`DeltaDCE-=DeltaBCA\ \ \ \ cecha\ kbk`  

 

 

`b)` 

`DeltaCDB-=DeltaADB\ \ \ \ cecha\ bkb`    (wspólny bok BD, boki AD i CD równej długości, a pomiędzy nimi kąt prosty)

 

 

`c)` 

`|angleDCA|=|angleBAC|`    (kąty naprzemianległe)  

`|angleDAC|=|angleBCA|`   (kąty naprzemianległe) 

`DeltaACD-=DeltaCAB\ \ \ \ cecha\ kbk` 

Wyznacz trójmian kwadratowy ...

`a)` 

`x_1=-1` 

`x_2=3` 

`Y=[-4;+oo)` ` <br> `

`p=(x_1+x_2)/2=2/2=1` 

`q=f(p)=-4` 

`f(x)=a(x+1)(x-3)`  

`f(1)=a*2*(-2)=-4` 

 

`a=1` 

`f(x)=(x+1)(x-3)` 

 

`b)` 

`x_1=-4` 

`x_2=0` 

`Y=(-oo;2]` 

`p=(-4)/2=-2` 

`f(p)=2`  

`f(x)=ax(x+4)` 

`f(-2)=-2a(-2+4)=2`

`-4a=2` 

 

`a=-1/2` 

`f(x)=1/2x(x+4)` 

  

`c)` 

`x_1=-8` 

`x_2=2` 

`Y=(-oo;10]` 

 

`p=(-8+2)/2=-3` 

`f(p)=10` 

`f(x)=a(x-2)(x+8)` 

`f(3)=a*(-5)*5=10` 

 

`a=-2/5`  

`f(x)=-2/5(x-2)(x+8)` 

 

`d)` 

`x_1=0` 

`x_2=6` 

`Y=[-6;+oo)` 

 

`p=6/2=3` 

`f(p)=-6` 

`f(x)=ax(x-6)` 

`f(3)=3a(-3)=-9a=-6` 

 

`a=2/3` 

`f(x)=2/3x(x-6)`   

Dana jest funkcja y = -2x + 3.

`"a)"` 

 

 

`"b)"` Aby wyznaczyć współrzędne punktu wspólnego podanych funkcji, wystarczy rozwiązać układ równań.

`{(y=-2x+3),(-1/2x+y+2=0):}` 

`{(y=-2x+3),(-1/2x-2x+3+2=0):}` 

`{(y=-2x+3),(-5/2x=-5\ "/"*(-2/5)):}` 

`{(y=-2x+3),(x=2):}` 

`{(y=-2*2+3),(x=2):}` 

`{(y=-1),(x=2):}` 

Odp. Punkt wspólny wykresów danych funkcji to `(2,-1).`  

Wyznacz kąty

`a)`

`beta=137^o`

`alpha=gamma=180^o-137^o=43^o`

 

 

`b)`

`alpha=110^o`

`beta=180^o-110^o=70^o`

 

 

 

`c)`

`alpha=180^o-75^o=105^o`

 

Naszkicuj wykres funkcji

`a)` 

Do wykresu funkcji f należą punkty (0, 3) oraz (1, 2). Prowadzimy przez te punkty wykres. 

 

Aby otrzymać wykres funkcji y=|f(x)| wystarczy odbić symetrycznie względem osi OX tę część wykresu funkcji f, która znajduje się pod osią OX. 

`y=f(x)\ \ \ \ #(->)^(S_(OX)^-)\ \ \ y=|f(x)|` 

 

 

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ )) ` 

 

 

`b)` 

Aby otrzymać wykres funkcji f wystarczy przesunąć wykres funkcji y=2|x| o 2 jednostki w dół wzdłuż osi OY. 

`y=2|x|\ \ \ \ #(->)^(vecu=[0;\ -2])\ \ \ f(x)=2|x|-2`  

 

 

Aby otrzymać wykres funkcji y=|f(x)| wystarczy odbić symetrycznie względem osi OX tę część wykresu funkcji f, która znajduje się pod osią OX. 

`y=f(x)\ \ \ \ #(->)^(S_(OX)^-)\ \ \ y=|f(x)|` 

 

 

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))` 

 

 

`c)` 

Aby otrzymać wykres funkcji f wystarczy przesunąć wykres funkcji y=-2|x| o 2 jednostki w górę wzdłuż osi OY. 

`y=-2|x|\ \ \ \ #(->)^(vecu=[0;\ 2])\ \ \ f(x)=-2|x|+2` 

Aby otrzymać wykres funkcji y=|f(x)| wystarczy odbić symetrycznie względem osi OX tę część wykresu funkcji f, która znajduje się pod osią OX.  

`y=f(x)\ \ \ \ #(->)^(S_(OX)^-)\ \ \ y=|f(x)|` 

Podaj dziedzinę i miejsca zerowe funkcji f

Nie wolno dzielić przez 0, więc musimy zadbać o to, aby w mianowniku na pewno nie było 0. 

Przy wyznaczaniu miejsca zerowego zawsze należy sprawdzić, czy otrzymany wynik należy do dziedziny. 

 

`a)`

Wyznaczamy dziedzinę:

`x-2ne0\ \ \ |+2`

`xne2`

`D=RR\\{2}`

 

Szukamy miejsca zerowego: 

`f(x)=0`

`(x+6)/(x-2)=0\ \ \ |*(x-2)`

`x+6=0\ \ \ |-6`

`x=-6inD`

Otrzymany argument jest miejscem zerowym, ponieważ należy do dziedziny (jest różny od 2)

 

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))`

 

 

`b)`

`3x+6ne0\ \ \ |-6`

`3xne-6\ \ \ |:3`

`xne-2`

`D=RR\\{-2}`

 

`f(x)=0`

`(3-x)/(3x+6)=0\ \ \ |*(3x+6)`

`3-x=0\ \ \ |-3`

`-x=-3\ \ \ |*(-1)`

`x=3inD`

 

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))`

 

 

`c)`

`0,5x-0,25ne0\ \ \ |+0,25`

`0,5xne0,25\ \ \ |*2`

`xne0,5`

`xne1/2`

`D=RR\\{1/2}`

 

 

`f(x)=0`

`(-6x+3)/(0,5x-0,25)=0\ \ \ |*(0,5x-0,25)`

`-6x+3=0\ \ \ |-3`

`-6x=-3\ \ \ |:(-6)`

`x=(-3)/(-6)=1/2notinD`

Otrzymany wynik nie należy do dziedziny funkcji f, więc ta funkcja nie ma miejsc zerowych. 

 

 

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))`

 

 

`d)`

`2x+0,75ne0`

`2x+3/4ne0\ \ \ |-3/4`

`2xne-3/4\ \ \ |*1/2`

`xne-3/8`

`D=RR\\{-3/8}`

 

`f(x)=0`

`(-8x-1)/(2x+0,75)=0\ \ \ |*(2x+0,75)`

`-8x-1=0\ \ \ |+1`

`-8x=1\ \ \ |:(-8)`

`x=-1/8inD`

 

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))`

 

`e)`

`x^2+4ne0`

`x^2ne-4`

Ta nierówność jest spełniona przez każdą liczbę - kwadrat dowolnej liczby jest nieujemny, nigdy nie będzie równy -4.

`D=RR`

 

`f(x)=0`

`(x^2-4)/(x^2+4)=0\ \ \ |*(x^2+4)`

`x^2-4=0\ \ \ |+4`

`x^2=4`

`x=2inD\ \ \ \ "lub"\ \ \ x=-2inD`

 

  

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))`

 

`f)`

`x^2-4ne0\ \ \ |+4`

`x^2ne4`

`xne2\ \ \ \ "i"\ \ \ \ xne-2`

`D=RR\\{-2,\ 2}`

 

`f(x)=0`

`(x^2+4)/(x^2-4)=0\ \ \ |*(x^2-4)`

`x^2+4=0\ \ \ |-4`

`x^2=-4`

Ta równanie nie ma rozwiązania - kwadrat dowolnej liczby jest nieujemny, nigdy nie będzie równy -4.

Oznacza to, że funkcja f nie ma miejsc zerowych.

Dziedziną funkcji f jest przedział [1;5], ...

`a)` 

`vec{u}=[0,4]` 

`D_g=[0+1,0+5]=[1,5]`  

`g(D_g)=[-2+4,6+4]=[2,10]` 

 

`b)` 

`vec{u}=[3,0]` 

`D_g=[3+1,3+5]=[4,8]` 

`g(D_g)=[0-2;6+0]=[-2;6]` 

 

`c)` 

`vec{u}=[2;5]` 

`D_g=[2+1;5+2]=[3,7]` 

`g(D_g)=[-2+5;6+5]=[3;11]` 

 

`d)` 

`vec{u}=[-1;-3]` 

`D_g=[1-1;5-1]=[0;4]` 

`g(D_g)=[-2-3;6-3]=[-5;3]`      

 

Oblicz odległość między liczbami:

`a) \ |2 -(-12)| = |2 + 12| = |14| = 14` 

 

`b) \ |-5 -24| = |-29| = 29` 

 

`c) \ |-4,3 - 2,8| = |-7,1| = 7,1` 

 

`d) \ |-1+sqrt2 - sqrt2| = |-1| = 1` 

 

`e) \ | 4 - 1,6| = | 2,4| = 2,4` 

 

`f) \ |-7 -(-12)| = |-7 + 12|= |5|= 5` 

Zaokrąglij dane z tabeli

Zaokrąglamy liczby z tabeli do dwóch miejsc znaczących.

Dwa pierwsze przykłady to zaokrąglenie do dziesiątek, jednak w pierwszym przykłądzie pokrywa się ono z zaokrągleniem do setek: 

`798~~800` 

`591~~590` 

Dwie kolejne liczby mają już dwie cyfry znaczące:

`290~~290` 

`621~~620` 

`46~~46` 

Zaokrąglamy dalej:

`1382~~1400` 

`1231~~1200` 

`759~~760` 

`676~~680`  

``Ostatnia liczba ma już dwie cyfry znaczące:

`25~~25` 

 

Obliczamy błędy względne przybliżeń dotyczących Polski:

`|290-290|/|290|=|0|/290=0/290=0` 

`|759-760|/|759|=|-1|/759=1/759=0,001317523...=0,1317523...%~~0,1318%` 

Wskaż parę liczb całkowitych...

Pierwiastek z dwóch jest niewymierny więc b musi być równe 0 żeby pierwiastek zniknął (Każda liczba pomnożona przez 0 jest równa 0) 

 

`{(a=1),(b=0):}`