Wyznaczanie prostych równoległych i prostopadłych przechodzących przez dany punkt - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Wyznaczanie prostych równoległych i prostopadłych przechodzących przez dany punkt

W tym rozdziale będziemy operować tylko i wyłącznie na postaciach kierunkowych, ponieważ w większości takie pojawiają się na testach czy maturze. Wzory ogólne są omówione w dziale poświęconym prostej przechodzącej przez dwa zadane punkty.

Przypomnienie:
Mając wzory dwóch prostych $$y=a_1x+b_1$$ oraz $$y=a_2x+b_2$$ proste są:
Równoległe jeśli $$a_1=a_2$$
Prostopadłe jeśli $$a_1×a_2=-1$$

Naszym jedynym dodatkowym utrudnieniem w tym dziale jest wprowadzenie punktu. Punkt będzie miał współrzędne (x,y) i to właśnie na tych zmiennych będziemy operować w naszych wzorach.

Aby w ogóle mówić o szukaniu punktu musimy mieć już znalezioną prostą prostopadłą/równoległą do danej, zazwyczaj wtedy znamy już współczynnik $$a$$, $$b$$ może być dowolną liczbą, więc jest nieznane. Znane zmienne ze wzoru $$y=ax+b$$ to $$a$$ oraz, gdy mamy dany punkt, przez który przechodzi ta prosta, także $$x$$ i $$y$$.

Na razie nadal nie znamy $$b$$, ale skoro prosta przechodzi przez konkretny punkt, $$b$$ już nie może być dowolne (w naszym punkcie znamy x i y). Pozostaje nam obliczyć to $$b$$, co będzie łatwe, bo mamy równanie z jedną niewiadomą.

Przykład:
Znaleźć prostą równoległą do y=3x-8 przechodzącą przez punkt A(1,5).

Zacznijmy od najbardziej nieznanego wzoru szukanej prostej:
$$y=ax+b$$
Zajmijmy się zmienną a, szukamy prostej równoległej zatem:
$$a_1=a=3$$

Uzupełnijmy nasz wzór:
$$y=3x+b$$

Teraz mamy punkt A(1,5)
$$x=1$$
$$y=5$$

Uzupełnijmy wzór o kolejne zmienne:
$$5=3×1+b$$

Pozostaje obliczyć b:
$$5=3+b$$
$$b=2$$

Uzupełnijmy wzór zyskując wzór ostateczny na szukaną prostą:
$$y=3x+2$$
To nie przypadek, że dostaliśmy taki sam wzór jak dla wyjściowej prostej - gdy dwie proste są do siebie równoległe i przechodząą przez co najmniej 1 wspólny punkt, to są identyczne!

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Znajdź prostą równoległą do $$y=2x-2$$ przechodzącą przez punkt A(3,3).

Zadanie analogiczne do przykładu:
Zaczynamy od kierunkowego wzoru:
$$y=ax+b$$

Zajmujemy się zmienną a, szukamy prostej równoległej zatem:
$$a_1=a=2$$

aktualny wzór:
$$y=2x+b$$

Teraz mamy punkt A(3,3), więc:
$$x=3$$
$$y=3$$

aktualny wzór:
$$3=2×3+b$$

Obliczamy b:
$$3=6+b$$
$$b=-3$$

Wzór ostateczny po wszystkich uzupełnieniach:
$$y=2x-3$$

Zadanie 2.

Znajdź prostą prostopadłą do $$y=1/3 x-4$$ przechodzącą przez punkt B(0;2).

Również bardzo podobnie, zaczynamy od kierunkowego wzoru:
$$y=ax+b$$

Zajmujemy się zmienną a, szukamy prostej prostopadłej zatem:
$$a_1×a_2=-1$$
$$1/3×a_2=-1$$ $$|×3$$
$$a_2=-3$$

aktualny wzór:
$$y=-3x+b$$

Teraz mamy punkt B(0,2), więc:
$$x=0$$
$$y=2$$

aktualny wzór:
$$2=2×0+b$$

Obliczamy b:
$$b=2$$

Wzór ostateczny po wszystkich uzupełnieniach:
$$y=-3x+2$$

Zadanie 3.

Znajdź prostą prostopadłą do $$y=-1/2 x$$ przechodzącą przez punkt C(2,1). Czy punkt D(0,-3) należy do tej prostej?

Przypominam, że przy postaci $$y=-1/2 x$$, $$b_1$$ jest równe 0. Chociaż tutaj nie ma to żadnego znaczenia. Zadanie to ma dwie części, najpierw znajdźmy prostą prostopadłą, analogicznie do zadania 2. Zaczynamy od kierunkowego wzoru
$$y=ax+b$$

Zajmujemy się zmienną a, szukamy prostej prostopadłej zatem:
$$a_1×a=-1$$
$$-1/2×a=-1$$ $$|×(-2)$$
$$a=2$$

aktualny wzór:
$$y=2x+b$$
Teraz mamy punkt C(2,1), więc:
$$x=2$$
$$y=1$$

aktualny wzór:
$$1=2×2+b$$

Obliczamy b:
$$1=4+b$$
$$b=-3$$

Wzór ostateczny po wszystkich uzupełnieniach:
$$y=2x-3$$

Sprawdźmy teraz czy punkt D(0;-3) należy do prostej $$y=2x-3$$. Czyli podstawmy znów do $$y=2x-3$$
$$x=0$$
$$y=-3$$
$$-3=2×0-3$$
$$-3=-3$$

Lewa strona jest równa prawej, zatem punkt należy do prostej.

 

Spis treści

Rozwiązane zadania
Oblicz wartość wyrażenia...

`a) \ sin alpha + cos alpha = 7/5` 

Podnieśmy równanie do kwadratu:

`(sin alpha + cos alpha)^2 = 49/25` 

`sin^2 alpha + 2sinalphacosalpha + cos^2 alpha = 49/25` 

`1 + 2 sin cos alpha = 49/25` 

`2 sin alpha cos alpha = 24/25` 

 

Z jedynki trygonometrycznej:

`sin^2 alpha + cos^2 alpha = 1` 

`(sin alpha - cos alpha)^2 + 2 sin alpha cos alpha = 1` 

`(sin alpha - cos alpha)^2 + 24/25 = 1` 

`(sin alpha - cos alpha)^2 = 1/25` 

`|sin alpha - cos alpha| = 1/5`  

`sin alpha - cos alpha = 1/5 \ \ vv \ \ sin alpha - cos alpha = -1/5` 

 

b) Z podpunktu a) wiemy, że:

`2 sin alpha cos alpha = 24/25` 

zatem

`sin alpha cos alpha = 12/25`  

 

`c) \ sin^2 - cos^2 alpha = (sin alpha - cos alpha)(sin alpha + cos alpha)` 

 

Jeżeli:

`sin alpha - cos alpha = 1/5` 

to

`(sin alpha - cos alpha)(sin alpha + cos alpha) = 1/5*7/5 = 7/25` 

 

lub

`sin alpha - cos alpha = -1/5` 

to

`(sin alpha - cos alpha)(sin alpha + cos alpha) = -1/5*7/5 = -7/25` 

 

`d) \ sin^4 alpha + cos^4 alpha = (sin^2alpha+cos^2alpha)^2 -2sin^2alphacos^2alpha= 1-2*(sinalphacosalpha)^2=1-2*(12/25)^2=` 

`1-2*144/625 = 1 - 288/625 = 337/625` 

Dany jest wykres funkcji...

A. Każdemu argumentowi jest przypisana jedna wartość a więc dziedziną jest zbiór liczb rzeczywistych.

 

B. Zauważmy, że:

`f(-1) = 3` 

oraz funkcja przyjmuje wszystkie wartości z przedziału:

`(-oo, 3]` 

A więc zbiorem wartości jest zbiór:

`Z_w = (-oo, 3]` 

 

C. Funkcja nie jest monotoniczna, bo:

`"Rosnąca dla" \ x in (-oo, -1]` 

`"Malejąca dla" \ x in [-1, oo)` 

 

D. Jedynym miejscem zerowym funkcji jest liczba -3.

 

Odpowiedź B

Oblicz wartości dunkcji f, g, h, dla argumentu x=-2

`a)` 

`f(-2)=-(-2)^2+6*(-2)+1=` 

`\ \ \ \ \ \ \ \ \ =-4-12+1=-15` 

`g(-2)=2*(-2)^2+10*(-2)-5=` 

`\ \ \ \ \ \ \ \ \ =2*4-20-5=` `8-25=-17` 

`h(-2)=-3*(-2)^2-1/2*(-2)+4=` 

`\ \ \ \ \ \ \ \ \ =` `-3*4+1+4=-12+5=-7` 

 

`g(-2)<f(-2)<h(-2)` 

 

 

`b)` 

`f(-2)=1/2*(-2)^2+3/2*(-2)-7=` 

`\ \ \ \ \ \ \ \ \ =1/2*4-3-7=2-10=-8` 

`g(-2)=-1/4*(-2)^2+3/4*(-2)-8=` 

`\ \ \ \ \ \ \ \ \ =-1/4*4-3/2-8=` `-1-1 1/2-8=-10 1/2` 

`h(-2)=-17/8*(-2)^2-(-2)-4=` 

`\ \ \ \ \ \ \ \ \ =-17/8*4+2-4=` `-17/2-2=` `-10 1/2` 

`g(-2)=h(-2)<f(-2)` 

 

           

Zaznacz na osi liczbowej zbiór liczb spełniających

Wyznacz współrzędne punktu P' ...

`P=(1;2)` 

`O=(0;0)` 

`P=(x';y')` 

 

`a)` 

`k=-3` 

`x'=-3*1=-3` 

`y'=-3*2=-6` 

`P'=(-3;-6)` 

 

`b)` 

`k=-1/3` 

`x'=-1/3*1=-1/3` 

`y'=-1/3*2=-2/3` 

`P'=(-1/3;-2/3)`  

 

`c)` 

`k=1/2`  

`x'=1/2*1=1/2` 

`y'=1/2*2=1` 

 

`P'=(1/2;1)`   

 

`d)` 

`k=8`  

`x'=8*1=8` 

`y'=8*2=16` 

 

`P'=(8;16)`  

Odgadnij miejsca zerowe funkcji...

`y = - x^2+7x-12` 

 

`{(x_1+x_2=-b/a),(x_1*x_2 = c/a):}` 

`{(x_1+x_2 = 7),(x_1*x_2 = 12):}` 

 

Oba miejsca zerowe mają takie same znaki oraz są dodatnie. Łatwo zatem odgadnąć, że:

`x_1 = 3 \ \ ^^ \ \ x_2 = 4` 

Sprawdź, czy funkcje f oraz g...

`a) \ f(x) = (x^2 -4)/(2x-4)` 

`2x -4 ne 0 => x ne 2` 

`D_f = R \ \\ \ {2}` 

 

`g(x) = (x+2)/2` 

`D_g = R` 

Funkcje nie sa równe gdyż mają różne dziedziny.

 

`b) \ f(x) = (9x^4 + 6x^2 + 1)/(3x^2 + 1) = ((3x^2)^2 + 2*3x^2*1+1)/(3x^2 + 1) = ((3x^2+1)^2)/(3x^2+1) = 3x^2+1` 

Dziedziną obu funkcji jest zbiór liczb rzeczywistych oraz są dane takimi samymi przepisami. Zatem funkcje są równe.

Odczytaj z wykresu dziedzinę...

Dziedziną funkcji jest zbiór:

`[-5,5]` 

Zbiorem wartości funkcji jest zbiór:

`[-5,1]` 

 

`"Dla" \ x in [-1,4]` 

Wartość największa to y = 1 dla x = 1

Wartość najmniejsza to y = -3 dla x = 4

Wyznacz dziedzinę funkcji.

a) Wyrażenie w mianowniku musi być różne od zera.

`x-3 ne 0` 

`x ne 3` 

Zatem dziedzina to:

`D = R \ \\ \ {3}` 

 

b) Wyrażenie pod pierwiastkiem musi być nieujemne.

`2-x geq 0` 

`2 geq x` 

Zatem dziedzina to:

`D = (-oo, 2]` 

 

c) Wyrażenie w mianowniku musi być różne od zera.

`|x|-2 ne 0` 

`|x| ne 2` 

`x ne 2 \ \ ^^ \ \ x ne -2` 

Zatem dziedzina to:

`D = R \ \\ \ {-2,2}` 

 

d) Jeżeli do liczby nieujemnej dodamy dowolną liczbę rzeczywistą dodatnią to wyrażenie będzie stale większe od zera. Dziedziną jest zbiór liczb rzeczywistych.

`D = R` 

Zapisz wzór funkcji kwadratowej w postaci ...

`a)` 

`y=x^2+8x-6=x^2+2*4x+4^2-4^2-6=(x+4)^2-22` 

 

`b)` 

`y=x^2-10x+16=x^2-2*5x+5^2-5^2+16=(x-5)^2-9` 

 

`c)`   

 

`y=x^2+x+5/4=x^2+2*1/2x+(1/2)^2-(1/2)^2+5/4=(x+1/2)^2+1` 

 

`d)` 

`y=x^2-5x-3/4=x^2-2* 2,5x+(2,5)^2-(2,5)^2-3/4=(x+2,5)^2- 28/4`