Zgoda na przetwarzanie danych osobowych

25 maja 2018 roku zacznie obowiązywać Rozporządzenie Parlamentu Europejskiego i Rady (UE) 2016/679 z dnia 27 kwietnia 2016 r. znane jako RODO.

Dlatego aby dalej móc dostarczać Ci materiały odpowiednie do Twojego etapu edukacji, potrzebujemy zgody na lepsze dopasowanie treści do Twojego zachowania. Dzięki temu możemy zapamiętywać jakie materiały są Ci potrzebne. Dbamy o Twoją prywatność, więc nie zwiększamy zakresu naszych uprawnień. Twoje dane są u nas bezpieczne, a zgodę na ich zbieranie możesz wycofać na podstronie polityka prywatności.

Klikając "Przejdź do Odrabiamy", zgadzasz się na wskazane powyżej działania. W przeciwnym wypadku, nie jesteśmy w stanie zrealizować usługi kompleksowo i prosimy o opuszczenie strony.

Polityka prywatności

Drogi Użytkowniku w każdej chwili masz prawo cofnąć zgodę na przetwarzanie Twoich danych osobowych. Cofnięcie zgody nie będzie wpływać na zgodność z prawem przetwarzania, którego dokonano na podstawie wyrażonej przez Ciebie zgody przed jej wycofaniem. Po cofnięciu zgody wszystkie twoje dane zostaną usunięte z serwisu. Udzielenie zgody możesz modyfikować w zakładce 'Informacja o danych osobowych'

Wyznaczanie prostych równoległych i prostopadłych przechodzących przez dany punkt - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Wyznaczanie prostych równoległych i prostopadłych przechodzących przez dany punkt

W tym rozdziale będziemy operować tylko i wyłącznie na postaciach kierunkowych, ponieważ w większości takie pojawiają się na testach czy maturze. Wzory ogólne są omówione w dziale poświęconym prostej przechodzącej przez dwa zadane punkty.

Przypomnienie:
Mając wzory dwóch prostych $$y=a_1x+b_1$$ oraz $$y=a_2x+b_2$$ proste są:
Równoległe jeśli $$a_1=a_2$$
Prostopadłe jeśli $$a_1×a_2=-1$$

Naszym jedynym dodatkowym utrudnieniem w tym dziale jest wprowadzenie punktu. Punkt będzie miał współrzędne (x,y) i to właśnie na tych zmiennych będziemy operować w naszych wzorach.

Aby w ogóle mówić o szukaniu punktu musimy mieć już znalezioną prostą prostopadłą/równoległą do danej, zazwyczaj wtedy znamy już współczynnik $$a$$, $$b$$ może być dowolną liczbą, więc jest nieznane. Znane zmienne ze wzoru $$y=ax+b$$ to $$a$$ oraz, gdy mamy dany punkt, przez który przechodzi ta prosta, także $$x$$ i $$y$$.

Na razie nadal nie znamy $$b$$, ale skoro prosta przechodzi przez konkretny punkt, $$b$$ już nie może być dowolne (w naszym punkcie znamy x i y). Pozostaje nam obliczyć to $$b$$, co będzie łatwe, bo mamy równanie z jedną niewiadomą.

Przykład:
Znaleźć prostą równoległą do y=3x-8 przechodzącą przez punkt A(1,5).

Zacznijmy od najbardziej nieznanego wzoru szukanej prostej:
$$y=ax+b$$
Zajmijmy się zmienną a, szukamy prostej równoległej zatem:
$$a_1=a=3$$

Uzupełnijmy nasz wzór:
$$y=3x+b$$

Teraz mamy punkt A(1,5)
$$x=1$$
$$y=5$$

Uzupełnijmy wzór o kolejne zmienne:
$$5=3×1+b$$

Pozostaje obliczyć b:
$$5=3+b$$
$$b=2$$

Uzupełnijmy wzór zyskując wzór ostateczny na szukaną prostą:
$$y=3x+2$$
To nie przypadek, że dostaliśmy taki sam wzór jak dla wyjściowej prostej - gdy dwie proste są do siebie równoległe i przechodząą przez co najmniej 1 wspólny punkt, to są identyczne!

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Znajdź prostą równoległą do $$y=2x-2$$ przechodzącą przez punkt A(3,3).

Zadanie analogiczne do przykładu:
Zaczynamy od kierunkowego wzoru:
$$y=ax+b$$

Zajmujemy się zmienną a, szukamy prostej równoległej zatem:
$$a_1=a=2$$

aktualny wzór:
$$y=2x+b$$

Teraz mamy punkt A(3,3), więc:
$$x=3$$
$$y=3$$

aktualny wzór:
$$3=2×3+b$$

Obliczamy b:
$$3=6+b$$
$$b=-3$$

Wzór ostateczny po wszystkich uzupełnieniach:
$$y=2x-3$$

Zadanie 2.

Znajdź prostą prostopadłą do $$y=1/3 x-4$$ przechodzącą przez punkt B(0;2).

Również bardzo podobnie, zaczynamy od kierunkowego wzoru:
$$y=ax+b$$

Zajmujemy się zmienną a, szukamy prostej prostopadłej zatem:
$$a_1×a_2=-1$$
$$1/3×a_2=-1$$ $$|×3$$
$$a_2=-3$$

aktualny wzór:
$$y=-3x+b$$

Teraz mamy punkt B(0,2), więc:
$$x=0$$
$$y=2$$

aktualny wzór:
$$2=2×0+b$$

Obliczamy b:
$$b=2$$

Wzór ostateczny po wszystkich uzupełnieniach:
$$y=-3x+2$$

Zadanie 3.

Znajdź prostą prostopadłą do $$y=-1/2 x$$ przechodzącą przez punkt C(2,1). Czy punkt D(0,-3) należy do tej prostej?

Przypominam, że przy postaci $$y=-1/2 x$$, $$b_1$$ jest równe 0. Chociaż tutaj nie ma to żadnego znaczenia. Zadanie to ma dwie części, najpierw znajdźmy prostą prostopadłą, analogicznie do zadania 2. Zaczynamy od kierunkowego wzoru
$$y=ax+b$$

Zajmujemy się zmienną a, szukamy prostej prostopadłej zatem:
$$a_1×a=-1$$
$$-1/2×a=-1$$ $$|×(-2)$$
$$a=2$$

aktualny wzór:
$$y=2x+b$$
Teraz mamy punkt C(2,1), więc:
$$x=2$$
$$y=1$$

aktualny wzór:
$$1=2×2+b$$

Obliczamy b:
$$1=4+b$$
$$b=-3$$

Wzór ostateczny po wszystkich uzupełnieniach:
$$y=2x-3$$

Sprawdźmy teraz czy punkt D(0;-3) należy do prostej $$y=2x-3$$. Czyli podstawmy znów do $$y=2x-3$$
$$x=0$$
$$y=-3$$
$$-3=2×0-3$$
$$-3=-3$$

Lewa strona jest równa prawej, zatem punkt należy do prostej.

 

Spis treści

Rozwiązane zadania
Wykaż, że dwusieczne kątów

Opisz własności funkcji liniowej f danej wzorem

`a)`

 

`D_f\ =RR`

`Z_w\ =RR`

 

Szukamy miejsca zerowego: 

`f(x)=0`

`ax+b=0\ \ \ |-b`

`ax=-b\ \ \ |:ane0\ \ \ ("bo wiemy, że"\ a<0)`

`x=-b/a\ \ \ -\ \ \ "miejsce zerowe"`

 

`a<0\ \ \ =>\ \ \ "funkcja maleje w"\ RR`

`f(x)>0\ \ \ "dla"\ \ \ x in (-infty,\ -b/a)`

`f(x)<0\ \ \ "dla"\ \ \ x in (-b/a,\ +infty)`

Funkcja nie osiąga wartości najmniejszej ani największej 

 

 

 

`b)`

Jeśli współczynnik a jest równy 0, to funkcja jest stała. 

`f(x)=ax+b=0*x+b=0+b=b`

 

`D_f\ =RR`

`Z_w\ ={b}`

`"brak miejsc zerowych"`

`"funkcja jest stała w"\ RR`

`"jeśli"\ b>0,\ "to"\ f(x)>0\ \ "dla"\ \ x in RR\ ("funkcja zawsze przyjmuje wartości dodatnie")`

`"jeśli"\ b<0,\ "to"\ f(x)<0\ \ "dla"\ \ x in RR\ ("funkcja zawsze przyjmuje wartości ujemne")`

Wartością najmniejszą, ale zarazem największą jest wartość y=b. 

Mamy 80 m bieżących siatki ...

`x,y-"długości boków prostokatnego ogórdka"` 

`P-"pole ogródka"`  

 

`2x+2y-4=80` 

`x+y=42` 

`x=42-y` 

 

`P=xy=(42-y)y=-y^2+42y` 

`"Szukamy takiego y że funkcja P(y) osiąga maksimum wartości. (Będzie to współrzędna wierzchołka paraboli)"` 

`y=-b/(2a)=42/2=21` 

`x=42-21=21` 

`{(y=21),(x=21):}` 

Podaj największą liczbę naturalną n spełniającą nierówność

`a)\ 2pi+5~~2*3,14+5=6,28+5=11,28`

`\ \ \ n<11,28`

Największa liczba naturalna spełniająca tą nierówność to 11. 

 

 

`b)\ pi^2-1~~(3,14)^2-1=9,8596-1=8,8596`

`\ \ \ n<8,8596`

Największa liczba naturalna spełniająca tą nierówość to 8.

 

 

`c)\ 10pi-7~~10*3,14-7=31,4-7=24,4`

`\ \ \ n^2<24,4`

Największa liczba naturalna spełniająca tą nierówność to 4. 

Rozwiąż algebraicznie i graficznie...

a)

`{(y=x^2), (y=|x|+2):}` 

`x^2=|x|+2` 

I przypadek, gdy `x>=0` 

`x^2=x+2` 

`x^2-x-2=0` 

`Delta=(-1)^2-4*1*(-2)=1+8=9` 

`sqrt(Delta)=3` 

`x_1=(-(-1)-3)/(2*1)=(1-3)/2=(-2)/2=-1 \ \ "sprzeczność"` 

`x_2=(-(-1)+3)/(2*1)=(1+3)/2=4/2=2` 

II przypadek, gdy `x<0` 

`x^2=-x+2` 

`x^2+x-2=0` 

`Delta=1^2-4*1*(-2)=1+8=9` 

`sqrt(Delta)=3` 

`x_1=(-1-3)/(2*1)=(-4)/2=-2` 

`x_2=(-1+3)/(2*1)=2/2=1 \ \ "sprzeczność"` 

 

`{(x=2),(y=|2|+2):} \ \ \ "lub" \ \ \ {(x=-2),(y=|-2|+2):}` 

`{(x=2),(y=4):} \ \ \ "lub" \ \ \ {(x=-2),(y=4):}`  


b) 

`{(y=4-x^2),(y=|x+2|):}` 

`4-x^2=|x+2|` 

I przypadek, gdy `x+2>=0 \ \ "czyli" \ \ x>=-2` 

`4-x^2=x+2` 

`4-x^2-x-2=0` 

`-x^2-x+2=0` 

`Delta=(-1)^2-4*(-1)*2=1+8=9` 

`sqrt(Delta)=3` 

`x_1=(-(-1)-3)/(2*(-1))=(1-3)/(-2)=(-2)/(-2)=1` 

`x_2=(-(-1)+3)/(2*(-1))=(1+3)/(-2)=4/(-2)=-2` 

II przypadek, gdy `x+2<0 \ \ "czyli" \ \ x<-2` 

`4-x^2=-x-2` 

`4-x^2+x+2=0` 

`-x^2+x+6=0` 

`Delta=1^2-4*(-1)*6=1+24=25` 

`sqrt(Delta)=5` 

`x_1=(-1-5)/(2*(-1))=(-6)/(-2)=3 \ \ "sprzeczność"` 

`x_2=(-1+5)/(2*(-1))=4/(-2)=-2 \ \ "sprzeczność"` 

 

`{(x=1),(y=|1+2|):} \ \ \ \ \ "lub" \ \ \ \ \ {(x=-2),(y=|-2+2|):}` 

`{(x=1),(y=3):} \ \ \ \ \ "lub" \ \ \ \ \ {(x=-2),(y=0):}` 

 


c)

`{(y=1/4(x+1)^2-3),(y=-2|x-2|+3):}` 

`1/4(x+1)^2-3=-2|x-2|+3 \ \ \ |*4` 

`(x+1)^2-12=-8|x-2|+12` 

`x^2+2x+1-12=-8|x-2|+12` 

`x^2+2x-11-12=-8|x-2|` 

`x^2+2x-23=-8|x-2|` 

I przypadek, gdy `x-2>=0 \ \ "czyli" \ \ x>=2` 

`x^2+2x-23=-8(x-2)` 

`x^2+2x-23=-8x+16` 

`x^2+2x-23+8x-16=0` 

`x^2+10x-39=0` 

`Delta=10^2-4*1*(-39)=100+156=256` 

`sqrt(Delta)=16` 

`x_1=(-10-16)/(2*1)=(-26)/2=-13 \ \ "sprzeczność"` 

`x_2=(-10+16)/(2*1)=6/2=3` 

II przypadek, gdy `x-2<=0 \ \ "czyli" \ \ x<2` 

`x^2+2x-23=-8(-x+2)` 

`x^2+2x-23=8x-16` 

`x^2+2x-23-8x+16=0` 

`x^2-6x-7=0` 

`Delta=(-6)^2-4*1*(-7)=36+28=64` 

`sqrt(Delta)=8` 

`x_1=(-(-6)-8)/(2*1)=(6-8)/2=(-2)/2=-1` 

`x_2=(-(-6)+8)/(2*1)=(6+8)/2=14/2=7 \ \ "sprzeczność"` 

 

`{(x=3),(y=-2|3-2|+3):} \ \ \ \ \ "lub" \ \ \ \ \ {(x=-1),(y=-2|-1-2|+3):}` 

`{(x=3),(y=1):}\ \ \ \ \ "lub" \ \ \ \ \ {(x=-1),(y=-3):}` 

 

 

 

 

Wyznacz równanie osi symetrii paraboli oraz współrzędne jej wierzchołka

Najpierw wyznaczymy miejsca zerowe (x₁ i x₂, następnie wyznaczymy równanie osi symetrii jako średnią arytmetyczną tych miejsc zerowych. Współrzędna x wierzchołka paraboli jest równa tyle, ile oś symetrii. Współrzędna y wierzchołka paraboli to z kolei wartość, jaką osiąga funkcja dla argumentu równego pierwszej współrzędnej wierzchołka paraboli)

 

 

`a)` 

`x(x-6)=0` 

`x=0\ \ \ l u b \ \ \ x-6=0` 

`\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x=6` 

 

`x_1=0 ,\ \ \ x_2=6\ \ \ =>\ \ \ x_w=(0+6)/2=6/2=3` 

`y_w=f(x_w)=f(3)=3*(3-6)=3*(-3)=-9` 

 

`ul(ul(W=(3,\ -9)))`   - współrzędne wierzchołka paraboli

`ul(ul(x=3))`   - równanie osi symetrii paraboli

 

 

 

`b)` 

`-x(x-10)=0\ \ \ |*(-1)` 

`x(x-10)=0` 

`x=0\ \ \ l u b \ \ \ x-10=0` 

`\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x=10` 

 

`x_1=0,\ \ \ x_2=10\ \ \ =>\ \ \ x_w=(0+10)/2=10/2=5` 

`y_w=f(x_w)=f(5)=-5*(5-10)=-5*(-5)=25` 

 

`ul(ul(W=(5,\ 25),\ \ x=5))`   

 

 

 

`c)` 

`1/2(x+6)(x-2)=0\ \ \ |*2` 

`(x+6)(x-2)=0` 

`x+6=0\ \ \ l u b \ \ \ x-2=0` 

`x=-6\ \ \ \ \ \ l u b \ \ \ x=2` 

 

`x_1=-6,\ \ x_2=2\ \ \ =>\ \ \ x_w=(-6+2)/2=(-4)/2=-2` 

`y_w=f(x_w)=1/2*(-2+6)*(-2-2)=` `1/2*4*(-4)=-8` 

 

`ul(ul(W=(-2,\ -8),\ \ x=-2))` 

 

 

 

`d)` 

`-2(x+3)(x-4)=0\ \ \ |:(-2)` 

`(x+3)(x-4)=0` 

`x+3=0\ \ \ l u b \ \ \ x-4=0` 

`x=-3\ \ \ \ \ l u b \ \ \ x=4` 

 

`x_1=-3,\ \ x_2=4\ \ \ =>\ \ \ x_w=(-3+4)/2=1/2` 

`y_w=f(x_w)=f(1/2)=-2*(1/2+3)*(1/2-4)=` 

`\ \ \ \ =` `-2*3 1/2*(-3 1/2)=` `strike2*7/strike2*7/2=` `49/2=24 1/2` 

 

`ul(ul(W=(1/2,\ 24 1/2),\ \ x=1/2))` 

 

 

 

 

`e)` 

`(2x+1)(2x-3)=0` 

`2x+1=0\ \ \ \ l u b \ \ \ \ 2x-3=0` 

`2x=-1\ \ \ \ \ \ \ l u b \ \ \ \ 2x=3` 

`x=-1/2\ \ \ \ \ \ \ l u b \ \ \ \ x=3/2=1 1/2` 

`x_1=-1/2,\ \ x_2=1 1/2\ \ \ =>\ \ \ x_w=(-1/2+1 1/2)/2=1/2` 

`y_w=f(x_w)=f(1/2)=(2*1/2+1)*(2*1/2-3)=` 

`\ \ \ \ =(1+1)*(1-3)=2*(-2)=-4` 

 

`ul(ul(W=(1/2,\ -4),\ \ \ x=1/2))` 

 

 

 

 

`f)` 

`(4x-1)(5-4x)=0` 

`4x-1=0\ \ \ \ l u b \ \ \ \ 5-4x=0` 

`4x=1\ \ \ \ \ \ \ \ \ l u b \ \ \ \ 5=4x` 

`x=1/4\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ l u b \ \ \ \ x=5/4=1 1/4` 

`x_1=1/4,\ \ x_2=5/4\ \ \ =>\ \ \ x_w=(1/4+5/4)/2=(6/4)/2=6/4:2=6/4*1/2=3/4` 

`y_w=f(x_w)=f(3/4)=(4*3/4-1)*(5-4*3/4)=` 

`\ \ \ \ =(3-1)*(5-3)=2*2=4` 

 

`ul(ul(W=(3/4,\ 4),\ \ \ x=3/4))`   

Na podstawie wykresu funkcji...

Naszkicujmy wykres funkcji `y = |x+5|` 

 

Równanie:

`y = 2 - m` 

będzie opisywało pewną prostą równoległą do osi x

 

a) Zauważmy, że jeżeli nasza prosta będzie leżała poniżej osi x to równanie nie będzie miało rozwiązań a więc:

`2 - m < 0` 

` 2 < m` 

`m in (2, oo)` 

 

b) Zauważmy, że jeżeli nasza prosta będzie leżeć powyżej osi x to będziemy mieli dwa rozwiązania. Można dodatkowo zauważyć, że funkcja `y = |x+5|` i prosta `y= 5`  mają punkt wspólny na osi y. Zatem jeżeli nasza prosta `y = 2 - m` będzie leżeć poniżej prostej `y=5` to dwa rozwiązania będą ujemne. Zatem:

`0 < 2 - m < 5 \ \ \ |-2`  

`-2 < -m < 3 \ \ \ |*(-1)` 

`2 > m > -3` 

czyli

`m in (-3, 2)`  

Podczas kartkówki należało podać przybliżenia liczb

`"błędne wyniki (w nawiasie zapisano poprawną odpowiedź):"`

`0,00491~~0,005\ \ \ (0,00=0)`

`9,99803~~9,99\ \ \ (10,00=10)`

`7,09041~~7,1\ \ \ (7,09)`

 

Uczeń popełnił 3 błędy, więc otrzymał ocenę dopuszczającą.  

 

Sprawdź, czy...

Jeżeli trójkąt jest równoramienny to musi mieć dwa boki równej długości, żeby sprawdzić czy jest to trójkąt prostokątny to użyjemy twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Pitagorasa.

 

`a) \ A=(-2,-2), \ B=(7,1), \ C=(1,4)`

`|AB|= sqrt((7-(-2))^2 +(1-(-2))^2)=sqrt(9^2 + 3^2) = sqrt(81 + 9) = sqrt90`

`|AC|=sqrt((1-(-2))^2 +(4-(-2))^2) = sqrt(3^2 + 6^2 ) = sqrt(9+36) = sqrt45`

`|BC| = sqrt((1-7)^2 + (4-1)^2) = sqrt((-6)^2 + 3^2) = sqrt ( 36 + 9 ) = sqrt45`

Trójkąt jest równoramienny bo:

`|AC|=|BC|`

Sprawdźmy czy suma kwadratów długości dwóch krótszych boków jest równa kwadratowi długości najdłuższego boku

`|BC|^2 + |AC|^2 = |AB|^2`

`(sqrt45)^2 + (sqrt45)^2 = (sqrt90)^2`

`45 + 45 = 90`

`90=90`

A więc trójkąt jest prostokątny

 

 

`b) \ A=(4,2), \ B=(-2,6), \ C=(8,-3)`  

`|AB|= sqrt((-2-4)^2 +(6-2)^2)=sqrt((-6)^2 + 4^2) = sqrt(36 + 16) = sqrt52`

`|AC|=sqrt((8-4)^2 +(-3-2)^2) = sqrt(4^2 + (-5)^2 ) = sqrt(16+25) = sqrt41`

`|BC| = sqrt((8-(-2))^2 + (-3-6)^2) = sqrt(10^2 + (-9)^2) = sqrt ( 100 + 81 ) = sqrt181`

 Trójkąt nie jest równoramienny bo nie ma dwóch takich boków, żeby ich długości był równe.

Sprawdźmy czy suma kwadratów długości dwóch krótszych boków jest równa kwadratowi długości najdłuższego boku.

`|AB|^2 + |AC|^2 = |BC|^2`

`(sqrt52)^2 + (sqrt41)^2 = (sqrt181)^2`

`52 + 41 = 181`

`93 = 181`

Czyli trójkąt nie jest prostokątny.

Odwrotność największej spośród liczb

`(5sqrt5)^-2=1/(5sqrt5)^2=1/(5^2*sqrt5^2)=1/(25*5)=1/125=8/1000=0,008`  

`0,2^3=0,008`  

`0,04^2=0,0016` 

`((1/5)^2)^-1=(1/5)^-2=5^2=25` 

 

Największą liczbą jest ostatnia z powyższych liczb, jej odwrotność to `1/25` , więc należy zaznaczyć odpowiedź C.