Zgoda na przetwarzanie danych osobowych

25 maja 2018 roku zacznie obowiązywać Rozporządzenie Parlamentu Europejskiego i Rady (UE) 2016/679 z dnia 27 kwietnia 2016 r. znane jako RODO.

Dlatego aby dalej móc dostarczać Ci materiały odpowiednie do Twojego etapu edukacji, potrzebujemy zgody na lepsze dopasowanie treści do Twojego zachowania. Dzięki temu możemy zapamiętywać jakie materiały są Ci potrzebne. Dbamy o Twoją prywatność, więc nie zwiększamy zakresu naszych uprawnień. Twoje dane są u nas bezpieczne, a zgodę na ich zbieranie możesz wycofać na podstronie polityka prywatności.

Klikając "Przejdź do Odrabiamy", zgadzasz się na wskazane powyżej działania. W przeciwnym wypadku, nie jesteśmy w stanie zrealizować usługi kompleksowo i prosimy o opuszczenie strony.

Polityka prywatności

Drogi Użytkowniku w każdej chwili masz prawo cofnąć zgodę na przetwarzanie Twoich danych osobowych. Cofnięcie zgody nie będzie wpływać na zgodność z prawem przetwarzania, którego dokonano na podstawie wyrażonej przez Ciebie zgody przed jej wycofaniem. Po cofnięciu zgody wszystkie twoje dane zostaną usunięte z serwisu. Udzielenie zgody możesz modyfikować w zakładce 'Informacja o danych osobowych'

Wyznaczanie funkcji trygonometrycznych - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Wyznaczanie funkcji trygonometrycznych

Zagadnienia z tego działu pojawiają się praktycznie na każdej maturze, o sprawdzianie z trygonometrii nie wspominając. Jest to wbrew pozorom bardzo prosty i schematyczny dział, a z racji, że jest wysoko punktowany dobrze by było go znać. Zacznijmy:

Potrzebne wzory:

Tutaj potrzebujemy podstawowych operacji arytmetycznych (działania na ułamkach oraz potęgach) oraz dosłownie trzech wzorów:
 
  • $$ sin^2 α+cos^2 α=1 $$
  • $$ g α={sin α}/{cos α} $$
  • $$ ctg α={cos α}/{sin α} $$

Celem naszego zadania jest znalezienie pozostałych funkcji trygonometrycznych mając tylko jedną, gdzie na poziomie podstawowym mamy zawsze tylko $$sin$$ lub $$cos$$.

Przykład:

Wiedząc, że $$sin α=2/5$$ oblicz wartości pozostałych funkcji trygonometrycznych tego kąta. Również tutaj będziemy stosować listę kroków:
 
  1. „Krok pierwszy, wzór pierwszy” – obliczenie cosinusa

    Zastosujemy tu wzór numer jeden czyli tzw. Jedynka trygonometryczna:

    $$sin^2 α+cos^2 α=1$$

    Podstawiamy naszego znanego sinusa:

    $$(2/5)^2+cos^2 α=1$$

    Podnosimy do potęgi:

    $$4/{25}+cos^2 α=1$$

    i przenosimy na drugą stronę zostawiając tylko cosinusa, pamiętamy, że przenosząc zmieniamy znak:

    $$cos^2 α=1-4/{25}$$

    Ostatecznie:

    $$cos^2 α={21}/{25}$$

    I „opuszczamy” kwadrat, pamiętamy, że nie może być w mianowniku liczby niewymiernej. $$cos α={√{21} }/{√{25} }$$

    Tutaj nam się na szczęście udało i będzie liczba całkowita w mianowniku:

    $$cos α={√{21} }/5$$

    Cosinus znaleziony! Pozostał jeszcze Tangens i Cotangens
     
  2. Znajdź Tangens, czyli "krok drugi, wzór drugi":
    Tak jak w tytule wspominam wystarczy skorzystać z drugiego wzoru:

    $$ g α={sin α}/{cos α}$$

    Mamy znaleziony sinus i cosinus więc podstawmy do wzoru:

    $$ g α={ {2/5} }/{ {√{21} }/{5} }$$ Wyszedł nam spory piętrowiec, ale nie ma co się przerażać, pamiętamy, że kreska ułamkowa to znak dzielenia, zatem korzystamy z dzielenie ułamków:

    $$ g α={2}/{5}:{√{21} }/5$$

    I mnożymy przez odwrotność:

    $$ g α=2/5×5/{√{21} }$$

    piątki się skracają:

    $$ g α=2/1×1/{√{21} }$$

    $$ g α=2/{√{21} }$$

    (Nie)szczęśliwie trafiła nam się liczba niewymierna w mianowniku, jak się jej pozbyć? Wystarczy, że pomnożymy przez 1 tylko trochę w innej postaci (czyli po prostu rozszerzymy ułamek):

    $$ g α=2/{√{21} }×{√{21} }/{√{21} }$$

    Pamiętamy, że:

    $${√{21} }/{√{21} }=1$$

    Zatem nasz ułamek to:

    $$ g α={2√21}/{21}$$

    Tangens został policzony!

    Pozostał nam cotangens i zapewne patrząc po tym co robiliśmy, jesteście niezbyt zadowoleni, że to nie koniec, jednakże cotangens można łatwo policzyć! Przejdźmy do kroku trzeciego.
     
  3. Krok 3: Cotangens z tangensa

    Przypomnijmy dwa wzory:

    $$ g α={sinα}/{cosα} $$

    $$ctg α={cos α}/{sin α} $$

    Czym one się różnią? Są na odwrót! Zatem wynik też może być na odwrót, czyli:

    $$ g α={2√{21} }/{21}$$

    $$ctg α={21}/{2√{21} }$$

    Oczywiście i tutaj usuwamy niewymierność identycznie jak w poprzednim:

    $$ctg α={21}/{2√{21} }×{√{21} }/{√{21} }={21√{21} }/{2×21}={21√{21} }/{42}={√{21} }/2$$
Zadanie zakończone.
 

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Oblicz pozostałe wartości funkcji trygonometrycznych kąta ostrego wiedząc, że $$sin α=1/2$$.

  1. Zaczynamy od kroku 1:

    Szukamy cosinusa

    Zastosujemy tu wzór numer jeden czyli tzw. Jedynka trygonometryczna:

    $$sin^2 α+cos^2 α=1$$

    $$(1/2)^2+cos^2 α=1$$

    $$1/4+cos^2 α=1$$

    $$cos^2 α=1-1/4$$

    Ostatecznie:

    $$cos^2 α=3/4$$

    $$cos α={√3}/{√4}$$

    Tutaj nam się także udało i jest liczba całkowita w mianowniku

    $$cos α={√3}/{2}$$

    Cosinus znaleziony!
     
  2. Krok 2:

    $$ g α={sin α}/{cos α}$$

    Mamy znaleziony sinus i cosinus więc podstawmy do wzoru:

    $$ g α={1/2}/{ {√3}/2}$$

    Mnożymy przez odwrotność:

    $$ g α=1/2×2/{√3}$$

    $$ g α=1/{√3}$$

    Usuwamy niewymierność:

    $$ g α=1/{√3}×{√3}/{√3}$$

    Zatem nasz ułamek to:

    $$ g α={√3}/3$$
     
  3. Krok 3: Odwracamy w celu uzyskania cotangensa

    $$ctg α=3/{√3}$$

    I usuwamy niewymierność:

    $$ctg α=3/{√3}×{√3}/{√3}={3√3}/3=√3$$
     

 

Zadanie 2.

Oblicz pozostałe funkcje trygonometryczne wiedząc, że $$cos α={√2}/2$$

  1. Zaczynamy od Kroku 1:

    Wzór na jedynkę trygonometryczną:

    $$sin^2 α+cos^2 α=1$$

    I podstawiamy

    $$sin^2 α+({√2}/2)^2=1$$

    $$sin^2 α+2/4=1$$

    $$sin^2 α=1-2/4$$

    Ostatecznie:

    $$sin^2 α=1/2$$

    $$sin α=1/{√2}×{√2}/{√2}={√2}/2$$

    No i równie prosto znaleźliśmy sinusa.
  2. Krok 2/3:

    $$ g α={sin α}/{cos α}$$

    Mamy znaleziony sinus i cosinus więc podstawmy do wzoru:

    $$ g α={ {√2}/2}/{ {√2}/2}=1$$

    Udało nam się szybko znaleźć tangens. Cotangens będzie jeszcze szybciej, bo odwrotność jedynki to po prostu 1. Zatem:

    $$ctg α=1$$
     

 

Spis treści

Rozwiązane zadania
Wyznacz współrzędne punktu M leżącego...

a) Wyznaczmy równanie prostej KL:

`{(f(-2)=4),(f(-5)=1):}` 

`{(-2a+b=4),(-5a+b=1):}` 

`underline(underline(stackrel(\)(-) \ \ \ \ \ \ \ \ \  \ \  \ \ \  \ \  \ \ \  \ \  \ \ \ \  \ \  \ \))` 

`-2a-(-5a) = 4 - 1` 

`-2a + 5a = 3` 

`3a = 3` 

`a=1` 

Podstawmy wyliczoną wartość a pod pierwsze równanie:

`-2+b=4` 

`b=6` 

Zatem:

`f(x) = x+6` 

 

A więc współczynnik kierunkowy funkcji MN musi się równać 1.

`g(x) = x+b` 

Funkcja g ma przechodzić przez punkt N:

`g(2)=3` 

`2+b=3` 

`b=1` 

 

`g(x) = x+1`  

Przykładowe współrzędne punktu M to:

`M = (0,1)` 

 

 

b) Wyznaczmy równanie prostej KL:

`{(f(-1)=4),(f(7)=-2):}` 

`{(-a+b=4),(7a+b=-2):}` 

`underline(underline(stackrel(\)(-) \ \ \ \ \ \ \ \ \  \ \  \ \ \  \ \  \ \ \  \ \  \ \ \ \  \ \  \ \))` 

`-8a = 4-(-2)` 

`-8a = 6` 

`a = -6/8 = -3/4` 

Podstawmy wyliczoną wartość pod pierwsze równanie.

 

`-(-3/4)+b=4` 

`3/4 + b = 4` 

`b = 4 3/4` 

 

Wzór funkcji to:

`f(x) = -3/4x + 4 3/4` 

 

Funkcja g(której wykresem jest prosta MN) musi mieć taki sam współczynnik kierunkowy, zatem:

`g(x) = -3/4x + b` 

 

Przechodzi przez nią punkt N, zatem:

`g(3)=4` 

`-3/4*3+b=4` 

`-9/4 + b = 4` 

`b = 6 1/4` 

 

czyli jej wzór to:

`g(x) = -3/4x + 6 1/4` 

 

 

c) Prosta KL jest wykresem funkcji liniowej, która jest stała. Jej wzór to:

`f(x) = 3` 

 

Skoro prosta MN ma być równoległa do prostej KL oraz punkt N = (0,0) to punkt M musi mieć drugą współrzędną równą 0, czyli np:

`M = (1,0)` 

 

 

d) Zauważmy, że prosta KL jest dana równaniem:

`x = -4` 

 

Zatem prosta do niej równoległa musi być prostopadła do osi x i równoległa do osi y. Skoro ma przechodzić przez punkt N=(1,3) to znaczy, że punkt M musi mieć pierwszą współrzędną równą 1. Zatem współrzędne punktu M to np:

`M = (1, 10)` 

Uzasadnij podane wyżej twierdzenie

`a)` 

`h^2+(1/2a)^2=a^2` 

`h^2+1/4a^2=a^2 \ \ \ |-1/4a^2` 

`h^2=3/4a^2` 

`h=sqrt(3/4a^2)=sqrt3/2a=(asqrt3)/2` 

 

 

`b)` 

`3a=24\ \ \ \ =>\ \ \ \ a=24:3=8` 

`h=(8sqrt3)/2=4sqrt3` 

 

 

`c)` 

`(asqrt3)/2=6\ \ \ |*2` 

`asqrt3=12\ \ \ \ |:sqrt3` 

`a=12/sqrt3=(12sqrt3)/3=4sqrt3` 

`O=3a=3*4sqrt3=12sqrt3` 

 

 

`d)` 

`r=1/3h=1/3*(asqrt3)/2=(asqrt3)/6` 

`P_(wp i sa n ego)=pi*r^2=pi*((asqrt3)/6)^2=` `pi*(a^2*3)/36=``pi/12a^2 ` 

 

`R=2/3h=2/3*(asqrt3)/2=` `(asqrt3)/3` 

`P_(op i sa n ego)=` `pi*R^2=pi*((asqrt3)/3)^2=` `pi*(a^2*3)/9=` `pi/3a^2` 

 

`P_(op i san e go)-P_(wp i san ego)=pi/3a^2-pi/12a^2=(4pi)/12a^2-pi/12a^2=(3pi)/12a^2=pi/4a^2`      

 

 

Na rysunku przedstawiono wykres funkcji ...

`f:<-4,4> ->RR` 

`a)` 

`y=f(-x)` 

  

`b)` 

`f(x)=f(-x)` 

 

`f(0)=f(-0)` 

`f(3)=2=f(-3)` 

`f(-3)=2=f(3)`   

 

`"Rozwiązaniem równania są:"` 

`x=0,\ x=-3,\ x=3`     

 

Zapisz wyrażenie w prostszej ...

`"a)"\ (a^(-5)b^3)^2=a^(-10)b^6` 

`"b)"\ (x^-3y^(-2)z^5)/(x^-2y^-3z^6)=x^-3/x^-2*y^-2/y^-3*z^5/z^6=x^-1yz^-1=y/(xz)` 

`"c)"\ ((x^-2y)/z^3)^-3:((x^5y^-2)/z^3)^-1=(z^3/(x^-2y))^3:z^3/(x^5y^-2)=`         

`=z^9/(x^-6y^3)*(x^5y^-2)/z^3=z^9/z^3*x^5/x^-6*y^-2/y^3=z^6x^11y^-5=(z^6x^11)/y^5` 

 

Wyznacz najmniejszą i największą wartość funkcji...

`a) \ f(x) = x^2-12x+10` 

Sprawdźmy czy wierzchołek należy do wykresu funkcji:

`p = (-b)/(2a) = 12/2 = 6` 

Parabola ma ramiona skierowane ku górze a więc najmniejszą wartość mamy w wierzchołku, im dalej oddalony argument będzie od wierzchołka tym wartość będzie większa.

`y_("min") = f(6) = 6^2-12*6 + 10 = 36 - 72 + 10 = 46 - 72 = -26`  

 

`y_("max") = f(1) = 1^2 - 12*1 + 10 = 11 - 12 = -1` 

 

`b) \ f(x) = -7x^2+3x+4` 

Sprawdźmy czy wierzchołek należy do wykresu funkcji:

`p=(-b)/(2a) = (-3)/(-14) = 3/14` 

Parabola ma ramiona skierowane ku dołowi a więc największą wartość mamy w wierzchołku, im dalej oddalony argument będzie od wierzchołka tym wartość będzie mniejsza.

`y_("max") = f(sqrt2) = -7*(sqrt2)^2 + 3*sqrt2 + 4 = -14 + 3sqrt2 + 4 = 3sqrt2 - 10` 

 

`y_("min") = f(6) = -7*6^2 + 3*6 + 4 = -7*36+18+4 = -230` 

 

`c) \ f(x) = 2x^2+5x-3` 

Sprawdźmy czy wierzchołek należy do wykresu funkcji:

`p = (-b)/(2a) = -5/4` 

Parabola ma ramiona skierowane ku górze a więc najmniejszą wartość mamy w wierzchołku, im dalej oddalony argument będzie od wierzchołka tym wartość będzie większa.

 

`y_("min") = f(-1) = 2*(-1)^2 + 5*(-1) - 3 = 2 - 5 - 3 = -6` 

 

`y_("max") = f(3) = 2*3^2 + 5*3 - 3 = 2*9 + 15 - 3 = 30` 

 

`d) \ f(x) = 2x^2 - 7x - 5` 

Sprawdźmy czy wierzchołek należy do wykresu funkcji:

`p = (-b)/(2a) = 7/4` 

Parabola ma ramiona skierowane ku górze a więc najmniejszą wartość mamy w wierzchołku, im dalej oddalony argument będzie od wierzchołka tym wartość będzie większa.

 

`y_("min") = f(7/4) = 2*(7/4)^2 - 7*7/4 - 5 = 2*49/16 - 49/4 - 5 = 49/8 - 98/8 -5 = -49/8 - 5 = -89/8` 

 

`y_("max") = f(5) = 2*5^2 -7*5 - 5 = 2*25 - 35 - 5 = 50 - 40 = 10` 

Na podstawie podanych obok informacji znajdź rozwinięcie dziesiętne

`a)\ 7/9=7*1/9=7*0,1111...=0,7777...` 

`b)\ 1/60=1/6*1/10=1/6:10=0,16666...:10=0,016666...` 

`c)\ 1/300=1/3*1/100=1/3:100=0,3333...:100=0,003333...` 

`d)\ 5/900=5*1/9*1/100=5*0,1111...*1/100=0,5555...*1/100=0,5555...:100=0,005555...` 

`e)\ 11/30=1/10*1/3*11=1/10*0,3333...*11=0,0333*11=` 

`\ \ \ =0,0333...*10+0,0333...*1=0,3333...+0,0333...=0,36666...` 

`f)\ 17/90=1/10*1/9*17=1/10*0,1111...*17=0,01111...*17=` 

`\ \ \ =0,0111...*10+0,0111...*7=` `0,1111...+0,07777...=0,18888...` 

Określ wzajemne położenie okręgów

`a)\ r_1+r_2=4\ cm+6\ cm=10\ cm=|AB|\ \ \ =>\ \ \ "styczne zewn."`

`b)\ r_1+r_2=3\ cm+5\ cm=8\ cm< 10\ cm=|AB|\ \ \ =>\ \ \ "rozłączne zewn. "`

`c)\ r_1+r_2=7\ cm+5\ cm=12\ cm>10\ cm=|AB|`

`\ \ \ |r_1-r_2|=|7\ cm-5\ cm|=|2\ cm|=2\ cm< 10 \ cm=|AB|\ \ \ =>\ \ \ "przecinają się"`

`d)\ |r_1-r_2|=|18\ cm-8\ cm|=|10\ cm|=10\ cm=|AB|\ \ \ =>\ \ \ "styczne wewn."` 

Dane są punkty

Wystarczy do równania prostej y=ax+b podstawić współrzędne punktów należących do tej prostej.

 

 

`b)`

`{(-1=a*(-4)+b), (2=a*5+b):}`

 

 

 

`c)`

`{(4=a*1+b), (2=a*5+b):}`

 

Naszkicuj wykres funkcji f, mając podaną jej
a)     b)
Uporządkuj podane liczby w kolejności

`log_2 1/2=log_2 2^(-1)=-1`

`log_5 sqrt5= log_5 5^(1/2)= 1/2`

`log_64 1= log_64 64^0=0`

`log_(1/3) 27=log_(1/3) 3^3=log_(1/3) (1/3)^(-3)`

`log_3 3=log_3 3^1=1 `