Wyznaczanie funkcji trygonometrycznych - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Wyznaczanie funkcji trygonometrycznych

Zagadnienia z tego działu pojawiają się praktycznie na każdej maturze, o sprawdzianie z trygonometrii nie wspominając. Jest to wbrew pozorom bardzo prosty i schematyczny dział, a z racji, że jest wysoko punktowany dobrze by było go znać. Zacznijmy:

Potrzebne wzory:

Tutaj potrzebujemy podstawowych operacji arytmetycznych (działania na ułamkach oraz potęgach) oraz dosłownie trzech wzorów:
 
  • $$ sin^2 α+cos^2 α=1 $$
  • $$ g α={sin α}/{cos α} $$
  • $$ ctg α={cos α}/{sin α} $$

Celem naszego zadania jest znalezienie pozostałych funkcji trygonometrycznych mając tylko jedną, gdzie na poziomie podstawowym mamy zawsze tylko $$sin$$ lub $$cos$$.

Przykład:

Wiedząc, że $$sin α=2/5$$ oblicz wartości pozostałych funkcji trygonometrycznych tego kąta. Również tutaj będziemy stosować listę kroków:
 
  1. „Krok pierwszy, wzór pierwszy” – obliczenie cosinusa

    Zastosujemy tu wzór numer jeden czyli tzw. Jedynka trygonometryczna:

    $$sin^2 α+cos^2 α=1$$

    Podstawiamy naszego znanego sinusa:

    $$(2/5)^2+cos^2 α=1$$

    Podnosimy do potęgi:

    $$4/{25}+cos^2 α=1$$

    i przenosimy na drugą stronę zostawiając tylko cosinusa, pamiętamy, że przenosząc zmieniamy znak:

    $$cos^2 α=1-4/{25}$$

    Ostatecznie:

    $$cos^2 α={21}/{25}$$

    I „opuszczamy” kwadrat, pamiętamy, że nie może być w mianowniku liczby niewymiernej. $$cos α={√{21} }/{√{25} }$$

    Tutaj nam się na szczęście udało i będzie liczba całkowita w mianowniku:

    $$cos α={√{21} }/5$$

    Cosinus znaleziony! Pozostał jeszcze Tangens i Cotangens
     
  2. Znajdź Tangens, czyli "krok drugi, wzór drugi":
    Tak jak w tytule wspominam wystarczy skorzystać z drugiego wzoru:

    $$ g α={sin α}/{cos α}$$

    Mamy znaleziony sinus i cosinus więc podstawmy do wzoru:

    $$ g α={ {2/5} }/{ {√{21} }/{5} }$$ Wyszedł nam spory piętrowiec, ale nie ma co się przerażać, pamiętamy, że kreska ułamkowa to znak dzielenia, zatem korzystamy z dzielenie ułamków:

    $$ g α={2}/{5}:{√{21} }/5$$

    I mnożymy przez odwrotność:

    $$ g α=2/5×5/{√{21} }$$

    piątki się skracają:

    $$ g α=2/1×1/{√{21} }$$

    $$ g α=2/{√{21} }$$

    (Nie)szczęśliwie trafiła nam się liczba niewymierna w mianowniku, jak się jej pozbyć? Wystarczy, że pomnożymy przez 1 tylko trochę w innej postaci (czyli po prostu rozszerzymy ułamek):

    $$ g α=2/{√{21} }×{√{21} }/{√{21} }$$

    Pamiętamy, że:

    $${√{21} }/{√{21} }=1$$

    Zatem nasz ułamek to:

    $$ g α={2√21}/{21}$$

    Tangens został policzony!

    Pozostał nam cotangens i zapewne patrząc po tym co robiliśmy, jesteście niezbyt zadowoleni, że to nie koniec, jednakże cotangens można łatwo policzyć! Przejdźmy do kroku trzeciego.
     
  3. Krok 3: Cotangens z tangensa

    Przypomnijmy dwa wzory:

    $$ g α={sinα}/{cosα} $$

    $$ctg α={cos α}/{sin α} $$

    Czym one się różnią? Są na odwrót! Zatem wynik też może być na odwrót, czyli:

    $$ g α={2√{21} }/{21}$$

    $$ctg α={21}/{2√{21} }$$

    Oczywiście i tutaj usuwamy niewymierność identycznie jak w poprzednim:

    $$ctg α={21}/{2√{21} }×{√{21} }/{√{21} }={21√{21} }/{2×21}={21√{21} }/{42}={√{21} }/2$$
Zadanie zakończone.
 

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Oblicz pozostałe wartości funkcji trygonometrycznych kąta ostrego wiedząc, że $$sin α=1/2$$.

  1. Zaczynamy od kroku 1:

    Szukamy cosinusa

    Zastosujemy tu wzór numer jeden czyli tzw. Jedynka trygonometryczna:

    $$sin^2 α+cos^2 α=1$$

    $$(1/2)^2+cos^2 α=1$$

    $$1/4+cos^2 α=1$$

    $$cos^2 α=1-1/4$$

    Ostatecznie:

    $$cos^2 α=3/4$$

    $$cos α={√3}/{√4}$$

    Tutaj nam się także udało i jest liczba całkowita w mianowniku

    $$cos α={√3}/{2}$$

    Cosinus znaleziony!
     
  2. Krok 2:

    $$ g α={sin α}/{cos α}$$

    Mamy znaleziony sinus i cosinus więc podstawmy do wzoru:

    $$ g α={1/2}/{ {√3}/2}$$

    Mnożymy przez odwrotność:

    $$ g α=1/2×2/{√3}$$

    $$ g α=1/{√3}$$

    Usuwamy niewymierność:

    $$ g α=1/{√3}×{√3}/{√3}$$

    Zatem nasz ułamek to:

    $$ g α={√3}/3$$
     
  3. Krok 3: Odwracamy w celu uzyskania cotangensa

    $$ctg α=3/{√3}$$

    I usuwamy niewymierność:

    $$ctg α=3/{√3}×{√3}/{√3}={3√3}/3=√3$$
     

 

Zadanie 2.

Oblicz pozostałe funkcje trygonometryczne wiedząc, że $$cos α={√2}/2$$

  1. Zaczynamy od Kroku 1:

    Wzór na jedynkę trygonometryczną:

    $$sin^2 α+cos^2 α=1$$

    I podstawiamy

    $$sin^2 α+({√2}/2)^2=1$$

    $$sin^2 α+2/4=1$$

    $$sin^2 α=1-2/4$$

    Ostatecznie:

    $$sin^2 α=1/2$$

    $$sin α=1/{√2}×{√2}/{√2}={√2}/2$$

    No i równie prosto znaleźliśmy sinusa.
  2. Krok 2/3:

    $$ g α={sin α}/{cos α}$$

    Mamy znaleziony sinus i cosinus więc podstawmy do wzoru:

    $$ g α={ {√2}/2}/{ {√2}/2}=1$$

    Udało nam się szybko znaleźć tangens. Cotangens będzie jeszcze szybciej, bo odwrotność jedynki to po prostu 1. Zatem:

    $$ctg α=1$$
     

 

Spis treści

Rozwiązane zadania
Mamy 240 metrów bieżących siatki ...

Oznaczmy długości boków prostokąta jako x i z.

Wiemy, że obwód ogródka ma długość 240 metrów, stąd:

 

Wyznaczamy z powyższego równania długość boku z:

 

 

 

 

Chcemy, aby pole powierzchni ogródka było jak największe.

Zapiszmy funkcję określającą pole ogródka:

 

(zakładając, że długości boków są większe od 0 otrzymujemy dziedzinę funkcji (0;120)).

 

Wykres funkcji f(x) jest parabolą o ramionach skierowanych w dół (a=-1), więc największa wartość funkcji to f(xw).

 

 

 

Ogródek będzie miał największe pole równa 3600 m2, jeżeli jeden z boków będzie miał długość równą 60m:

 

wówczas długość drugiego boku musi wynosić:

 

 

Odp: Ogródek powinien być kwadratem o boku długości 60 m.

Rozwiąż równanie.

 

 

 

 

 

 

 

   

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

        

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

    

` `

W prostokątnym układzie współrzędnych naszkicuj...

a) Zróbmy tabelkę wartości funkcji f dla kilku argumentów z dziedziny funkcji:

x -1  0 1 2
y=x3 -1 0 1 8

{premium}

Rysujemy wykres funkcji f(x)=x3 i proste o równaniach:  y=-1,  y=8.

Na podstawie wykresów funkcji odczytujemy, że:

 

 


b) Zróbmy tabelkę wartości funkcji f dla kilku argumentów z dziedziny funkcji:

             
             

 

Rysujemy wykres funkcji f(x)=1/x i proste o równaniach:  y=2, y=-1/4.

Na podstawie wykresów funkcji odczytujemy, że:

 

 

Naszkicuj wykresy funkcji g i h...

Wykres funkcji  otrzymujemy po przesunięciu paraboli  równolegle

do osi  o  jednostki w lewo.    

Wykres funkcji  otrzymujemy po przesunięciu paraboli  równolegle

do osi  o  jednostki w prawo.    

Zachował się zbiór wartości funkcji  

Drabina o długości 3,6 m oparta o ścianę...

a) Rysunek:

Z twierdzenia Talesa:

  

 

 

 

 

Odpowiedź: Drabina sięga na wysokość 1,8 m.

 

b) Rysunek:

Z twierdzenia Talesa:

 

 

 

 

Odpowiedź: Drabina ma długość 4,4 m.

Rozłóż na czynniki pierwsze następujące liczby:

 

Thumb zad2.10astr27{premium}


 

Thumb zad2.10bstr27


 

Thumb zad2.10cstr27


 

Thumb zad2.10dstr27

Jola wykonała obliczenia:

Sprawdzamy, które obliczenia są poprawne:

 {premium}

 

 


Prawidłowa odpowiedź to B.

Funkcja f jest określona za pomocą wzoru f(x)=x^2

           
           

Funkcja jest rosnąca - dla coraz większych argumentów przyjmuje coraz większe wartości. 

{premium}

 

         
         

Funkcja jest malejąca - dla coraz mniejszych argumentów przyjmuje coraz mniejsze wartości. 

 

 

 

         
          

Funkcja nie jest monotoniczna. Gdyby była rosnąca, to dla coraz większych argumentów przyjmowałaby coraz większe watości, a dla -2 przyjmuje przecież większą wartość niż dla 1. Gdyby była malejąca, to dla coraz mniejszych wartości przyjmowałaby coraz mniejsze wartości, a dla 0 przyjmuje przecież mniejszą wartość niż dla 1. 

Konrad wybrał się w podróż z miasta A ...

Zauważmy, że Konrad podróżował pociągiem przez 6h.

 

    

 

 

 

 

   

 

 

 

Odległość między miastami A i B wynosi 440 km.

 

  

Na rysunku przedstawione są wykresy funkcji ...

 

Pierwsze współrzędne punktów A, B, C zostały zwiększone o 4, dzięki czemy otrzymane zostały punkty A', B', C'.