Wyznaczanie funkcji trygonometrycznych - matura-podstawowa - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Wyznaczanie funkcji trygonometrycznych - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Wyznaczanie funkcji trygonometrycznych

Zagadnienia z tego działu pojawiają się praktycznie na każdej maturze, o sprawdzianie z trygonometrii nie wspominając. Jest to wbrew pozorom bardzo prosty i schematyczny dział, a z racji, że jest wysoko punktowany dobrze by było go znać. Zacznijmy:

Potrzebne wzory:

Tutaj potrzebujemy podstawowych operacji arytmetycznych (działania na ułamkach oraz potęgach) oraz dosłownie trzech wzorów:
 
  • $ sin^2 α+cos^2 α=1 $
  • $ g α={sin α}/{cos α} $
  • $ ctg α={cos α}/{sin α} $

Celem naszego zadania jest znalezienie pozostałych funkcji trygonometrycznych mając tylko jedną, gdzie na poziomie podstawowym mamy zawsze tylko $sin$ lub $cos$.

Przykład:

Wiedząc, że $sin α=2/5$ oblicz wartości pozostałych funkcji trygonometrycznych tego kąta. Również tutaj będziemy stosować listę kroków:
 
  1. „Krok pierwszy, wzór pierwszy” – obliczenie cosinusa

    Zastosujemy tu wzór numer jeden czyli tzw. Jedynka trygonometryczna:

    $sin^2 α+cos^2 α=1$

    Podstawiamy naszego znanego sinusa:

    $(2/5)^2+cos^2 α=1$

    Podnosimy do potęgi:

    $4/{25}+cos^2 α=1$

    i przenosimy na drugą stronę zostawiając tylko cosinusa, pamiętamy, że przenosząc zmieniamy znak:

    $cos^2 α=1-4/{25}$

    Ostatecznie:

    $cos^2 α={21}/{25}$

    I „opuszczamy” kwadrat, pamiętamy, że nie może być w mianowniku liczby niewymiernej. $cos α={√{21} }/{√{25} }$

    Tutaj nam się na szczęście udało i będzie liczba całkowita w mianowniku:

    $cos α={√{21} }/5$

    Cosinus znaleziony! Pozostał jeszcze Tangens i Cotangens
     
  2. Znajdź Tangens, czyli "krok drugi, wzór drugi":
    Tak jak w tytule wspominam wystarczy skorzystać z drugiego wzoru:

    $ g α={sin α}/{cos α}$

    Mamy znaleziony sinus i cosinus więc podstawmy do wzoru:

    $ g α={ {2/5} }/{ {√{21} }/{5} }$ Wyszedł nam spory piętrowiec, ale nie ma co się przerażać, pamiętamy, że kreska ułamkowa to znak dzielenia, zatem korzystamy z dzielenie ułamków:

    $ g α={2}/{5}:{√{21} }/5$

    I mnożymy przez odwrotność:

    $ g α=2/5×5/{√{21} }$

    piątki się skracają:

    $ g α=2/1×1/{√{21} }$

    $ g α=2/{√{21} }$

    (Nie)szczęśliwie trafiła nam się liczba niewymierna w mianowniku, jak się jej pozbyć? Wystarczy, że pomnożymy przez 1 tylko trochę w innej postaci (czyli po prostu rozszerzymy ułamek):

    $ g α=2/{√{21} }×{√{21} }/{√{21} }$

    Pamiętamy, że:

    ${√{21} }/{√{21} }=1$

    Zatem nasz ułamek to:

    $ g α={2√21}/{21}$

    Tangens został policzony!

    Pozostał nam cotangens i zapewne patrząc po tym co robiliśmy, jesteście niezbyt zadowoleni, że to nie koniec, jednakże cotangens można łatwo policzyć! Przejdźmy do kroku trzeciego.
     
  3. Krok 3: Cotangens z tangensa

    Przypomnijmy dwa wzory:

    $ g α={sinα}/{cosα} $

    $ctg α={cos α}/{sin α} $

    Czym one się różnią? Są na odwrót! Zatem wynik też może być na odwrót, czyli:

    $ g α={2√{21} }/{21}$

    $ctg α={21}/{2√{21} }$

    Oczywiście i tutaj usuwamy niewymierność identycznie jak w poprzednim:

    $ctg α={21}/{2√{21} }×{√{21} }/{√{21} }={21√{21} }/{2×21}={21√{21} }/{42}={√{21} }/2$
Zadanie zakończone.
 

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Oblicz pozostałe wartości funkcji trygonometrycznych kąta ostrego wiedząc, że $sin α=1/2$.

  1. Zaczynamy od kroku 1:

    Szukamy cosinusa

    Zastosujemy tu wzór numer jeden czyli tzw. Jedynka trygonometryczna:

    $sin^2 α+cos^2 α=1$

    $(1/2)^2+cos^2 α=1$

    $1/4+cos^2 α=1$

    $cos^2 α=1-1/4$

    Ostatecznie:

    $cos^2 α=3/4$

    $cos α={√3}/{√4}$

    Tutaj nam się także udało i jest liczba całkowita w mianowniku

    $cos α={√3}/{2}$

    Cosinus znaleziony!
     
  2. Krok 2:

    $ g α={sin α}/{cos α}$

    Mamy znaleziony sinus i cosinus więc podstawmy do wzoru:

    $ g α={1/2}/{ {√3}/2}$

    Mnożymy przez odwrotność:

    $ g α=1/2×2/{√3}$

    $ g α=1/{√3}$

    Usuwamy niewymierność:

    $ g α=1/{√3}×{√3}/{√3}$

    Zatem nasz ułamek to:

    $ g α={√3}/3$
     
  3. Krok 3: Odwracamy w celu uzyskania cotangensa

    $ctg α=3/{√3}$

    I usuwamy niewymierność:

    $ctg α=3/{√3}×{√3}/{√3}={3√3}/3=√3$
     

 

Zadanie 2.

Oblicz pozostałe funkcje trygonometryczne wiedząc, że $cos α={√2}/2$

  1. Zaczynamy od Kroku 1:

    Wzór na jedynkę trygonometryczną:

    $sin^2 α+cos^2 α=1$

    I podstawiamy

    $sin^2 α+({√2}/2)^2=1$

    $sin^2 α+2/4=1$

    $sin^2 α=1-2/4$

    Ostatecznie:

    $sin^2 α=1/2$

    $sin α=1/{√2}×{√2}/{√2}={√2}/2$

    No i równie prosto znaleźliśmy sinusa.
  2. Krok 2/3:

    $ g α={sin α}/{cos α}$

    Mamy znaleziony sinus i cosinus więc podstawmy do wzoru:

    $ g α={ {√2}/2}/{ {√2}/2}=1$

    Udało nam się szybko znaleźć tangens. Cotangens będzie jeszcze szybciej, bo odwrotność jedynki to po prostu 1. Zatem:

    $ctg α=1$
     

 

Spis treści

Rozwiązane zadania
W trójkącie prostokątnym jeden z kątów...

a) Wykonajmy rysunek pomocniczy:

{premium}
Obliczmy długość przeciwprostokątnej tego trójkąta:

 

 

 


b) Wykonajmy rysunek pomocniczy:



Obliczmy długość przeciwprostokątnej tego trójkąta:

 

 

 

 

  


c) Wykonajmy rysunek pomocniczy:


 

 

 

W pewnym prostokącie przekątna ma długość d...

Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku poniżej:


 

Obliczamy długość boku a:

 

 

 


Z twierdzenia Pitagorasa obliczamy długość boku b:

 

 

 

 

 {premium}


Obliczamy obwód prostokąta:

 

 


Odp. Obwód prostokąta jest równy 25,2 cm.



 

Obliczamy długość boku b:

 

 

 

 


Z twierdzenia Pitagorasa obliczamy długość boku a:

 

 

 

 

 


Obliczamy obwód prostokąta:

 

 


Odp. Obwód prostokąta jest równy  



 

 

 

 


Z twierdzenia Pitagorasa obliczamy długość boku a:

 

 

 

 

 

 


Obliczamy długość boku b:

 

 


Obliczamy obwód prostokąta:

 

 


Odp. Obwód prostokąta jest równy 20 cm.



 

 

 

 

Z twierdzenia Pitagorasa obliczamy długość boku b:

 

 

 

 

 

 


Obliczamy długość boku a:

 

 


Obliczamy obwód prostokąta:

 

 


Odp. Obwód prostokąta jest równy 16√2 cm.

a) Korzystając z tabeli na stronie...

a) Korzystając z tabeli na stronie 230 wiemy, że:  {premium}

 

 


 

 


 

 


 

 


b) Korzystając z kalkulatora:

Wykres funkcji g otrzymano w wyniku ...

 

 

 

 

  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

       

Dany jest prostokąt o wymiarach 3 cm x 10 cm ...

 

{premium}

 

Chcemy wyrazić długość przekątnej d w zależności od x, dlatego skorzystamy z twierdzenia Pitagorasa: 

 

 

 

 

 

 

    (możemy podnieść do kwadratu, bo obie liczby są dodatnie, więc kierunek nierówności nie zmieni się)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  

Oblicz pole rombu o boku...

Z twierdzenia sinusów wiemy, że pole trójkąta możemy policzyć licząc połowę iloczynu długości jego boków i sinusa kąta alfa zawartego pomiędzy tymi bokami. Jeżeli przetniemy romb przekątną to powstaną dwa takie same trójkąty a więc wystarczy wziąć dwukrotność pola jednego trójkąta.

 

Ile jest równy cos...

Kąt alfa jest wypukły:

 

 

 

lecz

 

 

Nie można zatem stwierdzić jaką ma wartość gdyż nie będziemy pewni jego znaku.

Odpowiedź D

Która z podanych liczb jest najmniejsza?

Jeśli liczbę -1 podniesiemy do potęgi nieparzystej, to otrzymamy -1. 

 

Jeśli liczbę -1 podniesiemy do potęgi parzystej, to otrzymamy 1. 

 

Jedynka podniesiona do każdej potęgi daje 1. 

 

 

 

Należy zaznaczyć odpowiedź A. 

Wykres funkcji f składa się z dwóch...

Wyznaczmy wzór funkcji f

Z wykresu łatwo możemy odczytać, że dla argumentów mniejszych od 0 wzór funkcji f to wzór funkcji stałej:

 

Wyznaczmy wzór drugiej półprostej, wiedząc, że półprosta ta przecina oś y w punkcie (0; 2) oraz przechodzi przez punkt (1; 3), zatem:

 

 

 

wartość współczynnika a wynosi, zatem:   {premium}

 

 

 

zatem wzór funkcji f to:

 


Wyznaczmy wzór funkcji g:

Wyznaczmy wzór pierwszej półprostej, wiedząc, że półprosta ta przechodzi przez punkt (-4; 2) i (-2; 1), zatem:

 

 

odejmijmy stronami równania:


 

 

 

 

 

 

 

 


Wyznaczmy wzór odcinka, wiedząc, że odcinek ten przechodzi przez punkt (-2; 1) i (1; 4), zatem:

 

 

odejmijmy stronami równania:


 

 

 

 

 

 

 

 

Wyznaczmy wzór drugiej półprostej, jest to funkcja stała:

 


zatem wzór funkcji g to:

 


Wyznaczmy wzór funkcji h


Wyznaczmy wzór pierwszej półprostej, wiedząc, że półprosta ta przechodzi przez punkt (-3; 0) i (-1; -2), zatem:

 

 

odejmijmy stronami równania:


 

 

 

 

 

 

 

 


Wyznaczmy wzór odcinka, wiedząc, że odcinek ten przechodzi przez punkt (-1; -2) i (0; 0) , zatem:

 

 

 

 

 

 


Wyznaczmy wzór drugiej półprostej, wiedząc, że półprosta ta przechodzi przez punkt (2; 4) i (4; 1), zatem:

 

 

odejmijmy stronami równania:


 

 

 

 

 

 

 

 

zatem wzór funkcji h to:

 

Trójkąt ABC ma obwód równy 30 cm, a pole...

Mamy dane:

L = 30 cm - obwód trójkąta ABC

P = 24 cm2 - pole trójkąta ABC

L1 = 15 cm - obwód trójkąta A1B1C1


Oznaczmy:

k - skala podobieństwa trójkąta A1B1Cdo trójkąta ABC

P1 - pole trójkąta A1B1C1


Wyznaczamy{premium} skalę podobieństwa trójkąta A1B1Cdo trójkąta ABC:

 


Wiemy, że stosunek pól trójkątów podobnych równa się kwadratowi skali podobieństwa. Zatem:

 

 

 

 


Odp. Pole trójkąta A1B1Cjest równe 6 cm2.