Wyznaczanie funkcji trygonometrycznych - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Wyznaczanie funkcji trygonometrycznych

Zagadnienia z tego działu pojawiają się praktycznie na każdej maturze, o sprawdzianie z trygonometrii nie wspominając. Jest to wbrew pozorom bardzo prosty i schematyczny dział, a z racji, że jest wysoko punktowany dobrze by było go znać. Zacznijmy:

Potrzebne wzory:

Tutaj potrzebujemy podstawowych operacji arytmetycznych (działania na ułamkach oraz potęgach) oraz dosłownie trzech wzorów:

$ sin^2 α+cos^2 α=1 $
$ g α={sin α}/{cos α} $
$ ctg α={cos α}/{sin α} $

Celem naszego zadania jest znalezienie pozostałych funkcji trygonometrycznych mając tylko jedną, gdzie na poziomie podstawowym mamy zawsze tylko $sin$ lub $cos$.

Przykład:

Wiedząc, że $sin α=2/5$ oblicz wartości pozostałych funkcji trygonometrycznych tego kąta. Również tutaj będziemy stosować listę kroków:

„Krok pierwszy, wzór pierwszy” – obliczenie cosinusa

Zastosujemy tu wzór numer jeden czyli tzw. Jedynka trygonometryczna:

$sin^2 α+cos^2 α=1$

Podstawiamy naszego znanego sinusa:

$(2/5)^2+cos^2 α=1$

Podnosimy do potęgi:

$4/{25}+cos^2 α=1$

i przenosimy na drugą stronę zostawiając tylko cosinusa, pamiętamy, że przenosząc zmieniamy znak:

$cos^2 α=1-4/{25}$

Ostatecznie:

$cos^2 α={21}/{25}$

I „opuszczamy” kwadrat, pamiętamy, że nie może być w mianowniku liczby niewymiernej. $cos α={√{21} }/{√{25} }$

Tutaj nam się na szczęście udało i będzie liczba całkowita w mianowniku:

$cos α={√{21} }/5$

Cosinus znaleziony! Pozostał jeszcze Tangens i Cotangens
Znajdź Tangens, czyli "krok drugi, wzór drugi":
Tak jak w tytule wspominam wystarczy skorzystać z drugiego wzoru:

$ g α={sin α}/{cos α}$

Mamy znaleziony sinus i cosinus więc podstawmy do wzoru:

$ g α={ {2/5} }/{ {√{21} }/{5} }$ Wyszedł nam spory piętrowiec, ale nie ma co się przerażać, pamiętamy, że kreska ułamkowa to znak dzielenia, zatem korzystamy z dzielenie ułamków:

$ g α={2}/{5}:{√{21} }/5$

I mnożymy przez odwrotność:

$ g α=2/5×5/{√{21} }$

piątki się skracają:

$ g α=2/1×1/{√{21} }$

$ g α=2/{√{21} }$

(Nie)szczęśliwie trafiła nam się liczba niewymierna w mianowniku, jak się jej pozbyć? Wystarczy, że pomnożymy przez 1 tylko trochę w innej postaci (czyli po prostu rozszerzymy ułamek):

$ g α=2/{√{21} }×{√{21} }/{√{21} }$

Pamiętamy, że:

${√{21} }/{√{21} }=1$

Zatem nasz ułamek to:

$ g α={2√21}/{21}$

Tangens został policzony!

Pozostał nam cotangens i zapewne patrząc po tym co robiliśmy, jesteście niezbyt zadowoleni, że to nie koniec, jednakże cotangens można łatwo policzyć! Przejdźmy do kroku trzeciego.
Krok 3: Cotangens z tangensa

Przypomnijmy dwa wzory:

$ g α={sinα}/{cosα} $

$ctg α={cos α}/{sin α} $

Czym one się różnią? Są na odwrót! Zatem wynik też może być na odwrót, czyli:

$ g α={2√{21} }/{21}$

$ctg α={21}/{2√{21} }$

Oczywiście i tutaj usuwamy niewymierność identycznie jak w poprzednim:

$ctg α={21}/{2√{21} }×{√{21} }/{√{21} }={21√{21} }/{2×21}={21√{21} }/{42}={√{21} }/2$

Zadanie zakończone.

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Oblicz pozostałe wartości funkcji trygonometrycznych kąta ostrego wiedząc, że $sin α=1/2$.

Zobacz rozwiązanie

Zaczynamy od kroku 1:

Szukamy cosinusa

Zastosujemy tu wzór numer jeden czyli tzw. Jedynka trygonometryczna:

$sin^2 α+cos^2 α=1$

$(1/2)^2+cos^2 α=1$

$1/4+cos^2 α=1$

$cos^2 α=1-1/4$

Ostatecznie:

$cos^2 α=3/4$

$cos α={√3}/{√4}$

Tutaj nam się także udało i jest liczba całkowita w mianowniku

$cos α={√3}/{2}$

Cosinus znaleziony!
Krok 2:

$ g α={sin α}/{cos α}$

Mamy znaleziony sinus i cosinus więc podstawmy do wzoru:

$ g α={1/2}/{ {√3}/2}$

Mnożymy przez odwrotność:

$ g α=1/2×2/{√3}$

$ g α=1/{√3}$

Usuwamy niewymierność:

$ g α=1/{√3}×{√3}/{√3}$

Zatem nasz ułamek to:

$ g α={√3}/3$
Krok 3: Odwracamy w celu uzyskania cotangensa

$ctg α=3/{√3}$

I usuwamy niewymierność:

$ctg α=3/{√3}×{√3}/{√3}={3√3}/3=√3$

Zadanie 2.

Oblicz pozostałe funkcje trygonometryczne wiedząc, że $cos α={√2}/2$

Zobacz rozwiązanie

Zaczynamy od Kroku 1:

Wzór na jedynkę trygonometryczną:

$sin^2 α+cos^2 α=1$

I podstawiamy

$sin^2 α+({√2}/2)^2=1$

$sin^2 α+2/4=1$

$sin^2 α=1-2/4$

Ostatecznie:

$sin^2 α=1/2$

$sin α=1/{√2}×{√2}/{√2}={√2}/2$

No i równie prosto znaleźliśmy sinusa.
Krok 2/3:

$ g α={sin α}/{cos α}$

Mamy znaleziony sinus i cosinus więc podstawmy do wzoru:

$ g α={ {√2}/2}/{ {√2}/2}=1$

Udało nam się szybko znaleźć tangens. Cotangens będzie jeszcze szybciej, bo odwrotność jedynki to po prostu 1. Zatem:

$ctg α=1$

Spis treści

Rozwiązane zadania

Zapisz wyrażenie w postaci ...

{premium}

Czy istnieje taki kąt...

Jeżeli taki kąt {premium} istnieje, to spełniona jest jedynka trygonometryczna.

Sprawdźmy, czy tak jest.

Prawidłowa odpowiedź to

Wśród podanych funkcji wskaż te ...

Zauważmy, że:

{premium}

Zatem funkcje f(x) i h(x) mają takie same wykresy. Wszystkie funkcji mają jednakowe miejsca zerowe.

Zauważmy, że:

Zatem funkcje f(x) i i(x) mają takie same wykresy. Funkcje f(x), h(x) i i(x) mają jednakowe miejsca zerowe.

Zauważmy, że:

Funkcje f(x) i i(x) mają takie same wykresy. Funkcje g(x) i h(x) mają takie same wykresy.

Osią symetrii wykresu funkcji f jest...

Osią symetrii paraboli{premium} jest prosta równoległa do osi Y przechodząca przez wierzchołek paraboli W=(2, -4), czyli prosta o równaniu x=2.

Prawidłowa odpowiedź to D.

Liczby 12 i 15 można przedstawić...

{premium}

Cenę pewnego towaru

{premium}

Wiemy, że obecna cena stanowi 51,2% ceny początkowej, więc możemy zapisać równanie:

Możemy obustronnie podzielić przez x, ponieważ x oznacza cenę, musi więc przyjmować wartości dodatnie, więc mamy pewność, że nie dzielimy przez 0.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą...

Mamy:{premium}

Odczytujemy z tablic miarę kąta 𝛼:

Prawidłowa odpowiedź to A.

Dany jest trójkąt o bokach...

Rysunek pomocniczy:

{premium}

Z twierdzenia o dwusiecznej:

Mnożymy na krzyż.

Wówczas:

Odp. |BD|=5, |CD|=4.

Podaj liczbę rozwiązań równania ...

Funkcja powstała po przesunięciu wykresu o jednostkę w dół.

Wierzchołek otrzymanej paraboli ma współrzędne .

Parabola ma ramiona skierowane do góry, ponieważ współczynnik przy równy jest dodatni.

Zbiorem wartości funkcji jest przedział . Równanie dla:

nie ma rozwiązań,
ma jedno rozwiązanie,
ma dwa rozwiązania.{premium}

Funkcja powstała po przesunięciu wykresu o jednostkę w lewo.

Wierzchołek otrzymanej paraboli ma współrzędne .

Parabola ma ramiona skierowane do góry, ponieważ współczynnik przy równy jest dodatni.

Zbiorem wartości funkcji jest przedział . Równanie dla:

nie ma rozwiązań,
ma jedno rozwiązanie,
ma dwa rozwiązania.

Funkcja powstała po przesunięciu wykresu o jednostki w lewo

i o jednostek w górę.

Wierzchołek otrzymanej paraboli ma współrzędne .

Parabola ma ramiona skierowane do dołu, ponieważ współczynnik przy równy jest ujemny.

Zbiorem wartości funkcji jest przedział . Równanie dla:

ma dwa rozwiązania,
ma jedno rozwiązanie,
nie ma rozwiązań.

Równanie przekształćmy do postaci .

Funkcja powstała po przesunięciu wykresu o jednostki w górę.

Wierzchołek otrzymanej paraboli ma współrzędne .

Parabola ma ramiona skierowane do dołu, ponieważ współczynnik przy równy jest ujemny.

Zbiorem wartości funkcji jest przedział . Równanie dla:

ma dwa rozwiązania,
ma jedno rozwiązanie,
nie ma rozwiązań.

Funkcja powstała po przesunięciu wykresu o jednostek w prawo

i o jednostkę w dół.

Wierzchołek otrzymanej paraboli ma współrzędne .

Parabola ma ramiona skierowane do góry, ponieważ współczynnik przy równy jest dodatni.

Zbiorem wartości funkcji jest przedział . Równanie dla:

nie ma rozwiązań,
ma jedno rozwiązanie,
ma dwa rozwiązania.

Po obustronnym odjęciu od równania liczby otrzymamy .

Funkcja powstała po przesunięciu wykresu o jednostek w prawo

i o jednostki w prawo.

Wierzchołek otrzymanej paraboli ma współrzędne .

Parabola ma ramiona skierowane do góry, ponieważ współczynnik przy równy jest dodatni.

Zbiorem wartości funkcji jest przedział . Równanie dla:

nie ma rozwiązań,
ma jedno rozwiązanie,
ma dwa rozwiązania.

Która z podanych liczb jest ...

Upraszczamy podane wyrażenia i sprawdzamy, która z podanych liczb jest wymierna.

{premium}