Wyznaczanie funkcji trygonometrycznych - matura-podstawowa - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Wyznaczanie funkcji trygonometrycznych - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Wyznaczanie funkcji trygonometrycznych

Zagadnienia z tego działu pojawiają się praktycznie na każdej maturze, o sprawdzianie z trygonometrii nie wspominając. Jest to wbrew pozorom bardzo prosty i schematyczny dział, a z racji, że jest wysoko punktowany dobrze by było go znać. Zacznijmy:

Potrzebne wzory:

Tutaj potrzebujemy podstawowych operacji arytmetycznych (działania na ułamkach oraz potęgach) oraz dosłownie trzech wzorów:
 
  • $ sin^2 α+cos^2 α=1 $
  • $ g α={sin α}/{cos α} $
  • $ ctg α={cos α}/{sin α} $

Celem naszego zadania jest znalezienie pozostałych funkcji trygonometrycznych mając tylko jedną, gdzie na poziomie podstawowym mamy zawsze tylko $sin$ lub $cos$.

Przykład:

Wiedząc, że $sin α=2/5$ oblicz wartości pozostałych funkcji trygonometrycznych tego kąta. Również tutaj będziemy stosować listę kroków:
 
  1. „Krok pierwszy, wzór pierwszy” – obliczenie cosinusa

    Zastosujemy tu wzór numer jeden czyli tzw. Jedynka trygonometryczna:

    $sin^2 α+cos^2 α=1$

    Podstawiamy naszego znanego sinusa:

    $(2/5)^2+cos^2 α=1$

    Podnosimy do potęgi:

    $4/{25}+cos^2 α=1$

    i przenosimy na drugą stronę zostawiając tylko cosinusa, pamiętamy, że przenosząc zmieniamy znak:

    $cos^2 α=1-4/{25}$

    Ostatecznie:

    $cos^2 α={21}/{25}$

    I „opuszczamy” kwadrat, pamiętamy, że nie może być w mianowniku liczby niewymiernej. $cos α={√{21} }/{√{25} }$

    Tutaj nam się na szczęście udało i będzie liczba całkowita w mianowniku:

    $cos α={√{21} }/5$

    Cosinus znaleziony! Pozostał jeszcze Tangens i Cotangens
     
  2. Znajdź Tangens, czyli "krok drugi, wzór drugi":
    Tak jak w tytule wspominam wystarczy skorzystać z drugiego wzoru:

    $ g α={sin α}/{cos α}$

    Mamy znaleziony sinus i cosinus więc podstawmy do wzoru:

    $ g α={ {2/5} }/{ {√{21} }/{5} }$ Wyszedł nam spory piętrowiec, ale nie ma co się przerażać, pamiętamy, że kreska ułamkowa to znak dzielenia, zatem korzystamy z dzielenie ułamków:

    $ g α={2}/{5}:{√{21} }/5$

    I mnożymy przez odwrotność:

    $ g α=2/5×5/{√{21} }$

    piątki się skracają:

    $ g α=2/1×1/{√{21} }$

    $ g α=2/{√{21} }$

    (Nie)szczęśliwie trafiła nam się liczba niewymierna w mianowniku, jak się jej pozbyć? Wystarczy, że pomnożymy przez 1 tylko trochę w innej postaci (czyli po prostu rozszerzymy ułamek):

    $ g α=2/{√{21} }×{√{21} }/{√{21} }$

    Pamiętamy, że:

    ${√{21} }/{√{21} }=1$

    Zatem nasz ułamek to:

    $ g α={2√21}/{21}$

    Tangens został policzony!

    Pozostał nam cotangens i zapewne patrząc po tym co robiliśmy, jesteście niezbyt zadowoleni, że to nie koniec, jednakże cotangens można łatwo policzyć! Przejdźmy do kroku trzeciego.
     
  3. Krok 3: Cotangens z tangensa

    Przypomnijmy dwa wzory:

    $ g α={sinα}/{cosα} $

    $ctg α={cos α}/{sin α} $

    Czym one się różnią? Są na odwrót! Zatem wynik też może być na odwrót, czyli:

    $ g α={2√{21} }/{21}$

    $ctg α={21}/{2√{21} }$

    Oczywiście i tutaj usuwamy niewymierność identycznie jak w poprzednim:

    $ctg α={21}/{2√{21} }×{√{21} }/{√{21} }={21√{21} }/{2×21}={21√{21} }/{42}={√{21} }/2$
Zadanie zakończone.
 

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Oblicz pozostałe wartości funkcji trygonometrycznych kąta ostrego wiedząc, że $sin α=1/2$.

  1. Zaczynamy od kroku 1:

    Szukamy cosinusa

    Zastosujemy tu wzór numer jeden czyli tzw. Jedynka trygonometryczna:

    $sin^2 α+cos^2 α=1$

    $(1/2)^2+cos^2 α=1$

    $1/4+cos^2 α=1$

    $cos^2 α=1-1/4$

    Ostatecznie:

    $cos^2 α=3/4$

    $cos α={√3}/{√4}$

    Tutaj nam się także udało i jest liczba całkowita w mianowniku

    $cos α={√3}/{2}$

    Cosinus znaleziony!
     
  2. Krok 2:

    $ g α={sin α}/{cos α}$

    Mamy znaleziony sinus i cosinus więc podstawmy do wzoru:

    $ g α={1/2}/{ {√3}/2}$

    Mnożymy przez odwrotność:

    $ g α=1/2×2/{√3}$

    $ g α=1/{√3}$

    Usuwamy niewymierność:

    $ g α=1/{√3}×{√3}/{√3}$

    Zatem nasz ułamek to:

    $ g α={√3}/3$
     
  3. Krok 3: Odwracamy w celu uzyskania cotangensa

    $ctg α=3/{√3}$

    I usuwamy niewymierność:

    $ctg α=3/{√3}×{√3}/{√3}={3√3}/3=√3$
     

 

Zadanie 2.

Oblicz pozostałe funkcje trygonometryczne wiedząc, że $cos α={√2}/2$

  1. Zaczynamy od Kroku 1:

    Wzór na jedynkę trygonometryczną:

    $sin^2 α+cos^2 α=1$

    I podstawiamy

    $sin^2 α+({√2}/2)^2=1$

    $sin^2 α+2/4=1$

    $sin^2 α=1-2/4$

    Ostatecznie:

    $sin^2 α=1/2$

    $sin α=1/{√2}×{√2}/{√2}={√2}/2$

    No i równie prosto znaleźliśmy sinusa.
  2. Krok 2/3:

    $ g α={sin α}/{cos α}$

    Mamy znaleziony sinus i cosinus więc podstawmy do wzoru:

    $ g α={ {√2}/2}/{ {√2}/2}=1$

    Udało nam się szybko znaleźć tangens. Cotangens będzie jeszcze szybciej, bo odwrotność jedynki to po prostu 1. Zatem:

    $ctg α=1$
     

 

Spis treści

Rozwiązane zadania
Zapisz wyrażenie w postaci ...

 {premium}


 


 


 

 


 

 


 

 

 

Czy istnieje taki kąt...

Jeżeli taki kąt  {premium}  istnieje, to spełniona jest jedynka trygonometryczna. 

Sprawdźmy, czy tak jest.

 

Prawidłowa odpowiedź to   

Wśród podanych funkcji wskaż te ...

 

Zauważmy, że:

 

 

                          {premium}

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Zatem funkcje f(x) i h(x) mają takie same wykresy. Wszystkie funkcji mają jednakowe miejsca zerowe.


 

Zauważmy, że:

 

 

 

 

 

 

 

 

Zatem funkcje f(x) i i(x) mają takie same wykresy. Funkcje f(x), h(x) i i(x) mają jednakowe miejsca zerowe.


 

Zauważmy, że:

 

 

 

 

 

 

 

 

Funkcje f(x) i i(x) mają takie same wykresy. Funkcje g(x) i h(x) mają takie same wykresy.

Osią symetrii wykresu funkcji f jest...

Osią symetrii paraboli{premium} jest prosta równoległa do osi Y przechodząca przez wierzchołek paraboli W=(2, -4), czyli prosta o równaniu x=2.


Prawidłowa odpowiedź to D.

Liczby 12 i 15 można przedstawić...

 {premium}

 

 

 

 

Cenę pewnego towaru

 

{premium}  

 

 

 

Wiemy, że obecna cena stanowi 51,2% ceny początkowej, więc możemy zapisać równanie:

 

 

Możemy obustronnie podzielić przez x, ponieważ x oznacza cenę, musi więc przyjmować wartości dodatnie, więc mamy pewność, że nie dzielimy przez 0. 

 

 

 

 

 

  

 

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą...

Mamy:{premium}

 

Odczytujemy z tablic miarę kąta 𝛼:

 


Prawidłowa odpowiedź to A.

Dany jest trójkąt o bokach...

Rysunek pomocniczy:

{premium}


Z twierdzenia o dwusiecznej:

 

 

 

 

Mnożymy na krzyż.

 

 

 

 

Wówczas:

 


Odp. |BD|=5, |CD|=4.

Podaj liczbę rozwiązań równania ...

  Funkcja  powstała po przesunięciu wykresu  o  jednostkę w dół.

Wierzchołek otrzymanej paraboli ma współrzędne

Parabola ma ramiona skierowane do góry, ponieważ współczynnik   przy  równy  jest dodatni. 

Zbiorem wartości funkcji jest przedział .  Równanie   dla:

  •  nie ma rozwiązań,

  •  ma jedno rozwiązanie,

  •  ma dwa rozwiązania.{premium}

   
  Funkcja  powstała po przesunięciu wykresu  o  jednostkę w lewo.

Wierzchołek otrzymanej paraboli ma współrzędne

Parabola ma ramiona skierowane do góry, ponieważ współczynnik  przy  równy  jest dodatni. 

Zbiorem wartości funkcji jest przedział .  Równanie  dla:

  •  nie ma rozwiązań,

  •  ma jedno rozwiązanie,

  •  ma dwa rozwiązania.   


  Funkcja  powstała po przesunięciu wykresu  o  jednostki w lewo

i o  jednostek w górę.

Wierzchołek otrzymanej paraboli ma współrzędne

Parabola ma ramiona skierowane do dołu, ponieważ współczynnik  przy  równy  jest ujemny. 

Zbiorem wartości funkcji jest przedział .  Równanie  dla:

  •  ma dwa rozwiązania,

  •  ma jedno rozwiązanie,

  •  nie ma rozwiązań.   


  Równanie  przekształćmy do postaci .  

Funkcja  powstała po przesunięciu wykresu  o  jednostki w górę.

Wierzchołek otrzymanej paraboli ma współrzędne

Parabola ma ramiona skierowane do dołu, ponieważ współczynnik  przy  równy  jest ujemny. 

Zbiorem wartości funkcji jest przedział . Równanie  dla:

  •  ma dwa rozwiązania,

  •  ma jedno rozwiązanie,

  •  nie ma rozwiązań.  


  Funkcja  powstała po przesunięciu wykresu o  jednostek w prawo

i o  jednostkę w dół.

Wierzchołek otrzymanej paraboli ma współrzędne

Parabola ma ramiona skierowane do góry, ponieważ współczynnik  przy  równy  jest dodatni. 

Zbiorem wartości funkcji jest przedział . Równanie  dla:

  •  nie ma rozwiązań,

  •  ma jedno rozwiązanie,

  •  ma dwa rozwiązania. 


  Po obustronnym odjęciu od równania  liczby  otrzymamy .  

Funkcja  powstała po przesunięciu wykresu  o  jednostek w prawo

i o  jednostki w prawo.

Wierzchołek otrzymanej paraboli ma współrzędne

Parabola ma ramiona skierowane do góry, ponieważ współczynnik  przy  równy  jest dodatni. 

Zbiorem wartości funkcji jest przedział . Równanie  dla:

  •  nie ma rozwiązań,

  •  ma jedno rozwiązanie,

  •  ma dwa rozwiązania. 
Która z podanych liczb jest ...

Upraszczamy podane wyrażenia i sprawdzamy, która z podanych liczb jest wymierna.

  {premium}