Wyznaczanie funkcji trygonometrycznych - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Wyznaczanie funkcji trygonometrycznych

Zagadnienia z tego działu pojawiają się praktycznie na każdej maturze, o sprawdzianie z trygonometrii nie wspominając. Jest to wbrew pozorom bardzo prosty i schematyczny dział, a z racji, że jest wysoko punktowany dobrze by było go znać. Zacznijmy:

Potrzebne wzory:

Tutaj potrzebujemy podstawowych operacji arytmetycznych (działania na ułamkach oraz potęgach) oraz dosłownie trzech wzorów:

$$ sin^2 α+cos^2 α=1 $$
$$ g α={sin α}/{cos α} $$
$$ ctg α={cos α}/{sin α} $$

Celem naszego zadania jest znalezienie pozostałych funkcji trygonometrycznych mając tylko jedną, gdzie na poziomie podstawowym mamy zawsze tylko $$sin$$ lub $$cos$$.

Przykład:

Wiedząc, że $$sin α=2/5$$ oblicz wartości pozostałych funkcji trygonometrycznych tego kąta. Również tutaj będziemy stosować listę kroków:

„Krok pierwszy, wzór pierwszy” – obliczenie cosinusa

Zastosujemy tu wzór numer jeden czyli tzw. Jedynka trygonometryczna:

$$sin^2 α+cos^2 α=1$$

Podstawiamy naszego znanego sinusa:

$$(2/5)^2+cos^2 α=1$$

Podnosimy do potęgi:

$$4/{25}+cos^2 α=1$$

i przenosimy na drugą stronę zostawiając tylko cosinusa, pamiętamy, że przenosząc zmieniamy znak:

$$cos^2 α=1-4/{25}$$

Ostatecznie:

$$cos^2 α={21}/{25}$$

I „opuszczamy” kwadrat, pamiętamy, że nie może być w mianowniku liczby niewymiernej. $$cos α={√{21} }/{√{25} }$$

Tutaj nam się na szczęście udało i będzie liczba całkowita w mianowniku:

$$cos α={√{21} }/5$$

Cosinus znaleziony! Pozostał jeszcze Tangens i Cotangens
Znajdź Tangens, czyli "krok drugi, wzór drugi":
Tak jak w tytule wspominam wystarczy skorzystać z drugiego wzoru:

$$ g α={sin α}/{cos α}$$

Mamy znaleziony sinus i cosinus więc podstawmy do wzoru:

$$ g α={ {2/5} }/{ {√{21} }/{5} }$$ Wyszedł nam spory piętrowiec, ale nie ma co się przerażać, pamiętamy, że kreska ułamkowa to znak dzielenia, zatem korzystamy z dzielenie ułamków:

$$ g α={2}/{5}:{√{21} }/5$$

I mnożymy przez odwrotność:

$$ g α=2/5×5/{√{21} }$$

piątki się skracają:

$$ g α=2/1×1/{√{21} }$$

$$ g α=2/{√{21} }$$

(Nie)szczęśliwie trafiła nam się liczba niewymierna w mianowniku, jak się jej pozbyć? Wystarczy, że pomnożymy przez 1 tylko trochę w innej postaci (czyli po prostu rozszerzymy ułamek):

$$ g α=2/{√{21} }×{√{21} }/{√{21} }$$

Pamiętamy, że:

$${√{21} }/{√{21} }=1$$

Zatem nasz ułamek to:

$$ g α={2√21}/{21}$$

Tangens został policzony!

Pozostał nam cotangens i zapewne patrząc po tym co robiliśmy, jesteście niezbyt zadowoleni, że to nie koniec, jednakże cotangens można łatwo policzyć! Przejdźmy do kroku trzeciego.
Krok 3: Cotangens z tangensa

Przypomnijmy dwa wzory:

$$ g α={sinα}/{cosα} $$

$$ctg α={cos α}/{sin α} $$

Czym one się różnią? Są na odwrót! Zatem wynik też może być na odwrót, czyli:

$$ g α={2√{21} }/{21}$$

$$ctg α={21}/{2√{21} }$$

Oczywiście i tutaj usuwamy niewymierność identycznie jak w poprzednim:

$$ctg α={21}/{2√{21} }×{√{21} }/{√{21} }={21√{21} }/{2×21}={21√{21} }/{42}={√{21} }/2$$

Zadanie zakończone.

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Oblicz pozostałe wartości funkcji trygonometrycznych kąta ostrego wiedząc, że $$sin α=1/2$$.

Zobacz rozwiązanie

Zaczynamy od kroku 1:

Szukamy cosinusa

Zastosujemy tu wzór numer jeden czyli tzw. Jedynka trygonometryczna:

$$sin^2 α+cos^2 α=1$$

$$(1/2)^2+cos^2 α=1$$

$$1/4+cos^2 α=1$$

$$cos^2 α=1-1/4$$

Ostatecznie:

$$cos^2 α=3/4$$

$$cos α={√3}/{√4}$$

Tutaj nam się także udało i jest liczba całkowita w mianowniku

$$cos α={√3}/{2}$$

Cosinus znaleziony!
Krok 2:

$$ g α={sin α}/{cos α}$$

Mamy znaleziony sinus i cosinus więc podstawmy do wzoru:

$$ g α={1/2}/{ {√3}/2}$$

Mnożymy przez odwrotność:

$$ g α=1/2×2/{√3}$$

$$ g α=1/{√3}$$

Usuwamy niewymierność:

$$ g α=1/{√3}×{√3}/{√3}$$

Zatem nasz ułamek to:

$$ g α={√3}/3$$
Krok 3: Odwracamy w celu uzyskania cotangensa

$$ctg α=3/{√3}$$

I usuwamy niewymierność:

$$ctg α=3/{√3}×{√3}/{√3}={3√3}/3=√3$$

Zadanie 2.

Oblicz pozostałe funkcje trygonometryczne wiedząc, że $$cos α={√2}/2$$

Zobacz rozwiązanie

Zaczynamy od Kroku 1:

Wzór na jedynkę trygonometryczną:

$$sin^2 α+cos^2 α=1$$

I podstawiamy

$$sin^2 α+({√2}/2)^2=1$$

$$sin^2 α+2/4=1$$

$$sin^2 α=1-2/4$$

Ostatecznie:

$$sin^2 α=1/2$$

$$sin α=1/{√2}×{√2}/{√2}={√2}/2$$

No i równie prosto znaleźliśmy sinusa.
Krok 2/3:

$$ g α={sin α}/{cos α}$$

Mamy znaleziony sinus i cosinus więc podstawmy do wzoru:

$$ g α={ {√2}/2}/{ {√2}/2}=1$$

Udało nam się szybko znaleźć tangens. Cotangens będzie jeszcze szybciej, bo odwrotność jedynki to po prostu 1. Zatem:

$$ctg α=1$$

Spis treści

Rozwiązane zadania

Wyznacz współrzędne punktu M leżącego...

a) Wyznaczmy równanie prostej KL:

`{(f(-2)=4),(f(-5)=1):}`

`{(-2a+b=4),(-5a+b=1):}`

`underline(underline(stackrel(\)(-) \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \))`

`-2a-(-5a) = 4 - 1`

`-2a + 5a = 3`

`3a = 3`

`a=1`

Podstawmy wyliczoną wartość a pod pierwsze równanie:

`-2+b=4`

`b=6`

Zatem:

`f(x) = x+6`

A więc współczynnik kierunkowy funkcji MN musi się równać 1.

`g(x) = x+b`

Funkcja g ma przechodzić przez punkt N:

`g(2)=3`

`2+b=3`

`b=1`

`g(x) = x+1`

Przykładowe współrzędne punktu M to:

`M = (0,1)`

b) Wyznaczmy równanie prostej KL:

`{(f(-1)=4),(f(7)=-2):}`

`{(-a+b=4),(7a+b=-2):}`

`underline(underline(stackrel(\)(-) \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \))`

`-8a = 4-(-2)`

`-8a = 6`

`a = -6/8 = -3/4`

Podstawmy wyliczoną wartość pod pierwsze równanie.

`-(-3/4)+b=4`

`3/4 + b = 4`

`b = 4 3/4`

Wzór funkcji to:

`f(x) = -3/4x + 4 3/4`

Funkcja g(której wykresem jest prosta MN) musi mieć taki sam współczynnik kierunkowy, zatem:

`g(x) = -3/4x + b`

Przechodzi przez nią punkt N, zatem:

`g(3)=4`

`-3/4*3+b=4`

`-9/4 + b = 4`

`b = 6 1/4`

czyli jej wzór to:

`g(x) = -3/4x + 6 1/4`

c) Prosta KL jest wykresem funkcji liniowej, która jest stała. Jej wzór to:

`f(x) = 3`

Skoro prosta MN ma być równoległa do prostej KL oraz punkt N = (0,0) to punkt M musi mieć drugą współrzędną równą 0, czyli np:

`M = (1,0)`

d) Zauważmy, że prosta KL jest dana równaniem:

`x = -4`

Zatem prosta do niej równoległa musi być prostopadła do osi x i równoległa do osi y. Skoro ma przechodzić przez punkt N=(1,3) to znaczy, że punkt M musi mieć pierwszą współrzędną równą 1. Zatem współrzędne punktu M to np:

`M = (1, 10)`

Uzasadnij podane wyżej twierdzenie

`a)`

`h^2+(1/2a)^2=a^2`

`h^2+1/4a^2=a^2 \ \ \ |-1/4a^2`

`h^2=3/4a^2`

`h=sqrt(3/4a^2)=sqrt3/2a=(asqrt3)/2`

`b)`

`3a=24\ \ \ \ =>\ \ \ \ a=24:3=8`

`h=(8sqrt3)/2=4sqrt3`

`c)`

`(asqrt3)/2=6\ \ \ |*2`

`asqrt3=12\ \ \ \ |:sqrt3`

`a=12/sqrt3=(12sqrt3)/3=4sqrt3`

`O=3a=3*4sqrt3=12sqrt3`

`d)`

`r=1/3h=1/3*(asqrt3)/2=(asqrt3)/6`

`P_(wp i sa n ego)=pi*r^2=pi*((asqrt3)/6)^2=` `pi*(a^2*3)/36=``pi/12a^2 `

`R=2/3h=2/3*(asqrt3)/2=` `(asqrt3)/3`

`P_(op i sa n ego)=` `pi*R^2=pi*((asqrt3)/3)^2=` `pi*(a^2*3)/9=` `pi/3a^2`

`P_(op i san e go)-P_(wp i san ego)=pi/3a^2-pi/12a^2=(4pi)/12a^2-pi/12a^2=(3pi)/12a^2=pi/4a^2`

Na rysunku przedstawiono wykres funkcji ...

`f:<-4,4> ->RR`

`a)`

`y=f(-x)`

`b)`

`f(x)=f(-x)`

`f(0)=f(-0)`

`f(3)=2=f(-3)`

`f(-3)=2=f(3)`

`"Rozwiązaniem równania są:"`

`x=0,\ x=-3,\ x=3`

Zapisz wyrażenie w prostszej ...

`"a)"\ (a^(-5)b^3)^2=a^(-10)b^6`

`"b)"\ (x^-3y^(-2)z^5)/(x^-2y^-3z^6)=x^-3/x^-2*y^-2/y^-3*z^5/z^6=x^-1yz^-1=y/(xz)`

`"c)"\ ((x^-2y)/z^3)^-3:((x^5y^-2)/z^3)^-1=(z^3/(x^-2y))^3:z^3/(x^5y^-2)=`

`=z^9/(x^-6y^3)*(x^5y^-2)/z^3=z^9/z^3*x^5/x^-6*y^-2/y^3=z^6x^11y^-5=(z^6x^11)/y^5`

Wyznacz najmniejszą i największą wartość funkcji...

`a) \ f(x) = x^2-12x+10`

Sprawdźmy czy wierzchołek należy do wykresu funkcji:

`p = (-b)/(2a) = 12/2 = 6`

Parabola ma ramiona skierowane ku górze a więc najmniejszą wartość mamy w wierzchołku, im dalej oddalony argument będzie od wierzchołka tym wartość będzie większa.

`y_("min") = f(6) = 6^2-12*6 + 10 = 36 - 72 + 10 = 46 - 72 = -26`

`y_("max") = f(1) = 1^2 - 12*1 + 10 = 11 - 12 = -1`

`b) \ f(x) = -7x^2+3x+4`

Sprawdźmy czy wierzchołek należy do wykresu funkcji:

`p=(-b)/(2a) = (-3)/(-14) = 3/14`

Parabola ma ramiona skierowane ku dołowi a więc największą wartość mamy w wierzchołku, im dalej oddalony argument będzie od wierzchołka tym wartość będzie mniejsza.

`y_("max") = f(sqrt2) = -7*(sqrt2)^2 + 3*sqrt2 + 4 = -14 + 3sqrt2 + 4 = 3sqrt2 - 10`

`y_("min") = f(6) = -7*6^2 + 3*6 + 4 = -7*36+18+4 = -230`

`c) \ f(x) = 2x^2+5x-3`

Sprawdźmy czy wierzchołek należy do wykresu funkcji:

`p = (-b)/(2a) = -5/4`

Parabola ma ramiona skierowane ku górze a więc najmniejszą wartość mamy w wierzchołku, im dalej oddalony argument będzie od wierzchołka tym wartość będzie większa.

`y_("min") = f(-1) = 2*(-1)^2 + 5*(-1) - 3 = 2 - 5 - 3 = -6`

`y_("max") = f(3) = 2*3^2 + 5*3 - 3 = 2*9 + 15 - 3 = 30`

`d) \ f(x) = 2x^2 - 7x - 5`

Sprawdźmy czy wierzchołek należy do wykresu funkcji:

`p = (-b)/(2a) = 7/4`

Parabola ma ramiona skierowane ku górze a więc najmniejszą wartość mamy w wierzchołku, im dalej oddalony argument będzie od wierzchołka tym wartość będzie większa.

`y_("min") = f(7/4) = 2*(7/4)^2 - 7*7/4 - 5 = 2*49/16 - 49/4 - 5 = 49/8 - 98/8 -5 = -49/8 - 5 = -89/8`

`y_("max") = f(5) = 2*5^2 -7*5 - 5 = 2*25 - 35 - 5 = 50 - 40 = 10`

Na podstawie podanych obok informacji znajdź rozwinięcie dziesiętne

`a)\ 7/9=7*1/9=7*0,1111...=0,7777...`

`b)\ 1/60=1/6*1/10=1/6:10=0,16666...:10=0,016666...`

`c)\ 1/300=1/3*1/100=1/3:100=0,3333...:100=0,003333...`

`d)\ 5/900=5*1/9*1/100=5*0,1111...*1/100=0,5555...*1/100=0,5555...:100=0,005555...`

`e)\ 11/30=1/10*1/3*11=1/10*0,3333...*11=0,0333*11=`

`\ \ \ =0,0333...*10+0,0333...*1=0,3333...+0,0333...=0,36666...`

`f)\ 17/90=1/10*1/9*17=1/10*0,1111...*17=0,01111...*17=`

`\ \ \ =0,0111...*10+0,0111...*7=` `0,1111...+0,07777...=0,18888...`

Określ wzajemne położenie okręgów

`a)\ r_1+r_2=4\ cm+6\ cm=10\ cm=|AB|\ \ \ =>\ \ \ "styczne zewn."`

`b)\ r_1+r_2=3\ cm+5\ cm=8\ cm< 10\ cm=|AB|\ \ \ =>\ \ \ "rozłączne zewn. "`

`c)\ r_1+r_2=7\ cm+5\ cm=12\ cm>10\ cm=|AB|`

`\ \ \ |r_1-r_2|=|7\ cm-5\ cm|=|2\ cm|=2\ cm< 10 \ cm=|AB|\ \ \ =>\ \ \ "przecinają się"`

`d)\ |r_1-r_2|=|18\ cm-8\ cm|=|10\ cm|=10\ cm=|AB|\ \ \ =>\ \ \ "styczne wewn."`

Dane są punkty

Wystarczy do równania prostej y=ax+b podstawić współrzędne punktów należących do tej prostej.

`b)`

`{(-1=a*(-4)+b), (2=a*5+b):}`

`c)`

`{(4=a*1+b), (2=a*5+b):}`

Naszkicuj wykres funkcji f, mając podaną jej

Uporządkuj podane liczby w kolejności

`log_2 1/2=log_2 2^(-1)=-1`

`log_5 sqrt5= log_5 5^(1/2)= 1/2`

`log_64 1= log_64 64^0=0`

`log_(1/3) 27=log_(1/3) 3^3=log_(1/3) (1/3)^(-3)`

`log_3 3=log_3 3^1=1 `