Wyznaczanie funkcji trygonometrycznych - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Wyznaczanie funkcji trygonometrycznych

Zagadnienia z tego działu pojawiają się praktycznie na każdej maturze, o sprawdzianie z trygonometrii nie wspominając. Jest to wbrew pozorom bardzo prosty i schematyczny dział, a z racji, że jest wysoko punktowany dobrze by było go znać. Zacznijmy:

Potrzebne wzory:

Tutaj potrzebujemy podstawowych operacji arytmetycznych (działania na ułamkach oraz potęgach) oraz dosłownie trzech wzorów:
 
  • $$ sin^2 α+cos^2 α=1 $$
  • $$ g α={sin α}/{cos α} $$
  • $$ ctg α={cos α}/{sin α} $$

Celem naszego zadania jest znalezienie pozostałych funkcji trygonometrycznych mając tylko jedną, gdzie na poziomie podstawowym mamy zawsze tylko $$sin$$ lub $$cos$$.

Przykład:

Wiedząc, że $$sin α=2/5$$ oblicz wartości pozostałych funkcji trygonometrycznych tego kąta. Również tutaj będziemy stosować listę kroków:
 
  1. „Krok pierwszy, wzór pierwszy” – obliczenie cosinusa

    Zastosujemy tu wzór numer jeden czyli tzw. Jedynka trygonometryczna:

    $$sin^2 α+cos^2 α=1$$

    Podstawiamy naszego znanego sinusa:

    $$(2/5)^2+cos^2 α=1$$

    Podnosimy do potęgi:

    $$4/{25}+cos^2 α=1$$

    i przenosimy na drugą stronę zostawiając tylko cosinusa, pamiętamy, że przenosząc zmieniamy znak:

    $$cos^2 α=1-4/{25}$$

    Ostatecznie:

    $$cos^2 α={21}/{25}$$

    I „opuszczamy” kwadrat, pamiętamy, że nie może być w mianowniku liczby niewymiernej. $$cos α={√{21} }/{√{25} }$$

    Tutaj nam się na szczęście udało i będzie liczba całkowita w mianowniku:

    $$cos α={√{21} }/5$$

    Cosinus znaleziony! Pozostał jeszcze Tangens i Cotangens
     
  2. Znajdź Tangens, czyli "krok drugi, wzór drugi":
    Tak jak w tytule wspominam wystarczy skorzystać z drugiego wzoru:

    $$ g α={sin α}/{cos α}$$

    Mamy znaleziony sinus i cosinus więc podstawmy do wzoru:

    $$ g α={ {2/5} }/{ {√{21} }/{5} }$$ Wyszedł nam spory piętrowiec, ale nie ma co się przerażać, pamiętamy, że kreska ułamkowa to znak dzielenia, zatem korzystamy z dzielenie ułamków:

    $$ g α={2}/{5}:{√{21} }/5$$

    I mnożymy przez odwrotność:

    $$ g α=2/5×5/{√{21} }$$

    piątki się skracają:

    $$ g α=2/1×1/{√{21} }$$

    $$ g α=2/{√{21} }$$

    (Nie)szczęśliwie trafiła nam się liczba niewymierna w mianowniku, jak się jej pozbyć? Wystarczy, że pomnożymy przez 1 tylko trochę w innej postaci (czyli po prostu rozszerzymy ułamek):

    $$ g α=2/{√{21} }×{√{21} }/{√{21} }$$

    Pamiętamy, że:

    $${√{21} }/{√{21} }=1$$

    Zatem nasz ułamek to:

    $$ g α={2√21}/{21}$$

    Tangens został policzony!

    Pozostał nam cotangens i zapewne patrząc po tym co robiliśmy, jesteście niezbyt zadowoleni, że to nie koniec, jednakże cotangens można łatwo policzyć! Przejdźmy do kroku trzeciego.
     
  3. Krok 3: Cotangens z tangensa

    Przypomnijmy dwa wzory:

    $$ g α={sinα}/{cosα} $$

    $$ctg α={cos α}/{sin α} $$

    Czym one się różnią? Są na odwrót! Zatem wynik też może być na odwrót, czyli:

    $$ g α={2√{21} }/{21}$$

    $$ctg α={21}/{2√{21} }$$

    Oczywiście i tutaj usuwamy niewymierność identycznie jak w poprzednim:

    $$ctg α={21}/{2√{21} }×{√{21} }/{√{21} }={21√{21} }/{2×21}={21√{21} }/{42}={√{21} }/2$$
Zadanie zakończone.
 

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Oblicz pozostałe wartości funkcji trygonometrycznych kąta ostrego wiedząc, że $$sin α=1/2$$.

  1. Zaczynamy od kroku 1:

    Szukamy cosinusa

    Zastosujemy tu wzór numer jeden czyli tzw. Jedynka trygonometryczna:

    $$sin^2 α+cos^2 α=1$$

    $$(1/2)^2+cos^2 α=1$$

    $$1/4+cos^2 α=1$$

    $$cos^2 α=1-1/4$$

    Ostatecznie:

    $$cos^2 α=3/4$$

    $$cos α={√3}/{√4}$$

    Tutaj nam się także udało i jest liczba całkowita w mianowniku

    $$cos α={√3}/{2}$$

    Cosinus znaleziony!
     
  2. Krok 2:

    $$ g α={sin α}/{cos α}$$

    Mamy znaleziony sinus i cosinus więc podstawmy do wzoru:

    $$ g α={1/2}/{ {√3}/2}$$

    Mnożymy przez odwrotność:

    $$ g α=1/2×2/{√3}$$

    $$ g α=1/{√3}$$

    Usuwamy niewymierność:

    $$ g α=1/{√3}×{√3}/{√3}$$

    Zatem nasz ułamek to:

    $$ g α={√3}/3$$
     
  3. Krok 3: Odwracamy w celu uzyskania cotangensa

    $$ctg α=3/{√3}$$

    I usuwamy niewymierność:

    $$ctg α=3/{√3}×{√3}/{√3}={3√3}/3=√3$$
     

 

Zadanie 2.

Oblicz pozostałe funkcje trygonometryczne wiedząc, że $$cos α={√2}/2$$

  1. Zaczynamy od Kroku 1:

    Wzór na jedynkę trygonometryczną:

    $$sin^2 α+cos^2 α=1$$

    I podstawiamy

    $$sin^2 α+({√2}/2)^2=1$$

    $$sin^2 α+2/4=1$$

    $$sin^2 α=1-2/4$$

    Ostatecznie:

    $$sin^2 α=1/2$$

    $$sin α=1/{√2}×{√2}/{√2}={√2}/2$$

    No i równie prosto znaleźliśmy sinusa.
  2. Krok 2/3:

    $$ g α={sin α}/{cos α}$$

    Mamy znaleziony sinus i cosinus więc podstawmy do wzoru:

    $$ g α={ {√2}/2}/{ {√2}/2}=1$$

    Udało nam się szybko znaleźć tangens. Cotangens będzie jeszcze szybciej, bo odwrotność jedynki to po prostu 1. Zatem:

    $$ctg α=1$$
     

 

Spis treści

Rozwiązane zadania
Rozwiąż równanie.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

       

  

 

  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

    

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

   

Za wykonanie pewnej usługi, do której dolicza...

 cena usługi bez podatku

 cena usługi z podatkiem  


Wiemy, że za usługę razem z podatkiem klient zapłacił  Stąd: {premium}

 

 


Obliczamy, ile wynosi  podatku od ceny usługi:

 


Obliczamy, ile klient zapłaci za usługę razem z podatkiem  

 


Odp. Gdyby podatek VAT wynosił  klient zapłaciłby  

Poniższa tabela pokazuje średnie kursy euro...

Średnia arytmetyczna liczb jest równa

 


 {premium}

 


Odp. Średni kurs euro wynosił  

Pokoloruj...

a) Rysunek:

 

b) Rysunek:

 

c) Rysunek:

 

d) Rysunek:

Korzystając ze wzorów podanych w poprzednim zadaniu ...

 

 

  

 

 

 

 

Prosta prostopadła do prostej l, przechodząca przez punkt P wyraża się wzorem:

   

Podstawmy odpowiednie wartości.

 

 

 

       

Prosta równoległa do prostej l, przechodząca przez punkt P wyraża się wzorem:

    

Podstawmy odpowiednie wartości.

 

 

 

 

 

 

  

 

 

   

 

Prosta prostopadła do prostej l, przechodząca przez punkt P wyraża się wzorem:

   

Podstawmy odpowiednie wartości.

 

  

       

Prosta równoległa do prostej l, przechodząca przez punkt P wyraża się wzorem:

    

Podstawmy odpowiednie wartości.

 

 

 

 

 

  

 

 

   

 

Prosta prostopadła do prostej l, przechodząca przez punkt P wyraża się wzorem:

   

Podstawmy odpowiednie wartości.

 

 

       

       

Prosta równoległa do prostej l, przechodząca przez punkt P wyraża się wzorem:

    

Podstawmy odpowiednie wartości.

  

   

Bez obliczania miejsc zerowych funkcji...

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Zauważmy, że w podpunkcie e) dowiedzieliśmy się, że:

 

zatem:

 

czyli

 

 

Wiedząc, że x/y=m/n

 

 

 

 

` `

Wykaż, że liczba

 

  

  

 

Liczby 3 i 19 są czynnikami tworzącymi daną liczbę, więc dana liczba jest podzielna przez 3 oraz przez 19. 

 

 

 

Niech n będzie dowolną liczbą naturalną

 

Zapiszmy sumę trzech kolejnych potęg naturalnych liczby 7. 

 

 

 

Liczby 3 i 19 są czynnikami tworzącymi daną liczbę, więc dana liczba jest podzielna przez 3 oraz przez 19. 

Na podstawie definicji logarytmu (logab=c <=>

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

 

Podaj przykład dwóch liczb wymiernych...

 bo

 

 {premium}


 bo

 

 


 bo