Wyznaczanie funkcji trygonometrycznych - matura-podstawowa - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Wyznaczanie funkcji trygonometrycznych - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Wyznaczanie funkcji trygonometrycznych

Zagadnienia z tego działu pojawiają się praktycznie na każdej maturze, o sprawdzianie z trygonometrii nie wspominając. Jest to wbrew pozorom bardzo prosty i schematyczny dział, a z racji, że jest wysoko punktowany dobrze by było go znać. Zacznijmy:

Potrzebne wzory:

Tutaj potrzebujemy podstawowych operacji arytmetycznych (działania na ułamkach oraz potęgach) oraz dosłownie trzech wzorów:
 
  • $ sin^2 α+cos^2 α=1 $
  • $ g α={sin α}/{cos α} $
  • $ ctg α={cos α}/{sin α} $

Celem naszego zadania jest znalezienie pozostałych funkcji trygonometrycznych mając tylko jedną, gdzie na poziomie podstawowym mamy zawsze tylko $sin$ lub $cos$.

Przykład:

Wiedząc, że $sin α=2/5$ oblicz wartości pozostałych funkcji trygonometrycznych tego kąta. Również tutaj będziemy stosować listę kroków:
 
  1. „Krok pierwszy, wzór pierwszy” – obliczenie cosinusa

    Zastosujemy tu wzór numer jeden czyli tzw. Jedynka trygonometryczna:

    $sin^2 α+cos^2 α=1$

    Podstawiamy naszego znanego sinusa:

    $(2/5)^2+cos^2 α=1$

    Podnosimy do potęgi:

    $4/{25}+cos^2 α=1$

    i przenosimy na drugą stronę zostawiając tylko cosinusa, pamiętamy, że przenosząc zmieniamy znak:

    $cos^2 α=1-4/{25}$

    Ostatecznie:

    $cos^2 α={21}/{25}$

    I „opuszczamy” kwadrat, pamiętamy, że nie może być w mianowniku liczby niewymiernej. $cos α={√{21} }/{√{25} }$

    Tutaj nam się na szczęście udało i będzie liczba całkowita w mianowniku:

    $cos α={√{21} }/5$

    Cosinus znaleziony! Pozostał jeszcze Tangens i Cotangens
     
  2. Znajdź Tangens, czyli "krok drugi, wzór drugi":
    Tak jak w tytule wspominam wystarczy skorzystać z drugiego wzoru:

    $ g α={sin α}/{cos α}$

    Mamy znaleziony sinus i cosinus więc podstawmy do wzoru:

    $ g α={ {2/5} }/{ {√{21} }/{5} }$ Wyszedł nam spory piętrowiec, ale nie ma co się przerażać, pamiętamy, że kreska ułamkowa to znak dzielenia, zatem korzystamy z dzielenie ułamków:

    $ g α={2}/{5}:{√{21} }/5$

    I mnożymy przez odwrotność:

    $ g α=2/5×5/{√{21} }$

    piątki się skracają:

    $ g α=2/1×1/{√{21} }$

    $ g α=2/{√{21} }$

    (Nie)szczęśliwie trafiła nam się liczba niewymierna w mianowniku, jak się jej pozbyć? Wystarczy, że pomnożymy przez 1 tylko trochę w innej postaci (czyli po prostu rozszerzymy ułamek):

    $ g α=2/{√{21} }×{√{21} }/{√{21} }$

    Pamiętamy, że:

    ${√{21} }/{√{21} }=1$

    Zatem nasz ułamek to:

    $ g α={2√21}/{21}$

    Tangens został policzony!

    Pozostał nam cotangens i zapewne patrząc po tym co robiliśmy, jesteście niezbyt zadowoleni, że to nie koniec, jednakże cotangens można łatwo policzyć! Przejdźmy do kroku trzeciego.
     
  3. Krok 3: Cotangens z tangensa

    Przypomnijmy dwa wzory:

    $ g α={sinα}/{cosα} $

    $ctg α={cos α}/{sin α} $

    Czym one się różnią? Są na odwrót! Zatem wynik też może być na odwrót, czyli:

    $ g α={2√{21} }/{21}$

    $ctg α={21}/{2√{21} }$

    Oczywiście i tutaj usuwamy niewymierność identycznie jak w poprzednim:

    $ctg α={21}/{2√{21} }×{√{21} }/{√{21} }={21√{21} }/{2×21}={21√{21} }/{42}={√{21} }/2$
Zadanie zakończone.
 

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Oblicz pozostałe wartości funkcji trygonometrycznych kąta ostrego wiedząc, że $sin α=1/2$.

  1. Zaczynamy od kroku 1:

    Szukamy cosinusa

    Zastosujemy tu wzór numer jeden czyli tzw. Jedynka trygonometryczna:

    $sin^2 α+cos^2 α=1$

    $(1/2)^2+cos^2 α=1$

    $1/4+cos^2 α=1$

    $cos^2 α=1-1/4$

    Ostatecznie:

    $cos^2 α=3/4$

    $cos α={√3}/{√4}$

    Tutaj nam się także udało i jest liczba całkowita w mianowniku

    $cos α={√3}/{2}$

    Cosinus znaleziony!
     
  2. Krok 2:

    $ g α={sin α}/{cos α}$

    Mamy znaleziony sinus i cosinus więc podstawmy do wzoru:

    $ g α={1/2}/{ {√3}/2}$

    Mnożymy przez odwrotność:

    $ g α=1/2×2/{√3}$

    $ g α=1/{√3}$

    Usuwamy niewymierność:

    $ g α=1/{√3}×{√3}/{√3}$

    Zatem nasz ułamek to:

    $ g α={√3}/3$
     
  3. Krok 3: Odwracamy w celu uzyskania cotangensa

    $ctg α=3/{√3}$

    I usuwamy niewymierność:

    $ctg α=3/{√3}×{√3}/{√3}={3√3}/3=√3$
     

 

Zadanie 2.

Oblicz pozostałe funkcje trygonometryczne wiedząc, że $cos α={√2}/2$

  1. Zaczynamy od Kroku 1:

    Wzór na jedynkę trygonometryczną:

    $sin^2 α+cos^2 α=1$

    I podstawiamy

    $sin^2 α+({√2}/2)^2=1$

    $sin^2 α+2/4=1$

    $sin^2 α=1-2/4$

    Ostatecznie:

    $sin^2 α=1/2$

    $sin α=1/{√2}×{√2}/{√2}={√2}/2$

    No i równie prosto znaleźliśmy sinusa.
  2. Krok 2/3:

    $ g α={sin α}/{cos α}$

    Mamy znaleziony sinus i cosinus więc podstawmy do wzoru:

    $ g α={ {√2}/2}/{ {√2}/2}=1$

    Udało nam się szybko znaleźć tangens. Cotangens będzie jeszcze szybciej, bo odwrotność jedynki to po prostu 1. Zatem:

    $ctg α=1$
     

 

Spis treści

Rozwiązane zadania
Punkt O(2,1) jest środkiem...

Wykonajmy rysunek pomocniczy:

 

Zauważmy, że wektor    jest połową wektora  , a więc:

 

 

Punkt C możemy wyznaczyć przesuwając punkt O o wektor  :

 

 

Punkt A możemy otrzymać, przesuwając punkt O o wektor przeciwny:

 

 

Znamy współrzędne punktu A oraz punktu S - możemy więc wyznaczyć współrzędne wektora  

 

 

Punkt D możemy otrzymać przesuwając punkt S o wektor   

 

 

Wektor   jest dwukrotnością wektora  :

 

 

Punkt B możemy otrzymać przesuwając punkt C o wektor przeciwny to wektora  :

 

 

                 

 

{premium}

Znamy współrzędne wszystkich wierzchołków  - możemy teraz wyznaczyć współrzędne połów boków:

 

 

 

 

 

 

 


b)   

Aby wyznaczyć miarę kąta   skorzystamy z twierdzenia cosinusów w trójkącie ABO.

 

 

 

  

 

  

 

Twierdzenie cosinusów:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A więc:

    

 

 

 

Zauważmy, że trójkąt ABC stanowi połowę całego równoległoboku - z kolei punk O jest środkiem odcinka AC, więc dzieli trójkąt ABC na dwa trójkąty o takich samych polach (trójkąty AOB oraz COB).

Wynika z tego, że pole całego równoległoboku jest czterokrotnie większe niż pole trójkąta AOB, a więc jest równe:

   

 

 

 

     

Na bokach AB i BC równoległoboku...

Przyjrzyjmy się poniższemu rysunkowi{premium}

Żeby udowodnić, że zachodzi równość 

 

wystarczy pokazać, że trójkąty ABC i EBF są przystające. 


Rozważmy, trójkąty ABC i EBF. 

Niech

 

takie, że a, b > 0  oraz  a < b 

ponieważ trójkąt ABE jest równoboczny, to

 

Podobnie wiedząc, że trójkąt CBF jest równoboczny, dostajemy

 

Następnie wiemy, że w każdym trójkącie równobocznym wszystkie kąty wewnętrzne są równe 60°, zatem

jeśli kąt EBC oznaczymy przez α, to dostajemy, że 

Otrzymaliśmy więc, że w trójkącie ABC między bokiem AB o długości a i bokiem BC o długości b, leży kąt ABC o mierze 60°+ α.

Podobnie w trójkącie EBF między bokiem EB o długości a i bokiem BF o długości b leży kąt EBF o tej samej mierze 60°+ α,

czyli między bokami tej samej długości występuje kąt tej samej miary.

Zatem na podstawie cechy przystawania bok-kąt-bok (bkb), trójkąty ABC i EBF są przystające. 

Skoro te trójkąty są przystające to odpowiednie boki są tej samej długości, stąd mamy

 

c.n.d.

Na rysunku obok przedstawiono wykres funkcji ...

Wykres funkcji  otrzymujemy przez symetryczne odbicie wykresu funkcji  względem osi .


Uzupełniamy tabelę.{premium}

                   
                   
                   


Szkicujemy wykres funkcji .

Uzupełniamy drugą tabelę.

Funkcja Dziedzina Zbiór wartości Miejsca zerowe
       
       
Znając współrzędne punktu M...

 

 

  

 

Porównajmy ze sobą pierwsze współrzędne oraz drugie współrzędne.

{premium}  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Oblicz pole trójkąta ABC...

Pole policzymy ze wzoru:

{premium}  

gdzie a, b to długości boków a kąt   jest kątem zawartym między tymi bokami.

 

 

 

 

Zapisz wyrażenie w prostszej postaci ...

 

Upraszczamy podane wyrażenie.

 {premium}


Obliczamy wartość wyrażenia dla podanej liczby .

 


 

Upraszczamy podane wyrażenie.

 

 

 


Obliczamy wartość wyrażenia dla podanych liczb  i .

 

W trójkącie ABC narysowany odcinek ...

Wykonajmy rysunek pomocniczy: {premium}



Odcinki  są równoległe, więc:

 

 


Trójkąty  mają wspólny kąt przy wierzchołku . Są więc podobne na podstawie cechy podobieństwa trójkątów kąt-kąt-kąt.

Wyznaczamy skalę podobieństwa  trójkątów .

 


Wyznaczamy długość odcinka .

 

 

 

 

 

 

 

a) Na rysunku obok punkty T, O i P...

a) Dwie pary kątów przyległych na tym rysunku to:   {premium}

TOR i ROP; TOS i SOP


b) Obliczmy miarę kąta TOS:

 


Obliczmy miarę kąta POS:

 

Wskaż liczbę należącą do zbioru...

Sprawdzamy, czy istnieje taki element z dziedziny, dla którego funkcja{premium} przyjmuje wartość 100:

 

 

 

 


Sprawdzamy, czy istnieje taki element z dziedziny, dla którego funkcja przyjmuje wartość 101:

 

 

 

 


Sprawdzamy, czy istnieje taki element z dziedziny, dla którego funkcja przyjmuje wartość 102:

 

 

 

 


Sprawdzamy, czy istnieje taki element z dziedziny, dla którego funkcja przyjmuje wartość 103:

 

 

 

 


Prawidłowa odpowiedź to B.

Funkcja f jest opisana za pomocą tabelki...

a) Z równości g(x)=f(x)+6 wynika, że funkcja g dla każdego argumentu przyjmuje o 6 większą wartość niż funkcja f.{premium}

Zatem tabelka dla funkcji g wygląda następująco:

x -3 -2 0 1 6 28
g(x) 2 (=-4+6) 5 (=-1+6) 8 (=2+6) 15 (=9+6) 17 (=11+6) 87 (=81+6)

b) Z równości g(x)=f(x)-21 wynika, że funkcja g dla każdego argumentu przyjmuje o 21 mniejszą wartość niż funkcja f.

Zatem tabelka dla funkcji g wygląda następująco:

x -3 -2 0 1 6 28
g(x) -25 (=-4-21) -22 (=-1-21) -19 (=2-21) -12 (=9-21) -10 (=11-21) 60 (=81-21)