Wyznaczanie funkcji trygonometrycznych - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

• $$ sin^2 α+cos^2 α=1 $$
• $$ g α={sin α}/{cos α} $$
• $$ ctg α={cos α}/{sin α} $$

1. „Krok pierwszy, wzór pierwszy” – obliczenie cosinusa
   
   Zastosujemy tu wzór numer jeden czyli tzw. Jedynka trygonometryczna:
   
   $$sin^2 α+cos^2 α=1$$
   
   Podstawiamy naszego znanego sinusa:
   
   $$(2/5)^2+cos^2 α=1$$
   
   Podnosimy do potęgi:
   
   $$4/{25}+cos^2 α=1$$
   
   i przenosimy na drugą stronę zostawiając tylko cosinusa, pamiętamy, że przenosząc zmieniamy znak:
   
   $$cos^2 α=1-4/{25}$$
   
   Ostatecznie:
   
   $$cos^2 α={21}/{25}$$
   
   I „opuszczamy” kwadrat, pamiętamy, że nie może być w mianowniku liczby niewymiernej. $$cos α={√{21} }/{√{25} }$$
   
   Tutaj nam się na szczęście udało i będzie liczba całkowita w mianowniku:
   
   $$cos α={√{21} }/5$$
   
   Cosinus znaleziony! Pozostał jeszcze Tangens i Cotangens
    
2. Znajdź Tangens, czyli "krok drugi, wzór drugi":
   Tak jak w tytule wspominam wystarczy skorzystać z drugiego wzoru:
   
   $$ g α={sin α}/{cos α}$$
   
   Mamy znaleziony sinus i cosinus więc podstawmy do wzoru:
   
   $$ g α={ {2/5} }/{ {√{21} }/{5} }$$ Wyszedł nam spory piętrowiec, ale nie ma co się przerażać, pamiętamy, że kreska ułamkowa to znak dzielenia, zatem korzystamy z dzielenie ułamków:
   
   $$ g α={2}/{5}:{√{21} }/5$$
   
   I mnożymy przez odwrotność:
   
   $$ g α=2/5×5/{√{21} }$$
   
   piątki się skracają:
   
   $$ g α=2/1×1/{√{21} }$$
   
   $$ g α=2/{√{21} }$$
   
   (Nie)szczęśliwie trafiła nam się liczba niewymierna w mianowniku, jak się jej pozbyć? Wystarczy, że pomnożymy przez 1 tylko trochę w innej postaci (czyli po prostu rozszerzymy ułamek):
   
   $$ g α=2/{√{21} }×{√{21} }/{√{21} }$$
   
   Pamiętamy, że:
   
   $${√{21} }/{√{21} }=1$$
   
   Zatem nasz ułamek to:
   
   $$ g α={2√21}/{21}$$
   
   Tangens został policzony!
   
   Pozostał nam cotangens i zapewne patrząc po tym co robiliśmy, jesteście niezbyt zadowoleni, że to nie koniec, jednakże cotangens można łatwo policzyć! Przejdźmy do kroku trzeciego.
    
3. Krok 3: Cotangens z tangensa
   
   Przypomnijmy dwa wzory:
   
   $$ g α={sinα}/{cosα} $$
   
   $$ctg α={cos α}/{sin α} $$
   
   Czym one się różnią? Są na odwrót! Zatem wynik też może być na odwrót, czyli:
   
   $$ g α={2√{21} }/{21}$$
   
   $$ctg α={21}/{2√{21} }$$
   
   Oczywiście i tutaj usuwamy niewymierność identycznie jak w poprzednim:
   
   $$ctg α={21}/{2√{21} }×{√{21} }/{√{21} }={21√{21} }/{2×21}={21√{21} }/{42}={√{21} }/2$$

Zadanie 1.

Oblicz pozostałe wartości funkcji trygonometrycznych kąta ostrego wiedząc, że $$sin α=1/2$$.

Zadanie 2.

Oblicz pozostałe funkcje trygonometryczne wiedząc, że $$cos α={√2}/2$$