Wyznaczanie funkcji trygonometrycznych - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Wyznaczanie funkcji trygonometrycznych

Zagadnienia z tego działu pojawiają się praktycznie na każdej maturze, o sprawdzianie z trygonometrii nie wspominając. Jest to wbrew pozorom bardzo prosty i schematyczny dział, a z racji, że jest wysoko punktowany dobrze by było go znać. Zacznijmy:

Potrzebne wzory:

Tutaj potrzebujemy podstawowych operacji arytmetycznych (działania na ułamkach oraz potęgach) oraz dosłownie trzech wzorów:

$ sin^2 α+cos^2 α=1 $
$ g α={sin α}/{cos α} $
$ ctg α={cos α}/{sin α} $

Celem naszego zadania jest znalezienie pozostałych funkcji trygonometrycznych mając tylko jedną, gdzie na poziomie podstawowym mamy zawsze tylko $sin$ lub $cos$.

Przykład:

Wiedząc, że $sin α=2/5$ oblicz wartości pozostałych funkcji trygonometrycznych tego kąta. Również tutaj będziemy stosować listę kroków:

„Krok pierwszy, wzór pierwszy” – obliczenie cosinusa

Zastosujemy tu wzór numer jeden czyli tzw. Jedynka trygonometryczna:

$sin^2 α+cos^2 α=1$

Podstawiamy naszego znanego sinusa:

$(2/5)^2+cos^2 α=1$

Podnosimy do potęgi:

$4/{25}+cos^2 α=1$

i przenosimy na drugą stronę zostawiając tylko cosinusa, pamiętamy, że przenosząc zmieniamy znak:

$cos^2 α=1-4/{25}$

Ostatecznie:

$cos^2 α={21}/{25}$

I „opuszczamy” kwadrat, pamiętamy, że nie może być w mianowniku liczby niewymiernej. $cos α={√{21} }/{√{25} }$

Tutaj nam się na szczęście udało i będzie liczba całkowita w mianowniku:

$cos α={√{21} }/5$

Cosinus znaleziony! Pozostał jeszcze Tangens i Cotangens
Znajdź Tangens, czyli "krok drugi, wzór drugi":
Tak jak w tytule wspominam wystarczy skorzystać z drugiego wzoru:

$ g α={sin α}/{cos α}$

Mamy znaleziony sinus i cosinus więc podstawmy do wzoru:

$ g α={ {2/5} }/{ {√{21} }/{5} }$ Wyszedł nam spory piętrowiec, ale nie ma co się przerażać, pamiętamy, że kreska ułamkowa to znak dzielenia, zatem korzystamy z dzielenie ułamków:

$ g α={2}/{5}:{√{21} }/5$

I mnożymy przez odwrotność:

$ g α=2/5×5/{√{21} }$

piątki się skracają:

$ g α=2/1×1/{√{21} }$

$ g α=2/{√{21} }$

(Nie)szczęśliwie trafiła nam się liczba niewymierna w mianowniku, jak się jej pozbyć? Wystarczy, że pomnożymy przez 1 tylko trochę w innej postaci (czyli po prostu rozszerzymy ułamek):

$ g α=2/{√{21} }×{√{21} }/{√{21} }$

Pamiętamy, że:

${√{21} }/{√{21} }=1$

Zatem nasz ułamek to:

$ g α={2√21}/{21}$

Tangens został policzony!

Pozostał nam cotangens i zapewne patrząc po tym co robiliśmy, jesteście niezbyt zadowoleni, że to nie koniec, jednakże cotangens można łatwo policzyć! Przejdźmy do kroku trzeciego.
Krok 3: Cotangens z tangensa

Przypomnijmy dwa wzory:

$ g α={sinα}/{cosα} $

$ctg α={cos α}/{sin α} $

Czym one się różnią? Są na odwrót! Zatem wynik też może być na odwrót, czyli:

$ g α={2√{21} }/{21}$

$ctg α={21}/{2√{21} }$

Oczywiście i tutaj usuwamy niewymierność identycznie jak w poprzednim:

$ctg α={21}/{2√{21} }×{√{21} }/{√{21} }={21√{21} }/{2×21}={21√{21} }/{42}={√{21} }/2$

Zadanie zakończone.

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Oblicz pozostałe wartości funkcji trygonometrycznych kąta ostrego wiedząc, że $sin α=1/2$.

Zobacz rozwiązanie

Zaczynamy od kroku 1:

Szukamy cosinusa

Zastosujemy tu wzór numer jeden czyli tzw. Jedynka trygonometryczna:

$sin^2 α+cos^2 α=1$

$(1/2)^2+cos^2 α=1$

$1/4+cos^2 α=1$

$cos^2 α=1-1/4$

Ostatecznie:

$cos^2 α=3/4$

$cos α={√3}/{√4}$

Tutaj nam się także udało i jest liczba całkowita w mianowniku

$cos α={√3}/{2}$

Cosinus znaleziony!
Krok 2:

$ g α={sin α}/{cos α}$

Mamy znaleziony sinus i cosinus więc podstawmy do wzoru:

$ g α={1/2}/{ {√3}/2}$

Mnożymy przez odwrotność:

$ g α=1/2×2/{√3}$

$ g α=1/{√3}$

Usuwamy niewymierność:

$ g α=1/{√3}×{√3}/{√3}$

Zatem nasz ułamek to:

$ g α={√3}/3$
Krok 3: Odwracamy w celu uzyskania cotangensa

$ctg α=3/{√3}$

I usuwamy niewymierność:

$ctg α=3/{√3}×{√3}/{√3}={3√3}/3=√3$

Zadanie 2.

Oblicz pozostałe funkcje trygonometryczne wiedząc, że $cos α={√2}/2$

Zobacz rozwiązanie

Zaczynamy od Kroku 1:

Wzór na jedynkę trygonometryczną:

$sin^2 α+cos^2 α=1$

I podstawiamy

$sin^2 α+({√2}/2)^2=1$

$sin^2 α+2/4=1$

$sin^2 α=1-2/4$

Ostatecznie:

$sin^2 α=1/2$

$sin α=1/{√2}×{√2}/{√2}={√2}/2$

No i równie prosto znaleźliśmy sinusa.
Krok 2/3:

$ g α={sin α}/{cos α}$

Mamy znaleziony sinus i cosinus więc podstawmy do wzoru:

$ g α={ {√2}/2}/{ {√2}/2}=1$

Udało nam się szybko znaleźć tangens. Cotangens będzie jeszcze szybciej, bo odwrotność jedynki to po prostu 1. Zatem:

$ctg α=1$

Spis treści

Rozwiązane zadania

W trójkącie prostokątnym jeden z kątów...

a) Wykonajmy rysunek pomocniczy:

{premium}
Obliczmy długość przeciwprostokątnej tego trójkąta:

b) Wykonajmy rysunek pomocniczy:

Obliczmy długość przeciwprostokątnej tego trójkąta:

c) Wykonajmy rysunek pomocniczy:

W pewnym prostokącie przekątna ma długość d...

Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku poniżej:

Obliczamy długość boku a:

Z twierdzenia Pitagorasa obliczamy długość boku b:

{premium}

Obliczamy obwód prostokąta:

Odp. Obwód prostokąta jest równy 25,2 cm.

Obliczamy długość boku b:

Z twierdzenia Pitagorasa obliczamy długość boku a:

Obliczamy obwód prostokąta:

Odp. Obwód prostokąta jest równy

Z twierdzenia Pitagorasa obliczamy długość boku a:

Obliczamy długość boku b:

Obliczamy obwód prostokąta:

Odp. Obwód prostokąta jest równy 20 cm.

Z twierdzenia Pitagorasa obliczamy długość boku b:

Obliczamy długość boku a:

Obliczamy obwód prostokąta:

Odp. Obwód prostokąta jest równy 16√2 cm.

a) Korzystając z tabeli na stronie...

a) Korzystając z tabeli na stronie 230 wiemy, że: {premium}

b) Korzystając z kalkulatora:

Wykres funkcji g otrzymano w wyniku ...

Dany jest prostokąt o wymiarach 3 cm x 10 cm ...

{premium}

Chcemy wyrazić długość przekątnej d w zależności od x, dlatego skorzystamy z twierdzenia Pitagorasa:

(możemy podnieść do kwadratu, bo obie liczby są dodatnie, więc kierunek nierówności nie zmieni się)

Oblicz pole rombu o boku...

Z twierdzenia sinusów wiemy, że pole trójkąta możemy policzyć licząc połowę iloczynu długości jego boków i sinusa kąta alfa zawartego pomiędzy tymi bokami. Jeżeli przetniemy romb przekątną to powstaną dwa takie same trójkąty a więc wystarczy wziąć dwukrotność pola jednego trójkąta.

Ile jest równy cos...

Kąt alfa jest wypukły:

lecz

Nie można zatem stwierdzić jaką ma wartość gdyż nie będziemy pewni jego znaku.

Odpowiedź D

Która z podanych liczb jest najmniejsza?

Jeśli liczbę -1 podniesiemy do potęgi nieparzystej, to otrzymamy -1.

Jeśli liczbę -1 podniesiemy do potęgi parzystej, to otrzymamy 1.

Jedynka podniesiona do każdej potęgi daje 1.

Należy zaznaczyć odpowiedź A.

Wykres funkcji f składa się z dwóch...

Wyznaczmy wzór funkcji f

Z wykresu łatwo możemy odczytać, że dla argumentów mniejszych od 0 wzór funkcji f to wzór funkcji stałej:

Wyznaczmy wzór drugiej półprostej, wiedząc, że półprosta ta przecina oś y w punkcie (0; 2) oraz przechodzi przez punkt (1; 3), zatem:

wartość współczynnika a wynosi, zatem: {premium}

zatem wzór funkcji f to:

Wyznaczmy wzór funkcji g:

Wyznaczmy wzór pierwszej półprostej, wiedząc, że półprosta ta przechodzi przez punkt (-4; 2) i (-2; 1), zatem:

odejmijmy stronami równania:

Wyznaczmy wzór odcinka, wiedząc, że odcinek ten przechodzi przez punkt (-2; 1) i (1; 4), zatem:

odejmijmy stronami równania:

Wyznaczmy wzór drugiej półprostej, jest to funkcja stała:

zatem wzór funkcji g to:

Wyznaczmy wzór funkcji h

Wyznaczmy wzór pierwszej półprostej, wiedząc, że półprosta ta przechodzi przez punkt (-3; 0) i (-1; -2), zatem:

odejmijmy stronami równania:

Wyznaczmy wzór odcinka, wiedząc, że odcinek ten przechodzi przez punkt (-1; -2) i (0; 0) , zatem:

Wyznaczmy wzór drugiej półprostej, wiedząc, że półprosta ta przechodzi przez punkt (2; 4) i (4; 1), zatem:

odejmijmy stronami równania:

zatem wzór funkcji h to:

Trójkąt ABC ma obwód równy 30 cm, a pole...

Mamy dane:

L = 30 cm - obwód trójkąta ABC

P = 24 cm²- pole trójkąta ABC

L₁ = 15 cm - obwód trójkąta A₁B₁C₁

Oznaczmy:

k - skala podobieństwa trójkąta A₁B₁C₁do trójkąta ABC

P₁ - pole trójkąta A₁B₁C₁

Wyznaczamy{premium} skalę podobieństwa trójkąta A₁B₁C₁do trójkąta ABC:

Wiemy, że stosunek pól trójkątów podobnych równa się kwadratowi skali podobieństwa. Zatem:

Odp. Pole trójkąta A₁B₁C₁jest równe 6 cm².