Wyznaczanie funkcji trygonometrycznych - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Wyznaczanie funkcji trygonometrycznych

Zagadnienia z tego działu pojawiają się praktycznie na każdej maturze, o sprawdzianie z trygonometrii nie wspominając. Jest to wbrew pozorom bardzo prosty i schematyczny dział, a z racji, że jest wysoko punktowany dobrze by było go znać. Zacznijmy:

Potrzebne wzory:

Tutaj potrzebujemy podstawowych operacji arytmetycznych (działania na ułamkach oraz potęgach) oraz dosłownie trzech wzorów:

$$ sin^2 α+cos^2 α=1 $$
$$ g α={sin α}/{cos α} $$
$$ ctg α={cos α}/{sin α} $$

Celem naszego zadania jest znalezienie pozostałych funkcji trygonometrycznych mając tylko jedną, gdzie na poziomie podstawowym mamy zawsze tylko $$sin$$ lub $$cos$$.

Przykład:

Wiedząc, że $$sin α=2/5$$ oblicz wartości pozostałych funkcji trygonometrycznych tego kąta. Również tutaj będziemy stosować listę kroków:

„Krok pierwszy, wzór pierwszy” – obliczenie cosinusa

Zastosujemy tu wzór numer jeden czyli tzw. Jedynka trygonometryczna:

$$sin^2 α+cos^2 α=1$$

Podstawiamy naszego znanego sinusa:

$$(2/5)^2+cos^2 α=1$$

Podnosimy do potęgi:

$$4/{25}+cos^2 α=1$$

i przenosimy na drugą stronę zostawiając tylko cosinusa, pamiętamy, że przenosząc zmieniamy znak:

$$cos^2 α=1-4/{25}$$

Ostatecznie:

$$cos^2 α={21}/{25}$$

I „opuszczamy” kwadrat, pamiętamy, że nie może być w mianowniku liczby niewymiernej. $$cos α={√{21} }/{√{25} }$$

Tutaj nam się na szczęście udało i będzie liczba całkowita w mianowniku:

$$cos α={√{21} }/5$$

Cosinus znaleziony! Pozostał jeszcze Tangens i Cotangens
Znajdź Tangens, czyli "krok drugi, wzór drugi":
Tak jak w tytule wspominam wystarczy skorzystać z drugiego wzoru:

$$ g α={sin α}/{cos α}$$

Mamy znaleziony sinus i cosinus więc podstawmy do wzoru:

$$ g α={ {2/5} }/{ {√{21} }/{5} }$$ Wyszedł nam spory piętrowiec, ale nie ma co się przerażać, pamiętamy, że kreska ułamkowa to znak dzielenia, zatem korzystamy z dzielenie ułamków:

$$ g α={2}/{5}:{√{21} }/5$$

I mnożymy przez odwrotność:

$$ g α=2/5×5/{√{21} }$$

piątki się skracają:

$$ g α=2/1×1/{√{21} }$$

$$ g α=2/{√{21} }$$

(Nie)szczęśliwie trafiła nam się liczba niewymierna w mianowniku, jak się jej pozbyć? Wystarczy, że pomnożymy przez 1 tylko trochę w innej postaci (czyli po prostu rozszerzymy ułamek):

$$ g α=2/{√{21} }×{√{21} }/{√{21} }$$

Pamiętamy, że:

$${√{21} }/{√{21} }=1$$

Zatem nasz ułamek to:

$$ g α={2√21}/{21}$$

Tangens został policzony!

Pozostał nam cotangens i zapewne patrząc po tym co robiliśmy, jesteście niezbyt zadowoleni, że to nie koniec, jednakże cotangens można łatwo policzyć! Przejdźmy do kroku trzeciego.
Krok 3: Cotangens z tangensa

Przypomnijmy dwa wzory:

$$ g α={sinα}/{cosα} $$

$$ctg α={cos α}/{sin α} $$

Czym one się różnią? Są na odwrót! Zatem wynik też może być na odwrót, czyli:

$$ g α={2√{21} }/{21}$$

$$ctg α={21}/{2√{21} }$$

Oczywiście i tutaj usuwamy niewymierność identycznie jak w poprzednim:

$$ctg α={21}/{2√{21} }×{√{21} }/{√{21} }={21√{21} }/{2×21}={21√{21} }/{42}={√{21} }/2$$

Zadanie zakończone.

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Oblicz pozostałe wartości funkcji trygonometrycznych kąta ostrego wiedząc, że $$sin α=1/2$$.

Zobacz rozwiązanie

Zaczynamy od kroku 1:

Szukamy cosinusa

Zastosujemy tu wzór numer jeden czyli tzw. Jedynka trygonometryczna:

$$sin^2 α+cos^2 α=1$$

$$(1/2)^2+cos^2 α=1$$

$$1/4+cos^2 α=1$$

$$cos^2 α=1-1/4$$

Ostatecznie:

$$cos^2 α=3/4$$

$$cos α={√3}/{√4}$$

Tutaj nam się także udało i jest liczba całkowita w mianowniku

$$cos α={√3}/{2}$$

Cosinus znaleziony!
Krok 2:

$$ g α={sin α}/{cos α}$$

Mamy znaleziony sinus i cosinus więc podstawmy do wzoru:

$$ g α={1/2}/{ {√3}/2}$$

Mnożymy przez odwrotność:

$$ g α=1/2×2/{√3}$$

$$ g α=1/{√3}$$

Usuwamy niewymierność:

$$ g α=1/{√3}×{√3}/{√3}$$

Zatem nasz ułamek to:

$$ g α={√3}/3$$
Krok 3: Odwracamy w celu uzyskania cotangensa

$$ctg α=3/{√3}$$

I usuwamy niewymierność:

$$ctg α=3/{√3}×{√3}/{√3}={3√3}/3=√3$$

Zadanie 2.

Oblicz pozostałe funkcje trygonometryczne wiedząc, że $$cos α={√2}/2$$

Zobacz rozwiązanie

Zaczynamy od Kroku 1:

Wzór na jedynkę trygonometryczną:

$$sin^2 α+cos^2 α=1$$

I podstawiamy

$$sin^2 α+({√2}/2)^2=1$$

$$sin^2 α+2/4=1$$

$$sin^2 α=1-2/4$$

Ostatecznie:

$$sin^2 α=1/2$$

$$sin α=1/{√2}×{√2}/{√2}={√2}/2$$

No i równie prosto znaleźliśmy sinusa.
Krok 2/3:

$$ g α={sin α}/{cos α}$$

Mamy znaleziony sinus i cosinus więc podstawmy do wzoru:

$$ g α={ {√2}/2}/{ {√2}/2}=1$$

Udało nam się szybko znaleźć tangens. Cotangens będzie jeszcze szybciej, bo odwrotność jedynki to po prostu 1. Zatem:

$$ctg α=1$$

Spis treści

Rozwiązane zadania

Rozwiąż równanie.

Za wykonanie pewnej usługi, do której dolicza...

cena usługi bez podatku

cena usługi z podatkiem

Wiemy, że za usługę razem z podatkiem klient zapłacił Stąd: {premium}

Obliczamy, ile wynosi podatku od ceny usługi:

Obliczamy, ile klient zapłaci za usługę razem z podatkiem

Odp. Gdyby podatek VAT wynosił klient zapłaciłby

Poniższa tabela pokazuje średnie kursy euro...

Średnia arytmetyczna liczb jest równa

{premium}

Odp. Średni kurs euro wynosił

Pokoloruj...

a) Rysunek:

b) Rysunek:

c) Rysunek:

d) Rysunek: