Wyznaczanie funkcji trygonometrycznych - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Wyznaczanie funkcji trygonometrycznych

Zagadnienia z tego działu pojawiają się praktycznie na każdej maturze, o sprawdzianie z trygonometrii nie wspominając. Jest to wbrew pozorom bardzo prosty i schematyczny dział, a z racji, że jest wysoko punktowany dobrze by było go znać. Zacznijmy:

Potrzebne wzory:

Tutaj potrzebujemy podstawowych operacji arytmetycznych (działania na ułamkach oraz potęgach) oraz dosłownie trzech wzorów:
 
  • $$ sin^2 α+cos^2 α=1 $$
  • $$ g α={sin α}/{cos α} $$
  • $$ ctg α={cos α}/{sin α} $$

Celem naszego zadania jest znalezienie pozostałych funkcji trygonometrycznych mając tylko jedną, gdzie na poziomie podstawowym mamy zawsze tylko $$sin$$ lub $$cos$$.

Przykład:

Wiedząc, że $$sin α=2/5$$ oblicz wartości pozostałych funkcji trygonometrycznych tego kąta. Również tutaj będziemy stosować listę kroków:
 
  1. „Krok pierwszy, wzór pierwszy” – obliczenie cosinusa

    Zastosujemy tu wzór numer jeden czyli tzw. Jedynka trygonometryczna:

    $$sin^2 α+cos^2 α=1$$

    Podstawiamy naszego znanego sinusa:

    $$(2/5)^2+cos^2 α=1$$

    Podnosimy do potęgi:

    $$4/{25}+cos^2 α=1$$

    i przenosimy na drugą stronę zostawiając tylko cosinusa, pamiętamy, że przenosząc zmieniamy znak:

    $$cos^2 α=1-4/{25}$$

    Ostatecznie:

    $$cos^2 α={21}/{25}$$

    I „opuszczamy” kwadrat, pamiętamy, że nie może być w mianowniku liczby niewymiernej. $$cos α={√{21} }/{√{25} }$$

    Tutaj nam się na szczęście udało i będzie liczba całkowita w mianowniku:

    $$cos α={√{21} }/5$$

    Cosinus znaleziony! Pozostał jeszcze Tangens i Cotangens
     
  2. Znajdź Tangens, czyli "krok drugi, wzór drugi":
    Tak jak w tytule wspominam wystarczy skorzystać z drugiego wzoru:

    $$ g α={sin α}/{cos α}$$

    Mamy znaleziony sinus i cosinus więc podstawmy do wzoru:

    $$ g α={ {2/5} }/{ {√{21} }/{5} }$$ Wyszedł nam spory piętrowiec, ale nie ma co się przerażać, pamiętamy, że kreska ułamkowa to znak dzielenia, zatem korzystamy z dzielenie ułamków:

    $$ g α={2}/{5}:{√{21} }/5$$

    I mnożymy przez odwrotność:

    $$ g α=2/5×5/{√{21} }$$

    piątki się skracają:

    $$ g α=2/1×1/{√{21} }$$

    $$ g α=2/{√{21} }$$

    (Nie)szczęśliwie trafiła nam się liczba niewymierna w mianowniku, jak się jej pozbyć? Wystarczy, że pomnożymy przez 1 tylko trochę w innej postaci (czyli po prostu rozszerzymy ułamek):

    $$ g α=2/{√{21} }×{√{21} }/{√{21} }$$

    Pamiętamy, że:

    $${√{21} }/{√{21} }=1$$

    Zatem nasz ułamek to:

    $$ g α={2√21}/{21}$$

    Tangens został policzony!

    Pozostał nam cotangens i zapewne patrząc po tym co robiliśmy, jesteście niezbyt zadowoleni, że to nie koniec, jednakże cotangens można łatwo policzyć! Przejdźmy do kroku trzeciego.
     
  3. Krok 3: Cotangens z tangensa

    Przypomnijmy dwa wzory:

    $$ g α={sinα}/{cosα} $$

    $$ctg α={cos α}/{sin α} $$

    Czym one się różnią? Są na odwrót! Zatem wynik też może być na odwrót, czyli:

    $$ g α={2√{21} }/{21}$$

    $$ctg α={21}/{2√{21} }$$

    Oczywiście i tutaj usuwamy niewymierność identycznie jak w poprzednim:

    $$ctg α={21}/{2√{21} }×{√{21} }/{√{21} }={21√{21} }/{2×21}={21√{21} }/{42}={√{21} }/2$$
Zadanie zakończone.
 

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Oblicz pozostałe wartości funkcji trygonometrycznych kąta ostrego wiedząc, że $$sin α=1/2$$.

  1. Zaczynamy od kroku 1:

    Szukamy cosinusa

    Zastosujemy tu wzór numer jeden czyli tzw. Jedynka trygonometryczna:

    $$sin^2 α+cos^2 α=1$$

    $$(1/2)^2+cos^2 α=1$$

    $$1/4+cos^2 α=1$$

    $$cos^2 α=1-1/4$$

    Ostatecznie:

    $$cos^2 α=3/4$$

    $$cos α={√3}/{√4}$$

    Tutaj nam się także udało i jest liczba całkowita w mianowniku

    $$cos α={√3}/{2}$$

    Cosinus znaleziony!
     
  2. Krok 2:

    $$ g α={sin α}/{cos α}$$

    Mamy znaleziony sinus i cosinus więc podstawmy do wzoru:

    $$ g α={1/2}/{ {√3}/2}$$

    Mnożymy przez odwrotność:

    $$ g α=1/2×2/{√3}$$

    $$ g α=1/{√3}$$

    Usuwamy niewymierność:

    $$ g α=1/{√3}×{√3}/{√3}$$

    Zatem nasz ułamek to:

    $$ g α={√3}/3$$
     
  3. Krok 3: Odwracamy w celu uzyskania cotangensa

    $$ctg α=3/{√3}$$

    I usuwamy niewymierność:

    $$ctg α=3/{√3}×{√3}/{√3}={3√3}/3=√3$$
     

 

Zadanie 2.

Oblicz pozostałe funkcje trygonometryczne wiedząc, że $$cos α={√2}/2$$

  1. Zaczynamy od Kroku 1:

    Wzór na jedynkę trygonometryczną:

    $$sin^2 α+cos^2 α=1$$

    I podstawiamy

    $$sin^2 α+({√2}/2)^2=1$$

    $$sin^2 α+2/4=1$$

    $$sin^2 α=1-2/4$$

    Ostatecznie:

    $$sin^2 α=1/2$$

    $$sin α=1/{√2}×{√2}/{√2}={√2}/2$$

    No i równie prosto znaleźliśmy sinusa.
  2. Krok 2/3:

    $$ g α={sin α}/{cos α}$$

    Mamy znaleziony sinus i cosinus więc podstawmy do wzoru:

    $$ g α={ {√2}/2}/{ {√2}/2}=1$$

    Udało nam się szybko znaleźć tangens. Cotangens będzie jeszcze szybciej, bo odwrotność jedynki to po prostu 1. Zatem:

    $$ctg α=1$$
     

 

Spis treści

Rozwiązane zadania
Rozwiąż układ równań

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

 

 

 

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

 

 

 

 

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

Rozwiąż równanie

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

Drugie równanie nie ma rozwiązania, ponieważ kwadrat dowolnej liczby rzeczywistej jest nieujemny.

Rozwiązaniami pierwszego równania są:

rownanie matematyczne 

 

 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

 

 

 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

 

 

 

rownanie matematyczne 

Musimy rozpatrzeć dwa przypadki.

rownanie matematyczne 

Opuszczamy wartość bezwzględną ze zmianą znaku.

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne       

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

Pierwsze rozwiązanie nie należy do zadanego przedziału, więc odrzucamy je. Ostatecznie mamy tylko jedno rozwiązanie:

rownanie matematyczne 

 

 

rownanie matematyczne 

Opuszczamy wartość bezwzględną bez zmiany znaku:

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

Oba rozwiązania należą do zadanego przedziału.

 

Ostatecznie równanie ma trzy rozwiązania:

rownanie matematyczne 

 

Korzystając z geometrycznej interpretacji

rownanie matematyczne 

Na osi liczbowej odległość liczby x od zera jest większa lub równa niż odległość liczby x od 2. 

Odległość ta będzie równa, gdy x będzie znajdował się dokładnie w połowie między liczbami 0 i 2, czyli gdy będzie równy 1. 

Ta odległość ma być większa lub równa, więc zaznaczamy liczby większe lub równe 1. 

 

 

rownanie matematyczne 

Na osi liczbowej odległość liczby x od zera jest mniejsza lub równa niż odległość liczby x od 6. 

Odległość ta będzie równa, gdy x będzie znajdował się dokładnie w połowie między liczbami 0 i 6, czyli gdy będzie równy 3. 

 

Ta odległość ma być mniejsza lub równa, więc zaznaczamy liczby mniejsze lub równe 3. 

 

 

rownanie matematyczne 

Na osi liczbowej odległość liczby x od liczby 2 jest większa niż odległość liczby x od -2. 

Odległość ta będzie równa, gdy x będzie znajdował się dokładnie w połowie między liczbami 2 i -2, czyli gdy będzie równy 0. 

 

Ta odległość ma być większa, więc zaznaczamy liczby większe od 0.

Przekątne trapezu równoramiennego przecinają ...

 

Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku.

Trapez jest równoramienny, więc trójkąt ABP jest równoramienny.

Kąty przy podstawie AB trójkąta ABP oznaczamy jako α. Obliczamy miare α:

rownanie matematyczne 

Przekątne trapezu są także dwusiecznymi kątów przy podstawie AB. Stąd:

rownanie matematyczne 

kąt przy podstawie trapezu oznaczmy jako ß, jest on równy dwóm kątom α.

rownanie matematyczne 

W trójkącie ABC miary dwóch kątów wynoszą 30o oraz 60o, więc miara trzeciego kąta to 90o. Trójkąt ten jest więc trójkątem prostokątnym.

Korzystając z własnosci w trójkącie o kątach 30o, 60o oraz 90mamy:

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne   

rownanie matematyczne  

Dłuższa podstawa AB ma 12 cm.

 

W trapezie równoramiennym suma miar kątów przy ramieniu wynosi 90o. Stąd:

rownanie matematyczne 

Trójkąt ACD jest więc trójkątem równoramiennym (miary kątów przy podstawie AC są równe). Stąd:

rownanie matematyczne 

Krótsza podstawa DC ma 6 cm.

 

Aby obliczyć pole trapezu musimy znać długość wysokości, czyli odcinka DE.

Wysokości poprowadzone na dłuższą podstawę dzielą ją na trzy odcinki:

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne 

Zauważmy, że trójkąt EBD jest trójkątem prostokątnym.

Wyznaczmy dlugość odcinka EB:

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

  Miary kątów w trójkącie EBD wynoszą 90o, 60o oraz 30o. Z własności trójkąta o takich kątach mamy:

rownanie matematyczne

 rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

 

Obliczamy pole trapezu:

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

 

Odp: Pole trapezu jest równe 273 cm2.

Wyznacz współrzędne wektora ...

rownanie matematyczne 

 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

Wypisz wszystkie elementy

rownanie matematyczne 

 

rownanie matematyczne 

Powyższe rozwiązanie wynika z tego, że jeśli wyrażenie rownanie matematyczne ma być liczbą naturalną, to wartość wyrażenia (n+1) musi być dzielnikiem liczby 6. Mamy więc następujące możliwości:

  • n+1=1, czyli n=0
  • n+1=2, czyli n=1
  • n+1=3, czyli n=2
  • n+1=6, czyli n=5

 

rownanie matematyczne 

Zbiór C to zbiór liczb naturalnych mniejszych od 10, które nie dzielą się przez 2.

 

Umieścimy zbiory na diagramie.

Zaczniemy od wpisania elementów, które należą jednocześnie do wszystkich trzech zbiorów.

Jedynym takim elementem jest 5.

Teraz uzupełniamy diagram o elementy, które należą jednocześnie do dokładnie dwóch zbiorów. 

Uzupełniamy pozostałe elementy, które należą do dokładnie jednego zbioru:

 

Korzystając z diagramu, odczytujemy kolejne zbiory:

rownanie matematyczne 

Powyższy zbiór to zbiór elementów, które należą do zbioru A lub należą jednocześnie do zbiorów B i C.

 

Poniżej znajduje się ilustracja graficzna (mamy sumę, więc bierzemy wszystkie zamalowane elementy).

 

 

rownanie matematyczne    

Powyższy zbiór to zbiór elementów, które należą jednocześnie do jednego ze zbiorów A lub B oraz do jednego ze zbiorów A lub C. 

Poniżej znajduje się ilustracja graficzna (mamy iloczyn, więc bierzemy część wspólną zamalowanego obszaru). 

 

rownanie matematyczne  

Bierzemy elementy, które należą do zbioru C, ale nie należą do zbioru A ani do zbioru B. 

 

 

rownanie matematyczne 

Bierzemy elementy, które należą do zbioru A lub do zbioru B, ale nie należą do zbioru C. 

 

 

rownanie matematyczne 

Bierzemy elementy, które należą do zbioru A i nie należą do zbioru C, a następnie odrzucamy z nich elementy, które należą do zbioru C. 

 

 

rownanie matematyczne  

Elementy, które należą do zbioru B i nie należą do zbioru C, to 0, 2. Wyrzucamy te elementy ze zbioru A. 

Błąd względny przybliżenia

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

 

Spośród podanych odpowiedzi do powyższego przedziału nie należy liczba 4,229, więc należy zaznaczyć odpowiedź C.    

Wysokość nad poziomem morza możemy w przybliżeniu

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne         `/*27`

rownanie matematyczne         `/:500`

rownanie matematyczne    

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

Zgodnie z definicją logarytmu:

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

 

W prostokącie jeden z boków...

Oznaczmy boki prostokąta przez ab. Wtedy jego pole można wyrazić wzorem:

rownanie matematyczne 

 

Jeden bok zwiększamy o x% drugi zmniejszamy o x%

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

 

Po manipulacji długościami boków pole prostokąta zmalało o 8% a więc:

rownanie matematyczne 

 

Nowe pole

rownanie matematyczne 

A więc:

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

 

Zamieńmy procent na liczbę

rownanie matematyczne 

Oblicz

rownanie matematyczne  `1 18/30-2 5/30=` `-(2 5/30-1 18/30)=` 

rownanie matematyczne `- 17/30` 

{premium}

 

rownanie matematyczne `3 9/24+2 20/24=` `5 29/24=6 5/24` 

 

 

rownanie matematyczne `1/2-(-1/6-2/6)=` `1/2-(-3/6)=1/2+3/6=1/2+1/2=1` 

 

 

rownanie matematyczne  `7/6+(-1 1/4-1 1/3)=` `14/12+(-1 3/12-1 4/12)=` 

rownanie matematyczne `1 2/12-2 7/12=` `-(2 7/12-1 2/12)=` `-1 5/12` 

 

 

rownanie matematyczne `2 2/3+7/15=` `2 10/15+7/15=` `2 17/15=3 2/15` 

 

 

rownanie matematyczne `-1 27/48+44/48=` `44/48-75/48=-31/48` 

 

 

rownanie matematyczne `1 5/8-(-2 2/3+1/4)=`  

rownanie matematyczne `1 5/8-(-2 5/12)=` 

rownanie matematyczne `1 15/24+2 10/24=` `3 25/24=4 1/24` 

 

 

rownanie matematyczne `1 2/5-3 7/8-1/8=` 

rownanie matematyczne `-(4-1 2/5)=-2 3/5` 

 

 

rownanie matematyczne `3/6-2/6-(5/20-4/20)=` 

rownanie matematyczne `10/60-3/60=7/60`