Wyznaczanie argumentu i wartości funkcji liniowej ze wzoru - matura-podstawowa - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Wyznaczanie argumentu i wartości funkcji liniowej ze wzoru - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Wyznacz wartość funkcji $f(x)=(x+1)^2-(x+3)(x-3)$ dla argumentu $x=3$.

Zrobimy najprostszym sposobem, ponieważ metoda nie jest narzucona, czyli nasza podmiana.

$x=3$

$f(x)=(x+1)^2-(x+3)(x-3)$

$f(3)=(3+1)^2-(3+3)(3-3)$

$f(x)=4^2-6×0$

$f(x)=16$
 

Zadanie 2.

Dla jakich argumentów funkcja $f(x)=|x-5|$ przyjmuje wartości większe od 0.

  Zadanie można rozwiązać na dwa sposoby:
 

  1. Możemy wykorzystać definicje wartości bezwzględnej, która zakłada, że $|a|$ zawsze będzie większa lub równa 0, zatem rozwiązaniem są wszystkie liczby rzeczywiste prócz $x-5=0$

    $x=5$

    z tego wynika, że wszystko oprócz $x=5$, bo mamy wartości tylko większe od 0.
  2. Po prostu rozwiązać

    $|x-5| > 0$

    $x-5 > 0$ v $x-5 < 0$

    $x > 5$ v $x < 5$

    co nam daje wszystkie liczby rzeczywiste oprócz 5

    Zatem rozwiązanie to:

    x∈R{5}

 

Spis treści

Rozwiązane zadania
a) Wahadło starego zegara ma długość...

a) Obliczmy, ile sekund ma 1 godzina:

 

wykonajmy rysunek pomocniczy:    {premium}



Wahadło w ciągu dwóch sekund pokonuje drogę od lewej do prawej i z powrotem:

Obliczmy długość tej drogi:

 

Obliczmy jaką drogę pokona to wahadło w czasie 3600 s:

 


Odp.: To wahadło w ciągu godziny pokona drogę o długości 360π m. 


b) 

Obliczmy długość drogi, którą pokonuje dziecko podczas 20 pełnych wahnięć:

 


Odp.: Dziecko pokonuje drogę 200/9π m. 

Wyznacz współczynniki a, b i c...

 

Skoro znamy współrzędne wierzchołka to zapiszmy postać kanoniczną

Policzmy od razu ile wynosi współczynnik kierunkowy podstawiając współrzędne punktu P

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Skoro znamy współrzędne wierzchołka to zapiszmy postać kanoniczną

Policzmy od razu ile wynosi współczynnik kierunkowy podstawiając współrzędne punktu P

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Skoro znamy współrzędne wierzchołka to zapiszmy postać kanoniczną

Policzmy od razu ile wynosi współczynnik kierunkowy podstawiając współrzędne punktu P

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Skoro znamy współrzędne wierzchołka to zapiszmy postać kanoniczną

Policzmy od razu ile wynosi współczynnik kierunkowy podstawiając współrzędne punktu P

 

 

 

 

 

 

 

Na ile części rozcinają płaszczyznę...

Przypadek pierwszy - wszystkie proste są równoległe.

Wówczas proste rozcinają płaszczyznę na  części.

Thumb zad4.34astr100{premium}


Przypadek drugi - dwie proste są równoległe.

Wówczas proste rozcinają płaszczyznę na  części.

Thumb zad4.34bstr100


Przypadek trzeci - żadne dwie proste nie są równoległe.

Wówczas proste rozcinają płaszczyznę na  części.

Thumb zad4.34cstr100

Sprawdź, czy wartość wyrażenia ...

 

 

 

    

Dane są dwa niepuste i nierozłączne...

Weźmy następujące zbiory  oraz przestrzeń  

Thumb zad1.46str17

Zbiory są niepuste i nierozłączne, więc w przestrzeni  mogą być położone np. następująco:

Thumb zad1.46estr17


Dowodzimy prawo  

Rysujemy zbiór  a następnie zbiór  

Thumb zad1.46astr17

{premium}


Rysujemy zbiory  i  a następnie zbiór  

Thumb zad1.46bstr17


Otrzymaliśmy  co należało dowieść.


Dowodzimy prawo  

Rysujemy zbiór  a następnie zbiór  

Thumb zad1.46cstr17


Rysujemy zbiory  i  a następnie zbiór  

Thumb zad1.46dstr17


Otrzymaliśmy  co należało dowieść.

 

Wyznacz równanie okręgu o środku ...

 

  

 

 

 {premium}

 

 

   

 

 

 

 

 

 

 

  

 

 

 

  

 

 

 

 

  

Naszkicuj wykres funkcji i określ, czy jest ona monotoniczna

Stwórzmy tabelę wartości dla funkcji c) - przyda się ona także dla podpunktów a) oraz b):

 

                   
 

 

   

 

   

 

   

 

   

 

   

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

   

Funkcja jest rosnąca w całej swojej dziedzinie:

 

 

 

 

 

Funkcja jest malejąca w całej swojej dziedzinie: 

 

 

 

 

 

 

Funkcja nie jest monotoniczna, ale jest monotoniczna przedziałami: 

 

 

 

 

Przypomnijmy sobie definicję wartości bezwględnej. Przypisuje ona liczbie x odległość tej liczby od zera na osi liczbowej - liczbom dodatnim przypisuje tą samą liczbę, a liczbom ujemnym przypisuje liczbę przeciwną. Liczbie zero przypisuje zero. 

  

 

 

 

Funkcja jest rosnąca w całej swojej dziedzinie:

 

 

 

Funkcja jest malejąca w całej swojej dziedzinie:

 

 

 

 

 

Funkcja nie jest monotoniczna w całej swojej dziedzinie, ale jest monotoniczna przedziałami:

  

 

 

Kąt BAC ma miarę 30 ...

{premium}

 

 

 

 

 

 

 

Trójkąt ACE ma kąty o mierze 45, 45 i 90 stopni. Wynika stąd, że ACE jest równoramienny.

 

Skorzystamy z następującej tożsamości trygonometrycznej:

 

 

 

 

 

 

 

          

 

 

Z Pitagorasa:

 

    

  

Z własności trójkąta prostokątnego równoramiennego:

 

 

Wiemy, że:

  

      

 

 

Pole pewnego równoległoboku wynosi...

Pole równoległoboku obliczamy korzystając z wzoru:

 

wiemy, że:    {premium}

 

 


Obliczmy długość tego boku:  

 

 

 

 

 


Odp.: Długość tego boku wynosi 2 √3. 

Sprawdź, czy punkty ...

 

 

 

 

{premium}

 

 

 

Zatem punkty P, Q i R są współliniowe.

 

 

  

  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Nie istnieje taka liczba a, że zachodzi:

 

Punkty P, Q i R nie są współliniowe.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  

 

Nie istnieje takie alfa, zatem punkty P, Q i R nie są współliniowe.