Wyznaczanie argumentu i wartości funkcji liniowej ze wzoru - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Wyznacz wartość funkcji $$f(x)=(x+1)^2-(x+3)(x-3)$$ dla argumentu $$x=3$$.

Zrobimy najprostszym sposobem, ponieważ metoda nie jest narzucona, czyli nasza podmiana.

$$x=3$$

$$f(x)=(x+1)^2-(x+3)(x-3)$$

$$f(3)=(3+1)^2-(3+3)(3-3)$$

$$f(x)=4^2-6×0$$

$$f(x)=16$$
 

Zadanie 2.

Dla jakich argumentów funkcja $$f(x)=|x-5|$$ przyjmuje wartości większe od 0.

  Zadanie można rozwiązać na dwa sposoby:
 

  1. Możemy wykorzystać definicje wartości bezwzględnej, która zakłada, że $$|a|$$ zawsze będzie większa lub równa 0, zatem rozwiązaniem są wszystkie liczby rzeczywiste prócz $$x-5=0$$

    $$x=5$$

    z tego wynika, że wszystko oprócz $$x=5$$, bo mamy wartości tylko większe od 0.
  2. Po prostu rozwiązać

    $$|x-5| > 0$$

    $$x-5 > 0$$ v $$x-5 < 0$$

    $$x > 5$$ v $$x < 5$$

    co nam daje wszystkie liczby rzeczywiste oprócz 5

    Zatem rozwiązanie to:

    x∈R{5}

 

Spis treści

Rozwiązane zadania
Na podstawie wykresu przedstawiającego...

A. Krzywe odpowiadające produkcji stale malały.

Prawda

 

B. Eksport w ciągu 4 lat wzrósł.

Prawda

 

C. W 1998 roku importowanych było ponad 100 mln par natomiast w roku 2000 poniżej 60.

Prawda

 

D. Produkcja obuwia skórzanego malała wolniej niż produkcja łączna.

Fałsz

 

Odpowiedź D

Wyznacz równania prostych

`a)`

`ul(ul("prosta AB"))`

Wystarczy do równania ogólnego prostej y=ax+b podstawić współrzędne punktów A oraz B:

`{(2=a*(-3)+b), (-6=a*1+b\ \ \ |*3):}`

`{(2=-3a+b), (-18=3a+3b):}\ \ \ |+`

`-16=4b\ \ \ |:4`

`b=-4`

 

Podstawiamy obliczoną wartość b do drugiego równania pierwszego układu: 

`-6=a+(-4)`

`-6=a-4\ \ \ |+4`

`a=-2`

 

Możemy więc zapisać równanie prostej: 

`ul(y=-2x-4)`

 

 

`ul(ul("prosta AC"))`

Wystarczy do równania ogólnego prostej y=ax+b podstawić współrzędne punktów A oraz C:

`{(2=a*(-3)+b\ \ \ \|*3), (6=a*9+b):}`

`{(6=-9a+3b), (6=9a+b):}\ \ \ |+`

`12=4b\ \ \ |:4`

`b=3`

Podstawiamy obliczoną wartość b do drugiego równania drugiego układu: 

`6=9a+3\ \ \ |-3`

`3=9a\ \ \ |:9`

`a=3/9=1/3`

 

Możemy więc zapisać równanie prostej: 

`ul(y=1/3x+3)`

 

 

`ul(ul("prosta BC"))`

Wystarczy do równania ogólnego prostej y=ax+b podstawić współrzędne punktów B oraz C:

`{(-6=a*1+b\ \ \ |*(-1)), (6=a*9+b):}`

`{(6=-a-b), (6=9a+b):}\ \ \ |+`

`12=8a\ \ \ |:8`

`a=12/8=3/2`

Podstawiamy obliczoną wartość a do pierwszego równania pierwszego układu: 

`-6=3/2+b`

`-6=1 1/2+b\ \ \ |-1 1/2`

`b=-7 1/2=-15/2`

 

Możemy więc zapisać równanie prostej:

`ul(y=3/2x-15/2)`

 

 

 

`b)`

Możemy wyznaczyć równania prostych AB, BC, CD, DA w taki sam sposób jak w podpunkcie a), możemy też zrobić to inaczej. 

Wiemy, że współczynnik kierunkowy prostej y=ax+b przechodzącej przez dwa puntky dany jest wzorem:

`P_1=(x_1;\ y_1),\ \ \ P_2=(x_2;\ y_2)\ \ \ =>\ \ \ a=(y_2-y_1)/(x_2-x_1)`

Znamy współrzędne punktów A, B, C, D możemy więc wyznaczyć współczynniki kierunkowe kolejnych prostych:

`a_(AB)=(3-(-3))/(6-(-2))=(3+3)/(6+2)=6/8=3/4`

`a_(BC)=(4-3)/(-1-6)=1/(-7)=-1/7`

`a_(CD)=(1-4)/(-5-(-1))=(-3)/(-5+1)=(-3)/(-4)=3/4`

`a_(DA)=(-3-1)/(-2-(-5))=(-4)/(-2+5)=-4/3`

 

Zauważmy, że proste AB i CD mają jednakowe współczynniki kierunkowe - oznacza to, że są one równoległe (musi tak być, ponieważ te proste zawierają w sobie podstawy trapezu). 

Współczynniki kierunkowe prostych DA i CD oraz DA i AB spełniają warunek:

`-1/(a_(DA))=-1/(-4/3)=1/(4/3)=1:4/3=1*3/4=a_(AB)=a_(CD)`

co oznacza, że proste DA i CD oraz DA i AB są prostopadłe. Trapez ABCD jest więc trapezem prostokątnym, ponieważ ramię DA jest prostopadłe do podstaw AB i CD. 

 

Wyznaczymy teraz równania kolejnych prostych: 

`ul(ul("prosta AB"))`

Znamy współczynnik kierunkowy prostej, więc możemy zapisać równanie prostej:

`y=3/4x+b`

Prosta przechodzi przez punkt A, więc wystarczy podstawić jego współrzędne do powyższego równania, aby obliczyć wartość współczynnika b:

`-3=3/4*(-2)+b`

`-3=-3/2+b`

`-3=-1 1/2+b\ \ \ |+1 1/2`

`b=-1 1/2`

 

Zapisujemy równanie prostej:

`ul(y=3/4x-1 1/2)`

 

 

`ul(ul("prosta BC"))`

Znamy współczynnik kierunkowy prostej, więc możemy zapisać równanie prostej:

`y=-1/7x+b`

Prosta przechodzi przez punkt B, więc wystarczy podstawić jego współrzędne do powyższego równania, aby obliczyć wartość współczynnika b:

`3=-1/7*6+b`

`3=-6/7+b\ \ \ |+6/7`

`b=3 6/7`

Zapisujemy równanie prostej:

`ul(y=-1/7x+3 6/7)`

 

 

`ul(ul("prosta CD"))`

Znamy współczynnik kierunkowy prostej, więc możemy zapisać równanie prostej:

`y=3/4x+b`

Prosta przechodzi przez punkt C, więc wystarczy podstawić jego współrzędne do powyższego równania, aby obliczyć wartość współczynnika b:

`4=3/4*(-1)+b`

`4=-3/4+b\ \ \ |+3/4`

`b=4 3/4`

 

Zapisujemy równanie prostej:

`ul(y=3/4x+4 3/4)`

 

 

`ul(ul("prosta DA"))`

Znamy współczynnik kierunkowy prostej, więc możemy zapisać równanie prostej:

`y=-4/3x+b`

Prosta przechodzi przez punkt D, więc wystarczy podstawić jego współrzędne do powyższego równania, aby obliczyć wartość współczynnika b:

`1=-4/3*(-5)+b`

`1=20/3+b`

`1=6 2/3+b\ \ \ |-6 2/3`

`b=-5 2/3`

 

 

Zapisujemy równanie prostej:

`ul(y=-4/3x-5 2/3)`

 

 

 

 

Usuń niewymierność z mianownika

`a)\ 9/(5sqrt3)=9/(5sqrt3)*sqrt3/sqrt3=(strike9^3sqrt3)/(5*strike3^1)=(3sqrt3)/5`

`b)\ 2/(sqrt3-1)=2/(sqrt3-1)*(sqrt3+1)/(sqrt3+1)=(2(sqrt3+1))/((sqrt3-1)(sqrt3+1))=(2(sqrt3+1))/(sqrt3^2-1^2)=(2(sqrt3+1))/(3-1)=(2(sqrt3+1))/(2)=sqrt3+1`

`c)\ sqrt2/(3+sqrt2)=sqrt2/(3+sqrt2)*(3-sqrt2)/(3-sqrt2)=(sqrt2(3-sqrt2))/((3+sqrt2)(3-sqrt2))=(3sqrt2-2)/(3^2-sqrt2^2)=(3sqrt2-2)/(9-2)=(3sqrt2-2)/7`

`d)\ (7sqrt2)/(2sqrt2-3)=(7sqrt2)/(2sqrt2-3)*(2sqrt2+3)/(2sqrt2+3)=(7sqrt2(2sqrt2+3))/((2sqrt2-3)(2sqrt2+3))=(7sqrt2*2sqrt2+7sqrt2*3)/((2sqrt2)^2-3^2)=(14*2+21sqrt2)/(4*2-9)=(28+21sqrt2)/(-1)=-28-2sqrt2`

`e)\ (sqrt5+1)/(sqrt5-1)=(sqrt5+1)/(sqrt5-1)*(sqrt5+1)/(sqrt5+1)=(sqrt5+1)^2/((sqrt5-1)(sqrt5+1))=(sqrt5^2+2*sqrt5*1+1^2)/(sqrt5^2-1^2)=(5+2sqrt5+1)/(5-1)=(6+2sqrt5)/4=(3+sqrt5)/2`

`f)\ sqrt6/(sqrt+sqrt3)=sqrt6/(sqrt2+sqrt3)*(sqrt2-sqrt3)/(sqrt2-sqrt3)=(sqrt6(sqrt2-sqrt3))/((sqrt2+sqrt3)(sqrt2-sqrt3))=(sqrt12-sqrt18)/(sqrt2^2-sqrt3^2)=(sqrt4*sqrt3-sqrt9*sqrt2)/(2-3)=(2sqrt3-3sqrt2)/(-1)=3sqrt2-2sqrt3`

`g)\ (sqrt3-1)/(2sqrt3+sqrt2)=(sqrt3-1)/(2sqrt3+sqrt2)*(2sqrt3-sqrt2)/(2sqrt3-sqrt2)=((sqrt3-1)(2sqrt3-sqrt2))/((2sqrt3+sqrt2)(2sqrt3-sqrt2))=(sqrt3(2sqrt3-sqrt2)-1(2sqrt3-sqrt2))/((2sqrt3)^2-sqrt2^2)=`

`\ \ \ =(2*3-sqrt6-2sqrt3+sqrt2)/(4*3-2)=(6-sqrt6-2sqrt3+sqrt2)/(12-2)=(6-sqrt6-2sqrt3+sqrt2)/10`

Naszkicuj w jednym układzie współrzędnych

`a)`

Funkcja f dla argumentów większych od 0 jest stale równa 2. 

Dla argumentów nie większych niż 0 funkcja jest określona wzorem y=-x+2. Wyznaczmy współrzędne dwóch punktów, przez które przechodzi ta część wykresu: 

`x=-2\ \ \ ->\ \ \ y=-(-2)+2=2+2=4\ \ \ ->\ \ \ "punkt"\ (-2;\ 4)`

`x=-1\ \ \ ->\ \ \ y=-(-1)+2=1+2=3\ \ \ ->\ \ \ "punkt"\ (-1;\ 3)`

 

 

Funkcja g dla argumentów większych od 3 jest stale równa 4.
Dla argumentów nie większych niż 3 funkcja jest określona wzorem y=2x-2. Wyznaczmy współrzędne dwóch punktów, przez które przechodzi ta część wykresu: 

`x=0\ \ \ ->\ \ \ y=2*0-2=0-2=-2\ \ \ ->\ \ \ "punkt"\ (0;\ -2)`

`x=1\ \ \ ->\ \ \ y=2*1-2=2-2=0\ \ \ ->\ \ \ "punkt"\ (1;\ 0)`

 

Rysujemy wykresy funkcji f i g w jednym układzie współrzędnych: 

 

`f(x)=g(x)\ \ \ "dla"\ \ \ x=2`

`"punkty wspólne:"\ \ \ (2;\ 2)`

 

 

 

 

`b)`

Funkcja f dla argumentów nie mniejszych niż 4  jest stale równa 3. 

 

Dla argumentów mniejszych niż 4 funkcja jest określona wzorem y=1/2x+1. Wyznaczmy współrzędne dwóch punktów, przez które przechodzi ta część wykresu: 

`x=0\ \ \ ->\ \ \ y=1/2*0+1=0+1=1\ \ \ ->\ \ \ "punkt"\ (0;\ 1)`

`x=2\ \ \ ->\ \ \ y=1/2*2+1=1+1=2\ \ \ ->\ \ \ "punkt"\ (2;\ 2)`

 

Funkcja g dla argumentów mniejszych od 3 jest stale równa -1. 

 

Dla argumentów nie mniejszych niż 3 funkcja jest określona wzorem y=2x-7. Wyznaczmy współrzędne dwóch punktów, przez które przechodzi ta część wykresu: 

`x=4\ \ \ ->\ \ \ y=2*4-7=8-7=1\ \ \ ->\ \ \ "punkt"\ (4;\ 1)`

`x=5\ \ \ ->\ \ \ y=2*5-7=10-7=3\ \ \ ->\ \ \ "punkt"\ (5;\ 3)`

 

Rysujemy wykresy funkcji f i g w jednym układzie współrzędnych: 

`f(x)=g(x)\ \ \ "dla"\ \ \ x=-4,\ \ x=5`

`"punkty współne:"\ \ \ (-4;\ -1),\ \ (5;\ 3)`

 

Wyznacz wartości najmniejszą i największą funkcji f w podanym przedziale

`a)\ x_w=(-4)/2=-2 notin <<0,\ 2>>` 

`\ \ \ f(0)=0^2+4*0+8=8` 

`\ \ \ f(2)=2^2+4*2+8=4+8+8=20` 

`\ \ \ f_(min)=8\ \ \ dla\ \ \ x=0` 

`\ \ \ f_(max)=20\ \ \ dla\ \ \ x=2` 

 

 

`b)\ x_w=(-4)/2=-2in<<-3,\ 1>>`  

`\ \ \ f(-2)=` `(-2)^2+4*(-2)+8=` `4-8+8=4` 

`\ \ \ f(-3)=(-3)^2+4*(-3)+8=` `9-12+8=5` 

`\ \ \ f(1)=1^2+4*1+8=1+4+8=13` 

`\ \ \ f_(min)=4\ \ \ dla\ \ \ x=-2` 

`\ \ \ f_(max)=13\ \ \ dla\ \ \ x=1` 

 

 

`c)\ x_w=(-4)/(-2)=2in<<-1,\ 3>>` 

`\ \ \ f(2)=-2^2+4*2-6=` `-4+8-6=-2` 

`\ \ \ f(-1)=-(-1)^2+4*(-1)-6=` `-1-4-6=-11` 

`\ \ \ f(3)=-3^2+4*3-6=` `-9+12-6=-3` 

`\ \ \ f_(min)=-11\ \ \ dla\ \ \ x=-1` 

`\ \ \ f_(max)=-2\ \ \ dla\ \ \ x=2` 

 

 

`d)\ x_w=-4/(-2)=2 notin <<-5,\ 0>>` 

`\ \ \ f(-5)=-(-5)^2+4*(-5)-6=` `25-20-6=-1` 

`\ \ \ f(0)=-0^2+4*0-6=-6` 

`\ \ \ f_(min)=-6\ \ \ dla\ \ \ x=0` 

`\ \ \ f_(max)=-5\ \ \ dla\ \ \ x=-5`               

Wyraź w stopniach, minutach i sekundach ...

 

 

`1^o = 60 '` 

`1^o = 3600 ''` 

 

`a)` 

`1/100*360^o=3,6 ^o` 

`3,6^o = 3,6*60 ' =216 '` 

`3,6^o = 3,6*3600 ''=12960 ''` 

 

`b)` 

`1/100*4^o=0,04 ^o` 

`0,04^o = 0,04*60 ' =2,4 '` 

`0,04^o = 0,04*3600 ''=144 ''` 

 

`c)` 

`1/100*15^o=0,15 ^o` 

`0,15^o = 0,15*60 ' =9 '` 

`0,15^o = 0,15*3600 ''=540 ''` 

 

`d)` 

`1/100*12^o=0,12 ^o` 

`0,12^o = 0,12*60 ' =7,2 '` 

`0,12^o = 0,12*3600 ''=432 ''` 

 

`e)` 

`1/100*42^o=0,42 ^o` 

`0,42^o = 0,42*60 ' =25,2 '` 

`0,42^o = 0,42*3600 ''=1512 ''` 

Zbadaj liczbę rozwiązań równania...

Narysujmy wykres funkcji:

`y = x^2-x` 

 

Następnie odbijamy wszystko poniżej osi x symetrycznie względem tej osi:

`y = |x^2-x|` 

 

Odbijamy cały wykres symetrycznie względem osi x:

`y = -|x^2-x|` 

 

Przesuwamy wykres funkcji o 2 jednostki w górę:

`y = -|x^2-x|+2` 

Podaj przybliżenie liczby z dokładnością

Jeśli wiesz, że a=(2√7-1)*(-4)+(√7+3)*8-5 3/4

`a=(2sqrt7-1)*(-4)+(sqrt7+3)*8-5 3/4= -8sqrt7+4+8sqrt7+24-5 3/4=` 

`=28-5 3/4=22 1/4`  

`b=(6(sqrt5-4sqrt2)+(3sqrt2-1,5sqrt5)*(-4))/(72sqrt2-24sqrt5)=` `(6sqrt5-24sqrt2+(-12sqrt2)+6sqrt5)/(72sqrt2-24sqrt5)=` 

`=(12sqrt5-36sqrt2)/(72sqrt2-24sqrt5)=(strike12(sqrt5-3sqrt2))/(strike12(6sqrt2-2sqrt5))=`    `(sqrt5-3sqrt2)/(6sqrt2-2sqrt5)*(6sqrt2+2sqrt5)/(6sqrt2+2sqrt5) stackrel( \ \ \ \ \ \ (a+b)(a-b)=a^2-b^2 \ \ \ \ \ )=`  

`=(6sqrt10+10-36-6sqrt10)/(72-20)=(-26)/52=-1/2`   

 

 

 

a)

`(2ab)/(a-b)=(2*22 1/4*(-1/2))/(22 1/4-(-1/2))=` `((-1)*22 1/4)/(22 1/4+2/4)=(-22 1/4)/(22 3/4)= ` `(-89/(strike4))/(91/(strike4))` `=ul(ul(-89/91))` 

b)

`1/b-(2(a-b))/(3a)=` `1/(-1/2)-(22 1/4-(-1/2))/(3*22 1/4)=` ` `  `(-2)- (22 1/4+2/4)/(66 3/4)=` `(-2) - (22 3/4)/(66 3/4)=`

`=(-2) - (91/(strike4))/(267/(strike4))=(-2)- 91/267=ul(ul(-2 91/267))`

c)

`(a+b)/(a/89)-(3b+25)/(5b^2)=(89(a+b))/a-(3b+25)/(5b^2)` `= (89(-1/2+22 1/4))/(22 1/4) - (3*(-1/2)+25)/(5*(-1/2)^2)=` 

`=(89(-2/4+22 1/4))/(22 1/4) - (-3/2+25)/(5* 1/4)=` `(89(21 3/4))/(22 1/4) - (23 1/2)/(5/4)` `=(strike89*87/strike4)/(strike89/strike4)-(47/2)/(5/4)=`   

` ` `87- 47/(strike2^1) *strike4^2/5=87-94/5` `=87- 18 4/5=ul(ul( 68 1/5))`  

       

Szkielet prostopadłościanu wykonano z 56 cm drutu

x, 2x - długości krawędzi podstawy podstawy prostopadłościanu (w cm)

y - długość trzeciej krawędzi tego prostopadłościanu (w cm)

 

Wiemy, że szkielet wykonano z 56 cm drutu: 

`4*x+4*2x+4*y=56` 

`12x+4y=56\ \ \ |:4` 

`3x+y=14\ \ \ |-3x` 

`y=14-3x` 

 

Oczywiście długości krawędzi muszą być liczbami dodatnimi: 

`14-3x>0,\ \ x>0,\ \ 2x>0` 

`x<14/3,\ \ \ \ x>0\ \ \ =>\ \ \ x in (0,\ 14/3)\ \ -\ \ dziedzi n a` 

 

Zapiszmy jakie pole ma ten prostopadłościan:

`P(x)=2*x*2x+2*x*y+2*2x*y\ \ \ stackrel(y=14-3x)=\ \ \ 4x^2+2x(14-3x)+4x(14-3x)= ` 

`\ \ \ \ \ \ \ =` `4x^2+28x-6x^2+56x-12x^2=` 

`\ \ \ \ \ \ \ =` `-14x^2+84x` 

 

Współczynnik a jest ujemny, więc ramiona paraboli są skierowane w dół, czyli jest osiągana wartość maksymalna (w wierzchołku).

Największe pole mamy dla x w wierzchołku:

`x=x_w=-84/(2*(-14))=84/(2*14)=42/14=3` 

`2x=2*3=6` 

`y=14-3x=14-3*3=14-9=5`