Wyznaczanie argumentu i wartości funkcji liniowej ze wzoru - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Wyznacz wartość funkcji $$f(x)=(x+1)^2-(x+3)(x-3)$$ dla argumentu $$x=3$$.

Zrobimy najprostszym sposobem, ponieważ metoda nie jest narzucona, czyli nasza podmiana.

$$x=3$$

$$f(x)=(x+1)^2-(x+3)(x-3)$$

$$f(3)=(3+1)^2-(3+3)(3-3)$$

$$f(x)=4^2-6×0$$

$$f(x)=16$$
 

Zadanie 2.

Dla jakich argumentów funkcja $$f(x)=|x-5|$$ przyjmuje wartości większe od 0.

  Zadanie można rozwiązać na dwa sposoby:
 

  1. Możemy wykorzystać definicje wartości bezwzględnej, która zakłada, że $$|a|$$ zawsze będzie większa lub równa 0, zatem rozwiązaniem są wszystkie liczby rzeczywiste prócz $$x-5=0$$

    $$x=5$$

    z tego wynika, że wszystko oprócz $$x=5$$, bo mamy wartości tylko większe od 0.
  2. Po prostu rozwiązać

    $$|x-5| > 0$$

    $$x-5 > 0$$ v $$x-5 < 0$$

    $$x > 5$$ v $$x < 5$$

    co nam daje wszystkie liczby rzeczywiste oprócz 5

    Zatem rozwiązanie to:

    x∈R{5}

 

Spis treści

Rozwiązane zadania
Wyznacz wartości parametru m...

Równanie ma dokładnie jeden pierwiastek, gdy `Delta=0` 

 

a) `x^2+(m-3)x+m=0` 

`Delta=(m-3)^2-4*1*m=m^2-6m+9-4m=m^2-10m+9` 

`m^2-10m+9=0` 

`Delta_m=(-10)^2-4*1*9=100-36=64` 

`sqrt(Delta_m)=8` 

`m_1=(10-8)/2=2/2=1` 

`m_2=(10+8)/2=18/2=9` 

Odp`m in {1, 9}` 


b) `3x^2+(m+3)x+m=0` 

`Delta=(m+3)^2-4*3*m=m^2+6m+9-12m=m^2-6m+9` 

`m^2-6m+9=0` 

`(m-3)^2=0` 

`m-3=0` 

`m=3` 

Odp. `m=3` 


c) `-mx^2+4mx+4m-12=0` 

Założenie: `-m!=0 \ \ \ "czyli" \ \ \ m!=0` 

`Delta=(4m)^2-4*(-m)*(4m-12)=16m^2+4m(4m-12)=16m^2+16m^2-48m` 

`32m^2-48m=0 \ \ \ |:16` 

`2m^2-3m=0` 

`m(2m-3)=0` 

`m=0 \ \ "sprzeczność" \ \ \ \ \ "lub" \ \ m=3/2` 

Odp. `m=3/2` 


d) `(m+2)x^2+mx-1=0` 

Założenie: `m+2!=0 \ \ \ "czyli" \ \ \ m!=-2` 

`Delta=m^2-4(m+2)*(-1)=m^2+4m+8` 

`m^2+4m+8=0` 

`Delta_m=4^2-4*1*8=16-32=-16 < 0` 

 

Jeśli `m=-2`  otrzymujemy funkcję liniową (posiada jedno miejsce zerowe)

`-2x-1=0` 

`-2x=1 \ \ \ |:(-2)` 

`x=-1/2` 

Odp. `m=-2` 

Prostą prostopadłą do prostej o równaniu

Iloczyn współczynników kierunkowych prostych prostopadłych jest równy -1. Szukamy współczynnika kierunkowego tej prostej. 

`-2/3*a=-1\ \ \ |*(-3/2)`

`a=3/2`

 

`y=3/2x+b`

 

Wartość współczynnika b obliczymy podstawiając współrzędne punktu A do powyższego równania: 

`5=3/strike2^1*strike6^3+b`

`5=9+b\ \ \ |-9`

`b=-4`

 

Mamy więc równanie kierunkowe prostej prostopadłej: 

`y=3/2x-4\ \ \ \ odp.\ D`

 

Wyznaczmy jeszcze równania kierunkowe prostych B oraz C, aby upewnić się, że te odpowiedzi nie są poprawne:

`B.`

`3x-2y=-8\ \ \ |-3x`

`-2y=-3x-8\ \ \ |:(-2)`

`y=3/2x+4`

 

 

`C.`

`x/2-y/3=8\ \ \ \ |-x/2`

`-y/3=-x/2+8\ \ \ |*(-3)`

`y=-3/2x-24`

 

Prawidłowa jest tylko odpowiedź D.  

 

 

 

Budujemy liczbę w taki sposób...

Zauważmy, że okres liczby wynosi 9. Czyli skoro na dziewiątym miejscu jest cyfra 9 to znaczy, że na osiemnastym miejscu tez jest liczba 9 i tak dalej.

 

a) na czterdziestym piątym miejscu jest cyfra 9. Czyli kolejne cyfry to:

`1 \ , \ 2 \ , \ 3 \ , \ 4 \ , \ underline(5)` 

A więc na pięćdziesiątym miejscu stoi cyfra 5.

 

b) na siedemdziesiątym drugim miejscu jest cyfra 9. Czyli kolejne cyfry to:

`1 \ , \ 2 \ , \ underline(3)` 

A więc na siedemdziesiątym piątym miejscu stoi cyfra 3.

 

c) Na dziewięćdziesiątym dziewiątym miejscu jest cyfra 9 a więc na setnym miejscu stoi cyfra 1.

Odczytaj z wykresu funkcji h...

Wszystkie argumenty, dla których wartość jest większa od 0 będą należeć do zbioru rozwiązań.

`h(x) > 0 \ \ "dla" \ x in [-4, -3) \cup (0,5)` 

Narysuj wykresy funkcji f i g ...

`a)` 

`f(x)=(x-1)^3-4` 

`g(x)=sqrt(x+1)+2` 

`f(x)-g(x)=0` 

`f(x)=g(x)` 

`x=3` 

 

`f(x)-g(x)>0` 

`f(x)>g(x)` 

`x in (3;+oo)` 

 

`b)` 

`f(x)=2|x-3|-1` 

`g(x)=1/(x-3)` 

`f(x)-g(x)=0` 

`f(x)=g(x)` 

`x=4` 

 

`f(x)-g(x)>0` 

`f(x)>g(x)` 

`x in (-oo;3)cup(4;+oo)`      

Dana jest funkcja f...

`a) \ f(-3) = 3 * (-3) + 1 = -9 + 1 = -8` 

`f(-1) = 3*(-1) + 1 = -3 + 1 = -2` 

`f(0) = 3*0 + 1 = 1` 

`f(5) = 3 * 5 + 1 = 15 + 1 = 16` 

`Z_w = {-8,-2,1,16}` 

 

`b) \ f(-1) = (-1)/(-1+2) = (-1)/(1) = -1` 

`f(1/2) = (1/2)/(1/2 + 2) = (1/2)/(5/2) = 1/2 * 2/5 = 1/5` 

`f(0) = 0/(0+2) = 0/2 = 0` 

`Z_w = {-1, 0, 1/5}` 

 

`c) \ f(0) = 0 sqrt0 = 0` 

`f(1) = 1*sqrt1 = 1` 

`f(4) = 4 * sqrt4 = 4 * 2 = 8` 

`Z_w = {0, 1, 8}` 

 

`d) \ f(-2) = (-2)^4 = 16` 

`f(-1) = (-1)^4 = 1` 

`f(0) = 0^4 = 0` 

`f(1) = 1^4 = 1` 

`Z_w = {0, 1, 16}` 

Wykres funkcji g(x)= ...

`g(x)=2x^2-4x+1` 

`vecu=[2;-3]` 

v - wektor przeciwny do wektora u

 

`vecv=[-2;3]` 

`f(x)=g(x+2)+3` 

`f(x)=2(x+2)^2-4(x+2)+1+3` 

`f(x)=2(x^2+4x+4)-4x-8+4=ul(2x^2+4x+4`     

 

W lutym narty kosztowały 825 zł

Obliczamy, ile wynosiła cena nart w marcu

`(100%-30%)*825=70%*825=0,7*825=577,50\ "zł"`

 

Obliczamy, ile kosztowały narty w kwietniu

`(100%-20%)*577,50=80%*577,50=0,8*577,50=462\ "zł"`

 

 

Obliczamy, ile kosztowałyby narty, gdyby ich cenę od razu obniżono o 50%: 

`(100%-50%)*825=50%*825=1/2*825=825:2=412,50\ "zł""`

Uzupełnij wyrażenie taką liczbą

W każdym przykładzie rozszerzymy ułamki, aby łatwo można było znaleźć pasującą liczbę. 

 

`a)`

`3 1/5=3 20/100`

`3 1/4=3 25/100`

`"W kwadrat można wpisać na przykład:"\ \ \ 3 21/100, \ 3 22/100,\ 3 23/100,\ 3 24/100.`

 

 

`b)`

`-4 4/7=-4 40/70`

`-4 3/7=-4 30/70`

`"W kwadrat można wpisać na przykład:"\ \ \ -4 31/70,\ -4 32/70,\ -4 33/70,\ -4 34/70,\ -4 35/70,\ -4 36/70,\ -4 37/70,\ -4 38/70,\ -4 39/70.`

 

 

`c)`

`-2 4/5=-2 52/65`

`-2 1/13=-2 5/65`

`"W kwadrat można wpisać na przykład:"\ \ \ -2 6/65,\ -2 10/65,\ -2 17/65,\ -2 27/65,\ -2 40/65,\ -2 43/65.`

Korzystając z wykresu funkcji...

Naszkicujmy wykres funkcji `f(x)=-2sqrtx.` 

Wyznaczmy w tym celu współrzędne kilku punktów należących do wykresu tej funkcji:

`f(0)=0` 

`f(1)=-2` 

`f(4)=-2*2=-4` 

Zauważmy, że dziedziną funkcji będzie zbiór liczb nieujemnych, bo `x>0.` 

`D_f=< 0;+oo)` 

Wykres funkcji `f(x)` wygląda następująco: 

  

 

`"a)"\ y=2sqrtx` to funkcja symetryczna do `f` względem osi `x` 

 

 

`"b)"\ y=-2sqrt(-x)` to funkcja symetryczna do `f` względem punktu `(0,\ 0)`  

 

`"c)"\ y=2sqrt(-x)` to funkcja symetryczna do `f` względem osi `y`