Zgoda na przetwarzanie danych osobowych

25 maja 2018 roku zacznie obowiązywać Rozporządzenie Parlamentu Europejskiego i Rady (UE) 2016/679 z dnia 27 kwietnia 2016 r. znane jako RODO.

Dlatego aby dalej móc dostarczać Ci materiały odpowiednie do Twojego etapu edukacji, potrzebujemy zgody na lepsze dopasowanie treści do Twojego zachowania. Dzięki temu możemy zapamiętywać jakie materiały są Ci potrzebne. Dbamy o Twoją prywatność, więc nie zwiększamy zakresu naszych uprawnień. Twoje dane są u nas bezpieczne, a zgodę na ich zbieranie możesz wycofać na podstronie polityka prywatności.

Klikając "Przejdź do Odrabiamy", zgadzasz się na wskazane powyżej działania. W przeciwnym wypadku, nie jesteśmy w stanie zrealizować usługi kompleksowo i prosimy o opuszczenie strony.

Polityka prywatności

Drogi Użytkowniku w każdej chwili masz prawo cofnąć zgodę na przetwarzanie Twoich danych osobowych. Cofnięcie zgody nie będzie wpływać na zgodność z prawem przetwarzania, którego dokonano na podstawie wyrażonej przez Ciebie zgody przed jej wycofaniem. Po cofnięciu zgody wszystkie twoje dane zostaną usunięte z serwisu. Udzielenie zgody możesz modyfikować w zakładce 'Informacja o danych osobowych'

Wyznaczanie argumentu i wartości funkcji liniowej ze wzoru - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Wyznacz wartość funkcji $$f(x)=(x+1)^2-(x+3)(x-3)$$ dla argumentu $$x=3$$.

Zrobimy najprostszym sposobem, ponieważ metoda nie jest narzucona, czyli nasza podmiana.

$$x=3$$

$$f(x)=(x+1)^2-(x+3)(x-3)$$

$$f(3)=(3+1)^2-(3+3)(3-3)$$

$$f(x)=4^2-6×0$$

$$f(x)=16$$
 

Zadanie 2.

Dla jakich argumentów funkcja $$f(x)=|x-5|$$ przyjmuje wartości większe od 0.

  Zadanie można rozwiązać na dwa sposoby:
 

  1. Możemy wykorzystać definicje wartości bezwzględnej, która zakłada, że $$|a|$$ zawsze będzie większa lub równa 0, zatem rozwiązaniem są wszystkie liczby rzeczywiste prócz $$x-5=0$$

    $$x=5$$

    z tego wynika, że wszystko oprócz $$x=5$$, bo mamy wartości tylko większe od 0.
  2. Po prostu rozwiązać

    $$|x-5| > 0$$

    $$x-5 > 0$$ v $$x-5 < 0$$

    $$x > 5$$ v $$x < 5$$

    co nam daje wszystkie liczby rzeczywiste oprócz 5

    Zatem rozwiązanie to:

    x∈R{5}

 

Spis treści

Rozwiązane zadania
Wyznacz równanie prostej prostopadłej do osi...

`"a)"` Przekształcamy równanie prostej `l` do postaci `y=ax+b.` 

`x-5y+2=0` 

`5y=x+2\ "/":5` 

`y=1/5x+2/5` 

Na podstawie wniosku na stronie `349` wiemy, że prosta prostopadła do prostej

o równaniu `y=ax+b,` gdzie `a!=0,` ma równanie postaci `y=-1/ax+c.`      

Powiedzmy, że chcemy wyznaczyć równanie prostej `k,` która jest prostopadła do prostej `l.` 

Ponieważ `a=1/5,` to mamy:

`k:\ y=-5x+c` 

Wstawiamy do równania współrzędne punktu `P` i wyznaczamy `c:` 

`2=-5*(-1)+c` 

`2=5+c` 

`c=-3` 

Zatem:

`k:\ y=-5x-3` 

 

`"b)"` Na podstawie wniosku na stronie `349` wiemy, że prosta prostopadła do prostej

o równaniu `y=ax+b,` gdzie `a!=0,` ma równanie postaci `y=-1/ax+c.`      

Powiedzmy, że chcemy wyznaczyć równanie prostej `k,` która jest prostopadła do prostej `l.` 

Ponieważ `a=3/2,` to mamy:

`k:\ y=-2/3x+c` 

Wstawiamy do równania współrzędne punktu `P` i wyznaczamy `c:` 

`1=-2/3*(-1)` 

`1=2/3+c` 

`c=1/3` 

Zatem:

`k:\ y=-2/3x+1/3` 

 

`"c)"` Przekształcamy równanie prostej `l` do postaci `y=ax+b.` 

`4x-y=7` 

`y=4x-7` 

Na podstawie wniosku na stronie `349` wiemy, że prosta prostopadła do prostej

o równaniu `y=ax+b,` gdzie `a!=0,` ma równanie postaci `y=-1/ax+c.`      

Powiedzmy, że chcemy wyznaczyć równanie prostej `k,` która jest prostopadła do prostej `l.` 

Ponieważ `a=4,` to mamy:

`k:\ y=-1/4x+c` 

Wstawiamy do równania współrzędne punktu `P` i wyznaczamy `c:` 

`5=-1/4+c` 

`c=5 1/4` 

Zatem:

`k:\ y=-1/4x+5 1/4` 

 

`"d)"` Przekształcamy równanie prostej `l` do postaci `y=ax+b.` 

`x+y=2` 

`y=-x+2` 

Na podstawie wniosku na stronie `349` wiemy, że prosta prostopadła do prostej

o równaniu `y=ax+b,` gdzie `a!=0,` ma równanie postaci `y=-1/ax+c.`      

Powiedzmy, że chcemy wyznaczyć równanie prostej `k,` która jest prostopadła do prostej `l.` 

Ponieważ `a=-1` to mamy:

`k:\ y=x+c` 

Wstawiamy do równania współrzędne punktu `P` i wyznaczamy `c:` 

`-1=-3+c` 

`c=2` 

Zatem:

`k:\ y=x+2`  

Nie wykonując dzielenia podaj, które spośród liczb
  • Aby liczba dzieliła się przez 15 musi dzielić się przez 3 i przez 5, co oznacza, że suma jej cyfr musi byc liczbą podzielną przez 3 oraz jej ostatnią cyfrą musi być 0 lub 5. 
  • Aby liczba dzieliła się przez 45, musi dzielić się przez 9 i przez 5, co oznacza, że suma jej cyfr musi być liczbą podzielną przez 9 oraz jej ostatnią cyfrą musi być 0 lub 5
  • Aby liczba dzieliła się przez 75, musi dzielić się przez 3 i przez 25, co oznacza, że suma jej cyfr musi być liczbą podzielną przez 3 oraz jej dwie ostatnie cyfry to 00, 25, 50 lub 75. 

 

`a)`

`1+1+5+5=12`

 

Liczba 1155 jest podzielna przez 15. 

 

`b)`

`9+8+2+5=24`

Liczba 9825 jest podzielna przez 15 i 75. 

 

`c)`

`5+1+6+5=17`

Liczba 5165 nie jest podzielna przez 15, 45 ani 75.

 

 

`d)`

`8+2+3+5=18`

Liczba 8235 jest podzielna przez 15 i 45.

 

Dana jest prosta o równaniu...

Przekształćmy oba równania:

`x+y+3=0` 

`y = -x-3` 

 

`x^2-(m-2)x - y + m =0` 

`y = x^2-(m-2)x+m` 

 

Przyrównajmy do siebie wzory:

`-x-3 = x^2-(m-2)x+m`  

`x^2 -(m-2)x+x +m+3=0` 

`x^2 -(m-2-1)x + m+3=0` 

`x^2-(m-3)x + m+3=0` 

Równanie ma jedno rozwiązanie gdy:

`Delta =0` 

 

`Delta = (-(m-3))^2 -4*(m+3) = (m-3)^2 - 4m -12 = m^2 - 6m + 9 - 4m - 12 = m^2 - 10 m - 3` 

`m^2 - 10m - 3=0`  

`Delta = (-10)^2 -4*1*(-3) = 100 + 12 = 112` 

`sqrtDelta = sqrt112 = sqrt16*sqrt7 = 4sqrt7` 

`m_1 = (10 - 4sqrt7)/2 \ \ vv \ \ m_2 = (10 + 4sqrt7)/2` 

`m_1 = 5-2sqrt7 \ \ vv \ \ m_2 = 5 + 2sqrt7` 

Przyprostokątne trójkąta ABC ...

Zauważmy, że trójkaty EDB i CAB są podobne z cechy KKK.

Z podobieństwa wspomnianych trójkątów:

`(15-x)/x=15/10` 

`10(15-x)=15x` 

`150-10x=15x`  

`150=25x` 

`x=6` 

`ul(P_(ADEF)=x^2=36` 

 

Dana jest funkcja y = -2x + 3.

`"a)"` 

 

 

`"b)"` Aby wyznaczyć współrzędne punktu wspólnego podanych funkcji, wystarczy rozwiązać układ równań.

`{(y=-2x+3),(-1/2x+y+2=0):}` 

`{(y=-2x+3),(-1/2x-2x+3+2=0):}` 

`{(y=-2x+3),(-5/2x=-5\ "/"*(-2/5)):}` 

`{(y=-2x+3),(x=2):}` 

`{(y=-2*2+3),(x=2):}` 

`{(y=-1),(x=2):}` 

Odp. Punkt wspólny wykresów danych funkcji to `(2,-1).`  

Naszkicuj wykres funkcji

Dwusieczne kątów trójkąta ABC dzielą go na sześć

`a)` 

Oznaczmy punkt przecięcia dwusiecznych przez O. 

Zrób duży rysunek i wpisuj kolejne obliczone kąty, wtedy zadanie będzie łatwiejsze do zrozumienia :)

`|angleCAO|=|angleOAB|=1/2*|angleCAB|=1/2*32^o=16^o` 

`|angleCBO|=|angleOBA|=1/2*|angleCBA|=1/2*108^o=54^o` 

`|angleACB|=180^o-(|angleCAB|+|angleCBA|)=180^o-(32^o +108^o)=`  

`\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =` `180^o-140^o=40^o` 

`|angleACO|=|angleOCB|=` `1/2*|angleACB|=1/2*40^o=20^o` 

 

Wpiszmy miary kątów na rysunku:

 

 

`DeltaDBC:` 

`|angleCDB|=180^o-(20^o +108^o)=180^o-128^o=52^o` 

`|angleODA|=180^o-52^o=128^o` 

`|angleAOD|=180^o-(16^o +128^o)=180^o-144^o=36^o` 

`|angleDOB|=180^o-(52^o +54^o)=180^o-106^o=74^o` 

`|angleBOE|=180^o-(36^o +74^o)=180^o-110^o=70^o` 

`|angleBEO|=180^o-(70^o +54^o)=180^o-124^o=56^o` 

 

 

 

`|angleAOF|=70^o`  (kąty wierzchołkowe)

`|angleFOC|=74^o`   (kąty wierzchołkowe)

`|angleCOE|=36^o`   (kąty wierzchołkowe)

`|angleAFO|=180^o-(16^o +70^o)=180^o-86^o=94^o` 

`|angleOFC|=180^o-94^o=86^o` 

`|angleOEC|=180^o-(36^o +20^o)=180^o-56^o=124^o`    

 

 

 

 

 

 

 

 

`b)` 

Trójkąt prostokątny równoramienny ma kąty o miarach 90°, 45°, 45°.

Policzmy miary kątów, na jakie dwusieczne podzieliły te kąty.

`|angleCAO|=|angleOAB|=1/2*90^o=45^o` 

`|angleABO|=|angleOBC|=|angleBCO|=|angleOCA|=1/2*45^o=22,5^o` 

 

`DeltaCDB:\ \ \ |angleCDB|=180^o-22,5^o-2*22,5^o=112,5^o` 

`|angleCDA|=180^o-|angleCDB|=180^o-112,5^o=67,5^o` 

`|angleAOD|=180^o-(45^o +67,5^o)=180^o-112,5^o=67,5^o` 

`|angleCOE|=|angleAOD|=67,5^o` (kąty wierzchołkowe)

`|angleDOB|=180^o-(112,5^o +22,5^o)=180^o-135^o=45^o` 

`|angleFOC|=|angleDOB|=45^o`  (kąty wierzchołkowe)

 

 

 

`|angleFOA|=|angleEOB|=180^o-(67,5^o +45^o)=180^o-112,5^o=67,5^o`   

`|angleAFO|=180^o-(45^o +67,5^o)=180^o-112,5^o=67,5^o` 

`|angleCFO|=180^o-67,5^o=112,5^o` 

`|angleBEO|=180^o-(67,5^o +22,5^o)=180^o-90^o=90^o` 

`|angleCEO|=180^o-90^o=90^o` 

 

Dane są punkty...

Mając dany wektor:

`stackrel(->)(p) = [x_p , y_p]` 

oraz punkty

`A = (x , y)`  

`A^' = (x^' , y^')` 

gdzie A' jest obrazem punktu A w przesunięciu o wektor `stackrel(->)(p)` 

to zachodzi równość:

`A^' = (x + x+p, y+y_p)`  

 

Obliczmy współrzędne punktów A', B' i C':

`A' = (-2-1, -3-2) = (-3, -5)` 

`B' = (1-1,-3-2) = (0, -5)` 

`C' = (-2-1,3-2) = (-3, 1)` 

 

Rysunek:

Pole części wspólnej:

`P = 1/2*2*1 = 1` 

Odpowiedź A

Oblicz pole ABC ograniczonego prostą ...

`k:y=x+4` 

`l||k` 

`l : y=x+a `  

`P_(ABC)=1/2*4*4=8` 

`P_(EDC)=1/2*a*a=a^2/2`  

 

`a)` 

`P_(EDC)=9P_(ABC)` 

`a^2/2=9*8=72`  

`a^2=144` 

`a=12\ \ \vv\ \ a=-12`     

`ul(l : y=x+12 \ \ \vv\ \ \l : y=x-12`   

 

`b)` 

`P_(EDC)=2P_(ABC)` 

`a^2/2=2*8=16`  

`a^2=32` 

`a=4sqrt2\ \ \vv\ \ a=-4sqrt2`     

`ul(l : y=x+4sqrt2 \ \ \vv\ \ \l : y=x-4sqrt2`    

Ułamek n/1234, gdzie n jest liczbą dodatnią

Rozłóżmy liczbę 1234 na czynniki pierwsze:

`1234=2*617`

 

Oznacza to, że zachodzi równość:

`n/1234=n/(2*617)`

 

Chcemy wyznaczyć jak najmniejszą taką liczbę n, aby powyższy ułamek miał skończone rozwinięcie dziesiętne. Aby ułamek miał skończone rozwinięcie dziesiętne, w jego mianowniku musi być wielokrotność dziesiątki. Wiemy, że 10=2∙5, więc aby otrzymać ułamek mający skończone rozwinięcie dziesiętne, musimy mieć w mianowniku iloczyn tylko liczb 2 lub 5 (mogą występować same piątki lub same dwójki - wtedy z łatwością rozszerzymy ułamek do wielokrotności dziesiątki). Musimy więc "pozbyć się" liczby 617 z mianownika. Zrobimy to skracając liczbę 617 z licznikiem (n). Mamy podać jak najmniejszą taką liczbę, więc n=617 (jest to najmniejsza liczba, która skróci się z 617 w mianowniku).