Wyznaczanie argumentu i wartości funkcji liniowej ze wzoru - matura-podstawowa - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Wyznaczanie argumentu i wartości funkcji liniowej ze wzoru - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Wyznacz wartość funkcji $f(x)=(x+1)^2-(x+3)(x-3)$ dla argumentu $x=3$.

Zrobimy najprostszym sposobem, ponieważ metoda nie jest narzucona, czyli nasza podmiana.

$x=3$

$f(x)=(x+1)^2-(x+3)(x-3)$

$f(3)=(3+1)^2-(3+3)(3-3)$

$f(x)=4^2-6×0$

$f(x)=16$
 

Zadanie 2.

Dla jakich argumentów funkcja $f(x)=|x-5|$ przyjmuje wartości większe od 0.

  Zadanie można rozwiązać na dwa sposoby:
 

  1. Możemy wykorzystać definicje wartości bezwzględnej, która zakłada, że $|a|$ zawsze będzie większa lub równa 0, zatem rozwiązaniem są wszystkie liczby rzeczywiste prócz $x-5=0$

    $x=5$

    z tego wynika, że wszystko oprócz $x=5$, bo mamy wartości tylko większe od 0.
  2. Po prostu rozwiązać

    $|x-5| > 0$

    $x-5 > 0$ v $x-5 < 0$

    $x > 5$ v $x < 5$

    co nam daje wszystkie liczby rzeczywiste oprócz 5

    Zatem rozwiązanie to:

    x∈R{5}

 

Spis treści

Rozwiązane zadania
Dwa pociągi towarowe wyjechały z miast A i B oddalonych od siebie ...

Przyjmijmy oznaczenia: 

t - czas podróży pociągu jadącego z miasta B w kierunku miasta A [w h],  t > 0

t + 1 - czas podróży pociągu jadącego z miasta A w kierunku miasta B [w h]

v - prędkość poruszania się pociągu jadącego z miasta B w kierunku miasta A [w km/h] {premium}

v - 9  - prędkość poruszania się pociągu jadącego z miasta A w kierunku miasta B [w km/h], v > 9

540 - odległość między miastami A i B [w km] 

540 : 2 = 270 - długość drogi przebytej przez każdy z pociągów [w km] (bo spotkały się w połowie drogi)


Tworzymy układ równań opisujący prędkość każdego z pociągów i rozwiązujemy go. 

 

 

 

Rozwiązujemy drugie równanie: 

 

 

 

  

  

 

 

Wracamy do układu równań. 

   

Prędkość poruszania się pociągu jadącego z miasta B w kierunku miasta A wynosi 54 km/h. 


Obliczamy ile wynosi prędkość poruszania się pociągu jadącego z miasta A w kierunku miasta B. 

 


Odpowiedź: Prędkości pociągów wynosiły 45 km/h i 54 km/h

Wykaż, że w trójkącie ABC kąt między wysokością opuszczoną...

Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku poniżej:

Thumb zad5.117str125


Przy przyjętych oznaczeniach wystarczy pokazać, że

w zależności od tego jak przyjmiemy, który z kątów jest większy;

na powyższym rysunku zakładamy, że  


Trójkąt  jest prostokątny. Stąd:

 

 {premium}


Półprosta  jest dwusieczną kąta przy wierzchołku  Stąd:

 

 


Trójkąt  jest prostokątny. Stąd:

 

 

 


Obliczamy różnicę kątów  

 


Zatem:

 

 


Pokazaliśmy, że kąt między wysokością opuszczoną z wierzchołka  i dwusieczną kąta

przy wierzchołku  równa się połowie różnicy kątów przy pozostałych wierzchołkach tego trójkąta,

co należało dowieść.

Rozwiąż równanie ...

Wyznaczamy dziedzinę tego równania. 

 

czyli: 

 


Rozwiązujemy równanie. {premium}

   

  

  

 


Rozwiązaniem tego równania są liczby x = -3 lub x = 1

Dla danych przedziałów P i Q wyznacz ...

Suma zbiorów P i Q to zbiór zawierający wszystkie elementy ze zbiorów P i Q.

Iloczyn (część wspólna) zbiorów P i Q to zbiór zawierający elementy wspólne dla zbiorów P i Q.

Różnica zbiorów P i Q to zbiór zawierający elementy należące do zbioru P, ale nie należące do zbioru Q.

Różnica zbiorów Q i P to zbiór zawierający elementy należące do zbioru Q, ale nie należące do zbioru P.


 

Zaznaczamy zbiory P i Q na osiach liczbowych.

Zatem:

 

 

 

  {premium}


 

Zaznaczamy zbiory P i Q na osiach liczbowych.

Zatem:

 

 

 

 


 

Zaznaczamy zbiory P i Q na osiach liczbowych.

Zatem:

 

 

 

 


 

Zaznaczamy zbiory P i Q na osiach liczbowych.

Zatem:

 

 

 

 

Powierzchnie działek D1, D2, D3...

Zauważmy, że:

   {premium}

 

zatem:

 

 

więc:

 

 

Odp.: Największą powierzchnię ma działka D2, a najmniejszą działka D3.

Ustal, ile punktów wspólnych ma ta...

Wybierzmy kilka punktów, aby narysować wykres funkcji y=7(x+2)2+5

x -3 -2 -1
y 12 5 12
{premium}



a) Wybierzmy kilka punktów, aby narysować wykres funkcji y=-5(x+2)2+7

x -3 -2 -1
y 2 7 2




Te parabole mają 2 punkty wspólne


b) Wybierzmy kilka punktów, aby narysować wykres funkcji y=-7(x+2)2+2

x -3 -2 -1
y -5 2 -5




Te parabole nie mają punktów wspólnych

c) Wybierzmy kilka punktów, aby narysować wykres funkcji y=0,2(x+2)2+3

x -7 -2 3
y 8 3 8





Te parabole nie mają punktów wspólnych

Rozwiąż układ równań według wzoru...

a) i b)

Podstawiamy x do drugiego z równań b) (po prawej stronie):


 


Rozwiązujemy drugie równanie a) (po lewej stronie):   {premium}

 

 

 


Rozwiązujemy drugie równanie b) (po prawej stronie):

 

 

 

 


Zapisujemy układ równań a) (po lewej stronie):

 


Zapisujemy układ równań b) (po prawej stronie):

 


Znajdujemy wartość niewiadomej x a) (po lewej stronie):

 


Znajdujemy wartość niewiadomej x b) (po prawej stronie):

 


Zapisujemy rozwiązanie układu równań a) (po lewej stronie):

 


Zapisujemy rozwiązanie układu równań b) (po prawej stronie):

 


c) i d)

Podstawiamy y do pierwszego z równań c) (po lewej stronie):


 

Podstawiamy y do pierwszego z równań d) (po prawej stronie):



Rozwiązujemy drugie równanie c) (po lewej stronie):

 

 

 

 


Rozwiązujemy drugie równanie d) (po prawej stronie):

 

 

 

 


Zapisujemy układ równań c) (po lewej stronie):

 


Zapisujemy układ równań d) (po prawej stronie):

 


Znajdujemy wartość niewiadomej y c) (po lewej stronie):

 


Znajdujemy wartość niewiadomej y d) (po prawej stronie):

 


Zapisujemy rozwiązanie układu równań c) (po lewej stronie):

 


Zapisujemy rozwiązanie układu równań d) (po prawej stronie):

 




Posługując się wzorem...

 {premium}

 

 

 

Zadanie Diofantosa: Znajdź takie trzy liczby...

Niech będą szukanymi liczbami, przy czym  

Największa liczba ma przewyższać środkową o najmniejszej liczby, czyli: {premium}

 

Środkowa liczba ma przewyższać najmniejszą o największej liczby, czyli:

 

Najmniejsza liczba ma przewyższać liczbę środkowej liczby, czyli:

 

Zauważmy, że mamy równania z trzema niewiadomymi. W ostatnim równaniu mamy tylko 

dwie niewiadome, więc możemy podstawić je do pozostałych równań i wtedy zredukuje nam

się jedna zmienna. Zapiszemy te równania od razu jako układ równań i go rozwiążemy.

  

 

 

 

Dodajemy równania stronami, otrzymując:

 

 

 

Wstawiamy  do dowolnego równania z i wyznaczamy  

 

 

 

 

Wstawiamy  do równania i wyznaczamy  

                  

 

 

Odp. Szukane liczby to    

Uporządkuj rosnąco liczby.

 

 

 

 

 

 

Uporządkujmy rosnąco:

{premium}  

 

 

 

 

 

Uporządkujmy rosnąco:

 

 

 

  

 

Zauważmy, że:

  

bo

 

 

oraz

 

bo

 

Stąd: