Wyznaczanie argumentu i wartości funkcji liniowej ze wzoru - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Wyznacz wartość funkcji $$f(x)=(x+1)^2-(x+3)(x-3)$$ dla argumentu $$x=3$$.

Zrobimy najprostszym sposobem, ponieważ metoda nie jest narzucona, czyli nasza podmiana.

$$x=3$$

$$f(x)=(x+1)^2-(x+3)(x-3)$$

$$f(3)=(3+1)^2-(3+3)(3-3)$$

$$f(x)=4^2-6×0$$

$$f(x)=16$$
 

Zadanie 2.

Dla jakich argumentów funkcja $$f(x)=|x-5|$$ przyjmuje wartości większe od 0.

  Zadanie można rozwiązać na dwa sposoby:
 

  1. Możemy wykorzystać definicje wartości bezwzględnej, która zakłada, że $$|a|$$ zawsze będzie większa lub równa 0, zatem rozwiązaniem są wszystkie liczby rzeczywiste prócz $$x-5=0$$

    $$x=5$$

    z tego wynika, że wszystko oprócz $$x=5$$, bo mamy wartości tylko większe od 0.
  2. Po prostu rozwiązać

    $$|x-5| > 0$$

    $$x-5 > 0$$ v $$x-5 < 0$$

    $$x > 5$$ v $$x < 5$$

    co nam daje wszystkie liczby rzeczywiste oprócz 5

    Zatem rozwiązanie to:

    x∈R{5}

 

Spis treści

Rozwiązane zadania
Do każdego z przedstawionych zbiorów

`I.`

Możemy poruszać się o nie mniej niż 2 jednostki w prawo i w lewo oraz o nie więcej niż 1 jednostkę w górę lub w dół. Należy wybrać rysunek B. 

 

 

`II.`

Możemy poruszać się o nie mniej niż 2 jednostki w prawo i w lewo oraz o nie mniej niż 1 jednostkę w górę lub w dół. Należy wybrać rysunek C. 

 

 

`III.`

Możemy poruszać się o nie więcej niż 2 jednostki w prawo i w lewo oraz o nie więcej niż 1 jednostkę w górę lub w dół. Należy wybrać rysunek A. 

 

Wyznacz równania prostych AB, AC i BC

`a)`

`ul(prosta\ AB)`

Korzystając z twierdzenia podanego na stronie 109 obliczamy współczynnik kierunkowy: 

`a=(2-5)/(4-1)=(-3)/3=-1`

`y=-x+b`

Podstawiamy współrzędne jednego z punktów A lub B (wybieramy punkt A):

`5=-1+b`

`b=5+1=6`

`ul(ul(y=-x+6))`

 

 

`ul(prosta\ AC)`

`a=(5-5)/(7-1)=0/6=0`

`y=0*x+b=b`

Mamy funkcję stałą, przyjmuje ona ciągle wartość taką, jak druga współrzędna. 

`ul(ul(y=5))`

 

 

`ul(prosta\ BC)`

`a=(2-5)/(4-1)=(-3)/3=-1`

`y=-x+b`

Podstawiamy współrzędne punktu B

`2=-4+b`

`b=2+4=6`

`ul(ul(y=-x+6)`

 

Ten trójkąt nie jest prostokątnych, ponieważ wśród trzech prostych AB, AC, BC nie ma pary prostych prostopadłych - nie ma pary współczynników kierunkowych, których iloczyn byłby równy -1. 

 

 

 

`b)`

`ul(prosta\ AB)`

`a=(-3-(-1))/(0-(-2))=(-3+1)/(0+2)=-2/2=-1`

`y=-x+b`

Podstawiamy współrzędne punktu B:

`-3=-0+b`

`b=-3`

`ul(ul(y=-x-3))`

 

 

 

`ul(prosta\ AC)`

`a=(5-(-1))/(4-(-2))=(5+1)/(4+2)=6/6=1`

`y=x+b`

Podstawiamy współrzędne punktu C:

`5=4+b`

`b=5-4=1`

`ul(ul(y=x+1))`

 

 

 

`ul(prosta\ BC)`

`a=(5-(-3))/(4-0)=(5+3)/4=8/4=2`

`y=2x+b`

Podstawiamy współrzędne punktu B:

`-3=2*0+b`

`b=-3`

`ul(ul(y=2x-3))`

 

Proste AB i AC są prostopadłe (iloczyn ich współczynników kierunkowych jest równy -1), więc trójkąt ABC jest prostokątny. 

 

 

 

`c)`

`ul(prosta\ AB)`

Punkty A i B mają jednakową drugą współrzędną, więc będzie to prosta pozioma:

`ul(ul(y=-2))`

 

`ul(prosta\ AC)`

`a=(3-(-2))/(-2-(-7))=(3+2)/(-2+7)=5/5=1`

`y=x+b`

Podstawiamy współrzędne punktu C:

`3=-2+b`

`b=3+2=5`

`ul(ul(y=x+5))`

 

 

`ul(prosta\ BC)`

`a=(3-(-2))/(-2-8)=(3+2)/(-10)=5/(-10)=-1/2`

`y=-1/2x+b`

Podstawiamy współrzędne punktu C:

`3=-1/2*(-2)+b`

`3=1+b`

`b=3-1=2`

`ul(ul(y=-1/2x+2))`

Ten trójkąt nie jest prostokątnych, ponieważ wśród trzech prostych AB, AC, BC nie ma pary prostych prostopadłych - nie ma pary współczynników kierunkowych, których iloczyn byłby równy -1. 

 

Określ dziedzinę funkcji

 

 

`a)\ D=RR`

 

 

`b)`

`x+9>=0\ \ \ |-9`

`x>=-9`

`D=<<-9,\ +infty)`

 

 

`c)`

`2x+4ne0\ \ \ \-4`

`2xne-4\ \ \ \|:2`

`xne-2`

`D=(-infty,\ -2)uu(-2,\ +infty)`

Dana jest funkcja...

`f(x) = x^2 + bx + c` 

`Delta = b^2 - 4*1*c = b^2 - 4c` 

 

Zauważmy, że

`b < 0 => b^2 > 0` 

`c < 0 => -4c > 0` 

 

`Delta = b^2 - 4c > 0` 

A więc funkcja ma dwa miejsca zerowe.

Ze wzorów viete'a:

`x_1 * x_2 = c/a` 

`c/1 = c < 0` 

Skoro iloczyn miejsc zerowych jest mniejszy od 0 to znaczy, że liczby są przeciwnych znaków.

Odpowiedź C

Pięciokąt ABCDE jest wpisany w okrąg ...

a) AE nieprzechodzące przez C

Kąt środkowy:

`/_ASE` 

Kąty wpisane:

`/_ABE,\ /_ACE,\ /_ADE` 

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))` 

b) ABC

Kąt środkowy:

`/_ASC` 

Kąty wpisane:

`/_AEC,\ /_ADC`   

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))` 

c) ABD

Kąt środkowy:

`/_ASD` 

Kąty wpisane:

`/_AED`  

Dana jest parabola o ognisku F i kierownicy k ...

Zaznaczmy na kierownicy y=k punkt Q (współliniowy z punktami R i P) taki, że odległość punktu P od kierownicy paraboli równa jest długości odcinka PQ. 

Jeśli punkt P leży na paraboli, to jego odległość od ogniska F jest taka sama jak odległość od kierownicy k. 

Możemy więc zapisać:

`|FP|=|QP|\ \ \ \ \ (circ)`

 

Jeśli proste y=k i y=l są równoległe, to odleglość między nimi wynosi l-k. Jest to zarazem odległość między punktami Q i R

`|QR|=l-k`

 

Odcinek QR możemy podzielić na odcinki QP i PR 

`|QR|=|QP|+|PR|`

`l-k=|QP|+|PR|\ \ \ =>\ \ \ |PR|=l-k-|QP|\ \ \ \ \ \ (**)`

 

Suma odległości punktu P od ogniska i prostej l wynosi: 

`|FP|+|PR|\ \ stackrel((circ))=\ \ \ |QP|+|PR|\ \ stackrel((**))=\ \ |QP|+(l-k-|QP|)=`

`=|QP|+l-k-|QP|=l-k`

W ten sposób pokazaliśmy, że suma odległości punktu P od ogniska i prostej l jest równa odległości między prostymi y=l i y=k, jest więc stała.  

Jeśli dłuższy bok prostokąta zmniejszymy...

Niech na początku prostokąt ma wymiary `axxb,` gdzie `a < b.` 

Obliczmy pole tego prostokąta:  

`P=ab` 

Teraz mamy:

`b-x%b=b-x/100b-`dłuższy bok zmniejszony o `x%` 

`a+y%a=a+y/100a-`krótszy bok zwiększony o `y%`       

`ab+4,5%ab=1,045ab-`pole nowego prostokąta wzrosło o `4,5%` 

Jeżeli natomiast:

`b-y%b=b-y/100b-`dłuższy bok skrócony o `y%` 

`a+x%a=a+x/100a-`krótszy bok wydłużony o `x%` 

`ab-5,5%ab=0,945ab-` pole tego prostokąta zmalało o `5,5%` 

 

Obliczmy teraz pola tych prostokątów podstawiając długości nowych boków do wzoru na pole trójkąta. 

Wyniki porównamy z odpowiadającymi im polami. Otrzymamy dwa równania. Zapiszemy je od razu jako

układ równań:

`{((b-x/100b)(a+y/100a)=1,045ab\ "/"*10\ 000),((b-y/100b)(a+x/100a)=0,945ab\ "/"*10\ 000):}`  

`{((100b-bx)(100a+ay)=10\ 450ab),((100b-yb)(100a+xa)=9450ab):}` 

`{(10\ 000ab+100aby-100abx-abxy=10\ 450ab),(10\ 000ab+100abx-100aby-abxy=9450ab):}` 

`{(-100abx+100aby-abxy=450ab),(100abx-100aby-abxy=-550ab):}`      

Dodając równania stronami otrzymamy:

`-2abxy=-100ab\ "/":(-2ab)!=0` 

`xy=50` 

Wiemy, że `x` i `y` są liczbami naturalnymi i żadna z nich nie jest kwadratem liczby naturalnej.

Wypiszmy więc wszystkie możliwe iloczyny `x*y` dające w wyniku `50:` 

`1*50` 

`2*25` 

`5*10` 

`10*5` 

`25*2` 

`50*1` 

Liczby `1` i `25` są kwadratami liczby naturalnych, więc pozostaje tylko przypadek `xy=5*10.` 

Musimy teraz ustalić, czy `x=5,\ y=10,` czy na odwrót `x=10,\ y=5.` 

Sprawdźmy drugą opcję dla dowolnego równania z układu.

`-100abx+100aby-abxy=450ab` 

Podstawiamy `x=10,\ y=5:` 

`-1000ab+500ab-50ab=450ab` 

`-550ab=450ab\ "/":ab!=0`

`-550=450-` dostaliśmy sprzeczność, czyli ten zestaw danych nie jest dobry

Sprawdźmy drugą możliwość. Podstawiamy `x=5,\ y=10:` 

`-500ab+1000ab-50ab=450ab` 

`450ab=450ab-`równość jest spełniona, zatem:

Odp. `x=5,\ y=10.`      

 

 

Wpisz w miejsce kratki

`a)\ root(3)(-1000)=-10\ \ \ (bo\ (-10)^3=-1000)`

`b)\ root(5)(-0,00032)=-0,2\ \ \ (bo\ (-0,2)^5=-0,00032)`

`c)\ root(3)(-216)=-6\ \ \ (bo\ (-6)^3=-216)`

`d)\ root(7)(-128)=-2\ \ \ (bo\ (-2)^7=-128)`

`e)\ root(9)(-1/512)=-1/2=-0,5\ \ \ (bo\ (-1/2)^9=-1/512)`

` `

 

Dziedziną funkcji

`a)` 

Wykres funkcji g powstaje przez przesunięcie wykresu funkcji f o 3 jednostki w prawo wzdłuż osi OX. 

`y=f(x)\ \ \ \ #(->)^(vecu=[3;\ 0])\ \ \ g(x)=f(x-3)` 

Zauważmy, że dziedzina funkcji g to dziedzina funkcji f przesunięta o 3 jednostki w prawo:

`D_g\ =(-2;\ 5>>` 

 

 

 

`b)` 

Wykres funkcji g otrzymamy, przesuwając wykres funkcji f o 3 jednostki w prawo wzdłuż osi OX, a następnie odbiając symetrycznie względem osi OY tę część wykresu, która znajduje się po prawej stronie osi OY. 

`y=f(x)\ \ \ \ #(->)^(vecu=[3;\ 0])\ \ \ y=f(x-3)\ \ \ \ #(->)^(S_(OY)^+)\ \ \ g(x)=f(|x|-3)` 

Zauważmy, że w poprzednim punkcie naszkicowaliśmy wykres funkcji y=f(x-3), teraz wystarczy odbić symetrycznie względem osi OY tę część wykresu, która znajduje się po prawej stronie osi OY. 

`D_g\ =<<-5;\ 5>>` 

 

 

`c)` 

`g(x)=f(2-x)=f(-x+2)` 

 

Aby otrzymać wykres funkcji g wystarczy odbić wykres funkcji f symetrycznie względem osi OY, a następnie przesunąć otrzymany wykres o 2 jednostki w górę wzdłuż osi OY. 

`y=f(x)\ \ \ \ #(->)^(S_(OY))\ \ \ y=f(-x)\ \ \ \ #(->)^(vecu=[0;\ 2])\ \ \ \ g(x)=f(-x+2)` 

 

 

`D_g\ =<<-2;\ 5)` 

 

 

`d)` 

Aby otrzymać wykres funkcji g wystarczy odbić wykres funkcji f symetrycznie względem osi OY, następnie przesunąć otrzymany wykres o 2 jednostki w górę wzdłuż osi OY, a na końcu odbić symetrycznie względem osi OY tę część wykresu, która znajduje się po prawej stronie osi OY. 

Zauważmy, że w poprzednim podpunkcie otrzymaliśmy wykres funkjci y=f(-x+2) - patrz powyżej wykres zaznaczony kolorem niebieskim. Wystarczy więc tę część wykresu, która znajduje się po prawej stronie osi OY odbić symetrycznie względem osi OY.

Szukany wykres zaznaczony jest kolorem zielonym.

`y=f(-x+2)\ \ \ \ #(->)^(S_(OY)^+)\ \ \ \ g(x)=f(-|x|+2)` 

 

 

`D_g\ =(-5;\ 5)`

Dana jest funkcja f określona ...

`f(x)=-2(x-3)(x+4)` 

`x-3=0\ implies \x=3` 

`x_1=3` 

 

`x+4=0\ implies\ x=-4` 

`x_2=-4` 

 

`p=(x_1+x_2)/2=(3-4)/2=-1/2` 

`q=f(p)=-2(-1/2-3)(-1/2+4)=-2(-7/2)*7/2=-2*(49/4)=49/2` 

`W=(p;q)=(-1/2;49/2)`