Wykres funkcji wykładniczej - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Wykres funkcji wykładniczej

W tym temacie poznamy kolejny typ wykresu. Czym jest funkcja wykładnicza? Jest to funkcja, w której nasz x robi za potęgę np.

$$y=2^x$$

Opowiedzmy sobie trochę o samej funkcji.

Przede wszystkim ograniczenia:

Funkcja wykładnicza nie przyjmuje wartości ujemnych, tak samo podstawa potęgi nie może być ani zerem ani liczbą ujemną.

W tym dziale nauczymy się tylko rysowania takiej funkcji i kilku własności z tego wynikających.

Funkcję tę rysujemy trochę inaczej niż liniową, potrzebujemy więcej punktów.

Weźmy naszą przykładową:

$$y=2^x$$

Zróbmy tabelkę jak dla funkcji liniowej:

tab1

Zaznaczmy te punkty na układzie współrzędnych:

wyk1

I narysujmy gotowy wykres:

wyk2

Jak widać linia na dole nie ma zamiaru przeciąć osi X.

W tym przypadku jest to funkcja rosnąca, ale nie zawsze tak jest.

Funkcja wykładnicza wygląda bardzo podobnie dla podstaw $$a > 1$$ i dla $$a < 1$$, jedyna różnica to w którą stronę (w lewo czy w prawo) rośnie, w zależności od a.

Zajmijmy się szczególnym przypadkiem kiedy funkcja przyjmuje wartości stałe:

$$y=1^x$$

Oczywiście tabelka:

tab2

Wykres to po prostu prosta równoległa do osi X:

wyk3

Ostatni przypadek to $$a < 1$$.

Pamiętamy, że a musi być zawsze dodatnie.

Przykład:

$$y=(1/2)^x$$

I ponownie tabelka:

tab3

Jak widzimy jest to funkcja odwrotna do $$2^x$$.

Narysujmy:

wyk4
 

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Narysuj wykres funkcji $$y=3^x$$. Wyznacz jej dziedzinę, zbiór wartości i monotoniczność.

Zaczynamy od narysowania wykresu, posłużymy się tabelką:

zad11

I rysujemy:

zad12

Teraz dziedzina, zgodnie z tym co pamiętamy:

$$D=R$$

Zbiór wartości:

$$Y=(0;+∞)$$

Monotoniczność:

Funkcja jest rosnąca dla wszystkich liczb rzeczywistych.  

Zadanie 2.

Narysuj wykres funkcji $$y={(1/2)}^(x+1)-1$$.

Jak widać mamy tutaj przesunięcie.

Zaczynamy od narysowania funkcji bazowej, czyli:

$$y=(1/2)^x$$

zad21

Mamy też wykres:

zad22

Pozostaje nam przesunąć go zgodnie z wzorem: o 1 w lewo i o 1 w dół, pamiętamy o zaznaczeniu asymptoty, czyli linii, do której "przykleja się" nasz wykres, ale której nigdy nie przecina:

zad23

Po co rysujemy asymptotę? Bez niej jeśli nasz wykres przekroczy -1 zadanie może zostać nie zaliczone, a zawsze może nam się wymsknąć przypadkowo.  

Spis treści

Rozwiązane zadania
Naszkicuj wykres funkcji f ...

`f:\ X->RR` 

 

`a)` 

`f(x)=|x-1|` 

`X=[-3;3]` 

`ZW=[0;4]` 

`f_(min)=0` 

`f_(max)=4` 

 

`b)`  

`f(x)=|x-1|` 

`X={0}cup(3;+oo)`   

`ZW={1}cup(2;+oo)`  

`f_(min)=1` 

`f_(max)-"nie istnieje"`  

 

`c)` 

`f(x)=|x-1|` 

`X=(-2;0)cup[1;5]`    

`ZW=[0;4]`   

`f_(min)=0` 

`f_(max)=4`   

Oblicz

`a)\ sqrt32*sqrt2=sqrt(32*2)=sqrt64=8`

`b)\ sqrt147*sqrt3=sqrt(147*3)=sqrt441=21`

`c)\ sqrt12*sqrt27=sqrt(12*27)=sqrt324=18`

`d)\ sqrt6*sqrt24=sqrt(6*24)=sqrt144=12`

`e)\ sqrt3*sqrt4*sqrt12=sqrt(3*4*12)=sqrt144=12`

`f)\ sqrt2*sqrt9*sqrt18=sqrt(2*9*18)=sqrt(18*18)=18`

Oblicz

`a)\ sqrt(16/49)=sqrt16/sqrt49=4/7`

`\ \ \ sqrt(25/81)=sqrt25/sqrt81=5/9`

`\ \ \ sqrt(121/64)=sqrt121/sqrt64=11/8=1 3/8`

`\ \ \ sqrt(400/169)=sqrt400/sqrt169=20/13=1 7/13`

 

`b)\ sqrt(2 1/4)=sqrt(9/4)=sqrt9/sqrt4=3/2=1 1/2`

`\ \ \ sqrt(1 9/16)=sqrt(25/16)=sqrt25/sqrt16=5/4=1 1/4`

`\ \ \ sqrt(11 1/9)=sqrt(100/9)=sqrt100/sqrt9=10/3=3 1/3`

`\ \ \ sqrt(2 14/25)=sqrt(64/25)=sqrt64/sqrt25=8/5=1 3/5`

guffno

1-1=0

Rozwiąż nierówność

Wyznacz dziedzinę i miejsca zerowe...

`a) \ f(x) = (2x^2-x)/(2x^2+3x-2)` 

Założenie:

`2x^2 + 3x - 2 ne 0` 

`2x^2+4x - x - 2 ne 0` 

`2x(x+2)-(x+2) ne 0` 

`(x+2)(2x-1) ne 0` 

`x ne -2 \ \ ^^ \ \ x ne 1/2` 

Dziedzina:

`D = R \ \\ \ {-2, 1/2}`  

 

Żeby wyliczyć miejsca zerowe musimy sprawdzić dla jakich x-ów licznik się zeruje.

`2x^2-x =0` 

`x(x-1) = 0` 

`x_1 = 0 \ \ vv \ \ x_2 = 1` 

Miejscami zerowymi są liczby:

`0 \ , \ 1` 

 

`b) \ f(x) = (x^2+x-2)/(sqrt(x^2-4))` 

Założenie:

`x^2 - 4 > 0` 

`(x-2)(x+2) > 0` 

`x_1 = 2 \ \ vv \ \ x_2 = -2` 

Parabola ma ramiona skierowane ku górze a więc:

`x in (-oo, -2) \cup (2, oo)`  

Dziedzina:

`D = (-oo, -2) \cup (2, oo)` 

 

Miejsca zerowe:

`x^2+x-2 = 0` 

`x^2 -x + 2x - 2 =0` 

`x(x-1)+2(x-1) =0` 

`(x-1)(x+2)=0` 

`x_1 = 1 \ \ vv \ \ x_2 = -2` 

Uzgadniając z dziedziną otrzymujemy, że funkcja nie ma miejsc zerowych.

 

`c) \ f(x) = (x^2-x-2)/sqrt(x^2+x-2)` 

Założenie:

`x^2 + x - 2 > 0` 

`x^2 - x + 2x - 2 > 0` 

`x(x-1) + 2(x-1) > 0` 

`(x-1)(x+2) > 0` 

`x_1 = 1 \ \ vv \ \ x_2 = -2` 

Parabola ma ramiona skierowane ku górze:

`x in (-oo, -2) \cup (1, oo)` 

Dziedzina:

`D = (-oo, -2) \cup (1, oo)` 

 

Miejsca zerowe:

`x^2 - x - 2 =0` 

`x^2+x-2x-2=0` 

`x(x+1)-2(x+1) =0` 

`(x+1)(x-2)=0` 

`x_1 = -1 \ \ vv \ \ x_2 = 2` 

Po uwzględnieniu dziedziny otrzymujemy, że miejscem zerowym jest liczba:

`2` 

 

`d) \ f(x) = (x^2-7x+12)/sqrt(x^2+x+3)` 

Założenie:

`x^2 + x + 3 > 0` 

`Delta = 1^2 -4*1*3 = 1 - 12 < 0` 

Funkcja jest stale dodania a więc dziedziną są wszystkie liczby rzeczywiste:

`D = R` 

 

Miejsca zerowe:

`x^2-7x+12 = 0` 

`x^2 - 3x - 4x + 12 =0` 

`x(x-3)-4(x-3)=0` 

`(x-3)(x-4)=0` 

`x_1 = 3 \ \ vv \ \ x_2 = 4` 

Miejscami zerowymi są liczby:

`3 \ , \ 4` 

Funkcja g przyporządkowuje...

`a) \ 10, 11, 12, ... , 19` 

Liczb w których cyfra dziesiątek wynosi 1 jest 10.

Żeby liczba była dwucyfrowa to na miejscu dziesiątek mogą być następujące cyfry:

`{1,2,3,4,5,6,7,8,9}` 

I dla każdej z tych cyfr jest 10 liczb dwucyfrowych a więc razem jest ich 90.

 

b) Wyznaczmy najmniejszą i największą wartość funkcji, wszystkie liczby naturalne znajdujące się pomiędzy nimi również będą należeć do zbioru wartości funkcji.

Najmniejsza wartość funkcji:

`g(10) = 1+0 = 1`  

`g(99) = 9+9=18` 

`Z_w = {1,2,...,18}` 

 

c) Tak jak wyliczyliśmy w poprzednim przykładzie, najmniejszą wartość równą 1 przyjmuje dla argumentu 10 natomiast największą równą 18 przyjmuje dla argumentu 99.

 

d) Zauważmy, że jeżeli cyfra dziesiątek wynosi 1 to dla argumentów:

`10, 11, 12, ..., 19` 

Wartość cały czas rośnie, natomiast gdy cyfra dziesiątek zmienia się na 2 to pierwszym argumentem jest 20, zatem wartości dla argumentów 19 i 20 wynoszą

`g(19) = 1 + 9 = 10`  

`g(20)= 2 + 0 = 2` 

A więc dla pierwszych 10 argumentów wartość rośnie a dla kolejnego maleje, zatem funkcja nie jest monotoniczna.

 

e) Wyznaczmy liczby dwucyfrowe, których suma cyfr jest równa 4:

`13, 22, 31, 40` 

 

Dane sa funkcje...

Pamiętajmy, że wyrażenie w mianowniku musi być różne od 0 zatem:

`x+4 ne 0` 

`x ne -4` 

Dziedzina:

`D_f = R \ \\ \ {-4}` 

 

`f(x) = (16-x^2)/(x+4) = ((4-x)(4+x))/(x+4) = 4 - x` 

 

Miejscem zerowym funkcji g jest liczba 4.

Odczytaj z wykresu funkcji h...

Wszystkie argumenty, dla których wartość jest większa od 0 będą należeć do zbioru rozwiązań.

`h(x) > 0 \ \ "dla" \ x in [-4, -3) \cup (0,5)` 

Połącz w pary wyrażenia równe

`A:\ \ 3y(x+y)-3x(x+y)=3xy+3y^2-3x^2-3xy=` `3y^2-3x^2` 

 `A\ +\ III` 

 

 

`B:\ \ \ 3x(x-y)+3y(x+y)=3x^2-3xy+3xy+3y^2=` `3x^2+3y^2` 

`B\ +\ I` 

 

 

`C:\ \ \ 3(x-y)(x+y)=(3x-3y)(x+y)=3x(x+y)-3y(x+y)=3x^2+3xy-3xy-3y^2=3x^2-3y^2` 

`C\ +\ II`