Wykres funkcji wykładniczej - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Wykres funkcji wykładniczej

W tym temacie poznamy kolejny typ wykresu. Czym jest funkcja wykładnicza? Jest to funkcja, w której nasz x robi za potęgę np.

$$y=2^x$$

Opowiedzmy sobie trochę o samej funkcji.

Przede wszystkim ograniczenia:

Funkcja wykładnicza nie przyjmuje wartości ujemnych, tak samo podstawa potęgi nie może być ani zerem ani liczbą ujemną.

W tym dziale nauczymy się tylko rysowania takiej funkcji i kilku własności z tego wynikających.

Funkcję tę rysujemy trochę inaczej niż liniową, potrzebujemy więcej punktów.

Weźmy naszą przykładową:

$$y=2^x$$

Zróbmy tabelkę jak dla funkcji liniowej:

tab1

Zaznaczmy te punkty na układzie współrzędnych:

wyk1

I narysujmy gotowy wykres:

wyk2

Jak widać linia na dole nie ma zamiaru przeciąć osi X.

W tym przypadku jest to funkcja rosnąca, ale nie zawsze tak jest.

Funkcja wykładnicza wygląda bardzo podobnie dla podstaw $$a > 1$$ i dla $$a < 1$$, jedyna różnica to w którą stronę (w lewo czy w prawo) rośnie, w zależności od a.

Zajmijmy się szczególnym przypadkiem kiedy funkcja przyjmuje wartości stałe:

$$y=1^x$$

Oczywiście tabelka:

tab2

Wykres to po prostu prosta równoległa do osi X:

wyk3

Ostatni przypadek to $$a < 1$$.

Pamiętamy, że a musi być zawsze dodatnie.

Przykład:

$$y=(1/2)^x$$

I ponownie tabelka:

tab3

Jak widzimy jest to funkcja odwrotna do $$2^x$$.

Narysujmy:

wyk4
 

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Narysuj wykres funkcji $$y=3^x$$. Wyznacz jej dziedzinę, zbiór wartości i monotoniczność.

Zaczynamy od narysowania wykresu, posłużymy się tabelką:

zad11

I rysujemy:

zad12

Teraz dziedzina, zgodnie z tym co pamiętamy:

$$D=R$$

Zbiór wartości:

$$Y=(0;+∞)$$

Monotoniczność:

Funkcja jest rosnąca dla wszystkich liczb rzeczywistych.  

Zadanie 2.

Narysuj wykres funkcji $$y={(1/2)}^(x+1)-1$$.

Jak widać mamy tutaj przesunięcie.

Zaczynamy od narysowania funkcji bazowej, czyli:

$$y=(1/2)^x$$

zad21

Mamy też wykres:

zad22

Pozostaje nam przesunąć go zgodnie z wzorem: o 1 w lewo i o 1 w dół, pamiętamy o zaznaczeniu asymptoty, czyli linii, do której "przykleja się" nasz wykres, ale której nigdy nie przecina:

zad23

Po co rysujemy asymptotę? Bez niej jeśli nasz wykres przekroczy -1 zadanie może zostać nie zaliczone, a zawsze może nam się wymsknąć przypadkowo.  

Spis treści

Rozwiązane zadania
Dana jest funkcja...

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne  

rownanie matematyczne 

 

Skoro funkcja ma dwa miejsca zerowe różnych znaków to:

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

A więc skoro c jest ujemne to b jest dowolne.

rownanie matematyczne 

Odpowiedź C

Proste BD, CE i ST są równoległe ...

rownanie matematyczne 

 `|DE|=x` 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne `4*3=6z\ \ \ =>\ \ \ z=12/6=2` 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne       

Zapisz w postaci sumy algebraicznej

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

Przekątne trapezu równoramiennego przecinają ...

 

Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku.

Trapez jest równoramienny, więc trójkąt ABP jest równoramienny.

Kąty przy podstawie AB trójkąta ABP oznaczamy jako α. Obliczamy miare α:

rownanie matematyczne 

Przekątne trapezu są także dwusiecznymi kątów przy podstawie AB. Stąd:

rownanie matematyczne 

kąt przy podstawie trapezu oznaczmy jako ß, jest on równy dwóm kątom α.

rownanie matematyczne 

W trójkącie ABC miary dwóch kątów wynoszą 30o oraz 60o, więc miara trzeciego kąta to 90o. Trójkąt ten jest więc trójkątem prostokątnym.

Korzystając z własnosci w trójkącie o kątach 30o, 60o oraz 90mamy:

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne   

rownanie matematyczne  

Dłuższa podstawa AB ma 12 cm.

 

W trapezie równoramiennym suma miar kątów przy ramieniu wynosi 90o. Stąd:

rownanie matematyczne 

Trójkąt ACD jest więc trójkątem równoramiennym (miary kątów przy podstawie AC są równe). Stąd:

rownanie matematyczne 

Krótsza podstawa DC ma 6 cm.

 

Aby obliczyć pole trapezu musimy znać długość wysokości, czyli odcinka DE.

Wysokości poprowadzone na dłuższą podstawę dzielą ją na trzy odcinki:

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne 

Zauważmy, że trójkąt EBD jest trójkątem prostokątnym.

Wyznaczmy dlugość odcinka EB:

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

  Miary kątów w trójkącie EBD wynoszą 90o, 60o oraz 30o. Z własności trójkąta o takich kątach mamy:

rownanie matematyczne

 rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

 

Obliczamy pole trapezu:

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

 

Odp: Pole trapezu jest równe 273 cm2.

Dana jest funkcja f(x)=sgn x ...

rownanie matematyczne  

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

Oblicz błąd bezwzględny

Należy pamiętać, że aby liczyć błąd bezwgzlędny i błąd względny, wielkości a oraz x należy podać w jednakowych jednostkach. 

 

 

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

 

 

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

 

 

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

 

 

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

 

Wykaż prawdziwość podanego wzoru

Dla n=5 wzór jest postaci: 

rownanie matematyczne

 

Aby udowodnić wzór rozpiszemy {premium}lewą stronę równości i w ten sposób dojdziemy do jej lewej strony:

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

 

W sklepie z obuwiem

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

 

 

Wiemy, że po dwóch obniżkach buty kosztowały 192 zł:

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

Oblicz...

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne  

Oblicz:

rownanie matematyczne 

 

rownanie matematyczne 

 

rownanie matematyczne 

 

rownanie matematyczne 

 

rownanie matematyczne 

 

rownanie matematyczne 

 

rownanie matematyczne 

 

rownanie matematyczne