Wykres funkcji wykładniczej - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Wykres funkcji wykładniczej

W tym temacie poznamy kolejny typ wykresu. Czym jest funkcja wykładnicza? Jest to funkcja, w której nasz x robi za potęgę np.

$$y=2^x$$

Opowiedzmy sobie trochę o samej funkcji.

Przede wszystkim ograniczenia:

Funkcja wykładnicza nie przyjmuje wartości ujemnych, tak samo podstawa potęgi nie może być ani zerem ani liczbą ujemną.

W tym dziale nauczymy się tylko rysowania takiej funkcji i kilku własności z tego wynikających.

Funkcję tę rysujemy trochę inaczej niż liniową, potrzebujemy więcej punktów.

Weźmy naszą przykładową:

$$y=2^x$$

Zróbmy tabelkę jak dla funkcji liniowej:

tab1

Zaznaczmy te punkty na układzie współrzędnych:

wyk1

I narysujmy gotowy wykres:

wyk2

Jak widać linia na dole nie ma zamiaru przeciąć osi X.

W tym przypadku jest to funkcja rosnąca, ale nie zawsze tak jest.

Funkcja wykładnicza wygląda bardzo podobnie dla podstaw $$a > 1$$ i dla $$a < 1$$, jedyna różnica to w którą stronę (w lewo czy w prawo) rośnie, w zależności od a.

Zajmijmy się szczególnym przypadkiem kiedy funkcja przyjmuje wartości stałe:

$$y=1^x$$

Oczywiście tabelka:

tab2

Wykres to po prostu prosta równoległa do osi X:

wyk3

Ostatni przypadek to $$a < 1$$.

Pamiętamy, że a musi być zawsze dodatnie.

Przykład:

$$y=(1/2)^x$$

I ponownie tabelka:

tab3

Jak widzimy jest to funkcja odwrotna do $$2^x$$.

Narysujmy:

wyk4
 

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Narysuj wykres funkcji $$y=3^x$$. Wyznacz jej dziedzinę, zbiór wartości i monotoniczność.

Zaczynamy od narysowania wykresu, posłużymy się tabelką:

zad11

I rysujemy:

zad12

Teraz dziedzina, zgodnie z tym co pamiętamy:

$$D=R$$

Zbiór wartości:

$$Y=(0;+∞)$$

Monotoniczność:

Funkcja jest rosnąca dla wszystkich liczb rzeczywistych.  

Zadanie 2.

Narysuj wykres funkcji $$y={(1/2)}^(x+1)-1$$.

Jak widać mamy tutaj przesunięcie.

Zaczynamy od narysowania funkcji bazowej, czyli:

$$y=(1/2)^x$$

zad21

Mamy też wykres:

zad22

Pozostaje nam przesunąć go zgodnie z wzorem: o 1 w lewo i o 1 w dół, pamiętamy o zaznaczeniu asymptoty, czyli linii, do której "przykleja się" nasz wykres, ale której nigdy nie przecina:

zad23

Po co rysujemy asymptotę? Bez niej jeśli nasz wykres przekroczy -1 zadanie może zostać nie zaliczone, a zawsze może nam się wymsknąć przypadkowo.  

Spis treści

Rozwiązane zadania
Oblicz błąd bezwzględny

 

     

 

    

   

 

 

 
       
       
       

 

Rozwiąż równanie

{premium}

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

    

Obwód trójkąta ABC wynosi 27 cm...

Skorzystamy z następującego twierdzenia:

Jeśli w trójkącie połączymy środki dwóch boków, to powstały odcinek jest równoległy do trzeciego boku

i jego długość jest równa połowie długości trzeciego boku.


Rysunek pomocniczy:

Thumb zad5.19str115


Mamy dane:

 obwód trójkąta  {premium}


Z powyższego twierdzenia wynika, że obwód trójkąta  będzie równy połowie

obwodu trójkąta  

Stąd:

 


Odp. Obwód trójkąta  jest równy  

Rozwiąż równanie, korzystając ze wzoru ...

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  

 

 

 

 

 

 

 

 

        

Oblicz. Wynik zapisz w notacji

   

Naszkicuj wykres dowolnej funkcji...

a) Wykres:

 

b) Wykres:

 

Funkcje fg mają takie samo miejsce zerowe.

 

Funkcje fh przecinają się w tym samym punkcie z osią y.

 

Wszystkie funkcje mają taką samą dziedzinę i zbiór wartości.

W ankiecie przeprowadzonej wśród 400 uczniów

Policzmy, ilu uczniów nie lubi matematyki:

 

A teraz policzmy, ilu uczniów{premium} nie lubi biologii:

 

 

Wiemy, że 20 uczniów nie lubi ani matematyki, ani biologii. 

Jeśli dodalibyśmy liczbę uczniów, którzy nie lubią matematyki do liczby uczniów, którzy nie lubią biologii, to uczniowie, którzy nie lubią żadnego z tych przedmiotów są liczeni podwójnie. 

Dlatego, aby obliczyć, ile osób nie lubi matematyki lub biologii dodajemy dwie pierwsze obliczone liczby i odejmujemy od nich 20:

 

Tylu uczniów nie lubi przynajmniej jednego z tych przedmiotów, więc możemy obliczyć, ilu uczniów lubi oba te przedmioty:

Narysuj obraz ...

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

   

 

 

 

  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Rozwiąż nierówność

 

{premium}

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  

 

Dwie ciężarówki przewożące piasek wykonały łącznie

`{(x+y=13\ \ \ \ |-x), (15x+8y=132):}`{premium}