Wykres funkcji wykładniczej - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Wykres funkcji wykładniczej

W tym temacie poznamy kolejny typ wykresu. Czym jest funkcja wykładnicza? Jest to funkcja, w której nasz x robi za potęgę np.

$$y=2^x$$

Opowiedzmy sobie trochę o samej funkcji.

Przede wszystkim ograniczenia:

Funkcja wykładnicza nie przyjmuje wartości ujemnych, tak samo podstawa potęgi nie może być ani zerem ani liczbą ujemną.

W tym dziale nauczymy się tylko rysowania takiej funkcji i kilku własności z tego wynikających.

Funkcję tę rysujemy trochę inaczej niż liniową, potrzebujemy więcej punktów.

Weźmy naszą przykładową:

$$y=2^x$$

Zróbmy tabelkę jak dla funkcji liniowej:

tab1

Zaznaczmy te punkty na układzie współrzędnych:

wyk1

I narysujmy gotowy wykres:

wyk2

Jak widać linia na dole nie ma zamiaru przeciąć osi X.

W tym przypadku jest to funkcja rosnąca, ale nie zawsze tak jest.

Funkcja wykładnicza wygląda bardzo podobnie dla podstaw $$a > 1$$ i dla $$a < 1$$, jedyna różnica to w którą stronę (w lewo czy w prawo) rośnie, w zależności od a.

Zajmijmy się szczególnym przypadkiem kiedy funkcja przyjmuje wartości stałe:

$$y=1^x$$

Oczywiście tabelka:

tab2

Wykres to po prostu prosta równoległa do osi X:

wyk3

Ostatni przypadek to $$a < 1$$.

Pamiętamy, że a musi być zawsze dodatnie.

Przykład:

$$y=(1/2)^x$$

I ponownie tabelka:

tab3

Jak widzimy jest to funkcja odwrotna do $$2^x$$.

Narysujmy:

wyk4
 

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Narysuj wykres funkcji $$y=3^x$$. Wyznacz jej dziedzinę, zbiór wartości i monotoniczność.

Zaczynamy od narysowania wykresu, posłużymy się tabelką:

zad11

I rysujemy:

zad12

Teraz dziedzina, zgodnie z tym co pamiętamy:

$$D=R$$

Zbiór wartości:

$$Y=(0;+∞)$$

Monotoniczność:

Funkcja jest rosnąca dla wszystkich liczb rzeczywistych.  

Zadanie 2.

Narysuj wykres funkcji $$y={(1/2)}^(x+1)-1$$.

Jak widać mamy tutaj przesunięcie.

Zaczynamy od narysowania funkcji bazowej, czyli:

$$y=(1/2)^x$$

zad21

Mamy też wykres:

zad22

Pozostaje nam przesunąć go zgodnie z wzorem: o 1 w lewo i o 1 w dół, pamiętamy o zaznaczeniu asymptoty, czyli linii, do której "przykleja się" nasz wykres, ale której nigdy nie przecina:

zad23

Po co rysujemy asymptotę? Bez niej jeśli nasz wykres przekroczy -1 zadanie może zostać nie zaliczone, a zawsze może nam się wymsknąć przypadkowo.  

Spis treści

Rozwiązane zadania
Oblicz bez korzystania z tablic...

 

 

Przekształćmy pomocniczo poszczególne wyrażenia by nie przepisywać wszystkiego ciągle.

 

 

 

 

 

Dana jest prosta k o równaniu...

Prosta  może być dana równaniem:

 

Czyli mamy:

 

 

Wyznacz część wspólną ...

 

 

 

 

 

 

 

  

Rozwiąż nierówność

Należy pamiętać, że jeśli mnożymy lub dzielimy nierówność przez liczbę ujemną, to należy zmienić kierunek nierówności. 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Naszkicuj wykres funkcji, która spełnia jednocześnie następujące warunki:

Przykładowy wykres:{premium}

Rząd planuje podwyżkę podatku VAT na pewne

Cena produktu podwyższona o 23% ( o podatek) stanowi 123% ceny początkowej. Układamy proporcję, aby dowiedzieć się ile procent ceny początkowej stanowi cena podwyższona o inny podatek.

 

     

Jeśli dotychczasowy podatek wynosił 23%, to nowy podatek jest większy o 2 punkty procentowe

Każdy ułamek postaci ...

Chcemy przedstawić w danej postaci ułamek 2/37.

 

Obliczmy x:

 

Obliczmy y:

 

Możemy zapisać:

 

Przeczytaj informację w ramce

Interpretacja geometryczna wartości bezwzględnej to odległość od 0 na osi liczbowej. 

 

Musimy zaznaczyć liczby, których odległość od 0 jest mniejsza niż 8. 

{premium}

 

Musimy zaznaczyć liczby, których odległość od 0 jest mniejsza lub równa 4. 

 

 

Musimy zaznaczyć liczby, których odległość od 0 jest większa niż 3. 

 

Musimy zaznaczyć liczby, których odległość od 0 jest większa lub równa od 1/2. 




 

Uzupełnij tabelę wartości

Najpierw obliczymy wartości funkcji dla podanych argumentów, potem wpiszemy je do tabelki. 

 

 

 

 

 

Rozwiąż ukłąd równań

{premium}

Podstawiamy do drugiego równania ostatniego układu: :

 

 

 

Warunek jest spełniony.

 

 

 

 

Podstawiamy do drugiego równania przedostatniego układu:  

 

 

 

Warunek jest spełniony

  

 

``