Wykres funkcji wykładniczej - matura-podstawowa - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Wykres funkcji wykładniczej - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Wykres funkcji wykładniczej

W tym temacie poznamy kolejny typ wykresu. Czym jest funkcja wykładnicza? Jest to funkcja, w której nasz x robi za potęgę np.

$y=2^x$

Opowiedzmy sobie trochę o samej funkcji.

Przede wszystkim ograniczenia:

Funkcja wykładnicza nie przyjmuje wartości ujemnych, tak samo podstawa potęgi nie może być ani zerem ani liczbą ujemną.

W tym dziale nauczymy się tylko rysowania takiej funkcji i kilku własności z tego wynikających.

Funkcję tę rysujemy trochę inaczej niż liniową, potrzebujemy więcej punktów.

Weźmy naszą przykładową:

$y=2^x$

Zróbmy tabelkę jak dla funkcji liniowej:

tab1

Zaznaczmy te punkty na układzie współrzędnych:

wyk1

I narysujmy gotowy wykres:

wyk2

Jak widać linia na dole nie ma zamiaru przeciąć osi X.

W tym przypadku jest to funkcja rosnąca, ale nie zawsze tak jest.

Funkcja wykładnicza wygląda bardzo podobnie dla podstaw $a > 1$ i dla $a < 1$, jedyna różnica to w którą stronę (w lewo czy w prawo) rośnie, w zależności od a.

Zajmijmy się szczególnym przypadkiem kiedy funkcja przyjmuje wartości stałe:

$y=1^x$

Oczywiście tabelka:

tab2

Wykres to po prostu prosta równoległa do osi X:

wyk3

Ostatni przypadek to $a < 1$.

Pamiętamy, że a musi być zawsze dodatnie.

Przykład:

$y=(1/2)^x$

I ponownie tabelka:

tab3

Jak widzimy jest to funkcja odwrotna do $2^x$.

Narysujmy:

wyk4
 

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Narysuj wykres funkcji $y=3^x$. Wyznacz jej dziedzinę, zbiór wartości i monotoniczność.

Zaczynamy od narysowania wykresu, posłużymy się tabelką:

zad11

I rysujemy:

zad12

Teraz dziedzina, zgodnie z tym co pamiętamy:

$D=R$

Zbiór wartości:

$Y=(0;+∞)$

Monotoniczność:

Funkcja jest rosnąca dla wszystkich liczb rzeczywistych.  

Zadanie 2.

Narysuj wykres funkcji $y={(1/2)}^(x+1)-1$.

Jak widać mamy tutaj przesunięcie.

Zaczynamy od narysowania funkcji bazowej, czyli:

$y=(1/2)^x$

zad21

Mamy też wykres:

zad22

Pozostaje nam przesunąć go zgodnie z wzorem: o 1 w lewo i o 1 w dół, pamiętamy o zaznaczeniu asymptoty, czyli linii, do której "przykleja się" nasz wykres, ale której nigdy nie przecina:

zad23

Po co rysujemy asymptotę? Bez niej jeśli nasz wykres przekroczy -1 zadanie może zostać nie zaliczone, a zawsze może nam się wymsknąć przypadkowo.  

Spis treści

Rozwiązane zadania
Wyznacz dziedzinę funkcji f, jeśli:

a) Nie możemy dzielić przez zero, więc mianownik ułamka musi być liczbą różną od zera:{premium}

 

 

Stąd:

 


b) Nie możemy dzielić przez zero, więc mianownik ułamka musi być liczbą różną od zera:

 

 

Łatwo zauważyć, że kwadrat dowolnej liczby jest liczbą nieujemną. 

Stąd:

  


c) Nie możemy dzielić przez zero, więc mianownik ułamka musi być liczbą różną od zera:

 

 

 

Stąd:

 


d) Nie możemy dzielić przez zero, więc mianownik ułamka musi być liczbą różną od zera:

 

 

 

 

 

Stąd:

 


e) Nie możemy dzielić przez zero, więc mianownik ułamka musi być liczbą różną od zera:

 

 

 

Stąd:

 


f) Nie możemy dzielić przez zero, więc mianownik ułamka musi być liczbą różną od zera:

 

 

 

Łatwo zauważyć, że kwadrat dowolnej liczby jest liczbą nieujemną. 

Stąd:

  

 

 

Zapisz liczby w postaci ułamków zwykłych nieskracalnych:

Przypomnijmy, że aby zapisać ułamek w postaci nieskracalnej, należy podzielić licznik i mianownik ułamka

przez największy wspólny dzielnik licznika i mianownika.


 licznik i mianownik ułamka skróciliśmy przez  

 licznik i mianownik ułamka skróciliśmy przez  {premium}

 licznik i mianownik ułamka skróciliśmy przez  

 licznik i mianownik ułamka skróciliśmy przez  

 licznik i mianownik ułamka skróciliśmy przez  

 licznik i mianownik ułamka skróciliśmy przez  

Zapisz, nie używając symbolu...

 

zatem:       {premium}

 


 

zatem:

 


 

zatem:

 


 

zatem:

 


 

zatem:

 


 

zatem:

 

Podaj przykład takiej liczby a ...

a) Przykład takiej liczby a to a=1, ponieważ: {premium}

 


b) Przykład takiej liczby a to a=1, ponieważ:

 


c) Przykład takiej liczby a to a=6, ponieważ:

 


d) Przykład takiej liczby a to a=4, ponieważ:

 

Rysunek przedstawia tabelkę ...

 

Zatem otrzymujemy:

    {premium}

 

 

 

 

 

 

 

 

Obliczmy k+d.

 

Która z liczb √(2-√5)²-√ (2+√5)², √(2-√5)²

Skorzystamy ze wzoru:

{premium}

Przekształcona powyżej liczba jest liczbą całkowitą.

 

Przekształcona powyżej liczba nie jest liczbą całkowitą.

Rozwiąż nierówność. Czy jest ona spełniona przez liczbę p?

 

{premium}

 

 

 

 

 

 

 

Rozwiąż nierówność.

 

Obliczamy miejsca zerowe trójmianu po lewej stronie nierówności:

 

 

 

Pierwiastki trójmianu zaznaczamy na osi X. Współczynnik przy x2 jest ujemny, więc szkicujemy parabolę o ramionach skierowanych do dołu, przechodzącą przez zaznaczone punkty.

Z wykresu odczytujemy zbiór rozwiązań nierówności:{premium}

 


 

Obliczamy miejsca zerowe trójmianu po lewej stronie nierówności:

 

 

 

Pierwiastki trójmianu zaznaczamy na osi X. Współczynnik przy x2 jest dodatni, więc szkicujemy parabolę o ramionach skierowanych do góry, przechodzącą przez zaznaczone punkty.

Z wykresu odczytujemy zbiór rozwiązań nierówności:

 


 

Obliczamy miejsca zerowe trójmianu po lewej stronie nierówności:

 

 

Pierwiastek trójmianu zaznaczamy na osi X. Współczynnik przy x2 jest dodatni, więc szkicujemy parabolę o ramionach skierowanych do góry.

Z wykresu odczytujemy zbiór rozwiązań nierówności:

 


 

Obliczamy miejsca zerowe trójmianu po lewej stronie nierówności:

 

 

 

Pierwiastki trójmianu zaznaczamy na osi X. Współczynnik przy x2 jest dodatni, więc szkicujemy parabolę o ramionach skierowanych do góry, przechodzącą przez zaznaczone punkty.

Z wykresu odczytujemy zbiór rozwiązań nierówności:

 


 

Obliczamy miejsca zerowe trójmianu po lewej stronie nierówności:

 

 

 

Pierwiastki trójmianu zaznaczamy na osi X. Współczynnik przy x2 jest ujemny, więc szkicujemy parabolę o ramionach skierowanych do dołu, przechodzącą przez zaznaczone punkty.

Z wykresu odczytujemy zbiór rozwiązań nierówności:

 


 

Obliczamy miejsca zerowe trójmianu po lewej stronie nierówności:

 

 

 

Pierwiastki trójmianu zaznaczamy na osi X. Współczynnik przy x2 jest dodatni, więc szkicujemy parabolę o ramionach skierowanych do góry, przechodzącą przez zaznaczone punkty.

Z wykresu odczytujemy zbiór rozwiązań nierówności:

 

Uwaga: Odpowiedź podana w zbiorze zawiera błąd - prawy koniec przedziału powinien być domknięty.


 

Obliczamy miejsca zerowe trójmianu po lewej stronie nierówności:

 

 

Pierwiastek trójmianu zaznaczamy na osi X. Współczynnik przy x2 jest ujemny, więc szkicujemy parabolę o ramionach skierowanych do dołu.

Z wykresu odczytujemy zbiór rozwiązań nierówności:

 


 

Obliczamy miejsca zerowe trójmianu po lewej stronie nierówności:

 

Δ<0, więc trójmian nie ma pierwiastków. Współczynnik przy x2 jest ujemny, więc ramiona paraboli są skierowane do dołu i parabola znajduje się pod osią X.

Z wykresu odczytujemy zbiór rozwiązań nierówności:

 

(nierówność nie ma rozwiązań)

Stosunek wieku wnuczka do wieku dziadka ...

Przyjmijmy następujące oznaczenia:

 - wiek wnuczka (w latach)

 - wiek dziadka (w latach)


Wiemy, że: {premium}

- stosunek wieku wnuczka do wieku dziadka wynosi 1 : 10

- za osiem lat dziadek i wnuczek będą mieli razem 82 lata


Możemy więc zapisać:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Obliczamy, w jakim wieku będzie wnuczek za trzynaście lat.

 


Za trzynaście lat wnuczek będzie miał 19 lat.

Wykaż, że jeśli liczby rzeczywiste a, b, c spełniają...

Założenia:

 gdzie  


Teza:

 


Dowód (wprost):{premium}

 


Szacując, że  oraz  otrzymaliśmy, że  co należało dowieść.