Wykres funkcji wykładniczej - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Wykres funkcji wykładniczej

W tym temacie poznamy kolejny typ wykresu. Czym jest funkcja wykładnicza? Jest to funkcja, w której nasz x robi za potęgę np.

$$y=2^x$$

Opowiedzmy sobie trochę o samej funkcji.

Przede wszystkim ograniczenia:

Funkcja wykładnicza nie przyjmuje wartości ujemnych, tak samo podstawa potęgi nie może być ani zerem ani liczbą ujemną.

W tym dziale nauczymy się tylko rysowania takiej funkcji i kilku własności z tego wynikających.

Funkcję tę rysujemy trochę inaczej niż liniową, potrzebujemy więcej punktów.

Weźmy naszą przykładową:

$$y=2^x$$

Zróbmy tabelkę jak dla funkcji liniowej:

tab1

Zaznaczmy te punkty na układzie współrzędnych:

wyk1

I narysujmy gotowy wykres:

wyk2

Jak widać linia na dole nie ma zamiaru przeciąć osi X.

W tym przypadku jest to funkcja rosnąca, ale nie zawsze tak jest.

Funkcja wykładnicza wygląda bardzo podobnie dla podstaw $$a > 1$$ i dla $$a < 1$$, jedyna różnica to w którą stronę (w lewo czy w prawo) rośnie, w zależności od a.

Zajmijmy się szczególnym przypadkiem kiedy funkcja przyjmuje wartości stałe:

$$y=1^x$$

Oczywiście tabelka:

tab2

Wykres to po prostu prosta równoległa do osi X:

wyk3

Ostatni przypadek to $$a < 1$$.

Pamiętamy, że a musi być zawsze dodatnie.

Przykład:

$$y=(1/2)^x$$

I ponownie tabelka:

tab3

Jak widzimy jest to funkcja odwrotna do $$2^x$$.

Narysujmy:

wyk4
 

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Narysuj wykres funkcji $$y=3^x$$. Wyznacz jej dziedzinę, zbiór wartości i monotoniczność.

Zaczynamy od narysowania wykresu, posłużymy się tabelką:

zad11

I rysujemy:

zad12

Teraz dziedzina, zgodnie z tym co pamiętamy:

$$D=R$$

Zbiór wartości:

$$Y=(0;+∞)$$

Monotoniczność:

Funkcja jest rosnąca dla wszystkich liczb rzeczywistych.  

Zadanie 2.

Narysuj wykres funkcji $$y={(1/2)}^(x+1)-1$$.

Jak widać mamy tutaj przesunięcie.

Zaczynamy od narysowania funkcji bazowej, czyli:

$$y=(1/2)^x$$

zad21

Mamy też wykres:

zad22

Pozostaje nam przesunąć go zgodnie z wzorem: o 1 w lewo i o 1 w dół, pamiętamy o zaznaczeniu asymptoty, czyli linii, do której "przykleja się" nasz wykres, ale której nigdy nie przecina:

zad23

Po co rysujemy asymptotę? Bez niej jeśli nasz wykres przekroczy -1 zadanie może zostać nie zaliczone, a zawsze może nam się wymsknąć przypadkowo.  

Spis treści

Rozwiązane zadania
Wierzchołek 70-metrowego komina elektrociepłowni...

`tg \ 8^o = 70/x` 

`x = 70/(tg \ 8^o) approx 70/(0,1405) approx 500 \ ["m"]` 

Z miejscowości A do oddalonej ...

`a)` 

`v=s/t` 

`s=t*v` 

`s_1-"odległość pierwszego rowerzysty od miejscowości A w zależności od czasu t"` 

`s_2-"odległość pierwszego rowerzysty od miejscowości A w zależności od czasu t"`  

`ul(s_1=16t`  

`ul(s_2= -16t+40`     

 

`b)` 

`x-"odległość między rowerzystami"` 

`|s_1-s_2|=|16t+16t-40|=|32t-40|` 

`t in [0;5/2]` 

 

`|32t-40|=8` 

`32t-40=8\ \ \vv\ \ \32t-40=-8` 

`32t=48\ \ \vv\ \ \32t=32` 

`t=3/2\ \ \vv\ \ \t=1` 

Odległość między rowerzystami będzie równa 8 km po 1h podróży oraz po 1,5h podróży.  

Proste y=x-2 i y=-1/2x+4 przecinają się

Wiemy, że wykres funkcji liniowej y=ax+b przecina oś OY w punkcie (0, b). 

Pierwsza prosta przetnie oś OY w punkcie (0, -2), przechodzi też przez punkt (4, 2). 

Druga prosta przetnie oś OY w punkcie (0, 4), przechodzi też przez punkt (4, 2). 

Zaznaczamy te punkty i rysujemy wykresy, zaznaczamy trójkąt, którego pole mamy obliczyć: 

 

 

Podstawa trójkąta ma długość 6 (od -2 do 4 na osi OY). Wysokość trójkąta ma długość 4 (od 0 do 4 na osi poziomej). 

`P_(Delta)=1/strike2^1*strike6^3*4=12`

Oblicz wartość wyrażenia dla x=-3/4

a)

`(2x^2-4y)/(15xy)=(2*(-3/4)^2-4*(1/3))/(15*(-(strike3)/4)*1/(strike3))=(strike2*9/(strike16)-4/3)/(15*(-1/4)*1/1)=(9/8-4/3)/(-15/4)= (27/24-32/24)/(-15/4)= (-5/24)/(-15/4)=(strike5)/(strike24)*(strike4)/(strike15)= 1/6*1/3= 1/18`

b)

`(15xy-2x^2)/(3y^2)= (15*(-3/4)*1/3-2*(-3/4)^2)/(3*(1/3)^2)=(-(strike45)/4*1/(strike3)-strike2*9/(strike16))/((strike3)*1/(strike9))= (-15/4*1/1-9/8)/(1/3)=(-15/4-9/8)/(1/3)=(-30/8-9/8)/(1/3)=-39/8 *3=-117/8` 

c)

`(2x+7y-xy)/(8x^2)=(2*(-3/4)+7*1/3-(-3/4)*1/3)/(8*(-3/4)^2)= ((-6/4)+7/3+(strike3)/4*1/(strike3))/(strike8*9/(strike16))=(-18/12+28/12+1/4)/(9/2)=(10/12+3/12)/(9/2)=13/(strike12)*(strike2)/9=13/6*1/9=13/54 `

Wyznacz:

`a)` 

`y=-3x^2+2x-4` 

`p=(-b)/(2a)=-2/-6=1/3` 

`q=f(p)=-3*1/9+2*1/3-4=-1/3+2/3-12/3=-11/3` 

`W=(p;q)=(1/3;-11/3)` 

 

`b)` 

`f(x)=4x^2+x-2` 

`p=-1/8` 

`q=f(p)=4*1/64-1/8-32/16=1/16-2/16-32/16=-33/16` 

`a=4>0` 

`ZW_(f)=[-33/16;+oo)`       

Rozwiąż nierówność

 

Dane są zbiory A=(-∞,5),B=<a,9) i A\B=(-∞,-1).

a) Sporządzamy rysunek pomocniczy:

Na podstawie rysunku można stwierdzić, że: `B=<<-1,9)`

Dane są proste ...

`k:y=(2m-1)x-3` 

`l:y=(2m+1)x+1` 

 

`(2m-1)*(2m+1)=-1`   

`4m^2-1=-1` 

`4m^2=0` 

`ul(m=0`  

`"Dla powyższego m proste k i l są prostopadłe. (Odpowiedź C.)"`  

W pewnym mieście działają trzy salony fryzjerskie

`ul(ul("rok 2006"))`

Wiemy, że salony odwiedziło łącznie 600 klientów, więc możemy obliczyć, ilu klientów miał każdy z podanych salonów. 

`"salon X:"\ \ \ 45%*600=45/100*600=9/strike20^1*strike600^30=270`

`"salon Y:"\ \ \ 35%*600=35/100*600=7/strike20^1*strike600^30=210`

`"salon Z:"\ \ \ 20%*600=0,2*600=120`

 

 

`ul(ul("rok 2007"))`

Wiemy, że łączna liczba klientów była o 20% wyższa niż w roku 2006. Obliczmy, jaka była łączna liczba klientów w roku 2007: 

`1,2*600=720`

 

Wiemy, że udział w rynku firmy Y wzrósł o 5 punktów procentowych, więc był równy 35%+5%=40%. Udział firmy Z pozostał bez zmian i nadal wynosił 20%. Udział firmy X musiał więc wynosić 100%-40%-20%=40%. Obliczamy, ile klientów odwiedziło poszczególne salony w 2007 roku: 

`"salon X:"\ \ \ 40%*720=0,4*720=288`

`"salon Y:"\ \ \ 40%*720=288`

`"salon Z:"\ \ \ 20%*720=0,2*720=144`

Znajdź pięć różnych ułamków zwykłych, które

Przekształćmy te ułamki:

`11/17=22/34=44/68=88/136`

`12/17=24/34=48/68=96/136`

I w ten sposób można by przekształcać te ułamki w nieskończoność i znaleźć nieskończoność liczb spełniających podany w zadaniu warunek:

`11/17<n<12/17`

`n={89/136,90/136,91/136,92/136,93/136}`