Wykres funkcji wykładniczej - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Wykres funkcji wykładniczej

W tym temacie poznamy kolejny typ wykresu. Czym jest funkcja wykładnicza? Jest to funkcja, w której nasz x robi za potęgę np.

$$y=2^x$$

Opowiedzmy sobie trochę o samej funkcji.

Przede wszystkim ograniczenia:

Funkcja wykładnicza nie przyjmuje wartości ujemnych, tak samo podstawa potęgi nie może być ani zerem ani liczbą ujemną.

W tym dziale nauczymy się tylko rysowania takiej funkcji i kilku własności z tego wynikających.

Funkcję tę rysujemy trochę inaczej niż liniową, potrzebujemy więcej punktów.

Weźmy naszą przykładową:

$$y=2^x$$

Zróbmy tabelkę jak dla funkcji liniowej:

tab1

Zaznaczmy te punkty na układzie współrzędnych:

wyk1

I narysujmy gotowy wykres:

wyk2

Jak widać linia na dole nie ma zamiaru przeciąć osi X.

W tym przypadku jest to funkcja rosnąca, ale nie zawsze tak jest.

Funkcja wykładnicza wygląda bardzo podobnie dla podstaw $$a > 1$$ i dla $$a < 1$$, jedyna różnica to w którą stronę (w lewo czy w prawo) rośnie, w zależności od a.

Zajmijmy się szczególnym przypadkiem kiedy funkcja przyjmuje wartości stałe:

$$y=1^x$$

Oczywiście tabelka:

tab2

Wykres to po prostu prosta równoległa do osi X:

wyk3

Ostatni przypadek to $$a < 1$$.

Pamiętamy, że a musi być zawsze dodatnie.

Przykład:

$$y=(1/2)^x$$

I ponownie tabelka:

tab3

Jak widzimy jest to funkcja odwrotna do $$2^x$$.

Narysujmy:

wyk4
 

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Narysuj wykres funkcji $$y=3^x$$. Wyznacz jej dziedzinę, zbiór wartości i monotoniczność.

Zaczynamy od narysowania wykresu, posłużymy się tabelką:

zad11

I rysujemy:

zad12

Teraz dziedzina, zgodnie z tym co pamiętamy:

$$D=R$$

Zbiór wartości:

$$Y=(0;+∞)$$

Monotoniczność:

Funkcja jest rosnąca dla wszystkich liczb rzeczywistych.  

Zadanie 2.

Narysuj wykres funkcji $$y={(1/2)}^(x+1)-1$$.

Jak widać mamy tutaj przesunięcie.

Zaczynamy od narysowania funkcji bazowej, czyli:

$$y=(1/2)^x$$

zad21

Mamy też wykres:

zad22

Pozostaje nam przesunąć go zgodnie z wzorem: o 1 w lewo i o 1 w dół, pamiętamy o zaznaczeniu asymptoty, czyli linii, do której "przykleja się" nasz wykres, ale której nigdy nie przecina:

zad23

Po co rysujemy asymptotę? Bez niej jeśli nasz wykres przekroczy -1 zadanie może zostać nie zaliczone, a zawsze może nam się wymsknąć przypadkowo.  

Spis treści

Rozwiązane zadania
Określ dziedzinę funkcji

`b)` 

`x-2ne0\ \ \ |+2` 

`xne2` 

 

`D_f\ =RR\\{2}` 

 

 

`c)` 

`x+3ne0\ \ \ |-3` 

`xne-3` 

 

`D_f\ =RR\\{-3}` 

 

 

`d)` 

`2x-6ne0\ \ \ |+6` 

`2xne6\ \ \ |:2` 

 

 

`D_f\ =RR\\{3}` 

 

 

`e)` 

`3x+1ne0\ \ \ |-1` 

`3xne-1\ \ \ \|:3` 

`xne-1/3` 

 

`D_f\ =RR\\{-1/3}` 

 

 

`f)` 

` ` `0,5x+2ne0\ \ \ |-2` 

`0,5xne-2\ \ \ |*2` 

`xne-4` 

 

`D_f\ =RR\\{-4}` 

 

 

Oblicz odległość między liczbami:

`a) \ |2 -(-12)| = |2 + 12| = |14| = 14` 

 

`b) \ |-5 -24| = |-29| = 29` 

 

`c) \ |-4,3 - 2,8| = |-7,1| = 7,1` 

 

`d) \ |-1+sqrt2 - sqrt2| = |-1| = 1` 

 

`e) \ | 4 - 1,6| = | 2,4| = 2,4` 

 

`f) \ |-7 -(-12)| = |-7 + 12|= |5|= 5` 

Naszkicuj wykres funkcji f, a następnie odczytaj z niego ...

`a)` 

 

`f(x)=-1` 

`x=-3\ \ \vee \ \ \x=5` 

 

`f(x)>=-1` 

`x in [-3;5]` 

 

`b)` 

`f(x)=-1` 

`x in (-infty;-1]` 

 

`f(x)>=-1` 

`x in (-infty;+infty)=RR` 

 

`c)`  

`f(x)=-1` 

`x=-2\ \ \vee \ \ \ x=1/2` 

 

`f(x)>=-1` 

`x in (-infty;-2] cup [1/2;+infty) ` 

 

`d)` 

`f(x)=-1` 

`x=-3` 

 

`f(x)>=-1` 

`x in [-3;+infty)` 

Czy prawdziwe jest poniższe zdanie?

a) Suma cyfr tej liczby wynosi 3+2+3+3+2+2=15, więc ta liczba jest podzielna przez 3 (bo 15 dzieli się przez 3)

 

b) Suma cyfr tej liczby wynosi 2+6+4+5=17, więc ta liczba nie dzieli się przez 3 (ponieważ 17 nie dzieli się przez 3). Jeśli nie dzieli się przez , to nie może dzielić się przez 15 (bo 15 to 3 razy 5)

Naszkicuj wykres funkcji f

Rysujemy wykres funkcji f:

 

 

`a)` 

Aby otrzymać wykres funkcji g należy przesunąć wykres funkcji f o 3 jednostki w dół wzdłuż osi OY. 

`y=f(x)\ \ \ #(->)^(vecu=[0;\ -3])\ \ \ y=g(x)` 

 

 

Aby otrzymać wykres funkcji h należy przesunąć wykres funkcji g o 2 jednostki w prawo wzdłuż osi OX. 

`y=f(x)\ \ \ #(->)^(vecu=[0;\ -3])\ \ \ y=g(x)\ \ \ #(->)^(vecv=[2;\ 0])\ \ \ y=h(x)` 

 

Aby otrzymać wykres funkcji k wystarczy odbić wykres funkcji h symetrycznie względem osi OX. 

`y=f(x)\ \ \ #(->)^(vecu=[0;\ -3])\ \ \ y=g(x)\ \ \ #(->)^(vecv=[2;\ 0])\ \ \ y=h(x)\ \ \ #(->)^(S_(OX))\ \ \ y=k(x)` 

 

 

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))` 

 

 

 

`b)` 

Aby otrzymać wykres funkcji g należy przesunąć wykres funkcji f o 3 jednostki w lewo wzdłuż osi OX. 

`y=f(x)\ \ \ #(->)^(vecu=[-3;\ 0])\ \ \ y=g(x)`

 

Aby otrzymać wykres funkcji h należy przesunąć wykres funkcji g o 1 jednostkę w górę wzdłuż osi OY.

`y=f(x)\ \ \ #(->)^(vecu=[-3;\ 0])\ \ \ y=g(x)\ \ \ \ #(->)^(vecv=[0;\ 1])\ \ \ y=h(x)` 

Aby otrzymać wykres funkcji k wystarczy odbić wykres funkcji h symetrycznie względem osi OX. 

`y=f(x)\ \ \ #(->)^(vecu=[-3;\ 0])\ \ \ y=g(x)\ \ \ \ #(->)^(vecv=[0;\ 1])\ \ \ y=h(x)\ \ \ #(->)^(S_(OX))\ \ \ y=k(x)` 

Znajdź wartości m i n, jeśli para liczb ...

Jeśli para (5, -3) jest rozwiązaniem układu równań, to możemy podstawić 5 w miejsce x oraz -3 w miejsce y. 

 

`{(4*m*5+10*n*(-3)=-20), (m*5-4*n*(-3)=73):}`

`{(20m-30n=-20\ \ \ |:10), (5m+12n=73):}`

`{(2m-3n=-2\ \ \ |*4), (5m+12n=73):}`

`{(8m-12n=-8), (5m+12n=73):}\ \ \ \ |+`

`13m=65\ \ \ \ |:13`

`m=5`

`{(m=5), (2*5-3n=-2):}`

`{(m=5), (10-3n=-2\ \ \ |-10):}`

`{(m=5), (-3n=-12\ \ \ |:(-3)):}`

`{(m=5), (n=4):}`

Narysuj kąt ostry...

`a) \ sin alpha = 2/3` 

 

 

 

`b) \ cos alpha = 3/4` 

 

 

`c) \ tg \ alpha = 1/5` 

 

Dane są funkcje ...

`f(x)=3x-5` 

`g(x)=sqrt(x+2)` 

 

`a)` 

`h(x)=f(x)/g(x-1)=(3x-5)/(sqrt(x-1+2)` 

`D:` 

`sqrt(x-1+2)ne0\ \ \wedge\ \ \x-1+2>=0` 

`x+1>0` 

`x> -1` 

`D=(-1;+oo)` 

 

`b)` 

`h(x)=g(x+3)/f(x)=sqrt(x+5)/(3x-5)` 

`D:` 

`x+5>=0\ \ \wedge\ \ \ 3x-5ne0` 

`x>=-5\ \ \wedge\ \ \xne5/3` 

`D=[-5;+oo)\\{5/3}`    

 

`c)` 

`h(x)=f(1-x)/g(-x)=(3(1-x)-5)/sqrt(-x+2)` 

`D:` 

`-x+2>0` 

`x<2` 

`D=(-oo;2)` 

 

`d)` 

`h(x)=sqrt(f(x))/g(2-x)=sqrt(3x-5)/(sqrt(2-x+2)` 

`D:` 

`3x-5>=0\ \ \wedge\ \ \2-x+2>0` 

`x>=5/3\ \ \wedge\ \ \x<4` 

`D=[5/3;4)` 

 

`e)` 

`h(x)=f(2x)+g(3x)=3* 2x -5+sqrt(3x+2)`  

 

`D:` 

`3x+2>=0` 

`x>=-2/3` 

`D=[-2/3;+oo)` 

 

`f)` 

`h(x)=f(1/x)-g(-|x|)=3/x-5-sqrt(-|x|+2)` 

 

`D:` 

`xne0\ \ \wedge\ \ \-|x|+2>=0` 

`x ne 0\ \ \wedge\ \ \|x|<=2\ implies x<=2\ \ \wedge\ \ \x>=-2` 

`D=[-2;2]\\{0}`       

Na rysunku przedstawiono wykres funkcji f

UWAGA:

Funkcja jest malejąca w każdym z tych przedziałów z osobna, ale nie jest malejąca w całej swej dziedzinie - dla coraz większych argumentów z całej dziedziny wcale nie przyjmuje coraz mniejszych wartości - np. dla argumentu 2 nie przyjmuje mniejszej wartości niż dla argumentu -2.

 

Prawidłowa jest odpowiedź D. 

Zapisz podaną funkcję za pomocą...

`a) \ -1 -> -(-1) = 1` 

`3 -> -3` 

`0 -> 0` 

A więc:

`f(x) = -x` 

 

`b) \ 2 -> (2+1)^2 = 3^2 = 9` 

`3 -> (3+1)^2 = 4^2 = 16` 

`0 -> (0+1)^2 = 1^2 = 1` 

A więc:

`f(x) = (x+1)^2`