Zgoda na przetwarzanie danych osobowych

25 maja 2018 roku zacznie obowiązywać Rozporządzenie Parlamentu Europejskiego i Rady (UE) 2016/679 z dnia 27 kwietnia 2016 r. znane jako RODO.

Dlatego aby dalej móc dostarczać Ci materiały odpowiednie do Twojego etapu edukacji, potrzebujemy zgody na lepsze dopasowanie treści do Twojego zachowania. Dzięki temu możemy zapamiętywać jakie materiały są Ci potrzebne. Dbamy o Twoją prywatność, więc nie zwiększamy zakresu naszych uprawnień. Twoje dane są u nas bezpieczne, a zgodę na ich zbieranie możesz wycofać na podstronie polityka prywatności.

Klikając "Przejdź do Odrabiamy", zgadzasz się na wskazane powyżej działania. W przeciwnym wypadku, nie jesteśmy w stanie zrealizować usługi kompleksowo i prosimy o opuszczenie strony.

Polityka prywatności

Drogi Użytkowniku w każdej chwili masz prawo cofnąć zgodę na przetwarzanie Twoich danych osobowych. Cofnięcie zgody nie będzie wpływać na zgodność z prawem przetwarzania, którego dokonano na podstawie wyrażonej przez Ciebie zgody przed jej wycofaniem. Po cofnięciu zgody wszystkie twoje dane zostaną usunięte z serwisu. Udzielenie zgody możesz modyfikować w zakładce 'Informacja o danych osobowych'

Wykres funkcji wykładniczej - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Wykres funkcji wykładniczej

W tym temacie poznamy kolejny typ wykresu. Czym jest funkcja wykładnicza? Jest to funkcja, w której nasz x robi za potęgę np.

$$y=2^x$$

Opowiedzmy sobie trochę o samej funkcji.

Przede wszystkim ograniczenia:

Funkcja wykładnicza nie przyjmuje wartości ujemnych, tak samo podstawa potęgi nie może być ani zerem ani liczbą ujemną.

W tym dziale nauczymy się tylko rysowania takiej funkcji i kilku własności z tego wynikających.

Funkcję tę rysujemy trochę inaczej niż liniową, potrzebujemy więcej punktów.

Weźmy naszą przykładową:

$$y=2^x$$

Zróbmy tabelkę jak dla funkcji liniowej:

tab1

Zaznaczmy te punkty na układzie współrzędnych:

wyk1

I narysujmy gotowy wykres:

wyk2

Jak widać linia na dole nie ma zamiaru przeciąć osi X.

W tym przypadku jest to funkcja rosnąca, ale nie zawsze tak jest.

Funkcja wykładnicza wygląda bardzo podobnie dla podstaw $$a > 1$$ i dla $$a < 1$$, jedyna różnica to w którą stronę (w lewo czy w prawo) rośnie, w zależności od a.

Zajmijmy się szczególnym przypadkiem kiedy funkcja przyjmuje wartości stałe:

$$y=1^x$$

Oczywiście tabelka:

tab2

Wykres to po prostu prosta równoległa do osi X:

wyk3

Ostatni przypadek to $$a < 1$$.

Pamiętamy, że a musi być zawsze dodatnie.

Przykład:

$$y=(1/2)^x$$

I ponownie tabelka:

tab3

Jak widzimy jest to funkcja odwrotna do $$2^x$$.

Narysujmy:

wyk4
 

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Narysuj wykres funkcji $$y=3^x$$. Wyznacz jej dziedzinę, zbiór wartości i monotoniczność.

Zaczynamy od narysowania wykresu, posłużymy się tabelką:

zad11

I rysujemy:

zad12

Teraz dziedzina, zgodnie z tym co pamiętamy:

$$D=R$$

Zbiór wartości:

$$Y=(0;+∞)$$

Monotoniczność:

Funkcja jest rosnąca dla wszystkich liczb rzeczywistych.  

Zadanie 2.

Narysuj wykres funkcji $$y={(1/2)}^(x+1)-1$$.

Jak widać mamy tutaj przesunięcie.

Zaczynamy od narysowania funkcji bazowej, czyli:

$$y=(1/2)^x$$

zad21

Mamy też wykres:

zad22

Pozostaje nam przesunąć go zgodnie z wzorem: o 1 w lewo i o 1 w dół, pamiętamy o zaznaczeniu asymptoty, czyli linii, do której "przykleja się" nasz wykres, ale której nigdy nie przecina:

zad23

Po co rysujemy asymptotę? Bez niej jeśli nasz wykres przekroczy -1 zadanie może zostać nie zaliczone, a zawsze może nam się wymsknąć przypadkowo.  

Spis treści

Rozwiązane zadania
Dla której spośród

Zauważmy, że jeśli mamy pewną parabolę i punkt o odciętej x=1, to odległość tego punktu od osi OX jest równa drugiej współrzędnej tego punktu (jeśli jest ona dodatnia) lub liczbie przeciwnej do drugiej współrzędnej (jeśli jest ujemna). 

 

`a)` 

Obliczamy wartości y dla kolejnych funkcji:

`y=1^2=1\ \ \ ->\ \ \ "odległość"=1`  

`y=4*1^2=4*1=4\ \ \ ->\ \ \ "odległość"=4`  

`y=-6*1^2=-6*1=-6\ \ \ ->\ \ \ "odległość"=6`  

Odległość jest najmniejsza dla pierwszej z podanych funkcji. 

 

 

`b)` 

`y=3/2*1^2=3/2*1=3/2=1 1/2=1,5\ \ \ ->\ \ \ "odległość"=1,5` 

`y=sqrt2*1^2=sqrt2\ \ \ ->\ \ \ "odległość"=sqrt2~~1,41` 

`y=2*1^2=2\ \ \ ->\ \ \ "odległość"=2` 

Odległość jest najmniejsza dla drugiej z podanych funkcji. 

 

 

`c)` 

`y=-1/2*1^2=-1/2\ \ \ ->\ \ \ "odległość"=1/2` 

`y=3*1^2=3\ \ \ ->\ \ \ "odległość"=3` 

`y=2sqrt3*1^2=2sqrt3\ \ \ ->\ \ \ "odległość"=2sqrt3~~2*1,73=3,46` 

Odległość jest najmniejsza dla pierwszej z podanych funkcji.

 

 

`d)` 

`y=-3*1^2=-3\ \ \ ->\ \ \ "odległość"=3` 

`y=pi*1^2=pi\ \ \ ->\ \ \ "odległość"=pi~~3,14151`  

`y=3,14*1^2=3,14\ \ \ ->\ \ \ "odległość"=3,14` 

Odległość jest najmniejsza dla pierwszej z podanych funkcji. 

Dwusieczna kąta A trójkąta...

Kąty wpisane oparte na tym samym łuku mają taką samą miarę a więc:

`/_CBA = /_CDA = 80^o` 

`/_ACB = /_ADB = 40^o` 

Stąd wynika, że:

`/_CDB = 80^o + 40^o = 120^o` 

 

`/_DBC = /_DAC = 30^o` 

`/_BAD = /_BCD = 30^o` 

 

Stąd wynika, że:

`/_DBA = 30^o + 80^o = 110^o` 

 

`/_ ACD = 40^o + 30^o = 70^o` 

 

Odpowiedź: Miary kątów w czworokącie wynoszą 60o, 70o, 110o, 120o.

Narysuj...

a)

 

 

 

b)

 

 

 

c)

Dane są trzy wektory...

Obliczmy długości wektorów:

`|stackrel(->)(a)|=sqrt(1^2+1^2) = sqrt(1+1) = sqrt2` 

`|stackrel(->)(b)|= sqrt((-1)^2 +2^2) = sqrt(1+4) = sqrt5` 

`|stackrel(->)(c)| = sqrt((-1)^2+(-7)^2) = sqrt(1+49) = sqrt50` 

 

`|3stackrel(->)(a)| = 3 *|stackrel(->)(a)| = 3sqrt2 = sqrt18` 

`|2stackrel(->)(b)| = 2*|stackrel(->)(b)| = 2sqrt5 = sqrt20`  

 

 

Sprawdźmy, czy długość dwóch krótszych wektorów jest większa od długości najdłuższego.

`sqrt18 + sqrt20 > sqrt50` 

Podnieśmy nierówność obustronnie do kwadratu:

`18 + 2*sqrt18*sqrt20 + 20 > 50`  

`2*3sqrt2*2sqrt5 > 12` 

`12 sqrt10 > 12` 

Prawda, a więc da się zbudować trójkąt z podanych wektorów.

Na ile sposobów można zbudować trójkąt ...

 

długość najdłuższego
boku trójkąta (w dm)
długości pozostałych boków (w dm) nierówność trójkąta czy taki trójkąt istnieje 
(czy nierówność jest spełniona)
`3`  `2,\ 2` 

`2+2>3` 

`tak` 
`3`  `2,\ 3`  `2+3>2`  `tak` 
`3`  `3,\ 3`  `3+3>3`  `tak` 
`5`  `2,\ 2`  `2+2>5`  `nie` 
`5`  `2,\ 3`  `2+3>5`  `nie` 
`5`  `3,\ 3`  `3+3>5`  `tak`  
`5`  `3,\ 5`  `3+5>5`  `tak` 

 

 

Taki trójkąt można zbudować na 5 sposobów. 

Ola za 2 kanapki i 3 soki zapłaciła

`k\ -\ "cena kanapki"`

`s\ -\ "cena soku"`

 

`{(2k+3s=20.25\ \ \ |*3), (3k+2s=21\ \ \ |*(-2)):}`

`{(6k+9s=60.75), (-6k-4s=-42):}\ \ \ \ |+`

`5s=18.75\ \ \ |:5`

`s=3.75`

`{(s=3.75), (2k+3*3.75=20.25):}`

`{(s=3.75), (2k+11.25=20.25\ \ \ \ |-11.25):}`

`{(s=3.75), (2k=9\ \ \ |:2):}`

`{(s=3.75), (k=4.50):}`

 

`odp.\ D`

Wykaż, że w każdym trójkącie ...

Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku.

Oznaczmy środek okręgu o średnicy AB jako P, natomiast środek okręgu o średnicy CB jako S.

Oznaczmy miarę kąta MSC jako α. A miarę kąta APM jako ß.

`|/_MSC|=alpha` 

`|/_APM|=beta` 

Chcemy udowodnić, że kąt AMC ma miarę 180o. Wówczas punkty AMC będą współliniowe.

 

Trójkąt APM jest równoramienny (gdyż |PM|=|PA|), więc kąty przy podstawie MA mają równą miarę.

`|/_PAM|=|/_AMP|=(180^"o"-beta)/2=90^"o"-1/2beta` 

Trójkąt MSC jest równoramienny (gdyż |SM|=|SC|), więc kąty przy podstawie MC mają równą miarę.

`|/_SMC|=|/_MCS|=(180^"o"-alpha)/2=90^"o"-1/2alpha` 

 

Kąty APM oraz MPB są kątami przyległymi. Obliczmy miarę kąta MPB:

`|/_APM|+|/_MPB|=180^"o"` 

`beta+|/_MPB|=180^"o"` 

`|/_MPB|=180^"o"-beta`    

 

Kąty MSC oraz MSB są kątami przyległymi. Obliczmy miarę kąta MSB:

`|/_MSC|+|/_MSB|=180^"o"` 

`alpha+|/_MPB|=180^"o"` 

`|/_MSB|=180^"o"-alpha` 

 

Trójkąt MBS jest równoramienny (|SM|=|SB|).  Miary kątów przy podstawie MB mają więc równe miary.

`|/_BMS|=|/_MBS|=(180^"o"-(180^"o"-alpha))/2=1/2alpha`

Trójkąt BMP jest równoramienny (|PM|=|PB|).  Miary kątów przy podstawie MB mają więc równe miary.

`|/_BMP|=|/_MBP|=(180^"o"-(180^"o"-beta))/2=1/2beta` 

 

Obliczmy miarę kąta AMC. W tym celu sumujemy miary kątów AMP, BMP, BMS oraz SMC:

`|/_AMC|=|/_AMP|+|/_BMP|+|/_BMS|+|/_SMC|` 

`|/_AMC|=90^"o"-1/2beta+1/2beta+1/2alpha+90^"o"-1/2alpha`      

`|/_AMC|=180^"o"` 

Miara kąta AMC wynosi 180o, więc punkty A, M oraz C są wspóliniowe.

Określ liczbę pierwiastków równania.

Aby określić liczbę pierwiastków równania wystarczy policzyć `Delta` 

Jeśli `Delta>0` równanie ma 2 pierwiastki.

Jeśli `Delta=0` równanie ma 1 pierwiastek.

Jeśli `Delta<0` równanie nie ma pierwiastków.


a) `9x^2+6x+1=0` 

`Delta=6^2-4*9*1=36-36=0` 

Jeden pierwiastek.


b) `7x+2x^2-10=0` 

`2x^2+7x-10=0` 

`Delta=7^2-4*2*(-10)=49+80=129` 

Dwa pierwiastki.


c) `x^2+4-3x=0` 

`x^2-3x+4=0` 

`Delta=(-3)^2-4*1*4=9-16=-7` 

Brak pierwiastków.


d) `-2+1/4x^2-0,5x=0` 

`1/4x^2-0,5x-2=0` 

`1/4x^2-1/2x-2=0` 

`Delta=(-1/2)^2-4*1/4*(-2)=1/4+2=2 1/4` 

Dwa pierwiastki.


e) `sqrt3x^2-2x+sqrt3/3=0` 

`Delta=(-2)^2-4*sqrt3*sqrt3/3=4-4=0` 

Jeden pierwiastek.


f) `sqrt7x+12x^2+1/6=0` 

`12x^2+sqrt7x+1/6=0` 

`Delta=(sqrt7)^2-4*12*1/6=7-8=-1` 

Brak pierwiastków.


g) `-x^2-16+8x=0` 

`-x^2+8x-16=0` 

`Delta=8^2-4*(-1)*(-16)=64-64=0` 

Jeden pierwiastek.


h) `1/2x-2sqrt2x^2+0,25=0` 

`-2sqrt2x^2+1/2x+1/4=0` 

`Delta=(1/2)^2-4*(-2sqrt2)*1/4=1/4+2sqrt2` 

Dwa pierwiastki.

Dwa nierównoległe boki BC i AD trapezu...

Rysunek pomocniczy:

Zauważmy najpierw, że po przedłużeniu ramion trapezu otrzymamy dwa trójkąty podobne - `DeltaABE` oraz `DeltaDCE.` 

Zauważmy też, że trójkąty `DeltaGBE` i `DeltaDCE` są podobne na podstawie cechy kąt - kąt - kąt.     

Analogicznie zauważamy, że `Delta AFD` oraz `DeltaDCE` są podobne. 

W takim razie podobne są również trójkąty `DeltaAFD` i `DeltaGBE.` Wynika stąd, że `beta=90^@-alpha.` 

Z zależności trygonometrycznych dla `DeltaAFD` mamy:      

`sinalpha=h/18\ "/"*18` 

`h=18sinalpha`   

A dla `DeltaGCB:` 

`sinbeta=h/24\ "/"*24` 

`h=24sinbeta` 

Podstawiając teraz `beta=90^@-alpha` i stosując wzór redukcyjny `sin(90^@-alpha)=cosalpha,` otrzymujemy: 

`h=24sinbeta=24sin(90^@-alpha)=24cosalpha` 

Porównując obie równości otrzymujemy:

`18sinalpha=24cosalpha\ "/":18cosalpha` 

`"tg"alpha=24/18=4/3~~1,3333` 

Po odczytaniu wartości z tablic otrzymujemy:

`alpha~~53^@` 

Obliczamy `beta:` 

`beta=90^@-alpha~~90^@-53^@=37^@`       

Wiemy, że suma kątów przy jednym ramieniu trapezu wynosi `180^@,` stąd:

`gamma=180^@-alpha~~180^@-53^@=127^@`  

`delta=180^@-beta~~180^@-37^@=143^@` 

Odp. Kąty trapezu mają miary: `53^@,\ 37^@,\ 127^@,\ 143^@.`    

Wyznacz dziedzinę funkcji f(x)

Liczba pod pierwiastkiem kwadratowym musi być nieujemna:

`-3-2x>=0\ \ \ |+3`

`-2x>=3\ \ \ |:(-2)`

`x<=-3/2`

`x<=-1 1/2`

`D_f=(-infty;\ -1 1/2>>`

 

Największa liczba całkowita należąca do dziedziny funkcji f(x) to -2.