Wykres funkcji wykładniczej - matura-podstawowa - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Wykres funkcji wykładniczej - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Wykres funkcji wykładniczej

W tym temacie poznamy kolejny typ wykresu. Czym jest funkcja wykładnicza? Jest to funkcja, w której nasz x robi za potęgę np.

$y=2^x$

Opowiedzmy sobie trochę o samej funkcji.

Przede wszystkim ograniczenia:

Funkcja wykładnicza nie przyjmuje wartości ujemnych, tak samo podstawa potęgi nie może być ani zerem ani liczbą ujemną.

W tym dziale nauczymy się tylko rysowania takiej funkcji i kilku własności z tego wynikających.

Funkcję tę rysujemy trochę inaczej niż liniową, potrzebujemy więcej punktów.

Weźmy naszą przykładową:

$y=2^x$

Zróbmy tabelkę jak dla funkcji liniowej:

tab1

Zaznaczmy te punkty na układzie współrzędnych:

wyk1

I narysujmy gotowy wykres:

wyk2

Jak widać linia na dole nie ma zamiaru przeciąć osi X.

W tym przypadku jest to funkcja rosnąca, ale nie zawsze tak jest.

Funkcja wykładnicza wygląda bardzo podobnie dla podstaw $a > 1$ i dla $a < 1$, jedyna różnica to w którą stronę (w lewo czy w prawo) rośnie, w zależności od a.

Zajmijmy się szczególnym przypadkiem kiedy funkcja przyjmuje wartości stałe:

$y=1^x$

Oczywiście tabelka:

tab2

Wykres to po prostu prosta równoległa do osi X:

wyk3

Ostatni przypadek to $a < 1$.

Pamiętamy, że a musi być zawsze dodatnie.

Przykład:

$y=(1/2)^x$

I ponownie tabelka:

tab3

Jak widzimy jest to funkcja odwrotna do $2^x$.

Narysujmy:

wyk4
 

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Narysuj wykres funkcji $y=3^x$. Wyznacz jej dziedzinę, zbiór wartości i monotoniczność.

Zaczynamy od narysowania wykresu, posłużymy się tabelką:

zad11

I rysujemy:

zad12

Teraz dziedzina, zgodnie z tym co pamiętamy:

$D=R$

Zbiór wartości:

$Y=(0;+∞)$

Monotoniczność:

Funkcja jest rosnąca dla wszystkich liczb rzeczywistych.  

Zadanie 2.

Narysuj wykres funkcji $y={(1/2)}^(x+1)-1$.

Jak widać mamy tutaj przesunięcie.

Zaczynamy od narysowania funkcji bazowej, czyli:

$y=(1/2)^x$

zad21

Mamy też wykres:

zad22

Pozostaje nam przesunąć go zgodnie z wzorem: o 1 w lewo i o 1 w dół, pamiętamy o zaznaczeniu asymptoty, czyli linii, do której "przykleja się" nasz wykres, ale której nigdy nie przecina:

zad23

Po co rysujemy asymptotę? Bez niej jeśli nasz wykres przekroczy -1 zadanie może zostać nie zaliczone, a zawsze może nam się wymsknąć przypadkowo.  

Spis treści

Rozwiązane zadania
Niech A={3,5,7,9}, B= ...

 

    {premium}

 

 

Odp. C

Na rysunku obok prosta k jest styczną...

Z twierdzenia o kącie między styczną i cięciwą:

 {premium}


Zatem:

 

 

 


Prawidłowa odpowiedź to D.

Włącz czynnik pod pierwiastek

{premium}

Wyznacz miejsca zerowe funkcji f

 

 

  

 

 

 

{premium}

 

 

 

 

  

 

  

  

Zapisz dwie dowolne liczby...

Przykładowe rozwiązanie:

Wybrano liczby 5 i 10

zatem:

 


Do obu liczb dodajemy tę samą liczbę dodatnią  :       {premium}

 

 

ta operacja nie zmienia znaku nierówności


Od obu liczb odejmujemy tę samą liczbę ujemną  :

 

 

 

ta operacja nie zmienia znaku nierówności


Obie liczby mnożymy przez tę samą liczbę dodatnią  :

 

 

 

ta operacja nie zmienia znaku nierówności


Obie liczby mnożymy przez tę samą liczbę ujemną  :

 

 

 

ta operacja zmienia znak nierówności


Obie liczby dzielimy przez tę samą liczbę dodatnią  :

 

 

 

ta operacja nie zmienia znaku nierówności


Obie liczby dzielimy przez tę samą liczbę ujemną  :

 

 

 

ta operacja zmienia znak nierówności

Poniższy wykres przedstawia, jak zmieniała...

a) Wzór tej funkcji to:

 

    {premium}

 

 

 

 

 

 

 

 

 

wzór tej funkcji to:

 


b) Obliczmy po jakim czasie piłka spadła na ziemię:

 

 

 

 

 

 

 

 


c) Obliczmy jak długo piłka wznosiła się ponad siatkę:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Które z poniższych zdań są prawdziwe...

 

 

równanie ma dwa rozwiązania    {premium}

 

 

Prawdziwe są zdania: 1, 2, 3.


 

 

równanie nie ma rozwiązań 

żadne zdanie nie jest prawdziwe


 

 

równanie ma dwa rozwiązania

 

 

Prawdziwe są zdania: 1, 3, 4.


 

 

równanie ma dwa rozwiązania

 

 

Prawdziwe są zdania: 1, 3, 4.


 

 

równanie ma dwa rozwiązania

 

 

Prawdziwe są zdania: 1, 2, 3.


 

 

równanie ma dwa rozwiązania

 

 

Prawdziwe są zdania: 1, 2.

Oblicz promień okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny...

Przyjmijmy następujące oznaczenia:

 długość przyprostokątnej

 długość przeciwprostokątnej

 promień okręgu wpisanego w trójkąt



 Mamy dane:

 


Z twierdzenia Pitagorasa:

 

 {premium}

 

 

 


Obliczamy promień okręgu wpisanego w trójkąt:

 


Odp. Promień okręgu wpisanego w trójkąt ma długość  



 Mamy dane:

 


Z twierdzenia Pitagorasa:

 

 

 

 

 


Obliczamy promień okręgu wpisanego w trójkąt:

 


Odp. Promień okręgu wpisanego w trójkąt ma długość  

Rozwiąż nierówność.

 

 

 {premium}

 

 

 

 

Z własności wartości bezwzględnej:

 

 

 

 

 



 

 

 

 


Z definicji wartości bezwzględnej:

 

 

Zatem:

 


Rozważamy więc trzy przypadki:

  •  

 

 

 

 

 

Po uwzględnieniu przedziału, w którym rozważaliśmy nierówność, otrzymujemy:

 

 

  •  

 

 

 

Otrzymaliśmy nierówność tożsamościową. Oznacza to, że rozwiązaniem tej nierówności jest każda liczba z rozważanego przedziału:

 

  •  

 

 

 

 

 

Po uwzględnieniu przedziału, w którym rozważaliśmy nierówność, otrzymujemy:

 

 


Łącząc wszystkie przypadki, otrzymujemy następujący zbiór rozwiązań:

 

 



 

 

 

 

 

 


Z definicji wartości bezwzględnej:

 


Rozważamy więc dwa przypadki:

  •  

 

 

 

 

 

Po uwzględnieniu przedziału, w którym rozważaliśmy nierówność, otrzymujemy:

 

 

  •  

 

 

 

 

 

 

Po uwzględnieniu przedziału, w którym rozważaliśmy nierówność, otrzymujemy:

 

 


Łącząc wszystkie przypadki, otrzymujemy następujący zbiór rozwiązań:

 

 



 

 

 

 

 


Z definicji wartości bezwzględnej:

 

 

Zatem:

 


Rozważamy więc trzy przypadki:

  •  

 

 

 

 

 

Otrzymany zbiór rozwiązań jest rozłączny z przedziałem, w którym rozwiązywaliśmy nierówność, więc w rozważanym przedziale nierówność nie ma rozwiązań.

  •  

 

 

 

Otrzymana nierówność jest sprzeczna, czyli nie ma rozwiązań w rozważanym przedziale.

  •  

 

 

 

 

 

Otrzymany zbiór rozwiązań jest rozłączny z przedziałem, w którym rozwiązywaliśmy nierówność, więc w rozważanym przedziale nierówność nie ma rozwiązań.


Nierówność nie ma rozwiązań w żadnym z rozważanych przedziałów, więc nie ma rozwiązań w całym zbiorze liczb rzeczywistych.

Odgadnij postać iloczynową funkcji kwadratowej.

W celu odgadnięcia skorzystamy z wzorów Viete'a.

Jeżeli  są pierwiastkami trójmianu to 

 

 

 

 "Zgadujemy" dwie liczby, których suma jest równa  {premium}  a iloczyn  

Są to  oraz 

Stąd:

 

 

 "Zgadujemy" dwie liczby, których suma jest równa  a iloczyn  

Są to  oraz 

Stąd:

 

 

 "Zgadujemy" dwie liczby, których suma jest równa  a iloczyn  

Są to  oraz 

Stąd:

 

 

 "Zgadujemy" dwie liczby, których suma jest równa  a iloczyn  

Są to  oraz 

Stąd: