Wykres funkcji wykładniczej - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Wykres funkcji wykładniczej

W tym temacie poznamy kolejny typ wykresu. Czym jest funkcja wykładnicza? Jest to funkcja, w której nasz x robi za potęgę np.

$$y=2^x$$

Opowiedzmy sobie trochę o samej funkcji.

Przede wszystkim ograniczenia:

Funkcja wykładnicza nie przyjmuje wartości ujemnych, tak samo podstawa potęgi nie może być ani zerem ani liczbą ujemną.

W tym dziale nauczymy się tylko rysowania takiej funkcji i kilku własności z tego wynikających.

Funkcję tę rysujemy trochę inaczej niż liniową, potrzebujemy więcej punktów.

Weźmy naszą przykładową:

$$y=2^x$$

Zróbmy tabelkę jak dla funkcji liniowej:

tab1

Zaznaczmy te punkty na układzie współrzędnych:

wyk1

I narysujmy gotowy wykres:

wyk2

Jak widać linia na dole nie ma zamiaru przeciąć osi X.

W tym przypadku jest to funkcja rosnąca, ale nie zawsze tak jest.

Funkcja wykładnicza wygląda bardzo podobnie dla podstaw $$a > 1$$ i dla $$a < 1$$, jedyna różnica to w którą stronę (w lewo czy w prawo) rośnie, w zależności od a.

Zajmijmy się szczególnym przypadkiem kiedy funkcja przyjmuje wartości stałe:

$$y=1^x$$

Oczywiście tabelka:

tab2

Wykres to po prostu prosta równoległa do osi X:

wyk3

Ostatni przypadek to $$a < 1$$.

Pamiętamy, że a musi być zawsze dodatnie.

Przykład:

$$y=(1/2)^x$$

I ponownie tabelka:

tab3

Jak widzimy jest to funkcja odwrotna do $$2^x$$.

Narysujmy:

wyk4
 

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Narysuj wykres funkcji $$y=3^x$$. Wyznacz jej dziedzinę, zbiór wartości i monotoniczność.

Zaczynamy od narysowania wykresu, posłużymy się tabelką:

zad11

I rysujemy:

zad12

Teraz dziedzina, zgodnie z tym co pamiętamy:

$$D=R$$

Zbiór wartości:

$$Y=(0;+∞)$$

Monotoniczność:

Funkcja jest rosnąca dla wszystkich liczb rzeczywistych.  

Zadanie 2.

Narysuj wykres funkcji $$y={(1/2)}^(x+1)-1$$.

Jak widać mamy tutaj przesunięcie.

Zaczynamy od narysowania funkcji bazowej, czyli:

$$y=(1/2)^x$$

zad21

Mamy też wykres:

zad22

Pozostaje nam przesunąć go zgodnie z wzorem: o 1 w lewo i o 1 w dół, pamiętamy o zaznaczeniu asymptoty, czyli linii, do której "przykleja się" nasz wykres, ale której nigdy nie przecina:

zad23

Po co rysujemy asymptotę? Bez niej jeśli nasz wykres przekroczy -1 zadanie może zostać nie zaliczone, a zawsze może nam się wymsknąć przypadkowo.  

Spis treści

Rozwiązane zadania
Naszkicuj parabolę. Podaj współrzędne jej wierzchołka

Parabola powstaje poprzez przesunięcie wykresu funkcji y=-x² o 3 jednostki w górę.

Rysujemy pomocniczy układ współrzędnych (przesunięty o 3 jednostki w górę) i w nim rysujemy wykres funkcji y=-x².

 

 

 

Parabola powstaje poprzez przesunięcie wykresu funkcji y=-x² o 3 jednostki w prawo. 

 

Rysujemy pomocniczy układ współrzędnych (przesunięty o 3 jednostki w prawo) i w nim rysujemy wykres funkcji y=-x².

 

 

Parabola powstaje poprzez przesunięcie wykresu funkcji y=x² o 1 jednostkę w lewo i 4 jednostki w dół.

 

Rysujemy pomocniczy układ współrzędnych (przesunięty o 1 jednostkę w lewo i 4 jednostki w dół) i w nim rysujemy wykres funkcji y=x².

 

 

Parabola powstaje poprzez przesunięcie wykresu funkcji y=2x² o 1 jednostkę w prawo i 1 jednostkę w dół.

 

Rysujemy pomocniczy układ współrzędnych (przesunięty o 1 jednostkę w prawo i 1 jednostkę w dół) i w nim rysujemy wykres funkcji y=2x².

 

 

Parabola powstaje poprzez przesunięcie wykresu funkcji y=-½x² o 2 jednostki w prawo i 2 jednostki w dół.

 

Rysujemy pomocniczy układ współrzędnych (przesunięty o 2 jednostki w prawo i 2 jednostki w dół) i w nim rysujemy wykres funkcji y=-½x².

 

 

Parabola powstaje poprzez przesunięcie wykresu funkcji y=x² o 2 jednostki w prawo i 1 jednostkę w górę.

Rysujemy pomocniczy układ współrzędnych (przesunięty o 2 jednostki w prawo i 1 jednostkę w górę) i w nim rysujemy wykres funkcji y=x².

 

Prosta l przechodzi przez punkt (3, 6)

 

Prosta ma równanie y=ax+b. Możemy podstawić współrzędne punktu (3, 6) w miejsce x oraz y odpowiednio, dzięki czemu mamy równanie:

 

 

Wiemy, że punkt przecięcia z osią OY ma współrzędne (0, -3), więc podstawiając współrzędne punktu (jak poprzednio) do równania y=ax+b mamy:

 

Wstawiamy wyliczony współczynnik b do równania oznaczonego gwiazdką:

 

Zatem prosta ma równanie:

 

 

Tym razem punkt przecięcia z osią OX ma współrzędne (-3, 0), więc podstawiając współrzędne punktu do równania y=ax+b mamy: 

 

Wstawiamy 3a w miejsce b w równaniu oznaczonym gwiazdką:

 

 

Zatem prosta ma równanie:

Wyznacz dziedzinę funkcji.

a) Mianownik musi być różny od 0, zatem:

 

 

 

 

b) Pod pierwiastkiem musi być liczba nieujemna:

 

 

 

 

 

 

c) Mianownik musi być różny od 0 i pod pierwiastkiem musi być liczba nieujemna. Do dziedziny będą należeć liczby, które spełnią oba warunki a więc skoro pierwiastek jest w mianowniku to do dziedziny będą należeć tylko te liczby, dla których pierwiastek jest dodatni:

 

 

 

 

d) Dla obu pierwiastków będziemy wyliczać dziedzinę pamiętając, że jeden z pierwiastków jest w mianowniku a więc musi być dodatni.

 

 

 

Z dwóch warunków możemy utworzyć jeden:

  

 

Wyznacz wartości parametru b...

 

Zakładamy, że  ponieważ liczba pod pierwiastkiem musi być większa lub równa 0.  

 

a) nie ma rozwiązań, gdy   

 

 

Uwzględniając założenie: 

 

 

b) ma dwa rozwiązania, gdy  

 

 

 

c) ma co najmniej jedno rozwiązanie, gdy  

 

 

W piasku stosunek zawartości krzemy do tlenu

Jeśli piasek waży 45 g, to masę krzemu (wyrażoną w gramach) możemy oznaczyć jako x. Wtedy masa tlenu jest równa 45-x. 

Znamy stosunek zawartości krzemu do tlenu:: 

 

Dana jest liczba siedmiocyfrowa

 

Suma cyfr tej liczby musi dzielić się przez 9

  

 

 

 

Ostatnia cyfra musi być parzysta, a suma cyfr musi dzielić się przez 3.

Z pierwszego warunku mamy, że {premium}możliwe a to 0, 2, 4, 6, 8

Z drugiego warunku (suma to 23+a) mamy, że a to 1, 4, 7

Cyfra która spełnia oba te warunki to 4.

 

 

 

 

Liczba utworzona z dwóch ostatnich cyfr musi być podzielna przez 4 (ta liczba to 90+a)

   

 

Asia, Karolina, Beata i Ola lubią słuchać
  • Ola, Karolina, Asia -wśród nich jest dziewczynka słuchająca muzyki poważnej
  • Ola, Karolina, Asia- odrzucamy jedną z nich
  • Asia,Beata,Karolina  -wśród nich jest dziewczynka słuchająca muzyki poważnej (skreślamy Asię, ze względu na poprzednią informację)

W obu grupach dziewczyn ,,powtarza się" Karolina.

Uzasadnij, że liczba

Skorzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów:

 

 

 

 

 

Udało się zapisać tą liczbę jako iloczyn liczby 17 i pewnej innej liczby naturalnej, więc podana liczba jest podzielna przez 17.

 

 

 

 

Udało się zapisać tą liczbę jako iloczyn liczby 19 i pewnych innych liczb naturalnych, więc podana liczba jest podzielna przez 19.    

Badania przeprowadzone przez specjalistów dowodzą, że

Musimy sprawdzić, czy iloraz prędkości pojazdu i drogi hamowania jest stały. 

Te wielkości nie są wprost proporcjonalne. 

Dane są funkcje f(x)

Zapiszmy wzory funkcji, które otrzymalibyśmy w przekształceniach podanych w podpunktach. 

 

Odbijając względem osi x, a następnie względem osi y, otrzymamy to samo, co odbijając względem początku układu współrzędnych.