Wykres funkcji wykładniczej - matura-podstawowa - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Wykres funkcji wykładniczej - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Wykres funkcji wykładniczej

W tym temacie poznamy kolejny typ wykresu. Czym jest funkcja wykładnicza? Jest to funkcja, w której nasz x robi za potęgę np.

$y=2^x$

Opowiedzmy sobie trochę o samej funkcji.

Przede wszystkim ograniczenia:

Funkcja wykładnicza nie przyjmuje wartości ujemnych, tak samo podstawa potęgi nie może być ani zerem ani liczbą ujemną.

W tym dziale nauczymy się tylko rysowania takiej funkcji i kilku własności z tego wynikających.

Funkcję tę rysujemy trochę inaczej niż liniową, potrzebujemy więcej punktów.

Weźmy naszą przykładową:

$y=2^x$

Zróbmy tabelkę jak dla funkcji liniowej:

tab1

Zaznaczmy te punkty na układzie współrzędnych:

wyk1

I narysujmy gotowy wykres:

wyk2

Jak widać linia na dole nie ma zamiaru przeciąć osi X.

W tym przypadku jest to funkcja rosnąca, ale nie zawsze tak jest.

Funkcja wykładnicza wygląda bardzo podobnie dla podstaw $a > 1$ i dla $a < 1$, jedyna różnica to w którą stronę (w lewo czy w prawo) rośnie, w zależności od a.

Zajmijmy się szczególnym przypadkiem kiedy funkcja przyjmuje wartości stałe:

$y=1^x$

Oczywiście tabelka:

tab2

Wykres to po prostu prosta równoległa do osi X:

wyk3

Ostatni przypadek to $a < 1$.

Pamiętamy, że a musi być zawsze dodatnie.

Przykład:

$y=(1/2)^x$

I ponownie tabelka:

tab3

Jak widzimy jest to funkcja odwrotna do $2^x$.

Narysujmy:

wyk4
 

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Narysuj wykres funkcji $y=3^x$. Wyznacz jej dziedzinę, zbiór wartości i monotoniczność.

Zaczynamy od narysowania wykresu, posłużymy się tabelką:

zad11

I rysujemy:

zad12

Teraz dziedzina, zgodnie z tym co pamiętamy:

$D=R$

Zbiór wartości:

$Y=(0;+∞)$

Monotoniczność:

Funkcja jest rosnąca dla wszystkich liczb rzeczywistych.  

Zadanie 2.

Narysuj wykres funkcji $y={(1/2)}^(x+1)-1$.

Jak widać mamy tutaj przesunięcie.

Zaczynamy od narysowania funkcji bazowej, czyli:

$y=(1/2)^x$

zad21

Mamy też wykres:

zad22

Pozostaje nam przesunąć go zgodnie z wzorem: o 1 w lewo i o 1 w dół, pamiętamy o zaznaczeniu asymptoty, czyli linii, do której "przykleja się" nasz wykres, ale której nigdy nie przecina:

zad23

Po co rysujemy asymptotę? Bez niej jeśli nasz wykres przekroczy -1 zadanie może zostać nie zaliczone, a zawsze może nam się wymsknąć przypadkowo.  

Spis treści

Rozwiązane zadania
Na rysunku są przedstawione wykresy dwóch...

 {premium}

 


 


 


 

Wykaż, że funkcja określona...

Założenie:

 

Teza:

{premium}  

 

Dowód:

 

Z założenia wiemy, że:

 

 

A więc :

 

Skoro różnica jest dodania to:

 

A więc funkcja jest malejąca.

Czy sin𝛼 może się równać:

Podstawowe tożsamości trygonometryczne:

 

 

 

 

Tożsamość 1) nazywamy jedynką trygonometryczną.



a) Sprawdzamy, czy spełniona jest jedynka trygonometryczna:

 

 

 {premium}

 

Oznacza to, że sin 𝛼 nie może się równać podanej wartości.


b) Sprawdzamy, czy spełniona jest jedynka trygonometryczna:

 

 

 

 

 

Dla danej wartości sinusa kąta 𝛼 potrafimy znaleźć taką wartość cosinusa kąta 𝛼, żeby spełniona była jedynka trygonometryczna. Oznacza to, że sin 𝛼 może się równać podanej wartości.


c) Sprawdzamy, czy spełniona jest jedynka trygonometryczna:

 

 

 

 

Wiemy, że sinβ ∈ <-1, 0)∪(0, 1>, więc sin2β ∈ (0, 1>. Stąd:

 

I w konsekwencji:

 

Liczba cos2α jest nieujemna, więc równość (*) może zachodzić tylko wtedy, gdy obie strony są zerami, czyli:

 

 

 

Możemy wybrać takie kąty αβ, by powyższe równości były prawdziwe, np. α=β=90°Oznacza to, że sin 𝛼 może się równać podanej wartości.


d) Sprawdzamy, czy spełniona jest jedynka trygonometryczna:

 

 

 

 

 

 

Oznacza to, że sin 𝛼 nie może się równać podanej wartości.

Rozwiąż graficznie nierówność ...

 

W jednym układzie współrzędnych szkicujemy wykresy funkcji:

 

 {premium}



Z rysunku odczytujemy, dla jakich argumentów wartości funkcji  są większe od wartości funkcji  (dla jakich argumentów wykres funkcji  znajduje się nad wykresem funkcji ).

 

Czyli:

 


 

W jednym układzie współrzędnych szkicujemy wykresy funkcji:

 

 



Z rysunku odczytujemy, dla jakich argumentów wartości funkcji  są mniejsze od wartości funkcji  (dla jakich argumentów wykres funkcji  znajduje się pod wykresem funkcji  ).

 

Czyli:

 


 

W jednym układzie współrzędnych szkicujemy wykresy funkcji:

 

 



Z rysunku odczytujemy, dla jakich argumentów wartości funkcji  są mniejsze od wartości funkcji  (dla jakich argumentów wykres funkcji  znajduje się pod wykresem funkcji ).

 

Czyli:

 


 

W jednym układzie współrzędnych szkicujemy wykresy funkcji:

 

 

 



Z rysunku odczytujemy zbiór argumentów spełniających podaną nierówność.

 

Czyli:

  

Zapisz w zeszycie liczby ...

 

    {premium}

 

 

 

 

 

 

 

 

Wykaż, że jeśli a < 1 i b >-4, to...

Założenia

 


Teza

 


Dowód (wprost):

Zauważmy, że:

 dla  {premium}

 dla  

A stąd:

 dla  

 


Szacując, że  oraz  otrzymaliśmy  co należało dowieść.

Oblicz pole trójkąta prostokątnego, w którym jeden z kątów ostrych

Oznaczmy miary kątów ostrych tego trójkąta przez a i 2a:

{premium}

 

Boki trójkąta o takich kątach możemy opisać za pomocą wzorów:

 

 

 

 

 

 

 

Dany jest tójkąt o bokach długości ...

Stosunek długości boków trójkąta jest równy 2 : 3 : 4. {premium}

Zauważmy, że stosunek długości boków trójkąta pierwszego jest równy: 10 : 15 : 20, czyli 2 : 3 : 4.


Odpowiedź: A

Wykonaj działania i zapisz...

Korzystając ze wzorów skróconego mnożenia, otrzymujemy:{premium}

 

Uzupełnij tabelkę.
 Wzór funkcji Punkt przecięcia wykresu funkcji z osią x Punkt przecięcia wykresu funkcji z osią y
     {premium}
     
     
     

Punkt przecięcia wykresu funkcji z osią y ma pierwszą współrzędną równą 0 a druga jest równa wyrazowi wolnemu.

Żeby wyliczyć punkt przecięcia z osią x wystarczy przyrównać wartość funkcji do zera: