Wykres funkcji wykładniczej - matura-podstawowa - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Wykres funkcji wykładniczej - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Wykres funkcji wykładniczej

W tym temacie poznamy kolejny typ wykresu. Czym jest funkcja wykładnicza? Jest to funkcja, w której nasz x robi za potęgę np.

$y=2^x$

Opowiedzmy sobie trochę o samej funkcji.

Przede wszystkim ograniczenia:

Funkcja wykładnicza nie przyjmuje wartości ujemnych, tak samo podstawa potęgi nie może być ani zerem ani liczbą ujemną.

W tym dziale nauczymy się tylko rysowania takiej funkcji i kilku własności z tego wynikających.

Funkcję tę rysujemy trochę inaczej niż liniową, potrzebujemy więcej punktów.

Weźmy naszą przykładową:

$y=2^x$

Zróbmy tabelkę jak dla funkcji liniowej:

tab1

Zaznaczmy te punkty na układzie współrzędnych:

wyk1

I narysujmy gotowy wykres:

wyk2

Jak widać linia na dole nie ma zamiaru przeciąć osi X.

W tym przypadku jest to funkcja rosnąca, ale nie zawsze tak jest.

Funkcja wykładnicza wygląda bardzo podobnie dla podstaw $a > 1$ i dla $a < 1$, jedyna różnica to w którą stronę (w lewo czy w prawo) rośnie, w zależności od a.

Zajmijmy się szczególnym przypadkiem kiedy funkcja przyjmuje wartości stałe:

$y=1^x$

Oczywiście tabelka:

tab2

Wykres to po prostu prosta równoległa do osi X:

wyk3

Ostatni przypadek to $a < 1$.

Pamiętamy, że a musi być zawsze dodatnie.

Przykład:

$y=(1/2)^x$

I ponownie tabelka:

tab3

Jak widzimy jest to funkcja odwrotna do $2^x$.

Narysujmy:

wyk4
 

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Narysuj wykres funkcji $y=3^x$. Wyznacz jej dziedzinę, zbiór wartości i monotoniczność.

Zaczynamy od narysowania wykresu, posłużymy się tabelką:

zad11

I rysujemy:

zad12

Teraz dziedzina, zgodnie z tym co pamiętamy:

$D=R$

Zbiór wartości:

$Y=(0;+∞)$

Monotoniczność:

Funkcja jest rosnąca dla wszystkich liczb rzeczywistych.  

Zadanie 2.

Narysuj wykres funkcji $y={(1/2)}^(x+1)-1$.

Jak widać mamy tutaj przesunięcie.

Zaczynamy od narysowania funkcji bazowej, czyli:

$y=(1/2)^x$

zad21

Mamy też wykres:

zad22

Pozostaje nam przesunąć go zgodnie z wzorem: o 1 w lewo i o 1 w dół, pamiętamy o zaznaczeniu asymptoty, czyli linii, do której "przykleja się" nasz wykres, ale której nigdy nie przecina:

zad23

Po co rysujemy asymptotę? Bez niej jeśli nasz wykres przekroczy -1 zadanie może zostać nie zaliczone, a zawsze może nam się wymsknąć przypadkowo.  

Spis treści

Rozwiązane zadania
Zaznacz zbiór punktów...

a) Pierwsza współrzędna jest stale równa 0 a druga jest dowolna.

Np.

 

 

b) Pierwsza współrzędna jest stale równa 2 a druga jest dodatnia.

 

c) Pierwsza współrzędna jest mniejsza bądź równa 1 a druga jest stale równa 3.

 

d) Pierwsza współrzędna jest stale równa 2 a druga jest silnie mniejsza od -2.

Wiedząc, że przybliżenie liczby...

 {premium}


 


 

 


 

 

Narysuj wykres funkcji ...

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

     

 

W turnieju tenisowym...

Oznaczmy liczbę tenisistów przez x, każdy ma rozegrać jeden mecz z pozostałymi a więc każdy z nich rozegra x-1 meczy. Wtedy wzór opisujący tą zależność ma postać:

 

Zauważmy, jednak, że nasz wzór ma w sobie sytuacje w której tenisista nr. 1 gra z tenisistą nr. 2 jak również tenisista nr. 2 gra z tenisistą nr. 1, a więc nasz wzór musimy jeszcze podzielić przez połowę

 

 

Sprawdźmy kiedy nasza funkcja jest równa 28

 

 

 

 

 

 

 

 

W turnieju było 8 tenisistów.

Odpowiedź B

Oblicz współczynnik kierunkowy prostej

czy wykres funkcji f(x), gdzie x...

Wykres funkcji f {premium}nie ma punktu wspólnego z osią OY, bo argument x=0 nie należy do dziedziny tej funkcji.

Dla jakich wartości parametru p nierówność...

 

1. Jeżeli nierówność ma być spełniona dla każdego x to parabola musi być skierowana ramionami ku górze, czyli musi być spełniony warunek:

 

 

2. Dodatkowo funkcja może mieć co najwyżej jeden punkt wspólny z osią x , który jednocześnie będzie miejscem zerowym funkcji, czyli musi być spełniony warunek:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Częścią wspólną obu warunków jest:

  

 

 

1. Parabola musi mieć ramiona skierowane ku dołowi a więc:

 

 

2. Funkcja kwadratowa nie może mieć pierwiastków:

 

 

 

 

Parabola ma ramiona skierowane ku górze a więc:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Część wspólna obu warunków:

 

Prosta l jest styczna do okręgu ...

Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku. Zauważmy, że:

  

 

 

 

Trójkąt ROP jest trójkątem równoramiennym, ponieważ |OR|=|OP|.

Miary kątów przy podstawie PR są sobie równe i wynoszą 42o.

Korzystając z tw. o sumie miar kątów w trójkącie (dla trójkata ROP) obliczamy miarę kąta ß:

 

 

 

 

 

Odp: Cięciwa wyznacza kąt środkowy o mierze 96o.

Na rysunku obok przedstawiono

 

Aby otrzymać wykres funkcji g wystarczy odbić symetrycznie względem osi OX tę część wykresu funkcji f, która {premium}znajduje się pod osią OX. 

 

Liczba rozwiązań równania g(x)=1 jest równa 10, ponieważ wykresy funkcji y=g(x) oraz y=1 mają 10 punktów wspólnych:

 

 

 

 

Aby otrzymać wykres funkcji g musimy odbić symetrycznie względem osi OY tę część wykresu funkcji f, która znajduje się po prawej stronie osi OY. 

 

Liczba rozwiązań równania g(x)=1 jest równa 6, ponieważ wykresy funkcji y=g(x) oraz y=1 mają 6 punktów wspólnych:

 

 

 

 

 

Wykres funkcji y=f(-|x|) otrzymujemy z wykresu funkcji f, korzystając z tego, że:

- dla x≤0 (należących do dziedziny) zachodzi równość f(-|x|)=f(x). 

- wykres funkcji y=f(-|x|) jest symetryczny względem osi OY. 

Wystarczy więc odbić symetrycznie względem osi OY tę część wykresu, która znajduje się po lewej stronie osi OY. 

 

 

Zauważmy, że wykres funkcji y=f(x) jest symetryczny względem początku układu współrzędnych, więc jest wykresem funkcji nieparzystej. 

Dla funkcji nieparzystej zachodzi warunek:

  

Jeśli za argument x weźmiemy |x| to otrzymujemy:

  

Oznacza to, że wystarczy odbić symetrycznie względem osi OX wykres otrzymany w podpunkcie b). 

 

Każdy z tych sposobów prowadzi do otrzymania następującego wykresu:

Liczba rozwiązań równania g(x)=1 jest równa 4, ponieważ wykresy funkcji y=g(x) oraz y=1 mają 4 punkty wspólne:

 

Oblicz wartość wyrażenia...

 

{premium}