Wykres funkcji kwadratowej - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Ustal wierzchołek paraboli w funkcji $$f(x)=x^2+6x+9$$.

Najpierw wypisujemy współczynniki a,b,c:

$$a=1$$

$$b=6$$

$$c=9$$

Bierzemy wzór na P i Q:

Najpierw P:

$$P={-b}/{2a}$$

Podmieniamy:

$$P={-6}/{2}=-3$$

Oraz Q:

Do Q potrzebujemy obliczyć deltę:

$$∆=b^2-4ac$$

$$∆=6^2-4×1×9$$

$$∆=36-36=0$$

$$∆=0$$

Więc Q:

$$Q={-∆}/{4a}$$


$$Q={-0}/{4}=0$$

Zatem współrzędne wierzchołka to:

$$W(-3;0)$$

Zadanie 2.

Narysuj wykres funkcji $$f(x)=x^2+2x+5$$.

Tutaj musimy zastosować całą procedurę, zatem zaczynamy od wypisania współczynników.

$$a=1$$

$$b=2$$

$$c=5$$

Obliczmy deltę:

$$∆=b^2-4ac$$

$$∆=2^2-4×1×5$$

$$∆=4-20$$

$$∆=-16$$

Delta jest ujemna, więc nie liczymy dalej, nie ma miejsc zerowych. Przechodzimy do wierzchołka.

Najpierw P:

$$P={-b}/{2a}$$

Podmieniamy:

$$P={-2}/2=-1$$

Oraz Q:

$$Q={-∆}/{4a}$$

$$Q=-{-16}/{4a}={16}/4=4$$

Zatem współrzędne wierzchołka to:

$$W(-1;4)$$

Rysujemy więc parabolę:

zad2

Zadanie 3.

Narysuj wykres paraboli funkcji $$f(x)=x^2-2x-8$$.

Standardowo zaczynamy od rozwiązania równania kwadratowego:

$$a=1$$

$$b=-2$$

$$c=-8$$

Obliczmy deltę:

$$∆=b^2-4ac$$

$$∆=(-2)^2-4×1×(-8)$$

$$∆=4+32$$

$$∆=36$$

Obliczmy od razu pierwiastek z delty:

$$√{∆}=√{36}=6$$

No i teraz nasze rozwiązania:

$$x_1={-b+√{∆} }/{2a} $$

$$x_1={2+6}/2=8/2=4 $$

$$x_2={-b-√{∆} }/{2a}$$

$$x_2={2-6}/2={-4}/2=-2$$

Pozostał nam wierzchołek liczymy P:

$$P=-{-2}/2=1$$

Lub możemy policzyć:

$$P={x_1+x_2}/2={4-2}/2=1$$

Oraz Q:

$$Q={-∆}/{4a}$$

$$Q={-36}/{4a}={-36}/{4}=-9$$

Zatem współrzędne wierzchołka to:

$$W(1;-9)$$

Rysujemy parabolę:

zad3

Spis treści

Rozwiązane zadania
Środek okręgu opisanego na trójkącie...

Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku poniżej:{premium}


Trójkąty AOE, ADB, EOD i EDC są przystające na podstawie cechy bkb, więc mają równe pola. Zatem pole trójkąta ABC jest równe sumie pól czterech trójkątów prostokątnych o przyprostokątnych długości 2 i 3.

 


Odp. Pole trójkąta jest równe 12 cm2.

Okrąg F1 o równaniu ...

 

 

 

{premium}

  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Porównajmy odpowiednie współrzędne.

 

 

 

   

 

 

 

 

  

Porównajmy odpowiednie współrzędne.

 

  

  

   

Wyznacz x z równania...

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Pole trójkąta jest równe 20...

Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku poniżej:

{premium}


Mamy dane:

 


Pole trójkąta ABC możemy obliczyć następująco:

 

lub następująco:

 


Powyższe wzory opisują pole tego samego trójkąta. Zatem:

 

 


Skorzystamy z jeszcze jednego wzoru na pole trójkąta (z sinusem) i wyznaczymy długość boku a:

 

 

 

 

 

 

 


Obliczamy długość boku b:

 


Odp. Boki przy kącie rozwartym mają długość 8 cm i 10 cm.

Rozwiąż nierówność

 

 

 

 

 

 

 

 

Kąt BAC ma miarę 30 ...

{premium}

 

 

 

 

 

 

 

Trójkąt ACE ma kąty o mierze 45, 45 i 90 stopni. Wynika stąd, że ACE jest równoramienny.

 

Skorzystamy z następującej tożsamości trygonometrycznej:

 

 

 

 

 

 

 

          

 

 

Z Pitagorasa:

 

    

  

Z własności trójkąta prostokątnego równoramiennego:

 

 

Wiemy, że:

  

      

 

 

W tabeli przedstawiono wyniki sondażu

 

Obliczamy, o ile punktów procentowych wzrosło poparcie dla partii Y: 

 

ODP: Poparcie dla partii Y wzrosło o 4 punkty procentowe. 

 

 

Teraz obliczamy, o{premium} ile procent wzrosła liczba osób popierających partię Y: 

  

ODP: Liczba osób popierających partię Y wzrosła o 25%

 

 

 

 

Obliczamy, o ile punktów procentowych zmalało poparcie dla partii Z: 

 

ODP: Poparcie dla partii Z zmalało o 2 punkty procentowe. 

 

 

Obliczamy, o ile procent zmalała liczba osób popierających partię Z: 

 

ODP: Liczba osób popierających partię Z zmalała o 20%.

Jaka jest największa liczba trzycyfrowa podzielna przez a) 2

Aby liczba dzieliła się przez 2, jej ostatnią cyfrą musi być 0, 2, 4, 6 lub 8. 

Największa liczba trzycyfrowa podzielna przez 2 to{premium} 998. 

 

 

Aby liczba dzieliła się przez 5, jej ostatnią cyfrą musi być 0 lub 5. 

Największa liczba trzycyfrowa podzielna przez 5 to 995. 

 

 

Aby liczba dzieliła się przez 6, musi dzielić się przez 2 i przez 3. Oznacza to, że ostatnią cyfrą tej liczby musi być 0, 2, 4, 6 lub 8, a suma cyfr tej liczby musi dzielić się przez 3.

Sprawdzamy zatem, czy kolejne liczby trzycyfrowe podzielne przez 2 (zaczynając od największej liczby) dzielą się przez 3:

998 - suma cyfr to 9+9+8=26 - liczba nie dzieli się przez 3

996 - suma cyfr to 9+9+6=24 - liczba dzieli się przez 3

Zatem największą liczbą trzycyfrową podzielną przez 6 jest 996. 

 

 

Aby liczba dzieliła się przez 15, musi dzielić się przez 3 i 5. Oznacza to, że ostatnią cyfra tej liczby musi być 0 lub 5, a suma jej cyfr musi dzielić się przez 3. Sprawdzamy zatem, czy kolejne liczby trzycyfrowe podzielne przez 5 (zaczynając od największej liczby) dzielą się przez 3: 

995 - suma cyfr to 9+9+5=23 - liczba nie dzieli się przez 3

990 - suma cyfr to 9+9+0=18 - liczba dzieli się przez 3

Zatem największą liczbą trzycyfrową podzielną przez 15 jest 990. 

Na podstawie wykresu funkcji...

a) Przesuwamy wykres funkcji o 2 jednostki w lewo i 2 jednostki w górę.

 

b) Przesuwamy wykres funkcji o 2 jednostki w prawo i 1 jednostkę w dół.

 

c) Przesuwamy wykres o 4 jednostki w prawo i 4 jednostki w dół.

Wśród 180 studentów przeprowadzono ankietę