Wykres funkcji kwadratowej - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Ustal wierzchołek paraboli w funkcji $$f(x)=x^2+6x+9$$.

Najpierw wypisujemy współczynniki a,b,c:

$$a=1$$

$$b=6$$

$$c=9$$

Bierzemy wzór na P i Q:

Najpierw P:

$$P={-b}/{2a}$$

Podmieniamy:

$$P={-6}/{2}=-3$$

Oraz Q:

Do Q potrzebujemy obliczyć deltę:

$$∆=b^2-4ac$$

$$∆=6^2-4×1×9$$

$$∆=36-36=0$$

$$∆=0$$

Więc Q:

$$Q={-∆}/{4a}$$


$$Q={-0}/{4}=0$$

Zatem współrzędne wierzchołka to:

$$W(-3;0)$$

Zadanie 2.

Narysuj wykres funkcji $$f(x)=x^2+2x+5$$.

Tutaj musimy zastosować całą procedurę, zatem zaczynamy od wypisania współczynników.

$$a=1$$

$$b=2$$

$$c=5$$

Obliczmy deltę:

$$∆=b^2-4ac$$

$$∆=2^2-4×1×5$$

$$∆=4-20$$

$$∆=-16$$

Delta jest ujemna, więc nie liczymy dalej, nie ma miejsc zerowych. Przechodzimy do wierzchołka.

Najpierw P:

$$P={-b}/{2a}$$

Podmieniamy:

$$P={-2}/2=-1$$

Oraz Q:

$$Q={-∆}/{4a}$$

$$Q=-{-16}/{4a}={16}/4=4$$

Zatem współrzędne wierzchołka to:

$$W(-1;4)$$

Rysujemy więc parabolę:

zad2

Zadanie 3.

Narysuj wykres paraboli funkcji $$f(x)=x^2-2x-8$$.

Standardowo zaczynamy od rozwiązania równania kwadratowego:

$$a=1$$

$$b=-2$$

$$c=-8$$

Obliczmy deltę:

$$∆=b^2-4ac$$

$$∆=(-2)^2-4×1×(-8)$$

$$∆=4+32$$

$$∆=36$$

Obliczmy od razu pierwiastek z delty:

$$√{∆}=√{36}=6$$

No i teraz nasze rozwiązania:

$$x_1={-b+√{∆} }/{2a} $$

$$x_1={2+6}/2=8/2=4 $$

$$x_2={-b-√{∆} }/{2a}$$

$$x_2={2-6}/2={-4}/2=-2$$

Pozostał nam wierzchołek liczymy P:

$$P=-{-2}/2=1$$

Lub możemy policzyć:

$$P={x_1+x_2}/2={4-2}/2=1$$

Oraz Q:

$$Q={-∆}/{4a}$$

$$Q={-36}/{4a}={-36}/{4}=-9$$

Zatem współrzędne wierzchołka to:

$$W(1;-9)$$

Rysujemy parabolę:

zad3

Spis treści

Rozwiązane zadania
Zbadaj liczbę rozwiązań...

a) 

`{(2x^2-3x=2+y \ \ |-2),(x^2+2(m-1)x=4m+y):}` 

`{(2x^2-3x-2=y),(x^2+2(m-1)x=4m+2x^2-3x-2):}` 

 

`x^2+2(m-1)x=4m+2x^2-3x-2` 

`x^2+2mx-2x=4m+2x^2-3x-2` 

`x^2+2mx-2x-4m-2x^2+3x+2=0` 

`-1x^2+2mx+1x-4m+2=0` 

`-1x^2+x(2m+1)-4m+2=0` 

`Delta=(2m+1)^2-4*(-1)*(-4m+2)=4m^2+4m+1+4(-4m+2)=4m^2+4m+1-16m+8=4m^2-12m+9` 

 

Δ

`4m^2-12m+9=0` 

`Delta_m=(-12)^2-4*4*9=144-144=0` 

`m=(-(-12))/(2*4)=(12/8)=3/2` 

Odpowiedź:

`"jedno rozwiązanie" \ \ (Delta_m=0) \ \ "dla" \ \ m=3/2` 

`"dwa rozwiązania" \ \ (Delta_m>0) \ \ "dla" \ \ m in (-oo, 3/2)uu(3/2,+oo)` 


b) 

`{(y=mx^2+1),(x^2-2mx=y-m):}` 

`{(y=mx^2+1),(x^2-2mx=mx^2+1-m):}` 

`x^2-2mx=mx^2+1-m` 

`x^2-2mx-mx^2-1+m=0` 

`x^2(1-m)-2mx-1+m=0` 

 

Rozważmy przypadek, gdy `a!=0 \ \ "czyli" \ \ 1-m!=0 \ \ "czyli" \ \  1!=m`   

`Delta=(-2m)^2-4*(1-m)*(-1+m)=4m^2-4*(-1+1m+1m-m^2)=4m^2+4-4m-4m+4m^2=8m^2-8m+4` 

`8m^2-8m+4=0 \ \ \ |:4` 

`2m^2-2m+1=0` 

`Delta_m=(-2)^2-4*2*1=4-8=-4` 

`Delta_m < 0 \ \ "brak miejsc zerowych"` 

`2m^2-2m+1>0 \ \ "dla każdego m"` 

 

Rozważmy przypadek, gdy `1=m` 

`x^2(1-m)-2mx-1+m=0` 

`x^2(1-1)-2*1x-1+1=0` 

`-2x=0 \ \ |:(-2)` 

`x=0` 

 

Odpowiedź:

`"dwa rozwiązania dla" \ \  m in (-oo, 1)uu(1,+oo)` 

`"jedno rozwiązanie dla" \ \ m=1` 

Dziedziną funkcji ...

`f(x)=x^3-3x^2` 

 

Rozważmy zbiór:

`D={0;1;2}` 

`f(0)=0` 

`f(1)=1-3=-2` 

`f(2)=8-12=-4` 

`f(0)>f(1)>f(2)` 

`"f o dziedzinie D jest funkcją malejącą"` 

 

`"Odpowiedź C."`   

Połącz trójmiany równe.

`y=4x^2+8x+4` 

`Delta=64-64=0` 

`x_1=-8/8=-1` 

`y=a(x-x_1)^2=4(x+1)^2` 

 

`ul(y=4x^2+8x+4\ ->\ y=4(x+1)^2` 

 

`y=4x^2-8x+3` 

`Delta=64-48=16` 

`sqrtDelta=4` 

 

`x_1=(8-4)/8=1/2` 

`x_2=(8+4)/8=3/2` 

`y=a(x-x_1)(x-x_2)=4(x-1/2)(x-3/2)` 

`ul(y=4x^2-8x+3\ ->\ y=4(x-1/2)(x-3/2)` 

 

`y=4x^2+6x+2` 

`Delta=36-32=4` 

`sqrtDelta=2` 

 

`x_1=(-6-2)/8=-1` 

`x_2=(-6+2)/8=-1/2` 

`y=a(x-x_1)(x_x_2)=4(x+1)(x-1/2)` 

`ul(y=4x^2+6x+2\ ->\ y=4(x+1/2)(x+1)`        

Znajdź największą liczbę

`a)`

`(2x+1)/3-(3x-1)/2>1\ \ \ |*6`

`2(2x+1)-3(3x-1)>6`

`4x+2-9x+3>6`

`-5x+5>6\ \ \ |-5`

`-5x>1\ \ \ \ |:(-5)`

`x< -1/5`

Największa liczba całkowita spełniająca powyższą nierówność to -1. 

 

 

`b)`

`(7x+1)/9-(4x-5)/5>1\ \ \ |*45`

`5(7x+1)-9(4x-5)>45`

`35x+5-36x+45>45\ \ \ |-45`

`-x+5>0\ \ \ |-5`

`-x> -5\ \ \ |*(-1)`

`x<5`

Największa liczba naturalna spełniająca tą nierówność to 4. 

 

 

 

`c)`

`(4x-3)/3-(8x-2)/5> -8/7\ \ \ |*105`

`35(4x-3)-21(8x-2)> -8/strike7^1*strike105^15`

`140x-105-168x+42> -120`

`-28x -63> - 120\ \ \ |+63`

`-28x> -57\ \ \ |:(-28)`

`x<57/28`

`x<2 1/28`

Największa liczba naturalna spełniająca tą nierówność to 2.

 

 

 

`d)`

`(3x-5)/4-(5x-8)/6>1/6\ \ \ |*12`

`3(3x-5)-2(5x-8)>2`

`9x-15-10x+16>2`

`-x+1>2\ \ \ |-1`

`-x>1\ \ \ |*(-1)`

`x< -1`

Największa liczba całkowita spełniająca tą nierówność to -2. 

W układzie współrzędnych narysowane są...

Zwróćmy uwagę na punkt A=(1,1), obraz tego punktu w przesuniętym wykresie ma współrzędne (-4, -1)

Zatem musimy się przesunąć o 5 jednostek w lewo i 2 jednostki w dół, wzór funkcji g to:

`g(x) = f(x+5) - 2` 

Odpowiedź: C

Liczba (√2-√3)² - ...

Przypomnijmy wzory na kwadrat sumy i różnicy:

`(a-b)^2=a^2-2ab+b^2` 

`(a+b)^2=a^2+2ab+b^2` 

 

`(sqrt2-sqrt3)^2-(2sqrt3+sqrt2)^2=(sqrt2)^2-2sqrt2sqrt3+(sqrt3)^2-((2sqrt3)^2+2*2sqrt3*sqrt2+(sqrt2)^2)=` 

`=2-2sqrt6+3-(12+4sqrt6+2)=5-2sqrt6-(14+4sqrt6)=5-2sqrt6-14-4sqrt6=-9-6sqrt2=-3(3+2sqrt6)` 

 

Odp: C

Podstawa trójkąta równoramiennego jest cztery razy ...

a)

Podstawa tego trójkąta jest cztery razy większa od jego wysokości- zatem oznaczmy sobie wysokość jako x, a podstawę jako 4x.

`P=1/2*4x*x=2x^2`

`2x^2=36`       `/:2`

`x^2=18`        `/sqrt`

`x=sqrt18`

`x=sqrt(9*2)`

`x=3sqrt2 cm`

 

Z twierdzenia Pitagorasa obliczamy długość ramienia tego kąta (oznaczmy ją jako y)

`x^2+2x^2=y^2`

`(3sqrt2)^2+(2*3sqrt2)^2=y^2`

`(3sqrt2)^2+(6sqrt2)^2=y^2`

`9*2+36*2=y^2`

`18+72=y^2`

`y^2=90`      `/sqrt`

`y=sqrt90=sqrt()=3sqrt10 cm`

 

 

`O=4x+2*y`

`O=4*3sqrt2 cm+2*3sqrt10 cm=12sqrt2cm+6sqrt10cm= 6(2sqrt2+sqrt10)cm`

 

 

b)

Oznaczmy sobie wysokość trójkąta jako h, a długość podstawy jako a. Dzięki znajomości stosunku długości tych dwóch odcinków uzależniamy sobie jedną długość od drugiej. 

`h/a=sqrt3/6`        

`6h=asqrt3`       `/:6`

`h=(sqrt3a)/6`

 

 

`P=1/2*a*h`

`P=1/2*a*(sqrt3a)/6= (a^2sqrt3)/12`

`12sqrt3=(a^2sqrt3)/12`      `/*12`

`144sqrt3=a^2sqrt3`          `/:sqrt3`

`144=a^2 `                    `/sqrt`

`a=12cm`

 

`h=(sqrt3a)/6=(sqrt3*12)/6=2sqrt3`

 

Oznaczmy sobie jako c długość ramienia tego trójkąta. Obliczmy z twierdzenia Pitagorasa jego długość:

`(a/2)^2+h^2=c^2`

`6^2+(2sqrt3)^2=c^2`

`36+4*3=c^2`

`36+12=c^2`

`c^2=48 `            `/sqrt`

`c=sqrt48=sqrt(16*3)=4sqrt3cm`

 

`O=a+2c=12cm+ 2*4sqrt3 cm =12cm+8sqrt3cm=ul(ul(4(3+2sqrt3)cm))`

 

Oznaczmy sobie kąt między ramieniem a wysokością tego trójkąta jako α.

 

Do obliczenia miary kąta α posłuży nam (ponieważ znamy wszystkie boki trójkąta prostokątnego) dowolna funkcja trygonometryczna.

 

`sinalpha=(strike6)/(strike4sqrt3)=3/(2sqrt3)*sqrt3/sqrt3=(strike3sqrt3)/(2*strike3)=sqrt3/2 `

`sinalpha=sqrt3/2`

`alpha60^o`

`2alpha=120^o`

Obliczmy miary kątów leżących przy podstawie- jest to trójkąt równoramienny, zatem kąty te mają taką samą miarę, oznaczmą ją jako ß.

`2beta+120^o=180^o`

`2beta=180^o-120^o`

`2beta=60^o` `/:2`

`beta=30^o`

Kąty wewnętrzne tego trójkąta to 120o,30o,30o.

Naszkicuj wykres funkcji nierosnącej...

Wykres:

 

Zauważmy, że w przedziale:

`[-3,3]` 

Jest nieskończenie wiele liczb rzeczywistych a więc funkcja ma nieskończenie wiele miejsc zerowych.

W tabeli podane są dane liczbowe

W każdym przykładzie liczbę ludności danego państwa oznaczymy jako x. 

 

`ul("Brazylia")`

`62%*x=98\ 846\ tys.`

`0,62*x=98 \ 846\ tys.`

`x=98\ 846\ tys.:0,62=159\ 429,0323\ tys.=159,4290323 \ m l n~~159,4\ ml n`

 

 

`ul("Chiny")`

`59,5%*x=786\ 450\ tys.`

`0,595*x=786\ 450\ tys.`

`x=786\ 450\ tys.\ :0,595=786,45\ m l n:0,595=1321,764... ml n~~1321,8\ ml n`

 

 

`ul("Holandia")`

`54,6%*x=8836\ tys.`

`0,546*x=8,836 \ ml n`

`x=8,836\ ml n:0,546=16,183...\ ml n~~16,2\ ml n`

 

 

`ul("Łotwa")`

`53,5%*x=1215\ tys.`

`0,535*x=1,215\ ml n`

`x=1,215\ ml n:0,535=2,271... ml n~~2,3 \ ml n`

 

 

`ul("Dania")`

`53,8%*x=2952 \ tys.`

`0,538*x=2,952\ ml n`

`x=2,952\ ml n:0,538=5,486...\ ml n~~5,5\ ml n`

Narysuj dowolny trójkąt ABC, a następnie skonstruuj trójkąt A'B'C'

`a)`

Skala 3 oznacza, że każdy bok trójkąta A'B'C' będzie 3 razy dłuższy od odpowiadającego mu boku trójkąta ABC. 

 

 

 

`b)`

 

 

 

`c)`