Wykres funkcji kwadratowej - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

 Narysujmy kilka wykresów funkcji spełniających podany warunek.

W takim razie należy zamalować zbiór pomiędzy osią  i wykresem funkcji    

{premium}  Należy zamalować część płaszczyzny pomiędzy osią  oraz prostą o współczynniku kierunkowym równym  (bez tej prostej).

 Analogicznie jak w podpunkcie  przy czym dołączamy prostą  

 Analogicznie jak w podpunkcie  

 Należy zamalować obszar płaszczyzny ograniczony prostymi  oraz  

 Należy zamalować obszar płaszczyzny ograniczony osią  i prostą  oraz ograniczony osią  i prostą  

Wyznaczmy odciętą wierzchołka paraboli

{premium}  

Ramiona paraboli są skierowane ku dołowi a więc funkcja przyjmuje w wierzchołku wartość największą.

Wartość najmniejsza będzie na tym krańcu odcinka, który jest położony dalej od odciętej. A więc dla x = - 1 funkcja przyjmuje wartość najmniejszą.

Szukamy funkcji postaci  {premium}

Ponieważ wykres przechodzi przez punkt  to  

Czyli prosta ma postać  

Wstawiamy współrzędne miejsca zerowego i wyznaczamy  

Czyli szukana funkcja liniowa wyraża się wzorem  

Za zakupy Waldek zapłacił

Obliczamy, ile{premium} złotych reszty otrzymał z 20 zł:

Prawidłowa odpowiedź to C.

a) Wprowadźmy oznaczenie:

x- masa 20 litrów benzyny


Obliczmy, ile waży 1 l benzyny:   {premium}

 


Obliczmy, ile waży 20 litrów takiej benzyny:

 


Odp.: 20 litrów benzyny waży 14 kg. 


b) Wprowadźmy oznaczenie:

y- liczba dni, na które wystarczy zapas ziarna gdy do karmnika będzie przylatywało 40 ptaków


Obliczmy, na ile dni wystarczyłby zapas ziarna gdyby do karmnika przylatywał dziennie 1 ptak:

 


Obliczmy, na ile dni wystarczy zapas ziarna jeśli do karmnika będzie przylatywało 40 ptaków:

 


Odp.: Zapas ziarna wystarczy wtedy na 60 dni. 

Układ równań będzie nieoznaczony, gdy{premium} oba równania w układzie będą takie same.

Przekształcamy dane równania w taki sposób, by po lewej stronie otrzymać wyrażenie 7x-4y.

Powyższego równania nie jesteśmy w stanie przekształcić w w taki sposób, by po lewej stronie otrzymać wyrażenie 7x-4y. Oznacza to, że po dopisaniu równania A otrzymamy układ oznaczony.

Otrzymaliśmy takie samo równanie, jakie znajduje się już w układzie. Oznacza to, że po dopisaniu równania B otrzymamy układ nieoznaczony.

Powyższego równania nie jesteśmy w stanie przekształcić w w taki sposób, by po lewej stronie otrzymać wyrażenie 7x-4y. Oznacza to, że po dopisaniu równania C otrzymamy układ oznaczony.

Po prawej stronie równań 7x-4y=8 i 7x-4y=-8 mamy różne liczby, więc po dopisaniu równania D otrzymamy układ sprzeczny.

Prawidłowa odpowiedź to B.

a) Wykres:

Wystarczy narysować wykres cechy [x] a następnie odbić go symetrycznie względem osi x.

• Dziedzina:

• Zbiór wartości:

• Miejscami zerowymi są wszystkie liczby należące do przedziału:

b) Zauważmy, że:

{premium}   

Zatem

Wykres:

• Dziedzina:

• Zbór wartości:

Miejsca zerowe - brak.

c) Funkcja signum jest dana wzorem:

Zatem:

• Dziedzina:

• Zbiór wartości:

• Miejsca zerowe:

Niech punkty A, B, C należące do okręgu o środku w punkcie O i promieniu  dzielą go na łuki. Prowadzimy cięciwy AB, BC, AC.

Wykonajmy rysunek pomocniczy.

 {premium}

Jeśli A, B i C są dowolnymi punktami okręgu o środku w punkcie O i promieniu , to:

Dla trzech niewspółliniowych punktów A, O i B zachodzi nierówność

Podobnie jest w przypadku niewspółliniowych punktów B, C, O oraz A, C, O:

Wobec tego

Punkty A, B, C są różne, więc wykluczamy przypadek, gdy wszystkie cztery punkty (łącznie ze środkiem okręgu) leżą na jednej prostej (dwa spośród punktów A, B, C musiałyby się pokrywać). Musimy natomiast rozważyć jeszcze przypadek, gdy dwa spośród A, B i C oraz punkt O leżą na jednej prostej. Załóżmy, że to punkty A, B i O są współliniowe.

Wykonajmy rysunek pomocniczy.

W takim przypadku otrzymalibyśmy następujące nierówności:

Wobec tego

Udowodniliśmy, że suma długości trzech cięciw okręgu o promieniu r jest mniejsza od 6r.

Niech:

a) Do wykresu funkcji{premium} f należą punkty (0, 3) oraz (2, -1). Obliczamy współczynnik kierunkowy funkcji f:

Podstawiamy a=-2 oraz współrzędne punktu A=(2, 3) do wzoru funkcji g i wyznaczamy c:

Zatem:

b) Do wykresu funkcji f należą punkty (0, 0) oraz (3, 1). Obliczamy współczynnik kierunkowy funkcji f:

Podstawiamy a=1/3 oraz współrzędne punktu A=(2, 3) do wzoru funkcji g i wyznaczamy c:

Zatem:

c) Do wykresu funkcji f należą punkty (-3, 0) oraz (-2, 2). Obliczamy współczynnik kierunkowy funkcji f:

Podstawiamy a=2 oraz współrzędne punktu A=(2, 3) do wzoru funkcji g i wyznaczamy c:

Zatem:

a)

Pole prostokąta jest iloczynem długości boków a  i b,

gdzie a = x + 4   i   b = x - 1, więc

a i b są długościami boków prostokąta, więc a > 0 i b > 0, czyli{premium}

skąd dostajemy, że 

Odp.      

b)

Pole trójkąta jest połową iloczynu długości boku a  i wysokości h opuszczonej na ten bok,

gdzie a = x - 2  i   h = x - 4, więc

Zauważmy, że  a > 0 i h > 0, czyli

skąd dostajemy, że 

Odp.      

c)

Pole trapezu wyraża się wzorem

gdzie a = x + 6,  b = x  i   h = x - 1,  więc

Zauważmy, że a > 0,  b > 0  i  h > 0, czyli

skąd dostajemy, że 

Odp.