Zgoda na przetwarzanie danych osobowych

25 maja 2018 roku zacznie obowiązywać Rozporządzenie Parlamentu Europejskiego i Rady (UE) 2016/679 z dnia 27 kwietnia 2016 r. znane jako RODO.

Dlatego aby dalej móc dostarczać Ci materiały odpowiednie do Twojego etapu edukacji, potrzebujemy zgody na lepsze dopasowanie treści do Twojego zachowania. Dzięki temu możemy zapamiętywać jakie materiały są Ci potrzebne. Dbamy o Twoją prywatność, więc nie zwiększamy zakresu naszych uprawnień. Twoje dane są u nas bezpieczne, a zgodę na ich zbieranie możesz wycofać na podstronie polityka prywatności.

Klikając "Przejdź do Odrabiamy", zgadzasz się na wskazane powyżej działania. W przeciwnym wypadku, nie jesteśmy w stanie zrealizować usługi kompleksowo i prosimy o opuszczenie strony.

Polityka prywatności

Drogi Użytkowniku w każdej chwili masz prawo cofnąć zgodę na przetwarzanie Twoich danych osobowych. Cofnięcie zgody nie będzie wpływać na zgodność z prawem przetwarzania, którego dokonano na podstawie wyrażonej przez Ciebie zgody przed jej wycofaniem. Po cofnięciu zgody wszystkie twoje dane zostaną usunięte z serwisu. Udzielenie zgody możesz modyfikować w zakładce 'Informacja o danych osobowych'

Wykres funkcji kwadratowej - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Ustal wierzchołek paraboli w funkcji $$f(x)=x^2+6x+9$$.

Najpierw wypisujemy współczynniki a,b,c:

$$a=1$$

$$b=6$$

$$c=9$$

Bierzemy wzór na P i Q:

Najpierw P:

$$P={-b}/{2a}$$

Podmieniamy:

$$P={-6}/{2}=-3$$

Oraz Q:

Do Q potrzebujemy obliczyć deltę:

$$∆=b^2-4ac$$

$$∆=6^2-4×1×9$$

$$∆=36-36=0$$

$$∆=0$$

Więc Q:

$$Q={-∆}/{4a}$$


$$Q={-0}/{4}=0$$

Zatem współrzędne wierzchołka to:

$$W(-3;0)$$

Zadanie 2.

Narysuj wykres funkcji $$f(x)=x^2+2x+5$$.

Tutaj musimy zastosować całą procedurę, zatem zaczynamy od wypisania współczynników.

$$a=1$$

$$b=2$$

$$c=5$$

Obliczmy deltę:

$$∆=b^2-4ac$$

$$∆=2^2-4×1×5$$

$$∆=4-20$$

$$∆=-16$$

Delta jest ujemna, więc nie liczymy dalej, nie ma miejsc zerowych. Przechodzimy do wierzchołka.

Najpierw P:

$$P={-b}/{2a}$$

Podmieniamy:

$$P={-2}/2=-1$$

Oraz Q:

$$Q={-∆}/{4a}$$

$$Q=-{-16}/{4a}={16}/4=4$$

Zatem współrzędne wierzchołka to:

$$W(-1;4)$$

Rysujemy więc parabolę:

zad2

Zadanie 3.

Narysuj wykres paraboli funkcji $$f(x)=x^2-2x-8$$.

Standardowo zaczynamy od rozwiązania równania kwadratowego:

$$a=1$$

$$b=-2$$

$$c=-8$$

Obliczmy deltę:

$$∆=b^2-4ac$$

$$∆=(-2)^2-4×1×(-8)$$

$$∆=4+32$$

$$∆=36$$

Obliczmy od razu pierwiastek z delty:

$$√{∆}=√{36}=6$$

No i teraz nasze rozwiązania:

$$x_1={-b+√{∆} }/{2a} $$

$$x_1={2+6}/2=8/2=4 $$

$$x_2={-b-√{∆} }/{2a}$$

$$x_2={2-6}/2={-4}/2=-2$$

Pozostał nam wierzchołek liczymy P:

$$P=-{-2}/2=1$$

Lub możemy policzyć:

$$P={x_1+x_2}/2={4-2}/2=1$$

Oraz Q:

$$Q={-∆}/{4a}$$

$$Q={-36}/{4a}={-36}/{4}=-9$$

Zatem współrzędne wierzchołka to:

$$W(1;-9)$$

Rysujemy parabolę:

zad3

Spis treści

Rozwiązane zadania
Która z wypisanych poniżej liter ...

Litery osiowosymetryczne:

A, B, C, D, E, H, I, M, O, T, U, V, W, X, Y

Litery środkowosymetryczne:

H, I, N, O, S, X, Z  

Podaj skalę jednokładności...

Obwód kwadratu o boku a jest dany wzorem:

`Obw = 4a`

Pole kwadratu u boku a jest dane wzorem:

`P= a^2`

 

A więc w naszym zadaniu obwód i pole wynoszą:

`Obw = 4*2=8 \ [cm]`

`P=2^2 = 4 \ [cm^2]`

 

Obwód obrazu naszego kwadratu wynosi 32 cm, obliczmy skalę:

`Obw_n = k* Obw`

`32 = |k|*8 \ \ \ |:8`

`|k| = 4`

`k=4 \ \ \ vee \ \ \ k=-4`

 

Musimy pamiętać, że skala k przekształca długość boku a tak, że bok będzie miał długość:

`k*a` 

 

A więc pole kwadratu wtedy wynosi:

`P= k*a*k*a = k^2 a^2`

Więc pole nowego kwadratu względem starego wynosi:

`P_n = k^2 * P`

`1 = k^2 * 4 \ \ \ |:4`

`k^2 = 1/4 `

`|k|=1/2`

`k=1/2 \ \ \ vee \ \ \ k=-1/2`

Czy istnieje liczba rzeczywista, która jest jednocześnie wymierna i niewymierna

a) NIE - zbiory liczb wymiernych i niewymiernych są rozłączne, co oznacza, że nie mają części wspólnej, czyli że nie istnieje liczba, która byłaby jednocześnie wymierna i niewymierna 

 

b) TAK - taką liczbą jest 0. 

Rozwiąż graficznie układ równań

W każdym układzie przekształcamy równania do postaci kierunkowej, aby łatwo można było narysować wykresy. 

 

`a)`

`{(2x-y=-4\ \ \ \ |-2x), (x+y=1\ \ \ \ |-x):}`

`{(-y=-2x-4\ \ \ |*(-1)), (y=1-x):}`

`{(y=2x+4), (y=1-x):}`

 

 

Dla każdej prostej wyznaczamy współrzędne dwóch punktów, które do niej należą (dzięki temu będziemy mogli narysować wykres, prowadząc prostą przez te punkty). 

`y=2x+4`

`x=0\ \ \ ->\ \ \ y=2*0+4=0+4=4`

`x=-1\ \ \ ->\ \ \ y=2*(-1)+4=-2+4=2`

 

 

`y=1-x`

`x=0\ \ \ ->\ \ \ y=1-0=1`

`x=2\ \ \ ->\ \ \ y=1-2=-1`

 

Rysujemy wykresy w jednym układzie współrzędnych i odczytujemy współrzędne punktu przecięcia - jest to rozwiązanie układu równań.

   

 

`{(x=-1), (y=2):}`

 

 

`b)`

`{(4x-y=3\ \ \ \|-4x), (-x+2y=8\ \ \ |+x):}`

`{(-y=-4x+3\ \ \ \|*(-1)), (2y=x+8\ \ \ |:2):}`

`{(y=4x-3), (y=1/2x+4):}`

 

`y=4x-3`

`x=0\ \ \ ->\ \ \ y=4*0-3=0-3=-3`

`x=1\ \ \ ->\ \ \ y=4*1-3=4-3=1`

 

 

`y=1/2x+4`

`x=0\ \ \ ->\ \ \ y=1/2*0+4=0+4=4`

`x=2\ \ \ ->\ \ \ y=1/2*2+4=1+4=5`

 

`{(x=2), (y=5):}`

 

 

 

`c)`

`{(x-y-3=0\ \ \ |+y), (3x+y=1\ \ \ |-3x):}`

`{(y=x-3), (y=1-3x):}`

 

`y=x-3`

`x=0\ \ \ ->\ \ \ y=0-3=-3`

`x=4\ \ \ ->\ \ \ y=4-3=1`

 

 

`y=1-3x`

`x=0\ \ \ ->\ \ \ y=1-3*0=1-0=1`

`x=2\ \ \ ->\ \ \ y=1-3*2=1-6=-5`

 

`{(x=1), (y=-2):}`

Funkcja f przyporządkowuje każdej liczbie...

Liczba przeciwna do x to:

`-x` 

Połowa z tej liczby to:

`1/2*(-x) = -1/2x` 

 

Odpowiedź C

Który zbiór jest różnicą zbiorów

 

Prawidłowa jest odpowiedź B. 

Dany jest trójką prostokątny...

Z twierdzenia Pitagorasa obliczmy długość przeciwprostokątnej:

`3^2 + 5^2 = c^2`  

`9 + 25 = c^2` 

`c^2 = 34` 

`c = sqrt34` 

 

`sin alpha = 5/c = 5/sqrt34 = (5sqrt34)/34` 

Odpowiedź D

Równanie (k+1/2)x^2+k=(k+1)x...

`(k+1/2)x^2+k=(k+1)x` 

`(k+1/2)x^2-(k+1)x+k=0` 

 

Przypadek I.

`k+1/2!=0 \ \ \ "czyli" \ \ \ k!=-1/2` 

`Delta=0` 

`(-(k+1))^2-4*(k+1/2)k=0` 

`k^2+2k+1-4k^2-2k=0` 

`-3k^2+1=0 \ \ \ |*(-1)` 

`3k^2-1=0` 

`3k^2=1 \ \ \ |:3` 

`k^2=1/3` 

`k=sqrt(1/3) \ \ \ "lub" \ \ \ k=-sqrt(1/3)` 

`k=sqrt3/3 \ \ \ "lub" \ \ \ k=-sqrt3/3` 

 

Przypadek II.

`k+1/2=0 \ \ \ "czyli" \ \ \ k=-1/2` 

`(-1/2+1/2)x^2-1/2=(-1/2+1)x` 

`-1/2=1/2x \ \ \ |:1/2` 

`-1=x` 

 

 

Odp. A

 

 

Rozwiąż nierówność

Należy pamiętać, że jeśli mnożymy lub dzielimy nierówność przez liczbę ujemną, to należy zmienić kierunek nierówności. 

 

 

`a)` 

`3x-2<5\ \ \ |+2` 

`3x<7\ \ \ |:3` 

`x<7/3` 

 

 

 

`b)` 

`(x+4)/3<1\ \ \ \ |*3` 

`x+4<3\ \ \ \-4` 

`x<-1` 

 

 

`c)` 

`3x+2>=4\ \ \ |-2` 

`3x>=2\ \ \ |:3` 

`x>=2/3` 

 

 

`d)` 

`(x-4)/5> -2\ \ \ |*5` 

`x-4> -10\ \ \ |+4` 

`x> -6` 

 

 

`e)` 

`2-x<1\ \ \ |-2` 

`-x< -1\ \ \ |*(-1)` 

`x>1` 

 

 

`f)` 

`(2x-1)/4<=2\ \ \ \ |*4` 

`2x-1<=8\ \ \ |+1` 

`2x<=9\ \ \ |:2` 

`x<=9/2` 

 

 

`g)` 

`6-x>=-2\ \ \ |-6` 

`-x>=-8\ \ \ |*(-1)` 

`x<=8` 

 

 

`h)` 

`(1-3x)/2>=1\ \ \ |*2` 

`1-3x>=2\ \ \ |-1` 

`-3x>=1\ \ \ |:(-3)` 

`x<=-1/3` 

 

Obrazem punktu A w jednokładności ...

`a)` 

`A=(1;1)` 

`A'=(-1;1)` 

`B=(1;4)` 

`B'=(-1;8)`  

`P=(x;y)` 

 

`k=|A'B'|/|AB|` 

`|A'B'|=sqrt((-1+1)^2+(8-1)^2)=7` 

`|AB|=sqrt((1-1)^2+(4-1)^2)=3` 

`ul(k=7/3`    

`7/3|AP|=|A'P|`  

`7/3[x-1;y-1]=[x+1;y-1]` 

Porównujemy współrzędne.

`7/3x-7/3=x+1` 

`4/3x=10/3` 

`x=10/4=5/2` 

 

`7/3(y-1)=y-1` 

`7/3y - 7/3 = y - 1` 

`4/3y = 4/3` 

`y = 1` 

 

`ul(P=(5/2;1)` 

 

`b)` 

`A=(2;-2)` 

`A'=(-4;0)` 

`B=(4;0)` 

`B'=(2;6)` 

`P=(x;y)`  

 

`k=|A'B'|/|AB|` 

`|A'B'|=sqrt((2+4)^2+6^2)=6sqrt2`  

`|AB|=sqrt((4-2)^2+(0+2)^2)=2sqrt2`  

`ul(k=(6sqrt2)/(2sqrt2)=3`     

`3|AP|=|A'P|`  

`3[x-2;y+2]=[x+4;y]` 

Porównujemy współrzędne.

`3x-6=x+4\ \ \wedge\ \ \3y+6=y` 

`2x=10\ implies\ x=5` 

`2y=-6\ implies \ y=-3`  

`ul(P=(5;-3)`