Wykres funkcji kwadratowej - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Ustal wierzchołek paraboli w funkcji $$f(x)=x^2+6x+9$$.

Najpierw wypisujemy współczynniki a,b,c:

$$a=1$$

$$b=6$$

$$c=9$$

Bierzemy wzór na P i Q:

Najpierw P:

$$P={-b}/{2a}$$

Podmieniamy:

$$P={-6}/{2}=-3$$

Oraz Q:

Do Q potrzebujemy obliczyć deltę:

$$∆=b^2-4ac$$

$$∆=6^2-4×1×9$$

$$∆=36-36=0$$

$$∆=0$$

Więc Q:

$$Q={-∆}/{4a}$$


$$Q={-0}/{4}=0$$

Zatem współrzędne wierzchołka to:

$$W(-3;0)$$

Zadanie 2.

Narysuj wykres funkcji $$f(x)=x^2+2x+5$$.

Tutaj musimy zastosować całą procedurę, zatem zaczynamy od wypisania współczynników.

$$a=1$$

$$b=2$$

$$c=5$$

Obliczmy deltę:

$$∆=b^2-4ac$$

$$∆=2^2-4×1×5$$

$$∆=4-20$$

$$∆=-16$$

Delta jest ujemna, więc nie liczymy dalej, nie ma miejsc zerowych. Przechodzimy do wierzchołka.

Najpierw P:

$$P={-b}/{2a}$$

Podmieniamy:

$$P={-2}/2=-1$$

Oraz Q:

$$Q={-∆}/{4a}$$

$$Q=-{-16}/{4a}={16}/4=4$$

Zatem współrzędne wierzchołka to:

$$W(-1;4)$$

Rysujemy więc parabolę:

zad2

Zadanie 3.

Narysuj wykres paraboli funkcji $$f(x)=x^2-2x-8$$.

Standardowo zaczynamy od rozwiązania równania kwadratowego:

$$a=1$$

$$b=-2$$

$$c=-8$$

Obliczmy deltę:

$$∆=b^2-4ac$$

$$∆=(-2)^2-4×1×(-8)$$

$$∆=4+32$$

$$∆=36$$

Obliczmy od razu pierwiastek z delty:

$$√{∆}=√{36}=6$$

No i teraz nasze rozwiązania:

$$x_1={-b+√{∆} }/{2a} $$

$$x_1={2+6}/2=8/2=4 $$

$$x_2={-b-√{∆} }/{2a}$$

$$x_2={2-6}/2={-4}/2=-2$$

Pozostał nam wierzchołek liczymy P:

$$P=-{-2}/2=1$$

Lub możemy policzyć:

$$P={x_1+x_2}/2={4-2}/2=1$$

Oraz Q:

$$Q={-∆}/{4a}$$

$$Q={-36}/{4a}={-36}/{4}=-9$$

Zatem współrzędne wierzchołka to:

$$W(1;-9)$$

Rysujemy parabolę:

zad3

Spis treści

Rozwiązane zadania
Opisz, w jakich przedziałach mieszczą się rzeczywiste

Rzeczywiste wymiary średnicy śruby mieszczą się w przedziale:

 

Rzeczywiste wymiary długości śruby mieszczą się w przedziale:

 

 

Liczby x i y są liczbami pierwszymi...

Liczby  i  są liczbami pierwszymi (różnymi od  to ważne!), więc są liczbami nieparzystymi. {premium}

Suma liczb nieparzystych jest liczbą parzystą, więc  jest liczbą złożoną.

Liczba  jest podzielna przez  więc jest liczbą złożoną.

Jeśli do pierwszej liczby dodamy podwojoną drugą liczbę ...

Napisz zaprzeczenia podanych zdań...

Prawo zaprzeczenia implikacji:

 


  

Zaprzeczenie jest zdaniem fałszywym, bo zdanie  jest fałszywe.


 

Zaprzeczenie jest zdaniem prawdziwym, bo oba zdania składowe są prawdziwe. {premium}


 

Zaprzeczenie jest zdaniem fałszywym, bo zdanie  jest fałszywe.


 

Zaprzeczenie jest zdaniem prawdziwym, bo oba zdania składowe są prawdziwe.


 

Zaprzeczenie jest zdaniem prawdziwym, bo oba zdania składowe są prawdziwe.


 

Zaprzeczenie jest zdaniem prawdziwym, bo oba zdania składowe są prawdziwe.


 

Zaprzeczenie jest zdaniem prawdziwym, bo oba zdania składowe są prawdziwe.


 

Zaprzeczenie jest zdaniem prawdziwym, bo oba zdania składowe są prawdziwe.

Rozwiąż nierówność

 

 

 

 

{premium}

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

   (nierówność jest sprzeczna)

 

 

 

 

 

 

 

 

   (każda liczba spełnia tą nierówność) 

Oblicz pole części wspólnej równoległoboku ...

 

Częścią wspólną obu figur jest trójkąt równoramienny o podstawie równej 4 i wysokości równej 2.

Pole P wspomnianego trójkąta jest równe:

 

 

 

Na część wspólną obu figur składa się kwadrat i dwa trójkąty równoramienne o podstawie równej 2 i wysokości równej 1.

Pole P wspomnianego obszaru jest równe:

   

Przedstaw funkcję f w postaci iloczynowej

`a)\ f(x)=2x^2-6x=2x(x-3)`{premium}

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Odgadnij regułę

Wiemy, że każde rozwinięcie dziesiętne okresowe przedstawia liczbę wymierną. Jeśli więc rozwinięcie dziesiętne jest nieokresowe nieskończone, to liczba jest niewymierna. 

 

 

Jest to ułamek okresowy, więc jest to liczba wymierna. 

 

Zauważmy, że na co trzecim miejscu począwszy od miejsca drugiego znajduje się 1. Numery miejsc, na których znajduje się cyfra 1 to: 2, 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26, 29, 32, 35...

Na trzydziestym drugim miejscu po przecinku tego rozwinięcia znajduje się cyfra 1. 

 

 

 

Jest to ułamek okresowy, więc jest to liczba wymierna. 

 

Zauważmy, że:

  • na pierwszym, czwartym, siódmym itd. miejscu znajduje się cyfra 5 - numer miejsca to liczba, która przy dzieleniu przez 3 daje resztę 1
  • na drugim, piątym, ósmym itd. miejscu znajduje się cyfra 6 - numer miejsca to liczba, która przy dzieleniu przez 3 daje resztę 2
  • na trzecim, szóstym, dziewiątym itd. miejscu znajduje się cyfra 7 - numer miejsca to liczba podzielna przez 3

Liczba 32 przy dzieleniu przez 3 daje resztę 2, więc na trzydziestym drugim miejscu znajduje się cyfra 6. 

 

 

 

Nie jest to liczba wymierna, ponieważ rozwinięcie dziesiętne jest nieskończone nieokresowe - po przecinku wypisujemy kolejne liczby naturalne. 

  

Na trzydziestym drugim miejscu po przecinku znajduje się cyfra 2. 

 

 

 

 

Nie jest to liczba wymierna, ponieważ rozwinięcie dziesiętne jest nieskończone nieokresowe - po przecinku znajduje się kolejno:

  • jedna piątka oraz jeden
  • dwie piątki oraz jeden
  • trzy piątki oraz jeden
  • cztery piątki oraz jeden
  • pięć piątek oraz jeden

i tak dalej. 

 

  

Na trzydziestym drugim miejscu po przecinku znajduje się cyfra 5.

W trójkąt ABC...

Przeciwległe boki w rombie są równoległe. Znajdziemy trójkąty parami podobne by wykazać tezę.

Trójkąty ABC i NPC są podobne, gdyż mają jeden kąt wspólny

 

oraz kąty odpowiadające mają równe miary, czyli:

 {premium}

stąd wynika, że trójkąty ABC i NPC są podobne. Skupmy się teraz na trójkątach ABC i BMN, w analogiczny sposób są podobne jak trójkąty ABC i NPC. Kąt wspólny:

  

kąty odpowiadające:

 

a więc skoro trójkąty ABC i NPC są podobne oraz trójkąty ABC i BMN są podobne to z tego wynika, że trójkąty BMN i NPC są podobne.

 

Z podobieństwa trójkątów wynika, że:

 

wiemy, że czworokąt AMNP jest rombem zatem:

 

 

 

 

 

Wyznacz współczynnik

 

Jeśli podana liczba ma być miejscem zerowym funkcji f, to musi zachodzić równość:

 

 {premium}

 

 

 

 

Funkcja f jest więc dana wzorem:

 

Wystarczy więc wykres funkcji g(x)=|3x| przesunąć o 1/2 jednostki w prawo wzdłuż osi OX.   

 

 

 

 

Jeśli podana liczba ma być miejscem zerowym funkcji f, to musi zachodzić równość:

 

 

 

 

 

 

Funkcja f jest więc dana wzorem:

 

 

Wystarczy więc wykres funkcji g(x)=|1/2x| przesunąć o 4 jednostki w lewo wzdłuż osi OX.