Wykres funkcji kwadratowej - matura-podstawowa - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Wykres funkcji kwadratowej - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Ustal wierzchołek paraboli w funkcji $f(x)=x^2+6x+9$.

Najpierw wypisujemy współczynniki a,b,c:

$a=1$

$b=6$

$c=9$

Bierzemy wzór na P i Q:

Najpierw P:

$P={-b}/{2a}$

Podmieniamy:

$P={-6}/{2}=-3$

Oraz Q:

Do Q potrzebujemy obliczyć deltę:

$∆=b^2-4ac$

$∆=6^2-4×1×9$

$∆=36-36=0$

$∆=0$

Więc Q:

$Q={-∆}/{4a}$


$Q={-0}/{4}=0$

Zatem współrzędne wierzchołka to:

$W(-3;0)$

Zadanie 2.

Narysuj wykres funkcji $f(x)=x^2+2x+5$.

Tutaj musimy zastosować całą procedurę, zatem zaczynamy od wypisania współczynników.

$a=1$

$b=2$

$c=5$

Obliczmy deltę:

$∆=b^2-4ac$

$∆=2^2-4×1×5$

$∆=4-20$

$∆=-16$

Delta jest ujemna, więc nie liczymy dalej, nie ma miejsc zerowych. Przechodzimy do wierzchołka.

Najpierw P:

$P={-b}/{2a}$

Podmieniamy:

$P={-2}/2=-1$

Oraz Q:

$Q={-∆}/{4a}$

$Q=-{-16}/{4a}={16}/4=4$

Zatem współrzędne wierzchołka to:

$W(-1;4)$

Rysujemy więc parabolę:

zad2

Zadanie 3.

Narysuj wykres paraboli funkcji $f(x)=x^2-2x-8$.

Standardowo zaczynamy od rozwiązania równania kwadratowego:

$a=1$

$b=-2$

$c=-8$

Obliczmy deltę:

$∆=b^2-4ac$

$∆=(-2)^2-4×1×(-8)$

$∆=4+32$

$∆=36$

Obliczmy od razu pierwiastek z delty:

$√{∆}=√{36}=6$

No i teraz nasze rozwiązania:

$x_1={-b+√{∆} }/{2a} $

$x_1={2+6}/2=8/2=4 $

$x_2={-b-√{∆} }/{2a}$

$x_2={2-6}/2={-4}/2=-2$

Pozostał nam wierzchołek liczymy P:

$P=-{-2}/2=1$

Lub możemy policzyć:

$P={x_1+x_2}/2={4-2}/2=1$

Oraz Q:

$Q={-∆}/{4a}$

$Q={-36}/{4a}={-36}/{4}=-9$

Zatem współrzędne wierzchołka to:

$W(1;-9)$

Rysujemy parabolę:

zad3

Spis treści

Rozwiązane zadania
Zaznacz tę część płaszczyzny, której punkty...

 Narysujmy kilka wykresów funkcji spełniających podany warunek.

  

W takim razie należy zamalować zbiór pomiędzy osią  i wykresem funkcji    

 

{premium}  Należy zamalować część płaszczyzny pomiędzy osią  oraz prostą o współczynniku kierunkowym równym  (bez tej prostej).

 

 Analogicznie jak w podpunkcie  przy czym dołączamy prostą  

 

 Analogicznie jak w podpunkcie  

 

 Należy zamalować obszar płaszczyzny ograniczony prostymi  oraz  

 

 Należy zamalować obszar płaszczyzny ograniczony osią  i prostą  oraz ograniczony osią  i prostą  

Wyznacz najmniejszą i największą wartość...

Wyznaczmy odciętą wierzchołka paraboli

{premium}  

Ramiona paraboli są skierowane ku dołowi a więc funkcja przyjmuje w wierzchołku wartość największą.

Wartość najmniejsza będzie na tym krańcu odcinka, który jest położony dalej od odciętej. A więc dla x = - 1 funkcja przyjmuje wartość najmniejszą.

 

 

 

 

 

 

Wyznacz wzór funkcji liniowej, której miejscem...

Szukamy funkcji postaci  {premium}

Ponieważ wykres przechodzi przez punkt  to  

Czyli prosta ma postać  

Wstawiamy współrzędne miejsca zerowego i wyznaczamy  

 

 

 

Czyli szukana funkcja liniowa wyraża się wzorem  

Ile złotych reszty z 20 zł otrzymał...

Za zakupy Waldek zapłacił

 

Obliczamy, ile{premium} złotych reszty otrzymał z 20 zł:

 


Prawidłowa odpowiedź to C.

a) W kanistrze jest 4,5 litra benzyny...

a) Wprowadźmy oznaczenie:

x- masa 20 litrów benzyny


Obliczmy, ile waży 1 l benzyny:   {premium}

 


Obliczmy, ile waży 20 litrów takiej benzyny:

 


Odp.: 20 litrów benzyny waży 14 kg. 


b) Wprowadźmy oznaczenie:

y- liczba dni, na które wystarczy zapas ziarna gdy do karmnika będzie przylatywało 40 ptaków


Obliczmy, na ile dni wystarczyłby zapas ziarna gdyby do karmnika przylatywał dziennie 1 ptak:

 


Obliczmy, na ile dni wystarczy zapas ziarna jeśli do karmnika będzie przylatywało 40 ptaków:

 


Odp.: Zapas ziarna wystarczy wtedy na 60 dni. 

Aby układ równań...

Układ równań będzie nieoznaczony, gdy{premium} oba równania w układzie będą takie same.

Przekształcamy dane równania w taki sposób, by po lewej stronie otrzymać wyrażenie 7x-4y.


 

Powyższego równania nie jesteśmy w stanie przekształcić w w taki sposób, by po lewej stronie otrzymać wyrażenie 7x-4y. Oznacza to, że po dopisaniu równania A otrzymamy układ oznaczony.


 

 

 

 

 

Otrzymaliśmy takie samo równanie, jakie znajduje się już w układzie. Oznacza to, że po dopisaniu równania B otrzymamy układ nieoznaczony.


 

 

 

Powyższego równania nie jesteśmy w stanie przekształcić w w taki sposób, by po lewej stronie otrzymać wyrażenie 7x-4y. Oznacza to, że po dopisaniu równania C otrzymamy układ oznaczony.


 

 

 

Po prawej stronie równań 7x-4y=8 i 7x-4y=-8 mamy różne liczby, więc po dopisaniu równania D otrzymamy układ sprzeczny.


Prawidłowa odpowiedź to B.

Narysuj wykres funkcji...

a) Wykres:

Wystarczy narysować wykres cechy [x] a następnie odbić go symetrycznie względem osi x.

  • Dziedzina:

 

  • Zbiór wartości:

 

  • Miejscami zerowymi są wszystkie liczby należące do przedziału:

 

 

b) Zauważmy, że:

{premium}   

Zatem

 

 

Wykres:

  • Dziedzina:

 

  • Zbór wartości:

 

Miejsca zerowe - brak.

 

c) Funkcja signum jest dana wzorem:

 

Zatem:

 

  • Dziedzina:

 

  • Zbiór wartości:

 

  • Miejsca zerowe:

 

Na okręgu o promieniu r obrano dowolnie trzy ...

Niech punkty A, B, C należące do okręgu o środku w punkcie O i promieniu  dzielą go na łuki. Prowadzimy cięciwy AB, BC, AC.

Wykonajmy rysunek pomocniczy.

 {premium}

Jeśli A, B i C są dowolnymi punktami okręgu o środku w punkcie O i promieniu , to:

 

Dla trzech niewspółliniowych punktów A, O i B zachodzi nierówność

 

Podobnie jest w przypadku niewspółliniowych punktów B, C, O oraz A, C, O:

 

 


Wobec tego

 

Punkty A, B, C są różne, więc wykluczamy przypadek, gdy wszystkie cztery punkty (łącznie ze środkiem okręgu) leżą na jednej prostej (dwa spośród punktów A, B, C musiałyby się pokrywać). Musimy natomiast rozważyć jeszcze przypadek, gdy dwa spośród A, B i C oraz punkt O leżą na jednej prostej. Załóżmy, że to punkty AB i O są współliniowe.

Wykonajmy rysunek pomocniczy.



W takim przypadku otrzymalibyśmy następujące nierówności:

 

 

 

Wobec tego

 


Udowodniliśmy, że suma długości trzech cięciw okręgu o promieniu r jest mniejsza od 6r.

Na rysunku przedstawiono wykres funkcji...

Niech:

 

 


a) Do wykresu funkcji{premium} f należą punkty (0, 3) oraz (2, -1). Obliczamy współczynnik kierunkowy funkcji f:

 

Podstawiamy a=-2 oraz współrzędne punktu A=(2, 3) do wzoru funkcji g i wyznaczamy c:

 

 

 

 

Zatem:

 


b) Do wykresu funkcji f należą punkty (0, 0) oraz (3, 1). Obliczamy współczynnik kierunkowy funkcji f:

 

Podstawiamy a=1/3 oraz współrzędne punktu A=(2, 3) do wzoru funkcji g i wyznaczamy c:

 

 

 

 

Zatem:

 


c) Do wykresu funkcji f należą punkty (-3, 0) oraz (-2, 2). Obliczamy współczynnik kierunkowy funkcji f:

 

Podstawiamy a=2 oraz współrzędne punktu A=(2, 3) do wzoru funkcji g i wyznaczamy c:

 

 

 

 

Zatem:

 

Wyraź...

a)

Pole prostokąta jest iloczynem długości boków a  i b,

gdzie a = x + 4   i   b = x - 1, więc

   

a i b są długościami boków prostokąta, więc a > 0 i b > 0, czyli{premium}

skąd dostajemy, że 

Odp.      


b)

Pole trójkąta jest połową iloczynu długości boku a  i wysokości h opuszczonej na ten bok,

gdzie a = x - 2  i   h = x - 4, więc

   

Zauważmy, że  a > 0 i h > 0, czyli

skąd dostajemy, że 

Odp.      


c)

Pole trapezu wyraża się wzorem

 

gdzie a = x + 6,  b = x  i   h = x - 1,  więc

   

Zauważmy, że a > 0,  b > 0  i  h > 0, czyli

skąd dostajemy, że 

Odp.