Narysujmy kilka wykresów funkcji spełniających podany warunek.
W takim razie należy zamalować zbiór pomiędzy osią i wykresem funkcji
{premium} Należy zamalować część płaszczyzny pomiędzy osią oraz prostą o współczynniku kierunkowym równym (bez tej prostej).
Analogicznie jak w podpunkcie przy czym dołączamy prostą
Analogicznie jak w podpunkcie
Należy zamalować obszar płaszczyzny ograniczony prostymi oraz
Należy zamalować obszar płaszczyzny ograniczony osią i prostą oraz ograniczony osią i prostą
Wyznaczmy odciętą wierzchołka paraboli
{premium}
Ramiona paraboli są skierowane ku dołowi a więc funkcja przyjmuje w wierzchołku wartość największą.
Wartość najmniejsza będzie na tym krańcu odcinka, który jest położony dalej od odciętej. A więc dla x = - 1 funkcja przyjmuje wartość najmniejszą.
Szukamy funkcji postaci {premium}
Ponieważ wykres przechodzi przez punkt to
Czyli prosta ma postać
Wstawiamy współrzędne miejsca zerowego i wyznaczamy
Czyli szukana funkcja liniowa wyraża się wzorem
Za zakupy Waldek zapłacił
Obliczamy, ile{premium} złotych reszty otrzymał z 20 zł:
Prawidłowa odpowiedź to C.
a) Wprowadźmy oznaczenie:
x- masa 20 litrów benzyny
Obliczmy, ile waży 1 l benzyny: {premium}
Obliczmy, ile waży 20 litrów takiej benzyny:
Odp.: 20 litrów benzyny waży 14 kg.
b) Wprowadźmy oznaczenie:
y- liczba dni, na które wystarczy zapas ziarna gdy do karmnika będzie przylatywało 40 ptaków
Obliczmy, na ile dni wystarczyłby zapas ziarna gdyby do karmnika przylatywał dziennie 1 ptak:
Obliczmy, na ile dni wystarczy zapas ziarna jeśli do karmnika będzie przylatywało 40 ptaków:
Odp.: Zapas ziarna wystarczy wtedy na 60 dni.
Układ równań będzie nieoznaczony, gdy{premium} oba równania w układzie będą takie same.
Przekształcamy dane równania w taki sposób, by po lewej stronie otrzymać wyrażenie 7x-4y.
Powyższego równania nie jesteśmy w stanie przekształcić w w taki sposób, by po lewej stronie otrzymać wyrażenie 7x-4y. Oznacza to, że po dopisaniu równania A otrzymamy układ oznaczony.
Otrzymaliśmy takie samo równanie, jakie znajduje się już w układzie. Oznacza to, że po dopisaniu równania B otrzymamy układ nieoznaczony.
Powyższego równania nie jesteśmy w stanie przekształcić w w taki sposób, by po lewej stronie otrzymać wyrażenie 7x-4y. Oznacza to, że po dopisaniu równania C otrzymamy układ oznaczony.
Po prawej stronie równań 7x-4y=8 i 7x-4y=-8 mamy różne liczby, więc po dopisaniu równania D otrzymamy układ sprzeczny.
Prawidłowa odpowiedź to B.
a) Wykres:
Wystarczy narysować wykres cechy [x] a następnie odbić go symetrycznie względem osi x.
b) Zauważmy, że:
{premium}
Zatem
Wykres:
Miejsca zerowe - brak.
c) Funkcja signum jest dana wzorem:
Zatem:
Niech punkty A, B, C należące do okręgu o środku w punkcie O i promieniu dzielą go na łuki. Prowadzimy cięciwy AB, BC, AC.
Wykonajmy rysunek pomocniczy.
{premium}
Jeśli A, B i C są dowolnymi punktami okręgu o środku w punkcie O i promieniu , to:
Dla trzech niewspółliniowych punktów A, O i B zachodzi nierówność
Podobnie jest w przypadku niewspółliniowych punktów B, C, O oraz A, C, O:
Wobec tego
Punkty A, B, C są różne, więc wykluczamy przypadek, gdy wszystkie cztery punkty (łącznie ze środkiem okręgu) leżą na jednej prostej (dwa spośród punktów A, B, C musiałyby się pokrywać). Musimy natomiast rozważyć jeszcze przypadek, gdy dwa spośród A, B i C oraz punkt O leżą na jednej prostej. Załóżmy, że to punkty A, B i O są współliniowe.
Wykonajmy rysunek pomocniczy.
W takim przypadku otrzymalibyśmy następujące nierówności:
Wobec tego
Udowodniliśmy, że suma długości trzech cięciw okręgu o promieniu r jest mniejsza od 6r.
Niech:
a) Do wykresu funkcji{premium} f należą punkty (0, 3) oraz (2, -1). Obliczamy współczynnik kierunkowy funkcji f:
Podstawiamy a=-2 oraz współrzędne punktu A=(2, 3) do wzoru funkcji g i wyznaczamy c:
Zatem:
b) Do wykresu funkcji f należą punkty (0, 0) oraz (3, 1). Obliczamy współczynnik kierunkowy funkcji f:
Podstawiamy a=1/3 oraz współrzędne punktu A=(2, 3) do wzoru funkcji g i wyznaczamy c:
Zatem:
c) Do wykresu funkcji f należą punkty (-3, 0) oraz (-2, 2). Obliczamy współczynnik kierunkowy funkcji f:
Podstawiamy a=2 oraz współrzędne punktu A=(2, 3) do wzoru funkcji g i wyznaczamy c:
Zatem:
a)
Pole prostokąta jest iloczynem długości boków a i b,
gdzie a = x + 4 i b = x - 1, więc
a i b są długościami boków prostokąta, więc a > 0 i b > 0, czyli{premium}
skąd dostajemy, że
Odp.
b)
Pole trójkąta jest połową iloczynu długości boku a i wysokości h opuszczonej na ten bok,
gdzie a = x - 2 i h = x - 4, więc
Zauważmy, że a > 0 i h > 0, czyli
skąd dostajemy, że
Odp.
c)
Pole trapezu wyraża się wzorem
gdzie a = x + 6, b = x i h = x - 1, więc
Zauważmy, że a > 0, b > 0 i h > 0, czyli
skąd dostajemy, że
Odp.