Zgoda na przetwarzanie danych osobowych

25 maja 2018 roku zacznie obowiązywać Rozporządzenie Parlamentu Europejskiego i Rady (UE) 2016/679 z dnia 27 kwietnia 2016 r. znane jako RODO.

Dlatego aby dalej móc dostarczać Ci materiały odpowiednie do Twojego etapu edukacji, potrzebujemy zgody na lepsze dopasowanie treści do Twojego zachowania. Dzięki temu możemy zapamiętywać jakie materiały są Ci potrzebne. Dbamy o Twoją prywatność, więc nie zwiększamy zakresu naszych uprawnień. Twoje dane są u nas bezpieczne, a zgodę na ich zbieranie możesz wycofać na podstronie polityka prywatności.

Klikając "Przejdź do Odrabiamy", zgadzasz się na wskazane powyżej działania. W przeciwnym wypadku, nie jesteśmy w stanie zrealizować usługi kompleksowo i prosimy o opuszczenie strony.

Polityka prywatności

Drogi Użytkowniku w każdej chwili masz prawo cofnąć zgodę na przetwarzanie Twoich danych osobowych. Cofnięcie zgody nie będzie wpływać na zgodność z prawem przetwarzania, którego dokonano na podstawie wyrażonej przez Ciebie zgody przed jej wycofaniem. Po cofnięciu zgody wszystkie twoje dane zostaną usunięte z serwisu. Udzielenie zgody możesz modyfikować w zakładce 'Informacja o danych osobowych'

Wykres funkcji kwadratowej - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Ustal wierzchołek paraboli w funkcji $$f(x)=x^2+6x+9$$.

Najpierw wypisujemy współczynniki a,b,c:

$$a=1$$

$$b=6$$

$$c=9$$

Bierzemy wzór na P i Q:

Najpierw P:

$$P={-b}/{2a}$$

Podmieniamy:

$$P={-6}/{2}=-3$$

Oraz Q:

Do Q potrzebujemy obliczyć deltę:

$$∆=b^2-4ac$$

$$∆=6^2-4×1×9$$

$$∆=36-36=0$$

$$∆=0$$

Więc Q:

$$Q={-∆}/{4a}$$


$$Q={-0}/{4}=0$$

Zatem współrzędne wierzchołka to:

$$W(-3;0)$$

Zadanie 2.

Narysuj wykres funkcji $$f(x)=x^2+2x+5$$.

Tutaj musimy zastosować całą procedurę, zatem zaczynamy od wypisania współczynników.

$$a=1$$

$$b=2$$

$$c=5$$

Obliczmy deltę:

$$∆=b^2-4ac$$

$$∆=2^2-4×1×5$$

$$∆=4-20$$

$$∆=-16$$

Delta jest ujemna, więc nie liczymy dalej, nie ma miejsc zerowych. Przechodzimy do wierzchołka.

Najpierw P:

$$P={-b}/{2a}$$

Podmieniamy:

$$P={-2}/2=-1$$

Oraz Q:

$$Q={-∆}/{4a}$$

$$Q=-{-16}/{4a}={16}/4=4$$

Zatem współrzędne wierzchołka to:

$$W(-1;4)$$

Rysujemy więc parabolę:

zad2

Zadanie 3.

Narysuj wykres paraboli funkcji $$f(x)=x^2-2x-8$$.

Standardowo zaczynamy od rozwiązania równania kwadratowego:

$$a=1$$

$$b=-2$$

$$c=-8$$

Obliczmy deltę:

$$∆=b^2-4ac$$

$$∆=(-2)^2-4×1×(-8)$$

$$∆=4+32$$

$$∆=36$$

Obliczmy od razu pierwiastek z delty:

$$√{∆}=√{36}=6$$

No i teraz nasze rozwiązania:

$$x_1={-b+√{∆} }/{2a} $$

$$x_1={2+6}/2=8/2=4 $$

$$x_2={-b-√{∆} }/{2a}$$

$$x_2={2-6}/2={-4}/2=-2$$

Pozostał nam wierzchołek liczymy P:

$$P=-{-2}/2=1$$

Lub możemy policzyć:

$$P={x_1+x_2}/2={4-2}/2=1$$

Oraz Q:

$$Q={-∆}/{4a}$$

$$Q={-36}/{4a}={-36}/{4}=-9$$

Zatem współrzędne wierzchołka to:

$$W(1;-9)$$

Rysujemy parabolę:

zad3

Spis treści

Rozwiązane zadania
Naszkicuj wykres funkcji f ...

`a)` 

`f(x)={(-x+2, \ "dla"\ x<=1),(x,\ "dla"\ x>1):}` 

 

`b)` 

`f(x)={(x-1, \ "dla"\ x<-1),(2x+3,\ "dla"\ x>=-1):}`   

 

`c)` 

`f(x)={(-x-3, \ "dla"\ x<=-1),(-2\ "dla"\ -1<x<2),(1/2x-3,\ "dla"\ x>=2):}`   

 

`d)` 

`f(x)={(-x-3, \ "dla"\ x<=-1),(-2\ "dla"\ -1<x<2),(1/2x-3,\ "dla"\ x>=2):}`    

Mając dany wykres funkcji...
  • Funkcja f

`Z_w = [-1,2]` 

 

Funkcja malejąca:

`x in [-3,-2]` 

Funkcja rosnąca:

`x in [-2,1]` 

Funkcja stała:

`x in [1,4]` 

 

 

  • Funkcja g

`Z_w = [-2,1]` 

 

Funkcja rosnąca:

`x in [-3,-2]` 

Funkcja malejąca:

`x in [-2,1]` 

Funkcja stała:

`x in [1,4]` 

Wyznacz dziedzinę każdego równania...

a) Dziedziną równania są wszystkie liczby rzeczywiste.

`-3 * x = 12 \ \ \ |:(-3)`  

`x = -4` 

 

b) Dziedziną równania są wszystkie liczby rzeczywiste.

`x/2 = 5 \ \ \ |*2` 

`x = 10` 

 

c) Mianownik musi być różny od zera, zatem:

`2x ne 0 \ \ \ |:2`  

`x ne 0` 

Dziedzina:

`D = R \ \\ \ {0}` 

 

`-6/(2x) = -1 \ \ \ |*(-2x)` 

`6 = 2x \ \ \ |:2` 

`x = 3` 

 

d) Mianownik musi być różny od zera, zatem:

`x+1 ne 0` 

`x ne -1` 

Dziedzina:

`D = R \ \\ \ {-1}` 

 

`7/(x+1) = 7 \ \ \ |*(x+1)` 

`7 = 7(x+1)` 

`7 = 7x + 7` 

`7x = 0` 

`x = 0` 

Oblicz:

`a) \ 2^(1/2) * 32^(1/2) + 72^(1/3) : 9^(1/3) = (2*32)^(1/2) + (72:9)^(1/3) = 64^(1/2) + 8^(1/3) = (8^2)^(1/2) + (2^3)^(1/3) = 8^(2*1/2) + 2^(3*1/3) = 8 + 2 = 10` 

 

`b) \ 48^(1/2) * 3^(1/2) + 25^(1/3) * 5^(1/3) = (48*3)^(1/2) + (25*5)^(1/3) = 144^(1/2) + 125^(1/3) = (12^2)^(1/2) + (5^3)^(1/3) = 12^(2*1/2) + 5^(3*1/3) = 12 + 5 = 17` 

 

`c) \ 108^(1/2) : 3^(1/2) - 3^(1/4) * 27^(1/4) = (108:3)^(1/2) - (3*27)^(1/4) = 36^(1/2) - 81^(1/4) = (6^2)^(1/2) - (3^4)^(1/4) = 6^(2*1/2) - 3^(4*1/4) = 6 - 3 = 3` 

 

`d) \ 2^(1/2) * 50^(1/2) - 2^(1/5) * 16^(1/5) = (2*50)^(1/2) - (2*16)^(1/5) = 100^(1/2) - 32^(1/5) = (10^2)^(1/2) - (2^5)^(1/5) = 10^(2*1/2) - 2^(5*1/5) = 10 - 2 = 8` 

 

`e) \ (27^(1/6))^(-2) = ((3^3)^(1/6))^(-2) = (3^(3*1/6))^(-2) = (3^(1/2))^(-2) = 3^(-1) = 1/3` 

 

`f) \ (49^(1/5))^(5/2) = ((7^2)^(1/5))^(5/2) = (7^(2/5))^(5/2) = 7^(2/5*5/2) = 7^1 = 7` 

Wyznacz miejsca zerowe ...

`a)` 

`f(x)=x^2-x-12=0`  

`Delta=1+48=49` 

`sqrtDelta=7` 

 

`x_1=(1-7)/2=-3` 

`x_2=(1+7)/2=4` 

 

`b)` 

`f(x)=-2x^2-3x-7=0`  

`Delta=9-56=-47<0` 

`"Brak miejsc zerowych."` 

 

`c)` 

`f(x)=x^2-x=x(x-1)=0`  

`x_1=0` 

`x_2=1`     

 

`d)` 

`f(x)=x^2-25=0` 

`(x-5)(x+5)=0` 

`x_1=5` 

`x_2=-5`   

Wyznacz ze wzoru podaną zmienną

`a)`

`V=4/3piR^3\ \ \ \ |*3/4`

`(3V)/4=piR^3\ \ \ |:pi`

`(3V)/(4pi)=R^3`

`R=root(3)((3V)/(4pi))`

 

 

 

`b)`

`P=pir^2+pirl\ \ \ |:pi`

`P/pi=r^2+rl\ \ \ \ |-r^2`

`P/(pi)-r^2=rl\ \ \ \ |:rne0`

`l=(P/(pi)-r^2)/r`

`l=P/(pir)-r`

 

 

`c)`

`S=pir(2h+a)\ \ \ \ |:pirne0`

`S/(pir)=2h+a\ \ \ \ |-a`

`S/(pir)-a=2h\ \ \ \ |:2`

`h=1/2(S/(pir)-a)`

 

 

 

`d)`

`s=v_0t-(g t^2)/2\ \ \ \ \ |+(g t^2)/2`

`s+(g t^2)/2=v_0t\ \ \ \ |:tne0`

`s/t+(g t)/2=v_0`

`v_0=s/t+(g t)/2`

 

 

`e)`

`P=d/f\ +1\ \ \ \ |-1`

`P-1=d/f\ \ \ \ \ |*f`

`f(P-1)=d\ \ \ |:(P-1)ne0`

`f=d/(P-1)`

 

 

`f)`

`1/x+1/y=1/f\ \ \ \ \ |*x`

`1+x/y=x/f\ \ \ \ |*y`

`y+x=(xy)/f\ \ \ |*f`

`fy+fx=xy\ \ \ \ |-fx`

`fy=xy-fx\ \ \ |-xy`

`fy-xy=-fx\ \ \ |*(-1)`

`xy-fy=fx`

`y(x-f)=fx\ \ \ |:(x-f)ne0`

`y=(fx)/(x-f)`

Ze zbioru A={0,-3,1/3,√9, (-1/3)², √7, -2½}

`sqrt9=3`

 

a)

`0,sqrt9`

b)

`-3,0,sqrt9`

c)

`0,-3,1/3,sqrt9,(-1/3)^2,-2 1/2`

d)

`sqrt7`

Wśród trójkątów przedstawionych na rysunku

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa dla kolejnych trójkątów, obliczmy długości odcinków. 

`ul(ul("twierdzenie Pitagorasa dla trójkąta" \ OA_1A_2))`

`1^2+1^2=|A_2O|^2`

`1+1=|A_2O|^2`

`|A_2O|^2=2`

`|A_2O|=sqrt2`

 

`ul(ul("twierdzenie Pitagorasa dla trójkąta"\ OA_2A_3`

`sqrt2^2+1^2=|A_3O|^2`

`2+1=|A_3O|^2`

`|A_3O|^2=3`

`|A_3O|=sqrt3`

 

`ul(ul("twierdzenie Pitagorasa dla trójkąta"\ OA_3A_4))`

`sqrt3^2+1^2=|A_4O|^2`

`3+1=|A_4O|^2`

`|A_4O|^2=4`

`|A_4O|=sqrt4=2`

 

 

`ul(ul("twierdzenie Pitagorasa dla trójkąta"\ OA_5A_6))`

`sqrt5^2+1^2=|A_6O|^2`

`5+1=|A_6O|^2`

`|A_6O|^2=6`

`|A_6O|=sqrt6`

 

`ul(ul("twierdzenie Pitagorasa dla trójkąta"\ OA_6A_7`

`sqrt6^2+1^2=|A_7O|^2`

`6+1=|A_7O|^2`

`|A_7O|^2=7`

`|A_7O|=sqrt7`

 

`ul(ul("twierdzenie Pitagorasa dla trójkąta"\ OA_7A_8))`

`sqrt7^2+1^2=|A_8O|^2`

`7+1=|A_8O|^2`

`|A_8O|^2=8`

`|A_8O|=sqrt8=sqrt4*sqrt2=2sqrt2`

 

`ul(ul("twierdzenie Pitagorasa dla trójkąta"\ OA_8A_9))`

`sqrt8^2+1^2=|A_9O|^2`

`8+1=|A_9O|^2`

`|A_9O|^2=9`

`|A_9O|=sqrt9=3`

 

`ul(ul("twierdzenie Pitagorasa dla trójkąta"\ OA_9A_10))`

`3^2+1^2=|A_10O|^2`

`9+1=|A_10O|^2`

`|A_10O|^2=10`

`|A_10|=sqrt10`

 

 

Znamy już długości wszystkich odcinków, więc możemy przejść do rozwiązania zadania. 

 

`a)`

Szukamy trójkątów, których przyprostokątne mają długości wyrażone liczbami całkowitymi. Są dwa takie trójkąty:

`DeltaOA_4A_5,\ \ \ DeltaOA_9A_10`

 

`b)`

`O_(DeltaOA_8A_9)=2sqrt2+1+3=2sqrt2+4<2sqrt(2,25)+4=2*1,5+4=3+4=7`

 

 

 

Wypisz pary odcinków równych, wiedząc, że ...

Korzystając z tw. o odcinkach stycznych (Jeżeli z punktu P leżącego poza okręgiem poprowadzimy

dwie proste styczne do tego okręgu w punktach A i B, to |PA|=|PB|), wypisujemy pary odcinków mających równą długość:

`|PB|=|PA|` 

`|CB|=|CE|` 

`|DE|=|DA|`  

Darek chciałby za rok wydać na sprzęt sportowy 4100 zł

Obliczmy, ile wyniosą odsetki (nie uwzględniając podatku)

`4000*5%=strike4000^40*5/strike100^1=200\ "zł"`

 

Teraz uwzględniamy podatek, czyli właściwe odsetki (te które dostanie Darek) wyniosą: 

`200-20%*200=200=0,2*200=200-40=160\ "zł"`

 

Zatem po roku na lokacie Darka będzie się znajdować następująca kwota: 

`4000+160=4160\ "zł">4100\ "zł"`