Wykres funkcji kwadratowej - matura-podstawowa - Baza Wiedzy
Zadania powtórzeniowe
Zadanie 1.
Ustal wierzchołek paraboli w funkcji $$f(x)=x^2+6x+9$$.
Najpierw wypisujemy współczynniki a,b,c:
$$a=1$$
$$b=6$$
$$c=9$$
Bierzemy wzór na P i Q:
Najpierw P:
$$P={-b}/{2a}$$
Podmieniamy:
$$P={-6}/{2}=-3$$
Oraz Q:
Do Q potrzebujemy obliczyć deltę:
$$∆=b^2-4ac$$
$$∆=6^2-4×1×9$$
$$∆=36-36=0$$
$$∆=0$$
Więc Q:
$$Q={-∆}/{4a}$$
$$Q={-0}/{4}=0$$
Zatem współrzędne wierzchołka to:
$$W(-3;0)$$
Zadanie 2.
Narysuj wykres funkcji $$f(x)=x^2+2x+5$$.
Tutaj musimy zastosować całą procedurę, zatem zaczynamy od wypisania współczynników.
$$a=1$$
$$b=2$$
$$c=5$$
Obliczmy deltę:
$$∆=b^2-4ac$$
$$∆=2^2-4×1×5$$
$$∆=4-20$$
$$∆=-16$$
Delta jest ujemna, więc nie liczymy dalej, nie ma miejsc zerowych. Przechodzimy do wierzchołka.
Najpierw P:
$$P={-b}/{2a}$$
Podmieniamy:
$$P={-2}/2=-1$$
Oraz Q:
$$Q={-∆}/{4a}$$
$$Q=-{-16}/{4a}={16}/4=4$$
Zatem współrzędne wierzchołka to:
$$W(-1;4)$$
Rysujemy więc parabolę:
Zadanie 3.
Narysuj wykres paraboli funkcji $$f(x)=x^2-2x-8$$.
Standardowo zaczynamy od rozwiązania równania kwadratowego:
$$a=1$$
$$b=-2$$
$$c=-8$$
Obliczmy deltę:
$$∆=b^2-4ac$$
$$∆=(-2)^2-4×1×(-8)$$
$$∆=4+32$$
$$∆=36$$
Obliczmy od razu pierwiastek z delty:
$$√{∆}=√{36}=6$$
No i teraz nasze rozwiązania:
$$x_1={-b+√{∆} }/{2a} $$
$$x_1={2+6}/2=8/2=4 $$
$$x_2={-b-√{∆} }/{2a}$$
$$x_2={2-6}/2={-4}/2=-2$$
Pozostał nam wierzchołek liczymy P:
$$P=-{-2}/2=1$$
Lub możemy policzyć:
$$P={x_1+x_2}/2={4-2}/2=1$$
Oraz Q:
$$Q={-∆}/{4a}$$
$$Q={-36}/{4a}={-36}/{4}=-9$$
Zatem współrzędne wierzchołka to:
$$W(1;-9)$$
Rysujemy parabolę:
Spis treści
Rozwiązane zadania
Naszkicuj wykres funkcji f ...
`a)`
`f(x)={(-x+2, \ "dla"\ x<=1),(x,\ "dla"\ x>1):}`
`b)`
`f(x)={(x-1, \ "dla"\ x<-1),(2x+3,\ "dla"\ x>=-1):}`
`c)`
`f(x)={(-x-3, \ "dla"\ x<=-1),(-2\ "dla"\ -1<x<2),(1/2x-3,\ "dla"\ x>=2):}`
`d)`
`f(x)={(-x-3, \ "dla"\ x<=-1),(-2\ "dla"\ -1<x<2),(1/2x-3,\ "dla"\ x>=2):}`
Mając dany wykres funkcji...
- Funkcja f
`Z_w = [-1,2]`
Funkcja malejąca:
`x in [-3,-2]`
Funkcja rosnąca:
`x in [-2,1]`
Funkcja stała:
`x in [1,4]`
- Funkcja g
`Z_w = [-2,1]`
Funkcja rosnąca:
`x in [-3,-2]`
Funkcja malejąca:
`x in [-2,1]`
Funkcja stała:
`x in [1,4]`
Wyznacz dziedzinę każdego równania...
a) Dziedziną równania są wszystkie liczby rzeczywiste.
`-3 * x = 12 \ \ \ |:(-3)`
`x = -4`
b) Dziedziną równania są wszystkie liczby rzeczywiste.
`x/2 = 5 \ \ \ |*2`
`x = 10`
c) Mianownik musi być różny od zera, zatem:
`2x ne 0 \ \ \ |:2`
`x ne 0`
Dziedzina:
`D = R \ \\ \ {0}`
`-6/(2x) = -1 \ \ \ |*(-2x)`
`6 = 2x \ \ \ |:2`
`x = 3`
d) Mianownik musi być różny od zera, zatem:
`x+1 ne 0`
`x ne -1`
Dziedzina:
`D = R \ \\ \ {-1}`
`7/(x+1) = 7 \ \ \ |*(x+1)`
`7 = 7(x+1)`
`7 = 7x + 7`
`7x = 0`
`x = 0`
Oblicz:
`a) \ 2^(1/2) * 32^(1/2) + 72^(1/3) : 9^(1/3) = (2*32)^(1/2) + (72:9)^(1/3) = 64^(1/2) + 8^(1/3) = (8^2)^(1/2) + (2^3)^(1/3) = 8^(2*1/2) + 2^(3*1/3) = 8 + 2 = 10`
`b) \ 48^(1/2) * 3^(1/2) + 25^(1/3) * 5^(1/3) = (48*3)^(1/2) + (25*5)^(1/3) = 144^(1/2) + 125^(1/3) = (12^2)^(1/2) + (5^3)^(1/3) = 12^(2*1/2) + 5^(3*1/3) = 12 + 5 = 17`
`c) \ 108^(1/2) : 3^(1/2) - 3^(1/4) * 27^(1/4) = (108:3)^(1/2) - (3*27)^(1/4) = 36^(1/2) - 81^(1/4) = (6^2)^(1/2) - (3^4)^(1/4) = 6^(2*1/2) - 3^(4*1/4) = 6 - 3 = 3`
`d) \ 2^(1/2) * 50^(1/2) - 2^(1/5) * 16^(1/5) = (2*50)^(1/2) - (2*16)^(1/5) = 100^(1/2) - 32^(1/5) = (10^2)^(1/2) - (2^5)^(1/5) = 10^(2*1/2) - 2^(5*1/5) = 10 - 2 = 8`
`e) \ (27^(1/6))^(-2) = ((3^3)^(1/6))^(-2) = (3^(3*1/6))^(-2) = (3^(1/2))^(-2) = 3^(-1) = 1/3`
`f) \ (49^(1/5))^(5/2) = ((7^2)^(1/5))^(5/2) = (7^(2/5))^(5/2) = 7^(2/5*5/2) = 7^1 = 7`
Wyznacz miejsca zerowe ...
`a)`
`f(x)=x^2-x-12=0`
`Delta=1+48=49`
`sqrtDelta=7`
`x_1=(1-7)/2=-3`
`x_2=(1+7)/2=4`
`b)`
`f(x)=-2x^2-3x-7=0`
`Delta=9-56=-47<0`
`"Brak miejsc zerowych."`
`c)`
`f(x)=x^2-x=x(x-1)=0`
`x_1=0`
`x_2=1`
`d)`
`f(x)=x^2-25=0`
`(x-5)(x+5)=0`
`x_1=5`
`x_2=-5`
Wyznacz ze wzoru podaną zmienną
`a)`
`V=4/3piR^3\ \ \ \ |*3/4`
`(3V)/4=piR^3\ \ \ |:pi`
`(3V)/(4pi)=R^3`
`R=root(3)((3V)/(4pi))`
`b)`
`P=pir^2+pirl\ \ \ |:pi`
`P/pi=r^2+rl\ \ \ \ |-r^2`
`P/(pi)-r^2=rl\ \ \ \ |:rne0`
`l=(P/(pi)-r^2)/r`
`l=P/(pir)-r`
`c)`
`S=pir(2h+a)\ \ \ \ |:pirne0`
`S/(pir)=2h+a\ \ \ \ |-a`
`S/(pir)-a=2h\ \ \ \ |:2`
`h=1/2(S/(pir)-a)`
`d)`
`s=v_0t-(g t^2)/2\ \ \ \ \ |+(g t^2)/2`
`s+(g t^2)/2=v_0t\ \ \ \ |:tne0`
`s/t+(g t)/2=v_0`
`v_0=s/t+(g t)/2`
`e)`
`P=d/f\ +1\ \ \ \ |-1`
`P-1=d/f\ \ \ \ \ |*f`
`f(P-1)=d\ \ \ |:(P-1)ne0`
`f=d/(P-1)`
`f)`
`1/x+1/y=1/f\ \ \ \ \ |*x`
`1+x/y=x/f\ \ \ \ |*y`
`y+x=(xy)/f\ \ \ |*f`
`fy+fx=xy\ \ \ \ |-fx`
`fy=xy-fx\ \ \ |-xy`
`fy-xy=-fx\ \ \ |*(-1)`
`xy-fy=fx`
`y(x-f)=fx\ \ \ |:(x-f)ne0`
`y=(fx)/(x-f)`
Ze zbioru A={0,-3,1/3,√9, (-1/3)², √7, -2½}
`sqrt9=3`
a)
`0,sqrt9`
b)
`-3,0,sqrt9`
c)
`0,-3,1/3,sqrt9,(-1/3)^2,-2 1/2`
d)
`sqrt7`
Wśród trójkątów przedstawionych na rysunku
Korzystając z twierdzenia Pitagorasa dla kolejnych trójkątów, obliczmy długości odcinków.
`ul(ul("twierdzenie Pitagorasa dla trójkąta" \ OA_1A_2))`
`1^2+1^2=|A_2O|^2`
`1+1=|A_2O|^2`
`|A_2O|^2=2`
`|A_2O|=sqrt2`
`ul(ul("twierdzenie Pitagorasa dla trójkąta"\ OA_2A_3`
`sqrt2^2+1^2=|A_3O|^2`
`2+1=|A_3O|^2`
`|A_3O|^2=3`
`|A_3O|=sqrt3`
`ul(ul("twierdzenie Pitagorasa dla trójkąta"\ OA_3A_4))`
`sqrt3^2+1^2=|A_4O|^2`
`3+1=|A_4O|^2`
`|A_4O|^2=4`
`|A_4O|=sqrt4=2`
`ul(ul("twierdzenie Pitagorasa dla trójkąta"\ OA_5A_6))`
`sqrt5^2+1^2=|A_6O|^2`
`5+1=|A_6O|^2`
`|A_6O|^2=6`
`|A_6O|=sqrt6`
`ul(ul("twierdzenie Pitagorasa dla trójkąta"\ OA_6A_7`
`sqrt6^2+1^2=|A_7O|^2`
`6+1=|A_7O|^2`
`|A_7O|^2=7`
`|A_7O|=sqrt7`
`ul(ul("twierdzenie Pitagorasa dla trójkąta"\ OA_7A_8))`
`sqrt7^2+1^2=|A_8O|^2`
`7+1=|A_8O|^2`
`|A_8O|^2=8`
`|A_8O|=sqrt8=sqrt4*sqrt2=2sqrt2`
`ul(ul("twierdzenie Pitagorasa dla trójkąta"\ OA_8A_9))`
`sqrt8^2+1^2=|A_9O|^2`
`8+1=|A_9O|^2`
`|A_9O|^2=9`
`|A_9O|=sqrt9=3`
`ul(ul("twierdzenie Pitagorasa dla trójkąta"\ OA_9A_10))`
`3^2+1^2=|A_10O|^2`
`9+1=|A_10O|^2`
`|A_10O|^2=10`
`|A_10|=sqrt10`
Znamy już długości wszystkich odcinków, więc możemy przejść do rozwiązania zadania.
`a)`
Szukamy trójkątów, których przyprostokątne mają długości wyrażone liczbami całkowitymi. Są dwa takie trójkąty:
`DeltaOA_4A_5,\ \ \ DeltaOA_9A_10`
`b)`
`O_(DeltaOA_8A_9)=2sqrt2+1+3=2sqrt2+4<2sqrt(2,25)+4=2*1,5+4=3+4=7`
Wypisz pary odcinków równych, wiedząc, że ...
Korzystając z tw. o odcinkach stycznych (Jeżeli z punktu P leżącego poza okręgiem poprowadzimy
dwie proste styczne do tego okręgu w punktach A i B, to |PA|=|PB|), wypisujemy pary odcinków mających równą długość:
`|PB|=|PA|`
`|CB|=|CE|`
`|DE|=|DA|`
Darek chciałby za rok wydać na sprzęt sportowy 4100 zł
Obliczmy, ile wyniosą odsetki (nie uwzględniając podatku)
`4000*5%=strike4000^40*5/strike100^1=200\ "zł"`
Teraz uwzględniamy podatek, czyli właściwe odsetki (te które dostanie Darek) wyniosą:
`200-20%*200=200=0,2*200=200-40=160\ "zł"`
Zatem po roku na lokacie Darka będzie się znajdować następująca kwota:
`4000+160=4160\ "zł">4100\ "zł"`
© 2018 Odrabiamy.pl