Wykres funkcji kwadratowej - matura-podstawowa - Baza Wiedzy
Zadania powtórzeniowe
Zadanie 1.
Ustal wierzchołek paraboli w funkcji $f(x)=x^2+6x+9$.
Najpierw wypisujemy współczynniki a,b,c:
$a=1$
$b=6$
$c=9$
Bierzemy wzór na P i Q:
Najpierw P:
$P={-b}/{2a}$
Podmieniamy:
$P={-6}/{2}=-3$
Oraz Q:
Do Q potrzebujemy obliczyć deltę:
$∆=b^2-4ac$
$∆=6^2-4×1×9$
$∆=36-36=0$
$∆=0$
Więc Q:
$Q={-∆}/{4a}$
$Q={-0}/{4}=0$
Zatem współrzędne wierzchołka to:
$W(-3;0)$
Zadanie 2.
Narysuj wykres funkcji $f(x)=x^2+2x+5$.
Tutaj musimy zastosować całą procedurę, zatem zaczynamy od wypisania współczynników.
$a=1$
$b=2$
$c=5$
Obliczmy deltę:
$∆=b^2-4ac$
$∆=2^2-4×1×5$
$∆=4-20$
$∆=-16$
Delta jest ujemna, więc nie liczymy dalej, nie ma miejsc zerowych. Przechodzimy do wierzchołka.
Najpierw P:
$P={-b}/{2a}$
Podmieniamy:
$P={-2}/2=-1$
Oraz Q:
$Q={-∆}/{4a}$
$Q=-{-16}/{4a}={16}/4=4$
Zatem współrzędne wierzchołka to:
$W(-1;4)$
Rysujemy więc parabolę:
Zadanie 3.
Narysuj wykres paraboli funkcji $f(x)=x^2-2x-8$.
Standardowo zaczynamy od rozwiązania równania kwadratowego:
$a=1$
$b=-2$
$c=-8$
Obliczmy deltę:
$∆=b^2-4ac$
$∆=(-2)^2-4×1×(-8)$
$∆=4+32$
$∆=36$
Obliczmy od razu pierwiastek z delty:
$√{∆}=√{36}=6$
No i teraz nasze rozwiązania:
$x_1={-b+√{∆} }/{2a} $
$x_1={2+6}/2=8/2=4 $
$x_2={-b-√{∆} }/{2a}$
$x_2={2-6}/2={-4}/2=-2$
Pozostał nam wierzchołek liczymy P:
$P=-{-2}/2=1$
Lub możemy policzyć:
$P={x_1+x_2}/2={4-2}/2=1$
Oraz Q:
$Q={-∆}/{4a}$
$Q={-36}/{4a}={-36}/{4}=-9$
Zatem współrzędne wierzchołka to:
$W(1;-9)$
Rysujemy parabolę:
Spis treści
Kolejne cyfry rozwinięcia dziesiętnego tej liczby to:
- jedna jedynka
- jedno zero
- dwie jedynki{premium}
- jedno zero
- trzy jedynki
- jedno zero
- cztery jedynki
- jedno zero
Widzimy, że na zmianę pojawia się jedno zero oraz ilość jedynek za każdym razem większa o jedną jedynkę.
Podajemy sześć następnych cyfr tozwinięcia: 111110.
Nie jest to liczba wymierna, ponieważ liczby wymierne mają rozwinięcia dziesiętne skończone lub nieskończone okresowe. To rozwinięcie jest rozwinięciem nieskończonym nieokresowym, więc podana liczba nie może być liczbą wymierną.
Wyznaczmy kilka wartości tej funkcji. {premium}
|
|
|
|||||
Zał:
Wyznaczmy kilka wartości tej funkcji.
|
|
|
|||||
Narysujmy wykres funkcji f i g w jednym układzie współrzędnych.
Punkty należące do wykresu funkcji f mają kolor niebieski, a punkty należące do wykresu funkcji g mają kolor zielony.
Zauważmy, że punkt (5, 1) należy zarówno do funkcji f jak i do funkcji g.
Odczytajmy kiedy wartości funkcji g są mniejsze od wartości funkcji f.
Cenę biletu bez zniżki oznaczmy przez .
Jeżeli bilet z 20-procentową zniżką kosztuje 20 zł, to znaczy, że 80% ceny biletu normalnego jest równe 20 zł. Zatem: {premium}
Obliczamy, ile kosztuje bilet z 30-procentową zniżką.
Odpowiedź: A
Prawidłowa odpowiedź to B, ponieważ {premium}
`(a_n)` - ciąg geometryczny
Wzór ogólny tego ciągu ma postać: {premium}
czyli:
Poprawna odpowiedź: B.
a) Przykładowy wykres funkcji takiej, że:
{premium}
b) Przykładowy wykres funkcji takiej, że:
c) Przykładowy wykres funkcji takiej, że:
d) Przykładowy wykres funkcji takiej, że:
Podstawmy a = -1 pod x i zobaczmy czy zachodzi równość.
{premium}
A więc liczba a jest rozwiązaniem równania.
A więc liczba a jest rozwiązaniem równania.
A więc liczba a jest rozwiązaniem równania.
A więc liczba a nie jest rozwiązaniem równania.
a)
Z twierdzenia Pitagorasa obliczamy długość przeciwprostokątnej:
Opuszczona wysokość w trójkącie równoramiennym dzieli nam podstawę na pół. Możemy użyć twierdzenia Pitagorasa i obliczyć jej długość.
`h^2+(5sqrt)^2=10^2`
{premium}
b)
Opuszczona wysokość w trójkącie równobocznym również dzieli nam podstawę na pół. Możemy użyć twierdzenia Pitagorasa i obliczyć jej długość.
c)
d)
Obliczenie wysokości z umożliwi nam ułożenie kilku zależności na podstawie twierdzenia Pitagorasa:
Podstawiamy wartość x do równania ,,wiążacego" długość z z długością x:
Liczby na osi liczbowej, których odległość od liczby 1 jest mniejsza niż 4 możemy zapisać: {premium}
Odp. D
a) Z postaci równania wynika, że{premium} liczba x jest o 7 większa od liczby y. Przykładowe pary liczb całkowitych spełniające równanie:
b) Przekształcamy równanie:
W takim razie, aby znaleźć pary liczb całkowitych (x, y), spełniające dane równanie, wystarczy wybrać trzy dowolne całkowite wartości x i obliczyć dla nich y z powyższego wzoru.
Dla x=0:
Dla x=2:
Dla x=8:
Przykładowe pary liczb całkowitych spełniające równanie:
c) Przekształcamy równanie:
W takim razie, aby znaleźć pary liczb całkowitych (x, y), spełniające dane równanie, wystarczy wybrać trzy dowolne całkowite wartości y i obliczyć dla nich x z powyższego wzoru.
Dla y=0:
Dla y=1:
Dla y=3:
Przykładowe pary liczb całkowitych spełniające równanie:
d) Przekształcamy równanie:
W takim razie, aby znaleźć pary liczb całkowitych (x, y), spełniające dane równanie, wystarczy wybrać trzy dowolne całkowite i podzielne przez 5 wartości x i obliczyć dla nich y z powyższego wzoru.
Dla x=0:
Dla x=5:
Dla x=10:
Przykładowe pary liczb całkowitych spełniające równanie:
