Wykres funkcji kwadratowej - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Ustal wierzchołek paraboli w funkcji $$f(x)=x^2+6x+9$$.

Najpierw wypisujemy współczynniki a,b,c:

$$a=1$$

$$b=6$$

$$c=9$$

Bierzemy wzór na P i Q:

Najpierw P:

$$P={-b}/{2a}$$

Podmieniamy:

$$P={-6}/{2}=-3$$

Oraz Q:

Do Q potrzebujemy obliczyć deltę:

$$∆=b^2-4ac$$

$$∆=6^2-4×1×9$$

$$∆=36-36=0$$

$$∆=0$$

Więc Q:

$$Q={-∆}/{4a}$$


$$Q={-0}/{4}=0$$

Zatem współrzędne wierzchołka to:

$$W(-3;0)$$

Zadanie 2.

Narysuj wykres funkcji $$f(x)=x^2+2x+5$$.

Tutaj musimy zastosować całą procedurę, zatem zaczynamy od wypisania współczynników.

$$a=1$$

$$b=2$$

$$c=5$$

Obliczmy deltę:

$$∆=b^2-4ac$$

$$∆=2^2-4×1×5$$

$$∆=4-20$$

$$∆=-16$$

Delta jest ujemna, więc nie liczymy dalej, nie ma miejsc zerowych. Przechodzimy do wierzchołka.

Najpierw P:

$$P={-b}/{2a}$$

Podmieniamy:

$$P={-2}/2=-1$$

Oraz Q:

$$Q={-∆}/{4a}$$

$$Q=-{-16}/{4a}={16}/4=4$$

Zatem współrzędne wierzchołka to:

$$W(-1;4)$$

Rysujemy więc parabolę:

zad2

Zadanie 3.

Narysuj wykres paraboli funkcji $$f(x)=x^2-2x-8$$.

Standardowo zaczynamy od rozwiązania równania kwadratowego:

$$a=1$$

$$b=-2$$

$$c=-8$$

Obliczmy deltę:

$$∆=b^2-4ac$$

$$∆=(-2)^2-4×1×(-8)$$

$$∆=4+32$$

$$∆=36$$

Obliczmy od razu pierwiastek z delty:

$$√{∆}=√{36}=6$$

No i teraz nasze rozwiązania:

$$x_1={-b+√{∆} }/{2a} $$

$$x_1={2+6}/2=8/2=4 $$

$$x_2={-b-√{∆} }/{2a}$$

$$x_2={2-6}/2={-4}/2=-2$$

Pozostał nam wierzchołek liczymy P:

$$P=-{-2}/2=1$$

Lub możemy policzyć:

$$P={x_1+x_2}/2={4-2}/2=1$$

Oraz Q:

$$Q={-∆}/{4a}$$

$$Q={-36}/{4a}={-36}/{4}=-9$$

Zatem współrzędne wierzchołka to:

$$W(1;-9)$$

Rysujemy parabolę:

zad3

Spis treści

Rozwiązane zadania
Obwód równoległoboku ograniczonego ...

 

 

 

 

Zauważmy, że nastepujące układy, złożone z powyższych równań, mają jedno rozwiązanie:

 

Rozwiążmy powyższe układy graficznie.

 

 

 

 

 

 

 

   

Dany jest zbiór...

Zauważmy, że graficzną interpretacją zbioru F jest kwadrat bo:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Rysunek poglądowy:

Zauważmy, że jeżeli okrąg będzie miał promień równy 4 to będzie miał z kwadratem cztery punkty wspólne(będzie okręgiem opisanym na naszym kwadracie). Zauważmy, że jeżeli będziemy zmniejszać promień okręgu, to będzie on miał osiem punktów wspólnych z kwadratem aż do momentu w którym okrąg będzie się stykał ze środkami boków kwadratu. Obliczmy długość promienia okręgu w drugiej sytuacji.

Weźmy pod uwagę środek boku znajdującego się w I ćwiartce, jego współrzędne to:

 

zatem:

 

Zatem jeżeli promień będzie z przedziału:

 

to okrąg będzie miał 8 punktów wspólnych z kwadratem.

 

Odpowiedź C

Oblicz wartość wyrażenia:

 

 

 

Kąty α jest kątem ostrym ...

 

 

 

  

 

 

 

 

 

Wartości funkcji trygonometrycznych kąta ostrego są dodatnie.   

 

     

Jeśli a=5^40 i b=7^30, to: A. a-b

Odpowiedź D.

Pozostałe równości nie zachodzą. Nie możliwe jest mnożenie(odpowiedź D), odejmowanie (odpowiedź B)czy dodawanie liczb podniesionych do  jakiejś potęgi, gdyż w kolejności wykonywania działań najpierw wykonujemy potęgowanie, a później pozostałe działania. Nie dodajemy też potęg dwóch różnych liczb(jak zrobiono to w odpowiedzi C).

Wykresem funkcji f(x)= ...

 

 

 

     

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

        

  

 

      

 

 

 

 

 

      

 

 

 

 

 

    

       

 

 

   

 

   

 

  

 

   

    

 

    

W tabelce przedstawiono wartości funkcji f

Piotr i Stefan wyruszają na wycieczkę

Piotr startuje z miasta B, czyli ma do pokonania 105 km. Prędkość Piotra wynosi 15 km/h - oznacza to, że w ciągu każdej godziny Piotr pokonuje 15 km. W ciągu x godzin pokona więc 15x kilometrów. 

Zapiszmy wyrażenie opisujące odległość Piotra od miasta C wyrażoną w kilometrach (y) w zależności od czasu (x):

Oczywiście wartość x musi być nieujemna (ponieważ oznacza ona czas):

 

podobnie wartość y musi być nieujemna, ponieważ opisuje odległość: 

 

Wartość x jest więc liczbą nie mniejszą niż 0 i nie większą niż 7:

Wiemy, że dla 0 wyrażenie przyjmuje wartość 105, a dla 7 wyrażenie przyjmuje wartość 0. 

Zaznaczamy podane punkty i kreślimy wykres pokazujący odległość Piotra od miasta C:

 

 

 

Stefan startuje z miasta A, czyli ma do pokonana 135 km (30+105=135). Prędkość Stefana wynosi 22,5 km/h - oznacza to, że w ciągu każdej godziny Stefan pokonuje 22,5 km. W ciągu x godzin Stefan pokona więc 22,5 x kilometrów.

Zapiszmy wyrażenie opisując odległość Stefana od miasta C wyrażoną w kilometrach (y) w zależności od czasu (x):

Oczywiście wartość x musi być nieujemna:

podobnie wartość y musi być nieujemna: 

 

Wartość x jest więc liczbą nie mniejszą niż 0 i nie większą niż 6:

 

Wiemy, że dla 0 wyrażenie przyjmuje wartość 135, a dla 6 wyrażenie przyjmuje wartość 0. 

Teraz dorysujemy wykres pokazujący odległość Stefana od miasta C:

 

 

 

 

Z wykresu odczytujemy, że Stefan dogoni Piotra po 4 godzinach. 

 

 

 

Wiemy, że Stefan potrzebuje 6 godzin na dotarcie do miasta C. Jeśli Stefan ma dogonić Piotra dopiero w mieście C, to Piotr musi dotrzeć do miasta C także w czasie 6 godzin.

Oznaczmy nową prędkość Piotra (wyrażoną w km/h) jako 15+x. Piotr ma pokonać 105 km. Jeśli w ciągu jednej godziny pokonuje (15+x) kilometrów, to w ciągu 6 godzin pokona (15+x) kilometrów. Możemy zapisać równanie:

Piotr musiałby zwiększyć swoją średnią prędkość o 2,5 km/h. 

Rozłóż wyrażenia na czynniki, korzystając z odpowiedniego...

Przypomnijmy wzory, które będą nam potrzebne:

 

 


 


 {premium}


 


 


 


 


 


 


 

Prosta równoległa do osi OY przecina ...

 

  

 

 

 

 

   

Skoro prosta k jest równoległ do osi Y to jest postaci:

    

 

  

 

 

 

 

 

Podstawmy pod równanie okręgu współrzędne punktów A i B.

 

 

 

 

 

 

 

 

Podstawmy współrzędne punktu B do równania okręgu:

  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  

 

 

Skoro prosta k jest równoległ do osi Y to jest postaci:

    

   

 

 

   

 

 

  

  

 

Podstawmy pod równanie okręgu współrzędne punktów A i B.

 

 

 

  

 

     

     

  

Podstawmy współrzędne punktu B do równania okręgu:

  

 

    

   

  

  

  

 

 

 

  

 

 

Skoro prosta k jest równoległ do osi Y to jest postaci:

   

   

 

 

   

 

 

 

  

 

Podstawmy pod równanie okręgu współrzędne punktów A i B.

 

 

 

 

 

 

 

 

Podstawmy współrzędne punktu B do równania okręgu:

  

 

  

  

  

 

  

   

 

 

  

 

 

Skoro prosta k jest równoległ do osi Y to jest postaci:

   

   

 

 

   

 

 

 

  

 

Podstawmy pod równanie okręgu współrzędne punktów A i B.

 

 

 

 

 

 

 

 

Podstawmy współrzędne punktu B do równania okręgu: