Wykres funkcji kwadratowej - matura-podstawowa - Baza Wiedzy
Zadania powtórzeniowe
Zadanie 1.
Ustal wierzchołek paraboli w funkcji $$f(x)=x^2+6x+9$$.
Najpierw wypisujemy współczynniki a,b,c:
$$a=1$$
$$b=6$$
$$c=9$$
Bierzemy wzór na P i Q:
Najpierw P:
$$P={-b}/{2a}$$
Podmieniamy:
$$P={-6}/{2}=-3$$
Oraz Q:
Do Q potrzebujemy obliczyć deltę:
$$∆=b^2-4ac$$
$$∆=6^2-4×1×9$$
$$∆=36-36=0$$
$$∆=0$$
Więc Q:
$$Q={-∆}/{4a}$$
$$Q={-0}/{4}=0$$
Zatem współrzędne wierzchołka to:
$$W(-3;0)$$
Zadanie 2.
Narysuj wykres funkcji $$f(x)=x^2+2x+5$$.
Tutaj musimy zastosować całą procedurę, zatem zaczynamy od wypisania współczynników.
$$a=1$$
$$b=2$$
$$c=5$$
Obliczmy deltę:
$$∆=b^2-4ac$$
$$∆=2^2-4×1×5$$
$$∆=4-20$$
$$∆=-16$$
Delta jest ujemna, więc nie liczymy dalej, nie ma miejsc zerowych. Przechodzimy do wierzchołka.
Najpierw P:
$$P={-b}/{2a}$$
Podmieniamy:
$$P={-2}/2=-1$$
Oraz Q:
$$Q={-∆}/{4a}$$
$$Q=-{-16}/{4a}={16}/4=4$$
Zatem współrzędne wierzchołka to:
$$W(-1;4)$$
Rysujemy więc parabolę:
Zadanie 3.
Narysuj wykres paraboli funkcji $$f(x)=x^2-2x-8$$.
Standardowo zaczynamy od rozwiązania równania kwadratowego:
$$a=1$$
$$b=-2$$
$$c=-8$$
Obliczmy deltę:
$$∆=b^2-4ac$$
$$∆=(-2)^2-4×1×(-8)$$
$$∆=4+32$$
$$∆=36$$
Obliczmy od razu pierwiastek z delty:
$$√{∆}=√{36}=6$$
No i teraz nasze rozwiązania:
$$x_1={-b+√{∆} }/{2a} $$
$$x_1={2+6}/2=8/2=4 $$
$$x_2={-b-√{∆} }/{2a}$$
$$x_2={2-6}/2={-4}/2=-2$$
Pozostał nam wierzchołek liczymy P:
$$P=-{-2}/2=1$$
Lub możemy policzyć:
$$P={x_1+x_2}/2={4-2}/2=1$$
Oraz Q:
$$Q={-∆}/{4a}$$
$$Q={-36}/{4a}={-36}/{4}=-9$$
Zatem współrzędne wierzchołka to:
$$W(1;-9)$$
Rysujemy parabolę:
Spis treści
Rozwiązane zadania
Która z wypisanych poniżej liter ...
Litery osiowosymetryczne:
A, B, C, D, E, H, I, M, O, T, U, V, W, X, Y
Litery środkowosymetryczne:
H, I, N, O, S, X, Z
Podaj skalę jednokładności...
Obwód kwadratu o boku a jest dany wzorem:
`Obw = 4a`
Pole kwadratu u boku a jest dane wzorem:
`P= a^2`
A więc w naszym zadaniu obwód i pole wynoszą:
`Obw = 4*2=8 \ [cm]`
`P=2^2 = 4 \ [cm^2]`
Obwód obrazu naszego kwadratu wynosi 32 cm, obliczmy skalę:
`Obw_n = k* Obw`
`32 = |k|*8 \ \ \ |:8`
`|k| = 4`
`k=4 \ \ \ vee \ \ \ k=-4`
Musimy pamiętać, że skala k przekształca długość boku a tak, że bok będzie miał długość:
`k*a`
A więc pole kwadratu wtedy wynosi:
`P= k*a*k*a = k^2 a^2`
Więc pole nowego kwadratu względem starego wynosi:
`P_n = k^2 * P`
`1 = k^2 * 4 \ \ \ |:4`
`k^2 = 1/4 `
`|k|=1/2`
`k=1/2 \ \ \ vee \ \ \ k=-1/2`
Czy istnieje liczba rzeczywista, która jest jednocześnie wymierna i niewymierna
a) NIE - zbiory liczb wymiernych i niewymiernych są rozłączne, co oznacza, że nie mają części wspólnej, czyli że nie istnieje liczba, która byłaby jednocześnie wymierna i niewymierna
b) TAK - taką liczbą jest 0.
Rozwiąż graficznie układ równań
W każdym układzie przekształcamy równania do postaci kierunkowej, aby łatwo można było narysować wykresy.
`a)`
`{(2x-y=-4\ \ \ \ |-2x), (x+y=1\ \ \ \ |-x):}`
`{(-y=-2x-4\ \ \ |*(-1)), (y=1-x):}`
`{(y=2x+4), (y=1-x):}`
Dla każdej prostej wyznaczamy współrzędne dwóch punktów, które do niej należą (dzięki temu będziemy mogli narysować wykres, prowadząc prostą przez te punkty).
`y=2x+4`
`x=0\ \ \ ->\ \ \ y=2*0+4=0+4=4`
`x=-1\ \ \ ->\ \ \ y=2*(-1)+4=-2+4=2`
`y=1-x`
`x=0\ \ \ ->\ \ \ y=1-0=1`
`x=2\ \ \ ->\ \ \ y=1-2=-1`
Rysujemy wykresy w jednym układzie współrzędnych i odczytujemy współrzędne punktu przecięcia - jest to rozwiązanie układu równań.
`{(x=-1), (y=2):}`
`b)`
`{(4x-y=3\ \ \ \|-4x), (-x+2y=8\ \ \ |+x):}`
`{(-y=-4x+3\ \ \ \|*(-1)), (2y=x+8\ \ \ |:2):}`
`{(y=4x-3), (y=1/2x+4):}`
`y=4x-3`
`x=0\ \ \ ->\ \ \ y=4*0-3=0-3=-3`
`x=1\ \ \ ->\ \ \ y=4*1-3=4-3=1`
`y=1/2x+4`
`x=0\ \ \ ->\ \ \ y=1/2*0+4=0+4=4`
`x=2\ \ \ ->\ \ \ y=1/2*2+4=1+4=5`
`{(x=2), (y=5):}`
`c)`
`{(x-y-3=0\ \ \ |+y), (3x+y=1\ \ \ |-3x):}`
`{(y=x-3), (y=1-3x):}`
`y=x-3`
`x=0\ \ \ ->\ \ \ y=0-3=-3`
`x=4\ \ \ ->\ \ \ y=4-3=1`
`y=1-3x`
`x=0\ \ \ ->\ \ \ y=1-3*0=1-0=1`
`x=2\ \ \ ->\ \ \ y=1-3*2=1-6=-5`
`{(x=1), (y=-2):}`
Funkcja f przyporządkowuje każdej liczbie...
Liczba przeciwna do x to:
`-x`
Połowa z tej liczby to:
`1/2*(-x) = -1/2x`
Odpowiedź C
Który zbiór jest różnicą zbiorów
Prawidłowa jest odpowiedź B.
Dany jest trójką prostokątny...
Z twierdzenia Pitagorasa obliczmy długość przeciwprostokątnej:
`3^2 + 5^2 = c^2`
`9 + 25 = c^2`
`c^2 = 34`
`c = sqrt34`
`sin alpha = 5/c = 5/sqrt34 = (5sqrt34)/34`
Odpowiedź D
Równanie (k+1/2)x^2+k=(k+1)x...
`(k+1/2)x^2+k=(k+1)x`
`(k+1/2)x^2-(k+1)x+k=0`
Przypadek I.
`k+1/2!=0 \ \ \ "czyli" \ \ \ k!=-1/2`
`Delta=0`
`(-(k+1))^2-4*(k+1/2)k=0`
`k^2+2k+1-4k^2-2k=0`
`-3k^2+1=0 \ \ \ |*(-1)`
`3k^2-1=0`
`3k^2=1 \ \ \ |:3`
`k^2=1/3`
`k=sqrt(1/3) \ \ \ "lub" \ \ \ k=-sqrt(1/3)`
`k=sqrt3/3 \ \ \ "lub" \ \ \ k=-sqrt3/3`
Przypadek II.
`k+1/2=0 \ \ \ "czyli" \ \ \ k=-1/2`
`(-1/2+1/2)x^2-1/2=(-1/2+1)x`
`-1/2=1/2x \ \ \ |:1/2`
`-1=x`
Odp. A
Rozwiąż nierówność
Należy pamiętać, że jeśli mnożymy lub dzielimy nierówność przez liczbę ujemną, to należy zmienić kierunek nierówności.
`a)`
`3x-2<5\ \ \ |+2`
`3x<7\ \ \ |:3`
`x<7/3`
`b)`
`(x+4)/3<1\ \ \ \ |*3`
`x+4<3\ \ \ \-4`
`x<-1`
`c)`
`3x+2>=4\ \ \ |-2`
`3x>=2\ \ \ |:3`
`x>=2/3`
`d)`
`(x-4)/5> -2\ \ \ |*5`
`x-4> -10\ \ \ |+4`
`x> -6`
`e)`
`2-x<1\ \ \ |-2`
`-x< -1\ \ \ |*(-1)`
`x>1`
`f)`
`(2x-1)/4<=2\ \ \ \ |*4`
`2x-1<=8\ \ \ |+1`
`2x<=9\ \ \ |:2`
`x<=9/2`
`g)`
`6-x>=-2\ \ \ |-6`
`-x>=-8\ \ \ |*(-1)`
`x<=8`
`h)`
`(1-3x)/2>=1\ \ \ |*2`
`1-3x>=2\ \ \ |-1`
`-3x>=1\ \ \ |:(-3)`
`x<=-1/3`
Obrazem punktu A w jednokładności ...
`a)`
`A=(1;1)`
`A'=(-1;1)`
`B=(1;4)`
`B'=(-1;8)`
`P=(x;y)`
`k=|A'B'|/|AB|`
`|A'B'|=sqrt((-1+1)^2+(8-1)^2)=7`
`|AB|=sqrt((1-1)^2+(4-1)^2)=3`
`ul(k=7/3`
`7/3|AP|=|A'P|`
`7/3[x-1;y-1]=[x+1;y-1]`
Porównujemy współrzędne.
`7/3x-7/3=x+1`
`4/3x=10/3`
`x=10/4=5/2`
`7/3(y-1)=y-1`
`7/3y - 7/3 = y - 1`
`4/3y = 4/3`
`y = 1`
`ul(P=(5/2;1)`
`b)`
`A=(2;-2)`
`A'=(-4;0)`
`B=(4;0)`
`B'=(2;6)`
`P=(x;y)`
`k=|A'B'|/|AB|`
`|A'B'|=sqrt((2+4)^2+6^2)=6sqrt2`
`|AB|=sqrt((4-2)^2+(0+2)^2)=2sqrt2`
`ul(k=(6sqrt2)/(2sqrt2)=3`
`3|AP|=|A'P|`
`3[x-2;y+2]=[x+4;y]`
Porównujemy współrzędne.
`3x-6=x+4\ \ \wedge\ \ \3y+6=y`
`2x=10\ implies\ x=5`
`2y=-6\ implies \ y=-3`
`ul(P=(5;-3)`
© 2018 Odrabiamy.pl