Wstęp do funkcji - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Wykres funkcji

Przejdźmy zatem do tego co nas zapewne czeka na sprawdzianach i na maturze. Sprawdzenie czy wykres jest funkcją.

Wykres jest funkcją kiedy dowolną pionową linię układu współrzędnych wykres przetnie tylko raz. Jak to najłatwiej zobaczyć? Za pomocą linijki!

Mamy taki oto wykres:

wyk1

Załóżmy, że gruby niebieski pasek będzie moją linijką. Zaczynamy od lewej skrajnej części układu:

wyk2

A następnie przesuwamy w prawą stronę patrząc czy nasz pasek jest gdzieś przecinany więcej niż raz równocześnie.

Pokażę tu kilka faz:

wyk3

Przecina tylko raz

wyk4

Tu też

wyk5

Koniec sprawdzania, wykres jest funkcją.

Weźmy inny wykres:

wyk11

Przesuńmy naszą „linijkę”:

wyk12 
Nadal przecina raz

wyk13

Jednak tutaj już dwa razy, nie jest to funkcja.
 

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Tabela przedstawia średnią ocen poszczególnych klas

zad-tab

Czy wykaz średnich jest funkcją?

Jest funkcją, ponieważ dla każdej klasy istnieje tylko jedna średnia ocen.

Zadanie 2.

Sprawdź, który z poniższych wykresów jest funkcją (możliwa więcej niż jedna odpowiedź):
A. wyk-zad21

B. wyk-zad22

C. wyk-zad23

D. wyk-zad24
 

 

  Sprawdźmy wykresy po kolei:

A. Od lewej do prawej nie ma przecięcia w dwóch miejscach, zatem wykres jest funkcją.

B. Tutaj już napotykamy konflikt, np. w tych miejscach:

roz1

Są 2 a czasem 3 przecięcia, wykres nie jest funkcją

C. Tutaj również nie ma konfliktu, wykres jest funkcją.

D. Tutaj jest bardzo podchwytliwy rysunek, on tylko z pozoru jest łatwy i uśmiechnięty. Tworząc małego wykresowego psychopatę zaznaczyłem miejsca podejrzane o konflikt:

roz2

Jednakże, mimo, że linia została przecięta dwa razy to musimy wziąć pod uwagę zakończenia linii, puste kółko oznacza, że punkt nie należy, zatem się nie liczy. Zatem linie zostały przecięte tylko raz. Wykres jest funkcją.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Środek okręgu opisanego na trójkącie...

Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku poniżej:{premium}


Trójkąty AOE, ADB, EOD i EDC są przystające na podstawie cechy bkb, więc mają równe pola. Zatem pole trójkąta ABC jest równe sumie pól czterech trójkątów prostokątnych o przyprostokątnych długości 2 i 3.

 


Odp. Pole trójkąta jest równe 12 cm2.

Okrąg F1 o równaniu ...

 

 

 

{premium}

  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Porównajmy odpowiednie współrzędne.

 

 

 

   

 

 

 

 

  

Porównajmy odpowiednie współrzędne.

 

  

  

   

Wyznacz x z równania...

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Pole trójkąta jest równe 20...

Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku poniżej:

{premium}


Mamy dane:

 


Pole trójkąta ABC możemy obliczyć następująco:

 

lub następująco:

 


Powyższe wzory opisują pole tego samego trójkąta. Zatem:

 

 


Skorzystamy z jeszcze jednego wzoru na pole trójkąta (z sinusem) i wyznaczymy długość boku a:

 

 

 

 

 

 

 


Obliczamy długość boku b:

 


Odp. Boki przy kącie rozwartym mają długość 8 cm i 10 cm.

Rozwiąż nierówność

 

 

 

 

 

 

 

 

Kąt BAC ma miarę 30 ...

{premium}

 

 

 

 

 

 

 

Trójkąt ACE ma kąty o mierze 45, 45 i 90 stopni. Wynika stąd, że ACE jest równoramienny.

 

Skorzystamy z następującej tożsamości trygonometrycznej:

 

 

 

 

 

 

 

          

 

 

Z Pitagorasa:

 

    

  

Z własności trójkąta prostokątnego równoramiennego:

 

 

Wiemy, że:

  

      

 

 

W tabeli przedstawiono wyniki sondażu

 

Obliczamy, o ile punktów procentowych wzrosło poparcie dla partii Y: 

 

ODP: Poparcie dla partii Y wzrosło o 4 punkty procentowe. 

 

 

Teraz obliczamy, o{premium} ile procent wzrosła liczba osób popierających partię Y: 

  

ODP: Liczba osób popierających partię Y wzrosła o 25%

 

 

 

 

Obliczamy, o ile punktów procentowych zmalało poparcie dla partii Z: 

 

ODP: Poparcie dla partii Z zmalało o 2 punkty procentowe. 

 

 

Obliczamy, o ile procent zmalała liczba osób popierających partię Z: 

 

ODP: Liczba osób popierających partię Z zmalała o 20%.

Jaka jest największa liczba trzycyfrowa podzielna przez a) 2

Aby liczba dzieliła się przez 2, jej ostatnią cyfrą musi być 0, 2, 4, 6 lub 8. 

Największa liczba trzycyfrowa podzielna przez 2 to{premium} 998. 

 

 

Aby liczba dzieliła się przez 5, jej ostatnią cyfrą musi być 0 lub 5. 

Największa liczba trzycyfrowa podzielna przez 5 to 995. 

 

 

Aby liczba dzieliła się przez 6, musi dzielić się przez 2 i przez 3. Oznacza to, że ostatnią cyfrą tej liczby musi być 0, 2, 4, 6 lub 8, a suma cyfr tej liczby musi dzielić się przez 3.

Sprawdzamy zatem, czy kolejne liczby trzycyfrowe podzielne przez 2 (zaczynając od największej liczby) dzielą się przez 3:

998 - suma cyfr to 9+9+8=26 - liczba nie dzieli się przez 3

996 - suma cyfr to 9+9+6=24 - liczba dzieli się przez 3

Zatem największą liczbą trzycyfrową podzielną przez 6 jest 996. 

 

 

Aby liczba dzieliła się przez 15, musi dzielić się przez 3 i 5. Oznacza to, że ostatnią cyfra tej liczby musi być 0 lub 5, a suma jej cyfr musi dzielić się przez 3. Sprawdzamy zatem, czy kolejne liczby trzycyfrowe podzielne przez 5 (zaczynając od największej liczby) dzielą się przez 3: 

995 - suma cyfr to 9+9+5=23 - liczba nie dzieli się przez 3

990 - suma cyfr to 9+9+0=18 - liczba dzieli się przez 3

Zatem największą liczbą trzycyfrową podzielną przez 15 jest 990. 

Na podstawie wykresu funkcji...

a) Przesuwamy wykres funkcji o 2 jednostki w lewo i 2 jednostki w górę.

 

b) Przesuwamy wykres funkcji o 2 jednostki w prawo i 1 jednostkę w dół.

 

c) Przesuwamy wykres o 4 jednostki w prawo i 4 jednostki w dół.

Wśród 180 studentów przeprowadzono ankietę