Wstęp do funkcji - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Wykres funkcji

Przejdźmy zatem do tego co nas zapewne czeka na sprawdzianach i na maturze. Sprawdzenie czy wykres jest funkcją.

Wykres jest funkcją kiedy dowolną pionową linię układu współrzędnych wykres przetnie tylko raz. Jak to najłatwiej zobaczyć? Za pomocą linijki!

Mamy taki oto wykres:

wyk1

Załóżmy, że gruby niebieski pasek będzie moją linijką. Zaczynamy od lewej skrajnej części układu:

wyk2

A następnie przesuwamy w prawą stronę patrząc czy nasz pasek jest gdzieś przecinany więcej niż raz równocześnie.

Pokażę tu kilka faz:

wyk3

Przecina tylko raz

wyk4

Tu też

wyk5

Koniec sprawdzania, wykres jest funkcją.

Weźmy inny wykres:

wyk11

Przesuńmy naszą „linijkę”:

wyk12 
Nadal przecina raz

wyk13

Jednak tutaj już dwa razy, nie jest to funkcja.
 

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Tabela przedstawia średnią ocen poszczególnych klas

zad-tab

Czy wykaz średnich jest funkcją?

Jest funkcją, ponieważ dla każdej klasy istnieje tylko jedna średnia ocen.

Zadanie 2.

Sprawdź, który z poniższych wykresów jest funkcją (możliwa więcej niż jedna odpowiedź):
A. wyk-zad21

B. wyk-zad22

C. wyk-zad23

D. wyk-zad24
 

 

  Sprawdźmy wykresy po kolei:

A. Od lewej do prawej nie ma przecięcia w dwóch miejscach, zatem wykres jest funkcją.

B. Tutaj już napotykamy konflikt, np. w tych miejscach:

roz1

Są 2 a czasem 3 przecięcia, wykres nie jest funkcją

C. Tutaj również nie ma konfliktu, wykres jest funkcją.

D. Tutaj jest bardzo podchwytliwy rysunek, on tylko z pozoru jest łatwy i uśmiechnięty. Tworząc małego wykresowego psychopatę zaznaczyłem miejsca podejrzane o konflikt:

roz2

Jednakże, mimo, że linia została przecięta dwa razy to musimy wziąć pod uwagę zakończenia linii, puste kółko oznacza, że punkt nie należy, zatem się nie liczy. Zatem linie zostały przecięte tylko raz. Wykres jest funkcją.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Dany jest sześciokąt foremny ABCDEF...

  • Wektor AB:

Zauważmy, że:

`stackrel(->)(AD) + stackrel(->)(EB) = 2 stackrel(->)(AB)` 

Podzielmy obustronnie przez 2.

`1/2 stackrel(->)(AD) + 1/2 stackrel(->)(EB) = stackrel(->)(AB)` 

Wektorem przeciwnym do EB jest wektor BE:

`1/2 stackrel(->)(AD) - 1/2 stackrel(->)(BE) = stackrel(->)(AB)` 

A więc:

`{(m=1/2),(p=-1/2):}` 

 

  • Wektor AC:

Zauważmy, że:

`stackrel(->)(AD) + stackrel(->)(DC) = stackrel(->)(AC)` 

oraz:

`stackrel(->)(DC) = 1/2stackrel(->)(EB)` 

A więc:

`stackrel(->)(AD) + 1/2 stackrel(->)(EB) = stackrel(->)(AC)` 

`stackrel(->)(AD) -1/2stackrel(->)(BE) = stackrel(->)(AC)` 

A więc:

`{(m=1),(p=-1/2):}` 

 

  • Wektor FC:

Wiemy, że:

`|FC|=2|AB|` 

zatem:

`stackrel(->)(FC) = 2 stackrel(->)(AB)` 

obliczyliśmy, że:

`stackrel(->)(AB)=1/2 stackrel(->)(AD) - 1/2 stackrel(->)(BE)`

 

`stackrel(->)(FC) = 2 * (1/2 stackrel(->)(AD) - 1/2 stackrel(->)(BE))` 

`stackrel(->)(FC) = stackrel(->)(AD) - stackrel(->)(BE)` 

A więc:

`{(m=1),(p=-1):}` 

 

  • Wektor EC:

Zauważmy, że:

`stackrel(->)(ED) + stackrel(->)(DC) = stackrel(->)(EC)` 

oraz, że:

`stackrel(->)(ED) = stackrel(->)(AB)` 

czyli:

`stackrel(->)(EC) = stackrel(->)(AB) + stackrel(->)(DC)` 

obliczyliśmy wcześniej, że:

`{(stackrel(->)(AB)=1/2 stackrel(->)(AD) - 1/2 stackrel(->)(BE)),(stackrel(->)(DC) = 1/2stackrel(->)(EB)):}` 

Wykorzystajmy powyższe zalezności:

`stackrel(->)(EC) = 1/2 stackrel(->)(AD) - 1/2 stackrel(->)(BE) + 1/2 stackrel(->)(EB)`   

`stackrel(->)(EC) = 1/2stackrel(->)(AD) - 1/2 stackrel(->)(BE) - 1/2 stackrel(->)(BE)` 

`stackrel(->)(EC) = 1/2 stackrel(->)(AD) - stackrel(->)(BE)` 

A więc:

`{(m=1/2),(p=-1):}` 

Dwa okręgi o środkach ...

`O=(0;0)` 

`A=(11;0)` 

`B=(8;0)` 

`r_O-"promień okręgu o środku w punkcie O"`  

`r_A-"promień okręgu o środku w punkcie A"`  

`r_B-"promień okręgu o środku w punkcie B"` 

`r_O+r_A=11\ implies r_O=11-r_A`  

`8+r_O=r_B\ implies \ 8+11-r_A=r_B`  

`2r_B=2r_A+2r_O\ implies\ r_B=r_A+11-r_A` 

`r_B=11` 

`r_A=19-r_B=8` 

`r_O=11-r_A=3`    

  

`P-"pole zacieniowanego obszaru"` 

`P=pir_B^2-pir_A^2-pir_O^2=121pi-64pi-9pi=ul(48pi`    

Samochód spala przeciętnie

Zapiszmy, ile litrów benzyny spala samochód na 1 km:

`b:100=b/100=1/100b`

 

Zapiszmy, ile litrów benzyny potrzeba do przejechania n km:

`1/100b*n=1/100bn`

 

Obliczamy, ile kosztuje taka ilość benzyny:

`1/100bn*k=1/100bkn\ ["zł"]`

Oblicz pole trójkąta prostokątnego ...

`"Zauważmy, że trójkąty CDA, DAB i ABC są podobne. (Mają kąty tej samej miary.)"` 

`alpha=delta` 

`gamma=beta`   

`"Z podobieństwa trójkątów CDA i DAB otrzymyjemy, że:"` 

`3/(|AD|)=(|AD|)/4` 

`|AD|=sqrt12=2sqrt3` 

`P=1/2a*h=1/2*7*2sqrt3=ul(7sqrt3` 

Na podstawie wykresu funkcji ...

`g(x)=f(3x)` 

`h(x)=f(1/3x)` 

Wyznacz wzór opisujący zależność...

`a) \ 20/8 = 2,5` 

 

`a/b = 2,5` 

`a = 2,5b` 

 

`b) \ 20/8^2 = 20/64 = 5/16` 

`a/b^2 = 5/16` 

`a = 5/16b^2` 

 

`c) \ 20/(1/8) = 20*8 = 160` 

`a/(1/b) = 160` 

`ab = 160` 

`a = 160/b` 

Włącz czynnik pod pierwiastek

`a)\ 2root(3)3=root(3)8*root(3)3=root(3)(8*3)=root(3)24`

`b)\ 3root(3)2=root(3)27*root(3)2=root(3)(27*2)=root(3)54`

`c)\ 5root(3)2=root(3)(125)*root(3)2=root(3)(125*2)=root(3)250`

`d)\ 4root(3)5=root(3)64*root(3)5=root(3)(64*5)=root(3)320`

`e)\ 6root(3)5=root(3)216*root(3)5=root(3)(216*5)=root(3)1080`

 

Adam i Marek pokonali rowerami trasę 50 km

Wiemy, że Marek wyruszył pół godziny później, więc czerwony wykres opisuje ruch Marka, a niebieski wykres opisuje ruch Adama. 

 

`a)\ P`

Od 11:00 do 12:30 Marek pokonał 30 km (40-10=30)

Od 11:00 do 12:30 Adam pokonał także 30 km. 

 

 

`b)\ F`

O 12:00 Adam pokonał 20 km, natomiast Marek pokonał około 35 km. Marek pokonał większy dystans, więc był bliżej celu. 

 

`c)\ F`

Od 11:30 do 12:00 Adam nie pokonał żadnego dystansu, co oznacza, że miał postój, nie jechał. 

 

`d)\ P`

Zarówno Adam jak i Marek pokonali odległość 50 km w czasie 3,5 godziny. 

Oblicz wartość wyrażenia dla x=-3/4

a)

`(2x^2-4y)/(15xy)=(2*(-3/4)^2-4*(1/3))/(15*(-(strike3)/4)*1/(strike3))=(strike2*9/(strike16)-4/3)/(15*(-1/4)*1/1)=(9/8-4/3)/(-15/4)= (27/24-32/24)/(-15/4)= (-5/24)/(-15/4)=(strike5)/(strike24)*(strike4)/(strike15)= 1/6*1/3= 1/18`

b)

`(15xy-2x^2)/(3y^2)= (15*(-3/4)*1/3-2*(-3/4)^2)/(3*(1/3)^2)=(-(strike45)/4*1/(strike3)-strike2*9/(strike16))/((strike3)*1/(strike9))= (-15/4*1/1-9/8)/(1/3)=(-15/4-9/8)/(1/3)=(-30/8-9/8)/(1/3)=-39/8 *3=-117/8` 

c)

`(2x+7y-xy)/(8x^2)=(2*(-3/4)+7*1/3-(-3/4)*1/3)/(8*(-3/4)^2)= ((-6/4)+7/3+(strike3)/4*1/(strike3))/(strike8*9/(strike16))=(-18/12+28/12+1/4)/(9/2)=(10/12+3/12)/(9/2)=13/(strike12)*(strike2)/9=13/6*1/9=13/54 `

Wyznacz współczynniki b i c funkcji ...

Dana jest funkcja kwadratowa określona wzorem:

`f(x)=x^2+bx+c` 

Punkt W jest wierzchołkiem paraboli.

W zadaniu będziemy korzystać ze wzorów na współrzędne wierzchołka paraboli:

`x_w=-b/(2a)` 

`y_w=(-b^2+4ac)/(4a)`  

 

`"a)"\ W(0,5)` 

Korzystając ze wzoru na współrzędną x-ową wierzchołka wyznaczamy wartość b:

`0=-b/2\ \ \ \ \ |*2` 

`b=0` 

Korzystając ze wzoru na współrzędną y-ową wierzchołka wyznaczamy wartość c:

`5=(-0^2+4*1*c)/4`   

`5=(4c)/4` 

`c=5` 

Współczynnik b=0 oraz c=5.

 

Otrzymujemy wzór funkcji:

`f(x)=x^2+5` 

Wyznaczamy miejsca zerowe funkcji:

`Delta=0^2-4*1*5=-20`     

Funkcja nie posiada miejsc zerowych.

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))`

`"b)"\ W(5,0)`  

Korzystając ze wzoru na współrzędną x-ową wierzchołka wyznaczamy wartość b:

`5=-b/2\ \ \ \ \ |*2` 

`10=-b` 

`b=-10`  

Korzystając ze wzoru na współrzędną y-ową wierzchołka wyznaczamy wartość c:

`0=(-(-10)^2+4*1*c)/4`  

`0=(-100+4c)/4` 

`0=-25+c\ \ \ \ \ \ \ \ |+25`

`c=25` 

Współczynnik b=-10 oraz c=25.

 

Otrzymujemy wzór funkcji:

`f(x)=x^2-10x+25`  

Wyznaczamy miejsca zerowe funkcji:

`Delta=(-10)^2-4*1*25=100-100=0`  

`x_1=-b/(2a)=10/2=5`  

Funkcja posiada jedno miejsce zerowe.

 

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))` 

`"c)"\ W(-1/2,-1/4)`   

Korzystając ze wzoru na współrzędną x-ową wierzchołka wyznaczamy wartość b:

`-1/2=-b/2\ \ \ \ \ |*2` 

`-1=-b`    

`b=1`   

Korzystając ze wzoru na współrzędną y-ową wierzchołka wyznaczamy wartość c:

`-1/4=(-1^2+4*1*c)/4`  

`-1/4=(-1+4c)/4` 

`-1/4=-1/4+c\ \ \ \ \ \ \ \ |+1/4`  

`c=0` 

 

Współczynnik b=1 oraz c=0.

 

Otrzymujemy wzór funkcji:

`f(x)=x^2+x`    

Wyznaczamy miejsca zerowe funkcji:

`Delta=1^2-4*1*0=1` 

`sqrtDelta=sqrt1=1`  

`x_1=(-1-1)/2=-2/2=-1`  

`x_2=(-1+1)/2=0`        

Funkcja posiada dwa miejsca zerowe.