Wstęp do funkcji - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Wykres funkcji

Przejdźmy zatem do tego co nas zapewne czeka na sprawdzianach i na maturze. Sprawdzenie czy wykres jest funkcją.

Wykres jest funkcją kiedy dowolną pionową linię układu współrzędnych wykres przetnie tylko raz. Jak to najłatwiej zobaczyć? Za pomocą linijki!

Mamy taki oto wykres:

wyk1

Załóżmy, że gruby niebieski pasek będzie moją linijką. Zaczynamy od lewej skrajnej części układu:

wyk2

A następnie przesuwamy w prawą stronę patrząc czy nasz pasek jest gdzieś przecinany więcej niż raz równocześnie.

Pokażę tu kilka faz:

wyk3

Przecina tylko raz

wyk4

Tu też

wyk5

Koniec sprawdzania, wykres jest funkcją.

Weźmy inny wykres:

wyk11

Przesuńmy naszą „linijkę”:

wyk12 
Nadal przecina raz

wyk13

Jednak tutaj już dwa razy, nie jest to funkcja.
 

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Tabela przedstawia średnią ocen poszczególnych klas

zad-tab

Czy wykaz średnich jest funkcją?

Jest funkcją, ponieważ dla każdej klasy istnieje tylko jedna średnia ocen.

Zadanie 2.

Sprawdź, który z poniższych wykresów jest funkcją (możliwa więcej niż jedna odpowiedź):
A. wyk-zad21

B. wyk-zad22

C. wyk-zad23

D. wyk-zad24
 

 

  Sprawdźmy wykresy po kolei:

A. Od lewej do prawej nie ma przecięcia w dwóch miejscach, zatem wykres jest funkcją.

B. Tutaj już napotykamy konflikt, np. w tych miejscach:

roz1

Są 2 a czasem 3 przecięcia, wykres nie jest funkcją

C. Tutaj również nie ma konfliktu, wykres jest funkcją.

D. Tutaj jest bardzo podchwytliwy rysunek, on tylko z pozoru jest łatwy i uśmiechnięty. Tworząc małego wykresowego psychopatę zaznaczyłem miejsca podejrzane o konflikt:

roz2

Jednakże, mimo, że linia została przecięta dwa razy to musimy wziąć pod uwagę zakończenia linii, puste kółko oznacza, że punkt nie należy, zatem się nie liczy. Zatem linie zostały przecięte tylko raz. Wykres jest funkcją.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Oblicz wartość wyrażenia

`a)\ 2*(-2)^2*3-3*(-2)*3+1=2*4*3+18+1=24+18+1=43`

`b)\ -4*(-1)^3+2*(-2)^2-4*(-1)*(-2)+(-1)=-4*(-1)+2*4-8-1=`

`\ \ \ =4+8-8-1=3`

`c)\ 10-4*(-2)+1/2*4^2+3/4*(-2)^2=10+8+1/2*16+3/4*4=`

`\ \ \ =10+8+8+3=29`

`d)\ 2*1*(-2)*sqrt2^4-3*sqrt2^2+1*(-2)-9=-16-3*2-2-9=`

`\ \ \ =-16-6-2-9=-33`

 

Uporządkuj liczby od najmniejszej do największej

`a)` 

`0,25^-4=(1/4)^-4=4^4=256` 

`4^-3=1/4^3=1/64` 

`(sqrt2)^8=((sqrt2)^2)^4=2^4=16` 

`0,125=125/1000=1/8` 

 

`"liczby w kolejności od najmniejszej do największej:"` 

`4^-3<0,125<(sqrt2)^8<0,25^-4` 

 

 

 

`b)` 

`(root(3)3)^6=((root(3)3)^3)^2=3^2=9` 

`0,(1)=1/9` 

Zamiana ułamka okresowego na ułamek zwykły:

`\ \ \ \ \ \ x=0,1111...` 

`\ \ \ 10x=1,1111...` 

`\ \ \ 10x-x=1,1111...-0,1111...` 

` \ \ \ 9x=1\ \ \ |:9` 

`\ \ \ x=1/9` 

`81^-1=1/81` 

`(1/9)^-3=9^3=729` 

 

`"liczby w kolejności od najmniejszej do największej:"` 

`81^-1<0,(1)<(root(3)3)^6<(1/9)^-3` 

 

Wykres funkcji y ...

`"Skoro wykres funkcji przesunięto o 2 jednostki w górę, to wektor przesunięcia jest postaci [0;2]."` 

`g(x)=f(x-0)+2=f(x)+2` 

 

`"Odpowiedź C."` 

Równoległobok...

a)

Odcinki AB i CD są równoległe, a więc:

`/_ABF = /_BCE`

Gdyż są to kąty odpowiadające.

Kolejne kąty równe to:

`/_BEC = /_ AFB = 90^o`

A więc ostatnie kąty również są równe:

Tak więc na podstawie cechy Kąt-Kąt-Kąt trójkąty BCE i ABF są podobne.

 

b)

`|BC|=4`

`|EB|=3`

Z twierdzenia pitagorasa:``

`|EB|^2 + |CE|^2 = |BC|^2`

` ` `3^2 + |CE|^2 = 4^2`

`|CE|^2 = 16-9`

`|CE| = sqrt7`

 

Pole trójkąta BCE:

`P=1/2 ah = 1/2 * |CE| * |EB| = 1/2 * sqrt7 * 3 = 3/2 sqrt7`

Obwód trójkąta BCE:

`Obw = |EB|+|CE|+|BC| = 3+sqrt7 + 4 = 7 + sqrt7`

 

Obliczmy skalę podobieństwa trójkątów BCE i ABF:

`|AB|=12`

 

`|BC|=4 `

`|AB|/|BC| = 12/4 = 3 = k`

 

 

 

Pole trójkąta ABF:

`P*k^2 = 3/2 sqrt7 * 3^2 = 3/2 sqrt7 * 9 = 27/2 sqrt7`

Obwód trójkąta ABF:

`Obw * k = (7 + sqrt7) *k = (7 + sqrt7) *3 = 21 + 3 sqrt7`

Rozwiąż równanie

`a)`

`(3x-5)/3-x/6=(2x-1)/2+1\ \ \ \ \ \ |*6`

`2(3x-5)-x=3(2x-1)+6`

`6x-10-x=6x-3+6`

`5x-10=6x+3\ \ \ \ |-6x`

`-x-10=3\ \ \ |+10`

`-x=13\ \ \ |*(-1)`

`x=-13`

 

 

 

`b)`

`7/5-(3x+2)/2=(3-x)/2-x\ \ \ \ |*10`

`7/strike5^1*strike10^2-5(3x+2)=5(3-x)-10x`

`14-15x-10=15-5x-10x`

`4-15x=15-15x\ \ \ \ |+15x`

`4=15`

równanie jest sprzeczne - nie ma rozwiązań

 

 

`c)`

`(4+x)/3-(2-3x)/4=1/4(3 1/3+4 1/3x)\ \ \ \ |*12`

`4(4+x)-3(2-3x)=3(3 1/3+4 1/3x)`

`16+4x-6+9x=10+13x`

`10+13x=10+13x\ \ \ \ |-10-13x`

`0=0`

równanie jest tożsamościowe - spełnia je każda liczba rzeczywista

 

 

 

`d)`

`(5+x)/3-(1-x)/2=2/5(2 1/2x-3 1/3)\ \ \ \ |*30`

`10(5+x)-15(1-x)=2/strike5^1*strike30^6(5/2x-10/3)`

`50+10x-15+15x=12(5/2x-10/3)`

`35+25x=30x-40\ \ \ \ |-30x`

`35-5x=-40\ \ \ \ |-35`

`-5x=-75\ \ \ \ |:(-5)`

`x=15`

 

Określ znaki pierwiastków równania ...

`a)` 

`x^2-x-2012=0` 

`Delta=1+4*2012>=0` 

 

`x_1+x_2=-b/a=1/1=1` 

`x_1*x_2=c/a=-2012` 

`x_1*x_2<0`  

`"Liczby"\ x_1,\ x_2\ "mają różne znaki."` 

 

`b)` 

`12x^2-20x+5=0` 

`Delta=400-4*5*12=400-288>=0` 

 

`x_1+x_2=-b/a=20/12` 

`x_1*x_2=c/a=5/12` 

`{(x_1+x_2>0),(x_1*x_2>0):}` 

`"Liczby"\ x_1,\ x_2\ "są dodatnie."` 

 

`c)` 

`3x^2+5x+4=0` 

`Delta=25-4*4*3=15-48<0` 

`"Brak pierwiastków."` 

 

`d)` 

`-2x^2-15x-3=0` 

`Delta=225-24>0` 

 

`x_1+x_2=-b/a=15/-2=-15/2` 

`x_1*x_2=c/a=3/2` 

`{(x_1+x_2<0),(x_1*x_2>0):}`   

`"Liczby"\ x_1,\ x_2\ "są ujemne."`  

Oblicz bez korzystania z tablic...

Skoro kąt alfa jest wypukły a cosinus jest dodatni to znaczy, że kąt alfa jest kątem ostrym. Zatem sinus i tangens również będą dodatnie. Z jedynki trygonometrycznej:

 

`sin^2 alpha + cos^2 alpha = 1`  

`sin^2 alpha + (12/13)^2 = 1` 

`sin^2 alpha + 144/169 = 1` 

`sin^2 alpha = 25/169` 

`sin alpha = 5/13` 

 

`tg \ alpha = sin alpha/cos alpha = (5/13)/(12/13) = 5/13*13/12 = 5/12`

Funkcja f ...

`f:RR->RR` 

`f(x+y)=f(x)*f(y)` 

Funkcja f nie ma miejsc zerowych.

f(0)=?

 

 

`f(x)=f(x+y)/f(y)` 

`x=0` 

`f(0)=f(y)/f(y)=1` 

`f(y)ne0\ "ponieważ funkcja f nie ma miejsc zerowych."`    

Punkt przecięcia wykresu funkcji f z osia OY to (0;1).    

Przeczytaj informacje dotyczące

`a)`

Wystarczy zauważyć, że w wypożyczalni "Szprycha" koszt wypożyczenia roweru górskiego na 1 godzinę wynosi 9 zł (6+3∙1=6+3=9), a na dwie godziny wynosi 12 zł (6+3∙2=6+6=12), a następnie poprowadzić wykres przez te punkty. 

 

`b)`

Wypożyczenie roweruna mniej niż 4 godziny jest korzystniejsze w wypożyczalni "Szprycha", natomiast przy czasie dłuższym niż 4 godziny korzystniejsze jest wypożyczenie w wypożyczalni "Wagabunda" Przy wypożyczeniu roweru na 4 godziny koszt w obu wypożyczalniach jest jednakowy. 

Rozwiąż równanie

`a)`

`|3x|=18`

`|3|*|x|=18`

`3*|x|=18\ \ \ |:3`

`|x|=6`

`x=6\ \ \ "lub"\ \ \ x=-6`

 

 

`b)`

`|4x|=6`

`|4|*|x|=6`

`4*|x|=6\ \ \ |:4`

`|x|=3/2`

`x=3/2\ \ \ "lub"\ \ \ x=-3/2`

 

 

`c)`

`|2/3x|=1,4`

`|2/3|*|x|=1,4`

`2/3*|x|=1,4\ \ \ |:2`

`1/3*|x|=0,7\ \ \ |*3`

`|x|=2,1`

 

 

`d)`

`|-2x|=pi`

`|-2|*|x|=pi`

`2*|x|=pi\ \ \ |:2`

`|x|=pi/2`

`x=pi/2\ \ \ "lub"\ \ \ x=-pi/2`