Zgoda na przetwarzanie danych osobowych

25 maja 2018 roku zacznie obowiązywać Rozporządzenie Parlamentu Europejskiego i Rady (UE) 2016/679 z dnia 27 kwietnia 2016 r. znane jako RODO.

Dlatego aby dalej móc dostarczać Ci materiały odpowiednie do Twojego etapu edukacji, potrzebujemy zgody na lepsze dopasowanie treści do Twojego zachowania. Dzięki temu możemy zapamiętywać jakie materiały są Ci potrzebne. Dbamy o Twoją prywatność, więc nie zwiększamy zakresu naszych uprawnień. Twoje dane są u nas bezpieczne, a zgodę na ich zbieranie możesz wycofać na podstronie polityka prywatności.

Klikając "Przejdź do Odrabiamy", zgadzasz się na wskazane powyżej działania. W przeciwnym wypadku, nie jesteśmy w stanie zrealizować usługi kompleksowo i prosimy o opuszczenie strony.

Polityka prywatności

Drogi Użytkowniku w każdej chwili masz prawo cofnąć zgodę na przetwarzanie Twoich danych osobowych. Cofnięcie zgody nie będzie wpływać na zgodność z prawem przetwarzania, którego dokonano na podstawie wyrażonej przez Ciebie zgody przed jej wycofaniem. Po cofnięciu zgody wszystkie twoje dane zostaną usunięte z serwisu. Udzielenie zgody możesz modyfikować w zakładce 'Informacja o danych osobowych'

Wstęp do funkcji - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Wykres funkcji

Przejdźmy zatem do tego co nas zapewne czeka na sprawdzianach i na maturze. Sprawdzenie czy wykres jest funkcją.

Wykres jest funkcją kiedy dowolną pionową linię układu współrzędnych wykres przetnie tylko raz. Jak to najłatwiej zobaczyć? Za pomocą linijki!

Mamy taki oto wykres:

wyk1

Załóżmy, że gruby niebieski pasek będzie moją linijką. Zaczynamy od lewej skrajnej części układu:

wyk2

A następnie przesuwamy w prawą stronę patrząc czy nasz pasek jest gdzieś przecinany więcej niż raz równocześnie.

Pokażę tu kilka faz:

wyk3

Przecina tylko raz

wyk4

Tu też

wyk5

Koniec sprawdzania, wykres jest funkcją.

Weźmy inny wykres:

wyk11

Przesuńmy naszą „linijkę”:

wyk12 
Nadal przecina raz

wyk13

Jednak tutaj już dwa razy, nie jest to funkcja.
 

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Tabela przedstawia średnią ocen poszczególnych klas

zad-tab

Czy wykaz średnich jest funkcją?

Jest funkcją, ponieważ dla każdej klasy istnieje tylko jedna średnia ocen.

Zadanie 2.

Sprawdź, który z poniższych wykresów jest funkcją (możliwa więcej niż jedna odpowiedź):
A. wyk-zad21

B. wyk-zad22

C. wyk-zad23

D. wyk-zad24
 

 

  Sprawdźmy wykresy po kolei:

A. Od lewej do prawej nie ma przecięcia w dwóch miejscach, zatem wykres jest funkcją.

B. Tutaj już napotykamy konflikt, np. w tych miejscach:

roz1

Są 2 a czasem 3 przecięcia, wykres nie jest funkcją

C. Tutaj również nie ma konfliktu, wykres jest funkcją.

D. Tutaj jest bardzo podchwytliwy rysunek, on tylko z pozoru jest łatwy i uśmiechnięty. Tworząc małego wykresowego psychopatę zaznaczyłem miejsca podejrzane o konflikt:

roz2

Jednakże, mimo, że linia została przecięta dwa razy to musimy wziąć pod uwagę zakończenia linii, puste kółko oznacza, że punkt nie należy, zatem się nie liczy. Zatem linie zostały przecięte tylko raz. Wykres jest funkcją.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Oblicz

`a)\ 2^(1/2)*32^(1/2)+72^(1/3):9^(1/3)=` `(2*32)^(1/2)+(72:9)^(1/3)=` 

`\ \ \ =64^(1/2)+8^(1/3)=sqrt64+root(3)8=8+2=10` 

 

`b)\ 48^(1/2)*3^(1/2)+25^(1/3)*5^(1/3)=` `(48*3)^(1/3)+(25*5)^(1/3)=` 

`\ \ \ =144^(1/2)+125^(1/3)=sqrt144+root(3)(125)=12+5=17` 

 

`c)\ 108^(1/2):3^(1/2)-3^(1/4)*27^(1/4)=` `(108:3)^(1/2)-(3*27)^(1/4)=` 

`\ \ \ =36^(1/2)-81^(1/4)=sqrt36-root(4)(81)=6-3=3` 

 

`d)\ 2^(1/2)*50^(1/2)-2^(1/5)*16^(1/5)=` `(2*50)^(1/2)-(2*16)^(1/5)=` 

`\ \ \ =100^(1/2)-32^(1/5)=sqrt100-root(5)(32)=10-2=8` 

 

`e)\ (27^(1/6))^-2=27^(-1/6*2)=27^(-1/3)=(1/27)^(1/3)=root(3)(1/27)=1/3` 

 

`f)\ (49^(1/5))^(5/2)=49^(1/5*5/2)=49^(1/2)=sqrt49=7` 

Wyłącz wspólny czynnik przed nawias

`a)\ 2abc-6abd+14abcd=2ab*c+2ab*(-3d)+2ab*7cd=2ab(c-3d+7cd)`

`b)\ -5x^2y+20x^3y^2=5x^2y*(-1)+5x^2y*4xy=5x^2y(-1+4xy)`

`c)\ 6mk^2p-6mkp^2+m^2k^2p^2=mkp*6k+mkp*(-6p^2)+kmp*mkp=mkp(6k-6p^2+mkp)`

`d)\ (tu)/2+(uw)/4-tuw=u*t/2+u*w/4+u*(-tw)=u(t/2+w/4-tw)`

Zbadaj liczbę rozwiązań równania...

`a) \ Delta = m^2 - 4*1*(2m-3) = m^2 - 8m + 12` 

 

2 rozwiązania:

`Delta >0` 

`m^2 - 8m + 12 > 0`  

`m^2 -2m -6m + 12 > 0` 

`m(m-2) -6(m-2) > 0` 

`(m-2)(m-6) > 0` 

`m_1 = 2 \ \ vv \ \ m_2 = 6` 

parabola ma ramiona skierowane ku górze a więc:

`m in (-oo, 2) \cup (6,oo)` 

 

1 rozwiążanie:

`Delta =0` 

`m in {2,6}` 

 

brak rozwiązań:

`Delta < 0` 

`m in (2, 6)` 

 

 

`b) \ Delta = (-4a)^2-4*1*3a^2 = 16a^2 -12a^2 = 4a^2` 

 

2 rozwiązania:

`Delta > 0` 

`4a^2 > 0` 

`a^2 > 0` 

`a in R \ \\ \ {0}` 

 

1 rozwiązanie:

`Delta =0` 

`a in {0}` 

 

Równanie zawsze ma przynajmniej jedno rozwiązanie.

 

c) Żeby równanie było kwadratowe to:

`p^2-1 ne 0` 

`p^2 ne 1` 

`p ne {-1,1}` 

 

`Delta = (-2p)^2 -4*(p^2-1)*1 = 4p^2 -4p^2 + 4=4` 

 

2 rozwiązania:

`Delta > 0` 

`p in R \ {-1,1}` 

 

1 rozwiązanie:

`p in {-1,1}` 

bo równanie jest wtedy liniowe.

 

d) Równanie jest kwadratowe dla:

`m+2 ne 0` 

`m ne -2` 

 

Sprawdźmy co się dzieje z równaniem dla m = -2

`0*x^2 -8x -8-1=0` 

 `-8x =9` 

`x =-9/8` 

A więc dla m = -2 równanie ma jedno rozwiązanie.

 

Wyróżnik:

`Delta = (4m)^2 -4*(m+2)*(4m-1) = 16m^2 -4(4m^2-m+8m-2) = 16m^2 -4(4m^2+7m-2) =`  

`16m^2 -16m^2-28m+8 = -28m+8` 

 

2 rozwiązania:

`Delta > 0` 

`-28m +8 > 0` 

`8> 28m` 

`2/7>m` 

`m in (-oo, 2/7) \ \\ \ {-2}` 

 

1 rozwiązanie:

`Delta = 0` 

`m in {-2, 2/7}` 

 

brak rozwiązań:

`Delta < 0` 

`m in (2/7, oo)` 

Dany jest wektor ...

`a)` 

`vec(AC)=-1/4vec(AB)` 

`"Nie jesteśmy w stanie wyznaczyć punktu C nie posiadając informacji o współrzędnych punktu A i B."` 

 

`b)` 

`vec(AC)=-1/4vec(AB)`  

`"Nie jesteśmy w stanie wyznaczyć punktu C nie posiadając informacji o współrzędnych punktu A i B."`  

` `

Naszkicuj wykres funkcji

Rysujemy wykres funkcji y=-x2

 

 

`a)` 

Zbiorem wartości funkcji y=-x2 jest zbiór (-∞; 0>. Musimy więc przesunąć wykres o 1 jednostkę w górę wzdłuż osi OY. 

`g(x)=-x^2+1` 

 

 

`b)` 

Funkcja y=-x² dla argumentów 2 i -2 przyjmuje wartości -4. Chcemy, aby te argumenty były miejscami zerowymi, więc musi być przyjmowana dla nich wartość 0. Stąd musimy przesunąć wykres funkcji f o 4 jednostki w górę wzdłuż osi OY. 

 

`g(x)=-x^2+4` 

 

 

`c)` 

Funkcja f(x) dla argumentu -2 przyjmuje wartość -4. Chcemy, aby dla argumentu -2 była przyjmowana wartość -5, więc musimy przesunąć wykres funkcji f o 1 jednostkę w dół wzdłuż osi OY. 

 

`g(x)=-x^2-1` 

 

Narysuj wykres przykładowej funkcji f...

Przykładowy wykres funkcji określonej na zbiorze liczb rzeczywistych

Badania przeprowadzone przez specjalistów dowodzą, że

Musimy sprawdzić, czy iloraz prędkości pojazdu i drogi hamowania jest stały. 

`50/13=3 11/13`

`72/27=8/3=2 2/3`

Te wielkości nie są wprost proporcjonalne. 

Przedstaw ilustrację graficzną

`a)`

Najpierw zaznaczymy obszar opisany pierwszą nierównością. 

`-2x+y-3<=0\ \ \ |+2x+3`

`y<=2x+3`

 

Wyznaczmy współrzędne dwóch punktów należących do prostej y=2x+3. 

`x=0\ \ \ ->\ \ \ y=2*0+3=0+3=3\ \ \ ->\ \ \ "punkt"\ (0;\ 3)`

`x=1\ \ \ ->\ \ \ y=2*1+3=2+3=5\ \ \ ->\ \ \ "punlkt"\ (1;\ 5)`

 

Rysujemy prostą ciągłą linią i zaznaczamy obszar znajdujący się pod nią. 

  

 

Teraz zaznaczamy jeszcze obszar opisany drugą nierównością. 

  

 

Ilustracja graficzna układu nierówności została zaznaczona na żółto: 

  

 

 

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))`

 

 

`b)`

Najpierw zaznaczymy obszar opisany pierwszą nierównością. 

`3x-y-2<0\ \ \ |-3x+2`

`-y< -3x+2\ \ \ |*(-1)`

`y>3x-2`

Wyznaczmy współrzędne dwóch punktów należących do prostej y=3x-2.

`x=0\ \ \ ->\ \ \ y=3*0-2=0-2=-2\ \ \ ->\ \ \ "punkt"\ (0;\ -2)`

`x=1\ \ \ ->\ \ \ y=3*1-2=3-2=1\ \ \ ->\ \ \ "punkt"\ (1;\ 1)`

 

Rysujemy prostą przerywaną linią i zaznaczamy obszar znajdujący się nad nią. 

  

 

Teraz zaznaczymy obszar opisany drugą nierównością. 

`-6x+2y<0\ \ \ |+6x`

`2y<6x\ \ \|:2`

`y<3x`

 

Wyznaczmy współrzędne dwóch punktów należących do prostej y=3x.

`x=0\ \ \ ->\ \ \ y=3*0=0\ \ \ ->\ \ \ "punkt"\ (0;\ 0)`

`x=1\ \ \ ->\ \ \ y=3*1=3\ \ \ ->\ \ \ "punkt"\ (1;\ 3)`

 

Rysujemy prostą przerywaną linią i zaznaczamy obszar znajdujący się pod nią. 

   

 

 

Ilustracja graficzna układu nierówności została zaznaczona na żółto: 

 

 

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))`

 

 

 

`c)`

Najpierw zaznaczymy obszar opisany pierwszą nierównością. 

`x-3y+3>=0\ \ \ |-x-3`

`-3y>=-x-3\ \ \ |:(-3)`

`y<=1/3x+1`

Wyznaczmy współrzędne dwóch punktów należących do prostej y=1/₃x+1.

`x=0\ \ \ ->\ \ \ y=1/3*0+1=0+1=1\ \ \ ->\ \ \ "punkt"\ (0;\ 1)`

`x=3\ \ \ ->\ \ \ y=1/3*3+1=1+1=2\ \ \ ->\ \ \ "punkt"\ (3;\ 2)`

  

Rysujemy prostą ciągłą linią i zaznaczamy obszar znajdujący się pod nią. 

 

Teraz zaznaczymy obszar opisany drugą nierównością. 

`2x+y>=8\ \ \ |-2x`

`y>=-2x+8`

 

Wyznaczmy współrzędne dwóch punktów należących do prostej y=-2x+8.

`x=2\ \ \ ->\ \ \ y=-2*2+8=-4+8=4\ \ \ ->\ \ \ "punkt"\ (2;\ 4)`

`x=3\ \ \ ->\ \ \ y=-2*3+8=-6+8=2\ \ \ ->\ \ \ "punkt"\ (3;\ 2)`

 

  

 

Rysujemy prostą ciągłą linią i zaznaczamy obszar znajdujący się nad nią.    

 

 

Ilustracja graficzna układu nierówności została zaznaczona na żółto: 

Na podstawie wykresu funkcji g ...

`g(x)=k+2` 

`g(x)=|f(x)|=|2/(x-1)-3|` 

`"Zauważmy, że równanie g(x)=m ma dwa rozwiązania dodatnie dla"\ x in (0;3)cup(5;+oo).` 

`k+2 in (0;3)cup(5;+oo)` 

`k in (-2;1)cup(3;+oo)`   

Przeczytaj przykład w ramce

`a)`

`3(2-1/6x)>=-0,5x+1`

`6-3/6x>=-0,5x+1`

`6-1/2x>=-1/2x+1\ \ \ |+1/2x`

`6>=1`

Nierówność jest spełniona przez każdą liczbę rzeczywistą.

 

 

`b)`

`-2/3(3x-2)>1/2(3-4x)\ \ \ \ |*6`

`-4(3x-2)>3(3-4x)`

`-12x+8>9-12x\ \ \ |+12x`

`8>9`

Nierówność jest sprzeczna.

 

 

`c)`

`(x-2)/2<(3x-4)/6-1\ \ \ \ \ |*6`

`3(x-2)<3x-4-6`

`3x-6<3x-10\ \ \ |-3x`

`-6< -10`

Nierówność jest sprzeczna.

 

 

`d)`

`(4-3x)/3>=(2-5x)/5+5\ \ \ \ |*15`

`5(4-3x)>=3(2-5x)+75`

`20-15x>=6-15x+75`

`20-15x>=81-15x\ \ \ |+15x`

`20>=81`

Nierówność jest sprzeczna.

 

 

`e)`

`(x-3)/2<(2x+1)/3-(x-2)/6\ \ \ |*6`

`3(x-3)<2(2x+1)-(x-2)`

`3x-9<4x+2-x+2`

`3x-9<3x+4\ \ \ |-3x`

`-9<4`

Nierówność jest spełniona przez każdą liczbę rzeczywistą.  

` `