Wstęp do funkcji - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Wykres funkcji

Przejdźmy zatem do tego co nas zapewne czeka na sprawdzianach i na maturze. Sprawdzenie czy wykres jest funkcją.

Wykres jest funkcją kiedy dowolną pionową linię układu współrzędnych wykres przetnie tylko raz. Jak to najłatwiej zobaczyć? Za pomocą linijki!

Mamy taki oto wykres:

wyk1

Załóżmy, że gruby niebieski pasek będzie moją linijką. Zaczynamy od lewej skrajnej części układu:

wyk2

A następnie przesuwamy w prawą stronę patrząc czy nasz pasek jest gdzieś przecinany więcej niż raz równocześnie.

Pokażę tu kilka faz:

wyk3

Przecina tylko raz

wyk4

Tu też

wyk5

Koniec sprawdzania, wykres jest funkcją.

Weźmy inny wykres:

wyk11

Przesuńmy naszą „linijkę”:

wyk12 
Nadal przecina raz

wyk13

Jednak tutaj już dwa razy, nie jest to funkcja.
 

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Tabela przedstawia średnią ocen poszczególnych klas

zad-tab

Czy wykaz średnich jest funkcją?

Jest funkcją, ponieważ dla każdej klasy istnieje tylko jedna średnia ocen.

Zadanie 2.

Sprawdź, który z poniższych wykresów jest funkcją (możliwa więcej niż jedna odpowiedź):
A. wyk-zad21

B. wyk-zad22

C. wyk-zad23

D. wyk-zad24
 

 

  Sprawdźmy wykresy po kolei:

A. Od lewej do prawej nie ma przecięcia w dwóch miejscach, zatem wykres jest funkcją.

B. Tutaj już napotykamy konflikt, np. w tych miejscach:

roz1

Są 2 a czasem 3 przecięcia, wykres nie jest funkcją

C. Tutaj również nie ma konfliktu, wykres jest funkcją.

D. Tutaj jest bardzo podchwytliwy rysunek, on tylko z pozoru jest łatwy i uśmiechnięty. Tworząc małego wykresowego psychopatę zaznaczyłem miejsca podejrzane o konflikt:

roz2

Jednakże, mimo, że linia została przecięta dwa razy to musimy wziąć pod uwagę zakończenia linii, puste kółko oznacza, że punkt nie należy, zatem się nie liczy. Zatem linie zostały przecięte tylko raz. Wykres jest funkcją.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Jeżeli α jest kątem ostrym ...

`sin alpha=1/5` 

`sin^2alpha+cos^2alpha=1` 

`cos^2alpha=1-sin^2alpha=1-1/25=24/25` 

`alpha " jest kątem ostrym czyli"\ cosalpha>0.` 

`cosalpha=sqrt24/5=(2sqrt6)/5` 

 

`"Odpowiedź C".`    

   

Uporządkuj liczby malejąco ...

`A=root(3)(1 61/64)*(-1,5)^(-2)=root(3)(125/64)*(-3/2)^-2=5/4*(-2/3)^2=5/strike4^1*strike4^1/9=5/9` 

`B=sqrt((1 1/5)^-2+(8/27)^(1/3))=sqrt((6/5)^-2+((2/3)^3)^(1/3))=sqrt((5/6)^2+2/3)=sqrt(25/36+2/3)=sqrt(25/36+24/36)=sqrt49/36=7/6` 

`C=(8/27)^(-1/3)-(2/3)^(-2):(-1,5)^2=((2/3)^3)^(-1/3)-(3/2)^2:(-3/2)^2=(2/3)^-1-9/4:9/4=3/2-1=1/2` 

 

Porządkujemy otrzymane liczby malejąco:

`7/6>5/9>1/2`         

Stąd:

`B>A>C`

Pracownikom pewnej firmy podniesiono pensje

Oznaczmy sobie początkową pensje pracowników jako x. Pensja ta po podwyżce wynosi o 10% więcej, zatem 110% ceny początkowej:

`110%*x=1,1*x=1,1x`

Poźniej obniżono ją o 10%, zatem obliczamy 90% z nowej pensji 1,1x

`90% * 1,1x= 0,9 * 1,1x= 0,99 x`

 

Pytają nas w zadaniu jaką otrzymaliby końcową pensje (w stosunku do końcowej pensji w poprzednim przypadku) gdyby ich pensje najpierw obniżono a później podwyższono:

`90%*x=0,9x`

`110%*0,9x=1,1*0,9x=0,99x`

Pensja byłaby w obydwu przypadkach taka sama.

 

Wyznacz wszystkie liczby rzeczywiste ...

`"a)"\ sqrt(x^2-3x+9/4)<=3/4` 

Wyrażenie pod pierwiastkiem możemy, korzystajac ze wzoru skróconego mnożenie, zapisać jako kwadrat różnicy:

`sqrt((x-3/2)^2)<=3/4` 

Korzystamy z zależności:

`sqrt(a^2)=|a|` 

i otrzymujemy:

`|x-3/2|<=3/4` 

Szukamy takich liczby rzeczywistych, których odległość od liczby 3/2 jest mniejsza lub równa 3/4

Liczby spełniajace warunek:

`|x-3/2|<=3/4` 

to liczby należace do zbioru:

`x in <<3/4;2 1/4>>` 

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))` 

`"b)"\ sqrt(9-6x+x^2)>2`  

Wyrażenie pod pierwiastkiem możemy, korzystajac ze wzoru skróconego mnożenie, zapisać jako kwadrat różnicy:

`sqrt((3-x)^2)>2`   

Korzystamy z zależności:

`sqrt(a^2)=|a|` 

i otrzymujemy:

`|3-x|>2` 

Liczbę objętą wartością bezwzględną przekształćmy do postaci x-a:

`|3-x|=|(-1)*(-3+x)|=|-1|*|-3+x|=|-3+x|=|x-3|` 

Stąd:

`|x-3|>2` 

Szukamy takich liczby rzeczywistych, których odległość od liczby 3 jest większa od 2. 

Liczby spełniajace warunek:

`|x-3|>2` 

to liczby należace do zbioru:

`x in (-oo;1)cup(5;+oo)`  

W ubiegłym miesiącu...

Sprawdźmy czy odcięta wierzchołka paraboli należy do badanego przedziału:

`x_w = p = (-b)/(2a) = (-12)/(2*(-1)) = 12/2 = 6` 

Parabola jest skierowana ramionami w dół a więc dla n = 6 mamy wartość największą. Wartość najmniejsza na badanym przedziale będzie na krańcu, który jest położony najdalej od odciętej wierzchołka paraboli. Badany przedział to {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} a więc n = 1.

`y_(max) = f(6) = -6^2 + 12*6 - 6 = -36 + 72 - 6 = 30` 

`y_(min) = f(1) = -1^2 + 12*1 - 6 = -1 + 12 - 6 = 5` 

 

Odpowiedź: W 6 dniu wystawę odwiedziło najwięcej osób, a w 1 najmniej.

Trapez równoramienny o podstawach 6√3 cm i 2√3 cm ...

`a)`

`h=6cm`

`P=((2sqrt3cm+6sqrt3cm)*strike6cm)/(strike2)=8sqrt3cm*3cm=ul(ul(24sqrt3cm^2))`

 

`tgalpha=(strike6cm)/(strike2sqrt3cm)=3/sqrt3*sqrt3/sqrt3=(3sqrt3)/(3)=sqrt3`

Zastanawiamy się, dla jakiego kąta funckja tangens przyjmuje taką wartość

`tgalpha=sqrt3`

`alpha=60^o`

Suma miar kątów leżących przy jednym ramieniu trapezu wynosi 180o, zatem miara kąta rozwartego trapezu:

`180^o-60^o=120^o`

Miary kątów tego trapezu: 60o,60o,120o,120o.

 

`b)`

`tg30^o=h/(3cm)`

`sqrt3/3=h/(3cm)`      ` /*3cm`

`h=sqrt3cm`

`P=((4cm+10cm)*sqrt3cm)/2=(14sqrt3cm^2)/2=ul(ul(7sqrt3cm^2))`

Wskaż wyrażenie, które otrzymamy

`(2a+b)(a-b)-3a(a+b)+4ab=`

`=2a^2-2ab+ab-b^2-3a^2-3ab+4ab=`

`=-a^2-b^2\ \ \ \ \ \ \ \ \ odp.\ A`

 

Oblicz x.

`a)`

Oznaczmy wysokość dużego trójkąta przez y.

`6^2+y^2=(2sqrt13)^2`

`36+y^2=4*13`

`36+y^2=52\ \ \ |-36`

`y^2=16`

`y=sqrt16=4`

 

`y^2+x^2=sqrt41^2`

`4^2+x^2=41`

`16+x^2=41\ \ \ \ |-16`

`x^2=25`

`x=sqrt25=5`

 

`b)`

Oznaczmy odcinek na prawo od odcinka 3 przez y. 

`y^2+5^2=sqrt61^2`

`y^2+25=61\ \ \ \ |-25`

`y^2=36`

`y=sqrt36=6`

 

`(3+y)^2+5^2=x^2`

`(3+6)^2+25=x^2`

`81+25=x^2`

`x^2=106`

`x=sqrt106`

Funkcja f przyporządkowuje...

Przykładowo:

`4 -> (1/4)/2 = 1/(4*2) = 1/8` 

`6 -> (1/6)/2 = 1/(6*2) = 1/12` 

A więc:

`x -> (1/x)/2 = 1/(x*2) = 1/(2x)` 

Odpowiedź A

Czy zbiory A i B mają tyle samo elementów?

`a)`

`A={1,\ 2,\ 3,\ 6}`

`B={1,\ 3, \ 5,\ 15}`

Zbiory A i B mają po 4 elementy. 

 

`6inA\ \ i\ \ \ 6notinB`

 

 

`b)`

`A={1,\ 2,\ 3,\ 6,\ 9,\ 18}`

`B={1,\ 2,\ 3,\ 5,\ 6,\ 10,\ 15,\ 30}`

Zbiory A i B nie mają tyle samo elementów.

 

`18inA\ \ \ i\ \ \ 18notinB`

 

 

`c)`

`A={1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 6,\ 9,\ 12,\ 18,\ 36}`

`B={1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 6,\ 8,\ 12,\ 16,\ 24,\ 48}`

Zbiory A i B nie mają tyle samo elementów.

 

`18inA\ \ \ i\ \ \ 18notinB`