Wstęp do funkcji - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Wykres funkcji

Przejdźmy zatem do tego co nas zapewne czeka na sprawdzianach i na maturze. Sprawdzenie czy wykres jest funkcją.

Wykres jest funkcją kiedy dowolną pionową linię układu współrzędnych wykres przetnie tylko raz. Jak to najłatwiej zobaczyć? Za pomocą linijki!

Mamy taki oto wykres:

wyk1

Załóżmy, że gruby niebieski pasek będzie moją linijką. Zaczynamy od lewej skrajnej części układu:

wyk2

A następnie przesuwamy w prawą stronę patrząc czy nasz pasek jest gdzieś przecinany więcej niż raz równocześnie.

Pokażę tu kilka faz:

wyk3

Przecina tylko raz

wyk4

Tu też

wyk5

Koniec sprawdzania, wykres jest funkcją.

Weźmy inny wykres:

wyk11

Przesuńmy naszą „linijkę”:

wyk12 
Nadal przecina raz

wyk13

Jednak tutaj już dwa razy, nie jest to funkcja.
 

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Tabela przedstawia średnią ocen poszczególnych klas

zad-tab

Czy wykaz średnich jest funkcją?

Jest funkcją, ponieważ dla każdej klasy istnieje tylko jedna średnia ocen.

Zadanie 2.

Sprawdź, który z poniższych wykresów jest funkcją (możliwa więcej niż jedna odpowiedź):
A. wyk-zad21

B. wyk-zad22

C. wyk-zad23

D. wyk-zad24
 

 

  Sprawdźmy wykresy po kolei:

A. Od lewej do prawej nie ma przecięcia w dwóch miejscach, zatem wykres jest funkcją.

B. Tutaj już napotykamy konflikt, np. w tych miejscach:

roz1

Są 2 a czasem 3 przecięcia, wykres nie jest funkcją

C. Tutaj również nie ma konfliktu, wykres jest funkcją.

D. Tutaj jest bardzo podchwytliwy rysunek, on tylko z pozoru jest łatwy i uśmiechnięty. Tworząc małego wykresowego psychopatę zaznaczyłem miejsca podejrzane o konflikt:

roz2

Jednakże, mimo, że linia została przecięta dwa razy to musimy wziąć pod uwagę zakończenia linii, puste kółko oznacza, że punkt nie należy, zatem się nie liczy. Zatem linie zostały przecięte tylko raz. Wykres jest funkcją.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Ile razy funkcja przedstawiona...

Jeżeli poprowadzimy sobie prostą o równaniu y = 3 zauważymy, że wykres funkcji zostanie przecięty trzykrotnie.

 

Odpowiedź B

Wyznacz miejsca zerowe funkcji f.

`f(x) = (x+4) sqrt(x-2)` 

Obliczmy dziedzinę funkcji, liczba pod pierwiastkiem musi być nieujemna.

`x -2 geq 0`  

`x geq 2` 

`D = [2, oo)` 

 

`f(x) =0` 

`(x+4) sqrt(x-2) =0` 

 

Wiemy, że:

`x + 4 =0 \ \ "dla" \ x =-4`  

Lecz nie należy do dziedziny a więc możemy podzielić przez to wyrażenie gdyż jest różne od 0.

 

`sqrt(x-2) =0` 

`x - 2 =0` 

`x = 2` 

`M_z = {2}` 

Dane są wektory...

`stackrel(->)(u) = [1,0] , \ \ stackrel(->)(v) = [1,1], \ \ stackrel(->)(w)= [0,2]` 

 

`stackrel(->)(a)=2stackrel(->)(u) + 2stackrel(->)(v) + stackrel(->)(w) = 2*[1,0] + 2*[1,1] + [0,2] = [2,0] + [2,2] + [0,2] = [4,4]`

 

`stackrel(->)(b) =stackrel(->)(u) + 3stackrel(->)(v) - 1/2stackrel(->)(w) = [1,0] + 3*[1,1] - 1/2*[0,2] = [1,0] + [3,3] + [0,-1] = [4,2]`

 

 Rysunek:

P_(PAB) = 1/2 ah = 1/2 * |AB| * h_(AB) = 1/2 * 2 * 4 = 4

 

Wypisz wszystkie podzbiory zbioru A

`a)` 

`a` 

`{a}` 

`{a,\ {a}}` 

`emptyset` 

 

 

`b)` 

`a` 

`b` 

`{a}` 

`{a,\ b}` 

`{a,\ {a}}` 

`{b,\ {a}}` 

`{a,\ b,\ {a}}` 

`emptyset` 

 

 

 

Wykaż, że a jest liczbą ...

`"a)"\ a=sqrt(10-4sqrt6)-sqrt(10+4sqrt6)` 

Podnieśmy obie strony równości do potęgi drugiej:

`a^2=(sqrt(10-4sqrt6)-sqrt(10+4sqrt6))^2` 

Prawą stronę równości rozpisujemy korzystając ze wzoru na kwadrat różnicy:

`a^2=(sqrt(10-4sqrt6))^2-2*sqrt(10-4sqrt6)*sqrt(10+4sqrt6)+(sqrt(10+4sqrt6))^2` 

`a^2=10-4sqrt6-2*#underbrace(sqrt((10-4sqrt6)(10+4sqrt6)))_("wzór na różnicę kwadratów")+10+4sqrt6`   

`a^2=20-2*sqrt(10^2-(4sqrt6)^2)`  

`a^2=20-2*sqrt(100-96)` 

`a^2=20-2*sqrt4` 

`a^2=20-2*2` 

`a^2=16` 

`a=4\ \ \ \ "lub"\ \ \ \ \ a=-4` 

Otrzymane liczby są liczbami całkowitymi.

Patrząc na pierwszą równość możemy zauważyć, że a jest różnicą liczby większej od liczby mniejszej, więc a musi być liczba ujemną.

Stąd a=-4.

`ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ )` 

`"b)"\ a=sqrt(43+30sqrt2)+sqrt(43-30sqrt2)` 

Podnieśmy obie strony równości do potęgi drugiej:

`a^2=(sqrt(43+30sqrt2)+sqrt(43-30sqrt2))^2`  

Prawą stronę równości rozpisujemy korzystając ze wzoru na kwadrat sumy:

`a^2=(sqrt(43+30sqrt2))^2+2*sqrt(43+30sqrt2)*sqrt(43-30sqrt2)+(sqrt(43-30sqrt2))^2` 

`a^2=43+30sqrt2+2*#underbrace(sqrt((43+30sqrt2)(43-30sqrt2)))_("wzór na różnicę kwadratów")+43-30sqrt2`    

`a^2=86+2*sqrt(43^2-(30sqrt2)^2)`  

`a^2=86+2*sqrt(1849-1800)` 

`a^2=86+2*sqrt49` 

`a^2=86+2*7` 

`a^2=100` 

`a=10\ \ \ \ "lub"\ \ \ \ \ a=-10`  

Otrzymane liczby są liczbami całkowitymi.

Patrząc na pierwszą równość możemy zauważyć, że a jest sumą liczb dodatnich, więc a także jest liczbą dodatnią.

Stąd a=10.

Oblicz

`a)\ (-2)^5=-32`

`\ \ \ (-2)^(-5)=1/(-2)^5=-1/32`

`\ \ \ 2^-5=1/2^5=1/32`

 

`b)\ (1/3)^-2=3^2=9`

`\ \ \ (-1/3)^-2=(-3)^2=9`

`\ \ \ (-1/3)^-3=(-3)^-3=-27`

 

`c)\ (sqrt3)^4=3^2=9`

`\ \ \ (sqrt3)^-2=1/(sqrt3)^2=1/3`

`\ \ \ (sqrt3)^-6=1/(sqrt3)^6=1/3^3=1/27`

 

`d)\ (sqrt2)^6=2^3=8`

`\ \ \ (sqrt2)^7=(sqrt2)^6*sqrt2=2^3*sqrt2=8sqrt2`

`\ \ \ (sqrt2)^-8=1/(sqrt2)^8=1/2^4=1/16`

Konrad wybrał się w podróż z miasta A ...

Zauważmy, że Konrad podróżował pociągiem przez 6h.

`v_p-"prędkość pociągu"` 

`v_p=60(km)/h`    

`v=s/t\ implies\ s=vt` 

`s_p=6h*v_p=360\ km` 

 

`v_b-"prędkość autobusu"` 

`v_b=40 (km)/h`   

`s_b=2*v_b=80\ km` 

`360+80=440` 

 

Odległość między miastami A i B wynosi 440 km.

 

`s(t)={(60t,\ t in[0;6]),(360,\ t in (6;7)),(40t+80,\ t in [7;9]):}`  

Ile boków ma wielokąt ...

`(n-2)*180^@-"wzór na sumę kątów wewnętrznych wielokąta o n bokach"` 

 

`(n-2)*180^@=1260^@` 

`n-2=7` 

`n=9` 

 

`"Odpowiedź C."` 

Wykaż prawdziwość podanego wzoru

Dla n=5 wzór jest postaci: 

`(a-1)(1+a+a^2+a^3+a^4)=a^5-1`

 

Aby udowodnić wzór rozpiszemy lewą stronę równości i w ten sposób dojdziemy do jej lewej strony:

`(a-1)(1+a+a^2+a^3+a^4)=a*(1+a+a^2+a^3+a^4)-1*(1+a+a^2+a^3+a^4)=`

`=a+a^2+a^3+a^4+a^5-1-a-a^2-a^3-a^4=a^5-1`

 

Naszkicuj wykres funkcji f ...

`f:\ X->RR` 

 

`a)` 

`f(x)=|x-1|` 

`X=[-3;3]` 

`ZW=[0;4]` 

`f_(min)=0` 

`f_(max)=4` 

 

`b)`  

`f(x)=|x-1|` 

`X={0}cup(3;+oo)`   

`ZW={1}cup(2;+oo)`  

`f_(min)=1` 

`f_(max)-"nie istnieje"`  

 

`c)` 

`f(x)=|x-1|` 

`X=(-2;0)cup[1;5]`    

`ZW=[0;4]`   

`f_(min)=0` 

`f_(max)=4`