Zgoda na przetwarzanie danych osobowych

25 maja 2018 roku zacznie obowiązywać Rozporządzenie Parlamentu Europejskiego i Rady (UE) 2016/679 z dnia 27 kwietnia 2016 r. znane jako RODO.

Dlatego aby dalej móc dostarczać Ci materiały odpowiednie do Twojego etapu edukacji, potrzebujemy zgody na lepsze dopasowanie treści do Twojego zachowania. Dzięki temu możemy zapamiętywać jakie materiały są Ci potrzebne. Dbamy o Twoją prywatność, więc nie zwiększamy zakresu naszych uprawnień. Twoje dane są u nas bezpieczne, a zgodę na ich zbieranie możesz wycofać na podstronie polityka prywatności.

Klikając "Przejdź do Odrabiamy", zgadzasz się na wskazane powyżej działania. W przeciwnym wypadku, nie jesteśmy w stanie zrealizować usługi kompleksowo i prosimy o opuszczenie strony.

Polityka prywatności

Drogi Użytkowniku w każdej chwili masz prawo cofnąć zgodę na przetwarzanie Twoich danych osobowych. Cofnięcie zgody nie będzie wpływać na zgodność z prawem przetwarzania, którego dokonano na podstawie wyrażonej przez Ciebie zgody przed jej wycofaniem. Po cofnięciu zgody wszystkie twoje dane zostaną usunięte z serwisu. Udzielenie zgody możesz modyfikować w zakładce 'Informacja o danych osobowych'

Wstęp do funkcji - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Wykres funkcji

Przejdźmy zatem do tego co nas zapewne czeka na sprawdzianach i na maturze. Sprawdzenie czy wykres jest funkcją.

Wykres jest funkcją kiedy dowolną pionową linię układu współrzędnych wykres przetnie tylko raz. Jak to najłatwiej zobaczyć? Za pomocą linijki!

Mamy taki oto wykres:

wyk1

Załóżmy, że gruby niebieski pasek będzie moją linijką. Zaczynamy od lewej skrajnej części układu:

wyk2

A następnie przesuwamy w prawą stronę patrząc czy nasz pasek jest gdzieś przecinany więcej niż raz równocześnie.

Pokażę tu kilka faz:

wyk3

Przecina tylko raz

wyk4

Tu też

wyk5

Koniec sprawdzania, wykres jest funkcją.

Weźmy inny wykres:

wyk11

Przesuńmy naszą „linijkę”:

wyk12 
Nadal przecina raz

wyk13

Jednak tutaj już dwa razy, nie jest to funkcja.
 

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Tabela przedstawia średnią ocen poszczególnych klas

zad-tab

Czy wykaz średnich jest funkcją?

Jest funkcją, ponieważ dla każdej klasy istnieje tylko jedna średnia ocen.

Zadanie 2.

Sprawdź, który z poniższych wykresów jest funkcją (możliwa więcej niż jedna odpowiedź):
A. wyk-zad21

B. wyk-zad22

C. wyk-zad23

D. wyk-zad24
 

 

  Sprawdźmy wykresy po kolei:

A. Od lewej do prawej nie ma przecięcia w dwóch miejscach, zatem wykres jest funkcją.

B. Tutaj już napotykamy konflikt, np. w tych miejscach:

roz1

Są 2 a czasem 3 przecięcia, wykres nie jest funkcją

C. Tutaj również nie ma konfliktu, wykres jest funkcją.

D. Tutaj jest bardzo podchwytliwy rysunek, on tylko z pozoru jest łatwy i uśmiechnięty. Tworząc małego wykresowego psychopatę zaznaczyłem miejsca podejrzane o konflikt:

roz2

Jednakże, mimo, że linia została przecięta dwa razy to musimy wziąć pod uwagę zakończenia linii, puste kółko oznacza, że punkt nie należy, zatem się nie liczy. Zatem linie zostały przecięte tylko raz. Wykres jest funkcją.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Rozwiąż nierówność

`a)`

`(x+1)^2<(x-1)^2`

`x^2+2x+1<x^2-2x+1\ \ \ \ |-x^2`

`2x+1<-2x+1\ \ \ |+2x`

`4x+1<1\ \ \ |-1`

`4x<0\ \ \ |:4`

`x<0`

 

 

 

`b)`

`(x+1)^2-5(x-2)>=(x+sqrt13)(x-sqrt13)`

`x^2+2x+1-5x+10>=x^2-13`

`x^2-3x+11>=x^2-13\ \ \ |-x^2`

`-3x+11>=-13\ \ \ |-11`

`-3x>=-24\ \ \ |:(-3)`

`x<=8`

 

 

 

 

`c)`

`(2x-1)^2-1+5(sqrt3-2)(sqrt3+2)<4x^2`

`4x^2-4x+1-1+5(3-4)<4x^2`

`4x^2-4x+5*(-1)<4x^2`

`4x^2-4x-5<4x^2\ \ \ |-4x^2`

`-4x-5<0\ \ \ |+5`

`-4x<5\ \ \ |:(-4)`

`x> -5/4`

`x> -1 1/4`

 

 

 

 

 

 

`d)`

`3-(2x-5)(5+2x)<=1-(2x-3)^2`

`3-(2x-5)(2x+5)<=1-(4x^2-12x+9)`

`3-(4x^2-25)<=1-(4x^2-12x+9)`

`3-4x^2+25<=1-4x^2+12x-9`

`28-4x^2<=-8-4x^2+12x\ \ \ |+4x^2`

`28<=-8+12x\ \ \ |+8`

`36<=12x\ \ \ |:12`

`3<=x`

`x>=3`

Wyznacz zbiór liczb rzeczywistych

`a)` 

`2x+1in (3;\ +infty)` 

`2x+1>3\ \ \ |-1` 

`2x>2\ \ \ |:2` 

`x>1` 

`x in (1;\ +infty)` 

 

 

`b)` 

`1-2x in <<-1;\ +infty)` 

`1-2x>=-1\ \ \ |-1` 

`-2x>=-2\ \ \ |:(-2)` 

`x<=1` 

`x in (-infty;\ 1>>` 

 

 

`c)` 

`3x-2 in (-5;\ 4)` 

`-5<3x-2<4\ \ \ \ |+2` 

`-3<3x<6\ \ \ \|:3` 

`-1<x<2` 

`x in (-1;\ 2)` 

 

 

`d)` 

`3x+4in <<-5;\ 1>>` 

`-5<=3x+4<=1\ \ \ |-4` 

`-9<=3x<=-3\ \ \ |:3` 

`-3<=x<=-1` 

`x in <<-3;\ -1>>` 

 

 

`e)` 

`2-x in (-1;\ 4>>` 

`-1<2-x<=4\ \ \ |-2` 

`-3<-x<=2\ \ \ |*(-1)` 

Należy pamiętać,  że przy mnożeniu przez liczbę ujemną należy zmienić kierunek nierówności:

`3>x>=-2` 

`-2<=x<3` 

`x in <<-2;\ 3)`   

 

 

`f)` 

`1-2x in <<-3;\ 5)`  

`-3<=1-2x<5\ \ \ |-1` 

`-4<=-2x<4\ \ \ |:(-2)` 

`2>=x> -2` 

`-2<x<=2` 

`x in (-2;\ 2>>` 

 

 

 

Wymień wszystkie elementy

`a)` 

Pamiętamy, że:

`pi~~3,14` 

Liczby całkowite należące do tego przedziału to: -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3. 

 

`b)` 

`3sqrt2~~3*1,41=4,23` 

Liczby całkowite należące do tego przedziału to 1, 2., 3, 4.

 

 

`c)` 

`sqrt10-1~~3,16-1=2,16` 

Liczby naturalne należące do tego przedziału to 0, 1, 2.

Czy podany rysunek przedstawia...

Jeżeli na rysunku którykolwiek argument miałby przyporządkowane dwie wartości albo więcej to wtedy nie będzie wykresem funkcji.

 

a) Widzimy, że dla każdego argumentu jest przypisana tylko jedna wartość a więc jest to wykres funkcji.

 

b) Widzimy, że dla każdego argumentu jest przypisana tylko jedna wartość a więc jest to wykres funkcji.

 

c) Widzimy, że dla każdego argumentu jest przypisana tylko jedna wartość a więc jest to wykres funkcji.

 

d) Widzimy, że każdemu argumentowi z przedziału (-4, 1) są przyporządkowane dwie wartości, nie jest to wykres funkcji.

Proste są wyznaczone przez punkty

Proste są równoległe, jeśli funkcje liniowe opisujące te proste mają jednakowe współczynniki kierunkowe. 

Mamy wzór na współczynnik kierunkowy prostej przechodzącej przez dwa punkty:

`A=(x_A,\ y_A),\ \ \ B=(x_B,\ y_B)\ \ \ =>\ \ \ a=(y_B-y_A)/(x_B-x_A)`

 

`a)`

Wyznaczamy współczynnik kierunkowy prostej przechodzącej przez punkty A i B:

`a_(AB)=(5-(-1))/(1-(-2))=(5+1)/(1+2)=6/3=2`

 

Wyznaczamy współczynnik kierunkowy prostej przechodzącej przez punkty C i D:

`a_(CD)=(3-(-1))/(4-2)=(3+1)/2=4/2=2`

 

Otrzymane współczynniki kierunkowe są jednakowe, więc te proste są równoległe. 

 

 

 

`b)`

`a_(AB)=(5-2)/(5-(-3))=3/(5+3)=3/8`

`a_(CD)=(2-0)/(5-0)=2/5`

Otrzymane współczynniki kierunkowe są różne, więc te proste nie są równoległe. 

Wskaż funkcję liniową, której wykres przechodzi...

Prawidłowa odpowiedź to `"C."\ f(x)=3x.` 

Wyraź w stopniach, minutach i sekundach ...

 

 

`1^o = 60 '` 

`1^o = 3600 ''` 

 

`a)` 

`1/100*360^o=3,6 ^o` 

`3,6^o = 3,6*60 ' =216 '` 

`3,6^o = 3,6*3600 ''=12960 ''` 

 

`b)` 

`1/100*4^o=0,04 ^o` 

`0,04^o = 0,04*60 ' =2,4 '` 

`0,04^o = 0,04*3600 ''=144 ''` 

 

`c)` 

`1/100*15^o=0,15 ^o` 

`0,15^o = 0,15*60 ' =9 '` 

`0,15^o = 0,15*3600 ''=540 ''` 

 

`d)` 

`1/100*12^o=0,12 ^o` 

`0,12^o = 0,12*60 ' =7,2 '` 

`0,12^o = 0,12*3600 ''=432 ''` 

 

`e)` 

`1/100*42^o=0,42 ^o` 

`0,42^o = 0,42*60 ' =25,2 '` 

`0,42^o = 0,42*3600 ''=1512 ''` 

Rozwiąż nierówność. Zbiór rozwiązań przedstaw...

`a) \ 0,5(2+5x) geq 2/3(15-3x)` 

`1 + 5/2x geq 10 - 2x` 

`9/2x geq 9 \ \ \ |*2/9`  

`x geq 2` 

 

 

`b) \ (6x-2)^2 -(4x+1)^2 > 5(2x-3)^2+14` 

`36x - 24x + 4 -(16x^2 + 8x + 1) > 5(4x^2-12x+9)+14` 

`36x-24x+4 -16x^2-8x-1 > 20x^2-60x+45 + 14` 

`20x^2 - 32x + 3 > 20x^2 -60x+59` 

`28x > 56` 

`x > 2` 

 

 

`c) \ x/3 - (1-x)/4 leq (5x-1)/6 \ \ \ |*12` 

`4x - 3(1-x) leq 2(5x-1)` 

`4x - 3 + 3x leq 10x - 2` 

`7x - 3 leq 10 x - 2` 

`-1 leq 3x` 

`-1/3 leq x` 

 

 

`d) \ (3-x)/2 - (x+12)/4 < (3x+3)^2/6 - 3/2x^2 \ \ \ |*12` 

`6(3-x) - 3(x+12) < 2(3x+3)^2 -18x^2` 

`18-6x -3x-36 < 2(9x^2+18x+9)-18x^2` 

`-9x -18 < 18x^2 + 36x + 18 - 18x^2` 

`-9x-18 < 36x+18` 

`-45x < 36` 

`x > -4/5` 

Sprawdź, czy proste przechodzące przez punkty A i B oraz C i D są prostopadłe

Proste są prostopadłe, jeśli iloczyn współczynników kierunkowych tych prostych jest równy -1.

Mamy wzór na współczynnik kierunkowy prostej przechodzącej przez dwa punkty:

`A=(x_A,\ y_A),\ \ \ B=(x_B,\ y_B)\ \ \ =>\ \ \ a=(y_B-y_A)/(x_B-x_A)`

 


`a)` 

Wyznaczamy współczynnik kierunkowy prostej przechodzącej przez punkty A i B:

`a_(AB)=(4-(-3))/(6-5)=(4+3)/1=7/1=7`

`a_(CD)=(5-(-1))/(1-5)=(5+1)/(-4)=6/(-4)=-3/2`

 


`a_(AB)*a_(CD)=7*(-3/2)=-21/2ne-1` 

 

Te proste nie są prostopadłe. 

 

 

`b)`

`a_(AB)=(4-1)/(6-(-3))=3/(6+3)=3/9=1/3`

`a_(CD)=(6-0)/(0-2)=6/(-2)=-3`

 

`a_(AB)*a_(CD)=1/3*(-3)=-1`

 

Te proste są prostopadłe. 

 

 

Oblicz współrzędne wierzchołka ...

`a)` 

`y=x^2-2x+5` 

`Delta=(-2)^2-4*1*5=4-20=-16` 

 

`x_w=(-b)/(2a)=2/2=1` 

`y_w=-Delta/(4a)=16/4=4` 

`y=(x-1)^2+4` 

 

`b)` 

`y=x^2+6x+3` 

`Delta=6^2-4*3=36-12=24` 

 

`x_w=-b/(2a)=-6/2=-3` 

`y_w=-Delta/(4a)=-24/4=-6` 

 `y=(x-(-3))^2-6=(x+3)^2-6` 

`c)` 

`y=-x^2+x-1` 

`Delta=1-4(-1)(-1)=-3` 

 

`x_w=-b/(2a)=-1/(-2)=1/2` 

`y_w=-Delta/(4a)=3/(-4)=-3/4` 

`a=-1` 

`y=a(x-x_w)^2+y_w=-(x-1/2)^2-3/4`