Własności funkcji na podstawie wykresu - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Dziedzina

Jest to zbiór możliwych x jakich będziemy używać w funkcji. Czyli patrząc „poziomo” jest to ta część osi X dla której znajdziemy punkt. Zaznaczę dziedzinę najpierw graficznie. Można ją łatwo wyznaczyć metodą prostokąta, który ma zawierać końcówki wykresu. Oś x w prostokącie lub obok prostokąta wyznacza dziedzinę.

Jak to wygląda na wykresie?

wyk2
 

Czerwona linia odcięta niebieskimi wyznacza nam dziedzinę zatem dziedzina to:

$$D=<-6;4>$$  

Zbiór wartości

Jest to z kolei zbiór możliwych y jakie może mieć funkcja, je również wyznaczamy metodą prostokąta i to dokładnie tego samego, co w przypadku dziedziny.

wyk3

Możliwe y to niebieska linia przecięta czerwonymi.

Zatem:

$$y=<-1;3>$$
 

Wartość maksymalna

Wartościami nazywamy liczby na osi y, więc wartością maksymalną jest największy y jaki jesteśmy w stanie odczytać z wykresu. Jak go nie przeoczyć? Połóż linijkę wzdłuż osi x:

wyk4

I przesuwaj do samej góry, dopóki linijka przecina wykres.

Powinieneś skończyć tu:

wyk5

Zatem $$f_{max}=3$$
 

Wartość minimalna

Robimy dokładnie analogicznie jak w przypadku wartości maksymalnej, tylko zaczynamy od góry:

wyk6

Powinniśmy skończyć tu:

wyk7

Zatem $$f_{min}=-1$$.

Miejsca zerowe

Są to punkty przecięcia wykresu z osią x, czyli argumenty dla których y=0. Aby je znaleźć wystarczy położyć naszą linijkę na osi X i sprawdzić gdzie wykres ją przecina:

wyk8

Przecina w $$x=-2$$ i $$x=-4$$.

Zatem:

$$f(-2)=0$$

$$f(-4)=0$$
 

Monotoniczność

Ostatnie co nam zostało, czyli sprawdzenie kiedy funkcja jest rosnąca, kiedy malejąca, kiedy stała.

Dla malejącej y zmniejsza się gdy przesuwamy się w prawo

Dla stałej y się nie zmienia

Dla rosnącej y rośnie gdy przesuwamy się w prawo

Zaznaczę na wykresie:

Rosnącą - kolor czerwony

Malejącą - kolor niebieski

Stałą - kolor zielony

wyk9

Pozostaje nam spisać przedziały

$$f↓$$ dla $$xϵ<-6;-3> $$

$$f→$$ dla $$ xϵ<-1;1>$$

$$f↑$$ dla $$ xϵ<-3;-1>$$
$$f↑$$ dla $$ xϵ<1;4> $$

 

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Wyznacz Dziedzinę, zbiór wartości, miejsca zerowe, monotoniczność funkcji oraz wartość minimalną i maksymalną.

zad1

Dziedzina:

$$D=(-8;-6>$$

Zbiór Wartości:

$$y=(-3;4)$$

Miejsca zerowe:

$$f(-5)=0$$

$$f(0)=0$$

Wartość min:

Funkcja nie posiada wartości minimalnej, ponieważ możemy wziąć na wykresie punkt dowolnie blisko niezamalowanego kółeczka, które odpowiada y=-3, ale nie możemy osiągnąć y=-3. Na przykład jeśli powiem, że -2,999 jest najmniejsze, będzie to nieprawda, bo -2,999999 jest mniejsze. Jeśli powiem, że -2,(9) jest najmniejszą wartością funkcji, znowu skłamię, bo -2,(9)=-3, a zatem nie należy do zbioru wartości funkcji.

Wartość max:

Podobnie jak poprzednio, funkcja nie posiada wartości maksymalnej (możemy tylko brać liczby coraz bliższe 3,(9)=4).

Monotoniczność:

$$f↓$$ dla $$xε<-2;0>$$

$$f→$$ dla $$xε<4;6>$$

$$f↑$$ dla $$xε(-8;-2)$$
i
$$f↑$$ dla $$xε<0;4)$$

Zadanie 2.

Wyznacz Dziedzinę, zbiór wartości, miejsca zerowe, monotoniczność funkcji oraz wartość minimalną i maksymalną.

zad2

Dziedzina:

$$D=<-0.5;8.5>$$

Zbiór Wartości:

$$y=<0;8>$$

Miejsca zerowe:

$$f(2)=0$$

$$f(6)=0$$

Wartość minimalna:

$$f_{min}=0$$

Wartość maksymalna:

$$f_{max}=8$$

Monotoniczność:

$$f↓$$ dla $$xϵ<-0.5;2>$$$$<4;6>$$

$$f→$$ dla $$xϵ∅$$ czyli nigdzie nie jest stała

$$f↑$$ dla $$xϵ<2;4>$$$$<6;8.5>$$
 

Spis treści

Rozwiązane zadania
Jeden z boków prostokąta ma długość 18 cm ...

 

Oznaczmy długość szukanego boku przez x. Aby prostokąty były podobne, musi być prawdziwa

jedna z proporcji:

   

  

Długość drugiego boku powinna być równa 12 cm lub 27 cm.

 

 Obliczmy jaką długość ma przekątna pierwszego prostokąta: 

 

Stosunek długości przekątnej pierwszego prostokąta do długości przekątnej drugiego prostokąta: 

 

Sprawdźmy, czy stosunek długości któregoś z boków pierwszego prostokąta do długości 20 cm boku drugiego prostokąta wynosi `4/5` 

Prostokąty są więc podobne, a skala podobieństwa wynosi `4/5` 

 

Obliczmy obwód pierwszego prostokąta: 

 

Obliczmy jaką długość ma przekątna większego prostokąta: 

 

Stosunek długości przekątnych także jest równy skali podobieństwa, oznaczmy długośc przekątnej mniejszego prostokąta przez y:


`3sqrt41*2=3y\ \ \ |:3` 

Wyznacz punkty wspólne wykresów ...

 

 

  

      

  

 

 

 

    

  

  

 

 

 

 

 

 

 

 

Naszkicuj wykres dowolnej funkcji...

a) Wykres:

 

b) Wykres:

 

Funkcje fg mają takie samo miejsce zerowe.

 

Funkcje fh przecinają się w tym samym punkcie z osią y.

 

Wszystkie funkcje mają taką samą dziedzinę i zbiór wartości.

Nierówność spełniają:

Odpowiedź A jest fałszywa, ponieważ np. liczba  jest mniejsza od  ale  {premium}

Odpowiedź B jest fałszywa np. z tego samego powodu, co A.

Odpowiedź C jest fałszywa np. z tego samego powodu, co A.


Prawidłowa odpowiedź to D.

Podaj przykłady liczb niewymiernych, których:

a)

b)

Jakim liczbom odpowiadają punkty zaznaczone na osi?

Aby obliczyć jednostkę, odejmujemy od wybranej większej zaznaczonej liczby mniejszą zaznaczoną liczbę i dzielimy na ilość odcinków jednostkowych znajdujących się między tymi liczbami. 

 

 

 

 

 {premium}

 

 

 

 

 

 

 `-3 +9/7=-3+1 2/7=` `=-1 5/7` 

 

 

 

 

 `4/3=1 1/3` 

 `3 6/15-1 5/15=` `2 1/15` 

 `3 2/5+8/3=` `3 2/5+2 2/3=` 

 `5 16/15=6 1/15` 

 `7 6/15+1 5/15=` `8 11/15` 

 

 

 

 `(1 5/11+2/11)/3=` `1 7/11:3=` `18/11*1/3=6/11` 

 

 

 `1 5/11+12/11=` `1 5/11+1 1/11=` `2 6/11` 

 

W tabeli podano długości

Długość połowy obwodu różni się od liczby pi o mniej niż 0,01 dla dwóch ostatnich wielokątów (wyniki zostały podkreślone). 

 

Kurtki uszyte w zakładzie krawieckim...

a) Skoro kurtka jest sprzedawana po 190 zł a koszt jej produkcji to 110 zł to znaczy, że dochód z każdej sprzedanej kurtki wynosi 80 zł. Zatem wzór funkcji to:

 

 

b) Sprawdźmy dla jakiego x wartość funkcji będzie dodatnia:

 

 

 

 

 

 

Odpowiedź: Szycie kurtek zacznie przynosić zyski jeżeli zostanie sprzedanych co najmniej 188 kurtek.

 

c) Sprawdźmy kiedy wartość funkcji będzie większa bądź równa 2000.

 

 

 

 

 

Odpowiedź: Szycie kurtek wygeneruje 2000 zł dochodu jeżeli zostanie sprzedanych co najmniej 213 kurtek.

Wyznacz dziedzinę i zbiór rozwiązań równania:

 Wyznaczamy dziedzinę:

 

 

 

Rozwiązujemy równanie:

 

 

 

Zbiór rozwiązań równania:  


 Wyznaczamy dziedzinę:

 

 

 

Rozwiązujemy równanie: {premium}

 

 

 

 

Zbiór rozwiązań równania:  


 Wyznaczamy dziedzinę:

 

Rozwiązujemy równanie:

 

  

 

 

Zbiór rozwiązań równania:  


 Wyznaczamy dziedzinę:

 

Rozwiązujemy równanie:

 

  

 

 

Zbiór rozwiązań równania:  


 Wyznaczamy dziedzinę:

 

 

 

Rozwiązujemy równanie:

 

 

 

Zbiór rozwiązań równania:  


 Wyznaczamy dziedzinę:

 

 

 

 

Rozwiązujemy równanie:

 

 

 

Zbiór rozwiązań równania:  

Wykres funkcji f(x) ...