Własności funkcji na podstawie wykresu - matura-podstawowa - Baza Wiedzy
Dziedzina
Jest to zbiór możliwych x jakich będziemy używać w funkcji. Czyli patrząc „poziomo” jest to ta część osi X dla której znajdziemy punkt. Zaznaczę dziedzinę najpierw graficznie. Można ją łatwo wyznaczyć metodą prostokąta, który ma zawierać końcówki wykresu. Oś x w prostokącie lub obok prostokąta wyznacza dziedzinę.
Jak to wygląda na wykresie?
Czerwona linia odcięta niebieskimi wyznacza nam dziedzinę zatem dziedzina to:
$$D=<-6;4>$$
Zbiór wartości
Jest to z kolei zbiór możliwych y jakie może mieć funkcja, je również wyznaczamy metodą prostokąta i to dokładnie tego samego, co w przypadku dziedziny.
Możliwe y to niebieska linia przecięta czerwonymi.
Zatem:
$$y=<-1;3>$$
Możliwe y to niebieska linia przecięta czerwonymi.
Zatem:
$$y=<-1;3>$$
Wartość maksymalna
Wartościami nazywamy liczby na osi y, więc wartością maksymalną jest największy y jaki jesteśmy w stanie odczytać z wykresu. Jak go nie przeoczyć? Połóż linijkę wzdłuż osi x:
I przesuwaj do samej góry, dopóki linijka przecina wykres.
Powinieneś skończyć tu:
Zatem $$f_{max}=3$$
I przesuwaj do samej góry, dopóki linijka przecina wykres.
Powinieneś skończyć tu:
Zatem $$f_{max}=3$$
Wartość minimalna
Robimy dokładnie analogicznie jak w przypadku wartości maksymalnej, tylko zaczynamy od góry:
Powinniśmy skończyć tu:
Zatem $$f_{min}=-1$$.
Powinniśmy skończyć tu:
Zatem $$f_{min}=-1$$.
Miejsca zerowe
Są to punkty przecięcia wykresu z osią x, czyli argumenty dla których y=0. Aby je znaleźć wystarczy położyć naszą linijkę na osi X i sprawdzić gdzie wykres ją przecina:
Przecina w $$x=-2$$ i $$x=-4$$.
Zatem:
$$f(-2)=0$$
$$f(-4)=0$$
Przecina w $$x=-2$$ i $$x=-4$$.
Zatem:
$$f(-2)=0$$
$$f(-4)=0$$
Monotoniczność
Ostatnie co nam zostało, czyli sprawdzenie kiedy funkcja jest rosnąca, kiedy malejąca, kiedy stała.
Dla malejącej y zmniejsza się gdy przesuwamy się w prawo
Dla stałej y się nie zmienia
Dla rosnącej y rośnie gdy przesuwamy się w prawo
Zaznaczę na wykresie:
Rosnącą - kolor czerwony
Malejącą - kolor niebieski
Stałą - kolor zielony
Pozostaje nam spisać przedziały
$$f↓$$ dla $$xϵ<-6;-3> $$
$$f→$$ dla $$ xϵ<-1;1>$$
$$f↑$$ dla $$ xϵ<-3;-1>$$
$$f↑$$ dla $$ xϵ<1;4> $$
Zadania powtórzeniowe
Zadanie 1.
Wyznacz Dziedzinę, zbiór wartości, miejsca zerowe, monotoniczność funkcji oraz wartość minimalną i maksymalną.
Dziedzina:
$$D=(-8;-6>$$
Zbiór Wartości:
$$y=(-3;4)$$
Miejsca zerowe:
$$f(-5)=0$$
$$f(0)=0$$
Wartość min:
Funkcja nie posiada wartości minimalnej, ponieważ możemy wziąć na wykresie punkt dowolnie blisko niezamalowanego kółeczka, które odpowiada y=-3, ale nie możemy osiągnąć y=-3. Na przykład jeśli powiem, że -2,999 jest najmniejsze, będzie to nieprawda, bo -2,999999 jest mniejsze. Jeśli powiem, że -2,(9) jest najmniejszą wartością funkcji, znowu skłamię, bo -2,(9)=-3, a zatem nie należy do zbioru wartości funkcji.
Wartość max:
Podobnie jak poprzednio, funkcja nie posiada wartości maksymalnej (możemy tylko brać liczby coraz bliższe 3,(9)=4).
Monotoniczność:
$$f↓$$ dla $$xε<-2;0>$$
$$f→$$ dla $$xε<4;6>$$
$$f↑$$ dla $$xε(-8;-2)$$
i
$$f↑$$ dla $$xε<0;4)$$
Zadanie 2.
Wyznacz Dziedzinę, zbiór wartości, miejsca zerowe, monotoniczność funkcji oraz wartość minimalną i maksymalną.
Dziedzina:
$$D=<-0.5;8.5>$$
Zbiór Wartości:
$$y=<0;8>$$
Miejsca zerowe:
$$f(2)=0$$
$$f(6)=0$$
Wartość minimalna:
$$f_{min}=0$$
Wartość maksymalna:
$$f_{max}=8$$
Monotoniczność:
$$f↓$$ dla $$xϵ<-0.5;2>$$ ∪ $$<4;6>$$
$$f→$$ dla $$xϵ∅$$ czyli nigdzie nie jest stała
$$f↑$$ dla $$xϵ<2;4>$$ ∪ $$<6;8.5>$$
Spis treści
Rozwiązane zadania
Narysuj dowolny wektor ...
Zaznacz na osi liczbowej zbiór rozwiązań
Szukamy liczb, których odległość od zera na osi liczbowej jest nie większa niż 7.
Szukamy liczb, których odległość od zera na osi liczbowej jest nie większa niż 2/5.
Szukamy liczb, których odległość od zera na osi liczbowej jest nie większa niż 7/5.
Włącz czynnik pod pierwiastek
Oblicz obwód i pole trapezu...
Rysunek poglądowy:
Obwód:
Pole:
Oblicz f(-2)
Dane są zbiory A=(-∞;5),B=<a;9). Jeśli A∩B
Zatem:
Sporządź wykresy funkcji...
a) Wykresy:
Wspólne własności:
- Dziedzina.
- Zbiór wartości.
- Liczba miejsc zerowych.
- Wszystkie wartości funkcji są niedodatnie.
- Druga współrzędna wierzchołka.
Różnice:
- Pierwsza współrzędna wierzchołka.
- Miejsca zerowe.
- Monotoniczność.
- Punkt przecięcia z osią y.
b) Wykresy:
Wspólne własności:
- Dziedzina.
- Zbiór wartości.
- Liczba miejsc zerowych.
- Wszystkie wartości funkcji są nieujemne.
- Druga współrzędna wierzchołka.
Różnice:
- Pierwsza współrzędna wierzchołka.
- Miejsca zerowe.
- Monotoniczność.
- Punkt przecięcia z osią y.
Oblicz wartości pozostałych funkcji ...
{premium}
Prosta l jest styczna do okręgu ...
Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku. Zauważmy, że:
Trójkąt ROP jest trójkątem równoramiennym, ponieważ |OR|=|OP|.
Miary kątów przy podstawie PR są sobie równe i wynoszą 42o.
Korzystając z tw. o sumie miar kątów w trójkącie (dla trójkata ROP) obliczamy miarę kąta ß:
Odp: Cięciwa wyznacza kąt środkowy o mierze 96o.
Wyznacz równanie osi symetrii paraboli oraz współrzędne jej wierzchołka
Najpierw wyznaczymy miejsca zerowe (x₁ i x₂, następnie wyznaczymy równanie osi symetrii jako średnią arytmetyczną tych miejsc zerowych. Współrzędna x wierzchołka paraboli jest równa tyle, ile oś symetrii. Współrzędna y wierzchołka paraboli to z kolei wartość, jaką osiąga funkcja dla argumentu równego pierwszej współrzędnej wierzchołka paraboli)
{premium}
- współrzędne wierzchołka paraboli
- równanie osi symetrii paraboli
© 2018 Odrabiamy.pl