Własności funkcji na podstawie wykresu - matura-podstawowa - Baza Wiedzy
Dziedzina
Jest to zbiór możliwych x jakich będziemy używać w funkcji. Czyli patrząc „poziomo” jest to ta część osi X dla której znajdziemy punkt. Zaznaczę dziedzinę najpierw graficznie. Można ją łatwo wyznaczyć metodą prostokąta, który ma zawierać końcówki wykresu. Oś x w prostokącie lub obok prostokąta wyznacza dziedzinę.
Jak to wygląda na wykresie?
Czerwona linia odcięta niebieskimi wyznacza nam dziedzinę zatem dziedzina to:
$$D=<-6;4>$$
Zbiór wartości
Jest to z kolei zbiór możliwych y jakie może mieć funkcja, je również wyznaczamy metodą prostokąta i to dokładnie tego samego, co w przypadku dziedziny.
Możliwe y to niebieska linia przecięta czerwonymi.
Zatem:
$$y=<-1;3>$$
Możliwe y to niebieska linia przecięta czerwonymi.
Zatem:
$$y=<-1;3>$$
Wartość maksymalna
Wartościami nazywamy liczby na osi y, więc wartością maksymalną jest największy y jaki jesteśmy w stanie odczytać z wykresu. Jak go nie przeoczyć? Połóż linijkę wzdłuż osi x:
I przesuwaj do samej góry, dopóki linijka przecina wykres.
Powinieneś skończyć tu:
Zatem $$f_{max}=3$$
I przesuwaj do samej góry, dopóki linijka przecina wykres.
Powinieneś skończyć tu:
Zatem $$f_{max}=3$$
Wartość minimalna
Robimy dokładnie analogicznie jak w przypadku wartości maksymalnej, tylko zaczynamy od góry:
Powinniśmy skończyć tu:
Zatem $$f_{min}=-1$$.
Powinniśmy skończyć tu:
Zatem $$f_{min}=-1$$.
Miejsca zerowe
Są to punkty przecięcia wykresu z osią x, czyli argumenty dla których y=0. Aby je znaleźć wystarczy położyć naszą linijkę na osi X i sprawdzić gdzie wykres ją przecina:
Przecina w $$x=-2$$ i $$x=-4$$.
Zatem:
$$f(-2)=0$$
$$f(-4)=0$$
Przecina w $$x=-2$$ i $$x=-4$$.
Zatem:
$$f(-2)=0$$
$$f(-4)=0$$
Monotoniczność
Ostatnie co nam zostało, czyli sprawdzenie kiedy funkcja jest rosnąca, kiedy malejąca, kiedy stała.
Dla malejącej y zmniejsza się gdy przesuwamy się w prawo
Dla stałej y się nie zmienia
Dla rosnącej y rośnie gdy przesuwamy się w prawo
Zaznaczę na wykresie:
Rosnącą - kolor czerwony
Malejącą - kolor niebieski
Stałą - kolor zielony
Pozostaje nam spisać przedziały
$$f↓$$ dla $$xϵ<-6;-3> $$
$$f→$$ dla $$ xϵ<-1;1>$$
$$f↑$$ dla $$ xϵ<-3;-1>$$
$$f↑$$ dla $$ xϵ<1;4> $$
Zadania powtórzeniowe
Zadanie 1.
Wyznacz Dziedzinę, zbiór wartości, miejsca zerowe, monotoniczność funkcji oraz wartość minimalną i maksymalną.
Dziedzina:
$$D=(-8;-6>$$
Zbiór Wartości:
$$y=(-3;4)$$
Miejsca zerowe:
$$f(-5)=0$$
$$f(0)=0$$
Wartość min:
Funkcja nie posiada wartości minimalnej, ponieważ możemy wziąć na wykresie punkt dowolnie blisko niezamalowanego kółeczka, które odpowiada y=-3, ale nie możemy osiągnąć y=-3. Na przykład jeśli powiem, że -2,999 jest najmniejsze, będzie to nieprawda, bo -2,999999 jest mniejsze. Jeśli powiem, że -2,(9) jest najmniejszą wartością funkcji, znowu skłamię, bo -2,(9)=-3, a zatem nie należy do zbioru wartości funkcji.
Wartość max:
Podobnie jak poprzednio, funkcja nie posiada wartości maksymalnej (możemy tylko brać liczby coraz bliższe 3,(9)=4).
Monotoniczność:
$$f↓$$ dla $$xε<-2;0>$$
$$f→$$ dla $$xε<4;6>$$
$$f↑$$ dla $$xε(-8;-2)$$
i
$$f↑$$ dla $$xε<0;4)$$
Zadanie 2.
Wyznacz Dziedzinę, zbiór wartości, miejsca zerowe, monotoniczność funkcji oraz wartość minimalną i maksymalną.
Dziedzina:
$$D=<-0.5;8.5>$$
Zbiór Wartości:
$$y=<0;8>$$
Miejsca zerowe:
$$f(2)=0$$
$$f(6)=0$$
Wartość minimalna:
$$f_{min}=0$$
Wartość maksymalna:
$$f_{max}=8$$
Monotoniczność:
$$f↓$$ dla $$xϵ<-0.5;2>$$ ∪ $$<4;6>$$
$$f→$$ dla $$xϵ∅$$ czyli nigdzie nie jest stała
$$f↑$$ dla $$xϵ<2;4>$$ ∪ $$<6;8.5>$$
Spis treści
Rozwiązane zadania
Przypuśćmy, że z dachu 298-metrowego ....
`h(t)=-4,9t^2+298`
`a)`
`h(t)=0`
`-4,9t^2+298=0`
`t^2=2980/49`
`t=sqrt(2980)/7~~7,8`
`"Piłka spadnie na ziemię w ósmej sekundzie."`
`b)`
`c)`
`h(t)=-4,9t^2+298`
`h(1)=-4,9+298`
`"W pierwszej sekundzie spadania piłka pokona drogę 4,9 m."`
`d)`
`"Zauważmy, że odległość od ziemi nie może być ujemna."`
`"Analogicznie czas (t) musi być nieujemny."`
`-4,9t^2+298=0`
`t=sqrt(2980)/7~~7,8`
`D_(h)=[0;7,8]`
Oblicz wartośc wyrażenia...
`(sin alpha + cos alpha)/(sin alpha - cos alpha) * (sin alpha+cos alpha)/(sin alpha + cos alpha) = ((sin alpha + cos alpha)^2)/(sin ^2 alpha - cos ^2 alpha) = (sin^2 alpha + 2sinalphacosalpha + cos^2 alpha)/(sin^2 alpha - cos^2 alpha) = (1 + 2sinalphacosalpha)/(sin^2 alpha - cos^2alpha)=`
Skorzystajmy teraz z tego, że:
`tg \ alpha = sqrt2`
`sin alpha/cos alpha = sqrt2`
`sin alpha = sqrt2 cos alpha`
Z jedynki trygonometrycznej:
`sin^2 alpha + cos^2 alpha = 1`
`(sqrt2cosalpha)^2 + cos^2alpha = 1`
`2cos^2 alpha + cos^2 alpha = 1`
`3 cos^2 alpha = 1`
`cos^2 alpha = 1/3`
`|cos alpha| = sqrt3/3`
Skoro tangens jest dodatni to znaczy, że sinus i cosinus mają te same znaki. Zauważmy, że nasze wyrażenie będzie miało taką samą wartość niezależnie od znaku ,gdyż:
`sin alpha *cos alpha > 0`
bo sinus i cosinus mają te same znaki. W mianowniku mamy różnicę kwadratów a więc znak funkcji trygonometrycznych nie ma znaczenia. A więc cosinus wynosi:
`cos alpha = asqrt3/3`
gdzie a należy do zbioru:
`a in {-1,1}`
`sin alpha = sqrt2*asqrt3/3 = asqrt6/3`
Podstawmy nasze wartości do naszego wyrażenia:
`= (1 + 2 * asqrt6/3 * asqrt3/3)/((asqrt6/3)^2 - (asqrt3/3)^2) = (1 + (2a^2sqrt18)/9)/(a^2 2/3 - a^2 1/3)=`
Pamiętajmy, że a2=1
`=(1/9*(9+2sqrt18))/(2/3 - 1/3) = 3*1/9 * (9+2sqrt(9*2)) = 1/3 *(9+6sqrt2) = 3 + 2sqrt2`
Wyznacz równanie prostej PQ
Wystarczy do równania prostej y=ax+b podstawić współrzędne punktów należących do tej prostej.
`a)`
`{(1=a*(-2)+b), (5=a*2+b):}`
`{(1=-2a+b\ \ \ |*(-1)), (5=2a+b):}`
`{(-1=2a-b), (5=2a+b):}\ \ \ |+`
`4=4a\ \ \ |:4`
`a=1`
Podstawiamy wyliczoną wartość współczynnika a do pierwszego równania drugiego układu:
`1=-2*1+b`
`1=-2+b\ \ \ |+2`
`b=3`
`{(a=1), (b=3):}`
Znając współczynniki a oraz b możemy zapisać równanie prostej:
`"prosta"\ PQ:\ \ \ y=x+3`
Sprawdzamy, czy punkt C należy do prostej PQ, podstawiając współrzędne punktu C do powyższego równania prostej:
`8#=^?4+3`
`8#=^?7`
Powyższa równość nie jest prawdziwa, więc punkt C nie należy do prostej PQ.
`b)`
`{(7=a*(-1)+b), (-1=a*3+b):}`
`{(7=-a+b\ \ \ |*(-1)), (-1=3a+b):}`
`{(-7=a-b), (-1=3a+b):}\ \ \ \ |+`
`-8=4a\ \ \ |:4`
`a=-2`
Podstawiamy wyliczoną wartość współczynnika a do pierwszego równania drugiego układu:
`7=-(-2)+b`
`7=2+b\ \ \ |-2`
`b=5`
`{(a=-2), (b=5):}`
Znając współczynniki a oraz b możemy zapisać równanie prostej:
`"prosta"\ PQ:\ \ \ y=-2x+5`
Sprawdzamy, czy punkt C należy do prostej PQ, podstawiając współrzędne punktu C do powyższego równania prostej:
`9#=^?(-2)*(-2)+5`
`9#=^?4+5`
`9#=^?9`
Powyższa równość jest prawdziwa, więc punkt C należy do prostej PQ.
Konrad wybrał się w podróż z miasta A ...
Zauważmy, że Konrad podróżował pociągiem przez 6h.
`v_p-"prędkość pociągu"`
`v_p=60(km)/h`
`v=s/t\ implies\ s=vt`
`s_p=6h*v_p=360\ km`
`v_b-"prędkość autobusu"`
`v_b=40 (km)/h`
`s_b=2*v_b=80\ km`
`360+80=440`
Odległość między miastami A i B wynosi 440 km.
`s(t)={(60t,\ t in[0;6]),(360,\ t in (6;7)),(40t+80,\ t in [7;9]):}`
W równoległoboku o kącie ostrym...
Rysunek poglądowy:
Przez x oznaczamy krótszy bok.
`cos alpha = x/10`
Z twierdzenia Pitagorasa:
`x^2 + 4^2 = 10^2`
`x^2 + 16 = 100`
`x^2 - 84 =0`
`(x-sqrt84)(x+sqrt84)=0`
`x_1 = sqrt84 \ \ vv \ \ x_2 = -sqrt84 < 0`
`cos alpha = sqrt84/10 = sqrt(21*4)/10 = (2sqrt21)/10 = sqrt21/5`
Odpowiedź C
Na rysunku przedstawiono wykres funkcji ...
`a)`
`X_0={x:\ f(x)=0}`
`X_0={-2;2}`
`f(x)>0`
`x in [-4;2)\\{-2}`
`f(x)>=0`
`x in [-4;2]`
`b)`
`X_0={x:\ f(x)=0}`
`X_0={1;4}`
`f(x)>0`
`x in [-4;0)cup(1;4)`
`f(x)>=0`
`x in [-4;0)cup[1;4]`
`c)`
`X_0={x:\ f(x)=0}`
`X_0={1 }`
`f(x)>0`
`x in [-3;1)cup(3;5]`
`f(x)>=0`
`x in [-3;1]cup(3;5]`
Podaj dziedzinę i napisz wzór funkcji...
`"a)"\ D=<< 0,\ 1>>`
Wyznaczamy równanie prostej przechodzącej przez podane punkty.
Wstawiamy do równania prostej `y=ax+b` współrzędne pierwszego punktu. Otrzymujemy:
`1=b`
Wstawiamy do równania prostej `y=ax+b` współrzędne drugiego punktu. Otrzymujemy:
`6=a+b`
Zapisujemy wyznaczone równania jako układ równań i wyliczamy z niego `a,\ b.`
`{(a+b=6),(b=1):}`
`{(a+1=6),(b=1):}`
`{(a=5),(b=1):}`
Zatem szukana funkcja wyraża się wzorem:
`y=5x+1`
`"b)"\ D=<< 1,\ 2>>`
Wyznaczamy równanie prostej przechodzącej przez podane punkty.
Wstawiamy do równania prostej `y=ax+b` współrzędne pierwszego punktu. Otrzymujemy:
`-1=a+b`
Wstawiamy do równania prostej `y=ax+b` współrzędne drugiego punktu. Otrzymujemy:
`2=2a+b`
Zapisujemy wyznaczone równania jako układ równań i wyliczamy z niego `a,\ b.`
`{(a+b=-1),(2a+b=2\ "/"*(-1)):}`
`{(a+b=-1),(-2a-b=-2):}`
Dodajemy równania stronami i dopisujemy do układu jedno równanie z początkowego układu.
`{(-a=-3\ "/"*(-1)),(a+b=-1):}`
`{(a=3),(a+b=-1):}`
`{(a=3),(3+b=-1):}`
`{(a=3),(b=-4):}`
Zatem szukana funkcja wyraża się wzorem:
`y=3x-4`
`"c)"\ D=<< -3,+oo)`
Ponieważ półprosta jest równoległa do osi `x,` to wzór funkcji jest następujący:
`y=3`
Dany jest zbiór A
Rozwiążmy równość opisującą zbiór A:
`||5x+1|-1|=1`
`|5x+1|-1=1\ \ \ |+1\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ "lub"\ \ \ \ \ |5x+1|-1=-1\ \ \ |+1`
`|5x+1|=2\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ "lub"\ \ \ \ \ |5x+1|=0`
`5x+1=2\ \ \ |-1\ \ \ "lub"\ \ \ 5x+1=-2\ \ \ |-1\ \ \ "lub"\ \ \ \ \ 5x+1=0\ \ \ |-1`
`5x=1\ \ \ |:5\ \ \ \ \ \ \ \ \ "lub"\ \ \ 5x=-3\ \ \ |:5\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ "lub"\ \ \ \ \ 5x=-1\ \ \ |:5`
`x=1/5\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ "lub"\ \ \ x=-3/5\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ "lub"\ \ \ \ \ x=-1/5`
`A={-3/5;\ -1/5;\ 1/5}`
`a)`
Rozwiązujemy pierwszą nierówność:
`3+(3x+1)/2<=5+(2x-4)/3\ \ \ \ |-3`
`(3x+1)/2<=2+(2x-4)/3\ \ \ \ \ |*6`
`3(3x+1)<=12+2(2x-4)`
`9x+3<=12+4x-8`
`9x+3<=4+4x\ \ \ \ |-4x`
`5x+3<=4\ \ \ |-3`
`5x<=1\ \ \ |:5`
`x<=1/5`
Rozwiązujemy drugą nierówność:
`(5x+3)(5x-3)<=(5x+3)^2`
`25x^2-9<=25x^2+30x+9\ \ \ \ |-25x^2`
`-9<=30x+9\ \ \ |-30x`
`-30x-9<=9\ \ \ |+9`
`-30x<=18\ \ \ |:(-30)`
`x>=-18/30`
`x>=-3/5`
Zbiór liczb spełniających obie nierówności:
`<<-3/5;\ 1/5>>`
Zbiór A jest podzbiorem powyższego zbioru.
`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))`
`b)`
Rozwiązujemy pierwszą nierówność:
`1/3x-2(3/4x-1)<=3-5/4x`
`1/3x-3/2x+2<=3-5/4x\ \ \ \ \ |*12`
`4x-18x+24<=36-15x\ \ \ \ \ |+15x`
`x+24<=36\ \ \ \ |-24`
`x<=12`
Rozwiązujemy drugą nierówność:
`(2x+5)^2+4(9-x^2)>=11`
`4x^2+20x+25+36-4x^2>=11`
`20x+61>=11\ \ \ |-61`
`20x>=-50\ \ \ |:20`
`x>=-5/2`
`x>=-2 1/2`
Zbiór liczb spełniających obie nierówności:
`<<-2 1/2;\ 12>>`
Zbiór A jest podzbiorem powyższego zbioru.
`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))`
`c)`
Rozwiązujemy pierwszą nierówność:
`((3x+4)^2)/9-((2x-2)^2)/4<=7`
`(9x^2+24x+16)/9-(4x^2-8x+4)/4<=7`
`(9x^2+24x+16)/9-(x^2-2x+1)<=7\ \ \ \ |*9`
`9x^2+24x+16-9x^2+18x-9<=63`
`42x+7<=63\ \ \ |-7`
`42x<=56\ \ \ |:42`
`x<=56/42`
`x<=4/3`
Rozwiązujemy drugą nierówność:
`(1+|x|)^2+(2-x)(2+x)>=6`
`1+2|x|+|x|^2+4-x^2>=6`
`1+2|x|+x^2+4-x^2>=6`
`5+2|x|>=6\ \ \ |-5`
`2|x|>=1\ \ \ |:2`
`|x|>=1/2`
`x >=1/2\ \ \ "lub"\ \ \ x<=-1/2`
Zbiór liczb spełniających obie nierówności:
`(-infty;\ -1/2>>uu<<1/2;\ 4/3>>`
Zbiór A nie jest podzbiorem powyższego zbioru (bo np. -1/5 nie należy do powyższego zbioru).
`ul("uwaga")`
Skorzystaliśmy z równości:
`|x|^2=x^2`
Tę równość można łatwo uzasadnić:
`x<0\ \ \ =>\ \ \ |x|^2=(-x)^2=(-x)*(-x)=x^2`
`x>=0\ \ \ =>\ \ \ |x|^2=x^2`
`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))`
`d)`
Rozwiązujemy pierwszą nierówność:
`(x+3/4)^2+3/2>(x-3/4)^2-3/2`
`x^2+3/2x+9/16+3/2>x^2-3/2x+9/16-3/2\ \ \ \ |-x^2-9/16`
`3/2x+3/2> -3/2x-3/2\ \ \ |*2`
`3x+3> -3x-3\ \ \ |+3x`
`6x+3> -3\ \ \ |-3`
`6x> -6\ \ \ |:6`
`x> -1`
Rozwiązujemy drugą nierówność:
`2+(|x|-3/2)^2>=(x-1/2)(x+1/2)`
`2+|x|^2-3|x|+9/4>=x^2-1/4`
`2+x^2-3|x|+9/4>=x^2-1/4\ \ \ \ |-x^2`
`2-3|x|+9/4>=-1/4\ \ \ \ \ |*4`
`8-12|x|+9>=-1`
`-12|x|+17>=-1\ \ \ |-17`
`-12|x|>=-18\ \ \ |:(-12)`
`|x|<=18/12`
`|x|<=3/2`
`x<=3/2\ \ \ "i"\ \ \ x>=-3/2`
Zbiór liczb spełniających obie nierówności:
`(-1;\ 3/2>>`
Zbiór A jest podzbiorem powyższego zbioru.
Czy układ równań liniowych jest układem oznaczonym
`a)`
`{(6x-15y=45), (2x-5y=15\ \ \ |*(-3)):}`
`{(6x-15y=45), (-6x+15y=-45):}\ \ \ \ |+`
`0=0`
Otrzymaliśmy równość, która zawsze jest prawdziwa, co oznacza, że układ równań jest nieoznaczony - ma nieskończenie wiele rozwiązań.
`b)`
`{(4x-y=3\ \ \ |*2), (3x+2y=5):}`
`{(8x-2y=6), (3x+2y=5):}\ \ \ \ |+`
`11x=11`
Możemy wyliczyć x, potem wstawimy tą wyliczoną wartość do dowolnego równania i wyliczymy y, dzięki czemu znajdziemy rozwiązanie układu - układ jest oznaczony (ma jedno rozwiązanie).
`c)`
`{(4x-y=-3), (2x-1/2y=2\ \ \ |*(-2)):}`
`{(4x-y=-3), (-4x+y=-4):}\ \ \ \|+`
`0=-7`
Otrzymaliśmy sprzeczność, więc układ równań jest sprzeczny - nie ma rozwiązania.
Prowizja od kredytu
Prowizja została obniżona o 1 punkt procentowy.
Możemy obliczyć jeszcze, o ile procent została obniżona prowizja, czyli o ile procent 4 punkty procentowe są mniejsze od 5 punktów procentowych.
`(5-4)/5=1/5=20/100=20%`
Prowizja została więc obniżona o 20%.
Prawidłowa jest odpowiedź C.
© 2018 Odrabiamy.pl