Wyrażenie znajdujące się pod pierwiastkiem kwadratowym musi być nieujemne, więc: {premium}
Zatem:
Stąd otrzymujemy:
Odpowiedź: D
{premium}
Uwaga: Wartość powyższego wyrażenia nie jest liczbą wymierną.
{premium}
{premium}
a) Oznaczmy:
t - czas jazdy
s - przebyta droga
Obliczamy, ile czasu potrzeba{premium} na przejechanie odległości 40 km z prędkością 16 km/h:
Wiemy, że przebyta droga jest iloczynem czasu i prędkości. Rowerzysta jadący z A oddala się od A, więc po czasie t będzie znajdował się w odległości 16t od A, a po 2,5 godzinach dojedzie do B.
Rowerzysta jadący z B na początku znajduje się w odległości 40 km od A i zbliża się do A, więc po czasie t będzie znajdował się w odległości 40-16t km od A.
W takim razie odległość rowerzysty jadącego z A określona jest wzorem s=16t, gdzie t ∈ <0; 2,5> natomiast odległość rowerzysty jadącego do A wyraża wzór s=40-16t, gdzie t ∈ <0; 2,5>.
Szkicujemy wykresy funkcji we wspólnym układzie współrzędnych.
b) Obliczamy odległość między rowerzystami:
Obliczamy, po jakim czasie od chwili rozpoczęcia podróży odległość między rowerzystami była równa 8 km:
Odp. Odległość między rowerzystami była równa 8 km po 1 h oraz po 1,5 h od chwili rozpoczęcia podróży.
{premium}
Dla x=1/2 zbiory mają postać:
Dla x=1 zbiory mają postać:
Iloczyn dwóch liczb jest dodatni, gdy obie te liczby są dodatnie lub obie są ujemne.
Mamy więc do rozpatrzenia dwa przypadki: {premium}
1.
Z pierwszego równania wyznaczamy .
Do drugiego równania w miejsce podstawiamy otrzymane wyrażenie.
2.
Z pierwszego równania wyznaczamy .
Do drugiego równania w miejsce podstawiamy otrzymane wyrażenie.
Istnieją tylko dwie liczby, których kwadrat jest równy 4. Są to: liczba 8 oraz liczba -8. Zatem:{premium}
Istnieją tylko dwie liczby, których kwadrat jest równy 10. Są to: liczba √10 oraz liczba -√10. Zatem:
Jedyną liczbą, której kwadrat jest równy 0, jest liczba 0. Stąd:
Równanie jest sprzeczne (nie ma rozwiązań), ponieważ kwadrat dowolnej liczby rzeczywistej jest nieujemny.
Ponieważ odcinki AD i DC mają taką samą długość, to trójkąt ADC jest trójkątem prostokątnym równoramiennym. Wynika stąd, że
{premium}
Wiemy również, że bok BC trójkąta prostokątnego BCD jest dwa razy dłuższy od krótszej przyprostokątnej CD. Trójkąt BCD jest zatem połówką trójkąta równobocznego. Oznacza to, że
Wykonajmy rysunek pomocniczy.
Kąty KCL i KML są oparte na tym samym łuku. Miara kąta wpisanego w okrąg jest równa połowie miary kąta środkowego opartego na tym samym łuku. Wynika stąd, że:
Odpowiedź: D
Dane jest równanie
którego pierwiastkami są liczby x1 i x2
korzystając ze wzorów skróconego mnożenia rozpiszmy wyrażenie
otrzymamy{premium}
korzystając ze wzorów Viete'a dostajemy
Zatem otrzymaliśmy, że