Własności funkcji na podstawie wykresu - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Dziedzina

Jest to zbiór możliwych x jakich będziemy używać w funkcji. Czyli patrząc „poziomo” jest to ta część osi X dla której znajdziemy punkt. Zaznaczę dziedzinę najpierw graficznie. Można ją łatwo wyznaczyć metodą prostokąta, który ma zawierać końcówki wykresu. Oś x w prostokącie lub obok prostokąta wyznacza dziedzinę.

Jak to wygląda na wykresie?

wyk2
 

Czerwona linia odcięta niebieskimi wyznacza nam dziedzinę zatem dziedzina to:

$$D=<-6;4>$$  

Zbiór wartości

Jest to z kolei zbiór możliwych y jakie może mieć funkcja, je również wyznaczamy metodą prostokąta i to dokładnie tego samego, co w przypadku dziedziny.

wyk3

Możliwe y to niebieska linia przecięta czerwonymi.

Zatem:

$$y=<-1;3>$$
 

Wartość maksymalna

Wartościami nazywamy liczby na osi y, więc wartością maksymalną jest największy y jaki jesteśmy w stanie odczytać z wykresu. Jak go nie przeoczyć? Połóż linijkę wzdłuż osi x:

wyk4

I przesuwaj do samej góry, dopóki linijka przecina wykres.

Powinieneś skończyć tu:

wyk5

Zatem $$f_{max}=3$$
 

Wartość minimalna

Robimy dokładnie analogicznie jak w przypadku wartości maksymalnej, tylko zaczynamy od góry:

wyk6

Powinniśmy skończyć tu:

wyk7

Zatem $$f_{min}=-1$$.

Miejsca zerowe

Są to punkty przecięcia wykresu z osią x, czyli argumenty dla których y=0. Aby je znaleźć wystarczy położyć naszą linijkę na osi X i sprawdzić gdzie wykres ją przecina:

wyk8

Przecina w $$x=-2$$ i $$x=-4$$.

Zatem:

$$f(-2)=0$$

$$f(-4)=0$$
 

Monotoniczność

Ostatnie co nam zostało, czyli sprawdzenie kiedy funkcja jest rosnąca, kiedy malejąca, kiedy stała.

Dla malejącej y zmniejsza się gdy przesuwamy się w prawo

Dla stałej y się nie zmienia

Dla rosnącej y rośnie gdy przesuwamy się w prawo

Zaznaczę na wykresie:

Rosnącą - kolor czerwony

Malejącą - kolor niebieski

Stałą - kolor zielony

wyk9

Pozostaje nam spisać przedziały

$$f↓$$ dla $$xϵ<-6;-3> $$

$$f→$$ dla $$ xϵ<-1;1>$$

$$f↑$$ dla $$ xϵ<-3;-1>$$
$$f↑$$ dla $$ xϵ<1;4> $$

 

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Wyznacz Dziedzinę, zbiór wartości, miejsca zerowe, monotoniczność funkcji oraz wartość minimalną i maksymalną.

zad1

Dziedzina:

$$D=(-8;-6>$$

Zbiór Wartości:

$$y=(-3;4)$$

Miejsca zerowe:

$$f(-5)=0$$

$$f(0)=0$$

Wartość min:

Funkcja nie posiada wartości minimalnej, ponieważ możemy wziąć na wykresie punkt dowolnie blisko niezamalowanego kółeczka, które odpowiada y=-3, ale nie możemy osiągnąć y=-3. Na przykład jeśli powiem, że -2,999 jest najmniejsze, będzie to nieprawda, bo -2,999999 jest mniejsze. Jeśli powiem, że -2,(9) jest najmniejszą wartością funkcji, znowu skłamię, bo -2,(9)=-3, a zatem nie należy do zbioru wartości funkcji.

Wartość max:

Podobnie jak poprzednio, funkcja nie posiada wartości maksymalnej (możemy tylko brać liczby coraz bliższe 3,(9)=4).

Monotoniczność:

$$f↓$$ dla $$xε<-2;0>$$

$$f→$$ dla $$xε<4;6>$$

$$f↑$$ dla $$xε(-8;-2)$$
i
$$f↑$$ dla $$xε<0;4)$$

Zadanie 2.

Wyznacz Dziedzinę, zbiór wartości, miejsca zerowe, monotoniczność funkcji oraz wartość minimalną i maksymalną.

zad2

Dziedzina:

$$D=<-0.5;8.5>$$

Zbiór Wartości:

$$y=<0;8>$$

Miejsca zerowe:

$$f(2)=0$$

$$f(6)=0$$

Wartość minimalna:

$$f_{min}=0$$

Wartość maksymalna:

$$f_{max}=8$$

Monotoniczność:

$$f↓$$ dla $$xϵ<-0.5;2>$$$$<4;6>$$

$$f→$$ dla $$xϵ∅$$ czyli nigdzie nie jest stała

$$f↑$$ dla $$xϵ<2;4>$$$$<6;8.5>$$
 

Spis treści

Rozwiązane zadania
Napisz wzory i naszkicuj ...

`a)` 

`f(x)=x^2-4` 

`g(x)=|f(x)|=|x^2-4|` 

`h(x)=f(|x|)=|x|*|x|-4=x^2-4` 

Zauważmy, że:

`f(x)=h(x)` 

 

`b)` 

`f(x)=(x-4)^2`    

`g(x)=|f(x)|=|(x-4)^2|=(x-4)^2`  

`h(x)=f(|x|)=(|x|-4)^2` 

Zauważmy, że:

`f(x)=g(x)`  

 

`c)` 

`f(x)=|x|-3` 

`g(x)=|f(x)|=||x|-3|` 

`h(x)=f(|x|)=|x|-3` 

Zauważmy, że:

`f(x)=h(x)`  

Rozwiąż równanie

`a)\ 3x^2+6x=0`

`\ \ \ 3x(x+2)=0\ \ \ |:3`

`\ \ \ x(x+2)=0`

`\ \ \ x=0\ \ \ l u b\ \ \ x+2=0`

`\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x=-2`

`\ \ \ x in {0,\ 2}`

 

 

`b)\ 7x-3x^2=0`

`\ \ \ x(7-3x)=0`

`\ \ \ x=0\ \ \ l u b\ \ \ 7-3x=0`

`\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 7=3x\ \ \|:3`

`\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x=7/3=2 1/3`

`\ \ \ x in {0,\ 2 1/3}`

 

 

 

`c)\ 2x^2=5x\ \ \ |-5x`

`\ \ \ 2x^2-5x=0`

`\ \ \ x(2x-5)=0`

`\ \ \ x=0\ \ \ l u b\ \ \ 2x-5=0\ \ \ |+5`

`\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 2x=5\ \ \ |:2`

`\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x=5/2=2 1/2`

`\ \ \ x in {0,\ 2 1/2}`

 

 

 

`d)\ 8x=1/2x^2\ \ \ |-8x`

`\ \ \ 1/2x^2-8x=0\ \ \ |*2`

`\ \ \ x^2-16x=0`

`\ \ \ x(x-16)=0`

`\ \ \ x=0\ \ \ l u b\ \ \ x-16=0`

`\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x=16`

`\ \ \ x in{0,\ 16}`

Jurek ma 182 cm wzrostu

Obliczmy najpierw, o ile cm Bartek jest niższy od Jurka:

`182\ cm-168\ cm=14\ c m`

 

Obliczamy, o ile procent Bartek jest niższy od Jurka, czyli jakim procentem wzrostu Jurka jest różnica wzrostu:

`(14\ cm)/(182\ cm)=14/182=0,076923...=7,6923...%~~7,69%`

 

Oblicz cos...

Skoro kąt jest ostry to wszystkie wartości funkcji trygonometrycznych będą dodatnie.

 

`sin^2 alpha + cos^2 alpha = 1` 

`(3/7)^2 + cos^2 alpha = 1` 

`9/49 + cos^2 alpha = 1` 

`cos^2 alpha = 40/49` 

`cos alpha = sqrt40/7 = (2sqrt10)/7` 

 

`tg \ alpha = (sin alpha)/(cos alpha) = (3/7)/((2sqrt10)/7) = 3/(2sqrt10)*sqrt10/sqrt10 = (3sqrt10)/20` 

Naszkicuj wykres funkcji

`a)`

Obliczamy wartości funkcji dla dwóch argumentów - przez te punkty będzie przechodził wykres. 

`f(0)=0-1=-1\ \ \ ->\ \ \ punkt\ (0,\ -1)`

`f(3)=3-1=2\ \ \ ->\ \ \ punkt\ (3,\ 2)`

 

 

`f(x)=1\ \ \ dla\ \ \ x =2`

`f(x)>=3\ \ \ dla\ \ \ x in <<4,\ +infty)`

 

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))`

 

 

`b)`

Obliczamy wartości funkcji dla dwóch argumentów - przez te punkty będzie przechodził wykres. 

`f(0)=2*0+1=0+1=1\ \ \ ->\ \ \ punkt\ (0,\ 1)`

`f(1)=2*1+1=2+1=3\ \ \ ->\ \ \ punkt\ (1,\ 3)`

`f(x)=1\ \ \ dla\ \ \ x =0`

`f(x)>=3\ \ \ dla\ \ \ x in <<1,\ +infty)`

 

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))`

 

 

`c)`

Obliczamy wartości funkcji dla dwóch argumentów - przez te punkty będzie przechodził wykres. 

`f(0)=-0-2=0-2=-2\ \ \ ->\ \ \ punkt\ (0,\ -2)`

`f(2)=-2-2=-4\ \ \ ->\ \ \ punkt\ (2,\ -4)`

  

`f(x)=1\ \ \ dla\ \ \ x =-3`

`f(x)>=3\ \ \ dla\ \ \ x in (-infty,\ -5>>`

 

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))`

 

 

`d)`

Obliczamy wartości funkcji dla dwóch argumentów - przez te punkty będzie przechodził wykres. 

`f(0)=-2*0+3=0+3=3\ \ \ ->\ \ \ punkt\ (0,\ 3)`

`f(1)=-2*1+3=-2+3=1\ \ \ ->\ \ \ punkt\ (1,\ 1)`

 

`f(x)=1\ \ \ dla\ \ \ x=1`

`f(x)>=3\ \ \ dla\ \ \ x in (-infty,\ 0>>`

 

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))`

 

`e)`

 

`f(x)=1\ \ \ dla\ \ \ x=1`

`f(x)>=3\ \ \ dla\ \ \ x in <<3,\ +infty)`

 

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))`

 

`f)`

 

`f(x)=1\ \ \ dla\ \ \ x=-1`

`f(x)>=3\ \ \ dla\ \ \ x in (-infty,\ -3>>`

Zapisz wyrażenie w prostszej ...

`"a)"\ (a^(-5)b^3)^2=a^(-10)b^6` 

`"b)"\ (x^-3y^(-2)z^5)/(x^-2y^-3z^6)=x^-3/x^-2*y^-2/y^-3*z^5/z^6=x^-1yz^-1=y/(xz)` 

`"c)"\ ((x^-2y)/z^3)^-3:((x^5y^-2)/z^3)^-1=(z^3/(x^-2y))^3:z^3/(x^5y^-2)=`         

`=z^9/(x^-6y^3)*(x^5y^-2)/z^3=z^9/z^3*x^5/x^-6*y^-2/y^3=z^6x^11y^-5=(z^6x^11)/y^5` 

 

Zaznacz na osi liczbowej

`a)`

`A=2sqrt2~~2*1,41=2,82`

`B=3sqrt3~~3*1,73=5,19`

`D=root(3)999~~root(3)1000=10`

`E=2pi+2~~2*3,14+2=6,28+2=8,28`

 

 

`b)`

`A=sqrt2~~1,41`

`B=sqrt3~~1,73`

`C=2-sqrt2~~2-1,41=0,59`

`D=pi/2~~(3,14)/2=1,57`

 

 

`c)`

`A=3sqrt2~~3*1,41=4,23`

`B=2sqrt3~~2*1,73=3,46`

`C=sqrt5~~2,23`

`D=2pi~~2*3,14=6,28`

Rozwiąż równanie.

`a)` 

`x^2-4x-5=0` 

`Delta=16+20=36` 

`sqrt(Delta)=6` 

 

`x_1=(4-6)/2=-1` 

`x_2=(4+6)/2=5` 

 

`b)` 

`3x^2-14x-5=0` 

`Delta=14^2-4*3*(-5)=196+60=256` 

`sqrt(Delta)=16` 

 

`x_1=(14-16)/6=-1/3` 

`x_2=(14+16)/6=5` 

 

`c)` 

`x(x-5)=2x(x-1)` 

`x^2-5x-2x^2+2x=0` 

`-x^2-3x=0` 

`x(-x-3)=0` 

 

`x=0\ \ \vee\ \ \x=-3` 

 

`d)` 

`2(1-5x)=(1-x)^2` 

`2-10x-(1-x)^2=0` 

`2-10x-1+2x-x^2=0` 

`-x^2-8x+1=0` 

`Delta=64+4=68` 

`sqrt(Delta)=2sqrt(17)` 

 

`x_1=(8-2sqrt(17))/-2=sqrt(17)-4` 

`x_2=(8+2sqrt(17))/-2=-sqrt(17)-4` 

 

`e)` 

`(x^2+4)/5=(1-x)/2` 

`2(x^2+4)=5(1-x)` 

`2x^2+8-5+5x=0` 

`2x^2+5x+3=0` 

`Delta=25-4*2*3=1` 

`sqrt(Delta)=1` 

 

`x_1=(-5-1)/4=-3/2` 

`x_2=(-5+1)/4=-1` 

 

`f)` 

`(x+1)^2/3=(x+4)^2/7-1` 

`7(x+1)^2=3(x+4)^2-21` 

`7(x^2+2x+1)=3(x^2+8x+16)-21` 

`7x^2+14x+7=3x^2+24x+48-21` 

`4x^2-10x-20=0` 

`2x^2-5x-10=0` 

`Delta=25+80=105` 

`sqrt(Delta)=sqrt(105)` 

 

`x_1=(5-sqrt(105))/4` 

`x_2=(5+sqrt(105))/4` 

W równoramiennym trójkącie...

 

Promień okręgu wpisanego w trójkąt o bokach długości a,b,c wyraża się wzorem:

`r = (2P)/(a+b+c)` 

`2 = (2P)/(a+a+b)` 

`2*(2a+b) = 2P` 

`2a + b = P` 

 

`cos \ 70^o = (1/2b)/a` 

`cos 70^o = b/(2a)` 

`0,3420 = b/(2a)` 

`b/a = 0,684` 

`b = 0,684a` 

 

`sin \ 70^o = h/a` 

`sin \ 70^o = h/a` 

`0,9397 = h/a` 

`h = 0,9397a` 

 

Pole dużego trójkąta:

`P = (bh)/2 = (0,684a * 0,9397a)/2 approx 0,3213 a^2` 

 

Przyrównajmy do siebie obie wielkości wyrażające pole:

`2a+b = 0,3213a^2` 

`2a + 0,684a = 0,3213a^2` 

`2,684a - 0,3213a^2 =0` 

`a(2,684 - 0,3213a) =0` 

`2,684 - 0,3213a = 0` 

`0,3213a = 2,684` 

`a = 8,3536 approx 8,4 \ ["cm"]` 

`b= 0,684 * 8,3536 approx 5,7 \ ["cm"]` 

Farba w pewnym sklepie jest sprzedawana

a)

I pojemnik- cena za litr:

`12,5 "zł": 0,75= 50/3 "zł"=16 2/3 "zł"`

II pojemnik- cena za 1 litr:

`30 "zł": 2= 30/2 "zł"= 15 "zł"`

III pojemnik- cena za 1 litr:

`80 "zł" : 5= 16 "zł"`

 

Najtańszy jest 1 litr farby w puszce 2-litrowej.

b)

`(5l +- 0,05l) : 5= 1l +- 0,01l`

c)

Cena 1 l farby w puszce 5 litrowej - 16 zł, cena za 1 l

Cena 1 l farby w puszce 5 litrowej w której jest minimalna ilość farby:

Minimalna ilość farby:

`5l- 0,05 l = 4,95 l`

Cena za litr, biorąc pod uwagę ilość farby w puszcze:

`4,95l :5= 16,(16) "zł"`

 

Błąd względny:

`(|16,(16)-16|)/16=(|0,(16)|)/16= 0,01=ul(ul(1%))`