Własności funkcji na podstawie wykresu - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Dziedzina

Jest to zbiór możliwych x jakich będziemy używać w funkcji. Czyli patrząc „poziomo” jest to ta część osi X dla której znajdziemy punkt. Zaznaczę dziedzinę najpierw graficznie. Można ją łatwo wyznaczyć metodą prostokąta, który ma zawierać końcówki wykresu. Oś x w prostokącie lub obok prostokąta wyznacza dziedzinę.

Jak to wygląda na wykresie?

wyk2

Czerwona linia odcięta niebieskimi wyznacza nam dziedzinę zatem dziedzina to:

$D=<-6;4>$

Zbiór wartości

Jest to z kolei zbiór możliwych y jakie może mieć funkcja, je również wyznaczamy metodą prostokąta i to dokładnie tego samego, co w przypadku dziedziny.

wyk3

Możliwe y to niebieska linia przecięta czerwonymi.

Zatem:

$y=<-1;3>$

Wartość maksymalna

Wartościami nazywamy liczby na osi y, więc wartością maksymalną jest największy y jaki jesteśmy w stanie odczytać z wykresu. Jak go nie przeoczyć? Połóż linijkę wzdłuż osi x:

wyk4

I przesuwaj do samej góry, dopóki linijka przecina wykres.

Powinieneś skończyć tu:

wyk5

Zatem $f_{max}=3$

Wartość minimalna

Robimy dokładnie analogicznie jak w przypadku wartości maksymalnej, tylko zaczynamy od góry:

wyk6

Powinniśmy skończyć tu:

wyk7

Zatem $f_{min}=-1$.

Miejsca zerowe

Są to punkty przecięcia wykresu z osią x, czyli argumenty dla których y=0. Aby je znaleźć wystarczy położyć naszą linijkę na osi X i sprawdzić gdzie wykres ją przecina:

wyk8

Przecina w $x=-2$ i $x=-4$.

Zatem:

$f(-2)=0$

$f(-4)=0$

Monotoniczność

Ostatnie co nam zostało, czyli sprawdzenie kiedy funkcja jest rosnąca, kiedy malejąca, kiedy stała.

Dla malejącej y zmniejsza się gdy przesuwamy się w prawo

Dla stałej y się nie zmienia

Dla rosnącej y rośnie gdy przesuwamy się w prawo

Zaznaczę na wykresie:

Rosnącą - kolor czerwony

Malejącą - kolor niebieski

Stałą - kolor zielony

wyk9

Pozostaje nam spisać przedziały

$f↓$ dla $xϵ<-6;-3> $

$f→$ dla $ xϵ<-1;1>$

$f↑$ dla $ xϵ<-3;-1>$
$f↑$ dla $ xϵ<1;4> $

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Wyznacz Dziedzinę, zbiór wartości, miejsca zerowe, monotoniczność funkcji oraz wartość minimalną i maksymalną.

zad1

Zobacz rozwiązanie

Dziedzina:

$D=(-8;-6>$

Zbiór Wartości:

$y=(-3;4)$

Miejsca zerowe:

$f(-5)=0$

$f(0)=0$

Wartość min:

Funkcja nie posiada wartości minimalnej, ponieważ możemy wziąć na wykresie punkt dowolnie blisko niezamalowanego kółeczka, które odpowiada y=-3, ale nie możemy osiągnąć y=-3. Na przykład jeśli powiem, że -2,999 jest najmniejsze, będzie to nieprawda, bo -2,999999 jest mniejsze. Jeśli powiem, że -2,(9) jest najmniejszą wartością funkcji, znowu skłamię, bo -2,(9)=-3, a zatem nie należy do zbioru wartości funkcji.

Wartość max:

Podobnie jak poprzednio, funkcja nie posiada wartości maksymalnej (możemy tylko brać liczby coraz bliższe 3,(9)=4).

Monotoniczność:

$f↓$ dla $xε<-2;0>$

$f→$ dla $xε<4;6>$

$f↑$ dla $xε(-8;-2)$
i
$f↑$ dla $xε<0;4)$

Zadanie 2.

Wyznacz Dziedzinę, zbiór wartości, miejsca zerowe, monotoniczność funkcji oraz wartość minimalną i maksymalną.

zad2

Zobacz rozwiązanie

Dziedzina:

$D=<-0.5;8.5>$

Zbiór Wartości:

$y=<0;8>$

Miejsca zerowe:

$f(2)=0$

$f(6)=0$

Wartość minimalna:

$f_{min}=0$

Wartość maksymalna:

$f_{max}=8$

Monotoniczność:

$f↓$ dla $xϵ<-0.5;2>$ ∪ $<4;6>$

$f→$ dla $xϵ∅$ czyli nigdzie nie jest stała

$f↑$ dla $xϵ<2;4>$ ∪ $<6;8.5>$

Spis treści

Rozwiązane zadania

W trapezie równoramiennym przekątne przecinają się...

Rysunek poglądowy:

Obliczmy długość ramienia kąta za pomocą trójkąta ABC:

Poprowadźmy teraz wysokość z wierzchołka C na podstawę AB, wtedy:

Zauważmy, że:

A więc:

Zatem:

Zatem obwód trapezu wynosi:

Uzasadnij, że równanie...

Sprawdźmy kiedy czyli kiedy równanie ma jedno lub dwa rozwiązania.

Dla każdego

Sprawdźmy kiedy czyli kiedy równanie ma jedno lub dwa rozwiązania.

Dla każdego

Jaki warunek musi spełniać m, alby punkty...

Wyznaczamy równanie prostej przechodzącej przez punkty i

Wstawiamy do równania prostej współrzędne punktu Otrzymujemy:

Zapisujemy wyznaczone równania jako układ równań i wyliczamy z niego

Zatem prosta przechodząca przez punkty i dana jest wzorem:

Obliczamy, jaką liczbę należy wstawić w miejsce by punkty były współliniowe.

Odp. Aby punkty nie były współliniowe, musi zachodzić

Wyznaczamy równanie prostej przechodzącej przez punkty i

Wstawiamy do równania prostej współrzędne punktu Otrzymujemy:

Zapisujemy wyznaczone równania jako układ równań i wyliczamy z niego

Zatem prosta przechodząca przez punkty i dana jest wzorem:

Obliczamy, jaką liczbę należy wstawić w miejsce by punkty były współliniowe.

Odp. Aby punkty nie były współliniowe, musi zachodzić

Wyznaczamy równanie prostej przechodzącej przez punkty i

Wstawiamy do równania prostej współrzędne punktu Otrzymujemy:

Zapisujemy wyznaczone równania jako układ równań i wyliczamy z niego

Zatem prosta przechodząca przez punkty i dana jest wzorem:

Obliczamy, jaką liczbę należy wstawić w miejsce by punkty były współliniowe.

Odp. Aby punkty nie były współliniowe, musi zachodzić

Wyznaczamy równanie prostej przechodzącej przez punkty i

Wstawiamy do równania prostej współrzędne punktu Otrzymujemy:

Zapisujemy wyznaczone równania jako układ równań i wyliczamy z niego

Zatem prosta przechodząca przez punkty i dana jest wzorem:

Obliczamy, jaką liczbę należy wstawić w miejsce by punkty były współliniowe.

Odp. Aby punkty nie były współliniowe, musi zachodzić

W kole o środku S i średnicy ...

Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku.

Znamy długość średnicy AB:

Długość promienia jest dwukrotnie mniejsza od długości średnicy:

Pole części koła pomiędzy średnicą AB i cięciwą CD możemy obliczyć sumując pola dwóch wycinków koła oraz trójkąta równoramiennego.

Obliczmy miarę kąta α:

Obliczmy miarę kąta ß:

Obliczmy pole wycinka koła o o promieniu 8 i kącie środkowym α = 30^o.

Chcemy obliczyć pole trójkąta. Musimy wyznaczyć długość odcinka CD (podstawa) oraz odcinka FS (wysokość).

Zauważmy, że:

oraz

Korzystając z własności trójkąta o kątach 90^o, 60^o oraz 30o wyznaczamy długość odcinka DE oraz SE.

Stąd mamy:

Cięciwa Cd podzielona jest na dwa odcinki o równej długości, stąd:

Obliczamy pole trójkąta równoramiennego CSD:

Obliczamy pole części koła pomiedzy średnicą i cięciwą:

Odp: Pole części koła pomiędzy średnicą a cięciwą wynosi ³²/₃π+16√3 j².

W pewnym banku do codziennej kapitalizacji odsetek kapitału

Po około 37 dniach.

Sprawdź, czy podane równości są tożsamościami...

Równość jest tożsamością trygonometryczną.

Równość nie jest tożsamością trygonometryczną.

Narysuj kwadrat ABCD o boku długości 6...

Rysujemy kwadrat o boku długości i wyznaczamy wektor

Thumb zad4.72a1str115

Otrzymujemy:

Przesuwamy kwadrat równolegle o wektor {premium}

Thumb zad4.72a2str115

Obrazem kwadratu w przesunięciu równoległym o wektor jest kwadrat

Wyznaczamy wektor

Thumb zad4.72b1str115

Otrzymujemy:

Przesuwamy kwadrat równolegle o wektor

Thumb zad4.72b2str115

Obrazem kwadratu w przesunięciu równoległym o wektor jest kwadrat

czy wykres funkcji f(x), gdzie x...

Wykres funkcji f {premium}nie ma punktu wspólnego z osią OY, bo argument x=0 nie należy do dziedziny tej funkcji.

Wykres funkcji f(x)= ...

Zapisz w postaci kwadratu sumy