Własności funkcji na podstawie wykresu - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Dziedzina

Jest to zbiór możliwych x jakich będziemy używać w funkcji. Czyli patrząc „poziomo” jest to ta część osi X dla której znajdziemy punkt. Zaznaczę dziedzinę najpierw graficznie. Można ją łatwo wyznaczyć metodą prostokąta, który ma zawierać końcówki wykresu. Oś x w prostokącie lub obok prostokąta wyznacza dziedzinę.

Jak to wygląda na wykresie?

wyk2
 

Czerwona linia odcięta niebieskimi wyznacza nam dziedzinę zatem dziedzina to:

$$D=<-6;4>$$  

Zbiór wartości

Jest to z kolei zbiór możliwych y jakie może mieć funkcja, je również wyznaczamy metodą prostokąta i to dokładnie tego samego, co w przypadku dziedziny.

wyk3

Możliwe y to niebieska linia przecięta czerwonymi.

Zatem:

$$y=<-1;3>$$
 

Wartość maksymalna

Wartościami nazywamy liczby na osi y, więc wartością maksymalną jest największy y jaki jesteśmy w stanie odczytać z wykresu. Jak go nie przeoczyć? Połóż linijkę wzdłuż osi x:

wyk4

I przesuwaj do samej góry, dopóki linijka przecina wykres.

Powinieneś skończyć tu:

wyk5

Zatem $$f_{max}=3$$
 

Wartość minimalna

Robimy dokładnie analogicznie jak w przypadku wartości maksymalnej, tylko zaczynamy od góry:

wyk6

Powinniśmy skończyć tu:

wyk7

Zatem $$f_{min}=-1$$.

Miejsca zerowe

Są to punkty przecięcia wykresu z osią x, czyli argumenty dla których y=0. Aby je znaleźć wystarczy położyć naszą linijkę na osi X i sprawdzić gdzie wykres ją przecina:

wyk8

Przecina w $$x=-2$$ i $$x=-4$$.

Zatem:

$$f(-2)=0$$

$$f(-4)=0$$
 

Monotoniczność

Ostatnie co nam zostało, czyli sprawdzenie kiedy funkcja jest rosnąca, kiedy malejąca, kiedy stała.

Dla malejącej y zmniejsza się gdy przesuwamy się w prawo

Dla stałej y się nie zmienia

Dla rosnącej y rośnie gdy przesuwamy się w prawo

Zaznaczę na wykresie:

Rosnącą - kolor czerwony

Malejącą - kolor niebieski

Stałą - kolor zielony

wyk9

Pozostaje nam spisać przedziały

$$f↓$$ dla $$xϵ<-6;-3> $$

$$f→$$ dla $$ xϵ<-1;1>$$

$$f↑$$ dla $$ xϵ<-3;-1>$$
$$f↑$$ dla $$ xϵ<1;4> $$

 

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Wyznacz Dziedzinę, zbiór wartości, miejsca zerowe, monotoniczność funkcji oraz wartość minimalną i maksymalną.

zad1

Dziedzina:

$$D=(-8;-6>$$

Zbiór Wartości:

$$y=(-3;4)$$

Miejsca zerowe:

$$f(-5)=0$$

$$f(0)=0$$

Wartość min:

Funkcja nie posiada wartości minimalnej, ponieważ możemy wziąć na wykresie punkt dowolnie blisko niezamalowanego kółeczka, które odpowiada y=-3, ale nie możemy osiągnąć y=-3. Na przykład jeśli powiem, że -2,999 jest najmniejsze, będzie to nieprawda, bo -2,999999 jest mniejsze. Jeśli powiem, że -2,(9) jest najmniejszą wartością funkcji, znowu skłamię, bo -2,(9)=-3, a zatem nie należy do zbioru wartości funkcji.

Wartość max:

Podobnie jak poprzednio, funkcja nie posiada wartości maksymalnej (możemy tylko brać liczby coraz bliższe 3,(9)=4).

Monotoniczność:

$$f↓$$ dla $$xε<-2;0>$$

$$f→$$ dla $$xε<4;6>$$

$$f↑$$ dla $$xε(-8;-2)$$
i
$$f↑$$ dla $$xε<0;4)$$

Zadanie 2.

Wyznacz Dziedzinę, zbiór wartości, miejsca zerowe, monotoniczność funkcji oraz wartość minimalną i maksymalną.

zad2

Dziedzina:

$$D=<-0.5;8.5>$$

Zbiór Wartości:

$$y=<0;8>$$

Miejsca zerowe:

$$f(2)=0$$

$$f(6)=0$$

Wartość minimalna:

$$f_{min}=0$$

Wartość maksymalna:

$$f_{max}=8$$

Monotoniczność:

$$f↓$$ dla $$xϵ<-0.5;2>$$$$<4;6>$$

$$f→$$ dla $$xϵ∅$$ czyli nigdzie nie jest stała

$$f↑$$ dla $$xϵ<2;4>$$$$<6;8.5>$$
 

Spis treści

Rozwiązane zadania
Narysuj trójkąt prostokątny...

Rysunek poglądowy, wielkości w rzeczywistości mogą się różnić:

`sin alpha = 2/5 = a/c` 

`a/c = 2/5` 

Załóżmy, że a = 2 c = 5

Sprawdźmy czy suma długości przyprostokątnych jest większa od długości przeciwprostokątnej:

`a+ 4 > c` 

`2 + 4 > 5 ` 

`6 > 5` 

Zgadza się

Rozwiąż układ równań ...

`{(7x-11y=-22\ \ \ |*3), (2x+3y=18\ \ \ |*11):}`

`{(21x-33y=-66), (22x+33y=198):}\ \ \ \ |+`

`43x=132\ \ \ \ |:43`

`x=132/43`

`{(x=132/43), (2x+3y=18):}`

`{(x=132/43), (2*132/43+3y=18\ \ \ |:3):}`

`{(x=132/43), (2*44/43+y=6):}`

`{(x=132/43), (88/43+y=258/43\ \ \ \ |-88/43):}`

`{(x=132/43=3 3/43), (170/43=3 41/43):}`

Wykaż, że a jest liczbą ...

`"a)"\ a=sqrt(10-4sqrt6)-sqrt(10+4sqrt6)` 

Podnieśmy obie strony równości do potęgi drugiej:

`a^2=(sqrt(10-4sqrt6)-sqrt(10+4sqrt6))^2` 

Prawą stronę równości rozpisujemy korzystając ze wzoru na kwadrat różnicy:

`a^2=(sqrt(10-4sqrt6))^2-2*sqrt(10-4sqrt6)*sqrt(10+4sqrt6)+(sqrt(10+4sqrt6))^2` 

`a^2=10-4sqrt6-2*#underbrace(sqrt((10-4sqrt6)(10+4sqrt6)))_("wzór na różnicę kwadratów")+10+4sqrt6`   

`a^2=20-2*sqrt(10^2-(4sqrt6)^2)`  

`a^2=20-2*sqrt(100-96)` 

`a^2=20-2*sqrt4` 

`a^2=20-2*2` 

`a^2=16` 

`a=4\ \ \ \ "lub"\ \ \ \ \ a=-4` 

Otrzymane liczby są liczbami całkowitymi.

Patrząc na pierwszą równość możemy zauważyć, że a jest różnicą liczby większej od liczby mniejszej, więc a musi być liczba ujemną.

Stąd a=-4.

`ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ )` 

`"b)"\ a=sqrt(43+30sqrt2)+sqrt(43-30sqrt2)` 

Podnieśmy obie strony równości do potęgi drugiej:

`a^2=(sqrt(43+30sqrt2)+sqrt(43-30sqrt2))^2`  

Prawą stronę równości rozpisujemy korzystając ze wzoru na kwadrat sumy:

`a^2=(sqrt(43+30sqrt2))^2+2*sqrt(43+30sqrt2)*sqrt(43-30sqrt2)+(sqrt(43-30sqrt2))^2` 

`a^2=43+30sqrt2+2*#underbrace(sqrt((43+30sqrt2)(43-30sqrt2)))_("wzór na różnicę kwadratów")+43-30sqrt2`    

`a^2=86+2*sqrt(43^2-(30sqrt2)^2)`  

`a^2=86+2*sqrt(1849-1800)` 

`a^2=86+2*sqrt49` 

`a^2=86+2*7` 

`a^2=100` 

`a=10\ \ \ \ "lub"\ \ \ \ \ a=-10`  

Otrzymane liczby są liczbami całkowitymi.

Patrząc na pierwszą równość możemy zauważyć, że a jest sumą liczb dodatnich, więc a także jest liczbą dodatnią.

Stąd a=10.

Wierzchołek 70-metrowego komina elektrociepłowni...

`tg \ 8^o = 70/x` 

`x = 70/(tg \ 8^o) approx 70/(0,1405) approx 500 \ ["m"]` 

W ubiegłym miesiącu...

Sprawdźmy czy odcięta wierzchołka paraboli należy do badanego przedziału:

`x_w = p = (-b)/(2a) = (-12)/(2*(-1)) = 12/2 = 6` 

Parabola jest skierowana ramionami w dół a więc dla n = 6 mamy wartość największą. Wartość najmniejsza na badanym przedziale będzie na krańcu, który jest położony najdalej od odciętej wierzchołka paraboli. Badany przedział to {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} a więc n = 1.

`y_(max) = f(6) = -6^2 + 12*6 - 6 = -36 + 72 - 6 = 30` 

`y_(min) = f(1) = -1^2 + 12*1 - 6 = -1 + 12 - 6 = 5` 

 

Odpowiedź: W 6 dniu wystawę odwiedziło najwięcej osób, a w 1 najmniej.

Rozwiąż nierówność

`a)` 

`|x-2|<=4` 

`x-2<=4\ \ \ |+2\ \ \ "i" \ \ \ x-2>= -4\ \ \ |+2` 

`x<=6\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ "i"\ \ \ x>=-2` 

`ul(x in <<-2;\ 6>>)` 

 

Nierówność można było rozwiązać także, analizując jej znaczenie. 

Szukamy takich liczb, które są oddalone od liczby 2 o nie więcej niż 4 jednostki - możemy więc "iść" nie więcej niż 4 jednostki w lewo (2-4=-2) i nie więcej niż 4 jednostki w prawo (2+4=6). 

 

 

 

`b)` 

`|x+3|>5` 

`x+3>5\ \ \ |-3\ \ \ \ "lub"\ \ \ x+3< -5\ \ \ |-3` 

`x>2 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ "lub"\ \ \ x< -8` 

`ul(x in (-infty;\ -8)uu(2;\ +infty))` 

 

Przeanalizujmy zadaną nierówność. Szukamy takich liczb, które są oddalone od -3 o więcej niż 5 jednostek. Możemy więc "iść" więcej niż 5 jednostek w lewo (-3-5=-8) lub więcej niż 5 jednostek w prawo (-3+5=2). 

 

 

`c)` 

`|2-x|<6` 

`2-x<6\ \ \ |-2\ \ \ \ "i"\ \ \ 2-x> -6\ \ \ |-2` 

`-x< 4\ \ \ |*(-1)\ \ \ \ "i"\ \ \ -x> -8\ \ \ |*(-1)` 

`x> -4 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ "i"\ \ \ x<8` 

`ul(x in (-4;\ 8))` 

 

Przeanalizujmy zadaną nierówność. Szukamy takich liczb, których odległość od liczby 2 jest mniejsza niż 6. Możemy więc "iść" mniej niż 6 jednostek w lewo (2-6=-4) i mniej niż 6 jednostek w prawo (2+6=8).

 

 

 

`d)` 

`|3-x|>=1` 

`3-x>=1\ \ \ |-3\ \ \ \ \ "lub"\ \ \ \ \ 3-x<=-1\ \ \ |-3` 

`-x>=-2\ \ \ |*(-1) \ \ \ "lub"\ \ \ \ \ -x<=-4\ \ \ |*(-1)` 

`x<=2\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ "lub"\ \ \ \ \ x>=4` 

`ul(x in (-infty;\ 2>>uu<<4;\ +infty))` 

 

 

Przeanalizujmy zadaną nierówność. Szukamy takich liczb, których odległość od liczby 3 jest nie mniejsza niż 1. Możemy więc "iść" nie mniej niż 1 jednostkę w lewo (3-1=2)  lub nie mniej niż 1 jednostkę w prawo (3+1=4).

W trójkącie ABC wysokość CD jest równa 20 cm

Trójkąty ABC i EFC są podobne (cecha kkk)

Stosunek pól figur podobnych jest równy kwadratowi ich skali podobieństwa

`(P_(EFC))/(P_(ABC))=4:9=4/9=k^2`

`k^2=4/9`          `i `            `k>0`

`k^2=4/9`          `sqrt`

`k=2/3`

Korzystając ze skali podobieństwa obliczamy najpierw wysokość mniejszego trójkąta:

`k=2/3=h/20`

`2*20=3*h`

`40=3h`           `/:3`

`h=40/3= 13 1/3 cm`

 

Odległość odcinka EF od boku AB stanowi różnicę między wysokością większego i mniejszego trójkąta. 

`d=20cm-13 1/3 cm=ul(ul( 6 2/3 cm))`

 

Rozwiąż równanie

`a)\ 3(2x-7)-(7x-13)=-10`

` \ \ \ 6x-21-7x+13=-10`

`\ \ \ -x-8=-10\ \ \ |+8`

`\ \ \ -x=-2\ \ \ |*(-1)`

`\ \ \ x=2`

 

 

`b)\ -2(-27-3x)=-3(2x-10)`

`\ \ \ 54+6x=-6x+30\ \ \ \|+6x`

`\ \ \ 54+12x=30\ \ \ |-54`

`\ \ \ 12x=-24\ \ \ |:12`

`\ \ \ x=-2`

 

 

`c)\ 6-2(2x-1/2)=4x-2(3/4-3x)\ \ \ |:2`

`\ \ \ 3-(2x-1/2)=2x-(3/4-3x)`

`\ \ \ 3-2x+1/2=2x-3/4+3x\ \ \ \|*4`

`\ \ \ 12-8x+2=8x-3+12x`

`\ \ \ 14-8x=20x-3\ \ \ |+8x`

`\ \ \ 14=28x-3\ \ \ |+3`

`\ \ \ 28x=17\ \ \ |:28`

`\ \ \ x=17/28`

 

 

`d)\ 3x=x-(1-(x-3))`

`\ \ \ 3x=x-(1-x+3)`

`\ \ \ 3x=x-(4-x)`

`\ \ \ 3x=x-4+x`

` \ \ \ 3x=2x-4\ \ \ |-2x`

`\ \ \ x=-4`

 

 

`e)\ 5x-(2x+(3-x))=11`

`\ \ \ 5x-(2x+3-x)=11`

`\ \ \ 5x-(x+3)=11`

`\ \ \ 5x-x-3=11`

`\ \ \ 4x-3=11\ \ \ |+3`

`\ \ \ 4x=14\ \ \ |:4`

`\ \ \ x=14/4=7/2=3 1/2`

 

 

`f)\ 1-(x-(x-(x-1)))=0`

` \ \ \ 1-(x-(x-x+1))=0`

`\ \ \ 1-(x-1)=0`

`\ \ \ 1-x+1=0`

`\ \ \ 2-x=0\ \ \ |+x`

` \ \ \ x=2`

 

Jaka jest skala podobieństwa ...

`a)`

Oznaczmy pole większego kwadratu przez P.

Pole mniejszego kwadratu wynosi wtedy:

`P-19%*P=P-0,19P=0,81P`

Stosuenk pól jest równy kwadratowi skali podobieństwa:

`k^2=(0,81P)/P`

`k^2=0,81`

`k=sqrt(0,81)=0,9`

 

 

`b)`

Oznaczmy pole mniejszego kwadratu przez P.

Pole większego kwadratu wynosi wtedy:

`P+125%P=P+1,25P=2,25P`

 

`k^2=(2,25P)/P`

`k^2=2,25`

`k=sqrt(2,25)=1,5`

Oblicz pole równoległoboku, którego boki ...

`a=8` 

`b=12` 

 

`a)` 

`alpha=45^o`  

`P=a*b*sinalpha=8*12*sqrt2/2=ul(48sqrt2` 

`b)` 

`alpha-"kąt ostry"` 

W równoległoboku suma kątów leżących przy jednym ramieniu jest równa 180 stopni.

`alpha+5alpha=180^o`     

`alpha=30^o` 

`P=a*b*sin30^o=8*12*1/2=ul(48`