Własności funkcji na podstawie wykresu - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Dziedzina

Jest to zbiór możliwych x jakich będziemy używać w funkcji. Czyli patrząc „poziomo” jest to ta część osi X dla której znajdziemy punkt. Zaznaczę dziedzinę najpierw graficznie. Można ją łatwo wyznaczyć metodą prostokąta, który ma zawierać końcówki wykresu. Oś x w prostokącie lub obok prostokąta wyznacza dziedzinę.

Jak to wygląda na wykresie?

wyk2

Czerwona linia odcięta niebieskimi wyznacza nam dziedzinę zatem dziedzina to:

$D=<-6;4>$

Zbiór wartości

Jest to z kolei zbiór możliwych y jakie może mieć funkcja, je również wyznaczamy metodą prostokąta i to dokładnie tego samego, co w przypadku dziedziny.

wyk3

Możliwe y to niebieska linia przecięta czerwonymi.

Zatem:

$y=<-1;3>$

Wartość maksymalna

Wartościami nazywamy liczby na osi y, więc wartością maksymalną jest największy y jaki jesteśmy w stanie odczytać z wykresu. Jak go nie przeoczyć? Połóż linijkę wzdłuż osi x:

wyk4

I przesuwaj do samej góry, dopóki linijka przecina wykres.

Powinieneś skończyć tu:

wyk5

Zatem $f_{max}=3$

Wartość minimalna

Robimy dokładnie analogicznie jak w przypadku wartości maksymalnej, tylko zaczynamy od góry:

wyk6

Powinniśmy skończyć tu:

wyk7

Zatem $f_{min}=-1$.

Miejsca zerowe

Są to punkty przecięcia wykresu z osią x, czyli argumenty dla których y=0. Aby je znaleźć wystarczy położyć naszą linijkę na osi X i sprawdzić gdzie wykres ją przecina:

wyk8

Przecina w $x=-2$ i $x=-4$.

Zatem:

$f(-2)=0$

$f(-4)=0$

Monotoniczność

Ostatnie co nam zostało, czyli sprawdzenie kiedy funkcja jest rosnąca, kiedy malejąca, kiedy stała.

Dla malejącej y zmniejsza się gdy przesuwamy się w prawo

Dla stałej y się nie zmienia

Dla rosnącej y rośnie gdy przesuwamy się w prawo

Zaznaczę na wykresie:

Rosnącą - kolor czerwony

Malejącą - kolor niebieski

Stałą - kolor zielony

wyk9

Pozostaje nam spisać przedziały

$f↓$ dla $xϵ<-6;-3> $

$f→$ dla $ xϵ<-1;1>$

$f↑$ dla $ xϵ<-3;-1>$
$f↑$ dla $ xϵ<1;4> $

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Wyznacz Dziedzinę, zbiór wartości, miejsca zerowe, monotoniczność funkcji oraz wartość minimalną i maksymalną.

zad1

Zobacz rozwiązanie

Dziedzina:

$D=(-8;-6>$

Zbiór Wartości:

$y=(-3;4)$

Miejsca zerowe:

$f(-5)=0$

$f(0)=0$

Wartość min:

Funkcja nie posiada wartości minimalnej, ponieważ możemy wziąć na wykresie punkt dowolnie blisko niezamalowanego kółeczka, które odpowiada y=-3, ale nie możemy osiągnąć y=-3. Na przykład jeśli powiem, że -2,999 jest najmniejsze, będzie to nieprawda, bo -2,999999 jest mniejsze. Jeśli powiem, że -2,(9) jest najmniejszą wartością funkcji, znowu skłamię, bo -2,(9)=-3, a zatem nie należy do zbioru wartości funkcji.

Wartość max:

Podobnie jak poprzednio, funkcja nie posiada wartości maksymalnej (możemy tylko brać liczby coraz bliższe 3,(9)=4).

Monotoniczność:

$f↓$ dla $xε<-2;0>$

$f→$ dla $xε<4;6>$

$f↑$ dla $xε(-8;-2)$
i
$f↑$ dla $xε<0;4)$

Zadanie 2.

Wyznacz Dziedzinę, zbiór wartości, miejsca zerowe, monotoniczność funkcji oraz wartość minimalną i maksymalną.

zad2

Zobacz rozwiązanie

Dziedzina:

$D=<-0.5;8.5>$

Zbiór Wartości:

$y=<0;8>$

Miejsca zerowe:

$f(2)=0$

$f(6)=0$

Wartość minimalna:

$f_{min}=0$

Wartość maksymalna:

$f_{max}=8$

Monotoniczność:

$f↓$ dla $xϵ<-0.5;2>$ ∪ $<4;6>$

$f→$ dla $xϵ∅$ czyli nigdzie nie jest stała

$f↑$ dla $xϵ<2;4>$ ∪ $<6;8.5>$

Spis treści

Rozwiązane zadania

Dziedziną funkcji f(x)= ...

Wyrażenie znajdujące się pod pierwiastkiem kwadratowym musi być nieujemne, więc: {premium}

Zatem:

Stąd otrzymujemy:

Odpowiedź: D

Uzasadnij, że wartość wyrażenia...

{premium}

Uwaga: Wartość powyższego wyrażenia nie jest liczbą wymierną.

Zapisz trzy kolejne liczby naturalne...

{premium}

Podaj rozwinięcia dziesiętne liczb wymiernych:

{premium}

Z miejscowości A do oddalonej...

a) Oznaczmy:

t - czas jazdy

s - przebyta droga

Obliczamy, ile czasu potrzeba{premium} na przejechanie odległości 40 km z prędkością 16 km/h:

Wiemy, że przebyta droga jest iloczynem czasu i prędkości. Rowerzysta jadący z A oddala się od A, więc po czasie t będzie znajdował się w odległości 16t od A, a po 2,5 godzinach dojedzie do B.

Rowerzysta jadący z B na początku znajduje się w odległości 40 km od A i zbliża się do A, więc po czasie t będzie znajdował się w odległości 40-16t km od A.

W takim razie odległość rowerzysty jadącego z A określona jest wzorem s=16t, gdzie t ∈ <0; 2,5> natomiast odległość rowerzysty jadącego do A wyraża wzór s=40-16t, gdzie t ∈ <0; 2,5>.

Szkicujemy wykresy funkcji we wspólnym układzie współrzędnych.

b) Obliczamy odległość między rowerzystami:

Obliczamy, po jakim czasie od chwili rozpoczęcia podróży odległość między rowerzystami była równa 8 km:

Odp. Odległość między rowerzystami była równa 8 km po 1 h oraz po 1,5 h od chwili rozpoczęcia podróży.

Wyznacz x tak, aby ...

{premium}

Dla x=¹/₂ zbiory mają postać:

Dla x=1 zbiory mają postać:

Wyznacz pary liczb całkowitych x, y spełniające ...

Iloczyn dwóch liczb jest dodatni, gdy obie te liczby są dodatnie lub obie są ujemne.

Mamy więc do rozpatrzenia dwa przypadki: {premium}

Z pierwszego równania wyznaczamy .

Do drugiego równania w miejsce podstawiamy otrzymane wyrażenie.

Z pierwszego równania wyznaczamy .

Do drugiego równania w miejsce podstawiamy otrzymane wyrażenie.

Rozwiąż równanie.

Istnieją tylko dwie liczby, których kwadrat jest równy 4. Są to: liczba 8 oraz liczba -8. Zatem:{premium}

Istnieją tylko dwie liczby, których kwadrat jest równy 10. Są to: liczba √10 oraz liczba -√10. Zatem:

Jedyną liczbą, której kwadrat jest równy 0, jest liczba 0. Stąd:

Równanie jest sprzeczne (nie ma rozwiązań), ponieważ kwadrat dowolnej liczby rzeczywistej jest nieujemny.

Odcinek CD jest wysokością trójkąta ABC, w którym ...

Ponieważ odcinki AD i DC mają taką samą długość, to trójkąt ADC jest trójkątem prostokątnym równoramiennym. Wynika stąd, że

{premium}

Wiemy również, że bok BC trójkąta prostokątnego BCD jest dwa razy dłuższy od krótszej przyprostokątnej CD. Trójkąt BCD jest zatem połówką trójkąta równobocznego. Oznacza to, że

Wykonajmy rysunek pomocniczy.

Kąty KCL i KML są oparte na tym samym łuku. Miara kąta wpisanego w okrąg jest równa połowie miary kąta środkowego opartego na tym samym łuku. Wynika stąd, że:

Odpowiedź: D

Uzasadnij...

Dane jest równanie

którego pierwiastkami są liczby x₁ i x₂

korzystając ze wzorów skróconego mnożenia rozpiszmy wyrażenie

otrzymamy{premium}

korzystając ze wzorów Viete'a dostajemy

Zatem otrzymaliśmy, że