Własności funkcji na podstawie wykresu - matura-podstawowa - Baza Wiedzy
Dziedzina
Jest to zbiór możliwych x jakich będziemy używać w funkcji. Czyli patrząc „poziomo” jest to ta część osi X dla której znajdziemy punkt. Zaznaczę dziedzinę najpierw graficznie. Można ją łatwo wyznaczyć metodą prostokąta, który ma zawierać końcówki wykresu. Oś x w prostokącie lub obok prostokąta wyznacza dziedzinę.
Jak to wygląda na wykresie?
Czerwona linia odcięta niebieskimi wyznacza nam dziedzinę zatem dziedzina to:
$$D=<-6;4>$$
Zbiór wartości
Jest to z kolei zbiór możliwych y jakie może mieć funkcja, je również wyznaczamy metodą prostokąta i to dokładnie tego samego, co w przypadku dziedziny.
Możliwe y to niebieska linia przecięta czerwonymi.
Zatem:
$$y=<-1;3>$$
Możliwe y to niebieska linia przecięta czerwonymi.
Zatem:
$$y=<-1;3>$$
Wartość maksymalna
Wartościami nazywamy liczby na osi y, więc wartością maksymalną jest największy y jaki jesteśmy w stanie odczytać z wykresu. Jak go nie przeoczyć? Połóż linijkę wzdłuż osi x:
I przesuwaj do samej góry, dopóki linijka przecina wykres.
Powinieneś skończyć tu:
Zatem $$f_{max}=3$$
I przesuwaj do samej góry, dopóki linijka przecina wykres.
Powinieneś skończyć tu:
Zatem $$f_{max}=3$$
Wartość minimalna
Robimy dokładnie analogicznie jak w przypadku wartości maksymalnej, tylko zaczynamy od góry:
Powinniśmy skończyć tu:
Zatem $$f_{min}=-1$$.
Powinniśmy skończyć tu:
Zatem $$f_{min}=-1$$.
Miejsca zerowe
Są to punkty przecięcia wykresu z osią x, czyli argumenty dla których y=0. Aby je znaleźć wystarczy położyć naszą linijkę na osi X i sprawdzić gdzie wykres ją przecina:
Przecina w $$x=-2$$ i $$x=-4$$.
Zatem:
$$f(-2)=0$$
$$f(-4)=0$$
Przecina w $$x=-2$$ i $$x=-4$$.
Zatem:
$$f(-2)=0$$
$$f(-4)=0$$
Monotoniczność
Ostatnie co nam zostało, czyli sprawdzenie kiedy funkcja jest rosnąca, kiedy malejąca, kiedy stała.
Dla malejącej y zmniejsza się gdy przesuwamy się w prawo
Dla stałej y się nie zmienia
Dla rosnącej y rośnie gdy przesuwamy się w prawo
Zaznaczę na wykresie:
Rosnącą - kolor czerwony
Malejącą - kolor niebieski
Stałą - kolor zielony
Pozostaje nam spisać przedziały
$$f↓$$ dla $$xϵ<-6;-3> $$
$$f→$$ dla $$ xϵ<-1;1>$$
$$f↑$$ dla $$ xϵ<-3;-1>$$
$$f↑$$ dla $$ xϵ<1;4> $$
Zadania powtórzeniowe
Zadanie 1.
Wyznacz Dziedzinę, zbiór wartości, miejsca zerowe, monotoniczność funkcji oraz wartość minimalną i maksymalną.
Dziedzina:
$$D=(-8;-6>$$
Zbiór Wartości:
$$y=(-3;4)$$
Miejsca zerowe:
$$f(-5)=0$$
$$f(0)=0$$
Wartość min:
Funkcja nie posiada wartości minimalnej, ponieważ możemy wziąć na wykresie punkt dowolnie blisko niezamalowanego kółeczka, które odpowiada y=-3, ale nie możemy osiągnąć y=-3. Na przykład jeśli powiem, że -2,999 jest najmniejsze, będzie to nieprawda, bo -2,999999 jest mniejsze. Jeśli powiem, że -2,(9) jest najmniejszą wartością funkcji, znowu skłamię, bo -2,(9)=-3, a zatem nie należy do zbioru wartości funkcji.
Wartość max:
Podobnie jak poprzednio, funkcja nie posiada wartości maksymalnej (możemy tylko brać liczby coraz bliższe 3,(9)=4).
Monotoniczność:
$$f↓$$ dla $$xε<-2;0>$$
$$f→$$ dla $$xε<4;6>$$
$$f↑$$ dla $$xε(-8;-2)$$
i
$$f↑$$ dla $$xε<0;4)$$
Zadanie 2.
Wyznacz Dziedzinę, zbiór wartości, miejsca zerowe, monotoniczność funkcji oraz wartość minimalną i maksymalną.
Dziedzina:
$$D=<-0.5;8.5>$$
Zbiór Wartości:
$$y=<0;8>$$
Miejsca zerowe:
$$f(2)=0$$
$$f(6)=0$$
Wartość minimalna:
$$f_{min}=0$$
Wartość maksymalna:
$$f_{max}=8$$
Monotoniczność:
$$f↓$$ dla $$xϵ<-0.5;2>$$ ∪ $$<4;6>$$
$$f→$$ dla $$xϵ∅$$ czyli nigdzie nie jest stała
$$f↑$$ dla $$xϵ<2;4>$$ ∪ $$<6;8.5>$$
Spis treści
Rozwiązane zadania
Wskaż zdania prawdziwe.
A. Każde dwa trójkąty równoboczne są podobne - Prawda
Np. Cecha KKK bo miary kątów są równe.
B. Każde dwa trójkąty prostokątne są podobne - Nieprawda
Kontrprzykład:
Trójkąt prostokątny o bokach długości 3, 4, 5 mający miary kątów ostrych 30° i 60°.
Trójkąt prostokątny o bokach długości 1, 1, √2 mający miary kątów ostrych 45° i 45°.
C. Każde dwa prostokąty są podobne - Nieprawda
Kontrprzykład
Prostokąt o bokach długości 1, 2.
Prostokąt o bokach długości 1, 3.
D. Każde dwa romby są podobne - Nieprawda
Kontrprzykład
Romb o boku 4, który jest kwadratem.
Romb o boku 4, który nie jest kwadratem.
E. Każde dwa kwadraty są podobne - Prawda
Np Cecha KKK bo miary kątów są równe.
Wyznacz wartość najmniejszą i wartość ...
`a)`
`f(x)=2x^2-4x+3,\ [0;3]`
`x_w=-b/2a=1in[0;3]`
`y_w=f(1)=1`
`f(0)=3`
`f(3)=18-12+3=9`
`f(x)_max=9`
`f(x)_min=1`
`b)`
`f(x)=-3x^2-6x-2,\ [1;2]`
`x_w=6/-6=-1 notin [1;2]`
`f(1)=-11`
`f(2)=-12-12-2=-26`
`f(x)_min=-26`
`f(x)_max=-11`
`c)`
`f(x)=1/4x^2+2x+1,\ [-6;2]`
`x_w=-b/(2a)=-2/(1/2)=-4 in [-6;2]`
`y_w=f(-4)=1/4*16-2*4+1=-3`
`f(-6)=1/4*36-12+1=9-12+1=-2`
`f(2)=1+4+1=6`
`f(x)_min=-4`
`f(x)_max=6`
`d)`
`f(x)=2/3x^2-x,\ [-3;0]`
`x_w=-b/(2a)=1/(4/3)=3/4 notin [-3;0]`
`f(-3)=6+3=9`
`f(0)=0`
`f(x)_min=0`
`f(x)_max=9`
Naszkicuj wykres dowolnej funkcji
W każdym podpunkcie podajemy po dwa przykłady takich funkcji.
`a)`
`b)`
`c)`
`d)`
W prostokątnym układzie współrzędnych naszkicuj
Oblicz błąd bezwzględny i błąd względny
`a)`
Błąd bezwzględny:
`|x-a|=|18,458-18,46|=|-0,002|=0,002`
Błąd względny:
`|x-a|/|x|=(0,002)/|18,458|=(0,002)/(18,458)=0,0001083...=0,01083%~~0,01%`
`b)`
`|x-a|=|18,458-18,5|=|-0,042|=0,042`
`|x-a|/|x|=(0,042)/|18,458|=(0,042)/(18,458)=0,002275...~~0,2275%~~0,23%`
`c)`
`|x-a|=|18,458-18|=|0,458|=0,458`
`|x-a|/|x|=(0,458)/|18,458|=(0,458)/(18,458)=0,024813...=2,4813%~~2,48%`
`d)`
`|x-a|=|18,458-20|=|-1,542|=1,542`
`|x-a|/|x|=(1,542)/|18,458|=(1,542)/(18,458)=0,08354...=8,354%~~8,35%`
Największą liczbą całkowitą
`root(3)(-75/4):root(3)(128/45)=root(3)(-75/4:128/45)=root(3)(-75/4*45/128)=root(3)(-(75*45)/(4*128))=root(3)(-(25*3*9*5)/(4*2*64))=`
`=root(3)(-(125*27)/(8*64))=root(3)(-125/8)*root(3)(27/64)=-5/2*3/4=-15/8=-1 7/8`
Największa liczba całkowita mniejsza od powyższej to -2, więc prawidłowa jest odpowiedź C.
Funkcja f każdej liczbie naturalnej mniejszej
- za pomocą wzoru (wyznaczamy wzór funkcji w oparciu o informację, że funkcja każdej liczbie naturalnej mniejszej od 10 przyporząkowuje połowę kwadratu tej liczby)
`f(x)=1/2 x^2` `x in {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} `
- za pomocą zbioru (musimy najpierw obliczyć wartości przyporządkowane argumentom:
`f(0)=1/2*0^2=1/2*0=0`
`f(1)=1/2*1^2=1/2*1=1/2`
`f(2)=1/2*2^2=1/2*2^2=1/2*4=2`
`f(3)=1/2*3^2=1/2*9=9/2=4 1/2`
`f(4)=1/2*4^2=1/2*16=8`
`f(5)=1/2*5^2=1/2*25=25/2=12 1/2`
`f(6)=1/2*6^2=1/2*36=18`
`f(7)=1/2*7^2=1/2*49=49/2=24 1/2`
`f(8)= 1/2*8^2=1/2*64=32`
`f(9)= 1/2*9^2=1/2*81=40 1/2`
`{(0,0),(1,1/2),(2,2,),(3,4 1/2),(4,8), (5,12 1/2), (6,18), (7,24 1/2), (8,32), (9,40 1/2)}`
- za pomocą wykresu
Zaznaczamy na wykresie punkty których współrzędne obliczono w poprzednim podpunkcie.
Które z podanych przyporządkowań jest funkcją
Każde z podanych przyporządkowań jest funkcją.
a)
Dziedzina: zbiór uczniów
Zbiór wartości: numery na liście w dzienniku
Trzy dowolne argumenty i przyporządkowane im wartości (przykładowe):
- Ania przyporządkowujemy 8
- Kacper przyporządkowujemy 13
- Olek przyporządkowujemy 22
b)
Dziedzina: zbiór wielokątów
Zbiór wartości: liczby określające sumę miar kątów wewnętrznych (wielokrotności liczby 180, bez 0)
Trzy dowolne argumenty i przyporządkowane im wartości:
- trójkątowi przyporządkowujemy 180o
- czworokąt przyporządkowujemy 360o
- pięciokąt przyporządkowujemy 540o
c)
Dziedzina: długości promienia (zbiór dodatnich liczb rzeczywistych)
Zbiór wartości: długości obwodów (zbiór dodatnich liczb rzeczywistych)
Trzy dowolne argumenty i przyporządkowane im wartości:
- promieniowi 2 przyporządkowujemy 4π
- promieniowi 4 przyporządkowujemy 8π
- promieniowi 5 przyporządkowujemy 10π
d)
Dziedzina: {..., -6, -4, -2, 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14 ...} (zbiór liczb parzystych)
Zbiór wartości: {..., -9, -7 -5, -3, -1, 1, 3, 5, 7, 9, ...} (zbiór liczb nieparzystych)
Trzy dowolne argumenty i przyporządkowane im wartości:
- liczbie 4 przyporządkowujemy 1
- liczbie 6 przyporządkowujemy 3
- liczbie 8 przyporządkowujemy 5
Piłkę upuszczono z balkonu...
Wykres:
`b) \ h(2) = -4,9*2^2 + 30 = -4,9*4 + 30 = -19,6+30 = 10,4`
Odpowiedź: Piłka będzie na wysokości 10,4 metra.
c) Jeżeli wartość funkcji w punkcie t = 3 będzie ujemna to znaczy, że piłka zderzyła się z ziemią.
`h(3) = -4,9*3^2 + 30 = -4,9*9 + 30 =-44,1 + 30 = -14,1`
Odpowiedź: Piłka po 3 sekundach dotknie ziemi.
Cenę pewnego produktu podnoszono dwukrotnie
Obliczmy cenę początkową pierwszego sklepu. Zadanie rozwiązujemy "od końca", czyli najpierw obliczamy cenę przed drugą podwyżką- o 30%. 252zł stanowi 130% tej ceny- układamy proporcję:
`252 "zł"- 130%`
`x "zł"- 100%`
`252*100=130*x`
`25200=130x` `/:130`
`193,85~~x`
Teraz obliczamy cenę przed pierwszą podwyżką, wiedząc, że cena 193,85 zł stanowi 120% tej ceny:
`193,85 "zł"- 120%`
`x "zł"= 100%`
`193,85*100=120x`
`19385=120x` `/:120`
`x~~161,54 zł`
Analogiczne obliczenia przeprowadzamy dla cen i obliczeń w drugim sklepie- jednak ponieważ tam druga zmiana ceny była obniżką o 20%, to ostateczna cena stanowi 80% drugiej ceny.
`80%- 276 "zł"`
`100%- x"zł"`
`80x=27600` /:80
`x=345"zł"`
`115%-345"zł"`
`100%-x"zł"`
`115x=34500`
`x=300`
Przed zmianami taniej ten produkt sprzedawał sklep pierwszy. Obliczmy o ile procent jest tańszy- musimy obliczyć jaki procent ceny droższego produktu stanowi różnica cen. Zatem:
`300"zł"-161,54"zł"=` `138,46 "zł "`
`(138,46 "zł")/(300 "zł")* 100%= 46,15(3) %`
© 2018 Odrabiamy.pl