Zgoda na przetwarzanie danych osobowych

25 maja 2018 roku zacznie obowiązywać Rozporządzenie Parlamentu Europejskiego i Rady (UE) 2016/679 z dnia 27 kwietnia 2016 r. znane jako RODO.

Dlatego aby dalej móc dostarczać Ci materiały odpowiednie do Twojego etapu edukacji, potrzebujemy zgody na lepsze dopasowanie treści do Twojego zachowania. Dzięki temu możemy zapamiętywać jakie materiały są Ci potrzebne. Dbamy o Twoją prywatność, więc nie zwiększamy zakresu naszych uprawnień. Twoje dane są u nas bezpieczne, a zgodę na ich zbieranie możesz wycofać na podstronie polityka prywatności.

Klikając "Przejdź do Odrabiamy", zgadzasz się na wskazane powyżej działania. W przeciwnym wypadku, nie jesteśmy w stanie zrealizować usługi kompleksowo i prosimy o opuszczenie strony.

Polityka prywatności

Drogi Użytkowniku w każdej chwili masz prawo cofnąć zgodę na przetwarzanie Twoich danych osobowych. Cofnięcie zgody nie będzie wpływać na zgodność z prawem przetwarzania, którego dokonano na podstawie wyrażonej przez Ciebie zgody przed jej wycofaniem. Po cofnięciu zgody wszystkie twoje dane zostaną usunięte z serwisu. Udzielenie zgody możesz modyfikować w zakładce 'Informacja o danych osobowych'

Własności funkcji na podstawie wykresu - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Dziedzina

Jest to zbiór możliwych x jakich będziemy używać w funkcji. Czyli patrząc „poziomo” jest to ta część osi X dla której znajdziemy punkt. Zaznaczę dziedzinę najpierw graficznie. Można ją łatwo wyznaczyć metodą prostokąta, który ma zawierać końcówki wykresu. Oś x w prostokącie lub obok prostokąta wyznacza dziedzinę.

Jak to wygląda na wykresie?

wyk2
 

Czerwona linia odcięta niebieskimi wyznacza nam dziedzinę zatem dziedzina to:

$$D=<-6;4>$$  

Zbiór wartości

Jest to z kolei zbiór możliwych y jakie może mieć funkcja, je również wyznaczamy metodą prostokąta i to dokładnie tego samego, co w przypadku dziedziny.

wyk3

Możliwe y to niebieska linia przecięta czerwonymi.

Zatem:

$$y=<-1;3>$$
 

Wartość maksymalna

Wartościami nazywamy liczby na osi y, więc wartością maksymalną jest największy y jaki jesteśmy w stanie odczytać z wykresu. Jak go nie przeoczyć? Połóż linijkę wzdłuż osi x:

wyk4

I przesuwaj do samej góry, dopóki linijka przecina wykres.

Powinieneś skończyć tu:

wyk5

Zatem $$f_{max}=3$$
 

Wartość minimalna

Robimy dokładnie analogicznie jak w przypadku wartości maksymalnej, tylko zaczynamy od góry:

wyk6

Powinniśmy skończyć tu:

wyk7

Zatem $$f_{min}=-1$$.

Miejsca zerowe

Są to punkty przecięcia wykresu z osią x, czyli argumenty dla których y=0. Aby je znaleźć wystarczy położyć naszą linijkę na osi X i sprawdzić gdzie wykres ją przecina:

wyk8

Przecina w $$x=-2$$ i $$x=-4$$.

Zatem:

$$f(-2)=0$$

$$f(-4)=0$$
 

Monotoniczność

Ostatnie co nam zostało, czyli sprawdzenie kiedy funkcja jest rosnąca, kiedy malejąca, kiedy stała.

Dla malejącej y zmniejsza się gdy przesuwamy się w prawo

Dla stałej y się nie zmienia

Dla rosnącej y rośnie gdy przesuwamy się w prawo

Zaznaczę na wykresie:

Rosnącą - kolor czerwony

Malejącą - kolor niebieski

Stałą - kolor zielony

wyk9

Pozostaje nam spisać przedziały

$$f↓$$ dla $$xϵ<-6;-3> $$

$$f→$$ dla $$ xϵ<-1;1>$$

$$f↑$$ dla $$ xϵ<-3;-1>$$
$$f↑$$ dla $$ xϵ<1;4> $$

 

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Wyznacz Dziedzinę, zbiór wartości, miejsca zerowe, monotoniczność funkcji oraz wartość minimalną i maksymalną.

zad1

Dziedzina:

$$D=(-8;-6>$$

Zbiór Wartości:

$$y=(-3;4)$$

Miejsca zerowe:

$$f(-5)=0$$

$$f(0)=0$$

Wartość min:

Funkcja nie posiada wartości minimalnej, ponieważ możemy wziąć na wykresie punkt dowolnie blisko niezamalowanego kółeczka, które odpowiada y=-3, ale nie możemy osiągnąć y=-3. Na przykład jeśli powiem, że -2,999 jest najmniejsze, będzie to nieprawda, bo -2,999999 jest mniejsze. Jeśli powiem, że -2,(9) jest najmniejszą wartością funkcji, znowu skłamię, bo -2,(9)=-3, a zatem nie należy do zbioru wartości funkcji.

Wartość max:

Podobnie jak poprzednio, funkcja nie posiada wartości maksymalnej (możemy tylko brać liczby coraz bliższe 3,(9)=4).

Monotoniczność:

$$f↓$$ dla $$xε<-2;0>$$

$$f→$$ dla $$xε<4;6>$$

$$f↑$$ dla $$xε(-8;-2)$$
i
$$f↑$$ dla $$xε<0;4)$$

Zadanie 2.

Wyznacz Dziedzinę, zbiór wartości, miejsca zerowe, monotoniczność funkcji oraz wartość minimalną i maksymalną.

zad2

Dziedzina:

$$D=<-0.5;8.5>$$

Zbiór Wartości:

$$y=<0;8>$$

Miejsca zerowe:

$$f(2)=0$$

$$f(6)=0$$

Wartość minimalna:

$$f_{min}=0$$

Wartość maksymalna:

$$f_{max}=8$$

Monotoniczność:

$$f↓$$ dla $$xϵ<-0.5;2>$$$$<4;6>$$

$$f→$$ dla $$xϵ∅$$ czyli nigdzie nie jest stała

$$f↑$$ dla $$xϵ<2;4>$$$$<6;8.5>$$
 

Spis treści

Rozwiązane zadania
Wskaż zdania prawdziwe.

A. Każde dwa trójkąty równoboczne są podobne - Prawda

Np. Cecha KKK bo miary kątów są równe.

 

B. Każde dwa trójkąty prostokątne są podobne - Nieprawda

Kontrprzykład:

Trójkąt prostokątny o bokach długości 3, 4, 5 mający miary kątów ostrych 30° i 60°.

Trójkąt prostokątny o bokach długości 1, 1, 2 mający miary kątów ostrych 45° i 45°.

 

C. Każde dwa prostokąty są podobne - Nieprawda

Kontrprzykład

Prostokąt o bokach długości 1, 2.

Prostokąt o bokach długości 1, 3.

 

D. Każde dwa romby są podobne - Nieprawda

Kontrprzykład

Romb o boku 4, który jest kwadratem.

Romb o boku 4, który nie jest kwadratem.

 

E. Każde dwa kwadraty są podobne - Prawda

Np Cecha KKK bo miary kątów są równe.

Wyznacz wartość najmniejszą i wartość ...

`a)` 

`f(x)=2x^2-4x+3,\ [0;3]` 

`x_w=-b/2a=1in[0;3]` 

`y_w=f(1)=1` 

`f(0)=3` 

`f(3)=18-12+3=9` 

`f(x)_max=9` 

`f(x)_min=1` 

 

`b)` 

`f(x)=-3x^2-6x-2,\ [1;2]` 

`x_w=6/-6=-1 notin [1;2]` 

`f(1)=-11` 

`f(2)=-12-12-2=-26` 

`f(x)_min=-26` 

`f(x)_max=-11` 

 

`c)` 

`f(x)=1/4x^2+2x+1,\ [-6;2]` 

`x_w=-b/(2a)=-2/(1/2)=-4 in [-6;2]` 

`y_w=f(-4)=1/4*16-2*4+1=-3` 

`f(-6)=1/4*36-12+1=9-12+1=-2` 

`f(2)=1+4+1=6` 

`f(x)_min=-4` 

`f(x)_max=6` 

 

`d)` 

`f(x)=2/3x^2-x,\ [-3;0]` 

`x_w=-b/(2a)=1/(4/3)=3/4 notin [-3;0]` 

`f(-3)=6+3=9` 

`f(0)=0` 

`f(x)_min=0` 

`f(x)_max=9`   

Naszkicuj wykres dowolnej funkcji

W każdym podpunkcie podajemy po dwa przykłady takich funkcji.

 

`a)`

  

 

 

`b)`

 

 

`c)`

 

 

`d)`

W prostokątnym układzie współrzędnych naszkicuj

Oblicz błąd bezwzględny i błąd względny

`a)`

Błąd bezwzględny:

`|x-a|=|18,458-18,46|=|-0,002|=0,002`

 

Błąd względny:

`|x-a|/|x|=(0,002)/|18,458|=(0,002)/(18,458)=0,0001083...=0,01083%~~0,01%`

 

 

`b)`

`|x-a|=|18,458-18,5|=|-0,042|=0,042`

`|x-a|/|x|=(0,042)/|18,458|=(0,042)/(18,458)=0,002275...~~0,2275%~~0,23%`

 

 

`c)`

`|x-a|=|18,458-18|=|0,458|=0,458`

`|x-a|/|x|=(0,458)/|18,458|=(0,458)/(18,458)=0,024813...=2,4813%~~2,48%`

 

 

`d)`

`|x-a|=|18,458-20|=|-1,542|=1,542`

`|x-a|/|x|=(1,542)/|18,458|=(1,542)/(18,458)=0,08354...=8,354%~~8,35%`

Największą liczbą całkowitą

`root(3)(-75/4):root(3)(128/45)=root(3)(-75/4:128/45)=root(3)(-75/4*45/128)=root(3)(-(75*45)/(4*128))=root(3)(-(25*3*9*5)/(4*2*64))=`  

`=root(3)(-(125*27)/(8*64))=root(3)(-125/8)*root(3)(27/64)=-5/2*3/4=-15/8=-1 7/8`  

Największa liczba całkowita mniejsza od powyższej to -2, więc prawidłowa jest odpowiedź C. 

   

Funkcja f każdej liczbie naturalnej mniejszej
  • za pomocą wzoru (wyznaczamy wzór funkcji w oparciu o informację, że funkcja każdej liczbie naturalnej mniejszej od 10 przyporząkowuje połowę kwadratu tej liczby)

`f(x)=1/2 x^2`                  `x in {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} `

  • za pomocą zbioru (musimy najpierw obliczyć wartości przyporządkowane argumentom:

`f(0)=1/2*0^2=1/2*0=0`

`f(1)=1/2*1^2=1/2*1=1/2`

`f(2)=1/2*2^2=1/2*2^2=1/2*4=2`

`f(3)=1/2*3^2=1/2*9=9/2=4 1/2`

`f(4)=1/2*4^2=1/2*16=8`

`f(5)=1/2*5^2=1/2*25=25/2=12 1/2`

`f(6)=1/2*6^2=1/2*36=18`

`f(7)=1/2*7^2=1/2*49=49/2=24 1/2`

`f(8)= 1/2*8^2=1/2*64=32`

`f(9)= 1/2*9^2=1/2*81=40 1/2`

 

`{(0,0),(1,1/2),(2,2,),(3,4 1/2),(4,8), (5,12 1/2), (6,18), (7,24 1/2), (8,32), (9,40 1/2)}`

  • za pomocą wykresu

Zaznaczamy na wykresie punkty których współrzędne obliczono w poprzednim podpunkcie.

 

Które z podanych przyporządkowań jest funkcją

Każde z podanych przyporządkowań jest funkcją.

a)

Dziedzina: zbiór uczniów

Zbiór wartości: numery na liście w dzienniku 

 

Trzy dowolne argumenty i przyporządkowane im wartości (przykładowe):

  • Ania przyporządkowujemy 8
  • Kacper przyporządkowujemy 13
  • Olek przyporządkowujemy 22

 

b)

Dziedzina: zbiór wielokątów

Zbiór wartości: liczby określające sumę miar kątów wewnętrznych (wielokrotności liczby 180, bez 0)

 

Trzy dowolne argumenty i przyporządkowane im wartości:

  • trójkątowi przyporządkowujemy 180o
  • czworokąt przyporządkowujemy 360o
  • pięciokąt przyporządkowujemy 540o

 

c)

Dziedzina: długości promienia (zbiór dodatnich liczb rzeczywistych)

Zbiór wartości: długości obwodów (zbiór dodatnich liczb rzeczywistych)

 

Trzy dowolne argumenty i przyporządkowane im wartości:

  • promieniowi 2 przyporządkowujemy 4π
  • promieniowi 4 przyporządkowujemy 8π
  • promieniowi 5 przyporządkowujemy 10π

 

d)

Dziedzina: {..., -6, -4, -2, 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14 ...} (zbiór liczb parzystych)

Zbiór wartości: {..., -9, -7 -5, -3, -1, 1, 3, 5, 7, 9, ...} (zbiór liczb nieparzystych)

 

Trzy dowolne argumenty i przyporządkowane im wartości:

  • liczbie 4 przyporządkowujemy 1
  • liczbie 6 przyporządkowujemy 3
  • liczbie 8 przyporządkowujemy 5
Piłkę upuszczono z balkonu...

Wykres:

 

`b) \ h(2) = -4,9*2^2 + 30 = -4,9*4 + 30 = -19,6+30 = 10,4` 

Odpowiedź: Piłka będzie na wysokości 10,4 metra.

 

c) Jeżeli wartość funkcji w punkcie t = 3 będzie ujemna to znaczy, że piłka zderzyła się z ziemią.

`h(3) = -4,9*3^2 + 30 = -4,9*9 + 30 =-44,1 + 30 = -14,1` 

Odpowiedź: Piłka po 3 sekundach dotknie ziemi.

Cenę pewnego produktu podnoszono dwukrotnie

Obliczmy cenę początkową pierwszego sklepu. Zadanie rozwiązujemy "od końca", czyli najpierw obliczamy cenę przed drugą podwyżką- o 30%. 252zł stanowi 130% tej ceny- układamy proporcję:

`252 "zł"- 130%`

`x "zł"- 100%`

`252*100=130*x`

`25200=130x`        `/:130`

`193,85~~x`

 

Teraz obliczamy cenę przed pierwszą podwyżką, wiedząc, że cena 193,85 zł stanowi 120%  tej ceny:

`193,85 "zł"- 120%`

`x "zł"= 100%`

`193,85*100=120x`

`19385=120x`     `/:120`

`x~~161,54 zł`

 

Analogiczne obliczenia przeprowadzamy dla cen i obliczeń w drugim sklepie- jednak ponieważ tam druga zmiana ceny była obniżką o 20%, to ostateczna cena stanowi 80% drugiej ceny.

`80%- 276 "zł"`

`100%- x"zł"`

`80x=27600`        /:80

`x=345"zł"`

 

`115%-345"zł"`

`100%-x"zł"`

`115x=34500`

`x=300`

 

Przed zmianami taniej ten produkt sprzedawał sklep pierwszy. Obliczmy o ile procent jest tańszy- musimy obliczyć jaki procent ceny droższego produktu stanowi różnica cen. Zatem:

`300"zł"-161,54"zł"=` `138,46 "zł "` 

`(138,46 "zł")/(300 "zł")* 100%= 46,15(3) %`