Własności funkcji na podstawie wykresu - matura-podstawowa - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Własności funkcji na podstawie wykresu - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Dziedzina

Jest to zbiór możliwych x jakich będziemy używać w funkcji. Czyli patrząc „poziomo” jest to ta część osi X dla której znajdziemy punkt. Zaznaczę dziedzinę najpierw graficznie. Można ją łatwo wyznaczyć metodą prostokąta, który ma zawierać końcówki wykresu. Oś x w prostokącie lub obok prostokąta wyznacza dziedzinę.

Jak to wygląda na wykresie?

wyk2
 

Czerwona linia odcięta niebieskimi wyznacza nam dziedzinę zatem dziedzina to:

$D=<-6;4>$  

Zbiór wartości

Jest to z kolei zbiór możliwych y jakie może mieć funkcja, je również wyznaczamy metodą prostokąta i to dokładnie tego samego, co w przypadku dziedziny.

wyk3

Możliwe y to niebieska linia przecięta czerwonymi.

Zatem:

$y=<-1;3>$
 

Wartość maksymalna

Wartościami nazywamy liczby na osi y, więc wartością maksymalną jest największy y jaki jesteśmy w stanie odczytać z wykresu. Jak go nie przeoczyć? Połóż linijkę wzdłuż osi x:

wyk4

I przesuwaj do samej góry, dopóki linijka przecina wykres.

Powinieneś skończyć tu:

wyk5

Zatem $f_{max}=3$
 

Wartość minimalna

Robimy dokładnie analogicznie jak w przypadku wartości maksymalnej, tylko zaczynamy od góry:

wyk6

Powinniśmy skończyć tu:

wyk7

Zatem $f_{min}=-1$.

Miejsca zerowe

Są to punkty przecięcia wykresu z osią x, czyli argumenty dla których y=0. Aby je znaleźć wystarczy położyć naszą linijkę na osi X i sprawdzić gdzie wykres ją przecina:

wyk8

Przecina w $x=-2$ i $x=-4$.

Zatem:

$f(-2)=0$

$f(-4)=0$
 

Monotoniczność

Ostatnie co nam zostało, czyli sprawdzenie kiedy funkcja jest rosnąca, kiedy malejąca, kiedy stała.

Dla malejącej y zmniejsza się gdy przesuwamy się w prawo

Dla stałej y się nie zmienia

Dla rosnącej y rośnie gdy przesuwamy się w prawo

Zaznaczę na wykresie:

Rosnącą - kolor czerwony

Malejącą - kolor niebieski

Stałą - kolor zielony

wyk9

Pozostaje nam spisać przedziały

$f↓$ dla $xϵ<-6;-3> $

$f→$ dla $ xϵ<-1;1>$

$f↑$ dla $ xϵ<-3;-1>$
$f↑$ dla $ xϵ<1;4> $

 

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Wyznacz Dziedzinę, zbiór wartości, miejsca zerowe, monotoniczność funkcji oraz wartość minimalną i maksymalną.

zad1

Dziedzina:

$D=(-8;-6>$

Zbiór Wartości:

$y=(-3;4)$

Miejsca zerowe:

$f(-5)=0$

$f(0)=0$

Wartość min:

Funkcja nie posiada wartości minimalnej, ponieważ możemy wziąć na wykresie punkt dowolnie blisko niezamalowanego kółeczka, które odpowiada y=-3, ale nie możemy osiągnąć y=-3. Na przykład jeśli powiem, że -2,999 jest najmniejsze, będzie to nieprawda, bo -2,999999 jest mniejsze. Jeśli powiem, że -2,(9) jest najmniejszą wartością funkcji, znowu skłamię, bo -2,(9)=-3, a zatem nie należy do zbioru wartości funkcji.

Wartość max:

Podobnie jak poprzednio, funkcja nie posiada wartości maksymalnej (możemy tylko brać liczby coraz bliższe 3,(9)=4).

Monotoniczność:

$f↓$ dla $xε<-2;0>$

$f→$ dla $xε<4;6>$

$f↑$ dla $xε(-8;-2)$
i
$f↑$ dla $xε<0;4)$

Zadanie 2.

Wyznacz Dziedzinę, zbiór wartości, miejsca zerowe, monotoniczność funkcji oraz wartość minimalną i maksymalną.

zad2

Dziedzina:

$D=<-0.5;8.5>$

Zbiór Wartości:

$y=<0;8>$

Miejsca zerowe:

$f(2)=0$

$f(6)=0$

Wartość minimalna:

$f_{min}=0$

Wartość maksymalna:

$f_{max}=8$

Monotoniczność:

$f↓$ dla $xϵ<-0.5;2>$$<4;6>$

$f→$ dla $xϵ∅$ czyli nigdzie nie jest stała

$f↑$ dla $xϵ<2;4>$$<6;8.5>$
 

Spis treści

Rozwiązane zadania
Na podstawie wykresu funkcji f...

  funkcja jest malejąca w przedziałach:

 {premium}


 

Wyznacz miejsca zerowe funkcji...

Dana jest funkcja:

 

Wyznaczmy miejsca zerowe tej funkcji:

   {premium}

 

zatem:

 

 

zatem punkty wspólne wykresu funkcji f i osi x to:

 

 

Zauważmy, że:

 

zatem punkt wspólny wykresu funkcji f i osi y to:

 

Przedstaw liczbę w postaci

{premium}

 

 

Dodatni pierwiastek równania...

 

{premium}  

 

 

 

 

 

 

 

Odp. A

Wyznacz miejsca zerowe funkcji.

 

Obliczamy miejsce zerowe funkcji f:

 

 {premium}

 

 

Miejscem zerowym funkcji f jest liczba 2.


 

Obliczamy miejsce zerowe funkcji f:

 

 

 

 

Miejscem zerowym funkcji f jest liczba 6.


 

Obliczamy miejsce zerowe funkcji f:

 

 

 

 

 

Miejscem zerowym funkcji f jest liczba  


 

Obliczamy miejsce zerowe funkcji f:

 

 

 

 

 

 

Miejscem zerowym funkcji f jest liczba 2.


 

Obliczamy miejsce zerowe funkcji f:

 

 

 

 

Miejscem zerowym funkcji f jest liczba  


 

Obliczamy miejsce zerowe funkcji f:

 

 

 

 

Miejscem zerowym funkcji f jest liczba 10-4.

Rozwiąż równanie.

 

 

 

  

   

{premium}

 

 

 

  

 

 

 

 

 

   

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  

 

 

 

 

 

 

   

 

 

 

 

   

 

   

 

 

 

 

  

    

 

 

 

 

 

   

 

O czworokącie ABCD...

Wyznaczmy współrzędne punktu A:

 

 

zatem:  {premium}

 

 

 

 

 

Wyznaczmy współrzędne punktu B:

 

 

zatem:

 

 

 

 

Wykonamy rysunek pomocniczy:

Z rysunku możemy odczytać, że:

 

 

zauważmy, że:

 

oraz:

 

zatem:

 

zatem wektory  i  są równoległe

 

Obliczmy długość wektora `vec(AB)`:

  

 

Obliczmy długość wektora `vec(CD)`:

  

 

zatem bok AB jest 3 razy dłuższy niż bok CD.

 

 

Przedstaw wyrażenie w postaci...

 {premium}


 


 


 


 


 

Pole koła o promieniu ...

Przypomnijmy wzór na pole koła:

 

gdzie r - długość promienia tego koła. {premium}

 

Zatem otrzymujemy:

 

 

Odp. B

Wykres funkcji f...

Przekształcamy wzór funkcji do{premium} prostszej postaci:

 

Dwie proste są równoległe, gdy mają takie same współczynniki kierunkowe.

Zatem prosta y=-6x+6 jest równoległa do prostej y=-6x+11.


Prawidłowa odpowiedź to A.