Własności funkcji na podstawie wykresu - matura-podstawowa - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Własności funkcji na podstawie wykresu - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Dziedzina

Jest to zbiór możliwych x jakich będziemy używać w funkcji. Czyli patrząc „poziomo” jest to ta część osi X dla której znajdziemy punkt. Zaznaczę dziedzinę najpierw graficznie. Można ją łatwo wyznaczyć metodą prostokąta, który ma zawierać końcówki wykresu. Oś x w prostokącie lub obok prostokąta wyznacza dziedzinę.

Jak to wygląda na wykresie?

wyk2
 

Czerwona linia odcięta niebieskimi wyznacza nam dziedzinę zatem dziedzina to:

$D=<-6;4>$  

Zbiór wartości

Jest to z kolei zbiór możliwych y jakie może mieć funkcja, je również wyznaczamy metodą prostokąta i to dokładnie tego samego, co w przypadku dziedziny.

wyk3

Możliwe y to niebieska linia przecięta czerwonymi.

Zatem:

$y=<-1;3>$
 

Wartość maksymalna

Wartościami nazywamy liczby na osi y, więc wartością maksymalną jest największy y jaki jesteśmy w stanie odczytać z wykresu. Jak go nie przeoczyć? Połóż linijkę wzdłuż osi x:

wyk4

I przesuwaj do samej góry, dopóki linijka przecina wykres.

Powinieneś skończyć tu:

wyk5

Zatem $f_{max}=3$
 

Wartość minimalna

Robimy dokładnie analogicznie jak w przypadku wartości maksymalnej, tylko zaczynamy od góry:

wyk6

Powinniśmy skończyć tu:

wyk7

Zatem $f_{min}=-1$.

Miejsca zerowe

Są to punkty przecięcia wykresu z osią x, czyli argumenty dla których y=0. Aby je znaleźć wystarczy położyć naszą linijkę na osi X i sprawdzić gdzie wykres ją przecina:

wyk8

Przecina w $x=-2$ i $x=-4$.

Zatem:

$f(-2)=0$

$f(-4)=0$
 

Monotoniczność

Ostatnie co nam zostało, czyli sprawdzenie kiedy funkcja jest rosnąca, kiedy malejąca, kiedy stała.

Dla malejącej y zmniejsza się gdy przesuwamy się w prawo

Dla stałej y się nie zmienia

Dla rosnącej y rośnie gdy przesuwamy się w prawo

Zaznaczę na wykresie:

Rosnącą - kolor czerwony

Malejącą - kolor niebieski

Stałą - kolor zielony

wyk9

Pozostaje nam spisać przedziały

$f↓$ dla $xϵ<-6;-3> $

$f→$ dla $ xϵ<-1;1>$

$f↑$ dla $ xϵ<-3;-1>$
$f↑$ dla $ xϵ<1;4> $

 

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Wyznacz Dziedzinę, zbiór wartości, miejsca zerowe, monotoniczność funkcji oraz wartość minimalną i maksymalną.

zad1

Dziedzina:

$D=(-8;-6>$

Zbiór Wartości:

$y=(-3;4)$

Miejsca zerowe:

$f(-5)=0$

$f(0)=0$

Wartość min:

Funkcja nie posiada wartości minimalnej, ponieważ możemy wziąć na wykresie punkt dowolnie blisko niezamalowanego kółeczka, które odpowiada y=-3, ale nie możemy osiągnąć y=-3. Na przykład jeśli powiem, że -2,999 jest najmniejsze, będzie to nieprawda, bo -2,999999 jest mniejsze. Jeśli powiem, że -2,(9) jest najmniejszą wartością funkcji, znowu skłamię, bo -2,(9)=-3, a zatem nie należy do zbioru wartości funkcji.

Wartość max:

Podobnie jak poprzednio, funkcja nie posiada wartości maksymalnej (możemy tylko brać liczby coraz bliższe 3,(9)=4).

Monotoniczność:

$f↓$ dla $xε<-2;0>$

$f→$ dla $xε<4;6>$

$f↑$ dla $xε(-8;-2)$
i
$f↑$ dla $xε<0;4)$

Zadanie 2.

Wyznacz Dziedzinę, zbiór wartości, miejsca zerowe, monotoniczność funkcji oraz wartość minimalną i maksymalną.

zad2

Dziedzina:

$D=<-0.5;8.5>$

Zbiór Wartości:

$y=<0;8>$

Miejsca zerowe:

$f(2)=0$

$f(6)=0$

Wartość minimalna:

$f_{min}=0$

Wartość maksymalna:

$f_{max}=8$

Monotoniczność:

$f↓$ dla $xϵ<-0.5;2>$$<4;6>$

$f→$ dla $xϵ∅$ czyli nigdzie nie jest stała

$f↑$ dla $xϵ<2;4>$$<6;8.5>$
 

Spis treści

Rozwiązane zadania
Z podanych wzorów wyznacz a:

 

      {premium}

 


 

 

 

 


 

 

 


 

 

 

 

W trójkącie równoramiennym o polu...

Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku poniżej:


Mamy dane:

 



a) Z tw. Pitagorasa wyznaczamy a:

 {premium}

 

 

 

 


Ze wzoru na pole trójkąta wyznaczamy x:

 

 

 

 


Obliczamy obwód trójkąta:

 

 


Odp. Obwód trójkąta jest równy 32 cm.



b) Ze wzoru na pole wyznaczamy wysokość h:

 

 

 

 


Obliczamy wysokość opuszczoną na podstawę:

 


Odp. Wysokości trójkąta są równe 8 cm, 9,6 cm, 9,6 cm



c) Ze wzoru na pole obliczamy promień r okręgu wpisanego w trójkąt:

 

 

 

 


Odp. Promień okręgu wpisanego w trójkąt ma długość 3 cm.

Narysuj wykres przykładowej funkcji...

Przykładowy wykres funkcji. Krańce dziedziny zaznaczamy otwartymi kółeczkami gdyż nie należą do niej. Funkcja nie może przyjmować wartości większych od 4 i mniejszych od 2.

{premium}

Doprowadź wyrażenia do najprostszej postaci...

 

 

Wykonaliśmy dzielenie, więc koniecznie musimy założyć, że dzielnik jest różny od zera. Stąd:

 

 

Obliczamy wartość wyrażenia dla  

 {premium}


 

 

Wykonaliśmy dzielenie, więc koniecznie musimy założyć, że dzielnik jest różny od zera. Stąd:

 

 

Obliczamy wartość wyrażenia dla  

 


 

 

 

Wykonaliśmy dzielenie, więc koniecznie musimy założyć, że dzielnik jest różny od zera. Stąd:

 

 

Obliczamy wartość wyrażenia dla  

 

 


 

 

Wykonaliśmy dzielenie, więc koniecznie musimy założyć, że dzielnik jest różny od zera. Stąd:

 

 

 

 

Obliczamy wartość wyrażenia dla 

 

Na rysunku obok przedstawiono...

Funkcje y=x3+2x2 i y=-x3+2x2 są symetryczne względem osi{premium} y, zatem

wykres funkcji y=-x3+2xprzedstawiono na wykresie B.

Odp.: B

Dane są wektory...

{premium}

 

Wyłącz wspólny czynnik poza nawias

 

{premium}  

 

 

 

  

 

 

   

Na podstawie wykresu funkcji f...

Wykres funkcji f otrzymamy po przesunięciu wykresy funkcji h(x)=x2 równolegle o wektor [1, 0].

Rysujemy wykres funkcji f w danym przedziale.{premium}

Na podstawie wykresu funkcji f rysujemy wykres funkcji g.


 

 


 

Wyznacz liczbę, której 15% jest liczbą...

 szukana liczba


Zdanie "liczby  jest liczbą o  mniejszą niż liczby " możemy zapisać równaniem: {premium}

 


Wyznaczamy z równania  

 

 

 

 

 


Odp. Szukana liczba to  

 

 

Wykaż, że suma promienia okręgu opisanego na...

Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku poniżej:

Thumb zad5.111str125


Mamy:

 przyprostokątne

 przeciwprostokątna


Wówczas promienie okręgów wpisanego i opisanego na trójkącie dane są wzorami:

 {premium}

 


Obliczamy sumę tych promieni:

 


 to średnia arytmetyczna przyprostokątnych, zatem pokazaliśmy, że suma długości promieni

jest średnią arytmetyczną długości przyprostokątnych, co należało dowieść.