Własności funkcji na podstawie wykresu - matura-podstawowa - Baza Wiedzy
Dziedzina
Jest to zbiór możliwych x jakich będziemy używać w funkcji. Czyli patrząc „poziomo” jest to ta część osi X dla której znajdziemy punkt. Zaznaczę dziedzinę najpierw graficznie. Można ją łatwo wyznaczyć metodą prostokąta, który ma zawierać końcówki wykresu. Oś x w prostokącie lub obok prostokąta wyznacza dziedzinę.
Jak to wygląda na wykresie?
Czerwona linia odcięta niebieskimi wyznacza nam dziedzinę zatem dziedzina to:
$D=<-6;4>$
Zbiór wartości
Jest to z kolei zbiór możliwych y jakie może mieć funkcja, je również wyznaczamy metodą prostokąta i to dokładnie tego samego, co w przypadku dziedziny.
Możliwe y to niebieska linia przecięta czerwonymi.
Zatem:
$y=<-1;3>$
Możliwe y to niebieska linia przecięta czerwonymi.
Zatem:
$y=<-1;3>$
Wartość maksymalna
Wartościami nazywamy liczby na osi y, więc wartością maksymalną jest największy y jaki jesteśmy w stanie odczytać z wykresu. Jak go nie przeoczyć? Połóż linijkę wzdłuż osi x:
I przesuwaj do samej góry, dopóki linijka przecina wykres.
Powinieneś skończyć tu:
Zatem $f_{max}=3$
I przesuwaj do samej góry, dopóki linijka przecina wykres.
Powinieneś skończyć tu:
Zatem $f_{max}=3$
Wartość minimalna
Robimy dokładnie analogicznie jak w przypadku wartości maksymalnej, tylko zaczynamy od góry:
Powinniśmy skończyć tu:
Zatem $f_{min}=-1$.
Powinniśmy skończyć tu:
Zatem $f_{min}=-1$.
Miejsca zerowe
Są to punkty przecięcia wykresu z osią x, czyli argumenty dla których y=0. Aby je znaleźć wystarczy położyć naszą linijkę na osi X i sprawdzić gdzie wykres ją przecina:
Przecina w $x=-2$ i $x=-4$.
Zatem:
$f(-2)=0$
$f(-4)=0$
Przecina w $x=-2$ i $x=-4$.
Zatem:
$f(-2)=0$
$f(-4)=0$
Monotoniczność
Ostatnie co nam zostało, czyli sprawdzenie kiedy funkcja jest rosnąca, kiedy malejąca, kiedy stała.
Dla malejącej y zmniejsza się gdy przesuwamy się w prawo
Dla stałej y się nie zmienia
Dla rosnącej y rośnie gdy przesuwamy się w prawo
Zaznaczę na wykresie:
Rosnącą - kolor czerwony
Malejącą - kolor niebieski
Stałą - kolor zielony
Pozostaje nam spisać przedziały
$f↓$ dla $xϵ<-6;-3> $
$f→$ dla $ xϵ<-1;1>$
$f↑$ dla $ xϵ<-3;-1>$
$f↑$ dla $ xϵ<1;4> $
Zadania powtórzeniowe
Zadanie 1.
Wyznacz Dziedzinę, zbiór wartości, miejsca zerowe, monotoniczność funkcji oraz wartość minimalną i maksymalną.
Dziedzina:
$D=(-8;-6>$
Zbiór Wartości:
$y=(-3;4)$
Miejsca zerowe:
$f(-5)=0$
$f(0)=0$
Wartość min:
Funkcja nie posiada wartości minimalnej, ponieważ możemy wziąć na wykresie punkt dowolnie blisko niezamalowanego kółeczka, które odpowiada y=-3, ale nie możemy osiągnąć y=-3. Na przykład jeśli powiem, że -2,999 jest najmniejsze, będzie to nieprawda, bo -2,999999 jest mniejsze. Jeśli powiem, że -2,(9) jest najmniejszą wartością funkcji, znowu skłamię, bo -2,(9)=-3, a zatem nie należy do zbioru wartości funkcji.
Wartość max:
Podobnie jak poprzednio, funkcja nie posiada wartości maksymalnej (możemy tylko brać liczby coraz bliższe 3,(9)=4).
Monotoniczność:
$f↓$ dla $xε<-2;0>$
$f→$ dla $xε<4;6>$
$f↑$ dla $xε(-8;-2)$
i
$f↑$ dla $xε<0;4)$
Zadanie 2.
Wyznacz Dziedzinę, zbiór wartości, miejsca zerowe, monotoniczność funkcji oraz wartość minimalną i maksymalną.
Dziedzina:
$D=<-0.5;8.5>$
Zbiór Wartości:
$y=<0;8>$
Miejsca zerowe:
$f(2)=0$
$f(6)=0$
Wartość minimalna:
$f_{min}=0$
Wartość maksymalna:
$f_{max}=8$
Monotoniczność:
$f↓$ dla $xϵ<-0.5;2>$ ∪ $<4;6>$
$f→$ dla $xϵ∅$ czyli nigdzie nie jest stała
$f↑$ dla $xϵ<2;4>$ ∪ $<6;8.5>$
Spis treści
Rozwiązane zadania
Z podanych wzorów wyznacz a:
{premium}
W trójkącie równoramiennym o polu...
Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku poniżej:
Mamy dane:
a) Z tw. Pitagorasa wyznaczamy a:
{premium}
Ze wzoru na pole trójkąta wyznaczamy x:
Obliczamy obwód trójkąta:
Odp. Obwód trójkąta jest równy 32 cm.
b) Ze wzoru na pole wyznaczamy wysokość h:
Obliczamy wysokość opuszczoną na podstawę:
Odp. Wysokości trójkąta są równe 8 cm, 9,6 cm, 9,6 cm.
c) Ze wzoru na pole obliczamy promień r okręgu wpisanego w trójkąt:
Odp. Promień okręgu wpisanego w trójkąt ma długość 3 cm.
Narysuj wykres przykładowej funkcji...
Przykładowy wykres funkcji. Krańce dziedziny zaznaczamy otwartymi kółeczkami gdyż nie należą do niej. Funkcja nie może przyjmować wartości większych od 4 i mniejszych od 2.
{premium}
Doprowadź wyrażenia do najprostszej postaci...
Wykonaliśmy dzielenie, więc koniecznie musimy założyć, że dzielnik jest różny od zera. Stąd:
Obliczamy wartość wyrażenia dla
{premium}
Wykonaliśmy dzielenie, więc koniecznie musimy założyć, że dzielnik jest różny od zera. Stąd:
Obliczamy wartość wyrażenia dla
Wykonaliśmy dzielenie, więc koniecznie musimy założyć, że dzielnik jest różny od zera. Stąd:
Obliczamy wartość wyrażenia dla
Wykonaliśmy dzielenie, więc koniecznie musimy założyć, że dzielnik jest różny od zera. Stąd:
Obliczamy wartość wyrażenia dla
Na rysunku obok przedstawiono...
Funkcje y=x3+2x2 i y=-x3+2x2 są symetryczne względem osi{premium} y, zatem
wykres funkcji y=-x3+2x2 przedstawiono na wykresie B.
Odp.: B
Dane są wektory...
{premium}
Wyłącz wspólny czynnik poza nawias
{premium}
Na podstawie wykresu funkcji f...
Wykres funkcji f otrzymamy po przesunięciu wykresy funkcji h(x)=x2 równolegle o wektor [1, 0].
Rysujemy wykres funkcji f w danym przedziale.{premium}
Na podstawie wykresu funkcji f rysujemy wykres funkcji g.
Wyznacz liczbę, której 15% jest liczbą...
szukana liczba
Zdanie "liczby jest liczbą o mniejszą niż liczby " możemy zapisać równaniem: {premium}
Wyznaczamy z równania
Odp. Szukana liczba to
Wykaż, że suma promienia okręgu opisanego na...
Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku poniżej:
Mamy:
przyprostokątne
przeciwprostokątna
Wówczas promienie okręgów wpisanego i opisanego na trójkącie dane są wzorami:
{premium}
Obliczamy sumę tych promieni:
to średnia arytmetyczna przyprostokątnych, zatem pokazaliśmy, że suma długości promieni
jest średnią arytmetyczną długości przyprostokątnych, co należało dowieść.
© 2019 Odrabiamy.pl