Trygonometria i planimetria w zadaniach - matura-podstawowa - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Trygonometria i planimetria w zadaniach - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Wyznacz miarę kąta β jeśli $α=142°$.

img10

Obliczmy kąt obok Bety, jest to podstawa trójkąta równoramiennego stworzonego z promieni, więc:

$180-142=38$

$38:2=19$

img11

Wiemy, że styczna z okręgiem „styka się” pod kątem 90 stopni do promienia, zatem kąt

$β=90-19=71°$

Zadanie 2.

W trapezie równoramiennym jedna podstawa jest dwa razy dłuższa od drugiej, a ramiona mają długość równą długości krótszej podstawy. Znajdź miarę kąta ostrego trapezu.

Narysujmy sobie tę sytuację:

img12

Aby znaleźć miarę kąta ostrego, musimy mieć jeden z trzech czerwonych boków aby użyć trygonometrii:

img13

Możemy łatwo obliczyć najkrótszy to znów trapez równoramienny, więc po obu stronach musimy mieć w sumie $2x-x=x$ , zatem:

img14

Mając takie boki możemy użyć cosinusa:

$cos α={0,5x}/x=0,5=1/2$

A skoro

$cos α=1/2$

To:

$α=60°$

Zadanie 3.

Promień koła zwiększono o 25%, o ile zwiększyło się jego pole.

Promień i pole przed:

$r$

$P=πr^2$


Pole i promień po:

$125%r={125}/{100} r=5/4 r$

$P=π(5/4 r)^2={25}/{16} πr^2$

Zatem pole zostało zwiększone ${25}/{16}$ krotnie.

 

Spis treści

Rozwiązane zadania
Uzasadnij twierdzenie Diofantosa

Zapisujemy, ile będzie wynosić n-ta liczba trójkątna pomnożona przez osiem i powiększona o jeden: {premium}

 

Udało się zapisać tą liczbę jako kwadrat liczby 2n+1, zatem jest to liczba kwadratowa. 

Liczby x1 i x2 są pierwiastkami...

a) 

{premium}  


b)

 

  


c) 

 

Oblicz, korzystając z odpowiednich...

 {premium}


 


 


 

Zapisz odpowiedzi w notacji...

a) Obliczmy, ile to metrów:

       {premium}



b) Obliczmy, ile to gramów:

 


c) Obliczmy, ile to metrów kwadratowych:

 


d) Obliczmy, ile to centymetrów sześciennych:

 

Rozwiąż równanie.

 

 

 

Sinus nie może być większy od 1, równanie nie ma rozwiązań.

{premium}

 

 

stąd

 

 

Oba warunki można zapisać za pomocą jednego, równoważnego im dwóm:

 

 

 

 

 

 

 

 

W trójkącie prostokątnym ABC przyprostokątne...

Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku poniżej:

Thumb zad5.144str129


Mamy dane:

 

 

 


Obliczamy długość przeciwprostokątnej  

 

 

 

 

 {premium}


Obliczamy długości odcinków  i  

 

 

 

 

 


Trójkąty  i  są podobne na podstawie cechy kkk.

Z podobieństwa tych trójkątów wynika, że:

 

 

 


Obliczamy długość odcinka  

 

 


Obliczamy stosunek  

 


Odp.  

Antykwariusz zakupił stolik...

Wprowadźmy oznaczenia:

x- cena lustra

y- cena stolika

zatem:  {premium}

 

 

 

 

 

 

 

 


Odp.: Cena lustra to 2400 zł, a cena stolika to 1650 zł. 

Ogniskami elipsy ...

 

 

 

 

 

 

 {premium}

 

  

 

   

 

 

 

   

 

     

``

Tangens jednego z kątów trójkąta prostokątnego...

Wprowadźmy oznaczenie:

x- długość dłuższej przyprostokątnej

y- długość najdłuższego boku tego trójkąta


wiemy, że:  {premium}

 

 

zatem:

 

 


Korzystając z twierdzenia Pitagorasa obliczmy długość najdłuższego boku tego trójkąta:

 

 

 

 

 


Odp.: D

a) Czy przez drzwi o wymiarach 1 m x 2 m

Policzmy, jaką długość ma przekątna tych drzwi:{premium} 

 

Nie można wnieść tego blatu przez drzwi o wymiarach 1 m x 2 m.

 

 

Policzmy, jaką długość ma przekątna tej podłogi:

Na tej podłodze nie można położyć prętu długości 2,9 m.