Trygonometria i planimetria w zadaniach - matura-podstawowa - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Trygonometria i planimetria w zadaniach - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Wyznacz miarę kąta β jeśli $α=142°$.

img10

Obliczmy kąt obok Bety, jest to podstawa trójkąta równoramiennego stworzonego z promieni, więc:

$180-142=38$

$38:2=19$

img11

Wiemy, że styczna z okręgiem „styka się” pod kątem 90 stopni do promienia, zatem kąt

$β=90-19=71°$

Zadanie 2.

W trapezie równoramiennym jedna podstawa jest dwa razy dłuższa od drugiej, a ramiona mają długość równą długości krótszej podstawy. Znajdź miarę kąta ostrego trapezu.

Narysujmy sobie tę sytuację:

img12

Aby znaleźć miarę kąta ostrego, musimy mieć jeden z trzech czerwonych boków aby użyć trygonometrii:

img13

Możemy łatwo obliczyć najkrótszy to znów trapez równoramienny, więc po obu stronach musimy mieć w sumie $2x-x=x$ , zatem:

img14

Mając takie boki możemy użyć cosinusa:

$cos α={0,5x}/x=0,5=1/2$

A skoro

$cos α=1/2$

To:

$α=60°$

Zadanie 3.

Promień koła zwiększono o 25%, o ile zwiększyło się jego pole.

Promień i pole przed:

$r$

$P=πr^2$


Pole i promień po:

$125%r={125}/{100} r=5/4 r$

$P=π(5/4 r)^2={25}/{16} πr^2$

Zatem pole zostało zwiększone ${25}/{16}$ krotnie.

 

Spis treści

Rozwiązane zadania
Wyznacz wzór funkcji liniowej ...

 

Wiemy, że:

-  

(wykres funkcji  przechodzi przez punkt )

-  

(funkcja  przyjmuje wartości dodatnie dla argumentów mniejszych od 2) {premium}

-  

(funkcja  przyjmuje wartości ujemne dla argumentów większych od 2)


Z dwóch powyższych informacji możemy wywnioskować, że miejscem zerowym funkcji  jest liczba 2.


Szkicujemy wykres funkcji .



Wyznaczamy wzór funkcji , wiedząc, że do jej wykresu należą punkty o współrzędnych .

 

 

 

 

 

 

 

 


Mamy więc:

 


 

Wiemy, że:

-  

(wykres funkcji  przechodzi przez punkt 2,1)(-2,-1);)

-  

(funkcja  przyjmuje wartości ujemne dla argumentów mniejszych od -1)

-  

(funkcja  przyjmuje wartości dodatnie dla argumentów większych od -1)


Z dwóch powyższych informacji możemy wywnioskować, że miejscem zerowym funkcji  jest liczba -1.


Szkicujemy wykres funkcji .



Wyznaczamy wzór funkcji , wiedząc, że do jej wykresu należą punkty o współrzędnych .

 

 

 

 

 

 

 

 

 


Mamy więc:

 


Wiemy, że:

-  

(wykres funkcji  przechodzi przez punkt )

-  

(funkcja  przyjmuje wartości dodatnie dla wszystkich argumentów)

Z dwóch powyższych informacji możemy wywnioskować, że funkcja  stale przyjmuje wartość 5.


Szkicujemy wykres funkcji .

Funkcja liniowa  jest stała, gdy . Stąd:

 


Współrzędne punktu  podstawiamy do wzoru funkcji  i wyznaczamy wyraz wolny .

 


Mamy więc:

 

Prawdziwe jest zdanie: Nieprawda, że jeśli Platon założył...

Przyjmijmy następujące oznaczenia:

 "Platon założył Akademię"

 "Arystoteles był uczniem Platona"

 "Arystoteles uczęszczał do akademii"


Wówczas dane zdanie możemy zapisać następująco:

 {premium}


Wiemy, że powyższe zdanie jest prawdziwe.

Wynika stąd, że zdanie  jest fałszywe.


Jest to implikacja, a implikacja jest fałszywa tylko wtedy, gdy poprzednik jest prawdziwy,

a następnik fałszywy.

Zatem zdanie  jest prawdziwe, a zdanie  jest fałszywe.


I znów, zdanie  jest fałszywą implikacją, a implikacja jest fałszywa tylko wtedy,

gdy poprzednik jest prawdziwy, a następnik fałszywy.

Stąd zdanie  jest prawdziwe, a zdanie  jest fałszywe.


W takim razie zdanie  jest prawdziwe.


Podsumowując, każde ze zdań  jest prawdziwe.

Odpowiedzi na pytania są więc następujące:

 tak

 tak

 tak

Dwa okręgi są styczne wewnętrznie...

 Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku poniżej:

Thumb zad4.99astr112


Mamy dane:

 

 


Zauważmy, że odległość między środkami okręgów możemy zapisać następująco:

  


Mamy więc:

 {premium}


Wstawiamy wyznaczone  do drugiego równania:

 

 

 

 


Obliczamy  

 

 


Odp.  



 Rysunek pomocniczy:

Thumb zad4.99bstr112


Skorzystamy z twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Talesa:

Jeżeli ramiona kąta (lub ich przedłużenia) przetniemy dwiema prostymi i stosunek długości odcinków

wyciętych przez te proste na jednym ramieniu kąta (lub na jego przedłużeniu) będzie równy stosunkowi

długości odpowiednich odcinków wyciętych na drugim ramieniu kąta (lub na jego przedłużeniu), to te proste

są równoległe.


Zgodnie z powyższym twierdzeniem, wystarczy pokazać, że

 

Wówczas proste  i  będą równoległe.


Mamy:

 

 


Zatem:

 

A stąd:

 

co należało dowieść. 


Drugiej części podpunktu nie da się rozwiązać bez danych z podpunktu  więc przyjmijmy, że mamy dane:

 

Ponadto:

 

 


Wiedząc, że  wystarczy skorzystać z twierdzenia Talesa.

Otrzymujemy:

 

 

 

 

 


Odp.  

Oblicz

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Przeczytaj podany w ramce przykład

 

Wyznaczmy równanie kierunkowe pierwszej prostej. 

 {premium}

 

 

 

  

 

 

 

 

Wyznaczmy równanie kierunkowe drugiej prostej:

 

 

 

 

Szukamy punktu przecięcia tych prostych, więc musimy rozwiązać układ równań. 

 

 

 

 

Podstawiamy obliczoną wartość y do drugiego równania drugiego układu:

 

 

 

 

Mamy więc punkt przecięcia prostych:

 

 

Obliczmy, ile jest równe t dla x=9 w równaniu pierwszej prostej:

 

 

Obliczmy, ile jest równe t dla x=9 w równaniu drugiej prostej:

 

 

Otrzymaliśmy taki sam czas, co oznacza, że ślimaki spotkają się. 

 

 

 

 

 

Wyznaczmy równanie kierunkowe pierwszej prostej. 

 

 

 

 

 

 

Wyznaczmy równanie kierunkowe drugiej prostej:

 

 

 

 

Szukamy punktu przecięcia tych prostych, więc musimy rozwiązać układ równań. 

 

 

 

 

Podstawiamy obliczoną wartość y do drugiego równania drugiego układu:

 

 

 

 

 

 

Obliczmy, ile jest równe t dla x=12 w równaniu pierwszej prostej:

 

 

 

Obliczmy, ile jest równe t dla x=9 w równaniu drugiej prostej: 

 

 

Ślimaki nie spotkają się, ponieważ pierwszy z nich będzie w punkcie (12, 4) po 2 sekundach, a drugi po 4 sekundach.

 

Strumień wody wypuszczanej z pewnego węża...

a) Aby dowiedzieć się na jakiej wysokości znajdował się wylot węża musimy obliczyć drugą współrzędną przecięcia wykresu z osią y:

   {premium}


b) Aby dowiedzieć się jak daleko w poziomie od wylotu węża sięgał strumień wody musimy obliczyć pierwszą współrzędną przecięcia wykresu z osią x:

 

 

 

 

 

 


c)  Aby dowiedzieć się na jaką wysokość sięgał strumień wody musimy obliczyć drugą współrzędną wierzchołka paraboli:

 

 

Romb o przekątnych 10 cm i 24 cm...

Obliczamy pole rombu o przekątnych 10 cm i 24 cm:

 {premium}

Większy jest romb o polu 270 cm2.


Obliczamy skalę podobieństwa większego rombu do mniejszego:

 

 


Obliczamy długości przekątnych większego rombu:

 

 


Rysunek pomocniczy:


Przekątne rombu przecinają się w połowie.

Z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta ABS:

 

 

 

 


Obliczamy obwód rombu:

 


Prawidłowa odpowiedź to B.

Po przekształceniu wykresu funkcji symetrycznie względem osi

a) Dane są zbiory: A={1, 3, 5, 7, 9, 11, ..., 29, 31}...

a) Zbiór A ma 16 elementów (ponieważ {premium}zawiera wszystkie liczby nieparzyste od 1 do 31)

Zbiór B ma 30 elementów (ponieważ są to wszystkie liczby naturalne od 21 do 50)

Zauważmy, że:

 

zbiór ten składa się z 30+16-6=46-6=40 elementów


b) Zbiór C ma 20 elementów

Zbiór D ma 50 elementów 

Wiemy również, że:

 

zatem:

 

 

 


c) Zbiory E i F mają po 15 elementów

Wiemy, również, że:

 

zatem:

 

 

 

Równanie...

 

 

Wiemy, że dane równanie posiada 2 różne rozwiązania, a więc jego wyróżnik jest liczbą dodatnią.

 

 

 

  

 

 

 

Zauważmy również, że musi zachodzić warunek:

 

 

{premium}

Gdyby  , to równanie wyglądałoby jak poniżej:

 

  - jednym z rozwiązań tego równania jest  , a z treści zadania wynika, że równanie posiada 2 rozwiązania różne od 0.       

       

A więc:

 

 

 

 

 

 

 

Skorzystajmy ze wzoru Viete'a na iloczyn rozwiązań równania kwadratowego:

   

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  - wynik nie mieści się w rozpatrywanym przedziale, więc go odrzucamy