Trygonometria i planimetria w zadaniach - matura-podstawowa - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Trygonometria i planimetria w zadaniach - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Wyznacz miarę kąta β jeśli $α=142°$.

img10

Obliczmy kąt obok Bety, jest to podstawa trójkąta równoramiennego stworzonego z promieni, więc:

$180-142=38$

$38:2=19$

img11

Wiemy, że styczna z okręgiem „styka się” pod kątem 90 stopni do promienia, zatem kąt

$β=90-19=71°$

Zadanie 2.

W trapezie równoramiennym jedna podstawa jest dwa razy dłuższa od drugiej, a ramiona mają długość równą długości krótszej podstawy. Znajdź miarę kąta ostrego trapezu.

Narysujmy sobie tę sytuację:

img12

Aby znaleźć miarę kąta ostrego, musimy mieć jeden z trzech czerwonych boków aby użyć trygonometrii:

img13

Możemy łatwo obliczyć najkrótszy to znów trapez równoramienny, więc po obu stronach musimy mieć w sumie $2x-x=x$ , zatem:

img14

Mając takie boki możemy użyć cosinusa:

$cos α={0,5x}/x=0,5=1/2$

A skoro

$cos α=1/2$

To:

$α=60°$

Zadanie 3.

Promień koła zwiększono o 25%, o ile zwiększyło się jego pole.

Promień i pole przed:

$r$

$P=πr^2$


Pole i promień po:

$125%r={125}/{100} r=5/4 r$

$P=π(5/4 r)^2={25}/{16} πr^2$

Zatem pole zostało zwiększone ${25}/{16}$ krotnie.

 

Spis treści

Rozwiązane zadania
Jedna z postaw trapezu o wierzchołkach ...

Tabelka wartości dla funkcji  

       
       

 

Rysunek pomocniczy: {premium}

 

Zauważmy, że równanie prostej zawierającą drugą podstawę trapezu to prosta równoległa do prostej  

Prosta równoległa do tej prostej ma taki sam współczynnik a, zatem jest postaci  

Wiemy, że ta prosta przechodzi przez punkt A(0,-3) zatem jest postaci:

 

Jedynym miejscem zerowym funkcji f ...

Wykres funkcji  powstał przez odbicie symetryczne wykresu funkcji  względem osi  i przesunięcie otrzymanego wykresu funkcji o 2 jednostki w lewo wzdłuż osi  {premium}

 

Po odbiciu symetrycznym wykresu funkcji względem osi  liczba będąca miejscem zerowym zmienia znak na przeciwny.

Miejscem zerowym funkcji  jest liczba:

 

Wiedząc, że odległość...

Odległość pomiędzy Łębą a Lęborkiem to około 8 cm.{premium}

 

Zamieńmy kilometry na cm:

 

Skala wynosi:

 

 

 

Najmniejszą wartością funkcji kwadratowej ...

Wierzchołkiem paraboli będącej wykresem funkcji  jest punkt .

Postać:

 

nazywamy postacią kanoniczną funkcji kwadratowej.

Postać:

 

nazywamy postacią ogólną funkcji kwadratowej.

 

Druga współrzędna wierzchołka paraboli jest równa -3. Wzór tej funkcji możemy więc zapisać w postaci:{premium}

 


Do wykresu funkcji należą punkty . Drugie współrzędne obu punktów są takie same. Wyznaczamy pierwszą współrzędną wierzchołka funkcji (oś symetrii paraboli).

 


Mamy więc:

 

Współrzędne jednego z punktów A lub B wstawiamy do powyższego wzoru i wyznaczamy wartość współczynnika .

 

 

 

 

 

 


Mamy więc:

 


Przekształcamy wzór funkcji  do postaci ogólnej.

 

 

Rozwiąż układ równań i podaj jego interpretację geometryczną

Porównujemy prawe strony (w obu równaniach po lewej stronie mamy y, więc możemy porównać){premium}

{premium}

 

 

  

 

 

 

Porównujemy prawe strony (w obu równaniach po lewej stronie mamy y, więc możemy porównać)

 

  

 

 

 

 

Porównujemy prawe strony (w obu równaniach po lewej stronie mamy y, więc możemy porównać)

 

 

Zbiorem wartości funkcji f jest ...

Z wykresu funkcji  odczytujemy jej zbiór wartości. {premium}

 


Odpowiedź: D

Proste l i k przecinają się w punkcie ...

Trójkąty wyznaczone przez dodatnie półosie układu współrzędnych i proste  są prostokątne. {premium}

Wykonajmy rysunek pomocniczy:

Pole trójkąta, którego wierzchołkami są: punkt  oraz punkty o współrzędnych , jest równe:

 

Interpretacją geometryczną ...

Rozwiązując ten układ równań otrzymujemy: {premium}

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Zatem jest to para prostych przecinających się. 

 

Odp. C

Aby wyznaczyć największy wspólny dzielnik liczb...

 

 

 

 

 

 {premium}


 

 

 

 

 


 

 

 

 

 

  

 

 

 

 


 

 

 

 

 

 

Oblicz pole i obwód trójkąta prostokątnego...

Przyjmijmy następujące oznaczenia:

 

 

 

 

Z zależności trygonometrycznych w trójkącie  mamy:  {premium}

 

      

 

 

Z zależności trygonometrycznych w trójkącie  mamy: 

 

      

 

 

oraz

 

  

 

 

Obliczamy pole  

 

 

Obliczamy obwód