Trygonometria i planimetria w zadaniach - matura-podstawowa - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Trygonometria i planimetria w zadaniach - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Wyznacz miarę kąta β jeśli $α=142°$.

img10

Obliczmy kąt obok Bety, jest to podstawa trójkąta równoramiennego stworzonego z promieni, więc:

$180-142=38$

$38:2=19$

img11

Wiemy, że styczna z okręgiem „styka się” pod kątem 90 stopni do promienia, zatem kąt

$β=90-19=71°$

Zadanie 2.

W trapezie równoramiennym jedna podstawa jest dwa razy dłuższa od drugiej, a ramiona mają długość równą długości krótszej podstawy. Znajdź miarę kąta ostrego trapezu.

Narysujmy sobie tę sytuację:

img12

Aby znaleźć miarę kąta ostrego, musimy mieć jeden z trzech czerwonych boków aby użyć trygonometrii:

img13

Możemy łatwo obliczyć najkrótszy to znów trapez równoramienny, więc po obu stronach musimy mieć w sumie $2x-x=x$ , zatem:

img14

Mając takie boki możemy użyć cosinusa:

$cos α={0,5x}/x=0,5=1/2$

A skoro

$cos α=1/2$

To:

$α=60°$

Zadanie 3.

Promień koła zwiększono o 25%, o ile zwiększyło się jego pole.

Promień i pole przed:

$r$

$P=πr^2$


Pole i promień po:

$125%r={125}/{100} r=5/4 r$

$P=π(5/4 r)^2={25}/{16} πr^2$

Zatem pole zostało zwiększone ${25}/{16}$ krotnie.

 

Spis treści

Rozwiązane zadania
Odległość od Ziemi do Słońca...

Prędkość 5 cm/min oznacza, że w ciągu jednej minuty ślimak pokonuje 5 cm. Obliczymy, ile minut potrzebowałby na pokonanie 150 mln km.

Zamieniamy jednostki:{premium}

 


Obliczamy, ile minut ślimak potrzebowałby na pokonanie 15 000 000 000 000 cm, jeśli w ciągu jednej minuty pokonuje 5 cm:

 


Wiemy, że jeden rok to około pół miliona minut, więc zamieniamy jednostki z minut na lata:

 


Odp. Pokonanie tej drogi zajęłoby ślimakowi 3٠1012 minut, czyli około 6٠106 lat.

Zapisz w postaci iloczynu

{premium}

 

 

 

Szymon i Marta mają w sumie 18 lat ...

Przyjmijmy następujące oznaczenia:

`x` - wiek Szymona (w latach)

`y` - wiek Marty (w latach)


Wiemy, że: {premium}

- Szymon i Marta mają razem 18 lat

- sześć lat temu Szymon był dwa razy starszy od Marty


Możemy więc zapisać:

 


Rozwiązujemy układ równań metodą przez podstawienie.

 

 

 

 

 

 

 

 


Szymon ma 10 lat, a Marta - 8 lat.

Iloczyn rozwiązań równania 2x^2-4x+p=0...

Mamy dane równanie:

 

Korzystając z wzorów Viete' a wiemy, że:  {premium}

 

Obliczmy dla jakich wartości parametru p iloczyn rozwiązań tego równania jest większy od 1/2:

 

 

zatem:

 


Odp.: B

W trójkącie rozwartokątnym ABC dane są...

Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku poniżej:


Mamy dane:

 

 

 



a) Z tw. cosinusów wyznaczamy cos𝛾:

 {premium}

 

 

 

 

 


Wiemy, że:

 


Zatem:

 


Odp. |∠ACB| = 120°.



b) Z tw. sinusów obliczamy promień okręgu opisanego na trójkącie (R):

 

 

 

 

 

 

 


Odp. Promień okręgu opisanego na trójkącie jest równy √6

A jest zbiorem wszystkich dodatnich...

Dodatnimi dzielnikami liczby 35 są:{premium} 1, 5, 7, 35, czyli 

 

Trzyelementowe podzbiory zbioru A to:

 

 

 

 

4 trzyelementowe podzbiory zbioru A.

Wykres funkcji ...

{premium}  

 

 

  

Podaj punkty...

{premium}  

Oblicz ...

  {premium}


 


 


 


 


 


 

 


 

Naszkicuj wykres funkcji f o dziedzinie...

a) Obliczamy wartości funkcji dla kilku argumentów z dziedziny oraz dla argumentów na końcach dziedziny:{premium}

 

 

 

 

Do wykresu funkcji należą punkty:

 


Szkicujemy wykres funkcji f w przedziale (-2, 4).

Z rysunku odczytujemy zbiór wartości funkcji:

 



b) Obliczamy wartości funkcji dla kilku argumentów z dziedziny:

 

 

 

 

Do wykresu funkcji należą punkty:

 


Szkicujemy wykres funkcji f w przedziale <-4, 2>.

Z rysunku odczytujemy zbiór wartości funkcji:

 



c) Obliczamy wartości funkcji dla kilku argumentów z dziedziny oraz dla argumentów na końcach dziedziny:

 

 

 

 

Do wykresu funkcji należą punkty:

 


Szkicujemy wykres funkcji f w przedziale (-1, 2).

Z rysunku odczytujemy zbiór wartości funkcji:

 



d) Obliczamy wartości funkcji dla kilku argumentów z dziedziny:

 

 

 

Do wykresu funkcji należą punkty:

 


Szkicujemy wykres funkcji f w przedziale <1, 2>.

Z rysunku odczytujemy zbiór wartości funkcji: