Trygonometria i planimetria w zadaniach - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Wyznacz miarę kąta β jeśli $$α=142°$$.

img10

Obliczmy kąt obok Bety, jest to podstawa trójkąta równoramiennego stworzonego z promieni, więc:

$$180-142=38$$

$$38:2=19$$

img11

Wiemy, że styczna z okręgiem „styka się” pod kątem 90 stopni do promienia, zatem kąt

$$β=90-19=71°$$

Zadanie 2.

W trapezie równoramiennym jedna podstawa jest dwa razy dłuższa od drugiej, a ramiona mają długość równą długości krótszej podstawy. Znajdź miarę kąta ostrego trapezu.

Narysujmy sobie tę sytuację:

img12

Aby znaleźć miarę kąta ostrego, musimy mieć jeden z trzech czerwonych boków aby użyć trygonometrii:

img13

Możemy łatwo obliczyć najkrótszy to znów trapez równoramienny, więc po obu stronach musimy mieć w sumie $$2x-x=x$$ , zatem:

img14

Mając takie boki możemy użyć cosinusa:

$$cos α={0,5x}/x=0,5=1/2$$

A skoro

$$cos α=1/2$$

To:

$$α=60°$$

Zadanie 3.

Promień koła zwiększono o 25%, o ile zwiększyło się jego pole.

Promień i pole przed:

$$r$$

$$P=πr^2$$


Pole i promień po:

$$125%r={125}/{100} r=5/4 r$$

$$P=π(5/4 r)^2={25}/{16} πr^2$$

Zatem pole zostało zwiększone $${25}/{16}$$ krotnie.

 

Spis treści

Rozwiązane zadania
Znając współrzędne wektora...

`stackrel(->)(PQ) = [x_Q - x_P , y_Q - y_P]` 

Wiemy, że:

`stackrel(->)(PQ) = [sqrt3 , -2sqrt2]`  

oraz

`Q = (-3sqrt3, 5sqrt2)` 

 

`[sqrt3, -2sqrt2] = [-3sqrt3 - x_P , 5 sqrt2 - y_P]` 

 

Przyrównajmy odpowiednie współrzędne do siebie by wyliczyć współrzędne punktu P:

`{(sqrt3 = -3sqrt3 - x_P),(-2sqrt2 = 5sqrt2 - y_P):}` 

`{(-x_P = 4 sqrt3),(-y_P = -7sqrt2):}` 

`{(x_P = - 4sqrt3),(y_P = 7sqrt2):}` 

Podaj przykład dwóch zdań...

a) Zdanie p - Czworokąt jest kwadratem

Zdanie q - Przekątne czworokąta się połowią.

 

b) Zdanie p - Trójkąt jest prostokątny

Zdanie q - Suma kwadratów długości przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej.

 

c) Zdanie p - Liczba 312 nie dzieli się przez 2

Zdanie q - Liczba jest liczbą parzystą.

 

d) Zdanie p - Liczba 312 nie dzieli się przez 2

Zdanie q - Trójkąt ma mniej przekątnych niż 100-kąt foremny.

Dana jest funkcja f(x) ...

`f(x)=-1/2x+1` 

 

`a)` 

`f(x)=-1/2x+1` 

`ZW=[-2;4]` 

`f-"liniowa, zatem monotoniczna"`  

 

`-1/2x+1=-2` 

`x=6` 

 

`-1/2x+1=4` 

`x=-6` 

`ul(D=[-6;6]`  

 

`f(x)>=0` 

`-1/2x+1>=0` 

`x>=2` 

`f-"malejąca"` 

`ul(x in (-oo;2]\ \ \wedge\ \ \D=[-6;2]`  

 

`b)` 

`f(x)=-1/2x+1` 

`ZW=(-2;0)cup[1;4]` 

 

`-1/2x+1=-2` 

`x=6` 

 

`-1/2x+1=0` 

`x=2` 

 

`-1/2x+1=1` 

`x=0` 

 

`-1/2x+1=4` 

`x=-6` 

 

`ul(D=[-6;0]cup(2;6)`   

 

`f(x)>=0`  

`-1/2x+1>=0` 

`x>=2` 

`f-"malejąca"`  

`ul(x in (-oo;2]\ \ wedge\ \ \D=[-6;0]`   

 

`c)`   

`f(x)=-1/2x+1` 

`ZW={-2}cup(2;4)`   

 

`-1/2x+1=-2` 

`x=6` 

 

`-1/2x+1=2`  

`x=-2`  

 

`-1/2x+1=4` 

`x=-6` 

 

`ul(D=(-6;-2)cup{6}`    

 

`f(x)>=0`  

`-1/2x+1>=0` 

`x>=2` 

`f-"malejąca"`  

`ul(x in (-oo;2]\ \ \ wedge\ \ \D=(-6;-2)`    

Bok AB trójkąta ABC...

Rysunek:

Wiemy, że:

`1/2stackrel(->)(AB) = stackrel(->)(ML)` 

Bo:

`stackrel(->)(AB) = stackrel(->)(AC) + stackrel(->)(CB) \ \ \ |:2` 

`1/2 stackrel(->)(AB) = 1/2 stackrel(->)(AC) + 1/2 stackrel(->)(CB)` 

`1/2 stackrel(->)(AB) = stackrel(->)(MC) + stackrel(->)(CL) = stackrel(->)(ML)` 

Analogicznie można pokazać:

`1/2 stackrel(->)(BC) = stackrel(->)(KM)` 

 

`1/2 stackrel(->)(AC) = stackrel(->)(KL)` 

 

 

`a) \ stackrel(->)(u) = stackrel(->)(KL) + stackrel(->)(KA) - stackrel(->)(MC) =` 

Wskazówka:

`stackrel(->)(KL) = stackrel(->)(MC)`  

 

`=stackrel(->)(MC) + stackrel(->)(KA) - stackrel(->)(MC) = stackrel(->)(KA)` 

Długość wektora KA to:

`| stackrel(->)(KA) | = c/2` 

`stackrel(->)(u) = c/2` 

 

 

 

`b) \ stackrel(->)(u) = stackrel(->)(KB) + stackrel(->)(LC) + stackrel(->)(MA)=` 

Zauważmy, że:

`stackrel(->)(LC) = stackrel(->)(KM)` 

`stackrel(->)(MA)= stackrel(->)(LK)` 

 

`= stackrel(->)(KB) + stackrel(->)(KM) + stackrel(->)(LK) = stackrel(->)(KB) + stackrel(->)(LK) + stackrel(->)(KM)=` 

Wskazówka:

`stackrel(->)(LK) + stackrel(->)(KM) = stackrel(->)(LM)` 

Natomiast:

`stackrel(->)(LM) = stackrel(->)(BK)` 

 

`= stackrel(->)(KB) + stackrel(->)(BK) = stackrel(->)(0)` 

 

Długość wektora zerowego wynosi 0, a więc:

`| stackrel(->)(u) |= 0` 

Piotr wybrał się z kolegą na wycieczkę rowerową ...

`a)`

`b)`

Wiemy, że w ciągu 50 minut pokonano 15 km. Chcemy obliczyć, ile pokonano w ciągu 1 godziny:

`50\ m i n =50/60\ h=5/6\ h\ \ \ \ \ \ -\ \ \ \ \ \ 15\ km`

`1\ h\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ -\ \ \ \ \ \ x`

 

 

`(5/6)/15=1/x`

`5/6x=15\ \ \ |:5`

`1/6x=3\ \ \ |*6`

`x=18`

 

Zatem w ciągu jednej godziny pokonywano 60 km. Możemy zapisać wzór:

`t\ -\ "czas wyrażony w godzinach"`

`s(t)\ \ -\ \ "droga przebyta w czasie"\ t\ [km]`

`s(t)=18t`

 

 

 

`c)`

W ciągu jednej godziny pokonali 18 km, więc w ciągu 2 godzin pokonali 2 razy więcej, czyli 36 km. 

Oceń prawdziwość

`A.\ "fałsz"` 

Podana równość jest prawdziwa dla wszystkich liczb niedodatnich (mniejszych lub równych 0)

 

`B.\ "fałsz"` 

 

 

`C.\ "prawda"` 

 

Dodatni pierwiastek równania...

`3sqrt5(x^2+1)=sqrt5(2x+3) \ \ \ |:sqrt5` 

`3(x^2+1)=2x+3` 

`3x^2+3=2x+3` 

`3x^2+3-2x-3=0` 

`3x^2-2x=0` 

`x(3x-2)=0` 

`x=0 \ \ \ \ \ "lub" \ \ \ \ \ 3x-2=0` 

`x=0 \ \ \ \ \ "lub" \ \ \ \ \ x=2/3` 

 

Odp. A

Oblicz: a) 17+(-10)-(-3)-9

a)

`17+(-10)-(-3)-9= 7+3-9=10-9=1`

b)

`(-5)*[3*(-2)-(-8)*(-1)]=(-5)*(-6-8)=(-5)*(-14)=70`

c)

`(-6)^2-(-7)^2=36-49=(-13)`

d)

`(-3)*[(-7)^2-8^2]+5[(-3)^3+4^2]=(-3)*(49-64)+5(-27+16)=(-3)*(-15)+5(-11)=45-55=(-10)`

Rozwiąż układ równań

Przydatne będą wzory skróconego mnożenia, przypomnijmy je zatem: 

`(a+b)^2=a^2+2ab+b^2`

`(a-b)^2=a^2-2ab+b^2`

`(a-b)(a+b)=a^2-b^2`

 

 

 

`a)`

`{(x+6y-1=0), ((4-x)(4+x)+y=2-(1-x)^2):}`

`{(x+6y-1=0), (16-x^2+y=2-(1-2x+x^2)):}`

`{(x+6y-1=0), (16-x^2+y=2-1+2x-x^2\ \ \ \ |+x^2):}`

`{(x+6y-1=0\ \ \ \ |-6y+1), (16+y=1+2x):}`

`{(x=-6y+1), (16+y=1+2(-6y+1)):}`

`{(x=-6y+1), (16+y=1-12y+2\ \ \ \ |+12y-16):}`

`{(x=-6y+1), (13y=-13\ \ \ \ \ |:(-13)):}`

`{(x=-6y+1), (y=-1):}`

`{(x=-6*(-1)+1=6+1=7), (y=-1):}`

 

 

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))`

 

 

`b)`

`{(2x-y-6=0\ \ \ \ |+y), ((3x-1)(1+3x)+y=(1-3x)^2):}`

`{(2x-6=y), ((3x-1)(3x+1)+y=1-6x+9x^2):}`

`{(y=2x-6), (9x^2-1+y=1-6x+9x^2\ \ \ \ |-9x^2):}`

`{(y=2x-6), (-1+y=1-6x):}`

`{(y=2x-6), (-1+(2x-6)=1-6x):}`

`{(y=2x-6), (-1+2x-6=1-6x\ \ \ \ \ \ |+6x+1+6):}`

`{(y=2x-6), (8x=8\ \ \ |:8):}`

`{(y=2x-6), (x=1):}`

`{(y=2*1-6=2-6=-4), (x=1):}`

 

 

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))`

 

 

`c)`

`{(1/2x-1/12y=0.25\ \ \ \ |*12), ((x-1)^2=(2-x)^2):}`

`{(6x-y=3\ \ \ |-6x), (x^2-2x+1=4-4x+x^2\ \ \ |x^2):}`

`{(-y=3-6x\ \ \ \ \ |*(-1)) , (-2x+1=4-4x\ \ \ \ |4x-1):}`

`{(y=-3+6x), (2x=3\ \ \ |:2):}`

`{(y=-3+6x), (x=3/2):}`

`{(y=-3+strike6^3*3/strike2^1=-3+9=6), (x=3/2):}`

 

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))`

 

`d)`

`{(1/3x+1/6y-7=0\ \ \ \ |*6), ((1/2y-6)^2=1/4(y+4)^2):}`

`{(2x+y-42=0 ), (1/4y^2-6y+36=1/4(y^2+8y+16)\ \ \ \ |*4):}`

`{(2x+y-42=0\ \ \ |-y+42), (y^2-24y+144=y^2+8y+16\ \ \ \ |-y^2):}`

`{(2x=-y+42\ \ \ |:2), (-24y+144=8y+16\ \ \ |-8y-144):}`

`{(x=1/2(-y+42)), (-32y=-128\ \ \ \ |:(-32)):}`

`{(x=1/2(-y+42)), (y=4):}`

`{(x=1/2*(-4+42)=1/2*38=19), (y=4):}`

 

 

Mrówkojad w ciągu doby zjada przeciętnie około

a)

`30 000 *0,01= 3*10^4*10^(-2)=ul(ul(3*10^2))`

b)

Ilość zjadanych mrówek w ciągu doby (podpunkt poprzedni) powielamy razy 7.

`3*10^2 *7=21*10^2=ul(ul(2,1*10^3))`

c)

Ilość zjadanych mrówek w ciągu doby (podpunkt a) powielamy razy 30.

`3*10^2*30=3*10^2*3*10=ul(ul(9*10^3))`

d)

Ilość zjadanych mrówek w ciągu doby (podpunkt a) powielamy razy 365.

 `3*10^2*365=1095*10^2=ul(ul(1,095*10^5))`