Zgoda na przetwarzanie danych osobowych

25 maja 2018 roku zacznie obowiązywać Rozporządzenie Parlamentu Europejskiego i Rady (UE) 2016/679 z dnia 27 kwietnia 2016 r. znane jako RODO.

Dlatego aby dalej móc dostarczać Ci materiały odpowiednie do Twojego etapu edukacji, potrzebujemy zgody na lepsze dopasowanie treści do Twojego zachowania. Dzięki temu możemy zapamiętywać jakie materiały są Ci potrzebne. Dbamy o Twoją prywatność, więc nie zwiększamy zakresu naszych uprawnień. Twoje dane są u nas bezpieczne, a zgodę na ich zbieranie możesz wycofać na podstronie polityka prywatności.

Klikając "Przejdź do Odrabiamy", zgadzasz się na wskazane powyżej działania. W przeciwnym wypadku, nie jesteśmy w stanie zrealizować usługi kompleksowo i prosimy o opuszczenie strony.

Polityka prywatności

Drogi Użytkowniku w każdej chwili masz prawo cofnąć zgodę na przetwarzanie Twoich danych osobowych. Cofnięcie zgody nie będzie wpływać na zgodność z prawem przetwarzania, którego dokonano na podstawie wyrażonej przez Ciebie zgody przed jej wycofaniem. Po cofnięciu zgody wszystkie twoje dane zostaną usunięte z serwisu. Udzielenie zgody możesz modyfikować w zakładce 'Informacja o danych osobowych'

Trygonometria i planimetria w zadaniach - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Wyznacz miarę kąta β jeśli $$α=142°$$.

img10

Obliczmy kąt obok Bety, jest to podstawa trójkąta równoramiennego stworzonego z promieni, więc:

$$180-142=38$$

$$38:2=19$$

img11

Wiemy, że styczna z okręgiem „styka się” pod kątem 90 stopni do promienia, zatem kąt

$$β=90-19=71°$$

Zadanie 2.

W trapezie równoramiennym jedna podstawa jest dwa razy dłuższa od drugiej, a ramiona mają długość równą długości krótszej podstawy. Znajdź miarę kąta ostrego trapezu.

Narysujmy sobie tę sytuację:

img12

Aby znaleźć miarę kąta ostrego, musimy mieć jeden z trzech czerwonych boków aby użyć trygonometrii:

img13

Możemy łatwo obliczyć najkrótszy to znów trapez równoramienny, więc po obu stronach musimy mieć w sumie $$2x-x=x$$ , zatem:

img14

Mając takie boki możemy użyć cosinusa:

$$cos α={0,5x}/x=0,5=1/2$$

A skoro

$$cos α=1/2$$

To:

$$α=60°$$

Zadanie 3.

Promień koła zwiększono o 25%, o ile zwiększyło się jego pole.

Promień i pole przed:

$$r$$

$$P=πr^2$$


Pole i promień po:

$$125%r={125}/{100} r=5/4 r$$

$$P=π(5/4 r)^2={25}/{16} πr^2$$

Zatem pole zostało zwiększone $${25}/{16}$$ krotnie.

 

Spis treści

Rozwiązane zadania
Czy proste k i l są równoległe?

`a)\ tak`

Obliczmy, jaką miarę ma kąt przyległy do kąta 72°:

Mamy dwa kąty o mierze 108°, które powstały przez przecięcie prostych k i l trzecią prostą. Te kąty są więc kątami odpowiadającymi, a co za tym idzie - proste k i l są równoległe. 

 

 

`b)\ nie`

Obliczmy, jaką miarę miałby kąt przyległy do kąta 132°:

Kąty 48°i 52° mają różne miary, więc proste k i l nie mogą być równoległe. 

 

 

`c)`

Obliczmy, jaką miarę ma kąt przyległy do kąta 120°:

Suma miar kątów w każdym trójkącie jest równa 180°, więc możemy obliczyć miarę zaznaczonego kąta:

Proste k i l nie mogą być równoległe, ponieważ zaznaczone kąty mają różne miary (a gdyby proste k i l były równoległe, to te kąty byłyby kątami odpowiadającymi, więc miałyby równe miary). 

 

 

 

`d)\ tak`

Suma miar kątów w każdym trójkącie jest równa 180°, więc możemy obliczyć miarę zaznaczonego kąta:

Mamy dwa kąty o miarach 70°, które powstały przez przecięcie prostych k i l trzecią prostą. Te kąty są więc kątami naprzemianległymi, a co za tym idzie - proste k i l są równoległe. 

Zapisz sumę algebraiczną

Będziemy korzystać ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów:

`a^2-b^2=(a-b)(a+b)` 

 

 

`a)\ 4a^2-1=(2a)^2-1^2=(2a-1)(2a+1)` 

`b)\ 25-49x^2=5^2-(7x)^2=(5-7x)(5+7x)` 

`c)\ 9m^2-n^2=(3m)^2-n^2=(3m-n)(3m+n)` 

`d)\ x^2y^2-16=(xy)^2-4^2=(xy-4)(xy+4)` 

`e)\ 25/16p^4-1=(5/4p^2)^2-1^2=(5/4p^2-1)(5/4p^2+1)` 

`f)\ 2a^2-4b^2=(sqrt2a)^2-(2b)^2=(sqrt2a-2b)(sqrt2a+2b)` 

 

Przekątne rombu mają długości...

Przekątne przecinają się pod kątem prostym, dzielą romb na cztery trójkąty prostokątne których przyprostokątnymi są połowy przekątnych a przeciwprostokątna to bok rombu, zatem:

`(sqrt2/2)^2 +(sqrt6/2)^2 = a^2` 

`2/4 + 6/4 + a^2` 

`a^2 = 1/2 + 3/2` 

`a^2 = 2` 

`a = sqrt2` 

 

Pole rombu:

`P = (ef)/2 = (sqrt2*sqrt6)/2 = sqrt12/2 = (2sqrt3)/2 = sqrt3` 

 

Pole rombu możemy też wyrazić za pomocą:

`P = a^2*sinalpha` 

 

`sqrt3 = (sqrt2)^2 * sin alpha` 

`sqrt3 = 2 sin alpha` 

`sin alpha = sqrt3/2` 

`alpha = 60^o` 

Zatem kąt rozwarty rombu wynosi 120o.

 

Miary kątów wynoszą:

`60^o \ , \ 60^o \ ,\  120^o \ , \ 120^o` 

Odpowiedź B

Sprawdź czy równanie ma dwa pierwiastki ...

`a)` 

`sqrt2x^2+sqrt5x+1=0` 

`Delta=5-4sqrt2~~-0,66<0` 

`"Brak pierwiastków rzeczywistych."` 

 

`b)` 

`sqrt2x^2-x+1-sqrt2=0` 

`Delta=1-4sqrt2*(1-sqrt2)=1-4sqrt2+8=9-4sqrt2~~3,34>0` 

`x_1+x_2=-b/a=1/sqrt2=sqrt2/2` 

`x_1*x_2=c/a=(1-sqrt2)/sqrt2=(sqrt2-2)/2`  

 

`c)` 

`x^2-(1+sqrt3)x+2=0` 

`Delta=(-(1+sqrt3))^2-4*2=1-2sqrt3+3-8=-4-2sqrt3<0`          

 

`d)` 

`(1-sqrt3)x^2+2x-1=0` 

`Delta=4+4-4sqrt3=8-4sqrt3~~1,07>0` 

`x_1+x_2=-b/a=-2/(1-sqrt3)=(-2-2sqrt3)/-2=1+sqrt3` 

`x_1*x_2=c/a=-1/(1-sqrt3)=(-1-sqrt3)/-2=(1+sqrt3)/2`   

 

Dla jakich argumentów funkcja...

Należy rozwiązać nierówność `f(x)> -7.`  

Mamy:

`6x+11> -7` 

`6x> - 18\ "/":6` 

`x> -3` 

Odp. Funkcja `f` przyjmuje wartości większe od `-7` dla `x> -3.`   

Wyznacz wszystkie liczby m tak

Funkcja liniowa będzie funkcją stałą, jeśli jej współczynnik kierunkowy (współczynnik stojący przy x) będzie równy 0. 

 

`a)`

`m=0`

 

 

 

`b)`

`3m-sqrt3=0\ \ \ |+sqrt3`

`3m=sqrt3\ \ \ \ |:3`

`m=sqrt3/3`

 

 

 

`c)`

`|5m+2|=0`

`5m+2=0\ \ \ |-2`

`5m=-2\ \ \ |:5`

`m=-2/5`

 

 

`d)`

`m^2-4=0\ \ \ \|+4`

`m^2=4`

`m=2\ \ \ \ "lub"\ \ \ \ m=-2`

Dane są zbiory A i B zawarte w przestrzeni U

`a)`

`AuuB={0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6,\ 10,\ 15,\ 20}`

`AnnB={0,\ 5}`

`A-B={1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 6}`

`B-A={10,\ 15,\ 20}`

`A'={7,\ 10,\ 15,\ 20}`

`B'={1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 6,\ 7}`

 

 

`b)`

`AuuB={1,\ 4,\ 9,\ 16,\ 25}`

`AnnB={1,\ 9,\ 25}`

`A-B={4,\ 16}`

`B-A=emptyset`

`A'={2,\ 3,\ 5}`

`B'={2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 16}`

 

Wśród poniższych wypowiedzi...

a) Jest to zdanie logiczne. Zdanie jest fałszywe gdyż:

`2 < sqrt3` 

`sqrt4 < sqrt3` 

 

b) Nie jest to zdanie logiczne gdyż nie możemy nadać wartości logicznej zdaniu pytającemu.

 

c) Jest to zdanie logiczne. Zdanie jest prawdziwe.

 

d) Nie jest to zdanie logiczne gdyż nie możemy nadać wartości logicznej.

 

e) Jest to zdanie logiczne. Zdanie jest fałszywe gdyż najdłuższą rzeką jest Wisła.

 

f) Jest to zdanie logiczne. Zdanie jest fałszywe gdyż:

`(-100)^3 = ((-1)*(100)^3 = (-1)^3 * 100^3 = -1 * 100^3 = -100^3` 

 

g) Nie jest to zdanie logiczne gdyż nie możemy nadać wartości logicznej zdaniu rozkazującemu.

 

h) Jest to zdanie logiczne. Zdanie jest prawdziwe.

Prosta l jest równoległa do boku AB...

Rysunek poglądowy:

`|AB| = 2*|DE|` 

`2 = 2 * |DE|` 

`|DE| = 1` 

 

Trójkąty CDE i DEC' są równoboczne, ich bok ma długość 1.

`P = 2*P_(CDE) = 2*(|DE|^2 * sqrt3)//4 = sqrt3/2 \ ["cm"^2]` 

 

b) Rysunek poglądowy:

`|AD| = a` 

`|DC| = 2a` 

Zatem:

`a + 2a = |AC|` 

`3a = 3sqrt5` 

`a = sqrt5` 

 

`|AD| = sqrt5` 

`|DC| = 2sqrt2` 

 

Trójkąty CFG, CDE i CAB są podobne. Stąd wynika, że:

`|CF|=|FD|=|DA|` 

 

Obliczmy pole czworokąta EDFG. Wiemy, że:

`P_(EDFG) = P_(CDE) - P_(CGF)` 

 

Obliczmy wysokość trójkąta CDE:

`(1/2|DE|)^2 + h^2 = |CD|^2`   

`(1/2*4)^2 + h^2 = (2sqrt5)^2` 

`4 + h^2 = 20` 

`h^2 = 16` 

`h = 4` 

 

Wysokość trójkąta CGF wynosi 2.

 

`P_(CDE) = 1/2*|DE|*h = 1/2 *4*4 = 1/2*16 = 8` 

`P_(CGF) = 1/2*|FG|*2 = 1/2*2*2 = 2` 

 

`P_(EDFG) = P_(CDE) - P_(CGF) = 8 - 2 = 6` 

 

Pole części wspólnej:

`P = 2 * P_(EDFG) = 2 * 6 = 12` 

Na rysunkach przedstawiono wykresy funkcji

`a)`

Najmniejsza wartość funkcji f jest równa -3 i jest przyjmowana dla argumentu 2. 

 

`b)`

Funkcja g nie przyjmuje najmniejszej wartości (w punkcie (-3, -3) mamy kółeczko niezamalowane)

 

`c)`

Najmniejsza wartość funkcji h jest równa -2 i jest przyjmowana dla argumentu -3.