Trygonometria i planimetria w zadaniach - matura-podstawowa - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Trygonometria i planimetria w zadaniach - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Wyznacz miarę kąta β jeśli $α=142°$.

img10

Obliczmy kąt obok Bety, jest to podstawa trójkąta równoramiennego stworzonego z promieni, więc:

$180-142=38$

$38:2=19$

img11

Wiemy, że styczna z okręgiem „styka się” pod kątem 90 stopni do promienia, zatem kąt

$β=90-19=71°$

Zadanie 2.

W trapezie równoramiennym jedna podstawa jest dwa razy dłuższa od drugiej, a ramiona mają długość równą długości krótszej podstawy. Znajdź miarę kąta ostrego trapezu.

Narysujmy sobie tę sytuację:

img12

Aby znaleźć miarę kąta ostrego, musimy mieć jeden z trzech czerwonych boków aby użyć trygonometrii:

img13

Możemy łatwo obliczyć najkrótszy to znów trapez równoramienny, więc po obu stronach musimy mieć w sumie $2x-x=x$ , zatem:

img14

Mając takie boki możemy użyć cosinusa:

$cos α={0,5x}/x=0,5=1/2$

A skoro

$cos α=1/2$

To:

$α=60°$

Zadanie 3.

Promień koła zwiększono o 25%, o ile zwiększyło się jego pole.

Promień i pole przed:

$r$

$P=πr^2$


Pole i promień po:

$125%r={125}/{100} r=5/4 r$

$P=π(5/4 r)^2={25}/{16} πr^2$

Zatem pole zostało zwiększone ${25}/{16}$ krotnie.

 

Spis treści

Rozwiązane zadania
Pole trójkąta o bokach długości...

Obliczamy połowę obwodu trójkąta:{premium}

 

Obliczamy pole trójkąta, korzystając ze wzoru Herona:

 

Prawidłowa odpowiedź to C.

Rozwiąż równanie

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Z dwóch plantacji truskawek w pierwszym roku...

Oznaczmy liczbę zebranych truskawek z pierwszej plantacji przez x oraz liczbę zebranych truskawek z drugiej plantacji przez y. Wtedy:

 

W drugim roku na pierwszej plantacji odnotowano 20% wzrost natomiast na drugiej 30% wzrost, łącznie zebrano 14,21 tony truskawek.

 

 

Rozwiążmy układ równań:

 

 

 

 

 

 

 

Podstawmy pod pierwsze równanie:

 

 

 

 

W pierwszym roku zebrano z pierwszej plantacji 10 ton truskawek a w roku drugim zebrano:

 

 

W pierwszym roku zebrano z drugiej plantacji 1,7 tony truskawek a w roku drugim zebrano:

 

Oblicz. W

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Nie używając kalkulatora, oblicz wartość wyrażenia:

 {premium} 

Podpisz zbiory punktów

 

{premium}

 

  

 

Zapisz w postaci x^k

`a)\ (x^4*x^6)/(x^3*x^-5)=(x^(4+6))/(x^(3+(-5)))=x^10/x^-2=x^(10-(-2))=x^(10+2)=x^12`{premium}

Zbiorem wartości funkcji...

Funkcja g powstaje poprzez przesunięcie wykresu funkcji f o 3 jednostki w górę. Zbiór wartości funkcji to zbiór:

 

Widać, że funkcja jest stale większa od zera, zatem nie ma miejsc zerowych.

Wykaż, że czworokąt ABCD...

Rysunek poglądowy:

Jeżeli czworokąt ABCD ma być trapezem równoramiennym to trzeba pokazać, że odcinki AB i CD są równoległe i mają różne długości oraz długości ramion są równe.

Jeżeli odcinki są równoległe to wektory je zawierające muszą mieć ten sam kierunek, a więc jeżeli istnieje stała k taka, że:

 

to wektory są równoległe.

Zatem:

 

 

 

 

Porównajmy współrzędne wektorów:

 

 

A więc wektory są rownoległe, czyli odcinki AB i DC są podstawami trapezu.

 

Długości podstaw:

  

 

 

Ramiona trapezu:

 

 

 

 

 

 

A więc czworokąt jest trapezem równoramiennym gdyż ma dwie podstawy równoległe do siebie mające różne długości, natomiast jego ramiona mają równą długość.

Przez punkty M, N i K...

Styczna i promień są do siebie prostopadłe, łatwo zatem sobie wyobrazić, że przy wierzchołku leżącym na przeciwko kąta o mierze 120o będzie kąt o mierze:{premium}

 

Odejmujemy od kąta półpełnego miarę znanego nam kąta gdyż styczne z promieniami tworzą kąty proste. A więc za każdym razem powstaje nam czworokąt którego suma kątów wewnętrznych jest równa 360o a my znamy zawsze trzy z czterech miar.

 

Przy wierzchołku leżącym na przeciwko kąta prostego będzie kąt o mierze:

 

 

Suma miar kątów wewnętrznych w trójkącie jest równa 180o, zatem ostatni kąt ma miarę:

 

Odpowiedź C