Trygonometria i planimetria w zadaniach - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Wyznacz miarę kąta β jeśli $$α=142°$$.

img10

Obliczmy kąt obok Bety, jest to podstawa trójkąta równoramiennego stworzonego z promieni, więc:

$$180-142=38$$

$$38:2=19$$

img11

Wiemy, że styczna z okręgiem „styka się” pod kątem 90 stopni do promienia, zatem kąt

$$β=90-19=71°$$

Zadanie 2.

W trapezie równoramiennym jedna podstawa jest dwa razy dłuższa od drugiej, a ramiona mają długość równą długości krótszej podstawy. Znajdź miarę kąta ostrego trapezu.

Narysujmy sobie tę sytuację:

img12

Aby znaleźć miarę kąta ostrego, musimy mieć jeden z trzech czerwonych boków aby użyć trygonometrii:

img13

Możemy łatwo obliczyć najkrótszy to znów trapez równoramienny, więc po obu stronach musimy mieć w sumie $$2x-x=x$$ , zatem:

img14

Mając takie boki możemy użyć cosinusa:

$$cos α={0,5x}/x=0,5=1/2$$

A skoro

$$cos α=1/2$$

To:

$$α=60°$$

Zadanie 3.

Promień koła zwiększono o 25%, o ile zwiększyło się jego pole.

Promień i pole przed:

$$r$$

$$P=πr^2$$


Pole i promień po:

$$125%r={125}/{100} r=5/4 r$$

$$P=π(5/4 r)^2={25}/{16} πr^2$$

Zatem pole zostało zwiększone $${25}/{16}$$ krotnie.

 

Spis treści

Rozwiązane zadania
Przedstaw w inny sposób każdą z opisanych

a)

  b) Obliczamy kolejne wartości i przedstawiamy za pomocą zbioru przyporządkowanych par `y=2x+3`   `f(1)=2*1+3=5` `f(2)=2*2+3=7` `f(3)=2*3+3=9`   ` f(4)=2*4+3=8+3=11`     ` {(1,5),(2,7),(3,9),(4,11)}`     c) Przedstawiamy funkcję za pomocą zbioru przyporządkowanych par`{(-2,1),(-1,2),(0,2),(1,4),(2,3)}`   d) Przedstawiamy funkcję za pomocą zbioru przyporządkowanych par`{(-4,5),(-3,4),(-2,3),(-1,2),(0,1),(1,0),(2,-1),(3,-2)}`
Na bokach trójkąta prostokątnego...

a) Zauważmy, że:

`{((|AD|)/(|AB|)= 1/2),((|AF|)/(|AC|)=1/2):}` 

`{(|AD|=1/2|AB|),(|AF|=1/2 |AC|):}` 

 

Pole trójkąta ABC:

`P_("ABC")= 1/2*|AC|*|AB| = 1/2*|AC|*|AB|` 

 

Pole prostokąta ADEF:

`P_("ADEF") = |AD|*|AF|= 1/2|AB|*1/2|AC| = 1/2*1/2*|AB|*|AC| = 1/2P_("ABC")` 

A więc:

`2P_("ADEF") = P_("ABC")` 

A więc pole prostokąta ADEF jest dwa razy mniejsze od pola trójkąta ABC.

 

 

b) Niech:

`|AD|=|DE|=x` 

 

`|BC|^2 = 8^2 + 4^2 = 64 + 16 = 80` 

`|BC|=4sqrt5` 

 

`(|BE|)/(|BC|)=(|DE|)/(|AC|)` 

`(|BE|)/(4sqrt5) = x/4` 

`x=(|BE|)/sqrt5` 

 

zauważmy, że:

`(|AD|)/(|AB|) = (|CE|)/(|BC|)` 

`x/8=(4sqrt5-|BE|)/(4sqrt5)` 

 

A więc:

`((|BE|)/(sqrt5))/8 = (4sqrt5-|BE|)/(4sqrt5)` 

`(|BE|)/(8sqrt5) = 1 - (|BE|)/(4sqrt5)` 

`(|BE|)/(8sqrt5)+(2|BE|)/(8sqrt5) = 1` 

`(3|BE|)/(8sqrt5)=1` 

`|BE| = 8/3 sqrt5` 

Wykaż prawdziwość podanego wzoru

Dla n=5 wzór jest postaci: 

`(a-1)(1+a+a^2+a^3+a^4)=a^5-1`

 

Aby udowodnić wzór rozpiszemy lewą stronę równości i w ten sposób dojdziemy do jej lewej strony:

`(a-1)(1+a+a^2+a^3+a^4)=a*(1+a+a^2+a^3+a^4)-1*(1+a+a^2+a^3+a^4)=`

`=a+a^2+a^3+a^4+a^5-1-a-a^2-a^3-a^4=a^5-1`

 

Odczytaj wykresu przedziały ...

`a)` 

`"f jest rosnąca w przedziale:"\ x in (-4;-2)cup[-2;2)cup[2;4)` 

 

`b)` 

`"f jest rosnąca w przedziale:"\ x in [2;5)`  

`"f jest malejąca w przedziale:"\ x in (-2;-1)cup[-1;2)` 

 

`c)` 

`"f jest rosnąca w przedziale:"\ x in (-4;0]cup[5;6]`   

`"f jest malejąca w przedziale:"\ x in [0;2)cup[2;5]`   

Oblicz: a) -2*(-3)*(-11), b) 5*(-(-2)+(-3), c) -3*((-2+1)-4

a)

`-2*(-3)*(-11)=-2*33=(-66)`

b)

`5*(-(-2)+(-3))= 5*(2+(-3))=5*(-1)=(-5)`

c)

`-3*((-2+1)-4)=-3*((-1)-4)=-3*(-5)=15`

d)

`-(-(6+(-7)))=-(-(-1)))=(-1)`

e)

`-(-5-(-3))=-(-5-(-3))=-(-5+3)=-(-2)=2`

f)

`-(-2)^3-(-2)^2=-(-8)-4=8-4=4`

Wyznacz wartości sinusa i cosinusa...

`a) \ (stackrel(x)(3) , stackrel(y)(4))` 

`r = sqrt(x^2 + y^2) = sqrt(3^2 + 4^2) = sqrt25 = 5` 

 

`sin alpha = y/r = 4/5` 

 

`cos alpha = x/r = 3/5` 

 

 

`b) \ (stackrel( \ x)(-1),stackrel(y)(3))` 

`r = sqrt(x^2 + y^2) = sqrt(1 + 9) = sqrt10` 

 

`sin alpha = y/r = 3/sqrt10 * sqrt10/sqrt10 = (3sqrt10)/10` 

 

`cos alpha = x/r = (-1)/sqrt10 *sqrt10/sqrt10 = -(sqrt10)/10`  

 

 

`c) \ (stackrel( \ x)(-4),stackrel(y)(2))` 

`r = sqrt(x^2 + y^2) = sqrt(16  + 4) = sqrt20 = sqrt(4*5) = 2 sqrt5` 

 

`sin alpha = y/r = 2/(2sqrt5) = 1/sqrt5 * sqrt5/sqrt5 = sqrt5/5` 

 

`cos alpha = x/r = (-4)/(2sqrt5) = -2/sqrt5 * sqrt5/sqrt5 = (-2sqrt5)/5` 

 

 

`d) \ (stackrel(x)(12),stackrel(y)(5))` 

`r = sqrt(x^2 + y^2) = sqrt(144+25) = sqrt169 = 13` 

 

`sin alpha = y/r = 5/13` 

 

`cos alpha = x/r = 12/13`  

Wyznacz równanie okręgu symetrycznego ...

`x^2+y^2+6x-4y-3=0` 

`(x+3)^2+(y-2)^2=16` 

`r=4` 

`S=(-3;2)` 

 

`a)` 

`k:y=x-3` 

`S'-"punkt syetryczny do punkt S względem prostej k"` 

`S'=(s;t)` 

Wyznaczmy prostą m prostopadłą do prostej k i zawierającą punkt S.

`m:y=-x+b` 

`2=-(-3)+b` 

`b=-1` 

`m:y=-x-1` 

Znajdzmy punkt przecięcia P prostych m i k.

`{(y=x-3),(y=-x-1):}` 

`x-3=-x-1` 

`2x=2` 

`x=1` 

`y=1-3=-2` 

`P=(1;-2)` 

 

`vec(SP)=vec(PS')` 

`[1+3;-2-2]=[s-1;t+2]` 

`s-1=4\ implies \ s=5` 

`t+2=-4\ implies \ t=-6` 

`S'=(5;-6)` 

`ul((x-5)^2+(y+6)^2=16` 

 

`b)` 

`k:y=-2x+6` 

`S'-"punkt syetryczny do punkt S względem prostej k"` 

`S'=(s;t)`  

Wyznaczmy prostą m prostopadłą do prostej k i zawierającą punkt S.

`m:y=1/2x+b` 

`2=1/2(-3)+b` 

`b=2+3/2=7/2`  

`m:y=1/2x+7/2`  

Znajdzmy punkt przecięcia P prostych m i k.

`{(y=-2x+6),(y=1/2x+7/2):}`  

`-2x+6=1/2x+7/2`  

`-5/2x=-5/2` 

`x=1` 

`y=-2x+6=-2+6=4` 

`P=(1;4)` 

 

`vec(SP)=vec(PS')` 

`[1+3;4-2]=[s-1;t-4]`  

`s-1=4\ implies \ s=5` 

`t-4=4-2\ implies \ t=6` 

`S'=(5;6)` 

`ul((x-5)^2+(y-6)^2=16` 

Wiedząc, że tg𝛼 = 5/4, oblicz...

Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku poniżej.

Wiemy, że `"tg"alpha=5/4,` czyli, że `c/8=5/4.` Dostajemy:

`4c=8*5` 

`4c=40\ "/":4` 

`c=10` 

Obliczamy długość odcinka `x,` korzystając z twierdzenia Pitagorasa dla `DeltaABC.` 

`x^2+c^2=26^2` 

`x^2+10^2=26^2` 

`x^2+100=676` 

`x^2=576` 

`x=24`        

 

Obliczamy cosinus kąta `beta.` 

`cosbeta=x/26=24/26=12/13`    

Dana jest parzysta liczba całkowita k.

a)

`k-4, \ \ k-3, \ \k-2, \ \ k-1`

Mając daną parzystą liczbę k wiemy, że liczba o 1 od niej mniejsza nie jest parzysta, liczba o 2 mniejsza jest parzysta, o 3- nieparzysta i liczba k-4 jest parzysta.

b)

`k+2, \ \ k+4, \ \ k+6`

c)

`k+1, \ \ k+3, \ \ k+5`

d)

k to całkowita, parzysta liczba, w tym podpunkcie- z przedziału (-3,3), zatem:

`k={-2,-1,0,1,2}`

Zatem liczby określone wzorem 4k-3 to:

`{-11,-7,-3,1,5}`

Oblicz promień okręgu opisanego na trójkącie

a) 

Przekątna okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym pokrywa się z jego średnicą. Obliczamy długość przeciwprostokątnej:

`20^2+15^2=d^2`

`400+225=d^2`

`d^2=625 \ \ \ \ \ \ i \ \ \ d>0`

`d=25`

`r=1/2d= 25:2=ul(12,5cm)`

b)

Promień okręgu leży na fragmencie  wysokości trójkąta. Obliczamy tą wysokość z twierdzenia Pitagorasa:

`3^2+h^2=6^2`

`9+h^2=36`

`h^2=36-9`

`h^2=27`         ` \ \ \ i \ \ h>0`

`h=sqrt27`

`h=3sqrt3`

W tym przypadku promień stanowi 2/3 całej wysokości.

`r=2/3*h=2/3*3sqrt3=2sqrt3`

`r=ul(2sqrt3cm)`

c)

Promień okręgu leży na fragmencie  wysokości trójkąta. Obliczamy tą wysokość z twierdzenia Pitagorasa:

`5^2+h^2=13^2`

`25+h^2=169`

`h^2=169-25`

`h^2=144`          `i \ \ h>0`

`h=12cm`

 

Szukamy zależności pomiędzy tymi bokami. Możemy zastosować twierdzenie Pitagorasa dla trójkąta o bokach x,r,5cm, są tu jednak dwie niewiadome. x można jednak wyrazić jako 12-r (wysokosć pomniejszona o promień).

`(12-r)^2+5^2=r^2` 

`144-24r+r^2+25=r^2`

`169-24r=0`

`169=24r`           `/:24`

`r=169/24`

`r=ul(7 1/24cm)`