Trygonometria i planimetria w zadaniach - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Wyznacz miarę kąta β jeśli $$α=142°$$.

img10

Obliczmy kąt obok Bety, jest to podstawa trójkąta równoramiennego stworzonego z promieni, więc:

$$180-142=38$$

$$38:2=19$$

img11

Wiemy, że styczna z okręgiem „styka się” pod kątem 90 stopni do promienia, zatem kąt

$$β=90-19=71°$$

Zadanie 2.

W trapezie równoramiennym jedna podstawa jest dwa razy dłuższa od drugiej, a ramiona mają długość równą długości krótszej podstawy. Znajdź miarę kąta ostrego trapezu.

Narysujmy sobie tę sytuację:

img12

Aby znaleźć miarę kąta ostrego, musimy mieć jeden z trzech czerwonych boków aby użyć trygonometrii:

img13

Możemy łatwo obliczyć najkrótszy to znów trapez równoramienny, więc po obu stronach musimy mieć w sumie $$2x-x=x$$ , zatem:

img14

Mając takie boki możemy użyć cosinusa:

$$cos α={0,5x}/x=0,5=1/2$$

A skoro

$$cos α=1/2$$

To:

$$α=60°$$

Zadanie 3.

Promień koła zwiększono o 25%, o ile zwiększyło się jego pole.

Promień i pole przed:

$$r$$

$$P=πr^2$$


Pole i promień po:

$$125%r={125}/{100} r=5/4 r$$

$$P=π(5/4 r)^2={25}/{16} πr^2$$

Zatem pole zostało zwiększone $${25}/{16}$$ krotnie.

 

Spis treści

Rozwiązane zadania
Oblicz

`a)\ 2^-2/3^-3*(4/9)^2=2^-2/3^-3*((2/3)^2)^2=2^-2/3^-3*(2/3)^4=2^-2/3^-3*2^4/3^4=2^2/3^2=4/3=1 1/3`

`b)\ ((2/3)^-2)^-2=(2/3)^(-2*(-2))=(2/3)^4=16/81`

`c)\ (6^0+0^6)/(6^-1)+(4^6-16^3)=(1+0)/(1/6)+(4^6-(4^2)^3)=1/(1/6)+(4^6-4^6)=1:1/6+0=1*6/1=6`

`d)\ ((1/3)^4*(2/3)^-5):6^-2=(1^4/3^4*(3/2)^5):1/6^2=(1/3^4*3^5/2^5)*6^2=3/2^5*6^2=3/strike32^8*strike36^9=27/8=3 3/8`

`e)\ (0,5*8^6-2*16^4):7^3=(1/2*(2^3)^6-2*(2^4)^4):7^3=(2^-1*2^18-2*2^16):7^3=(2^17-2^17):7^3=0:7^3=0`

`f)\ ((5/2)^3:(2/5)^2)*(5/2)^-4=((5/2)^3*(5/2)^2)*(5/2)^-4=(5/2)^5*(5/2)^-4=(5/2)^1=5/2=2 1/2`

Wielkości podane w pierwszej kolumnie tabeli

Uporządkuj liczby a, b, c w kolejności rosnącej

`a=(1-0,125*1/2)/(7/8-3/4)=` `(1-1/8*1/2)/(7/8-6/8)=` `(1-1/16)/(1/8)=` `(15/16)/(1/8)=` `15/16:1/8=15/strike16^2*strike8^1/1=15/2=7 1/2` 

 

 

 

 

`b=1 1/2*4 6/11*3 2/3*(-1/5)=` `3/2*strike50^10/strike11*strike11/3*(-1/strike5^1)=` `-3/2*10/3=` `-10/2=-5` 

 

 

 

 

`c=2/11*1,5*2,75*(-1 1/3)=` `2/11*1 1/2*2 3/4*(-4/3)=` `strike2/11*3/strike2*11/strike4*(-strike4/3)=` 

`\ \ \ =1/strike11*3/1*strike11/1*(-1/3)=` `3*(-1/3)=-1` 

 

 

 

`ul(ul(b<c<a))`        

Korzystając z interpretacji geometrycznej

Zapisane równanie oznacza, że odległość liczb x i a jest taka sama, jak odległość liczb x i b. Liczba x ma być więc położona w jednakowej odległości od liczb a oraz b. Liczba, która jest położona w jednakowej odległości dwóch liczb, to średnia arytmetyczna tych liczb. Liczba x jest więc średnią arytmetyczną liczb a i b:

`x=(a+b)/2`

 

Wykres funkcji y=2x+9 ...

Jeśli wykres funkcji y=2x+9 jest symetryczny względem osi x do wykresu funkcji f, to:

`y=-f(x)`

 

Czyli:

`f(x)=-y=-(2x+9)=-2x-9`

 

 

Jeśli wykres funkcji y=2x+9 jest symetryczny względem osi y do wykresu funkcji g, to:

`y=g(-x)`

 

Zauważmy, że:

`y=2x+9=-2*(-x)+9\ \ \ =>\ \ \ g(x)=-2x+9`

Wykaż, że jeśli (a+b)(c+d)=(a+c)(b+d)

`Z:\ \ (a+b)(c+d)=(a+c)(b+d),\ \ \ a, \ b,\ c,\ d in R`

`T:\ \ a=d\ \ \ vee\ \ \ b=c`

`D:`

`(a+b)(c+d)=(a+c)(b+d)`

`a(c+d)+b(c+d)=a(b+d)+c(b+d)`

`ac+ad+bc+bd=ab+ad+bc+cd\ \ \ |-ad-bc`

`ac+bd=ab+cd\ \ \ |-ab-cd`

`ac+bd-ab-cd=0`

`ac-ab+bd-cd=0`

`a(c-b)-d(c-b)=0`

`(c-b)(a-d)=0`

`c-b=0\ \ \ vee\ \ \ a-d=0`

`c=b\ \ \ \ \ \ \ \ vee\ \ \ a=d\ \ \ \ \ \ \ \ square`

 

Czworokąty ABCD i EFGH są podobne

`12/y=15/20=18/z=x/16`

 

`12/y=15/20`

`12*20=15y\ \ \ |:15`

`y=(12*20)/15=(12*4)/3=4*4=16`

 

 

`15/20=18/z`

`15z=18*20`

`z=(18*20)/15=(6*20)/5=6*4=24`

 

 

`15/20=x/16\ \ \ |*16`

`x=(15*16)/20=(15*4)/5=3*4=12`

Porównaj liczby.

`"a)"\ 9^20\ \ \ "i"\ \ \ 3^40` 

`9^20=(3^2)^20=3^40` 

Stąd:

`9^20=3^40` 

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))` 

`"b)"\ 16^18\ \ \ "i"\ \ \ 255*4^32` 

`16^18=(4^2)^18=4^36=4^4*4^32=256*4^32` 

Stąd:

`256*4^32>255*4^32` 

czyli:

`16^18>255*4^32` 

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))` 

`"c)"\ 27^23\ \ \ "i"\ \ \ 255*9^32` 

`27^23=(3^3)^23=3^69=3^5*3^64=243*3^64`  

`255*9^32=255*(3^2)^32=255*3^64` 

Stąd mamy:

`243*3^64<255*3^64` 

czyli:

`27^23<255*9^32` 

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))` 

`"d)"\ 5^17\ \ \ "i"\ \ \ (125root(3)25)^5` 

`(125root(3)25)^5=(5^3*root(3)(5^2))^5=(5^3*5^(2/3))^5=(5^(11/3))^5=5^(55/3)` 

Mamy więc:

`5^17<5^(55/3)` 

czyli:

`5^17<(125root(3)25)^5` 

Oblicz

`a)\ (-2sqrt3)^-3=1/(-2sqrt3)^3=1/((-2)^3*(sqrt3)^3)=1/(-8*3sqrt3)=-1/(24sqrt3)=-1/(24sqrt3)*sqrt3/sqrt3=(-sqrt3)/(24*3)=-sqrt3/72`

`b)\(3/sqrt2)^-4=(sqrt2/3)^4=4/81`

`c)\ (-sqrt5/10)^-3=(-10/sqrt5)^3=-1000/(5sqrt5)=-200/sqrt5=-(200sqrt5)/(sqrt5*sqrt5)=-(200sqrt5)/5=-40sqrt5`

`d) \ ((-3sqrt2)^-1)^-2=(-3sqrt2)^(-1*(-2))=(-3sqrt2)^2=9*2=18`

 

Oblicz

`a)\ sqrt144=12`

`b)\ sqrt225=15`

`c)\ sqrt324=18`

`d)\ sqrt625=25`

`e)\ sqrt2500=50`

`f)\ sqrt8100=90`

`g)\ sqrt(1,21)=1,1`

`h)\ sqrt(3,61)=1,9`

`i)\ sqrt(4,41)=2,1`