Trygonometria i planimetria w zadaniach - matura-podstawowa - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Trygonometria i planimetria w zadaniach - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Wyznacz miarę kąta β jeśli $α=142°$.

img10

Obliczmy kąt obok Bety, jest to podstawa trójkąta równoramiennego stworzonego z promieni, więc:

$180-142=38$

$38:2=19$

img11

Wiemy, że styczna z okręgiem „styka się” pod kątem 90 stopni do promienia, zatem kąt

$β=90-19=71°$

Zadanie 2.

W trapezie równoramiennym jedna podstawa jest dwa razy dłuższa od drugiej, a ramiona mają długość równą długości krótszej podstawy. Znajdź miarę kąta ostrego trapezu.

Narysujmy sobie tę sytuację:

img12

Aby znaleźć miarę kąta ostrego, musimy mieć jeden z trzech czerwonych boków aby użyć trygonometrii:

img13

Możemy łatwo obliczyć najkrótszy to znów trapez równoramienny, więc po obu stronach musimy mieć w sumie $2x-x=x$ , zatem:

img14

Mając takie boki możemy użyć cosinusa:

$cos α={0,5x}/x=0,5=1/2$

A skoro

$cos α=1/2$

To:

$α=60°$

Zadanie 3.

Promień koła zwiększono o 25%, o ile zwiększyło się jego pole.

Promień i pole przed:

$r$

$P=πr^2$


Pole i promień po:

$125%r={125}/{100} r=5/4 r$

$P=π(5/4 r)^2={25}/{16} πr^2$

Zatem pole zostało zwiększone ${25}/{16}$ krotnie.

 

Spis treści

Rozwiązane zadania
Wykaż (powołując się na odpowiednie...

Przypomnijmy własności logarytmów, które nam się przydadzą:

 

 

 

 

gdzie  

oraz

 

 

 

 

gdzie  


 


 {premium}


 


 

 


 

 


 

 

Korzystając z wykresu...

a) Zauważmy, że:

{premium}  

 

 

Wykres sin(x)

podglad pliku

 

 

 

podglad pliku

 

Wyznacz równanie okręgu opisanego na kwadracie...

Żeby wyznaczyć równanie okręgu opisanego na kwadracie musimy:

- Obliczyć połowę długości przekątnej kwadratu (odcinek AC lub BD), stanowi ona długość promienia okręgu.

- Obliczyć środek odcinka AC lub BD, będzie to środek okręgu.

 

Żeby wyznaczyć równanie okręgu wpisanego w kwadrat musimy:

- Obliczyć połowę długości boku kwadratu, stanowi ona długość promienia okręgu. Jako iż w poprzednim podpunkcie policzymy długość przekątnej to skorzystamy z zależności pomiędzy długością boku kwadratu a długością przekątnej.

- Obliczyć środek odcinka AC lub BD, będzie to środek okręgu.

 

a) Równanie okręgu opisanego na kwadracie:

 

stąd:

 

 

 

 

 

{premium}  

 

  • Równanie okręgu wpisanego w kwadrat:

 

 

 

a więc:

 

 

 

równanie:

  

 

b) Równanie okręgu opisanego na kwadracie:

 

stąd:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Równanie okręgu wpisanego w kwadrat:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Równanie:

 

 

Przedstaw funkcję kwadratową f w postaci kanonicznej

Wykres funkcji f otrzymamy przesuwając wykres funkcji y=x² o 2 jednostki w prawo i 4 jednostki w dół.{premium}

 

 

 

Wykres funkcji f otrzymamy przesuwając wykres funkcji y=-x² o 1 jednostkę w prawo i 2 jednostki w dół.

 

 

Wykres funkcji f otrzymamy przesuwając wykres funkcji y=x² o 5 jednostek w lewo i 1 jednostkę w górę.

 

 

 

Wykres funkcji f otrzymamy przesuwając wykres funkcji y=-x² o 4 jednostki w prawo i 1 jednostkę w dół.

Podnieś do kwadratu liczbę dwucyfrową kończącą

{premium}

Liczba dwucyfrowa kończąca się cyfrą 5 podniesiona do kwadratu daje w wyniku liczbę, której dwie ostatnie cyfry to liczba 25.

Podobnie liczba trzycyfrowa lub czterocyfrowa kończąca się cyfrą 5 podniesiona do kwadratu daje w wyniku liczbę, której dwie ostatnie cyfry to liczba 25.

Dłuższa podstawa trapezu ma długość...

a) Rysunek poglądowy:

Skala podobieństwa większego trójkąta do mniejszego wynosi 4, zatem krótsza podstawa ma długość 2. Pole:

 

 

b) Rysunek poglądowy:

 

 

Stosunek pól trójkątów jest równy kwadratowi skali ich podobieństwa.

{premium}  

 

 

 

A więc

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Znając skalę podobieństwa łatwo zauważyć, ile wynosi długość trójkąta CDS:

 

 

Zatem wysokość trójkąta wynosi:

 

Dany jest trapez ABCD, gdzie ...

 

 

 

 

 

 

{premium}

 

 

 

  

 

  

Zapisz wzór funkcji w postaci kanonicznej ...

 

 {premium}

 

 

 

   

Połowa koła o promieniu 4...

Obliczmy pole połowy koła o promieniu 4:    {premium}

 


Obliczmy długość promienia koła o polu 8π:

 

 

 

 


Odp.: D


Wyznacz oś symetrii wykresu funkcji ...

{premium}