Trójkąty podobne - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Znajdź trójkąt podobny do:

img05

Którego obwód jest równy 12.

Tutaj używamy cechy BBB. Pamiętamy, że k jest takie samo dla każdego boku więc będziemy dzielić każdy bok (obwód jest na bank mniejszy niż nasz obecny).

$$Obw={20}/k+{16}/k+{12}/k$$

$$12={20+16+12}/k$$

$$12={48}/k$$

$$k=4$$

Skoro dzielimy przez k, również boki musimy podzielić:

$$A^' B^'={20}/4=5$$

$$B^' C^'={16}/4=4$$

$$A^' C^'={12}/4=3$$

Zadanie 2.

Znajdź długość odcinka x:

img06

Tutaj użyjemy cechy BKB, dlaczego?

Mamy kąty wierzchołkowe:

img07

A one są takie same.

Sprawdźmy więc proporcjonalność boków.

$$k=6/3=4/2=2$$

Zatem już wiemy, że są podobne.

Zatem skoro 12 jest dwukrotnie większe od $x$ to nasze $$x=6$$.

Zadanie 3.

Trójkąty ABC i DEF są podobne, znajdź obwód trójkąta DF.

img08

Tutaj także użyjemy cechy BBB, ponieważ trójkąty są podobne, pozostaje obliczyć k:

$$k={|DF|}/{|AC|} ={36}/9=4$$

Zatem mnożymy przez 4 każdy bok:

$$|BC|=10×4=40$$

$$|AB|=11×4=44$$

Pozostaje obwód:

$$Obw=44+40+36=120$$

Spis treści

Rozwiązane zadania
Wypisz elementy zbiorów opisanych ...

A - zbiór naturalnych dzielników liczby 36

 

B - zbiór naturalnych wielokrotności liczby 3 nie większych niż 42

 

 

 

 

 

  

Która liczba nie należy do zbioru

 

Do zbioru rozwiązań nie należy liczba 4, więc należy zaznaczyć odpowiedź D.   

Cenę pewnego produktu podnoszono dwukrotnie

Obliczmy cenę początkową pierwszego sklepu. Zadanie rozwiązujemy "od końca", czyli najpierw obliczamy cenę przed drugą podwyżką- o 30%. 252zł stanowi 130% tej ceny- układamy proporcję:

       `/:130`

 

Teraz obliczamy cenę przed pierwszą podwyżką, wiedząc, że cena 193,85 zł stanowi 120%  tej ceny:

    `/:120`

 

Analogiczne obliczenia przeprowadzamy dla cen i obliczeń w drugim sklepie- jednak ponieważ tam druga zmiana ceny była obniżką o 20%, to ostateczna cena stanowi 80% drugiej ceny.

       /:80

 

 

Przed zmianami taniej ten produkt sprzedawał sklep pierwszy. Obliczmy o ile procent jest tańszy- musimy obliczyć jaki procent ceny droższego produktu stanowi różnica cen. Zatem:

`138,46 "zł "` 

Funkcja f przyporządkowuje każdej liczbie...

Liczba przeciwna do x to:

 

Połowa z tej liczby to:

 

 

Odpowiedź C

Okręgi o środkach S₁ i S₂ są ...

Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku.

Odcinki S1P oraz S1M są promieniami większego okręgu, więc są równej długości. 

Stąd trójkąt PMS1 jest trójkątem równoramiennym.

Oznaczmy miarę kątów przy podstawie PM jako α. Wówczas kąt PS1M ma miarę:

 

 

Odcinki S2K oraz S2M są promieniami mniejszego okręgu, więc są równej długości. 

Stąd trójkąt MKS2 jest trójkątem równoramiennym.

Oznaczmy miarę kątów przy podstawie MK jako ß. Wówczas kąt MS2K ma miarę:

 

 

Zauważmy, że czworokąt PKS2S1 jest trapezem prostokątnym. 

Punkty P i K są punktami styczności, więc odpowiednie promienie poprowadzone do nich tworzą kat prosty ze styczną. Stąd:

 

Suma miar kątów w czworokącie wynosi 360o. Więc suma miar dwóch pozostałych kątów (PS1M oraz MS2K) musi wynosić 180o.

 

 

 

 

  

 

Zauważmy, że kąty S1MP, PMK oraz KMS2 są kątami przyległymi.
 

Wiemy, że:

 

stąd:

 

 

czyli:

 

Wskaż zdania w koniunkcji i oceń jej wartość

a) Zdanie w koniunkcji. Jedno ze zdań jest fałszywe, dlatego wartość logiczna całego zdania: fałsz.

b) Zdanie w koniunkcji. Jedno ze zdań jest fałszywe, dlatego wartość logiczna całego zdania: fałsz.

c) Zdanie w koniunkcji. Oba zdania są fałszywe, dlatego wartość logiczna całego zdania: fałsz.

d) Zdanie w koniunkcji.  Oba zdania są prawdziwe, dlatego wartość logiczna całego zdania: prawda.

Bartek napisał na kartce

 

Po dopisaniu do początkowej liczby cyfry 2 otrzymamy liczbę dwucyfrową postaci x2. Wartość takiej liczby jest równa 10x+2 (x to cyfra dziesiątek, 2 to cyfra jedności). 

 

 

Jeśli przestawimy cyfry w otrzymanej liczbie, to uzyskamy liczbę postaci 2x. Wartość takiej liczby jest równa 20+x (mamy 2 dziesiątki i x jedności). 

 

 

Wiemy, że suma pierwszej i trzeciej liczby jest o 30 mniejsza od drugiej liczby:

 

Różnica jest równa

 

 

Wśród elementów zbioru A wskaż liczby

W celu wyodrębnienia liczb całkowitych upraszczamy elementy zbioru A.

  • `(2-sqrt3)/sqrt3*sqrt3/sqrt3=(sqrt3(2-sqrt3))/3=(2sqrt3-3)/3 \ \ \ \ \ \ notinC`
  • `ul(ul(6sqrt3-3sqrt12))=6sqrt3-3sqrt(3*4)=6sqrt3-3*2sqrt3=6sqrt3-6sqrt3=0 \ \ \ \ inC`
  • `ul(ul(root(3)216))=6 \ \ \ \ \ inC`
  • `ul(ul(3+(3sqrt2+2sqrt3)/(3sqrt2-2sqrt3)-2sqrt6))=3+(3sqrt2+2sqrt3)/(3sqrt2-2sqrt3)*(3sqrt2+2sqrt3)/(3sqrt2+2sqrt3)-2sqrt6=`

  • `ul(ul(sqrt(root(3)64)))=sqrt4=2 \ \ \ \ \ \ \ inC`  

Elementy należące do podzbioru liczb całkowitych dwukrotnie podkreślono.

Trapezy...

Policzmy stosunek długości dłuższych podstaw trapezów żeby określić skalę podobieństwa:

 

A więc: