Trójkąty podobne - matura-podstawowa - Baza Wiedzy
Zadania powtórzeniowe
Zadanie 1.
Znajdź trójkąt podobny do:
Którego obwód jest równy 12.
Tutaj używamy cechy BBB. Pamiętamy, że k jest takie samo dla każdego boku więc będziemy dzielić każdy bok (obwód jest na bank mniejszy niż nasz obecny).
$$Obw={20}/k+{16}/k+{12}/k$$
$$12={20+16+12}/k$$
$$12={48}/k$$
$$k=4$$
Skoro dzielimy przez k, również boki musimy podzielić:
$$A^' B^'={20}/4=5$$
$$B^' C^'={16}/4=4$$
$$A^' C^'={12}/4=3$$
Zadanie 2.
Znajdź długość odcinka x:
Tutaj użyjemy cechy BKB, dlaczego?
Mamy kąty wierzchołkowe:
A one są takie same.
Sprawdźmy więc proporcjonalność boków.
$$k=6/3=4/2=2$$
Zatem już wiemy, że są podobne.
Zatem skoro 12 jest dwukrotnie większe od $x$ to nasze $$x=6$$.
Zadanie 3.
Trójkąty ABC i DEF są podobne, znajdź obwód trójkąta DF.
Tutaj także użyjemy cechy BBB, ponieważ trójkąty są podobne, pozostaje obliczyć k:
$$k={|DF|}/{|AC|} ={36}/9=4$$
Zatem mnożymy przez 4 każdy bok:
$$|BC|=10×4=40$$
$$|AB|=11×4=44$$
Pozostaje obwód:
$$Obw=44+40+36=120$$
Spis treści
Rozwiązane zadania
Rozwiąż równania
`a)`
`D=RR`
`x^2=6`
`(x=sqrt6\ \ vee\ \ x=-sqrt6)\ \ \ wedge \ \ \ x in D`
`x in{-sqrt6,\ sqrt6}`
`b)`
`D=RR`
`x^2+1=0`
`#(x^2)_(_(>=0))=-1`
Równanie nie ma rozwiązań.
`c)`
`D=RR`
`(3-x)*x=0`
`(3-x=0\ \ \ vee\ \ \ x=0)\ \ \ wedge\ \ \ x in D`
`x in{0,\ 3}`
`d)`
`D=RR`
`(x+9)*(x-1)=0`
`x+9=0\ \ \ vee\ \ \ x-1=0`
`(x=-9\ \ \ vee\ \ \ x=1)\ \ \ wedge\ \ \ x in D`
`x in{-9,\ 1}`
Wyrażenie można zapisać
Usuniemy niewymierność z mianownika.
`6/(2sqrt3-3)=6/(2sqrt3-3)*(2sqrt3+3)/(2sqrt3+3)=(6(2sqrt3+3))/((2sqrt3)^2-3^2)=(6(2sqrt3+3))/(4*3-9)=(6(2sqrt3+3))/(12-9)=(6(2sqrt3+3))/3=2(2sqrt3+3)=4sqrt3+6\ \ \ \ \ odp.\ C`
Rozwiąż równanie ...
`(5x+2)/3-1/2=(2x-3)/4-2\ \ \ \ \ \ |*12`
`4(5x+2)-6=3(2x-3)-24`
`20x+8-6=6x-9-24`
`20x+2=6x-33\ \ \ \ |-2`
`20x=6x-35\ \ \ \ |-6x`
`14x=-35\ \ \ \ \ |:14`
`x=-35/14=-5/2=-2 1/2`
Zbadaj na podstawie definicji...
Definicja funkcji malejącej:
`AA_(x_1, x_2 \ in \ D_f) : \ x_1 < x_2 => f(x_1) > f(x_2)`
Definicja funkcji rosnącej:
`AA_(x_1 , x_2 \ in \ D_f) : x_1 < x_2 => f(x_1) < f(x_2)`
Słownie powiemy, że jeżeli dla dowolnych dwóch argumentów z dziedziny takich, że pierwszy jest mniejszy od drugiego wynika, że wartość funkcji dla mniejszego argumentu jest większa(mniejsza) od wartości funkcji dla większego argumentu to powiemy, że funkcja jest malejąca(rosnąca).
a) Niech
`x_1 < x_2, \ \ \ x_1, x_2 in (-oo, 1/2]`
`f(x_1)> f(x_2)`
`x_1^2 - x_1 > x_2^2 - x_2`
`0 > x_2^2 - x_1^2 +x_1-x_2`
`0> (x_2-x_1)(x_2+x_1)-(x_2-x_1)`
`0 > (x_2-x_1)(x_2+x_1-1)`
Zauważmy, że z założenia wiemy, że:
`x_2 - x_1 > 0`
oraz
`x_2+x_1 -1 < 0`
zatem stąd wynika, że dla dowolnych x1, x2 nierówność jest spełniona a więc w podanym przedziale funkcja jest malejąca.
b) Niech
`x_1 < x_2, \ \ \ x_1, x_2 in [2, oo)`
`f(x_1) > f(x_2)`
`-x_1^2 + 3x_1 + 2 > -x_2^2 + 3x_2 + 2`
`0 > x_1^2 - x_2^2 - 3x_1 + 3x_2`
`0 > (x_1-x_2)(x_1+x_2)-3(x_1-x_2)`
`0 > (x_1-x_2)(x_1+x_2-3)`
Zauważmy, że z założenia wiemy, że:
`x_1 - x_2 < 0`
oraz
`x_1+x_2-3 > 0`
zatem nierówność jest spełniona dla dowolnych x1,x2 należących do przedziału zatem funkcja jest malejąca.
Na podstawie fragmentu wykresu funkcji kwadratowej...
Prawidłowa odpowiedź to `"C."` Obliczymy drugie miejsce zerowe `x_2,` by to pokazać.
Odcięta wierzchołka paraboli jest równa `2,` więc mamy:
`2=(-2+x_2)/2\ "/"*2`
`4=-2+x_2`
`x_2=6`
Pan Malinowski otrzymał 140 zł ...
Oznaczmy:
x - pensja pana Malinowskiego.
Z treści zadania wiemy, że 7% jego pensji wynosi 140 zł. Stąd:
`7%*x=140`
`7/100x=140\ \ \ \ \ |*100`
`7x=14000\ \ \ \ \ \ |;7`
`x=2000\ ["zł"]`
Odp: Przed podwyżką pan Malinowski zarabiał 2000 zł.
Liczbę przedstaw w notacji wykładniczej.
`a) \ 5,383 = 5,383 * 10^0`
`b) \ 243,3 = 2,433*10^2`
`c) \ 677,6 = 6,776*10^2`
`d) \ 63,39 = 6,339*10^1`
`e) \ 9,718 = 9,718 * 10^0`
Rozwiąż równania.
`a)`
`x(x-5)=2x(x-1)`
`x^2-5x-2x^2+2x=0`
`-x^2-3x=0`
`x(-x-3)=0`
`x=0\ \ \vee\ \ \x=-3`
`x in {0;-3}`
`b)`
`2(1-5x)=(1-x)^2`
`2-10x-(1-x)^2=0`
`2-10x-1+2x-x^2=0`
`-x^2-8x+1=0`
`Delta=64+4=68`
`sqrt(Delta)=2sqrt(17)`
`x_1=(8-2sqrt(17))/-2=sqrt(17)-4`
`x_2=(8+2sqrt(17))/-2=-sqrt(17)-4`
`x in {sqrt17-4;-sqrt17-4}`
`c)`
`(x^2+4)/5=(1-x)/2`
`2(x^2+4)=5(1-x)`
`2x^2+8-5+5x=0`
`2x^2+5x+3=0`
`Delta=25-4*2*3=1`
`sqrt(Delta)=1`
`x_1=(-5-1)/4=-3/2`
`x_2=(-5+1)/4=-1`
`x in {-3/2;-1}`
`d)`
`(x+1)^2/3=(x+4)^2/7-1`
`7(x+1)^2=3(x+4)^2-21`
`7(x^2+2x+1)=3(x^2+8x+16)-21`
`7x^2+14x+7=3x^2+24x+48-21`
`4x^2-10x-20=0`
`2x^2-5x-10=0`
`Delta=25+80=105`
`sqrt(Delta)=sqrt(105)`
`x_1=(5-sqrt(105))/4`
`x_2=(5+sqrt(105))/4`
`x in {(5-sqrt105)/4;(5+sqrt105)/4}`
Oblicz
`a)\ root(3)(11^3)=11`
`b)\ root(3)((4/9)^3)=4/9`
`c)\ (root(3)7)^3=7`
`d)\ (root(3)(0,2))^3=0,2`
`e)\ root(3)27=3`
`f)\ root(3)(1/8)=1/2`
`g)\ root(3)(0,064)=0,4`
`h)\ root(3)(125\ 000)=50`
Oblicz wartość wyrażenia ...
Obliczamy wartość wyrażeń dla a=2 i k=-1.
W każdym przykładzie najpierw uprościmy wyrażenie, a potem bedziemy obliczać wartość dla podanych a i k.
`"a)"\ a^k/a^(k-2)=a^(k-(k-2))=a^(k-k+2)=a^2`
Stąd mamy:
`a^2=2^2=4`
`ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ )`
`"b)"\ (a^(-2k)a^(-k+2))/((a^-2)^k)=(a^(-2k+(-k+2)))/(a^(-2k))=(a^(-2k-k+2))/(a^(-2k))=(a^(-3k+2))/(a^(-2k))=a^(-3k+2-(-2k))=a^(-3k+2+2k)=a^(-k+2)`
Mamy:
`a^(-k+2)=2^(-(-1)+2)=2^(1+2)=2^3=8`
`ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ )`
`"c)"\ ((a^k)^(-3)a^-(1-2k))/((a^-k)^3)=(a^(-3k)a^(-1+2k))/a^(-3k)=a^(-3k+(-1+2k))/a^(-3k)=a^(-3k-1+2k)/a^(-3k)=a^(-k-1)/a^(-3k)=a^(-k-1-(-3k))=a^(-k-1+3k)=a^(2k-1)`
Stąd otrzymujemy:
`a^(2k-1)=2^(2*(-1)-1)=2^(-2-1)=2^-3=(1/2)^3=1/8`
© 2018 Odrabiamy.pl