Trójkąty podobne - matura-podstawowa - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Trójkąty podobne - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Znajdź trójkąt podobny do:

img05

Którego obwód jest równy 12.

Tutaj używamy cechy BBB. Pamiętamy, że k jest takie samo dla każdego boku więc będziemy dzielić każdy bok (obwód jest na bank mniejszy niż nasz obecny).

$Obw={20}/k+{16}/k+{12}/k$

$12={20+16+12}/k$

$12={48}/k$

$k=4$

Skoro dzielimy przez k, również boki musimy podzielić:

$A^' B^'={20}/4=5$

$B^' C^'={16}/4=4$

$A^' C^'={12}/4=3$

Zadanie 2.

Znajdź długość odcinka x:

img06

Tutaj użyjemy cechy BKB, dlaczego?

Mamy kąty wierzchołkowe:

img07

A one są takie same.

Sprawdźmy więc proporcjonalność boków.

$k=6/3=4/2=2$

Zatem już wiemy, że są podobne.

Zatem skoro 12 jest dwukrotnie większe od $x$ to nasze $x=6$.

Zadanie 3.

Trójkąty ABC i DEF są podobne, znajdź obwód trójkąta DF.

img08

Tutaj także użyjemy cechy BBB, ponieważ trójkąty są podobne, pozostaje obliczyć k:

$k={|DF|}/{|AC|} ={36}/9=4$

Zatem mnożymy przez 4 każdy bok:

$|BC|=10×4=40$

$|AB|=11×4=44$

Pozostaje obwód:

$Obw=44+40+36=120$

Spis treści

Rozwiązane zadania
Znajdź punkty przecięcia paraboli z osiami...

 

  • Wykres funkcji przecina oś Y dla argumentu x=0. Obliczamy f(0):

 

Wykres funkcji f przecina oś Y w punkcie (0, 0).{premium}

  • Odczytujemy miejsca zerowe funkcji f:

 

Wykres funkcji f przecina oś X w punktach (0, 0) oraz (-6, 0).

  • Korzystając ze wzoru w ramce w zadaniu 4 obliczamy pierwszą współrzędną wierzchołka paraboli, a następnie drugą współrzędną.

 

 

Wierzchołkiem paraboli jest punkt (-3, 9).

  • Szkicujemy wykres funkcji:


 

  • Wykres funkcji przecina oś Y dla argumentu x=0. Obliczamy f(0):

 

Wykres funkcji f przecina oś Y w punkcie (0, 5).

  • Odczytujemy miejsca zerowe funkcji f:

 

Wykres funkcji f przecina oś X w punktach (1, 0) oraz (5, 0).

  • Korzystając ze wzoru w ramce w zadaniu 4 obliczamy pierwszą współrzędną wierzchołka paraboli, a następnie drugą współrzędną.

 

 

Wierzchołkiem paraboli jest punkt (3, -4).

  • Szkicujemy wykres funkcji:


 

  • Wykres funkcji przecina oś Y dla argumentu x=0. Obliczamy f(0):

 

Wykres funkcji f przecina oś Y w punkcie (0, ³/₂).

  • Odczytujemy miejsca zerowe funkcji f:

 

Wykres funkcji f przecina oś X w punktach (-3, 0) oraz (1, 0).

  • Korzystając ze wzoru w ramce w zadaniu 4 obliczamy pierwszą współrzędną wierzchołka paraboli, a następnie drugą współrzędną.

 

 

Wierzchołkiem paraboli jest punkt (-1, 2).

  • Szkicujemy wykres funkcji:

Zbiorem wartości funkcji f jest ...

Wykres funkcji  dla  otrzymujemy przez przesunięcie wykresu funkcji  o  jednostek w dół wzdłuż osi . {premium}

 

Wykres funkcji  otrzymujemy przez przesunięcie wykresu funkcji  o  jednostki w dół wzdłuż osi .

Zbiorem wartości funkcji  będzie więc przedział:

 


 

Wykres funkcji  otrzymujemy przez przesunięcie wykresu funkcji  o  w dół wzdłuż osi .

Zbiorem wartości funkcji  będzie więc przedział:

 

Znajdź, o ile istnieje, najmniejszą lub największą...

 Dla funkcji  mamy:    

Współczynnik  paraboli jest dodatni, więc ramiona paraboli skierowane są do góry.

Zatem funkcja  {premium}  przyjmuje wartość najmniejszą w wierzchołku paraboli.

Obliczamy wyróżnik trójmianu kwadratowego:

 

Obliczamy najmniejszą wartość funkcji (rzędną wierzchołka paraboli):

 

   

  

 

 Dla funkcji  mamy:    

Współczynnik  paraboli jest ujemny, więc ramiona paraboli skierowane są do dołu.

Zatem funkcja  przyjmuje wartość nawiększą w wierzchołku paraboli.

Obliczamy wyróżnik trójmianu kwadratowego:

 

Obliczamy najjwiększą wartość funkcji (rzędną wierzchołka paraboli):

 

   

    

W grupie akrobatycznej jest 5 pań i 4 panów. Średnia ...

Przyjmijmy następujące oznaczenia:

 - waga najcięższej pani (w kilogramach)

 - waga najcięższego pana (w kilogramach)


Średnia waga pięciu pań wynosi 48 kg. Obliczamy łączną wagę pięciu pań. {premium}

 

Średnia waga czterech panów wynosi 51 kg. Obliczamy łączną wagę czterech panów.

 


Obliczamy łączną wagę wszystkich dziewięciu członków zespołu.

 


Wiemy również, że średnia waga wszystkich członków zespołu bez najcięższego pana i najcięższej pani jest równa  kg. Obliczamy łączną wagę tych siedmiu członków zespołu.

 


Możemy więc obliczyć łączą wagę najcięższej pani i najcięższego pana.

 


Zatem:

 


Średnia waga pań bez najcięższej pani jest o 2 kg mniejsza od średniej wagi panów bez najcięższego pana. Stąd:

 


Możemy więc zapisać:

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  


Najcięższa pani waży 52 kg, a waga najcięższego pana jest równa 57 kg.

 

Rozwiąż równanie ...

 

Wartość bezwzględna z dowolnej liczby jest nieujemna, więc  jest liczbą nieujemną. Wartość bezwzględna z kwadratu pewnej liczby jest równa tej liczbie tylko wtedy, gdy liczbą tą jest 0 lub 1. Zatem:

 {premium}


 

Wartość bezwzględna z dowolnej liczby jest nieujemna. Oznacza to, że  jest liczbą nieujemną, czyli  jest liczbą niedodatnią. Wartość bezwzględna z kwadratu pewnej liczby jest równa liczbie przeciwnej do tej liczby tylko wtedy, gdy liczbą tą jest 0 lub -1. Zatem:

 


 

Wartość bezwzględna z dowolnej liczby i kwadrat dowolnej liczby są nieujemne. Wartość bezwzględna z pewne liczby jest równa kwadratowi tej liczby tylko wtedy, gdy liczbą tą jest -1, 0 lub 1. Zatem:

 


 

Wartość bezwzględna z dowolnej liczby i kwadrat dowolnej liczby są nieujemne. Oznacza to, że  jest liczbą nieujemną, czyli  jest liczbą niedodatnią. Wartość bezwzględna z pewne liczby jest równa liczbie przeciwnej do kwadratu tej liczby tylko wtedy, gdy liczbą tą jest 0. Zatem:

 

Na rysunku przedstawiony jest wykres...

Z wykresu odczytujemy, że{premium}

 

 

Prawidłowa odpowiedź to T, B.

Suma liczb x i y zaznaczonych na osi liczbowej ...

Wykonajmy rysunek pomocniczy:



Wiemy, że suma liczb  jest równa 7, czyli:

 


Liczba  znajduje się siedem odcinków o długości  dalej niż liczba -4, więc: {premium}

 

Liczba  znajduje się jedenaści odcinków o długości  dalej niż liczba -4, więc:

 


Możemy więc zapisać: 

 

 

 

 


Wyznaczamy liczby  

 

 


Obliczamy iloczyn liczb .

 

Udowodnij, że jeżeli...

Wiemy, że:

 

zatem:  

    {premium}

 


Stosujemy powyższe podstawienie oraz korzystamy z wzoru na różnicę kwadratów:

 

 

 

ponieważ:

 

c. n. d. 

Liczby naturalne dodatnie x oraz y spełniają warunek 13x=20y...

Przypomnijmy, że liczbę naturalną, która nie jest liczbą pierwszą, nazywamy liczbą złożoną. {premium}


Wiemy, że liczby naturalne dodatnie x oraz y spełniają warunek

 

Zauważmy, że

 

wiemy, że  więc żeby wyrażenie

było liczbą naturalną dodatnią, to y musi musi być postaci

 

czyli dostajemy, że

 

zatem

 

zwróćmy uwagę, że liczba postaci 33k, ma dla każdej liczby naturalnej dodatniej k co najmniej cztery dzielniki

  

czyli jest to liczba złożona

 

c.n.d.

Jaki błąd bezwzględny popełnimy, jeżeli za

a)

{premium}

b)

c)