Trójkąty podobne - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Znajdź trójkąt podobny do:

img05

Którego obwód jest równy 12.

Tutaj używamy cechy BBB. Pamiętamy, że k jest takie samo dla każdego boku więc będziemy dzielić każdy bok (obwód jest na bank mniejszy niż nasz obecny).

$$Obw={20}/k+{16}/k+{12}/k$$

$$12={20+16+12}/k$$

$$12={48}/k$$

$$k=4$$

Skoro dzielimy przez k, również boki musimy podzielić:

$$A^' B^'={20}/4=5$$

$$B^' C^'={16}/4=4$$

$$A^' C^'={12}/4=3$$

Zadanie 2.

Znajdź długość odcinka x:

img06

Tutaj użyjemy cechy BKB, dlaczego?

Mamy kąty wierzchołkowe:

img07

A one są takie same.

Sprawdźmy więc proporcjonalność boków.

$$k=6/3=4/2=2$$

Zatem już wiemy, że są podobne.

Zatem skoro 12 jest dwukrotnie większe od $x$ to nasze $$x=6$$.

Zadanie 3.

Trójkąty ABC i DEF są podobne, znajdź obwód trójkąta DF.

img08

Tutaj także użyjemy cechy BBB, ponieważ trójkąty są podobne, pozostaje obliczyć k:

$$k={|DF|}/{|AC|} ={36}/9=4$$

Zatem mnożymy przez 4 każdy bok:

$$|BC|=10×4=40$$

$$|AB|=11×4=44$$

Pozostaje obwód:

$$Obw=44+40+36=120$$

Spis treści

Rozwiązane zadania
Czy funkcja o podanym zbiorze...

a) Funkcja przyjmuje wartość największą y = 3. Lecz nie przyjmuje wartości najmniejszej gdyż nie istnieje liczba, która ograniczałaby z dołu ten zbiór.

 

b) Funkcja nie przyjmuje wartości najmniejszej ani największej gdyż zbiór wartości jest zbiorem otwartym a więc na krańcach przedziałów znajdziemy liczby dowolnie im bliskie. np. Gdybyśmy ustalili, że zbiór ma wartość największą 9,999 to łatwo pokazać, że liczba 9,9999 jest od niej większa i znajduje się jeszcze bliżej liczby 10.

 

c) Funkcja ma wartość najmniejszą y = -3 lecz nie ma wartości największej. Podobnie jak w a)

 

d) Funkcja jest stale równa -100, która jest jednocześnie wartością najmniejszą gdyż nie ma liczby, która jest od niej mniejsza jak również największą gdyż nie ma od niej liczby większej. Gdy zbiór wartości będzie jednoelementowy to funkcja zawsze będzie miała wartość najmniejszą i największą równą tej liczbie.

Wypisz elementy zbioru

W przykładach a) i b) obliczamy pierwiastki, jeśli się da. 

`a)`

`A={0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6}`

`B={#sqrt4^((=2)),\ sqrt5,\ sqrt6,\#sqrt9^((=3))} `

`AnnB={2,\ 3}`

 

 

`b)`

`A={2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6}`

`B={root(3)4,\ root(3)6,\ #(root(3)8)^((=2)),\ root(3)9}`

`AnnB={2}`

 

 

`c)`

Jeśli się da, to skracamy ułamki. 

`A={2/3,\ 4/7,\ #(16/36)^((=4/9)),\ #(27/36)^((=3/4))}`

`B={1/2,\ 3/8,\ 4/9,\ #(12/18)^((=2/3)),\ #(18/24)^((=3/4))}`

`AnnB={2/3,\ 4/9,\ 3/4}`

 

Na podstawie wykresu funkcji określonej w przykładzie 4

`a)`

Wartość najmniejsza: brak

Wartość największa: 1 (dla x=-3)

 

 

`b)`

Wartość najmniejsza: brak

Wartość największa: 1,5 (dla x=-2)

 

 

`c)`

Wartość najmniejsza: -3 (dla x=1)

Wartość największa: -1 (dla x=3)

 

 

`d)`

Wartość najmniejsza: brak

Wartość największa: brak (x=5 nie należy do tego przedziału)

Rozwiąż równanie, korzystając ze wzoru ...

`a)` 

`4x^2-4x+1=0` 

`(2x-1)^2=0` 

`(2x-1)(2x-1)=0` 

`2x-1=0` 

`ul(x=1/2)` 

 

`b)` 

`x^2-14x+49` 

`(x-7)^2=0` 

`(x-7)(x-7)=0`  

`x-7=0` 

`ul(x=7)` 

 

`c)` 

`9x^2-6x+1=0` 

`(3x-1)^2=0` 

`(3x-1)(3x-1)=0` 

`3x-1=0` 

`ul(x=1/3)`        

Na rysunku obok przedstawiono wykres funkcji

Funkcja f powstała przez przesunięcie wykres funkcji y=x² o 1 jednostkę w górę. 

`f(x)=x^2+1`

 

Funkcja g powstała przez przesunięcie funkcji y=x² o 4 jednostki w dół. 

`g(x)=x^2-4`

Rozwiąż równanie

`a)`

`(2x-1)^2=(2x+3)^2`

`4x^2-4x+1=4x^2+12x+9\ \ \ |-4x^2`

`-4x+1=12x+9\ \ \ |-12x`

`-16x+1=9\ \ \ |-1`

`-16x=8\ \ \ |:(-16)`

`x=-1/2`

 

 

`b)`

`(3x+2)^2=(3x-4)(3x+4)`

`9x^2+12x+4=9x^2-16\ \ \ |-9x^2`

`12x+4=-16\ \ \ |-4`

`12x=-20\ \ \ |:12`

`x=-20/12`

`x=-5/3`

 

 

`c)`

`(3x+1)^2+(4x+1)^2=(5x+1)^2`

`(9x^2+6x+1)+(16x^2+8x+1)=25x^2+10x+1`

`9x^2+6x+1+16x^2+8x+1=25x^2+10x+1`

`25x^2+14x+2=25x^2+10x+1\ \ \ |-25x^2`

`14x+2=10x+1\ \ \ |-10x`

`4x+2=1\ \ \ |-2`

`4x=-1\ \ \ |:4`

`x=-1/4`

 

 

`d)`

`(sqrt2x-2)^2-2(x-1)^2=4x`

`2x^2-4sqrt2x+4-2(x^2-2x+1)=4x`

`2x^2-4sqrt2x+4-2x^2+4x-2=4x`

`4x-4sqrt2x+2=4x\ \ \ |-4x`

`-4sqrt2x+2=0\ \ \ |-2`

`-4sqrt2x=-2\ \ \ |:(-4sqrt2)`

`x=2/(4sqrt2)`

`x=1/(2sqrt2)`

`x=(sqrt2)/(2sqrt2*sqrt2)`

`x=(sqrt2)/(2*2)`

`x=sqrt2/4`

 

 

Podaj najmniejszą dodatnią liczbę naturalną podzielną przez

`a)\ 24`

`b)\ 60`

`c)\ 144`

`d)\ 120`

Dane jest równanie

`A.\ "prawda"`  

Dla k=1 i m=2 równanie przybiera postać:

`1*x+2=1\ \ \ |-2` 

`x=-1` 

 

 

`B.\ "fałsz"`  

Dla k=0 i m=0 równanie przybiera postać:

`0*x+0=1` 

`0+0=1` 

`0=1` 

Równanie jest sprzeczne. 

 

`C.\ "prawda"` 

W podpunkcie B sprawdziliśmy już, że dla k=0 i m=0 równanie jest sprzeczne. 

Podaj przykład dwóch liczb o nieskończonych okresowych

`a)`

`ul("przykład 1")`

`1/3=0,333...=0,(3)`

`2/3=0,666...=0,(6)`

Dodając te dwie liczby o nieskończonych okresowych rozwinięciach dziesiętnych otrzymamy liczbę całkowitą:

`1/3+2/3=1`

 

 

`ul("przykład 2")`

`1/6=0,1666...=0,1(6)`

`5/6=0,8333...=0,8(3)`

Dodając te dwie liczby o nieskończonych okresowych rozwinięciach dziesiętnych otrzymamy liczbę całkowitą:

`1/6+5/6=1`

 

 

`ul("przykład 3")`

`1 2/9=1,222...=1,(2)`

`1 7/9=1,777...=1,(7)`

Dodając te dwie liczby o nieskończonych okresowych rozwinięciach dziesiętnych otrzymamy liczbę całkowitą:

`1 2/9+1 7/9=3`

 

 

 

`b)`

`ul("przykład 1")`

`1/6=0,1(6)`

`2/6=1/3=0,(3)`

Dodając te dwie liczby o nieskończonych okresowych rozwinięciach dziesiętnych otrzymamy liczbę niecałkowitą o skończonym rozwinięciu dziesiętnym:

`1/6+2/6=3/6=1/2=0,5`

 

 

`ul("przykład 2")`

`6/18=1/3=0,(3)`

`3/18=1/6=0,1(6)`

Dodając te dwie liczby o nieskończonych okresowych rozwinięciach dziesiętnych otrzymamy liczbę niecałkowitą o skończonym rozwinięciu dziesiętnym:

`6/18+3/18=9/18=1/2=0,5`

 

 

`ul("przykład 3")`

`1/12=0,0833...=0,08(3)`

`2/12=1/6=0,1(6)`

Dodając te dwie liczby o nieskończonych okresowych rozwinięciach dziesiętnych otrzymamy liczbę niecałkowitą o skończonym rozwinięciu dziesiętnym:

`1/12+2/12=3/12=1/4=0,25`

 

 

 

 

`c)`

`ul("przykład 1")`

`1/9=0,111...=0,(1)`

`4/9=0,444...=0,(4)`

Dodając te dwie liczby o nieskończonych okresowych rozwinięciach dziesiętnych otrzymamy liczbę niecałkowitą o nieskończonym rozwinięciu dziesiętnym:

`1/9+4/9=5/9=0,555...=0,(5)`

 

 

`ul("przykład 2")`

`2/9=0,222...=0,(2)`

`13/99=0,1313...=0,(13)`

Dodając te dwie liczby o nieskończonych okresowych rozwinięciach dziesiętnych otrzymamy liczbę niecałkowitą o nieskończonym rozwinięciu dziesiętnym:

`2/9+13/99=22/99+13/99=35/99=0,3535...=0,(35)`

 

 

`ul("przykład 3")`

`123/999=0,123123...=0,(123)`

`201/999=0,201201...=0,(201)`

Dodając te dwie liczby o nieskończonych okresowych rozwinięciach dziesiętnych otrzymamy liczbę niecałkowitą o nieskończonym rozwinięciu dziesiętnym:

`123/999+201/999=324/999=0,324324...=0,(324)`

 

Narysuj wykres funkcji liniowej...

Jeżeli funkcja ma być dodatnia dla `x in (-3, oo)` to liczba -3 musi być miejscem zerowym funkcji. A więc:

`f(-3) = 0` 

 

Dodatkowo:

`f(0)=1` 

A więc punkt przecięcia z prostą y ma współrzędne (0,1). A więc wyraz wolny ma być równy 1.

 

`f(x) = ax+1` 

`f(-3) =0` 

`-3a+1=0` 

`-3a = -1` 

`a = 1/3` 

 

Wzór funkcji:

`f(x) = 1/3x + 1` 

Wykres: