Zgoda na przetwarzanie danych osobowych

25 maja 2018 roku zacznie obowiązywać Rozporządzenie Parlamentu Europejskiego i Rady (UE) 2016/679 z dnia 27 kwietnia 2016 r. znane jako RODO.

Dlatego aby dalej móc dostarczać Ci materiały odpowiednie do Twojego etapu edukacji, potrzebujemy zgody na lepsze dopasowanie treści do Twojego zachowania. Dzięki temu możemy zapamiętywać jakie materiały są Ci potrzebne. Dbamy o Twoją prywatność, więc nie zwiększamy zakresu naszych uprawnień. Twoje dane są u nas bezpieczne, a zgodę na ich zbieranie możesz wycofać na podstronie polityka prywatności.

Klikając "Przejdź do Odrabiamy", zgadzasz się na wskazane powyżej działania. W przeciwnym wypadku, nie jesteśmy w stanie zrealizować usługi kompleksowo i prosimy o opuszczenie strony.

Polityka prywatności

Drogi Użytkowniku w każdej chwili masz prawo cofnąć zgodę na przetwarzanie Twoich danych osobowych. Cofnięcie zgody nie będzie wpływać na zgodność z prawem przetwarzania, którego dokonano na podstawie wyrażonej przez Ciebie zgody przed jej wycofaniem. Po cofnięciu zgody wszystkie twoje dane zostaną usunięte z serwisu. Udzielenie zgody możesz modyfikować w zakładce 'Informacja o danych osobowych'

Trójkąty podobne - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Znajdź trójkąt podobny do:

img05

Którego obwód jest równy 12.

Tutaj używamy cechy BBB. Pamiętamy, że k jest takie samo dla każdego boku więc będziemy dzielić każdy bok (obwód jest na bank mniejszy niż nasz obecny).

$$Obw={20}/k+{16}/k+{12}/k$$

$$12={20+16+12}/k$$

$$12={48}/k$$

$$k=4$$

Skoro dzielimy przez k, również boki musimy podzielić:

$$A^' B^'={20}/4=5$$

$$B^' C^'={16}/4=4$$

$$A^' C^'={12}/4=3$$

Zadanie 2.

Znajdź długość odcinka x:

img06

Tutaj użyjemy cechy BKB, dlaczego?

Mamy kąty wierzchołkowe:

img07

A one są takie same.

Sprawdźmy więc proporcjonalność boków.

$$k=6/3=4/2=2$$

Zatem już wiemy, że są podobne.

Zatem skoro 12 jest dwukrotnie większe od $x$ to nasze $$x=6$$.

Zadanie 3.

Trójkąty ABC i DEF są podobne, znajdź obwód trójkąta DF.

img08

Tutaj także użyjemy cechy BBB, ponieważ trójkąty są podobne, pozostaje obliczyć k:

$$k={|DF|}/{|AC|} ={36}/9=4$$

Zatem mnożymy przez 4 każdy bok:

$$|BC|=10×4=40$$

$$|AB|=11×4=44$$

Pozostaje obwód:

$$Obw=44+40+36=120$$

Spis treści

Rozwiązane zadania
Rozwiąż równania

`a)`

`D=RR`

`x^2=6`

`(x=sqrt6\ \ vee\ \ x=-sqrt6)\ \ \ wedge \ \ \ x in D`

`x in{-sqrt6,\ sqrt6}`

 

 

 

`b)`

`D=RR`

`x^2+1=0`

`#(x^2)_(_(>=0))=-1`

Równanie nie ma rozwiązań.

 

 

 

`c)`

`D=RR`

`(3-x)*x=0`

`(3-x=0\ \ \ vee\ \ \ x=0)\ \ \ wedge\ \ \ x in D`

`x in{0,\ 3}`

 

 

 

`d)`

`D=RR`

`(x+9)*(x-1)=0`

`x+9=0\ \ \ vee\ \ \ x-1=0`

`(x=-9\ \ \ vee\ \ \ x=1)\ \ \ wedge\ \ \ x in D`

`x in{-9,\ 1}`

 

    

 

Wyrażenie można zapisać

Usuniemy niewymierność z mianownika. 

 

`6/(2sqrt3-3)=6/(2sqrt3-3)*(2sqrt3+3)/(2sqrt3+3)=(6(2sqrt3+3))/((2sqrt3)^2-3^2)=(6(2sqrt3+3))/(4*3-9)=(6(2sqrt3+3))/(12-9)=(6(2sqrt3+3))/3=2(2sqrt3+3)=4sqrt3+6\ \ \ \ \ odp.\ C`

   

Rozwiąż równanie ...

`(5x+2)/3-1/2=(2x-3)/4-2\ \ \ \ \ \ |*12`

`4(5x+2)-6=3(2x-3)-24`

`20x+8-6=6x-9-24`

`20x+2=6x-33\ \ \ \ |-2`

`20x=6x-35\ \ \ \ |-6x`

`14x=-35\ \ \ \ \ |:14`

`x=-35/14=-5/2=-2 1/2`

Zbadaj na podstawie definicji...

Definicja funkcji malejącej:

`AA_(x_1, x_2 \ in \ D_f) : \ x_1 < x_2 => f(x_1) > f(x_2)` 

Definicja funkcji rosnącej:

`AA_(x_1 , x_2 \ in \ D_f) : x_1 < x_2 => f(x_1) < f(x_2)` 

 

Słownie powiemy, że jeżeli dla dowolnych dwóch argumentów z dziedziny takich, że pierwszy jest mniejszy od drugiego wynika, że wartość funkcji dla mniejszego argumentu jest większa(mniejsza) od wartości funkcji dla większego argumentu to powiemy, że funkcja jest malejąca(rosnąca).

 

a) Niech

`x_1 < x_2, \ \ \ x_1, x_2 in (-oo, 1/2]`  

`f(x_1)> f(x_2)` 

`x_1^2 - x_1 > x_2^2 - x_2` 

`0 > x_2^2 - x_1^2 +x_1-x_2` 

`0> (x_2-x_1)(x_2+x_1)-(x_2-x_1)` 

`0 > (x_2-x_1)(x_2+x_1-1)` 

 

Zauważmy, że z założenia wiemy, że:

`x_2 - x_1 > 0` 

oraz

`x_2+x_1 -1 < 0` 

zatem stąd wynika, że dla dowolnych x1, x2 nierówność jest spełniona a więc w podanym przedziale funkcja jest malejąca.

 

b) Niech

`x_1 < x_2, \ \ \ x_1, x_2 in [2, oo)`

`f(x_1) > f(x_2)` 

`-x_1^2 + 3x_1 + 2 > -x_2^2 + 3x_2 + 2` 

`0 > x_1^2 - x_2^2 - 3x_1 + 3x_2` 

`0 > (x_1-x_2)(x_1+x_2)-3(x_1-x_2)` 

`0 > (x_1-x_2)(x_1+x_2-3)` 

 

Zauważmy, że z założenia wiemy, że:

`x_1 - x_2 < 0` 

oraz

`x_1+x_2-3 > 0` 

zatem nierówność jest spełniona dla dowolnych x1,x2 należących do przedziału zatem funkcja jest malejąca.

Na podstawie fragmentu wykresu funkcji kwadratowej...

Prawidłowa odpowiedź to `"C."` Obliczymy drugie miejsce zerowe `x_2,` by to pokazać.

Odcięta wierzchołka paraboli jest równa `2,` więc mamy:

`2=(-2+x_2)/2\ "/"*2` 

`4=-2+x_2` 

`x_2=6`       

Pan Malinowski otrzymał 140 zł ...

Oznaczmy:

x - pensja pana Malinowskiego.

Z treści zadania wiemy, że 7% jego pensji wynosi 140 zł. Stąd:

`7%*x=140` 

`7/100x=140\ \ \ \ \ |*100` 

`7x=14000\ \ \ \ \ \ |;7` 

`x=2000\ ["zł"]`  

 

Odp: Przed podwyżką pan Malinowski zarabiał 2000 zł.

Liczbę przedstaw w notacji wykładniczej.

`a) \ 5,383 = 5,383 * 10^0` 

 

`b) \ 243,3 = 2,433*10^2` 

 

`c) \ 677,6 = 6,776*10^2` 

 

`d) \ 63,39 = 6,339*10^1` 

 

`e) \ 9,718 = 9,718 * 10^0` 

Rozwiąż równania.

`a)`  

`x(x-5)=2x(x-1)`

`x^2-5x-2x^2+2x=0`

`-x^2-3x=0`  

`x(-x-3)=0`

 

`x=0\ \ \vee\ \ \x=-3` 

`x in {0;-3}` 

 

`b)` 

`2(1-5x)=(1-x)^2`

`2-10x-(1-x)^2=0`

`2-10x-1+2x-x^2=0`

`-x^2-8x+1=0`  

`Delta=64+4=68`

`sqrt(Delta)=2sqrt(17)`

 

`x_1=(8-2sqrt(17))/-2=sqrt(17)-4`  

`x_2=(8+2sqrt(17))/-2=-sqrt(17)-4` 

`x in {sqrt17-4;-sqrt17-4}` 

 

`c)`   

`(x^2+4)/5=(1-x)/2`

`2(x^2+4)=5(1-x)`  

`2x^2+8-5+5x=0`

`2x^2+5x+3=0`

`Delta=25-4*2*3=1`

`sqrt(Delta)=1`

 

`x_1=(-5-1)/4=-3/2`

`x_2=(-5+1)/4=-1` 

`x in {-3/2;-1}` 

 

`d)` 

`(x+1)^2/3=(x+4)^2/7-1`

`7(x+1)^2=3(x+4)^2-21`

`7(x^2+2x+1)=3(x^2+8x+16)-21`  

`7x^2+14x+7=3x^2+24x+48-21`

`4x^2-10x-20=0`

`2x^2-5x-10=0`

`Delta=25+80=105`

`sqrt(Delta)=sqrt(105)`

 

`x_1=(5-sqrt(105))/4`

`x_2=(5+sqrt(105))/4` 

`x in {(5-sqrt105)/4;(5+sqrt105)/4}` 

Oblicz

`a)\ root(3)(11^3)=11`

`b)\ root(3)((4/9)^3)=4/9`

`c)\ (root(3)7)^3=7`

`d)\ (root(3)(0,2))^3=0,2`

`e)\ root(3)27=3`

`f)\ root(3)(1/8)=1/2`

`g)\ root(3)(0,064)=0,4`

`h)\ root(3)(125\ 000)=50`

 

Oblicz wartość wyrażenia ...

Obliczamy wartość wyrażeń dla a=2 i k=-1.

W każdym przykładzie najpierw uprościmy wyrażenie, a potem bedziemy obliczać wartość dla podanych a i k.

`"a)"\ a^k/a^(k-2)=a^(k-(k-2))=a^(k-k+2)=a^2` 

Stąd mamy:

`a^2=2^2=4` 

`ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ )` 

`"b)"\ (a^(-2k)a^(-k+2))/((a^-2)^k)=(a^(-2k+(-k+2)))/(a^(-2k))=(a^(-2k-k+2))/(a^(-2k))=(a^(-3k+2))/(a^(-2k))=a^(-3k+2-(-2k))=a^(-3k+2+2k)=a^(-k+2)` 

Mamy:

`a^(-k+2)=2^(-(-1)+2)=2^(1+2)=2^3=8` 

`ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ )`

`"c)"\ ((a^k)^(-3)a^-(1-2k))/((a^-k)^3)=(a^(-3k)a^(-1+2k))/a^(-3k)=a^(-3k+(-1+2k))/a^(-3k)=a^(-3k-1+2k)/a^(-3k)=a^(-k-1)/a^(-3k)=a^(-k-1-(-3k))=a^(-k-1+3k)=a^(2k-1)`   

Stąd otrzymujemy:

`a^(2k-1)=2^(2*(-1)-1)=2^(-2-1)=2^-3=(1/2)^3=1/8`