Zgoda na przetwarzanie danych osobowych

25 maja 2018 roku zacznie obowiązywać Rozporządzenie Parlamentu Europejskiego i Rady (UE) 2016/679 z dnia 27 kwietnia 2016 r. znane jako RODO.

Dlatego aby dalej móc dostarczać Ci materiały odpowiednie do Twojego etapu edukacji, potrzebujemy zgody na lepsze dopasowanie treści do Twojego zachowania. Dzięki temu możemy zapamiętywać jakie materiały są Ci potrzebne. Dbamy o Twoją prywatność, więc nie zwiększamy zakresu naszych uprawnień. Twoje dane są u nas bezpieczne, a zgodę na ich zbieranie możesz wycofać na podstronie polityka prywatności.

Klikając "Przejdź do Odrabiamy", zgadzasz się na wskazane powyżej działania. W przeciwnym wypadku, nie jesteśmy w stanie zrealizować usługi kompleksowo i prosimy o opuszczenie strony.

Polityka prywatności

Drogi Użytkowniku w każdej chwili masz prawo cofnąć zgodę na przetwarzanie Twoich danych osobowych. Cofnięcie zgody nie będzie wpływać na zgodność z prawem przetwarzania, którego dokonano na podstawie wyrażonej przez Ciebie zgody przed jej wycofaniem. Po cofnięciu zgody wszystkie twoje dane zostaną usunięte z serwisu. Udzielenie zgody możesz modyfikować w zakładce 'Informacja o danych osobowych'

Trójkąty podobne - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Znajdź trójkąt podobny do:

img05

Którego obwód jest równy 12.

Tutaj używamy cechy BBB. Pamiętamy, że k jest takie samo dla każdego boku więc będziemy dzielić każdy bok (obwód jest na bank mniejszy niż nasz obecny).

$$Obw={20}/k+{16}/k+{12}/k$$

$$12={20+16+12}/k$$

$$12={48}/k$$

$$k=4$$

Skoro dzielimy przez k, również boki musimy podzielić:

$$A^' B^'={20}/4=5$$

$$B^' C^'={16}/4=4$$

$$A^' C^'={12}/4=3$$

Zadanie 2.

Znajdź długość odcinka x:

img06

Tutaj użyjemy cechy BKB, dlaczego?

Mamy kąty wierzchołkowe:

img07

A one są takie same.

Sprawdźmy więc proporcjonalność boków.

$$k=6/3=4/2=2$$

Zatem już wiemy, że są podobne.

Zatem skoro 12 jest dwukrotnie większe od $x$ to nasze $$x=6$$.

Zadanie 3.

Trójkąty ABC i DEF są podobne, znajdź obwód trójkąta DF.

img08

Tutaj także użyjemy cechy BBB, ponieważ trójkąty są podobne, pozostaje obliczyć k:

$$k={|DF|}/{|AC|} ={36}/9=4$$

Zatem mnożymy przez 4 każdy bok:

$$|BC|=10×4=40$$

$$|AB|=11×4=44$$

Pozostaje obwód:

$$Obw=44+40+36=120$$

Spis treści

Rozwiązane zadania
Podaj równanie paraboli, która jest zbiorem punktów równo odległych

`a)\ y=1/(4*1/6)x^2=` `1/(4/6)x^2=6/4x^2=3/2x^2` 

`b)\ y=1/(4*(-1/2))x^2=1/(-2)x^2=-1/2x^2` 

Ile wynosi wysokość drzewa...

Żeby obliczyć wysokość drzewa h, wystarczy policzyć tangensa kąta pod jakim widać słońce nad linią horyzontu, a więc:

`tg \ 50^o = h/18` 

`h = 18* tg \ 50^o = 18*1,1918 = 21,4524 approx 21,45 \ ["m"]` 

Określ liczbę pierwiastków równania.

Aby określić liczbę pierwiastków równania wystarczy policzyć `Delta` 

Jeśli `Delta>0` równanie ma 2 pierwiastki.

Jeśli `Delta=0` równanie ma 1 pierwiastek.

Jeśli `Delta<0` równanie nie ma pierwiastków.


a) `9x^2+6x+1=0` 

`Delta=6^2-4*9*1=36-36=0` 

Jeden pierwiastek.


b) `7x+2x^2-10=0` 

`2x^2+7x-10=0` 

`Delta=7^2-4*2*(-10)=49+80=129` 

Dwa pierwiastki.


c) `x^2+4-3x=0` 

`x^2-3x+4=0` 

`Delta=(-3)^2-4*1*4=9-16=-7` 

Brak pierwiastków.


d) `-2+1/4x^2-0,5x=0` 

`1/4x^2-0,5x-2=0` 

`1/4x^2-1/2x-2=0` 

`Delta=(-1/2)^2-4*1/4*(-2)=1/4+2=2 1/4` 

Dwa pierwiastki.


e) `sqrt3x^2-2x+sqrt3/3=0` 

`Delta=(-2)^2-4*sqrt3*sqrt3/3=4-4=0` 

Jeden pierwiastek.


f) `sqrt7x+12x^2+1/6=0` 

`12x^2+sqrt7x+1/6=0` 

`Delta=(sqrt7)^2-4*12*1/6=7-8=-1` 

Brak pierwiastków.


g) `-x^2-16+8x=0` 

`-x^2+8x-16=0` 

`Delta=8^2-4*(-1)*(-16)=64-64=0` 

Jeden pierwiastek.


h) `1/2x-2sqrt2x^2+0,25=0` 

`-2sqrt2x^2+1/2x+1/4=0` 

`Delta=(1/2)^2-4*(-2sqrt2)*1/4=1/4+2sqrt2` 

Dwa pierwiastki.

Punkty A(-3,1) i B(2,-1) są wierzchołkami trójkąta...

Rysunek poglądowy:

Punkt C ma współrzędne:

`C = (x^', 2x^'+7)` 

 

Wyznaczmy środek odcinka BC:

`S_("BC") = ((x_B+x_C)/2,(y_B + y_C)/2) = ((2+x_C)/2,(y_C-1)/2) = ((2+x^')/2,(2x^'+7-1)/2) = ((x^'+2)/2,(2x^'+6)/2) = ((x^'+2)/2,x^'+3)` 

Środek odcinka BC należy do środkowej y=x+4 , podstawmy pierwszą wsp

`y=x+4` 

`x^'+3 = (x^'+2)/2+4 \ \ \ |*2` 

`2x^'+6 = x^'+2 + 8` 

`x^' + 6 = 10` 

`x^' = 4` 

 

A więc:

`C = (4,15)` 

 

Prosta AB:

`{(f(-3)=1),(f(2)=-1):}` 

`{(-3a+b=1),(2a+b=-1):}` 

`underline(underline(stackrel(\)(-) \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \))` 

`-5a = 2` 

`a = -2/5` 

 

`-3*(-2/5)+ b = 1` 

`6/5 + b = 1` 

`b = -1/5` 

 

`"AB": \ y = -2/5 - 1/5` 

 

Prosta BC:

`{(g(2)=-1),(g(4)=15):}` 

`{(2a+b=-1),(4a+b=15):}`

`underline(underline(stackrel(\)(-) \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \))` 

`-2a=-16` 

`a = 8` 

 

`2*8+b=-1` 

`16+b = -1` 

`b = -17` 

 

`"BC" : \ y = 8x-17` 

Przeczytaj podane w ramce definicje

`a)` 

`"założenia:"\ \ \ a,\ b>0,\ \ \ (a+b)/2=sqrt(ab)=2/(1/a+1/b)` 

`"teza:"\ \ \ a=b` 

`"dowód:"` 

Zauważmy, że średnią harmoniczną liczb a i b można zapisać w sposób równoważny:

`2/(1/a+1/b)=2/(b/(ab)+a/(ab))=2/((b+a)/(ab))=2:(b+a)/(ab)=2*(ab)/(b+a)=(2ab)/(b+a)=(2ab)/(a+b)` 

 

Z założenia wiadomo, że zachodzi równość średnich:

`(a+b)/2=sqrt(ab)=(2ab)/(a+b)` 

Zajmijmy się najpierw pierwszą równością:

`(a+b)/2=sqrt(ab)\ \ \ \ |*2` 

`a+b=2sqrt(ab)\ \ \ \ |-2sqrt(ab)` 

`a-2sqrt(ab)+b=0` 

`sqrta^2-2*sqrta*sqrtb+sqrtb^2=0` 

Korzystając ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat róznicy możemy zapisać:

`(sqrta-sqrtb)^2=0` 

Kwadrat liczby jest równy zero, tylko wtedy, gdy ta liczba jest równa zero:

`sqrta-sqrtb=0\ \ \ |+sqrtb` 

`sqrta=sqrtb` 

Liczby a i b są dodatnie (z założenia); dwa pierwiastki kwadratowe są sobie równe, jeśli liczby pod pierwiastkiem są sobie równe:

`a=b` 

 

 

Teraz zajmiemy się drugą równością.

`sqrt(ab)=(2ab)/(a+b)\ \ \ \ |*(a+b)` 

`(a+b)sqrt(ab)=2ab` 

Rozpisując, dążymy do uzyskania wzoru skróconego mnożenia na kwadrat różnicy. 

`asqrt(ab)+bsqrt(ab)=2ab` 

`sqrt(asqrt(ab))^2+sqrt(bsqrt(ab))^2=2*sqrt(ab*ab)`  

`sqrt(asqrt(ab))^2+sqrt(bsqrt(ab))^2=2*sqrt(a*b*ab)`   

`sqrt(asqrt(ab))^2+sqrt(bsqrt(ab))^2=2*sqrt(a*b*sqrt(ab)*sqrt(ab))`  

`sqrt(asqrt(ab))^2+sqrt(bsqrt(ab))^2=2*sqrt(asqrt(ab)*bsqrt(ab))` 

`sqrt(asqrt(ab))^2-2*sqrt(ab)*sqrt(ab)+sqrt(bsqrt(ab))^2=0` 

`(sqrt(asqrt(ab))-sqrt(bsqrt(ab)))^2=0` 

`sqrt(asqrt(ab))-sqrt(bsqrt(ab))=0` 

`sqrt(asqrt(ab))=sqrt(bsqrt(ab))` 

Podobnie jak poprzednio, możemy podnieść równość obustronnie do kwadratu, ponieważ przyjmuje ona wartości dodatnie. 

`asqrt(ab)=bsqrt(ab)\ \ \ \ |-bsqrt(ab)` 

`asqrt(ab)-bsqrt(ab)=0` 

`sqrt(ab)(a-b)=0` 

Pierwiastek z iloczynu liczb a i b jest dodatni (bo liczby a i b są dodatnie), więc nie przyjmuje wartości zero. Stą:

`a-b=0\ \ \ |+b` 

`a=b` 

 

Obie rozważane równości dały równość z tezy, co kończy dowód. 

 

 

`b)` 

 `"założenia:"\ \ \ a,\ b>0,\ \ \ aneb`   

`"teza:"\ \ \ 2/(1/a+1/b)<sqrt(ab)<(a+b)/2` 

`"dowód:"` 

Najpierw pokażemy, że zachodzi pierwsza z nierówności, czyli:

`2/(1/a+1/b)<sqrt(ab)` 

Musimy więc pokazać, że zachodzi nierówność:

`2/(1/a+1/b)-sqrt(ab)<0` 

 

Zbadajmy więc znak wyrażenia (wykorzystamy inną postać średniej harmonicznej, którą wyprowadziliśmy w podpunkcie a). 

`2/(1/a+1/b)-sqrt(ab)=(2ab)/(a+b)-sqrt(ab)=(2ab)/(a+b)-((a+b)sqrt(ab))/(a+b)=(2ab-(a+b)sqrt(ab))/(a+b)=(-asqrt(ab)+2ab-bsqrt(ab))/(a+b)=-(asqrt(ab)-2ab+bsqrt(ab))/(a+b)=` 

Skorzystamy z równości, którą wykorzystywaliśmy w podpunkcie a (przy rozpisywaniu drugiej równości).

`=-((sqrt(asqrt(ab))-sqrt(bsqrt(ab)))^2)/(a+b)<0` 

Licznik powyższego ułamka jest kwadratem pewnego wyrażenia, więc przyjmuje wyłącznie wartości ujemne (nie przyjmuje wartości 0, bo liczby a i b były różne). Mianownik to suma dwóch liczb dodatnich (a i b), więc przyjmuje wyłącznie wartości dodatnie. Stąd ułamek przyjmuje wartości dodatnie, ale stoi przed nim minus, więc całe wyrażenie przyjmuje wyłącznie wartości ujemne (mniejsze lub równe 0). W ten sposób udowodniliśmy, że dla dwóch różnych liczb dodatnich średnia harmoniczna jest mniejsza od średniej geometrycznej. 

 

Teraz udowodnimy, że zachodzi druga z nierówności, czyli:

`sqrt(ab)<(a+b)/2` 

 

Musimy więc pokazać, że zachodzi nierówność:

`sqrt(ab)-(a+b)/2<0` 

 

 

Zbadajmy więc znak wyrażenia:

`sqrt(ab)-(a+b)/2=(2sqrt(ab))/2-(a+b)/2=(2sqrt(ab)-(a+b))/2=(2sqrtab-a-b)/2=-(-2sqrt(ab)+a+b)/2=-(a-2sqrt(ab)+b)/2=` 

`=-1/2(a-2sqrt(ab)+b)=-1/2(sqrta^2-2*sqrta*sqrtb+sqrtb^2)=-1/2(sqrta-sqrtb)^2<0` 

Liczby a oraz b są różne, więc różnica ich pierwiastków jest różna od zera. Jeśli podniesiemy liczbę niezerową do kwadratu (niezależnie od tego, czy ta liczba jest dodatnia czy ujemna), to otrzymamy liczbę dodatnią. Jeśli pomnożymy ją przez minus jedną drugą, to otrzymamy liczbę ujemną. W ten sposób udowodniliśmy, że dla dwóch różnych liczb dodatnich średnia geometryczna jest mniejsza od średniej arytmetycznej. 

 

Odczytaj z rysunku rozwiązanie

Szukamy współrzędnych punktu przecęcia prostych o zadanych równaniach, ma on współrzędne (2; 3). Sprawdzamy, czy współrzędne tego punktu spełniają pierwsze równanie układu:

`3#=^?2*2-1`

`3#=^?4-1`

`3#=^?3`

Współrzędne punktu (2; 3) spełniają pierwsze równanie układu. 

 

 

Sprawdzamy, czy współrzędne tego punktu spełniają drugie równanie układu: 

`3#=^?1/2*2+2`

`3#=^?1+2`

`3#=^?3`

Współrzędne punktu (2; 3) spełniają drugie równanie układu. 

 

Jeśli współrzędne punktu (2; 3) spełniają oba równania układu równań, to punkt (2; 3) jest rozwiązaniem tego układu. 

Czy każda funkcja a) rosnąca b) malejąca

a)

Każda funkcja rosnąca jest różnowartościowa.

Uzasadnienie:

Porównajmy definicję funkcji różnowartościowej i definicję funkcji rosnącej. Funkcja rosnąca to taka funkcja, która dowolnym argumentom x1 i x2, takim, że x1<x2 przyporządkowuje wartości f(x1) i f(x2), takie, że f(x1)<f(x2). Funkcja różnowartościowa dowolnym argumentom x1 i x2, takim, że x1≠x2, przyporządkowuje wartości f(x1) i f(x2), takie, że f(x1)≠f(x2). 

Jeśli:

`x_1<x_2`          to jednocześnie        `x_1!=x_2`

A jeśli

`f(x_1)<f(x_2) `               to jednocześnie        `f(x_1)!=f(x_2)`

b)

Każda funkcja malejąca jest różnowartościowa.

Uzasadnienie:

Porównajmy definicję funkcji różnowartościowej i definicję funkcji malejącej. Funkcja malejąca to taka funkcja, która dowolnym argumentom x1 i x2, takim, że x1<x2 przyporządkowuje wartości f(x1) i f(x2), takie, że f(x1)>f(x2). Funkcja różnowartościowa dowolnym argumentom x1 i x2, takim, że x1≠x2, przyporządkowuje wartości f(x1) i f(x2), takie, że f(x1)≠f(x2). 

Jeśli:

`x_1<x_2`          to jednocześnie        `x_1!=x_2`

A jeśli

 `f(x_1)>f(x_2)`               to jednocześnie        `f(x_1)!=f(x_2)`

Przybliżona wartość pewnej wielkości, podana

`(|x-a|)/(|x|)=10% `

`(|x-0,2|)/(|x|)=0,1`              `/*|x|`

`|x-0,2|=0,1|x|`

Przybliżona wartość pewnej wielkości jest równa 0,2 to też wielkość ta jest liczbą dodatnią, zatem |x|=x. Wartość modułu po lewej stronie przyjmuje znak zależny od tego czy przybliżenie podane jest z nadmiarem czy z niedomiarem.

  • Z nadmiarem:

`x<0,2 \ \ czyli \ \ \ x-0,2<0 `

`-(x-0,2)=0,1x`

`-x+0,2=0,1x `

`0,2=0,1x+x `

`0,2=1,1x`         `/:1,1`

`x=0,(18)`

  • Z niedomiarem:

`x>0,2 \ \ \ czyli \ \ \ x-0,2>0`

`x-0,2=0,1x`

`x-0,1x=0,2` 

`0,9x=0,2`        `/:(0,9)`

`x=0,(2)`

 

Przeczytaj informację w ramce ...

`a)` 

`f(x)=sgn(x-3)={(1\ "dla"\ x-3>0),(0\ "dla"\ x-3=0),(-1\ "dla"\ x-3<0):}`  

`f(x)={(1\ "dla"\ x >3),(0\ "dla"\ x =3),(-1\ "dla"\ x <3):}`    

 

`b)` 

`f(x)=sgn(x+1)={(1\ "dla"\ x+1>0),(0\ "dla"\ x+1=0),(-1\ "dla"\ x+1<0):}`    

`f(x)={(1\ "dla"\ x > -1),(0\ "dla"\ x =-1),(-1\ "dla"\ x <-1):}` 

 

`c)` 

`f(x)=sgn|x|={(1\ "dla"\ |x|>0),(0\ "dla"\ |x|=0),(-1\ "dla"\ |x|<0):}`    

`f(x)={(1\ "dla"\ x > 0\ \ \vv\ \ \x<0),(0\ "dla"\ x=0),(-1\ "dla"\ x in emptyset):}`   

 

`d)` 

`f(x)=|sgnx|={(|1|\ "dla"\ x>0),(|0|\ "dla"\ x=0),(|-1|\ "dla"\ x<0):}`      

`f(x) ={(1\ "dla"\ x>0),(0\ "dla"\ x=0),(1\ "dla"\ x<0):}`      

` `

Suma długości przyprostokątnych trójkąta ...

a) Wiemy, że suma dłlugości przyprostokątnych trójkąta prostokątnego wynosi 8 cm.

Oznaczamy długości przyprostokątnych jako x i z.

Wyznaczamy długość z w zależności od długości x:

`x+z=8\ \ \ \ \ \ \ \|-x` 

`z=8-x` 

 

Określamy funkcję opisaującą pole trójkata prostokątnego w zależności od długości przyprostokątnych:

`f(x)=(x(8-x))/2=(8x-x^2)/2=4x-1/2x^2`  

(długości boków muszą być większe od 0, stąd dziedzina funkcji (0,8)).

Ramiona paraboli będącej wykresem funkcji f(x) są skierowane w dół, więc największa wartość funkcji (czyli największe pole trójkąta)

jest równa współrzędnej y-kowej wierzchołka paraboli.

Wyznaczamy argument, dla którego osiągana jest największa wartość:

`x_w=-4/-1=4` 

`f(x_w)=4*4-1/2*4^2=16-1/2*16=16-8=8`  

 

Odp: Maksymalna wartość pola trójkąta wynosi więc 8 cm.

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))` 

b) Oznaczmy długość przeciwprostokątnej trójkąta jako c.

Wówczas z tw. Pitagorasa:

`c^2=x^2+z^2` 

`c^2=x^2+(8-x)^2` 

`c^2=x^2+64-16x+x^2` 

`c^2=2x^2-16x+64` 

`c=sqrt(2x^2-16x+64)` 

 

Wyznaczamy wzór opisujący długość przeciwprostokątnej w zależności od długości przyprostokątnej x:

`h(x)=sqrt(2x^2-16x+64)` 

Liczba znajdująca się po pierwiastkiem musi być liczbą większą od 0 (nie może być zerem, gdyż h(x) oznacza długość przeciwprostokatnej, a długość jest zawse >0).

Rozwiązujemy nierówność:

`2x^2-16x+64>0` 

Liczymy wyróżnik funkcji:

`Delta=(-16)^2-4*2*64=256-512=-256` 

Ramiona paraboli określonej wzorem y=2x2-16x+64 są skierowane do góre (a=2), więc cały wykres znajduje się nad osią X.

Parabola osiąga wartość najmniejszą w wierzchołku, stąd:

`x_w=16/4=4`  

`y_w=2*4^2-16*4+64=32-64+64=32`  

Najmniejsza możliwa wartość uzyskana pod znakiem pierwiastka wynosi 32, stąd:

`h(4)=sqrt32=4sqrt2\ ["cm"]`  

 

Odp: Najkrótsza przeciwprostokątna będzie mięc długość równą 42 cm.