Trójkąty podobne - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Ze wzoru funkcji w postaci kanonicznej odczytujemy współrzędne wierzchołka paraboli - jest nim punkt{premium}  

Współczynnik przy x² jest dodatni, więc najmniejsza wartość funkcji jest równa drugiej współrzędnej wierzchołka paraboli, czyli  

---

Sprawdzamy, dla jakich wartości k najmniejsza wartość funkcji f jest większa od -4:

 

 

 

 

 

Największą liczbą całkowitą należącą do przedziału (-4, 4) jest k=3 - jest to największa wartość k, dla której najmniejsza wartość funkcji f jest większa od -4.

 {premium}

 

 

 

 

 

Korzystając z praw działań na logarytmach otrzymujemy: {premium}

 

Zauważmy, że:

 

 

Odp. D

Oś symetrii to prosta prostopadła do osi x przechodzącą przez wierzchołek paraboli.

Pierwszą współrzędną możemy policzyć biorąc średnią arytmetyczną liczb, które są miejscami zerowymi funkcji f, gdyż z uwagi na fakt, że przez wierzchołek przechodzi oś symetrii to obie liczby są oddalone w równej odległości od niego.

{premium}  

 

A więc x = -4

Rozwiążmy nierówność:{premium}

 

 

 

 

Stąd:

 

Oznaczmy współrzędne środka okręgu przez:

 

 

Wtedy:

 

zatem

   

 

 

 

Przyrównajmy drugie i trzecie równanie do siebie:

 

 

 

{premium}  

Zatem:

  

Przyrównajmy drugie i trzecie równanie do siebie:

 

 

 

 

 

 

Stąd:

 

 

Równanie okregu:

 

 

b) W tym podpunkcie zastosujemy własność okręgu by wyznaczyć środek okręgu. Weźmiemy dwie dowolne cięciwy, wyznaczymy ich środki a następnie wyznaczymy proste prostopadłe do tych cięciw, przechodzące przez ich środki. Punkt przecięcia się tych prostych będzie środkiem okręgu.

 

Równanie prostej zawierającej cięciwę AB:

  

 

 

 

 

 

 

Środek cięciwy AB:

 

 

Równanie prostej prostopadłej do prostej AB, przechodzącej przez środek cięciwy AB:

 

Podstawmy współrzędne środka:

 

 

 

 

 

 

Równanie prostej zawierającej cięciwę AC:

 

 

 

 

 

 

 

 

Środek cięciwy AC:

 

 

Równanie prostej prostopadłej do prostej AC, przechodzącej przez środek cięciwy AC:

 

Podstawmy współrzędne środka cięciwy AC:

 

 

 

 

 

 

 

Wyznaczmy środek okręgu:

 

 

 

 

stąd

 

 

 

 

Środek okręgu ma współrzędne:

 

Obliczmy długość promienia:

 

 

Równanie okręgu:

 

Szkicujemy wykres funkcji .

 {premium}

Wykres funkcji  otrzymujemy przez przesunięcie wykresu funkcji  o  jednostek w górę (dla ) lub o  jednostek w dół (dla ) wzdłuż osi . 

 

Zbiorem wartości funkcji  jest przedział: . Jeżeli zbiorem wartości funkcji  ma być przedział , to wykres funkcji  należy przesunąć o 2 jednostki w górę wzdłuż osi . Zatem:

 

 

 

---

 

Zauważmy, że po przesunięciu wykresu funkcji  o 2 jednostki w górę wzdłuż osi  otrzymamy wykres funkcji , która ma dwa miejsca zerowe: -2 i 2. Zatem:

 

Skoro ciąg geometryczny jest malejący, to:

 

 

 

 

 

  

      

 

 

  - ciąg arytmetyczny   

Skorzystajmy z własności ciągu arytmetycznego - środkowy wyraz jest średnią arytmetyczną dwóch skrajnych wyrazów:

    

 

  

  

 

 

  

 

 

 

Chcemy powiązać w jakiś sposób powyższe równanie z równaniem    - przekształćmy więc je jak poniżej:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

         

 

 

Podstawmy obliczoną wartość a do równania:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

   - to rozwiązanie odrzucamy, ponieważ nie spełnia założenia, że         

 

 

 

 

 

 

 

      

 

 

 

 

{premium}

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Odrzucamy drugą możliwość, ponieważ kwadrat każdej liczby rzeczywistej jest nieujemny.

 

 

Odrzucamy drugą możliwość, ponieważ kwadrat każdej liczby rzeczywistej jest nieujemny.

 

     

Alternatywa dwóch zdań jest prawdziwa, jeśli choć jedno zdanie tworzące alternatywę jest prawdziwe. 

 

Oba zdania tworzące alternatywę są prawdziwe, więc wartość logiczna zdania jest równa 1. 

{premium}

Pierwsze zdanie budujące alternatywę jest prawdziwe, a drugie zdanie budujące alternatywę jest fałyszwe. Wartość logiczna zdania jest równa 1. 

 

Pierwsze zdanie budujące alternatywę jest fałszywe, a drugie zdanie budujące alternatywę jest prawdziwe (bo kwadrat liczby -2 to 4, a kwadrat liczby -1 to 1). Wartość logiczna zdania jest równa 1. 

 

Oba zdania tworzące alternatywę są fałszywe, więc wartość logiczna zdania jest równa 0.