Transformacja funkcji - matura-podstawowa - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Transformacja funkcji - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Przesunięcie o wektor

Przesunięcie o wektor to transformacja polegając na przesunięciu wykresu funkcji o ileś pól po osi X (w lewo lub w prawo) i po osi Y (w górę lub w dół).

Oznaczmy sobie funkcję bazową jako $f(x)$ i zawsze transformujmy wg tego wzoru:
$f(x-a)+b$

gdzie a to ilość pól wzdłuż osi x, a b ilość pól wzdłuż osi y. Oznacza to przesunięcie o wektor [a;b].

Załóżmy, że będziemy przesuwać zawsze o 5 pól, co daje wzory:

O pięć pól w górę: $f(x)+5$

O pięć pól w dół: $f(x)-5$

O pięć pól w lewo: $f(x+5)$

O pięć pól w prawo: $f(x-5)$

Możemy też przesuwać jednocześnie

O pięć pól w lewo i o pięć pól w dół: $f(x+5)-5$

Jak to wygląda na rysunku?

Spójrz na wykres:

wyk1

Przesuńmy go o 3 w górę:

Wtedy musimy wszystkie punkty zgięcia przesunąć o 3 w górę a potem połączyć, tak jak zostało to przedstawione na rysunku:

wyk2

Teraz nasz wzór to $f(x)+3$ Tak samo możemy zrobić z X i Y równocześnie, przesuńmy wykres bazowy (o wzorze $f(x)$):

wyk1

O wektor $[-2;-1]$

Nie boimy się słowa wektor, po prostu o 2 w lewo, bo -2 powoduje, że odejmujemy od współrzędnej X dwa pola, a -1 w dół, bo odejmujemy jedno pole od Y.

Znów po punktach:

wyk3
Wzór takiego nowego wykresu to $f(x+2)-1$.
 

Symetria osiowa (względem osi współrzędnych)

Czyl odbicie wykresu względem osi Y lub osi X. Jak się zachowa wzór przy takiej transformacji?

Odbicie względem osi X: $-f(x)$

Odbicie względem osi Y: $f(-x)$

Weźmy ponownie nasz bazowy wykres:

wyk1
 Przekształćmy go najpierw względem osi X. Symetria osiowa względem osi X polega na znalezieniu dla każdego punktu jego odbicia po przeciwnej stronie osi X, takiego że odcinek łączący wyjściowy punkt i jego odbicie jest prostopadły do osi X i przecina ją w połowie. Brzmi skomplikowanie, ale chodzi o zwykłe odbicie.

wyk4

Teraz musimy jeszcze odbić względem osi Y czyli $f(-x)$:

wyk5

Uwaga!


Zazwyczaj w zadaniach określone zostaną złożone transformacje, czyli wykorzystanie wektora przesunięcia i symetrii osiowej jednocześnie, a wektor będzie przesuwał i po osi x i po osi y. Dlatego dobrze jest najpierw rozpoznać co zaszło.


Najlepiej pokazać to na jeszcze jednym przykładzie:

Jakaś nieznana funkcja bazowa f(x) została przetransformowana do innej funkcji $g(x)=2x+1$ przy pomocy wektora [2;5]. Znajdź tę bazową funkcję.
Zrobimy to zadanie na dwa sposoby:

Sposób 1, przez sprowadzenie do postaci f(x-a)+b:

Szukamy tutaj bazowego wykresu. Skoro zawsze transformacją o wektor było f(x-a)+b gdzie a i b to dowolne liczby, to tutaj nasze $a=2$ oraz $b=5$. Mamy więc przesunięcie o 2 w prawo i 5 w górę, a nasz bazowy wykres to taki, który zostanie po usunięciu a i b. Musimy doprowadzić nasze g(x) do postaci $g(x)=f(x-2)+5$. W tym celu musimy wydzielić w funkcji człon x-2: $g(x)=2x+1=2(x-2)+2*2+1=2(x-2)+5$. Teraz "usuwamy" a i b (wstawiamy zamiast nich zera): $f(x)=2(x-0)+0=2x$

Sposób 2, przez użycie wektora przeciwnego:

W poprzedniej metodzie "usunęliśmy" a i b, czyli wstawiliśmy zamiast nich zera. Ten sam efekt uzyskalibyśmy odejmując a i b w odpowiednich miejscach, czyli transformując o wektor [-2;-5]. Zresztą czego innego można się spodziewać? Skoro przesunęliśmy bazową funkcję o wektor [a;b], odzyskamy ją, przesuwając to co powstało w drugą stronę, czyli o wektor przeciwny [-a;-b]. Zróbmy to więc! Nasze "to co powstało" to $g(x)=2x+1$. Przesuńmy je o [-2;-5]:

$f(x)=g(x-(-2))+(-5)=g(x+2)-5=2(x+2)+1-5=2x+4+1-5=2x$

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Poniższy wykres przetransformuj o wektor $[-2;1]$.

zad1

Mamy tutaj wektor podany na tacy, przesuwamy o 2 w lewo (bo -2) i o 1 w górę (bo +1).

roz1

Zadanie 2.

Narysuj wykres funkcji $g(x)=(x-3)^2+2$.  

Wszyscy znamy wykres funkcji $f(x)=x^2$. Wystarczy w naszej g(x) rozpoznać funkcję bazową f(x) przesuniętą o pewien wektor [a,b].

Wg naszego wzoru $(x-3)^2+2=g(x)=f(x-a)+b=(x-a)^2+b$

Stąd mamy: $a=3$ oraz $b=2$

Gdy "usuniemy" a i b zostanie:

$f(x)=x^2$

Musimy zatem narysować funkcję bazową $f(x)=x^2$, a potem przesunąć ją o wektor [3;2]

Wykres funkcji bazowej:

roz2
Teraz przesuwamy wykres o 3 w prawo i o 2 w górę. Wystarczy dokładnie przesunąć sam wierzchołek paraboli, resztę można dorysować byle jak (ale bez przesady, np. wypadałoby, żeby w zerze się zgadzało: $g(0)=(0-3)^2+2=11$).

roz22
Ostatecznie zielony wykres to nasze:

$g(x)=(x-3)^2+2$

   

Zadanie 3.

Narysuj wykres: $g(x)=-2(x+2)-1$.

Mimo że to prosta funkcja liniowa, znów sprowadzamy ją do jakiejś prostej funkcji bazowej przetransformowanej o wektor [a;b]:

a=-2

b=-1

z tego wynika, że początkowy (bazowy) wykres ma wzór:

f(x)=-2x$

i aby otrzymać g(x), trzeba przesunąć go o wektor: [-2;-1].

Rysujemy więc nasz bazowy wykres:

wyk31

I przesuwamy dwa dowolne punkty wykresu o 2 w lewo i o 1 w dół, po czym prowadzimy przez nie prostą:

wyk32

$g(x)=-2(x+2)-1$

Spis treści

Rozwiązane zadania
Jeśli w liczbie postaci 1000...01 liczba zer jest...

Zauważmy, że:   {premium}

 


zatem liczba 10 jest podniesiona do nieparzystej potęgi, więc jedyną poprawną odpowiedzią spośród podanych jest

Odp.: A



Oblicz reszty z dzielenia...

 

 

Reszta z dzielenia{premium} liczby -12 przez 3 jest równa 0 (liczba -12 jest podzielna przez 3).


 

Reszta z dzielenia liczby -12 przez 5 jest równa 3


 

Reszta z dzielenia liczby -12 przez 8 jest równa 4


 

Reszta z dzielenia liczby -12 przez 10 jest równa 8



 

 

Reszta z dzielenia liczby -20 przez 2 jest równa 0 (liczba -20 jest podzielna przez 2).


 

Reszta z dzielenia liczby -20 przez 6 jest równa 4


 

Reszta z dzielenia liczby -20 przez 7 jest równa 1


 

Reszta z dzielenia liczby -20 przez 15 jest równa 10

W trójkącie równobocznym ABC wysokości...

Rysunek pomocniczy:

Thumb zad5.149str129


 W trójkącie równobocznym wysokości zawierają się w środkowych boków.

Zatem punkt  dzieli te wysokości w stosunku  licząc od wierzchołka.

Wszystkie wysokości trójkąta równobocznego mają taką samą długość.


Z powyższego wynika, że:

 

A stąd:

 


Rozważmy trójkąt  Jest to trójkąt o kącie  między dwoma równymi bokami  

zatem jest równoboczny.

Stąd wynika, że 

A zatem:{premium}

 


Trójkąty  i  mają wspólny kąt  


Mamy więc:

 

i trójkąty  i  są podobne na podstawie cechy kkk, co należało dowieść.


Przyjmijmy następujące oznaczenia:

 długość boku trójkąta  

 wysokość trójkąta  


Wysokość trójkąta równobocznego wyraża się wzorem:

 


Obliczamy skalę podobieństwa trójkąta  do trójkąta  

 


Odp. Skala podobieństwa trójkąta  do trójkąta  jest równa  



 Mamy dane:

 


Zauważmy, że:

 


Obliczamy obwód trójkąta  

 

 


Wiemy, że obwód jest równy  Stąd:

 

 

 

 

 


Odp. Bok trójkąta ma długość  

Wartość pewnej funkcji liniowej dla...

Wyznaczmy wzór tej funkcji wiedząc, że do jej wykresu należą punkty (100; 1250) i (150; 1600):

 

odejmujemy równania stronami:  {premium}

 

 

 

Obliczmy wartość wyrazu wolnego:

 

 

 


Wzór tej funkcji jest postaci:

 


Obliczmy wartość tej funkcji dla x=50:

 

Obliczmy wartość tej funkcji dla x=200:

 


Wykres tej funkcji przecina oś y w punkcie (0; 550)

Masa elektronu jest równa około ...

Obliczmy ile razy masa protonu jest większa od masy elektronu. {premium}

 

 

Odp. B

Rzucamy trzykrotnie...

Sposób I:

Wypiszmy wszystkie możliwe wyniki trzech rzutów monetą:{premium}

 

łącznie mamy więc 8 możliwości

Oznaczmy przez A zdarzenie polegające na tym, że w trzecim rzucie wypadł orzeł. 

Wtedy zdarzeniami sprzyjającymi do zdarzenia A są 

łącznie mamy 4 zdarzenia sprzyjające

więc prawdopodobieństwo zdarzenia A jest równe

   


Sposób II:

Zauważmy, że w każdym rzucie prawdopodobieństwo wypadnięcia orła jest równe 

 

Wynik trzeciego rzutu nie zależy od wyników poprzednich rzutów,

więc prawdopodobieństwo p wypadnięcia orła w trzecim rzucie wynosi

 

 

Odp. C. 

W trójkącie równobocznym ABC o boku długości...

Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku poniżej:{premium}


Mamy dane:

 


Ze wzoru na wysokość trójkąta równobocznego:

 


Trójkąty ADC i BDC są przystające na podstawie cechy BBB. Z przystawania tych trójkątów wynika, że |ED|=|DF|.


Z twierdzenia o dwusiecznej dla trójkąta ADC:

 

 

 

Mnożymy na krzyż.

 

 

 

 

 

Wówczas:

 


Obliczamy pole trójkąta EFC:

 

Wyznacz: a) najmniejszą ...

a)

Sprawdźmy, jakie wartości funkcja  przyjmuje dla argumentów większych od 0 i mniejszych lub równych 1. Obliczmy wartości funkcji  dla kilku argumentów należących do tego przedziału.

 

 

 

 

Im większy argument weźmiemy, tym mniejsza będzie wartość funkcji. Oznacza to, że dla  funkcja  przyjmuje wartość najmniejszą dla argumentu 1. {premium}

Sprawdźmy, jak zachowują się wartość tej funkcji w przypadku, gdy argumentami są liczby większe lub równe 1. Obliczmy wartości funkcji  dla kilku argumentów należących do tego przedziału.

 

 

 

 

Im większy argument weźmiemy, tym większa będzie wartość funkcji. Oznacza to, że dla  funkcja  przyjmuje wartość najmniejszą dla argumentu 1.


Obliczamy najmniejszą wartość funkcji  w danym przedziale.

 

Najmniejszą wartością funkcji  w zbiorze  jest 2.


b)

Sprawdźmy, jak zachowują się wartość tej funkcji w przypadku, gdy argumentami są liczby mniejsze lub równe 1. Obliczmy wartości funkcji  dla kilku argumentów należących do tego przedziału.

 

 

 

 

Im większy argument weźmiemy, tym mniejsza będzie wartość funkcji. Oznacza to, że dla  funkcja  przyjmuje wartość największą dla argumentu 1.

Sprawdźmy, jakie wartości funkcja  przyjmuje dla argumentów większych lub równych -1 i mniejszych od 0. Obliczmy wartości funkcji  dla kilku argumentów należących do tego przedziału.

 

 

 

 

Im większy argument weźmiemy, tym mniejsza będzie wartość funkcji. Oznacza to, że dla  funkcja  przyjmuje wartość największą dla argumentu -1.


Obliczamy najmniejszą wartość funkcji  w danym przedziale.

 

Największą wartością funkcji  w zbiorze  jest -2.

Rozwiązaniem równania

Uprośćmy najpierw równanie, przydatny będzie wzór skróconego mnożenia na kwadrat sumy:

 

Upraszczamy równanie: 

{premium}

 

Zbiorem rozwiązań równania będzie zbiór liczb rzeczywistych, jeśli obie jego strony będą jednakowe, czyli gdy:

Wśród trójkątów T1, T2, T3 są dwa...

Obliczamy miarę brakującego kąta trójkąta T1:{premium}

 


Obliczamy miarę brakującego kąta trójkąta T2:

 


Obliczamy miarę brakującego kąta trójkąta T3:

 


W trójkątach T1T3 kąty 30° i 80° przylegają do boku długości 8, więc trójkąty T1 i T3 są przystające na podstawie cechy KBK.