Transformacja funkcji - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Przesunięcie o wektor

Przesunięcie o wektor to transformacja polegając na przesunięciu wykresu funkcji o ileś pól po osi X (w lewo lub w prawo) i po osi Y (w górę lub w dół).

Oznaczmy sobie funkcję bazową jako $$f(x)$$ i zawsze transformujmy wg tego wzoru:
$$f(x-a)+b$$

gdzie a to ilość pól wzdłuż osi x, a b ilość pól wzdłuż osi y. Oznacza to przesunięcie o wektor [a;b].

Załóżmy, że będziemy przesuwać zawsze o 5 pól, co daje wzory:

O pięć pól w górę: $$f(x)+5$$

O pięć pól w dół: $$f(x)-5$$

O pięć pól w lewo: $$f(x+5)$$

O pięć pól w prawo: $$f(x-5)$$

Możemy też przesuwać jednocześnie

O pięć pól w lewo i o pięć pól w dół: $$f(x+5)-5$$

Jak to wygląda na rysunku?

Spójrz na wykres:

wyk1

Przesuńmy go o 3 w górę:

Wtedy musimy wszystkie punkty zgięcia przesunąć o 3 w górę a potem połączyć, tak jak zostało to przedstawione na rysunku:

wyk2

Teraz nasz wzór to $$f(x)+3$$ Tak samo możemy zrobić z X i Y równocześnie, przesuńmy wykres bazowy (o wzorze $$f(x)$$):

wyk1

O wektor $$[-2;-1]$$

Nie boimy się słowa wektor, po prostu o 2 w lewo, bo -2 powoduje, że odejmujemy od współrzędnej X dwa pola, a -1 w dół, bo odejmujemy jedno pole od Y.

Znów po punktach:

wyk3
Wzór takiego nowego wykresu to $$f(x+2)-1$$.
 

Symetria osiowa (względem osi współrzędnych)

Czyl odbicie wykresu względem osi Y lub osi X. Jak się zachowa wzór przy takiej transformacji?

Odbicie względem osi X: $$-f(x)$$

Odbicie względem osi Y: $$f(-x)$$

Weźmy ponownie nasz bazowy wykres:

wyk1
 Przekształćmy go najpierw względem osi X. Symetria osiowa względem osi X polega na znalezieniu dla każdego punktu jego odbicia po przeciwnej stronie osi X, takiego że odcinek łączący wyjściowy punkt i jego odbicie jest prostopadły do osi X i przecina ją w połowie. Brzmi skomplikowanie, ale chodzi o zwykłe odbicie.

wyk4

Teraz musimy jeszcze odbić względem osi Y czyli $$f(-x)$$:

wyk5

Uwaga!


Zazwyczaj w zadaniach określone zostaną złożone transformacje, czyli wykorzystanie wektora przesunięcia i symetrii osiowej jednocześnie, a wektor będzie przesuwał i po osi x i po osi y. Dlatego dobrze jest najpierw rozpoznać co zaszło.


Najlepiej pokazać to na jeszcze jednym przykładzie:

Jakaś nieznana funkcja bazowa f(x) została przetransformowana do innej funkcji $$g(x)=2x+1$$ przy pomocy wektora [2;5]. Znajdź tę bazową funkcję.
Zrobimy to zadanie na dwa sposoby:

Sposób 1, przez sprowadzenie do postaci f(x-a)+b:

Szukamy tutaj bazowego wykresu. Skoro zawsze transformacją o wektor było f(x-a)+b gdzie a i b to dowolne liczby, to tutaj nasze $$a=2$$ oraz $$b=5$$. Mamy więc przesunięcie o 2 w prawo i 5 w górę, a nasz bazowy wykres to taki, który zostanie po usunięciu a i b. Musimy doprowadzić nasze g(x) do postaci $$g(x)=f(x-2)+5$$. W tym celu musimy wydzielić w funkcji człon x-2: $$g(x)=2x+1=2(x-2)+2*2+1=2(x-2)+5$$. Teraz "usuwamy" a i b (wstawiamy zamiast nich zera): $$f(x)=2(x-0)+0=2x$$

Sposób 2, przez użycie wektora przeciwnego:

W poprzedniej metodzie "usunęliśmy" a i b, czyli wstawiliśmy zamiast nich zera. Ten sam efekt uzyskalibyśmy odejmując a i b w odpowiednich miejscach, czyli transformując o wektor [-2;-5]. Zresztą czego innego można się spodziewać? Skoro przesunęliśmy bazową funkcję o wektor [a;b], odzyskamy ją, przesuwając to co powstało w drugą stronę, czyli o wektor przeciwny [-a;-b]. Zróbmy to więc! Nasze "to co powstało" to $$g(x)=2x+1$$. Przesuńmy je o [-2;-5]:

$$f(x)=g(x-(-2))+(-5)=g(x+2)-5=2(x+2)+1-5=2x+4+1-5=2x$$

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Poniższy wykres przetransformuj o wektor $$[-2;1]$$.

zad1

Mamy tutaj wektor podany na tacy, przesuwamy o 2 w lewo (bo -2) i o 1 w górę (bo +1).

roz1

Zadanie 2.

Narysuj wykres funkcji $$g(x)=(x-3)^2+2$$.  

Wszyscy znamy wykres funkcji $$f(x)=x^2$$. Wystarczy w naszej g(x) rozpoznać funkcję bazową f(x) przesuniętą o pewien wektor [a,b].

Wg naszego wzoru $$(x-3)^2+2=g(x)=f(x-a)+b=(x-a)^2+b$$

Stąd mamy: $$a=3$$ oraz $$b=2$$

Gdy "usuniemy" a i b zostanie:

$$f(x)=x^2$$

Musimy zatem narysować funkcję bazową $$f(x)=x^2$$, a potem przesunąć ją o wektor [3;2]

Wykres funkcji bazowej:

roz2
Teraz przesuwamy wykres o 3 w prawo i o 2 w górę. Wystarczy dokładnie przesunąć sam wierzchołek paraboli, resztę można dorysować byle jak (ale bez przesady, np. wypadałoby, żeby w zerze się zgadzało: $$g(0)=(0-3)^2+2=11$$).

roz22
Ostatecznie zielony wykres to nasze:

$$g(x)=(x-3)^2+2$$

   

Zadanie 3.

Narysuj wykres: $$g(x)=-2(x+2)-1$$.

Mimo że to prosta funkcja liniowa, znów sprowadzamy ją do jakiejś prostej funkcji bazowej przetransformowanej o wektor [a;b]:

a=-2

b=-1

z tego wynika, że początkowy (bazowy) wykres ma wzór:

f(x)=-2x$$

i aby otrzymać g(x), trzeba przesunąć go o wektor: [-2;-1].

Rysujemy więc nasz bazowy wykres:

wyk31

I przesuwamy dwa dowolne punkty wykresu o 2 w lewo i o 1 w dół, po czym prowadzimy przez nie prostą:

wyk32

$$g(x)=-2(x+2)-1$$

Spis treści

Rozwiązane zadania
Wskaż liczbę całkowitą k

`a)`

`x=22/9=2 4/9\ \ \ \ =>\ \ \ k=2`

 

 

`b)`

`x=-16/3=-5 1/3\ \ \ =>\ \ \ k=-6`

 

 

`c)`

`x=sqrt10`

`sqrt9<sqrt10`

`3<sqrt10\ \ \ =>\ \ \ k=3`

 

 

 

`d)`

`x=-sqrt17`

`-sqrt25<-sqrt17`

`-5<-sqrt17\ \ \ =>\ \ \ k=-5`

 

 

`e)`

`x=3sqrt2~~3*1,41=4,23\ \ \ =>\ \ \ k=4`

 

 

`f)`

`x=root(3)(-25)`

`root(3)(-27)<root(3)(-25)`

`-3<root(3)(-25)\ \ \ =>\ \ \ k=-3`

Funkcja liniowa f określona ...

`f(x)=(3-5m)/4x+2m+1` 

`"Rosnąca dla:"` 

`(3-5m)/4>0` 

`3-5m>0` 

`5m<3` 

`m<3/5` 

`"Odpowiedź B."` 

Rozwiąż nierówność, korzystając z podanej własności

`a)`

`|5x+2|<7`

`5x+2<7\ \ \ \ |-2\ \ \ \ \ \ "i"\ \ \ \ \ \ 5x+2> -7\ \ \ \ |-2`

`5x<5\ \ \ |:5\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ "i"\ \ \ \ \ \ 5x> -9\ \ \ |:5`

`x<1\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ "i"\ \ \ \ \ \ x> -9/5`

`x in (-9/5;\ 1)`

 

 

 

`b)`

`|3x-1/2|<1 1/2`

`3x-1/2<1 1/2\ \ \ |+1/2\ \ \ \ \ \ \ \ "i"\ \ \ \ \ \ 3x-1/2> -1 1/2\ \ \ \ |+1/2`

`3x<2\ \ \ |:3\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ "i"\ \ \ \ \ \ 3x> -1\ \ \ |:3`

   

`x<2/3\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ "i"\ \ \ \ \ \ x> -1/3`

`x in (-1/3;\ 2/3)`

 

 

`c)`

`|1/3x+2|<=1`

`1/3x+2<=1\ \ \ |-2\ \ \ \ \ \ "i"\ \ \ \ \ \ 1/3x+2>=-1\ \ \ |-2`

`1/3x<=-1\ \ \ |*3\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ "i"\ \ \ \ \ \ 1/3x>=-3\ \ \ |*3`

`x<=-3\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ "i"\ \ \ \ \ \ x>=-9`

`x in <<-9;\ -3>>`

 

 

`d)`

`|6x+2|>1`

`6x+2>1\ \ \ |-2\ \ \ \ \ \ \ "lub"\ \ \ \ \ \ 6x+2< -1\ \ \ |-2`

`6x> -1\ \ \ |:6\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ "lub"\ \ \ \ \ \ 6x<-3\ \ \ |:6`

`x> -1/6\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ "lub"\ \ \ \ \ \ x<-1/2`

`x in (-infty;\ -1/2)uu(-1/6;\ +infty)`

 

 

`e)`

`|2/3x-3|>=5`

`2/3x-3>=5\ \ \ |+3\ \ \ \ \ \ \ \ \ "lub"\ \ \ \ \ \ 2/3x-3<=-5\ \ \ |+3`

`2/3x>=8\ \ \ |*3/2 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ "lub"\ \ \ \ \ \ 2/3x<=-2\ \ \ |*3/2`

`x>=12\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ "lub"\ \ \ \ \ \ x<=-3`

`x in (-infty;\ -3>>uu<<12;\ +infty)`

 

 

`f)`

`|3x-1/4|>0,125`

`|3x-1/4|>1/8`

`3x-1/4>1/8 \ \ \ |+1/4 \ \ \ \ \ \ \ "lub"\ \ \ \ \ \ 3x-1/4<-1/8\ \ \ |+1/4`

`3x>3/8\ \ \ |*1/3\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \"lub"\ \ \ \ \ \ 3x<1/8\ \ \ \ |*1/3`

`x>1/8\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \"lub"\ \ \ \ \ \ x<1/24`

`x in (-infty;\ 1/24)uu(1/8;\ +infty)`

    

  

 

 

Zapisz w postaci

`a)` 

Obliczmy, jaka liczba jest jednakowo oddalona od liczb -4 i 12:

`(-4+12)/2=8/2=4` 

 

Liczba -4 znajduje się 8 jednostek na lewo od 4, a liczba 12 znajduje się 8 jednostek na prawo od 4.

Zadany przedział to zbiór liczb oddalonych o nie więcej niż 8 jednostek od 4.

 

Stąd możemy zapisać szukaną nierówność:

`|x-4|<=8` 

 

 

 

`b)` 

Obliczmy, jaka liczba jest jednakowo oddalona od liczb -9 i -3:

`(-9+(-3))/2=(-12)/2=-6` 

 

Liczba -9 znajduje się 3 jednostki na lewo od -6, a liczba -3 znajduje się 3 jednostki na prawo od -6.

Zadany przedział to zbiór liczb oddalonych o nie więcej niż 3 jednostki od -6.

 

Stąd możemy zapisać szukaną nierówność:

`|x+6|<=3` 

 

 

`c)` 

Obliczmy, jaka liczba jest jednakowo oddalona od liczb 0 i 2√2:

`(0+2sqrt2)/2=(2sqrt2)/2=sqrt2` 

 

Liczba 0 znajduje się √2 jednostki na lewo od √2, a liczba 2√2 znajduje się √2 jednostki na prawo od √2.

Zadany przedział to zbiór liczb oddalonych o nie więcej niż √2 jednostki od √2.

 

Stąd możemy zapisać szukaną nierówność:

`|x-sqrt2|<=sqrt2` 

 

 

`d)` 

Obliczmy, jaka liczba jest jednakowo oddalona od liczb 3/2 i 11/2:

`(3/2+11/2)/2=(14/2)/2=7/2` 

Liczba 3/2 znajduje się 4/2 (czyli 2) jednostki na lewo od 7/2, a liczba 11/2 znajduje się 4/2 (czyli 2) jednostki na prawo od 7/2.

Zadany przedział to zbiór liczb oddalonych o nie więcej niż 2 jednostki od 7/2.

 

Stąd możemy zapisać szukaną nierówność:

`|x-7/2|<=2` 

Zapisz liczbę w notacji wykładniczej

`a)\ 475\ 1000\ 000=4,751*10^8` 

`b)\ 0,000002=2*10^-6` 

 

Stawka za godzinę pracy

Obliczamy, jak długo pracował robotnik:

`16\ h\ 10\ m i n-7\ h\ 40 \ m i n=15\ h\ 70\ mi n-7\ h\ 40\ mi n=8\ h\ 30\ m i n=8 30/60\ h=8 1/2\ h`

Wiemy, że za każdą godzinę pracy robotnik dostaje 8,40 zł, a kwota rozliczana jest co do minuty. Obliczamy, ile zarobił robotnik:

`8 1/2*8,40\ "zł"=8,5*8,40\ "zł"=71,40\ "zł"`

 

Pole prostokąta o obwodzie...

Oznaczmy bok prostokąta przez x, wtedy drugi bok ma długość:

`2x + 2b = 88` 

`2b = 88 - 2x` 

`b = 44 - x` 

 

Funkcja wyrażająca pole prostokąta:

`P(x) = x*(44-x) = 44x - x^2` 

`D = (0, 44)` 

Odpowiedź B

Na jednym rysunku są przedstawione...

Wartość największa dla aprobatujących:

`69% \ "w" \ 1989  "r"` 

Wartość najmniejsza dla aprobatujących:

`50% \ "w" \ 1999  "r"` 

 

Wartość największa dla dezaprobatujących:

`18 % \ "w" \ 1999  "r"` 

Wartość najmniejsza dla dezaprobatujących:

`8% \ "w" \ 1988  "r" \ "i" \ 1990  "r"` 

Wyznacz współczynnik kierunkowy a ...

`y=ax+5/2` 

 

`a)` 

`(2,-1)` 

`-1=2a+5/2` 

`ul(a=-7/4` 

 

`b)` 

`(-4,3)` 

`3=-4a+5/2` 

`-4a=1/2` 

`ul(a=-1/8` 

 

`c)` 

`(5,2)` 

`2=5a+5/2` 

`5a=-1/2` 

`ul(a=-1/10` 

 

`d)` 

`(0,3)` 

`3=5/2` 

`"Sprzeczność, takie a nie istnieje."` 

 

`e)` 

`(1/2,1/2)` 

`1/2=1/2a+5/2` 

`-2=1/2a` 

`ul(a=-4`     

Uzasadnij, że jeżeli suma cyfr ...

`10x+y-"pewna liczba dwucyfrowa"` 

`xne 0` 

 

`x+y=11` 

`(10x+y)+(10y+x)=11x+11y=11(x+y) =11*11=ul(121`