Transformacja funkcji - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Przesunięcie o wektor

Przesunięcie o wektor to transformacja polegając na przesunięciu wykresu funkcji o ileś pól po osi X (w lewo lub w prawo) i po osi Y (w górę lub w dół).

Oznaczmy sobie funkcję bazową jako $$f(x)$$ i zawsze transformujmy wg tego wzoru:
$$f(x-a)+b$$

gdzie a to ilość pól wzdłuż osi x, a b ilość pól wzdłuż osi y. Oznacza to przesunięcie o wektor [a;b].

Załóżmy, że będziemy przesuwać zawsze o 5 pól, co daje wzory:

O pięć pól w górę: $$f(x)+5$$

O pięć pól w dół: $$f(x)-5$$

O pięć pól w lewo: $$f(x+5)$$

O pięć pól w prawo: $$f(x-5)$$

Możemy też przesuwać jednocześnie

O pięć pól w lewo i o pięć pól w dół: $$f(x+5)-5$$

Jak to wygląda na rysunku?

Spójrz na wykres:

wyk1

Przesuńmy go o 3 w górę:

Wtedy musimy wszystkie punkty zgięcia przesunąć o 3 w górę a potem połączyć, tak jak zostało to przedstawione na rysunku:

wyk2

Teraz nasz wzór to $$f(x)+3$$ Tak samo możemy zrobić z X i Y równocześnie, przesuńmy wykres bazowy (o wzorze $$f(x)$$):

wyk1

O wektor $$[-2;-1]$$

Nie boimy się słowa wektor, po prostu o 2 w lewo, bo -2 powoduje, że odejmujemy od współrzędnej X dwa pola, a -1 w dół, bo odejmujemy jedno pole od Y.

Znów po punktach:

wyk3
Wzór takiego nowego wykresu to $$f(x+2)-1$$.
 

Symetria osiowa (względem osi współrzędnych)

Czyl odbicie wykresu względem osi Y lub osi X. Jak się zachowa wzór przy takiej transformacji?

Odbicie względem osi X: $$-f(x)$$

Odbicie względem osi Y: $$f(-x)$$

Weźmy ponownie nasz bazowy wykres:

wyk1
 Przekształćmy go najpierw względem osi X. Symetria osiowa względem osi X polega na znalezieniu dla każdego punktu jego odbicia po przeciwnej stronie osi X, takiego że odcinek łączący wyjściowy punkt i jego odbicie jest prostopadły do osi X i przecina ją w połowie. Brzmi skomplikowanie, ale chodzi o zwykłe odbicie.

wyk4

Teraz musimy jeszcze odbić względem osi Y czyli $$f(-x)$$:

wyk5

Uwaga!


Zazwyczaj w zadaniach określone zostaną złożone transformacje, czyli wykorzystanie wektora przesunięcia i symetrii osiowej jednocześnie, a wektor będzie przesuwał i po osi x i po osi y. Dlatego dobrze jest najpierw rozpoznać co zaszło.


Najlepiej pokazać to na jeszcze jednym przykładzie:

Jakaś nieznana funkcja bazowa f(x) została przetransformowana do innej funkcji $$g(x)=2x+1$$ przy pomocy wektora [2;5]. Znajdź tę bazową funkcję.
Zrobimy to zadanie na dwa sposoby:

Sposób 1, przez sprowadzenie do postaci f(x-a)+b:

Szukamy tutaj bazowego wykresu. Skoro zawsze transformacją o wektor było f(x-a)+b gdzie a i b to dowolne liczby, to tutaj nasze $$a=2$$ oraz $$b=5$$. Mamy więc przesunięcie o 2 w prawo i 5 w górę, a nasz bazowy wykres to taki, który zostanie po usunięciu a i b. Musimy doprowadzić nasze g(x) do postaci $$g(x)=f(x-2)+5$$. W tym celu musimy wydzielić w funkcji człon x-2: $$g(x)=2x+1=2(x-2)+2*2+1=2(x-2)+5$$. Teraz "usuwamy" a i b (wstawiamy zamiast nich zera): $$f(x)=2(x-0)+0=2x$$

Sposób 2, przez użycie wektora przeciwnego:

W poprzedniej metodzie "usunęliśmy" a i b, czyli wstawiliśmy zamiast nich zera. Ten sam efekt uzyskalibyśmy odejmując a i b w odpowiednich miejscach, czyli transformując o wektor [-2;-5]. Zresztą czego innego można się spodziewać? Skoro przesunęliśmy bazową funkcję o wektor [a;b], odzyskamy ją, przesuwając to co powstało w drugą stronę, czyli o wektor przeciwny [-a;-b]. Zróbmy to więc! Nasze "to co powstało" to $$g(x)=2x+1$$. Przesuńmy je o [-2;-5]:

$$f(x)=g(x-(-2))+(-5)=g(x+2)-5=2(x+2)+1-5=2x+4+1-5=2x$$

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Poniższy wykres przetransformuj o wektor $$[-2;1]$$.

zad1

Mamy tutaj wektor podany na tacy, przesuwamy o 2 w lewo (bo -2) i o 1 w górę (bo +1).

roz1

Zadanie 2.

Narysuj wykres funkcji $$g(x)=(x-3)^2+2$$.  

Wszyscy znamy wykres funkcji $$f(x)=x^2$$. Wystarczy w naszej g(x) rozpoznać funkcję bazową f(x) przesuniętą o pewien wektor [a,b].

Wg naszego wzoru $$(x-3)^2+2=g(x)=f(x-a)+b=(x-a)^2+b$$

Stąd mamy: $$a=3$$ oraz $$b=2$$

Gdy "usuniemy" a i b zostanie:

$$f(x)=x^2$$

Musimy zatem narysować funkcję bazową $$f(x)=x^2$$, a potem przesunąć ją o wektor [3;2]

Wykres funkcji bazowej:

roz2
Teraz przesuwamy wykres o 3 w prawo i o 2 w górę. Wystarczy dokładnie przesunąć sam wierzchołek paraboli, resztę można dorysować byle jak (ale bez przesady, np. wypadałoby, żeby w zerze się zgadzało: $$g(0)=(0-3)^2+2=11$$).

roz22
Ostatecznie zielony wykres to nasze:

$$g(x)=(x-3)^2+2$$

   

Zadanie 3.

Narysuj wykres: $$g(x)=-2(x+2)-1$$.

Mimo że to prosta funkcja liniowa, znów sprowadzamy ją do jakiejś prostej funkcji bazowej przetransformowanej o wektor [a;b]:

a=-2

b=-1

z tego wynika, że początkowy (bazowy) wykres ma wzór:

f(x)=-2x$$

i aby otrzymać g(x), trzeba przesunąć go o wektor: [-2;-1].

Rysujemy więc nasz bazowy wykres:

wyk31

I przesuwamy dwa dowolne punkty wykresu o 2 w lewo i o 1 w dół, po czym prowadzimy przez nie prostą:

wyk32

$$g(x)=-2(x+2)-1$$

Spis treści

Rozwiązane zadania
Skonstruuj kąt ostry α, wiedząc ...

 

Konstruujemy taki trójkąt, w którm przyprostokątna leżąca naprzeciwko kąta α ma długość równą 1 jednostkę, a przyprostokątna przyległa do tego kąta ma długość równą 3 jednostki.

Ustalmy jako 1 jednostkę 1 cm.

 

 

Konstruujemy taki trójkąt, w którm przyprostokątna leżąca naprzeciwko kąta α ma długość równą 2 jednostki, a przeciwprostokątna ma długość równą3 jednostki.

Ustalmy jako 1 jednostkę 1 cm.

 

 

Konstruujemy taki trójkąt, w którm przyprostokątna przyległa do kąta α ma długość równą 1 jednostkę, a przeciwprostokątna ma długość równą 2 jednostki.

Ustalmy jako 1 jednostkę 1 cm.

 

 

Ustalmy jako 1 jednostkę 1 cm.

W pierwszej części wyznaczymy konstrukcyjnie długość 3 cm. Zauważmy jednak, że z poprzedniej konstrukcji c) długość odcinka EC wynosi 3 cm.

Wiemy, że:

 

 

Z tw. Pitagorasa mamy:

 

 

 

 

 

Następnie skonstruujemy taki trójkąt, w którm przyprostokątna leżąca naprzeciwko kąta α ma długość równą 3 jednostki, a przyprostokątna przyległa do tego kąta ma długość równą 1 jednostkę. Ponownie zauważmy, że takie warunki spełnia trójkąt skonstruowany w punkcie c).

Kąt α zaznaczony w trójkącie CDE spełnia warunek:

 

Zbiorem wartości funkcji f...

 
Aby otrzymać wykres funkcji y = |f(x)|, przekształcamy przez symetrię względem osi x tylko te fragmenty wykresu funkcji y=f(x), które leżą poniżej osi x , a pozostałe zachowujemy bez zmian. Dziedziny obu funkcji są identyczne.

 

Skoro zbiorem wartości funkcji jest przedział [-4; 2] to po odbiciu symetrycznym tej części wykresu, która leży poniżej osi x względem tej osi otrzymamy funkcję o zbiorze wartości wynoszącym:

 

Bo:

 

 

Wartość najmniejsza to:

 

Wartość największa to:

 

Wyznacz dziedzinę funkcji.

 

Pod pierwiastkiem musimy mieć liczbę nieujemną.

 

 

 

 

Pod pierwiastkiem musimy mieć liczbę nieujemną.

 

 

 

 

 

Pod pierwiastkiem musimy mieć liczbę nieujemną.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Oba pierwiastki muszą być nieujemne.

 

 

Dla nieujemnych argumentów jeden pierwiastek jest nieujemny lecz drugi nie jest. Musimy wybrać ograniczenie, które powoduje, że oba pierwiastki będą zawsze nieujemne.

 

 

 

 

Oba pierwiastki muszą być nieujemne.

 

 

 

Skoro x musi być jednocześnie większy bądź równy 3 i mniejszy bądź równy 3 to widać, że:

 

 

 

Jeśli sin...

Z jedynki trygonometrycznej:

 

 

 

 

  

Z tego wynika, że:

  

Zatem:

 

 

 

 

 

Odpowiedź A

Wyznacz dziedzinę funkcji ...

 

Wyznaczamy dziedzinę funkcji:

 

oraz

 

Otrzymujemy:

 

 

 

 

 

Wyznaczamy dziedzinę:

 

 

(ponieważ pierwiastek znajduje się w mianowniku, więc nie może być równy 0, dlatego rozpatrujemy tylko sytuację, w której liczby podpierwiastkowe są dodatnie)

oraz

 

Mamy:

 

 

 

Wyznaczamy dziedzinę:

 

Dowolna liczba rzeczywista podniesiona do kwadratu jest liczbą nieujemną, więc:

 

 

Stąd mamy:

 

 

 

 

 

 

Mamy:

 

Stąd dziedzina funkcji to:

 

Sprawdź, czy któraś z liczb wpisanych

 

Sprawdzamy, czy zachodzi równość:

Równość nie zachodzi. 

 

 

 

Sprawdzamy, czy zachodzi równość:

Równość zachodzi. 

 

 

 

 

 

 

 

Sprawdzamy, czy równość zachodzi: 

Równość zachodzi. 

 

 

Sprawdzamy, czy równość zachodzi:

Równość zachodzi. 

 

 

 

 

Równość nie zachodzi. 

 

 

Równość nie zachodzi. 

 

 

 

 

 

Nierówność zachodzi. 

 

 

Równość zachodzi.

 

 

 

 

 

Sprawdzamy, czy nierówność zachodzi:

Nierówność zachodzi.

 

 

 

 

Sprawdzamy, czy nierówność zachodzi:

Nierówność nie zachodzi.

 

 

 

 

 

 

Sprawdzamy, czy nierówność zachodzi:

Nierówność nie zachodzi.

 

 

 

Sprawdzamy, czy nierówność zachodzi:

Nierówność nie zachodzi.  

 

` `

Przyjrzyj się powyższym rysunkom i, stosując metodę Talesa ...

{premium}

Za 6 lat Wojtek będzie cztery razy starszy

 

 

Wiemy, że za 6 lat Wojtek będzie 4 razy starszy od Aleksandry oraz że 4 lata temu był od niej 14 razy starszy:

 

Wśród poniższych liczb wskaż liczby niewymierne

{premium}

 

 

Kąt rozwarty rombu...

Pole rombu o boku a i kącie   zawartym pomiędzy dwoma jego bokami możemy obliczyć ze wzoru:

 

 

Zatem:

 

 

 

 

 

 

 

Obwód: