Zgoda na przetwarzanie danych osobowych

25 maja 2018 roku zacznie obowiązywać Rozporządzenie Parlamentu Europejskiego i Rady (UE) 2016/679 z dnia 27 kwietnia 2016 r. znane jako RODO.

Dlatego aby dalej móc dostarczać Ci materiały odpowiednie do Twojego etapu edukacji, potrzebujemy zgody na lepsze dopasowanie treści do Twojego zachowania. Dzięki temu możemy zapamiętywać jakie materiały są Ci potrzebne. Dbamy o Twoją prywatność, więc nie zwiększamy zakresu naszych uprawnień. Twoje dane są u nas bezpieczne, a zgodę na ich zbieranie możesz wycofać na podstronie polityka prywatności.

Klikając "Przejdź do Odrabiamy", zgadzasz się na wskazane powyżej działania. W przeciwnym wypadku, nie jesteśmy w stanie zrealizować usługi kompleksowo i prosimy o opuszczenie strony.

Polityka prywatności

Drogi Użytkowniku w każdej chwili masz prawo cofnąć zgodę na przetwarzanie Twoich danych osobowych. Cofnięcie zgody nie będzie wpływać na zgodność z prawem przetwarzania, którego dokonano na podstawie wyrażonej przez Ciebie zgody przed jej wycofaniem. Po cofnięciu zgody wszystkie twoje dane zostaną usunięte z serwisu. Udzielenie zgody możesz modyfikować w zakładce 'Informacja o danych osobowych'

Transformacja funkcji - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Przesunięcie o wektor

Przesunięcie o wektor to transformacja polegając na przesunięciu wykresu funkcji o ileś pól po osi X (w lewo lub w prawo) i po osi Y (w górę lub w dół).

Oznaczmy sobie funkcję bazową jako $$f(x)$$ i zawsze transformujmy wg tego wzoru:
$$f(x-a)+b$$

gdzie a to ilość pól wzdłuż osi x, a b ilość pól wzdłuż osi y. Oznacza to przesunięcie o wektor [a;b].

Załóżmy, że będziemy przesuwać zawsze o 5 pól, co daje wzory:

O pięć pól w górę: $$f(x)+5$$

O pięć pól w dół: $$f(x)-5$$

O pięć pól w lewo: $$f(x+5)$$

O pięć pól w prawo: $$f(x-5)$$

Możemy też przesuwać jednocześnie

O pięć pól w lewo i o pięć pól w dół: $$f(x+5)-5$$

Jak to wygląda na rysunku?

Spójrz na wykres:

wyk1

Przesuńmy go o 3 w górę:

Wtedy musimy wszystkie punkty zgięcia przesunąć o 3 w górę a potem połączyć, tak jak zostało to przedstawione na rysunku:

wyk2

Teraz nasz wzór to $$f(x)+3$$ Tak samo możemy zrobić z X i Y równocześnie, przesuńmy wykres bazowy (o wzorze $$f(x)$$):

wyk1

O wektor $$[-2;-1]$$

Nie boimy się słowa wektor, po prostu o 2 w lewo, bo -2 powoduje, że odejmujemy od współrzędnej X dwa pola, a -1 w dół, bo odejmujemy jedno pole od Y.

Znów po punktach:

wyk3
Wzór takiego nowego wykresu to $$f(x+2)-1$$.
 

Symetria osiowa (względem osi współrzędnych)

Czyl odbicie wykresu względem osi Y lub osi X. Jak się zachowa wzór przy takiej transformacji?

Odbicie względem osi X: $$-f(x)$$

Odbicie względem osi Y: $$f(-x)$$

Weźmy ponownie nasz bazowy wykres:

wyk1
 Przekształćmy go najpierw względem osi X. Symetria osiowa względem osi X polega na znalezieniu dla każdego punktu jego odbicia po przeciwnej stronie osi X, takiego że odcinek łączący wyjściowy punkt i jego odbicie jest prostopadły do osi X i przecina ją w połowie. Brzmi skomplikowanie, ale chodzi o zwykłe odbicie.

wyk4

Teraz musimy jeszcze odbić względem osi Y czyli $$f(-x)$$:

wyk5

Uwaga!


Zazwyczaj w zadaniach określone zostaną złożone transformacje, czyli wykorzystanie wektora przesunięcia i symetrii osiowej jednocześnie, a wektor będzie przesuwał i po osi x i po osi y. Dlatego dobrze jest najpierw rozpoznać co zaszło.


Najlepiej pokazać to na jeszcze jednym przykładzie:

Jakaś nieznana funkcja bazowa f(x) została przetransformowana do innej funkcji $$g(x)=2x+1$$ przy pomocy wektora [2;5]. Znajdź tę bazową funkcję.
Zrobimy to zadanie na dwa sposoby:

Sposób 1, przez sprowadzenie do postaci f(x-a)+b:

Szukamy tutaj bazowego wykresu. Skoro zawsze transformacją o wektor było f(x-a)+b gdzie a i b to dowolne liczby, to tutaj nasze $$a=2$$ oraz $$b=5$$. Mamy więc przesunięcie o 2 w prawo i 5 w górę, a nasz bazowy wykres to taki, który zostanie po usunięciu a i b. Musimy doprowadzić nasze g(x) do postaci $$g(x)=f(x-2)+5$$. W tym celu musimy wydzielić w funkcji człon x-2: $$g(x)=2x+1=2(x-2)+2*2+1=2(x-2)+5$$. Teraz "usuwamy" a i b (wstawiamy zamiast nich zera): $$f(x)=2(x-0)+0=2x$$

Sposób 2, przez użycie wektora przeciwnego:

W poprzedniej metodzie "usunęliśmy" a i b, czyli wstawiliśmy zamiast nich zera. Ten sam efekt uzyskalibyśmy odejmując a i b w odpowiednich miejscach, czyli transformując o wektor [-2;-5]. Zresztą czego innego można się spodziewać? Skoro przesunęliśmy bazową funkcję o wektor [a;b], odzyskamy ją, przesuwając to co powstało w drugą stronę, czyli o wektor przeciwny [-a;-b]. Zróbmy to więc! Nasze "to co powstało" to $$g(x)=2x+1$$. Przesuńmy je o [-2;-5]:

$$f(x)=g(x-(-2))+(-5)=g(x+2)-5=2(x+2)+1-5=2x+4+1-5=2x$$

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Poniższy wykres przetransformuj o wektor $$[-2;1]$$.

zad1

Mamy tutaj wektor podany na tacy, przesuwamy o 2 w lewo (bo -2) i o 1 w górę (bo +1).

roz1

Zadanie 2.

Narysuj wykres funkcji $$g(x)=(x-3)^2+2$$.  

Wszyscy znamy wykres funkcji $$f(x)=x^2$$. Wystarczy w naszej g(x) rozpoznać funkcję bazową f(x) przesuniętą o pewien wektor [a,b].

Wg naszego wzoru $$(x-3)^2+2=g(x)=f(x-a)+b=(x-a)^2+b$$

Stąd mamy: $$a=3$$ oraz $$b=2$$

Gdy "usuniemy" a i b zostanie:

$$f(x)=x^2$$

Musimy zatem narysować funkcję bazową $$f(x)=x^2$$, a potem przesunąć ją o wektor [3;2]

Wykres funkcji bazowej:

roz2
Teraz przesuwamy wykres o 3 w prawo i o 2 w górę. Wystarczy dokładnie przesunąć sam wierzchołek paraboli, resztę można dorysować byle jak (ale bez przesady, np. wypadałoby, żeby w zerze się zgadzało: $$g(0)=(0-3)^2+2=11$$).

roz22
Ostatecznie zielony wykres to nasze:

$$g(x)=(x-3)^2+2$$

   

Zadanie 3.

Narysuj wykres: $$g(x)=-2(x+2)-1$$.

Mimo że to prosta funkcja liniowa, znów sprowadzamy ją do jakiejś prostej funkcji bazowej przetransformowanej o wektor [a;b]:

a=-2

b=-1

z tego wynika, że początkowy (bazowy) wykres ma wzór:

f(x)=-2x$$

i aby otrzymać g(x), trzeba przesunąć go o wektor: [-2;-1].

Rysujemy więc nasz bazowy wykres:

wyk31

I przesuwamy dwa dowolne punkty wykresu o 2 w lewo i o 1 w dół, po czym prowadzimy przez nie prostą:

wyk32

$$g(x)=-2(x+2)-1$$

Spis treści

Rozwiązane zadania
Rozwiąż nierówność ...

`a)`

`-5+x<=0,5\ \ \ \ \ |+5`

`x<=5,5`

 

`b)`

`2 1/2x<6`

`5/2x<6\ \ \ \ \ |*2/5`

`x<12/5`

 

`c)`

`2(x-4)>=10\ \ \ \ \ |:2`

`x-4>=5\ \ \ \ \|+4`

`x>=9`

 

`d)`

`5-3x<=8-7x\ \ \ \ \ \ |+7x`

`5+4x<=8\ \ \ \ \ |-5`

`4x<=3\ \ \ \ |:4`

`x<=3/4`

Rozwiąż nierówność

`a)`

`sqrt2x-4>=6\ \ \ |+4`

`sqrt2x>=10\ \ \ |:sqrt2`

`x>=10/sqrt2`

`x>=(10sqrt2)/2`

`x>=5sqrt2`

 

 

 

`b)`

`sqrt3x-6<-2sqrt3x\ \ \ |+2sqrt3x+6`

`3sqrt3x<6\ \ \ |:3sqrt3`

`x<6/(3sqrt3)`

`x<2/sqrt3`

`x<(2sqrt3)/3`

 

 

 

`c)`

`sqrt2x+4<sqrt8x-8`

`sqrt2x+4<sqrt4*sqrt2x-8`

`sqrt2x+4<2sqrt2x-8\ \ \ |-2sqrt2x-4`

`-sqrt2x<-12\ \ \ |:(-sqrt2)`

`x>12/sqrt2`

`x>(12sqrt2)/2`

`x>6sqrt2`

Mając dany wykres funkcji y=g(x)...

`"a)"` Wykres funkcji `g` przesuwamy o jedną jednostkę w lewo.

  

 

`"b)"` Wykres funkcji `g` przesuwamy o cztery jednostki w prawo.

  

 

`"c)"` Wykres funkcji `g` przesuwamy o dwie jednostki w prawo.

 

`"d)"` Wykres funkcji `g` przesuwamy o trzy jednostki w lewo.

Uporządkuj rosnąco liczby.

a) Sprowadzamy ułamki do wspólnego licznika:

`2/15\ \stackrel(*6)=\ 12/90` 

`3/20\ \stackrel(*4)=\ 12/80` 

`4/29\ \stackrel(*3)=\ 12/87` 

`12/90<12/87<12/80` 

Stąd otrzymujemy:

 

 

b) Sprowadzamy ułamki do wspólnego licznika:

`-6/53\ \stackrel(*2)= -12/106` 

`-3/13\ \stackrel(*4)= -12/52` 

`-4/19\ \stackrel(*3)=-12/57`  

`-12/52<-12/57<-12/106` 

Stąd otrzymujemy:

 

`-3/13<-4/19<-6/53`

Rozwiąż trójkąt prostokątny...

Brakującą długość przyprostokątnej oznaczymy literą a natomiast brakującą długość przeciwprostokątnej oznaczymy literą c.

 

`a) \ tg 30^o = sqrt2/a` 

`a = sqrt2/(tg \ 30^o) = sqrt2/(1/sqrt3) = sqrt6` 

 

Z twierdzenia Pitagorasa:

`(sqrt2)^2 + a^2 = c^2` 

`2 + 6 = c^2` 

`c^2 = 8` 

`c = 2sqrt2` 

 

Miara drugiego kąta ostrego to:

`90^o - 30^o = 60 ^o` 

 

`b) \ tg \ 40^o = 6/a` 

`a = 6/(tg \ 40^o) approx 7,15` 

 

Z twierdzenia Pitagorasa:

`6^2 + (7,15)^2 = c^2`  

`36 + 51,1225 = c^2` 

`c approx 9,33` 

 

Miara drugiego kąta ostrego to:

`90^o - 40^o = 50^o` 

 

c) W tym przykładzie oznaczymy przyprostokątną leżącą naprzeciwko kąta 55o literą b natomiast drugą przyprostokątną literą a.

`sin 55^o = b/8`  

`b = sin55^o * 8 approx 0,8192 * 8 = 6,5536` 

 

`cos 55^o = a/8` 

`a = cos 55^o * 8 = 0,5736 * 8 = 4,5888` 

 

Miara drugiego kąta ostrego to:

`90^o - 55^o = 35^o` 

Wyznacz równanie prostej przechodzacej

Korzystając z twierdzenia ze strony 114 możemy łatwo wyznaczyć współczynnik kierunkowy prostej prostopadłej (oznaczyliśmy go jako a).

 

`a)`

`a=-1/(1/2)=-2/1=-2`

`y=-2x+b`

 

Wiemy, że do wykresu należy punkt P, więc możemy podstawić jego współrzedne do równania:

`-1=-2*(-3)+b`

`-1=6+b\ \ \ \ |-6`

`b=-7`

 

`ul(ul(y=-2x-7))`

 

 

`b)`

`a=-1/(-4)=1/4`

`y=1/4x+b`

 

Podstawiamy współrzedne punktu P:

`-1=1/4*(-3)+b`

`-1=-3/4+b\ \ \ \ |+3/4`

`b=-1/4`

 

`ul(ul(y=1/4x-1/4))`

 

 

`c)`

Zauważmy, że prosta y=-6 to prosta pozioma, stale równa -6. Jej współczynnik kierunkowy jest równy 0, więc nie możemy podstawić do wzoru z twierdzenia (bo nie wolno dzielić przez 0). Jednak łatwo zauważyć, że prosta prostopadła do prostej poziomej to na pewno prosta pionowa (czyli prosta o równaniu x=coś). Prosta pionowa przechodząca przez punkt P ma równanie:

`ul(ul(x=-3))`

 

`d)`

Prosta x=11 to prosta pionowa, zatem prosta do niej prostopadła na pewno będzie prosta poziomą. Prosta pozioma przechodząca przez punkt P ma równanie:

`ul(ul(y=-1))`

 

`e)`

Najpierw przekształćmy równanie ogólne prostej do równania kierunkowego prostej:

`3x+5y-1=0\ \ \ \ |-3x+1`

`5y=-3x+1\ \ \ \ \ \ |:5`

`y=-3/5x+1/5`

 

`a=-1/(-3/5)=5/3`

`y=5/3x+b`

Podstawiamy współrzedne punktu P:  

`-1=5/3*(-3)+b`

`-1=-5+b\ \ \ \ |+5`

`b=4`

 

`ul(ul(y=5/3x+4))`

 

 

`f)`

Przekształcamy równanie do postaci kierunkowej:

`x-y=y+x\ \ \ \ |-x`

`-y=y\ \ \ \ |+y`

`2y=0\ \ \ \ |:2`

`y=0`

 

Zauważmy, że prosta y=0 to prosta pozioma, stale równa 0. Jej współczynnik kierunkowy jest równy 0, więc nie możemy podstawić do wzoru z twierdzenia (bo nie wolno dzielić przez 0). Jednak łatwo zauważyć, że prosta prostopadła do prostej poziomej to na pewno prosta pionowa (czyli prosta o równaniu x=coś). Prosta pionowa przechodząca przez punkt P ma równanie:

`ul(ul(x=-3))`

Oblicz

Przypomnijmy prawa działań na potęgach:

 

`a)` 

`((3/5)^5:(7/5)^3)*(3/7)^-4=(3/5)^5*(5/7)^3*(3/7)^-4=3^5/5^5*5^3/7^3*(7/3)^4=` 

`=3^5/5^5*5^3/7^3*7^4/3^4=3^(5-4)*5^(3-5)*7^(4-3)=3*5^-2*7=3*1/25*7=21/25` 

 

 

`b)` 

`((1 4/5)^3*(1 1/2)^-6):(5/8)^-2=((9/5)^3*(3/2)^-6):(8/5)^2=`   

`=((9/5)^3*(2/3)^6)*(5/8)^2=(9/5)^3*(2/3)^6*(5/8)^2=` 

`=9^3/5^3*2^6/3^6*5^2/8^2=(3^2)^3/5^3*2^6/3^6*5^2/(2^3)^2=` 

`=strike(3^6)/5^3*strike(2^6)/strike(3^6)*5^2/strike(2^6)=5^2/5^3=1/5` 

 

 

`c)` 

`(8/9)^4*(16/27)^-2=8^4/9^4*(27/16)^2=(2^3)^4/(3^2)^4*27^2/16^2=2^12/3^8*(3^3)^2/(2^4)^2=2^12/3^8*3^6/2^8=`  

`=2^(12-8)*3^(6-8)=2^4*3^-2=16*1/9=16/9` 

 

 

`d)` 

`(88/135)^-2:(45/44)^3=(88/135)^-2*(44/45)^3=((2^3*11)/(5*3^3))^-2*((2^2*11)/(5*3^2))^3=(2^-6*11^-2)/(5^-2*3^-6)*(2^6*11^3)/(5^3*3^6)=`  

`=(2^-6*11^-2*2^6*11^3)/(5^-2*3^-6*5^3*3^6)=11/5` 

 

 

`e)` 

`((4/9)^5*(1 1/2)^10)^17=(((2/3)^2)^5*(3/2)^10)^17=((2/3)^10*(3/2)^10)^17=((2/3*3/2)^10)^17=(1^10)^17=1^170=1` 

 

 

`f)` 

`(5/14)^-6*(56/15)^-6*(2/3)^12=(strike5^1/strike14^1*strike56^4/strike15^3)^-6*(2/3)^12=(4/3)^-6*(2/3)^12=` 

`=(4/3)^-6*(3/2)^-12=(4/3)^-6*((3/2)^2)^-6=(4/3)^-6*(9/4)^-6=` 

`=(strike4^1/strike3^1*strike9^3/strike4^1)^-6=3^-6=1/3^6=1/729` 

                                   

Oblicz wartość wyrażenia dla ...

`x=-3/4\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ y=1/3` 

 

`"a)"\ (2x^2-4y)/(15xy)` 

`(2*(-3/4)^2-4*1/3)/(15*(-3/4)*1/3)=(strike2^1*9/strike16^8-4/3)/(15*(-strike3^1/4)*1/strike3^1)=(27/24-32/24)/(-15/4)=-5/24:(-15/4)=-strike5^1/strike24^6*(-strike4^1/strike15^3)=1/18` 

`ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ )`

`"b)"\ (15xy-2x^2)/(3y^2)`

` (15*(-3/4)*1/3-2*(-3/4)^2)/(3*(1/3)^2)=(-(strike45^15)/4*1/(strike3^1)-strike2^1*9/(strike16^8))/(strike3^1*1/(strike9^3))= (-15/4*1/1-9/8)/(1/3)=(-15/4-9/8)/(1/3)=(-30/8-9/8)/(1/3)=` 

`=(-39/8)/(1/3)=-39/8 *3=-117/8` 

`ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ )` 

 

`"c)"\ (2x+7y-xy)/(8x^2)`

` <br> `

`(strike2^1*(-3/strike4^2)+7*1/3-(-strike3^1/4)*1/strike3^1)/(8*(-3/4)^2)= ((-3/2)+7/3+1/4)/(strike8^1*9/(strike16^2))=(-18/12+28/12+3/12)/(9/2)=(13/12)/(9/2)=13/(strike12^6)*(strike2^1)/9=13/54 ` 

Funkcja f każdej liczbie naturalnej mniejszej
  • za pomocą wzoru (wyznaczamy wzór funkcji w oparciu o informację, że funkcja każdej liczbie naturalnej mniejszej od 10 przyporząkowuje połowę kwadratu tej liczby)

`f(x)=1/2 x^2`                  `x in {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} `

  • za pomocą zbioru (musimy najpierw obliczyć wartości przyporządkowane argumentom:

`f(0)=1/2*0^2=1/2*0=0`

`f(1)=1/2*1^2=1/2*1=1/2`

`f(2)=1/2*2^2=1/2*2^2=1/2*4=2`

`f(3)=1/2*3^2=1/2*9=9/2=4 1/2`

`f(4)=1/2*4^2=1/2*16=8`

`f(5)=1/2*5^2=1/2*25=25/2=12 1/2`

`f(6)=1/2*6^2=1/2*36=18`

`f(7)=1/2*7^2=1/2*49=49/2=24 1/2`

`f(8)= 1/2*8^2=1/2*64=32`

`f(9)= 1/2*9^2=1/2*81=40 1/2`

 

`{(0,0),(1,1/2),(2,2,),(3,4 1/2),(4,8), (5,12 1/2), (6,18), (7,24 1/2), (8,32), (9,40 1/2)}`

  • za pomocą wykresu

Zaznaczamy na wykresie punkty których współrzędne obliczono w poprzednim podpunkcie.

 

Uzasadnij, że trójkąt DEF o wierzchołkach

`a)`

`|AB|/|DE|=8/10=4/5`

`|AC|/|DF|=4/5`

 

`tw.\ P i ta go ra sa\ dla\ DeltaABC`

`8^2+4^2=|BC|^2`

`64+16=|BC|^2`

`|BC|=sqrt80=sqrt(16*5)=4sqrt5`

 

`tw.\ P i ta go ra sa \ dla\ Delta DEF`

`10^2+5^2=|FE|^2`

`100+25=|FE|^2`

`|FE|=sqrt125=sqrt(25*5)=5sqrt5`

 

`|BC|/|FE|=(4sqrt5)/(5sqrt5)=4/5`

 

 

Stosunek długości boków trójkąta ABC to trójkąta DEF jest stały, więc na mocy cechy bok-bok-bok te trójkąty są przystające. 

 `O_(DeltaABC)=8+4+4sqrt5=4(3+sqrt5)` 

`O_(DeltaDEF)=5+10+5sqrt5=5(3+sqrt5)`   

 

 

 

 

`b)` 

 

`|AB|=12,\ \ \ \ |AC|=6` 

`12^2+6^2=|BC|^2` 

`144+36=|BC|^2` 

`|BC|^2=180` 

`|BC|=sqrt180=sqrt(36*5)=6sqrt5` 

 

`O_(DeltaABC)=12+6+6sqrt5=6(3+sqrt5)` 

Stosunek obwodów także jest równy skali podobieństwa, więc możemy zapisać:

`(O_(DeltaDEF))/(O_(DeltaABC))=3/4` 

`(O_(DeltaDEF))/(6(3+sqrt5))=3/4` 

`O_(DeltaDEF)=3/4*6*(3+sqrt5)=` `3/2*3*(3+sqrt5)=` `(9(3+sqrt5))/2`