Transformacja funkcji - matura-podstawowa - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Transformacja funkcji - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Przesunięcie o wektor

Przesunięcie o wektor to transformacja polegając na przesunięciu wykresu funkcji o ileś pól po osi X (w lewo lub w prawo) i po osi Y (w górę lub w dół).

Oznaczmy sobie funkcję bazową jako $f(x)$ i zawsze transformujmy wg tego wzoru:
$f(x-a)+b$

gdzie a to ilość pól wzdłuż osi x, a b ilość pól wzdłuż osi y. Oznacza to przesunięcie o wektor [a;b].

Załóżmy, że będziemy przesuwać zawsze o 5 pól, co daje wzory:

O pięć pól w górę: $f(x)+5$

O pięć pól w dół: $f(x)-5$

O pięć pól w lewo: $f(x+5)$

O pięć pól w prawo: $f(x-5)$

Możemy też przesuwać jednocześnie

O pięć pól w lewo i o pięć pól w dół: $f(x+5)-5$

Jak to wygląda na rysunku?

Spójrz na wykres:

wyk1

Przesuńmy go o 3 w górę:

Wtedy musimy wszystkie punkty zgięcia przesunąć o 3 w górę a potem połączyć, tak jak zostało to przedstawione na rysunku:

wyk2

Teraz nasz wzór to $f(x)+3$ Tak samo możemy zrobić z X i Y równocześnie, przesuńmy wykres bazowy (o wzorze $f(x)$):

wyk1

O wektor $[-2;-1]$

Nie boimy się słowa wektor, po prostu o 2 w lewo, bo -2 powoduje, że odejmujemy od współrzędnej X dwa pola, a -1 w dół, bo odejmujemy jedno pole od Y.

Znów po punktach:

wyk3
Wzór takiego nowego wykresu to $f(x+2)-1$.
 

Symetria osiowa (względem osi współrzędnych)

Czyl odbicie wykresu względem osi Y lub osi X. Jak się zachowa wzór przy takiej transformacji?

Odbicie względem osi X: $-f(x)$

Odbicie względem osi Y: $f(-x)$

Weźmy ponownie nasz bazowy wykres:

wyk1
 Przekształćmy go najpierw względem osi X. Symetria osiowa względem osi X polega na znalezieniu dla każdego punktu jego odbicia po przeciwnej stronie osi X, takiego że odcinek łączący wyjściowy punkt i jego odbicie jest prostopadły do osi X i przecina ją w połowie. Brzmi skomplikowanie, ale chodzi o zwykłe odbicie.

wyk4

Teraz musimy jeszcze odbić względem osi Y czyli $f(-x)$:

wyk5

Uwaga!


Zazwyczaj w zadaniach określone zostaną złożone transformacje, czyli wykorzystanie wektora przesunięcia i symetrii osiowej jednocześnie, a wektor będzie przesuwał i po osi x i po osi y. Dlatego dobrze jest najpierw rozpoznać co zaszło.


Najlepiej pokazać to na jeszcze jednym przykładzie:

Jakaś nieznana funkcja bazowa f(x) została przetransformowana do innej funkcji $g(x)=2x+1$ przy pomocy wektora [2;5]. Znajdź tę bazową funkcję.
Zrobimy to zadanie na dwa sposoby:

Sposób 1, przez sprowadzenie do postaci f(x-a)+b:

Szukamy tutaj bazowego wykresu. Skoro zawsze transformacją o wektor było f(x-a)+b gdzie a i b to dowolne liczby, to tutaj nasze $a=2$ oraz $b=5$. Mamy więc przesunięcie o 2 w prawo i 5 w górę, a nasz bazowy wykres to taki, który zostanie po usunięciu a i b. Musimy doprowadzić nasze g(x) do postaci $g(x)=f(x-2)+5$. W tym celu musimy wydzielić w funkcji człon x-2: $g(x)=2x+1=2(x-2)+2*2+1=2(x-2)+5$. Teraz "usuwamy" a i b (wstawiamy zamiast nich zera): $f(x)=2(x-0)+0=2x$

Sposób 2, przez użycie wektora przeciwnego:

W poprzedniej metodzie "usunęliśmy" a i b, czyli wstawiliśmy zamiast nich zera. Ten sam efekt uzyskalibyśmy odejmując a i b w odpowiednich miejscach, czyli transformując o wektor [-2;-5]. Zresztą czego innego można się spodziewać? Skoro przesunęliśmy bazową funkcję o wektor [a;b], odzyskamy ją, przesuwając to co powstało w drugą stronę, czyli o wektor przeciwny [-a;-b]. Zróbmy to więc! Nasze "to co powstało" to $g(x)=2x+1$. Przesuńmy je o [-2;-5]:

$f(x)=g(x-(-2))+(-5)=g(x+2)-5=2(x+2)+1-5=2x+4+1-5=2x$

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Poniższy wykres przetransformuj o wektor $[-2;1]$.

zad1

Mamy tutaj wektor podany na tacy, przesuwamy o 2 w lewo (bo -2) i o 1 w górę (bo +1).

roz1

Zadanie 2.

Narysuj wykres funkcji $g(x)=(x-3)^2+2$.  

Wszyscy znamy wykres funkcji $f(x)=x^2$. Wystarczy w naszej g(x) rozpoznać funkcję bazową f(x) przesuniętą o pewien wektor [a,b].

Wg naszego wzoru $(x-3)^2+2=g(x)=f(x-a)+b=(x-a)^2+b$

Stąd mamy: $a=3$ oraz $b=2$

Gdy "usuniemy" a i b zostanie:

$f(x)=x^2$

Musimy zatem narysować funkcję bazową $f(x)=x^2$, a potem przesunąć ją o wektor [3;2]

Wykres funkcji bazowej:

roz2
Teraz przesuwamy wykres o 3 w prawo i o 2 w górę. Wystarczy dokładnie przesunąć sam wierzchołek paraboli, resztę można dorysować byle jak (ale bez przesady, np. wypadałoby, żeby w zerze się zgadzało: $g(0)=(0-3)^2+2=11$).

roz22
Ostatecznie zielony wykres to nasze:

$g(x)=(x-3)^2+2$

   

Zadanie 3.

Narysuj wykres: $g(x)=-2(x+2)-1$.

Mimo że to prosta funkcja liniowa, znów sprowadzamy ją do jakiejś prostej funkcji bazowej przetransformowanej o wektor [a;b]:

a=-2

b=-1

z tego wynika, że początkowy (bazowy) wykres ma wzór:

f(x)=-2x$

i aby otrzymać g(x), trzeba przesunąć go o wektor: [-2;-1].

Rysujemy więc nasz bazowy wykres:

wyk31

I przesuwamy dwa dowolne punkty wykresu o 2 w lewo i o 1 w dół, po czym prowadzimy przez nie prostą:

wyk32

$g(x)=-2(x+2)-1$

Spis treści

Rozwiązane zadania
Pole trójkąta o bokach długości...

Obliczamy połowę obwodu trójkąta:{premium}

 

Obliczamy pole trójkąta, korzystając ze wzoru Herona:

 

Prawidłowa odpowiedź to C.

Rozwiąż równanie

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Z dwóch plantacji truskawek w pierwszym roku...

Oznaczmy liczbę zebranych truskawek z pierwszej plantacji przez x oraz liczbę zebranych truskawek z drugiej plantacji przez y. Wtedy:

 

W drugim roku na pierwszej plantacji odnotowano 20% wzrost natomiast na drugiej 30% wzrost, łącznie zebrano 14,21 tony truskawek.

 

 

Rozwiążmy układ równań:

 

 

 

 

 

 

 

Podstawmy pod pierwsze równanie:

 

 

 

 

W pierwszym roku zebrano z pierwszej plantacji 10 ton truskawek a w roku drugim zebrano:

 

 

W pierwszym roku zebrano z drugiej plantacji 1,7 tony truskawek a w roku drugim zebrano:

 

Oblicz. W

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Nie używając kalkulatora, oblicz wartość wyrażenia:

 {premium} 

Podpisz zbiory punktów

 

{premium}

 

  

 

Zapisz w postaci x^k

`a)\ (x^4*x^6)/(x^3*x^-5)=(x^(4+6))/(x^(3+(-5)))=x^10/x^-2=x^(10-(-2))=x^(10+2)=x^12`{premium}

Zbiorem wartości funkcji...

Funkcja g powstaje poprzez przesunięcie wykresu funkcji f o 3 jednostki w górę. Zbiór wartości funkcji to zbiór:

 

Widać, że funkcja jest stale większa od zera, zatem nie ma miejsc zerowych.

Wykaż, że czworokąt ABCD...

Rysunek poglądowy:

Jeżeli czworokąt ABCD ma być trapezem równoramiennym to trzeba pokazać, że odcinki AB i CD są równoległe i mają różne długości oraz długości ramion są równe.

Jeżeli odcinki są równoległe to wektory je zawierające muszą mieć ten sam kierunek, a więc jeżeli istnieje stała k taka, że:

 

to wektory są równoległe.

Zatem:

 

 

 

 

Porównajmy współrzędne wektorów:

 

 

A więc wektory są rownoległe, czyli odcinki AB i DC są podstawami trapezu.

 

Długości podstaw:

  

 

 

Ramiona trapezu:

 

 

 

 

 

 

A więc czworokąt jest trapezem równoramiennym gdyż ma dwie podstawy równoległe do siebie mające różne długości, natomiast jego ramiona mają równą długość.

Przez punkty M, N i K...

Styczna i promień są do siebie prostopadłe, łatwo zatem sobie wyobrazić, że przy wierzchołku leżącym na przeciwko kąta o mierze 120o będzie kąt o mierze:{premium}

 

Odejmujemy od kąta półpełnego miarę znanego nam kąta gdyż styczne z promieniami tworzą kąty proste. A więc za każdym razem powstaje nam czworokąt którego suma kątów wewnętrznych jest równa 360o a my znamy zawsze trzy z czterech miar.

 

Przy wierzchołku leżącym na przeciwko kąta prostego będzie kąt o mierze:

 

 

Suma miar kątów wewnętrznych w trójkącie jest równa 180o, zatem ostatni kąt ma miarę:

 

Odpowiedź C