Transformacja funkcji - matura-podstawowa - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Transformacja funkcji - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Przesunięcie o wektor

Przesunięcie o wektor to transformacja polegając na przesunięciu wykresu funkcji o ileś pól po osi X (w lewo lub w prawo) i po osi Y (w górę lub w dół).

Oznaczmy sobie funkcję bazową jako $f(x)$ i zawsze transformujmy wg tego wzoru:
$f(x-a)+b$

gdzie a to ilość pól wzdłuż osi x, a b ilość pól wzdłuż osi y. Oznacza to przesunięcie o wektor [a;b].

Załóżmy, że będziemy przesuwać zawsze o 5 pól, co daje wzory:

O pięć pól w górę: $f(x)+5$

O pięć pól w dół: $f(x)-5$

O pięć pól w lewo: $f(x+5)$

O pięć pól w prawo: $f(x-5)$

Możemy też przesuwać jednocześnie

O pięć pól w lewo i o pięć pól w dół: $f(x+5)-5$

Jak to wygląda na rysunku?

Spójrz na wykres:

wyk1

Przesuńmy go o 3 w górę:

Wtedy musimy wszystkie punkty zgięcia przesunąć o 3 w górę a potem połączyć, tak jak zostało to przedstawione na rysunku:

wyk2

Teraz nasz wzór to $f(x)+3$ Tak samo możemy zrobić z X i Y równocześnie, przesuńmy wykres bazowy (o wzorze $f(x)$):

wyk1

O wektor $[-2;-1]$

Nie boimy się słowa wektor, po prostu o 2 w lewo, bo -2 powoduje, że odejmujemy od współrzędnej X dwa pola, a -1 w dół, bo odejmujemy jedno pole od Y.

Znów po punktach:

wyk3
Wzór takiego nowego wykresu to $f(x+2)-1$.
 

Symetria osiowa (względem osi współrzędnych)

Czyl odbicie wykresu względem osi Y lub osi X. Jak się zachowa wzór przy takiej transformacji?

Odbicie względem osi X: $-f(x)$

Odbicie względem osi Y: $f(-x)$

Weźmy ponownie nasz bazowy wykres:

wyk1
 Przekształćmy go najpierw względem osi X. Symetria osiowa względem osi X polega na znalezieniu dla każdego punktu jego odbicia po przeciwnej stronie osi X, takiego że odcinek łączący wyjściowy punkt i jego odbicie jest prostopadły do osi X i przecina ją w połowie. Brzmi skomplikowanie, ale chodzi o zwykłe odbicie.

wyk4

Teraz musimy jeszcze odbić względem osi Y czyli $f(-x)$:

wyk5

Uwaga!


Zazwyczaj w zadaniach określone zostaną złożone transformacje, czyli wykorzystanie wektora przesunięcia i symetrii osiowej jednocześnie, a wektor będzie przesuwał i po osi x i po osi y. Dlatego dobrze jest najpierw rozpoznać co zaszło.


Najlepiej pokazać to na jeszcze jednym przykładzie:

Jakaś nieznana funkcja bazowa f(x) została przetransformowana do innej funkcji $g(x)=2x+1$ przy pomocy wektora [2;5]. Znajdź tę bazową funkcję.
Zrobimy to zadanie na dwa sposoby:

Sposób 1, przez sprowadzenie do postaci f(x-a)+b:

Szukamy tutaj bazowego wykresu. Skoro zawsze transformacją o wektor było f(x-a)+b gdzie a i b to dowolne liczby, to tutaj nasze $a=2$ oraz $b=5$. Mamy więc przesunięcie o 2 w prawo i 5 w górę, a nasz bazowy wykres to taki, który zostanie po usunięciu a i b. Musimy doprowadzić nasze g(x) do postaci $g(x)=f(x-2)+5$. W tym celu musimy wydzielić w funkcji człon x-2: $g(x)=2x+1=2(x-2)+2*2+1=2(x-2)+5$. Teraz "usuwamy" a i b (wstawiamy zamiast nich zera): $f(x)=2(x-0)+0=2x$

Sposób 2, przez użycie wektora przeciwnego:

W poprzedniej metodzie "usunęliśmy" a i b, czyli wstawiliśmy zamiast nich zera. Ten sam efekt uzyskalibyśmy odejmując a i b w odpowiednich miejscach, czyli transformując o wektor [-2;-5]. Zresztą czego innego można się spodziewać? Skoro przesunęliśmy bazową funkcję o wektor [a;b], odzyskamy ją, przesuwając to co powstało w drugą stronę, czyli o wektor przeciwny [-a;-b]. Zróbmy to więc! Nasze "to co powstało" to $g(x)=2x+1$. Przesuńmy je o [-2;-5]:

$f(x)=g(x-(-2))+(-5)=g(x+2)-5=2(x+2)+1-5=2x+4+1-5=2x$

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Poniższy wykres przetransformuj o wektor $[-2;1]$.

zad1

Mamy tutaj wektor podany na tacy, przesuwamy o 2 w lewo (bo -2) i o 1 w górę (bo +1).

roz1

Zadanie 2.

Narysuj wykres funkcji $g(x)=(x-3)^2+2$.  

Wszyscy znamy wykres funkcji $f(x)=x^2$. Wystarczy w naszej g(x) rozpoznać funkcję bazową f(x) przesuniętą o pewien wektor [a,b].

Wg naszego wzoru $(x-3)^2+2=g(x)=f(x-a)+b=(x-a)^2+b$

Stąd mamy: $a=3$ oraz $b=2$

Gdy "usuniemy" a i b zostanie:

$f(x)=x^2$

Musimy zatem narysować funkcję bazową $f(x)=x^2$, a potem przesunąć ją o wektor [3;2]

Wykres funkcji bazowej:

roz2
Teraz przesuwamy wykres o 3 w prawo i o 2 w górę. Wystarczy dokładnie przesunąć sam wierzchołek paraboli, resztę można dorysować byle jak (ale bez przesady, np. wypadałoby, żeby w zerze się zgadzało: $g(0)=(0-3)^2+2=11$).

roz22
Ostatecznie zielony wykres to nasze:

$g(x)=(x-3)^2+2$

   

Zadanie 3.

Narysuj wykres: $g(x)=-2(x+2)-1$.

Mimo że to prosta funkcja liniowa, znów sprowadzamy ją do jakiejś prostej funkcji bazowej przetransformowanej o wektor [a;b]:

a=-2

b=-1

z tego wynika, że początkowy (bazowy) wykres ma wzór:

f(x)=-2x$

i aby otrzymać g(x), trzeba przesunąć go o wektor: [-2;-1].

Rysujemy więc nasz bazowy wykres:

wyk31

I przesuwamy dwa dowolne punkty wykresu o 2 w lewo i o 1 w dół, po czym prowadzimy przez nie prostą:

wyk32

$g(x)=-2(x+2)-1$

Spis treści

Rozwiązane zadania
Dana jest funkcja...

Sprawdzamy, czy istnieje taki element z dziedziny, dla którego{premium} funkcja przyjmuje wartość 7√2:

 

 

 

 

Funkcja f przyjmuje wartość 7√2 dla argumentu 9, czyli liczba 7√2 należy do zbioru wartości tej funkcji.

Uzasadnij, że...

 {premium}

 

Mamy:

 

Podana równość nie zachodzi.

Podaj przykład funkcji liniowej

Jeśli funkcja liniowa ma przyjmować tylko jedną wartość, to musi być funkcją stałą. Przykłady takich funkcji: 

 

 

Funkcja liniowa ma nieskończenie wiele miejsc zerowych, jeśli jest stale równa 0 (wtedy każdy argument jest miejscem zerowym){premium}

 

 

Funkcja liniowa nie ma miejsc zerowych jeśli jest funkcją stałą różną od funkcji stale równej zero. Przykłady takich funkcji: 

 

 

Każda funkcja liniowa niestała ma jedno miejsce zerowe. Jeśli funkcja jest malejąca, to współczynnik a musi być ujemny. Przykłady takich funkcji: 

 

 

Przykłady funkcji stałych: 

Podaj przykład wykresu funkcji...

Przykładowy wykres funkcji:{premium}

W pewnym mieście liczba mieszkańców wzrastała przez kolejne trzy lata...

początkowa liczba ludności

średni czynnik wzrostu liczby ludności


Obliczamy liczbę ludności po wzroście o  

 


Obliczamy liczbę ludności po wzroście o  

 {premium}


Obliczamy liczbę ludności po wzroście o  

 

 


Mamy więc:

 

 

 

 


Odp. Średni procentowy wzrost ludności w ciągu trzech lat wynosił  

Oblicz wartość wyrażenia, jeśli b=3:

 {premium}


 

 


 

Paleontolog znalazł kość prehistorycznego...

Korzystając z{premium} wykresu funkcji na stronie 258, stwierdzamy, że wartości 65%=0,65 odpowiada argument równy w przybliżeniu 3500. Możemy zatem stwierdzić, że znaleziona kość ma około 3500 lat, czyli zwierzę żyło około 3500 lat temu.

Wysokość trójkąta prostokątnego poprowadzona na przeciwprostokątną...

Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku poniżej:


a) Obliczamy c:{premium}

 


Ze wzoru {premium}na wysokość w trójkącie prostokątnym obliczamy h:

 


Obliczamy pole trójkąta:

 


Odp. Pole trójkąta jest równe 60 cm2.


b) Promień okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym ma długość połowy przeciwprostokątnej, więc:

 


Odp. Promień okręgu opisanego na trójkącie ma długość 10 cm.



c) Z tw. Pitagorasa dla trójkąta BCD obliczamy a:

 

 

 

 


Z tw. Pitagorasa dla trójkąta CAD obliczamy b:

 

 

 

 


Obliczamy promień okręgu wpisanego w trójkąt:

 


Odp. Promień okręgu wpisanego w trójkąt ma długość (4√10 - 10) cm.

Oblicz wartość wyrażenia:

Podstawowe tożsamości trygonometryczne:

 

 

 

 

Tożsamość 1) nazywamy jedynką trygonometryczną.


 

 

  

Zatem otrzymujemy:   {premium}

 


 

 

 

 

Zatem otrzymujemy:

 


 

 

 

  

Zatem otrzymujemy:

 


  

 

 

  

Zatem otrzymujemy:

 

Dwa boki trójkąta równoramiennego...

Z trzech odcinków można zbudować trójkąt jeśli suma długości dwóch krótszych odcinków jest większa od długości trzeciego odcinka.


 


Sprawdźmy czy trzeci bok tego trójkąta może mieć długość 3 cm:     {premium}

 

Sprawdźmy czy trzeci bok tego trójkąta może mieć długość 5 cm:

 

Trzeci bok może mieć długość 3 cm lub 5 cm.


 


Sprawdźmy czy trzeci bok tego trójkąta może mieć długość 3 km:

 

Sprawdźmy czy trzeci bok tego trójkąta może mieć długość 7 km:

 

Trzeci bok może mieć długość 7 km.


 


Sprawdźmy czy trzeci bok tego trójkąta może mieć długość a:

 

Sprawdźmy czy trzeci bok tego trójkąta może mieć długość 2a:

 

Trzeci bok może mieć długość 2a.


 


Sprawdźmy czy trzeci bok tego trójkąta może mieć długość a:

 

Sprawdźmy czy trzeci bok tego trójkąta może mieć długość a√2/2:

 

Trzeci bok może mieć długość a lub a√2/2.