Transformacja funkcji - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Przesunięcie o wektor

Przesunięcie o wektor to transformacja polegając na przesunięciu wykresu funkcji o ileś pól po osi X (w lewo lub w prawo) i po osi Y (w górę lub w dół).

Oznaczmy sobie funkcję bazową jako $$f(x)$$ i zawsze transformujmy wg tego wzoru:
$$f(x-a)+b$$

gdzie a to ilość pól wzdłuż osi x, a b ilość pól wzdłuż osi y. Oznacza to przesunięcie o wektor [a;b].

Załóżmy, że będziemy przesuwać zawsze o 5 pól, co daje wzory:

O pięć pól w górę: $$f(x)+5$$

O pięć pól w dół: $$f(x)-5$$

O pięć pól w lewo: $$f(x+5)$$

O pięć pól w prawo: $$f(x-5)$$

Możemy też przesuwać jednocześnie

O pięć pól w lewo i o pięć pól w dół: $$f(x+5)-5$$

Jak to wygląda na rysunku?

Spójrz na wykres:

wyk1

Przesuńmy go o 3 w górę:

Wtedy musimy wszystkie punkty zgięcia przesunąć o 3 w górę a potem połączyć, tak jak zostało to przedstawione na rysunku:

wyk2

Teraz nasz wzór to $$f(x)+3$$ Tak samo możemy zrobić z X i Y równocześnie, przesuńmy wykres bazowy (o wzorze $$f(x)$$):

wyk1

O wektor $$[-2;-1]$$

Nie boimy się słowa wektor, po prostu o 2 w lewo, bo -2 powoduje, że odejmujemy od współrzędnej X dwa pola, a -1 w dół, bo odejmujemy jedno pole od Y.

Znów po punktach:

wyk3
Wzór takiego nowego wykresu to $$f(x+2)-1$$.
 

Symetria osiowa (względem osi współrzędnych)

Czyl odbicie wykresu względem osi Y lub osi X. Jak się zachowa wzór przy takiej transformacji?

Odbicie względem osi X: $$-f(x)$$

Odbicie względem osi Y: $$f(-x)$$

Weźmy ponownie nasz bazowy wykres:

wyk1
 Przekształćmy go najpierw względem osi X. Symetria osiowa względem osi X polega na znalezieniu dla każdego punktu jego odbicia po przeciwnej stronie osi X, takiego że odcinek łączący wyjściowy punkt i jego odbicie jest prostopadły do osi X i przecina ją w połowie. Brzmi skomplikowanie, ale chodzi o zwykłe odbicie.

wyk4

Teraz musimy jeszcze odbić względem osi Y czyli $$f(-x)$$:

wyk5

Uwaga!


Zazwyczaj w zadaniach określone zostaną złożone transformacje, czyli wykorzystanie wektora przesunięcia i symetrii osiowej jednocześnie, a wektor będzie przesuwał i po osi x i po osi y. Dlatego dobrze jest najpierw rozpoznać co zaszło.


Najlepiej pokazać to na jeszcze jednym przykładzie:

Jakaś nieznana funkcja bazowa f(x) została przetransformowana do innej funkcji $$g(x)=2x+1$$ przy pomocy wektora [2;5]. Znajdź tę bazową funkcję.
Zrobimy to zadanie na dwa sposoby:

Sposób 1, przez sprowadzenie do postaci f(x-a)+b:

Szukamy tutaj bazowego wykresu. Skoro zawsze transformacją o wektor było f(x-a)+b gdzie a i b to dowolne liczby, to tutaj nasze $$a=2$$ oraz $$b=5$$. Mamy więc przesunięcie o 2 w prawo i 5 w górę, a nasz bazowy wykres to taki, który zostanie po usunięciu a i b. Musimy doprowadzić nasze g(x) do postaci $$g(x)=f(x-2)+5$$. W tym celu musimy wydzielić w funkcji człon x-2: $$g(x)=2x+1=2(x-2)+2*2+1=2(x-2)+5$$. Teraz "usuwamy" a i b (wstawiamy zamiast nich zera): $$f(x)=2(x-0)+0=2x$$

Sposób 2, przez użycie wektora przeciwnego:

W poprzedniej metodzie "usunęliśmy" a i b, czyli wstawiliśmy zamiast nich zera. Ten sam efekt uzyskalibyśmy odejmując a i b w odpowiednich miejscach, czyli transformując o wektor [-2;-5]. Zresztą czego innego można się spodziewać? Skoro przesunęliśmy bazową funkcję o wektor [a;b], odzyskamy ją, przesuwając to co powstało w drugą stronę, czyli o wektor przeciwny [-a;-b]. Zróbmy to więc! Nasze "to co powstało" to $$g(x)=2x+1$$. Przesuńmy je o [-2;-5]:

$$f(x)=g(x-(-2))+(-5)=g(x+2)-5=2(x+2)+1-5=2x+4+1-5=2x$$

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Poniższy wykres przetransformuj o wektor $$[-2;1]$$.

zad1

Mamy tutaj wektor podany na tacy, przesuwamy o 2 w lewo (bo -2) i o 1 w górę (bo +1).

roz1

Zadanie 2.

Narysuj wykres funkcji $$g(x)=(x-3)^2+2$$.  

Wszyscy znamy wykres funkcji $$f(x)=x^2$$. Wystarczy w naszej g(x) rozpoznać funkcję bazową f(x) przesuniętą o pewien wektor [a,b].

Wg naszego wzoru $$(x-3)^2+2=g(x)=f(x-a)+b=(x-a)^2+b$$

Stąd mamy: $$a=3$$ oraz $$b=2$$

Gdy "usuniemy" a i b zostanie:

$$f(x)=x^2$$

Musimy zatem narysować funkcję bazową $$f(x)=x^2$$, a potem przesunąć ją o wektor [3;2]

Wykres funkcji bazowej:

roz2
Teraz przesuwamy wykres o 3 w prawo i o 2 w górę. Wystarczy dokładnie przesunąć sam wierzchołek paraboli, resztę można dorysować byle jak (ale bez przesady, np. wypadałoby, żeby w zerze się zgadzało: $$g(0)=(0-3)^2+2=11$$).

roz22
Ostatecznie zielony wykres to nasze:

$$g(x)=(x-3)^2+2$$

   

Zadanie 3.

Narysuj wykres: $$g(x)=-2(x+2)-1$$.

Mimo że to prosta funkcja liniowa, znów sprowadzamy ją do jakiejś prostej funkcji bazowej przetransformowanej o wektor [a;b]:

a=-2

b=-1

z tego wynika, że początkowy (bazowy) wykres ma wzór:

f(x)=-2x$$

i aby otrzymać g(x), trzeba przesunąć go o wektor: [-2;-1].

Rysujemy więc nasz bazowy wykres:

wyk31

I przesuwamy dwa dowolne punkty wykresu o 2 w lewo i o 1 w dół, po czym prowadzimy przez nie prostą:

wyk32

$$g(x)=-2(x+2)-1$$

Spis treści

Rozwiązane zadania
Obwód równoległoboku ograniczonego ...

 

 

 

 

Zauważmy, że nastepujące układy, złożone z powyższych równań, mają jedno rozwiązanie:

 

Rozwiążmy powyższe układy graficznie.

 

 

 

 

 

 

 

   

Dany jest zbiór...

Zauważmy, że graficzną interpretacją zbioru F jest kwadrat bo:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Rysunek poglądowy:

Zauważmy, że jeżeli okrąg będzie miał promień równy 4 to będzie miał z kwadratem cztery punkty wspólne(będzie okręgiem opisanym na naszym kwadracie). Zauważmy, że jeżeli będziemy zmniejszać promień okręgu, to będzie on miał osiem punktów wspólnych z kwadratem aż do momentu w którym okrąg będzie się stykał ze środkami boków kwadratu. Obliczmy długość promienia okręgu w drugiej sytuacji.

Weźmy pod uwagę środek boku znajdującego się w I ćwiartce, jego współrzędne to:

 

zatem:

 

Zatem jeżeli promień będzie z przedziału:

 

to okrąg będzie miał 8 punktów wspólnych z kwadratem.

 

Odpowiedź C

Oblicz wartość wyrażenia:

 

 

 

Kąty α jest kątem ostrym ...

 

 

 

  

 

 

 

 

 

Wartości funkcji trygonometrycznych kąta ostrego są dodatnie.   

 

     

Jeśli a=5^40 i b=7^30, to: A. a-b

Odpowiedź D.

Pozostałe równości nie zachodzą. Nie możliwe jest mnożenie(odpowiedź D), odejmowanie (odpowiedź B)czy dodawanie liczb podniesionych do  jakiejś potęgi, gdyż w kolejności wykonywania działań najpierw wykonujemy potęgowanie, a później pozostałe działania. Nie dodajemy też potęg dwóch różnych liczb(jak zrobiono to w odpowiedzi C).

Wykresem funkcji f(x)= ...

 

 

 

     

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

        

  

 

      

 

 

 

 

 

      

 

 

 

 

 

    

       

 

 

   

 

   

 

  

 

   

    

 

    

W tabelce przedstawiono wartości funkcji f

Piotr i Stefan wyruszają na wycieczkę

Piotr startuje z miasta B, czyli ma do pokonania 105 km. Prędkość Piotra wynosi 15 km/h - oznacza to, że w ciągu każdej godziny Piotr pokonuje 15 km. W ciągu x godzin pokona więc 15x kilometrów. 

Zapiszmy wyrażenie opisujące odległość Piotra od miasta C wyrażoną w kilometrach (y) w zależności od czasu (x):

Oczywiście wartość x musi być nieujemna (ponieważ oznacza ona czas):

 

podobnie wartość y musi być nieujemna, ponieważ opisuje odległość: 

 

Wartość x jest więc liczbą nie mniejszą niż 0 i nie większą niż 7:

Wiemy, że dla 0 wyrażenie przyjmuje wartość 105, a dla 7 wyrażenie przyjmuje wartość 0. 

Zaznaczamy podane punkty i kreślimy wykres pokazujący odległość Piotra od miasta C:

 

 

 

Stefan startuje z miasta A, czyli ma do pokonana 135 km (30+105=135). Prędkość Stefana wynosi 22,5 km/h - oznacza to, że w ciągu każdej godziny Stefan pokonuje 22,5 km. W ciągu x godzin Stefan pokona więc 22,5 x kilometrów.

Zapiszmy wyrażenie opisując odległość Stefana od miasta C wyrażoną w kilometrach (y) w zależności od czasu (x):

Oczywiście wartość x musi być nieujemna:

podobnie wartość y musi być nieujemna: 

 

Wartość x jest więc liczbą nie mniejszą niż 0 i nie większą niż 6:

 

Wiemy, że dla 0 wyrażenie przyjmuje wartość 135, a dla 6 wyrażenie przyjmuje wartość 0. 

Teraz dorysujemy wykres pokazujący odległość Stefana od miasta C:

 

 

 

 

Z wykresu odczytujemy, że Stefan dogoni Piotra po 4 godzinach. 

 

 

 

Wiemy, że Stefan potrzebuje 6 godzin na dotarcie do miasta C. Jeśli Stefan ma dogonić Piotra dopiero w mieście C, to Piotr musi dotrzeć do miasta C także w czasie 6 godzin.

Oznaczmy nową prędkość Piotra (wyrażoną w km/h) jako 15+x. Piotr ma pokonać 105 km. Jeśli w ciągu jednej godziny pokonuje (15+x) kilometrów, to w ciągu 6 godzin pokona (15+x) kilometrów. Możemy zapisać równanie:

Piotr musiałby zwiększyć swoją średnią prędkość o 2,5 km/h. 

Rozłóż wyrażenia na czynniki, korzystając z odpowiedniego...

Przypomnijmy wzory, które będą nam potrzebne:

 

 


 


 {premium}


 


 


 


 


 


 


 

Prosta równoległa do osi OY przecina ...

 

  

 

 

 

 

   

Skoro prosta k jest równoległ do osi Y to jest postaci:

    

 

  

 

 

 

 

 

Podstawmy pod równanie okręgu współrzędne punktów A i B.

 

 

 

 

 

 

 

 

Podstawmy współrzędne punktu B do równania okręgu:

  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  

 

 

Skoro prosta k jest równoległ do osi Y to jest postaci:

    

   

 

 

   

 

 

  

  

 

Podstawmy pod równanie okręgu współrzędne punktów A i B.

 

 

 

  

 

     

     

  

Podstawmy współrzędne punktu B do równania okręgu:

  

 

    

   

  

  

  

 

 

 

  

 

 

Skoro prosta k jest równoległ do osi Y to jest postaci:

   

   

 

 

   

 

 

 

  

 

Podstawmy pod równanie okręgu współrzędne punktów A i B.

 

 

 

 

 

 

 

 

Podstawmy współrzędne punktu B do równania okręgu:

  

 

  

  

  

 

  

   

 

 

  

 

 

Skoro prosta k jest równoległ do osi Y to jest postaci:

   

   

 

 

   

 

 

 

  

 

Podstawmy pod równanie okręgu współrzędne punktów A i B.

 

 

 

 

 

 

 

 

Podstawmy współrzędne punktu B do równania okręgu: