Symetria w układzie współrzędnych - matura-podstawowa - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Symetria w układzie współrzędnych - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Symetria w układzie współrzędnych

Jedną z operacji symetrii jest odbicie jakiegoś obiektu względem innego obiektu (w naszym przypadku środka układu współrzędnych lub jednej z osi). Odbicie polega wtedy na zachowaniu odległości względem osi lub środka układu. Odległość ta jest mierzona na linii
- prostopadłej do osi (gdy odbijam względem osi)
- Przecinającej środek układu (gdy odbijam względem środka układu)

Zadaniem tego działu będzie zobrazowanie takiego odbicia, a także pokazanie jak się zachowują współrzędne w takiej sytuacji.


Symetria względem osi

Osią będziemy nazywać oś X lub Y i to względem niej będziemy opracowywać symetrię. Narysujmy układ współrzędnych.

Przykład:
symetrie1
Został na nim zaznaczony punkt A, odczytujemy współrzędne A(1;2).
Odbijmy go względem osi X.
Zauważcie, że czerwony odcinek jest równa długością niebieskiemu:

symetrie2
Odczytajmy współrzędne punktu A’ pamiętając, że odcinek AA' jest pod kątem prostym do osi X. Nasz A’ ma obecnie A’(1,-2).

Teraz weźmy oś Y i ten sam punkt:
symetrie3
Również mamy równą odległość od osi, punkt A’’ (-1;2).


Symetria względem środka układu:
W tym wypadku przecinamy naszą linią punkt, który jest środkiem układu, więc nie ma mowy o kącie prostym, po prostu doprowadzamy linię do tego punktu, a potem taką samą długość za nim. Na tym samym przykładzie:

symetrie4
Widzimy, że współrzędne A’’’ to (-1;-2).

tab1

Jak widać przy symetrii względem osi X wartość Y zmienia się na przeciwną, przy symetrii względem osi Y wartość X zmienia się na przeciwną, natomiast przy symetrii przez środek układu obie wartości zmieniają się na przeciwne.

 

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Znajdź współrzędne punktu B(3;-1) względem osi X, osi Y oraz środka układu współrzędnych.

Mamy punkt B(3;-1).

Względem osi X zmieniamy współrzędną Y
B(3;-1) względem X: B’(3;1)

Względem osi Y zmieniamy współrzędną X
B(3;-1) względem Y: B’’(-3;-1)

Pozostał początek układu:
B(3;-1) odbite względem punktu (0;0) jest równe B’’’(-3;1)

Zadanie 2.

Wyznacz obraz poniższego trójkąta względem osi Y:
zad2

Wyznaczmy współrzędne naszych punktów:
A (-1;4)
B (-4;1)
C (0;1)

Następnie mamy zadanie odbijać względem osi Y, więc zmieniamy współrzędną X na przeciwną. Zatem:
A’(1;4)
B’(4;1)
C’(0;1)

Przy C jak widać nie zmieniamy nic. Pozostaje nam to narysować:

zad22

Spis treści

Rozwiązane zadania
Dane są odcinki, których długości ...

a)


b)    {premium}


c)


d)


e)


f)

Dziedziną funkcji f jest przedział...

Aby otrzymać wykres funkcji y=f(x+4), należy{premium} przesunąć wykres funkcji f o 4 jednostki w lewo. Dziedzina funkcji przesunie się w taki sam sposób, więc będzie nią przedział <-2, 3>


Prawidłowa odpowiedź to A. 

Podaj wzór funkcji, której wykres...

Wzór na pierwszą współrzędną wierzchołka:

 

 

Obliczmy drugą współrzędną:

{premium}  

 

Dowolny wierzchołek ma współrzędne:

 

 

A więc:

 

 

Podstawiając:

 

otrzymujemy wzór funkcji, która przechodzi przez każdy z wierzchołków, jest to funkcja liniowa.

 

W jednym układzie współrzędnych naszkicuj...

a) Wyznaczamy współrzędne kilku punktów należących do wykresów funkcji f, g, h i przedstawiamy je w tabeli:{premium}

x -2 -1 0 1 2
f(x)=x2 4 1 0 1 4
g(x)=2x2 8 2 0 2 8
h(x)=3x2 12 3 0 3 12

Szkicujemy wykresy funkcji we wspólnym układzie współrzędnych:


Obliczamy wartości funkcji dla danych argumentów:

 

 

 

 

 

 



b) Wyznaczamy współrzędne kilku punktów należących do wykresów funkcji f, g, h i przedstawiamy je w tabeli:

x -2 -1 0 1 2
f(x)=-x2 -4 -1 0 -1 -4
g(x)=-1/2x2 -2 -1/2 0 -1/2 -2
h(x)=-4x2 -16 -4 0 -4 -16

Szkicujemy wykresy funkcji we wspólnym układzie współrzędnych:


Obliczamy wartości funkcji dla danych argumentów:

 

 

 

 

 

 

Wskaż równanie osi symetrii ...

 

Zauważmy, że osią symetrii paraboli jest prosta   gdzie p to pierwsza współrzędna wierzchołka paraboli. {premium}

Z postaci kanonicznej możemy odczytać współrzędne wierzchołka paraboli:  

 

Zatem szukaną prostą jest  

 

Odp. B

Korzystając z interpretacji geometrycznej

Założenie:

Teza:

Dowód:

Nierówność: |x-a|<|x-b| oznacza, że odległość liczby x od liczby a ma być mniejsza niż odległość liczby x od liczby b

Zauważmy, że średnia arytmetyczna liczb a i b znajduje się dokładnie w połowie między liczbami a i b

 

Szukamy takich liczb x, dla których odległość liczby x od liczby a ma być mniejsza niż odległość liczby x od liczby b.

Jeśli średnia arytmetyczna liczb a i b znajduje się dokładnie w połowie między tymi liczbami, to dla x będącego tą średnią, odległość liczby x od liczby a będzie taka sama, jak odległość liczby x od liczby b, więc nierówność z tezy nie będzie spełniona.

Aby odległość liczby x od liczby a była mniejsza niż odległość liczby x od liczby b, musimy wziąć wartości x mniejsze od średniej arytmetycznej liczb a i b:

 

 

Kacper pociął sznur na pewną...

Oznaczmy:

x - liczba kawałków sznura

y - długość jednego kawałka sznura (w cm)

Długość sznura opisuje wówczas wyrażenie{premium} xy.


Gdyby liczba kawałków była o 3 większa (czyli wynosiła x+3), to każdy kawałek byłby o 5 cm krótszy (czyli miałby długość y-5). Długość sznura się nie zmienia. Stąd:

 


Gdyby liczba kawałków była o 2 mniejsza (czyli wynosiła x-2), to każdy kawałek byłby o 5 cm dłuższy (czyli miałby długość y+5). Długość sznura się nie zmienia. Stąd:

 


Zapisujemy powyższe równania jako układ równań i wyznaczamy z niego x oraz y.

 

 

 

 

Dodajemy równania stronami.

 

Podstawiamy y=25 do dowolnego równania w układzie i obliczamy x.

 

 

 

 

 


Obliczamy, jaką długość miał sznur przed pocięciem go na kawałki:

 


Odp. Kacper pociął sznur na 12 kawałków. Przed pocięciem na kawałki sznur miał długość 300 cm.

Wierzchołkiem paraboli jest punkt

Zapiszmy równanie paraboli w postaci kanonicznej, wtedy z łatwością odczytamy współrzędne wierzchołka: {premium}

Liczba ...

Wyznaczamy liczbę spełniającą podane równanie. 

 

 
{premium}

   

 

Usuwamy niewymierność z mianownika. 

  

zatem: 

 


 

czyli: 

 

 


Wyznaczamy wartość sumy a + b. 

 

Jeśli...

Odpowiedź{premium} B