Symetria w układzie współrzędnych - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Symetria w układzie współrzędnych

Jedną z operacji symetrii jest odbicie jakiegoś obiektu względem innego obiektu (w naszym przypadku środka układu współrzędnych lub jednej z osi). Odbicie polega wtedy na zachowaniu odległości względem osi lub środka układu. Odległość ta jest mierzona na linii
- prostopadłej do osi (gdy odbijam względem osi)
- Przecinającej środek układu (gdy odbijam względem środka układu)

Zadaniem tego działu będzie zobrazowanie takiego odbicia, a także pokazanie jak się zachowują współrzędne w takiej sytuacji.


Symetria względem osi

Osią będziemy nazywać oś X lub Y i to względem niej będziemy opracowywać symetrię. Narysujmy układ współrzędnych.

Przykład:
symetrie1
Został na nim zaznaczony punkt A, odczytujemy współrzędne A(1;2).
Odbijmy go względem osi X.
Zauważcie, że czerwony odcinek jest równa długością niebieskiemu:

symetrie2
Odczytajmy współrzędne punktu A’ pamiętając, że odcinek AA' jest pod kątem prostym do osi X. Nasz A’ ma obecnie A’(1,-2).

Teraz weźmy oś Y i ten sam punkt:
symetrie3
Również mamy równą odległość od osi, punkt A’’ (-1;2).


Symetria względem środka układu:
W tym wypadku przecinamy naszą linią punkt, który jest środkiem układu, więc nie ma mowy o kącie prostym, po prostu doprowadzamy linię do tego punktu, a potem taką samą długość za nim. Na tym samym przykładzie:

symetrie4
Widzimy, że współrzędne A’’’ to (-1;-2).

tab1

Jak widać przy symetrii względem osi X wartość Y zmienia się na przeciwną, przy symetrii względem osi Y wartość X zmienia się na przeciwną, natomiast przy symetrii przez środek układu obie wartości zmieniają się na przeciwne.

 

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Znajdź współrzędne punktu B(3;-1) względem osi X, osi Y oraz środka układu współrzędnych.

Mamy punkt B(3;-1).

Względem osi X zmieniamy współrzędną Y
B(3;-1) względem X: B’(3;1)

Względem osi Y zmieniamy współrzędną X
B(3;-1) względem Y: B’’(-3;-1)

Pozostał początek układu:
B(3;-1) odbite względem punktu (0;0) jest równe B’’’(-3;1)

Zadanie 2.

Wyznacz obraz poniższego trójkąta względem osi Y:
zad2

Wyznaczmy współrzędne naszych punktów:
A (-1;4)
B (-4;1)
C (0;1)

Następnie mamy zadanie odbijać względem osi Y, więc zmieniamy współrzędną X na przeciwną. Zatem:
A’(1;4)
B’(4;1)
C’(0;1)

Przy C jak widać nie zmieniamy nic. Pozostaje nam to narysować:

zad22

Spis treści

Rozwiązane zadania
Wyznacz zbiory

`a)` 

`AuuB=(-5;\ 3>>` 

`(AuuB)'=(-infty;\ -5>>uu(3;\ +infty)` 

`A'=(-infty;\ -5>>uu<<1;\ +infty)` 

`B'=(-infty;\ -2)uu(3;\ +infty)` 

`A'uuB'=(-infty;\ -2)uu<<1;\ +infty)` 

 

 

 

`b)` 

`AuuB=<<-3;\ +infty)` 

`(AuuB)'=(-infty;\ -3)` 

`A'=(-infty;\ -3)uu(0;\ +infty)` 

`B'=(-infty;\ -1>>` 

`A'uuB'=(-infty;\ -1>>uu(0;\ +infty)` 

 

 

 

`c)` 

`AuuB=(-infty;\ 2>>uu(3;\ 7>>` 

`(AuuB)'=(2;\ 3>>uu(7;\ +infty)` 

`A'=(2;\ +infty)` 

`B'=(-infty;\ 3>>uu(7;\ +infty)` 

`A'uuB'=(-infty;\ +infty)=RR` 

 

 

`d)` 

`AuuB=(-4;\ +infty)` 

`(AuuB)'=(-infty;\ -4>>` 

`A'=(-infty;\ -4>>uu<<0;\ +infty)` 

`B'=(-infty;\ 0)` 

`A'uuB'=(-infty;\ +infty)=RR` 

 

Dla jakich wartości parametru m równanie ...

`"Równanie kwadratowe ma dwa pierwiastki różnych znaków gdy:"` 

`Delta>0 \ \ \wedge\ \ \x_1x_2<0\ \ \wedge\ \ \ane0`  

 

`a)` 

`x^2+(m-3)x+m=0` 

`Delta=m^2-6m+9-4m=m^2-10m+9>0` 

`Delta_m=100-36=64`  

`sqrt64=8`   

`m_1=(10-8)/2=1` 

`m_2=(10+8)/2=9` 

` m in (-oo;1)cup(9;+oo)` 

 

`x_1*x_2=c/a=m` 

`m<0` 

 

` (-oo;1)cup(9;+oo)cap(-oo;0)=(-oo;0)` 

`ul( m in(-oo;0)` 

 

`b)` 

`1/4x^2+(m+1)x+1=0` 

`Delta=m^2+2m+1-1=m^2+2m` 

`m^2+2m>0` 

`m(m+2)>0` 

`m_1=0` 

`m_2=-2` 

`m in (-oo;-2)cup(0;+oo)` 

 

`x_1*x_2=c/a=1/(1/4)=4>0`  

`"Takie m nie istnieje, ponieważ"\ x_1x_2>0\ "dla dowolnego m."`    

 

`c)` 

`1/4mx^2+(m^2-1)x+m^3-4m=0` 

`Delta=m^4-2m^2+1-m^4+4m^2=2m^2+1>0` 

`m^2> -1/2` 

`"Spełnione dla każdego m."` 

`m in RR` 

 

`x_1x_2=c/a=(m^3-4m)/(1/4m)=4m^2-16<0`   

`m^2<4` 

`m<2\ \ \wedge\ \ \m> -2`  

`m in (-2;2)` 

 

`a=1/4m ne0` 

`m ne 0` 

 

`RR cap (-2;2)\\{0}=(-2;2)\\{0}`   

`ul ( m in (-2;2)\\{0}`  

 

`d)` 

`(3m-2)x^2+mx+1-3/2m=0` 

`Delta=m^2-4(1-3/2m)(3m-2)=m^2-4(3m-2-9/2m^2+3m)=m^2-12m+8+18m^2-12m=` 

`=19m^2-24m+8>0` 

`Delta_m=576-608<0` 

`19>0\ "Parabola leży w całości nad osią X."` 

`m in RR` 

 

`x_1x_2=c/a=(1-3/2m)/(3m-2)<0` 

`D:\ 3m-2 ne0 \ implies \ m ne2/3`    

`(1-3/2m)(3m-2)<0` 

`3m-2-9/2m^2+3m=-9/2m^2+6m-2<0` 

`Delta_m=36-36=0` 

`m=-6/-9=2/3 notin D` 

`-9/2<0\ "Parabola leży pod osią X za wyjątkiem punktu stycznego z osią X w punkcie"\ m=2/3.`     

`m in RR\\{2/3}` 

 

`a=3m-2ne0` 

`m ne 2/3` 

 

`RRcap(RR\\{2/3})=RR\\{2/3}`  

`ul( m in RR\\{2/3}` 

Sprawdź, czy podane równości są tożsamościami

a) 

Przekształcamy prawą stronę równości:

`(sinalpha+cosalpha)/(sinalpha)=(sinalpha)/(sinalpha)+(cosalpha)/(sinalpha)=1+ctgalpha`

Równość jest tożsamością trygonometryczną.

 

 b)

Przekształcamy prawą stronę równości:

`1/(cosalpha) -cosalpha=1/(cosalpha) -(cos^2alpha)/(cosalpha)=(1-cos^2alpha)/(cosalpha)=(sin^2alpha)/(cosalpha)=sinalpha* (sinalpha)/(cosalpha)=sinalpha*tgalpha`

Równość jest tożsamością trygonometryczną.

Wykaż, że trójkąt o wierzchołkach...

Promień okręgu opisanego na tym trójkącie wyraża się wzorem:

`R = (abc)/(4P)` 

`a, b, c - \ "długość boków trójkąta"` 

`P - \ "pole trójkąta"` 

 

Pole trójkąta równobocznego o boku a jest dane wzorem:

`P= (a^2 sqrt3)/4` 

 

 

Obliczmy długości wektorów:

`| stackrel(->)(AB) | = sqrt((3 -3)^2 +(2sqrt3+2 -(2-2sqrt3))^2) = sqrt((2sqrt3+2-2+2sqrt3)^2) = sqrt((4sqrt3)^2) = 4sqrt3` 

`| stackrel(->)(AC) | = sqrt((-3-3)^2 +(2-(2-2sqrt3))^2) = sqrt((-6)^2 + (2-2+2sqrt3)^2) = sqrt(36 + (2sqrt3)^2) = sqrt(36 + 4*3) = sqrt48 = sqrt(16*3) = 4sqrt3`

`| stackrel(->)(BC) | = sqrt((-3-3)^2 +(2-(2sqrt3+2))^2) = sqrt((-6)^2 + (2-2sqrt3-2)^2) = sqrt(36 + (-2sqrt3)^2) = sqrt(36+12) = sqrt48 = 4sqrt3`  

Długości wektorów są równe a wiec długości boków też są równe, zatem trójkąt jest trójkątem równobocznym.

 

Środek ciężkości:

`S = ((x_A + x_B + x_C)/3 , (y_A + y_B + y_C)/3) =((3 + 3-3)/3 , (2-2sqrt3+2sqrt3+2+2)/3)= (3/3,6/3) = (1,2)` 

 

 

Pole trójkąta równobocznego:

`P= (a^2 sqrt3)/4 = ((4sqrt3)^2 * sqrt3)/4 = (16*3 * sqrt3)/4 = (48sqrt3)/4 = 12sqrt3` 

 

Promień okręgu opisanego na tym trójkącie:

`R = (abc)/(4P) = (4sqrt3 * 4sqrt3 * 4sqrt3)/(4*12sqrt3) = (64 * sqrt3 * sqrt3 * sqrt3)/(48 sqrt3) = (64 * sqrt3 * sqrt3)/48 = (4*3)/3 = 12/3 = 4` 

Z punktu P = (-3, 4)...

Rysunek poglądowy:

 

Rysunek poglądowy samo trójkąta poza układem współrzędnych, interesujący nas trójkąt zaznaczyliśmy kolorem.

`h = 4` 

 

`tg \ 60^o = h/a` 

`a = h/(tg \ 60^o) = 4/sqrt3 *sqrt3/sqrt3 = (4sqrt3)/3` 

 

 

`tg \ 30^o = h/(a+b)` 

`sqrt3/3 = 4/((4sqrt3)/3 + b)` 

`sqrt3/3*((4sqrt3)/3+b) = 4` 

`(4*3)/9 + sqrt3/3*b = 4` 

`4/3 + sqrt3/3 * b = 4` 

`sqrt3/3 * b = 8/3` 

`b = 8/3 * 3/sqrt3 = 8/sqrt3 *sqrt3/sqrt3 = (8sqrt3)/3` 

 

Pole trójkąta:

`P = 1/2bh = 1/2*(8sqrt3)/3* 4 = (16sqrt3)/3` 

Proste o równaniach: x+y=3 i x+2y=3

Aby ustalić, która odpowiedź jest prawidłowa, należy rozwiązać układ równań:

`{(x+y=3),(x+2y=3):}` 

`{(x=3-y),(x+2y=3):}` 

`{(x=3-y),(3-y+2y=3):}` 

`{(x=3-y),(y=0):}` 

`{(x=3),(y=0):}` 

Wobec powyższego prawidłowa odpowiedź to `"D."`  

Liczbę p przedstaw w postaci potęgi o podstawie a.

a)

`p=64=4^3`

b)

`p=1/9=(1/3)^2=(3/1)^(-2)=3^(-2)`

c)

`p=-1/32=(-1/2)^5=(-2/1)^(-5)=(-2)^(-5)`

d)

`p=0,001=1/1000=(1/10)^3=(10/1)^(-3)=10^(-3)`

Ile trzycyfrowych liczb

Zauważmy, że wartość liczby trzycyfrowej postaci xyz jest równa 100x+10y+z (np. 234=2∙100+3∙10+4). 

Jeśli odwrócimy cyfry, to otrzymamy liczbę postaci zyx, której wartość jest równa 100z+10y+x. 

 

Wiemy, że te liczby mają być jednakowe: 

`100x+10y+z=100z+10y+x\ \ \ \ \ |-z-10y-x`

`99x=99z\ \ \ |:99`

`x=z`

 

Powyższa równość oznacza, że są to takie liczby, w których cyfra dziesiątek jest dowolna, a cyfra jedności i setek są jednakowe. 

Wypiszmy te liczby: 

`101\ \ \ 202\ \ \ 303 \ \ \ 404\ \ \ 505\ \ \ 606\ \ \ 707\ \ \ 808\ \ \ 909`

`111\ \ \ 212\ \ \ 313\ \ \ 414\ \ \ 515\ \ \ 616\ \ \ 717\ \ \ 818\ \ \ 919`

`121\ \ \ 222\ \ \ 323\ \ \ 424\ \ \ 525\ \ \ 626\ \ \ 727\ \ \ 828\ \ \ 929`

`131\ \ \ 232\ \ \ 333\ \ \ 434\ \ \ 535\ \ \ 636\ \ \ 737\ \ \ 838\ \ \ 939`

`141\ \ \ 242\ \ \ 343\ \ \ 444\ \ \ 545\ \ \ 646\ \ \ 747\ \ \ 848\ \ \ 949`

`151\ \ \ 252\ \ \ 353\ \ \ 454\ \ \ 555\ \ \ 656\ \ \ 757\ \ \ 858\ \ \ 959`

`161\ \ \ 262\ \ \ 363\ \ \ 464\ \ \ 565 \ \ \ 666\ \ \ 767\ \ \ 868\ \ \ 969`

`171\ \ \ 272\ \ \ 373\ \ \ 474\ \ \ 575\ \ \ 676\ \ \ 777\ \ \ 878\ \ \ 979`

`181\ \ \ 282\ \ \ 383\ \ \ 484\ \ \ 585\ \ \ 686\ \ \ 787\ \ \ 888\ \ \ 989`

`191\ \ \ 292\ \ \ 393\ \ \ 494\ \ \ 595\ \ \ 696\ \ \ 797\ \ \ 898\ \ \ 999`

 

Jest 90 takich liczb. Wśród nich jest 50 liczb nieparzystych oraz 40 liczb parzystych, więc o 10 więcej liczb nieparzystych niż parzystych ma taką własność.  

Liczba (5-3√2)/(2√2+5) jest równa

`(5-3sqrt2)/(2sqrt2+5)*(2sqrt2-5)/(2sqrt2-5)=((5-3sqrt2)(2sqrt2-5))/((2sqrt2)^2-5^2)=`

`=(10sqrt2-25-6(sqrt2)^2+15sqrt2)/(4*(sqrt2)^2-25)=(25sqrt2-25-6*2)/(4*2-25)=`

`=(25sqrt2-37)/(-17)=-(25sqrt2-37)/17=(37-25sqrt2)/17`

Wyłącz czynnik przed pierwiastek

`a)\ sqrt8=sqrt4*sqrt2=2sqrt2`

`b)\ sqrt12=sqrt4*sqrt3=2sqrt3`

`c)\ sqrt27=sqrt9*sqrt3=3sqrt3`

`d)\ sqrt32=sqrt16*sqrt2=4sqrt2`

`e)\ sqrt48=sqrt16*sqrt3=4sqrt3`

`f)\ sqrt52=sqrt4*sqrt13=2sqrt13`

`g)\ sqrt150=sqrt25*sqrt6=5sqrt6`

`h)\ sqrt175=sqrt25*sqrt7=5sqrt7`

`i)\ sqrt180=sqrt36*sqrt5=6sqrt5`