Symetria w układzie współrzędnych - matura-podstawowa - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Symetria w układzie współrzędnych - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Symetria w układzie współrzędnych

Jedną z operacji symetrii jest odbicie jakiegoś obiektu względem innego obiektu (w naszym przypadku środka układu współrzędnych lub jednej z osi). Odbicie polega wtedy na zachowaniu odległości względem osi lub środka układu. Odległość ta jest mierzona na linii
- prostopadłej do osi (gdy odbijam względem osi)
- Przecinającej środek układu (gdy odbijam względem środka układu)

Zadaniem tego działu będzie zobrazowanie takiego odbicia, a także pokazanie jak się zachowują współrzędne w takiej sytuacji.


Symetria względem osi

Osią będziemy nazywać oś X lub Y i to względem niej będziemy opracowywać symetrię. Narysujmy układ współrzędnych.

Przykład:
symetrie1
Został na nim zaznaczony punkt A, odczytujemy współrzędne A(1;2).
Odbijmy go względem osi X.
Zauważcie, że czerwony odcinek jest równa długością niebieskiemu:

symetrie2
Odczytajmy współrzędne punktu A’ pamiętając, że odcinek AA' jest pod kątem prostym do osi X. Nasz A’ ma obecnie A’(1,-2).

Teraz weźmy oś Y i ten sam punkt:
symetrie3
Również mamy równą odległość od osi, punkt A’’ (-1;2).


Symetria względem środka układu:
W tym wypadku przecinamy naszą linią punkt, który jest środkiem układu, więc nie ma mowy o kącie prostym, po prostu doprowadzamy linię do tego punktu, a potem taką samą długość za nim. Na tym samym przykładzie:

symetrie4
Widzimy, że współrzędne A’’’ to (-1;-2).

tab1

Jak widać przy symetrii względem osi X wartość Y zmienia się na przeciwną, przy symetrii względem osi Y wartość X zmienia się na przeciwną, natomiast przy symetrii przez środek układu obie wartości zmieniają się na przeciwne.

 

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Znajdź współrzędne punktu B(3;-1) względem osi X, osi Y oraz środka układu współrzędnych.

Mamy punkt B(3;-1).

Względem osi X zmieniamy współrzędną Y
B(3;-1) względem X: B’(3;1)

Względem osi Y zmieniamy współrzędną X
B(3;-1) względem Y: B’’(-3;-1)

Pozostał początek układu:
B(3;-1) odbite względem punktu (0;0) jest równe B’’’(-3;1)

Zadanie 2.

Wyznacz obraz poniższego trójkąta względem osi Y:
zad2

Wyznaczmy współrzędne naszych punktów:
A (-1;4)
B (-4;1)
C (0;1)

Następnie mamy zadanie odbijać względem osi Y, więc zmieniamy współrzędną X na przeciwną. Zatem:
A’(1;4)
B’(4;1)
C’(0;1)

Przy C jak widać nie zmieniamy nic. Pozostaje nam to narysować:

zad22

Spis treści

Rozwiązane zadania
Oblicz (2^(4/3)+81^ (2/3))*(4³√4-18³√18+81

 

 

  

 

  

          

 

  

Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia:

 

    

 

Znajdź obraz danej figury w symetrii środkowej...

Obrazy figur dorysowano kolorem niebieskim:

{premium}




Sprawdź, czy punkty...

Wyznaczmy równanie prostej AB:{premium}

 

 

 

stąd

 

 

 

czyli

 

a więc:

 

 

Sprawdźmy czy punkt C należy do wykresu funkcji:

 

Należy, punkty są współliniowe.

Odcinek A'B' jest obrazem odcinka ...

Zauważmy, że:

 

 

Czyli: {premium}

 

Na mocy twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Talesa proste AB i A'B' są równoległe.

Trójkąty OAB i OA'B' są podobne z cechy BKB.

Zauważmy, że skala podobieństwa wynosi k=3.

 

Oblicz a³+b³, a³-b³, jeśli a=³√-128, b=³√250

 

Wyznacz elementy a i b w zbiorze...

a) Do części wspólnej zbiorów należy 7 i 10. Zatem

 

 

Przy założeniu, że zbiory nie są uporządkowane to drugą możliwością jest:

  

 

 

b) Jeżeli element należy do sumy zbiorów to znaczy, że musi należeć do jednego z dwóch zbiorów. Zatem

  

 

lub

 

 

Wyznacz współrzędne punktów wspólnych ...

 

 

 

 

 {premium}

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  

 

 

 

 

 

 

 

 

Brak punktów wspólnych.

Wyznacz...

 

 

 

 

Pomocniczo wyciągnijmy liczbę przed pierwiastek:

 

 

Wyznacz najmniejszą liczbę ...

Szukamy liczby wymiernej, której wynikiem dzielenia przez ułamki 5/72 i 11/84 jest liczba naturalna.

Oznaczmy liczbę wymierną jako p/q, gdzie p,q  C.

  

 

Zauważmy, że aby w ywniku mnożenia powyższch ułamków otrzymać liczbę naturalną, p musi być najmniejszą liczbą podzielną zarówno przez 5, jak  i 11, natomiast q musi dzielić liczbę 72 i 84, czyli musi być dzielnikiem liczb 72 i 84. Chcemy uzyskać, jaka najmniejszą liczbę naturalną, więc musimy q musi być jak największą liczbą, czyli największym wspólnym dzielnikiem liczb 72 i 84.

Aby wyznaczyć p, obliczamy NWW(5,11). Aby wyznaczyć q, obliczamy NWD(72,84)

 

 

Stąd:

 

 

Szukana liczba wymierna to 55/12.

 

Dla pewności, czy otrzymujemy liczbę naturalną, obliczmy podane w treści zadania ilorazy:

 

 

Oblicz, stosując prawa działań na potęgach:

 


 {premium}