Symetria w układzie współrzędnych - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Symetria w układzie współrzędnych

Jedną z operacji symetrii jest odbicie jakiegoś obiektu względem innego obiektu (w naszym przypadku środka układu współrzędnych lub jednej z osi). Odbicie polega wtedy na zachowaniu odległości względem osi lub środka układu. Odległość ta jest mierzona na linii
- prostopadłej do osi (gdy odbijam względem osi)
- Przecinającej środek układu (gdy odbijam względem środka układu)

Zadaniem tego działu będzie zobrazowanie takiego odbicia, a także pokazanie jak się zachowują współrzędne w takiej sytuacji.


Symetria względem osi

Osią będziemy nazywać oś X lub Y i to względem niej będziemy opracowywać symetrię. Narysujmy układ współrzędnych.

Przykład:
symetrie1
Został na nim zaznaczony punkt A, odczytujemy współrzędne A(1;2).
Odbijmy go względem osi X.
Zauważcie, że czerwony odcinek jest równa długością niebieskiemu:

symetrie2
Odczytajmy współrzędne punktu A’ pamiętając, że odcinek AA' jest pod kątem prostym do osi X. Nasz A’ ma obecnie A’(1,-2).

Teraz weźmy oś Y i ten sam punkt:
symetrie3
Również mamy równą odległość od osi, punkt A’’ (-1;2).


Symetria względem środka układu:
W tym wypadku przecinamy naszą linią punkt, który jest środkiem układu, więc nie ma mowy o kącie prostym, po prostu doprowadzamy linię do tego punktu, a potem taką samą długość za nim. Na tym samym przykładzie:

symetrie4
Widzimy, że współrzędne A’’’ to (-1;-2).

tab1

Jak widać przy symetrii względem osi X wartość Y zmienia się na przeciwną, przy symetrii względem osi Y wartość X zmienia się na przeciwną, natomiast przy symetrii przez środek układu obie wartości zmieniają się na przeciwne.

 

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Znajdź współrzędne punktu B(3;-1) względem osi X, osi Y oraz środka układu współrzędnych.

Mamy punkt B(3;-1).

Względem osi X zmieniamy współrzędną Y
B(3;-1) względem X: B’(3;1)

Względem osi Y zmieniamy współrzędną X
B(3;-1) względem Y: B’’(-3;-1)

Pozostał początek układu:
B(3;-1) odbite względem punktu (0;0) jest równe B’’’(-3;1)

Zadanie 2.

Wyznacz obraz poniższego trójkąta względem osi Y:
zad2

Wyznaczmy współrzędne naszych punktów:
A (-1;4)
B (-4;1)
C (0;1)

Następnie mamy zadanie odbijać względem osi Y, więc zmieniamy współrzędną X na przeciwną. Zatem:
A’(1;4)
B’(4;1)
C’(0;1)

Przy C jak widać nie zmieniamy nic. Pozostaje nam to narysować:

zad22

Spis treści

Rozwiązane zadania
Rozwiąż równanie.

`"a)"\ x/5=(2(x-4))/3`   

`3x=5*2(x-4)`  

`3x=10(x-4)` 

`3x=10x-40` 

`7x=40\ "/":7` 

`x=40/7=5 5/7` 

Odp. Rozwiązaniem równania jest `x=5 5/7.` 

 

`"b)"\ 6/(2x-4)=5/(8(x-2))` 

`6*8(x-2)=5*(2x-4)` 

`48(x-2)=10x-20` 

`48x-96=10x-20` 

`38x=76\ "/":38` 

`x=2` 

Zauważmy, że dla `x=2` mianowniki ułamków się zerują, więc liczba `2` nie może być rozwiązaniem równania.

Zatem równanie jest sprzeczne.

Odp. Równanie jest sprzeczne.  

     

 

Spośród funkcji liniowych wybierz te

Funkcja jest rosnąca, jeśli jej współczynnik kierunkowy (współczynnik stojący przy x) jest liczbą dodatnią. 

 

`f(x)=(3-sqrt11)x+1`

`a=3-sqrt11=sqrt9-sqrt11<0\ \ \ \ (bo\ \ sqrt9<sqrt11)`

 

 

 

`g(x)=1/(sqrt3-2)x+10`

`a=1/(sqrt3-2)=1/(sqrt3-sqrt4)<0\ \ \ (bo\ \ sqrt3<sqrt4)`

 

 

 

`h(x)=|-4+2sqrt2|x-7`

`a=|-4+2sqrt2|>0`

(wartość bezwzględna z dowolnej niezerowej liczby jest dodatnia)

 

 

`k(x)=root(3)(-27)x+3`

`a=root(3)(27)=-3<0`

 

 

Funkcją rosnącą jest tylko funkcja h(x). 

Przeczytaj podany w ramce przykład

`a)\ a=2,\ \ b=-4,\ \ c=3` 

`\ \ \ x_w=-(-4)/(2*2)=` `4/4=1` 

`\ \ \ y_w=f(x_w)=f(1)=2*1^2-4*1+3=` 

`\ \ \ \ \ \ \ \ =2-4+3=1` 

`\ \ \ W=(1,\ 1)` 

 

 

 

`b)\ a=-1,\ \ b=-3,\ \ c=4`  

`\ \ \ x_w=-(-3)/(2*(-1))=` `-3/2=-1 1/2` 

`\ \ \ y_w=f(x_w)=f(-3/2)=` `-(-3/2)^2-3*(-3/2)+4=` 

`\ \ \ \ \ \ \ =` `-9/4+9/2+4=` `-2 1/4+4 2/4+4=` `6 1/4` 

`\ \ \ W=(-1 1/2,\ 6 1/4)` 

 

 

 

`c)\ a=1/4,\ \ b=-1,\ \ c=10` 

`\ \ \ x_w=-(-1)/(2*1/4)=` `1/(1/2)=1:1/2=1*2/1=2` 

`\ \ \ y_w=f(x_w)=f(2)=1/4*2^2-2+10=` 

`\ \ \ \ \ \ \ =1-2+10=9` 

`\ \ \ W=(2,\ 9)`    

W trójkącie ABC wysokość CD jest równa 20 cm

Trójkąty ABC i EFC są podobne (cecha kkk)

Stosunek pól figur podobnych jest równy kwadratowi ich skali podobieństwa

`(P_(EFC))/(P_(ABC))=4:9=4/9=k^2`

`k^2=4/9`          `i `            `k>0`

`k^2=4/9`          `sqrt`

`k=2/3`

Korzystając ze skali podobieństwa obliczamy najpierw wysokość mniejszego trójkąta:

`k=2/3=h/20`

`2*20=3*h`

`40=3h`           `/:3`

`h=40/3= 13 1/3 cm`

 

Odległość odcinka EF od boku AB stanowi różnicę między wysokością większego i mniejszego trójkąta. 

`d=20cm-13 1/3 cm=ul(ul( 6 2/3 cm))`

 

Przekątna kwadratu jest o 2 cm ...

Oznaczmy:

a - długośc boku kwadratu

a2 - długość przekątnej w kwadracie 

Z treści zadania wiemy, że przekątna jest o 2 cm dłuższa od boku kwadratu:

a+2 - długość przekątnej w kwadracie 

 

Długość przekątnej kwadratu mamy wyrażoną na dwa sposoby. Zapiszmy równość:

`asqrt2=a+2` 

`asqrt2-a=2` 

`a(sqrt2-1)=2` 

`a=2/(sqrt2-1)\ ["cm"]`  

Usuńmy niewymierność z mianownika:

`a=(2(sqrt2+1))/((sqrt2-1)(sqrt2+1))=(2sqrt2+2)/((sqrt2)^2-1^2)=(2sqrt2+2)/1=2sqrt2+2\ ["cm"]`  

 

Obliczmy pole kwadratu o boku długości a:

`P_k=a^2` 

`P_k=(2sqrt2+2)^2=8+8sqrt2+4=12+8sqrt2=4(3+2sqrt2)\ ["cm"^2]`     

 

Odp: Pole tego kwadratu jest równe 4(3+22) cm2.

Wykonaj działania

`a)`

`(x+3y)(x-3y)+(x+2y)^2-(2x^2-5y^2)=`

`=x^2-9y^2+x^2+4xy+4y^2-2x^2+5y^2=4xy`

 

Obliczamy wartość liczbową wyrażenia:

`4xy=4*sqrt8*sqrt2=4sqrt16=4*4=16`

 

 

 

`b)`

`(y-3x)(y+3x)-2x(x-y)+(y-3)^2+6y=`

`=y^2-9x^2-2x^2+2xy+y^2-6y+9+6y=`

`= 2y^2-11x^2+2xy+9`

 

Obliczamy wartość liczbową wyrażenia:

`2*sqrt8^2-11*sqrt2^2+2*sqrt2*sqrt8+9=`

`=2*8-11*2+2*sqrt16+9=`

`=16-22+2*4+9=11`

 

 

 

`c)`

`(x+2y)(x-2y)-4x(x-y)+(x-2y)^2+4xy=`

`=x^2-4y^2-4x^2+4xy+x^2-4xy+4y^2+4xy=`

`=-2x^2+4xy`

 

Obliczamy wartość liczbową wyrażenia:

`-2*0,5^2+4*0,5*(-0,5)=-2*0,25+2*(-0,5)=-0,5-1=-1,5`

 

 

`d)`

`(2xy+5)^2-(4+3xy)(3xy-4)+5x^2y^2=`

`=(4x^2y^2+20xy+25)-(3xy+4)(3xy-4)+5x^2y^2=`

`=4x^2y^2+20xy+25-(9x^2y^2-16)+5x^2y^2=`

`=4x^2y^2+20xy+25-9x^2y^2+16+5x^2y^2=`

`=20xy+41`

 

Obliczamy wartość liczbową wyrażenia:

`20*1 1/3*(-5 1/4)+41=20*strike4^1/strike3^1*(-strike21^7/strike4^1)+41`

`=20-7+41=13+41=54`

Oblicz

`a)\ root(4)(2sqrt64)=root(4)(2*8)=root(4)16=2`

`b)\ sqrt(-2root(3)(-8))=sqrt(-2*(-2))=sqrt4=2`

`c)\ root(7)(-root(6)(-root(5)(-1)))=root(7)(-root(6)(-(-1)))=root(7)(-root(6)1)=root(7)(-1)=-1`

`d)\ ((root(3)(root(5)3))^3)^5=(root(5)(3))^5=3`

Wyznacz wartości parametru m ...

`a)` 

`l:\ m^2x-2y+m=0` 

`l:\ y=m^2/2x+m/2` 

`k:\ y=2x+1` 

 

Proste są równoległe, gdy ich współczynniki kierunkowe są równe.

`m^2/2=2` 

`m^2=4` 

`m=2\ \ \vv\ \ \m=-2` 

`ul( m in {-2;2}` 

 

Proste pokrywają się gdy ich wyrazy wolne są sobie równe. Czyli:

`m/2=1\ implies\ ul(m=2`  

 

Proste nie mają punktów wspólnych dla:

`ul(m in {-2;2}\\{2} \ implies\ m=-2`  

 

`b)` 

`l:\ 2x-m^2y=m` 

`l:\ y=2/m^2 x-1/m` 

`(**)\ \ m ne0`   

`k:\ y=2x+1` 

 

Proste są równoległe, gdy ich współczynniki kierunkowe są równe.

`2/m^2=2`  

`m^2=1` 

`m=1\ \ \vv\ \ \m=-1` 

`ul( m in {-1;1}` 

 

Proste pokrywają się gdy ich wyrazy wolne są sobie równe. Czyli:

`-1/m=1\ implies\ ul(m=-1`    

 

Proste nie mają punktów wspólnych dla:

`ul(m in {-1;1}\\{ -1} \ implies\ m=1`   

 

`c)` 

`l:\ 2mx-my+2=0`  

`l:\ y=2x+2/m`  

`(**)\ \ m ne0`   

`k:\ y=2x+1` 

 

Proste są równoległe, gdy ich współczynniki kierunkowe są równe.

`2 =2`  

`ul( m in RR`  

 

Proste pokrywają się gdy ich wyrazy wolne są sobie równe. Czyli:

`2/m=1\ implies\ ul(m=2`     

 

Proste nie mają punktów wspólnych dla:

`ul(m in RR\\{0;2}`  

Znajdź wartości m i n, jeśli para liczb ...

Jeśli para (5, -3) jest rozwiązaniem układu równań, to możemy podstawić 5 w miejsce x oraz -3 w miejsce y. 

 

`{(4*m*5+10*n*(-3)=-20), (m*5-4*n*(-3)=73):}`

`{(20m-30n=-20\ \ \ |:10), (5m+12n=73):}`

`{(2m-3n=-2\ \ \ |*4), (5m+12n=73):}`

`{(8m-12n=-8), (5m+12n=73):}\ \ \ \ |+`

`13m=65\ \ \ \ |:13`

`m=5`

`{(m=5), (2*5-3n=-2):}`

`{(m=5), (10-3n=-2\ \ \ |-10):}`

`{(m=5), (-3n=-12\ \ \ |:(-3)):}`

`{(m=5), (n=4):}`

Wyznacz dziedzinę funkcji...

`f(x) = sqrt(-x^2-4x+9)` 

Liczba pod pierwiastkiem musi być nieujemna, a więc:

`-x^2 -4x + 9 geq 0` 

`-(x^2+4x-9) geq 0 \ \ \ |:(-1)` 

`x^2 + 4x - 9 leq 0` 

`Delta = 4^2 -4*1*(-9) = 16 + 36 = 52` 

`sqrtDelta = sqrt52 = sqrt(4*13) = 2sqrt13` 

`x_1 = (-4-2sqrt13)/2 = -2-sqrt13` 

`x_2 = (-4 + 2sqrt13)/2 = -2 + sqrt13` 

`x in [-2-sqrt13, -2+sqrt13]`