Zgoda na przetwarzanie danych osobowych

25 maja 2018 roku zacznie obowiązywać Rozporządzenie Parlamentu Europejskiego i Rady (UE) 2016/679 z dnia 27 kwietnia 2016 r. znane jako RODO.

Dlatego aby dalej móc dostarczać Ci materiały odpowiednie do Twojego etapu edukacji, potrzebujemy zgody na lepsze dopasowanie treści do Twojego zachowania. Dzięki temu możemy zapamiętywać jakie materiały są Ci potrzebne. Dbamy o Twoją prywatność, więc nie zwiększamy zakresu naszych uprawnień. Twoje dane są u nas bezpieczne, a zgodę na ich zbieranie możesz wycofać na podstronie polityka prywatności.

Klikając "Przejdź do Odrabiamy", zgadzasz się na wskazane powyżej działania. W przeciwnym wypadku, nie jesteśmy w stanie zrealizować usługi kompleksowo i prosimy o opuszczenie strony.

Polityka prywatności

Drogi Użytkowniku w każdej chwili masz prawo cofnąć zgodę na przetwarzanie Twoich danych osobowych. Cofnięcie zgody nie będzie wpływać na zgodność z prawem przetwarzania, którego dokonano na podstawie wyrażonej przez Ciebie zgody przed jej wycofaniem. Po cofnięciu zgody wszystkie twoje dane zostaną usunięte z serwisu. Udzielenie zgody możesz modyfikować w zakładce 'Informacja o danych osobowych'

Symetria w układzie współrzędnych - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Symetria w układzie współrzędnych

Jedną z operacji symetrii jest odbicie jakiegoś obiektu względem innego obiektu (w naszym przypadku środka układu współrzędnych lub jednej z osi). Odbicie polega wtedy na zachowaniu odległości względem osi lub środka układu. Odległość ta jest mierzona na linii
- prostopadłej do osi (gdy odbijam względem osi)
- Przecinającej środek układu (gdy odbijam względem środka układu)

Zadaniem tego działu będzie zobrazowanie takiego odbicia, a także pokazanie jak się zachowują współrzędne w takiej sytuacji.


Symetria względem osi

Osią będziemy nazywać oś X lub Y i to względem niej będziemy opracowywać symetrię. Narysujmy układ współrzędnych.

Przykład:
symetrie1
Został na nim zaznaczony punkt A, odczytujemy współrzędne A(1;2).
Odbijmy go względem osi X.
Zauważcie, że czerwony odcinek jest równa długością niebieskiemu:

symetrie2
Odczytajmy współrzędne punktu A’ pamiętając, że odcinek AA' jest pod kątem prostym do osi X. Nasz A’ ma obecnie A’(1,-2).

Teraz weźmy oś Y i ten sam punkt:
symetrie3
Również mamy równą odległość od osi, punkt A’’ (-1;2).


Symetria względem środka układu:
W tym wypadku przecinamy naszą linią punkt, który jest środkiem układu, więc nie ma mowy o kącie prostym, po prostu doprowadzamy linię do tego punktu, a potem taką samą długość za nim. Na tym samym przykładzie:

symetrie4
Widzimy, że współrzędne A’’’ to (-1;-2).

tab1

Jak widać przy symetrii względem osi X wartość Y zmienia się na przeciwną, przy symetrii względem osi Y wartość X zmienia się na przeciwną, natomiast przy symetrii przez środek układu obie wartości zmieniają się na przeciwne.

 

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Znajdź współrzędne punktu B(3;-1) względem osi X, osi Y oraz środka układu współrzędnych.

Mamy punkt B(3;-1).

Względem osi X zmieniamy współrzędną Y
B(3;-1) względem X: B’(3;1)

Względem osi Y zmieniamy współrzędną X
B(3;-1) względem Y: B’’(-3;-1)

Pozostał początek układu:
B(3;-1) odbite względem punktu (0;0) jest równe B’’’(-3;1)

Zadanie 2.

Wyznacz obraz poniższego trójkąta względem osi Y:
zad2

Wyznaczmy współrzędne naszych punktów:
A (-1;4)
B (-4;1)
C (0;1)

Następnie mamy zadanie odbijać względem osi Y, więc zmieniamy współrzędną X na przeciwną. Zatem:
A’(1;4)
B’(4;1)
C’(0;1)

Przy C jak widać nie zmieniamy nic. Pozostaje nam to narysować:

zad22

Spis treści

Rozwiązane zadania
Do roztworu pewnej substancji

`ul("roztwór 16%")` 

`"objętość roztworu:"\ \ \ x\ [l]`   

`"objętość substancji rozpuszczonej:"\ \ \ 16%*x=0,16x\ [l]`  

 

`ul("roztwór 15%")` 

`"objętość roztworu:"\ \ \ 80\ [l]` 

`"objętość substancji rozpuszczonej:"\ \ \ 15%*80=15/100*80=3/strike20^1*strike80^4=12\ [l]` 

Zauważmy, że po dolaniu wody do roztworu 16% objętość substancji rozpuszczonej nie zmieni się (ponieważ dolewamy tylko "czystej" wody). Stąd musi zachodzić równość:

`0,16x=12\ \ \ \ |:0,16` 

`x=12:0,16=12/(0,16)=1200/16=300/4=150/2=75` 

 

Wiemy już zatem, że na początku było 75 l roztworu 16%, a po dolaniu wody otrzymano 80 l roztworu 15%. Obliczmy, ile litrów wody dolano:

`80-75=5`   

Z podanych wzorów wyznacz wskazane wielkości

`a)`

`r=(a+b-c)/2\ \ \ |*2`

`2r=a+b-c\ \ \ |-a+c`

`b=2r-a+c`

 

 

`2r=a+b-c\ \ \ |-a-b`

`-c=2r-a-b\ \ \ |*(-1)`

`c=-2r+a+b=a+b-2r`

 

 

 

`b)`

`P=(a*b*c)/(4*R)\ \ \ |*4R`

`4*P*R=a*b*c\ \ \ |:4P`

`R=(abc)/(4P)`

 

 

`4PR=abc\ \ \ |:bc`

`a=(4PR)/(bc)`

 

 

 

`c)`

`P=(a+b)/2*h\ \ \ |*2/(a+b)`

`h=(2P)/(a+b)`

 

 

 

`P=(a+b)/2*h\ \ \ |*2/h`

`(2P)/h=a+b\ \ \ |-a`

`b=(2P)/h-a`

 

 

 

 

`d)`

`h=sqrt(c_1*c_2)\ \ \ |^2`

`h^2=c_1*c_2\ \ \ |:c_2`

`c_1=h^2:c_2=(h^2)/(c_2)`

 

 

 

`e)`

`V=4/3pir^3\ \ \ |*3/(4pi)`

`(3V)/(4pi)=r^3`

`r=root(3)((3V)/(4pi))`

 

 

 

 

`f)`

`P_c=2pir(r+h)\ \ \ |:2pir`

`(P_c)/(2pir)=r+h\ \ \ |-4`

`h=(P_c)/(2pir)-r`

Posługując się wykresami odpowiednio dobranych

a)

Musimy się dowiedzieć, dla jakich argumentów wartości funkcji f(x)=|x| są większe lub równe wartościom funkcji g(x)= ½x+3.

Przedstawiamy w układzie współrzędnych wykresy obu funkcji i znajdujemy podzbiór dziedziny, dla których wykres funkcji f znajduje się ,,nad" wykresem funkcji g. Znajdujemy również punkty przecięcia się wykresów obu funkcji.

`f(x)>g(x) \ \ <=> \ \ x in \ \ \ (-oo,-2)U(6,+oo)`

`f(x)=g(x) \ \ <=>\ \ x={-2,6)`

 

`f(x)>=g(x) \ \ <=> \ \ ul(ul(x in (-oo,-2>U<6,+oo))`

b)

Musimy się dowiedzieć, dla jakich argumentów wartości funkcji f(x)=x+2 są większe lub równe wartościom funkcji g(x)=x2

Przedstawiamy w układzie współrzędnych wykresy obu funkcji i znajdujemy podzbiór dziedziny, dla których wykres funkcji f znajduje się ,,nad" wykresem funkcji g.

 

`f(x)>g(x) \ \ \ <=> \ \ \ul(ul( x in(-1,2))`

Naszkicuj na rysunku obok wykres funkcji f(x) ...

`f(x)=(x-6)^2-4` 

`g(x)=|f(x)|` 

 

`"Oznaczmy przez:"` 

`h(x)=x^2` 

`p(x)=h(x-6)=(x-6)^2` 

`k(x)=p(x)-4=(x-6)^2-4=f(x)` 

Oblicz pole trójkąta ABC.

`a)` 

`A=(-1;1)` 

`B=(3;-2)` 

`C=(2;3)` 

 

`|AB|=sqrt((3+1)^2+(-2-1)^2)=sqrt(16+9)=5` 

`y=ax+b-"prosta zawierająca odcinek AB"` 

`1=-a+b\ iff\ -1=a-b`  

`-2=3a+b` 

Dodajmy równania do siebie.

`-3=4a` 

`a=-3/4` 

`b=-2-3a=-2+9/4=1/4` 

`y=-3/4x+1/4` 

`3/4x+y-1/4=0` 

`d-"odległość punktu C od prostej y"` 

`d=|3/4*2+3-1/4|/sqrt((3/4)^2+1^2)=(17/4)/(5/4)=17/4*4/5=17/5`   

`P_(ABC)=1/2|AB|*d=1/2*17/5*5=17/2=ul(8 1/2`      

 

`b)` 

`A=(-2;1)` 

`B=(3;6)` 

`C=(2;-1)` 

 

`|AB|=sqrt((3+2)^2+(6-1)^2)=sqrt50=5sqrt2`  

`y=ax+b-"prosta zawierająca odcinek AB"` 

`1=-2a+b\ iff\ -1=2a-b`  

`6=3a+b`  

Dodajmy równania do siebie.

`5=5a` 

`a=1` 

`b=6-3a=3`  

`y=x+3` 

`x-y+3=0`  

`d-"odległość punktu C od prostej y"` 

`d=|1*2-1*(-1)+3|/sqrt(1^2+(-1)^2)=6/sqrt2=(6sqrt2)/2=3sqrt2`     

`P_(ABC)=1/2|AB|*d=1/2*5sqrt2*3sqrt2=ul(15`        

Zapisz liczbę w postaci 4k, 4k+1, 4k+2 lub 4k+3

`a)\ 3=4*0+3`{premium}

`b)\ 49=4*12+1`

`c)\ 79=4*19+3`

`d)\ 126=4*31+2`

`e)\ 492=4*123`

Oblicz...

`a) \ A=(-1,4) , \ B=(3,-2), \ C=(7,4), \ D=(3,6)`  

`|AB|=8`

`|BD|=8`

`P=(|AB|*|BD|)/2 = (8*strike8^4)/strike2^1 = 32`

 

 

Niech S będzie środkiem odcinka AB, T środkiem odcinka BC, P środkiem odcinka CD, Q środkiem odcinka AD:

`S=((-1+3)/2,(4-2)/2) = (1,1)`

`T=((3+7)/2,(-2+4)/2) = (5,1)`

`P=((7+3)/2,(4+6)/2)=(5,5)`

`Q=((-1+3)/2,(4+6)/2)=(1,5)`

 

`|ST|=4`

`|TP|=4`

`|PQ|=4`

`|SQ|=4`

Obwód prostokąta:

`Obw = |ST| +|TP| +|PQ| + |SQ| = 4+ 4+ 4+ 4=16`

Na rysunku przedstawiono parabolę, która jest ...

Przypomnijmy wzór funkcji kwadratowej w postaci iloczynowej:

`y=a(x-x_1)(x-x_2)` 

gdzie x1, x2 - miejsca zerowe funkcji.

 

a) Z rysunku odczytujemy miejsca zerowe funkcji:

`x_1=-2\ \ \ \ x_2=0` 

Zapisujemy wzór funkcji w postaci iloczynowej:

`y=a(x-0)(x-(-2))=ax(x+2)` 

Aby wyznaczyć wartość współczynnika a odczytujemy z rysunku punkt należący do wykresu funkcji

i podstawiamy jego współrzedne do wyznaczonego wzoru.

Bez problemu z rysunku odczytujemy współrzędne dowolnego punktu:

`(1,3)` 

Podstawiamy współrzędne do wzoru:

`3=a*1*(1+2)` 

`3=3a\ \ \ \ \ \ |:3` 

`a=1` 

Ostatecznie otrzymujemy wzór funkcji w postaci iloczynowej:

`y=x(x+2)` 

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))` 

b) Z rysunku odczytujemy miejsca zerowe funkcji:

`x_1=-3\ \ \ \ x_2=5`  

Zapisujemy wzór funkcji w postaci iloczynowej:

`y=a(x-5)(x-(-3))=a(x-5)(x+3)` 

 

Z rysunku odczytujemy współrzędne dowolnego punktu:

`(1,4)`  

Podstawiamy współrzędne do wyznaczonego wzoru:

`4=a(1-5)(1+3)` 

`4=a*4*4`   

`4=16a\ \ \ \ \ \ |:16`  

`a=1/4`  

Ostatecznie otrzymujemy wzór funkcji w postaci iloczynowej:

`y=1/4(x-5)(x+3)` 

Wyznacz wartości parametru b...

`Delta=(sqrtb)^2-4*1*2=b-8` 

Zakładamy, że `b>=0` ponieważ liczba pod pierwiastkiem musi być większa lub równa 0.  

 

a) nie ma rozwiązań, gdy `Delta <0`  

`b-8<0 \ \ \ |+8` 

`b<8` 

Uwzględniając założenie: 

`0<=b<8` 

 

b) ma dwa rozwiązania, gdy `Delta>0` 

`b-8>0 \ \ \ |+8` 

`b>8` 

 

c) ma co najmniej jedno rozwiązanie, gdy `Delta>=0` 

`b-8>=0 \ \ \ |+8` 

`b>=8` 

Przedstaw liczbę w postaci ...

`"a)"\ 98=2*7*7` 

 

Dzielniki liczby 98 to: 1, 2, 7, 14, 49, 98

 

`"b)"\ 124=2*2*31` 

 

Dzielniki liczby 124 to: 1, 2, 4, 31, 62, 124

 

`"c)"\ 966=2*3*7*23`

Dzielniki liczby 966 to:1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 23, 42, 46, 69, 138, 161, 322, 483, 966

 

`"d)"\ 1344=2*2*2*2*2*2*3*7`

Dzielniki liczby 1344 to: 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 12, 14, 16, 21, 24, 28, 32, 42, 48, 56, 64, 84, 96, 112, 168, 192,

224, 336, 448, 672, 1344