Symetria w układzie współrzędnych - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Symetria w układzie współrzędnych

Jedną z operacji symetrii jest odbicie jakiegoś obiektu względem innego obiektu (w naszym przypadku środka układu współrzędnych lub jednej z osi). Odbicie polega wtedy na zachowaniu odległości względem osi lub środka układu. Odległość ta jest mierzona na linii
- prostopadłej do osi (gdy odbijam względem osi)
- Przecinającej środek układu (gdy odbijam względem środka układu)

Zadaniem tego działu będzie zobrazowanie takiego odbicia, a także pokazanie jak się zachowują współrzędne w takiej sytuacji.


Symetria względem osi

Osią będziemy nazywać oś X lub Y i to względem niej będziemy opracowywać symetrię. Narysujmy układ współrzędnych.

Przykład:
symetrie1
Został na nim zaznaczony punkt A, odczytujemy współrzędne A(1;2).
Odbijmy go względem osi X.
Zauważcie, że czerwony odcinek jest równa długością niebieskiemu:

symetrie2
Odczytajmy współrzędne punktu A’ pamiętając, że odcinek AA' jest pod kątem prostym do osi X. Nasz A’ ma obecnie A’(1,-2).

Teraz weźmy oś Y i ten sam punkt:
symetrie3
Również mamy równą odległość od osi, punkt A’’ (-1;2).


Symetria względem środka układu:
W tym wypadku przecinamy naszą linią punkt, który jest środkiem układu, więc nie ma mowy o kącie prostym, po prostu doprowadzamy linię do tego punktu, a potem taką samą długość za nim. Na tym samym przykładzie:

symetrie4
Widzimy, że współrzędne A’’’ to (-1;-2).

tab1

Jak widać przy symetrii względem osi X wartość Y zmienia się na przeciwną, przy symetrii względem osi Y wartość X zmienia się na przeciwną, natomiast przy symetrii przez środek układu obie wartości zmieniają się na przeciwne.

 

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Znajdź współrzędne punktu B(3;-1) względem osi X, osi Y oraz środka układu współrzędnych.

Mamy punkt B(3;-1).

Względem osi X zmieniamy współrzędną Y
B(3;-1) względem X: B’(3;1)

Względem osi Y zmieniamy współrzędną X
B(3;-1) względem Y: B’’(-3;-1)

Pozostał początek układu:
B(3;-1) odbite względem punktu (0;0) jest równe B’’’(-3;1)

Zadanie 2.

Wyznacz obraz poniższego trójkąta względem osi Y:
zad2

Wyznaczmy współrzędne naszych punktów:
A (-1;4)
B (-4;1)
C (0;1)

Następnie mamy zadanie odbijać względem osi Y, więc zmieniamy współrzędną X na przeciwną. Zatem:
A’(1;4)
B’(4;1)
C’(0;1)

Przy C jak widać nie zmieniamy nic. Pozostaje nam to narysować:

zad22

Spis treści

Rozwiązane zadania
Rozwiąż nierówność

`a)` 

`|3x-5|<=2` 

`-2<=3x-5<=2` 

`{(3x-5>=-2\ \ \ |+5), (3x-5<=2\ \ \ \|+5):}` 

`{(3x>=3\ \ \|:3), (3x<=7\ \ \ |:3):}` 

`{(x>=1), (x<=7/3):}` 

`{(x>=1), (x<=2 1/3):}` 

`ul(ul(x in <<1;\ 2 1/3>>))` 

 

`ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ )`   

 

`b)` 

`|2-1/5x|>1` 

`2-1/5x<-1\ \ \ |-2\ \ \ \ \ \ \ "lub"\ \ \ \ \ \ \ 2-1/5x>1\ \ \ |-2` 

`-1/5x<-3\ \ \ |*(-5)\ \ \ \ \ \ \ "lub"\ \ \ \ \ \ \ -1/5x> -1\ \ \ |*(-5)`  

`x>15\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ "lub"\ \ \ \ \ \ \ x<5`   

`ul(ul(x in (-infty;\ 5)uu(15;\ +infty)))`  

 

 

`ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ )` 

 

 

`c)` 

`|7x-5|<2` 

`-2<7x-5<2` 

`{(7x-5> -2\ \ \|+5), (7x-5<2\ \ \ |+5):}` 

`{(7x> 3\ \ \ |:7), (7x<7\ \ \|:7):}` 

`{(x>3/7), (x<1):}` 

`ul(ul(x in (3/7;\ 1)))` 

 

 

`ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ )` 

 

 

`d)` 

`|11-5x|>=4` 

`11-5x<=-4\ \ \ |-11\ \ \ \ \ \ \ "lub"\ \ \ \ \ \ \ 11-5x>=4\ \ \ |-11` 

`-5x<=-15\ \ \ |:(-5)\ \ \ \ \ \ \ "lub"\ \ \ \ \ \ \ -5x>=-7\ \ \|:(-5)` 

`x>=3\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ "lub"\ \ \ \ \ \ \ \ x<=7/5` 

`x>=3\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ "lub"\ \ \ \ \ \ \ \ x<=1 2/5` 

`ul(ul(x in (-infty;\ 1 2/5>>uu<<3;\ +infty)))`      

 

 

`ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ )` 

 

 

`e)` 

`9-sqrt(9x^2+36x+36)<0` 

`9-sqrt((3x+6)^2)<0` 

`9-|3x+6|<0\ \ \ |-9` 

`-|3x+6|<-9\ \ \ |*(-1)` 

`|3x+6|>9` 

`3x+6<-9\ \ \ |-6\ \ \ \ \ \ \ "lub"\ \ \ \ \ \ \ 3x+6>9\ \ \ |-6` 

`3x<-15\ \ \ |:3\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ "lub"\ \ \ \ \ \ \ 3x>3\ \ \|:3` 

`x<-5\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ "lub"\ \ \ \ \ \ \ x>1` 

`ul(ul(x in (-infty;\ -5)uu(1;\ +infty)))`     

 

 

`ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ )` 

 

 

`f)` 

`sqrt(1-14x+49x^2)<13` 

`sqrt((1-7x)^2)<13` 

`|1-7x|<13` 

`-13<1-7x<13` 

`{(1-7x> -13\ \ \ |-1), (1-7x<13\ \ \|-1):}` 

`{(-7x> -14\ \ \ |:(-7)), (-7x<12\ \ \ \|:(-7)):}` 

`{(x<2), (x> -12/7):}` 

`{(x<2), (x> -1 5/7):}` 

`ul(ul(x in (-1 5/7;\ 2)))` 

 

Oblicz. Odpowiedź podaj w notacji wykładniczej

`a)\ ((3.2*10^-12)*(1.2*10^4))/(4*10^-18)=` `(3,2*1,2*10^-12*10^4)/(4*10^-18)=` `(strike(3,2)^(0,8)*1,2)/strike4^1*(10^(-12+4))/(10^-18)=` 

`\ \ \ =0,96*(10^-8)/(10^-18)=` `0,96*10^(-8-(-18))=` `0,96*10^(-8+18)=` `0,96*10^10=` 

`\ \ \ =9,6*10^-1*10^10=9,6*10^9` 

 

 

 

 

`b)\ ((5.2*10^8)*(1.5*10^-3))/(1.3*10^18)=` `(5,2*1,5*10^8*10^-3)/(1,3*10^18)=` `(strike(5,2)^4*1,5)/(strike(1,3)^1)*(10^(8+(-3)))/(10^18)=` 

` \ \ \ =6*10^5/10^18=6*10^(5-18)=6*10^-13` 

 

 

`c)\ ((3.4*10^-15)*(7.5*10^-16))/(2.5*10^-30)=` `(3,4*7,5*10^-15*10^-16)/(2,5*10^-30)=` `(3,4*strike(7,5)^3)/(strike(2,5)^1)*(10^(-15+(-16)))/(10^-30)=`  

`\ \ \ =10,2*(10^-31)/(10^-30)=` `10,2*10^(-31-(-30))=` `10,2*10^(-31+30)=` `10,2*10^-1=` 

`\ \ \ =1,02*10*10^-1=1,02*10^0` 

 

 

`d)\ ((4.8*10^18)*(1.8*10^-10))/((6*10^-8)*(1.2*10^16))=` `(4,8*1,8*10^18*10^-10)/(6*1,2*10^-8*10^16)=` `(strike(4,8)^4*1,8)/(6*strike(1,2)^1)*(10^(18+(-10)))/(10^(-8+16))=` 

`\ \ \ =(4*strike(1,8)^(0,3))/(strike6^1)*10^8/10^8=` `1,2*1=1,2*10^0`      

        

Oblicz: a) ⁹√512, ⁵√3125, c) ⁴√0,0016

a)

`root(9)512=root(9)(2^9)=2`

b)

`root(5)3125=root(5)(5^5)==5`

c)

`root(4)(0,0016)=root(4)(0,2^4)=0,2`

d)

`root(6)4096=root(6)(4^6)=4`

e)

`root(8)(1/256)=root(8)(1^8/2^8)=1/2`

f)

`root(5)(32/243)=root(5)32/root(3)243= (root(5)(2^5))/(root(5)(3^5))=2/3`

Naszkicuj przykładowy wykres funkcji ...

a) Przykładowa funkcja określona jest w zbiorze:  `RR-`     

 

b) Przykładowa funkcja określona w zbiorze:`(-3;+oo)` 

 

c) Przykładowa funkcja określona w zbiorze: `<<-4;4>>` 

Dane są zbiory

Zbiór A to zbiór liczb całkowitych, których kwadrat jest nie większy od 10. 

`A={k in C:\ k^2<=10}={-3,\ -2,\ -1,\ 0,\ 1,\ 2,\ 3}` 

 

Zbiór A to zbiór liczb naturalnych, których kwadrat jest nie większy od 10. 

`B={n in N:\ n^2<=10}={0,\ 1,\ 2,\ 3}` 

 

`A\\B={-3,\ -2,\ -1}` 

 

Prawidłowa jest odpowiedź B. 

Dana jest nierówność

`0*(x+3)<5`

`0<5`

Nierówność jest spełniona przez każdą liczbę rzeczywistą. 

 

`A.\ "PRAWDA"`

`B.\ "FAŁSZ"`

(nierówność jest spełniona przez każdą liczbę rzeczywistą)

`C.\ "PRAWDA"`

 

Wyznacz zbiór liczb rzeczywistych

`a)` 

`3<=|2x+1|<=5` 

 

Mamy do rozwiązania dwie nierówności. Rozwiążmy najpierw pierwszą z nich:

`3<=|2x+1|` 

`|2x+1|>=3` 

`2x+1>=3\ \ \ |-1\ \ \ \ \ \ \ "lub"\ \ \ \ \ \ \ 2x+1<=-3\ \ \ |-1` 

`2x>=2\ \ \ |:2\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ "lub"\ \ \ \ \ \ \ \ 2x<=-4\ \ \ |:2`  

`x>=1\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ "lub"\ \ \ \ \ \ \ x<=-2` 

`ul(x in (-infty;\ -2>>uu<<1;\ +infty))`  

 

 

 

Teraz rozwiążemy drugą nierówność:

`|2x+1|<=5` 

`2x+1<=5\ \ \ |-1\ \ \ \ "i"\ \ \ \ 2x+1>=-5\ \ \ |-1` 

`2x<=4\ \ \ |:2\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ "i"\ \ \ \ 2x>=-6\ \ \ |:2` 

`x<=2\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ "i"\ \ \ \ x>=-3` 

`ul(x in <<-3;\ 2>>)` 

 

Rozwiązaniem jest zbiór liczb spełniających obie nierówności - iloczyn dwóch podkreślonych przedziałów. 

 

`ul(ul(x in <<-3;\ -2>>uu<<1;\ 2>>))` 

 

 

`ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ )` 

 

 

 

`b)` 

Rozwiązujemy pierwszą nierówność:

`4<=|2-3x|` 

`|2-3x|>=4` 

`2-3x>=4\ \ \ |-2\ \ \ \ \ \ \ "lub"\ \ \ \ \ \ \ 2-3x<=-4\ \ \ |-2` 

`-3x>=2\ \ \ |:(-3)\ \ \ \ \ \ "lub"\ \ \ \ \ \ \ -3x<=-6\ \ \ |:(-3)` 

`x<=-2/3\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ "lub"\ \ \ \ \ \ \ \ x>=2` 

`ul(x in (-infty;\ -2/3>>uu<<2;\ +infty))` 

 

 

Rozwiązujemy drugą nierówność:

`|2-3x|<=7` 

`2-3x<=7\ \ \ |-2\ \ \ \ \ \ \ "i"\ \ \ \ \ \ \ 2-3x>=-7\ \ \ |-2` 

`-3x<=5\ \ \ |:(-3)\ \ \ \ \ \ "i"\ \ \ \ \ \ \ -3x>=-9\ \ \ |:(-3)` 

`x>=-5/3\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ "i"\ \ \ \ \ \ \ x<=3` 

`ul(x in <<-5/3;\ 3>>)` 

 

 

Zbiór rozwiązań nierówności:

`ul(ul(x in <<-5/3;\ -2/3>>uu<<2;\ 3>>))` 

 

 

 

`ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ )` 

 

 

`c)` 

Rozwiązujemy pierwszą nierówność:

`-2<=4-3|x|\ \ \ \ |+3|x|` 

`3|x|-2<=4\ \ \ |+2` 

`3|x|<=6\ \ \ |:3` 

`|x|<=2` 

`ul(x in <<-2;\ 2>>)` 

 

 

Rozwiązujemy drugą nierówność:

`4-3|x|<=3\ \ \ |-4` 

`-3|x|<=-1\ \ \ |:(-3)` 

`|x|>=1/3` 

`ul(x in (-infty;\ -1/3>>uu<<1/3;\ +infty))` 

 

Zbiór rozwiązań nierówności:

`ul(ul(x in <<-2;\ -1/3>>uu<<1/3;\ 2>>))`  

` `  

` `

 

`ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ )` 

 

 

`d)` 

Rozwiązujemy pierwszą nierówność:

`3<=5-2|x|\ \ \ \ |+2|x|` 

`2|x|+3<=5\ \ \ |-3` 

`2|x|<=2\ \ \ |:2` 

`|x|<=1` 

`ul(x in <<-1;\ 1>>)` 

 

 

Rozwiązujemy drugą nierówność:

`5-2|x|<=6\ \ \ |-5` 

`-2|x|<=1\ \ \ |:(-2)` 

`|x|>=-1/2` 

Wartość bezwzględna przyjmuje wyłącznie wartości nieujemne, więc powyższa nierówność jest spełniona zawsze. Zbiór rozwiązań drugiej nierówności to zbior liczb rzeczywistych:

`ul(x in RR)` 

 

Zbiór rozwiazań nierówności:

`ul(ul(x in <<-1;\ 1>>))`  

Na rysunku przedstawiony jest wykres...

Zapiszmy funkcję w postaci iloczynowej wiedząc, że liczby 1 oraz 6 są miejscami zerowymi:

`f(x) = a(x-1)(x-6)`  

Punkt P należy do wykresu funkcji zatem:

`f(4)=2` 

`a(4-1)(4-6) = 2` 

`a * 3 * (-2) = 2` 

`-6a = 2` 

`a = -1/3` 

 

`f(x) = -1/3 (x-1)(x-6)` 

Zauważmy, że :

`f(3) = -1/3(3-1)(3-6) = -1/3 * 2 * (-3) = 2` 

A więc:

`f(x) < 2 \ \ "dla" \ x in (-oo, 3) \cup (4, oo)`

Długości boków trójkąta...

Trzy kolejne liczby naturalne podzielne przez 3 to:

`3n \ , \ 3n+3 \ , \ 3n+6` 

 

Suma kwadratów tych liczb ma postać:

`(3n)^2 + (3n+3)^2 + (3n+6)^2` 

 

Suma ta wynosi 450

`9n^2 + 9n^2 + 18n + 9 + 9n^2 + 36n + 36 = 450` 

`27n^2 + 54 n + 45 = 450` 

`27n^2 + 54n - 405 =0 \ \ \ |:3` 

`9n^2 + 18n - 135 =0` 

`Delta =18^2 -4*9*(-135) = 324 + 4860 = 5184` 

`sqrtDelta = sqrt5184 = 72` 

`n_1 = (-18-72)/18 < 0` 

`n_2 = (-18+72)/18 = 3` 

Te liczby to:

`9 \ , \ 12 \ , \ 15` 

Jest to trójkąt prostokątny

`9^2 + 12^2 = 81 + 144 = 225 = 15^2`  

 

Oblicz tangens, sinus i cosinus...

`a) \ tg \ alpha = 3/4 = 0,75` 

`sin alpha = 3/5 = 0,6` 

`cos alpha = 4/5 = 0,8` 

 

b) Z twierdzenia Pitagorasa

`6^2 + b^2 = (6sqrt2)^2`  

`36 + b^2 = 36*2` 

`b^2 = 108` 

`b = sqrt(36*3)` 

`b = 6sqrt3` 

 

`tg \ alpha = 6/(6sqrt3)= 1/sqrt3 = sqrt3/3` 

`sin alpha = 6/(6sqrt2)= 1/sqrt2 = sqrt2/2` 

`cos alpha = (6sqrt3)/(6sqrt2) = sqrt3/sqrt2 * sqrt2/sqrt2 = sqrt6/2` 

 

c) Z twierdzenia Pitagorasa

`(sqrt2)^2 + a^2 = 3^2`  

`2 + a^2 = 9` 

`a^2 = 7` 

`a = sqrt7` 

 

`tg \ alpha = sqrt2/sqrt7 * sqrt7/sqrt7 = sqrt14/7` 

`sin alpha = sqrt2/3` 

`cos alpha = sqrt7/3`