Zgoda na przetwarzanie danych osobowych

25 maja 2018 roku zacznie obowiązywać Rozporządzenie Parlamentu Europejskiego i Rady (UE) 2016/679 z dnia 27 kwietnia 2016 r. znane jako RODO.

Dlatego aby dalej móc dostarczać Ci materiały odpowiednie do Twojego etapu edukacji, potrzebujemy zgody na lepsze dopasowanie treści do Twojego zachowania. Dzięki temu możemy zapamiętywać jakie materiały są Ci potrzebne. Dbamy o Twoją prywatność, więc nie zwiększamy zakresu naszych uprawnień. Twoje dane są u nas bezpieczne, a zgodę na ich zbieranie możesz wycofać na podstronie polityka prywatności.

Klikając "Przejdź do Odrabiamy", zgadzasz się na wskazane powyżej działania. W przeciwnym wypadku, nie jesteśmy w stanie zrealizować usługi kompleksowo i prosimy o opuszczenie strony.

Polityka prywatności

Drogi Użytkowniku w każdej chwili masz prawo cofnąć zgodę na przetwarzanie Twoich danych osobowych. Cofnięcie zgody nie będzie wpływać na zgodność z prawem przetwarzania, którego dokonano na podstawie wyrażonej przez Ciebie zgody przed jej wycofaniem. Po cofnięciu zgody wszystkie twoje dane zostaną usunięte z serwisu. Udzielenie zgody możesz modyfikować w zakładce 'Informacja o danych osobowych'

Symetria w układzie współrzędnych - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Symetria w układzie współrzędnych

Jedną z operacji symetrii jest odbicie jakiegoś obiektu względem innego obiektu (w naszym przypadku środka układu współrzędnych lub jednej z osi). Odbicie polega wtedy na zachowaniu odległości względem osi lub środka układu. Odległość ta jest mierzona na linii
- prostopadłej do osi (gdy odbijam względem osi)
- Przecinającej środek układu (gdy odbijam względem środka układu)

Zadaniem tego działu będzie zobrazowanie takiego odbicia, a także pokazanie jak się zachowują współrzędne w takiej sytuacji.


Symetria względem osi

Osią będziemy nazywać oś X lub Y i to względem niej będziemy opracowywać symetrię. Narysujmy układ współrzędnych.

Przykład:
symetrie1
Został na nim zaznaczony punkt A, odczytujemy współrzędne A(1;2).
Odbijmy go względem osi X.
Zauważcie, że czerwony odcinek jest równa długością niebieskiemu:

symetrie2
Odczytajmy współrzędne punktu A’ pamiętając, że odcinek AA' jest pod kątem prostym do osi X. Nasz A’ ma obecnie A’(1,-2).

Teraz weźmy oś Y i ten sam punkt:
symetrie3
Również mamy równą odległość od osi, punkt A’’ (-1;2).


Symetria względem środka układu:
W tym wypadku przecinamy naszą linią punkt, który jest środkiem układu, więc nie ma mowy o kącie prostym, po prostu doprowadzamy linię do tego punktu, a potem taką samą długość za nim. Na tym samym przykładzie:

symetrie4
Widzimy, że współrzędne A’’’ to (-1;-2).

tab1

Jak widać przy symetrii względem osi X wartość Y zmienia się na przeciwną, przy symetrii względem osi Y wartość X zmienia się na przeciwną, natomiast przy symetrii przez środek układu obie wartości zmieniają się na przeciwne.

 

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Znajdź współrzędne punktu B(3;-1) względem osi X, osi Y oraz środka układu współrzędnych.

Mamy punkt B(3;-1).

Względem osi X zmieniamy współrzędną Y
B(3;-1) względem X: B’(3;1)

Względem osi Y zmieniamy współrzędną X
B(3;-1) względem Y: B’’(-3;-1)

Pozostał początek układu:
B(3;-1) odbite względem punktu (0;0) jest równe B’’’(-3;1)

Zadanie 2.

Wyznacz obraz poniższego trójkąta względem osi Y:
zad2

Wyznaczmy współrzędne naszych punktów:
A (-1;4)
B (-4;1)
C (0;1)

Następnie mamy zadanie odbijać względem osi Y, więc zmieniamy współrzędną X na przeciwną. Zatem:
A’(1;4)
B’(4;1)
C’(0;1)

Przy C jak widać nie zmieniamy nic. Pozostaje nam to narysować:

zad22

Spis treści

Rozwiązane zadania
Oblicz

`a)\ 15%*50=15/strike100^2*strike50^1=15/2=7 1/2`

`b)\ 25%*9,6=25/100*9,6=1/4*9,6=2,4`

`c)\ 124%*450=124/100*450=62/strike50^1*strike450^9=558`

`d)\ 6,5%*320=0,065*320=20,8`

`e)\ 1,1%*3,75=0,011*3,75=0,04125`

`f)\ 3%_o*5,5=0,003*5,5=0,0165`

Podstawa AB trapezu ABCD jest trzy razy dłuższa...

a) Wiemy, że trójkąty ABS i CDS są podobne a skala tego podobieństwa wynosi 3, zatem:

`stackrel(->)(AC) = stackrel(->)(AS) + stackrel(->)(SC) = 3*stackrel(->)(SC) + stackrel(->)(SC) = 4*stackrel(->)(SC)` 

 

A więc:

`stackrel(->)(AC) = 4*stackrel(->)(SC)` 

`[x_C - x_A , y_C - y_A] = 4*[x_C - x_S , y_C - y_S]` 

`[3+2 , 4-2] = 4*[3-x_S , 4 - y_S]` 

`[5, 2] = [12 - 4x_S , 16 - 4y_S]` 

`{(12-4x_S = 5),(16-4y_S = 2):}` 

`{(-4x_S = -7),(-4y_S = -14):}` 

`{(x_S = 7/4),(y_S = 7/2):}` 

`S = (7/4 , 7/2)` 

 

`b) \ stackrel(->)(AD) = [1,3]` 

`[x_D - x_A , y_D - y_A] = [1,3]` 

`[x_D -1, y_D - 2] =[1,3]` 

`{(x_D-1=1),(y_D-2=3):}` 

`{(x_D = 2),(y_D = 5):}` 

`D = (2,5)` 

 

`stackrel(->)(AD) + stackrel(->)(DB) = stackrel(->)(AB)` 

`[1,3] + [5,0] = [x_B - x_A , y_B - y_A]` 

`[6, 3] = [x_B - 1, y_B - 2]` 

`{(x_B-1=6),(y_B -2 = 3):}` 

`{(x_B = 7),(y_B = 5):}` 

`B = (7,5)` 

 

Wiemy, że:

`stackrel(->)(AB) = 3*stackrel(->)(DC)` 

`[x_B - x_A , y_B - y_A] = 3*[x_C - x_D , y_C - y_D]` 

`[7-1 , 5-2] = 3*[x_C - 2 , y_C - 5]` 

`[6, 3] = [3x_C - 6 , 3y_C - 15]` 

`{(3x_C -6 = 6),(3y_C - 15 = 3):}` 

`{(3x_C=12),(3y_C = 18):}` 

`{(x_C = 4),(y_C = 6):}` 

`C = (4, 6)` 

 

Rozwiąż nierówność

`a)`

Najpierw uprościmy wyrażenia znajdujące się po lewej stronie nierówności. 

`sqrt((4-2sqrt2)^2)=|4-2sqrt2|\ \ #=^(^(4-2sqrt2~~4-2*1,41>0))\ \ 4-2sqrt2`

`sqrt((4-3sqrt2)^2)=|4-3sqrt2|\ \ #=^(^(4-3sqrt2~~4-3*1,41<0))\ \ -(4-3sqrt2)=-4+3sqrt2`

`sqrt((4-2sqrt2)^2)+sqrt((4-3sqrt2)^2)=4-2sqrt2-4+3sqrt2=sqrt2`

 

Przechodzimy do rozwiązania nierówności:

`|x|<=sqrt((4-2sqrt2)^2)+sqrt((4-3sqrt2)^2)`

`|x|<=sqrt2`

Odległość liczby x od zera na osi liczbowej jest nie większa od pierwiastka z dwóch.

`x in <<-sqrt2;\ sqrt2>>`

 

 

 

 

`b)`

Najpierw uprościmy wyrażenia znajdujące się po lewej stronie nierówności. 

`sqrt((3-2sqrt3)^2)=|3-2sqrt3|\ \ #=^(^(3-2sqrt3~~3-2*1,73<0))\ \ -(3-2sqrt3)=-3+2sqrt3`

`sqrt((2sqrt3-2)^2)=|2sqrt3-2|\ \ #=^(^(2sqrt3-2~~2*1,73-2>0))\ \ 2sqrt3-2`

`sqrt((3-2sqrt3)^2)-sqrt((2sqrt3-2)^2)=-3+2sqrt3-(2sqrt3-2)=-3+2sqrt3-2sqrt3+2=-1`

 

Przechodzimy do rozwiązania nierówności:

`|x+1|>=sqrt((3-2sqrt3)^2)-sqrt((2sqrt3-2)^2)`

`|x+1|>=-1`

Wiemy, że wartość bezwzględna przyjmuje wyłącznie wartości nieujemne. Powyższa nierówność będzie więc prawdziwa zawsze.  

`x in RR`

Oto schematyczny plan alejek w parku

Zanalizuj wartości, jakie przyjmuje funkcja...

a) Funkcja f przyjmuje wartości nieujemne (bo pierwiastek musi być nieujemny). Najmniejszą wartością funkcji jest najmniejsza liczba nieujemna, czyli

`y_("min") = 0` 

Wartość największa nie istnieje.

 

b) Wyznaczmy przedziały w których funkcja 

`g(x) = x^2 + x` 

przyjmuje wartości dodatnie oraz ujemne.

 

`x^2 + x > 0` 

`x(x+1) > 0` 

`x_1 = 0 \ \ vv \ \ x_2 = -1` 

Parabola ma ramiona skierowane ku górze a więc:

`x in (-oo, -1) \cup (0, oo)`  

Natomiast ujemne wartości przyjmuje dla:

`x in (-1, 0)` 

 

Zatem funkcja f :

`f(x) > 0 \ \ "dla" \ x in (-oo, -1) \cup (0, oo)` 

oraz

`f(x) < 0 \ \ "dla" \ x in (-1, 0)` 

 

Funkcja nie przyjmuje wartości najmniejszej ani największej (bo ułamek może być dowolnie duży lub dowolnie mały).

 

c) Wyznaczmy przedziały w których funkcja

`g(x) = 2x^2-x+1` 

przyjmuje wartości dodatnie oraz ujemne.

 

`2x^2-x + 1> 0` 

`Delta = (-1)^2 - 4*2*1 = 1 - 8 < 0` 

A więc funkcja leży stale ponad osią x. Zatem funkcja f ma stale ujemne wartości bo licznik jest stale ujemny a mianownik stale dodatni.

 

Wartość największa nie istnieje a wartość najmniejsza będzie w punkcie, który jest równy wierzchołkowi funkcji g. Zatem:

`g(x) = 2x^2-x+1` 

`p = (-b)/(2a) = 1/4` 

 

`y_("min") = f(1/4) = -3/(2*(1/4)^2 -1/4 + 1) = -3/(1/8 - 1/4 + 1) = -3/(1/8 - 2/8 + 1) = -3/(7/8) = -3 * 8/7 = -24/7` 

Oblicz x+|x|

`a)`

`x+|x|=-3+|-3|=-3+3=0`

`x-2|x|=-3-2*|-3|=-3-2*3=-3-6=-9`

 

 

`b)`

Najpierw określimy, czy x jest liczbą dodatnią czy ujemną: 

`x=4-2sqrt6=sqrt16-sqrt4*sqrt6=sqrt16-sqrt24<0\ \ \ \ ("bo"\ \ 16<24,\ \ "czyli"\ \ sqrt16<sqrt24)`

`x+|x|=4-2sqrt6+|4-2sqrt6|=4-2sqrt6-(4-2sqrt6)=0`

`x-2|x|=4-2sqrt6-2|4-2sqrt6|=4-2sqrt6+2(4-2sqrt6)=4-2sqrt6+8-4sqrt6=12-6sqrt6`

 

 

`c)`

Najpierw określimy, czy x jest liczbą dodatnią czy ujemną: 

`x=6sqrt2-8=sqrt36*sqrt2-sqrt64=sqrt72-sqrt64>0\ \ \ ("bo"\ \ 72>64,\ \ "czyli"\ \ sqrt72>sqrt64)`

`x+|x|=6sqrt2-8+|6sqrt2-8|=6sqrt2-8+6sqrt2-8=12sqrt2-16`

`x-2|x|=6sqrt2-8-2|6sqrt2-8|=6sqrt2-8-2(6sqrt2-8)=6sqrt2-8-12sqrt2+16=8-6sqrt2`

 

 

 

`d)`

Najpierw określimy, czy x jest liczbą dodatnią czy ujemną: 

`x=pi-2sqrt3~~3,14-2*1,73<0`

`x+|x|=pi-2sqrt3+|pi-2sqrt3|=pi-2sqrt3-(pi-2sqrt3)=0`

`x-2|x|=pi-2sqrt3-2|pi-2sqrt3|=pi-2sqrt3+2(pi-2sqrt3)=pi-2sqrt3+2pi-4sqrt3=3pi-6sqrt3`

  

 

Rozwiąż nierówność przy założeniu, że a ...

`a)` 

`3-ax>5-a` 

`-ax>2-a` 

`ax<a-2` 

 

`"Dla"\ a > 0\:`  

`ul(x<(a-2)/a`  

 

`"Dla" \ a<0:` 

`ul(x>(a-2)/a`   

 

`"Dla"\ a=0:` 

`0<-2` 

`"Nierówność sprzeczna. Brak rozwiązań."`     

 

`b)` 

`2ax-3a<5` 

`2ax<5+3a` 

 

`"Dla"\ a > 0\:`  

`ul(x<(5+3a)/(2a)`  

 

`"Dla" \ a<0:` 

`ul(x>(5+3a)/(2a)`  

 

`"Dla"\ a=0:` 

`0<5` 

`"Nierówność tożsamościowa - nieskończenie wiele rozwiązań."` 

`ul(x in RR` 

 

`c)` 

`xa+4a-4<=a^2+2x` 

`xa-2x<=a^2-4a+4` 

`x(a-2)<=(a-2)^2` 

 

`a-2=0` 

`a=2` 

 

`"Dla"\ a > 2\:`  

`ul(x<=(a-2)^2/(a-2)=a-2)`   

 

`"Dla" \ a<2:` 

`ul(x>=(a-2)^2/(a-2)=a-2)`    

 

`"Dla"\ a=2:` 

`2x+8-4<=4+2x` 

`0<=0` 

`"Nierówność tożsamościowa - nieskończenie wiele rozwiązań."` 

`ul(x in RR` 

Dane są liczby...

a) Zapiszmy obie liczby z dokładnością do 0,00001

`sqrt290 approx  17,0293underline(8)6 approx 17,02939` 

 

`sqrt290 + 17 approx 34,02939` 

 

`-1/(17-sqrt290) = 1/(sqrt290-17) approx 34,0293underline(8)6 approx 34,02939` 

 

 

b) Porównajmy je:

`-1/(17-sqrt290) = 1/(sqrt290-17) *(sqrt290+17)/(sqrt290+17) = (sqrt290+17)/(290-289) = sqrt290+17` 

Liczby są sobie równe.

 

c) Obie liczby są sobie równe 

Wyznacz wszystkie wartości k ...

`a)` 

`f(x)=x^2-4kx+2k^2` 

`Delta=16k^2-4k^2=12k^2>0` 

`k>0\ \ \wedge\k<0` 

`ul(k in RR\\{0}`    

 

`b)` 

`f(x)=k^2x^2-(2k-1)x+1` 

`Delta=4k^2-4k+1-4k^2=-4k+1`  

`-4k+1>0` 

`k<1/4` 

`"Dla k=0 otrzymujemy:"` 

`f(x)=x+1` 

`"Dla k=0 funkcja f ma jedno miejsce zerowe."` 

`ul(k in (-oo;1/4)\\{0}` 

Suma liczb

Zauważmy, że wyrażenia pod pierwiastkami można zapisać jako kwadrat różnicy:

`10-4sqrt6=10-2*2*sqrt6=4-2*2*sqrt6+6=2^2-2*2*sqrt6+sqrt6^2=(2-sqrt6)^2` 

`8-2sqrt7=8-2*sqrt7*1=7-2*sqrt7*1+1=sqrt7^2-2*sqrt7*1+1^2=(sqrt7-1)^2` 

 

Sumę liczb a i b możemy zapisać w uproszczony sposób:

`a+b=(sqrt(1-4sqrt6))/(2-sqrt6)+(sqrt(8-2sqrt7))/(sqrt7-1)=sqrt((2-sqrt6)^2)/(2-sqrt6)+sqrt((sqrt7-1)^2)/(sqrt7-1)=|2-sqrt6|/(2-sqrt6)+|sqrt7-1|/(sqrt7-1)=...` 

 

Zbadajmy znak wyrażeń znajdujących się pod wartością bezwzględną:

`2-sqrt6=sqrt4-sqrt6<0\ \ \ \ ("bo"\ 4<6)` 

`sqrt7-1=sqrt7-sqrt1>0\ \ \ ("bo"\ 7>1)` 

 

 

Możemy więc kontynuować obliczenia:

`...=(-(2-sqrt6))/(2-sqrt6)+(sqrt7-1)/(sqrt7-1)=-1+1=0\ \ \ \ \ \ odp.\ B`