Symetria w układzie współrzędnych - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Symetria w układzie współrzędnych

Jedną z operacji symetrii jest odbicie jakiegoś obiektu względem innego obiektu (w naszym przypadku środka układu współrzędnych lub jednej z osi). Odbicie polega wtedy na zachowaniu odległości względem osi lub środka układu. Odległość ta jest mierzona na linii
- prostopadłej do osi (gdy odbijam względem osi)
- Przecinającej środek układu (gdy odbijam względem środka układu)

Zadaniem tego działu będzie zobrazowanie takiego odbicia, a także pokazanie jak się zachowują współrzędne w takiej sytuacji.


Symetria względem osi

Osią będziemy nazywać oś X lub Y i to względem niej będziemy opracowywać symetrię. Narysujmy układ współrzędnych.

Przykład:
symetrie1
Został na nim zaznaczony punkt A, odczytujemy współrzędne A(1;2).
Odbijmy go względem osi X.
Zauważcie, że czerwony odcinek jest równa długością niebieskiemu:

symetrie2
Odczytajmy współrzędne punktu A’ pamiętając, że odcinek AA' jest pod kątem prostym do osi X. Nasz A’ ma obecnie A’(1,-2).

Teraz weźmy oś Y i ten sam punkt:
symetrie3
Również mamy równą odległość od osi, punkt A’’ (-1;2).


Symetria względem środka układu:
W tym wypadku przecinamy naszą linią punkt, który jest środkiem układu, więc nie ma mowy o kącie prostym, po prostu doprowadzamy linię do tego punktu, a potem taką samą długość za nim. Na tym samym przykładzie:

symetrie4
Widzimy, że współrzędne A’’’ to (-1;-2).

tab1

Jak widać przy symetrii względem osi X wartość Y zmienia się na przeciwną, przy symetrii względem osi Y wartość X zmienia się na przeciwną, natomiast przy symetrii przez środek układu obie wartości zmieniają się na przeciwne.

 

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Znajdź współrzędne punktu B(3;-1) względem osi X, osi Y oraz środka układu współrzędnych.

Mamy punkt B(3;-1).

Względem osi X zmieniamy współrzędną Y
B(3;-1) względem X: B’(3;1)

Względem osi Y zmieniamy współrzędną X
B(3;-1) względem Y: B’’(-3;-1)

Pozostał początek układu:
B(3;-1) odbite względem punktu (0;0) jest równe B’’’(-3;1)

Zadanie 2.

Wyznacz obraz poniższego trójkąta względem osi Y:
zad2

Wyznaczmy współrzędne naszych punktów:
A (-1;4)
B (-4;1)
C (0;1)

Następnie mamy zadanie odbijać względem osi Y, więc zmieniamy współrzędną X na przeciwną. Zatem:
A’(1;4)
B’(4;1)
C’(0;1)

Przy C jak widać nie zmieniamy nic. Pozostaje nam to narysować:

zad22

Spis treści

Rozwiązane zadania
Zbiorem rozwiązań nierówności jest...

 

 

 

 - miejsca zerowe trójmianu  

Szkicujemy wykres:

Odczytujemy rozwiązanie:

 

Prawidłowa odpowiedź to  

W 2006 roku zarejestrowano w Polsce ...

W Polsce w 2006 zarejestrowano 10 027 osób bedących przewodnikami turystycznymi.

 

1. Obliczmy, ilu przewodników ma uprawnienia do prowadzenia turystyki górskiej:

  

 

2. Obliczmy, ilu przewodników zna co najmniej jeden język obcy:

 

3. Obliczmy, ilu przewodników znających języki obce może być pilotami wycieczek:

Liczba 3 jest przybliżeniem z niedomiarem...

Obliczamy błąd względny:

 {premium}  


Prawidłowa odpowiedź to A.

Oblicz wartość liczbową wyrażenia x^4-y^2/10 dla

 

 `((18-6sqrt2+1)^2-(3+2sqrt2))/10=` 

       `(19^2-2*19*6sqrt2+(6sqrt2)^2-3-2sqrt2)/10 \ \ =`  

`(361-230sqrt2+69)/10=(430-230sqrt2)/10=43-23sqrt2` 

Dla jakich liczb naturalnych...

Miejscem zerowym funkcji f jest:

 

 

 

 

 

Skoro funkcje mają mieć to samo miejsce zerowe to:

 

 

 

 

Funkcje mają takie same miejsca zerowe dla liczb naturalnych m, n takich , że iloczyn tych liczb wynosi 12. Możliwe rozwiązania to:

 

 

 

 

 

 

Kolejka o długości 100 m wjeżdża do tunelu

Musimy dokładnie określić drogę, która musi przebyć kolejka. Na tą drogę składa się długość tunelu i (ponieważ kolejka musi całkowicie opuścić tunel, to przebywa również dodatkową drogę równą swojej długości) długość kolejki.

Zatem:

           `/*t`

a)

b)

W trapezie równoramiennym...

Rysunek poglądowy:

W trójkącie ABC

 

 

 

W trójkącie AEC:

 

 

 

Jeżeli odejmiemy od długości odcinka AB  długość odcinka AE to będziemy znać długość odcinka BE.

  

 

Z własności trójkąta równoramiennego wiemy, że:

 

 

Potrzebujemy jeszcze znać długość wysokości, w tym celu skupmy się na trójkącie BCE:

 

 

 

Pole trapezu:

 

Różnica pomiędzy wynikiem a odpowiedzią jest różnicą w kwestii przybliżeń.

Liczby x1 i x2 są pierwiastkami...

 

 

 

Przypadek I.

 

 

 

 

 

Przypadek II.

 

 

 

 

 

Odp.  

Napisz wzór funkcji liniowej, jeśli znasz współczynnik kierunkowy prostej

Wartość współczynnika b obliczymy podstawiając do powyższego równania współrzędne punktu A. 

 

 

 

 

Jeśli współczynnik kierunkowy jest równy 0, to funkcja liniowa jest funkcją stałą. 

Wiemy, że przechodzi ona przez punkt A=(3, -1), więc dla argumentu 3 osiąga wartość -1. Jeśli jest funkcją stałą, to musi osiągać wartość -1 dla wszystkich argumentów. 

 

 

 

 

Podstawiamy współrzędne punktu A do powyższego równania: 

 

 

 

 

Podstawiamy współrzędne punktu A do powyższego równania: 

 

Naszkicuj wykres funkcji

Aby narysować wykres funkcji liniowej, wyznaczamy współrzędne dwóch punktów, zaznaczamy je w układzie współrzędnych i prowadzimy przez nie prostą.

 

Aby sprawdzić, czy podany punkt należy do wykresu funkcji, podstawiamy pierwszą współrzędną punktu w miejsce x i obliczamy y - jeśli jest równy drugiej współrzędnej, to punkt należy do wykresu, a jeśli jest różny od drugiej współrzędnej, to punkt nie należy do wykresu.