Symetria w układzie współrzędnych - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Symetria w układzie współrzędnych

Jedną z operacji symetrii jest odbicie jakiegoś obiektu względem innego obiektu (w naszym przypadku środka układu współrzędnych lub jednej z osi). Odbicie polega wtedy na zachowaniu odległości względem osi lub środka układu. Odległość ta jest mierzona na linii
- prostopadłej do osi (gdy odbijam względem osi)
- Przecinającej środek układu (gdy odbijam względem środka układu)

Zadaniem tego działu będzie zobrazowanie takiego odbicia, a także pokazanie jak się zachowują współrzędne w takiej sytuacji.


Symetria względem osi

Osią będziemy nazywać oś X lub Y i to względem niej będziemy opracowywać symetrię. Narysujmy układ współrzędnych.

Przykład:
symetrie1
Został na nim zaznaczony punkt A, odczytujemy współrzędne A(1;2).
Odbijmy go względem osi X.
Zauważcie, że czerwony odcinek jest równa długością niebieskiemu:

symetrie2
Odczytajmy współrzędne punktu A’ pamiętając, że odcinek AA' jest pod kątem prostym do osi X. Nasz A’ ma obecnie A’(1,-2).

Teraz weźmy oś Y i ten sam punkt:
symetrie3
Również mamy równą odległość od osi, punkt A’’ (-1;2).


Symetria względem środka układu:
W tym wypadku przecinamy naszą linią punkt, który jest środkiem układu, więc nie ma mowy o kącie prostym, po prostu doprowadzamy linię do tego punktu, a potem taką samą długość za nim. Na tym samym przykładzie:

symetrie4
Widzimy, że współrzędne A’’’ to (-1;-2).

tab1

Jak widać przy symetrii względem osi X wartość Y zmienia się na przeciwną, przy symetrii względem osi Y wartość X zmienia się na przeciwną, natomiast przy symetrii przez środek układu obie wartości zmieniają się na przeciwne.

 

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Znajdź współrzędne punktu B(3;-1) względem osi X, osi Y oraz środka układu współrzędnych.

Mamy punkt B(3;-1).

Względem osi X zmieniamy współrzędną Y
B(3;-1) względem X: B’(3;1)

Względem osi Y zmieniamy współrzędną X
B(3;-1) względem Y: B’’(-3;-1)

Pozostał początek układu:
B(3;-1) odbite względem punktu (0;0) jest równe B’’’(-3;1)

Zadanie 2.

Wyznacz obraz poniższego trójkąta względem osi Y:
zad2

Wyznaczmy współrzędne naszych punktów:
A (-1;4)
B (-4;1)
C (0;1)

Następnie mamy zadanie odbijać względem osi Y, więc zmieniamy współrzędną X na przeciwną. Zatem:
A’(1;4)
B’(4;1)
C’(0;1)

Przy C jak widać nie zmieniamy nic. Pozostaje nam to narysować:

zad22

Spis treści

Rozwiązane zadania
Oblicz wysokość: a) w trójkącie prostokątnym

a)

Z twierdzenia Pitagorasa obliczamy długość przeciwprostokątnej:

       

Opuszczona wysokość w trójkącie równoramiennym dzieli nam podstawę na pół. Możemy użyć twierdzenia Pitagorasa i obliczyć jej długość.

`h^2+(5sqrt)^2=10^2`

     

 

 

b)

Opuszczona wysokość w trójkącie równobocznym również dzieli nam podstawę na pół. Możemy użyć twierdzenia Pitagorasa i obliczyć jej długość.

   

c)

 

             

d)

Obliczenie wysokości z umożliwi nam ułożenie kilku zależności na podstawie twierdzenia Pitagorasa:

Podstawiamy wartość x do równania ,,wiążacego" długość z z długością x:

 

 

 

 

 

Pierwiastkami równania...

 

 

 

 

 

 

 

Odp. A

Oblicz długość odcinka AB...

 

 

Wyznaczmy równanie prostej AB:

 

 

 

 

 

Podstawmy a pod pierwsze równanie:

 

 

 

 

 

Przekształćmy równanie prostej do postaci ogólnej:

  

 

 

Odległość punktu od prostej:

 

 

Pole trójkąta:

 

 

 

 

Wyznaczmy równanie prostej AB:

 

 

 

 

 

Podstawmy a pod drugie równanie równanie:

 

 

 

 

 

Przekształćmy równanie prostej do postaci ogólnej:

  

  

  

 

Odległość punktu od prostej:

 

 

Pole trójkąta:

 

Naszkicuj wykres funkcji f(x) ...

 {premium}

 

 

Kąt 𝛼 jest kątem ostrym...

 {premium}

 

 

 


Prawidłowa odpowiedź to D.

Oblicz (odpowiedź podaj w notacji wykładniczej)

`a)\ (6*10^7)*(2,5*10^-3)=6*2,5*10^(7+(-3))=15*10^4=1,5*10*10^4=1,5*10^5`{premium}

  

Jaki warunek musi spełniać m, alby punkty...

 Wyznaczamy równanie prostej przechodzącej przez punkty  i   

Wstawiamy do równania prostej  współrzędne punktu  Otrzymujemy:

 

Wstawiamy do równania prostej  współrzędne punktu  Otrzymujemy:

 

Zapisujemy wyznaczone równania jako układ równań i wyliczamy z niego  

 

 

 

Zatem prosta przechodząca przez punkty  i   dana jest wzorem:

 

Obliczamy, jaką liczbę należy wstawić w miejsce  by punkty  były współliniowe.

 

 

 

 

Odp. Aby punkty nie były współliniowe, musi zachodzić  

 

 Wyznaczamy równanie prostej przechodzącej przez punkty  i   

Wstawiamy do równania prostej  współrzędne punktu  Otrzymujemy:

 

Wstawiamy do równania prostej  współrzędne punktu  Otrzymujemy:

 

Zapisujemy wyznaczone równania jako układ równań i wyliczamy z niego  

 

 

 

Zatem prosta przechodząca przez punkty  i   dana jest wzorem:

 

Obliczamy, jaką liczbę należy wstawić w miejsce  by punkty  były współliniowe.

  

 

Odp. Aby punkty nie były współliniowe, musi zachodzić  

 

 Wyznaczamy równanie prostej przechodzącej przez punkty  i   

Wstawiamy do równania prostej  współrzędne punktu  Otrzymujemy:

 

Wstawiamy do równania prostej  współrzędne punktu  Otrzymujemy:

 

Zapisujemy wyznaczone równania jako układ równań i wyliczamy z niego  

 

 

 

Zatem prosta przechodząca przez punkty  i   dana jest wzorem:

 

Obliczamy, jaką liczbę należy wstawić w miejsce  by punkty  były współliniowe.

 

 

 

Odp. Aby punkty nie były współliniowe, musi zachodzić  

 

 Wyznaczamy równanie prostej przechodzącej przez punkty  i   

Wstawiamy do równania prostej  współrzędne punktu  Otrzymujemy:

 

Wstawiamy do równania prostej  współrzędne punktu  Otrzymujemy:

 

Zapisujemy wyznaczone równania jako układ równań i wyliczamy z niego  

 

 

 

Zatem prosta przechodząca przez punkty  i   dana jest wzorem:

 

Obliczamy, jaką liczbę należy wstawić w miejsce  by punkty  były współliniowe.

  

 

Odp. Aby punkty nie były współliniowe, musi zachodzić  

Wiedząc, że...

 

 

 

Zatem:

 

Stąd:

 

 

Sinus kąta ostrego może być równy 3/4.

 

b) Wartość sinusa nie może być większa od 1.

 

  

A więc sinus kąta ostrego może być równy  .

 

 

Zauważmy, że:

 

 

A więc:

 

Stąd:

 

A więc sinus kąta ostrego nie może być równy  

Na wykresie przedstawiono

 

Cena akcji w dniu 19.11.2007 wynosiła 51,54 zł. Obliczamy, ile akcji można było kupić tgo dnia za 20 00 zł: 

 

Najkorzystniej byłoby sprzedać akcje, gdy ich cena była najwyższa (zaraz po 29.11) za około 55,78 zł. Wtedy kwota uzyskana ze sprzedaży akcji byłaby równa: 

 

 

Czyli zysk ze sprzedaży akcji byłby równy około:

 

 

Najmniej korzystna byłaby sprzedaż akcji 16.01, gdy cena akcji wynosiła 43,05 zł. Wtedy za sprzedaż 388 akcji dostalibyśmy:

 

 

Czyli strata byłaby równa:

 

 

 

 

 
Wystarczy kupić akcje i sprzedać je po wyższej cenie, na przykład:

  • kupić akce 19.11 i sprzedać 29.11
  • kupić akcje 16.01 i sprzedać 18.02 

 

Aby osiągnąć największy zysk, nalezy zainwestować kwotę 20 000 zł w kupno akcji dnia 16.01. Wtedy można kupić następującą liczbę akcji: 

 

(zaokrąglamy w dół, bo nie starczy pieniędzy na zakup 465 akcji). 

 

Następnie sprzedać akcje tuż przed 05.02, kiedy cena jest najwyższa i wynosi około: 

 

 

Wtedy za sprzedaż 464 akcji uzyskamy kwotę:

 

 

 

 

Czyli zyskamy łącznie:

   

Zapisz liczbę x w ogólnej postaci...

 Jeśli liczba jest podzielna przez  to jest też podzielna przez  więc:

 {premium}


 Jeśli liczba jest podzielna przez  to jest też podzielna przez  więc:

 


 więc:

 


 więc: