Symetria w układzie współrzędnych - matura-podstawowa - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Symetria w układzie współrzędnych - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Symetria w układzie współrzędnych

Jedną z operacji symetrii jest odbicie jakiegoś obiektu względem innego obiektu (w naszym przypadku środka układu współrzędnych lub jednej z osi). Odbicie polega wtedy na zachowaniu odległości względem osi lub środka układu. Odległość ta jest mierzona na linii
- prostopadłej do osi (gdy odbijam względem osi)
- Przecinającej środek układu (gdy odbijam względem środka układu)

Zadaniem tego działu będzie zobrazowanie takiego odbicia, a także pokazanie jak się zachowują współrzędne w takiej sytuacji.


Symetria względem osi

Osią będziemy nazywać oś X lub Y i to względem niej będziemy opracowywać symetrię. Narysujmy układ współrzędnych.

Przykład:
symetrie1
Został na nim zaznaczony punkt A, odczytujemy współrzędne A(1;2).
Odbijmy go względem osi X.
Zauważcie, że czerwony odcinek jest równa długością niebieskiemu:

symetrie2
Odczytajmy współrzędne punktu A’ pamiętając, że odcinek AA' jest pod kątem prostym do osi X. Nasz A’ ma obecnie A’(1,-2).

Teraz weźmy oś Y i ten sam punkt:
symetrie3
Również mamy równą odległość od osi, punkt A’’ (-1;2).


Symetria względem środka układu:
W tym wypadku przecinamy naszą linią punkt, który jest środkiem układu, więc nie ma mowy o kącie prostym, po prostu doprowadzamy linię do tego punktu, a potem taką samą długość za nim. Na tym samym przykładzie:

symetrie4
Widzimy, że współrzędne A’’’ to (-1;-2).

tab1

Jak widać przy symetrii względem osi X wartość Y zmienia się na przeciwną, przy symetrii względem osi Y wartość X zmienia się na przeciwną, natomiast przy symetrii przez środek układu obie wartości zmieniają się na przeciwne.

 

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Znajdź współrzędne punktu B(3;-1) względem osi X, osi Y oraz środka układu współrzędnych.

Mamy punkt B(3;-1).

Względem osi X zmieniamy współrzędną Y
B(3;-1) względem X: B’(3;1)

Względem osi Y zmieniamy współrzędną X
B(3;-1) względem Y: B’’(-3;-1)

Pozostał początek układu:
B(3;-1) odbite względem punktu (0;0) jest równe B’’’(-3;1)

Zadanie 2.

Wyznacz obraz poniższego trójkąta względem osi Y:
zad2

Wyznaczmy współrzędne naszych punktów:
A (-1;4)
B (-4;1)
C (0;1)

Następnie mamy zadanie odbijać względem osi Y, więc zmieniamy współrzędną X na przeciwną. Zatem:
A’(1;4)
B’(4;1)
C’(0;1)

Przy C jak widać nie zmieniamy nic. Pozostaje nam to narysować:

zad22

Spis treści

Rozwiązane zadania
Wypisz wszystkie liczby: ...

 

Liczby naturalne, których kwadraty są mniejsze od 10:

   {premium}


 

Liczby naturalne, których kwadraty są mniejsze lub równe 30:

  


 

Naturalne liczby pierwsze mniejsze od 15:

  


 

Liczby jednocyfrowe złożone:

  

Korzystając z interpretacji geometrycznej

Nierówność:{premium}

oznacza, że odległość liczby x od liczby a ma być mniejsza niż odległość liczby x od liczby b. 

Zauważmy, że średnia arytmetyczna liczb a i b znajduje się dokładnie w połowie między liczbami a i b. 

 

Szukamy takich liczb x, dla których odległość liczby x od liczby a ma być mniejsza niż odległość liczby x od liczby b. Jeśli średnia arytmetyczna liczb a i b znajduje się dokładnie w połowie między tymi liczbami, to dla x będącego tą średnią, odległość liczby x od liczby a będzie taka sama, jak odległość liczby x od liczby b, więc nierówność z tezy nie będzie spełniona. Aby odległość liczby x od liczby a była mniejsza niż odległość liczby x od liczby b, musimy wziąć wartości x mniejsze od średniej arytmetycznej liczb a i b:

 

 

Rozwiąż układ równań ...

 

 

 {premium}

 

 

 

 

    

 

 

 

   

 

 

 

 

 

 

 

 

  

 

 

 

 

 

 

  

Zaznacz na osi liczbowej zbiór...

 Warunki x<-5 lub x>1 spełniają wszystkie liczby rzeczywiste, które należą do przedziału (-oo, -5) lub do przedziału (1, +oo).{premium}


 Warunki x-2 lub x>1 spełniają wszystkie liczby rzeczywiste, które należą do przedziału (-oo, -2> lub do przedziału (1, +oo).


 Warunki x2 lub x2 spełniają wszystkie liczby rzeczywiste, które należą do przedziału (-oo, 2> lub do przedziału <2, +oo), czyli ∈ R.


 Warunki x<2 i x ∈ <0, 3> spełniają wszystkie liczby rzeczywiste, które należą do przedziału (-oo, 2) i do przedziału <0, 3>, czyli x ∈ <0, 2).


 Warunki -3≤x≤8 i x>0 spełniają wszystkie liczby rzeczywiste, które należą do przedziału <-3, 8> i do przedziału (0,+oo), czyli x ∈ (0, 8>.


 Warunki -2≤x≤0 i x ∈ <0, 5> spełniają wszystkie liczby rzeczywiste, które należą do przedziału <-2, 0> i do przedziału <0, 5>, czyli x ∈ {0}.


 Warunki ∈ R lub 2<x<5 spełniają wszystkie liczby rzeczywiste.


 Warunki ∈ <2, 5> i x ∈ R spełniają wszystkie liczby z przedziału <2, 5>.


 Warunki x≤-1 lub -1<x<3 spełniają wszystkie liczby rzeczywiste, które należą do przedziału (-oo, -1> lub do przedziału (-1, 3), czyli x ∈ (-oo, 3).

Bok rombu ma długość 5 cm...

Suma miar katów znajdujących się przy jednym ramieniu w równoległoboku wynosi 180o.

Wykonajmy rysunek pomocniczy:  {premium}



 

 

 


Obliczmy długość krótszej przekątnej tego rombu:

 


 

 

 


Obliczmy długość krótszej przekątnej tego rombu:

 


Odp.: Przekątne tego rombu mają długości ok. 4,54 cm i ok. 8,91 cm. 

Dany jest trójkąt prostokątny równoramienny...

Przed zmianami pole trójkąta jest równe:

 


Po zmianach pole trójkąta obliczymy następująco:{premium}

 


Wiemy, że pole trójkąta zwiększyło się o 20. Stąd:

 

 

 

 

Rozwiąż równanie, korzystając...

 

    {premium}

 


 

 

 

 

 


 

 

 

 

 


 

to równanie nie ma rozwiązania ponieważ kwadrat żadnej liczby rzeczywistej nie jest liczbą ujemną


 

 

to równanie nie ma rozwiązania ponieważ kwadrat żadnej liczby rzeczywistej nie jest liczbą ujemną


 

 

 

 

 

Na podstawie rysunku...

Jeżeli ramię wodzące przechodzi przez punkt (xP, yP) to:

 

 

 

a) W drugiej ćwiartce sinus jest dodatni a cosinus ujemny, zatem:

 {premium}

 

b) W trzeciej sinus i cosinus jest ujemny. Zauważmy, że:

stąd 

 

zatem

 

 

c) W pierwszej wszystkie funkcje trygonometryczne są dodatnie. Zauważmy, że:

 

zatem

 

 

d) Analogicznie jak w c) z tą różnicą, że:

 

zatem

 

 

e) W czwartej ćwiartce cosinus jest dodatni, zatem:

 

 

f) W trzeciej sinus i cosinus są ujemne. Zauważmy, że:

 

 

zatem

 

Wiemy, że

Oszacujmy wartości liczb niewymiernych:

 

 

 

Wykres funkcji f będzie więc wyglądał w przybliżony sposób:{premium}

 

Prawidłowa jest odpowiedź D. 

Naszkicuj wykres funkcji spełniającej

Podajemy przykładowe rozwiązania:

 

{premium}