Styczna do okręgu i okręgi styczne - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Styczna do okręgu i okręgi styczne

Styczna jest to prosta, która styka się z okręgiem w dokładnie jednym punkcie i tworzy z promieniem kąt prosty. Typowa styczna do okręgu wygląda następująco:

img01

Okręgi mogą jeszcze być styczne między sobą, i to na dwa sposoby.
  1. Okręgi styczne zewnętrznie:

    img02

    Odległość środków to suma ich promieni.
     
  2. Okręgi styczne wewnętrznie:

    img03

    Odległością środków jest różnica promieni.
 

Okręgi w układzie współrzędnych

Podstawowy wzór na okrąg to:

$$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$$

x i y to nasze zmienne, jak w każdym wzorze.

r - promień

a,b - współrzędne środka okręgu

Pozostaje nam jeszcze znajomość wzoru stycznej do okręgu w danym punkcie.

Wzór na styczną przechodzącą przez punkt:

$$(x_a-a)(x-a)+(y_b-b)(y-b)=r^2$$

Doszły nam dwie zmienne:

$$x_a$$ oraz $$y_b$$

Reprezentują one współrzędne punktu przez który przechodzi styczna.

Przykład:

Napisz równanie stycznej do okręgu w punkcie A, gdy:

$$A=(2,-3)$$, o: $$(x-1)^2+(y+6)^2=10$$

W tym wypadku mamy tylko i wyłącznie podstawienie do wzoru

$$(x_a-a)(x-a)+(y_b-b)(y-b)=r^2$$

Znamy:

$$x_a=2$$

$$a=1$$

$$y_b=-3$$

$$b=-6$$

$$r=√{10}$$

Pozostaje nam tylko podstawienie:

$$(x_a-a)(x-a)+(y_b-b)(y-b)=r^2$$

$$(2-1)(x-1)+(-3+6)(y+6)=10$$

I obliczamy:

$$x-1+3(y+6)=10$$

$$x-1+3y+18=10$$

$$x+3y+7=0$$
 

Uwaga!

- W przypadku tego działu mamy do czynienia z geometrią analityczną, nie warto tutaj robić za dużo rysunków w przeciwieństwie do typowej planimetrii

- Wzór na okręg jest zawarty w karcie wzorów maturalnych
 

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Dane są punkty S = (2, 1), M = (6, 4). Równanie okręgu o środku S i przechodzącego przez punkt M ma postać.

Do równania okręgu potrzebujemy znać jego środek oraz promień, i oczywiście nie mamy promienia.

Wzór ogólny:

$$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$$

Gdzie nasze:

$$a=2$$

$$b=1$$

więc:

$$(x-2)^2+(y-1)^2=r^2$$

Wiemy, że okrąg przechodzi przez punkt M(6;4), a 6 i 4 to nic innego jak współrzędne, więc:

$$x=6$$

$$y=4$$

Podmieniamy:

$$(6-2)^2+(4-1)^2=r^2$$

$$4^2+3^2=r^2$$

$$16+9=r^2$$

$$r^2=25$$

Z racji, że i tak we wzorze występuje promień do kwadratu nie musimy obliczać r Wzór tego okręgu to:

$$(x-2)^2+(y-1)^2=25$$

Zadanie 2.

Sprawdź czy okręgi o danych wzorach są styczne:

$$O_1:$$ $$x^2+y^2=2$$

$$O_2:$$ $$(x-2)^2+(y-2)^2=25$$
 

Aby określić styczność okręgów musimy znać ich odległość ich środków. Przypominamy wzór ogólny:

$$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$$

Środek zajmuje punkty A i B.

Więc dla wzoru pierwszego:

$$O_1:$$ $$x^2+y^2=2$$

$$a_1=0$$

$$b_1=0$$

ponieważ mamy tylko $$x^2+y^2$$

Dla wzoru drugiego:

$$a_2=2$$

$$b_2=2$$

Musimy teraz wyznaczyć odległość tych punktów od siebie, mieliśmy do tego specjalny wzór:

$$d=√{(a_2-a_1 )^2+(b_2-b_1 )^2}$$

Czyli wzór kradziony z twierdzenia Pitagorasa:

$$d=√{2^2+2^2}=√8 $$

Teraz musimy sprawdzić długości promieni:

$$r_1=√2$$

$$r_2=√{25}=5$$

Jak widać ani suma promieni ani ich różnica nie da nam $$√8$$.

$$r_1-r_2≠√8$$

$$r_1+r_2≠√8$$

Zatem okręgi nie są do siebie styczne.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Narysuj wykres przykładowej funkcji...

Funkcja nie jest rosnąca na całej swojej dziedzinie mimo, że jest rosnąca przedziałami

Napisz równanie prostej ...

`A-"punkt o odciętej równej 2, należący do paraboli"\ y=5x^2."` 

`A=(x;y)=(x;5x^2)=(2;20)`  

`y=ax+b-"szukana prosta"` 

`a=0\ ,\ "ponieważ prosta jest równoległa do osi X"`   

`y=b` 

`ul(y=20`  

Wskaż wszystkie liczby całkowite...

`a) \ (-4; 6) \cup (3;7) = (-4;7)` 

Liczby całkowite należące do przedziału to:

`-3 \ , \ -2 \ , \ -1 \ , \ 0 \ , \ 1 \ , \ 2 \ , \ 3 \ , \ 4 \ , \ 5 \ , \ 6` 

 

`b) \ (-3; 6] \cup [3; 7) = (-3,7)` 

Liczby całkowite należące do przedziału to:

`-2 \ , \ -1 \ , \ 0 \ , \ 1 \ , \ 2 \ , \ 3 \ , \ 4 \ , \ 5 \ , \ 6` 

 

`c) \ [-3;6) \cup (3;7] = [-3;7]` 

Liczby całkowite należące do przedziału to:

`-3 \ , \ -2 \ , \ -1 \ , \ 0 \ , \ 1 \ , \ 2 \ , \ 3 \ , \ 4 \ , \ 5 \ , \ 6 \ , \ 7` 

 

`d) \ [-3; 6] \cup [3,7] = [-3,7]` 

Liczby całkowite należące do przedziału to:

`-3 \ , \ -2 \ , \ -1 \ , \ 0 \ , \ 1 \ , \ 2 \ , \ 3 \ , \ 4 \ , \ 5 \ , \ 6 \ , \ 7` 

 

`e) \ (-3; 6) \cap (3; 7) = (3; 6)`  

Liczby całkowite należące do przedziału to:

`4 \ , \ 5` 

 

`f) \ (-3; 6] \cap [3; 7) = [3; 6]` 

Liczby całkowite należące do przedziału to:

`3 \ , \ 4 \ , \ 5 \ , \ 6` 

 

`g) \ [-3; 6) \cap (3, 7] = (3,6)` 

Liczby całkowite należące do przedziału to:

`4 \ , \ 5` 

 

`h) \ [-3; 6] \cap [3, 7] = [3,6]` 

Liczby całkowite należące do przedziału to:

`3 \ , \ 4 \ , \ 5 \ , \ 6` 

 

`i) \ (-3; 6) \ \\ \ (3;7) = (-3,3]` 

Liczby całkowite należące do przedziału to:

`-2 \ , \ -1 \ , \ 0 \ , \ 1 \ , \ 2 \ , \ 3` 

 

`j) \ (-3;6] \ \\ \ [3; 7) = (-3; 3)` 

Liczby całkowite należące do przedziału to:

`-2 \ , \ -1 \ , \ 0 \ , \ 1 \ , \ 2` 

 

`k) \ [-3; 6) \ \\ \ (3; 7] = [-3,3]` 

Liczby całkowite należące do przedziału to:

`-3 \ , \ -2 \ , \ -1 \ , \ 0 \ , \ 1 \ , \ 2 \ , \ 3` 

 

`l) \ [-3; 6] \ \\ \ [3; 7] = [-3; 3)` 

Liczby całkowite należące do przedziału to:

`-3 \ , \ -2 \ , \ -1 \ , \ 0 \ , \ 1 \ , \ 2` 

Uporządkuj rosnąco liczby ...

`(2 1/2)^3=(5/2)^3=125/8=15 5/8`

`ul(\ \ \ \ \ \ \ \ )` 

`(-1 2/3)^4=(-5/3)^4=625/81=7 58/81` 

`ul(\ \ \ \ \ \ \ \ )` 

`(3,97)^0=1` 

`ul(\ \ \ \ \ \ \ \ )` 

`(-3/11)^-2=(-11/3)^2=121/9=13 4/9` 

`ul(\ \ \ \ \ \ \ \ )` 

`(3 3/4)^-1=(15/4)^-1=4/15` 

 

 

Liczby uporządkowane rosnąco, czyli od najmniejszej do największej:

`4/15<1<7 58/81< 13 4/9<15 5/8` 

Stąd:

`(3 3/4)^-1<3,967^0<(-1 2/3)^4<(-3/11)^-2<(2 1/2)^3` 

Sporządź wykres funkcji i przekształć go ...

`a)`

Wyznaczmy współrzędne kilku punktów należących do wykresu danej funkcji: 

`x=0\ \ \ ->\ \ \ y=6*0-2=0-2=-2`

`x=1\ \ \ ->\ \ \ y=6*1-2=6-2=4`

 

Szukamy wzoru funkcji symetrycznej do danej względem początku układu współrzędnych:

`y=-(6*(-x)-2)=-(-6x-2)=6x+2`

 

 

`b)`

Wyznaczmy współrzędne kilku punktów należących do wykresu danej funkcji: 

`x=-2\ \ \ ->\ \ \ y=-(-2)^2=-(-2)*(-2)=-4`

`x=-1\ \ \ ->\ \ \ y=-(-1)^2=-(-1)*(-1)=-1`

`x=0\ \ \ ->\ \ \ y=-0^2=-0*0=0`

`x=1\ \ \ ->\ \ \ y=-1^2=-1*1=-1`

`x=2\ \ \ ->\ \ \ y=-2^2=-2*2=-4`

 

Szukamy wzoru funkcji symetrycznej do danej względem początku układu współrzędnych:

`y=-(-(-x)^2)=-(-(-x)*(-x))=-(-x^2)=x^2`

 

`c)`

Wyznaczmy współrzędne kilku punktów należących do wykresu danej funkcji: 

`x=0\ \ \ ->\ \ \ y=2sqrt0=2*0=0`

`x=1\ \ \ ->\ \ \ y=2sqrt1=2*1=2`

`x=4\ \ \ ->\ \ \ y=2sqrt4=2*2=4`

 

Szukamy wzoru funkcji symetrycznej do danej względem początku układu współrzędnych:

`y=-(2sqrt(-x))=-2sqrt(-x)`

  

 

`d)`

Wyznaczmy współrzędne kilku punktów należących do wykresu danej funkcji: 

`x=-2\ \ \ ->\ \ \ y=-(-2)^3=-(-8)=8`

`x=-1\ \ \ ->\ \ \ y=-(-1)^3=-(-1)=1`

`x=0\ \ \ ->\ \ \ y=-0^3=-0=0`

`x=1\ \ \ ->\ \ \ y=-1^3=-1`

`x=2\ \ \ ->\ \ \ y=-2^3=-8`

 

Szukamy wzoru funkcji symetrycznej do danej względem początku układu współrzędnych:

`y=-(-(-x)^3)=(-x)^3=(-x)*(-x)*(-x)=-x^3`

Zatem funkcja f jest sama do siebie symetryczna wględem początku układu współrzędnych. 

Jaki składnik należy wstawić w miejsce

`a)`

`25z^2-10z+square=(5z)^2-2*5z*ul(ul(1))+square\ \ \ \ =>\ \ \ \ square=1^2=1`

 

 

`b)`

`4y^2+square+9z^2=(2y)^2+square+(3z)^2\ \ \ =>\ \ \ square=2*2y*3z=12yz`

 

 

`c)`

`81x^2+36xy+square=(9x)^2+2*9x*ul(ul(2y))+square\ \ \ =>\ \ \ square=(2y)^2=4y^2`

 

 

`d)`

`2p^2-square+9=(sqrt2p)^2-square+3^2\ \ \ =>\ \ \ square=2*sqrt2p*3=6sqrt2p`

Podaj zbiór wartości funkcji...

Dodatnich liczb podzielnych przez 3 i mniejszych od 10 jest dokładnie trzy.

`3, 6 \ "i" \ 9` 

Każdej liczbie przyporządkujemy jej kwadrat, czyli wzór funkcji ma postać:

`f(a) = a^2` 

 

`f(3) = 3^2 = 9`  

`f(6) = 6^2 = 36` 

`f(9) = 9^2 = 81` 

 

`Z_w = {9,36,81}` 

Dane są zbiory X i Y oraz funkcja f

`a)`

Wartość funkcji dla argumentu 2 jest równa -1. 

Wartość funkcji dla argumentu 4 jest równa 2. 

 

 

`b)`

Funkcja f przyjmuje wartość 2 dla argumentów 4 oraz 3. 

Funkcja f nie przyjmuje wartości 1 dla żadnego argumentu. 

 

`c)`

 

`x`  `1`  `5`  `2`  `4`  `3` 
`y`  `-2`  `-1`  `-1`  `2`    `2`
Rozwiąż nierówność.

`a)` 

`3x^2-2x-1>=0` 

 

`Delta=(-2)^2-4*3*(-1)=` 

`\ \ \ =4+12=16` 

`sqrtDelta=sqrt16=4` 

`x_1=(2-4)/(2*3)=` `-2/6=-1/3` 

`x_2=(2+4)/(2*3)=6/6=1` 

 

`3(x+1/3)(x-1)>=0` 

 

  

`ul(ul(x in (-infty,\ -1/3>\ \ uu\ \ <1,\ +infty)))`  

 

 

 

`b)` 

`-x^2+2x+4>0` 

 

`Delta=2^2-4*(-1)*4=` 

`\ \ \ =4+16=20` 

`sqrtDelta=sqrt20=sqrt(4*5)=sqrt4*sqrt5=2sqrt5` 

`x_1=(-2-2sqrt5)/(-2)=` `1+sqrt5` 

`x_2=(-2+2sqrt5)/(-2)=` `1-sqrt5` 

 

`ul(ul(x in (1-sqrt5,\ 1+sqrt5)))`  

 

 

 

`c)` 

`2x^2+x-1<=0` 

 

`Delta=1^2-4*2*(-1)=` 

`\ \ \ =1+8=9` 

`sqrtDelta=sqrt9=3` 

`x_1=(-1-3)/(2*2)=(-4)/4=-1` 

`x_2=(-1+3)/(2*2)=2/4=1/2` 

 

 

`ul(ul(x in (-infty,\ -1>\ \ uu\ \ <1/2,\ +infty)))`  

     

Na płaszczyźnie wyróżnione są dwa punkty

`Z:\ \ P,\ Q\ \ -\ \ dan e,\ \ \ \ #(bigwedge)_A\ \ T(A)=A_1\ \ i\ \ #(PA_1)^(->)=#(PA)^(->)+#(PQ)^(->)`

Zapis powyżej oznacza, że dla dowolnego punktu A na płaszczyźnie obrazem punktu A przez przekształcenie T jest punkt A₁ taki, że wektor PA₁ to suma wektorów PA i PQ

 

`T:\ \ T=T_(#(PQ)^(->))`

Zapis powyżej oznacza, że przekształcenie T jest translacją o wektor PQ

 

`D:`

Zilustrujmy to, co mamy w założeniach:

 

Aby przekształcenie T było translacją o wektor PQ musi zachodzić (patrz definicja 3 strona 156): 

`#(A A_1)^(->)=#(PQ)^(->)`

 

 Korzystając z rysunku możemy zapisać: 

`#(A A_1)^(->)=#(AP)^(->)+#(PA_1)^(->)\ \ \ #=^(#(PA_1)^(->)=#(PQ)^(->)+#(QA_1)^(->))\ \ \ #(AP)^(->)+#(PQ)^(->)+#(QA_1)^(->)\ \ \ #=^(#(AP)^(->)=-#(QA_1)^(->))\ \ \ #(PQ)^(->)\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ square`