Styczna do okręgu i okręgi styczne - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Styczna do okręgu i okręgi styczne

Styczna jest to prosta, która styka się z okręgiem w dokładnie jednym punkcie i tworzy z promieniem kąt prosty. Typowa styczna do okręgu wygląda następująco:

Okręgi mogą jeszcze być styczne między sobą, i to na dwa sposoby.

Okręgi styczne zewnętrznie:

Odległość środków to suma ich promieni.
Okręgi styczne wewnętrznie:

Odległością środków jest różnica promieni.

Okręgi w układzie współrzędnych

Podstawowy wzór na okrąg to:

$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$

x i y to nasze zmienne, jak w każdym wzorze.

r - promień

a,b - współrzędne środka okręgu

Pozostaje nam jeszcze znajomość wzoru stycznej do okręgu w danym punkcie.

Wzór na styczną przechodzącą przez punkt:

$(x_a-a)(x-a)+(y_b-b)(y-b)=r^2$

Doszły nam dwie zmienne:

$x_a$ oraz $y_b$

Reprezentują one współrzędne punktu przez który przechodzi styczna.

Przykład:

Napisz równanie stycznej do okręgu w punkcie A, gdy:

$A=(2,-3)$, o: $(x-1)^2+(y+6)^2=10$

W tym wypadku mamy tylko i wyłącznie podstawienie do wzoru

$(x_a-a)(x-a)+(y_b-b)(y-b)=r^2$

Znamy:

$x_a=2$

$a=1$

$y_b=-3$

$b=-6$

$r=√{10}$

Pozostaje nam tylko podstawienie:

$(x_a-a)(x-a)+(y_b-b)(y-b)=r^2$

$(2-1)(x-1)+(-3+6)(y+6)=10$

I obliczamy:

$x-1+3(y+6)=10$

$x-1+3y+18=10$

$x+3y+7=0$

Uwaga!

- W przypadku tego działu mamy do czynienia z geometrią analityczną, nie warto tutaj robić za dużo rysunków w przeciwieństwie do typowej planimetrii

- Wzór na okręg jest zawarty w karcie wzorów maturalnych

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Dane są punkty S = (2, 1), M = (6, 4). Równanie okręgu o środku S i przechodzącego przez punkt M ma postać.

Zobacz rozwiązanie

Do równania okręgu potrzebujemy znać jego środek oraz promień, i oczywiście nie mamy promienia.

Wzór ogólny:

$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$

Gdzie nasze:

$a=2$

$b=1$

więc:

$(x-2)^2+(y-1)^2=r^2$

Wiemy, że okrąg przechodzi przez punkt M(6;4), a 6 i 4 to nic innego jak współrzędne, więc:

$x=6$

$y=4$

Podmieniamy:

$(6-2)^2+(4-1)^2=r^2$

$4^2+3^2=r^2$

$16+9=r^2$

$r^2=25$

Z racji, że i tak we wzorze występuje promień do kwadratu nie musimy obliczać r Wzór tego okręgu to:

$(x-2)^2+(y-1)^2=25$

Zadanie 2.

Sprawdź czy okręgi o danych wzorach są styczne:

$O_1:$ $x^2+y^2=2$

$O_2:$ $(x-2)^2+(y-2)^2=25$

Zobacz rozwiązanie

Aby określić styczność okręgów musimy znać ich odległość ich środków. Przypominamy wzór ogólny:

$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$

Środek zajmuje punkty A i B.

Więc dla wzoru pierwszego:

$O_1:$ $x^2+y^2=2$

$a_1=0$

$b_1=0$

ponieważ mamy tylko $x^2+y^2$

Dla wzoru drugiego:

$a_2=2$

$b_2=2$

Musimy teraz wyznaczyć odległość tych punktów od siebie, mieliśmy do tego specjalny wzór:

$d=√{(a_2-a_1 )^2+(b_2-b_1 )^2}$

Czyli wzór kradziony z twierdzenia Pitagorasa:

$d=√{2^2+2^2}=√8 $

Teraz musimy sprawdzić długości promieni:

$r_1=√2$

$r_2=√{25}=5$

Jak widać ani suma promieni ani ich różnica nie da nam $√8$.

$r_1-r_2≠√8$

$r_1+r_2≠√8$

Zatem okręgi nie są do siebie styczne.

Spis treści

Rozwiązane zadania

Podaj definicję funkcji stałej

Funkcja stała to taka, która dla wszystkich argumentów przyjmuje taką samą wartość. {premium}

a) Oblicz sumę miar wszystkich...

a) Przykładowy rysunek: {premium}

b) Wielokąt ten ma co najmniej 6 boków:

c) Dwa boki wielokąta wypukłego nie mogą leżeć na jednej prostej ponieważ wszystkie kąty wewnętrzne wielokąta wypukłego mają miary mniejsze niż 180^o.

Funkcja y=1500+12x opisuje miesięczne koszty

Obliczamy, jaki był koszt wyprodukowania 1800 krasnali:

Obliczamy, jaki był {premium}zysk firmy (od kwoty uzyskanej ze sprzedaży 1800 sztuk krasnali po 37 zł odejmujemy koszt ich wyprodukowania)

ODP: Półroczny zysk firmy wyniósł 33 000 zł.

Teraz miesięczne koszty w złotych wyprodukowania x krasnali są równe:

Obliczmy kilka wartości tej funkcji, dzięki temu łatwiej będzie narysować wykres:

Podaj zaokrąglenie liczby 7,47254...

Zaokrąglając liczbę do k-tego miejsca po przecinku patrzymy na k+1 cyfrę. Jeżeli jest mniejsza od 5 to wyrzucamy ją i wszystkie kolejne cyfry nie zmieniając cyfry stojącej na k-tym miejscu. W przeciwnym wypadku powiększamy o 1 cyfrę na k-tym miejscu.

Kolejna cyfra to 4 więc ją odrzucamy i nie zmieniamy cyfry stojącej na czwartym miejscu po przecinku.

Błąd bezwzględny:

Błąd względny:

Kolejna cyfra to 5 więc ją odrzucamy(i wszystkie kolejne) i powiększamy cyfrę stojącą na trzecim miejscu po przecinku.

Błąd bezwzględny:

Błąd względny:

Kolejna cyfra to 2 więc ją odrzucamy(i wszystkie kolejne) i nie zmieniamy cyfry stojącej na drugim miejscu po przecinku.

Błąd bezwzględny:

Błąd względny:

Ile dzielników naturalnych

Oblicz błąd bezwzględny

Należy pamiętać, że aby liczyć błąd bezwgzlędny i błąd względny, wielkości a oraz x należy podać w jednakowych jednostkach.

{premium}

Wyznacz miary kątów...

Kąty wierzchołkowe:{premium}

W trójkącie DEA:

W trójkącie ABC:

Kąty naprzemianległe:

Kąty w trójkącie ECD:

Kąty w trapezie ABCD:

Bank obniżył oprocentowanie lokaty z 7,2%...

Obliczamy, o ile punktów procentowych obniżono oprocentowanie kredytu:

{premium}

Obliczamy, ile to punktów bazowych:

Odp. Bank zmniejszył oprocentowanie o punktów bazowych.

Oblicz:

{premium}

Rozłóż na czynniki:

{premium}