Styczna do okręgu i okręgi styczne - matura-podstawowa - Baza Wiedzy
Styczna do okręgu i okręgi styczne
Styczna jest to prosta, która styka się z okręgiem w dokładnie jednym punkcie i tworzy z promieniem kąt prosty. Typowa styczna do okręgu wygląda następująco:
Okręgi mogą jeszcze być styczne między sobą, i to na dwa sposoby.
Okręgi mogą jeszcze być styczne między sobą, i to na dwa sposoby.
- Okręgi styczne zewnętrznie:
Odległość środków to suma ich promieni.
- Okręgi styczne wewnętrznie:
Odległością środków jest różnica promieni.
Okręgi w układzie współrzędnych
Podstawowy wzór na okrąg to:
$$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$$
x i y to nasze zmienne, jak w każdym wzorze.
r - promień
a,b - współrzędne środka okręgu
Pozostaje nam jeszcze znajomość wzoru stycznej do okręgu w danym punkcie.
Wzór na styczną przechodzącą przez punkt:
$$(x_a-a)(x-a)+(y_b-b)(y-b)=r^2$$
Doszły nam dwie zmienne:
$$x_a$$ oraz $$y_b$$
Reprezentują one współrzędne punktu przez który przechodzi styczna.
Przykład:
Napisz równanie stycznej do okręgu w punkcie A, gdy:
$$A=(2,-3)$$, o: $$(x-1)^2+(y+6)^2=10$$
W tym wypadku mamy tylko i wyłącznie podstawienie do wzoru
$$(x_a-a)(x-a)+(y_b-b)(y-b)=r^2$$
Znamy:
$$x_a=2$$
$$a=1$$
$$y_b=-3$$
$$b=-6$$
$$r=√{10}$$
Pozostaje nam tylko podstawienie:
$$(x_a-a)(x-a)+(y_b-b)(y-b)=r^2$$
$$(2-1)(x-1)+(-3+6)(y+6)=10$$
I obliczamy:
$$x-1+3(y+6)=10$$
$$x-1+3y+18=10$$
$$x+3y+7=0$$
- Wzór na okręg jest zawarty w karcie wzorów maturalnych
$$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$$
x i y to nasze zmienne, jak w każdym wzorze.
r - promień
a,b - współrzędne środka okręgu
Pozostaje nam jeszcze znajomość wzoru stycznej do okręgu w danym punkcie.
Wzór na styczną przechodzącą przez punkt:
$$(x_a-a)(x-a)+(y_b-b)(y-b)=r^2$$
Doszły nam dwie zmienne:
$$x_a$$ oraz $$y_b$$
Reprezentują one współrzędne punktu przez który przechodzi styczna.
Przykład:
Napisz równanie stycznej do okręgu w punkcie A, gdy:
$$A=(2,-3)$$, o: $$(x-1)^2+(y+6)^2=10$$
W tym wypadku mamy tylko i wyłącznie podstawienie do wzoru
$$(x_a-a)(x-a)+(y_b-b)(y-b)=r^2$$
Znamy:
$$x_a=2$$
$$a=1$$
$$y_b=-3$$
$$b=-6$$
$$r=√{10}$$
Pozostaje nam tylko podstawienie:
$$(x_a-a)(x-a)+(y_b-b)(y-b)=r^2$$
$$(2-1)(x-1)+(-3+6)(y+6)=10$$
I obliczamy:
$$x-1+3(y+6)=10$$
$$x-1+3y+18=10$$
$$x+3y+7=0$$
Uwaga!
- W przypadku tego działu mamy do czynienia z geometrią analityczną, nie warto tutaj robić za dużo rysunków w przeciwieństwie do typowej planimetrii- Wzór na okręg jest zawarty w karcie wzorów maturalnych
Zadania powtórzeniowe
Zadanie 1.
Dane są punkty S = (2, 1), M = (6, 4). Równanie okręgu o środku S i przechodzącego przez punkt M ma postać.
Do równania okręgu potrzebujemy znać jego środek oraz promień, i oczywiście nie mamy promienia.
Wzór ogólny:
$$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$$
Gdzie nasze:
$$a=2$$
$$b=1$$
więc:
$$(x-2)^2+(y-1)^2=r^2$$
Wiemy, że okrąg przechodzi przez punkt M(6;4), a 6 i 4 to nic innego jak współrzędne, więc:
$$x=6$$
$$y=4$$
Podmieniamy:
$$(6-2)^2+(4-1)^2=r^2$$
$$4^2+3^2=r^2$$
$$16+9=r^2$$
$$r^2=25$$
Z racji, że i tak we wzorze występuje promień do kwadratu nie musimy obliczać r Wzór tego okręgu to:
$$(x-2)^2+(y-1)^2=25$$
Zadanie 2.
Sprawdź czy okręgi o danych wzorach są styczne:
$$O_1:$$ $$x^2+y^2=2$$
$$O_2:$$ $$(x-2)^2+(y-2)^2=25$$
Aby określić styczność okręgów musimy znać ich odległość ich środków. Przypominamy wzór ogólny:
$$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$$
Środek zajmuje punkty A i B.
Więc dla wzoru pierwszego:
$$O_1:$$ $$x^2+y^2=2$$
$$a_1=0$$
$$b_1=0$$
ponieważ mamy tylko $$x^2+y^2$$
Dla wzoru drugiego:
$$a_2=2$$
$$b_2=2$$
Musimy teraz wyznaczyć odległość tych punktów od siebie, mieliśmy do tego specjalny wzór:
$$d=√{(a_2-a_1 )^2+(b_2-b_1 )^2}$$
Czyli wzór kradziony z twierdzenia Pitagorasa:
$$d=√{2^2+2^2}=√8 $$
Teraz musimy sprawdzić długości promieni:
$$r_1=√2$$
$$r_2=√{25}=5$$
Jak widać ani suma promieni ani ich różnica nie da nam $$√8$$.
$$r_1-r_2≠√8$$
$$r_1+r_2≠√8$$
Zatem okręgi nie są do siebie styczne.
Spis treści
Rozwiązane zadania
Rozwiąż równanie
W każdym przykładzie przyrównujemy wyrazenie pod wartością bezwzględną do zera, dzięki czemu {premium}wyznaczymy wartość x, która podzieli zbiór liczb rzeczywistych na dwa przedziały, w których rozpatrujemy równość.
Ostatecznie możemy zapisać rozwiązanie równania:
Otrzymaliśmy sprzeczność, więc w pierwszym przedziale równanie nie ma rozwiązania.
Ostatecznie możemy zapisać rozwiązanie równania:
Ostatecznie możemy zapisać rozwiązanie równania:
Otrzymaliśmy sprzeczność, więc w drugim przedziale równanie nie ma rozwiązania.
Ostatecznie możemy zapisać rozwiązanie równania:
Uprośćmy najpierw równanie:
Teraz przyrównujemy wyrażenie pod wartością bezwzględną do zera:
Wracamy do rozwiązania równania:
Otrzymaliśmy równość, która jest zawsze prawdziwa, więc wszystkie liczby z drugiego przedziału spełniają tą nierówność.
`\ \ \ x^2=0
W każdym przykładzie przyrównujemy wyrazenie pod wartością bezwzględną do zera, dzięki czemu wyznaczymy wartość x, która podzieli zbiór liczb rzeczywistych na dwa przedziały, w których rozpatrujemy równość.
Ostatecznie możemy zapisać rozwiązanie równania:
Otrzymaliśmy sprzeczność, więc w pierwszym przedziale równanie nie ma rozwiązania.
Ostatecznie możemy zapisać rozwiązanie równania:
Ostatecznie możemy zapisać rozwiązanie równania:
Otrzymaliśmy sprzeczność, więc w drugim przedziale równanie nie ma rozwiązania.
Ostatecznie możemy zapisać rozwiązanie równania:
Uprośćmy najpierw równanie:
Teraz przyrównujemy wyrażenie pod wartością bezwzględną do zera:
Wracamy do rozwiązania równania:
Otrzymaliśmy równość, która jest zawsze prawdziwa, więc wszystkie liczby z drugiego przedziału spełniają tą nierówność.
Ostatecznie możemy zapisać rozwiązanie równania:
Wskaż...
Czyli jest to trójkąt równoramienny.
Punkty tworzące odcinek DE mają współrzędne:
Odcinek DE w trójkącie DEF będzie odpowiadać albo odcinkowi AB albo odcinkowi AC z trójkąta ABC, w takim razie możliwe położenia są przedstawione na rysunku:
Prosta jest postaci y=ax+b, a więc:
prosta przechodzi przez punkty F1 i D, czyli podstawmy współrzędne punktów pod równanie prostej y=ax+b:
Zsumujmy:
a więc prosta będzie miała postać:
Prosta zawierająca punkty D i F2 będzie miała przeciwny współczynnik do prostej y1 oraz będzie przesunięta o 2 jednostki w górę, jej wzór to:
Prosta zawierająca punkty F4 i D, podstawmy współrzędne punktów pod równanie prostej y=ax+b:
Zsumujmy:
Prosta zawierająca punkty D i F3 będzie miała przeciwny współczynnik do prostej y1 oraz będzie przesunięta o 8 jednostki w górę, jej wzór to:
Zapisz w postaci x^k
Pomnóż równania układu przez wskazane liczby
Podstawiamy do pierwszego równania ostatniego układu:
Oblicz f(-2)
Wyznacz n, jeśli:
{premium}
Wyznacz przedział będący zbiorem
{premium}
Dany jest trójkąt równoboczny...
Skorzystamy z twierdzenia cosinusów:
Z twierdzenia sinusów:
Z tablic odczytujemy, że:
A więc:
Stąd:
Odpowiedź B
Wśród liczb wskaż te, które spełniają nierówność
Nierówność jest spełniona.
Nierówność jest spełniona.
Nierówność jest spełniona.
Nierówność nie jest spełniona.
Podaj przykład liczby zapisanej w postaci
Musimy więc znaleźć liczbę dodatnią mającą rozwinięcie dziesiętne okresowe, mniejszą od 0,05. Takie liczby to na przykład:
Musimy więc znaleźć liczbę mającą rozwinięcie dziesiętne okresowe, większą od 0,1 i mniejszą od 1. Takie liczby to na przykład:
© 2018 Odrabiamy.pl