Styczna do okręgu i okręgi styczne - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Styczna do okręgu i okręgi styczne

Styczna jest to prosta, która styka się z okręgiem w dokładnie jednym punkcie i tworzy z promieniem kąt prosty. Typowa styczna do okręgu wygląda następująco:

img01

Okręgi mogą jeszcze być styczne między sobą, i to na dwa sposoby.
  1. Okręgi styczne zewnętrznie:

    img02

    Odległość środków to suma ich promieni.
     
  2. Okręgi styczne wewnętrznie:

    img03

    Odległością środków jest różnica promieni.
 

Okręgi w układzie współrzędnych

Podstawowy wzór na okrąg to:

$$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$$

x i y to nasze zmienne, jak w każdym wzorze.

r - promień

a,b - współrzędne środka okręgu

Pozostaje nam jeszcze znajomość wzoru stycznej do okręgu w danym punkcie.

Wzór na styczną przechodzącą przez punkt:

$$(x_a-a)(x-a)+(y_b-b)(y-b)=r^2$$

Doszły nam dwie zmienne:

$$x_a$$ oraz $$y_b$$

Reprezentują one współrzędne punktu przez który przechodzi styczna.

Przykład:

Napisz równanie stycznej do okręgu w punkcie A, gdy:

$$A=(2,-3)$$, o: $$(x-1)^2+(y+6)^2=10$$

W tym wypadku mamy tylko i wyłącznie podstawienie do wzoru

$$(x_a-a)(x-a)+(y_b-b)(y-b)=r^2$$

Znamy:

$$x_a=2$$

$$a=1$$

$$y_b=-3$$

$$b=-6$$

$$r=√{10}$$

Pozostaje nam tylko podstawienie:

$$(x_a-a)(x-a)+(y_b-b)(y-b)=r^2$$

$$(2-1)(x-1)+(-3+6)(y+6)=10$$

I obliczamy:

$$x-1+3(y+6)=10$$

$$x-1+3y+18=10$$

$$x+3y+7=0$$
 

Uwaga!

- W przypadku tego działu mamy do czynienia z geometrią analityczną, nie warto tutaj robić za dużo rysunków w przeciwieństwie do typowej planimetrii

- Wzór na okręg jest zawarty w karcie wzorów maturalnych
 

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Dane są punkty S = (2, 1), M = (6, 4). Równanie okręgu o środku S i przechodzącego przez punkt M ma postać.

Do równania okręgu potrzebujemy znać jego środek oraz promień, i oczywiście nie mamy promienia.

Wzór ogólny:

$$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$$

Gdzie nasze:

$$a=2$$

$$b=1$$

więc:

$$(x-2)^2+(y-1)^2=r^2$$

Wiemy, że okrąg przechodzi przez punkt M(6;4), a 6 i 4 to nic innego jak współrzędne, więc:

$$x=6$$

$$y=4$$

Podmieniamy:

$$(6-2)^2+(4-1)^2=r^2$$

$$4^2+3^2=r^2$$

$$16+9=r^2$$

$$r^2=25$$

Z racji, że i tak we wzorze występuje promień do kwadratu nie musimy obliczać r Wzór tego okręgu to:

$$(x-2)^2+(y-1)^2=25$$

Zadanie 2.

Sprawdź czy okręgi o danych wzorach są styczne:

$$O_1:$$ $$x^2+y^2=2$$

$$O_2:$$ $$(x-2)^2+(y-2)^2=25$$
 

Aby określić styczność okręgów musimy znać ich odległość ich środków. Przypominamy wzór ogólny:

$$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$$

Środek zajmuje punkty A i B.

Więc dla wzoru pierwszego:

$$O_1:$$ $$x^2+y^2=2$$

$$a_1=0$$

$$b_1=0$$

ponieważ mamy tylko $$x^2+y^2$$

Dla wzoru drugiego:

$$a_2=2$$

$$b_2=2$$

Musimy teraz wyznaczyć odległość tych punktów od siebie, mieliśmy do tego specjalny wzór:

$$d=√{(a_2-a_1 )^2+(b_2-b_1 )^2}$$

Czyli wzór kradziony z twierdzenia Pitagorasa:

$$d=√{2^2+2^2}=√8 $$

Teraz musimy sprawdzić długości promieni:

$$r_1=√2$$

$$r_2=√{25}=5$$

Jak widać ani suma promieni ani ich różnica nie da nam $$√8$$.

$$r_1-r_2≠√8$$

$$r_1+r_2≠√8$$

Zatem okręgi nie są do siebie styczne.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Rozwiąż równanie

W każdym przykładzie przyrównujemy wyrazenie pod wartością bezwzględną do zera, dzięki czemu {premium}wyznaczymy wartość x, która podzieli zbiór liczb rzeczywistych na dwa przedziały, w których rozpatrujemy równość. 

 

 

 

 

 

 

Ostatecznie możemy zapisać rozwiązanie równania:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Otrzymaliśmy sprzeczność, więc w pierwszym przedziale równanie nie ma rozwiązania.

 

 

 

 

Ostatecznie możemy zapisać rozwiązanie równania:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ostatecznie możemy zapisać rozwiązanie równania:

 

 

 

 

 

 

 

Otrzymaliśmy sprzeczność, więc w drugim przedziale równanie nie ma rozwiązania.

 

Ostatecznie możemy zapisać rozwiązanie równania:

 

 

 

 

Uprośćmy najpierw równanie:

 

Teraz przyrównujemy wyrażenie pod wartością bezwzględną do zera:

 

Wracamy do rozwiązania równania:

 

Otrzymaliśmy równość, która jest zawsze prawdziwa, więc wszystkie liczby z drugiego przedziału spełniają tą nierówność. 

 

 

 

 

 

`\ \ \ x^2=0

W każdym przykładzie przyrównujemy wyrazenie pod wartością bezwzględną do zera, dzięki czemu wyznaczymy wartość x, która podzieli zbiór liczb rzeczywistych na dwa przedziały, w których rozpatrujemy równość. 

 

 

 

 

 

 

Ostatecznie możemy zapisać rozwiązanie równania:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Otrzymaliśmy sprzeczność, więc w pierwszym przedziale równanie nie ma rozwiązania.

 

 

 

 

Ostatecznie możemy zapisać rozwiązanie równania:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ostatecznie możemy zapisać rozwiązanie równania:

 

 

 

 

 

 

 

Otrzymaliśmy sprzeczność, więc w drugim przedziale równanie nie ma rozwiązania.

 

Ostatecznie możemy zapisać rozwiązanie równania:

 

 

 

 

Uprośćmy najpierw równanie:

 

Teraz przyrównujemy wyrażenie pod wartością bezwzględną do zera:

 

Wracamy do rozwiązania równania:

 

Otrzymaliśmy równość, która jest zawsze prawdziwa, więc wszystkie liczby z drugiego przedziału spełniają tą nierówność. 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ostatecznie możemy zapisać rozwiązanie równania:

 

 

Wskaż...

 

 

Czyli jest to trójkąt równoramienny.

 

Punkty tworzące odcinek DE mają współrzędne:

 

 

Odcinek DE w trójkącie DEF będzie odpowiadać albo odcinkowi AB albo odcinkowi AC z trójkąta ABC, w takim razie możliwe położenia są przedstawione na rysunku:

 

 

 

 

Prosta jest postaci y=ax+b, a więc:

prosta przechodzi przez punkty F1 i D, czyli podstawmy współrzędne punktów pod równanie prostej y=ax+b:

Zsumujmy:

 

a więc prosta będzie miała postać:

 

 

Prosta zawierająca punkty D i F2 będzie miała przeciwny współczynnik do prostej y1 oraz będzie przesunięta o 2 jednostki w górę, jej wzór to:

 

 

Prosta zawierająca punkty F4 i D, podstawmy współrzędne punktów pod równanie prostej y=ax+b:

Zsumujmy:

 

 

Prosta zawierająca punkty D i F3 będzie miała przeciwny współczynnik do prostej y1 oraz będzie przesunięta o 8 jednostki w górę, jej wzór to:

Zapisz w postaci x^k

Pomnóż równania układu przez wskazane liczby

 

Podstawiamy do pierwszego równania ostatniego układu: 

 

 

 

 

Oblicz f(-2)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  

  

Wyznacz n, jeśli:

 

 {premium}


 

 


 

 


 

 

Wyznacz przedział będący zbiorem

 

{premium}

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Dany jest trójkąt równoboczny...

 

Skorzystamy z twierdzenia cosinusów:

 

 

 

 

Z twierdzenia sinusów:

 

 

 

 

Z tablic odczytujemy, że:

 

A więc:

 

Stąd:

 

Odpowiedź B

Wśród liczb wskaż te, które spełniają nierówność

Nierówność jest spełniona. 

 

 

 

Nierówność jest spełniona. 

 

 

 

Nierówność jest spełniona. 

 

 

 

Nierówność nie jest spełniona. 

 

 

 

Podaj przykład liczby zapisanej w postaci

 

Musimy więc znaleźć liczbę dodatnią mającą rozwinięcie dziesiętne okresowe, mniejszą od 0,05. Takie liczby to na przykład:

 

 

 

 

Musimy więc znaleźć liczbę mającą rozwinięcie dziesiętne okresowe, większą od 0,1 i mniejszą od 1. Takie liczby to na przykład: