Styczna do okręgu i okręgi styczne - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Styczna do okręgu i okręgi styczne

Styczna jest to prosta, która styka się z okręgiem w dokładnie jednym punkcie i tworzy z promieniem kąt prosty. Typowa styczna do okręgu wygląda następująco:

Okręgi mogą jeszcze być styczne między sobą, i to na dwa sposoby.

Okręgi styczne zewnętrznie:

Odległość środków to suma ich promieni.
Okręgi styczne wewnętrznie:

Odległością środków jest różnica promieni.

Okręgi w układzie współrzędnych

Podstawowy wzór na okrąg to:

$$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$$

x i y to nasze zmienne, jak w każdym wzorze.

r - promień

a,b - współrzędne środka okręgu

Pozostaje nam jeszcze znajomość wzoru stycznej do okręgu w danym punkcie.

Wzór na styczną przechodzącą przez punkt:

$$(x_a-a)(x-a)+(y_b-b)(y-b)=r^2$$

Doszły nam dwie zmienne:

$$x_a$$ oraz $$y_b$$

Reprezentują one współrzędne punktu przez który przechodzi styczna.

Przykład:

Napisz równanie stycznej do okręgu w punkcie A, gdy:

$$A=(2,-3)$$, o: $$(x-1)^2+(y+6)^2=10$$

W tym wypadku mamy tylko i wyłącznie podstawienie do wzoru

$$(x_a-a)(x-a)+(y_b-b)(y-b)=r^2$$

Znamy:

$$x_a=2$$

$$a=1$$

$$y_b=-3$$

$$b=-6$$

$$r=√{10}$$

Pozostaje nam tylko podstawienie:

$$(x_a-a)(x-a)+(y_b-b)(y-b)=r^2$$

$$(2-1)(x-1)+(-3+6)(y+6)=10$$

I obliczamy:

$$x-1+3(y+6)=10$$

$$x-1+3y+18=10$$

$$x+3y+7=0$$

Uwaga!

- W przypadku tego działu mamy do czynienia z geometrią analityczną, nie warto tutaj robić za dużo rysunków w przeciwieństwie do typowej planimetrii

- Wzór na okręg jest zawarty w karcie wzorów maturalnych

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Dane są punkty S = (2, 1), M = (6, 4). Równanie okręgu o środku S i przechodzącego przez punkt M ma postać.

Zobacz rozwiązanie

Do równania okręgu potrzebujemy znać jego środek oraz promień, i oczywiście nie mamy promienia.

Wzór ogólny:

$$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$$

Gdzie nasze:

$$a=2$$

$$b=1$$

więc:

$$(x-2)^2+(y-1)^2=r^2$$

Wiemy, że okrąg przechodzi przez punkt M(6;4), a 6 i 4 to nic innego jak współrzędne, więc:

$$x=6$$

$$y=4$$

Podmieniamy:

$$(6-2)^2+(4-1)^2=r^2$$

$$4^2+3^2=r^2$$

$$16+9=r^2$$

$$r^2=25$$

Z racji, że i tak we wzorze występuje promień do kwadratu nie musimy obliczać r Wzór tego okręgu to:

$$(x-2)^2+(y-1)^2=25$$

Zadanie 2.

Sprawdź czy okręgi o danych wzorach są styczne:

$$O_1:$$ $$x^2+y^2=2$$

$$O_2:$$ $$(x-2)^2+(y-2)^2=25$$

Zobacz rozwiązanie

Aby określić styczność okręgów musimy znać ich odległość ich środków. Przypominamy wzór ogólny:

$$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$$

Środek zajmuje punkty A i B.

Więc dla wzoru pierwszego:

$$O_1:$$ $$x^2+y^2=2$$

$$a_1=0$$

$$b_1=0$$

ponieważ mamy tylko $$x^2+y^2$$

Dla wzoru drugiego:

$$a_2=2$$

$$b_2=2$$

Musimy teraz wyznaczyć odległość tych punktów od siebie, mieliśmy do tego specjalny wzór:

$$d=√{(a_2-a_1 )^2+(b_2-b_1 )^2}$$

Czyli wzór kradziony z twierdzenia Pitagorasa:

$$d=√{2^2+2^2}=√8 $$

Teraz musimy sprawdzić długości promieni:

$$r_1=√2$$

$$r_2=√{25}=5$$

Jak widać ani suma promieni ani ich różnica nie da nam $$√8$$.

$$r_1-r_2≠√8$$

$$r_1+r_2≠√8$$

Zatem okręgi nie są do siebie styczne.

Spis treści

Rozwiązane zadania

Dane są punkty ...

`A=(-6;2)`

`B=(3;8)`

`C=(7;-6)`

`P=(x;y)`

`vec(AB)=vec(CP)`

`vec(AB)=[3+6;8-2]=[9;6]`

`vec(CP)=[x-7;y+6]`

`[9;6]=[x-7;y+6]`

`x-7=9\ implies\ x=16`

`y+6=6\ implies\ y=0`

`P=(16;0)`

`"Odpowiedź D."`

Oblicz długości boków AB i AD ...

`cos 54^@=x/10`

`x~~10*cos 54^@=10*0,5878=5,878`

`ul(|AB|=15+x~~15+5,878=20,878`

`sin 54^@=h/10`

`h=10*sin 54^@~~10*0,8090=8,09`

`h=a`

`ul(a~~8,09`

`alpha=/_DCA`

`tg \ alpha=a/15=(8,09)/15~~0,54`

`ul(alpha~~28^@`

Na podstawie wykresu stwierdzono, że...

Sprawdzamy, czy zdanie `"I."` jest prawdziwe:

Obliczamy, o ile wzrosła ilość wysłanych SMS-ów:

`30-5=25`

Obliczamy, jaki to procent:

`25/5*100%=500%`

W takim razie zdanie `"I."` jest fałszywe.

Ponieważ tylko jedna odpowiedź jest prawidłowa, to prawidłowa odpowiedź to `"A."`

Zaznacz na płaszczyźnie ...

`a)`

`{(y-x<=0),(2x+y-7>=0):}`

`{(y<=x),( y >=-2x+7):}`

`A=(18;5)`

`B=(24;2)`

Zauważmy, że zaznaczony zbiór punktów (najciemnieszy odcień) spełniający układ równań jest zbiorem wypukłym.

Odcinek AB ma punkt wspólny z brzegiem zbioru, gdy jeden z punktów należy do wnętrza tego zbioru a drugi nie.

Zauważmy, że oba punkty należą do wnętrza zaznaczonego zbioru,

zatem odcinek nie ma punktu wspólnego z brzegiem rozważanego zbioru.

`b)`

`{(y<=1/3x+1),(x-3y<=9):}`

`{(y<=1/3x+1),(y>=x/3-3):}`

`A=(18;5)`

`{(5<=1/3*18+1),(5>=18/3-3):}`

`{(5<=7),(5>=3):}`

`B=(24;2)`

`{(2<=1/3*24+1),(2>=24/3-3):}`

`{(2<=9),(2>=5):}`

Punkt A spełnia układ równań, (należy do ciemnego obszaru na rysunku, który jest zbiorem rozwiązań układu) natomiast

punkt B nie spełnia układu równań. (czyli nie leży w obrębie ciemnego obszaru)

Odcinek AB ma punkt wspólny z brzegiem zbioru, gdy jeden z punktów należy do wnętrza tego zbioru a drugi nie.

Rozważany odcinek AB ma punkt wspólny z brzegiem obszaru.

`c)`

`{(x-4>=0),(x+2y>=6):}`

`{(x >=4),( y>=-x/2+3):}`

`A=(18;5)`

`B=(24;2)`

Zauważmy, że zaznaczony zbiór punktów (najciemnieszy odcień) spełniający układ równań jest zbiorem wypukłym.

Odcinek AB ma punkt wspólny z brzegiem zbioru, gdy jeden z punktów należy do wnętrza tego zbioru a drugi nie.

Zauważmy, że oba punkty należą do wnętrza zaznaczonego zbioru,

zatem odcinek nie ma punktu wspólnego z brzegiem rozważanego zbioru.

Funkcja f przyjmuje wartości ujemne ...

`f(x)<0\ "dla"\ x in (-3;1)`

`g(x)=f(x-5)`

Wykres funkcji g, to wykres funkcji f przesunięty o 5 jednostek w prawo.

`g(x)<0\ "dla"\ (-3+5;1+5)=(2;6)`

`4 in (2;6)`

`"Odpowiedź D."`

W trójkącie, którego kąty mają miary...

Rysunek poglądowy:

Trójkąt ABD jest równoramienny:

`|BD| = h`

Jako iż jest to trójkąt o miarach kątów 90o, 45o, 45o to:

`tg \ 60^o = h/(|CD|)`

`|CD| = h/(tg \ 60^o) = h/(sqrt3) = (sqrt3h)/3`

Zatem:

`1 - sqrt3/3`

`x - 1`

`x = 1/(sqrt3/3) = 3/sqrt3 *sqrt3/sqrt3 = (3sqrt3)/3 = sqrt3`

Stosunek to:

`sqrt3 :1`

Utwórz zaprzeczenie zdania i oceń jego wartość

Zaprzeczenie zdania:

Liczba 6 nie jest liczbą parzystą.