Styczna do okręgu i okręgi styczne - matura-podstawowa - Baza Wiedzy
Styczna do okręgu i okręgi styczne
Styczna jest to prosta, która styka się z okręgiem w dokładnie jednym punkcie i tworzy z promieniem kąt prosty. Typowa styczna do okręgu wygląda następująco:
Okręgi mogą jeszcze być styczne między sobą, i to na dwa sposoby.
Okręgi mogą jeszcze być styczne między sobą, i to na dwa sposoby.
- Okręgi styczne zewnętrznie:
Odległość środków to suma ich promieni.
- Okręgi styczne wewnętrznie:
Odległością środków jest różnica promieni.
Okręgi w układzie współrzędnych
Podstawowy wzór na okrąg to:
$$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$$
x i y to nasze zmienne, jak w każdym wzorze.
r - promień
a,b - współrzędne środka okręgu
Pozostaje nam jeszcze znajomość wzoru stycznej do okręgu w danym punkcie.
Wzór na styczną przechodzącą przez punkt:
$$(x_a-a)(x-a)+(y_b-b)(y-b)=r^2$$
Doszły nam dwie zmienne:
$$x_a$$ oraz $$y_b$$
Reprezentują one współrzędne punktu przez który przechodzi styczna.
Przykład:
Napisz równanie stycznej do okręgu w punkcie A, gdy:
$$A=(2,-3)$$, o: $$(x-1)^2+(y+6)^2=10$$
W tym wypadku mamy tylko i wyłącznie podstawienie do wzoru
$$(x_a-a)(x-a)+(y_b-b)(y-b)=r^2$$
Znamy:
$$x_a=2$$
$$a=1$$
$$y_b=-3$$
$$b=-6$$
$$r=√{10}$$
Pozostaje nam tylko podstawienie:
$$(x_a-a)(x-a)+(y_b-b)(y-b)=r^2$$
$$(2-1)(x-1)+(-3+6)(y+6)=10$$
I obliczamy:
$$x-1+3(y+6)=10$$
$$x-1+3y+18=10$$
$$x+3y+7=0$$
- Wzór na okręg jest zawarty w karcie wzorów maturalnych
$$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$$
x i y to nasze zmienne, jak w każdym wzorze.
r - promień
a,b - współrzędne środka okręgu
Pozostaje nam jeszcze znajomość wzoru stycznej do okręgu w danym punkcie.
Wzór na styczną przechodzącą przez punkt:
$$(x_a-a)(x-a)+(y_b-b)(y-b)=r^2$$
Doszły nam dwie zmienne:
$$x_a$$ oraz $$y_b$$
Reprezentują one współrzędne punktu przez który przechodzi styczna.
Przykład:
Napisz równanie stycznej do okręgu w punkcie A, gdy:
$$A=(2,-3)$$, o: $$(x-1)^2+(y+6)^2=10$$
W tym wypadku mamy tylko i wyłącznie podstawienie do wzoru
$$(x_a-a)(x-a)+(y_b-b)(y-b)=r^2$$
Znamy:
$$x_a=2$$
$$a=1$$
$$y_b=-3$$
$$b=-6$$
$$r=√{10}$$
Pozostaje nam tylko podstawienie:
$$(x_a-a)(x-a)+(y_b-b)(y-b)=r^2$$
$$(2-1)(x-1)+(-3+6)(y+6)=10$$
I obliczamy:
$$x-1+3(y+6)=10$$
$$x-1+3y+18=10$$
$$x+3y+7=0$$
Uwaga!
- W przypadku tego działu mamy do czynienia z geometrią analityczną, nie warto tutaj robić za dużo rysunków w przeciwieństwie do typowej planimetrii- Wzór na okręg jest zawarty w karcie wzorów maturalnych
Zadania powtórzeniowe
Zadanie 1.
Dane są punkty S = (2, 1), M = (6, 4). Równanie okręgu o środku S i przechodzącego przez punkt M ma postać.
Do równania okręgu potrzebujemy znać jego środek oraz promień, i oczywiście nie mamy promienia.
Wzór ogólny:
$$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$$
Gdzie nasze:
$$a=2$$
$$b=1$$
więc:
$$(x-2)^2+(y-1)^2=r^2$$
Wiemy, że okrąg przechodzi przez punkt M(6;4), a 6 i 4 to nic innego jak współrzędne, więc:
$$x=6$$
$$y=4$$
Podmieniamy:
$$(6-2)^2+(4-1)^2=r^2$$
$$4^2+3^2=r^2$$
$$16+9=r^2$$
$$r^2=25$$
Z racji, że i tak we wzorze występuje promień do kwadratu nie musimy obliczać r Wzór tego okręgu to:
$$(x-2)^2+(y-1)^2=25$$
Zadanie 2.
Sprawdź czy okręgi o danych wzorach są styczne:
$$O_1:$$ $$x^2+y^2=2$$
$$O_2:$$ $$(x-2)^2+(y-2)^2=25$$
Aby określić styczność okręgów musimy znać ich odległość ich środków. Przypominamy wzór ogólny:
$$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$$
Środek zajmuje punkty A i B.
Więc dla wzoru pierwszego:
$$O_1:$$ $$x^2+y^2=2$$
$$a_1=0$$
$$b_1=0$$
ponieważ mamy tylko $$x^2+y^2$$
Dla wzoru drugiego:
$$a_2=2$$
$$b_2=2$$
Musimy teraz wyznaczyć odległość tych punktów od siebie, mieliśmy do tego specjalny wzór:
$$d=√{(a_2-a_1 )^2+(b_2-b_1 )^2}$$
Czyli wzór kradziony z twierdzenia Pitagorasa:
$$d=√{2^2+2^2}=√8 $$
Teraz musimy sprawdzić długości promieni:
$$r_1=√2$$
$$r_2=√{25}=5$$
Jak widać ani suma promieni ani ich różnica nie da nam $$√8$$.
$$r_1-r_2≠√8$$
$$r_1+r_2≠√8$$
Zatem okręgi nie są do siebie styczne.
Spis treści
Rozwiązane zadania
Suma pól dwóch sześciokątów foremnych...
Pole sześciokąta foremnego o boku długości a jest równe sześciokrotnemu polu trójkąta równobocznego o boku długości a:
`P_("sz") = 6P = 6*(a^2sqrt3)/4 = (6a^2sqrt3)/4 = (3a^2sqrt3)/2`
Obwód mniejszego z tych sześciokątów wynosi 12:
`O = 12`
`6a=12`
`a = 2`
A więc pole mniejszego sześciokąta foremnego wynosi:
`P_("sz") = (3*2^2sqrt3)/2 = 3*2sqrt3 = 6sqrt3`
Zatem:
`P_("sz") + P = 102sqrt3`
`6sqrt3 + P = 102 sqrt3`
`P = 96sqrt3 \ ["cm"^2]`
Stosunek pól sześciokątów foremnych jest równy kwadratowi skali podobieństwa:
`P/P_("sz") = k^2`
`(96sqrt3)/(6sqrt3) = k^2`
`k^2 = 16`
`k = 4`
Skoro większy do mniejszego jest podobny w skali 4 to mniejszy do większego jest podobny w skali 1/4
Odpowiedź C
Oblicz pole wycinka koła, korzystając z danych
a)
Pole wycinka koła obliczamy ze wzoru:
`P=(alpha)/(360^o)*pir^2`
`P=(270^o)/(360^o)*pir^2=3/4*pi8^2=ul(ul(48pi))`
b)
Obliczymy obwód okręgu, gdyż znając długość łuku i długość całego okręgu możemy obliczyć kąt rozwarcia tego łuku
`O=2*pi*10=20pi`
`(alpha)/(360^o)=(8pi)/(20pi)=4/10`
`P=(alpha)/(360^o)*pir^2=4/10*pi10^2=ul(ul(40pi))`
c)
Do obliczenia pola wycinka brakuje nam długości promienia. Obliczamy promień okręgu wstawiając dane do wzoru na długość łuku.
`d=alpha/(360^o)*2pir`
`12pi= (108^o)/(360^o)*2pir` `/:pi`
`12= (108^o)/(360^o)*2r`
`12= 3/5r` `/*5/3`
`12*5/3=r`
`r=60/3=20`
`P=(alpha)/(360^o) * pir^2= (108^o)/(360^o)pi20^2=27/90*400 pi=ul(ul(120pi))`
Wskaż zdania prawdziwe.
A. Każde dwa trójkąty równoboczne są podobne - Prawda
Np. Cecha KKK bo miary kątów są równe.
B. Każde dwa trójkąty prostokątne są podobne - Nieprawda
Kontrprzykład:
Trójkąt prostokątny o bokach długości 3, 4, 5 mający miary kątów ostrych 30° i 60°.
Trójkąt prostokątny o bokach długości 1, 1, √2 mający miary kątów ostrych 45° i 45°.
C. Każde dwa prostokąty są podobne - Nieprawda
Kontrprzykład
Prostokąt o bokach długości 1, 2.
Prostokąt o bokach długości 1, 3.
D. Każde dwa romby są podobne - Nieprawda
Kontrprzykład
Romb o boku 4, który jest kwadratem.
Romb o boku 4, który nie jest kwadratem.
E. Każde dwa kwadraty są podobne - Prawda
Np Cecha KKK bo miary kątów są równe.
Na wykresie przedstawiono
`a)`
Cena akcji w dniu 19.11.2007 wynosiła 51,54 zł. Obliczamy, ile akcji można było kupić tgo dnia za 20 00 zł:
`20\ 000:51,54=388,048...~~388`
Najkorzystniej byłoby sprzedać akcje, gdy ich cena była najwyższa (zaraz po 29.11) za około 55,78 zł. Wtedy kwota uzyskana ze sprzedaży akcji byłaby równa:
`388*55,78=21\ 642,78\ "zł"`
Czyli zysk ze sprzedaży akcji byłby równy około:
`21\ 642,78\ "zł"-20\ 000\ "zł"=1642,78\ "zł"`
Najmniej korzystna byłaby sprzedaż akcji 16.01, gdy cena akcji wynosiła 43,05 zł. Wtedy za sprzedaż 388 akcji dostalibyśmy:
`388*43,05=16\ 703,40\ "zł"`
Czyli strata byłaby równa:
`20\ 000-16\ 703,40=3296,60\ "zł"`
`b)`
Wystarczy kupić akcje i sprzedać je po wyższej cenie, na przykład:
- kupić akce 19.11 i sprzedać 29.11
- kupić akcje 16.01 i sprzedać 18.02
Aby osiągnąć największy zysk, nalezy zainwestować kwotę 20 000 zł w kupno akcji dnia 16.01. Wtedy można kupić następującą liczbę akcji:
`20\ 000:43,05=464,576...~~464`
(zaokrąglamy w dół, bo nie starczy pieniędzy na zakup 465 akcji).
Następnie sprzedać akcje tuż przed 05.02, kiedy cena jest najwyższa i wynosi około:
`(51,54+47,29):2=98,83:2=49,415~~49,42\ "zł"`
Wtedy za sprzedaż 464 akcji uzyskamy kwotę:
`464*49,42=22\ 930,88\ "zł"`
Czyli zyskamy łącznie:
`22\ 930,88\ "zł"-20\ 000\ "zł"=2930,88\ "zł"`
Oblicz x i y
`a)`
`2sqrt6=(asqrt3)/2\ \ \ \ |*2`
`asqrt3=4sqrt6\ \ \ \ |:sqrt3`
`a=4sqrt6:sqrt3=4sqrt(6:3)=4sqrt2`
`|BC|=a=4sqrt2`
`|CD|=1/2a=1/2*4sqrt2=2sqrt2`
`|CD|=|AD|=x=2sqrt2`
`y=xsqrt2=2sqrt2*sqrt2=2*2=4`
`b)`
`y=4sqrt2`
`|BD|=|BC|=4`
`4=1/2a\ \ \ =>\ \ \ a=4*2=8\ \ \ =>\ \ \ |AB|=(8sqrt3)/2=4sqrt3`
`x=|AD|=|AB|-|DB|=4sqrt3-4=4(sqrt3-1)`
Dane są funkcje f(x)
Zapiszmy wzory funkcji, które otrzymalibyśmy w przekształceniach podanych w podpunktach.
`A.\ y=-f(x)=-sqrt(x+3)ne g(x)`
`B.\ y=-f(-x)=-sqrt(-x+3)ne g(x)`
`C.\ y=f(-x)=sqrt(-x+3)=sqrt(3-x)=g(x)`
`D.`
Odbijając względem osi x, a następnie względem osi y, otrzymamy to samo, co odbijając względem początku układu współrzędnych.
`odp.\ C`
Lądy na ziemi zajmują obszar
Powierzchnie zostały wyrażone w jednakowych jednostkach, więc od razu możemy obliczyć, jakim procentem powierzchni lądów na Ziemi jest powierzchnia Europy:
`(10,4)/(149,1)=104/1491=0,069751...=6,9751...%~~6,98%`
Oblicz sumę odwrotności rozwiązań...
`x^2 - 2sqrt2x+1 =0`
`Delta = (-2sqrt2)^2 -4*1*1 = 4*2 - 4 = 4`
`sqrtDelta = sqrt4 = 2`
`x_1 = (-(-2sqrt2) -2)/2 = sqrt2-1`
`x_1 = sqrt2+1`
Odwrotnościami rozwiązań są liczby:
`1/(x_1) + 1/(x_2) = 1/(sqrt2-1)*(sqrt2+1)/(sqrt2+1) + 1/(sqrt2+1)*(sqrt2-1)/(sqrt2-1) = (sqrt2+1)/(2-1) + (sqrt2-1)/(2-1) = sqrt2+1+sqrt2-1 = 2sqrt2`
W układzie współrzędnych sporządź wykresy ...
`a)`
`f(x)=-x^2`
`g(x)=-1/2 x^2`
`h(x)=-1/4 x^2`
`D_(f)=RR`
`D_(g)=RR`
`D(h)=RR`
`ZW_(f)=(-oo;0]`
`ZW_(g)=(-oo;0]`
`ZW_(h)=(-oo;0]`
`X_(f)-"zbiór miejsc zerowych funkcji f"`
`X_(f)={0}`
`X_(g)={0}`
`X_(h)={0}`
`"Funkcja f jest rosnąca w przedziale"\ (-oo;0]\ "i malejąca w przedziale"\ [0;+oo).`
`"Funkcja f jest rosnąca w przedziale"\ (-oo;0]\ "i malejąca w przedziale"\ [0;+oo).`
`"Funkcja f jest rosnąca w przedziale"\ (-oo;0]\ "i malejąca w przedziale"\ [0;+oo).`
`f_(max)=0`
`g_(max)=0`
`h_(max)=0`
`"Oś Y jest osią symetri funkcji f,g i h."`
`"Żadna funkcja kwadratowa określona na"\ D=RR\ "nie jest różnowartościowa."`
`"Jedno z ramion paraboli funkcji f,g i h znajduję się w III ćwiartce układu współrzędnych. "`
`"Pozostałe ramię znajduje się w III ćwiartce. Ogólnie - ramiona paraboli są zwrócone w dół."`
`b)`
`f(x)=-x^2`
`g(x)=-2x^2`
`h(x)=-3x^2`
`D_(f)=RR`
`D_(g)=RR`
`D(h)=RR`
`ZW_(f)=(-oo;0]`
`ZW_(g)=(-oo;0]`
`ZW_(h)=(-oo;0]`
`X_(f)-"zbiór miejsc zerowych funkcji f"`
`X_(f)={0}`
`X_(g)={0}`
`X_(h)={0}`
`"Funkcja f jest rosnąca w przedziale"\ (-oo;0]\ "i malejąca w przedziale"\ [0;+oo).`
`"Funkcja f jest rosnąca w przedziale"\ (-oo;0]\ "i malejąca w przedziale"\ [0;+oo).`
`"Funkcja f jest rosnąca w przedziale"\ (-oo;0]\ "i malejąca w przedziale"\ [0;+oo).`
`f_(max)=0`
`g_(max)=0`
`h_(max)=0`
`"Oś Y jest osią symetri funkcji f,g i h."`
`"Żadna funkcja kwadratowa określona na"\ D=RR\ "nie jest różnowartościowa."`
`"Jedno z ramion paraboli funkcji f,g i h znajduję się w III ćwiartce układu współrzędnych. "`
`"Pozostałe ramię znajduje się w III ćwiartce. Ogólnie - ramiona paraboli są zwrócone w dół."`
`"Jeżeli współczynnik przy"\ x^2\ "jest ujemny to ramiona paraboli są zwrócone w dół."`
`"Jeżeli współczynnik przy"\ x^2\ "jest dodatni to ramiona paraboli są zwrócone w górę."`
Dany jest wykres funkcji f...
Niech `y=f(x).`Gdy przesuwamy wykres funkcji o wektor `[p,\ q],`to wzór funkcji, którą otrzymaliśmy
po tym przekształceniu wyraża się wzorem `y=f(x-p)+q.`
`"a)"\ y=f(x+2),` zatem `p=-2,\ q=0`
Oznacza to, że by uzyskać wykres tej funkcji, należy przesunąć wykres funkcji `f(x)` o wektor `[-2,\ 0],`
czyli równolegle do osi `x` o `2` jednostki w lewo.
`"b)"\ y=f(x)+2,` zatem `p=0,\ q=2`
Oznacza to, że by uzyskać wykres tej funkcji, należy przesunąć wykres funkcji `f(x)` o wektor `[0,\ 2],`
czyli równolegle do osi `y` o `2` jednostki do góry.
`"c)"\ y=f(x-1),` zatem `p=1,\ q=0`
Oznacza to, że by uzyskać wykres tej funkcji, należy przesunąć wykres funkcji `f(x)` o wektor `[1,\ 0],`
czyli równolegle do osi `x` o `1` jednostkę w prawo.
`"d)"\ y=f(x)-1,` zatem `p=0,\ q=-1`
Oznacza to, że by uzyskać wykres tej funkcji, należy przesunąć wykres funkcji `f(x)` o wektor `[0,\ -1],`
czyli równolegle do osi `y` o `1` jednostkę do dołu.
© 2018 Odrabiamy.pl