Styczna do okręgu i okręgi styczne - matura-podstawowa - Baza Wiedzy
Styczna do okręgu i okręgi styczne
Styczna jest to prosta, która styka się z okręgiem w dokładnie jednym punkcie i tworzy z promieniem kąt prosty. Typowa styczna do okręgu wygląda następująco:
Okręgi mogą jeszcze być styczne między sobą, i to na dwa sposoby.
Okręgi mogą jeszcze być styczne między sobą, i to na dwa sposoby.
- Okręgi styczne zewnętrznie:
Odległość środków to suma ich promieni.
- Okręgi styczne wewnętrznie:
Odległością środków jest różnica promieni.
Okręgi w układzie współrzędnych
Podstawowy wzór na okrąg to:
$$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$$
x i y to nasze zmienne, jak w każdym wzorze.
r - promień
a,b - współrzędne środka okręgu
Pozostaje nam jeszcze znajomość wzoru stycznej do okręgu w danym punkcie.
Wzór na styczną przechodzącą przez punkt:
$$(x_a-a)(x-a)+(y_b-b)(y-b)=r^2$$
Doszły nam dwie zmienne:
$$x_a$$ oraz $$y_b$$
Reprezentują one współrzędne punktu przez który przechodzi styczna.
Przykład:
Napisz równanie stycznej do okręgu w punkcie A, gdy:
$$A=(2,-3)$$, o: $$(x-1)^2+(y+6)^2=10$$
W tym wypadku mamy tylko i wyłącznie podstawienie do wzoru
$$(x_a-a)(x-a)+(y_b-b)(y-b)=r^2$$
Znamy:
$$x_a=2$$
$$a=1$$
$$y_b=-3$$
$$b=-6$$
$$r=√{10}$$
Pozostaje nam tylko podstawienie:
$$(x_a-a)(x-a)+(y_b-b)(y-b)=r^2$$
$$(2-1)(x-1)+(-3+6)(y+6)=10$$
I obliczamy:
$$x-1+3(y+6)=10$$
$$x-1+3y+18=10$$
$$x+3y+7=0$$
- Wzór na okręg jest zawarty w karcie wzorów maturalnych
$$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$$
x i y to nasze zmienne, jak w każdym wzorze.
r - promień
a,b - współrzędne środka okręgu
Pozostaje nam jeszcze znajomość wzoru stycznej do okręgu w danym punkcie.
Wzór na styczną przechodzącą przez punkt:
$$(x_a-a)(x-a)+(y_b-b)(y-b)=r^2$$
Doszły nam dwie zmienne:
$$x_a$$ oraz $$y_b$$
Reprezentują one współrzędne punktu przez który przechodzi styczna.
Przykład:
Napisz równanie stycznej do okręgu w punkcie A, gdy:
$$A=(2,-3)$$, o: $$(x-1)^2+(y+6)^2=10$$
W tym wypadku mamy tylko i wyłącznie podstawienie do wzoru
$$(x_a-a)(x-a)+(y_b-b)(y-b)=r^2$$
Znamy:
$$x_a=2$$
$$a=1$$
$$y_b=-3$$
$$b=-6$$
$$r=√{10}$$
Pozostaje nam tylko podstawienie:
$$(x_a-a)(x-a)+(y_b-b)(y-b)=r^2$$
$$(2-1)(x-1)+(-3+6)(y+6)=10$$
I obliczamy:
$$x-1+3(y+6)=10$$
$$x-1+3y+18=10$$
$$x+3y+7=0$$
Uwaga!
- W przypadku tego działu mamy do czynienia z geometrią analityczną, nie warto tutaj robić za dużo rysunków w przeciwieństwie do typowej planimetrii- Wzór na okręg jest zawarty w karcie wzorów maturalnych
Zadania powtórzeniowe
Zadanie 1.
Dane są punkty S = (2, 1), M = (6, 4). Równanie okręgu o środku S i przechodzącego przez punkt M ma postać.
Do równania okręgu potrzebujemy znać jego środek oraz promień, i oczywiście nie mamy promienia.
Wzór ogólny:
$$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$$
Gdzie nasze:
$$a=2$$
$$b=1$$
więc:
$$(x-2)^2+(y-1)^2=r^2$$
Wiemy, że okrąg przechodzi przez punkt M(6;4), a 6 i 4 to nic innego jak współrzędne, więc:
$$x=6$$
$$y=4$$
Podmieniamy:
$$(6-2)^2+(4-1)^2=r^2$$
$$4^2+3^2=r^2$$
$$16+9=r^2$$
$$r^2=25$$
Z racji, że i tak we wzorze występuje promień do kwadratu nie musimy obliczać r Wzór tego okręgu to:
$$(x-2)^2+(y-1)^2=25$$
Zadanie 2.
Sprawdź czy okręgi o danych wzorach są styczne:
$$O_1:$$ $$x^2+y^2=2$$
$$O_2:$$ $$(x-2)^2+(y-2)^2=25$$
Aby określić styczność okręgów musimy znać ich odległość ich środków. Przypominamy wzór ogólny:
$$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$$
Środek zajmuje punkty A i B.
Więc dla wzoru pierwszego:
$$O_1:$$ $$x^2+y^2=2$$
$$a_1=0$$
$$b_1=0$$
ponieważ mamy tylko $$x^2+y^2$$
Dla wzoru drugiego:
$$a_2=2$$
$$b_2=2$$
Musimy teraz wyznaczyć odległość tych punktów od siebie, mieliśmy do tego specjalny wzór:
$$d=√{(a_2-a_1 )^2+(b_2-b_1 )^2}$$
Czyli wzór kradziony z twierdzenia Pitagorasa:
$$d=√{2^2+2^2}=√8 $$
Teraz musimy sprawdzić długości promieni:
$$r_1=√2$$
$$r_2=√{25}=5$$
Jak widać ani suma promieni ani ich różnica nie da nam $$√8$$.
$$r_1-r_2≠√8$$
$$r_1+r_2≠√8$$
Zatem okręgi nie są do siebie styczne.
Spis treści
Rozwiązane zadania
Oblicz wartości funkcji trygonometrycznych...
Rysunek:
Obliczmy punkty przecięcia z osiami:
`f(x) = 2/3x - 6`
`f(0) = -6`
Zatem bok AC ma długość:
`|AC| = 6`
`f(x) = 0`
`2/3x - 6 = 0`
`2/3x = 6`
`x = 6*3/2`
`x = 9`
Zatem bok AB ma długość:
`|AB| = 9`
Z twierdzenia Pitagorasa:
`|AB|^2 + |AC|^2 = |BC|^2`
`81 + 36 = |BC|^2`
`|BC|^2 = 117`
`|BC| = sqrt117 = sqrt9*sqrt13 = 3sqrt13`
`sin alpha = (|AB|)/(|BC|) = 9/(3sqrt13) = 3/sqrt13 *sqrt13/sqrt13 = (3sqrt13)/13`
`cos alpha = (|AC|)/(|BC|) = 6/(3sqrt13) = 2/sqrt13 *sqrt13/sqrt13 = (2sqrt13)/13`
`tg \ alpha = (|AB|)/(|AC|) = 9/6 = 3/2`
`sin beta = cos alpha = (2sqrt13)/13`
`cos beta = sin alpha = (3sqrt13)/13`
`tg \ beta = 2/3`
Zaznacz dany zbiór
Wykaż, że czworokąt ABCD...
Sprawdźmy czy długości boków są równe:
`|stackrel(->)(AB)| = sqrt((-1-(-5))^2 +(4-2)^2) = sqrt(4^2 +2^2) = sqrt(16+4) = sqrt20`
`|stackrel(->)(BC)| = sqrt((2-(-1))^2 +(10-4)^2) = sqrt(3^2 + 6^2) = sqrt(9 + 36) = sqrt45`
Boki AB i BC mają różne długości a więc czworokąt nie jest rombem.
Wyznacz trójmian kwadratowy o pierwiastkach
`a)`
`x_w=(x_1+x_2)/2=(-2+4)/2=2/2=1`
`y_w=-6`
`y_w=f(x_w)\ \ \ =>\ \ \ f(1)=-6`
`x_1=-2,\ \ x_2=4\ \ -\ \ m.\ zerowe\ \ \ =>\ \ \ f(x)=a(x+2)(x-4)`
`f(1)=-6`
`a*(1+2)*(1-4)=-6`
`a*3*(-3)=-6`
`a*(-9)=-6`
`a=(-6)/(-9)=6/9=2/3`
`ul(ul(f(x)=2/3(x+2)(x-4)))`
`b)`
`x_w=(-6+0)/2=(-6)/2=-3`
`y_w=8`
`y_w=f(x_w)\ \ \ =>\ \ \ f(-3)=8`
`x_1=-6,\ x_2=0\ \ -\ \ m.\ zerowe\ \ \ =>\ \ \ f(x)=ax(x+6)`
`f(-3)=8`
`a*(-3)*(-3+6)=8`
`a*(-3)*3=8`
`a*(-9)=8`
`a=-8/9`
`ul(ul(f(x)=-8/9x(x+6)))`
`c)`
`x_w=(1+7)/2=8/2=4`
`y_w=2`
`y_w=f(x_w)\ \ \ =>\ \ \ f(4)=2`
`x_1=1,\ \ x_2=7\ \ \ -\ \ m.\ zerowe\ \ \ =>\ \ \ f(x)=a(x-1)(x-7)`
`f(4)=2`
`a*(4-1)*(4-7)=2`
`a*3*(-3)=2`
`a*(-9)=2`
`a=-2/9`
`ul(ul(f(x)=-2/9(x-1)(x-7)))`
Krople wody tryskające z fontanny ...
`"Zauważmy, że parabole"\ f_1,g_1\ "i"\ h_1\ "są symetryczne do parabol"\ f,g\ "i"\ h\ "względem prostej"\ x=0.`
`f(x)=-4/3x^2+4x`
`g(x)=-1/2x^2+2x`
`h(x)=-2/9x^2+2/3x`
`f_1(x)=f(-x)=-4/3(-x)^2+4(-x)=-4/3x^2-4x`
`W=(p;q)`
`p=(-b)/(2a)=4/(-(8/3))=-12/8= -3/2`
`q=f(p)=-4/3*9/4+4*3/2=-3+6=3`
`W=(3/2;3)`
`g_1(x)=g(-x)=-1/2x^2-2x`
`p=2/-1=-2`
`f(-2)=-2+4=2`
`W=(-2;2)`
`h_1(x)=h(-x)=-2/9x^2-2/3x`
`p=(2/3)/(-4/9)=2/3*(-9/4)=-3/2`
`f(-3/2)=-2/9*9/4-2/3*(-3/2)=-1/2+1=1/2`
`W=(-3/2;1/2)`
Wykres funkcji f(x)= ...
`f(x)=2x^2`
`a)`
`g(x)-"funkcja, któej wykresem jest wykres funkcji f przesunięty o wektor"\ vec v`
`vec v=[0;-2]`
`g(x)=2x^2-2`
`ZW_(g)=[-2;+oo)`
`b)`
`vecv=[4;0]`
`g(x)=2(x-4)^2`
`ZW_(g)=[0;+oo)`
`c)`
`vec v=[-3;2]`
`g(x)=2(x+3)^2+2`
`ZW_(g)=[2;+oo)`
`d)`
`vecv=[sqrt2;-1]`
`g(x)=2(x-sqrt2)^2-1`
`ZW_(g)=[-1;+oo)`
Rozwiąż równanie.
`a)`
`9|x|-(4x+7)=28`
`9x-4x-7=28\ \ \vv\ \ \-9x-4x-7=28`
`5x=35\ \ \vv\ \ \-13x=35`
`x=7\ \ \vv\ \ \x=-35/13`
`x in {-35/12;7}`
`b)`
`4x-|7x-8|=-25`
`4x-7x+8=-25\ \ \vv\ \ \4x+7x-8=-25`
`-3x=-33\ \ \vv\ \ \11x=-17`
`x=11\ \ \vv\ \ \x=-17/11`
`x in {-17/11;11}`
`c)`
`4|x+1|=10-|2x+6|`
`x+1=0\ implies\ x=-1`
`2x+6=0\ implies\ x=-3`
`"I".\ x in (-oo;-3)`
`-4x-4=10+2x+6`
`6x=-20`
`x=-20/6=-10/3`
`"II".\ x in [-1;-3]`
`-4x-4=10-2x-6`
`2x=-20`
`x=-10 notin [-1;-3]`
`"III."\ x in (-3;+oo)`
`4x+4=10-2x-6`
`6x=0`
`x=0`
`ul(x in {-10/3;0}`
Wykonaj działania.
`"a)"\ (7/strike9^1*strike63^7/strike36^1)*strike72^2/14=strike49^7*2/strike14^2=7*strike2^1/strike2^1=7`
`ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ )`
`"b)"\ 77/34:11/17-1 2/5*2 1/7=strike77^7/strike34^2*strike17^1/strike11^1-strike7^1/strike5^1*strike15^3/strike7^1=7/2-3=3 1/2-3=1/2 `
`ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ )`
`"c)"\ (4 2/7:1 1/14-3 2/5*1,25)/(2/3-1)=(30/7:15/14-17/5*1 1/4)/(-1/3)=(strike30^2/strike7^1*strike14^2/strike15^1-17/strike5^1*strike5^1/4)/(-1/3)=`
`\ \ \ =(4-17/4)*(-3)=(4-4 1/4)*(-3)=-1/4*(-3)=3/4`
Obliczamy
`a)\ 0,2^5=0,00032`
`b)\ (-0,2)^6=0,2^6=0,000064`
`c)\ (-0,4)^3=-0,064`
Dana jest funkcja f(x) ...
`f(x)=-1/2x+1`
`a)`
`f(x)=-1/2x+1`
`ZW=[-2;4]`
`f-"liniowa, zatem monotoniczna"`
`-1/2x+1=-2`
`x=6`
`-1/2x+1=4`
`x=-6`
`ul(D=[-6;6]`
`f(x)>=0`
`-1/2x+1>=0`
`x>=2`
`f-"malejąca"`
`ul(x in (-oo;2]\ \ \wedge\ \ \D=[-6;2]`
`b)`
`f(x)=-1/2x+1`
`ZW=(-2;0)cup[1;4]`
`-1/2x+1=-2`
`x=6`
`-1/2x+1=0`
`x=2`
`-1/2x+1=1`
`x=0`
`-1/2x+1=4`
`x=-6`
`ul(D=[-6;0]cup(2;6)`
`f(x)>=0`
`-1/2x+1>=0`
`x>=2`
`f-"malejąca"`
`ul(x in (-oo;2]\ \ wedge\ \ \D=[-6;0]`
`c)`
`f(x)=-1/2x+1`
`ZW={-2}cup(2;4)`
`-1/2x+1=-2`
`x=6`
`-1/2x+1=2`
`x=-2`
`-1/2x+1=4`
`x=-6`
`ul(D=(-6;-2)cup{6}`
`f(x)>=0`
`-1/2x+1>=0`
`x>=2`
`f-"malejąca"`
`ul(x in (-oo;2]\ \ \ wedge\ \ \D=(-6;-2)`
© 2018 Odrabiamy.pl