Styczna do okręgu i okręgi styczne - matura-podstawowa - Baza Wiedzy
Styczna do okręgu i okręgi styczne
Styczna jest to prosta, która styka się z okręgiem w dokładnie jednym punkcie i tworzy z promieniem kąt prosty. Typowa styczna do okręgu wygląda następująco:
Okręgi mogą jeszcze być styczne między sobą, i to na dwa sposoby.
Okręgi mogą jeszcze być styczne między sobą, i to na dwa sposoby.
- Okręgi styczne zewnętrznie:
Odległość środków to suma ich promieni.
- Okręgi styczne wewnętrznie:
Odległością środków jest różnica promieni.
Okręgi w układzie współrzędnych
Podstawowy wzór na okrąg to:
$$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$$
x i y to nasze zmienne, jak w każdym wzorze.
r - promień
a,b - współrzędne środka okręgu
Pozostaje nam jeszcze znajomość wzoru stycznej do okręgu w danym punkcie.
Wzór na styczną przechodzącą przez punkt:
$$(x_a-a)(x-a)+(y_b-b)(y-b)=r^2$$
Doszły nam dwie zmienne:
$$x_a$$ oraz $$y_b$$
Reprezentują one współrzędne punktu przez który przechodzi styczna.
Przykład:
Napisz równanie stycznej do okręgu w punkcie A, gdy:
$$A=(2,-3)$$, o: $$(x-1)^2+(y+6)^2=10$$
W tym wypadku mamy tylko i wyłącznie podstawienie do wzoru
$$(x_a-a)(x-a)+(y_b-b)(y-b)=r^2$$
Znamy:
$$x_a=2$$
$$a=1$$
$$y_b=-3$$
$$b=-6$$
$$r=√{10}$$
Pozostaje nam tylko podstawienie:
$$(x_a-a)(x-a)+(y_b-b)(y-b)=r^2$$
$$(2-1)(x-1)+(-3+6)(y+6)=10$$
I obliczamy:
$$x-1+3(y+6)=10$$
$$x-1+3y+18=10$$
$$x+3y+7=0$$
- Wzór na okręg jest zawarty w karcie wzorów maturalnych
$$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$$
x i y to nasze zmienne, jak w każdym wzorze.
r - promień
a,b - współrzędne środka okręgu
Pozostaje nam jeszcze znajomość wzoru stycznej do okręgu w danym punkcie.
Wzór na styczną przechodzącą przez punkt:
$$(x_a-a)(x-a)+(y_b-b)(y-b)=r^2$$
Doszły nam dwie zmienne:
$$x_a$$ oraz $$y_b$$
Reprezentują one współrzędne punktu przez który przechodzi styczna.
Przykład:
Napisz równanie stycznej do okręgu w punkcie A, gdy:
$$A=(2,-3)$$, o: $$(x-1)^2+(y+6)^2=10$$
W tym wypadku mamy tylko i wyłącznie podstawienie do wzoru
$$(x_a-a)(x-a)+(y_b-b)(y-b)=r^2$$
Znamy:
$$x_a=2$$
$$a=1$$
$$y_b=-3$$
$$b=-6$$
$$r=√{10}$$
Pozostaje nam tylko podstawienie:
$$(x_a-a)(x-a)+(y_b-b)(y-b)=r^2$$
$$(2-1)(x-1)+(-3+6)(y+6)=10$$
I obliczamy:
$$x-1+3(y+6)=10$$
$$x-1+3y+18=10$$
$$x+3y+7=0$$
Uwaga!
- W przypadku tego działu mamy do czynienia z geometrią analityczną, nie warto tutaj robić za dużo rysunków w przeciwieństwie do typowej planimetrii- Wzór na okręg jest zawarty w karcie wzorów maturalnych
Zadania powtórzeniowe
Zadanie 1.
Dane są punkty S = (2, 1), M = (6, 4). Równanie okręgu o środku S i przechodzącego przez punkt M ma postać.
Do równania okręgu potrzebujemy znać jego środek oraz promień, i oczywiście nie mamy promienia.
Wzór ogólny:
$$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$$
Gdzie nasze:
$$a=2$$
$$b=1$$
więc:
$$(x-2)^2+(y-1)^2=r^2$$
Wiemy, że okrąg przechodzi przez punkt M(6;4), a 6 i 4 to nic innego jak współrzędne, więc:
$$x=6$$
$$y=4$$
Podmieniamy:
$$(6-2)^2+(4-1)^2=r^2$$
$$4^2+3^2=r^2$$
$$16+9=r^2$$
$$r^2=25$$
Z racji, że i tak we wzorze występuje promień do kwadratu nie musimy obliczać r Wzór tego okręgu to:
$$(x-2)^2+(y-1)^2=25$$
Zadanie 2.
Sprawdź czy okręgi o danych wzorach są styczne:
$$O_1:$$ $$x^2+y^2=2$$
$$O_2:$$ $$(x-2)^2+(y-2)^2=25$$
Aby określić styczność okręgów musimy znać ich odległość ich środków. Przypominamy wzór ogólny:
$$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$$
Środek zajmuje punkty A i B.
Więc dla wzoru pierwszego:
$$O_1:$$ $$x^2+y^2=2$$
$$a_1=0$$
$$b_1=0$$
ponieważ mamy tylko $$x^2+y^2$$
Dla wzoru drugiego:
$$a_2=2$$
$$b_2=2$$
Musimy teraz wyznaczyć odległość tych punktów od siebie, mieliśmy do tego specjalny wzór:
$$d=√{(a_2-a_1 )^2+(b_2-b_1 )^2}$$
Czyli wzór kradziony z twierdzenia Pitagorasa:
$$d=√{2^2+2^2}=√8 $$
Teraz musimy sprawdzić długości promieni:
$$r_1=√2$$
$$r_2=√{25}=5$$
Jak widać ani suma promieni ani ich różnica nie da nam $$√8$$.
$$r_1-r_2≠√8$$
$$r_1+r_2≠√8$$
Zatem okręgi nie są do siebie styczne.
Spis treści
Rozwiązane zadania
Środek okręgu opisanego na trójkącie...
Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku poniżej:{premium}
Trójkąty AOE, ADB, EOD i EDC są przystające na podstawie cechy bkb, więc mają równe pola. Zatem pole trójkąta ABC jest równe sumie pól czterech trójkątów prostokątnych o przyprostokątnych długości 2 i 3.
Odp. Pole trójkąta jest równe 12 cm2.
Okrąg F1 o równaniu ...
{premium}
Porównajmy odpowiednie współrzędne.
Porównajmy odpowiednie współrzędne.
Wyznacz x z równania...
Pole trójkąta jest równe 20...
Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku poniżej:
{premium}
Mamy dane:
Pole trójkąta ABC możemy obliczyć następująco:
lub następująco:
Powyższe wzory opisują pole tego samego trójkąta. Zatem:
Skorzystamy z jeszcze jednego wzoru na pole trójkąta (z sinusem) i wyznaczymy długość boku a:
Obliczamy długość boku b:
Odp. Boki przy kącie rozwartym mają długość 8 cm i 10 cm.
Rozwiąż nierówność
Kąt BAC ma miarę 30 ...
{premium}
Trójkąt ACE ma kąty o mierze 45, 45 i 90 stopni. Wynika stąd, że ACE jest równoramienny.
Skorzystamy z następującej tożsamości trygonometrycznej:
Z Pitagorasa:
Z własności trójkąta prostokątnego równoramiennego:
Wiemy, że:
W tabeli przedstawiono wyniki sondażu
Obliczamy, o ile punktów procentowych wzrosło poparcie dla partii Y:
ODP: Poparcie dla partii Y wzrosło o 4 punkty procentowe.
Teraz obliczamy, o{premium} ile procent wzrosła liczba osób popierających partię Y:
ODP: Liczba osób popierających partię Y wzrosła o 25%
Obliczamy, o ile punktów procentowych zmalało poparcie dla partii Z:
ODP: Poparcie dla partii Z zmalało o 2 punkty procentowe.
Obliczamy, o ile procent zmalała liczba osób popierających partię Z:
ODP: Liczba osób popierających partię Z zmalała o 20%.
Jaka jest największa liczba trzycyfrowa podzielna przez a) 2
Aby liczba dzieliła się przez 2, jej ostatnią cyfrą musi być 0, 2, 4, 6 lub 8.
Największa liczba trzycyfrowa podzielna przez 2 to{premium} 998.
Aby liczba dzieliła się przez 5, jej ostatnią cyfrą musi być 0 lub 5.
Największa liczba trzycyfrowa podzielna przez 5 to 995.
Aby liczba dzieliła się przez 6, musi dzielić się przez 2 i przez 3. Oznacza to, że ostatnią cyfrą tej liczby musi być 0, 2, 4, 6 lub 8, a suma cyfr tej liczby musi dzielić się przez 3.
Sprawdzamy zatem, czy kolejne liczby trzycyfrowe podzielne przez 2 (zaczynając od największej liczby) dzielą się przez 3:
998 - suma cyfr to 9+9+8=26 - liczba nie dzieli się przez 3
996 - suma cyfr to 9+9+6=24 - liczba dzieli się przez 3
Zatem największą liczbą trzycyfrową podzielną przez 6 jest 996.
Aby liczba dzieliła się przez 15, musi dzielić się przez 3 i 5. Oznacza to, że ostatnią cyfra tej liczby musi być 0 lub 5, a suma jej cyfr musi dzielić się przez 3. Sprawdzamy zatem, czy kolejne liczby trzycyfrowe podzielne przez 5 (zaczynając od największej liczby) dzielą się przez 3:
995 - suma cyfr to 9+9+5=23 - liczba nie dzieli się przez 3
990 - suma cyfr to 9+9+0=18 - liczba dzieli się przez 3
Zatem największą liczbą trzycyfrową podzielną przez 15 jest 990.
Na podstawie wykresu funkcji...
a) Przesuwamy wykres funkcji o 2 jednostki w lewo i 2 jednostki w górę.
b) Przesuwamy wykres funkcji o 2 jednostki w prawo i 1 jednostkę w dół.
c) Przesuwamy wykres o 4 jednostki w prawo i 4 jednostki w dół.
Wśród 180 studentów przeprowadzono ankietę
© 2019 Odrabiamy.pl