Styczna do okręgu i okręgi styczne - matura-podstawowa - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Styczna do okręgu i okręgi styczne - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Styczna do okręgu i okręgi styczne

Styczna jest to prosta, która styka się z okręgiem w dokładnie jednym punkcie i tworzy z promieniem kąt prosty. Typowa styczna do okręgu wygląda następująco:

img01

Okręgi mogą jeszcze być styczne między sobą, i to na dwa sposoby.
  1. Okręgi styczne zewnętrznie:

    img02

    Odległość środków to suma ich promieni.
     
  2. Okręgi styczne wewnętrznie:

    img03

    Odległością środków jest różnica promieni.
 

Okręgi w układzie współrzędnych

Podstawowy wzór na okrąg to:

$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$

x i y to nasze zmienne, jak w każdym wzorze.

r - promień

a,b - współrzędne środka okręgu

Pozostaje nam jeszcze znajomość wzoru stycznej do okręgu w danym punkcie.

Wzór na styczną przechodzącą przez punkt:

$(x_a-a)(x-a)+(y_b-b)(y-b)=r^2$

Doszły nam dwie zmienne:

$x_a$ oraz $y_b$

Reprezentują one współrzędne punktu przez który przechodzi styczna.

Przykład:

Napisz równanie stycznej do okręgu w punkcie A, gdy:

$A=(2,-3)$, o: $(x-1)^2+(y+6)^2=10$

W tym wypadku mamy tylko i wyłącznie podstawienie do wzoru

$(x_a-a)(x-a)+(y_b-b)(y-b)=r^2$

Znamy:

$x_a=2$

$a=1$

$y_b=-3$

$b=-6$

$r=√{10}$

Pozostaje nam tylko podstawienie:

$(x_a-a)(x-a)+(y_b-b)(y-b)=r^2$

$(2-1)(x-1)+(-3+6)(y+6)=10$

I obliczamy:

$x-1+3(y+6)=10$

$x-1+3y+18=10$

$x+3y+7=0$
 

Uwaga!

- W przypadku tego działu mamy do czynienia z geometrią analityczną, nie warto tutaj robić za dużo rysunków w przeciwieństwie do typowej planimetrii

- Wzór na okręg jest zawarty w karcie wzorów maturalnych
 

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Dane są punkty S = (2, 1), M = (6, 4). Równanie okręgu o środku S i przechodzącego przez punkt M ma postać.

Do równania okręgu potrzebujemy znać jego środek oraz promień, i oczywiście nie mamy promienia.

Wzór ogólny:

$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$

Gdzie nasze:

$a=2$

$b=1$

więc:

$(x-2)^2+(y-1)^2=r^2$

Wiemy, że okrąg przechodzi przez punkt M(6;4), a 6 i 4 to nic innego jak współrzędne, więc:

$x=6$

$y=4$

Podmieniamy:

$(6-2)^2+(4-1)^2=r^2$

$4^2+3^2=r^2$

$16+9=r^2$

$r^2=25$

Z racji, że i tak we wzorze występuje promień do kwadratu nie musimy obliczać r Wzór tego okręgu to:

$(x-2)^2+(y-1)^2=25$

Zadanie 2.

Sprawdź czy okręgi o danych wzorach są styczne:

$O_1:$ $x^2+y^2=2$

$O_2:$ $(x-2)^2+(y-2)^2=25$
 

Aby określić styczność okręgów musimy znać ich odległość ich środków. Przypominamy wzór ogólny:

$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$

Środek zajmuje punkty A i B.

Więc dla wzoru pierwszego:

$O_1:$ $x^2+y^2=2$

$a_1=0$

$b_1=0$

ponieważ mamy tylko $x^2+y^2$

Dla wzoru drugiego:

$a_2=2$

$b_2=2$

Musimy teraz wyznaczyć odległość tych punktów od siebie, mieliśmy do tego specjalny wzór:

$d=√{(a_2-a_1 )^2+(b_2-b_1 )^2}$

Czyli wzór kradziony z twierdzenia Pitagorasa:

$d=√{2^2+2^2}=√8 $

Teraz musimy sprawdzić długości promieni:

$r_1=√2$

$r_2=√{25}=5$

Jak widać ani suma promieni ani ich różnica nie da nam $√8$.

$r_1-r_2≠√8$

$r_1+r_2≠√8$

Zatem okręgi nie są do siebie styczne.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Suma dwóch kątów trójkąta jest równa trzeciemu...

 kąty trójkąta

Suma dwóch kątów trójkąta jest równa trzeciemu kątowi. Stąd:

 {premium}

 

Suma kątów w trójkącie jest równa  Stąd:

Podstawiamy  

 

 

 

 

Ustaliliśmy, że jeden kąt trójkąta ma miarę  zatem trójkąt jest prostokątny, co należało dowieść.

Naszkicuj wykres funkcji, która każdej liczbie ...

a) Zauważmy, że:

 

      {premium}

 

  

 

 

 

Wykres tej funkcji:


b) Zauważmy, że:

 

 

 

 

 

 

 

 

Wykres tej funkcji:

Rozwiąż układ równań. Podaj...

a)

  

 

Zastosujmy metodę podstawiania. 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  

 

 

Czyli rozwiązaniem układu równań są pary liczb:

   

 

    

 

Wyznaczyliśmy punkty wspólne prostej   oraz okręgu     

      

 


 b)

 

 

Dodajmy stronami oba równania:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Podstawmy wyznaczoną wartość x do drugiego równania:

 

 

 

 

 

 

 

 

Czyli rozwiązaniem równania są pary liczb:

 

 

 

 

 

 

Wyznaczyliśmy punkty przecięcia się okręgu opisanego równaniem   z prostymi   

 

(Zauważmy, że:

 

 

 )

 

 


c)

 

 

Popatrzmy na drugie równanie:

 

Mamy tutaj do czynienia z wartością bezwzględną. Ten podpunkt będziemy musieli więc rozbić na dwa przypadki: 1)  , oraz 2)               

 

 1)   

 

  

 

  

 

Zastosujmy metodę podstawiania:  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Podstawmy x do jednego z równań i wyznaczmy y:

  

 

 

 

A więc dla tego przypadku rozwiązaniami są pary liczb:

 

Oraz

 

 

 

2)

  

 

 

  

 

Podstawmy y z drugiego równania do pierwszego równania: 

 

 

        

  

 

 

 

 

 

 

  

 

   - to rozwiązanie odpada, ponieważ rozpatrujemy przedział   

 

 

 

   

 

A więc dla tego przypadku rozwiązaniem jest para liczb:

 

 

 

Wyznaczyliśmy punkty wspólne okręgu o równaniu   oraz łamanej opisanej równaniem   

 

 

 


d)

  

 

 

 

 

 

 

 

  

 

Podstawmy y z drugiego równania do pierwszego równania:

    

 

 

 

  

    

 

 

 

 

 

 

       

 

Wyznaczmy y:

 

 

A więc rozwiązaniem układu równań jest para liczb:

 

 

Wyznaczyliśmy punkt wspólny okręgu o równaniu   oraz okręgu o równaniu  

 

 


e)

 

 

 

 

Dodajmy stronami oba równania:

 

 

 

 

 

 

 

 

Podstawmy y do jednego z równań:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A więc parami liczb spełniającymi ten układ równań są:

   

Oraz:

 

 

 

 


f)

      

 

 

 

Dodajmy stronami oba równania:

       

 

 

 

 

 

 

 

Podstawmy zmienną y do jednego z równań:  

  

 

 

 

 

 

  

 

   

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A więc rozwiązaniem układu równań są pary liczb:

   

   

Oraz:

 

 

 

 

Wyznaczyliśmy punkty wspólne okręgów o równaniach      oraz     

 

 

 

  

Liczbę 2 przedstaw jako sumę takich dwóch składników...

Oznaczmy te składniki przez x1, x2. Wtedy:

 

{premium}  

 

Suma sześcianów:

 

 

Rozpatrzmy funkcję:

 

Parabola ma ramiona skierowane ku górze a więc najmniejsza wartość znajduje się w wierzchołku ,czyli:

 

 

A więc:

 

Przedstawienie liczby 2 w postaci sumy dwóch składników tak aby suma ich sześcianów była jak najmniejsza.

 

Punkty A(2,1) i B(8,4) są wierzchołkami...

Oznaczmy współrzędne wierzchołka C jako:

 

 

Wyznaczmy równanie prostej AB:

 

 

 

{premium}  

 

Podstawmy wyliczoną wartość pod drugie równanie:

 

 

 

 

 

Postać ogólna:

 

 

 

Wysokość poprowadzona z wierzchołka C na bok AB jest równa odległości punktu C od prostej AB:

 

Stąd:

  

 

 

 

 

 

A więc:

 

Zaznacz w układzie współrzędnych część płaszczyzny ...

 

Liczba  spełnia warunek:

 

Sprawdźmy "skrajne" przypadki.

 

 

Szkicujemy wykresy tych funkcji i zaznaczamy odpowiedni obszar. {premium}


 

Liczba  spełnia warunek:

 


Mamy więc:

 

 

Sprawdźmy "skrajne" przypadki.

 

 

Szkicujemy wykresy tych funkcji i zaznaczamy odpowiedni obszar. 


 

Liczba  spełnia warunek:

 


Czyli:

 

 

 

 

Sprawdźmy "skrajne" przypadki.

 

 

Szkicujemy wykresy tych funkcji i zaznaczamy odpowiedni obszar. 


 

Liczba  spełnia warunek:

 


Mamy więc:

 


Czyli:

 

 


Zatem:

 

Sprawdźmy "skrajne" przypadki.

 

 

 

 

Szkicujemy wykresy tych funkcji i zaznaczamy odpowiedni obszar. 

Dana jest funkcja f określona ...

 

{premium}  

 

 

 

 

 

 

 

Oceń, czy poniższe zdania...

a) Prawda, liczby naturalne to nieskończony zbiór {0,1,2,3,4,...} 

Liczba 0 jest nieujemne ani niedodatnie a każda liczba większa od niego jest dodatnia.
Zatem każda liczba naturalna jest nieujemna.

zapis symboliczny:

 

 

b) Prawda, dowolna ujemna liczba całkowita nie jest liczbą naturalną.

zapis symboliczny:

 

 

c) Fałsz, kontrprzykład:

Weźmy liczbę -2, liczba przeciwna do niej to:

 

A więc liczba przeciwna do niej jest dodatnia.

zapis symboliczny:

{premium}  

 

d) Prawda, Tą liczbą jest liczba 1, bo:

 

 

 

zapis symboliczny:

 

 

e) Prawda, tą liczbą jest 0, bo:

 

 

 

zapis symboliczny:

 

f) Fałsz, kontrprzykład:

 

 

zapis symboliczny:

 

Rozwiąż równanie

 

{premium}  

 

 

 

 

 

 

  

 

 

 

 

     

Dla x=-2 1/2 oblicz

 

 

{premium}