Styczna do okręgu i okręgi styczne - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Styczna do okręgu i okręgi styczne

Styczna jest to prosta, która styka się z okręgiem w dokładnie jednym punkcie i tworzy z promieniem kąt prosty. Typowa styczna do okręgu wygląda następująco:

img01

Okręgi mogą jeszcze być styczne między sobą, i to na dwa sposoby.
  1. Okręgi styczne zewnętrznie:

    img02

    Odległość środków to suma ich promieni.
     
  2. Okręgi styczne wewnętrznie:

    img03

    Odległością środków jest różnica promieni.
 

Okręgi w układzie współrzędnych

Podstawowy wzór na okrąg to:

$$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$$

x i y to nasze zmienne, jak w każdym wzorze.

r - promień

a,b - współrzędne środka okręgu

Pozostaje nam jeszcze znajomość wzoru stycznej do okręgu w danym punkcie.

Wzór na styczną przechodzącą przez punkt:

$$(x_a-a)(x-a)+(y_b-b)(y-b)=r^2$$

Doszły nam dwie zmienne:

$$x_a$$ oraz $$y_b$$

Reprezentują one współrzędne punktu przez który przechodzi styczna.

Przykład:

Napisz równanie stycznej do okręgu w punkcie A, gdy:

$$A=(2,-3)$$, o: $$(x-1)^2+(y+6)^2=10$$

W tym wypadku mamy tylko i wyłącznie podstawienie do wzoru

$$(x_a-a)(x-a)+(y_b-b)(y-b)=r^2$$

Znamy:

$$x_a=2$$

$$a=1$$

$$y_b=-3$$

$$b=-6$$

$$r=√{10}$$

Pozostaje nam tylko podstawienie:

$$(x_a-a)(x-a)+(y_b-b)(y-b)=r^2$$

$$(2-1)(x-1)+(-3+6)(y+6)=10$$

I obliczamy:

$$x-1+3(y+6)=10$$

$$x-1+3y+18=10$$

$$x+3y+7=0$$
 

Uwaga!

- W przypadku tego działu mamy do czynienia z geometrią analityczną, nie warto tutaj robić za dużo rysunków w przeciwieństwie do typowej planimetrii

- Wzór na okręg jest zawarty w karcie wzorów maturalnych
 

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Dane są punkty S = (2, 1), M = (6, 4). Równanie okręgu o środku S i przechodzącego przez punkt M ma postać.

Do równania okręgu potrzebujemy znać jego środek oraz promień, i oczywiście nie mamy promienia.

Wzór ogólny:

$$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$$

Gdzie nasze:

$$a=2$$

$$b=1$$

więc:

$$(x-2)^2+(y-1)^2=r^2$$

Wiemy, że okrąg przechodzi przez punkt M(6;4), a 6 i 4 to nic innego jak współrzędne, więc:

$$x=6$$

$$y=4$$

Podmieniamy:

$$(6-2)^2+(4-1)^2=r^2$$

$$4^2+3^2=r^2$$

$$16+9=r^2$$

$$r^2=25$$

Z racji, że i tak we wzorze występuje promień do kwadratu nie musimy obliczać r Wzór tego okręgu to:

$$(x-2)^2+(y-1)^2=25$$

Zadanie 2.

Sprawdź czy okręgi o danych wzorach są styczne:

$$O_1:$$ $$x^2+y^2=2$$

$$O_2:$$ $$(x-2)^2+(y-2)^2=25$$
 

Aby określić styczność okręgów musimy znać ich odległość ich środków. Przypominamy wzór ogólny:

$$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$$

Środek zajmuje punkty A i B.

Więc dla wzoru pierwszego:

$$O_1:$$ $$x^2+y^2=2$$

$$a_1=0$$

$$b_1=0$$

ponieważ mamy tylko $$x^2+y^2$$

Dla wzoru drugiego:

$$a_2=2$$

$$b_2=2$$

Musimy teraz wyznaczyć odległość tych punktów od siebie, mieliśmy do tego specjalny wzór:

$$d=√{(a_2-a_1 )^2+(b_2-b_1 )^2}$$

Czyli wzór kradziony z twierdzenia Pitagorasa:

$$d=√{2^2+2^2}=√8 $$

Teraz musimy sprawdzić długości promieni:

$$r_1=√2$$

$$r_2=√{25}=5$$

Jak widać ani suma promieni ani ich różnica nie da nam $$√8$$.

$$r_1-r_2≠√8$$

$$r_1+r_2≠√8$$

Zatem okręgi nie są do siebie styczne.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Dane są punkty ...

`A=(-6;2)` 

`B=(3;8)`  

`C=(7;-6)` 

`P=(x;y)` 

`vec(AB)=vec(CP)` 

 

`vec(AB)=[3+6;8-2]=[9;6]` 

`vec(CP)=[x-7;y+6]` 

`[9;6]=[x-7;y+6]` 

`x-7=9\ implies\ x=16` 

`y+6=6\ implies\ y=0` 

`P=(16;0)` 

 

`"Odpowiedź D."`  

Oblicz długości boków AB i AD ...

`cos 54^@=x/10`

`x~~10*cos 54^@=10*0,5878=5,878`

 

`ul(|AB|=15+x~~15+5,878=20,878`

 

`sin 54^@=h/10`

`h=10*sin 54^@~~10*0,8090=8,09`

`h=a`

`ul(a~~8,09`

 

`alpha=/_DCA`

`tg \ alpha=a/15=(8,09)/15~~0,54`

`ul(alpha~~28^@`

Na podstawie wykresu stwierdzono, że...

Sprawdzamy, czy zdanie `"I."` jest prawdziwe:

Obliczamy, o ile wzrosła ilość wysłanych SMS-ów:

`30-5=25` 

Obliczamy, jaki to procent:

`25/5*100%=500%` 

W takim razie zdanie `"I."` jest fałszywe. 

Ponieważ tylko jedna odpowiedź jest prawidłowa, to prawidłowa odpowiedź to `"A."`    

Zaznacz na płaszczyźnie ...

`a)` 

`{(y-x<=0),(2x+y-7>=0):}` 

`{(y<=x),( y >=-2x+7):}` 

`A=(18;5)` 

`B=(24;2)`  

Zauważmy, że zaznaczony zbiór punktów (najciemnieszy odcień) spełniający układ równań jest zbiorem wypukłym.

Odcinek AB ma punkt wspólny z brzegiem zbioru, gdy jeden z punktów należy do wnętrza tego zbioru a drugi nie.

Zauważmy, że oba punkty należą do wnętrza zaznaczonego zbioru, 

zatem odcinek nie ma punktu wspólnego z brzegiem rozważanego zbioru.

 

`b)` 

`{(y<=1/3x+1),(x-3y<=9):}`   

`{(y<=1/3x+1),(y>=x/3-3):}` 

`{(y<=1/3x+1),(y>=x/3-3):}`  

`A=(18;5)` 

`{(5<=1/3*18+1),(5>=18/3-3):}` 

`{(5<=7),(5>=3):}`      

`B=(24;2)`  

`{(2<=1/3*24+1),(2>=24/3-3):}`  

`{(2<=9),(2>=5):}` 

Punkt A spełnia układ równań, (należy do ciemnego obszaru na rysunku, który jest zbiorem rozwiązań układu) natomiast

punkt B nie spełnia układu równań. (czyli nie leży w obrębie ciemnego obszaru)

Odcinek AB ma punkt wspólny z brzegiem zbioru, gdy jeden z punktów należy do wnętrza tego zbioru a drugi nie.

Rozważany odcinek AB ma punkt wspólny z brzegiem obszaru.

 

`c)` 

`{(x-4>=0),(x+2y>=6):}`     

`{(x >=4),( y>=-x/2+3):}`      

`A=(18;5)` 

`B=(24;2)`  

Zauważmy, że zaznaczony zbiór punktów (najciemnieszy odcień) spełniający układ równań jest zbiorem wypukłym.

Odcinek AB ma punkt wspólny z brzegiem zbioru, gdy jeden z punktów należy do wnętrza tego zbioru a drugi nie.

Zauważmy, że oba punkty należą do wnętrza zaznaczonego zbioru, 

zatem odcinek nie ma punktu wspólnego z brzegiem rozważanego zbioru.

Funkcja f przyjmuje wartości ujemne ...

`f(x)<0\ "dla"\ x in (-3;1)` 

`g(x)=f(x-5)` 

 

Wykres funkcji g, to wykres funkcji f przesunięty o 5 jednostek w prawo.

`g(x)<0\ "dla"\ (-3+5;1+5)=(2;6)` 

`4 in (2;6)`  

 

`"Odpowiedź D."`   

W trójkącie, którego kąty mają miary...

Rysunek poglądowy:

Trójkąt ABD jest równoramienny:

`|BD| = h` 

Jako iż jest to trójkąt o miarach kątów 90o, 45o, 45o to:

 

 

`tg \ 60^o = h/(|CD|)` 

`|CD| = h/(tg \ 60^o) = h/(sqrt3) = (sqrt3h)/3` 

 

Zatem:

`1 - sqrt3/3`  

`x - 1` 

 

`x = 1/(sqrt3/3) = 3/sqrt3 *sqrt3/sqrt3 = (3sqrt3)/3 = sqrt3` 

 

Stosunek to:

`sqrt3 :1` 

Utwórz zaprzeczenie zdania i oceń jego wartość

a)

Zaprzeczenie zdania:

Liczba 6 nie jest liczbą parzystą.

Wartość logiczna zaprzeczenia:

Fałsz.

 

b)

Zaprzeczenie zdania:

Liczba 17 nie jest podzielna przez 3.

Wartość logiczna zaprzeczenia:

Prawda.

 

c)

Zaprzeczenie zdania:

`5<=7`

Wartość logiczna zaprzeczenia:

Prawda.

 

d)

Zaprzeczenie zdania:

`0>3`

Wartość logiczna zaprzeczenia:

Fałsz

 

e)

Zaprzeczenie zdania:

`13-9!=5`

Wartość logiczna zaprzeczenia:

Prawda.

 

f)

Zaprzeczenie zdania:

`pi>=3`

Wartość logiczna zaprzeczenia:

Prawda.

 

g)

Zaprzeczenie zdania:

`7/17=1`

Wartość logiczna zaprzeczenia:

Fałsz

 

h)

Zaprzeczenie zdania:

`14/16!=2/3`

Wartość logiczna zaprzeczenia:

Prawda.

 

Jeśli równanie ma pierwiastki ...

`a)` 

`3x^2-x-1=0`  

`Delta=1+12=13>0` 

 

`x_1+x_2=-b/a=1/3` 

`x_1*x_2=c/a=-1/3` 

`1/x_1+1/x_2=(x_1+x_2)/(x_1*x_2)=1/3*(-3)=-1` 

 

`b)` 

`-2x^2-8x-3=0` 

`Delta=64-24=40>0` 

 

`x_1+x_2=-b/a=-8/2=-4`  

`x_1*x_2=c/a=-3/-2=3/2`  

`1/x_1+1/x_2=(x_1+x_2)/(x_1*x_2)=-4*2/3=-8/3` 

 

`c)` 

`4x^2+20x-6=0` 

`Delta=400+16*6>0` 

 

`x_1+x_2=-b/a=-20/4=-5`   

`x_1*x_2=c/a=-6/4=-3/2`    

`1/x_1+1/x_2=(x_1+x_2)/(x_1*x_2)=-5*(-2/3)=10/3`  

Wyznacz równanie prostej zawierającej...

a) Wyznaczmy równanie prostej AC:

`{(f(-3)=5),(f(5)=1):}` 

`{(-3a+b=5),(5a+b=1):}` 

`underline(underline(stackrel(\)(-) \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \))` 

`-8a=4` 

`a=-1/2` 

 

`-3*(-1/2)+b=5` 

`3/2 + b = 5` 

`b = 7/2` 

 

`y = -1/2x + 7/2` 

 

Wyznaczmy środek odcinka AC:

`S_("AC") = ((x_A + x_C)/2,(y_A+y_C)/2) = ((-3+5)/2,(5+1)/2) = (1,3)` 

 

Prosta prostopadła do prostej AC przechodząca przez środek odcinka AC przechodzi przez punkty B i D. Jej współczynnik kierunkowy jest równy:

`a_1 * (-1/2) = -1` 

`a_1 = 2` 

 

`y = 2x + b` 

`3=2*1 +b` 

`b = 1` 

 

`y=2x+1` 

 

b) Wyznaczmy równanie prostej AC:

`{(f(1)=-3),(f(9)=5):}` 

`{(a+b=-3),(9a+b=5):}` 

`underline(underline(stackrel(\)(-) \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \))` 

`-8a=-8` 

`a=1` 

 

`9*1+b=5` 

`9 + b = 5` 

`b = -4` 

 

`y = x -4` 

 

Wyznaczmy środek odcinka AC:

`S_("AC") = ((x_A + x_C)/2,(y_A+y_C)/2) = ((1+9)/2,(-3+5)/2) = (5,1)` 

 

Prosta prostopadła do prostej AC przechodząca przez środek odcinka AC przechodzi przez punkty B i D. Jej współczynnik kierunkowy wynosi:

`a_1 * 1 = -1` 

`a_1 = -1` 

 

`y = -x + b` 

`1=-1*5 +b` 

`b = 6` 

 

`y=-x+6` 

Cenę pewnego towaru

`"początkowa cena towaru:"\ \ \ x` 

`"cena po obniżce 25%:"\ \ \ (100%-25%)*x=75%*x=0,75x` 

`"cena po podwyżce o 20%:"\ \ \ (100%+20%)*0,75x=120%*0,75x=1,2*0,75x=0,9x` 

`"cena po podwyżce o 10%:"\ \ \ (100%+10%)*0,9x=110%*0,9x=1,1*0,9x=0,99x` 

 

Ostateczna cena jest niższa od ceny początkowej. Obliczamy, o ile procent zmalała cena, czyli jakim procentem ceny początkowej jest różnica cen:

`(x-0,99x)/x=(0,01x)/x=0,01=1%\ \ \ \ \ \ odp.\ A`