Styczna do okręgu i okręgi styczne - matura-podstawowa - Baza Wiedzy
Styczna do okręgu i okręgi styczne
Okręgi mogą jeszcze być styczne między sobą, i to na dwa sposoby.
- Okręgi styczne zewnętrznie:
Odległość środków to suma ich promieni.
- Okręgi styczne wewnętrznie:
Odległością środków jest różnica promieni.
Okręgi w układzie współrzędnych
$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$
x i y to nasze zmienne, jak w każdym wzorze.
r - promień
a,b - współrzędne środka okręgu
Pozostaje nam jeszcze znajomość wzoru stycznej do okręgu w danym punkcie.
Wzór na styczną przechodzącą przez punkt:
$(x_a-a)(x-a)+(y_b-b)(y-b)=r^2$
Doszły nam dwie zmienne:
$x_a$ oraz $y_b$
Reprezentują one współrzędne punktu przez który przechodzi styczna.
Przykład:
Napisz równanie stycznej do okręgu w punkcie A, gdy:
$A=(2,-3)$, o: $(x-1)^2+(y+6)^2=10$
W tym wypadku mamy tylko i wyłącznie podstawienie do wzoru
$(x_a-a)(x-a)+(y_b-b)(y-b)=r^2$
Znamy:
$x_a=2$
$a=1$
$y_b=-3$
$b=-6$
$r=√{10}$
Pozostaje nam tylko podstawienie:
$(x_a-a)(x-a)+(y_b-b)(y-b)=r^2$
$(2-1)(x-1)+(-3+6)(y+6)=10$
I obliczamy:
$x-1+3(y+6)=10$
$x-1+3y+18=10$
$x+3y+7=0$
Uwaga!
- W przypadku tego działu mamy do czynienia z geometrią analityczną, nie warto tutaj robić za dużo rysunków w przeciwieństwie do typowej planimetrii- Wzór na okręg jest zawarty w karcie wzorów maturalnych
Zadania powtórzeniowe
Zadanie 1.
Dane są punkty S = (2, 1), M = (6, 4). Równanie okręgu o środku S i przechodzącego przez punkt M ma postać.
Do równania okręgu potrzebujemy znać jego środek oraz promień, i oczywiście nie mamy promienia.
Wzór ogólny:
$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$
Gdzie nasze:
$a=2$
$b=1$
więc:
$(x-2)^2+(y-1)^2=r^2$
Wiemy, że okrąg przechodzi przez punkt M(6;4), a 6 i 4 to nic innego jak współrzędne, więc:
$x=6$
$y=4$
Podmieniamy:
$(6-2)^2+(4-1)^2=r^2$
$4^2+3^2=r^2$
$16+9=r^2$
$r^2=25$
Z racji, że i tak we wzorze występuje promień do kwadratu nie musimy obliczać r Wzór tego okręgu to:
$(x-2)^2+(y-1)^2=25$
Zadanie 2.
Sprawdź czy okręgi o danych wzorach są styczne:
$O_1:$ $x^2+y^2=2$
$O_2:$ $(x-2)^2+(y-2)^2=25$
Aby określić styczność okręgów musimy znać ich odległość ich środków. Przypominamy wzór ogólny:
$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$
Środek zajmuje punkty A i B.
Więc dla wzoru pierwszego:
$O_1:$ $x^2+y^2=2$
$a_1=0$
$b_1=0$
ponieważ mamy tylko $x^2+y^2$
Dla wzoru drugiego:
$a_2=2$
$b_2=2$
Musimy teraz wyznaczyć odległość tych punktów od siebie, mieliśmy do tego specjalny wzór:
$d=√{(a_2-a_1 )^2+(b_2-b_1 )^2}$
Czyli wzór kradziony z twierdzenia Pitagorasa:
$d=√{2^2+2^2}=√8 $
Teraz musimy sprawdzić długości promieni:
$r_1=√2$
$r_2=√{25}=5$
Jak widać ani suma promieni ani ich różnica nie da nam $√8$.
$r_1-r_2≠√8$
$r_1+r_2≠√8$
Zatem okręgi nie są do siebie styczne.
Spis treści
Zauważmy na początek, że bo gdyby to trójkąt byłby trójkątem równoramiennym o kącie rozwartym przy podstawie, a taki trójkąt nie istnieje.
Przyjmijmy więc oznaczenia jak na rysunku poniżej:
Mamy dane:
Kąty i to kąty przyległe. Stąd:
{premium}
Obliczamy miarę kąta z sumy kątów dla
Zatem:
Obliczamy miarę kąta z sumy kątów dla
Odp. Kąty trójkąta mają miary:
Proste są równoległe wtedy i tylko wtedy, gdy:
Wypiszemy pary prostych równoległych.{premium}
{premium}
{premium}
Zauważmy, że srebro próby 925 ma 92,5% czystego srebra. {premium}
Zawartość czystego srebra w figurce o masie 240 dag to:
a)
Wykonajmy rysunek pomocniczy.
Z twierdzenia Talesa dla kąta BOD i prostych równoległych AC i BD otrzymujemy równość {premium}
czyli po podstawieniu danych liczbowych mamy
a po uproszczeniu
Z powyższego równania wyznaczamy .
Odpowiedź: Odcinek OA ma długość 4 cm.
b)
Wykonajmy rysunek pomocniczy.
Z twierdzenia Talesa dla kąta BOD i prostych równoległych AC i BD otrzymujemy równość
czyli po podstawieniu danych liczbowych mamy
Z powyższego równania wyznaczamy .
Odpowiedź: Odcinek CD ma długość 12 cm.
c)
Wykonajmy rysunek pomocniczy.
Z wniosku z twierdzenia Talesa dla kąta BOD i prostych równoległych AC i BD otrzymujemy równość
czyli po podstawieniu danych liczbowych mamy
Z powyższego równania wyznaczamy .
Odpowiedź: Odcinek AC ma długość 9 cm.
d)
Wykonajmy rysunek pomocniczy.
Z wniosku z twierdzenia Talesa dla kąta BOD i prostych równoległych AC i BD otrzymujemy równość
czyli po podstawieniu danych liczbowych mamy
a po uproszczeniu
Z powyższego równania wyznaczamy .
Odpowiedź: Odcinek BD ma długość 32 cm.
Proporcjonalnością prostą nazywamy zależność między dwiema wielkościami zmiennymi x, y, określoną wzorem y=a٠x, gdzie a jest liczbą różną od zera, nazywaną współczynnikiem proporcjonalności.
Z powyższej definicji wynika, że{premium} wielkości x i y są proporcjonalne, jeżeli stosunek y/x jest stały, ponieważ:
W takim razie, aby sprawdzić, czy wielkości podane w tabeli są proporcjonalne, wystarczy zbadać, czy dla każdej kolumny stosunek y/x jest równy stale tej samej liczbie. Jeżeli tak, liczba a=y/x będzie współczynnikiem proporcjonalności.
a) Obliczamy stosunek y/x dla każdej kolumny tabeli:
W takim razie podane w tabelkach wielkości x i y są wprost proporcjonalne i a=2/3.
Zależność zmiennej y od zmiennej x jest dana wzorem:
b) Obliczamy stosunek y/x dla każdej kolumny tabeli:
Na podstawie tych dwóch obliczeń możemy już stwierdzić, że wielkości podane w tabeli nie są proporcjonalne, ponieważ w pierwszym przypadku stosunek wielkości y do x jest dodatni, a w drugim - ujemny.
Przykładowy wykres funkcji:
{premium}
a) Symetria względem osi y:
Dla przejrzystości rysunku narysowaliśmy jedynie przekształcenie.
Funkcja jest monotoniczna. Stale dodatnia.
b) Symetria względem początku układu współrzędnych:
Funkcja jest monotoniczna. Stale ujemna.
c) Symetria względem osi x:
Funkcja jest monotoniczna. Stale ujemna.
Książki
Q&A
Premium