Styczna do okręgu i okręgi styczne - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Styczna do okręgu i okręgi styczne

Styczna jest to prosta, która styka się z okręgiem w dokładnie jednym punkcie i tworzy z promieniem kąt prosty. Typowa styczna do okręgu wygląda następująco:

img01

Okręgi mogą jeszcze być styczne między sobą, i to na dwa sposoby.
  1. Okręgi styczne zewnętrznie:

    img02

    Odległość środków to suma ich promieni.
     
  2. Okręgi styczne wewnętrznie:

    img03

    Odległością środków jest różnica promieni.
 

Okręgi w układzie współrzędnych

Podstawowy wzór na okrąg to:

$$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$$

x i y to nasze zmienne, jak w każdym wzorze.

r - promień

a,b - współrzędne środka okręgu

Pozostaje nam jeszcze znajomość wzoru stycznej do okręgu w danym punkcie.

Wzór na styczną przechodzącą przez punkt:

$$(x_a-a)(x-a)+(y_b-b)(y-b)=r^2$$

Doszły nam dwie zmienne:

$$x_a$$ oraz $$y_b$$

Reprezentują one współrzędne punktu przez który przechodzi styczna.

Przykład:

Napisz równanie stycznej do okręgu w punkcie A, gdy:

$$A=(2,-3)$$, o: $$(x-1)^2+(y+6)^2=10$$

W tym wypadku mamy tylko i wyłącznie podstawienie do wzoru

$$(x_a-a)(x-a)+(y_b-b)(y-b)=r^2$$

Znamy:

$$x_a=2$$

$$a=1$$

$$y_b=-3$$

$$b=-6$$

$$r=√{10}$$

Pozostaje nam tylko podstawienie:

$$(x_a-a)(x-a)+(y_b-b)(y-b)=r^2$$

$$(2-1)(x-1)+(-3+6)(y+6)=10$$

I obliczamy:

$$x-1+3(y+6)=10$$

$$x-1+3y+18=10$$

$$x+3y+7=0$$
 

Uwaga!

- W przypadku tego działu mamy do czynienia z geometrią analityczną, nie warto tutaj robić za dużo rysunków w przeciwieństwie do typowej planimetrii

- Wzór na okręg jest zawarty w karcie wzorów maturalnych
 

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Dane są punkty S = (2, 1), M = (6, 4). Równanie okręgu o środku S i przechodzącego przez punkt M ma postać.

Do równania okręgu potrzebujemy znać jego środek oraz promień, i oczywiście nie mamy promienia.

Wzór ogólny:

$$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$$

Gdzie nasze:

$$a=2$$

$$b=1$$

więc:

$$(x-2)^2+(y-1)^2=r^2$$

Wiemy, że okrąg przechodzi przez punkt M(6;4), a 6 i 4 to nic innego jak współrzędne, więc:

$$x=6$$

$$y=4$$

Podmieniamy:

$$(6-2)^2+(4-1)^2=r^2$$

$$4^2+3^2=r^2$$

$$16+9=r^2$$

$$r^2=25$$

Z racji, że i tak we wzorze występuje promień do kwadratu nie musimy obliczać r Wzór tego okręgu to:

$$(x-2)^2+(y-1)^2=25$$

Zadanie 2.

Sprawdź czy okręgi o danych wzorach są styczne:

$$O_1:$$ $$x^2+y^2=2$$

$$O_2:$$ $$(x-2)^2+(y-2)^2=25$$
 

Aby określić styczność okręgów musimy znać ich odległość ich środków. Przypominamy wzór ogólny:

$$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$$

Środek zajmuje punkty A i B.

Więc dla wzoru pierwszego:

$$O_1:$$ $$x^2+y^2=2$$

$$a_1=0$$

$$b_1=0$$

ponieważ mamy tylko $$x^2+y^2$$

Dla wzoru drugiego:

$$a_2=2$$

$$b_2=2$$

Musimy teraz wyznaczyć odległość tych punktów od siebie, mieliśmy do tego specjalny wzór:

$$d=√{(a_2-a_1 )^2+(b_2-b_1 )^2}$$

Czyli wzór kradziony z twierdzenia Pitagorasa:

$$d=√{2^2+2^2}=√8 $$

Teraz musimy sprawdzić długości promieni:

$$r_1=√2$$

$$r_2=√{25}=5$$

Jak widać ani suma promieni ani ich różnica nie da nam $$√8$$.

$$r_1-r_2≠√8$$

$$r_1+r_2≠√8$$

Zatem okręgi nie są do siebie styczne.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Która liczba nie należy do zbioru

 

Do zbioru rozwiązań nie należy liczba 4, więc należy zaznaczyć odpowiedź D.   

Czy zbiory A i B są równe?

{premium}

 

Dla jakich wartości parametru ...

 

 

 

 

 

 

{premium}

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Sprawdź, które z podanych punktów nie należą do wykresu funkcji

 

 

   

Punkt A nie należy do wykresu funkcji f.    

{premium}

 

 

 

 

Punkt B nie należy do wykresu funkcji f. 

 

 

 

 

  

Punkt C należy do wykresu funkcji f. 

 

 

 

  

  

   

Punkt D należy do wykresu funkcji f.

 

 

 

 

  

Punkt E nie należy do wykresu funkcji f    

 

W pewnej grupie osób 40% ma wadę wzroku...

Oznaczmy liczbę osób przez n: Wtedy 40% ma wadę wzroku, czyli 0,4n. Okulary nosi 70% liczby tych osób, liczba osób w okularach to 21:

 

 

 

 

 

Odpowiedź: W tej grupie jest 75 osób.

Linią ciągłą narysowano wykres

`a)\ f(D)=(1,\ 4>>`{premium}

Oblicz:

 

 

 {premium}


 

 


 


 

 

 

Dane są punkty...

Współrzędne wektora AB:

 

Skoro punkty K i L mają dzielić odcinek AB na trzy równe części to odcinek AK będzie trzy razy mniejszy od odcinka AB, a więc wektor AK będzie miał współrzędne:

 

Obliczmy współrzędne punktu K:

  

 

 

Przyrównajmy współrzędne wektorów:

 

 

 

Skupmy się na odcinku KB. Zauważmy, że punkt L będzie dzielił ten odcinek na dwie równe części, a więc punkt L jest środkiem odcinka KB.

 

Jeden z boków prostokąta ma długość 18 cm ...

 

Oznaczmy długość szukanego boku przez x. Aby prostokąty były podobne, musi być prawdziwa

jedna z proporcji:

   {premium}

  

Długość drugiego boku powinna być równa 12 cm lub 27 cm.

 

 Obliczmy jaką długość ma przekątna pierwszego prostokąta: 

 

Stosunek długości przekątnej pierwszego prostokąta do długości przekątnej drugiego prostokąta: 

 

Sprawdźmy, czy stosunek długości któregoś z boków pierwszego prostokąta do długości 20 cm boku drugiego prostokąta wynosi  

Prostokąty są więc podobne, a skala podobieństwa wynosi  

 

Obliczmy obwód pierwszego prostokąta: 

 

Obliczmy jaką długość ma przekątna większego prostokąta: 

 

Stosunek długości przekątnych także jest równy skali podobieństwa, oznaczmy długośc przekątnej mniejszego prostokąta przez y:


 

Na rysunku obok przedstawiono ...