Styczna do okręgu i okręgi styczne - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

 kąty trójkąta

Suma dwóch kątów trójkąta jest równa trzeciemu kątowi. Stąd:

 {premium}

Suma kątów w trójkącie jest równa  Stąd:

Podstawiamy  

Ustaliliśmy, że jeden kąt trójkąta ma miarę  zatem trójkąt jest prostokątny, co należało dowieść.

a) Zauważmy, że:

      {premium}

Wykres tej funkcji:

b) Zauważmy, że:

Wykres tej funkcji:

a)

Zastosujmy metodę podstawiania. 

Czyli rozwiązaniem układu równań są pary liczb:

Wyznaczyliśmy punkty wspólne prostej   oraz okręgu     

 b)

Dodajmy stronami oba równania:

Podstawmy wyznaczoną wartość x do drugiego równania:

Czyli rozwiązaniem równania są pary liczb:

Wyznaczyliśmy punkty przecięcia się okręgu opisanego równaniem   z prostymi   

(Zauważmy, że:

 )

c)

Popatrzmy na drugie równanie:

Mamy tutaj do czynienia z wartością bezwzględną. Ten podpunkt będziemy musieli więc rozbić na dwa przypadki: 1)  , oraz 2)               

 1)   

Zastosujmy metodę podstawiania:  

Podstawmy x do jednego z równań i wyznaczmy y:

A więc dla tego przypadku rozwiązaniami są pary liczb:

Oraz

2)

Podstawmy y z drugiego równania do pierwszego równania: 

   - to rozwiązanie odpada, ponieważ rozpatrujemy przedział   

A więc dla tego przypadku rozwiązaniem jest para liczb:

Wyznaczyliśmy punkty wspólne okręgu o równaniu   oraz łamanej opisanej równaniem   

d)

Podstawmy y z drugiego równania do pierwszego równania:

Wyznaczmy y:

A więc rozwiązaniem układu równań jest para liczb:

Wyznaczyliśmy punkt wspólny okręgu o równaniu   oraz okręgu o równaniu  

e)

Dodajmy stronami oba równania:

Podstawmy y do jednego z równań:

A więc parami liczb spełniającymi ten układ równań są:

Oraz:

f)

Dodajmy stronami oba równania:

Podstawmy zmienną y do jednego z równań:  

A więc rozwiązaniem układu równań są pary liczb:

Oraz:

Wyznaczyliśmy punkty wspólne okręgów o równaniach      oraz     

Oznaczmy te składniki przez x₁, x₂. Wtedy:

{premium}  

Suma sześcianów:

Rozpatrzmy funkcję:

Parabola ma ramiona skierowane ku górze a więc najmniejsza wartość znajduje się w wierzchołku ,czyli:

A więc:

Przedstawienie liczby 2 w postaci sumy dwóch składników tak aby suma ich sześcianów była jak najmniejsza.

Oznaczmy współrzędne wierzchołka C jako:

Wyznaczmy równanie prostej AB:

{premium}  

Podstawmy wyliczoną wartość pod drugie równanie:

Postać ogólna:

Wysokość poprowadzona z wierzchołka C na bok AB jest równa odległości punktu C od prostej AB:

Stąd:

A więc:

Liczba  spełnia warunek:

Sprawdźmy "skrajne" przypadki.

Szkicujemy wykresy tych funkcji i zaznaczamy odpowiedni obszar. {premium}

Liczba  spełnia warunek:

Mamy więc:

Sprawdźmy "skrajne" przypadki.

Szkicujemy wykresy tych funkcji i zaznaczamy odpowiedni obszar. 

Liczba  spełnia warunek:

Czyli:

Sprawdźmy "skrajne" przypadki.

Szkicujemy wykresy tych funkcji i zaznaczamy odpowiedni obszar. 

Liczba  spełnia warunek:

Mamy więc:

Czyli:

Zatem:

Sprawdźmy "skrajne" przypadki.

Szkicujemy wykresy tych funkcji i zaznaczamy odpowiedni obszar. 

{premium}  

a) Prawda, liczby naturalne to nieskończony zbiór {0,1,2,3,4,...} 

Liczba 0 jest nieujemne ani niedodatnie a każda liczba większa od niego jest dodatnia.
Zatem każda liczba naturalna jest nieujemna.

zapis symboliczny:

 

b) Prawda, dowolna ujemna liczba całkowita nie jest liczbą naturalną.

zapis symboliczny:

 

c) Fałsz, kontrprzykład:

Weźmy liczbę -2, liczba przeciwna do niej to:

A więc liczba przeciwna do niej jest dodatnia.

zapis symboliczny:

{premium}  

d) Prawda, Tą liczbą jest liczba 1, bo:

 

zapis symboliczny:

 

e) Prawda, tą liczbą jest 0, bo:

 

zapis symboliczny:

f) Fałsz, kontrprzykład:

 

zapis symboliczny:

 

{premium}  

{premium}