Zgoda na przetwarzanie danych osobowych

25 maja 2018 roku zacznie obowiązywać Rozporządzenie Parlamentu Europejskiego i Rady (UE) 2016/679 z dnia 27 kwietnia 2016 r. znane jako RODO.

Dlatego aby dalej móc dostarczać Ci materiały odpowiednie do Twojego etapu edukacji, potrzebujemy zgody na lepsze dopasowanie treści do Twojego zachowania. Dzięki temu możemy zapamiętywać jakie materiały są Ci potrzebne. Dbamy o Twoją prywatność, więc nie zwiększamy zakresu naszych uprawnień. Twoje dane są u nas bezpieczne, a zgodę na ich zbieranie możesz wycofać na podstronie polityka prywatności.

Klikając "Przejdź do Odrabiamy", zgadzasz się na wskazane powyżej działania. W przeciwnym wypadku, nie jesteśmy w stanie zrealizować usługi kompleksowo i prosimy o opuszczenie strony.

Polityka prywatności

Drogi Użytkowniku w każdej chwili masz prawo cofnąć zgodę na przetwarzanie Twoich danych osobowych. Cofnięcie zgody nie będzie wpływać na zgodność z prawem przetwarzania, którego dokonano na podstawie wyrażonej przez Ciebie zgody przed jej wycofaniem. Po cofnięciu zgody wszystkie twoje dane zostaną usunięte z serwisu. Udzielenie zgody możesz modyfikować w zakładce 'Informacja o danych osobowych'

Styczna do okręgu i okręgi styczne - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Styczna do okręgu i okręgi styczne

Styczna jest to prosta, która styka się z okręgiem w dokładnie jednym punkcie i tworzy z promieniem kąt prosty. Typowa styczna do okręgu wygląda następująco:

img01

Okręgi mogą jeszcze być styczne między sobą, i to na dwa sposoby.
  1. Okręgi styczne zewnętrznie:

    img02

    Odległość środków to suma ich promieni.
     
  2. Okręgi styczne wewnętrznie:

    img03

    Odległością środków jest różnica promieni.
 

Okręgi w układzie współrzędnych

Podstawowy wzór na okrąg to:

$$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$$

x i y to nasze zmienne, jak w każdym wzorze.

r - promień

a,b - współrzędne środka okręgu

Pozostaje nam jeszcze znajomość wzoru stycznej do okręgu w danym punkcie.

Wzór na styczną przechodzącą przez punkt:

$$(x_a-a)(x-a)+(y_b-b)(y-b)=r^2$$

Doszły nam dwie zmienne:

$$x_a$$ oraz $$y_b$$

Reprezentują one współrzędne punktu przez który przechodzi styczna.

Przykład:

Napisz równanie stycznej do okręgu w punkcie A, gdy:

$$A=(2,-3)$$, o: $$(x-1)^2+(y+6)^2=10$$

W tym wypadku mamy tylko i wyłącznie podstawienie do wzoru

$$(x_a-a)(x-a)+(y_b-b)(y-b)=r^2$$

Znamy:

$$x_a=2$$

$$a=1$$

$$y_b=-3$$

$$b=-6$$

$$r=√{10}$$

Pozostaje nam tylko podstawienie:

$$(x_a-a)(x-a)+(y_b-b)(y-b)=r^2$$

$$(2-1)(x-1)+(-3+6)(y+6)=10$$

I obliczamy:

$$x-1+3(y+6)=10$$

$$x-1+3y+18=10$$

$$x+3y+7=0$$
 

Uwaga!

- W przypadku tego działu mamy do czynienia z geometrią analityczną, nie warto tutaj robić za dużo rysunków w przeciwieństwie do typowej planimetrii

- Wzór na okręg jest zawarty w karcie wzorów maturalnych
 

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Dane są punkty S = (2, 1), M = (6, 4). Równanie okręgu o środku S i przechodzącego przez punkt M ma postać.

Do równania okręgu potrzebujemy znać jego środek oraz promień, i oczywiście nie mamy promienia.

Wzór ogólny:

$$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$$

Gdzie nasze:

$$a=2$$

$$b=1$$

więc:

$$(x-2)^2+(y-1)^2=r^2$$

Wiemy, że okrąg przechodzi przez punkt M(6;4), a 6 i 4 to nic innego jak współrzędne, więc:

$$x=6$$

$$y=4$$

Podmieniamy:

$$(6-2)^2+(4-1)^2=r^2$$

$$4^2+3^2=r^2$$

$$16+9=r^2$$

$$r^2=25$$

Z racji, że i tak we wzorze występuje promień do kwadratu nie musimy obliczać r Wzór tego okręgu to:

$$(x-2)^2+(y-1)^2=25$$

Zadanie 2.

Sprawdź czy okręgi o danych wzorach są styczne:

$$O_1:$$ $$x^2+y^2=2$$

$$O_2:$$ $$(x-2)^2+(y-2)^2=25$$
 

Aby określić styczność okręgów musimy znać ich odległość ich środków. Przypominamy wzór ogólny:

$$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$$

Środek zajmuje punkty A i B.

Więc dla wzoru pierwszego:

$$O_1:$$ $$x^2+y^2=2$$

$$a_1=0$$

$$b_1=0$$

ponieważ mamy tylko $$x^2+y^2$$

Dla wzoru drugiego:

$$a_2=2$$

$$b_2=2$$

Musimy teraz wyznaczyć odległość tych punktów od siebie, mieliśmy do tego specjalny wzór:

$$d=√{(a_2-a_1 )^2+(b_2-b_1 )^2}$$

Czyli wzór kradziony z twierdzenia Pitagorasa:

$$d=√{2^2+2^2}=√8 $$

Teraz musimy sprawdzić długości promieni:

$$r_1=√2$$

$$r_2=√{25}=5$$

Jak widać ani suma promieni ani ich różnica nie da nam $$√8$$.

$$r_1-r_2≠√8$$

$$r_1+r_2≠√8$$

Zatem okręgi nie są do siebie styczne.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Oblicz wartości funkcji trygonometrycznych...

Rysunek:

 

Obliczmy punkty przecięcia z osiami:

`f(x) = 2/3x - 6` 

 

`f(0) = -6` 

Zatem bok AC ma długość:

`|AC| = 6` 

 

 

`f(x) = 0` 

`2/3x - 6 = 0` 

`2/3x = 6` 

`x = 6*3/2` 

`x = 9` 

Zatem bok AB ma długość:

`|AB| = 9` 

 

Z twierdzenia Pitagorasa:

`|AB|^2 + |AC|^2 = |BC|^2` 

`81 + 36 = |BC|^2` 

`|BC|^2 = 117` 

`|BC| = sqrt117 = sqrt9*sqrt13 = 3sqrt13` 

 

`sin alpha = (|AB|)/(|BC|) = 9/(3sqrt13) = 3/sqrt13 *sqrt13/sqrt13 = (3sqrt13)/13` 

 

`cos alpha = (|AC|)/(|BC|) = 6/(3sqrt13) = 2/sqrt13 *sqrt13/sqrt13 = (2sqrt13)/13` 

 

`tg \ alpha = (|AB|)/(|AC|) = 9/6 = 3/2` 

 

 

`sin beta = cos alpha = (2sqrt13)/13` 

 

`cos beta = sin alpha = (3sqrt13)/13` 

 

`tg \ beta = 2/3` 

Zaznacz dany zbiór

Wykaż, że czworokąt ABCD...

Sprawdźmy czy długości boków są równe:

`|stackrel(->)(AB)| = sqrt((-1-(-5))^2 +(4-2)^2) = sqrt(4^2 +2^2) = sqrt(16+4) = sqrt20`

`|stackrel(->)(BC)| = sqrt((2-(-1))^2 +(10-4)^2) = sqrt(3^2 + 6^2) = sqrt(9 + 36) = sqrt45` 

Boki AB i BC mają różne długości a więc czworokąt nie jest rombem.

Wyznacz trójmian kwadratowy o pierwiastkach

`a)`

`x_w=(x_1+x_2)/2=(-2+4)/2=2/2=1`

`y_w=-6`

`y_w=f(x_w)\ \ \ =>\ \ \ f(1)=-6`

 

`x_1=-2,\ \ x_2=4\ \ -\ \ m.\ zerowe\ \ \ =>\ \ \ f(x)=a(x+2)(x-4)`

 

`f(1)=-6`

`a*(1+2)*(1-4)=-6`

`a*3*(-3)=-6`

`a*(-9)=-6`

`a=(-6)/(-9)=6/9=2/3`

 

`ul(ul(f(x)=2/3(x+2)(x-4)))`

 

 

 

`b)`

`x_w=(-6+0)/2=(-6)/2=-3`

`y_w=8`

`y_w=f(x_w)\ \ \ =>\ \ \ f(-3)=8`

 

`x_1=-6,\ x_2=0\ \ -\ \ m.\ zerowe\ \ \ =>\ \ \ f(x)=ax(x+6)`

 

`f(-3)=8`

`a*(-3)*(-3+6)=8`

`a*(-3)*3=8`

`a*(-9)=8`

`a=-8/9`

 

`ul(ul(f(x)=-8/9x(x+6)))`

 

 

 

`c)`

`x_w=(1+7)/2=8/2=4`

`y_w=2`

`y_w=f(x_w)\ \ \ =>\ \ \ f(4)=2`

 

`x_1=1,\ \ x_2=7\ \ \ -\ \ m.\ zerowe\ \ \ =>\ \ \ f(x)=a(x-1)(x-7)`

 

`f(4)=2`

`a*(4-1)*(4-7)=2`

`a*3*(-3)=2`

`a*(-9)=2`

`a=-2/9`

 

`ul(ul(f(x)=-2/9(x-1)(x-7)))`

Krople wody tryskające z fontanny ...

`"Zauważmy, że parabole"\ f_1,g_1\ "i"\ h_1\ "są symetryczne do parabol"\ f,g\ "i"\ h\ "względem prostej"\ x=0.` 

`f(x)=-4/3x^2+4x` 

`g(x)=-1/2x^2+2x` 

`h(x)=-2/9x^2+2/3x` 

 

`f_1(x)=f(-x)=-4/3(-x)^2+4(-x)=-4/3x^2-4x`   

`W=(p;q)` 

`p=(-b)/(2a)=4/(-(8/3))=-12/8= -3/2`   

`q=f(p)=-4/3*9/4+4*3/2=-3+6=3` 

`W=(3/2;3)`    

 

`g_1(x)=g(-x)=-1/2x^2-2x` 

`p=2/-1=-2` 

`f(-2)=-2+4=2` 

`W=(-2;2)`   

 

`h_1(x)=h(-x)=-2/9x^2-2/3x` 

`p=(2/3)/(-4/9)=2/3*(-9/4)=-3/2` 

`f(-3/2)=-2/9*9/4-2/3*(-3/2)=-1/2+1=1/2` 

`W=(-3/2;1/2)`      

Wykres funkcji f(x)= ...

`f(x)=2x^2` 

 

`a)` 

`g(x)-"funkcja, któej wykresem jest wykres funkcji f przesunięty o wektor"\ vec v` 

`vec v=[0;-2]` 

`g(x)=2x^2-2` 

`ZW_(g)=[-2;+oo)` 

 

`b)` 

`vecv=[4;0]` 

`g(x)=2(x-4)^2` 

`ZW_(g)=[0;+oo)`  

 

`c)` 

`vec v=[-3;2]` 

`g(x)=2(x+3)^2+2` 

`ZW_(g)=[2;+oo)`   

 

`d)` 

`vecv=[sqrt2;-1]` 

`g(x)=2(x-sqrt2)^2-1`   

`ZW_(g)=[-1;+oo)`  

Rozwiąż równanie.

`a)` 

`9|x|-(4x+7)=28` 

`9x-4x-7=28\ \ \vv\ \ \-9x-4x-7=28` 

`5x=35\ \ \vv\ \ \-13x=35` 

`x=7\ \ \vv\ \ \x=-35/13`  

`x in {-35/12;7}`

 

`b)` 

`4x-|7x-8|=-25` 

`4x-7x+8=-25\ \ \vv\ \ \4x+7x-8=-25` 

`-3x=-33\ \ \vv\ \ \11x=-17` 

`x=11\ \ \vv\ \ \x=-17/11` 

`x in {-17/11;11}`  

 

`c)` 

`4|x+1|=10-|2x+6|` 

`x+1=0\ implies\ x=-1` 

`2x+6=0\ implies\ x=-3` 

 

`"I".\ x in (-oo;-3)` 

`-4x-4=10+2x+6` 

`6x=-20` 

`x=-20/6=-10/3` 

 

`"II".\ x in [-1;-3]` 

`-4x-4=10-2x-6` 

`2x=-20` 

`x=-10 notin [-1;-3]`  

 

`"III."\ x in (-3;+oo)` 

`4x+4=10-2x-6` 

`6x=0` 

`x=0` 

 

`ul(x in {-10/3;0}` 

Wykonaj działania.

`"a)"\ (7/strike9^1*strike63^7/strike36^1)*strike72^2/14=strike49^7*2/strike14^2=7*strike2^1/strike2^1=7`  

`ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ )`

`"b)"\ 77/34:11/17-1 2/5*2 1/7=strike77^7/strike34^2*strike17^1/strike11^1-strike7^1/strike5^1*strike15^3/strike7^1=7/2-3=3 1/2-3=1/2 ` 

`ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ )` 

`"c)"\ (4 2/7:1 1/14-3 2/5*1,25)/(2/3-1)=(30/7:15/14-17/5*1 1/4)/(-1/3)=(strike30^2/strike7^1*strike14^2/strike15^1-17/strike5^1*strike5^1/4)/(-1/3)=` 

`\ \ \ =(4-17/4)*(-3)=(4-4 1/4)*(-3)=-1/4*(-3)=3/4`   

Obliczamy

`a)\ 0,2^5=0,00032`

`b)\ (-0,2)^6=0,2^6=0,000064`

`c)\ (-0,4)^3=-0,064`

 

Dana jest funkcja f(x) ...

`f(x)=-1/2x+1` 

 

`a)` 

`f(x)=-1/2x+1` 

`ZW=[-2;4]` 

`f-"liniowa, zatem monotoniczna"`  

 

`-1/2x+1=-2` 

`x=6` 

 

`-1/2x+1=4` 

`x=-6` 

`ul(D=[-6;6]`  

 

`f(x)>=0` 

`-1/2x+1>=0` 

`x>=2` 

`f-"malejąca"` 

`ul(x in (-oo;2]\ \ \wedge\ \ \D=[-6;2]`  

 

`b)` 

`f(x)=-1/2x+1` 

`ZW=(-2;0)cup[1;4]` 

 

`-1/2x+1=-2` 

`x=6` 

 

`-1/2x+1=0` 

`x=2` 

 

`-1/2x+1=1` 

`x=0` 

 

`-1/2x+1=4` 

`x=-6` 

 

`ul(D=[-6;0]cup(2;6)`   

 

`f(x)>=0`  

`-1/2x+1>=0` 

`x>=2` 

`f-"malejąca"`  

`ul(x in (-oo;2]\ \ wedge\ \ \D=[-6;0]`   

 

`c)`   

`f(x)=-1/2x+1` 

`ZW={-2}cup(2;4)`   

 

`-1/2x+1=-2` 

`x=6` 

 

`-1/2x+1=2`  

`x=-2`  

 

`-1/2x+1=4` 

`x=-6` 

 

`ul(D=(-6;-2)cup{6}`    

 

`f(x)>=0`  

`-1/2x+1>=0` 

`x>=2` 

`f-"malejąca"`  

`ul(x in (-oo;2]\ \ \ wedge\ \ \D=(-6;-2)`