kąty trójkąta
Suma dwóch kątów trójkąta jest równa trzeciemu kątowi. Stąd:
{premium}
Suma kątów w trójkącie jest równa Stąd:
Podstawiamy
Ustaliliśmy, że jeden kąt trójkąta ma miarę zatem trójkąt jest prostokątny, co należało dowieść.
a) Zauważmy, że:
{premium}
Wykres tej funkcji:
b) Zauważmy, że:
Wykres tej funkcji:
a)
Zastosujmy metodę podstawiania.
Czyli rozwiązaniem układu równań są pary liczb:
Wyznaczyliśmy punkty wspólne prostej oraz okręgu
b)
Dodajmy stronami oba równania:
Podstawmy wyznaczoną wartość x do drugiego równania:
Czyli rozwiązaniem równania są pary liczb:
Wyznaczyliśmy punkty przecięcia się okręgu opisanego równaniem z prostymi
(Zauważmy, że:
)
c)
Popatrzmy na drugie równanie:
Mamy tutaj do czynienia z wartością bezwzględną. Ten podpunkt będziemy musieli więc rozbić na dwa przypadki: 1) , oraz 2)
1)
Zastosujmy metodę podstawiania:
Podstawmy x do jednego z równań i wyznaczmy y:
A więc dla tego przypadku rozwiązaniami są pary liczb:
Oraz
2)
Podstawmy y z drugiego równania do pierwszego równania:
- to rozwiązanie odpada, ponieważ rozpatrujemy przedział
A więc dla tego przypadku rozwiązaniem jest para liczb:
Wyznaczyliśmy punkty wspólne okręgu o równaniu oraz łamanej opisanej równaniem
d)
Podstawmy y z drugiego równania do pierwszego równania:
Wyznaczmy y:
A więc rozwiązaniem układu równań jest para liczb:
Wyznaczyliśmy punkt wspólny okręgu o równaniu oraz okręgu o równaniu
e)
Dodajmy stronami oba równania:
Podstawmy y do jednego z równań:
A więc parami liczb spełniającymi ten układ równań są:
Oraz:
f)
Dodajmy stronami oba równania:
Podstawmy zmienną y do jednego z równań:
A więc rozwiązaniem układu równań są pary liczb:
Oraz:
Wyznaczyliśmy punkty wspólne okręgów o równaniach oraz
Oznaczmy te składniki przez x1, x2. Wtedy:
{premium}
Suma sześcianów:
Rozpatrzmy funkcję:
Parabola ma ramiona skierowane ku górze a więc najmniejsza wartość znajduje się w wierzchołku ,czyli:
A więc:
Przedstawienie liczby 2 w postaci sumy dwóch składników tak aby suma ich sześcianów była jak najmniejsza.
Oznaczmy współrzędne wierzchołka C jako:
Wyznaczmy równanie prostej AB:
{premium}
Podstawmy wyliczoną wartość pod drugie równanie:
Postać ogólna:
Wysokość poprowadzona z wierzchołka C na bok AB jest równa odległości punktu C od prostej AB:
Stąd:
A więc:
Liczba spełnia warunek:
Sprawdźmy "skrajne" przypadki.
Szkicujemy wykresy tych funkcji i zaznaczamy odpowiedni obszar. {premium}
Liczba spełnia warunek:
Mamy więc:
Sprawdźmy "skrajne" przypadki.
Szkicujemy wykresy tych funkcji i zaznaczamy odpowiedni obszar.
Liczba spełnia warunek:
Czyli:
Sprawdźmy "skrajne" przypadki.
Szkicujemy wykresy tych funkcji i zaznaczamy odpowiedni obszar.
Liczba spełnia warunek:
Mamy więc:
Czyli:
Zatem:
Sprawdźmy "skrajne" przypadki.
Szkicujemy wykresy tych funkcji i zaznaczamy odpowiedni obszar.
{premium}
a) Prawda, liczby naturalne to nieskończony zbiór {0,1,2,3,4,...}
Liczba 0 jest nieujemne ani niedodatnie a każda liczba większa od niego jest dodatnia.
Zatem każda liczba naturalna jest nieujemna.
zapis symboliczny:
b) Prawda, dowolna ujemna liczba całkowita nie jest liczbą naturalną.
zapis symboliczny:
c) Fałsz, kontrprzykład:
Weźmy liczbę -2, liczba przeciwna do niej to:
A więc liczba przeciwna do niej jest dodatnia.
zapis symboliczny:
{premium}
d) Prawda, Tą liczbą jest liczba 1, bo:
zapis symboliczny:
e) Prawda, tą liczbą jest 0, bo:
zapis symboliczny:
f) Fałsz, kontrprzykład:
zapis symboliczny:
{premium}
{premium}