Styczna do okręgu i okręgi styczne - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Styczna do okręgu i okręgi styczne

Styczna jest to prosta, która styka się z okręgiem w dokładnie jednym punkcie i tworzy z promieniem kąt prosty. Typowa styczna do okręgu wygląda następująco:

img01

Okręgi mogą jeszcze być styczne między sobą, i to na dwa sposoby.
  1. Okręgi styczne zewnętrznie:

    img02

    Odległość środków to suma ich promieni.
     
  2. Okręgi styczne wewnętrznie:

    img03

    Odległością środków jest różnica promieni.
 

Okręgi w układzie współrzędnych

Podstawowy wzór na okrąg to:

$$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$$

x i y to nasze zmienne, jak w każdym wzorze.

r - promień

a,b - współrzędne środka okręgu

Pozostaje nam jeszcze znajomość wzoru stycznej do okręgu w danym punkcie.

Wzór na styczną przechodzącą przez punkt:

$$(x_a-a)(x-a)+(y_b-b)(y-b)=r^2$$

Doszły nam dwie zmienne:

$$x_a$$ oraz $$y_b$$

Reprezentują one współrzędne punktu przez który przechodzi styczna.

Przykład:

Napisz równanie stycznej do okręgu w punkcie A, gdy:

$$A=(2,-3)$$, o: $$(x-1)^2+(y+6)^2=10$$

W tym wypadku mamy tylko i wyłącznie podstawienie do wzoru

$$(x_a-a)(x-a)+(y_b-b)(y-b)=r^2$$

Znamy:

$$x_a=2$$

$$a=1$$

$$y_b=-3$$

$$b=-6$$

$$r=√{10}$$

Pozostaje nam tylko podstawienie:

$$(x_a-a)(x-a)+(y_b-b)(y-b)=r^2$$

$$(2-1)(x-1)+(-3+6)(y+6)=10$$

I obliczamy:

$$x-1+3(y+6)=10$$

$$x-1+3y+18=10$$

$$x+3y+7=0$$
 

Uwaga!

- W przypadku tego działu mamy do czynienia z geometrią analityczną, nie warto tutaj robić za dużo rysunków w przeciwieństwie do typowej planimetrii

- Wzór na okręg jest zawarty w karcie wzorów maturalnych
 

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Dane są punkty S = (2, 1), M = (6, 4). Równanie okręgu o środku S i przechodzącego przez punkt M ma postać.

Do równania okręgu potrzebujemy znać jego środek oraz promień, i oczywiście nie mamy promienia.

Wzór ogólny:

$$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$$

Gdzie nasze:

$$a=2$$

$$b=1$$

więc:

$$(x-2)^2+(y-1)^2=r^2$$

Wiemy, że okrąg przechodzi przez punkt M(6;4), a 6 i 4 to nic innego jak współrzędne, więc:

$$x=6$$

$$y=4$$

Podmieniamy:

$$(6-2)^2+(4-1)^2=r^2$$

$$4^2+3^2=r^2$$

$$16+9=r^2$$

$$r^2=25$$

Z racji, że i tak we wzorze występuje promień do kwadratu nie musimy obliczać r Wzór tego okręgu to:

$$(x-2)^2+(y-1)^2=25$$

Zadanie 2.

Sprawdź czy okręgi o danych wzorach są styczne:

$$O_1:$$ $$x^2+y^2=2$$

$$O_2:$$ $$(x-2)^2+(y-2)^2=25$$
 

Aby określić styczność okręgów musimy znać ich odległość ich środków. Przypominamy wzór ogólny:

$$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$$

Środek zajmuje punkty A i B.

Więc dla wzoru pierwszego:

$$O_1:$$ $$x^2+y^2=2$$

$$a_1=0$$

$$b_1=0$$

ponieważ mamy tylko $$x^2+y^2$$

Dla wzoru drugiego:

$$a_2=2$$

$$b_2=2$$

Musimy teraz wyznaczyć odległość tych punktów od siebie, mieliśmy do tego specjalny wzór:

$$d=√{(a_2-a_1 )^2+(b_2-b_1 )^2}$$

Czyli wzór kradziony z twierdzenia Pitagorasa:

$$d=√{2^2+2^2}=√8 $$

Teraz musimy sprawdzić długości promieni:

$$r_1=√2$$

$$r_2=√{25}=5$$

Jak widać ani suma promieni ani ich różnica nie da nam $$√8$$.

$$r_1-r_2≠√8$$

$$r_1+r_2≠√8$$

Zatem okręgi nie są do siebie styczne.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Środek okręgu opisanego na trójkącie...

Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku poniżej:{premium}


Trójkąty AOE, ADB, EOD i EDC są przystające na podstawie cechy bkb, więc mają równe pola. Zatem pole trójkąta ABC jest równe sumie pól czterech trójkątów prostokątnych o przyprostokątnych długości 2 i 3.

 


Odp. Pole trójkąta jest równe 12 cm2.

Okrąg F1 o równaniu ...

 

 

 

{premium}

  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Porównajmy odpowiednie współrzędne.

 

 

 

   

 

 

 

 

  

Porównajmy odpowiednie współrzędne.

 

  

  

   

Wyznacz x z równania...

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Pole trójkąta jest równe 20...

Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku poniżej:

{premium}


Mamy dane:

 


Pole trójkąta ABC możemy obliczyć następująco:

 

lub następująco:

 


Powyższe wzory opisują pole tego samego trójkąta. Zatem:

 

 


Skorzystamy z jeszcze jednego wzoru na pole trójkąta (z sinusem) i wyznaczymy długość boku a:

 

 

 

 

 

 

 


Obliczamy długość boku b:

 


Odp. Boki przy kącie rozwartym mają długość 8 cm i 10 cm.

Rozwiąż nierówność

 

 

 

 

 

 

 

 

Kąt BAC ma miarę 30 ...

{premium}

 

 

 

 

 

 

 

Trójkąt ACE ma kąty o mierze 45, 45 i 90 stopni. Wynika stąd, że ACE jest równoramienny.

 

Skorzystamy z następującej tożsamości trygonometrycznej:

 

 

 

 

 

 

 

          

 

 

Z Pitagorasa:

 

    

  

Z własności trójkąta prostokątnego równoramiennego:

 

 

Wiemy, że:

  

      

 

 

W tabeli przedstawiono wyniki sondażu

 

Obliczamy, o ile punktów procentowych wzrosło poparcie dla partii Y: 

 

ODP: Poparcie dla partii Y wzrosło o 4 punkty procentowe. 

 

 

Teraz obliczamy, o{premium} ile procent wzrosła liczba osób popierających partię Y: 

  

ODP: Liczba osób popierających partię Y wzrosła o 25%

 

 

 

 

Obliczamy, o ile punktów procentowych zmalało poparcie dla partii Z: 

 

ODP: Poparcie dla partii Z zmalało o 2 punkty procentowe. 

 

 

Obliczamy, o ile procent zmalała liczba osób popierających partię Z: 

 

ODP: Liczba osób popierających partię Z zmalała o 20%.

Jaka jest największa liczba trzycyfrowa podzielna przez a) 2

Aby liczba dzieliła się przez 2, jej ostatnią cyfrą musi być 0, 2, 4, 6 lub 8. 

Największa liczba trzycyfrowa podzielna przez 2 to{premium} 998. 

 

 

Aby liczba dzieliła się przez 5, jej ostatnią cyfrą musi być 0 lub 5. 

Największa liczba trzycyfrowa podzielna przez 5 to 995. 

 

 

Aby liczba dzieliła się przez 6, musi dzielić się przez 2 i przez 3. Oznacza to, że ostatnią cyfrą tej liczby musi być 0, 2, 4, 6 lub 8, a suma cyfr tej liczby musi dzielić się przez 3.

Sprawdzamy zatem, czy kolejne liczby trzycyfrowe podzielne przez 2 (zaczynając od największej liczby) dzielą się przez 3:

998 - suma cyfr to 9+9+8=26 - liczba nie dzieli się przez 3

996 - suma cyfr to 9+9+6=24 - liczba dzieli się przez 3

Zatem największą liczbą trzycyfrową podzielną przez 6 jest 996. 

 

 

Aby liczba dzieliła się przez 15, musi dzielić się przez 3 i 5. Oznacza to, że ostatnią cyfra tej liczby musi być 0 lub 5, a suma jej cyfr musi dzielić się przez 3. Sprawdzamy zatem, czy kolejne liczby trzycyfrowe podzielne przez 5 (zaczynając od największej liczby) dzielą się przez 3: 

995 - suma cyfr to 9+9+5=23 - liczba nie dzieli się przez 3

990 - suma cyfr to 9+9+0=18 - liczba dzieli się przez 3

Zatem największą liczbą trzycyfrową podzielną przez 15 jest 990. 

Na podstawie wykresu funkcji...

a) Przesuwamy wykres funkcji o 2 jednostki w lewo i 2 jednostki w górę.

 

b) Przesuwamy wykres funkcji o 2 jednostki w prawo i 1 jednostkę w dół.

 

c) Przesuwamy wykres o 4 jednostki w prawo i 4 jednostki w dół.

Wśród 180 studentów przeprowadzono ankietę