Styczna do okręgu i okręgi styczne - matura-podstawowa - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Styczna do okręgu i okręgi styczne - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Styczna do okręgu i okręgi styczne

Styczna jest to prosta, która styka się z okręgiem w dokładnie jednym punkcie i tworzy z promieniem kąt prosty. Typowa styczna do okręgu wygląda następująco:

img01

Okręgi mogą jeszcze być styczne między sobą, i to na dwa sposoby.
  1. Okręgi styczne zewnętrznie:

    img02

    Odległość środków to suma ich promieni.
     
  2. Okręgi styczne wewnętrznie:

    img03

    Odległością środków jest różnica promieni.
 

Okręgi w układzie współrzędnych

Podstawowy wzór na okrąg to:

$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$

x i y to nasze zmienne, jak w każdym wzorze.

r - promień

a,b - współrzędne środka okręgu

Pozostaje nam jeszcze znajomość wzoru stycznej do okręgu w danym punkcie.

Wzór na styczną przechodzącą przez punkt:

$(x_a-a)(x-a)+(y_b-b)(y-b)=r^2$

Doszły nam dwie zmienne:

$x_a$ oraz $y_b$

Reprezentują one współrzędne punktu przez który przechodzi styczna.

Przykład:

Napisz równanie stycznej do okręgu w punkcie A, gdy:

$A=(2,-3)$, o: $(x-1)^2+(y+6)^2=10$

W tym wypadku mamy tylko i wyłącznie podstawienie do wzoru

$(x_a-a)(x-a)+(y_b-b)(y-b)=r^2$

Znamy:

$x_a=2$

$a=1$

$y_b=-3$

$b=-6$

$r=√{10}$

Pozostaje nam tylko podstawienie:

$(x_a-a)(x-a)+(y_b-b)(y-b)=r^2$

$(2-1)(x-1)+(-3+6)(y+6)=10$

I obliczamy:

$x-1+3(y+6)=10$

$x-1+3y+18=10$

$x+3y+7=0$
 

Uwaga!

- W przypadku tego działu mamy do czynienia z geometrią analityczną, nie warto tutaj robić za dużo rysunków w przeciwieństwie do typowej planimetrii

- Wzór na okręg jest zawarty w karcie wzorów maturalnych
 

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Dane są punkty S = (2, 1), M = (6, 4). Równanie okręgu o środku S i przechodzącego przez punkt M ma postać.

Do równania okręgu potrzebujemy znać jego środek oraz promień, i oczywiście nie mamy promienia.

Wzór ogólny:

$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$

Gdzie nasze:

$a=2$

$b=1$

więc:

$(x-2)^2+(y-1)^2=r^2$

Wiemy, że okrąg przechodzi przez punkt M(6;4), a 6 i 4 to nic innego jak współrzędne, więc:

$x=6$

$y=4$

Podmieniamy:

$(6-2)^2+(4-1)^2=r^2$

$4^2+3^2=r^2$

$16+9=r^2$

$r^2=25$

Z racji, że i tak we wzorze występuje promień do kwadratu nie musimy obliczać r Wzór tego okręgu to:

$(x-2)^2+(y-1)^2=25$

Zadanie 2.

Sprawdź czy okręgi o danych wzorach są styczne:

$O_1:$ $x^2+y^2=2$

$O_2:$ $(x-2)^2+(y-2)^2=25$
 

Aby określić styczność okręgów musimy znać ich odległość ich środków. Przypominamy wzór ogólny:

$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$

Środek zajmuje punkty A i B.

Więc dla wzoru pierwszego:

$O_1:$ $x^2+y^2=2$

$a_1=0$

$b_1=0$

ponieważ mamy tylko $x^2+y^2$

Dla wzoru drugiego:

$a_2=2$

$b_2=2$

Musimy teraz wyznaczyć odległość tych punktów od siebie, mieliśmy do tego specjalny wzór:

$d=√{(a_2-a_1 )^2+(b_2-b_1 )^2}$

Czyli wzór kradziony z twierdzenia Pitagorasa:

$d=√{2^2+2^2}=√8 $

Teraz musimy sprawdzić długości promieni:

$r_1=√2$

$r_2=√{25}=5$

Jak widać ani suma promieni ani ich różnica nie da nam $√8$.

$r_1-r_2≠√8$

$r_1+r_2≠√8$

Zatem okręgi nie są do siebie styczne.

Spis treści

Rozwiązane zadania
W trójkącie ABC dwusieczna poprowadzona z wierzchołka...

Zauważmy na początek, że  bo gdyby  to trójkąt  byłby trójkątem równoramiennym o kącie rozwartym przy podstawie, a taki trójkąt nie istnieje.

Przyjmijmy więc oznaczenia jak na rysunku poniżej:

Thumb zad5.152str132

Mamy dane:

 

 

Kąty  i   to kąty przyległe. Stąd:

 {premium}

 

Obliczamy miarę kąta  z sumy kątów dla  

 

 

 

 

 

Zatem:

 

 

Obliczamy miarę kąta  z sumy kątów dla  

 

 

 

 

 

Odp. Kąty trójkąta  mają miary:  

Funkcja f przyporządkowuje

Wskaż pary prostych równoległych ...

Proste  są równoległe wtedy i tylko wtedy, gdy:

 


Wypiszemy pary prostych równoległych.{premium}

 

 

 

Podaj wartość funkcji y= ...

    {premium}

 

 

 

Funkcja f przyporządkowuje

Wyrażenie jest równe

{premium}

  

Figurka o masie 240 dag ...

Zauważmy, że srebro próby 925 ma 92,5% czystego srebra. {premium}

Zawartość czystego srebra w figurce o masie 240 dag to:

 

 

 

Ramiona kąta o wierzchołku O przecięto ...

a)

Wykonajmy rysunek pomocniczy. 

Z twierdzenia Talesa dla kąta BOD i prostych równoległych AC i BD otrzymujemy równość {premium}

 

czyli po podstawieniu danych liczbowych mamy

 

a po uproszczeniu

 

Z powyższego równania wyznaczamy .

 

 

 


Odpowiedź: Odcinek OA ma długość 4 cm.


b)

Wykonajmy rysunek pomocniczy. 

Z twierdzenia Talesa dla kąta BOD i prostych równoległych AC i BD otrzymujemy równość

 

czyli po podstawieniu danych liczbowych mamy

 

Z powyższego równania wyznaczamy .

 

 

 

 


Odpowiedź: Odcinek CD ma długość 12 cm.


c)

Wykonajmy rysunek pomocniczy. 

Z wniosku z twierdzenia Talesa dla kąta BOD i prostych równoległych AC i BD otrzymujemy równość

 

czyli po podstawieniu danych liczbowych mamy

 

Z powyższego równania wyznaczamy .

 

 

 


Odpowiedź: Odcinek AC ma długość 9 cm.


d)

Wykonajmy rysunek pomocniczy. 

Z wniosku z twierdzenia Talesa dla kąta BOD i prostych równoległych AC i BD otrzymujemy równość

 

czyli po podstawieniu danych liczbowych mamy

 

a po uproszczeniu

 

Z powyższego równania wyznaczamy .

 

 

 


Odpowiedź: Odcinek BD ma długość 32 cm.

Sprawdź, czy podane w tabelkach wielkości...

Proporcjonalnością prostą nazywamy zależność między dwiema wielkościami zmiennymi x, y, określoną wzorem y=a٠x, gdzie a jest liczbą różną od zera, nazywaną współczynnikiem proporcjonalności.

Z powyższej definicji wynika, że{premium} wielkości x i y są proporcjonalne, jeżeli stosunek y/x jest stały, ponieważ:

 

 

W takim razie, aby sprawdzić, czy wielkości podane w tabeli są proporcjonalne, wystarczy zbadać, czy dla każdej kolumny stosunek y/x jest równy stale tej samej liczbie. Jeżeli tak, liczba a=y/x będzie współczynnikiem proporcjonalności.


a) Obliczamy stosunek y/x dla każdej kolumny tabeli:

 

 

 

 

 

 

W takim razie podane w tabelkach wielkości x i y są wprost proporcjonalne i a=2/3.

Zależność zmiennej y od zmiennej x jest dana wzorem:

 


b) Obliczamy stosunek y/x dla każdej kolumny tabeli:

 

 

Na podstawie tych dwóch obliczeń możemy już stwierdzić, że wielkości podane w tabeli nie są proporcjonalne, ponieważ w pierwszym przypadku stosunek wielkości y do x jest dodatni, a w drugim - ujemny.

Narysuj wykres funkcji f...

Przykładowy wykres funkcji:

 

{premium}

a) Symetria względem osi y:

Dla przejrzystości rysunku narysowaliśmy jedynie przekształcenie.

Funkcja jest monotoniczna. Stale dodatnia.

 

b) Symetria względem początku układu współrzędnych:

Funkcja jest monotoniczna. Stale ujemna.

 

c) Symetria względem osi x:

Funkcja jest monotoniczna. Stale ujemna.