Zgoda na przetwarzanie danych osobowych

25 maja 2018 roku zacznie obowiązywać Rozporządzenie Parlamentu Europejskiego i Rady (UE) 2016/679 z dnia 27 kwietnia 2016 r. znane jako RODO.

Dlatego aby dalej móc dostarczać Ci materiały odpowiednie do Twojego etapu edukacji, potrzebujemy zgody na lepsze dopasowanie treści do Twojego zachowania. Dzięki temu możemy zapamiętywać jakie materiały są Ci potrzebne. Dbamy o Twoją prywatność, więc nie zwiększamy zakresu naszych uprawnień. Twoje dane są u nas bezpieczne, a zgodę na ich zbieranie możesz wycofać na podstronie polityka prywatności.

Klikając "Przejdź do Odrabiamy", zgadzasz się na wskazane powyżej działania. W przeciwnym wypadku, nie jesteśmy w stanie zrealizować usługi kompleksowo i prosimy o opuszczenie strony.

Polityka prywatności

Drogi Użytkowniku w każdej chwili masz prawo cofnąć zgodę na przetwarzanie Twoich danych osobowych. Cofnięcie zgody nie będzie wpływać na zgodność z prawem przetwarzania, którego dokonano na podstawie wyrażonej przez Ciebie zgody przed jej wycofaniem. Po cofnięciu zgody wszystkie twoje dane zostaną usunięte z serwisu. Udzielenie zgody możesz modyfikować w zakładce 'Informacja o danych osobowych'

Styczna do okręgu i okręgi styczne - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Styczna do okręgu i okręgi styczne

Styczna jest to prosta, która styka się z okręgiem w dokładnie jednym punkcie i tworzy z promieniem kąt prosty. Typowa styczna do okręgu wygląda następująco:

img01

Okręgi mogą jeszcze być styczne między sobą, i to na dwa sposoby.
  1. Okręgi styczne zewnętrznie:

    img02

    Odległość środków to suma ich promieni.
     
  2. Okręgi styczne wewnętrznie:

    img03

    Odległością środków jest różnica promieni.
 

Okręgi w układzie współrzędnych

Podstawowy wzór na okrąg to:

$$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$$

x i y to nasze zmienne, jak w każdym wzorze.

r - promień

a,b - współrzędne środka okręgu

Pozostaje nam jeszcze znajomość wzoru stycznej do okręgu w danym punkcie.

Wzór na styczną przechodzącą przez punkt:

$$(x_a-a)(x-a)+(y_b-b)(y-b)=r^2$$

Doszły nam dwie zmienne:

$$x_a$$ oraz $$y_b$$

Reprezentują one współrzędne punktu przez który przechodzi styczna.

Przykład:

Napisz równanie stycznej do okręgu w punkcie A, gdy:

$$A=(2,-3)$$, o: $$(x-1)^2+(y+6)^2=10$$

W tym wypadku mamy tylko i wyłącznie podstawienie do wzoru

$$(x_a-a)(x-a)+(y_b-b)(y-b)=r^2$$

Znamy:

$$x_a=2$$

$$a=1$$

$$y_b=-3$$

$$b=-6$$

$$r=√{10}$$

Pozostaje nam tylko podstawienie:

$$(x_a-a)(x-a)+(y_b-b)(y-b)=r^2$$

$$(2-1)(x-1)+(-3+6)(y+6)=10$$

I obliczamy:

$$x-1+3(y+6)=10$$

$$x-1+3y+18=10$$

$$x+3y+7=0$$
 

Uwaga!

- W przypadku tego działu mamy do czynienia z geometrią analityczną, nie warto tutaj robić za dużo rysunków w przeciwieństwie do typowej planimetrii

- Wzór na okręg jest zawarty w karcie wzorów maturalnych
 

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Dane są punkty S = (2, 1), M = (6, 4). Równanie okręgu o środku S i przechodzącego przez punkt M ma postać.

Do równania okręgu potrzebujemy znać jego środek oraz promień, i oczywiście nie mamy promienia.

Wzór ogólny:

$$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$$

Gdzie nasze:

$$a=2$$

$$b=1$$

więc:

$$(x-2)^2+(y-1)^2=r^2$$

Wiemy, że okrąg przechodzi przez punkt M(6;4), a 6 i 4 to nic innego jak współrzędne, więc:

$$x=6$$

$$y=4$$

Podmieniamy:

$$(6-2)^2+(4-1)^2=r^2$$

$$4^2+3^2=r^2$$

$$16+9=r^2$$

$$r^2=25$$

Z racji, że i tak we wzorze występuje promień do kwadratu nie musimy obliczać r Wzór tego okręgu to:

$$(x-2)^2+(y-1)^2=25$$

Zadanie 2.

Sprawdź czy okręgi o danych wzorach są styczne:

$$O_1:$$ $$x^2+y^2=2$$

$$O_2:$$ $$(x-2)^2+(y-2)^2=25$$
 

Aby określić styczność okręgów musimy znać ich odległość ich środków. Przypominamy wzór ogólny:

$$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$$

Środek zajmuje punkty A i B.

Więc dla wzoru pierwszego:

$$O_1:$$ $$x^2+y^2=2$$

$$a_1=0$$

$$b_1=0$$

ponieważ mamy tylko $$x^2+y^2$$

Dla wzoru drugiego:

$$a_2=2$$

$$b_2=2$$

Musimy teraz wyznaczyć odległość tych punktów od siebie, mieliśmy do tego specjalny wzór:

$$d=√{(a_2-a_1 )^2+(b_2-b_1 )^2}$$

Czyli wzór kradziony z twierdzenia Pitagorasa:

$$d=√{2^2+2^2}=√8 $$

Teraz musimy sprawdzić długości promieni:

$$r_1=√2$$

$$r_2=√{25}=5$$

Jak widać ani suma promieni ani ich różnica nie da nam $$√8$$.

$$r_1-r_2≠√8$$

$$r_1+r_2≠√8$$

Zatem okręgi nie są do siebie styczne.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Suma pól dwóch sześciokątów foremnych...

Pole sześciokąta foremnego o boku długości a jest równe sześciokrotnemu polu trójkąta równobocznego o boku długości a:

`P_("sz") = 6P = 6*(a^2sqrt3)/4 = (6a^2sqrt3)/4 = (3a^2sqrt3)/2` 

 

 

Obwód mniejszego z tych sześciokątów wynosi 12:

`O = 12` 

`6a=12` 

`a = 2` 

 

A więc pole mniejszego sześciokąta foremnego wynosi:

`P_("sz") = (3*2^2sqrt3)/2 = 3*2sqrt3 = 6sqrt3` 

 

Zatem:

`P_("sz") + P = 102sqrt3` 

`6sqrt3 + P = 102 sqrt3` 

`P = 96sqrt3 \ ["cm"^2]` 

 

 

Stosunek pól sześciokątów foremnych jest równy kwadratowi skali podobieństwa:

`P/P_("sz") = k^2` 

`(96sqrt3)/(6sqrt3) = k^2` 

`k^2 = 16` 

`k = 4` 

 

Skoro większy do mniejszego jest podobny w skali 4 to mniejszy do większego jest podobny w skali 1/4

Odpowiedź C 

Oblicz pole wycinka koła, korzystając z danych

a)

Pole wycinka koła obliczamy ze wzoru:

`P=(alpha)/(360^o)*pir^2`

`P=(270^o)/(360^o)*pir^2=3/4*pi8^2=ul(ul(48pi))`

b)

Obliczymy obwód okręgu, gdyż znając długość łuku i długość całego okręgu możemy obliczyć kąt rozwarcia tego łuku

`O=2*pi*10=20pi`

`(alpha)/(360^o)=(8pi)/(20pi)=4/10`

`P=(alpha)/(360^o)*pir^2=4/10*pi10^2=ul(ul(40pi))`

c)

Do obliczenia pola wycinka brakuje nam długości promienia. Obliczamy promień okręgu wstawiając dane do wzoru na długość łuku.

`d=alpha/(360^o)*2pir`

`12pi= (108^o)/(360^o)*2pir`      `/:pi`

`12= (108^o)/(360^o)*2r`

`12= 3/5r`             `/*5/3`

`12*5/3=r`

`r=60/3=20`

 

`P=(alpha)/(360^o) * pir^2= (108^o)/(360^o)pi20^2=27/90*400 pi=ul(ul(120pi))`

 

 

Wskaż zdania prawdziwe.

A. Każde dwa trójkąty równoboczne są podobne - Prawda

Np. Cecha KKK bo miary kątów są równe.

 

B. Każde dwa trójkąty prostokątne są podobne - Nieprawda

Kontrprzykład:

Trójkąt prostokątny o bokach długości 3, 4, 5 mający miary kątów ostrych 30° i 60°.

Trójkąt prostokątny o bokach długości 1, 1, 2 mający miary kątów ostrych 45° i 45°.

 

C. Każde dwa prostokąty są podobne - Nieprawda

Kontrprzykład

Prostokąt o bokach długości 1, 2.

Prostokąt o bokach długości 1, 3.

 

D. Każde dwa romby są podobne - Nieprawda

Kontrprzykład

Romb o boku 4, który jest kwadratem.

Romb o boku 4, który nie jest kwadratem.

 

E. Każde dwa kwadraty są podobne - Prawda

Np Cecha KKK bo miary kątów są równe.

Na wykresie przedstawiono

`a)` 

Cena akcji w dniu 19.11.2007 wynosiła 51,54 zł. Obliczamy, ile akcji można było kupić tgo dnia za 20 00 zł: 

`20\ 000:51,54=388,048...~~388` 

Najkorzystniej byłoby sprzedać akcje, gdy ich cena była najwyższa (zaraz po 29.11) za około 55,78 zł. Wtedy kwota uzyskana ze sprzedaży akcji byłaby równa: 

`388*55,78=21\ 642,78\ "zł"` 

 

Czyli zysk ze sprzedaży akcji byłby równy około:

`21\ 642,78\ "zł"-20\ 000\ "zł"=1642,78\ "zł"` 

 

Najmniej korzystna byłaby sprzedaż akcji 16.01, gdy cena akcji wynosiła 43,05 zł. Wtedy za sprzedaż 388 akcji dostalibyśmy:

`388*43,05=16\ 703,40\ "zł"` 

 

Czyli strata byłaby równa:

`20\ 000-16\ 703,40=3296,60\ "zł"` 

 

 

 

`b)` 
Wystarczy kupić akcje i sprzedać je po wyższej cenie, na przykład:

  • kupić akce 19.11 i sprzedać 29.11
  • kupić akcje 16.01 i sprzedać 18.02 

 

Aby osiągnąć największy zysk, nalezy zainwestować kwotę 20 000 zł w kupno akcji dnia 16.01. Wtedy można kupić następującą liczbę akcji: 

`20\ 000:43,05=464,576...~~464` 

(zaokrąglamy w dół, bo nie starczy pieniędzy na zakup 465 akcji). 

 

Następnie sprzedać akcje tuż przed 05.02, kiedy cena jest najwyższa i wynosi około: 

`(51,54+47,29):2=98,83:2=49,415~~49,42\ "zł"` 

 

Wtedy za sprzedaż 464 akcji uzyskamy kwotę:

`464*49,42=22\ 930,88\ "zł"` 

 

 

 

Czyli zyskamy łącznie:

`22\ 930,88\ "zł"-20\ 000\ "zł"=2930,88\ "zł"`   

Oblicz x i y

`a)`

  

`2sqrt6=(asqrt3)/2\ \ \ \ |*2`

`asqrt3=4sqrt6\ \ \ \ |:sqrt3`

`a=4sqrt6:sqrt3=4sqrt(6:3)=4sqrt2`

 

`|BC|=a=4sqrt2`

`|CD|=1/2a=1/2*4sqrt2=2sqrt2`

 

`|CD|=|AD|=x=2sqrt2`

`y=xsqrt2=2sqrt2*sqrt2=2*2=4`

 

 

 

`b)`

  

`y=4sqrt2`

`|BD|=|BC|=4`

 

`4=1/2a\ \ \ =>\ \ \ a=4*2=8\ \ \ =>\ \ \ |AB|=(8sqrt3)/2=4sqrt3`

`x=|AD|=|AB|-|DB|=4sqrt3-4=4(sqrt3-1)`

Dane są funkcje f(x)

Zapiszmy wzory funkcji, które otrzymalibyśmy w przekształceniach podanych w podpunktach. 

 

`A.\ y=-f(x)=-sqrt(x+3)ne g(x)`

`B.\ y=-f(-x)=-sqrt(-x+3)ne g(x)`

`C.\ y=f(-x)=sqrt(-x+3)=sqrt(3-x)=g(x)`

`D.`

Odbijając względem osi x, a następnie względem osi y, otrzymamy to samo, co odbijając względem początku układu współrzędnych. 

 

`odp.\ C`

Lądy na ziemi zajmują obszar

Powierzchnie zostały wyrażone w jednakowych jednostkach, więc od razu możemy obliczyć, jakim procentem powierzchni lądów na Ziemi jest powierzchnia Europy:

`(10,4)/(149,1)=104/1491=0,069751...=6,9751...%~~6,98%`

 

Oblicz sumę odwrotności rozwiązań...

`x^2 - 2sqrt2x+1 =0` 

`Delta = (-2sqrt2)^2 -4*1*1 = 4*2 - 4 = 4` 

`sqrtDelta = sqrt4 = 2` 

`x_1 = (-(-2sqrt2) -2)/2 = sqrt2-1` 

`x_1 = sqrt2+1` 

 

Odwrotnościami rozwiązań są liczby:

`1/(x_1) + 1/(x_2) = 1/(sqrt2-1)*(sqrt2+1)/(sqrt2+1) + 1/(sqrt2+1)*(sqrt2-1)/(sqrt2-1) = (sqrt2+1)/(2-1) + (sqrt2-1)/(2-1) = sqrt2+1+sqrt2-1 = 2sqrt2` 

W układzie współrzędnych sporządź wykresy ...

`a)` 

`f(x)=-x^2` 

`g(x)=-1/2 x^2` 

`h(x)=-1/4 x^2` 

`D_(f)=RR`

`D_(g)=RR`

`D(h)=RR` 

`ZW_(f)=(-oo;0]` 

`ZW_(g)=(-oo;0]`  

`ZW_(h)=(-oo;0]`  

`X_(f)-"zbiór miejsc zerowych funkcji f"`

`X_(f)={0}`

`X_(g)={0}`

`X_(h)={0}`

`"Funkcja f jest rosnąca w przedziale"\ (-oo;0]\ "i malejąca w przedziale"\ [0;+oo).`  

`"Funkcja f jest rosnąca w przedziale"\ (-oo;0]\ "i malejąca w przedziale"\ [0;+oo).`  

`"Funkcja f jest rosnąca w przedziale"\ (-oo;0]\ "i malejąca w przedziale"\ [0;+oo).`  

`f_(max)=0`

`g_(max)=0`

`h_(max)=0`

`"Oś Y jest osią symetri funkcji f,g i h."`

`"Żadna funkcja kwadratowa określona na"\ D=RR\ "nie jest różnowartościowa."`

`"Jedno z ramion paraboli funkcji f,g i h znajduję się w III ćwiartce układu współrzędnych. "`

`"Pozostałe ramię znajduje się w III ćwiartce. Ogólnie - ramiona paraboli są zwrócone w dół."`  

 

`b)` 

`f(x)=-x^2` 

`g(x)=-2x^2` 

`h(x)=-3x^2` 

`D_(f)=RR`

`D_(g)=RR` 

`D(h)=RR` 

`ZW_(f)=(-oo;0]`  

`ZW_(g)=(-oo;0]`  

`ZW_(h)=(-oo;0]`  

`X_(f)-"zbiór miejsc zerowych funkcji f"` 

`X_(f)={0}`

`X_(g)={0}` 

`X_(h)={0}` 

`"Funkcja f jest rosnąca w przedziale"\ (-oo;0]\ "i malejąca w przedziale"\ [0;+oo).`  

`"Funkcja f jest rosnąca w przedziale"\ (-oo;0]\ "i malejąca w przedziale"\ [0;+oo).`  

`"Funkcja f jest rosnąca w przedziale"\ (-oo;0]\ "i malejąca w przedziale"\ [0;+oo).`  

`f_(max)=0`

`g_(max)=0`

`h_(max)=0`

`"Oś Y jest osią symetri funkcji f,g i h."`

`"Żadna funkcja kwadratowa określona na"\ D=RR\ "nie jest różnowartościowa."`

`"Jedno z ramion paraboli funkcji f,g i h znajduję się w III ćwiartce układu współrzędnych. "` 

`"Pozostałe ramię znajduje się w III ćwiartce. Ogólnie - ramiona paraboli są zwrócone w dół."`   

 

`"Jeżeli współczynnik przy"\ x^2\ "jest ujemny to ramiona paraboli są zwrócone w dół."` 

`"Jeżeli współczynnik przy"\ x^2\ "jest dodatni to ramiona paraboli są zwrócone w górę."`  

Dany jest wykres funkcji f...

Niech `y=f(x).`Gdy przesuwamy wykres funkcji o wektor `[p,\ q],`to wzór funkcji, którą otrzymaliśmy

po tym przekształceniu wyraża się wzorem `y=f(x-p)+q.`

 

`"a)"\ y=f(x+2),` zatem `p=-2,\ q=0` 

Oznacza to, że by uzyskać wykres tej funkcji, należy przesunąć wykres funkcji `f(x)` o wektor `[-2,\ 0],` 

czyli równolegle do osi `x` o `2` jednostki w lewo.

`"b)"\ y=f(x)+2,` zatem `p=0,\ q=2` 

Oznacza to, że by uzyskać wykres tej funkcji, należy przesunąć wykres funkcji `f(x)` o wektor `[0,\ 2],` 

czyli równolegle do osi `y` o `2` jednostki do góry.

 

`"c)"\ y=f(x-1),` zatem `p=1,\ q=0` 

Oznacza to, że by uzyskać wykres tej funkcji, należy przesunąć wykres funkcji `f(x)` o wektor `[1,\ 0],` 

czyli równolegle do osi `x` o `1` jednostkę w prawo.

 

`"d)"\ y=f(x)-1,` zatem `p=0,\ q=-1` 

Oznacza to, że by uzyskać wykres tej funkcji, należy przesunąć wykres funkcji `f(x)` o wektor `[0,\ -1],` 

czyli równolegle do osi `y` o `1` jednostkę do dołu.