Styczna do okręgu i okręgi styczne - matura-podstawowa - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Styczna do okręgu i okręgi styczne - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Styczna do okręgu i okręgi styczne

Styczna jest to prosta, która styka się z okręgiem w dokładnie jednym punkcie i tworzy z promieniem kąt prosty. Typowa styczna do okręgu wygląda następująco:

img01

Okręgi mogą jeszcze być styczne między sobą, i to na dwa sposoby.
  1. Okręgi styczne zewnętrznie:

    img02

    Odległość środków to suma ich promieni.
     
  2. Okręgi styczne wewnętrznie:

    img03

    Odległością środków jest różnica promieni.
 

Okręgi w układzie współrzędnych

Podstawowy wzór na okrąg to:

$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$

x i y to nasze zmienne, jak w każdym wzorze.

r - promień

a,b - współrzędne środka okręgu

Pozostaje nam jeszcze znajomość wzoru stycznej do okręgu w danym punkcie.

Wzór na styczną przechodzącą przez punkt:

$(x_a-a)(x-a)+(y_b-b)(y-b)=r^2$

Doszły nam dwie zmienne:

$x_a$ oraz $y_b$

Reprezentują one współrzędne punktu przez który przechodzi styczna.

Przykład:

Napisz równanie stycznej do okręgu w punkcie A, gdy:

$A=(2,-3)$, o: $(x-1)^2+(y+6)^2=10$

W tym wypadku mamy tylko i wyłącznie podstawienie do wzoru

$(x_a-a)(x-a)+(y_b-b)(y-b)=r^2$

Znamy:

$x_a=2$

$a=1$

$y_b=-3$

$b=-6$

$r=√{10}$

Pozostaje nam tylko podstawienie:

$(x_a-a)(x-a)+(y_b-b)(y-b)=r^2$

$(2-1)(x-1)+(-3+6)(y+6)=10$

I obliczamy:

$x-1+3(y+6)=10$

$x-1+3y+18=10$

$x+3y+7=0$
 

Uwaga!

- W przypadku tego działu mamy do czynienia z geometrią analityczną, nie warto tutaj robić za dużo rysunków w przeciwieństwie do typowej planimetrii

- Wzór na okręg jest zawarty w karcie wzorów maturalnych
 

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Dane są punkty S = (2, 1), M = (6, 4). Równanie okręgu o środku S i przechodzącego przez punkt M ma postać.

Do równania okręgu potrzebujemy znać jego środek oraz promień, i oczywiście nie mamy promienia.

Wzór ogólny:

$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$

Gdzie nasze:

$a=2$

$b=1$

więc:

$(x-2)^2+(y-1)^2=r^2$

Wiemy, że okrąg przechodzi przez punkt M(6;4), a 6 i 4 to nic innego jak współrzędne, więc:

$x=6$

$y=4$

Podmieniamy:

$(6-2)^2+(4-1)^2=r^2$

$4^2+3^2=r^2$

$16+9=r^2$

$r^2=25$

Z racji, że i tak we wzorze występuje promień do kwadratu nie musimy obliczać r Wzór tego okręgu to:

$(x-2)^2+(y-1)^2=25$

Zadanie 2.

Sprawdź czy okręgi o danych wzorach są styczne:

$O_1:$ $x^2+y^2=2$

$O_2:$ $(x-2)^2+(y-2)^2=25$
 

Aby określić styczność okręgów musimy znać ich odległość ich środków. Przypominamy wzór ogólny:

$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$

Środek zajmuje punkty A i B.

Więc dla wzoru pierwszego:

$O_1:$ $x^2+y^2=2$

$a_1=0$

$b_1=0$

ponieważ mamy tylko $x^2+y^2$

Dla wzoru drugiego:

$a_2=2$

$b_2=2$

Musimy teraz wyznaczyć odległość tych punktów od siebie, mieliśmy do tego specjalny wzór:

$d=√{(a_2-a_1 )^2+(b_2-b_1 )^2}$

Czyli wzór kradziony z twierdzenia Pitagorasa:

$d=√{2^2+2^2}=√8 $

Teraz musimy sprawdzić długości promieni:

$r_1=√2$

$r_2=√{25}=5$

Jak widać ani suma promieni ani ich różnica nie da nam $√8$.

$r_1-r_2≠√8$

$r_1+r_2≠√8$

Zatem okręgi nie są do siebie styczne.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Cenę roweru obniżono o 20%...

Oznaczmy:

x - początkowa cena roweru


Po obniżce o 20% cena roweru wynosi 80% początkowej ceny, czyli:{premium}

 


Po obniżce o kolejne 30% cena roweru stanowi 70% ceny po pierwszej obniżce, czyli:

 


Obliczamy, o ile procent zmniejszyła się cena w wyniku obu obniżek:

 


Prawidłowa odpowiedź to B.

Na podstawie danych z diagramu...

 Zielona funkcja nie jest monotoniczna w całej dziedzinie, natomiast

w zbiorze  {premium}  funkcja maleje,

w zbiorze  funkcja rośnie.

Czerwona funkcja jest malejąca w całej dziedzinie.

Niebieska funkcja nie jest monotoniczna w całej dziedzinie, natomiast

w zbiorze  funkcja maleje,

w zbiorze  funkcja jest stała.

Żółta funkcja jest malejąca w całej dziedzinie.

 

 W  roku tak. W pozostałych latach mogło się zdarzyć, że były wyższe.

Liczba...

Z własności potęg:{premium}

 


Zdanie A jest fałszywe.

Zdania B i C są prawdziwe.

Przekątne równoległoboku długości...

Rysunek poglądowy:

Wiemy, że:

{premium}  

 

Obliczmy pole trójkąta ABE:

 

 

Pole równoległoboku jest czterokrotnością pola trójkąta:

 

Posługując się podanym obok twierdzeniem ...

Wyznaczamy sześć kolejnych przybliżeń liczby , korzystając z podanego obok twierdzenia. 

  {premium}


 


 


 


 


 

Wskaż liczbę największą.

Prawidłowa odpowiedź to B, ponieważ{premium}

 

 

 

 

 

Dziedziną funkcji f określonej wzorem...

Zauważmy, że w przedziale (2, +∞) liczba 2-x jest {premium}ujemna (bo wstawiając coraz większe liczby w miejsce x, otrzymamy coraz mniejsze wyniki). W takim razie:

 

Mamy więc:

 

Oznacza to, że dla każdego argumentu z dziedziny funkcja f przyjmuje stałą wartość równą 3. Czyli zbiorem wartości tej funkcji jest {3}.


Prawidłowa odpowiedź to C.

Kąt alpha ma miarę: ...

Obliczmy miarę kata  :  {premium}


 

 

 

 


Odp.: C

Zaznacz na osi liczbowej

{premium}

Dla kąta 𝛼...

   {premium}

 

Prawidłowa odpowiedź to