średnia ważona, wariancja i odchylenie standardowe - matura-podstawowa - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

średnia ważona, wariancja i odchylenie standardowe - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

średnia ważona

Średnia ważona różni się nieco od arytmetycznej. Oprócz samej sumy liczb do każdej z nich mamy przypisaną tzw. Wagę, która mówi nam jak bardzo ważna jest w naszej średniej dana liczba - częsty proceder na studiach czy w liceach.

Przykład:

kolokwium "waży" 30% czyli 0,3
egzamin "waży" 70% czyli 0,7

Wszystkie wagi muszą dać w sumie 1!
$0,3+0,7=1$

Załóżmy, że dostaliśmy z kolokwium ocenę 3, a z egzaminu ocenę 5, według średniej arytmetycznej mamy czyste 4. Jak to wygląda przy ważonej?

Waga oceny z kolokwium to:
$0,3$

Więc ocena to:
$0,3×3=0,9$

Waga z egzaminu: 0,7
Ocena:
$0,7×5=3,5$

Zatem razem mamy $3,5+0,9=4,4≈4,5$

Średnią ważoną stosują nawet nauczyciele matematyki, dlatego nawet 5 z kartkówek nie ratuje nas przed dwóją ze sprawdzianu i ocena jest niższa.

Wariancja i odchylenie standardowe

Wariancja (nie mylić z wariacjami, które także mają inne znaczenie niż wariowanie). Wariancja jest to miara rozproszenia liczb wokół średniej, czyli to, jak bardzo od niej odbiegają.

Oznaczamy ją $σ^2$, dlaczego do kwadratu to opowiem później.

Aby ją obliczyć potrzebujemy najpierw średniej arytmetycznej, następnie od każdej liczby odejmujemy średnią i podnosimy wyniki do kwadratu. Na koniec dzielimy sumę kwadratów przez ilość elementów. Czyli:

$x_1, x_2,...,x_n$ - liczby, których rozproszenie chcemy policzyć
$n$ - liczba elementów, które uśredniamy
$s={x_1+x_2+...+x_n}/n$ - średnia arytmetyczna
$σ^2={ {(x_1-s)}^2+{(x_2-s)}^2+...+{(x_n-s)}^2}/n$ - nasza wariancja
A samo odchylenie standardowe to po prostu $σ$, czyli musimy wyciągnąć pierwiastek z wariancji.

Przykład:
Znajdź wariancję i odchylenie standardowe dla liczb 3,5,10,7,1,1.
Zaczynamy od obliczenia średniej arytmetycznej:

Ilość liczb: 6
$s={3+5+10+7+1+1}/6$
$s={27}/6$
$s=4,5$
Teraz obliczmy wariancję. Mamy:
$n=6$
$n=4,5$

$σ^2={ {(x_1-s)}^2+{(x_2-s)}^2+{(x_3-s)}^2+{(x_4-s)}^2+{(x_5-s)}^2+{(x_6-s)}^2}/n$

$σ^2={ {(x_1-4,5)}^2+{(x_2-4,5)}^2+{(x_3-4,5)}^2+{(x_4-4,5)}^2+{(x_5-4,5)}^2+{(x_6-4,5)}^2}/n$

$σ^2={ {(3-4,5)}^2+{(5-4,5)}^2+{(10-4,5)}^2+{(7-4,5)}^2+{(1-4,5)}^2+{(1-4,5)}^2}/n$

$σ^2={ {(-1,5)}^2+{0,5}^2+{5,5}^2+{2,5}^2+{(-3,5)}^2+{(-3,5)}^2}/6$

$σ^2={2,25+0,25++30,25+6,25+12,25+12,25}/6$

$σ^2={63,5}/6≈10,58$

Pozostaje nam obliczyć odchylenie standardowe:

$σ=√{10,58}≈3,25$

 

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Wyznacz średnią ważoną dla liczb w tabeli:

img01

Musimy pomnożyć każdą liczbę przez wagę i zsumować je:

$S_w=2×0,2+5×0,3+1×0,1+6×0,4$

$S_w=0,4+1,5+0,1+2,4=4,4$

Zadanie 2.

Znajdź odchylenie standardowe i wariancję dla liczb z tabeli:

img02

Zacznijmy od średniej arytmetycznej. Liczba elementów $n=4$.

$s={2+8+10+4}/4$

$s={24}/6$

$s=4$

Mamy:

$n=4$

$s=4$

Następnie obliczamy wariancję według wzoru:

$σ^2={ {(x_1-s)}^2+{(x_2-s)}^2+{(x_3-s)}^2+{(x_4-s)}^2}/n$

$σ^2={ {(x_1-4)}^2+{(x_2-4)}^2+{(x_3-4)}^2+{(x_4-4)}^2}/4$

$σ^2={ {(2-4)}^2+{(8-4)}^2+{(10-4)}^2+{(4-4)}^2}/4$

$σ^2={ {(-2)}^2+4^2+6^2+0^2}/4$

$σ^2={4+16+36}/4$

$σ^2={56}/4=14$

Pozostaje nam obliczyć odchylenie standardowe czyli pierwiastek z wariancji:

$σ=√14≈3,74$

Zadanie 3.

Wykres poniżej przedstawia sprzedaż pewnego produktu:

wyk1

Znajdź średnią ilość sprzedanych sztuk w tych latach, wariancję i odchylenie standardowe.

Zadanie wręcz identyczne jak zadanie 2, jedyne co więcej musimy zrobić, to odczytać liczby z wykresu, co przedstawione zostało na tabelce poniżej:

img03

Następnie postępujemy tak samo, nie zwracamy uwagi na rok. Średnia:

$s={11+12+13+14}/4$

$s={50}/4$

$s=12,5$

Wariancja:

$σ^2={ {(x_1-s)}^2+{(x_2-s)}^2+{(x_3-s)}^2+{(x_4-s)}^2}/n$

$σ^2={ {(x_1-12,5)}^2+{(x_2-12,5)}^2+{(x_3-12,5)}^2+{(x_4-12,5)}^2}/4$

$σ^2={ {(11-12,5)}^2+{(12-12,5)}^2+{(13-12,5)}^2+{(14-12,5)}^2}/4$

$σ^2={ {(-1,5)}^2+{(-0,5)}^2+{0,5}^2+{1,5}^2}/4$

$σ^2={2,25+0,25+0,25+2,25}/4$

$σ^2=6/4=1,5$

Pozostaje nam obliczyć odchylenie standardowe czyli pierwiastek z wariancji:

$σ=√{1,5}≈1,22$

Spis treści

Rozwiązane zadania
Dana jest liczba sześciocyfrowa ...

a) Liczba jest podzielna przez 3, gdy suma jej cyfr dzieli się przez 3. 

Obliczamy ile wynosi suma cyfr podanej liczby (bez uwzględniania cyfry jedności, bo jej nie znamy)

 

Zastanówmy się jaką cyfrę można wpisać w miejsce x, aby otrzymać liczbę podzielną przez 3. 

  • x = 1 

    Suma cyfr liczby: 20 + 1 = 21,  21 : 3 = 7 

    Jeśli w miejsce x wstawimy 1, to suma cyfr będzie dzielić się przez 3, więc dana liczb będzie dzielić się przez 3. {premium}

  • x = 4 

    Suma cyfr liczby: 20 + 4 = 24,  24 : 3 = 8 

    Jeśli w miejsce x wstawimy 4, to suma cyfr będzie dzielić się przez 3, więc dana liczb będzie dzielić się przez 3. 

  • x = 7 

    Suma cyfr liczby: 20 + 7 = 27,  27 : 3 = 9 

    Jeśli w miejsce x wstawimy 7, to suma cyfr będzie dzielić się przez 3, więc dana liczb będzie dzielić się przez 3. 

Szukana liczba może wynosić:

654 321,  654 324,  654 327

 

b) Liczba jest podzielna przez 4, gdy jej dwie ostatnie cyfry tworzą liczbę podzielną przez 4. 

Liczba ma postać 654 32x. 

Zastanówmy się jakie cyfry można wpisać w miejsce x, gdy otrzymać liczbę podzielną przez 4. 

  • x = 0 

    Dwie ostatnie cyfry utworzą liczbę: 20,  20 : 4 = 5 

    Jeśli w miejsce x wstawimy 0, to dwie ostatnie cyfry utworzą liczbę podzielną przez 4, więc dana liczba będzie dzielić się przez 4. 

  • x = 4 

    Dwie ostatnie cyfry utworzą liczbę: 24,  24 : 4 = 6 

    Jeśli w miejsce x wstawimy 4, to dwie ostatnie cyfry utworzą liczbę podzielną przez 4, więc dana liczba będzie dzielić się przez 4. 

  • x = 8 

    Dwie ostatnie cyfry utworzą liczbę: 28,  28 : 4 = 7 

    Jeśli w miejsce x wstawimy 8, to dwie ostatnie cyfry utworzą liczbę podzielną przez 4, więc dana liczba będzie dzielić się przez 4. 

Szukana liczba może wynosić: 

654 320,  654 324,   654 328

 

c) Liczba jest podzielna przez 5, gdy jej ostatnią cyfrą jest 0 lub 5. 

Oznacza to, że w miejsce x możemy wstawić 0 lub 5.

Szukana liczba może wynosić: 

654 320,  654 325

 

d) Liczba jest podzielna przez 8, gdy jej trzy ostatnie cyfry tworzą liczbę podzielną przez 8. 

Liczba ma postać 654 32x. 

Zastanówmy się jakie cyfry można wpisać w miejsce x, aby otrzymać liczbę podzielną przez 8. 

  • x = 0 

    Trzy ostatnie cyfry tworzą liczbę: 320,  320 : 8 = 40

    Jeśli w miejsce x wstawimy 0, to trzy ostatnie cyfry utworzą liczbę podzielną przez 8, więc dana liczba będzie dzielić się przez 8. 

  • x = 8 

    Trzy ostatnie cyfry tworzą liczbę: 328,  328 : 8 = 41

    Jeśli w miejsce x wstawimy 8, to trzy ostatnie cyfry utworzą liczbę podzielną przez 8, więc dana liczba będzie dzielić się przez 8. 

Szukana liczba może wynosić: 

654 320,  654 328

 

e) Liczba jest podzielna przez 9, gdy suma jej cyfr dzieli się przez 9. 

Obliczamy ile wynosi suma cyfr podanej liczby (bez uwzględniania cyfry jedności, bo jej nie znamy)

 

Zastanówmy się jaką cyfrę można wpisać w miejsce x, aby otrzymać liczbę podzielną przez 9. 

  • x = 7 

    Suma cyfr liczby: 20 + 7 = 27,  27 : 9 = 3

    Jeśli w miejsce x wstawimy 7, to suma cyfr będzie dzielić się przez 9, więc dana liczb będzie dzielić się przez 9. 

Szukana liczba może wynosić:

654 327

Na rysunku obok proste a i b...

Kąt między kątem  i kątem prostym jest kątem naprzemianległym wewnętrznie

do kąta przyległego do kąta Zatem{premium} ma miarę 

 

Katy  tworzą kąt półpełny. Stąd:

 

 

 

 

Prawidłowa odpowiedź to B.

Do dziedziny funkcji ...

    {premium}

 

 

Zatem do dziedziny tej funkcji należy liczba 4.

 

Odp. B

Dane są funkcje f(x)= ...

 

 

{premium}  

 

 

   

 

   

 

 

Z miejscowości A do oddalonej...

a) Oznaczmy:

t - czas jazdy

s - przebyta droga

Obliczamy, ile czasu potrzeba{premium} na przejechanie odległości 40 km z prędkością 16 km/h:

 


Wiemy, że przebyta droga jest iloczynem czasu i prędkości. Rowerzysta jadący z A oddala się od A, więc po czasie t będzie znajdował się w odległości 16t od A, a po 2,5 godzinach dojedzie do B.

Rowerzysta jadący z B na początku znajduje się w odległości 40 km od A i zbliża się do A, więc po czasie t będzie znajdował się w odległości 40-16t km od A.

W takim razie odległość rowerzysty jadącego z A określona jest wzorem s=16t, gdzie t ∈ <0; 2,5> natomiast odległość rowerzysty jadącego do A wyraża wzór s=40-16t, gdzie t ∈ <0; 2,5>.


Szkicujemy wykresy funkcji we wspólnym układzie współrzędnych.



b) Obliczamy odległość między rowerzystami:

 


Obliczamy, po jakim czasie od chwili rozpoczęcia podróży odległość między rowerzystami była równa 8 km:

 

 

 

 

Odp. Odległość między rowerzystami była równa 8 km po 1 h oraz po 1,5 h od chwili rozpoczęcia podróży.

Rozwiąż równania:

 

 

 

 

     {premium}


 

 

 

 

 

 

 


  

 

 

 

 

 

 


 

 

 

 

Równanie sprzeczne.


 

 

 

 

 

 


 

 

 

 

 

 

 


 

 

 

 

 

 

 

 


 

 

 

 

 

 

 

Tomek drogę do szkoły pokonuje pieszo oraz autobusem

  

Tomek wychodzi z domu o 7:20. 

 

Na przystanek idzie 10 minut ze średnią prędkością 5 km/h. Oznacza to, że na przystanku znajduje się o 7:30. 

Prędkość 5 km/h oznacza, że w ciągu 1 godziny (czyli 60 minut) Tomek pokonałby 5 kilometrów. 

Obliczamy, jaką odległość pokona w czasie 10 minut:

 

 

{premium}  

 

 

 

 

Następnie czeka 5 minut na autobus (czyli czeka do 7:35) - jego odległość od domu w tym czasie nie zmienia się. 

 

Potem jedzie autobusem przez 10 minut (czyli do 7:45) z prędkością 50 km/h. Prędkość 50 km/h oznacza, że w ciągu 1 godziny Tomek pokonałby 50 km. Obliczamy, jaką odległość pokona w czasie 10 minut: 

 

 

 

 

 

 

Pozostałą część drogi Tomek pokonuje pieszo w czasie 5 minut (czyli do 7:50) z prędkością 5 km/h. Prędkość 5 km/h oznacza, że w ciągu 1 godziny Tomek pokonałby 5 km. Obliczamy, jaką odległość pokonał Tomek w czasie 5 minut:

 

 

 

 

     

   

 

 

 

 

 

 

Z porzedniego podpunktu wiemy już, jaką odległość pokonał Tomek: 

 

I w takiej odległości od domu znajduje się na początku. 

Tomek idzie na przystanek 5 minut i pokonuje  km. Na przystanku znajduje się o 14:35. 

Przez 10 minut, czyli do 14:45 czeka na autobus. 

Następnie jedzie autobusem przez 10 minut (czyli do 14:55) i pokonuje  km.

Wraca do domu - idzie przez 10 minut, pokonując  km. W domu znajduje się o 15:05.

 

Liczba 20 jest sumą dwóch składników...

a) Liczba 20 jest sumą dwóch składników. Jeden z nich jest równy x, więc drugi składnik jest równy{premium} 20-x.

Obliczamy sumę kwadratów tych składników:

 

Składniki x oraz 20-x są dowolnymi liczbami rzeczywistymi, więc szukana funkcja dana jest wzorem:

 


b) Obliczamy wartość funkcji dla argumentu x=2:

 

Obliczamy wartość funkcji dla argumentu x=4:

 


c) Przekształcamy wzór funkcji f do postaci kanonicznej:

 

Wzór funkcji f w postaci kanonicznej:

 


d) Współczynnik przy x2 we wzorze funkcji f jest dodatni, więc ramiona paraboli są skierowane do góry. W takim razie funkcja przyjmuje wartość najmniejszą w wierzchołku paraboli. Ze wzoru funkcji w postaci kanonicznej odczytujemy, że wierzchołkiem paraboli jest punkt (10, 200). Oznacza to, że funkcja f przyjmuje najmniejszą wartość, równą 200, dla argumentu 10.

Zapisz trzy kolejne liczby naturalne...

 {premium}

 

Wzór m=25(h-100)/26 opisuje zależność między

Podstawiamy do wzoru wagę m=75kg

{premium}