średnia ważona, wariancja i odchylenie standardowe - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

średnia ważona

Średnia ważona różni się nieco od arytmetycznej. Oprócz samej sumy liczb do każdej z nich mamy przypisaną tzw. Wagę, która mówi nam jak bardzo ważna jest w naszej średniej dana liczba - częsty proceder na studiach czy w liceach.

Przykład:

kolokwium "waży" 30% czyli 0,3
egzamin "waży" 70% czyli 0,7

Wszystkie wagi muszą dać w sumie 1!
$$0,3+0,7=1$$

Załóżmy, że dostaliśmy z kolokwium ocenę 3, a z egzaminu ocenę 5, według średniej arytmetycznej mamy czyste 4. Jak to wygląda przy ważonej?

Waga oceny z kolokwium to:
$$0,3$$

Więc ocena to:
$$0,3×3=0,9$$

Waga z egzaminu: 0,7
Ocena:
$$0,7×5=3,5$$

Zatem razem mamy $$3,5+0,9=4,4≈4,5$$

Średnią ważoną stosują nawet nauczyciele matematyki, dlatego nawet 5 z kartkówek nie ratuje nas przed dwóją ze sprawdzianu i ocena jest niższa.

Wariancja i odchylenie standardowe

Wariancja (nie mylić z wariacjami, które także mają inne znaczenie niż wariowanie). Wariancja jest to miara rozproszenia liczb wokół średniej, czyli to, jak bardzo od niej odbiegają.

Oznaczamy ją $$σ^2$$, dlaczego do kwadratu to opowiem później.

Aby ją obliczyć potrzebujemy najpierw średniej arytmetycznej, następnie od każdej liczby odejmujemy średnią i podnosimy wyniki do kwadratu. Na koniec dzielimy sumę kwadratów przez ilość elementów. Czyli:

$$x_1, x_2,...,x_n$$ - liczby, których rozproszenie chcemy policzyć
$$n$$ - liczba elementów, które uśredniamy
$$s={x_1+x_2+...+x_n}/n$$ - średnia arytmetyczna
$$σ^2={ {(x_1-s)}^2+{(x_2-s)}^2+...+{(x_n-s)}^2}/n$$ - nasza wariancja
A samo odchylenie standardowe to po prostu $$σ$$, czyli musimy wyciągnąć pierwiastek z wariancji.

Przykład:
Znajdź wariancję i odchylenie standardowe dla liczb 3,5,10,7,1,1.
Zaczynamy od obliczenia średniej arytmetycznej:

Ilość liczb: 6
$$s={3+5+10+7+1+1}/6$$
$$s={27}/6$$
$$s=4,5$$
Teraz obliczmy wariancję. Mamy:
$$n=6$$
$$n=4,5$$

$$σ^2={ {(x_1-s)}^2+{(x_2-s)}^2+{(x_3-s)}^2+{(x_4-s)}^2+{(x_5-s)}^2+{(x_6-s)}^2}/n$$

$$σ^2={ {(x_1-4,5)}^2+{(x_2-4,5)}^2+{(x_3-4,5)}^2+{(x_4-4,5)}^2+{(x_5-4,5)}^2+{(x_6-4,5)}^2}/n$$

$$σ^2={ {(3-4,5)}^2+{(5-4,5)}^2+{(10-4,5)}^2+{(7-4,5)}^2+{(1-4,5)}^2+{(1-4,5)}^2}/n$$

$$σ^2={ {(-1,5)}^2+{0,5}^2+{5,5}^2+{2,5}^2+{(-3,5)}^2+{(-3,5)}^2}/6$$

$$σ^2={2,25+0,25++30,25+6,25+12,25+12,25}/6$$

$$σ^2={63,5}/6≈10,58$$

Pozostaje nam obliczyć odchylenie standardowe:

$$σ=√{10,58}≈3,25$$

 

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Wyznacz średnią ważoną dla liczb w tabeli:

img01

Musimy pomnożyć każdą liczbę przez wagę i zsumować je:

$$S_w=2×0,2+5×0,3+1×0,1+6×0,4$$

$$S_w=0,4+1,5+0,1+2,4=4,4$$

Zadanie 2.

Znajdź odchylenie standardowe i wariancję dla liczb z tabeli:

img02

Zacznijmy od średniej arytmetycznej. Liczba elementów $$n=4$$.

$$s={2+8+10+4}/4$$

$$s={24}/6$$

$$s=4$$

Mamy:

$$n=4$$

$$s=4$$

Następnie obliczamy wariancję według wzoru:

$$σ^2={ {(x_1-s)}^2+{(x_2-s)}^2+{(x_3-s)}^2+{(x_4-s)}^2}/n$$

$$σ^2={ {(x_1-4)}^2+{(x_2-4)}^2+{(x_3-4)}^2+{(x_4-4)}^2}/4$$

$$σ^2={ {(2-4)}^2+{(8-4)}^2+{(10-4)}^2+{(4-4)}^2}/4$$

$$σ^2={ {(-2)}^2+4^2+6^2+0^2}/4$$

$$σ^2={4+16+36}/4$$

$$σ^2={56}/4=14$$

Pozostaje nam obliczyć odchylenie standardowe czyli pierwiastek z wariancji:

$$σ=√14≈3,74$$

Zadanie 3.

Wykres poniżej przedstawia sprzedaż pewnego produktu:

wyk1

Znajdź średnią ilość sprzedanych sztuk w tych latach, wariancję i odchylenie standardowe.

Zadanie wręcz identyczne jak zadanie 2, jedyne co więcej musimy zrobić, to odczytać liczby z wykresu, co przedstawione zostało na tabelce poniżej:

img03

Następnie postępujemy tak samo, nie zwracamy uwagi na rok. Średnia:

$$s={11+12+13+14}/4$$

$$s={50}/4$$

$$s=12,5$$

Wariancja:

$$σ^2={ {(x_1-s)}^2+{(x_2-s)}^2+{(x_3-s)}^2+{(x_4-s)}^2}/n$$

$$σ^2={ {(x_1-12,5)}^2+{(x_2-12,5)}^2+{(x_3-12,5)}^2+{(x_4-12,5)}^2}/4$$

$$σ^2={ {(11-12,5)}^2+{(12-12,5)}^2+{(13-12,5)}^2+{(14-12,5)}^2}/4$$

$$σ^2={ {(-1,5)}^2+{(-0,5)}^2+{0,5}^2+{1,5}^2}/4$$

$$σ^2={2,25+0,25+0,25+2,25}/4$$

$$σ^2=6/4=1,5$$

Pozostaje nam obliczyć odchylenie standardowe czyli pierwiastek z wariancji:

$$σ=√{1,5}≈1,22$$

Spis treści

Rozwiązane zadania
Określ liczbę pierwiastków równania.

Aby określić liczbę pierwiastków równania wystarczy policzyć `Delta` 

Jeśli `Delta>0` równanie ma 2 pierwiastki.

Jeśli `Delta=0` równanie ma 1 pierwiastek.

Jeśli `Delta<0` równanie nie ma pierwiastków.


a) `9x^2+6x+1=0` 

`Delta=6^2-4*9*1=36-36=0` 

Jeden pierwiastek.


b) `7x+2x^2-10=0` 

`2x^2+7x-10=0` 

`Delta=7^2-4*2*(-10)=49+80=129` 

Dwa pierwiastki.


c) `x^2+4-3x=0` 

`x^2-3x+4=0` 

`Delta=(-3)^2-4*1*4=9-16=-7` 

Brak pierwiastków.


d) `-2+1/4x^2-0,5x=0` 

`1/4x^2-0,5x-2=0` 

`1/4x^2-1/2x-2=0` 

`Delta=(-1/2)^2-4*1/4*(-2)=1/4+2=2 1/4` 

Dwa pierwiastki.


e) `sqrt3x^2-2x+sqrt3/3=0` 

`Delta=(-2)^2-4*sqrt3*sqrt3/3=4-4=0` 

Jeden pierwiastek.


f) `sqrt7x+12x^2+1/6=0` 

`12x^2+sqrt7x+1/6=0` 

`Delta=(sqrt7)^2-4*12*1/6=7-8=-1` 

Brak pierwiastków.


g) `-x^2-16+8x=0` 

`-x^2+8x-16=0` 

`Delta=8^2-4*(-1)*(-16)=64-64=0` 

Jeden pierwiastek.


h) `1/2x-2sqrt2x^2+0,25=0` 

`-2sqrt2x^2+1/2x+1/4=0` 

`Delta=(1/2)^2-4*(-2sqrt2)*1/4=1/4+2sqrt2` 

Dwa pierwiastki.

Na rysunku obok przedstawiono łamaną

`a)`

Wyznaczmy współrzędne dwóch punktów należących do tej prostej i poprowadźmy wykres:

`x=2\ \ \ ->\ \ \ y=1/2*2=1\ \ \ ->\ \ \ "punkt"\ (2;\ 1)`

`x=4\ \ \ ->\ \ \ y=1/2*4=2\ \ \ ->\ \ \ "punkt"\ (4;\ 2)`

Wykres ma 4 punkty wspólne z łamaną - zanzaczono je zielonymi punktami. 

 

 

 

`b)`

Wyznaczmy współrzędne dwóch punktów należących do tej prostej i poprowadźmy wykres:

`x=3\ \ \ ->\ \ \ y=1/3*3=1\ \ \ ->\ \ \ "punkt"\ (3;\ 1)`

`x=6\ \ \ ->\ \ \ y=1/3*6=2\ \ \ ->\ \ \ "punkt"\ (6;\ 2)`

Wykres ma 7 punktów wspólnych z łamaną - zanzaczono je zielonymi punktami. 

 

 

 

`c)`

Wyznaczmy współrzędne dwóch punktów należących do tej prostej i poprowadźmy wykres:

`x=0\ \ \ ->\ \ \ y=4/5*0=0\ \ \ ->\ \ \ "punkt"\ (0;\ 0)`

`x=5\ \ \ ->\ \ \ y=4/5*5=4\ \ \ ->\ \ \ "punkt"\ (5;\ 4)`

Wykres ma 3 punkty wspólne z łamaną - zanzaczono je zielonymi punktami. 

 

 

Teraz chcemy wyznaczyć wartość parametru a, dla którego prosta ma z łamaną 9 puktów wspólnych. Zauważmy, że jeśli prosta będzie przechodzić przez którykolwiek z wyższych wierzchołków, to ilość punktów wspólnych będzie różna od 9:

W pierwszym przypadku mielibyśmy nieskończenie wiele punktów wspólnych, w drugim - trzy punkty wspólne, a w trzecim - 5 punktów wspólnych. 

 

Sprawdźmy teraz sytuacje, gdy prosta przechodzi przez którykolwiek z niższych wierzchołków:

W pierwszym przypadku mamy 7 punktów wspólnych z łamaną, a w drugim - 9 punktów wspólnych. 

Rozwiązaniem jest więc prosta y=ax przechodząca przez punkt (7; 1). Podstawmy współrzędne punktu do równania prostej i wyznaczmy wartość współczynnika a:

`1=a*7\ \ \ |:7`

`ul(ul(a=1/7))`

 

Oblicz (odpowiedź podaj w notacji wykładniczej)

`a)\ (6*10^7)*(2,5*10^-3)=6*2,5*10^(7+(-3))=15*10^4=1,5*10*10^4=1,5*10^5`

`b)\ (4,5*10^-5)*(4,4*10^-11)=4,5*4,4*10^(-5+(-11))=19,8*10^-16=1,98*10*10^-16=1,98*10^-15`

`c)\ (8,4*10^3):(2,1*10^-7)=(8,4*10^-3)/(2,1*10^-7)=(8,4)/(2,1)*(10^-3)/10^-7=84/21*10^(-3-(-7))=4*10^(-3+7)=4*10^4`

Wykres funkcji f(x)=-2x+6 ...

`f(x)=-2x+6` 

`"Wykres funkcji f przesunięto o 3 jednostki w lewo i o jednostkę w górę."` 

`"Podsumowując, wykres funkcji f został przesunięty o wektor [-3;1]."` 

`g(x)-"funkcja, której wykresesm jest wykres funkcji f przesunięty o wektor [-3;1]."` 

 

`g(x)=f(x+3)+1=-2(x+3)+6+1=-2x+1` 

`P=(0;1)` 

`-2*0+1=1 \ implies \ P " należy do wykresu funkcji g."` 

 

`"Odpowiedź A."`  

 

Wymień wszystkie elementy

`a)` 

Pamiętamy, że:

`pi~~3,14` 

Liczby całkowite należące do tego przedziału to: -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3. 

 

`b)` 

`3sqrt2~~3*1,41=4,23` 

Liczby całkowite należące do tego przedziału to 1, 2., 3, 4.

 

 

`c)` 

`sqrt10-1~~3,16-1=2,16` 

Liczby naturalne należące do tego przedziału to 0, 1, 2.

Rozwiąż nierówność

`a)` 

`|x-2|<=4` 

`x-2<=4\ \ \ |+2\ \ \ "i" \ \ \ x-2>= -4\ \ \ |+2` 

`x<=6\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ "i"\ \ \ x>=-2` 

`ul(x in <<-2;\ 6>>)` 

 

Nierówność można było rozwiązać także, analizując jej znaczenie. 

Szukamy takich liczb, które są oddalone od liczby 2 o nie więcej niż 4 jednostki - możemy więc "iść" nie więcej niż 4 jednostki w lewo (2-4=-2) i nie więcej niż 4 jednostki w prawo (2+4=6). 

 

 

 

`b)` 

`|x+3|>5` 

`x+3>5\ \ \ |-3\ \ \ \ "lub"\ \ \ x+3< -5\ \ \ |-3` 

`x>2 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ "lub"\ \ \ x< -8` 

`ul(x in (-infty;\ -8)uu(2;\ +infty))` 

 

Przeanalizujmy zadaną nierówność. Szukamy takich liczb, które są oddalone od -3 o więcej niż 5 jednostek. Możemy więc "iść" więcej niż 5 jednostek w lewo (-3-5=-8) lub więcej niż 5 jednostek w prawo (-3+5=2). 

 

 

`c)` 

`|2-x|<6` 

`2-x<6\ \ \ |-2\ \ \ \ "i"\ \ \ 2-x> -6\ \ \ |-2` 

`-x< 4\ \ \ |*(-1)\ \ \ \ "i"\ \ \ -x> -8\ \ \ |*(-1)` 

`x> -4 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ "i"\ \ \ x<8` 

`ul(x in (-4;\ 8))` 

 

Przeanalizujmy zadaną nierówność. Szukamy takich liczb, których odległość od liczby 2 jest mniejsza niż 6. Możemy więc "iść" mniej niż 6 jednostek w lewo (2-6=-4) i mniej niż 6 jednostek w prawo (2+6=8).

 

 

 

`d)` 

`|3-x|>=1` 

`3-x>=1\ \ \ |-3\ \ \ \ \ "lub"\ \ \ \ \ 3-x<=-1\ \ \ |-3` 

`-x>=-2\ \ \ |*(-1) \ \ \ "lub"\ \ \ \ \ -x<=-4\ \ \ |*(-1)` 

`x<=2\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ "lub"\ \ \ \ \ x>=4` 

`ul(x in (-infty;\ 2>>uu<<4;\ +infty))` 

 

 

Przeanalizujmy zadaną nierówność. Szukamy takich liczb, których odległość od liczby 3 jest nie mniejsza niż 1. Możemy więc "iść" nie mniej niż 1 jednostkę w lewo (3-1=2)  lub nie mniej niż 1 jednostkę w prawo (3+1=4).

Naszkicuj wykres innej funkcji spełniającej te same warunki

Własności funkcji są takie same. 

 

Rozwiąż nierówność

`a)`

Najpierw uprościmy wyrażenia znajdujące się po lewej stronie nierówności. 

`sqrt((4-2sqrt2)^2)=|4-2sqrt2|\ \ #=^(^(4-2sqrt2~~4-2*1,41>0))\ \ 4-2sqrt2`

`sqrt((4-3sqrt2)^2)=|4-3sqrt2|\ \ #=^(^(4-3sqrt2~~4-3*1,41<0))\ \ -(4-3sqrt2)=-4+3sqrt2`

`sqrt((4-2sqrt2)^2)+sqrt((4-3sqrt2)^2)=4-2sqrt2-4+3sqrt2=sqrt2`

 

Przechodzimy do rozwiązania nierówności:

`|x|<=sqrt((4-2sqrt2)^2)+sqrt((4-3sqrt2)^2)`

`|x|<=sqrt2`

Odległość liczby x od zera na osi liczbowej jest nie większa od pierwiastka z dwóch.

`x in <<-sqrt2;\ sqrt2>>`

 

 

 

 

`b)`

Najpierw uprościmy wyrażenia znajdujące się po lewej stronie nierówności. 

`sqrt((3-2sqrt3)^2)=|3-2sqrt3|\ \ #=^(^(3-2sqrt3~~3-2*1,73<0))\ \ -(3-2sqrt3)=-3+2sqrt3`

`sqrt((2sqrt3-2)^2)=|2sqrt3-2|\ \ #=^(^(2sqrt3-2~~2*1,73-2>0))\ \ 2sqrt3-2`

`sqrt((3-2sqrt3)^2)-sqrt((2sqrt3-2)^2)=-3+2sqrt3-(2sqrt3-2)=-3+2sqrt3-2sqrt3+2=-1`

 

Przechodzimy do rozwiązania nierówności:

`|x+1|>=sqrt((3-2sqrt3)^2)-sqrt((2sqrt3-2)^2)`

`|x+1|>=-1`

Wiemy, że wartość bezwzględna przyjmuje wyłącznie wartości nieujemne. Powyższa nierówność będzie więc prawdziwa zawsze.  

`x in RR`

Zapisz warunek, który spełniają liczby należące do danego przedziału

Dla danych zbiorów A, B ...

`"a)"\ A=<<-3;-1),\ \ \ B=<<-1;3)` 

`AcupB=<<-3,3)` 

`AcapB=O/` 

`A\\B=<<-3,-1)` 

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))`

`"b)"\ A=(1,+oo),\ \ \ B=(-oo,2>>`  

`AcupB=(-oo,+oo)=RR`  

`AcapB=(1,2>>`  

`A\\B=(2,+oo)`