średnia ważona, wariancja i odchylenie standardowe - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

średnia ważona

Średnia ważona różni się nieco od arytmetycznej. Oprócz samej sumy liczb do każdej z nich mamy przypisaną tzw. Wagę, która mówi nam jak bardzo ważna jest w naszej średniej dana liczba - częsty proceder na studiach czy w liceach.

Przykład:

kolokwium "waży" 30% czyli 0,3
egzamin "waży" 70% czyli 0,7

Wszystkie wagi muszą dać w sumie 1!
$$0,3+0,7=1$$

Załóżmy, że dostaliśmy z kolokwium ocenę 3, a z egzaminu ocenę 5, według średniej arytmetycznej mamy czyste 4. Jak to wygląda przy ważonej?

Waga oceny z kolokwium to:
$$0,3$$

Więc ocena to:
$$0,3×3=0,9$$

Waga z egzaminu: 0,7
Ocena:
$$0,7×5=3,5$$

Zatem razem mamy $$3,5+0,9=4,4≈4,5$$

Średnią ważoną stosują nawet nauczyciele matematyki, dlatego nawet 5 z kartkówek nie ratuje nas przed dwóją ze sprawdzianu i ocena jest niższa.

Wariancja i odchylenie standardowe

Wariancja (nie mylić z wariacjami, które także mają inne znaczenie niż wariowanie). Wariancja jest to miara rozproszenia liczb wokół średniej, czyli to, jak bardzo od niej odbiegają.

Oznaczamy ją $$σ^2$$, dlaczego do kwadratu to opowiem później.

Aby ją obliczyć potrzebujemy najpierw średniej arytmetycznej, następnie od każdej liczby odejmujemy średnią i podnosimy wyniki do kwadratu. Na koniec dzielimy sumę kwadratów przez ilość elementów. Czyli:

$$x_1, x_2,...,x_n$$ - liczby, których rozproszenie chcemy policzyć
$$n$$ - liczba elementów, które uśredniamy
$$s={x_1+x_2+...+x_n}/n$$ - średnia arytmetyczna
$$σ^2={ {(x_1-s)}^2+{(x_2-s)}^2+...+{(x_n-s)}^2}/n$$ - nasza wariancja
A samo odchylenie standardowe to po prostu $$σ$$, czyli musimy wyciągnąć pierwiastek z wariancji.

Przykład:
Znajdź wariancję i odchylenie standardowe dla liczb 3,5,10,7,1,1.
Zaczynamy od obliczenia średniej arytmetycznej:

Ilość liczb: 6
$$s={3+5+10+7+1+1}/6$$
$$s={27}/6$$
$$s=4,5$$
Teraz obliczmy wariancję. Mamy:
$$n=6$$
$$n=4,5$$

$$σ^2={ {(x_1-s)}^2+{(x_2-s)}^2+{(x_3-s)}^2+{(x_4-s)}^2+{(x_5-s)}^2+{(x_6-s)}^2}/n$$

$$σ^2={ {(x_1-4,5)}^2+{(x_2-4,5)}^2+{(x_3-4,5)}^2+{(x_4-4,5)}^2+{(x_5-4,5)}^2+{(x_6-4,5)}^2}/n$$

$$σ^2={ {(3-4,5)}^2+{(5-4,5)}^2+{(10-4,5)}^2+{(7-4,5)}^2+{(1-4,5)}^2+{(1-4,5)}^2}/n$$

$$σ^2={ {(-1,5)}^2+{0,5}^2+{5,5}^2+{2,5}^2+{(-3,5)}^2+{(-3,5)}^2}/6$$

$$σ^2={2,25+0,25++30,25+6,25+12,25+12,25}/6$$

$$σ^2={63,5}/6≈10,58$$

Pozostaje nam obliczyć odchylenie standardowe:

$$σ=√{10,58}≈3,25$$

 

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Wyznacz średnią ważoną dla liczb w tabeli:

img01

Musimy pomnożyć każdą liczbę przez wagę i zsumować je:

$$S_w=2×0,2+5×0,3+1×0,1+6×0,4$$

$$S_w=0,4+1,5+0,1+2,4=4,4$$

Zadanie 2.

Znajdź odchylenie standardowe i wariancję dla liczb z tabeli:

img02

Zacznijmy od średniej arytmetycznej. Liczba elementów $$n=4$$.

$$s={2+8+10+4}/4$$

$$s={24}/6$$

$$s=4$$

Mamy:

$$n=4$$

$$s=4$$

Następnie obliczamy wariancję według wzoru:

$$σ^2={ {(x_1-s)}^2+{(x_2-s)}^2+{(x_3-s)}^2+{(x_4-s)}^2}/n$$

$$σ^2={ {(x_1-4)}^2+{(x_2-4)}^2+{(x_3-4)}^2+{(x_4-4)}^2}/4$$

$$σ^2={ {(2-4)}^2+{(8-4)}^2+{(10-4)}^2+{(4-4)}^2}/4$$

$$σ^2={ {(-2)}^2+4^2+6^2+0^2}/4$$

$$σ^2={4+16+36}/4$$

$$σ^2={56}/4=14$$

Pozostaje nam obliczyć odchylenie standardowe czyli pierwiastek z wariancji:

$$σ=√14≈3,74$$

Zadanie 3.

Wykres poniżej przedstawia sprzedaż pewnego produktu:

wyk1

Znajdź średnią ilość sprzedanych sztuk w tych latach, wariancję i odchylenie standardowe.

Zadanie wręcz identyczne jak zadanie 2, jedyne co więcej musimy zrobić, to odczytać liczby z wykresu, co przedstawione zostało na tabelce poniżej:

img03

Następnie postępujemy tak samo, nie zwracamy uwagi na rok. Średnia:

$$s={11+12+13+14}/4$$

$$s={50}/4$$

$$s=12,5$$

Wariancja:

$$σ^2={ {(x_1-s)}^2+{(x_2-s)}^2+{(x_3-s)}^2+{(x_4-s)}^2}/n$$

$$σ^2={ {(x_1-12,5)}^2+{(x_2-12,5)}^2+{(x_3-12,5)}^2+{(x_4-12,5)}^2}/4$$

$$σ^2={ {(11-12,5)}^2+{(12-12,5)}^2+{(13-12,5)}^2+{(14-12,5)}^2}/4$$

$$σ^2={ {(-1,5)}^2+{(-0,5)}^2+{0,5}^2+{1,5}^2}/4$$

$$σ^2={2,25+0,25+0,25+2,25}/4$$

$$σ^2=6/4=1,5$$

Pozostaje nam obliczyć odchylenie standardowe czyli pierwiastek z wariancji:

$$σ=√{1,5}≈1,22$$

Spis treści

Rozwiązane zadania
Oblicz f(-2)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  

  

Rozwiąż równanie

 

 

Szukamy liczb, które są oddalone o 6 jednostek od 0 na osi liczbowej. 

 

 

 

 

 

 

 

Szukamy liczb, które są oddalone o 5 jednostek od 0 na osi liczbowej. 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Szukamy liczb, które są oddalone o 2 jednostki od 0 na osi liczbowej. 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Wartość bezwzględna przyjmuje wyłącznie wartości nieujemne, więc powyższe równanie nie ma rozwiązania. 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Szukamy liczb, które są oddalone o 1/3(6+√2) jednostek od 0 na osi liczbowej. 

  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Szukamy liczb, które są oddalone o 0 jednostek od 0 na osi liczbowej. 

  

 

Rozwiąż równanie

 

 

 

 

 

 

Wynik zaokrąglony:

 

Oblicz błąd bezwzględny

 

     

 

    

   

 

 

 
       
       
       

 

Rozwiąż równanie

{premium}

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Kredytobiorca pobrał kredyt w wysokości...

Obliczamy, ile procent odsetek doliczy się po miesiącu:

 


Rozpiszmy zadanie przy pomocy tabelki analogicznej do poprzednich:

kwota zadłużenia wysokość raty kwota odsetek
     
     
     
     {premium}
     
     
     
     
     
     
     
     

Kwota do spłaty to  powiększona o sumę kwot odsetek i jest ona równa sumie wszystkich rat.

Prawdziwe jest więc następujące równanie:

 


Rozwiązujemy równanie:

 

 

 

 

 

 

 


Odp. Wysokość raty to  

Wyznacz liczbę a, dla której równanie...

Przekształćmy dane równanie do postaci, w której wyrażenia z liczbą  będą znajdowały się

po lewej stronie, a pozostałe wyrazy - po prawej stronie.

 

 

 


 Równanie będzie tożsamościowe, gdy jego lewa i prawa strona będą miały taką samą postać.

Porównując obie strony równania zauważamy, że będzie {premium}tak, gdy  i jednocześnie  

Rozwiążmy ten układ warunków:

 

 

 

Równanie jest tożsamościowe dla  


 Równanie będzie sprzeczne, gdy wyrazy ze zmienną  się zredukują, a wyrazy bez zmiennej  

będą miały różne wartości.

Porównując obie strony równania zauważamy, że będzie tak, gdy  i jednocześnie  

Rozwiążmy ten układ warunków:

 

 

 

Równanie jest sprzeczne dla  

Paweł pokonuje drogę do szkoły rowerem...

Jeżeli jadąc rowerem droga w obie strony zajmuje mu 30 minut to znaczy, że w jedną stronę zajmie mu 15 minut.

 

Jeżeli jadąc rowerem i idąc pieszo droga w obie strony zajmuje 45 minut to znaczy, że jadąc rowerem zajmuje 15 minut a idąc pieszo zajmuje 30 minut.

 

Stąd wynika, że jeżeli Paweł będzie w obie strony szedł pieszo to droga do szkoły zajmie mu godzinę.

Znajdź, o ile istnieje, najmniejszą lub największą...

 Dla funkcji  mamy:    

Współczynnik  paraboli jest dodatni, więc ramiona paraboli skierowane są do góry.

Zatem funkcja  przyjmuje wartość najmniejszą w wierzchołku paraboli.

Obliczamy wyróżnik trójmianu kwadratowego:

 

Obliczamy najmniejszą wartość funkcji (rzędną wierzchołka paraboli):

 

   

  

 

 Dla funkcji  mamy:    

Współczynnik  paraboli jest ujemny, więc ramiona paraboli skierowane są do dołu.

Zatem funkcja  przyjmuje wartość nawiększą w wierzchołku paraboli.

Obliczamy wyróżnik trójmianu kwadratowego:

 

Obliczamy najjwiększą wartość funkcji (rzędną wierzchołka paraboli):

 

   

    

Na podstawie fragmentu wykresu funkcji kwadratowej...

Prawidłowa odpowiedź to  Obliczymy drugie miejsce zerowe  by to pokazać.

Odcięta wierzchołka paraboli jest równa  więc mamy: