średnia ważona, wariancja i odchylenie standardowe - matura-podstawowa - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

średnia ważona, wariancja i odchylenie standardowe - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

średnia ważona

Średnia ważona różni się nieco od arytmetycznej. Oprócz samej sumy liczb do każdej z nich mamy przypisaną tzw. Wagę, która mówi nam jak bardzo ważna jest w naszej średniej dana liczba - częsty proceder na studiach czy w liceach.

Przykład:

kolokwium "waży" 30% czyli 0,3
egzamin "waży" 70% czyli 0,7

Wszystkie wagi muszą dać w sumie 1!
$0,3+0,7=1$

Załóżmy, że dostaliśmy z kolokwium ocenę 3, a z egzaminu ocenę 5, według średniej arytmetycznej mamy czyste 4. Jak to wygląda przy ważonej?

Waga oceny z kolokwium to:
$0,3$

Więc ocena to:
$0,3×3=0,9$

Waga z egzaminu: 0,7
Ocena:
$0,7×5=3,5$

Zatem razem mamy $3,5+0,9=4,4≈4,5$

Średnią ważoną stosują nawet nauczyciele matematyki, dlatego nawet 5 z kartkówek nie ratuje nas przed dwóją ze sprawdzianu i ocena jest niższa.

Wariancja i odchylenie standardowe

Wariancja (nie mylić z wariacjami, które także mają inne znaczenie niż wariowanie). Wariancja jest to miara rozproszenia liczb wokół średniej, czyli to, jak bardzo od niej odbiegają.

Oznaczamy ją $σ^2$, dlaczego do kwadratu to opowiem później.

Aby ją obliczyć potrzebujemy najpierw średniej arytmetycznej, następnie od każdej liczby odejmujemy średnią i podnosimy wyniki do kwadratu. Na koniec dzielimy sumę kwadratów przez ilość elementów. Czyli:

$x_1, x_2,...,x_n$ - liczby, których rozproszenie chcemy policzyć
$n$ - liczba elementów, które uśredniamy
$s={x_1+x_2+...+x_n}/n$ - średnia arytmetyczna
$σ^2={ {(x_1-s)}^2+{(x_2-s)}^2+...+{(x_n-s)}^2}/n$ - nasza wariancja
A samo odchylenie standardowe to po prostu $σ$, czyli musimy wyciągnąć pierwiastek z wariancji.

Przykład:
Znajdź wariancję i odchylenie standardowe dla liczb 3,5,10,7,1,1.
Zaczynamy od obliczenia średniej arytmetycznej:

Ilość liczb: 6
$s={3+5+10+7+1+1}/6$
$s={27}/6$
$s=4,5$
Teraz obliczmy wariancję. Mamy:
$n=6$
$n=4,5$

$σ^2={ {(x_1-s)}^2+{(x_2-s)}^2+{(x_3-s)}^2+{(x_4-s)}^2+{(x_5-s)}^2+{(x_6-s)}^2}/n$

$σ^2={ {(x_1-4,5)}^2+{(x_2-4,5)}^2+{(x_3-4,5)}^2+{(x_4-4,5)}^2+{(x_5-4,5)}^2+{(x_6-4,5)}^2}/n$

$σ^2={ {(3-4,5)}^2+{(5-4,5)}^2+{(10-4,5)}^2+{(7-4,5)}^2+{(1-4,5)}^2+{(1-4,5)}^2}/n$

$σ^2={ {(-1,5)}^2+{0,5}^2+{5,5}^2+{2,5}^2+{(-3,5)}^2+{(-3,5)}^2}/6$

$σ^2={2,25+0,25++30,25+6,25+12,25+12,25}/6$

$σ^2={63,5}/6≈10,58$

Pozostaje nam obliczyć odchylenie standardowe:

$σ=√{10,58}≈3,25$

 

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Wyznacz średnią ważoną dla liczb w tabeli:

img01

Musimy pomnożyć każdą liczbę przez wagę i zsumować je:

$S_w=2×0,2+5×0,3+1×0,1+6×0,4$

$S_w=0,4+1,5+0,1+2,4=4,4$

Zadanie 2.

Znajdź odchylenie standardowe i wariancję dla liczb z tabeli:

img02

Zacznijmy od średniej arytmetycznej. Liczba elementów $n=4$.

$s={2+8+10+4}/4$

$s={24}/6$

$s=4$

Mamy:

$n=4$

$s=4$

Następnie obliczamy wariancję według wzoru:

$σ^2={ {(x_1-s)}^2+{(x_2-s)}^2+{(x_3-s)}^2+{(x_4-s)}^2}/n$

$σ^2={ {(x_1-4)}^2+{(x_2-4)}^2+{(x_3-4)}^2+{(x_4-4)}^2}/4$

$σ^2={ {(2-4)}^2+{(8-4)}^2+{(10-4)}^2+{(4-4)}^2}/4$

$σ^2={ {(-2)}^2+4^2+6^2+0^2}/4$

$σ^2={4+16+36}/4$

$σ^2={56}/4=14$

Pozostaje nam obliczyć odchylenie standardowe czyli pierwiastek z wariancji:

$σ=√14≈3,74$

Zadanie 3.

Wykres poniżej przedstawia sprzedaż pewnego produktu:

wyk1

Znajdź średnią ilość sprzedanych sztuk w tych latach, wariancję i odchylenie standardowe.

Zadanie wręcz identyczne jak zadanie 2, jedyne co więcej musimy zrobić, to odczytać liczby z wykresu, co przedstawione zostało na tabelce poniżej:

img03

Następnie postępujemy tak samo, nie zwracamy uwagi na rok. Średnia:

$s={11+12+13+14}/4$

$s={50}/4$

$s=12,5$

Wariancja:

$σ^2={ {(x_1-s)}^2+{(x_2-s)}^2+{(x_3-s)}^2+{(x_4-s)}^2}/n$

$σ^2={ {(x_1-12,5)}^2+{(x_2-12,5)}^2+{(x_3-12,5)}^2+{(x_4-12,5)}^2}/4$

$σ^2={ {(11-12,5)}^2+{(12-12,5)}^2+{(13-12,5)}^2+{(14-12,5)}^2}/4$

$σ^2={ {(-1,5)}^2+{(-0,5)}^2+{0,5}^2+{1,5}^2}/4$

$σ^2={2,25+0,25+0,25+2,25}/4$

$σ^2=6/4=1,5$

Pozostaje nam obliczyć odchylenie standardowe czyli pierwiastek z wariancji:

$σ=√{1,5}≈1,22$

Spis treści

Rozwiązane zadania
Wykres funkcji f przesuń o ...

 

`f(x)=-8x^2` 

 

 

{premium}    

  

 

 

 

`f(x)=1,25x^2` 

 

`g(x)=1,25x^2-2`

 

  

 

 

 

 

`g(x)=3/4(x-1)^2-2` 

  

 

 

 

`f(x)=2,3x^2` 

 

 

`ZW_(g)=[-sqrt5;+oo)`  

  

Jeżeli Danka będzie odkładała do skarbonki...

Oznaczmy szukany czas jako  {premium}   

Kwota miesięcznej składki oraz czas oszczędzania są do siebie odwrotnie proporcjonalne.

Wobec tego prawdziwa jest równość:

 

Wyznaczamy z równania  

`pt=sx\ "/:"\ s`  

      

Odp. Zajmie to Dance  miesięcy.

Uprość wyrażenie i oblicz ...

    {premium}
 

 

 


 
 
 

 

 

Rodzinne miasto Ani zamieszkuje 6050 osób. Wiadomo, że populacja ...

Liczbę osób mieszkających w tym mieście dwa lata temu oznaczmy przez .

Co roku liczba mieszkańców miasta zwiększa się o 10%. Rok temu liczba mieszkańców stanowiła więc 110% liczby osób mieszkających w tym mieście dwa lata temu. Zatem: {premium}

 

W tym roku liczba mieszkańców stanowi więc 110% liczby osób mieszkających w tym mieście roku temu. Zatem:

 


Wiemy, że obecnie miasto zamieszkuje 6050 mieszkańców, więc możemy zapisać:

 

 

 

 


W mieście tym dwa lata temu mieszkało 5000 osób.

Przedstaw w postaci...

Środkiem odcinka o końcach w punktach a i b jest na osi punkt  


Obliczamy środek odcinka (-2, 14):{premium}

 

Środkiem odcinka o końcach w punktach -2 oraz 14 jest punkt 6. Odległość punktu 6 od punktów -2 oraz 14 wynosi 8. Stąd:

 

 

Mamy więc następującą nierówność:

 

Uzasadnij, że jeżeli wyróżnik ...

{premium}   

 

  

  

Kapitał w wysokości 5000 zł został złożony w banku

  

 

{premium}

  

 

 

  

 

 

Przeanalizuj przykład podany ...

 

Podane wyrażenie jest liczbą naturalną, gdy liczba  jest całkowitym dzielnikiem liczby 3. Zatem:

1.   

2.   

3.   

4.   {premium}


 

Podane wyrażenie jest liczbą naturalną, gdy liczba  jest całkowitym dzielnikiem liczby 4. Zatem:

1.   

2.   

3.   

4.   

5.   

6.   


 

Podane wyrażenie jest liczbą naturalną, gdy liczba  jest całkowitym dzielnikiem liczby 6. Zatem:

1.   

2.   

3.   

4.   

5.   

6.   

7.   

8.   


 

Podane wyrażenie jest liczbą naturalną, gdy liczba  jest całkowitym dzielnikiem liczby 8. Zatem:

1.   

2.   

3.   

4.   

5.   

6.   

7.   

8.   

Wyznacz zbiory

{premium}  

Zbiór A to zbiór kolejnych potęg liczby 3 (o wykładniku naturalnym dodatnim). 

 

 

Zbiór B to zbiór dodatnich liczb naturalnych podzielnych przez 9. 

 

Zauważmy, że wszystkie elementy zbioru A poza liczbą 3 to wielokrotności liczby 9, więc wszystkie elementy zbioru A (poza liczbą 3) należą do zbioru B. 

 

 

Wiemy już, że jedyny element zbioru A, który nie należy do zbioru B, to element 3. 

 

 

 

 

 

Jeśli wiesz, że x+y=1 i xy=3, oblicz

                  {premium}

Aby podnieść do kwadratu lewą stronę równania, korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia:

Wstawiamy do równania wartość xy=3

 

 

Uwaga!

Tak naprawdę treść zadania zawiera błąd- źle dobrano dane, ponieważ suma kwadratów dwóch liczb rzeczywistych nie da nam w wyniku liczby ujemnej.