średnia ważona, wariancja i odchylenie standardowe - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

średnia ważona

Średnia ważona różni się nieco od arytmetycznej. Oprócz samej sumy liczb do każdej z nich mamy przypisaną tzw. Wagę, która mówi nam jak bardzo ważna jest w naszej średniej dana liczba - częsty proceder na studiach czy w liceach.

Przykład:

kolokwium "waży" 30% czyli 0,3
egzamin "waży" 70% czyli 0,7

Wszystkie wagi muszą dać w sumie 1!
$$0,3+0,7=1$$

Załóżmy, że dostaliśmy z kolokwium ocenę 3, a z egzaminu ocenę 5, według średniej arytmetycznej mamy czyste 4. Jak to wygląda przy ważonej?

Waga oceny z kolokwium to:
$$0,3$$

Więc ocena to:
$$0,3×3=0,9$$

Waga z egzaminu: 0,7
Ocena:
$$0,7×5=3,5$$

Zatem razem mamy $$3,5+0,9=4,4≈4,5$$

Średnią ważoną stosują nawet nauczyciele matematyki, dlatego nawet 5 z kartkówek nie ratuje nas przed dwóją ze sprawdzianu i ocena jest niższa.

Wariancja i odchylenie standardowe

Wariancja (nie mylić z wariacjami, które także mają inne znaczenie niż wariowanie). Wariancja jest to miara rozproszenia liczb wokół średniej, czyli to, jak bardzo od niej odbiegają.

Oznaczamy ją $$σ^2$$, dlaczego do kwadratu to opowiem później.

Aby ją obliczyć potrzebujemy najpierw średniej arytmetycznej, następnie od każdej liczby odejmujemy średnią i podnosimy wyniki do kwadratu. Na koniec dzielimy sumę kwadratów przez ilość elementów. Czyli:

$$x_1, x_2,...,x_n$$ - liczby, których rozproszenie chcemy policzyć
$$n$$ - liczba elementów, które uśredniamy
$$s={x_1+x_2+...+x_n}/n$$ - średnia arytmetyczna
$$σ^2={ {(x_1-s)}^2+{(x_2-s)}^2+...+{(x_n-s)}^2}/n$$ - nasza wariancja
A samo odchylenie standardowe to po prostu $$σ$$, czyli musimy wyciągnąć pierwiastek z wariancji.

Przykład:
Znajdź wariancję i odchylenie standardowe dla liczb 3,5,10,7,1,1.
Zaczynamy od obliczenia średniej arytmetycznej:

Ilość liczb: 6
$$s={3+5+10+7+1+1}/6$$
$$s={27}/6$$
$$s=4,5$$
Teraz obliczmy wariancję. Mamy:
$$n=6$$
$$n=4,5$$

$$σ^2={ {(x_1-s)}^2+{(x_2-s)}^2+{(x_3-s)}^2+{(x_4-s)}^2+{(x_5-s)}^2+{(x_6-s)}^2}/n$$

$$σ^2={ {(x_1-4,5)}^2+{(x_2-4,5)}^2+{(x_3-4,5)}^2+{(x_4-4,5)}^2+{(x_5-4,5)}^2+{(x_6-4,5)}^2}/n$$

$$σ^2={ {(3-4,5)}^2+{(5-4,5)}^2+{(10-4,5)}^2+{(7-4,5)}^2+{(1-4,5)}^2+{(1-4,5)}^2}/n$$

$$σ^2={ {(-1,5)}^2+{0,5}^2+{5,5}^2+{2,5}^2+{(-3,5)}^2+{(-3,5)}^2}/6$$

$$σ^2={2,25+0,25++30,25+6,25+12,25+12,25}/6$$

$$σ^2={63,5}/6≈10,58$$

Pozostaje nam obliczyć odchylenie standardowe:

$$σ=√{10,58}≈3,25$$

 

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Wyznacz średnią ważoną dla liczb w tabeli:

img01

Musimy pomnożyć każdą liczbę przez wagę i zsumować je:

$$S_w=2×0,2+5×0,3+1×0,1+6×0,4$$

$$S_w=0,4+1,5+0,1+2,4=4,4$$

Zadanie 2.

Znajdź odchylenie standardowe i wariancję dla liczb z tabeli:

img02

Zacznijmy od średniej arytmetycznej. Liczba elementów $$n=4$$.

$$s={2+8+10+4}/4$$

$$s={24}/6$$

$$s=4$$

Mamy:

$$n=4$$

$$s=4$$

Następnie obliczamy wariancję według wzoru:

$$σ^2={ {(x_1-s)}^2+{(x_2-s)}^2+{(x_3-s)}^2+{(x_4-s)}^2}/n$$

$$σ^2={ {(x_1-4)}^2+{(x_2-4)}^2+{(x_3-4)}^2+{(x_4-4)}^2}/4$$

$$σ^2={ {(2-4)}^2+{(8-4)}^2+{(10-4)}^2+{(4-4)}^2}/4$$

$$σ^2={ {(-2)}^2+4^2+6^2+0^2}/4$$

$$σ^2={4+16+36}/4$$

$$σ^2={56}/4=14$$

Pozostaje nam obliczyć odchylenie standardowe czyli pierwiastek z wariancji:

$$σ=√14≈3,74$$

Zadanie 3.

Wykres poniżej przedstawia sprzedaż pewnego produktu:

wyk1

Znajdź średnią ilość sprzedanych sztuk w tych latach, wariancję i odchylenie standardowe.

Zadanie wręcz identyczne jak zadanie 2, jedyne co więcej musimy zrobić, to odczytać liczby z wykresu, co przedstawione zostało na tabelce poniżej:

img03

Następnie postępujemy tak samo, nie zwracamy uwagi na rok. Średnia:

$$s={11+12+13+14}/4$$

$$s={50}/4$$

$$s=12,5$$

Wariancja:

$$σ^2={ {(x_1-s)}^2+{(x_2-s)}^2+{(x_3-s)}^2+{(x_4-s)}^2}/n$$

$$σ^2={ {(x_1-12,5)}^2+{(x_2-12,5)}^2+{(x_3-12,5)}^2+{(x_4-12,5)}^2}/4$$

$$σ^2={ {(11-12,5)}^2+{(12-12,5)}^2+{(13-12,5)}^2+{(14-12,5)}^2}/4$$

$$σ^2={ {(-1,5)}^2+{(-0,5)}^2+{0,5}^2+{1,5}^2}/4$$

$$σ^2={2,25+0,25+0,25+2,25}/4$$

$$σ^2=6/4=1,5$$

Pozostaje nam obliczyć odchylenie standardowe czyli pierwiastek z wariancji:

$$σ=√{1,5}≈1,22$$

Spis treści

Rozwiązane zadania
Budujemy liczbę w taki sposób...

Zauważmy, że okres liczby wynosi 9. Czyli skoro na dziewiątym miejscu jest cyfra 9 to znaczy, że na osiemnastym miejscu tez jest liczba 9 i tak dalej.

 

a) na czterdziestym piątym miejscu jest cyfra 9. Czyli kolejne cyfry to:

`1 \ , \ 2 \ , \ 3 \ , \ 4 \ , \ underline(5)` 

A więc na pięćdziesiątym miejscu stoi cyfra 5.

 

b) na siedemdziesiątym drugim miejscu jest cyfra 9. Czyli kolejne cyfry to:

`1 \ , \ 2 \ , \ underline(3)` 

A więc na siedemdziesiątym piątym miejscu stoi cyfra 3.

 

c) Na dziewięćdziesiątym dziewiątym miejscu jest cyfra 9 a więc na setnym miejscu stoi cyfra 1.

Wykaż prawdziwość podanego wzoru

Dla n=5 wzór jest postaci: 

`(a-1)(1+a+a^2+a^3+a^4)=a^5-1`

 

Aby udowodnić wzór rozpiszemy lewą stronę równości i w ten sposób dojdziemy do jej lewej strony:

`(a-1)(1+a+a^2+a^3+a^4)=a*(1+a+a^2+a^3+a^4)-1*(1+a+a^2+a^3+a^4)=`

`=a+a^2+a^3+a^4+a^5-1-a-a^2-a^3-a^4=a^5-1`

 

Funkcja f osiąga wartość największą...

`"a)"` Wykres funkcji `f` przesuwamy o `1` jednostkę w lewo.

Zatem funkcja `y=f(x+1)` osiąga wartość największą równą `7` dla `x=-4.`       

`"b)"` Wykres funkcji `f` przesuwamy o `10` jednostkę w prawo.

Zatem funkcja `y=f(x-10)` osiąga wartość największą równą `7` dla `x=7.`   

`"c)"` Wykres funkcji `f` przesuwamy o `5` jednostek w górę.

Zatem funkcja `y=f(x)+5` osiąga wartość największą równą `12` dla `x=-3.`    

`"d)"` Wykres funkcji `f` przesuwamy o `9` jednostek w dół.

Zatem funkcja `y=f(x)-9` osiąga wartość największą równą `-2` dla `x=-3.`  

W okrąg...

Pamiętajmy, że promień okręgu opisanego na trójkącie stanowi 2/3 wysokości tego trójkąta:

`R = 2/3 h` 

 

Promień naszego okręgu wynosi:

`R^2 = 20` 

`R = sqrt20 = sqrt4*sqrt5 = 2sqrt5` 

czyli

`2sqrt5 = 2/3h` 

`h = 2sqrt5*3/2 = 3sqrt5` 

 

Znając długość wysokości łatwo obliczyć długość boku trójkąta równobocznego, gdyż:

`h = (asqrt3)/2` 

`3sqrt5 = (asqrt3)/2` 

`a = 3sqrt5 *2/sqrt3 = (6sqrt5)/sqrt3*sqrt3/sqrt3 = (6sqrt15)/3 = 2sqrt15` 

 

Wyznaczmy równanie okręgu o promieniu długości boku naszego trójkąta o środku w punkcie A=(-3,4).

 

`(x+3)^2 + (y-4)^2 = (2sqrt15)^2` 

`(x+3)^2 +(y-4)^2 = 60` 

 

Wyznaczmy punkty przecięcia się okręgów:

`{((x-1)^2+(y-2)^2=20),((x+3)^2+(y-4)^2=60):}` 

`{(x^2-2x+1+y^2-4y+4 = 20),(x^2+6x+9+y^2-8y+16=60):}` 

`underline(underline(stackrel(\)(-) \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \))` 

`-8x-8+4y-12=-40` 

`-8x-20+4y=-40` 

`4y = 8x-20` 

`y = 2x -5` 

 

Otrzymana prosta zawiera punkty przecięcia się dwóch okręgów. Wystarczy zatem podstawić jej równanie pod którykolwiek z okręgów by wyznaczyć te punkty.

 

`{((x-1)^2+(y-2)^2=20),(y=2x-5):}` 

Podstawmy drugie równanie pod pierwsze:

`(x-1)^2 + (2x-5-2)^2 = 20`  

`(x-1)^2 + (2x-7)^2 = 20` 

`x^2-2x+1 + 4x^2 -28x + 49 = 20` 

`5x^2 -30x + 50 = 20` 

`5x^2 -30x +30 =0` 

`x^2 - 6x +6=0` 

`Delta = (-6)^2 -4*1*6 = 36 - 24 = 12` 

`sqrtDelta = sqrt12 = sqrt4*sqrt3 = 2sqrt3` 

`x_1 = (6-2sqrt3)/2 \ \ vv \ \ x_2 = (6+2sqrt3)/2` 

`x_1 = 3-sqrt3 \ \ vv \ \ x_2=3+sqrt3` 

`{(x_1 = 3-sqrt3),(y_1 = 2(3-sqrt3)-5):} \ \ vv \ \ {(x_2 = 3+sqrt3),(y_2 = 2(3+sqrt3)-5):}` 

`{(x_1 = 3-sqrt3),(y_1 = 6-2sqrt3-5):} \ \ vv \ \ {(x_2 = 3+sqrt3),(y_2 = 6 + 2sqrt3 -5):}` 

`{(x_1 = 3-sqrt3),(y_1 = 1 - 2sqrt3):} \ \ vv \ \ {(x_2 = 3+sqrt3),(y_2 = 1 + 2sqrt3):}` 

 

Wyznaczmy równanie okręgu wpisanego w ten trójkąt. Promień tego okręgu będzie dwa razy mniejszy od promienia okręgu opisanego na tym trójkącie gdyż promień okręgu wpisanego w trójkąt równoboczny stanowi 1/3 wysokości tego trójkąta.

`r = 1/3h` 

`r = 1/2R` 

`r = 1/2*2sqrt5 = sqrt5` 

 

A więc równanie okręgu wpisanego w trójkąt równoboczny wynosi:

`(x-1)^2 +(y-2)^2 = (sqrt5)^2` 

`(x-1)^2 + (y-2)^2 = 5` 

 

 

`b) \ x^2+y^2 -6x + 4y - 12=0` 

`x^2-6x +y^2+4y-12=0` 

`x^2-6x+9-9 +y^2+4y+4-4 -12 =0` 

`(x-3)^2 -9 + (y+2)^2 -4 -12 =0` 

`(x-3)^2 +(y+2)^2 -25 =0` 

`(x-3)^2 + (y+2)^2 = 25` 

 

Przekątna kwadratu jest równa średnicy okręgu, zatem:

`r^2 = 25` 

`r = 5` 

stąd:

`d = 2r = 2*5 = 10` 

 

 

Wyznaczmy równanie okręgu którego środkiem jest punkt A=(6,2) a jego promień jest równy długości średnicy.

`(x-6)^2 +(y-2)^2 = 100` 

 

Wyznaczmy punkt przecięcia się obu okręgów:

`{(x^2-6x+y^2+4y-12=0),(x^2-12x+36 + y^2 -4y + 4 = 100):}` 

`{(x^2-6x+y^2+4y-12=0),(x^2-12x+y^2-4y-60=0):}` 

`underline(underline(stackrel(\)(-) \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \))` 

`6x+8y+48=0` 

`8y = -6x-48` 

`y = -3/4x -6` 

 

Prosta zawiera punkt przecięcia obu okręgów, zatem podstawmy równanie prostej pod jedno z dwóch równań okręgów.

`(x-3)^2+(y+2)^2 = 25` 

`(x-3)^2 + (-3/4x-6+2)^2=25` 

`(x-3)^2 + (-3/4x -4)^2 = 25` 

`(x-3)^2 + (-1/4(3x+16))^2 = 25` 

`(x-3)^2 + 1/16(3x+16)^2 = 25` 

`x^2-6x+9 + 1/16(9x^2+96x+256) = 25 \ \ \ |*16`  

`16x^2-96x+144 + 9x^2 + 96x + 256 = 400` 

`25x^2+400=400` 

`25x^2=0` 

`x=0` 

zatem:

`y = -3/4*0-6=-6` 

A więc punkt C ma współrzędne:

`C = (0, -6)` 

 

Wyznaczmy środek odcinka AC:

`S_("AC") = ((6+0)/2,(2+(-6))/2) = (6/2 , -4/2) = (3, -2)` 

Wyznaczmy równanie prostej AC:

`y=ax+b` 

`{(f(0)=-6),(f(6)=2):}` 

`{(b=-6),(6a+b=2):}` 

`{(b=-6),(6a-6=2):}` 

`{(b=-6),(6a=8):}` 

`{(b=-6),(a=4/3):}` 

`y=4/3x-6` 

 

Wyznaczmy równanie prostej prostopadłej do wyznaczonej prostej przechodzącej przez środek odcinka AC:

`y=cx+d`  

 

skoro proste mają być prostopadłe to:

`4/3*c = -1`

`c = -3/4`  

 

Podstawmy współrzędne środka odcinka AC:

`-2=-3/4*3 +d` 

`-2 = -9/4 + d` 

`d = 1/4` 

 

Równanie szukanej prostej to:

`y=-3/4x + 1/4` 

Ta prosta zawiera współrzędne pozostałych dwóch wierzchołków kwadratu.

 

Wyznaczmy punkty przecięcia szukanej prostej i okręgu w który wpisano kwadrat.

`{((x-3)^2 + (y+2)^2 = 25),(y=-3/4x+1/4):}` 

Podstawmy drugie równanie pod pierwsze:

`(x-3)^2 + (-3/4x+1/4+2)^2 = 25` 

`(x-3)^2 + (-3/4x + 9/4)^2 = 25` 

`(x-3)^2 + (-3/4(x-3))^2 = 25` 

`(x-3)^2 + 9/16(x-3)^2 = 25` 

`25/16(x-3)^2 = 25` 

`(x-3)^2 = 16` 

`x-3 = 4 \ \ vv \ \ x-3 = -4` 

`x_1 = 7 \ \ vv \ \ x_2 = -1` 

stąd:

`{(x_1 = 7),(y_1 = -3/4*7+1/4):} \ \ vv \ \ {(x_2 = -1),(y_2 = -3/4*(-1)+1/4):}` 

`{(x_1 = 7),(y_1 = -21/4 + 1/4):} \ \ vv \ \ {(x_2 = -1),(y_2 = 3/4 + 1/4):}` 

`{(x_1 = 7),(y_1 = -5):} \ \ vv \ \ {(x_2 = -1),(y_2 = 1):}` 

A więc:

`B = (7, -5) \ , \ D = (-1, 1)` 

Pozostałe współrzędne wierzchołków kwadratu wynoszą:

`B = (7, -5) \ , \ C = (0, -6) \ , \ D = (-1, 1)` 

 

Środek okręgu wpisanego w ten kwadrat będzie taki sam jak środek okręgu opisanego na tym kwadracie. Promień okręgu będzie równy połowie długości boku kwadratu (gdyż okrąg styka się z kwadratem w środkach boków tego kwadratu, zatem średnicą okręgu jest bok kwadratu).

Wiemy, że przekątna kwadratu wynosiła 10, zatem długość boku jest równa:

`d = asqrt2` 

`10 = asqrt2` 

`a = 10/sqrt2*sqrt2/sqrt2 = (10sqrt2)/2 = 5sqrt2` 

Promień jest równy połowie boku kwadratu:

`r = a/2 = (5sqrt2)/2` 

 

Równanie okręgu wynosi:

`(x-3)^2+(y+2)^2 = ((5sqrt2)/2)^2` 

`(x-3)^2 + (y+2)^2 = (25*2)/4` 

`(x-3)^2 + (y+2)^2 = 25/2` 

W okrąg został wpisany trójkąt ...

`x^2+y^2=20` 

`r=sqrt20` 

`S=(0;0)` 

Zauważmy, że przeciwprostokątna trójkąta ABC jest średnicą okręgu.

`C=(2;4)` 

`A=(x_a;y_a)` 

`B=(x_b;y_b)` 

Wyzanczmy równanie prostej k zawierającej odcinek CS.

`k:y=ax+b` 

`0=0*a+b\ implies b=0` 

`4=2a+0` 

`a=2` 

`k:y=2x` 

Prosta zawierająca odcinek AB ma równanie:

`l:y=cx+d` 

`0=0*c+d` 

`d=0` 

`y=-1/2x` 

Punkt wspólne powyższej prostej i okręgu to punkty A i B.       

Wstawmy równanie prsotej l do równania okręgu:

`x^2+y^2=20=x^2+(-1/2x)^2=5/4x^2` 

`x^2=80/5=16` 

`x_1=4\ \ \vv\ \ x_2=-4`  

`y_1=-1/2x_1=-2\ \ \vv\ \ \ \y_2=-1/2x_2=2` 

Współrzedne pozostałych wierzchołków to:

`{(x=4),(y=-2):}\ \ \wedge\ \ \{(x=-4),(x=2):}`     

Do każdego z przedstawionych zbiorów

`I.`

Możemy poruszać się o nie mniej niż 2 jednostki w prawo i w lewo oraz o nie więcej niż 1 jednostkę w górę lub w dół. Należy wybrać rysunek B. 

 

 

`II.`

Możemy poruszać się o nie mniej niż 2 jednostki w prawo i w lewo oraz o nie mniej niż 1 jednostkę w górę lub w dół. Należy wybrać rysunek C. 

 

 

`III.`

Możemy poruszać się o nie więcej niż 2 jednostki w prawo i w lewo oraz o nie więcej niż 1 jednostkę w górę lub w dół. Należy wybrać rysunek A. 

 

Dla której spośród

Zauważmy, że jeśli mamy pewną parabolę i punkt o odciętej x=1, to odległość tego punktu od osi OX jest równa drugiej współrzędnej tego punktu (jeśli jest ona dodatnia) lub liczbie przeciwnej do drugiej współrzędnej (jeśli jest ujemna). 

 

`a)` 

Obliczamy wartości y dla kolejnych funkcji:

`y=1^2=1\ \ \ ->\ \ \ "odległość"=1`  

`y=4*1^2=4*1=4\ \ \ ->\ \ \ "odległość"=4`  

`y=-6*1^2=-6*1=-6\ \ \ ->\ \ \ "odległość"=6`  

Odległość jest najmniejsza dla pierwszej z podanych funkcji. 

 

 

`b)` 

`y=3/2*1^2=3/2*1=3/2=1 1/2=1,5\ \ \ ->\ \ \ "odległość"=1,5` 

`y=sqrt2*1^2=sqrt2\ \ \ ->\ \ \ "odległość"=sqrt2~~1,41` 

`y=2*1^2=2\ \ \ ->\ \ \ "odległość"=2` 

Odległość jest najmniejsza dla drugiej z podanych funkcji. 

 

 

`c)` 

`y=-1/2*1^2=-1/2\ \ \ ->\ \ \ "odległość"=1/2` 

`y=3*1^2=3\ \ \ ->\ \ \ "odległość"=3` 

`y=2sqrt3*1^2=2sqrt3\ \ \ ->\ \ \ "odległość"=2sqrt3~~2*1,73=3,46` 

Odległość jest najmniejsza dla pierwszej z podanych funkcji.

 

 

`d)` 

`y=-3*1^2=-3\ \ \ ->\ \ \ "odległość"=3` 

`y=pi*1^2=pi\ \ \ ->\ \ \ "odległość"=pi~~3,14151`  

`y=3,14*1^2=3,14\ \ \ ->\ \ \ "odległość"=3,14` 

Odległość jest najmniejsza dla pierwszej z podanych funkcji. 

Naszkicuj przykładowy wykres funkcji ...

a) Przykładowa funkcja określona jest w zbiorze:  `RR-`     

 

b) Przykładowa funkcja określona w zbiorze:`(-3;+oo)` 

 

c) Przykładowa funkcja określona w zbiorze: `<<-4;4>>` 

Odczytaj dziedzinę, zbiór wartości oraz, jeśli istnieją

a)
`D_f=(-5,0>>uu{2,3}`
`Z_w=(-2,2>>`
Miejsca zerowe:
`x in{-4,0,1,2}`
b)
`D_f=<<-4,3)`
`Z_w=<<0,4>>`
Miejsca zerowe:
`x in<<-2,1>>`
c)
`D_f=<<-5,2)uu(4,6>>`
`Z_w=(0,5>>`

Miejsca zerowe:
`x in emptyset`

Dany jest wykres funkcji...

`a) \ f(x) > 0 \ \ "dla" \ x in (1,oo)` 

`f(x) leq 0 \ \ "dla" x in \ (-oo, 1]` 

`f(x) < 1 \ \ "dla" \ x in (-oo, 2)` 

`f(x) geq -1 \ \ "dla" \ x in [0, oo)` 

 

`b) \ f(x) > 0 \ \ "dla" \ x in (-1, 2)` 

`f(x) leq 0 \ \ "dla" x in \ [-3,-1] \cup [2,3]` 

`f(x) < 1 \ \ "dla" \ x in [-3, -2/3) \cup (4/3, 3]` 

`f(x) geq -1 \ \ "dla" \ x in D`

 

`c) \ f(x) > 0 \ \ "dla" \ x in (3/2 , oo)` 

`f(x) leq 0 \ \ "dla" x in \ (-oo, 3/2]` 

`f(x) < 1 \ \ "dla" \ x in (-oo, 2)` 

`f(x) geq -1 \ \ "dla" \ x in [1, oo) \cup {-1}`