średnia ważona, wariancja i odchylenie standardowe - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

średnia ważona

Średnia ważona różni się nieco od arytmetycznej. Oprócz samej sumy liczb do każdej z nich mamy przypisaną tzw. Wagę, która mówi nam jak bardzo ważna jest w naszej średniej dana liczba - częsty proceder na studiach czy w liceach.

Przykład:

kolokwium "waży" 30% czyli 0,3
egzamin "waży" 70% czyli 0,7

Wszystkie wagi muszą dać w sumie 1!
$$0,3+0,7=1$$

Załóżmy, że dostaliśmy z kolokwium ocenę 3, a z egzaminu ocenę 5, według średniej arytmetycznej mamy czyste 4. Jak to wygląda przy ważonej?

Waga oceny z kolokwium to:
$$0,3$$

Więc ocena to:
$$0,3×3=0,9$$

Waga z egzaminu: 0,7
Ocena:
$$0,7×5=3,5$$

Zatem razem mamy $$3,5+0,9=4,4≈4,5$$

Średnią ważoną stosują nawet nauczyciele matematyki, dlatego nawet 5 z kartkówek nie ratuje nas przed dwóją ze sprawdzianu i ocena jest niższa.

Wariancja i odchylenie standardowe

Wariancja (nie mylić z wariacjami, które także mają inne znaczenie niż wariowanie). Wariancja jest to miara rozproszenia liczb wokół średniej, czyli to, jak bardzo od niej odbiegają.

Oznaczamy ją $$σ^2$$, dlaczego do kwadratu to opowiem później.

Aby ją obliczyć potrzebujemy najpierw średniej arytmetycznej, następnie od każdej liczby odejmujemy średnią i podnosimy wyniki do kwadratu. Na koniec dzielimy sumę kwadratów przez ilość elementów. Czyli:

$$x_1, x_2,...,x_n$$ - liczby, których rozproszenie chcemy policzyć
$$n$$ - liczba elementów, które uśredniamy
$$s={x_1+x_2+...+x_n}/n$$ - średnia arytmetyczna
$$σ^2={ {(x_1-s)}^2+{(x_2-s)}^2+...+{(x_n-s)}^2}/n$$ - nasza wariancja
A samo odchylenie standardowe to po prostu $$σ$$, czyli musimy wyciągnąć pierwiastek z wariancji.

Przykład:
Znajdź wariancję i odchylenie standardowe dla liczb 3,5,10,7,1,1.
Zaczynamy od obliczenia średniej arytmetycznej:

Ilość liczb: 6
$$s={3+5+10+7+1+1}/6$$
$$s={27}/6$$
$$s=4,5$$
Teraz obliczmy wariancję. Mamy:
$$n=6$$
$$n=4,5$$

$$σ^2={ {(x_1-s)}^2+{(x_2-s)}^2+{(x_3-s)}^2+{(x_4-s)}^2+{(x_5-s)}^2+{(x_6-s)}^2}/n$$

$$σ^2={ {(x_1-4,5)}^2+{(x_2-4,5)}^2+{(x_3-4,5)}^2+{(x_4-4,5)}^2+{(x_5-4,5)}^2+{(x_6-4,5)}^2}/n$$

$$σ^2={ {(3-4,5)}^2+{(5-4,5)}^2+{(10-4,5)}^2+{(7-4,5)}^2+{(1-4,5)}^2+{(1-4,5)}^2}/n$$

$$σ^2={ {(-1,5)}^2+{0,5}^2+{5,5}^2+{2,5}^2+{(-3,5)}^2+{(-3,5)}^2}/6$$

$$σ^2={2,25+0,25++30,25+6,25+12,25+12,25}/6$$

$$σ^2={63,5}/6≈10,58$$

Pozostaje nam obliczyć odchylenie standardowe:

$$σ=√{10,58}≈3,25$$

 

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Wyznacz średnią ważoną dla liczb w tabeli:

img01

Musimy pomnożyć każdą liczbę przez wagę i zsumować je:

$$S_w=2×0,2+5×0,3+1×0,1+6×0,4$$

$$S_w=0,4+1,5+0,1+2,4=4,4$$

Zadanie 2.

Znajdź odchylenie standardowe i wariancję dla liczb z tabeli:

img02

Zacznijmy od średniej arytmetycznej. Liczba elementów $$n=4$$.

$$s={2+8+10+4}/4$$

$$s={24}/6$$

$$s=4$$

Mamy:

$$n=4$$

$$s=4$$

Następnie obliczamy wariancję według wzoru:

$$σ^2={ {(x_1-s)}^2+{(x_2-s)}^2+{(x_3-s)}^2+{(x_4-s)}^2}/n$$

$$σ^2={ {(x_1-4)}^2+{(x_2-4)}^2+{(x_3-4)}^2+{(x_4-4)}^2}/4$$

$$σ^2={ {(2-4)}^2+{(8-4)}^2+{(10-4)}^2+{(4-4)}^2}/4$$

$$σ^2={ {(-2)}^2+4^2+6^2+0^2}/4$$

$$σ^2={4+16+36}/4$$

$$σ^2={56}/4=14$$

Pozostaje nam obliczyć odchylenie standardowe czyli pierwiastek z wariancji:

$$σ=√14≈3,74$$

Zadanie 3.

Wykres poniżej przedstawia sprzedaż pewnego produktu:

wyk1

Znajdź średnią ilość sprzedanych sztuk w tych latach, wariancję i odchylenie standardowe.

Zadanie wręcz identyczne jak zadanie 2, jedyne co więcej musimy zrobić, to odczytać liczby z wykresu, co przedstawione zostało na tabelce poniżej:

img03

Następnie postępujemy tak samo, nie zwracamy uwagi na rok. Średnia:

$$s={11+12+13+14}/4$$

$$s={50}/4$$

$$s=12,5$$

Wariancja:

$$σ^2={ {(x_1-s)}^2+{(x_2-s)}^2+{(x_3-s)}^2+{(x_4-s)}^2}/n$$

$$σ^2={ {(x_1-12,5)}^2+{(x_2-12,5)}^2+{(x_3-12,5)}^2+{(x_4-12,5)}^2}/4$$

$$σ^2={ {(11-12,5)}^2+{(12-12,5)}^2+{(13-12,5)}^2+{(14-12,5)}^2}/4$$

$$σ^2={ {(-1,5)}^2+{(-0,5)}^2+{0,5}^2+{1,5}^2}/4$$

$$σ^2={2,25+0,25+0,25+2,25}/4$$

$$σ^2=6/4=1,5$$

Pozostaje nam obliczyć odchylenie standardowe czyli pierwiastek z wariancji:

$$σ=√{1,5}≈1,22$$

Spis treści

Rozwiązane zadania
Przez pierwsze dwie godziny turysta maszerował z prędkością ...

Funkcja f ...

`f:RR->RR` 

`f(x+y)=f(x)*f(y)` 

Funkcja f nie ma miejsc zerowych.

f(0)=?

 

 

`f(x)=f(x+y)/f(y)` 

`x=0` 

`f(0)=f(y)/f(y)=1` 

`f(y)ne0\ "ponieważ funkcja f nie ma miejsc zerowych."`    

Punkt przecięcia wykresu funkcji f z osia OY to (0;1).    

Podaj miary...

a) Skoro dwa kąty wewnętrzne trójkąta wynoszą 36° i 44° to ostatni kąt ma miarę 100° gdyż suma wszystkich kątów wewnętrznych w trójkącie musi wynosić 180°.

Skoro ostatni z kątów wynosi 100° to y=80° z uwagi na to, że razem tworzą kąt półpełny.

Kolejne dwa kąty, które razem tworzą kąt półpełny to:

`x+36^o = 180^o \ \ \ |-36^o`

`x = 144^o`

 

b)

Kąt wewnętrzny trójkąta, przy kącie zewnętrznym mającym miarę 130°, ma miarę 50°.

Kąt wewnętrzny trójkąta znajdujący się przy górnym wierzchołku i kąt 70° to kąty wierzchołkowe a więc są sobie równe.

Skoro miary dwóch kątów wewnętrznych wynoszą: 50° i 70° to kąt przy kącie zewnętrznym x wynosi 60°.

Kąt wewnętrzny 60° i kąt zewnętrzny x tworzą kąt półpełny, a więc:

`60^o + x = 180^o \ \ \ |-60^o`

`x = 120^o`

Wśród zbiorów X, Y, Z

`a)`

`X=(-4;\ 2>>nnC={-3;\ -2;\ -1;\ 0;\ 1;\ 2}`

`Y={x in C:\ x^2<=4}={-2;\ -1;\ 0;\ 1;\ 2}`

`Z={-3;\ -2;\ -1;\ 0;\ 1;\ 2}`

`X=Z`

 

 

`b)`

`X=(2;\ 7)uu{7}=(2;\ 7>>`

`Y=<<2;\ 7>>\\{2}=(2;\ 7>>`

`Z=(2;\ 4)uu(4;\ 7>>=(2;\ 7>>\\{4}`

`X=Y`

 

 

`c)`

`X={x in N:\ |x|<=6}={-6;\ -5;\ -4;\ -3;\ -2;\ -1;\ 0;\ 1;\ 2;\ 3;\ 4;\ 5;\ 6}`

`Y=(-7;\ 7)nnN={-6;\ -5;\ -4;\ -3;\ -2;\ -1;\ 0;\ 1;\ 2;\ 3;\ 4;\ 5;\ 6}`

`Z=N\\(5;\ 8)={...;\ -1;\ 0;\ 1;\ 2;\ 3;\ 4;\ 5;\ 8;\ 9;\ 10;\ ...}`

`X=Y`

 

Optymalne tętno dorosłego człowieka wynosi

a)

Godzina- 60 minut, czyli wymnażamy:

70*60=4200=4,2*10^3

b)

Doba- 24 godziny, czyli 24 razy wynik z podpunktu a.

24*4,2 10^3=100,8 *10^3=1,008 *10^5

c)

Rok-około 365 dni, czy 365 razy wynik z podpunktu b.

365*1,008 *10^5=367,92 *10^5= 3,6792*10^7

d)

70 lat, czyli 70 razy wynik z podpunktu c.

70* 3,6792*10^7=257,544 *10^7=2,57533*10^9

Należy oszacować wynik z dokładnością do miliarda, czyli do 1 000 000 000= 1*10 9

2,57533*10^9~~3*10^9

Zbadaj, dla jakich wartości m ...

`y_1=(2+m)x-1`  

`y_2=-x+3` 

`(2+m)*(-1)=-1` 

`-m-2+1=0` 

`ul(m=-1` 

`"Proste są prostopadłe dla m=-1."`    

Do 20 l białej farby dodano...

Zauważmy, że białej farby ma być 20 razy więcej niż zielnego pigmentu.

Skoro na 21 litrów kolorowej farby ma być 1 litr pigmentu to znaczy, że na 6,3 litra kolorowej farby ma być x pigmentu.

`1 - 21` 

`x - 6,3` 

Wymnażamy na krzyż:

`21 x = 6,3` 

`x = 0,3 ["l"]` 

 

Odpowiedź: Pigmentu ma być 0,3 l a białej farby ma być 6l.

W tabeli podano przeciętne miesięczne wynagrodzenie

 

`a)`

`"najwyższe wynagrodzenie:"\ \ \ 3652\ "zł"`

`"najniższe wynagrodzenie:"\ \ \ 3194\ "zł"`

 

Obliczamy, o ile procent wzrosło najwyższe wynagrodzenie w stosunku do najniższego, czyli jakim procentem najniższego wynagrodzenia jest różnica tych wynagrodzeń: 

`(3652-3194)/(3194)=458/3194=0,14339...~~0,1434=14,34%`

 

 

`b)`

Wzrost wysokości wynagrodzenia nastąpił w okresach: 

  • luty - marzec
  • maj - lipiec
  • sierpień - grudzień

 

Spadek wysokości wynagrodzenia nastąpił w okresach:

  • styczeń - luty
  • marzec - maj
  • lipiec - sierpień
Liczba -2 jest rozwiązaniem równania...

Podstawiamy `x=-2` i wyznaczamy `a:` 

`(a-1)*(-2)+2*(-2)=3(a-1)` 

`-2(a-1)-4=3(a-1)` 

`5(a-1)=-4\ "/":5` 

`a-1=-4/5` 

`a=-4/5+1` 

`a=1/5` 

Prawidłowa odpowiedź to `"D."`          

Zastosuj prawda De Morgana...

a) Zdanie p - Posadzimy tutaj drzewa

Zdanie q - Posadzimy tutaj krzewy

Zdanie ~p - Nie posadzimy tutaj drzew

Zdanie ~q - Nie posadzimy tutaj krzewów

 

`neg(p \ vv \ q) = [(neg p) \ ^^ \ (neg q)]` 

 

Nie posadzimy tutaj drzew i  krzewów.

 

b) Zdanie p - Świeci słońce

Zdanie q - Nie pada descz

Zdanie ~p - Nie świeci słońce

Zdanie ~q - Pada deszcz

 

`neg (p \ ^^ \ q ) = [( neg p) \ vv \ (neg q)]` 

Nie świeci słońce lub pada deszcz.

 

c) Zdanie p - Ola ma kota

Zdanie q - Ola ma psa

Zdanie ~p - Ola nie ma kota

Zdanie ~q - Ola nie ma psa

 

`neg (p \ ^^ \ q ) = [( neg p) \ vv \ (neg q)]` 

Ola nie ma kota lub psa

 

d) Zdanie p - Marek nie lubi tortu

Zdanie q - Marek nie lubi lodów

Zdanie ~p - Marek lubi tort

Zdanie ~q - Marek lubi lody

 

`neg(p \ vv \ q) = [(neg p) \ ^^ \ (neg q)]` 

Marek lubi tort i lody

 

e) Zdanie p - `7 ne 5` 

Zdanie q - `sqrt1=1` 

Zdanie ~p - `7=5` 

Zdanie ~q - `sqrt1 ne 1` 

 

`neg(p \ ^^ \ q) = [(neg p) \ vv \ (neg q)] = [(7=5) \ vv \ (sqrt1 ne 1)]` 

 

f) Zdanie p - `4>3` 

Zdanie q - `4 leq 1` 

Zdanie ~p - `4 leq 3` 

Zdanie ~q - `4 > 1` 

 

`neg(p \ vv \ q) = [(neg p) \ ^^ \ (neg q)] = [(4 leq 3) \ ^^ \ (4>1)]` 

 

g) Zdanie p - `2-6=-1*(6-2)` 

Zdanie q - `0:10<0` 

Zdanie ~p - `2-6 ne -1*(6-2)` 

Zdanie ~q - `0:10 geq 0` 

 

`neg(p \ ^^ \ q) = [(neg p) \ vv \ (neg q)] = [(2-6 ne -1*(6-2)) \ vv \ (0:10 geq 0)]` 

 

h) Zdanie p - `8*(-1) ne (-8)*1` 

Zdanie q - `(sqrt3)^2 ne sqrt9` 

Zdanie ~p - `8*(-1) = (-8)*1` 

Zdanie ~q - `(sqrt3)^2 = sqrt9` 

 

`neg(p \ vv \ q) = [(neg p) \ ^^ \ (neg q)] = [(8*(-1) = (-8)*1) \ ^^ \ ((sqrt3)^2 = sqrt9)]`