średnia ważona, wariancja i odchylenie standardowe - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

średnia ważona

Średnia ważona różni się nieco od arytmetycznej. Oprócz samej sumy liczb do każdej z nich mamy przypisaną tzw. Wagę, która mówi nam jak bardzo ważna jest w naszej średniej dana liczba - częsty proceder na studiach czy w liceach.

Przykład:

kolokwium "waży" 30% czyli 0,3
egzamin "waży" 70% czyli 0,7

Wszystkie wagi muszą dać w sumie 1!
$$0,3+0,7=1$$

Załóżmy, że dostaliśmy z kolokwium ocenę 3, a z egzaminu ocenę 5, według średniej arytmetycznej mamy czyste 4. Jak to wygląda przy ważonej?

Waga oceny z kolokwium to:
$$0,3$$

Więc ocena to:
$$0,3×3=0,9$$

Waga z egzaminu: 0,7
Ocena:
$$0,7×5=3,5$$

Zatem razem mamy $$3,5+0,9=4,4≈4,5$$

Średnią ważoną stosują nawet nauczyciele matematyki, dlatego nawet 5 z kartkówek nie ratuje nas przed dwóją ze sprawdzianu i ocena jest niższa.

Wariancja i odchylenie standardowe

Wariancja (nie mylić z wariacjami, które także mają inne znaczenie niż wariowanie). Wariancja jest to miara rozproszenia liczb wokół średniej, czyli to, jak bardzo od niej odbiegają.

Oznaczamy ją $$σ^2$$, dlaczego do kwadratu to opowiem później.

Aby ją obliczyć potrzebujemy najpierw średniej arytmetycznej, następnie od każdej liczby odejmujemy średnią i podnosimy wyniki do kwadratu. Na koniec dzielimy sumę kwadratów przez ilość elementów. Czyli:

$$x_1, x_2,...,x_n$$ - liczby, których rozproszenie chcemy policzyć
$$n$$ - liczba elementów, które uśredniamy
$$s={x_1+x_2+...+x_n}/n$$ - średnia arytmetyczna
$$σ^2={ {(x_1-s)}^2+{(x_2-s)}^2+...+{(x_n-s)}^2}/n$$ - nasza wariancja
A samo odchylenie standardowe to po prostu $$σ$$, czyli musimy wyciągnąć pierwiastek z wariancji.

Przykład:
Znajdź wariancję i odchylenie standardowe dla liczb 3,5,10,7,1,1.
Zaczynamy od obliczenia średniej arytmetycznej:

Ilość liczb: 6
$$s={3+5+10+7+1+1}/6$$
$$s={27}/6$$
$$s=4,5$$
Teraz obliczmy wariancję. Mamy:
$$n=6$$
$$n=4,5$$

$$σ^2={ {(x_1-s)}^2+{(x_2-s)}^2+{(x_3-s)}^2+{(x_4-s)}^2+{(x_5-s)}^2+{(x_6-s)}^2}/n$$

$$σ^2={ {(x_1-4,5)}^2+{(x_2-4,5)}^2+{(x_3-4,5)}^2+{(x_4-4,5)}^2+{(x_5-4,5)}^2+{(x_6-4,5)}^2}/n$$

$$σ^2={ {(3-4,5)}^2+{(5-4,5)}^2+{(10-4,5)}^2+{(7-4,5)}^2+{(1-4,5)}^2+{(1-4,5)}^2}/n$$

$$σ^2={ {(-1,5)}^2+{0,5}^2+{5,5}^2+{2,5}^2+{(-3,5)}^2+{(-3,5)}^2}/6$$

$$σ^2={2,25+0,25++30,25+6,25+12,25+12,25}/6$$

$$σ^2={63,5}/6≈10,58$$

Pozostaje nam obliczyć odchylenie standardowe:

$$σ=√{10,58}≈3,25$$

 

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Wyznacz średnią ważoną dla liczb w tabeli:

img01

Musimy pomnożyć każdą liczbę przez wagę i zsumować je:

$$S_w=2×0,2+5×0,3+1×0,1+6×0,4$$

$$S_w=0,4+1,5+0,1+2,4=4,4$$

Zadanie 2.

Znajdź odchylenie standardowe i wariancję dla liczb z tabeli:

img02

Zacznijmy od średniej arytmetycznej. Liczba elementów $$n=4$$.

$$s={2+8+10+4}/4$$

$$s={24}/6$$

$$s=4$$

Mamy:

$$n=4$$

$$s=4$$

Następnie obliczamy wariancję według wzoru:

$$σ^2={ {(x_1-s)}^2+{(x_2-s)}^2+{(x_3-s)}^2+{(x_4-s)}^2}/n$$

$$σ^2={ {(x_1-4)}^2+{(x_2-4)}^2+{(x_3-4)}^2+{(x_4-4)}^2}/4$$

$$σ^2={ {(2-4)}^2+{(8-4)}^2+{(10-4)}^2+{(4-4)}^2}/4$$

$$σ^2={ {(-2)}^2+4^2+6^2+0^2}/4$$

$$σ^2={4+16+36}/4$$

$$σ^2={56}/4=14$$

Pozostaje nam obliczyć odchylenie standardowe czyli pierwiastek z wariancji:

$$σ=√14≈3,74$$

Zadanie 3.

Wykres poniżej przedstawia sprzedaż pewnego produktu:

wyk1

Znajdź średnią ilość sprzedanych sztuk w tych latach, wariancję i odchylenie standardowe.

Zadanie wręcz identyczne jak zadanie 2, jedyne co więcej musimy zrobić, to odczytać liczby z wykresu, co przedstawione zostało na tabelce poniżej:

img03

Następnie postępujemy tak samo, nie zwracamy uwagi na rok. Średnia:

$$s={11+12+13+14}/4$$

$$s={50}/4$$

$$s=12,5$$

Wariancja:

$$σ^2={ {(x_1-s)}^2+{(x_2-s)}^2+{(x_3-s)}^2+{(x_4-s)}^2}/n$$

$$σ^2={ {(x_1-12,5)}^2+{(x_2-12,5)}^2+{(x_3-12,5)}^2+{(x_4-12,5)}^2}/4$$

$$σ^2={ {(11-12,5)}^2+{(12-12,5)}^2+{(13-12,5)}^2+{(14-12,5)}^2}/4$$

$$σ^2={ {(-1,5)}^2+{(-0,5)}^2+{0,5}^2+{1,5}^2}/4$$

$$σ^2={2,25+0,25+0,25+2,25}/4$$

$$σ^2=6/4=1,5$$

Pozostaje nam obliczyć odchylenie standardowe czyli pierwiastek z wariancji:

$$σ=√{1,5}≈1,22$$

Spis treści

Rozwiązane zadania
Zapisz w postaci iloczynu

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

 

 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

 

 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

 

 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne  

rownanie matematyczne   

 

Rozwiąż graficznie układ równań. Sprawdź otrzymane rozwiązanie

W każdym układzie przekształcamy równania do postaci kierunkowej. Dla każdej prostej wyznaczamy współrzędne dwóch punktów, które do niej należą (dzięki temu będziemy mogli narysować wykres, prowadząc prostą przez te punkty). 

 

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

 

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

 

 

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

 

Narysowane proste nie mają punktów wspólnych, więc układ jest sprzeczny - nie ma rozwiązania. 

 

 

Sprawdzamy metodą algebraiczną, że układ faktycznie jest sprzeczny: 

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

Pierwsze równanie jest sprzeczne, więc układ jest spreczny. 

 

 

rownanie matematyczne

 

 

 

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

 

Obydwa równania opisują tę samą prostą. Układ ma nieskończenie wiele rozwiązań - wszystkie leżą na narysowanej prostej. 

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

Układ jest nieoznaczony, ma nieskończenie wiele rozwiązań. Spełnia go każda taka para liczb, że: 

rownanie matematyczne

 

Sprawdzamy metodą algebraiczną, że układ faktycznie jest nieoznaczony:

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

Druga równość jest zawsze prawdziwa, więc układ jest nieoznaczony.

 

 

rownanie matematyczne

 

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

 

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

 

 

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

 

rownanie matematyczne

 

Sprawdzamy, podstawiając do początkowego układu równań: 

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

Równości zachodzą, więc rozwiązanie jest poprawne. 

 

rownanie matematyczne

 

 

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

 

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

 

 

rownanie matematyczne

 

Sprawdzamy, podstawiając do początkowego układu równań: 

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

Równości zachodzą, więc rozwiązanie jest poprawne. 

 

 

rownanie matematyczne

 

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

 

 

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

 

 

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

 

 

Narysowane proste nie mają punktów wspólnych, więc układ jest sprzeczny - nie ma rozwiązania. 

 

 

 

Sprawdzamy metodą algebraiczną, że układ faktycznie jest sprzeczny: 

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

Druga równość jest nieprawdziwa, więc układ jest sprzeczny. 

 

 

rownanie matematyczne

 

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

 Obydwa równania opisują tę samą prostą. Układ ma nieskończenie wiele rozwiązań - wszystkie leżą na narysowanej prostej. 

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

Układ jest nieoznaczony, ma nieskończenie wiele rozwiązań. Spełnia go każda taka para liczb, że: 

rownanie matematyczne

 

Sprawdzamy metodą algebraiczną, że układ faktycznie jest nieoznaczony:

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

Druga równość jest zawsze spełniona, więc układ jest nieoznaczony - ma nieskończenie wiele rozwiązań.

Rozwiąż układ równań i podaj jego ...

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne  

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne  

 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne   

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne  

rownanie matematyczne      

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne  

Sprzedawca sprzedaje zegarki

Oznaczmy cenę zegarka bez marży jako x. 

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

 

Obliczamy, o ile procent staniały zegarki, czyli jakim procentem ceny bez promocji jest różnica cen:

rownanie matematyczne

 

Korzystając z tożsamości trygonometrycznych, oblicz pozostałe...

Wiemy, że jeżeli  rownanie matematyczne jest kątem ostrym, to wartości sinusa, cosinusa i tangensa kąta rownanie matematyczne są dodatnie.

Będziemy korzystać z jedynki trygonometrycznej -> otrzymamy dwa rozwiązania - jedno dodatnie i jedno ujemne. 

Ujemne odrzucimy zgodnie z powyższym. 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne to odrzucamy

Dla rownanie matematyczne obliczamy tangens kąta rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

Otrzymaliśmy:

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

 

rownanie matematyczne              

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne odrzucamy

Dla rownanie matematyczne obliczamy tangens kąta rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

Otrzymaliśmy:

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

Zapisujemy jedynkę trygonometryczną i wstawiamy w miejsce sinusa wyżej wyznaczoną wartość.

rownanie matematyczne     

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne odrzucamy 

Dla rownanie matematyczne obliczamy sinus kąta rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

Otrzymaliśmy:

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

Zapisujemy jedynkę trygonometryczną i wstawiamy w miejsce sinusa wyżej wyznaczoną wartość.

rownanie matematyczne     

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne odrzucamy 

Dla rownanie matematyczne obliczamy sinus kąta rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

Otrzymaliśmy:

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

W trójkącie ostrokątnym ABC poprowadzono ...

Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku. Kąty zaznaczone takim samym kolorem mają równe miary.

a) Trójkąty podobne do trójkąta AMC (miary kątów zaznaczone kolorem niebieskim, czarnym - kąt prosty oraz fioletowym):

ALB, MOB, LOC

b) Trójkąty podobne do trójkąta CLB (miary kątów zaznaczone kolorem czerwonym, czarnym - kąt prosty oraz żółtym):

KOB, LOA, CKA

c) Trójkąty podobne do trójkąta COK (miary kątów zaznaczone kolorem jasnozielonym, czarnym - kąt prosty oraz zielonym):

AMO, CBM, AKB

Rozwiąż równanie

rownanie matematyczne 

Sprawdźmy, dla jakich wartości x wyrażenie pod wartością bezwzględną przyjmuje wartości ujemne:

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

 

Musimy rozpatrzeć dwa przypadki. 

rownanie matematyczne 

W zadanym przedziale wyrażenie pod wartością bezwzględną jest ujemne, więc opuszczamy wartość bezwzględną ze zmianą znaku.

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

Otrzymane rozwiązanie należy do zadanego przedziału.

 

 

rownanie matematyczne 

W zadanym przedziale wyrażenie pod wartością bezwzględną jest dodatnie, więc opuszczamy wartość bezwzględną bez zmiany znaku.

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

Otrzymane rozwiązanie nie należy do zadanego przedziału, dlatego odrzucamy je. 

 

Ostatecznie równanie ma tylko jedno rozwiązanie:

rownanie matematyczne 

 

 

rownanie matematyczne 

 

 

 

rownanie matematyczne 

Sprawdźmy, dla jakich liczb wyrażenia pod wartościami bezwzględnymi przyjmują wartość 0. Tak otrzymane liczby podzielą zbiór liczb rzeczywistych na trzy przedziały, w których będziemy rozpatrywać równanie. 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

 

Rozpatrujemy równanie w odpowiednich przedziałach. 

 

Nad wyrażeniami znadującymi się pod wartościami bezwzględnymi zapiszemy +, jeśli wyrażenie przyjmuje w zadanym przedziale wartości nieujemne (większe lub równe 0) lub -, gdy wyrażenie przyjmuje w zadanym przedziale wartości niedodatnie (mniejsze lub równe 0).

 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

Otrzymane rozwiązanie należy do zadanego przedziału. 

 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

Otrzymane rozwiązanie nie należy do zadanego przedziału, więc odrzucamy je. 

 

 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

Otrzymane rozwiązanie należy do zadanego przedziału.

 

Ostatecznie równanie ma dwa rozwiązania:

rownanie matematyczne  

 

 

Naszkicuj wykres funkcji

rownanie matematyczne 

Aby otrzymać wykres funkcji f należy przesunąć wykres funkcji y=2x² o 1 jednostkę w dół wzdłuż osi OY. 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

 

 

rownanie matematyczne 

Aby otrzymać wykres funkcji f należy przesunąć wykres funkcji y=2x² o 3 jednostki w górę wzdłuż osi OY. 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

 

 

 

rownanie matematyczne 

Aby otrzymać wykres funkcji f należy przesunąć wykres funkcji y=-2x² o 1 jednostkę w dół wzdłuż osi OY. 

 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

 

 

rownanie matematyczne 

Aby otrzymać wykres funkcji f należy przesunąć wykres funkcji y=-2x² o 3 jednostki w górę wzdłuż osi OY. 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

Zaznacz zbiór A w układzie współrzędnych

Dane są punkty ...

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne   

 

rownanie matematyczne   

rownanie matematyczne  

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

 

rownanie matematyczne