średnia ważona, wariancja i odchylenie standardowe - matura-podstawowa - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

średnia ważona, wariancja i odchylenie standardowe - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

średnia ważona

Średnia ważona różni się nieco od arytmetycznej. Oprócz samej sumy liczb do każdej z nich mamy przypisaną tzw. Wagę, która mówi nam jak bardzo ważna jest w naszej średniej dana liczba - częsty proceder na studiach czy w liceach.

Przykład:

kolokwium "waży" 30% czyli 0,3
egzamin "waży" 70% czyli 0,7

Wszystkie wagi muszą dać w sumie 1!
$0,3+0,7=1$

Załóżmy, że dostaliśmy z kolokwium ocenę 3, a z egzaminu ocenę 5, według średniej arytmetycznej mamy czyste 4. Jak to wygląda przy ważonej?

Waga oceny z kolokwium to:
$0,3$

Więc ocena to:
$0,3×3=0,9$

Waga z egzaminu: 0,7
Ocena:
$0,7×5=3,5$

Zatem razem mamy $3,5+0,9=4,4≈4,5$

Średnią ważoną stosują nawet nauczyciele matematyki, dlatego nawet 5 z kartkówek nie ratuje nas przed dwóją ze sprawdzianu i ocena jest niższa.

Wariancja i odchylenie standardowe

Wariancja (nie mylić z wariacjami, które także mają inne znaczenie niż wariowanie). Wariancja jest to miara rozproszenia liczb wokół średniej, czyli to, jak bardzo od niej odbiegają.

Oznaczamy ją $σ^2$, dlaczego do kwadratu to opowiem później.

Aby ją obliczyć potrzebujemy najpierw średniej arytmetycznej, następnie od każdej liczby odejmujemy średnią i podnosimy wyniki do kwadratu. Na koniec dzielimy sumę kwadratów przez ilość elementów. Czyli:

$x_1, x_2,...,x_n$ - liczby, których rozproszenie chcemy policzyć
$n$ - liczba elementów, które uśredniamy
$s={x_1+x_2+...+x_n}/n$ - średnia arytmetyczna
$σ^2={ {(x_1-s)}^2+{(x_2-s)}^2+...+{(x_n-s)}^2}/n$ - nasza wariancja
A samo odchylenie standardowe to po prostu $σ$, czyli musimy wyciągnąć pierwiastek z wariancji.

Przykład:
Znajdź wariancję i odchylenie standardowe dla liczb 3,5,10,7,1,1.
Zaczynamy od obliczenia średniej arytmetycznej:

Ilość liczb: 6
$s={3+5+10+7+1+1}/6$
$s={27}/6$
$s=4,5$
Teraz obliczmy wariancję. Mamy:
$n=6$
$n=4,5$

$σ^2={ {(x_1-s)}^2+{(x_2-s)}^2+{(x_3-s)}^2+{(x_4-s)}^2+{(x_5-s)}^2+{(x_6-s)}^2}/n$

$σ^2={ {(x_1-4,5)}^2+{(x_2-4,5)}^2+{(x_3-4,5)}^2+{(x_4-4,5)}^2+{(x_5-4,5)}^2+{(x_6-4,5)}^2}/n$

$σ^2={ {(3-4,5)}^2+{(5-4,5)}^2+{(10-4,5)}^2+{(7-4,5)}^2+{(1-4,5)}^2+{(1-4,5)}^2}/n$

$σ^2={ {(-1,5)}^2+{0,5}^2+{5,5}^2+{2,5}^2+{(-3,5)}^2+{(-3,5)}^2}/6$

$σ^2={2,25+0,25++30,25+6,25+12,25+12,25}/6$

$σ^2={63,5}/6≈10,58$

Pozostaje nam obliczyć odchylenie standardowe:

$σ=√{10,58}≈3,25$

 

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Wyznacz średnią ważoną dla liczb w tabeli:

img01

Musimy pomnożyć każdą liczbę przez wagę i zsumować je:

$S_w=2×0,2+5×0,3+1×0,1+6×0,4$

$S_w=0,4+1,5+0,1+2,4=4,4$

Zadanie 2.

Znajdź odchylenie standardowe i wariancję dla liczb z tabeli:

img02

Zacznijmy od średniej arytmetycznej. Liczba elementów $n=4$.

$s={2+8+10+4}/4$

$s={24}/6$

$s=4$

Mamy:

$n=4$

$s=4$

Następnie obliczamy wariancję według wzoru:

$σ^2={ {(x_1-s)}^2+{(x_2-s)}^2+{(x_3-s)}^2+{(x_4-s)}^2}/n$

$σ^2={ {(x_1-4)}^2+{(x_2-4)}^2+{(x_3-4)}^2+{(x_4-4)}^2}/4$

$σ^2={ {(2-4)}^2+{(8-4)}^2+{(10-4)}^2+{(4-4)}^2}/4$

$σ^2={ {(-2)}^2+4^2+6^2+0^2}/4$

$σ^2={4+16+36}/4$

$σ^2={56}/4=14$

Pozostaje nam obliczyć odchylenie standardowe czyli pierwiastek z wariancji:

$σ=√14≈3,74$

Zadanie 3.

Wykres poniżej przedstawia sprzedaż pewnego produktu:

wyk1

Znajdź średnią ilość sprzedanych sztuk w tych latach, wariancję i odchylenie standardowe.

Zadanie wręcz identyczne jak zadanie 2, jedyne co więcej musimy zrobić, to odczytać liczby z wykresu, co przedstawione zostało na tabelce poniżej:

img03

Następnie postępujemy tak samo, nie zwracamy uwagi na rok. Średnia:

$s={11+12+13+14}/4$

$s={50}/4$

$s=12,5$

Wariancja:

$σ^2={ {(x_1-s)}^2+{(x_2-s)}^2+{(x_3-s)}^2+{(x_4-s)}^2}/n$

$σ^2={ {(x_1-12,5)}^2+{(x_2-12,5)}^2+{(x_3-12,5)}^2+{(x_4-12,5)}^2}/4$

$σ^2={ {(11-12,5)}^2+{(12-12,5)}^2+{(13-12,5)}^2+{(14-12,5)}^2}/4$

$σ^2={ {(-1,5)}^2+{(-0,5)}^2+{0,5}^2+{1,5}^2}/4$

$σ^2={2,25+0,25+0,25+2,25}/4$

$σ^2=6/4=1,5$

Pozostaje nam obliczyć odchylenie standardowe czyli pierwiastek z wariancji:

$σ=√{1,5}≈1,22$

Spis treści

Rozwiązane zadania
Posługując się wykresem funkcji...
  • Funkcja f:

Dziedzina:

 

Miejsca zerowe:

 

 

  • Funkcja h:

Wykres:

Dziedzina:

 

Miejsca zerowe:

 

Podaj przykłady liczb niewymiernych, których:

a)

b)

Hotel dla kotów o psów ...

  

 

 

 

 

Naszkicuj parabolę y=7(x+2)^2+5...

Obliczmy współrzędne kilku punktów należących do wykresu funkcji y=7(x+2)2+5

x -3 -2 -1
y 12 5 12


a)
Obliczmy współrzędne kilku punktów należących do wykresu funkcji y=-1/3(x+2)2+5  {premium}

x -5 -2 1
y 2 5 2





te funkcje mają 1 punkt wspólny


b) 
Obliczmy współrzędne kilku punktów należących do wykresu funkcji y=1/10(x+2)2+6

x -12 -2 8
y 16 6 16





te funkcje mają 2 punkty wspólne

c) 
Obliczmy współrzędne kilku punktów należących do wykresu funkcji y=10(x+2)2+10

x -3 -2 -1
y 20 10 20




te funkcje nie mają punktów wspólnych

Trapez równoramienny o podstawach 6√3 cm i 2√3 cm ...

 

Zastanawiamy się, dla jakiego kąta funkcja tangens przyjmuje taką wartość

Suma miar kątów leżących przy jednym ramieniu trapezu wynosi 180o, zatem miara kąta rozwartego trapezu:

Miary kątów tego trapezu: 60o,60o,120o,120o.

 

     

Miejscami zerowymi funkcji kwadratowej są...

Wiemy, że miejscami funkcji kwadratowej są liczby -5 i 1:

 

oraz, że wykres przecina oś y w punkcie (0, 5), zatem wzór tej funkcji ma postać:  {premium}

 

 

 

 


zatem wzór tej funkcji ma postać:

 


Odp.: C

Naszkicuj w jednym układzie współrzędnych ...

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  

 

 

Wykres funkcji g(x)...

Jeżeli przesuniemy wykres funkcji f o 2 jednostki w prawo to otrzymamy:

 

Odpowiedź C

Gdyby w ankiecie wzięło udział kolejne 100 osób

Z poprzedniego zadania wiemy już, że:

  • na program X zagłosowało 288 osób
  • na program Y zagłosowało 224 osób
  • w tym na oba programy zagłosowało 112 osób

 

Gdyby w ankiecie wzięlo udział kolejne 100 osób, to ilość ankietowanych wynosiłaby 400+100=500 osób. Każda z tych 100 osób głosowałaby jedynie na program Y, więc ilość głosów na program Y wynosiłaby 224+100=324. Wtedy poparcie dla programu Y wynosiłoby:

 

 

 

 

Pytanie zostało sformułowane nie do końca jasno. Treść pytania "O ile punktów procentowych popularniejszych okazałby się ten program?" sugeruje, że należy zbadać różnicę między początkowym poparciem dla programu Y, a poparciem dla tego programu przy 500 ankietowanych. Tymczasem autorowi chodziło o zbadanie różnicy między poparciem dla programu Y a poparciem dla programu X przy 500 głosujących osobach. Pytanie powinno brzmieć więc: "O ile punktów procentowych popularniejszy niż program X okazałby się wtedy program Y?".

 

Obliczmy, jakie byłoby poparcie dla programu X, gdyby w ankiecie brało udział dodatkowych 100 osób, a wszyscy z nich głosowaliby na program Y. Wtedy na program X głosowałoby tyle samo osób, co na początku (288), a liczba wszystkich głosujących osób wynosiłaby 500.

 

 

Obliczamy, o ile punktów procentowych popularniejszy niż program X okazałby się wtedy program Y:

  

 

Dane są dwa okręgi współśrodkowe...

Możemy dorysować{premium} jeszcze dwie cięciwy, wychodzące z punktów A i B, o długości 10 cm, które będą styczne do mniejszego okręgu. Utworzą one trójkąt równoboczny. Wówczas większe koło jest kołem opisanym na trójkącie, a mniejsze -  kołem wpisanym w trójkąt. Oznaczmy promienie tych kół odpowiednio jako R i r. Ze wzorów na promień koła opisanego i wpisanego w trójkąt równoboczny mamy:

 

 


Obliczamy pole większego koła:

 

Obliczamy pole mniejszego koła:

 


Obliczamy pole pierścienia kołowego wyznaczonego przez te okręgi:

 


Prawidłowa odpowiedź to A.