Zgoda na przetwarzanie danych osobowych

25 maja 2018 roku zacznie obowiązywać Rozporządzenie Parlamentu Europejskiego i Rady (UE) 2016/679 z dnia 27 kwietnia 2016 r. znane jako RODO.

Dlatego aby dalej móc dostarczać Ci materiały odpowiednie do Twojego etapu edukacji, potrzebujemy zgody na lepsze dopasowanie treści do Twojego zachowania. Dzięki temu możemy zapamiętywać jakie materiały są Ci potrzebne. Dbamy o Twoją prywatność, więc nie zwiększamy zakresu naszych uprawnień. Twoje dane są u nas bezpieczne, a zgodę na ich zbieranie możesz wycofać na podstronie polityka prywatności.

Klikając "Przejdź do Odrabiamy", zgadzasz się na wskazane powyżej działania. W przeciwnym wypadku, nie jesteśmy w stanie zrealizować usługi kompleksowo i prosimy o opuszczenie strony.

Polityka prywatności

Drogi Użytkowniku w każdej chwili masz prawo cofnąć zgodę na przetwarzanie Twoich danych osobowych. Cofnięcie zgody nie będzie wpływać na zgodność z prawem przetwarzania, którego dokonano na podstawie wyrażonej przez Ciebie zgody przed jej wycofaniem. Po cofnięciu zgody wszystkie twoje dane zostaną usunięte z serwisu. Udzielenie zgody możesz modyfikować w zakładce 'Informacja o danych osobowych'

średnia ważona, wariancja i odchylenie standardowe - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

średnia ważona

Średnia ważona różni się nieco od arytmetycznej. Oprócz samej sumy liczb do każdej z nich mamy przypisaną tzw. Wagę, która mówi nam jak bardzo ważna jest w naszej średniej dana liczba - częsty proceder na studiach czy w liceach.

Przykład:

kolokwium "waży" 30% czyli 0,3
egzamin "waży" 70% czyli 0,7

Wszystkie wagi muszą dać w sumie 1!
$$0,3+0,7=1$$

Załóżmy, że dostaliśmy z kolokwium ocenę 3, a z egzaminu ocenę 5, według średniej arytmetycznej mamy czyste 4. Jak to wygląda przy ważonej?

Waga oceny z kolokwium to:
$$0,3$$

Więc ocena to:
$$0,3×3=0,9$$

Waga z egzaminu: 0,7
Ocena:
$$0,7×5=3,5$$

Zatem razem mamy $$3,5+0,9=4,4≈4,5$$

Średnią ważoną stosują nawet nauczyciele matematyki, dlatego nawet 5 z kartkówek nie ratuje nas przed dwóją ze sprawdzianu i ocena jest niższa.

Wariancja i odchylenie standardowe

Wariancja (nie mylić z wariacjami, które także mają inne znaczenie niż wariowanie). Wariancja jest to miara rozproszenia liczb wokół średniej, czyli to, jak bardzo od niej odbiegają.

Oznaczamy ją $$σ^2$$, dlaczego do kwadratu to opowiem później.

Aby ją obliczyć potrzebujemy najpierw średniej arytmetycznej, następnie od każdej liczby odejmujemy średnią i podnosimy wyniki do kwadratu. Na koniec dzielimy sumę kwadratów przez ilość elementów. Czyli:

$$x_1, x_2,...,x_n$$ - liczby, których rozproszenie chcemy policzyć
$$n$$ - liczba elementów, które uśredniamy
$$s={x_1+x_2+...+x_n}/n$$ - średnia arytmetyczna
$$σ^2={ {(x_1-s)}^2+{(x_2-s)}^2+...+{(x_n-s)}^2}/n$$ - nasza wariancja
A samo odchylenie standardowe to po prostu $$σ$$, czyli musimy wyciągnąć pierwiastek z wariancji.

Przykład:
Znajdź wariancję i odchylenie standardowe dla liczb 3,5,10,7,1,1.
Zaczynamy od obliczenia średniej arytmetycznej:

Ilość liczb: 6
$$s={3+5+10+7+1+1}/6$$
$$s={27}/6$$
$$s=4,5$$
Teraz obliczmy wariancję. Mamy:
$$n=6$$
$$n=4,5$$

$$σ^2={ {(x_1-s)}^2+{(x_2-s)}^2+{(x_3-s)}^2+{(x_4-s)}^2+{(x_5-s)}^2+{(x_6-s)}^2}/n$$

$$σ^2={ {(x_1-4,5)}^2+{(x_2-4,5)}^2+{(x_3-4,5)}^2+{(x_4-4,5)}^2+{(x_5-4,5)}^2+{(x_6-4,5)}^2}/n$$

$$σ^2={ {(3-4,5)}^2+{(5-4,5)}^2+{(10-4,5)}^2+{(7-4,5)}^2+{(1-4,5)}^2+{(1-4,5)}^2}/n$$

$$σ^2={ {(-1,5)}^2+{0,5}^2+{5,5}^2+{2,5}^2+{(-3,5)}^2+{(-3,5)}^2}/6$$

$$σ^2={2,25+0,25++30,25+6,25+12,25+12,25}/6$$

$$σ^2={63,5}/6≈10,58$$

Pozostaje nam obliczyć odchylenie standardowe:

$$σ=√{10,58}≈3,25$$

 

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Wyznacz średnią ważoną dla liczb w tabeli:

img01

Musimy pomnożyć każdą liczbę przez wagę i zsumować je:

$$S_w=2×0,2+5×0,3+1×0,1+6×0,4$$

$$S_w=0,4+1,5+0,1+2,4=4,4$$

Zadanie 2.

Znajdź odchylenie standardowe i wariancję dla liczb z tabeli:

img02

Zacznijmy od średniej arytmetycznej. Liczba elementów $$n=4$$.

$$s={2+8+10+4}/4$$

$$s={24}/6$$

$$s=4$$

Mamy:

$$n=4$$

$$s=4$$

Następnie obliczamy wariancję według wzoru:

$$σ^2={ {(x_1-s)}^2+{(x_2-s)}^2+{(x_3-s)}^2+{(x_4-s)}^2}/n$$

$$σ^2={ {(x_1-4)}^2+{(x_2-4)}^2+{(x_3-4)}^2+{(x_4-4)}^2}/4$$

$$σ^2={ {(2-4)}^2+{(8-4)}^2+{(10-4)}^2+{(4-4)}^2}/4$$

$$σ^2={ {(-2)}^2+4^2+6^2+0^2}/4$$

$$σ^2={4+16+36}/4$$

$$σ^2={56}/4=14$$

Pozostaje nam obliczyć odchylenie standardowe czyli pierwiastek z wariancji:

$$σ=√14≈3,74$$

Zadanie 3.

Wykres poniżej przedstawia sprzedaż pewnego produktu:

wyk1

Znajdź średnią ilość sprzedanych sztuk w tych latach, wariancję i odchylenie standardowe.

Zadanie wręcz identyczne jak zadanie 2, jedyne co więcej musimy zrobić, to odczytać liczby z wykresu, co przedstawione zostało na tabelce poniżej:

img03

Następnie postępujemy tak samo, nie zwracamy uwagi na rok. Średnia:

$$s={11+12+13+14}/4$$

$$s={50}/4$$

$$s=12,5$$

Wariancja:

$$σ^2={ {(x_1-s)}^2+{(x_2-s)}^2+{(x_3-s)}^2+{(x_4-s)}^2}/n$$

$$σ^2={ {(x_1-12,5)}^2+{(x_2-12,5)}^2+{(x_3-12,5)}^2+{(x_4-12,5)}^2}/4$$

$$σ^2={ {(11-12,5)}^2+{(12-12,5)}^2+{(13-12,5)}^2+{(14-12,5)}^2}/4$$

$$σ^2={ {(-1,5)}^2+{(-0,5)}^2+{0,5}^2+{1,5}^2}/4$$

$$σ^2={2,25+0,25+0,25+2,25}/4$$

$$σ^2=6/4=1,5$$

Pozostaje nam obliczyć odchylenie standardowe czyli pierwiastek z wariancji:

$$σ=√{1,5}≈1,22$$

Spis treści

Rozwiązane zadania
Narysuj obraz ...

`a)` 

`A=(-4;-2)` 

`B=(-1;3)` 

`vecu=[5;-1]` 

`A_1=(-4+5;-2-1)=(1;-3)` 

`B_1=(-1+5;3-1)=(4;2)` 

 

`b)` 

`A=(3;-1)` 

`B=(5;4)` 

`vecu=[-4;-2]`   

`A_1=(-1;-3)` 

`B_1=(1;2)` 

 

`c)`  

`A=(-3;1)` 

`B=(1;-2)` 

`vecu=[0;3]` 

`A_1=(-3;4)` 

`B_1=(1;1)` 

 

`d)` 

`A=(5;-1)` 

`B=(3;4)` 

`vecu=[-4;0]` 

`A_1=(1;-1)` 

`B_1=(-1;4)` 

Czworokąt DEOC przedstawiony na rysunku...

Pole figury `ABCDE` obliczymy jako sumę pól trójkąta `ECD` oraz prostokąta `ABCD.`    

Zauważmy, że trójkąt `EPD` jest prostokątny. W takim razie możemy zapisać:

`cos15^@=|PE|/|ED|` 

Stąd mamy:

`(sqrt6+sqrt2)/4=|PE|/5\ "/"*5` 

`|PE|=(5(sqrt6+sqrt2))/4` 

oraz

`sin15^@=|DP|/|ED|` 

Stąd mamy:

`(sqrt6-sqrt2)/4=|DP|/5\ "/"*5` 

`|DP|=(5(sqrt6-sqrt2))/4` 

Obliczamy długość odcinka `|EC|:` 

`|EC|=2|EP|` 

`|EC|=2*(5(sqrt6+sqrt2))/4=(5(sqrt6+sqrt2))/2` 

Ponieważ `|AB|=|EC|,` to możemy obliczyć długość odcinka `BC.` 

Dla `DeltaABC` mamy:

`"tg"15^@=|BC|/|AB|` 

`2-sqrt3=|BC|/((5(sqrt6+sqrt2))/2)\ "/"*(5(sqrt6+sqrt2))/2`              

`|BC|=(2-sqrt3)*(5(sqrt6+sqrt2))/2=5/2(2-sqrt3)(sqrt6+sqrt2)=5/2(2sqrt6+2sqrt2-sqrt18-sqrt6)=`   

`=5/2(sqrt6+2sqrt2-3sqrt2)=5/2(sqrt6-sqrt2)` 

Obliczamy pole trójkąta `ECD:` 

`P_1=1/2*|EC|*|DP|` 

`P_1=1/2*(5(sqrt6+sqrt2))/2*(5(sqrt6-sqrt2))/4=(25(6-2))/16=100/16=25/4`   

Obliczamy pole prostokąta `ABCD:` 

`P_2=|AB|*|BC|` 

`P_2=(5(sqrt6+sqrt2))/2*5/2(sqrt6-sqrt2)=25/4*(6-2)=25/4*4=25` 

Obliczamy pole figury `ABCDE:` 

`P_3=P_1+P_2` 

`P_3=25/4+25=6 1/4+25=31 1/4` 

Odp. Pole figury `ABCDE` wynosi `31 1/4\ "cm"^2.`   

Wyświetl na kalkulatorze liczbę √117

`sqrt117=10,81665382...`

`sqrt117~~10,8167`

`sqrt117~~10,817`

`sqrt117~~10,82`

Podaj cechę przystawania, na podstawie której można stwierdzić

`a)` 

`|angleDCE|=|angleACB|`   (kąty wierzchołkowe)

`|angleDEC|=|angleCAB|`   (kąty naprzemianległe)

`|AC|=|CE|` 

`DeltaDCE-=DeltaBCA\ \ \ \ cecha\ kbk`  

 

 

`b)` 

`DeltaCDB-=DeltaADB\ \ \ \ cecha\ bkb`    (wspólny bok BD, boki AD i CD równej długości, a pomiędzy nimi kąt prosty)

 

 

`c)` 

`|angleDCA|=|angleBAC|`    (kąty naprzemianległe)  

`|angleDAC|=|angleBCA|`   (kąty naprzemianległe) 

`DeltaACD-=DeltaCAB\ \ \ \ cecha\ kbk` 

Wyznacz długość wektora ...

`a)` 

`"Z tw. Pitagorasa:"` 

`|vec v|=sqrt(50^2+25^2`  

`|vec v|=sqrt(2500+625)=sqrt3125=25sqrt5` 

 

`b)` 

`"Z tw. Pitagorasa:"` 

`13^2=5^2+|vec v|^2` 

`|vec v|^2=169-25=144` 

`|vec v|=12` 

 

`c)` 

`"Skorzystamy ze wzoru na wysokość trójkąta równobocznego o boku a."` 

`h=(asqrt3)/2` 

`a=18` 

`h=|vecv|=(18sqrt3)/2=9sqrt3`      

Wyznacz współrzędne wierzchołka

`a)` 

`a=1` 

`b=2` 

`c=3`  

`Delta=2^2-4*1*3=4-12=-8` 

`x_w=(-b)/(2a)=-2/(2*1)=-2/2=-1`  

`y_w=(-Delta)/(4a)=8/(4*1)=8/4=2`  

`W=(-1;\ 2)\ \ \ -\ \ \ "współrzędne wierzchołka"`   

`f(x)=(x+1)^2+2\ \ \ -\ \ \ "postać kanoniczna"`  

 

 

 

`b)` 

`a=1` 

`b=-4` 

`c=-2` 

`Delta=(-4)^2-4*1*(-2)=16+8=24`

`x_w=(-b)/(2a)=4/2=2` 

`y_w=(-Delta)/(4a)=-24/4=-6` 

`W=(2;\ -6)\ \ \ -\ \ \ "współrzędne wierzchołka"` 

`f(x)=(x-2)^2-6\ \ \ -\ \ \ "postać kanoniczna"` 

 

 

 

`c)` 

`a=-1` 

`b=-2` 

`c=1` 

`Delta=(-2)^2-4*(-1)*1=4+4=8` 

`x_w=(-b)/(2a)=2/(-2)=-1` 

`y_w=(-Delta)/(4a)=-8/(-4)=2` 

`W=(-1;\ 2)\ \ \ -\ \ \ "współrzędne wierzchołka"` 

`f(x)=-(x+1)^2+2\ \ \ -\ \ \ "postać kanoniczna"` 

 

 

 

`d)` 

`a=-4` 

`b=8` 

`c=1` 

`Delta=8^2-4*(-4)*1=64+16=80` 

`x_w=(-b)/(2a)=(-8)/(2*(-4))=(-8)/(-8)=1` 

`y_w=(-Delta)/(4a)=(-80)/(4*(-4))=(-80)/(-16)=5` 

`W=(1;\ 5)\ \ \ -\ \ \ "współrzędne wierzchołka"`  

`f(x)=-4(x-1)^2+5\ \ \ -\ \ \ "postać kanoniczna"`  

 

 

`e)` 

`a=2` 

`b=8` 

`c=-7` 

`Delta=8^2-4*2*(-7)=64+56=120` 

`x_w=(-b)/(2a)=(-8)/(2*2)=(-8)/4=-2` 

`y_w=(-Delta)/(4a)=(-120)/(4*2)=(-120)/8=-15` 

`W=(-2;\ -15)\ \ \ -\ \ \ "współrzędne wierzchołka"` 

`f(x)=2(x+2)^2-15\ \ \ -\ \ \ "postać kanoniczna"`  

 

 

`f)` 

`a=-2` 

`b=-6` 

`c=2` 

`Delta=(-6)^2-4*(-2)*2=36+16=52` 

`x_w=(-b)/(2a)=6/(2*(-2))=-6/4=-3/2` 

`y_w=(-Delta)/(4a)=-52/(4*(-2))=52/8=26/4=13/2` 

`W=(-3/2;\ 13/2)\ \ \ -\ \ \ "współrzędne wierzchołka"` 

`f(x)=-2(x+3/2)^2+13/2\ \ \ -\ \ \ "postać kanoniczna"`  

 

 

`g)` 

`a=1` 

`b=-1` 

`c=0` 

`Delta=(-1)^2-4*1*0=1-0=1` 

`x_w=(-b)/(2a)=1/2` 

`y_w=(-Delta)/(4a)=-1/4` 

`W=(1/2;\ -1/4)\ \ \ -\ \ \ "współrzędne wierzchołka"` 

`f(x)=(x-1/2)^2-1/4\ \ \ -\ \ \ "postać kanoniczna"`  

 

 

`h)` 

`a=-2` 

`b=6` 

`c=0` 

`Delta=6^2-4*(-2)*0=36-0=36` 

`x_w=(-b)/(2a)=-6/(2*(-2))=6/4=3/2`  

`y_w=(-Delta)/(4a)=(-36)/(4*(-2))=36/8=9/2` 

`W=(3/2;\ 9/2)\ \ \ -\ \ \ "współrzędne wierzchołka"`   

`f(x)=-2(x-3/2)^2+9/2\ \ \ -\ \ \ "postać kanoniczna"`  

 

 

`i)` 

`a=3` 

`b=0` 

`c=-8` 

`Delta=0^2-4*3*(-8)=96` 

`x_w=(-b)/(2a)=-0/(2*3)=0` 

`y_w=(-Delta)/(4a)=-96/(4*3)=-96/12=-32/4=-8` 

`W=(0;\ -8)\ \ \ -\ \ \ "współrzędne wierzchołka"` 

`f(x)=3x^2-8\ \ \ -\ \ \ "postać kanoniczna"` 

Dane są punkty

Wystarczy do równania prostej y=ax+b podstawić współrzędne punktów należących do tej prostej.

 

 

`b)`

`{(-1=a*(-4)+b), (2=a*5+b):}`

 

 

 

`c)`

`{(4=a*1+b), (2=a*5+b):}`

 

Proste k, l, m są równoległe

W trójkącie...

a) Rysunek:

`cos 54^o = |AC|/10 \ \ \ |*10`

`cos54^o *10 = |AC|`

`|AC| approx 0,5878 * 10`

`|AC| approx 5,878`

 

`cos 27^o = |AC|/|CD|`

`|CD| = |AC|/cos27^o`

`|CD| approx (5,878)/(0,8910)`

`|CD| approx 6,5971`

 

 

 

b) Rysunek:

 

`sin 54^o = (2a)/10`

`sin 54^o = a/5 \ \ \ |*5`

`a = sin 54^o * 5`

`a approx 0,8090 * 5`

`a approx 4,045`

 

`cos54^o = h/10 \ \ \ |*10`

`cos 54^o *10= h`

`h approx 0,5878 * 10 `

`h approx 5,878`

 

`tg beta = a/h` 

`tg beta approx (4,045)/(5,878) approx 0,6882`  

`beta approx 35^o`

 

`sin beta = a/|CD|`

`|CD| = a/sin beta`

`|CD| approx = (4,045)/(sin 35^o) approx (4,045)/(0,5736) approx 7,0520`

Dany jest wykres funkcji

`a)` 

`D_f\ ={-6,\ -5,\ -4,\ -3,\ -2,\ -1,\ 0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6,\ 7}` 

`Z_w\ ={-2,\ -1,\ 0,\ 1,\ 2}` 

 

`b)` 

`f(x)=2\ \ \ "dla" \ \ \ x in {2,\ 5}` 

`f(x)=-1\ \ \ "dla"\ \ \ x in {-4,\ -1}`

 

`c)` 

`f(-3)=0` 

`f(-5)=-2` 

`f(2)=2` 

`f(4)=1` 

 

 

`d)` 

`f(x)=0\ \ \ "dla"\ \ \ x in {-6,\ -3,\ 0,\ 3,\ 6}`