a) Wykres funkcji g otrzymano, przesuwając wykres funkcji f o wektor więc wykres funkcji f otrzymamy, przesuwając wykres funkcji g o wektor:
Wówczas:{premium}
b) Wykres funkcji g otrzymano, przesuwając wykres funkcji f o wektor więc wykres funkcji f otrzymamy, przesuwając wykres funkcji g o wektor:
Wówczas:
c) Wykres funkcji g otrzymano, przesuwając wykres funkcji f o wektor więc wykres funkcji f otrzymamy, przesuwając wykres funkcji g o wektor:
Wówczas:
d) Wykres funkcji g otrzymano, przesuwając wykres funkcji f o wektor więc wykres funkcji f otrzymamy, przesuwając wykres funkcji g o wektor:
Wówczas:
Wykonajmy rysunek pomocniczy: {premium}
Obliczmy miarę kąta 𝛼:
Obliczmy miarę kąta ADC:
Obliczmy miarę kąta CBA:
Odp.: Miary kątów tego trapezu wynoszą: 120o, 120o, 60o, 60o.
a)
b)
{premium}
c)
W poniższym przykładzie skorzystamy z następującej własności logarytmy:
d)
Wyznaczamy miejsca zerowe funkcji g:{premium}
Z wykresu odczytujemy, że miejscami zerowymi funkcji są liczby -3, 1, 5. Jeżeli przyjmiemy, że a<b<c, to:
Wówczas:
Prawidłowa odpowiedź to C.
{premium}
Należy zaznaczyć odpowiedź D.
Chcemy ustalić warunki na a i b dla prostych postaci f(x)=ax+b {premium}
Niech górny wykres ma równanie f1(x)=ax+b1 a dolny f2(x)=ax+b2.
Ponieważ górny wykres przecina oś y w punkcie (0, 2) a dolny w punkcie (0, -2) to b1=2, b2=-2.
Stąd:
Aby wyznaczyć a wystarczy wstawić do jednego z powyższych wzorów współrzędne dowolnego punktu należącego do wykresu.
Zauważmy, że miejscem zerowym funkcji f1 jest x=-4, stąd mamy:
Czyli wszystkie funkcje liniowe z zamalowanego obszaru są postaci f(x)=ax+b gdzie a=1/2 oraz
Chcemy ustalić warunki na a i b dla prostych postaci f(x)=ax+b.
Niech górny wykres (ten, który jest wyżej w pierwszej ćwiartce układu) ma równanie f1(x)=a1x+b a dolny f2(x) = a2x+b.
Ponieważ obie funkcje przechodzą przez początek układu współrzędnych, to b=0.
W takim razie proste f1 i f2 mają równania:
Chcemy teraz ustalić, jakie są współczynniki a1 i a2.
W tym celu wstawiamy do powyższych wzorów współrzędne dowolnych punktów należących do wykresów.
Do wykresu funkcji f1 należy na przykład punkt (1, 2) stąd:
A do wykresu f2 należy na przykład punkt (1, 1) stąd:
W takim razie współczynniki kierunkowe prostych z czerwonego obszaru spełniają warunek:
Czyli wszystkie funkcje liniowe z zamalowanego obszaru są postaci f(x)=ax+b gdzie b = 0 oraz
Do prostej y=√6x-1 należą punkty{premium} o współrzędnych (x, √6x-1), gdzie x ∈ R.
W takim razie do prostej y=√6x-1 należy tylko jeden punkt o obu współrzędnych wymiernych - jest nim punkt (0, -1).
{premium}
Poprowadźmy odcinki łączące środek okręgu O z wierzchołkami trójkąta ABC. Promień okręgu poprowadzony do punktu styczności tego okręgu z prostą jest prostopadły do tej prostej.
Przyjmijmy oznaczenia:
Wykonajmy rysunek pomocniczy.
{premium}
Kąty BAC i BOC, ABC i AOC oraz ACB i AOB są oparte na tych samych łukach. Miara kąta wpisanego w okrąg jest równa połowie miary kąta środkowego opartego na tym samym łuku. Wynika stąd, że:
Zaktualizujmy nasz rysunek.
Trójkąty BOC, AOC i AOB są równoramienne, ponieważ ich ramionami są promienie okręgu o środku w punkcie O. Suma miar kątów wewnętrznych w każdym trójkącie jest równa 180o. Oznacza to, że:
Uzupełnijmy rysunek.
Obliczamy miary kątów OCA1, OBA1, OAB1, OCB1, OAC1, OBC1.
Zaznaczmy to na rysunku.
Ponownie korzystamy z faktu, że suma miar kątów wewnętrznych w każdym trójkącie jest równa 180o. Z tego wynika, że
Odpowiedź: Kąt ma miarę 180o-2, kąt ma miarę 180o-2 , a kąt ma miarę 180o-2.
a) Na zwykłym kalkulatorze "mieści się" 16 cyfr, zatem możemy znaleźć na nim rozwinięcia liczb{premium} 9/52 i 23/440.
b) Korzystając z równości podanych w ramce łatwo możemy znaleźć rozwinięcia podanych liczb ponieważ: