Rysowanie wykresu funkcji liniowej - matura-podstawowa - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Rysowanie wykresu funkcji liniowej - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Rysowanie wykresu funkcji liniowej

Na początek przypomnienie, czyli wzór ogólny funkcji liniowej:

$y=ax+b$

gdzie:

a,b – współczynniki liczbowe

x,y – punkty w układzie współrzędnych

Każdemu kto chce narysować linię prostą w konkretnym miejscu wystarczą tylko dwa punkty. Stosujemy to często przy różnych pracach typu wycinanie desek, odmierzając odpowiednią ilość drewna i zaznaczając linią kawałek do ucięcia.

Tak samo tutaj potrzebujemy tylko dwóch dowolnych punktów, jeśli znamy wzór, czyli musimy wybrać dowolny x i obliczyć dla niego y. Ważne przy wyborze x jest, aby jak najłatwiej policzyć y.
 

Uwaga!


Możemy potrzebować więcej punktów jeśli będziemy rysować na przedziałach, lecz o tym napiszemy później.

Do wykresu potrzebujemy wzoru funkcji, tabeli punktów i układu współrzędnych.

Objaśnijmy wszystko na przykładzie:

Narysuj wykres funkcji $y=3x+1$.

Mamy już wzór podany, musimy stworzyć tabelę dwóch punktów, jak ona wygląda?

Wiersz nr 1 oznacza wartość osi X punktu, a wiersz nr 2 to wartość osi Y punktu, zatem każda kolumna to jeden punkt na układzie współrzędnych:

tab1

Wybieram dwie dowolne (ale łatwe) wartości x: 0,1

tab2

Następnie musimy obliczyć y dla naszych x:

tab3

Mamy już dwa potrzebne punkty, które odczytujemy z tabelki. Nazwijmy je A i B: A(0;1) i B(1;4).

Musimy je zaznaczyć w układzie współrzędnych:

Pusty układ:

ukl1

Zaznaczam punkt A szukając 0 na osi X i 1 na osi Y. Kółko jest naszym punktem A:

ukl2

W ten sam sposób robimy z punktem B:

ukl3

Ostatecznie łączymy te dwa punkty, pamiętając by linię prostą przeciągnąć najlepiej w pobliżu granic układu współrzędnych (pamiętajmy, że prosta w matematyce jest nieskończona).

ukl4
 

Rysowanie wykresu funkcji liniowej na zadanym przedziale

Przedział najprościej mówiąc jest to zakres liczb na osi x, dla których mamy narysować wykres. Nie możemy machnąć prostej na desce, a następnie na stole, podłodze itd. wydłużając ją w nieskończoność. - Tak samo tutaj będziemy działać na ograniczonym obszarze. Przedział może być otwarty lub domknięty.

Przedział otwarty oznacza, że kraniec przedziału czyli ostatnia liczba nie należy już do przedziału. W zapisie oznaczamy go symbolami nawiasu ( lub ) a na wykresie jako niezamalowane kółko.

Przedział domknięty oznacza, że kraniec przedziału czyli ostatnia liczba należy do przedziału. W zapisie oznaczamy go symbolami < lub >, a na wykresie jako zamalowane kółko.

Najczęściej funkcje określone na jednym przedziale jednym wzorem, a na drugim przedziale drugim wzorem, opisujemy tak jak na przykładzie:


Przykład:

Narysuj wykres:

zad1

Musimy rozpatrzeć osobno każdy z tych wzorów i po prostu narysować dwa wykresy na jednym układzie współrzędnych.

Zacznijmy od:

$y=x+2$

Rysujemy tabelkę z dwoma punktami, zwróćmy uwagę na dostępne x! Tutaj możemy mieć x<-1, więc musimy brać nasze x mniejsze od -1:
 

Uwaga!


Warto wziąć jako jeden punkt kraniec przedziału nawet jeśli nie należy on do przedziału (przedział otwarty), ułatwi to rysowanie wykresu.

tab1

I obliczamy y

tab2

Zatem

tab6

Teraz weźmy w obroty drugi wzór: $y=1/2 x-1$

Pamiętamy, że tutaj przedział jest $x≥-1$

tab4

Zatem:

tab5

Mamy więc tabelki, przejdźmy do wykresu, narysujmy tabelki:

tabelka 1. tab6
tabelka 2. tab5

Zatem wykres do tabelki 2. :

wyk1
Mamy tutaj przedział domknięty, zatem kółko zamalowane. Teraz wykres wspólny obu tabelek:

wyk2
Zwracam uwagę na otwarte kółko, ponieważ -1 do pierwszego przedziału nie należy.
 

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Narysuj wykres funkcji $y=-x+3$.

Tabelka:

tab1

Teraz podstawiamy nasze x w $y=-x+3$

tab2

ostatecznie:

tab3

Punkty wędrują na układ współrzędnych i przeprowadzamy prostą.

wyk11

Zadanie 2.

Narysuj wykres funkcji zad2

Tworzymy tabelki dla każdego z osobna: Najpierw $y=x+2$, pamiętamy o warunkach nieprzekraczania przedziału.
tab1

Ostatecznie:

tab2

Druga część, czyli $y=-x+2$:

tab3
Teraz odpowiednio rysujemy wykres funkcji:

wyk1

Spis treści

Rozwiązane zadania
Z podanych wzorów wyznacz a:

 

      {premium}

 


 

 

 

 


 

 

 


 

 

 

 

W trójkącie równoramiennym o polu...

Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku poniżej:


Mamy dane:

 



a) Z tw. Pitagorasa wyznaczamy a:

 {premium}

 

 

 

 


Ze wzoru na pole trójkąta wyznaczamy x:

 

 

 

 


Obliczamy obwód trójkąta:

 

 


Odp. Obwód trójkąta jest równy 32 cm.



b) Ze wzoru na pole wyznaczamy wysokość h:

 

 

 

 


Obliczamy wysokość opuszczoną na podstawę:

 


Odp. Wysokości trójkąta są równe 8 cm, 9,6 cm, 9,6 cm



c) Ze wzoru na pole obliczamy promień r okręgu wpisanego w trójkąt:

 

 

 

 


Odp. Promień okręgu wpisanego w trójkąt ma długość 3 cm.

Narysuj wykres przykładowej funkcji...

Przykładowy wykres funkcji. Krańce dziedziny zaznaczamy otwartymi kółeczkami gdyż nie należą do niej. Funkcja nie może przyjmować wartości większych od 4 i mniejszych od 2.

{premium}

Doprowadź wyrażenia do najprostszej postaci...

 

 

Wykonaliśmy dzielenie, więc koniecznie musimy założyć, że dzielnik jest różny od zera. Stąd:

 

 

Obliczamy wartość wyrażenia dla  

 {premium}


 

 

Wykonaliśmy dzielenie, więc koniecznie musimy założyć, że dzielnik jest różny od zera. Stąd:

 

 

Obliczamy wartość wyrażenia dla  

 


 

 

 

Wykonaliśmy dzielenie, więc koniecznie musimy założyć, że dzielnik jest różny od zera. Stąd:

 

 

Obliczamy wartość wyrażenia dla  

 

 


 

 

Wykonaliśmy dzielenie, więc koniecznie musimy założyć, że dzielnik jest różny od zera. Stąd:

 

 

 

 

Obliczamy wartość wyrażenia dla 

 

Na rysunku obok przedstawiono...

Funkcje y=x3+2x2 i y=-x3+2x2 są symetryczne względem osi{premium} y, zatem

wykres funkcji y=-x3+2xprzedstawiono na wykresie B.

Odp.: B

Dane są wektory...

{premium}

 

Wyłącz wspólny czynnik poza nawias

 

{premium}  

 

 

 

  

 

 

   

Na podstawie wykresu funkcji f...

Wykres funkcji f otrzymamy po przesunięciu wykresy funkcji h(x)=x2 równolegle o wektor [1, 0].

Rysujemy wykres funkcji f w danym przedziale.{premium}

Na podstawie wykresu funkcji f rysujemy wykres funkcji g.


 

 


 

Wyznacz liczbę, której 15% jest liczbą...

 szukana liczba


Zdanie "liczby  jest liczbą o  mniejszą niż liczby " możemy zapisać równaniem: {premium}

 


Wyznaczamy z równania  

 

 

 

 

 


Odp. Szukana liczba to  

 

 

Wykaż, że suma promienia okręgu opisanego na...

Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku poniżej:

Thumb zad5.111str125


Mamy:

 przyprostokątne

 przeciwprostokątna


Wówczas promienie okręgów wpisanego i opisanego na trójkącie dane są wzorami:

 {premium}

 


Obliczamy sumę tych promieni:

 


 to średnia arytmetyczna przyprostokątnych, zatem pokazaliśmy, że suma długości promieni

jest średnią arytmetyczną długości przyprostokątnych, co należało dowieść.