Rysowanie wykresu funkcji liniowej - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Rysowanie wykresu funkcji liniowej

Na początek przypomnienie, czyli wzór ogólny funkcji liniowej:

$$y=ax+b$$

gdzie:

a,b – współczynniki liczbowe

x,y – punkty w układzie współrzędnych

Każdemu kto chce narysować linię prostą w konkretnym miejscu wystarczą tylko dwa punkty. Stosujemy to często przy różnych pracach typu wycinanie desek, odmierzając odpowiednią ilość drewna i zaznaczając linią kawałek do ucięcia.

Tak samo tutaj potrzebujemy tylko dwóch dowolnych punktów, jeśli znamy wzór, czyli musimy wybrać dowolny x i obliczyć dla niego y. Ważne przy wyborze x jest, aby jak najłatwiej policzyć y.
 

Uwaga!


Możemy potrzebować więcej punktów jeśli będziemy rysować na przedziałach, lecz o tym napiszemy później.

Do wykresu potrzebujemy wzoru funkcji, tabeli punktów i układu współrzędnych.

Objaśnijmy wszystko na przykładzie:

Narysuj wykres funkcji $$y=3x+1$$.

Mamy już wzór podany, musimy stworzyć tabelę dwóch punktów, jak ona wygląda?

Wiersz nr 1 oznacza wartość osi X punktu, a wiersz nr 2 to wartość osi Y punktu, zatem każda kolumna to jeden punkt na układzie współrzędnych:

tab1

Wybieram dwie dowolne (ale łatwe) wartości x: 0,1

tab2

Następnie musimy obliczyć y dla naszych x:

tab3

Mamy już dwa potrzebne punkty, które odczytujemy z tabelki. Nazwijmy je A i B: A(0;1) i B(1;4).

Musimy je zaznaczyć w układzie współrzędnych:

Pusty układ:

ukl1

Zaznaczam punkt A szukając 0 na osi X i 1 na osi Y. Kółko jest naszym punktem A:

ukl2

W ten sam sposób robimy z punktem B:

ukl3

Ostatecznie łączymy te dwa punkty, pamiętając by linię prostą przeciągnąć najlepiej w pobliżu granic układu współrzędnych (pamiętajmy, że prosta w matematyce jest nieskończona).

ukl4
 

Rysowanie wykresu funkcji liniowej na zadanym przedziale

Przedział najprościej mówiąc jest to zakres liczb na osi x, dla których mamy narysować wykres. Nie możemy machnąć prostej na desce, a następnie na stole, podłodze itd. wydłużając ją w nieskończoność. - Tak samo tutaj będziemy działać na ograniczonym obszarze. Przedział może być otwarty lub domknięty.

Przedział otwarty oznacza, że kraniec przedziału czyli ostatnia liczba nie należy już do przedziału. W zapisie oznaczamy go symbolami nawiasu ( lub ) a na wykresie jako niezamalowane kółko.

Przedział domknięty oznacza, że kraniec przedziału czyli ostatnia liczba należy do przedziału. W zapisie oznaczamy go symbolami < lub >, a na wykresie jako zamalowane kółko.

Najczęściej funkcje określone na jednym przedziale jednym wzorem, a na drugim przedziale drugim wzorem, opisujemy tak jak na przykładzie:


Przykład:

Narysuj wykres:

zad1

Musimy rozpatrzeć osobno każdy z tych wzorów i po prostu narysować dwa wykresy na jednym układzie współrzędnych.

Zacznijmy od:

$$y=x+2$$

Rysujemy tabelkę z dwoma punktami, zwróćmy uwagę na dostępne x! Tutaj możemy mieć x<-1, więc musimy brać nasze x mniejsze od -1:
 

Uwaga!


Warto wziąć jako jeden punkt kraniec przedziału nawet jeśli nie należy on do przedziału (przedział otwarty), ułatwi to rysowanie wykresu.

tab1

I obliczamy y

tab2

Zatem

tab6

Teraz weźmy w obroty drugi wzór: $$y=1/2 x-1$$

Pamiętamy, że tutaj przedział jest $$x≥-1$$

tab4

Zatem:

tab5

Mamy więc tabelki, przejdźmy do wykresu, narysujmy tabelki:

tabelka 1. tab6
tabelka 2. tab5

Zatem wykres do tabelki 2. :

wyk1
Mamy tutaj przedział domknięty, zatem kółko zamalowane. Teraz wykres wspólny obu tabelek:

wyk2
Zwracam uwagę na otwarte kółko, ponieważ -1 do pierwszego przedziału nie należy.
 

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Narysuj wykres funkcji $$y=-x+3$$.

Tabelka:

tab1

Teraz podstawiamy nasze x w $$y=-x+3$$

tab2

ostatecznie:

tab3

Punkty wędrują na układ współrzędnych i przeprowadzamy prostą.

wyk11

Zadanie 2.

Narysuj wykres funkcji zad2

Tworzymy tabelki dla każdego z osobna: Najpierw $$y=x+2$$, pamiętamy o warunkach nieprzekraczania przedziału.
tab1

Ostatecznie:

tab2

Druga część, czyli $$y=-x+2$$:

tab3
Teraz odpowiednio rysujemy wykres funkcji:

wyk1

Spis treści

Rozwiązane zadania
Dany jest równoległobok ABCD...

a) Suma miar kątów ostrych w trójkącie prostokątnym jest równa kątowi pełnemu:

`|/_EAD| + |/_ADE| = 90^o` 

`60^o + |/_ADE| = 90^o` 

`|/_ADE| = 30^o` 

 

Zauważmy, że dodatkowo, że:

`/_EAD = /_DCF` 

zatem

`|/_DCF| = 60^o` 

czyli:

`|/_FDC| = 90^o - 60^o = 30^o` 

 

Wiemy, że suma miar kątów w równoległoboku przy boku AD jest równa kątowi półpełnemu, czyli:

`|/_EAD| + |/_ADC|= 180^o` 

`60^o + |/_ADC| = 180^o` 

`|/_ADC| = 120^o` 

 

`|/_ADE| + |/_EDF| + |/_FDC| = |/_ADC|` 

`30^o + |/_EDF| + 30^o = 120^o` 

`|/_ EDF|+60^o = 120^o`  

`|/_EDF| = 60^o` 

 

b) Obliczmy wysokość równoległoboku:

`sin 60^o = (|DE|)/(|AD|)` 

`|DE| = sin 60^o * |AD| = sqrt3/2 * 4 = 2sqrt3` 

 

Pole trójkąta AED:

`P_("AED") = 1/2* |AD|*|DE|*sin 30^o = 1/2 * 4 * 2sqrt3 * 1/2 = 2sqrt3` 

 

Obliczmy wysokość trójkąta CDF

`sin 60^o = (|DF|)/(|CD|)` 

`|DF| = sin 60^o * 6 = sqrt3/2 * 6 = 3sqrt3` 

 

Pole trójkąta CDF:

`P_("CDF") = 1/2 *|DF|*|CD| * sin30^o = 1/2 * 3sqrt3 * 6 * 1/2 = (18sqrt3)/4 = (9sqrt3)/2` 

 

Pole równoległoboku ABCD:

`P_("ABCD") = |AB|*|AD|*sin 60^o = 6*4*sqrt3/2 = 12sqrt3` 

 

Zatem pole czworokąta EBFD wynosi:

`P_("EBFD") = P_("ABCD") - (P_("AED")+P_("CDF")) = 12sqrt3 - (2sqrt3 + 4,5 sqrt3) = 12sqrt3 - 6,5 sqrt3 = 5,5 sqrt3 = (11sqrt3)/2` 

Wyznacz równanie prostej przechodzącej przez punkty P i Q

`a)`

Obliczamy współczynnik kierunkowy prostej y=ax+b:

`a=(9-5)/(-4-4)=4/(-8)=-1/2`

Zatem na razie mamy równanie postaci: 

`y=-1/2x+b`

Teraz do równania podstawiamy współrzędne jednego z punktów, powiedzmy punktu P:

`5=-1/2*4+b`

`5=-2+b`

`b=5+2=7`

 

Ostatecznie mamy więc równanie prostej:

`ul(y=-1/2x+7)`

 

 

 

`b)`

`a=(-7-(-13))/(2-4)=(-7+13)/(-2)=6/(-2)=-3`

Mamy równanie:

`y=-3x+b`

Podstawiamy współrzędne punktu Q:

`-7=-3*(-2)+b`

`-7=6+b`

`b=-7-6=-13`

 

`ul(y=-3x-13)`

 

 

`c)`

`a=(7/3-3)/(1-3)=(7/3-9/3)/(-2)=(-2/3)/(-2)=-2/3:(-2)=1/3`

Mamy równanie:

`y=1/3x+b`

Podstawiamy współrzędne punktu P:

`3=1/3*3+b`

`3=1+b`

`b=3-1=2`

 

`ul(y=1/3x+2)`

 

Wyrażenie (n⁴-16)/(n²+4) można zapisać w postaci

Przekształcamy:

`(n^4-16)/(n^2+4)=((n^2-4)strike((n^2+4)))/(strike(n^2+4))=n^2-4`

 

Prostokąt o bokach długości x i 4 jest podobny do prostokąta ...

 

krótszy bok
pierwszego prostokąta

dłuższy bok

pierwszego prostokąta

krótszy bok

drugiego prostokąta

dłuższy bok

drugiego prostokąta

proporcja
`x`  `4`  `6`  `x+5`  `x/6=4/(x+5)` 
`x`  `4`  `x+5`  `6`  `x/(x+5)=4/6` 
`4`  `x`  `6`  `x+5`  `4/6=x/(x+5)` 
`4`  `x`  `x+5`  `6`  `4/(x+5)=x/6` 

 

Tabela ilustruje wszystkie możliwości, mamy 2 proporcje do rozwiązania

`p i erwsza:` 

`x/6=4/(x+5)` 

`x(x+5)=4*6` 

`x^2+5x=24\ \ \ |-24` 

`x^2+5x-24=0` 

`Delta=5^2-4*1*(-24)=` `25+96=121` 

`sqrtDelta=sqrt121=11` 

`x_1=(-5-11)/2<0` 

`x_2=(-5+11)/2=6/2=3` 

 

`x=3,\ \ \ \ x+5=5+3=8` 

`P_1=x*4=3*4=12` 

`P_2=6*(x+5)=6*8=48` 

`P_2-P_1=48-12=36` 

 

`druga:` 

`x/(x+5)=4/6` 

`6x=4(x+5)` 

`6x=4x+20\ \ \ |-4x` 

`2x=20\ \ \ |:2` 

`x=10,\ \ \ \ x+5=10+5=15` 

`P_1=x*4=10*4=40` 

`P_2=6*(x+5)=6*15=90` 

`P_2-P_1=90-40=50`

Oblicz wartość wyrażenia dla podanej wartości x

`a)`

`|x+3|-|x|=|-sqrt3+3|-|-sqrt3|\ \ #=^(^(-sqrt3+3~~-1,73+3>0))\ \ -sqrt3+3-sqrt3=-2sqrt3+3`

 

`b)`

`|x+2|+|x-2|=|-sqrt2+2|+|-sqrt2-2|\ \ #=^(^(-sqrt2+2~~-1,41+2>0,\ \ -sqrt2-2<0))\ \ -sqrt2+2-(-sqrt2-2)=-sqrt2+2+sqrt2+2=4`

 

 

`c)`

`|x|-|-x|+|2x|=|1-sqrt2|-|-(1-sqrt2)|+|2(1-sqrt2)|\ \ #=^(^(1-sqrt2~~1-1,41<0))\ \ -(1-sqrt2)-|-1+sqrt2|-2(1-sqrt2)=`

`=-1+sqrt2-|-1+sqrt2|-2+2sqrt2\ \ #=^(^(-1+sqrt2~~-1+1,41>0))\ \ -1+sqrt2-(-1+sqrt2)-2+2sqrt2=`

`=-1+sqrt2+1-sqrt2-2+2sqrt2=-2+2sqrt2`

 

 

`"uwaga:"`

W tym podpunkcie warto pamiętać, że liczby przeciwne są jednakowo odległe od zera na osi liczbowej, więc zachodzi następująca własność:

`|x|=|-x|\ \ \ (np.\ |3|=|-3|=3)`

Wtedy zadanie możemy rozwiązać szybciej: 

`|x|-|-x|+|2x|=|x|-|x|+|2x|=|2x|=|2(1-sqrt2)|\ \ #=^(^(1-sqrt2~~1-1,41<0))\ \ -2(1-sqrt2)=-2+2sqrt2`

 

`d)`

`|2x|-|x-1|=|2(sqrt2-1)|-|sqrt2-1-1|\ \ #=^(^(sqrt2-1~~1,41-1>0))\ \ 2(sqrt2-1)-|sqrt2-2|\ \ #=^(^(sqrt2-2~~1,41-2<0)`

`=2sqrt2-2-(-(sqrt2-2))=2sqrt2-2+sqrt2-2=3sqrt2-4`

 

Oblicz wartości funkcji trygonometrycznych kąta ostrego...

Mając funkcję liniową daną równaniem:

`f(x) = ax+b`

To współczynnik kierunkowy funkcji jest równy tangensowi kąta jaki prosta tworzy z osią x.

`tg \ alpha = a` 

 

A więc:

`y = 1/2x - 5` 

 

`tg \ alpha = 1/2` 

`sin alpha/cos alpha = 1/2`  

`sin alpha = 1/2 cos alpha` 

Z jedynki trygonometrycznej:

`sin^2 alpha + cos^2 alpha = 1` 

`(1/2cos alpha)^2 + cos^2 alpha = 1` 

`1/4 cos^2 alpha + cos^2 alpha = 1` 

`5/4 cos^2 alpha = 1` 

`cos^2 alpha = 4/5` 

Cosinus jest dodatni bo kąt jest ostry.

`cos alpha = 2/sqrt5 = (2sqrt5)/5`  

 

`sin alpha = 1/2 * cos alpha = 1/2 * (2sqrt5)/5 = sqrt5/5` 

W równoramiennym trójkącie...

 

Promień okręgu wpisanego w trójkąt o bokach długości a,b,c wyraża się wzorem:

`r = (2P)/(a+b+c)` 

`2 = (2P)/(a+a+b)` 

`2*(2a+b) = 2P` 

`2a + b = P` 

 

`cos \ 70^o = (1/2b)/a` 

`cos 70^o = b/(2a)` 

`0,3420 = b/(2a)` 

`b/a = 0,684` 

`b = 0,684a` 

 

`sin \ 70^o = h/a` 

`sin \ 70^o = h/a` 

`0,9397 = h/a` 

`h = 0,9397a` 

 

Pole dużego trójkąta:

`P = (bh)/2 = (0,684a * 0,9397a)/2 approx 0,3213 a^2` 

 

Przyrównajmy do siebie obie wielkości wyrażające pole:

`2a+b = 0,3213a^2` 

`2a + 0,684a = 0,3213a^2` 

`2,684a - 0,3213a^2 =0` 

`a(2,684 - 0,3213a) =0` 

`2,684 - 0,3213a = 0` 

`0,3213a = 2,684` 

`a = 8,3536 approx 8,4 \ ["cm"]` 

`b= 0,684 * 8,3536 approx 5,7 \ ["cm"]` 

Szkoła może wypłacać co miesiąc...

Skoro szkoła wypłaca 12 uczniom po 80 złotych to w sumie wydaje:

`12 * 80 = 960 \ "zł"` 

 

Oznaczmy stypendium dla jednego ucznia przez s. Jeżeli będą przeznaczać tyle samo pieniędzy na 16 uczniów to stypendium będzie wynosić:

`16*s = 960` 

`s = 60 \ "zł"`

Naszkicuj wykres dowolnej funkcji

`a)`

Podajemy cztery przykładowe funkcje. 

 

 

`b)`

Zauważmy, że argumentowi -2 przyporządkowano dwie wartości: -1 oraz -2. Funkcja to przyporządkowanie, które każdemu argumentowi przypisuje DOKŁADNIE JEDNĄ wartość, więc do wykres funkcji nie mogą należeć jednocześnie punkty (-2, -1) oraz (-2, -2). 

Podstawy trapezu...

Rysunek poglądowy:

Trójkąty ABE i CDE są podobne na podstawie cechy KKK, gdyż przy wierzchołku E kąty w trójkątach są wierzchołkowe, a więc są równe.

Kąty naprzeciwległe:

`/_EAC = /_ ECD`

`/_ EDC = /_ ABE`

 

Obliczmy stosunek długości podstaw by poznać skale podobieństwa:

`18/12 = 3/2`

 

Stosunek odpowiednich boków jest równy skali podobieństwa:

`|AE|/|CE|=3/2 => |AE| = 3/2|CE|`

`|BE|/|DE| = 3/2 => |BE|=3/2|DE|` 

Przekątne dzielą się w stosunku 2:3