Rysowanie wykresu funkcji liniowej - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Rysowanie wykresu funkcji liniowej

Na początek przypomnienie, czyli wzór ogólny funkcji liniowej:

$$y=ax+b$$

gdzie:

a,b – współczynniki liczbowe

x,y – punkty w układzie współrzędnych

Każdemu kto chce narysować linię prostą w konkretnym miejscu wystarczą tylko dwa punkty. Stosujemy to często przy różnych pracach typu wycinanie desek, odmierzając odpowiednią ilość drewna i zaznaczając linią kawałek do ucięcia.

Tak samo tutaj potrzebujemy tylko dwóch dowolnych punktów, jeśli znamy wzór, czyli musimy wybrać dowolny x i obliczyć dla niego y. Ważne przy wyborze x jest, aby jak najłatwiej policzyć y.
 

Uwaga!


Możemy potrzebować więcej punktów jeśli będziemy rysować na przedziałach, lecz o tym napiszemy później.

Do wykresu potrzebujemy wzoru funkcji, tabeli punktów i układu współrzędnych.

Objaśnijmy wszystko na przykładzie:

Narysuj wykres funkcji $$y=3x+1$$.

Mamy już wzór podany, musimy stworzyć tabelę dwóch punktów, jak ona wygląda?

Wiersz nr 1 oznacza wartość osi X punktu, a wiersz nr 2 to wartość osi Y punktu, zatem każda kolumna to jeden punkt na układzie współrzędnych:

tab1

Wybieram dwie dowolne (ale łatwe) wartości x: 0,1

tab2

Następnie musimy obliczyć y dla naszych x:

tab3

Mamy już dwa potrzebne punkty, które odczytujemy z tabelki. Nazwijmy je A i B: A(0;1) i B(1;4).

Musimy je zaznaczyć w układzie współrzędnych:

Pusty układ:

ukl1

Zaznaczam punkt A szukając 0 na osi X i 1 na osi Y. Kółko jest naszym punktem A:

ukl2

W ten sam sposób robimy z punktem B:

ukl3

Ostatecznie łączymy te dwa punkty, pamiętając by linię prostą przeciągnąć najlepiej w pobliżu granic układu współrzędnych (pamiętajmy, że prosta w matematyce jest nieskończona).

ukl4
 

Rysowanie wykresu funkcji liniowej na zadanym przedziale

Przedział najprościej mówiąc jest to zakres liczb na osi x, dla których mamy narysować wykres. Nie możemy machnąć prostej na desce, a następnie na stole, podłodze itd. wydłużając ją w nieskończoność. - Tak samo tutaj będziemy działać na ograniczonym obszarze. Przedział może być otwarty lub domknięty.

Przedział otwarty oznacza, że kraniec przedziału czyli ostatnia liczba nie należy już do przedziału. W zapisie oznaczamy go symbolami nawiasu ( lub ) a na wykresie jako niezamalowane kółko.

Przedział domknięty oznacza, że kraniec przedziału czyli ostatnia liczba należy do przedziału. W zapisie oznaczamy go symbolami < lub >, a na wykresie jako zamalowane kółko.

Najczęściej funkcje określone na jednym przedziale jednym wzorem, a na drugim przedziale drugim wzorem, opisujemy tak jak na przykładzie:


Przykład:

Narysuj wykres:

zad1

Musimy rozpatrzeć osobno każdy z tych wzorów i po prostu narysować dwa wykresy na jednym układzie współrzędnych.

Zacznijmy od:

$$y=x+2$$

Rysujemy tabelkę z dwoma punktami, zwróćmy uwagę na dostępne x! Tutaj możemy mieć x<-1, więc musimy brać nasze x mniejsze od -1:
 

Uwaga!


Warto wziąć jako jeden punkt kraniec przedziału nawet jeśli nie należy on do przedziału (przedział otwarty), ułatwi to rysowanie wykresu.

tab1

I obliczamy y

tab2

Zatem

tab6

Teraz weźmy w obroty drugi wzór: $$y=1/2 x-1$$

Pamiętamy, że tutaj przedział jest $$x≥-1$$

tab4

Zatem:

tab5

Mamy więc tabelki, przejdźmy do wykresu, narysujmy tabelki:

tabelka 1. tab6
tabelka 2. tab5

Zatem wykres do tabelki 2. :

wyk1
Mamy tutaj przedział domknięty, zatem kółko zamalowane. Teraz wykres wspólny obu tabelek:

wyk2
Zwracam uwagę na otwarte kółko, ponieważ -1 do pierwszego przedziału nie należy.
 

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Narysuj wykres funkcji $$y=-x+3$$.

Tabelka:

tab1

Teraz podstawiamy nasze x w $$y=-x+3$$

tab2

ostatecznie:

tab3

Punkty wędrują na układ współrzędnych i przeprowadzamy prostą.

wyk11

Zadanie 2.

Narysuj wykres funkcji zad2

Tworzymy tabelki dla każdego z osobna: Najpierw $$y=x+2$$, pamiętamy o warunkach nieprzekraczania przedziału.
tab1

Ostatecznie:

tab2

Druga część, czyli $$y=-x+2$$:

tab3
Teraz odpowiednio rysujemy wykres funkcji:

wyk1

Spis treści

Rozwiązane zadania
Michał płaci miesięcznie za korzystanie z telefonu...

Prawidłowa odpowiedź to  `"C."` 

Ponieważ do stałej opłaty `(32\ "zł")` dodajemy opłatę za każdą dodatkową minutę w wysokości `80\ "gr",` czyli `0,8\ "zł".`      

Julka systematycznie, co miesiąc, przejeżdża rowerem

`x\ -\ "dystans, który zwykle przejeżdża Julka przez miesiąc"`

`(100%-20%)*x=80%*x=0,8x\ \ -\ \ "dystans, który przejechała Julka w tym miesiącu"`

`y\ \ -\ \ "dystans, jaki powinna pokonać w lipcu"`

 

Średnia dystansu z czerwca i lipca powinna być równa x (tyle zwykle przejeżdża Julka):

`(0,8x+y)/2=x\ \ \ |*2`

`0,8x+y=2x \ \ |-0,8x`

`y=1,2x`

 

 

W lipcu Julka powinna więc pokonać dystans 1,2x. Obliczamy, o ile procent powinna zwiększyć swój stały dystans w lipcu, aby wrócić do średniej (czyli obliczamy, jakim procentem stałego dystansu jest różnica dystansu w lipcu i stałego dystansu):

`(1,2x-x)/x=(0,2x)/x=0,2=20%`

Wśród 180 studentów przeprowadzono ankietę

Które równanie opisuje tą samą prostą?

Pierwsze równanie zapisano w postaci kierunkowej. Przekształćmy pozostałe równanie do postaci kierunkowej (wyznaczmy z nich y), w ten sposób zobaczymy, które równania opisują tą samą prostą. 

 

`4x+2y-6=0\ \ \ \ |-4x+6`

`2y=-4x+6\ \ \ \ |:2`

`y=-2x+3`

 

 

 

`4x-2y-6=0\ \ \ \ |-4x+6`

`-2y=-4x+6\ \ \ \ |:(-2)`

`y=2x-3`

 

 

 

`2/3x-1/3y-1=0\ \ \ \ |-2/3x+1`

`-1/3y=-2/3x+1\ \ \ \ |*(-3)`

`y=2x-3`

 

Równania opisujące tą samą prost:

`y=2x-3,\ \ \ \ \ 4x-2y-6=0,\ \ \ \ \ 2/3x-1/3y-1=0`

Wyznacz liczbę a, dla której...

Podstawmy pod x liczbę -2 i wyliczmy jakie musi być a, żeby podana liczba była rozwiązaniem.

 

`a) \ 3*(-2) + a = (-2+1)*5*(-2)` 

`-6 + a = (-1)*(-10)` 

`-6 + a = 10` 

`a = 16` 

 

`b) \ (2*5 - a^2)(5-3)=2` 

`(10-a^2)*2 = 2 \ \ \ |:2` 

`10 - a^2 = 1` 

`a^2 -9 =0`  

`(a-3)(a+3)=0` 

`a_1 = 3 \ \ vv \ \ a_2 = -3` 

Na rysunku obok przedstawiono wykres funkcji

Funkcja f powstała przez przesunięcie wykres funkcji y=x² o 1 jednostkę w górę. 

`f(x)=x^2+1`

 

Funkcja g powstała przez przesunięcie funkcji y=x² o 4 jednostki w dół. 

`g(x)=x^2-4`

Podaj dziedzinę funkcji f

Kreska ułamkowa oznacza dzielenie. Nie można dzielić przez zero, dlatego należy "wyrzucić" z dziedziny te punkty, dla których mianownik się zeruje. 

 

`a)`

`xne0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ "i"\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x-2ne0\ \ \ |+2`

`\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ xne2`

 

`D=RR\\{0,\ 2}`

 

 

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))`

 

 

`b)`

`x+3ne0\ \ \ |-3\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ "i"\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 5-xne0\ \ \ |-5`

`xne-3\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ "i"\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ -xne-5\ \ \ |*(-1)`

`\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ xne5`

 

`D=RR\\{-3,\ 5}`

 

 

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))`

 

 

`c)`

`2x-1ne0\ \ \ |+1\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ "i"\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x+3ne0\ \ \ |-3`

`2xne1\ \ \ |:2\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ "i"\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ xne-3`

`xne1/2`

 

`D=RR\\{-3,\ 1/2}`

 

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))`

 

 

`d)`

`xne0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ "i"\ \ \ \ \ \ \ \ \ \5x-3ne0\ \ \ |+3`

`\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 5xne3\ \ \ |:5`

`\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ xne3/5`

 

`D=RR\\{0,\ 3/5}`

 

 

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))`

 

 

`e)`

`4x+3ne0\ \ \ |-3\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ "i"\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 6-4xne0\ \ \ |-6`

`4xne-3\ \ \ |:4\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ "i"\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ -4xne-6\ \ \ |:(-4)`

`xne-3/4\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ "i"\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ xne3/2`

 

`D=RR\\{-3/4,\ 3/2}`

 

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))`

 

 

`f)`

`8x-6ne0\ \ \ |+6\ \ \ \ \ \ \ \ \ \"i"\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 0,5x+1ne0\ \ \ |-1`

`8xne6\ \ \ |:8\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \"i"\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 0,5xne-1\ \ \ |*2`

`xne3/4\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ "i"\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x ne-2`

 

`D=RR\\{-2,\ 3/4}`

 

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))`

 

 

`g)`

`x(x+3)ne0`

`xne0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \"i"\ \ \ \ \ \ \ \ \ \x+3ne0\ \ \ |-3`

`\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ xne-3`

 

`D=RR\\{-3,\ 0}`

 

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))`

 

 

`h)`

`x(6-3x)ne0`

`xne0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ "i"\ \ \ \ \ \ \ \ \ \6-3xne0\ \ \ |-6`

`\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ -3xne-6\ \ \ |:(-3)`

`\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ xne2`

 

`D=RR\\{0,\ 2}`

 

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))`

 

 

`i)`

`(2x+5)xne0`

`2x+5ne0\ \ \ |-5\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ "i"\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ xne0`

`2xne-5\ \ \ |:2`

`xne-5/2`

 

`D=RR\\{-5/2,\ 0}`

 

 

Funkcja f przyporządkowuje...

Przykładowo:

`4 -> (1/4)/2 = 1/(4*2) = 1/8` 

`6 -> (1/6)/2 = 1/(6*2) = 1/12` 

A więc:

`x -> (1/x)/2 = 1/(x*2) = 1/(2x)` 

Odpowiedź A

Oblicz:

`"a)"\ 8^(-1/3)=(1/8)^(1/3)=root(3)(1/8)=1/2` 

`\ \ \ 27^(-4/3)=(1/27)^(4/3)=(root(3)(1/27))^4=(1/3)^4=1/81` 

`\ \ \ 64^(-1/3)=(1/64)^(1/3)=root(3)(1/64)=1/4` 

 

`"b)"\ (1/16)^(-1/2)=16^(1/2)=sqrt16=4` 

`\ \ \ (1/27)^(-2/3)=27^(2/3)=(root(3)27)^2=3^2=9` 

`\ \ \ (16/625)^(-3/4)=(625/16)^(3/4)=(root(4)(625/16))^3=(root(4)((5^4)/(2^4)))^3=(root(4)((5/2)^4))^3=(5/2)^3=125/8=15 5/8` 

Sporządź tabelę wartości funkcji

`a)` 

`x`  `-3`  `-3/4`  `3/4`  `4 1/2`  `9` 
`y=-2/3x-1/2` 

`-2/3*(-3)-1/2=` 

`=2-1/2=1 1/2` 

`-2/strike3^1*(-strike3^1/4)-1/2=` 

`=2/4-1/2=1/2-1/2=0` 

`-2/strike3^1*strike3^1/4-1/2=` 

`=-2/4-1/2=-1/2-1/2=-1` 

`-2/3*4 1/2-1/2=` 

`=-2/strike3^1*strike9^3/2-1/2=` `=-3-1/2=-3 1/2` 

`-2/strike3^1*strike9^3-1/2=` 

`=-6 -1/2=-6 1/2` 

 

 

 

`b)` 

`x`  `0`  `sqrt6/12`  `sqrt3/3`  `sqrt2`  `sqrt6` 
`y=sqrt6x`  `sqrt6*0=0`  `sqrt6*sqrt6/12=6/12=1/2` 

`sqrt6*sqrt3/3=sqrt18/3=` 

`=(sqrt9*sqrt2)/3=(3sqrt2)/3=sqrt2`   

`sqrt6*sqrt2=sqrt12=sqrt4*sqrt3=2sqrt3`  `sqrt6*sqrt6=6`