Rysowanie wykresu funkcji liniowej - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Rysowanie wykresu funkcji liniowej

Na początek przypomnienie, czyli wzór ogólny funkcji liniowej:

$$y=ax+b$$

gdzie:

a,b – współczynniki liczbowe

x,y – punkty w układzie współrzędnych

Każdemu kto chce narysować linię prostą w konkretnym miejscu wystarczą tylko dwa punkty. Stosujemy to często przy różnych pracach typu wycinanie desek, odmierzając odpowiednią ilość drewna i zaznaczając linią kawałek do ucięcia.

Tak samo tutaj potrzebujemy tylko dwóch dowolnych punktów, jeśli znamy wzór, czyli musimy wybrać dowolny x i obliczyć dla niego y. Ważne przy wyborze x jest, aby jak najłatwiej policzyć y.
 

Uwaga!


Możemy potrzebować więcej punktów jeśli będziemy rysować na przedziałach, lecz o tym napiszemy później.

Do wykresu potrzebujemy wzoru funkcji, tabeli punktów i układu współrzędnych.

Objaśnijmy wszystko na przykładzie:

Narysuj wykres funkcji $$y=3x+1$$.

Mamy już wzór podany, musimy stworzyć tabelę dwóch punktów, jak ona wygląda?

Wiersz nr 1 oznacza wartość osi X punktu, a wiersz nr 2 to wartość osi Y punktu, zatem każda kolumna to jeden punkt na układzie współrzędnych:

tab1

Wybieram dwie dowolne (ale łatwe) wartości x: 0,1

tab2

Następnie musimy obliczyć y dla naszych x:

tab3

Mamy już dwa potrzebne punkty, które odczytujemy z tabelki. Nazwijmy je A i B: A(0;1) i B(1;4).

Musimy je zaznaczyć w układzie współrzędnych:

Pusty układ:

ukl1

Zaznaczam punkt A szukając 0 na osi X i 1 na osi Y. Kółko jest naszym punktem A:

ukl2

W ten sam sposób robimy z punktem B:

ukl3

Ostatecznie łączymy te dwa punkty, pamiętając by linię prostą przeciągnąć najlepiej w pobliżu granic układu współrzędnych (pamiętajmy, że prosta w matematyce jest nieskończona).

ukl4
 

Rysowanie wykresu funkcji liniowej na zadanym przedziale

Przedział najprościej mówiąc jest to zakres liczb na osi x, dla których mamy narysować wykres. Nie możemy machnąć prostej na desce, a następnie na stole, podłodze itd. wydłużając ją w nieskończoność. - Tak samo tutaj będziemy działać na ograniczonym obszarze. Przedział może być otwarty lub domknięty.

Przedział otwarty oznacza, że kraniec przedziału czyli ostatnia liczba nie należy już do przedziału. W zapisie oznaczamy go symbolami nawiasu ( lub ) a na wykresie jako niezamalowane kółko.

Przedział domknięty oznacza, że kraniec przedziału czyli ostatnia liczba należy do przedziału. W zapisie oznaczamy go symbolami < lub >, a na wykresie jako zamalowane kółko.

Najczęściej funkcje określone na jednym przedziale jednym wzorem, a na drugim przedziale drugim wzorem, opisujemy tak jak na przykładzie:


Przykład:

Narysuj wykres:

zad1

Musimy rozpatrzeć osobno każdy z tych wzorów i po prostu narysować dwa wykresy na jednym układzie współrzędnych.

Zacznijmy od:

$$y=x+2$$

Rysujemy tabelkę z dwoma punktami, zwróćmy uwagę na dostępne x! Tutaj możemy mieć x<-1, więc musimy brać nasze x mniejsze od -1:
 

Uwaga!


Warto wziąć jako jeden punkt kraniec przedziału nawet jeśli nie należy on do przedziału (przedział otwarty), ułatwi to rysowanie wykresu.

tab1

I obliczamy y

tab2

Zatem

tab6

Teraz weźmy w obroty drugi wzór: $$y=1/2 x-1$$

Pamiętamy, że tutaj przedział jest $$x≥-1$$

tab4

Zatem:

tab5

Mamy więc tabelki, przejdźmy do wykresu, narysujmy tabelki:

tabelka 1. tab6
tabelka 2. tab5

Zatem wykres do tabelki 2. :

wyk1
Mamy tutaj przedział domknięty, zatem kółko zamalowane. Teraz wykres wspólny obu tabelek:

wyk2
Zwracam uwagę na otwarte kółko, ponieważ -1 do pierwszego przedziału nie należy.
 

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Narysuj wykres funkcji $$y=-x+3$$.

Tabelka:

tab1

Teraz podstawiamy nasze x w $$y=-x+3$$

tab2

ostatecznie:

tab3

Punkty wędrują na układ współrzędnych i przeprowadzamy prostą.

wyk11

Zadanie 2.

Narysuj wykres funkcji zad2

Tworzymy tabelki dla każdego z osobna: Najpierw $$y=x+2$$, pamiętamy o warunkach nieprzekraczania przedziału.
tab1

Ostatecznie:

tab2

Druga część, czyli $$y=-x+2$$:

tab3
Teraz odpowiednio rysujemy wykres funkcji:

wyk1

Spis treści

Rozwiązane zadania
Promienie słoneczne padają na ziemię...

`sin 20^o = 20/c`

`c = 20/sin20^o`  

 

`cos20^o = x/c` 

`c = x/(cos20^o)` 

 

Stąd:

`20/(sin20^o) = x/cos20^o`  

`20/(sin20^o) * cos20^o = x` 

`20/(sin20^o) * 1/(1/cos20^o) = x` 

`x = 20/(sin20^o/cos20^o)` 

`x = 20/(tg \ 20^o) \ ["m"]` 

Odpowiedź A

Na podstawie diagramu obok

`a)\ AnnB={4,\ 5}` 

 

`b)` 

Musimy wypisać elementy, które należą do jednego ze zbiorów A lub B, ale nie należą do zbioru A - są to te elementy zbioru B, które nie należą jednocześnie do A. 

`(AuuB)\\A={6,\ 7,\ 8}` 

 

`c)` 

Musimy wypisać elementy, które należą do zbioru A, ale jednocześnie nie należą do zbioru A i zbioru B.

`A\\(AnnB)={1,\ 2,\ 3}` 

 

`d)` 

Musimy wypisać wszystkie elementy, które nie należą jednocześnie do zbiorów A i B.

`(AnnB)'={1,\ 2,\ 3,\ 6,\ 7,\ 8,\ 9,\ 10}` 

 

`e)` 

Musimy wypisać wszystkie zbiory, które nie należą do zbioru A i jednocześnie nie należą do zbioru B. 

`A'nnB'={9,\ 10}` 

 

`f)` 

Najpierw wypiszmy elementy, które należą do zbioru B, ale nie należą do zbioru A:

`B\\A={6,\ 7,\ 8}` 

Teraz musimy wypisać elementy zbioru A różne od elementów wypisanych powyżej:

`A\\(B\\A)={1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5}` 

Na podstawie wykresu przedstawiającego...

Zdania `"A."` oraz `"B."` są prawdziwe na podstawie obserwacji wykresów.

Sprawdzamy prawdziwość `"C:"`    

`1998\ "r."` import rejestrowany butów wynosił około `100\ "mln"` par, a w `2000\ "r."` około `50\ "mln"` par.    

W takim razie import zmalał o prawie `50\ "mln"` par i zdanie `"C."` jest prawdziwe.

Wobec tego fałszywe jest zdanie `"D."`  

Na podstawie definicji oblicz...

a) Założymy, że kąt 150o jest w położeniu standardowym (oba jego ramiona mają początek w punkcie (0,0). Zauważmy, że:

`30^o = 180^o - 150^o` 

 

Jest to trójkąt prostokątny o kątach ostrych 30o i 60o. A więc zachodzi zależność:

`|PA|*sqrt3 = |AO|` 

Skoro |AO|=1 to:

`|PA|* sqrt3 = 1` 

`|PA| = 1/sqrt3 * sqrt3/sqrt3 = sqrt3/3` 

 

Punkt P ma współrzędne:

`P = (-1, sqrt3/3)` 

 

Obliczmy odległość punktu P od początku układu współrzędnych:

`r = sqrt((-1)^2 +(sqrt3/3)^2) = sqrt(1 + 1/3) = sqrt(4/3) = 2/sqrt3` 

 

`sin 150^o = y/r = (sqrt3/3)/(2/sqrt3) = sqrt3/3 * sqrt3/2 = 3/6 = 1/2` 

`cos 150^o = x/r = (-1)/(2/sqrt3) = -1 * sqrt3/2 = -sqrt3/2`

`tg \ 150^o = y/x = (sqrt3/3)/(-1) = -sqrt3/3` 

`ctg \ 150^o = (-1)/(sqrt3/3) = -3/sqrt3 * sqrt3/sqrt3 = (-3sqrt3)/3 = -sqrt3` 

 

 

`b) \ 30^o = 270^o - 240^o` 

Niech |PC| = 1

Wtedy trójkąt jest prostokątny o kątach ostrych 30o i 60o. Zachodzi zatem zależność:

`|PC|*sqrt3 = |OC|` 

Zatem

`1 * sqrt3 = |OC|`  

`|OC| = sqrt3` 

 

Punkt P ma współrzędne:

`P = (-1, -sqrt3)` 

 

Obliczmy odległość punktu P od początku układu współrzędnych:

`r = sqrt((-1)^2 +(-sqrt3)^2) = sqrt(1 + 3) = sqrt4 = 2` 

 

`sin 240^o = y/r = (-sqrt3)/2 = -sqrt3/2` 

`cos 240^o = x/r = (-1)/2 = -1/2`

`tg \ 240^o = y/x = (-sqrt3)/(-1) = sqrt3` 

`ctg \ 240^o = x/y = (-1)/(-sqrt3) * sqrt3/sqrt3 = sqrt3/3` 

 

 

`c) \ 45^o = 180^o - 135^o` 

Niech |PO|=1

Trójkąt jest trójkątem równoramiennym prostokątnym. Zatem:

`|PQ| = |PO|` 

zatem:

`|PQ|=1` 

 

Zatem Q ma współrzędne:

`Q = (-1,-1)` 

 

Obliczmy odległość punktu Q od początku układu współrzędnych.

`r = sqrt((-1)^2 +(-1)^2) = sqrt2`  

 

`sin -135^o = y/r = (-1)/sqrt2 * sqrt2/sqrt2 = -sqrt2/2` 

`cos -135^o = x/r = (-1)/sqrt2 *srqt2/sqrt2 = -sqrt2/2` 

`tg \ -135^o = y/x = (-1)/(-1) = 1` 

`ctg \ -135^o = x/y = 1` 

 

 

d) Wiemy, że:

`-390^o = -360^o - 30^o`  

Gdyż kąt pełny ma miarę 360^o zatem:

`-390^o = -30^o` 

Niech |PO|=1

Wtedy skoro mamy do czynienia z trójkątem prostokątnym o kątach ostrych mających miary 30o i 60o to zachodzi zależność:

`|PO| = sqrt3*|PQ|` 

`1 = sqrt3*|PQ|` 

`|PQ| = sqrt3/3` 

 

Punkt Q ma współrzędne:

`Q = (1, -sqrt3/3)`  

 

Obliczmy odległość punktu Q od początku układu współrzędnych:

`r = sqrt((1)^2 +(-sqrt3/3)^2) = sqrt(1 + 1/3) = sqrt(4/3) = 2/sqrt3` 

 

`sin(-30^o) = y/r = (-sqrt3/3)/(2/sqrt3) = -sqrt3/3 * sqrt3/2 = -3/6 = -1/2` 

`cos(-30^o) = x/r = (1)/(2/sqrt3) = sqrt3/2` 

`tg \ (-30^o) = y/x = (-sqrt3/3)/1 = -sqrt3/3` 

`ctg \ (-30^o) = x/y = 1/(-sqrt3/3) = -3/sqrt3 * sqrt3/sqrt3 = -(3sqrt3)/3 = -sqrt3` 

Powietrze zawiera 78% azotu

`a)`

`78-20,9=57,1`

 

 

`b)`

Musimy obliczyć, jaką częścią 20,9 punktów procentowych jest różnica 57,1 punktów procentowych:

`(57,1)/(20,9)=2,732...=273,2...%~~273%`

 

 

`c)`

Musimy obliczyć, jaką częścią 0,9 punkta procentowego jest różnica 20,9 i 0,9 punktów procentowych:

`(20,9-0,9)/(0,9)=20/(0,9)=22,222...=2222,2...%~~2222%`

 

 

`d)`

Musimy obliczyć, jaką częścią 78 punktów procentowych jest różnica 0,9 i 78 punktów procentowych:

`(78-0,9)/78=(77,1)/78=0,988...=98,8...%~~99%`

 

Koszt eksploatacji pewnego ...

Aby wyznaczyć koszt godzinnego lotu na wysokości 7500 m, musimy we wzorze podstawić h=7500 m.

`K=2850+7500/150+(67\ 500\ 000)/7500` 

`K=2850+50+9000` 

`K=11\ 900\ ["zł"]` 

Odp: Koszt godzinnego lotu na wysokości 7500 m kosztuje 11 900 zł. 

Dziedziną funkcji f jest ...

`D_(f)=(-6;3>>`   

`Z_w=<<-1;3)` 

Wiemy, że:

`f(-5)=f(1)=2` 

`f(-3)=f(3)=-1` 

Funkcja jest malejąca w przedziałach:

`(-6;-3>>\ \ "oraz"\ \ <<1;3>>` 

Fuunkcja jest rosnąca w przedziale:

`<<-3;1>>` 

Spróbujmy narysować wykres, który będzie spełniał podane wyżej założenia:

Z wykresu możemy odczytac, że funkcja nie przyjmuje wartości największej.

Wartośc funkcji dla argumentu x=0 jest różna od 1.

Funkcja ma 3 miejsca zerowe.

Prawidłowa jest więc odpowiedź D - funkcja ma co najmniej jedno miejsce zerowe.

Odp: D

Uzupełnij tabelę i naszkicuj wykres ...

`a)` 

`f(x)=-x^2` 

`b)` 

`g(x)=-(x-2)^2=f(x-2)` 

`h(x)=-(x-2)^2+3=f(x-2)+3` 

Oblicz:

`"a)"\ log_(7)(1/343)=-3,\ \ "ponieważ"\ \ 7^(-3)=(1/7)^3=1/343` 

`"b)"\ log0,0001=-4,\ \ \ "ponieważ"\ \ 10^-4=(1/10)^4=1/(10000)=0,0001`  

`"c)"\ log(1/root(4)1000)=log(1/root(4)(10^3))=log(1/10^(3/4))=log10^(-3/4)=-3/4,\ \ "ponieważ"\ \ 10^(-3/4)=(1/10)^(3/4)=1/root(4)1000` 

`"d)"\ log_(sqrt2)4sqrt2=5,\ \ \ "ponieważ"\ \ (sqrt2)^5=(sqrt2)^2*(sqrt2)^2*sqrt2=2*2*sqrt2=4sqrt2` 

Wybieg dla owiec jest prostokątem o wymiarach 6 m na 12 m ...

(6+x), (12+x)  - wymiary nowego wybiegu (w metrach), oczywiście x jest liczbą dodatnią

 

`P_1=6*12=72`

`P_2=(6+x)*(12+x)=6(12+x)+x(12+x)=`

`\ \ \ \ =72+6x+12x+x^2=x^2+18x+72`

 

`P_2>=2*P_1`

`x^2+18x+72>=2*72\ \ \ |-2*72`

`x^2+18x-72>=0`

 

`Delta=18^2-4*1*(-72)=`

`\ \ \ =324+288=612`

`sqrtDelta=sqrt612=sqrt(36*17)=6sqrt17`

`x_1=(-18-6sqrt17)/2=-9-3sqrt17`

`x_2=-9+3sqrt17`

 

  

 

`(x in (-infty,\ -9-3sqrt17>>\ \ uu\ \ <<-9+3sqrt17,\ +infty))\ \ i\ \ x>0\ \ \ =>\ \ \ ul(ul(x in <<-9+3sqrt17,\ +infty)))`