Rysowanie wykresu funkcji liniowej - matura-podstawowa - Baza Wiedzy
Rysowanie wykresu funkcji liniowej
$y=ax+b$
gdzie:
a,b – współczynniki liczbowe
x,y – punkty w układzie współrzędnych
Każdemu kto chce narysować linię prostą w konkretnym miejscu wystarczą tylko dwa punkty. Stosujemy to często przy różnych pracach typu wycinanie desek, odmierzając odpowiednią ilość drewna i zaznaczając linią kawałek do ucięcia.
Tak samo tutaj potrzebujemy tylko dwóch dowolnych punktów, jeśli znamy wzór, czyli musimy wybrać dowolny x i obliczyć dla niego y. Ważne przy wyborze x jest, aby jak najłatwiej policzyć y.
Uwaga!
Możemy potrzebować więcej punktów jeśli będziemy rysować na przedziałach, lecz o tym napiszemy później.
Do wykresu potrzebujemy wzoru funkcji, tabeli punktów i układu współrzędnych.
Objaśnijmy wszystko na przykładzie:
Narysuj wykres funkcji $y=3x+1$.
Mamy już wzór podany, musimy stworzyć tabelę dwóch punktów, jak ona wygląda?
Wiersz nr 1 oznacza wartość osi X punktu, a wiersz nr 2 to wartość osi Y punktu, zatem każda kolumna to jeden punkt na układzie współrzędnych:
Wybieram dwie dowolne (ale łatwe) wartości x: 0,1
Następnie musimy obliczyć y dla naszych x:
Mamy już dwa potrzebne punkty, które odczytujemy z tabelki. Nazwijmy je A i B: A(0;1) i B(1;4).
Musimy je zaznaczyć w układzie współrzędnych:
Pusty układ:
Zaznaczam punkt A szukając 0 na osi X i 1 na osi Y. Kółko jest naszym punktem A:
W ten sam sposób robimy z punktem B:
Ostatecznie łączymy te dwa punkty, pamiętając by linię prostą przeciągnąć najlepiej w pobliżu granic układu współrzędnych (pamiętajmy, że prosta w matematyce jest nieskończona).
Rysowanie wykresu funkcji liniowej na zadanym przedziale
Przedział najprościej mówiąc jest to zakres liczb na osi x, dla których mamy narysować wykres. Nie możemy machnąć prostej na desce, a następnie na stole, podłodze itd. wydłużając ją w nieskończoność. - Tak samo tutaj będziemy działać na ograniczonym obszarze. Przedział może być otwarty lub domknięty.
Przedział otwarty oznacza, że kraniec przedziału czyli ostatnia liczba nie należy już do przedziału. W zapisie oznaczamy go symbolami nawiasu ( lub ) a na wykresie jako niezamalowane kółko.
Przedział domknięty oznacza, że kraniec przedziału czyli ostatnia liczba należy do przedziału. W zapisie oznaczamy go symbolami < lub >, a na wykresie jako zamalowane kółko.
Najczęściej funkcje określone na jednym przedziale jednym wzorem, a na drugim przedziale drugim wzorem, opisujemy tak jak na przykładzie:
Przykład:
Narysuj wykres:
Musimy rozpatrzeć osobno każdy z tych wzorów i po prostu narysować dwa wykresy na jednym układzie współrzędnych.
Zacznijmy od:
$y=x+2$
Rysujemy tabelkę z dwoma punktami, zwróćmy uwagę na dostępne x! Tutaj możemy mieć x<-1, więc musimy brać nasze x mniejsze od -1:
Uwaga!
Warto wziąć jako jeden punkt kraniec przedziału nawet jeśli nie należy on do przedziału (przedział otwarty), ułatwi to rysowanie wykresu.
I obliczamy y
Zatem
Teraz weźmy w obroty drugi wzór: $y=1/2 x-1$
Pamiętamy, że tutaj przedział jest $x≥-1$
Zatem:
Mamy więc tabelki, przejdźmy do wykresu, narysujmy tabelki:
tabelka 1.
tabelka 2.
Zatem wykres do tabelki 2. :
Mamy tutaj przedział domknięty, zatem kółko zamalowane. Teraz wykres wspólny obu tabelek:
Zwracam uwagę na otwarte kółko, ponieważ -1 do pierwszego przedziału nie należy.
Zadania powtórzeniowe
Zadanie 1.
Narysuj wykres funkcji $y=-x+3$.
Tabelka:
Teraz podstawiamy nasze x w $y=-x+3$
ostatecznie:
Punkty wędrują na układ współrzędnych i przeprowadzamy prostą.
Zadanie 2.
Narysuj wykres funkcji
Tworzymy tabelki dla każdego z osobna: Najpierw $y=x+2$, pamiętamy o warunkach nieprzekraczania przedziału.
Ostatecznie:
Druga część, czyli $y=-x+2$:
Teraz odpowiednio rysujemy wykres funkcji:
Spis treści
a) Wykres funkcji g otrzymano, przesuwając wykres funkcji f o wektor więc wykres funkcji f otrzymamy, przesuwając wykres funkcji g o wektor:
Wówczas:{premium}
b) Wykres funkcji g otrzymano, przesuwając wykres funkcji f o wektor więc wykres funkcji f otrzymamy, przesuwając wykres funkcji g o wektor:
Wówczas:
c) Wykres funkcji g otrzymano, przesuwając wykres funkcji f o wektor więc wykres funkcji f otrzymamy, przesuwając wykres funkcji g o wektor:
Wówczas:
d) Wykres funkcji g otrzymano, przesuwając wykres funkcji f o wektor więc wykres funkcji f otrzymamy, przesuwając wykres funkcji g o wektor:
Wówczas:
Wykonajmy rysunek pomocniczy:
{premium}
Obliczmy miarę kąta 𝛼:
Obliczmy miarę kąta ADC:
Obliczmy miarę kąta CBA:
Odp.: Miary kątów tego trapezu wynoszą: 120o, 120o, 60o, 60o.
a)
b)
{premium}
c)
W poniższym przykładzie skorzystamy z następującej własności logarytmy:
d)
Wyznaczamy miejsca zerowe funkcji g:{premium}
Z wykresu odczytujemy, że miejscami zerowymi funkcji są liczby -3, 1, 5. Jeżeli przyjmiemy, że a<b<c, to:
Wówczas:
Prawidłowa odpowiedź to C.
{premium}
Należy zaznaczyć odpowiedź D.
Chcemy ustalić warunki na a i b dla prostych postaci f(x)=ax+b {premium}
Niech górny wykres ma równanie f1(x)=ax+b1 a dolny f2(x)=ax+b2.
Ponieważ górny wykres przecina oś y w punkcie (0, 2) a dolny w punkcie (0, -2) to b1=2, b2=-2.
Stąd:
Aby wyznaczyć a wystarczy wstawić do jednego z powyższych wzorów współrzędne dowolnego punktu należącego do wykresu.
Zauważmy, że miejscem zerowym funkcji f1 jest x=-4, stąd mamy:
Czyli wszystkie funkcje liniowe z zamalowanego obszaru są postaci f(x)=ax+b gdzie a=1/2 oraz
Chcemy ustalić warunki na a i b dla prostych postaci f(x)=ax+b.
Niech górny wykres (ten, który jest wyżej w pierwszej ćwiartce układu) ma równanie f1(x)=a1x+b a dolny f2(x) = a2x+b.
Ponieważ obie funkcje przechodzą przez początek układu współrzędnych, to b=0.
W takim razie proste f1 i f2 mają równania:
Chcemy teraz ustalić, jakie są współczynniki a1 i a2.
W tym celu wstawiamy do powyższych wzorów współrzędne dowolnych punktów należących do wykresów.
Do wykresu funkcji f1 należy na przykład punkt (1, 2) stąd:
A do wykresu f2 należy na przykład punkt (1, 1) stąd:
W takim razie współczynniki kierunkowe prostych z czerwonego obszaru spełniają warunek:
Czyli wszystkie funkcje liniowe z zamalowanego obszaru są postaci f(x)=ax+b gdzie b = 0 oraz
Do prostej y=√6x-1 należą punkty{premium} o współrzędnych (x, √6x-1), gdzie x ∈ R.
- Dla x=0 obie współrzędne punktu są wymierne: (0, -1).
- Gdy x jest liczbą wymierną różną od zera, wówczas liczba √6x jest niewymierna jako iloczyn liczby wymiernej i liczby niewymiernej. W konsekwencji liczba √6x-1 jest niewymierna jako różnica liczby niewymiernej i liczby wymiernej. Czyli w tym przypadku druga współrzędna punktu jest niewymierna.
- Gdy x jest liczbą niewymierną, wówczas pierwsza współrzędna punktu jest niewymierna.
W takim razie do prostej y=√6x-1 należy tylko jeden punkt o obu współrzędnych wymiernych - jest nim punkt (0, -1).
{premium}
Poprowadźmy odcinki łączące środek okręgu O z wierzchołkami trójkąta ABC. Promień okręgu poprowadzony do punktu styczności tego okręgu z prostą jest prostopadły do tej prostej.
Przyjmijmy oznaczenia:
Wykonajmy rysunek pomocniczy.
{premium}
Kąty BAC i BOC, ABC i AOC oraz ACB i AOB są oparte na tych samych łukach. Miara kąta wpisanego w okrąg jest równa połowie miary kąta środkowego opartego na tym samym łuku. Wynika stąd, że:
Zaktualizujmy nasz rysunek.
Trójkąty BOC, AOC i AOB są równoramienne, ponieważ ich ramionami są promienie okręgu o środku w punkcie O. Suma miar kątów wewnętrznych w każdym trójkącie jest równa 180o. Oznacza to, że:
Uzupełnijmy rysunek.
Obliczamy miary kątów OCA1, OBA1, OAB1, OCB1, OAC1, OBC1.
Zaznaczmy to na rysunku.
Ponownie korzystamy z faktu, że suma miar kątów wewnętrznych w każdym trójkącie jest równa 180o. Z tego wynika, że
Odpowiedź: Kąt ma miarę 180o-2, kąt ma miarę 180o-2 , a kąt ma miarę 180o-2.
a) Na zwykłym kalkulatorze "mieści się" 16 cyfr, zatem możemy znaleźć na nim rozwinięcia liczb{premium} 9/52 i 23/440.
b) Korzystając z równości podanych w ramce łatwo możemy znaleźć rozwinięcia podanych liczb ponieważ:
Rozwiązania zadań
Pytania i odpowiedzi
Premium