Zgoda na przetwarzanie danych osobowych

25 maja 2018 roku zacznie obowiązywać Rozporządzenie Parlamentu Europejskiego i Rady (UE) 2016/679 z dnia 27 kwietnia 2016 r. znane jako RODO.

Dlatego aby dalej móc dostarczać Ci materiały odpowiednie do Twojego etapu edukacji, potrzebujemy zgody na lepsze dopasowanie treści do Twojego zachowania. Dzięki temu możemy zapamiętywać jakie materiały są Ci potrzebne. Dbamy o Twoją prywatność, więc nie zwiększamy zakresu naszych uprawnień. Twoje dane są u nas bezpieczne, a zgodę na ich zbieranie możesz wycofać na podstronie polityka prywatności.

Klikając "Przejdź do Odrabiamy", zgadzasz się na wskazane powyżej działania. W przeciwnym wypadku, nie jesteśmy w stanie zrealizować usługi kompleksowo i prosimy o opuszczenie strony.

Polityka prywatności

Drogi Użytkowniku w każdej chwili masz prawo cofnąć zgodę na przetwarzanie Twoich danych osobowych. Cofnięcie zgody nie będzie wpływać na zgodność z prawem przetwarzania, którego dokonano na podstawie wyrażonej przez Ciebie zgody przed jej wycofaniem. Po cofnięciu zgody wszystkie twoje dane zostaną usunięte z serwisu. Udzielenie zgody możesz modyfikować w zakładce 'Informacja o danych osobowych'

Rysowanie wykresu funkcji liniowej - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Rysowanie wykresu funkcji liniowej

Na początek przypomnienie, czyli wzór ogólny funkcji liniowej:

$$y=ax+b$$

gdzie:

a,b – współczynniki liczbowe

x,y – punkty w układzie współrzędnych

Każdemu kto chce narysować linię prostą w konkretnym miejscu wystarczą tylko dwa punkty. Stosujemy to często przy różnych pracach typu wycinanie desek, odmierzając odpowiednią ilość drewna i zaznaczając linią kawałek do ucięcia.

Tak samo tutaj potrzebujemy tylko dwóch dowolnych punktów, jeśli znamy wzór, czyli musimy wybrać dowolny x i obliczyć dla niego y. Ważne przy wyborze x jest, aby jak najłatwiej policzyć y.
 

Uwaga!


Możemy potrzebować więcej punktów jeśli będziemy rysować na przedziałach, lecz o tym napiszemy później.

Do wykresu potrzebujemy wzoru funkcji, tabeli punktów i układu współrzędnych.

Objaśnijmy wszystko na przykładzie:

Narysuj wykres funkcji $$y=3x+1$$.

Mamy już wzór podany, musimy stworzyć tabelę dwóch punktów, jak ona wygląda?

Wiersz nr 1 oznacza wartość osi X punktu, a wiersz nr 2 to wartość osi Y punktu, zatem każda kolumna to jeden punkt na układzie współrzędnych:

tab1

Wybieram dwie dowolne (ale łatwe) wartości x: 0,1

tab2

Następnie musimy obliczyć y dla naszych x:

tab3

Mamy już dwa potrzebne punkty, które odczytujemy z tabelki. Nazwijmy je A i B: A(0;1) i B(1;4).

Musimy je zaznaczyć w układzie współrzędnych:

Pusty układ:

ukl1

Zaznaczam punkt A szukając 0 na osi X i 1 na osi Y. Kółko jest naszym punktem A:

ukl2

W ten sam sposób robimy z punktem B:

ukl3

Ostatecznie łączymy te dwa punkty, pamiętając by linię prostą przeciągnąć najlepiej w pobliżu granic układu współrzędnych (pamiętajmy, że prosta w matematyce jest nieskończona).

ukl4
 

Rysowanie wykresu funkcji liniowej na zadanym przedziale

Przedział najprościej mówiąc jest to zakres liczb na osi x, dla których mamy narysować wykres. Nie możemy machnąć prostej na desce, a następnie na stole, podłodze itd. wydłużając ją w nieskończoność. - Tak samo tutaj będziemy działać na ograniczonym obszarze. Przedział może być otwarty lub domknięty.

Przedział otwarty oznacza, że kraniec przedziału czyli ostatnia liczba nie należy już do przedziału. W zapisie oznaczamy go symbolami nawiasu ( lub ) a na wykresie jako niezamalowane kółko.

Przedział domknięty oznacza, że kraniec przedziału czyli ostatnia liczba należy do przedziału. W zapisie oznaczamy go symbolami < lub >, a na wykresie jako zamalowane kółko.

Najczęściej funkcje określone na jednym przedziale jednym wzorem, a na drugim przedziale drugim wzorem, opisujemy tak jak na przykładzie:


Przykład:

Narysuj wykres:

zad1

Musimy rozpatrzeć osobno każdy z tych wzorów i po prostu narysować dwa wykresy na jednym układzie współrzędnych.

Zacznijmy od:

$$y=x+2$$

Rysujemy tabelkę z dwoma punktami, zwróćmy uwagę na dostępne x! Tutaj możemy mieć x<-1, więc musimy brać nasze x mniejsze od -1:
 

Uwaga!


Warto wziąć jako jeden punkt kraniec przedziału nawet jeśli nie należy on do przedziału (przedział otwarty), ułatwi to rysowanie wykresu.

tab1

I obliczamy y

tab2

Zatem

tab6

Teraz weźmy w obroty drugi wzór: $$y=1/2 x-1$$

Pamiętamy, że tutaj przedział jest $$x≥-1$$

tab4

Zatem:

tab5

Mamy więc tabelki, przejdźmy do wykresu, narysujmy tabelki:

tabelka 1. tab6
tabelka 2. tab5

Zatem wykres do tabelki 2. :

wyk1
Mamy tutaj przedział domknięty, zatem kółko zamalowane. Teraz wykres wspólny obu tabelek:

wyk2
Zwracam uwagę na otwarte kółko, ponieważ -1 do pierwszego przedziału nie należy.
 

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Narysuj wykres funkcji $$y=-x+3$$.

Tabelka:

tab1

Teraz podstawiamy nasze x w $$y=-x+3$$

tab2

ostatecznie:

tab3

Punkty wędrują na układ współrzędnych i przeprowadzamy prostą.

wyk11

Zadanie 2.

Narysuj wykres funkcji zad2

Tworzymy tabelki dla każdego z osobna: Najpierw $$y=x+2$$, pamiętamy o warunkach nieprzekraczania przedziału.
tab1

Ostatecznie:

tab2

Druga część, czyli $$y=-x+2$$:

tab3
Teraz odpowiednio rysujemy wykres funkcji:

wyk1

Spis treści

Rozwiązane zadania
Wyznacz zbiór wartości funkcji...

`a) \ Z_w = {1/4 , 1/3 , 1/2 , 1}` 

 

`b) \ Z_w = {0, 1, 2}` 

Przedstaw ilustrację graficzną układu nierówności

`a)`

`{(-2x+y-3<=0\ \ \ |+2x+3), (x > -1):}`

`{(y<=2x+3), (x> -1):}`

 

Wyznaczmy współrzędne dwóch punktów leżących na krawędzi półpłaszczyzny opisanej pierwszą nierównością: 

`y=2x+3`

`x=0\ \ \ ->\ \ \ y=2*0+3=0+3=3`

`x=-1\ \ \ ->\ \ \ y=2*(-1)+3=-2+3=1`

Prowadzimy prostą przez te punkty. Prostą zaznaczamy linią ciągłą (w nierówności mamy mniejsze lub równe). Zaznaczamy obszar pod prostą. 

 

Krawędzią drugiej półpłaszczyzny jest prosta pionowa x=-1. Prostą zaznaczamy linią przerywaną, malujemy obszar na prawo od prostej. 

 

(po prawej mocniej zamalowano obszar opisany przez układ nierówności)

 

 

 

`ul(ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \)))`

 

 

`b)`

`{(3x-y-2< 0\ \ \ |-3x+2), (-6x+2y< 0\ \ \ |+6x):}`

`{(-y< -3x+2\ \ \ |*(-1)), (2y< 6x\ \ \ |:2):}`

`{(y>3x-2), (y< 3x):}`

Uwaga - przy przekształcaniu zmienił się kierunek nierówności, będziemy zaznaczać zgodnie z ostatnim układem równań (ponieważ właśnie z ostatniego układu bierzemy równania prostych ograniczających półpłaszczyzny)

 

Wyznaczamy współrzędne dwóch punktów leżących na prostej ograniczającej pierwszą półpłaszczyznę:

`y=3x-2`

`x=0\ \ \ ->\ \ \ y=3*0-2=0-2=-2`

`x=1\ \ \ ->\ \ \ y=3*1-2=3-2=1`

 

Wyznaczamy współrzędne dwóch punktów leżących na prostej ograniczającej pierwszą półpłaszczyznę:

`y=3x`

`x=0\ \ \ ->\ \ \ y=3*0=0`

`x=2\ \ \ ->\ \ \ y=3*2=6`

 

(uwaga - punkty na rysunku służyły tylko do narysowania prostych, nie należą one do obszaru opisanego nierównościami - leżą na prostych zaznaczonych przerywaną linią)

 

`ul(ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \)))`

 

 

`c)`

`{(x-3y+3>=0\ \ \ |-x-3), (2x+y>=8\ \ \ |-2x):}`

`{(-3y>=-x-3\ \ \ |:(-3)), (y>=-2x+8):}`

`{(y<=x/3+1), (y>=-2x+8):}`

 

Wyznaczamy współrzędne dwóch punktów leżących na prostej ograniczającej pierwszą półpłaszczyznę::

`y=x+1`

`x=9\ \ \ ->\ \ \ y=9/3+1=4`

`x=6\ \ \ ->\ \ \ y=6/3+1=3`

 

 

 

Wyznaczamy współrzędne dwóch punktów leżących na prostej ograniczającej pierwszą półpłaszczyznę:

`y=-2x+8`

`x=2\ \ \ ->\ \ \ y=-2*2+8=-4+8=4`

`x=3\ \ \ ->\ \ \ y=-2*3+8=-6+8=2`

 

 

 

Suma trzech kolejnych liczb nieparzystych wynosi...

Niech `2n+1,\ 2n+3,\ 2n+5` będą trzema kolejnymi liczbami nieparzystymi, gdzie `n in bbC.` 

Chcemy rozwiązać równanie:

`2n+1+2n+3+2n+5=371` 

`6n+9=371` 

`6n=362\ "/":6` 

`n=60 1/3 notin bbC` 

Oznacza to, że nie istnieją trzy kolejne liczby nieparzyste, których suma jest równa `371.`    

Wykres funkcji ...

`f(x)=2x^2` 

`vec u=[-2;0]` 

`"Parabola powstała na skutek przesunięcia wykresu funkcji f(x) o wektor"\ vec u.`  

`"Parabola powstałą na skutek przesunięcia powyższego wykresu o wektor"\ vecv=[0;3].`   

`g(x)=2(x+2)^2+3` 

`"Aby otrzymać wykres funkcji g(x) wystarczy przesunąć wykres funkcji f(x) o wektoe"\ vec s=[-2;3].` 

Rozwiąż nierówność.

`a)` 

`(2x+1)^2+(x-3)^2<10` 

`4x^2+4x+1+x^2-6x+9-10<0` 

`5x^2-2x<0` 

`x(5x-2)<0` 

`x_1=0` 

`5x-2=0` 

`x_2=2/5` 

`x in (x_1;x_2)=(0;2/5)` 

 

`b)` 

`3x-(1-x)^2>=(x-2)(x+2)` 

`3x-(1-2x+x^2)>=x^2-4` 

`3x-1+2x-x^2-x^2+4>=0` 

`-2x^2+5x+3>=0` 

`Delta=25+24=49` 

`sqrtDelta=7` 

 

`x_1=(-5+7)/-4=-1/2` 

`x_2=(-5-7)/-4=3` 

`x in [-1/2;3]` 

 

`c)` 

`(1/3x+1/3)^2>2/3x-8/3` ` <br> `

`1/9x^2+2/9x+1/9-2/3x+8/3>0` 

`1/9x^2-4/9x+25/9>0` 

`Delta=(-4/9)^2-4*1/9*25/9=16/81-100/81=-84/81` 

`Delta<0 ` 

`a=1/9>0` 

`x in RR` 

 

`d)` 

`2-x^2<=(2-x)^2` 

`2-x^2<=4-4x+x^2` 

`2x^2-4x+2>=0` 

`Delta=16-16=0` 

`x=-b/(2a)=4/4=1` 

`x in RR`   

Geodeta mierzący wysokość...

Rysunek poglądowy:

 

`tg \ 40^o = h/x` 

`h = tg \ 40^o * x` 

 

`tg \ 20^o = h/(x+300)` 

`h = tg \ 20^o *(x+300)` 

 

Zatem:

 

`tg \ 40^o * x = tg \ 20^o * (x+300)` 

`0,8391x = 0,3640*(x+300)` 

`0,8391x = 0,3640x + 109,2` 

`0,4751x = 109,2` 

`x = 229,8463` 

 

A więc:

`h = 0,8391*229,8463 = 192,86 approx 192,9 \ ["m"]` 

Dla jakiej wartości a...

`D = R \ \\ \ {0}` 

 

Jeżeli wykres przechodzi przez punkt o współrzędnych q to zachodzi:

`f(p)=q` 

 

`a) \ A = (1,2)` 

`f(1)=2` 

`a/1 = 2` 

`a = 2` 

 

`b) \ B = (-1/3, -1/2)` 

`f(-1/3) = -1/2` 

`a/(-1/3) = -1/2` 

`-3a = -1/2` 

`a = 1/6` 

 

`c) \ C = (1/8 , 2)` 

`f(1/8) = 2` 

`a/(1/8) = 2` 

`8a = 2` 

`a = 1/4` 

 

`d) \ D = (0,3)` 

Punkt nie należy do dziedziny.

Wyznacz zbiory

Czy podany układ równań jest układem sprzecznym

`a)`

`{(-x+2y=3\ \ \ \ |-2y), (3x-6y=9):}`

`{(-x=3-2y\ \ \ \ \|*(-1)), (3x-6y=9):}`

`{(x=-3+2y), (3(-3+2y)-6y=9):}`

`{(x=-3+2y), (-9+6y-6y=9):}`

`{(x=-3+2y), (-9=9):}`

W drugim równaniu otrzymaliśmy sprzeczność, więc układ nie ma rozwiązań, jest sprzeczny. 

 

 

`b)`

`{(2x-y=-5\ \ \ \ \|-2x), (-4x+2y=10):}`

`{(-y=-5-2x\ \ \ |*(-1)), (-4x+2y=10):}`

`{(y=5+2x), (-4x+2(5+2x)=10):}`

`{(y=5+2x), (-4x+10+4x=10):}`

`{(y=5+2x), (10=10):}`

Drugie równanie jest zawsze spełnione, układ więc jest tożsamościowy, ma nieskończenie wiele rozwiązań. Spełnia je każda para liczb taka, że: 

`{(y=5+2x), (x inRR):}`

 

 

`c)`

`{(1/2x+y=-1\ \ \ \ |-1/2x), (-2x-4y=2):}`

`{(y=-1-1/2x), (-2x-4(-1-1/2x)=2):}`

`{(y=-1-1/2x), (-2x+4+2x=2):}`

`{(y=-1-1/2x), (4=2):}`

W drugim równaniu otrzymaliśmy sprzeczność, więc układ nie ma rozwiązań, jest sprzeczny.  

Naszkicuj wykres funkcji...

a) Wykres funkcji f:

 

Odbijmy symetrycznie wszystko poniżej osi x symetrycznie względem tej osi.

 

Przesuńmy wykres funkcji o 2 jednostki w prawo to otrzymamy wykres funkcji g:

 

b) Wykres funkcji f:

 

 

Odbijmy symetrycznie wszystko poniżej osi x symetrycznie względem tej osi.

 

 

Przesuńmy wykres funkcji o 2 jednostki w prawo to otrzymamy wykres funkcji g:

 

 

c) Wykres funkcji f:

 

 

Odbijmy symetrycznie wszystko poniżej osi x symetrycznie względem tej osi.

 

 

Przesuńmy wykres funkcji o 2 jednostki w prawo to otrzymamy wykres funkcji g:

 

 

d) Wykres funkcji f:

 

Odbijmy symetrycznie wszystko poniżej osi x symetrycznie względem tej osi.

 

 

Przesuńmy wykres funkcji o 2 jednostki w prawo to otrzymamy wykres funkcji g: