Rozwiązywanie nierówności - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Zapisywanie przedziałów liczbowych

Metody rozwiązywania nierówności są bardzo podobne do metod rozwiązywania równań, jedyna różnica to zapis wyniku, czasem potrzebny jest również zapis w postaci przedziału liczbowego.

Mając nierówność musimy doprowadzić ją do postaci podobnej do tej:

niewiadome (tutaj znaki "<", ">", "=", "≥", "≤") liczby

np.: $$x < 5 $$

Pamiętamy o standardowych warunkach:

- Niewiadome przenosimy na lewą stronę, a liczby na prawą

- Usuwamy niepotrzebne nawiasy oraz niewymierności i rozwiązanie zostawiamy w postaci nieskracalnej


Zasady rysowania osi liczbowej:

- Jeżeli niewiadoma jest "mniejsza" (mniejsza lub równa) to linię kierujemy w lewo, jeżeli większa(większa lub równa) to w prawo

- Jeżeli niewiadoma jest "mniejsza lub równa"/"większa lub równa" to wtedy punkt zaznaczamy i kolorujemy kropkę (czyt. przedział domknięty).

- Jeżeli niewiadoma jest tylko "mniejsza"/"większa" to wtedy zaznaczamy punkt i pozostawiamy pustą kropkę (czyt. przedział otwarty).



Zasady zapisywania przedziałów liczbowych:

- zapisanie niewiadomej (x),

- znaku, który odczytujemy jako "należy do przedziału",

- przedziału dwóch liczb (lub liczby i nieskończoności lub -nieskończoności).

Liczby (i nieskończoność) zapisujemy w nawiasie. Po stronie nieskończoności nawias jest zawsze okrągły, a po stronie liczby:

- okrągły ( ), gdy na osi liczbowej kropka jest pusta (czyt. przedział otwarty), co oznacza, że dana liczba nie należy do przedziału;

- trójkątny < > jeżeli na osi kropka jest zakolorowana (czyt. przedział domknięty), co oznacza, że dana liczba należy do przedziału.



Całość najlepiej pokazać na przykładzie:

Rozwiąż nierówność: $$2(x-3)+3(x+5)≥4x$$

Najpierw musimy wymnożyć nawiasy

$$2x-6+3x+15≥4x$$

Teraz niewiadome przenosimy na lewą stronę ze zmianą znaku, a liczby na prawą również zmieniając znak

$$2x+3x-4x≥6-15$$

Sumujemy nasze x

$$x≥-9$$

Jeśli rozwiązanie jest w postaci przedziału możemy narysować oś i zaznaczyć na niej liczbę po prawej.

os1

$$x∈<-9;∞)$$

Pokażmy teraz bardziej zaawansowany przykład:

Znajdź zbiór rozwiązań nierówności $${x+1}/5+{1-4x}/3 < 4-2x $$.

Najpierw musimy się pozbyć ułamków, najłatwiej przez pomnożenie przez wspólną wielokrotność. Jak taką znaleźć? Bardzo prosto! Mnożymy mianowniki $$5*3=15$$

Więc:

$${x+1}/5+{1-4x}/3 < 4-2x$$ $$|×15$$

Pamiętamy, że mnożąc całą nierówność mnożymy każdy składnik oddzielony plusem, minusem lub znakiem nierówności:

$$15×{x+1}/5+15×{1-4x}/3 < 60-30x $$

Skracamy odpowiednio

$$3(x+1)+5(1-4x) < 60-30x$$

Następnie mnożymy przez nawiasy

$$3x+3+5-20x < 60-30x$$

Niewiadome na lewą stronę, liczby na prawą

$$3x-20x+30x < 60-5-3$$

Sumujemy wszystko

$$13x < 52$$

Dzielimy całe równanie przez liczbę, która stoi przy x

$$13x < 52$$ $$|:13$$

$$x < 4$$

Zapisujemy przedział

$$x∈(-∞;4)$$

Rysujemy oś:

os2

 

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Znajdź rozwiązania nierówności: $$(x+3)^2>(x+5)(x-5)+6$$

Zaczynamy od użycia wzorów skróconego mnożenia

$$x^2+6x+9 > x^2-25+6$$

Teraz niewiadome na lewą, a liczby na prawą

$$6x > -25+6-9$$

Sumujemy

$$6x > -28$$

I dzielimy przez liczbę przy x

$$6x > -28$$ $$|:6$$

$$x > -4 2/3$$

Oraz zapisujemy zbiór rozwiązań

$$x∈(-4 2/3; ∞)$$

Zadanie 2.

Znajdź wspólny zbiór rozwiązań nierówności:
$$(x+3)(x-2) > x^2-7$$ oraz $${x+5}/2+{x-3}/3 < {x-1}/4 $$

Zaczynamy od pierwszej nierówności

$$(x+3)(x-2) > x^2-7 $$

Musimy najpierw wymnożyć nawiasy czyli każdy z każdym

$$x×x-2x+3x-6 > x^2-7$$

$$x^2-2x+3x-6 > x^2-7$$

Niewiadome przenosimy na lewo, liczby na prawą stronę

$$-2x+3x > -7+6$$

No i sumujemy

$$x>-1$$

Teraz druga nierówność

$${x+5}/2+{x-3}/3 < {x-1}/4 $$

Oczywiście przede wszystkim ułamki sio, mnożymy przez 4×3×2=24 lub po prostu przez 12, ponieważ 12 dzieli się przez każdą z tych liczb

$${x+5}/2+{x-3}/3 < {x-1}/4$$ $$|×12$$

$$6(x+5)+4(x-3) < 3(x-1)$$

Wymnażamy nawiasy

$$6x+30+4x-12 < 3x-3$$

Niewiadome na lewą

$$6x+4x-3x < -3+12-30$$

Sumowanie

$$7x < -21$$

Dzielimy przez liczbę stojącą przy x

$$7x < -21$$ $$|:7$$

$$x < -3$$

Teraz musimy znaleźć część wspólną dla

$$x < -3$$ oraz $$x > -1$$

Zaznaczmy oba zakresy na osi

os3

Jak widać osie się nie nakładają, więc nie ma punktów wspólnych

$$x∈∅$$
 

Spis treści

Rozwiązane zadania
Dany jest wykres funkcji. Które ze zdań...

Prawidłowa odpowiedź to rownanie matematyczne Wykres funkcji nie ma osi symetrii.

Uzasadnij, że iloczyn dowolnych

rownanie matematyczne

Co druga liczba jest podzielna przez 2, więc wśród dwóch kolejnych liczb naturalnych jedna na pewno dzieli się przez 2. Wśród trzech kolejnych liczb naturalnych na pewno co najmniej{premium} jedna liczba dzieli się więc przez 2. 

Co trzecia liczba jest podzielna przez 3, więc wśród trzech kolejnych liczb naturalnych jedna na pewno dzieli się przez 3. 

Jeśli więc wśród tych trzech kolejnych liczb naturalnych jedna na pewno dzieli się przez 2, a jedna na pewno dzieli się przez 3, to iloczyn tych liczb dzieli się przez 2∙3, czyli dzieli się przez 6. 

 

 

rownanie matematyczne

Co druga liczba jest podzielna przez 2, więc wśród dwóch kolejnych liczb naturalnych jedna na pewno dzieli się przez 2. Wśród pięciu kolejnych liczb naturalnych na pewno co najmniej jedna liczba dzieli się więc przez 2. 

Co trzecia liczba jest podzielna przez 3, więc wśród trzech kolejnych liczb naturalnych jedna na pewno dzieli się przez 3. Wśród pięciu kolejnych liczb naturalnych na pewno co najmniej jedna liczba dzieli się więc przez 3. 

Co czwarta liczba jest podzielna przez 4, więc wśród czterech kolejnych liczb naturalnych jedna na pewno dzieli się przez 4. Wśród pięciu kolejnych liczb naturalnych na pewno co najmniej jedna liczba dzieli się więc przez 4. 

Co piąta liczba jest podzielna przez 5, więc wśród pięciu kolejnych liczb naturalnych jedna na pewno dzieli się przez 5. 

Jeśli więc wśród tych pięciu kolejnych liczb naturalnych jedna na pewno dzieli się przez 2, jedna na pewno dzieli się przez 3, jedna na pewno dzieli się przez 4 oraz jedna na pewno dzieli się przez 5, to iloczyn tych liczb dzieli się przez 2∙3∙4∙5, czyli dzieli się przez 120. 

Zapisz równanie prostej

rownanie matematyczne

Zauważmy, że punkty mają jednakową drugą współrzędną, więc możemy zapisać równanie:

rownanie matematyczne

 

 

rownanie matematyczne

Zauważmy, że punkty mają jednakową pierwszą współrzędną, więc możemy zapisać równanie:

rownanie matematyczne

 

 

rownanie matematyczne

Zauważmy, że:

rownanie matematyczne

więc punkty mają jednakową pierwszą współrzędną. Możemy zapisać równanie prostej:

rownanie matematyczne

 

Napisz układ nierówności, którego ...

rownanie matematyczne 

Wyznaczmy równania prostych zaznaczonych na rysunku ciemniejszą linią.

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

Zatem układ równań ma postać:

rownanie matematyczne 

 

rownanie matematyczne 

Układ rówńań to dwie proste równoległe.

rownanie matematyczne 

 

Do powyższej prostej należą punkty A=(0;3) i B=(2;4). Na ich podstawie wyznaczmy równanie prostej.

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

Zatem układ równań ma postać:

rownanie matematyczne   

 

rownanie matematyczne 

Zauważmy, że proste (jedna jest zaznaczona linią przerywaną) zaznaczone na rysunku

są do siebie prostopadłe.

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

Zatem układ równań ma postać:

rownanie matematyczne   

Wyznacz równanie okręgu o środku ...

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne  

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne   

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne  

 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne  

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne  

Wyznacz współczynniki b i c funkcji ...

Dana jest funkcja kwadratowa określona wzorem:

rownanie matematyczne 

Punkt W jest wierzchołkiem paraboli.

W zadaniu będziemy korzystać ze wzorów na współrzędne wierzchołka paraboli:

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne  

 

rownanie matematyczne 

Korzystając ze wzoru na współrzędną x-ową wierzchołka wyznaczamy wartość b:

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

Korzystając ze wzoru na współrzędną y-ową wierzchołka wyznaczamy wartość c:

rownanie matematyczne   

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

Współczynnik b=0 oraz c=5.

 

Otrzymujemy wzór funkcji:

rownanie matematyczne 

Wyznaczamy miejsca zerowe funkcji:

rownanie matematyczne     

Funkcja nie posiada miejsc zerowych.

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne  

Korzystając ze wzoru na współrzędną x-ową wierzchołka wyznaczamy wartość b:

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne  

Korzystając ze wzoru na współrzędną y-ową wierzchołka wyznaczamy wartość c:

rownanie matematyczne  

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne 

Współczynnik b=-10 oraz c=25.

 

Otrzymujemy wzór funkcji:

rownanie matematyczne  

Wyznaczamy miejsca zerowe funkcji:

rownanie matematyczne  

rownanie matematyczne  

Funkcja posiada jedno miejsce zerowe.

 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne   

Korzystając ze wzoru na współrzędną x-ową wierzchołka wyznaczamy wartość b:

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne    

rownanie matematyczne   

Korzystając ze wzoru na współrzędną y-ową wierzchołka wyznaczamy wartość c:

rownanie matematyczne  

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne  

rownanie matematyczne 

 

Współczynnik b=1 oraz c=0.

 

Otrzymujemy wzór funkcji:

rownanie matematyczne    

Wyznaczamy miejsca zerowe funkcji:

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne  

rownanie matematyczne  

rownanie matematyczne        

Funkcja posiada dwa miejsca zerowe.

Ile punktów...

a) Rysunek:

Jest osiem takich punktów.

 

b) Rysunek:

Jest dwanaście takich punktów.

Błąd bezwzględny pewnego przybliżenia

Oznaczmy przybliżaną liczbę jako a. 

Z treści zadania wiadomo, że zachodzą równości:

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

 

Podstawmy pierwszą równość do drugiej równości:

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne  

rownanie matematyczne 

Uzasadnij stwierdzenie, że między dowolnymi dwiema kolejnymi liczbami

Wiemy już, że √2 jest liczbą niewymierną.

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

 

Teraz wystarczy dodawać lub {premium}odejmować liczby całkowite od √2, na przykład: 

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

i tak dalej

Pole rombu ABCD jest równe 32 ...

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

Odcinek AC leży na prstej y:

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

Dodajmy równania do siebie.

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne  

Przekątne rombu przecinają się w połowie i są do siebie prostopadłe. Zatem punkty B i D leżą na prostej k prostopadłej do prostej y.

rownanie matematyczne 

Punkt S należy do prostej k.

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne   

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

 

rownanie matematyczne   

 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

Odcinek AC leży na prstej y:

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

Dodajmy pierwsze równanie do drugiego ze zmienionym znakiem.

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne  

rownanie matematyczne 

 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne  

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne  

Przekątne rombu przecinają się w połowie i są do siebie prostopadłe. Zatem punkty B i D leżą na prostej k prostopadłej do prostej y.

rownanie matematyczne  

Punkt S należy do prostej k.

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne   

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne    

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne  

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne   

Analogicznie możemy obliczyć współrzędne wierzchołka D.

rownanie matematyczne  

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne  

rownanie matematyczne  

rownanie matematyczne   

 

rownanie matematyczne