Rozwiązywanie nierówności - matura-podstawowa - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Rozwiązywanie nierówności - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Zapisywanie przedziałów liczbowych

Metody rozwiązywania nierówności są bardzo podobne do metod rozwiązywania równań, jedyna różnica to zapis wyniku, czasem potrzebny jest również zapis w postaci przedziału liczbowego.

Mając nierówność musimy doprowadzić ją do postaci podobnej do tej:

niewiadome (tutaj znaki "<", ">", "=", "≥", "≤") liczby

np.: $x < 5 $

Pamiętamy o standardowych warunkach:

- Niewiadome przenosimy na lewą stronę, a liczby na prawą

- Usuwamy niepotrzebne nawiasy oraz niewymierności i rozwiązanie zostawiamy w postaci nieskracalnej


Zasady rysowania osi liczbowej:

- Jeżeli niewiadoma jest "mniejsza" (mniejsza lub równa) to linię kierujemy w lewo, jeżeli większa(większa lub równa) to w prawo

- Jeżeli niewiadoma jest "mniejsza lub równa"/"większa lub równa" to wtedy punkt zaznaczamy i kolorujemy kropkę (czyt. przedział domknięty).

- Jeżeli niewiadoma jest tylko "mniejsza"/"większa" to wtedy zaznaczamy punkt i pozostawiamy pustą kropkę (czyt. przedział otwarty).



Zasady zapisywania przedziałów liczbowych:

- zapisanie niewiadomej (x),

- znaku, który odczytujemy jako "należy do przedziału",

- przedziału dwóch liczb (lub liczby i nieskończoności lub -nieskończoności).

Liczby (i nieskończoność) zapisujemy w nawiasie. Po stronie nieskończoności nawias jest zawsze okrągły, a po stronie liczby:

- okrągły ( ), gdy na osi liczbowej kropka jest pusta (czyt. przedział otwarty), co oznacza, że dana liczba nie należy do przedziału;

- trójkątny < > jeżeli na osi kropka jest zakolorowana (czyt. przedział domknięty), co oznacza, że dana liczba należy do przedziału.



Całość najlepiej pokazać na przykładzie:

Rozwiąż nierówność: $2(x-3)+3(x+5)≥4x$

Najpierw musimy wymnożyć nawiasy

$2x-6+3x+15≥4x$

Teraz niewiadome przenosimy na lewą stronę ze zmianą znaku, a liczby na prawą również zmieniając znak

$2x+3x-4x≥6-15$

Sumujemy nasze x

$x≥-9$

Jeśli rozwiązanie jest w postaci przedziału możemy narysować oś i zaznaczyć na niej liczbę po prawej.

os1

$x∈<-9;∞)$

Pokażmy teraz bardziej zaawansowany przykład:

Znajdź zbiór rozwiązań nierówności ${x+1}/5+{1-4x}/3 < 4-2x $.

Najpierw musimy się pozbyć ułamków, najłatwiej przez pomnożenie przez wspólną wielokrotność. Jak taką znaleźć? Bardzo prosto! Mnożymy mianowniki $5*3=15$

Więc:

${x+1}/5+{1-4x}/3 < 4-2x$ $|×15$

Pamiętamy, że mnożąc całą nierówność mnożymy każdy składnik oddzielony plusem, minusem lub znakiem nierówności:

$15×{x+1}/5+15×{1-4x}/3 < 60-30x $

Skracamy odpowiednio

$3(x+1)+5(1-4x) < 60-30x$

Następnie mnożymy przez nawiasy

$3x+3+5-20x < 60-30x$

Niewiadome na lewą stronę, liczby na prawą

$3x-20x+30x < 60-5-3$

Sumujemy wszystko

$13x < 52$

Dzielimy całe równanie przez liczbę, która stoi przy x

$13x < 52$ $|:13$

$x < 4$

Zapisujemy przedział

$x∈(-∞;4)$

Rysujemy oś:

os2

 

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Znajdź rozwiązania nierówności: $(x+3)^2>(x+5)(x-5)+6$

Zaczynamy od użycia wzorów skróconego mnożenia

$x^2+6x+9 > x^2-25+6$

Teraz niewiadome na lewą, a liczby na prawą

$6x > -25+6-9$

Sumujemy

$6x > -28$

I dzielimy przez liczbę przy x

$6x > -28$ $|:6$

$x > -4 2/3$

Oraz zapisujemy zbiór rozwiązań

$x∈(-4 2/3; ∞)$

Zadanie 2.

Znajdź wspólny zbiór rozwiązań nierówności:
$(x+3)(x-2) > x^2-7$ oraz ${x+5}/2+{x-3}/3 < {x-1}/4 $

Zaczynamy od pierwszej nierówności

$(x+3)(x-2) > x^2-7 $

Musimy najpierw wymnożyć nawiasy czyli każdy z każdym

$x×x-2x+3x-6 > x^2-7$

$x^2-2x+3x-6 > x^2-7$

Niewiadome przenosimy na lewo, liczby na prawą stronę

$-2x+3x > -7+6$

No i sumujemy

$x>-1$

Teraz druga nierówność

${x+5}/2+{x-3}/3 < {x-1}/4 $

Oczywiście przede wszystkim ułamki sio, mnożymy przez 4×3×2=24 lub po prostu przez 12, ponieważ 12 dzieli się przez każdą z tych liczb

${x+5}/2+{x-3}/3 < {x-1}/4$ $|×12$

$6(x+5)+4(x-3) < 3(x-1)$

Wymnażamy nawiasy

$6x+30+4x-12 < 3x-3$

Niewiadome na lewą

$6x+4x-3x < -3+12-30$

Sumowanie

$7x < -21$

Dzielimy przez liczbę stojącą przy x

$7x < -21$ $|:7$

$x < -3$

Teraz musimy znaleźć część wspólną dla

$x < -3$ oraz $x > -1$

Zaznaczmy oba zakresy na osi

os3

Jak widać osie się nie nakładają, więc nie ma punktów wspólnych

$x∈∅$
 

Spis treści

Rozwiązane zadania
Podaj przykład funkcji rzeczywistej, której ...

Przykładowe rozwiązanie:{premium}

Każdemu graniastosłupowi przyporządkowujemy sumę długości wszystkich jego krawędzi.

Liczba...

Przyjmijmy, że liczba a jest postaci

Jeśli liczbę w liczniku ułamka zmniejszymy o 50%, to otrzymamy

Jeśli liczbę w mianowniku ułamka zwiększymy o 50%, to otrzymamy{premium}

Skąd dostajemy, że

 

 

Odp. B. 

Naszkicuj wykres funkcji f ...

Obliczamy wartości funkcji w dwóch punktach należących do przedziału .

 

 {premium}


Obliczamy wartość wyrażenia  dla .

 

 

Obliczamy wartości funkcji w dwóch punktach należących do przedziału .

 

 

Szkicujemy wykres funkcji 



Obliczamy wartość podanego wyrażenia.

 

 

 

Naszkicuj wykres...

a)

Dana jest funkcja f określona wzorem

  

Na jednym wykresie rysujemy fragmenty wykresów funkcji 

 

 

Ad.1) 

Do narysowania fragmentu hiperboli 

gdzie x < -1 

posłużymy się poniższą tabelką{premium}

     
     

 

Ad.2) 

Zauważmy, że jest to fragment funkcji liniowej,  określonej dla x ≥ -1,     

która przecina oś y w punkcie o współrzędnych (0, 1)

i miejscem zerowym tej funkcji jest:

czyli punkt przecięcia z osią x ma współrzędne (-1, 0).

Otrzymujemy:

 

 

Dziedziną funkcji f jest przedział

Zbiorem wartości funkcji f jest przedział

  


b)

Dana jest funkcja f określona wzorem

  

Na jednym wykresie rysujemy fragmenty wykresów funkcji 

 

 

Ad.1) 

Zauważmy, że jest to fragment funkcji liniowej,  określonej dla -1 ≤ ≤ 1.

Wyznaczymy dwa punkty należące do wykresu tej funkcji:

     
     

 

Ad.2) 

Do narysowania fragmentu hiperboli 

gdzie x < -1 lub  x > 1

posłużymy się poniższą tabelką

           
          

 

Otrzymujemy:

Dziedziną funkcji f jest przedział

Zbiorem wartości funkcji f jest przedział

  


c)

Dana jest funkcja f określona wzorem

  

Na jednym wykresie rysujemy fragmenty wykresów funkcji 

 

 

Ad.1) 

Do narysowania fragmentu hiperboli 

gdzie x < -2 

posłużymy się poniższą tabelką{premium}

     
     

Ad.2)

Korzystając z definicji wartości bezwzględnej, dostajemy

 

wiedząc, że funkcja

ma być określona dla  x ≥ -2, dostajemy

 

 

Otrzymujemy:

Dziedziną funkcji f jest przedział

Zbiorem wartości funkcji f jest przedział

  

UWAGA!!!

Odpowiedź (wykres) w podpunkcie c) zawiera błędy. 

Błędnie naszkicowano fragment hiperboli

gdzie x < -2 


d)

Dana jest funkcja f określona wzorem

  

Na jednym wykresie rysujemy fragmenty wykresów funkcji 

 

 

Ad.1) 

Korzystając z definicji wartości bezwzględnej, dostajemy

 

wiedząc, że funkcja

ma być określona dla  x ≤ 2, dostajemy

 

Ad.2)

Do narysowania fragmentu hiperboli 

gdzie x > 2 

posłużymy się poniższą tabelką{premium}

     
     

 

Otrzymujemy:

Dziedziną funkcji f jest przedział

Zbiorem wartości funkcji f jest przedział

  

Zapisz liczbę a w najprostszej postaci...

Upraszczamy liczbę  wykonujemy obliczenia:

 {premium}

 

 


Znajdujemy liczbę przeciwną do  

 


Znajdujemy odwrotność liczby  

 

Dla jakich wartości parametru m...

Sprawdźmy co się dzieje z równaniem jeżeli współczynnik przy najwyższej potędze jest zerowy:

 

 

 

 

 

A więc dla m=0 mamy jedno rozwiązanie dodatnie.

 

Jeżeli równanie jest kwadratowe to ma rozwiązania gdy:

 

 

 

 

{premium}  

  

 

 

 

Parabola ma ramiona skierowane ku górze a więc:

  

 

 

Wyznaczmy przedział m dla którego równanie nie ma rozwiązań dodatnich. Jest to warunek odwrotny do szukanego.

 

Pierwiastki mają takie same znaki gdy:

 

Pierwiastki o takich samych znakach będą ujemne gdy:

 

 

 

 

 

 

 

Parabola ma ramiona skierowane ku dołowi a więc:

 

 

 

 

 

 

 

 

Parabola ma ramiona skierowane ku dołowi a więc:

 

 

A więc:

 

 

Częścią wspólną jest zbiór pusty. Zatem jeżeli równanie ma rozwiązania to przynajmniej jedno z nich jest dodatnie.

Zbadaj liczbę rozwiązań równania ...

 

 

Narysujmy wykres funkcji f(x):{premium}

 

 

 

  

  

Zapisz zbiór, podając wszystkie ...

 

Do zbioru A należy 5 liczb. {premium}


 

Do zbioru B należy 7 liczb.


 

Do zbioru C należą 4 liczb.

Zabiór A u B ma ...

Wykonajmy diagram ilustrujący warunki podane w treści zadania. {premium}


Do zbioru A należy 20 elementów.


Odpowiedź: C

Liczba wszystkich trójwyrazowych...

Rosnące ciągi arytmetyczne, które możemy utworzyć z podanych liczb to: {premium}

 

 

zatem możemy utworzyć  takich ciągów.

 

Odp.: C