Rozwiązywanie nierówności - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Zapisywanie przedziałów liczbowych

Metody rozwiązywania nierówności są bardzo podobne do metod rozwiązywania równań, jedyna różnica to zapis wyniku, czasem potrzebny jest również zapis w postaci przedziału liczbowego.

Mając nierówność musimy doprowadzić ją do postaci podobnej do tej:

niewiadome (tutaj znaki "<", ">", "=", "≥", "≤") liczby

np.: $$x < 5 $$

Pamiętamy o standardowych warunkach:

- Niewiadome przenosimy na lewą stronę, a liczby na prawą

- Usuwamy niepotrzebne nawiasy oraz niewymierności i rozwiązanie zostawiamy w postaci nieskracalnej


Zasady rysowania osi liczbowej:

- Jeżeli niewiadoma jest "mniejsza" (mniejsza lub równa) to linię kierujemy w lewo, jeżeli większa(większa lub równa) to w prawo

- Jeżeli niewiadoma jest "mniejsza lub równa"/"większa lub równa" to wtedy punkt zaznaczamy i kolorujemy kropkę (czyt. przedział domknięty).

- Jeżeli niewiadoma jest tylko "mniejsza"/"większa" to wtedy zaznaczamy punkt i pozostawiamy pustą kropkę (czyt. przedział otwarty).



Zasady zapisywania przedziałów liczbowych:

- zapisanie niewiadomej (x),

- znaku, który odczytujemy jako "należy do przedziału",

- przedziału dwóch liczb (lub liczby i nieskończoności lub -nieskończoności).

Liczby (i nieskończoność) zapisujemy w nawiasie. Po stronie nieskończoności nawias jest zawsze okrągły, a po stronie liczby:

- okrągły ( ), gdy na osi liczbowej kropka jest pusta (czyt. przedział otwarty), co oznacza, że dana liczba nie należy do przedziału;

- trójkątny < > jeżeli na osi kropka jest zakolorowana (czyt. przedział domknięty), co oznacza, że dana liczba należy do przedziału.



Całość najlepiej pokazać na przykładzie:

Rozwiąż nierówność: $$2(x-3)+3(x+5)≥4x$$

Najpierw musimy wymnożyć nawiasy

$$2x-6+3x+15≥4x$$

Teraz niewiadome przenosimy na lewą stronę ze zmianą znaku, a liczby na prawą również zmieniając znak

$$2x+3x-4x≥6-15$$

Sumujemy nasze x

$$x≥-9$$

Jeśli rozwiązanie jest w postaci przedziału możemy narysować oś i zaznaczyć na niej liczbę po prawej.

os1

$$x∈<-9;∞)$$

Pokażmy teraz bardziej zaawansowany przykład:

Znajdź zbiór rozwiązań nierówności $${x+1}/5+{1-4x}/3 < 4-2x $$.

Najpierw musimy się pozbyć ułamków, najłatwiej przez pomnożenie przez wspólną wielokrotność. Jak taką znaleźć? Bardzo prosto! Mnożymy mianowniki $$5*3=15$$

Więc:

$${x+1}/5+{1-4x}/3 < 4-2x$$ $$|×15$$

Pamiętamy, że mnożąc całą nierówność mnożymy każdy składnik oddzielony plusem, minusem lub znakiem nierówności:

$$15×{x+1}/5+15×{1-4x}/3 < 60-30x $$

Skracamy odpowiednio

$$3(x+1)+5(1-4x) < 60-30x$$

Następnie mnożymy przez nawiasy

$$3x+3+5-20x < 60-30x$$

Niewiadome na lewą stronę, liczby na prawą

$$3x-20x+30x < 60-5-3$$

Sumujemy wszystko

$$13x < 52$$

Dzielimy całe równanie przez liczbę, która stoi przy x

$$13x < 52$$ $$|:13$$

$$x < 4$$

Zapisujemy przedział

$$x∈(-∞;4)$$

Rysujemy oś:

os2

 

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Znajdź rozwiązania nierówności: $$(x+3)^2>(x+5)(x-5)+6$$

Zaczynamy od użycia wzorów skróconego mnożenia

$$x^2+6x+9 > x^2-25+6$$

Teraz niewiadome na lewą, a liczby na prawą

$$6x > -25+6-9$$

Sumujemy

$$6x > -28$$

I dzielimy przez liczbę przy x

$$6x > -28$$ $$|:6$$

$$x > -4 2/3$$

Oraz zapisujemy zbiór rozwiązań

$$x∈(-4 2/3; ∞)$$

Zadanie 2.

Znajdź wspólny zbiór rozwiązań nierówności:
$$(x+3)(x-2) > x^2-7$$ oraz $${x+5}/2+{x-3}/3 < {x-1}/4 $$

Zaczynamy od pierwszej nierówności

$$(x+3)(x-2) > x^2-7 $$

Musimy najpierw wymnożyć nawiasy czyli każdy z każdym

$$x×x-2x+3x-6 > x^2-7$$

$$x^2-2x+3x-6 > x^2-7$$

Niewiadome przenosimy na lewo, liczby na prawą stronę

$$-2x+3x > -7+6$$

No i sumujemy

$$x>-1$$

Teraz druga nierówność

$${x+5}/2+{x-3}/3 < {x-1}/4 $$

Oczywiście przede wszystkim ułamki sio, mnożymy przez 4×3×2=24 lub po prostu przez 12, ponieważ 12 dzieli się przez każdą z tych liczb

$${x+5}/2+{x-3}/3 < {x-1}/4$$ $$|×12$$

$$6(x+5)+4(x-3) < 3(x-1)$$

Wymnażamy nawiasy

$$6x+30+4x-12 < 3x-3$$

Niewiadome na lewą

$$6x+4x-3x < -3+12-30$$

Sumowanie

$$7x < -21$$

Dzielimy przez liczbę stojącą przy x

$$7x < -21$$ $$|:7$$

$$x < -3$$

Teraz musimy znaleźć część wspólną dla

$$x < -3$$ oraz $$x > -1$$

Zaznaczmy oba zakresy na osi

os3

Jak widać osie się nie nakładają, więc nie ma punktów wspólnych

$$x∈∅$$
 

Spis treści

Rozwiązane zadania
Podaj cechę podzielności liczby przez 4

Liczba jest podzielna przez 4, jeśli liczba utworzona z dwóch jej ostatnich cyfr dzieli się przez 4. 

 

Liczba dzieli się przez 6, jeśli dzieli się przez 2 i przez 3, a więc jeśli jej ostatnią cyfrą jest 0, 2, 4, 6, 8 i gdy suma jej cyfr jest liczbą podzielną przez 3. 

Działkę budowlaną w kształcie trapezu ...

`|DG|=h_1` 

`|RG|=h_2` 

`P_1=(d+20)/2*h_1` 

`P_2=(80+d)/2*h_2` 

 

`h_1+h_2=|DR|=H`   

`P_1+P_2=(20+80)/2*H=50*H=50(h_1+h_2)`   

Skoro trapez jest równoramienny to:

`80=2x+20` 

`x=30` 

Z twierdzenia Pitagorasa:

`50^2=30^2+H^2` 

`H^2=2500-900=1600` 

`ul(H=40`  

`P_1+P_2=50*H=2000` 

 

`(80+d)/2*(h_2)=1000` 

`(d+20)/2*(40-h_2)=1000`   

 

`1000/h_2=40+d/2\ implies \ h_2=1000/(40+d/2)` 

`(d+20)/2*(40-h_2)=1000\ implies \ (d+20)/2*(40-1000/(40+d/2))=1000`     

 

`(d+20)(40-1000/(40+d/2))=2000` 

`40-1000/(40+d/2)=2000/(d+20)` 

`40(40+d/2)(d+20)-1000(d+20)=2000(40+d/2)` 

`(1600+20d)(d+20)-1000d-20000=80000+1000d` 

`1600d+32000+20d^2+400d-1000d-20000=80000+1000d` 

`20d^2+32000-80000-20000=0` 

`20d^2=68000` 

`d^2=3400`  

`ul(d=10sqrt34`   

Wykonhaj działania. a) (3√2+2√5)(3√2-2√5)

a)

`(3sqrt2+2sqrt5)(3sqrt2-2sqrt5)=(3sqrt2)^2-(2sqrt5)^2=9*2-4*5=18-20=(-2)`

b)

`(3sqrt7-sqrt2)^2=(3sqrt7)^2-2*3sqrt7*sqrt2+(sqrt2)^2=9*7-6sqrt14+2=`

`=63+2-6sqrt14=65-6sqrt14`

c)

`(sqrt6+2sqrt3)^2=(sqrt6)^2+2*sqrt6*2sqrt3+(2sqrt3)^2=6+4sqrt18+4*3=`

`=6+4sqrt(2*9)+12=6+4*3sqrt2+12=18+12sqrt2=6(3+2sqrt2)`

d)

`(2root(3)3+3root(3)2)^2=` `(2root(3)3)^2+2*2root(3)3*3root(3)2+(3root(3)2)^2=4root(3)9+12root(3)6+9root(3)4`

 

Zapisz liczbę w postaci potęgi

`a)\ root(5)(7)=7^(1/5)`

`b)\ root(3)(7^2)=7^(2/3)`

`c)\ 1/root(3)(7)=7^(-1/3)`

`d)\ 1/root(5)(7^3)=7^(-3/5)`

`e)\ 7*root(5)(7)=(root(5)(7))^5*root(5)(7)=(root(5)(7))^6=root(5)(7^6)=7^(6/5)`

Wyznacz równanie prostej przechodzącej przez punkty P i Q

`a)`

Obliczamy współczynnik kierunkowy prostej y=ax+b:

`a=(9-5)/(-4-4)=4/(-8)=-1/2`

Zatem na razie mamy równanie postaci: 

`y=-1/2x+b`

Teraz do równania podstawiamy współrzędne jednego z punktów, powiedzmy punktu P:

`5=-1/2*4+b`

`5=-2+b`

`b=5+2=7`

 

Ostatecznie mamy więc równanie prostej:

`ul(y=-1/2x+7)`

 

 

 

`b)`

`a=(-7-(-13))/(2-4)=(-7+13)/(-2)=6/(-2)=-3`

Mamy równanie:

`y=-3x+b`

Podstawiamy współrzędne punktu Q:

`-7=-3*(-2)+b`

`-7=6+b`

`b=-7-6=-13`

 

`ul(y=-3x-13)`

 

 

`c)`

`a=(7/3-3)/(1-3)=(7/3-9/3)/(-2)=(-2/3)/(-2)=-2/3:(-2)=1/3`

Mamy równanie:

`y=1/3x+b`

Podstawiamy współrzędne punktu P:

`3=1/3*3+b`

`3=1+b`

`b=3-1=2`

 

`ul(y=1/3x+2)`

 

Wyznacz współczynnik kierunkowy prostej ...

`a)` 

`y=-5/6x+3` 

`y_p-"prosta prostopadał do y"` 

`-5/6*a=-1` 

`a=6/5` 

 

`y_p=6/5x+3`   

 

`b)` 

`y=-4x-2` 

`-4*a=-1` 

`a=1/4` 

`y_p=1/4x-2` 

 

`c)` 

`y=x+8` 

`1*a=-1` 

`a=-1` 

`y_p=-x+8` 

 

`d)`  

`y=0,7x+c` 

`0,7*a=-1` 

`a=-10/7` 

`y_p=-10/7x+c` 

 

`e)` 

`y=-sqrt3x+b` 

`-sqrt3*a=-1` 

`a=1/sqrt3=sqrt3/3` 

`y_p=sqrt3/3x+b` 

 

`f)` 

`y=(2+sqrt2x)-m` 

`(2+sqrt2)*a=-1` 

`a=-1/(2+sqrt2)=(sqrt2-2)/2` 

`y_p=(sqrt2-2)/2x-m` 

Określ monotoniczność funkcji

Skorzystamy z twierdzenia ze strony 104. Musimy tylko oszacować, czy współczynnik m jest dodatni, ujemny czy też może równy zero.

 

`a)`

`m=1/3-0,3=1/3-3/10=10/30-9/30=1/30>0\ \ \ =>\ \ \ fuarr`

 

`b)`

`m=sqrt3-2=sqrt3-sqrt4<0\ \ \ ("bo"\ 3<4,\ "czyli"\ 3-4<0)\ \ \ =>\ \ \ fdarr`

 

` c)`

`m=1-sqrt2=sqrt1-sqrt2<0\ \ \ ("bo"\ 1<2,\ "czyli"\ 1-2<0)\ \ \ =>\ \ \ fdarr`

 

`d)`

` m=3-2sqrt2=sqrt9-sqrt4*sqrt2=sqrt9-sqrt8>0\ \ \ ("bo"\ 9>8,\ "czyli"\ 9-8>1)\ \ \ =>\ \ \ fuarr`

 

 

 

Wskaż pary nierówności

`A.`

`-6(2x-1)>=-4(2x-1)\ \ \ |:(-2)`

`3(2x-1)<=2(2x-1)`

`6x-3<=4x-2\ \ \ \ |+3`

`6x<=4x+1\ \ \ |-4x`

`2x<=1\ \ \ |:2`

`x<=1/2`

 

 

`B.`

`3/2(x-2/3(x-12))<=10\ \ \|*2`

`3(x-2/3(x-12))<=20`

`3x-2(x-12)<=20`

`3x-2x+24<=20`

`x+24<=20\ \ \ |-24`

`x<=-4`

 

 

`C.`

`-2(x+1)+4<=2(1-x)\ \ \ |:2`

`-(x+1)+2<=1-x`

`-x-1+2<=1-x`

`-x+1<=1-x\ \ \ |+x`

`1<=1`

Nierówność jest spełniona przez każdą liczbę rzeczywistą x. 

 

 

`D.`

`(2x+3)/2-(13-6x)/6<=(2x+1)/3\ \ \ \ |*6`

`3(2x+3)-(13-6x)<=2(2x+1)`

`6x+9-13+6x<=4x+2`

`12x-4<=4x+2\ \ \ |-4x`

`8x-4<=2\ \ \ |+4`

`8x<=6\ \ \ |:8`

`x<=3/4`

 

 

`E.`

`x-3(x+1)<5-2x`

`x-3x-3<5-2x`

`-2x-3<5-2x\ \ \ \|+2x`

`-3<5`

Nierówność jest spełniona przez każdą liczbę rzeczywistą x. 

 

 

`F.`

`1-3x<=4(1,25-x)-3,25`

`1-3x<=5-4x-3,25`

`1-3x<=1,75-4x\ \ \ |+4x`

`1+x<=1,75\ \ \ |-1`

`x<=0,75`

`x<=3/4`

 

 

`G.`

`10-4x<=6(1-1/2x)-2x`

`10-4x<=6-3x-2x`

`10-4x<=6-5x\ \ \ |+5x`

`10+x<=6\ \ \ |-10`

`x<=-4`

 

 

`H.`

`(x-1/2)/3>=(6x-3)/2-(2x-1)/3\ \ \ \ \|*6`

`2(x-1/2)>=3(6x-3)-2(2x-1)`

`2x-1>=18x-9-4x+2`

`2x-1>=14x-7\ \ \ |-14x`

`-12x-1>=-7\ \ \ |+1`

`-12x>=-6\ \ \ |:(-12)`

`x<=1/2`

 

 

Nierówności równoważne mają jednakowe zbiory rozwiązań. Pary nierówności równoważnych to: A i H, B i G, C i E, D i F. 

 

Dany jest wektor ...

`vecu=[3;-1]` 

`vecv=[v_1;v_2]` 

`a <0`     

 

`a)` 

`vecv=avecu=[3a;-a]` 

`v_1=3a` 

`v_2=-a` 

 

`|vecv|=20=sqrt(v_1^2+v_2^2)` 

`v_1^2+v_2^2=400` 

`(3a)^2+(-a)^2=400` 

`10a^2=400` 

`a^2=40` 

a jest liczbą ujemną zatem:

`a=-2sqrt10`  

 

`v_1=3a=-6sqrt10`  

`v_2=-a=2sqrt10`  

`ul(vecv=[-6sqrt10;2sqrt10]` 

 

`b)` 

`vecv=avecu=[3a;-a]` 

`v_1=3a` 

`v_2=-a` 

 

`|vecv|=3=sqrt(v_1^2+v_2^2)` 

`v_1^2+v_2^2=9` 

`(3a)^2+(-a)^2=9` 

`10a^2=9` 

`a^2=9/10` 

a jest liczbą ujemną zatem:

`a=-3/sqrt10=-(3sqrt10)/10`    

 

`v_1=3a=-(9sqrt10)/10`  

`v_2=-a=(3sqrt10)/10`   

`ul(vecv=[(-9sqrt10)/10;(3sqrt10)/3]`  

Proste przedstawione na rysunku ...

`k:\ y=3/4x` 

 

`l_1:y=3/4x+4` 

`l_2:\ y=3/4x+1` 

`l_3:\ y=3/4x-2`