Zgoda na przetwarzanie danych osobowych

25 maja 2018 roku zacznie obowiązywać Rozporządzenie Parlamentu Europejskiego i Rady (UE) 2016/679 z dnia 27 kwietnia 2016 r. znane jako RODO.

Dlatego aby dalej móc dostarczać Ci materiały odpowiednie do Twojego etapu edukacji, potrzebujemy zgody na lepsze dopasowanie treści do Twojego zachowania. Dzięki temu możemy zapamiętywać jakie materiały są Ci potrzebne. Dbamy o Twoją prywatność, więc nie zwiększamy zakresu naszych uprawnień. Twoje dane są u nas bezpieczne, a zgodę na ich zbieranie możesz wycofać na podstronie polityka prywatności.

Klikając "Przejdź do Odrabiamy", zgadzasz się na wskazane powyżej działania. W przeciwnym wypadku, nie jesteśmy w stanie zrealizować usługi kompleksowo i prosimy o opuszczenie strony.

Polityka prywatności

Drogi Użytkowniku w każdej chwili masz prawo cofnąć zgodę na przetwarzanie Twoich danych osobowych. Cofnięcie zgody nie będzie wpływać na zgodność z prawem przetwarzania, którego dokonano na podstawie wyrażonej przez Ciebie zgody przed jej wycofaniem. Po cofnięciu zgody wszystkie twoje dane zostaną usunięte z serwisu. Udzielenie zgody możesz modyfikować w zakładce 'Informacja o danych osobowych'

Rozwiązywanie nierówności - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Zapisywanie przedziałów liczbowych

Metody rozwiązywania nierówności są bardzo podobne do metod rozwiązywania równań, jedyna różnica to zapis wyniku, czasem potrzebny jest również zapis w postaci przedziału liczbowego.

Mając nierówność musimy doprowadzić ją do postaci podobnej do tej:

niewiadome (tutaj znaki "<", ">", "=", "≥", "≤") liczby

np.: $$x < 5 $$

Pamiętamy o standardowych warunkach:

- Niewiadome przenosimy na lewą stronę, a liczby na prawą

- Usuwamy niepotrzebne nawiasy oraz niewymierności i rozwiązanie zostawiamy w postaci nieskracalnej


Zasady rysowania osi liczbowej:

- Jeżeli niewiadoma jest "mniejsza" (mniejsza lub równa) to linię kierujemy w lewo, jeżeli większa(większa lub równa) to w prawo

- Jeżeli niewiadoma jest "mniejsza lub równa"/"większa lub równa" to wtedy punkt zaznaczamy i kolorujemy kropkę (czyt. przedział domknięty).

- Jeżeli niewiadoma jest tylko "mniejsza"/"większa" to wtedy zaznaczamy punkt i pozostawiamy pustą kropkę (czyt. przedział otwarty).



Zasady zapisywania przedziałów liczbowych:

- zapisanie niewiadomej (x),

- znaku, który odczytujemy jako "należy do przedziału",

- przedziału dwóch liczb (lub liczby i nieskończoności lub -nieskończoności).

Liczby (i nieskończoność) zapisujemy w nawiasie. Po stronie nieskończoności nawias jest zawsze okrągły, a po stronie liczby:

- okrągły ( ), gdy na osi liczbowej kropka jest pusta (czyt. przedział otwarty), co oznacza, że dana liczba nie należy do przedziału;

- trójkątny < > jeżeli na osi kropka jest zakolorowana (czyt. przedział domknięty), co oznacza, że dana liczba należy do przedziału.



Całość najlepiej pokazać na przykładzie:

Rozwiąż nierówność: $$2(x-3)+3(x+5)≥4x$$

Najpierw musimy wymnożyć nawiasy

$$2x-6+3x+15≥4x$$

Teraz niewiadome przenosimy na lewą stronę ze zmianą znaku, a liczby na prawą również zmieniając znak

$$2x+3x-4x≥6-15$$

Sumujemy nasze x

$$x≥-9$$

Jeśli rozwiązanie jest w postaci przedziału możemy narysować oś i zaznaczyć na niej liczbę po prawej.

os1

$$x∈<-9;∞)$$

Pokażmy teraz bardziej zaawansowany przykład:

Znajdź zbiór rozwiązań nierówności $${x+1}/5+{1-4x}/3 < 4-2x $$.

Najpierw musimy się pozbyć ułamków, najłatwiej przez pomnożenie przez wspólną wielokrotność. Jak taką znaleźć? Bardzo prosto! Mnożymy mianowniki $$5*3=15$$

Więc:

$${x+1}/5+{1-4x}/3 < 4-2x$$ $$|×15$$

Pamiętamy, że mnożąc całą nierówność mnożymy każdy składnik oddzielony plusem, minusem lub znakiem nierówności:

$$15×{x+1}/5+15×{1-4x}/3 < 60-30x $$

Skracamy odpowiednio

$$3(x+1)+5(1-4x) < 60-30x$$

Następnie mnożymy przez nawiasy

$$3x+3+5-20x < 60-30x$$

Niewiadome na lewą stronę, liczby na prawą

$$3x-20x+30x < 60-5-3$$

Sumujemy wszystko

$$13x < 52$$

Dzielimy całe równanie przez liczbę, która stoi przy x

$$13x < 52$$ $$|:13$$

$$x < 4$$

Zapisujemy przedział

$$x∈(-∞;4)$$

Rysujemy oś:

os2

 

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Znajdź rozwiązania nierówności: $$(x+3)^2>(x+5)(x-5)+6$$

Zaczynamy od użycia wzorów skróconego mnożenia

$$x^2+6x+9 > x^2-25+6$$

Teraz niewiadome na lewą, a liczby na prawą

$$6x > -25+6-9$$

Sumujemy

$$6x > -28$$

I dzielimy przez liczbę przy x

$$6x > -28$$ $$|:6$$

$$x > -4 2/3$$

Oraz zapisujemy zbiór rozwiązań

$$x∈(-4 2/3; ∞)$$

Zadanie 2.

Znajdź wspólny zbiór rozwiązań nierówności:
$$(x+3)(x-2) > x^2-7$$ oraz $${x+5}/2+{x-3}/3 < {x-1}/4 $$

Zaczynamy od pierwszej nierówności

$$(x+3)(x-2) > x^2-7 $$

Musimy najpierw wymnożyć nawiasy czyli każdy z każdym

$$x×x-2x+3x-6 > x^2-7$$

$$x^2-2x+3x-6 > x^2-7$$

Niewiadome przenosimy na lewo, liczby na prawą stronę

$$-2x+3x > -7+6$$

No i sumujemy

$$x>-1$$

Teraz druga nierówność

$${x+5}/2+{x-3}/3 < {x-1}/4 $$

Oczywiście przede wszystkim ułamki sio, mnożymy przez 4×3×2=24 lub po prostu przez 12, ponieważ 12 dzieli się przez każdą z tych liczb

$${x+5}/2+{x-3}/3 < {x-1}/4$$ $$|×12$$

$$6(x+5)+4(x-3) < 3(x-1)$$

Wymnażamy nawiasy

$$6x+30+4x-12 < 3x-3$$

Niewiadome na lewą

$$6x+4x-3x < -3+12-30$$

Sumowanie

$$7x < -21$$

Dzielimy przez liczbę stojącą przy x

$$7x < -21$$ $$|:7$$

$$x < -3$$

Teraz musimy znaleźć część wspólną dla

$$x < -3$$ oraz $$x > -1$$

Zaznaczmy oba zakresy na osi

os3

Jak widać osie się nie nakładają, więc nie ma punktów wspólnych

$$x∈∅$$
 

Spis treści

Rozwiązane zadania
Mając dany wykres funkcji...

a) Przesuwamy wykres funkcji o 1 jednostkę w lewo

 

b) Przesuwamy wykres o 4 jednostki w prawo

 

c) Przesuwamy wykres o 2 jednostki w prawo

 

d) Przesuwamy wykres o 3 jednostki w lewo

Zapisz w postaci |x-a|>b

`a)` 

Obliczmy, jaka liczba jest jednakowo oddalona od liczb 7 i 11:

`(7+11)/2=18/2=9` 

 

Liczba 7 znajduje się 2 jednostki na lewo od 9, a liczba 11 znajduje się 2 jednostki na prawo od 9.

Zadany przedział to zbiór liczb oddalonych o więcej niż 2 jednostki od 9.

Stąd możemy zapisać szukaną nierówność:

`|x-9|>2` 

 

 

`b)` 

Obliczmy, jaka liczba jest jednakowo oddalona od -2 i 8:

`(-2+8)/2=6/2=3` 

 

Liczba -2 znajduje się 5 jednostek na lewo od 3, a liczba 8 znajduje się 5 jednostek na prawo od 3. 

Zadany przedział to zbiór liczb oddalonych o nie mniej niż 5 jednostek od liczby 3. 

Stąd możemy zapisać szukaną nierówność:

`|x-3|>=5` 

 

 

`c)` 

Obliczmy, jaka liczba jest jednakowo oddalona od -7 i -1:

`(-7+(-1))/2=(-8)/2=-4` 

 

Liczba -7 znajduje się 3 jednostki na lewo od -4, a liczba -1 znajduje się 3 jednostki na prawo od -4. 

Zadany przedział to zbiór liczb oddalonych o nie mniej niż 3 jednostki od liczby -4. 

Stąd możemy zapisać szukaną nierówność:

`|x+4|>=3` 

 

 

`d)` 

Obliczmy, jaka liczba jest jednakowo oddalona od -15 i 13:

`(-15+13)/2=(-2)/2=-1` 

Liczba -15 znajduje się 14 jednostek na lewo od -1, a liczba 13 znajduje się 14 jednostek na prawo od -1. 

Zadany przedział to zbiór liczb oddalonych o więcej niż 14 jednostek od -1. 

Stąd możemy zapisać szukaną nierówność:

`|x+1|>14` 

 

Wyznacz (o ile istnieją) miejsca zerowe...

`f(x) = x - |x+2|+3` 

`f(x) =0` 

`x - |x+2| + 3 =0` 

`- |x+2| = -x - 3` 

`|x+2| = x+3` 

Z definicji wartości bezwzględnej:

`x+2=x+3 \ \ vv \ \ x+ 2 = - x - 3`  

`2 = 3 \ \ vv \ \ 2x = -5` 

Pierwsze równanie jest sprzeczne.

`2x = -5`  

`x = -5/2` 

Odpowiedź: Miejscem zerowym jest liczba -5/2.

W trójkąt równoboczny wpisano koło...

Rysunek poglądowy:

Promień koła wpisanego w trójkąt równoboczny jest równy 1/3 długości wysokości tego trójkąta.

 

Wysokość w trójkącie równobocznym o boku długości a jest dana wzorem:

`h = (asqrt3)/2` 

`24 = (asqrt3)/2` 

`a = 24*2/sqrt3 = 48/sqrt3 *sqrt3/sqrt3 = (48sqrt3)/3 = 16sqrt3` 

 

Pole koła:

`P = pir^2 = pi*8^2 = 64pi`  

 

Pole trójkąta:

`P_t = (a^2sqrt3)/4 = ((16sqrt3)^2 *sqrt3)/4 = (256*3*sqrt3)/4 = 192sqrt3` 

 

Obliczmy różnicę pól trójkąta i koła i przyrównajmy ją do pola koła.

`(P_t - P)/P = (192 sqrt3 - 64pi)/(64pi) = (3sqrt3-pi)/pi approx 0,654` 

Zamieńmy ułamek na procent:

`0,64 * 100% = 65,4%` 

Wyznacz miejsca zerowe funkcji danych za

Miejsce zerowe to taki argument, dla którego funkcja przyjmuje wartość zero. Wstawiamy więc za f(x) wartość 0 i obliczamy x. Następnie sprawdzamy, czy wyliczony argument należy do dziedziny funkcji.

a) 

`f(x)=-x+7`

`0=-x+7`

`x=7`

Dziedziną funkcji jest zbiór liczb naturalnych. 7 należy do zbioru liczb naturalnych. Miejscem zerowym tej funkcji jest więc liczba 7.

 

 

b)

`f(x)=-x^2+9`

`0=-x^2+9`

`x^2=9`      `i`        `x<0`

Dziedziną funkcji jest zbiór liczb rzeczywistych ujemnych (R_) , dlatego miejscem zerowym, spośród możliwych liczb 3 i -3 będzie liczba -3. 

`ul(ul(x=(-3)))`

 

 

c)

`f(x)=x^3-8`

`0=x^3-8`

`8=x^3`

`ul(ul(x=2)`

Miejscem zerowym tej funkcji jest liczba 2 (należy do dziedziny funkcji Df=<-2,2>)

 

 

d)

Nie mamy określonej dziedziny funkcji. Wzór funkcji nie zawiera pierwiastków ani ułamków więc jej dziedziną jest zbiór liczb rzeczywistych. 

`f(x)=(x-3)(x+2)`

`0=(x-3)(x+2)`

Jeśli którykolwiek czynnik iloczynu po prawej stronie będzie równy zero, to całość wyrażenia po prawej stronie będzie równa 0. 

`x-3=0 `       lub       `x+2=0`

`ul(ul(x=3)`         lub       `ul(ul(x=(-2))`

Funkcja ma dwa miejsca zerowe: 3 i -2. 

 

 

e)

`f(x)=(x+5)/(x^2-25)`

Nie określono w zadaniu dziedziny funkcji. Określamy ją z założenia, że liczba w mianowniku nie może być równa 0 (nie da się dzielić przez zero).

zał.

`x^2-25!=0`

`x!=5`         lub        `x!=-5`

`D_f=R-{-5,5}`

 

Teraz szukamy miejsc zerowych

`0=(x+5)/(x^2-25)`

Jeśli wyrażenie w liczniku będzie równe zero, to cały ułamek będzie równy zero.

`0=x+5`

`x=(-5)`

Liczba ta nie należy do dziedziny funkcji, czyli funkcja nie ma miejsc zerowych. 

 

 

f)

`f(x)=sqrt(x+4)`

Nie określono w zadaniu dziedziny funkcji. Określamy ją z założenia, że liczba pod pierwsiatkiem musi być większa lub równa zero. 

`x+4>=0`

`x>=-4`

`D_f=<-4,+oo)`

Teraz szukamy miejsc zerowych:

`0=sqrt(x+4)`            `/(...)^2`

`0=x+4`

`x=ul(ul(-4))`

Dziedziną funkcji jest zbiór argumentów większych lub równych -4, zatem argument -4 należy do dziedziny funkcji i jest miejscem zerowym tej funkcji. 

Oblicz:

`"a)"\ sqrt24*sqrt18=sqrt(4*6)*sqrt(9*2)=sqrt4*sqrt6*sqrt9*sqrt2=2sqrt6*3sqrt2=6sqrt(6*2)=6sqrt12=6*2sqrt3=12sqrt3` 

`\ \ \ 2sqrt6*5sqrt2*sqrt3=10sqrt(6*2*3)=10sqrt36=10*6=60` 

`\ \ \ root(3)9*root(3)3=root(3)(9*3)=root(3)27=3` 

 

`"b)"\ root(3)24/root(3)3=root(3)(24/3)=root(3)8=2` 

`\ \ \ (3root(3)80)/(2root(3)10)=3/2*root(3)(80/10)=3/2*root(3)8=3/strike2^1*strike2^1=3`  

`\ \ \ (5sqrt24)/(2sqrt6)=5/2*sqrt(24/6)=5/2*sqrt4=5/strike2^1*strike2^1=5` 

Funkcja f jest określona wzorem ...

`f(x)=-2x+1,\ \ x in {-5,-3,-1,\ 1,\ 3,\ 5}` 

Wyznaczamy zbiór wartosci funkcji f:

`f(-5)=10+1=11` 

`f(-3)=6+1=7` 

`f(-1)=2+1=3` 

`f(1)=-2+1=-1` 

`f(3)=-6+1=-5` 

`f(5)=-10+1=-9` 

 

`Z_w={-9,-5,-1,\ 3,\ 7,\ 11}`

Narysuj wykres przykładowej funkcji...

a) Miejscem zerowym ma być x = -3

 

b) Miejscami zerowymi mają być x = -2 i x = 2

 

c) Miejscami zerowymi mają być wszystkie argumenty większe bądź równe od 1

 

d) Miejscami zerowymi mają być wszystkie argumenty większe bądź równe od -1 oraz mniejsze bądź równe 2.

Ile razy liczba

`312^2:0,312^2=(312:0,312)^2=(312\ 000:312)^2=1000^2=1\ 000\ 000\ \ \ \ \ \ odp.\ B`

 

Na rysunku przedstawiono...

Miara kąta w 9-kącie foremnym wynosi:

`(9-2)/strike9^1 * (strike180^20)^o = 7*20^o = 140^o`

`/_ ABC =140°`

Trójkąt ABC jest równoramienny więc przy podstawach ma kąty mające miarę 20°.

Kąt ACD i kąt przy podstawie trójkąta ABC tworzą kąt wewnętrzny 9-kąta, zatem:

`/_ACD + 20^o = 140^o`

`/_ACD = 120^o`

 

Trapez ABCD:

Kąty przy wierzchołkach B i C są równe i wynoszą 140°.

Trapez jest równoramienny gdyż jego ramiona to boki naszego 9-kąta.

Zatem kąty przy podstawie AD są równe i w sumie mają miary 80° bo suma kątów wewnętrznych w trapezie wynosi 360°.

Kąt ADC wynosi więc 40° a razem z kątem ADE tworzą kąt wewnętrzny 9-kąta, zatem:

`/_ADE + /_ADC = 140^o`

`/_ADE + 40^o = 140^o \ \ \ |-40^o`

`/_ADE = 100^o`

 

Trójką AEF

Kąty przy podstawie EF są równe.

W każdym z trójkątów ABC, ACD, ADE, AEF kąt przy wierzchołku A wynosi 20°.

Tak więc suma kątów w podstawie trójkąta AEF wynosi 160° a więc kąt AEF wynosi 80°.