Rozwiązywanie nierówności - matura-podstawowa - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Rozwiązywanie nierówności - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Zapisywanie przedziałów liczbowych

Metody rozwiązywania nierówności są bardzo podobne do metod rozwiązywania równań, jedyna różnica to zapis wyniku, czasem potrzebny jest również zapis w postaci przedziału liczbowego.

Mając nierówność musimy doprowadzić ją do postaci podobnej do tej:

niewiadome (tutaj znaki "<", ">", "=", "≥", "≤") liczby

np.: $x < 5 $

Pamiętamy o standardowych warunkach:

- Niewiadome przenosimy na lewą stronę, a liczby na prawą

- Usuwamy niepotrzebne nawiasy oraz niewymierności i rozwiązanie zostawiamy w postaci nieskracalnej


Zasady rysowania osi liczbowej:

- Jeżeli niewiadoma jest "mniejsza" (mniejsza lub równa) to linię kierujemy w lewo, jeżeli większa(większa lub równa) to w prawo

- Jeżeli niewiadoma jest "mniejsza lub równa"/"większa lub równa" to wtedy punkt zaznaczamy i kolorujemy kropkę (czyt. przedział domknięty).

- Jeżeli niewiadoma jest tylko "mniejsza"/"większa" to wtedy zaznaczamy punkt i pozostawiamy pustą kropkę (czyt. przedział otwarty).



Zasady zapisywania przedziałów liczbowych:

- zapisanie niewiadomej (x),

- znaku, który odczytujemy jako "należy do przedziału",

- przedziału dwóch liczb (lub liczby i nieskończoności lub -nieskończoności).

Liczby (i nieskończoność) zapisujemy w nawiasie. Po stronie nieskończoności nawias jest zawsze okrągły, a po stronie liczby:

- okrągły ( ), gdy na osi liczbowej kropka jest pusta (czyt. przedział otwarty), co oznacza, że dana liczba nie należy do przedziału;

- trójkątny < > jeżeli na osi kropka jest zakolorowana (czyt. przedział domknięty), co oznacza, że dana liczba należy do przedziału.



Całość najlepiej pokazać na przykładzie:

Rozwiąż nierówność: $2(x-3)+3(x+5)≥4x$

Najpierw musimy wymnożyć nawiasy

$2x-6+3x+15≥4x$

Teraz niewiadome przenosimy na lewą stronę ze zmianą znaku, a liczby na prawą również zmieniając znak

$2x+3x-4x≥6-15$

Sumujemy nasze x

$x≥-9$

Jeśli rozwiązanie jest w postaci przedziału możemy narysować oś i zaznaczyć na niej liczbę po prawej.

os1

$x∈<-9;∞)$

Pokażmy teraz bardziej zaawansowany przykład:

Znajdź zbiór rozwiązań nierówności ${x+1}/5+{1-4x}/3 < 4-2x $.

Najpierw musimy się pozbyć ułamków, najłatwiej przez pomnożenie przez wspólną wielokrotność. Jak taką znaleźć? Bardzo prosto! Mnożymy mianowniki $5*3=15$

Więc:

${x+1}/5+{1-4x}/3 < 4-2x$ $|×15$

Pamiętamy, że mnożąc całą nierówność mnożymy każdy składnik oddzielony plusem, minusem lub znakiem nierówności:

$15×{x+1}/5+15×{1-4x}/3 < 60-30x $

Skracamy odpowiednio

$3(x+1)+5(1-4x) < 60-30x$

Następnie mnożymy przez nawiasy

$3x+3+5-20x < 60-30x$

Niewiadome na lewą stronę, liczby na prawą

$3x-20x+30x < 60-5-3$

Sumujemy wszystko

$13x < 52$

Dzielimy całe równanie przez liczbę, która stoi przy x

$13x < 52$ $|:13$

$x < 4$

Zapisujemy przedział

$x∈(-∞;4)$

Rysujemy oś:

os2

 

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Znajdź rozwiązania nierówności: $(x+3)^2>(x+5)(x-5)+6$

Zaczynamy od użycia wzorów skróconego mnożenia

$x^2+6x+9 > x^2-25+6$

Teraz niewiadome na lewą, a liczby na prawą

$6x > -25+6-9$

Sumujemy

$6x > -28$

I dzielimy przez liczbę przy x

$6x > -28$ $|:6$

$x > -4 2/3$

Oraz zapisujemy zbiór rozwiązań

$x∈(-4 2/3; ∞)$

Zadanie 2.

Znajdź wspólny zbiór rozwiązań nierówności:
$(x+3)(x-2) > x^2-7$ oraz ${x+5}/2+{x-3}/3 < {x-1}/4 $

Zaczynamy od pierwszej nierówności

$(x+3)(x-2) > x^2-7 $

Musimy najpierw wymnożyć nawiasy czyli każdy z każdym

$x×x-2x+3x-6 > x^2-7$

$x^2-2x+3x-6 > x^2-7$

Niewiadome przenosimy na lewo, liczby na prawą stronę

$-2x+3x > -7+6$

No i sumujemy

$x>-1$

Teraz druga nierówność

${x+5}/2+{x-3}/3 < {x-1}/4 $

Oczywiście przede wszystkim ułamki sio, mnożymy przez 4×3×2=24 lub po prostu przez 12, ponieważ 12 dzieli się przez każdą z tych liczb

${x+5}/2+{x-3}/3 < {x-1}/4$ $|×12$

$6(x+5)+4(x-3) < 3(x-1)$

Wymnażamy nawiasy

$6x+30+4x-12 < 3x-3$

Niewiadome na lewą

$6x+4x-3x < -3+12-30$

Sumowanie

$7x < -21$

Dzielimy przez liczbę stojącą przy x

$7x < -21$ $|:7$

$x < -3$

Teraz musimy znaleźć część wspólną dla

$x < -3$ oraz $x > -1$

Zaznaczmy oba zakresy na osi

os3

Jak widać osie się nie nakładają, więc nie ma punktów wspólnych

$x∈∅$
 

Spis treści

Rozwiązane zadania
Liczba m jest sumą odwrotności dwóch różnych...

 

 

 

Na początek wyznaczmy, dla jakich wartości parametru k to równanie ma 2 rozwiązania - aby tak się stało, wyróżnik musi być większy od 0.

  

     

 

 

Obliczmy, dla jakich wartości k liczba po lewej stronie nierówności jest dodatnia

 

 

 

 

 

 

Parabola ma ramiona skierowane w dół - naszkicujmy ją:

    

Interesuje nas część paraboli nad osią, musimy również pamiętać o założeniu  , więc: 

   - dla takich wartości parametru k równanie ma dwa różne pierwiastki.

 


{premium}

Skorzystamy z wzorów Viete'a na sumę i iloczyn rozwiązań równania kwadratowego.

Jeśli mamy równanie kwadratowe:

 

Które ma rozwiązania, to suma i iloczyn rozwiązań są równe:

 

 


 

Sumę odwrotności równania możemy zapisać jako:

   

 

Korzystając z wzorów Viete'a sumę rozwiązań możemy zapisać jako:

  

 

      

 

 

 

 

 

 ,  

 

Zauważmy, że funkcja   jest malejąca. Aby wyznaczyć zbiór wartości, obliczymy wartości funkcji f na krańcach przedziałów:

  

   

 

Wiemy, że dla   funkcja nie przyjmuje żadnej wartości, czyli z przeciwdziedziny musimy "wyrzucić" wartość:

 

 

Czyli zbiorem wartości jest:

    

           

W pewnym teście za dobrą odpowiedź...

Wprowadźmy oznaczenia:

x - liczba dobrych odpowiedzi Małgosi

y - liczba złych odpowiedzi lub braku odpowiedzi Małgosi   {premium}

x/2 -  liczba dobrych odpowiedzi Jasia

y +x/2 - liczba złych odpowiedzi lub braku odpowiedzi Jasia


 

 

  

 

 

 

 

 

 


Obliczmy, ile łącznie pytań było na tym teście:

 


Sprawdźmy czy za rozwiązanie tego testu można otrzymać 15 punktów:

x - liczba dobrych odpowiedzi

y- liczba złych odpowiedzi lub braku odpowiedzi

 

dodajemy stronami podane równania:

 

 

 

liczba poprawnych odpowiedzi powinna być naturalna zatem z tego testu nie można otrzymać 15 punktów.


Odp.: W tym teście były łącznie 24 pytania. Z tego testu nie można zdobyć 15 punktów. 

Woda płynąca z kranów A, B i C

Jeśli woda płynąca z kranów A, B i C napełnia cały basen w ciągu 4 godzin, to w ciągu 1 godziny napełni 4 razy mniej, czyli  basenu. 

Wiemy, że woda z kranu A napełnia w ciągu godziny  basenu, woda płynąca z kranu B napełnia w ciągu godziny  basenu. Możemy więc obliczyć, jaką{premium} część basenu napełni w ciągu godziny woda płynąca z kranu C:

 

Wiemy już, że w ciągu godziny woda płynąca z kranu C napełni piętnastą część basenu. Na napełnienie całego basenu potrzeba więc 15 razy dłuższego czasu. 

Odp. Napełnianie basenu wodą płynącą tylko z kranu C trwałoby 15 godzin.

Udowodnij, że w równoramiennym...

Rysunek poglądowy:

podglad pliku{premium}

Niech AC=x

 

Z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie ADC:

 

 

Punkt przecięcia się środkowych(środek ciężkości) dzieli środkowe w stosunku 2:1, stąd:

 

 

Z twierdzenia cosinusów:

 

  

 

 

 

Z jedynki trygonometrycznej obliczymy sinus tego kąta:

 

 

 

 

Sinus wypukłego kąta jest dodatni, zatem:

 

 

Tangens kąta ostrego między środkowymi poprowadzonymi z wierzchołków kątów ostrych jest równy:

 

W trójkącie ABC zachodzi...

Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku poniżej:{premium}


Z twierdzenia o dwusiecznej:

 

 

 

 


Dwusieczna CD dzieli podstawę AB w stosunku 2:1, więc:

 

 


Obliczamy pola trójkątów BCD i ACD:

 

 


Odp. Pole trójkąta ACD jest dwa razy większe od pola trójkąta BCD.

W pewnym prostokącie przekątna ma długość d...

Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku poniżej:


 

Obliczamy długość boku a:

 

 

 

 

Z twierdzenia Pitagorasa obliczamy długość boku b:

 

 

 

 

 {premium}

 

Obliczamy obwód prostokąta:

 

 

 

Odp. Obwód prostokąta jest równy 25,2 cm.


 

Obliczamy długość boku b:

 

 

 

 

 

Z twierdzenia Pitagorasa obliczamy długość boku a:

 

 

 

 

 

 

Obliczamy obwód prostokąta:

 

 

 

Odp. Obwód prostokąta jest równy  


 

 

 

 

 

Z twierdzenia Pitagorasa obliczamy długość boku a:

 

 

 

 

 

 

 

Obliczamy długość boku b:

 

 

 

Obliczamy obwód prostokąta:

 

 

 

Odp. Obwód prostokąta jest równy 20 cm.


 

 

 

 

Z twierdzenia Pitagorasa obliczamy długość boku b:

 

 

 

 

 

 

 

Obliczamy długość boku a:

 

 

 

Obliczamy obwód prostokąta:

 

 

 

Odp. Obwód prostokąta jest równy 16√2 cm.

Która z podanych dwóch...

a) Zauważmy, że:

     {premium}

Liczba b jest o 2 większa od liczby a.


b) Zauważmy, że:

 

Liczba b jest o 2 większa od liczby a.


c) Zauważmy, że:

 

Liczba a jest o 3 większa od liczby b.


d) Zauważmy, że:

 

Liczba a jest o 1 większa od liczby b.

Dany jest kwadrat ...

 

 

 {premium}

 

Odczytaj współrzędne punktów

{premium}

 

Przedstaw podane wyrażenie jako...

   {premium}