Rozwiązywanie nierówności - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Zapisywanie przedziałów liczbowych

Metody rozwiązywania nierówności są bardzo podobne do metod rozwiązywania równań, jedyna różnica to zapis wyniku, czasem potrzebny jest również zapis w postaci przedziału liczbowego.

Mając nierówność musimy doprowadzić ją do postaci podobnej do tej:

niewiadome (tutaj znaki "<", ">", "=", "≥", "≤") liczby

np.: $$x < 5 $$

Pamiętamy o standardowych warunkach:

- Niewiadome przenosimy na lewą stronę, a liczby na prawą

- Usuwamy niepotrzebne nawiasy oraz niewymierności i rozwiązanie zostawiamy w postaci nieskracalnej


Zasady rysowania osi liczbowej:

- Jeżeli niewiadoma jest "mniejsza" (mniejsza lub równa) to linię kierujemy w lewo, jeżeli większa(większa lub równa) to w prawo

- Jeżeli niewiadoma jest "mniejsza lub równa"/"większa lub równa" to wtedy punkt zaznaczamy i kolorujemy kropkę (czyt. przedział domknięty).

- Jeżeli niewiadoma jest tylko "mniejsza"/"większa" to wtedy zaznaczamy punkt i pozostawiamy pustą kropkę (czyt. przedział otwarty).



Zasady zapisywania przedziałów liczbowych:

- zapisanie niewiadomej (x),

- znaku, który odczytujemy jako "należy do przedziału",

- przedziału dwóch liczb (lub liczby i nieskończoności lub -nieskończoności).

Liczby (i nieskończoność) zapisujemy w nawiasie. Po stronie nieskończoności nawias jest zawsze okrągły, a po stronie liczby:

- okrągły ( ), gdy na osi liczbowej kropka jest pusta (czyt. przedział otwarty), co oznacza, że dana liczba nie należy do przedziału;

- trójkątny < > jeżeli na osi kropka jest zakolorowana (czyt. przedział domknięty), co oznacza, że dana liczba należy do przedziału.



Całość najlepiej pokazać na przykładzie:

Rozwiąż nierówność: $$2(x-3)+3(x+5)≥4x$$

Najpierw musimy wymnożyć nawiasy

$$2x-6+3x+15≥4x$$

Teraz niewiadome przenosimy na lewą stronę ze zmianą znaku, a liczby na prawą również zmieniając znak

$$2x+3x-4x≥6-15$$

Sumujemy nasze x

$$x≥-9$$

Jeśli rozwiązanie jest w postaci przedziału możemy narysować oś i zaznaczyć na niej liczbę po prawej.

os1

$$x∈<-9;∞)$$

Pokażmy teraz bardziej zaawansowany przykład:

Znajdź zbiór rozwiązań nierówności $${x+1}/5+{1-4x}/3 < 4-2x $$.

Najpierw musimy się pozbyć ułamków, najłatwiej przez pomnożenie przez wspólną wielokrotność. Jak taką znaleźć? Bardzo prosto! Mnożymy mianowniki $$5*3=15$$

Więc:

$${x+1}/5+{1-4x}/3 < 4-2x$$ $$|×15$$

Pamiętamy, że mnożąc całą nierówność mnożymy każdy składnik oddzielony plusem, minusem lub znakiem nierówności:

$$15×{x+1}/5+15×{1-4x}/3 < 60-30x $$

Skracamy odpowiednio

$$3(x+1)+5(1-4x) < 60-30x$$

Następnie mnożymy przez nawiasy

$$3x+3+5-20x < 60-30x$$

Niewiadome na lewą stronę, liczby na prawą

$$3x-20x+30x < 60-5-3$$

Sumujemy wszystko

$$13x < 52$$

Dzielimy całe równanie przez liczbę, która stoi przy x

$$13x < 52$$ $$|:13$$

$$x < 4$$

Zapisujemy przedział

$$x∈(-∞;4)$$

Rysujemy oś:

os2

 

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Znajdź rozwiązania nierówności: $$(x+3)^2>(x+5)(x-5)+6$$

Zaczynamy od użycia wzorów skróconego mnożenia

$$x^2+6x+9 > x^2-25+6$$

Teraz niewiadome na lewą, a liczby na prawą

$$6x > -25+6-9$$

Sumujemy

$$6x > -28$$

I dzielimy przez liczbę przy x

$$6x > -28$$ $$|:6$$

$$x > -4 2/3$$

Oraz zapisujemy zbiór rozwiązań

$$x∈(-4 2/3; ∞)$$

Zadanie 2.

Znajdź wspólny zbiór rozwiązań nierówności:
$$(x+3)(x-2) > x^2-7$$ oraz $${x+5}/2+{x-3}/3 < {x-1}/4 $$

Zaczynamy od pierwszej nierówności

$$(x+3)(x-2) > x^2-7 $$

Musimy najpierw wymnożyć nawiasy czyli każdy z każdym

$$x×x-2x+3x-6 > x^2-7$$

$$x^2-2x+3x-6 > x^2-7$$

Niewiadome przenosimy na lewo, liczby na prawą stronę

$$-2x+3x > -7+6$$

No i sumujemy

$$x>-1$$

Teraz druga nierówność

$${x+5}/2+{x-3}/3 < {x-1}/4 $$

Oczywiście przede wszystkim ułamki sio, mnożymy przez 4×3×2=24 lub po prostu przez 12, ponieważ 12 dzieli się przez każdą z tych liczb

$${x+5}/2+{x-3}/3 < {x-1}/4$$ $$|×12$$

$$6(x+5)+4(x-3) < 3(x-1)$$

Wymnażamy nawiasy

$$6x+30+4x-12 < 3x-3$$

Niewiadome na lewą

$$6x+4x-3x < -3+12-30$$

Sumowanie

$$7x < -21$$

Dzielimy przez liczbę stojącą przy x

$$7x < -21$$ $$|:7$$

$$x < -3$$

Teraz musimy znaleźć część wspólną dla

$$x < -3$$ oraz $$x > -1$$

Zaznaczmy oba zakresy na osi

os3

Jak widać osie się nie nakładają, więc nie ma punktów wspólnych

$$x∈∅$$
 

Spis treści

Rozwiązane zadania
Rozwiąż równanie, korzystając ze wzoru ...

`a)` 

`4x^2-4x+1=0` 

`(2x-1)^2=0` 

`(2x-1)(2x-1)=0` 

`2x-1=0` 

`ul(x=1/2)` 

 

`b)` 

`x^2-14x+49` 

`(x-7)^2=0` 

`(x-7)(x-7)=0`  

`x-7=0` 

`ul(x=7)` 

 

`c)` 

`9x^2-6x+1=0` 

`(3x-1)^2=0` 

`(3x-1)(3x-1)=0` 

`3x-1=0` 

`ul(x=1/3)`        

Podaj wzór funkcji g, opisanej za pomocą

a) 

Zauważamy, że wartości przypisane argumentom są mniejsze od argumentów o 1.

`y=x-1`

b) 

Zauważamy, że wartości przypisane argumentom są ich liczbami przeciwnymi.

`y=-x`

Ułamki postaci 1/n, gdzie n jest liczbą naturalną dodatnią

`a)`

`n=11`

`a=(11+1)/2=12/2=6`

`b=(11*(11+1))/2=(11*12)/2=11*6=66`

`2/11=1/6+1/66`

 

 

`b)`

`n=17`

`a=(17+1)/2=18/2=9`

`b=(17*(17+1))/2=(17*18)/2=17*9=153`

`2/17=1/9+1/153`

 

 

`c)`

`n=31`

`a=(31+1)/2=32/2=16`

`n=(31*(31+1))/2=(31*32)/2=31*16=496`

`2/31=1/16+1/496`

Zapisz podaną funkcję za pomocą...

`a) \ -1 -> -(-1) = 1` 

`3 -> -3` 

`0 -> 0` 

A więc:

`f(x) = -x` 

 

`b) \ 2 -> (2+1)^2 = 3^2 = 9` 

`3 -> (3+1)^2 = 4^2 = 16` 

`0 -> (0+1)^2 = 1^2 = 1` 

A więc:

`f(x) = (x+1)^2` 

W układzie współrzędnych umieszczono kąt...

`cos alpha = x/r = -3/4` 

A więc odcięta musi być równa -3, promień musi być równy 4 a więc:

`r = sqrt((-3)^2 +b^2) = 4` 

`sqrt(9+b^2) = 4` 

`9 + b^2 = 16` 

`b^2 = 7` 

`b = sqrt7` 

Współrzędne punktu to:

`P=(-3, sqrt7)` 

Odpowiedź C

Zaznacz przedziały na osi ...

`"a)"\ (-oo;sqrt2)` 

 

`"b)"\ <<sqrt3,+oo)` 

 

`"c)"\ (-2sqrt2;7)` 

 

`"d)"\ <<5;3sqrt3>>` 

 

`"e)"\ (-oo,-sqrt3>>` 

 

`"f)"\ <<-2sqrt3;3sqrt2)` 

 

Zapisz wyrażenie w postaci iloczynu.

`a) \ (x+y)^2 - 121 = (x+y-11)(x+y+11)` 

 

`b) \ (2a^2-3)^2-9 = (2a^2-3-3)(2a^2-3+3) = (2a^2-6)*2a^2 = 4a^2(a^2-3)` 

 

`c) \ (4x^2-y^2)^2 - 4x^2y^2 = (4x^2-y^2)^2 -(2xy)^2 = (4x^2-2xy-y^2)(4x^2+2xy-y^2)` 

Sporządź wykres funkcji i odbij go symetrycznie

`a)`

Wyznaczmy współrzędne kilku punktów, przez które przechodzi wykres danej funkcji:

`x=-2\ \ \ ->\ \ \ y=-3*(-2)-5=6-5=1`

`x=-1\ \ \ ->\ \ \ y=-3*(-1)-5=3-5=-2`

`x=0\ \ \ ->\ \ \ y=-3*0-5=0-5=-5`

 

Wyznaczamy równanie prostej symetrycznej do danej prostej względem osi x: 

`y=-(-3x-5)=3x+5`

 

 

 

 

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))`

 

 

`b)`

Wyznaczmy współrzędne kilku punktów, przez które przechodzi wykres danej funkcji:

`x=-1\ \ \ ->\ \ \ y=-2*(-1)^2=-2*1=-2`

`x=0\ \ \ ->\ \ \ y=-2*0^2=-2*0=0`

`x=1\ \ \ ->\ \ \ y=-2*1^2=-2*1=-2`

 

 

Wyznaczamy równanie prostej symetrycznej do danej prostej względem osi x: 

`y=-(-2x^2)=2x^2`

 

 

 

 

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))`

 

 

`c)`

Wyznaczmy współrzędne kilku punktów, przez które przechodzi wykres danej funkcji:

`x=-2\ \ \ ->\ \ \ y=-2/(-2)=1`

`x=-1\ \ \ ->\ \ \ y=-2/(-1)=2`

`x=1\ \ \ ->\ \ \ y=-2/1=-2`

`x=2\ \ \ ->\ \ \ y=-2/2=-1`

 

 

Wyznaczamy równanie prostej symetrycznej do danej prostej względem osi x: 

`y=-(-2/x)=2/x`

 

 

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))`

 

 

`d)`

Wyznaczmy współrzędne kilku punktów, przez które przechodzi wykres danej funkcji:  

`x=-1\ \ \ ->\ \ \ y=-(-1)^3=-(-1)=1`

`x=0\ \ \ ->\ \ \ y=-0^3=-0=0`

`x=1\ \ \ ->\ \ \ y=-1^3=-1`

 

Wyznaczamy równanie prostej symetrycznej do danej prostej względem osi x: 

`y=-(-x^3)=x^3`

 

Jakie wymiary ma prostokąt o polu takim, jak pole

Pole trapezu o podstawach długości x i y, oraz wysokości x-y

`P=((x+y)(x-y))/2`

Pole zacieniowanego obszaru (suma pól dwóch trapezów):

`P=2*((x+y)(x-y))/2=(x+y)(x-y)`

Pole zacieniowanego obszaru (różnica pola kwadratu o boku x i pola kwadratu o boku y)

`P=x^2-y^2`

Zatem:

`x^2-y^2=(x+y)(x-y)`

Podpisz zbiory punktów

`a)`

 

 

`b)`