Rozwiązywanie nierówności - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Zapisywanie przedziałów liczbowych

Metody rozwiązywania nierówności są bardzo podobne do metod rozwiązywania równań, jedyna różnica to zapis wyniku, czasem potrzebny jest również zapis w postaci przedziału liczbowego.

Mając nierówność musimy doprowadzić ją do postaci podobnej do tej:

niewiadome (tutaj znaki "<", ">", "=", "≥", "≤") liczby

np.: $$x < 5 $$

Pamiętamy o standardowych warunkach:

- Niewiadome przenosimy na lewą stronę, a liczby na prawą

- Usuwamy niepotrzebne nawiasy oraz niewymierności i rozwiązanie zostawiamy w postaci nieskracalnej


Zasady rysowania osi liczbowej:

- Jeżeli niewiadoma jest "mniejsza" (mniejsza lub równa) to linię kierujemy w lewo, jeżeli większa(większa lub równa) to w prawo

- Jeżeli niewiadoma jest "mniejsza lub równa"/"większa lub równa" to wtedy punkt zaznaczamy i kolorujemy kropkę (czyt. przedział domknięty).

- Jeżeli niewiadoma jest tylko "mniejsza"/"większa" to wtedy zaznaczamy punkt i pozostawiamy pustą kropkę (czyt. przedział otwarty).



Zasady zapisywania przedziałów liczbowych:

- zapisanie niewiadomej (x),

- znaku, który odczytujemy jako "należy do przedziału",

- przedziału dwóch liczb (lub liczby i nieskończoności lub -nieskończoności).

Liczby (i nieskończoność) zapisujemy w nawiasie. Po stronie nieskończoności nawias jest zawsze okrągły, a po stronie liczby:

- okrągły ( ), gdy na osi liczbowej kropka jest pusta (czyt. przedział otwarty), co oznacza, że dana liczba nie należy do przedziału;

- trójkątny < > jeżeli na osi kropka jest zakolorowana (czyt. przedział domknięty), co oznacza, że dana liczba należy do przedziału.



Całość najlepiej pokazać na przykładzie:

Rozwiąż nierówność: $$2(x-3)+3(x+5)≥4x$$

Najpierw musimy wymnożyć nawiasy

$$2x-6+3x+15≥4x$$

Teraz niewiadome przenosimy na lewą stronę ze zmianą znaku, a liczby na prawą również zmieniając znak

$$2x+3x-4x≥6-15$$

Sumujemy nasze x

$$x≥-9$$

Jeśli rozwiązanie jest w postaci przedziału możemy narysować oś i zaznaczyć na niej liczbę po prawej.

os1

$$x∈<-9;∞)$$

Pokażmy teraz bardziej zaawansowany przykład:

Znajdź zbiór rozwiązań nierówności $${x+1}/5+{1-4x}/3 < 4-2x $$.

Najpierw musimy się pozbyć ułamków, najłatwiej przez pomnożenie przez wspólną wielokrotność. Jak taką znaleźć? Bardzo prosto! Mnożymy mianowniki $$5*3=15$$

Więc:

$${x+1}/5+{1-4x}/3 < 4-2x$$ $$|×15$$

Pamiętamy, że mnożąc całą nierówność mnożymy każdy składnik oddzielony plusem, minusem lub znakiem nierówności:

$$15×{x+1}/5+15×{1-4x}/3 < 60-30x $$

Skracamy odpowiednio

$$3(x+1)+5(1-4x) < 60-30x$$

Następnie mnożymy przez nawiasy

$$3x+3+5-20x < 60-30x$$

Niewiadome na lewą stronę, liczby na prawą

$$3x-20x+30x < 60-5-3$$

Sumujemy wszystko

$$13x < 52$$

Dzielimy całe równanie przez liczbę, która stoi przy x

$$13x < 52$$ $$|:13$$

$$x < 4$$

Zapisujemy przedział

$$x∈(-∞;4)$$

Rysujemy oś:

os2

 

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Znajdź rozwiązania nierówności: $$(x+3)^2>(x+5)(x-5)+6$$

Zaczynamy od użycia wzorów skróconego mnożenia

$$x^2+6x+9 > x^2-25+6$$

Teraz niewiadome na lewą, a liczby na prawą

$$6x > -25+6-9$$

Sumujemy

$$6x > -28$$

I dzielimy przez liczbę przy x

$$6x > -28$$ $$|:6$$

$$x > -4 2/3$$

Oraz zapisujemy zbiór rozwiązań

$$x∈(-4 2/3; ∞)$$

Zadanie 2.

Znajdź wspólny zbiór rozwiązań nierówności:
$$(x+3)(x-2) > x^2-7$$ oraz $${x+5}/2+{x-3}/3 < {x-1}/4 $$

Zaczynamy od pierwszej nierówności

$$(x+3)(x-2) > x^2-7 $$

Musimy najpierw wymnożyć nawiasy czyli każdy z każdym

$$x×x-2x+3x-6 > x^2-7$$

$$x^2-2x+3x-6 > x^2-7$$

Niewiadome przenosimy na lewo, liczby na prawą stronę

$$-2x+3x > -7+6$$

No i sumujemy

$$x>-1$$

Teraz druga nierówność

$${x+5}/2+{x-3}/3 < {x-1}/4 $$

Oczywiście przede wszystkim ułamki sio, mnożymy przez 4×3×2=24 lub po prostu przez 12, ponieważ 12 dzieli się przez każdą z tych liczb

$${x+5}/2+{x-3}/3 < {x-1}/4$$ $$|×12$$

$$6(x+5)+4(x-3) < 3(x-1)$$

Wymnażamy nawiasy

$$6x+30+4x-12 < 3x-3$$

Niewiadome na lewą

$$6x+4x-3x < -3+12-30$$

Sumowanie

$$7x < -21$$

Dzielimy przez liczbę stojącą przy x

$$7x < -21$$ $$|:7$$

$$x < -3$$

Teraz musimy znaleźć część wspólną dla

$$x < -3$$ oraz $$x > -1$$

Zaznaczmy oba zakresy na osi

os3

Jak widać osie się nie nakładają, więc nie ma punktów wspólnych

$$x∈∅$$
 

Spis treści

Rozwiązane zadania
Dany jest trójkąt równoramienny ABC, w którym...

W zadaniu przyda nam się następujące twierdzenie:

Jeżeli kąty naprzemianległe wewnętrzne są równe, to dwie proste przecięte trzecią prostą są równoległe.


Trójkąt  jest równoramienny. Stąd:

 


Oznaczmy:

 

 

 


Kąty  oraz  tworzą kąt półpełny. Stąd:

 {premium}


Z sumy kątów trójkąta  wynika, że:

 


Zatem:

 

 

 


Wynika stąd, że kąty  i  mają równe miary. Są to kąty naprzemianległe wewnętrzne.

Zatem z twierdzenia przytoczonego na początku rozwiązania wynika, że proste  i  są równoległe,

co należało dowieść.

Na rysunku przedstawiono...

Miara kąta w 9-kącie foremnym wynosi:

Trójkąt ABC jest równoramienny więc przy podstawach ma kąty mające miarę 20°.

Kąt ACD i kąt przy podstawie trójkąta ABC tworzą kąt wewnętrzny 9-kąta, zatem:

 

Trapez ABCD:

Kąty przy wierzchołkach B i C są równe i wynoszą 140°.

Trapez jest równoramienny gdyż jego ramiona to boki naszego 9-kąta.

Zatem kąty przy podstawie AD są równe i w sumie mają miary 80° bo suma kątów wewnętrznych w trapezie wynosi 360°.

Kąt ADC wynosi więc 40° a razem z kątem ADE tworzą kąt wewnętrzny 9-kąta, zatem:

 

Trójką AEF

Kąty przy podstawie EF są równe.

W każdym z trójkątów ABC, ACD, ADE, AEF kąt przy wierzchołku A wynosi 20°.

Tak więc suma kątów w podstawie trójkąta AEF wynosi 160° a więc kąt AEF wynosi 80°.

Na rysunku przedstawiono wykres funkcji f

Aby otrzymać wykres funkcji g wystarczy odbić wykres funkcji f symetrycznie względem osi OX. 

 

 

 

 

 

 

 

 

Sprawdź rachunkowo, czy przekątne równoległeob

Wyznaczamy równanie prostej AC. Należą do niej punkty A oraz C, więc wystarczy do równania ogólnego prostej y=ax+b podstawić współrzędne punktów A=(-4; -2) i C=(6; 2). 

Podstawiamy obliczoną wartość a do drugiego równania ostatniego układu: 

 

 

 

Wyznaczamy równanie prostej BD. Należą do niej punkty B oraz D, więc wystarczy do równania ogólnego prostej podstawić współrzędne punktów B=(0; -4) i D=(2; 4). 

 

 

 

Punkt przecięcia prostych AC i BD to punkt przecięcia przekątnych równoległoboku ABCD. Wystarczy teraz rozwiązać układ równań złożony z równań tych dwóch prostych, aby otrzymać współrzędne tego punktu przecięcia. 

Otrzymaliśmy punkt o współrzędnych (1; 0). 

Wyznacz wszystkie liczby rzeczywiste x spełniające

a)

Szukamy liczb x takich, że ich odległość od liczby 0 jest mniejsza lub równa 2/3.

        b) Szukamy liczb x takich, że ich odległość od liczby 0 jest mniejsza niż 2,5   c) Szukamy liczb x takich, że ich odległość od liczby 0 jest większa lub równa 3,7.   d) Szukamy liczb x takich, że ich odległość od liczby 0 jest większa niż 1 2/5.
Przez które ćwiartki układu współrzędnych...

a) Skoro współczynnik kierunkowy jest dodatni to znaczy, że funkcja jest rosnąca czyli przechodzi przez ćwiartkę I, II i III lub I, III i IV lub I i III. Skoro współczynnik b jest dodatni to znaczy, że funkcja na pewno nie przechodzi przez IV ćwiartkę. Funkcja przechodzi przez ćwiartki I, II i III.

 

b) Skoro współczynnik kierunkowy jest ujemny to znaczy, że funkcja jest malejąca czyli przechodzi przez ćwiartkę I, II i IV lub II, III i IV lub II i IV. Skoro współczynnik b jest dodatni to znaczy, że funkcja na pewno nie przechodzi przez III ćwiartkę. Funkcja przechodzi przez ćwiartki I, II i IV.

 

c) Skoro współczynnik kierunkowy jest dodatni to znaczy, że funkcja jest rosnąca czyli przechodzi przez ćwiartkę I, II i III lub II, III i IV lub I i III. Skoro współczynnik b jest równy 0 to znaczy, że funkcja przechodzi przez tylko dwie ćwiartki. Funkcja przechodzi przez ćwiartki I i III.

 

d) Skoro współczynnik kierunkowy jest równy 0 to znaczy , że funkcja przechodzi przez ćwiartkę I i II lub III i IV lub żadną. Skoro współczynnik b jest równy 0 to znaczy, że funkcja przechodzi przez ćwiartkę I i II.

Na rysunku obok

 

 

 

Dana jest funkcja...

 

Sprowadźmy do postaci kanonicznej

 

 

A. Funkcja nie ma miejsc zerowych gdyż a > 0  i  q > 0

B. Funkcja rośnie w przedziale   a więc tym bardziej rośnie w przedziale  

Odpowiedź B

Oblicz...

 

 

 

 

Rysunek:

Oblicz za pomocą wzorów skróconego ...

   

 

 

    

Korzystamy ze wzorów:

 

 

 

      

 

 

 

 

 

 

Zauważmy, że powyższe wyrażenie możemy zapisać za pomoca wzoru na sumę sześcianów:

  

W naszym przykładzie:

  

 

Stąd:

 

 

 

Zauważmy, że powyższe wyrażenie możemy zapisać za pomoca wzoru na różnicę sześcianów:

   

W naszym przykładzie:

  

  

Stąd: