Rozwiązywanie nierówności - matura-podstawowa - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Rozwiązywanie nierówności - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Zapisywanie przedziałów liczbowych

Metody rozwiązywania nierówności są bardzo podobne do metod rozwiązywania równań, jedyna różnica to zapis wyniku, czasem potrzebny jest również zapis w postaci przedziału liczbowego.

Mając nierówność musimy doprowadzić ją do postaci podobnej do tej:

niewiadome (tutaj znaki "<", ">", "=", "≥", "≤") liczby

np.: $x < 5 $

Pamiętamy o standardowych warunkach:

- Niewiadome przenosimy na lewą stronę, a liczby na prawą

- Usuwamy niepotrzebne nawiasy oraz niewymierności i rozwiązanie zostawiamy w postaci nieskracalnej


Zasady rysowania osi liczbowej:

- Jeżeli niewiadoma jest "mniejsza" (mniejsza lub równa) to linię kierujemy w lewo, jeżeli większa(większa lub równa) to w prawo

- Jeżeli niewiadoma jest "mniejsza lub równa"/"większa lub równa" to wtedy punkt zaznaczamy i kolorujemy kropkę (czyt. przedział domknięty).

- Jeżeli niewiadoma jest tylko "mniejsza"/"większa" to wtedy zaznaczamy punkt i pozostawiamy pustą kropkę (czyt. przedział otwarty).



Zasady zapisywania przedziałów liczbowych:

- zapisanie niewiadomej (x),

- znaku, który odczytujemy jako "należy do przedziału",

- przedziału dwóch liczb (lub liczby i nieskończoności lub -nieskończoności).

Liczby (i nieskończoność) zapisujemy w nawiasie. Po stronie nieskończoności nawias jest zawsze okrągły, a po stronie liczby:

- okrągły ( ), gdy na osi liczbowej kropka jest pusta (czyt. przedział otwarty), co oznacza, że dana liczba nie należy do przedziału;

- trójkątny < > jeżeli na osi kropka jest zakolorowana (czyt. przedział domknięty), co oznacza, że dana liczba należy do przedziału.



Całość najlepiej pokazać na przykładzie:

Rozwiąż nierówność: $2(x-3)+3(x+5)≥4x$

Najpierw musimy wymnożyć nawiasy

$2x-6+3x+15≥4x$

Teraz niewiadome przenosimy na lewą stronę ze zmianą znaku, a liczby na prawą również zmieniając znak

$2x+3x-4x≥6-15$

Sumujemy nasze x

$x≥-9$

Jeśli rozwiązanie jest w postaci przedziału możemy narysować oś i zaznaczyć na niej liczbę po prawej.

os1

$x∈<-9;∞)$

Pokażmy teraz bardziej zaawansowany przykład:

Znajdź zbiór rozwiązań nierówności ${x+1}/5+{1-4x}/3 < 4-2x $.

Najpierw musimy się pozbyć ułamków, najłatwiej przez pomnożenie przez wspólną wielokrotność. Jak taką znaleźć? Bardzo prosto! Mnożymy mianowniki $5*3=15$

Więc:

${x+1}/5+{1-4x}/3 < 4-2x$ $|×15$

Pamiętamy, że mnożąc całą nierówność mnożymy każdy składnik oddzielony plusem, minusem lub znakiem nierówności:

$15×{x+1}/5+15×{1-4x}/3 < 60-30x $

Skracamy odpowiednio

$3(x+1)+5(1-4x) < 60-30x$

Następnie mnożymy przez nawiasy

$3x+3+5-20x < 60-30x$

Niewiadome na lewą stronę, liczby na prawą

$3x-20x+30x < 60-5-3$

Sumujemy wszystko

$13x < 52$

Dzielimy całe równanie przez liczbę, która stoi przy x

$13x < 52$ $|:13$

$x < 4$

Zapisujemy przedział

$x∈(-∞;4)$

Rysujemy oś:

os2

 

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Znajdź rozwiązania nierówności: $(x+3)^2>(x+5)(x-5)+6$

Zaczynamy od użycia wzorów skróconego mnożenia

$x^2+6x+9 > x^2-25+6$

Teraz niewiadome na lewą, a liczby na prawą

$6x > -25+6-9$

Sumujemy

$6x > -28$

I dzielimy przez liczbę przy x

$6x > -28$ $|:6$

$x > -4 2/3$

Oraz zapisujemy zbiór rozwiązań

$x∈(-4 2/3; ∞)$

Zadanie 2.

Znajdź wspólny zbiór rozwiązań nierówności:
$(x+3)(x-2) > x^2-7$ oraz ${x+5}/2+{x-3}/3 < {x-1}/4 $

Zaczynamy od pierwszej nierówności

$(x+3)(x-2) > x^2-7 $

Musimy najpierw wymnożyć nawiasy czyli każdy z każdym

$x×x-2x+3x-6 > x^2-7$

$x^2-2x+3x-6 > x^2-7$

Niewiadome przenosimy na lewo, liczby na prawą stronę

$-2x+3x > -7+6$

No i sumujemy

$x>-1$

Teraz druga nierówność

${x+5}/2+{x-3}/3 < {x-1}/4 $

Oczywiście przede wszystkim ułamki sio, mnożymy przez 4×3×2=24 lub po prostu przez 12, ponieważ 12 dzieli się przez każdą z tych liczb

${x+5}/2+{x-3}/3 < {x-1}/4$ $|×12$

$6(x+5)+4(x-3) < 3(x-1)$

Wymnażamy nawiasy

$6x+30+4x-12 < 3x-3$

Niewiadome na lewą

$6x+4x-3x < -3+12-30$

Sumowanie

$7x < -21$

Dzielimy przez liczbę stojącą przy x

$7x < -21$ $|:7$

$x < -3$

Teraz musimy znaleźć część wspólną dla

$x < -3$ oraz $x > -1$

Zaznaczmy oba zakresy na osi

os3

Jak widać osie się nie nakładają, więc nie ma punktów wspólnych

$x∈∅$
 

Spis treści

Rozwiązane zadania
a) Wahadło starego zegara ma długość...

a) Obliczmy, ile sekund ma 1 godzina:

 

wykonajmy rysunek pomocniczy:    {premium}



Wahadło w ciągu dwóch sekund pokonuje drogę od lewej do prawej i z powrotem:

Obliczmy długość tej drogi:

 

Obliczmy jaką drogę pokona to wahadło w czasie 3600 s:

 


Odp.: To wahadło w ciągu godziny pokona drogę o długości 360π m. 


b) 

Obliczmy długość drogi, którą pokonuje dziecko podczas 20 pełnych wahnięć:

 


Odp.: Dziecko pokonuje drogę 200/9π m. 

Wyznacz współczynniki a, b i c...

 

Skoro znamy współrzędne wierzchołka to zapiszmy postać kanoniczną

Policzmy od razu ile wynosi współczynnik kierunkowy podstawiając współrzędne punktu P

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Skoro znamy współrzędne wierzchołka to zapiszmy postać kanoniczną

Policzmy od razu ile wynosi współczynnik kierunkowy podstawiając współrzędne punktu P

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Skoro znamy współrzędne wierzchołka to zapiszmy postać kanoniczną

Policzmy od razu ile wynosi współczynnik kierunkowy podstawiając współrzędne punktu P

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Skoro znamy współrzędne wierzchołka to zapiszmy postać kanoniczną

Policzmy od razu ile wynosi współczynnik kierunkowy podstawiając współrzędne punktu P

 

 

 

 

 

 

 

Na ile części rozcinają płaszczyznę...

Przypadek pierwszy - wszystkie proste są równoległe.

Wówczas proste rozcinają płaszczyznę na  części.

Thumb zad4.34astr100{premium}


Przypadek drugi - dwie proste są równoległe.

Wówczas proste rozcinają płaszczyznę na  części.

Thumb zad4.34bstr100


Przypadek trzeci - żadne dwie proste nie są równoległe.

Wówczas proste rozcinają płaszczyznę na  części.

Thumb zad4.34cstr100

Sprawdź, czy wartość wyrażenia ...

 

 

 

    

Dane są dwa niepuste i nierozłączne...

Weźmy następujące zbiory  oraz przestrzeń  

Thumb zad1.46str17

Zbiory są niepuste i nierozłączne, więc w przestrzeni  mogą być położone np. następująco:

Thumb zad1.46estr17


Dowodzimy prawo  

Rysujemy zbiór  a następnie zbiór  

Thumb zad1.46astr17

{premium}


Rysujemy zbiory  i  a następnie zbiór  

Thumb zad1.46bstr17


Otrzymaliśmy  co należało dowieść.


Dowodzimy prawo  

Rysujemy zbiór  a następnie zbiór  

Thumb zad1.46cstr17


Rysujemy zbiory  i  a następnie zbiór  

Thumb zad1.46dstr17


Otrzymaliśmy  co należało dowieść.

 

Wyznacz równanie okręgu o środku ...

 

  

 

 

 {premium}

 

 

   

 

 

 

 

 

 

 

  

 

 

 

  

 

 

 

 

  

Naszkicuj wykres funkcji i określ, czy jest ona monotoniczna

Stwórzmy tabelę wartości dla funkcji c) - przyda się ona także dla podpunktów a) oraz b):

 

                   
 

 

   

 

   

 

   

 

   

 

   

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

   

Funkcja jest rosnąca w całej swojej dziedzinie:

 

 

 

 

 

Funkcja jest malejąca w całej swojej dziedzinie: 

 

 

 

 

 

 

Funkcja nie jest monotoniczna, ale jest monotoniczna przedziałami: 

 

 

 

 

Przypomnijmy sobie definicję wartości bezwględnej. Przypisuje ona liczbie x odległość tej liczby od zera na osi liczbowej - liczbom dodatnim przypisuje tą samą liczbę, a liczbom ujemnym przypisuje liczbę przeciwną. Liczbie zero przypisuje zero. 

  

 

 

 

Funkcja jest rosnąca w całej swojej dziedzinie:

 

 

 

Funkcja jest malejąca w całej swojej dziedzinie:

 

 

 

 

 

Funkcja nie jest monotoniczna w całej swojej dziedzinie, ale jest monotoniczna przedziałami:

  

 

 

Kąt BAC ma miarę 30 ...

{premium}

 

 

 

 

 

 

 

Trójkąt ACE ma kąty o mierze 45, 45 i 90 stopni. Wynika stąd, że ACE jest równoramienny.

 

Skorzystamy z następującej tożsamości trygonometrycznej:

 

 

 

 

 

 

 

          

 

 

Z Pitagorasa:

 

    

  

Z własności trójkąta prostokątnego równoramiennego:

 

 

Wiemy, że:

  

      

 

 

Pole pewnego równoległoboku wynosi...

Pole równoległoboku obliczamy korzystając z wzoru:

 

wiemy, że:    {premium}

 

 


Obliczmy długość tego boku:  

 

 

 

 

 


Odp.: Długość tego boku wynosi 2 √3. 

Sprawdź, czy punkty ...

 

 

 

 

{premium}

 

 

 

Zatem punkty P, Q i R są współliniowe.

 

 

  

  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Nie istnieje taka liczba a, że zachodzi:

 

Punkty P, Q i R nie są współliniowe.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  

 

Nie istnieje takie alfa, zatem punkty P, Q i R nie są współliniowe.