Rozwiązywanie nierówności - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Zapisywanie przedziałów liczbowych

Metody rozwiązywania nierówności są bardzo podobne do metod rozwiązywania równań, jedyna różnica to zapis wyniku, czasem potrzebny jest również zapis w postaci przedziału liczbowego.

Mając nierówność musimy doprowadzić ją do postaci podobnej do tej:

niewiadome (tutaj znaki "<", ">", "=", "≥", "≤") liczby

np.: $$x < 5 $$

Pamiętamy o standardowych warunkach:

- Niewiadome przenosimy na lewą stronę, a liczby na prawą

- Usuwamy niepotrzebne nawiasy oraz niewymierności i rozwiązanie zostawiamy w postaci nieskracalnej


Zasady rysowania osi liczbowej:

- Jeżeli niewiadoma jest "mniejsza" (mniejsza lub równa) to linię kierujemy w lewo, jeżeli większa(większa lub równa) to w prawo

- Jeżeli niewiadoma jest "mniejsza lub równa"/"większa lub równa" to wtedy punkt zaznaczamy i kolorujemy kropkę (czyt. przedział domknięty).

- Jeżeli niewiadoma jest tylko "mniejsza"/"większa" to wtedy zaznaczamy punkt i pozostawiamy pustą kropkę (czyt. przedział otwarty).



Zasady zapisywania przedziałów liczbowych:

- zapisanie niewiadomej (x),

- znaku, który odczytujemy jako "należy do przedziału",

- przedziału dwóch liczb (lub liczby i nieskończoności lub -nieskończoności).

Liczby (i nieskończoność) zapisujemy w nawiasie. Po stronie nieskończoności nawias jest zawsze okrągły, a po stronie liczby:

- okrągły ( ), gdy na osi liczbowej kropka jest pusta (czyt. przedział otwarty), co oznacza, że dana liczba nie należy do przedziału;

- trójkątny < > jeżeli na osi kropka jest zakolorowana (czyt. przedział domknięty), co oznacza, że dana liczba należy do przedziału.



Całość najlepiej pokazać na przykładzie:

Rozwiąż nierówność: $$2(x-3)+3(x+5)≥4x$$

Najpierw musimy wymnożyć nawiasy

$$2x-6+3x+15≥4x$$

Teraz niewiadome przenosimy na lewą stronę ze zmianą znaku, a liczby na prawą również zmieniając znak

$$2x+3x-4x≥6-15$$

Sumujemy nasze x

$$x≥-9$$

Jeśli rozwiązanie jest w postaci przedziału możemy narysować oś i zaznaczyć na niej liczbę po prawej.

os1

$$x∈<-9;∞)$$

Pokażmy teraz bardziej zaawansowany przykład:

Znajdź zbiór rozwiązań nierówności $${x+1}/5+{1-4x}/3 < 4-2x $$.

Najpierw musimy się pozbyć ułamków, najłatwiej przez pomnożenie przez wspólną wielokrotność. Jak taką znaleźć? Bardzo prosto! Mnożymy mianowniki $$5*3=15$$

Więc:

$${x+1}/5+{1-4x}/3 < 4-2x$$ $$|×15$$

Pamiętamy, że mnożąc całą nierówność mnożymy każdy składnik oddzielony plusem, minusem lub znakiem nierówności:

$$15×{x+1}/5+15×{1-4x}/3 < 60-30x $$

Skracamy odpowiednio

$$3(x+1)+5(1-4x) < 60-30x$$

Następnie mnożymy przez nawiasy

$$3x+3+5-20x < 60-30x$$

Niewiadome na lewą stronę, liczby na prawą

$$3x-20x+30x < 60-5-3$$

Sumujemy wszystko

$$13x < 52$$

Dzielimy całe równanie przez liczbę, która stoi przy x

$$13x < 52$$ $$|:13$$

$$x < 4$$

Zapisujemy przedział

$$x∈(-∞;4)$$

Rysujemy oś:

os2

 

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Znajdź rozwiązania nierówności: $$(x+3)^2>(x+5)(x-5)+6$$

Zaczynamy od użycia wzorów skróconego mnożenia

$$x^2+6x+9 > x^2-25+6$$

Teraz niewiadome na lewą, a liczby na prawą

$$6x > -25+6-9$$

Sumujemy

$$6x > -28$$

I dzielimy przez liczbę przy x

$$6x > -28$$ $$|:6$$

$$x > -4 2/3$$

Oraz zapisujemy zbiór rozwiązań

$$x∈(-4 2/3; ∞)$$

Zadanie 2.

Znajdź wspólny zbiór rozwiązań nierówności:
$$(x+3)(x-2) > x^2-7$$ oraz $${x+5}/2+{x-3}/3 < {x-1}/4 $$

Zaczynamy od pierwszej nierówności

$$(x+3)(x-2) > x^2-7 $$

Musimy najpierw wymnożyć nawiasy czyli każdy z każdym

$$x×x-2x+3x-6 > x^2-7$$

$$x^2-2x+3x-6 > x^2-7$$

Niewiadome przenosimy na lewo, liczby na prawą stronę

$$-2x+3x > -7+6$$

No i sumujemy

$$x>-1$$

Teraz druga nierówność

$${x+5}/2+{x-3}/3 < {x-1}/4 $$

Oczywiście przede wszystkim ułamki sio, mnożymy przez 4×3×2=24 lub po prostu przez 12, ponieważ 12 dzieli się przez każdą z tych liczb

$${x+5}/2+{x-3}/3 < {x-1}/4$$ $$|×12$$

$$6(x+5)+4(x-3) < 3(x-1)$$

Wymnażamy nawiasy

$$6x+30+4x-12 < 3x-3$$

Niewiadome na lewą

$$6x+4x-3x < -3+12-30$$

Sumowanie

$$7x < -21$$

Dzielimy przez liczbę stojącą przy x

$$7x < -21$$ $$|:7$$

$$x < -3$$

Teraz musimy znaleźć część wspólną dla

$$x < -3$$ oraz $$x > -1$$

Zaznaczmy oba zakresy na osi

os3

Jak widać osie się nie nakładają, więc nie ma punktów wspólnych

$$x∈∅$$
 

Spis treści

Rozwiązane zadania
Dany jest trójkąt prostokątny ...

 

 

   

 {premium}

 

 

  

 

 

 

 

 

  

 

  

 

Wyznacz liczbę, której przybliżeniem jest

Błąd przybliżenia to różnica między daną liczbą a jej przybliżeniem. 

Szukaną liczbę oznaczymy jako x. 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Na rysunku jest przedstawiony wykres...

Funkcja nie przyjmuje wartości największej bo widzimy, że:

 

Lecz 4 nie należy do dziedziny funkcji a więc im większy argument mniejszy od 4 weźmiemy tym większą otrzymamy wartość.

 

Funkcja przyjmuje wartość najmniejszą dla x = 1, wartość ta wynosi y = -2.

 

A. Zdanie fałszywe.

 

B. Zdanie fałszywe.

 

C. Zdanie prawdziwe.

 

D. Zdanie fałszywe. 

 

Określ dziedzinę funkcji f. Naszkicuj...

 

Wyznaczamy dziedzinę funkcji f:

 

 

Nierówność jest zawsze spełniona. Zatem:

 


Aby narysować wykres funkcji f, zauważmy, że wzór tej funkcji możemy przekształcić następująco:{premium}

 

Z definicji wartości bezwzględnej:

 

W takim razie w przedziale (-∞, 5) rysujemy wykres funkcji y=-x+5, zaś w przedziale <5, +∞) - wykres funkcji y=x-5.

Rysujemy wykres funkcji f:


Odczytujemy z wykresu zbiór wartości funkcji f:

 



 

Wyznaczamy dziedzinę funkcji f:

 

 

 

 


Aby narysować wykres funkcji f, zauważmy, że wzór tej funkcji możemy przekształcić następująco:

 

Z definicji wartości bezwzględnej:

 

Stąd:

 

Mamy więc:

 

Rysujemy wykres funkcji f:


Odczytujemy z wykresu zbiór wartości funkcji f:

 



 

Wyznaczamy dziedzinę funkcji f:

 

 

 

 


Aby narysować wykres funkcji f, zauważmy, że wzór tej funkcji możemy przekształcić następująco:

 

Rysujemy wykres funkcji f:


Odczytujemy z wykresu zbiór wartości funkcji f:

 



 

Wyznaczamy dziedzinę funkcji f:

 

 

 

 

 


Aby narysować wykres funkcji f, zauważmy, że wzór tej funkcji możemy przekształcić następująco:

 

Z definicji wartości bezwzględnej:

 

Stąd:

 

Mamy więc:

 

Rysujemy wykres funkcji f:


Odczytujemy z wykresu zbiór wartości funkcji f:

 

Wyznacz biory wartości funkcji: a) f(x)=x²

a)

Dziedzinę określa pięć argumentów. Znajdujemy wartości przyporządkowane podanym argumentom podstawiając za x konkretne argumenty i obliczając w ten sposób f(x).

b)

Dziedzinę funkcji określa zbiór argumentów większych i równych -2. Znajdujemy wartości przyporządkowane kilku wybranym argumentom należącym do dziedziny.

Zauważamy, że podstawiając kolejne argumenty, przyporządkowane im wartości są coraz większe. Gdybyśmy tak podstawiali kolejne argumenty: 2,3,4,5.. , dostawalibyśmy coraz większe wartości w nieskończoność. Zbiór wartości zaczyna się więc od liczby 7 (wartość dla najmniejszego argumentu dziedziny funkcji) i jest nieograniczony z prawej strony. 

Funkcja f każdej naturalnej liczbie dwucyfrowej...

a) Zacznijmy od wyznaczenia dziedziny funkcji f. Są to wszystkie liczby naturalne dwucyfrowe, czyli:{premium}

 

Suma dwóch liczb może być równa 3, gdy tymi liczbami są 0 i 3 lub 1 i 2. Z liczb 0 i 3 możemy ułożyć liczbę 30, a z liczb 1 i 2 - liczby: 12 i 21.

Zatem funkcja f przyjmuje wartość 3 dla argumentów: 12, 21, 30.


b) Najmniejszą wartością, jaką przyjmuje funkcja f jest 1 (dla argumentu 10). Największą wartością, jaką przyjmuje funkcja f jest 18 (dla argumentu 99).

Zapisz warunek, który spełniają liczby należące do danego przedziału

Wskaż przedział, do którego nie należy

Do przedziału A należy liczba 9. Do przedziału C należy liczba 102. Do przedziału D należy liczba 3. Te liczby są podzielne przez 3. Należy więc zaznaczyć odpowiedź B. 

Przekształć wyrażenie, korzystając z wzoru na

a)

b)

c)

d)

 

 

Właściciele kotów zastanawiają się...

 

 

 

A więc wzór funkcji to:

 

 

 

 

 

 

 

 

Odpowiedź: Koty 7-, 11- i 15- letnie mają w przeliczeniu na lata ludzkie odpowiednio 44, 60 i 76 lat.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Odpowiedź: Lata kotów, których wiek wyrażony w latach ludzkich wynosi 45, 50 i 90 lat wynoszą odpowiednio 7 lat i 3 miesiące, 8 lat i 6 miesięcy oraz 18 lat i 6 miesięcy.