Równanie prostej przechodzącej przez dwa punkty - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Wyznacz wzór kierunkowy prostej przechodzącej przez A(3;2) , B(0;5)

Korzystamy ze wzoru:
$$(x_2-x_1)(y-y_1)=(y_2-y_1)(x-x_1)$$

Podstawiamy punkty:
$$(0-3)(y-2)=(5-2)(x-3)$$

Następnie obliczamy różnice:
$$-3(y-2)=3(x-3)$$

Wymnażamy nawiasy:
$$-3y+6=3x-9$$

Mamy wyznaczyć wzór kierunkowy, zatem po lewej ma zostać samo $$y$$:
$$-3y=3x-9-6$$ $$|:$$ $$(-3)$$
$$y=-x+3+2$$
$$y=-x+5$$
 

Zadanie 2.

Wyznacz wzór ogólny prostej przechodzącej przez punkty A(2,3) ,B(-2,0).

Korzystamy ze wzoru:
$$(x_2-x_1)(y-y_1)=(y_2-y_1)(x-x_1)$$

I podstawiamy:
$$(-2-2)(y-3)=(0-3)(x-2)$$
$$-4(y-3)=-3(x-2)$$

I wymnażamy
$$-4y+12=-3x+6 $$

Z racji, że chcemy dostać wzór ogólny, po prawej stronie musi pozostać tylko 0.
$$-4y+12+3x-6=0$$
$$3x-4y+6=0$$

Zadanie 3.

Wyznacz wzór kierunkowy prostej przechodzącej przez punkty A(3;8), B(-2;-2). Sprawdź czy punkt C (0;3) należy do tej prostej.

Standardowo zaczynamy od wzoru i podstawiania:
$$(x_2-x_1)(y-y_1)=(y_2-y_1)(x-x_1)$$
$$(-2-3)(y-8)=(-2-8)(x-3)$$
$$-5(y-8)=-10(x-3)$$
$$-5y+40=-10x+30$$
$$-5y=-10x-10$$

Potrzebujemy kierunkowej zatem musi wyliczyć $$y$$:
$$-5y=-10x-10$$ $$|: (-5)$$
$$y=2x+2$$

Sprawdzamy teraz czy punkt C(0;3) należy do prostej podstawiając pod x,y odpowiednie współrzędne:
$$y=2x+2$$
$$3=2×0+2$$
$$3=2$$

Jest to równanie sprzeczne, zatem punkt C nie należy do naszej prostej.

Spis treści

Rozwiązane zadania
W trójkącie prostokątnym ABC kąt C ...

`"a)"\ |AC|=2, \ |AB|=3` 

`\ \ \ sin/_A=|BC|/|AB|` 

Korzystając z tw. Pitagorasa obliczmy długość boku BC.

`|BC|^2=3^2-2^2` 

`|BC|^2=9-4=5` 

`|BC|=sqrt5~~2,24` 

 

`\ \ \ sin/_A~~(2,24)/3~~0,7467`  

`\ \ \ \ \ /_A~~48^"o"` 

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))` 

`"b)"\ |BC|=5,\ \ |AB|=7` 

`\ \ \ \ sin/_A=|BC|/|AB|` 

`\ \ \ sin/_A=5/7~~0,7143` 

`\ \ \ \ \ /_A~~46^"o"` 

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))` 

`"c)"\ |AC|=9,\ \ |BC|=4` 

Obliczmy z tw. Pitagorasa długość boku AB.

`|AB|^2=9^2+4^2` 

`|AB|^2=81+16` 

`|AB|^2=97` 

`|AB|=sqrt97~~9,8489` 

`\ \ \ \ sin/_A=4/(9,8489)~~0,4061` 

`\ \ \ \ \ /_A~~24^"o"` 

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))` 

`"d)"\ |AC|=6,\ \ |AB|=10` 

Obliczmy długość boku BC korzystając z tw. Pitagorasa.

`|BC|^2=10^2-6^2` 

`|BC|^2=100-36=64` 

`|BC|=8` 

`\ \ \ \ sin/_A=8/10=4/5=0,8` 

`\ \ \ \ /_A~~53^"o"` 

Ile jest liczb naturalnych mniejszych od 201 podzielnych przez

`a)`

0, 5 - 2 liczby

10, 15 - 2 liczby

20, 25 - 2 liczby

.

.

.

180, 185 - 2 liczby

190, 195 - 2 liczby

200 - 1 liczba

 

W każdej z 20 dziesiątek (liczby od 0 do 199 składają się z 20 dziesiątek) mamy 2 liczby podzielne przez 5. Liczba 200 także jest podzielna przez 5 i mniejsza od 200, razem mamy więc:

`2*20+1=41\ liczb`

 

 

`b)`

0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27 - 10 liczb

30, 33, 36, 39, 42, 45, 48, 51, 54, 57 - 10 liczb

.

.

.

150, 153, 156, 159, 162, 165, 168, 171, 174, 177 - 10 liczb

180, 183, 186, 189, 192, 195, 198, 201 - 7 liczb 

 

W każdej trzydziestce liczb jest 10 liczb podzielnych przez 3. Od 0 do 179 mamy 6 takich trzydziestek (0-29, 30-59, 60-89...)

Potem jest jeszcze 7 liczb podzielnych przez 3 większych od 179 i mniejszych od 201

`6*10+7=67\ liczb`

 

 

`c)`

`0,\ 11,\ 22,\ 33,\ 44,\ 55,\ 66,\ 77,\ 88,\ 99,\ 110,`

`121,\ 132,\ 143,\ 154,\ 165,\ 176,\ 187,\ 198`

`19\ liczb`

 

 

`d)`

0 ,7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63 - 10 liczb

70, 77, ..., 133 - 10 liczb

140, 147, ..., 203 - 10 liczb

Ale 203 jest za duże, więc mamy: 

`3*10-1=29\ liczb`

 

`e)`

`0,\ 39,\ 78,\ 117,\ 156,\ 195`

`6 \ liczb`

 

 

To zadanie można rozwiązać także wykorzystując dzielenie.

0 także jest liczbą naturalną, więc niezależnie od wyniku, zaokrąglamy go w górę. 

Gdyby 0 nie było liczbą naturalną, to wynik zaokrąglalibyśmy w dół.

 

`a)\ 201:5=40,2~~41\ liczb`

`b)\ 201:3=67\ liczb`

`c)\ 201:11=18,2727...~~19\ liczb`

`d)\ 201:7=28,7142...~~29\ liczb`

`e)\ 201:39=5,15384...~~6\ liczb`

Trzy okręgi o środkach w punktach ...

Okrąg o środku w punkcie A ma promień długości 1.

Okrąg o środku w punkcie B ma promień długości 2.

Okrag o środku w punkcie C ma promień długości 3.

Aby sprawdzić, czy otrzymany trójkąt ABC jest prostokątny korzystamy z tw. odwrotnego do twierdzenia Pitagorasa.

Sprawdzamy, czy suma kwadratów długości dwóch krótszych boków jest równa kwadratowi długości boku najdłuższego.

Długości boków w trójkącie ABC to:

`|AB|=3` 

`|BC|=5` 

`|AC|=4` 

Obliczamy sumę kwadratów długości dwóch krótszych boków:

`|AB|^2+|AC|^2=3^2+4^2=9+16=25` 

Obliczamy kwadrat długości boku najdłuższego:

`|BC|^2=5^2=25` 

Suma kwadratów długości dwóch krótszych boków jest równa kwadratowi długości najdłuższego boku, więc trójkąt ABC jest trójkątem prostokątnym.

Wyznacz miarę kąta ostrego ( z dokładnością ...

`"a)"\ P=(6,2),\ \ Q=(3,-1)` 

Kąt jaki tworzy prosta PQ z osią x ma taką samą miarę jak kąt RQP (są to kąty odpowiadające).

`|PR|=3` 

`|QR|=3` 

Mamy wyznaczyć miarę kąta α. Najprościej będzie obliczyć tangens kąta α:

`"tg"\ alpha=|PR|/|QR|=3/3=1` 

`alpha=45^"o"` 

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))` 

`"b)"\ P=(-1,1),\ \ Q=(2,2)`   

 

Kąt jaki tworzy prosta PQ z osią x ma taką samą miarę jak kąt RPQ (są to kąty odpowiadające).

`|PR|=3` 

`|QR|=1` 

Mamy wyznaczyć miarę kąta α. Najprościej będzie obliczyć tangens kąta α:

`"tg"\ alpha=|QR|/|PR|=1/3~~0,3333` 

`alpha~~18^"o"`  

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))` 

`"c)"\ P=(3,-2),\ \ Q=(6,5)` 

Kąt jaki tworzy prosta PQ z osią x ma taką samą miarę jak kąt RPQ (są to kąty odpowiadające).

`|PR|=3` 

`|QR|=7` 

Mamy wyznaczyć miarę kąta α. Najprościej będzie obliczyć tangens kąta α:

`"tg"\ alpha=|QR|/|PR|=7/3~~2,3333` 

`alpha~~67^"o"`  

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))` 

`"d)"\ P=(-2,-3),\ Q=(2,-1)` 

Kąt jaki tworzy prosta PQ z osią x ma taką samą miarę jak kąt RPQ (są to kąty odpowiadające).

`|PR|=4` 

`|QR|=2` 

Mamy wyznaczyć miarę kąta α. Najprościej będzie obliczyć tangens kąta α:

`"tg"\ alpha=|QR|/|PR|=2/4=1/2`  

`alpha~~27^"o"`  

Wykonaj działania. Podaj konieczne założenia:

`a) \ x ne 0` 

`x^(-2) * (2x^-1 + x^2) = x^(-2) * 2x^(-1) + x^(-2) * x^2 = 2x^(-2-1) + x^(-2+2) = 2x^(-3) + x^0 = 2x^(-3) + 1` 

 

`b) \ x ne 0` 

`(x^(-2) - x^(-1))(2x+x^2) = x^(-2) * 2x + x^(-2) * x^2 - x^(-1) * 2x - x^(-1) * x^2 = 2x^(-2+1) + x^(-2+2) -2 x^(-1+1) -x^(-1+2) = 2x^(-1) + x^0 - 2x^0 - x^1 =` 

`= 2x^(-1) + 1 - 2 - x = -x -1 + 2x^(-1)` 

 

`c) \ y ne 0` 

`(y^(-3) + y^(-2) + y^(-1))(y^2-y^3) = y^(-3) * y^2 + y^(-3) * (-y^3) + y^(-2) * y^2 + y^(-2) * (-y^3) + y^(-1) * y^2 + y^(-1) * (-y^3)=` 

`=y^(-3+2) - y^(-3+3) + y^(-2+2) - y^(-2+3) + y^(-1+2) - y^(-1+3) = y^(-1) - y^0 + y^0 - y + y - y^2 = y^(-1) - y^2` 

 

`d) \ y ne 0` 

`(3y^(-1) - y)^2 = (3y^(-1))^2 -2*3y^(-1)*y + y^2  = 9y^(-1*2) -6y^(-1+1) + y^2 = 9 y^(-2) -6y^0 + y^2 = y^2 - 6 + 9 y^(-2)` 

 

`e) \ y ne 0` 

`(y^2 + y^(-2))^2 = (y^2)^2 + 2*y^2 * y^(-2) + (y^(-2))^2 = y^(2*2) + 2y^(2-2) + y^(-2*2) = y^4 + 2y^0 + y^(-4) = y^4 + 2 + y^(-4)` 

 

`f) \ x ne 0` 

`(x^(-1) + x)(x^(-1) -x)(x^(-2) + x^2) = ((x^(-1)^2 - x^2)(x^(-2) + x^2) = (x^(-1*2) - x^2)(x^(-2) + x^2) = (x^(-2)-x^2)(x^(-2) + x^2)= (x^(-2))^2 -(x^2)^2=` 

`=x^(-2*2) - x^(2*2) = x^(-4) - x^4` 

Wykonaj działanie.

`"a)"\ log_(3)54+log_(3)1,5=log_(3)(54*1,5)=log_(3)81=4,\ \ \ \ "ponieważ"\ \ 3^4=81`  

`"b)"\ log_(2)5+log_(2)25,6=log_(2)(5*25,6)=log_(2)128=7,\ \ \ \ "ponieważ"\ \ 2^7=128` 

`"c)"\ log_(2)144-log_(2)9=log_(2)(144/9)=log_(2)16=4,\ \ \ \ "ponieważ"\ \ 2^4=16` 

`"d)"\ log_(3)33-log_(3)11=log_(3)(33/11)=log_(3)3=1,\ \ \ \ "ponieważ"\ \ 3^1=3`  

W równoległoboku ABCD ...

`O-"punkt przecięcia przekątnych równoległoboku ABCD"` 

`vec(AB)+vec(BC)=vec(AC)` 

`vec(AD)+vec(DC)=vec(AC)` 

`vec(AO)+vec(OB)=vec(AB)` 

`vec(AO)+vec(OC)=vec(AC)` 

`vec(AC)+vec(CB)=vec(AB)` 

Oblicz odległość między liczbami:

`a) \ |2 -(-12)| = |2 + 12| = |14| = 14` 

 

`b) \ |-5 -24| = |-29| = 29` 

 

`c) \ |-4,3 - 2,8| = |-7,1| = 7,1` 

 

`d) \ |-1+sqrt2 - sqrt2| = |-1| = 1` 

 

`e) \ | 4 - 1,6| = | 2,4| = 2,4` 

 

`f) \ |-7 -(-12)| = |-7 + 12|= |5|= 5` 

Dane są ułamki

Zauważmy, że we wszystkich podanych odpowiedziach licznik ułamka jest równy 2. Oznaczmy szukaną liczbę jako `2/a` i zauważmy, że:

`4/15:2/a=strike4^2/15*a/strike2^1=(2a)/15` 

`10/21:2/a=strike10^5/21*a/strike2^1=(5a)/21` 

 

Liczba a musi więc skrócić się z liczbą 15 oraz z liczbą 21. Aby ułamek `2/a` był jak największy, mianownik a musi być jak najmniejszy. Szukamy więc najmniejszej liczby, która skróci się z 15 i 21, czyli NWW(15, 21). 

Aby obliczyć NWW dwóch liczb, należy rozłożyć te liczby na czynniki pierwsze, a następnie zaznaczyć wspólne czynniki i wziąć iloczyn jednej z liczb razy niezaznaczone czynniki drugiej liczby. 

     

`NWW(15,\ 21)=15*7=105` 

 

 

Prawidłowa jest odpowiedź C. 

Oblicz odległość d_1

`d_1=|0,274-1,336|=|-1,062|=1,062`

 

Przybliżamy podane liczby do pierwszego miejsca po przecinku:

`0,274~~0,3`

`1,336~~1,3`

 

`d_2=|0,3-1,3|=|-1|=1`

 

 

`"błąd bezwględny:"\ \ \ |1,062-1|=|0,062|=0,062`

`"błąd względny:"\ \ \ |1,062-1|/|1,062|=(0,062)/(1,062)=0,0583804...=5,83804...%~~5,8%`