Równanie prostej przechodzącej przez dwa punkty - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Wyznacz wzór kierunkowy prostej przechodzącej przez A(3;2) , B(0;5)

Korzystamy ze wzoru:
$$(x_2-x_1)(y-y_1)=(y_2-y_1)(x-x_1)$$

Podstawiamy punkty:
$$(0-3)(y-2)=(5-2)(x-3)$$

Następnie obliczamy różnice:
$$-3(y-2)=3(x-3)$$

Wymnażamy nawiasy:
$$-3y+6=3x-9$$

Mamy wyznaczyć wzór kierunkowy, zatem po lewej ma zostać samo $$y$$:
$$-3y=3x-9-6$$ $$|:$$ $$(-3)$$
$$y=-x+3+2$$
$$y=-x+5$$
 

Zadanie 2.

Wyznacz wzór ogólny prostej przechodzącej przez punkty A(2,3) ,B(-2,0).

Korzystamy ze wzoru:
$$(x_2-x_1)(y-y_1)=(y_2-y_1)(x-x_1)$$

I podstawiamy:
$$(-2-2)(y-3)=(0-3)(x-2)$$
$$-4(y-3)=-3(x-2)$$

I wymnażamy
$$-4y+12=-3x+6 $$

Z racji, że chcemy dostać wzór ogólny, po prawej stronie musi pozostać tylko 0.
$$-4y+12+3x-6=0$$
$$3x-4y+6=0$$

Zadanie 3.

Wyznacz wzór kierunkowy prostej przechodzącej przez punkty A(3;8), B(-2;-2). Sprawdź czy punkt C (0;3) należy do tej prostej.

Standardowo zaczynamy od wzoru i podstawiania:
$$(x_2-x_1)(y-y_1)=(y_2-y_1)(x-x_1)$$
$$(-2-3)(y-8)=(-2-8)(x-3)$$
$$-5(y-8)=-10(x-3)$$
$$-5y+40=-10x+30$$
$$-5y=-10x-10$$

Potrzebujemy kierunkowej zatem musi wyliczyć $$y$$:
$$-5y=-10x-10$$ $$|: (-5)$$
$$y=2x+2$$

Sprawdzamy teraz czy punkt C(0;3) należy do prostej podstawiając pod x,y odpowiednie współrzędne:
$$y=2x+2$$
$$3=2×0+2$$
$$3=2$$

Jest to równanie sprzeczne, zatem punkt C nie należy do naszej prostej.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Rozwiąż nierówność

W każdym przykładzie najpierw uprościmy wyrażenie pod wartością bezwzględną, a dopiero potem rozwiążemy nierówność. 

 

 

Szukamy takich liczb x, których {premium}odległość od liczby -2 jest nie większa niż 4. 

Możemy więc "pójść" nie więcej niż 4 jednostki w lewo od liczby -2 (-2-4=-6) oraz nie więcej niż 4 jednostki w prawo od liczby -2 (-2+4=2). 

 

 

 

 

 

 

Szukamy takich liczb x, których odległość od liczby 3 jest nie mniejsza niż 2. 

Możemy więc "pójść" nie mniej niż 2 jednostki w lewo od liczby 3 (3-2=1) lub o nie mniej niż 2 jednostki w prawo od liczby 3 (3+2=5). 

 

 

 

 

 

Szukamy takich liczb x, których odległość od liczby -¼ jest większa niż 1. 

Możemy więc "pójść" o więcej niż 1 jednostkę w lewo od liczby -¼ (-¼-1=-1¼) lub o więcej niż 1 jednostkę w prawo od liczby -¼ (-¼+1=¾)

 

 

 

 

Szukamy takich liczb x, których odległość od liczby 6 jest mniejsza niż 3.
Możemy więc "pójść" o mniej niż 3 jednostki w lewo od liczby 6 (6-3=3) i o mniej niż 3 jednostki w prawo od liczby 6 (6+3=9).

 

 

 

 

 

Szukamy takich liczb x, których odległość od liczby -4 jest nie mniejsza niż 2. 

Możemy więc "pójść" o nie mniej niż 2 jednostki w lewo od liczby -4 (-4-2=-6) lub o nie mniej niż 2 jednostki w prawo od liczby -4 (-4+2=-2). 

 

 

 

 

 

Szukamy takich liczb x, których odległość od liczby -3/5 jest mniejsza niż 1/5
Możemy więc pójść o mniej niż 1/5 jednostki w lewo od liczby -3/5 (-3/5-1/5=-4/5) i o mniej niż 1/5 jednostki w prawo od liczby -3/5 (-3/5+1/5=-2/5). 

 

 

 

Wiemy, że wartość bezwzględna przyjmuje wyłącznie wartości nieujemne. Podana nierówność będzie prawdziwa tylko wtedy, gdy wartość bezwzględna przyjmie wartość zero, czyli gdy wyrażenie pod wartością bezwzględną wyzeruje się.

 

 

 

Wiemy, że wartość bezwzględna przyjmuje wyłącznie wartości nieujemne. Podana nierówność będzie prawdziwa tylko wtedy, gdy wartość bezwzględna będzie niezerowa. 

 

 

 

Wiemy, że wartość bezwzględna przyjmuje wyłącznie wartości nieujemne. Podana nierówność będzie więc prawdziwa zawsze. 

 

Wskaż współczynnik kierunkowy prostej...

Przekształcamy równanie prostej do postaci  

 

 

 

Współczynnik kierunkowy prostej jest równy  czyli  

Prawidłowa odpowiedź to         

Wypisz elementy podanych zbiorów

 

 

 

 

Szukamy elementów, które należą jednocześnie do zbiorów A, B, C:

 

Szukamy elementów, które należą do zbioru A lub do zbioru B i jednocześnie należą do zbioru C:

 

Szukamy elementów, które należą do zbioru A i nie należą do zbioru B, jednocześnie należąc do zbioru C;

 

Szukamy elementów, które należą jednocześnie do zbiorów A i B, ale nie należą do zbioru C:

 

Szukamy elementów, które należą do jednego ze zbiorów A lub B, ale nie należą do zbioru C:

 

Szukamy elementów, które należą do zbioru A i nie należą do zbioru B, a następnie dopisujemy do nich elementy zbioru C:

 

Szukamy elementów, które należą jednocześnie do zbiorów A i B, a anastępnie dopisujemy do nich elementy zbioru C:

 

Szukamy elementów, które należą do zbioru A i nie należą do zbioru B, a następnie z usykanego zbioru zabieramy elementy zbioru C:

Znajdź punkty przecięcia paraboli z osiami układu współrzędnych

Punkt przecięcia paraboli z osią Y ma współrzędne (0, y)=(0, f(0))  - druga współrzędna to wartość funkcji dla argumentu 0

Punkt przecięcia paraboli z osią X ma współrzędne (x, 0) - są to miejsca zerowe paraboli

Oznaczenia:

Punkt przecięcia paraboli z osią Y nazywamy A

Punkty przecięcia paraboli z osią X nazywamy A, B. 

 

 

 

  

 

 

 

 

  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 `-4*(-3)=12\ \ \ =>\ \ \ ul(ul(A=(0,\ 12)))` 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 `-3*5=-15\ \ \ =>\ \ \ ul(ul(A=(0,\ -15)))` 

 

 

 

 

 

  

Która z liczb x, y ma większą wartość bezwzględną

`|x|=|7|=7`

Większą wartość bezwzględną ma liczba x. 

 

 

`|x|=|-10|=10`

`|y|=|-12|=12`

Większą wartość bezwzględną ma liczba y. 

 

 

`|y|=|0|=0`

Większą wartość bezwzględną ma liczba x. 

Załóżmy, że U={1, 2, 3, 4...

Jeżeli  jest dowolnym zbiorem w przestrzeni  to dopełnieniem zbioru  

w przestrzeni ozn.  nazywamy zbiór tych elementów przestrzeni  które nie należą do zbioru  


 Będzie nam łatwiej, jeśli zapiszemy najpierw, jak wyglądają zbiory  i  w przestrzeni  

 

 

 

 

Wówczas mamy:

 

 

 

 

 

 {premium}


 Wyznaczmy zbiory  i  

 

 

Wówczas mamy:

 

 

 

 

 

 


 Zapiszmy najpierw, jak wyglądają zbiory  i  w przestrzeni  

 

 

 

 

Wówczas mamy:

 

 

 

 

 

 

Rozwiąż równanie

 

 

 

 

Drugie równanie jest sprzeczne - wartość bezwzględna nie może przyjmować wartości ujemnych. Rozwiązujemy pierwsze równanie.

 

 

 

 

  

 

 

 

 

 

 

Wyrażenie √7+π jest sumą dwóch liczb dodatnich, więc jest dodatnie. Wyrażenie √7-π jest równe około 2,65-3,14, a więc jest ujemne. Stąd drugie równanie jest sprzeczne - wartość bezwzględna nie może przyjmować wartości ujemnych. Rozwiązujemy pierwsze równanie.

 

 

 

 

    

 

 

 

 

   

     

     

 

 

  

 

 

 

 

    

   

     

Wyrażenie 3√2-2√3 jest równe około 3∙1,41-2∙1,73=4,23-3,46, a więc jest dodatnie. Wyrażenie 3√2+2√3 jest sumą dwóch liczb dodatnich, a więc także jest dodatnie. Nie odrzucamy więc żadnego równania. 

   

 

 

 

                     

              

 

 

  

 

 

 

 

 

 

  

  

         

  

  

              

     

 

 

  

 

 

 

 

 

 

Pierwsze równanie jest sprzeczne - wartość bezwzględna nie może przyjmować wartości ujemnych. Rozwiązujemy drugie równanie.

 

   

 

O funkcji f wiadomo, że jest...

Aby otrzymać wykres funkcji   należy przekształcić wykres funkcji  przez symetrię

względem osi  

Wobec tego funkcja  jest malejąca w przedziale  i rosnąca w przedziale      

Pewna restauracja po pierwszym

Oznaczmy początkową wysokość cen w tej restauracji jako x. Po obniżce o 20% te ceny wynosiły:

 

 

Po podwyżce o 25% te ceny wynosiły:

 

 

Po podwyżce o 10% te ceny wynosiły:

 

 

Obliczamy, o ile wzrosły ceny w tej restauracji po trzech latach, czyli jakim procentem początkowej ceny jest różnica cen:

 

 

Która z podanych liczb jest najmniejsza?

Jeśli liczbę -1 podniesiemy do potęgi nieparzystej, to otrzymamy -1. 

 

Jeśli liczbę -1 podniesiemy do potęgi parzystej, to otrzymamy 1. 

 

Jedynka podniesiona do każdej potęgi daje 1. 

 

 

 

Należy zaznaczyć odpowiedź A.