Zgoda na przetwarzanie danych osobowych

25 maja 2018 roku zacznie obowiązywać Rozporządzenie Parlamentu Europejskiego i Rady (UE) 2016/679 z dnia 27 kwietnia 2016 r. znane jako RODO.

Dlatego aby dalej móc dostarczać Ci materiały odpowiednie do Twojego etapu edukacji, potrzebujemy zgody na lepsze dopasowanie treści do Twojego zachowania. Dzięki temu możemy zapamiętywać jakie materiały są Ci potrzebne. Dbamy o Twoją prywatność, więc nie zwiększamy zakresu naszych uprawnień. Twoje dane są u nas bezpieczne, a zgodę na ich zbieranie możesz wycofać na podstronie polityka prywatności.

Klikając "Przejdź do Odrabiamy", zgadzasz się na wskazane powyżej działania. W przeciwnym wypadku, nie jesteśmy w stanie zrealizować usługi kompleksowo i prosimy o opuszczenie strony.

Polityka prywatności

Drogi Użytkowniku w każdej chwili masz prawo cofnąć zgodę na przetwarzanie Twoich danych osobowych. Cofnięcie zgody nie będzie wpływać na zgodność z prawem przetwarzania, którego dokonano na podstawie wyrażonej przez Ciebie zgody przed jej wycofaniem. Po cofnięciu zgody wszystkie twoje dane zostaną usunięte z serwisu. Udzielenie zgody możesz modyfikować w zakładce 'Informacja o danych osobowych'

Równanie prostej przechodzącej przez dwa punkty - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Wyznacz wzór kierunkowy prostej przechodzącej przez A(3;2) , B(0;5)

Korzystamy ze wzoru:
$$(x_2-x_1)(y-y_1)=(y_2-y_1)(x-x_1)$$

Podstawiamy punkty:
$$(0-3)(y-2)=(5-2)(x-3)$$

Następnie obliczamy różnice:
$$-3(y-2)=3(x-3)$$

Wymnażamy nawiasy:
$$-3y+6=3x-9$$

Mamy wyznaczyć wzór kierunkowy, zatem po lewej ma zostać samo $$y$$:
$$-3y=3x-9-6$$ $$|:$$ $$(-3)$$
$$y=-x+3+2$$
$$y=-x+5$$
 

Zadanie 2.

Wyznacz wzór ogólny prostej przechodzącej przez punkty A(2,3) ,B(-2,0).

Korzystamy ze wzoru:
$$(x_2-x_1)(y-y_1)=(y_2-y_1)(x-x_1)$$

I podstawiamy:
$$(-2-2)(y-3)=(0-3)(x-2)$$
$$-4(y-3)=-3(x-2)$$

I wymnażamy
$$-4y+12=-3x+6 $$

Z racji, że chcemy dostać wzór ogólny, po prawej stronie musi pozostać tylko 0.
$$-4y+12+3x-6=0$$
$$3x-4y+6=0$$

Zadanie 3.

Wyznacz wzór kierunkowy prostej przechodzącej przez punkty A(3;8), B(-2;-2). Sprawdź czy punkt C (0;3) należy do tej prostej.

Standardowo zaczynamy od wzoru i podstawiania:
$$(x_2-x_1)(y-y_1)=(y_2-y_1)(x-x_1)$$
$$(-2-3)(y-8)=(-2-8)(x-3)$$
$$-5(y-8)=-10(x-3)$$
$$-5y+40=-10x+30$$
$$-5y=-10x-10$$

Potrzebujemy kierunkowej zatem musi wyliczyć $$y$$:
$$-5y=-10x-10$$ $$|: (-5)$$
$$y=2x+2$$

Sprawdzamy teraz czy punkt C(0;3) należy do prostej podstawiając pod x,y odpowiednie współrzędne:
$$y=2x+2$$
$$3=2×0+2$$
$$3=2$$

Jest to równanie sprzeczne, zatem punkt C nie należy do naszej prostej.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Wśród trójkątów przedstawionych na rysunku

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa dla kolejnych trójkątów, obliczmy długości odcinków. 

`ul(ul("twierdzenie Pitagorasa dla trójkąta" \ OA_1A_2))`

`1^2+1^2=|A_2O|^2`

`1+1=|A_2O|^2`

`|A_2O|^2=2`

`|A_2O|=sqrt2`

 

`ul(ul("twierdzenie Pitagorasa dla trójkąta"\ OA_2A_3`

`sqrt2^2+1^2=|A_3O|^2`

`2+1=|A_3O|^2`

`|A_3O|^2=3`

`|A_3O|=sqrt3`

 

`ul(ul("twierdzenie Pitagorasa dla trójkąta"\ OA_3A_4))`

`sqrt3^2+1^2=|A_4O|^2`

`3+1=|A_4O|^2`

`|A_4O|^2=4`

`|A_4O|=sqrt4=2`

 

 

`ul(ul("twierdzenie Pitagorasa dla trójkąta"\ OA_5A_6))`

`sqrt5^2+1^2=|A_6O|^2`

`5+1=|A_6O|^2`

`|A_6O|^2=6`

`|A_6O|=sqrt6`

 

`ul(ul("twierdzenie Pitagorasa dla trójkąta"\ OA_6A_7`

`sqrt6^2+1^2=|A_7O|^2`

`6+1=|A_7O|^2`

`|A_7O|^2=7`

`|A_7O|=sqrt7`

 

`ul(ul("twierdzenie Pitagorasa dla trójkąta"\ OA_7A_8))`

`sqrt7^2+1^2=|A_8O|^2`

`7+1=|A_8O|^2`

`|A_8O|^2=8`

`|A_8O|=sqrt8=sqrt4*sqrt2=2sqrt2`

 

`ul(ul("twierdzenie Pitagorasa dla trójkąta"\ OA_8A_9))`

`sqrt8^2+1^2=|A_9O|^2`

`8+1=|A_9O|^2`

`|A_9O|^2=9`

`|A_9O|=sqrt9=3`

 

`ul(ul("twierdzenie Pitagorasa dla trójkąta"\ OA_9A_10))`

`3^2+1^2=|A_10O|^2`

`9+1=|A_10O|^2`

`|A_10O|^2=10`

`|A_10|=sqrt10`

 

 

Znamy już długości wszystkich odcinków, więc możemy przejść do rozwiązania zadania. 

 

`a)`

Szukamy trójkątów, których przyprostokątne mają długości wyrażone liczbami całkowitymi. Są dwa takie trójkąty:

`DeltaOA_4A_5,\ \ \ DeltaOA_9A_10`

 

`b)`

`O_(DeltaOA_8A_9)=2sqrt2+1+3=2sqrt2+4<2sqrt(2,25)+4=2*1,5+4=3+4=7`

 

 

 

Do trójkąta o bokach 14 cm, 10 cm ...

Jeżeli trójkąty są podobne, to odpowiadające sobie długości boków są proporcjonalne.

Prawidłowa jest więc odpowiedź : C

`14/7=10/5=12/6` 

 

ODP: C

Czworokąty ABCD i EFGH są podobne

`12/y=15/20=18/z=x/16`

 

`12/y=15/20`

`12*20=15y\ \ \ |:15`

`y=(12*20)/15=(12*4)/3=4*4=16`

 

 

`15/20=18/z`

`15z=18*20`

`z=(18*20)/15=(6*20)/5=6*4=24`

 

 

`15/20=x/16\ \ \ |*16`

`x=(15*16)/20=(15*4)/5=3*4=12`

Oblicz pole trójkąta prostokątnego, w którym jeden z kątów ostrych

Oznaczmy miary kątów ostrych tego trójkąta przez a i 2a:

`a+2a+90^o=180^o\ \ \ |-90^o`

`3a=90^o\ \ \ |:3`

`a=30^o`

`2a=2*30^o=60^o`

 

 

Boki trójkąta o takich kątach możemy opisać za pomocą wzorów:

 

 

`a)`

`x+xsqrt3+2x=6+2sqrt3`

`3x+xsqrt3=6+2sqrt3`

`x(3+sqrt3)=6+2sqrt3`

`x=(6+2sqrt3)/(3+sqrt3)=(2*(3+sqrt3))/(3+sqrt3)=2`

`xsqrt3=2sqrt3`

 

`P=1/2*2*2sqrt3=2sqrt3`

 

 

 

 

`b)`

`2x-x=3+sqrt3`

`x=3+sqrt3`

`xsqrt3=(3+sqrt3)*sqrt3=3sqrt3+3`

`P=1/2*(3+sqrt3)*(3sqrt3+3)=`

`\ \ \ =1/2*(3(3sqrt3+3)+sqrt3(3sqrt3+3))=`

`\ \ \ =1/2*(9sqrt3+9+3*3+3sqrt3)=`

`\ \ \ =1/2*(12sqrt3+18)=6sqrt3+9`

Narysuj wykres funkcji y=f(x) o podanym wzorze...

`"a)"` 

 

 

`"b)"` 

 

 

`"c)"` 

 

 

`"d)"` 

 

Iloczyn liczb spełniających równanie

`|-2x-4|=10` 

`-2x-4=10\ \ \ |+4\ \ \ \ "lub"\ \ \ \ -2x-4=-10\ \ \ |+4` 

`-2x=14\ \ \ |:(-2)\ \ \ \ \ "lub"\ \ \ \ -2x=-6\ \ \ |:(-2)` 

`x=-7\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ "lub"\ \ \ \ x=3` 

 

`-7*3=-21\ \ \ \ \ \ odp.\ D` 

Piotr postanowił ulokować w banku...

Wpłacamy 5000 zł na lokatę o oprocentowaniu x% , po pierwszym roku mamy:

`5000*x%` 

Po drugim roku

`(5000*x%)*x% = 5000*x% * x% = 5000 * x/100 * x/100 = 5000*(x^2)/10000 = 5*(x^2)/10 = (x^2)/2` 

Po dwóch latach Piotr chce mieć 5400 zł.

`(x^2)/2 = 5400` 

`x^2 = 10800`

`x approx 103,92` 

Oprocentowanie musi wynosić około 4%

Zaznacz na osi liczbowej zbiór rozwiązań podwójnej nierówności

Ile punktów...

a) Rysunek:

Jest osiem takich punktów.

 

b) Rysunek:

Jest dwanaście takich punktów.

W trójkącie równoramiennym dwie środkowe

Wiedząc, że punkt przecięcia środkowych (środek ciężkości) dzieli je w stosunku 1:2, znajdujemy długości potrzebnych ich fragmentów

`2/3* 15cm= 10cm`

`1/3* 18cm =6 cm`

Możemy już obliczyć z twierdzenia Pitagorasa długość x- połowę podstawy trójkąta:

`6^2+x^2=10^2`

`6^2+x^2=10^2`

`36+x^2=100`

`x^2=100-36`

`x^2=64`      `i \ \ \ \ x>0`

`x=8cm`

`8cm*2=16cm`

Podstawa trójkąta wynosi więc 16 cm

Możemy teraz obliczyć z twierdzenia Pitagorasa długość y- ramię trójkąta.

`8^2+18^2=y^2`

`64+324=y^2`

`y^2=388`       ` \ \ \ i \ \ y>0`

`y=sqrt388`

`y=2sqrt97`

Długości boków tego trójkąta wynoszą zatem:

`ul(ul(16cm, 2sqrt97 cm, 2 sqrt97 cm))`