Równanie prostej przechodzącej przez dwa punkty - matura-podstawowa - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Równanie prostej przechodzącej przez dwa punkty - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Wyznacz wzór kierunkowy prostej przechodzącej przez A(3;2) , B(0;5)

Korzystamy ze wzoru:
$(x_2-x_1)(y-y_1)=(y_2-y_1)(x-x_1)$

Podstawiamy punkty:
$(0-3)(y-2)=(5-2)(x-3)$

Następnie obliczamy różnice:
$-3(y-2)=3(x-3)$

Wymnażamy nawiasy:
$-3y+6=3x-9$

Mamy wyznaczyć wzór kierunkowy, zatem po lewej ma zostać samo $y$:
$-3y=3x-9-6$ $|:$ $(-3)$
$y=-x+3+2$
$y=-x+5$
 

Zadanie 2.

Wyznacz wzór ogólny prostej przechodzącej przez punkty A(2,3) ,B(-2,0).

Korzystamy ze wzoru:
$(x_2-x_1)(y-y_1)=(y_2-y_1)(x-x_1)$

I podstawiamy:
$(-2-2)(y-3)=(0-3)(x-2)$
$-4(y-3)=-3(x-2)$

I wymnażamy
$-4y+12=-3x+6 $

Z racji, że chcemy dostać wzór ogólny, po prawej stronie musi pozostać tylko 0.
$-4y+12+3x-6=0$
$3x-4y+6=0$

Zadanie 3.

Wyznacz wzór kierunkowy prostej przechodzącej przez punkty A(3;8), B(-2;-2). Sprawdź czy punkt C (0;3) należy do tej prostej.

Standardowo zaczynamy od wzoru i podstawiania:
$(x_2-x_1)(y-y_1)=(y_2-y_1)(x-x_1)$
$(-2-3)(y-8)=(-2-8)(x-3)$
$-5(y-8)=-10(x-3)$
$-5y+40=-10x+30$
$-5y=-10x-10$

Potrzebujemy kierunkowej zatem musi wyliczyć $y$:
$-5y=-10x-10$ $|: (-5)$
$y=2x+2$

Sprawdzamy teraz czy punkt C(0;3) należy do prostej podstawiając pod x,y odpowiednie współrzędne:
$y=2x+2$
$3=2×0+2$
$3=2$

Jest to równanie sprzeczne, zatem punkt C nie należy do naszej prostej.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Rozwiąż...

a)

Rozwiążemy równanie

obie strony równania są nieujemne, pierwiastkując wyrażenie stronami dostajemy{premium}

  

więc

rozwiązaniem równania jest


b)

Rozwiążemy równanie

obie strony równania są nieujemne, pierwiastkując wyrażenie stronami dostajemy{premium}

  

więc

zatem równanie ma dwa rozwiązania


c)

Rozwiążemy równanie

 

obie strony równania są nieujemne, pierwiastkując wyrażenie stronami dostajemy{premium}

  

więc

zatem równanie ma dwa rozwiązania


 d)

Rozwiążemy równanie

kwadrat dowolnej liczby rzeczywistej jest liczbą nieujemną, czyli

więc

  

zatem równanie

nie ma rozwiązania.


e)

Rozwiążemy równanie

 

obie strony równania są nieujemne, pierwiastkując wyrażenie stronami dostajemy{premium}

  

więc

zatem równanie ma dwa rozwiązania


f)

Rozwiążemy równanie

 

obie strony równania są nieujemne, pierwiastkując wyrażenie stronami dostajemy{premium}

  

więc

zatem równanie ma dwa rozwiązania

Zapisz w postaci potęgi ...

 


  {premium}


 


 


 


 


 


  


 


 


  


 

Dla danych zbiorów A i B wyznacz A∪B, A∩B, A\B, B\A

a)

 

{premium}

b)

 

c)

 

d)

 Thumb 5d.71

Największy wspólny dzielnik liczby x i liczby 48

Wiemy, że by wyznaczyć NWD dwóch liczb, należy rozłożyć te liczby na czynniki pierwsze i wziąć iloczyn wspólnych czynników. 

Rozłóżmy liczbę 48 na czynniki pierwsze:{premium}

Thumb nwd1

Wiemy, że NWD liczby x i liczby 48 wynosi 8. Tak jak wspominaliśmy na początku, NWD obliczamy biorąc wspólne czynniki pierwsze obu liczb.

Thumb nwd2

Zaznaczyliśmy kolorem czynniki pierwsze, z których iloczynu powstanie 8. Oznacza to, że liczba x na pewno ma w swoim rozkładzie na czynniki pierwsze dokładnie trzy dwójki (nie może mieć więcej dwójek, bo wtedy NWD byłoby równe 16 - zanzaczlibyśmy kółkiem czwartą dwójkę) i nie może mieć żadnej trójki (bo wtedy trójkę także zaznaczylibyśmy kółkiem). 

Wiemy, że liczba x jest dwucyfrowa. 

 

Liczby pierwsze różne od 2 i 3 to: 5, 7, 11, 13, 17,...

Metodą prób i błędów szukamy rozwiązań:

Otrzymaliśmy liczbę trzycyfrową, więc odrzucamy ostatnią możliwość. 

 

Moglibyśmy w miejsce y brać jeszcze iloczyny liczb pierwszych, na przykład:

Zauważmy jednak, że biorąc najmniejszy możliwy iloczyn (5 i 7) otrzymujemy liczbę trzycfrową, co jest niezgodne z warunkami zadania, więc nie ma sensu sprawdzać dalej. 

Spośród liczb 572, 816, 1488, 2268

36=6*6

Aby liczba była wielokrotnością liczby 36, czyli była jednocześnie podzielna przez 36, musi po pierwsze: być podzielna przez 6 (zgodnie z cechą podzielności- liczba jest podzielna przez 6 jeśli jest podzielna przez 3 i 2)

  • 572 jest podzielna przez 2 ale nie jest podzielna przez 3
  • 816 jest podzielna przez 2, jest podzielna przez 3
  • {premium}
  • 1488 jest podzielna przez 2, jest podzielna przez 3
  • 2268 jest podzielna przez 2, jest podzielna przez 3

Teraz sprawdzamy liczby 816,1488, 2268. Podzielmy je przez 6 i sprawdźmy ponownie czy wynik tego dzielenia jest podzielny przez 6.

  • 816:6= 136 (liczba niepodzielna przez 6, zatem liczba 816 jest niepodzielna przez 36)
  • 1488:6=248 (liczba niepodzielna przez 6, zatem liczba 1488 jest niepodzielna przez 36)
  • 2268:6=378 (liczba podzielna przez 6, zatem liczba 2268 jest podzielna przez 36)
Rozwiąż równanie.

 

Korzystamy z własności x2=|x|2.{premium}

 

 

 

 

 

 


 

Korzystamy z własności x2=|x|2.

 

 

 

 

 

 


 

Z definicji wartości bezwzględnej:

 

Rozważymy więc dwa przypadki:

  •  

 

 

 

 

 

 

 

Równanie nie ma rozwiązań w rozważanym przedziale.

  •  

  

 

 

 

 

 

 

 

Łącząc rozwiązania z obu przedziałów, otrzymujemy:

 


 

Z definicji wartości bezwzględnej:

 

Rozważymy więc dwa przypadki:

  •  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  •  

  

 

 

 

 

 

 

 

Łącząc rozwiązania z obu przedziałów, otrzymujemy:

 

Ile jest par liczb naturalnych

Jeśli liczby x oraz y są liczbami naturalnymi, to liczba x musi być {premium}większa od liczby y, ponieważ różnica kwadratów liczb x i y jest dodatnia (równa 48). 

Korzystając ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów możemy zapisać:

Jeśli liczby x oraz y były liczbami naturalnymi, a liczba x jest większa od liczby y, to róznica x-y oraz suma x+y są liczbami naturalnymi. Szukamy więc takich par liczb naturalnych, których iloczyn jest równy 48. 

Mamy następujące możliwości:

 

Otrzymana wartość x nie jest liczbą naturalną, więc nie obliczamy dalej. 

 

 

Podstawiamy obliczoną wartość x do drugiego równania i wyliczamy y:

 

Otrzymana wartość x nie jest liczbą naturalną, więc nie obliczamy dalej. 

 

 

Podstawiamy obliczoną wartość x do drugiego równania i wyliczamy y:

 

Podstawiamy obliczoną wartość x do drugiego równania i wyliczamy y:

 

Zauważmy, że są to wszystkie możliwości. Nie ma sensu sprawdzać przypadków, gdy wartość sumy x+y będzie mniejsza od wartości różnicy x-y, ponieważ dla dwóch dowolnych liczb naturalnych x, y, z których większą liczbą jest x, suma jest większa od różnicy.

 

Otrzymaliśmy 3 pary liczb naturalnych x, y (w punktach 2), 4), 5)), więc prawidłowa jest odpowiedź A. 

 

 

 

 

Wykaż, że w trójkącie równoramiennym wysokości...

Założenie:

Trójkąt ABC jest równoramienny

Teza:

Wysokości poprowadzone do równych boków są równej długości.

Dowód:

Wykonajmy rysunek pomocniczy{premium}

Niech ABC będzie trójkątem równoramiennym, w którym

Niech odcinki AE i BD będą wysokościami poprowadzonymi odpowiednio do boków BC i AC. 

Oznaczmy

  

Zauważmy, że aby udowodnić, że 

 

wystarczy pokazać, że trójkąty ABD i ABE są przystające. 

Wiemy, że

ponieważ jest to trójkąt równoramienny, to ma równe kąty przy podstawie, zatem

dwa kąty w tych trójkątach są równej miary, czyli z tego dostajemy, że również pozostałe kąty muszą być równe. czyli

Zauważmy, że w trójkącie ABD przy boku AB leżą kąty o mierze α i 90° - α.  

W trójkącie ABE przy tym samym boku AB leżą katy o tej samej mierze α i 90° - α. 

Otrzymaliśmy więc, że w trójkątach ABD i ABE przy boku o tej samej długości leżą kąty o tej samej mierze,

czyli na podstawie cechy przystawania kąt-bok-kąt (kbk) te trójkąty są przystające. 

Skoro są przystające to w szczególności odpowiednie boki są tej samej długości, czyli  

 

zatem

   

 

c.n.d.

Wykaż, że w trójkącie równoramiennym wysokości...

Wykaż, że w trójkącie równoramiennym wysokości...

Na rysunku przedstawiono wykres funkcji

{premium}

 

Wyznacz wzór funkcji liniowej...

Niech szukana funkcja dana będzie wzorem:

 


Funkcja f przyjmuje wartości większe od 3 dla wszystkich argumentów ujemnych, więc dla argumentu{premium} 0 funkcja przyjmuje wartość 3:

 

 

 

Wówczas wzór funkcji przyjmuje postać:

 


Miejscem zerowym funkcji jest liczba 4, więc:

 

 

 

 


Otrzymujemy: