Zgoda na przetwarzanie danych osobowych

25 maja 2018 roku zacznie obowiązywać Rozporządzenie Parlamentu Europejskiego i Rady (UE) 2016/679 z dnia 27 kwietnia 2016 r. znane jako RODO.

Dlatego aby dalej móc dostarczać Ci materiały odpowiednie do Twojego etapu edukacji, potrzebujemy zgody na lepsze dopasowanie treści do Twojego zachowania. Dzięki temu możemy zapamiętywać jakie materiały są Ci potrzebne. Dbamy o Twoją prywatność, więc nie zwiększamy zakresu naszych uprawnień. Twoje dane są u nas bezpieczne, a zgodę na ich zbieranie możesz wycofać na podstronie polityka prywatności.

Klikając "Przejdź do Odrabiamy", zgadzasz się na wskazane powyżej działania. W przeciwnym wypadku, nie jesteśmy w stanie zrealizować usługi kompleksowo i prosimy o opuszczenie strony.

Polityka prywatności

Drogi Użytkowniku w każdej chwili masz prawo cofnąć zgodę na przetwarzanie Twoich danych osobowych. Cofnięcie zgody nie będzie wpływać na zgodność z prawem przetwarzania, którego dokonano na podstawie wyrażonej przez Ciebie zgody przed jej wycofaniem. Po cofnięciu zgody wszystkie twoje dane zostaną usunięte z serwisu. Udzielenie zgody możesz modyfikować w zakładce 'Informacja o danych osobowych'

Równanie prostej przechodzącej przez dwa punkty - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Wyznacz wzór kierunkowy prostej przechodzącej przez A(3;2) , B(0;5)

Korzystamy ze wzoru:
$$(x_2-x_1)(y-y_1)=(y_2-y_1)(x-x_1)$$

Podstawiamy punkty:
$$(0-3)(y-2)=(5-2)(x-3)$$

Następnie obliczamy różnice:
$$-3(y-2)=3(x-3)$$

Wymnażamy nawiasy:
$$-3y+6=3x-9$$

Mamy wyznaczyć wzór kierunkowy, zatem po lewej ma zostać samo $$y$$:
$$-3y=3x-9-6$$ $$|:$$ $$(-3)$$
$$y=-x+3+2$$
$$y=-x+5$$
 

Zadanie 2.

Wyznacz wzór ogólny prostej przechodzącej przez punkty A(2,3) ,B(-2,0).

Korzystamy ze wzoru:
$$(x_2-x_1)(y-y_1)=(y_2-y_1)(x-x_1)$$

I podstawiamy:
$$(-2-2)(y-3)=(0-3)(x-2)$$
$$-4(y-3)=-3(x-2)$$

I wymnażamy
$$-4y+12=-3x+6 $$

Z racji, że chcemy dostać wzór ogólny, po prawej stronie musi pozostać tylko 0.
$$-4y+12+3x-6=0$$
$$3x-4y+6=0$$

Zadanie 3.

Wyznacz wzór kierunkowy prostej przechodzącej przez punkty A(3;8), B(-2;-2). Sprawdź czy punkt C (0;3) należy do tej prostej.

Standardowo zaczynamy od wzoru i podstawiania:
$$(x_2-x_1)(y-y_1)=(y_2-y_1)(x-x_1)$$
$$(-2-3)(y-8)=(-2-8)(x-3)$$
$$-5(y-8)=-10(x-3)$$
$$-5y+40=-10x+30$$
$$-5y=-10x-10$$

Potrzebujemy kierunkowej zatem musi wyliczyć $$y$$:
$$-5y=-10x-10$$ $$|: (-5)$$
$$y=2x+2$$

Sprawdzamy teraz czy punkt C(0;3) należy do prostej podstawiając pod x,y odpowiednie współrzędne:
$$y=2x+2$$
$$3=2×0+2$$
$$3=2$$

Jest to równanie sprzeczne, zatem punkt C nie należy do naszej prostej.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Określ liczbę pierwiastków...

`mx^2+(m-1)x+m=0` 

Przypadek, gdy `m=0` 

`-1x=0 \ \ \ "jedno rozwiązanie"` 

 

Przypadek, gdy `m!=0` 

`Delta=(m-1)^2-4*m*m=m^2-2m+1-4m^2=-3m^2-2m+1` 

`Delta_m=(-2)^2-4*(-3)*1=4+12=16` 

`sqrt(Delta_m)=4` 

`m_1=(2-4)/(2*(-3))=(-2)/(-6)=1/3` 

`m_2=(2+4)/(2*(-3))=6/(-6)=-1` 

`y=-3m^2-2m+1` 

`"dwa rozwiązania" \ \ \ m in (-1,0)uu( 0, 1/3)` 

`"jedno rozwiązanie" \ \ \ m in {-1, 0, 1/3}` 

`"brak rozwiązań" \ \ \ m in (-oo,-1)uu(1/3, +oo)` 

 

Sporządź odpowiednią tabelę ...

`a)` 

                                   

`"ZW":\ y in\ <-5,5>` 

`"MZ - miejsca zerowe"` 

`"MZ":\ x=3/2` 

 

`b)` 

`"ZW:"\ y in \ <5,-2>` 

`"MZ":\ x=1` 

 

`c)` 

`"ZW":\ y in\ <-1,2>` 

`"MZ":\ x=-1,\ \ \x=1` 

 

`d)` 

 

`"ZW":\ y in\ <-2,4>` 

`"MZ":\ x=-2,\ \ \x=2`  

Wyznacz dziedzinę każdego równania...

a) Dziedziną równania są wszystkie liczby rzeczywiste.

`-3 * x = 12 \ \ \ |:(-3)`  

`x = -4` 

 

b) Dziedziną równania są wszystkie liczby rzeczywiste.

`x/2 = 5 \ \ \ |*2` 

`x = 10` 

 

c) Mianownik musi być różny od zera, zatem:

`2x ne 0 \ \ \ |:2`  

`x ne 0` 

Dziedzina:

`D = R \ \\ \ {0}` 

 

`-6/(2x) = -1 \ \ \ |*(-2x)` 

`6 = 2x \ \ \ |:2` 

`x = 3` 

 

d) Mianownik musi być różny od zera, zatem:

`x+1 ne 0` 

`x ne -1` 

Dziedzina:

`D = R \ \\ \ {-1}` 

 

`7/(x+1) = 7 \ \ \ |*(x+1)` 

`7 = 7(x+1)` 

`7 = 7x + 7` 

`7x = 0` 

`x = 0` 

Spośród podanych prostych wybierz tę...

Prawidłowa odpowiedź to `"C.",` ponieważ w równaniu nie występuje `y.` 

Rozwiąż równanie ...

`a)`

`3x(x-5)-3x(x+7)=72`

`3x^2-15x-3x^2-21x=72`

`-36x=72\ \ \ \ |:(-36)`

`x=-2`

 

`ul("sprawdzenie")`

Sprawdzamy, czy dla powyższego rozwiązania wartość lewej strony równania (L) jest taka sama, jak wartość prawej strony równania (P). 

`L=3*(-2)*(-2-5)-3*(-2)*(-2+7)=`

`\ \ \ \ =-6*(-7)+6*5=42+30=72`

`P=72`

`L=P`

 

 

 

`b)`

Przydatny będzie wzór skróconego mnożenia na kwadrat różnicy:

`(a-b)^2=a^2-2ab+b^2`

 

`(x-2)^2-3x(2-x)=4x(x-3)+10`

`x^2-4x+4-6x+3x^2=4x^2-12x+10`

`4x^2-10x+4=4x^2-12x+10\ \ \ \ |-4x^2`

`-10x+4=-12x+10\ \ \ \ |+12x`

`2x+4=10\ \ \ \ |-4`

`2x=6\ \ \ \ |:2`

`x=3`

 

`ul("sprawdzenie")`

`L=(3-2)^2-3*3*(2-3)=`

`\ \ \ =1^2-9*(-1)=1+9=10`

`P=4*3*(3-3)+10=12*0+10=0+10=10`

`L=P`

 

 

 

`c)`

 `x/5+3=2/3+(x+1)/5\ \ \ \ \ |*15` 

`3x+45=10+3(x+1)`

`3x+45=10+3x+3`

`3x+45=13+3x\ \ \ \ \ |-3x`

`45!=13`


to równanie jest sprzeczne

 

`d)`

`(2x-1)/2-1 1/3=3 1/3-(x+1)/3`

`(2x-1)/2-4/3=10/3-(x+1)/3\ \ \ \ \ \|*6`

`3(2x-1)-8=20-2(x+1)`

`6x-3-8=20-2x-2`

`6x-11=18-2x\ \ \ \ |+2x`

`8x-11=18\ \ \ \ |+11`

`8x=29\ \ \ \ |:8`

`x=29/8`

 

`ul("sprawdzenie")`

`L=(2*29/8-1)/2-1 1/3=(29/4-4/4)/2-4/3=(25/4)/2-4/3=25/8-4/3=`

`\ \ \ \ =3 1/8-1 1/3=3 3/24-1 8/24=2 27/24-1 8/24=1 19/24`

`P=3 1/3-(29/8+1)/3=3 1/3-(29/8+8/8)/3=3 1/3-(37/8)/3=`

`\ \ \ =3 1/3-37/24=3 8/24-1 13/24=2 32/24-1 13/24=1 19/24`

`L=P`

Narysuj wykres przykładowej funkcji...

Wykaż, że w każdym trójkącie ...

Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku.

Oznaczmy środek okręgu o średnicy AB jako P, natomiast środek okręgu o średnicy CB jako S.

Oznaczmy miarę kąta MSC jako α. A miarę kąta APM jako ß.

`|/_MSC|=alpha` 

`|/_APM|=beta` 

Chcemy udowodnić, że kąt AMC ma miarę 180o. Wówczas punkty AMC będą współliniowe.

 

Trójkąt APM jest równoramienny (gdyż |PM|=|PA|), więc kąty przy podstawie MA mają równą miarę.

`|/_PAM|=|/_AMP|=(180^"o"-beta)/2=90^"o"-1/2beta` 

Trójkąt MSC jest równoramienny (gdyż |SM|=|SC|), więc kąty przy podstawie MC mają równą miarę.

`|/_SMC|=|/_MCS|=(180^"o"-alpha)/2=90^"o"-1/2alpha` 

 

Kąty APM oraz MPB są kątami przyległymi. Obliczmy miarę kąta MPB:

`|/_APM|+|/_MPB|=180^"o"` 

`beta+|/_MPB|=180^"o"` 

`|/_MPB|=180^"o"-beta`    

 

Kąty MSC oraz MSB są kątami przyległymi. Obliczmy miarę kąta MSB:

`|/_MSC|+|/_MSB|=180^"o"` 

`alpha+|/_MPB|=180^"o"` 

`|/_MSB|=180^"o"-alpha` 

 

Trójkąt MBS jest równoramienny (|SM|=|SB|).  Miary kątów przy podstawie MB mają więc równe miary.

`|/_BMS|=|/_MBS|=(180^"o"-(180^"o"-alpha))/2=1/2alpha`

Trójkąt BMP jest równoramienny (|PM|=|PB|).  Miary kątów przy podstawie MB mają więc równe miary.

`|/_BMP|=|/_MBP|=(180^"o"-(180^"o"-beta))/2=1/2beta` 

 

Obliczmy miarę kąta AMC. W tym celu sumujemy miary kątów AMP, BMP, BMS oraz SMC:

`|/_AMC|=|/_AMP|+|/_BMP|+|/_BMS|+|/_SMC|` 

`|/_AMC|=90^"o"-1/2beta+1/2beta+1/2alpha+90^"o"-1/2alpha`      

`|/_AMC|=180^"o"` 

Miara kąta AMC wynosi 180o, więc punkty A, M oraz C są wspóliniowe.

Doprowadź do najprostszej postaci wyrażenie

`(x-2y)^2-(x-2y)(x+2y)-4y(2y-1)=`

`=(x^2-4xy+4y^2)-(x^2-4y^2)-8y^2+4y=`

`=x^2-4xy+4y^2-x^2+4y^2-8y^2+4y=`

`=4y-4xy`

 

Obliczamy wartość wyrażenia dla podanych wartości x oraz y:

`4*13/257-4*1*13/257=4*13/257-4*13/257=0`

   

Mieszanka herbat składa się

`3x\ -\ "masa herbaty klasy A"\ [dag]`

`17x\ -\ "masa herbaty klasy B"\ [dag]`

`4x\ -\ "masa herbaty klasy C"\ [dag]`

 

`3x+17x+4x=72`

`24x=72\ \ \ |:24`

`x=3`

`17x=17*3=51`

Odczytaj z wykresu:

`"a)"` 

`D=<< -3,\ 3>>` 

`ZW=<< -4,\ 3>>` 

Najmniejsza wartość: `-4` dla `x=-3.` 

Największa wartość: `3` dla `x=3.` 

`f(x)>0` dla `x in (1,\ 3>>`  

`f(x)< 0` dla `x in << -4,\ 1)`    

Funkcja nie jest monotoniczna w całej dziedzinie, natomiast:

w przedziale `<< -3,-1>>` funkcja jest stała;

w przedziale `<< -1,\ 3>>` funkcja jest rosnąca.

Równanie `f(x)=m` 

nie ma rozwiązań dla `m in(-oo,-4)uu(3,+oo);`  

ma jedno rozwiązanie dla `m in (-4,\ 3>>;`  

ma nieskończenie wiele rozwiązań dla `m=-4.`       

 

`"b)"` 

`D=bbR`  

`ZW=<< -2, +oo)` 

Najmniejsza wartość: `-2` dla `x=-2.` 

Funkcja nie przyjmuje wartości największej

`f(x)>0` dla `x in (-oo,- 3)uu(0,+oo)`  

`f(x)< 0` dla `x in (-3,\ 0)`    

Funkcja nie jest monotoniczna w całej dziedzinie, natomiast:

w przedziale `(-oo,-2>>` 

w przedziale `<< -2,\ 2>>` funkcja jest rosnąca;

w przedziale `<< 2,+oo)` funkcja jest stała.

Równanie `f(x)=m` 

nie ma rozwiązań dla `m in(-oo,-2);`  

ma jedno rozwiązanie dla `m in {-2}uu(2,\+oo);`  

ma dwa rozwiązania dla `m in(-2,\ 2);` 

ma nieskończenie wiele rozwiązań dla `m=2.`       

         

`"c)"` 

`D=<< -2,\ 3>>` 

`ZW={0,\ 1,\ 2}` 

Największa wartość: `2` dla `x in<< 0,\ 1>>.` 

Najmniejsza wartość: `0` dla `x in<< -2,-1>>uu<< 2,\ 3>>.` 

`f(x)>0` dla `x in (-1,\ 2)`  

Funkcja nie jest monotoniczna w całej dziedzinie, natomiast w każdym

z przedziałów `<< -2,-1>>,\ (-1,\ 0),\ << 0,\ 1>>,\ (1,\ 2),\ << 2,\ 3>>` funkcja jest stała.

Równanie `f(x)=m` 

nie ma rozwiązań dla `m inbbR-{0,\ 1,\ 2};`  

ma nieskończenie wiele rozwiązań dla `m in {1,\ 2,\ 3}.`