Równanie prostej przechodzącej przez dwa punkty - matura-podstawowa - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Równanie prostej przechodzącej przez dwa punkty - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Wyznacz wzór kierunkowy prostej przechodzącej przez A(3;2) , B(0;5)

Korzystamy ze wzoru:
$(x_2-x_1)(y-y_1)=(y_2-y_1)(x-x_1)$

Podstawiamy punkty:
$(0-3)(y-2)=(5-2)(x-3)$

Następnie obliczamy różnice:
$-3(y-2)=3(x-3)$

Wymnażamy nawiasy:
$-3y+6=3x-9$

Mamy wyznaczyć wzór kierunkowy, zatem po lewej ma zostać samo $y$:
$-3y=3x-9-6$ $|:$ $(-3)$
$y=-x+3+2$
$y=-x+5$
 

Zadanie 2.

Wyznacz wzór ogólny prostej przechodzącej przez punkty A(2,3) ,B(-2,0).

Korzystamy ze wzoru:
$(x_2-x_1)(y-y_1)=(y_2-y_1)(x-x_1)$

I podstawiamy:
$(-2-2)(y-3)=(0-3)(x-2)$
$-4(y-3)=-3(x-2)$

I wymnażamy
$-4y+12=-3x+6 $

Z racji, że chcemy dostać wzór ogólny, po prawej stronie musi pozostać tylko 0.
$-4y+12+3x-6=0$
$3x-4y+6=0$

Zadanie 3.

Wyznacz wzór kierunkowy prostej przechodzącej przez punkty A(3;8), B(-2;-2). Sprawdź czy punkt C (0;3) należy do tej prostej.

Standardowo zaczynamy od wzoru i podstawiania:
$(x_2-x_1)(y-y_1)=(y_2-y_1)(x-x_1)$
$(-2-3)(y-8)=(-2-8)(x-3)$
$-5(y-8)=-10(x-3)$
$-5y+40=-10x+30$
$-5y=-10x-10$

Potrzebujemy kierunkowej zatem musi wyliczyć $y$:
$-5y=-10x-10$ $|: (-5)$
$y=2x+2$

Sprawdzamy teraz czy punkt C(0;3) należy do prostej podstawiając pod x,y odpowiednie współrzędne:
$y=2x+2$
$3=2×0+2$
$3=2$

Jest to równanie sprzeczne, zatem punkt C nie należy do naszej prostej.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Niech A= ...

Do zbioru A należą liczby, których odległość od liczby 3 na osi liczbowej jest mniejsza od 5. Zatem:

 {premium}

Do zbioru B należą liczby, których odległość od liczby 1 na osi liczbowej jest mniejsza lub równa 7. Zatem:

 


Wszystkie elementy zbioru A należą również do zbioru B, więc:

 


Odpowiedź: B

Dana jest funkcja f(x)= ...

 

Wyznaczmy dziedzinę tej funkcji. {premium}

Zał:

 

 

 

2)

 

 

Zatem łącząc powyższe warunki otrzymujemy:

 

 

Wyznaczmy zbiór wartości funkcji.

 

 

 

Miejsce zerowe funkcji: x=4.

Do wykresu tej funkcji należy jedynie punkt (4,0).

Wykres funkcji f:

Określ dziedzinę funkcji

  

{premium}

 

 

 

 

 

Kwadrat każdej liczby rzeczywistej jest nieujemny, więc powyższa nierówność jest spełniona zawsze.

 

Funkcja f(x)=0,5x^2...

Obliczmy wartość funkcji f dla argumentu 

  

 

 

 

 

Odp.: C

Napisz układ równań do podanego zadania. Zmieszano x kg roztworu ...

Wiemy, że:

 - masa roztworu soli o stężeniu 5% (w kilogramach)

 - masa roztworu soli o stężeniu 10% (w kilogramach) {premium}


Po zmieszaniu pewnych ilości roztworów soli (o stężeniach 5% i 10%) otrzymano 250 g, czyli 0,25 kg roztworu soli o stężeniu 6%.


Możemy więc zapisać:

 

W romb o boku ...

Treść: 

W romb o boku 2√3 i kącie 60o wpisano okrąg. Promień tego okręgu jest równy

A. 3

B. 1/2

C. 3/4

D. 3/2


Rozwiązanie:

Przyjmijmy oznaczenia jak na poniższym rysunku. {premium}



Sinusem kąta ostrego 𝛼 w trójkącie prostokątnym nazywamy stosunek długości przyprostokątnej przeciwległej do kąta 𝛼 do przeciwprostokątnej. Zatem:

 

Wartość sin 60o odczytujemy z tabeli wartości niektórych funkcji trygonometrycznych. Stąd mamy równość:

 

Wobec tego:

 

 

 

 

Promień okręgu wpisanego w romb ma długość połowy wysokości tego rombu, czyli:

 


Odp. D

Na rysunku przedstawiony jest wykres...

Aby narysować wykres funkcji y=f(-x)+2, należy{premium} przekształcić wykres funkcji y=f(x) przez symetrię względem osi y, a następnie przesunąć wykres funkcji y=f(-x) o wektor [0, 2].

W takim razie, aby otrzymać wykres funkcji y=f(x) z wykresu funkcji y=f(-x)+2, należy wykres funkcji y=f(-x) przesunąć o wektor [0, -2],  a następnie wykres funkcji y=f(-x) przekształcić przez symetrię względem osi y.

Wyłącz wspólny czynnik ...

 {premium}


 


 


 


 


 


 


 


 

Wyznacz najmniejszą i największą wartość...

 

Współczynnik przy x2 jest dodatni, więc ramiona paraboli są skierowane do góry.

Zatem funkcja f przyjmuje wartość najmniejszą w wierzchołku paraboli oraz nie przyjmuje wartości największej.{premium}


Obliczamy współrzędne wierzchołka paraboli będącej wykresem funkcji f:

 

 

Wierzchołkiem funkcji f jest punkt  


Zatem:

  • najmniejsza wartość funkcji f to i jest ona przyjmowana dla  
  • funkcja f nie przyjmuje wartości największej.


 

Współczynnik przy x2 jest ujemny, więc ramiona paraboli są skierowane do dołu.

Zatem funkcja f przyjmuje wartość największą w wierzchołku paraboli oraz nie przyjmuje wartości najmniejszej.


Obliczamy współrzędne wierzchołka paraboli będącej wykresem funkcji f:

 

 

Wierzchołkiem funkcji f jest punkt (2, 4).


Zatem:

  • największa wartość funkcji f to 4 i jest ona przyjmowana dla x=2,
  • funkcja f nie przyjmuje wartości najmniejszej.


 

Współczynnik przy x2 jest dodatni, więc ramiona paraboli są skierowane do góry.

Zatem funkcja f przyjmuje wartość najmniejszą w wierzchołku paraboli oraz nie przyjmuje wartości największej.


Obliczamy współrzędne wierzchołka paraboli będącej wykresem funkcji f:

 

 

Wierzchołkiem funkcji f jest punkt (-2, 1).


Zatem:

  • najmniejsza wartość funkcji f to 1 i jest ona przyjmowana dla x=-2,
  • funkcja f nie przyjmuje wartości największej.
W pewnym trójkącie dwusieczna tylko...

Opisaną w zadaniu własność mają{premium} tylko trójkąty równoramienne.

Prawidłowa odpowiedź to C.