Zgoda na przetwarzanie danych osobowych

25 maja 2018 roku zacznie obowiązywać Rozporządzenie Parlamentu Europejskiego i Rady (UE) 2016/679 z dnia 27 kwietnia 2016 r. znane jako RODO.

Dlatego aby dalej móc dostarczać Ci materiały odpowiednie do Twojego etapu edukacji, potrzebujemy zgody na lepsze dopasowanie treści do Twojego zachowania. Dzięki temu możemy zapamiętywać jakie materiały są Ci potrzebne. Dbamy o Twoją prywatność, więc nie zwiększamy zakresu naszych uprawnień. Twoje dane są u nas bezpieczne, a zgodę na ich zbieranie możesz wycofać na podstronie polityka prywatności.

Klikając "Przejdź do Odrabiamy", zgadzasz się na wskazane powyżej działania. W przeciwnym wypadku, nie jesteśmy w stanie zrealizować usługi kompleksowo i prosimy o opuszczenie strony.

Polityka prywatności

Drogi Użytkowniku w każdej chwili masz prawo cofnąć zgodę na przetwarzanie Twoich danych osobowych. Cofnięcie zgody nie będzie wpływać na zgodność z prawem przetwarzania, którego dokonano na podstawie wyrażonej przez Ciebie zgody przed jej wycofaniem. Po cofnięciu zgody wszystkie twoje dane zostaną usunięte z serwisu. Udzielenie zgody możesz modyfikować w zakładce 'Informacja o danych osobowych'

Równania wymierne - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Rozwiąż równanie $${x-5}/{x+2}={x+3}/{x-4}$$ .

Najpierw liczymy dziedzinę, czyli:
$$x+2≠0$$
$$x≠-2$$

Oraz

$$x-4≠0$$
$$x≠4$$

Zatem Dziedzina:
D=R{-2;4}

Krok drugi, tutaj weźmy na krzyż
$${x-5}/{x+2}={x+3}/{x-4}$$
$$(x-5)(x-4)=(x+2)(x+3)$$

Mnożymy każdy z każdym
$$x^2-5x-4x+20=x^2+2x+3x+6$$

Niewiadome na lewo, liczby na prawo
$$x^2-5x-4x-x^2-2x-3x=6-20$$

Redukcja
$$-14x=-14$$ $$|:(-14)$$
$$x=1$$

Spełnia dziedzinę.

Zadanie 2.

Rozwiąż równanie: $${x-2}/x=x$$ .

Zaczynamy od dziedziny

$$x≠0$$

Zatem Dziedzina:

D=R{0}

Mnożymy przez mianownik

$${-x+2}/x=x$$ $$|×x$$

$$-x+2=x^2$$

Znów mamy kwadratowe
$$x^2+x-2=0$$

No to standardowo:
$$a=1$$
$$b=1$$
$$c=-2$$

Obliczmy deltę:
$$∆=1^2-4×1×(-2)$$
$$∆=1+8$$
$$∆=9$$

Obliczmy pierwiastek:
$$√{∆}=3$$

No i teraz nasze rozwiązania
$$x_1={-b+√{∆} }/{2a} $$
$$x_1={-1+3}/2=1 $$

$$x_2={-b-√{∆} }/{2a} $$
$$x_2={-1-3}/2=-2 $$

Spełniają dziedzinę, więc koniec zadania.

Zadanie 3.

Rozwiąż równanie $$x/{x^2-4}=1$$.

Krok pierwszy, dziedzina, mamy tu wzór skróconego mnożenia
$$x^2-4≠0$$

Więc rozbijamy
$$(x+2)(x-2)≠0$$

Pamiętamy, że iloczyn jest zerem jak jeden z składników to 0, więc
$$(x+2)≠0$$ v $$(x-2)≠0$$

Zatem Dziedzina
D=R{-2;2}

Kolejny krok, mnożymy przez mianownik
$$x/{x^2-4}=1$$ $$|×(x^2-4)$$
$$x=x^2-4$$

Znów równanie kwadratowe:
$$-x^2+x+4=0$$

Znów procedura związana z równaniem kwadratowym.

Wyznaczmy współczynniki:
$$a=-1$$
$$b=1$$
$$c=4$$

Obliczmy deltę:
$$∆=b^2-4ac $$
$$∆=1^2-4×(-1)×4 $$
$$∆=1+16$$
$$∆=17$$

Obliczmy pierwiastek:
$$√{∆}=√{17} $$

No i dwa rozwiązania:

$$x_1={-b+√{∆} }/{2a} $$
$$x_1={-1+√{17} }/{-2} $$

$$x_2={-b-√{∆} }/{2a} $$
$$x_2={-1-√{17} }/{-2}={1+√17}/2 $$

Spełniają dziedzinę, więc koniec zadania.
 

Spis treści

Rozwiązane zadania
Do wykresu funkcji

Jeśli punkt B należy do wykresu funkcji f, to f(0)=-4. 

Podstawmy więc:

`f(0)=-4` 

`a*0+b=-4` 

`b=-4` 

 

Znamy już wartość współczynnika b, stąd:

`f(x)=ax-4` 

 

Dalej, jeśli punkt A należy do wykresu funkcji f, to f(-1)=2:

`f(-1)=2` 

`a*(-1)-4=2` 

`-a-4=2 \ \ \ |+4` 

`-a=6\ \ \ |*(-1)` 

`a=-6` 

 

Funkcja f dana jest więc wzorem:

`f(x)=-6x-4` 

 

Prawidłowa jest odpowiedź D. 

Rozwiąż nierówność

`a)` 

`sqrt3x+3>=x+3sqrt3\ \ \ \ |-x` 

`sqrt3x-x+3>=3sqrt3\ \ \ \ |-3` 

`sqrt3x-x>=3sqrt3-3` 

`x(sqrt3-1)>=3(sqrt3-1)\ \ \ \ |:(sqrt3-1)>0` 

Dzieląc nierówność przez liczbę dodatnią nie zmieniamy kierunku nierówności:

`x>=3` 

 

 

 

`b)` 

`sqrt2x+3>=sqrt6+sqrt3x\ \ \ \ |-sqrt3x` 

`sqrt2x-sqrt3x+3>=sqrt6\ \ \ \ |-3`  

`sqrt2x-sqrt3x>=sqrt6-3` 

`x(sqrt2-sqrt3)>=sqrt3*sqrt2-sqrt3*sqrt3` 

`x(sqrt2-sqrt3)>sqrt3(sqrt2-sqrt3)\ \ \ \ |:(sqrt2-sqrt3)<0` 

Dzieląc nierówność przez liczbę ujemną zmieniamy kierunek nierówności:

`x<sqrt3` 

Rozwiąż nierówność

`a)`

`2x+7<=3\ \ \ |-7`

`2x<=-4\ \ \ |:2`

`x<=-2`

 

 

`b)`

`2/5x-3>1\ \ \ |+3`

`2/5x>4\ \ \ |:2`

`1/5x>2\ \ \ \|*5`

`x>10`

 

 

 

`c)`

`2x-4<1/2x-1\ \ \ |*2`

`4x-8<x-2\ \ \ \ |-x`

`3x-8< -2\ \ \ |+8`

`3x<6\ \ \ |:3`

`x<2`

 

 

`d)`

`1/4-x>=1-6x\ \ \ |+6x`

`1/4+5x>=1\ \ \ |-1/4`

`5x>=3/4\ \ \ |*1/5`

`x>=3/20`

 

Przeanalizuj poniższy przykład, a następnie ...

`f(x)=3x^2-6x+1` 

 

`x_w=-b/(2a)=-(-6)/6=1` 

`y_w=f(x_w)=f(1)=3*1-6*1+1=-2` 

 

`W(1,-2)` 

Boki trójkąta są zawarte w prostych

Wymień wszystkie dzielniki naturalne...

Posłużmy się sposobem rozbijania liczby na iloczyn dwóch liczb naturalnych, zacznijmy od 1:

`1 * square = 18` 

`square = 18`

A więc liczba jest podzielna przez liczby 1 i 18 

 

`2 * square = 18` 

`square = 9`

A więc liczba jest podzielna przez liczby 2 i 9 

 

`3*square = 18` 

`square = 6` 

A więc liczba jest podzielna przez liczby 3 i 6

 

`4*square =18`  

`5*square = 18` 

Widać, że nie istnieją takie liczby.

 

Dalej liczby się powtarzają albo liczba 18 nie jest przez nie podzielna, dzielnikami liczby 18 są liczby:

`D_18 = {1,2,3,6,9,18}` 

Zauważmy, że gdy uporządkujemy liczby to patrząc na skrajne wyrazy i przesuwając się bliżej środka iloczyn każdej z tych liczb będzie równy 18, czyli:

`1*18=18` 

`2*9=18` 

`3*6=18` 

Często ta metoda pozwoli nam zauważyć czy niczego nie pominęliśmy. Trzeba jednak pamiętać, że to jest tylko metoda sprawdzająca.

Przez analogię do definicji przedziału otwartego
  • przedział lewostronnie otwarty (czyli prawostronnie domknięty) o krańcach a i b (a<b)

    `(a,\ b>>={x inRR: \ \ \ a<x<=b}` 

    jest to zbiór liczb rzeczywistych większych od a i jednocześnie niewiększych (mniejszych lub równych) niż b



  • przedział prawostronnie otwarty (czyli lewostronnie domknięty) o krańcach a i b (a<b)

    `<<a,\ b)={x in RR:\ \ \ a<=x<b}`  

    jest to zbiór liczb rzeczywistych niemniejszych (większych lub równych) a i jednocześnie mniejszych od b
Promienie słoneczne padają na ziemię...

`sin 20^o = 20/c`

`c = 20/sin20^o`  

 

`cos20^o = x/c` 

`c = x/(cos20^o)` 

 

Stąd:

`20/(sin20^o) = x/cos20^o`  

`20/(sin20^o) * cos20^o = x` 

`20/(sin20^o) * 1/(1/cos20^o) = x` 

`x = 20/(sin20^o/cos20^o)` 

`x = 20/(tg \ 20^o) \ ["m"]` 

Odpowiedź A

Ile punktów wspólnych ...

`f(x)=|1-|1-|1-|x||||` 

Narysujmy wykres funkcji f(x).

Aby narysować wykres funkcji f posłużymi się prostszymi funkcjami, łatwiejszymi do naszkicowania.

Funkcje pomocnicze:

`g(x)=x` 

`h(x)=|x|`   

`t(x)=1-|x|` 

`p(x)=|1-|x||`

`r(x)=1-|1-|x||` 

`e(x)=|1-|1-|x|||` 

`b(x)=1-|1-|1-|x|||` 

`o(x)=|1-|1-|1-|x||||` 

`o(x)=f(x)` 

 

 

 

Wykres funkcji f ma 4 punkty wspólne z osią OX.

Podaj wszystkie liczby całkowite x

Wartość bezwzględna określa odległość liczby od 0 na osi liczbowej. 

 

`a)`

Szukamy takich liczb całkowitych, które są na osi liczbowej odległe od zera o mniej lub 4 lub o doładnie 4. Te liczby to -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4.

 

 

`b)`

Szukamy takich liczb całkowitych, które są na osi liczbowej odległe od zera o mniej niż 3, ale więcej niż 0. Te liczby to  -2, -1, 1, 2.

 

 

`c)`

Szukamy takich liczb całkowitych, które są na osi liczbowej odległe od zera o nie mniej niż 2, ale jednocześnie nie więcej niż 4. Te liczby to -4 -3, -2, 2, 3, 4.