Równania wymierne - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Rozwiąż równanie $${x-5}/{x+2}={x+3}/{x-4}$$ .

Najpierw liczymy dziedzinę, czyli:
$$x+2≠0$$
$$x≠-2$$

Oraz

$$x-4≠0$$
$$x≠4$$

Zatem Dziedzina:
D=R{-2;4}

Krok drugi, tutaj weźmy na krzyż
$${x-5}/{x+2}={x+3}/{x-4}$$
$$(x-5)(x-4)=(x+2)(x+3)$$

Mnożymy każdy z każdym
$$x^2-5x-4x+20=x^2+2x+3x+6$$

Niewiadome na lewo, liczby na prawo
$$x^2-5x-4x-x^2-2x-3x=6-20$$

Redukcja
$$-14x=-14$$ $$|:(-14)$$
$$x=1$$

Spełnia dziedzinę.

Zadanie 2.

Rozwiąż równanie: $${x-2}/x=x$$ .

Zaczynamy od dziedziny

$$x≠0$$

Zatem Dziedzina:

D=R{0}

Mnożymy przez mianownik

$${-x+2}/x=x$$ $$|×x$$

$$-x+2=x^2$$

Znów mamy kwadratowe
$$x^2+x-2=0$$

No to standardowo:
$$a=1$$
$$b=1$$
$$c=-2$$

Obliczmy deltę:
$$∆=1^2-4×1×(-2)$$
$$∆=1+8$$
$$∆=9$$

Obliczmy pierwiastek:
$$√{∆}=3$$

No i teraz nasze rozwiązania
$$x_1={-b+√{∆} }/{2a} $$
$$x_1={-1+3}/2=1 $$

$$x_2={-b-√{∆} }/{2a} $$
$$x_2={-1-3}/2=-2 $$

Spełniają dziedzinę, więc koniec zadania.

Zadanie 3.

Rozwiąż równanie $$x/{x^2-4}=1$$.

Krok pierwszy, dziedzina, mamy tu wzór skróconego mnożenia
$$x^2-4≠0$$

Więc rozbijamy
$$(x+2)(x-2)≠0$$

Pamiętamy, że iloczyn jest zerem jak jeden z składników to 0, więc
$$(x+2)≠0$$ v $$(x-2)≠0$$

Zatem Dziedzina
D=R{-2;2}

Kolejny krok, mnożymy przez mianownik
$$x/{x^2-4}=1$$ $$|×(x^2-4)$$
$$x=x^2-4$$

Znów równanie kwadratowe:
$$-x^2+x+4=0$$

Znów procedura związana z równaniem kwadratowym.

Wyznaczmy współczynniki:
$$a=-1$$
$$b=1$$
$$c=4$$

Obliczmy deltę:
$$∆=b^2-4ac $$
$$∆=1^2-4×(-1)×4 $$
$$∆=1+16$$
$$∆=17$$

Obliczmy pierwiastek:
$$√{∆}=√{17} $$

No i dwa rozwiązania:

$$x_1={-b+√{∆} }/{2a} $$
$$x_1={-1+√{17} }/{-2} $$

$$x_2={-b-√{∆} }/{2a} $$
$$x_2={-1-√{17} }/{-2}={1+√17}/2 $$

Spełniają dziedzinę, więc koniec zadania.
 

Spis treści

Rozwiązane zadania
Wiedząc, że α jest kątem ostrym oraz sinα-cosα

Na rozwiązywanie tego typu zadań nie ma określonej reguły. Musimy tak manewrować tożsamościami trygonometrycznymi i przekształceniami równości, aby dojść do szukanej wielkości.

a)

Szukamy iloczynu sinusa i cosinusa. Podnosimy obie strony posiadanej równości do kwadratu, taki manewr spowoduje pojawienie się właśnie tego iloczynu.

`sinalpha-cosalpha=1/sqrt2`         `/(...)^2`

`(sinalpha-cosalpha)^2=(1/sqrt2)^2`

`sin^2alpha-2sinalphacosalpha+cos^2alpha=1/2`

Wyodrębniamy z równania sumę kwadratów sinusa i cosinusa- jedynkę trygonometryczną

`ul(sin^2alpha+cos^2alpha)-2sinalphacosalpha=1/2`

`1-2sinalphacosalpha=1/2`

`-2sinalphacosalpha=1/2-1`

`-2sinalphacosalpha=-1/2`    `/:(-2)`

`sinalphacosalpha=ul(ul(1/4))`

 

b)

Trudno jest znaleźć sumę sinusa i cosinusa. Jednak mając iloczyn tych funkcji można podnieść tą sumę do kwadratu i pod koniec przekształceń wynik spierwiastkować.

`(sinalpha+cosalpha)^2=sin^2alpha+2sinalphacosalpha+cos^2alpha=1+2sinalphacosalpha=1+2*1/4=1 1/2`

`(sinalpha+cosalpha)^2=3/2`          `/sqrt`

`sinalpha+cosalpha=sqrt(3/2) \ \ \ \ v \ \ \ \ \ sinalpha+cosalpha=-sqrt(3/2)`

Dla kątów ostrych wartości funkcji trygonometrycznych są dodatnie, wobec tego suma takich funkcji też jest dodatnia. 

`sinalpha+cosalpha=sqrt(3/2)=sqrt(3/2)=sqrt3/sqrt2*sqrt2/sqrt2=ul(ul(sqrt6/2))`

c)

Mając sumę i różnice sinusa i cosinusa łatwo jest wyliczyć wartości tych funkcji przez ułożenie prostego układu równań

`{(sinalpha+cosalpha=sqrt6/2),(sinalpha-cosalpha=1/sqrt2):}`

`{(sinalpha=sqrt6/2-cosalpha),(sinalpha-cosalpha=1/sqrt2):}`

`{(sinalpha=sqrt6/2-cosalpha),(sqrt6/2-cosalpha-cosalpha=sqrt2/2):}`

`{(sinalpha=sqrt6/2-cosalpha),(-2cosalpha=sqrt2/2-sqrt6/2):}`

`{(sinalpha=sqrt6/2-cosalpha),(-2cosalpha=(sqrt2-sqrt6)/2|:(-2)):}`

` `

`{(sinalpha=sqrt6/2-cosalpha),(cosalpha=-(sqrt2-sqrt6)/4):}`

`{(sinalpha=sqrt6/2+(sqrt2-sqrt6)/4),(cosalpha=-(sqrt2-sqrt6)/4):}`

`{(sinalpha=(2sqrt6)/4+(sqrt2-sqrt6)/4),(cosalpha=-(sqrt2-sqrt6)/4):}`

`{(sinalpha=(sqrt6+sqrt2)/4),(cosalpha=(sqrt6-sqrt2)/4):}`

d)

`tgalpha=(sinalpha)/(cosalpha)=((sqrt6+sqrt2)/4)/((sqrt6-sqrt2)/4)=(sqrt6+sqrt2)/(sqrt6-sqrt2)*(sqrt6+sqrt2)/(sqrt6+sqrt2)=(sqrt6+sqrt2)^2/4=(6+2sqrt12+2)/4=(8+4sqrt3)/4=2+sqrt3`

`ctgalpha=1/(tgalpha)=1/(2+sqrt3)*(2-sqrt3)/(2-sqrt3)=(2-sqrt3)/(4-3)=2-sqrt3`

`tgalpha+ctgalpha=2+sqrt3+2-sqrt3=4`

 

Wypisz dzielniki podanej liczby

`a)\ 14:\ \ \ 1,\ 2,\ 7,\ 14`

`b)\ 18:\ \ \ 1,\ 3,\ 6,\ 18`

`c)\ 42:\ \ \ 1,\ 2,\ 3,\ 6,\ 7,\ 14,\ 21,\ 42`

`d)\ 51:\ \ \ 1,\ 3,\ 17,\ 51`

`e)\ 55:\ \ \ 1,\ 5,\ 11,\ 55`

`f)\ 59:\ \ \ 1,\ 59`

 

Trójkąt KLM o bokach...

Obliczmy obwód trójkąta KLM:

`"Obw"_1 = 40 + 45 + 50 = 135 \ ["cm"]` 

Obliczmy skalę podobieństwa:

`("Obw"_2)/("Obw"_1) = 81/135 = 9/15 = 3/5` 

 

Długości boków:

`40 * 3/5 = 8*3 = 24` 

`45 * 3/5 = 9*3 = 27` 

`50 * 3/5 = 10*3 = 30` 

Odpowiedź B

Mieszanka herbat składa się

`3x\ -\ "masa herbaty klasy A"\ [dag]`

`17x\ -\ "masa herbaty klasy B"\ [dag]`

`4x\ -\ "masa herbaty klasy C"\ [dag]`

 

`3x+17x+4x=72`

`24x=72\ \ \ |:24`

`x=3`

`17x=17*3=51`

Ile razy liczba

`312^2:0,312^2=(312:0,312)^2=(312\ 000:312)^2=1000^2=1\ 000\ 000\ \ \ \ \ \ odp.\ B`

 

Punkty A i B są punktami przecięcia ...

`y=3/5x-6` 

`y=0` 

`3/5x-6=0` 

`x=10` 

`A=(10;0)` 

 

`x=0` 

`y=-6` 

`B=(0;-6)` 

 

`D=(1;4)` 

 

Odległość punktu D od podstawy AB jest równa wysokości równoległoboku.

`y=3/5x-6\ implies\ 3/5x-y-6=0` 

`d=|3/5*1-1*4-6|/sqrt((3/5)^2+(-1)^2)=(9 2/5)/sqrt(34/25)=(47/5)/(1/5*sqrt34)=47/sqrt34` 

`|AB|=sqrt((-10)^2+(-6)^2)=sqrt136=2sqrt34`  

`P=1/2*2sqrt34*47/sqrt34=ul(47`        

Oblicz:

`"a)"\ 8^(-1/3)=(1/8)^(1/3)=root(3)(1/8)=1/2` 

`\ \ \ 27^(-4/3)=(1/27)^(4/3)=(root(3)(1/27))^4=(1/3)^4=1/81` 

`\ \ \ 64^(-1/3)=(1/64)^(1/3)=root(3)(1/64)=1/4` 

 

`"b)"\ (1/16)^(-1/2)=16^(1/2)=sqrt16=4` 

`\ \ \ (1/27)^(-2/3)=27^(2/3)=(root(3)27)^2=3^2=9` 

`\ \ \ (16/625)^(-3/4)=(625/16)^(3/4)=(root(4)(625/16))^3=(root(4)((5^4)/(2^4)))^3=(root(4)((5/2)^4))^3=(5/2)^3=125/8=15 5/8` 

Wyznacz zbiór wartości

Naszkicujmy wykres funkcji g(x) w dziedzinie zbioru liczb rzeczywistych. 

 

`a)` 

Zauważmy, że w zadanym przedziale funkcja jest rosnąca, więc zbiór wartości będzie postaci:

`f(D)=(f(2);\ f(3)>>=(2^2;\ 3^2>>=(4;\ 9>>` 

Funkcja nie osiąga najmniejszej wartości. 

Największa wartość jest równa 9 i jest przyjmowana dla argumentu x=3. 

 

 

`b)` 

Do zadanego przedziału należy 0, więc zbiór wartości będzie postaci:

`f(D)=< 0;\ 9>` 

Najmniejsza wartość jest równa 0 i jest osiągana dla argumentu x=0.

Największa wartość jest równa 9 i jest osiągana dla argumentów x=-3 lub x=3. 

 

`c)` 

Do zadanego przedziału należy 0, więc zbiór wartości będzie postaci:

`f(D)=< 0;\ 25)` 

Najmniejsza wartość jest równa 0 i jest osiągana dla argumentu x=0.

Największa wartość nie jest osiągana. 

 

 

`d)` 

`f(D)=< 1/4;\ +infty)` 

Najmniejsza wartość jest równa 1/4 i jest osiągana dla argumentu x=-1/2.

Największa wartość nie jest osiągana. 

Czy podane nierówności są równoważne?

`a)`

`x-13<56\ \ \ |+13`

`x<69`

 

 

 

`x+26>95\ \ \ |-26`

`x>69`

 

 

Nierówności nie są równoważne - rozwiązaniem pierwszej z nich jest zbiór liczb mniejszych od 69, a rozwiązaniem drugiej jest zbiór liczb większych od 69. 

 

 

 

`b)`

`x+1/4>=2/3\ \ \ |-1/4`

`x>=2/3-1/4`

`x>=8/12-3/12`

`x>=5/12`

 

 

`x+1/12>=1/2\ \ \ \ |-1/12`

`x>=1/2-1/12`

`x>=6/12-1/12`

`x>=5/12`

 

 

Te nierówności są równoważne. 

Odczytaj z rysunku rozwiązanie

Szukamy współrzędnych punktu przecęcia prostych o zadanych równaniach, ma on współrzędne (2; 3). Sprawdzamy, czy współrzędne tego punktu spełniają pierwsze równanie układu:

`3#=^?2*2-1`

`3#=^?4-1`

`3#=^?3`

Współrzędne punktu (2; 3) spełniają pierwsze równanie układu. 

 

 

Sprawdzamy, czy współrzędne tego punktu spełniają drugie równanie układu: 

`3#=^?1/2*2+2`

`3#=^?1+2`

`3#=^?3`

Współrzędne punktu (2; 3) spełniają drugie równanie układu. 

 

Jeśli współrzędne punktu (2; 3) spełniają oba równania układu równań, to punkt (2; 3) jest rozwiązaniem tego układu.