Równania wymierne - matura-podstawowa - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Równania wymierne - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Rozwiąż równanie ${x-5}/{x+2}={x+3}/{x-4}$ .

Najpierw liczymy dziedzinę, czyli:
$x+2≠0$
$x≠-2$

Oraz

$x-4≠0$
$x≠4$

Zatem Dziedzina:
D=R{-2;4}

Krok drugi, tutaj weźmy na krzyż
${x-5}/{x+2}={x+3}/{x-4}$
$(x-5)(x-4)=(x+2)(x+3)$

Mnożymy każdy z każdym
$x^2-5x-4x+20=x^2+2x+3x+6$

Niewiadome na lewo, liczby na prawo
$x^2-5x-4x-x^2-2x-3x=6-20$

Redukcja
$-14x=-14$ $|:(-14)$
$x=1$

Spełnia dziedzinę.

Zadanie 2.

Rozwiąż równanie: ${x-2}/x=x$ .

Zaczynamy od dziedziny

$x≠0$

Zatem Dziedzina:

D=R{0}

Mnożymy przez mianownik

${-x+2}/x=x$ $|×x$

$-x+2=x^2$

Znów mamy kwadratowe
$x^2+x-2=0$

No to standardowo:
$a=1$
$b=1$
$c=-2$

Obliczmy deltę:
$∆=1^2-4×1×(-2)$
$∆=1+8$
$∆=9$

Obliczmy pierwiastek:
$√{∆}=3$

No i teraz nasze rozwiązania
$x_1={-b+√{∆} }/{2a} $
$x_1={-1+3}/2=1 $

$x_2={-b-√{∆} }/{2a} $
$x_2={-1-3}/2=-2 $

Spełniają dziedzinę, więc koniec zadania.

Zadanie 3.

Rozwiąż równanie $x/{x^2-4}=1$.

Krok pierwszy, dziedzina, mamy tu wzór skróconego mnożenia
$x^2-4≠0$

Więc rozbijamy
$(x+2)(x-2)≠0$

Pamiętamy, że iloczyn jest zerem jak jeden z składników to 0, więc
$(x+2)≠0$ v $(x-2)≠0$

Zatem Dziedzina
D=R{-2;2}

Kolejny krok, mnożymy przez mianownik
$x/{x^2-4}=1$ $|×(x^2-4)$
$x=x^2-4$

Znów równanie kwadratowe:
$-x^2+x+4=0$

Znów procedura związana z równaniem kwadratowym.

Wyznaczmy współczynniki:
$a=-1$
$b=1$
$c=4$

Obliczmy deltę:
$∆=b^2-4ac $
$∆=1^2-4×(-1)×4 $
$∆=1+16$
$∆=17$

Obliczmy pierwiastek:
$√{∆}=√{17} $

No i dwa rozwiązania:

$x_1={-b+√{∆} }/{2a} $
$x_1={-1+√{17} }/{-2} $

$x_2={-b-√{∆} }/{2a} $
$x_2={-1-√{17} }/{-2}={1+√17}/2 $

Spełniają dziedzinę, więc koniec zadania.
 

Spis treści

Rozwiązane zadania
Kąty ostre trójkąta prostokątnego mają ...

Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku.

Z definicji funkcji trygonometrycznych zapisujemy:

  

  

 

 

 

 

    

 

Podana zależność jest prawdziwa.

 

 

 

 

 

Podana zależność nie jest prawdziwa.

 

 

 

 

 

Podana zależność jest prawdziwa.

 

 

 

 

     

Podana zależność jest prawdziwa.

Podaj zbiór wartości funkcji...

Dodatnich liczb podzielnych przez 3 i mniejszych od 10 jest dokładnie trzy.

 

Każdej liczbie przyporządkujemy jej kwadrat, czyli wzór funkcji ma postać:

 

 

  

 

 

 

 

Wskaż zdanie, które opisuje funkję. A. Każdej

Odpowiedź A. - liczba dzielników danej liczby to ustalona liczba, wobec czego jednemu argumentowi (jednej liczbie) przyporządkowujemy dokładnie jedną wartość (jedną liczbę dzielników)

Dlaczego nie:

  • B (jednemu argumentowi można przyporządkować więcej niż jedną wartość np. liczbie 2 wartość bezwzględną |2| i |-2|)
  • C (jednemu argumentowi można przyporządkować więcej niż jedną wartość np. liczbie 2 potęgę o wykładniku naturalnym 23 24 25)
  • D (jednemu argumentowi można przyporządkować więcej niż jedną wartość np. liczbie 4 przyporządkowano 2 i -2)
Podaj przykład liczby zapisanej w postaci

 

Musimy więc znaleźć liczbę dodatnią mającą rozwinięcie dziesiętne okresowe, mniejszą od 0,05. Takie liczby to na przykład:

 

 

 

 

Musimy więc znaleźć liczbę mającą rozwinięcie dziesiętne okresowe, większą od 0,1 i mniejszą od 1. Takie liczby to na przykład:

 

W trójkącie równoramiennym podstawa ma długość...

Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku poniżej:


Mamy dane:

 

 

 


a) Obliczamy połowę obwodu trójkąta:{premium}

 


Ze wzoru na pole wyznaczamy b:

 

 

 

 


Odp. Ramię trójkąta ma długość 25 cm.



b) Ze wzoru na pole trójkąta wyznaczamy sinus kąta 𝛼:

 

 

 

 

Punkty A, B, C należą do prostej k...

 Punkty  mogą być położone następująco:

Thumb zad4.91astr111

 oraz  więc:{premium}

 

 

 

 

Odp. Odcinek  ma długość  


 Punkty  mogą być położone następująco:

Thumb zad4.91bstr111

Na podstawie rysunku mamy:

 

 

 

Odp. Odcinek  ma długość  

Wykonaj działania na liczbach całkowitych:

Przypomnijmy ze szkoły podstawowej kolejność wykonywania działań:

 działania w nawiasach,

 potęgowanie,

 mnożenie i dzielenie,

 dodawanie i odejmowanie.


 


 {premium}


  

 


 


 


 

 


 


 

Zapisz wyrażenie bez użycia ...

 

Wiemy, że:

Wyrażenie x+4 dla x<-4 przyjmuje wartości ujemne, zatem:

 

Wyrażenie x+2 dla x<-4 przyjmuje wartości ujemne, zatem:

 

Dla x<-4 mozemy więc zapisać podane wyrażenie jako:

 

 

  

Wiemy, że:

Wyrażenie -x+1 dla x<-1 przyjmuje wartości dodatnie, zatem:

   

Wyrażenie x-5 dla x<-1 przyjmuje wartości ujemne, zatem:

  

Dla x<-1 możemy więc zapisać podane wyrażenie jako:

 

Oblicz błąd bezwzględny

 

     

 

    

   

 

`=0,02391...~~0,0239=2,39%`{premium} 

 
       
       
       

 

Na rysunku obok trójkąty ABC i ADC są wpisane...

Kąty  i  są oparte na tym samym łuku, więc:

 {premium}


Trójkąt  jest prostokątny. Stąd:

 


Oznacza to, że trójkąt  jest połówką kwadratu i średnica okręgu ma długość przekątnej kwadratu o boku  czyli:

 


Promień okręgu ma długość połowy przekątnej, czyli:

 


Prawidłowa odpowiedź to B.