Równania wymierne - matura-podstawowa - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Równania wymierne - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Rozwiąż równanie ${x-5}/{x+2}={x+3}/{x-4}$ .

Najpierw liczymy dziedzinę, czyli:
$x+2≠0$
$x≠-2$

Oraz

$x-4≠0$
$x≠4$

Zatem Dziedzina:
D=R{-2;4}

Krok drugi, tutaj weźmy na krzyż
${x-5}/{x+2}={x+3}/{x-4}$
$(x-5)(x-4)=(x+2)(x+3)$

Mnożymy każdy z każdym
$x^2-5x-4x+20=x^2+2x+3x+6$

Niewiadome na lewo, liczby na prawo
$x^2-5x-4x-x^2-2x-3x=6-20$

Redukcja
$-14x=-14$ $|:(-14)$
$x=1$

Spełnia dziedzinę.

Zadanie 2.

Rozwiąż równanie: ${x-2}/x=x$ .

Zaczynamy od dziedziny

$x≠0$

Zatem Dziedzina:

D=R{0}

Mnożymy przez mianownik

${-x+2}/x=x$ $|×x$

$-x+2=x^2$

Znów mamy kwadratowe
$x^2+x-2=0$

No to standardowo:
$a=1$
$b=1$
$c=-2$

Obliczmy deltę:
$∆=1^2-4×1×(-2)$
$∆=1+8$
$∆=9$

Obliczmy pierwiastek:
$√{∆}=3$

No i teraz nasze rozwiązania
$x_1={-b+√{∆} }/{2a} $
$x_1={-1+3}/2=1 $

$x_2={-b-√{∆} }/{2a} $
$x_2={-1-3}/2=-2 $

Spełniają dziedzinę, więc koniec zadania.

Zadanie 3.

Rozwiąż równanie $x/{x^2-4}=1$.

Krok pierwszy, dziedzina, mamy tu wzór skróconego mnożenia
$x^2-4≠0$

Więc rozbijamy
$(x+2)(x-2)≠0$

Pamiętamy, że iloczyn jest zerem jak jeden z składników to 0, więc
$(x+2)≠0$ v $(x-2)≠0$

Zatem Dziedzina
D=R{-2;2}

Kolejny krok, mnożymy przez mianownik
$x/{x^2-4}=1$ $|×(x^2-4)$
$x=x^2-4$

Znów równanie kwadratowe:
$-x^2+x+4=0$

Znów procedura związana z równaniem kwadratowym.

Wyznaczmy współczynniki:
$a=-1$
$b=1$
$c=4$

Obliczmy deltę:
$∆=b^2-4ac $
$∆=1^2-4×(-1)×4 $
$∆=1+16$
$∆=17$

Obliczmy pierwiastek:
$√{∆}=√{17} $

No i dwa rozwiązania:

$x_1={-b+√{∆} }/{2a} $
$x_1={-1+√{17} }/{-2} $

$x_2={-b-√{∆} }/{2a} $
$x_2={-1-√{17} }/{-2}={1+√17}/2 $

Spełniają dziedzinę, więc koniec zadania.
 

Spis treści

Rozwiązane zadania
Oblicz pole zacieniowanej figury.

a) Wyraz wolny we wzorze funkcji y=0,4x+1,6 jest{premium} równy 1,6, więc wykres funkcji przecina oś y w punkcie (0; 1,6).

Rysunek pomocniczy:


Obliczamy miejsce zerowe funkcji:

 

 

 

Zatem:

 


Z rysunku odczytujemy, że:

 

 


Obliczamy pole trójkąta ABC:

 


 



b) Rysunek pomocniczy:


Obliczamy miejsce zerowe funkcji:

 

 

 

Zatem:

 


Obliczamy wartość funkcji dla argumentu -3:

 

Zatem:

 


Obliczamy długości przyprostokątnych trójkąta, korzystając z rysunku:

 

 


Obliczamy pole trójkąta:

 


 



c) Rysunek pomocniczy:


Obliczamy miejsce zerowe funkcji y=0,8x+2,4:

 

 

 

Zatem:

 

 


Obliczamy wartość funkcji y=0,8x+2,4 dla x=2:

 

Zatem:

 


Obliczamy długości podstaw i wysokość trapezu, korzystając z rysunku:

 

 

 


Obliczamy pole trapezu:

 


 

Dziedziną funkcji f jest ...

a) Funkcja g(x)=-f(x) powstaje przez symetrię względem osi x wykresu funkcji f, zatem:  {premium}

 

 


b) Funkcja g(x)=f(-x) powstaje przez symetrię względem osi y wykresu funkcji f, zatem:

 

 


c) Funkcja g(x)=f(x+3) powstaje przez przesunięcie wykresu funkcji f o 3 jednostki w lewo, zatem:

 

 


d) Zauważmy, że:

 

 

 

Funkcja g(x) powstaje przez symetrię względem punktu (0,0) wykresu funkcji f, a następnie o przesunięcie o 1 jednostkę w prawo i 3 jednostki w górę, zatem:

 

 

 

 

 

Równanie...

Wyznaczamy dziedzinę równania:

 

 

 {premium}


Rozwiązujemy równanie:

 

 

 


Prawidłowa odpowiedź to A.

Podaj resztę z dzielenia ...

Zauważmy, że: {premium}

 


Liczba 12 300 jest podzielna przez 4, a reszta z dzielenia liczby 33 przez 4 jest równa 1:

 


Odpowiedź: B

Do zbioru rozwiązań układu ...

Rozwiązując układ równań mamy:

 

     {premium}

Zatem jest to układ nieoznaczony.

Rozwiązaniem tego układu równań są pary postaci (2+4y, y).

Łatwo zauważyć, że para (2, 1) nie jest powyższej postaci.

 

Odp. C

Przedstaw w postaci ...

 

 {premium}


 

 


 

 


 

 

 


 

 

 

 


 

 

Funkcja f każdej liczbie naturalnej mniejszej
  • za pomocą wzoru (wyznaczamy wzór funkcji w oparciu o informację, że funkcja każdej liczbie naturalnej mniejszej od 10 przyporząkowuje połowę kwadratu tej liczby)

                

  • za pomocą zbioru (musimy najpierw obliczyć wartości przyporządkowane argumentom:

{premium}

 

  • za pomocą wykresu

Zaznaczamy na wykresie punkty których współrzędne obliczono w poprzednim podpunkcie.

Uzupełnij dwiema kolejnymi liczbami naturalnymi

{premium}

 

 

 

 

 

 

      

 

Zapisz podane liczby w postaci...

     {premium}

 

 

 

 

Dla jakiej wartości b ...

Podstawiając   otrzymujemy:  {premium}