Zgoda na przetwarzanie danych osobowych

25 maja 2018 roku zacznie obowiązywać Rozporządzenie Parlamentu Europejskiego i Rady (UE) 2016/679 z dnia 27 kwietnia 2016 r. znane jako RODO.

Dlatego aby dalej móc dostarczać Ci materiały odpowiednie do Twojego etapu edukacji, potrzebujemy zgody na lepsze dopasowanie treści do Twojego zachowania. Dzięki temu możemy zapamiętywać jakie materiały są Ci potrzebne. Dbamy o Twoją prywatność, więc nie zwiększamy zakresu naszych uprawnień. Twoje dane są u nas bezpieczne, a zgodę na ich zbieranie możesz wycofać na podstronie polityka prywatności.

Klikając "Przejdź do Odrabiamy", zgadzasz się na wskazane powyżej działania. W przeciwnym wypadku, nie jesteśmy w stanie zrealizować usługi kompleksowo i prosimy o opuszczenie strony.

Polityka prywatności

Drogi Użytkowniku w każdej chwili masz prawo cofnąć zgodę na przetwarzanie Twoich danych osobowych. Cofnięcie zgody nie będzie wpływać na zgodność z prawem przetwarzania, którego dokonano na podstawie wyrażonej przez Ciebie zgody przed jej wycofaniem. Po cofnięciu zgody wszystkie twoje dane zostaną usunięte z serwisu. Udzielenie zgody możesz modyfikować w zakładce 'Informacja o danych osobowych'

Równania wymierne - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Rozwiąż równanie $${x-5}/{x+2}={x+3}/{x-4}$$ .

Najpierw liczymy dziedzinę, czyli:
$$x+2≠0$$
$$x≠-2$$

Oraz

$$x-4≠0$$
$$x≠4$$

Zatem Dziedzina:
D=R{-2;4}

Krok drugi, tutaj weźmy na krzyż
$${x-5}/{x+2}={x+3}/{x-4}$$
$$(x-5)(x-4)=(x+2)(x+3)$$

Mnożymy każdy z każdym
$$x^2-5x-4x+20=x^2+2x+3x+6$$

Niewiadome na lewo, liczby na prawo
$$x^2-5x-4x-x^2-2x-3x=6-20$$

Redukcja
$$-14x=-14$$ $$|:(-14)$$
$$x=1$$

Spełnia dziedzinę.

Zadanie 2.

Rozwiąż równanie: $${x-2}/x=x$$ .

Zaczynamy od dziedziny

$$x≠0$$

Zatem Dziedzina:

D=R{0}

Mnożymy przez mianownik

$${-x+2}/x=x$$ $$|×x$$

$$-x+2=x^2$$

Znów mamy kwadratowe
$$x^2+x-2=0$$

No to standardowo:
$$a=1$$
$$b=1$$
$$c=-2$$

Obliczmy deltę:
$$∆=1^2-4×1×(-2)$$
$$∆=1+8$$
$$∆=9$$

Obliczmy pierwiastek:
$$√{∆}=3$$

No i teraz nasze rozwiązania
$$x_1={-b+√{∆} }/{2a} $$
$$x_1={-1+3}/2=1 $$

$$x_2={-b-√{∆} }/{2a} $$
$$x_2={-1-3}/2=-2 $$

Spełniają dziedzinę, więc koniec zadania.

Zadanie 3.

Rozwiąż równanie $$x/{x^2-4}=1$$.

Krok pierwszy, dziedzina, mamy tu wzór skróconego mnożenia
$$x^2-4≠0$$

Więc rozbijamy
$$(x+2)(x-2)≠0$$

Pamiętamy, że iloczyn jest zerem jak jeden z składników to 0, więc
$$(x+2)≠0$$ v $$(x-2)≠0$$

Zatem Dziedzina
D=R{-2;2}

Kolejny krok, mnożymy przez mianownik
$$x/{x^2-4}=1$$ $$|×(x^2-4)$$
$$x=x^2-4$$

Znów równanie kwadratowe:
$$-x^2+x+4=0$$

Znów procedura związana z równaniem kwadratowym.

Wyznaczmy współczynniki:
$$a=-1$$
$$b=1$$
$$c=4$$

Obliczmy deltę:
$$∆=b^2-4ac $$
$$∆=1^2-4×(-1)×4 $$
$$∆=1+16$$
$$∆=17$$

Obliczmy pierwiastek:
$$√{∆}=√{17} $$

No i dwa rozwiązania:

$$x_1={-b+√{∆} }/{2a} $$
$$x_1={-1+√{17} }/{-2} $$

$$x_2={-b-√{∆} }/{2a} $$
$$x_2={-1-√{17} }/{-2}={1+√17}/2 $$

Spełniają dziedzinę, więc koniec zadania.
 

Spis treści

Rozwiązane zadania
Zapisz zbiór przedstawiony

`a)\ (-2,\ 0>>uu(2,\ +infty)`  

`b)\ <<-3,\ -1)uu(2,\ 4)` 

`c)\ (-infty,\ -2)uu(-1,\ 0>>uu<<2,\ +infty)` 

`d)\ <<-4,\ -2>>uu<<0,\ 3)uu(3,\ +infty)` 

 

Wyznacz zbiory

`a)`

`AuuB=(1,\ 6)`

`AnnB=(2,\ 4)`

`A\\B=(1,\ 2>>`

`B\\A=<<4,\ 6)`

 

 

 

`b)`

`AuuB=<<-4,\ 3)`

`AnnB={1}`

`A\\B=<<-4,\ 1)`

`B\\A=(1,\ 3)`

 

 

`c)`

 

`AuuB=<<-5,\ 3>>`

`AnnB=<<1,\ 3>>`

`A\\B=emptyset`

`B\\A=<<-5,\ 1)`

 

 

`d)`

`AuuB=(-3,\ 2>>`

`AnnB=(-1,\ 2>>`

`A\\B=(-3,\ -1>>`

`B\\A=emptyset`

Dla jakich wartości parametru m...

Niech będą dane okręgi:

`O_1 = (A, r_1)` 

`O_2 = (B, r_2)` 

 

Jeżeli okręgi mają jeden punkt wspólny to:

- Są styczne zewnętrznie, czyli zachodzi warunek:

`|AB| = r_1 + r_2` 

- Są styczne wewnętrznie, czyli zachodzi warunek:

`|AB| = |r_1 - r_2|` 

 

`a) \ O_1 : \ x^2+y^2-4x-2y+1=0` 

`x^2-4x+y^2-2y + 1 =0` 

`x^2-4x+4-4 + y^2 -2y + 1 - 1 + 1 =0` 

`(x-2)^2 -4 + (y-1)^2 -1 + 1 =0` 

`(x-2)^2 +(y-1)^2 = 4` 

Środek:

`A = (2,1)` 

Promień:

`r_1 = 2` 

 

`O_2: \ x^2+y^2+6x-2y+10-m=0` 

`x^2+6x +y^2 -2y + 10 - m =0` 

`x^2+6x+9 - 9 + y^2 -2y + 1 - 1 + 10 - m =0` 

`(x+3)^2 -9 + (y-1)^2 -1 + 10 - m =0` 

`(x+3)^2 +(y-1)^2 = m` 

Środek:

`B = (-3, 1)` 

Promień:

`r^2 = m` 

`r_2 = sqrtm` 

 

Odległość pomiędzy środkami okręgów:

`|AB| = sqrt((x_B-x_A)^2+(y_B - y_A)^2) = sqrt((-3-2)^2+(1-1)^2) = sqrt((-5)^2) = 5` 

 

Okręgi styczne zewnętrznie:

`1) \ |AB| = r_1 + r_2` 

Okręgi styczne wewnętrznie:

`2) \ |AB| = |r_1 - r_2|` 

 

Założenia:

`m > 0` 

 

`1) \ 5 = 2+sqrtm` 

`sqrtm = 3` 

`m = 9` 

 

`2) \ |AB| = |r_1 - r_2|` 

`5 = |2-sqrtm|` 

`5 = 2 - sqrtm \ \ vv \ \ -5 = 2 - sqrtm` 

`3 = - sqrtm \ \ vv \ \ -7 = - sqrtm` 

`sqrtm = -3 \ \ vv \ \ sqrtm = 7` 

`sqrtm = 7` 

`m = 49` 

 

`b) \ O_1 : \ x^2+y^2 -4x + 2y + 4=0` 

`x^2-4x+y^2+2y + 4 =0` 

`x^2-4x+4-4 + y^2 + 2y + 1 - 1 + 4 =0` 

`(x-2)^2 -4 + (y+1)^2 - 1 + 4 =0` 

`(x-2)^2 + (y+1)^2 = 1` 

Środek:

`A = (2, -1)` 

Promień:

`r_1 = 1` 

 

`O_2 : \ x^2 + y^2 + 2x - 6y + 10 - m/4=0` 

`x^2+2x+y^2 -6y + 10 - m/4=0` 

`x^2+2x+1 - 1 + y^2 - 6y + 9 - 9 + 10 - m/4=0` 

`(x+1)^2 - 1+ (y-3)^2 - 9 + 10 - m/4 =0` 

`(x+1)^2 + (y-3)^2 = m/4` 

Zał:

`m > 0` 

 

Środek:

`B = (-1, 3)` 

Promień:

`r^2 = m/4` 

`r_2 = sqrtm/2` 

 

Odległość środków:

`|AB| = sqrt((x_B - x_A)^2+(y_B - y_A)^2) = sqrt((-1-2)^2+(3-(-1))^2) = sqrt((-3)^2 +4^2) = sqrt(9+16) = sqrt25 = 5`  

 

Odległość środków:

`r_1+r_2 = 1+sqrtm/2` 

 

`1) \ |AB| = r_1 + r_2`   

`5 = 1 + sqrtm/2` 

`sqrtm/2 = 4` 

`sqrtm = 8` 

`m = 64` 

 

`2) \ |AB| = |r_1 - r_2|` 

`5 = |1 - sqrtm/2|` 

`1-sqrtm/2 = 5 \ \ vv \ \ 1 - sqrtm/2 = -5` 

`-sqrtm/2 = 4 \ \ vv \ \ -sqrtm/2 = -6` 

`sqrtm/2 = 6` 

`sqrtm = 12` 

`m = 144` 

Odczytaj z wykresu argumenty...

`a) \ f(x) = -2 \ \ "dla" \ x = -4`  

`f(x) = 0 \ \ "dla" \ x = -1` 

`f(x) = 1 \ \ "dla" \ x =0` 

 

`b) \ f(x) = -2 \ \ "dla" \ x = 2` 

`f(x) = 0 \ \ "dla" \ x in {-3,-1,1}` 

`f(x) = 1 \ \ "dla" \ x in {-4,0}` 

Wszystkie liczby rzeczywiste ...

`|x|>3` 

`|x-0|>3` 

Szukamy liczb, których odległość od 0 na osi liczbowej jest większa od 3.

Są to liczby należące do przedziału:

`x in (-oo;-3) cup(3;+oo)` 

Odp: C

Naszkicuj wykres funkcji f ...

`g(x)=|f(x)|` 

 

`a)` 

`f(x)=root(3)(x)` 

`g(x)=|root(3)(x)|` 

 

`b)` 

`f(x)=x^3-1` 

`g(x)=|x^3-1|` 

 

`c)` 

`f(x)=sqrtx-4` 

`g(x)=|sqrtx-4|` 

 

`d)` 

`f(x)=|x|-x` 

`g(x)=||x|-x|` 

 

`e)` 

`f(x)=x-2|x|` 

`g(x)=|x-2|x||` 

 

`f)` 

`f(x)=|x+1|-|x|` 

`g(x)=||x+1|-|x||` 

 

Zaznacz w układzie współrzędnych

Trapezy...

Policzmy stosunek długości dłuższych podstaw trapezów żeby określić skalę podobieństwa:

`|AB|/|EH| = (strike35^5)/(strike28^4) = 5/4 `

 

A więc:

`20/z = 5/4`

`20*4 = 5*z \ \ \ |:5`

`4*4 = z`

`z=16`

 

`x/12 = 5/4`

`4x=60 \ \ \ |:4`

`x = 15`

 

`10/y = 5/4`

`40 = 5y \ \ \ |:5`

`y=8`

Wśród poniższych wektorów wskaż te ...

`vecu=[-6;8]` 

 

`vecv_1=[-2;2 2/3]=1/3[-6;8]=1/3vecu` 

`vecv_2=[3;-4]=-1/2[-6;8]=-1/2vecu` 

`vecv_3=[18;-16]=-3vecu` 

`vecv_4=[-3/4;1]=1/8vecu` 

`vecv_5=[24;-32]=-4vecu` 

 

Wektory o takim samym kierunku i zwrocie jak wektor u:

`vecv_1,\ vecv_4`  

Wektory o takim samym kierunku jak wektor u lecz o przeciwnym zwrocie:

`vecv_2,\ vecv_3,\ vecv_5`  

Znajdź najmniejszą liczbę

`a)` 

`(x-4)/2>(x-4)/3\ \ \ \ |*6` 

`3(x-4)>2(x-4)` 

`3x-12>2x-8\ \ \ |-2x` 

`x-12> -8\ \ \ |+12` 

`x>4` 

Najmniejsza liczba naturalna spełniająca nierówność to 5.

 

 

 

`b)` 

`(2x+1)/3<=(3x-2)/4\ \ \ \ |*12` 

`4(2x+1)<=3(3x-2)`  

`8x+4<=9x-6\ \ \ \ \ |-9x` 

`-x+4<=-6\ \ \ |-4` 

`-x<=-10\ \ \ |*(-1)` 

`x>=10` 

Najmniejsza liczba naturalna spełniająca nierówność to 10.

 

 

 

`c)`  

`(3-x)/2>(5-2x)/5\ \ \ \ |*10` 

`5(3-x)>2(5-2x)` 

`15-5x>10-4x\ \ \ \ |+4x` 

`15-x>10\ \ \ |-15` 

`-x> -5\ \ \ |*(-1)` 

`x<5` 

Najmniejsza liczba naturalna spełniająca nierówność to 0.

Zauważmy, że wszystkie liczby naturalne spełniające tę nierówność to 0, 1, 2, 3, 4. Mieliśmy jednak podać najmniejszą z nich, czyli 0. 

 

 

 

`d)` 

`(2x-4)/7<=x/3+1\ \ \ \ \ |*21` 

`3(2x-4)<=7x+21` 

`6x-12<=7x+21\ \ \ \ |-7x` 

`-x-12<=21\ \ \ |+12` 

```-x<=33\ \ \ |*(-1)` 

`x>= -33` 

Najmniejsza liczba naturalna spełniająca nierówność to 0. 

 

 

 

`e)` 

`1/2+(x+1)/6<(x-1)/3\ \ \ \ |*6` 

`3+x+1<2(x-1)` 

`4+x<2x-2\ \ \ |-2x` 

`4-x<-2\ \ \ |-4` 

`-x<-6\ \ \|*(-1)` 

`x>6` 

Najmniejsza liczba naturalna spełniająca nierówność to 7. 

 

 

 

`f)` 

`1-(x-2)/3>=(x+1)/9\ \ \ \ |*9` 

`9-3(x-2)>=x+1` 

`9-3x+6>=x+1` 

`15-3x>=x+1\ \ \ |-x` 

`15-4x>=1\ \ \ |-15` 

`-4x>=-14\ \ \ |:(-4)` 

`x<=14/4` 

`x<=7/2`  

`x<=3 1/2` 

Najmniejsza liczba naturalna spełniająca nierówność to 0. 

 

 

 

`g)` 

`(x+3)/5<=1/2-(4-5x)/10\ \ \ |*10` 

`2(x+3)<=5-(4-5x)` 

`2x+6<=5-4+5x` 

`2x+6<=1+5x\ \ \ |-5x` 

`-3x+6<=1\ \ \ |-6` 

`-3x<=-5\ \ \ |:(-3)` 

`x>=5/3` 

`x>=1 2/3` 

Najmniejsza liczba naturalna spełniająca nierówność to 2. 

 

 

 

`h)` 

`(2x+1)/4-1>=0,05-(1-x)/5\ \ \ \ \ \ |*20` 

`5(2x+1)-20>=1-4(1-x)` 

`10x+5-20>=1-4+4x` 

`10x-15>=-3+4x\ \ \ \ |-4x` 

`6x-15>=-3\ \ \ |+15` 

`6x>=12\ \ \ |:6` 

`x>=2` 

Najmniejsza liczba naturalna spełniająca nierówność to 2.