Równania wymierne - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Rozwiąż równanie $${x-5}/{x+2}={x+3}/{x-4}$$ .

Najpierw liczymy dziedzinę, czyli:
$$x+2≠0$$
$$x≠-2$$

Oraz

$$x-4≠0$$
$$x≠4$$

Zatem Dziedzina:
D=R{-2;4}

Krok drugi, tutaj weźmy na krzyż
$${x-5}/{x+2}={x+3}/{x-4}$$
$$(x-5)(x-4)=(x+2)(x+3)$$

Mnożymy każdy z każdym
$$x^2-5x-4x+20=x^2+2x+3x+6$$

Niewiadome na lewo, liczby na prawo
$$x^2-5x-4x-x^2-2x-3x=6-20$$

Redukcja
$$-14x=-14$$ $$|:(-14)$$
$$x=1$$

Spełnia dziedzinę.

Zadanie 2.

Rozwiąż równanie: $${x-2}/x=x$$ .

Zaczynamy od dziedziny

$$x≠0$$

Zatem Dziedzina:

D=R{0}

Mnożymy przez mianownik

$${-x+2}/x=x$$ $$|×x$$

$$-x+2=x^2$$

Znów mamy kwadratowe
$$x^2+x-2=0$$

No to standardowo:
$$a=1$$
$$b=1$$
$$c=-2$$

Obliczmy deltę:
$$∆=1^2-4×1×(-2)$$
$$∆=1+8$$
$$∆=9$$

Obliczmy pierwiastek:
$$√{∆}=3$$

No i teraz nasze rozwiązania
$$x_1={-b+√{∆} }/{2a} $$
$$x_1={-1+3}/2=1 $$

$$x_2={-b-√{∆} }/{2a} $$
$$x_2={-1-3}/2=-2 $$

Spełniają dziedzinę, więc koniec zadania.

Zadanie 3.

Rozwiąż równanie $$x/{x^2-4}=1$$.

Krok pierwszy, dziedzina, mamy tu wzór skróconego mnożenia
$$x^2-4≠0$$

Więc rozbijamy
$$(x+2)(x-2)≠0$$

Pamiętamy, że iloczyn jest zerem jak jeden z składników to 0, więc
$$(x+2)≠0$$ v $$(x-2)≠0$$

Zatem Dziedzina
D=R{-2;2}

Kolejny krok, mnożymy przez mianownik
$$x/{x^2-4}=1$$ $$|×(x^2-4)$$
$$x=x^2-4$$

Znów równanie kwadratowe:
$$-x^2+x+4=0$$

Znów procedura związana z równaniem kwadratowym.

Wyznaczmy współczynniki:
$$a=-1$$
$$b=1$$
$$c=4$$

Obliczmy deltę:
$$∆=b^2-4ac $$
$$∆=1^2-4×(-1)×4 $$
$$∆=1+16$$
$$∆=17$$

Obliczmy pierwiastek:
$$√{∆}=√{17} $$

No i dwa rozwiązania:

$$x_1={-b+√{∆} }/{2a} $$
$$x_1={-1+√{17} }/{-2} $$

$$x_2={-b-√{∆} }/{2a} $$
$$x_2={-1-√{17} }/{-2}={1+√17}/2 $$

Spełniają dziedzinę, więc koniec zadania.
 

Spis treści

Rozwiązane zadania
Przedstaw liczbę w postaci iloczynu

a)

98=2⋅7⋅7
D98={1,2,7,14,49,98}

b)

124=2⋅2⋅31

D124={1,2,4,31,62,124}

c)

966=2⋅3⋅7⋅23
D966={1,2,3,6,7,14,21,23,42,46,69,138,161,322,483,966}

d)

1344=2⋅2⋅2⋅2⋅2⋅2⋅3⋅7

D1344={1,2,3,4,6,7,8,12,14,16,21,24,28,32,42,48,56,64,84,96,112,168,192,

224,336,448,672,1344}

Przez punkty M, N i K należące do ...

Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku:

A,B,C - punkty przecięcia stycznych

 

Obliczmy miarę kąta :

 

 

Zauważmy, że punkty styczności okregu ze stycznymi, środek okręgu oraz punkty przecięcia stycznych tworzą trzy czworokąty: SNBM, SKCN oraz KSMA.

W punktach styczności stycznych z promieniamy znajdują się kąty proste.

Korzystając z tego, że w czworokątach suma miar kątów wewnętrznych wynosi 360°, obliczmy miary kątów α, ß oraz γ.

 

 

 

 

 

   

 

 

 

Punkty przecięcia stycznych utworzyły trójkąt, którego miary kątów wynoszą 90°, 60° i 30°.

 

ODP: C

Naszkicuj wykres funkcji...

 

Wykres:

 

Tę część wykresu znajdującą się po lewej stronie osi y zastąpimy odbiciem symetrycznym względem tej osi wykresu znajdującego się po drugiej stronie. Otrzymujemy w ten sposób wykres funkcji:

 

 

 

Wykres:

 

Analogicznie jak w b)

 

  

Wykres:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Wykres:

Naszkicuj wykres funkcji f

Rysujemy wykres funkcji f:

 

 

 

Aby otrzymać wykres funkcji g należy przesunąć wykres funkcji f o 3 jednostki w dół wzdłuż osi OY. 

 

 

 

Aby otrzymać wykres funkcji h należy przesunąć wykres funkcji g o 2 jednostki w prawo wzdłuż osi OX. 

 

 

Aby otrzymać wykres funkcji k wystarczy odbić wykres funkcji h symetrycznie względem osi OX. 

 

 

 

 

 

 

 

 

Aby otrzymać wykres funkcji g należy przesunąć wykres funkcji f o 3 jednostki w lewo wzdłuż osi OX. 

 

Aby otrzymać wykres funkcji h należy przesunąć wykres funkcji g o 1 jednostkę w górę wzdłuż osi OY.

 

Aby otrzymać wykres funkcji k wystarczy odbić wykres funkcji h symetrycznie względem osi OX. 

 

Sporządź wykres funkcji określonej wzorem...

a) Obliczmy wartość dla x=0

 

Dla każdego kolejnego punktu wartość będzie o 3 mniejsza, wykres:

 

 

b) Wyliczmy wartości dla krańców przedziałów:

 

 

Pamiętajmy, że punkt (3,-5) jest poza dziedziną a więc będzie otwarty, wykres:

 

 

c) Analogicznie jak w a)

 

Dla każdej kolejnej liczby całkowitej wartość w punkcie będzie o 3 mniejsza a dla każdej poprzedniej liczby całkowitej wartość jest o 3 większa.

 

 

Czy istnieje liczba rzeczywista, która jest jednocześnie wymierna i niewymierna

a) NIE - zbiory liczb wymiernych i niewymiernych są rozłączne, co oznacza, że nie mają części wspólnej, czyli że nie istnieje liczba, która byłaby jednocześnie wymierna i niewymierna 

 

b) TAK - taką liczbą jest 0. 

Oblicz:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Na rysunku obok przedstawiono...

a)  

 

 

Podstawmy współrzędne punktu A.

 

 

 

 

Podstawmy współrzędne punktu B. 

 

 

 

 

 


b) ALGEBRAICZNIE

 

I przypadek:

 

 

sprzeczność

II przypadek: 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

GRAFICZNIE

 

 

 


c) ALGEBRAICZNIE

 

I przypadek:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

II przypadek:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

GRAFICZNIE

 

 

Znajdź najmniejszą i największą wartość...

Sprawdźmy czy odcięta wierzchołka paraboli należy do przedziału:

 

 

Skoro parabola ma ramiona skierowane ku górze to w wierzchołku mamy wartość najmniejszą

 

Wartość największa będzie na krancu przedziału, który jest dalej oddalony od odciętej wierzchołka, czyli -1

  

 

 

 

Rozłóż na czynniki:

 

 


 

 {premium}