Równania wymierne - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Rozwiąż równanie $${x-5}/{x+2}={x+3}/{x-4}$$ .

Najpierw liczymy dziedzinę, czyli:
$$x+2≠0$$
$$x≠-2$$

Oraz

$$x-4≠0$$
$$x≠4$$

Zatem Dziedzina:
D=R{-2;4}

Krok drugi, tutaj weźmy na krzyż
$${x-5}/{x+2}={x+3}/{x-4}$$
$$(x-5)(x-4)=(x+2)(x+3)$$

Mnożymy każdy z każdym
$$x^2-5x-4x+20=x^2+2x+3x+6$$

Niewiadome na lewo, liczby na prawo
$$x^2-5x-4x-x^2-2x-3x=6-20$$

Redukcja
$$-14x=-14$$ $$|:(-14)$$
$$x=1$$

Spełnia dziedzinę.

Zadanie 2.

Rozwiąż równanie: $${x-2}/x=x$$ .

Zaczynamy od dziedziny

$$x≠0$$

Zatem Dziedzina:

D=R{0}

Mnożymy przez mianownik

$${-x+2}/x=x$$ $$|×x$$

$$-x+2=x^2$$

Znów mamy kwadratowe
$$x^2+x-2=0$$

No to standardowo:
$$a=1$$
$$b=1$$
$$c=-2$$

Obliczmy deltę:
$$∆=1^2-4×1×(-2)$$
$$∆=1+8$$
$$∆=9$$

Obliczmy pierwiastek:
$$√{∆}=3$$

No i teraz nasze rozwiązania
$$x_1={-b+√{∆} }/{2a} $$
$$x_1={-1+3}/2=1 $$

$$x_2={-b-√{∆} }/{2a} $$
$$x_2={-1-3}/2=-2 $$

Spełniają dziedzinę, więc koniec zadania.

Zadanie 3.

Rozwiąż równanie $$x/{x^2-4}=1$$.

Krok pierwszy, dziedzina, mamy tu wzór skróconego mnożenia
$$x^2-4≠0$$

Więc rozbijamy
$$(x+2)(x-2)≠0$$

Pamiętamy, że iloczyn jest zerem jak jeden z składników to 0, więc
$$(x+2)≠0$$ v $$(x-2)≠0$$

Zatem Dziedzina
D=R{-2;2}

Kolejny krok, mnożymy przez mianownik
$$x/{x^2-4}=1$$ $$|×(x^2-4)$$
$$x=x^2-4$$

Znów równanie kwadratowe:
$$-x^2+x+4=0$$

Znów procedura związana z równaniem kwadratowym.

Wyznaczmy współczynniki:
$$a=-1$$
$$b=1$$
$$c=4$$

Obliczmy deltę:
$$∆=b^2-4ac $$
$$∆=1^2-4×(-1)×4 $$
$$∆=1+16$$
$$∆=17$$

Obliczmy pierwiastek:
$$√{∆}=√{17} $$

No i dwa rozwiązania:

$$x_1={-b+√{∆} }/{2a} $$
$$x_1={-1+√{17} }/{-2} $$

$$x_2={-b-√{∆} }/{2a} $$
$$x_2={-1-√{17} }/{-2}={1+√17}/2 $$

Spełniają dziedzinę, więc koniec zadania.
 

Spis treści

Rozwiązane zadania
Państwo Kowalscy oszacowali

`ul(ul("państwo Kowalscy"))`

Planowali wydać 54 000 zł, a wydali o 2000 zł więcej, czyli 56 000 zł. Błąd bezwzględny jest równy właśnie 2000 zł (jest to różnica między szacowanym kosztem, a faktycznym kosztem). 

Obliczamy, jaki był błąd względny:

`2000/|56\ 000|=2000/(56\ 000)=2/56=0,03571...=3,571%~~3,57%`

 

 

`ul(ul("państwo Kwiatkowscy"))`

Planowali wydać 8800 zł, a wydali o 2000 zł więcej, czyli 10 800 zł. Błąd bezwzględny jest równy właśnie 2000 zł (jest to różnica między szacowanym kosztem, a faktycznym kosztem). 

 

Obliczamy, jaki był błąd względny:

`2000/|10\ 800|=2000/(10\ 800)=20/108=0,18518...=18,518%~~18,52%`

Dane są zbiory

Zbiór A to zbiór liczb całkowitych, których kwadrat jest nie większy od 10. 

`A={k in C:\ k^2<=10}={-3,\ -2,\ -1,\ 0,\ 1,\ 2,\ 3}` 

 

Zbiór A to zbiór liczb naturalnych, których kwadrat jest nie większy od 10. 

`B={n in N:\ n^2<=10}={0,\ 1,\ 2,\ 3}` 

 

`A\\B={-3,\ -2,\ -1}` 

 

Prawidłowa jest odpowiedź B. 

Czy można ułożyć równanie kwadratowe tak, aby ...

`a)` 

`ax^2+bx+c=0` 

`-b/a=7\ implies \ a=-b/7`     

`c/a=3\ implies\ a=c/3` 

`a=a` 

`-b/7=c/3` 

`7c=-3b` 

`c=-3/7b` 

 

`"Przykładowo:"\ b=1\ implies\ c=-3/7\ implies \ a=-3/7*1/3=-3/21.` 

`-3/21x^2+x-3/7=0` 

`Delta=1-4*3/21*3/7=1-36/147>=0`   

`"Można ułożyć równanie spełniające założenia punktu a)."`    

 

`b)` 

`ax^2+bx+c=0` 

`-b/a=3\ implies \ a=-b/3`     

`c/a=7\ implies\ a=c/7` 

`-b/3=c/7` 

`c=-7/3b` 

`a=c/7=-7/3b*1/7=-7/21b` 

`Delta=b^2-4ac=b^2-4*(-7/3b)(-7/21b)=b^2-28/9b^2=-19/9b^2<0` 

`"Nie można ułóżyć takiego równania."`  

Posługując się wykresami odpowiednio dobranych

a)

Musimy się dowiedzieć, dla jakich argumentów wartości funkcji f(x)=2x+5 są równe wartościom funkcji g(x)= -3x-5.

Przedstawiamy w układzie współrzędnych wykresy obu funkcji i znajdujemy ich punkt przecięcia się.

`f(x)= g(x) \ \ dla \ \ \ ul(ul(x=-2))`

 b)

Musimy się dowiedzieć, dla jakich argumentów wartości funkcji f(x)=x²  są równe wartościom funkcji g(x)=|x|.

Przedstawiamy w układzie współrzędnych wykresy obu funkcji i znajdujemy ich punkty przecięcia się.

`f(x)=g(x) \ \ dla\ \ x in{-1,0,1}`

Gorączkującego pacjenta przyjęto na ...

a) Po 8 godzinach zaobserwowano, że leki zaczynają obniżać gorączkę.

 

b) Wzrost temperatury zaobserwowano o godzinie 10:00.

Temperaturę mierzono co 4 godziny. O godzinie 6:00 temperatura była niższa niż w poprzednich godzinach. Dopiero w czasie kolejnego pomiaru zauważono, że temperatura wzrosła.

Możemy powiedzieć, że temperatura wzrastała od godziny 6:00, ale jej wzrost zaobserwowano o godzinie 10:00 (gdyż wtedy był kolejny pomiar).

 

c) Najniższa temperatura jaką miał pacjent to 36,0ºC.

 

d) Największy spadek temperatury nastąpił między godziną 14:00 a godziną 18:00 (w piątek!).

Podaj przykład wzoru funkcji...

a) Każdemu elementowi przyporządkowujemy jego kwadrat.

`f(x) = x^2` 

 

b) Każdemu elementowi przyporządkowujemy sumę jego podwojonej wartości i liczby 3.

`f(x) = 2x+3` 

Wystarczy zwrócić uwagę, że

`0 -> 3` 

A więc załóżmy, że funkcja dodaje każdemu elementowi 3. Wtedy łatwo zauważyć, że elementy rzeczywiście są podwajane:

`0 -> 0*2+3=3` 

`1 -> 1*2 +3=5` 

`2->2*2+3=7` 

`3 ->3*2+3 = 9` 

 

c) Każdemu elementowi przyporządkowujemy element o 1 mniejszy.

`f(x) = x-1` 

 

d) Każdemu elementowi przyporządkowujemy jego sześcian.

`f(x) = x^3` 

Wśród 180 studentów przeprowadzono ankietę

Dane są zbiory ...

`A={-3,-1,\ 1,\ 3,\ 5,\ 7}` 

`B={1,\ 3,\ 5}` 

 

`AcupB={-3,-1,\ 1,\ 3,\ 5,\ 7}` 

`AcapB={1,\ 3,\ 5}` 

`A\\B={-3,-1,\ 7}` 

`B\\A=O/` 

 

Kwadrat i koło mają równe ...

Niech:

a - długość boku kwadratu

r - długość promienia koła

(wiemy, że a,r>0)

Pole kwadratu:

`P_(kw)=a^2` 

Pole koła:

`P_(ko)=pir^2` 

Pole koła i kwadratu są równe:

`P_(kw)=P_(ko)` 

`a^2=pir^2` 

 

a) Wyznaczamy długość boku kwadratu za pomocą długości promienia:

`a^2=pir^2` 

`a=sqrt(pir^2)` 

`a=rsqrtpi` 

 

b) Wyznaczamy długośc przekątnej kwadratu za pomocą długości promienia:

Długość przekątnej (d) w kwadracie wyraża się wzorem:

`d=asqrt2` 

 

Do wzoru podstawiamy obliczoną w poprzednim punkcie długość boku kwadratu:

`d=rsqrtpi*sqrt2=rsqrt(2pi)`  

Określ dziedzinę funkcji

`b)`

`x+5>=0\ \ \ |-5`

`x>=-5`

  

`D_f\ =<<-5;\ +infty)`

 

 

`c)`

`2-x>=0\ \ \ |-2`

`-x>=-2\ \ \ |*(-1)`

`x<=2`

 

`D_f\ =(-infty;\ -2>>`

 

 

`d)`

`x^2+4>=0\ \ \ |-4`

`x^2>=-4`

Kwadrat każdej liczby rzeczywistej jest nieujemny, więc powyższa nierówność jest spełniona zawsze.

 

`D_f\ =RR`