Równania wymierne - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Rozwiąż równanie $${x-5}/{x+2}={x+3}/{x-4}$$ .

Najpierw liczymy dziedzinę, czyli:
$$x+2≠0$$
$$x≠-2$$

Oraz

$$x-4≠0$$
$$x≠4$$

Zatem Dziedzina:
D=R{-2;4}

Krok drugi, tutaj weźmy na krzyż
$${x-5}/{x+2}={x+3}/{x-4}$$
$$(x-5)(x-4)=(x+2)(x+3)$$

Mnożymy każdy z każdym
$$x^2-5x-4x+20=x^2+2x+3x+6$$

Niewiadome na lewo, liczby na prawo
$$x^2-5x-4x-x^2-2x-3x=6-20$$

Redukcja
$$-14x=-14$$ $$|:(-14)$$
$$x=1$$

Spełnia dziedzinę.

Zadanie 2.

Rozwiąż równanie: $${x-2}/x=x$$ .

Zaczynamy od dziedziny

$$x≠0$$

Zatem Dziedzina:

D=R{0}

Mnożymy przez mianownik

$${-x+2}/x=x$$ $$|×x$$

$$-x+2=x^2$$

Znów mamy kwadratowe
$$x^2+x-2=0$$

No to standardowo:
$$a=1$$
$$b=1$$
$$c=-2$$

Obliczmy deltę:
$$∆=1^2-4×1×(-2)$$
$$∆=1+8$$
$$∆=9$$

Obliczmy pierwiastek:
$$√{∆}=3$$

No i teraz nasze rozwiązania
$$x_1={-b+√{∆} }/{2a} $$
$$x_1={-1+3}/2=1 $$

$$x_2={-b-√{∆} }/{2a} $$
$$x_2={-1-3}/2=-2 $$

Spełniają dziedzinę, więc koniec zadania.

Zadanie 3.

Rozwiąż równanie $$x/{x^2-4}=1$$.

Krok pierwszy, dziedzina, mamy tu wzór skróconego mnożenia
$$x^2-4≠0$$

Więc rozbijamy
$$(x+2)(x-2)≠0$$

Pamiętamy, że iloczyn jest zerem jak jeden z składników to 0, więc
$$(x+2)≠0$$ v $$(x-2)≠0$$

Zatem Dziedzina
D=R{-2;2}

Kolejny krok, mnożymy przez mianownik
$$x/{x^2-4}=1$$ $$|×(x^2-4)$$
$$x=x^2-4$$

Znów równanie kwadratowe:
$$-x^2+x+4=0$$

Znów procedura związana z równaniem kwadratowym.

Wyznaczmy współczynniki:
$$a=-1$$
$$b=1$$
$$c=4$$

Obliczmy deltę:
$$∆=b^2-4ac $$
$$∆=1^2-4×(-1)×4 $$
$$∆=1+16$$
$$∆=17$$

Obliczmy pierwiastek:
$$√{∆}=√{17} $$

No i dwa rozwiązania:

$$x_1={-b+√{∆} }/{2a} $$
$$x_1={-1+√{17} }/{-2} $$

$$x_2={-b-√{∆} }/{2a} $$
$$x_2={-1-√{17} }/{-2}={1+√17}/2 $$

Spełniają dziedzinę, więc koniec zadania.
 

Spis treści

Rozwiązane zadania
Sprawdź, czy istnieje

`px-5p^2+2p>0\ \ \ |+5p^2-2p` 

`px>5p^2+2p` 

 

`1)\ "Dla"\ p=0\ "nierówność jest postaci:"` 

`\ \ \ 0*x>5*0^2-2*0` 

`\ \ \ 0>0` 

`\ \ \ "Nierówność jest sprzeczna - nie ma rozwiązania."` 

 

`2)\ "Dla"\ p<0\ "możemy podzielić nierówność ze zmianą znaku:"` 

`\ \ \ px>5p^2-2p\ \ \ |:p` 

`\ \ \ x<5p-2` 

`\ \ \ x in (-infty;\ 5p-2)` 

 

`3)\ "Dla"\ p>0\ "możemy podzielić nierówność bez zmiany znaku:"` 

`\ \ \ px>5p^2-2p\ \ \ |:p` 

`\ \ \ x>5p-2` 

`\ \ \ x in (5p-2;\ +infty)` 

 

 

Rozwiązaniem ma być przedział (-∞; -8). Przedział takiej podstaci otrzymaliśmy w drugim przypadku. Aby rozwiązaniem był zadany przedział, musiałaby zachodzić następująca równość:

`5p-2=-8\ \ \ |+2`  

`5p=-6\ \ \ |:5` 

`p=-6/5` 

`p=-1 1/5`   

Otrzymaliśmy ujemną wartość parametru p, co jest zgodne z drugim przypadkiem. 

Oznacza to, że  istnieje wartość parametru p, dla której zbiorem rozwiązań nierówności jest przedział (-∞, 8). Taką wartością jest p=-6/5.

Ile razy funkcja przedstawiona...

Jeżeli poprowadzimy sobie prostą o równaniu y = 3 zauważymy, że wykres funkcji zostanie przecięty trzykrotnie.

 

Odpowiedź B

Przeczytaj informację w ramce

Interpretacja geometryczna wartości bezwzględnej to odległość od 0 na osi liczbowej. 

 

`a)`

Musimy zaznaczyć liczby, których odległość od 0 jest mniejsza niż 8. 

`x in (-8,\ 8)`

 

 

`b)`

Musimy zaznaczyć liczby, których odległość od 0 jest mniejsza lub równa 4. 

 

`x in <<-4,\ 4>>`

 

`c)`

Musimy zaznaczyć liczby, których odległość od 0 jest większa niż 3. 

`x in (-infty,\ -3)uu(3,\ +infty)`

 

`d)`

Musimy zaznaczyć liczby, których odległość od 0 jest większa lub równa od 1/2. 




`x in(-infty,\ -1/2>>uu<<1/2,\ +infty)`

 

Oblicz

`a)\ (3sqrt2)^3=3^3*sqrt2^3=27*2sqrt2=54sqrt2`

`b)\ (2sqrt3)^4=2^4*sqrt3^4=16*9=144`

`c)\ (2sqrt2)^5=2^5*sqrt2^5=32*4sqrt2=128sqrt2`

`d)\ (2sqrt5)^6=2^6*sqrt5^6=64*125=8000`

Włącz czynnik pod pierwiastek

`a)\ 2root(3)3=root(3)8*root(3)3=root(3)(8*3)=root(3)24`

`b)\ 3root(3)2=root(3)27*root(3)2=root(3)(27*2)=root(3)54`

`c)\ 5root(3)2=root(3)(125)*root(3)2=root(3)(125*2)=root(3)250`

`d)\ 4root(3)5=root(3)64*root(3)5=root(3)(64*5)=root(3)320`

`e)\ 6root(3)5=root(3)216*root(3)5=root(3)(216*5)=root(3)1080`

 

Cenę towaru podwyższono o 20%, a następnie

Oznaczmy sobie początkową cenę towaru jako x. Cena ta po podwyżce o 20% wynosi:

`120%*x=1,2x`

Cenę tą jednak obniżono, zatem po tej kolejnej zmianie ceny wynosi:

`80%*1,2x=0,8*1,2x=0,96x`

Cenę obniżono o:

`x-0,96x=0,04x`

Ta zmiana ceny wynosi 24zł, zatem rozwiązujemy równanie:

`0,04x=24"zł"`                ` /*100`

`4x=2400 "zł"`                ` /:4`

`x=600 "zł"`

Cenę sukni ślubnej obniżono o p%

Dla ułatwienia obliczeń przyjmijmy, że początkowa cena sukni wynosi 1000 zł. 

`a)`

Obliczamy nową cenę sukni: 

`(100%-50%)*1000=50%*1000=500\ "zł"`

 

Teraz chcemy obliczyć, o ile należałoby podnieść cenę sukni, aby cena była taka sama, jak pocżątkowa. Oznaczmy ten procent jako r. 

`500+500*r=1000\ \ \ |-500`

`500r=500\ \ \ |:500`

`r=1=100/100=100%`

Cenę sukni należałoby podnieść o 100%. 

 

 

`b)`

Obliczamy nową cenę sukni: 

`(100%-60%)*1000=40%*1000=0,4*1000=400\ "zł"`

 

`400+400*r=1000\ \ \ |-400`

`400r=600\ \ \ |:400`

`r=600/400=6/4=3/2=150/100=150%`

 

 

`c)`

`(100%-20%)*1000=80%*1000=0,8*1000=800 \ "zł"`

 

`800+800*r=1000\ \ \ |-800`

`800*r=200\ \ \ |:800`

`r=200/800=1/4=25/100=25%`

 

 

`d)`

`(100%-36%)*1000=64%*1000=0,64*1000=640\ "zł"`

 

`640+640*r=1000\ \ \ |-640`

`640*r=360\ \ \ |:640`

`r=360/640=36/64=9/16=9/16*100%=900/16%=56,25%`

Uzasadnij podane wyżej twierdzenie ...

`a)` 

`h^2+(1/2a)^2=a^2` 

`h^2+1/4a^2=a^2 \ \ \ |-1/4a^2` 

`h^2=3/4a^2` 

`h=sqrt(3/4a^2)=sqrt3/2a=(asqrt3)/2` 

 

`b)` 

`r=1/3h=1/3*(asqrt3)/2=(asqrt3)/6` 

`P_(wp i sa n ego)=pi*r^2=pi*((asqrt3)/6)^2=` `pi*(a^2*3)/36=``pi/12a^2 ` 

 

`R=2/3h=2/3*(asqrt3)/2=` `(asqrt3)/3` 

`P_(op i sa n ego)=` `pi*R^2=pi*((asqrt3)/3)^2=` `pi*(a^2*3)/9=` `pi/3a^2` 

 

`P_(op i san e go)-P_(wp i san ego)=pi/3a^2-pi/12a^2=(4pi)/12a^2-pi/12a^2=(3pi)/12a^2=pi/4a^2`      

Oblicz

`a)\ -2 1/3*(-27/28)=-strike7^1/strike3^1*(-strike27^9/strike28^4)=9/4=2 1/4`

`b)\ -3 3/8:5 1/16=-27/8:81/16=-strike27^1/strike8^1*strike16^2/strike81^3=-2/3`

`c)\ -1 1/7*1 11/24:3/5=-strike8^1/strike7^1*strike35^5/strike24^3*5/3-25/9=-2 7/9`

`d)\ 3 1/2-3 1/6:(-2 1/9)=3 1/2+3 1/6:2 1/9=3 1/2+19/6:19/9=3 1/2+strike19^1/strike6^2*strike9^3/strike19^1=3 1/2+3/2=3 1/2+1 1/2=5`

Narysuj wykresy przykładowych funkcji...