Równania wymierne - matura-podstawowa - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Równania wymierne - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Rozwiąż równanie ${x-5}/{x+2}={x+3}/{x-4}$ .

Najpierw liczymy dziedzinę, czyli:
$x+2≠0$
$x≠-2$

Oraz

$x-4≠0$
$x≠4$

Zatem Dziedzina:
D=R{-2;4}

Krok drugi, tutaj weźmy na krzyż
${x-5}/{x+2}={x+3}/{x-4}$
$(x-5)(x-4)=(x+2)(x+3)$

Mnożymy każdy z każdym
$x^2-5x-4x+20=x^2+2x+3x+6$

Niewiadome na lewo, liczby na prawo
$x^2-5x-4x-x^2-2x-3x=6-20$

Redukcja
$-14x=-14$ $|:(-14)$
$x=1$

Spełnia dziedzinę.

Zadanie 2.

Rozwiąż równanie: ${x-2}/x=x$ .

Zaczynamy od dziedziny

$x≠0$

Zatem Dziedzina:

D=R{0}

Mnożymy przez mianownik

${-x+2}/x=x$ $|×x$

$-x+2=x^2$

Znów mamy kwadratowe
$x^2+x-2=0$

No to standardowo:
$a=1$
$b=1$
$c=-2$

Obliczmy deltę:
$∆=1^2-4×1×(-2)$
$∆=1+8$
$∆=9$

Obliczmy pierwiastek:
$√{∆}=3$

No i teraz nasze rozwiązania
$x_1={-b+√{∆} }/{2a} $
$x_1={-1+3}/2=1 $

$x_2={-b-√{∆} }/{2a} $
$x_2={-1-3}/2=-2 $

Spełniają dziedzinę, więc koniec zadania.

Zadanie 3.

Rozwiąż równanie $x/{x^2-4}=1$.

Krok pierwszy, dziedzina, mamy tu wzór skróconego mnożenia
$x^2-4≠0$

Więc rozbijamy
$(x+2)(x-2)≠0$

Pamiętamy, że iloczyn jest zerem jak jeden z składników to 0, więc
$(x+2)≠0$ v $(x-2)≠0$

Zatem Dziedzina
D=R{-2;2}

Kolejny krok, mnożymy przez mianownik
$x/{x^2-4}=1$ $|×(x^2-4)$
$x=x^2-4$

Znów równanie kwadratowe:
$-x^2+x+4=0$

Znów procedura związana z równaniem kwadratowym.

Wyznaczmy współczynniki:
$a=-1$
$b=1$
$c=4$

Obliczmy deltę:
$∆=b^2-4ac $
$∆=1^2-4×(-1)×4 $
$∆=1+16$
$∆=17$

Obliczmy pierwiastek:
$√{∆}=√{17} $

No i dwa rozwiązania:

$x_1={-b+√{∆} }/{2a} $
$x_1={-1+√{17} }/{-2} $

$x_2={-b-√{∆} }/{2a} $
$x_2={-1-√{17} }/{-2}={1+√17}/2 $

Spełniają dziedzinę, więc koniec zadania.
 

Spis treści

Rozwiązane zadania
Znajdź parę liczb przeciwnych spełniających ...

Liczby  mają być liczbami przeciwnymi, więc:

 


Rozwiązujemy równanie. {premium}

 

 

 

 

 

Szukane liczby to:

 

Naszkicuj wykres funkcji

 

Rysujemy wykres funkcji f:{premium}

 

Wykres funkcji g otrzymamy, przesuwając wykres funkcji f o 1 jednostkę w górę wzdłuż osi OY. 

Wykres funkcji h otrzymamy, przesuwając wykres funkcji f o 2 jednostki w dół wzdłuż osi OY. 

 

Podajemy zbiory wartości funkcji g i h:

 

 

 

 

 

 

Rysujemy wykres funkcji f:

Wykres funkcji g otrzymamy, przesuwając wykres funkcji f o 1 jednostkę w górę wzdłuż osi OY. 

Wykres funkcji h otrzymamy, przesuwając wykres funkcji f o 2 jednostki w dół wzdłuż osi OY. 

Zauważmy, że punkt (2, 1) należy do wykresu funkcji f (czarne kółeczko zamalowane) i zarazem nie należy do wykresu funkcji h (zielone kółeczko otwarte).

Podajemy zbiory wartości funkcji g i h:

 

 

Wyrażenie...

Upraszczamy wyrażenie:{premium}

 


Obliczamy wartość wyrażenia:

 

Państwo Kowalscy kupili prostokątną działkę...

 Zamieniamy rzeczywistą powierzchnię działki na metry kwadratowe:

 

 rzeczywista szerokość działki

Mamy:

 {premium}

 

Odp. Rzeczywista szerokość działki jest równa  


 Obliczamy błąd względny pomiaru pani Kowalskiej:

 

Obliczamy błąd względny pomiaru pana Kowalskiego:

 

Odp. Mniej dokładnego pomiaru dokonał pan Kowalski.

Na poniższym rysunku przedstawiony ...

a)

 

     {premium}


b)

Punkt przecięcia wykresu funkcji f z osią OX: (1,0) oraz (8,0) oraz (11,0).

Punkt przecięcia wykresu funkcji f z osią OY: (0,-2). 


c)

Najmniejsza wartość funkcji: -6 dla argumentu x=-2.

Największa wartość funkcji: 5 dla argumentu x=3.


d)

1)  

2)  

 

Wskaż liczbę równą liczbie...

Prawidłowa odpowiedź to A, ponieważ {premium}

 

Zosia, Krysia i Piotrek wybrali...

Zakupy Zosi możemy opisać równaniem:{premium}

 

Zakupy Krysi możemy opisać równaniem:

 


Zapisujemy powyższe równania jako układ równań i wyznaczmy z niego k oraz m.

 

 

Podstawiamy k=70-4m do pierwszego równania.

 

 

 

 

Podstawiamy m=15 do drugiego równania.

 

 

 


Obliczamy koszt zakupów Piotrka:

 


Odp. Piotrkowi wystarczy pieniędzy na zakupy. Zapłaci za nie 70 zł.

Ze zbioru wypisz wszystkie liczby wymierne

{premium}

 

Liczby wymierne zostały podkreślone.  

Zbiór X jest zbiorem liczb naturalnych mniejszych od 12

Przy dzieleniu przez 4 możemy dostać tylko cztery reszty: 0, 1, 2 lub 3.  {premium}

Zapiszmy kilka wartości funkcji

 

Można zauważyć, że wartości pojawiają się cyklicznie: 0, 1, 2, 3, 0, 1, 2, 3, itd.

Aby otrzymać wykres funkcji g wystarczy przesunąć wykres funkcji f o 1 jednostkę w dół wzdłuż osi OY.

Wykres funkcji f zaznaczono na czarno, a wykres funkcji g zaznaczono na pomarańczowo.

   

  

Udowodnij, że jeżeli liczby ...

Przyjmijmy:

 

Z nierówności   otrzymujemy:   {premium}

 

 

 

 

Zatem:

 

Z powyższych nierówności otrzymujemy:

 

 

W pozostałych przypadkach uporządkowania, np.   otrzymujemy takie same wnioski.

Zatem jeśli liczby rzeczywiste   spełniają nierówności podane w zadaniu, to zachodzi