Równania wymierne - matura-podstawowa - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Równania wymierne - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Rozwiąż równanie ${x-5}/{x+2}={x+3}/{x-4}$ .

Najpierw liczymy dziedzinę, czyli:
$x+2≠0$
$x≠-2$

Oraz

$x-4≠0$
$x≠4$

Zatem Dziedzina:
D=R{-2;4}

Krok drugi, tutaj weźmy na krzyż
${x-5}/{x+2}={x+3}/{x-4}$
$(x-5)(x-4)=(x+2)(x+3)$

Mnożymy każdy z każdym
$x^2-5x-4x+20=x^2+2x+3x+6$

Niewiadome na lewo, liczby na prawo
$x^2-5x-4x-x^2-2x-3x=6-20$

Redukcja
$-14x=-14$ $|:(-14)$
$x=1$

Spełnia dziedzinę.

Zadanie 2.

Rozwiąż równanie: ${x-2}/x=x$ .

Zaczynamy od dziedziny

$x≠0$

Zatem Dziedzina:

D=R{0}

Mnożymy przez mianownik

${-x+2}/x=x$ $|×x$

$-x+2=x^2$

Znów mamy kwadratowe
$x^2+x-2=0$

No to standardowo:
$a=1$
$b=1$
$c=-2$

Obliczmy deltę:
$∆=1^2-4×1×(-2)$
$∆=1+8$
$∆=9$

Obliczmy pierwiastek:
$√{∆}=3$

No i teraz nasze rozwiązania
$x_1={-b+√{∆} }/{2a} $
$x_1={-1+3}/2=1 $

$x_2={-b-√{∆} }/{2a} $
$x_2={-1-3}/2=-2 $

Spełniają dziedzinę, więc koniec zadania.

Zadanie 3.

Rozwiąż równanie $x/{x^2-4}=1$.

Krok pierwszy, dziedzina, mamy tu wzór skróconego mnożenia
$x^2-4≠0$

Więc rozbijamy
$(x+2)(x-2)≠0$

Pamiętamy, że iloczyn jest zerem jak jeden z składników to 0, więc
$(x+2)≠0$ v $(x-2)≠0$

Zatem Dziedzina
D=R{-2;2}

Kolejny krok, mnożymy przez mianownik
$x/{x^2-4}=1$ $|×(x^2-4)$
$x=x^2-4$

Znów równanie kwadratowe:
$-x^2+x+4=0$

Znów procedura związana z równaniem kwadratowym.

Wyznaczmy współczynniki:
$a=-1$
$b=1$
$c=4$

Obliczmy deltę:
$∆=b^2-4ac $
$∆=1^2-4×(-1)×4 $
$∆=1+16$
$∆=17$

Obliczmy pierwiastek:
$√{∆}=√{17} $

No i dwa rozwiązania:

$x_1={-b+√{∆} }/{2a} $
$x_1={-1+√{17} }/{-2} $

$x_2={-b-√{∆} }/{2a} $
$x_2={-1-√{17} }/{-2}={1+√17}/2 $

Spełniają dziedzinę, więc koniec zadania.
 

Spis treści

Rozwiązane zadania
Uczniowie klasy Ia postanowili kupić...

Analiza treści zadania:

 cena prezentu

 początkowa ilość osób, składających się na prezent  

 początkowa wysokość składki 

 późniejsza ilość osób, składających się na prezent

 późniejsza wysokość składki

Ponieważ po zwiększeniu liczby osób nastąpiło zmniejszenie składki o  {premium}  to mamy:

 

Wyznaczamy z równania  

 

 

 

 

 

 

 

  

 

 

 

 

 

W klasie jest 21 osób (należy jeszcze doliczyć osobę, dla której był kupowany prezent)

 

Odp. B

  

Uzupełnij zapisy ...

Uzupełniamy luki, korzystając z tabeli podanej na poprzedniej stronie.

a)

 

 {premium}

 

 


b)

 

 

 

 


c)

 

 

 

 


d)

 

 

 

 


Uwaga! W książce podano błędną odpowiedź do ostatniego przykładu z podpunktu b).

Dane są trzy funkcje o dziedzinie ...

Wyznaczamy wartości funkcji  dla podanych argumentów.

                   
                    

 

                   
                    

 

                   
                    


Szkicujemy wykresy funkcji  na oddzielnych wykresach.


 

Z rysunków odczytujemy argumenty, dla których funkcje te przyjmują wartość 0.

 

 

 


 

Z rysunków odczytujemy argumenty, dla których funkcje te przyjmują wartości ujemne.

 

 

 


 

Z rysunków odczytujemy argumenty, dla których funkcje te przyjmują wartości dodatnie.

 

 

 

Zbadaj, dla jakich wartości...

 

 

 

  

 

 

Podstawmy wyliczoną wartość pod pierwsze równanie:

 

 

 

{premium}  

 

współrzędne punktu P to:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Podstawmy wyliczoną wartość pod pierwsze równanie:

 

 

 

 

 

 

współrzędne punktu P to:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Podstawmy wyliczoną wartość pod pierwsze równanie:

 

 

 

 

 

 

Współrzędne punktu P to:

 

 

 

 

 

 

 

Stąd:

  

 

 

 

 

Współrzędne punktu P to:

 

Dane są długości boków trójkąta równoramiennego...

Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku poniżej:

 gdy otrzymamy trójkąt ostrokątny

Thumb zad5.94astr123

 gdy otrzymamy trójkąt rozwartokątny

Thumb zad5.94bstr123


Skorzystamy z następującego twierdzenia:

Jeśli długości boków trójkąta oznaczymy literami  w taki sposób, że  oraz  

to trójkąt jest rozwartokątny. Jeśli natomiast  to trójkąt jest ostrokątny.



 Mamy dane:

 

 

Porządkujemy niemalejąco długości boków: 

 

Mamy:

 

Oznacza to, że trójkąt jest ostrokątny.


Z twierdzenia Pitagorasa obliczamy wysokość  

 

 

 

 

 {premium}


Zauważmy, że:

 


Z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta  obliczamy promień okręgu opisanego na trójkącie.

 

 

 

 

 


Odp. Trójkąt jest ostrokątny. Promień okręgu opisanego na tym trójkącie ma długość  



 Mamy dane:

 

 

Porządkujemy niemalejąco długości boków: 

 

Mamy:

 

 

Otrzymaliśmy, że:

 

 

Oznacza to, że trójkąt jest rozwartokątny.


Z twierdzenia Pitagorasa obliczamy wysokość  

 

 

 

 

 


Zauważmy, że:

 


Z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta  obliczamy promień okręgu opisanego na trójkącie.

 

 

 

 

 


Odp. Trójkąt jest rozwartokątny. Promień okręgu opisanego na tym trójkącie ma długość  



 Mamy dane:

 

 

Porządkujemy niemalejąco długości boków: 

 

Mamy:

 

 

Otrzymaliśmy, że:

 

 

Oznacza to, że trójkąt jest rozwartokątny.


Z twierdzenia Pitagorasa obliczamy wysokość  

 

 

 

 

 


 

Zauważmy, że:

 


Z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta  obliczamy promień okręgu opisanego na trójkącie.

 

 

 

 

 


Odp. Trójkąt jest rozwartokątny. Promień okręgu opisanego na tym trójkącie ma długość  



 Mamy dane:

 

 

Porządkujemy niemalejąco długości boków: 

 

Mamy:

 

 

Otrzymaliśmy, że:

 

 

Oznacza to, że trójkąt jest rozwartokątny.


Z twierdzenia Pitagorasa obliczamy wysokość  

 

 

 

 

 


Zauważmy, że:

 


Z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta  obliczamy promień okręgu opisanego na trójkącie.

 

 

 

 

 


Odp. Trójkąt jest rozwartokątny. Promień okręgu opisanego na tym trójkącie ma długość  

Wyznacz wartość m tak ...

 

 

Podstawiając współrzędne punktu A otrzymujemy:   {premium}

 

 

 

 


 

 

Podstawiając współrzędne punktu A otrzymujemy:

 

 

 

 

 

 


 

 

Podstawiając współrzędne punktu A otrzymujemy:

 

 

 

 

 


 

 

Podstawiając współrzędne punktu A otrzymujemy:

 

 

 

 

 

 

 

Pole sześciokąta foremnego o ...

Wyznaczamy długość boku sześciokąta foremnego, którego pole jest wynosi .

 {premium}

 

 

 


Obwód sześciokąta foremnego o boku długości  jest równy:

 


Odpowiedź: C

Na rysunku przedstawiono wykres funkcji ...

Wykres funkcji  otrzymujemy przez przesunięcie wykresu funkcji  o wektor .


 

Wykres funkcji  otrzymujemy przez przesunięcie wykresu funkcji  o wektor . Szkicujemy wykres funkcji .{premium}


Z wykresu odczytujemy dziedzinę i zbiór wartości funkcji .

 

 


Funkcja  przyjmuje wartości dodatnie dla:

 


 

Wykres funkcji  otrzymujemy przez przesunięcie wykresu funkcji  o wektor . Szkicujemy wykres funkcji .


Z wykresu odczytujemy dziedzinę i zbiór wartości funkcji .

 

 


Funkcja  przyjmuje wartości dodatnie dla:

 

Wykaż, że suma odległości dowolnego punktu...

Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku poniżej:

Thumb zad5.13str133


Przy przyjętych oznaczeniach wystarczy pokazać, że:

 {premium}


Z warunku istnienia trójkąta  

 


Z warunku istnienia trójkąta  

 


Z warunku istnienia trójkąta  

 


Z warunku istnienia trójkąta  

 


Zatem:

 

 

 

 


Pokazaliśmy, że suma odległości dowolnego punktu płaszczyzny od wierzchołków danego czworokąta

jest większa od połowy obwodu tego czworokąta, co należało dowieść.

Funkcję liniową f opisuje wzór...

a) Funkcja przecina oś OY{premium} dla argumentu zero.

 

Wykres funkcji f przecina oś OY w punkcie (0, 5-π).


b) Obliczamy wartość funkcji f dla argumentu -1:

 

Funkcja f dla argumentu -1 przyjmuje wartość 2.