Równania wielomianowe - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Rozwiąż równanie: $$x^3-x^2+5x=0$$

Standardowo wyciągamy x przed nawias, ponieważ nie ma tu wyrazu wolnego:

$$x(x^2-x+5)=0$$

Mamy równanie kwadratowe oraz x, zajmijmy się najpierw równaniem:

$$x^2-x+5=0$$

$$a=1$$

$$b=-1$$

$$c=5$$

Obliczmy deltę:

$$∆=b^2-4ac$$

$$∆=(-1)^2-4×1×5$$

$$∆=1-20$$

$$∆=-19$$

Delta nam wyszła ujemna, zatem tu nie ma rozwiązania. Pozostała nam tylko część pierwsza czyli x. Zatem jedynym rozwiązaniem równania jest $$x=0$$.  

Zadanie 2.

Rozwiąż równanie $$x^3-6x^2-9x+54=0$$.

Zacznijmy znów od małej zamiany

$$x^3-9x-6x^2+54=0 $$

Teraz wyciągamy co się da

$$x(x^2-9)-6(x^2-9)=0 $$

Jak widać znów bez problemu udało się nam uzyskać te same wartości. Wyciągamy nawias, czyli łączymy to, co poza nawiasem

$$(x^2-9)(x-6)=0$$

Sprawdzamy kiedy to jest zero

$$x^2-9=0$$ v $$x-6=0$$

Więc ze wzoru skróconego mnożenia

$$(x+3)(x-3)=0$$ v $$x=6$$

$$x+3=0$$ v $$x-3=0$$ v $$x=6$$

Pozostaje dodać albo odjąć stronami 3 i już można podać wynik

$$x=-3$$ v $$x=3$$ v $$x=6$$
 

Spis treści

Rozwiązane zadania
Podaj wzór funkcji liniowej, której miejscem...

Niech rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne Jeżeli przekształcamy wykres funkcji rownanie matematyczne w symetrii względem osi rownanie matematyczne 

to otrzymujemy wykres funkcji rownanie matematyczne 

Mamy więc:

rownanie matematyczne 

Odp. Otrzymamy wykres funkcji rownanie matematyczne 

 

rownanie matematyczne Jeżeli przekształcamy wykres funkcji rownanie matematyczne w symetrii względem osi rownanie matematyczne 

to otrzymujemy wykres funkcji rownanie matematyczne 

Mamy więc:

rownanie matematyczne 

Odp. Otrzymamy wykres funkcji rownanie matematyczne 

Niech x oznacza długość podstawy...

Rysunek poglądowy:

Skoro podstawa ma długość x to ramię musi mieć długość:

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

 

Wzór funkcji:

rownanie matematyczne 

Dziedzina:

Jeżeli ramię byłoby krótsze od podstawy to suma długości dwóch ramion musi być większa od długości podstawy:

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

Długość podstawy musi być dodatnia a więc:

rownanie matematyczne 

 

rownanie matematyczne 

Podane poniżej rozwiązanie

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

 

 

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

 

rownanie matematyczne

 

 

 

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

 

 

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

 

rownanie matematyczne

 

 

Suma dwóch liczb jest równa...

Niech rownanie matematycznerownanie matematyczne będą liczbami, o których mowa w zadaniu.

Suma tych liczb jest równa rownanie matematyczne co zapiszemy następująco:

rownanie matematyczne 

Natomiast różnica wynosi rownanie matematyczne czyli:

rownanie matematyczne 

Zapisujemy równania jako układ równań i go rozwiązujemy:

rownanie matematyczne 

Dodajemy równania stronami, otrzymując:

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

Podstawiamy rownanie matematyczne do dowolnego równania z igrekiem i wyznaczamy rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

Rozwiązaniem układu równań jest para liczb:

rownanie matematyczne 

Odp. Szukane liczby to rownanie matematycznerownanie matematyczne              

Skala podobieństwa dwóch wielokątów podobnych wynosi 4

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

Rozpatrujemy prostokąty położone w I ćwiartce układu ...

a) Zauważmy, że jeżeli współrzędne punktu A to (x0,0), to współrzędne punktu B wynoszą (x0,-2/3x0+4).

Długości odcinków OA oraz CB wynoszą:

rownanie matematyczne 

Natomiast długości odcinków OC i AB to:

rownanie matematyczne 

Wyznaczamy wzór na pole prostokąta w zależności od współrzędnej x0 punktu A:

rownanie matematyczne  

 

 

b) Z podpunktu a) znamy wzór na pole prostokąta w zależności od współrzędnej x0 punktu A:

rownanie matematyczne  

Ramiona paraboli skierowane są w dół, gdyż współczynnik a jest liczbą mniejszą od 0.

Największą wartość funkcja ma w wierzchołku paraboli.

Wyznaczamy współrzędną x-ową wierzchołka:

rownanie matematyczne 

Największe pole będzie miał prostokąt, którego współrzęne punktu A wynoszą:

rownanie matematyczne 

Wyznaczamy współrzędne punktu B:

rownanie matematyczne 

Wówczas:

rownanie matematyczne     

Współrzędne prstokąta mającego największe pole to A(3,0), B(3,2), C(0,2) oraz O(0,0).

 

 

c) Korzystając z tw. Pitagorasa wyznaczamy długość przekątnej OB w zależności od współrzędnej x0 punktu A:

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne   

rownanie matematyczne 

Wiemy, że po pierwiastkiem musi znajdować się liczba większa od 0 (nie może być równa 0, bo długości są większe od 0).

Rozwiązujemy nierówność:

rownanie matematyczne 

Zauważmy, że ramiona paraboli będą skierowane do góry, więc funkcja posiada wartość największą w wierzchołku paraboli.

Wyznaczamy argument, dla którego długość odcinka OB jest najmniejsza:

rownanie matematyczne 

Dla x0=24/15 przekątna prostokąta będzie najkrótsza.  

Rozwiąż nierówność

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

 

 

{premium}

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

 

 

 

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

Funkcja f każdej liczbie naturalnej mniejszej
  • za pomocą wzoru (wyznaczamy wzór funkcji w oparciu o informację, że funkcja każdej liczbie naturalnej mniejszej od 10 przyporząkowuje połowę kwadratu tej liczby)

rownanie matematyczne                  `x in {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} `

  • za pomocą zbioru (musimy najpierw obliczyć wartości przyporządkowane argumentom:

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

 

rownanie matematyczne

  • za pomocą wykresu

Zaznaczamy na wykresie punkty których współrzędne obliczono w poprzednim podpunkcie.

 

Rozwiąż równanie.

a) rownanie matematyczne 

I przypadek:

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

II przypadek:

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 


b) rownanie matematyczne 

I przypadek:

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

II przypadek:

rownanie matematyczne  

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

brak rozwiązań


c) rownanie matematyczne 

I przypadek:

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

II przypadek:

rownanie matematyczne  

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 


d) rownanie matematyczne 

Tylko jeden przypadek, ponieważ liczba pod wartością bezwzględną musi być równa 0.

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

 

 

Na rysunku obok przedstawiono fragment paraboli

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

 

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne