Równania wielomianowe - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Rozwiąż równanie: $$x^3-x^2+5x=0$$

Standardowo wyciągamy x przed nawias, ponieważ nie ma tu wyrazu wolnego:

$$x(x^2-x+5)=0$$

Mamy równanie kwadratowe oraz x, zajmijmy się najpierw równaniem:

$$x^2-x+5=0$$

$$a=1$$

$$b=-1$$

$$c=5$$

Obliczmy deltę:

$$∆=b^2-4ac$$

$$∆=(-1)^2-4×1×5$$

$$∆=1-20$$

$$∆=-19$$

Delta nam wyszła ujemna, zatem tu nie ma rozwiązania. Pozostała nam tylko część pierwsza czyli x. Zatem jedynym rozwiązaniem równania jest $$x=0$$.  

Zadanie 2.

Rozwiąż równanie $$x^3-6x^2-9x+54=0$$.

Zacznijmy znów od małej zamiany

$$x^3-9x-6x^2+54=0 $$

Teraz wyciągamy co się da

$$x(x^2-9)-6(x^2-9)=0 $$

Jak widać znów bez problemu udało się nam uzyskać te same wartości. Wyciągamy nawias, czyli łączymy to, co poza nawiasem

$$(x^2-9)(x-6)=0$$

Sprawdzamy kiedy to jest zero

$$x^2-9=0$$ v $$x-6=0$$

Więc ze wzoru skróconego mnożenia

$$(x+3)(x-3)=0$$ v $$x=6$$

$$x+3=0$$ v $$x-3=0$$ v $$x=6$$

Pozostaje dodać albo odjąć stronami 3 i już można podać wynik

$$x=-3$$ v $$x=3$$ v $$x=6$$
 

Spis treści

Rozwiązane zadania
Wykres funkcji f(x)=-2x+6 ...

`f(x)=-2x+6` 

`"Wykres funkcji f przesunięto o 3 jednostki w lewo i o jednostkę w górę."` 

`"Podsumowując, wykres funkcji f został przesunięty o wektor [-3;1]."` 

`g(x)-"funkcja, której wykresesm jest wykres funkcji f przesunięty o wektor [-3;1]."` 

 

`g(x)=f(x+3)+1=-2(x+3)+6+1=-2x+1` 

`P=(0;1)` 

`-2*0+1=1 \ implies \ P " należy do wykresu funkcji g."` 

 

`"Odpowiedź A."`  

 

Dane są liczby 243 500 618, 352 010 481

18=2*9

Liczba jest podzielna prze 18, jeśli jest podzielna przez 2 i przez 9. Liczba jest podzielna przez 2, jeśli ostatnią jej cyfrą jest 0,2,4,6 lub 8, a podzielna przez 9, jeśli suma jej cyfr jest podzielna przez 9.

Sprawdzamy po kolei podzielność wymienionych liczb przez 18:

  • Liczba 243 500 618 jest podzielna przez 2. Jednak suma cyfr liczby 243 500 618 wynosi 29- nie jest podzielna przez 9, zatem nie jest podzielna przez 18.
  • Liczba  352 010 481 na pewno nie jest podzielna przez 18, ponieważ nie jest podzielna przez 2 (ostatnia cyfra to 1).
  • Liczba 540 420 138 jest podzielna przez 2, a  suma jej cyfr wynosi 27- liczba podzielna przez 9. Jeśli liczba jest podzielna zarówno przez 2 jak i przez 9, to liczba ta jest podzielna przez 18.
  • Liczba 134 560 026 jest podzielna przez 2, a  suma jej cyfr wynosi - liczba podzielna przez 9. Jeśli liczba jest podzielna zarówno przez 2 jak i przez 9, to liczba ta jest podzielna przez 18.

 

Znajdź wartość największą i wartość najmniejszą

`a)`

Wyznaczmy współrzędne dwóch punktów należących do prostej y=2x+4:

`x=0\ \ \ ->\ \ \ y=2*0+4=0+4=4\ \ \ ->\ \ \ "punkt"\ (0;\ 4)`

`x=1\ \ \ ->\ \ \ y=2*1+4=2+4=6\ \ \ ->\ \ \ "punkt"\ (1;\ 6)`

 

Wyznaczmy współrzędne dwóch punktów należących do prostej y=2x-4:

`x=0\ \ \ ->\ \ \ y=2*0-4=0-4=-4\ \ \ ->\ \ \ "punkt"\ (0;\ -4)`

`x=2\ \ \ ->\ \ \ y=2*2-4=4-4=0\ \ \ ->\ \ \ "punkt"\ (2;\ 0)`

 

Przez odpowiednie punkty rysujemy proste y=2x+4, y=2x-4, y=-2 oraz x=6 w jednym układzie współrzędnych. 

 

Zaznaczamy obszar znajdujący się jednocześnie pod prostą y=2x+4, nad prostą y=2x-4, nad prostą y=-2 oraz na lewo od prostej x=-6. 

 

Otrzymaliśmy czworokąt o wierzchołkach (-3, -2), (1; -2), (6; 8) oraz (6; 16). Obliczamy dla nich wartości sumy x+y:

`(-3;\ -2):\ \ \ x+y=-3+(-2)=-5` 

`(1;\ -2):\ \ \ \ \ x+y=1+(-2)=-1` 

`(6;\ 8):\ \ \ \ \ \ \ x+y=6+8=14` 

`(6;\ 16):\ \ \ \ \ \ x+y=6+16=22` 

Największa wartość tej sumy wynosi 22, a najmniejsza wynosi -5.

 

`ul(ul(ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))))` 

 

 

`b)` 

Wyznaczmy współrzędne dwóch punktów należących do prostej y=2x+9:

`x=-2\ \ \ ->\ \ \ y=2*(-2)+9=-4+9=5\ \ \ ->\ \ \ "punkt"\ (-2;\ 5)` 

`x=-4\ \ \ ->\ \ \ y=2*(-4)+9=-8+9=1\ \ \ ->\ \ \ "punkt"\ (-4;\ 1)` 

 

Wyznaczmy współrzędne dwóch punktów należących do prostej y=2x-6.   

`x=1\ \ \ ->\ \ \ y=2*1-6=2-6=-4\ \ \ ->\ \ \ "punkt"\ \ \ (1;\ -4)`  

`x=2\ \ \ ->\ \ \ y=2*2-6=4-6=-2\ \ \ ->\ \ \ "punkt"\ (2;\ -2)` 

 

Wyznaczmy współrzędne dwóch punktów należacych do prostej y=-x-3:

`x=1\ \ \ ->\ \ \ y=-1-3=-4\ \ \ ->\ \ \ "punkt"\ (1;\ -4)` 

`x=2\ \ \ ->\ \ \ y=-2-3=-5\ \ \ ->\ \ \ "punkt"\ (2;\ -5)` 

 

Wyznaczamy współrzędne dwóch punktów należących do prostej y=-½x+4:

`x=0\ \ \ ->\ \ \ y=-1/2*0+4=0+4=4\ \ \ ->\ \ \ "punkt"\ (0;\ 4)`  

`x=2\ \ \ ->\ \ \ y=-1/2*2+4=-1+4=3\ \ \ ->\ \ \ "punkt"\ (2;\ 3)` 

 

Przez odpowiednie punkty prowadzimy proste. 

 

 

Zaznaczamy obszar spełniający układ nierówności (obszar znajduje się jednocześnie pod pierwszą prostą, nad drugą prostą, nad trzecią prostą oraz pod czwartą prostą). 

 

Otrzymaliśmy czworokąt o wierzchołkach (-4; 1), (1; -4), (4; 2) oraz (-2; 5).  Obliczamy dla nich wartości sumy x+y:

`(-4;\ 1):\ \ \ x+y=-4+1=-3`  

`(1;\ -4):\ \ \ x+y=1+(-4)=-3` 

`(4;\ 2):\ \ \ \ \ x+y=4+2=6` 

`(-2;\ 5):\ \ \ x+y=-2+5=3` 

Największa wartość sumy wynosi 6, a najmniejsza wartość sumy wynosi -3. 

 

 

`ul(ul(ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))))` 

 

 

`c)` 

Przekształćmy pierwszą nierówność:

`x-6<=0\ \ \ |+6` 

`x<=6` 

 

 

Przekształćmy drugą nierówność:

`x-y+3>=0\ \ \ |-x-3` 

`-y>=-x-3\ \ \ |*(-1)` 

`y<=x+3` 

Wyznaczmy współrzędne dwóch punktów należących do prostej y=x+3:

`x=0\ \ \ ->\ \ \ y=0+3=3\ \ \ ->\ \ \ "punkt"\ (0;\ 3)` 

`x=1\ \ \ ->\ \ \ y=1+3=4\ \ \ ->\ \ \ "punkt"\ (1;\ 4)` 

 

 

Przekształćmy trzecią nierówność:

`x+y-7<=0\ \ \ |-x+7` 

`y<=-x+7` 

Wyznaczmy współrzędne dwóch punktów należących do prostej y=-x+7:

`x=3\ \ \ ->\ \ \ y=-3+7=4\ \ \ ->\ \ \ "punkt"\ (3;\ 4)` 

`x=5\ \ \ ->\ \ \ y=-5+7=2\ \ \ ->\ \ \ "punkt"\ (5;\ 2)` 

 

 

Przekształćmy czwartą nierówność:

`x+3y+3>=0\ \ \ |-x-3` 

`3y>=-x-3\ \ \ |:3` 

`y>=-1/3x-1` 

Wyznaczmy współrzędne dwóch punktów należących do prostej y=-¹/₃x-1. 

`x=0\ \ \ ->\ \ \ y=-1/3*0-1=0-1=-1\ \ \ ->\ \ \ "punkt"\ (0;\ -1)` 

`x=3\ \ \ ->\ \ \ y=-1/3*3-1=-1-1=-2\ \ \ ->\ \ \ "punkt"\ (3;\ -2)` 

 

 

Przez odpowiednie punkty prowadzimy proste. 

 

 

Zaznaczamy obszar spełniający układ nierówności (obszar znajdujący się jednocześnie na lewo od pierwszej prostej, pod drugą prostą, pod trzecią prostą oraz nad czwartą prostą):

 

Otrzymaliśmy czworokąt o wierzchołkach (-3; 0), (6; -3), (6; 1) oraz (2; 5). Obliczamy dla nich wartości sumy x+y:

`(-3;\ 0):\ \ \ x+y=-3+0=-3` 

`(6;\ -3):\ \ \ x+y=6+(-3)=3` 

`(6;\ 1):\ \ \ \ \ x+y=6+1=7` 

`(2;\ 5):\ \ \ \ \ x+y=2+5=7` 

Największa wartość sumy jest równa 7, a najmniejsza jest równa -3.  

 

Wykres funkcji f(x)

`g(x)=-f(-x)=-(8-(-x)^3)=-8+(-x)^3=-8+(-x)*(-x)*(-x)=-8-x^3=-x^3-8\ \ \ \ \ odp.\ D`

Na rysunku 1 przedstawiono wykres pewnej

Wykres przedstawiony na rysunku 2 powstał przez odbicie wykresu z rysunku 1 symetrycznie względem osi x, dlatego poprawna jest odpowiedź B.

Zapisz w postaci |x-a|>b

`a)` 

Obliczmy, jaka liczba jest jednakowo oddalona od liczb 7 i 11:

`(7+11)/2=18/2=9` 

 

Liczba 7 znajduje się 2 jednostki na lewo od 9, a liczba 11 znajduje się 2 jednostki na prawo od 9.

Zadany przedział to zbiór liczb oddalonych o więcej niż 2 jednostki od 9.

Stąd możemy zapisać szukaną nierówność:

`|x-9|>2` 

 

 

`b)` 

Obliczmy, jaka liczba jest jednakowo oddalona od -2 i 8:

`(-2+8)/2=6/2=3` 

 

Liczba -2 znajduje się 5 jednostek na lewo od 3, a liczba 8 znajduje się 5 jednostek na prawo od 3. 

Zadany przedział to zbiór liczb oddalonych o nie mniej niż 5 jednostek od liczby 3. 

Stąd możemy zapisać szukaną nierówność:

`|x-3|>=5` 

 

 

`c)` 

Obliczmy, jaka liczba jest jednakowo oddalona od -7 i -1:

`(-7+(-1))/2=(-8)/2=-4` 

 

Liczba -7 znajduje się 3 jednostki na lewo od -4, a liczba -1 znajduje się 3 jednostki na prawo od -4. 

Zadany przedział to zbiór liczb oddalonych o nie mniej niż 3 jednostki od liczby -4. 

Stąd możemy zapisać szukaną nierówność:

`|x+4|>=3` 

 

 

`d)` 

Obliczmy, jaka liczba jest jednakowo oddalona od -15 i 13:

`(-15+13)/2=(-2)/2=-1` 

Liczba -15 znajduje się 14 jednostek na lewo od -1, a liczba 13 znajduje się 14 jednostek na prawo od -1. 

Zadany przedział to zbiór liczb oddalonych o więcej niż 14 jednostek od -1. 

Stąd możemy zapisać szukaną nierówność:

`|x+1|>14` 

 

Latarnia morska z wysokości...

Rysunek poglądowy:

`tg \ 4^o = 48/x` 

`x = 48/(tg \ 4^o) approx 48/(0,0699) approx 686,7 \ ["m"]` 

 

Odpowiedź: Statek znajduje się w odległości 686,7 metra od latarni morskiej.

Wyznacz dopełnienie zbioru A

`a)\ A'=(-infty;\ 3)uu<<5;\ +infty)`

`b)\ A'=(-infty;\ -3>>`

`c)\ A'=(-infty;\ 1)uu<<4;\ 6)`

`d)\ A'=(-infty;\ -3>>uu<<2;\ 5)uu(5;\ +infty)`

 

Ile kilogramów 6-procentowego roztworu...

Stężenie procentowe roztworu obliczamy ze wzoru:

`C_p=m_s/m_r*100%` 

gdzie:

`C_p-`stężenie procentowe

`m_s-`masa substancji

`m_r-`masa roztworu

W naszym zadaniu mamy:

`C_(p_1)=6%` 

`C_(p_2)=24%` 

`m_(r_2)=6\ "kg"` 

`C_(p_3)=18%` 

Obliczamy masę substancji w roztworze o stężeniu `24%:`     

`24%=m_(s_2)/6*100%\ "/":100%` 

`24/100=m_(s_2)/6` 

`24*6=100m_(s_2)` 

`144=100m_(s_2)\ "/":100` 

`m_(s_2)=1,44\ [\ "kg"\ ]` 

Oznaczmy jako `x` masę roztworu o stężeniu `6%.` 

Obliczamy masę substancji w tym roztworze: 

`6%=m_(s_1)/x*100%\ "/":(100%)/x` 

`6/100x=m_(s_1)` 

`m_(s_1)=0,06x` 

Obliczamy masę substancji w roztworze `18-`procentowym:

`m_(s_3)=m_(s_1)+m_(s_2)` 

`m_(s_3)=1,44+0,06x` 

Obliczamy masę roztworu o stężeniu `18%:` 

`m_(r_3)=m_(r_2)+x`  

`m_(r_3)=6+x` 

Podstawiamy te dane do wzoru na stężenie procentowe i wyznaczamy `x:`            

`18%=(1,44+0,06x)/(6+x)*100%` 

`18=(144+6x)/(6+x)` 

`18*(6+x)=144+6x` 

`108+18x=144+6x` 

`12x=36\ "/":12` 

`x=3\ [\ "kg"\ ]` 

Odp. Należy zmieszać `3\ "kg"` tego roztworu.     

Pan Kowalski chciał ubezpieczyć...

Oznaczmy składkę początkową przez x , mamy trzy obniżki:

I obniżka

`5% * x = 0,05x` 

`x - 0,05x = 0,95x` 

 

II obniżka

`10%*0,95x = 0,095x` 

`0,95x - 0,095x = 0,855x` 

 

III obniżka

`10%* 0,855x = 0,0855x` 

`0,855x - 0,0855x = 0,7695x` 

 

Obliczmy 15% z powyższej ceny:

`0,7695x * 15% = 0,7695x * 0,15 = 0,115425x` 

A więc Pan Kowalski musi zapłacić:

`0,7695x + 0,115425x = 0,884925x` 

Stanowi to ok. `88,5%` początkowej ceny.