Równania wielomianowe - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Rozwiąż równanie: $$x^3-x^2+5x=0$$

Standardowo wyciągamy x przed nawias, ponieważ nie ma tu wyrazu wolnego:

$$x(x^2-x+5)=0$$

Mamy równanie kwadratowe oraz x, zajmijmy się najpierw równaniem:

$$x^2-x+5=0$$

$$a=1$$

$$b=-1$$

$$c=5$$

Obliczmy deltę:

$$∆=b^2-4ac$$

$$∆=(-1)^2-4×1×5$$

$$∆=1-20$$

$$∆=-19$$

Delta nam wyszła ujemna, zatem tu nie ma rozwiązania. Pozostała nam tylko część pierwsza czyli x. Zatem jedynym rozwiązaniem równania jest $$x=0$$.  

Zadanie 2.

Rozwiąż równanie $$x^3-6x^2-9x+54=0$$.

Zacznijmy znów od małej zamiany

$$x^3-9x-6x^2+54=0 $$

Teraz wyciągamy co się da

$$x(x^2-9)-6(x^2-9)=0 $$

Jak widać znów bez problemu udało się nam uzyskać te same wartości. Wyciągamy nawias, czyli łączymy to, co poza nawiasem

$$(x^2-9)(x-6)=0$$

Sprawdzamy kiedy to jest zero

$$x^2-9=0$$ v $$x-6=0$$

Więc ze wzoru skróconego mnożenia

$$(x+3)(x-3)=0$$ v $$x=6$$

$$x+3=0$$ v $$x-3=0$$ v $$x=6$$

Pozostaje dodać albo odjąć stronami 3 i już można podać wynik

$$x=-3$$ v $$x=3$$ v $$x=6$$
 

Spis treści

Rozwiązane zadania
Wśród układów wskaż ten

`a)`

`{(-4x+6y=-20), (2x-3y=10\ \ \ \|*2):}`

`{(-4x+6y=-20), (4x-6y=20):}\ \ \ |+`

`0=0`

Otrzymaliśmy równanie, które jest zawsze prawdziwe, więc układ równań jest nieoznaczony. 

 

 

`b)`

`{(-4x+6y=-30), (2x-3y=10\ \ \ |*2):}`

`{(-4x+6y=-30), (4x-6y=20):}\ \ \ |+`

`0=-10`

Układ jest sprzeczny. 

 

 

`c)`

`{(2x-3y=10\ \ \ |*2), (-4x+5y=-10):}`

`{(4x-6y=20), (-4x+5y=-10):}\ \ \ \ |+`

`-y=10`

Z powyższego równania można otrzymać dokładnie jedną wartość y. Mając wartość y za pomocą dowolnego równania wyznaczymy wartość x. 

Zatem układ równań jest oznaczony - ma jedno rozwiązanie. 

Oblicz pole koła stycznego ...

`a)` 

`k:2x-y+4=0` 

`l:2x-y-6=0` 

Powyższe proste są równoległe. Odległość pomiędzy prostymi k i l jest średnicą stycznego koła.

Wybierzmy dowolny punkt P należący do prostej k i obliczmy jego odległość od prostej l.

`A=(0;4)` 

`d=|0*2-1*4-6|/sqrt(2^2+(-1)^2)=10/sqrt5=2sqrt5` 

`r=d/2=sqrt5` 

`P=pir^2=ul(5pi`  

 

`b)` 

`k:y=3/4x+6` 

`k:3/4x-y+6=0` 

`l:y=3/4x-13/2` 

`l:3/4x-y-13/2` 

Powyższe proste są równoległe. Odległość pomiędzy prostymi k i l jest średnicą stycznego koła.

Wybierzmy dowolny punkt P należący do prostej k i obliczmy jego odległość od prostej l.

`P=(0;6)` 

`d=|0*3/4-1*6-13/2|/sqrt((3/4)^2+(-1)^2)=(25/2)/sqrt(25/16)=(25/2)/(5/4)25/2*4/5=10` 

`r=d/2=5` 

`P=pir^2=pi5^2=ul(25pi`     

Punkt A(3,-5) jest wierzchołkiem rombu ...

`A=(3;-5)` 

`P=(2;-2)` 

`B=(b_1;b_2)` 

`C=(c_1;c_2)` 

`D=(d_1;d_2)` 

`k:\ y-x=0` 

 

`k:\ y=x` 

`AP:\ y=ax+b` 

`{(-5=3a+b),(-2=2a+b):}` 

`{( 5=-3a-b),(-2=2a+b):}` 

`3=-a` 

`a=-3` 

`b=-2-2a=4` 

`AP:\ y=-3x+4`   

`|AP|=sqrt((2-3)^2+(-2+5)^2)=sqrt10` 

Przekątne rombu przecinają się w połowie.

`vec(AP)=[2-3;-2+5]=[-1;3]` 

`vec(AP)=vec(PC)` 

`[c_1-2;c_2+2]=[-1;3]` 

`c_1-2=-1\ implies\ c_1=1` 

`c_2+2=3\ implies \ c_2=1` 

`ul(C=(1;1)`     

 

(Zamiast korzystać z własności wektorów można zapisać nieznane współrzędne punktu C następująco:

`C=(c;-3c+4)` 

(punkt C leży na prostej y=-3x+4)

następnie:

`|PC|=|AP|=sqrt((2-3)^2+(-2+5)^2)=sqrt10` 

`|AC|=sqrt((2-c)^2+(-2+3c-4)^2)=sqrt10` 

Z powyższej zależności wyznaczymy c, czyli współrzędne wierzchołka C bez użycia wektorów.)

 

Przekątne rombu przecinają się pod kątem prostym, zatem: 

` BD:\ y=1/3x+b`  

`P=(2;-2)` 

`-2= 2/3+b`  

`b=-8/3`  

`ul(BD:\ y=1/3x-8 /3`  

Rozwiązaniem poniższego układu są współrzędne jednego z wierzchołków rombu.

`{(k:\ y=x),(BD:\ y=1/3x-8/3):}`  

`x=1/3x-8/3` 

`2x=-8` 

`x=-4` 

`y=-4` 

`ul(D=(-4;-4)`  

 

`vec(DP)=[2+4;-2+4]=[6;2]=vec(PB)` 

`[6;2]=vec(PB)=[b_1-2;b_2+2]` 

`b_1-2=6\ implies\ b_1=8` 

`b_2+2=2\ implies\ b_2=0` 

`ul(B=(8;0)` 

 

Wyznaczmy nieznane równania prostych zawierających boki rombu.

`ul(BD:\ y=1/3x-8 /3`  

 

`AB:\ y= ax+b` 

`{(0=8a+b),(-5=3a+b):}` 

`{(0=8a+b),( 5=-3a-b):}` 

`5a=1` 

`a=1` 

`b=-8a=-8` 

`ul(AB:\ x-8` 

 

`BC:\ y=ax+b` 

`{(0=8a+b),(1=a+b):}`       

 

`{(0=-8a-b),(1=a+b):}`       

`-7a=1` 

`a=-1/7` 

`b=-8a=8/7` 

`ul(BC:\ y=-1/7x+8/7` 

 

`CD:\ y=ax+b` 

`{(1=a+b),(-4=-4a+b):}` 

`{(-1=-a-b),(-4=-4a+b):}` 

`-5=-5a` 

`a=1` 

`b=-a+1=0` 

`ul(CD: \ y=x` 

Wyznacz równanie prostej przechodzącej ...

`a)` 

`P=(-2;3)` 

`Q=(4;9)` 

`y=ax+b` 

`{(3=-2a+b),(9=4a+b):}` 

`{(-3=2a-b),(9=4a+b):}` 

`6=6a` 

`a=1` 

`3=-2a+b\ implies\ b=3+2a=5` 

`y=x+5` 

`ul(x-y+5=0` 

 

`b)` 

`P=(6;2)` 

`Q=(-3;6)` 

`y=ax+b` 

`{(2=6a+b),(6=-3a+b):}` 

`{(-2=-6a-b),(6=-3a+b):}` 

`4=-9a`  

`a=-4/9` 

`b=2-6a=18/9+24/9=42/9`  

`y=-4/9x+42/9`  

`ul(-9y-4x+42=0`          

 

`c)` 

`P=(-3;7)` 

`Q=(-3;8)` 

`y=ax+b` 

`{(7=-3a+b),(8=-3a+b):}`  

Zauważmy, że oba punkty mają wspólną pierwszą współrzędną.

Zatem: x=-3

`ul(x+3=0)` 

 

`d)` 

`P=(1;2)` 

`Q=(-4;-4)` 

`y=ax+b` 

`{(2=a+b),(-4=-4a+b):}` 

`{(-2=-a-b),(-4=-4a+b):}` 

`-6=-5a` 

`a=6/5` 

`b=2-a=4/5` 

`y=6/5x+4/5` 

`ul(6/5x-y+4/5=0` 

 

`e)` 

`P=(7;4)` 

`Q=(-12;4)` 

`y=ax+b` 

`{(4=7a+b),(4=-12a+b):}`   

`{(-4=-7a-b),(4=-12a+b):}`    

`0=-19a` 

`a=0` 

`b=4-7a=4` 

`y=4` 

`ul(-y+4=0` 

 

`f)` 

`P=(12;0)` 

`Q=(12;-13)` 

`y=ax+b` 

`{(0=12x+b),(-13=12x+b):}` 

Zauważmy, że oba punkty mają wspólną pierwszą współrzędną.

Zatem: x=12

`ul(x-12=0)`  

Określ przedziały monotoniczności funkcji...

a) Funkcja rosnąca w przedziale:

`(-4,-1]`  

Funkcja stała w przedziale:

`(-1,1)` 

Funkcja malejąca w przedziale:

`[1,3)` 

 

b) Funkcja rosnąca w przedziałach:

`[-6,-4) \ "i" \ [0,3)` 

Funkcja malejąca w przedziałach:

`[-4,0] \ "i" \ (3,6]` 

 

c) Funkcja stała na całej swojej dziedzinie.

 

d) Funkcja stała w przedziałach:

`(-oo, 0) \ "i" \ [0,oo)` 

 

             Uwaga: Funkcja rosnąca a funkcja rosnąca przedziałami to dwie osobne rzeczy. Np. w b) Funkcja jest rosnąca przedziałami ale nie jest rosnąca gdyż w punkcie -4 przyjmuje wartość 5, natomiast w punkcie 2 przyjmuje wartość 0 więc nie spełnia warunku na funkcję rosnącą mimo, że w każdym z tych przedziałów jest rosnąca.

Z kwadratu o boku 1 odcięto na rogach trójkąty ...

`"Ośmiokąt jest foremny, czyli wszystkie jego kąty wewnętrzne są równe."` 

`"Oznacza to, że trójkąt o bokach x,y i a jest równoramienny."` 

`x=y` 

`x+y+a=2x+a=1`  

`"Z twierdzenia Pitagorasa:"` 

`a^2=x^2+x^2=2x^2`   

 

`{(a^2=2x^2),(2x+a=1):}`   

`{(a=xsqrt2),(x=(1-a)/2):}`  

`a=(1-a)/2*sqrt2` 

`2a=-asqrt2+sqrt2` 

`a(2+sqrt2)=sqrt2` 

`a=sqrt2/(2+sqrt2)=((sqrt2)(2-sqrt2))/(4-2)=sqrt2-1` 

`Obw=8*(sqrt2-1)=ul(8sqrt2-8`    

` `

Sprawdź, czy...

W trójkącie prostokątnym o przyprostokątnych oraz przeciwprostokątnej c suma kwadratów długości przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej:

`a^2 + b^2 = c^2`

 

`a) \ 5, \ 12, \ 13`

`5^2 + 12^2 = 13 ^2`

`25 + 144 = 169`

`169 = 169 `

Trójkąt jest prostokątny

 

`b) \ 3sqrt6, \ 2 sqrt3, \ 8`

`3 sqrt 6 = sqrt(9*6) = sqrt54`

`2 sqrt3 = sqrt(4*3) = sqrt 12`

`8 = sqrt64`

 

`(sqrt12)^2 + (sqrt54)^2 = (sqrt64)^2`

`12 + 54 = 64`

`66 = 64`

Trójkąt nie jest prostokątny

 

`c) \ sqrt6, \ sqrt2 -1 , \ sqrt2 +1`

Sprawdźmy, który odcinek jest najdłuższy:

`(sqrt6)^2 = 6`

`(sqrt2 +1)^2 = 2 + 2sqrt2 + 1 = 3 + 2sqrt2`

`3 + 2sqrt2 < 6`

`2 sqrt2 < 3`

`sqrt8 < sqrt9`

Sprawdźmy, czy suma kwadratów przyprostokątnych jest równa kwadratowi przeciwprostokątnej:

`(sqrt2-1)^2 + (sqrt2+1)^2 = (sqrt6)^2`

`2 - 2sqrt2 + 1 + 2 + 2sqrt2 + 1 = 6`

`6=6`

Trójkąt jest prostokątny.

 

 

 

`c) \ 2 - sqrt3, \ 1 + 2 sqrt 3, \ 2sqrt5`

`2 - sqrt3 < 1`

`1 + 2 sqrt 3 = 1 + sqrt(4*3) = 1 + sqrt 12`

`2 sqrt5 = sqrt (4*5) = sqrt20` 

 

Sprawdźmy, który bok jest większy:

`1 + sqrt12 < sqrt20`

`(1 + sqrt12)^2 < sqrt20^2`

`1 + 2sqrt12 + 12 < 20`

`2 sqrt 12 < 7`

`sqrt(4*12) < sqrt 49`

`sqrt 48 < sqrt 49`

 

A więc przyprostokątnymi są boki długości:

`2 - sqrt3` 

`1 + 2 sqrt3`

A przeciwprostokątna to bok długości:

`2 sqrt5`

 

Sprawdźmy, czy suma kwadratów przyprostokątnych jest równa kwadratowi przeciwprostokątnej:

`(2-sqrt3)^2 + (1 + 2 sqrt3)^2 = (2sqrt5)^2`

Ze wzorów skróconego mnożenia:

`4 - 4sqrt3 + 3 + 1 + 4 sqrt3 + 4*3 = 4*5`

`20 = 20`

Trójkąt jest prostokątny

Firma A w II kwartale miała obroty o 50% większe

Oznaczmy obroty firmy A w I kwartale przez x. 

Wtedy obroty w II kwartale wynosiły: 

`x+50%*x=x+0,5x=1,5x` 

 

W III kwartale obroty spadły o 20%, czyli wynosiły: 

`1,5x-20%*1,5x=` `1,5x-0,2*1,5x=1,5x-0,3x=1,2x` 

 

W IV kwartale obroty spadły o kolejne 20%, czyli wynosiły: 

`1,2x-20%*1,2x=1,2x-0,2*1,2x=` `1,2x-0,24x=0,96x` 

 

 

Wiemy, że obroty w IV kwartale wynosił 1 440 000 zł: 

`0,96x=1\ 440\ 000\ \ \ \ \ |:0,96` 

`x=(1\ 440\ 000)/(0,96)=` `(144\ 000\ 000)/96=` `(72\ 000\ 000)/48=` `(6\ 000\ 000)/4=1\ 500\ 000\ "zł"` 

 

Możemy teraz zapisać, jakie były obroty w kolejnych kwartałach:

`I:\ \ \ 1\ 500\ 000\ "zł"` 

`II:\ \ \ 1,5*1\ 500\ 000=2\ 250\ 000\ "zł"` 

`III:\ \ \ 1,2*1\ 500\ 000=1\ 800\ 000\ "zł"` 

`IV:\ \ \ 0,96*1\ 500\ 000=1\ 440\ 000\ "zł"`   

 

Zapisz wzór funkcji kwadratowej w postaci ...

`a)` 

`y=x^2+8x-6=x^2+2*4x+4^2-4^2-6=(x+4)^2-22` 

 

`b)` 

`y=x^2-10x+16=x^2-2*5x+5^2-5^2+16=(x-5)^2-9` 

 

`c)`   

 

`y=x^2+x+5/4=x^2+2*1/2x+(1/2)^2-(1/2)^2+5/4=(x+1/2)^2+1` 

 

`d)` 

`y=x^2-5x-3/4=x^2-2* 2,5x+(2,5)^2-(2,5)^2-3/4=(x+2,5)^2- 28/4`

Rozwiąż równanie

`a)`

`|2x-8|=4`

`|2(x-4)|=4`

`|2|*|x-4|=4`

`2|x-4|=4\ \ \ \ |:2`

`|x-4|=2`

Szukamy takich liczb x, których odległość od liczby 4 jest równa 2. 

`x=4+2=6\ \ \ \ \ \ "lub"\ \ \ \ \ \ x=4-2=2`

 

 

 

`b)`

`|4x+2|=6`

`|4(x+2/4)|=6`

`|4|*|x+1/2|=6`

`4|x+1/2|=6\ \ \ \ |:4`

`|x+1/2|=3/2`

Szukamy takich liczb x, których odległość od liczby -1/2 jest równa 3/2

`x=-1/2+3/2=2/2=1\ \ \ \ \ \ "lub"\ \ \ \ \ \ x=-1/2-3/2=-4/2=-2`

 

 

 

`c)`

`|1/2x-1|=3`

`|1/2(x-2)|=3`

`|1/2|*|x-2|=3`

`1/2|x-2|=3\ \ \ |*2`

`|x-2|=6`

Szukamy takich liczb x, których odległość od liczby 2 jest równa 6. 

`x=2+6=8\ \ \ \ \ \ "lub"\ \ \ \ \ \ x=2-6=-4`

 

 

 

`d)`

`|2/3x+4|=2`

`|2/3(x+4*3/2)|=2`

`|2/3(x+6)|=2`

`|2/3|*|x+6|=2`

`2/3|x+6|=2\ \ \ \ |*3/2`

`|x+6|=3`

Szukamy takich liczb x, których odległość od liczby -6 jest równa 3. 

`x=-6+3=-3\ \ \ \ \ \ "lub"\ \ \ \ \ \ x=-6-3=-9`

 

 

 

`e)`

`|10-x|=4`

`|(-1)*(x-10)|=4`

`|-1|*|x-10|=4`

`1*|x-10|=4`

`|x-10|=4`

Szukamy takich liczb x, których odległość od liczby 10 jest równa 4. 

`x=10+4=14\ \ \ \ \ \ "lub"\ \ \ \ \ \ x=10-4=6`

 

 

`f)`

`|1-3x|=6`

`|-3(x-1/3)|=6`

`|-3|*|x-1/3|=6`

`3|x-1/3|=6\ \ \ \ |:3`

`|x-1/3|=2`

Szukamy takich liczb x, których odległość od liczby 1/3 jest równa 2. 

`x=1/3+2=2 1/3\ \ \ \ \ \ \ "lub"\ \ \ \ \ \ x=1/3-2=-1 2/3`