Równania wielomianowe - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Rozwiąż równanie: $$x^3-x^2+5x=0$$

Standardowo wyciągamy x przed nawias, ponieważ nie ma tu wyrazu wolnego:

$$x(x^2-x+5)=0$$

Mamy równanie kwadratowe oraz x, zajmijmy się najpierw równaniem:

$$x^2-x+5=0$$

$$a=1$$

$$b=-1$$

$$c=5$$

Obliczmy deltę:

$$∆=b^2-4ac$$

$$∆=(-1)^2-4×1×5$$

$$∆=1-20$$

$$∆=-19$$

Delta nam wyszła ujemna, zatem tu nie ma rozwiązania. Pozostała nam tylko część pierwsza czyli x. Zatem jedynym rozwiązaniem równania jest $$x=0$$.  

Zadanie 2.

Rozwiąż równanie $$x^3-6x^2-9x+54=0$$.

Zacznijmy znów od małej zamiany

$$x^3-9x-6x^2+54=0 $$

Teraz wyciągamy co się da

$$x(x^2-9)-6(x^2-9)=0 $$

Jak widać znów bez problemu udało się nam uzyskać te same wartości. Wyciągamy nawias, czyli łączymy to, co poza nawiasem

$$(x^2-9)(x-6)=0$$

Sprawdzamy kiedy to jest zero

$$x^2-9=0$$ v $$x-6=0$$

Więc ze wzoru skróconego mnożenia

$$(x+3)(x-3)=0$$ v $$x=6$$

$$x+3=0$$ v $$x-3=0$$ v $$x=6$$

Pozostaje dodać albo odjąć stronami 3 i już można podać wynik

$$x=-3$$ v $$x=3$$ v $$x=6$$
 

Spis treści

Rozwiązane zadania
Oblicz, stosując wzory skróconego mnożenia

`a)\ 91^2=(90+1)^2=90^2+2*90*1+1^2=` 

`\ \ \ =8100+180+1=8281` 

 

`b)\ 102^2=(100+2)^2=100^2+2*100*2+2^2=` 

`\ \ \ =10\ 000+400+4=10\ 404` 

 

`c)\ 203^2=(200+3)^2=200^2+2*200*3+3^2=` 

` \ \ \ =40\ 000+1200+9=41\ 209` 

 

`d)\ 39^2=(40-1)^2=40^2-2*40*1+1^2=` 

`\ \ \ =1600-80+1=1521` 

 

`e)\ 99^2=(100-1)^2=100^2-2*100*1+1^2=` 

`\ \ \ =10\ 000-200+1=9801` 

 

`f)\ 498^2=(500-2)^2=500^2-2*500*2+2^2=` 

`\ \ \ =250\ 000-2000+4=248\ 004` 

 

`g)\ 33^2-31^2=(33-31)*(33+31)=2*64=128` 

 

`h)\ 103^2-97^2=(103-97)*(103+97)=` `6*200=1200`   

Skreśl liczby mające rozwinięcia dziesiętne

`sqrt(1,44)=1,2`

`sqrt125=sqrt25*sqrt5=5sqrt5`

`1,(037)=1,037037...\ \ -\ \ "rozwinięcie dziesiętne nieskończone okresowe"`

`sqrt(2 1/4)=sqrt(9/4)=3/2=1 1/2=1,5`

Liczba pi ma rozwinięcie dziesiętne nieskończone nieokresowe. Jeśli pomnożymy ją przez 10, to nadal będzie mieć ona rozwinięcie dziesiętne nieskończone nieokresowe. Podobnie, jeśli odejmiemy od liczby pi liczbę 3,14,  to otrzymana liczba będzie mieć rozwinięcie dziesiętne nieskończone nieokresowe. 

 

`"odp:"\ \ \ strike(2sqrt2)\ \ \ sqrt(1,44)\ \ \ strike(sqrt125)\ \ \ 1,(037)\ \ \ sqrt(2 1/4)\ \ \ strike(10pi)\ \ \ strike(pi-3,14)`

Wysokość nad ziemią piłki wyrzuconej ...

`h(t)=-4,9t^2+12t+2` 

`h~~9,3m` 

`s-"droga przebyta przez piłkę"` 

`s~~2*9,3-2=18,6-2=16,6`  

 

`b)` 

`"W okolicy t=2 parabola jest bardziej 'stroma' niz w okolicy t=1."` 

`"Oznacza to, że dla t=2 prędkość piłki jest większa niż dla t=1."` 

Wyznacz wzór funkcji, której wykresem jest

`a)`

Proste równoległe mają jednakowe współczynniki kierunkowe a. Szukana prosta ma więc wzór y=3x+b. Wartość współczynnika b obliczymy, podstawiając do wzoru współrzędne punktu P. 

`4=3*2+b`

`4=6+b\ \ \ |-6`

`b=-2`

 

`ul(ul("wzór funkcji:"\ \ \ y=3x-2))`

 

 

 

 

`b)`

Szukana prosta ma wzór y=-2x+b. Wartość współczynnika b obliczymy, podstawiając do wzoru współrzędne punktu P. 

`-1=-2*3+b`

`-1=-6+b\ \ \ |+6`

`b=5`

 

`ul(ul("wzór funkcji:"\ \ \ y=-2x+5))`

 

 

 

 

`c)`

Szukana prosta ma wzór y=3/4x+b. Wartość współczynnika b obliczymy, podstawiając do wzoru współrzędne punktu P. 

`2=3/4*(-4)+b`

`2=-3+b\ \ \ |+3`

`b=5`

 

`ul(ul("wzór funkcji:"\ \ \ y=3/4x+5))`

 

 

 

`d)`

Szukana prosta ma wzór y=-0,8x+b. Wartość współczynnika b obliczymy, podstawiając do wzoru współzędne punktu P. 

`-2=-0,8*(-5)+b`

`-2=4+b\ \ \ |-4`

`b=-6`

 

`ul(ul("wzór funkcji:"\ \ \ y=-0,8x-6))`

 

Zbadaj współliniowość punktów...

Jeżeli punkty X, Y, Z są współliniowe to wektory o początku w punkcie X i końcach w punktach Y i Z różnią się o pewną stałą przez którą mnożymy któryś z wektorów, można to zapisać następująco:

`exists_(k in R) stackrel(->)(XY) = k* stackrel(->)(XZ)` 

Przemnażając jeden wektor przez pewną stałą możemy zmieniać jego długość i zwrot ale kierunek pozostaje taki sam. W takim wypadku jeżeli jeden wektor różni się tylko zwrotem i długością od drugiego to oba mają ten sam kierunek a co z tym idzie, leżą na jednej prostej.

 

Wystarczy wziąć dwa wektory o początku w jednym punkcie a końcu w dwóch pozostałych, najlepiej wybierać tak by obliczenia były jak najprostsze.

 

`a) \ stackrel(->)(AB) = [-3,2]` 

`stackrel(->)(AC) = [9,-6]` 

Sprawdźmy czy istnieje takie k, że równość zachodzi:

`stackrel(->)(AB) = k*stackrel(->)(AC)` 

`[-3,2] = k*[9,-6]` 

`[-3,2] = [9k, -6k]` 

Przyrównajmy współrzędne obu wektorów:

`{(9k=-3 \ \ \ |:9),(-6k=2 \ \ \ |:(-6)):}` 

`{(k = -1/3),(k = -1/3):}` 

Punkty A, B i C są współliniowe.

 

`b) \ stackrel(->)(BA) = [-4,5-(-3)] = [-4,5+3] = [-4,8]` 

`stackrel(->)(BC) = [2,-8-(-3)] = [2, -8+3] = [2,-5]` 

Sprawdźmy czy istnieje takie k, że równość zachodzi:

`stackrel(->)(BA) = k * stackrel(->)(BC)` 

`[-4,8] = k * [2, -5]` 

`[-4, 8] = [2k, -5k]` 

Przyrównajmy współrzędne obu wektorów:

`{(2k=-4 \ \ \ |:2),(-5k=8 \ \ \ |:(-5)):}` 

`{(k=-2),(k=-8/5):}` 

Nie istnieje takie k, żeby nierówność zachodziła. Punkty nie są współliniowe.

 

`c) \ stackrel(->)(AB) = [-3-6, -1-1] = [-9, -2]` 

`stackrel(->)(AC) = [-11-6, -2-1] = [-17,-3]` 

Sprawdźmy czy istnieje takie k, że równość zachodzi:

`stackrel(->)(AB) = k * stackrel(->)(AC)` 

`[-9,-2] = k * [ -17, -3]` 

`[-9, -2] = [-17k, -3k]` 

Przyrównajmy współrzędne wektorów:

`{(-17k = -9 \ \ \ |:(-17)),( -3k = -2 \ \ \ |:(-3)):}` 

`{(k = 9/17),(k = 2/3):}` 

Nie istnieje takie k, żeby nierówność zachodziła. Punkty nie są współliniowe.

Zapisz liczby w kolejności rosnącej.

`a) \ 2^(3sqrt2) = 2^(sqrt(9*2)) = 2^sqrt18` 

 

Obliczając na kalkulatorze dowiadujemy się, że:

`sqrt17 approx 4,123` 

`sqrt18 approx 4,243` 

 

A więc:

`2^sqrt17 < 2^(4,24) < 2^sqrt18< 2^(2pi)` 

 

`b) \ 6^(1,05) approx 6,5623` 

`5^(1,15) approx 6,3653`  

`2^(2,75) approx 6,7272` 

Zauważmy, że:

`sqrt3 approx 1,73205`  

Stąd:

`3^(1,73205) approx 6,705` 

 

A więc:

`5^(1,15) < 6^(1,05) < 3^sqrt3 < 2^(2,75)` 

Wyznacz...

`A=(-2,-3) , \ B=(3,-2)` 

`P=((-2+3)/2,(-3-2)/2)=(1/2, -5/2)`

 

 

`B=(3,-2), \ C(4,3)`

`Q=((3+4)/2,(-2+3)/2)=(7/2,1/2)`

 

 

`C=(4,3), \ D=(-1,2)` 

`R = ((4-1)/2,(3+2)/2) = (3/2,5/2)`

 

 

`D=(-1,2), \ A=(-2,-3)`

`S=((-1-2)/2,(2-3)/2)=(-3/2,-1/2)`

Naszkicuj wykres funkcji f ...

`a)` 

`f(x)=|x|/x` ` <br> `

`D:` 

`x ne0` 

 

`f(x)={(x/x=1\ "dla"\ x>0),(-1\ "dla" \ x< 0):}` 

 

`b)` 

`f(x)=(3(x+1))/|x+1|` 

`D:` 

`x+1ne0` 

`xne-1` 

 

`f(x)={((3(x+1))/(-(x+1))\ "dla"\ x<-1),((3(x+1))/(x+1)\ "dla"\ x> -1):}`   

`f(x)={(-3\ "dla"\ x<-1),(3\ "dla"\ x> -1):}`   

 

`c)` 

`f(x)=(x(2 -x))/(|x-2|)` 

`D:` 

`x-2ne0` 

`xne2` 

 

`f(x)={((x(2-x))/(-(x-2))\ "dla"\ x<2),((x(2-x))/(x-2)\ "dla"\ x>2):}` 

`f(x)={(x\ "dla"\ x<2),( -x\ "dla"\ x>2):}`  

Wykres funkcji...

`y = x+2` 

Symetria względem osi x

`y = -(x+2) = -x -2` 

Symetria względem osi y

`y = -(-x)-2 = x-2` 

 

Funkcja jest dana wzorem:

`f(x) = x-2` 

Jeżeli punkt należy do wykresu funkcji to:

`f(1/3) = -5/3` 

 

`f(1/3) = 1/3 - 2 = -5/3`  

A więc punkt należy do wykresu funkcji.

Odcinek A'B' jest obrazem odcinka ...

Zauważmy, że:

`|OA'|=3|OA|` 

`|OB'|=3|OB|` 

Czyli: 

`|OA|/|OB|=(3|OA|)/(3|OB|)=|OA'|/|OB'|` 

Na mocy twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Talesa proste AB i A'B' są równoległe.

Trójkąty OAB i OA'B' są podobne z cechy BKB.

Zauważmy, że skala podobieństwa wynosi k=3.

`|A'B'|/|AB|=3\ implies |A'B'|=3|AB|`