Równania wielomianowe - matura-podstawowa - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Równania wielomianowe - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Rozwiąż równanie: $x^3-x^2+5x=0$

Standardowo wyciągamy x przed nawias, ponieważ nie ma tu wyrazu wolnego:

$x(x^2-x+5)=0$

Mamy równanie kwadratowe oraz x, zajmijmy się najpierw równaniem:

$x^2-x+5=0$

$a=1$

$b=-1$

$c=5$

Obliczmy deltę:

$∆=b^2-4ac$

$∆=(-1)^2-4×1×5$

$∆=1-20$

$∆=-19$

Delta nam wyszła ujemna, zatem tu nie ma rozwiązania. Pozostała nam tylko część pierwsza czyli x. Zatem jedynym rozwiązaniem równania jest $x=0$.  

Zadanie 2.

Rozwiąż równanie $x^3-6x^2-9x+54=0$.

Zacznijmy znów od małej zamiany

$x^3-9x-6x^2+54=0 $

Teraz wyciągamy co się da

$x(x^2-9)-6(x^2-9)=0 $

Jak widać znów bez problemu udało się nam uzyskać te same wartości. Wyciągamy nawias, czyli łączymy to, co poza nawiasem

$(x^2-9)(x-6)=0$

Sprawdzamy kiedy to jest zero

$x^2-9=0$ v $x-6=0$

Więc ze wzoru skróconego mnożenia

$(x+3)(x-3)=0$ v $x=6$

$x+3=0$ v $x-3=0$ v $x=6$

Pozostaje dodać albo odjąć stronami 3 i już można podać wynik

$x=-3$ v $x=3$ v $x=6$
 

Spis treści

Rozwiązane zadania
Wyznacz miejsca zerowe funkcji f.

{premium}   

Funkcja nie posiada miejsc zerowych gdyż mianownik musi być różny od zera natomiast licznik jest stale równy 1.

 

Wstawiając argumenty z przedziału:

 

Otrzymamy dowolną liczbę dodatnią, mniejszą od 1.

 

Wstawiając argumenty z przedziału:

 

Otrzymamy dowolną liczbę większą lub równą 1.

 

Wstawiając argumenty z przedziału:

 

Otrzymamy dowolną liczbę ujemną.

 

Widzimy zatem, że zbiór wartości wynosi:

 

W trapez o polu...

I przypadek:

podglad pliku{premium}

Dodatkowe oznaczenie:

 

 

Skoro w trapez można wpisać okrąg to:

 

 

 

Pole trapezu wynosi 168:

 

 

 

 

 

 

Z twierdzenia Pitagorasa:

 

 

 

 

oraz

 

 

 

 

 

A więc:

 

 

 

 

 

stąd:

 

 

II przypadek:

podglad pliku

Obliczenia będą analogicznie.

 

 

Z twierdzenia Pitagorasa:

  

 

 

 

 

analogicznie jak w poprzednim

 

 

Zatem

  

 

 

 

 

Długości podstaw:

 

 

Znajdź dwa tysiące dwudziestą...

 

Okres zasadniczy{premium} rozwinięcia jest równy 3. Na dwóch pierwszych miejscach po przecinku znajdują się cyfry 2 i 5, a na kolejnych powtarzają się co 3 miejsca cyfry 2, 2, 5. Czyli tak naprawdę możemy rozważyć liczbę 0,(225) i zastanowić się, jaka cyfra znajduje się na 2020-2=2018 miejscu po przecinku. Mamy:

 

W wyniku dzielenia 2018:3 otrzymaliśmy resztę 2. Oznacza to, że na 2018 miejscu po przecinku liczby 0,(225) [oraz na 2020 miejscu po przecinku liczby 0,25(225)] znajduje się druga cyfra z okresu zasadniczego, czyli cyfra 2.

Wyznacz równania prostych, w których zawierają się:

a) Przedstawiony obok czworokąt ma wierzchołki o współrzędnych:

 

Wyznaczmy prostą, w której zawiera się bok AB.

Prosta przechodząca przez punkt A jest postaci:

 

Podstawiając współrzędne punktu B otrzymujemy:

 

 

 

`ulul(y=2/5x-2)` 

 

Wyznaczmy prostą, w której zawiera się bok BC.

Prosta przechodząca przez punkt C jest postaci:

 

Podstawiając współrzędne punktu B otrzymujemy:

 

 

 

`ulul(y=-3/5x+3)` 

 

Wyznaczmy prostą, w której zawiera się bok CD.

Prosta przechodząca przez punkt C jest postaci:

 

Podstawiając współrzędne punktu D otrzymujemy:

`0=-2a+3` 

`2a=3 \ \ \ |:2` 

`a=3/2` 

`ulul(y=3/2x+3)` 

 

Wyznaczmy prostą, w której zawiera się bok AD.

Prosta przechodząca przez punkt A jest postaci:

 

Podstawiając współrzędne punktu D otrzymujemy:

 

`2a=-2 \ \ \ |:2` 

`a=-1` 

`ulul(y=-x-2)` 


b) 

Wyznaczmy prostą, w której zawiera się bok AB.

Prosta przechodząca przez punkt B jest postaci:

 

Podstawiając współrzędne punktu A otrzymujemy:

 

 

`a=-3/2` 

`ulul(y=-3/2x-72)` 

 

Wyznaczmy prostą, w której zawiera się bok BC.

Prosta przechodząca przez punkt B jest postaci:

 

Podstawiając współrzędne punktu C otrzymujemy:

 

 

`a=2` 

`ulul(y=2x-72)` 

 

Wyznaczmy prostą, w której zawiera się bok CD.

Prosta przechodząca przez punkt D jest postaci:

 

Podstawiając współrzędne punktu C otrzymujemy:

 

 

`a=-4` 

`ulul(y=-4x+144)` 

 

Wyznaczmy prostą, w której zawiera się bok AD.

Prosta przechodząca przez punkt D jest postaci:

 

Podstawiając współrzędne punktu A otrzymujemy:

 

 

 

`ulul(y=3x+144)` 

Znajdź postać dziesiętną liczby (nie korzystaj z kalkulatora)

{premium}

Zosia, Krysia i Piotrek wybrali...

Zakupy Zosi możemy opisać równaniem:{premium}

 

Zakupy Krysi możemy opisać równaniem:

 


Zapisujemy powyższe równania jako układ równań i wyznaczmy z niego k oraz m.

 

 

Podstawiamy k=70-4m do pierwszego równania.

 

 

 

 

Podstawiamy m=15 do drugiego równania.

 

 

 


Obliczamy koszt zakupów Piotrka:

 


Odp. Piotrkowi wystarczy pieniędzy na zakupy. Zapłaci za nie 70 zł.

Na podstawie wykresu funkcji podaj jej

a)

{premium}

b)

Funkcję liniową f opisuje wzór...

a) Funkcja f jest proporcjonalnością prostą, gdy{premium} wyraz wolny jest równy zero, czyli

 

 

 

Wówczas:

 

Wykres proporcjonalności prostej przechodzi przez początek układu współrzędnych. W takim razie, aby sprawdzić poprawność obliczeń, wystarczy sprawdzić, że f(0)=0:

 


b) Jeżeli wykres funkcji f przecina oś OY w punkcie (0, 7), to wyraz wolny funkcji f jest równy 7, czyli

 

 

 

Wówczas:

 

Aby sprawdzić poprawność obliczeń, wystarczy sprawdzić, że f(0)=7:

 


c) Jeżeli do wykresu funkcji f należy punkt (-3, 5), to f(-3)=5. Mamy więc:

 

 

 

 

 

Wówczas:

 

Aby sprawdzić poprawność obliczeń, wystarczy sprawdzić, że f(-3)=5:

 


d) Jeżeli miejscem zerowym funkcji f jest liczba 1, to f(1)=0. Mamy więc:

`f(1)=0` 

 

 

 

 

 

Wówczas:

 

Aby sprawdzić poprawność obliczeń, wystarczy sprawdzić, że f(1)=0:

 

Zbiorem wartości funkcji f jest przedział liczbowy...

a) Wykres funkcji g otrzymamy po przesunięciu wykresu funkcji f o 12 jednostek w dół równolegle wzdłuż osi OY. Zatem zbiór wartości{premium} funkcji g przesunie się w taki sam sposób. Stąd:

 


b) Wykres funkcji g otrzymamy po przesunięciu wykresu funkcji f o 30 jednostek w górę równolegle wzdłuż osi OY. Zatem zbiór wartości funkcji g przesunie się w taki sam sposób. Stąd:

 


c) Wykres funkcji g otrzymamy po przesunięciu wykresu funkcji f o 212 jednostek w dół równolegle wzdłuż osi OY. Zatem zbiór wartości funkcji g przesunie się w taki sam sposób. Stąd:

 


d) Wykres funkcji g otrzymamy po przesunięciu wykresu funkcji f o 2345 jednostek w górę równolegle wzdłuż osi OY. Zatem zbiór wartości funkcji g przesunie się w taki sam sposób. Stąd:

 

Dla jakiej wartości k podana funkcja...

a) Funkcja stała dla:

 

  

 

 

{premium}  

 

 

 

  

 

 

  

 

d) Współczynnik jest stale większy od 0 zatem funkcja nigdy nie będzie stała.