Równania wielomianowe - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Rozwiąż równanie: $$x^3-x^2+5x=0$$

Standardowo wyciągamy x przed nawias, ponieważ nie ma tu wyrazu wolnego:

$$x(x^2-x+5)=0$$

Mamy równanie kwadratowe oraz x, zajmijmy się najpierw równaniem:

$$x^2-x+5=0$$

$$a=1$$

$$b=-1$$

$$c=5$$

Obliczmy deltę:

$$∆=b^2-4ac$$

$$∆=(-1)^2-4×1×5$$

$$∆=1-20$$

$$∆=-19$$

Delta nam wyszła ujemna, zatem tu nie ma rozwiązania. Pozostała nam tylko część pierwsza czyli x. Zatem jedynym rozwiązaniem równania jest $$x=0$$.  

Zadanie 2.

Rozwiąż równanie $$x^3-6x^2-9x+54=0$$.

Zacznijmy znów od małej zamiany

$$x^3-9x-6x^2+54=0 $$

Teraz wyciągamy co się da

$$x(x^2-9)-6(x^2-9)=0 $$

Jak widać znów bez problemu udało się nam uzyskać te same wartości. Wyciągamy nawias, czyli łączymy to, co poza nawiasem

$$(x^2-9)(x-6)=0$$

Sprawdzamy kiedy to jest zero

$$x^2-9=0$$ v $$x-6=0$$

Więc ze wzoru skróconego mnożenia

$$(x+3)(x-3)=0$$ v $$x=6$$

$$x+3=0$$ v $$x-3=0$$ v $$x=6$$

Pozostaje dodać albo odjąć stronami 3 i już można podać wynik

$$x=-3$$ v $$x=3$$ v $$x=6$$
 

Spis treści

Rozwiązane zadania
Suma dwóch liczb jest równa...

Niech będą liczbami, o których mowa w zadaniu.

Suma tych liczb jest równa co zapiszemy następująco:

 

Natomiast różnica wynosi  czyli:

 

Zapisujemy równania jako układ równań i go rozwiązujemy:

 

Dodajemy równania stronami, otrzymując:

 

 

Podstawiamy  do dowolnego równania z igrekiem i wyznaczamy  

 

 

 

Rozwiązaniem układu równań jest para liczb:

 

Odp. Szukane liczby to               

Boki prostokąta mają długość 30 cm i 20 cm...

Krótszy bok po wydłużeniu ma długość:

 

Dłuższy bok po skróceniu ma długość:

 

 

Pole prostokąta ma zmianach długości boków:

 

Największa wartość funkcji będzie w wierzchołku zatem:

 

 

Odpowiedź C

Uzasadnij, że jeżeli

 

 

 

Przeprowadzimy dowód przez sprowadzenie do sprzeczności. Zastanówmy się, co by było, gdyby teza nie była spełniona. Iloczyn xy musiałby być wtedy ujemny. Iloczyn dwóch liczb jest ujemny, jeśli jedna z nich jest dodatnia, a druga ujemna. Mamy więc dwie możliwości.

 

 

 

Przeanalizujmy pierwszy przypadek. 

 

 

Wtedy lewa strona równości z założenia może przyjmować 2 wartości:

 

 

Prawa strona równości:

 

 

Nie zachodzi więc równość z tezy, co jest sprzecznością z założeniem. Pierwszy przypadek nie jest więc możliwy.

Przeanalizujmy teraz drugi przypadek:

 

 

Wtedy lewa strona równości z założenia może przyjmować 2 wartości:

 

Prawa strona równości:

 

 

Nie zachodzi więc równość z tezy, co jest sprzecznością z założeniem. Drugi przypadek nie jest więc możliwy.

 

Oba przypadki doprowadziły do sprzeczności, co oznacza, że nie zachodzi nierówność xy<0, czyli xy≥0, co należało dowieść. 

Wiedząc, że przybliżenie liczby...

 {premium}


 


 


 

Na podstawie wykresu funkcji...

a) Przesuwamy wykres funkcji o 2 jednostki w lewo i 2 jednostki w górę.

 

b) Przesuwamy wykres funkcji o 2 jednostki w prawo i 1 jednostkę w dół.

 

c) Przesuwamy wykres o 4 jednostki w prawo i 4 jednostki w dół.

Mamy c cukierków i rozdajemy...

Skoro mamy c cukierków i rozdając je dzieciom sprawimy, że każde będzie miało po k cukierków wtedy wiemy, że zajdzie wzór:

 

A więc n są wielkościami odwrotnie proporcjonalnymi.

 

A. Fałsz

B. Prawda

C. Fałsz

Wyłącz czynnik przed pierwiastek

{premium}

Wyznacz równanie paraboli, wiedząc, że przecina ona osie układu współrzędnych

Wykorzystując podane współrzędne, zapisujemy jakie wartości osiąga funkcja dla danych argumentów: 

Mając miejsca zerowe możemy zapisać postać iloczynową:

 

Wykorzystując punkt A znajdujemy parametr a:

 

 

 

 

 

 

 

Naszkicuj wykres funkcji

Aby narysować wykres funkcji liniowej, wyznaczamy współrzędne dwóch punktów, zaznaczamy je w układzie współrzędnych i prowadzimy przez nie prostą.

 

Aby sprawdzić, czy podany punkt należy do wykresu funkcji, podstawiamy pierwszą współrzędną punktu w miejsce x i obliczamy y - jeśli jest równy drugiej współrzędnej, to punkt należy do wykresu, a jeśli jest różny od drugiej współrzędnej, to punkt nie należy do wykresu. 

 

Sześcian S2 jest obrazem sześcianu ...