Zgoda na przetwarzanie danych osobowych

25 maja 2018 roku zacznie obowiązywać Rozporządzenie Parlamentu Europejskiego i Rady (UE) 2016/679 z dnia 27 kwietnia 2016 r. znane jako RODO.

Dlatego aby dalej móc dostarczać Ci materiały odpowiednie do Twojego etapu edukacji, potrzebujemy zgody na lepsze dopasowanie treści do Twojego zachowania. Dzięki temu możemy zapamiętywać jakie materiały są Ci potrzebne. Dbamy o Twoją prywatność, więc nie zwiększamy zakresu naszych uprawnień. Twoje dane są u nas bezpieczne, a zgodę na ich zbieranie możesz wycofać na podstronie polityka prywatności.

Klikając "Przejdź do Odrabiamy", zgadzasz się na wskazane powyżej działania. W przeciwnym wypadku, nie jesteśmy w stanie zrealizować usługi kompleksowo i prosimy o opuszczenie strony.

Polityka prywatności

Drogi Użytkowniku w każdej chwili masz prawo cofnąć zgodę na przetwarzanie Twoich danych osobowych. Cofnięcie zgody nie będzie wpływać na zgodność z prawem przetwarzania, którego dokonano na podstawie wyrażonej przez Ciebie zgody przed jej wycofaniem. Po cofnięciu zgody wszystkie twoje dane zostaną usunięte z serwisu. Udzielenie zgody możesz modyfikować w zakładce 'Informacja o danych osobowych'

Równania wielomianowe - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Rozwiąż równanie: $$x^3-x^2+5x=0$$

Standardowo wyciągamy x przed nawias, ponieważ nie ma tu wyrazu wolnego:

$$x(x^2-x+5)=0$$

Mamy równanie kwadratowe oraz x, zajmijmy się najpierw równaniem:

$$x^2-x+5=0$$

$$a=1$$

$$b=-1$$

$$c=5$$

Obliczmy deltę:

$$∆=b^2-4ac$$

$$∆=(-1)^2-4×1×5$$

$$∆=1-20$$

$$∆=-19$$

Delta nam wyszła ujemna, zatem tu nie ma rozwiązania. Pozostała nam tylko część pierwsza czyli x. Zatem jedynym rozwiązaniem równania jest $$x=0$$.  

Zadanie 2.

Rozwiąż równanie $$x^3-6x^2-9x+54=0$$.

Zacznijmy znów od małej zamiany

$$x^3-9x-6x^2+54=0 $$

Teraz wyciągamy co się da

$$x(x^2-9)-6(x^2-9)=0 $$

Jak widać znów bez problemu udało się nam uzyskać te same wartości. Wyciągamy nawias, czyli łączymy to, co poza nawiasem

$$(x^2-9)(x-6)=0$$

Sprawdzamy kiedy to jest zero

$$x^2-9=0$$ v $$x-6=0$$

Więc ze wzoru skróconego mnożenia

$$(x+3)(x-3)=0$$ v $$x=6$$

$$x+3=0$$ v $$x-3=0$$ v $$x=6$$

Pozostaje dodać albo odjąć stronami 3 i już można podać wynik

$$x=-3$$ v $$x=3$$ v $$x=6$$
 

Spis treści

Rozwiązane zadania
Oceń wartość logiczną zdania.

a) fałsz

b) prawda

c) fałsz

Wyznacz punkty, w których prosta przecina

 

Oznaczmy punkt przecięcia z osią OX jako X, punkt przecięcia z osią OY jako Y. 

 

`a)`

`X=(-6/3,\ 0)=(-2,\ 0)`

`Y=(0,\ 6)`

 

Funkcja jest rosnąca. 

 

 

`b)`

`X=(-(-3)/(-2),\ 0)=(-3/2,\ 0)=(-1 1/2,\ 0)`

`Y=(0,\ -3)`

 

Funkcja jest malejąca. 

 

 

`c)`

`X=(-3/(1/2),\ 0)=(-3:1/2,\ 0)=(-3*2,\ 0)=(-6,\ 0)`

`Y=(0,\ 3)`

 

Funkcja jest rosnąca.

 

 

`d)`

`X=(-(-2)/(-2/3),\ 0)=(-2:2/3,\ 0)=(-2*3/2,\ 0)=(-3,\ 0)`

`Y=(0,\ -2)`

Funkcja jest malejąca. 

Sprawdź, czy podane równości są tożsamościami

a) 

Przekształcamy prawą stronę równości:

`(sinalpha+cosalpha)/(sinalpha)=(sinalpha)/(sinalpha)+(cosalpha)/(sinalpha)=1+ctgalpha`

Równość jest tożsamością trygonometryczną.

 

 b)

Przekształcamy prawą stronę równości:

`1/(cosalpha) -cosalpha=1/(cosalpha) -(cos^2alpha)/(cosalpha)=(1-cos^2alpha)/(cosalpha)=(sin^2alpha)/(cosalpha)=sinalpha* (sinalpha)/(cosalpha)=sinalpha*tgalpha`

Równość jest tożsamością trygonometryczną.

Jakim czworokątem jest wielokąt...

Czworokąt jest prostokątem o bokach długości 6 i 4. Jego pole wynosi:

`P=6*4 = 24 \ [j^2]` 

Wyznacz współczynnik kierunkowy funkcji...

Funkcja liniowa o współczynniku kierunkowym równym a i wyrazie wolnym b jest dana wzorem:

`f(x) = ax+b` 

 

`a) \ {(f(-3)=8),(f(-4)=7):}`  

`{(-3a+b=8),(-4a+b=7):}` 

`{(b=3a+8),(b=4a+7):}` 

A więc:

`3a+8 = 4a+7` 

`a = 1` 

 

`b) \ {(f(0)=8),(f(-4)=0):}` 

`{(b=8),(-4a +b =0):}` 

`{(b=8),(-4a+8=0):}` 

`{(b=8),(4a=8):}` 

`{(b=8),(a=2):}` 

 

`c) \ {(f(-6)=4),(f(4)=-6):}` 

`{(-6a+b=4),(4a+b=-6):}` 

`{(b=6a+4),(b=-4a-6):}` 

A więc:

`6a+4 = -4a -6`  

`10a = -10` 

`a=-1` 

 

`d) \ {(f(-1)=-2),(f(-5)=-9):}` 

`{(-a+b=-2),(-5a+b=-9):}` 

`{(b=a-2),(b=5a-9):}` 

A więc:

`a-2 = 5a-9` 

`4a=7` 

`a = 7/4` 

 

`e) \ {(f(-3)=7),(f(5)=7):}` 

Skoro funkcja liniowa dla dwóch różnych punktów przyjmuje wartość 7 to znaczy, że dla wszystkich punktów przyjmuje taką wartość a więc współczynnik kierunkowy wynosi 0.

 

`f) \ {(f(0)=-2),(f(-4)=4):}` 

`{(b=-2),(-4a+b=4):}` 

`{(b=-2),(-4a-2=4):}` 

`{(b=-2),(-4a = 6):}` 

`{(b=-2),(a=-3/2):}` 

Zapisz liczbę w postaci 3k, 3k+1 lub 3k+2

`a)\ 26=3*8+2`

`b)\ 76=3*25+1`

`c)\ 108=3*36`

`d)\ 127=3*42+1`

`e)\ 713=3*237+2`

Wyznacz resztę z dzielenia liczby...

Podzielmy 1436 przez 34 pisemnie:

A więc:

`1436:34 = 42 \ "r" \ 8` 

Reszta wynosi 8

Zaznacz na osi liczbowej zbiór ...

`"a)"\ {(1-5x^2>=0),(x^2-x<=0):}`

Rozwiązujemy pierwszą nierówność:

`1-5x^2>=0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \|+5x^2`   

`5x^2<=1 \ \ \ |:5`

`x^2 <= 1/5`  

`x leq sqrt((1*5)/(5*5))` 

`x leq sqrt5/sqrt25`

 

`x leq sqrt5/5`  

Łatwo zauważyć, że nierówność ta jest spełniona dla:

` ul(ul(x in<<-sqrt5/5,sqrt5/5>>))`   

 

Rozwiązujemy drugą nierówność:

`x^2-x<=0`   

Wyznaczamy rozwiązania równania:

`x^2-x=0`  

`x(x-1)=0` 

`x=0\ \ \ "lub"\ \ \ x=1` 

 

Szkicujemy parabolę:

Zbiór rozwiązań drugiej nierówności to:

`ul(ul(x in<<0,1>>))`  

 

Zaznaczamy na osi liczbowej oba zbiory i wyznaczamy ich część wspólną.

 

Zbiór rozwiązań nierówności to:

`x in<<0,sqrt5/5>>`   

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))`  

`"b)"\ {(x^2-4x+3>0),(-x^2+4x+5>=0):}`   

Rozwiązujemy pierwszą nierówność:

`x^2-4x+3>0` 

Szukamy rozwiązań równania:

`x^2-4x+3=0` 

`Delta=(-4)^2-4*1*3=16-12=4` 

`sqrtDelta=sqrt4=2` 

`x_1=(4-2)/2=2/2=1` 

`x_2=(4+2)/2=6/2=3` 

Szkicujemy parabolę:

Zbiór rozwiązań nierówności pierwszej to:

`ul(ul(x in(-oo,1)cup(3,+oo)))` 

 

Rozwiązujemy drugą nierówność:

`-x^2+4x+5>=0` 

Szukamy rozwiązań równania:

`-x^2+4x+5=0` 

`Delta=4^2-4*(-1)*5=16+20=36` 

`sqrtDelta=sqrt36=6` 

`x_1=(-4-6)/(-2)=(-10)/-2=5` 

`x_2=(-4+6)/-2=2/-2=-1` 

 

Szkicujemy parabolę:

Zbiór rozwiązań drugiej nierówności to:

`ul(ul(x in<<-1,5>>))`   

 

Zaznaczamy na osi liczbowej oba zbiory i wyznaczamy ich część wspólną.

Zbiór rozwiązań nierówności to:

`x in<<-1,1)cup(3,5>>`  

Mamy 240 metrów bieżących siatki ...

`a,b-"długości boków prostokąta"` 

 

`2a+2b=240` 

`a+b=120` 

`a=120-b` 

 

`a*b=(120-b)*b=-b^2+120b` 

`f(b)=-b^2+120b` 

`"Szukamy wartości największej funkcji f."` 

`"Wykres f jest parabolą o ramionach zwróconych w doł, zatem wartość największa to"\ f(x_w).` 

`x_w=-120/(-2)=60` 

`f(60)=-(60)^2+120*60=-3600+7200=3600` 

`ul(b=60)` 

`ul(a=120-b=60` 

Oblicz:

`"a)"\ root(3)216=6,\ \ \ "bo"\ \ \ 6^3=216` 

`\ \ \ root(3)512=8,\ \ \ "bo"\ \ \ 8^3=512` 

`\ \ \ root(3)2197=13,\ \ \ "bo"\ \ \ 13^3=2197` 

`\ \ \ root(3)(-1,331)=-1,1,\ \ \ "bo"\ \ \ (-1,1)^3=-1,331` 

`"b)"\ root(3)(1/27)=1/3,\ \ \ "bo"\ \ \ (1/3)^3=1/27` 

`\ \ \ root(3)(1 61/64)=root(3)(125/64)=5/4=1 1/4,\ \ \ "bo"\ \ \ (1 1/4)^3=(5/4)^3=125/64=1 61/64` 

`\ \ \ root(3)(-1728/125)=-12/5=-2 2/5,\ \ \ "bo"\ \ \ (-2 2/5)^3=(-12/5)^3=-1728/125` 

`\ \ \ root(3)(-1)=-1,\ \ \ "bo"\ \ \ (-1)^3=-1`