Równania wielomianowe - matura-podstawowa - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Równania wielomianowe - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Rozwiąż równanie: $x^3-x^2+5x=0$

Standardowo wyciągamy x przed nawias, ponieważ nie ma tu wyrazu wolnego:

$x(x^2-x+5)=0$

Mamy równanie kwadratowe oraz x, zajmijmy się najpierw równaniem:

$x^2-x+5=0$

$a=1$

$b=-1$

$c=5$

Obliczmy deltę:

$∆=b^2-4ac$

$∆=(-1)^2-4×1×5$

$∆=1-20$

$∆=-19$

Delta nam wyszła ujemna, zatem tu nie ma rozwiązania. Pozostała nam tylko część pierwsza czyli x. Zatem jedynym rozwiązaniem równania jest $x=0$.  

Zadanie 2.

Rozwiąż równanie $x^3-6x^2-9x+54=0$.

Zacznijmy znów od małej zamiany

$x^3-9x-6x^2+54=0 $

Teraz wyciągamy co się da

$x(x^2-9)-6(x^2-9)=0 $

Jak widać znów bez problemu udało się nam uzyskać te same wartości. Wyciągamy nawias, czyli łączymy to, co poza nawiasem

$(x^2-9)(x-6)=0$

Sprawdzamy kiedy to jest zero

$x^2-9=0$ v $x-6=0$

Więc ze wzoru skróconego mnożenia

$(x+3)(x-3)=0$ v $x=6$

$x+3=0$ v $x-3=0$ v $x=6$

Pozostaje dodać albo odjąć stronami 3 i już można podać wynik

$x=-3$ v $x=3$ v $x=6$
 

Spis treści

Rozwiązane zadania
a) Wahadło starego zegara ma długość...

a) Obliczmy, ile sekund ma 1 godzina:

 

wykonajmy rysunek pomocniczy:    {premium}



Wahadło w ciągu dwóch sekund pokonuje drogę od lewej do prawej i z powrotem:

Obliczmy długość tej drogi:

 

Obliczmy jaką drogę pokona to wahadło w czasie 3600 s:

 


Odp.: To wahadło w ciągu godziny pokona drogę o długości 360π m. 


b) 

Obliczmy długość drogi, którą pokonuje dziecko podczas 20 pełnych wahnięć:

 


Odp.: Dziecko pokonuje drogę 200/9π m. 

Wyznacz współczynniki a, b i c...

 

Skoro znamy współrzędne wierzchołka to zapiszmy postać kanoniczną

Policzmy od razu ile wynosi współczynnik kierunkowy podstawiając współrzędne punktu P

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Skoro znamy współrzędne wierzchołka to zapiszmy postać kanoniczną

Policzmy od razu ile wynosi współczynnik kierunkowy podstawiając współrzędne punktu P

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Skoro znamy współrzędne wierzchołka to zapiszmy postać kanoniczną

Policzmy od razu ile wynosi współczynnik kierunkowy podstawiając współrzędne punktu P

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Skoro znamy współrzędne wierzchołka to zapiszmy postać kanoniczną

Policzmy od razu ile wynosi współczynnik kierunkowy podstawiając współrzędne punktu P

 

 

 

 

 

 

 

Na ile części rozcinają płaszczyznę...

Przypadek pierwszy - wszystkie proste są równoległe.

Wówczas proste rozcinają płaszczyznę na  części.

Thumb zad4.34astr100{premium}


Przypadek drugi - dwie proste są równoległe.

Wówczas proste rozcinają płaszczyznę na  części.

Thumb zad4.34bstr100


Przypadek trzeci - żadne dwie proste nie są równoległe.

Wówczas proste rozcinają płaszczyznę na  części.

Thumb zad4.34cstr100

Sprawdź, czy wartość wyrażenia ...

 

 

 

    

Dane są dwa niepuste i nierozłączne...

Weźmy następujące zbiory  oraz przestrzeń  

Thumb zad1.46str17

Zbiory są niepuste i nierozłączne, więc w przestrzeni  mogą być położone np. następująco:

Thumb zad1.46estr17


Dowodzimy prawo  

Rysujemy zbiór  a następnie zbiór  

Thumb zad1.46astr17

{premium}


Rysujemy zbiory  i  a następnie zbiór  

Thumb zad1.46bstr17


Otrzymaliśmy  co należało dowieść.


Dowodzimy prawo  

Rysujemy zbiór  a następnie zbiór  

Thumb zad1.46cstr17


Rysujemy zbiory  i  a następnie zbiór  

Thumb zad1.46dstr17


Otrzymaliśmy  co należało dowieść.

 

Wyznacz równanie okręgu o środku ...

 

  

 

 

 {premium}

 

 

   

 

 

 

 

 

 

 

  

 

 

 

  

 

 

 

 

  

Naszkicuj wykres funkcji i określ, czy jest ona monotoniczna

Stwórzmy tabelę wartości dla funkcji c) - przyda się ona także dla podpunktów a) oraz b):

 

                   
 

 

   

 

   

 

   

 

   

 

   

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

   

Funkcja jest rosnąca w całej swojej dziedzinie:

 

 

 

 

 

Funkcja jest malejąca w całej swojej dziedzinie: 

 

 

 

 

 

 

Funkcja nie jest monotoniczna, ale jest monotoniczna przedziałami: 

 

 

 

 

Przypomnijmy sobie definicję wartości bezwględnej. Przypisuje ona liczbie x odległość tej liczby od zera na osi liczbowej - liczbom dodatnim przypisuje tą samą liczbę, a liczbom ujemnym przypisuje liczbę przeciwną. Liczbie zero przypisuje zero. 

  

 

 

 

Funkcja jest rosnąca w całej swojej dziedzinie:

 

 

 

Funkcja jest malejąca w całej swojej dziedzinie:

 

 

 

 

 

Funkcja nie jest monotoniczna w całej swojej dziedzinie, ale jest monotoniczna przedziałami:

  

 

 

Kąt BAC ma miarę 30 ...

{premium}

 

 

 

 

 

 

 

Trójkąt ACE ma kąty o mierze 45, 45 i 90 stopni. Wynika stąd, że ACE jest równoramienny.

 

Skorzystamy z następującej tożsamości trygonometrycznej:

 

 

 

 

 

 

 

          

 

 

Z Pitagorasa:

 

    

  

Z własności trójkąta prostokątnego równoramiennego:

 

 

Wiemy, że:

  

      

 

 

Pole pewnego równoległoboku wynosi...

Pole równoległoboku obliczamy korzystając z wzoru:

 

wiemy, że:    {premium}

 

 


Obliczmy długość tego boku:  

 

 

 

 

 


Odp.: Długość tego boku wynosi 2 √3. 

Sprawdź, czy punkty ...

 

 

 

 

{premium}

 

 

 

Zatem punkty P, Q i R są współliniowe.

 

 

  

  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Nie istnieje taka liczba a, że zachodzi:

 

Punkty P, Q i R nie są współliniowe.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  

 

Nie istnieje takie alfa, zatem punkty P, Q i R nie są współliniowe.