Równania wielomianowe - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Rozwiąż równanie: $$x^3-x^2+5x=0$$

Standardowo wyciągamy x przed nawias, ponieważ nie ma tu wyrazu wolnego:

$$x(x^2-x+5)=0$$

Mamy równanie kwadratowe oraz x, zajmijmy się najpierw równaniem:

$$x^2-x+5=0$$

$$a=1$$

$$b=-1$$

$$c=5$$

Obliczmy deltę:

$$∆=b^2-4ac$$

$$∆=(-1)^2-4×1×5$$

$$∆=1-20$$

$$∆=-19$$

Delta nam wyszła ujemna, zatem tu nie ma rozwiązania. Pozostała nam tylko część pierwsza czyli x. Zatem jedynym rozwiązaniem równania jest $$x=0$$.  

Zadanie 2.

Rozwiąż równanie $$x^3-6x^2-9x+54=0$$.

Zacznijmy znów od małej zamiany

$$x^3-9x-6x^2+54=0 $$

Teraz wyciągamy co się da

$$x(x^2-9)-6(x^2-9)=0 $$

Jak widać znów bez problemu udało się nam uzyskać te same wartości. Wyciągamy nawias, czyli łączymy to, co poza nawiasem

$$(x^2-9)(x-6)=0$$

Sprawdzamy kiedy to jest zero

$$x^2-9=0$$ v $$x-6=0$$

Więc ze wzoru skróconego mnożenia

$$(x+3)(x-3)=0$$ v $$x=6$$

$$x+3=0$$ v $$x-3=0$$ v $$x=6$$

Pozostaje dodać albo odjąć stronami 3 i już można podać wynik

$$x=-3$$ v $$x=3$$ v $$x=6$$
 

Spis treści

Rozwiązane zadania
Dany jest trójkąt prostokątny ...

 

 

   

 {premium}

 

 

  

 

 

 

 

 

  

 

  

 

Wyznacz liczbę, której przybliżeniem jest

Błąd przybliżenia to różnica między daną liczbą a jej przybliżeniem. 

Szukaną liczbę oznaczymy jako x. 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Na rysunku jest przedstawiony wykres...

Funkcja nie przyjmuje wartości największej bo widzimy, że:

 

Lecz 4 nie należy do dziedziny funkcji a więc im większy argument mniejszy od 4 weźmiemy tym większą otrzymamy wartość.

 

Funkcja przyjmuje wartość najmniejszą dla x = 1, wartość ta wynosi y = -2.

 

A. Zdanie fałszywe.

 

B. Zdanie fałszywe.

 

C. Zdanie prawdziwe.

 

D. Zdanie fałszywe. 

 

Określ dziedzinę funkcji f. Naszkicuj...

 

Wyznaczamy dziedzinę funkcji f:

 

 

Nierówność jest zawsze spełniona. Zatem:

 


Aby narysować wykres funkcji f, zauważmy, że wzór tej funkcji możemy przekształcić następująco:{premium}

 

Z definicji wartości bezwzględnej:

 

W takim razie w przedziale (-∞, 5) rysujemy wykres funkcji y=-x+5, zaś w przedziale <5, +∞) - wykres funkcji y=x-5.

Rysujemy wykres funkcji f:


Odczytujemy z wykresu zbiór wartości funkcji f:

 



 

Wyznaczamy dziedzinę funkcji f:

 

 

 

 


Aby narysować wykres funkcji f, zauważmy, że wzór tej funkcji możemy przekształcić następująco:

 

Z definicji wartości bezwzględnej:

 

Stąd:

 

Mamy więc:

 

Rysujemy wykres funkcji f:


Odczytujemy z wykresu zbiór wartości funkcji f:

 



 

Wyznaczamy dziedzinę funkcji f:

 

 

 

 


Aby narysować wykres funkcji f, zauważmy, że wzór tej funkcji możemy przekształcić następująco:

 

Rysujemy wykres funkcji f:


Odczytujemy z wykresu zbiór wartości funkcji f:

 



 

Wyznaczamy dziedzinę funkcji f:

 

 

 

 

 


Aby narysować wykres funkcji f, zauważmy, że wzór tej funkcji możemy przekształcić następująco:

 

Z definicji wartości bezwzględnej:

 

Stąd:

 

Mamy więc:

 

Rysujemy wykres funkcji f:


Odczytujemy z wykresu zbiór wartości funkcji f:

 

Wyznacz biory wartości funkcji: a) f(x)=x²

a)

Dziedzinę określa pięć argumentów. Znajdujemy wartości przyporządkowane podanym argumentom podstawiając za x konkretne argumenty i obliczając w ten sposób f(x).

b)

Dziedzinę funkcji określa zbiór argumentów większych i równych -2. Znajdujemy wartości przyporządkowane kilku wybranym argumentom należącym do dziedziny.

Zauważamy, że podstawiając kolejne argumenty, przyporządkowane im wartości są coraz większe. Gdybyśmy tak podstawiali kolejne argumenty: 2,3,4,5.. , dostawalibyśmy coraz większe wartości w nieskończoność. Zbiór wartości zaczyna się więc od liczby 7 (wartość dla najmniejszego argumentu dziedziny funkcji) i jest nieograniczony z prawej strony. 

Funkcja f każdej naturalnej liczbie dwucyfrowej...

a) Zacznijmy od wyznaczenia dziedziny funkcji f. Są to wszystkie liczby naturalne dwucyfrowe, czyli:{premium}

 

Suma dwóch liczb może być równa 3, gdy tymi liczbami są 0 i 3 lub 1 i 2. Z liczb 0 i 3 możemy ułożyć liczbę 30, a z liczb 1 i 2 - liczby: 12 i 21.

Zatem funkcja f przyjmuje wartość 3 dla argumentów: 12, 21, 30.


b) Najmniejszą wartością, jaką przyjmuje funkcja f jest 1 (dla argumentu 10). Największą wartością, jaką przyjmuje funkcja f jest 18 (dla argumentu 99).

Zapisz warunek, który spełniają liczby należące do danego przedziału

Wskaż przedział, do którego nie należy

Do przedziału A należy liczba 9. Do przedziału C należy liczba 102. Do przedziału D należy liczba 3. Te liczby są podzielne przez 3. Należy więc zaznaczyć odpowiedź B. 

Przekształć wyrażenie, korzystając z wzoru na

a)

b)

c)

d)

 

 

Właściciele kotów zastanawiają się...

 

 

 

A więc wzór funkcji to:

 

 

 

 

 

 

 

 

Odpowiedź: Koty 7-, 11- i 15- letnie mają w przeliczeniu na lata ludzkie odpowiednio 44, 60 i 76 lat.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Odpowiedź: Lata kotów, których wiek wyrażony w latach ludzkich wynosi 45, 50 i 90 lat wynoszą odpowiednio 7 lat i 3 miesiące, 8 lat i 6 miesięcy oraz 18 lat i 6 miesięcy.