Równania wielomianowe - matura-podstawowa - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Równania wielomianowe - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Rozwiąż równanie: $x^3-x^2+5x=0$

Standardowo wyciągamy x przed nawias, ponieważ nie ma tu wyrazu wolnego:

$x(x^2-x+5)=0$

Mamy równanie kwadratowe oraz x, zajmijmy się najpierw równaniem:

$x^2-x+5=0$

$a=1$

$b=-1$

$c=5$

Obliczmy deltę:

$∆=b^2-4ac$

$∆=(-1)^2-4×1×5$

$∆=1-20$

$∆=-19$

Delta nam wyszła ujemna, zatem tu nie ma rozwiązania. Pozostała nam tylko część pierwsza czyli x. Zatem jedynym rozwiązaniem równania jest $x=0$.  

Zadanie 2.

Rozwiąż równanie $x^3-6x^2-9x+54=0$.

Zacznijmy znów od małej zamiany

$x^3-9x-6x^2+54=0 $

Teraz wyciągamy co się da

$x(x^2-9)-6(x^2-9)=0 $

Jak widać znów bez problemu udało się nam uzyskać te same wartości. Wyciągamy nawias, czyli łączymy to, co poza nawiasem

$(x^2-9)(x-6)=0$

Sprawdzamy kiedy to jest zero

$x^2-9=0$ v $x-6=0$

Więc ze wzoru skróconego mnożenia

$(x+3)(x-3)=0$ v $x=6$

$x+3=0$ v $x-3=0$ v $x=6$

Pozostaje dodać albo odjąć stronami 3 i już można podać wynik

$x=-3$ v $x=3$ v $x=6$
 

Spis treści

Rozwiązane zadania
Wierzchołki sześciokąta foremnego ...

Suma miar kątów wewnętrznych w każdym trójkącie jest równa 180o. Dowolny sześciokąt możemy podzielić na cztery trójkąty.

Oznacza to, że suma miar kątów wewnętrznych w każdym sześciokącie jest równa 4٠180o, czyli 720o. Wynika stąd, że miara kąta wewnętrznego sześciokąta foremnego jest równa 120o (bo 720o:6=120o). {premium}

Pole zakreskowanej figury obliczymy jako różnicę pól: sześciokąta foremnego o boku długości 6 oraz sześciu wycinków kół o promieniu 3 wyznaczonych przez kąt 120o.  

 

Obliczmy najpierw pole jednego wycinka koła o promieniu długości 3 wyznaczonego przez kąt 120o.

 

Pole sześciokąta foremnego jest sumą pól sześciu przystających trójkątów równobocznych o boku długości 6 (na takie trójkąty sześciokąt foremny dzielą dłuższe przekątne). Pole zakreskowanej figury jest więc równe:

 

Obwód zakreskowanej figury jest równy sumie długości sześciu łuków kół o promieniu 3 wyznaczonych przez kąt 120o.

Obliczmy najpierw długość jednego łuku koła o promieniu 3 wyznaczonego przez kąt 120o.

 

Obwód zakreskowanej figury jest więc równy:

 

Odpowiedź: Pole zaznaczonej figury wynosi 543-18𝜋, a jej obwód jest równy 12𝜋.


Uwaga! W odpowiedziach podano błędny wynik - przy polu figury po liczbie 18 brakuje liczby 𝜋.

Sporządź wykres funkcji...

a) 

Dana jest funkcja określona wzorem

 

Z definicji wartości bezwzględnej otrzymujemy{premium}

   

stąd mamy

   

Na jednym wykresie rysujemy fragmenty wykresów funkcji

 

 

wykres funkcji f jest sumą wykresów 1) i 2) 

Odczytajmy z wykresu zbiór wartości Ytej funkcji, otrzymujemy

 


b) 

Dana jest funkcja określona wzorem

 

Z definicji wartości bezwzględnej otrzymujemy{premium}

 

stąd mamy

   

Na jednym wykresie rysujemy fragmenty wykresów funkcji

 

 

wykres funkcji f jest sumą wykresów 1) i 2) 

Odczytajmy z wykresu zbiór wartości Ytej funkcji, otrzymujemy

 


c)

Dana jest funkcja f określona wzorem

 

Z definicji wartości bezwzględnej otrzymujemy

 

 

Liczby -5 i 2 dzielą zbiór R na przedziały

 

stąd mamy

   

zatem

   

Na jednym wykresie rysujemy fragmenty wykresów funkcji

 

 

 

wykres funkcji f jest sumą wykresów 1), 2) i 3)

Odczytajmy z wykresu zbiór wartości Ytej funkcji, otrzymujemy

 


d)

Dana jest funkcja f określona wzorem

 

Z definicji wartości bezwzględnej otrzymujemy

 

 

Liczby -2 i 1 dzielą zbiór R na przedziały

 

stąd mamy

   

zatem

   

Na jednym wykresie rysujemy fragmenty wykresów funkcji

 

 

 

wykres funkcji f jest sumą wykresów 1), 2) i 3)

Odczytajmy z wykresu zbiór wartości Ytej funkcji, otrzymujemy

 

Wyznacz dziedzinę i miejsca zerowe ...

 

Wyznaczamy dziedzinę tej funkcji.

  

 

 

 

Dla x = -5 i x = 2 wyrażenie znajdujące się w mianowniku ułamka przyjmuje wartość 0. {premium}

Dziedzina tej funkcji wynosi więc (nie dzielimy przez 0, mianownik ułamka nie może być równy 0; "wyrzucamy" te wartości x, dla których wyrażenie znajdujące się w mianowniku jest równe 0.): 

 


Wyznaczamy miejsca zerowe tej funkcji. 

  

 

Miejsce zerowe funkcji to:   

 


 

Wyznaczamy dziedzinę funkcji f. 

 

 

  

 

Wyznaczamy te argumenty, dla których funkcja przyjmuje wartości dodatnie. 

 


Wyznaczamy miejsca zerowe. 

 

  

 

 

Brak miejsc zerowych. 

 


 

Wyznaczamy dziedzinę tej funkcji. 

 

  

 

 

Wyznaczamy te argumenty, dla których funkcja przyjmuje wartości dodatnie. 

 


Wyznaczamy miejsca zerowe. 

 

 

 

 

 

Miejsce zerowe:  

Oblicz długość y listewki...

 {premium}

 

 

 

 


 

Naszkicuj wykresy funkcji f i g

a)

 

{premium}


b) 

Podaj przykład takiego sześcioelementowego...

a) Suma dwóch dowolnych liczb parzystych lub{premium} dwóch dowolnych liczb nieparzystych jest parzysta, więc przykładowe zbiory to:

 

 


b) Suma dwóch liczb jest nieparzysta, tylko wtedy, gdy jedna z tych liczb jest parzysta, a druga jest nieparzysta, więc w zbiorze powinny znaleźć się jednoczesne liczby parzyste i nieparzyste. Oznacza to jednak, że spośród sześciu liczb możemy wybrać dwie parzyste lub dwie nieparzyste i wówczas suma będzie liczbą parzystą. Wynika stąd, że szukany zbiór nie istnieje.


c) Suma trzech dowolnych liczb jest na pewno parzysta, gdy wszystkie te liczby są parzyste, więc przykładowy zbiór to

 


d) Suma trzech dowolnych liczb jest na pewno nieparzysta, gdy wszystkie te liczby są nieparzyste, więc przykładowy zbiór to

 

W ubiegłym miesiącu w Centrum ...

 

Aby obliczyć w którym dniu wystawę odwiedziła najwięcej/najmniej osób wystarczy obliczyć maksimum/minimum podanej funkcji. {premium}


a) Szukamy maksimum wartości funkcji na przedziale  

 

 

 

 

Zatem otrzymujemy:

 

Odp. Najwięcej osób odwiedziło wystawę szóstego dnia.


b) Szukamy minimum wartości funkcji na przedziale  

Na podstawie obliczeń dla podpunktu a) otrzymujemy:

 

Odp. Najmniej osób odwiedziło wystawę pierwszego dnia.

 

Oblicz: a) 17+(-10)-(-3)-9

a)

{premium}

b)

c)

d)

Średnie arytmetyczne dwóch zestawów danych ...

a) Przyjmijmy oznaczenia: 

y - suma danych pierwszego zestawu 

z - suma danych drugiego zestawu 


Stosunek liczebności danych wynosi 1 : 2, czyli:

x - liczba danych w pierwszym zestawie

2x - liczba danych w drugim zestawie {premium}


16 - średnia arytmetyczna pierwszego zestawu 

10 - średnia arytmetyczna drugiego zestawu 


Zatem: 

 

 


Obliczamy ile wynosi średnia arytmetyczna łącznego zestawu danych. 

  



b)
Przyjmijmy oznaczenia: 

y - suma danych pierwszego zestawu 

z - suma danych drugiego zestawu 


Stosunek liczebności danych wynosi 1 : 3, czyli:

x - liczba danych w pierwszym zestawie

3x - liczba danych w drugim zestawie


16 - średnia arytmetyczna pierwszego zestawu 

10 - średnia arytmetyczna drugiego zestawu 


Zatem: 

 

 


Obliczamy ile wynosi średnia arytmetyczna łącznego zestawu danych. 

 



c)
Przyjmijmy oznaczenia: 

y - suma danych pierwszego zestawu 

z - suma danych drugiego zestawu 


Stosunek liczebności danych wynosi 2 : 3, czyli:

2x - liczba danych w pierwszym zestawie

3x - liczba danych w drugim zestawie 


16 - średnia arytmetyczna pierwszego zestawu 

10 - średnia arytmetyczna drugiego zestawu 


Zatem: 

 

 


Obliczamy ile wynosi średnia arytmetyczna łącznego zestawu danych. 

Wiemy już, że jedną z krzywych wyznaczonych ...

Trajektoria (tor ruchu) to krzywa zakreślana w przestrzeni przez poruszające się ciało. {premium}

Przykłady toru ruchu:

  • parabola (rzut kamienia/piłki/itp.)
  • elipsa (satelita okrążająca Ziemię)
  • linia śrubowa
  • łamana