Równania kwadratowe - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Rozwiąż równanie: $$x^2+5x+6=0$$

Zaczynamy standardowo od wyznaczenia a,b,c czyli współczynników:

Tutaj:
$$a=1$$
$$b=5$$
$$c=6$$
Obliczmy deltę:

$$∆=b^2-4ac$$
$$∆=5^2-4×1×6$$
$$∆=25-24$$
$$∆=1$$

Obliczmy pierwiastek:
$$√{∆}=√{1}=1$$

No i teraz nasze rozwiązania
$$x_1={-b+√{∆} }/{2a} $$
$$x_1={-5+1}/2={-4}/2=-2 $$
$$x_2={-b-√{∆} }/{2a} $$
$$x_2={-5-1}/2=-6/2=-3 $$

Zadanie 2.

Rozwiąż równanie: $$x^2-3x=0$$

Rozwiązać można na dwa sposoby:
 

  1. Wyznaczmy współczynniki:

    $$a=1$$

    $$b=-3$$

    $$c=0$$

    Obliczmy deltę:

    $$∆=b^2-4ac$$

    $$∆=(-3)^2-4*1*0$$

    $$∆=9-0$$

    $$∆=9$$

    Obliczmy pierwiastek:

    $$√{∆}=√{9}=3$$

    I czas na rozwiązania:

    $$x_1={-b+√{∆} }/{2a} $$

    $$x_1={-(-3)+3}/2=6/2=3 $$

    $$x_2={-b-√{∆} }/{2a} $$

    $$x_2={-(-3)-3}/2=0/2=0 $$
     
  2. $$x^2-3x=0$$

    wyciągnijmy x przed nawias

    $$x(x-3)=0 $$

    W mnożeniu jeśli wynik jest 0 to jeden z czynników też musi być 0. Z tego wynika, że $$x-3=0$$ lub $$x=0$$, co daje:
    $$x_1=3 $$ oraz $$x_2=0 $$, czyli ten sam wynik jak w pierwszym sposobie.
 

 

Zadanie 3.

Sprawdź czy istnieje rozwiązanie równania $$(x+3)(x-3)+(x-2)^2=0$$

Zwróćmy uwagę, że proszą nas tylko o sprawdzenie, więc nie ma potrzeby liczyć rozwiązań, wystarczy policzyć deltę. Sprowadźmy najpierw równanie do naszej postaci ogólnej:
$$(x+3)(x-3)+(x-2)^2=0$$
$$x^2-9+x^2-4x+4=0$$
$$2x^2-4x-5=0$$

A teraz wyznaczmy współczynniki:

$$a=2$$
$$b=-4$$
$$c=-5$$

I teraz delta:
$$∆=(-4)^2+4×2×5 $$
$$∆=16+40 $$
$$∆=56 $$

Zatem rozwiązania istnieją, ponieważ
$$∆ > 0$$  

Spis treści

Rozwiązane zadania
Narysuj dowolny wektor ...

 

 

 

 

   

 

Zaznacz na osi liczbowej zbiór rozwiązań

 

 

 

 

 

Szukamy liczb, których odległość od zera na osi liczbowej jest nie większa niż 7. 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Szukamy liczb, których odległość od zera na osi liczbowej jest nie większa niż 2/5.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Szukamy liczb, których odległość od zera na osi liczbowej jest nie większa niż 7/5.

Włącz czynnik pod pierwiastek

Oblicz obwód i pole trapezu...

Rysunek poglądowy:

 

 

 

 

 

 

Obwód:

 

 

Pole:

 

Oblicz f(-2)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  

  

Dane są zbiory A=(-∞;5),B=<a;9). Jeśli A∩B
Zatem:
Sporządź wykresy funkcji...

a) Wykresy:

 

 

 

 

Wspólne własności:

- Dziedzina.

- Zbiór wartości.

- Liczba miejsc zerowych.

- Wszystkie wartości funkcji są niedodatnie.

- Druga współrzędna wierzchołka.

 

Różnice:

- Pierwsza współrzędna wierzchołka.

- Miejsca zerowe.

- Monotoniczność.

- Punkt przecięcia z osią y.

 

b) Wykresy:

 

 

 

 

Wspólne własności:

- Dziedzina.

- Zbiór wartości.

- Liczba miejsc zerowych.

- Wszystkie wartości funkcji są nieujemne.

- Druga współrzędna wierzchołka.

 

Różnice:

- Pierwsza współrzędna wierzchołka.

- Miejsca zerowe.

- Monotoniczność.

- Punkt przecięcia z osią y.

Oblicz wartości pozostałych funkcji ...

 

 

 {premium}

  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

    

 

 

Prosta l jest styczna do okręgu ...

Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku. Zauważmy, że:

  

 

 

 

Trójkąt ROP jest trójkątem równoramiennym, ponieważ |OR|=|OP|.

Miary kątów przy podstawie PR są sobie równe i wynoszą 42o.

Korzystając z tw. o sumie miar kątów w trójkącie (dla trójkata ROP) obliczamy miarę kąta ß:

 

 

 

 

 

Odp: Cięciwa wyznacza kąt środkowy o mierze 96o.

Wyznacz równanie osi symetrii paraboli oraz współrzędne jej wierzchołka

Najpierw wyznaczymy miejsca zerowe (x₁ i x₂, następnie wyznaczymy równanie osi symetrii jako średnią arytmetyczną tych miejsc zerowych. Współrzędna x wierzchołka paraboli jest równa tyle, ile oś symetrii. Współrzędna y wierzchołka paraboli to z kolei wartość, jaką osiąga funkcja dla argumentu równego pierwszej współrzędnej wierzchołka paraboli)

 

 

 

 

 

 

 

 {premium}

 

 

   - współrzędne wierzchołka paraboli

   - równanie osi symetrii paraboli