Zgoda na przetwarzanie danych osobowych

25 maja 2018 roku zacznie obowiązywać Rozporządzenie Parlamentu Europejskiego i Rady (UE) 2016/679 z dnia 27 kwietnia 2016 r. znane jako RODO.

Dlatego aby dalej móc dostarczać Ci materiały odpowiednie do Twojego etapu edukacji, potrzebujemy zgody na lepsze dopasowanie treści do Twojego zachowania. Dzięki temu możemy zapamiętywać jakie materiały są Ci potrzebne. Dbamy o Twoją prywatność, więc nie zwiększamy zakresu naszych uprawnień. Twoje dane są u nas bezpieczne, a zgodę na ich zbieranie możesz wycofać na podstronie polityka prywatności.

Klikając "Przejdź do Odrabiamy", zgadzasz się na wskazane powyżej działania. W przeciwnym wypadku, nie jesteśmy w stanie zrealizować usługi kompleksowo i prosimy o opuszczenie strony.

Polityka prywatności

Drogi Użytkowniku w każdej chwili masz prawo cofnąć zgodę na przetwarzanie Twoich danych osobowych. Cofnięcie zgody nie będzie wpływać na zgodność z prawem przetwarzania, którego dokonano na podstawie wyrażonej przez Ciebie zgody przed jej wycofaniem. Po cofnięciu zgody wszystkie twoje dane zostaną usunięte z serwisu. Udzielenie zgody możesz modyfikować w zakładce 'Informacja o danych osobowych'

Równania kwadratowe - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Rozwiąż równanie: $$x^2+5x+6=0$$

Zaczynamy standardowo od wyznaczenia a,b,c czyli współczynników:

Tutaj:
$$a=1$$
$$b=5$$
$$c=6$$
Obliczmy deltę:

$$∆=b^2-4ac$$
$$∆=5^2-4×1×6$$
$$∆=25-24$$
$$∆=1$$

Obliczmy pierwiastek:
$$√{∆}=√{1}=1$$

No i teraz nasze rozwiązania
$$x_1={-b+√{∆} }/{2a} $$
$$x_1={-5+1}/2={-4}/2=-2 $$
$$x_2={-b-√{∆} }/{2a} $$
$$x_2={-5-1}/2=-6/2=-3 $$

Zadanie 2.

Rozwiąż równanie: $$x^2-3x=0$$

Rozwiązać można na dwa sposoby:
 

  1. Wyznaczmy współczynniki:

    $$a=1$$

    $$b=-3$$

    $$c=0$$

    Obliczmy deltę:

    $$∆=b^2-4ac$$

    $$∆=(-3)^2-4*1*0$$

    $$∆=9-0$$

    $$∆=9$$

    Obliczmy pierwiastek:

    $$√{∆}=√{9}=3$$

    I czas na rozwiązania:

    $$x_1={-b+√{∆} }/{2a} $$

    $$x_1={-(-3)+3}/2=6/2=3 $$

    $$x_2={-b-√{∆} }/{2a} $$

    $$x_2={-(-3)-3}/2=0/2=0 $$
     
  2. $$x^2-3x=0$$

    wyciągnijmy x przed nawias

    $$x(x-3)=0 $$

    W mnożeniu jeśli wynik jest 0 to jeden z czynników też musi być 0. Z tego wynika, że $$x-3=0$$ lub $$x=0$$, co daje:
    $$x_1=3 $$ oraz $$x_2=0 $$, czyli ten sam wynik jak w pierwszym sposobie.
 

 

Zadanie 3.

Sprawdź czy istnieje rozwiązanie równania $$(x+3)(x-3)+(x-2)^2=0$$

Zwróćmy uwagę, że proszą nas tylko o sprawdzenie, więc nie ma potrzeby liczyć rozwiązań, wystarczy policzyć deltę. Sprowadźmy najpierw równanie do naszej postaci ogólnej:
$$(x+3)(x-3)+(x-2)^2=0$$
$$x^2-9+x^2-4x+4=0$$
$$2x^2-4x-5=0$$

A teraz wyznaczmy współczynniki:

$$a=2$$
$$b=-4$$
$$c=-5$$

I teraz delta:
$$∆=(-4)^2+4×2×5 $$
$$∆=16+40 $$
$$∆=56 $$

Zatem rozwiązania istnieją, ponieważ
$$∆ > 0$$  

Spis treści

Rozwiązane zadania
Sprawdź, czy podane nierówności...

Dziedzina wszystkich nierówności to zbiór liczb rzeczywistych

 

`a) \ 2x- 6(x+1) < 2` 

`2x -6x - 6 < 2` 

`-4x < 8` 

`x > -2` 

 

`x + 2>0`  

`x > -2` 

 

Nierówności są równoważne

 

`b) \ x^2 * x geq 0` 

`x^3 geq 0` 

`x geq 0` 

Nierówności sa równoważne

Rozwiąż nierówność

W każdym przykładzie najpierw uprościmy wyrażenie pod wartością bezwzględną, a dopiero potem rozwiążemy nierówność. 

 

`a)`

`|2x+4|=|2(x+2)|=|2|*|x+2|=2|x+2|`

 

`|2x+4|<=8`

`2|x+2|<=8\ \ \ |:2`

`|x+2|<=4`

Szukamy takich liczb x, których odległość od liczby -2 jest nie większa niż 4. 

Możemy więc "pójść" nie więcej niż 4 jednostki w lewo od liczby -2 (-2-4=-6) oraz nie więcej niż 4 jednostki w prawo od liczby -2 (-2+4=2). 

`x in <<-6;\ 2>>`

 

 

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))`

 

 

 

`b)`

`|3x-9|=|3(x-3)|=|3|*|x-3|=3|x-3|`

 

`|3x-9|>=6`

`3|x-3|>=6\ \ \ |:3`

`|x-3|>=2`

Szukamy takich liczb x, których odległość od liczby 3 jest nie mniejsza niż 2. 

Możemy więc "pójść" nie mniej niż 2 jednostki w lewo od liczby 3 (3-2=1) lub o nie mniej niż 2 jednostki w prawo od liczby 3 (3+2=5). 

`x in (-infty;\ 1>>uu<<5;\ +infty)`

 

 

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))`

 

 

`c)`

`|2x+1/2|=|2(x+1/4)|=|2|*|x+1/4|=2|x+1/4|`

 

`|2x+1/2|>2`

`2|x+1/4|>2\ \ \ |:2`

`|x+1/4|>1`

Szukamy takich liczb x, których odległość od liczby -¼ jest większa niż 1. 

Możemy więc "pójść" o więcej niż 1 jednostkę w lewo od liczby -¼ (-¼-1=-1¼) lub o więcej niż 1 jednostkę w prawo od liczby -¼ (-¼+1=¾)

`x in (-infty;\ -1 1/4)uu(3/4;\ +infty)`

 

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))`

 

 

`d)`

`|2-1/3x|=|-1/3(x-6)|=|-1/3|*|x-6|=1/3|x-6|`

 

`|2-1/3x|<1`

`1/3|x-6|<1\ \ \ \ |*3`

`|x-6|<3`

Szukamy takich liczb x, których odległość od liczby 6 jest mniejsza niż 3.
Możemy więc "pójść" o mniej niż 3 jednostki w lewo od liczby 6 (6-3=3) i o mniej niż 3 jednostki w prawo od liczby 6 (6+3=9).

`x in (3;\ 9)`

 

 

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))`

 

 

`e)`

`|5/2x+10|=|5/2(x+10*2/5)|=|5/2(x+4)|=|5/2|*|x+4|=5/2|x+4|`

 

`|5/2x+10|>=5`

`5/2|x+4|>=5\ \ \ \ |*2/5`

`|x+4|>=2`

Szukamy takich liczb x, których odległość od liczby -4 jest nie mniejsza niż 2. 

Możemy więc "pójść" o nie mniej niż 2 jednostki w lewo od liczby -4 (-4-2=-6) lub o nie mniej niż 2 jednostki w prawo od liczby -4 (-4+2=-2). 

`x in (-infty;\ -6)uu(-2;\ +infty)`

 

 

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))`

 

 

`f)`

`|0,75+5/4x|=|3/4+5/4x|=|1/4(5x+3)|=|5/4(x+3/5)|=|5/4|*|x+3/5|=5/4|x+3/5|`

 

`|0,75+5/4x|<1/4`

`5/4|x+3/5|<1/4\ \ \ \ \ \ |*4/5`

`|x+3/5|<1/5`

Szukamy takich liczb x, których odległość od liczby -3/5 jest mniejsza niż 1/5
Możemy więc pójść o mniej niż 1/5 jednostki w lewo od liczby -3/5 (-3/5-1/5=-4/5) i o mniej niż 1/5 jednostki w prawo od liczby -3/5 (-3/5+1/5=-2/5). 

`x in (-4/5;\ -2/5)`

 

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))`

 

 

`g)`

Wiemy, że wartość bezwzględna przyjmuje wyłącznie wartości nieujemne. Podana nierówność będzie prawdziwa tylko wtedy, gdy wartość bezwzględna przyjmie wartość zero, czyli gdy wyrażenie pod wartością bezwzględną wyzeruje się.

`|2x-4|<=0`

`2x-4=0\ \ \ |+4`

`2x=4\ \ \ |:2`

` x=2`

 

 

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))`

 

`h)`

Wiemy, że wartość bezwzględna przyjmuje wyłącznie wartości nieujemne. Podana nierówność będzie prawdziwa tylko wtedy, gdy wartość bezwzględna będzie niezerowa. 

`|x+11|>0`

`|x+11|ne0`

`x+11ne0\ \ \ |-11`

`xne-11`

 

 

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))`

 

`i)`

Wiemy, że wartość bezwzględna przyjmuje wyłącznie wartości nieujemne. Podana nierówność będzie więc prawdziwa zawsze. 

`|x-3|>=-1`

`x in RR`

 

Kąty ostre trójkąta prostokątnego mają ...

Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku.

Z definicji funkcji trygonometrycznych zapisujemy:

`sinalpha=cosbeta=a/c`  

`cosalpha=sinbeta=b/c`  

`"tg"\ alpha=a/b` 

 

`"a)"\ sinalpha=cosalpha*"tg"\ alpha` 

`"L"=sinalpha=a/c` 

`"P"=cosalpha*"tg"\ alpha=strikeb^1/c*a/strikeb^1=a/c`    

`"L"="P"` 

Podana zależność jest prawdziwa.

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))` 

`"b)"\ sinalpha+cosalpha=1` 

`"L"=sinalpha+cosalpha=a/c+b/c=(a+b)/c` 

`"P"=1` 

`"L"!="P"` 

Podana zależność nie jest prawdziwa.

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))` 

`"c)"\ cosalpha-sinbeta=0` 

`"L"=cosalpha-sinbeta=b/c-b/c=0` 

`"P"=0` 

`"L"="P"` 

Podana zależność jest prawdziwa.

 

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))` 

`"d)"\ cos^2alpha+cos^2beta=1` 

`"L"=cos^2alpha+cos^2beta=(b/c)^2+(a/c)^2=b^2/c^2+a^2/c^2=(#overbrace(b^2+a^2)^(c^2=a^2+b^2))/c^2=c^2/c^2=1` 

`"P"=1`     

Podana zależność jest prawdziwa.

Oblicz wartość wyrażenia dla x=-1/2 i dla x=1/4

`a)` 

`dla\ x=-1/2` 

`4*(-1/2)^2-2*(-1/2)+3=` 

`=4*1/4+1+3=1+1+3=5` 

 

`dla\ x=1/4` 

`4*(1/4)^2-2*1/4+3=` 

`=4/16-2/4+3=` `1/4-2/4+3=` 

`=-1/4+3=2 3/4` 

 

 

 

`b)` 

`dla\ x=-1/2` 

`-8*(-1/2)^2+4*(-1/2)-1=` 

`=-8*1/4-2-1=` 

`=-2-2-1=-5` 

 

 

`dla\ x=1/4` 

`-8*(1/4)^2+4*1/4-1=` 

`=-8/16+1-1=-8/16=-1/2` 

 

 

 

 

`c)` 

`dla\ x=-1/2`  

`-2*(-1/2)^2-6*(-1/2)+1/2=` 

`=-2/4+3+1/2=` `-1/2+3+1/2=3` 

 

 

`dla\ x=1/4` 

`-2*(1/4)^2-6*1/4+1/2=` 

`=-2/16-6/4+1/2=` 

`=-1/8-12/8+4/8=` `-9/8=-1 1/8` 

 

Zaznacz w układzie współrzędnych ...

`a)` 

`|x-y|<=1` 

`x-y<=1\ \ \wedge\ \ \x-y>=-1` 

`y>=x-1\ \ \wedge\ \ \ y<=x+1` 

 

`b)` 

`|x+y|<=1` 

`y<=-x+1\ \ \wedge\ \ \ y>=-x-1`  

 

`c)` 

`|x|+|y|<=1` 

`x+y<=1\ \ \wedge\ \ \-x+y<=1\ \ \wedge\ \ \x-y<=1\ \ \wedge\ \ \-x-y<=1 ` 

`{(y<=-x+1),(y<=x+1),(y>=x-1),(y>=-x-1):}` 

 

 

`d)` 

`|x|-|y|<=1`  

`x-y<=1\ \ \wedge\ \ \-x-y<=1\ \ \wedge\ \ \x+y<=1\ \ \wedge\ \ \-x+y<=1 `   

`{(y>= x-1),(y>=-x-1),(y<=-x+1),(y<=x+1):}` 

 

`e)` 

`2|x|+|y|<=1` 

`2x+y<=1\ \ \wedge\ \ \-2x+y<=1\ \ \wedge\ \ \2x-y<=1\ \ \wedge\ \ \-2x-y<=1 ` 

`{(y<=-2x+1),(y<=2x+1),(y>=2x-1),(y>=-2x-1):}`  

 

`f)` 

`|x|-2|y|<=1`  

`x-2y<=1\ \ \wedge\ \ \-x-2y<=1\ \ \wedge\ \ \x+2y<=1\ \ \wedge\ \ \-x+2y<=1 `   

`{(y>= x/2-1/2),(y>=-x/2-1/2),(y<=-x/2+1/2),(y<=x/2+1/2):}`  

Oblicz:

`a) \ sin^2 81^o + sin^2 9^o = sin^2 81^o + (sin(90^o -81^o))^2 = sin^2 81^o + (cos81^o)^2 = sin^2 81^o + cos^2 81^o =1` 

 

`b) \ 1 - tg3^o *tg(-87^o) = 1 - tg3^o * (-tg87^o) = 1 + tg3^o * tg87^o = 1 + tg3^o * tg(90^o -3^o)=1+tg3^o *ctg3^o=1+1 = 2` 

 

`c) \ 4 * tg \ 43^o * tg (-45^o) * tg \ 47^o = 4* tg \ 43^o * tg(-45^o) * tg (90^o - 43^o) = 4* tg \ 43^o * tg(-45^o) * (ctg 43^o) = 4*(tg43^o * ctg43^o) * tg(-45^o)` 

`= 4*1 * tg(-45^o) = 4*tg(-45^o + 360^o ) = 4 tg315^o = 4tg(360-45^o) = 4*(-tg45^o) = -4*tg 45^o = -4*1 = -4` 

 

`d) \ cos156^o = cos(180^o - 24^o) = -cos24^o` 

`(sin24^o - (-cos24^o))^2 - 2cos(90^o - 24^o) * cos24^o = (sin24^o + cos24^o)^2 - 2sin24^o * cos24^o = sin^2 24^o + 2sin24^ocos24^o + cos^2 24^o - 2sin24^o cos24^o = 1` 

Wyznacz współrzędne ...

`a)` 

`A=(-5;2)` 

`B=(b_1;b_2)` 

`vec(AB)=[1;3]=[b_1+5;b_2-2]`  

`{(b_1+5=1),(b_2-2=3):}` 

`{(b_1=-4),(b_2=5):}` 

`B=(-4;5)` 

 

`b)` 

`A=(2;7)` 

`B=(b_1;b_2)`  

`vec(AB)=[-1;4]=[b_1-2;b_2-7]`  

`{(b_1-2=-1),(b_2-7=4):}`  

`{(b_1=1),(b_2=11):}` 

`B=(1;11)` 

 

`a)` 

`A=(-3/2;1)` 

`B=(b_1;b_2)`  

`vec(AB)=[1/2;-5]=[b_1+3/2;b_2-1]`  

`{(b_1+3/2=1/2),(b_2-1=-5):}` 

`{(b_1=-1),(b_2=-4):}`  

`B=(-1;-4)` 

 

`a)` 

`A=(-3;1/2)` 

`B=(b_1;b_2)`  

`vec(AB)=[-7;-2 1/2]=[b_1+3;b_2-1/2]`    

`{(b_1+3=-7),(b_2-1/2=-2 1/2):}`  

`{(b_1=-10),(b_2=-2):}` 

`B=(-10;-2)`   

Max(a,b) oznacza większą z liczb a i b

`a)` 

`max(-6,\ 0)=0\ \ \ ("bo"\ 0> -6)` 

`max(2sqrt2;\ 3)=3\ \ \ ("bo"\ \ 2sqrt2=sqrt4*sqrt2=sqrt8,\ \ \ 3=sqrt9)` 

`min (-3,\ -6)=-6\ \ \ ("bo"\ -6< -3)` 

`min (3sqrt5;\ 5sqrt3)=3sqrt5\ \ \ \ ("bo"\ 3sqrt5=sqrt9*sqrt5=sqrt45,\ \ \ 5sqrt3=sqrt25*sqrt3=sqrt75)` 

 

`b)` 

Musimy rozważyć dwa przypadki.

 

`1)\ a<b\ \ \ ("wtedy"\ max(a,\ b)=b)` 

Rozpiszmy prawą stronę i sprawdźmy, czy jest ona równa lewej stronie. Jesli a<b, to a-b<0, czyli opuszczamy wartość bezwzględną ze zmianą znaku.

`P=1/2(a+b+|a-b|)=1/2(a+b-(a-b))=1/2(a+b-a+b)=1/2*2b=b=max(a;\ b)=L` 

 

`2)\ a>b\ \ \ ("wtedy"\ max(a;\ b)=a)` 

Rozpiszmy prawą stronę i sprawdźmy, czy jest ona równa lewej stronie. Jesli a>b, to a-b>0, czyli opuszczamy wartość bezwzględną bez zmiany znaku.

`P=1/2(a+b+|a-b|)=1/2(a+b+(a-b))=1/2(a+b+a-b)=1/2*2a=a=max(a;\ b)=L` 

 

 

`c)` 

`min(a;\ b)=1/2(a+b-|a-b|)` 

 

Aby uzasadnić powyższą równość, podobnie jak w podpunkcie b), rozpatrzymy dwa przypadki. 

`1)\ a<b\ \ \ ("wtedy"\ min(a;\ b)=a)` 

Rozpiszmy prawą stronę i sprawdźmy, czy jest ona równa lewej stronie. Jesli a<b, to a-b<0, czyli opuszczamy wartość bezwzględną ze zmianą znaku.

` P=1/2(a+b-|a-b|)=1/2(a+b+(a-b))=1/2(a+b+a-b)=1/2*2a=a=min(a;\ b)=L` 

 

`2)\ a>b\ \ \ ("wtedy"\ min (a;\ b)=b)` 

Rozpiszmy prawą stronę i sprawdźmy, czy jest ona równa lewej stronie. Jesli a>b, to a-b>0, czyli opuszczamy wartość bezwzględną bez zmiany znaku.

`P=1/2(a+b-|a-b|)=1/2(a+b-(a-b))=1/2(a+b-a+b)=1/2*2b=b=min(a;\ b)=L` 

Z wykresów funkcji przedstawionych ...

Wykres I:

`Z_w=<<-3;3>>`  

 

Miejsca zerowe:

`x=-2,\ \ x=2` 

 

Funkcja jest rosnąca w przedziale:

`<<-5;0>>` 

Funkcja jest malejąca w przedziale:

`<<0;4>>` 

 

Funkcja dla x=0 przyjmuje wartość największą y=3.

Funkcja dla argumentów x=-5 oraz x=4 przyjmuje wartość najmniejszą y=-3.

 

`f(x)>0\ \ "dla"\ \ x in (-2;2)`  

`f(x)<0\ \ "dla"\ \ x in (-5;-2)cup(2;4)` 

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))`

Wykres II:

`Z_w=<<-4;4>>`  

 

Miejsca zerowe:

`x=-3,\ \ x=2`  

 

Funkcja jest rosnąca w przedziałach:

`<<-5;-1 1/2>>\ \ "oraz"\ \ (-1;1>>\ \ "oraz"\ \ <<3 1/2;4>>`   

Funkcja jest malejąca w przedziałach:

`<<-1 1/2;-1>>\ \ "oraz"\ \ <<1;3 1/2>>`  

 

Funkcja dla x=1 przyjmuje wartość największą y=4.

Funkcja dla x=31/2 przyjmuje wartość najmniejszą f(31/2).

 

`f(x)>0\ \ "dla"\ \ x in (-2;2)`  

`f(x)<0\ \ "dla"\ \ x in (-5;-2)cup(2;4)`  

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))` 

Wykres III:

`Z_w=<<-2 1/2;4>>`   

 

Miejsca zerowe:

`x=-2,\ \ x=2`  

 

Funkcja jest rosnąca w przedziale:

`<<-5;-1/2>>`  

Funkcja jest malejąca w przedziale:

`<<-1/2;4>>` 

 

Funkcja dla x=1/2 przyjmuje wartość największą y=4.

Funkcja dla argumentów x=-5 przyjmuje wartość najmniejszą y=-21/2.

 

`f(x)>0\ \ "dla"\ \ x in (-2;2)`  

`f(x)<0\ \ "dla"\ \ x in (-5;-2)cup(2;4)`  

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))` 

Wykres IV:

`Z_w={-2,\ 0,\ 1,\ 3}`     

 

Miejsca zerowe:

`x in(1;4>>`   

 

Funkcja jest stala w przedziałach:

`<<-5;-4>>\ \ "oraz"\ \ (-4;-1>>\ \ "oraz"\ \ (-1;1>>\ \ "oraz"\ \ (1;4>>`   

 

Funkcja dla argumentów x  (-1;1> przyjmuje wartość największą y=3.

Funkcja dla argumentów  x  <-5;-4> przyjmuje wartość najmniejszą y=-2.

 

`f(x)>0\ \ "dla"\ \ x in (-4;1)`   

`f(x)<0\ \ "dla"\ \ x in <<-5;-4>>` 

Oblicz pole trójkąta ograniczonego prostą...

Wykres:

 

Wysokość trójkąta wynosi 2. Obliczmy miejsce zerowe żeby poznać bok na który pada wysokość.

`f(x) =0` 

`-3x+2=0` 

`-3x=-2` 

`x = 2/3` 

 

Pole trójkąta:

`P = 1/2 ah = 1/2 * 2/3 * 2 = 2/3`