Zgoda na przetwarzanie danych osobowych

25 maja 2018 roku zacznie obowiązywać Rozporządzenie Parlamentu Europejskiego i Rady (UE) 2016/679 z dnia 27 kwietnia 2016 r. znane jako RODO.

Dlatego aby dalej móc dostarczać Ci materiały odpowiednie do Twojego etapu edukacji, potrzebujemy zgody na lepsze dopasowanie treści do Twojego zachowania. Dzięki temu możemy zapamiętywać jakie materiały są Ci potrzebne. Dbamy o Twoją prywatność, więc nie zwiększamy zakresu naszych uprawnień. Twoje dane są u nas bezpieczne, a zgodę na ich zbieranie możesz wycofać na podstronie polityka prywatności.

Klikając "Przejdź do Odrabiamy", zgadzasz się na wskazane powyżej działania. W przeciwnym wypadku, nie jesteśmy w stanie zrealizować usługi kompleksowo i prosimy o opuszczenie strony.

Polityka prywatności

Drogi Użytkowniku w każdej chwili masz prawo cofnąć zgodę na przetwarzanie Twoich danych osobowych. Cofnięcie zgody nie będzie wpływać na zgodność z prawem przetwarzania, którego dokonano na podstawie wyrażonej przez Ciebie zgody przed jej wycofaniem. Po cofnięciu zgody wszystkie twoje dane zostaną usunięte z serwisu. Udzielenie zgody możesz modyfikować w zakładce 'Informacja o danych osobowych'

Równania kwadratowe - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Rozwiąż równanie: $$x^2+5x+6=0$$

Zaczynamy standardowo od wyznaczenia a,b,c czyli współczynników:

Tutaj:
$$a=1$$
$$b=5$$
$$c=6$$
Obliczmy deltę:

$$∆=b^2-4ac$$
$$∆=5^2-4×1×6$$
$$∆=25-24$$
$$∆=1$$

Obliczmy pierwiastek:
$$√{∆}=√{1}=1$$

No i teraz nasze rozwiązania
$$x_1={-b+√{∆} }/{2a} $$
$$x_1={-5+1}/2={-4}/2=-2 $$
$$x_2={-b-√{∆} }/{2a} $$
$$x_2={-5-1}/2=-6/2=-3 $$

Zadanie 2.

Rozwiąż równanie: $$x^2-3x=0$$

Rozwiązać można na dwa sposoby:
 

  1. Wyznaczmy współczynniki:

    $$a=1$$

    $$b=-3$$

    $$c=0$$

    Obliczmy deltę:

    $$∆=b^2-4ac$$

    $$∆=(-3)^2-4*1*0$$

    $$∆=9-0$$

    $$∆=9$$

    Obliczmy pierwiastek:

    $$√{∆}=√{9}=3$$

    I czas na rozwiązania:

    $$x_1={-b+√{∆} }/{2a} $$

    $$x_1={-(-3)+3}/2=6/2=3 $$

    $$x_2={-b-√{∆} }/{2a} $$

    $$x_2={-(-3)-3}/2=0/2=0 $$
     
  2. $$x^2-3x=0$$

    wyciągnijmy x przed nawias

    $$x(x-3)=0 $$

    W mnożeniu jeśli wynik jest 0 to jeden z czynników też musi być 0. Z tego wynika, że $$x-3=0$$ lub $$x=0$$, co daje:
    $$x_1=3 $$ oraz $$x_2=0 $$, czyli ten sam wynik jak w pierwszym sposobie.
 

 

Zadanie 3.

Sprawdź czy istnieje rozwiązanie równania $$(x+3)(x-3)+(x-2)^2=0$$

Zwróćmy uwagę, że proszą nas tylko o sprawdzenie, więc nie ma potrzeby liczyć rozwiązań, wystarczy policzyć deltę. Sprowadźmy najpierw równanie do naszej postaci ogólnej:
$$(x+3)(x-3)+(x-2)^2=0$$
$$x^2-9+x^2-4x+4=0$$
$$2x^2-4x-5=0$$

A teraz wyznaczmy współczynniki:

$$a=2$$
$$b=-4$$
$$c=-5$$

I teraz delta:
$$∆=(-4)^2+4×2×5 $$
$$∆=16+40 $$
$$∆=56 $$

Zatem rozwiązania istnieją, ponieważ
$$∆ > 0$$  

Spis treści

Rozwiązane zadania
Rozwiąż nierówność

`3px-p^2>=0\ \ \ |+p^2` 

`3px>=p^2` 

 

`I.\ "Jeżeli"\ p=0,\ "to nierówność jest postaci:"` 

`\ \ \ \ 0>=0` 

`\ \ \ "Nierówność jest spełniona przez każdą liczbę rzeczywistą."` 

 

`II.\ "Jeżeli"\ p>0,\ "to wyrażenie"\ 3p\ "przyjmuje wartości dodatnie, więc możemy podzielić nierówność"` 

`\ \ \ \ \ "przez"\ 3p,\ "bez zmiany zwrotu nierówności:"` 

`\ \ \ \ \ x>=(p^2)/(3p)` 

`\ \ \ \ \ x>=p/3` 

`\ \ \ \ x in <<p/3;\ +infty)`  

 

`III.\ "Jeżeli" \ p<0,\ "to wyrażenie"\ 3p\ "przyjmuje wartości ujemne, więc możemy podzielić nierówność"` 

`\ \ \ \ \ "przez"\ 3p,\ "ze zmianą zwrotu nierówności:"` 

`\ \ \ \ \ \ x<=(p^2)/(3p)` 

`\ \ \ \ \ \ x<=p/3` 

`\ \ \ \ \ \ x in (-infty;\ p/3>>`  

 

Działkę budowlaną w kształcie trójkąta

 

Trójkąty ABC oraz  EDC są podobne (cecha kkk)

Wiemy, że pole trapezu ABDE jest równe polu trójkąta EDC, więc pole trójkąta ABC jest 2 razy większe od pola trójkąta EDC.

`P_(DeltaABC)=2*P_(DeltaEDC)` 

 

Stosunek pól trójkątów jest równy kwadratowi skali podobieństwa: 

`k^2=(P_(DeltaABC))/(P_(DeltaEDC))` 

`k^2=(2*P_(DeltaEDC))/(P_(DeltaEDC)` 

`k^2=2` 

`k=sqrt2`   (skala podobieństwa trójkąta ABC do trójkąta EDC)

 

 

Mamy skalę podobieństwa, więc możemy zapisać proporcje odpowiednich odcinków: 

`k=|AB|/|ED|=|AC|/|EC|=|BC|/|DC|` 

`sqrt2=40/|ED|=60/|EC|=60/|DC|` 

 

Obliczamy długości odcinków ED, EC, DC:

`sqrt2=40/|ED|\ \ \ =>\ \ \ |ED|*sqrt2=40\ \ \ =>\ \ \ |ED|=40/sqrt2=(40sqrt2)/2=20sqrt2` 

`sqrt2=60/|EC|\ \ \ =>\ \ \ |EC|*sqrt2=60\ \ \ =>\ \ \ |EC|=60/sqrt2=(60sqrt2)/2=30sqrt2` 

`sqrt2=60/|DC|\ \ \ =>\ \ \ |DC|=30sqrt2` 

 

`|AE|=60-30sqrt2=|DB|` 

 

Teraz obliczamy obwody:

`O_(DeltaEDC)=20sqrt2+30sqrt2+30sqrt2=80sqrt2~~80*1,41=112,8~~113\ m` 

`O_(ABDE)=40+(60-30sqrt2)+(60-30sqrt2)+20sqrt2=` 

`\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =160-40sqrt2~~160-40*1,41=` `160-56,4=103,6~~104\ m`        

 

Nawóz do kwiatów zawiera azot ...

`7x\ -\ "masa azotu"`

`7x\ -\ "masa kwasu fosforowego"`

`6x \ -\ "masa potasu"`

 

`7x+7x+6x=21`

`20x=21\ \ \ \ |:20`

`x=21/20=1 1/20=1 5/100=1,05`

`7x=7*1,05=7,35`

`6x=6*1,05=6,30`

Z 3 kwintali nasion lnu

 

`a)`

Kwintal to 100 kg, więc trzy kwintale to 300 kg. 

 

`300\ kg\ "nasion lnu"\ \ \ -\ \ \ 145\ kg\ "oleju lnianego"`

`18\ kg\ "nasion lnu"\ \ \ -\ \ \ x`

 

`300/145=18/x`

`300x=145*18\ \ \ \ |:6`

`50x=145*3\ \ \ \ |:5`

`10x=29*3`

`10x=87\ \ \ \ |:10`

`x=8,7\ kg`

 

 

`b)`

`3\ q\ "nasion lnu"\ \ \ -\ \ \ 145\ kg\ "oleju lnianego"`

`x\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ -\ \ \ 464\ kg\ "oleju lnianego"`

 

`3/145=x/464`

`3*464=145x`

`1392=145x\ \ \ |:145`

`x=9,6\ q`

 

 

Na rysunku przedstawiono wykres...

a) Punkty wspólne to:

`(-1,2) \ , \ (3,3)` 

 

`b) \ g(x) <= 3` 

A więc pytamy się dla jakich argumentów wykres funkcji nie leży powyżej prostej y = 3

`x in (-oo, 3]` 

 

`c) \ g(x) geq f(x)` 

Pytamy się kiedy wartości funkcji g są większe bądź równe wartościom funkcji f. A więc kiedy wykres funkcji g nie leży poniżej wykresu funkcji f.

`x in (-oo, -1] \cup [3, oo)` 

Kąt wpisany w koło...

Kąt środkowy oparty na tym samym łuku co kąt wpisany jest dwa razy większy. Z uwagi na fakt, że jest to trójkąt równoramienny to wysokość OD jest również dwusieczną kąta, a więc:

`sin35^o = (1/2|AB|)/r` 

`sin35^o * r = 1/2 |AB|` 

`|AB| = 2r * sin35^o approx 2 * 10 * 0,5736 = 11,47 \ ["cm"]` 

Wykaż, że funkcja określona...

Założenie:

`f(x) = 1/2x^2 -1, \ \ x_1 , x_2 in (-oo, 0] \ "i" \ x_1 < x_2` 

Teza:

`f(x_1) > f(x_2)` 

 

Dowód:

`f(x_1) - f(x_2) = 1/2x_1^2 - 1 - (1/2x_2^2 - 1) = 1/2x_1^2 - 1 - 1/2x_2^2 + 1 = 1/2(x_1^2 -x_2^2) = 1/2(x_1-x_2)(x_1+x_2)` 

Z założenia wiemy, że:

`x_1 < x_2 => x_1 - x_2 < 0` 

`x_1, x_2 in (-oo, 0] => x_1 + x_2 < 0` 

A więc :

`1/2(x_1 - x_2)(x_1+x_2) > 0` 

Skoro różnica jest dodania to:

`f(x_1) - f(x_2) > 0 => f(x_1) > f(x_2)` 

A więc funkcja jest malejąca.

Ile jest równy promień okręgu...

Przeciwprostokątna jest średnicą okręgu gdyż kąt oparty na średnicy jest kątem prostym, bo kąt wpisany w okrąg jest oparty na łuku na którym kąt środkowy jest kątem półpełnym.

Zatem obliczmy długość przeciwprostokątnej z twierdzenia Pitagorasa:

`10^2 + 24^2 = c^2` 

`c^2 = 100 + 576 = 676` 

`c = 26` 

`r = c/2 = 26/2 = 13 \ ["cm"]` 

O ile procent liczba x jest większa od liczby y

 

Przykład O ile procent liczba x jest większa od liczby y O ile procent liczba y jest mniejsza od liczby x
`a`  `(32-20)/20=12/20=6/10=60%`  `(32-20)/32=12/32=3/8=3/8*100%=300/8%=37,5%` 
`b`  `(60-48)/48=12/48=1/4=25%`  `(60-48)/60=12/60=1/5=20/100=20%` 
`c`  `(8-6)/6=2/6=1/3=100/3%=33 1/3%`   `(8-6)/8=2/8=1/4=25/100=25%` 
`d`  `(2,4-0,6)/(0,6)=(1,8)/(0,6)=3=300/100=300%`  `(2,4-0,6)/(2,4)=(1,8)/(2,4)=18/24=3/4=75%` 
`e`  `(22-4,4)/(4,4)=(17,6)/(4,4)=176/44=44/11=4=400%`  `(22-4,4)/22=(17,6)/22=176/220=16/20=8/10=80%` 
`f`  `(80-25)/25=55/25=11/5=22/10=220%`  `(80-25)/80=55/80=55/80*100%=550/8%=68 3/4%` 

 

Napisz wzór funkcji liniowej, mając dane...

Postać kierunkowa:

`f(x)=ax+b` 

 

`a) \ {(f(-6)=0),(f(5)=8):}` 

`{(-6a+b=0),(5a+b=8 \ \ \ |*(-1)):}`   

`{(-6a+b=0),(-5a-b=-8):}` 

`underline(underline(stackrel(+)(\) \ \ \ \ \ \ \ \  \ \ \  \ \  \ \ \ \  \ \ \ \ \ \  \ \  \ \ \ ))` 

`-11a = -8` 

`a=8/11`  

Podstawmy wyliczoną wartość pod którekolwiek z równań:

`-6*8/11+b=0`  

`-48/11 + b =0` 

`b = 48/11` 

`b = 4 4/11` 

 

`f(x) = 8/11x+4 4/11` 

 

`b) \ {(f(4/5)=0),(f(-1)=1/3):}` 

`{(4/5a+b=0),(-a+b=1/3 \ \ \ |*(-1)):}` 

`{(4/5a+b=0),(a-b=-1/3):}` 

`underline(underline(stackrel(+)(\) \ \ \ \ \ \ \ \  \ \ \  \ \  \ \ \ \  \ \ \ \ \ \  \ \  \ \ \ ))` 

`9/5 a = -1/3` 

`a = -1/3*5/9` 

`a = -5/27` 

Podstawmy wyliczoną wartość pod którekolwiek z równań:

`-(-5/27) + b = 1/3` 

`5/27 + b = 9/27` 

`b = 4/27` 

 

`f(x) = -5/27 x + 4/27` 

 

`c) \ {(f(sqrt2)=0),(f(2)=-3):}` 

`{(sqrt2a+b=0),(2a+b=-3 \ \ \ |*(-1)):}` 

`{(sqrt2a+b=0),(-2a-b=3):}` 

`underline(underline(stackrel(+)(\) \ \ \ \ \ \ \ \  \ \ \  \ \  \ \ \ \  \ \ \ \ \ \  \ \  \ \ \ ))` 

`sqrt2a-2a = 3` 

`a(sqrt2-2)=3` 

`a = 3/(sqrt2-2)*(sqrt2+2)/(sqrt2+2)= (3sqrt2+6)/(2-4) = -(3sqrt2+6)/(2) = -3/2(sqrt2+2)` 

Podstawmy wyliczoną wartość pod którekolwiek z równań.

`2*(-(3sqrt2+6)/2) +b = -3` 

`-3sqrt2-6 + b = -3` 

`-b = 3 + 3sqrt2` 

`b = 3 + 3sqrt2` 

 

`f(x) = -3/2(sqrt2+2)x+3+3sqrt2`