Równania kwadratowe - matura-podstawowa - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Równania kwadratowe - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Rozwiąż równanie: $x^2+5x+6=0$

Zaczynamy standardowo od wyznaczenia a,b,c czyli współczynników:

Tutaj:
$a=1$
$b=5$
$c=6$
Obliczmy deltę:

$∆=b^2-4ac$
$∆=5^2-4×1×6$
$∆=25-24$
$∆=1$

Obliczmy pierwiastek:
$√{∆}=√{1}=1$

No i teraz nasze rozwiązania
$x_1={-b+√{∆} }/{2a} $
$x_1={-5+1}/2={-4}/2=-2 $
$x_2={-b-√{∆} }/{2a} $
$x_2={-5-1}/2=-6/2=-3 $

Zadanie 2.

Rozwiąż równanie: $x^2-3x=0$

Rozwiązać można na dwa sposoby:
 

  1. Wyznaczmy współczynniki:

    $a=1$

    $b=-3$

    $c=0$

    Obliczmy deltę:

    $∆=b^2-4ac$

    $∆=(-3)^2-4*1*0$

    $∆=9-0$

    $∆=9$

    Obliczmy pierwiastek:

    $√{∆}=√{9}=3$

    I czas na rozwiązania:

    $x_1={-b+√{∆} }/{2a} $

    $x_1={-(-3)+3}/2=6/2=3 $

    $x_2={-b-√{∆} }/{2a} $

    $x_2={-(-3)-3}/2=0/2=0 $
     
  2. $x^2-3x=0$

    wyciągnijmy x przed nawias

    $x(x-3)=0 $

    W mnożeniu jeśli wynik jest 0 to jeden z czynników też musi być 0. Z tego wynika, że $x-3=0$ lub $x=0$, co daje:
    $x_1=3 $ oraz $x_2=0 $, czyli ten sam wynik jak w pierwszym sposobie.
 

 

Zadanie 3.

Sprawdź czy istnieje rozwiązanie równania $(x+3)(x-3)+(x-2)^2=0$

Zwróćmy uwagę, że proszą nas tylko o sprawdzenie, więc nie ma potrzeby liczyć rozwiązań, wystarczy policzyć deltę. Sprowadźmy najpierw równanie do naszej postaci ogólnej:
$(x+3)(x-3)+(x-2)^2=0$
$x^2-9+x^2-4x+4=0$
$2x^2-4x-5=0$

A teraz wyznaczmy współczynniki:

$a=2$
$b=-4$
$c=-5$

I teraz delta:
$∆=(-4)^2+4×2×5 $
$∆=16+40 $
$∆=56 $

Zatem rozwiązania istnieją, ponieważ
$∆ > 0$  

Spis treści

Rozwiązane zadania
Jakie miary mają kąty...

Obliczmy miarę kąta DAB:

 


Obliczmy miarę kąta DCB:     {premium}

 


Kąty czworokąta ABCD mają miary: 40o, 90o, 90o i 140o.


Kąty wierzchołkowe mają takie same miary zatem:

 


Obliczmy miarę kąta HGF:

 


Obliczmy miarę kąta EFG:

 


Kąty czworokąta EFGH mają miary: 63o, 48o, 149o i 100o.


Obliczmy miarę kąta ILK:

 


Obliczmy miarę kąta LIJ:

 


Obliczmy miarę kąta LKJ:

 


Obliczmy miarę kąta IJK:

 


Kąty czworokąta IJKL mają miary: 28o, 35o, 270o i 27o.

W aquaparku stoi zjeżdżalnia...

Oznaczmy:

x - długość toru zjeżdżalni


Mamy{premium} dane:

 


 

 

 

 


Odp. Tor zjeżdżalni ma długość 4 m.

Wiadomo, że zdanie p=>q jest fałszywe...

Zdanie  jest fałszywe, więc zdanie  jest prawdziwe (poprzednik), a zdanie  jest fałszywe (następnik). {premium}

Zdanie  jest fałszywe, więc implikacja  jest zdaniem prawdziwym.

Stąd implikacja  jest zdaniem fałszywym, bo poprzednik jest prawdziwy, a następnik

fałszywy.

O funkcji kwadratowej f wiadomo, że...

Zapisujemy wzór funkcji kwadratowej w postaci kanonicznej: {premium}

   

Ponieważ  tylko dla  to  

 

Obliczamy odciętą wierzchołka paraboli:

 

W takim razie mamy:

 

Obliczamy  i wyznaczamy  

 

 

 

 

 

 

Podajemy wzór funkcji:

        

 

Oblicz wartość...

a)

Obliczmy wartość wyrażenia

korzystając ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat różnicy, otrzymamy{premium}

 

przekształćmy sin 15° oraz sin 75°, korzystając ze wzoru

otrzymamy

 


b)

Obliczmy wartość wyrażenia  

 

przekształćmy tg 40° korzystając ze wzoru

otrzymamy

 


c)

Obliczmy wartość wyrażenia

przekształćmy sin 20° korzystając ze wzoru

otrzymamy

  

Korzystając ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat sumy  otrzymujemy

 

przekształćmy sin 70° korzystając z tego samego wzoru co powyżej, dostaniemy

 

 


d)

Obliczmy wartość wyrażenia

przekształćmy tg 15° korzystając ze wzoru

otrzymamy

  

Poniżej przedstawione są wykresy pewnych funkcji...

`"a)"` 

`"1)"\ D_f=<< -2,\ 2>>` 

`"2)"\ ZW_f=<< -4,\ 4>>` 

`"3)"\ x=0` {premium}

`"4)"\ f(x)gt0\ "dla"\ x in (0,\ 2>>` 

`f(x)lt0\ "dla"\ x in << -2,\ 0)` 

`"5) funkcja jest rosnąca w przedziale"\ << -2,\ 2>>` 

`"6) funkcja jest różnowartościowa"` 

`"7)"\ "najmniejsza wartość funkcji to"\ -4` 

 


`"b)"` 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


 

   

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Jeden z poniższych wzorów opisuje funkcję...

Funkcja, którą przedstawia wykres powstała przez przesunięcie wykresu funkcji y=-2x2 o 1 jednostkę w lewo i o {premium}2 jednostki w górę,
zatem wzór tej funkcji to wzór C.

Zapiszmy ten wzór w postaci ogólnej:

 

Odp.: Funkcję na rysunku opisuje wzór C. Wzór ogólny tej funkcji to y=-2x2-4x.

Uzasadnij, że równanie ...

Z równania wyznaczamy .

 

 

  {premium}


Zauważmy, że równanie jest prawdziwe dla:

 


Wtedy mamy:

 


Jeżeli w miejsce  będziemy podstawiać kolejne liczby naturalne, to liczba znajdująca się po prawej stronie równości nie będzie liczbą naturalną (dla ) albo będzie ujemna (dla ).


Zatem równanie to spełnia tylko jedna para liczb naturalnych.

Rozwiąż równanie.

 

 

 

 

Δ>0, więc równanie ma 2 rozwiązania.{premium}

 


 

 

 

 

Δ>0, więc równanie ma 2 rozwiązania.

 


 

 

 

 

Δ=0, więc równanie ma 1 rozwiązanie.

 


 

 

 

 

Δ>0, więc równanie ma 2 rozwiązania.

 

 


 

 

 

 

Δ>0, więc równanie ma 2 rozwiązania.

 


 

 

 

 

Δ<0, więc równanie jest sprzeczne (nie ma rozwiązań).


 

 

 

 

 

Δ<0, więc równanie jest sprzeczne (nie ma rozwiązań).


 

 

 

 

Δ>0, więc równanie ma 2 rozwiązania.

 


 

 

 

 

Δ>0, więc równanie ma 2 rozwiązania.

 

W skarbonce są monety o nominałach ...

Liczbę pięciozłotówek oznaczmy przez . Dwuzłotówek jest o 8 więcej, więc ich liczba jest równa: . {premium}

Zawartość skarbonki to ponad 300 zł. Możemy więc zapisać:

 

 

 

 

 

 


Najmniejszą liczbą naturalną spełniającą powyższą nierówność jest 41. W skarbonce jest 41 monet pięciozłotowych.