Równania kwadratowe - matura-podstawowa - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Równania kwadratowe - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Rozwiąż równanie: $x^2+5x+6=0$

Zaczynamy standardowo od wyznaczenia a,b,c czyli współczynników:

Tutaj:
$a=1$
$b=5$
$c=6$
Obliczmy deltę:

$∆=b^2-4ac$
$∆=5^2-4×1×6$
$∆=25-24$
$∆=1$

Obliczmy pierwiastek:
$√{∆}=√{1}=1$

No i teraz nasze rozwiązania
$x_1={-b+√{∆} }/{2a} $
$x_1={-5+1}/2={-4}/2=-2 $
$x_2={-b-√{∆} }/{2a} $
$x_2={-5-1}/2=-6/2=-3 $

Zadanie 2.

Rozwiąż równanie: $x^2-3x=0$

Rozwiązać można na dwa sposoby:
 

  1. Wyznaczmy współczynniki:

    $a=1$

    $b=-3$

    $c=0$

    Obliczmy deltę:

    $∆=b^2-4ac$

    $∆=(-3)^2-4*1*0$

    $∆=9-0$

    $∆=9$

    Obliczmy pierwiastek:

    $√{∆}=√{9}=3$

    I czas na rozwiązania:

    $x_1={-b+√{∆} }/{2a} $

    $x_1={-(-3)+3}/2=6/2=3 $

    $x_2={-b-√{∆} }/{2a} $

    $x_2={-(-3)-3}/2=0/2=0 $
     
  2. $x^2-3x=0$

    wyciągnijmy x przed nawias

    $x(x-3)=0 $

    W mnożeniu jeśli wynik jest 0 to jeden z czynników też musi być 0. Z tego wynika, że $x-3=0$ lub $x=0$, co daje:
    $x_1=3 $ oraz $x_2=0 $, czyli ten sam wynik jak w pierwszym sposobie.
 

 

Zadanie 3.

Sprawdź czy istnieje rozwiązanie równania $(x+3)(x-3)+(x-2)^2=0$

Zwróćmy uwagę, że proszą nas tylko o sprawdzenie, więc nie ma potrzeby liczyć rozwiązań, wystarczy policzyć deltę. Sprowadźmy najpierw równanie do naszej postaci ogólnej:
$(x+3)(x-3)+(x-2)^2=0$
$x^2-9+x^2-4x+4=0$
$2x^2-4x-5=0$

A teraz wyznaczmy współczynniki:

$a=2$
$b=-4$
$c=-5$

I teraz delta:
$∆=(-4)^2+4×2×5 $
$∆=16+40 $
$∆=56 $

Zatem rozwiązania istnieją, ponieważ
$∆ > 0$  

Spis treści

Rozwiązane zadania
Rozwiąż równanie

W każdym przykładzie przyrównujemy wyrazenie pod wartością bezwzględną do zera, dzięki czemu {premium}wyznaczymy wartość x, która podzieli zbiór liczb rzeczywistych na dwa przedziały, w których rozpatrujemy równość. 

 

 

 

 

 

 

Ostatecznie możemy zapisać rozwiązanie równania:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Otrzymaliśmy sprzeczność, więc w pierwszym przedziale równanie nie ma rozwiązania.

 

 

 

 

Ostatecznie możemy zapisać rozwiązanie równania:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ostatecznie możemy zapisać rozwiązanie równania:

 

 

 

 

 

 

 

Otrzymaliśmy sprzeczność, więc w drugim przedziale równanie nie ma rozwiązania.

 

Ostatecznie możemy zapisać rozwiązanie równania:

 

 

 

 

Uprośćmy najpierw równanie:

 

Teraz przyrównujemy wyrażenie pod wartością bezwzględną do zera:

 

Wracamy do rozwiązania równania:

 

Otrzymaliśmy równość, która jest zawsze prawdziwa, więc wszystkie liczby z drugiego przedziału spełniają tą nierówność. 

 

 

 

 

 

`\ \ \ x^2=0

W każdym przykładzie przyrównujemy wyrazenie pod wartością bezwzględną do zera, dzięki czemu wyznaczymy wartość x, która podzieli zbiór liczb rzeczywistych na dwa przedziały, w których rozpatrujemy równość. 

 

 

 

 

 

 

Ostatecznie możemy zapisać rozwiązanie równania:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Otrzymaliśmy sprzeczność, więc w pierwszym przedziale równanie nie ma rozwiązania.

 

 

 

 

Ostatecznie możemy zapisać rozwiązanie równania:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ostatecznie możemy zapisać rozwiązanie równania:

 

 

 

 

 

 

 

Otrzymaliśmy sprzeczność, więc w drugim przedziale równanie nie ma rozwiązania.

 

Ostatecznie możemy zapisać rozwiązanie równania:

 

 

 

 

Uprośćmy najpierw równanie:

 

Teraz przyrównujemy wyrażenie pod wartością bezwzględną do zera:

 

Wracamy do rozwiązania równania:

 

Otrzymaliśmy równość, która jest zawsze prawdziwa, więc wszystkie liczby z drugiego przedziału spełniają tą nierówność. 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ostatecznie możemy zapisać rozwiązanie równania:

 

 

Wśród poniższych liczb wskaż liczby niewymierne

{premium}

 

 

Oblicz...

 

 

Dany jest przedział A.

 Oszacujmy liczby na końcach przedziału  

 {premium}

 

Do przedziału  należą więc liczby:

 


 

Oblicz, korzystając ze wzorów skróconego mnożenia:

Przypomnijmy wzory, które będą nam potrzebne:

 

 

 


 

 


 

 {premium}


 

 


 

 


 


 


 

 


 

 

Miara /_AOB wynosi...

Dwa kąty są przyległe, jeśli mają jedno ramię wspólne, a dwa pozostałe ramiona tworzą prostą.

Suma kątów przyległych tworzy kąt półpełny, zatem suma ich miar wynosi  



 miara kąta przyległego do kąta  


 {premium}


 


 


 

Dane są punkty ...

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  

  

    

Oceń wartość logiczną ...

a) Poprzednik jest zdaniem prawdziwym i następnik jest zdaniem prawdziwym, więc implikacja jest zdaniem prawdziwym.

b) Poprzednik jest zdaniem fałszywym i następnik jest zdaniem fałszywym, więc implikacja jest zdaniem prawdziwym.

c) Poprzednik jest zdaniem prawdziwym, a następnik jest zdaniem fałszywym, więc implikacja jest zdaniem fałszywym.

d) Poprzednik jest zdaniem prawdziwym i następnik jest zdaniem prawdziwym, więc implikacja jest zdaniem prawdziwym.

e) Poprzednik jest zdaniem prawdziwym, a następnik jest zdaniem fałszywym, więc implikacja jest zdaniem fałszywym.

Na brzegu jeziora mieszkało 16 rybaków...

Zauważmy, że domy rybaków są wierzchołkami pewnego wielokąta - szesnastokąta.

W takim razie liczba wszystkich wydeptanych ścieżek będzie równa sumie liczby boków{premium}

i  przekątnych szesnastokąta.

Zatem liczbę ścieżek możemy obliczyć następująco:

 

Odp. Było  ścieżek.

Zaznacz na osi liczbowej