Równania kwadratowe - matura-podstawowa - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Równania kwadratowe - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Rozwiąż równanie: $x^2+5x+6=0$

Zaczynamy standardowo od wyznaczenia a,b,c czyli współczynników:

Tutaj:
$a=1$
$b=5$
$c=6$
Obliczmy deltę:

$∆=b^2-4ac$
$∆=5^2-4×1×6$
$∆=25-24$
$∆=1$

Obliczmy pierwiastek:
$√{∆}=√{1}=1$

No i teraz nasze rozwiązania
$x_1={-b+√{∆} }/{2a} $
$x_1={-5+1}/2={-4}/2=-2 $
$x_2={-b-√{∆} }/{2a} $
$x_2={-5-1}/2=-6/2=-3 $

Zadanie 2.

Rozwiąż równanie: $x^2-3x=0$

Rozwiązać można na dwa sposoby:
 

  1. Wyznaczmy współczynniki:

    $a=1$

    $b=-3$

    $c=0$

    Obliczmy deltę:

    $∆=b^2-4ac$

    $∆=(-3)^2-4*1*0$

    $∆=9-0$

    $∆=9$

    Obliczmy pierwiastek:

    $√{∆}=√{9}=3$

    I czas na rozwiązania:

    $x_1={-b+√{∆} }/{2a} $

    $x_1={-(-3)+3}/2=6/2=3 $

    $x_2={-b-√{∆} }/{2a} $

    $x_2={-(-3)-3}/2=0/2=0 $
     
  2. $x^2-3x=0$

    wyciągnijmy x przed nawias

    $x(x-3)=0 $

    W mnożeniu jeśli wynik jest 0 to jeden z czynników też musi być 0. Z tego wynika, że $x-3=0$ lub $x=0$, co daje:
    $x_1=3 $ oraz $x_2=0 $, czyli ten sam wynik jak w pierwszym sposobie.
 

 

Zadanie 3.

Sprawdź czy istnieje rozwiązanie równania $(x+3)(x-3)+(x-2)^2=0$

Zwróćmy uwagę, że proszą nas tylko o sprawdzenie, więc nie ma potrzeby liczyć rozwiązań, wystarczy policzyć deltę. Sprowadźmy najpierw równanie do naszej postaci ogólnej:
$(x+3)(x-3)+(x-2)^2=0$
$x^2-9+x^2-4x+4=0$
$2x^2-4x-5=0$

A teraz wyznaczmy współczynniki:

$a=2$
$b=-4$
$c=-5$

I teraz delta:
$∆=(-4)^2+4×2×5 $
$∆=16+40 $
$∆=56 $

Zatem rozwiązania istnieją, ponieważ
$∆ > 0$  

Spis treści

Rozwiązane zadania
Dane są cztery funkcje ...

Funkcja liniowa  jest rosnąca, gdy .


Sprawdzamy, które funkcje są rosnące.

 - funkcja rosnąca {premium}

 - funkcja rosnąca

 - funkcja malejąca

 - funkcja rosnąca


Rosnące są funkcje . Sprawdzamy, które z nich mają dodatnie miejsca zerowe.

Jeśli , to funkcja liniowa  ma jedno miejsce zerowe: .


Wyznaczamy miejsce zerowe funkcji .

 

Funkcja  ma dodatnie miejsce zerowe.

Wyznaczamy miejsce zerowe funkcji .

 

Funkcja  ma ujemne miejsce zerowe.

Wyznaczamy miejsce zerowe funkcji .

 

Funkcja  ma dodatnie miejsce zerowe.


Funkcjami rosnącymi, które mają dodatnie miejsca zerowe są funkcje .

Objętość kuli o promieniu ...

Objętość kuli o promieniu długości 3.

 {premium}

Objętość kuli o promieniu długości 4.

 

Objętość kuli o promieniu długości 5.

 


Objętość kuli o promieniu długości R jest zatem równa:

 


Wyznaczamy długość R.

 

 

 

 

Wymień liczby ze zbioru...

a) Daną nierówność spełniają wszystkie liczby{premium} rzeczywiste mniejsze od 1, czyli: -3, -2, 0

b) Daną nierówność spełniają wszystkie liczby rzeczywiste większe od 0, czyli: 1, 3, 7

c) Daną nierówność spełniają wszystkie liczby rzeczywiste nie mniejsze od 3, czyli: 3, 7

d) Daną nierówność spełniają wszystkie liczby rzeczywiste nie większe od -2, czyli: -3, -2

Wskaż równanie, którego rozwiązaniami...

Równanie A określa wszystkie punkty, których{premium} odległość na osi liczbowej od punktu 11 jest równa 13. W takim razie rozwiązaniami tego równania są:

 

Tylko jedno rozwiązanie równania jest ujemne.


Równanie B określa wszystkie punkty, których odległość na osi liczbowej od punktu -11 jest równa 13. W takim razie rozwiązaniami tego równania są:

 

Tylko jedno rozwiązanie równania jest ujemne.


Równanie C określa wszystkie punkty, których odległość na osi liczbowej od punktu 13 jest równa 11. W takim razie rozwiązaniami tego równania są:

 

Żadne rozwiązanie nie jest ujemne.


Równanie D określa wszystkie punkty, których odległość na osi liczbowej od punktu -13 jest równa 11. W takim razie rozwiązaniami tego równania są:

 

Oba rozwiązania są ujemne.


Prawidłowa odpowiedź to D.

Podaj trzy przykłady ...

Przykłady wielkości odwrotnie proporcjonalnych: 

  • liczba osób wykonujących daną pracę i czas jej wykonania (zakładamy, że wszystkie osoby są jednakowo wydajne)   {premium}

  • liczba szklanek, do których możemy rozlać 1 litr wody i pojemność jednej szklanki

  • długość i szerokość prostokąta o danym polu
W trójkącie prostokątnym ABC, w którym...

Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku poniżej:{premium}


Wyznaczamy miarę kąta 𝛼:

 

 

 


Pola trójkątów ADC i BCD są równe, więc:

 

 

 

 

 


Mamy więc:

 

 

Znajdź rozwinięcie dziesiętne ...

Dzielimy na kalkulatorze 7 przez 23.

 


Zapisujemy wynik.

  {premium}


Zapisaną liczbę mnożymy przez 23.

 


Obliczamy, ile brakuje do 7 i otrzymaną liczbę naturalną dzielimy przez 23.

 

 


Cyfry po przecinku dopisujemy na końcu wcześniej otrzymanego rozwinięcia dziesiętnego.

 

Liczbę mnożymy przez 23.

 


Obliczamy, ile brakuje do 2 i otrzymaną liczbę naturalną dzielimy przez 23.

 

 


Cyfry po przecinku dopisujemy na końcu wcześniej otrzymanego rozwinięcia dziesiętnego.

 


Zauważmy, że:

 

Piłkę upuszczono z balkonu...

Wykres:

{premium}

 

Odpowiedź: Piłka będzie na wysokości 10,4 metra.

 

c) Jeżeli wartość funkcji w punkcie t = 3 będzie ujemna to znaczy, że piłka zderzyła się z ziemią.

 

Odpowiedź: Piłka po 3 sekundach dotknie ziemi.

Naszkicuj wykres funkcji f i odczytaj ...

 

Szkicujemy wykres funkcji .

 {premium}

Zbiorem wartości funkcji  jest przedział:

 


 

Szkicujemy wykres funkcji .


Zbiorem wartości funkcji  jest przedział:

 

Punkt...

 

Punkt S jest środkiem odcinka AB 

Rozwiążmy układ równań:

{premium}

 

 

Punkt S jest środkiem odcinka AB

Rozwiążmy układ równań: