Równania kwadratowe - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Rozwiąż równanie: $$x^2+5x+6=0$$

Zaczynamy standardowo od wyznaczenia a,b,c czyli współczynników:

Tutaj:
$$a=1$$
$$b=5$$
$$c=6$$
Obliczmy deltę:

$$∆=b^2-4ac$$
$$∆=5^2-4×1×6$$
$$∆=25-24$$
$$∆=1$$

Obliczmy pierwiastek:
$$√{∆}=√{1}=1$$

No i teraz nasze rozwiązania
$$x_1={-b+√{∆} }/{2a} $$
$$x_1={-5+1}/2={-4}/2=-2 $$
$$x_2={-b-√{∆} }/{2a} $$
$$x_2={-5-1}/2=-6/2=-3 $$

Zadanie 2.

Rozwiąż równanie: $$x^2-3x=0$$

Rozwiązać można na dwa sposoby:
 

  1. Wyznaczmy współczynniki:

    $$a=1$$

    $$b=-3$$

    $$c=0$$

    Obliczmy deltę:

    $$∆=b^2-4ac$$

    $$∆=(-3)^2-4*1*0$$

    $$∆=9-0$$

    $$∆=9$$

    Obliczmy pierwiastek:

    $$√{∆}=√{9}=3$$

    I czas na rozwiązania:

    $$x_1={-b+√{∆} }/{2a} $$

    $$x_1={-(-3)+3}/2=6/2=3 $$

    $$x_2={-b-√{∆} }/{2a} $$

    $$x_2={-(-3)-3}/2=0/2=0 $$
     
  2. $$x^2-3x=0$$

    wyciągnijmy x przed nawias

    $$x(x-3)=0 $$

    W mnożeniu jeśli wynik jest 0 to jeden z czynników też musi być 0. Z tego wynika, że $$x-3=0$$ lub $$x=0$$, co daje:
    $$x_1=3 $$ oraz $$x_2=0 $$, czyli ten sam wynik jak w pierwszym sposobie.
 

 

Zadanie 3.

Sprawdź czy istnieje rozwiązanie równania $$(x+3)(x-3)+(x-2)^2=0$$

Zwróćmy uwagę, że proszą nas tylko o sprawdzenie, więc nie ma potrzeby liczyć rozwiązań, wystarczy policzyć deltę. Sprowadźmy najpierw równanie do naszej postaci ogólnej:
$$(x+3)(x-3)+(x-2)^2=0$$
$$x^2-9+x^2-4x+4=0$$
$$2x^2-4x-5=0$$

A teraz wyznaczmy współczynniki:

$$a=2$$
$$b=-4$$
$$c=-5$$

I teraz delta:
$$∆=(-4)^2+4×2×5 $$
$$∆=16+40 $$
$$∆=56 $$

Zatem rozwiązania istnieją, ponieważ
$$∆ > 0$$  

Spis treści

Rozwiązane zadania
Jeden z boków prostokąta ma długość 18 cm ...

 

Oznaczmy długość szukanego boku przez x. Aby prostokąty były podobne, musi być prawdziwa

jedna z proporcji:

   

  

Długość drugiego boku powinna być równa 12 cm lub 27 cm.

 

 Obliczmy jaką długość ma przekątna pierwszego prostokąta: 

 

Stosunek długości przekątnej pierwszego prostokąta do długości przekątnej drugiego prostokąta: 

 

Sprawdźmy, czy stosunek długości któregoś z boków pierwszego prostokąta do długości 20 cm boku drugiego prostokąta wynosi `4/5` 

Prostokąty są więc podobne, a skala podobieństwa wynosi `4/5` 

 

Obliczmy obwód pierwszego prostokąta: 

 

Obliczmy jaką długość ma przekątna większego prostokąta: 

 

Stosunek długości przekątnych także jest równy skali podobieństwa, oznaczmy długośc przekątnej mniejszego prostokąta przez y:


`3sqrt41*2=3y\ \ \ |:3` 

Wyznacz punkty wspólne wykresów ...

 

 

  

      

  

 

 

 

    

  

  

 

 

 

 

 

 

 

 

Naszkicuj wykres dowolnej funkcji...

a) Wykres:

 

b) Wykres:

 

Funkcje fg mają takie samo miejsce zerowe.

 

Funkcje fh przecinają się w tym samym punkcie z osią y.

 

Wszystkie funkcje mają taką samą dziedzinę i zbiór wartości.

Nierówność spełniają:

Odpowiedź A jest fałszywa, ponieważ np. liczba  jest mniejsza od  ale  {premium}

Odpowiedź B jest fałszywa np. z tego samego powodu, co A.

Odpowiedź C jest fałszywa np. z tego samego powodu, co A.


Prawidłowa odpowiedź to D.

Podaj przykłady liczb niewymiernych, których:

a)

b)

Jakim liczbom odpowiadają punkty zaznaczone na osi?

Aby obliczyć jednostkę, odejmujemy od wybranej większej zaznaczonej liczby mniejszą zaznaczoną liczbę i dzielimy na ilość odcinków jednostkowych znajdujących się między tymi liczbami. 

 

 

 

 

 {premium}

 

 

 

 

 

 

 `-3 +9/7=-3+1 2/7=` `=-1 5/7` 

 

 

 

 

 `4/3=1 1/3` 

 `3 6/15-1 5/15=` `2 1/15` 

 `3 2/5+8/3=` `3 2/5+2 2/3=` 

 `5 16/15=6 1/15` 

 `7 6/15+1 5/15=` `8 11/15` 

 

 

 

 `(1 5/11+2/11)/3=` `1 7/11:3=` `18/11*1/3=6/11` 

 

 

 `1 5/11+12/11=` `1 5/11+1 1/11=` `2 6/11` 

 

W tabeli podano długości

Długość połowy obwodu różni się od liczby pi o mniej niż 0,01 dla dwóch ostatnich wielokątów (wyniki zostały podkreślone). 

 

Kurtki uszyte w zakładzie krawieckim...

a) Skoro kurtka jest sprzedawana po 190 zł a koszt jej produkcji to 110 zł to znaczy, że dochód z każdej sprzedanej kurtki wynosi 80 zł. Zatem wzór funkcji to:

 

 

b) Sprawdźmy dla jakiego x wartość funkcji będzie dodatnia:

 

 

 

 

 

 

Odpowiedź: Szycie kurtek zacznie przynosić zyski jeżeli zostanie sprzedanych co najmniej 188 kurtek.

 

c) Sprawdźmy kiedy wartość funkcji będzie większa bądź równa 2000.

 

 

 

 

 

Odpowiedź: Szycie kurtek wygeneruje 2000 zł dochodu jeżeli zostanie sprzedanych co najmniej 213 kurtek.

Wyznacz dziedzinę i zbiór rozwiązań równania:

 Wyznaczamy dziedzinę:

 

 

 

Rozwiązujemy równanie:

 

 

 

Zbiór rozwiązań równania:  


 Wyznaczamy dziedzinę:

 

 

 

Rozwiązujemy równanie: {premium}

 

 

 

 

Zbiór rozwiązań równania:  


 Wyznaczamy dziedzinę:

 

Rozwiązujemy równanie:

 

  

 

 

Zbiór rozwiązań równania:  


 Wyznaczamy dziedzinę:

 

Rozwiązujemy równanie:

 

  

 

 

Zbiór rozwiązań równania:  


 Wyznaczamy dziedzinę:

 

 

 

Rozwiązujemy równanie:

 

 

 

Zbiór rozwiązań równania:  


 Wyznaczamy dziedzinę:

 

 

 

 

Rozwiązujemy równanie:

 

 

 

Zbiór rozwiązań równania:  

Wykres funkcji f(x) ...