Rachunek prawdopodobieństwa - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

W kinie siedzi obok siebie trzech mężczyzn w czarnych garniturach, jedna kobieta i jeden mężczyzna w białym garniturze. Jaka jest szansa, że kobieta będzie siedzieć koło mężczyzny w białym garniturze?

Liczy się kolejność. Więc układamy podobnymi sposobami jak w kolejce, czyli:
Osoba - Liczba sposobów
I – 5
II – 4
III – 3
IV – 2
V – 1
Zatem z reguły mnożenia: $$5×4×3×2×1=120$$
Mamy nasze:

$$|Ω|=120$$
Teraz musimy zbadać w jakich sytuacjach będą siedzieć obok siebie. Rozpiszmy to delikatnie:
b - biały garnitur
c - czarny garnitur
k- kobieta

Oczywiście następuje rotacja na 3×2×1=6 sposobów pomiędzy czarnymi Panami :) (c1, c2 i c3 mogą bezkarnie zmieniać kolejność)
Poza tym para b,k może zajmować pierwsze i drugie miejsce, drugie i trzecie, trzecie i czwarte, czwarte i piąte - łącznie 4 możliwości:
b,k,c1,c2,c3
C1,b,k,c2,c3
C1,c2,b,k,c3
C1,c2,c3,b,k

Więc wychodzi nam $$6×4=24$$ sposoby
Jednakże kobieta może się z mężczyzną zamienić miejscami i nadal siedzieć obok siebie, więc:
$$24×2=48$$
Czyli $$A=48$$
Więc:
$$P(A)={|A|}/{|Ω|} ={48}/{120}=8/{20}=4/{10}$$

Dla tych, którzy nie są jeszcze zmęczeni usadzaniem 5 ludzi w kinie, inny sposób: czy czarni panowie grają tu jakąkolwiek rolę? Nie, równie dobrze mogą to być puste krzesła (p)! Dlatego w tym drugim sposobie usadzamy po prostu panią i białego pana, na $$5×4=20=$$|Ω|$$ sposobów. Ile z tych sposobów jest korzystnych? Gdy pani siedzi na skrajnym miejscu, jest tylko po 1 sposobie, aby pan siedział koło niej:
k,b,p,p,p
p,p,p,b,k
Gdy kobieta usiądzie w którymś z 3 "środkowych" krzeseł, biały pan może usiąść albo z jej lewej, albo z jej prawej strony. Czyli z reguły mnożenia $$3×2=6$$ możliwości dla środkowych rzędów. Kobieta może usiąść albo w środkowym, albo skrajnym krześle, ale nie na obu naraz, więc z reguły dodawania $$|A|=2+6=8$$. Ostatecznie $$P(A)={|A|}/{|Ω|} =8/20=4/10$$. Uff, wyszło to samo!

Zadanie 2.

Jaka jest szansa, że wyrzucimy dwiema kostkami sumę oczek równą 7?

Znów tutaj badamy najpierw wszystkie możliwe sytuacje.
Na jednej kostce 6 możliwości, na drugiej też, z reguły mnożenia.
$$6×6=36$$ sposobów, więc $$|Ω|=36$$
Suma oczek równa jest 7 gdy rzucimy:
$$1,6$$
$$2,5$$
$$3,4$$
$$4,3$$
$$5,2$$
$$6,1$$
Zatem $$|A|=6$$
Więc:
$$P(A)={|A|}/{|Ω|}={6}/{36}={1}/{6}$$

Hola hola, ktoś może powiedzieć: ale co to za różnica, czy wyrzucę 1 i 2, czy 2 i 1? Powinienem podzielić $$|Ω|$$ przez liczbę możliwych kolejności dwóch kostek, czyli przez $$2×1=2$$. Ale gdy nie interesuje nas kolejność kostek, możliwości też jest mniej:
$$1,6$$ (to samo co $$6,1$$)
$$2,5$$ (to samo co $$5,2$$)
$$3,4$$ (to samo co $$4,3$$)
Zatem "nie rozróżniając" kostek mam $$|Ω|=36/2=18$$, $$|A|=6/2=3$$. Wtedy $$P(A)={|A|}/{|Ω|}={3}/{18}={1}/{6}$$
Wyszło to samo (i powinno)! Częstym błędem jest liczenie $$|A|$$ w jeden sposób, a $$|Ω|$$ w inny. Dlatego pamiętaj, aby wybrać jeden sposób liczenia (kostki rozróżnialne albo nierozróżnialne), a potem się go trzymaj.
 

Spis treści

Rozwiązane zadania
W stałej temperaturze ciśnienie gazu...

Ciśnienie gazu i objętość są odwrotnie proporcjonalne a temperatura jest stała:

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

 

a) Oznaczmy nowe ciśnienie gazu przez p1

rownanie matematyczne  

rownanie matematyczne 

Podstawmy wartość odpowiadającą temperaturze, którą wyliczyliśmy na początku.

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

Ciśnienie gazu wynosi 4/3 początkowej wartości.

 

b) Oznaczmy nowe ciśnienie gazu przez p2

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

Ciśnienie gazu wynosi 2/3 początkowej wartości.

 

c) Oznaczmy nowe ciśnienie gazu przez p3

rownanie matematyczne

 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

Podaj zaokrąglenie liczby 7,47254...

Zaokrąglając liczbę do k-tego miejsca po przecinku patrzymy na k+1 cyfrę. Jeżeli jest mniejsza od 5 to wyrzucamy ją i wszystkie kolejne cyfry nie zmieniając cyfry stojącej na k-tym miejscu. W przeciwnym wypadku powiększamy o 1 cyfrę na k-tym miejscu.

 

rownanie matematyczne 

Kolejna cyfra to 4 więc ją odrzucamy i nie zmieniamy cyfry stojącej na czwartym miejscu po przecinku.

rownanie matematyczne 

 

Błąd bezwzględny:

rownanie matematyczne 

 

Błąd względny:

rownanie matematyczne 

 

rownanie matematyczne 

Kolejna cyfra to 5 więc ją odrzucamy(i wszystkie kolejne) i powiększamy cyfrę stojącą na trzecim miejscu po przecinku.

rownanie matematyczne 

 

Błąd bezwzględny:

rownanie matematyczne 

 

Błąd względny:

rownanie matematyczne 

 

rownanie matematyczne 

Kolejna cyfra to 2 więc ją odrzucamy(i wszystkie kolejne) i nie zmieniamy cyfry stojącej na drugim miejscu po przecinku.

rownanie matematyczne 

 

Błąd bezwzględny:

rownanie matematyczne 

 

Błąd względny:

rownanie matematyczne 

Rozwiąż nierówność ...

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

 

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

 

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

 

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

Prędkość światła wynosi 300 000 km/s

Obliczamy, ile sekund ma jeden rok: 

rownanie matematyczne  

rownanie matematyczne 

 

Teraz obliczamy, ile kilometrów ma rok świetlny (skoro w 1 sekundzie światło pokonuje 300 000 km, to aby obliczyć, ile {premium}pokonuje w ciągu roku, wystarczy pomnożyć:

rownanie matematyczne `3,1536*10^7*3*10^5\ km=` 

rownanie matematyczne `9,4608*10^12\ km` 

 

Sekunda świetlna to odległość, jaką światło pokonuje w ciągu roku, zapiszmy ją w notacji wykładniczej (wygodniej będzie obliczać w tabelce)

rownanie matematyczne 

 

Policzmy jescze, ile kilometrów ma godzina świetlna, najpierw zamieńmy godzinę na sekundy: 

rownanie matematyczne 

 

rownanie matematyczne `3*10^5*3,6*10^3\ km=` 

rownanie matematyczne 

 

 

 

Odległość z Ziemi do w jednostkach świetlnych w kilometrach

Księżyca 1,3 sekundy świetlnej  `1,3*3*10^5=3,9*10^5` 

Słońca 8 minut 19 sekund świetlnych `1,5*10^8` 

Plutona 5,5 godziny świetlnej `5,5*1,08*10^9=` `5,94*10^9` 

Gwiazdy Polarnej ok. 430 lat świetlnych

rownanie matematyczne `4068,144*10^12=` 

rownanie matematyczne 

środka Galaktyki ok. 28 000 lat świetlnych

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

najbliższych kwazarów ok. 1,5 mld lat świetlnych

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne   

 

 

 

Ile liczb całkowitych należy do przedziału

Liczby całkowite należące do tego przedziału to -1, 0, 1, 2, 3 - prawidłowa jest odpowiedź B. 

Wykres funkcji kwadratowej, której zbiorem wartości...

Zbiorem wartości funkcji rownanie matematyczne jest przedział rownanie matematyczne 

W takim razie wykres ma punkty wspólne tylko z prostą o równaniu rownanie matematyczne 

Prawidłowa odpowiedź to rownanie matematyczne 

Funkcja f(x) ma

Kreska ułamkowa oznacza dzielenie. Nie można dzielić przez 0, więc musimy zadbać o to, aby mianownik nie przyjmował wartości 0:

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne  

` ` `x(x-3)ne0` 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

 

Zapisujemy dziedzinę funkcji f:

rownanie matematyczne   

 

Szukamy miejsc zerowych funkcji, czylia argumentów, dla których funkcja przyjmuje wartość równą 0:

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

Otrzymane rozwiązanie nie należy do dziedziny funkcji, więc nie jest miejscem zerowym. Zatem funkcja f nie ma miejsc zerowych, co oznacza, że prawidłowa jest odpowiedź D. 

Porównaj liczby...

Skorzystamy ze wzoru skróconego mnożenia:

rownanie matematyczne 

 

 

rownanie matematyczne 

A więc:

rownanie matematyczne 

Podaj przykład trzech liczb x spełniających

a)

rownanie matematyczne

b)

rownanie matematyczne

c)

rownanie matematyczne

Wyznacz współrzędne punktu M...

Musi zachodzić równość:

rownanie matematyczne 

 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

Porównajmy współrzędne wektorów:

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

 

rownanie matematyczne 

Porównajmy współrzędne wektorów:

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

Porównajmy współrzędne wektorów:

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

Porównajmy współrzędne wektorów:

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne