Rachunek prawdopodobieństwa - matura-podstawowa - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Rachunek prawdopodobieństwa - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

W kinie siedzi obok siebie trzech mężczyzn w czarnych garniturach, jedna kobieta i jeden mężczyzna w białym garniturze. Jaka jest szansa, że kobieta będzie siedzieć koło mężczyzny w białym garniturze?

Liczy się kolejność. Więc układamy podobnymi sposobami jak w kolejce, czyli:
Osoba - Liczba sposobów
I – 5
II – 4
III – 3
IV – 2
V – 1
Zatem z reguły mnożenia: $5×4×3×2×1=120$
Mamy nasze:

$|Ω|=120$
Teraz musimy zbadać w jakich sytuacjach będą siedzieć obok siebie. Rozpiszmy to delikatnie:
b - biały garnitur
c - czarny garnitur
k- kobieta

Oczywiście następuje rotacja na 3×2×1=6 sposobów pomiędzy czarnymi Panami :) (c1, c2 i c3 mogą bezkarnie zmieniać kolejność)
Poza tym para b,k może zajmować pierwsze i drugie miejsce, drugie i trzecie, trzecie i czwarte, czwarte i piąte - łącznie 4 możliwości:
b,k,c1,c2,c3
C1,b,k,c2,c3
C1,c2,b,k,c3
C1,c2,c3,b,k

Więc wychodzi nam $6×4=24$ sposoby
Jednakże kobieta może się z mężczyzną zamienić miejscami i nadal siedzieć obok siebie, więc:
$24×2=48$
Czyli $A=48$
Więc:
$P(A)={|A|}/{|Ω|} ={48}/{120}=8/{20}=4/{10}$

Dla tych, którzy nie są jeszcze zmęczeni usadzaniem 5 ludzi w kinie, inny sposób: czy czarni panowie grają tu jakąkolwiek rolę? Nie, równie dobrze mogą to być puste krzesła (p)! Dlatego w tym drugim sposobie usadzamy po prostu panią i białego pana, na $5×4=20=$|Ω|$ sposobów. Ile z tych sposobów jest korzystnych? Gdy pani siedzi na skrajnym miejscu, jest tylko po 1 sposobie, aby pan siedział koło niej:
k,b,p,p,p
p,p,p,b,k
Gdy kobieta usiądzie w którymś z 3 "środkowych" krzeseł, biały pan może usiąść albo z jej lewej, albo z jej prawej strony. Czyli z reguły mnożenia $3×2=6$ możliwości dla środkowych rzędów. Kobieta może usiąść albo w środkowym, albo skrajnym krześle, ale nie na obu naraz, więc z reguły dodawania $|A|=2+6=8$. Ostatecznie $P(A)={|A|}/{|Ω|} =8/20=4/10$. Uff, wyszło to samo!

Zadanie 2.

Jaka jest szansa, że wyrzucimy dwiema kostkami sumę oczek równą 7?

Znów tutaj badamy najpierw wszystkie możliwe sytuacje.
Na jednej kostce 6 możliwości, na drugiej też, z reguły mnożenia.
$6×6=36$ sposobów, więc $|Ω|=36$
Suma oczek równa jest 7 gdy rzucimy:
$1,6$
$2,5$
$3,4$
$4,3$
$5,2$
$6,1$
Zatem $|A|=6$
Więc:
$P(A)={|A|}/{|Ω|}={6}/{36}={1}/{6}$

Hola hola, ktoś może powiedzieć: ale co to za różnica, czy wyrzucę 1 i 2, czy 2 i 1? Powinienem podzielić $|Ω|$ przez liczbę możliwych kolejności dwóch kostek, czyli przez $2×1=2$. Ale gdy nie interesuje nas kolejność kostek, możliwości też jest mniej:
$1,6$ (to samo co $6,1$)
$2,5$ (to samo co $5,2$)
$3,4$ (to samo co $4,3$)
Zatem "nie rozróżniając" kostek mam $|Ω|=36/2=18$, $|A|=6/2=3$. Wtedy $P(A)={|A|}/{|Ω|}={3}/{18}={1}/{6}$
Wyszło to samo (i powinno)! Częstym błędem jest liczenie $|A|$ w jeden sposób, a $|Ω|$ w inny. Dlatego pamiętaj, aby wybrać jeden sposób liczenia (kostki rozróżnialne albo nierozróżnialne), a potem się go trzymaj.
 

Spis treści

Rozwiązane zadania
Przekształć wyrażenie (x-y)², korzystając z

(x-y)^2=(x-y)(x-y)=x^2-xy-yx+y^2=x^2-2xy+y^2

Dla pewnej...

Korzystając z zależności między trzema kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego dostajemy {premium}

więc równanie ma jedno rozwiązanie

 

Odp. B.       

Wskaż liczbę, która nie jest...

Prawidłowa odpowiedź to B, ponieważ{premium} liczba 3,1622... zaokrąglona do części dziesiętnych to 3,2.

Cenę nart...

Oznaczmy przez x początkową cenę nart. 

Po obniżce o 20% cena nart wynosiła{premium}

Po obniżce o 30% nowej ceny, cena nart była równa

 

Różnica między ceną początkową a ceną końcową nart, wynosiła

więc w wyniku obu obniżek cena nart zmniejszyła się o 

 

Odp.  A. 

Wiadomo, że z 90 kg suchych łodyg...

a) Oznaczmy współczynnik proporcjonalności jako a.

Wiemy, że wielkości{premium} x (liczba kilogramów suchych łodyg lnu) i y (liczba kilogramów otrzymanego płótna lnianego) są proporcjonalne, więc:

 

Podstawiamy dane x=90, y=8 i wyznaczamy a.

 

 

W takim razie wzór proporcjonalności prostej, określający liczbę kilogramów otrzymanego płótna lnianego, w zależności od liczby kilogramów suchych łodyg lnu x (x>0, ponieważ masa jest wielkością dodatnią), ma postać

 


b) Obliczamy, ile kilogramów płótna otrzyma się z 8,1 kg suchych łodyg lnu, czyli wartość funkcji dla argumentu 8,1:

 

Odp. Z 8,1 kg suchych łodyg lnu otrzyma się 0,72 kg płótna.


c) Obliczamy, ile kilogramów suchych łodyg lnu potrzeba na wykonanie 6 kg lnianego płótna, czyli dla jakiego argumentu funkcja przyjmuje wartość 6:

 

 

Odp. Na wykonanie 6 kg lnianego płótna potrzeba 67,5 kg suchych łodyg lnu.

Niech a oznacza pewną dodatnią...

Zdanie A jest prawdziwe, ponieważ{premium}

 


Zdanie B jest fałszywe, ponieważ

 


Zdanie C jest prawdziwe, ponieważ

 

Wykaż...

Udowodnimy, że dla wszystkich nieujemnych liczb rzeczywistych x,y prawdziwa jest nierówność

 

Przekształcając powyższą nierówność otrzymamy {premium}

 

 

wyłączamy wspólny czynnik przed nawias i otrzymujemy 

 

kwadrat dowolnej liczby rzeczywistej jest liczbą nieujemną, więc

suma liczb nieujemnych jest liczbą nieujemną, zatem

iloczyn liczb nieujemnych jest liczbą nieujemną, czyli      

 

więc nierówność jest prawdziwa. 

Przekształcenia, których dokonaliśmy były równoważnościami, więc wyjściowa nierówność również musiała być prawdziwa. 

 

c.n.d.

Podaj po trzy przykłady liczb a i b takich, że: ...

   

Przykładowe rozwiązania:

 

  {premium}

 


 

Przykładowe rozwiązania:

 

 

 


 

 

 

 


 

 

 

  

Pani Marta stosuje 3-procentową ...

Masa zalewy:  

Stężenie procentowe zalewy:  

Stężenie procentowe octu:  

Ilość octu:  

Ilość wody:             {premium}


Zatem otrzymujemy:

 

 

 

 

 

Ilość octu:  

Ilość wody:  

 

Odp. Pani Marta powinna zmieszać 0,75l octu oraz 1,75l wody.

Podaj przykład dwóch figur...

a) Np:

{premium}

 

 

b) Dowolne dwie półproste takie, że jedna zawiera się w drugiej.