Rachunek prawdopodobieństwa - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

W kinie siedzi obok siebie trzech mężczyzn w czarnych garniturach, jedna kobieta i jeden mężczyzna w białym garniturze. Jaka jest szansa, że kobieta będzie siedzieć koło mężczyzny w białym garniturze?

Liczy się kolejność. Więc układamy podobnymi sposobami jak w kolejce, czyli:
Osoba - Liczba sposobów
I – 5
II – 4
III – 3
IV – 2
V – 1
Zatem z reguły mnożenia: $$5×4×3×2×1=120$$
Mamy nasze:

$$|Ω|=120$$
Teraz musimy zbadać w jakich sytuacjach będą siedzieć obok siebie. Rozpiszmy to delikatnie:
b - biały garnitur
c - czarny garnitur
k- kobieta

Oczywiście następuje rotacja na 3×2×1=6 sposobów pomiędzy czarnymi Panami :) (c1, c2 i c3 mogą bezkarnie zmieniać kolejność)
Poza tym para b,k może zajmować pierwsze i drugie miejsce, drugie i trzecie, trzecie i czwarte, czwarte i piąte - łącznie 4 możliwości:
b,k,c1,c2,c3
C1,b,k,c2,c3
C1,c2,b,k,c3
C1,c2,c3,b,k

Więc wychodzi nam $$6×4=24$$ sposoby
Jednakże kobieta może się z mężczyzną zamienić miejscami i nadal siedzieć obok siebie, więc:
$$24×2=48$$
Czyli $$A=48$$
Więc:
$$P(A)={|A|}/{|Ω|} ={48}/{120}=8/{20}=4/{10}$$

Dla tych, którzy nie są jeszcze zmęczeni usadzaniem 5 ludzi w kinie, inny sposób: czy czarni panowie grają tu jakąkolwiek rolę? Nie, równie dobrze mogą to być puste krzesła (p)! Dlatego w tym drugim sposobie usadzamy po prostu panią i białego pana, na $$5×4=20=$$|Ω|$$ sposobów. Ile z tych sposobów jest korzystnych? Gdy pani siedzi na skrajnym miejscu, jest tylko po 1 sposobie, aby pan siedział koło niej:
k,b,p,p,p
p,p,p,b,k
Gdy kobieta usiądzie w którymś z 3 "środkowych" krzeseł, biały pan może usiąść albo z jej lewej, albo z jej prawej strony. Czyli z reguły mnożenia $$3×2=6$$ możliwości dla środkowych rzędów. Kobieta może usiąść albo w środkowym, albo skrajnym krześle, ale nie na obu naraz, więc z reguły dodawania $$|A|=2+6=8$$. Ostatecznie $$P(A)={|A|}/{|Ω|} =8/20=4/10$$. Uff, wyszło to samo!

Zadanie 2.

Jaka jest szansa, że wyrzucimy dwiema kostkami sumę oczek równą 7?

Znów tutaj badamy najpierw wszystkie możliwe sytuacje.
Na jednej kostce 6 możliwości, na drugiej też, z reguły mnożenia.
$$6×6=36$$ sposobów, więc $$|Ω|=36$$
Suma oczek równa jest 7 gdy rzucimy:
$$1,6$$
$$2,5$$
$$3,4$$
$$4,3$$
$$5,2$$
$$6,1$$
Zatem $$|A|=6$$
Więc:
$$P(A)={|A|}/{|Ω|}={6}/{36}={1}/{6}$$

Hola hola, ktoś może powiedzieć: ale co to za różnica, czy wyrzucę 1 i 2, czy 2 i 1? Powinienem podzielić $$|Ω|$$ przez liczbę możliwych kolejności dwóch kostek, czyli przez $$2×1=2$$. Ale gdy nie interesuje nas kolejność kostek, możliwości też jest mniej:
$$1,6$$ (to samo co $$6,1$$)
$$2,5$$ (to samo co $$5,2$$)
$$3,4$$ (to samo co $$4,3$$)
Zatem "nie rozróżniając" kostek mam $$|Ω|=36/2=18$$, $$|A|=6/2=3$$. Wtedy $$P(A)={|A|}/{|Ω|}={3}/{18}={1}/{6}$$
Wyszło to samo (i powinno)! Częstym błędem jest liczenie $$|A|$$ w jeden sposób, a $$|Ω|$$ w inny. Dlatego pamiętaj, aby wybrać jeden sposób liczenia (kostki rozróżnialne albo nierozróżnialne), a potem się go trzymaj.
 

Spis treści

Rozwiązane zadania
Mamy 240 metrów bieżących siatki ...

Oznaczmy długości boków prostokąta jako x i z.

Wiemy, że obwód ogródka ma długość 240 metrów, stąd:

 

Wyznaczamy z powyższego równania długość boku z:

 

 

 

 

Chcemy, aby pole powierzchni ogródka było jak największe.

Zapiszmy funkcję określającą pole ogródka:

 

(zakładając, że długości boków są większe od 0 otrzymujemy dziedzinę funkcji (0;120)).

 

Wykres funkcji f(x) jest parabolą o ramionach skierowanych w dół (a=-1), więc największa wartość funkcji to f(xw).

 

 

 

Ogródek będzie miał największe pole równa 3600 m2, jeżeli jeden z boków będzie miał długość równą 60m:

 

wówczas długość drugiego boku musi wynosić:

 

 

Odp: Ogródek powinien być kwadratem o boku długości 60 m.

Rozwiąż równanie.

 

 

 

 

 

 

 

   

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

        

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

    

` `

W prostokątnym układzie współrzędnych naszkicuj...

a) Zróbmy tabelkę wartości funkcji f dla kilku argumentów z dziedziny funkcji:

x -1  0 1 2
y=x3 -1 0 1 8

{premium}

Rysujemy wykres funkcji f(x)=x3 i proste o równaniach:  y=-1,  y=8.

Na podstawie wykresów funkcji odczytujemy, że:

 

 


b) Zróbmy tabelkę wartości funkcji f dla kilku argumentów z dziedziny funkcji:

             
             

 

Rysujemy wykres funkcji f(x)=1/x i proste o równaniach:  y=2, y=-1/4.

Na podstawie wykresów funkcji odczytujemy, że:

 

 

Naszkicuj wykresy funkcji g i h...

Wykres funkcji  otrzymujemy po przesunięciu paraboli  równolegle

do osi  o  jednostki w lewo.    

Wykres funkcji  otrzymujemy po przesunięciu paraboli  równolegle

do osi  o  jednostki w prawo.    

Zachował się zbiór wartości funkcji  

Drabina o długości 3,6 m oparta o ścianę...

a) Rysunek:

Z twierdzenia Talesa:

  

 

 

 

 

Odpowiedź: Drabina sięga na wysokość 1,8 m.

 

b) Rysunek:

Z twierdzenia Talesa:

 

 

 

 

Odpowiedź: Drabina ma długość 4,4 m.

Rozłóż na czynniki pierwsze następujące liczby:

 

Thumb zad2.10astr27{premium}


 

Thumb zad2.10bstr27


 

Thumb zad2.10cstr27


 

Thumb zad2.10dstr27

Jola wykonała obliczenia:

Sprawdzamy, które obliczenia są poprawne:

 {premium}

 

 


Prawidłowa odpowiedź to B.

Funkcja f jest określona za pomocą wzoru f(x)=x^2

           
           

Funkcja jest rosnąca - dla coraz większych argumentów przyjmuje coraz większe wartości. 

{premium}

 

         
         

Funkcja jest malejąca - dla coraz mniejszych argumentów przyjmuje coraz mniejsze wartości. 

 

 

 

         
          

Funkcja nie jest monotoniczna. Gdyby była rosnąca, to dla coraz większych argumentów przyjmowałaby coraz większe watości, a dla -2 przyjmuje przecież większą wartość niż dla 1. Gdyby była malejąca, to dla coraz mniejszych wartości przyjmowałaby coraz mniejsze wartości, a dla 0 przyjmuje przecież mniejszą wartość niż dla 1. 

Konrad wybrał się w podróż z miasta A ...

Zauważmy, że Konrad podróżował pociągiem przez 6h.

 

    

 

 

 

 

   

 

 

 

Odległość między miastami A i B wynosi 440 km.

 

  

Na rysunku przedstawione są wykresy funkcji ...

 

Pierwsze współrzędne punktów A, B, C zostały zwiększone o 4, dzięki czemy otrzymane zostały punkty A', B', C'.