Rachunek prawdopodobieństwa - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

W kinie siedzi obok siebie trzech mężczyzn w czarnych garniturach, jedna kobieta i jeden mężczyzna w białym garniturze. Jaka jest szansa, że kobieta będzie siedzieć koło mężczyzny w białym garniturze?

Liczy się kolejność. Więc układamy podobnymi sposobami jak w kolejce, czyli:
Osoba - Liczba sposobów
I – 5
II – 4
III – 3
IV – 2
V – 1
Zatem z reguły mnożenia: $$5×4×3×2×1=120$$
Mamy nasze:

$$|Ω|=120$$
Teraz musimy zbadać w jakich sytuacjach będą siedzieć obok siebie. Rozpiszmy to delikatnie:
b - biały garnitur
c - czarny garnitur
k- kobieta

Oczywiście następuje rotacja na 3×2×1=6 sposobów pomiędzy czarnymi Panami :) (c1, c2 i c3 mogą bezkarnie zmieniać kolejność)
Poza tym para b,k może zajmować pierwsze i drugie miejsce, drugie i trzecie, trzecie i czwarte, czwarte i piąte - łącznie 4 możliwości:
b,k,c1,c2,c3
C1,b,k,c2,c3
C1,c2,b,k,c3
C1,c2,c3,b,k

Więc wychodzi nam $$6×4=24$$ sposoby
Jednakże kobieta może się z mężczyzną zamienić miejscami i nadal siedzieć obok siebie, więc:
$$24×2=48$$
Czyli $$A=48$$
Więc:
$$P(A)={|A|}/{|Ω|} ={48}/{120}=8/{20}=4/{10}$$

Dla tych, którzy nie są jeszcze zmęczeni usadzaniem 5 ludzi w kinie, inny sposób: czy czarni panowie grają tu jakąkolwiek rolę? Nie, równie dobrze mogą to być puste krzesła (p)! Dlatego w tym drugim sposobie usadzamy po prostu panią i białego pana, na $$5×4=20=$$|Ω|$$ sposobów. Ile z tych sposobów jest korzystnych? Gdy pani siedzi na skrajnym miejscu, jest tylko po 1 sposobie, aby pan siedział koło niej:
k,b,p,p,p
p,p,p,b,k
Gdy kobieta usiądzie w którymś z 3 "środkowych" krzeseł, biały pan może usiąść albo z jej lewej, albo z jej prawej strony. Czyli z reguły mnożenia $$3×2=6$$ możliwości dla środkowych rzędów. Kobieta może usiąść albo w środkowym, albo skrajnym krześle, ale nie na obu naraz, więc z reguły dodawania $$|A|=2+6=8$$. Ostatecznie $$P(A)={|A|}/{|Ω|} =8/20=4/10$$. Uff, wyszło to samo!

Zadanie 2.

Jaka jest szansa, że wyrzucimy dwiema kostkami sumę oczek równą 7?

Znów tutaj badamy najpierw wszystkie możliwe sytuacje.
Na jednej kostce 6 możliwości, na drugiej też, z reguły mnożenia.
$$6×6=36$$ sposobów, więc $$|Ω|=36$$
Suma oczek równa jest 7 gdy rzucimy:
$$1,6$$
$$2,5$$
$$3,4$$
$$4,3$$
$$5,2$$
$$6,1$$
Zatem $$|A|=6$$
Więc:
$$P(A)={|A|}/{|Ω|}={6}/{36}={1}/{6}$$

Hola hola, ktoś może powiedzieć: ale co to za różnica, czy wyrzucę 1 i 2, czy 2 i 1? Powinienem podzielić $$|Ω|$$ przez liczbę możliwych kolejności dwóch kostek, czyli przez $$2×1=2$$. Ale gdy nie interesuje nas kolejność kostek, możliwości też jest mniej:
$$1,6$$ (to samo co $$6,1$$)
$$2,5$$ (to samo co $$5,2$$)
$$3,4$$ (to samo co $$4,3$$)
Zatem "nie rozróżniając" kostek mam $$|Ω|=36/2=18$$, $$|A|=6/2=3$$. Wtedy $$P(A)={|A|}/{|Ω|}={3}/{18}={1}/{6}$$
Wyszło to samo (i powinno)! Częstym błędem jest liczenie $$|A|$$ w jeden sposób, a $$|Ω|$$ w inny. Dlatego pamiętaj, aby wybrać jeden sposób liczenia (kostki rozróżnialne albo nierozróżnialne), a potem się go trzymaj.
 

Spis treści

Rozwiązane zadania
Na rysunku przedstawiono kwadrat ...

`a)` 

Środek okręgu wpisanego w kwadrat to punkt przecięcia się przekątnych kwadratu.

Przekątne kwadratu przecinają się w połowie, zatem wystarczy wyznaczyć współrzędne środka

jednej z przekatnych. 

`A=(-3;0)` 

`B=(1;-2)` 

`C=(3;2)` 

`D=(-1;4)` 

`S_(AC)-"środek odcinka AC"` 

Środek odcinka AC jest jednocześnie środkiem okręgu wpisanego w kwadrat.

`S_(AC)=((-3+3)/2;(0+2)/2)=(0;1)` 

Promień okręgu wpisanego jest równy połowie długości boku kwadratu.

`r=1/2*|AB|=1/2sqrt((1+3)^2+(-2)^2)=1/2*2sqrt5=sqrt5` 

Równanie okręgu ma postać:

`ul(x^2+(y-1)^2=5`   

 

`b)` 

Środek okręgu opisanego na kwadracie jest również środkiem okręgu wpisanego w kwadrat.

`S=(0;1)` 

Promień okręgu opisanego jest równy połowie długości przekątnej kwadratu.

`r=1/2*|AC|=1/2*sqrt((3+3)^2+2^2)=1/2sqrt40=sqrt10` 

Równanie okręgu ma postać:

`ul(x^2+(y-1)^2=10`   

 

Miejscem zerowym funkcji jest liczba

`a)`

Przekształcamy równanie prostej do postaci kierunkowej: 

`3x+2y+6=0\ \ \ \ \ \ |-3x-6`

`2y=-3x-6\ \ \ \ \ \ \ |:2`

`y=-3/2x-3`

 

Współczynnik kierunkowy prostej prostopadłej będzie równy: 

`a=-1/(-3/2)=2/3`

 

Prosta prostopadła ma równanie: 

`y=2/3x+b`

 

Wiemy, że -2 jest miejscem zerowym tej prostej: 

`0=2/3*(-2)+b`

`0=-4/3+b`

`b=4/3`

 

`ul(ul(y=2/3x+4/3))`

 

 

 

`b)`

`2x-1/2y-5=0\ \ \ \ |-2x+5`

`-1/2y=-2x+5\ \ \ \ \ |*(-2)`

`y=4x-10`

 

 

Współczynnik kierunkowy prostej prostopadłej: 

`a=-1/4`

 

`y=-1/4x+b`

Wiemy, że -2 jest miejscem zerowym:

`0=-1/4*(-2)+b`

`0=1/2+b`

`b=-1/2`

`ul(ul(y=-1/4x-1/2))`

 

 

 

`c)`

`-3/4x+9/8y+3=0\ \ \ \ \ |*8`

`-6x+9y+24=0\ \ \ \ \ \ |+6x-24`

`9y=6x-24\ \ \ \ \ \ |:9`

`y=2/3x-8/3`

 

Współczynnik kierunkowy prostej prostopadłej: 

`a=-1/(2/3)=-3/2`

`y=-3/2x+b`

Miejscem zerowym jest -2, czyli:

`0=-3/2*(-2)+b`

`0=3+b`

`b=-3`

`ul(ul(y=-3/2x-3))`

 

Przekątna kwadratu jest o 2 cm ...

Oznaczmy:

a - długośc boku kwadratu

a2 - długość przekątnej w kwadracie 

Z treści zadania wiemy, że przekątna jest o 2 cm dłuższa od boku kwadratu:

a+2 - długość przekątnej w kwadracie 

 

Długość przekątnej kwadratu mamy wyrażoną na dwa sposoby. Zapiszmy równość:

`asqrt2=a+2` 

`asqrt2-a=2` 

`a(sqrt2-1)=2` 

`a=2/(sqrt2-1)\ ["cm"]`  

Usuńmy niewymierność z mianownika:

`a=(2(sqrt2+1))/((sqrt2-1)(sqrt2+1))=(2sqrt2+2)/((sqrt2)^2-1^2)=(2sqrt2+2)/1=2sqrt2+2\ ["cm"]`  

 

Obliczmy pole kwadratu o boku długości a:

`P_k=a^2` 

`P_k=(2sqrt2+2)^2=8+8sqrt2+4=12+8sqrt2=4(3+2sqrt2)\ ["cm"^2]`     

 

Odp: Pole tego kwadratu jest równe 4(3+22) cm2.

Jeden z kątów trójkąta równoramiennego ma miarę 120 ...

`a)` 

 

`7,5=(asqrt3)/2\ \ \ |*2` 

`15=asqrt3\ \ \ \ |:sqrt3` 

`a=15/sqrt3=(15sqrt3)/3=5sqrt3\ cm=|AC|=|CB|` 

`O_(DeltaABC)=15+2*5sqrt3=5(3+2sqrt3)\ cm` 

 

`b)` 

`|AD|=3\ cm` 

`|AC|=3sqrt2\ cm` 

 

`3\ cm=a` 

`|DB|=asqrt3=3sqrt3\ cm` 

`|BC|=2a=2*3\ cm=6\ cm` 

 

`O_(DeltaABC)=3+3sqrt3+6+3sqrt2=` `3(3+sqrt3+sqrt2)\ cm`   

Na wykresie przedstawiono zmianę ...

Odp: B

Samochód jechał po torze II.

Zauważmy, że są trzy miejsca na wykresie, w których bolid zwalniał, czyli musiał pokonać trzy zakręty. W tym miejscu pasują nam tory II, III i IV.

Patrząc na wykres możemy zauważyć, że rozpoczynając czwarte okrążenie bolid musiał od razu zwolnić, czyli blisko miejsca startu znajdował się zakręt. Teraz pasują już tylko tor II i IV.

Największy spadek prędkości miał miejsce przed drugim zakrętem, więc zakret ten musiał być "dość ostry". Teraz pasuje juz tylko wykres numer II (drugi zakręt na wykresie IV jest łagodniejszy).

Kąt BAC ma miarę 30 ...

`a)` 

`beta=180^o-90^o-30^o=60^o` 

`delta=180^o-beta=120^o` 

`alpha=180^o-45^o-120^o=15^o` 

`e=6` 

`cos30^o=sqrt3/2=e/d=6/d` 

`d=6*2/sqrt3=(12sqrt3)/3=4sqrt3` 

Trójkąt ACE ma kąty o mierze 45, 45 i 90 stopni. Wynika stąd, że ACE jest równoramienny.

`|EC|=d=4sqrt3` 

Skorzystamy z następującej tożsamości trygonometrycznej:

`tg\ (x-y)=(tg\ x - tg\ y)/(1+tg\ x*tg\ y)` 

`tg\ 15^o=tg\ (60^o-45^o)=(sqrt3-1)/(1+sqrt3)=((sqrt3-1)(sqrt3-1))/(3-1)=(3-2sqrt3+1)/2=2-sqrt3` 

`tg\ 15^o=e/y=6/y` 

`6/y=2-sqrt3` 

`y=6/(2-sqrt3)=(6(2+sqrt3))/(4-3)=12+6sqrt3` 

`P_(ABD)=1/2*6*(12+6sqrt3)=ul(18(2+sqrt3)` 

 

`b)`          

`"Czy"\ sin15^o=(sqrt6-sqrt2)/4?` 

 

Z Pitagorasa:

`f^2=d^2-e^2=48-36=12` 

`f=2sqrt3`    

`sin 15^o=e/x=g/z`  

Z własności trójkąta prostokątnego równoramiennego:

`d=gsqrt2` 

`g=(dsqrt2)/2=(4sqrt6)/2=2sqrt6` 

Wiemy, że:

`z=y-f=12+6sqrt3-2sqrt3=12+4sqrt3`  

`sin15^o=g/z=(2sqrt6)/(12+4sqrt3)=sqrt6/(6+2sqrt3)=(sqrt6(6-2sqrt3))/(36-12)=(6sqrt6-2sqrt18)/24=ul((sqrt6-sqrt2)/4`      

`cos^2 15^o +sin^2 15^o=1` 

`cos15^o=sqrt(1-(6-2sqrt12+2)/16)=sqrt((8+4sqrt3)/2)=sqrt(2+sqrt3)/2` 

Kwadrat ABCD ma boki...

`|DR| = |BP|` 

`|AR|=|AP|` 

Wyjaśnienie

Zauważmy, że jeżeli oznaczymy bok CR przez x i bok CP przez y to wtedy boki DR i BP mają długości odpowiednio 10-x i 10-y. Ich pola są równe oraz oba mają taką samą wysokość a więc podstawa musi być takiej samej długości. Stąd x = y.

 

Oznaczmy długość odcinka RC przez x , wtedy:

`|DR|= 10-x` 

 

Pole trójkąta ADR

`P=1/2 * |AD| * |DR| = 1/2 * 10 * (10-x) = 5*(10-x) = 50 - 5x` 

 

Pole trójkąta PCR

`P^' = 1/2*x*x = (x^2)/2` 

 

Wiemy, że pole trójkąta ADR jest cztery razy większe od pola trójkąta PCR a więc

`P = 4*P^'` 

`50- 5x = 4*(x^2)/2` 

`50 - 5x = 2x^2` 

`2x^2 + 5x - 50 =0` 

`Delta = 5^2 - 4*2*(-50) = 25 + 400 = 425` 

`sqrtDelta = sqrt425 = sqrt(25*17) = 5sqrt17` 

`x_1 = (-5 -5sqrt17)/4 = -(5+5sqrt17)/4<0` 

`x_2 = (-5 + 5sqrt17)/4` 

 

`|DR|=|BP| = 10 -(-5+5sqrt17)/4 = 40/4 + (5- 5sqrt17)/4 = (45 - 5sqrt17)/4 = (5(9-sqrt17))/4` 

Dany jest prostokąt o bokach długości 1 i x

Duży prostokąt ma krótszy bok długości 1 i dłuższy bok długości x.

Mały prostokąt ma krótszy bok długości x-1 i dłuższy bok długości 1.

Jeśli prostokąty są podobne, to możemy zapisać proporcję:

`1/(x-1)=x/1`

`1/(x-1)=x\ \ \ |*(x-1)`

`1=x(x-1)`

`1=x^2-x\ \ \ |-1`

`x^2-x-1=0`

 

`Delta=(-1)^2-4*1*(-1)=1+4=5`

`sqrtDelta=sqrt5`

`x_1=(1-sqrt5)/2<0`

`x_2=(1+sqrt5)/2`

Pierwsze rozwiązanie jest ujemne, dlatego odrzucamy je, drugie rozwiązanie jest poprawne - otrzymaliśmy złotą liczbę.

 

Wskaż pary prostych

Szukamy par prostych, które mają jednakowy wyraz wolny (współczynnik, przy którym nie znajduje się x):

`l_1\ \ i\ \ l_6\ \ \ (b=0,25=1/4)`

`l_2\ \ i\ \ l_5\ \ \ (b=4)`

`l_3\ \ i\ \ l_4\ \ \ (b=-3)`

 

O ile procent zmieniło się pole prostokąta

Oznaczmy początkowe długości boków prostokąta przez xy. 

`P=xy` 

 

 

`a)` 

`P_1=(x-20%x)*(y-20%y)=`  `(x-0,2x)*(y-0,2y)=` 

`\ \ \ \ =0,8x*0,8y=0,64xy`  

 

Obliczamy, o ile procent zmalało pole:

`(P-P_1)/P*100%=(xy-0,64xy)/(xy)*100%=` 
 `=(0,36xy)/(xy)*100%=0,36*100%=36%` 

 

ODP: Pole zmalało  o 36%.

 

 

 

`b)` 

`P_2=(x-10%x)*(y+10%)=` `(x-0,1x)*(y+0,1y)=` 

`\ \ \ \ =0,9x*1,1y=0,99xy` 

 

Obliczamy, o ile procent zmalało pole:

`(P-P_2)/P*100%=(xy-0,99xy)/(xy)*100%=` `(0,01xy)/(xy)*100%=0,01*100%=1%` 

 

ODP: Pole zmalało o 1%.