Rachunek prawdopodobieństwa - matura-podstawowa - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Rachunek prawdopodobieństwa - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

W kinie siedzi obok siebie trzech mężczyzn w czarnych garniturach, jedna kobieta i jeden mężczyzna w białym garniturze. Jaka jest szansa, że kobieta będzie siedzieć koło mężczyzny w białym garniturze?

Liczy się kolejność. Więc układamy podobnymi sposobami jak w kolejce, czyli:
Osoba - Liczba sposobów
I – 5
II – 4
III – 3
IV – 2
V – 1
Zatem z reguły mnożenia: $5×4×3×2×1=120$
Mamy nasze:

$|Ω|=120$
Teraz musimy zbadać w jakich sytuacjach będą siedzieć obok siebie. Rozpiszmy to delikatnie:
b - biały garnitur
c - czarny garnitur
k- kobieta

Oczywiście następuje rotacja na 3×2×1=6 sposobów pomiędzy czarnymi Panami :) (c1, c2 i c3 mogą bezkarnie zmieniać kolejność)
Poza tym para b,k może zajmować pierwsze i drugie miejsce, drugie i trzecie, trzecie i czwarte, czwarte i piąte - łącznie 4 możliwości:
b,k,c1,c2,c3
C1,b,k,c2,c3
C1,c2,b,k,c3
C1,c2,c3,b,k

Więc wychodzi nam $6×4=24$ sposoby
Jednakże kobieta może się z mężczyzną zamienić miejscami i nadal siedzieć obok siebie, więc:
$24×2=48$
Czyli $A=48$
Więc:
$P(A)={|A|}/{|Ω|} ={48}/{120}=8/{20}=4/{10}$

Dla tych, którzy nie są jeszcze zmęczeni usadzaniem 5 ludzi w kinie, inny sposób: czy czarni panowie grają tu jakąkolwiek rolę? Nie, równie dobrze mogą to być puste krzesła (p)! Dlatego w tym drugim sposobie usadzamy po prostu panią i białego pana, na $5×4=20=$|Ω|$ sposobów. Ile z tych sposobów jest korzystnych? Gdy pani siedzi na skrajnym miejscu, jest tylko po 1 sposobie, aby pan siedział koło niej:
k,b,p,p,p
p,p,p,b,k
Gdy kobieta usiądzie w którymś z 3 "środkowych" krzeseł, biały pan może usiąść albo z jej lewej, albo z jej prawej strony. Czyli z reguły mnożenia $3×2=6$ możliwości dla środkowych rzędów. Kobieta może usiąść albo w środkowym, albo skrajnym krześle, ale nie na obu naraz, więc z reguły dodawania $|A|=2+6=8$. Ostatecznie $P(A)={|A|}/{|Ω|} =8/20=4/10$. Uff, wyszło to samo!

Zadanie 2.

Jaka jest szansa, że wyrzucimy dwiema kostkami sumę oczek równą 7?

Znów tutaj badamy najpierw wszystkie możliwe sytuacje.
Na jednej kostce 6 możliwości, na drugiej też, z reguły mnożenia.
$6×6=36$ sposobów, więc $|Ω|=36$
Suma oczek równa jest 7 gdy rzucimy:
$1,6$
$2,5$
$3,4$
$4,3$
$5,2$
$6,1$
Zatem $|A|=6$
Więc:
$P(A)={|A|}/{|Ω|}={6}/{36}={1}/{6}$

Hola hola, ktoś może powiedzieć: ale co to za różnica, czy wyrzucę 1 i 2, czy 2 i 1? Powinienem podzielić $|Ω|$ przez liczbę możliwych kolejności dwóch kostek, czyli przez $2×1=2$. Ale gdy nie interesuje nas kolejność kostek, możliwości też jest mniej:
$1,6$ (to samo co $6,1$)
$2,5$ (to samo co $5,2$)
$3,4$ (to samo co $4,3$)
Zatem "nie rozróżniając" kostek mam $|Ω|=36/2=18$, $|A|=6/2=3$. Wtedy $P(A)={|A|}/{|Ω|}={3}/{18}={1}/{6}$
Wyszło to samo (i powinno)! Częstym błędem jest liczenie $|A|$ w jeden sposób, a $|Ω|$ w inny. Dlatego pamiętaj, aby wybrać jeden sposób liczenia (kostki rozróżnialne albo nierozróżnialne), a potem się go trzymaj.
 

Spis treści

Rozwiązane zadania
Posługując się wykresem funkcji...
  • Funkcja f:

Dziedzina:

 

Miejsca zerowe:

 

 

  • Funkcja h:

Wykres:

Dziedzina:

 

Miejsca zerowe:

 

Podaj przykłady liczb niewymiernych, których:

a)

b)

Hotel dla kotów o psów ...

  

 

 

 

 

Naszkicuj parabolę y=7(x+2)^2+5...

Obliczmy współrzędne kilku punktów należących do wykresu funkcji y=7(x+2)2+5

x -3 -2 -1
y 12 5 12


a)
Obliczmy współrzędne kilku punktów należących do wykresu funkcji y=-1/3(x+2)2+5  {premium}

x -5 -2 1
y 2 5 2





te funkcje mają 1 punkt wspólny


b) 
Obliczmy współrzędne kilku punktów należących do wykresu funkcji y=1/10(x+2)2+6

x -12 -2 8
y 16 6 16





te funkcje mają 2 punkty wspólne

c) 
Obliczmy współrzędne kilku punktów należących do wykresu funkcji y=10(x+2)2+10

x -3 -2 -1
y 20 10 20




te funkcje nie mają punktów wspólnych

Trapez równoramienny o podstawach 6√3 cm i 2√3 cm ...

 

Zastanawiamy się, dla jakiego kąta funkcja tangens przyjmuje taką wartość

Suma miar kątów leżących przy jednym ramieniu trapezu wynosi 180o, zatem miara kąta rozwartego trapezu:

Miary kątów tego trapezu: 60o,60o,120o,120o.

 

     

Miejscami zerowymi funkcji kwadratowej są...

Wiemy, że miejscami funkcji kwadratowej są liczby -5 i 1:

 

oraz, że wykres przecina oś y w punkcie (0, 5), zatem wzór tej funkcji ma postać:  {premium}

 

 

 

 


zatem wzór tej funkcji ma postać:

 


Odp.: C

Naszkicuj w jednym układzie współrzędnych ...

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  

 

 

Wykres funkcji g(x)...

Jeżeli przesuniemy wykres funkcji f o 2 jednostki w prawo to otrzymamy:

 

Odpowiedź C

Gdyby w ankiecie wzięło udział kolejne 100 osób

Z poprzedniego zadania wiemy już, że:

  • na program X zagłosowało 288 osób
  • na program Y zagłosowało 224 osób
  • w tym na oba programy zagłosowało 112 osób

 

Gdyby w ankiecie wzięlo udział kolejne 100 osób, to ilość ankietowanych wynosiłaby 400+100=500 osób. Każda z tych 100 osób głosowałaby jedynie na program Y, więc ilość głosów na program Y wynosiłaby 224+100=324. Wtedy poparcie dla programu Y wynosiłoby:

 

 

 

 

Pytanie zostało sformułowane nie do końca jasno. Treść pytania "O ile punktów procentowych popularniejszych okazałby się ten program?" sugeruje, że należy zbadać różnicę między początkowym poparciem dla programu Y, a poparciem dla tego programu przy 500 ankietowanych. Tymczasem autorowi chodziło o zbadanie różnicy między poparciem dla programu Y a poparciem dla programu X przy 500 głosujących osobach. Pytanie powinno brzmieć więc: "O ile punktów procentowych popularniejszy niż program X okazałby się wtedy program Y?".

 

Obliczmy, jakie byłoby poparcie dla programu X, gdyby w ankiecie brało udział dodatkowych 100 osób, a wszyscy z nich głosowaliby na program Y. Wtedy na program X głosowałoby tyle samo osób, co na początku (288), a liczba wszystkich głosujących osób wynosiłaby 500.

 

 

Obliczamy, o ile punktów procentowych popularniejszy niż program X okazałby się wtedy program Y:

  

 

Dane są dwa okręgi współśrodkowe...

Możemy dorysować{premium} jeszcze dwie cięciwy, wychodzące z punktów A i B, o długości 10 cm, które będą styczne do mniejszego okręgu. Utworzą one trójkąt równoboczny. Wówczas większe koło jest kołem opisanym na trójkącie, a mniejsze -  kołem wpisanym w trójkąt. Oznaczmy promienie tych kół odpowiednio jako R i r. Ze wzorów na promień koła opisanego i wpisanego w trójkąt równoboczny mamy:

 

 


Obliczamy pole większego koła:

 

Obliczamy pole mniejszego koła:

 


Obliczamy pole pierścienia kołowego wyznaczonego przez te okręgi:

 


Prawidłowa odpowiedź to A.