Zgoda na przetwarzanie danych osobowych

25 maja 2018 roku zacznie obowiązywać Rozporządzenie Parlamentu Europejskiego i Rady (UE) 2016/679 z dnia 27 kwietnia 2016 r. znane jako RODO.

Dlatego aby dalej móc dostarczać Ci materiały odpowiednie do Twojego etapu edukacji, potrzebujemy zgody na lepsze dopasowanie treści do Twojego zachowania. Dzięki temu możemy zapamiętywać jakie materiały są Ci potrzebne. Dbamy o Twoją prywatność, więc nie zwiększamy zakresu naszych uprawnień. Twoje dane są u nas bezpieczne, a zgodę na ich zbieranie możesz wycofać na podstronie polityka prywatności.

Klikając "Przejdź do Odrabiamy", zgadzasz się na wskazane powyżej działania. W przeciwnym wypadku, nie jesteśmy w stanie zrealizować usługi kompleksowo i prosimy o opuszczenie strony.

Polityka prywatności

Drogi Użytkowniku w każdej chwili masz prawo cofnąć zgodę na przetwarzanie Twoich danych osobowych. Cofnięcie zgody nie będzie wpływać na zgodność z prawem przetwarzania, którego dokonano na podstawie wyrażonej przez Ciebie zgody przed jej wycofaniem. Po cofnięciu zgody wszystkie twoje dane zostaną usunięte z serwisu. Udzielenie zgody możesz modyfikować w zakładce 'Informacja o danych osobowych'

Rachunek prawdopodobieństwa - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

W kinie siedzi obok siebie trzech mężczyzn w czarnych garniturach, jedna kobieta i jeden mężczyzna w białym garniturze. Jaka jest szansa, że kobieta będzie siedzieć koło mężczyzny w białym garniturze?

Liczy się kolejność. Więc układamy podobnymi sposobami jak w kolejce, czyli:
Osoba - Liczba sposobów
I – 5
II – 4
III – 3
IV – 2
V – 1
Zatem z reguły mnożenia: $$5×4×3×2×1=120$$
Mamy nasze:

$$|Ω|=120$$
Teraz musimy zbadać w jakich sytuacjach będą siedzieć obok siebie. Rozpiszmy to delikatnie:
b - biały garnitur
c - czarny garnitur
k- kobieta

Oczywiście następuje rotacja na 3×2×1=6 sposobów pomiędzy czarnymi Panami :) (c1, c2 i c3 mogą bezkarnie zmieniać kolejność)
Poza tym para b,k może zajmować pierwsze i drugie miejsce, drugie i trzecie, trzecie i czwarte, czwarte i piąte - łącznie 4 możliwości:
b,k,c1,c2,c3
C1,b,k,c2,c3
C1,c2,b,k,c3
C1,c2,c3,b,k

Więc wychodzi nam $$6×4=24$$ sposoby
Jednakże kobieta może się z mężczyzną zamienić miejscami i nadal siedzieć obok siebie, więc:
$$24×2=48$$
Czyli $$A=48$$
Więc:
$$P(A)={|A|}/{|Ω|} ={48}/{120}=8/{20}=4/{10}$$

Dla tych, którzy nie są jeszcze zmęczeni usadzaniem 5 ludzi w kinie, inny sposób: czy czarni panowie grają tu jakąkolwiek rolę? Nie, równie dobrze mogą to być puste krzesła (p)! Dlatego w tym drugim sposobie usadzamy po prostu panią i białego pana, na $$5×4=20=$$|Ω|$$ sposobów. Ile z tych sposobów jest korzystnych? Gdy pani siedzi na skrajnym miejscu, jest tylko po 1 sposobie, aby pan siedział koło niej:
k,b,p,p,p
p,p,p,b,k
Gdy kobieta usiądzie w którymś z 3 "środkowych" krzeseł, biały pan może usiąść albo z jej lewej, albo z jej prawej strony. Czyli z reguły mnożenia $$3×2=6$$ możliwości dla środkowych rzędów. Kobieta może usiąść albo w środkowym, albo skrajnym krześle, ale nie na obu naraz, więc z reguły dodawania $$|A|=2+6=8$$. Ostatecznie $$P(A)={|A|}/{|Ω|} =8/20=4/10$$. Uff, wyszło to samo!

Zadanie 2.

Jaka jest szansa, że wyrzucimy dwiema kostkami sumę oczek równą 7?

Znów tutaj badamy najpierw wszystkie możliwe sytuacje.
Na jednej kostce 6 możliwości, na drugiej też, z reguły mnożenia.
$$6×6=36$$ sposobów, więc $$|Ω|=36$$
Suma oczek równa jest 7 gdy rzucimy:
$$1,6$$
$$2,5$$
$$3,4$$
$$4,3$$
$$5,2$$
$$6,1$$
Zatem $$|A|=6$$
Więc:
$$P(A)={|A|}/{|Ω|}={6}/{36}={1}/{6}$$

Hola hola, ktoś może powiedzieć: ale co to za różnica, czy wyrzucę 1 i 2, czy 2 i 1? Powinienem podzielić $$|Ω|$$ przez liczbę możliwych kolejności dwóch kostek, czyli przez $$2×1=2$$. Ale gdy nie interesuje nas kolejność kostek, możliwości też jest mniej:
$$1,6$$ (to samo co $$6,1$$)
$$2,5$$ (to samo co $$5,2$$)
$$3,4$$ (to samo co $$4,3$$)
Zatem "nie rozróżniając" kostek mam $$|Ω|=36/2=18$$, $$|A|=6/2=3$$. Wtedy $$P(A)={|A|}/{|Ω|}={3}/{18}={1}/{6}$$
Wyszło to samo (i powinno)! Częstym błędem jest liczenie $$|A|$$ w jeden sposób, a $$|Ω|$$ w inny. Dlatego pamiętaj, aby wybrać jeden sposób liczenia (kostki rozróżnialne albo nierozróżnialne), a potem się go trzymaj.
 

Spis treści

Rozwiązane zadania
Czy podane liczby są równe?

`a)` 

`(5/7)^(-3)=1/(5/7)^3=1^3/(5/7)^3=(1/(5/7))^3=(7/5)^3` 

`tak` 

 

 

`b)` 

`(-4/9)^6=((-1)*4/9)^6=(-1)^6*(4/9)^6=1*(4/9)^6=(4/9)^6` 

`(9/4)^(-6)=1/(9/4)^6=1^6/(9/4)^6=(1/(9/4))^6=(4/9)^6` 

`tak` 

 

 

`c)` 

`(-3/5)^(-5)=1/(-3/5)^5=` `1/((-1)^5*(3/5)^5)=` `1/((-1)*(3/5)^5)=` `-1/(3/5)^5<0` 

`(5/3)^5>0` 

Liczby są różnych znaków, więc nie są równe. 

Drzewo rzuca cień 6 razy ...

Oznaczmy:

x - długość cienia Wojtka

y - wysokość drzewa

Cień drzewa jest 6 razy dłuższy, czyli:

6x - długość cienia drzewa

 

Obliczmy stosunek długości cienia drzewa do cienia Wojtka:

`(6x)/x=6` 

W takim samym stosunku znajduje się wysokość drzewa do wysokości Wojtka:

`y/172=6` 

`y=1032\ ["cm"]` 

`1032\ "cm"=10,32\ "m"`   

 

Odp: Drzewo ma 10,32 m.

Oblicz. W

`a)` 

`97\ 200\ 000:3240=(972*10^5):(324*10)=972:324*10^(5-1)=3*10^4` 

 

`b)` 

`0,000018:0,0012=(18*10^-6):(12*10^-4)=18:12*10^(-6-(-4))=18/12*10^(-6+4)=3/2*10^-2=1,5*10^-2` 

 

`c)` 

`325\ 000:0,0052=(325*10^3):(52*10^-4)=325:52*10^(3-(-4))=6,25*10^(3+4)=6,25*10^7` 

 

W trójkącie prostokątnym...

 

 

Obwód jest równy 48 cm

`x + x+4 + y = 48` 

`2x + 4 + y = 48` 

`2x + y = 44` 

`y = 44 - 2x` 

 

Założenie:

`x + x+ 4 > 44 - 2x` 

`4x > 40` 

`x > 10` 

 

`y > 0` 

`44 - 2x > 0` 

`44 > 2x` 

`22 > x` 

 

Dziedzina:

`D = (10, 22)`  

 

Z twierdzenia Pitagorasa:

`y^2 = (x+4)^2 + x^2` 

`(44-2x)^2 = x^2 + 8x + 16 + x^2` 

`1936 - 176 x + 4x^2 = 2x^2 + 8x + 16` 

`2x^2 -184x + 1920 = 0` 

`x^2 - 92x + 960 =0` 

`Delta = 8464 - 4* 960 = 4624` 

`sqrtDelta = sqrt4624 = 68`

`x_1 = (-(-92) -68)/2 = (24)/2 = 12`  

`x_2 = (-(-92)+68)/2 = 160/2 = 80 notin D` 

 

Długości boków trójkąta wynoszą:

`12 \"cm" \ , \ 16 \ "cm" \ , \ 20 \ "cm"` 

Oblicz x+|x|

`a)`

`x+|x|=5+|5|=5+5=10`

`x-2|x|=5-2*|5|=5-2*5=5-10=-5`

 

 

`b)`

`x+|x|=-3+|-3|=-3+3=0`

`x-2|x|=-3-2*|-3|=-3-2*3=-3-6=-9`

 

 

`c)`

Najpierw musimy się zastanowić, czy x jest liczbą dodatnią czy ujemną. 

`x=2-sqrt6=sqrt4-sqrt6<sqrt4-4sqrt4=0`

Zatem x jest liczbą ujemną, czyli:

`|x|=|2-sqrt6|=-(2-sqrt6)=-2+sqrt6`

 

`x+|x|=2-sqrt6-2+sqrt6=0`

`x-2|x|=2-sqrt6-2(-2+sqrt6)=2-sqrt6+4-2sqrt6=6-3sqrt6`

 

 

`d)`

`x=3sqrt2-4=sqrt9*sqrt2-sqrt16=sqrt18-sqrt16>sqrt16-sqrt16>0`

Zatem x jest liczbą dodatnią, czyli:

`|x|=|3sqrt2-4|=3sqrt2-4`

 

`x+|x|=3sqrt2-4+3sqrt2-4=6sqrt2-8`

`x-2|x|=3sqrt2-4-2(3sqrt2-4)=3sqrt2-4-6sqrt2+8=-3sqrt2+4`

Oblicz

`a)\ |1-|1-|1-4|||=|1-|1-|-3|||=|1-|1-3||=|1-|-2||=|1-2|=|-1|=1`

`b)\ |3-|2-5||=|3-|-3||=|3-3|=|0|=0`

`c)\ |2-sqrt3|+|2+sqrt3|=2-sqrt3+2+sqrt3=4`

`d)\ |sqrt3-5|+|sqrt3-1|=-(sqrt3-5)+sqrt3-1=-sqrt3+5+sqrt3-1=4`

`e)\ |3-sqrt2|/|sqrt2-3|=(3-sqrt2)/(-(sqrt2-3))=(3-sqrt2)/(-sqrt2+3)=(3-sqrt2)/(3-sqrt2)=1`

`f) \ |2-4sqrt6|/|2sqrt6-1|=(-(2-4sqrt6))/(2sqrt6-1)=(-2+4sqrt6)/(2sqrt6-1)=(4sqrt6-2)/(2sqrt6-1)=(2(2sqrt6-1))/(2sqrt6-1)=2`

Zaznacz na osi liczbowej zbiór A i zapisz go

`a)` 

`A=<<-2;\ 1>>` 

 

`b)` 

`A=(2;\ 4>>` 

 

 

`c)` 

`A=(0;\ 7)` 

 

 

`d)` 

`A=(0;\ +infty)` 

 

 

`e)` 

`A=(-infty;\ -1>>` 

 

 

`f)` 

`A=<<7;\ +infty)` 

 

W trójkącie równoramiennym dwusieczne równych

Sporządzamy dokładne rysunki opisując kąty w trójkątach utworzonych przez naniesienie dwusiecznych kątów:

 

 

Układamy zależności wynikające z sumy miar kątów w czworokącie i trójkątach:

I przypadek:

Czworokąt 120°,120°,α,γ:

`120^o +120^o +alpha+gamma=360^o`

`240^o +alpha+gamma=360^o`

`alpha+gamma=360^o-240^o`

 `alpha+gamma=120^o`

 

 

Trójkąt γ,½ß,½ß:

`gamma+1/2beta+1/2beta=180^o`

`gamma+beta=180^o`

 

Trójkąt 180°-γ,60°,½ß:

`180^o-gamma+60^o +1/2beta=180^o`

`1/2beta+ 60^o=gamma`

 

Łączymy te zależności w układ równań:

`{( alpha+gamma=120^o),(gamma+beta=180^o),(1/2beta+60^o=gamma):}`

`{( alpha+gamma=120^o),(beta=180^o-gamma),(1/2beta+60^o=gamma):}`

`{( alpha+gamma=120^o),(beta=180^o-gamma),(1/2(180^o-gamma)+60^o=gamma):}`

`{( alpha+gamma=120^o),(beta=180^o-gamma),(90^o-1/2gamma+60^o=gamma):}`

`{( alpha+gamma=120^o),(beta=180^o-gamma),(150^o=3/2gamma):}`

`{( alpha+gamma=120^o),(beta=180^o-gamma),(150^o=3/2gamma \ \ \ \ |:3/2):}`

`{( alpha+100^o=120^o),(beta=180^o-100^o),(100^o=gamma):}`

`{( alpha=20^o),(beta=80^o),(gamma=100^o):}`

 

Kąty w tym trójkącie mają miarę:

`alpha=ul(ul(20^o))`

`beta=ul(ul(80^o))`

`beta=ul(ul(80^o))`

 

Układamy zależności wynikające z sumy miar kątów w czworokącie i trójkątach:

II przypadek:

Czworokąt 60°,60°,α,γ:

`60^o +60^o +alpha+gamma=360^o`

`120^o +alpha+gamma=360^o`

`alpha+gamma=240^o`

 

 

Trójkąt γ,½ß,½ß (tak samo jak w pierwszym przypadku):

`gamma+1/2beta+1/2beta=180^o`

`gamma+beta=180^o`

 

Trójkąt 180°-γ,120°,½ß:

`180^o-gamma+120^o +1/2beta=180^o`

`1/2beta +120^o=gamma`

 

Łączymy te zależności w układ równań:

`{( alpha+gamma=240^o),(gamma+beta=180^o),(1/2beta+120^o=gamma):}`

`{( alpha+gamma=240^o),(beta=180^o-gamma),(1/2beta+120^o=gamma):}`

`{( alpha+gamma=240^o),(beta=180^o-gamma),(1/2(180^o-gamma)+120^o=gamma):}`

`{( alpha+gamma=240^o),(beta=180^o-gamma),(90^o-1/2gamma+120^o=gamma):}`

`{( alpha+gamma=240^o),(beta=180^o-gamma),(210^o=3/2gamma):}`

`{( alpha+gamma=240^o),(beta=180^o-gamma),(150^o=3/2gamma \ \ \ \ |:3/2):}`

`{( alpha+140^o=240^o),(beta=140^o-100^o),(140^o=gamma):}`

`{( alpha=100^o),(beta=40^o),(gamma=140^o):}`

 

`alpha=ul(ul(100^o))`

`beta=ul(ul(40^o))`

`beta=ul(ul(40^o))`

 

Punkty A, C należą do jednego z ramion kąta...

Rysunek poglądowy:

 

`a) \ (|OB|)/(|OA|)=(|OD|)/(|OC|)` 

`(|OB|)/(|OA|) = (|OB|+|BD|)/(|OC|)` 

`10/6 = 15/9` 

`10*9 = 6*15` 

`90 = 90` 

Odcinki są równoległe.

 

`b) \ (|OB|)/(|AB|) = (|OD|)/(|CD|)` 

`(2,5)/3 = (|OB|+|BD|)/(4,5)` 

`(2,5)/3 = 4/(4,5)` 

`2,5*4,5 = 3*4` 

`5/2 * 9/2 = 12` 

`45/2 = 12` 

Odcinki nie są równoległe.

 

`c) \ (|OB|)/(|AB|) = (|OD|)/(|CD|)` 

`(|OB|)/(|AB|) = (|OB|+|BD|)/(|CD|)` 

`(|OB|)/(|AB|) = (3|OB|)/(|CD|)` 

`(|OB|)/4 = (3|OB|)/12` 

`(|OB|)/4 = (|OB|)/4` 

Odcinki są równoległe.

Wyznacz dwie liczby naturalne

Jeśli największy wspólny dzielnik tych liczb ma być równy 18, to te liczby można zapisać jako 18a+18b, gdzie a i b są liczbami względnie pierwszymi (nie mają żadnych wspólnych dzielników, poza liczbą 1; gdyby miały inny wspólny dzielnik, to NWD(18a, 18b) nie byłby równy 18, ale więcej). Suma tych liczb ma być równa 144, więc możemy zapisać równanie:

`18a+18b=144\ \ \ \ |:18` 

`a+b=8` 

Szukamy dwóch liczb naturalnych, których suma wynosi 8 i które nie mają wspólnych dzielników. Zauważmy, że nie ma znaczenia, którą liczbę weźmiemy jako a, a którą jako b - NWD(18a, 18b) to to samo, co NWD(18b, 18a). 

Pary liczb a, b spełniające warunki zadania to: (1, 7), (3, 4). Mamy więc dwie możliwości:

`18*1=18,\ \ \ 18*7=126\ \ \ =>\ \ \ NWD(18,\ 126)=18` 

`18*3=54,\ \ \ 18*5=90\ \ \ \ =>\ \ \ NWD(54,\ 90)=18`