Rachunek prawdopodobieństwa - matura-podstawowa - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Rachunek prawdopodobieństwa - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

W kinie siedzi obok siebie trzech mężczyzn w czarnych garniturach, jedna kobieta i jeden mężczyzna w białym garniturze. Jaka jest szansa, że kobieta będzie siedzieć koło mężczyzny w białym garniturze?

Liczy się kolejność. Więc układamy podobnymi sposobami jak w kolejce, czyli:
Osoba - Liczba sposobów
I – 5
II – 4
III – 3
IV – 2
V – 1
Zatem z reguły mnożenia: $5×4×3×2×1=120$
Mamy nasze:

$|Ω|=120$
Teraz musimy zbadać w jakich sytuacjach będą siedzieć obok siebie. Rozpiszmy to delikatnie:
b - biały garnitur
c - czarny garnitur
k- kobieta

Oczywiście następuje rotacja na 3×2×1=6 sposobów pomiędzy czarnymi Panami :) (c1, c2 i c3 mogą bezkarnie zmieniać kolejność)
Poza tym para b,k może zajmować pierwsze i drugie miejsce, drugie i trzecie, trzecie i czwarte, czwarte i piąte - łącznie 4 możliwości:
b,k,c1,c2,c3
C1,b,k,c2,c3
C1,c2,b,k,c3
C1,c2,c3,b,k

Więc wychodzi nam $6×4=24$ sposoby
Jednakże kobieta może się z mężczyzną zamienić miejscami i nadal siedzieć obok siebie, więc:
$24×2=48$
Czyli $A=48$
Więc:
$P(A)={|A|}/{|Ω|} ={48}/{120}=8/{20}=4/{10}$

Dla tych, którzy nie są jeszcze zmęczeni usadzaniem 5 ludzi w kinie, inny sposób: czy czarni panowie grają tu jakąkolwiek rolę? Nie, równie dobrze mogą to być puste krzesła (p)! Dlatego w tym drugim sposobie usadzamy po prostu panią i białego pana, na $5×4=20=$|Ω|$ sposobów. Ile z tych sposobów jest korzystnych? Gdy pani siedzi na skrajnym miejscu, jest tylko po 1 sposobie, aby pan siedział koło niej:
k,b,p,p,p
p,p,p,b,k
Gdy kobieta usiądzie w którymś z 3 "środkowych" krzeseł, biały pan może usiąść albo z jej lewej, albo z jej prawej strony. Czyli z reguły mnożenia $3×2=6$ możliwości dla środkowych rzędów. Kobieta może usiąść albo w środkowym, albo skrajnym krześle, ale nie na obu naraz, więc z reguły dodawania $|A|=2+6=8$. Ostatecznie $P(A)={|A|}/{|Ω|} =8/20=4/10$. Uff, wyszło to samo!

Zadanie 2.

Jaka jest szansa, że wyrzucimy dwiema kostkami sumę oczek równą 7?

Znów tutaj badamy najpierw wszystkie możliwe sytuacje.
Na jednej kostce 6 możliwości, na drugiej też, z reguły mnożenia.
$6×6=36$ sposobów, więc $|Ω|=36$
Suma oczek równa jest 7 gdy rzucimy:
$1,6$
$2,5$
$3,4$
$4,3$
$5,2$
$6,1$
Zatem $|A|=6$
Więc:
$P(A)={|A|}/{|Ω|}={6}/{36}={1}/{6}$

Hola hola, ktoś może powiedzieć: ale co to za różnica, czy wyrzucę 1 i 2, czy 2 i 1? Powinienem podzielić $|Ω|$ przez liczbę możliwych kolejności dwóch kostek, czyli przez $2×1=2$. Ale gdy nie interesuje nas kolejność kostek, możliwości też jest mniej:
$1,6$ (to samo co $6,1$)
$2,5$ (to samo co $5,2$)
$3,4$ (to samo co $4,3$)
Zatem "nie rozróżniając" kostek mam $|Ω|=36/2=18$, $|A|=6/2=3$. Wtedy $P(A)={|A|}/{|Ω|}={3}/{18}={1}/{6}$
Wyszło to samo (i powinno)! Częstym błędem jest liczenie $|A|$ w jeden sposób, a $|Ω|$ w inny. Dlatego pamiętaj, aby wybrać jeden sposób liczenia (kostki rozróżnialne albo nierozróżnialne), a potem się go trzymaj.
 

Spis treści

Rozwiązane zadania
Niech A={3,5,7,9}, B= ...

 

    {premium}

 

 

Odp. C

Na rysunku obok prosta k jest styczną...

Z twierdzenia o kącie między styczną i cięciwą:

 {premium}


Zatem:

 

 

 


Prawidłowa odpowiedź to D.

Włącz czynnik pod pierwiastek

{premium}

Wyznacz miejsca zerowe funkcji f

 

 

  

 

 

 

{premium}

 

 

 

 

  

 

  

  

Zapisz dwie dowolne liczby...

Przykładowe rozwiązanie:

Wybrano liczby 5 i 10

zatem:

 


Do obu liczb dodajemy tę samą liczbę dodatnią  :       {premium}

 

 

ta operacja nie zmienia znaku nierówności


Od obu liczb odejmujemy tę samą liczbę ujemną  :

 

 

 

ta operacja nie zmienia znaku nierówności


Obie liczby mnożymy przez tę samą liczbę dodatnią  :

 

 

 

ta operacja nie zmienia znaku nierówności


Obie liczby mnożymy przez tę samą liczbę ujemną  :

 

 

 

ta operacja zmienia znak nierówności


Obie liczby dzielimy przez tę samą liczbę dodatnią  :

 

 

 

ta operacja nie zmienia znaku nierówności


Obie liczby dzielimy przez tę samą liczbę ujemną  :

 

 

 

ta operacja zmienia znak nierówności

Poniższy wykres przedstawia, jak zmieniała...

a) Wzór tej funkcji to:

 

    {premium}

 

 

 

 

 

 

 

 

 

wzór tej funkcji to:

 


b) Obliczmy po jakim czasie piłka spadła na ziemię:

 

 

 

 

 

 

 

 


c) Obliczmy jak długo piłka wznosiła się ponad siatkę:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Które z poniższych zdań są prawdziwe...

 

 

równanie ma dwa rozwiązania    {premium}

 

 

Prawdziwe są zdania: 1, 2, 3.


 

 

równanie nie ma rozwiązań 

żadne zdanie nie jest prawdziwe


 

 

równanie ma dwa rozwiązania

 

 

Prawdziwe są zdania: 1, 3, 4.


 

 

równanie ma dwa rozwiązania

 

 

Prawdziwe są zdania: 1, 3, 4.


 

 

równanie ma dwa rozwiązania

 

 

Prawdziwe są zdania: 1, 2, 3.


 

 

równanie ma dwa rozwiązania

 

 

Prawdziwe są zdania: 1, 2.

Oblicz promień okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny...

Przyjmijmy następujące oznaczenia:

 długość przyprostokątnej

 długość przeciwprostokątnej

 promień okręgu wpisanego w trójkąt



 Mamy dane:

 


Z twierdzenia Pitagorasa:

 

 {premium}

 

 

 


Obliczamy promień okręgu wpisanego w trójkąt:

 


Odp. Promień okręgu wpisanego w trójkąt ma długość  



 Mamy dane:

 


Z twierdzenia Pitagorasa:

 

 

 

 

 


Obliczamy promień okręgu wpisanego w trójkąt:

 


Odp. Promień okręgu wpisanego w trójkąt ma długość  

Rozwiąż nierówność.

 

 

 {premium}

 

 

 

 

Z własności wartości bezwzględnej:

 

 

 

 

 



 

 

 

 


Z definicji wartości bezwzględnej:

 

 

Zatem:

 


Rozważamy więc trzy przypadki:

  •  

 

 

 

 

 

Po uwzględnieniu przedziału, w którym rozważaliśmy nierówność, otrzymujemy:

 

 

  •  

 

 

 

Otrzymaliśmy nierówność tożsamościową. Oznacza to, że rozwiązaniem tej nierówności jest każda liczba z rozważanego przedziału:

 

  •  

 

 

 

 

 

Po uwzględnieniu przedziału, w którym rozważaliśmy nierówność, otrzymujemy:

 

 


Łącząc wszystkie przypadki, otrzymujemy następujący zbiór rozwiązań:

 

 



 

 

 

 

 

 


Z definicji wartości bezwzględnej:

 


Rozważamy więc dwa przypadki:

  •  

 

 

 

 

 

Po uwzględnieniu przedziału, w którym rozważaliśmy nierówność, otrzymujemy:

 

 

  •  

 

 

 

 

 

 

Po uwzględnieniu przedziału, w którym rozważaliśmy nierówność, otrzymujemy:

 

 


Łącząc wszystkie przypadki, otrzymujemy następujący zbiór rozwiązań:

 

 



 

 

 

 

 


Z definicji wartości bezwzględnej:

 

 

Zatem:

 


Rozważamy więc trzy przypadki:

  •  

 

 

 

 

 

Otrzymany zbiór rozwiązań jest rozłączny z przedziałem, w którym rozwiązywaliśmy nierówność, więc w rozważanym przedziale nierówność nie ma rozwiązań.

  •  

 

 

 

Otrzymana nierówność jest sprzeczna, czyli nie ma rozwiązań w rozważanym przedziale.

  •  

 

 

 

 

 

Otrzymany zbiór rozwiązań jest rozłączny z przedziałem, w którym rozwiązywaliśmy nierówność, więc w rozważanym przedziale nierówność nie ma rozwiązań.


Nierówność nie ma rozwiązań w żadnym z rozważanych przedziałów, więc nie ma rozwiązań w całym zbiorze liczb rzeczywistych.

Odgadnij postać iloczynową funkcji kwadratowej.

W celu odgadnięcia skorzystamy z wzorów Viete'a.

Jeżeli  są pierwiastkami trójmianu to 

 

 

 

 "Zgadujemy" dwie liczby, których suma jest równa  {premium}  a iloczyn  

Są to  oraz 

Stąd:

 

 

 "Zgadujemy" dwie liczby, których suma jest równa  a iloczyn  

Są to  oraz 

Stąd:

 

 

 "Zgadujemy" dwie liczby, których suma jest równa  a iloczyn  

Są to  oraz 

Stąd:

 

 

 "Zgadujemy" dwie liczby, których suma jest równa  a iloczyn  

Są to  oraz 

Stąd: