Rachunek prawdopodobieństwa - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

W kinie siedzi obok siebie trzech mężczyzn w czarnych garniturach, jedna kobieta i jeden mężczyzna w białym garniturze. Jaka jest szansa, że kobieta będzie siedzieć koło mężczyzny w białym garniturze?

Liczy się kolejność. Więc układamy podobnymi sposobami jak w kolejce, czyli:
Osoba - Liczba sposobów
I – 5
II – 4
III – 3
IV – 2
V – 1
Zatem z reguły mnożenia: $$5×4×3×2×1=120$$
Mamy nasze:

$$|Ω|=120$$
Teraz musimy zbadać w jakich sytuacjach będą siedzieć obok siebie. Rozpiszmy to delikatnie:
b - biały garnitur
c - czarny garnitur
k- kobieta

Oczywiście następuje rotacja na 3×2×1=6 sposobów pomiędzy czarnymi Panami :) (c1, c2 i c3 mogą bezkarnie zmieniać kolejność)
Poza tym para b,k może zajmować pierwsze i drugie miejsce, drugie i trzecie, trzecie i czwarte, czwarte i piąte - łącznie 4 możliwości:
b,k,c1,c2,c3
C1,b,k,c2,c3
C1,c2,b,k,c3
C1,c2,c3,b,k

Więc wychodzi nam $$6×4=24$$ sposoby
Jednakże kobieta może się z mężczyzną zamienić miejscami i nadal siedzieć obok siebie, więc:
$$24×2=48$$
Czyli $$A=48$$
Więc:
$$P(A)={|A|}/{|Ω|} ={48}/{120}=8/{20}=4/{10}$$

Dla tych, którzy nie są jeszcze zmęczeni usadzaniem 5 ludzi w kinie, inny sposób: czy czarni panowie grają tu jakąkolwiek rolę? Nie, równie dobrze mogą to być puste krzesła (p)! Dlatego w tym drugim sposobie usadzamy po prostu panią i białego pana, na $$5×4=20=$$|Ω|$$ sposobów. Ile z tych sposobów jest korzystnych? Gdy pani siedzi na skrajnym miejscu, jest tylko po 1 sposobie, aby pan siedział koło niej:
k,b,p,p,p
p,p,p,b,k
Gdy kobieta usiądzie w którymś z 3 "środkowych" krzeseł, biały pan może usiąść albo z jej lewej, albo z jej prawej strony. Czyli z reguły mnożenia $$3×2=6$$ możliwości dla środkowych rzędów. Kobieta może usiąść albo w środkowym, albo skrajnym krześle, ale nie na obu naraz, więc z reguły dodawania $$|A|=2+6=8$$. Ostatecznie $$P(A)={|A|}/{|Ω|} =8/20=4/10$$. Uff, wyszło to samo!

Zadanie 2.

Jaka jest szansa, że wyrzucimy dwiema kostkami sumę oczek równą 7?

Znów tutaj badamy najpierw wszystkie możliwe sytuacje.
Na jednej kostce 6 możliwości, na drugiej też, z reguły mnożenia.
$$6×6=36$$ sposobów, więc $$|Ω|=36$$
Suma oczek równa jest 7 gdy rzucimy:
$$1,6$$
$$2,5$$
$$3,4$$
$$4,3$$
$$5,2$$
$$6,1$$
Zatem $$|A|=6$$
Więc:
$$P(A)={|A|}/{|Ω|}={6}/{36}={1}/{6}$$

Hola hola, ktoś może powiedzieć: ale co to za różnica, czy wyrzucę 1 i 2, czy 2 i 1? Powinienem podzielić $$|Ω|$$ przez liczbę możliwych kolejności dwóch kostek, czyli przez $$2×1=2$$. Ale gdy nie interesuje nas kolejność kostek, możliwości też jest mniej:
$$1,6$$ (to samo co $$6,1$$)
$$2,5$$ (to samo co $$5,2$$)
$$3,4$$ (to samo co $$4,3$$)
Zatem "nie rozróżniając" kostek mam $$|Ω|=36/2=18$$, $$|A|=6/2=3$$. Wtedy $$P(A)={|A|}/{|Ω|}={3}/{18}={1}/{6}$$
Wyszło to samo (i powinno)! Częstym błędem jest liczenie $$|A|$$ w jeden sposób, a $$|Ω|$$ w inny. Dlatego pamiętaj, aby wybrać jeden sposób liczenia (kostki rozróżnialne albo nierozróżnialne), a potem się go trzymaj.
 

Spis treści

Rozwiązane zadania
Rozwiąż równanie.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

       

  

 

  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

    

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

   

Za wykonanie pewnej usługi, do której dolicza...

 cena usługi bez podatku

 cena usługi z podatkiem  


Wiemy, że za usługę razem z podatkiem klient zapłacił  Stąd: {premium}

 

 


Obliczamy, ile wynosi  podatku od ceny usługi:

 


Obliczamy, ile klient zapłaci za usługę razem z podatkiem  

 


Odp. Gdyby podatek VAT wynosił  klient zapłaciłby  

Poniższa tabela pokazuje średnie kursy euro...

Średnia arytmetyczna liczb jest równa

 


 {premium}

 


Odp. Średni kurs euro wynosił  

Pokoloruj...

a) Rysunek:

 

b) Rysunek:

 

c) Rysunek:

 

d) Rysunek:

Korzystając ze wzorów podanych w poprzednim zadaniu ...

 

 

  

 

 

 

 

Prosta prostopadła do prostej l, przechodząca przez punkt P wyraża się wzorem:

   

Podstawmy odpowiednie wartości.

 

 

 

       

Prosta równoległa do prostej l, przechodząca przez punkt P wyraża się wzorem:

    

Podstawmy odpowiednie wartości.

 

 

 

 

 

 

  

 

 

   

 

Prosta prostopadła do prostej l, przechodząca przez punkt P wyraża się wzorem:

   

Podstawmy odpowiednie wartości.

 

  

       

Prosta równoległa do prostej l, przechodząca przez punkt P wyraża się wzorem:

    

Podstawmy odpowiednie wartości.

 

 

 

 

 

  

 

 

   

 

Prosta prostopadła do prostej l, przechodząca przez punkt P wyraża się wzorem:

   

Podstawmy odpowiednie wartości.

 

 

       

       

Prosta równoległa do prostej l, przechodząca przez punkt P wyraża się wzorem:

    

Podstawmy odpowiednie wartości.

  

   

Bez obliczania miejsc zerowych funkcji...

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Zauważmy, że w podpunkcie e) dowiedzieliśmy się, że:

 

zatem:

 

czyli

 

 

Wiedząc, że x/y=m/n

 

 

 

 

` `

Wykaż, że liczba

 

  

  

 

Liczby 3 i 19 są czynnikami tworzącymi daną liczbę, więc dana liczba jest podzielna przez 3 oraz przez 19. 

 

 

 

Niech n będzie dowolną liczbą naturalną

 

Zapiszmy sumę trzech kolejnych potęg naturalnych liczby 7. 

 

 

 

Liczby 3 i 19 są czynnikami tworzącymi daną liczbę, więc dana liczba jest podzielna przez 3 oraz przez 19. 

Na podstawie definicji logarytmu (logab=c <=>

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

 

Podaj przykład dwóch liczb wymiernych...

 bo

 

 {premium}


 bo

 

 


 bo