Punkt przecięcia dwóch prostych - matura-podstawowa - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Punkt przecięcia dwóch prostych - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Punkt przecięcia dwóch prostych

Jeśli proste przetną się w jednym miejscu mają tzw. jeden punkt wspólny, czyli punkt, który spełnia równanie zarówno pierwszej jak i drugiej prostej.

W celu obliczenia takowego punktu potrzebujemy rozwiązać zwyczajny układ równań, gdzie wynik będzie punktem przecięcia.

Przykład:
Znajdź punkt przecięcia prostych $y=3x-2$ oraz $y=-x+4$.
Mamy podane dwie proste, stwórzmy układ równań:

uklad1

Jedyne co potrzebujemy to rozwiązać ten układ, przypomnijmy sobie dwie popularne metody algebraiczne rozwiązywania układu równań (jeśli ktoś woli metodę graficzną również jest dozwolona i opisana w odpowiednim dziale). Te popularne metody to:

Podstawiania – doprowadzamy do wyznaczenia jednej ze zmiennych, czyli w tym wypadku x lub y musi być samotnie po lewej stronie

Przeciwnych współczynników - doprowadzamy do liczb przeciwnych w obu równaniach przy jednej ze zmiennych, np. $-2x$ i $2x$.

Pokażę jak szybko sobie poradzić tymi metodami z układem:

Metoda podstawiania:

Tutaj już mamy wyznaczony y, zatem łatwo działać dalej. Skoro $y=3x-2$ a zarazem $y=-x+4$ to jest to samo: $3x-2=-x+4$, czyli za y podstawiamy to, czemu jest równe y w drugim równaniu.

uklad1

$3x-2=-x+4$
$4x=6$ $|:4$
$x=1 1/2$

Teraz wystarczy tylko zamienić x w jednym z równań na nasz wynik i wyznaczyć $y$.

$y=-x+4$
$y=-1 1/2+4$
$y=2 1/2$

Zatem szukany punkt to A(1 $1/2$; 2 $1/2$).


Metoda przeciwnych współczynników:
uklad1
Doprowadzamy do liczb przeciwnych przy x za pomocą pomnożenia całego dolnego równania:

uklad3

A następnie robimy dodawanie „pod kreską” obu równań:

uklad4

$(y+3y)=(3x-3x)+(-2+12)$
$4y=10$
$y=2 1/2$

Wykonujemy ponownie podstawienie $y$ jako $2 1/2$ w jednym z równań.
$y=-x+4$
$2 1/2 =-x+4$
$x =4-2 1/2$
$x=1 1/2$
Jak widać osiągnęliśmy ten sam wynik.

Możliwe wyjątki:
W układach równań mogą się zdarzyć równania tożsamościowe i sprzeczne tak samo tutaj może wystąpić fakt, że:
- proste są równoległe i różne od siebie (układ sprzeczny, nigdy się nie przetną, więc nie ma punktu)
- proste są równoległe i nakładają się na siebie (układ toższamościowy, proste mają nieskończenie wiele punktów wspólnych)

Przykład układu sprzecznego:

uklad5
Zauważmy, że współczynnik przy obu x to 3. Pamiętamy, że jeśli $a_1=a_2$ to proste są równoległe i nigdy się nie przetną. Rozwiążmy szybko układ, aby wykazać jego sprzeczność:

uklad5

Podstawmy za y to co jest po prawej:
$3x-1=3x+3$
$-1=3$
Uzyskaliśmy bzdurę, zatem układ sprzeczny.


Przykład układu tożsamościowego:
uklad6

Zauważmy, że jeżeli wyznaczymy sobie właściwy y:

uklad7

To dostaliśmy dokładnie to samo, czyli proste nakładają się na siebie, układ jest tożsamościowy. Jak to wygląda w wyniku? Znów podstawianie:
$3+3x=3x+3$
$-3+3x-3x=0$
$0=0$
 

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Znajdź punkt przecięcia prostych $y=3x$ oraz $y=2x-3$.

Tworzymy układ równań z podanych prostych:

uklad11

I podmieniamy jedno z y
$3x=2x-3$
$3x-2x=-3$
$x=-3$

Mamy już x, więc wybieramy jedno z równań i zamieniamy w nim x na $-3$:
$y=3x$
$y=3×(-3)$
$y=-9$

Zatem szukany punkt to A(-3;-9).

Zadanie 2.

Znajdź punkt przecięcia prostych $3x+y-2=0$ oraz $y-5=0$

Znów sprowadzamy wszystko do układu równań:
uklad9

Przerzućmy wszystko inne na prawą stronę, tak, aby pozostał nam tylko y po lewej:
uklad10

I standardowo podmieniamy y
$5=-3x+2$
$3=-3x$ $|:(-3)$
$-1=x$
$x=-1$

tutaj nie musimy podstawiać, ponieważ już w drugim równaniu mamy, że $y=5$, zatem szukany punkt to A(-1;5).

Zadanie 3.

Tomek i Marta pojechali na wycieczkę. Zatrzymali się w pobliskim sklepie. Po powrocie zorientowali się, że jeden z rowerów został skradziony. Widząc w oddali złodzieja Tomek rzucił się w pogoń. Kiedy dogoni złodzieja, jeśli złodziej wyruszył 3min wcześniej i jedzie z prędkością 5m/s, a zdeterminowany Tomek z prędkością 7m/s?

$3min=180s$
Zadanie zakłada, że złodziej zostanie dogoniony (czyli złapany), co widać, ponieważ Tomek jedzie szybciej, choć złodziej jest dalej. Zatem:

Oznaczmy jako y drogę, jaką Tomek przebył zanim złapał złodzieja, a x będzie czasem, przez jaki Tomek jechał. Pamiętamy, że wzór na drogę to: $s=v×t$. V (czyli prędkość) znamy dla obu rowerzystów. Zatem:
Droga przebyta przez Złodzieja zanim został złapany:
$y=5(x+180)$

Dlaczego?
Y to jego przebyta droga, a z każdą sekundą przejechał 5m, miał 180s więcej czasu niż Tomek, więc jego czas to $x+180$.

Droga Tomka:
$y=7x$
Tomek nie miał zapasu czasu i co sekundę jedzie 7m do przodu.
Jak widać mamy tutaj nic innego jak znalezienie wspólnego punktu, zatem rozwiążmy układ równań:

uklad8

Podstawiamy nasze y.
$7x=5(x+180)$
$7x=5x+900$
$7x-5x=900$
$2x=900$ $|:2$
$x=450$

Zatem skoro $x$ był naszym czasem, Tomek złapie złodzieja po 450 sekundach.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Posługując się wykresem funkcji...
  • Funkcja f:

Dziedzina:

 

Miejsca zerowe:

 

 

  • Funkcja h:

Wykres:

Dziedzina:

 

Miejsca zerowe:

 

Podaj przykłady liczb niewymiernych, których:

a)

b)

Hotel dla kotów o psów ...

  

 

 

 

 

Naszkicuj parabolę y=7(x+2)^2+5...

Obliczmy współrzędne kilku punktów należących do wykresu funkcji y=7(x+2)2+5

x -3 -2 -1
y 12 5 12


a)
Obliczmy współrzędne kilku punktów należących do wykresu funkcji y=-1/3(x+2)2+5  {premium}

x -5 -2 1
y 2 5 2





te funkcje mają 1 punkt wspólny


b) 
Obliczmy współrzędne kilku punktów należących do wykresu funkcji y=1/10(x+2)2+6

x -12 -2 8
y 16 6 16





te funkcje mają 2 punkty wspólne

c) 
Obliczmy współrzędne kilku punktów należących do wykresu funkcji y=10(x+2)2+10

x -3 -2 -1
y 20 10 20




te funkcje nie mają punktów wspólnych

Trapez równoramienny o podstawach 6√3 cm i 2√3 cm ...

 

Zastanawiamy się, dla jakiego kąta funkcja tangens przyjmuje taką wartość

Suma miar kątów leżących przy jednym ramieniu trapezu wynosi 180o, zatem miara kąta rozwartego trapezu:

Miary kątów tego trapezu: 60o,60o,120o,120o.

 

     

Miejscami zerowymi funkcji kwadratowej są...

Wiemy, że miejscami funkcji kwadratowej są liczby -5 i 1:

 

oraz, że wykres przecina oś y w punkcie (0, 5), zatem wzór tej funkcji ma postać:  {premium}

 

 

 

 


zatem wzór tej funkcji ma postać:

 


Odp.: C

Naszkicuj w jednym układzie współrzędnych ...

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  

 

 

Wykres funkcji g(x)...

Jeżeli przesuniemy wykres funkcji f o 2 jednostki w prawo to otrzymamy:

 

Odpowiedź C

Gdyby w ankiecie wzięło udział kolejne 100 osób

Z poprzedniego zadania wiemy już, że:

  • na program X zagłosowało 288 osób
  • na program Y zagłosowało 224 osób
  • w tym na oba programy zagłosowało 112 osób

 

Gdyby w ankiecie wzięlo udział kolejne 100 osób, to ilość ankietowanych wynosiłaby 400+100=500 osób. Każda z tych 100 osób głosowałaby jedynie na program Y, więc ilość głosów na program Y wynosiłaby 224+100=324. Wtedy poparcie dla programu Y wynosiłoby:

 

 

 

 

Pytanie zostało sformułowane nie do końca jasno. Treść pytania "O ile punktów procentowych popularniejszych okazałby się ten program?" sugeruje, że należy zbadać różnicę między początkowym poparciem dla programu Y, a poparciem dla tego programu przy 500 ankietowanych. Tymczasem autorowi chodziło o zbadanie różnicy między poparciem dla programu Y a poparciem dla programu X przy 500 głosujących osobach. Pytanie powinno brzmieć więc: "O ile punktów procentowych popularniejszy niż program X okazałby się wtedy program Y?".

 

Obliczmy, jakie byłoby poparcie dla programu X, gdyby w ankiecie brało udział dodatkowych 100 osób, a wszyscy z nich głosowaliby na program Y. Wtedy na program X głosowałoby tyle samo osób, co na początku (288), a liczba wszystkich głosujących osób wynosiłaby 500.

 

 

Obliczamy, o ile punktów procentowych popularniejszy niż program X okazałby się wtedy program Y:

  

 

Dane są dwa okręgi współśrodkowe...

Możemy dorysować{premium} jeszcze dwie cięciwy, wychodzące z punktów A i B, o długości 10 cm, które będą styczne do mniejszego okręgu. Utworzą one trójkąt równoboczny. Wówczas większe koło jest kołem opisanym na trójkącie, a mniejsze -  kołem wpisanym w trójkąt. Oznaczmy promienie tych kół odpowiednio jako R i r. Ze wzorów na promień koła opisanego i wpisanego w trójkąt równoboczny mamy:

 

 


Obliczamy pole większego koła:

 

Obliczamy pole mniejszego koła:

 


Obliczamy pole pierścienia kołowego wyznaczonego przez te okręgi:

 


Prawidłowa odpowiedź to A.