Zgoda na przetwarzanie danych osobowych

25 maja 2018 roku zacznie obowiązywać Rozporządzenie Parlamentu Europejskiego i Rady (UE) 2016/679 z dnia 27 kwietnia 2016 r. znane jako RODO.

Dlatego aby dalej móc dostarczać Ci materiały odpowiednie do Twojego etapu edukacji, potrzebujemy zgody na lepsze dopasowanie treści do Twojego zachowania. Dzięki temu możemy zapamiętywać jakie materiały są Ci potrzebne. Dbamy o Twoją prywatność, więc nie zwiększamy zakresu naszych uprawnień. Twoje dane są u nas bezpieczne, a zgodę na ich zbieranie możesz wycofać na podstronie polityka prywatności.

Klikając "Przejdź do Odrabiamy", zgadzasz się na wskazane powyżej działania. W przeciwnym wypadku, nie jesteśmy w stanie zrealizować usługi kompleksowo i prosimy o opuszczenie strony.

Polityka prywatności

Drogi Użytkowniku w każdej chwili masz prawo cofnąć zgodę na przetwarzanie Twoich danych osobowych. Cofnięcie zgody nie będzie wpływać na zgodność z prawem przetwarzania, którego dokonano na podstawie wyrażonej przez Ciebie zgody przed jej wycofaniem. Po cofnięciu zgody wszystkie twoje dane zostaną usunięte z serwisu. Udzielenie zgody możesz modyfikować w zakładce 'Informacja o danych osobowych'

Punkt przecięcia dwóch prostych - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Punkt przecięcia dwóch prostych

Jeśli proste przetną się w jednym miejscu mają tzw. jeden punkt wspólny, czyli punkt, który spełnia równanie zarówno pierwszej jak i drugiej prostej.

W celu obliczenia takowego punktu potrzebujemy rozwiązać zwyczajny układ równań, gdzie wynik będzie punktem przecięcia.

Przykład:
Znajdź punkt przecięcia prostych $$y=3x-2$$ oraz $$y=-x+4$$.
Mamy podane dwie proste, stwórzmy układ równań:

uklad1

Jedyne co potrzebujemy to rozwiązać ten układ, przypomnijmy sobie dwie popularne metody algebraiczne rozwiązywania układu równań (jeśli ktoś woli metodę graficzną również jest dozwolona i opisana w odpowiednim dziale). Te popularne metody to:

Podstawiania – doprowadzamy do wyznaczenia jednej ze zmiennych, czyli w tym wypadku x lub y musi być samotnie po lewej stronie

Przeciwnych współczynników - doprowadzamy do liczb przeciwnych w obu równaniach przy jednej ze zmiennych, np. $$-2x$$ i $$2x$$.

Pokażę jak szybko sobie poradzić tymi metodami z układem:

Metoda podstawiania:

Tutaj już mamy wyznaczony y, zatem łatwo działać dalej. Skoro $$y=3x-2$$ a zarazem $$y=-x+4$$ to jest to samo: $$3x-2=-x+4$$, czyli za y podstawiamy to, czemu jest równe y w drugim równaniu.

uklad1

$$3x-2=-x+4$$
$$4x=6$$ $$|:4$$
$$x=1 1/2$$

Teraz wystarczy tylko zamienić x w jednym z równań na nasz wynik i wyznaczyć $$y$$.

$$y=-x+4$$
$$y=-1 1/2+4$$
$$y=2 1/2$$

Zatem szukany punkt to A(1 $$1/2$$; 2 $$1/2$$).


Metoda przeciwnych współczynników:
uklad1
Doprowadzamy do liczb przeciwnych przy x za pomocą pomnożenia całego dolnego równania:

uklad3

A następnie robimy dodawanie „pod kreską” obu równań:

uklad4

$$(y+3y)=(3x-3x)+(-2+12)$$
$$4y=10$$
$$y=2 1/2$$

Wykonujemy ponownie podstawienie $$y$$ jako $$2 1/2$$ w jednym z równań.
$$y=-x+4$$
$$2 1/2 =-x+4$$
$$x =4-2 1/2$$
$$x=1 1/2$$
Jak widać osiągnęliśmy ten sam wynik.

Możliwe wyjątki:
W układach równań mogą się zdarzyć równania tożsamościowe i sprzeczne tak samo tutaj może wystąpić fakt, że:
- proste są równoległe i różne od siebie (układ sprzeczny, nigdy się nie przetną, więc nie ma punktu)
- proste są równoległe i nakładają się na siebie (układ toższamościowy, proste mają nieskończenie wiele punktów wspólnych)

Przykład układu sprzecznego:

uklad5
Zauważmy, że współczynnik przy obu x to 3. Pamiętamy, że jeśli $$a_1=a_2$$ to proste są równoległe i nigdy się nie przetną. Rozwiążmy szybko układ, aby wykazać jego sprzeczność:

uklad5

Podstawmy za y to co jest po prawej:
$$3x-1=3x+3$$
$$-1=3$$
Uzyskaliśmy bzdurę, zatem układ sprzeczny.


Przykład układu tożsamościowego:
uklad6

Zauważmy, że jeżeli wyznaczymy sobie właściwy y:

uklad7

To dostaliśmy dokładnie to samo, czyli proste nakładają się na siebie, układ jest tożsamościowy. Jak to wygląda w wyniku? Znów podstawianie:
$$3+3x=3x+3$$
$$-3+3x-3x=0$$
$$0=0$$
 

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Znajdź punkt przecięcia prostych $$y=3x$$ oraz $$y=2x-3$$.

Tworzymy układ równań z podanych prostych:

uklad11

I podmieniamy jedno z y
$$3x=2x-3$$
$$3x-2x=-3$$
$$x=-3$$

Mamy już x, więc wybieramy jedno z równań i zamieniamy w nim x na $$-3$$:
$$y=3x$$
$$y=3×(-3)$$
$$y=-9$$

Zatem szukany punkt to A(-3;-9).

Zadanie 2.

Znajdź punkt przecięcia prostych $$3x+y-2=0$$ oraz $$y-5=0$$

Znów sprowadzamy wszystko do układu równań:
uklad9

Przerzućmy wszystko inne na prawą stronę, tak, aby pozostał nam tylko y po lewej:
uklad10

I standardowo podmieniamy y
$$5=-3x+2$$
$$3=-3x$$ $$|:(-3)$$
$$-1=x$$
$$x=-1$$

tutaj nie musimy podstawiać, ponieważ już w drugim równaniu mamy, że $$y=5$$, zatem szukany punkt to A(-1;5).

Zadanie 3.

Tomek i Marta pojechali na wycieczkę. Zatrzymali się w pobliskim sklepie. Po powrocie zorientowali się, że jeden z rowerów został skradziony. Widząc w oddali złodzieja Tomek rzucił się w pogoń. Kiedy dogoni złodzieja, jeśli złodziej wyruszył 3min wcześniej i jedzie z prędkością 5m/s, a zdeterminowany Tomek z prędkością 7m/s?

$$3min=180s$$
Zadanie zakłada, że złodziej zostanie dogoniony (czyli złapany), co widać, ponieważ Tomek jedzie szybciej, choć złodziej jest dalej. Zatem:

Oznaczmy jako y drogę, jaką Tomek przebył zanim złapał złodzieja, a x będzie czasem, przez jaki Tomek jechał. Pamiętamy, że wzór na drogę to: $$s=v×t$$. V (czyli prędkość) znamy dla obu rowerzystów. Zatem:
Droga przebyta przez Złodzieja zanim został złapany:
$$y=5(x+180)$$

Dlaczego?
Y to jego przebyta droga, a z każdą sekundą przejechał 5m, miał 180s więcej czasu niż Tomek, więc jego czas to $$x+180$$.

Droga Tomka:
$$y=7x$$
Tomek nie miał zapasu czasu i co sekundę jedzie 7m do przodu.
Jak widać mamy tutaj nic innego jak znalezienie wspólnego punktu, zatem rozwiążmy układ równań:

uklad8

Podstawiamy nasze y.
$$7x=5(x+180)$$
$$7x=5x+900$$
$$7x-5x=900$$
$$2x=900$$ $$|:2$$
$$x=450$$

Zatem skoro $$x$$ był naszym czasem, Tomek złapie złodzieja po 450 sekundach.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Dla której spośród

Zauważmy, że jeśli mamy pewną parabolę i punkt o odciętej x=1, to odległość tego punktu od osi OX jest równa drugiej współrzędnej tego punktu (jeśli jest ona dodatnia) lub liczbie przeciwnej do drugiej współrzędnej (jeśli jest ujemna). 

 

`a)` 

Obliczamy wartości y dla kolejnych funkcji:

`y=1^2=1\ \ \ ->\ \ \ "odległość"=1`  

`y=4*1^2=4*1=4\ \ \ ->\ \ \ "odległość"=4`  

`y=-6*1^2=-6*1=-6\ \ \ ->\ \ \ "odległość"=6`  

Odległość jest najmniejsza dla pierwszej z podanych funkcji. 

 

 

`b)` 

`y=3/2*1^2=3/2*1=3/2=1 1/2=1,5\ \ \ ->\ \ \ "odległość"=1,5` 

`y=sqrt2*1^2=sqrt2\ \ \ ->\ \ \ "odległość"=sqrt2~~1,41` 

`y=2*1^2=2\ \ \ ->\ \ \ "odległość"=2` 

Odległość jest najmniejsza dla drugiej z podanych funkcji. 

 

 

`c)` 

`y=-1/2*1^2=-1/2\ \ \ ->\ \ \ "odległość"=1/2` 

`y=3*1^2=3\ \ \ ->\ \ \ "odległość"=3` 

`y=2sqrt3*1^2=2sqrt3\ \ \ ->\ \ \ "odległość"=2sqrt3~~2*1,73=3,46` 

Odległość jest najmniejsza dla pierwszej z podanych funkcji.

 

 

`d)` 

`y=-3*1^2=-3\ \ \ ->\ \ \ "odległość"=3` 

`y=pi*1^2=pi\ \ \ ->\ \ \ "odległość"=pi~~3,14151`  

`y=3,14*1^2=3,14\ \ \ ->\ \ \ "odległość"=3,14` 

Odległość jest najmniejsza dla pierwszej z podanych funkcji. 

Dwusieczna kąta A trójkąta...

Kąty wpisane oparte na tym samym łuku mają taką samą miarę a więc:

`/_CBA = /_CDA = 80^o` 

`/_ACB = /_ADB = 40^o` 

Stąd wynika, że:

`/_CDB = 80^o + 40^o = 120^o` 

 

`/_DBC = /_DAC = 30^o` 

`/_BAD = /_BCD = 30^o` 

 

Stąd wynika, że:

`/_DBA = 30^o + 80^o = 110^o` 

 

`/_ ACD = 40^o + 30^o = 70^o` 

 

Odpowiedź: Miary kątów w czworokącie wynoszą 60o, 70o, 110o, 120o.

Narysuj...

a)

 

 

 

b)

 

 

 

c)

Dane są trzy wektory...

Obliczmy długości wektorów:

`|stackrel(->)(a)|=sqrt(1^2+1^2) = sqrt(1+1) = sqrt2` 

`|stackrel(->)(b)|= sqrt((-1)^2 +2^2) = sqrt(1+4) = sqrt5` 

`|stackrel(->)(c)| = sqrt((-1)^2+(-7)^2) = sqrt(1+49) = sqrt50` 

 

`|3stackrel(->)(a)| = 3 *|stackrel(->)(a)| = 3sqrt2 = sqrt18` 

`|2stackrel(->)(b)| = 2*|stackrel(->)(b)| = 2sqrt5 = sqrt20`  

 

 

Sprawdźmy, czy długość dwóch krótszych wektorów jest większa od długości najdłuższego.

`sqrt18 + sqrt20 > sqrt50` 

Podnieśmy nierówność obustronnie do kwadratu:

`18 + 2*sqrt18*sqrt20 + 20 > 50`  

`2*3sqrt2*2sqrt5 > 12` 

`12 sqrt10 > 12` 

Prawda, a więc da się zbudować trójkąt z podanych wektorów.

Na ile sposobów można zbudować trójkąt ...

 

długość najdłuższego
boku trójkąta (w dm)
długości pozostałych boków (w dm) nierówność trójkąta czy taki trójkąt istnieje 
(czy nierówność jest spełniona)
`3`  `2,\ 2` 

`2+2>3` 

`tak` 
`3`  `2,\ 3`  `2+3>2`  `tak` 
`3`  `3,\ 3`  `3+3>3`  `tak` 
`5`  `2,\ 2`  `2+2>5`  `nie` 
`5`  `2,\ 3`  `2+3>5`  `nie` 
`5`  `3,\ 3`  `3+3>5`  `tak`  
`5`  `3,\ 5`  `3+5>5`  `tak` 

 

 

Taki trójkąt można zbudować na 5 sposobów. 

Ola za 2 kanapki i 3 soki zapłaciła

`k\ -\ "cena kanapki"`

`s\ -\ "cena soku"`

 

`{(2k+3s=20.25\ \ \ |*3), (3k+2s=21\ \ \ |*(-2)):}`

`{(6k+9s=60.75), (-6k-4s=-42):}\ \ \ \ |+`

`5s=18.75\ \ \ |:5`

`s=3.75`

`{(s=3.75), (2k+3*3.75=20.25):}`

`{(s=3.75), (2k+11.25=20.25\ \ \ \ |-11.25):}`

`{(s=3.75), (2k=9\ \ \ |:2):}`

`{(s=3.75), (k=4.50):}`

 

`odp.\ D`

Wykaż, że w każdym trójkącie ...

Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku.

Oznaczmy środek okręgu o średnicy AB jako P, natomiast środek okręgu o średnicy CB jako S.

Oznaczmy miarę kąta MSC jako α. A miarę kąta APM jako ß.

`|/_MSC|=alpha` 

`|/_APM|=beta` 

Chcemy udowodnić, że kąt AMC ma miarę 180o. Wówczas punkty AMC będą współliniowe.

 

Trójkąt APM jest równoramienny (gdyż |PM|=|PA|), więc kąty przy podstawie MA mają równą miarę.

`|/_PAM|=|/_AMP|=(180^"o"-beta)/2=90^"o"-1/2beta` 

Trójkąt MSC jest równoramienny (gdyż |SM|=|SC|), więc kąty przy podstawie MC mają równą miarę.

`|/_SMC|=|/_MCS|=(180^"o"-alpha)/2=90^"o"-1/2alpha` 

 

Kąty APM oraz MPB są kątami przyległymi. Obliczmy miarę kąta MPB:

`|/_APM|+|/_MPB|=180^"o"` 

`beta+|/_MPB|=180^"o"` 

`|/_MPB|=180^"o"-beta`    

 

Kąty MSC oraz MSB są kątami przyległymi. Obliczmy miarę kąta MSB:

`|/_MSC|+|/_MSB|=180^"o"` 

`alpha+|/_MPB|=180^"o"` 

`|/_MSB|=180^"o"-alpha` 

 

Trójkąt MBS jest równoramienny (|SM|=|SB|).  Miary kątów przy podstawie MB mają więc równe miary.

`|/_BMS|=|/_MBS|=(180^"o"-(180^"o"-alpha))/2=1/2alpha`

Trójkąt BMP jest równoramienny (|PM|=|PB|).  Miary kątów przy podstawie MB mają więc równe miary.

`|/_BMP|=|/_MBP|=(180^"o"-(180^"o"-beta))/2=1/2beta` 

 

Obliczmy miarę kąta AMC. W tym celu sumujemy miary kątów AMP, BMP, BMS oraz SMC:

`|/_AMC|=|/_AMP|+|/_BMP|+|/_BMS|+|/_SMC|` 

`|/_AMC|=90^"o"-1/2beta+1/2beta+1/2alpha+90^"o"-1/2alpha`      

`|/_AMC|=180^"o"` 

Miara kąta AMC wynosi 180o, więc punkty A, M oraz C są wspóliniowe.

Określ liczbę pierwiastków równania.

Aby określić liczbę pierwiastków równania wystarczy policzyć `Delta` 

Jeśli `Delta>0` równanie ma 2 pierwiastki.

Jeśli `Delta=0` równanie ma 1 pierwiastek.

Jeśli `Delta<0` równanie nie ma pierwiastków.


a) `9x^2+6x+1=0` 

`Delta=6^2-4*9*1=36-36=0` 

Jeden pierwiastek.


b) `7x+2x^2-10=0` 

`2x^2+7x-10=0` 

`Delta=7^2-4*2*(-10)=49+80=129` 

Dwa pierwiastki.


c) `x^2+4-3x=0` 

`x^2-3x+4=0` 

`Delta=(-3)^2-4*1*4=9-16=-7` 

Brak pierwiastków.


d) `-2+1/4x^2-0,5x=0` 

`1/4x^2-0,5x-2=0` 

`1/4x^2-1/2x-2=0` 

`Delta=(-1/2)^2-4*1/4*(-2)=1/4+2=2 1/4` 

Dwa pierwiastki.


e) `sqrt3x^2-2x+sqrt3/3=0` 

`Delta=(-2)^2-4*sqrt3*sqrt3/3=4-4=0` 

Jeden pierwiastek.


f) `sqrt7x+12x^2+1/6=0` 

`12x^2+sqrt7x+1/6=0` 

`Delta=(sqrt7)^2-4*12*1/6=7-8=-1` 

Brak pierwiastków.


g) `-x^2-16+8x=0` 

`-x^2+8x-16=0` 

`Delta=8^2-4*(-1)*(-16)=64-64=0` 

Jeden pierwiastek.


h) `1/2x-2sqrt2x^2+0,25=0` 

`-2sqrt2x^2+1/2x+1/4=0` 

`Delta=(1/2)^2-4*(-2sqrt2)*1/4=1/4+2sqrt2` 

Dwa pierwiastki.

Dwa nierównoległe boki BC i AD trapezu...

Rysunek pomocniczy:

Zauważmy najpierw, że po przedłużeniu ramion trapezu otrzymamy dwa trójkąty podobne - `DeltaABE` oraz `DeltaDCE.` 

Zauważmy też, że trójkąty `DeltaGBE` i `DeltaDCE` są podobne na podstawie cechy kąt - kąt - kąt.     

Analogicznie zauważamy, że `Delta AFD` oraz `DeltaDCE` są podobne. 

W takim razie podobne są również trójkąty `DeltaAFD` i `DeltaGBE.` Wynika stąd, że `beta=90^@-alpha.` 

Z zależności trygonometrycznych dla `DeltaAFD` mamy:      

`sinalpha=h/18\ "/"*18` 

`h=18sinalpha`   

A dla `DeltaGCB:` 

`sinbeta=h/24\ "/"*24` 

`h=24sinbeta` 

Podstawiając teraz `beta=90^@-alpha` i stosując wzór redukcyjny `sin(90^@-alpha)=cosalpha,` otrzymujemy: 

`h=24sinbeta=24sin(90^@-alpha)=24cosalpha` 

Porównując obie równości otrzymujemy:

`18sinalpha=24cosalpha\ "/":18cosalpha` 

`"tg"alpha=24/18=4/3~~1,3333` 

Po odczytaniu wartości z tablic otrzymujemy:

`alpha~~53^@` 

Obliczamy `beta:` 

`beta=90^@-alpha~~90^@-53^@=37^@`       

Wiemy, że suma kątów przy jednym ramieniu trapezu wynosi `180^@,` stąd:

`gamma=180^@-alpha~~180^@-53^@=127^@`  

`delta=180^@-beta~~180^@-37^@=143^@` 

Odp. Kąty trapezu mają miary: `53^@,\ 37^@,\ 127^@,\ 143^@.`    

Wyznacz dziedzinę funkcji f(x)

Liczba pod pierwiastkiem kwadratowym musi być nieujemna:

`-3-2x>=0\ \ \ |+3`

`-2x>=3\ \ \ |:(-2)`

`x<=-3/2`

`x<=-1 1/2`

`D_f=(-infty;\ -1 1/2>>`

 

Największa liczba całkowita należąca do dziedziny funkcji f(x) to -2.