Punkt przecięcia dwóch prostych - matura-podstawowa - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Punkt przecięcia dwóch prostych - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Punkt przecięcia dwóch prostych

Jeśli proste przetną się w jednym miejscu mają tzw. jeden punkt wspólny, czyli punkt, który spełnia równanie zarówno pierwszej jak i drugiej prostej.

W celu obliczenia takowego punktu potrzebujemy rozwiązać zwyczajny układ równań, gdzie wynik będzie punktem przecięcia.

Przykład:
Znajdź punkt przecięcia prostych $y=3x-2$ oraz $y=-x+4$.
Mamy podane dwie proste, stwórzmy układ równań:

uklad1

Jedyne co potrzebujemy to rozwiązać ten układ, przypomnijmy sobie dwie popularne metody algebraiczne rozwiązywania układu równań (jeśli ktoś woli metodę graficzną również jest dozwolona i opisana w odpowiednim dziale). Te popularne metody to:

Podstawiania – doprowadzamy do wyznaczenia jednej ze zmiennych, czyli w tym wypadku x lub y musi być samotnie po lewej stronie

Przeciwnych współczynników - doprowadzamy do liczb przeciwnych w obu równaniach przy jednej ze zmiennych, np. $-2x$ i $2x$.

Pokażę jak szybko sobie poradzić tymi metodami z układem:

Metoda podstawiania:

Tutaj już mamy wyznaczony y, zatem łatwo działać dalej. Skoro $y=3x-2$ a zarazem $y=-x+4$ to jest to samo: $3x-2=-x+4$, czyli za y podstawiamy to, czemu jest równe y w drugim równaniu.

uklad1

$3x-2=-x+4$
$4x=6$ $|:4$
$x=1 1/2$

Teraz wystarczy tylko zamienić x w jednym z równań na nasz wynik i wyznaczyć $y$.

$y=-x+4$
$y=-1 1/2+4$
$y=2 1/2$

Zatem szukany punkt to A(1 $1/2$; 2 $1/2$).


Metoda przeciwnych współczynników:
uklad1
Doprowadzamy do liczb przeciwnych przy x za pomocą pomnożenia całego dolnego równania:

uklad3

A następnie robimy dodawanie „pod kreską” obu równań:

uklad4

$(y+3y)=(3x-3x)+(-2+12)$
$4y=10$
$y=2 1/2$

Wykonujemy ponownie podstawienie $y$ jako $2 1/2$ w jednym z równań.
$y=-x+4$
$2 1/2 =-x+4$
$x =4-2 1/2$
$x=1 1/2$
Jak widać osiągnęliśmy ten sam wynik.

Możliwe wyjątki:
W układach równań mogą się zdarzyć równania tożsamościowe i sprzeczne tak samo tutaj może wystąpić fakt, że:
- proste są równoległe i różne od siebie (układ sprzeczny, nigdy się nie przetną, więc nie ma punktu)
- proste są równoległe i nakładają się na siebie (układ toższamościowy, proste mają nieskończenie wiele punktów wspólnych)

Przykład układu sprzecznego:

uklad5
Zauważmy, że współczynnik przy obu x to 3. Pamiętamy, że jeśli $a_1=a_2$ to proste są równoległe i nigdy się nie przetną. Rozwiążmy szybko układ, aby wykazać jego sprzeczność:

uklad5

Podstawmy za y to co jest po prawej:
$3x-1=3x+3$
$-1=3$
Uzyskaliśmy bzdurę, zatem układ sprzeczny.


Przykład układu tożsamościowego:
uklad6

Zauważmy, że jeżeli wyznaczymy sobie właściwy y:

uklad7

To dostaliśmy dokładnie to samo, czyli proste nakładają się na siebie, układ jest tożsamościowy. Jak to wygląda w wyniku? Znów podstawianie:
$3+3x=3x+3$
$-3+3x-3x=0$
$0=0$
 

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Znajdź punkt przecięcia prostych $y=3x$ oraz $y=2x-3$.

Tworzymy układ równań z podanych prostych:

uklad11

I podmieniamy jedno z y
$3x=2x-3$
$3x-2x=-3$
$x=-3$

Mamy już x, więc wybieramy jedno z równań i zamieniamy w nim x na $-3$:
$y=3x$
$y=3×(-3)$
$y=-9$

Zatem szukany punkt to A(-3;-9).

Zadanie 2.

Znajdź punkt przecięcia prostych $3x+y-2=0$ oraz $y-5=0$

Znów sprowadzamy wszystko do układu równań:
uklad9

Przerzućmy wszystko inne na prawą stronę, tak, aby pozostał nam tylko y po lewej:
uklad10

I standardowo podmieniamy y
$5=-3x+2$
$3=-3x$ $|:(-3)$
$-1=x$
$x=-1$

tutaj nie musimy podstawiać, ponieważ już w drugim równaniu mamy, że $y=5$, zatem szukany punkt to A(-1;5).

Zadanie 3.

Tomek i Marta pojechali na wycieczkę. Zatrzymali się w pobliskim sklepie. Po powrocie zorientowali się, że jeden z rowerów został skradziony. Widząc w oddali złodzieja Tomek rzucił się w pogoń. Kiedy dogoni złodzieja, jeśli złodziej wyruszył 3min wcześniej i jedzie z prędkością 5m/s, a zdeterminowany Tomek z prędkością 7m/s?

$3min=180s$
Zadanie zakłada, że złodziej zostanie dogoniony (czyli złapany), co widać, ponieważ Tomek jedzie szybciej, choć złodziej jest dalej. Zatem:

Oznaczmy jako y drogę, jaką Tomek przebył zanim złapał złodzieja, a x będzie czasem, przez jaki Tomek jechał. Pamiętamy, że wzór na drogę to: $s=v×t$. V (czyli prędkość) znamy dla obu rowerzystów. Zatem:
Droga przebyta przez Złodzieja zanim został złapany:
$y=5(x+180)$

Dlaczego?
Y to jego przebyta droga, a z każdą sekundą przejechał 5m, miał 180s więcej czasu niż Tomek, więc jego czas to $x+180$.

Droga Tomka:
$y=7x$
Tomek nie miał zapasu czasu i co sekundę jedzie 7m do przodu.
Jak widać mamy tutaj nic innego jak znalezienie wspólnego punktu, zatem rozwiążmy układ równań:

uklad8

Podstawiamy nasze y.
$7x=5(x+180)$
$7x=5x+900$
$7x-5x=900$
$2x=900$ $|:2$
$x=450$

Zatem skoro $x$ był naszym czasem, Tomek złapie złodzieja po 450 sekundach.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Uprość wyrażenie.

    {premium}

 

 

 

 

 

 

Narysowane koło ma promień...

a) Pole tej figury to różnica pól: koła o promieniu 5 i dwóch trójkątów równoramiennych: o ramionach długości 5 i kącie między ramionami 80o i o ramionach długości 5 i kącie między ramionami 100o: {premium}

 

 


b) Pole tej figury to różnica pól: wycinka koła o promieniu 5 i kącie 80o i trójkąta równoramiennego: o ramionach długości 5 i kącie między ramionami 80o :

 


c) Pole tej figury to różnica pól: wycinka koła o promieniu 5 i kącie 104o i trójkąta równoramiennego o ramionach długości 5 i kącie między ramionami 104o :

 


 


d) Pole tej figury to suma pól dwóch trójkątów równoramiennych o ramionach długości 5 i kącie między ramionami 110o:


 

Zasady płacenia podatku dochodowego od osób...

 Z tabeli (pierwszy wiersz) odczytujemy, że osoby o dochodzie  nie płaca podatku płacą  {premium}


 Dla kwoty   podatek obliczamy ze wzoru podanego w drugim wierszu tabeli:

 

Odp. Podatek wyniósłby  


 Dla kwoty   podatek obliczamy ze wzoru podanego w trzecim wierszu tabeli:

 

 

Odp. Podatek wyniósłby  


 Dla kwoty   podatek obliczamy ze wzoru podanego w czwartym wierszu tabeli:

 

 

Odp. Podatek wyniósłby  

Skorzystaj ze wzoru ...

Merkury:

Wenus:

{premium}

Ziemia:

Mars:

Jowisz:

Saturn:

Uran:

Neptun:

 

Pluton:

Trzy z kątów czworokąta mają miary...

Suma miar kątów wewnętrznych w każdym czworokącie wynosi 360o.

  -miara czwartego kąta tego czworokąta


Obliczmy miarę czwartego kąta tego czworokąta:    {premium}

 

 

 



Odp.: Czwarty kąt tego czworokąta ma miarę 100o

Oblicz, stosując prawo rozdzielności mnożenia...

 

 {premium}


 

 


 

 


 

  

Rozwiąż równanie ...

`"a)"` 

`root(3)(x-2)=4` 

`x-2=4^3` 

`x-2=64` 

`x=66`  {premium}


`"b)"` 

`root(3)(x+6)=-3` 

`x+6=(-3)^3` 

`x+6=-27` 

`x=-33` 


`"c)"` 

`root(5)(x)=2` 

`x=2^5` 

`x=32` 


`"d)"` 

`root(4)(x+8)=2` 

`x+8=2^4` 

`x+8=16` 

`x=8` 


`"e)"` 

`root(4)(3-x)=-2` 

Pierwiastek parzystego stopnia jest liczbą nieujemną, więc równanie nie ma rozwiązań.


`"f)"` 

`root(6)(250x)=10` 

`250x=10^6` 

`250x=1  000  000` 

`x=4000` 

W drodze do pracy Ewa ...

a) Ewa pokonuje 5 km autobusem (6-1=5).

 

b) Ewa pokonuje pieszo 2 km (1+1=2).

{premium}

 

c) Droga do pracy zajmuje pani Ewie 40 minut.

Wychodzi z domu o 7:15, a dociera do pracy o 7:55.

 

d) Autobus pokonuje drogę równą 5 km w czasie 15 min=1/4h. Obliczamy jego prędkość:

  

Autobus jedzie z prędkością 20 km/h.

 

e) Ewa czeka 5 minut na autobus.

Skróć ułamki x i y

 

 

 

        {premium}


 

 

 

 


 

 

   

 

Podaj przykłady liczb całkowitych dodatnich...

Rozszerzamy ułamki:{premium}

 

 

Zatem:

 

Otrzymujemy, że:

 

Stąd k=1, m=2.


Rozszerzamy ułamki do jeszcze większego mianownika:

 

 

Zatem:

 

Otrzymujemy, że:

 

Stąd k=13, m=27.

lub 

 

Stąd k=14, m=27.