Punkt przecięcia dwóch prostych - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Punkt przecięcia dwóch prostych

Jeśli proste przetną się w jednym miejscu mają tzw. jeden punkt wspólny, czyli punkt, który spełnia równanie zarówno pierwszej jak i drugiej prostej.

W celu obliczenia takowego punktu potrzebujemy rozwiązać zwyczajny układ równań, gdzie wynik będzie punktem przecięcia.

Przykład:
Znajdź punkt przecięcia prostych $$y=3x-2$$ oraz $$y=-x+4$$.
Mamy podane dwie proste, stwórzmy układ równań:

uklad1

Jedyne co potrzebujemy to rozwiązać ten układ, przypomnijmy sobie dwie popularne metody algebraiczne rozwiązywania układu równań (jeśli ktoś woli metodę graficzną również jest dozwolona i opisana w odpowiednim dziale). Te popularne metody to:

Podstawiania – doprowadzamy do wyznaczenia jednej ze zmiennych, czyli w tym wypadku x lub y musi być samotnie po lewej stronie

Przeciwnych współczynników - doprowadzamy do liczb przeciwnych w obu równaniach przy jednej ze zmiennych, np. $$-2x$$ i $$2x$$.

Pokażę jak szybko sobie poradzić tymi metodami z układem:

Metoda podstawiania:

Tutaj już mamy wyznaczony y, zatem łatwo działać dalej. Skoro $$y=3x-2$$ a zarazem $$y=-x+4$$ to jest to samo: $$3x-2=-x+4$$, czyli za y podstawiamy to, czemu jest równe y w drugim równaniu.

uklad1

$$3x-2=-x+4$$
$$4x=6$$ $$|:4$$
$$x=1 1/2$$

Teraz wystarczy tylko zamienić x w jednym z równań na nasz wynik i wyznaczyć $$y$$.

$$y=-x+4$$
$$y=-1 1/2+4$$
$$y=2 1/2$$

Zatem szukany punkt to A(1 $$1/2$$; 2 $$1/2$$).


Metoda przeciwnych współczynników:
uklad1
Doprowadzamy do liczb przeciwnych przy x za pomocą pomnożenia całego dolnego równania:

uklad3

A następnie robimy dodawanie „pod kreską” obu równań:

uklad4

$$(y+3y)=(3x-3x)+(-2+12)$$
$$4y=10$$
$$y=2 1/2$$

Wykonujemy ponownie podstawienie $$y$$ jako $$2 1/2$$ w jednym z równań.
$$y=-x+4$$
$$2 1/2 =-x+4$$
$$x =4-2 1/2$$
$$x=1 1/2$$
Jak widać osiągnęliśmy ten sam wynik.

Możliwe wyjątki:
W układach równań mogą się zdarzyć równania tożsamościowe i sprzeczne tak samo tutaj może wystąpić fakt, że:
- proste są równoległe i różne od siebie (układ sprzeczny, nigdy się nie przetną, więc nie ma punktu)
- proste są równoległe i nakładają się na siebie (układ toższamościowy, proste mają nieskończenie wiele punktów wspólnych)

Przykład układu sprzecznego:

uklad5
Zauważmy, że współczynnik przy obu x to 3. Pamiętamy, że jeśli $$a_1=a_2$$ to proste są równoległe i nigdy się nie przetną. Rozwiążmy szybko układ, aby wykazać jego sprzeczność:

uklad5

Podstawmy za y to co jest po prawej:
$$3x-1=3x+3$$
$$-1=3$$
Uzyskaliśmy bzdurę, zatem układ sprzeczny.


Przykład układu tożsamościowego:
uklad6

Zauważmy, że jeżeli wyznaczymy sobie właściwy y:

uklad7

To dostaliśmy dokładnie to samo, czyli proste nakładają się na siebie, układ jest tożsamościowy. Jak to wygląda w wyniku? Znów podstawianie:
$$3+3x=3x+3$$
$$-3+3x-3x=0$$
$$0=0$$
 

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Znajdź punkt przecięcia prostych $$y=3x$$ oraz $$y=2x-3$$.

Tworzymy układ równań z podanych prostych:

uklad11

I podmieniamy jedno z y
$$3x=2x-3$$
$$3x-2x=-3$$
$$x=-3$$

Mamy już x, więc wybieramy jedno z równań i zamieniamy w nim x na $$-3$$:
$$y=3x$$
$$y=3×(-3)$$
$$y=-9$$

Zatem szukany punkt to A(-3;-9).

Zadanie 2.

Znajdź punkt przecięcia prostych $$3x+y-2=0$$ oraz $$y-5=0$$

Znów sprowadzamy wszystko do układu równań:
uklad9

Przerzućmy wszystko inne na prawą stronę, tak, aby pozostał nam tylko y po lewej:
uklad10

I standardowo podmieniamy y
$$5=-3x+2$$
$$3=-3x$$ $$|:(-3)$$
$$-1=x$$
$$x=-1$$

tutaj nie musimy podstawiać, ponieważ już w drugim równaniu mamy, że $$y=5$$, zatem szukany punkt to A(-1;5).

Zadanie 3.

Tomek i Marta pojechali na wycieczkę. Zatrzymali się w pobliskim sklepie. Po powrocie zorientowali się, że jeden z rowerów został skradziony. Widząc w oddali złodzieja Tomek rzucił się w pogoń. Kiedy dogoni złodzieja, jeśli złodziej wyruszył 3min wcześniej i jedzie z prędkością 5m/s, a zdeterminowany Tomek z prędkością 7m/s?

$$3min=180s$$
Zadanie zakłada, że złodziej zostanie dogoniony (czyli złapany), co widać, ponieważ Tomek jedzie szybciej, choć złodziej jest dalej. Zatem:

Oznaczmy jako y drogę, jaką Tomek przebył zanim złapał złodzieja, a x będzie czasem, przez jaki Tomek jechał. Pamiętamy, że wzór na drogę to: $$s=v×t$$. V (czyli prędkość) znamy dla obu rowerzystów. Zatem:
Droga przebyta przez Złodzieja zanim został złapany:
$$y=5(x+180)$$

Dlaczego?
Y to jego przebyta droga, a z każdą sekundą przejechał 5m, miał 180s więcej czasu niż Tomek, więc jego czas to $$x+180$$.

Droga Tomka:
$$y=7x$$
Tomek nie miał zapasu czasu i co sekundę jedzie 7m do przodu.
Jak widać mamy tutaj nic innego jak znalezienie wspólnego punktu, zatem rozwiążmy układ równań:

uklad8

Podstawiamy nasze y.
$$7x=5(x+180)$$
$$7x=5x+900$$
$$7x-5x=900$$
$$2x=900$$ $$|:2$$
$$x=450$$

Zatem skoro $$x$$ był naszym czasem, Tomek złapie złodzieja po 450 sekundach.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Rozwiąż równanie

`a)\ (x^2+8x+16)=0`

`\ \ \ (x+4)^2=0`

`\ \ \ x+4=0`

`\ \ \ x=-4`

 

 

`b)\ x^2-x+1/4=0`

`\ \ \ (x-1/2)^2=0`

`\ \ \ x-1/2=0`

`\ \ \ x=1/2`

 

 

`c)\ 4x^2+4x+1=0`

`\ \ \ (2x+1)^2=0`

`\ \ \ 2x+1=0\ \ \ |-1`

`\ \ \ 2x=-1\ \ |:2`

`\ \ \ x=-1/2`

 

 

`d)\ 4x^2-12x+9=0`

`\ \ \ (2x-3)^2=0`

`\ \ \ 2x-3=0\ \ |+3`

`\ \ \ 2x=3\ \ |:2`

`\ \ \ x=3/2=1 1/2`

 

 

`e)\ x^2-5x=5x-25\ \ \ |-5x+25`

`\ \ \ x^2-10x+25=0`

`\ \ \ (x-5)^2=0`

`\ \ \ x-5=0`

`\ \ \ x=5`

 

 

 

`f)\ 10x+16=2x-x^2\ \ \ |+x^2-2x`

`\ \ \ x^2-8x+16=0`

`\ \ \ (x-4)^2=0`

`\ \ \ x-4=0`

`\ \ \ x=4`

   

Poniżej dane są wykresy pewnych funkcji.

a)

`f(x)=2 \ \ dla \ \ x={-3,0}`

b)

`g(x)=2 \ \ \ dla \ \ x={-4} u<-2,3)`

argument 3 ,,wykluczamy" poprzez nawias okrągły, gdyż nie należy on do dziedziny funkcji

c)

`h(x)=2 \ \ dla \ \ x=2`

Wyznacz punkty przecięcia ...

`P_x-"punkt przecięcia prostej z osią OX"`   

`P_y-"punkt przecięcia prostej z osią OY"`   

 

`a)` 

`3x+y-1=0` 

`x=0` 

`y=1` 

`P_y=(0;1)` 

`y=0` 

`x=1/3` 

`P_x=(1/3;0)` 

`y=-3x+1`   

 

`b)` 

`3x-2y-4=0` 

`x=0` 

`3*0-2y=4` 

`y=-2` 

`P_y=(0;-2)`  

`y=0` 

`3x-4=0` 

`x=4/3` 

`P_x=(4/3;0)`   

`y=3/2x-2` 

 

`c)` 

`x-4y+12=0` 

`x=0` 

`-4y=-12` 

`y=3` 

`P_y=(0;3)` 

`y=0` 

`x=-12` 

`P_x=(-12;0)` 

`y=x/4+3` 

W kwadracie ABCD o boku 8 cm punkt E ...

`|EC|^2=4^2+8^2`

`|EC|^2=16+64`

`|EC|^2=80`     `/sqrt`

`|EC|=sqrt80`

`|EC|=sqrt(16*5)`

`|EC|=4sqrt5 cm`

 

|CF|=|EC|        (takie same przyprostokątne trójkątów prostokątne ECD i FBC)

 

`|EF|^2=4^2+4^2`

`|EF|^2=16+16`

`|EF|^2=32`             `/sqrt`

`|EF|=sqrt32`

`|EF|=sqrt(16*2)=4sqrt2cm`

 

`O_(EFC)=4sqrt2cm+2*4sqrt5cm=4sqrt2m+8sqrt5cm=ul(ul(4(sqrt2+2sqrt5)cm)`

 

Obliczmy długość wysokości trójkąt EFG

`h^2+(1/2|EF|)^2=|CF|^2`

`h^2+(2sqrt2)^2=(4sqrt5)^2`

`h^2+4*2=16*5`

`h^2+8=80`

`h^2=80-8`

`h^2=72`     `/sqrt`

`h=sqrt72`

`h=sqrt(36*2)`

`h=6sqrt2 cm`

`P=1/2*|EF|*h=1/2*4sqrt2cm*6sqrt2cm=2sqrt2cm*6sqrt2cm=12*2cm^2=ul(ul(24cm^2)`

Podaj dziedzinę funkcji f

Nie wolno dzielić przez 0, więc musimy zadbać o to, aby w mianowniku na pewno nie było 0. 

 

`a)`

`x-1ne0\ \ \ |+1`

`xne1`

 

`D=RR\\{1}`

 

 

`b)`

`x+2ne0\ \ \ |-2`

`xne-2`

 

`D=RR\\{-2}`

 

 

`c)`

`3x-1ne0\ \ \ \ |+1`

`3xne1\ \ \ \ |:3`

`xne1/3`

 

`D=RR\\{1/3}`

 

 

`d)`

`2x+5ne0\ \ \ \|-5`

`2xne-5\ \ \ \ |:2`

`xne-5/2`

 

`D=RR\\{-5/2}`

 

 

Jedna z przyprostokątnych...

Oznaczmy długość krótszej przyprostokątnej przez x, wtedy dłuższa przyprostokątna ma długość x+7. Skorzystajmy z twierdzenia pitagorasa:

`x^2 + (x+7)^2 = 13^2`

`x^2 + x^2 + 14x + 49 = 169 \ \ \ |-169`

`2x^2 + 14x -120 = 0 \ \ \ |:2`

`x^2 + 7x - 60=0`

`Delta = 49 - 4*1*(-60) = 49 +240 = 289`

`sqrtDelta = sqrt289 = 17`

`x_1 = (-7-17)/2 = -24/2 = -12 <0`

`x_2 = (-7+17)/2 = 10/2 = 5`

Tylko dodatnie wartości bierzemy pod uwagę, gdyż odległość nie może być ujemna.

A więc przyprostokątne mają długość 5 cm i 12 cm.

Obwód trójkąta wynosi:

`"Obw" = 5+12+13=30 \ [cm]` 

 

b) Z twierdzenia Pitagorasa:

`(x-1)^2 + (x-18)^2 = x^2`  

`x^2 -2x + 1 + x^2 - 36 x + 324 = x^2` 

`x^2 -38x + 325 = 0` 

`Delta = 1444 - 4*325 = 144` 

`sqrt(Delta)=12` 

`x_1=(-(-38)-12)/2 = 13 <18` 

`x_2 = (-(-38)+12)/2 = 25` 

A więc boki tego trójkąta mają długość:

`7,24,25` 

 

Pole trójkąta o podstawie 24cm i wysokości 7cm:

`P=1/2ah=1/2*24*7 = 12*7 = 84 \ [cm^2]` 

 

Wyrazimy teraz pole za pomocą przeciwprostokątnej i wysokości opuszczonej na nią: 

`P=1/2c*h_c = 1/2 * 25 * h_c`  

`84 = 25/2 h_c` 

`168 = 25h_c \ \ \ |:25` 

`h_c = 6 18/25 = 6 72/100 = 6,72 \ [cm]` 

 

Na okręgu obrano n różnych punktów...

 `n` ilość wszystkich punktów, każdy punkt został połączony z `n-1` punktami 

`(n*(n-1))/2 - "ilość wszystkich odcinków (dzielimy przez dwa, ponieważ odcinek dwóch dowolnych punktów został policzony dwa razy)"` 

 

`(n*(n-1))/2=21` 

`n*(n-1)=42` 

`n^2-n-42=0` 

`Delta=(-1)^2-4*1*(-42)=1+168=169` 

`sqrt(Delta)=13` 

`n_1=(1-13)/2=(-12)/2=-6 \ \ \ "sprzeczność, ilość odcinków musi być liczbą dodatnią"` 

`n_2=(1+13)/2=14/2=7` 

 

Odp. Było 7 punktów.

Wykonaj działania. a) 5 17/23- (-2 3/8)

a)

`5 17/24- (-2 3/8)= 5 17/24+2 9/24=7 26/24= 8 2/24=8 1/12`

b)

`3 1/4*(-0,4)+ 3 1/4*(-15,6)= 13/(strike4)*(-(strike2)/5)+ 13/4 * 15 3/5=`

`=13/2*(-1/5)+13/(strike4)*(-(strike78)/5)= -13/10+13/2*(-39/5)=-13/10-507/10=-520/10=-52`

c)

`(5 4/15- 3 7/24):0,8= (5 (4*8)/(120)-3 (7*5)/(120)):4/5= (5 32/120 -3 35/120)*5/4= `

`=(4 152/120-3 35/120)*5/4= 1 117/20 * 5/4= 237/(strike120)* (strike5)/4=237/24*1/4=(strike237)/(strike96)=79/32` 

d)

 

`( ((1,2+2 5/7)*4,375)/(5/2-2) -((7 3/4- 6 5/6)*21)/(10,15-2 9/20))*2/67=(((1 1/5+2 5/7)*4 3/8)/(1/2) - ((7 9/12-6 10/12)*21)/(10 3/20-2 9/20))*2/67= `

`=((1 7/35+2 25/35)* 35/8) *2/1 - (11/12*21)/(9 23/20-2 9/20)) *2/67 =(3 32/35* 35/(strike8) *(strike2)/1 -(11/(strike12)*strike21)/(7 14/20))*2/67= (137/(strike35)*(strike35)/4-(77/4)/(7 14/20))*2/67=`

`=(137/4-77/4:2154:20)*2/67=(137/4-(strike77)/(strike4)*(strike20)/(strike154))*2/67=(137/4 -1/2-10/2)*2/67=`

`=(137/4-10/4)*2/67=127/4*2/67=127/(strike4)*(strike2)/67=127/134`

Wyznacz równania prostych

`a)` 

`A=(-2, \ -1)` 

`B=(3, \ -1)` 

`C=(4,\ 2)` 

`D=(-1,\ 2)` 

 

Najpierw warto zauważyć, że proste AB oraz CD zawierają się w prostych poziomych, (pary punktów A i B oraz C i D mają takie same drugie współrzędne).

`ul(prosta\ AB:\ \ \ y=-1) `  

`ul(prosta\ CD:\ \ \ y=2)`  

 

Teraz wyznaczymy równanie prostej AD (prosta ma równanie y=ax+b, podstawimy współrzędne punktów A i D w miejsce x i y):

`{(-1=a*(-2)+b), (2=a*(-1)+b):}` 

`{(-1=-2a+b), (2=-a+b):}\ \ \ \ \ |-` ``         odejmujemy równania stronami

`-3=-a\ \ \ \ \ \ |*(-1)` 

`a=3` 

 

Wstawiamy do drugiego równania:

`2=-a+b\ \ \ =>\ \ \ 2=-3+b\ \ \ =>\ \ \ b=2+3=5` 

`ul(prosta\ AD:\ \ \ y=3x+5)`  

 

Proste BC i AD są równoległe, zatem mają taki sam współczynnik kierunkowy; prosta BC ma więc równanie: ``` ` 

`y=3x+c` 

Współczynnik c obliczymy, podstawiając współrzędne punktu B do równania (punkt B należy do prostej BC): 

`-1=3*3+c\ \ \ =>\ \ \ -1=9+c\ \ \ =>\ \ \ c=-1-9=-10 ` 

`ul(prosta \ BC:\ \ \ y =3x-10)`  

 

 

 

`b)` 

`A=(-2,\ 0)` 

`B=(2,\ -2)` 

`C=(2, \ 1)` 

`D=(-2,\ 3)` 

 

Najpierw warto zauważyć, że proste AD oraz BC zawierają się w prostych pionowych, (pary punktów A i D oraz B i C mają takie same pierwsze współrzędne).

`ul(prosta\ AD:\ \ \ x=-2)`  

`ul(prosta\ BC:\ \ \ x=2)`  

 


Teraz wyznaczymy równanie prostej AB (prosta ma równanie y=ax+b, podstawimy współrzędne punktów A i B w miejsce x i y):

`{(-2=a*2+b), (0=a*(-2)+b):}` 

`{(-2=2a+b), (0=-2a+b):}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ |-` 

`-2=4a\ \ \ \ \ \ \ |:4` 

`a=-1/2` 

 

Wstawiamy wyliczony współczynnik a do drugiego równania:

`0=-2a+b\ \ \ \ =>\ \ \ 0=-2*(-1/2)+b\ \ \ =>\ \ \ 0=1+b\ \ \ =>\ \ \ b=-1` 

`ul(prosta\ AB:\ \ \ y=-1/2x-1)` 

 

Proste AB i CD są równoległe, zatem mają taki sam współczynnik kierunkowy; prosta CD ma więc równanie:  

`y=-1/2x+c` 

 

Współczynnik c obliczymy, podstawiając współrzędne punktu D do równania (punkt D należy do prostej CD):

`3=-1/2*(-2)+c\ \ \ =>\ \ \ 3=1+c\ \ \ =>\ \ \ c=3-1=2` 

`ul(prosta\ CD:\ \ \ y=-1/2x+2)` 

 

 

 

`c)`  

`A=(-1,\ -1)` 

`B=(5,\ 1)` 

`C=(3,\ 3)` 

`D=(-3,\ 1)` 

 

Wyznaczamy równanie prostej AB (prosta ma równanie y=ax+b), podstawiając współrzędne punktów A i B w miejsce x i y :

`{(-1=a*(-1)+b), (1=a*5+b):}` 

`{(-1=-a+b), (1=5a+b):}\ \ \ \ \ \ |-` 

`-2=-6a\ \ \ \ \ |:(-6)`  

`a=(-2)/(-6)=1/3` 

 

Wstawiamy wyliczoną wartość współczynnika a do pierwszego równania:

`-1=-a+b\ \ \ \=>\ \ \ -1=-1/3+b\ \ \ =>\ \ \ b=-1+1/3=-2/3` 

`ul(prosta\ AB:\ \ \ y=1/3x-2/3)` 

 


Proste AB i CD są równoległe, zatem mają taki sam współczynnik kierunkowy; prosta CD ma więc równanie:  

`y=1/3x+c` 



Współczynnik c obliczymy, podstawiając współrzędne punktu D do równania (punkt D należy do prostej CD):

`1=1/3*(-3)+c\ \ \ =>\ \ \ 1=-1+c\ \ \ =>\ \ \c=1+1=2` 

`ul(prosta\ CD:\ \ \ y=1/3x+2)` 

 

Teraz wyznaczymy równanie prostej AD podstawiając do równania y=dx+e współrzędne punktów A i D:

`{(-1=d*(-1)+e), (1=d*(-3)+e):}`   

`{(-1=-d+e), (1=-3d+e):}\ \ \ \ \ |-`  

`-2=2d\ \ \ \ \ \ \ |:2` 

`d=-1`  

Wstawiamy wyliczoną wartość współczynnika d do pierwszego równania: 

`-1=-d+e\ \ \ =>\ \ \ -1=1+e\ \ \ =>\ \ \ e=-1-1=-2`  

`ul(prosta\ AD:\ \ \ y=-x-2)`  

 


Proste AD i BC są równoległe, zatem mają taki sam współczynnik kierunkowy; prosta BC ma więc równanie:  

`y=-x+f` 


Współczynnik f obliczymy, podstawiając współrzędne punktu B do równania (punkt B należy do prostej BC):

`1=-5+f\ \ \ =>\ \ \ f=1+5=6` 

`ul(prosta\ BC:\ \ \ y=-x+6)` 

 

 

 

Niech A=(-5; 3), B=(-7; 4)

 

  

`a)`

`AuuB=(-7;\ 4)`

`(-7;\ 4)nnC={-6,\ -5,\ -4,\ -3, \ -2,\ -1,\ 0,\ 1,\ 2,\ 3}`

`10\ liczb`

 

 

`b)`

`AnnB=(-5;\ 3)`

`(-5;\ 3) nnC={-4, \ -3,\ -2,\ -1,\ 0,\ 1,\ 2}`

`7\ liczb`

 

 

`c)`

`A\\B=emptyset`

`emptysetnnC=emptyset`

`0\ liczb`

 

`d)`

`B\\A=(-7,\ -5>>\ uu\ <<3,\ 4)`

`((-7;\ -5>>\ uu\ <<3;\ 4))nnC={-6,\ -5,\ 3}`

`3\ liczby`