Punkt przecięcia dwóch prostych - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Punkt przecięcia dwóch prostych

Jeśli proste przetną się w jednym miejscu mają tzw. jeden punkt wspólny, czyli punkt, który spełnia równanie zarówno pierwszej jak i drugiej prostej.

W celu obliczenia takowego punktu potrzebujemy rozwiązać zwyczajny układ równań, gdzie wynik będzie punktem przecięcia.

Przykład:
Znajdź punkt przecięcia prostych $$y=3x-2$$ oraz $$y=-x+4$$.
Mamy podane dwie proste, stwórzmy układ równań:

uklad1

Jedyne co potrzebujemy to rozwiązać ten układ, przypomnijmy sobie dwie popularne metody algebraiczne rozwiązywania układu równań (jeśli ktoś woli metodę graficzną również jest dozwolona i opisana w odpowiednim dziale). Te popularne metody to:

Podstawiania – doprowadzamy do wyznaczenia jednej ze zmiennych, czyli w tym wypadku x lub y musi być samotnie po lewej stronie

Przeciwnych współczynników - doprowadzamy do liczb przeciwnych w obu równaniach przy jednej ze zmiennych, np. $$-2x$$ i $$2x$$.

Pokażę jak szybko sobie poradzić tymi metodami z układem:

Metoda podstawiania:

Tutaj już mamy wyznaczony y, zatem łatwo działać dalej. Skoro $$y=3x-2$$ a zarazem $$y=-x+4$$ to jest to samo: $$3x-2=-x+4$$, czyli za y podstawiamy to, czemu jest równe y w drugim równaniu.

uklad1

$$3x-2=-x+4$$
$$4x=6$$ $$|:4$$
$$x=1 1/2$$

Teraz wystarczy tylko zamienić x w jednym z równań na nasz wynik i wyznaczyć $$y$$.

$$y=-x+4$$
$$y=-1 1/2+4$$
$$y=2 1/2$$

Zatem szukany punkt to A(1 $$1/2$$; 2 $$1/2$$).


Metoda przeciwnych współczynników:
uklad1
Doprowadzamy do liczb przeciwnych przy x za pomocą pomnożenia całego dolnego równania:

uklad3

A następnie robimy dodawanie „pod kreską” obu równań:

uklad4

$$(y+3y)=(3x-3x)+(-2+12)$$
$$4y=10$$
$$y=2 1/2$$

Wykonujemy ponownie podstawienie $$y$$ jako $$2 1/2$$ w jednym z równań.
$$y=-x+4$$
$$2 1/2 =-x+4$$
$$x =4-2 1/2$$
$$x=1 1/2$$
Jak widać osiągnęliśmy ten sam wynik.

Możliwe wyjątki:
W układach równań mogą się zdarzyć równania tożsamościowe i sprzeczne tak samo tutaj może wystąpić fakt, że:
- proste są równoległe i różne od siebie (układ sprzeczny, nigdy się nie przetną, więc nie ma punktu)
- proste są równoległe i nakładają się na siebie (układ toższamościowy, proste mają nieskończenie wiele punktów wspólnych)

Przykład układu sprzecznego:

uklad5
Zauważmy, że współczynnik przy obu x to 3. Pamiętamy, że jeśli $$a_1=a_2$$ to proste są równoległe i nigdy się nie przetną. Rozwiążmy szybko układ, aby wykazać jego sprzeczność:

uklad5

Podstawmy za y to co jest po prawej:
$$3x-1=3x+3$$
$$-1=3$$
Uzyskaliśmy bzdurę, zatem układ sprzeczny.


Przykład układu tożsamościowego:
uklad6

Zauważmy, że jeżeli wyznaczymy sobie właściwy y:

uklad7

To dostaliśmy dokładnie to samo, czyli proste nakładają się na siebie, układ jest tożsamościowy. Jak to wygląda w wyniku? Znów podstawianie:
$$3+3x=3x+3$$
$$-3+3x-3x=0$$
$$0=0$$
 

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Znajdź punkt przecięcia prostych $$y=3x$$ oraz $$y=2x-3$$.

Tworzymy układ równań z podanych prostych:

uklad11

I podmieniamy jedno z y
$$3x=2x-3$$
$$3x-2x=-3$$
$$x=-3$$

Mamy już x, więc wybieramy jedno z równań i zamieniamy w nim x na $$-3$$:
$$y=3x$$
$$y=3×(-3)$$
$$y=-9$$

Zatem szukany punkt to A(-3;-9).

Zadanie 2.

Znajdź punkt przecięcia prostych $$3x+y-2=0$$ oraz $$y-5=0$$

Znów sprowadzamy wszystko do układu równań:
uklad9

Przerzućmy wszystko inne na prawą stronę, tak, aby pozostał nam tylko y po lewej:
uklad10

I standardowo podmieniamy y
$$5=-3x+2$$
$$3=-3x$$ $$|:(-3)$$
$$-1=x$$
$$x=-1$$

tutaj nie musimy podstawiać, ponieważ już w drugim równaniu mamy, że $$y=5$$, zatem szukany punkt to A(-1;5).

Zadanie 3.

Tomek i Marta pojechali na wycieczkę. Zatrzymali się w pobliskim sklepie. Po powrocie zorientowali się, że jeden z rowerów został skradziony. Widząc w oddali złodzieja Tomek rzucił się w pogoń. Kiedy dogoni złodzieja, jeśli złodziej wyruszył 3min wcześniej i jedzie z prędkością 5m/s, a zdeterminowany Tomek z prędkością 7m/s?

$$3min=180s$$
Zadanie zakłada, że złodziej zostanie dogoniony (czyli złapany), co widać, ponieważ Tomek jedzie szybciej, choć złodziej jest dalej. Zatem:

Oznaczmy jako y drogę, jaką Tomek przebył zanim złapał złodzieja, a x będzie czasem, przez jaki Tomek jechał. Pamiętamy, że wzór na drogę to: $$s=v×t$$. V (czyli prędkość) znamy dla obu rowerzystów. Zatem:
Droga przebyta przez Złodzieja zanim został złapany:
$$y=5(x+180)$$

Dlaczego?
Y to jego przebyta droga, a z każdą sekundą przejechał 5m, miał 180s więcej czasu niż Tomek, więc jego czas to $$x+180$$.

Droga Tomka:
$$y=7x$$
Tomek nie miał zapasu czasu i co sekundę jedzie 7m do przodu.
Jak widać mamy tutaj nic innego jak znalezienie wspólnego punktu, zatem rozwiążmy układ równań:

uklad8

Podstawiamy nasze y.
$$7x=5(x+180)$$
$$7x=5x+900$$
$$7x-5x=900$$
$$2x=900$$ $$|:2$$
$$x=450$$

Zatem skoro $$x$$ był naszym czasem, Tomek złapie złodzieja po 450 sekundach.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Jeżeli α jest kątem ostrym ...

`sin alpha=1/5` 

`sin^2alpha+cos^2alpha=1` 

`cos^2alpha=1-sin^2alpha=1-1/25=24/25` 

`alpha " jest kątem ostrym czyli"\ cosalpha>0.` 

`cosalpha=sqrt24/5=(2sqrt6)/5` 

 

`"Odpowiedź C".`    

   

Uporządkuj liczby malejąco ...

`A=root(3)(1 61/64)*(-1,5)^(-2)=root(3)(125/64)*(-3/2)^-2=5/4*(-2/3)^2=5/strike4^1*strike4^1/9=5/9` 

`B=sqrt((1 1/5)^-2+(8/27)^(1/3))=sqrt((6/5)^-2+((2/3)^3)^(1/3))=sqrt((5/6)^2+2/3)=sqrt(25/36+2/3)=sqrt(25/36+24/36)=sqrt49/36=7/6` 

`C=(8/27)^(-1/3)-(2/3)^(-2):(-1,5)^2=((2/3)^3)^(-1/3)-(3/2)^2:(-3/2)^2=(2/3)^-1-9/4:9/4=3/2-1=1/2` 

 

Porządkujemy otrzymane liczby malejąco:

`7/6>5/9>1/2`         

Stąd:

`B>A>C`

Pracownikom pewnej firmy podniesiono pensje

Oznaczmy sobie początkową pensje pracowników jako x. Pensja ta po podwyżce wynosi o 10% więcej, zatem 110% ceny początkowej:

`110%*x=1,1*x=1,1x`

Poźniej obniżono ją o 10%, zatem obliczamy 90% z nowej pensji 1,1x

`90% * 1,1x= 0,9 * 1,1x= 0,99 x`

 

Pytają nas w zadaniu jaką otrzymaliby końcową pensje (w stosunku do końcowej pensji w poprzednim przypadku) gdyby ich pensje najpierw obniżono a później podwyższono:

`90%*x=0,9x`

`110%*0,9x=1,1*0,9x=0,99x`

Pensja byłaby w obydwu przypadkach taka sama.

 

Wyznacz wszystkie liczby rzeczywiste ...

`"a)"\ sqrt(x^2-3x+9/4)<=3/4` 

Wyrażenie pod pierwiastkiem możemy, korzystajac ze wzoru skróconego mnożenie, zapisać jako kwadrat różnicy:

`sqrt((x-3/2)^2)<=3/4` 

Korzystamy z zależności:

`sqrt(a^2)=|a|` 

i otrzymujemy:

`|x-3/2|<=3/4` 

Szukamy takich liczby rzeczywistych, których odległość od liczby 3/2 jest mniejsza lub równa 3/4

Liczby spełniajace warunek:

`|x-3/2|<=3/4` 

to liczby należace do zbioru:

`x in <<3/4;2 1/4>>` 

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))` 

`"b)"\ sqrt(9-6x+x^2)>2`  

Wyrażenie pod pierwiastkiem możemy, korzystajac ze wzoru skróconego mnożenie, zapisać jako kwadrat różnicy:

`sqrt((3-x)^2)>2`   

Korzystamy z zależności:

`sqrt(a^2)=|a|` 

i otrzymujemy:

`|3-x|>2` 

Liczbę objętą wartością bezwzględną przekształćmy do postaci x-a:

`|3-x|=|(-1)*(-3+x)|=|-1|*|-3+x|=|-3+x|=|x-3|` 

Stąd:

`|x-3|>2` 

Szukamy takich liczby rzeczywistych, których odległość od liczby 3 jest większa od 2. 

Liczby spełniajace warunek:

`|x-3|>2` 

to liczby należace do zbioru:

`x in (-oo;1)cup(5;+oo)`  

W ubiegłym miesiącu...

Sprawdźmy czy odcięta wierzchołka paraboli należy do badanego przedziału:

`x_w = p = (-b)/(2a) = (-12)/(2*(-1)) = 12/2 = 6` 

Parabola jest skierowana ramionami w dół a więc dla n = 6 mamy wartość największą. Wartość najmniejsza na badanym przedziale będzie na krańcu, który jest położony najdalej od odciętej wierzchołka paraboli. Badany przedział to {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} a więc n = 1.

`y_(max) = f(6) = -6^2 + 12*6 - 6 = -36 + 72 - 6 = 30` 

`y_(min) = f(1) = -1^2 + 12*1 - 6 = -1 + 12 - 6 = 5` 

 

Odpowiedź: W 6 dniu wystawę odwiedziło najwięcej osób, a w 1 najmniej.

Trapez równoramienny o podstawach 6√3 cm i 2√3 cm ...

`a)`

`h=6cm`

`P=((2sqrt3cm+6sqrt3cm)*strike6cm)/(strike2)=8sqrt3cm*3cm=ul(ul(24sqrt3cm^2))`

 

`tgalpha=(strike6cm)/(strike2sqrt3cm)=3/sqrt3*sqrt3/sqrt3=(3sqrt3)/(3)=sqrt3`

Zastanawiamy się, dla jakiego kąta funckja tangens przyjmuje taką wartość

`tgalpha=sqrt3`

`alpha=60^o`

Suma miar kątów leżących przy jednym ramieniu trapezu wynosi 180o, zatem miara kąta rozwartego trapezu:

`180^o-60^o=120^o`

Miary kątów tego trapezu: 60o,60o,120o,120o.

 

`b)`

`tg30^o=h/(3cm)`

`sqrt3/3=h/(3cm)`      ` /*3cm`

`h=sqrt3cm`

`P=((4cm+10cm)*sqrt3cm)/2=(14sqrt3cm^2)/2=ul(ul(7sqrt3cm^2))`

Wskaż wyrażenie, które otrzymamy

`(2a+b)(a-b)-3a(a+b)+4ab=`

`=2a^2-2ab+ab-b^2-3a^2-3ab+4ab=`

`=-a^2-b^2\ \ \ \ \ \ \ \ \ odp.\ A`

 

Oblicz x.

`a)`

Oznaczmy wysokość dużego trójkąta przez y.

`6^2+y^2=(2sqrt13)^2`

`36+y^2=4*13`

`36+y^2=52\ \ \ |-36`

`y^2=16`

`y=sqrt16=4`

 

`y^2+x^2=sqrt41^2`

`4^2+x^2=41`

`16+x^2=41\ \ \ \ |-16`

`x^2=25`

`x=sqrt25=5`

 

`b)`

Oznaczmy odcinek na prawo od odcinka 3 przez y. 

`y^2+5^2=sqrt61^2`

`y^2+25=61\ \ \ \ |-25`

`y^2=36`

`y=sqrt36=6`

 

`(3+y)^2+5^2=x^2`

`(3+6)^2+25=x^2`

`81+25=x^2`

`x^2=106`

`x=sqrt106`

Funkcja f przyporządkowuje...

Przykładowo:

`4 -> (1/4)/2 = 1/(4*2) = 1/8` 

`6 -> (1/6)/2 = 1/(6*2) = 1/12` 

A więc:

`x -> (1/x)/2 = 1/(x*2) = 1/(2x)` 

Odpowiedź A

Czy zbiory A i B mają tyle samo elementów?

`a)`

`A={1,\ 2,\ 3,\ 6}`

`B={1,\ 3, \ 5,\ 15}`

Zbiory A i B mają po 4 elementy. 

 

`6inA\ \ i\ \ \ 6notinB`

 

 

`b)`

`A={1,\ 2,\ 3,\ 6,\ 9,\ 18}`

`B={1,\ 2,\ 3,\ 5,\ 6,\ 10,\ 15,\ 30}`

Zbiory A i B nie mają tyle samo elementów.

 

`18inA\ \ \ i\ \ \ 18notinB`

 

 

`c)`

`A={1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 6,\ 9,\ 12,\ 18,\ 36}`

`B={1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 6,\ 8,\ 12,\ 16,\ 24,\ 48}`

Zbiory A i B nie mają tyle samo elementów.

 

`18inA\ \ \ i\ \ \ 18notinB`