Punkt przecięcia dwóch prostych - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Punkt przecięcia dwóch prostych

Jeśli proste przetną się w jednym miejscu mają tzw. jeden punkt wspólny, czyli punkt, który spełnia równanie zarówno pierwszej jak i drugiej prostej.

W celu obliczenia takowego punktu potrzebujemy rozwiązać zwyczajny układ równań, gdzie wynik będzie punktem przecięcia.

Przykład:
Znajdź punkt przecięcia prostych $$y=3x-2$$ oraz $$y=-x+4$$.
Mamy podane dwie proste, stwórzmy układ równań:

uklad1

Jedyne co potrzebujemy to rozwiązać ten układ, przypomnijmy sobie dwie popularne metody algebraiczne rozwiązywania układu równań (jeśli ktoś woli metodę graficzną również jest dozwolona i opisana w odpowiednim dziale). Te popularne metody to:

Podstawiania – doprowadzamy do wyznaczenia jednej ze zmiennych, czyli w tym wypadku x lub y musi być samotnie po lewej stronie

Przeciwnych współczynników - doprowadzamy do liczb przeciwnych w obu równaniach przy jednej ze zmiennych, np. $$-2x$$ i $$2x$$.

Pokażę jak szybko sobie poradzić tymi metodami z układem:

Metoda podstawiania:

Tutaj już mamy wyznaczony y, zatem łatwo działać dalej. Skoro $$y=3x-2$$ a zarazem $$y=-x+4$$ to jest to samo: $$3x-2=-x+4$$, czyli za y podstawiamy to, czemu jest równe y w drugim równaniu.

uklad1

$$3x-2=-x+4$$
$$4x=6$$ $$|:4$$
$$x=1 1/2$$

Teraz wystarczy tylko zamienić x w jednym z równań na nasz wynik i wyznaczyć $$y$$.

$$y=-x+4$$
$$y=-1 1/2+4$$
$$y=2 1/2$$

Zatem szukany punkt to A(1 $$1/2$$; 2 $$1/2$$).


Metoda przeciwnych współczynników:
uklad1
Doprowadzamy do liczb przeciwnych przy x za pomocą pomnożenia całego dolnego równania:

uklad3

A następnie robimy dodawanie „pod kreską” obu równań:

uklad4

$$(y+3y)=(3x-3x)+(-2+12)$$
$$4y=10$$
$$y=2 1/2$$

Wykonujemy ponownie podstawienie $$y$$ jako $$2 1/2$$ w jednym z równań.
$$y=-x+4$$
$$2 1/2 =-x+4$$
$$x =4-2 1/2$$
$$x=1 1/2$$
Jak widać osiągnęliśmy ten sam wynik.

Możliwe wyjątki:
W układach równań mogą się zdarzyć równania tożsamościowe i sprzeczne tak samo tutaj może wystąpić fakt, że:
- proste są równoległe i różne od siebie (układ sprzeczny, nigdy się nie przetną, więc nie ma punktu)
- proste są równoległe i nakładają się na siebie (układ toższamościowy, proste mają nieskończenie wiele punktów wspólnych)

Przykład układu sprzecznego:

uklad5
Zauważmy, że współczynnik przy obu x to 3. Pamiętamy, że jeśli $$a_1=a_2$$ to proste są równoległe i nigdy się nie przetną. Rozwiążmy szybko układ, aby wykazać jego sprzeczność:

uklad5

Podstawmy za y to co jest po prawej:
$$3x-1=3x+3$$
$$-1=3$$
Uzyskaliśmy bzdurę, zatem układ sprzeczny.


Przykład układu tożsamościowego:
uklad6

Zauważmy, że jeżeli wyznaczymy sobie właściwy y:

uklad7

To dostaliśmy dokładnie to samo, czyli proste nakładają się na siebie, układ jest tożsamościowy. Jak to wygląda w wyniku? Znów podstawianie:
$$3+3x=3x+3$$
$$-3+3x-3x=0$$
$$0=0$$
 

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Znajdź punkt przecięcia prostych $$y=3x$$ oraz $$y=2x-3$$.

Tworzymy układ równań z podanych prostych:

uklad11

I podmieniamy jedno z y
$$3x=2x-3$$
$$3x-2x=-3$$
$$x=-3$$

Mamy już x, więc wybieramy jedno z równań i zamieniamy w nim x na $$-3$$:
$$y=3x$$
$$y=3×(-3)$$
$$y=-9$$

Zatem szukany punkt to A(-3;-9).

Zadanie 2.

Znajdź punkt przecięcia prostych $$3x+y-2=0$$ oraz $$y-5=0$$

Znów sprowadzamy wszystko do układu równań:
uklad9

Przerzućmy wszystko inne na prawą stronę, tak, aby pozostał nam tylko y po lewej:
uklad10

I standardowo podmieniamy y
$$5=-3x+2$$
$$3=-3x$$ $$|:(-3)$$
$$-1=x$$
$$x=-1$$

tutaj nie musimy podstawiać, ponieważ już w drugim równaniu mamy, że $$y=5$$, zatem szukany punkt to A(-1;5).

Zadanie 3.

Tomek i Marta pojechali na wycieczkę. Zatrzymali się w pobliskim sklepie. Po powrocie zorientowali się, że jeden z rowerów został skradziony. Widząc w oddali złodzieja Tomek rzucił się w pogoń. Kiedy dogoni złodzieja, jeśli złodziej wyruszył 3min wcześniej i jedzie z prędkością 5m/s, a zdeterminowany Tomek z prędkością 7m/s?

$$3min=180s$$
Zadanie zakłada, że złodziej zostanie dogoniony (czyli złapany), co widać, ponieważ Tomek jedzie szybciej, choć złodziej jest dalej. Zatem:

Oznaczmy jako y drogę, jaką Tomek przebył zanim złapał złodzieja, a x będzie czasem, przez jaki Tomek jechał. Pamiętamy, że wzór na drogę to: $$s=v×t$$. V (czyli prędkość) znamy dla obu rowerzystów. Zatem:
Droga przebyta przez Złodzieja zanim został złapany:
$$y=5(x+180)$$

Dlaczego?
Y to jego przebyta droga, a z każdą sekundą przejechał 5m, miał 180s więcej czasu niż Tomek, więc jego czas to $$x+180$$.

Droga Tomka:
$$y=7x$$
Tomek nie miał zapasu czasu i co sekundę jedzie 7m do przodu.
Jak widać mamy tutaj nic innego jak znalezienie wspólnego punktu, zatem rozwiążmy układ równań:

uklad8

Podstawiamy nasze y.
$$7x=5(x+180)$$
$$7x=5x+900$$
$$7x-5x=900$$
$$2x=900$$ $$|:2$$
$$x=450$$

Zatem skoro $$x$$ był naszym czasem, Tomek złapie złodzieja po 450 sekundach.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Naszkicuj wykres dowolnej funkcji...

a) Wykres:

 

b) Wykres:

 

Funkcje fg mają takie samo miejsce zerowe.

 

Funkcje fh przecinają się w tym samym punkcie z osią y.

 

Wszystkie funkcje mają taką samą dziedzinę i zbiór wartości.

Dane są funkcje f(x)= ...

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

 

rownanie matematyczne  

rownanie matematyczne  

rownanie matematyczne  

Skoro a i c są różnych znaków to również b i d muszą być różnych znaków.

Zatem funkcje f i g przedstawia rysunek III.

Narysuj wykres funkcji f ...

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne  

rownanie matematyczne  

rownanie matematyczne  

 

 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne  

rownanie matematyczne   

rownanie matematyczne   

Określ dziedzinę funkcji ...

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

 

rownanie matematyczne 

 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

 

rownanie matematyczne 

Sprawdź, czy podane równanie jest równaniem okręgu.

Musimy doprowadzić równanie do postaci:

rownanie matematyczne 

Jeżeli równanie nie będzie sprzeczne to znaczy, że równanie opisuje okrąg. Liczba r musi być dodatnia.

 

rownanie matematyczne  

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

Równanie opisuje okrąg o środku i promieniu:

rownanie matematyczne  

rownanie matematyczne 

 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

Równanie opisuje okrąg o środku i promieniu:

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

Zauważmy, że jeżeli równanie opisywałoby okrąg to kwadrat promienia musiałby być równy -1, zatem równanie jest sprzeczne.

 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

Równanie opisuje okrąg o środku i promieniu:

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

Równanie nie opisuje okręgu gdyż kwadrat długości promienia okręgu wynosi 0. Zatem równanie opisuje punkt o współrzędnych (5,-2).

 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

Równanie opisuje okrąg o środku i promieniu:

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

Odczytaj z wykresu własności funkcji y=g(x).

 Dziedziną funkcji jest przedział rownanie matematyczne 

Zbiorem wartości funkcji jest przedział rownanie matematyczne 

Funkcja przyjmuje największą wartość równą rownanie matematyczne dla rownanie matematyczne  

Funkcja przyjmuje najmniejszą wartość równą rownanie matematyczne dla rownanie matematyczne  

Miejscami zerowymi są argumenty rownanie matematyczne  

rownanie matematyczne dla rownanie matematyczne  oraz dla rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne dla rownanie matematyczne  

Funkcja nie jest monotoniczna w całej dziedzinie, natomiast:

w przedziałach rownanie matematyczne funkcja maleje,

w przedziale rownanie matematyczne funkcja rośnie.

Równanie rownanie matematyczne 

nie ma rozwiązań dla rownanie matematyczne  

ma jedno rozwiązanie dla rownanie matematyczne  

ma dwa rozwiązania dla rownanie matematyczne 

ma trzy rozwiązania dla rownanie matematyczne 

Korzystając z tożsamości trygonometrycznych, oblicz pozostałe...

Wiemy, że jeżeli  rownanie matematyczne jest kątem ostrym, to wartości sinusa, cosinusa i tangensa kąta rownanie matematyczne są dodatnie.

Będziemy korzystać z jedynki trygonometrycznej -> otrzymamy dwa rozwiązania - jedno dodatnie i jedno ujemne. 

Ujemne odrzucimy zgodnie z powyższym. 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne to odrzucamy

Dla rownanie matematyczne obliczamy tangens kąta rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

Otrzymaliśmy:

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

 

rownanie matematyczne              

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne odrzucamy

Dla rownanie matematyczne obliczamy tangens kąta rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

Otrzymaliśmy:

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

Zapisujemy jedynkę trygonometryczną i wstawiamy w miejsce sinusa wyżej wyznaczoną wartość.

rownanie matematyczne     

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne odrzucamy 

Dla rownanie matematyczne obliczamy sinus kąta rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

Otrzymaliśmy:

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

Zapisujemy jedynkę trygonometryczną i wstawiamy w miejsce sinusa wyżej wyznaczoną wartość.

rownanie matematyczne     

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne odrzucamy 

Dla rownanie matematyczne obliczamy sinus kąta rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

Otrzymaliśmy:

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

Rozwiąż nierówność

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

 

rownanie matematyczne  

 

 

 

 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

 

rownanie matematyczne `9+8=17` 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

 

 

 

rownanie matematyczne   

 

 

 

 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

 

 

rownanie matematyczne 

 

 

 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

 

 

rownanie matematyczne 

Funkcja y=f(x) jest rosnąca w przedziale...

Aby otrzymać wykres funkcji rownanie matematyczne należy przekształcić wykres funkcji rownanie matematyczne przez symetrię

względem osi rownanie matematyczne

Zatem funkcja  rownanie matematyczne jest malejąca w przedziale rownanie matematyczne 

Prawidłowa odpowiedź to rownanie matematyczne 

Punkty A1, A2, A3, A4, A5, A6 są wierzchołkami sześciokąta foremnego