Punkt przecięcia dwóch prostych - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Punkt przecięcia dwóch prostych

Jeśli proste przetną się w jednym miejscu mają tzw. jeden punkt wspólny, czyli punkt, który spełnia równanie zarówno pierwszej jak i drugiej prostej.

W celu obliczenia takowego punktu potrzebujemy rozwiązać zwyczajny układ równań, gdzie wynik będzie punktem przecięcia.

Przykład:
Znajdź punkt przecięcia prostych $$y=3x-2$$ oraz $$y=-x+4$$.
Mamy podane dwie proste, stwórzmy układ równań:

uklad1

Jedyne co potrzebujemy to rozwiązać ten układ, przypomnijmy sobie dwie popularne metody algebraiczne rozwiązywania układu równań (jeśli ktoś woli metodę graficzną również jest dozwolona i opisana w odpowiednim dziale). Te popularne metody to:

Podstawiania – doprowadzamy do wyznaczenia jednej ze zmiennych, czyli w tym wypadku x lub y musi być samotnie po lewej stronie

Przeciwnych współczynników - doprowadzamy do liczb przeciwnych w obu równaniach przy jednej ze zmiennych, np. $$-2x$$ i $$2x$$.

Pokażę jak szybko sobie poradzić tymi metodami z układem:

Metoda podstawiania:

Tutaj już mamy wyznaczony y, zatem łatwo działać dalej. Skoro $$y=3x-2$$ a zarazem $$y=-x+4$$ to jest to samo: $$3x-2=-x+4$$, czyli za y podstawiamy to, czemu jest równe y w drugim równaniu.

uklad1

$$3x-2=-x+4$$
$$4x=6$$ $$|:4$$
$$x=1 1/2$$

Teraz wystarczy tylko zamienić x w jednym z równań na nasz wynik i wyznaczyć $$y$$.

$$y=-x+4$$
$$y=-1 1/2+4$$
$$y=2 1/2$$

Zatem szukany punkt to A(1 $$1/2$$; 2 $$1/2$$).


Metoda przeciwnych współczynników:
uklad1
Doprowadzamy do liczb przeciwnych przy x za pomocą pomnożenia całego dolnego równania:

uklad3

A następnie robimy dodawanie „pod kreską” obu równań:

uklad4

$$(y+3y)=(3x-3x)+(-2+12)$$
$$4y=10$$
$$y=2 1/2$$

Wykonujemy ponownie podstawienie $$y$$ jako $$2 1/2$$ w jednym z równań.
$$y=-x+4$$
$$2 1/2 =-x+4$$
$$x =4-2 1/2$$
$$x=1 1/2$$
Jak widać osiągnęliśmy ten sam wynik.

Możliwe wyjątki:
W układach równań mogą się zdarzyć równania tożsamościowe i sprzeczne tak samo tutaj może wystąpić fakt, że:
- proste są równoległe i różne od siebie (układ sprzeczny, nigdy się nie przetną, więc nie ma punktu)
- proste są równoległe i nakładają się na siebie (układ toższamościowy, proste mają nieskończenie wiele punktów wspólnych)

Przykład układu sprzecznego:

uklad5
Zauważmy, że współczynnik przy obu x to 3. Pamiętamy, że jeśli $$a_1=a_2$$ to proste są równoległe i nigdy się nie przetną. Rozwiążmy szybko układ, aby wykazać jego sprzeczność:

uklad5

Podstawmy za y to co jest po prawej:
$$3x-1=3x+3$$
$$-1=3$$
Uzyskaliśmy bzdurę, zatem układ sprzeczny.


Przykład układu tożsamościowego:
uklad6

Zauważmy, że jeżeli wyznaczymy sobie właściwy y:

uklad7

To dostaliśmy dokładnie to samo, czyli proste nakładają się na siebie, układ jest tożsamościowy. Jak to wygląda w wyniku? Znów podstawianie:
$$3+3x=3x+3$$
$$-3+3x-3x=0$$
$$0=0$$
 

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Znajdź punkt przecięcia prostych $$y=3x$$ oraz $$y=2x-3$$.

Tworzymy układ równań z podanych prostych:

uklad11

I podmieniamy jedno z y
$$3x=2x-3$$
$$3x-2x=-3$$
$$x=-3$$

Mamy już x, więc wybieramy jedno z równań i zamieniamy w nim x na $$-3$$:
$$y=3x$$
$$y=3×(-3)$$
$$y=-9$$

Zatem szukany punkt to A(-3;-9).

Zadanie 2.

Znajdź punkt przecięcia prostych $$3x+y-2=0$$ oraz $$y-5=0$$

Znów sprowadzamy wszystko do układu równań:
uklad9

Przerzućmy wszystko inne na prawą stronę, tak, aby pozostał nam tylko y po lewej:
uklad10

I standardowo podmieniamy y
$$5=-3x+2$$
$$3=-3x$$ $$|:(-3)$$
$$-1=x$$
$$x=-1$$

tutaj nie musimy podstawiać, ponieważ już w drugim równaniu mamy, że $$y=5$$, zatem szukany punkt to A(-1;5).

Zadanie 3.

Tomek i Marta pojechali na wycieczkę. Zatrzymali się w pobliskim sklepie. Po powrocie zorientowali się, że jeden z rowerów został skradziony. Widząc w oddali złodzieja Tomek rzucił się w pogoń. Kiedy dogoni złodzieja, jeśli złodziej wyruszył 3min wcześniej i jedzie z prędkością 5m/s, a zdeterminowany Tomek z prędkością 7m/s?

$$3min=180s$$
Zadanie zakłada, że złodziej zostanie dogoniony (czyli złapany), co widać, ponieważ Tomek jedzie szybciej, choć złodziej jest dalej. Zatem:

Oznaczmy jako y drogę, jaką Tomek przebył zanim złapał złodzieja, a x będzie czasem, przez jaki Tomek jechał. Pamiętamy, że wzór na drogę to: $$s=v×t$$. V (czyli prędkość) znamy dla obu rowerzystów. Zatem:
Droga przebyta przez Złodzieja zanim został złapany:
$$y=5(x+180)$$

Dlaczego?
Y to jego przebyta droga, a z każdą sekundą przejechał 5m, miał 180s więcej czasu niż Tomek, więc jego czas to $$x+180$$.

Droga Tomka:
$$y=7x$$
Tomek nie miał zapasu czasu i co sekundę jedzie 7m do przodu.
Jak widać mamy tutaj nic innego jak znalezienie wspólnego punktu, zatem rozwiążmy układ równań:

uklad8

Podstawiamy nasze y.
$$7x=5(x+180)$$
$$7x=5x+900$$
$$7x-5x=900$$
$$2x=900$$ $$|:2$$
$$x=450$$

Zatem skoro $$x$$ był naszym czasem, Tomek złapie złodzieja po 450 sekundach.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Wykonaj działania na liczbach całkowitych:

Przypomnijmy ze szkoły podstawowej kolejność wykonywania działań:

 działania w nawiasach,

 potęgowanie,

 mnożenie i dzielenie,

 dodawanie i odejmowanie.


 


 {premium}


  

 


 


 


 

 


 


 

Zapisz wyrażenie w postaci sumy algebraicznej

Będziemy korzystać ze wzorów skróconego mnożenia na kwadrat sumy i kwadrat różnicy. 

 

 

{premium}

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Korzystając ze wzoru Herona...

Wzór Herona o bokach długości a, b i połowie obwodu p.

 

 

 

 

 

 

 

 

W trójkącie rozwartokątnym boki przy kącie...

Jeśli mamy dane długości a, b dwóch boków trójkąta i kąt 𝛾𝛾 ∈ (0°, 180°), zawarty między tymi bokami, to pole P tego trójkąta wyraża się wzorem:

 


Mamy dane:

 

 

 

 


Wyznaczamy sin𝛼 ze wzoru na pole:{premium}

 

 

 

 

Zatem:

 


Odp. 𝛼 = 120°.

Dany jest prostokąt o bokach długości 1 i x ...

Duży prostokąt ma krótszy bok długości 1 i dłuższy bok długości x.{premium}

Mały prostokąt ma krótszy bok długości x-1 i dłuższy bok długości 1.

Jeśli prostokąty są podobne, to możemy zapisać proporcję:

 

Pierwsze rozwiązanie jest ujemne, dlatego odrzucamy je, drugie rozwiązanie jest poprawne - otrzymaliśmy złotą liczbę.

Jak za pomocą cyrkla i linijki dokonać podziału danego odcinka

Dwa trójkąty prostokątne...

Skoro przyprostokątne pierwszego trójkąta mają długości 5 cm i 12 cm to z twierdzenia pitagorasa możemy obliczyć długość trzeciej, oznaczmy jej długość przez literę x:

 

Obwód pierwszego trójkąta wynosi:

 

Skoro trójkąty są podobne to stosunek długości przeciwprostokątnych jest równy stosunkowi długości odpowiednich boków.

 

A więc stosunek obwodów drugiego i pierwszego trójkąta też wynosi 3.

W prostokącie ABCD punkt E jest...

Rysunek pomocniczy:

Thumb zad5.150str130


Kąty  i  to kąty wierzchołkowe, więc:

 {premium}


Kąty  i  to kąty naprzemianległe wewnętrznie. Stąd:

 


W takim razie trójkąty  i  są podobne na podstawie cechy kkk.

Z podobieństwa tych trójkątów wynika, że:

 


Punkt  jest środkiem boku  więc:  


 

 

 co należało dowieść

Oblicz

{premium}

Oblicz: