Punkt przecięcia dwóch prostych - matura-podstawowa - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Punkt przecięcia dwóch prostych - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Punkt przecięcia dwóch prostych

Jeśli proste przetną się w jednym miejscu mają tzw. jeden punkt wspólny, czyli punkt, który spełnia równanie zarówno pierwszej jak i drugiej prostej.

W celu obliczenia takowego punktu potrzebujemy rozwiązać zwyczajny układ równań, gdzie wynik będzie punktem przecięcia.

Przykład:
Znajdź punkt przecięcia prostych $y=3x-2$ oraz $y=-x+4$.
Mamy podane dwie proste, stwórzmy układ równań:

uklad1

Jedyne co potrzebujemy to rozwiązać ten układ, przypomnijmy sobie dwie popularne metody algebraiczne rozwiązywania układu równań (jeśli ktoś woli metodę graficzną również jest dozwolona i opisana w odpowiednim dziale). Te popularne metody to:

Podstawiania – doprowadzamy do wyznaczenia jednej ze zmiennych, czyli w tym wypadku x lub y musi być samotnie po lewej stronie

Przeciwnych współczynników - doprowadzamy do liczb przeciwnych w obu równaniach przy jednej ze zmiennych, np. $-2x$ i $2x$.

Pokażę jak szybko sobie poradzić tymi metodami z układem:

Metoda podstawiania:

Tutaj już mamy wyznaczony y, zatem łatwo działać dalej. Skoro $y=3x-2$ a zarazem $y=-x+4$ to jest to samo: $3x-2=-x+4$, czyli za y podstawiamy to, czemu jest równe y w drugim równaniu.

uklad1

$3x-2=-x+4$
$4x=6$ $|:4$
$x=1 1/2$

Teraz wystarczy tylko zamienić x w jednym z równań na nasz wynik i wyznaczyć $y$.

$y=-x+4$
$y=-1 1/2+4$
$y=2 1/2$

Zatem szukany punkt to A(1 $1/2$; 2 $1/2$).


Metoda przeciwnych współczynników:
uklad1
Doprowadzamy do liczb przeciwnych przy x za pomocą pomnożenia całego dolnego równania:

uklad3

A następnie robimy dodawanie „pod kreską” obu równań:

uklad4

$(y+3y)=(3x-3x)+(-2+12)$
$4y=10$
$y=2 1/2$

Wykonujemy ponownie podstawienie $y$ jako $2 1/2$ w jednym z równań.
$y=-x+4$
$2 1/2 =-x+4$
$x =4-2 1/2$
$x=1 1/2$
Jak widać osiągnęliśmy ten sam wynik.

Możliwe wyjątki:
W układach równań mogą się zdarzyć równania tożsamościowe i sprzeczne tak samo tutaj może wystąpić fakt, że:
- proste są równoległe i różne od siebie (układ sprzeczny, nigdy się nie przetną, więc nie ma punktu)
- proste są równoległe i nakładają się na siebie (układ toższamościowy, proste mają nieskończenie wiele punktów wspólnych)

Przykład układu sprzecznego:

uklad5
Zauważmy, że współczynnik przy obu x to 3. Pamiętamy, że jeśli $a_1=a_2$ to proste są równoległe i nigdy się nie przetną. Rozwiążmy szybko układ, aby wykazać jego sprzeczność:

uklad5

Podstawmy za y to co jest po prawej:
$3x-1=3x+3$
$-1=3$
Uzyskaliśmy bzdurę, zatem układ sprzeczny.


Przykład układu tożsamościowego:
uklad6

Zauważmy, że jeżeli wyznaczymy sobie właściwy y:

uklad7

To dostaliśmy dokładnie to samo, czyli proste nakładają się na siebie, układ jest tożsamościowy. Jak to wygląda w wyniku? Znów podstawianie:
$3+3x=3x+3$
$-3+3x-3x=0$
$0=0$
 

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Znajdź punkt przecięcia prostych $y=3x$ oraz $y=2x-3$.

Tworzymy układ równań z podanych prostych:

uklad11

I podmieniamy jedno z y
$3x=2x-3$
$3x-2x=-3$
$x=-3$

Mamy już x, więc wybieramy jedno z równań i zamieniamy w nim x na $-3$:
$y=3x$
$y=3×(-3)$
$y=-9$

Zatem szukany punkt to A(-3;-9).

Zadanie 2.

Znajdź punkt przecięcia prostych $3x+y-2=0$ oraz $y-5=0$

Znów sprowadzamy wszystko do układu równań:
uklad9

Przerzućmy wszystko inne na prawą stronę, tak, aby pozostał nam tylko y po lewej:
uklad10

I standardowo podmieniamy y
$5=-3x+2$
$3=-3x$ $|:(-3)$
$-1=x$
$x=-1$

tutaj nie musimy podstawiać, ponieważ już w drugim równaniu mamy, że $y=5$, zatem szukany punkt to A(-1;5).

Zadanie 3.

Tomek i Marta pojechali na wycieczkę. Zatrzymali się w pobliskim sklepie. Po powrocie zorientowali się, że jeden z rowerów został skradziony. Widząc w oddali złodzieja Tomek rzucił się w pogoń. Kiedy dogoni złodzieja, jeśli złodziej wyruszył 3min wcześniej i jedzie z prędkością 5m/s, a zdeterminowany Tomek z prędkością 7m/s?

$3min=180s$
Zadanie zakłada, że złodziej zostanie dogoniony (czyli złapany), co widać, ponieważ Tomek jedzie szybciej, choć złodziej jest dalej. Zatem:

Oznaczmy jako y drogę, jaką Tomek przebył zanim złapał złodzieja, a x będzie czasem, przez jaki Tomek jechał. Pamiętamy, że wzór na drogę to: $s=v×t$. V (czyli prędkość) znamy dla obu rowerzystów. Zatem:
Droga przebyta przez Złodzieja zanim został złapany:
$y=5(x+180)$

Dlaczego?
Y to jego przebyta droga, a z każdą sekundą przejechał 5m, miał 180s więcej czasu niż Tomek, więc jego czas to $x+180$.

Droga Tomka:
$y=7x$
Tomek nie miał zapasu czasu i co sekundę jedzie 7m do przodu.
Jak widać mamy tutaj nic innego jak znalezienie wspólnego punktu, zatem rozwiążmy układ równań:

uklad8

Podstawiamy nasze y.
$7x=5(x+180)$
$7x=5x+900$
$7x-5x=900$
$2x=900$ $|:2$
$x=450$

Zatem skoro $x$ był naszym czasem, Tomek złapie złodzieja po 450 sekundach.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Monika dojeżdża do szkoły...

Oznaczmy:

x - cena biletu kolejowego (w zł)

y - cena biletu tramwajowego (w zł)


Zapisujemy sytuację podaną w treści zadania jako układ równań i wyznaczamy z niego x oraz y.{premium}

 

 

Podstawiamy x=1,4y do pierwszego równania.

 

 

 

Podstawiamy y=64 do drugiego równania.

 

 


Odp. Bilet kolejowy kosztuje 89,60 zł, a bilet tramwajowy - 64 zł.

Cena brutto pewnego towaru

Oznaczmy cenę netto tego towaru jako x. Cena brutto z podatkiem 23% stanowi 100%+23%=123% ceny netto. Możemy więc zapisać równanie:

 

{premium}  

 

 

Obliczamy, ile wyniesie cena brutto tego towaru po obniżce podatku VAT do 8%:

 

Poniżej podano przykłady przyporządkowań...

a) Funkcją nie jest przyporządkowanie przedstawione{premium} w drugiej tabeli (argumentowi -1 zostały przyporządkowane dwie wartości).


b) Funkcją nie jest przyporządkowanie przedstawione na pierwszym i trzecim wykresie (niektórym argumentom została przyporządkowana więcej niż jedna wartość).


c) Funkcją nie jest przyporządkowanie przedstawione na drugim i trzecim grafie (na drugim grafie jednemu z argumentów zostały przyporządkowane dwie wartości; na trzecim grafie jeden z argumentów nie ma przyporządkowanej żadnej wartości).

Przedział (-5, 5) ...

Przedział  jest rozwiązaniem nierówności: {premium}

 


Odpowiedź: C

Punkt S jest środkiem odcinka ...

 

 

 

 


      {premium}

 

 

 

 

 

 


 

 

 

 

 

 


 

 

 

 

 

 


 

 

 

 

 

 


 

 

 

 

 

 

  

 

Punkt (0, 4) należy do wykresu funkcji:

Punkt (0, 4) należy do wykresu funkcji{premium} y=-4x+4, ponieważ wyraz wolny we wzorze tej funkcji jest równy 4.

Prawidłowa odpowiedź to C.

Na rysunku przedstawiono wykres...

 {premium}

 


  

 


 

 

 

 

 

Naszkicuj przykładowy wykres funkcji nieprzyjmującej ...

Przykładowe rozwiązania:

  •  

 {premium}


  •  


  •  

Wyobraź sobie, że jakaś maszyna latająca...

Obrót Ziemi wokół własnej osi trwa ok 24 h.

Korzystamy z wzoru:  {premium}

 


Obliczmy prędkość z jaką porusza się ta maszyna:

 


Obliczmy z jaką prędkością porusza się punkt na równiku:

 


Prędkość maszyny jest większa niż prędkość punktu, nad którym wsi ta maszyna.


Odp.: Ta maszyna porusza się z prędkością ok. 1667,34 km/h. Jej prędkość jest większa niż prędkość punktu na równiku, nad którym jest zawieszona. 

Pewna firma produkuje długopisy...

Uwaga: Polecenie powinno brzmieć:{premium} "Funkcja g(x)=1,80x wyraża w złotych łączny DOCHÓD ze sprzedaży długopisów." I taką też wersję polecenia przyjmiemy w naszym rozwiązaniu (gdyby funkcja g(x) była funkcją zysku, wówczas żadna odpowiedź nie byłaby prawidłowa).


Zysk jest różnicą dochodu ze sprzedaży i kosztów działalności, więc funkcja zysku wyraża się wzorem:

 


Obliczamy, kiedy zysk będzie wynosił co najmniej 1000 zł:

 

 

 

 

 

Najmniejszą liczbą całkowitą spełniającą powyższą nierówność jest x=2084, więc firma musi wyprodukować co najmniej 2084 długopisy.


Prawidłowa odpowiedź to B.