Przedziały liczbowe - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Suma zbiorów

W zbiorach liczb może nam się trafić tzw. Przerwanie. Ma to miejsce, gdy w naszym zakresie liczb jest więcej niż 1 przedział, np. z liczb od 1 do 100 chcę wziąć tylko te od 1 do 25, od 40 do 67 oraz od 70 do 86. Kolejny przykład wraz z opisem powinien wszystko dokładnie wytłumaczyć.

Przykład:
Pracujemy na kolei i musimy podsumować dostępność miejsc w wagonach, okazuje się, że w wagonie nr 1 są miejsca od 1 do 42.

Z kolei w wagonie nr 2 są już miejsca od 55 do 75.
Brakuje nam miejsc 43-54, przez co nie możemy zapisać $$< 1;75 >$$

Potrzebujemy wykonać tzw. Sumę zbiorów, czyli wrzucić do jednego zbioru wszystkie liczby z kilku zbiorów (w naszym przypadku miejsca z obu wagonów).

Sumę zbiorów oznaczamy jako: $$∪$$

Rozwiązaniem będzie zapisanie, że miejsca należą do sumy zbiorów:

$$miejsce ∈ <1 ;42 >$$$$< 55 ;75 >$$

Oczywiście musimy pamiętać, że nie ma ułamków w naszych miejscach, więc musimy dopisać:

$$miejsce ∈<1$$ ;$$42 > ∪ $$ $$< 55 ;75 >$$ ,gdzie $$miejsce∈N$$
 

Różnica zbiorów

Czasem w celu ułatwienia sobie życia stosujemy tzw. Różnicę, której symbolem jest „”. Po co nam ona? Załóżmy, że musimy wyznaczyć zbiór wszystkich liczb rzeczywistych oprócz piątki.

Zapis taki jak dotychczas:

$$ x∈(-∞ ;5)∪(5 ;∞)$$

Zwróćcie uwagę na nawiasy!

Zamiast tego użyjmy zapisu z różnicą: $$x∈R ext"{5}"$$

Liczby pomiędzy klamerkami { } są to pojedyncze sztuki, więc {1,2,3} to 1,2,3

Zapis: $$R ext"{5}"$$ Oznacza każdą liczbę rzeczywistą oprócz 5.
 

Zapis graficzny

Na naszej drodze będziemy musieli sporządzać zapisy graficzne, przede wszystkim na osi liczbowej.

Przykład:

Weźmy nasze pociągi, mamy wagon z miejscami <1;42) co oznacza, ze miejsce 42 jest niedostępne.
Dla uproszczenia przyjmijmy, że można zajmować też miejsca ułamkowe i niewymierne.

Kółeczko puste oznacza nawiasy ( i )

Kółeczko zamalowane lub brak kółeczka oznacza < i >

Zatem zapis na takiej osi wygląda następująco:

os

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Rozwiąż nierówność i zapisz rozwiązanie na przedziale $$x^2-9 < 0$$ .

Przenieśmy liczbę na prawą stronę:

$$x^2 < 9$$

Zatem pamiętając, że równanie czy nierówność kwadratowa ma dwa rozwiązania

$$x^2 < 9$$

$$x < 3$$ v $$x > -3$$

Dwa rozwiązania wynikają z tego, że każda liczba podniesiona do kwadratu daje wynik dodatni. W przypadku 9, może to być: $$3^2=9$$ lub $$(-3)^2=9$$

Mamy więc dwa ograniczenia

$$x < 3$$ v $$x > -3$$

Zapiszmy je jako jedno

$$-3 < x < 3$$

Teraz widzimy dobrze dwa krańce, granicę prawą i lewą

Więc:

$$x∈(-3;3)$$
 

Zadanie 2.

Pracujesz na kolei, program w którym wpisujesz miejsca obsługuje zbiory liczb. Co wpiszesz w program jeśli dziś masz do dyspozycji wagon nr 1 z miejscami od 1 do 15, wagon nr 2 z miejscami od 20 do 35, gdzie miejsce 21 jest zarezerwowane dla konduktora i jest niedostępne. Z kolei wagon nr 3 o miejscach od 36 do 50 ma przeznaczone dla konduktorów dwa przedziały, pierwszy i ostatni, w którym są 4 miejsca.

Zacznijmy od wydzielenia poszczególnych przedziałów.

Wagon nr 1:

„wagon nr 1 z miejscami od 1 do 15”

Zatem liczby od 1 do 15 należą, więc oznaczając w jako miejsca w wagonach:

$$w∈< 1;15 >$$

Teraz Wagon nr 2:

„wagon nr 2 z miejscami od 20 do 35, gdzie miejsce 21 jest zarezerwowane dla konduktora”

Odchodzi nam miejsce 21, więc wagon jest „podzielony” na dwie części. Miejsce 20 i Miejsca 22-35

Pamiętamy, że pojedynczą wartość zapisujemy pomiędzy { }

$$w∈ ext"{20} "∪< 22;35 >$$

Wagon nr 3:

„wagon nr 3 o miejscach od 36 do 50 ma przeznaczone dla konduktorów dwa przedziały, pierwszy i ostatni, w którym są 4 miejsca.”

Odchodzą nam 4 miejsca na granicach, więc miejsca 36-39 (to znaczy 36,37,38,39), a także 47-50

Pozostają nam miejsca 40-46

$$w∈< 40;46 >$$

Na koniec pozostaje nam zapis sumy zbiorów i przypomnienie, że miejsca są numerowane liczbami naturalnymi:

$$w∈< 1;15 > ∪ ext" {20}"∪< 22;35 >∪< 40;46 >$$ gdzie $$w∈N$$

Spis treści

Rozwiązane zadania
Wykonaj działania

`a)\ (x+2)(4-3x)=x(4-3x)+2(4-3x)=` 

`\ \ \ =4x-3x^2+8-6x=` `-3x^2-2x+8` 

 

`b)\ (-1+5x)(x-2)=-1(x-2)+5x(x-2)=` 

`\ \ \ =-x+2+5x^2-10x=` `5x^2-11x+2` 

 

`c)\ 4x^2-3x(7-2x)+5x=`  

`\ \ \ =4x^2-21x+6x^2+5x=` 

`\ \ \ =10x^2-16x` 

 

`d)\ 7x-2(x+3)(5-x)=7x-(2x+6)(5-x)=` 

`\ \ \ =7x-(2x(5-x)+6(5-x))=` 

`\ \ \ =7x-(10x-2x^2+30-6x)=` 

`\ \ \ =7x-(-2x^2+4x+30)=`  

`\ \ \ =7x+2x^2-4x-30=` 

`\ \ \ =2x^2+3x-30` 

 

`e) \ 8x(1-x^2)-(x-7)(-3x^2)=` 

`\ \ \ =8x-8x^3-(-3x^3+21x^2)=`  

`\ \ \ =8x-8x^3+3x^3-21x^2=` 

`\ \ \ =-5x^3-21x^2+8x` 

 

`f)\ 1-4(x^2-x+2)(1+x^2)=` 

`\ \ \ =1-4((x^2-x+2)*1+(x^2-x+2)*x^2)=` 

`\ \ \ =1-4(x^2-x+2+x^4-x^3+2x^2)=` 

`\ \ \ =1-4(x^4-x^3+3x^2-x+2)=` 

`\ \ \ =1-4x^4+4x^3-12x^2+4x-8=` 

`\ \ \ =-4x^4+4x^3-12x^2+4x-7`   

Przedstaw liczbę w postaci

`a)`

`\ \ \ \ \ x=0,363636...`

`100x=36,363636...`

`100x-x=36`

`99x=36\ \ \ |:99`

`x=36/99=4/11`

 

`ul(ul(0,(36)=4/11))`

 

 

`b)`

`\ \ \ \ \ x=0,060606...`

`100x=6,060606...`

`100x-x=6`

`99x=6\ \ \ |:99`

`x=6/99=2/33`

 

`ul(ul(0,0(06)=2/33))`

 

 

`c)`

`\ \ \ \ \ x=3,727272...`

`100x=372,727272...`

`100x-x=369`

`99x=369\ \ \ |:99`

`x=369/99=123/33=3 24/33`

 

`ul(ul(3,(72)=3 24/33))`

 

 

`d)`

`\ \ \ \ \ x=0,242424...`

`100x=24,242424...`

`100x-x=24`

`99x=24\ \ \ |:99`

`x=24/99=8/33`

 

`ul(ul(-6,(24)=-6 8/33))`

 

 

`e)`

`\ \ \ \ x=0,99999...`

`10x=9,99999...`

`10x-x=9`

`9x=9\ \ \ |:9`

`x=1`

 

`ul(ul(0,(9)=1))`

 

Powyższa równość może wydawać się nieprawdziwa, jednak w rozwinięciu dziesiętnym liczby 0,(9) znajduje się nieskończona ilość dziewiątek, co sprawia, że zachodzi równość. 

 

 

`f)`

`\ \ \ \ x=0,7999...`

`10x=7,9999...`

`10x-x=7,2`

`9x=7,2\ \ \ |:9`

`x=0,8`

 

`ul(ul(41,7(9)=41,8))`

 

 

`g)`

`\ \ \ \ \ \ x=0,369369...`

`1000x=369,369369...`

`1000x-x=369`

`999x=369\ \ \ |:999`

`x=369/999=123/333=41/111`

 

`ul(ul(0,(369)=41/111))`

 

 

`h)`

`\ \ \ \ \ x=0,1525252...`

`100x=15,252525...`

`100x-x=52`

`99x=52\ \ \ |:99`

`x=52/99`

 

`ul(ul(2,1(52)=2 52/99))`

 

Do przedziału <-3; 7)

Liczby całkowite należące do pierwszego przedziału to -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6. Tych liczb jest 10, więc m=10. 

Liczby całkowite należące do drugiego przedziału to: -7, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3. Tych liczb jest 11, więc n=11.

Suma m+n jest równa 10+11=21, więc prawidłowa jest odpowiedź C. 

Całkowita granica Polski wynosi 3511 km.

Linia graniczna z Czechami:

`(796km)/(3511km) * 100%~~22,672%`

 

Linia graniczna z Litwą:

`(104km)/(3511km)*100%~~2,962 %`

 

Granica morska:

`(440 km)/(3511km)*100%~~12,532%`

Punkty A(0, -5), B(8, -3), C(4, 5) są kolejnymi wierzchołkami równoległoboku

`prosta\ AB:\ \ \ y=ax+b`

Podstawiamy współrzędne punktów A oraz B do równania, otrzymując układ równań, z którego wyliczymy współczynniki a oraz b:

`{(-5=a*0+b), (-3=a*8+b):}`

`{(b=-5), (-3=a*8+(-5)):}`

`{(b=-5), (-3=8a-5\ \ \ \ |+5):}`

`{(b=-5), (2=8a\ \ \ \ |:8):}`

`{(b=-5), (a=2/8=1/4):}`

 

`ul(ul(prosta\ AB:\ \ \ \ y=1/4x-5))`

 

 

 

Teraz chcielibyśmy wyznaczyć równanie prostej CD, jednak mamy tylko jeden punkt należący do tej prostej - punkt C (zatem nie możemy liczyć tak, jak powyżej). 

W równoległoboku boki AB oraz CD są równoległe, a proste równoległe mają jednakowe współczynniki kierunkowe. Wyznaczmy współczynnik kierunkowy prostej BC (czyli prostej przechodzącej przez punkty B, C - korzystamy z twierdzenia ze strony 109). 

`a=(-3-(-5))/(8-0)=(-3+5)/8=2/8=1/4`

 

Zatem prosta CD ma taki sam współczynnik kierunkowy, możemy zapisać jej równanie: 

`prosta\ CD:\ \ \ y=1/4x+b`

 

Teraz wystarczy podstawić współrzędne punktu C do równania: 

`5=1/4*4+b`

`5=1+b\ \ \ |-1`

`b=4`

 

`ul(ul(prosta\ CD:\ \ \ y=1/4x+4))`

 

`prosta\ BC:\ \ \ y=ax+b`

Podstawiamy współrzędne punktów B oraz C do równania, otrzymując układ równań, z którego wyliczymy współczynniki a oraz b:

`{(-3=a*8+b), (5=a*4+b):} \ |-`

`-8=4a \ \ |:-4` 

`-2=a` 

`-3=-2*8+b` 

`-3=-16+b` 

`13=b` 

`ul(ul(prosta\ BC:\ \ \ \ y=-2x+13))`

 

 

 

Teraz chcielibyśmy wyznaczyć równanie prostej AD, jednak mamy tylko jeden punkt należący do tej prostej - punkt A (zatem nie możemy liczyć tak, jak powyżej). 

W równoległoboku boki BC oraz AD są równoległe, a proste równoległe mają jednakowe współczynniki kierunkowe. Wyznaczmy współczynnik kierunkowy prostej BC (czyli prostej przechodzącej przez punkty A, B - korzystamy z twierdzenia ze strony 109). 

`a=(5-(-3))/(4-8)=8/(-4)=-2`

 

Zatem prosta AD ma taki sam współczynnik kierunkowy, możemy zapisać jej równanie: 

`prosta\ AD:\ \ \ y=-2x+b`

 

Teraz wystarczy podstawić współrzędne punktu A do równania: 

`-5=-2*0+b`

`-5=b`

`b=-5`

 

`ul(ul(prosta\ AD:\ \ \ y=-2x-5))`

 

 

 

 

 

Pole prostokąta o obwodzie...

Oznaczmy bok prostokąta przez x, wtedy drugi bok ma długość:

`2x + 2b = 88` 

`2b = 88 - 2x` 

`b = 44 - x` 

 

Funkcja wyrażająca pole prostokąta:

`P(x) = x*(44-x) = 44x - x^2` 

`D = (0, 44)` 

Odpowiedź B

Zamieszczone obok wykresy i diagram

`a)`

`2005:\ \ \ +2`

`2006:\ \ \ +4`

`2007:\ \ \ +1`

`2008:\ \ \ 0`

`2009:\ \ \ -2`

`2010:\ \ \ +1`

`2011:\ \ \ +2`

 

 

Obliczamy łączny zysk:

`2+4+1-2+1+2=8`

 

ODP: Łączny zysk firmy w latach 2005-2011 to 8 milionów złotych. 

 

 

`b)`

Firma nie przyniosła zysku w latach 2008 i 2009. 

Wyrażenie (n⁴-16)/(n²+4) można zapisać w postaci

Przekształcamy:

`(n^4-16)/(n^2+4)=((n^2-4)strike((n^2+4)))/(strike(n^2+4))=n^2-4`

 

Wyłącz czynnik przed pierwiastek

`a)\ root(3)16=root(3)8*root(3)2=2root(3)2`

`b)\ root(3)24=root(3)8*root(3)3=2root(3)3`

`c)\ root(3)54=root(3)27*root(3)2=3root(3)2`

`d)\ root(3)81=root(3)27*root(3)3=3root(3)(3)`

`e)\ root(3)128=root(3)64*root(3)2=4root(3)2`

`f)\ root(3)(192)=root(3)(64)*root(3)3=4root(3)3`

`g)\ root(3)(375)=root(3)(125)*root(3)3=5root(3)3`

`h)\ root(3)1250=root(3)(125)*root(3)10=5root(3)10`

 

Rozwiąż równania.

`a)` 

`2x^2-6x=0` 

`2x(x-3)=0` 

`x=0\ \ \vee\ "(lub)" \ \ \x=3`   

 

`x in {0;3}` 

 

`c)` 

`3x+4x^2=0` 

`x(3+4x)=0` 

 

`x=0\ \ \vee \ \ \3+4x=0\ implies \ x=-3/4` 

`x in {0,-3/4}` 

 

`e)` 

`5x=10x^2` 

`10x^2-5x=0` 

`5x(2x-1)=0` 

`5x=0 \ \ \vee \ \ \ 2x-1=0` 

`x=0 \ \ \vee\ \ \ x=1/2` 

`x in {0,1/2}`