Zgoda na przetwarzanie danych osobowych

25 maja 2018 roku zacznie obowiązywać Rozporządzenie Parlamentu Europejskiego i Rady (UE) 2016/679 z dnia 27 kwietnia 2016 r. znane jako RODO.

Dlatego aby dalej móc dostarczać Ci materiały odpowiednie do Twojego etapu edukacji, potrzebujemy zgody na lepsze dopasowanie treści do Twojego zachowania. Dzięki temu możemy zapamiętywać jakie materiały są Ci potrzebne. Dbamy o Twoją prywatność, więc nie zwiększamy zakresu naszych uprawnień. Twoje dane są u nas bezpieczne, a zgodę na ich zbieranie możesz wycofać na podstronie polityka prywatności.

Klikając "Przejdź do Odrabiamy", zgadzasz się na wskazane powyżej działania. W przeciwnym wypadku, nie jesteśmy w stanie zrealizować usługi kompleksowo i prosimy o opuszczenie strony.

Polityka prywatności

Drogi Użytkowniku w każdej chwili masz prawo cofnąć zgodę na przetwarzanie Twoich danych osobowych. Cofnięcie zgody nie będzie wpływać na zgodność z prawem przetwarzania, którego dokonano na podstawie wyrażonej przez Ciebie zgody przed jej wycofaniem. Po cofnięciu zgody wszystkie twoje dane zostaną usunięte z serwisu. Udzielenie zgody możesz modyfikować w zakładce 'Informacja o danych osobowych'

Przedziały liczbowe - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Suma zbiorów

W zbiorach liczb może nam się trafić tzw. Przerwanie. Ma to miejsce, gdy w naszym zakresie liczb jest więcej niż 1 przedział, np. z liczb od 1 do 100 chcę wziąć tylko te od 1 do 25, od 40 do 67 oraz od 70 do 86. Kolejny przykład wraz z opisem powinien wszystko dokładnie wytłumaczyć.

Przykład:
Pracujemy na kolei i musimy podsumować dostępność miejsc w wagonach, okazuje się, że w wagonie nr 1 są miejsca od 1 do 42.

Z kolei w wagonie nr 2 są już miejsca od 55 do 75.
Brakuje nam miejsc 43-54, przez co nie możemy zapisać $$< 1;75 >$$

Potrzebujemy wykonać tzw. Sumę zbiorów, czyli wrzucić do jednego zbioru wszystkie liczby z kilku zbiorów (w naszym przypadku miejsca z obu wagonów).

Sumę zbiorów oznaczamy jako: $$∪$$

Rozwiązaniem będzie zapisanie, że miejsca należą do sumy zbiorów:

$$miejsce ∈ <1 ;42 >$$$$< 55 ;75 >$$

Oczywiście musimy pamiętać, że nie ma ułamków w naszych miejscach, więc musimy dopisać:

$$miejsce ∈<1$$ ;$$42 > ∪ $$ $$< 55 ;75 >$$ ,gdzie $$miejsce∈N$$
 

Różnica zbiorów

Czasem w celu ułatwienia sobie życia stosujemy tzw. Różnicę, której symbolem jest „”. Po co nam ona? Załóżmy, że musimy wyznaczyć zbiór wszystkich liczb rzeczywistych oprócz piątki.

Zapis taki jak dotychczas:

$$ x∈(-∞ ;5)∪(5 ;∞)$$

Zwróćcie uwagę na nawiasy!

Zamiast tego użyjmy zapisu z różnicą: $$x∈R ext"{5}"$$

Liczby pomiędzy klamerkami { } są to pojedyncze sztuki, więc {1,2,3} to 1,2,3

Zapis: $$R ext"{5}"$$ Oznacza każdą liczbę rzeczywistą oprócz 5.
 

Zapis graficzny

Na naszej drodze będziemy musieli sporządzać zapisy graficzne, przede wszystkim na osi liczbowej.

Przykład:

Weźmy nasze pociągi, mamy wagon z miejscami <1;42) co oznacza, ze miejsce 42 jest niedostępne.
Dla uproszczenia przyjmijmy, że można zajmować też miejsca ułamkowe i niewymierne.

Kółeczko puste oznacza nawiasy ( i )

Kółeczko zamalowane lub brak kółeczka oznacza < i >

Zatem zapis na takiej osi wygląda następująco:

os

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Rozwiąż nierówność i zapisz rozwiązanie na przedziale $$x^2-9 < 0$$ .

Przenieśmy liczbę na prawą stronę:

$$x^2 < 9$$

Zatem pamiętając, że równanie czy nierówność kwadratowa ma dwa rozwiązania

$$x^2 < 9$$

$$x < 3$$ v $$x > -3$$

Dwa rozwiązania wynikają z tego, że każda liczba podniesiona do kwadratu daje wynik dodatni. W przypadku 9, może to być: $$3^2=9$$ lub $$(-3)^2=9$$

Mamy więc dwa ograniczenia

$$x < 3$$ v $$x > -3$$

Zapiszmy je jako jedno

$$-3 < x < 3$$

Teraz widzimy dobrze dwa krańce, granicę prawą i lewą

Więc:

$$x∈(-3;3)$$
 

Zadanie 2.

Pracujesz na kolei, program w którym wpisujesz miejsca obsługuje zbiory liczb. Co wpiszesz w program jeśli dziś masz do dyspozycji wagon nr 1 z miejscami od 1 do 15, wagon nr 2 z miejscami od 20 do 35, gdzie miejsce 21 jest zarezerwowane dla konduktora i jest niedostępne. Z kolei wagon nr 3 o miejscach od 36 do 50 ma przeznaczone dla konduktorów dwa przedziały, pierwszy i ostatni, w którym są 4 miejsca.

Zacznijmy od wydzielenia poszczególnych przedziałów.

Wagon nr 1:

„wagon nr 1 z miejscami od 1 do 15”

Zatem liczby od 1 do 15 należą, więc oznaczając w jako miejsca w wagonach:

$$w∈< 1;15 >$$

Teraz Wagon nr 2:

„wagon nr 2 z miejscami od 20 do 35, gdzie miejsce 21 jest zarezerwowane dla konduktora”

Odchodzi nam miejsce 21, więc wagon jest „podzielony” na dwie części. Miejsce 20 i Miejsca 22-35

Pamiętamy, że pojedynczą wartość zapisujemy pomiędzy { }

$$w∈ ext"{20} "∪< 22;35 >$$

Wagon nr 3:

„wagon nr 3 o miejscach od 36 do 50 ma przeznaczone dla konduktorów dwa przedziały, pierwszy i ostatni, w którym są 4 miejsca.”

Odchodzą nam 4 miejsca na granicach, więc miejsca 36-39 (to znaczy 36,37,38,39), a także 47-50

Pozostają nam miejsca 40-46

$$w∈< 40;46 >$$

Na koniec pozostaje nam zapis sumy zbiorów i przypomnienie, że miejsca są numerowane liczbami naturalnymi:

$$w∈< 1;15 > ∪ ext" {20}"∪< 22;35 >∪< 40;46 >$$ gdzie $$w∈N$$

Spis treści

Rozwiązane zadania
W tabeli podano średni kurs ...

Wykres przedstawiający zmiany kursów dolara i euro w poszczególnych miesiącach:

a) Najwyższy kurs dolara był w lutym.

Najwyższy kurs euro także był w lutym.

 

b) ????

 

c) Kurs dolara spadał w miesiącach: 

`"II"-"XI"` 

W pozostałych miesiącach kurs dolara spadał.

 

Kurs euro spadał w miesiącach:

`"II" - "VI",\ \ "oraz"\ \ "VII"-"IX"\ \ "i"\ \ "XI" - "XII"` 

W pozostałych miesiącach kurs euro wzrastał.

Stosując sito Eratostenesa

Oblicz wartość współczynnika b, jeśli...

`3x^2+bx-4=0` 

`1/x_1^4+1/x_2^4=x_2^4/(x_1^4x_2^4)+x_1^4/(x_1^4x_2^4)=(x_1^4+x_2^4)/(x_1^4x_2^4)` 

`x_1^4+x_2^4=(x_1^2)^2+(x_2^2)^2=(x_1^2+x_2^2)^2-2x_1^2x_2^2=((x_1+x_2)^2-2x_1x_2)^2-2(x_1x_2)^2=((-b/a)^2-2c/a)^2-2(c/a)^2`  

`1/x_1^4+1/x_2^4=5 1/8` 

`(((-b/a)^2-2c/a)^2-2(c/a)^2)/(c/a)^4=41/8` 

`(((-b/3)^2-2*(-4)/3)^2-2*((-4)/3)^2)/(-4/3)^4=41/8` 

`((b^2/9+8/3)^2-2*16/9)/(256/81)=41/8 \ \ \ |*256/81` 

`(b^2/9+24/9)^2-32/9=41/8*256/81` 

`((b^2+24)/9)^2-32/9=41/strike8^1*strike256^32/81`  

`((b^2+24)/9)^2-32/9=1312/81 \ \ \ |+32/9` 

`((b^2+24)/9)^2=1312/81+32/9` 

`((b^2+24)/9)^2=1312/81+288/81` 

`(b^4+48b^2+576)/81=1600/81 \ \ \ |*81` 

`b^4+48b^2+576=1600 \ \ \ |-1600` 

`b^4+48b^2-1024=0` 

Wstawmy `b^2=t` 

`t^2+48t-1024=0` 

`Delta=48^2-4*1*(-1024)=2304+4096=6400` 

`sqrt(Delta)=80` 

`t_1=(-48-80)/(2*1)=(-128)/2=-64 \ \ \ "sprzeczność"` 

`t_2=(-48+80)/(2*1)=32/2=16` 

`b^2=16` 

`b=4 \ \ \ "lub" \ \ \ b=-4` 

Oblicz, korzystając z własności pierwiastków:

`a) \ root(4)(2) * root(4)(8) = root(4)(2*8) = root(4)(16) = 2` 

 

`b) \ root(3)(250):root(3)(2) = root(3)(250:2) = root(3)(125) = 5` 

 

`c) \ (root(5)(30))^5 = root(5)(30^5) = 30` 

 

`d) \ root(5)(2^10) = root(5)((2^5)^2) = (root(5)(2^5))^2 = 2^2 = 4` 

 

`e) \ sqrt(sqrt81) = sqrt9 = 3` 

 

`f) \ sqrt( root(3)(7)) : root(6)(7) = root(2*3)(7) : root(6)(7) = root(6)(7) : root(6)(7) = root(6)(7:7) = root(6)(1) = 1` 

 

`g) \ 5*(sqrt(root(3)(5^2)))^3 = 5*sqrt((root(3)(5^2))^3) = 5*sqrt(root(3)((5^2)^3)) = 5*sqrt(5^2) = 5*5 = 25` 

 

`h) \ root(3)(2) * (root(3)((sqrt2)^2))^2 = root(3)(2) * ((root(3)(sqrt(2^2)))^2) = root(3)(2) * (root(3)(2))^2 = root(3)(2) * root(3)(4) = root(3)(2*4) = root(3)(8) = 2` 

Znajdź długość przyprostokątnej w trójkącie prostokątnym...

Skorzystamy z twierdzenia Pitagorasa. Oznaczmy długość przyprostokątnej przez x:

 

 

`a) \ x^2 + 12^2 = 17^2` 

`x^2 + 144 = 289` 

`x^2 = 145` 

`x = sqrt145` 

 

`b) \ x^2 + (sqrt114)^2 = 14^2` 

`x^2 + 114 = 196` 

`x^2 = 82` 

`x = sqrt82` 

 

`c) \ x^2 + (sqrt5)^2 = (sqrt21)^2` 

`x^2 + 5 = 21` 

`x^2 = 16` 

`x = 4` 

Zapisz różnicę zbiorów...

Różnicą zbiorów A i B jest zbiór do którego należą elementy ze zbioru A i nie należą elementy ze zbioru B.

 

`a) \ (-3,0) \ \\ \ {-1} = (-3,-1) \cup (-1,0)` 

`b) \ (-oo,2] \ \\ \ N = (-oo, 0) \cup (0,1) \cup (1,2)` 

`c) \ [1,7] \ \\ \ (2,4) = [1,2] \cup [4,7]` 

`d) \ [-4,1] \ \\ \ {-2,1,2} = [-4,-2) \cup (-2, 1)` 

`e) \ R \ \\ \ {-1,0,1} = (-oo, -1) \cup (-1, 0) \cup (0,1) \cup (1,oo)` 

`f) \ [-2,2] \ \\ \ [-sqrt2,sqrt2] = [-2,-sqrt2) \cup (sqrt2, 2]` 

Która z podanych liczb jest rozwinięciem

`1/60=1:60=0,01666...=0,01(6)\ \ \ \ odp.\ B`

 

 

Z podanych wzorów wyznacz wskazane wielkości

`a)`

`r=(a+b-c)/2\ \ \ |*2`

`2r=a+b-c\ \ \ |-a+c`

`b=2r-a+c`

 

 

`2r=a+b-c\ \ \ |-a-b`

`-c=2r-a-b\ \ \ |*(-1)`

`c=-2r+a+b=a+b-2r`

 

 

 

`b)`

`P=(a*b*c)/(4*R)\ \ \ |*4R`

`4*P*R=a*b*c\ \ \ |:4P`

`R=(abc)/(4P)`

 

 

`4PR=abc\ \ \ |:bc`

`a=(4PR)/(bc)`

 

 

 

`c)`

`P=(a+b)/2*h\ \ \ |*2/(a+b)`

`h=(2P)/(a+b)`

 

 

 

`P=(a+b)/2*h\ \ \ |*2/h`

`(2P)/h=a+b\ \ \ |-a`

`b=(2P)/h-a`

 

 

 

 

`d)`

`h=sqrt(c_1*c_2)\ \ \ |^2`

`h^2=c_1*c_2\ \ \ |:c_2`

`c_1=h^2:c_2=(h^2)/(c_2)`

 

 

 

`e)`

`V=4/3pir^3\ \ \ |*3/(4pi)`

`(3V)/(4pi)=r^3`

`r=root(3)((3V)/(4pi))`

 

 

 

 

`f)`

`P_c=2pir(r+h)\ \ \ |:2pir`

`(P_c)/(2pir)=r+h\ \ \ |-4`

`h=(P_c)/(2pir)-r`

Oblicz wartość funkcji:

`"a)"\ f(x)=1/(2|x|+1)` 

`f(-4)=1/(2*|-4|+1)=1/(2*4+1)=1/9` 

`f(-1/2)=1/(2*|-1/2|+1)=1/(strike2^1*1/strike2^1+1)=1/2`

`f(0)=1/(2*|0|+1)=1/(2*0+1)=1` 

`f(sqrt2)=1/(2*|sqrt2|+1)=1/(2sqrt2+1)=#(#underbrace((1*(2sqrt2-1))/((2sqrt2+1)(2sqrt2-1)))_("usuwamy"))_("niewymierność")=(2sqrt2-1)/((2sqrt2)^2-1^2)=(2sqrt2-1)/(8-1)=(2sqrt2-1)/7` 

`f(2 1/3)=1/(2*|2 1/3|+1)=1/(2*7/3+1)=1/(14/3+1)=1/(17/3)=3/17` 

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))` 

`"b)"\ f(x)=x^2-1` 

`f(-2)=(-2)^2-1=4-1=3` 

`f(-1/sqrt3)=(-1/sqrt3)^2-1=1/3-1=-2/3` 

`f(0,(3))=(1/3)^2-1=1/9-1=-8/9`

`f(sqrt2-1)=(sqrt2-1)^2-1=2-2sqrt2+1-1=2-2sqrt2` 

`f(3 1/2)=(3 1/2)^2-1=(7/2)^2-1=49/4-1=45/4=11 1/4` 

Rozwiąż układ równań metodą przeciwnych współczynników

`a)` 

`{(3x-2y=-4), (x+y=-3\ \ \ \ |*(-3)):}` 

`{(3x-2y=-4), (-3x-3y=9):}\ \ \ \ \ \ |+` 

`-5y=5\ \ \ \ |:(-5)` 

`y=-1` 

 

Podstawiamy do pierwszego równania: 

`3x-2*(-1)=-4` 

`3x+2=-4\ \ \ \ |-2` 

`3x=-6\ \ \ \ |:3` 

`x=-2` 

 

`{(x=-2), (y=-1):}` 

 

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \))` 

 

 

`b)` 

`{(2x-3y=-4\ \ \ \ |*(-3)), (3x-2y=-1\ \ \ \ |*2):}` 

`{(-6x+9y=12), (6x-4y=-2):}\ \ \ \ \ \ |+` 

` `  `5y=10\ \ \ \ |:5` 

`y=2` 

 

Podstawiamy do pierwszego równania: 

`2x-3*2=-4` 

`2x-6=-4\ \ \ \ |+6` 

`2x=2\ \ \ \ |:2` 

`x=1` 

 

`{(x=1), (y=2):}` 

 

 

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \))` 

 

 

`c)` 

`{(x+2y=6\ \ \ \ |*(-3)), (3x+6y=12):}` 

`{(-3x-6y=-18), (3x+6y=12):}\ \ \ \ \ |+` 

`0=-6` 

Otrzymaliśmy sprzeczność, zatem układ równań nie ma rozwiązania - jest sprzeczny. 

 

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \))` 

 

`d)` 

`{(-3x+4y=2\ \ \ \ |*2), (6x+8y=-4):}` 

`{(-6x+8y=4), (6x+8y=-4):}\ \ \ \ \|+` 

`16y=0\ \ \ \|:16` 

`y=0` 

 

Podstawiamy do pierwszego równania:

`-3x+4*0=2` 

`-3x=2\ \ \ |:(-3)` 

`x=-2/3` 

 

`{(x=-2/3), (y=0):}` 

 

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \))` 

 

`e)` 

`{(y-x=-13), (1/2x-1/3y=5\ \ \ \ |*2):}`  

`{(-x+y=-13), (x-2/3y=10):}\ \ \ \ \ \ \ \ \ |+` 

`1/3y=-3\ \ \ |*3` 

`y=-9` 

 

Podstawiamy do pierwszego równania:

`-9-x=-13\ \ \ \ |+9` 

`-x=-4\ \ \ \ \|*(-1)` 

`x=4` 

 

`{(x=4), (y=-9):}` 

 

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \))` 

 

`f)` 

`{(2x-3/4y=1\ \ \ \ |*4), (5x+y=-7\ \ \ \ |*3):}`  

`{(8x-3y=4) , (15x+3y=-21):}\ \ \ \ |+`     

`23x=-17\ \ \ \ |:23` 

`x=-17/23` 

 

Podstawiamy do drugiego równania: 

`5*(-17/23)+y=-7` 

`-85/23+y=-7 \ \ \ \ |+85/23` 

`y=-7+85/23=-161/23+85/23=-76/23` 

 

`{(x=-17/23), (y=-76/23):}`