Przedziały liczbowe - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Suma zbiorów

W zbiorach liczb może nam się trafić tzw. Przerwanie. Ma to miejsce, gdy w naszym zakresie liczb jest więcej niż 1 przedział, np. z liczb od 1 do 100 chcę wziąć tylko te od 1 do 25, od 40 do 67 oraz od 70 do 86. Kolejny przykład wraz z opisem powinien wszystko dokładnie wytłumaczyć.

Przykład:
Pracujemy na kolei i musimy podsumować dostępność miejsc w wagonach, okazuje się, że w wagonie nr 1 są miejsca od 1 do 42.

Z kolei w wagonie nr 2 są już miejsca od 55 do 75.
Brakuje nam miejsc 43-54, przez co nie możemy zapisać $$< 1;75 >$$

Potrzebujemy wykonać tzw. Sumę zbiorów, czyli wrzucić do jednego zbioru wszystkie liczby z kilku zbiorów (w naszym przypadku miejsca z obu wagonów).

Sumę zbiorów oznaczamy jako: $$∪$$

Rozwiązaniem będzie zapisanie, że miejsca należą do sumy zbiorów:

$$miejsce ∈ <1 ;42 >$$$$< 55 ;75 >$$

Oczywiście musimy pamiętać, że nie ma ułamków w naszych miejscach, więc musimy dopisać:

$$miejsce ∈<1$$ ;$$42 > ∪ $$ $$< 55 ;75 >$$ ,gdzie $$miejsce∈N$$
 

Różnica zbiorów

Czasem w celu ułatwienia sobie życia stosujemy tzw. Różnicę, której symbolem jest „”. Po co nam ona? Załóżmy, że musimy wyznaczyć zbiór wszystkich liczb rzeczywistych oprócz piątki.

Zapis taki jak dotychczas:

$$ x∈(-∞ ;5)∪(5 ;∞)$$

Zwróćcie uwagę na nawiasy!

Zamiast tego użyjmy zapisu z różnicą: $$x∈R ext"{5}"$$

Liczby pomiędzy klamerkami { } są to pojedyncze sztuki, więc {1,2,3} to 1,2,3

Zapis: $$R ext"{5}"$$ Oznacza każdą liczbę rzeczywistą oprócz 5.
 

Zapis graficzny

Na naszej drodze będziemy musieli sporządzać zapisy graficzne, przede wszystkim na osi liczbowej.

Przykład:

Weźmy nasze pociągi, mamy wagon z miejscami <1;42) co oznacza, ze miejsce 42 jest niedostępne.
Dla uproszczenia przyjmijmy, że można zajmować też miejsca ułamkowe i niewymierne.

Kółeczko puste oznacza nawiasy ( i )

Kółeczko zamalowane lub brak kółeczka oznacza < i >

Zatem zapis na takiej osi wygląda następująco:

os

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Rozwiąż nierówność i zapisz rozwiązanie na przedziale $$x^2-9 < 0$$ .

Przenieśmy liczbę na prawą stronę:

$$x^2 < 9$$

Zatem pamiętając, że równanie czy nierówność kwadratowa ma dwa rozwiązania

$$x^2 < 9$$

$$x < 3$$ v $$x > -3$$

Dwa rozwiązania wynikają z tego, że każda liczba podniesiona do kwadratu daje wynik dodatni. W przypadku 9, może to być: $$3^2=9$$ lub $$(-3)^2=9$$

Mamy więc dwa ograniczenia

$$x < 3$$ v $$x > -3$$

Zapiszmy je jako jedno

$$-3 < x < 3$$

Teraz widzimy dobrze dwa krańce, granicę prawą i lewą

Więc:

$$x∈(-3;3)$$
 

Zadanie 2.

Pracujesz na kolei, program w którym wpisujesz miejsca obsługuje zbiory liczb. Co wpiszesz w program jeśli dziś masz do dyspozycji wagon nr 1 z miejscami od 1 do 15, wagon nr 2 z miejscami od 20 do 35, gdzie miejsce 21 jest zarezerwowane dla konduktora i jest niedostępne. Z kolei wagon nr 3 o miejscach od 36 do 50 ma przeznaczone dla konduktorów dwa przedziały, pierwszy i ostatni, w którym są 4 miejsca.

Zacznijmy od wydzielenia poszczególnych przedziałów.

Wagon nr 1:

„wagon nr 1 z miejscami od 1 do 15”

Zatem liczby od 1 do 15 należą, więc oznaczając w jako miejsca w wagonach:

$$w∈< 1;15 >$$

Teraz Wagon nr 2:

„wagon nr 2 z miejscami od 20 do 35, gdzie miejsce 21 jest zarezerwowane dla konduktora”

Odchodzi nam miejsce 21, więc wagon jest „podzielony” na dwie części. Miejsce 20 i Miejsca 22-35

Pamiętamy, że pojedynczą wartość zapisujemy pomiędzy { }

$$w∈ ext"{20} "∪< 22;35 >$$

Wagon nr 3:

„wagon nr 3 o miejscach od 36 do 50 ma przeznaczone dla konduktorów dwa przedziały, pierwszy i ostatni, w którym są 4 miejsca.”

Odchodzą nam 4 miejsca na granicach, więc miejsca 36-39 (to znaczy 36,37,38,39), a także 47-50

Pozostają nam miejsca 40-46

$$w∈< 40;46 >$$

Na koniec pozostaje nam zapis sumy zbiorów i przypomnienie, że miejsca są numerowane liczbami naturalnymi:

$$w∈< 1;15 > ∪ ext" {20}"∪< 22;35 >∪< 40;46 >$$ gdzie $$w∈N$$

Spis treści

Rozwiązane zadania
Olga jest o 4 lata starsza od brata

`x\ -\ "wiek brata Olgi obecnie"`

`x+4\ -\ "wiek Olgi obecnie"`

 

`x-4\ \ \ -\ \ \ "wiek brata Olgi 4 lata temu"`

`x+4-4=x\ \ \ -\ \ \ "wiek Olgi 4 lata temu"`

 

 

Wiemy, że 4 lata temu Olga była 2 razy starsza od swojego brata:

`2(x-4)=x`

`2x-8=x\ \ \ |-x`

`x-8=0\ \ \ |+8`

`x=8`

`x+4=8+4=12`

 

 

 

Dane są funkcje ...

`f(x)=3x-5` 

`g(x)=sqrt(x+2)` 

 

`a)` 

`h(x)=f(x)/g(x-1)=(3x-5)/(sqrt(x-1+2)` 

`D:` 

`sqrt(x-1+2)ne0\ \ \wedge\ \ \x-1+2>=0` 

`x+1>0` 

`x> -1` 

`D=(-1;+oo)` 

 

`b)` 

`h(x)=g(x+3)/f(x)=sqrt(x+5)/(3x-5)` 

`D:` 

`x+5>=0\ \ \wedge\ \ \ 3x-5ne0` 

`x>=-5\ \ \wedge\ \ \xne5/3` 

`D=[-5;+oo)\\{5/3}`    

 

`c)` 

`h(x)=f(1-x)/g(-x)=(3(1-x)-5)/sqrt(-x+2)` 

`D:` 

`-x+2>0` 

`x<2` 

`D=(-oo;2)` 

 

`d)` 

`h(x)=sqrt(f(x))/g(2-x)=sqrt(3x-5)/(sqrt(2-x+2)` 

`D:` 

`3x-5>=0\ \ \wedge\ \ \2-x+2>0` 

`x>=5/3\ \ \wedge\ \ \x<4` 

`D=[5/3;4)` 

 

`e)` 

`h(x)=f(2x)+g(3x)=3* 2x -5+sqrt(3x+2)`  

 

`D:` 

`3x+2>=0` 

`x>=-2/3` 

`D=[-2/3;+oo)` 

 

`f)` 

`h(x)=f(1/x)-g(-|x|)=3/x-5-sqrt(-|x|+2)` 

 

`D:` 

`xne0\ \ \wedge\ \ \-|x|+2>=0` 

`x ne 0\ \ \wedge\ \ \|x|<=2\ implies x<=2\ \ \wedge\ \ \x>=-2` 

`D=[-2;2]\\{0}`       

Punkty: A=(-3;2) ...

`A=(-3;2)` 

`B=(1;2)` 

`C=(5;6)` 

`D=(1;6)` 

 

`|AB|=|CD|=sqrt((1-5)^2+(6-6)^2)=4` 

`|BC|=|DA|=sqrt((-3-1)^2+(2-6)^2)=sqrt(16+16)=4sqrt2`    

`Obw_(ABCD)=2*4+2*4sqrt2=8+8sqrt2=8(1+sqrt2)~~19,3` 

`19,3 in (19;22]` 

 

`"Odpowiedź C."` 

Oblicz

`a)\ (sqrt6*sqrt15)/(sqrt250)=sqrt((6*strike15^3)/strike250^50)=sqrt(18/50)=sqrt(9/25)=3/5`

`b)\ (sqrt21*sqrt75)/(sqrt28)=sqrt((strike21^3*75)/strike28^4)=sqrt(225/4)=15/2=7 1/2`

`c)\ (sqrt2700)/(sqrt10*sqrt150)=sqrt(2700/(10*150))=sqrt(2700/1500)=sqrt(27/15)=sqrt(9/5)=sqrt9/sqrt5=3/sqrt5=(3*sqrt5)/(sqrt5*sqrt5)=(3sqrt5)/5`

`d)\ (sqrt6*sqrt45)/(sqrt12*sqrt40)=sqrt((strike6^1*45)/(strike12^2*40))=sqrt(45/80)=sqrt(9/16)=3/4`

Wyznacz równanie osi symetrii paraboli oraz współrzędne jej wierzchołka

Najpierw wyznaczymy miejsca zerowe (x₁ i x₂, następnie wyznaczymy równanie osi symetrii jako średnią arytmetyczną tych miejsc zerowych. Współrzędna x wierzchołka paraboli jest równa tyle, ile oś symetrii. Współrzędna y wierzchołka paraboli to z kolei wartość, jaką osiąga funkcja dla argumentu równego pierwszej współrzędnej wierzchołka paraboli)

 

 

`a)` 

`x(x-6)=0` 

`x=0\ \ \ l u b \ \ \ x-6=0` 

`\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x=6` 

 

`x_1=0 ,\ \ \ x_2=6\ \ \ =>\ \ \ x_w=(0+6)/2=6/2=3` 

`y_w=f(x_w)=f(3)=3*(3-6)=3*(-3)=-9` 

 

`ul(ul(W=(3,\ -9)))`   - współrzędne wierzchołka paraboli

`ul(ul(x=3))`   - równanie osi symetrii paraboli

 

 

 

`b)` 

`-x(x-10)=0\ \ \ |*(-1)` 

`x(x-10)=0` 

`x=0\ \ \ l u b \ \ \ x-10=0` 

`\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x=10` 

 

`x_1=0,\ \ \ x_2=10\ \ \ =>\ \ \ x_w=(0+10)/2=10/2=5` 

`y_w=f(x_w)=f(5)=-5*(5-10)=-5*(-5)=25` 

 

`ul(ul(W=(5,\ 25),\ \ x=5))`   

 

 

 

`c)` 

`1/2(x+6)(x-2)=0\ \ \ |*2` 

`(x+6)(x-2)=0` 

`x+6=0\ \ \ l u b \ \ \ x-2=0` 

`x=-6\ \ \ \ \ \ l u b \ \ \ x=2` 

 

`x_1=-6,\ \ x_2=2\ \ \ =>\ \ \ x_w=(-6+2)/2=(-4)/2=-2` 

`y_w=f(x_w)=1/2*(-2+6)*(-2-2)=` `1/2*4*(-4)=-8` 

 

`ul(ul(W=(-2,\ -8),\ \ x=-2))` 

 

 

 

`d)` 

`-2(x+3)(x-4)=0\ \ \ |:(-2)` 

`(x+3)(x-4)=0` 

`x+3=0\ \ \ l u b \ \ \ x-4=0` 

`x=-3\ \ \ \ \ l u b \ \ \ x=4` 

 

`x_1=-3,\ \ x_2=4\ \ \ =>\ \ \ x_w=(-3+4)/2=1/2` 

`y_w=f(x_w)=f(1/2)=-2*(1/2+3)*(1/2-4)=` 

`\ \ \ \ =` `-2*3 1/2*(-3 1/2)=` `strike2*7/strike2*7/2=` `49/2=24 1/2` 

 

`ul(ul(W=(1/2,\ 24 1/2),\ \ x=1/2))` 

 

 

 

 

`e)` 

`(2x+1)(2x-3)=0` 

`2x+1=0\ \ \ \ l u b \ \ \ \ 2x-3=0` 

`2x=-1\ \ \ \ \ \ \ l u b \ \ \ \ 2x=3` 

`x=-1/2\ \ \ \ \ \ \ l u b \ \ \ \ x=3/2=1 1/2` 

`x_1=-1/2,\ \ x_2=1 1/2\ \ \ =>\ \ \ x_w=(-1/2+1 1/2)/2=1/2` 

`y_w=f(x_w)=f(1/2)=(2*1/2+1)*(2*1/2-3)=` 

`\ \ \ \ =(1+1)*(1-3)=2*(-2)=-4` 

 

`ul(ul(W=(1/2,\ -4),\ \ \ x=1/2))` 

 

 

 

 

`f)` 

`(4x-1)(5-4x)=0` 

`4x-1=0\ \ \ \ l u b \ \ \ \ 5-4x=0` 

`4x=1\ \ \ \ \ \ \ \ \ l u b \ \ \ \ 5=4x` 

`x=1/4\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ l u b \ \ \ \ x=5/4=1 1/4` 

`x_1=1/4,\ \ x_2=5/4\ \ \ =>\ \ \ x_w=(1/4+5/4)/2=(6/4)/2=6/4:2=6/4*1/2=3/4` 

`y_w=f(x_w)=f(3/4)=(4*3/4-1)*(5-4*3/4)=` 

`\ \ \ \ =(3-1)*(5-3)=2*2=4` 

 

`ul(ul(W=(3/4,\ 4),\ \ \ x=3/4))`   

Wyznacz wzór...

Wysokość w trójkącie równobocznym dzieli go na dwa trójkąty prostokątne o przyprostokątnych a/2 i h oraz przeciwprostokątnej a. Zastosujmy twierdzenie Pitagorasa:

`(a/2)^2 + h^2 = a^2`

`(a^2)/4 + h^2 = a^2`

`1/4 a^2 + h^2 = a^2 \ \ \ |-1/4 a^2`

`h^2 = 3/4 a^2`

`h = sqrt(3/4) a`

`h = (sqrt3)/(sqrt4) a`

`h = (sqrt3)/2 a`

`h = (a sqrt3)/2`

Wskaż zbiory A i B, ...

`"a)"\ A cup B=(-5;3>>\ \ \ "i"\ \ \ \ AcapB=(-1;2)` 

Aby powyższe warunki były spełnione musi zachodzić:

`A=(-5;2)\ \ \ \ "oraz"\ \ \ \ B=(-1;3>>` 

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))` 

`"b)"\ A cup B=(-oo;1>>\ \ \ "i"\ \ \ \ AcapB=<<-1;1)`  

Aby powyższe warunki były spełnione musi zachodzić:

`A=(-oo;1>>\ \ \ \ "oraz"\ \ \ \ B=<<-1,1)` 

Sprawdź, czy podana liczba spełnia nierówność

`a)\ 1/2*2-2#<^?1`

`\ \ \ 1-2#<^?1`

`\ \ \ -1#<^?1\ \ \ \ \ tak`

 

 

`b)\ 1/2*4-2#<^?1`

`\ \ \ 2-2#<^?1`

`\ \ \ 0#<^?1\ \ \ \ tak`

 

 

`c)\ 1/2*6-2#<^?1`

`\ \ \ 3-2#<^?1`

`\ \ \ 1#<^?1\ \ \ \ nie`

 

 

`d)\ 1/2*8-2#<^?1`

`\ \ \ 4-2#<^?1`

`\ \ \ 2#<^?1\ \ \ \ nie`

 

 

 

Za korzystanie z siłowni pobierana ...

Oznaczmy wysokość jednorazowej opłaty wpisowej jako x, a wysokość opłaty miesięcznej jako y. 

 

`{(x+5y=510\ \ \ \|*(-1)), (x+10y=885):}`

`{(-x-5y=-510), (x+10y=885):}\ \ \ \ |+`

`5y=375\ \ \ \ \ |:5`

`y=75`

`{(y=75), (x+10*75=885):}`

`{(y=75), (x+750=885\ \ \ \ |-750):}`

`{(y=75), (x=135):}`

Opisz słownie trzy funkcje, których dziedziną jest zbiór
  • funkcja która każdej liczbie całkowitej dodatniej przyporządkowuje liczbę od niej większą o 2
  • funkcja która każdej liczbie całkowitej dodatniej przyporządkowuje kwadrat liczby 2
  • funkcja która każdej liczbie całkowitej dodatniej przyporządkowuje jej dwukrotność