Zgoda na przetwarzanie danych osobowych

25 maja 2018 roku zacznie obowiązywać Rozporządzenie Parlamentu Europejskiego i Rady (UE) 2016/679 z dnia 27 kwietnia 2016 r. znane jako RODO.

Dlatego aby dalej móc dostarczać Ci materiały odpowiednie do Twojego etapu edukacji, potrzebujemy zgody na lepsze dopasowanie treści do Twojego zachowania. Dzięki temu możemy zapamiętywać jakie materiały są Ci potrzebne. Dbamy o Twoją prywatność, więc nie zwiększamy zakresu naszych uprawnień. Twoje dane są u nas bezpieczne, a zgodę na ich zbieranie możesz wycofać na podstronie polityka prywatności.

Klikając "Przejdź do Odrabiamy", zgadzasz się na wskazane powyżej działania. W przeciwnym wypadku, nie jesteśmy w stanie zrealizować usługi kompleksowo i prosimy o opuszczenie strony.

Polityka prywatności

Drogi Użytkowniku w każdej chwili masz prawo cofnąć zgodę na przetwarzanie Twoich danych osobowych. Cofnięcie zgody nie będzie wpływać na zgodność z prawem przetwarzania, którego dokonano na podstawie wyrażonej przez Ciebie zgody przed jej wycofaniem. Po cofnięciu zgody wszystkie twoje dane zostaną usunięte z serwisu. Udzielenie zgody możesz modyfikować w zakładce 'Informacja o danych osobowych'

Przedziały liczbowe - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Suma zbiorów

W zbiorach liczb może nam się trafić tzw. Przerwanie. Ma to miejsce, gdy w naszym zakresie liczb jest więcej niż 1 przedział, np. z liczb od 1 do 100 chcę wziąć tylko te od 1 do 25, od 40 do 67 oraz od 70 do 86. Kolejny przykład wraz z opisem powinien wszystko dokładnie wytłumaczyć.

Przykład:
Pracujemy na kolei i musimy podsumować dostępność miejsc w wagonach, okazuje się, że w wagonie nr 1 są miejsca od 1 do 42.

Z kolei w wagonie nr 2 są już miejsca od 55 do 75.
Brakuje nam miejsc 43-54, przez co nie możemy zapisać $$< 1;75 >$$

Potrzebujemy wykonać tzw. Sumę zbiorów, czyli wrzucić do jednego zbioru wszystkie liczby z kilku zbiorów (w naszym przypadku miejsca z obu wagonów).

Sumę zbiorów oznaczamy jako: $$∪$$

Rozwiązaniem będzie zapisanie, że miejsca należą do sumy zbiorów:

$$miejsce ∈ <1 ;42 >$$$$< 55 ;75 >$$

Oczywiście musimy pamiętać, że nie ma ułamków w naszych miejscach, więc musimy dopisać:

$$miejsce ∈<1$$ ;$$42 > ∪ $$ $$< 55 ;75 >$$ ,gdzie $$miejsce∈N$$
 

Różnica zbiorów

Czasem w celu ułatwienia sobie życia stosujemy tzw. Różnicę, której symbolem jest „”. Po co nam ona? Załóżmy, że musimy wyznaczyć zbiór wszystkich liczb rzeczywistych oprócz piątki.

Zapis taki jak dotychczas:

$$ x∈(-∞ ;5)∪(5 ;∞)$$

Zwróćcie uwagę na nawiasy!

Zamiast tego użyjmy zapisu z różnicą: $$x∈R ext"{5}"$$

Liczby pomiędzy klamerkami { } są to pojedyncze sztuki, więc {1,2,3} to 1,2,3

Zapis: $$R ext"{5}"$$ Oznacza każdą liczbę rzeczywistą oprócz 5.
 

Zapis graficzny

Na naszej drodze będziemy musieli sporządzać zapisy graficzne, przede wszystkim na osi liczbowej.

Przykład:

Weźmy nasze pociągi, mamy wagon z miejscami <1;42) co oznacza, ze miejsce 42 jest niedostępne.
Dla uproszczenia przyjmijmy, że można zajmować też miejsca ułamkowe i niewymierne.

Kółeczko puste oznacza nawiasy ( i )

Kółeczko zamalowane lub brak kółeczka oznacza < i >

Zatem zapis na takiej osi wygląda następująco:

os

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Rozwiąż nierówność i zapisz rozwiązanie na przedziale $$x^2-9 < 0$$ .

Przenieśmy liczbę na prawą stronę:

$$x^2 < 9$$

Zatem pamiętając, że równanie czy nierówność kwadratowa ma dwa rozwiązania

$$x^2 < 9$$

$$x < 3$$ v $$x > -3$$

Dwa rozwiązania wynikają z tego, że każda liczba podniesiona do kwadratu daje wynik dodatni. W przypadku 9, może to być: $$3^2=9$$ lub $$(-3)^2=9$$

Mamy więc dwa ograniczenia

$$x < 3$$ v $$x > -3$$

Zapiszmy je jako jedno

$$-3 < x < 3$$

Teraz widzimy dobrze dwa krańce, granicę prawą i lewą

Więc:

$$x∈(-3;3)$$
 

Zadanie 2.

Pracujesz na kolei, program w którym wpisujesz miejsca obsługuje zbiory liczb. Co wpiszesz w program jeśli dziś masz do dyspozycji wagon nr 1 z miejscami od 1 do 15, wagon nr 2 z miejscami od 20 do 35, gdzie miejsce 21 jest zarezerwowane dla konduktora i jest niedostępne. Z kolei wagon nr 3 o miejscach od 36 do 50 ma przeznaczone dla konduktorów dwa przedziały, pierwszy i ostatni, w którym są 4 miejsca.

Zacznijmy od wydzielenia poszczególnych przedziałów.

Wagon nr 1:

„wagon nr 1 z miejscami od 1 do 15”

Zatem liczby od 1 do 15 należą, więc oznaczając w jako miejsca w wagonach:

$$w∈< 1;15 >$$

Teraz Wagon nr 2:

„wagon nr 2 z miejscami od 20 do 35, gdzie miejsce 21 jest zarezerwowane dla konduktora”

Odchodzi nam miejsce 21, więc wagon jest „podzielony” na dwie części. Miejsce 20 i Miejsca 22-35

Pamiętamy, że pojedynczą wartość zapisujemy pomiędzy { }

$$w∈ ext"{20} "∪< 22;35 >$$

Wagon nr 3:

„wagon nr 3 o miejscach od 36 do 50 ma przeznaczone dla konduktorów dwa przedziały, pierwszy i ostatni, w którym są 4 miejsca.”

Odchodzą nam 4 miejsca na granicach, więc miejsca 36-39 (to znaczy 36,37,38,39), a także 47-50

Pozostają nam miejsca 40-46

$$w∈< 40;46 >$$

Na koniec pozostaje nam zapis sumy zbiorów i przypomnienie, że miejsca są numerowane liczbami naturalnymi:

$$w∈< 1;15 > ∪ ext" {20}"∪< 22;35 >∪< 40;46 >$$ gdzie $$w∈N$$

Spis treści

Rozwiązane zadania
Wyznacz wartość najmniejszą i wartość największą funkcji f w podanym przedziale

Najpierw sprawdzamy, czy wierzchołek paraboli leży w podanym przedziale. 

Liczymy wartości funkcji f na końcach przedziału oraz w wierzchołku (jeśli wierzchołek leży w tym przedziale)

 

 

`a)` 

`x_w=-(-2)/2=2/2=1in<<0,\ 3>>` 

`f(1)=1^2-2*1+5=1-2+5=4` 

`f(0)=0^2-2*0+5=5` 

`f(3)=3^2-2*3+5=` `9-6+5=8` 

`f_(max)=8\ \ \ dla\ \ \ x=3` 

`f_(min)=4\ \ \ dla\ \ \ x=1` 

 

 

 

`b)` 

`x_w=-(-6)/(2*3)=6/6=1 in<<0,\ 4>>` 

`f(1)=3*1^2-6*1+1/4=` `3-6+1/4=-3+1/4=-2 3/4` 

`f(0)=3*0^2-6*0+1/4=1/4` 

`f(4)=3*4^2-6*4+1/4=` `48-24+1/4=` `24 1/4` 

`f_(max)=24 1/4\ \ \ dla\ \ \ x=4` 

`f_(min)=-2 3/4\ \ \ dla\ \ \ x=1` 

 

 

 

`c)` 

`x_w=-2/2=-1in<<-1,\ 1>>` 

`f(-1)=(-1)^2+2*(-1)-2=` `1-2-2=-3` 

`f(1)=1^2+2*1-2=1+2-2=1` 

`f_(max)=1\ \ \ dla\ \ \ x=1` 

`f_(min)=-1\ \ \ dla\ \ \ x=-1` 

 

 

 

 

`d)` 

`x_w=-(-20)/(2*(-5))=` `-20/10=-2in<<-4,\ -1>>` 

`f(-2)=-5*(-2)^2-20*(-2)+4=` 

`\ \ \ \ \ \ \ \ \ =` `-5*4+40+4=24` 

`f(-4)=-5*(-4)^2-20*(-4)+4=` 

`\ \ \ \ \ \ \ \ \ =` `-5*16+80+4=4` 

`f(-1)=-5*(-1)^2-20*(-1)+4=` 

`\ \ \ \ \ \ \ \ \ =-5+20+4=19` 

`f_(max)=24\ \ \ dla\ \ \ x=-2` 

`f_(min)=4\ \ \ dla x=-4` 

 

 

 

`e)` 

`x_w=-8/(2*(-1))=4notin<<-4,\ -1>>` 

`f(-4)=-(-4)^2+8*(-4)+1=` 

`\ \ \ \ \ \ \ \ \ =-16-32+1=-47` 

`f(-1)=-(-1)^2+8*(-1)+1=` 

`\ \ \ \ \ \ \ =-1-8+1=-8` 

`f_(max)=-8\ \ \ dla\ \ \ x=-1` 

`f_(min)=-47\ \ \ dla\ \ \ x=-4` 

 

 

 

 

`f)` 

`x_w=-(0,1)/(2*0,1)=-1/2notin<<1,\ 10>>` 

`f(1)=0,1*1^2+0,1*1+5=01,+0,1+5=5,2` 

`f(10)=0,1*10^2+0,1*10+5=` `0,1*100+1+5=16` 

`f_(max)=16\ \ \ dla\ \ \ x=10` 

`f_(min)=5,2\ \ \ dla\ \ \ x=1`      

 

W naczyniu znajduje się ...

1 mol = 6,021023 cząsteczek

W naczyniu znajduje się 18,061023 cząsteczek wody. Aby obliczyć, ile to moli, wykonujemy dzielenie:

`(18,06*strike(10^23))/(6,02*strike(10^23))=3\ ["mole"]`  

  Odp: 18,061023 cząsteczek wody odpowiada 3 molom.

Kąty...

Skoro kąty alfa i beta są kątami ostrymi w trójkącie to:

`alpha + beta = 90^o` 

Stąd otrzymujemy równości:

`alpha = 90^o - beta`

`beta = 90^o - alpha`  

 

a) Z jedynki trygonometrycznej:

`sin^2 alpha + cos^2 alpha = 1`  

`sin^2 alpha + (1/3)^2 = 1` 

`sin^2 alpha + 1/9 = 1` 

`sin^2 alpha = 8/9` 

Sinus jest dodatni bo kąt jest ostry.

`sin alpha = (2sqrt2)/3` 

 

`tg \ alpha = sinalpha/cosalpha = ((2sqrt2)/3)/(1/3) = (2sqrt2)/3 * 3 = 2sqrt2` 

 

`tg \ beta = 1/(tg(90^o - alpha)) = 1/(tg \ alpha) = 1/(2sqrt2)*sqrt2/sqrt2 = sqrt2/4`  

 

 

`b) \ sin alpha = sin(90^o - beta) = cos beta = 2/5` 

 

`c) \ sin^2 beta + cos^2 beta = 1` 

`sin^2 beta + (2 sin beta)^2=1` 

`sin^2 beta + 4sin^2 beta = 1` 

`5 sin^2 beta = 1` 

`sin^2 beta = 1/5` 

Sinus jest dodatni bo kąt jest ostry

`sin beta = sqrt5/5` 

 

`cos beta = 2 sin beta = 2*sqrt5/5 = (2sqrt5)/5` 

 

`tg \ beta = sinbeta/cosbeta = (sqrt5/5)/((2sqrt5)/5) = 1/2` 

 

`tg \ alpha = 1/(tg(90^o-beta)) = 1/(tg \ beta) = 1/(1/2)=2` 

Naszkicuj wykres funkcji

Wykonajmy tabelę wartości funkcji:

 
`x`  `0`  `1`  `4`  `9` 
`f(x)`    `0`  `1`  `2`  `3` 

 

  Rysujemy wykres:     `a)`  Zauważmy, że funkcja jest rosnąca w całej swojej dziedzinie.  Stąd szukany zbiór będzie postaci: `(f(0);\ f(1/4)>>=(sqrt0;\ sqrt(1/4)>>=(0;\ 1/2>>`      `b)`  `f(1/4)=sqrt(1/4)=1/2`  `f(1)=sqrt1=1`  Szukany zbiór: `(1/2;\ 1)`      `c)`  `f(4)=2`  `f(9)=3`    Szukany zbiór: `<<2;\ 3>>`      `d)`  `f(2 1/4)=f(9/4)=3/2`  `f(6 1/4)=f(25/4)=5/2`    Szukany zbiór: `<<3/2;\ 5/2>>` 
Na poniższym rysunku jest przedstawiony...

a) Zauważmy, że dla każdego argumentu istnieje wartość a więc dziedziną będą wszystkie liczby rzeczywiste.

`D = R` 

 

  • Zbiór wartości:

Zauważmy, że dla każdego y z przedziału `(-oo,2]`  istnieje przypisany mu x, a więc zbiór wartości to:

`Z_w = (-oo, 2]` 

 

  • Miejsca zerowe:

`f(x) = 0 \ \ \ "dla" \ x in {-5,-1,1,5}` 

 

  • Wartości dodatnie:

`f(x)>0 \ \ \ "Dla" \ x in (-5,-1) \cup (1,5)` 

 

  • Wartości ujemne:

`f(x) < 0 \ \ \ "Dla" \ x in (-oo, -5) \cup (-1,1) \cup (5,oo)` 

 

  • Monotoniczność:

`"Funkcja rośnie dla" \ x in (-oo, -3] \ "i" \ [0,3]` 

`"Funkcja malejąca dla" \ x in [-3,0] \ "i" \ [3,oo)` 

 

  • Własności wykresu funkcji:

Zauważmy, że dla argumentów, które są względem siebie liczbami przeciwnymi funkcja przyjmuje te same wartości. A więc jest parzysta.

 

  • Wartość największa i najmniejsza:

`y_("max") = 2 \ \ \ "dla" \ x in {-3,3}`

Wartość najmniejsza nie istnieje.

 

b) Zauważmy, że dla każdego argumentu z przedziału [-5,5] istnieje wartość a więc dziedziną będzie przedział [-5,5]

`D = [-5,5]` 

 

  • Zbiór wartości:

Zauważmy, że dla każdego y z przedziału `[-4,-2) \cup [-1,1] \cup (2,4]`  istnieje przypisany mu x, a więc zbiór wartości to:

`Z_w = [-4,-2) \cup [-1,1] \cup (2,4]` 

 

  • Miejsca zerowe:

`f(x) = 0 \ \ \ "dla" \ x in {0}` 

 

  • Wartości dodatnie:

`f(x)>0 \ \ \ "Dla" \ x in (0,5)` 

 

  • Wartości ujemne:

`f(x) < 0 \ \ \ "Dla" \ x in (-5,0)` 

 

  • Monotoniczność:

`"Funkcja rośnie dla" \ x in [-4,4]` 

`"Funkcja malejąca dla" \ x in (-5,-4] \cup [4,5)` 

 

  • Własności wykresu funkcji:

Zauważmy, że wykres funkcji jest symetryczny względem punktu (0,0). Zatem funkcja jest nieparzysta.

 

  • Wartość największa i najmniejsza:

`y_("max") = 4 \ \ \ "dla" \ x in {4}`

`y_("min") = -4 \ \ \ "dla" \ x in {-4}` 

 

c) Zauważmy, że dla każdego argumentu z przedziału `[-7,5)`  istnieje wartość a więc dziedziną będzie przedział `[-7,5)` .

`D = [-7,5)` 

 

  • Zbiór wartości:

Zauważmy, że dla każdego y z przedziału `[-2,5]`  istnieje przypisany mu x, a więc zbiór wartości to:

`Z_w = [-2,5]` 

 

  • Miejsca zerowe:

`f(x) = 0 \ \ \ "dla" \ x ={-6,-2}` 

 

  • Wartości dodatnie:

`f(x)>0 \ \ \ "Dla" \ x in [-7,-6) \cup (-2,5)` 

 

  • Wartości ujemne:

`f(x) < 0 \ \ \ "Dla" \ x in (-6,-2)` 

 

  • Monotoniczność:

`"Funkcja rośnie dla" \ x in [-4,3]` 

`"Funkcja malejąca dla" \ x in [-7,-4] \cup [3,5)` 

 

  • Własności wykresu funkcji:

Wykres funkcji nie ma żadnych własności wartych uwagi.

 

  • Wartość największa i najmniejsza:

`y_("max") = 5 \ \ \ "dla" \ x in {3}`

`y_("min") = -2 \ \ \ "dla" \ x in {-4}`

 

d) Zauważmy, że dla każdego argumentu z przedziału `(-5,6] \ \\ \ {-2}` istnieje wartość a więc dziedziną będzie zbiór (-5,6] \ \\ \ {-2}.

`D = (-5,6] \ \\ \ {-2}` 

 

  • Zbiór wartości:

Zauważmy, że dla każdego y z przedziału `[-5,6)`  istnieje przypisany mu x, a więc zbiór wartości to:

`Z_w = [-5,6)` 

 

  • Miejsca zerowe:

`f(x) = 0 \ \ \ "dla" \ x ={-3,4}` 

 

  • Wartości dodatnie:

`f(x)>0 \ \ \ "Dla" \ x in (-5,-3) \cup (4,6]` 

 

  • Wartości ujemne:

`f(x) < 0 \ \ \ "Dla" \ x in (-3,4)` 

 

  • Monotoniczność:

`"Funkcja rośnie dla" \ x in [2,6]` 

`"Funkcja malejąca dla" \ x in (-5,2] \ \\ \ {-2}` 

 

  • Własności wykresu funkcji:

Wykres funkcji nie ma żadnych własności wartych uwagi.

 

  • Wartość największa i najmniejsza:

`y_("min") = -5 \ \ \ "dla" \ x in {2}`

Wartość największa nie istnieje.

Wyznacz równanie prostej przechodzącej przez punkty P i Q

`a)`

Obliczamy współczynnik kierunkowy prostej y=ax+b:

`a=(9-5)/(-4-4)=4/(-8)=-1/2`

Zatem na razie mamy równanie postaci: 

`y=-1/2x+b`

Teraz do równania podstawiamy współrzędne jednego z punktów, powiedzmy punktu P:

`5=-1/2*4+b`

`5=-2+b`

`b=5+2=7`

 

Ostatecznie mamy więc równanie prostej:

`ul(y=-1/2x+7)`

 

 

 

`b)`

`a=(-7-(-13))/(2-4)=(-7+13)/(-2)=6/(-2)=-3`

Mamy równanie:

`y=-3x+b`

Podstawiamy współrzędne punktu Q:

`-7=-3*(-2)+b`

`-7=6+b`

`b=-7-6=-13`

 

`ul(y=-3x-13)`

 

 

`c)`

`a=(7/3-3)/(1-3)=(7/3-9/3)/(-2)=(-2/3)/(-2)=-2/3:(-2)=1/3`

Mamy równanie:

`y=1/3x+b`

Podstawiamy współrzędne punktu P:

`3=1/3*3+b`

`3=1+b`

`b=3-1=2`

 

`ul(y=1/3x+2)`

 

Na bokach trójkąta prostokątnego...

a) Zauważmy, że:

`{((|AD|)/(|AB|)= 1/2),((|AF|)/(|AC|)=1/2):}` 

`{(|AD|=1/2|AB|),(|AF|=1/2 |AC|):}` 

 

Pole trójkąta ABC:

`P_("ABC")= 1/2*|AC|*|AB| = 1/2*|AC|*|AB|` 

 

Pole prostokąta ADEF:

`P_("ADEF") = |AD|*|AF|= 1/2|AB|*1/2|AC| = 1/2*1/2*|AB|*|AC| = 1/2P_("ABC")` 

A więc:

`2P_("ADEF") = P_("ABC")` 

A więc pole prostokąta ADEF jest dwa razy mniejsze od pola trójkąta ABC.

 

 

b) Niech:

`|AD|=|DE|=x` 

 

`|BC|^2 = 8^2 + 4^2 = 64 + 16 = 80` 

`|BC|=4sqrt5` 

 

`(|BE|)/(|BC|)=(|DE|)/(|AC|)` 

`(|BE|)/(4sqrt5) = x/4` 

`x=(|BE|)/sqrt5` 

 

zauważmy, że:

`(|AD|)/(|AB|) = (|CE|)/(|BC|)` 

`x/8=(4sqrt5-|BE|)/(4sqrt5)` 

 

A więc:

`((|BE|)/(sqrt5))/8 = (4sqrt5-|BE|)/(4sqrt5)` 

`(|BE|)/(8sqrt5) = 1 - (|BE|)/(4sqrt5)` 

`(|BE|)/(8sqrt5)+(2|BE|)/(8sqrt5) = 1` 

`(3|BE|)/(8sqrt5)=1` 

`|BE| = 8/3 sqrt5` 

Oblicz

`a)\ root(3)(0,512)=root(3)(0,8^3)=0,8` 

`b)\ root(3)(3,375)=root(3)(3 375/1000)=root(3)(3 3/8)=root(3)(27/8)=3/2=1 1/2` 

`c)\ root(3)(3 3/8)=root(3)(27/8)=3/2=1 1/2` 

`d)\ root(3)(4 17/27)=root(3)(125/27)=5/3=1 2/3` 

`e)\ root(5)16*root(6)64=root(5)(16*64)=root(5)(2^4*2^6)=root(5)(2^10)=root(5)((2^2)^5)=2^2=4` 

`f)\ root(5)(9/125)*root(5)(27/25)=root(5)(9/125*27/25)=root(5)(3^2/5^3*3^2/5^2)=root(5)(3^5/2^5)=root(5)((3/2)^5)=3/2=1 1/2`  

 

Wyznacz wartości funkcji trygonometrycznych...

 

Z twierdzenia Pitagorasa:

`x^2 + 4^2 = 7^2`  

`x^2 + 16 = 49` 

`x^2 = 33` 

`x = sqrt33` 

 

`sin alpha = x/7 = sqrt33/7` 

`cos alpha = 4/7` 

`tg \ alpha = x/4 = sqrt33/4` 

`ctg \ alpha = 4/x = 4/sqrt33 * sqrt33/sqrt33 = (4sqrt33)/33` 

Wielokąt ABCDE przedstawiony na rysunku...

Obliczmy miarę jednego kąta w pięciokącie foremnym:

`180^o *(5-2)/5 = 180^o * 3/5 = 36^o * 3 = 108^o` 

 

Zatem:

`beta = 180^o - 108^o = 72^o` 

 

`alpha = 180^o - 2beta = 180^o - 144^o = 36^o` 

 

 

b) Miara kąta przy wierzchołku najbardziej oddalonym od prostej k wynosi:

`180^o *(n-2)/n` 

 

Punkty przecięcia prostych k, l  z prostą m tworzą razem z najbardziej oddalonym wierzchołkiem trójkąt równoramienny. Zatem kąty przy podstawie są równe a ich miara wynosi:

`180^o - 180^o*(n-2)/n = 180^o [1-(n-2)/n] = 180^o*[n/n -(n-2)/n] = 180^o [2/n] = 360^o/n`  

Zatem miary kątów to:

`180^o *(n-2)/n \ , \ 180^o/n \ , \ 180^o/n`