Przedziały liczbowe - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Suma zbiorów

W zbiorach liczb może nam się trafić tzw. Przerwanie. Ma to miejsce, gdy w naszym zakresie liczb jest więcej niż 1 przedział, np. z liczb od 1 do 100 chcę wziąć tylko te od 1 do 25, od 40 do 67 oraz od 70 do 86. Kolejny przykład wraz z opisem powinien wszystko dokładnie wytłumaczyć.

Przykład:
Pracujemy na kolei i musimy podsumować dostępność miejsc w wagonach, okazuje się, że w wagonie nr 1 są miejsca od 1 do 42.

Z kolei w wagonie nr 2 są już miejsca od 55 do 75.
Brakuje nam miejsc 43-54, przez co nie możemy zapisać $$< 1;75 >$$

Potrzebujemy wykonać tzw. Sumę zbiorów, czyli wrzucić do jednego zbioru wszystkie liczby z kilku zbiorów (w naszym przypadku miejsca z obu wagonów).

Sumę zbiorów oznaczamy jako: $$∪$$

Rozwiązaniem będzie zapisanie, że miejsca należą do sumy zbiorów:

$$miejsce ∈ <1 ;42 >$$$$< 55 ;75 >$$

Oczywiście musimy pamiętać, że nie ma ułamków w naszych miejscach, więc musimy dopisać:

$$miejsce ∈<1$$ ;$$42 > ∪ $$ $$< 55 ;75 >$$ ,gdzie $$miejsce∈N$$
 

Różnica zbiorów

Czasem w celu ułatwienia sobie życia stosujemy tzw. Różnicę, której symbolem jest „”. Po co nam ona? Załóżmy, że musimy wyznaczyć zbiór wszystkich liczb rzeczywistych oprócz piątki.

Zapis taki jak dotychczas:

$$ x∈(-∞ ;5)∪(5 ;∞)$$

Zwróćcie uwagę na nawiasy!

Zamiast tego użyjmy zapisu z różnicą: $$x∈R ext"{5}"$$

Liczby pomiędzy klamerkami { } są to pojedyncze sztuki, więc {1,2,3} to 1,2,3

Zapis: $$R ext"{5}"$$ Oznacza każdą liczbę rzeczywistą oprócz 5.
 

Zapis graficzny

Na naszej drodze będziemy musieli sporządzać zapisy graficzne, przede wszystkim na osi liczbowej.

Przykład:

Weźmy nasze pociągi, mamy wagon z miejscami <1;42) co oznacza, ze miejsce 42 jest niedostępne.
Dla uproszczenia przyjmijmy, że można zajmować też miejsca ułamkowe i niewymierne.

Kółeczko puste oznacza nawiasy ( i )

Kółeczko zamalowane lub brak kółeczka oznacza < i >

Zatem zapis na takiej osi wygląda następująco:

os

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Rozwiąż nierówność i zapisz rozwiązanie na przedziale $$x^2-9 < 0$$ .

Przenieśmy liczbę na prawą stronę:

$$x^2 < 9$$

Zatem pamiętając, że równanie czy nierówność kwadratowa ma dwa rozwiązania

$$x^2 < 9$$

$$x < 3$$ v $$x > -3$$

Dwa rozwiązania wynikają z tego, że każda liczba podniesiona do kwadratu daje wynik dodatni. W przypadku 9, może to być: $$3^2=9$$ lub $$(-3)^2=9$$

Mamy więc dwa ograniczenia

$$x < 3$$ v $$x > -3$$

Zapiszmy je jako jedno

$$-3 < x < 3$$

Teraz widzimy dobrze dwa krańce, granicę prawą i lewą

Więc:

$$x∈(-3;3)$$
 

Zadanie 2.

Pracujesz na kolei, program w którym wpisujesz miejsca obsługuje zbiory liczb. Co wpiszesz w program jeśli dziś masz do dyspozycji wagon nr 1 z miejscami od 1 do 15, wagon nr 2 z miejscami od 20 do 35, gdzie miejsce 21 jest zarezerwowane dla konduktora i jest niedostępne. Z kolei wagon nr 3 o miejscach od 36 do 50 ma przeznaczone dla konduktorów dwa przedziały, pierwszy i ostatni, w którym są 4 miejsca.

Zacznijmy od wydzielenia poszczególnych przedziałów.

Wagon nr 1:

„wagon nr 1 z miejscami od 1 do 15”

Zatem liczby od 1 do 15 należą, więc oznaczając w jako miejsca w wagonach:

$$w∈< 1;15 >$$

Teraz Wagon nr 2:

„wagon nr 2 z miejscami od 20 do 35, gdzie miejsce 21 jest zarezerwowane dla konduktora”

Odchodzi nam miejsce 21, więc wagon jest „podzielony” na dwie części. Miejsce 20 i Miejsca 22-35

Pamiętamy, że pojedynczą wartość zapisujemy pomiędzy { }

$$w∈ ext"{20} "∪< 22;35 >$$

Wagon nr 3:

„wagon nr 3 o miejscach od 36 do 50 ma przeznaczone dla konduktorów dwa przedziały, pierwszy i ostatni, w którym są 4 miejsca.”

Odchodzą nam 4 miejsca na granicach, więc miejsca 36-39 (to znaczy 36,37,38,39), a także 47-50

Pozostają nam miejsca 40-46

$$w∈< 40;46 >$$

Na koniec pozostaje nam zapis sumy zbiorów i przypomnienie, że miejsca są numerowane liczbami naturalnymi:

$$w∈< 1;15 > ∪ ext" {20}"∪< 22;35 >∪< 40;46 >$$ gdzie $$w∈N$$

Spis treści

Rozwiązane zadania
Paweł złożył

`"kwota wpłacona na lokatę:"\ \ \ 1000` 

`"oprocentowanie w skali roku:"\ \ \ p%`  

Wiemy, że oprocentowanie wynosi p% w skali roku, a od odsetek pobierany jest podatek 20%, więc odsetki, które faktycznie otrzymuje klient, stanowią 100%-20%=80% odsetek naliczonych przez bank. 

`"uzyskane odsetki:"\ \ \ 80%*p%*1000=80/100*p/strike100^1*strike1000^10=80/100*p*10=4/strike5^1*p*strike10^2=8p` 

 

Wiemy, że nagroda 450 zł i uzyskane odsetki pozwoliły na zakup mikrofonu za 500 zł, więc możemy zapisać nierówność (nierówność, ponieważ w treści zadania nie podano informacji, czy Paweł wydał całą kwotę, czy też coś mu zostało):

`450+8p>=500\ \ \ |-450` 

`8p>=50\ \ \ |:8` 

`p>=6,25` 

 

Wyznacz współczynniki b i c...

Wiemy, że jeżeli wierzchołek ma współrzędne p i q, to:

`f(p) = q` 

oraz

`p = (-b)/(2a)` 

 

`a) \ p = (-b)/(2a)` 

`2 = (-b)/2`  

`-b = 4` 

`b = -4` 

 

`f(2)=5` 

`2^2 + 2*(-4) + c = 5` 

`4 - 8 + c = 5` 

`-4 + c = 5` 

`c = 9` 

`f(x) = x^2 -4x + 9` 

 

 

`b) \ p = (-b)/(2a)` 

`-1 = (-b)/2` 

`-b = -2` 

`b = 2` 

 

`f(-1) = 1/2` 

`(-1)^2 + 2*(-1) + c = 1/2` 

`1 - 2 + c = 1/2` 

`-1 + c = 1/2` 

`c = 3/2` 

 

`f(x) = x^2 + 2x + 3/2` 

 

 

`c) \ p = (-b)/(2a)` 

`0 = (-b)/2` 

`b = 0` 

 

`f(0)=-3` 

`0^2 + 0*0 + c = -3` 

`c = -3` 

 

`f(x) = x^2 -3` 

 

 

`d) \ p = (-b)/(2a)` 

`2 = (-b)/2` 

`-b = 4` 

`b = -4` 

 

`f(2) = 0` 

`2^2 + 2*(-4) + c = 0` 

`4 -8 + c =0` 

`-4 + c = 0` 

`c = 4` 

 

`f(x) = x^2 -4x+4` 

Na rysunku przedstawiono szkic ...

`y=x^2-6x+9` 

`a)` 

`x^2-6x+9>0` 

`x in RR\\{3}` 

 

`b)` 

`x^2-6x+9>=0` 

`x in RR` 

 

`c)` 

`x^2-6x+9<0` 

`x in emptyset` 

 

`d)` 

`x^2-6x+9<=0` 

`x in {3}` 

 

Na rysunku przedstawiono wykresy dwóch funkcji

`A'=(-5,\ 4)`

`B'=(-3,\ 6)`

`C'=(0,\ 4)`

`D'=(4,\ 6)`

 

Na rysunku przedstawiono wykres funkcji f

UWAGA:

Funkcja jest malejąca w każdym z tych przedziałów z osobna, ale nie jest malejąca w całej swej dziedzinie - dla coraz większych argumentów z całej dziedziny wcale nie przyjmuje coraz mniejszych wartości - np. dla argumentu 2 nie przyjmuje mniejszej wartości niż dla argumentu -2.

 

Prawidłowa jest odpowiedź D. 

Podaj współrzędne środka i promień ...

`a)` 

`(x-2)^2+(y-5)^2=16` 

`S=(2;5)` 

`r=sqrt16=4` 

 

`b)` 

`(x+1/2)^2+(y-3/4)^2=2 7/9` 

`S=(-1/2;3/4)` 

`r=sqrt(2 7/9)=sqrt(25/9)=5/3` 

 

`c)` 

`x^2+(y+9/4)^2=10` 

`S=(0;-9/4)` 

`r=sqrt10` 

 

`d)` 

`(x-sqrt2)^2+(y-sqrt3)^2=8` 

`S=(sqrt2;sqrt3)` 

`r=sqrt8=2sqrt2` 

 

`e)` 

`(x+5)^2+(y+9)^2=225` 

`S=(-5;-9)` 

`r=sqrt225=15` 

 

`f)` 

`(x-1 1/6)^2+y^2=45` 

`S=(1 1/6;0)` 

`r=sqrt45=3sqrt5` 

Odczytaj z wykresu funkcji ...

`f:\ [-4;4]->RR` 

 

`a)` 

`ZW=[-5;4]` 

`f_max-"wartość największa funkcji f"` 

`f_min-"wartość najmniejsza funkcji f"`  

`f_max =4\ "dla"\ x =-2`    

`f_min=-5\ "dla"\ x=4`  

 

`b)` 

`ZW=(-5;2]` 

`f_max=2\ "dla"\ x in {-1;1}`       

 

`f_min- "nie istnieje"` 

    

`c)` 

`ZW=[-1;4]`  

`f_max=4\ "dla"\ x=-2`      

`f_min=-1\ "dla"\ x in {2;4}` 

 

`d)` 

`ZW=[-3;4)`   

`f_max-"nie istnieje"`        

`f_min=-3\ "dla"\ x =3`          

 

`e)` 

`ZW=[-4;-2]cup(-1;4]`    

`f_max=4\ "dla"\ x=4`         

`f_min=-4\ "dla"\ x =4`       

 

`f)` 

`ZW={-2}cup[-1;3]`     

`f_max=3\ "dla"\ x in [-2;0]cup{-4;4}`          

 

`f_min=-2\ "dla"\ x in (0;2)`        

Pociąg pokonał 275 km

Oznaczmy szukaną liczbę kilometrów jako x. 

`275\ km\ \ \ -\ \ \ 2,5\ h`

`x\ km\ \ \ \ \ \ -\ \ \ 1,5\ h`

 

`275/(2,5)=x/(1,5)`

`2,5x=275*1,5\ \ \ \ |:5`

`0,5x=275*0,3`

`0,5x=82,5\ \ \ \ \ |*2`

`x=165`

Obwód P trójkąta równobocznego o wysokości równej x opisuje wzór

Mamy wzór na wysokość trójkąta równobocznego o boku a:

`(asqrt3)/4`

 

Wyraźmy a w zależności od x:

`x=(asqrt3)/2\ \ \ \ \|*2`

`2x=asqrt3\ \ \ \ |:sqrt3`

`a=(2x)/(sqrt3)=(2x*sqrt3)/(sqrt3*sqrt3)=(2sqrt3x)/3`

 

 

Na obwód trójkąta równobocznego składają się 3 jednakowe boki:

`P(x)=3*(2sqrt3x)/3=2sqrt3x\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ odp.\ C`

Rozwiąż nierówność

`3px>=p-1` 

 

`1)\ "Dla"\ p=0\ "nierówność jest postaci:"` 

`\ \ \ \ 0*x>=-1` 

`\ \ \ \ 0>=-1` 

`\ \ \ \ "Nierówność jest spełniona przez każdą liczbę rzeczywistą."` 

`2)\ "Dla"\ p<0\ "wyrażenie"\ 3p\ "przyjmuje wartości ujemne,"` 

`\ \ \ \ "więc możemy podzielić nierówność ze zmianą zwrotu:"` 

`\ \ \ \ x<=(p-1)/(3p)` 

`\ \ \ \ x in (-infty;\ (p-1)/(3p)>>` 

`3)\ "Dla"\ p>0\ "wyrażenie"\ 3p\ "przyjmuje wartości dodatnie,"` 

`\ \ \ \ "więc możemy podzielić nierówność bez zmiany zwrotu:"`  

`\ \ \ \ x>=(p-1)/(3p)` 

`\ \ \ \ x in <<(p-1)/(3p);\ +infty)`