Przedziały liczbowe - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Suma zbiorów

W zbiorach liczb może nam się trafić tzw. Przerwanie. Ma to miejsce, gdy w naszym zakresie liczb jest więcej niż 1 przedział, np. z liczb od 1 do 100 chcę wziąć tylko te od 1 do 25, od 40 do 67 oraz od 70 do 86. Kolejny przykład wraz z opisem powinien wszystko dokładnie wytłumaczyć.

Przykład:
Pracujemy na kolei i musimy podsumować dostępność miejsc w wagonach, okazuje się, że w wagonie nr 1 są miejsca od 1 do 42.

Z kolei w wagonie nr 2 są już miejsca od 55 do 75.
Brakuje nam miejsc 43-54, przez co nie możemy zapisać $$< 1;75 >$$

Potrzebujemy wykonać tzw. Sumę zbiorów, czyli wrzucić do jednego zbioru wszystkie liczby z kilku zbiorów (w naszym przypadku miejsca z obu wagonów).

Sumę zbiorów oznaczamy jako: $$∪$$

Rozwiązaniem będzie zapisanie, że miejsca należą do sumy zbiorów:

$$miejsce ∈ <1 ;42 >$$$$< 55 ;75 >$$

Oczywiście musimy pamiętać, że nie ma ułamków w naszych miejscach, więc musimy dopisać:

$$miejsce ∈<1$$ ;$$42 > ∪ $$ $$< 55 ;75 >$$ ,gdzie $$miejsce∈N$$
 

Różnica zbiorów

Czasem w celu ułatwienia sobie życia stosujemy tzw. Różnicę, której symbolem jest „”. Po co nam ona? Załóżmy, że musimy wyznaczyć zbiór wszystkich liczb rzeczywistych oprócz piątki.

Zapis taki jak dotychczas:

$$ x∈(-∞ ;5)∪(5 ;∞)$$

Zwróćcie uwagę na nawiasy!

Zamiast tego użyjmy zapisu z różnicą: $$x∈R ext"{5}"$$

Liczby pomiędzy klamerkami { } są to pojedyncze sztuki, więc {1,2,3} to 1,2,3

Zapis: $$R ext"{5}"$$ Oznacza każdą liczbę rzeczywistą oprócz 5.
 

Zapis graficzny

Na naszej drodze będziemy musieli sporządzać zapisy graficzne, przede wszystkim na osi liczbowej.

Przykład:

Weźmy nasze pociągi, mamy wagon z miejscami <1;42) co oznacza, ze miejsce 42 jest niedostępne.
Dla uproszczenia przyjmijmy, że można zajmować też miejsca ułamkowe i niewymierne.

Kółeczko puste oznacza nawiasy ( i )

Kółeczko zamalowane lub brak kółeczka oznacza < i >

Zatem zapis na takiej osi wygląda następująco:

os

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Rozwiąż nierówność i zapisz rozwiązanie na przedziale $$x^2-9 < 0$$ .

Przenieśmy liczbę na prawą stronę:

$$x^2 < 9$$

Zatem pamiętając, że równanie czy nierówność kwadratowa ma dwa rozwiązania

$$x^2 < 9$$

$$x < 3$$ v $$x > -3$$

Dwa rozwiązania wynikają z tego, że każda liczba podniesiona do kwadratu daje wynik dodatni. W przypadku 9, może to być: $$3^2=9$$ lub $$(-3)^2=9$$

Mamy więc dwa ograniczenia

$$x < 3$$ v $$x > -3$$

Zapiszmy je jako jedno

$$-3 < x < 3$$

Teraz widzimy dobrze dwa krańce, granicę prawą i lewą

Więc:

$$x∈(-3;3)$$
 

Zadanie 2.

Pracujesz na kolei, program w którym wpisujesz miejsca obsługuje zbiory liczb. Co wpiszesz w program jeśli dziś masz do dyspozycji wagon nr 1 z miejscami od 1 do 15, wagon nr 2 z miejscami od 20 do 35, gdzie miejsce 21 jest zarezerwowane dla konduktora i jest niedostępne. Z kolei wagon nr 3 o miejscach od 36 do 50 ma przeznaczone dla konduktorów dwa przedziały, pierwszy i ostatni, w którym są 4 miejsca.

Zacznijmy od wydzielenia poszczególnych przedziałów.

Wagon nr 1:

„wagon nr 1 z miejscami od 1 do 15”

Zatem liczby od 1 do 15 należą, więc oznaczając w jako miejsca w wagonach:

$$w∈< 1;15 >$$

Teraz Wagon nr 2:

„wagon nr 2 z miejscami od 20 do 35, gdzie miejsce 21 jest zarezerwowane dla konduktora”

Odchodzi nam miejsce 21, więc wagon jest „podzielony” na dwie części. Miejsce 20 i Miejsca 22-35

Pamiętamy, że pojedynczą wartość zapisujemy pomiędzy { }

$$w∈ ext"{20} "∪< 22;35 >$$

Wagon nr 3:

„wagon nr 3 o miejscach od 36 do 50 ma przeznaczone dla konduktorów dwa przedziały, pierwszy i ostatni, w którym są 4 miejsca.”

Odchodzą nam 4 miejsca na granicach, więc miejsca 36-39 (to znaczy 36,37,38,39), a także 47-50

Pozostają nam miejsca 40-46

$$w∈< 40;46 >$$

Na koniec pozostaje nam zapis sumy zbiorów i przypomnienie, że miejsca są numerowane liczbami naturalnymi:

$$w∈< 1;15 > ∪ ext" {20}"∪< 22;35 >∪< 40;46 >$$ gdzie $$w∈N$$

Spis treści

3 szkoły podstawowej
4 szkoły podstawowej
5 szkoły podstawowej
6 szkoły podstawowej
7 szkoły podstawowej
II gimnazjum
III gimnazjum
Matura podstawowa
Matura rozszerzona
Rozwiązane zadania
Rozszerz ułamek, wpisując zamiast x odpowiednią liczbę

`a)\ 3/8=(3*7)/(8*7)=21/56`

`b)\ 7/12=(7*6)/(12*6)=42/72`

`c)\ 5/9=(5*14)/(9*14)=70/126`

`d)\ 4/11=(4*11)/(11*11)=44/121`

Ułamki postaci 1/n, gdzie n jest liczbą naturalną dodatnią

`a)`

`n=11`

`a=(11+1)/2=12/2=6`

`b=(11*(11+1))/2=(11*12)/2=11*6=66`

`2/11=1/6+1/66`

 

 

`b)`

`n=17`

`a=(17+1)/2=18/2=9`

`b=(17*(17+1))/2=(17*18)/2=17*9=153`

`2/17=1/9+1/153`

 

 

`c)`

`n=31`

`a=(31+1)/2=32/2=16`

`n=(31*(31+1))/2=(31*32)/2=31*16=496`

`2/31=1/16+1/496`

Oblicz

`a)\ (1 4/5-3 2/7)* 5 5/13=` `(1 28/35-3 10/35)*70/13=` 

`\ \ \ =-(3 10/35-1 28/35)*70/13=` `-(2 45/35-1 28/35)*70/13=` 

`\ \ \ =-1 17/35*70/13=` `-52/strike35^1*strike70^2/13=` `-strike52^4*2/strike13^1=-8` 

 

 

`b)\ 1 4/5-3 2/7*5 5/13=` `1 4/5-23/strike7^1*strike70^10/13=` `1 4/5-230/13=` 

`\ \ \ =1 4/5-17 9/13=` `1 52/65-17 45/65=` `-(17 45/65-1 52/65)=` 

`\ \ \ =-(16 110/65-1 52/65)=` `-15 58/65` 

 

 

`c)\ (0,4+1 2/3)*(-2)^2=` `(4/10+1 2/3)*4=` `(2/5+1 2/3)*4=` 

`\ \ \ =(6/15+1 10/15)*4=` `1 16/15*4=2 1/15*4=` `8 4/15` 

 

 

`ul(ul("uwaga:"))`   

`(-2)^2=(-2)*(-2)=4` 

`(-2^2)=-2^2=(-1)*2^2=(-1)*2*2=-4` 

 

 

`d)\ (2 3/4-3,5)*(-2^2)=`  `(2 3/4-3 1/2)*(-4)=` 

`\ \ \ =(2 3/4-3 2/4)*(-4)=` `-(3 2/4-2 3/4)*(-4)=` 

`\ \ \ =-(2 6/4-2 3/4)*(-4)=` `-3/4*(-4)=3` 

 

 

`e)\ (2 1/4+(-1/2)^2)^2=` `(2 1/4+1/4)^2=` `(2 2/4)^2=(2 1/2)^2=` 

`\ \ \ =(5/2)^2=25/4=6 1/4` 

 

 

`f)\ (0,75-(-3/4)^2)^2=` `(3/4-9/16)^2=` `(12/16-9/16)^2=` 

` \ \ \ =(3/16)^2=9/256` 

Jakiej liczbie odpowiada punkt P zaznaczony na osi liczbowej?

Możemy obliczyć tą liczbę korzystając z twierdzenia Pitagorasa

 

`a)\ 1^2+2^2=x^2`

`\ \ \ 1+4=x^2`

`\ \ \ x^2=5`

`\ \ \ x=sqrt5inNW`

 

`b)\ 1^2+3^2=x^2`

`\ \ \ 1+9=x^2`

`\ \ \ x^2=10`

`\ \ \ x=sqrt10inNW`

Podaj największą liczbę naturalną n spełniającą nierówność

`a)\ 2pi+5~~2*3,14+5=6,28+5=11,28`

`\ \ \ n<11,28`

Największa liczba naturalna spełniająca tą nierówność to 11. 

 

 

`b)\ pi^2-1~~(3,14)^2-1=9,8596-1=8,8596`

`\ \ \ n<8,8596`

Największa liczba naturalna spełniająca tą nierówość to 8.

 

 

`c)\ 10pi-7~~10*3,14-7=31,4-7=24,4`

`\ \ \ n^2<24,4`

Największa liczba naturalna spełniająca tą nierówność to 4. 

Dane są liczby niewymierne p, q, r, s

`a)\ p+r=3-sqrt2+sqrt2-7=` `3-7=-4inW` 

`b)\ q*s=2sqrt3*7sqrt3=2*7*3=42inW` 

Na podstawie podanych obok informacji znajdź rozwinięcie dziesiętne

`a)\ 7/9=7*1/9=7*0,1111...=0,7777...` 

`b)\ 1/60=1/6*1/10=1/6:10=0,16666...:10=0,016666...` 

`c)\ 1/300=1/3*1/100=1/3:100=0,3333...:100=0,003333...` 

`d)\ 5/900=5*1/9*1/100=5*0,1111...*1/100=0,5555...*1/100=0,5555...:100=0,005555...` 

`e)\ 11/30=1/10*1/3*11=1/10*0,3333...*11=0,0333*11=` 

`\ \ \ =0,0333...*10+0,0333...*1=0,3333...+0,0333...=0,36666...` 

`f)\ 17/90=1/10*1/9*17=1/10*0,1111...*17=0,01111...*17=` 

`\ \ \ =0,0111...*10+0,0111...*7=` `0,1111...+0,07777...=0,18888...` 

Na podstawie podanego obok twierdzenia odpowiedz

`a)\ 320#(=)^?2^k*5^l`

 

`320=2^6*5^1`

Rozwinięcie dziesiętne tego ułamka jest skończone.    

 

 

 

`b)\ 480#(=)^?2^k*5^l`

 

`480=2^5*3*5`

 

Rozwinięcie dziesiętne tego ułamka nie jest skończone (w mianowniku pojawia się czynnik 3)    

 

 

`c)\ 22\ 400#(=)^?2^k*5^l`

 

`22\ 400=2^7*5^2*7`

Rozwinięcie dziesiętne tego ułamka nie jest skończone (w mianowniku pojawia się czynnik 7)    

 

 

  `d)\ 51\ 200#(=)^?2^k*5^l`   

 

   

 

`51\ 200=2^11*5^2`

 

Rozwinięcie dziesiętne tego ułamka jest skończone.

Doprowadź do postaci a√b

`a)\ 7sqrt5+sqrt20=7sqrt5+sqrt4*sqrt5=7sqrt5+2sqrt5=9sqrt5` 

`b)\ sqrt48-sqrt3=sqrt16*sqrt3-sqrt3=4sqrt3-sqrt3=3sqrt3` 

`c)\ sqrt12+sqrt27=sqrt4*sqrt3+sqrt9*sqrt3=2sqrt3+3sqrt3=5sqrt3` 

`d)\ sqrt45-sqrt125=sqrt9*sqrt5-sqrt25*sqrt5=3sqrt5-5sqrt5=` `-2sqrt5` 

`e)\ 0,2sqrt50+0,8sqrt72-0,3sqrt32=0,2sqrt25*sqrt2+0,8sqrt36*sqrt2-0,3sqrt16*sqrt2=` 

`\ \ \ =0,2*5sqrt2+0,8*6sqrt2-0,3*4sqrt2=` `sqrt2+4,8sqrt2-1,2sqrt2=` `4,6sqrt2` 

`f)\ 3sqrt20-1/3sqrt45-5sqrt180=` `3sqrt4*sqrt5-1/3sqrt9*sqrt5-5sqrt36*sqrt5=` 

` \ \ \ =3*2sqrt5-1/3*3sqrt5-5*6sqrt5=` `6sqrt5-sqrt5-30sqrt5=-25sqrt5` 

Przedstaw liczbę w postaci ułamka zwykłego

a)

`a=0,17171717...`         `/*100`

`100a=17,171717... `

Odejmujemy stronami:

`100a-a= 17,171717...- 0,171717...`

`99a=17`         ` /:99`

`a=17/99`

b)

`a=0,23555...` 

`100a=23,555...`

`10000a=2355,555... `

`10000a-100a=2332`

`9900a=2332`        `/:9900`

`a=2332/9900`

c)

`a=12,251251...`

`1000a= 12251,251251...`

`1000a-1a=12251,251251...-12,251251...`

`999a=12239`

`a=12239/999`