Przedziały liczbowe - matura-podstawowa - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Przedziały liczbowe - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Suma zbiorów

W zbiorach liczb może nam się trafić tzw. Przerwanie. Ma to miejsce, gdy w naszym zakresie liczb jest więcej niż 1 przedział, np. z liczb od 1 do 100 chcę wziąć tylko te od 1 do 25, od 40 do 67 oraz od 70 do 86. Kolejny przykład wraz z opisem powinien wszystko dokładnie wytłumaczyć.

Przykład:
Pracujemy na kolei i musimy podsumować dostępność miejsc w wagonach, okazuje się, że w wagonie nr 1 są miejsca od 1 do 42.

Z kolei w wagonie nr 2 są już miejsca od 55 do 75.
Brakuje nam miejsc 43-54, przez co nie możemy zapisać $< 1;75 >$

Potrzebujemy wykonać tzw. Sumę zbiorów, czyli wrzucić do jednego zbioru wszystkie liczby z kilku zbiorów (w naszym przypadku miejsca z obu wagonów).

Sumę zbiorów oznaczamy jako: $∪$

Rozwiązaniem będzie zapisanie, że miejsca należą do sumy zbiorów:

$miejsce ∈ <1 ;42 >$$< 55 ;75 >$

Oczywiście musimy pamiętać, że nie ma ułamków w naszych miejscach, więc musimy dopisać:

$miejsce ∈<1$ ;$42 > ∪ $ $< 55 ;75 >$ ,gdzie $miejsce∈N$
 

Różnica zbiorów

Czasem w celu ułatwienia sobie życia stosujemy tzw. Różnicę, której symbolem jest „”. Po co nam ona? Załóżmy, że musimy wyznaczyć zbiór wszystkich liczb rzeczywistych oprócz piątki.

Zapis taki jak dotychczas:

$ x∈(-∞ ;5)∪(5 ;∞)$

Zwróćcie uwagę na nawiasy!

Zamiast tego użyjmy zapisu z różnicą: $x∈R ext"{5}"$

Liczby pomiędzy klamerkami { } są to pojedyncze sztuki, więc {1,2,3} to 1,2,3

Zapis: $R ext"{5}"$ Oznacza każdą liczbę rzeczywistą oprócz 5.
 

Zapis graficzny

Na naszej drodze będziemy musieli sporządzać zapisy graficzne, przede wszystkim na osi liczbowej.

Przykład:

Weźmy nasze pociągi, mamy wagon z miejscami <1;42) co oznacza, ze miejsce 42 jest niedostępne.
Dla uproszczenia przyjmijmy, że można zajmować też miejsca ułamkowe i niewymierne.

Kółeczko puste oznacza nawiasy ( i )

Kółeczko zamalowane lub brak kółeczka oznacza < i >

Zatem zapis na takiej osi wygląda następująco:

os

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Rozwiąż nierówność i zapisz rozwiązanie na przedziale $x^2-9 < 0$ .

Przenieśmy liczbę na prawą stronę:

$x^2 < 9$

Zatem pamiętając, że równanie czy nierówność kwadratowa ma dwa rozwiązania

$x^2 < 9$

$x < 3$ v $x > -3$

Dwa rozwiązania wynikają z tego, że każda liczba podniesiona do kwadratu daje wynik dodatni. W przypadku 9, może to być: $3^2=9$ lub $(-3)^2=9$

Mamy więc dwa ograniczenia

$x < 3$ v $x > -3$

Zapiszmy je jako jedno

$-3 < x < 3$

Teraz widzimy dobrze dwa krańce, granicę prawą i lewą

Więc:

$x∈(-3;3)$
 

Zadanie 2.

Pracujesz na kolei, program w którym wpisujesz miejsca obsługuje zbiory liczb. Co wpiszesz w program jeśli dziś masz do dyspozycji wagon nr 1 z miejscami od 1 do 15, wagon nr 2 z miejscami od 20 do 35, gdzie miejsce 21 jest zarezerwowane dla konduktora i jest niedostępne. Z kolei wagon nr 3 o miejscach od 36 do 50 ma przeznaczone dla konduktorów dwa przedziały, pierwszy i ostatni, w którym są 4 miejsca.

Zacznijmy od wydzielenia poszczególnych przedziałów.

Wagon nr 1:

„wagon nr 1 z miejscami od 1 do 15”

Zatem liczby od 1 do 15 należą, więc oznaczając w jako miejsca w wagonach:

$w∈< 1;15 >$

Teraz Wagon nr 2:

„wagon nr 2 z miejscami od 20 do 35, gdzie miejsce 21 jest zarezerwowane dla konduktora”

Odchodzi nam miejsce 21, więc wagon jest „podzielony” na dwie części. Miejsce 20 i Miejsca 22-35

Pamiętamy, że pojedynczą wartość zapisujemy pomiędzy { }

$w∈ ext"{20} "∪< 22;35 >$

Wagon nr 3:

„wagon nr 3 o miejscach od 36 do 50 ma przeznaczone dla konduktorów dwa przedziały, pierwszy i ostatni, w którym są 4 miejsca.”

Odchodzą nam 4 miejsca na granicach, więc miejsca 36-39 (to znaczy 36,37,38,39), a także 47-50

Pozostają nam miejsca 40-46

$w∈< 40;46 >$

Na koniec pozostaje nam zapis sumy zbiorów i przypomnienie, że miejsca są numerowane liczbami naturalnymi:

$w∈< 1;15 > ∪ ext" {20}"∪< 22;35 >∪< 40;46 >$ gdzie $w∈N$

Spis treści

Rozwiązane zadania
Oblicz x.

 

 {premium}


 

 


 

 


 

 


 

 


 

 


 

 


 

 


 

 

Naszkicuj wykresy funkcji:

 

W przedziale (-∞, 1) rysujemy wykres funkcji y=x3

Obliczamy kilka wartości funkcji dla liczb z danego przedziału:

x -2 -1 0 1
y=x3 -8 -1 0 1

 

W przedziale (1,+∞) rysujemy {premium}wykres funkcji stałej y=1

Punkt 1 nie należy do żadnego z przedziałów, więc mamy w nim "puste kółeczko".

Rysujemy wykres funkcji f:


 

W przedziale (-∞, 1) rysujemy wykres funkcji y=|x|

Mamy:

 

Zatem, aby narysować wykres funkcji y=|x|, należy:

  • w przedziale (-∞, 0) narysować wykres funkcji y=-x,
  • w przedziale <0, 1) narysować wykres funkcji y=x.

W przedziale <1,+∞) rysujemy wykres funkcji y=√x.

Obliczamy kilka wartości funkcji dla liczb z danego przedziału:

x 1 4 9
y=√x 1 2 3

 

Rysujemy wykres funkcji f:


 

W zbiorze {-2, -1, 0} rysujemy wykres funkcji y=-x2

Obliczamy wartości funkcji dla liczb z tego zbioru:

x -2 -1 0
y=x2 -4 -1 0

 

W przedziale (0,+∞) rysujemy wykres funkcji y=x. Przechodzi on przez punkty (1, 1) i (2, 2).

Rysujemy wykres funkcji f:


 

W przedziale (-2, 2) rysujemy wykres funkcji y=x2.

Obliczamy kilka wartości funkcji dla liczb z danego przedziału:

x -2 -1 0 1 2
y=x2 4 1 0 1 4

 

Dla argumentów -2 i 2 mamy "puste kółka", bo nie należą one do przedziału (-2, 2).

W przedziale <3, 5> rysujemy wykres funkcji stałej y=3.

Rysujemy wykres funkcji f:

Podstawą trójkąta równoramiennego...

Wykonajmy rysunek pomocniczy i wprowadźmy oznaczenia:

Pole powierzchni bocznej jest równe:

 

A więc z tego wynika, że wysokość tego graniastosłupa jest równa:

 

 

{premium}

Zaznaczmy na rysunku kąty, których cosinusy chcemy obliczyć:

  

Zauważmy, że ściany BCFE i CADF są przystającymi prostokątami - a więc ich przekątne mają równe długości.

 

Skorzystajmy z twierdzenia Pitagorasa i obliczmy długość przekątnej  : 

 

 

 

 

 

 

Długość przekątnej  :

 

 

 

  

 

Zastosujmy twierdzenie cosinusów w trójkącie AFB:

 

 

 

 

 

 

 

 

  

 

 

Skorzystajmy z twierdzenia cosinusów dla trójkąta BDC:

(Uwaga! W odpowiedziach z tyłu książki jest pomyłka - twierdzenie cosinusów stosujemy do trójkąta BDC, a nie ADC)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

      

  

  

      

 

Liczba ...

Obliczamy wartość podanego wyrażenia. {premium}

 


Odpowiedź: A

Tomek i Janek plewią ogródek. Gdyby ...

 

Wyplewienie ogródka Tomkowi zajęłoby 10 godzin. Oznacza to, że w ciągu godziny wyplewi jedną dziesiątą ogródka. {premium}

Wyplewienie ogródka Jankowi zajęłoby 15 godzin. Oznacza to, że w ciągu godziny wyplewi jedną piętnastą ogródka.


 

Obliczamy, jaką część ogródka wyplewią chłopcy, jeżeli będą pracować jednocześnie.

 


Jeżeli w ciągu godziny wyplewią jedną szóstą, to na wyplewienie całego ogródka będą potrzebować 6 godzin, ponieważ:

 

Wykaż, ze nierówność...

Przekształćmy podaną nierówność:

   {premium}

 

 

 

 

 

 

Kwadrat każdej liczby rzeczywistej jest liczbą nieujemną.

c.n.w.

Sprawdź, czy punkty ...

Wyznaczmy równanie prostej przechodzącej przez punkty A i B.

Następnie podstawiając współrzędne punktu C do otrzymanej prostej sprawdzamy, czy punkt C należy do wykresu tej funkcji.

Jeśli tak, to punkty A, B, C są współliniowe.

Jeśli nie, to punkty A, B, C nie są współliniowe.{premium}


 

 

     

 

 

 

 

 

Teraz sprawdzamy, czy punkt C należy do prostej AB:

 

 

Równość jest spełniona, zatem punkt C należy do prostej AB


 

 

       

 

 

Zatem otrzymujemy:

 

 

 

 

 

 

Sprawdzamy, czy punkt C należy do prostej AB:

 

 

Równość jest spełniona, zatem punkt C należy do prostej AB


 

 

 

 

 

 

Wstawiamy do pierwszego równania:

 

 

 

 

Sprawdzamy, czy punkt C należy do prostej AB:

 

 

Równość nie jest spełniona, więc punkt C nie należy do prostej AB.


d) Warto zauważyć, że punkty A oraz B mają taką samą drugą współrzędną, zatem prosta AB będzie mieć równanie y=5 (prosta pozioma).

Punkt C nie należy do prostej AB, ponieważ jego druga współrzędna nie jest równa 5.

W trójkąt ABC o przyprostokątnych 30 i 4 wpisano ...

Wykonajmy rysunek pomocniczy: {premium}



Odcinki  są równoległe, więc:

 

 


Trójkąty  mają wspólny kąt przy wierzchołku . Są więc podobne na podstawie cechy podobieństwa trójkątów kąt-kąt-kąt.

Wyznaczamy długość przeciwprostokątnej trójkąta , stosując twierdzenie Pitagorasa.

 

 

 

 

Wyznaczamy skalę podobieństwa  trójkątów .

 


Wyznaczamy długość odcinka .

 

 

 

 

Wyznaczamy długość odcinka .

 

 

 

 


Przyjmijmy, że:

 


Suma miar kątów wewnętrznych trójkąta jest równa . Zatem:

 


Mamy więc:


Trójkąty  są podobne na podstawie cechy podobieństwa trójkątów kąt-kąt-kąt.


Wyznaczamy skalę podobieństwa  trójkątów .

 

Dla jakich wartości parametru a układ równań ma jedno ...

 

Przekształcamy równania.

 

 

 


Mamy zatem 2 przypadki:

1 

 


Wyznaczamy pierwszą współrzędną punktu wspólnego.

 {premium}

 

 

 

 

 

 

2 

 

Wyznaczamy pierwszą współrzędną punktu wspólnego.

 

 

 

 

 


Możemy więc porównać:

 

 

 

 

 

 


Układ równań ma jedno rozwiązanie, gdy . Wyznaczamy to rozwiązanie.

 

 


Czyli:

 


 

Przekształcamy równania.

 

 

 


Mamy zatem 2 przypadki:

1 

 


Wyznaczamy drugą współrzędną punktu wspólnego.

 

 

 

 

 

 

2 

 

Wyznaczamy drugą współrzędną punktu wspólnego.

 

 

 

 

 


Możemy więc porównać:

 

 

 

 

 

 


Układ równań ma jedno rozwiązanie, gdy . Wyznaczamy to rozwiązanie.

 

 


Czyli:

 


 

Przekształcamy równania.

 

 


Mamy zatem 2 przypadki:

1 

 


Wyznaczamy pierwszą współrzędną punktu wspólnego.

 

 

 

 

 

2 

 

Zauważmy, że dla  powyższe równania będą równoważne (takie same). W pozostałych przypadkach układ ten nie będzie miał rozwiązań.

Dla  otrzymaliśmy:

 

Zatem:

 

 

 


Dla  układ równań ma nieskończenie wiele rozwiązań, więc układ równań ma jedno rozwiązanie, gdy . Rozwiązanie to jest postaci:

 

 


Czyli:

 

W trójkącie równoramiennym ABC podstawa...

Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku poniżej:

Thumb zad19str132


Mamy dane:

 

 


Skorzystamy z twierdzenia o odcinkach stycznych:

Odcinki dwóch stycznych, poprowadzonych do okręgu z punktu, którego odległość od środka okręgu jest większa niż promień - wyznaczone przez ten punkt i odpowiednie punkty styczności - mają tę samą długość.


Z twierdzenia wynika, że:

 {premium}


Obliczamy długość odcinka  

 

 

 

 


Obliczamy długość trójkąta  

 


Prawidłowa odpowiedź to D.