Przedziały liczbowe - matura-podstawowa - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Przedziały liczbowe - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Suma zbiorów

W zbiorach liczb może nam się trafić tzw. Przerwanie. Ma to miejsce, gdy w naszym zakresie liczb jest więcej niż 1 przedział, np. z liczb od 1 do 100 chcę wziąć tylko te od 1 do 25, od 40 do 67 oraz od 70 do 86. Kolejny przykład wraz z opisem powinien wszystko dokładnie wytłumaczyć.

Przykład:
Pracujemy na kolei i musimy podsumować dostępność miejsc w wagonach, okazuje się, że w wagonie nr 1 są miejsca od 1 do 42.

Z kolei w wagonie nr 2 są już miejsca od 55 do 75.
Brakuje nam miejsc 43-54, przez co nie możemy zapisać $< 1;75 >$

Potrzebujemy wykonać tzw. Sumę zbiorów, czyli wrzucić do jednego zbioru wszystkie liczby z kilku zbiorów (w naszym przypadku miejsca z obu wagonów).

Sumę zbiorów oznaczamy jako: $∪$

Rozwiązaniem będzie zapisanie, że miejsca należą do sumy zbiorów:

$miejsce ∈ <1 ;42 >$$< 55 ;75 >$

Oczywiście musimy pamiętać, że nie ma ułamków w naszych miejscach, więc musimy dopisać:

$miejsce ∈<1$ ;$42 > ∪ $ $< 55 ;75 >$ ,gdzie $miejsce∈N$
 

Różnica zbiorów

Czasem w celu ułatwienia sobie życia stosujemy tzw. Różnicę, której symbolem jest „”. Po co nam ona? Załóżmy, że musimy wyznaczyć zbiór wszystkich liczb rzeczywistych oprócz piątki.

Zapis taki jak dotychczas:

$ x∈(-∞ ;5)∪(5 ;∞)$

Zwróćcie uwagę na nawiasy!

Zamiast tego użyjmy zapisu z różnicą: $x∈R ext"{5}"$

Liczby pomiędzy klamerkami { } są to pojedyncze sztuki, więc {1,2,3} to 1,2,3

Zapis: $R ext"{5}"$ Oznacza każdą liczbę rzeczywistą oprócz 5.
 

Zapis graficzny

Na naszej drodze będziemy musieli sporządzać zapisy graficzne, przede wszystkim na osi liczbowej.

Przykład:

Weźmy nasze pociągi, mamy wagon z miejscami <1;42) co oznacza, ze miejsce 42 jest niedostępne.
Dla uproszczenia przyjmijmy, że można zajmować też miejsca ułamkowe i niewymierne.

Kółeczko puste oznacza nawiasy ( i )

Kółeczko zamalowane lub brak kółeczka oznacza < i >

Zatem zapis na takiej osi wygląda następująco:

os

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Rozwiąż nierówność i zapisz rozwiązanie na przedziale $x^2-9 < 0$ .

Przenieśmy liczbę na prawą stronę:

$x^2 < 9$

Zatem pamiętając, że równanie czy nierówność kwadratowa ma dwa rozwiązania

$x^2 < 9$

$x < 3$ v $x > -3$

Dwa rozwiązania wynikają z tego, że każda liczba podniesiona do kwadratu daje wynik dodatni. W przypadku 9, może to być: $3^2=9$ lub $(-3)^2=9$

Mamy więc dwa ograniczenia

$x < 3$ v $x > -3$

Zapiszmy je jako jedno

$-3 < x < 3$

Teraz widzimy dobrze dwa krańce, granicę prawą i lewą

Więc:

$x∈(-3;3)$
 

Zadanie 2.

Pracujesz na kolei, program w którym wpisujesz miejsca obsługuje zbiory liczb. Co wpiszesz w program jeśli dziś masz do dyspozycji wagon nr 1 z miejscami od 1 do 15, wagon nr 2 z miejscami od 20 do 35, gdzie miejsce 21 jest zarezerwowane dla konduktora i jest niedostępne. Z kolei wagon nr 3 o miejscach od 36 do 50 ma przeznaczone dla konduktorów dwa przedziały, pierwszy i ostatni, w którym są 4 miejsca.

Zacznijmy od wydzielenia poszczególnych przedziałów.

Wagon nr 1:

„wagon nr 1 z miejscami od 1 do 15”

Zatem liczby od 1 do 15 należą, więc oznaczając w jako miejsca w wagonach:

$w∈< 1;15 >$

Teraz Wagon nr 2:

„wagon nr 2 z miejscami od 20 do 35, gdzie miejsce 21 jest zarezerwowane dla konduktora”

Odchodzi nam miejsce 21, więc wagon jest „podzielony” na dwie części. Miejsce 20 i Miejsca 22-35

Pamiętamy, że pojedynczą wartość zapisujemy pomiędzy { }

$w∈ ext"{20} "∪< 22;35 >$

Wagon nr 3:

„wagon nr 3 o miejscach od 36 do 50 ma przeznaczone dla konduktorów dwa przedziały, pierwszy i ostatni, w którym są 4 miejsca.”

Odchodzą nam 4 miejsca na granicach, więc miejsca 36-39 (to znaczy 36,37,38,39), a także 47-50

Pozostają nam miejsca 40-46

$w∈< 40;46 >$

Na koniec pozostaje nam zapis sumy zbiorów i przypomnienie, że miejsca są numerowane liczbami naturalnymi:

$w∈< 1;15 > ∪ ext" {20}"∪< 22;35 >∪< 40;46 >$ gdzie $w∈N$

Spis treści

Rozwiązane zadania
Wyprowadź wzór

{premium}

 

 

 

 

   

Oblicz miary kątów wierzchołkowych...

Dwa kąty mniejsze od kąta półpełnego nazywamy kątami wierzchołkowymi wtedy,

gdy ramiona jednego kąta są przedłużeniami ramion drugiego kąta.

Kąty wierzchołkowe są równe.


 Oznaczmy:

 

Kąt  jest przyległy do kąta o mierze  Stąd:

 

Odp.  {premium}


 stąd:

 

 

Zatem:

 

Odp.  


 Oznaczmy:

 

Kąty  i  również są wierzchołkowe, stąd:

 

 

Zatem:

 

Kąty  i  są przyległe. Stąd:

 

Odp.  


 Zauważmy, że kąty oznaczone jako  tworzą kąt półpełny. Stąd:

 

 

Odp.  

Z prostokątnego arkusza blachy...

Rysunek poglądowy:

Pole powierzchni bocznej to suma dwóch pól prostokąta o bokach x80-2x i dwóch pól prostokąta o bokach x120-2x

 

Pole powierzchni bocznej można wyrazić funkcją:

 

Ramiona paraboli są skierowane ku dołowi a więc wartość największa będzie w wierzchołku. Obliczymy odciętą wierzchołka paraboli licząc średnią arytmetyczną miejsc zerowych (gdyż są równo odległe od wierzchołka paraboli).

 

Odpowiedź: Każdy z wycinanych kwadratów powinien mieć bok długości 25cm.

Z punktu leżącego na zewnątrz kąta ABC o mierze...

Rysunek pomocniczy:

Thumb zad4.42str101{premium}


Zauważmy, że miara kąta między prostymi  i  jest taka sama jak miara kąta  

bo są to kąty odpowiadające.


Obliczamy miarę kąta  z sumy kątów trójkąta:

 


Odp. Kąt między narysowanymi prostymi ma miarę  

Znajdź obrazy następujących figur w przesunięciu...

{premium}




W pewnym zakładzie fotograficznym...

Pamiętajmy, że

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Wykres:

Oblicz wartości funkcji trygonometrycznych...

 

Z twierdzenia Pitagorasa:

  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Z twierdzenia Pitagorasa:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Z twierdzenia Pitagorasa:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Z twierdzenia Pitagorasa:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

W trapezie ACD podstawy AB i DC mają długość

|angleASB|=|angleCSD| ( kąty wierzchołkowe)

|angleDCA|=|angleCAB| (kąty naprzemianległe)

|angleCDB|=|angleDAB| (kąty naprzemianległe)

Z zasady kkk trójkąty CDS i ABS są podobne.

Stosunek pól trójkątów CDS i ABS jest równy kwadratowi skali podobieństwa.

Podaj liczbę punktów wspólnych okręgu opisanego...

Równanie okręgu o środku w punkcie S=(1,3) i promieniu r:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Odległość środków:

 

 

  • 0 punktów wspólnych

Okręgi rozłączne zewnętrznie dla:

 

 

 

 

Okręgi rozłączne wewnętrznie dla:

 

 

 

 

 

Suma obu przypadków:

 

 

  • 1 punkt wspólny:

 

 

  • 2 punkty wspólne:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Odległość środków:

 

 

 

  • 0 punktów wspólnych

Okręgi rozłączne zewnętrznie dla:

 

 

 

 

Okręgi rozłączne wewnętrznie dla:

 

 

 

 

 

Suma obu przypadków:

 

 

  • 1 punkt wspólny:

 

 

  • 2 punkty wspólne:

 

Wyznacz równanie prostej przedstawionej na rysunku

Prosta ma równanie y=ax+b. W celu wyznaczenia współczynników a oraz b podstawiamy współrzędne punktów (na każdej prostej wyraźnie zaznaczono dwa punkty) w miejsce x i y - mamy układ równań, z którego wyznaczymy a i b. Mając równanie prostej, podstawiamy współrzędne punktu (-10, -5) do równania - jeśli jest ono spełnione, to punkt należy do prostej, a jeśli nie, to punkt nie należy do prostej .{premium}

 

 

 

Mamy punkty o współrzędnych:

 

 

 

Warto zauważyć, że pierwszy punkt to miejsce przecięcia wykresu z osią OY, zatem jego druga współrzędna jest równa współczynnikowi b (wiemy to z twierdzenia na stronie 101). 

Zatem prosta ma równanie:

 

 

Teraz wystarczy podstawić współrzędne drugiego punktu w miejsce x i y:

 

 

 

 

Mamy więc równanie prostej:

 

 

Sprawdzamy, czy punkt (-10, -5) należy do tej prostej:

 

 

równość nie jest spełniona, więc punkt (-10, -5) nie należy do tej prostej

 

 

 

 

 

Mamy zaznaczone dwa punkty:

 

 

 

Tworzymy układ równań:

 

 

 

 

 

 

 

Prosta ma więc równanie: 

 

 

Sprawdzamy, czy punkt (-10, -5) należy do tej prostej: 

 

 

 

 

`` równość nie jest spełniona, więc punkt (-10, -5) nie należy do tej prostej

 

 

 

 

Mamy zaznaczone dwa punkty:

 

 

 

Tworzymy układ równań:

 

     odejmujemy równania stronami

  

   

 

Wstawiamy do pierwszego równania:

 

 

Zatem prosta ma równanie:

 

 

Sprawdzamy, czy punkt (-10, -5) należy do tej prostej:

 

 

 

równość jest spełniona, więc punkt (-10, -5) należy do tej prostej