Przedziały liczbowe - matura-podstawowa - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Przedziały liczbowe - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Suma zbiorów

W zbiorach liczb może nam się trafić tzw. Przerwanie. Ma to miejsce, gdy w naszym zakresie liczb jest więcej niż 1 przedział, np. z liczb od 1 do 100 chcę wziąć tylko te od 1 do 25, od 40 do 67 oraz od 70 do 86. Kolejny przykład wraz z opisem powinien wszystko dokładnie wytłumaczyć.

Przykład:
Pracujemy na kolei i musimy podsumować dostępność miejsc w wagonach, okazuje się, że w wagonie nr 1 są miejsca od 1 do 42.

Z kolei w wagonie nr 2 są już miejsca od 55 do 75.
Brakuje nam miejsc 43-54, przez co nie możemy zapisać $< 1;75 >$

Potrzebujemy wykonać tzw. Sumę zbiorów, czyli wrzucić do jednego zbioru wszystkie liczby z kilku zbiorów (w naszym przypadku miejsca z obu wagonów).

Sumę zbiorów oznaczamy jako: $∪$

Rozwiązaniem będzie zapisanie, że miejsca należą do sumy zbiorów:

$miejsce ∈ <1 ;42 >$$< 55 ;75 >$

Oczywiście musimy pamiętać, że nie ma ułamków w naszych miejscach, więc musimy dopisać:

$miejsce ∈<1$ ;$42 > ∪ $ $< 55 ;75 >$ ,gdzie $miejsce∈N$
 

Różnica zbiorów

Czasem w celu ułatwienia sobie życia stosujemy tzw. Różnicę, której symbolem jest „”. Po co nam ona? Załóżmy, że musimy wyznaczyć zbiór wszystkich liczb rzeczywistych oprócz piątki.

Zapis taki jak dotychczas:

$ x∈(-∞ ;5)∪(5 ;∞)$

Zwróćcie uwagę na nawiasy!

Zamiast tego użyjmy zapisu z różnicą: $x∈R ext"{5}"$

Liczby pomiędzy klamerkami { } są to pojedyncze sztuki, więc {1,2,3} to 1,2,3

Zapis: $R ext"{5}"$ Oznacza każdą liczbę rzeczywistą oprócz 5.
 

Zapis graficzny

Na naszej drodze będziemy musieli sporządzać zapisy graficzne, przede wszystkim na osi liczbowej.

Przykład:

Weźmy nasze pociągi, mamy wagon z miejscami <1;42) co oznacza, ze miejsce 42 jest niedostępne.
Dla uproszczenia przyjmijmy, że można zajmować też miejsca ułamkowe i niewymierne.

Kółeczko puste oznacza nawiasy ( i )

Kółeczko zamalowane lub brak kółeczka oznacza < i >

Zatem zapis na takiej osi wygląda następująco:

os

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Rozwiąż nierówność i zapisz rozwiązanie na przedziale $x^2-9 < 0$ .

Przenieśmy liczbę na prawą stronę:

$x^2 < 9$

Zatem pamiętając, że równanie czy nierówność kwadratowa ma dwa rozwiązania

$x^2 < 9$

$x < 3$ v $x > -3$

Dwa rozwiązania wynikają z tego, że każda liczba podniesiona do kwadratu daje wynik dodatni. W przypadku 9, może to być: $3^2=9$ lub $(-3)^2=9$

Mamy więc dwa ograniczenia

$x < 3$ v $x > -3$

Zapiszmy je jako jedno

$-3 < x < 3$

Teraz widzimy dobrze dwa krańce, granicę prawą i lewą

Więc:

$x∈(-3;3)$
 

Zadanie 2.

Pracujesz na kolei, program w którym wpisujesz miejsca obsługuje zbiory liczb. Co wpiszesz w program jeśli dziś masz do dyspozycji wagon nr 1 z miejscami od 1 do 15, wagon nr 2 z miejscami od 20 do 35, gdzie miejsce 21 jest zarezerwowane dla konduktora i jest niedostępne. Z kolei wagon nr 3 o miejscach od 36 do 50 ma przeznaczone dla konduktorów dwa przedziały, pierwszy i ostatni, w którym są 4 miejsca.

Zacznijmy od wydzielenia poszczególnych przedziałów.

Wagon nr 1:

„wagon nr 1 z miejscami od 1 do 15”

Zatem liczby od 1 do 15 należą, więc oznaczając w jako miejsca w wagonach:

$w∈< 1;15 >$

Teraz Wagon nr 2:

„wagon nr 2 z miejscami od 20 do 35, gdzie miejsce 21 jest zarezerwowane dla konduktora”

Odchodzi nam miejsce 21, więc wagon jest „podzielony” na dwie części. Miejsce 20 i Miejsca 22-35

Pamiętamy, że pojedynczą wartość zapisujemy pomiędzy { }

$w∈ ext"{20} "∪< 22;35 >$

Wagon nr 3:

„wagon nr 3 o miejscach od 36 do 50 ma przeznaczone dla konduktorów dwa przedziały, pierwszy i ostatni, w którym są 4 miejsca.”

Odchodzą nam 4 miejsca na granicach, więc miejsca 36-39 (to znaczy 36,37,38,39), a także 47-50

Pozostają nam miejsca 40-46

$w∈< 40;46 >$

Na koniec pozostaje nam zapis sumy zbiorów i przypomnienie, że miejsca są numerowane liczbami naturalnymi:

$w∈< 1;15 > ∪ ext" {20}"∪< 22;35 >∪< 40;46 >$ gdzie $w∈N$

Spis treści

Rozwiązane zadania
a) Suma obwodów dwóch figur podobnych...

a) Oznaczmy:

L1, L2 - obwody dwóch figur podobnych

Skala podobieństwa figur jest równa 5/8. Stąd:{premium}

 

 

Suma obwodów figur jest równa 260 cm. Zatem:

 

 

 

 

Wówczas:

 

Odp. Obwody figur są równe 100 cm oraz 160 cm.


b) Oznaczmy:

P1 - pole figury F1

P2 - pole figury F2

P3 - pole figury F3

Figury F1 i F2 są podobne w skali 1:2. Stąd:

 

 

 

Figury F2 i F3 są podobne w skali 1:3. Stąd:

 

 

 

 

Suma pól figur jest równa 410 dm2. Stąd:

 

 

 

 

 

Wówczas:

 

 

Odp. Pola figur są równe 10 dm2, 40 dm2 oraz 360 dm2.

Rozwiąż...

Dana jest nierówność

jest ona określona dla wszystkich liczb rzeczywistych, więc

wyznaczmy pierwiastki równania{premium}

więc równanie ma dwa rozwiązania

rysujemy fragment wykresu funkcji kwadratowej z zaznaczonymi miejscami zerowymi

   

zatem rozwiązaniem nierówności

jest suma przedziałów

 

Oblicz sinalpha i cosbeta...

a) Wykonajmy rysunek pomocniczy:

   {premium}

 


b) Wykonajmy rysunek pomocniczy:



 

 


c) Wykonajmy rysunek pomocniczy:



Korzystając z twierdzenia Pitagorasa obliczmy długość odcinka a:

 

 

 

 

 

 


d) Wykonajmy rysunek pomocniczy:



Korzystając z twierdzenia Pitagorasa obliczmy długość odcinka h:

 

 

 

 

 


Korzystając z twierdzenia Pitagorasa obliczmy długość odcinka b:

 

 

 

  

 

a) Ile godzin minie od ósmej rano 1 września ...

a) Zauważmy, że od 8:00 1 września do 8:00 18 września mija 17 dni.

Od 8:00 do 18:00 mija 10 godzin.   {premium}

Od 8:00 1 września do 18:00 18 września mija 17 dni i 10h. 

 

 

Od godziny 8:00 1 września do godziny 18:00 18 września mija 418h. 


b)

Obliczmy 60% czasu uzyskanego w podpunkcie a).

 

 

Od 18 września 12 dni mija 30 września.

Od 18 września 27 dni mija 15 października.

Od godziny 18:00 18 września do godziny 18:00 15 października mija 27 dni.

Od godziny 18:00 18 września do godziny 00:00 16 października mija 27 dni 6h.

Od godziny 18:00 18 września do godziny 14:00 16 października mija 27 dni 20h.

Od godziny 18:00 18 września do godziny 14:48 16 października mija 27 dni 20h 48min.

 

Liczba...

Skorzystamy ze wzoru

 {premium}


otrzymujemy

 

Odp. C.  

Przyprostokątne...

Przyjrzyjmy się poniższemu rysunkowi {premium}

 

Zauważmy, że najmniejszy kąt w tym trójkącie będzie leżał naprzeciw najkrótszego boku,

więc z określenia funkcji trygonometrycznych w trójkącie prostokątnym dostajemy, że

więc

 

Odp. B.   

Wyznacz wzór funkcji kwadratowej...

Skoro liczby -3 i 5 są miejscami zerowymi to możemy zapisać funkcję w postaci iloczynowej:

 

 

Do wykresu funkcji należy punkt P zatem:

 

{premium}  

 

 

 

 

 

Wierzchołek jest równy średniej arytmetycznej miejsc zerowych (bo miejsca zerowe są równoodległe od wierzchołka):

 

 

Parabola ma ramiona skierowane ku górze zatem funkcja jest malejąca dla:

 

oraz rosnąca dla

 

Funkcja f określona jest wzorem...

 {premium}

 

 

 

 

 

Wskaż pary prostych równoległych

Szukamy par prostych, które mają jednakowe współczynniki stojące przy x.

{premium}

Uzupełniając podane zdanie dwoma...

Podane zdanie możemy uzupełnić w następujący sposób:

1. Każda liczba naturalna jest liczbą{premium} całkowitą.

2. Każda liczba naturalna jest liczbą wymierną.

3. Każda liczba naturalna jest liczbą rzeczywistą.

4. Każda liczba całkowita jest liczbą wymierną.

5. Każda liczba całkowita jest liczbą rzeczywistą.

6. Każda liczba wymierna jest liczbą rzeczywistą.

7. Każda liczba niewymierna jest liczbą rzeczywistą.

Jest 7 możliwości utworzenia prawdziwych zdań z podanych wyrazów.