Przedziały liczbowe - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Suma zbiorów

W zbiorach liczb może nam się trafić tzw. Przerwanie. Ma to miejsce, gdy w naszym zakresie liczb jest więcej niż 1 przedział, np. z liczb od 1 do 100 chcę wziąć tylko te od 1 do 25, od 40 do 67 oraz od 70 do 86. Kolejny przykład wraz z opisem powinien wszystko dokładnie wytłumaczyć.

Przykład:
Pracujemy na kolei i musimy podsumować dostępność miejsc w wagonach, okazuje się, że w wagonie nr 1 są miejsca od 1 do 42.

Z kolei w wagonie nr 2 są już miejsca od 55 do 75.
Brakuje nam miejsc 43-54, przez co nie możemy zapisać $$< 1;75 >$$

Potrzebujemy wykonać tzw. Sumę zbiorów, czyli wrzucić do jednego zbioru wszystkie liczby z kilku zbiorów (w naszym przypadku miejsca z obu wagonów).

Sumę zbiorów oznaczamy jako: $$∪$$

Rozwiązaniem będzie zapisanie, że miejsca należą do sumy zbiorów:

$$miejsce ∈ <1 ;42 >$$$$< 55 ;75 >$$

Oczywiście musimy pamiętać, że nie ma ułamków w naszych miejscach, więc musimy dopisać:

$$miejsce ∈<1$$ ;$$42 > ∪ $$ $$< 55 ;75 >$$ ,gdzie $$miejsce∈N$$
 

Różnica zbiorów

Czasem w celu ułatwienia sobie życia stosujemy tzw. Różnicę, której symbolem jest „”. Po co nam ona? Załóżmy, że musimy wyznaczyć zbiór wszystkich liczb rzeczywistych oprócz piątki.

Zapis taki jak dotychczas:

$$ x∈(-∞ ;5)∪(5 ;∞)$$

Zwróćcie uwagę na nawiasy!

Zamiast tego użyjmy zapisu z różnicą: $$x∈R ext"{5}"$$

Liczby pomiędzy klamerkami { } są to pojedyncze sztuki, więc {1,2,3} to 1,2,3

Zapis: $$R ext"{5}"$$ Oznacza każdą liczbę rzeczywistą oprócz 5.
 

Zapis graficzny

Na naszej drodze będziemy musieli sporządzać zapisy graficzne, przede wszystkim na osi liczbowej.

Przykład:

Weźmy nasze pociągi, mamy wagon z miejscami <1;42) co oznacza, ze miejsce 42 jest niedostępne.
Dla uproszczenia przyjmijmy, że można zajmować też miejsca ułamkowe i niewymierne.

Kółeczko puste oznacza nawiasy ( i )

Kółeczko zamalowane lub brak kółeczka oznacza < i >

Zatem zapis na takiej osi wygląda następująco:

os

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Rozwiąż nierówność i zapisz rozwiązanie na przedziale $$x^2-9 < 0$$ .

Przenieśmy liczbę na prawą stronę:

$$x^2 < 9$$

Zatem pamiętając, że równanie czy nierówność kwadratowa ma dwa rozwiązania

$$x^2 < 9$$

$$x < 3$$ v $$x > -3$$

Dwa rozwiązania wynikają z tego, że każda liczba podniesiona do kwadratu daje wynik dodatni. W przypadku 9, może to być: $$3^2=9$$ lub $$(-3)^2=9$$

Mamy więc dwa ograniczenia

$$x < 3$$ v $$x > -3$$

Zapiszmy je jako jedno

$$-3 < x < 3$$

Teraz widzimy dobrze dwa krańce, granicę prawą i lewą

Więc:

$$x∈(-3;3)$$
 

Zadanie 2.

Pracujesz na kolei, program w którym wpisujesz miejsca obsługuje zbiory liczb. Co wpiszesz w program jeśli dziś masz do dyspozycji wagon nr 1 z miejscami od 1 do 15, wagon nr 2 z miejscami od 20 do 35, gdzie miejsce 21 jest zarezerwowane dla konduktora i jest niedostępne. Z kolei wagon nr 3 o miejscach od 36 do 50 ma przeznaczone dla konduktorów dwa przedziały, pierwszy i ostatni, w którym są 4 miejsca.

Zacznijmy od wydzielenia poszczególnych przedziałów.

Wagon nr 1:

„wagon nr 1 z miejscami od 1 do 15”

Zatem liczby od 1 do 15 należą, więc oznaczając w jako miejsca w wagonach:

$$w∈< 1;15 >$$

Teraz Wagon nr 2:

„wagon nr 2 z miejscami od 20 do 35, gdzie miejsce 21 jest zarezerwowane dla konduktora”

Odchodzi nam miejsce 21, więc wagon jest „podzielony” na dwie części. Miejsce 20 i Miejsca 22-35

Pamiętamy, że pojedynczą wartość zapisujemy pomiędzy { }

$$w∈ ext"{20} "∪< 22;35 >$$

Wagon nr 3:

„wagon nr 3 o miejscach od 36 do 50 ma przeznaczone dla konduktorów dwa przedziały, pierwszy i ostatni, w którym są 4 miejsca.”

Odchodzą nam 4 miejsca na granicach, więc miejsca 36-39 (to znaczy 36,37,38,39), a także 47-50

Pozostają nam miejsca 40-46

$$w∈< 40;46 >$$

Na koniec pozostaje nam zapis sumy zbiorów i przypomnienie, że miejsca są numerowane liczbami naturalnymi:

$$w∈< 1;15 > ∪ ext" {20}"∪< 22;35 >∪< 40;46 >$$ gdzie $$w∈N$$

Spis treści

Rozwiązane zadania
Rozwiąż nierówność

W każdym przykładzie najpierw uprościmy wyrażenie pod wartością bezwzględną, a dopiero potem rozwiążemy nierówność. 

 

 

Szukamy takich liczb x, których {premium}odległość od liczby -2 jest nie większa niż 4. 

Możemy więc "pójść" nie więcej niż 4 jednostki w lewo od liczby -2 (-2-4=-6) oraz nie więcej niż 4 jednostki w prawo od liczby -2 (-2+4=2). 

 

 

 

 

 

 

Szukamy takich liczb x, których odległość od liczby 3 jest nie mniejsza niż 2. 

Możemy więc "pójść" nie mniej niż 2 jednostki w lewo od liczby 3 (3-2=1) lub o nie mniej niż 2 jednostki w prawo od liczby 3 (3+2=5). 

 

 

 

 

 

Szukamy takich liczb x, których odległość od liczby -¼ jest większa niż 1. 

Możemy więc "pójść" o więcej niż 1 jednostkę w lewo od liczby -¼ (-¼-1=-1¼) lub o więcej niż 1 jednostkę w prawo od liczby -¼ (-¼+1=¾)

 

 

 

 

Szukamy takich liczb x, których odległość od liczby 6 jest mniejsza niż 3.
Możemy więc "pójść" o mniej niż 3 jednostki w lewo od liczby 6 (6-3=3) i o mniej niż 3 jednostki w prawo od liczby 6 (6+3=9).

 

 

 

 

 

Szukamy takich liczb x, których odległość od liczby -4 jest nie mniejsza niż 2. 

Możemy więc "pójść" o nie mniej niż 2 jednostki w lewo od liczby -4 (-4-2=-6) lub o nie mniej niż 2 jednostki w prawo od liczby -4 (-4+2=-2). 

 

 

 

 

 

Szukamy takich liczb x, których odległość od liczby -3/5 jest mniejsza niż 1/5
Możemy więc pójść o mniej niż 1/5 jednostki w lewo od liczby -3/5 (-3/5-1/5=-4/5) i o mniej niż 1/5 jednostki w prawo od liczby -3/5 (-3/5+1/5=-2/5). 

 

 

 

Wiemy, że wartość bezwzględna przyjmuje wyłącznie wartości nieujemne. Podana nierówność będzie prawdziwa tylko wtedy, gdy wartość bezwzględna przyjmie wartość zero, czyli gdy wyrażenie pod wartością bezwzględną wyzeruje się.

 

 

 

Wiemy, że wartość bezwzględna przyjmuje wyłącznie wartości nieujemne. Podana nierówność będzie prawdziwa tylko wtedy, gdy wartość bezwzględna będzie niezerowa. 

 

 

 

Wiemy, że wartość bezwzględna przyjmuje wyłącznie wartości nieujemne. Podana nierówność będzie więc prawdziwa zawsze. 

 

Wskaż współczynnik kierunkowy prostej...

Przekształcamy równanie prostej do postaci  

 

 

 

Współczynnik kierunkowy prostej jest równy  czyli  

Prawidłowa odpowiedź to         

Wypisz elementy podanych zbiorów

 

 

 

 

Szukamy elementów, które należą jednocześnie do zbiorów A, B, C:

 

Szukamy elementów, które należą do zbioru A lub do zbioru B i jednocześnie należą do zbioru C:

 

Szukamy elementów, które należą do zbioru A i nie należą do zbioru B, jednocześnie należąc do zbioru C;

 

Szukamy elementów, które należą jednocześnie do zbiorów A i B, ale nie należą do zbioru C:

 

Szukamy elementów, które należą do jednego ze zbiorów A lub B, ale nie należą do zbioru C:

 

Szukamy elementów, które należą do zbioru A i nie należą do zbioru B, a następnie dopisujemy do nich elementy zbioru C:

 

Szukamy elementów, które należą jednocześnie do zbiorów A i B, a anastępnie dopisujemy do nich elementy zbioru C:

 

Szukamy elementów, które należą do zbioru A i nie należą do zbioru B, a następnie z usykanego zbioru zabieramy elementy zbioru C:

Znajdź punkty przecięcia paraboli z osiami układu współrzędnych

Punkt przecięcia paraboli z osią Y ma współrzędne (0, y)=(0, f(0))  - druga współrzędna to wartość funkcji dla argumentu 0

Punkt przecięcia paraboli z osią X ma współrzędne (x, 0) - są to miejsca zerowe paraboli

Oznaczenia:

Punkt przecięcia paraboli z osią Y nazywamy A

Punkty przecięcia paraboli z osią X nazywamy A, B. 

 

 

 

  

 

 

 

 

  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 `-4*(-3)=12\ \ \ =>\ \ \ ul(ul(A=(0,\ 12)))` 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 `-3*5=-15\ \ \ =>\ \ \ ul(ul(A=(0,\ -15)))` 

 

 

 

 

 

  

Która z liczb x, y ma większą wartość bezwzględną

`|x|=|7|=7`

Większą wartość bezwzględną ma liczba x. 

 

 

`|x|=|-10|=10`

`|y|=|-12|=12`

Większą wartość bezwzględną ma liczba y. 

 

 

`|y|=|0|=0`

Większą wartość bezwzględną ma liczba x. 

Załóżmy, że U={1, 2, 3, 4...

Jeżeli  jest dowolnym zbiorem w przestrzeni  to dopełnieniem zbioru  

w przestrzeni ozn.  nazywamy zbiór tych elementów przestrzeni  które nie należą do zbioru  


 Będzie nam łatwiej, jeśli zapiszemy najpierw, jak wyglądają zbiory  i  w przestrzeni  

 

 

 

 

Wówczas mamy:

 

 

 

 

 

 {premium}


 Wyznaczmy zbiory  i  

 

 

Wówczas mamy:

 

 

 

 

 

 


 Zapiszmy najpierw, jak wyglądają zbiory  i  w przestrzeni  

 

 

 

 

Wówczas mamy:

 

 

 

 

 

 

Rozwiąż równanie

 

 

 

 

Drugie równanie jest sprzeczne - wartość bezwzględna nie może przyjmować wartości ujemnych. Rozwiązujemy pierwsze równanie.

 

 

 

 

  

 

 

 

 

 

 

Wyrażenie √7+π jest sumą dwóch liczb dodatnich, więc jest dodatnie. Wyrażenie √7-π jest równe około 2,65-3,14, a więc jest ujemne. Stąd drugie równanie jest sprzeczne - wartość bezwzględna nie może przyjmować wartości ujemnych. Rozwiązujemy pierwsze równanie.

 

 

 

 

    

 

 

 

 

   

     

     

 

 

  

 

 

 

 

    

   

     

Wyrażenie 3√2-2√3 jest równe około 3∙1,41-2∙1,73=4,23-3,46, a więc jest dodatnie. Wyrażenie 3√2+2√3 jest sumą dwóch liczb dodatnich, a więc także jest dodatnie. Nie odrzucamy więc żadnego równania. 

   

 

 

 

                     

              

 

 

  

 

 

 

 

 

 

  

  

         

  

  

              

     

 

 

  

 

 

 

 

 

 

Pierwsze równanie jest sprzeczne - wartość bezwzględna nie może przyjmować wartości ujemnych. Rozwiązujemy drugie równanie.

 

   

 

O funkcji f wiadomo, że jest...

Aby otrzymać wykres funkcji   należy przekształcić wykres funkcji  przez symetrię

względem osi  

Wobec tego funkcja  jest malejąca w przedziale  i rosnąca w przedziale      

Pewna restauracja po pierwszym

Oznaczmy początkową wysokość cen w tej restauracji jako x. Po obniżce o 20% te ceny wynosiły:

 

 

Po podwyżce o 25% te ceny wynosiły:

 

 

Po podwyżce o 10% te ceny wynosiły:

 

 

Obliczamy, o ile wzrosły ceny w tej restauracji po trzech latach, czyli jakim procentem początkowej ceny jest różnica cen:

 

 

Która z podanych liczb jest najmniejsza?

Jeśli liczbę -1 podniesiemy do potęgi nieparzystej, to otrzymamy -1. 

 

Jeśli liczbę -1 podniesiemy do potęgi parzystej, to otrzymamy 1. 

 

Jedynka podniesiona do każdej potęgi daje 1. 

 

 

 

Należy zaznaczyć odpowiedź A.