Przedziały liczbowe - matura-podstawowa - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Przedziały liczbowe - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Suma zbiorów

W zbiorach liczb może nam się trafić tzw. Przerwanie. Ma to miejsce, gdy w naszym zakresie liczb jest więcej niż 1 przedział, np. z liczb od 1 do 100 chcę wziąć tylko te od 1 do 25, od 40 do 67 oraz od 70 do 86. Kolejny przykład wraz z opisem powinien wszystko dokładnie wytłumaczyć.

Przykład:
Pracujemy na kolei i musimy podsumować dostępność miejsc w wagonach, okazuje się, że w wagonie nr 1 są miejsca od 1 do 42.

Z kolei w wagonie nr 2 są już miejsca od 55 do 75.
Brakuje nam miejsc 43-54, przez co nie możemy zapisać $< 1;75 >$

Potrzebujemy wykonać tzw. Sumę zbiorów, czyli wrzucić do jednego zbioru wszystkie liczby z kilku zbiorów (w naszym przypadku miejsca z obu wagonów).

Sumę zbiorów oznaczamy jako: $∪$

Rozwiązaniem będzie zapisanie, że miejsca należą do sumy zbiorów:

$miejsce ∈ <1 ;42 >$$< 55 ;75 >$

Oczywiście musimy pamiętać, że nie ma ułamków w naszych miejscach, więc musimy dopisać:

$miejsce ∈<1$ ;$42 > ∪ $ $< 55 ;75 >$ ,gdzie $miejsce∈N$
 

Różnica zbiorów

Czasem w celu ułatwienia sobie życia stosujemy tzw. Różnicę, której symbolem jest „”. Po co nam ona? Załóżmy, że musimy wyznaczyć zbiór wszystkich liczb rzeczywistych oprócz piątki.

Zapis taki jak dotychczas:

$ x∈(-∞ ;5)∪(5 ;∞)$

Zwróćcie uwagę na nawiasy!

Zamiast tego użyjmy zapisu z różnicą: $x∈R ext"{5}"$

Liczby pomiędzy klamerkami { } są to pojedyncze sztuki, więc {1,2,3} to 1,2,3

Zapis: $R ext"{5}"$ Oznacza każdą liczbę rzeczywistą oprócz 5.
 

Zapis graficzny

Na naszej drodze będziemy musieli sporządzać zapisy graficzne, przede wszystkim na osi liczbowej.

Przykład:

Weźmy nasze pociągi, mamy wagon z miejscami <1;42) co oznacza, ze miejsce 42 jest niedostępne.
Dla uproszczenia przyjmijmy, że można zajmować też miejsca ułamkowe i niewymierne.

Kółeczko puste oznacza nawiasy ( i )

Kółeczko zamalowane lub brak kółeczka oznacza < i >

Zatem zapis na takiej osi wygląda następująco:

os

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Rozwiąż nierówność i zapisz rozwiązanie na przedziale $x^2-9 < 0$ .

Przenieśmy liczbę na prawą stronę:

$x^2 < 9$

Zatem pamiętając, że równanie czy nierówność kwadratowa ma dwa rozwiązania

$x^2 < 9$

$x < 3$ v $x > -3$

Dwa rozwiązania wynikają z tego, że każda liczba podniesiona do kwadratu daje wynik dodatni. W przypadku 9, może to być: $3^2=9$ lub $(-3)^2=9$

Mamy więc dwa ograniczenia

$x < 3$ v $x > -3$

Zapiszmy je jako jedno

$-3 < x < 3$

Teraz widzimy dobrze dwa krańce, granicę prawą i lewą

Więc:

$x∈(-3;3)$
 

Zadanie 2.

Pracujesz na kolei, program w którym wpisujesz miejsca obsługuje zbiory liczb. Co wpiszesz w program jeśli dziś masz do dyspozycji wagon nr 1 z miejscami od 1 do 15, wagon nr 2 z miejscami od 20 do 35, gdzie miejsce 21 jest zarezerwowane dla konduktora i jest niedostępne. Z kolei wagon nr 3 o miejscach od 36 do 50 ma przeznaczone dla konduktorów dwa przedziały, pierwszy i ostatni, w którym są 4 miejsca.

Zacznijmy od wydzielenia poszczególnych przedziałów.

Wagon nr 1:

„wagon nr 1 z miejscami od 1 do 15”

Zatem liczby od 1 do 15 należą, więc oznaczając w jako miejsca w wagonach:

$w∈< 1;15 >$

Teraz Wagon nr 2:

„wagon nr 2 z miejscami od 20 do 35, gdzie miejsce 21 jest zarezerwowane dla konduktora”

Odchodzi nam miejsce 21, więc wagon jest „podzielony” na dwie części. Miejsce 20 i Miejsca 22-35

Pamiętamy, że pojedynczą wartość zapisujemy pomiędzy { }

$w∈ ext"{20} "∪< 22;35 >$

Wagon nr 3:

„wagon nr 3 o miejscach od 36 do 50 ma przeznaczone dla konduktorów dwa przedziały, pierwszy i ostatni, w którym są 4 miejsca.”

Odchodzą nam 4 miejsca na granicach, więc miejsca 36-39 (to znaczy 36,37,38,39), a także 47-50

Pozostają nam miejsca 40-46

$w∈< 40;46 >$

Na koniec pozostaje nam zapis sumy zbiorów i przypomnienie, że miejsca są numerowane liczbami naturalnymi:

$w∈< 1;15 > ∪ ext" {20}"∪< 22;35 >∪< 40;46 >$ gdzie $w∈N$

Spis treści

Rozwiązane zadania
Wykres funkcji f(x)...

{premium}

Figura ograniczona wykresami obu funkcji jest kwadratem.

W trapezie ABCD, AB || CD, poprowadzono...

Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku poniżej:{premium}


Z poprzedniego zadania wiemy, że pola trójkątów BEC i DEA są równe.


Pole trójkąta CDE możemy obliczyć następująco:

 


Ze wzoru na pole trójkąta ABE:

 

 


Ze wzoru na pole trójkąta BEC:

 

 

 

 

 

 


Ze wzoru na pole trójkąta DEA:

 

 

 

 


Stąd:

 


Odp. Pole trójkąta CDE jest równe 34 2/3.

Popatrz na rysunek obok...

Jeśli punkty A, B, C leżą na jednej prostej to kąt ABC ma miarę {premium}180o:   


 


miara kąta ABC jest mniejsza niż 180o, zatem punkty A, B, C nie leżą na jednej prostej.

W wyścigu wioślarskim na dystansie 2000 m...

a) Prędkość osady z Kamfort opisuje wykres{premium} B.

Prędkość osady z Oksbridż opisuje wykres C.


b) Osada z Jelitkowa w pierwszej fazie wyścigu "oszczędzała siły",
a w drugiej zaczęła się rozpędzać i na finiszu uzyskała największą prędkość. 

Naszkicuj wykres funkcji f ...

 

{premium}  

 

 

 

 

 

 

 

 

  

Dziedziną funkcji f jest przedział...

a) Dziedzina funkcji f przesunie się o wektor [3, 0], a {premium}zbiór wartości funkcji f - o wektor [0, -5]. Otrzymamy:

 

 


b) Dziedzina funkcji f przesunie się o wektor [-2, 0], a zbiór wartości funkcji f - o wektor [0, 1]. Otrzymamy:

 

 


c) Dziedzina funkcji f przesunie się o wektor [13, 0], a zbiór wartości funkcji f - o wektor [0, 40]. Otrzymamy:

 

 


d) Dziedzina funkcji f przesunie się o wektor [-124, 0], a zbiór wartości funkcji f - o wektor [0, -87]. Otrzymamy:

 

 

Wykaż, że dla dowolnych liczb a i b

Rozpisując prawą stronę równości otrzymujemy:   {premium}

Zaznacz na osi liczbowej

 

Zbiór A to zbiór liczb rzeczywistych, których odległość od zera jest nie większa niż 5. 

{premium}  

 

Zbiór B to zbiór liczb rzeczywistych, których odległość od zera jest nie mniejsza niż 4. 

 

 

Zaznaczamy zbiory oraz ich iloczyn na osi liczbowej. 

 

 

 

 

 

Zbiór A to zbiór liczb rzeczywistych, których odległość od zera jest mniejsza niż 7. 

 

 

Zbiór B to zbiór liczb rzeczywistych, których odległość od zera jest nie mniejsza niż 3. 

 

 

Zaznaczamy zbiory oraz ich iloczyn na osi liczbowej.

 

Zaokrąglij daną liczbę do jednego miejsca po przecinku:

 

 {premium}

 

 

 

 

Dane są liczby a=(⁴√8)²⁰⁰ i b= (⁵√64)¹⁰⁰. Wtedy

Uprośćmy liczby a i b.

{premium}

Zatem poprawną odpowiedzią jest również: