Prostopadłość i równoległość prostych - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Prostopadłość i równoległość prostych

Dwie proste mogą być względem siebie prosopadłe, równoległe albo ani jedno ani drugie.
 
  • Jeśli przecinają się w dowolnym miejscu, i to pod kątem prostym, to nazywamy je prostymi prostopadłymi.
    przykład:
    rys1
     
  • Jeśli proste nawet przedłużane w nieskończoność nigdy się nie przetną, to nazywamy je prostymi równoległymi.
    przykład:
    rys2

Położenie względem siebie prostych ma również odzwierciedlenie w geometrii analitycznej, czyli możemy łatwo wykazać ich położenie względem siebie także za pomocą wzorów.
Aby sprawdzić jak położone są proste musimy mieć ich wzory w postaci kierunkowej. Zatem przypominam, że wzór kierunkowy to:
$$y=ax+b$$
Skupiamy się tylko i wyłącznie na współczynniku, który znajduje się przed iksem, czyli $$a$$.


Sprawdzenie równoległości dwóch prostych:
Oczywiście w obu przypadkach wyznaczamy najpierw ich postać kierunkową, innymi słowy zostawiamy po lewej tylko y. Otrzymujemy wtedy dwa wzory:
$$y=a_1x+b_1$$
oraz
$$y=a_2x+b_2$$
b nas kompletnie nie interesuje, może być dowolną liczbą rzeczywistą. Skupmy się na współczynnikach a.
W przypadku badania równoległości mamy najprostszy z możliwych sposobów:
Jeżeli $$a_1=a_2$$ to proste są równoległe.
Jeśli $$a_1$$ i $$a_2$$ nie są równe, to proste nie są równoległe.


Sprawdzenie prostopadłości dwóch prostych:
Również tutaj doprowadzamy nasze dwa wzory do postaci kierunkowych czyli: $$y=a_1x+b_1$$
oraz
$$y=a_2x+b_2$$

Również tutaj olewamy b, skupiamy się na współczynnikach a. Tylko mamy inną zależność:
Jeżeli $$a_1×a_2=-1$$ to proste są prostopadłe.
Jeżeli iloczyn $$a_1$$ i $$a_2$$ nie jest równy -1 to nie są one prostopadłe.

Przykład:
Sprawdź czy proste o równaniach $$3x+y+2=0$$ i $$6x+2y+2=0$$ są równoległe lub prostopadłe.

Pierwszym krokiem jest zawsze odseparowanie y, zatem od razu doprowadźmy wzory do postaci kierunkowych. Najpierw pierwszy:
$$3x+y+2=0$$
$$y=-3x-2$$

a teraz drugi wzór:
$$6x+2y+2=0$$
$$2y=-6x-2$$ $$|:2$$
$$y=-3x-1$$

Mamy już dwa równania prostych:
$$y=-3x-2$$
$$y=-3x-1$$

Zwracamy uwagę na współczynnik stojący przy x, czyli w tym przypadku $$-3$$:
$$a_1=-3$$
$$a_2=-3$$

Widzimy od razu, że współczynniki są równe czyli nasze proste są równoległe. Dla porządku sprawdźmy jeszcze prostopadłość:
$$a_1×a_2=-3×(-3)=9$$
9 nie jest równe -1 zatem proste nie są prostopadłe.
 

Informacja

Wzory na prostopadłość i równoległość prostych są dostępne w zbiorze wzorów dostępnych podczas matury.

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Znajdź wzór dowolnej prostej prostopadłej do prostej $$6x+2y-12=0$$.

Zaczynamy od ustalenia postaci kierunkowej, czyli wyznaczamy $$y$$ w zależności od reszty:
$$6x+2y-12=0$$
$$2y=-6x+12$$ $$|:2$$
$$y=-3x+6$$

Teraz szukamy współczynnika a dla prostej prostopadłej, wiemy, że $$a_1=-3$$ zatem:
$$a_1×a_2=-1$$
$$-3×a_2=-1$$
$$-3a_2=-1$$ $$|:(-3)$$
$$a_2= 1/3$$

z racji, że może to być dowolne równanie, a współczynnik a już znamy to może to być np.
$$y=1/3 x+5$$
czy
$$y=1/3 x-2$$

Zadanie 2.

Sprawdź czy istnieje prosta prostopadła do $$y=x+5$$ i równoległa do $$y=-x+9$$

Tutaj mamy ułatwione zadanie, ponieważ od razu mamy nasze y po lewej stronie, zatem nie musimy się z tym patyczkować. Żeby jednak nie było zbyt miło, mamy aż dwa warunki do sprawdzenia. Musimy tu sprawdzić, czy istnieje takie a, które da nam:
$$a×a_1=-1$$ i $$a=a_2$$

gdzie nasze:
$$a_1=1$$ ,bo $$y=x+5$$$$y=1x+5$$
$$a_2=-1$$ , bo $$y=-x+9$$$$y=-1x+9$$

no to bierzmy na warsztat pierwszy warunek:
$$a×a_1=-1$$
$$a×1=-1$$
$$a=-1$$
zatem pierwszy warunek spełnia tylko $$a=-1$$

Drugi:
$$a=a_2$$
$$a=-1$$
$$-1=-1$$

Odp.: Taka prosta istnieje, jej współczynnik kierunkowy to $$a=-1$$.

Zadanie 3.

Sprawdź czy proste $$4x+5y+6=0$$ i $$3x+2y-9=0$$ są równoległe

Standardowo wyznaczamy y:
$$4x+5y+6=0$$
$$5y=-4x-6$$ $$|:5$$
$$y=-4/5 x-6/5$$

Przekształcamy drugą prostą
$$3x+2y-9=0$$
$$2y=-3x+9$$ $$|:2$$
$$y=-3/2 x+9/2$$

Na pierwszy rzut oka widać, że proste nie są równoległe ponieważ ich współczynniki przy x są różne.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Oblicz pole trójkąta ...

Przekształćmy równanie prostej do postaci kierunkowej. 

`5x-3y-15=0\ \ \ \ |-5x+15`

`-3y=-5x+15\ \ \ \ |:(-3)`

`y=5/3x-5`

 

Wyznaczmy współrzędne punktów przecięcia wykresu powyższej funkcji z osiami układu współrzędnych:

 

Punkt przecięcia z osią x:

`(5/(5/3),\ 0)=(5:5/3,\ 0)=(5*3/5,\ 0)=(3,\ 0)`

 

Punkt przecięcia z osią y: 

`(0,\ -5)`

 

Ten trójkąt to trójkąt prostokątny o przyprostokątnych długości 3 i 5. 

 

 

`P=1/2*3*5=15/2=7 1/2`

a) Skonstruuj okrąg przechodzący przez dane trzy niewspółliniowe punkty

`a)`

 

 

 

`b)`

Dany jest trapez równoramienny, którego ramiona są tej samej długości

Przedłużamy ramiona trapezu tak, aby powstał trójkąt. 

Trójkąty ABC i EDC są podobne (cecha kąt-kąt-kąt)

Skala podobieństwa trójkąta ABC do EDC: 

`k=|AB|/|ED|=(2x)/x=2` 

 

Oznacza to, że boki trójkąta ABC są dwukrotnie dłuższe od boków trójkąta EDC, czyli:

`|AC|=2*|EC|` 

`x+|EC|=2*|EC|\ \ \ |-|EC|` 

`x=|EC|=|DC|` 

 

 

Zatem wszystkie boki trójkąta ABC mają długość 2x, czyli ten trójkąt jest równoboczny, a jego wszystkie kąty mają mairę 60 stopni. 

Wpiszmy miary kątów na rysunku

Odcinki BE i AD to środkowe boków AC i BC trójkąta równobocznego (łączą środek boków z wierzchołkiem)

W trójkącie równobocznym środkowe pokrywają się z wysokościami, dlatego Kąty CEB oraz CDA są proste. 

Oznaczmy punkt przecięcia przekątnych trapezu przez S, wtedy korzystając z tego, że suma miar kątów czworokąta wynosi 360 stopni, możemy zapisać (dla czworokąta CESD)

`60^o +90^o +90^o +|angleESD|=360^o` 

`|angleESD|=360^o-240^o=120^o` 

`|angleESA|=180^o-120^o=60^o`    - kąt,  pod jakim przecinają się przekątne  

Uprość wyrażenie

`a)\ (2x-1)(1+2x+4x^2+8x^3+16x^4)=`

`\ \ \ =(2x-1)(1+2x+(2x)^2+(2x)^3+(2x)^4)=`

`\ \ \ =(2x)^5-1=32x^5-1`

 

`b) `

UWAGA:

W ćwiczeniach pojawił się błąd i w drugim nawiasie zabrakło szóstej potęgi iksa. Przykład powinien być zapisany i rozwiązany następująco:

`(x^2-1)(1+x^2+x^4+x^6+x^8+x^10+x^12)=`

`=(x^2-1)(1+x^2+(x^2)^2+(x^2)^3+(x^2)^4+(x^2)^5+(x^2)^6)=`

`=(x^2)^7-1=x^14-1`

 

 

`c)`

`(sqrt5x^3-1)(1+sqrt5x^3+5x^6+5sqrt5x^9+25x^12)=`

`=(sqrt5x^3-1)(1+sqrt5x^3+(sqrt5x^3)^2+(sqrt5x^3)^3+(sqrt5x^3)^4)=`

`=(sqrt5x^3)^5-1=(sqrt5)^5(x^3)^5-1=25sqrt5x^15-1`

 

 

Sprawdź, czy punkty

Aby sprawdzić, czy punkt A należy do wykresu funkcji f musimy sprawdzić, czy zachodzi równość f(-3)=1.

`f(-3)=-2*(-3)+8=6+8=14ne1` 

Punkt A nie należy więc do wykresu funkcji f.

 

Aby sprawdzić, czy punkt B należy do wykresu funkcji f musimy sprawdzić, czy zachodzi równość f(2)=4.

`f(2)=-2*2+8=-4+8=4` 

Punkt B należy więc do wykresu funkcji f.

Okrąg wpisany w trójkąt równoboczny i okrąg

Promień okręgu wpisanego w trójkąt równoboczny stanowi 1/3 wysokości tego trójkąta, a promień okręgu opisanego na trójkącie równobocznym stanowi 2/3 wysokości tego trójkąta. Wynika z tego, promień mniejszego okręgu jest dwa razy mniejszy od promienia okręgu większego.

`R=2r`

Pole pierścienia jest różnicą pól dużego i małego okręgu:

`P=piR^2-pir^2=pi(R^2-r^2)`

Wstawiamy do tego wzoru zależność R=2r

`P=pi((2r)^2-r^2)=pi(4r^2-r^2=3r^2`

`P=3r^2pi`

`75picm^2pi=3r^2pi`    `/:3pi`

`25picm^2=r^2`        `i`             `r>0`

`r=5cm`

 

Wysokość trójkąta równobocznego jest trzy razy dłuższa od promienia okręgu wpisanego w ten trójkąt

`h=3*r=3*5cm=15cm`

Mając wysokość trójkąta równobocznego możemy obliczyć jego bok, a następnie pole.

`h=(asqrt3)/2`          `*2`

`asqrt3=2h`        `/:sqrt3`

`a=(2h)/(sqrt3)`

`a=(2*15cm)/(sqrt3) * sqrt3/sqrt3= (30sqrt3)/3= 10sqrt3 cm`

Podstawiamy do wzoru na pole trójkąta równobocznego:

`P=(a^2sqrt3)/4=((10sqrt3)^2sqrt3)/4=ul(ul(75sqrt3 cm^2))`

Przyprostokątne trójkąta prostokątnego ABC mają długości

Oznaczmy bok kwadratu przez x. 

Korzystając z tw. Talesa możemy zapisać proporcje

`|BD|/|DE|=|BA|/|AC|`

`(15-x)/x=15/10`

`10(15-x)=15x\ \ \ \ |:5`

`2(15-x)=3x`

`30-2x=3x\ \ \ \ |+2x`

`30=5x\ \ \ \ |:5`

`x=6`

 

`P_(square)=6*6=36`

 

Połącz trójmiany równe.

`y=4x^2+8x+4` 

`Delta=64-64=0` 

`x_1=-8/8=-1` 

`y=a(x-x_1)^2=4(x+1)^2` 

 

`ul(y=4x^2+8x+4\ ->\ y=4(x+1)^2` 

 

`y=4x^2-8x+3` 

`Delta=64-48=16` 

`sqrtDelta=4` 

 

`x_1=(8-4)/8=1/2` 

`x_2=(8+4)/8=3/2` 

`y=a(x-x_1)(x-x_2)=4(x-1/2)(x-3/2)` 

`ul(y=4x^2-8x+3\ ->\ y=4(x-1/2)(x-3/2)` 

 

`y=4x^2+6x+2` 

`Delta=36-32=4` 

`sqrtDelta=2` 

 

`x_1=(-6-2)/8=-1` 

`x_2=(-6+2)/8=-1/2` 

`y=a(x-x_1)(x_x_2)=4(x+1)(x-1/2)` 

`ul(y=4x^2+6x+2\ ->\ y=4(x+1/2)(x+1)`        

Rozwiąż nierówność.

`a)` 

`(2x-2)(x-3)<(x-3)(x-4)` 

`2x^2-6x-2x+6<x^2-4x-3x+12` 

`2x^2-8x+6<x^2-7x+12\ \ \ \ \ \ |-x^2+7x-12` 

`x^2-x-6<0` 

 

`Delta=(-1)^2-4*1*(-6)=1+24=25` 

`sqrtDelta=sqrt25=5` 

`x_1=(1-5)/2=(-4)/2=-2` 

`x_2=(1+5)/2=6/2=3` 

 

 

`ul(ul(x in (-2,\ 3)))` 

 

`b)` 

`(3x-1)(x+2)>=(x-3)(2x-1)` 

`3x^2+6x-x-2>=2x^2-x-6x+3` 

`3x^2+5x-2>=2x^2-7x+3\ \ \ \ \ \ |-2x^2+7x-3` 

`x^2+12x-5>=0` 

 

`Delta=12^2-4*1*(-5)=144+20=164` 

`sqrtDelta=sqrt164=sqrt(4*41)=sqrt4*sqrt41=2sqrt41` 

`x_1=(-12-2sqrt41)/2=-6-sqrt41` 

`x_2=(-12+2sqrt41)/2=-6+sqrt41` 

 

 

`ul(ul(x in (-infty,\ -6-sqrt41>>\ \ uu\ \ <<-6+sqrt41,\ +infty)))`  

 

`c)` 

`(2x-2)^2>=(3x-2)(x-3)` 

`4x^2-8x+4>=3x^2-9x-2x+6` 

`4x^2-8x+4>=3x^2-11x+6\ \ \ \ \ \ |-3x^2+11x-6` 

`x^2+3x-2>=0` 

 

`Delta=3^2-4*1*(-2)=` `9+8=17` 

`sqrtDelta=sqrt17` 

`x_1=(-3-sqrt17)/2` 

`x_2=(-3+sqrt17)/2` 

 

 

 

`ul(ul(x in (-infty,\ (-3-sqrt17)/2>>\ \ uu\ \ <<(-3+sqrt17)/2,\ +infty)))`   

 

`d)`  

`2x^2-3x+4>=-x^2+2x-7` 

`3x^2-5x+11>=0` 

`Delta=25-132=-107<0` 

`a=3>0` 

`a>0\ \ \wedge\ \ \Delta<0 \ implies\ "Wykres funkcji"\ f(x)=3x^2-5x+11\ "znajduje się w całości nad osią X."` 

`"Skoro wykres funkcji f znajduje się w całości nad osią X, to f przyjmuje tylko wartości dodatnie dla dowolnego x." `    

`"Równanie jest spełnione dla dowolnego x."` 

`ul( x in RR` 

Podstawa AB równoramiennego trójkąta...

`cos alpha = (1/2*|AB|)/30` 

`cos alpha = (|AB|)/60` 

`|AB| = cos alpha * 60 = 0,6 * 60 = 36` 

 

`|OA|^2 = |OD|^2 + (1/2|AB|)^2` 

`900 = |OD|^2 + 324` 

`|OD|^2 = 576` 

`|OD| = 24` 

 

`|CD| = r + |OD| = 30 + 24 = 54` 

 

`|AC|^2 = |AD|^2 + |CD|^2` 

`|AC|^2 = 324 + 2916` 

`|AC|^2 = 3240` 

`|AC| = sqrt3240 = sqrt(324*10) = 18sqrt10` 

 

Obwód:

`"Obw" = 18sqrt10 + 18sqrt10 + 24 = 36sqrt10 + 24` 

 

Pole:

`P = 1/2 * |AB| * |CD| = 1/2 * 36 * 54 = 18 * 54 = 972` 

 

`tg (/_ CAD) = (|CD|)/(|AD|) = 54/18 = 3` 

Znajdźmy najbliższą wartość dla tangensa kąta by oszacować kąt.

`tg 72^o approx 3,0777` 

`/_CAD approx 72^o`

 

Kąty wewnętrzne to:

`72^o, 72^o , 36^o` 

 

II przypadek:

`cos alpha = (1/2|AB|)/30` 

`|AB|/60 = cos alpha` 

`|AB| = 60 * cos alpha = 60 * 0,6 = 36` 

 

Z twierdzenia Pitagorasa:

`(1/2 |AD|)^2 + |OD|^2 = |AO|^2` 

`324 + |OD|^2 = 900` 

`|OD| = 24` 

 

`|CD| = |OC| - |OD| = 30 - 24 = 6`  

 

Z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta ADC:

`|AC|^2 = |CD|^2 + (1/2 |AB|)^2 = 36 + 324 = 360` 

`|AC| = sqrt360 = sqrt(36*10) = 6sqrt10` 

 

Obwód:

`"Obw" = 2*|AC| + |AB| = 12sqrt10 + 36` 

 

Pole:

`P = 1/2 * |AB| * |CD| = 1/2 * 36 * 6 = 108` 

 

Kąty wewnętrzne:

`tg \ (/_ CAD) = (|CD|)/(|AD|) = 6/18 = 1/3 approx 0,3333` 

`/_ CAD approx 19^o` 

 

`19^o , 19^o, 142^o`