Prostopadłość i równoległość prostych - matura-podstawowa - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Prostopadłość i równoległość prostych - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Prostopadłość i równoległość prostych

Dwie proste mogą być względem siebie prosopadłe, równoległe albo ani jedno ani drugie.
 
  • Jeśli przecinają się w dowolnym miejscu, i to pod kątem prostym, to nazywamy je prostymi prostopadłymi.
    przykład:
    rys1
     
  • Jeśli proste nawet przedłużane w nieskończoność nigdy się nie przetną, to nazywamy je prostymi równoległymi.
    przykład:
    rys2

Położenie względem siebie prostych ma również odzwierciedlenie w geometrii analitycznej, czyli możemy łatwo wykazać ich położenie względem siebie także za pomocą wzorów.
Aby sprawdzić jak położone są proste musimy mieć ich wzory w postaci kierunkowej. Zatem przypominam, że wzór kierunkowy to:
$y=ax+b$
Skupiamy się tylko i wyłącznie na współczynniku, który znajduje się przed iksem, czyli $a$.


Sprawdzenie równoległości dwóch prostych:
Oczywiście w obu przypadkach wyznaczamy najpierw ich postać kierunkową, innymi słowy zostawiamy po lewej tylko y. Otrzymujemy wtedy dwa wzory:
$y=a_1x+b_1$
oraz
$y=a_2x+b_2$
b nas kompletnie nie interesuje, może być dowolną liczbą rzeczywistą. Skupmy się na współczynnikach a.
W przypadku badania równoległości mamy najprostszy z możliwych sposobów:
Jeżeli $a_1=a_2$ to proste są równoległe.
Jeśli $a_1$ i $a_2$ nie są równe, to proste nie są równoległe.


Sprawdzenie prostopadłości dwóch prostych:
Również tutaj doprowadzamy nasze dwa wzory do postaci kierunkowych czyli: $y=a_1x+b_1$
oraz
$y=a_2x+b_2$

Również tutaj olewamy b, skupiamy się na współczynnikach a. Tylko mamy inną zależność:
Jeżeli $a_1×a_2=-1$ to proste są prostopadłe.
Jeżeli iloczyn $a_1$ i $a_2$ nie jest równy -1 to nie są one prostopadłe.

Przykład:
Sprawdź czy proste o równaniach $3x+y+2=0$ i $6x+2y+2=0$ są równoległe lub prostopadłe.

Pierwszym krokiem jest zawsze odseparowanie y, zatem od razu doprowadźmy wzory do postaci kierunkowych. Najpierw pierwszy:
$3x+y+2=0$
$y=-3x-2$

a teraz drugi wzór:
$6x+2y+2=0$
$2y=-6x-2$ $|:2$
$y=-3x-1$

Mamy już dwa równania prostych:
$y=-3x-2$
$y=-3x-1$

Zwracamy uwagę na współczynnik stojący przy x, czyli w tym przypadku $-3$:
$a_1=-3$
$a_2=-3$

Widzimy od razu, że współczynniki są równe czyli nasze proste są równoległe. Dla porządku sprawdźmy jeszcze prostopadłość:
$a_1×a_2=-3×(-3)=9$
9 nie jest równe -1 zatem proste nie są prostopadłe.
 

Informacja

Wzory na prostopadłość i równoległość prostych są dostępne w zbiorze wzorów dostępnych podczas matury.

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Znajdź wzór dowolnej prostej prostopadłej do prostej $6x+2y-12=0$.

Zaczynamy od ustalenia postaci kierunkowej, czyli wyznaczamy $y$ w zależności od reszty:
$6x+2y-12=0$
$2y=-6x+12$ $|:2$
$y=-3x+6$

Teraz szukamy współczynnika a dla prostej prostopadłej, wiemy, że $a_1=-3$ zatem:
$a_1×a_2=-1$
$-3×a_2=-1$
$-3a_2=-1$ $|:(-3)$
$a_2= 1/3$

z racji, że może to być dowolne równanie, a współczynnik a już znamy to może to być np.
$y=1/3 x+5$
czy
$y=1/3 x-2$

Zadanie 2.

Sprawdź czy istnieje prosta prostopadła do $y=x+5$ i równoległa do $y=-x+9$

Tutaj mamy ułatwione zadanie, ponieważ od razu mamy nasze y po lewej stronie, zatem nie musimy się z tym patyczkować. Żeby jednak nie było zbyt miło, mamy aż dwa warunki do sprawdzenia. Musimy tu sprawdzić, czy istnieje takie a, które da nam:
$a×a_1=-1$ i $a=a_2$

gdzie nasze:
$a_1=1$ ,bo $y=x+5$$y=1x+5$
$a_2=-1$ , bo $y=-x+9$$y=-1x+9$

no to bierzmy na warsztat pierwszy warunek:
$a×a_1=-1$
$a×1=-1$
$a=-1$
zatem pierwszy warunek spełnia tylko $a=-1$

Drugi:
$a=a_2$
$a=-1$
$-1=-1$

Odp.: Taka prosta istnieje, jej współczynnik kierunkowy to $a=-1$.

Zadanie 3.

Sprawdź czy proste $4x+5y+6=0$ i $3x+2y-9=0$ są równoległe

Standardowo wyznaczamy y:
$4x+5y+6=0$
$5y=-4x-6$ $|:5$
$y=-4/5 x-6/5$

Przekształcamy drugą prostą
$3x+2y-9=0$
$2y=-3x+9$ $|:2$
$y=-3/2 x+9/2$

Na pierwszy rzut oka widać, że proste nie są równoległe ponieważ ich współczynniki przy x są różne.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Ile jest liczb całkowitych, które ...

{premium}  

Wiemy, że:

 

 

 

Otrzymujemy nierówność:

 

 

Stąd:

 

W miejsce x możemy wstawić tylko dwie liczby całkowite 3 lub 4.

 

Odp: C

Zapisz w jak najprostszej ...

a)  {premium}


b)    


c)   

  


d)   

  


e)    

 

 


f)    

Rozwiąż algebraicznie i graficznie układ równań

Podstawiamy pierwsze równanie do drugiego równania:

 

 

Przekształcamy każde równanie do{premium} postaci kierunkowej. 

 

Dla każdej prostej wyznaczamy współrzędne dwóch punktów, które do niej należą (dzięki temu będziemy mogli narysować wykres, prowadząc prostą przez te punkty). 

 

 

 

Odczytujemy współrzędne punktu przecięcia prostych - jest to rozwiązanie układu:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Drugie równanie opisuje prostą pionową, pierwsze równanie przekształcamy do postaci kierunkowej. 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Równość jest zawsze prawdziwa, więc układ jest nieoznaczony - ma nieskończenie wiele rozwiązań. 

Spełnia je każda taka para liczb, że:

 

 

Obydwa równania opisują tę samą prostą. Układ ma nieskończenie wiele rozwiązań - wszystkie leżą na narysowanej prostej. 

 

 

 

 

Pierwsze równanie jest sprzeczne, więc układ równań jest sprzeczny - nie ma rozwiązań. 

 

 

 

 

Narysowane proste nie mają punktów wspólnych, więc układ jest sprzeczny - nie ma rozwiązania. 

Mając dany wykres funkcji y=f(x)...

a)

I. Wykres funkcji f przesuwamy o jedną jednostkę w prawo wzdłuż osi x.{premium}


II. Wykres funkcji f przesuwamy o trzy jednostki w lewo wzdłuż osi x.


III. Wykres funkcji f przesuwamy o dwie jednostki w prawo wzdłuż osi x.


IV. Wykres funkcji f przesuwamy o pięć jednostek w lewo wzdłuż osi x.


b)

I. Wykres funkcji f przesuwamy o jedną jednostkę w prawo wzdłuż osi x.


II. Wykres funkcji f przesuwamy o trzy jednostki w lewo wzdłuż osi x.


III. Wykres funkcji f przesuwamy o dwie jednostki w prawo wzdłuż osi x.


IV. Wykres funkcji f przesuwamy o pięć jednostek w lewo wzdłuż osi x.

Narysuj wykres funkcji...

Wyznaczamy współrzędne kilu punktów należących do wykresu funkcji f i przedstawiamy je w tabeli:{premium}

x 0 1 4 9
y=f(x) 0 1 2 3

a) Aby otrzymać szukany wykres, należy przesunąć wykres funkcji y=f(x) o jedną jednostkę w lewo wzdłuż osi x.


b) Aby otrzymać szukany wykres, należy przesunąć wykres funkcji y=f(x) o pięć jednostek w górę wzdłuż osi y.


c) Aby otrzymać szukany wykres, należy przesunąć wykres funkcji y=f(x) o trzy jednostki w dół wzdłuż osi y.


d) Aby otrzymać szukany wykres, należy przesunąć wykres funkcji y=f(x) o cztery jednostki w prawo wzdłuż osi x.

Usuń niewymierność z mianownika

{premium}

Uzasadnij, że rozwinięcie dziesiętne...

a) Ułamek ma rozwinięcie dziesiętne skończone, ponieważ{premium} mianownik ułamka możemy rozszerzyć do liczby 1000. Mianowicie:

 


b) Ułamek ma rozwinięcie dziesiętne skończone, ponieważ mianownik ułamka możemy rozszerzyć do liczby 10 000. Mianowicie:

 


c) Ułamek ma rozwinięcie dziesiętne skończone, ponieważ po skróceniu licznika i mianownika przez 17, otrzymujemy:

 


d) Ułamek ma rozwinięcie dziesiętne skończone, ponieważ po skróceniu licznika i mianownika przez 13, otrzymujemy:

 

Ewa jest cztery razy młodsza od swojej ...

Przyjmijmy następujące oznaczenia:

 - wiek Ewy (w latach)

 - wiek trenerki Ewy (w latach)


Wiemy, że: {premium}

- Ewa jest cztery razy młodsza od swojej trenerki

- za siedem lat trenerka będzie starsza od Ewy trzykrotnie


Możemy więc zapisać:

 


Rozwiązujemy układ równań metodą przez podstawienie.

 

 

 

 

 

  

  


Ewa ma 14 lat, a jej trenerka - 56 lat.

Rozwiąż nierówność

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

{premium}  

 

 

Wyrażenie pod pierwszą wartością bezwzględną przyjmuje wartość 0 dla x=3, a pod drugą - dla x=-3. 

Musimy rozpatrzeć trzy przypadki. 

 

 

 

 

 

 

 

Należy pamiętać, że rozpatrywaliśmy nierówność w zadanym przedziale:

 

 

 

 

 

 

 

Powyższa nierówność jest spełniona zawsze, więc cały zadany przedział jest rozwiązaniem nierówności. 

  

 

 

 

 

 

 

 

Należy pamiętać, że rozpatrywaliśmy nierówność w zadanym przedziale:

 

 

 

Biorąc sumę rozwiązań otrzymanych we wszystkich przypadkach otrzymujemy ostateczne rozwiązanie nierówności:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Musimy rozpatrzeć dwa przypadki:

 

 

 

 

 

 

 

Należy pamiętać, że rozpatrywaliśmy nierówność w zadanym przedziale:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Należy pamiętać, że rozpatrywaliśmy nierówność w zadanym przedziale:

 

 

Biorąc sumę rozwiązań otrzymanych we wszystkich przypadkach otrzymujemy ostateczne rozwiązanie nierówności:
  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Musimy rozpatrzeć trzy przypadki. 

 

 

 

 

  

  

Należy pamiętać, że rozpatrywaliśmy nierówność w zadanym przedziale:

  

 

 

 

  

 

 

 

 

Nierówność jest sprzeczna, więc w zadanym przedziale nierówność nie ma rozwiązania. 

 

 

 

 

 

  

 

 

Należy pamiętać, że rozpatrywaliśmy nierówność w zadanym przedziale:

 

 

Nierówność nie ma rozwiązania w żadnym z podanych przedziałów. 

 

Do równania 3x+2y=3 dopisz drugie tak

Dopisujemy drugie równania tak, aby jego lewa strona była taka sama, jak w pierwszym równaniu, ale prawa{premium} strona była różna od 3. Wtedy układ na pewno będzie sprzeczny - suma liczb 3x i 2y nie może być równa jednocześnie 3 i jakiejś innej liczbie.

Przykładowe rozwiązania:

 

 

Układ będzie nieoznaczony (będzie miał nieskończenie wiele rozwiązań), jeślii drugie równanie będzie pewna wielokrotnością pierwszego równania.

Przykładowe rozwiązania:

 

 

Najpierw znajdźmy jakąś parę liczb, która spełnia pierwsze równanie.

Podstawmy na przykład jeden w miejsce x i wyliczmy y:

 

Teraz drugie równanie dopisujemy tak, aby było spełnione przez parę (3, 0), na przykład: