Zgoda na przetwarzanie danych osobowych

25 maja 2018 roku zacznie obowiązywać Rozporządzenie Parlamentu Europejskiego i Rady (UE) 2016/679 z dnia 27 kwietnia 2016 r. znane jako RODO.

Dlatego aby dalej móc dostarczać Ci materiały odpowiednie do Twojego etapu edukacji, potrzebujemy zgody na lepsze dopasowanie treści do Twojego zachowania. Dzięki temu możemy zapamiętywać jakie materiały są Ci potrzebne. Dbamy o Twoją prywatność, więc nie zwiększamy zakresu naszych uprawnień. Twoje dane są u nas bezpieczne, a zgodę na ich zbieranie możesz wycofać na podstronie polityka prywatności.

Klikając "Przejdź do Odrabiamy", zgadzasz się na wskazane powyżej działania. W przeciwnym wypadku, nie jesteśmy w stanie zrealizować usługi kompleksowo i prosimy o opuszczenie strony.

Polityka prywatności

Drogi Użytkowniku w każdej chwili masz prawo cofnąć zgodę na przetwarzanie Twoich danych osobowych. Cofnięcie zgody nie będzie wpływać na zgodność z prawem przetwarzania, którego dokonano na podstawie wyrażonej przez Ciebie zgody przed jej wycofaniem. Po cofnięciu zgody wszystkie twoje dane zostaną usunięte z serwisu. Udzielenie zgody możesz modyfikować w zakładce 'Informacja o danych osobowych'

Prostopadłość i równoległość prostych - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Prostopadłość i równoległość prostych

Dwie proste mogą być względem siebie prosopadłe, równoległe albo ani jedno ani drugie.
 
  • Jeśli przecinają się w dowolnym miejscu, i to pod kątem prostym, to nazywamy je prostymi prostopadłymi.
    przykład:
    rys1
     
  • Jeśli proste nawet przedłużane w nieskończoność nigdy się nie przetną, to nazywamy je prostymi równoległymi.
    przykład:
    rys2

Położenie względem siebie prostych ma również odzwierciedlenie w geometrii analitycznej, czyli możemy łatwo wykazać ich położenie względem siebie także za pomocą wzorów.
Aby sprawdzić jak położone są proste musimy mieć ich wzory w postaci kierunkowej. Zatem przypominam, że wzór kierunkowy to:
$$y=ax+b$$
Skupiamy się tylko i wyłącznie na współczynniku, który znajduje się przed iksem, czyli $$a$$.


Sprawdzenie równoległości dwóch prostych:
Oczywiście w obu przypadkach wyznaczamy najpierw ich postać kierunkową, innymi słowy zostawiamy po lewej tylko y. Otrzymujemy wtedy dwa wzory:
$$y=a_1x+b_1$$
oraz
$$y=a_2x+b_2$$
b nas kompletnie nie interesuje, może być dowolną liczbą rzeczywistą. Skupmy się na współczynnikach a.
W przypadku badania równoległości mamy najprostszy z możliwych sposobów:
Jeżeli $$a_1=a_2$$ to proste są równoległe.
Jeśli $$a_1$$ i $$a_2$$ nie są równe, to proste nie są równoległe.


Sprawdzenie prostopadłości dwóch prostych:
Również tutaj doprowadzamy nasze dwa wzory do postaci kierunkowych czyli: $$y=a_1x+b_1$$
oraz
$$y=a_2x+b_2$$

Również tutaj olewamy b, skupiamy się na współczynnikach a. Tylko mamy inną zależność:
Jeżeli $$a_1×a_2=-1$$ to proste są prostopadłe.
Jeżeli iloczyn $$a_1$$ i $$a_2$$ nie jest równy -1 to nie są one prostopadłe.

Przykład:
Sprawdź czy proste o równaniach $$3x+y+2=0$$ i $$6x+2y+2=0$$ są równoległe lub prostopadłe.

Pierwszym krokiem jest zawsze odseparowanie y, zatem od razu doprowadźmy wzory do postaci kierunkowych. Najpierw pierwszy:
$$3x+y+2=0$$
$$y=-3x-2$$

a teraz drugi wzór:
$$6x+2y+2=0$$
$$2y=-6x-2$$ $$|:2$$
$$y=-3x-1$$

Mamy już dwa równania prostych:
$$y=-3x-2$$
$$y=-3x-1$$

Zwracamy uwagę na współczynnik stojący przy x, czyli w tym przypadku $$-3$$:
$$a_1=-3$$
$$a_2=-3$$

Widzimy od razu, że współczynniki są równe czyli nasze proste są równoległe. Dla porządku sprawdźmy jeszcze prostopadłość:
$$a_1×a_2=-3×(-3)=9$$
9 nie jest równe -1 zatem proste nie są prostopadłe.
 

Informacja

Wzory na prostopadłość i równoległość prostych są dostępne w zbiorze wzorów dostępnych podczas matury.

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Znajdź wzór dowolnej prostej prostopadłej do prostej $$6x+2y-12=0$$.

Zaczynamy od ustalenia postaci kierunkowej, czyli wyznaczamy $$y$$ w zależności od reszty:
$$6x+2y-12=0$$
$$2y=-6x+12$$ $$|:2$$
$$y=-3x+6$$

Teraz szukamy współczynnika a dla prostej prostopadłej, wiemy, że $$a_1=-3$$ zatem:
$$a_1×a_2=-1$$
$$-3×a_2=-1$$
$$-3a_2=-1$$ $$|:(-3)$$
$$a_2= 1/3$$

z racji, że może to być dowolne równanie, a współczynnik a już znamy to może to być np.
$$y=1/3 x+5$$
czy
$$y=1/3 x-2$$

Zadanie 2.

Sprawdź czy istnieje prosta prostopadła do $$y=x+5$$ i równoległa do $$y=-x+9$$

Tutaj mamy ułatwione zadanie, ponieważ od razu mamy nasze y po lewej stronie, zatem nie musimy się z tym patyczkować. Żeby jednak nie było zbyt miło, mamy aż dwa warunki do sprawdzenia. Musimy tu sprawdzić, czy istnieje takie a, które da nam:
$$a×a_1=-1$$ i $$a=a_2$$

gdzie nasze:
$$a_1=1$$ ,bo $$y=x+5$$$$y=1x+5$$
$$a_2=-1$$ , bo $$y=-x+9$$$$y=-1x+9$$

no to bierzmy na warsztat pierwszy warunek:
$$a×a_1=-1$$
$$a×1=-1$$
$$a=-1$$
zatem pierwszy warunek spełnia tylko $$a=-1$$

Drugi:
$$a=a_2$$
$$a=-1$$
$$-1=-1$$

Odp.: Taka prosta istnieje, jej współczynnik kierunkowy to $$a=-1$$.

Zadanie 3.

Sprawdź czy proste $$4x+5y+6=0$$ i $$3x+2y-9=0$$ są równoległe

Standardowo wyznaczamy y:
$$4x+5y+6=0$$
$$5y=-4x-6$$ $$|:5$$
$$y=-4/5 x-6/5$$

Przekształcamy drugą prostą
$$3x+2y-9=0$$
$$2y=-3x+9$$ $$|:2$$
$$y=-3/2 x+9/2$$

Na pierwszy rzut oka widać, że proste nie są równoległe ponieważ ich współczynniki przy x są różne.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Rozwiąż algebraicznie i graficznie ...

`a)` 

`{(y-x=3),(2x+y=-6):}` 

`{(y=x+3),( y=-2x-6):}` 

`y=y\ iff\ x+3=-2x-6` 

`3x=-9` 

`x=-3` 

`y=x+3=0` 

`{(x=-3),(y=0):}`  

 

`b)` 

`{(x+4y=0),(3x-y=13):}` 

`{(y=-x/4),(y=3x-13):}` 

`-x/4=3x-13` 

`-x=12x-52` 

`-13x=-52` 

`x=4` 

`y=-x/4=-1` 

`{(x=4),(y=-1):}`   

 

 

`c)` 

`{(2x+1/2y=2),(4x+y=2):}` 

`{(y=-4x+4),( y=-4x+2):}`   

`-4x+4=-4x+2` 

`4=2` 

Sprzeczność - brak rozwiązań.  

 

`d)` 

`{(2x-1/3y=1),(1/2y=3x-3/2):}` 

`{(y=6x-3),( y=6x-3 ):}` 

`6x-3=6x-3` 

`0=0` 

Nieskończenie wiele rozwiązań. (Proste pokrywają się.) 

 

`e)` 

`{(x-2y=4),(2x-y=2):}` 

`{(y=x/2-2),(y=2x-2):}` 

`y=y\ iff\ x/2-2=2x-2` 

`x-4=4x-4` 

`-3x=0` 

`x=0` 

`y=x/2-2=-2` 

`{(x=0),(y=-2):}`   

 

`f)` 

`{(3x-y=2),(x-2=0):}`   

`{(y=3x-2),(x=2):}` 

`y=3*2-2=4` 

`{(x=2),(y=4):}`      

Dany jest trapez...

Rysunek:

Użyjmy twierdzenia pitagorasa dwukrotnie:

`x^2 + h^2 = 3^2`

oraz

`(5-x)^2 + h^2 = 4^2`

Rozwiążmy układ równań:

`{(x^2 + h^2 =9 \ \ \ |-x^2),((5-x)^2 + h^2 = 16):}`

`{(h^2 = 9 - x^2),((5-x)^2 + 9 -x^2 = 16):}`

`{(h^2=9-x^2),(25 - 10x + strikex^2 + 9 - strikex^2 =16):}`

`{(h^2 = 9-x^2),(34 -10x = 16 \ \ \ |-34):}`

`{(h^2 = 9-x^2),(-10x = -18 \ \ \ |:(-10)):}`

`{(h^2 = 9 - x^2),(x = 1,8):}`

`{(h^2 = 5,76),(x=1,8):}`

`{(h=2,4 \ [cm]),(x=1,8 \ [cm]):}`

 

Krótsza podstawa ma długość:

`a=5-2x = 5-2*1,8 = 5 - 3,6 = 1,4 \ [cm]`

 

Obwód trapezu:

`Obw = 3+3+5+1,4 = 12,4 \ [cm]`

Pole trapezu:

`P= (a+b)/2 * h = (1,4 + 5)/2 * 2,4 = 3,2*2,4 = 7,68 \ [cm^2]`

 

b) Rysunek:

 

 

Z twierdzenia Pitagorasa:

`12^2 + h^2 = 15^2` 

 `144 + h^2 = 225` 

`h^2 = 81` 

`h = 9` 

Z twierdzenia Pitagorasa:

`4^2 + h^2 = c^2` 

`4^2 + 9^2 = c^2` 

`c^2 = 16 + 81` 

`c^2 = 97` 

`c=sqrt97` 

 

Pole trapezu:

`P=(a+b)/2 * h = (8+16)/2 * 9 = 12*9 = 108 \ [cm^2]` 

Obwód trapezu:

`a+b+2c = 8 + 16 + 2*sqrt97 = 24+ 2sqrt97 \ [cm]` 

Krawędzie otwartego prostopadłościennego pudełka...

Pole powierzchni prostopadłościennego pudełka z pokrywką o krawędziach długości a, b, c jest dane wzorem:

`P_c = 2ab + 2ac + 2bc` 

 

Skoro w naszym przypadku nie mamy przykrywki to znaczy, że będą trzy przypadki:

`P_c = 2ab + 2ac + bc` 

lub

`P_c = 2ab + ac + 2bc` 

lub

`P_c = ab + 2ac + 2bc` 

 

Przyjmijmy długość najkrótszej krawędzi jako x, wtedy pozostałe boki mają długości 3x 5x. Zatem:

`f(x) = 2*x*3x + 2*x*5x + 3x*5x = 6x^2 + 10x^2 + 15x^2 = 31x^2` 

lub

`f(x) = 2*x*3x+x*5x+2*3x*5x =6x^2 + 5x^2 + 30x^2 = 41x^2` 

lub

`f(x) = x*3x + 2* x* 5x + 2 * 3x * 5x = 3x^2 + 10x^2 + 30x^2 = 43x^2` 

Czy zbiory A i B są równe?

`a)\ tak`

`b)\ tak`

 

Wyznacz zbiory

Suma zbiorów A i  B to zbiór tych elementów, które należą do zbioru A lub należą do zbioru B. 

Iloczyn zbiorów A i B to zbiór tych elementów, które należą jednocześnie do zbioru A i do zbioru B. 

 

 

`a)` 

`AuuB=(-2;\ 7)` 

`AnnB=<<3; 4>>uu(5;\ 6>>` 

 

 

`b)` 

`AuuB=(-infty;\ 3)uu,,4;\ 5>>` 

`AnnB=emptyset` 

 

 

`c)` 

`AuuB=(-infty;\ 2)uu<<5;\ +infty)` 

`AnnB=(-1;\ 0>>` 

 

 

`d)` 

`AuuB=(-3;\ 0)uu(1;\ 4)uu(4;\ +infty)` 

`AnnB=emptyset` 

 

W okręgu o promieniu...

Wysokość poprowadzona z punktu O na odcinek AB jest dwusieczną kąta 148o

`sin74^o = (1/2a)/25` 

`sin74^o = a/50` 

`a = sin74^o * 50 approx 0,9613*50 = 48,065` 

 

`cos 74^o = h/25` 

`h = cos74^o * 25 = 0,2756 * 25=6,89` 

 

Obwód to:

`"Obw" = 2*|AB| + 2*(h+r) = 2*48,065 + 2 *31,89 approx 159,9 \ ["cm"]` 

 

II przypadek:

`a = 48,065` 

 

`tg \ 37^o = b/(1/2a)` 

`b = tg \ 37^o *1/2a approx 0,7536 * 1/2 * 48,065 approx 18,111` 

 

`"Obw" \ = 2*48,065 + 2*18,111 approx 132,4 \ ["cm"] ` 

 

Oblicz

`a)\ (sqrt7+1)^2=sqrt7^2+2*sqrt7*1+1^2=7+2sqrt7+1=8+2sqrt7`

`b)\ (sqrt5-3)^2=sqrt5^2-2*sqrt5*3+3^2=5-6sqrt5+9=14-6sqrt5`

`c)\ (6-sqrt3)^2=6^2-2*6*sqrt3+sqrt3^2=36-12sqrt3+3=39-12sqrt3`

`d)\ (1+2sqrt2)^2=1^2+2*1*2sqrt2+(2sqrt2)^2=1+4sqrt2+4*2=9+4sqrt2`

`e)\ (sqrt3+sqrt2)^2=sqrt3^2+2*sqrt3*sqrt2+sqrt2^2=3+2sqrt6+2=5+2sqrt6`

`f)\ (sqrt3-2sqrt2)^2=sqrt3^2-2*sqrt3*2sqrt2+(2sqrt2)^2=3-4sqrt6+4*2=11-4sqrt6`

`g)\ (sqrt6+sqrt15)^2=sqrt6^2+2*sqrt6*sqrt15+sqrt15^2=6+2sqrt90+15=21+2*sqrt9*sqrt10=21+2*3sqrt10=21+6sqrt10`

`h)\ (sqrt2/2-sqrt6)^2=(sqrt2/2)^2-2*sqrt2/2*sqrt6+sqrt6^2=2/4-sqrt12+6=1/2-sqrt4*sqrt3+6=6 1/2-2sqrt3`

Rozwiąż równanie.

a) `|x^2-5|=4` 

I przypadek:

`x^2-5=4` 

`x^2=9` 

`x=3 \ \ \ "lub" \ \ \ x=-3` 

II przypadek:

`x^2-5=-4` 

`x^2=1` 

`x=1 \ \ \ "lub" \ \ \ x=-1` 


b) `|9x^2-1|=3` 

I przypadek:

`9x^2-1=3` 

`9x^2=4` 

`x^2=4/9` 

`x=2/3 \ \ \ "lub" \ \ \ x=-2/3` 

II przypadek:

`9x^2-1=-3`  

`9x^2=-2` 

`x^2=-2/9` 

brak rozwiązań


c) `x^2=|4x|` 

I przypadek:

`x^2=4x` 

`x^2-4x=0` 

`x(x-4)=0` 

`x=0 \ \ \ "lub" \ \ \ x-4=0` 

`x=0 \ \ \ "lub" \ \ \ x=4` 

II przypadek:

`x^2=-4x`  

`x^2+4x=0` 

`x(x+4)=0` 

`x=0 \ \ \ "lub" \ \ \ x+4=0` 

`x=0 \ \ \ "lub" \ \ \ x=-4` 


d) `|5x^2-10|=0` 

Tylko jeden przypadek, ponieważ liczba pod wartością bezwzględną musi być równa 0.

`5x^2-10=0 \ \ \ |:5` 

`x^2-2=0` 

`x^2=2` 

`x=sqrt2 \ \ \ "lub" \ \ \ x=-sqrt2` 

 

 

Jakie wymiary powinien mieć prostokąt...

Oznaczmy długość boku prostokąta przez x, wtedy drugi bok ma długość:

`2x + 2b = 64` 

`2b = 64 - 2x` 

`b = 32 - x` 

 

Pole prostokąta wyraża się wzorem:

`P(x) = x(32-x) = - x(x-32)` 

Parabola jest skierowana ramionami ku dołowi a więc największą wartość mamy w wierzchołku, odcięta wierzchołka paraboli jest średnią arytmetyczną miejsc zerowych, zatem:

`x_w = (0+32)/2 = 16` 

Prostokąt powinien być kwadratem o boku 16 m, żeby jego pole było największe.

Pierwiastkami równania kwadratowego...

Usuńmy niewymierności z mianownika

`2/(2-3sqrt2) *(2+3sqrt2)/(2+3sqrt2) = (2(2+3sqrt2))/(4-9*2) = (2(2+3sqrt2)/(-14) = -(2+3sqrt2)/7` 

Analogicznie:

`2/(2+3sqrt2) *(2-3sqrt2)/(2-3sqrt2) = (2(2-3sqrt2))/(4 - 18) = (2(2-3sqrt2))/(-14) = -(2-3sqrt2)/7` 

Równanie zapiszemy w postaci iloczynowej:

`(x-x_1)(x-x_2)=0` 

`(x +(2-3sqrt2)/7)(x+(2+3sqrt2)/7))=0` 

`1/7*(7x + (2-3sqrt2))*1/7(7x + (2 + 3sqrt2))=0 \ \ \ |*49` 

`7x*7x + 7x*(2+3sqrt2) + (2-3sqrt2)*7x + (2-3sqrt2)*(2+3sqrt2) =0` 

`49x^2 + 14x + 21sqrt2x + 14x -21sqrt2x + 4 - 18=0` 

`49x^2 + 28x -14=0` 

`x^2 + 28/49 x -14/49 =0` 

`x^2 + 4/7 x - 2/7=0`