Prostopadłość i równoległość prostych - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Prostopadłość i równoległość prostych

Dwie proste mogą być względem siebie prosopadłe, równoległe albo ani jedno ani drugie.
 
  • Jeśli przecinają się w dowolnym miejscu, i to pod kątem prostym, to nazywamy je prostymi prostopadłymi.
    przykład:
    rys1
     
  • Jeśli proste nawet przedłużane w nieskończoność nigdy się nie przetną, to nazywamy je prostymi równoległymi.
    przykład:
    rys2

Położenie względem siebie prostych ma również odzwierciedlenie w geometrii analitycznej, czyli możemy łatwo wykazać ich położenie względem siebie także za pomocą wzorów.
Aby sprawdzić jak położone są proste musimy mieć ich wzory w postaci kierunkowej. Zatem przypominam, że wzór kierunkowy to:
$$y=ax+b$$
Skupiamy się tylko i wyłącznie na współczynniku, który znajduje się przed iksem, czyli $$a$$.


Sprawdzenie równoległości dwóch prostych:
Oczywiście w obu przypadkach wyznaczamy najpierw ich postać kierunkową, innymi słowy zostawiamy po lewej tylko y. Otrzymujemy wtedy dwa wzory:
$$y=a_1x+b_1$$
oraz
$$y=a_2x+b_2$$
b nas kompletnie nie interesuje, może być dowolną liczbą rzeczywistą. Skupmy się na współczynnikach a.
W przypadku badania równoległości mamy najprostszy z możliwych sposobów:
Jeżeli $$a_1=a_2$$ to proste są równoległe.
Jeśli $$a_1$$ i $$a_2$$ nie są równe, to proste nie są równoległe.


Sprawdzenie prostopadłości dwóch prostych:
Również tutaj doprowadzamy nasze dwa wzory do postaci kierunkowych czyli: $$y=a_1x+b_1$$
oraz
$$y=a_2x+b_2$$

Również tutaj olewamy b, skupiamy się na współczynnikach a. Tylko mamy inną zależność:
Jeżeli $$a_1×a_2=-1$$ to proste są prostopadłe.
Jeżeli iloczyn $$a_1$$ i $$a_2$$ nie jest równy -1 to nie są one prostopadłe.

Przykład:
Sprawdź czy proste o równaniach $$3x+y+2=0$$ i $$6x+2y+2=0$$ są równoległe lub prostopadłe.

Pierwszym krokiem jest zawsze odseparowanie y, zatem od razu doprowadźmy wzory do postaci kierunkowych. Najpierw pierwszy:
$$3x+y+2=0$$
$$y=-3x-2$$

a teraz drugi wzór:
$$6x+2y+2=0$$
$$2y=-6x-2$$ $$|:2$$
$$y=-3x-1$$

Mamy już dwa równania prostych:
$$y=-3x-2$$
$$y=-3x-1$$

Zwracamy uwagę na współczynnik stojący przy x, czyli w tym przypadku $$-3$$:
$$a_1=-3$$
$$a_2=-3$$

Widzimy od razu, że współczynniki są równe czyli nasze proste są równoległe. Dla porządku sprawdźmy jeszcze prostopadłość:
$$a_1×a_2=-3×(-3)=9$$
9 nie jest równe -1 zatem proste nie są prostopadłe.
 

Informacja

Wzory na prostopadłość i równoległość prostych są dostępne w zbiorze wzorów dostępnych podczas matury.

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Znajdź wzór dowolnej prostej prostopadłej do prostej $$6x+2y-12=0$$.

Zaczynamy od ustalenia postaci kierunkowej, czyli wyznaczamy $$y$$ w zależności od reszty:
$$6x+2y-12=0$$
$$2y=-6x+12$$ $$|:2$$
$$y=-3x+6$$

Teraz szukamy współczynnika a dla prostej prostopadłej, wiemy, że $$a_1=-3$$ zatem:
$$a_1×a_2=-1$$
$$-3×a_2=-1$$
$$-3a_2=-1$$ $$|:(-3)$$
$$a_2= 1/3$$

z racji, że może to być dowolne równanie, a współczynnik a już znamy to może to być np.
$$y=1/3 x+5$$
czy
$$y=1/3 x-2$$

Zadanie 2.

Sprawdź czy istnieje prosta prostopadła do $$y=x+5$$ i równoległa do $$y=-x+9$$

Tutaj mamy ułatwione zadanie, ponieważ od razu mamy nasze y po lewej stronie, zatem nie musimy się z tym patyczkować. Żeby jednak nie było zbyt miło, mamy aż dwa warunki do sprawdzenia. Musimy tu sprawdzić, czy istnieje takie a, które da nam:
$$a×a_1=-1$$ i $$a=a_2$$

gdzie nasze:
$$a_1=1$$ ,bo $$y=x+5$$$$y=1x+5$$
$$a_2=-1$$ , bo $$y=-x+9$$$$y=-1x+9$$

no to bierzmy na warsztat pierwszy warunek:
$$a×a_1=-1$$
$$a×1=-1$$
$$a=-1$$
zatem pierwszy warunek spełnia tylko $$a=-1$$

Drugi:
$$a=a_2$$
$$a=-1$$
$$-1=-1$$

Odp.: Taka prosta istnieje, jej współczynnik kierunkowy to $$a=-1$$.

Zadanie 3.

Sprawdź czy proste $$4x+5y+6=0$$ i $$3x+2y-9=0$$ są równoległe

Standardowo wyznaczamy y:
$$4x+5y+6=0$$
$$5y=-4x-6$$ $$|:5$$
$$y=-4/5 x-6/5$$

Przekształcamy drugą prostą
$$3x+2y-9=0$$
$$2y=-3x+9$$ $$|:2$$
$$y=-3/2 x+9/2$$

Na pierwszy rzut oka widać, że proste nie są równoległe ponieważ ich współczynniki przy x są różne.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Oblicz wartości pozostałych funkcji...

Skoro kąt alfa jest ostry to wszystkie wartości funkcji trygonometrycznych są dodatnie.

 

a) Z jedynki trygonometrycznej:

`sin^2 alpha + cos^2 alpha = 1`  

`(2/3)^2 + cos^2 alpha = 1` 

`4/9 + cos^2 alpha = 1` 

`cos^2 alpha = 5/9` 

`cos alpha = sqrt5/3`

 

`tg \ alpha = sinalpha/cos alpha = (2/3)/(sqrt5/3) = 2/3*3/sqrt5 = 2/sqrt5 *sqrt5/sqrt5 = (2sqrt5)/5` 

 

`ctg \ alpha = sqrt5/2` 

 

b) Z jedynki trygonometrycznej:

`sin^2 alpha + cos^2 alpha = 1` 

`(1/5)^2 + cos^2 alpha = 1` 

`1/25 + cos^2 alpha = 1` 

`cos^2 alpha = 24/25` 

`cos alpha = (2sqrt6)/5` 

 

`tg \ alpha = sinalpha/cos alpha = (1/5)/((2sqrt6)/5) = 1/5 *5/(2sqrt6) = 1/(2sqrt6) *sqrt6/sqrt6 = sqrt6/12` 

 

`ctg \ alpha = 2sqrt6` 

 

c) Z jedynki trygonometrycznej:

`sin^2 alpha + cos^2 alpha = 1` 

`sin^2 alpha + (2/5)^2 =1` 

`sin^2 alpha + 4/25 = 1` 

`sin^2 alpha = 21/25` 

`sin alpha = sqrt21/5` 

 

`tg \ alpha = sinalpha/cos alpha = (sqrt21/5)/(2/5) = sqrt21/5*5/2 = sqrt21/2` 

 

`ctg \ alpha = 2/sqrt21 *sqrt21/sqrt21 = (2sqrt21)/21` 

 

d) Z jedynki trygonometrycznej:

`sin^2 alpha + cos^2 alpha = 1`  

`sin^2 alpha + (sqrt2/3)^2 = 1` 

`sin^2 alpha + 2/9 =1` 

`sin^2 alpha = 7/9` 

`sin alpha = sqrt7/3` 

 

`tg \ alpha = sinalpha/cosalpha = (sqrt7/3)/(sqrt2/3) = sqrt7/3 *2/sqrt2 = sqrt7/sqrt2*sqrt2/sqrt2 = sqrt14/2` 

 

`ctg \ alpha = sqrt2/sqrt7*sqrt7/sqrt7 = sqrt14/7` 

 

`e) \ tg \ alpha = sin alpha/cos alpha` 

`sinalpha/cosalpha =3/5` 

`sin alpha = 3/5 cos alpha` 

 

Z jedynki trygonometrycznej:

`sin^2 alpha + cos^2 alpha = 1` 

`(3/5cosalpha)+cos^2alpha = 1` 

`9/25 cos^2alpha + cos^2 alpha = 1` 

`34/25 cos^2alpha = 1`  

`cos^2 alpha = 25/34` 

`cos alpha = 5/sqrt34*sqrt34/sqrt34 = (5sqrt34)/34` 

 

`sin alpha = 3/5* cos alpha = 3/5*(5sqrt34)/34 = (3sqrt34)/34` 

 

`ctg \ alpha = 1/(tg \ alpha) = 1/(3/5) = 5/3` 

 

`f) \ sinalpha/cosalpha = sqrt5/2` 

 `sinalpha = sqrt5/2 cos alpha` 

 

Z jedynki trygonometrycznej:

`sin^2 alpha + cos^2 alpha = 1` 

`(sqrt5/2 cos alpha)^2 + cos^2 alpha = 1` 

`5/4 cos^2 alpha + cos^2 alpha = 1` 

`9/4 cos^2 alpha = 1` 

`cos^2 alpha = 4/9` 

`cos alpha = 2/3` 

 

`sin alpha = sqrt5/2 * 2/3 = sqrt5/3` 

 

`ctg \ alpha = 1/(tg \ alpha) = 1/(sqrt5/2) = 2/sqrt5*sqrt5/sqrt5 = (2sqrt5)/5` 

 

`g) \ ctg \ alpha = 2sqrt2` 

`cos alpha/sin alpha = 2sqrt2` 

`cos alpha = 2sqrt2 sin alpha` 

 

Z jedynki trygonometrycznej:

`sin^2 alpha + cos^2 alpha = 1` 

`sin^2 alpha + (2sqrt2sinalpha)^2 =1` 

`sin^2 alpha + 8sin^2alpha = 1` 

`9 sin^2 alpha = 1` 

`sin^2 alpha = 1/9` 

`sin alpha = 1/3` 

 

`cos alpha = 2sqrt2*1/3 = (2sqrt2)/3` 

 

`tg \ alpha = 1/(ctg \ alpha) = 1/(2sqrt2)*sqrt2/sqrt2 = sqrt2/4` 

 

`h) \ ctg \ alpha = sqrt2/2`  

`cosalpha/sinalpha = sqrt2/2` 

`cos alpha = sqrt2/2 sin alpha` 

Z jedynki trygonometrycznej:

`sin^2 alpha + cos^2 alpha = 1` 

`sin^2 alpha + (sqrt2/2 sin alpha)^2 = 1` 

`sin^2 alpha + 1/2 sin^2 alpha = 1` 

`3/2 sin^2 alpha = 1` 

`sin^2 alpha = 2/3` 

`sin alpha = sqrt2/sqrt3 *sqrt3/sqrt3 = sqrt6/3` 

 

`cos alpha = sqrt2/2 sin alpha = sqrt2/2*sqrt6/3 = sqrt12/6 = (2sqrt3)/6 = sqrt3/3` 

 

`tg \ alpha = 1/(ctg \ alpha) = 1/(sqrt2/2) = 2/sqrt2 *sqrt2/sqrt2 = (2sqrt2)/2 = sqrt2` 

Długości boków trójkąta...

Trzy kolejne liczby naturalne podzielne przez 3 to:

`3n \ , \ 3n+3 \ , \ 3n+6` 

 

Suma kwadratów tych liczb ma postać:

`(3n)^2 + (3n+3)^2 + (3n+6)^2` 

 

Suma ta wynosi 450

`9n^2 + 9n^2 + 18n + 9 + 9n^2 + 36n + 36 = 450` 

`27n^2 + 54 n + 45 = 450` 

`27n^2 + 54n - 405 =0 \ \ \ |:3` 

`9n^2 + 18n - 135 =0` 

`Delta =18^2 -4*9*(-135) = 324 + 4860 = 5184` 

`sqrtDelta = sqrt5184 = 72` 

`n_1 = (-18-72)/18 < 0` 

`n_2 = (-18+72)/18 = 3` 

Te liczby to:

`9 \ , \ 12 \ , \ 15` 

Jest to trójkąt prostokątny

`9^2 + 12^2 = 81 + 144 = 225 = 15^2`  

 

Przeczytaj podany w ramce przykład

`a)\ 7/20=(7*5)/(20*5)=35/100=03,5`

`b)\ 11/25=(11*4)/(25*4)=44/100=0,44`

`c) \ 52/25=2 2/25=2 (2*4)/(25*4)=2 8/100=2,08`

`d)\ 143/50=2 43/50=2 (43*2)/(50*2)=2 86/100=2,86`

`e)\ 4/125=(4*8)/(125*8)=32/1000=0,032`

`f)\ 17/250=(17*4)/(250*4)=72/1000=0,072`

 

Sprawdź, czy trójkąty ABC i DEF...

`a) \ |AB| = sqrt((8-2)^2+(5-2)^2) = sqrt(6^2+3^2) = sqrt(36+9) = sqrt45 = 3sqrt5` 

`|AC| = sqrt((1-2)^2+(4-2)^2) = sqrt((-1)^2 +2^2) = sqrt(1+4) = sqrt5` 

`|BC| = sqrt((1-8)^2+(4-5)^2) = sqrt((-7)^2 +(-1)^2) = sqrt(49+1) = sqrt50 = 5sqrt2` 

 

`|DE| = sqrt((4-(-2))^2+(-3)^2) = sqrt(6^2 + (-3)^2) = sqrt(36+9) = sqrt45 = 3sqrt5`  

`|DF| = sqrt((5-(-2))^2+(-1)^2) = sqrt(7^2+(-1)^2) = sqrt(49+1) = sqrt50 = 5sqrt2` 

`|EF| = sqrt((5-4)^2+(-1-(-3))^2) = sqrt(1^2+2^2) = sqrt(1+4)=sqrt5` 

 

Trójkąty są przystające na podstawie cechy bbb

 

 

`b) \ |AB| = sqrt((2-(-1))^2+(5-1)^2) = sqrt(3^2+4^2) = sqrt(9+16) = sqrt25 = 5` 

`|AC| = sqrt((0-(-1))^2+(4-1)^2) = sqrt(1^2+3^2) = sqrt(1+9)=sqrt10` 

`|BC| = sqrt((0-2)^2+(4-5)^2) = sqrt((-2)^2+(-1)^2) = sqrt(4+1) = sqrt5` 

 

`|DE| = sqrt((0-4)^2+(2-4)^2) = sqrt((-4)^2 +(-2)^2) = sqrt(16+4) = sqrt20 = 2sqrt5` 

`|DF| = sqrt((-2-4)^2+(-4-4)^2) = sqrt((-6)^2 +(-8)^2) = sqrt(36+64) =sqrt100 = 10` 

`|EF| = sqrt((-2-0)^2+(-4-2)^2) = sqrt((-2)^2+(-6)^2) = sqrt(4+36) = sqrt40 = 2sqrt10` 

 

Sprawdźmy czy:

`sqrt5/(2sqrt5)=sqrt10/(2sqrt10)=5/10` 

`1/2 = 1/2 = 1/2` 

Trójkąty są podobne.

Wyznacz zbiór wartości funkcji...

Trzeba wpisać te numery dni które pojawiają się w dacie urodzenia poszczególnych osób. np:

`Z_w = {1,3,7,13,17,20,24,27,31}` 

Wyznacz dziedzinę funkcji ...

`a)` 

`f(x)=sqrt(|x|+1)` 

 

`D:` 

`|x|+1>=0` 

`|x|>=-1`   

Modół z dowolnej liczby jest nieujemny.

`x in RR` 

`ul(D=RR`   

 

 

`b)` 

`f(x)=sqrt(|x|-1)` 

 

`D:` 

`|x|-1>=0` 

`|x|>=1` 

`x>=1\ \ \vv\ \ \x<=-1` 

`ul(D=(-oo;-1]cup[1;+oo)`   

 

`c)` 

`f(x)=sqrt(|x-1|-2)` 

 

`D:` 

`|x-1|-2>=0` 

`|x-1|>=2` 

`x-1>=2\ \ \vv\ \ \x-1<=-2`  

`x>=3\ \ \vv\ \ \x<=-1` 

`ul(D=(-oo;-1]cup[3;+oo)`    

 

`d)` 

`f(x)=sqrt(|x-1|+3)` 

 

`D:` 

`|x-1|+3>=0` 

`|x-1|>=-3` 

`x in RR` 

Modół z dowolnej liczby jest nieujemny.

`ul(D=RR`   

 

`e)` 

`f(x)=sqrt(1-|x+2|)` 

 

`D:` 

`1-|x+2|>=0` 

`|x+2|<=1` 

`x+2<=1\ \ \wedge\ \ \x+2>=-1` 

`x<=-1\ \ \wedge\ \ \x>=-3` 

`x in[-3;-1]` 

`ul(D=[-3;-1]`  

 

 

`f)` 

`f(x)=sqrt(3-|x-1|)` 

 

`D:` 

`3-|x-1|>=0` 

`|x-1|<=3` 

`x-1<=3\ \ \wedge\ \ \x-1>=-3` 

`x<=4\ \ \wedge\ \ \x>=-2` 

`ul(D=[-2;4]`  

Wyznacz wartości funkcji trygonometrycznych kąta...

`tg \ alpha = (sin alpha)/(cos alpha) = (sin alpha)/(1/2 sin alpha) = 1/(1/2) = 2` 

 

Z jedynki trygonometrycznej:

`sin^2 alpha + cos^2 alpha = 1` 

`sin^2 alpha + (1/2sinalpha)^2 = 1` 

`sin^2 alpha + 1/4 sin^2 alpha = 1` 

`5/4 sin^2 alpha = 1` 

`sin^2 alpha = 4/5` 

`|sin alpha| = 2/sqrt5 = (2sqrt5)/5`  

Kąt jest ostry a więc sinus jest dodatni:

`sin alpha = (2sqrt5)/5` 

 

A więc:

`cos alpha = 1/2 sin alpha = 1/2*(2sqrt5)/5 = (sqrt5)/5` 

Ile trzycyfrowych liczb

Zauważmy, że wartość liczby trzycyfrowej postaci xyz jest równa 100x+10y+z (np. 234=2∙100+3∙10+4). 

Jeśli odwrócimy cyfry, to otrzymamy liczbę postaci zyx, której wartość jest równa 100z+10y+x. 

 

Wiemy, że te liczby mają być jednakowe: 

`100x+10y+z=100z+10y+x\ \ \ \ \ |-z-10y-x`

`99x=99z\ \ \ |:99`

`x=z`

 

Powyższa równość oznacza, że są to takie liczby, w których cyfra dziesiątek jest dowolna, a cyfra jedności i setek są jednakowe. 

Wypiszmy te liczby: 

`101\ \ \ 202\ \ \ 303 \ \ \ 404\ \ \ 505\ \ \ 606\ \ \ 707\ \ \ 808\ \ \ 909`

`111\ \ \ 212\ \ \ 313\ \ \ 414\ \ \ 515\ \ \ 616\ \ \ 717\ \ \ 818\ \ \ 919`

`121\ \ \ 222\ \ \ 323\ \ \ 424\ \ \ 525\ \ \ 626\ \ \ 727\ \ \ 828\ \ \ 929`

`131\ \ \ 232\ \ \ 333\ \ \ 434\ \ \ 535\ \ \ 636\ \ \ 737\ \ \ 838\ \ \ 939`

`141\ \ \ 242\ \ \ 343\ \ \ 444\ \ \ 545\ \ \ 646\ \ \ 747\ \ \ 848\ \ \ 949`

`151\ \ \ 252\ \ \ 353\ \ \ 454\ \ \ 555\ \ \ 656\ \ \ 757\ \ \ 858\ \ \ 959`

`161\ \ \ 262\ \ \ 363\ \ \ 464\ \ \ 565 \ \ \ 666\ \ \ 767\ \ \ 868\ \ \ 969`

`171\ \ \ 272\ \ \ 373\ \ \ 474\ \ \ 575\ \ \ 676\ \ \ 777\ \ \ 878\ \ \ 979`

`181\ \ \ 282\ \ \ 383\ \ \ 484\ \ \ 585\ \ \ 686\ \ \ 787\ \ \ 888\ \ \ 989`

`191\ \ \ 292\ \ \ 393\ \ \ 494\ \ \ 595\ \ \ 696\ \ \ 797\ \ \ 898\ \ \ 999`

 

Jest 90 takich liczb. Wśród nich jest 50 liczb nieparzystych oraz 40 liczb parzystych, więc o 10 więcej liczb nieparzystych niż parzystych ma taką własność.  

Rozwiąż graficznie nierówność

Skorzystamy z wykresu w przykładzie 2. 

Musimy znaleźć zbiór takich argumentów, dla których wykres funkcji f jest wyżej lub na równi z wykresem funkcji g. 

`x in (-infty;\ -4>>uu<<4;\ +infty)` 

Na rysunku przedstawiono wykres funkcji ...

`a)` 

`b)` 

`c)`