Prostopadłość i równoległość prostych - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Prostopadłość i równoległość prostych

Dwie proste mogą być względem siebie prosopadłe, równoległe albo ani jedno ani drugie.
 
  • Jeśli przecinają się w dowolnym miejscu, i to pod kątem prostym, to nazywamy je prostymi prostopadłymi.
    przykład:
    rys1
     
  • Jeśli proste nawet przedłużane w nieskończoność nigdy się nie przetną, to nazywamy je prostymi równoległymi.
    przykład:
    rys2

Położenie względem siebie prostych ma również odzwierciedlenie w geometrii analitycznej, czyli możemy łatwo wykazać ich położenie względem siebie także za pomocą wzorów.
Aby sprawdzić jak położone są proste musimy mieć ich wzory w postaci kierunkowej. Zatem przypominam, że wzór kierunkowy to:
$$y=ax+b$$
Skupiamy się tylko i wyłącznie na współczynniku, który znajduje się przed iksem, czyli $$a$$.


Sprawdzenie równoległości dwóch prostych:
Oczywiście w obu przypadkach wyznaczamy najpierw ich postać kierunkową, innymi słowy zostawiamy po lewej tylko y. Otrzymujemy wtedy dwa wzory:
$$y=a_1x+b_1$$
oraz
$$y=a_2x+b_2$$
b nas kompletnie nie interesuje, może być dowolną liczbą rzeczywistą. Skupmy się na współczynnikach a.
W przypadku badania równoległości mamy najprostszy z możliwych sposobów:
Jeżeli $$a_1=a_2$$ to proste są równoległe.
Jeśli $$a_1$$ i $$a_2$$ nie są równe, to proste nie są równoległe.


Sprawdzenie prostopadłości dwóch prostych:
Również tutaj doprowadzamy nasze dwa wzory do postaci kierunkowych czyli: $$y=a_1x+b_1$$
oraz
$$y=a_2x+b_2$$

Również tutaj olewamy b, skupiamy się na współczynnikach a. Tylko mamy inną zależność:
Jeżeli $$a_1×a_2=-1$$ to proste są prostopadłe.
Jeżeli iloczyn $$a_1$$ i $$a_2$$ nie jest równy -1 to nie są one prostopadłe.

Przykład:
Sprawdź czy proste o równaniach $$3x+y+2=0$$ i $$6x+2y+2=0$$ są równoległe lub prostopadłe.

Pierwszym krokiem jest zawsze odseparowanie y, zatem od razu doprowadźmy wzory do postaci kierunkowych. Najpierw pierwszy:
$$3x+y+2=0$$
$$y=-3x-2$$

a teraz drugi wzór:
$$6x+2y+2=0$$
$$2y=-6x-2$$ $$|:2$$
$$y=-3x-1$$

Mamy już dwa równania prostych:
$$y=-3x-2$$
$$y=-3x-1$$

Zwracamy uwagę na współczynnik stojący przy x, czyli w tym przypadku $$-3$$:
$$a_1=-3$$
$$a_2=-3$$

Widzimy od razu, że współczynniki są równe czyli nasze proste są równoległe. Dla porządku sprawdźmy jeszcze prostopadłość:
$$a_1×a_2=-3×(-3)=9$$
9 nie jest równe -1 zatem proste nie są prostopadłe.
 

Informacja

Wzory na prostopadłość i równoległość prostych są dostępne w zbiorze wzorów dostępnych podczas matury.

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Znajdź wzór dowolnej prostej prostopadłej do prostej $$6x+2y-12=0$$.

Zaczynamy od ustalenia postaci kierunkowej, czyli wyznaczamy $$y$$ w zależności od reszty:
$$6x+2y-12=0$$
$$2y=-6x+12$$ $$|:2$$
$$y=-3x+6$$

Teraz szukamy współczynnika a dla prostej prostopadłej, wiemy, że $$a_1=-3$$ zatem:
$$a_1×a_2=-1$$
$$-3×a_2=-1$$
$$-3a_2=-1$$ $$|:(-3)$$
$$a_2= 1/3$$

z racji, że może to być dowolne równanie, a współczynnik a już znamy to może to być np.
$$y=1/3 x+5$$
czy
$$y=1/3 x-2$$

Zadanie 2.

Sprawdź czy istnieje prosta prostopadła do $$y=x+5$$ i równoległa do $$y=-x+9$$

Tutaj mamy ułatwione zadanie, ponieważ od razu mamy nasze y po lewej stronie, zatem nie musimy się z tym patyczkować. Żeby jednak nie było zbyt miło, mamy aż dwa warunki do sprawdzenia. Musimy tu sprawdzić, czy istnieje takie a, które da nam:
$$a×a_1=-1$$ i $$a=a_2$$

gdzie nasze:
$$a_1=1$$ ,bo $$y=x+5$$$$y=1x+5$$
$$a_2=-1$$ , bo $$y=-x+9$$$$y=-1x+9$$

no to bierzmy na warsztat pierwszy warunek:
$$a×a_1=-1$$
$$a×1=-1$$
$$a=-1$$
zatem pierwszy warunek spełnia tylko $$a=-1$$

Drugi:
$$a=a_2$$
$$a=-1$$
$$-1=-1$$

Odp.: Taka prosta istnieje, jej współczynnik kierunkowy to $$a=-1$$.

Zadanie 3.

Sprawdź czy proste $$4x+5y+6=0$$ i $$3x+2y-9=0$$ są równoległe

Standardowo wyznaczamy y:
$$4x+5y+6=0$$
$$5y=-4x-6$$ $$|:5$$
$$y=-4/5 x-6/5$$

Przekształcamy drugą prostą
$$3x+2y-9=0$$
$$2y=-3x+9$$ $$|:2$$
$$y=-3/2 x+9/2$$

Na pierwszy rzut oka widać, że proste nie są równoległe ponieważ ich współczynniki przy x są różne.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Który z podanych zbiorów

`A.\ {x in RR:\ x^2-2=0}={x in RR:\ x^2=2}={-sqrt2,\ sqrt2}` 

`B.\ {x in RR:\ 1/x^2=2}={x in RR:\ 1=2x^2}={x in RR:\ x^2=1/2}={-sqrt(1/2),\ sqrt(1/2)}={-sqrt2/2,\ sqrt2/2}` 

`C.\ {x in NN:\ x^3-216=0}={x in NN:\ x^3=216}={6}` 

`D.\ {x in NN:\ x^2-216=0}={x in NN:\ x^2=216}=emptyset`    

Nie ma liczby naturalnej, której kwadrat wynosi 216, stąd należy zaznaczyć odpowiedź D. 

Dana jest funkcja f(x) ...

`f(x)=3-x` 

 

`a)` 

`g(x)=f(|x|)=3-|x|`  

`h(x)=1-f(|x|)=1-(3-|x|)`  

Zauważmy że powstały prostokąt można podzielić na dwa trójkąty o podstawie równej 5 i wysokości równej 2,5.

`P=2*1/2*2,5*5=12,5` 

 

`b)` 

`g(x)=|f(x)|=|3-x|`  

`h(x)=f(|x-2|)=3-|x-2|`  

Zauważmy że powstały prostokąt ma boki następującej długości:

`sqrt2 \ "i"\ 2sqrt2` 

`P=sqrt2*2sqrt2=4` 

Podaj przykład dwóch liczb

Wiemy, że każde rozwinięcie dziesiętne okresowe przedstawia liczbę wymierną. Jeśli więc rozwinięcie dziesiętne jest nieokresowe nieskończone, to liczba jest niewymierna. 

`a)`   

`x=0,0200\ 2000\ 2000\ 02...`  

`y=0,1011\ 0111\ 0111\ 10...` 

 

 

`b)` 

`"przykład pierwszy:"` 

`x=0,2022\ 0222\ 0222\ 20...` 

`y=0,1011\ 0111\ 0111\ 10...` 

 

`"przykład drugi:"` 

`x=0,9099\ 0999\ 0999\ 90...` 

`y=0,8088\ 0888\ 0888\ 80...` 

 

`"przykład trzeci:"` 

`x=0,4144\ 1444\ 1444\ 41...` 

`y=0,3133\ 1333\ 1333\ 31...` 

 

 

 

`c)` 

`x=0,0202\ 2022\ 2022\ 22...` 

`y=0,2020\ 0200\ 0200\ 00...` 

 

 

`d)` 

`"przykład pierwszy:"` 

`x=0,9199\ 1999\ 1999\ 91...` 

`y=0,8188\ 1888\ 1888\ 81...` 

 

`"przykład drugi:"` 

`x=0,2322\ 3222\ 3222\ 23...` 

`y=0,1211\ 2111\ 2111\ 12...` 

 

 

 

Funkcja f określona wzorem...

`f(2sqrt2) = (2sqrt2)^2 -1 = 4*2-1=8-1=7` 

Odpowiedź D

Wyznacz oś symetrii wykresu...

Oś symetrii to prosta prostopadła do osi x przechodzącą przez wierzchołek paraboli.

Pierwszą współrzędną możemy policzyć biorąc średnią arytmetyczną liczb, które są miejscami zerowymi funkcji f, gdyż z uwagi na fakt, że przez wierzchołek przechodzi oś symetrii to obie liczby są oddalone w równej odległości od niego.

`f(x) = (x+5)(-x-3) = -(x+5)(x+3)` 

`p = (-5-3)/2 = (-8)/2 = -4` 

A więc x = -4

Podaj cechy podzielności przez 4

`a)`

Liczba jest podzielna przez 4, jeśli liczba utworzona z dwóch ostatnich cyfr tej liczby dzieli się przez 4. 

Liczba jest podzielna przez 6, jeśli dzieli się jednocześnie przez 2 i przez 3, czyli gdy jej ostatnią cyfrą jest 0, 2, 4, 6 lub 8, a suma wszystkich cyfr jest liczbą podzielną przez 3. 

 

 

`b)`

Liczba jest podzielna przez 7, jeśli różnica między liczbą utworzoną z trzech ostatnich cyfr danej liczby a liczbą wyrażoną wszystkimi pozostałymi cyframi tej liczby jest podzielna przez 7. 

Liczba jest podzielna przez 11, jeśli różnica sumy jej cyfr stojących na miejscach parzystych i sumy cyfr stojących na miejscach nieparzystych jest podzielna przez 11.

Rozwiąż nierówność

Oszacujmy podaną liczbę:

`-sqrt(27-10sqrt2)~~-sqrt(27-10*1,4)=-sqrt(27-14)~~-sqrt13=-sqrt(12,96)=-3,6`

 

`a)`

Pierwsza wartość bezwzględna zeruje się dla x=-4, a druga zeruje się dla x=3. Mamy więc trzy przypadki do rozpatrzenia. 

 

`1)\ x in (-infty;\ -4)`

`\ \ \ |x+4|<9-|x-3|`

`\ \ \ -(x+4)<9+(x-3)`

`\ \ \ -x-4<9+x-3`

`\ \ \ -x-4<6+x\ \ \ \ |-x`

`\ \ \ -2x-4<6\ \ \ |+4`

`\ \ \ -2x<10\ \ \ |:(-2)`

`\ \ \ x> -5`

`(x> -5\ \ \ "i"\ \ \ x in (-infty;\ -4))\ \ \ =>\ \ \ ul( x in (-5;\ -4))`

 

 

`2)\ x in <<-4;\ 3)`

`\ \ \ |x+4|<9-|x-3|`

`\ \ \ x+4<9+(x-3)`

`\ \ \ x+4<9+x-3`

`\ \ \ x+4<x+6\ \ \ |-x`

`\ \ \ 4<6`

Powyższa nierówność jest prawdziwa zawsze, więc wszystkie liczby z drugiego przedziału są rozwiązaniem wyjściowej nierówności. 

`ul(x in <<-4;\ 3))`

 

 

`3)\ x in <<3;\ +infty)`

`\ \ \ |x+4|<9-|x-3|`

`\ \ \ x+4<9-(x-3)`

`\ \ \ x+4<9-x+3`

`\ \ \ x+4<12-x\ \ \ |+x`

`\ \ \ 2x+4<12\ \ \ |-4`

`\ \ \ 2x<8\ \ \ |:2`

`\ \ \ x<4`

`(x<4\ \ \ "i"\ \ \ x in <<3;\ +infty))\ \ \ =>\ \ \ ul(x in <<3;\ 4))`

 

Łącząc przypadki 1), 2) oraz 3) otrzymujemy ostateczne rozwiązanie nierówności:

`ul(ul(x in (-5;\ 4)))`

 

Podana liczba spełnia tę nierówność. 

 

 

`ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ )`

 

 

 

`b)`

Pierwsza wartość bezwzględna zeruje się dla x=4, a druga zeruje się dla x=-3. Mamy więc trzy przypadki do rozpatrzenia. 

 

`1)\ x in (-infty;\ -3)`

`\ \ \ |x-4|<=9-|x+3|`

`\ \ \ -(x-4)<=9+(x+3)`

`\ \ \ -x+4<=9+x+3`

`\ \ \ -x+4<=12+x\ \ \ |-x`

`\ \ \ -2x+4<=12\ \ \ |-4`

`\ \ \ -2x<=8\ \ \ |:(-2)`

`\ \ \ x>= -4`

`(x>= -4\ \ \ "i"\ \ \ x in (-infty;\ -3))\ \ \ =>\ \ \ ul(x in <<-4;\ -3))`

 

 

`2)\ x in <<-3;\ 4)`

`\ \ \ |x-4|<=9-|x+3|`

`\ \ \ -(x-4)<=9-(x+3)`

`\ \ \ -x+4<=9-x-3`

`\ \ \ -x+4<=6-x\ \ \ |+x`

`\ \ \ 4<=6`

Powyższa nierówność jest prawdziwa zawsze, więc wszystkie liczby z drugiego przedziału są rozwiązaniem wyjściowej nierówności. 

`ul(x in <<-3;\ 4))`

 

 

`3)\ x in <<4;\ +infty)`

`\ \ \ |x-4|<=9-|x+3|`

`\ \ \ x-4<=9-(x+3)`

`\ \ \ x-4<=9-x-3`

`\ \ \ x-4<=6-x\ \ \ |+x`

`\ \ \ 2x-4<=6\ \ \ |+4`

`\ \ \ 2x<=10\ \ \ |:2`

`\ \ \ x<=5`

`(x<=5\ \ \ "i"\ \ \ x in <<4;\ +infty))\ \ \ =>\ \ \ ul(x in <<4;\ 5>>)`

 

 

Łącząc przypadki 1), 2) oraz 3) otrzymujemy ostateczne rozwiązanie nierówności:

`ul(ul(x in <<-4;\ 5>>))`

 

Podana liczba spełnia tę nierówność. 

 

`ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ )`

 

 

`c)`

Pierwsza wartość bezwzględna zeruje się dla x=-3, a druga zeruje się dla x=0. Mamy więc trzy przypadki do rozpatrzenia. 

 

`1)\ x in (-infty;\ -3)`

`\ \ \ |x+3|+1>|x|`

`\ \ \ -(x+3)+1> -x`

`\ \ \ -x-3+1> -x`

`\ \ \ -x-2> -x\ \ \ |+x`

`\ \ \ -2> 0`

Powyższa nierówność jest sprzeczna, więc w pierwszym przedziale wyjściowa nierówność nie ma rozwiązań.

 

`2)\ x in <<-3;\ 0)`

`\ \ \ |x+3|+1>|x|`

`\ \ \ x+3+1> -x`

`\ \ \ x+4> -x\ \ \ |+x`

`\ \ \ 2x+4>0\ \ \ |-4`

`\ \ \ 2x> -4\ \ \|:2`

`\ \ \ x> -2`

`(x> -2 \ \ \ "i"\ \ \ x in <<-3;\ 0))\ \ \ =>\ \ \ ul(x in (-2;\ 0))`

 

`3)\ x in <<0;\ +infty)`

`\ \ \ |x+3|+1>|x|`

`\ \ \ x+3+1>x`

`\ \ \ x+4>x\ \ \ |-x`

`\ \ \ 4>0`

Powyższa nierówność jest prawdziwa zawsze, więc wszystkie liczby z trzeciego przedziału są rozwiązaniem wyjściowej nierówności. 

 

Łącząc przypadki 1), 2) oraz 3) otrzymujemy ostateczne rozwiązanie nierówności:

`ul(ul(x in (-2;\ +infty)))`

 

Podana liczba nie spełnia tej nierówności. 

 

`ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ )`

 

`d)`

`|3-6x|-11<|4x-2|`

`|-6(x-1/2)|-11<|4(x-1/2)|`

`|-6|*|x-1/2|-11<|4|*|x-1/2|`

`6|x-1/2|-11<4|x-1/2|\ \ \ |-4|x-1/2|`

`2|x-1/2|-11<0 \ \ \ |+11`

`2|x-1/2|<11\ \ \ |:2`

`|x-1/2|<11/2`

`-11/2<x-1/2<11/2\ \ \ |+1/2`

`-10/2<x<12/2`

`-5<x<6`

`ul(ul(x in (-5;\ 6))`

 

Podana liczba spełnia tę nierówność. 

Która nierówność nie ma rozwiązań

`A.`

`x+3<x+5\ \ \ |-x`

`3<5`

Nierówność jest spełniona przez każdą liczbę rzeczywistą x. 

 

 

`B.`

`x-3< x-5\ \ \ |-x`

`-3<-5`

Nierówność nie ma rozwiązań. 

 

 

`C.`

`3x<2x\ \ \ |-2x`

`x<0`

 

 

`D.`

`3x<=2x\ \ \ |-2x`

`x<=0`

 

 

 

Należy zaznaczyć odpowiedź B. 

Wyznacz dziedzinę równania

Liczba pod pierwiastkiem musi być nieujemna: 

`x^2>=0\ \ \ =>\ \ \ x inRR\ \ \ =>\ \ \ D=RR`

 

`x=-1`

`L=sqrt((-1)^2)=sqrt1=1`

`P=-1`

`L neP`

-1 nie spełnia równania

 

 

 

`x=0`

`L=sqrt(0^2)=sqrt0=0`

`P=0`

`L=P`

0 spełnia to równanie. 

 

 

`x=3`

`L=sqrt(3^2)=sqrt9=3`

`P=3`

`L=P`

3 spełnia to równanie 

Dany jest wykres funkcji

`a)` 

`D_f\ ={-6,\ -5,\ -4,\ -3,\ -2,\ -1,\ 0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6,\ 7}` 

`Z_w\ ={-2,\ -1,\ 0,\ 1,\ 2}` 

 

`b)` 

`f(x)=2\ \ \ "dla" \ \ \ x in {2,\ 5}` 

`f(x)=-1\ \ \ "dla"\ \ \ x in {-4,\ -1}`

 

`c)` 

`f(-3)=0` 

`f(-5)=-2` 

`f(2)=2` 

`f(4)=1` 

 

 

`d)` 

`f(x)=0\ \ \ "dla"\ \ \ x in {-6,\ -3,\ 0,\ 3,\ 6}`