Prostopadłość i równoległość prostych - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Prostopadłość i równoległość prostych

Dwie proste mogą być względem siebie prosopadłe, równoległe albo ani jedno ani drugie.
 
  • Jeśli przecinają się w dowolnym miejscu, i to pod kątem prostym, to nazywamy je prostymi prostopadłymi.
    przykład:
    rys1
     
  • Jeśli proste nawet przedłużane w nieskończoność nigdy się nie przetną, to nazywamy je prostymi równoległymi.
    przykład:
    rys2

Położenie względem siebie prostych ma również odzwierciedlenie w geometrii analitycznej, czyli możemy łatwo wykazać ich położenie względem siebie także za pomocą wzorów.
Aby sprawdzić jak położone są proste musimy mieć ich wzory w postaci kierunkowej. Zatem przypominam, że wzór kierunkowy to:
$$y=ax+b$$
Skupiamy się tylko i wyłącznie na współczynniku, który znajduje się przed iksem, czyli $$a$$.


Sprawdzenie równoległości dwóch prostych:
Oczywiście w obu przypadkach wyznaczamy najpierw ich postać kierunkową, innymi słowy zostawiamy po lewej tylko y. Otrzymujemy wtedy dwa wzory:
$$y=a_1x+b_1$$
oraz
$$y=a_2x+b_2$$
b nas kompletnie nie interesuje, może być dowolną liczbą rzeczywistą. Skupmy się na współczynnikach a.
W przypadku badania równoległości mamy najprostszy z możliwych sposobów:
Jeżeli $$a_1=a_2$$ to proste są równoległe.
Jeśli $$a_1$$ i $$a_2$$ nie są równe, to proste nie są równoległe.


Sprawdzenie prostopadłości dwóch prostych:
Również tutaj doprowadzamy nasze dwa wzory do postaci kierunkowych czyli: $$y=a_1x+b_1$$
oraz
$$y=a_2x+b_2$$

Również tutaj olewamy b, skupiamy się na współczynnikach a. Tylko mamy inną zależność:
Jeżeli $$a_1×a_2=-1$$ to proste są prostopadłe.
Jeżeli iloczyn $$a_1$$ i $$a_2$$ nie jest równy -1 to nie są one prostopadłe.

Przykład:
Sprawdź czy proste o równaniach $$3x+y+2=0$$ i $$6x+2y+2=0$$ są równoległe lub prostopadłe.

Pierwszym krokiem jest zawsze odseparowanie y, zatem od razu doprowadźmy wzory do postaci kierunkowych. Najpierw pierwszy:
$$3x+y+2=0$$
$$y=-3x-2$$

a teraz drugi wzór:
$$6x+2y+2=0$$
$$2y=-6x-2$$ $$|:2$$
$$y=-3x-1$$

Mamy już dwa równania prostych:
$$y=-3x-2$$
$$y=-3x-1$$

Zwracamy uwagę na współczynnik stojący przy x, czyli w tym przypadku $$-3$$:
$$a_1=-3$$
$$a_2=-3$$

Widzimy od razu, że współczynniki są równe czyli nasze proste są równoległe. Dla porządku sprawdźmy jeszcze prostopadłość:
$$a_1×a_2=-3×(-3)=9$$
9 nie jest równe -1 zatem proste nie są prostopadłe.
 

Informacja

Wzory na prostopadłość i równoległość prostych są dostępne w zbiorze wzorów dostępnych podczas matury.

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Znajdź wzór dowolnej prostej prostopadłej do prostej $$6x+2y-12=0$$.

Zaczynamy od ustalenia postaci kierunkowej, czyli wyznaczamy $$y$$ w zależności od reszty:
$$6x+2y-12=0$$
$$2y=-6x+12$$ $$|:2$$
$$y=-3x+6$$

Teraz szukamy współczynnika a dla prostej prostopadłej, wiemy, że $$a_1=-3$$ zatem:
$$a_1×a_2=-1$$
$$-3×a_2=-1$$
$$-3a_2=-1$$ $$|:(-3)$$
$$a_2= 1/3$$

z racji, że może to być dowolne równanie, a współczynnik a już znamy to może to być np.
$$y=1/3 x+5$$
czy
$$y=1/3 x-2$$

Zadanie 2.

Sprawdź czy istnieje prosta prostopadła do $$y=x+5$$ i równoległa do $$y=-x+9$$

Tutaj mamy ułatwione zadanie, ponieważ od razu mamy nasze y po lewej stronie, zatem nie musimy się z tym patyczkować. Żeby jednak nie było zbyt miło, mamy aż dwa warunki do sprawdzenia. Musimy tu sprawdzić, czy istnieje takie a, które da nam:
$$a×a_1=-1$$ i $$a=a_2$$

gdzie nasze:
$$a_1=1$$ ,bo $$y=x+5$$$$y=1x+5$$
$$a_2=-1$$ , bo $$y=-x+9$$$$y=-1x+9$$

no to bierzmy na warsztat pierwszy warunek:
$$a×a_1=-1$$
$$a×1=-1$$
$$a=-1$$
zatem pierwszy warunek spełnia tylko $$a=-1$$

Drugi:
$$a=a_2$$
$$a=-1$$
$$-1=-1$$

Odp.: Taka prosta istnieje, jej współczynnik kierunkowy to $$a=-1$$.

Zadanie 3.

Sprawdź czy proste $$4x+5y+6=0$$ i $$3x+2y-9=0$$ są równoległe

Standardowo wyznaczamy y:
$$4x+5y+6=0$$
$$5y=-4x-6$$ $$|:5$$
$$y=-4/5 x-6/5$$

Przekształcamy drugą prostą
$$3x+2y-9=0$$
$$2y=-3x+9$$ $$|:2$$
$$y=-3/2 x+9/2$$

Na pierwszy rzut oka widać, że proste nie są równoległe ponieważ ich współczynniki przy x są różne.

Spis treści

3 szkoły podstawowej
4 szkoły podstawowej
5 szkoły podstawowej
6 szkoły podstawowej
7 szkoły podstawowej
II gimnazjum
III gimnazjum
Matura podstawowa
Matura rozszerzona
Rozwiązane zadania
Zaznacz liczby parzyste

Jeśli liczbę da się zapisać w postaci: 

`2*("coś")`

gdzie "coś" jest liczbą naturalną, to jest to liczba parzysta. 

Jeśli natomiast liczbę da się zapisać jako:

`2*("coś")+1`

to jest to liczba nieparzysta.

 

Liczby a i b już są w takiej postaci, zajmijmy sie następnymi liczbami:

`c=2n+3=2n+2+1=2(n+1)+1`

`d=4n+2=2(2n+1)`

`e=4n+3=4n+2+1=2(2n+1)+1`

`g=(4n-1)-(2n-3)=4n-1-2n+3=2n+2=2(n+1)`

`h=(4n-1)-2(n-3)=4n-1-2n+6=2n+5=2n+4+1=2(n+2)+1`

 

 

Możemy teraz rozwiązać zadanie:

`ul(a=2n)\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ul(ul(c=2n+3))\ \ \ \ \ \ ul(ul(e=4n+3))\ \ \ \ \ \ \ ul(g=(4n-1)-(2n-3))`

`ul(ul(b=2n+1))\ \ \ \ \ ul(d=4n+2)\ \ \ \ \ ul(f=2(2n+1))\ \ \ \ \ ul(ul(h=(4n-1)-2(n-3)))`

Oceń wartość logiczną zdania.

a) fałsz

b) prawda

c) fałsz

Wśród poniższych wypowiedzi wskaż zdania

`a)`

Jest to zdanie - możemy stwierdzić, że jest ono fałszywe. 

 

`b)`

Nie jest to zdanie - wypowiedź jest pytaniem, a nie wypowiedzią oznajmującą.

 

`c)`

Jest to zdanie - możemy stwierdzić, że jest ono prawdziwe.

 

`d)`

Nie jest to zdanie - dla różnych x przyjmuje ono różną wartość logiczną, np. dla 3 jest prawdziwe, ale dla 2 jest nieprawdziwe.

 

`e)`

Jest to zdanie - możemy stwierdzić, że jest ono fałszywe.

 

`f)\`

`(-100)^3=-100*(-100)*(-100)=-1\ 000\ 000`

`-100^3=-1*100^3=-1*100*100*100=-1\ 000\ 000`

Jest to zdanie - możemy stwierdzić, że jest ono fałszywe. 

 

`g)`

Nie jest to zdanie - na końcu znajduje się wykrzynik. 

 

`h)`

Jest to zdanie - możemy stwierdzić, że jest ono prawdziwe.

Podaj przykład takich dwóch zdań p oraz q

Alternatywa będzie prawdziwa, jeśli przynajmniej jedno ze zdań p, q będzie prawdziwe, natomiast koniunkcja będzie fałszywa, jeśli przynajmniej jedno ze zdań p, q będzie fałszywe. Musimy więc podać przykład takich dwóch zdań, z których jedno jest prawdziwe, a drugie fałszywe. 

Poniżej podajemy kilka takich przykładów:

 

`a)`

`p:\ \ 2inN\ \ \ \ \ w(p)=1`

`q:\ \ piinW\ \ \ \ w(q)=0`

 

 

`b)`

`p:\ \ NWD(1,7)=7\ \ \ \ w (p)=0`

`q:\ \ 2>1\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ w(q)=1`

 

 

`c)`

`p:\ \ "Polska leży w Europie"\ \ \ w(p)=1`

`q:\ \ "Opole to stolica Polski"\ \ \ w(q)=0`

 

Wiadomo, że prawdziwe są zdania p∨q

Alternatywy p∨q i p∨(¬q) różnią się tylko drugim zdaniem. Jeśli zdanie q jest prawdziwe, to zdanie ¬q jest nieprawdziwe, natomiast jeśli zdanie q jest nieprawdziwe, to zdanie ¬q jest prawdziwe - zawsze jedno ze zdań ¬q ma wartość logiczną 0. 

Zatem zdanie p nie może być fałszywe, bo wtedy któraś alternatywa byłaby fałszywa (oba zdania proste tworzące jedną alternatywę byłyby fałszywe), stąd wniosek, że wartość logiczna zdania p wynosi 1. 

 

`w(p)=1\ \ \ =>\ \ \ w(notp)=0\ \ \ =>\ \ \ w((#(notp)^0)wedgeq)=0`

Niezależnie od tego, jaką wartość logiczną przyjmuje zdanie q, wartość logiczna zdania (¬p)∧q wynosi 0, ponieważ pierwsze zdanie (¬p) jest fałszywe, więc koniunkcja jest fałszywa. 

Zapisz liczbę w postaci 3k, 3k+1 lub 3k+2

`a)\ 26=3*8+2`

`b)\ 76=3*25+1`

`c)\ 108=3*36`

`d)\ 127=3*42+1`

`e)\ 713=3*237+2`

Zapisz liczby w postaci

`a)` 

Zamienimy część ułamkową wyrażoną ułamkiem okresowym na ułamek zwykły. 

Mnożymy ułamek razy 10 do tej potęgi, jaką długość ma okres - u nas mnożymy przez 10 do potęgi pierwszej (czyli przez 10).

`\ \ \ x=0,777...` 

`10x=7,777...` 

`10x-x=7,777...-0,777...` 

`9x=7\ \ \ |:9` 

`x=7/9` 

Zapisujemy liczbę w postaci ułamka zwykłego:

`-2,(7)=-2 7/9=-25/9`  

 

`ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ )` 

 

 

`\ \ \ x=0,888...` 

`10x=8,888...` 

`10x-x=8,888...-0,888...` 

`9x=8\ \ \ |:9` 

`x=8/9` 

 

`-7,(8)=-7 8/9=-71/9` 

 

 

`ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ )` 

 

`\ \ \ x=0,2666...` 

`10x=2,6666...` 

`10x-x=2,6666...-0,2666...` 

`9x=2,4 \ \ |:9` 

`x=(2,4)/9=(0,8)/3=8/30=4/15`  

 

`1,2(6)=1 4/15=19/15` 

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))`      

 

 

`b)` 

`\ \ \ \ x=0,05454...` 

`100x=5,45454...` 

`100x-x=5,45454...-0,05454...`  

`99x=5,4\ \ \ |:99` 

`x=(5,4)/99=(0,6)/11=6/110=3/55` 

 

`3,0(54)=3 3/55=168/55` 

 

`ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ )` 

 

 

`\ \ \ \ \ x=0,324324...` 

`1000x=324,324324...` 

`1000x-x=324,324324...-0,324324...` 

`999x=324\ \ \ |:999` 

`x=324/999=108/333=36/111` 

 

`-2,(324)=-2 36/111=-258/111` 

 

`ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ )` 

 

 

`\ \ \ \ \ x=0,0135135...` 

`1000x=13,5135135...` 

`1000x-x=13,5135135...-0,0135135...` 

`999x=13,5\ \ \ |:999` 

`x=(13,5)/999=(1,5)/111=15/1110=3/222` 

 

`8,0(135)=8 3/222=1779/222` 

Nie wykonując dzielenia podaj, które spośród liczb
  • Aby liczba dzieliła się przez 15 musi dzielić się przez 3 i przez 5, co oznacza, że suma jej cyfr musi byc liczbą podzielną przez 3 oraz jej ostatnią cyfrą musi być 0 lub 5. 
  • Aby liczba dzieliła się przez 45, musi dzielić się przez 9 i przez 5, co oznacza, że suma jej cyfr musi być liczbą podzielną przez 9 oraz jej ostatnią cyfrą musi być 0 lub 5
  • Aby liczba dzieliła się przez 75, musi dzielić się przez 3 i przez 25, co oznacza, że suma jej cyfr musi być liczbą podzielną przez 3 oraz jej dwie ostatnie cyfry to 00, 25, 50 lub 75. 

 

`a)`

`1+1+5+5=12`

 

Liczba 1155 jest podzielna przez 15. 

 

`b)`

`9+8+2+5=24`

Liczba 9825 jest podzielna przez 15 i 75. 

 

`c)`

`5+1+6+5=17`

Liczba 5165 nie jest podzielna przez 15, 45 ani 75.

 

 

`d)`

`8+2+3+5=18`

Liczba 8235 jest podzielna przez 15 i 45.

 

Utwórz zaprzeczenie zdania i oceń jego wartość

a)

Zaprzeczenie zdania:

Liczba 6 nie jest liczbą parzystą.

Wartość logiczna zaprzeczenia:

Fałsz.

 

b)

Zaprzeczenie zdania:

Liczba 17 nie jest podzielna przez 3.

Wartość logiczna zaprzeczenia:

Prawda.

 

c)

Zaprzeczenie zdania:

`5<=7`

Wartość logiczna zaprzeczenia:

Prawda.

 

d)

Zaprzeczenie zdania:

`0>3`

Wartość logiczna zaprzeczenia:

Fałsz

 

e)

Zaprzeczenie zdania:

`13-9!=5`

Wartość logiczna zaprzeczenia:

Prawda.

 

f)

Zaprzeczenie zdania:

`pi>=3`

Wartość logiczna zaprzeczenia:

Prawda.

 

g)

Zaprzeczenie zdania:

`7/17=1`

Wartość logiczna zaprzeczenia:

Fałsz

 

h)

Zaprzeczenie zdania:

`14/16!=2/3`

Wartość logiczna zaprzeczenia:

Prawda.

 

Podaj najmniejszą dodatnią liczbę naturalną podzielną przez

`a)\ 24`

`b)\ 60`

`c)\ 144`

`d)\ 120`