Zgoda na przetwarzanie danych osobowych

25 maja 2018 roku zacznie obowiązywać Rozporządzenie Parlamentu Europejskiego i Rady (UE) 2016/679 z dnia 27 kwietnia 2016 r. znane jako RODO.

Dlatego aby dalej móc dostarczać Ci materiały odpowiednie do Twojego etapu edukacji, potrzebujemy zgody na lepsze dopasowanie treści do Twojego zachowania. Dzięki temu możemy zapamiętywać jakie materiały są Ci potrzebne. Dbamy o Twoją prywatność, więc nie zwiększamy zakresu naszych uprawnień. Twoje dane są u nas bezpieczne, a zgodę na ich zbieranie możesz wycofać na podstronie polityka prywatności.

Klikając "Przejdź do Odrabiamy", zgadzasz się na wskazane powyżej działania. W przeciwnym wypadku, nie jesteśmy w stanie zrealizować usługi kompleksowo i prosimy o opuszczenie strony.

Polityka prywatności

Drogi Użytkowniku w każdej chwili masz prawo cofnąć zgodę na przetwarzanie Twoich danych osobowych. Cofnięcie zgody nie będzie wpływać na zgodność z prawem przetwarzania, którego dokonano na podstawie wyrażonej przez Ciebie zgody przed jej wycofaniem. Po cofnięciu zgody wszystkie twoje dane zostaną usunięte z serwisu. Udzielenie zgody możesz modyfikować w zakładce 'Informacja o danych osobowych'

Prostopadłość i równoległość prostych - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Prostopadłość i równoległość prostych

Dwie proste mogą być względem siebie prosopadłe, równoległe albo ani jedno ani drugie.
 
  • Jeśli przecinają się w dowolnym miejscu, i to pod kątem prostym, to nazywamy je prostymi prostopadłymi.
    przykład:
    rys1
     
  • Jeśli proste nawet przedłużane w nieskończoność nigdy się nie przetną, to nazywamy je prostymi równoległymi.
    przykład:
    rys2

Położenie względem siebie prostych ma również odzwierciedlenie w geometrii analitycznej, czyli możemy łatwo wykazać ich położenie względem siebie także za pomocą wzorów.
Aby sprawdzić jak położone są proste musimy mieć ich wzory w postaci kierunkowej. Zatem przypominam, że wzór kierunkowy to:
$$y=ax+b$$
Skupiamy się tylko i wyłącznie na współczynniku, który znajduje się przed iksem, czyli $$a$$.


Sprawdzenie równoległości dwóch prostych:
Oczywiście w obu przypadkach wyznaczamy najpierw ich postać kierunkową, innymi słowy zostawiamy po lewej tylko y. Otrzymujemy wtedy dwa wzory:
$$y=a_1x+b_1$$
oraz
$$y=a_2x+b_2$$
b nas kompletnie nie interesuje, może być dowolną liczbą rzeczywistą. Skupmy się na współczynnikach a.
W przypadku badania równoległości mamy najprostszy z możliwych sposobów:
Jeżeli $$a_1=a_2$$ to proste są równoległe.
Jeśli $$a_1$$ i $$a_2$$ nie są równe, to proste nie są równoległe.


Sprawdzenie prostopadłości dwóch prostych:
Również tutaj doprowadzamy nasze dwa wzory do postaci kierunkowych czyli: $$y=a_1x+b_1$$
oraz
$$y=a_2x+b_2$$

Również tutaj olewamy b, skupiamy się na współczynnikach a. Tylko mamy inną zależność:
Jeżeli $$a_1×a_2=-1$$ to proste są prostopadłe.
Jeżeli iloczyn $$a_1$$ i $$a_2$$ nie jest równy -1 to nie są one prostopadłe.

Przykład:
Sprawdź czy proste o równaniach $$3x+y+2=0$$ i $$6x+2y+2=0$$ są równoległe lub prostopadłe.

Pierwszym krokiem jest zawsze odseparowanie y, zatem od razu doprowadźmy wzory do postaci kierunkowych. Najpierw pierwszy:
$$3x+y+2=0$$
$$y=-3x-2$$

a teraz drugi wzór:
$$6x+2y+2=0$$
$$2y=-6x-2$$ $$|:2$$
$$y=-3x-1$$

Mamy już dwa równania prostych:
$$y=-3x-2$$
$$y=-3x-1$$

Zwracamy uwagę na współczynnik stojący przy x, czyli w tym przypadku $$-3$$:
$$a_1=-3$$
$$a_2=-3$$

Widzimy od razu, że współczynniki są równe czyli nasze proste są równoległe. Dla porządku sprawdźmy jeszcze prostopadłość:
$$a_1×a_2=-3×(-3)=9$$
9 nie jest równe -1 zatem proste nie są prostopadłe.
 

Informacja

Wzory na prostopadłość i równoległość prostych są dostępne w zbiorze wzorów dostępnych podczas matury.

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Znajdź wzór dowolnej prostej prostopadłej do prostej $$6x+2y-12=0$$.

Zaczynamy od ustalenia postaci kierunkowej, czyli wyznaczamy $$y$$ w zależności od reszty:
$$6x+2y-12=0$$
$$2y=-6x+12$$ $$|:2$$
$$y=-3x+6$$

Teraz szukamy współczynnika a dla prostej prostopadłej, wiemy, że $$a_1=-3$$ zatem:
$$a_1×a_2=-1$$
$$-3×a_2=-1$$
$$-3a_2=-1$$ $$|:(-3)$$
$$a_2= 1/3$$

z racji, że może to być dowolne równanie, a współczynnik a już znamy to może to być np.
$$y=1/3 x+5$$
czy
$$y=1/3 x-2$$

Zadanie 2.

Sprawdź czy istnieje prosta prostopadła do $$y=x+5$$ i równoległa do $$y=-x+9$$

Tutaj mamy ułatwione zadanie, ponieważ od razu mamy nasze y po lewej stronie, zatem nie musimy się z tym patyczkować. Żeby jednak nie było zbyt miło, mamy aż dwa warunki do sprawdzenia. Musimy tu sprawdzić, czy istnieje takie a, które da nam:
$$a×a_1=-1$$ i $$a=a_2$$

gdzie nasze:
$$a_1=1$$ ,bo $$y=x+5$$$$y=1x+5$$
$$a_2=-1$$ , bo $$y=-x+9$$$$y=-1x+9$$

no to bierzmy na warsztat pierwszy warunek:
$$a×a_1=-1$$
$$a×1=-1$$
$$a=-1$$
zatem pierwszy warunek spełnia tylko $$a=-1$$

Drugi:
$$a=a_2$$
$$a=-1$$
$$-1=-1$$

Odp.: Taka prosta istnieje, jej współczynnik kierunkowy to $$a=-1$$.

Zadanie 3.

Sprawdź czy proste $$4x+5y+6=0$$ i $$3x+2y-9=0$$ są równoległe

Standardowo wyznaczamy y:
$$4x+5y+6=0$$
$$5y=-4x-6$$ $$|:5$$
$$y=-4/5 x-6/5$$

Przekształcamy drugą prostą
$$3x+2y-9=0$$
$$2y=-3x+9$$ $$|:2$$
$$y=-3/2 x+9/2$$

Na pierwszy rzut oka widać, że proste nie są równoległe ponieważ ich współczynniki przy x są różne.

Spis treści

Rozwiązane zadania
W trójkącie prostokątnym jeden z kątów ostrych ma miarę 60° ...

W trójkącie prostokątnym o kątach 90°, 60°, 30° boki mają długość: 

`1/2a,\ \ \ (asqrt3)/2,\ \ \ a`

Bok długości a to przeciwprostokątna tego trójkąta.

 

Wiemy, że dłuższa przyprostokątna ma długość 9: 

`(asqrt3)/2=9\ \ \ |*2`

`asqrt3=18\ \ \ |:sqrt3`

`a=18/sqrt3=(18sqrt3)/3=6sqrt3`

 

Średnica okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym, to przeciwprostokątna tego trójkąta, zatem promień to połowa długości przeciwprostokątnej: 

`r=1/2a=3sqrt3`

Pole koła opisanego na rozważanym trójkącie wyraża się wzorem:

`P=pir^2=(3sqrt3)^2*pi=ul(27pi`  

Wyznacz liczbę a, jeśli jej przybliżenie z niedomiarem

Przybliżenie z niedomiarem- przybliżona wartość jest mniejsza od wartości rzeczywistej, zatem:

`x-a>0`

 

`x-17,5=0,37`

`x=0,37+17,5`

`x=ul(ul(17,87))`

Na rysunku obok przedstawiono wykres funkcji

`a)`

Wystarczy przesunąć wykres funkcji f o 2 jednostki w prawo wzdłuż osi OX. 

 

`D_g\ =<<-2,\ 5>>`

 

 

`b)`

Wystarczy przesunąć wykres funkcji f o 3 jednostki w prawo wzdłuż osi OX. 

`D_g\ =<<-1,\ 6>>`

 

 

`c)`

Wystarczy przesunąć wykres funkcji f o 1 jednostkę w lewo. 

`D_g\ =<<-5,\ 2>>`

 

 

`d)`

Wystarczy przesunąć wykres funkcji f o 2 jednostki w lewo. 

`D_g\ =<<-6,\ 1>>`

Zbadaj liczbę pierwiastków równania ...

`(a^2-1)x^2+(a-1)x+1=0` 

 

`Delta=(a-1)^2-4(a^2-1)=a^2-2a+1-4a^2+4=-3a^2-2a+5` 

 

`"I. Równanie ma jedno rozwiązanie gdy"\ Delta=0.` 

`-3a^2-2a+5=0` 

`Delta_a=4+60=64` 

`sqrtDelta_a=8` 

 

 

`a_1=(2+8)-6=10/-6=-5/3 `

`a_2=(2-8)/-6=1`  

`"Równanie ma jedno rozwiązanie dla"\ a=1\ "i"\ a=-5/3.` 

`"II. Rówanie ma dwa rozwiązania dla"\ Delta>0.` 

`-3a^2-2a+5>0` 

`a_1=-5/3`  

`a_2=1` 

`"(Na rysunku"\ x_1=a_1,\ x_2=a_2\ ".)`   

`a in (-5/3;1)` 

`"Równanie ma dwa pieriwastki dla"\ a in (-5/3;1).` 

`"III. Równanie nie ma rozwiązań dla"\ Delta<0.` 

`-3a^2-2a+5<0` 

`a_1=-5/3` 

`a_2=1`    

`"Równanie nie ma pierwiastków dla"\ a in (-infty;-5/3)cup(1;+infty)`  

Napisz wzór funkcji, której wykres otrzymamy,

Funkcja f(x) po przekształceniu przez symetrię środkową względem punktu (0,0) przyjmuje postać -f(-x). Zatem zmienną x występującą we wzorze zastępujemy zmienną -x , a przed całe wyrażenie uzależniające wartość funkcji od argumentu (będące wzorem funkcji) również wstawiamy znak minus.

a)

`y=f(x)=1/2x+4`

`-f(-x)=-(1/2(-x)+4)=-(-1/2x+4)=ul(ul(1/2x-4))`

b)

`y=f(x)=4/x`

`-f(-x)=-(4/(-x))=ul(ul(4/x)`

c)

`y=f(x)=2x^2`

`-f(-x)=-2*(-x)^2=ul(ul(-2x^2))`

d)

`y=f(x)=6`

`-f(-x)=ul(ul(-6)`

Oblicz

Skorzystamy z wyprowadzonych w poprzednim zadaniu wzorów. 

`(a+b)^4=a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4`

 

`(sqrt2+1)^4=sqrt2^4+4*sqrt2^3*1+6*sqrt2^2*1^2+4*sqrt2*1^3+1^4=`

`=4+4*2sqrt2*1+6*2*1+4*sqrt2*1+1=`

`=4+8sqrt2+12+4sqrt2+1=`

`=12sqrt2+17`

 

 

 

`(a+b)^6=a^6+6a^5b+15a^4b^2+20a^3b^3+15a^2b^4+6ab^5+b^6`

 

`(sqrt2+1)^6=sqrt2^6+6*sqrt2^5*1+15*sqrt2^4*1^2+20*sqrt2^3*1^3+15*sqrt2^2*1^4+6*sqrt2*1^5+1^6=`

`=8+6*4sqrt2*1+15*4*1+20*2sqrt2*1+15*2*1+6*sqrt2*1+1=`

`=8+24sqrt2+60+40sqrt2+30+6sqrt2+1=`

`=70sqrt2+99`

Wyznacz zbiór wartości funkcji...

`a) \ Z_w = {1/4 , 1/3 , 1/2 , 1}` 

 

`b) \ Z_w = {0, 1, 2}` 

Ile różnych liczb czterocyfrowych podzielnych przez 12

Liczba jest podzielna przez 12, jeśli jest podzielna przez 3 i przez 4. Liczba jest podzielna przez 3 jeśli suma jej cyfr jest podzielna przez 3, liczba jest podzielna przez 4 jeśli ostatnie dwie cyfry tworzą liczbę podzielną przez 4(lub jeśli są zerami, a w tym zadaniu nie bierzemy tego pod uwagę, bo cyfry nie mogą się powtarzać).

Szukamy par cyfr, które razem tworzą liczbę podzielną przez 4 (ostatnie dwie cyfry całej liczby mają tworzyć liczbę podzielną przez 4):

  • 40 (pozostałe cyfry to wtedy 3,8,9, można je ustawić na 6 sposobów: 38, 39, 83, 89, 98, 93)- sprawdzamy, które z nich są podzielne przez 3 i są to:

3840

8340

8940

9840

  • 04 (pozostałe cyfry to wtedy 3,8,9, można je ustawić na 6 sposobów: 38, 39, 83, 89, 98, 93)

A z tych liczb podzielne przez 3 są:

3804

8304

8904

9804

4 liczby

  • 80 (pozostałe cyfry to wtedy 3,4,9, można je ustawić na 6 sposobów: 34, 39, 43, 49, 94, 93)

A z tych liczb podzielne przez 3 są:

3480

4380

4980

9480

4 liczby

  • 08 (pozostałe cyfry to wtedy 3,4,9, można je ustawić na 6 sposobów: 34, 39, 43, 49, 94, 93)

A z tych liczb podzielne przez 3 są:

3408

4308

4908

9408

4 liczby

  • 84 (pozostałe cyfry to wtedy 0,3,9, można je ustawić na 4 sposoby: 39, 30, 90, 93)

A z tych liczb podzielne przez 3 są wszystkie:

3084

9384

3984

9084

4 liczby

  • 48 (pozostałe cyfry to wtedy 0,3,9, można je ustawić na 4 sposoby: 39, 30, 90, 93)

A z tych liczb podzielne przez 3 są wszystkie:

3048

9348

3948

9048

4 liczby

Zatem razem mamy: 6*4=24 różne liczby.

Wyznacz miary kątów trójkąta ...

a) Korzystamy z faktu, że suma miar kątów w trójkącie wynosi 180o:

`alpha+alpha+25^@+alpha-10^@=180^@`   

`3alpha+15^@=180^@\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ |-15^@` 

`3alpha=165^@\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ |:3` 

`alpha=55^@` 

 

Wyznaczamy miary kątów trójkąta:

`|/_CAB|=alpha=55^@` 

`|/_ABC|=alpha-10^@=55^@-10^@=45^@` 

`|/_BCA|=alpha+25^@=55^@+25^@=80^@` 

 

 

b) Ponownie korzystamy z tego, że suma miar kątów w trójkącie wynosi 180o:

`beta+alpha+90^@=180^@`    

`2alpha-24^@+alpha+90^@=180^@` 

`3alpha+66^@=180^@\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ |-66^@`   

`3alpha=114^@\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ |:3`  

`alpha=38^@`  

 

Wyznaczamy miary kątów trójkąta:

`|/_CAB|=alpha=38^@`   

`|/_ABC|=beta=2alpha-24^@=2*38^@-24^@=76^@-24^@=52^@`  

Zapisz liczbę w postaci 2^m, gdzie m jest liczbą całkowitą

`a)\ 2^3*4^6=2^3*(2^2)^6=` `2^3*2^(2*6)=2^3*2^12=2^(3+12)=2^15` 

 

`b)\ 4^-5*8^2=` `(2^2)^-5*(2^3)^2=` `2^(2*(-5))*2^(3*2)=` `2^(-10)*2^6=` 

`\ \ \ =2^(-10+6)=2^-4` 

 

`c)\ 64^2:32^-3=(2^6)^2:(2^5)^-3=` `2^(6*2):2^(5*(-3))=` `2^12:2^(-15)=` 

`\ \ \ =2^12-(-15))=2^(12+15)=2^27` 

 

`d)\ (16^-2:4^-8)*8^4=` `((2^4)^-2:(2^2)^-8)*(2^3)^4=`  

`\ \ \ =(2^(4*(-2)):2^(2*(-8)))*2^(3*4)=` `(2^-8:2^-16)*2^12=` 

`\ \ \ =2^(-8-(-16))*2^12=` `2^(-8+16)*2^12=` `2^8*2^12=2^(8+12)=2^20`