Prostopadłość i równoległość prostych - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Prostopadłość i równoległość prostych

Dwie proste mogą być względem siebie prosopadłe, równoległe albo ani jedno ani drugie.
 
  • Jeśli przecinają się w dowolnym miejscu, i to pod kątem prostym, to nazywamy je prostymi prostopadłymi.
    przykład:
    rys1
     
  • Jeśli proste nawet przedłużane w nieskończoność nigdy się nie przetną, to nazywamy je prostymi równoległymi.
    przykład:
    rys2

Położenie względem siebie prostych ma również odzwierciedlenie w geometrii analitycznej, czyli możemy łatwo wykazać ich położenie względem siebie także za pomocą wzorów.
Aby sprawdzić jak położone są proste musimy mieć ich wzory w postaci kierunkowej. Zatem przypominam, że wzór kierunkowy to:
$$y=ax+b$$
Skupiamy się tylko i wyłącznie na współczynniku, który znajduje się przed iksem, czyli $$a$$.


Sprawdzenie równoległości dwóch prostych:
Oczywiście w obu przypadkach wyznaczamy najpierw ich postać kierunkową, innymi słowy zostawiamy po lewej tylko y. Otrzymujemy wtedy dwa wzory:
$$y=a_1x+b_1$$
oraz
$$y=a_2x+b_2$$
b nas kompletnie nie interesuje, może być dowolną liczbą rzeczywistą. Skupmy się na współczynnikach a.
W przypadku badania równoległości mamy najprostszy z możliwych sposobów:
Jeżeli $$a_1=a_2$$ to proste są równoległe.
Jeśli $$a_1$$ i $$a_2$$ nie są równe, to proste nie są równoległe.


Sprawdzenie prostopadłości dwóch prostych:
Również tutaj doprowadzamy nasze dwa wzory do postaci kierunkowych czyli: $$y=a_1x+b_1$$
oraz
$$y=a_2x+b_2$$

Również tutaj olewamy b, skupiamy się na współczynnikach a. Tylko mamy inną zależność:
Jeżeli $$a_1×a_2=-1$$ to proste są prostopadłe.
Jeżeli iloczyn $$a_1$$ i $$a_2$$ nie jest równy -1 to nie są one prostopadłe.

Przykład:
Sprawdź czy proste o równaniach $$3x+y+2=0$$ i $$6x+2y+2=0$$ są równoległe lub prostopadłe.

Pierwszym krokiem jest zawsze odseparowanie y, zatem od razu doprowadźmy wzory do postaci kierunkowych. Najpierw pierwszy:
$$3x+y+2=0$$
$$y=-3x-2$$

a teraz drugi wzór:
$$6x+2y+2=0$$
$$2y=-6x-2$$ $$|:2$$
$$y=-3x-1$$

Mamy już dwa równania prostych:
$$y=-3x-2$$
$$y=-3x-1$$

Zwracamy uwagę na współczynnik stojący przy x, czyli w tym przypadku $$-3$$:
$$a_1=-3$$
$$a_2=-3$$

Widzimy od razu, że współczynniki są równe czyli nasze proste są równoległe. Dla porządku sprawdźmy jeszcze prostopadłość:
$$a_1×a_2=-3×(-3)=9$$
9 nie jest równe -1 zatem proste nie są prostopadłe.
 

Informacja

Wzory na prostopadłość i równoległość prostych są dostępne w zbiorze wzorów dostępnych podczas matury.

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Znajdź wzór dowolnej prostej prostopadłej do prostej $$6x+2y-12=0$$.

Zaczynamy od ustalenia postaci kierunkowej, czyli wyznaczamy $$y$$ w zależności od reszty:
$$6x+2y-12=0$$
$$2y=-6x+12$$ $$|:2$$
$$y=-3x+6$$

Teraz szukamy współczynnika a dla prostej prostopadłej, wiemy, że $$a_1=-3$$ zatem:
$$a_1×a_2=-1$$
$$-3×a_2=-1$$
$$-3a_2=-1$$ $$|:(-3)$$
$$a_2= 1/3$$

z racji, że może to być dowolne równanie, a współczynnik a już znamy to może to być np.
$$y=1/3 x+5$$
czy
$$y=1/3 x-2$$

Zadanie 2.

Sprawdź czy istnieje prosta prostopadła do $$y=x+5$$ i równoległa do $$y=-x+9$$

Tutaj mamy ułatwione zadanie, ponieważ od razu mamy nasze y po lewej stronie, zatem nie musimy się z tym patyczkować. Żeby jednak nie było zbyt miło, mamy aż dwa warunki do sprawdzenia. Musimy tu sprawdzić, czy istnieje takie a, które da nam:
$$a×a_1=-1$$ i $$a=a_2$$

gdzie nasze:
$$a_1=1$$ ,bo $$y=x+5$$$$y=1x+5$$
$$a_2=-1$$ , bo $$y=-x+9$$$$y=-1x+9$$

no to bierzmy na warsztat pierwszy warunek:
$$a×a_1=-1$$
$$a×1=-1$$
$$a=-1$$
zatem pierwszy warunek spełnia tylko $$a=-1$$

Drugi:
$$a=a_2$$
$$a=-1$$
$$-1=-1$$

Odp.: Taka prosta istnieje, jej współczynnik kierunkowy to $$a=-1$$.

Zadanie 3.

Sprawdź czy proste $$4x+5y+6=0$$ i $$3x+2y-9=0$$ są równoległe

Standardowo wyznaczamy y:
$$4x+5y+6=0$$
$$5y=-4x-6$$ $$|:5$$
$$y=-4/5 x-6/5$$

Przekształcamy drugą prostą
$$3x+2y-9=0$$
$$2y=-3x+9$$ $$|:2$$
$$y=-3/2 x+9/2$$

Na pierwszy rzut oka widać, że proste nie są równoległe ponieważ ich współczynniki przy x są różne.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Dane są długości boków dwóch trójkątów...

Przyrównajmy długości odpowiednich boków do siebie i sprawdźmy czy stosunek jest równy.

 

 

Trójkąty są podobne a skala podobieństwa wynosi  

 

 

Trójkąty nie są podobne.

 

 

 

 

Trójkąty są podobne a skala podobieństwa wynosi  

Oblicz 125% danej liczby

 

 

 

 

Oblicz wartość wyrażenia dla x=-2 i dla x=-3

 

 

  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  

 

 

 

 

  

 

 

 

 

 

 

  

 

 

 

 

  

 

Wykonaj obliczenia. Wynik podaj w postaci nieskracalnego ułamka zwykłego.

 {premium}


 

 


 

 


 

 

Oblicz długości boków...

 

 

 

 

 

 

 {premium}

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Długości boków trójkąta ABC:

 

 

 

Wyznacz t wiedząc

 

Wyznaczymy równanie prostej przechodzącej przez punkty B i C. 

Będziemy korzystać z tego, że prosta ma równanie y=ax+b. Podstawiamy współrzędne punktów w miejsce x (pierwsza współrzędna) oraz w miejsce y (druga współrzędna), dzięki czemu otrzymamy układ równań, z którego wyliczymy współczynniki a oraz b.

 

 

 

 

Podstawiamy obliczoną wartość do drugiego równania drugiego układu:

 

 

 

 

 

 

Mamy więc równanie prostej BC:

 

 

Jeśli punkt A należy do tej samej prostej, to jego współrzędne muszą spełniać powyższe równanie. Możemy więc podstawić x=t oraz y=0. 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Wyznaczymy równanie prostej przechodzącej przez punkty A i C. 

 

Będziemy korzystać z tego, że prosta ma równanie y=ax+b. Podstawiamy współrzędne punktów w miejsce x (pierwsza współrzędna) oraz w miejsce y (druga współrzędna), dzięki czemu otrzymamy układ równań, z którego wyliczymy współczynniki a oraz b.

 

 

 

 

 

Podstawiamy obliczoną wartość do drugiego równania pierwszego układu:

 

 

 

 

 

Mamy więc równanie prostej AC:

 

 

Jeśli punkt B należy do tej samej prostej, to jego współrzędne muszą spełniać powyższe równanie. Możemy więc podstawić x=5 oraz y=t. 

 

 

 

Przyjmijmy następujące oznaczenia:

Sumą zbiorów  oraz ozn.  nazywamy zbiór tych elementów,

które należą do zbioru  lub do zbioru  

Iloczynem zbiorów  oraz ozn.  nazywamy zbiór tych elementów,

które należą jednocześnie do zbioru  i do zbioru  


 zdanie prawdziwe

 zdanie prawdziwe {premium}

 zdanie prawdziwe

 zdanie prawdziwe

 zdanie fałszywe

 zdanie prawdziwe

Wykaż, że liczba

 

  

  

 

Liczby 3 i 19 są czynnikami tworzącymi daną liczbę, więc dana liczba jest podzielna przez 3 oraz przez 19. 

 

 

 

Niech n będzie dowolną liczbą naturalną

 

Zapiszmy sumę trzech kolejnych potęg naturalnych liczby 7. 

 

 

 

Liczby 3 i 19 są czynnikami tworzącymi daną liczbę, więc dana liczba jest podzielna przez 3 oraz przez 19. 

Rozłóż liczby na czynniki ...

 

 

 

  

 

 

 

 

 

 

   

Czy proste k i l są równoległe?

Obliczmy, jaką miarę ma kąt przyległy do kąta 72°:

Mamy dwa kąty o mierze 108°, które powstały przez przecięcie prostych k i l trzecią prostą. Te kąty są więc kątami odpowiadającymi, a co za tym idzie - proste k i l są równoległe. 

 

 

Obliczmy, jaką miarę miałby kąt przyległy do kąta 132°:

Kąty 48°i 52° mają różne miary, więc proste k i l nie mogą być równoległe. 

 

 

Obliczmy, jaką miarę ma kąt przyległy do kąta 120°:

Suma miar kątów w każdym trójkącie jest równa 180°, więc możemy obliczyć miarę zaznaczonego kąta:

Proste k i l nie mogą być równoległe, ponieważ zaznaczone kąty mają różne miary (a gdyby proste k i l były równoległe, to te kąty byłyby kątami odpowiadającymi, więc miałyby równe miary). 

 

 

 

Suma miar kątów w każdym trójkącie jest równa 180°, więc możemy obliczyć miarę zaznaczonego kąta:

Mamy dwa kąty o miarach 70°, które powstały przez przecięcie prostych k i l trzecią prostą. Te kąty są więc kątami naprzemianległymi, a co za tym idzie - proste k i l są równoległe.