Prostopadłość i równoległość prostych - matura-podstawowa - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Prostopadłość i równoległość prostych - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Prostopadłość i równoległość prostych

Dwie proste mogą być względem siebie prosopadłe, równoległe albo ani jedno ani drugie.
 
  • Jeśli przecinają się w dowolnym miejscu, i to pod kątem prostym, to nazywamy je prostymi prostopadłymi.
    przykład:
    rys1
     
  • Jeśli proste nawet przedłużane w nieskończoność nigdy się nie przetną, to nazywamy je prostymi równoległymi.
    przykład:
    rys2

Położenie względem siebie prostych ma również odzwierciedlenie w geometrii analitycznej, czyli możemy łatwo wykazać ich położenie względem siebie także za pomocą wzorów.
Aby sprawdzić jak położone są proste musimy mieć ich wzory w postaci kierunkowej. Zatem przypominam, że wzór kierunkowy to:
$y=ax+b$
Skupiamy się tylko i wyłącznie na współczynniku, który znajduje się przed iksem, czyli $a$.


Sprawdzenie równoległości dwóch prostych:
Oczywiście w obu przypadkach wyznaczamy najpierw ich postać kierunkową, innymi słowy zostawiamy po lewej tylko y. Otrzymujemy wtedy dwa wzory:
$y=a_1x+b_1$
oraz
$y=a_2x+b_2$
b nas kompletnie nie interesuje, może być dowolną liczbą rzeczywistą. Skupmy się na współczynnikach a.
W przypadku badania równoległości mamy najprostszy z możliwych sposobów:
Jeżeli $a_1=a_2$ to proste są równoległe.
Jeśli $a_1$ i $a_2$ nie są równe, to proste nie są równoległe.


Sprawdzenie prostopadłości dwóch prostych:
Również tutaj doprowadzamy nasze dwa wzory do postaci kierunkowych czyli: $y=a_1x+b_1$
oraz
$y=a_2x+b_2$

Również tutaj olewamy b, skupiamy się na współczynnikach a. Tylko mamy inną zależność:
Jeżeli $a_1×a_2=-1$ to proste są prostopadłe.
Jeżeli iloczyn $a_1$ i $a_2$ nie jest równy -1 to nie są one prostopadłe.

Przykład:
Sprawdź czy proste o równaniach $3x+y+2=0$ i $6x+2y+2=0$ są równoległe lub prostopadłe.

Pierwszym krokiem jest zawsze odseparowanie y, zatem od razu doprowadźmy wzory do postaci kierunkowych. Najpierw pierwszy:
$3x+y+2=0$
$y=-3x-2$

a teraz drugi wzór:
$6x+2y+2=0$
$2y=-6x-2$ $|:2$
$y=-3x-1$

Mamy już dwa równania prostych:
$y=-3x-2$
$y=-3x-1$

Zwracamy uwagę na współczynnik stojący przy x, czyli w tym przypadku $-3$:
$a_1=-3$
$a_2=-3$

Widzimy od razu, że współczynniki są równe czyli nasze proste są równoległe. Dla porządku sprawdźmy jeszcze prostopadłość:
$a_1×a_2=-3×(-3)=9$
9 nie jest równe -1 zatem proste nie są prostopadłe.
 

Informacja

Wzory na prostopadłość i równoległość prostych są dostępne w zbiorze wzorów dostępnych podczas matury.

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Znajdź wzór dowolnej prostej prostopadłej do prostej $6x+2y-12=0$.

Zaczynamy od ustalenia postaci kierunkowej, czyli wyznaczamy $y$ w zależności od reszty:
$6x+2y-12=0$
$2y=-6x+12$ $|:2$
$y=-3x+6$

Teraz szukamy współczynnika a dla prostej prostopadłej, wiemy, że $a_1=-3$ zatem:
$a_1×a_2=-1$
$-3×a_2=-1$
$-3a_2=-1$ $|:(-3)$
$a_2= 1/3$

z racji, że może to być dowolne równanie, a współczynnik a już znamy to może to być np.
$y=1/3 x+5$
czy
$y=1/3 x-2$

Zadanie 2.

Sprawdź czy istnieje prosta prostopadła do $y=x+5$ i równoległa do $y=-x+9$

Tutaj mamy ułatwione zadanie, ponieważ od razu mamy nasze y po lewej stronie, zatem nie musimy się z tym patyczkować. Żeby jednak nie było zbyt miło, mamy aż dwa warunki do sprawdzenia. Musimy tu sprawdzić, czy istnieje takie a, które da nam:
$a×a_1=-1$ i $a=a_2$

gdzie nasze:
$a_1=1$ ,bo $y=x+5$$y=1x+5$
$a_2=-1$ , bo $y=-x+9$$y=-1x+9$

no to bierzmy na warsztat pierwszy warunek:
$a×a_1=-1$
$a×1=-1$
$a=-1$
zatem pierwszy warunek spełnia tylko $a=-1$

Drugi:
$a=a_2$
$a=-1$
$-1=-1$

Odp.: Taka prosta istnieje, jej współczynnik kierunkowy to $a=-1$.

Zadanie 3.

Sprawdź czy proste $4x+5y+6=0$ i $3x+2y-9=0$ są równoległe

Standardowo wyznaczamy y:
$4x+5y+6=0$
$5y=-4x-6$ $|:5$
$y=-4/5 x-6/5$

Przekształcamy drugą prostą
$3x+2y-9=0$
$2y=-3x+9$ $|:2$
$y=-3/2 x+9/2$

Na pierwszy rzut oka widać, że proste nie są równoległe ponieważ ich współczynniki przy x są różne.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Zaznacz zbiór punktów...

a) Pierwsza współrzędna jest stale równa 0 a druga jest dowolna.

Np.

 

 

b) Pierwsza współrzędna jest stale równa 2 a druga jest dodatnia.

 

c) Pierwsza współrzędna jest mniejsza bądź równa 1 a druga jest stale równa 3.

 

d) Pierwsza współrzędna jest stale równa 2 a druga jest silnie mniejsza od -2.

Wiedząc, że przybliżenie liczby...

 {premium}


 


 

 


 

 

Narysuj wykres funkcji ...

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

     

 

W turnieju tenisowym...

Oznaczmy liczbę tenisistów przez x, każdy ma rozegrać jeden mecz z pozostałymi a więc każdy z nich rozegra x-1 meczy. Wtedy wzór opisujący tą zależność ma postać:

 

Zauważmy, jednak, że nasz wzór ma w sobie sytuacje w której tenisista nr. 1 gra z tenisistą nr. 2 jak również tenisista nr. 2 gra z tenisistą nr. 1, a więc nasz wzór musimy jeszcze podzielić przez połowę

 

 

Sprawdźmy kiedy nasza funkcja jest równa 28

 

 

 

 

 

 

 

 

W turnieju było 8 tenisistów.

Odpowiedź B

Oblicz współczynnik kierunkowy prostej

czy wykres funkcji f(x), gdzie x...

Wykres funkcji f {premium}nie ma punktu wspólnego z osią OY, bo argument x=0 nie należy do dziedziny tej funkcji.

Dla jakich wartości parametru p nierówność...

 

1. Jeżeli nierówność ma być spełniona dla każdego x to parabola musi być skierowana ramionami ku górze, czyli musi być spełniony warunek:

 

 

2. Dodatkowo funkcja może mieć co najwyżej jeden punkt wspólny z osią x , który jednocześnie będzie miejscem zerowym funkcji, czyli musi być spełniony warunek:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Częścią wspólną obu warunków jest:

  

 

 

1. Parabola musi mieć ramiona skierowane ku dołowi a więc:

 

 

2. Funkcja kwadratowa nie może mieć pierwiastków:

 

 

 

 

Parabola ma ramiona skierowane ku górze a więc:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Część wspólna obu warunków:

 

Prosta l jest styczna do okręgu ...

Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku. Zauważmy, że:

  

 

 

 

Trójkąt ROP jest trójkątem równoramiennym, ponieważ |OR|=|OP|.

Miary kątów przy podstawie PR są sobie równe i wynoszą 42o.

Korzystając z tw. o sumie miar kątów w trójkącie (dla trójkata ROP) obliczamy miarę kąta ß:

 

 

 

 

 

Odp: Cięciwa wyznacza kąt środkowy o mierze 96o.

Na rysunku obok przedstawiono

 

Aby otrzymać wykres funkcji g wystarczy odbić symetrycznie względem osi OX tę część wykresu funkcji f, która {premium}znajduje się pod osią OX. 

 

Liczba rozwiązań równania g(x)=1 jest równa 10, ponieważ wykresy funkcji y=g(x) oraz y=1 mają 10 punktów wspólnych:

 

 

 

 

Aby otrzymać wykres funkcji g musimy odbić symetrycznie względem osi OY tę część wykresu funkcji f, która znajduje się po prawej stronie osi OY. 

 

Liczba rozwiązań równania g(x)=1 jest równa 6, ponieważ wykresy funkcji y=g(x) oraz y=1 mają 6 punktów wspólnych:

 

 

 

 

 

Wykres funkcji y=f(-|x|) otrzymujemy z wykresu funkcji f, korzystając z tego, że:

- dla x≤0 (należących do dziedziny) zachodzi równość f(-|x|)=f(x). 

- wykres funkcji y=f(-|x|) jest symetryczny względem osi OY. 

Wystarczy więc odbić symetrycznie względem osi OY tę część wykresu, która znajduje się po lewej stronie osi OY. 

 

 

Zauważmy, że wykres funkcji y=f(x) jest symetryczny względem początku układu współrzędnych, więc jest wykresem funkcji nieparzystej. 

Dla funkcji nieparzystej zachodzi warunek:

  

Jeśli za argument x weźmiemy |x| to otrzymujemy:

  

Oznacza to, że wystarczy odbić symetrycznie względem osi OX wykres otrzymany w podpunkcie b). 

 

Każdy z tych sposobów prowadzi do otrzymania następującego wykresu:

Liczba rozwiązań równania g(x)=1 jest równa 4, ponieważ wykresy funkcji y=g(x) oraz y=1 mają 4 punkty wspólne:

 

Oblicz wartość wyrażenia...

 

{premium}