Prostopadłość i równoległość prostych - matura-podstawowa - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Prostopadłość i równoległość prostych - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Prostopadłość i równoległość prostych

Dwie proste mogą być względem siebie prosopadłe, równoległe albo ani jedno ani drugie.
 
  • Jeśli przecinają się w dowolnym miejscu, i to pod kątem prostym, to nazywamy je prostymi prostopadłymi.
    przykład:
    rys1
     
  • Jeśli proste nawet przedłużane w nieskończoność nigdy się nie przetną, to nazywamy je prostymi równoległymi.
    przykład:
    rys2

Położenie względem siebie prostych ma również odzwierciedlenie w geometrii analitycznej, czyli możemy łatwo wykazać ich położenie względem siebie także za pomocą wzorów.
Aby sprawdzić jak położone są proste musimy mieć ich wzory w postaci kierunkowej. Zatem przypominam, że wzór kierunkowy to:
$y=ax+b$
Skupiamy się tylko i wyłącznie na współczynniku, który znajduje się przed iksem, czyli $a$.


Sprawdzenie równoległości dwóch prostych:
Oczywiście w obu przypadkach wyznaczamy najpierw ich postać kierunkową, innymi słowy zostawiamy po lewej tylko y. Otrzymujemy wtedy dwa wzory:
$y=a_1x+b_1$
oraz
$y=a_2x+b_2$
b nas kompletnie nie interesuje, może być dowolną liczbą rzeczywistą. Skupmy się na współczynnikach a.
W przypadku badania równoległości mamy najprostszy z możliwych sposobów:
Jeżeli $a_1=a_2$ to proste są równoległe.
Jeśli $a_1$ i $a_2$ nie są równe, to proste nie są równoległe.


Sprawdzenie prostopadłości dwóch prostych:
Również tutaj doprowadzamy nasze dwa wzory do postaci kierunkowych czyli: $y=a_1x+b_1$
oraz
$y=a_2x+b_2$

Również tutaj olewamy b, skupiamy się na współczynnikach a. Tylko mamy inną zależność:
Jeżeli $a_1×a_2=-1$ to proste są prostopadłe.
Jeżeli iloczyn $a_1$ i $a_2$ nie jest równy -1 to nie są one prostopadłe.

Przykład:
Sprawdź czy proste o równaniach $3x+y+2=0$ i $6x+2y+2=0$ są równoległe lub prostopadłe.

Pierwszym krokiem jest zawsze odseparowanie y, zatem od razu doprowadźmy wzory do postaci kierunkowych. Najpierw pierwszy:
$3x+y+2=0$
$y=-3x-2$

a teraz drugi wzór:
$6x+2y+2=0$
$2y=-6x-2$ $|:2$
$y=-3x-1$

Mamy już dwa równania prostych:
$y=-3x-2$
$y=-3x-1$

Zwracamy uwagę na współczynnik stojący przy x, czyli w tym przypadku $-3$:
$a_1=-3$
$a_2=-3$

Widzimy od razu, że współczynniki są równe czyli nasze proste są równoległe. Dla porządku sprawdźmy jeszcze prostopadłość:
$a_1×a_2=-3×(-3)=9$
9 nie jest równe -1 zatem proste nie są prostopadłe.
 

Informacja

Wzory na prostopadłość i równoległość prostych są dostępne w zbiorze wzorów dostępnych podczas matury.

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Znajdź wzór dowolnej prostej prostopadłej do prostej $6x+2y-12=0$.

Zaczynamy od ustalenia postaci kierunkowej, czyli wyznaczamy $y$ w zależności od reszty:
$6x+2y-12=0$
$2y=-6x+12$ $|:2$
$y=-3x+6$

Teraz szukamy współczynnika a dla prostej prostopadłej, wiemy, że $a_1=-3$ zatem:
$a_1×a_2=-1$
$-3×a_2=-1$
$-3a_2=-1$ $|:(-3)$
$a_2= 1/3$

z racji, że może to być dowolne równanie, a współczynnik a już znamy to może to być np.
$y=1/3 x+5$
czy
$y=1/3 x-2$

Zadanie 2.

Sprawdź czy istnieje prosta prostopadła do $y=x+5$ i równoległa do $y=-x+9$

Tutaj mamy ułatwione zadanie, ponieważ od razu mamy nasze y po lewej stronie, zatem nie musimy się z tym patyczkować. Żeby jednak nie było zbyt miło, mamy aż dwa warunki do sprawdzenia. Musimy tu sprawdzić, czy istnieje takie a, które da nam:
$a×a_1=-1$ i $a=a_2$

gdzie nasze:
$a_1=1$ ,bo $y=x+5$$y=1x+5$
$a_2=-1$ , bo $y=-x+9$$y=-1x+9$

no to bierzmy na warsztat pierwszy warunek:
$a×a_1=-1$
$a×1=-1$
$a=-1$
zatem pierwszy warunek spełnia tylko $a=-1$

Drugi:
$a=a_2$
$a=-1$
$-1=-1$

Odp.: Taka prosta istnieje, jej współczynnik kierunkowy to $a=-1$.

Zadanie 3.

Sprawdź czy proste $4x+5y+6=0$ i $3x+2y-9=0$ są równoległe

Standardowo wyznaczamy y:
$4x+5y+6=0$
$5y=-4x-6$ $|:5$
$y=-4/5 x-6/5$

Przekształcamy drugą prostą
$3x+2y-9=0$
$2y=-3x+9$ $|:2$
$y=-3/2 x+9/2$

Na pierwszy rzut oka widać, że proste nie są równoległe ponieważ ich współczynniki przy x są różne.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Wykres funkcji f przesuń o ...

 

`f(x)=-8x^2` 

 

 

{premium}    

  

 

 

 

`f(x)=1,25x^2` 

 

`g(x)=1,25x^2-2`

 

  

 

 

 

 

`g(x)=3/4(x-1)^2-2` 

  

 

 

 

`f(x)=2,3x^2` 

 

 

`ZW_(g)=[-sqrt5;+oo)`  

  

Jeżeli Danka będzie odkładała do skarbonki...

Oznaczmy szukany czas jako  {premium}   

Kwota miesięcznej składki oraz czas oszczędzania są do siebie odwrotnie proporcjonalne.

Wobec tego prawdziwa jest równość:

 

Wyznaczamy z równania  

`pt=sx\ "/:"\ s`  

      

Odp. Zajmie to Dance  miesięcy.

Uprość wyrażenie i oblicz ...

    {premium}
 

 

 


 
 
 

 

 

Rodzinne miasto Ani zamieszkuje 6050 osób. Wiadomo, że populacja ...

Liczbę osób mieszkających w tym mieście dwa lata temu oznaczmy przez .

Co roku liczba mieszkańców miasta zwiększa się o 10%. Rok temu liczba mieszkańców stanowiła więc 110% liczby osób mieszkających w tym mieście dwa lata temu. Zatem: {premium}

 

W tym roku liczba mieszkańców stanowi więc 110% liczby osób mieszkających w tym mieście roku temu. Zatem:

 


Wiemy, że obecnie miasto zamieszkuje 6050 mieszkańców, więc możemy zapisać:

 

 

 

 


W mieście tym dwa lata temu mieszkało 5000 osób.

Przedstaw w postaci...

Środkiem odcinka o końcach w punktach a i b jest na osi punkt  


Obliczamy środek odcinka (-2, 14):{premium}

 

Środkiem odcinka o końcach w punktach -2 oraz 14 jest punkt 6. Odległość punktu 6 od punktów -2 oraz 14 wynosi 8. Stąd:

 

 

Mamy więc następującą nierówność:

 

Uzasadnij, że jeżeli wyróżnik ...

{premium}   

 

  

  

Kapitał w wysokości 5000 zł został złożony w banku

  

 

{premium}

  

 

 

  

 

 

Przeanalizuj przykład podany ...

 

Podane wyrażenie jest liczbą naturalną, gdy liczba  jest całkowitym dzielnikiem liczby 3. Zatem:

1.   

2.   

3.   

4.   {premium}


 

Podane wyrażenie jest liczbą naturalną, gdy liczba  jest całkowitym dzielnikiem liczby 4. Zatem:

1.   

2.   

3.   

4.   

5.   

6.   


 

Podane wyrażenie jest liczbą naturalną, gdy liczba  jest całkowitym dzielnikiem liczby 6. Zatem:

1.   

2.   

3.   

4.   

5.   

6.   

7.   

8.   


 

Podane wyrażenie jest liczbą naturalną, gdy liczba  jest całkowitym dzielnikiem liczby 8. Zatem:

1.   

2.   

3.   

4.   

5.   

6.   

7.   

8.   

Wyznacz zbiory

{premium}  

Zbiór A to zbiór kolejnych potęg liczby 3 (o wykładniku naturalnym dodatnim). 

 

 

Zbiór B to zbiór dodatnich liczb naturalnych podzielnych przez 9. 

 

Zauważmy, że wszystkie elementy zbioru A poza liczbą 3 to wielokrotności liczby 9, więc wszystkie elementy zbioru A (poza liczbą 3) należą do zbioru B. 

 

 

Wiemy już, że jedyny element zbioru A, który nie należy do zbioru B, to element 3. 

 

 

 

 

 

Jeśli wiesz, że x+y=1 i xy=3, oblicz

                  {premium}

Aby podnieść do kwadratu lewą stronę równania, korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia:

Wstawiamy do równania wartość xy=3

 

 

Uwaga!

Tak naprawdę treść zadania zawiera błąd- źle dobrano dane, ponieważ suma kwadratów dwóch liczb rzeczywistych nie da nam w wyniku liczby ujemnej.