Potęgi - matura-podstawowa - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Potęgi - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Potęgi ujemne

Z potęgą ujemną mamy do czynienia wtedy gdy wykładnik jest liczbą ujemną. Powoduje on zamianę liczby na liczbę odwrotną, czyli najprościej mówiąc zamianę licznika z mianownikiem.

Przykłady:

  • $({1/5})^{-3}=({5/1})^{3}=125$
  • $({1/3})^{-4}=({3/1})^{4}=81$

Potęgi na liczbach o ujemnym znaku:

W tym wypadku mamy dwa podobne, choć różne przypadki:

  • $(-3)^4=(-3)×(-3)×(-3)×(-3)=81$ //Mamy cztery minusy i one dają plus
  • $–3^4= -(3×3×3×3)= -81 $ //Mamy jeden minus, więc wynik to minus

Mnożenie potęg

Aby pomnożyć dwie potęgi bez ich obliczania muszą one spełnić jeden warunek:

  • Potęgi muszą mieć taką samą podstawę!

Następnie wystarczy, że przepiszemy podstawę i sumę wykładników.

Przykłady:

  • $5^2×5^{1/2}×5^{-1}=5^{2+{1}/{2}-1}=5^{1 1/2}=5^{3/2}=√{5^3}=√{125}=5√5$
  • $2^5×2^{-10}×2^3×2^2=2^{5-10+3+2}=2^0=1$

Dzielenie potęg

W tym wypadku jest prawie identycznie jak przy mnożeniu potęg, musimy także spełnić warunek:

  • Potęgi muszą mieć taką samą podstawę!

Jedyna różnica to fakt, że odejmujemy, zamiast dodawać potęgi jak przykładzie:

  • $5^2÷5^4÷5^{-5}=5^{2-4-{(-5)} }=5^{2-4+5}=5^3=125$

Potęgowanie potęg

W przypadku, gdy musimy zawrzeć dwie potęgi w jednej liczbie, wtedy mnożymy je ze sobą. Musimy przy tym pamiętać o odpowiednim zachowaniu znaków.

Przykład:

${({({(1/2)}^{-1})}^{-2})}^3={1/2}^{-2×3×(-1)}={1/2}^6=1/{64}$
 

Tworzenie nowych podstaw

Jeżeli w przykładzie (często to się zdarza) podane nie będą potęgi o tych samych wykładnikach, musimy je znaleźć.

Jedyny wymóg to zapamiętanie tzw. potęg złożonych czyli:

  • $4=2^2$
  • $27=3^3$


Przykład:

$8^3÷2^10×16^2÷4^3$

Każda z tych liczb w podstawie to potęga dwójki, pokażmy to:

${(2^3)}^3÷2^10×{(2^4)}^2÷{(2^2)}^3$

Teraz użyjmy potęgowania potęg:

$2^9÷2^10×2^8÷2^6$

I mnożymy oraz dzielimy:

$2^{9-10+8-6}=2^1=2$
 

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Oblicz
$2^5+2^6+2^7=$

$2^5×(1+2+2^2)=32×7=224$

Zadanie 2.

Oblicz:
${ {3^5}/{3^3}×9^{-2} }/{3^3×3^5÷27^4 }=$

Najpierw licznik (oczywiście można robić równocześnie), najpierw odejmijmy potęgi w ułamku i przekształćmy 9

$ {3^2×{(3^2)}^{-2} }/{3^3×3^5÷27^4}= $ Następnie potęgujemy potęgę

$ {3^2×3^{-4} }/{3^3×3^5÷27^4 }= $ Oraz mnożymy

$ {3^{-2} }/{3^3×3^5÷27^4} $ Mianownik:

Musimy tu jedynie przekształcić liczbę 27

$ {3^{-2} }/{3^3×3^5÷{(3^3)}^4 }= $ Następnie potęgujemy potęgę

$ {3^{-2} }/{3^3×3^5÷3^{12} }= $ Odpowiednio mnożymy i dzielimy

$ {3^{-2} }/{3^{3+5-12} } = $ I ostatnie dzielenie

$ {3^{-2} }/{3^{-4} } =3^{-2-(-4)}=3^2=9 $

Zadanie 3.

Wykaż, że liczba $2^12+2^13+2^14$ jest podzielna przez 7

 

$2^12+2^12×21+2^12×2^2=2^12(1+2^1+2^2)= 2^12×7$

Mnożymy przez 7, więc liczba jest na pewno podzielna przez 7. CNU

Spis treści

Rozwiązane zadania
Kąty ostre trójkąta prostokątnego mają ...

Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku.

Z definicji funkcji trygonometrycznych zapisujemy:

  

  

 

 

 

 

    

 

Podana zależność jest prawdziwa.

 

 

 

 

 

Podana zależność nie jest prawdziwa.

 

 

 

 

 

Podana zależność jest prawdziwa.

 

 

 

 

     

Podana zależność jest prawdziwa.

Podaj zbiór wartości funkcji...

Dodatnich liczb podzielnych przez 3 i mniejszych od 10 jest dokładnie trzy.

 

Każdej liczbie przyporządkujemy jej kwadrat, czyli wzór funkcji ma postać:

 

 

  

 

 

 

 

Wskaż zdanie, które opisuje funkję. A. Każdej

Odpowiedź A. - liczba dzielników danej liczby to ustalona liczba, wobec czego jednemu argumentowi (jednej liczbie) przyporządkowujemy dokładnie jedną wartość (jedną liczbę dzielników)

Dlaczego nie:

  • B (jednemu argumentowi można przyporządkować więcej niż jedną wartość np. liczbie 2 wartość bezwzględną |2| i |-2|)
  • C (jednemu argumentowi można przyporządkować więcej niż jedną wartość np. liczbie 2 potęgę o wykładniku naturalnym 23 24 25)
  • D (jednemu argumentowi można przyporządkować więcej niż jedną wartość np. liczbie 4 przyporządkowano 2 i -2)
Podaj przykład liczby zapisanej w postaci

 

Musimy więc znaleźć liczbę dodatnią mającą rozwinięcie dziesiętne okresowe, mniejszą od 0,05. Takie liczby to na przykład:

 

 

 

 

Musimy więc znaleźć liczbę mającą rozwinięcie dziesiętne okresowe, większą od 0,1 i mniejszą od 1. Takie liczby to na przykład:

 

W trójkącie równoramiennym podstawa ma długość...

Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku poniżej:


Mamy dane:

 

 

 


a) Obliczamy połowę obwodu trójkąta:{premium}

 


Ze wzoru na pole wyznaczamy b:

 

 

 

 


Odp. Ramię trójkąta ma długość 25 cm.



b) Ze wzoru na pole trójkąta wyznaczamy sinus kąta 𝛼:

 

 

 

 

Punkty A, B, C należą do prostej k...

 Punkty  mogą być położone następująco:

Thumb zad4.91astr111

 oraz  więc:{premium}

 

 

 

 

Odp. Odcinek  ma długość  


 Punkty  mogą być położone następująco:

Thumb zad4.91bstr111

Na podstawie rysunku mamy:

 

 

 

Odp. Odcinek  ma długość  

Wykonaj działania na liczbach całkowitych:

Przypomnijmy ze szkoły podstawowej kolejność wykonywania działań:

 działania w nawiasach,

 potęgowanie,

 mnożenie i dzielenie,

 dodawanie i odejmowanie.


 


 {premium}


  

 


 


 


 

 


 


 

Zapisz wyrażenie bez użycia ...

 

Wiemy, że:

Wyrażenie x+4 dla x<-4 przyjmuje wartości ujemne, zatem:

 

Wyrażenie x+2 dla x<-4 przyjmuje wartości ujemne, zatem:

 

Dla x<-4 mozemy więc zapisać podane wyrażenie jako:

 

 

  

Wiemy, że:

Wyrażenie -x+1 dla x<-1 przyjmuje wartości dodatnie, zatem:

   

Wyrażenie x-5 dla x<-1 przyjmuje wartości ujemne, zatem:

  

Dla x<-1 możemy więc zapisać podane wyrażenie jako:

 

Oblicz błąd bezwzględny

 

     

 

    

   

 

`=0,02391...~~0,0239=2,39%`{premium} 

 
       
       
       

 

Na rysunku obok trójkąty ABC i ADC są wpisane...

Kąty  i  są oparte na tym samym łuku, więc:

 {premium}


Trójkąt  jest prostokątny. Stąd:

 


Oznacza to, że trójkąt  jest połówką kwadratu i średnica okręgu ma długość przekątnej kwadratu o boku  czyli:

 


Promień okręgu ma długość połowy przekątnej, czyli:

 


Prawidłowa odpowiedź to B.