Potęgi - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Potęgi ujemne

Z potęgą ujemną mamy do czynienia wtedy gdy wykładnik jest liczbą ujemną. Powoduje on zamianę liczby na liczbę odwrotną, czyli najprościej mówiąc zamianę licznika z mianownikiem.

Przykłady:

  • $$({1/5})^{-3}=({5/1})^{3}=125$$
  • $$({1/3})^{-4}=({3/1})^{4}=81$$

Potęgi na liczbach o ujemnym znaku:

W tym wypadku mamy dwa podobne, choć różne przypadki:

  • $$(-3)^4=(-3)×(-3)×(-3)×(-3)=81$$ //Mamy cztery minusy i one dają plus
  • $$–3^4= -(3×3×3×3)= -81 $$ //Mamy jeden minus, więc wynik to minus

Mnożenie potęg

Aby pomnożyć dwie potęgi bez ich obliczania muszą one spełnić jeden warunek:

  • Potęgi muszą mieć taką samą podstawę!

Następnie wystarczy, że przepiszemy podstawę i sumę wykładników.

Przykłady:

  • $$5^2×5^{1/2}×5^{-1}=5^{2+{1}/{2}-1}=5^{1 1/2}=5^{3/2}=√{5^3}=√{125}=5√5$$
  • $$2^5×2^{-10}×2^3×2^2=2^{5-10+3+2}=2^0=1$$

Dzielenie potęg

W tym wypadku jest prawie identycznie jak przy mnożeniu potęg, musimy także spełnić warunek:

  • Potęgi muszą mieć taką samą podstawę!

Jedyna różnica to fakt, że odejmujemy, zamiast dodawać potęgi jak przykładzie:

  • $$5^2÷5^4÷5^{-5}=5^{2-4-{(-5)} }=5^{2-4+5}=5^3=125$$

Potęgowanie potęg

W przypadku, gdy musimy zawrzeć dwie potęgi w jednej liczbie, wtedy mnożymy je ze sobą. Musimy przy tym pamiętać o odpowiednim zachowaniu znaków.

Przykład:

$${({({(1/2)}^{-1})}^{-2})}^3={1/2}^{-2×3×(-1)}={1/2}^6=1/{64}$$
 

Tworzenie nowych podstaw

Jeżeli w przykładzie (często to się zdarza) podane nie będą potęgi o tych samych wykładnikach, musimy je znaleźć.

Jedyny wymóg to zapamiętanie tzw. potęg złożonych czyli:

  • $$4=2^2$$
  • $$27=3^3$$


Przykład:

$$8^3÷2^10×16^2÷4^3$$

Każda z tych liczb w podstawie to potęga dwójki, pokażmy to:

$${(2^3)}^3÷2^10×{(2^4)}^2÷{(2^2)}^3$$

Teraz użyjmy potęgowania potęg:

$$2^9÷2^10×2^8÷2^6$$

I mnożymy oraz dzielimy:

$$2^{9-10+8-6}=2^1=2$$
 

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Oblicz
$$2^5+2^6+2^7=$$

$$2^5×(1+2+2^2)=32×7=224$$

Zadanie 2.

Oblicz:
$${ {3^5}/{3^3}×9^{-2} }/{3^3×3^5÷27^4 }=$$

Najpierw licznik (oczywiście można robić równocześnie), najpierw odejmijmy potęgi w ułamku i przekształćmy 9

$$ {3^2×{(3^2)}^{-2} }/{3^3×3^5÷27^4}= $$ Następnie potęgujemy potęgę

$$ {3^2×3^{-4} }/{3^3×3^5÷27^4 }= $$ Oraz mnożymy

$$ {3^{-2} }/{3^3×3^5÷27^4} $$ Mianownik:

Musimy tu jedynie przekształcić liczbę 27

$$ {3^{-2} }/{3^3×3^5÷{(3^3)}^4 }= $$ Następnie potęgujemy potęgę

$$ {3^{-2} }/{3^3×3^5÷3^{12} }= $$ Odpowiednio mnożymy i dzielimy

$$ {3^{-2} }/{3^{3+5-12} } = $$ I ostatnie dzielenie

$$ {3^{-2} }/{3^{-4} } =3^{-2-(-4)}=3^2=9 $$

Zadanie 3.

Wykaż, że liczba $$2^12+2^13+2^14$$ jest podzielna przez 7

 

$$2^12+2^12×21+2^12×2^2=2^12(1+2^1+2^2)= 2^12×7$$

Mnożymy przez 7, więc liczba jest na pewno podzielna przez 7. CNU

Spis treści

Rozwiązane zadania
Rozwiąż nierówność

`a)`

Pierwsza wartość bezwzględna zeruje się dla x=3, druga zeruje się dla x=0. Mamy więc do rozpatrzenia trzy przypadki. 

 

`1)\ x in (-infty;\ 0)`

`\ \ \ |x-3|+|x|<=3`

`\ \ \ -(x-3)-x<=3`

`\ \ \ -x+3-x<=3`

`\ \ \ -2x+3<=3\ \ \ |-3`

`\ \ \ -2x<=0\ \ \ |:(-2)`

`\ \ \ x>=0`

`(x>=0\ \ \ "i"\ \ \ x in (-infty;\ 0))\ \ \ =>\ \ \ ul("brak rozwiązań")`

 

 

`2)\ x in <<0;\ 3)`

`\ \ \ |x-3|+|x|<=3`

`\ \ \ -(x-3)+x<=3`

`\ \ \ -x+3+x<=3`

`\ \ \ 3<=3`

Powyższa nierówność jest prawdziwa niezależnie od wartości x, dlatego wszystkie liczby z drugiego przedziału są rozwiązaniem wyjściowej nierówności. 

`ul(x in <<0;\ 3))`

 

 

`3)\ x in <<3;\ +infty)`

`\ \ \ |x-3|+|x|<=3`

`\ \ \ x-3+x<=3`

`\ \ \ 2x-3<=3\ \ \ |+3`

`\ \ \ 2x<=6\ \ \ |:2`

`\ \ \ x<=3`

`(x <=3\ \ \ "i"\ \ \ x in <<3;\ +infty))\ \ \ =>\ \ \ ul(x=3)`

 

Łącząc przypadki 1), 2) oraz 3) otrzymujemy ostateczne rozwiązanie nierówności:

`ul(ul(x in <<0;\ 3>>))`

 

`ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ )`

 

 

 

`b)`

Pierwsza wartość bezwzględna zeruje się dla x=1, druga zeruje się dla x=-1. Mamy więc do rozpatrzenia trzy przypadki. 

 

`1)\ x in (-infty;\ -1)`

`\ \ \ |1-x|-|1+x|>=2`

`\ \ \ 1-x+(1+x)>=2`

`\ \ \ 1-x+1+x>=2`

`\ \ \ 2>=2`

Powyższa nierówność jest prawdziwa niezależnie od wartości x, dlatego wszystkie liczby z pierwszego przedziału są rozwiązaniem wyjściowej nierówności. 

`ul(x in (-infty;\ -1)`

 

 

`2)\ x in <<-1;\ 1)`

`\ \ \ |1-x|-|1+x|>=2`

`\ \ \ 1-x-(1+x)>=2`

`\ \ \ 1-x-1-x>=2`

`\ \ \ -2x>=2\ \ \ |:(-2)`

`\ \ \ x<=-1`

`(x<=-1\ \ \ "i"\ \ \ x in <<-1;\ 1))\ \ \ =>\ \ \ ul(x=-1)`

 

`3)\ x in <<1;\ +infty)`

`\ \ \ |1-x|-|1+x|>=2`

`\ \ \ -(1-x)-(1+x)>=2`

`\ \ \ -1+x-1-x>=2`

`\ \ \ -2>=2`

Otrzymaliśmy sprzeczność, więc w tym przedziale nierówność nie ma rozwiązania.

 

 

Łącząc przypadki 1), 2) oraz 3) otrzymujemy ostateczne rozwiązanie nierówności:

`ul(ul(x in (-infty;\ -1>>))`

 

 

`ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ )`

 

 

`c)`

Pierwsza wartość bezwzględna zeruje się dla x=5, druga zeruje się dla x=1. Mamy więc do rozpatrzenia trzy przypadki. 

 

`1)\ x in (-infty;\ 1)`

`\ \ \ |x-5|+|x-1|>=4`

`\ \ \ -(x-5)-(x-1)>=4`

`\ \ \ -x+5-x+1>=4`

`\ \ \ -2x+6>=4\ \ \ |-6`

`\ \ \ -2x>=-2\ \ \ |:(-2)`

`\ \ \ x<=1`

`(x <=1\ \ \ "i"\ \ \ x <=1)\ \ \ =>\ \ \ ul(x in (-infty;\ 1))`

 

 

`2)\ x in <<1;\ 5)`

`\ \ \ |x-5|+|x-1|>=4`

`\ \ \ -(x-5)+(x-1)>=4`

`\ \ \ -x+5+x-1>=4`

`\ \ \ 4>=4`

Powyższa nierówność jest prawdziwa niezależnie od wartości x, dlatego wszystkie liczby z drugiego przedziału są rozwiązaniem wyjściowej nierówności. 

`ul(x in <<1;\ 5))`

 

 

`3)\ x in <<5;\ +infty)`

`\ \ \ |x-5|+|x-1|>=4`

`\ \ \ x-5+x-1>=4`

`\ \ \ 2x-6>=4\ \ \ |+6`

`\ \ \ 2x>=10\ \ \ |:2`

`\ \ \ x>=5`

`(x>=5\ \ \ "i"\ \ \ x in <<5;\ +infty))\ \ \ =>\ \ \ ul(x in <<5;\ +infty))`

 

Łącząc przypadki 1), 2) oraz 3) otrzymujemy ostateczne rozwiązanie nierówności:

`ul(ul(x in RR))`

 

 

`ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ )`

 

 

`d)`

Pierwsza wartość bezwzględna zeruje się dla x=2, druga zeruje się dla x=-2. Mamy więc do rozpatrzenia trzy przypadki. 

 

`1)\ x in (-infty;\ -2)`

`\ \ \ |3x-6|-|x+2|<8`

`\ \ \ -(3x-6)+(x+2)<8`

`\ \ \ -3x+6+x+2<8`

`\ \ \ -2x+8<8\ \ \ |-8`

`\ \ \ -2x<=0\ \ \ |:(-2)`

`\ \ \ x>=0`

`(x>=0\ \ \ "i"\ \ \ x in (-infty;\ -2))\ \ \ =>\ \ \ ul("brak rozwiązań")`

 

`2)\ x in <<-2;\ 2)`

`\ \ \ |3x-6|-|x+2|<8`

`\ \ \ -(3x-6)-(x+2)<8`

`\ \ \ -3x+6-x-2<8`

`\ \ \ -4x+4<8\ \ \ |-4`

`\ \ \ -4x<4\ \ \ |:(-4)`

`\ \ \ x> -1`

`(x> -1\ \ \ "i"\ \ \ x in <<-2;\ 2))\ \ \ =>\ \ \ ul(x in (-1;\ 2))`

 

 

`3)\ x in <<2;\ +infty)`

`\ \ \ |3x-6|-|x+2|<8`

`\ \ \ 3x-6-(x+2)<8`

`\ \ \ 3x-6-x-2<8`

`\ \ \ 2x-8<8\ \ \ |+8`

`\ \ \ 2x<16\ \ \ |:2`

`\ \ \ x<8`

`(x<8\ \ \ "i"\ \ \ x in <<2;\ +infty))\ \ \ =>\ \ \ ul(x in <<2;\ 8))`

 

 

Łącząc przypadki 1), 2) oraz 3) otrzymujemy ostateczne rozwiązanie nierówności:

`ul(ul(x in (-1;\ 8))`

 

 

`ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ )`

 

 

`e)`

`sqrt(x^2+4x+4)+|x|<=5`

`sqrt(x^2+2*x*2+2^2)+|x|<=5`

`sqrt((x+2)^2)+|x|<=5`

`|x+2|+|x|<=5`

 

Pierwsza wartość bezwzględna zeruje się dla x=-2, druga zeruje się dla x=0. Mamy więc do rozpatrzenia trzy przypadki. 

 

`1)\ x in (-infty;\ -2)`

`\ \ \ |x+2|+|x|<=5`

`\ \ \ -(x+2)-x<=5`

`\ \ \ -x-2-x<=5`

`\ \ \ -2x-2<=5\ \ \ |+2`

`\ \ \ -2x<=7\ \ \ |:(-2)`

`\ \ \ x>=-7/2`

`\ \ \ x>=-3 1/2`

`(x>=-3 1/2\ \ \ "i"\ \ \ x in (-infty;\ -2))\ \ \ =>\ \ \ ul(x in <<-3 1/2;\ -2))`

 

`2)\ x in <<-2;\ 0)`

`\ \ \ |x+2|+|x|<=5`

`\ \ \ x+2-x<=5`

`\ \ \ 2<=5`

Powyższa nierówność jest prawdziwa niezależnie od wartości x, dlatego wszystkie liczby z drugiego przedziału są rozwiązaniem wyjściowej nierówności. 

`ul(x in <<-2;\ 0))`

 

`3)\ x in <<0;\ +infty)`

`\ \ \ |x+2|+|x|<=5`

`\ \ \ x+2+x<=5`

`\ \ \ 2x+2<=5\ \ \ |-2`

`\ \ \ 2x<=3\ \ \ |:2`

`\ \ \ x<=3/2`

`\ \ \ x<=1 1/2`

`(x<=1 1/2\ \ \ "i"\ \ \ x in <<0;\ +infty))\ \ \ =>\ \ \ ul(x in <<0;\ 1 1/2>>)`

 

Łącząc przypadki 1), 2) oraz 3) otrzymujemy ostateczne rozwiązanie nierówności:

`ul(ul(x in <<-3 1/2;\ 1 1/2>>))`

 

 

`ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ )`

 

`f)`

`sqrt(9-6x+x^2)-3>sqrt(x^2)`

`sqrt(x^2-6x+9)-3>|x|`

`sqrt(x^2-2*x*3+3^2)-3>|x|`

`sqrt((x-3)^2)-3>|x|`

`|x-3|-3>|x|`

 

Pierwsza wartość bezwzględna zeruje się dla x=3, druga zeruje się dla x=0. Mamy więc do rozpatrzenia trzy przypadki. 

 

 

`1)\ x in (-infty;\ 0)`

`\ \ \ |x-3|-3>|x|`

`\ \ \ -(x-3)-3> -x`

`\ \ \ -x+3-3 > -x`

`\ \ \ -x>=-x\ \ \ |+x`

`\ \ \ 0>0`

Otrzymaliśmy sprzeczność, więc w pierwszym przedziale nierówność nie ma rozwiązania.  

 

 

 

`2)\ x in <<0;\ 3)`

`\ \ \ |x-3|-3>|x|`

`\ \ \ -(x-3)-3>x`

`\ \ \ -x+3-3>x`

`\ \ \ -x>x\ \ \ |-x`

`\ \ \ -2x>0\ \ \ |:(-2)`

`\ \ \ x<0`

`(x<\ \ \ "i"\ \ \ x in <<0;\ 3))\ \ \ =>\ \ \ ul("brak rozwiązań")`

 

 

`3)\ x in <<3;\ +infty)`

`\ \ \ |x-3|-3>|x|`

`\ \ \ x-3-3>x`

`\ \ \ x-6>x\ \ \ |-x`

`\ \ \-6>0`

Otrzymaliśmy sprzeczność, więc w trzecim przedziale nierówność nie ma rozwiązania.  

 

 

   

Łącząc przypadki 1), 2) oraz 3) otrzymujemy, że nierówność nie ma rozwiązania. 

`ul(ul("brak rozwiązania"))`

 

Wyznacz katy ostre α i ß trójkąta ...

Z treści zadania wiemy, że:

`cosalpha/("tg"\ beta)=sqrt3/3` 

Korzystając z powyższego rysunku zapisujemy z definicji funkcji trygonometrycznych:

`cosalpha=b/c` 

`"tg"\ beta=b/a` 

Mamy więc:

`cosalpha/("tg"\ alpha)=(b/c)/(b/a)=strikeb^1/c*a/strikeb^1=a/c` 

Zauważmy, że:

`a/c=sinalpha\ \ \ \ \ \ "lub" \ \ \ \ \ \ \ \ a/c=cosbeta` 

czyli:

`sinalpha=sqrt3/3\ \ \ \ \ \ "lub"\ \ \ \ \ \ \ cosbeta=sqrt3/3`   

`sinalpha~~0,5774`  

`\ \ \ alpha~~35^"o"` 

Miarę kąta ß możemy obliczyć korzystając z tw. o sumie miar kątów w trójkącie:

`beta=180^"o"-90^"o"-35^"o"=55^"o"` 

lub np. korzystając z drugiej otrzymanej równości odczytując wynik z tablic:

`cosbeta=sqrt3/3` 

`cosbeta~~0,5774` 

`\ \beta~~55^"o"` 

 

Odp: Miary kątów ostrych w tym trójkącie wynoszą 35o i 55o

Sprawdź, czy podana liczba spełnia nierówność

`a)\ 1/2*2-2#<^?1`

`\ \ \ 1-2#<^?1`

`\ \ \ -1#<^?1\ \ \ \ \ tak`

 

 

`b)\ 1/2*4-2#<^?1`

`\ \ \ 2-2#<^?1`

`\ \ \ 0#<^?1\ \ \ \ tak`

 

 

`c)\ 1/2*6-2#<^?1`

`\ \ \ 3-2#<^?1`

`\ \ \ 1#<^?1\ \ \ \ nie`

 

 

`d)\ 1/2*8-2#<^?1`

`\ \ \ 4-2#<^?1`

`\ \ \ 2#<^?1\ \ \ \ nie`

 

 

 

Podaj współrzędne obrazu P' punktu...

Proste y = xy = -x są względem siebie prostopadłe a więc kolejność symetrii jest dowolna. Zachodzi taka własność z uwagi na fakt, że wektory odpowiednich symetrii są względem siebie prostopadłe.

 

Wszystkie proste prostopadłe do prostej y' = x' są dane równaniami:

`y' = -x' + q` 

Niech prosta przechodzi przez punkt P, zatem podstawmy współrzędne punktu P:

`y = -x + q` 

`q = y + x` 

A więc prosta jest dana równaniem:

`y' = -x' + y + x` 

 

Wyznaczmy punkt przecięcia się prostych:

`{(y'=x'),(y'=-x' + y + x):}` 

`x' = -x' + y + x` 

`2x' = x +y` 

`x' = (x+y)/2` 

stąd:

`y' = -(x+y)/2 + y + x` 

`y' = (-x-y+2x+2y)/2` 

`y' = (x+y)/2` 

 

A więc punkt przecięcia się prostych ma współrzędne:

`P_1 = ((x+y)/2 , (x+y)/2)` 

 

Stąd otrzymujemy, że:

`stackrel(->)(PP_1) = stackrel(->)(P_1 P_2)` 

gdzie P2 jest obrazem punktu P w symetrii względem prostej y' = x'.

`[x_(P_1) - x_P , y_(P_1) - y_P] = [x_(P_2) - x_(P_1) , y_(P_2) - y_(P_1)]` 

`[(x+y)/2 - x , (x+y)/2 - y] = [x_(P_2) - (x+y)/2 , y_(P_2) - (x+y)/2]` 

`{((x+y)/2 -x = x_(P_2) - (x+y)/2),( (x+y)/2 - y = y_(P_2) - (x+y)/2):}` 

`{((-x+y)/2 +(x+y)/2= x_(P_2)),((x-y)/2 + (x+y)/2 = y_(P_2)):}` 

`{(x_(P_2) = y),(y_(P_2) = x):}` 

`P_2 = (y , x)` 

 

Każda prosta prostopadłą do prostej  y' = -x' ma postać:

`y' = x' + q_1` 

Wyznaczmy równanie prostej przechodzącej przez punkt P2, wstawmy jego współrzędne:

`x = y + q_1`  

`q_1 = x - y` 

A więc równanie tej prostej to:

`y' = x' + x - y` 

 

Wyznaczmy punkt przecięcia się tej prostej z prostą  y' = -x'.

`{(y' = -x'),(y' = x' + x - y):}` 

Stąd:

`-x' = x' + x - y` 

`2x' = y - x` 

`x' = (y-x)/2` 

a więc:

`y' = x' + x - y` 

`y' = (y-x)/2 + (2x-2y)/2` 

`y' = (x-y)/2` 

 

Punkt przecięcia się tych prostych to:

`S = ((y-x)/2 , (x-y)/2)` 

 

Zatem:

`stackrel(->)(P_2S) = stackrel(->)(S P')` 

`[x_S - x_(P_2) , y_S - y_(P_2)] = [x_(P') - x_S , y_(P') - y_S]` 

`[(y-x)/2 - y , (x-y)/2 -x] = [x_(P') - (y-x)/2 , y_(P') - (x-y)/2]` 

`{((-y-x)/2 = x_(P') - (y-x)/2),((-x-y)/2 = y_(P') - (x-y)/2):}` 

`{(x_(P') = (-y-x+y-x)/2),(y_(P') = (-x-y+x-y)/2):}` 

`{(x_(P') = -x),(y_(P') = -y):}` 

`P' = ( -x , -y)` 

 

Możemy wyciągnąć stąd wniosek, że symetria dowolnego punktu płaszczyzny R2 w złożeniu symetrii względem dwóch prostych, które są względem siebie prostopadłe, jest równoważne symetrii względem początku układu współrzędnych.

Dana jest funkcja y = -2x + 3.

`"a)"` 

 

 

`"b)"` Aby wyznaczyć współrzędne punktu wspólnego podanych funkcji, wystarczy rozwiązać układ równań.

`{(y=-2x+3),(-1/2x+y+2=0):}` 

`{(y=-2x+3),(-1/2x-2x+3+2=0):}` 

`{(y=-2x+3),(-5/2x=-5\ "/"*(-2/5)):}` 

`{(y=-2x+3),(x=2):}` 

`{(y=-2*2+3),(x=2):}` 

`{(y=-1),(x=2):}` 

Odp. Punkt wspólny wykresów danych funkcji to `(2,-1).`  

Dla każdej z liczb podaj przybliżenia

 

`"liczba"`  `"postać dziesiętna"` 

`"zaokrąglenie"` 

`"do pierwszego miejsca"` 

`"po przecinku"` 

`"zaokrąglenie"` 

`"do drugiego miejsca"` 

`"po przecinku"` 

`"zaokrąglenie"` 

`"do trzeciego miejsca"` 

`"po przecinku"` 

`7/16`  `0,4375`  `0,4`  `0,44`  `0,438` 
`3/19`  `0,15789...`  `0,2`  `0,16`  `0,158` 
`1 9/13`  `1,6923...`  `1,7`  `1,69`  `1,692` 
`2sqrt3`  `3,464101...`  `3,5`  `3,46`  `3,464` 
`sqrt17`  `4,123105...`  `4,1`  `4,12`  `4,123` 
`-17/2`  `-8,5`  `-8,5`  `-8,5`  `-8,5` 
`-3 2/21`  `-3,09523...`   ` ` `-3,1`  `-3,10=-3,1`  `-3,095` 
Zastanów się i odpowiedz na pytania ...

`a)`

Dziedziną jest zbiór liczb rzeczywistych - każdą liczbę możemy podnieść do kwadratu.

 

 

`b)`

Gdyby współczynnik a był równy 0, to funkcja kwadratowa miałaby postać:

`f(x)=0*x^2+bx+c=bx+c`

Wtedy nie byłaby funkcją kwadratową, ale po prostu funkcją liniową (x występuje tylko w pierwszej potędze).  

Wyrażenie 3xy-x²y+xy² dla x=-½ i

`3xy-x^2y+xy^2= 3*(-1/2)*(-2/3)-(-1/2)^2(-2/3)+(-1/2)(-2/3)^2=`

`=3*(2/6)-1/4(-2/3)+(-1/(strike2))*((strike4)/9)= 6/6+(strike2)/(strike12)-1*2/9= `

`=1+1/6-1/9=1+3/18-2/18=17/18`

Oceń wartość logiczną ...

a) Pierwsze zdanie jest prawdziwe. Drugie zdanie jest fałszywe.

Jedno ze zdań jest prawdziwe, więc alternatywa jest prawdziwa.

`ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ )` 

b) Pierwsze zdanie jest prawdziwe. Drugie zdanie jest prawdziwe.

Oba zdania są prawdziwe, więc alternatywa jest prawdziwa.

`ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ )` 

c) Pierwsze zdanie jest prawdziwe. Drugie zdanie jest fałszywe.

Jedno ze zdań jest prawdziwe, więc alternatywa jest prawdziwa.

`ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ )` 

d) Pierwsze zdanie jest fałszywe. Drugie zdanie jest prawdziwe.

Jedno ze zdań jest prawdziwe, więc alternatywa jest prawdziwa.

W trójkąt prostokątny wpisano okrąg...

Przyjmijmy oznaczenia jak w zadaniu 12 z tej samej strony.

 

Skoro punkt styczności dzieli krótszą przyprostokątną na odcinki to znaczy, że krótszy odcinek jest długością promienia a dłuższy długością boku BF. Wiemy, że:

`r = 3` 

`|BF| = 3sqrt3` 

 

Stąd:

`|BC| = |CF| + |BF|` 

`|BC| = 3+3sqrt3` 

 

`|AC| = |CD| + |AD|` 

`|AC| = r + |AD|` 

`|AC| = 3 + |AD|` 

 

`|AB| = |BE|+|AE| = |BF| + |AD| = 3sqrt3+ |AD|` 

 

Z twierdzenia Pitagorasa:

`|BC|^2 + |AC|^2 = |AB|^2` 

`(3+3sqrt3)^2 + (3+|AD|)^2 = (3sqrt3+|AD|)^2` 

`9+18sqrt3 + 27 + 9 + 6|AD| + |AD|^2 = 27 + 6sqrt3|AD| + |AD|^2` 

`18+18sqrt3+6|AD| = 6sqrt3|AD|` 

`18(1+sqrt3) = 6sqrt3|AD| - 6|AD|` 

`18(1+sqrt3) = |AD|(6sqrt3-6)` 

`|AD| = (18(1+sqrt3))/(6(sqrt3-1))` 

`|AD| = (3(1+sqrt3))/(sqrt3-1) *(sqrt3+1)/(sqrt3+1) = (3(sqrt3+1)^2)/(3-1) = (3(3+2sqrt3+1))/2= (3(2sqrt3+4))/2 = 3(sqrt3+2) = 3sqrt3+6` 

 

A więc:

`|AC|=3+3sqrt3+6 = 3sqrt3+9` 

`|AB| = 3sqrt3+3sqrt3+6 = 6sqrt3+6`  

 

Obwód trójkąta ABC:

`O_("ABC") = |AB| + |AC| + |BC| = 6sqrt3+6 + 3sqrt3+9 + 3+3sqrt3 = 18+12sqrt3`