Potęgi - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Potęgi ujemne

Z potęgą ujemną mamy do czynienia wtedy gdy wykładnik jest liczbą ujemną. Powoduje on zamianę liczby na liczbę odwrotną, czyli najprościej mówiąc zamianę licznika z mianownikiem.

Przykłady:

  • $$({1/5})^{-3}=({5/1})^{3}=125$$
  • $$({1/3})^{-4}=({3/1})^{4}=81$$

Potęgi na liczbach o ujemnym znaku:

W tym wypadku mamy dwa podobne, choć różne przypadki:

  • $$(-3)^4=(-3)×(-3)×(-3)×(-3)=81$$ //Mamy cztery minusy i one dają plus
  • $$–3^4= -(3×3×3×3)= -81 $$ //Mamy jeden minus, więc wynik to minus

Mnożenie potęg

Aby pomnożyć dwie potęgi bez ich obliczania muszą one spełnić jeden warunek:

  • Potęgi muszą mieć taką samą podstawę!

Następnie wystarczy, że przepiszemy podstawę i sumę wykładników.

Przykłady:

  • $$5^2×5^{1/2}×5^{-1}=5^{2+{1}/{2}-1}=5^{1 1/2}=5^{3/2}=√{5^3}=√{125}=5√5$$
  • $$2^5×2^{-10}×2^3×2^2=2^{5-10+3+2}=2^0=1$$

Dzielenie potęg

W tym wypadku jest prawie identycznie jak przy mnożeniu potęg, musimy także spełnić warunek:

  • Potęgi muszą mieć taką samą podstawę!

Jedyna różnica to fakt, że odejmujemy, zamiast dodawać potęgi jak przykładzie:

  • $$5^2÷5^4÷5^{-5}=5^{2-4-{(-5)} }=5^{2-4+5}=5^3=125$$

Potęgowanie potęg

W przypadku, gdy musimy zawrzeć dwie potęgi w jednej liczbie, wtedy mnożymy je ze sobą. Musimy przy tym pamiętać o odpowiednim zachowaniu znaków.

Przykład:

$${({({(1/2)}^{-1})}^{-2})}^3={1/2}^{-2×3×(-1)}={1/2}^6=1/{64}$$
 

Tworzenie nowych podstaw

Jeżeli w przykładzie (często to się zdarza) podane nie będą potęgi o tych samych wykładnikach, musimy je znaleźć.

Jedyny wymóg to zapamiętanie tzw. potęg złożonych czyli:

  • $$4=2^2$$
  • $$27=3^3$$


Przykład:

$$8^3÷2^10×16^2÷4^3$$

Każda z tych liczb w podstawie to potęga dwójki, pokażmy to:

$${(2^3)}^3÷2^10×{(2^4)}^2÷{(2^2)}^3$$

Teraz użyjmy potęgowania potęg:

$$2^9÷2^10×2^8÷2^6$$

I mnożymy oraz dzielimy:

$$2^{9-10+8-6}=2^1=2$$
 

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Oblicz
$$2^5+2^6+2^7=$$

$$2^5×(1+2+2^2)=32×7=224$$

Zadanie 2.

Oblicz:
$${ {3^5}/{3^3}×9^{-2} }/{3^3×3^5÷27^4 }=$$

Najpierw licznik (oczywiście można robić równocześnie), najpierw odejmijmy potęgi w ułamku i przekształćmy 9

$$ {3^2×{(3^2)}^{-2} }/{3^3×3^5÷27^4}= $$ Następnie potęgujemy potęgę

$$ {3^2×3^{-4} }/{3^3×3^5÷27^4 }= $$ Oraz mnożymy

$$ {3^{-2} }/{3^3×3^5÷27^4} $$ Mianownik:

Musimy tu jedynie przekształcić liczbę 27

$$ {3^{-2} }/{3^3×3^5÷{(3^3)}^4 }= $$ Następnie potęgujemy potęgę

$$ {3^{-2} }/{3^3×3^5÷3^{12} }= $$ Odpowiednio mnożymy i dzielimy

$$ {3^{-2} }/{3^{3+5-12} } = $$ I ostatnie dzielenie

$$ {3^{-2} }/{3^{-4} } =3^{-2-(-4)}=3^2=9 $$

Zadanie 3.

Wykaż, że liczba $$2^12+2^13+2^14$$ jest podzielna przez 7

 

$$2^12+2^12×21+2^12×2^2=2^12(1+2^1+2^2)= 2^12×7$$

Mnożymy przez 7, więc liczba jest na pewno podzielna przez 7. CNU

Spis treści

Rozwiązane zadania
W trójkącie równoramiennym ramiona długości 5...

Rysunek poglądowy:

`sin 60^o = a/5` 

`a = sin60^o * 5 = sqrt3/2 * 5= (5sqrt3)/2`  

 

A więc długość podstawy wynosi:

`p = 2a = 2*(5sqrt3)/2 = 5sqrt3` 

Podaj współczynnik kierunkowy

`a)\ a_1=-1/(-7)=1/7`

`b)\ a_1=-1/(5/6)=-1:5/6=-1*6/5=-6/5`

`c)\ a_1=-1/(3/4)=-1:3/4=-1*4/3=-4/3`

`d)\ a_1=-1/(-7/9)=1/(7/9)=1:7/9=1*9/7=9/7`

 

Dane są odcinki mające długość a oraz b

`x=(3b^2)/a\ \ \ <=>\ \ \ a/(3b)=b/x`

 

Zaznacz na osi liczbowej i zapisz za pomocą

Wskaż pary trójkątów przystających.

Trójkąty przystające na mocy cechy BBB:

`Delta AOC \equiv Delta BOC`

`DeltaADC \equiv Delta BDC`

`Delta BOF equiv Delta AOF`

`Delta COF equiv Delta COE`

`Delta DOB equiv Delta DOA`

W 2011 roku wybudowanie 580 km autostrad...

Oznaczmy koszt za 1 km autostrady przez x, a koszt za 1 km drogi ekspresowej przez y. Wtedy:

`580x + 730y = 1,787 * 10^10` 

`x = (1,787*10^10-730y)/580` 

 

Powstanie o 20% i 30% więcej autostrad i dróg ekspresowych odpowiednio.

`1,2*580x + 1,3*730y = 2,1955 * 10^10` 

`696x + 949y = 2,1955*10^10` 

`x = (2,1955*10^10 - 949y)/696` 

 

Zatem:

`(1,787*10^10 - 730y)/580 = (2,1955*10^10-949y)/696` 

`696(1,787*10^10-730y) = 580*(2,1955*10^10 - 949y)` 

`1243,752*10^10 - 508080y = 1273,39*10^10 - 550 420 y` 

`42340y = 1273,39*10^10 - 1243,752*10^10` 

`42340 y = (1273,39-1243,752)*10^10` 

`42340y = 29,638*10^10` 

`y = 0,0007 * 10^10` 

`y = 7*10^6` 

 

A więc:

`x = (2,1955*10^10 - 949*7*10^6)/696 = (21955*10^6 -6643*10^6)/696 = ((21955-6643)*10^6)/696 = 22*10^6` 

 

Odpowiedź: Koszt wybudowania 1 km autostrady wynosił 22 mln zł a koszt wybudowania 1 km drogi ekspresowej wynosił 7 mln zł.

Rozwiąż równanie

`a)`

`(x-2)^2-(x-4)^2=8`

`(x^2-2*x*2+2^2)-(x^2-2*x*4+4^2)=8`

`x^2-4x+4-x^2+8x-16=8`

`4x-12=8\ \ \ |+12`

`4x=20\ \ \ |:4`

`x=5`

 

 

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))`

 

 

`b)`

`(4-x)(4+x)+(x-sqrt2)^2=0`

`(4^2-x^2)+(x^2-2*x*sqrt2+sqrt2^2)=0`

`16-x^2+x^2-2sqrt2x+2=0`

`-2sqrt2x+18=0\ \ \ |-18`

`-2sqrt2x=-18\ \ \ |:(-2sqrt2)`

`x=18/(2sqrt2)=9/sqrt2=(9sqrt2)/(sqrt2*sqrt2)=(9sqrt2)/2`

 

 

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))`

 

 

`c)`

`(x-sqrt3)^2-(x-sqrt6)^2=2sqrt3-3`

`(x^2-2*x*sqrt3+sqrt3^2)-(x^2-2*x*sqrt6+sqrt6^2)=2sqrt3-3`

`x^2-2sqrt3x+3-x^2+2sqrt6x-6=2sqrt3-3`

`-2sqrt3x+2sqrt6x-3=2sqrt3-3\ \ \ |+3`

`-2sqrt3x+2sqrt6x=2sqrt3`

`x(-2sqrt3+2sqrt6)=2sqrt3`

`x(2sqrt6-2sqrt3)=2sqrt3\ \ \ \ |:(2sqrt6-2sqrt3)`

`x=(2sqrt3)/(2sqrt6-2sqrt3)=(2sqrt3)/(2sqrt6-2sqrt3)*(2sqrt6+2sqrt3)/(sqrt6-2sqrt3)=(4sqrt18+4*3)/((2sqrt6)^2-(2sqrt3)^2)=(4*sqrt9*sqrt2+12)/(4*6-4*3)=`

`\ \ \ =(4*3sqrt2+12)/(24-12)=(12sqrt2+12)/12=sqrt2+1`

 

 

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ )) `

 

 

 

`d)`

`(x-5)^2-(3-x)^2=2^6*4^4:8^3`

`(x^2-2*x*5+5^2)-(3^2-2*3*x+x^2)=2^6*(2^2)^4:(2^3)^3`

`x^2-10x+25-9+6x-x^2=2^6*2^8:2^9`

`-4x+16=2^(6+8-9)`

`-4x+16=2^5`

`-4x+16=32\ \ \ |-16`

`-4x=16\ \ \ |:(-4)`

`x=-4`

 

 

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))`

 

 

`e)`

`(x+27)(27-x)=9^5*81^-1`

`(27+x)(27-x)=(3^2)^5*(3^4)^-1`

`27^2-x^2=3^10*3^-4`

`(3^3)^2-x^2=3^6`

`3^6-x^2=3^6\ \ \ \ \ |-3^6`

`-x^2=0\ \ \ |*(-1) `

`x^2=0`

`x=0`

   

 

 

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))`

 

 

`f)`

`(x+5)(5-x)-(2x+4)(4-2x)=6`

`(5+x)(5-x)-(4+2x)(4-2x)=6`

`(5^2-x^2)-(4^2-(2x)^2)=6`

`25-x^2-16+4x^2=6`

`3x^2+9=6\ \ \ |-9`

`3x^2=-3\ \ \ |:3`

`x^2=-1`

Równanie nie ma rozwiązań rzeczywistych - każda liczba rzeczywista podniesiona do kwadratu jest nieujemna, więc nie może być równa -1. 

` `

 

 

 

 

Liczba log_(1/7) 343 jest równa

`log_(1/7) 343= log_(1/7) 7^3= log_(1/7) ((1/7)^(-1))^3=log_(1/7) (1/7)^(-3)=ul(ul((-3)))`

Narysuj wykres funkcji...

Odwrotność największej spośród liczb

`(5sqrt5)^-2=1/(5sqrt5)^2=1/(5^2*sqrt5^2)=1/(25*5)=1/125=8/1000=0,008`  

`0,2^3=0,008`  

`0,04^2=0,0016` 

`((1/5)^2)^-1=(1/5)^-2=5^2=25` 

 

Największą liczbą jest ostatnia z powyższych liczb, jej odwrotność to `1/25` , więc należy zaznaczyć odpowiedź C.