Potęgi - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Potęgi ujemne

Z potęgą ujemną mamy do czynienia wtedy gdy wykładnik jest liczbą ujemną. Powoduje on zamianę liczby na liczbę odwrotną, czyli najprościej mówiąc zamianę licznika z mianownikiem.

Przykłady:

  • $$({1/5})^{-3}=({5/1})^{3}=125$$
  • $$({1/3})^{-4}=({3/1})^{4}=81$$

Potęgi na liczbach o ujemnym znaku:

W tym wypadku mamy dwa podobne, choć różne przypadki:

  • $$(-3)^4=(-3)×(-3)×(-3)×(-3)=81$$ //Mamy cztery minusy i one dają plus
  • $$–3^4= -(3×3×3×3)= -81 $$ //Mamy jeden minus, więc wynik to minus

Mnożenie potęg

Aby pomnożyć dwie potęgi bez ich obliczania muszą one spełnić jeden warunek:

  • Potęgi muszą mieć taką samą podstawę!

Następnie wystarczy, że przepiszemy podstawę i sumę wykładników.

Przykłady:

  • $$5^2×5^{1/2}×5^{-1}=5^{2+{1}/{2}-1}=5^{1 1/2}=5^{3/2}=√{5^3}=√{125}=5√5$$
  • $$2^5×2^{-10}×2^3×2^2=2^{5-10+3+2}=2^0=1$$

Dzielenie potęg

W tym wypadku jest prawie identycznie jak przy mnożeniu potęg, musimy także spełnić warunek:

  • Potęgi muszą mieć taką samą podstawę!

Jedyna różnica to fakt, że odejmujemy, zamiast dodawać potęgi jak przykładzie:

  • $$5^2÷5^4÷5^{-5}=5^{2-4-{(-5)} }=5^{2-4+5}=5^3=125$$

Potęgowanie potęg

W przypadku, gdy musimy zawrzeć dwie potęgi w jednej liczbie, wtedy mnożymy je ze sobą. Musimy przy tym pamiętać o odpowiednim zachowaniu znaków.

Przykład:

$${({({(1/2)}^{-1})}^{-2})}^3={1/2}^{-2×3×(-1)}={1/2}^6=1/{64}$$
 

Tworzenie nowych podstaw

Jeżeli w przykładzie (często to się zdarza) podane nie będą potęgi o tych samych wykładnikach, musimy je znaleźć.

Jedyny wymóg to zapamiętanie tzw. potęg złożonych czyli:

  • $$4=2^2$$
  • $$27=3^3$$


Przykład:

$$8^3÷2^10×16^2÷4^3$$

Każda z tych liczb w podstawie to potęga dwójki, pokażmy to:

$${(2^3)}^3÷2^10×{(2^4)}^2÷{(2^2)}^3$$

Teraz użyjmy potęgowania potęg:

$$2^9÷2^10×2^8÷2^6$$

I mnożymy oraz dzielimy:

$$2^{9-10+8-6}=2^1=2$$
 

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Oblicz
$$2^5+2^6+2^7=$$

$$2^5×(1+2+2^2)=32×7=224$$

Zadanie 2.

Oblicz:
$${ {3^5}/{3^3}×9^{-2} }/{3^3×3^5÷27^4 }=$$

Najpierw licznik (oczywiście można robić równocześnie), najpierw odejmijmy potęgi w ułamku i przekształćmy 9

$$ {3^2×{(3^2)}^{-2} }/{3^3×3^5÷27^4}= $$ Następnie potęgujemy potęgę

$$ {3^2×3^{-4} }/{3^3×3^5÷27^4 }= $$ Oraz mnożymy

$$ {3^{-2} }/{3^3×3^5÷27^4} $$ Mianownik:

Musimy tu jedynie przekształcić liczbę 27

$$ {3^{-2} }/{3^3×3^5÷{(3^3)}^4 }= $$ Następnie potęgujemy potęgę

$$ {3^{-2} }/{3^3×3^5÷3^{12} }= $$ Odpowiednio mnożymy i dzielimy

$$ {3^{-2} }/{3^{3+5-12} } = $$ I ostatnie dzielenie

$$ {3^{-2} }/{3^{-4} } =3^{-2-(-4)}=3^2=9 $$

Zadanie 3.

Wykaż, że liczba $$2^12+2^13+2^14$$ jest podzielna przez 7

 

$$2^12+2^12×21+2^12×2^2=2^12(1+2^1+2^2)= 2^12×7$$

Mnożymy przez 7, więc liczba jest na pewno podzielna przez 7. CNU

Spis treści

Rozwiązane zadania
Oblicz:

 


 {premium}


 


 


 


 

Udowodnij, że dla wszystkich...

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Przyprostokątne trójkąta prostokątnego pozostają

Zgodnie z podanym stosunkiem boków 5:12  długości przyprostokątnych możemy zapisać za pomocą wyrażeń algebraicznych-  wynoszą one 5x i 12x. 

Obliczmy, jak uzależniona od x jest długość przeciwprostokątej (oznaczmy ją jako c), postawiając te wyrażenia do twierdzenia Pitagorasa:

       

Znając proporcje między tymi bokami odniesione do nieznanej wielkości x, dodajemy je i przyrównujemy do obwodu.

         

Długości boków wynoszą:

Podaj miary łukowe...

 {premium}

 

 

 

 

Dane są wektory...

 

 

 

 

A. Fałsz

B. Fałsz

C. Fałsz

Skonstruuj kąt ostry α, wiedząc ...

 

Konstruujemy taki trójkąt, w którm przyprostokątna leżąca naprzeciwko kąta α ma długość równą 1 jednostkę, a przyprostokątna przyległa do tego kąta ma długość równą 3 jednostki.

Ustalmy jako 1 jednostkę 1 cm.

 

 

Konstruujemy taki trójkąt, w którm przyprostokątna leżąca naprzeciwko kąta α ma długość równą 2 jednostki, a przeciwprostokątna ma długość równą3 jednostki.

Ustalmy jako 1 jednostkę 1 cm.

 

 

Konstruujemy taki trójkąt, w którm przyprostokątna przyległa do kąta α ma długość równą 1 jednostkę, a przeciwprostokątna ma długość równą 2 jednostki.

Ustalmy jako 1 jednostkę 1 cm.

 

 

Ustalmy jako 1 jednostkę 1 cm.

W pierwszej części wyznaczymy konstrukcyjnie długość 3 cm. Zauważmy jednak, że z poprzedniej konstrukcji c) długość odcinka EC wynosi 3 cm.

Wiemy, że:

 

 

Z tw. Pitagorasa mamy:

 

 

 

 

 

Następnie skonstruujemy taki trójkąt, w którm przyprostokątna leżąca naprzeciwko kąta α ma długość równą 3 jednostki, a przyprostokątna przyległa do tego kąta ma długość równą 1 jednostkę. Ponownie zauważmy, że takie warunki spełnia trójkąt skonstruowany w punkcie c).

Kąt α zaznaczony w trójkącie CDE spełnia warunek:

 

Oblicz wartość wyrażenia. Nie korzystaj ...

 

Korzystajac z jedynki trygonometrycznej obliczmy wartość cosα:

  

  

  

 

 

 

Podstawiamy dane do początkowego wyrażenia:

 

 

  

Korzystajac z jedynki trygonometrycznej obliczmy wartość sinα:

  

  

   

 

   

 

Podstawiamy dane do początkowego wyrażenia:

 

 

Dziedziną funkcji y = f(x)...

 
Aby otrzymać wykres funkcji y = f(-x) , przekształcamy wykres funkcji y = f(x) przez symetrię względem osi y. Dziedziny obu funkcji są symetryczne względem 0.

 

A więc zbiór wartości pozostanie bez zmian z uwagi na fakt, że symetria względem osi y ma orientację poziomą, każdemu argumentowi zmienia wartość na tą, którą przyjmuje liczba przeciwna do niego.

 

 

 

 

 

 

 

 

Punkt W(2,-3) jest wierzchołkiem...

 

Korzystając z postaci kanonicznej mamy:

 

 

 

 

 

 

 

 

Podany zbiór zapisz w najprostszej ...