Zgoda na przetwarzanie danych osobowych

25 maja 2018 roku zacznie obowiązywać Rozporządzenie Parlamentu Europejskiego i Rady (UE) 2016/679 z dnia 27 kwietnia 2016 r. znane jako RODO.

Dlatego aby dalej móc dostarczać Ci materiały odpowiednie do Twojego etapu edukacji, potrzebujemy zgody na lepsze dopasowanie treści do Twojego zachowania. Dzięki temu możemy zapamiętywać jakie materiały są Ci potrzebne. Dbamy o Twoją prywatność, więc nie zwiększamy zakresu naszych uprawnień. Twoje dane są u nas bezpieczne, a zgodę na ich zbieranie możesz wycofać na podstronie polityka prywatności.

Klikając "Przejdź do Odrabiamy", zgadzasz się na wskazane powyżej działania. W przeciwnym wypadku, nie jesteśmy w stanie zrealizować usługi kompleksowo i prosimy o opuszczenie strony.

Polityka prywatności

Drogi Użytkowniku w każdej chwili masz prawo cofnąć zgodę na przetwarzanie Twoich danych osobowych. Cofnięcie zgody nie będzie wpływać na zgodność z prawem przetwarzania, którego dokonano na podstawie wyrażonej przez Ciebie zgody przed jej wycofaniem. Po cofnięciu zgody wszystkie twoje dane zostaną usunięte z serwisu. Udzielenie zgody możesz modyfikować w zakładce 'Informacja o danych osobowych'

Potęgi - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Potęgi ujemne

Z potęgą ujemną mamy do czynienia wtedy gdy wykładnik jest liczbą ujemną. Powoduje on zamianę liczby na liczbę odwrotną, czyli najprościej mówiąc zamianę licznika z mianownikiem.

Przykłady:

  • $$({1/5})^{-3}=({5/1})^{3}=125$$
  • $$({1/3})^{-4}=({3/1})^{4}=81$$

Potęgi na liczbach o ujemnym znaku:

W tym wypadku mamy dwa podobne, choć różne przypadki:

  • $$(-3)^4=(-3)×(-3)×(-3)×(-3)=81$$ //Mamy cztery minusy i one dają plus
  • $$–3^4= -(3×3×3×3)= -81 $$ //Mamy jeden minus, więc wynik to minus

Mnożenie potęg

Aby pomnożyć dwie potęgi bez ich obliczania muszą one spełnić jeden warunek:

  • Potęgi muszą mieć taką samą podstawę!

Następnie wystarczy, że przepiszemy podstawę i sumę wykładników.

Przykłady:

  • $$5^2×5^{1/2}×5^{-1}=5^{2+{1}/{2}-1}=5^{1 1/2}=5^{3/2}=√{5^3}=√{125}=5√5$$
  • $$2^5×2^{-10}×2^3×2^2=2^{5-10+3+2}=2^0=1$$

Dzielenie potęg

W tym wypadku jest prawie identycznie jak przy mnożeniu potęg, musimy także spełnić warunek:

  • Potęgi muszą mieć taką samą podstawę!

Jedyna różnica to fakt, że odejmujemy, zamiast dodawać potęgi jak przykładzie:

  • $$5^2÷5^4÷5^{-5}=5^{2-4-{(-5)} }=5^{2-4+5}=5^3=125$$

Potęgowanie potęg

W przypadku, gdy musimy zawrzeć dwie potęgi w jednej liczbie, wtedy mnożymy je ze sobą. Musimy przy tym pamiętać o odpowiednim zachowaniu znaków.

Przykład:

$${({({(1/2)}^{-1})}^{-2})}^3={1/2}^{-2×3×(-1)}={1/2}^6=1/{64}$$
 

Tworzenie nowych podstaw

Jeżeli w przykładzie (często to się zdarza) podane nie będą potęgi o tych samych wykładnikach, musimy je znaleźć.

Jedyny wymóg to zapamiętanie tzw. potęg złożonych czyli:

  • $$4=2^2$$
  • $$27=3^3$$


Przykład:

$$8^3÷2^10×16^2÷4^3$$

Każda z tych liczb w podstawie to potęga dwójki, pokażmy to:

$${(2^3)}^3÷2^10×{(2^4)}^2÷{(2^2)}^3$$

Teraz użyjmy potęgowania potęg:

$$2^9÷2^10×2^8÷2^6$$

I mnożymy oraz dzielimy:

$$2^{9-10+8-6}=2^1=2$$
 

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Oblicz
$$2^5+2^6+2^7=$$

$$2^5×(1+2+2^2)=32×7=224$$

Zadanie 2.

Oblicz:
$${ {3^5}/{3^3}×9^{-2} }/{3^3×3^5÷27^4 }=$$

Najpierw licznik (oczywiście można robić równocześnie), najpierw odejmijmy potęgi w ułamku i przekształćmy 9

$$ {3^2×{(3^2)}^{-2} }/{3^3×3^5÷27^4}= $$ Następnie potęgujemy potęgę

$$ {3^2×3^{-4} }/{3^3×3^5÷27^4 }= $$ Oraz mnożymy

$$ {3^{-2} }/{3^3×3^5÷27^4} $$ Mianownik:

Musimy tu jedynie przekształcić liczbę 27

$$ {3^{-2} }/{3^3×3^5÷{(3^3)}^4 }= $$ Następnie potęgujemy potęgę

$$ {3^{-2} }/{3^3×3^5÷3^{12} }= $$ Odpowiednio mnożymy i dzielimy

$$ {3^{-2} }/{3^{3+5-12} } = $$ I ostatnie dzielenie

$$ {3^{-2} }/{3^{-4} } =3^{-2-(-4)}=3^2=9 $$

Zadanie 3.

Wykaż, że liczba $$2^12+2^13+2^14$$ jest podzielna przez 7

 

$$2^12+2^12×21+2^12×2^2=2^12(1+2^1+2^2)= 2^12×7$$

Mnożymy przez 7, więc liczba jest na pewno podzielna przez 7. CNU

Spis treści

Rozwiązane zadania
Przedstawione na rysunku proste k, l ...

`l: y=- 1/2x+2` 

 

`k: y=-1/2x+3` 

`m:y=-1/2x` 

`n: y=-1/2x-1` 

Oblicz odległość punktu P(5,1) od ...

`P=(x_0;y_0)`

Odległość punktu P od prostej l o równaniu Ax+By+c=0 wyraża się za pomocą wzoru:

`d=|Ax_0+By_0+C|/sqrt(A^2+B^2)` 

`y=x\ implies\ x-y=0` 

`A=1` 

`B=-1` 

`P=(5;1)` 

`d=|Ax_0+By_0+C|/sqrt(A^2+B^2)=|5-1+0|/(sqrt(1^2+(-1)^2))=4/sqrt2=2sqrt2`   

`ul(d=sqrt2` 

Naszkicuj układ współrzędnych

Prosta y=ax+b przechodzi przez ...

`y=ax+b` 

`a>1/2` 

`P=(0;-1)` 

 

`-1=b` 

`y=ax-1` 

Skoro a>0 to dla dodatnich argumentów wartość funkcji f(x)=ax-1 będzie zawsze większa od -1.

Zatem punkt (3;-1) nie może należeć do wykresu opisanego wzorem y=ax-1.

 

`"Odpowiedź C."` 

 

 

 

 

Uzasadnij, że dla wszystkich różnych od siebie

Wyprowadzamy najpierw wzór na kwadrat sumy trzech składników:

`(x+y+z)^2=(x+y+z)(x+y+z)=`

`=x^2+xy+xz+yx+y^2+yz+zx+yz+z^2=`

`=x^2+y^2+z^2+2xy+2xz+2yz`

Przekształcamy wyrażenie:

`(x+y+z)^2-4(x^2+y^2+z^2)=x^2+y^2+z^2+2xy+2xz+2yz-4(x^2+y^2+z^2)=`

`=x^2+y^2+z^2+2xy+2xz+2yz-4x^2-4y^2-4z^2=2xy+2xz+2yz-3x^2-3y^2-3z^2=`

`=-x^2+2xy-y^2-y^2+2yz-z^2-z^2+2xz-x^2-x^2-y^2-z^2=`

`=-(x^2+2xy+y^2)-(y^2-2yx+z^2)-(z^2-2xz+x^2)-(x^2+y^2+z^2)=`

`=-(x-y)^2-(y-z)^2-(z-x)^2-(x^2+y^2+z^2)= -{(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2+x^2+y^2+z^2}`

Mamy sumę liczb podniesionych do kwadratu- jest to liczba dodatnia. Przed tą sumą stoi znak minus- dlatego jest to liczba ujemna.

Wpisz w miejsce kratki

`a)`

Liczba jest podzielna przez 15, jeśli jest podzielna przez 3 i przez 5. 

Liczba jest podzielna przez 5, jeśli jej ostatnią cyfrą jest 0 lub 5. 

Liczba jest podzielna przez 3, jeśli suma jej cyfr jest liczbą podzielną przez 3. 

Wstawmy więc w miejsce kwadraciku cyfrę 0 i sprawdźmy, ile wynosi wtedy suma cyfr tej liczby: 

`1+7+3+4+0=15`

Liczba 15 dzieli się przez 3, więc także liczba 17 340 dzieli się przez 3. 

 

Wstawmy w miejsce kwadraciku cyfrę 5 i sprawdźmy, ile wynosi wtedy suma cyfr tej liczby:

`1+7+3+4+5=20`

Liczba 20 nie dzieli się przez 3, więc także liczba 17 345 nie dzieli się przez 3, a więc także nie dzieli się przez 15. 

 

 

ODP: W kwadracik należy wstawić cyfrę 0. 

 

 

 

`b)`

Liczba jest podzielna przez 12, jeśli dzieli się przez 3 i przez 4. 

Liczba dzieli się przez 3, jeśli suma jej cyfr dzieli się przez 3. 

Liczba dzieli się przez 4, jeśli liczba utworzona z dwóch jej ostatnich cyfr jest liczbą podzielną przez 4. 

Sprawdźmy, ile wynosi suma cyfr podanej liczby: 

`1+5+6+2+square=14`

Aby ta suma dzieliła się przez 3, w miejsce kwadraciku możemy wstawić liczby 1, 4, 7. 

Wtedy liczby utworzone z dwóch ostatnich cyfr byłyby równe kolejno: 21, 24, 27. 

Spośród nich tylko jedna jest podzielna przez 4 - jest to liczba 24, dlatego w kwadracik należy wstawić cyfrę 4. 

 

ODP: W kwadracik należy wstawić cyfrę 4. 

 

 

 

`c)`

Liczba jest podzielna przez 18, jeśli dzieli się przez 2 i przez 9. 

Liczba jest podzielna przez 2, jeśli jej ostatnią cyfrą jest: 0, 2, 4, 6 lub 8. 

Liczba jest podzielna przez 9, jeśli suma jej cyfr jest liczbą podzielną przez 9. 

Obliczmy, ile wynosi suma cyfr podanej liczby: 

`2+3+0+7+square=12+square`

Aby ta suma była liczbą podzielną przez 9, w kwadracik należy wstawić cyfrę 6 (suma cyfr będzie wtedy równa 18). Wtedy liczba będzie się także dzieliła przez 2. 

 

ODP: W kwadracik należy wstawić cyfrę 6. 

Okrąg o środku w punkcie O ...

`a)` 

`l:x=1` 

`l:x-1=0`  

`O=(-1;4)` 

Aby wyznaczć promień okręgu stycznego do l, wystarczy wyznaczyć 

odległość środka okręgu od prostej l.

`d=|Ax_o +By_o +C|/sqrt(A^2+B^2)` 

`A=1` 

`C=-1` 

`d=|1*(-1)-1|/sqrt(1^2)=2` 

`r_O=2` 

 

`k:x=3` 

`k:x-3=0` 

`S=(1;4)`  

`r_S=|1*1-3|/sqrt(1^2)=2` 

`r_S=2` 

 

`|SO|=sqrt((-1-1)^2+(4-4)^2)=2<r_S+r_O` 

Okręgi przecinają się.  

 

`b)` 

`l:y=-2` 

`l:y+2=0` 

`O=(-3;-3)` 

`r_O=|-3+2|/sqrt(1^2)=1`    

 

`k:y=-6` 

`k:y+6=0` 

`S=(-3;-4)` 

`r_S=|-4+6|/sqrt(1^2)=2`  

 

`|SO|=sqrt((-3+3)^2+(-3+4)^2)=1=r_S-r_O` 

Okręgi są stycznie wewnętrznie.

 

`c)` 

`l:y=-x+7` 

`l:y+x-7=0` 

`O=(-2;5)` 

`r_O=|-2*1+5*1-7|/sqrt(1^2+1^2)=4/sqrt2=2sqrt2` 

 

`k:y=x+3` 

`k:y-x-3=0` 

`S=(4;-1)` 

`r_S=|4*(-1)+(-1)*1-3|/sqrt(1^2+(-1)^2)=8/sqrt2=4sqrt2` 

 

`|SO|=sqrt((-2-4)^2+(5+1)^2)=6sqrt2=r_O+r_S` 

Okręgi są styczne zewnętrznie.

Jeżeli wartość funkcji f dla argumentu...

`A. \ f(2) = 2*2 + 4 = 4 + 4=  8` 

`B. \ f(2) = 2^2 + 2 = 4 + 2 = 6 ne 8` 

Odpowiedź B

Szerokość pokoju jest o 2m mniejsza od jego długości ...

 

`x>0\ \ \ i\ \ \ x-2>0\ \ \ =>\ \ \ ul(ul(x>2))` 

`ul(ul(6<=d<=10))` 

 

Wyraźmy d w zależności od x korzystając z twierdzenia Pitagorasa:

`x^2+(x-2)^2=d^2` 

`x^2+x^2-4x+4=d^2` 

`2x^2-4x+4=d^2` 

 

`6<=d<=10` 

`36<=d^2<=100`    (możemy podnieść do kwadratu, ponieważ liczby 6, d, 10 są dodatnie, więc na pewno nie zmieni się kierunek nierówności)

 

 

`36<=d^2\ \ \ \ i\ \ \ \ d^2<=100` 

 

 

Mamy do rozwiązania dwie nierówności:

`36<=d^2` 

`d^2>=36` 

`2x^2-4x+4>=36\ \ \ |-36` 

`2x^2-4x-32>=0\ \ \ |:2` 

`x^2-2x-16>=0` 

 

`Delta=(-2)^2-4*1*(-16)=` 

`\ \ \ =4+64=68` 

`sqrtDelta=sqrt68=sqrt(4*17)=2sqrt17` 

`x_1=(2-2sqrt17)/2=1-sqrt17` 

`x_2=(2+2sqrt17)/2=1+sqrt17`           

 

`x in (-infty,\ 1-sqrt17>>\ \ uu\ \ <<1+sqrt17, +infty)\ \ \ i\ \ \ x>2\ \ \ =>\ \ \ ul(ul(x in<<1+sqrt17,\ +infty)))` 

 

 

 

Teraz rozwiązujemy drugą nierówność:

`d^2<=100` 

`2x^2-4x+4<=100\ \ \ |-100` 

`2x^2-4x-96<=0\ \ \ |:2` 

`x^2-2x-48<=0` 

 

`Delta=(-2)^2-4*1*(-48)=` 

`\ \ \ =4+192=196` 

`sqrtDelta=sqrt196=14` 

`x_1=(2-14)/2=(-12)/2=-6` 

`x_2=(2+14)/2=16/2=8` 

 

  

 

`x in <<-6,\ 8>>\ \ \ i \ \ \ x>2\ \ \ =>\ \ \ ul(ul(x in(2,\ 8>>))` 

 

 

Rozwiązanie musi spełniać obie nierówności, więc: 

`x in <<1+sqrt17,\ +infty)\ \ \ i\ \ \ x in (2,\ 8>>\ \ \ =>\ \ \ ul(ul(x in <<1+sqrt17,\ 8>>))\ \ \ \ -\ \ \ \ "długość"`  

`x-2in<<1+sqrt17-2,\ 8-2)\ \ \ =>\ \ \ ul(ul(x-2in<<sqrt17-1,\ 6)))\ \ \ -\ \ \ "szerokość"` 

Zaznacz na osi liczbowej zbiór rozwiązań

`a)`

`{(2(7-x)+1>=3-4(x-2)), (6(x+2)-5x<3x+10):}`

`{(14-2x+1>=3-4x+8), (6x+12-5x<3x+10):}`

`{(15-2x>=11-4x \ \ \ |+4x), (x+12<3x+10\ \ \ |-3x):}`

`{(15+2x>=11\ \ \ |-15), (-2x+12<10\ \ \ |-12):}`

`{(2x>=-4\ \ \ |:2), (-2x<-2\ \ \|:(-2)):}`

`{(x>=-2), (x<1):}\ \ \ =>\ \ \ x in (1;\ +infty)`

  

  

 

 

`b)`

`{(9(x+1)-7(x+1)>3(x+2)+1), (1/2(x-2)+5>=4-1 1/2x\ \ \ |*2):}`

`{(2(x+1)>3x+6+1), (x-2+10>=8-3x):}`

`{(2x+2>3x+7\ \ \ |-3x), (x+8>=8-3x\ \ \ |+3x):}`

`{(-x+2>7\ \ \ |-2), (4x+8>=8\ \ \ \|-8):}`

`{(-x>5\ \ \ |*(-1)) , (4x>=0\ \ \ |:4):}`

`{(x< -5), (x>=0):}\ \ \ =>\ \ \ "układ nie ma rozwiązań"`

  

 

 

`c)`

`{((x-2)/3>(3-x)/5-1\ \ \ |*15), ((3x-1)^2-1<=3(x-2)^2+6(x^2+3)):}`

`{(5(x-2)>3(3-x)-15), (9x^2-6x+1-1<=3(x^2-4x+4)+6x^2+18):}`

`{(5x-10>9-3x-15), (9x^2-6x<=3x^2-12x+12+6x^2+18):}`

`{(5x-10> -6-3x\ \ \ |+3x), (9x^2-6x<=9x^2-12x+30\ \ \ |-9x^2):}`

`{(8x-10> -6\ \ \ |+10), (-6x<=-12x+30\ \ \ |+12x):}`

`{(8x>4 \ \ \ |:8), (6x<=30 \ \ \ |:6):}`

`{(x>1/2), (x<=5):}\ \ \ =>\ \ \ x in (1/2;\ 5>>`

  

 

 

`d)`

`{((5-x)^2+3(x-1)^2<(2x+1)(2x-1)-3), (2(x-3)^2-(4-x)^2<5+(x+1)^2):}`

`{(25-10x+x^2+3(x^2-2x+1)<4x^2-1-3), (2(x^2-6x+9)-(16-8x+x^2)<5+x^2+2x+1):}`

`{(25-10x+x^2+3x^2-6x+3<4x^2-4), (2x^2-12x+18-16+8x-x^2<x^2+2x+6):}`

`{(4x^2-16x+28<4x^2-4\ \ \ |-4x^2), (x^2-12x+2<x^2+2x+6\ \ \ |-x^2):}`

`{(-16x+28<-4\ \ \ |-28), (-12x+2<2x+6\ \ \ |-2x):}`

`{(-16x< -32\ \ \ |:(-16)), (-14x+2<6\ \ \ |-2):}`

`{(x>2), (-14x< 4\ \ \ |:(-14)):}`

`{(x>2), (x> -2/7):}\ \ \ =>\ \ \ x in (2;\ +infty)`