Potęgi - matura-podstawowa - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Potęgi - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Potęgi ujemne

Z potęgą ujemną mamy do czynienia wtedy gdy wykładnik jest liczbą ujemną. Powoduje on zamianę liczby na liczbę odwrotną, czyli najprościej mówiąc zamianę licznika z mianownikiem.

Przykłady:

  • $({1/5})^{-3}=({5/1})^{3}=125$
  • $({1/3})^{-4}=({3/1})^{4}=81$

Potęgi na liczbach o ujemnym znaku:

W tym wypadku mamy dwa podobne, choć różne przypadki:

  • $(-3)^4=(-3)×(-3)×(-3)×(-3)=81$ //Mamy cztery minusy i one dają plus
  • $–3^4= -(3×3×3×3)= -81 $ //Mamy jeden minus, więc wynik to minus

Mnożenie potęg

Aby pomnożyć dwie potęgi bez ich obliczania muszą one spełnić jeden warunek:

  • Potęgi muszą mieć taką samą podstawę!

Następnie wystarczy, że przepiszemy podstawę i sumę wykładników.

Przykłady:

  • $5^2×5^{1/2}×5^{-1}=5^{2+{1}/{2}-1}=5^{1 1/2}=5^{3/2}=√{5^3}=√{125}=5√5$
  • $2^5×2^{-10}×2^3×2^2=2^{5-10+3+2}=2^0=1$

Dzielenie potęg

W tym wypadku jest prawie identycznie jak przy mnożeniu potęg, musimy także spełnić warunek:

  • Potęgi muszą mieć taką samą podstawę!

Jedyna różnica to fakt, że odejmujemy, zamiast dodawać potęgi jak przykładzie:

  • $5^2÷5^4÷5^{-5}=5^{2-4-{(-5)} }=5^{2-4+5}=5^3=125$

Potęgowanie potęg

W przypadku, gdy musimy zawrzeć dwie potęgi w jednej liczbie, wtedy mnożymy je ze sobą. Musimy przy tym pamiętać o odpowiednim zachowaniu znaków.

Przykład:

${({({(1/2)}^{-1})}^{-2})}^3={1/2}^{-2×3×(-1)}={1/2}^6=1/{64}$
 

Tworzenie nowych podstaw

Jeżeli w przykładzie (często to się zdarza) podane nie będą potęgi o tych samych wykładnikach, musimy je znaleźć.

Jedyny wymóg to zapamiętanie tzw. potęg złożonych czyli:

  • $4=2^2$
  • $27=3^3$


Przykład:

$8^3÷2^10×16^2÷4^3$

Każda z tych liczb w podstawie to potęga dwójki, pokażmy to:

${(2^3)}^3÷2^10×{(2^4)}^2÷{(2^2)}^3$

Teraz użyjmy potęgowania potęg:

$2^9÷2^10×2^8÷2^6$

I mnożymy oraz dzielimy:

$2^{9-10+8-6}=2^1=2$
 

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Oblicz
$2^5+2^6+2^7=$

$2^5×(1+2+2^2)=32×7=224$

Zadanie 2.

Oblicz:
${ {3^5}/{3^3}×9^{-2} }/{3^3×3^5÷27^4 }=$

Najpierw licznik (oczywiście można robić równocześnie), najpierw odejmijmy potęgi w ułamku i przekształćmy 9

$ {3^2×{(3^2)}^{-2} }/{3^3×3^5÷27^4}= $ Następnie potęgujemy potęgę

$ {3^2×3^{-4} }/{3^3×3^5÷27^4 }= $ Oraz mnożymy

$ {3^{-2} }/{3^3×3^5÷27^4} $ Mianownik:

Musimy tu jedynie przekształcić liczbę 27

$ {3^{-2} }/{3^3×3^5÷{(3^3)}^4 }= $ Następnie potęgujemy potęgę

$ {3^{-2} }/{3^3×3^5÷3^{12} }= $ Odpowiednio mnożymy i dzielimy

$ {3^{-2} }/{3^{3+5-12} } = $ I ostatnie dzielenie

$ {3^{-2} }/{3^{-4} } =3^{-2-(-4)}=3^2=9 $

Zadanie 3.

Wykaż, że liczba $2^12+2^13+2^14$ jest podzielna przez 7

 

$2^12+2^12×21+2^12×2^2=2^12(1+2^1+2^2)= 2^12×7$

Mnożymy przez 7, więc liczba jest na pewno podzielna przez 7. CNU

Spis treści

Rozwiązane zadania
Rozwiąż równanie...

Rozwiążmy podane równanie:   {premium}

 

 

 

Porównaj liczby...

Zauważmy, że:

 {premium}

 

Iloraz dwóch liczb ujemnych jest liczbą dodatnią, czyli:

 


Dla drugiej liczby:

 

 

Iloraz liczby dodatniej i liczby ujemnej jest liczbą ujemną, czyli:

 


Dowolna liczba dodatnia jest zawsze większa od dowolnej liczby ujemnej. Stąd:

 

Udowodnij, że dla dowolnych liczb dodatnich...

 

 

 

 

  

 

 

 

 

 

{premium}

 

 

 

 

 

(wiemy, że liczby a oraz b są dodatnie, więc możemy pomnożyć obie strony przez kwadrat ich sumy nie zmieniając kierunku nierówności)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  

 

  

 

Kwadrat dowolnej liczby rzeczywistej jest liczbę nieujemną, więc kwadraty wyrażeń w obu nawiasach są na pewno liczbami nieujemnymi.

Na początku założyliśmy, że  . Iloczyn dwóch liczb nieujemnych jest liczbą nieujemną,  więc iloczyny   oraz   są liczbami nieujemnymi.

Suma liczb dodatnich jest liczbą dodatnią, więc całe wyrażenie    jest nieujemne.                           

Rozwiąż równanie, stosując podstawienie ...

 

   

 

 

 

 

 

 

{premium}

 

 

     

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

    

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  

Określ monotoniczność funkcji f

Korzystamy z twierdzeń podanych na stronie 194:

1) Jeśli a>0 to funkcja liniowa f(x)=ax+b jest rosnąca.

2) Jeśli a<0, to funkcja liniowa f(x)=ax+b jest malejąca.

3) Jeśli a=0, to funkcja liniowa f(x)=ax+b jest funkcją stałą.    {premium}


a) Funkcja jest rosnąca, ponieważ  

b) Funkcja jest malejąca, ponieważ  

c) Funkcja jest rosnąca, ponieważ  

d) Funkcja jest stała, ponieważ  

Jaką liczbę należy odjąć od każdej...

 liczba, jaką należy odjąć od danych liczb


Po odjęciu różnice będą wyglądały następująco: 

 

 

 

 


Otrzymane różnice maja w podanej kolejności tworzyć proporcję, stąd: {premium}

 

Korzystając z własności proporcji, otrzymujemy:

 

 

 

 

 

 


Odp. Należy odjąć liczbę  

W trapezie suma miar kątów ostrych leżących...

Rysunek pomocniczy:

Thumb zad4.48str102


Proste  oraz  są równoległe, więc kąty  i  są odpowiadające.

Półprosta  jest dwusieczną kąta  Stąd:

 


Kąty  i  to kąty wierzchołkowe. Stąd:

 


Oznacza to, że trójkąt  jest równoramienny. Zatem:{premium}

 


Proste  oraz  są równoległe, więc kąty  i  są odpowiadające.

Półprosta  jest dwusieczną kąta  Stąd:

 


Kąty  i  to kąty wierzchołkowe. Stąd:

 


Oznacza to, że trójkąt  jest równoramienny. Zatem:

 


Otrzymujemy więc, że:

 

czyli, że trapez  jest równoramienny.


Stąd:

 

 


Wiemy, że suma miar kątów ostrych leżących przy dłuższej podstawie trapezu wynosi  Stąd:

 

 

 


Suma miar kątów przy jednym ramieniu trapezu wynosi  Stąd:

 

 

 


Odp. Miary kątów trapezu to:  

Określ monotoniczność funkcji...

 

wierzchołek tej funkcji ma współrzędne (7, 0) oraz ramiona paraboli są skierowane w górę, zatem:  {premium}

podana funkcja jest rosnąca w przedziale:

 

podana funkcja jest malejąca w przedziale:

 


 

Obliczmy pierwszą współrzędną wierzchołka paraboli:

 

ramiona paraboli są skierowane w dół, zatem

podana funkcja jest rosnąca w przedziale:

 

podana funkcja jest malejąca w przedziale:

 

a) Liczby a i b są różnymi rozwiązaniami...

a) Równanie kwadratowe ma dwa różne rozwiązania, gdy{premium} wyróżnik Δ jest dodatni: 

 

 

 

Powyższy warunek niewiele nam mówi, więc zostawimy go w takiej postaci i na koniec sprawdzimy, czy otrzymane rozwiązania a i b są różne.


Liczba a jest rozwiązaniem równania, gdy:

 

 

 

 

Zakładamy, że a≠0, bo dla a=0 oba rozwiązania będą równe 0, czyli też równe sobie.


Liczba b jest rozwiązaniem równania, gdy:

 

Podstawiamy b=-2a2.

 

 

 

 

 


Obliczamy b dla wyznaczonych wartości a:

  •  

 

Dla a=-1/2 liczby a i b nie są różne, więc a=-1/2 nie spełnia warunków zadania.

  •  

 

Dla formalności sprawdzamy, czy warunek wynikający z nierówności Δ>0 jest spełniony:

 

 

 

 




b) Równanie kwadratowe ma dwa rozwiązania, gdy wyróżnik Δ jest nieujemny: 

 

 

 

 

 


Liczba a jest rozwiązaniem równania, gdy:

 

 

 


Liczba b jest rozwiązaniem równania, gdy:

 

 

 

 

Równanie (1) nie spełnia warunków zadania, ponieważ szukamy rozwiązań różnych od zera.

Podstawiamy b=-a3-a do równania (2) i wyznaczamy z niego a:

 

 

 

Podstawiamy a2=t, t≥0.

 

 

 

 

Ujemną wartość t odrzucamy, a dla t=1 wracamy z podstawieniem do zmiennej a.

 

 


Dla wyznaczonych wartości a obliczamy b:

  • dla a=1:

 

Sprawdzamy, czy jest spełniony warunek wynikający z nierówności Δ≥0:

 

 

 

`L lt P` 

  • dla a=-1:

 

Sprawdzamy, czy jest spełniony warunek wynikający z nierówności Δ≥0:

 

 

 

`L lt P` 


 

Franek i Ania płynęli łodzią motorową. Pierwszą

Gdyby całą drogę wiosłowali to podróż zajęłaby 6 h i 40 min, zatem połowa tej drogi zajęłaby im wtedy:

{premium}

Zatem połowa drogi, podczas wyprawy 5-godzinnej, kiedy wiosłowali, również zajęła 3 h 20 min, a pozostały czas, czyli czas przebycia drugiej części drogi łodzią motorową, to reszta czasu tej podróży: