Zgoda na przetwarzanie danych osobowych

25 maja 2018 roku zacznie obowiązywać Rozporządzenie Parlamentu Europejskiego i Rady (UE) 2016/679 z dnia 27 kwietnia 2016 r. znane jako RODO.

Dlatego aby dalej móc dostarczać Ci materiały odpowiednie do Twojego etapu edukacji, potrzebujemy zgody na lepsze dopasowanie treści do Twojego zachowania. Dzięki temu możemy zapamiętywać jakie materiały są Ci potrzebne. Dbamy o Twoją prywatność, więc nie zwiększamy zakresu naszych uprawnień. Twoje dane są u nas bezpieczne, a zgodę na ich zbieranie możesz wycofać na podstronie polityka prywatności.

Klikając "Przejdź do Odrabiamy", zgadzasz się na wskazane powyżej działania. W przeciwnym wypadku, nie jesteśmy w stanie zrealizować usługi kompleksowo i prosimy o opuszczenie strony.

Polityka prywatności

Drogi Użytkowniku w każdej chwili masz prawo cofnąć zgodę na przetwarzanie Twoich danych osobowych. Cofnięcie zgody nie będzie wpływać na zgodność z prawem przetwarzania, którego dokonano na podstawie wyrażonej przez Ciebie zgody przed jej wycofaniem. Po cofnięciu zgody wszystkie twoje dane zostaną usunięte z serwisu. Udzielenie zgody możesz modyfikować w zakładce 'Informacja o danych osobowych'

Potęgi - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Potęgi ujemne

Z potęgą ujemną mamy do czynienia wtedy gdy wykładnik jest liczbą ujemną. Powoduje on zamianę liczby na liczbę odwrotną, czyli najprościej mówiąc zamianę licznika z mianownikiem.

Przykłady:

  • $$({1/5})^{-3}=({5/1})^{3}=125$$
  • $$({1/3})^{-4}=({3/1})^{4}=81$$

Potęgi na liczbach o ujemnym znaku:

W tym wypadku mamy dwa podobne, choć różne przypadki:

  • $$(-3)^4=(-3)×(-3)×(-3)×(-3)=81$$ //Mamy cztery minusy i one dają plus
  • $$–3^4= -(3×3×3×3)= -81 $$ //Mamy jeden minus, więc wynik to minus

Mnożenie potęg

Aby pomnożyć dwie potęgi bez ich obliczania muszą one spełnić jeden warunek:

  • Potęgi muszą mieć taką samą podstawę!

Następnie wystarczy, że przepiszemy podstawę i sumę wykładników.

Przykłady:

  • $$5^2×5^{1/2}×5^{-1}=5^{2+{1}/{2}-1}=5^{1 1/2}=5^{3/2}=√{5^3}=√{125}=5√5$$
  • $$2^5×2^{-10}×2^3×2^2=2^{5-10+3+2}=2^0=1$$

Dzielenie potęg

W tym wypadku jest prawie identycznie jak przy mnożeniu potęg, musimy także spełnić warunek:

  • Potęgi muszą mieć taką samą podstawę!

Jedyna różnica to fakt, że odejmujemy, zamiast dodawać potęgi jak przykładzie:

  • $$5^2÷5^4÷5^{-5}=5^{2-4-{(-5)} }=5^{2-4+5}=5^3=125$$

Potęgowanie potęg

W przypadku, gdy musimy zawrzeć dwie potęgi w jednej liczbie, wtedy mnożymy je ze sobą. Musimy przy tym pamiętać o odpowiednim zachowaniu znaków.

Przykład:

$${({({(1/2)}^{-1})}^{-2})}^3={1/2}^{-2×3×(-1)}={1/2}^6=1/{64}$$
 

Tworzenie nowych podstaw

Jeżeli w przykładzie (często to się zdarza) podane nie będą potęgi o tych samych wykładnikach, musimy je znaleźć.

Jedyny wymóg to zapamiętanie tzw. potęg złożonych czyli:

  • $$4=2^2$$
  • $$27=3^3$$


Przykład:

$$8^3÷2^10×16^2÷4^3$$

Każda z tych liczb w podstawie to potęga dwójki, pokażmy to:

$${(2^3)}^3÷2^10×{(2^4)}^2÷{(2^2)}^3$$

Teraz użyjmy potęgowania potęg:

$$2^9÷2^10×2^8÷2^6$$

I mnożymy oraz dzielimy:

$$2^{9-10+8-6}=2^1=2$$
 

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Oblicz
$$2^5+2^6+2^7=$$

$$2^5×(1+2+2^2)=32×7=224$$

Zadanie 2.

Oblicz:
$${ {3^5}/{3^3}×9^{-2} }/{3^3×3^5÷27^4 }=$$

Najpierw licznik (oczywiście można robić równocześnie), najpierw odejmijmy potęgi w ułamku i przekształćmy 9

$$ {3^2×{(3^2)}^{-2} }/{3^3×3^5÷27^4}= $$ Następnie potęgujemy potęgę

$$ {3^2×3^{-4} }/{3^3×3^5÷27^4 }= $$ Oraz mnożymy

$$ {3^{-2} }/{3^3×3^5÷27^4} $$ Mianownik:

Musimy tu jedynie przekształcić liczbę 27

$$ {3^{-2} }/{3^3×3^5÷{(3^3)}^4 }= $$ Następnie potęgujemy potęgę

$$ {3^{-2} }/{3^3×3^5÷3^{12} }= $$ Odpowiednio mnożymy i dzielimy

$$ {3^{-2} }/{3^{3+5-12} } = $$ I ostatnie dzielenie

$$ {3^{-2} }/{3^{-4} } =3^{-2-(-4)}=3^2=9 $$

Zadanie 3.

Wykaż, że liczba $$2^12+2^13+2^14$$ jest podzielna przez 7

 

$$2^12+2^12×21+2^12×2^2=2^12(1+2^1+2^2)= 2^12×7$$

Mnożymy przez 7, więc liczba jest na pewno podzielna przez 7. CNU

Spis treści

Rozwiązane zadania
Punkty A, B, C, D są położone...

`stackrel(->)(AB) - stackrel(->)(CB) - stackrel(->)(DC) = stackrel(->)(0)` 

`stackrel(->)(AB) + stackrel(->)(BC) + stackrel(->)(CD) = stackrel(->)(0)` 

`stackrel(->)(AC) + stackrel(->)(CD) = stackrel(->)(0)` 

`stackrel(->)(AD) = stackrel(->)(0)` 

Skoro AD jest równy wektorowi zerowemu to znaczy, że odległość pomiędzy punktami A i D jest zerowa, a więc:

`A = D` 

Na podstawie wykresu funkcji...

Rysunek poglądowy:

`y = x^2+3x-2` 

`Delta = 9-4*1*(-2) = 9 + 8 = 17` 

`sqrtDelta = sqrt17` 

`x_1 = (-3-sqrt17)/2 \ \ vv \ \ x_2 = (-3+sqrt17)/2` 

 

`p = (-b)/(2a) = -3/2` 

 

Dziedzina:

`D = R` 

Zbiór wartości:

`Z_w = [0, oo)` 

Miejsca zerowe:

`(-3-sqrt17)/2 \ , \ (-3+sqrt17)/2` 

Funkcja maleje dla:

`x in (-oo, (-3-sqrt17)/2] \ "i" \ [3/2, (-3+sqrt17)/2)` 

Funkcja rośnie dla:

`x in [(-3-sqrt17)/2 , -3/2] \ "i" \ [(-3+sqrt17)/2, oo)` 

Oś symetrii:

`x = -3/2` 

 

Korzystając z wykresu funkcji f(x) ...

Obliczmy współrzędne kilku punktów należących do wykresu funkcji f(x)

 

`f(-2)=-1/2*(-2)^3=-1/2*(-8)=4`

`f(-1)=-1/2*(-1)^3=-1/2*(-1)=1/2`

`f(0)=-1/2*0^3=-1/2*0=0`

`f(1)=-1/2*1^3=-1/2*1=-1/2`

`f(2)=-1/2*2^3=-1/2*8=-4`

 

 

Aby otrzymać wykres funkcji y=-f(x) wystarczy odbić wykres funkcji f symetrycznie względem osi x.

Aby otrzymać wykres funkcji y=f(-x) wystarczy odbić wykres funkcji f symetrycznie względem osi y.

 

 

Na rysunku obok przedstawiono wykres funkcji

Na początku zauważmy, że cecha z dowolnej liczby całkowitej jest równa tej liczbie:

`"Jeśli"\ x in C,\ "to"\ [x]=x.` 

 

Dzięki temu otrzymujemy, że dla dowolnej liczby całkowitej funkcja g przyjmuje wartość 0:

`"Jeśli"\ x in C,\ "to"\ g(x)=x-[x]=x-x=0.` 

 

Dalej, zauważmy, że zbiorem wartości funkcji g będzie przedział <0, 1). Wynika to stąd, że funkcja g opisuje różnicę między liczbą a częścią całkowitą tej liczby. Taka różnica to po prostu część ułamkowa liczby. Dla liczb całkowitych, jak zauważyliśmy wcześniej, ta część ułamkowa jest równa 0. Obrazują to poniższe przykłady:

`g(3)=3-[3]=3-3=0` 

`g(3 1/4)=3 1/4-[3 1/4]=3 1/4-3=1/4` 

`g(1 1/2)=1 1/2-[1 1/2]=1 1/2-1=1/2` 

`g(-5 3/4)=-5 3/4-[-5 3/4]=-5 3/4-(-6)=-5 3/4+6=1/4` 

`g(-2 1/5)=-2 1/5-[-2 1/5]=-2 1/5-(-3)=-2 1/5+3=4/5` 

Część ułamkowa nigdy nie osiągnie wartości 1 (bo wtedy mamy już całość, a nie ułamek). 

 

Dodatkowo, funkcja g jest rosnąca w każdym przedziale postaci <x, x+1), gdzie x oznacza liczbę całkowitą. Wynika to stąd, że jeśli mamy dwie liczby o takiej samej części całkowitej, to im większa liczba, tym większa jej część ułamkowa. 

Wykres będzie więc wyglądał następująco:

Oblicz

`a)\ 6/strike1000^10*strike400^4=` `24/10=2,4`  

`b)\ 15/strike1000^100*strike120^12=` `(15*12)/100=180/100=18/10=1,8` 

`c)\ (0,5)/1000*64=` `5/10000*64=` `320/10000=32/1000=0,032` 

`d)\ (20,5)/1000*8=` `164/1000=0,164`           

Rozwiąż równania.

`a)`  

`x(x-5)=2x(x-1)`

`x^2-5x-2x^2+2x=0`

`-x^2-3x=0`  

`x(-x-3)=0`

 

`x=0\ \ \vee\ \ \x=-3` 

`x in {0;-3}` 

 

`b)` 

`2(1-5x)=(1-x)^2`

`2-10x-(1-x)^2=0`

`2-10x-1+2x-x^2=0`

`-x^2-8x+1=0`  

`Delta=64+4=68`

`sqrt(Delta)=2sqrt(17)`

 

`x_1=(8-2sqrt(17))/-2=sqrt(17)-4`  

`x_2=(8+2sqrt(17))/-2=-sqrt(17)-4` 

`x in {sqrt17-4;-sqrt17-4}` 

 

`c)`   

`(x^2+4)/5=(1-x)/2`

`2(x^2+4)=5(1-x)`  

`2x^2+8-5+5x=0`

`2x^2+5x+3=0`

`Delta=25-4*2*3=1`

`sqrt(Delta)=1`

 

`x_1=(-5-1)/4=-3/2`

`x_2=(-5+1)/4=-1` 

`x in {-3/2;-1}` 

 

`d)` 

`(x+1)^2/3=(x+4)^2/7-1`

`7(x+1)^2=3(x+4)^2-21`

`7(x^2+2x+1)=3(x^2+8x+16)-21`  

`7x^2+14x+7=3x^2+24x+48-21`

`4x^2-10x-20=0`

`2x^2-5x-10=0`

`Delta=25+80=105`

`sqrt(Delta)=sqrt(105)`

 

`x_1=(5-sqrt(105))/4`

`x_2=(5+sqrt(105))/4` 

`x in {(5-sqrt105)/4;(5+sqrt105)/4}` 

Zbiorem wartości funkcji f(x) jest zbiór

Musimy znaleźć argumenty, dla których funkcja przyjmuje podane wartości. Dziedziną funkcji f jest zbiór liczb rzeczywistych. 

`f(x)=-2`

`2-3x=-2\ \ \ |-2`

`-3x=-4\ \ \ |:(-3)`

`x=4/3`

 

 

`f(x)=-1`

`2-3x=-1\ \ \ |-2`

`-3x=-3\ \ \ |:(-3)`

`x=1`

 

 

`f(x)=0`

`2-3x=0\ \ \ |-2`

`-3x=-2\ \ \ |:(-3)`

`x=2/3`

 

 

 

`f(x)=1`

`2-3x=1\ \ \ |-2`

`-3x=-1\ \ \|:(-3)`

`x=1/3`

 

 

`f(x)=2`

`2-3x=2\ \ \ |-2`

`-3x=0\ \ \ |:(-3)`

`x=0`

 

 

`f(x)=3`

`2-3x=3\ \ \ |-2`

`-3x=1\ \ \ |:(-3)`

`x=-1/3`

 

Zapisujemy dziedzinę funkcji: 

`D={4/3,\ 1,\ 2/3,\ 1/3,\ 0,\ -1/3}`

Określ monotoniczność funkcji f

`a)\ a=0,003>0\ \ \ -\ \ \ "rosnąca"`

`c)\ a=3,14-pi~~3,14-3,14159...<0\ \ \ -\ \ \ "malejąca"`

`d)\ a=0\ \ \ -\ \ \ "stała"`

`e)\ a=-1/(sqrt3-3)=1/(3-sqrt3)~~1/(3-1,73)>0\ \ \ -\ \ \ "rosnąca"`

`f)\ a=1/2-1/sqrt2=sqrt2/(2sqrt2)-2/(2sqrt2)=(sqrt2-2)/(2sqrt2)~~(1,41-2)/(2*1,41)<0\ \ \ -\ \ \ "malejąca"`

 ` `  

` `

Korzystając z tożsamości trygonometrycznych, oblicz pozostałe...

Wiemy, że jeżeli  `alpha` jest kątem ostrym, to wartości sinusa, cosinusa i tangensa kąta `alpha` są dodatnie.

Będziemy korzystać z jedynki trygonometrycznej -> otrzymamy dwa rozwiązania - jedno dodatnie i jedno ujemne. 

Ujemne odrzucimy zgodnie z powyższym. 

`"a)"\ cosalpha=sqrt11/5` 

`sin^2alpha+cos^2alpha=1` 

`sin^2alpha=1-cos^2alpha` 

`sin^2alpha=1-11/25` 

`sin^2alpha=14/25` 

`sinalpha=sqrt14/5\ vv\ sinalpha=-sqrt14/5< 0-` to odrzucamy

Dla `sinalpha=sqrt14/5` obliczamy tangens kąta `alpha.` 

`"tg"alpha=sinalpha/cosalpha=(sqrt14/5)/(sqrt11/5)=sqrt14/5*5/sqrt11=sqrt14/sqrt11*sqrt11/sqrt11=sqrt154/11` 

Otrzymaliśmy:

`sinalpha=sqrt14/5` 

`"tg"alpha=sqrt154/11` 

 

`"b)"\ sinalpha=sqrt3/8`              

`sin^2alpha+cos^2alpha=1` 

`cos^2alpha=1-sin^2alpha` 

`cos^2alpha=1-3/64` 

`cos^2alpha=61/64` 

`cosalpha=sqrt61/8\ vv\ cosalpha=-sqrt61/8< 0-` odrzucamy

Dla `cosalpha=sqrt61/8` obliczamy tangens kąta `alpha.` 

`"tg"alpha=sinalpha/cosalpha=(sqrt3/8)/(sqrt61/8)=sqrt3/8*8/sqrt61=sqrt3/sqrt61*sqrt61/sqrt61=(sqrt183)/61` 

Otrzymaliśmy:

`cosalpha=sqrt61/8` 

`"tg"alpha=(sqrt183)/61` 

 

`"c)"\ "tg"alpha=7/3` 

`sinalpha/cosalpha=7/3` 

`sinalpha=7/3cosalpha` 

Zapisujemy jedynkę trygonometryczną i wstawiamy w miejsce sinusa wyżej wyznaczoną wartość.

`sin^2alpha+cos^2alpha=1`     

`(7/3cosalpha)^2+cos^2alpha=1` 

`49/9cos^2alpha+cos^2alpha=1` 

`58/9cos^2alpha=1\ "/"*9/58` 

`cos^2alpha=9/58` 

`cosalpha=3/sqrt58\ vv\ cosalpha=-3/sqrt58< 0-` odrzucamy 

Dla `cosalpha=2/sqrt5` obliczamy sinus kąta `alpha.` 

`sinalpha=7/3cosalpha` 

`sinalpha=7/3*3/sqrt58=7/sqrt58` 

Otrzymaliśmy:

`sinalpha=7/sqrt58*sqrt58/sqrt58=(7sqrt58)/58` 

`cosalpha=3/sqrt58*sqrt58/sqrt58=(3sqrt58)/58` 

 

`"d)"\ "tg"alpha=5` 

`sinalpha/cosalpha=5` 

`sinalpha=5cosalpha` 

Zapisujemy jedynkę trygonometryczną i wstawiamy w miejsce sinusa wyżej wyznaczoną wartość.

`sin^2alpha+cos^2alpha=1`     

`(5cosalpha)^2+cos^2alpha=1` 

`25cos^2alpha+cos^2alpha=1` 

`26cos^2alpha=1\ "/":26` 

`cos^2alpha=1/26` 

`cosalpha=1/sqrt26\ vv\ cosalpha=-1/sqrt26< 0-` odrzucamy 

Dla `cosalpha=1/sqrt26` obliczamy sinus kąta `alpha.` 

`sinalpha=5cosalpha` 

`sinalpha=5*1/sqrt26=5/sqrt26` 

Otrzymaliśmy:

`sinalpha=5/sqrt26*sqrt26/sqrt26=(5sqrt26)/26` 

`cosalpha=1/sqrt26*sqrt26/sqrt26=sqrt26/26` 

Do wykresu funkcji

Musimy sprawdzić, które z podanych współrzędnych spełniają równanie prostej. 

Te punkty należą do wykresu funkcji f. 

 

 

`A.\ f(sqrt3+sqrt2)=(sqrt3-sqrt2)*(sqrt3+sqrt2)-1=sqrt3^2-sqrt2^2-1=3-2-1=0` 

`B.\ f(sqrt3-sqrt2)=(sqrt3-sqrt2)*(sqrt3-sqrt2)-1=(sqrt3-sqrt2)^2-1=sqrt3^2-2*sqrt3*sqrt2+sqrt2^2-1=3-2sqrt6+2-1=4-2sqrt6` 

`C.\ f(sqrt3)=(sqrt3-sqrt2)*sqrt3-1=3-sqrt6-1=2-sqrt6ne3-sqrt6` 

`D.\ f(sqrt2)=(sqrt3-sqrt2)*sqrt2-1=sqrt6-2-1=sqrt6-3` 

 

Należy zaznaczyć odpowiedź C.