Potęgi - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Potęgi ujemne

Z potęgą ujemną mamy do czynienia wtedy gdy wykładnik jest liczbą ujemną. Powoduje on zamianę liczby na liczbę odwrotną, czyli najprościej mówiąc zamianę licznika z mianownikiem.

Przykłady:

  • $$({1/5})^{-3}=({5/1})^{3}=125$$
  • $$({1/3})^{-4}=({3/1})^{4}=81$$

Potęgi na liczbach o ujemnym znaku:

W tym wypadku mamy dwa podobne, choć różne przypadki:

  • $$(-3)^4=(-3)×(-3)×(-3)×(-3)=81$$ //Mamy cztery minusy i one dają plus
  • $$–3^4= -(3×3×3×3)= -81 $$ //Mamy jeden minus, więc wynik to minus

Mnożenie potęg

Aby pomnożyć dwie potęgi bez ich obliczania muszą one spełnić jeden warunek:

  • Potęgi muszą mieć taką samą podstawę!

Następnie wystarczy, że przepiszemy podstawę i sumę wykładników.

Przykłady:

  • $$5^2×5^{1/2}×5^{-1}=5^{2+{1}/{2}-1}=5^{1 1/2}=5^{3/2}=√{5^3}=√{125}=5√5$$
  • $$2^5×2^{-10}×2^3×2^2=2^{5-10+3+2}=2^0=1$$

Dzielenie potęg

W tym wypadku jest prawie identycznie jak przy mnożeniu potęg, musimy także spełnić warunek:

  • Potęgi muszą mieć taką samą podstawę!

Jedyna różnica to fakt, że odejmujemy, zamiast dodawać potęgi jak przykładzie:

  • $$5^2÷5^4÷5^{-5}=5^{2-4-{(-5)} }=5^{2-4+5}=5^3=125$$

Potęgowanie potęg

W przypadku, gdy musimy zawrzeć dwie potęgi w jednej liczbie, wtedy mnożymy je ze sobą. Musimy przy tym pamiętać o odpowiednim zachowaniu znaków.

Przykład:

$${({({(1/2)}^{-1})}^{-2})}^3={1/2}^{-2×3×(-1)}={1/2}^6=1/{64}$$
 

Tworzenie nowych podstaw

Jeżeli w przykładzie (często to się zdarza) podane nie będą potęgi o tych samych wykładnikach, musimy je znaleźć.

Jedyny wymóg to zapamiętanie tzw. potęg złożonych czyli:

  • $$4=2^2$$
  • $$27=3^3$$


Przykład:

$$8^3÷2^10×16^2÷4^3$$

Każda z tych liczb w podstawie to potęga dwójki, pokażmy to:

$${(2^3)}^3÷2^10×{(2^4)}^2÷{(2^2)}^3$$

Teraz użyjmy potęgowania potęg:

$$2^9÷2^10×2^8÷2^6$$

I mnożymy oraz dzielimy:

$$2^{9-10+8-6}=2^1=2$$
 

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Oblicz
$$2^5+2^6+2^7=$$

$$2^5×(1+2+2^2)=32×7=224$$

Zadanie 2.

Oblicz:
$${ {3^5}/{3^3}×9^{-2} }/{3^3×3^5÷27^4 }=$$

Najpierw licznik (oczywiście można robić równocześnie), najpierw odejmijmy potęgi w ułamku i przekształćmy 9

$$ {3^2×{(3^2)}^{-2} }/{3^3×3^5÷27^4}= $$ Następnie potęgujemy potęgę

$$ {3^2×3^{-4} }/{3^3×3^5÷27^4 }= $$ Oraz mnożymy

$$ {3^{-2} }/{3^3×3^5÷27^4} $$ Mianownik:

Musimy tu jedynie przekształcić liczbę 27

$$ {3^{-2} }/{3^3×3^5÷{(3^3)}^4 }= $$ Następnie potęgujemy potęgę

$$ {3^{-2} }/{3^3×3^5÷3^{12} }= $$ Odpowiednio mnożymy i dzielimy

$$ {3^{-2} }/{3^{3+5-12} } = $$ I ostatnie dzielenie

$$ {3^{-2} }/{3^{-4} } =3^{-2-(-4)}=3^2=9 $$

Zadanie 3.

Wykaż, że liczba $$2^12+2^13+2^14$$ jest podzielna przez 7

 

$$2^12+2^12×21+2^12×2^2=2^12(1+2^1+2^2)= 2^12×7$$

Mnożymy przez 7, więc liczba jest na pewno podzielna przez 7. CNU

Spis treści

Rozwiązane zadania
Zaznacz dany zbiór

Najmniejsza wartość funkcji...

Sprawdźmy czy odcięta wierzchołka należy do badanego przedziału:

`x_w = p = (-b)/(2a) = (-(-2))/2 = 1` 

`p in [-1, 4]` 

oraz ramiona paraboli są skierowane ku górze to znaczy, że w wierzchołku mamy wartość najmniejszą, zatem:

`f(1) = 1^2 - 2*1 - 24 = 1 - 2 - 24 = -25` 

Odpowiedź D

Sześćdziesięciu dwóch uczniów klas ...

I SPOSÓB ROZWIĄZANIA

Oznaczmy dane:

M- zbiór maturzystów

H- zbiór maturzystów zdających historie

B- zbiór maturzystów zdających biologie

G- zbiór maturzystów zdających geografie

 

Zestawmy podane dane w tabeli:

Zbiór Liczba elementów tego zbioru
M 62
H 37
B 40
G 21
B 20
G 14
G 10
G 8

 

Powyższe zbiory się jednak w sobie zawierają, zatem nie można określić, czy każdy maturzysta zdawał przedmiot dodatkowy. Obliczmy teraz liczbę elementów zbiorów bardziej uszczegółowionych:

Zbiór Liczba elementów zbioru

`(BnnG)\\(HnnBnnG)`

Maturzyści zdający biologię i geografię, ale nie zdający historii.

10-8=2

`(HnnG)\\(HnnBnnG)`

Maturzyści zdający historię  i geografię, ale nie zdający biologii.
14-8=6

`(HnnB)\\(HnnBnnG)`

Maturzyści zdający historię i biologię, ale nie zdający geografii.
20-8=12

`B\\[((HnnB)\\(HnnBnnG)) uu((BnnG)\\(HnnBnnG))uu(HnnBnnG)]`

Maturzyści zdający tylko biologię (musimy wykluczyć wszystkich maturzystów zdających biologię którzy jednocześnie zdawali historię lub jednocześnie zdawali geografię lub to i to).

 40-(12+2+8)=18

`H\\[((HnnB)\\(HnnBnnG)) uu((HnnG)\\(HnnBnnG))uu(HnnBnnG)]`

Maturzyści zdający tylko historię (musimy wykluczyć wszystkich maturzystów zdających historię którzy jednocześnie zdawali biologię lub jednocześnie zdawali geografię lub to i to).
 37-(6+12+8)=11

`G\\[((GnnB)\\(HnnBnnG)) uu((HnnG)\\(HnnBnnG))uu(HnnBnnG)]`

Maturzyści zdający tylko geografię (musimy wykluczyć wszystkich maturzystów zdających geografię którzy jednocześnie zdawali biologię lub jednocześnie zdawali historię lub to i to).
 21-(2+6+8)=5

Sumujemy maturzystów zdających cokolwiek, czyli:

  • zdających geografię, biologię i historię-8
  • zdających biologię i geografię- 2
  • zdających historię i geografię- 6
  • zdających biologię i historię -12
  • zdających tylko biologię 18
  • zdających tylko geografię 5
  • zdających tylko historię 11

 8+2+6+12+18+5+11=62

Tyle osób zdawało maturę w dowolnym z wymienionych obok wariantów. Jest to liczba która zgadza się z liczbą wszystkich maturzystów, zatem każdy z uczniów zdawał maturę z dodatkowego przedmiotu.

 

II SPOSÓB ROZWIĄZANIA- ZA POMOCĄ GRAFU

 

Spisujemy wyniki uzyskane w grafie:

  • zdających geografię, biologię i historię-8
  • zdających biologię i geografię- 2
  • zdających historię i geografię- 6
  • zdających biologię i historię -12
  • zdających tylko biologię 18
  • zdających tylko geografię 5
  • zdających tylko historię 11

 8+2+6+12+18+5+11=62

Tyle osób zdawało maturę w dowolnym z wymienionych wyżej wariantów. Jest to liczba, która zgadza się z liczbą wszystkich maturzystów, zatem każdy z uczniów zdawał maturę z dodatkowego przedmiotu.

Do banku A wpłaciliśmy 8000 złotych na lokatę

Jeśli oprocentowanie w banku B jest o 1,5 punktu procentowego wyższe niż w banku A, to w banku B zarobilibyśmy więcej o 1,5% z kwoty 8000 zł. 

 

`1,5%*8000=(1,5)/strike100^1*strike8000^80=` `1,5*80=120\ "zł"` 

Sporządź odpowiednią tabelę ...

`a)` 

                                   

`"ZW":\ y in\ <-5,5>` 

`"MZ - miejsca zerowe"` 

`"MZ":\ x=3/2` 

 

`b)` 

`"ZW:"\ y in \ <5,-2>` 

`"MZ":\ x=1` 

 

`c)` 

`"ZW":\ y in\ <-1,8>`

`"MZ":\ x=-1,\ \ \x=1` 

 

`d)` 

 

`"ZW":\ y in\ <-2,4>` 

`"MZ":\ x=-2,\ \ \x=2`  

Do zbioru wartości funkcji ...

`f(x)=-2(x-1)^2-3/2`` `

`ZW=(-oo;-3 /2]`  

`-sqrt2~~-1,41` 

`-sqrt2 > -3/2 ` 

`-sqrt2 notin (-oo;-3/2]`

 

`"Odpowiedź B."`

Wykres funkcji y=2x+9

Jeśli wykres funkcji y=2x+9 jest symetryczny względem osi x do wykresu funkcji f, to:

`y=-f(x)`

 

Czyli:

`f(x)=-y=-(2x+9)=-2x-9`

 

 

Jeśli wykres funkcji y=2x+9 jest symetryczny względem osi y do wykresu funkcji g, to:

`y=g(-x)`

 

Zauważmy, że:

`y=2x+9=-2*(-x)+9\ \ \ =>\ \ \ g(x)=-2x+9`

Pole jednej kratki jest równe 1. Oblicz pola

Pole jednej kratki wynosi 1. Obliczamy bok tej kratki:

`a*a=1`              `i`       `a>0`

`a=1`

Dzielimy figury na prostsze i obliczamy pole każdej z nich.

a)

`P_1= ((a+b)*h)/2=((5+2)*2)/2= 7`

`P_2= 1*5=5`

`P_3=P_1=7`

`P_1+P_2+P_3=7+5+7=ul(ul19)`

b)

`P_1=1/2a*h=1/2*1*6=3`

`P_2=((a+b)*h)/2= ((3+4)*3)/2= 10,5`

`P_3=1/2a*h=1/2*4*3=6`

`P_4=1/2a*h=1/2*1*4=2`

`P_1+P_2+P_3+P_4=ul(ul(21,5))`

c)

,,Odcinamy" pewne cześci i składamy nową figurę (jak w przykładzie na stronie 196)

Części figury ponumerowano tylko po to, aby było widoczne gdzie je przeniesiono:

`P=6*4=ul(ul24)`

d)

`P_(1,2)=((a+b)*h)/2=((2+4)*3)/2=9`

`P_(3,4)=2*4=8`

`P=9+8=ul(ul17)`

 

Cięciwy AB i CD przecinają się w punkcie ...

Kąty DMA oraz CMB są katami wierzchołkowymi, więc mają równe miary. Oznaczmy te miary jako α.

`|/_DMA|=|/_CMB|=alpha` 

Kąty wpisane DAB oraz DCB wyznaczone są przez te same łuki, więc mają równe miary. Oznaczmy te miary jako ß.

`|/_DAB|=|/_CMB|=beta` 

Trójkaty DMA oraz CMB są trójkątami podobnymi z cechy kąt kąt kąt (mają dwa kąty równej miary).

Trójkąty są podobne, więc długości odpowiadających sobie odcinków są proporcjonalne.

`|MA|/|MC|=|MD|/|MB|` 

`|MA|*|MB|=|MC|*|MD|` 

Całkowita granica Polski wynosi 3511 km.

Linia graniczna z Czechami:

`(796km)/(3511km) * 100%~~22,672%`

 

Linia graniczna z Litwą:

`(104km)/(3511km)*100%~~2,962 %`

 

Granica morska:

`(440 km)/(3511km)*100%~~12,532%`