Potęgi - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Potęgi ujemne

Z potęgą ujemną mamy do czynienia wtedy gdy wykładnik jest liczbą ujemną. Powoduje on zamianę liczby na liczbę odwrotną, czyli najprościej mówiąc zamianę licznika z mianownikiem.

Przykłady:

  • $$({1/5})^{-3}=({5/1})^{3}=125$$
  • $$({1/3})^{-4}=({3/1})^{4}=81$$

Potęgi na liczbach o ujemnym znaku:

W tym wypadku mamy dwa podobne, choć różne przypadki:

  • $$(-3)^4=(-3)×(-3)×(-3)×(-3)=81$$ //Mamy cztery minusy i one dają plus
  • $$–3^4= -(3×3×3×3)= -81 $$ //Mamy jeden minus, więc wynik to minus

Mnożenie potęg

Aby pomnożyć dwie potęgi bez ich obliczania muszą one spełnić jeden warunek:

  • Potęgi muszą mieć taką samą podstawę!

Następnie wystarczy, że przepiszemy podstawę i sumę wykładników.

Przykłady:

  • $$5^2×5^{1/2}×5^{-1}=5^{2+{1}/{2}-1}=5^{1 1/2}=5^{3/2}=√{5^3}=√{125}=5√5$$
  • $$2^5×2^{-10}×2^3×2^2=2^{5-10+3+2}=2^0=1$$

Dzielenie potęg

W tym wypadku jest prawie identycznie jak przy mnożeniu potęg, musimy także spełnić warunek:

  • Potęgi muszą mieć taką samą podstawę!

Jedyna różnica to fakt, że odejmujemy, zamiast dodawać potęgi jak przykładzie:

  • $$5^2÷5^4÷5^{-5}=5^{2-4-{(-5)} }=5^{2-4+5}=5^3=125$$

Potęgowanie potęg

W przypadku, gdy musimy zawrzeć dwie potęgi w jednej liczbie, wtedy mnożymy je ze sobą. Musimy przy tym pamiętać o odpowiednim zachowaniu znaków.

Przykład:

$${({({(1/2)}^{-1})}^{-2})}^3={1/2}^{-2×3×(-1)}={1/2}^6=1/{64}$$
 

Tworzenie nowych podstaw

Jeżeli w przykładzie (często to się zdarza) podane nie będą potęgi o tych samych wykładnikach, musimy je znaleźć.

Jedyny wymóg to zapamiętanie tzw. potęg złożonych czyli:

  • $$4=2^2$$
  • $$27=3^3$$


Przykład:

$$8^3÷2^10×16^2÷4^3$$

Każda z tych liczb w podstawie to potęga dwójki, pokażmy to:

$${(2^3)}^3÷2^10×{(2^4)}^2÷{(2^2)}^3$$

Teraz użyjmy potęgowania potęg:

$$2^9÷2^10×2^8÷2^6$$

I mnożymy oraz dzielimy:

$$2^{9-10+8-6}=2^1=2$$
 

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Oblicz
$$2^5+2^6+2^7=$$

$$2^5×(1+2+2^2)=32×7=224$$

Zadanie 2.

Oblicz:
$${ {3^5}/{3^3}×9^{-2} }/{3^3×3^5÷27^4 }=$$

Najpierw licznik (oczywiście można robić równocześnie), najpierw odejmijmy potęgi w ułamku i przekształćmy 9

$$ {3^2×{(3^2)}^{-2} }/{3^3×3^5÷27^4}= $$ Następnie potęgujemy potęgę

$$ {3^2×3^{-4} }/{3^3×3^5÷27^4 }= $$ Oraz mnożymy

$$ {3^{-2} }/{3^3×3^5÷27^4} $$ Mianownik:

Musimy tu jedynie przekształcić liczbę 27

$$ {3^{-2} }/{3^3×3^5÷{(3^3)}^4 }= $$ Następnie potęgujemy potęgę

$$ {3^{-2} }/{3^3×3^5÷3^{12} }= $$ Odpowiednio mnożymy i dzielimy

$$ {3^{-2} }/{3^{3+5-12} } = $$ I ostatnie dzielenie

$$ {3^{-2} }/{3^{-4} } =3^{-2-(-4)}=3^2=9 $$

Zadanie 3.

Wykaż, że liczba $$2^12+2^13+2^14$$ jest podzielna przez 7

 

$$2^12+2^12×21+2^12×2^2=2^12(1+2^1+2^2)= 2^12×7$$

Mnożymy przez 7, więc liczba jest na pewno podzielna przez 7. CNU

Spis treści

Rozwiązane zadania
Wyznacz równanie prostej prostopadłej...

 Na podstawie wniosku na stronie  wiemy, że prosta prostopadła do prostej

o równaniu  gdzie  ma równanie postaci       

Powiedzmy, że chcemy wyznaczyć równanie prostej  która jest prostopadła do prostej  

Ponieważ  to mamy:

 

Wstawiamy do równania współrzędne punktu  i wyznaczamy  

 

 

Zatem:

 

 

 Na podstawie wniosku na stronie  wiemy, że prosta prostopadła do prostej

o równaniu  gdzie  ma równanie postaci       

Powiedzmy, że chcemy wyznaczyć równanie prostej  która jest prostopadła do prostej  

Ponieważ  to mamy:

 

Wstawiamy do równania współrzędne punktu  i wyznaczamy  

 

 

 

Zatem:

 

 

 Zauważmy, że prosta jest równoległa do osi  

Oznacza to, że prosta do niej prostopadła, będzie równoległa do osi  

Czyli będzie miała równanie zadane przez współrzędną iksową punktu  

Stąd prosta prostopadła do prostej  to      

 

 Zauważmy, że prosta jest równoległa do osi  

Oznacza to, że prosta do niej prostopadła, będzie równoległa do osi  

Czyli będzie miała równanie zadane przez współrzędną igrekową punktu  

Stąd prosta prostopadła do prostej  to  

         

Wykres funkcji g otrzymano w wyniku ...

 

 

 

 

  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

       

Pan Jan ulokował w banku

 

  

 

Wiemy, że oprocentowanie w banku A wynosi p% w skali roku, a od odsetek pobierany jest podatek 20%, więc odsetki, które faktycznie otrzymuje klient, stanowią 100%-20%=80% odsetek naliczonych przez bank. W banku B nie jest pobierany podatek od odsetek. 

 

 

 

 

 

Wiemy, że kapitał zgromadzony po roku w obu bankach był jednakowy, więc możemy zapisać równanie:

  

Możemy obustronnie podzielić powyższą równość przez x, ponieważ x oznacza kwotę, więc jest liczbą dodatnią, a więc różną od zera.

  

  

 

 

 

Zaokrągliliśmy wynik do całości, ponieważ w poleceniu zapisano, aby wynik podać z dokładnością do jednego procenta.        

Wyznacz współrzędne

Będziemy korzystać ze wzoru podanego w ramce na stronie 174.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Rozwiąż równanie

 

 

 

 

 

 

 

Porównaj liczby...

Skorzystamy ze wzoru skróconego mnożenia:

 

 

 

 

A więc:

 

Przerysuj wektory ...

 

 

 

 

   

 

Panowie Nowak i Kowalski ...

 

 

 

 

 

 

 

Zarobki obu Panów zrównają się po 19 podwyżce, czyli po 20 miesiącach.

 

 

 

 

 

 

Pensje osiągną docelową wysokość po 29 podwyżce, czyli po 30 miesiącach.

Oblicz

 `(3^(1/2+(-1,25)-3/4))^(4/3)=` `(3^(0,5-1,25-0,75))^(4/3)=` 

 `3^(-strike(1,5)^(0,5)*4/strike3^1)=` `3^(-2)=(1/3)^2=1/9` 

 

 

 `(7^(-0,7-2/5+(-0,9)))^(1/2)=`  

 `(7^(-2))^(1/2)=7^(-2*1/2)=7^-1=1/7` 

 

 

  `5^(-4/3):(5^2)^(-3/2)*(1/5)^(2/3)=` 

 `5^(-4/3):5^-3*5^(-2/3)=`  

 `5^(-6/3+3)=5^(-2+3)=5^1=5` 

 

 

 

  `(1/2)^-1*(2^2)^(0,7)*(1/4)^(-0,3)=` 

 `2*2^(1,4)*2^(-2*(-0,3))=` 

 

 

 

 

 `[(2^2)^(1/3)*(1/2)^(-1/3)]^-2=` 

 `[2^(2/3+1/3)]^(-2)=` `(2^1)^-2=2^-2=(1/2)^2=1/4` 

 

 

 `[6^(2/3):6^(-1/3)]^2:(2^2)^(0,5)=`  

 `[6^(2/3+1/3)]^2:2^1=` 

       

Dla danych zbiorów A i B wyznacz A∪B, A∩B, A\B, B\A

a)

 

b)

 

c)

 

d)