Potęgi - matura-podstawowa - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Potęgi - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Potęgi ujemne

Z potęgą ujemną mamy do czynienia wtedy gdy wykładnik jest liczbą ujemną. Powoduje on zamianę liczby na liczbę odwrotną, czyli najprościej mówiąc zamianę licznika z mianownikiem.

Przykłady:

  • $({1/5})^{-3}=({5/1})^{3}=125$
  • $({1/3})^{-4}=({3/1})^{4}=81$

Potęgi na liczbach o ujemnym znaku:

W tym wypadku mamy dwa podobne, choć różne przypadki:

  • $(-3)^4=(-3)×(-3)×(-3)×(-3)=81$ //Mamy cztery minusy i one dają plus
  • $–3^4= -(3×3×3×3)= -81 $ //Mamy jeden minus, więc wynik to minus

Mnożenie potęg

Aby pomnożyć dwie potęgi bez ich obliczania muszą one spełnić jeden warunek:

  • Potęgi muszą mieć taką samą podstawę!

Następnie wystarczy, że przepiszemy podstawę i sumę wykładników.

Przykłady:

  • $5^2×5^{1/2}×5^{-1}=5^{2+{1}/{2}-1}=5^{1 1/2}=5^{3/2}=√{5^3}=√{125}=5√5$
  • $2^5×2^{-10}×2^3×2^2=2^{5-10+3+2}=2^0=1$

Dzielenie potęg

W tym wypadku jest prawie identycznie jak przy mnożeniu potęg, musimy także spełnić warunek:

  • Potęgi muszą mieć taką samą podstawę!

Jedyna różnica to fakt, że odejmujemy, zamiast dodawać potęgi jak przykładzie:

  • $5^2÷5^4÷5^{-5}=5^{2-4-{(-5)} }=5^{2-4+5}=5^3=125$

Potęgowanie potęg

W przypadku, gdy musimy zawrzeć dwie potęgi w jednej liczbie, wtedy mnożymy je ze sobą. Musimy przy tym pamiętać o odpowiednim zachowaniu znaków.

Przykład:

${({({(1/2)}^{-1})}^{-2})}^3={1/2}^{-2×3×(-1)}={1/2}^6=1/{64}$
 

Tworzenie nowych podstaw

Jeżeli w przykładzie (często to się zdarza) podane nie będą potęgi o tych samych wykładnikach, musimy je znaleźć.

Jedyny wymóg to zapamiętanie tzw. potęg złożonych czyli:

  • $4=2^2$
  • $27=3^3$


Przykład:

$8^3÷2^10×16^2÷4^3$

Każda z tych liczb w podstawie to potęga dwójki, pokażmy to:

${(2^3)}^3÷2^10×{(2^4)}^2÷{(2^2)}^3$

Teraz użyjmy potęgowania potęg:

$2^9÷2^10×2^8÷2^6$

I mnożymy oraz dzielimy:

$2^{9-10+8-6}=2^1=2$
 

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Oblicz
$2^5+2^6+2^7=$

$2^5×(1+2+2^2)=32×7=224$

Zadanie 2.

Oblicz:
${ {3^5}/{3^3}×9^{-2} }/{3^3×3^5÷27^4 }=$

Najpierw licznik (oczywiście można robić równocześnie), najpierw odejmijmy potęgi w ułamku i przekształćmy 9

$ {3^2×{(3^2)}^{-2} }/{3^3×3^5÷27^4}= $ Następnie potęgujemy potęgę

$ {3^2×3^{-4} }/{3^3×3^5÷27^4 }= $ Oraz mnożymy

$ {3^{-2} }/{3^3×3^5÷27^4} $ Mianownik:

Musimy tu jedynie przekształcić liczbę 27

$ {3^{-2} }/{3^3×3^5÷{(3^3)}^4 }= $ Następnie potęgujemy potęgę

$ {3^{-2} }/{3^3×3^5÷3^{12} }= $ Odpowiednio mnożymy i dzielimy

$ {3^{-2} }/{3^{3+5-12} } = $ I ostatnie dzielenie

$ {3^{-2} }/{3^{-4} } =3^{-2-(-4)}=3^2=9 $

Zadanie 3.

Wykaż, że liczba $2^12+2^13+2^14$ jest podzielna przez 7

 

$2^12+2^12×21+2^12×2^2=2^12(1+2^1+2^2)= 2^12×7$

Mnożymy przez 7, więc liczba jest na pewno podzielna przez 7. CNU

Spis treści

Rozwiązane zadania
Hodowca obliczył, że zapas...

Wprowadźmy oznaczenie:

 -liczba dni, na które wystarczy zapas jedzenia dla 30 krów

zatem:   {premium}

 

 

 


Odp.: Ten zapas jedzenia wystarczyłby na 5 dni dla 30 krów. 

Do wykresu funkcji f(x)= ...

{premium}  

 

 

   

 

 

Z wierzchołka kąta rozwartego rombu ...

Rysunek pomocniczy:

   {premium}

Zauważmy, że:

 

 

Z sumy miar kątów w trójkącie AED mamy:

 

Z sumy miar kątów w trójkącie FCD mamy:

 

Zatem:

 

 

Zatem na mocy cechy kąt-bok-kąt trójkąty ADE i FCD są przystające.

Uzasadnij, że...

 {premium}

 

Mamy:

 

Podana równość nie zachodzi.

Podaj przykład wzoru funkcji kwadratowej...

a) Funkcja ta powinna mieć:

 

 

przykład wzoru funkcji w postaci kanonicznej spełniającej te założenia:  {premium}

 

przykład wzoru funkcji w postaci ogólnej spełniającej te założenia:

 


b) Funkcja ta powinna mieć:

 

 

przykład wzoru funkcji w postaci kanonicznej spełniającej te założenia:

 


c) Funkcja ta powinna mieć:

 

 

przykład wzoru funkcji w postaci iloczynowej spełniającej te założenia: 

 

przykład wzoru funkcji w postaci ogólnej spełniającej te założenia:


d) Funkcja ta powinna mieć:

 

 

przykład wzoru funkcji w postaci kanonicznej spełniającej te założenia:

 

przykład wzoru funkcji w postaci ogólnej spełniającej te założenia:

 


e) Funkcja ta powinna mieć:

    

 

i punkt (0, -3) należy do wykresu tej funkcji

przykład wzoru funkcji w postaci kanonicznej spełniającej te założenia:

 

przykład wzoru funkcji w postaci ogólnej spełniającej te założenia:

 



Wykonaj działania i zredukuj wyrazy podobne

{premium}

         

Dany jest trójkąt równoramienny ABC, w którym |AB|=|AC|. Przez punkt A poprowadzono prostą DE...

Przyjrzyjmy się poniższemu rysunkowi{premium}

wiemy, że trójkąt ABC jest trójkątem równoramiennym, w którym

 

z własności trójkąta równoramiennego wiemy, że kąty przy podstawie  BC są równe, oznaczmy je przez α

  

suma kątów w trójkącie jest równa 180º,

zatem miara kąta BAC w zależności od α wynosi 

  

Z drugiej strony z założenia wiemy, że kąty DAB i EAC są równej miary, oznaczmy je przez β

  

kąty DAB, BAC, EAC to kąty przyległe czyli ich suma jest równa 180º,

zatem miara kąta BAC w zależności od β wynosi 

  

Dostajemy, że

  

stąd

 

czyli

 

Zatem proste BC i DE tworzą z prostą AC kąty naprzemianległe wewnętrzne równe

oraz te same proste przecięte prostą AB także tworzą kąty naprzemianległe wewnętrzne równe,

zatem z twierdzenia odwrotnego do twierdzenia o dwóch prostych równoległych przeciętych trzecią prostą wynika,

że proste BC i DE są równoległe

 

 

c.n.d.

a) Śliwki na targowisku kosztowały ...

a)

Wprowadźmy oznaczenia niewiadomych:

x - ilość śliwek w kg

- ilość wiśni w kg

Zapisujemy układ równań:  

      {premium}

 

 

 

 

 

 

 

Odp. Gospodyni kupiła 1,5 kg śliwek i 2,5 kg wiśni.


b)

Wprowadźmy oznaczenia niewiadomych:

x - ilość marchwi w kg

- ilość buraków w kg

2 - ilość rzepy w kg

Zapisujemy układ równań:

 

 

 

 

 

 

 

Odp. Kierownik kupił 1 kg marchwi oraz 5 kg buraków.

 

Rozwiąż równanie...

 

Dziedzina:

  

  - w tym momencie nie będziemy rozwiązywać tej nierówności - zamiast tego rozwiążemy początkowe równanie i sprawdzimy, czy rozwiązanie spełnia ten warunek.  

 

 

 

 

 

{premium}

    

 

 

 

 

 

 

 

          - liczba x = -3 nie spełnia warunku, że x>0, więc to rozwiązanie możemy z góry odrzucić.

 

Sprawdźmy, czy liczba   spełnia warunek:     

 

 

Liczba 3 spełnia początkowe warunki, więc jest rozwiązaniem równania.

 

    

Oblicz pole trójkąta, którego dwa boki mają długość...

Jeśli mamy dane długości a, b dwóch boków trójkąta i kąt 𝛾𝛾 ∈ (0°, 180°), zawarty między tymi bokami, to pole P tego trójkąta wyraża się wzorem:

 


Mamy dane:

 

 

 {premium}