Potęgi - matura-podstawowa - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Potęgi - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Potęgi ujemne

Z potęgą ujemną mamy do czynienia wtedy gdy wykładnik jest liczbą ujemną. Powoduje on zamianę liczby na liczbę odwrotną, czyli najprościej mówiąc zamianę licznika z mianownikiem.

Przykłady:

  • $({1/5})^{-3}=({5/1})^{3}=125$
  • $({1/3})^{-4}=({3/1})^{4}=81$

Potęgi na liczbach o ujemnym znaku:

W tym wypadku mamy dwa podobne, choć różne przypadki:

  • $(-3)^4=(-3)×(-3)×(-3)×(-3)=81$ //Mamy cztery minusy i one dają plus
  • $–3^4= -(3×3×3×3)= -81 $ //Mamy jeden minus, więc wynik to minus

Mnożenie potęg

Aby pomnożyć dwie potęgi bez ich obliczania muszą one spełnić jeden warunek:

  • Potęgi muszą mieć taką samą podstawę!

Następnie wystarczy, że przepiszemy podstawę i sumę wykładników.

Przykłady:

  • $5^2×5^{1/2}×5^{-1}=5^{2+{1}/{2}-1}=5^{1 1/2}=5^{3/2}=√{5^3}=√{125}=5√5$
  • $2^5×2^{-10}×2^3×2^2=2^{5-10+3+2}=2^0=1$

Dzielenie potęg

W tym wypadku jest prawie identycznie jak przy mnożeniu potęg, musimy także spełnić warunek:

  • Potęgi muszą mieć taką samą podstawę!

Jedyna różnica to fakt, że odejmujemy, zamiast dodawać potęgi jak przykładzie:

  • $5^2÷5^4÷5^{-5}=5^{2-4-{(-5)} }=5^{2-4+5}=5^3=125$

Potęgowanie potęg

W przypadku, gdy musimy zawrzeć dwie potęgi w jednej liczbie, wtedy mnożymy je ze sobą. Musimy przy tym pamiętać o odpowiednim zachowaniu znaków.

Przykład:

${({({(1/2)}^{-1})}^{-2})}^3={1/2}^{-2×3×(-1)}={1/2}^6=1/{64}$
 

Tworzenie nowych podstaw

Jeżeli w przykładzie (często to się zdarza) podane nie będą potęgi o tych samych wykładnikach, musimy je znaleźć.

Jedyny wymóg to zapamiętanie tzw. potęg złożonych czyli:

  • $4=2^2$
  • $27=3^3$


Przykład:

$8^3÷2^10×16^2÷4^3$

Każda z tych liczb w podstawie to potęga dwójki, pokażmy to:

${(2^3)}^3÷2^10×{(2^4)}^2÷{(2^2)}^3$

Teraz użyjmy potęgowania potęg:

$2^9÷2^10×2^8÷2^6$

I mnożymy oraz dzielimy:

$2^{9-10+8-6}=2^1=2$
 

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Oblicz
$2^5+2^6+2^7=$

$2^5×(1+2+2^2)=32×7=224$

Zadanie 2.

Oblicz:
${ {3^5}/{3^3}×9^{-2} }/{3^3×3^5÷27^4 }=$

Najpierw licznik (oczywiście można robić równocześnie), najpierw odejmijmy potęgi w ułamku i przekształćmy 9

$ {3^2×{(3^2)}^{-2} }/{3^3×3^5÷27^4}= $ Następnie potęgujemy potęgę

$ {3^2×3^{-4} }/{3^3×3^5÷27^4 }= $ Oraz mnożymy

$ {3^{-2} }/{3^3×3^5÷27^4} $ Mianownik:

Musimy tu jedynie przekształcić liczbę 27

$ {3^{-2} }/{3^3×3^5÷{(3^3)}^4 }= $ Następnie potęgujemy potęgę

$ {3^{-2} }/{3^3×3^5÷3^{12} }= $ Odpowiednio mnożymy i dzielimy

$ {3^{-2} }/{3^{3+5-12} } = $ I ostatnie dzielenie

$ {3^{-2} }/{3^{-4} } =3^{-2-(-4)}=3^2=9 $

Zadanie 3.

Wykaż, że liczba $2^12+2^13+2^14$ jest podzielna przez 7

 

$2^12+2^12×21+2^12×2^2=2^12(1+2^1+2^2)= 2^12×7$

Mnożymy przez 7, więc liczba jest na pewno podzielna przez 7. CNU

Spis treści

Rozwiązane zadania
Liczbę K zwiększono o...

Zwiększamy o a% czyli:

{premium}  

Ponownie zwiększamy o a% a więc:

 

Obliczmy różnicę liczb:

 

Obliczmy jakim procentem początkowej liczby jest nasza różnica:

 

Znajdź najmniejszą wartość wyrażenia...

 

 

 

{premium}  

 

Rozpatrzmy funkcję:

 

Największa wartość tej funkcji jest w wierzchołku, czyli:

 

 

Jeżeli weźmiemy funkcję:

 

to przez to, że funkcja    

jest malejąca, przedziałami to dla   będziemy mieć najmniejszą wartość. Zatem:

 

A więc:

 

Najmniejsza wartość to 4.

Na rysunku przedstawiono trapez równoramienny...

Wykonajmy rysunek pomocniczy:   {premium}




 


Odp.: C

Wyznacz równanie paraboli

W każdym podpunkcie przyjmujemy, że równanie paraboli jest postaci:

 

 

Podstawiając współrzędne podanych punktów do tego równania, rozwiążemy układ równań z niewiadomymi a, b, c.

 

 

   

 {premium}

 

  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  

 

 

 

 

   

 

  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Dodajmy stronami dwa ostatnie równania, pierwsze i trzecie równanie przepiszmy bez zmian:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

   

 

 

 

 

 

   

 

 

 

 

 

  

 

 

Dodajmy stronami dwa ostatnie równania, pierwsze i trzecie równanie przepiszmy bez zmian:

 

 

 

 

 

 

 

   

   

 

Określ liczbę rozwiązań równania z niewiadomą...

Zacznijmy od przeanalizowania kliku przykładów.

Równianie  jest sprzeczne, bo wartość bezwzględna jest zawsze nieujemna.

Równanie  ma tylko jedno rozwiązanie, jest nim  

Równanie  ma dwa rozwiązania. Są nimi  


 

Mamy równanie podobne do równań z przykładów, tylko po prawej stronie możemy mieć dowolną

liczbę rzeczywistą.

Analogicznie jak powyżej, równanie będzie sprzeczne, gdy prawa strona będzie ujemna, czyli dla  {premium}

Gdy prawa strona będzie zerem, czyli  równanie będzie miało jedno rozwiązanie, a gdy prawa strona

będzie liczbą dodatnią, tzn.  to równanie będzie miało dwa rozwiązania.


Podsumowując:

Równanie  

 nie ma rozwiązań dla  

 ma jedno rozwiązanie dla  

 ma dwa rozwiązania dla  


 

Analogicznie jak powyżej, równanie będzie sprzeczne, gdy prawa strona będzie ujemna, czyli dla  

 

 

 

 

Gdy prawa strona będzie zerem, czyli  równanie będzie miało jedno rozwiązanie, czyli dla  

Natomiast równanie będzie miało dwa rozwiązania, gdy prawa strona będzie liczbą dodatnią, tzn. dla  

 

 

 

 


Podsumowując:

Równanie  

 nie ma rozwiązań dla  

 ma jedno rozwiązanie dla  

 ma dwa rozwiązania dla  

Rozwiąż nierówność.

 

 

 

 

 

 

{premium}  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

   

a) Oblicz obwód trójkąta ABC...

a) Znamy zależności między długościami boków w trójkącie prostokątnym równoramiennym oraz w trójkącie prostokątnym o kątach ostrych 30o i 60o, zatem:

{premium}



 

 

 


Obliczmy obwód tego trójkąta:

 


Odp.: Obwód tego trójkąta wynosi 18+6√3+6√2. 


b) Wykonajmy rysunek pomocniczy:



 

 


 

 


 

 

`gamma~~62^@`

Odp.: Miary kątów wewnętrznych tego trójkąta to: 50o, 102o i 28o

Oblicz:

a)

    {premium}

 


b)

 

 

  

 

 

 


c)

Zamieniając ułamki okresowe na ułamki zwykle otrzymujemy:

 

 

Odejmując stronami:

 

 

 

 

 

 

Odejmując stronami:

 

 

 

 

 

 

 

Odejmując stronami:

  

 

 

 

 

 

 

 


d)

 

 

 


e)

 

 

 

 

Funkcja f przyporządkowuje każdej ...

Dziedziną funkcji są wszystkie liczby trzycyfrowe.

{premium}

Iloczyn trzech liczb jest równy zero, gdy co najmniej jednen z czynników jest zerem.

Liczby trzycyfowe zawierające zero to: 100,101,...,109,110,120,...190,200,201,...990.

Takich liczb mamy 171.

Zatem funkcja f ma 171 miejsc zerowych.

Odszukaj w tabeli na str. 277...

Na podstawie tabeli ze strony 277:  {premium}