Postacie funkcji kwadratowej - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Postacie funkcji kwadratowej

Tutaj musimy się nauczyć kilku form funkcji kwadratowej, wbrew pozorom część z nich już używaliśmy. Wyróżniamy 3 postaci funkcji kwadratowej:

Pierwsza ogólna, czyli doskonale nam znana:

$$y=ax^2+bx+c$$

Druga iloczynowa, czyli to co uzyskujemy przy rozwiązaniu funkcji kwadratowej:

$$y=a(x-x_1)(x-x_2)$$

Gdzie $$x$$ z indeksem dolnym to jedno z rozwiązań

Uwaga!

Pamiętaj, że w postaci iloczynowej wszystko jest mnożone przez współczynnik a.

Ostatnia kanoniczna jest zapisywana przy użyciu wierzchołka paraboli:

$$y=a(x-p)^2+q$$

Jak widać łatwo możemy znaleźć wszystkie pozostałe wzory mając tylko jeden. Właśnie tym się teraz zajmiemy.

Przykład:

Wyznacz postać kanoniczną funkcji $$y=x^2+4x+4$$.

No to analizujemy czego nam potrzeba:

$$a(x-p)^2+q$$ Zmienną a już mamy, a=1, pozostaje nam obliczyć dwie pozostałe.

Korzystamy z wzoru na współrzędną P

$$p={-b}/{2a}$$

I obliczamy

$$p={-4}/{2}=-2$$

Teraz Q, ale do Q potrzebujemy obliczyć deltę, a więc

$$∆=b^2-4ac$$

$$∆=4^2-4*1*4$$

$$∆=16-16$$

$$∆=0$$

No to liczymy Q

$$Q={-∆}/{4a}

Skoro delta to 0

$$Q=0$$

Zatem postać kanoniczna

$$y=a(x-p)^2+q$$

$$y=(x+2)^2+0$$

$$y=(x+2)^2$$

Teraz czas na drugi przykład:

Przykład:

Znajdź wzór ogólny funkcji

$$y=2(x+1)^2+1$$

Widać, że to postać kanoniczna, a szukamy postaci ogólnej, czyli:

$$y=ax^2+bx+c$$

Zobaczmy co my tu mamy:

$$y=a(x-p)^2+q$$

$$y=2(x+1)^2+1$$

$$a=2$$

$$p=-1$$ (wg wzoru jest znak minus, a mamy plus)

$$q=1$$

Potrzebujemy a,b,p

Skorzystajmy z wzoru na współczynnik p, aby obliczyć b:

$$p={-b}/{2a}$$

Podstawiamy posiadane wartości, czyli p i a.

$$-1={-b}/{2×2}$$

I obliczamy

$${-1}={-b}/{4}$$ $$|×4$$

$$-4=-b$$

$$b=4$$

Pozostaje nam c i oczywiście do tego musimy użyć Q

$$Q={-∆}/{4a}$$

Podstawiamy:

$$1=-{b^2-4ac}/{4×2}$$

I liczymy

$$1=-{4^2-4×2×c}/8 $$

$$1=-{16-8c}/8$$

$$1=-(2-c)$$

$$1=-2+c$$

$$c=3$$

Zatem wzór to:

$$y=2x^2+4x+3$$

Ciekawostka: to zadanie dało się rozwiązać dużo prościej, wystarczyło uprościć wzór korzystając ze wzoru skróconego mnożenia:

$$y=2(x+1)^2+1=2(x^2+2x+1)+1=2x^2+4x+2+1=2x^2+4x+3$$

Wynik dało się więc uzyskać w jednej linijce! Dlatego warto przed rozwiązaniem zadania zastanowić się, jak najprościej tego dokonać. Pozwoli to zaoszczędzić trochę czasu na maturze.
 

Uwaga!

Wszystkie użyte tu wzory są zawarte w karcie wzorów na maturze.
Warto zapoznać się z wzorami Viete’a, które ułatwiają przekształcenia.
 

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Znajdź postać ogólną funkcji kwadratowej, której miejsca zerowe to $$x_1=-5$$ , $$x_2=2$$, a współczynnik przy $$x^2$$ jest równy 2.

Mamy za zadanie znaleźć postać ogólną, nic prostszego. Postać iloczynowa to iloczyn zawierający $$x_1$$ i $$x_2$$, postać ogólna to wynik tego iloczynu, więc musimy znaleźć postać iloczynową. Pamiętamy, że postać iloczynowa to $$f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$$. Podstawiamy $$a=2$$, $$x_1=-5$$ oraz $$x_2=2$$:

$$f(x)=2(x+5)(x-2)$$

Musimy wymnożyć nawiasy, aby uzyskać ogólną postać

$$f(x)=2(x+5)(x-2)=2x^2+10x-4x-20$$

$$f(x)=2x^2+6x-20$$

Zadanie 2.

Znajdź postać iloczynową i kanoniczną funkcji $$f(x)=x^2-4x+3$$.

Najpierw zacznijmy od iloczynowej.

Musimy po prostu rozwiązać równanie:

$$x^2-4x+3=0$$

$$a=1$$

$$b=-4$$

$$c=3$$

Obliczmy deltę:

$$∆=b^2-4ac$$

$$∆=(-4)^2-4×1×3$$

$$∆=16-12$$

$$∆=4$$

Obliczmy od razu pierwiastek z delty

$$√{∆}=√4=2$$



No i teraz nasze rozwiązania:

$$x_1={-b+√{∆} }/{2a}$$

$$x_1={4+2}/2=6/2=3$$

$$x_2={-b-√{∆} }/{2a}$$

$$x_2={4-2}/2=2/2=1$$



Podstawiamy nasze rozwiązania do postaci iloczynowej. Gdy podstawimy pod x nasze rozwiązania mamy dostać 0, więc:

$$(x-3)(x-1)=0$$

Zatem postać iloczynowa: $$f(x)=(x-3)(x-1)$$

Pozostaje nam znaleźć kanoniczną

$$f(x)=a(x-p)^2+q$$

Korzystamy z wzoru na P

$$p={-b}/{2a}$$

I obliczamy

$$p=-{-4}/2=2$$

Teraz Q, Deltę obliczyliśmy wcześniej

$$∆=4$$

No to liczymy Q

$$Q={-4}/{4a}=-1$$

$$Q=-1$$

Zatem postać kanoniczna

$$y=a(x-p)^2+q$$

$$y=(x-2)^2-1$$

Spis treści

Rozwiązane zadania
W trójkącie prostokątnym ABC...

 Rysunek:

 

 

 

Odpowiedź B

Która z podanych liczb jest ...

Obliczmy błąd bezwzględny podanych przybliżeń:

 

 

 

 

Porównajmy otrzymane błędy:

 

 

Najmniejszy błąd uzyskujemy przybliżając ułamek 3/7 liczbą 0,429 (odp c)).

Czy suma albo różnica dwóch figur wypukłych

Suma lub różnica figur wypukłych nie zawsze jest figurą wypukłą, co pokazano na rysunku: 

Zaznacz w układzie...

a)


b)


c)

Nierówność spełniają:

Odpowiedź A jest fałszywa, ponieważ np. liczba  jest mniejsza od  ale  {premium}

Odpowiedź B jest fałszywa np. z tego samego powodu, co A.

Odpowiedź C jest fałszywa np. z tego samego powodu, co A.


Prawidłowa odpowiedź to D.

Rozwiąż równanie.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

    

 

 

 

 

Wykaż, że jeśli...

Założenia:

 


Teza:

 


Dowód (wprost):

Zauważmy na początek, że z warunków  wynika, że  bo iloczyn liczby ujemnej

i liczby  będzie dodatni tylko wtedy, gdy liczba  będzie ujemna. {premium}


Ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat sumy mamy:

 

A z założeń:

 

Więc:

 

 

 

Stąd:

 co należało dowieść

W 30-osobowej klasie 14 uczniów ma psa

Wiemy, że klasa liczy 30 osób, a 8 osób nie ma żadnego z wymienionych zwierząt. Obliczamy, ile osób ma psa, kota lub świnkę morską: 

 

Wiemy też, że 3 osoby mają świnkę morską oraz że te osoby nie mają innych zwierząt, zatem możemy obliczyć, ile{premium} osób ma psa lub kota: 

 

Wiemy, że 14 uczniów ma psa, a 9 uczniów ma kota. Jeśli dodamy do siebie te liczby, to uczniowie, którzy mają psa i kota jednocześnie są liczeni dwa razy (raz jako posiadacze psa, a raz jako posiadacze kota). Zatem aby uzyskać liczbę osób mających psa lub kota (czyli 19) musimy dodać 14 i 9 oraz odjąć liczbę uczniów mających jednocześnie psa lub kota, którą oznaczymy jako x.  

 

 

a) Wyznacz liczbę, której 40% jest...

 

 szukana liczba

Wiemy, że  tej liczby jest równe  stąd:

 

 

 

 

Odp. Szukana liczba to  {premium}


 

 szukana liczba

Wiemy, że  tej liczby jest równe  stąd:

 

 

 

 

Odp. Szukana liczba to  


 

 szukana liczba

Wiemy, że  tej liczby jest równe  stąd:

 

 

 

 

Odp. Szukana liczba to  


 

 szukana liczba

Wiemy, że  tej liczby jest równe  stąd:

 

 

 

 

Odp. Szukana liczba to  

Cztery z poniższych równań

Wyznaczymy współrzędne y dla podanych prostych, jeśli współrzędne x są równe 0 oraz 1. 

 

Wykres tej prostej przechodzi przez punkty (0, 2) oraz (1, 1). 

 

 

Wykres tej prostej przechodzi przez punkty (0, -2) oraz (1, -3). 

 

 

Wykres tej prostej przechodzi przez punkty (0, 1) oraz (1, 0). 

 

 

Wykres tej prostej przechodzi przez punkty (0, 2) oraz (1, 3). 

 

 

Wykres tej prostej przechodzi przez punkty (0, -2) oraz (1, -1).

 

Podpisujemy proste oraz dorysowujemy piątą prostą.