Postacie funkcji kwadratowej - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Postacie funkcji kwadratowej

Tutaj musimy się nauczyć kilku form funkcji kwadratowej, wbrew pozorom część z nich już używaliśmy. Wyróżniamy 3 postaci funkcji kwadratowej:

Pierwsza ogólna, czyli doskonale nam znana:

$$y=ax^2+bx+c$$

Druga iloczynowa, czyli to co uzyskujemy przy rozwiązaniu funkcji kwadratowej:

$$y=a(x-x_1)(x-x_2)$$

Gdzie $$x$$ z indeksem dolnym to jedno z rozwiązań

Uwaga!

Pamiętaj, że w postaci iloczynowej wszystko jest mnożone przez współczynnik a.

Ostatnia kanoniczna jest zapisywana przy użyciu wierzchołka paraboli:

$$y=a(x-p)^2+q$$

Jak widać łatwo możemy znaleźć wszystkie pozostałe wzory mając tylko jeden. Właśnie tym się teraz zajmiemy.

Przykład:

Wyznacz postać kanoniczną funkcji $$y=x^2+4x+4$$.

No to analizujemy czego nam potrzeba:

$$a(x-p)^2+q$$ Zmienną a już mamy, a=1, pozostaje nam obliczyć dwie pozostałe.

Korzystamy z wzoru na współrzędną P

$$p={-b}/{2a}$$

I obliczamy

$$p={-4}/{2}=-2$$

Teraz Q, ale do Q potrzebujemy obliczyć deltę, a więc

$$∆=b^2-4ac$$

$$∆=4^2-4*1*4$$

$$∆=16-16$$

$$∆=0$$

No to liczymy Q

$$Q={-∆}/{4a}

Skoro delta to 0

$$Q=0$$

Zatem postać kanoniczna

$$y=a(x-p)^2+q$$

$$y=(x+2)^2+0$$

$$y=(x+2)^2$$

Teraz czas na drugi przykład:

Przykład:

Znajdź wzór ogólny funkcji

$$y=2(x+1)^2+1$$

Widać, że to postać kanoniczna, a szukamy postaci ogólnej, czyli:

$$y=ax^2+bx+c$$

Zobaczmy co my tu mamy:

$$y=a(x-p)^2+q$$

$$y=2(x+1)^2+1$$

$$a=2$$

$$p=-1$$ (wg wzoru jest znak minus, a mamy plus)

$$q=1$$

Potrzebujemy a,b,p

Skorzystajmy z wzoru na współczynnik p, aby obliczyć b:

$$p={-b}/{2a}$$

Podstawiamy posiadane wartości, czyli p i a.

$$-1={-b}/{2×2}$$

I obliczamy

$${-1}={-b}/{4}$$ $$|×4$$

$$-4=-b$$

$$b=4$$

Pozostaje nam c i oczywiście do tego musimy użyć Q

$$Q={-∆}/{4a}$$

Podstawiamy:

$$1=-{b^2-4ac}/{4×2}$$

I liczymy

$$1=-{4^2-4×2×c}/8 $$

$$1=-{16-8c}/8$$

$$1=-(2-c)$$

$$1=-2+c$$

$$c=3$$

Zatem wzór to:

$$y=2x^2+4x+3$$

Ciekawostka: to zadanie dało się rozwiązać dużo prościej, wystarczyło uprościć wzór korzystając ze wzoru skróconego mnożenia:

$$y=2(x+1)^2+1=2(x^2+2x+1)+1=2x^2+4x+2+1=2x^2+4x+3$$

Wynik dało się więc uzyskać w jednej linijce! Dlatego warto przed rozwiązaniem zadania zastanowić się, jak najprościej tego dokonać. Pozwoli to zaoszczędzić trochę czasu na maturze.
 

Uwaga!

Wszystkie użyte tu wzory są zawarte w karcie wzorów na maturze.
Warto zapoznać się z wzorami Viete’a, które ułatwiają przekształcenia.
 

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Znajdź postać ogólną funkcji kwadratowej, której miejsca zerowe to $$x_1=-5$$ , $$x_2=2$$, a współczynnik przy $$x^2$$ jest równy 2.

Mamy za zadanie znaleźć postać ogólną, nic prostszego. Postać iloczynowa to iloczyn zawierający $$x_1$$ i $$x_2$$, postać ogólna to wynik tego iloczynu, więc musimy znaleźć postać iloczynową. Pamiętamy, że postać iloczynowa to $$f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$$. Podstawiamy $$a=2$$, $$x_1=-5$$ oraz $$x_2=2$$:

$$f(x)=2(x+5)(x-2)$$

Musimy wymnożyć nawiasy, aby uzyskać ogólną postać

$$f(x)=2(x+5)(x-2)=2x^2+10x-4x-20$$

$$f(x)=2x^2+6x-20$$

Zadanie 2.

Znajdź postać iloczynową i kanoniczną funkcji $$f(x)=x^2-4x+3$$.

Najpierw zacznijmy od iloczynowej.

Musimy po prostu rozwiązać równanie:

$$x^2-4x+3=0$$

$$a=1$$

$$b=-4$$

$$c=3$$

Obliczmy deltę:

$$∆=b^2-4ac$$

$$∆=(-4)^2-4×1×3$$

$$∆=16-12$$

$$∆=4$$

Obliczmy od razu pierwiastek z delty

$$√{∆}=√4=2$$



No i teraz nasze rozwiązania:

$$x_1={-b+√{∆} }/{2a}$$

$$x_1={4+2}/2=6/2=3$$

$$x_2={-b-√{∆} }/{2a}$$

$$x_2={4-2}/2=2/2=1$$



Podstawiamy nasze rozwiązania do postaci iloczynowej. Gdy podstawimy pod x nasze rozwiązania mamy dostać 0, więc:

$$(x-3)(x-1)=0$$

Zatem postać iloczynowa: $$f(x)=(x-3)(x-1)$$

Pozostaje nam znaleźć kanoniczną

$$f(x)=a(x-p)^2+q$$

Korzystamy z wzoru na P

$$p={-b}/{2a}$$

I obliczamy

$$p=-{-4}/2=2$$

Teraz Q, Deltę obliczyliśmy wcześniej

$$∆=4$$

No to liczymy Q

$$Q={-4}/{4a}=-1$$

$$Q=-1$$

Zatem postać kanoniczna

$$y=a(x-p)^2+q$$

$$y=(x-2)^2-1$$

Spis treści

Rozwiązane zadania
O dwóch liczbach wiemy, że ich suma jest o 24 większa...

Niech `x` i `y` będą szukanymi liczbami.

Suma tych liczb jest o `24` większa od ich różnicy, stąd:

`(1)\ x+y=x-y+24`  lub `\ (2)\ x+y=y-x+24`  

Potrojona druga liczba jest równa podwojonej pierwszej liczbie, czyli:

`3y=2x` 

Zapisujemy wyznaczone równania jako układ równań i obliczamy `x` oraz `y.` 

Przypadek z równaniem `(1):`  

`{(x+y=x-y+24),(3y=2x):}`        

`{(2y=24\ "/":2),(3y=2x):}`   

`{(y=12),(3y=2x):}`   

`{(y=12),(3*12=2x):}`   

`{(y=12),(36=2x\ "/":2):}` 

`{(y=12),(x=18):}` 

 

Przypadek z równaniem `(2):`  

`{(x+y=y-x+24),(3y=2x):}`        

`{(2x=24\ "/":2),(3y=2x):}`   

`{(x=12),(3y=2x):}`   

`{(x=12),(3y=2*12):}`   

`{(x=12),(3y=24\ "/":3):}` 

`{(x=12),(y=8):}` 

Odp. Szukane liczby to `18` i `12`   lub `12` i `8.` 

Podaj przykład wielkości wprost proporcjonalnej do danej.

`"a)"` przejechana odległość

`"b)"` wysokość budynku

`"c)"` bok tego trójkąta

`"d)"` liczba podręczników

Określ monotoniczność funkcji

Skorzystamy z twierdzenia podanego na poprzedniej stronie w podręczniku. 

 

`"wzór funkcji"\ f` 

`"funkcja malejąca"` 

`(a<0)` 

`"funkcja rosnąca"` 

`(a>0)` 

`"funkcja stała"`  

`(a=0)` 

`a)\ f(x)=(5-m)x` 

`5-m<0\ \ \ |-5` 

`-m< -5\ \ \|*(-1)` 

`m>5` 

`m in (5;\ +infty)` 

`m in (-infty;\ 5)`   `m=5` 
`b)\ f(x) =(1+5m)x` 

`1+5m<0\ \ \ |-1` 

`5m< -1\ \ \ |:5` 

`m< -1/5` 

`m in (-infty;\ -1/5)` 

`m> -1/5` 

`m in (-1/5;\ +infty)` 

`m=-1/5` 
`c)\ f(x)=(|m|-1)x` 

`|m|-1<0\ \ \ |+1` 

`|m|<1` 

`-1<m<1` 

`m in (-1;\ 1)` 

`m in (-infty;\ -1)uu(1;\ +infty)`  `m in {-1;\ 1}` 

 

Wysokość CD trójkąta ABC tworzy z bokami...

Rysunek poglądowy:

 

Punkt A należy do odcinka BD, zatem wysokość CD zostaje opuszczona na przedłużenie boku AB.

 

W trójkącie ACD:

`|/_CAD| = 90^o - 25^o = 65^o` 

 

Kąty przy wierzchołku A są przyległe, zatem:

`|/_BAC| = 180^o - 65^o = 115^o` 

 

Suma miar kątów w trójkącie wynosi 180o, zatem w trójkącie ABC:

`|/_CBA| = 180^o - (53^o+115^o) = 180^o - 168^o = 12^o` 

Załóżmy, że 30 milionów

Obliczmy najpierw, ile osób wzięło udział w wyborach (60% uprawnionych do głosowania):

`60%*30\ ml n=0,6*30\ ml n=18\ ml n`

 

Obliczmy, ile osób poparło tą partię (40% głosujących):

`40%*18\ ml n=0,4*18\ m l n=7,2\ ml n`

 

Obliczamy, ile procent Polaków głosowało na kandydatów tej partii:

`(7,2\ ml n)/(40\ ml n)=(7,2)/40=72/400=36/200=18/100=18%`

 

Rozwiąż równanie

`a)\ 3x^2+6x=0`

`\ \ \ 3x(x+2)=0\ \ \ |:3`

`\ \ \ x(x+2)=0`

`\ \ \ x=0\ \ \ l u b\ \ \ x+2=0`

`\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x=-2`

`\ \ \ x in {0,\ 2}`

 

 

`b)\ 7x-3x^2=0`

`\ \ \ x(7-3x)=0`

`\ \ \ x=0\ \ \ l u b\ \ \ 7-3x=0`

`\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 7=3x\ \ \|:3`

`\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x=7/3=2 1/3`

`\ \ \ x in {0,\ 2 1/3}`

 

 

 

`c)\ 2x^2=5x\ \ \ |-5x`

`\ \ \ 2x^2-5x=0`

`\ \ \ x(2x-5)=0`

`\ \ \ x=0\ \ \ l u b\ \ \ 2x-5=0\ \ \ |+5`

`\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 2x=5\ \ \ |:2`

`\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x=5/2=2 1/2`

`\ \ \ x in {0,\ 2 1/2}`

 

 

 

`d)\ 8x=1/2x^2\ \ \ |-8x`

`\ \ \ 1/2x^2-8x=0\ \ \ |*2`

`\ \ \ x^2-16x=0`

`\ \ \ x(x-16)=0`

`\ \ \ x=0\ \ \ l u b\ \ \ x-16=0`

`\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x=16`

`\ \ \ x in{0,\ 16}`

Wyznacz współczynnik k we wzorze...

`a) \ f(3) = -2` 

`3*3+k=-2` 

`k = -11` 

 

`b) \ f(3)=-2` 

`-2/5*3 +k = -2` 

`-6/5 + k = -2` 

`k = -4/5` 

 

`c) \ f(3)=-2` 

`-2*3 + k = -2` 

`k = 4` 

 

`d) \ f(3) = -2` 

`2/3 * 3 + k = -2` 

`2+ k = -2` 

`k = -4` 

Wypisz elementy zbioru

W przykładach a) i b) obliczamy pierwiastki, jeśli się da. 

`a)`

`A={0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6}`

`B={#sqrt4^((=2)),\ sqrt5,\ sqrt6,\#sqrt9^((=3))} `

`AnnB={2,\ 3}`

 

 

`b)`

`A={2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6}`

`B={root(3)4,\ root(3)6,\ #(root(3)8)^((=2)),\ root(3)9}`

`AnnB={2}`

 

 

`c)`

Jeśli się da, to skracamy ułamki. 

`A={2/3,\ 4/7,\ #(16/36)^((=4/9)),\ #(27/36)^((=3/4))}`

`B={1/2,\ 3/8,\ 4/9,\ #(12/18)^((=2/3)),\ #(18/24)^((=3/4))}`

`AnnB={2/3,\ 4/9,\ 3/4}`

 

Naszkicuj wykres funkcji f(x)=x^2

`a)`

Wystarczy przesunąć wykres funkcji f o 1 jednostkę w prawo. 

`g(x)=0\ \ \ dla\ \ \ x=1`

 

 

`b)`

Wystarczy przesunąć wykres funkcji f o 1 jednostkę w lewo. 

 

`g(x)=0\ \ \ dla\ \ \ x=-1`

 

 

`c)`

Wystarczy przesunąć wykres funkcji f o 2 jednostki w lewo. 

 

`g(x)=0\ \ \ dla\ \ \ x=-2`

 

Podaj przykład dwóch liczb o nieskończonych okresowych

`a)`

`ul("przykład 1")`

`1/3=0,333...=0,(3)`

`2/3=0,666...=0,(6)`

Dodając te dwie liczby o nieskończonych okresowych rozwinięciach dziesiętnych otrzymamy liczbę całkowitą:

`1/3+2/3=1`

 

 

`ul("przykład 2")`

`1/6=0,1666...=0,1(6)`

`5/6=0,8333...=0,8(3)`

Dodając te dwie liczby o nieskończonych okresowych rozwinięciach dziesiętnych otrzymamy liczbę całkowitą:

`1/6+5/6=1`

 

 

`ul("przykład 3")`

`1 2/9=1,222...=1,(2)`

`1 7/9=1,777...=1,(7)`

Dodając te dwie liczby o nieskończonych okresowych rozwinięciach dziesiętnych otrzymamy liczbę całkowitą:

`1 2/9+1 7/9=3`

 

 

 

`b)`

`ul("przykład 1")`

`1/6=0,1(6)`

`2/6=1/3=0,(3)`

Dodając te dwie liczby o nieskończonych okresowych rozwinięciach dziesiętnych otrzymamy liczbę niecałkowitą o skończonym rozwinięciu dziesiętnym:

`1/6+2/6=3/6=1/2=0,5`

 

 

`ul("przykład 2")`

`6/18=1/3=0,(3)`

`3/18=1/6=0,1(6)`

Dodając te dwie liczby o nieskończonych okresowych rozwinięciach dziesiętnych otrzymamy liczbę niecałkowitą o skończonym rozwinięciu dziesiętnym:

`6/18+3/18=9/18=1/2=0,5`

 

 

`ul("przykład 3")`

`1/12=0,0833...=0,08(3)`

`2/12=1/6=0,1(6)`

Dodając te dwie liczby o nieskończonych okresowych rozwinięciach dziesiętnych otrzymamy liczbę niecałkowitą o skończonym rozwinięciu dziesiętnym:

`1/12+2/12=3/12=1/4=0,25`

 

 

 

 

`c)`

`ul("przykład 1")`

`1/9=0,111...=0,(1)`

`4/9=0,444...=0,(4)`

Dodając te dwie liczby o nieskończonych okresowych rozwinięciach dziesiętnych otrzymamy liczbę niecałkowitą o nieskończonym rozwinięciu dziesiętnym:

`1/9+4/9=5/9=0,555...=0,(5)`

 

 

`ul("przykład 2")`

`2/9=0,222...=0,(2)`

`13/99=0,1313...=0,(13)`

Dodając te dwie liczby o nieskończonych okresowych rozwinięciach dziesiętnych otrzymamy liczbę niecałkowitą o nieskończonym rozwinięciu dziesiętnym:

`2/9+13/99=22/99+13/99=35/99=0,3535...=0,(35)`

 

 

`ul("przykład 3")`

`123/999=0,123123...=0,(123)`

`201/999=0,201201...=0,(201)`

Dodając te dwie liczby o nieskończonych okresowych rozwinięciach dziesiętnych otrzymamy liczbę niecałkowitą o nieskończonym rozwinięciu dziesiętnym:

`123/999+201/999=324/999=0,324324...=0,(324)`