Zgoda na przetwarzanie danych osobowych

25 maja 2018 roku zacznie obowiązywać Rozporządzenie Parlamentu Europejskiego i Rady (UE) 2016/679 z dnia 27 kwietnia 2016 r. znane jako RODO.

Dlatego aby dalej móc dostarczać Ci materiały odpowiednie do Twojego etapu edukacji, potrzebujemy zgody na lepsze dopasowanie treści do Twojego zachowania. Dzięki temu możemy zapamiętywać jakie materiały są Ci potrzebne. Dbamy o Twoją prywatność, więc nie zwiększamy zakresu naszych uprawnień. Twoje dane są u nas bezpieczne, a zgodę na ich zbieranie możesz wycofać na podstronie polityka prywatności.

Klikając "Przejdź do Odrabiamy", zgadzasz się na wskazane powyżej działania. W przeciwnym wypadku, nie jesteśmy w stanie zrealizować usługi kompleksowo i prosimy o opuszczenie strony.

Polityka prywatności

Drogi Użytkowniku w każdej chwili masz prawo cofnąć zgodę na przetwarzanie Twoich danych osobowych. Cofnięcie zgody nie będzie wpływać na zgodność z prawem przetwarzania, którego dokonano na podstawie wyrażonej przez Ciebie zgody przed jej wycofaniem. Po cofnięciu zgody wszystkie twoje dane zostaną usunięte z serwisu. Udzielenie zgody możesz modyfikować w zakładce 'Informacja o danych osobowych'

Postacie funkcji kwadratowej - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Postacie funkcji kwadratowej

Tutaj musimy się nauczyć kilku form funkcji kwadratowej, wbrew pozorom część z nich już używaliśmy. Wyróżniamy 3 postaci funkcji kwadratowej:

Pierwsza ogólna, czyli doskonale nam znana:

$$y=ax^2+bx+c$$

Druga iloczynowa, czyli to co uzyskujemy przy rozwiązaniu funkcji kwadratowej:

$$y=a(x-x_1)(x-x_2)$$

Gdzie $$x$$ z indeksem dolnym to jedno z rozwiązań

Uwaga!

Pamiętaj, że w postaci iloczynowej wszystko jest mnożone przez współczynnik a.

Ostatnia kanoniczna jest zapisywana przy użyciu wierzchołka paraboli:

$$y=a(x-p)^2+q$$

Jak widać łatwo możemy znaleźć wszystkie pozostałe wzory mając tylko jeden. Właśnie tym się teraz zajmiemy.

Przykład:

Wyznacz postać kanoniczną funkcji $$y=x^2+4x+4$$.

No to analizujemy czego nam potrzeba:

$$a(x-p)^2+q$$ Zmienną a już mamy, a=1, pozostaje nam obliczyć dwie pozostałe.

Korzystamy z wzoru na współrzędną P

$$p={-b}/{2a}$$

I obliczamy

$$p={-4}/{2}=-2$$

Teraz Q, ale do Q potrzebujemy obliczyć deltę, a więc

$$∆=b^2-4ac$$

$$∆=4^2-4*1*4$$

$$∆=16-16$$

$$∆=0$$

No to liczymy Q

$$Q={-∆}/{4a}

Skoro delta to 0

$$Q=0$$

Zatem postać kanoniczna

$$y=a(x-p)^2+q$$

$$y=(x+2)^2+0$$

$$y=(x+2)^2$$

Teraz czas na drugi przykład:

Przykład:

Znajdź wzór ogólny funkcji

$$y=2(x+1)^2+1$$

Widać, że to postać kanoniczna, a szukamy postaci ogólnej, czyli:

$$y=ax^2+bx+c$$

Zobaczmy co my tu mamy:

$$y=a(x-p)^2+q$$

$$y=2(x+1)^2+1$$

$$a=2$$

$$p=-1$$ (wg wzoru jest znak minus, a mamy plus)

$$q=1$$

Potrzebujemy a,b,p

Skorzystajmy z wzoru na współczynnik p, aby obliczyć b:

$$p={-b}/{2a}$$

Podstawiamy posiadane wartości, czyli p i a.

$$-1={-b}/{2×2}$$

I obliczamy

$${-1}={-b}/{4}$$ $$|×4$$

$$-4=-b$$

$$b=4$$

Pozostaje nam c i oczywiście do tego musimy użyć Q

$$Q={-∆}/{4a}$$

Podstawiamy:

$$1=-{b^2-4ac}/{4×2}$$

I liczymy

$$1=-{4^2-4×2×c}/8 $$

$$1=-{16-8c}/8$$

$$1=-(2-c)$$

$$1=-2+c$$

$$c=3$$

Zatem wzór to:

$$y=2x^2+4x+3$$

Ciekawostka: to zadanie dało się rozwiązać dużo prościej, wystarczyło uprościć wzór korzystając ze wzoru skróconego mnożenia:

$$y=2(x+1)^2+1=2(x^2+2x+1)+1=2x^2+4x+2+1=2x^2+4x+3$$

Wynik dało się więc uzyskać w jednej linijce! Dlatego warto przed rozwiązaniem zadania zastanowić się, jak najprościej tego dokonać. Pozwoli to zaoszczędzić trochę czasu na maturze.
 

Uwaga!

Wszystkie użyte tu wzory są zawarte w karcie wzorów na maturze.
Warto zapoznać się z wzorami Viete’a, które ułatwiają przekształcenia.
 

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Znajdź postać ogólną funkcji kwadratowej, której miejsca zerowe to $$x_1=-5$$ , $$x_2=2$$, a współczynnik przy $$x^2$$ jest równy 2.

Mamy za zadanie znaleźć postać ogólną, nic prostszego. Postać iloczynowa to iloczyn zawierający $$x_1$$ i $$x_2$$, postać ogólna to wynik tego iloczynu, więc musimy znaleźć postać iloczynową. Pamiętamy, że postać iloczynowa to $$f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$$. Podstawiamy $$a=2$$, $$x_1=-5$$ oraz $$x_2=2$$:

$$f(x)=2(x+5)(x-2)$$

Musimy wymnożyć nawiasy, aby uzyskać ogólną postać

$$f(x)=2(x+5)(x-2)=2x^2+10x-4x-20$$

$$f(x)=2x^2+6x-20$$

Zadanie 2.

Znajdź postać iloczynową i kanoniczną funkcji $$f(x)=x^2-4x+3$$.

Najpierw zacznijmy od iloczynowej.

Musimy po prostu rozwiązać równanie:

$$x^2-4x+3=0$$

$$a=1$$

$$b=-4$$

$$c=3$$

Obliczmy deltę:

$$∆=b^2-4ac$$

$$∆=(-4)^2-4×1×3$$

$$∆=16-12$$

$$∆=4$$

Obliczmy od razu pierwiastek z delty

$$√{∆}=√4=2$$



No i teraz nasze rozwiązania:

$$x_1={-b+√{∆} }/{2a}$$

$$x_1={4+2}/2=6/2=3$$

$$x_2={-b-√{∆} }/{2a}$$

$$x_2={4-2}/2=2/2=1$$



Podstawiamy nasze rozwiązania do postaci iloczynowej. Gdy podstawimy pod x nasze rozwiązania mamy dostać 0, więc:

$$(x-3)(x-1)=0$$

Zatem postać iloczynowa: $$f(x)=(x-3)(x-1)$$

Pozostaje nam znaleźć kanoniczną

$$f(x)=a(x-p)^2+q$$

Korzystamy z wzoru na P

$$p={-b}/{2a}$$

I obliczamy

$$p=-{-4}/2=2$$

Teraz Q, Deltę obliczyliśmy wcześniej

$$∆=4$$

No to liczymy Q

$$Q={-4}/{4a}=-1$$

$$Q=-1$$

Zatem postać kanoniczna

$$y=a(x-p)^2+q$$

$$y=(x-2)^2-1$$

Spis treści

Rozwiązane zadania
W trójkącie, którego kąty mają miary...

Rysunek poglądowy:

Trójkąt ABD jest równoramienny:

`|BD| = h` 

Jako iż jest to trójkąt o miarach kątów 90o, 45o, 45o to:

 

 

`tg \ 60^o = h/(|CD|)` 

`|CD| = h/(tg \ 60^o) = h/(sqrt3) = (sqrt3h)/3` 

 

Zatem:

`1 - sqrt3/3`  

`x - 1` 

 

`x = 1/(sqrt3/3) = 3/sqrt3 *sqrt3/sqrt3 = (3sqrt3)/3 = sqrt3` 

 

Stosunek to:

`sqrt3 :1` 

W układzie współrzędnych narysowane są...

Zwróćmy uwagę na punkt A=(1,1), obraz tego punktu w przesuniętym wykresie ma współrzędne (-4, -1)

Zatem musimy się przesunąć o 5 jednostek w lewo i 2 jednostki w dół, wzór funkcji g to:

`g(x) = f(x+5) - 2` 

Odpowiedź: C

Ułamek n/1234, gdzie n jest liczbą dodatnią

Rozłóżmy liczbę 1234 na czynniki pierwsze:

`1234=2*617`

 

Oznacza to, że zachodzi równość:

`n/1234=n/(2*617)`

 

Chcemy wyznaczyć jak najmniejszą taką liczbę n, aby powyższy ułamek miał skończone rozwinięcie dziesiętne. Aby ułamek miał skończone rozwinięcie dziesiętne, w jego mianowniku musi być wielokrotność dziesiątki. Wiemy, że 10=2∙5, więc aby otrzymać ułamek mający skończone rozwinięcie dziesiętne, musimy mieć w mianowniku iloczyn tylko liczb 2 lub 5 (mogą występować same piątki lub same dwójki - wtedy z łatwością rozszerzymy ułamek do wielokrotności dziesiątki). Musimy więc "pozbyć się" liczby 617 z mianownika. Zrobimy to skracając liczbę 617 z licznikiem (n). Mamy podać jak najmniejszą taką liczbę, więc n=617 (jest to najmniejsza liczba, która skróci się z 617 w mianowniku). 

Oceń prawdziwość

`A.\ "fałsz"` 

Podana równość jest prawdziwa dla wszystkich liczb niedodatnich (mniejszych lub równych 0)

 

`B.\ "fałsz"` 

 

 

`C.\ "prawda"` 

 

Podaj pierwiastki trójmianu kwadratowego

`a)\ x_1=-sqrt2,\ \ x_2=sqrt3`

`b)\ x_1=-1,\ \ x_2=-1+sqrt2`

Miejscami zerowymi trójmianu...

`y=-1/4(x+8)(x-4)` 

`y=-1/4(x^2-4x+8x-32)` 

`y=-1/4(x^2+4x-32)` 

`y=-1/4x^2-1x+8` 

 

`b=-1, c=8` 

 

`8b+c=8*(-1)+8=-8+8=0` 

 

Odp. C

a) Oblicz wysokość i pole trójkąta równobocznego

`a)` 

`3a=36\ cm\ \ \ \ =>\ \ \ a=36\ cm:3=12\ cm` 

`h=(asqrt3)/2=(12sqrt3)/2=6sqrt3\ cm` 

`P=1/2*a*h=1/2*12*6sqrt3=36sqrt3\ cm^2` 

 

 

 

`b)` 

 

`7,5=(asqrt3)/2\ \ \ |*2` 

`15=asqrt3\ \ \ \ |:sqrt3` 

`a=15/sqrt3=(15sqrt3)/3=5sqrt3\ cm=|AC|=|CB|` 

`O_(DeltaABC)=15+2*5sqrt3=5(3+2sqrt3)\ cm` 

 

 

 

`c)` 

`|AD|=3\ cm` 

`|AC|=3sqrt2\ cm` 

 

`3\ cm=a` 

`|DB|=asqrt3=3sqrt3\ cm` 

`|BC|=2a=2*3\ cm=6\ cm` 

 

`O_(DeltaABC)=3+3sqrt3+6+3sqrt2=` `3(3+sqrt3+sqrt2)\ cm`   

  

Wyznacz sumę pięćdziesięciu ośmiu cyfr...

`a) \ 2 3/7 = 2,428571428571... = 2,(428571)` 

Cyfry po przecinku to:

`1 \ , \ 2 \ , \ 4 \ , \ 5 \ , \ 7 \ , \ 8` 

Zauważmy, że:

`1+2+4+5+7+8 = 27` 

 

Mamy sumę sześciu takich liczb. Jeżeli pomnożymy tę sumę przez 9 to otrzymamy sumę 54 pierwszych liczb.

`27*9 = 243` 

 

Cyfry stojące na miejscach 55 do 58 to:

`4 \ , \ 2 \ ,\  8 \ , \ 5`  

 

Dodajmy do naszej sumy liczby złożone z tych cyfr:

`243+4+2+8+5 = 262` 

 

`b) \ 5 1/18 = 5,055555...=5,0(5)` 

Na pięćdziesiąt osiem pierwszych cyfr przypada jedna cyfra 0 i same cyfry 5. Zatem sumę możemy obliczyć za pomocą działania:

`57*5 = 285` 

 

`c) \ 6/41 = 0,1463414634...=0,(14634)` 

Analogicznie jak w przykładzie a) obliczmy sumę

`1+4+6+3+4 = 18` 

 

Mnożąc sumę przez 11 otrzymamy sumę 55 pierwszych liczb.

`18*11 =198` 

 

Kolejne trzy cyfry:

`1 \ , \ 4 \ , \ 6` 

 

Dodajmy jest do całej sumy:

`198 + 11= 209` 

 

`d) \ 3 1/24 = 3,0416666... = 3,041(6)` 

Zauważmy, że pierwsze trzy cyfry to:

`0 \ , \ 4 \ , \ 1` 

Pozostałe 55 cyfr to same 6.

 

Obliczmy sumę:

`0 + 4 + 1 + 55*6 = 5 + 330=335` 

Oblicz wartość wyrażenia

W każdym przykładzie mamy już zapisane liczby w postaci rozkłądu na czynniki pierwsze. 

Aby znaleźć NWW bierzemy iloczyn odpowiednich potęg - jeśli w obu liczbach występuje ten sam czynnik pierwszy, ale w różnych potęgach, to bierzemy wyższą potęgę. Jeśli czynnik występuje tylko w jednej liczbie, to także bierzemy go do iloczynu. 

Aby znaleźć NWD bierzemy tylko te czynniki pierwsze, które pojawiają się w rozkładzie obu liczb - jeśli w obu liczbach występuje ten sam czynnik pierwszy, ale w różnych potęgach, to bierzemy mniejszą potęgę. Jeśli czynnik występuje tylko w jednej liczbie, to nie bierzemy go do iloczynu. 

 

 

`a)` 

`NWW(x,\ y)=2^3*3^4*7^3` 

`NWD(x,\ y)=2^2*3^3*7^3` 

 

`(NWW(x,\ y))/(NWD(x,\ y))=(2^3*3^4*7^3)/(2^2*3^3*7^3)=` `2^(3-2)*3^(4-3)*7^(3-3)=` `2*3*1=6` 

 

 

`b)` 

`NWW(x,\ y)=2^2*3^4*5^2*17` 

`NWD(x,\ y)=2*3^3` 

`(NWW(x,\ y))/(NWD(x,\ y))=(2^2*3^4*5^2*17)/(2*3^3)=` `2^(2-1)*3^(4-3)*5^2*17=` 

`=2*3*25*17=2550` 

 

 

`c)` 

`NWW(x,\ y)=3^4*5^2*7^3` 

`NWD(x,\ y)=3^4*5*7` 

`(NWW(x,\ y))/(NWD(x,\ y))=` `(3^4*5^2*7^3)/(3^4*5*7)=` `3^(4-4)*5^(2-1)*7^(3-1)=` `1*5*7^2=245` 

 

 

`d)` 

`NWW(x, \ y)=2*3*5^3*7`  

`NWD(x,\ y)=3*5^2` 

`(NWW(x,\ y))/(NWD(x,\ y))=(2*3*5^3*7)/(3*5^2)=` `2*5^(3-2)*7=2*5*7=70`          

Czy na poniższym rysunku przedstawiono wykres funkcji

`a)`

Jest to funkcja niemalejąca. 

 

`b)`

Jest to funkcja niemalejąca. 

 

`c)`

Nie jest to funkcja niemalejąca, ponieważ wartość dla argumentu a jest równa b, natomiast dla argumentów większych od a wartość jest mniejsza niż b (powinna być większa lub równa b).