Postacie funkcji kwadratowej - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Postacie funkcji kwadratowej

Tutaj musimy się nauczyć kilku form funkcji kwadratowej, wbrew pozorom część z nich już używaliśmy. Wyróżniamy 3 postaci funkcji kwadratowej:

Pierwsza ogólna, czyli doskonale nam znana:

$$y=ax^2+bx+c$$

Druga iloczynowa, czyli to co uzyskujemy przy rozwiązaniu funkcji kwadratowej:

$$y=a(x-x_1)(x-x_2)$$

Gdzie $$x$$ z indeksem dolnym to jedno z rozwiązań

Uwaga!

Pamiętaj, że w postaci iloczynowej wszystko jest mnożone przez współczynnik a.

Ostatnia kanoniczna jest zapisywana przy użyciu wierzchołka paraboli:

$$y=a(x-p)^2+q$$

Jak widać łatwo możemy znaleźć wszystkie pozostałe wzory mając tylko jeden. Właśnie tym się teraz zajmiemy.

Przykład:

Wyznacz postać kanoniczną funkcji $$y=x^2+4x+4$$.

No to analizujemy czego nam potrzeba:

$$a(x-p)^2+q$$ Zmienną a już mamy, a=1, pozostaje nam obliczyć dwie pozostałe.

Korzystamy z wzoru na współrzędną P

$$p={-b}/{2a}$$

I obliczamy

$$p={-4}/{2}=-2$$

Teraz Q, ale do Q potrzebujemy obliczyć deltę, a więc

$$∆=b^2-4ac$$

$$∆=4^2-4*1*4$$

$$∆=16-16$$

$$∆=0$$

No to liczymy Q

$$Q={-∆}/{4a}

Skoro delta to 0

$$Q=0$$

Zatem postać kanoniczna

$$y=a(x-p)^2+q$$

$$y=(x+2)^2+0$$

$$y=(x+2)^2$$

Teraz czas na drugi przykład:

Przykład:

Znajdź wzór ogólny funkcji

$$y=2(x+1)^2+1$$

Widać, że to postać kanoniczna, a szukamy postaci ogólnej, czyli:

$$y=ax^2+bx+c$$

Zobaczmy co my tu mamy:

$$y=a(x-p)^2+q$$

$$y=2(x+1)^2+1$$

$$a=2$$

$$p=-1$$ (wg wzoru jest znak minus, a mamy plus)

$$q=1$$

Potrzebujemy a,b,p

Skorzystajmy z wzoru na współczynnik p, aby obliczyć b:

$$p={-b}/{2a}$$

Podstawiamy posiadane wartości, czyli p i a.

$$-1={-b}/{2×2}$$

I obliczamy

$${-1}={-b}/{4}$$ $$|×4$$

$$-4=-b$$

$$b=4$$

Pozostaje nam c i oczywiście do tego musimy użyć Q

$$Q={-∆}/{4a}$$

Podstawiamy:

$$1=-{b^2-4ac}/{4×2}$$

I liczymy

$$1=-{4^2-4×2×c}/8 $$

$$1=-{16-8c}/8$$

$$1=-(2-c)$$

$$1=-2+c$$

$$c=3$$

Zatem wzór to:

$$y=2x^2+4x+3$$

Ciekawostka: to zadanie dało się rozwiązać dużo prościej, wystarczyło uprościć wzór korzystając ze wzoru skróconego mnożenia:

$$y=2(x+1)^2+1=2(x^2+2x+1)+1=2x^2+4x+2+1=2x^2+4x+3$$

Wynik dało się więc uzyskać w jednej linijce! Dlatego warto przed rozwiązaniem zadania zastanowić się, jak najprościej tego dokonać. Pozwoli to zaoszczędzić trochę czasu na maturze.
 

Uwaga!

Wszystkie użyte tu wzory są zawarte w karcie wzorów na maturze.
Warto zapoznać się z wzorami Viete’a, które ułatwiają przekształcenia.
 

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Znajdź postać ogólną funkcji kwadratowej, której miejsca zerowe to $$x_1=-5$$ , $$x_2=2$$, a współczynnik przy $$x^2$$ jest równy 2.

Mamy za zadanie znaleźć postać ogólną, nic prostszego. Postać iloczynowa to iloczyn zawierający $$x_1$$ i $$x_2$$, postać ogólna to wynik tego iloczynu, więc musimy znaleźć postać iloczynową. Pamiętamy, że postać iloczynowa to $$f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$$. Podstawiamy $$a=2$$, $$x_1=-5$$ oraz $$x_2=2$$:

$$f(x)=2(x+5)(x-2)$$

Musimy wymnożyć nawiasy, aby uzyskać ogólną postać

$$f(x)=2(x+5)(x-2)=2x^2+10x-4x-20$$

$$f(x)=2x^2+6x-20$$

Zadanie 2.

Znajdź postać iloczynową i kanoniczną funkcji $$f(x)=x^2-4x+3$$.

Najpierw zacznijmy od iloczynowej.

Musimy po prostu rozwiązać równanie:

$$x^2-4x+3=0$$

$$a=1$$

$$b=-4$$

$$c=3$$

Obliczmy deltę:

$$∆=b^2-4ac$$

$$∆=(-4)^2-4×1×3$$

$$∆=16-12$$

$$∆=4$$

Obliczmy od razu pierwiastek z delty

$$√{∆}=√4=2$$



No i teraz nasze rozwiązania:

$$x_1={-b+√{∆} }/{2a}$$

$$x_1={4+2}/2=6/2=3$$

$$x_2={-b-√{∆} }/{2a}$$

$$x_2={4-2}/2=2/2=1$$



Podstawiamy nasze rozwiązania do postaci iloczynowej. Gdy podstawimy pod x nasze rozwiązania mamy dostać 0, więc:

$$(x-3)(x-1)=0$$

Zatem postać iloczynowa: $$f(x)=(x-3)(x-1)$$

Pozostaje nam znaleźć kanoniczną

$$f(x)=a(x-p)^2+q$$

Korzystamy z wzoru na P

$$p={-b}/{2a}$$

I obliczamy

$$p=-{-4}/2=2$$

Teraz Q, Deltę obliczyliśmy wcześniej

$$∆=4$$

No to liczymy Q

$$Q={-4}/{4a}=-1$$

$$Q=-1$$

Zatem postać kanoniczna

$$y=a(x-p)^2+q$$

$$y=(x-2)^2-1$$

Spis treści

Rozwiązane zadania
Z kwadratowego arkusza tektury o polu 1600 cm² ...

`a=sqrt(1600\ cm^2)=40\ cm`    - długość boku tego arkusza

Oznaczmy długość boku wyciętego kwadratu przez x, wtedy dostaniemy taką figurę (odcięte kwadraty zaznaczono przerywaną linią)

 

Na pole boczne składają się 4 zamalowane prostokąty. Boki prostokątów muszą być liczbami dodatnimi, więc zapiszmy założenia: 

`40-2x>0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ wedge\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x>0`    

`-2x> -40\ \ \ |:(-2)`  

`x<20` 

 

`D=(0,\ 20)`  - dziedzina

 

Teraz zapiszmy, ile wynosi to pole boczne: 

`P_b=4*x*(40-2x)=` `160x-8x^2=-8x^2+160x`  

 

Mamy funkcję kwadratową o współczynniku a=-8<0, więc ramiona paraboli są skierowane w dół, osiągana jest wartość maksymalna (w wierzchołku paraboli)

`x_w=(-b)/(2a)=(-160)/(2*(-8))=(-160)/(-16)=10` 

Zatem długość boków wycinanych kwadratów powinna wynosić 10 cm

 

`P_b=-8*10^2+160*10=` `-8*100+1600=800\ cm^2` 

Największa znana liczba pierwsza...

Obliczmy logarytm dziesiętny z liczby:

`2^43112609`  

`log 2^43112609 = 43112609 * log 2 approx  12978188,5003329...` 

Liczba `2^(43112609)` ma w rozwinięciu dziesiętnym 12978189 cyfr (12978188+1)

 

b) Wiemy, że:

`log x = log a + n`

Skoro

`log 2^43112609 approx 12978188,5003329...=` 

A więc:

`= 12978188 + 0,5003329...` 

Z tego wynika, że:

`n = 12978188` 

`log a = 0,5003329` 

`a = 10^(0,5003329) approx 3,1647` 

 

Podsumowując

`2^43112609 = a * 10^n = 3,1647 * 10^12978188` 

Punkty A, C należą do jednego z ramion kąta...

Rysunek poglądowy:

 

`a) \ (|OB|)/(|OA|)=(|OD|)/(|OC|)` 

`(|OB|)/(|OA|) = (|OB|+|BD|)/(|OC|)` 

`10/6 = 15/9` 

`10*9 = 6*15` 

`90 = 90` 

Odcinki są równoległe.

 

`b) \ (|OB|)/(|AB|) = (|OD|)/(|CD|)` 

`(2,5)/3 = (|OB|+|BD|)/(4,5)` 

`(2,5)/3 = 4/(4,5)` 

`2,5*4,5 = 3*4` 

`5/2 * 9/2 = 12` 

`45/2 = 12` 

Odcinki nie są równoległe.

 

`c) \ (|OB|)/(|AB|) = (|OD|)/(|CD|)` 

`(|OB|)/(|AB|) = (|OB|+|BD|)/(|CD|)` 

`(|OB|)/(|AB|) = (3|OB|)/(|CD|)` 

`(|OB|)/4 = (3|OB|)/12` 

`(|OB|)/4 = (|OB|)/4` 

Odcinki są równoległe.

Podaj przykład dwóch liczb o nieskończonych okresowych

`a)`

`ul("przykład 1")`

`1/3=0,333...=0,(3)`

`2/3=0,666...=0,(6)`

Dodając te dwie liczby o nieskończonych okresowych rozwinięciach dziesiętnych otrzymamy liczbę całkowitą:

`1/3+2/3=1`

 

 

`ul("przykład 2")`

`1/6=0,1666...=0,1(6)`

`5/6=0,8333...=0,8(3)`

Dodając te dwie liczby o nieskończonych okresowych rozwinięciach dziesiętnych otrzymamy liczbę całkowitą:

`1/6+5/6=1`

 

 

`ul("przykład 3")`

`1 2/9=1,222...=1,(2)`

`1 7/9=1,777...=1,(7)`

Dodając te dwie liczby o nieskończonych okresowych rozwinięciach dziesiętnych otrzymamy liczbę całkowitą:

`1 2/9+1 7/9=3`

 

 

 

`b)`

`ul("przykład 1")`

`1/6=0,1(6)`

`2/6=1/3=0,(3)`

Dodając te dwie liczby o nieskończonych okresowych rozwinięciach dziesiętnych otrzymamy liczbę niecałkowitą o skończonym rozwinięciu dziesiętnym:

`1/6+2/6=3/6=1/2=0,5`

 

 

`ul("przykład 2")`

`6/18=1/3=0,(3)`

`3/18=1/6=0,1(6)`

Dodając te dwie liczby o nieskończonych okresowych rozwinięciach dziesiętnych otrzymamy liczbę niecałkowitą o skończonym rozwinięciu dziesiętnym:

`6/18+3/18=9/18=1/2=0,5`

 

 

`ul("przykład 3")`

`1/12=0,0833...=0,08(3)`

`2/12=1/6=0,1(6)`

Dodając te dwie liczby o nieskończonych okresowych rozwinięciach dziesiętnych otrzymamy liczbę niecałkowitą o skończonym rozwinięciu dziesiętnym:

`1/12+2/12=3/12=1/4=0,25`

 

 

 

 

`c)`

`ul("przykład 1")`

`1/9=0,111...=0,(1)`

`4/9=0,444...=0,(4)`

Dodając te dwie liczby o nieskończonych okresowych rozwinięciach dziesiętnych otrzymamy liczbę niecałkowitą o nieskończonym rozwinięciu dziesiętnym:

`1/9+4/9=5/9=0,555...=0,(5)`

 

 

`ul("przykład 2")`

`2/9=0,222...=0,(2)`

`13/99=0,1313...=0,(13)`

Dodając te dwie liczby o nieskończonych okresowych rozwinięciach dziesiętnych otrzymamy liczbę niecałkowitą o nieskończonym rozwinięciu dziesiętnym:

`2/9+13/99=22/99+13/99=35/99=0,3535...=0,(35)`

 

 

`ul("przykład 3")`

`123/999=0,123123...=0,(123)`

`201/999=0,201201...=0,(201)`

Dodając te dwie liczby o nieskończonych okresowych rozwinięciach dziesiętnych otrzymamy liczbę niecałkowitą o nieskończonym rozwinięciu dziesiętnym:

`123/999+201/999=324/999=0,324324...=0,(324)`

 

Narysuj obraz trójkąta ABC ...

`a)` 

`alpha=90^o` 

`A-"środek obrotu"` 

 

`b)` 

`alpha=90^o` 

`O-"środek obrotu"` 

`c)` 

`alpha=180^o` 

`D-"środek obrotu"` 

Rozwiąż nierówność

`a)`

Pierwsza wartość bezwzględna zeruje się dla x=3, druga zeruje się dla x=0. Mamy więc do rozpatrzenia trzy przypadki. 

 

`1)\ x in (-infty;\ 0)`

`\ \ \ |x-3|+|x|<=3`

`\ \ \ -(x-3)-x<=3`

`\ \ \ -x+3-x<=3`

`\ \ \ -2x+3<=3\ \ \ |-3`

`\ \ \ -2x<=0\ \ \ |:(-2)`

`\ \ \ x>=0`

`(x>=0\ \ \ "i"\ \ \ x in (-infty;\ 0))\ \ \ =>\ \ \ ul("brak rozwiązań")`

 

 

`2)\ x in <<0;\ 3)`

`\ \ \ |x-3|+|x|<=3`

`\ \ \ -(x-3)+x<=3`

`\ \ \ -x+3+x<=3`

`\ \ \ 3<=3`

Powyższa nierówność jest prawdziwa niezależnie od wartości x, dlatego wszystkie liczby z drugiego przedziału są rozwiązaniem wyjściowej nierówności. 

`ul(x in <<0;\ 3))`

 

 

`3)\ x in <<3;\ +infty)`

`\ \ \ |x-3|+|x|<=3`

`\ \ \ x-3+x<=3`

`\ \ \ 2x-3<=3\ \ \ |+3`

`\ \ \ 2x<=6\ \ \ |:2`

`\ \ \ x<=3`

`(x <=3\ \ \ "i"\ \ \ x in <<3;\ +infty))\ \ \ =>\ \ \ ul(x=3)`

 

Łącząc przypadki 1), 2) oraz 3) otrzymujemy ostateczne rozwiązanie nierówności:

`ul(ul(x in <<0;\ 3>>))`

 

`ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ )`

 

 

 

`b)`

Pierwsza wartość bezwzględna zeruje się dla x=1, druga zeruje się dla x=-1. Mamy więc do rozpatrzenia trzy przypadki. 

 

`1)\ x in (-infty;\ -1)`

`\ \ \ |1-x|-|1+x|>=2`

`\ \ \ 1-x+(1+x)>=2`

`\ \ \ 1-x+1+x>=2`

`\ \ \ 2>=2`

Powyższa nierówność jest prawdziwa niezależnie od wartości x, dlatego wszystkie liczby z pierwszego przedziału są rozwiązaniem wyjściowej nierówności. 

`ul(x in (-infty;\ -1)`

 

 

`2)\ x in <<-1;\ 1)`

`\ \ \ |1-x|-|1+x|>=2`

`\ \ \ 1-x-(1+x)>=2`

`\ \ \ 1-x-1-x>=2`

`\ \ \ -2x>=2\ \ \ |:(-2)`

`\ \ \ x<=-1`

`(x<=-1\ \ \ "i"\ \ \ x in <<-1;\ 1))\ \ \ =>\ \ \ ul(x=-1)`

 

`3)\ x in <<1;\ +infty)`

`\ \ \ |1-x|-|1+x|>=2`

`\ \ \ -(1-x)-(1+x)>=2`

`\ \ \ -1+x-1-x>=2`

`\ \ \ -2>=2`

Otrzymaliśmy sprzeczność, więc w tym przedziale nierówność nie ma rozwiązania.

 

 

Łącząc przypadki 1), 2) oraz 3) otrzymujemy ostateczne rozwiązanie nierówności:

`ul(ul(x in (-infty;\ -1>>))`

 

 

`ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ )`

 

 

`c)`

Pierwsza wartość bezwzględna zeruje się dla x=5, druga zeruje się dla x=1. Mamy więc do rozpatrzenia trzy przypadki. 

 

`1)\ x in (-infty;\ 1)`

`\ \ \ |x-5|+|x-1|>=4`

`\ \ \ -(x-5)-(x-1)>=4`

`\ \ \ -x+5-x+1>=4`

`\ \ \ -2x+6>=4\ \ \ |-6`

`\ \ \ -2x>=-2\ \ \ |:(-2)`

`\ \ \ x<=1`

`(x <=1\ \ \ "i"\ \ \ x <=1)\ \ \ =>\ \ \ ul(x in (-infty;\ 1))`

 

 

`2)\ x in <<1;\ 5)`

`\ \ \ |x-5|+|x-1|>=4`

`\ \ \ -(x-5)+(x-1)>=4`

`\ \ \ -x+5+x-1>=4`

`\ \ \ 4>=4`

Powyższa nierówność jest prawdziwa niezależnie od wartości x, dlatego wszystkie liczby z drugiego przedziału są rozwiązaniem wyjściowej nierówności. 

`ul(x in <<1;\ 5))`

 

 

`3)\ x in <<5;\ +infty)`

`\ \ \ |x-5|+|x-1|>=4`

`\ \ \ x-5+x-1>=4`

`\ \ \ 2x-6>=4\ \ \ |+6`

`\ \ \ 2x>=10\ \ \ |:2`

`\ \ \ x>=5`

`(x>=5\ \ \ "i"\ \ \ x in <<5;\ +infty))\ \ \ =>\ \ \ ul(x in <<5;\ +infty))`

 

Łącząc przypadki 1), 2) oraz 3) otrzymujemy ostateczne rozwiązanie nierówności:

`ul(ul(x in RR))`

 

 

`ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ )`

 

 

`d)`

Pierwsza wartość bezwzględna zeruje się dla x=2, druga zeruje się dla x=-2. Mamy więc do rozpatrzenia trzy przypadki. 

 

`1)\ x in (-infty;\ -2)`

`\ \ \ |3x-6|-|x+2|<8`

`\ \ \ -(3x-6)+(x+2)<8`

`\ \ \ -3x+6+x+2<8`

`\ \ \ -2x+8<8\ \ \ |-8`

`\ \ \ -2x<=0\ \ \ |:(-2)`

`\ \ \ x>=0`

`(x>=0\ \ \ "i"\ \ \ x in (-infty;\ -2))\ \ \ =>\ \ \ ul("brak rozwiązań")`

 

`2)\ x in <<-2;\ 2)`

`\ \ \ |3x-6|-|x+2|<8`

`\ \ \ -(3x-6)-(x+2)<8`

`\ \ \ -3x+6-x-2<8`

`\ \ \ -4x+4<8\ \ \ |-4`

`\ \ \ -4x<4\ \ \ |:(-4)`

`\ \ \ x> -1`

`(x> -1\ \ \ "i"\ \ \ x in <<-2;\ 2))\ \ \ =>\ \ \ ul(x in (-1;\ 2))`

 

 

`3)\ x in <<2;\ +infty)`

`\ \ \ |3x-6|-|x+2|<8`

`\ \ \ 3x-6-(x+2)<8`

`\ \ \ 3x-6-x-2<8`

`\ \ \ 2x-8<8\ \ \ |+8`

`\ \ \ 2x<16\ \ \ |:2`

`\ \ \ x<8`

`(x<8\ \ \ "i"\ \ \ x in <<2;\ +infty))\ \ \ =>\ \ \ ul(x in <<2;\ 8))`

 

 

Łącząc przypadki 1), 2) oraz 3) otrzymujemy ostateczne rozwiązanie nierówności:

`ul(ul(x in (-1;\ 8))`

 

 

`ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ )`

 

 

`e)`

`sqrt(x^2+4x+4)+|x|<=5`

`sqrt(x^2+2*x*2+2^2)+|x|<=5`

`sqrt((x+2)^2)+|x|<=5`

`|x+2|+|x|<=5`

 

Pierwsza wartość bezwzględna zeruje się dla x=-2, druga zeruje się dla x=0. Mamy więc do rozpatrzenia trzy przypadki. 

 

`1)\ x in (-infty;\ -2)`

`\ \ \ |x+2|+|x|<=5`

`\ \ \ -(x+2)-x<=5`

`\ \ \ -x-2-x<=5`

`\ \ \ -2x-2<=5\ \ \ |+2`

`\ \ \ -2x<=7\ \ \ |:(-2)`

`\ \ \ x>=-7/2`

`\ \ \ x>=-3 1/2`

`(x>=-3 1/2\ \ \ "i"\ \ \ x in (-infty;\ -2))\ \ \ =>\ \ \ ul(x in <<-3 1/2;\ -2))`

 

`2)\ x in <<-2;\ 0)`

`\ \ \ |x+2|+|x|<=5`

`\ \ \ x+2-x<=5`

`\ \ \ 2<=5`

Powyższa nierówność jest prawdziwa niezależnie od wartości x, dlatego wszystkie liczby z drugiego przedziału są rozwiązaniem wyjściowej nierówności. 

`ul(x in <<-2;\ 0))`

 

`3)\ x in <<0;\ +infty)`

`\ \ \ |x+2|+|x|<=5`

`\ \ \ x+2+x<=5`

`\ \ \ 2x+2<=5\ \ \ |-2`

`\ \ \ 2x<=3\ \ \ |:2`

`\ \ \ x<=3/2`

`\ \ \ x<=1 1/2`

`(x<=1 1/2\ \ \ "i"\ \ \ x in <<0;\ +infty))\ \ \ =>\ \ \ ul(x in <<0;\ 1 1/2>>)`

 

Łącząc przypadki 1), 2) oraz 3) otrzymujemy ostateczne rozwiązanie nierówności:

`ul(ul(x in <<-3 1/2;\ 1 1/2>>))`

 

 

`ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ )`

 

`f)`

`sqrt(9-6x+x^2)-3>sqrt(x^2)`

`sqrt(x^2-6x+9)-3>|x|`

`sqrt(x^2-2*x*3+3^2)-3>|x|`

`sqrt((x-3)^2)-3>|x|`

`|x-3|-3>|x|`

 

Pierwsza wartość bezwzględna zeruje się dla x=3, druga zeruje się dla x=0. Mamy więc do rozpatrzenia trzy przypadki. 

 

 

`1)\ x in (-infty;\ 0)`

`\ \ \ |x-3|-3>|x|`

`\ \ \ -(x-3)-3> -x`

`\ \ \ -x+3-3 > -x`

`\ \ \ -x>=-x\ \ \ |+x`

`\ \ \ 0>0`

Otrzymaliśmy sprzeczność, więc w pierwszym przedziale nierówność nie ma rozwiązania.  

 

 

 

`2)\ x in <<0;\ 3)`

`\ \ \ |x-3|-3>|x|`

`\ \ \ -(x-3)-3>x`

`\ \ \ -x+3-3>x`

`\ \ \ -x>x\ \ \ |-x`

`\ \ \ -2x>0\ \ \ |:(-2)`

`\ \ \ x<0`

`(x<\ \ \ "i"\ \ \ x in <<0;\ 3))\ \ \ =>\ \ \ ul("brak rozwiązań")`

 

 

`3)\ x in <<3;\ +infty)`

`\ \ \ |x-3|-3>|x|`

`\ \ \ x-3-3>x`

`\ \ \ x-6>x\ \ \ |-x`

`\ \ \-6>0`

Otrzymaliśmy sprzeczność, więc w trzecim przedziale nierówność nie ma rozwiązania.  

 

 

   

Łącząc przypadki 1), 2) oraz 3) otrzymujemy, że nierówność nie ma rozwiązania. 

`ul(ul("brak rozwiązania"))`

 

W trójkącie ABC wysokość CD jest równa 20 cm

Trójkąty ABC i EFC są podobne (cecha kkk)

Stosunek pól figur podobnych jest równy kwadratowi ich skali podobieństwa

`(P_(EFC))/(P_(ABC))=4:9=4/9=k^2`

`k^2=4/9`          `i `            `k>0`

`k^2=4/9`          `sqrt`

`k=2/3`

Korzystając ze skali podobieństwa obliczamy najpierw wysokość mniejszego trójkąta:

`k=2/3=h/20`

`2*20=3*h`

`40=3h`           `/:3`

`h=40/3= 13 1/3 cm`

 

Odległość odcinka EF od boku AB stanowi różnicę między wysokością większego i mniejszego trójkąta. 

`d=20cm-13 1/3 cm=ul(ul( 6 2/3 cm))`

 

Z ilu kilogramów mleka można otrzymać 31,5 kg śmietany

`20\ kg\ "mleka"\ \ \ -\ \ \ 7\ kg\ "śmietany"`

`x\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ -\ \ \ 31,5\ kg\ "śmietany"`

 

`20/7=x/(31,5)`

`20*31,5=7x`

`630=7x\ \ \ \ |:7`

`x=90`

 

Zapisz w postaci iloczynu

`a)` 

`x^2-2x-3=x^2-2x+1-4=(x-1)^2-4=(x-1)^2-2^2=(x-1-2)(x-1+2)=(x-3)(x+1)` 

 

 

`b)` 

`y^2-4y-5=y^2-4y+4-9=(y-2)^2-9=(y-2)^2-3^2=(y-2-3)(y-2+3)=(y-5)(y+1)` 

 

 

`c)` 

`z^2-2x^2=z^2-(sqrt2x)^2=(z-sqrt2x)(z+sqrt2x)` 

 

 

`d)` 

`3-w^2-2w=3-w^2-2w-1+1=4-w^2-2w-1=4-(w^2+2w+1)=4-(w+1)^2=`  

`=(2-(w+1))(2+(w+1))=(2-w-1)(2+w+1)=(1-w)(3+w)`   

 

Określ monotoniczność funkcji f

`a)\ a=0,003>0\ \ \ -\ \ \ "rosnąca"`

`c)\ a=3,14-pi~~3,14-3,14159...<0\ \ \ -\ \ \ "malejąca"`

`d)\ a=0\ \ \ -\ \ \ "stała"`

`e)\ a=-1/(sqrt3-3)=1/(3-sqrt3)~~1/(3-1,73)>0\ \ \ -\ \ \ "rosnąca"`

`f)\ a=1/2-1/sqrt2=sqrt2/(2sqrt2)-2/(2sqrt2)=(sqrt2-2)/(2sqrt2)~~(1,41-2)/(2*1,41)<0\ \ \ -\ \ \ "malejąca"`

 ` `  

` `