Postacie funkcji kwadratowej - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Postacie funkcji kwadratowej

Tutaj musimy się nauczyć kilku form funkcji kwadratowej, wbrew pozorom część z nich już używaliśmy. Wyróżniamy 3 postaci funkcji kwadratowej:

Pierwsza ogólna, czyli doskonale nam znana:

$$y=ax^2+bx+c$$

Druga iloczynowa, czyli to co uzyskujemy przy rozwiązaniu funkcji kwadratowej:

$$y=a(x-x_1)(x-x_2)$$

Gdzie $$x$$ z indeksem dolnym to jedno z rozwiązań

Uwaga!

Pamiętaj, że w postaci iloczynowej wszystko jest mnożone przez współczynnik a.

Ostatnia kanoniczna jest zapisywana przy użyciu wierzchołka paraboli:

$$y=a(x-p)^2+q$$

Jak widać łatwo możemy znaleźć wszystkie pozostałe wzory mając tylko jeden. Właśnie tym się teraz zajmiemy.

Przykład:

Wyznacz postać kanoniczną funkcji $$y=x^2+4x+4$$.

No to analizujemy czego nam potrzeba:

$$a(x-p)^2+q$$ Zmienną a już mamy, a=1, pozostaje nam obliczyć dwie pozostałe.

Korzystamy z wzoru na współrzędną P

$$p={-b}/{2a}$$

I obliczamy

$$p={-4}/{2}=-2$$

Teraz Q, ale do Q potrzebujemy obliczyć deltę, a więc

$$∆=b^2-4ac$$

$$∆=4^2-4*1*4$$

$$∆=16-16$$

$$∆=0$$

No to liczymy Q

$$Q={-∆}/{4a}

Skoro delta to 0

$$Q=0$$

Zatem postać kanoniczna

$$y=a(x-p)^2+q$$

$$y=(x+2)^2+0$$

$$y=(x+2)^2$$

Teraz czas na drugi przykład:

Przykład:

Znajdź wzór ogólny funkcji

$$y=2(x+1)^2+1$$

Widać, że to postać kanoniczna, a szukamy postaci ogólnej, czyli:

$$y=ax^2+bx+c$$

Zobaczmy co my tu mamy:

$$y=a(x-p)^2+q$$

$$y=2(x+1)^2+1$$

$$a=2$$

$$p=-1$$ (wg wzoru jest znak minus, a mamy plus)

$$q=1$$

Potrzebujemy a,b,p

Skorzystajmy z wzoru na współczynnik p, aby obliczyć b:

$$p={-b}/{2a}$$

Podstawiamy posiadane wartości, czyli p i a.

$$-1={-b}/{2×2}$$

I obliczamy

$${-1}={-b}/{4}$$ $$|×4$$

$$-4=-b$$

$$b=4$$

Pozostaje nam c i oczywiście do tego musimy użyć Q

$$Q={-∆}/{4a}$$

Podstawiamy:

$$1=-{b^2-4ac}/{4×2}$$

I liczymy

$$1=-{4^2-4×2×c}/8 $$

$$1=-{16-8c}/8$$

$$1=-(2-c)$$

$$1=-2+c$$

$$c=3$$

Zatem wzór to:

$$y=2x^2+4x+3$$

Ciekawostka: to zadanie dało się rozwiązać dużo prościej, wystarczyło uprościć wzór korzystając ze wzoru skróconego mnożenia:

$$y=2(x+1)^2+1=2(x^2+2x+1)+1=2x^2+4x+2+1=2x^2+4x+3$$

Wynik dało się więc uzyskać w jednej linijce! Dlatego warto przed rozwiązaniem zadania zastanowić się, jak najprościej tego dokonać. Pozwoli to zaoszczędzić trochę czasu na maturze.
 

Uwaga!

Wszystkie użyte tu wzory są zawarte w karcie wzorów na maturze.
Warto zapoznać się z wzorami Viete’a, które ułatwiają przekształcenia.
 

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Znajdź postać ogólną funkcji kwadratowej, której miejsca zerowe to $$x_1=-5$$ , $$x_2=2$$, a współczynnik przy $$x^2$$ jest równy 2.

Mamy za zadanie znaleźć postać ogólną, nic prostszego. Postać iloczynowa to iloczyn zawierający $$x_1$$ i $$x_2$$, postać ogólna to wynik tego iloczynu, więc musimy znaleźć postać iloczynową. Pamiętamy, że postać iloczynowa to $$f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$$. Podstawiamy $$a=2$$, $$x_1=-5$$ oraz $$x_2=2$$:

$$f(x)=2(x+5)(x-2)$$

Musimy wymnożyć nawiasy, aby uzyskać ogólną postać

$$f(x)=2(x+5)(x-2)=2x^2+10x-4x-20$$

$$f(x)=2x^2+6x-20$$

Zadanie 2.

Znajdź postać iloczynową i kanoniczną funkcji $$f(x)=x^2-4x+3$$.

Najpierw zacznijmy od iloczynowej.

Musimy po prostu rozwiązać równanie:

$$x^2-4x+3=0$$

$$a=1$$

$$b=-4$$

$$c=3$$

Obliczmy deltę:

$$∆=b^2-4ac$$

$$∆=(-4)^2-4×1×3$$

$$∆=16-12$$

$$∆=4$$

Obliczmy od razu pierwiastek z delty

$$√{∆}=√4=2$$



No i teraz nasze rozwiązania:

$$x_1={-b+√{∆} }/{2a}$$

$$x_1={4+2}/2=6/2=3$$

$$x_2={-b-√{∆} }/{2a}$$

$$x_2={4-2}/2=2/2=1$$



Podstawiamy nasze rozwiązania do postaci iloczynowej. Gdy podstawimy pod x nasze rozwiązania mamy dostać 0, więc:

$$(x-3)(x-1)=0$$

Zatem postać iloczynowa: $$f(x)=(x-3)(x-1)$$

Pozostaje nam znaleźć kanoniczną

$$f(x)=a(x-p)^2+q$$

Korzystamy z wzoru na P

$$p={-b}/{2a}$$

I obliczamy

$$p=-{-4}/2=2$$

Teraz Q, Deltę obliczyliśmy wcześniej

$$∆=4$$

No to liczymy Q

$$Q={-4}/{4a}=-1$$

$$Q=-1$$

Zatem postać kanoniczna

$$y=a(x-p)^2+q$$

$$y=(x-2)^2-1$$

Spis treści

Rozwiązane zadania
Zużycie preparatu do chlorowania wody w basenie

 

Wiemy, że zużycie preparatu do chlorowania wody w basenie jest wprost proporcjonalne do ilości wody wypełniającej basen, co oznacza, że iloraz ilości wody wypełniającej basen do ilości preparatu do chlorowania jest stały:

Podaj przybliżenie dziesiętne liczb...

 {premium}

 

 

 

Przekątne prostokąta mają długość...

Przekątne prostokąta połowią się. Zauważmy, że podzielą prostokąt na dwa trójkąty równoboczne i dwa trójkąty równoramienne.

 

 

 

 

 

Obwód prostokąta:

 

Pole prostokąta:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Pamiętajmy, że stosunek pól figur podobnych jest równy kwadratowi podobieństwa.

 

 

Skróć ułamki. Podaj konieczne założenia.

 Mianownik ułamka nie może być równy zero, stąd:

 

 

 

Skracamy ułamek:

 


 Mianownik ułamka nie może być równy zero, stąd:

 

 

 

 

Skracamy ułamek:

 {premium}


 Mianownik ułamka nie może być równy zero, stąd:

 

 

 

 

 

 

Skracamy ułamek:

 


 Mianownik ułamka nie może być równy zero, stąd:

 

 

 

 

 

 

 

Skracamy ułamek:

 


 Mianownik ułamka nie może być równy zero, stąd:

 

 

 

 

 

 

 

Skracamy ułamek:

 


 Mianownik ułamka nie może być równy zero, stąd:

 

 

 

 

 

 

Skracamy ułamek:

 


 Mianownik ułamka nie może być równy zero, stąd:

 

 

 

 

Skracamy ułamek:

 

 


 Mianownik ułamka nie może być równy zero, stąd:

 

 

 

 

 

 

 

 

Skracamy ułamek:

 

Suma kwadratów trzech kolejnych nieparzystych...

 - trzy kolejne nieparzyste liczby naturalne

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Odp. Te liczby to 7, 9, 11.

Bok pewnego trójkąta zawiera się...

Wysokość opuszczona na ten bok musi być prostopadła do prostej  

czyli musi się zawierać w prostej prostopadłej do prostej o równaniu  

Współczynnik kierunkowy prostej prostopadłej do  będzie równy:

 

Zatem prawidłowa odpowiedź to  

Z wierzchołka kąta prostego...

Na dowolnym trójkącie można opisać okrąg, rysunek poglądowy:

podglad pliku{premium}

Środkowa - AS

Dwusieczna - AD

Wysokość - AW

 

Punkt S jest środkiem okręgu i dzieli przeciwprostokątną na dwie równe cześci, z tego wynika, że trójkąt ASB jest równoramienny, czyli:

 

 

Zatem:

 

 

Dodatkowo wiemy, że:

 

a więc:

 

 

Zauważmy, że:

 

 

 

Odpowiedź: Wysokość, środkowa oraz dwusieczna poprowadzone z wierzchołka kąta prostego podzieliły ten kąt na kąty o miarach 29o, 16o, 16o i 29o.

Dla jakich wartości parametru p..

a) Równanie jest liniowe dla p=3:

 

 

A więc dla p = 3 równanie ma jedno rozwiązanie. 

 

 

Sprawdźmy kiedy  

 

 

A więc jedno rozwiązanie tylko dla p=3.   

 

b) Dwa różne pierwiastki gdy:

 

 

 

 

A więc mamy 2 rozwiązania dla 

 

Rozwiąż

 

 

 

 

 

 

 

  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

   

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Wartość bezwzględna jest zawsze nieujemna, więc aby powyższa nierówność zachodziła; musimy zadbać o to, aby wyrażenie pod wartością bezwzględną nie przyjmowało wartości 0: 

 

 

  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  

 

 

 

 

    

 

 

 

 

  

 

 

 

 

  

` `  

 

 

  

 

 

 

Korzystając z odpowiedniej cechy przystawania

Zgodnie z zasadami dotyczącymi kątów wierzchołkowych i naprzemianległych podpisujemy odpowiadające sobie kąty:

Trójkąty ABO i OCD:

  • posiadają równe sobie boki będące jednocześnie bokami równoległoboku:

  • kąty przyległe do tych boków są sobie równe

Zatem zgodnie z cechą kbk(kąt, bok, kąt) są to trójkąty przystające.

Skoro są to trójkąty przystające, odpowiadające sobie boki są sobie równe, zatem:

Z tego bezpośrednio wynika, że przekątna DB podzielona jest przez drugą przekątną na pół, ponieważ:

 

Podobnie trójkąty BCO i AOD:

  • posiadają równe sobie boki będące jednocześnie bokami równoległoboku:

  • kąty przyległe do tych boków są sobie równe

Zatem zgodnie z cechą kbk(kąt, bok, kąt) są to trójkąty przystające.

Skoro są to trójkąty przystające, odpowiadające sobie boki są sobie równe, zatem:

Z tego bezpośrednio wynika, że przekątna AB podzielona jest przez drugą przekątną na pół, ponieważ: