Postacie funkcji kwadratowej - matura-podstawowa - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Postacie funkcji kwadratowej - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Postacie funkcji kwadratowej

Tutaj musimy się nauczyć kilku form funkcji kwadratowej, wbrew pozorom część z nich już używaliśmy. Wyróżniamy 3 postaci funkcji kwadratowej:

Pierwsza ogólna, czyli doskonale nam znana:

$y=ax^2+bx+c$

Druga iloczynowa, czyli to co uzyskujemy przy rozwiązaniu funkcji kwadratowej:

$y=a(x-x_1)(x-x_2)$

Gdzie $x$ z indeksem dolnym to jedno z rozwiązań

Uwaga!

Pamiętaj, że w postaci iloczynowej wszystko jest mnożone przez współczynnik a.

Ostatnia kanoniczna jest zapisywana przy użyciu wierzchołka paraboli:

$y=a(x-p)^2+q$

Jak widać łatwo możemy znaleźć wszystkie pozostałe wzory mając tylko jeden. Właśnie tym się teraz zajmiemy.

Przykład:

Wyznacz postać kanoniczną funkcji $y=x^2+4x+4$.

No to analizujemy czego nam potrzeba:

$a(x-p)^2+q$ Zmienną a już mamy, a=1, pozostaje nam obliczyć dwie pozostałe.

Korzystamy z wzoru na współrzędną P

$p={-b}/{2a}$

I obliczamy

$p={-4}/{2}=-2$

Teraz Q, ale do Q potrzebujemy obliczyć deltę, a więc

$∆=b^2-4ac$

$∆=4^2-4*1*4$

$∆=16-16$

$∆=0$

No to liczymy Q

$Q={-∆}/{4a}

Skoro delta to 0

$Q=0$

Zatem postać kanoniczna

$y=a(x-p)^2+q$

$y=(x+2)^2+0$

$y=(x+2)^2$

Teraz czas na drugi przykład:

Przykład:

Znajdź wzór ogólny funkcji

$y=2(x+1)^2+1$

Widać, że to postać kanoniczna, a szukamy postaci ogólnej, czyli:

$y=ax^2+bx+c$

Zobaczmy co my tu mamy:

$y=a(x-p)^2+q$

$y=2(x+1)^2+1$

$a=2$

$p=-1$ (wg wzoru jest znak minus, a mamy plus)

$q=1$

Potrzebujemy a,b,p

Skorzystajmy z wzoru na współczynnik p, aby obliczyć b:

$p={-b}/{2a}$

Podstawiamy posiadane wartości, czyli p i a.

$-1={-b}/{2×2}$

I obliczamy

${-1}={-b}/{4}$ $|×4$

$-4=-b$

$b=4$

Pozostaje nam c i oczywiście do tego musimy użyć Q

$Q={-∆}/{4a}$

Podstawiamy:

$1=-{b^2-4ac}/{4×2}$

I liczymy

$1=-{4^2-4×2×c}/8 $

$1=-{16-8c}/8$

$1=-(2-c)$

$1=-2+c$

$c=3$

Zatem wzór to:

$y=2x^2+4x+3$

Ciekawostka: to zadanie dało się rozwiązać dużo prościej, wystarczyło uprościć wzór korzystając ze wzoru skróconego mnożenia:

$y=2(x+1)^2+1=2(x^2+2x+1)+1=2x^2+4x+2+1=2x^2+4x+3$

Wynik dało się więc uzyskać w jednej linijce! Dlatego warto przed rozwiązaniem zadania zastanowić się, jak najprościej tego dokonać. Pozwoli to zaoszczędzić trochę czasu na maturze.
 

Uwaga!

Wszystkie użyte tu wzory są zawarte w karcie wzorów na maturze.
Warto zapoznać się z wzorami Viete’a, które ułatwiają przekształcenia.
 

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Znajdź postać ogólną funkcji kwadratowej, której miejsca zerowe to $x_1=-5$ , $x_2=2$, a współczynnik przy $x^2$ jest równy 2.

Mamy za zadanie znaleźć postać ogólną, nic prostszego. Postać iloczynowa to iloczyn zawierający $x_1$ i $x_2$, postać ogólna to wynik tego iloczynu, więc musimy znaleźć postać iloczynową. Pamiętamy, że postać iloczynowa to $f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$. Podstawiamy $a=2$, $x_1=-5$ oraz $x_2=2$:

$f(x)=2(x+5)(x-2)$

Musimy wymnożyć nawiasy, aby uzyskać ogólną postać

$f(x)=2(x+5)(x-2)=2x^2+10x-4x-20$

$f(x)=2x^2+6x-20$

Zadanie 2.

Znajdź postać iloczynową i kanoniczną funkcji $f(x)=x^2-4x+3$.

Najpierw zacznijmy od iloczynowej.

Musimy po prostu rozwiązać równanie:

$x^2-4x+3=0$

$a=1$

$b=-4$

$c=3$

Obliczmy deltę:

$∆=b^2-4ac$

$∆=(-4)^2-4×1×3$

$∆=16-12$

$∆=4$

Obliczmy od razu pierwiastek z delty

$√{∆}=√4=2$



No i teraz nasze rozwiązania:

$x_1={-b+√{∆} }/{2a}$

$x_1={4+2}/2=6/2=3$

$x_2={-b-√{∆} }/{2a}$

$x_2={4-2}/2=2/2=1$



Podstawiamy nasze rozwiązania do postaci iloczynowej. Gdy podstawimy pod x nasze rozwiązania mamy dostać 0, więc:

$(x-3)(x-1)=0$

Zatem postać iloczynowa: $f(x)=(x-3)(x-1)$

Pozostaje nam znaleźć kanoniczną

$f(x)=a(x-p)^2+q$

Korzystamy z wzoru na P

$p={-b}/{2a}$

I obliczamy

$p=-{-4}/2=2$

Teraz Q, Deltę obliczyliśmy wcześniej

$∆=4$

No to liczymy Q

$Q={-4}/{4a}=-1$

$Q=-1$

Zatem postać kanoniczna

$y=a(x-p)^2+q$

$y=(x-2)^2-1$

Spis treści

Rozwiązane zadania
Sprawdź, czy punkty A, B, C

W każdym podpunkcie najpierw wyznaczymy równanie prostej przechodzącej przez punkty A i B. 

Będziemy korzystać z tego, że prosta ma równanie y=ax+b. Podstawiamy współrzędne{premium} punktów w miejsce x (pierwsza współrzędna) oraz w miejsce y (druga współrzędna), dzięki czemu otrzymamy układ równań, z którego wyliczymy współczynniki a oraz b. 

Mając równanie prostej przechodzącej przez punkty A i B sprawdzimy, czy należy do niej punkt C. Jeśli tak, to punkty A, B, C leżą na jednej prostej. 

 

 

 

Wyznaczamy równanie prostej przechodzącej przez punkty A, B:

 

 

 

 

 

Podstawiamy obliczoną wartość współczynnika a do drugiego równania drugiego układu:

 

 

 

 

Mamy więc równanie prostej przechodzącej przez punkty A i B:

 

 

Sprawdzamy, czy współrzędne punktu C spełniają powyższe równanie:

 

 

 

 

Równość nie jest spełniona, więc punkty A, B, C nie należą do wykresu tej samej funkcji liniowej. 

 

 

 

 

Wyznaczamy równanie prostej przechodzącej przez punkty A, B:

 

 

 

 

 

Podstawiamy obliczoną wartość współczynnika a do drugiego równania drugiego układu:

 

 

 

 

 

Mamy więc równanie prostej przechodzącej przez punkty A i B:

 

 

Sprawdzamy, czy współrzędne punktu C spełniają powyższe równanie:

 

 

 

 

Równość jest spełniona, więc punkty A, B, C należą do wykresu tej samej funkcji liniowej. 

 

Oblicz, stosując prawa działań na potęgach:

Przypomnijmy prawa działań na potęgach.

Jeśli  i  są liczbami naturalnymi,  i  są liczbami rzeczywistymi różnymi od zera, to:

 

 dla  

 

 

 

 



 


 

 {premium}


 


 


 


  


 

 


 


 

 

 

Narysuj wykres przykładowej funkcji...

a) Wykres:

 

b) Wykres:

{premium}

 

c) Wykres:

 

d) Wykres:

 

e) Wykres:

 

f) Wykres:

Dłuższa podstawa trapezu ma długość...

a) Rysunek poglądowy:

Skala podobieństwa większego trójkąta do mniejszego wynosi 4, zatem krótsza podstawa ma długość 2. Pole:

 

 

b) Rysunek poglądowy:

 

 

Stosunek pól trójkątów jest równy kwadratowi skali ich podobieństwa.

{premium}  

 

 

 

A więc

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Znając skalę podobieństwa łatwo zauważyć, ile wynosi długość trójkąta CDS:

 

 

Zatem wysokość trójkąta wynosi:

 

Oblicz pozostałe wartości funkcji trygonometrycznych...

Podstawowe tożsamości trygonometryczne:

 

 

 

 

Tożsamość 1) nazywamy jedynką trygonometryczną.


 


 

Obliczamy cos 𝛼 z jedynki trygonometrycznej:

 

 

 

 {premium}

odrzucamy

Obliczamy tg 𝛼 ze wzoru 3):

 

Obliczamy ctg 𝛼 ze wzoru 4):

 

Otrzymaliśmy:

 


 

Obliczamy sin 𝛼 z jedynki trygonometrycznej:

 

 

 

 

odrzucamy

Obliczamy tg 𝛼 ze wzoru 3):

 

Obliczamy ctg 𝛼 ze wzoru 4):

 

Otrzymaliśmy:

 


 

Obliczamy ctg 𝛼 ze wzoru 2):

 

 

 

Ze wzoru 3) wyznaczmy związek sinusa z cosinusem:

 

 

 

Wykorzystując powyższą zależność i jedynkę trygonometryczną, obliczamy cos 𝛼:

 

 

 

 

 

odrzucamy

Obliczamy sin 𝛼:

 

 

Otrzymaliśmy:

 


 

Obliczamy tg 𝛼 ze wzoru 2):

 

 

 

Ze wzoru 3) wyznaczmy związek sinusa z cosinusem:

 

 

 

Wykorzystując powyższą zależność i jedynkę trygonometryczną, obliczamy cos 𝛼:

 

 

 

 

 

odrzucamy

Obliczamy sin 𝛼:

 

 

Otrzymaliśmy:

 

Wykaż, że równość jest prawdziwa ...

 

 

Liczba -1 została podniesiona do potęgi o wykładniku nieparzystego stopnia (podstawiając w miejsce  dowolną liczbę naturalną, wyrażenie  będzie liczbą nieparzystą).

Liczba ujemna podniesiona do potęgi o wykładniku nieparzystego stopnia jest liczbą ujemną. {premium}


 

 

Zauważmy, że:

 

 

 

 

 

Równość jest prawdziwa dla dowolnej liczby naturalnej .


 

 


Rozważmy dwa przypadki:

1.  jest liczbą parzystą

Liczba -1 została podniesiona do potęgi o wykładniku nieparzystego stopnia (podstawiając w miejsce  dowolną liczbę naturalną, wyrażenie  będzie liczbą nieparzystą - suma dwóch liczb parzystych i liczby 1 jest liczbą nieparzystą).

Liczba ujemna podniesiona do potęgi o wykładniku nieparzystego stopnia jest liczbą ujemną.

2.  jest liczbą nieparzystą

Liczba -1 została podniesiona do potęgi o wykładniku nieparzystego stopnia (podstawiając w miejsce  dowolną liczbę naturalną, wyrażenie  będzie liczbą nieparzystą - suma dwóch liczb nieparzystych i liczby 1 jest liczbą nieparzystą).

Liczba ujemna podniesiona do potęgi o wykładniku nieparzystego stopnia jest liczbą ujemną.

Równość ...

Sprawdzamy, czy równość jest prawdziwa dla którejś z podanych liczb.

 

 {premium}

 

 


 

 

 

 


 

 

 

 


Odpowiedź: C

Wskaż założenie i tezę ...

a) Założenie: Długości trzech boków jednego trójkąta są równe długościom odpowiednich boków drugiego trójkąta.

    Teza: Trójkąty są przystające.

{premium}

 

b) Założenie: a i b są dowolnymi nieujemnymi liczbami rzeczywistymi.

    Teza: 

 

Trójkąt A'B'C'...
|k| |AB| |BC| |AC| |A'B'| |B'C'| |A'C'| obwód ▲ABC obwód ▲A'B'C'
1/3 18 33 27 6 11 9 78 26
0,4 16 13 8 6,4 5,2 3,2 37 14,8
2/3 21 24 27 14 16 18 72 48
1/7 14 21 28 2 3 4 63 9

{premium}

 

 

 

 

 

 

  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Na wycieczkę pojechało 21 osób o średniej...

 wiek przewodnika

Ze wzoru na średnią mamy:{premium}

 

 

 

 

Odp. Przewodnik ma lat.