Postacie funkcji kwadratowej - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Postacie funkcji kwadratowej

Tutaj musimy się nauczyć kilku form funkcji kwadratowej, wbrew pozorom część z nich już używaliśmy. Wyróżniamy 3 postaci funkcji kwadratowej:

Pierwsza ogólna, czyli doskonale nam znana:

$$y=ax^2+bx+c$$

Druga iloczynowa, czyli to co uzyskujemy przy rozwiązaniu funkcji kwadratowej:

$$y=a(x-x_1)(x-x_2)$$

Gdzie $$x$$ z indeksem dolnym to jedno z rozwiązań

Uwaga!

Pamiętaj, że w postaci iloczynowej wszystko jest mnożone przez współczynnik a.

Ostatnia kanoniczna jest zapisywana przy użyciu wierzchołka paraboli:

$$y=a(x-p)^2+q$$

Jak widać łatwo możemy znaleźć wszystkie pozostałe wzory mając tylko jeden. Właśnie tym się teraz zajmiemy.

Przykład:

Wyznacz postać kanoniczną funkcji $$y=x^2+4x+4$$.

No to analizujemy czego nam potrzeba:

$$a(x-p)^2+q$$ Zmienną a już mamy, a=1, pozostaje nam obliczyć dwie pozostałe.

Korzystamy z wzoru na współrzędną P

$$p={-b}/{2a}$$

I obliczamy

$$p={-4}/{2}=-2$$

Teraz Q, ale do Q potrzebujemy obliczyć deltę, a więc

$$∆=b^2-4ac$$

$$∆=4^2-4*1*4$$

$$∆=16-16$$

$$∆=0$$

No to liczymy Q

$$Q={-∆}/{4a}

Skoro delta to 0

$$Q=0$$

Zatem postać kanoniczna

$$y=a(x-p)^2+q$$

$$y=(x+2)^2+0$$

$$y=(x+2)^2$$

Teraz czas na drugi przykład:

Przykład:

Znajdź wzór ogólny funkcji

$$y=2(x+1)^2+1$$

Widać, że to postać kanoniczna, a szukamy postaci ogólnej, czyli:

$$y=ax^2+bx+c$$

Zobaczmy co my tu mamy:

$$y=a(x-p)^2+q$$

$$y=2(x+1)^2+1$$

$$a=2$$

$$p=-1$$ (wg wzoru jest znak minus, a mamy plus)

$$q=1$$

Potrzebujemy a,b,p

Skorzystajmy z wzoru na współczynnik p, aby obliczyć b:

$$p={-b}/{2a}$$

Podstawiamy posiadane wartości, czyli p i a.

$$-1={-b}/{2×2}$$

I obliczamy

$${-1}={-b}/{4}$$ $$|×4$$

$$-4=-b$$

$$b=4$$

Pozostaje nam c i oczywiście do tego musimy użyć Q

$$Q={-∆}/{4a}$$

Podstawiamy:

$$1=-{b^2-4ac}/{4×2}$$

I liczymy

$$1=-{4^2-4×2×c}/8 $$

$$1=-{16-8c}/8$$

$$1=-(2-c)$$

$$1=-2+c$$

$$c=3$$

Zatem wzór to:

$$y=2x^2+4x+3$$

Ciekawostka: to zadanie dało się rozwiązać dużo prościej, wystarczyło uprościć wzór korzystając ze wzoru skróconego mnożenia:

$$y=2(x+1)^2+1=2(x^2+2x+1)+1=2x^2+4x+2+1=2x^2+4x+3$$

Wynik dało się więc uzyskać w jednej linijce! Dlatego warto przed rozwiązaniem zadania zastanowić się, jak najprościej tego dokonać. Pozwoli to zaoszczędzić trochę czasu na maturze.
 

Uwaga!

Wszystkie użyte tu wzory są zawarte w karcie wzorów na maturze.
Warto zapoznać się z wzorami Viete’a, które ułatwiają przekształcenia.
 

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Znajdź postać ogólną funkcji kwadratowej, której miejsca zerowe to $$x_1=-5$$ , $$x_2=2$$, a współczynnik przy $$x^2$$ jest równy 2.

Mamy za zadanie znaleźć postać ogólną, nic prostszego. Postać iloczynowa to iloczyn zawierający $$x_1$$ i $$x_2$$, postać ogólna to wynik tego iloczynu, więc musimy znaleźć postać iloczynową. Pamiętamy, że postać iloczynowa to $$f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$$. Podstawiamy $$a=2$$, $$x_1=-5$$ oraz $$x_2=2$$:

$$f(x)=2(x+5)(x-2)$$

Musimy wymnożyć nawiasy, aby uzyskać ogólną postać

$$f(x)=2(x+5)(x-2)=2x^2+10x-4x-20$$

$$f(x)=2x^2+6x-20$$

Zadanie 2.

Znajdź postać iloczynową i kanoniczną funkcji $$f(x)=x^2-4x+3$$.

Najpierw zacznijmy od iloczynowej.

Musimy po prostu rozwiązać równanie:

$$x^2-4x+3=0$$

$$a=1$$

$$b=-4$$

$$c=3$$

Obliczmy deltę:

$$∆=b^2-4ac$$

$$∆=(-4)^2-4×1×3$$

$$∆=16-12$$

$$∆=4$$

Obliczmy od razu pierwiastek z delty

$$√{∆}=√4=2$$



No i teraz nasze rozwiązania:

$$x_1={-b+√{∆} }/{2a}$$

$$x_1={4+2}/2=6/2=3$$

$$x_2={-b-√{∆} }/{2a}$$

$$x_2={4-2}/2=2/2=1$$



Podstawiamy nasze rozwiązania do postaci iloczynowej. Gdy podstawimy pod x nasze rozwiązania mamy dostać 0, więc:

$$(x-3)(x-1)=0$$

Zatem postać iloczynowa: $$f(x)=(x-3)(x-1)$$

Pozostaje nam znaleźć kanoniczną

$$f(x)=a(x-p)^2+q$$

Korzystamy z wzoru na P

$$p={-b}/{2a}$$

I obliczamy

$$p=-{-4}/2=2$$

Teraz Q, Deltę obliczyliśmy wcześniej

$$∆=4$$

No to liczymy Q

$$Q={-4}/{4a}=-1$$

$$Q=-1$$

Zatem postać kanoniczna

$$y=a(x-p)^2+q$$

$$y=(x-2)^2-1$$

Spis treści

Rozwiązane zadania
Naszkicuj wykres funkcji f ...

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne rownanie matematyczne

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

 

rownanie matematyczne 

 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

 

rownanie matematyczne   

rownanie matematyczne   

 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne  

Funkcja f w przedziale...

Obliczamy odciętą wierzchołka paraboli:

rownanie matematyczne 

W takim razie funkcja przyjmuje najmniejszą wartość w wierzchołku. 

Sprawdzamy, dla jakiego rownanie matematyczne zachodzi rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

Prawidłowa odpowiedź to rownanie matematyczne   

   

Oblicz

rownanie matematyczne {premium}

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne `(3/4)^(-5+3)=(3/4)^(-2)=(4/3)^2=16/9=1 7/9` 

rownanie matematyczne 

Funkcja liniowa y = ax + b jest rosnąca...

Skoro funkcja liniowa jest rosnąca to a>0. Jeżeli jej miejscem zerowym jest liczba ujemna to znaczy, że funkcja będzie przecinać oś y w jej dodatniej części, zatem b>0. Stąd:

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

Naszkicuj wykres funkcji f

rownanie matematyczne

Wystarczy przesunąć wykres funkcji y=-x² o 3 jednostki w prawo wzdłuż osi OX. 

rownanie matematyczne

 

 

rownanie matematyczne

Wystarczy przesunąć wykres funkcji y=-x² o 1 jednostkę w prawo wzdłuż osi OX oraz o 2 jednostki w dół wzdłuż osi OY. 

rownanie matematyczne

 

 

rownanie matematyczne

Wystarczy przesunąć wykres funkcji y=-x² o 1 jednostkę w lewo wzdłuż osi OX oraz o 4 jednostki w górę wzdłuż osi OY. 

rownanie matematyczne

Naszkicuj wykres funkcji

rownanie matematyczne 

Jeśli punkt P należy do wykresu funkcji f, to możemy wstawić jego współrzędne do równania funkcji i dzięki temu wyliczyć współczynnik a. 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

 

Możemy zapisać wzór funkcji:

rownanie matematyczne 

 

 

rownanie matematyczne 

 

 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

 

Możemy zapisać wzór funkcji f:

rownanie matematyczne 

 

 

Szkicujemy wykres funkcji. 

 

rownanie matematyczne 

 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

 

rownanie matematyczne 

 

Zapisz zaznaczony zbiór w postaci sumy przedziałów

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

Funkcja f: ...

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne  

rownanie matematyczne 

Podaj wzór i określ dziedzinę funkcji...

Pole koła o promieniu r jest dane wzorem:

rownanie matematyczne 

Funkcja ma wzór:

rownanie matematyczne  

Promień musi być dodatni zatem:

rownanie matematyczne 

Sprawdź, czy prawdziwe jest ...

Zadanie wykonujemy w oparciu o tabelę znajdującą się w podręczniku na str. 67.

Obliczmy, ile wynosi podatek osoby, która uzyskała dochód w wysokości 30 000 zł.

rownanie matematyczne 

Osoba o trzykrotnie wiekszym dochpodzie, uzyskała dochód w wysokości 90 000 zł.

Obliczamy nadwyżkę ponad 85 528zł:

 

rownanie matematyczne

Obliczamy wysokość podatku:

rownanie matematyczne  

rownanie matematyczne

 

Sprawdźmy, czy podatek, który musi zapłacić osoba o dochodzie równym 90 000 zł jest trzy razy większy od podatku płaconego przez osobę o dochodzie wynoszącym 30 000 zł.

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

 

Odp: Stwierdzenie nie jest prawdziwe.