Postacie funkcji kwadratowej - matura-podstawowa - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Postacie funkcji kwadratowej - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Postacie funkcji kwadratowej

Tutaj musimy się nauczyć kilku form funkcji kwadratowej, wbrew pozorom część z nich już używaliśmy. Wyróżniamy 3 postaci funkcji kwadratowej:

Pierwsza ogólna, czyli doskonale nam znana:

$y=ax^2+bx+c$

Druga iloczynowa, czyli to co uzyskujemy przy rozwiązaniu funkcji kwadratowej:

$y=a(x-x_1)(x-x_2)$

Gdzie $x$ z indeksem dolnym to jedno z rozwiązań

Uwaga!

Pamiętaj, że w postaci iloczynowej wszystko jest mnożone przez współczynnik a.

Ostatnia kanoniczna jest zapisywana przy użyciu wierzchołka paraboli:

$y=a(x-p)^2+q$

Jak widać łatwo możemy znaleźć wszystkie pozostałe wzory mając tylko jeden. Właśnie tym się teraz zajmiemy.

Przykład:

Wyznacz postać kanoniczną funkcji $y=x^2+4x+4$.

No to analizujemy czego nam potrzeba:

$a(x-p)^2+q$ Zmienną a już mamy, a=1, pozostaje nam obliczyć dwie pozostałe.

Korzystamy z wzoru na współrzędną P

$p={-b}/{2a}$

I obliczamy

$p={-4}/{2}=-2$

Teraz Q, ale do Q potrzebujemy obliczyć deltę, a więc

$∆=b^2-4ac$

$∆=4^2-4*1*4$

$∆=16-16$

$∆=0$

No to liczymy Q

$Q={-∆}/{4a}

Skoro delta to 0

$Q=0$

Zatem postać kanoniczna

$y=a(x-p)^2+q$

$y=(x+2)^2+0$

$y=(x+2)^2$

Teraz czas na drugi przykład:

Przykład:

Znajdź wzór ogólny funkcji

$y=2(x+1)^2+1$

Widać, że to postać kanoniczna, a szukamy postaci ogólnej, czyli:

$y=ax^2+bx+c$

Zobaczmy co my tu mamy:

$y=a(x-p)^2+q$

$y=2(x+1)^2+1$

$a=2$

$p=-1$ (wg wzoru jest znak minus, a mamy plus)

$q=1$

Potrzebujemy a,b,p

Skorzystajmy z wzoru na współczynnik p, aby obliczyć b:

$p={-b}/{2a}$

Podstawiamy posiadane wartości, czyli p i a.

$-1={-b}/{2×2}$

I obliczamy

${-1}={-b}/{4}$ $|×4$

$-4=-b$

$b=4$

Pozostaje nam c i oczywiście do tego musimy użyć Q

$Q={-∆}/{4a}$

Podstawiamy:

$1=-{b^2-4ac}/{4×2}$

I liczymy

$1=-{4^2-4×2×c}/8 $

$1=-{16-8c}/8$

$1=-(2-c)$

$1=-2+c$

$c=3$

Zatem wzór to:

$y=2x^2+4x+3$

Ciekawostka: to zadanie dało się rozwiązać dużo prościej, wystarczyło uprościć wzór korzystając ze wzoru skróconego mnożenia:

$y=2(x+1)^2+1=2(x^2+2x+1)+1=2x^2+4x+2+1=2x^2+4x+3$

Wynik dało się więc uzyskać w jednej linijce! Dlatego warto przed rozwiązaniem zadania zastanowić się, jak najprościej tego dokonać. Pozwoli to zaoszczędzić trochę czasu na maturze.
 

Uwaga!

Wszystkie użyte tu wzory są zawarte w karcie wzorów na maturze.
Warto zapoznać się z wzorami Viete’a, które ułatwiają przekształcenia.
 

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Znajdź postać ogólną funkcji kwadratowej, której miejsca zerowe to $x_1=-5$ , $x_2=2$, a współczynnik przy $x^2$ jest równy 2.

Mamy za zadanie znaleźć postać ogólną, nic prostszego. Postać iloczynowa to iloczyn zawierający $x_1$ i $x_2$, postać ogólna to wynik tego iloczynu, więc musimy znaleźć postać iloczynową. Pamiętamy, że postać iloczynowa to $f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$. Podstawiamy $a=2$, $x_1=-5$ oraz $x_2=2$:

$f(x)=2(x+5)(x-2)$

Musimy wymnożyć nawiasy, aby uzyskać ogólną postać

$f(x)=2(x+5)(x-2)=2x^2+10x-4x-20$

$f(x)=2x^2+6x-20$

Zadanie 2.

Znajdź postać iloczynową i kanoniczną funkcji $f(x)=x^2-4x+3$.

Najpierw zacznijmy od iloczynowej.

Musimy po prostu rozwiązać równanie:

$x^2-4x+3=0$

$a=1$

$b=-4$

$c=3$

Obliczmy deltę:

$∆=b^2-4ac$

$∆=(-4)^2-4×1×3$

$∆=16-12$

$∆=4$

Obliczmy od razu pierwiastek z delty

$√{∆}=√4=2$



No i teraz nasze rozwiązania:

$x_1={-b+√{∆} }/{2a}$

$x_1={4+2}/2=6/2=3$

$x_2={-b-√{∆} }/{2a}$

$x_2={4-2}/2=2/2=1$



Podstawiamy nasze rozwiązania do postaci iloczynowej. Gdy podstawimy pod x nasze rozwiązania mamy dostać 0, więc:

$(x-3)(x-1)=0$

Zatem postać iloczynowa: $f(x)=(x-3)(x-1)$

Pozostaje nam znaleźć kanoniczną

$f(x)=a(x-p)^2+q$

Korzystamy z wzoru na P

$p={-b}/{2a}$

I obliczamy

$p=-{-4}/2=2$

Teraz Q, Deltę obliczyliśmy wcześniej

$∆=4$

No to liczymy Q

$Q={-4}/{4a}=-1$

$Q=-1$

Zatem postać kanoniczna

$y=a(x-p)^2+q$

$y=(x-2)^2-1$

Spis treści

Rozwiązane zadania
Wypożyczalnia limuzyn oferuje dwa warianty...

a) Wypożyczając limuzynę na 350 km w wariancie I mamy 200 km w limicie oraz 150 km poza limitem. Zapłacimy więc:{premium}

 

Wypożyczając limuzynę na 350 km w wariancie II mamy 300 km w limicie oraz 50 km poza limitem. Zapłacimy więc:

 

Odp. W wariancie I koszt wynajęcia limuzyny wynosi 50 EUR, w wariancie II - 40 EUR.



b) Oznaczmy:

x - liczba przejechanych kilometrów

Wariant I

Gdy x≤200 km, mieścimy się w limicie i wówczas opłata za przejazd wynosi 35 [EUR].

Gdy x>200 km, przekraczamy limit o (x-200) km i wówczas opłata za przejazd wynosi:

 

Zatem koszt wynajęcia limuzyny w wariancie I opisuje funkcja:

 


Wariant II

Gdy x≤300 km, mieścimy się w limicie i wówczas opłata za przejazd wynosi 30 [EUR].

Gdy x>300 km, przekraczamy limit o (x-300) km i wówczas opłata za przejazd wynosi:

 

Zatem koszt wynajęcia limuzyny w wariancie II opisuje funkcja:

 



c) Gdy liczba kilometrów wynosi nie więcej niż 200, korzystniejszy jest wariant II, więc ten przypadek nie spełnia warunków zadania.

Gdy liczba kilometrów jest większa niż 200, ale mniejsza niż 300, to nadal korzystniejszy jest wariant II (ponieważ w wariancie II płacimy 30 EUR, a w wariancie I: 35+(x-200)٠0,1 EUR). Ten przypadek również nie spełnia warunków zadania.

W takim razie wariant I może być korzystniejszy tylko wtedy, gdy liczba kilometrów przekracza 300. Wówczas:

 

 


Obliczamy, dla jakich wartości x wariant I jest korzystniejszy, czyli koszt przejazdu w wariancie I jest niższy:

 

 

 

 

 

Odp. Wariant I jest korzystniejszy, gdy długość trasy wynosi ponad 450 km.

Rozwiąż nierówność

{premium}

  

Najmniejsza liczba naturalna, która nie spełnia nierówności, to 3. 

Funkcje ...

Dane są funkcje   oraz   . 


Wyznaczamy argument, dla którego funkcje te przyjmują tę samą wartość. 

 
{premium}

  

  


Funkcje f i g przyjmują tę samą wartość dla argumentu  . 


Poprawna odpowiedź: D. 

Ciąg...

Dany jest ciąg arytmetyczny określony wzorem 

Obliczmy a1 otrzymamy {premium}

Obliczmy a100 otrzymamy 

Korzystając ze wzoru na sumę n-początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego otrzymujemy 

 

 

Odp. C.        

Wartość wyrażenia...

Określamy znak wyrażeń pod wartością bezwzględną dla  

 {premium}

 

Mamy więc:

 


Prawidłowa odpowiedź to D.

 

Oblicz, stosując prawo rozdzielności mnożenia...

 

 {premium}


 

 


 

 


 

  

Podaj przykład takiej liczby a ...

a) Przykład takiej liczby a to a=1, ponieważ: {premium}

 


b) Przykład takiej liczby a to a=1, ponieważ:

 


c) Przykład takiej liczby a to a=6, ponieważ:

 


d) Przykład takiej liczby a to a=4, ponieważ:

 

Dane są punkty: A(-2, 5), B(3, 4),...

Oznaczmy D(xD, yD)

Obliczamy współrzędne potrzebnych wektorów:

 {premium}

 

 

Podstawiamy współrzędne wektorów do równania:

 

 

 

 

 

Porównując odpowiednie współrzędne wektorów otrzymujemy:

 

 

 

 

Znajdź wzór funkcji liniowej...

a) Niech szukana funkcja dana będzie wzorem:

 

Wstawiamy{premium} współrzędne punktów A=(3, 7) i B=(5, 1) do wzoru funkcji - otrzymujemy układ równań, z którego wyznaczamy a oraz b.

 

 

 

Podstawiamy b=1-5a do pierwszego równania.

 

 

 

Podstawiamy a=-3 do drugiego równania.

 

 

 

Zatem szukana funkcja ma wzór y=-3x+16.


b) Niech szukana funkcja dana będzie wzorem:

 

Wstawiamy współrzędne punktów P=(-2, 7) i R=(-1, -3) do wzoru funkcji - otrzymujemy układ równań, z którego wyznaczamy a oraz b.

 

 

 

Podstawiamy b=a-3 do pierwszego równania.

 

 

 

Podstawiamy a=-10 do drugiego równania.

 

 

Zatem szukana funkcja ma wzór y=-10x-13.

Niech a oznacza pewną dodatnią...

Zdanie A jest prawdziwe, ponieważ{premium}

 


Zdanie B jest fałszywe, ponieważ

 


Zdanie C jest prawdziwe, ponieważ