Postacie funkcji kwadratowej - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Postacie funkcji kwadratowej

Tutaj musimy się nauczyć kilku form funkcji kwadratowej, wbrew pozorom część z nich już używaliśmy. Wyróżniamy 3 postaci funkcji kwadratowej:

Pierwsza ogólna, czyli doskonale nam znana:

$$y=ax^2+bx+c$$

Druga iloczynowa, czyli to co uzyskujemy przy rozwiązaniu funkcji kwadratowej:

$$y=a(x-x_1)(x-x_2)$$

Gdzie $$x$$ z indeksem dolnym to jedno z rozwiązań

Uwaga!

Pamiętaj, że w postaci iloczynowej wszystko jest mnożone przez współczynnik a.

Ostatnia kanoniczna jest zapisywana przy użyciu wierzchołka paraboli:

$$y=a(x-p)^2+q$$

Jak widać łatwo możemy znaleźć wszystkie pozostałe wzory mając tylko jeden. Właśnie tym się teraz zajmiemy.

Przykład:

Wyznacz postać kanoniczną funkcji $$y=x^2+4x+4$$.

No to analizujemy czego nam potrzeba:

$$a(x-p)^2+q$$ Zmienną a już mamy, a=1, pozostaje nam obliczyć dwie pozostałe.

Korzystamy z wzoru na współrzędną P

$$p={-b}/{2a}$$

I obliczamy

$$p={-4}/{2}=-2$$

Teraz Q, ale do Q potrzebujemy obliczyć deltę, a więc

$$∆=b^2-4ac$$

$$∆=4^2-4*1*4$$

$$∆=16-16$$

$$∆=0$$

No to liczymy Q

$$Q={-∆}/{4a}

Skoro delta to 0

$$Q=0$$

Zatem postać kanoniczna

$$y=a(x-p)^2+q$$

$$y=(x+2)^2+0$$

$$y=(x+2)^2$$

Teraz czas na drugi przykład:

Przykład:

Znajdź wzór ogólny funkcji

$$y=2(x+1)^2+1$$

Widać, że to postać kanoniczna, a szukamy postaci ogólnej, czyli:

$$y=ax^2+bx+c$$

Zobaczmy co my tu mamy:

$$y=a(x-p)^2+q$$

$$y=2(x+1)^2+1$$

$$a=2$$

$$p=-1$$ (wg wzoru jest znak minus, a mamy plus)

$$q=1$$

Potrzebujemy a,b,p

Skorzystajmy z wzoru na współczynnik p, aby obliczyć b:

$$p={-b}/{2a}$$

Podstawiamy posiadane wartości, czyli p i a.

$$-1={-b}/{2×2}$$

I obliczamy

$${-1}={-b}/{4}$$ $$|×4$$

$$-4=-b$$

$$b=4$$

Pozostaje nam c i oczywiście do tego musimy użyć Q

$$Q={-∆}/{4a}$$

Podstawiamy:

$$1=-{b^2-4ac}/{4×2}$$

I liczymy

$$1=-{4^2-4×2×c}/8 $$

$$1=-{16-8c}/8$$

$$1=-(2-c)$$

$$1=-2+c$$

$$c=3$$

Zatem wzór to:

$$y=2x^2+4x+3$$

Ciekawostka: to zadanie dało się rozwiązać dużo prościej, wystarczyło uprościć wzór korzystając ze wzoru skróconego mnożenia:

$$y=2(x+1)^2+1=2(x^2+2x+1)+1=2x^2+4x+2+1=2x^2+4x+3$$

Wynik dało się więc uzyskać w jednej linijce! Dlatego warto przed rozwiązaniem zadania zastanowić się, jak najprościej tego dokonać. Pozwoli to zaoszczędzić trochę czasu na maturze.
 

Uwaga!

Wszystkie użyte tu wzory są zawarte w karcie wzorów na maturze.
Warto zapoznać się z wzorami Viete’a, które ułatwiają przekształcenia.
 

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Znajdź postać ogólną funkcji kwadratowej, której miejsca zerowe to $$x_1=-5$$ , $$x_2=2$$, a współczynnik przy $$x^2$$ jest równy 2.

Mamy za zadanie znaleźć postać ogólną, nic prostszego. Postać iloczynowa to iloczyn zawierający $$x_1$$ i $$x_2$$, postać ogólna to wynik tego iloczynu, więc musimy znaleźć postać iloczynową. Pamiętamy, że postać iloczynowa to $$f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$$. Podstawiamy $$a=2$$, $$x_1=-5$$ oraz $$x_2=2$$:

$$f(x)=2(x+5)(x-2)$$

Musimy wymnożyć nawiasy, aby uzyskać ogólną postać

$$f(x)=2(x+5)(x-2)=2x^2+10x-4x-20$$

$$f(x)=2x^2+6x-20$$

Zadanie 2.

Znajdź postać iloczynową i kanoniczną funkcji $$f(x)=x^2-4x+3$$.

Najpierw zacznijmy od iloczynowej.

Musimy po prostu rozwiązać równanie:

$$x^2-4x+3=0$$

$$a=1$$

$$b=-4$$

$$c=3$$

Obliczmy deltę:

$$∆=b^2-4ac$$

$$∆=(-4)^2-4×1×3$$

$$∆=16-12$$

$$∆=4$$

Obliczmy od razu pierwiastek z delty

$$√{∆}=√4=2$$



No i teraz nasze rozwiązania:

$$x_1={-b+√{∆} }/{2a}$$

$$x_1={4+2}/2=6/2=3$$

$$x_2={-b-√{∆} }/{2a}$$

$$x_2={4-2}/2=2/2=1$$



Podstawiamy nasze rozwiązania do postaci iloczynowej. Gdy podstawimy pod x nasze rozwiązania mamy dostać 0, więc:

$$(x-3)(x-1)=0$$

Zatem postać iloczynowa: $$f(x)=(x-3)(x-1)$$

Pozostaje nam znaleźć kanoniczną

$$f(x)=a(x-p)^2+q$$

Korzystamy z wzoru na P

$$p={-b}/{2a}$$

I obliczamy

$$p=-{-4}/2=2$$

Teraz Q, Deltę obliczyliśmy wcześniej

$$∆=4$$

No to liczymy Q

$$Q={-4}/{4a}=-1$$

$$Q=-1$$

Zatem postać kanoniczna

$$y=a(x-p)^2+q$$

$$y=(x-2)^2-1$$

Spis treści

Rozwiązane zadania
Oblicz

`a)\ sqrt(16/49)=sqrt16/sqrt49=4/7`

`\ \ \ sqrt(25/81)=sqrt25/sqrt81=5/9`

`\ \ \ sqrt(121/64)=sqrt121/sqrt64=11/8=1 3/8`

`\ \ \ sqrt(400/169)=sqrt400/sqrt169=20/13=1 7/13`

 

`b)\ sqrt(2 1/4)=sqrt(9/4)=sqrt9/sqrt4=3/2=1 1/2`

`\ \ \ sqrt(1 9/16)=sqrt(25/16)=sqrt25/sqrt16=5/4=1 1/4`

`\ \ \ sqrt(11 1/9)=sqrt(100/9)=sqrt100/sqrt9=10/3=3 1/3`

`\ \ \ sqrt(2 14/25)=sqrt(64/25)=sqrt64/sqrt25=8/5=1 3/5`

Rower kosztuje w hurtowni

Obliczamy, ile wynosi podatek VAT:

`23%*640=0,23*640=147,20\ "zł"`

 

 

Obliczamy, ile musimy zapłacić za rower:

`640+147,20=787,20\ "zł"`

Zaznacz w układzie współrzędnych...

`a) \ B={(x,y) in R^2 : x^2 - 6x + y^2 leq 0}` 

`x^2 - 6x + y^2 leq 0 \ \ \ |+9`

`x^2 - 6x + 9 + y^2 leq 9`

`(x-3)^2 + y^2 leq 9`

 

`A= {(x,y) in R^2:x^2 + y^2 leq 9 }`

 

`A cap B`

 

 

`A \\ B`

 

 

`b) \ A={(x,y) in R^2 : x^2 + y^2 - 2y leq 15}`

`x^2 + y^2 - 2y + 1 leq 16`

`x^2 + (y-1)^2 leq 16`

 

`B= {(x,y) in R^2 : x^2 + y^2 + 4y leq 9 }`

`x^2 + y^2 + 4y + 4 leq 13`

`x^2 + (y+2)^2 leq 13`

 

`A cap B`

 

`A \\ B`

 

 

`c) \ A={(x,y) in R^2 : y geq x^2 -4 }`

 

`B={(x,y) in R^2 : x^2 + y^2 - 8y + 7 leq 0}`

`x^2 + y^2 -8y + 7 leq 0 \ \ \ |+9`

`x^2 + y^2 - 8y + 16 leq 9`

`x^2 + (y-4)^2 leq9`

 

`A cap B`

 

`A \\ B`

W okrąg został wpisany trójkąt ...

`x^2+y^2=20` 

`r=sqrt20` 

`S=(0;0)` 

Zauważmy, że przeciwprostokątna trójkąta ABC jest średnicą okręgu.

`C=(2;4)` 

`A=(x_a;y_a)` 

`B=(x_b;y_b)` 

Wyzanczmy równanie prostej k zawierającej odcinek CS.

`k:y=ax+b` 

`0=0*a+b\ implies b=0` 

`4=2a+0` 

`a=2` 

`k:y=2x` 

Prosta zawierająca odcinek AB ma równanie:

`l:y=cx+d` 

`0=0*c+d` 

`d=0` 

`y=-1/2x` 

Punkt wspólne powyższej prostej i okręgu to punkty A i B.       

Wstawmy równanie prsotej l do równania okręgu:

`x^2+y^2=20=x^2+(-1/2x)^2=5/4x^2` 

`x^2=80/5=16` 

`x_1=4\ \ \vv\ \ x_2=-4`  

`y_1=-1/2x_1=-2\ \ \vv\ \ \ \y_2=-1/2x_2=2` 

Współrzedne pozostałych wierzchołków to:

`{(x=4),(y=-2):}\ \ \wedge\ \ \{(x=-4),(x=2):}`     

Dla danych zbiorów A, B wyznacz A∪B, A∩B, A\B

a)

`AuuB=<<-3,3)` AnnB=emptyset `A\\B=<<-3,-1)`   b) `AuuB=R` `AnnB=(1,2>>` `A\\B= (2,+oo)`  
Na rysunku przedstawiony jest wykres funkcji f.

a)

  • `y=1 \ \ \ dla \ \ \ x=3`
  • `y=-2 \ \ \dla \ \ \ x in {-2}uu(0,2>>`

b)

  • `f(4)=4`
  • funkcja nie przyjmuje żadnej wartości dla argumentu 5- dziedzina funkcji nie zawiea argumentu 5
Rozwiąż równanie.

`a)` 

`4x^2-5x=0` 

`x(4x-5)=0`  

`x=0\ \ \vee\ \ \ 4x-5=0\ implies\ x=5/4` 

 

`x in {0;5/4}` 

 

`b)` 

`x^2 /2=7x` 

`x^2=14x` 

`x^2-14x=0` 

`x(x-14)=0` 

`x=0\ \ \vee \ \ \x-14=0 \ implies\ x=14` 

`x in {0;14} ` 

 

`c)` 

`x=sqrt(2)x^2` 

`sqrt(2)x^2-x=0` 

`x(sqrt(2)x-1)=0`  

`x=0 \ \ \vee \ \ \sqrt(2)x-1=0 \ implies \ x=1/sqrt(2)`   

`x in {0;1/sqrt(2)} ` 

 

`d)` 

`25x^2-1=0` 

`(5x-1)(5x+1)=0` 

`5x-1=0\ \ \vee \ \ \5x+1=0` 

`x=1/5\ \ \vee\ \ \x=-1/5` 

`x in {-1/5,1/5}` 

 

`e)` 

`9-36x^2=0` 

`(3-6x)(3+6x)=0` 

`3-6x=0\ \ \vee\ \ \3+6x=0` 

`x=1/2\ \ \vee \ \ \x=-1/2` 

 

`x in {-1/2;1/2} ` 

 

`f)` 

`(1-x^2)/2=(x^2-1)/3\ \ |*2*3` 

`3(1-x^2)=2(x^2-1)`

`3-3x^2=2x^2-2`

`5x^2=5`  

`x^2=1`  

`x=1\ \ \vee\ \ \x=-1`

`x in {-1;1}`         

 

`g)` 

`x^2-4x+9=-4x` 

`x^2+9=0` 

 

`x^2=-9` 

`"Brak rozwiązań."` 

 

`h)` 

`x(x+2)=-1` 

`x^2+2x+1=0` 

`(x+1)^2=0` 

`(x+1)(x+1)=0` 

`x+1=0` 

`x=-1`  

`x in {-1}` 

 

`i)` 

`x(x-8)=4(x-9)`

`x(x-8)-4(x-9)=0`

`x^2-8x-4x+36=0`

`x^2-12x+36=0`  

`(x-6)^2=0`  

`(x-6)(x-6)=0`

`x-6=0` 

 

`x=6` 

`x in {6}` 

Wyznacz liczbę

`a)\ 100+2%_o*100=100+0,002*100=100+0,2=100,2`

`b)\ 500+1,6%_o*500=500+0,0016*500=500+0,8=500,8`

 

Oblicz wartość wyrażenia dla x=-3/4

a)

`(2x^2-4y)/(15xy)=(2*(-3/4)^2-4*(1/3))/(15*(-(strike3)/4)*1/(strike3))=(strike2*9/(strike16)-4/3)/(15*(-1/4)*1/1)=(9/8-4/3)/(-15/4)= (27/24-32/24)/(-15/4)= (-5/24)/(-15/4)=(strike5)/(strike24)*(strike4)/(strike15)= 1/6*1/3= 1/18`

b)

`(15xy-2x^2)/(3y^2)= (15*(-3/4)*1/3-2*(-3/4)^2)/(3*(1/3)^2)=(-(strike45)/4*1/(strike3)-strike2*9/(strike16))/((strike3)*1/(strike9))= (-15/4*1/1-9/8)/(1/3)=(-15/4-9/8)/(1/3)=(-30/8-9/8)/(1/3)=-39/8 *3=-117/8` 

c)

`(2x+7y-xy)/(8x^2)=(2*(-3/4)+7*1/3-(-3/4)*1/3)/(8*(-3/4)^2)= ((-6/4)+7/3+(strike3)/4*1/(strike3))/(strike8*9/(strike16))=(-18/12+28/12+1/4)/(9/2)=(10/12+3/12)/(9/2)=13/(strike12)*(strike2)/9=13/6*1/9=13/54 `

Zbuduj kąt wypukły α, jeśli: a) ctgα=4

`a) \ ctg \ alpha = 4` 

`b) \ tg \ alpha = -2` 

 

`c) \ sin alpha = 3/4` 

`d) \ cos alpha = -2/3`