Postacie funkcji kwadratowej - matura-podstawowa - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Postacie funkcji kwadratowej - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Postacie funkcji kwadratowej

Tutaj musimy się nauczyć kilku form funkcji kwadratowej, wbrew pozorom część z nich już używaliśmy. Wyróżniamy 3 postaci funkcji kwadratowej:

Pierwsza ogólna, czyli doskonale nam znana:

$y=ax^2+bx+c$

Druga iloczynowa, czyli to co uzyskujemy przy rozwiązaniu funkcji kwadratowej:

$y=a(x-x_1)(x-x_2)$

Gdzie $x$ z indeksem dolnym to jedno z rozwiązań

Uwaga!

Pamiętaj, że w postaci iloczynowej wszystko jest mnożone przez współczynnik a.

Ostatnia kanoniczna jest zapisywana przy użyciu wierzchołka paraboli:

$y=a(x-p)^2+q$

Jak widać łatwo możemy znaleźć wszystkie pozostałe wzory mając tylko jeden. Właśnie tym się teraz zajmiemy.

Przykład:

Wyznacz postać kanoniczną funkcji $y=x^2+4x+4$.

No to analizujemy czego nam potrzeba:

$a(x-p)^2+q$ Zmienną a już mamy, a=1, pozostaje nam obliczyć dwie pozostałe.

Korzystamy z wzoru na współrzędną P

$p={-b}/{2a}$

I obliczamy

$p={-4}/{2}=-2$

Teraz Q, ale do Q potrzebujemy obliczyć deltę, a więc

$∆=b^2-4ac$

$∆=4^2-4*1*4$

$∆=16-16$

$∆=0$

No to liczymy Q

$Q={-∆}/{4a}

Skoro delta to 0

$Q=0$

Zatem postać kanoniczna

$y=a(x-p)^2+q$

$y=(x+2)^2+0$

$y=(x+2)^2$

Teraz czas na drugi przykład:

Przykład:

Znajdź wzór ogólny funkcji

$y=2(x+1)^2+1$

Widać, że to postać kanoniczna, a szukamy postaci ogólnej, czyli:

$y=ax^2+bx+c$

Zobaczmy co my tu mamy:

$y=a(x-p)^2+q$

$y=2(x+1)^2+1$

$a=2$

$p=-1$ (wg wzoru jest znak minus, a mamy plus)

$q=1$

Potrzebujemy a,b,p

Skorzystajmy z wzoru na współczynnik p, aby obliczyć b:

$p={-b}/{2a}$

Podstawiamy posiadane wartości, czyli p i a.

$-1={-b}/{2×2}$

I obliczamy

${-1}={-b}/{4}$ $|×4$

$-4=-b$

$b=4$

Pozostaje nam c i oczywiście do tego musimy użyć Q

$Q={-∆}/{4a}$

Podstawiamy:

$1=-{b^2-4ac}/{4×2}$

I liczymy

$1=-{4^2-4×2×c}/8 $

$1=-{16-8c}/8$

$1=-(2-c)$

$1=-2+c$

$c=3$

Zatem wzór to:

$y=2x^2+4x+3$

Ciekawostka: to zadanie dało się rozwiązać dużo prościej, wystarczyło uprościć wzór korzystając ze wzoru skróconego mnożenia:

$y=2(x+1)^2+1=2(x^2+2x+1)+1=2x^2+4x+2+1=2x^2+4x+3$

Wynik dało się więc uzyskać w jednej linijce! Dlatego warto przed rozwiązaniem zadania zastanowić się, jak najprościej tego dokonać. Pozwoli to zaoszczędzić trochę czasu na maturze.
 

Uwaga!

Wszystkie użyte tu wzory są zawarte w karcie wzorów na maturze.
Warto zapoznać się z wzorami Viete’a, które ułatwiają przekształcenia.
 

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Znajdź postać ogólną funkcji kwadratowej, której miejsca zerowe to $x_1=-5$ , $x_2=2$, a współczynnik przy $x^2$ jest równy 2.

Mamy za zadanie znaleźć postać ogólną, nic prostszego. Postać iloczynowa to iloczyn zawierający $x_1$ i $x_2$, postać ogólna to wynik tego iloczynu, więc musimy znaleźć postać iloczynową. Pamiętamy, że postać iloczynowa to $f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$. Podstawiamy $a=2$, $x_1=-5$ oraz $x_2=2$:

$f(x)=2(x+5)(x-2)$

Musimy wymnożyć nawiasy, aby uzyskać ogólną postać

$f(x)=2(x+5)(x-2)=2x^2+10x-4x-20$

$f(x)=2x^2+6x-20$

Zadanie 2.

Znajdź postać iloczynową i kanoniczną funkcji $f(x)=x^2-4x+3$.

Najpierw zacznijmy od iloczynowej.

Musimy po prostu rozwiązać równanie:

$x^2-4x+3=0$

$a=1$

$b=-4$

$c=3$

Obliczmy deltę:

$∆=b^2-4ac$

$∆=(-4)^2-4×1×3$

$∆=16-12$

$∆=4$

Obliczmy od razu pierwiastek z delty

$√{∆}=√4=2$



No i teraz nasze rozwiązania:

$x_1={-b+√{∆} }/{2a}$

$x_1={4+2}/2=6/2=3$

$x_2={-b-√{∆} }/{2a}$

$x_2={4-2}/2=2/2=1$



Podstawiamy nasze rozwiązania do postaci iloczynowej. Gdy podstawimy pod x nasze rozwiązania mamy dostać 0, więc:

$(x-3)(x-1)=0$

Zatem postać iloczynowa: $f(x)=(x-3)(x-1)$

Pozostaje nam znaleźć kanoniczną

$f(x)=a(x-p)^2+q$

Korzystamy z wzoru na P

$p={-b}/{2a}$

I obliczamy

$p=-{-4}/2=2$

Teraz Q, Deltę obliczyliśmy wcześniej

$∆=4$

No to liczymy Q

$Q={-4}/{4a}=-1$

$Q=-1$

Zatem postać kanoniczna

$y=a(x-p)^2+q$

$y=(x-2)^2-1$

Spis treści

Rozwiązane zadania
a) Wahadło starego zegara ma długość...

a) Obliczmy, ile sekund ma 1 godzina:

 

wykonajmy rysunek pomocniczy:    {premium}



Wahadło w ciągu dwóch sekund pokonuje drogę od lewej do prawej i z powrotem:

Obliczmy długość tej drogi:

 

Obliczmy jaką drogę pokona to wahadło w czasie 3600 s:

 


Odp.: To wahadło w ciągu godziny pokona drogę o długości 360π m. 


b) 

Obliczmy długość drogi, którą pokonuje dziecko podczas 20 pełnych wahnięć:

 


Odp.: Dziecko pokonuje drogę 200/9π m. 

Wyznacz współczynniki a, b i c...

 

Skoro znamy współrzędne wierzchołka to zapiszmy postać kanoniczną

Policzmy od razu ile wynosi współczynnik kierunkowy podstawiając współrzędne punktu P

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Skoro znamy współrzędne wierzchołka to zapiszmy postać kanoniczną

Policzmy od razu ile wynosi współczynnik kierunkowy podstawiając współrzędne punktu P

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Skoro znamy współrzędne wierzchołka to zapiszmy postać kanoniczną

Policzmy od razu ile wynosi współczynnik kierunkowy podstawiając współrzędne punktu P

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Skoro znamy współrzędne wierzchołka to zapiszmy postać kanoniczną

Policzmy od razu ile wynosi współczynnik kierunkowy podstawiając współrzędne punktu P

 

 

 

 

 

 

 

Na ile części rozcinają płaszczyznę...

Przypadek pierwszy - wszystkie proste są równoległe.

Wówczas proste rozcinają płaszczyznę na  części.

Thumb zad4.34astr100{premium}


Przypadek drugi - dwie proste są równoległe.

Wówczas proste rozcinają płaszczyznę na  części.

Thumb zad4.34bstr100


Przypadek trzeci - żadne dwie proste nie są równoległe.

Wówczas proste rozcinają płaszczyznę na  części.

Thumb zad4.34cstr100

Sprawdź, czy wartość wyrażenia ...

 

 

 

    

Dane są dwa niepuste i nierozłączne...

Weźmy następujące zbiory  oraz przestrzeń  

Thumb zad1.46str17

Zbiory są niepuste i nierozłączne, więc w przestrzeni  mogą być położone np. następująco:

Thumb zad1.46estr17


Dowodzimy prawo  

Rysujemy zbiór  a następnie zbiór  

Thumb zad1.46astr17

{premium}


Rysujemy zbiory  i  a następnie zbiór  

Thumb zad1.46bstr17


Otrzymaliśmy  co należało dowieść.


Dowodzimy prawo  

Rysujemy zbiór  a następnie zbiór  

Thumb zad1.46cstr17


Rysujemy zbiory  i  a następnie zbiór  

Thumb zad1.46dstr17


Otrzymaliśmy  co należało dowieść.

 

Wyznacz równanie okręgu o środku ...

 

  

 

 

 {premium}

 

 

   

 

 

 

 

 

 

 

  

 

 

 

  

 

 

 

 

  

Naszkicuj wykres funkcji i określ, czy jest ona monotoniczna

Stwórzmy tabelę wartości dla funkcji c) - przyda się ona także dla podpunktów a) oraz b):

 

                   
 

 

   

 

   

 

   

 

   

 

   

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

   

Funkcja jest rosnąca w całej swojej dziedzinie:

 

 

 

 

 

Funkcja jest malejąca w całej swojej dziedzinie: 

 

 

 

 

 

 

Funkcja nie jest monotoniczna, ale jest monotoniczna przedziałami: 

 

 

 

 

Przypomnijmy sobie definicję wartości bezwględnej. Przypisuje ona liczbie x odległość tej liczby od zera na osi liczbowej - liczbom dodatnim przypisuje tą samą liczbę, a liczbom ujemnym przypisuje liczbę przeciwną. Liczbie zero przypisuje zero. 

  

 

 

 

Funkcja jest rosnąca w całej swojej dziedzinie:

 

 

 

Funkcja jest malejąca w całej swojej dziedzinie:

 

 

 

 

 

Funkcja nie jest monotoniczna w całej swojej dziedzinie, ale jest monotoniczna przedziałami:

  

 

 

Kąt BAC ma miarę 30 ...

{premium}

 

 

 

 

 

 

 

Trójkąt ACE ma kąty o mierze 45, 45 i 90 stopni. Wynika stąd, że ACE jest równoramienny.

 

Skorzystamy z następującej tożsamości trygonometrycznej:

 

 

 

 

 

 

 

          

 

 

Z Pitagorasa:

 

    

  

Z własności trójkąta prostokątnego równoramiennego:

 

 

Wiemy, że:

  

      

 

 

Pole pewnego równoległoboku wynosi...

Pole równoległoboku obliczamy korzystając z wzoru:

 

wiemy, że:    {premium}

 

 


Obliczmy długość tego boku:  

 

 

 

 

 


Odp.: Długość tego boku wynosi 2 √3. 

Sprawdź, czy punkty ...

 

 

 

 

{premium}

 

 

 

Zatem punkty P, Q i R są współliniowe.

 

 

  

  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Nie istnieje taka liczba a, że zachodzi:

 

Punkty P, Q i R nie są współliniowe.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  

 

Nie istnieje takie alfa, zatem punkty P, Q i R nie są współliniowe.