Podstawy trygonometrii - matura-podstawowa - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Podstawy trygonometrii - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Podstawowe wartości funkcji

Wartości funkcji możemy oczywiście obliczyć sami, ale są dostępne na maturze. Przydadzą nam się do zadań:

tab1
 

Uwaga!

Wartości funkcji są dostępne na kartach wzorów maturalnych.
W przypadku kiedy nie możemy ich używać, możemy policzyć je z własności trójkąta 90,60,30 oraz 90,45,45:

tab2

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Z pomocą funkcji trygonometrycznych oblicz boki trójkąta:

zad1

zad12

Obliczmy y.
Musimy wybrać odpowiednią funkcję, mamy tylko bok obok kąta, zatem są dostępne cosinus lub cotangens, ja użyję cosinusa:

Odczytujemy z tabelki, że

$cos 60°=1/2$
Wiemy tak samo, że cosinus to stosunek boku obok kąta oraz przeciwprostokątnej, czyli

$cos 60°={√3}/y$

$1/2={√3}/y$

Z proporcji (mnożenie na krzyż):

$1×y=2√3$

$y=2√3$

Pozostaje nam x, teraz możemy użyć dowolnej z pozostałych funkcji trygonometrycznych, weźmy np. sinusa

Sinus to stosunek boku naprzeciwko kąta i przeciwprostokątnej, czyli trzeba podstawić nasze y

Wiemy też z tabeli, że

$sin 60°={√3}/2 $

Zatem:

$sin 60°={√3}/2=x/{2√3}$

${√3}/{2}=x/{2√3}$

Z proporcji:

$2x=2√{3}×√{3}$

$2x=6$ $|:2$

$x=3$
 

Zadanie 2.

Na rysunku $cos α=2/3$ , wyznacz pozostałe boki trójkąta:

zad21

Znamy cosinusa i musimy go wykorzystać.
Cosinus to bok obok kąta i przeciwprostokątna, oznaczmy ponownie boki:

zad22

Zatem:

$cos α=x/{15}$

$2/3=x/{15}$

Na krzyż mnożymy:

$3x=15*2$

$3x=30$ $|:3$

$x=10$

Pozostaje nam y.

Z racji, że nie znamy pozostałych funkcji, obliczmy go z twierdzenia pitagorasa.

$x^2+y^2=15^2$

$100+y^2=225$

$y^2=125$

$y=5√5$
 

Spis treści

Rozwiązane zadania
Rozwiąż równania:

 

Zauważmy, że każdy ze składników sumy po lewej stronie równania przyjmuje wartość nieujemną.

Taka suma może być równa zero tylko wtedy, gdy każdy składnik jest zerem, stąd:

 

 

 

 

 

 {premium}


 

Zauważmy, że każdy ze składników sumy po lewej stronie równania przyjmuje wartość nieujemną.

Taka suma może być równa zero tylko wtedy, gdy każdy składnik jest zerem, stąd:

 

 

 

 

 


 

Zauważmy, że każdy ze składników sumy po lewej stronie równania przyjmuje wartość nieujemną.

Taka suma może być równa zero tylko wtedy, gdy każdy składnik jest zerem, stąd:

 

 

 

Równanie sprzeczne.


 

 

Zauważmy, że każdy ze składników sumy po lewej stronie równania przyjmuje wartość nieujemną.

Taka suma może być równa zero tylko wtedy, gdy każdy składnik jest zerem, stąd:

 

 

 

 

 

Wykaż, że jeżeli symetralna boku trójkąta...

Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku poniżej.

Thumb zad5.96str123


Założenia:

 jest symetralną boku  

 


Teza:

 jest prostokątny.


Dowód:{premium}

 więc  

Trójkąt  ma kąt prosty, więc jest trójkątem prostokątnym, co należało dowieść.

W trójkąt ABC, którego kąty...

Trójkąt  jest opisany na okręgu, wiec środek okręgu

jest punktem przecięcia dwusiecznych kątów tego trójkąta.

Przyjmijmy więc oznaczenia jak na rysunku poniżej:

Thumb zad5.104str124


Punkty  są punktami styczności, więc  


Z sumy kątów dla czworokąta  

 {premium}

 

 

 


Kąty  i  to kąt środkowy i wpisany, oparte na tym samym łuku. Stąd:

 


Punkty  są punktami styczności, więc  


Z sumy kątów dla czworokąta  

 

 

 

 


Kąty  i  to kąt środkowy i wpisany, oparte na tym samym łuku. Stąd:

 


Z sumy kątów trójkąta  

 

 

 

 


Odp. Kąty trójkąta  mają miary:  

1. Podaj wartości g(3), g(5), g(16)...

Funkcja g jest określona następująco:

 

Funkcja g każdemu argumentowi przyporządkowuje liczbę parzystą mniejszą lub równą od n.


1. Wartości funkcji g dla podanych argumentów to:

     {premium}

 

 

 


2. Funkcja g przyjmuje wartość 120 dla argumentów: 120 i 121.

3. Tak, funkcja g ma dwa miejsca zerowe: 0 i 1.

4. Funkcja g przyjmuje wartości mniejsze od 50 dla liczb {0, 1, 2, 3, 4, ..., 48, 49}

czyli dla 50 liczb.

5. Wykres funkcji g:





Wykres funkcji g(x) otrzymano wyniku...

Gdy przekształcamy wykres funkcji  w symetrii względem osi  wówczas zachodzi: 

 

Zatem:

 

Prawidłowa odpowiedź to    

Wykorzystaj informacje zamieszczone na rysunku...

Oznaczmy wysokość budynku przez h, wtedy odległość budynku od punktu B wynosi również h bo trójkąt jest trójkątem prostokątnym równoramiennym.

 

 

 

 

 

 

 

 

W trójkącie równobocznym ABC wysokości...

Rysunek pomocniczy:

Thumb zad5.149str129


 W trójkącie równobocznym wysokości zawierają się w środkowych boków.

Zatem punkt  dzieli te wysokości w stosunku  licząc od wierzchołka.

Wszystkie wysokości trójkąta równobocznego mają taką samą długość.


Z powyższego wynika, że:

 

A stąd:

 


Rozważmy trójkąt  Jest to trójkąt o kącie  między dwoma równymi bokami  

zatem jest równoboczny.

Stąd wynika, że 

A zatem:{premium}

 


Trójkąty  i  mają wspólny kąt  


Mamy więc:

 

i trójkąty  i  są podobne na podstawie cechy kkk, co należało dowieść.


Przyjmijmy następujące oznaczenia:

 długość boku trójkąta  

 wysokość trójkąta  


Wysokość trójkąta równobocznego wyraża się wzorem:

 


Obliczamy skalę podobieństwa trójkąta  do trójkąta  

 


Odp. Skala podobieństwa trójkąta  do trójkąta  jest równa  



 Mamy dane:

 


Zauważmy, że:

 


Obliczamy obwód trójkąta  

 

 


Wiemy, że obwód jest równy  Stąd:

 

 

 

 

 


Odp. Bok trójkąta ma długość  

Oblicz

{premium}

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

             

Dany jest prostokąt o bokach długości 1 i x

Duży prostokąt ma krótszy bok długości 1 i dłuższy bok długości x.

Mały prostokąt ma krótszy bok długości x-1 i dłuższy bok długości 1.

Jeśli prostokąty są podobne, to {premium}możemy zapisać proporcję:

 

Pierwsze rozwiązanie jest ujemne, dlatego odrzucamy je, drugie rozwiązanie jest poprawne - otrzymaliśmy złotą liczbę.

 

Boki trójkąta mają długość: 21 cm, 20 cm, 13 cm

a)

 

b)

     

 

   

   

 

 

   

 

c)

Pole trójkąta równa się iloczynowi promienia koła wpisanego w ten trójkąt i połowy obwodu tego trójkąta.

    

Przekształcimy ten wzór tak, aby otrzymać wzór na proień koła wpisanego w ten trójkąt.

            

 

d)

Pole trójkąta o bokach mających długość abc wpisanego w koło o promieniu R wyraża się wzorem:

Przekształcamy ten wzór tak, aby obliczyć promień: