Podstawy trygonometrii - matura-podstawowa - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Podstawy trygonometrii - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Podstawowe wartości funkcji

Wartości funkcji możemy oczywiście obliczyć sami, ale są dostępne na maturze. Przydadzą nam się do zadań:

tab1
 

Uwaga!

Wartości funkcji są dostępne na kartach wzorów maturalnych.
W przypadku kiedy nie możemy ich używać, możemy policzyć je z własności trójkąta 90,60,30 oraz 90,45,45:

tab2

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Z pomocą funkcji trygonometrycznych oblicz boki trójkąta:

zad1

zad12

Obliczmy y.
Musimy wybrać odpowiednią funkcję, mamy tylko bok obok kąta, zatem są dostępne cosinus lub cotangens, ja użyję cosinusa:

Odczytujemy z tabelki, że

$cos 60°=1/2$
Wiemy tak samo, że cosinus to stosunek boku obok kąta oraz przeciwprostokątnej, czyli

$cos 60°={√3}/y$

$1/2={√3}/y$

Z proporcji (mnożenie na krzyż):

$1×y=2√3$

$y=2√3$

Pozostaje nam x, teraz możemy użyć dowolnej z pozostałych funkcji trygonometrycznych, weźmy np. sinusa

Sinus to stosunek boku naprzeciwko kąta i przeciwprostokątnej, czyli trzeba podstawić nasze y

Wiemy też z tabeli, że

$sin 60°={√3}/2 $

Zatem:

$sin 60°={√3}/2=x/{2√3}$

${√3}/{2}=x/{2√3}$

Z proporcji:

$2x=2√{3}×√{3}$

$2x=6$ $|:2$

$x=3$
 

Zadanie 2.

Na rysunku $cos α=2/3$ , wyznacz pozostałe boki trójkąta:

zad21

Znamy cosinusa i musimy go wykorzystać.
Cosinus to bok obok kąta i przeciwprostokątna, oznaczmy ponownie boki:

zad22

Zatem:

$cos α=x/{15}$

$2/3=x/{15}$

Na krzyż mnożymy:

$3x=15*2$

$3x=30$ $|:3$

$x=10$

Pozostaje nam y.

Z racji, że nie znamy pozostałych funkcji, obliczmy go z twierdzenia pitagorasa.

$x^2+y^2=15^2$

$100+y^2=225$

$y^2=125$

$y=5√5$
 

Spis treści

Rozwiązane zadania
Wykaż, że jeżeli x>y>=1...

Zakładamy,  że:

chcemy sprawdzić, czy prawdziwa jest nierówność:

 

ponieważ liczby x,y są dodatnie możemy dokonać następujących przekształceń:{premium}

  

po prawej stronie nierówności skorzystajmy ze wzoru na różnicę kwadratów, dostaniemy:

zwróćmy uwagę, że (x-y)>0 (ponieważ x>y), możemy podzielić nierówność stronami przez (x-y), dostaniemy:

  

z założenia wiemy, że:

  

czyli 

oraz 

co daje:

czyli powyższa nierówność jest prawdziwa. 

 

c.n.d.     

Oblicz, ile cyfr w zapisie dziesiętnym mają...

 Liczba  ma w zapisie dziesiętnym tyle samo cyfr, co liczba  

Obliczamy  

 {premium}

Liczba  ma w rozwinięciu dziesiętnym  cyfry.


 Liczba  ma w zapisie dziesiętnym tyle samo cyfr, co liczba  

Obliczamy  

 

 

Liczba  ma w rozwinięciu dziesiętnym  cyfr.

Udowodnij, że jeżeli...

Wiemy, że:

 

zatem:  

    {premium}

 


Stosujemy powyższe podstawienie oraz korzystamy z wzoru na różnicę kwadratów:

 

 

 

ponieważ:

 

c. n. d. 

Dla x= ...

Obliczamy wartość wyrażenia dla podanych liczb  i .

 {premium}

 

 

 


Odpowiedź: A

Udowodnij, że jeżeli ...

Przekształcamy lewą stronę równości.

 {premium}

 

 

Wyznacz współrzędne punktów symetrycznych

{premium}

 

 

 

 

 

 

Funkcja f opisana jest wzorem ...

a) Wyznaczmy miejsca zerowe funkcji f.

    {premium}

 

 

Miejscami zerowymi funkcji f są x=-2 i x=4.


b)

 

 

 

 

Zatem łatwo zauważyć, że:

 

Cyfry setek i jedności liczby...

Wprowadźmy oznaczenia:

 

 

wiemy, że  oraz  to liczby nieparzyste, czyli:{premium}

 

 

gdzie  

 

Zauważmy, że:

 

 

Liczbę  możemy zapisać w postaci iloczynu liczby  i liczby naturalnej  , zatem jest to liczba podzielna przez  

Rozwiąż równanie ...

 

Rozwiązujemy równanie.

 

 

 

Czyli:

 {premium}


 

Rozwiązujemy równanie.

  

 

 

Czyli:

 


 

Rozwiązujemy równanie.

 

 

 

 

Czyli:

 


 

Rozwiązujemy równanie.

 

 

 

 

Czyli:

 


 

Rozwiązujemy równanie.

 

 

 

 

Czyli:

 


 

Rozwiązujemy równanie.

 

 

 

 

 

Czyli:

 

Rozwiąż układ równań metodą...

 

 

dodajemy stronami równania:       {premium} 

 

 

 

zatem:

 

 

 

 

 


 

 

dodajemy stronami równia:

 

 

 

zatem:

 

 

 

 

 


 

 

dodajemy stronami równania:

 

 

 

zatem:

 

 

 

 

 


 

 

dodajemy stronami równania:

 

 

 

 

zatem:

 

 

 

 


 

 

dodajmy stronami równania:

  

 

 

zatem:

 

 

 

 


 

 

dodajemy stronami równania:

 

 

 

 

zatem: