Podstawy trygonometrii - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Podstawowe wartości funkcji

Wartości funkcji możemy oczywiście obliczyć sami, ale są dostępne na maturze. Przydadzą nam się do zadań:

tab1
 

Uwaga!

Wartości funkcji są dostępne na kartach wzorów maturalnych.
W przypadku kiedy nie możemy ich używać, możemy policzyć je z własności trójkąta 90,60,30 oraz 90,45,45:

tab2

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Z pomocą funkcji trygonometrycznych oblicz boki trójkąta:

zad1

zad12

Obliczmy y.
Musimy wybrać odpowiednią funkcję, mamy tylko bok obok kąta, zatem są dostępne cosinus lub cotangens, ja użyję cosinusa:

Odczytujemy z tabelki, że

$$cos 60°=1/2$$
Wiemy tak samo, że cosinus to stosunek boku obok kąta oraz przeciwprostokątnej, czyli

$$cos 60°={√3}/y$$

$$1/2={√3}/y$$

Z proporcji (mnożenie na krzyż):

$$1×y=2√3$$

$$y=2√3$$

Pozostaje nam x, teraz możemy użyć dowolnej z pozostałych funkcji trygonometrycznych, weźmy np. sinusa

Sinus to stosunek boku naprzeciwko kąta i przeciwprostokątnej, czyli trzeba podstawić nasze y

Wiemy też z tabeli, że

$$sin 60°={√3}/2 $$

Zatem:

$$sin 60°={√3}/2=x/{2√3}$$

$${√3}/{2}=x/{2√3}$$

Z proporcji:

$$2x=2√{3}×√{3}$$

$$2x=6$$ $$|:2$$

$$x=3$$
 

Zadanie 2.

Na rysunku $$cos α=2/3$$ , wyznacz pozostałe boki trójkąta:

zad21

Znamy cosinusa i musimy go wykorzystać.
Cosinus to bok obok kąta i przeciwprostokątna, oznaczmy ponownie boki:

zad22

Zatem:

$$cos α=x/{15}$$

$$2/3=x/{15}$$

Na krzyż mnożymy:

$$3x=15*2$$

$$3x=30$$ $$|:3$$

$$x=10$$

Pozostaje nam y.

Z racji, że nie znamy pozostałych funkcji, obliczmy go z twierdzenia pitagorasa.

$$x^2+y^2=15^2$$

$$100+y^2=225$$

$$y^2=125$$

$$y=5√5$$
 

Spis treści

Rozwiązane zadania
Rozwiąż równanie

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

      

 

   

 

Oblicz współczynnik kierunkowy prostej

Naszkicuj wykres funkcji

Oszacujmy wartości, które potem przydadzą się do określenia, z którego "przepisu" na funkcję należy skorzystać:

 

 

 

 

 

 

 

  

 

 

 

 

 

Podaj przedziały monotoniczności funkcji f.

a) Malejąca dla:

  

Rosnąca dla:

 

 

b) Rosnąca dla:

 

Malejąca dla:

 

Stała dla:

 

 

c) Rosnąca dla:

 

Malejąca dla:

 

 

d) Rosnąca dla:

 

Malejąca dla:

 

 

e) Rosnąca dla:

 

Malejąca dla:

 

 

Wyjaśnienie:

Funkcja mimo, że nie jest ciągła to i tak jest rosnąca w przedziale [-3, 1] gdyż spełnia warunek funkcji rosnącej dla każdych dwóch wybranych argumentów. Osobna sytuacja jest w przedziałach gdzie maleje gdyż zauważmy, że maleje w [1,2) i [2,3) lecz nie jest malejąca w przedziale [1,3).

 

f) Malejąca dla:

 

Stała dla:

 

Rosnąca dla:

 

Podaj przykład nierówności z wartością bezwzględną...

 {premium}


 


 

Bartek i Jurek postanowili zmierzyć odległość namiotu...

Obliczamy, po przejściu jakiej odległości ślady chłopców pokryją się pierwszy raz ("pokrycie się"

rozumiemy następująco: koniec stopy Jurka i Bartka będzie w tym samym punkcie), czyli

obliczamy najmniejszą wspólną wielokrotność długości kroków chłopców: {premium}

Thumb zad2.16str28

 


Wiemy, że kroki chłopców pokryły się  razy.

Zatem odległość od przystani obliczamy następująco:

 


Odp. Przystań znajduje się w odległości  od namiotu. 

Wyłącz (-1) poza nawias:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Przez punkty M, N i K...

Styczna i promień są do siebie prostopadłe, łatwo zatem sobie wyobrazić, że przy wierzchołku leżącym na przeciwko kąta o mierze 120o będzie kąt o mierze:{premium}

 

Odejmujemy od kąta półpełnego miarę znanego nam kąta gdyż styczne z promieniami tworzą kąty proste. A więc za każdym razem powstaje nam czworokąt którego suma kątów wewnętrznych jest równa 360o a my znamy zawsze trzy z czterech miar.

 

Przy wierzchołku leżącym na przeciwko kąta prostego będzie kąt o mierze:

 

 

Suma miar kątów wewnętrznych w trójkącie jest równa 180o, zatem ostatni kąt ma miarę:

 

Odpowiedź C

Zbiorem rozwiązań nierówności jest przedział

`x/2+2< x/3\ \ \ \ \ \ \ \ |*6`{premium}

 

Liczba (3^(3/2)-2^(1/2))^2*3^(3/2)+2^(1/2)

W oparciu o wzór skróconego mnożenia na różnicę kwadratów upraszczamy i obliczamy wyrażenie: