Podstawy trygonometrii - matura-podstawowa - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Podstawy trygonometrii - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Podstawowe wartości funkcji

Wartości funkcji możemy oczywiście obliczyć sami, ale są dostępne na maturze. Przydadzą nam się do zadań:

tab1
 

Uwaga!

Wartości funkcji są dostępne na kartach wzorów maturalnych.
W przypadku kiedy nie możemy ich używać, możemy policzyć je z własności trójkąta 90,60,30 oraz 90,45,45:

tab2

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Z pomocą funkcji trygonometrycznych oblicz boki trójkąta:

zad1

zad12

Obliczmy y.
Musimy wybrać odpowiednią funkcję, mamy tylko bok obok kąta, zatem są dostępne cosinus lub cotangens, ja użyję cosinusa:

Odczytujemy z tabelki, że

$cos 60°=1/2$
Wiemy tak samo, że cosinus to stosunek boku obok kąta oraz przeciwprostokątnej, czyli

$cos 60°={√3}/y$

$1/2={√3}/y$

Z proporcji (mnożenie na krzyż):

$1×y=2√3$

$y=2√3$

Pozostaje nam x, teraz możemy użyć dowolnej z pozostałych funkcji trygonometrycznych, weźmy np. sinusa

Sinus to stosunek boku naprzeciwko kąta i przeciwprostokątnej, czyli trzeba podstawić nasze y

Wiemy też z tabeli, że

$sin 60°={√3}/2 $

Zatem:

$sin 60°={√3}/2=x/{2√3}$

${√3}/{2}=x/{2√3}$

Z proporcji:

$2x=2√{3}×√{3}$

$2x=6$ $|:2$

$x=3$
 

Zadanie 2.

Na rysunku $cos α=2/3$ , wyznacz pozostałe boki trójkąta:

zad21

Znamy cosinusa i musimy go wykorzystać.
Cosinus to bok obok kąta i przeciwprostokątna, oznaczmy ponownie boki:

zad22

Zatem:

$cos α=x/{15}$

$2/3=x/{15}$

Na krzyż mnożymy:

$3x=15*2$

$3x=30$ $|:3$

$x=10$

Pozostaje nam y.

Z racji, że nie znamy pozostałych funkcji, obliczmy go z twierdzenia pitagorasa.

$x^2+y^2=15^2$

$100+y^2=225$

$y^2=125$

$y=5√5$
 

Spis treści

Rozwiązane zadania
Naszkicuj wykres funkcji ...

 

Zauważmy, że wykresem będzie odcinek łączący punkty , którego końce należą do wykresu.

Obliczamy wartości funkcji dla argumentów 0 i 5. {premium}

 

 


Szkicujemy wykres funkcji .


 

Zauważmy, że wykresem będzie półprosta o początku w punkcie  , której koniec nie należy do wykresu funkcji.

Obliczamy wartość funkcji dla argumentu -2.

 


Z poprzedniego podpunktu wiemy, że wykres tej funkcji przechodzi również przez punkt o współrzędnych (5, 6).


Szkicujemy wykres funkcji .

Na rysunku pokazano, jak - mając dane odcinki o długościach 1 i a

Zapoznaj się z informacjami zawartymi ...

 

 

 {premium}

 


 

 

 

 

 

 

 


 

 

 

 

 

Który z narysowanych trójkątów...

Obliczmy pole powierzchni I trójkąta:   

     {premium}


Obliczmy pole powierzchni II trójkąta:

 


Obliczmy pole powierzchni III trójkąta:

 


Odp. A

Naszkicuj wykres funkcji g ...

 

 

{premium}   

 

 

 

  

 

 

 

  

 

 

   

 

Rozwiąż równanie (zapisz odpowiednie...

 

Założenia:{premium}

 

 

 

Rozwiązujemy równanie:

 

Z proporcji:

 

 

 

 

 


 

Założenia:

 

 

Rozwiązujemy równanie:

 

Z proporcji:

 

 

 

 

 


Założenia:

 

 

Rozwiązujemy równanie:

 

Z proporcji:

 

 

 

 

 


 

Założenia:

 

 

 

Rozwiązujemy równanie:

 

Z proporcji:

 

 

 

 

 

 

W układzie współrzędnych określono trzy ...

Wzór opisujący funkcję  możemy przekształcić w następujący sposób: {premium}

 

 


Zadanie to można rozwiązać na trzy sposoby:

 

 

 

Rozwiąż układ równań, stosując odpowiednie podstawienia...

  

Stosujemy podstawienia:

  

       

Dostajemy układ równoważny:

 

  

Dodajemy równania stronami, otrzymując:

  

  

Wstawiamy   do równania  

  

          

 

 

Rozwiązaniem równoważnego układu równań jest para liczb:  

 

Wstawiamy teraz te wartości do równań, w których wprowadzaliśmy podstawienia, otrzymując:

 

Dodajemy równania stronami, otrzymując:

  

{premium}  

Wstawiamy  do równania  

 

 

Rozwiązaniem początkowego układu równań jest para liczb:

 

Uwaga: Odpowiedź w zbiorze zadań jest nieprawidłowa.

 

         

Stosujemy podstawienia:

  

       

Dostajemy układ równoważny:

 

 

Dodajemy równania stronami, otrzymując:

 

 

Wstawiamy  do równania  

 

 

          

Rozwiązaniem równoważnego układu równań jest para liczb:  

 

Wstawiamy teraz te wartości do równań, w których wprowadzaliśmy podstawienia, otrzymując:

 

Dodajemy równania stronami, otrzymując:

  

 

Wstawiamy  do równania  

 

 

Rozwiązaniem początkowego układu równań jest para liczb:

 

 

 

Zanim zrobimy odpowiednie podstawienie, poprzekształcajmy trochę powyższe równania:

 

 

Stosujemy podstawienia:

  

       

Dostajemy układ równoważny:

 

 

Dodajemy równania stronami, otrzymując:

 

 

Wstawiamy  do równania  

 

 

Rozwiązaniem równoważnego układu równań jest para liczb:  

 

Wstawiamy teraz te wartości do równań, w których wprowadzaliśmy podstawienia, otrzymując:

 

Dodajemy równania stronami, otrzymując:

  

 

Wstawiamy  do równania  

 

 

Rozwiązaniem początkowego układu równań jest para liczb:

 

 

 

Stosujemy podstawienia:

  

       

Dostajemy układ równoważny:

 

 

Dodajemy równania stronami, otrzymując:

 

 

Wstawiamy  do równania  

 

 

 

Rozwiązaniem równoważnego układu równań jest para liczb:  

 

Wstawiamy teraz te wartości do równań, w których wprowadzaliśmy podstawienia, otrzymując:

 

Wstawiamy  do pierwszego równania:

  

 

Rozwiązaniem początkowego układu równań jest para liczb:

 

Dana jest funkcja f opisana...

Zdanie A jest prawdziwe. Z tabeli możemy odczytać, że{premium} dziedziną funkcji jest zbiór {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13}.


Zdanie B jest prawdziwe. Z tabeli możemy odczytać, że f(7)=16, czyli funkcja f przyporządkowuje argumentowi 7 wartość 16.


Zdanie C jest prawdziwe, aby to sprawdzić, obliczamy wartość funkcji f(x)=2x+2 dla każdego argumentu z dziedziny i porównujemy otrzymane wartości z wynikami z tabeli:

 

 

 

 

 

 

 

Liczbę a zwiększoo o 17%, otrzymano

17% z liczby a wynosi:

{premium}

 

Zatem liczba a zwiększona o 17% to w sumie: