Podstawy trygonometrii - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Podstawowe wartości funkcji

Wartości funkcji możemy oczywiście obliczyć sami, ale są dostępne na maturze. Przydadzą nam się do zadań:

tab1
 

Uwaga!

Wartości funkcji są dostępne na kartach wzorów maturalnych.
W przypadku kiedy nie możemy ich używać, możemy policzyć je z własności trójkąta 90,60,30 oraz 90,45,45:

tab2

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Z pomocą funkcji trygonometrycznych oblicz boki trójkąta:

zad1

zad12

Obliczmy y.
Musimy wybrać odpowiednią funkcję, mamy tylko bok obok kąta, zatem są dostępne cosinus lub cotangens, ja użyję cosinusa:

Odczytujemy z tabelki, że

$$cos 60°=1/2$$
Wiemy tak samo, że cosinus to stosunek boku obok kąta oraz przeciwprostokątnej, czyli

$$cos 60°={√3}/y$$

$$1/2={√3}/y$$

Z proporcji (mnożenie na krzyż):

$$1×y=2√3$$

$$y=2√3$$

Pozostaje nam x, teraz możemy użyć dowolnej z pozostałych funkcji trygonometrycznych, weźmy np. sinusa

Sinus to stosunek boku naprzeciwko kąta i przeciwprostokątnej, czyli trzeba podstawić nasze y

Wiemy też z tabeli, że

$$sin 60°={√3}/2 $$

Zatem:

$$sin 60°={√3}/2=x/{2√3}$$

$${√3}/{2}=x/{2√3}$$

Z proporcji:

$$2x=2√{3}×√{3}$$

$$2x=6$$ $$|:2$$

$$x=3$$
 

Zadanie 2.

Na rysunku $$cos α=2/3$$ , wyznacz pozostałe boki trójkąta:

zad21

Znamy cosinusa i musimy go wykorzystać.
Cosinus to bok obok kąta i przeciwprostokątna, oznaczmy ponownie boki:

zad22

Zatem:

$$cos α=x/{15}$$

$$2/3=x/{15}$$

Na krzyż mnożymy:

$$3x=15*2$$

$$3x=30$$ $$|:3$$

$$x=10$$

Pozostaje nam y.

Z racji, że nie znamy pozostałych funkcji, obliczmy go z twierdzenia pitagorasa.

$$x^2+y^2=15^2$$

$$100+y^2=225$$

$$y^2=125$$

$$y=5√5$$
 

Spis treści

Rozwiązane zadania
Dane są funkcje f(x)= ...

 

 

 

  

  

  

Skoro a i c są różnych znaków to również b i d muszą być różnych znaków.

Zatem funkcje f i g przedstawia rysunek III.

Korzystając z jednej z cech przystawania trójkątów uzasadnij

 

 

 

Policzmy miarę kątów zewnętrznych ośmiokąta (są to kąty o mierze y+y=2y) 

 

 
 
 

Teraz możemy obliczyć miary kątów w powstałych trójkątach: 

 

 

Podaj dla jakich wartości x spełnione jest równanie

{premium}

 

 

 

 

 

 

 

brak rozwiązań - wartość bezwzględna określa odległość od 0 na osi liczbowej, nigdy nie osiągnie wartości ujemnej    

Dany jest trapez...

a) rysunek:

Wiemy, że miary kątów przy ramieniu AD muszą dać w sumie 180°:

Czyli

oraz w zadaniu mamy napisane, że:

a więc również:

 

Na podstawie cechy kąt-kąt-kąt stwierdzamy, że trójkąty ABD i BCD są podobne.

 

b) z podobieństwa trójkątów obliczmy stosunki odpowiednich boków w trójkatach leżących na przeciwko odpowiednich kątów:

 

  

Obliczmy skalę podobieństwa:

 

Obliczmy długość boku AB:

 

Obwód trapezu:

Wyznacz x jeżeli

 W tym zadaniu korzystać będziemy z różnowartościowości funkcji wykładniczej, co oznacza, że zachodzi następujące wynikanie:

 

 

 


 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Wyznacz wszystkie pary liczb naturalnych

Wyznaczmy n z danego równania:

 

 

 

 

Liczby n i k mają być liczbami naturalnymi, więc w szczególności musi zachodzić warunek n≥0. Rozwiążmy nierówność.

 

  

 

 

 

Oczywiście k także musi być liczbą naturalną, więc k≥0.

Liczby naturalne k, które są nie mniejsze niż 0 oraz nie większe niż 6 to: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6.

Zauważmy, że aby n było liczbą naturalną, to k musi być podzielne przez 2 (inaczej ułamek 3/2 nie skróci się z k). Mamy więc następujące możliwości:

 

 

 

 

 

Liczba log 15 + log 4 + ...

W zadaniu korzystamy z twierdzenia:

Jeśli a>0 i a1 oraz b>0, c>0 i n R, to:

 

 

 

Odp:A

Wyznacz dziedzinę funkcji.

a) Wyrażenie w mianowniku musi być różne od zera.

 

 

Zatem dziedzina to:

 

 

b) Wyrażenie pod pierwiastkiem musi być nieujemne.

 

 

Zatem dziedzina to:

 

 

c) Wyrażenie w mianowniku musi być różne od zera.

 

 

 

Zatem dziedzina to:

 

 

d) Jeżeli do liczby nieujemnej dodamy dowolną liczbę rzeczywistą dodatnią to wyrażenie będzie stale większe od zera. Dziedziną jest zbiór liczb rzeczywistych.

 

Uzasadnij, że suma trzech kolejnych liczb naturalnych

 

 

  - trzy kolejne liczby naturalne

 

 

{premium}

 

 

 

  - trzy kolejne liczby parzyste

 

  

 

 

 

 

  - cztery kolejne liczby nieparzyste

 

    

 

Na bokach AC i BC trójkąta ABC...

Rysunek poglądowy:

 

 

 

 

 

 

A więc proste PQ i AB są równoległe, zatem czworokąt ABQP jest trapezem.

 

Stosunek dłuższej podstawy do krótszej:

 

 

 

 

Odpowiedź: Stosunek długości dłużej podstawy do krótszej wynosi 5:2.