Podstawy trygonometrii - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Podstawowe wartości funkcji

Wartości funkcji możemy oczywiście obliczyć sami, ale są dostępne na maturze. Przydadzą nam się do zadań:

tab1
 

Uwaga!

Wartości funkcji są dostępne na kartach wzorów maturalnych.
W przypadku kiedy nie możemy ich używać, możemy policzyć je z własności trójkąta 90,60,30 oraz 90,45,45:

tab2

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Z pomocą funkcji trygonometrycznych oblicz boki trójkąta:

zad1

zad12

Obliczmy y.
Musimy wybrać odpowiednią funkcję, mamy tylko bok obok kąta, zatem są dostępne cosinus lub cotangens, ja użyję cosinusa:

Odczytujemy z tabelki, że

$$cos 60°=1/2$$
Wiemy tak samo, że cosinus to stosunek boku obok kąta oraz przeciwprostokątnej, czyli

$$cos 60°={√3}/y$$

$$1/2={√3}/y$$

Z proporcji (mnożenie na krzyż):

$$1×y=2√3$$

$$y=2√3$$

Pozostaje nam x, teraz możemy użyć dowolnej z pozostałych funkcji trygonometrycznych, weźmy np. sinusa

Sinus to stosunek boku naprzeciwko kąta i przeciwprostokątnej, czyli trzeba podstawić nasze y

Wiemy też z tabeli, że

$$sin 60°={√3}/2 $$

Zatem:

$$sin 60°={√3}/2=x/{2√3}$$

$${√3}/{2}=x/{2√3}$$

Z proporcji:

$$2x=2√{3}×√{3}$$

$$2x=6$$ $$|:2$$

$$x=3$$
 

Zadanie 2.

Na rysunku $$cos α=2/3$$ , wyznacz pozostałe boki trójkąta:

zad21

Znamy cosinusa i musimy go wykorzystać.
Cosinus to bok obok kąta i przeciwprostokątna, oznaczmy ponownie boki:

zad22

Zatem:

$$cos α=x/{15}$$

$$2/3=x/{15}$$

Na krzyż mnożymy:

$$3x=15*2$$

$$3x=30$$ $$|:3$$

$$x=10$$

Pozostaje nam y.

Z racji, że nie znamy pozostałych funkcji, obliczmy go z twierdzenia pitagorasa.

$$x^2+y^2=15^2$$

$$100+y^2=225$$

$$y^2=125$$

$$y=5√5$$
 

Spis treści

Rozwiązane zadania
Wyznacz wartości parametru m...

Równanie ma dwa pierwiastki gdy:

`1) \ Delta > 0` 

Suma odwrotności pierwiastków ma być dodatnia:

`2) \ 1/x_1 + 1/x_2 = (x_1+x_2)/(x_1*x_2) = (-b/a)/(c/a) = -b/a * a/c = -b/c = (m+3)/(m-2)> 0` 

 

 

 

`1) \ Delta > 0` 

`(-(m+3))^2 - 4*1*(m-2) > 0` 

`(m+3)^2 -4(m-2)>0` 

`m^2+6m+9 -4m + 8 > 0` 

`m^2 + 2m + 17 > 0` 

`Delta = 2^2 - 4*1*17 < 0` 

a więc:

`m in R` 

 

`2) \ (m+3)/(m-2) > 0` 

`(m+3)(m-2) > 0` 

`m_1 = -3 \ \ vv \ \ m_2 = 2` 

Parabola ma ramiona skierowane ku górze a więc:

`m in (-oo, -3) \cup (2, oo)` 

Przedstaw liczbę jako ułamek dziesiętny okresowy

`a)\ 5/11=0,(45)`

`b)\ -6/11=-0,(54)`

`c)\ 8/15=0,5(3)`

`d)\ -34/15=-2,2(6)`

`e)\ 11/30=0,3(6)`

`f)\ 19/60=0,31(6)`

 `g)\ -7/27=0,(259)` 

`h)\ 136/27=5,(037)`

 

 

 

Wyznacz współczynniki b i c funkcji ...

Dana jest funkcja kwadratowa określona wzorem:

`f(x)=x^2+bx+c` 

Punkt W jest wierzchołkiem paraboli.

W zadaniu będziemy korzystać ze wzorów na współrzędne wierzchołka paraboli:

`x_w=-b/(2a)` 

`y_w=(-b^2+4ac)/(4a)`  

 

`"a)"\ W(0,5)` 

Korzystając ze wzoru na współrzędną x-ową wierzchołka wyznaczamy wartość b:

`0=-b/2\ \ \ \ \ |*2` 

`b=0` 

Korzystając ze wzoru na współrzędną y-ową wierzchołka wyznaczamy wartość c:

`5=(-0^2+4*1*c)/4`   

`5=(4c)/4` 

`c=5` 

Współczynnik b=0 oraz c=5.

 

Otrzymujemy wzór funkcji:

`f(x)=x^2+5` 

Wyznaczamy miejsca zerowe funkcji:

`Delta=0^2-4*1*5=-20`     

Funkcja nie posiada miejsc zerowych.

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))`

`"b)"\ W(5,0)`  

Korzystając ze wzoru na współrzędną x-ową wierzchołka wyznaczamy wartość b:

`5=-b/2\ \ \ \ \ |*2` 

`10=-b` 

`b=-10`  

Korzystając ze wzoru na współrzędną y-ową wierzchołka wyznaczamy wartość c:

`0=(-(-10)^2+4*1*c)/4`  

`0=(-100+4c)/4` 

`0=-25+c\ \ \ \ \ \ \ \ |+25`

`c=25` 

Współczynnik b=-10 oraz c=25.

 

Otrzymujemy wzór funkcji:

`f(x)=x^2-10x+25`  

Wyznaczamy miejsca zerowe funkcji:

`Delta=(-10)^2-4*1*25=100-100=0`  

`x_1=-b/(2a)=10/2=5`  

Funkcja posiada jedno miejsce zerowe.

 

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))` 

`"c)"\ W(-1/2,-1/4)`   

Korzystając ze wzoru na współrzędną x-ową wierzchołka wyznaczamy wartość b:

`-1/2=-b/2\ \ \ \ \ |*2` 

`-1=-b`    

`b=1`   

Korzystając ze wzoru na współrzędną y-ową wierzchołka wyznaczamy wartość c:

`-1/4=(-1^2+4*1*c)/4`  

`-1/4=(-1+4c)/4` 

`-1/4=-1/4+c\ \ \ \ \ \ \ \ |+1/4`  

`c=0` 

 

Współczynnik b=1 oraz c=0.

 

Otrzymujemy wzór funkcji:

`f(x)=x^2+x`    

Wyznaczamy miejsca zerowe funkcji:

`Delta=1^2-4*1*0=1` 

`sqrtDelta=sqrt1=1`  

`x_1=(-1-1)/2=-2/2=-1`  

`x_2=(-1+1)/2=0`        

Funkcja posiada dwa miejsca zerowe.

Prosta k zawiera ramię końcowe...

Prosta przechodzi przez początek układu współrzędnych i punkt P a więc:

`{(f(-3)=5),(f(0)=0):}` 

`{(-3a+b = 5),(b=0):}` 

`{(a = -5/3),(b=0):}` 

 

A więc wzór funkcji to:

`f(x) = -5/3x` 

 

Prosta równoległa do naszej prostej musi mieć taki sam współczynnik kierunkowy a więc:

`g(x) = -5/3x + c` 

 

Prosta ma przechodzić przez punkt A czyli:

`g(-5)=-1` 

 

Stąd: 

`-5/3*(-5)+c=-1` 

`25/3 + c = -1` 

`c = -28/3` 

 

Zatem:

`g(x) = -5/3x - 28/3` 

Prosta...

Przesuwając funkcję f o wektor [p,q] powstaje funkcja g, możemy to opisać wzorem:

`g(x) = f(x-p)+q`

Znak minus przy p pojawia się dlatego, że wraz ze wzrostem argumentów wartości maleją.

 

`a) \ f(x) = -x+3 , \ stackrel(->)(v) = [2,0]`

`g(x) = f(x-2) +0`

 

Wyznaczmy f(x-2):

`f(x-2) = -(x-2)+3 = -x+2+3=-x+5`  

 

`g(x) = f(x-2)+0= -x+5+0 = -x+5`

 

 

`b) \ f(x)=-x+3, \ stackrel(->)(v)=[1,1]`

`g(x) = f(x-1)+1`

 

Wyznaczmy f(x-1)

`f(x-1) = -(x-1)+3 = -x+1+3 = -x +4`

 

`g(x) = f(x-1)+1 = -x+4+1 = -x+5`

 

 

`c) \ f(x) = -x+3, \ stackrel(->)(v) = [-2,-3]` 

`g(x) = f(x-(-2))-3 = f(x+2)-3`

 

Wyznaczmy f(x+2):

`f(x+2) = -(x+2)+3 = -x-2+3 = -x+1`

 

`g(x) = f(x+2)-3 = -x+1-3 = -x-2`

Określ liczbę pierwiastków...

`mx^2+(m-1)x+m=0` 

Przypadek, gdy `m=0` 

`-1x=0 \ \ \ "jedno rozwiązanie"` 

 

Przypadek, gdy `m!=0` 

`Delta=(m-1)^2-4*m*m=m^2-2m+1-4m^2=-3m^2-2m+1` 

`Delta_m=(-2)^2-4*(-3)*1=4+12=16` 

`sqrt(Delta_m)=4` 

`m_1=(2-4)/(2*(-3))=(-2)/(-6)=1/3` 

`m_2=(2+4)/(2*(-3))=6/(-6)=-1` 

`y=-3m^2-2m+1` 

`"dwa rozwiązania" \ \ \ m in (-1,0)uu( 0, 1/3)` 

`"jedno rozwiązanie" \ \ \ m in {-1, 0, 1/3}` 

`"brak rozwiązań" \ \ \ m in (-oo,-1)uu(1/3, +oo)` 

 

Zauważ, że (√3-1)²= 4-2√3. Zatem

`sqrt(9-4sqrt5) \ \ \ stackrel(a^2-2ab+b^2=(a-b)^2)=\ \ \=sqrt(4-4sqrt5+5)=sqrt(2^2-2*2*sqrt5+(sqrt5)^2)=sqrt((2-sqrt5)^2)=`

`=stackrel"(-)"|2-sqrt5|=-2+sqrt5=sqrt5-2`

 

 

`sqrt(46+6sqrt5) \ \ \ stackrel(a^2+2ab+b^2=(a+b)^2)=\ \ \ sqrt(1+6sqrt5+45)=sqrt(1^2+2*1*sqrt5+(3sqrt5)^2)=`

`=sqrt((1+3sqrt5)^2)=stackrel"(+)"|1+sqrt5|=1+sqrt5`

 

 

`sqrt(16-6sqrt7) \ \ \ stackrel(a^2-2ab+b^2=(a-b)^2)=\ \ \ sqrt(9-6sqrt7+7)=sqrt(3^2-2*3*sqrt7+(sqrt7)^2)`

`=sqrt((3-sqrt7)^2) =|3-sqrt7| \ \ \ stackrel(sqrt7<sqrt9 \ \=> \ \ sqrt7<3)=\ \ \stackrel"(+)"|3-sqrt7|=3-sqrt7`

Wykres funkcji y=ax jest nachylony...

Wiemy, że `a="tg"alpha.` Zatem:

`"a)"\ a="tg"37^@~~0,75` 

`y=3/4x`     

 

`"b)"\ a="tg"84^@~~9,51` 

`y=9,51x`     

 

`"c)"\ a="tg"130^@="tg"(180^@-50^@)=-"tg"50^@~~-1,19` 

`y=-1,19x`     

 

`"d)"\ a="tg"162^@="tg"(180^@-18^@)=-"tg"18^@~~-0,32` 

`y=-0,32x`    

Pociąg pokonał 275 km

Oznaczmy szukaną liczbę kilometrów jako x. 

`275\ km\ \ \ -\ \ \ 2,5\ h`

`x\ km\ \ \ \ \ \ -\ \ \ 1,5\ h`

 

`275/(2,5)=x/(1,5)`

`2,5x=275*1,5\ \ \ \ |:5`

`0,5x=275*0,3`

`0,5x=82,5\ \ \ \ \ |*2`

`x=165`

Wpłacamy do banku na lokatę...

Ze wzoru na procent składany:

`K = K_0 (1+r)^n` 

`K_0 \ - \ "kapitał początkowy` 

`r \ - \ roczna stopa procentowa` 

`n \ - \ liczba kapitalizacji` 

 

A więc możemy to zapisać w postaci funkcji:

`f(x) = 5000(1+x)^2` 

 

Sprawdźmy dla jakich wartość funkcji jest większa od 5500 zł:

`f(x) > 5500` 

`5000(1+x)^2 > 5500` 

`(1+x)^2 > 11/10` 

`1+2x+x^2 > 11/10` 

`x^2 + 2x - 1/10 > 0` 

`Delta = 2^2 -4*1*(-1/10) = 4 + 4/10 = 4 + 2/5 = 4 2/5 = 22/5 = 110/25` 

`sqrtDelta = sqrt110/5`  

Weźmy tylko dodatni x:

`x = (-2+sqrt110/5)/2 = ((sqrt110-10)/5)/2 = (sqrt110-10)/10 approx (10,49 - 10)/10 = (0,49)/10 = 0,049` 

Zamieńmy liczbę na procent:

`0,049*100% = 4,9%` 

 

Odpowiedź: Oprocentowanie powinno wynosić ok. 4,9%.