Zgoda na przetwarzanie danych osobowych

25 maja 2018 roku zacznie obowiązywać Rozporządzenie Parlamentu Europejskiego i Rady (UE) 2016/679 z dnia 27 kwietnia 2016 r. znane jako RODO.

Dlatego aby dalej móc dostarczać Ci materiały odpowiednie do Twojego etapu edukacji, potrzebujemy zgody na lepsze dopasowanie treści do Twojego zachowania. Dzięki temu możemy zapamiętywać jakie materiały są Ci potrzebne. Dbamy o Twoją prywatność, więc nie zwiększamy zakresu naszych uprawnień. Twoje dane są u nas bezpieczne, a zgodę na ich zbieranie możesz wycofać na podstronie polityka prywatności.

Klikając "Przejdź do Odrabiamy", zgadzasz się na wskazane powyżej działania. W przeciwnym wypadku, nie jesteśmy w stanie zrealizować usługi kompleksowo i prosimy o opuszczenie strony.

Polityka prywatności

Drogi Użytkowniku w każdej chwili masz prawo cofnąć zgodę na przetwarzanie Twoich danych osobowych. Cofnięcie zgody nie będzie wpływać na zgodność z prawem przetwarzania, którego dokonano na podstawie wyrażonej przez Ciebie zgody przed jej wycofaniem. Po cofnięciu zgody wszystkie twoje dane zostaną usunięte z serwisu. Udzielenie zgody możesz modyfikować w zakładce 'Informacja o danych osobowych'

Podstawy trygonometrii - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Podstawowe wartości funkcji

Wartości funkcji możemy oczywiście obliczyć sami, ale są dostępne na maturze. Przydadzą nam się do zadań:

tab1
 

Uwaga!

Wartości funkcji są dostępne na kartach wzorów maturalnych.
W przypadku kiedy nie możemy ich używać, możemy policzyć je z własności trójkąta 90,60,30 oraz 90,45,45:

tab2

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Z pomocą funkcji trygonometrycznych oblicz boki trójkąta:

zad1

zad12

Obliczmy y.
Musimy wybrać odpowiednią funkcję, mamy tylko bok obok kąta, zatem są dostępne cosinus lub cotangens, ja użyję cosinusa:

Odczytujemy z tabelki, że

$$cos 60°=1/2$$
Wiemy tak samo, że cosinus to stosunek boku obok kąta oraz przeciwprostokątnej, czyli

$$cos 60°={√3}/y$$

$$1/2={√3}/y$$

Z proporcji (mnożenie na krzyż):

$$1×y=2√3$$

$$y=2√3$$

Pozostaje nam x, teraz możemy użyć dowolnej z pozostałych funkcji trygonometrycznych, weźmy np. sinusa

Sinus to stosunek boku naprzeciwko kąta i przeciwprostokątnej, czyli trzeba podstawić nasze y

Wiemy też z tabeli, że

$$sin 60°={√3}/2 $$

Zatem:

$$sin 60°={√3}/2=x/{2√3}$$

$${√3}/{2}=x/{2√3}$$

Z proporcji:

$$2x=2√{3}×√{3}$$

$$2x=6$$ $$|:2$$

$$x=3$$
 

Zadanie 2.

Na rysunku $$cos α=2/3$$ , wyznacz pozostałe boki trójkąta:

zad21

Znamy cosinusa i musimy go wykorzystać.
Cosinus to bok obok kąta i przeciwprostokątna, oznaczmy ponownie boki:

zad22

Zatem:

$$cos α=x/{15}$$

$$2/3=x/{15}$$

Na krzyż mnożymy:

$$3x=15*2$$

$$3x=30$$ $$|:3$$

$$x=10$$

Pozostaje nam y.

Z racji, że nie znamy pozostałych funkcji, obliczmy go z twierdzenia pitagorasa.

$$x^2+y^2=15^2$$

$$100+y^2=225$$

$$y^2=125$$

$$y=5√5$$
 

Spis treści

Rozwiązane zadania
Zaznacz zbiór na osi liczbowej i zapisz

a)

 

 

`(-oo,-5>>uu<<4,+oo)`

  b)

 

 

`(-oo,4)uu(6,+oo)`

c)

`(-oo,-3>>uu(-2,+oo)`

d)

`(-oo,1)uu<<4,+oo)`

Osiedlowa piekarnia wypiekała...

`f(n) = 20n - 0,025n^2 - 30` 

 

`a) \ f(100) = 20*100 - 0,025*100^2 - 30 = 2000 - 0,025* 10000 - 30 = 2000 - 250 - 30 = 1720` 

`f(200) = 20 * 200 - 0,025*200^2 - 30 = 4000 - 0,025*40000 - 30 = 4000 - 1000 - 30 = 2970` 

 

`f(200) - f(100) = 2970 - 1720 = 1250` 

Zwiększył się o 1250 zł.

 

`b) \ f(300) = 20 * 300 - 0,025*300^2 - 30 = 6000 - 0,025 *90000 - 30 = 6000 - 2250 - 30 =  3720` 

Jest to opłacalne.

 

c) Parabola ma ramiona skierowane ku dołowi a więc w wierzchołku mamy wartość maksymalną. Obliczmy odciętą wierzchołka paraboli

`x_w = p = (-b)/(2a) = (-20)/(-0,05) = 400` 

Największy dochód będzie przy wypiekaniu 400 bochenków chleba dziennie.

 

d) Zauważmy, że w wierzchołku mamy wartość maksymalną, a więc im dalej od odciętej tym ilość wypieków chleba będzie mniej opłacalna.

`f(1) = 20*1 -0,025*1 -30 < 0` 

`f(2) = 20*2 -0,025*2^2 -30 = 10 - 0,025*4>0` 

Takie same wartości funkcja przyjmuje dla równo odległych punktów od wierzchołka a więc:

`|2-400|=|798 - 400|=398` 

`|1-400| = |799-400|=399` 

`f(2) = f(798) > 0` 

`f(1) = f(799) < 0` 

A więc jeżeli piekarnia będzie wypiekać jeden bochenek dziennie albo ponad 798 to będą stratni na interesie.

Wypisz elementy zbioru

`a)`

`AuuB={1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5}`

 

 

`b)`

`A={11,\ 12,\ 13}`

`B={sqrt121,\ sqrt144,\ sqrt196}={11,\ 12,\ 14}`

`AuuB={11,\ 12,\ 13,\ 14}`

 

 

`c)`

`A={x in C:\ x^2<=1}={-1,\ 0,\ 1}`

`B={x in C:\ x^2<=4}={-2,\ -1,\ 0,\ 1,\ 2}`

`AuuB={-2,\ -1,\ 0,\ 1,\ 2}`

 

Wykres funkcji f(x) jest symetryczny względem prostej l

Oś symetrii paraboli to zarazem pierwsza współrzędna wierzchołka paraboli. 

Zwróć uwagę, że współczynnik c to druga współrzędna punktu P, ponieważ gdy podstawimy 0 w miejsce x, to współczynnik b zniknie. 

 

`a)\ P=(0,\ 1)\ \ =>\ \ c=1\ \ \ =>\ \ \ f(x)=x^2+ bx+1`

    Teraz skorzystamy z tego, że znamy oś symetrii tej paraboli: 

`\ \ \ f(x)=(x-1)^2+q=x^2-2x+1+q`

 

     Mamy dwie postacie tej funkcji, porównujemy je: 

`\ \ \ x^2+bx+1=x^2-2x+1+q`

 

    Porównujemy współczynniki przy takich samych potęgach: 

`x^2:\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 1=1`

`x:\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ b=-2`

`w.\ wol ny:\ \ \ 1=1+q\ \ \ =>\ \ \ q=1-1=0`

 

`ul(ul(b=-2,\ \ \ \ \ c=1,\ \ \ \ \ f(x)=(x-1)^2+0=(x-1)^2))`

 

 

 

`b)\ P=(0,\ 2)\ \ \ =>\ \ \ c=2\ \ \ =>\ \ \ f(x)=x^2+bx+2`

 

    Teraz skorzystamy z osi symetrii:

`\ \ \ f(x)=(x+4)^2+q=x^2+8x+16+q`

 

`\ \ \ x^2+bx+2=x^2+8x+16+q`

 

`x^2:\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 1=1`

`x:\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ b=8`

`w.\ wol ny:\ \ \ \ \ \ 2=16+q\ \ \ =>\ \ \ q=2-16=-14`

 

`ul(ul(b=8,\ \ \ \ c=2,\ \ \ \ f(x)=(x+4)^2-14))`

 

 

 

`c)\ P=(0,\ -6)\ \ \ =>\ \ \ c=-6\ \ \ =>\ \ \ f(x)=x^2+bx-6`

 

 Teraz korzystamy z tego, że znamy oś symetrii:

`\ \ \ f(x)=(x-3)^2+q=x^2-6x+9+q`

 

`\ \ \ x^2+bx-6=x^2-6x+9+q`

 

`x^2:\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 1=1`

`x:\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ b=-6`

`w.\ wol ny:\ \ \ \ \ \ \ \ \ -6=9+q\ \ \ =>\ \ \ q=-6-9=-15`

 

`ul(ul(b=-6,\ \ \ \ \ c=-6,\ \ \ \ \ f(x)=(x-3)^2-15))`

 

 

 

`d)\ P=(0,\ -4)\ \ \ =>\ \ \ c=-4\ \ \ =>\ \ \ f(x)=x^2+bx-4`

 

     Korzystamy z osi symetrii: 

`\ \ \ f(x)=(x+1/2)^2+q=x^2+x+1/4+q`

 

`\ \ \ x^2+bx-4=x^2+x+1/4+q`

 

`x^2:\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 1=1`

`x:\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ b=1`

`w.\ wol ny:\ \ \ \ \ -4=1/4+q\ \ \ =>\ \ \ q=-4-1/4=-4 1/4`

 

`ul(ul(b=1,\ \ \ \ c=-4,\ \ \ \ f(x)=(x+1/2)^2-4 1/4))`

 

 

 

Rozwiązaniem równania

Uprośćmy najpierw równanie, przydatny będzie wzór skróconego mnożenia na kwadrat sumy:

`(a+b)^2=a^2+2ab+b^2`

 

Upraszczamy równanie: 

`(2x+1)^2-2ax+1=4x^2-2(x-1)`

`(2x)^2+2*2x*1+1^2-2ax+1=4x^2-2x+2`

`4x^2+4x+1-2ax+1=4x^2-2x+2`

`4x^2+4x-2ax+2=4x^2-2x+2\ \ \ \ \ |-4x^2-2`

`4x-2ax=-2x\ \ \ \ |-4x`

`-2ax=-6x`

 

Zbiorem rozwiązań równania będzie zbiór liczb rzeczywistych, jeśli obie jego strony będą jednakowe, czyli gdy:

`-2a=-6\ \ \ \ |:(-2)`

`a=3\ \ \ \ \ \ odp.\ B`

Cenę pewnego towaru

`"początkowa cena towaru:"\ \ \ x` 

`"cena po obniżce 25%:"\ \ \ (100%-25%)*x=75%*x=0,75x` 

`"cena po podwyżce o 20%:"\ \ \ (100%+20%)*0,75x=120%*0,75x=1,2*0,75x=0,9x` 

`"cena po podwyżce o 10%:"\ \ \ (100%+10%)*0,9x=110%*0,9x=1,1*0,9x=0,99x` 

 

Ostateczna cena jest niższa od ceny początkowej. Obliczamy, o ile procent zmalała cena, czyli jakim procentem ceny początkowej jest różnica cen:

`(x-0,99x)/x=(0,01x)/x=0,01=1%\ \ \ \ \ \ odp.\ A` 

 

Dany jest sześcian o krawędzi...

Objętość sześcianu:

`V_("sz") = a^3` 

 

Objętość prostopadłościanu:

`V_("pr") = (a+1)(a-2)(a+2)` 

 

Założenie:

`a in (2, oo)` 

 

Sprawdźmy kiedy objętość sześcianu jest większa od objętości prostopadłościanu:

`V_(sz) > V_("pr")` 

`a^3 > (a+1)(a-2)(a+2)` 

`a^3 > (a+1)(a^2-4)` 

`a^3 > a^3 -4a + a^2 - 4` 

`0 > a^2 -4a - 4` 

`Delta = (-4)^2 -4*1*(-4) = 16 + 16 = 32`  

`sqrtDelta = sqrt32 = 4sqrt2` 

`a_1 = (4+4sqrt2)/2` 

`a_2 = (4-4sqrt2)/2` 

Parabola ma ramiona skierowane ku górze a więc:

`a in ((4-4sqrt2)/2 , (4+4sqrt2)/2)` 

Uwzględniając dziedzinę:

`a in (2, (4+4sqrt2)/2)` 

`a in (2, 2+2sqrt2)` 

Dany jest układ równań...

Przekształćmy równania prostych w układzie do postaci `y=ax+b.` 

`{(x-3y-1=0),(x+3y-1=0):}`  

`{(3y=x-1\ "/":3),(3y=-x+1\ "/":3):}` 

`{(y=1/3x-1/3),(y=-1/3x+1/3):}` 

Widzimy, że proste nie są równoległe, więc prawidłowa odpowiedź to `"D."`    

Zależność między temperaturą w stopniach Celsjusza

Liczby -1, -1/2, 3 są miejscami zerowymi

`a)` 

`g(x)=f(-x)=2*(-x)^3-3*(-x)^2-8*(-x)-3=-2x^3-3x^2+8x-3` 

 

Zauważmy, że przy podnoszeniu do potęg parzystych minus "znika":

`(-x)^3=((-1)*x)^3=(-1)^3*x^3=(-1)*x^3=-x^3` 

`(-x)^2=((-1)*x)^2=(-1)^2*x^2=1*x^2=x^2` 

 

Wykres funkcji g otrzymalibyśmy, odbijając wykres funkcji f symetrycznie względem osi OY. Miejsca zerowe funkcji g będą więc symetryczne względem osi OY do miejsc zerowych funkcji f. 

`"miejsca zerowe funkcji"\ g:\ \ \ 1,\ 1/2,\ -3` 

 

 

`b)` 

`g(x)=f(x+1)=2*(x+1)^3-3*(x+1)^2-8*(x+1)-3=` 

`\ \ \ \ \ \ \ =2*(x^3+3x^2+3x+1)-3(x^2+2x+1)-8x-8-3=` 

`\ \ \ \ \ \ \ =2x^3+6x^2+6x+2-3x^2-6x-3-8x-11=` 

`\ \ \ \ \ \ \ =2x^3+3x^2-8x-12` 

 

Wykres funkcji g otrzymalibyśmy, przesuwając wykres funkcji f o 1 jednostkę w lewo wzdłuż osi OX. Miejsca zerowe funkcji g będą więc miejscami zerowymi funkcji f przesuniętymi o 1 jednostkę w lewo wzdłuż osi OX:

`"miejsca zerowe funkcji"\ g:\ \ \ -1-1=-2,\ \ \ \ -1/2-1=-1 1/2,\ \ \ \ 3-1=2` 

 

 

`c)` 

`g(x)=f(1-x)=2*(1-x)^3-3*(1-x)^2-8*(1-x)-3=`  

`\ \ \ \ \ \ \ =2*(1-3x+3x^2-x^3)-3*(1-2x+x^2)-8+8x-3=` 

`\ \ \ \ \ \ \ =2-6x+6x^2-2x^3-3+6x-3x^2+8x-11=` 

`\ \ \ \ \ \ \ =-2x^3+3x^2+8x-12`     

 

Wykres funkcji g otrzymalibyśmy, odbijając wykres funkcji f symetrycznie względem osi OY, a następnie przesuwając otrzymany wykres o 1 jednostkę w górę wzdłuż osi OY. Miejsca zerowe funkcji g będą więc symetryczne względem osi OY do miejsc zerowych funkcji f, a następnie przesunięte o 1 jednostkę w górę wzdłuż osi OY.

`"miejsca zerowe funkcji"\ g:\ \ \ 1+1=2,\ \ \ \ 1/2+1=1 1/2,\ \ \ \ -3+1=-2`