Zgoda na przetwarzanie danych osobowych

25 maja 2018 roku zacznie obowiązywać Rozporządzenie Parlamentu Europejskiego i Rady (UE) 2016/679 z dnia 27 kwietnia 2016 r. znane jako RODO.

Dlatego aby dalej móc dostarczać Ci materiały odpowiednie do Twojego etapu edukacji, potrzebujemy zgody na lepsze dopasowanie treści do Twojego zachowania. Dzięki temu możemy zapamiętywać jakie materiały są Ci potrzebne. Dbamy o Twoją prywatność, więc nie zwiększamy zakresu naszych uprawnień. Twoje dane są u nas bezpieczne, a zgodę na ich zbieranie możesz wycofać na podstronie polityka prywatności.

Klikając "Przejdź do Odrabiamy", zgadzasz się na wskazane powyżej działania. W przeciwnym wypadku, nie jesteśmy w stanie zrealizować usługi kompleksowo i prosimy o opuszczenie strony.

Polityka prywatności

Drogi Użytkowniku w każdej chwili masz prawo cofnąć zgodę na przetwarzanie Twoich danych osobowych. Cofnięcie zgody nie będzie wpływać na zgodność z prawem przetwarzania, którego dokonano na podstawie wyrażonej przez Ciebie zgody przed jej wycofaniem. Po cofnięciu zgody wszystkie twoje dane zostaną usunięte z serwisu. Udzielenie zgody możesz modyfikować w zakładce 'Informacja o danych osobowych'

Podstawy trygonometrii - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Podstawowe wartości funkcji

Wartości funkcji możemy oczywiście obliczyć sami, ale są dostępne na maturze. Przydadzą nam się do zadań:

tab1
 

Uwaga!

Wartości funkcji są dostępne na kartach wzorów maturalnych.
W przypadku kiedy nie możemy ich używać, możemy policzyć je z własności trójkąta 90,60,30 oraz 90,45,45:

tab2

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Z pomocą funkcji trygonometrycznych oblicz boki trójkąta:

zad1

zad12

Obliczmy y.
Musimy wybrać odpowiednią funkcję, mamy tylko bok obok kąta, zatem są dostępne cosinus lub cotangens, ja użyję cosinusa:

Odczytujemy z tabelki, że

$$cos 60°=1/2$$
Wiemy tak samo, że cosinus to stosunek boku obok kąta oraz przeciwprostokątnej, czyli

$$cos 60°={√3}/y$$

$$1/2={√3}/y$$

Z proporcji (mnożenie na krzyż):

$$1×y=2√3$$

$$y=2√3$$

Pozostaje nam x, teraz możemy użyć dowolnej z pozostałych funkcji trygonometrycznych, weźmy np. sinusa

Sinus to stosunek boku naprzeciwko kąta i przeciwprostokątnej, czyli trzeba podstawić nasze y

Wiemy też z tabeli, że

$$sin 60°={√3}/2 $$

Zatem:

$$sin 60°={√3}/2=x/{2√3}$$

$${√3}/{2}=x/{2√3}$$

Z proporcji:

$$2x=2√{3}×√{3}$$

$$2x=6$$ $$|:2$$

$$x=3$$
 

Zadanie 2.

Na rysunku $$cos α=2/3$$ , wyznacz pozostałe boki trójkąta:

zad21

Znamy cosinusa i musimy go wykorzystać.
Cosinus to bok obok kąta i przeciwprostokątna, oznaczmy ponownie boki:

zad22

Zatem:

$$cos α=x/{15}$$

$$2/3=x/{15}$$

Na krzyż mnożymy:

$$3x=15*2$$

$$3x=30$$ $$|:3$$

$$x=10$$

Pozostaje nam y.

Z racji, że nie znamy pozostałych funkcji, obliczmy go z twierdzenia pitagorasa.

$$x^2+y^2=15^2$$

$$100+y^2=225$$

$$y^2=125$$

$$y=5√5$$
 

Spis treści

Rozwiązane zadania
Z punktu P poprowadzono styczną do okręgu ...

Z treści zadania wiemy, że promień okręgu ma długość 4 oraz kąty α=ß.

`|SA|=4` 

`alpha=beta` 

 

Skoro α=ß, to trójkąt SAB jest trójkątem równoramiennym. Ramiona w trójkącie równoramiennym mają taką samą długość, więc:

`|SA|=|AB|=4` 

Odcinek SB jest środkową poprowadzoną na bok AP. Środkowa w trójkącie dzieli bok, na który jest poprowadzona na dwa odcinki o równej mierze.

Środkowa SB dzieli bok AP na dwa odcinki AB i BP. Długość odcinka AB wynosi 4, stąd:

`|AB|=|BP|=4` 

Długość odcinka AP jest więc równa 8:

`|AP|=|AB|=|BP|` 

`|AP|=4+4=8` 

 

Trójkąt SAP jest trójkątem prostokątnym. Z twierdzenia Pitagorasa możemy obliczyć długość boku SP.

`|SP|^2=|SA|^2+|AP|^2` 

`|SP|^2=4^2+8^2` 

`|SP|^2=80` 

`|SP|=sqrt80=4sqrt5` 

 

Odp: Długość odcinka SP wynosi 45.

Oblicz pole trójkąta ABC, gdy: a) |AB|=6, |BC|=10 ...

a)

`P=1/2*6*10*sin30^o`

`P=1/2*60*1/2=15`

 

c)

Obliczamy miarę kąta zawartego między bokami AB i AC

`35^o +100^o +alpha=180^o`

`alpha=180^o-135^o`

`alpha=45^o`

`P=1/2*sqrt3*4sqrt3*sin45^o`

`P=1/(strike2)*strike4*3*sqrt2/(strike2)`

`P=3sqrt2`

Który wielokąt ma tyle samo boków

TRÓJKĄT - 3 boki,  0 przekątnych

CZWOROKĄT - 4 boki, 2 przekątne

PIĘCIOKĄT - 5 boków, x przekątnych

`x=(5*(5-3))/2=(5*2)/2=5`

Rozwiąż układ równań.

`"a)"` 

`{(3/4x-5/4y=-17/8),((3y-4)/3-2(5-x)=-8 1/3):}`   

`{(3/4x-5/4y=-17/8\ "/"*8),((3y-4)/3-2(5-x)=-25/3\ "/"*3):}` 

`{(6x-10y=-17),(3y-4-6(5-x)=-25):}` 

 `{(6x-10y=-17),(3y-4-30+6x=-25):}` 

`{(6x-10y=-17),(6x+3y=9):}`

Odejmujemy równania stronami, otrzymując: 

`-13y=-26\ "/":(-13)` 

`y=2` 

Wstawiamy tak wyznaczoną wartość `y` do dowolnego równania z iksem i obliczamy wartość `x:` 

`6x+3y=9` 

`6x+3*2=9` 

`6x+6=9` 

`6x=3\ "/":6` 

`x=1/2` 

Rozwiązaniem układu równań jest para liczb:

`{(x=1/2),(y=2):}` 

 

`"b)"` 

`{((x+y)/2-1/4(x-y)=-2\ "/"*4),(2x-3y=20):}`  

`{(2(x+y)-(x-y)=-8),(2x-3y=20):}` 

`{(2x+2y-x+y=-8),(2x-3y=20):}` 

`{(x+3y=-8),(2x-3y=20):}` 

Dodajemy równania stronami, otrzymując:

`3x=12\ "/":3` 

`x=4` 

Wstawiamy tak wyznaczoną wartość `x` do dowolnego równania z igrekiem i obliczamy, ile wynosi `y:` 

`x+3y=-8` 

`4+3y=-8` 

`3y=-12\ "/":3` 

`y=-4` 

Rozwiązaniem układu równań jest para liczb:

`{(x=4),(y=-4):}` 

 

`"c)"` 

`{(4x-y=y),((x-2)(x+2)-2x+y=x^2-3y+6sqrt2-4):}` 

`{(4x-2y=0\ "/":2),(x^2-4-2x+y-x^2+3y=6sqrt2-4):}`  

`{(2x-y=0),(-2x+4y=6sqrt2):}`  

Dodajemy równania stronami, otrzymując:

`3y=6sqrt2\ "/":3`  

`y=2sqrt2` 

Wstawiamy tak wyznaczoną wartość `y` do dowolnego równania z iksem i obliczamy, ile wynosi `x:` 

`2x-y=0` 

`2x-2sqrt2=0` 

`2x=2sqrt2\ "/":2` 

`x=sqrt2` 

Rozwiązaniem układu równań jest para liczb:

`{(x=sqrt2),(y=2sqrt2):}` 

 

`"d)"` 

`{(2(x-2)^2+y^2-3y+2=5y-1/2(4x^2-2y^2)+4x^2+28),(2x+12y=3):}` 

`{(2(x^2-4x+4)+y^2-3y-5y-4x^2=-2x^2+y^2+28-2),(2x+12y=3):}` 

`{(2x^2-8x+8+y^2-8y-4x^2+2x^2-y^2=26),(2x+12y=3):}` 

`{(-8x-8y=18\ "/":2),(2x+12y=3\ "/"*2):}` 

`{(-4x-4y=9),(4x+24y=6):}` 

Dodajemy równania stronami, otrzymując:

`20y=15\ "/":20` 

`y=15/20=3/4` 

Pozdrawiamy tak wyznaczoną wartość `y` do dowolnego równania z iksem i obliczamy, ile wynosi `x:` 

`2x+12y=3` 

`2x+12*3/4=3` 

`2x+9=3` 

`2x=-6\ "/":2` 

`x=-3` 

Rozwiązaniem układu równań jest para liczb:

`{(x=-3),(y=3/4):}`  

Na rysunku obok przedstawiono fragment paraboli

`x_w=1`

`x_1=-1/2\ \ -\ \ m.\ zerowe`

`x_2=?\ \ -\ \ m.\ zerowe`

 

`x_w=(x_1+x_2)/2`

`1=(-1/2+x_2)/2\ \ \ |*2`

`2=-1/2+x_2\ \ \ |+1/2`

`x_2=2 1/2\ \ \ \ odp.\ C`

 

Rozwiąż układ równań metodą ...

`a)` 

`{(3x+y=13),(8x+y=28):}` 

`{(-3x-y=-13),(8x+y=28):}` 

`5x=15`  

`x=3` 

`y=28-8x=28-24=4` 

`{(x=3),(y=4):}` 

 

`b)` 

`{(2x-3y=5),(6y-5x=-8):}` 

`{(4x-6y=10),(6y-5x=-8):}` 

`-x=2` 

`x=-2` 

`6y=-8+5x=-8-10=-18` 

`y=-3` 

`{(x=-2),(y=-3):}` 

 

`c)` 

`{(6y-4x=7),(2x-3y=-3,5):}` 

 `{(6y-4x=7),(4x-6y=-7):}` 

`6y-4x=7\ iff\ y=2/3x+7/6` 

`0=0` ` <br> `

`"Układ nieoznaczony."`  

`{(x in RR),(y=2/3x+7/6):}`     

W trójkącie ABC poprowadzono dwie proste

`|CF|:|CD|:|CA|=1:2:3`  

Z warunku AB || DE ||FG wynika, że 

|angleCFG|=|angleCDE|=|angleCAB| oraz |angleFGC|=|angleDEC|=|angleABC|

Dlatego trójkąty ABC, DEC i  FGC są podobne (cecha kkk)

Obliczmy skalę podobieństwa tych trójkątów:

`k=(|CF|)/(|CD|)=x/(2x)=1/2`

`k=(|CF|)/(|CA|)=x/(3x)=1/3`

Obliczmy stosunek pól trójkątów FGC i DEC:

`P_(FGC)/P_(DEC)=k^2=(1/2)^2=1/4`

Obliczmy stosunek pól trójkątów FGC i ABC:

`P_(FGC)/P_(ABC)=k^2=(1/3)^2=1/9`

 

Założmy że pole trójkąta FGE jest równe y. Wtedy pole trójkąta DEC będzie równe:

`y/P_(DEC)=1/4`       `/*P_(DEC)`

`y=1/4P_(DEC)`     `/*4`

`P_(DEC)=4y`

 

A pole trójkąta ABC będzie równe:

`y/P_(ABC)=1/9`      `/*P_(ABC)`

`y=1/9*P_(ABC)`       `/*9`

`P_(ABC)=9y`

 

Jeśli pole trójkąta FGE wynosi y, a pole trójkąta DEC 4y, to pole czworokąta DEGF jest równe różnicy tych pól:

`P_(DEGF)=P_(DEC)-P_(FGE)=4y-y=3y`

Jeśli pole trójkąta DEC wynosi 4y, a pole trójkąta ABC 9y, to pole czworokąta ABED jest równe różnicy tych pól:

`P_(ABED)=P_(ABC)-P_(FGE)=9y-4y=5y`

 

Obliczamy stosunek pól figur powstałych z podzielenia trójkąta:

`P_(FGC):P_(DEGF):P_(ABED)=y:3y:5y=ul(ul(1:3:5))`

 

Podpisz zbiory punktów

`a)`

 

 

`b)`

 

  

 

Ile punktów...

a) Rysunek:

Jest osiem takich punktów.

 

b) Rysunek:

Jest dwanaście takich punktów.

Wykres funkcji f przekształć w symetrii ...

`a)`

Wyznaczmy współrzędne kilku punktów należących do wykresu funkcji f:

`f(-1)=2*(-1)+3=-2+3=1`

`f(0)=2*0+3=0+3=3`

`f(1)=2*1+3=2+3=5`

 

Szukamy wzoru funkcji symetrycznej do f względem początku układu współrzędnych: 

`y=-f(-x)=-(2*(-x)+3)=-(-2x+3)=2x-3`

 

`b)`

Wyznaczmy współrzędne kilku punktów należących do wykresu funkcji f:

`f(-1)=-(-1)-4=1-4=-3`

`f(0)=-0-4=0-4=-4`

`f(2)=-2-4=-6`

 

Szukamy wzoru funkcji symetrycznej do f względem początku układu współrzędnych: 

`y=-f(-x)=-(-(-x)-4)=-(-4)=-x+4`

 

`c)`

`f(x)=|x|`  

Wyznaczmy współrzędne kilku punktów należących do wykresu funkcji f:

`f(-2)=2` 

`f(-1)=1` 

`f(0)=0` 

`f(1)=1` 

`f(2)=2` 

  

Szukamy wzoru funkcji symetrycznej do f względem początku układu współrzędnych: 

`y=-f(-x)=-|-x|=-|x|`

 

`d)`

Wyznaczmy współrzędne kilku punktów należących do wykresu funkcji f:

`f(-4)=4/(-4)=-1`

`f(-2)=4/(-2)=-2`

`f(-1)=4/(-1)=-4`

`f(1)=4/1=4`

`f(2)=4/2=2`

`f(4)=4/4=1`

 

Szukamy wzoru funkcji symetrycznej do f względem początku układu współrzędnych: 

`y=-f(-x)=-(4/(-x))=-(-4/x)=4/x=f(x)`

Zatem funkcja f jest sama do siebie symetryczna wględem początku układu współrzędnych.