Podstawy trygonometrii - matura-podstawowa - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Podstawy trygonometrii - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Podstawowe wartości funkcji

Wartości funkcji możemy oczywiście obliczyć sami, ale są dostępne na maturze. Przydadzą nam się do zadań:

tab1
 

Uwaga!

Wartości funkcji są dostępne na kartach wzorów maturalnych.
W przypadku kiedy nie możemy ich używać, możemy policzyć je z własności trójkąta 90,60,30 oraz 90,45,45:

tab2

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Z pomocą funkcji trygonometrycznych oblicz boki trójkąta:

zad1

zad12

Obliczmy y.
Musimy wybrać odpowiednią funkcję, mamy tylko bok obok kąta, zatem są dostępne cosinus lub cotangens, ja użyję cosinusa:

Odczytujemy z tabelki, że

$cos 60°=1/2$
Wiemy tak samo, że cosinus to stosunek boku obok kąta oraz przeciwprostokątnej, czyli

$cos 60°={√3}/y$

$1/2={√3}/y$

Z proporcji (mnożenie na krzyż):

$1×y=2√3$

$y=2√3$

Pozostaje nam x, teraz możemy użyć dowolnej z pozostałych funkcji trygonometrycznych, weźmy np. sinusa

Sinus to stosunek boku naprzeciwko kąta i przeciwprostokątnej, czyli trzeba podstawić nasze y

Wiemy też z tabeli, że

$sin 60°={√3}/2 $

Zatem:

$sin 60°={√3}/2=x/{2√3}$

${√3}/{2}=x/{2√3}$

Z proporcji:

$2x=2√{3}×√{3}$

$2x=6$ $|:2$

$x=3$
 

Zadanie 2.

Na rysunku $cos α=2/3$ , wyznacz pozostałe boki trójkąta:

zad21

Znamy cosinusa i musimy go wykorzystać.
Cosinus to bok obok kąta i przeciwprostokątna, oznaczmy ponownie boki:

zad22

Zatem:

$cos α=x/{15}$

$2/3=x/{15}$

Na krzyż mnożymy:

$3x=15*2$

$3x=30$ $|:3$

$x=10$

Pozostaje nam y.

Z racji, że nie znamy pozostałych funkcji, obliczmy go z twierdzenia pitagorasa.

$x^2+y^2=15^2$

$100+y^2=225$

$y^2=125$

$y=5√5$
 

Spis treści

Rozwiązane zadania
Niech A={3,5,7,9}, B= ...

 

    {premium}

 

 

Odp. C

Na rysunku obok prosta k jest styczną...

Z twierdzenia o kącie między styczną i cięciwą:

 {premium}


Zatem:

 

 

 


Prawidłowa odpowiedź to D.

Włącz czynnik pod pierwiastek

{premium}

Wyznacz miejsca zerowe funkcji f

 

 

  

 

 

 

{premium}

 

 

 

 

  

 

  

  

Zapisz dwie dowolne liczby...

Przykładowe rozwiązanie:

Wybrano liczby 5 i 10

zatem:

 


Do obu liczb dodajemy tę samą liczbę dodatnią  :       {premium}

 

 

ta operacja nie zmienia znaku nierówności


Od obu liczb odejmujemy tę samą liczbę ujemną  :

 

 

 

ta operacja nie zmienia znaku nierówności


Obie liczby mnożymy przez tę samą liczbę dodatnią  :

 

 

 

ta operacja nie zmienia znaku nierówności


Obie liczby mnożymy przez tę samą liczbę ujemną  :

 

 

 

ta operacja zmienia znak nierówności


Obie liczby dzielimy przez tę samą liczbę dodatnią  :

 

 

 

ta operacja nie zmienia znaku nierówności


Obie liczby dzielimy przez tę samą liczbę ujemną  :

 

 

 

ta operacja zmienia znak nierówności

Poniższy wykres przedstawia, jak zmieniała...

a) Wzór tej funkcji to:

 

    {premium}

 

 

 

 

 

 

 

 

 

wzór tej funkcji to:

 


b) Obliczmy po jakim czasie piłka spadła na ziemię:

 

 

 

 

 

 

 

 


c) Obliczmy jak długo piłka wznosiła się ponad siatkę:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Które z poniższych zdań są prawdziwe...

 

 

równanie ma dwa rozwiązania    {premium}

 

 

Prawdziwe są zdania: 1, 2, 3.


 

 

równanie nie ma rozwiązań 

żadne zdanie nie jest prawdziwe


 

 

równanie ma dwa rozwiązania

 

 

Prawdziwe są zdania: 1, 3, 4.


 

 

równanie ma dwa rozwiązania

 

 

Prawdziwe są zdania: 1, 3, 4.


 

 

równanie ma dwa rozwiązania

 

 

Prawdziwe są zdania: 1, 2, 3.


 

 

równanie ma dwa rozwiązania

 

 

Prawdziwe są zdania: 1, 2.

Oblicz promień okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny...

Przyjmijmy następujące oznaczenia:

 długość przyprostokątnej

 długość przeciwprostokątnej

 promień okręgu wpisanego w trójkąt



 Mamy dane:

 


Z twierdzenia Pitagorasa:

 

 {premium}

 

 

 


Obliczamy promień okręgu wpisanego w trójkąt:

 


Odp. Promień okręgu wpisanego w trójkąt ma długość  



 Mamy dane:

 


Z twierdzenia Pitagorasa:

 

 

 

 

 


Obliczamy promień okręgu wpisanego w trójkąt:

 


Odp. Promień okręgu wpisanego w trójkąt ma długość  

Rozwiąż nierówność.

 

 

 {premium}

 

 

 

 

Z własności wartości bezwzględnej:

 

 

 

 

 



 

 

 

 


Z definicji wartości bezwzględnej:

 

 

Zatem:

 


Rozważamy więc trzy przypadki:

  •  

 

 

 

 

 

Po uwzględnieniu przedziału, w którym rozważaliśmy nierówność, otrzymujemy:

 

 

  •  

 

 

 

Otrzymaliśmy nierówność tożsamościową. Oznacza to, że rozwiązaniem tej nierówności jest każda liczba z rozważanego przedziału:

 

  •  

 

 

 

 

 

Po uwzględnieniu przedziału, w którym rozważaliśmy nierówność, otrzymujemy:

 

 


Łącząc wszystkie przypadki, otrzymujemy następujący zbiór rozwiązań:

 

 



 

 

 

 

 

 


Z definicji wartości bezwzględnej:

 


Rozważamy więc dwa przypadki:

  •  

 

 

 

 

 

Po uwzględnieniu przedziału, w którym rozważaliśmy nierówność, otrzymujemy:

 

 

  •  

 

 

 

 

 

 

Po uwzględnieniu przedziału, w którym rozważaliśmy nierówność, otrzymujemy:

 

 


Łącząc wszystkie przypadki, otrzymujemy następujący zbiór rozwiązań:

 

 



 

 

 

 

 


Z definicji wartości bezwzględnej:

 

 

Zatem:

 


Rozważamy więc trzy przypadki:

  •  

 

 

 

 

 

Otrzymany zbiór rozwiązań jest rozłączny z przedziałem, w którym rozwiązywaliśmy nierówność, więc w rozważanym przedziale nierówność nie ma rozwiązań.

  •  

 

 

 

Otrzymana nierówność jest sprzeczna, czyli nie ma rozwiązań w rozważanym przedziale.

  •  

 

 

 

 

 

Otrzymany zbiór rozwiązań jest rozłączny z przedziałem, w którym rozwiązywaliśmy nierówność, więc w rozważanym przedziale nierówność nie ma rozwiązań.


Nierówność nie ma rozwiązań w żadnym z rozważanych przedziałów, więc nie ma rozwiązań w całym zbiorze liczb rzeczywistych.

Odgadnij postać iloczynową funkcji kwadratowej.

W celu odgadnięcia skorzystamy z wzorów Viete'a.

Jeżeli  są pierwiastkami trójmianu to 

 

 

 

 "Zgadujemy" dwie liczby, których suma jest równa  {premium}  a iloczyn  

Są to  oraz 

Stąd:

 

 

 "Zgadujemy" dwie liczby, których suma jest równa  a iloczyn  

Są to  oraz 

Stąd:

 

 

 "Zgadujemy" dwie liczby, których suma jest równa  a iloczyn  

Są to  oraz 

Stąd:

 

 

 "Zgadujemy" dwie liczby, których suma jest równa  a iloczyn  

Są to  oraz 

Stąd: