Pierwiastki - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Obliczanie pierwiastków kwadratowych

Aby obliczyć pierwiastek kwadratowy musimy znaleźć liczbę, która podniesiona do kwadratu da nam wynik, który jest pod pierwiastkiem.

Przykłady:

  • $$√64=8$$ ,ponieważ $$8^2=64$$ ; $$8×8=64$$
  • $$√256=16$$ ponieważ $${16}^2=256$$ ; $$16×16=256$$
  • $$√100=10$$ ponieważ $${10}^2=100$$ ; $$10×10=100$$

Obliczanie pierwiastków wyższego stopnia

Stopień pierwiastka będzie podany nad nim, oznacza on potęgę do jakiej należy podnieść liczbę, aby osiągnęła wartość tę, którą mamy pod pierwiastkiem.

Przykłady:

  • $$∛125=5$$, ponieważ $$5^3=125$$ ; $$5×5×5=125$$
  • $$∜16=2$$, ponieważ $$2^4=16$$ ; $$2×2×2×2=16$$
  • $$∜625=5$$, ponieważ $$5^4=625$$ ; $$5×5×5×5=625$$

Dodawanie i odejmowanie pierwiastków

Każdy pierwiastek, który jest tego samego stopnia oraz który posiada tę samą liczbę pod pierwiastkiem możemy wyciągnąć przed nawias.

Przykłady:

  • $$√2+√2=(1+1)√2=2√2$$
  • $$√3+√2=√3+√2$$
  • $$∛5+5∛5=(1+5)∛5=6∛5$$

Identycznie wygląda to przy odejmowaniu:

  • $$5√2-√2=(5-1)√2=4√2$$
  • $$10√10-2√10=(10-2)√10=8√10$$
 

Mnożenie i dzielenie pierwiastków

W przypadku mnożenia i dzielenia pierwiastków wygląda to znacznie łatwiej. Pierwiastki mnożymy metodą "rozbicia i składania". Polega ona na tym, że liczbę pod pierwiastkową rozbijamy tak, aby jedną (lub więcej) z rozbitych liczb wyłączyć przed znak pierwiastka.

Przykłady mnożenia pierwiastków:

  • $$√2×√3=√{2×3}=√6$$
  • $$√20×√5=√{20×5}=√{100}=10 $$

Przykłady dzielenia pierwiastków:

  • $${√{24} }/{√6}=√{24÷6}=√4=2$$
  • $${√{63} }/ {√7}=√{63÷7}=√9=3$$

Wyłączanie czynnika przed znak pierwiastka

Podczas wyłączania czynnika przed znak pierwiastka korzystamy z zasady, z której korzystaliśmy podczas mnożenia:
$$√{a×b}=√a×√b$$

Najprościej jest to przedstawić na przykładzie:

Wyłącz czynnik sprzed znak w $$√{18}$$.

Na początku musimy rozłożyć liczbę na takie czynniki, aby przynajmniej pierwiastek jednego z nich był liczbą naturalną. Dlatego $$√{18}$$ rozkładam w ten sposób:

$$√{18}=√{9×2}$$

Wiemy, że $$√{9}$$ wynosi 3, dlatego wystawiamy 3 przed znak pierwiastka:

$$√{18}=√{9×2}=3√{2}$$

Przykłady:

  • $$√{32}=√{16×2}=4√2$$
  • $$∛{54}=∛{27×2}=3∛2$$

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Oblicz: $$√{27}-√{12}+√{48}=$$

Musimy każdy z pierwiastków odpowiednio rozbić

$$√27-√12+√48=$$

$$√{9×3}-√{3×4}+√{16×3}=$$

I wyciągamy odpowiednie pierwiastki

$$√{9×3}-√{3×4}+√{16×3}=3√3-2√3+4√3=$$

Sumujemy na końcu

$$3√3-2√3+4√3=5√3$$

Zadanie 2.

Oblicz:
$$√3(√{18}+√{15}-√{12})=$$

Możemy najpierw wyciągnąć złożone pierwiastki

$$√3(√{18}+√{15}-√{12})=$$

Z pierwiastka z 12 wyciągamy przed znak pierwiastka 2

$$=√3(√{9×2}+√{15}-√{4×3})=√3(3√2+√{15}-2√3)=$$

I dalej mnożymy każdy wyraz przez liczbę stojącą przed nawiasem
$$=3√6+√{15×3}-2√{3×3}= $$

$$=3√6+√{45}-6= $$

Pierwiastek z 45 rozbijamy na $$9×5$$

$$=3√6+√(9×5)-6= $$

Przed znak pierwiastka z 5 wystawiamy 3

$$=3√6+3√5-6 $$

Zadanie 3.

Oblicz: $${√8+√{16}-3√{72} }/{2√5-3√2}=$$

 

Najpierw wykonajmy wszelakie działania z licznika, niestety w mianowniku nic nie możemy na razie zrobić
$${√8+√{16}-3√{72} }/{2√5-3√2}={√{4×2}+4-3√{36×2} }/{2√5-3√2}$$

Wyciągamy:

$${√{4×2}+4-3√{36×2} }/{2√5-3√2}={2√2+4-3×6√2}/{2√5-3√2}$$

Porządkujemy:

$${2√2+4-18√2}/{2√5-3√2}={4-16√2}/{2√5-3√2}$$

Mamy niewymierność w mianowniku, więc musimy ją usunąć wzorem skróconego mnożenia
$${4-16√2}/{2√5-3√2}{×{2√5+3√2}/{2√5+3√2} }={4×2√5+4×3√2-32√{5×2}-48×2}/{4×5-9×2}=$$

$${4×2√5+4×3√2-32√{5×2}-48×2}/{4×5-9×2}={8√5+12√2-32√{10}-96}/2$$
Pozostaje nam podzielić przez 2

$$=4√5+6√2-16√10-48=2(2√5+3√2-8√10-24)$$

Spis treści

Rozwiązane zadania
Wykorzystaj wzory...

Niech będzie dana funkcja kwadratowa:

`f(x) = ax^2 + bx + c`  

Mająca pierwiastki, takie, że:

`x_1 + x_2 = -b/a` 

`x_1 * x_2 = c/a` 

 

`Delta > 0` 

 

a) Różne znaki:

Jeżeli miejsca zerowe mają różne znaki to ich iloczyn będzie ujemny.

`x_1*x_2 < 0` 

`c/a < 0` 

A więc:

`{(a>0),(c< 0):} \ \ vv \ \ {(a< 0),(c>0):}` 

 

b) Jednakowe znaki:

Jeżeli miejsca zerowe mają jednakowe znaki to ich iloczyn będzie dodatni.

`x_1* x_2 > 0` 

`c/a > 0` 

A więc:

`{(a>0),(c>0):} \ \ vv \ \ {(a< 0),(c< 0):}` 

 

c) Oba dodatnie:

`x_1+ x_2 > 0` 

oraz

`x_1*x_2 > 0` 

 

`-b/a > 0 \ \ ^^ \ \ c/a > 0` 

`b/a < 0 \ \ ^^ \ \ c/a > 0` 

`ba< 0 \ \ ^^ \ \ ca > 0` 

A więc:

`{(b>0),(a< 0),(c< 0):} \ \ vv \ \ {(b< 0),(a>0),(c>0):}` 

 

d) Oba ujemne:

`x_1 + x_2 < 0` 

oraz

`x_1*x_2 > 0` 

 

`-b/a < 0 \ \ ^^ \ \ c/a > 0` 

`b/a > 0 \ \ ^^ \ \ c/a > 0` 

A więc:

`{(b>0),(a>0),(c>0):} \ \ \ vv \ \ \ {(b< 0),(a< 0),(c< 0):}` 

Uzupełnij tabele

Rozwiąż równanie.

`a) \ x/3 + 5 = 4/x - (1-x)/3` 

Założenie:

`x ne 0` 

A więc dziedziną wyrażenia jest:

`R \ \\ \ {0}` 

 

`x/3 + 5 = 4/x - (1-x)/3 \ \ \ |*3` 

`x + 15 = 12/x - (1-x)` 

`x+15 +1-x=12/x` 

`16 = 12/x` 

`x = 12/16` 

`x = 3/4` 

 

`b) \ (2x+1)/3 + 2/x =(2(x+5))/3` 

Założenie:

`x ne 0` 

A więc dziedziną wyrażenia jest:

`R \ \\ \ {0}` 

 

`(2x+1)/3 + 2/x = (2(x+5))/3 \ \ \ |*3` 

`2x+1+6/x = 2(x+5)`  

`2x+1+6/x = 2x+10` 

`6/x = 9` 

`x = 6/9` 

`x = 2/3` 

 

`c) \ 5/(2x+7)=-9/(4x+14)` 

Założenie:

`2x+7 ne 0 \ \ ^^ \ \ 4x+14 ne 0` 

`2x ne -7 \ \ ^^ \ \ 4x ne -14` 

`x ne -7/2 \ \ ^^ \ \ x ne -7/2` 

A więc dziedziną równania jest:

`R \ \\ \ {-7/2}` 

 

`5/(2x+7) = -9/(4x+14)` 

`5/(2x+7) = - 9/(2(2x+7))` 

`5/(2x+7) = -(9/2)/(2x+7)` 

Równanie nie ma rozwiązań.

Rozwiąż układ równań.

`{(x^2+y^2 -6x-2y=6 ),(y=x+2):}` 

`{(x^2 -6x + y^2 -2y = 6 \ \ \ |+10),(y=x+2):}`

`{(x^2 - 6x + y^2 - 2y + 10 =16),(y=x+2):}`

`{(x^2 - 6x + 9 + y^2 - 2y + 1 = 16),(y=x+2):}`

`{((x-3)^2 + (y-1)^2=16),(y=x+2):}`

Podstawmy drugie równanie pod pierwsze i obliczmy zmienną x:

`(x-3)^2 + (x+2-1)^2 = 16`  

`(x-3)^2 + (x+1)^2 = 16` 

 `x^2 -6x + 9 + x^2 + 2x + 1 = 16` 

`2x^2 -4x + 10 = 16`

`2x^2 -4x -6 =0 \ \ \ |:2`

`x^2 -2x -3 =0`

`Delta = 4 -4*(-3)*1=4+12 = 16`

`sqrtDelta = 4` 

`x_1 = (-(-2) - 4)/2 = (-2)/2 = -1`

`x_2 = (-(-2)+4)/2 = 3`

Wróćmy do układu równań:

`{(x_1=-1),(y_1=1):} \ \ \ \ vee \ \ \ \ {(x_2 = 3),(y_2 = 5):}`

Pary (-1,1), (3,5) są rozwiązaniami układu równań, interpretacja geometryczna:

 

 

`b) \ {(x^2-4x+y^2-6y+8=0),(y=2x+3):}`

`{(x^2 -4x + 4 + y^2 - 6y +9 -5=0),(y=2x+3):}`

`{((x-2)^2 +(y-3)^2=5),(y=2x+3):}`

Podstawmy drugie równanie pod pierwsze i obliczmy zmienną x:

`(x-2)^2 +(2x+3-3)^2=5`

`(x-2)^2 + (2x)^2=5`

`x^2 -4x+4 + 4x^2 = 5`

`5x^2 -4x -1=0`

`Delta = 16 - 4*5*(-1) = 16 + 20 = 36`

`sqrt(Delta)=6`

`x_1 = (-(-4)-6)/10 = -1/5`

`x_2 = (-(-4)+6)/10 = 1`

Wróćmy do układu równań:

`{(x_1=-1/5),(y_1=2*(-1/5)+3):} \ \ \ \ vee \ \ \ \ {(x_2=1),(y_2=2*1+3):}`

`{(x_1=-0,2),(y_1=2,6):} \ \ \ \ vee \ \ \ \ {(x_2=1),(y_2=5):}`

Pary (-0,2 , 2,6),(1,5) są rozwiązaniami układu równań, interpretacja geometryczna:

 

 

`c) \ {(x^2+y^2=8),(x^2+y^2-2x-2y=0 \ \ \ |+2):}`

`{(x^2 + y^2=8),(x^2 - 2x + y^2 -2y +2=2):}`

`{(x^2 + y^2 =8),(x^2 -2x +1 + y^2 -2y + 1=2):}`

`{(x^2 + y^2=8),((x-1)^2 +(y-1)^2 =2):}` 

Taka postać układu równań jest nam potrzebna do interpretacji geometrycznej, wróćmy teraz do początku i rozwiążmy go algebraicznie.

`{(x^2+y^2=8),(x^2 + y^2 - 2x - 2y=0):}`

Podstawmy pierwsze równanie pod drugie.

`8 - 2x - 2y =0 \ \ \ |:2`

`4-y=x` 

Wróćmy do układu równań:

`{(x=4-y),(x^2 + y^2 =8):}`

`{(x=4-y),((4-y)^2 + y^2 =8):}`

`(4-y)^2 + y^2 =8`

`16 - 8y + y^2 + y^2 =8`

`2y^2 -8y + 8 =0 \ \ \ |:2`

`y^2 -4y +4=0`

`(y-2)^2 =0`

`y=2`

`{(y=2),(x=2):}`

Para (2,2) jest rozwiązaniem układu równań, interpretacja geometryczna:

 

 

`d) \ {(x^2+6x+y^2 -16=0),(x^2-2x+y^2 -8=0):}` 

Zapiszmy oba równania w takiej postaci by łatwo odczytać środku i promienie okręgów a nastepnie rozwiążemy układ algebraicznie.

`{(x^2+6x+y^2-16=0),(x^2-2x+y^2-8=0):}`

`{(x^2+6x+9+y^2 =25),(x^2 -2x +1 +y^2=9):}`

`{((x+3)^2 + y^2 =25),((x-1)^2 + y^2 = 3):}`

Wróćmy do początkowej postaci układu równań i rozwiążmy go.

`{(x^2+6x+y^2 -16=0),(x^2 -2x+y^2 -8=0):}`

`{(x^2+y^2 = 16-6x),(x^2 + y^2 = 2x+8):}`

`16-6x = 2x+8`

`8x = 8`

`x=1`

`{(x=1),(x^2+y^2 = 2x+8):}`

`{(x=1),(1+y^2 = 10):}`

`{(x=1),(y^2=9):}`

`{(x=1),(|y|=3):}`

`{(x_1=1),(y_1=3):} \ \ \ \ vv \ \ \ \ {(x_2=1),(y_2=-3):}`

Pary (1,3), (1,-3) są rozwiązaniami układu równań, interpretacja geometryczna:

 

Kąt α jest ostry i ...

`sqrt3*"tg"\ alpha=1` 

`"tg"\ alpha=1/sqrt3` 

`"tg"\ alpha=sqrt3/3` 

`\ \ alpha=30^"o"` 

 

ODP: C

Zapisz wór funkcji f w postaci kanonicznej

Postać kanoniczną można uzyskać ze sprytnego rozpisania wzoru skróconego mnożenia (patrz przykład 1 na stronie 186) albo korzystając ze współrzędnych wierzchołka paraboli (patrz przykład w ćwiczeniu 4 na stronie 190)

 

 

`a)\ f(x)=x^2-6x+2=` 

`\ \ \ =x^2-2*3*x+3^2-3^2+2=` 

`\ \ \ =(x-3)^2-9+2=` 

`\ \ \ =(x-3)^2-7` 

 

Wykres funkcji f powstaje poprzez przesunięcie wykresu funkcji y=x² o 3 jednostki w prawo oraz 7 jednostek w dół. 

Można przesunąć początek ukłądu współrzędnych o 3 jednostki w prawo oraz 7 jednostek w dół i w tak przesuniętym układzie (przerywana linia) narysować wykres funkcji y=x².

  

`fuarr\ \ \ gdy\ \ \ x in <3,\ +infty)` 

`fdarr\ \ \ gdy\ \ \ x in(-infty,\ 3>` 

`ZW_f=<-7,\ +infty)` 

 

 

 

 

`b)\ f(x)=x^2+2x-3=` 

`\ \ \ =x^2+2*x*1+1^2-1^2-3=` 

`\ \ \ =(x+1)^2-1-3=` 

`\ \ \ =(x+1)^2-4` 

 

 

Wykres funkcji f powstaje poprzez przesunięcie wykresu funkcji y=x² o 1 jednostkę w lewo oraz 4 jednostki w dół. 

Można przesunąć początek ukłądu współrzędnych o 1 jednostkę w lewo oraz 4 jednostki w dół i w tak przesuniętym układzie (przerywana linia) narysować wykres funkcji y=x².

`fuarr\ \ \ gdy\ \ \ x in <-1,\ +infty)` 

`fdarr\ \ \ gdy\ \ \ x in(-infty,\ -1>` 

`ZW_f=<-4,\ +infty)` 

 

 

 

`c)\ f(x)=2x^2+8x+4=` 

`\ \ \ =2(x^2+4x+2)=` 

`\ \ \ =2(x^2+2*x*2+2^2-2^2+2)=` 

`\ \ \ =2((x+2)^2-2^2+2)=` 

`\ \ \ =2((x+2)^2-4+2)=` 

`\ \ \ =2((x+2)^2-2)=` 

`\ \ \ =2(x+2)^2-4` 

 

 

Wykres funkcji f powstaje poprzez przesunięcie wykresu funkcji y=2x² o 2 jednostki w lewo oraz 4 jednostki w dół. 

Można przesunąć początek ukłądu współrzędnych o 2 jednostki w lewo oraz 4 jednostki w dół i w tak przesuniętym układzie (przerywana linia) narysować wykres funkcji y=2x².

`fuarr\ \ \ gdy\ \ \ x in<-2,\ +infty)` 

`fdarr\ \ \ gdy\ \ \ x in(-infty,\ -2>` 

`ZW_f=<-4,\ +infty)` 

 

 

 

`d)\ f(x)=-2x^2+2x=` 

`\ \ \ =-2(x^2-x)=` 

`\ \ \ =-2(x^2-2*x*1/2+(1/2)^2-(1/2)^2)=` 

`\ \ \ =-2((x-1/2)^2-(1/2)^2)=` 

`\ \ \ =-2((x-1/2)^2-1/4)=` 

`\ \ \ =-2(x-1/2)^2+1/2` 

 

Wykres funkcji f powstaje poprzez przesunięcie wykresu funkcji y=-2x² o 1/2 jednostki w lewo oraz 1/2 jednostki w górę. 

Można przesunąć początek ukłądu współrzędnych o 1/2 jednostki w lewo oraz 1/2 jednostki w górę i w tak przesuniętym układzie (przerywana linia) narysować wykres funkcji y=-2x².

  

`fuarr\ \ \ gdy\ \ \ x in<1/2,\ +infty)` 

`fdarr\ \ \ gdy\ \ \ x in(-infty,\ 1/2>` 

`ZW_f=(-infty,\ 1/2>` 

 

 

 

`e)\ f(x)=1/2x^2-4x+9` 

`\ \ \ x_w=-(-4)/(2*1/2)=`  `4/1=4` 

`\ \ \ y_w=f(x_w)=1/2*4^2-4*4+9=` 

`\ \ \ \ \ \ \ =16/2-16+9=` `8-16+9=` `1` 

`\ \ \ f(x)=1/2(x-4)^2+1` 

 

Wykres funkcji f powstaje poprzez przesunięcie wykresu funkcji y=1/2x² o 4 jednostki w prawo oraz 1 jednostkę w górę. 

Można przesunąć początek ukłądu współrzędnych o 4 jednostki w prawo oraz 1 jednostkę w górę i w tak przesuniętym układzie (przerywana linia) narysować wykres funkcji y=1/2x².

 

  

`fuarr\ \ \ gdy\ \ \ x in <4,\ +infty)` 

`fdarr\ \ \ gdy\ \ \ x in (-infty,\ 4>` 

`ZW_f=<1,\ +infty)` 

 

 

 

`f)\ f(x)=-1/4x^2-x-1` 

`\ \ \ x_w=-(-1)/(2*(-1/4))=` `1/(-1/2)=1:(-1/2)=1*(-2/1)=-2` 

`\ \ \ y_w=f(x_w)=f(-2)=-1/4*(-2)^2-(-2)-1=` 

`\ \ \ \ \ \ \ =-1/4*4+2-1=-1+2-1=0` 

`\ \ \ f(x)=-1/4(x+2)^2` 

Wykres funkcji f powstaje poprzez przesunięcie wykresu funkcji y=-1/4x² o 2 jednostki w lewo.

Można przesunąć początek ukłądu współrzędnych o 2 jednostki w lewo i w tak przesuniętym układzie (przerywana linia) narysować wykres funkcji y=-1/4x².

  

`fuarr\ \ \ gdy\ \ \ x in(-infty,\ -2>` 

`fdarr\ \ \ gdy\ \ \ x in<-2,\ +infty)` 

`ZW_f=(-infty,\ 0>` 

 

Olga jest o 4 lata starsza od brata ...

`x\ -\ "wiek brata Olgi obecnie"`

`x+4\ -\ "wiek Olgi obecnie"`

 

`x-4\ \ \ -\ \ \ "wiek brata Olgi 4 lata temu"`

`x+4-4=x\ \ \ -\ \ \ "wiek Olgi 4 lata temu"`

 

 

Wiemy, że 4 lata temu Olga była 2 razy starsza od swojego brata:

`2(x-4)=x`

`2x-8=x\ \ \ |-x`

`x-8=0\ \ \ |+8`

`x=8`

`x+4=8+4=12`

Samochód spala przeciętnie

Zapiszmy, ile litrów benzyny spala samochód na 1 km:

`b:100=b/100=1/100b`

 

Zapiszmy, ile litrów benzyny potrzeba do przejechania n km:

`1/100b*n=1/100bn`

 

Obliczamy, ile kosztuje taka ilość benzyny:

`1/100bn*k=1/100bkn\ ["zł"]`

Zastosuj odpowiednie twierdzenia o potęgowaniu

a)

`(2^3)^(-3)*(3^(-2))^(-2)=2^(-9)*3^4`

b)

`((-3)^(-4))^3*(2^(-5))^2= (-3)^(-12)*2^(-10)`

c)

`(-2)^4*(3^2)^(-2)*(2^(-2))^(-5)*((-3)^(-4))^3=`

 

`**\stackrel((-2)^4=(-1*2)^4=(-1)^4*2^4=1*2^4=2^4) \ \ \ \** `

 

`=2^4*3^(-4)*2^(10)*3^(-12)=2^(4+10)*3^(-4-12)=`

`=2^14*3^(-16)`

d)

`(((2^(-3))^3)*(3^(-2)^(-4)))/((2^2)^(-5)*((-3)^4)^(-2))=` `(2^(-9)*3^8)/(2^(-10)*(3^4)^(-2))=` `(2^(-9)*3^8)/(2^(-10)*(3^4)^(-2))=` 

 

`2^(-9-(-10))*3^(8-(-8))=2*3^(16)`   

Napisz wzór funkcji liniowej, jeśli znasz współczynnik kierunkowy prostej

`a)`

`f(x)=-5/4x+b`

Wartość współczynnika b obliczymy podstawiając do powyższego równania współrzędne punktu A. 

`f(3)=2`

`-5/4*3+b=2`

`-15/4+b=2`

`-3 3/4+b=2\ \ \ \ |+3 3/4`

`b=5 3/4`

 

`ul(ul(f(x)=-5/4x+3 3/4))`

 

 

`b)`

`f(x)=0*x+b=0+b=b`

 

Jeśli współczynnik kierunkowy jest równy 0, to funkcja liniowa jest funkcją stałą. 

Wiemy, że przechodzi ona przez punkt A=(3, -1), więc dla argumentu 3 osiąga wartość -1. Jeśli jest funkcją stałą, to musi osiągać wartość -1 dla wszystkich argumentów. 

 

`ul(ul(f(x)=-1))`

 

 

`c)`

`f(x)=0,7x+b`

 

Podstawiamy współrzędne punktu A do powyższego równania: 

`f(2)=10`

`0,7*2+b=10`

`1,4+b=10\ \ \ |-1,4`

`b=8,6`

 

`ul(ul(f(x)=0,7x+8,6))`

 

 

`d)`

`f(x)=-1,2x+b`

 

Podstawiamy współrzędne punktu A do powyższego równania: 

`f(-1)=1`

`-1,2*(-1)+b=1`

`1,2+b=1\ \ \ |-1,2`

`b=-0,2`

 

`ul(ul(f(x)=-1,2x-0,2))`