Pierwiastki - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Obliczanie pierwiastków kwadratowych

Aby obliczyć pierwiastek kwadratowy musimy znaleźć liczbę, która podniesiona do kwadratu da nam wynik, który jest pod pierwiastkiem.

Przykłady:

  • $$√64=8$$ ,ponieważ $$8^2=64$$ ; $$8×8=64$$
  • $$√256=16$$ ponieważ $${16}^2=256$$ ; $$16×16=256$$
  • $$√100=10$$ ponieważ $${10}^2=100$$ ; $$10×10=100$$

Obliczanie pierwiastków wyższego stopnia

Stopień pierwiastka będzie podany nad nim, oznacza on potęgę do jakiej należy podnieść liczbę, aby osiągnęła wartość tę, którą mamy pod pierwiastkiem.

Przykłady:

  • $$∛125=5$$, ponieważ $$5^3=125$$ ; $$5×5×5=125$$
  • $$∜16=2$$, ponieważ $$2^4=16$$ ; $$2×2×2×2=16$$
  • $$∜625=5$$, ponieważ $$5^4=625$$ ; $$5×5×5×5=625$$

Dodawanie i odejmowanie pierwiastków

Każdy pierwiastek, który jest tego samego stopnia oraz który posiada tę samą liczbę pod pierwiastkiem możemy wyciągnąć przed nawias.

Przykłady:

  • $$√2+√2=(1+1)√2=2√2$$
  • $$√3+√2=√3+√2$$
  • $$∛5+5∛5=(1+5)∛5=6∛5$$

Identycznie wygląda to przy odejmowaniu:

  • $$5√2-√2=(5-1)√2=4√2$$
  • $$10√10-2√10=(10-2)√10=8√10$$
 

Mnożenie i dzielenie pierwiastków

W przypadku mnożenia i dzielenia pierwiastków wygląda to znacznie łatwiej. Pierwiastki mnożymy metodą "rozbicia i składania". Polega ona na tym, że liczbę pod pierwiastkową rozbijamy tak, aby jedną (lub więcej) z rozbitych liczb wyłączyć przed znak pierwiastka.

Przykłady mnożenia pierwiastków:

  • $$√2×√3=√{2×3}=√6$$
  • $$√20×√5=√{20×5}=√{100}=10 $$

Przykłady dzielenia pierwiastków:

  • $${√{24} }/{√6}=√{24÷6}=√4=2$$
  • $${√{63} }/ {√7}=√{63÷7}=√9=3$$

Wyłączanie czynnika przed znak pierwiastka

Podczas wyłączania czynnika przed znak pierwiastka korzystamy z zasady, z której korzystaliśmy podczas mnożenia:
$$√{a×b}=√a×√b$$

Najprościej jest to przedstawić na przykładzie:

Wyłącz czynnik sprzed znak w $$√{18}$$.

Na początku musimy rozłożyć liczbę na takie czynniki, aby przynajmniej pierwiastek jednego z nich był liczbą naturalną. Dlatego $$√{18}$$ rozkładam w ten sposób:

$$√{18}=√{9×2}$$

Wiemy, że $$√{9}$$ wynosi 3, dlatego wystawiamy 3 przed znak pierwiastka:

$$√{18}=√{9×2}=3√{2}$$

Przykłady:

  • $$√{32}=√{16×2}=4√2$$
  • $$∛{54}=∛{27×2}=3∛2$$

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Oblicz: $$√{27}-√{12}+√{48}=$$

Musimy każdy z pierwiastków odpowiednio rozbić

$$√27-√12+√48=$$

$$√{9×3}-√{3×4}+√{16×3}=$$

I wyciągamy odpowiednie pierwiastki

$$√{9×3}-√{3×4}+√{16×3}=3√3-2√3+4√3=$$

Sumujemy na końcu

$$3√3-2√3+4√3=5√3$$

Zadanie 2.

Oblicz:
$$√3(√{18}+√{15}-√{12})=$$

Możemy najpierw wyciągnąć złożone pierwiastki

$$√3(√{18}+√{15}-√{12})=$$

Z pierwiastka z 12 wyciągamy przed znak pierwiastka 2

$$=√3(√{9×2}+√{15}-√{4×3})=√3(3√2+√{15}-2√3)=$$

I dalej mnożymy każdy wyraz przez liczbę stojącą przed nawiasem
$$=3√6+√{15×3}-2√{3×3}= $$

$$=3√6+√{45}-6= $$

Pierwiastek z 45 rozbijamy na $$9×5$$

$$=3√6+√(9×5)-6= $$

Przed znak pierwiastka z 5 wystawiamy 3

$$=3√6+3√5-6 $$

Zadanie 3.

Oblicz: $${√8+√{16}-3√{72} }/{2√5-3√2}=$$

 

Najpierw wykonajmy wszelakie działania z licznika, niestety w mianowniku nic nie możemy na razie zrobić
$${√8+√{16}-3√{72} }/{2√5-3√2}={√{4×2}+4-3√{36×2} }/{2√5-3√2}$$

Wyciągamy:

$${√{4×2}+4-3√{36×2} }/{2√5-3√2}={2√2+4-3×6√2}/{2√5-3√2}$$

Porządkujemy:

$${2√2+4-18√2}/{2√5-3√2}={4-16√2}/{2√5-3√2}$$

Mamy niewymierność w mianowniku, więc musimy ją usunąć wzorem skróconego mnożenia
$${4-16√2}/{2√5-3√2}{×{2√5+3√2}/{2√5+3√2} }={4×2√5+4×3√2-32√{5×2}-48×2}/{4×5-9×2}=$$

$${4×2√5+4×3√2-32√{5×2}-48×2}/{4×5-9×2}={8√5+12√2-32√{10}-96}/2$$
Pozostaje nam podzielić przez 2

$$=4√5+6√2-16√10-48=2(2√5+3√2-8√10-24)$$

Spis treści

Rozwiązane zadania
Uprość wyrażenie

`a)`

Wyrażenie można uprościć na dwa sposoby. Najpierw skorzystamy ze wzoru na kwadrat różnicy: 

`(2x-1)^2-(3-2x)^2=((2x)^2-2*2x*1+1^2)-(3^2-2*3*2x+(2x)^2)=`

`=(4x^2-4x+1)-(9-12x+4x^2)=4x^2-4x+1-9+12x-4x^2=8x-8`

 

 

Możemy także skorzystać ze wzoru na różnicę kwadratów:

`(2x-1)^2-(3-2x)^2=[(2x-1)-(3-2x)]*[(2x-1)+(3-2x)]=`

`=[2x-1-3+2x]*[2x-1+3-2x]=[4x-4]*2=8x-8`

 

Obliczamy wartość wyrażenia dla podanego argumentu:

`8x-8=8(sqrt2+1)-8=8sqrt2+8-8=8sqrt2`

 

 

 

`b)`

`(x-4)^2-(x-4)(x+4)=(x^2-2*x*4+4^2)-(x^2-4^2)=`

`=(x^2-8x+16)-(x^2-16)=x^2-8x+16-x^2+16=-8x+32`

 

Obliczamy wartość wyrażenia dla podanego argumentu:

`-8x+32=-8(4-pi)+32=-32+8pi+32=8pi`

 

 

 

`c)`

Wyrażenie można uprościć na dwa sposoby. Najpierw skorzystamy ze wzoru na kwadrat różnicy oraz kwadrat sumy:

`(x+3)^2-(x-4)^2=(x^2+2*x*3+3^2)-(x^2-2*x*4+4^2)=`

`=(x^2+6x+9)-(x^2-8x+16)=x^2+6x+9-x^2+8x-16=14x-7`

 

   

Możemy także skorzystać ze wzoru na różnicę kwadratów:

`(x+3)^2-(x-4)^2=[(x+3)-(x-4)]*[(x+3)+(x-4)]=`

`=[x+3-x+4]*[x+3+x-4]=7*[2x-1]=14x-7`

 

Obliczamy wartość wyrażenia dla podanego argumentu: 

`14x-7=14sqrt5-7`

 

Rozwiąż nierówność.

`a)` 

`|5-2x|<1` 

`5-2x<1\ \ \wedge \ \ \5-2x> -1` 

`x>2\ \ \wedge \ \ \x <3`  

`ul(x in (2;3)` 

 

`b)` 

`|x-4|+|5-x|>=1` 

`x-4=0\ implies \ x=4` 

`5-x=0\ implies\ x=5` 

 

`"I".\ x in (-oo;4)` 

`-x+4+5-x>=1`  

`-2x>=-8` 

`x<=4` 

`x in (-oo;4)` 

 

`"II".\ x in [4;5]` 

`x-4+5-x>=1` 

`1>=1` 

`"Tożsamość."` 

`x in [4;5]` 

 

`"III".\ x in (5;+oo)` 

`x-4-5+x>=1` 

`2x>=10` 

`x>=5` 

 

`ul(x in RR`

 

`c)` 

`3|x-3|<=|3-x|+2` 

`3|x-3|<=|x-3|+2` 

`|x-3|<=1` 

`x-3=0\ implies \ x=3` 

 

`"I".\ x in (-oo;3]` 

`-x+3<=1` 

`x>=2` 

`x in [2;3]`  

 

`"II".\ x in (3;+oo)` 

`x-3<=1` 

`x<=4` 

`x in (3;4]` 

 

`ul(x in [2;4]`    

 

`d)` 

`||x+5|-3|>1` 

`|x+5|-3>1\ \ vv\ \ \|x+5|-3<-1` 

`|x+5|>4\ \ \vv\ \ \|x+5|<2` 

`(x+5>4\ \ \vv\ \ \x+5<-4)\ \ \vv\ \ \(x+5<2\ \ \wedge\ \ \x+5> -2)` 

`x> -1\ \ \vv\ \ \x<-9\ \ \vv\ \ \x in (-7;-3)` 

`ul (x in (-oo;-9)cup(-7;-3)cup(-1;+oo)` 

Wyznacz wszystkie wartości m

Funkcja liniowa jest rosnąca, jeśli jej współczynnik kierunkowy (współczynnik stojący przy x) jest liczbą dodatnią. 

 

`a)`

`m-1>0\ \ \ |+1`

`m>1`

 

 

`b)`

`-3m>0\ \ \ |:(-3m)`

`m<0`

 

 

`c)`

`2m-sqrt3>0\ \ \ |+sqrt3`

`2m>sqrt3\ \ \ \ \ |:2`

`m>sqrt3/2`

 

 

`d)`

`(2-3sqrt2)m>0\ \ \ \ \ |:(2-3sqrt2)`

`m>0`

 

Jeden z boków prostokąta o obwodzie równym 30 ma długość x

Zapiszmy, jaką długość ma drugi bok prostokąta - wiemy, że jeden bok ma długość x, a obwód jest równy 30: 

`(30-2x):2=15-x`

 

Długości boków prostokąta muszą być liczbami dodatnimi, więc zapiszmy założenia: 

`x>0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ i\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 15-x>0\ \ \ \ |+x`

`\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 15>x`

`\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x<15`

`x in(0,\ 15)`

 

 

Pole prostokąta obliczamy mnożąc długości jego boków:

`P(x)=x*(15-x)`

`P(x)=15x-x^2`

`P(x)=-x^2+15x,\ \ \ \ \ \ \ \ \ x in (0,\ 15)`

   

Taśmą długości 60 cm obszyto dwie kwadratowe...

Mamy dwie serwetki o bokach długości a i b. Wtedy ich obwód wynosi:

`4a + 4b`  

 

Ich obwód jest równy 60:

`4a+4b=60` 

`a+b=15` 

`b = 15 - a` 

 

Pole powierzchni serwetki o boku długości a:

`P_a = a^2` 

 

Pole powierzchni serwetki o boku długości b:

`P_b = b^2 = (15-a)^2` 

 

Łączna powierzchnia:

`P(a) = P_a + P_b = a^2 + (15-a)^2 = a^2 + 225 - 30a + a^2 = 2a^2 - 30 a + 225` 

W wierzchołku mamy wartość najmniejszą bo parabola ma ramiona skierowane ku górze.

`p = (-(-30)/(4) = 30/4 = 7,5` 

 

A więc boki mają długość:

`a = 7,5`  

`b = 15 - a = 15 - 7,5 = 7,5` 

 

Odpowiedź: Wymiary serwetek mają długość 7,5 cm.

Oblicz wartość wyrażenia ...

`x=3sqrt2-1,\ \ \ \ \ \ y=sqrt2+1` 

 

`(x^6-y^2)/8=((x^3)^2-y^2)/8=((x^3-y)(x^3+y))/8` 

Obliczmy x3:

`(3sqrt2-1)^3=(3sqrt2)^3-3*(3sqrt2)^2*1+3*3sqrt2*1^2-1^3=54sqrt2-54+9sqrt2-1=63sqrt2-55` 

 

 

`((x^3-y)(x^3+y))/8=((63sqrt2-55-(sqrt2+1))(63sqrt2-55+sqrt2+1))/8=`

`=((63sqrt2-55-sqrt2-1)(64sqrt2-54))/8=((62sqrt2-56)(64sqrt2-54))/8=` 

`=(strike2^1(31sqrt2-28)*strike2^1(32sqrt2-27))/strike8^2=1/2*(1984-837sqrt2-896sqrt2+756)=` 

`=1/2*(2740-1733sqrt2)=1370-866,5sqrt2` 

Wyznacz miarę kąta ostrego ( z dokładnością ...

`"a)"\ P=(6,2),\ \ Q=(3,-1)` 

Kąt jaki tworzy prosta PQ z osią x ma taką samą miarę jak kąt RQP (są to kąty odpowiadające).

`|PR|=3` 

`|QR|=3` 

Mamy wyznaczyć miarę kąta α. Najprościej będzie obliczyć tangens kąta α:

`"tg"\ alpha=|PR|/|QR|=3/3=1` 

`alpha=45^"o"` 

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))` 

`"b)"\ P=(-1,1),\ \ Q=(2,2)`   

 

Kąt jaki tworzy prosta PQ z osią x ma taką samą miarę jak kąt RPQ (są to kąty odpowiadające).

`|PR|=3` 

`|QR|=1` 

Mamy wyznaczyć miarę kąta α. Najprościej będzie obliczyć tangens kąta α:

`"tg"\ alpha=|QR|/|PR|=1/3~~0,3333` 

`alpha~~18^"o"`  

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))` 

`"c)"\ P=(3,-2),\ \ Q=(6,5)` 

Kąt jaki tworzy prosta PQ z osią x ma taką samą miarę jak kąt RPQ (są to kąty odpowiadające).

`|PR|=3` 

`|QR|=7` 

Mamy wyznaczyć miarę kąta α. Najprościej będzie obliczyć tangens kąta α:

`"tg"\ alpha=|QR|/|PR|=7/3~~2,3333` 

`alpha~~67^"o"`  

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))` 

`"d)"\ P=(-2,-3),\ Q=(2,-1)` 

Kąt jaki tworzy prosta PQ z osią x ma taką samą miarę jak kąt RPQ (są to kąty odpowiadające).

`|PR|=4` 

`|QR|=2` 

Mamy wyznaczyć miarę kąta α. Najprościej będzie obliczyć tangens kąta α:

`"tg"\ alpha=|QR|/|PR|=2/4=1/2`  

`alpha~~27^"o"`  

Prosta...

Przesuwając funkcję f o wektor [p,q] powstaje funkcja g, możemy to opisać wzorem:

`g(x) = f(x-p)+q`

Znak minus przy p pojawia się dlatego, że wraz ze wzrostem argumentów wartości maleją.

 

`a) \ f(x) = -x+3 , \ stackrel(->)(v) = [2,0]`

`g(x) = f(x-2) +0`

 

Wyznaczmy f(x-2):

`f(x-2) = -(x-2)+3 = -x+2+3=-x+5`  

 

`g(x) = f(x-2)+0= -x+5+0 = -x+5`

 

 

`b) \ f(x)=-x+3, \ stackrel(->)(v)=[1,1]`

`g(x) = f(x-1)+1`

 

Wyznaczmy f(x-1)

`f(x-1) = -(x-1)+3 = -x+1+3 = -x +4`

 

`g(x) = f(x-1)+1 = -x+4+1 = -x+5`

 

 

`c) \ f(x) = -x+3, \ stackrel(->)(v) = [-2,-3]` 

`g(x) = f(x-(-2))-3 = f(x+2)-3`

 

Wyznaczmy f(x+2):

`f(x+2) = -(x+2)+3 = -x-2+3 = -x+1`

 

`g(x) = f(x+2)-3 = -x+1-3 = -x-2`

Naszkicuj wykres funkcji f spełniającej następujące warunki

W każdym podpunkcie podajemy po dwa przykłady funkcji. 

 

`a)`

 

 

`b)`

 

 

`c)`

 

 

`d)`

Do wykresu funkcji f(x)

`f(3/2)=2n`

`1/3*(3/2)^2=2n`

`1/3*9/4=2n`

`3/4=2n\ \ \ \ |*1/2`

`3/8=n`

`n=3/8=0,375\ \ \ \ \ \ odp.\ D`