Pierwiastki - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Obliczanie pierwiastków kwadratowych

Aby obliczyć pierwiastek kwadratowy musimy znaleźć liczbę, która podniesiona do kwadratu da nam wynik, który jest pod pierwiastkiem.

Przykłady:

  • $$√64=8$$ ,ponieważ $$8^2=64$$ ; $$8×8=64$$
  • $$√256=16$$ ponieważ $${16}^2=256$$ ; $$16×16=256$$
  • $$√100=10$$ ponieważ $${10}^2=100$$ ; $$10×10=100$$

Obliczanie pierwiastków wyższego stopnia

Stopień pierwiastka będzie podany nad nim, oznacza on potęgę do jakiej należy podnieść liczbę, aby osiągnęła wartość tę, którą mamy pod pierwiastkiem.

Przykłady:

  • $$∛125=5$$, ponieważ $$5^3=125$$ ; $$5×5×5=125$$
  • $$∜16=2$$, ponieważ $$2^4=16$$ ; $$2×2×2×2=16$$
  • $$∜625=5$$, ponieważ $$5^4=625$$ ; $$5×5×5×5=625$$

Dodawanie i odejmowanie pierwiastków

Każdy pierwiastek, który jest tego samego stopnia oraz który posiada tę samą liczbę pod pierwiastkiem możemy wyciągnąć przed nawias.

Przykłady:

  • $$√2+√2=(1+1)√2=2√2$$
  • $$√3+√2=√3+√2$$
  • $$∛5+5∛5=(1+5)∛5=6∛5$$

Identycznie wygląda to przy odejmowaniu:

  • $$5√2-√2=(5-1)√2=4√2$$
  • $$10√10-2√10=(10-2)√10=8√10$$
 

Mnożenie i dzielenie pierwiastków

W przypadku mnożenia i dzielenia pierwiastków wygląda to znacznie łatwiej. Pierwiastki mnożymy metodą "rozbicia i składania". Polega ona na tym, że liczbę pod pierwiastkową rozbijamy tak, aby jedną (lub więcej) z rozbitych liczb wyłączyć przed znak pierwiastka.

Przykłady mnożenia pierwiastków:

  • $$√2×√3=√{2×3}=√6$$
  • $$√20×√5=√{20×5}=√{100}=10 $$

Przykłady dzielenia pierwiastków:

  • $${√{24} }/{√6}=√{24÷6}=√4=2$$
  • $${√{63} }/ {√7}=√{63÷7}=√9=3$$

Wyłączanie czynnika przed znak pierwiastka

Podczas wyłączania czynnika przed znak pierwiastka korzystamy z zasady, z której korzystaliśmy podczas mnożenia:
$$√{a×b}=√a×√b$$

Najprościej jest to przedstawić na przykładzie:

Wyłącz czynnik sprzed znak w $$√{18}$$.

Na początku musimy rozłożyć liczbę na takie czynniki, aby przynajmniej pierwiastek jednego z nich był liczbą naturalną. Dlatego $$√{18}$$ rozkładam w ten sposób:

$$√{18}=√{9×2}$$

Wiemy, że $$√{9}$$ wynosi 3, dlatego wystawiamy 3 przed znak pierwiastka:

$$√{18}=√{9×2}=3√{2}$$

Przykłady:

  • $$√{32}=√{16×2}=4√2$$
  • $$∛{54}=∛{27×2}=3∛2$$

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Oblicz: $$√{27}-√{12}+√{48}=$$

Musimy każdy z pierwiastków odpowiednio rozbić

$$√27-√12+√48=$$

$$√{9×3}-√{3×4}+√{16×3}=$$

I wyciągamy odpowiednie pierwiastki

$$√{9×3}-√{3×4}+√{16×3}=3√3-2√3+4√3=$$

Sumujemy na końcu

$$3√3-2√3+4√3=5√3$$

Zadanie 2.

Oblicz:
$$√3(√{18}+√{15}-√{12})=$$

Możemy najpierw wyciągnąć złożone pierwiastki

$$√3(√{18}+√{15}-√{12})=$$

Z pierwiastka z 12 wyciągamy przed znak pierwiastka 2

$$=√3(√{9×2}+√{15}-√{4×3})=√3(3√2+√{15}-2√3)=$$

I dalej mnożymy każdy wyraz przez liczbę stojącą przed nawiasem
$$=3√6+√{15×3}-2√{3×3}= $$

$$=3√6+√{45}-6= $$

Pierwiastek z 45 rozbijamy na $$9×5$$

$$=3√6+√(9×5)-6= $$

Przed znak pierwiastka z 5 wystawiamy 3

$$=3√6+3√5-6 $$

Zadanie 3.

Oblicz: $${√8+√{16}-3√{72} }/{2√5-3√2}=$$

 

Najpierw wykonajmy wszelakie działania z licznika, niestety w mianowniku nic nie możemy na razie zrobić
$${√8+√{16}-3√{72} }/{2√5-3√2}={√{4×2}+4-3√{36×2} }/{2√5-3√2}$$

Wyciągamy:

$${√{4×2}+4-3√{36×2} }/{2√5-3√2}={2√2+4-3×6√2}/{2√5-3√2}$$

Porządkujemy:

$${2√2+4-18√2}/{2√5-3√2}={4-16√2}/{2√5-3√2}$$

Mamy niewymierność w mianowniku, więc musimy ją usunąć wzorem skróconego mnożenia
$${4-16√2}/{2√5-3√2}{×{2√5+3√2}/{2√5+3√2} }={4×2√5+4×3√2-32√{5×2}-48×2}/{4×5-9×2}=$$

$${4×2√5+4×3√2-32√{5×2}-48×2}/{4×5-9×2}={8√5+12√2-32√{10}-96}/2$$
Pozostaje nam podzielić przez 2

$$=4√5+6√2-16√10-48=2(2√5+3√2-8√10-24)$$

Spis treści

Rozwiązane zadania
Oblicz f(-2)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  

  

Rozwiąż równanie

 

 

Szukamy liczb, które są oddalone o 6 jednostek od 0 na osi liczbowej. 

 

 

 

 

 

 

 

Szukamy liczb, które są oddalone o 5 jednostek od 0 na osi liczbowej. 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Szukamy liczb, które są oddalone o 2 jednostki od 0 na osi liczbowej. 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Wartość bezwzględna przyjmuje wyłącznie wartości nieujemne, więc powyższe równanie nie ma rozwiązania. 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Szukamy liczb, które są oddalone o 1/3(6+√2) jednostek od 0 na osi liczbowej. 

  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Szukamy liczb, które są oddalone o 0 jednostek od 0 na osi liczbowej. 

  

 

Rozwiąż równanie

 

 

 

 

 

 

Wynik zaokrąglony:

 

Oblicz błąd bezwzględny

 

     

 

    

   

 

 

 
       
       
       

 

Rozwiąż równanie

{premium}

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Kredytobiorca pobrał kredyt w wysokości...

Obliczamy, ile procent odsetek doliczy się po miesiącu:

 


Rozpiszmy zadanie przy pomocy tabelki analogicznej do poprzednich:

kwota zadłużenia wysokość raty kwota odsetek
     
     
     
     {premium}
     
     
     
     
     
     
     
     

Kwota do spłaty to  powiększona o sumę kwot odsetek i jest ona równa sumie wszystkich rat.

Prawdziwe jest więc następujące równanie:

 


Rozwiązujemy równanie:

 

 

 

 

 

 

 


Odp. Wysokość raty to  

Wyznacz liczbę a, dla której równanie...

Przekształćmy dane równanie do postaci, w której wyrażenia z liczbą  będą znajdowały się

po lewej stronie, a pozostałe wyrazy - po prawej stronie.

 

 

 


 Równanie będzie tożsamościowe, gdy jego lewa i prawa strona będą miały taką samą postać.

Porównując obie strony równania zauważamy, że będzie {premium}tak, gdy  i jednocześnie  

Rozwiążmy ten układ warunków:

 

 

 

Równanie jest tożsamościowe dla  


 Równanie będzie sprzeczne, gdy wyrazy ze zmienną  się zredukują, a wyrazy bez zmiennej  

będą miały różne wartości.

Porównując obie strony równania zauważamy, że będzie tak, gdy  i jednocześnie  

Rozwiążmy ten układ warunków:

 

 

 

Równanie jest sprzeczne dla  

Paweł pokonuje drogę do szkoły rowerem...

Jeżeli jadąc rowerem droga w obie strony zajmuje mu 30 minut to znaczy, że w jedną stronę zajmie mu 15 minut.

 

Jeżeli jadąc rowerem i idąc pieszo droga w obie strony zajmuje 45 minut to znaczy, że jadąc rowerem zajmuje 15 minut a idąc pieszo zajmuje 30 minut.

 

Stąd wynika, że jeżeli Paweł będzie w obie strony szedł pieszo to droga do szkoły zajmie mu godzinę.

Znajdź, o ile istnieje, najmniejszą lub największą...

 Dla funkcji  mamy:    

Współczynnik  paraboli jest dodatni, więc ramiona paraboli skierowane są do góry.

Zatem funkcja  przyjmuje wartość najmniejszą w wierzchołku paraboli.

Obliczamy wyróżnik trójmianu kwadratowego:

 

Obliczamy najmniejszą wartość funkcji (rzędną wierzchołka paraboli):

 

   

  

 

 Dla funkcji  mamy:    

Współczynnik  paraboli jest ujemny, więc ramiona paraboli skierowane są do dołu.

Zatem funkcja  przyjmuje wartość nawiększą w wierzchołku paraboli.

Obliczamy wyróżnik trójmianu kwadratowego:

 

Obliczamy najjwiększą wartość funkcji (rzędną wierzchołka paraboli):

 

   

    

Na podstawie fragmentu wykresu funkcji kwadratowej...

Prawidłowa odpowiedź to  Obliczymy drugie miejsce zerowe  by to pokazać.

Odcięta wierzchołka paraboli jest równa  więc mamy: