Pierwiastki - matura-podstawowa - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Pierwiastki - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Obliczanie pierwiastków kwadratowych

Aby obliczyć pierwiastek kwadratowy musimy znaleźć liczbę, która podniesiona do kwadratu da nam wynik, który jest pod pierwiastkiem.

Przykłady:

  • $√64=8$ ,ponieważ $8^2=64$ ; $8×8=64$
  • $√256=16$ ponieważ ${16}^2=256$ ; $16×16=256$
  • $√100=10$ ponieważ ${10}^2=100$ ; $10×10=100$

Obliczanie pierwiastków wyższego stopnia

Stopień pierwiastka będzie podany nad nim, oznacza on potęgę do jakiej należy podnieść liczbę, aby osiągnęła wartość tę, którą mamy pod pierwiastkiem.

Przykłady:

  • $∛125=5$, ponieważ $5^3=125$ ; $5×5×5=125$
  • $∜16=2$, ponieważ $2^4=16$ ; $2×2×2×2=16$
  • $∜625=5$, ponieważ $5^4=625$ ; $5×5×5×5=625$

Dodawanie i odejmowanie pierwiastków

Każdy pierwiastek, który jest tego samego stopnia oraz który posiada tę samą liczbę pod pierwiastkiem możemy wyciągnąć przed nawias.

Przykłady:

  • $√2+√2=(1+1)√2=2√2$
  • $√3+√2=√3+√2$
  • $∛5+5∛5=(1+5)∛5=6∛5$

Identycznie wygląda to przy odejmowaniu:

  • $5√2-√2=(5-1)√2=4√2$
  • $10√10-2√10=(10-2)√10=8√10$
 

Mnożenie i dzielenie pierwiastków

W przypadku mnożenia i dzielenia pierwiastków wygląda to znacznie łatwiej. Pierwiastki mnożymy metodą "rozbicia i składania". Polega ona na tym, że liczbę pod pierwiastkową rozbijamy tak, aby jedną (lub więcej) z rozbitych liczb wyłączyć przed znak pierwiastka.

Przykłady mnożenia pierwiastków:

  • $√2×√3=√{2×3}=√6$
  • $√20×√5=√{20×5}=√{100}=10 $

Przykłady dzielenia pierwiastków:

  • ${√{24} }/{√6}=√{24÷6}=√4=2$
  • ${√{63} }/ {√7}=√{63÷7}=√9=3$

Wyłączanie czynnika przed znak pierwiastka

Podczas wyłączania czynnika przed znak pierwiastka korzystamy z zasady, z której korzystaliśmy podczas mnożenia:
$√{a×b}=√a×√b$

Najprościej jest to przedstawić na przykładzie:

Wyłącz czynnik sprzed znak w $√{18}$.

Na początku musimy rozłożyć liczbę na takie czynniki, aby przynajmniej pierwiastek jednego z nich był liczbą naturalną. Dlatego $√{18}$ rozkładam w ten sposób:

$√{18}=√{9×2}$

Wiemy, że $√{9}$ wynosi 3, dlatego wystawiamy 3 przed znak pierwiastka:

$√{18}=√{9×2}=3√{2}$

Przykłady:

  • $√{32}=√{16×2}=4√2$
  • $∛{54}=∛{27×2}=3∛2$

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Oblicz: $√{27}-√{12}+√{48}=$

Musimy każdy z pierwiastków odpowiednio rozbić

$√27-√12+√48=$

$√{9×3}-√{3×4}+√{16×3}=$

I wyciągamy odpowiednie pierwiastki

$√{9×3}-√{3×4}+√{16×3}=3√3-2√3+4√3=$

Sumujemy na końcu

$3√3-2√3+4√3=5√3$

Zadanie 2.

Oblicz:
$√3(√{18}+√{15}-√{12})=$

Możemy najpierw wyciągnąć złożone pierwiastki

$√3(√{18}+√{15}-√{12})=$

Z pierwiastka z 12 wyciągamy przed znak pierwiastka 2

$=√3(√{9×2}+√{15}-√{4×3})=√3(3√2+√{15}-2√3)=$

I dalej mnożymy każdy wyraz przez liczbę stojącą przed nawiasem
$=3√6+√{15×3}-2√{3×3}= $

$=3√6+√{45}-6= $

Pierwiastek z 45 rozbijamy na $9×5$

$=3√6+√(9×5)-6= $

Przed znak pierwiastka z 5 wystawiamy 3

$=3√6+3√5-6 $

Zadanie 3.

Oblicz: ${√8+√{16}-3√{72} }/{2√5-3√2}=$

 

Najpierw wykonajmy wszelakie działania z licznika, niestety w mianowniku nic nie możemy na razie zrobić
${√8+√{16}-3√{72} }/{2√5-3√2}={√{4×2}+4-3√{36×2} }/{2√5-3√2}$

Wyciągamy:

${√{4×2}+4-3√{36×2} }/{2√5-3√2}={2√2+4-3×6√2}/{2√5-3√2}$

Porządkujemy:

${2√2+4-18√2}/{2√5-3√2}={4-16√2}/{2√5-3√2}$

Mamy niewymierność w mianowniku, więc musimy ją usunąć wzorem skróconego mnożenia
${4-16√2}/{2√5-3√2}{×{2√5+3√2}/{2√5+3√2} }={4×2√5+4×3√2-32√{5×2}-48×2}/{4×5-9×2}=$

${4×2√5+4×3√2-32√{5×2}-48×2}/{4×5-9×2}={8√5+12√2-32√{10}-96}/2$
Pozostaje nam podzielić przez 2

$=4√5+6√2-16√10-48=2(2√5+3√2-8√10-24)$

Spis treści

Rozwiązane zadania
Wykres funkcji f przesuń o ...

 

`f(x)=-8x^2` 

 

 

{premium}    

  

 

 

 

`f(x)=1,25x^2` 

 

`g(x)=1,25x^2-2`

 

  

 

 

 

 

`g(x)=3/4(x-1)^2-2` 

  

 

 

 

`f(x)=2,3x^2` 

 

 

`ZW_(g)=[-sqrt5;+oo)`  

  

Jeżeli Danka będzie odkładała do skarbonki...

Oznaczmy szukany czas jako  {premium}   

Kwota miesięcznej składki oraz czas oszczędzania są do siebie odwrotnie proporcjonalne.

Wobec tego prawdziwa jest równość:

 

Wyznaczamy z równania  

`pt=sx\ "/:"\ s`  

      

Odp. Zajmie to Dance  miesięcy.

Uprość wyrażenie i oblicz ...

    {premium}
 

 

 


 
 
 

 

 

Rodzinne miasto Ani zamieszkuje 6050 osób. Wiadomo, że populacja ...

Liczbę osób mieszkających w tym mieście dwa lata temu oznaczmy przez .

Co roku liczba mieszkańców miasta zwiększa się o 10%. Rok temu liczba mieszkańców stanowiła więc 110% liczby osób mieszkających w tym mieście dwa lata temu. Zatem: {premium}

 

W tym roku liczba mieszkańców stanowi więc 110% liczby osób mieszkających w tym mieście roku temu. Zatem:

 


Wiemy, że obecnie miasto zamieszkuje 6050 mieszkańców, więc możemy zapisać:

 

 

 

 


W mieście tym dwa lata temu mieszkało 5000 osób.

Przedstaw w postaci...

Środkiem odcinka o końcach w punktach a i b jest na osi punkt  


Obliczamy środek odcinka (-2, 14):{premium}

 

Środkiem odcinka o końcach w punktach -2 oraz 14 jest punkt 6. Odległość punktu 6 od punktów -2 oraz 14 wynosi 8. Stąd:

 

 

Mamy więc następującą nierówność:

 

Uzasadnij, że jeżeli wyróżnik ...

{premium}   

 

  

  

Kapitał w wysokości 5000 zł został złożony w banku

  

 

{premium}

  

 

 

  

 

 

Przeanalizuj przykład podany ...

 

Podane wyrażenie jest liczbą naturalną, gdy liczba  jest całkowitym dzielnikiem liczby 3. Zatem:

1.   

2.   

3.   

4.   {premium}


 

Podane wyrażenie jest liczbą naturalną, gdy liczba  jest całkowitym dzielnikiem liczby 4. Zatem:

1.   

2.   

3.   

4.   

5.   

6.   


 

Podane wyrażenie jest liczbą naturalną, gdy liczba  jest całkowitym dzielnikiem liczby 6. Zatem:

1.   

2.   

3.   

4.   

5.   

6.   

7.   

8.   


 

Podane wyrażenie jest liczbą naturalną, gdy liczba  jest całkowitym dzielnikiem liczby 8. Zatem:

1.   

2.   

3.   

4.   

5.   

6.   

7.   

8.   

Wyznacz zbiory

{premium}  

Zbiór A to zbiór kolejnych potęg liczby 3 (o wykładniku naturalnym dodatnim). 

 

 

Zbiór B to zbiór dodatnich liczb naturalnych podzielnych przez 9. 

 

Zauważmy, że wszystkie elementy zbioru A poza liczbą 3 to wielokrotności liczby 9, więc wszystkie elementy zbioru A (poza liczbą 3) należą do zbioru B. 

 

 

Wiemy już, że jedyny element zbioru A, który nie należy do zbioru B, to element 3. 

 

 

 

 

 

Jeśli wiesz, że x+y=1 i xy=3, oblicz

                  {premium}

Aby podnieść do kwadratu lewą stronę równania, korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia:

Wstawiamy do równania wartość xy=3

 

 

Uwaga!

Tak naprawdę treść zadania zawiera błąd- źle dobrano dane, ponieważ suma kwadratów dwóch liczb rzeczywistych nie da nam w wyniku liczby ujemnej.