Pierwiastki - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Obliczanie pierwiastków kwadratowych

Aby obliczyć pierwiastek kwadratowy musimy znaleźć liczbę, która podniesiona do kwadratu da nam wynik, który jest pod pierwiastkiem.

Przykłady:

  • $$√64=8$$ ,ponieważ $$8^2=64$$ ; $$8×8=64$$
  • $$√256=16$$ ponieważ $${16}^2=256$$ ; $$16×16=256$$
  • $$√100=10$$ ponieważ $${10}^2=100$$ ; $$10×10=100$$

Obliczanie pierwiastków wyższego stopnia

Stopień pierwiastka będzie podany nad nim, oznacza on potęgę do jakiej należy podnieść liczbę, aby osiągnęła wartość tę, którą mamy pod pierwiastkiem.

Przykłady:

  • $$∛125=5$$, ponieważ $$5^3=125$$ ; $$5×5×5=125$$
  • $$∜16=2$$, ponieważ $$2^4=16$$ ; $$2×2×2×2=16$$
  • $$∜625=5$$, ponieważ $$5^4=625$$ ; $$5×5×5×5=625$$

Dodawanie i odejmowanie pierwiastków

Każdy pierwiastek, który jest tego samego stopnia oraz który posiada tę samą liczbę pod pierwiastkiem możemy wyciągnąć przed nawias.

Przykłady:

  • $$√2+√2=(1+1)√2=2√2$$
  • $$√3+√2=√3+√2$$
  • $$∛5+5∛5=(1+5)∛5=6∛5$$

Identycznie wygląda to przy odejmowaniu:

  • $$5√2-√2=(5-1)√2=4√2$$
  • $$10√10-2√10=(10-2)√10=8√10$$
 

Mnożenie i dzielenie pierwiastków

W przypadku mnożenia i dzielenia pierwiastków wygląda to znacznie łatwiej. Pierwiastki mnożymy metodą "rozbicia i składania". Polega ona na tym, że liczbę pod pierwiastkową rozbijamy tak, aby jedną (lub więcej) z rozbitych liczb wyłączyć przed znak pierwiastka.

Przykłady mnożenia pierwiastków:

  • $$√2×√3=√{2×3}=√6$$
  • $$√20×√5=√{20×5}=√{100}=10 $$

Przykłady dzielenia pierwiastków:

  • $${√{24} }/{√6}=√{24÷6}=√4=2$$
  • $${√{63} }/ {√7}=√{63÷7}=√9=3$$

Wyłączanie czynnika przed znak pierwiastka

Podczas wyłączania czynnika przed znak pierwiastka korzystamy z zasady, z której korzystaliśmy podczas mnożenia:
$$√{a×b}=√a×√b$$

Najprościej jest to przedstawić na przykładzie:

Wyłącz czynnik sprzed znak w $$√{18}$$.

Na początku musimy rozłożyć liczbę na takie czynniki, aby przynajmniej pierwiastek jednego z nich był liczbą naturalną. Dlatego $$√{18}$$ rozkładam w ten sposób:

$$√{18}=√{9×2}$$

Wiemy, że $$√{9}$$ wynosi 3, dlatego wystawiamy 3 przed znak pierwiastka:

$$√{18}=√{9×2}=3√{2}$$

Przykłady:

  • $$√{32}=√{16×2}=4√2$$
  • $$∛{54}=∛{27×2}=3∛2$$

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Oblicz: $$√{27}-√{12}+√{48}=$$

Musimy każdy z pierwiastków odpowiednio rozbić

$$√27-√12+√48=$$

$$√{9×3}-√{3×4}+√{16×3}=$$

I wyciągamy odpowiednie pierwiastki

$$√{9×3}-√{3×4}+√{16×3}=3√3-2√3+4√3=$$

Sumujemy na końcu

$$3√3-2√3+4√3=5√3$$

Zadanie 2.

Oblicz:
$$√3(√{18}+√{15}-√{12})=$$

Możemy najpierw wyciągnąć złożone pierwiastki

$$√3(√{18}+√{15}-√{12})=$$

Z pierwiastka z 12 wyciągamy przed znak pierwiastka 2

$$=√3(√{9×2}+√{15}-√{4×3})=√3(3√2+√{15}-2√3)=$$

I dalej mnożymy każdy wyraz przez liczbę stojącą przed nawiasem
$$=3√6+√{15×3}-2√{3×3}= $$

$$=3√6+√{45}-6= $$

Pierwiastek z 45 rozbijamy na $$9×5$$

$$=3√6+√(9×5)-6= $$

Przed znak pierwiastka z 5 wystawiamy 3

$$=3√6+3√5-6 $$

Zadanie 3.

Oblicz: $${√8+√{16}-3√{72} }/{2√5-3√2}=$$

 

Najpierw wykonajmy wszelakie działania z licznika, niestety w mianowniku nic nie możemy na razie zrobić
$${√8+√{16}-3√{72} }/{2√5-3√2}={√{4×2}+4-3√{36×2} }/{2√5-3√2}$$

Wyciągamy:

$${√{4×2}+4-3√{36×2} }/{2√5-3√2}={2√2+4-3×6√2}/{2√5-3√2}$$

Porządkujemy:

$${2√2+4-18√2}/{2√5-3√2}={4-16√2}/{2√5-3√2}$$

Mamy niewymierność w mianowniku, więc musimy ją usunąć wzorem skróconego mnożenia
$${4-16√2}/{2√5-3√2}{×{2√5+3√2}/{2√5+3√2} }={4×2√5+4×3√2-32√{5×2}-48×2}/{4×5-9×2}=$$

$${4×2√5+4×3√2-32√{5×2}-48×2}/{4×5-9×2}={8√5+12√2-32√{10}-96}/2$$
Pozostaje nam podzielić przez 2

$$=4√5+6√2-16√10-48=2(2√5+3√2-8√10-24)$$

Spis treści

Rozwiązane zadania
Wyznacz wszystkie liczby rzeczywiste ...

`"a)"\ |x+2|=3` 

`\ \ \ |x-(-2)|=3`   

Szukamy takich liczb x, których odległość od liczby -2 wynosi 3.

`x=1\ \ \ "lub"\ \ \ x=-5` 

`ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ )` 

`"b)"\ |x-3|<=2` 

Szukamy liczb, których odległość od liczby 3 jest mniejsza lub równa 2.

Warunek ten spełniają liczby, które na osi liczbowej leżą między liczbami 1 i 5.

Stąd:

`x in <<1;5>>` 

`ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ )` 

`"c)"\ |x+3|>1` 

`\ \ \ |x-(-3)|>1`   

Szukamy liczb, których odległość od liczby -3 jest większa od 1.

Warunek ten spełniają liczby, które należą do sumy przedziałów:

`x in (-oo;-4)cup(-2;+oo)`  

Dla jakich wartości parametru m

Wyznaczmy rozwiązanie równania:

`7x-3m=2(m+1)+3x` 

`7x-3m=2m+2+3x\ \ \ |-3x` 

`4x-3m=2m+2\ \ \ |+3m` 

`4x=5m+2\ \ \ |:4` 

`x=(5m+2)/4` 

 

Rozwiązanie ma być mniejsze od 3/4:

`x<3/4` 

`(5m+2)/4<3/4\ \ \ \ |*4` 

`5m+2<3\ \ \ |-2` 

`5m<1\ \ \ \|:5` 

`m<1/5`   

`m in (-infty;\ 1/5)` 

Wyznacz kąt alfa zaznaczony

`a)`

Wiemy, że kąt CAB jest o 60° większy od kąta BAD, więc możemy oznaczyć:

`|angleBAD|=x`

`|angleCAB|=x+60^o`

 

Te kąty tworzą parę kątów przyległych, więc suma ich miar wynosi 180°:

`x+x+60^o=180^o`

`2x+60^o=180^o\ \ \ |-60^o`

`2x=120^o\ \ \ |:2`

`x=60^o`

`x+60^o=60^o +60^o=120^o`

 

`|angleBAD|=60^o`

`|angleCAB|=120^o`

 

 

Jeśli od miary kąta CAB odejmiemy miarę kąta CAF, to otrzymamy miarę kąta FAB:

`|angleFAB|=|angleCAB|-|angleCAF|=120^o-90^o=30^o`

 

Wiemy, że półprosta AE jest dwusieczną kąta CAB, więc kąty CAE i EAB mają jednakowe miary:

`|angleCAE|=|angleEAB|=1/2*|angleCAB|=1/2*120^o=60^o`

 

Jeśli od miary kąta EAB odejmiemy miarę kąta FAB, to otrzymamy miarę kąta EAF, czyli szukaną miarę alfa:

`alpha=|angleEAF|=|angleEAB|-|angleFAB|=60^o-30^o=30^o`

 

 

 

 

`b)`

Wiemy, że kąt CAB jest 5 razy większy od kąta BAD, więc możemy oznaczyć:

`|angleBAD|=x`

`|angleCAB|=5x`

 

Te kąty tworzą parę kątów przyległych, więc suma ich miar wynosi 180°:

`x+5x=180^o`

`6x=180^o\ \ \ |:6`

`x=30^o`

`5x=5*30^o=150^o`

 

`|angleBAD|=30^o`

`|angleCAB|=150^o`

 

Jeśli od miary kąta CAB odejmiemy miarę kąta CAF, to otrzymamy miarę kąta FAB:

`|angleFAB|=|angleCAB|-|angleCAF|=150^o-90^o=60^o`

 

Wiemy, że półprosta AE jest dwusieczną kąta CAB, więc kąty CAE i EAB mają jednakowe miary:

`|angleCAE|=|angleEAB|=1/2*|angleCAB|=1/2*150^o=75^o`

 

 

Jeśli od miary kąta EAB odejmiemy miarę kąta FAB, to otrzymamy miarę kąta EAF, czyli szukaną miarę alfa:

`alpha=|angleEAF|=|angleEAB|-|angleFAB|=75^o-60^o=15^o`

Uzupełnij tabelę...

Tabelka:

W pierwszym wierszu, który mamy uzupełnić łatwo obliczyć współrzędne wektora o początku w punkcie P i końcu w punkcie A. Wiemy, że skala wynosi 4 więc wektor o początku w punkcie P i końcu w punkcie A' musi być czterokrotnie większy. Odczytujemy współrzędne punktu A'.

 

W drugim wierszu, który mamy uzupełnić odczytujemy współrzędne punktu A oraz współrzędne wektora o początku w punkcie P i końcu w punkcie A'. Widać, że wektor ten jest dwa razy większy oraz ma przeciwny zwrot dlatego skala wynosi -2.

 

Trzeci wiersz do uzupełnienia podaje nam współrzędne punktu A i A' oraz skalę -1/2. Ujemna skala mówi nam o tym, że punkt A' musi leżeć po przeciwnej stronie punktu P względem A oraz odległość pomiędzy punktami P i A musi być dwa razy większa niż odległość pomiędzy punktami P i A'. Obliczmy współrzędne punktu P:

`A=(4,3), \ \ A'=(-2,0)`

`stackrel(->)( A A') = [-2-4, 0-3] = [-6,-3]`

 W takim razie:

`stackrel(->)(AP) = [-4,-2]`

`stackrel(->)(P A')=[-2,-1]`

Bo odległość punktu A od P musi być dwa razy większa od odległości pomiędzy P i A', a więc:

`stackrel(->)(AP) = -stackrel(->)(PA) = [4,2]`

Rozwiąż układ równań

`a)` 

`{(1/2x+1/4y=1/4x-1\ \ \ |*4), (-1/4x+1/2y=1/4y+3 \ \ \ |*4):}` 

`{(2x+y=x-4\ \ \ |-x), (-x+2y=y+12\ \ \ |-y):}` 

`{(x+y=-4), (-x+y=12):}\ \ \ |+` 

`2y=8\ \ \ |:2` 

`y=4 

Podstawiamy obliczoną wartość y do pierwszego równania ostatniego układu równań:

`x+4=-4` 

`x+4=-4\ \ \ |-4` 

`x=-8` 

 

`{(x=-8), (y=4):}` 

 

 

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))` 

 

 

`b)` 

`{(1/2(x-y)=1/3(x+y)\ \ \ |*6), (4/5x-1/5(y+3x)=-4\ \ \ |*5):}` 

`{(3(x-y)=2(x+y)), (4x-(y+3x)=-20):}` 

`{(3x-3y=2x+2y\ \ \ \ |-2x+3y), (4x-y-3x=-20):}` 

`{(x=5y), (x-y=-20):}` 

`{(x=5y), (5y-y=-20):}` 

`{(x=5y), (4y=-20\ \ \ |:4):}` 

`{(x=5y), (y=-5):}` 

`{(x=5*(-5)=-25), (y=-5):}` 

 

 

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))` 

 

 

`c)` 

`{((x-1)/2+(y+1)/3=3\ \ \ |*6), ((x+1)/3-(y-2)/6=2\ \ \ |*6):}` 

`{(3(x-1)+2(y+1)=18), (2(x+1)-(y-2)=12):}` 

`{(3x-3+2y+2=18), (2x+2-y+2=12):}` 

`{(3x+2y-1=18\ \ \ |+1), (2x-y+4=12\ \ \ |-4):}` 

`{(3x+2y=19), (2x-y=8\ \ \ |*2):}` 

`{(3x+2y=19), (4x-2y=16):}\ \ \ |+` 

`7x=35\ \ \ |:7` 

`x=5` 

 

Podstawiamy obliczoną wartość x do drugiego równania przedostatniego układu równań: 

`2*5-y=8` 

`10-y=8\ \ \ |-10`  

`-y=-2\ \ \ |*(-1)` 

`y=2` 

 

`{(x=5), (y=2):}` 

 

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))` 

 

 

`d)` 

`{(0.01x-0.01(y-1)=-0.06\ \ \ |*100), (0.03x-0.02(y-2)=-0.12\ \ \ |*100):}` 

`{(x-(y-1)=-6), (3x-2(y-2)=-12):}` 

`{(x-y+1=-6\ \ \ |-1), (3x-2y+4=-12\ \ \|-4):}` 

`{(x-y=-7\ \ \ |*(-2)), (3x-2y=-16):}` 

`{(-2x+2y=14), (3x-2y=-16):}\ \ \ |+` 

`x=-2` 

 

Podstawiamy obliczoną wartość x do pierwszego równania przedostatniego układu równań:

`-2-y=-7\ \ \ |+2` 

`-y=-5\ \ \ |*(-1)` 

`y=5` 

 

`{(x=-2), (y=5):}` 

 

 

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))` 

 

 

`e)` 

`{(0.2(x+2y)-0.3(2x-y)=3.5\ \ \ |*10), (2(x+y)-(x-2)=2y+2):}` 

`{(2(x+2y)-3(2x-y)=35), (2x+2y-x+2=2y+2):}` 

`{(2x+4y-6x+3y=35), (x+2y+2=2y+2\ \ \ \ |-2y-2):}` 

`{(-4x+7y=35), (x=0):}` 

`{(7y=35\ \ \ |:7), (x=0):}` 

`{(y=5), (x=0):}` 

 

 

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))` 

 

`f)` 

`{((x-y)/2-(x+y)/4=1\ \ \ \ |*4), ((2x+y)/3-(x+y)/2=0\ \ \ |*6):}` 

`{(2(x-y)-(x+y)=4), (2(2x+y)-3(x+y)=0):}` 

`{(2x-2y-x-y=4), (4x+2y-3x-3y=0):}` 

`{(x-3y=4), (x-y=0\ \ \ |+y):}` 

`{(x-3y=4), (x=y):}` 

`{(y-3y=4), (x=y):}` 

`{(-2y=4\ \ \ |:(-2)), (x=y):}` 

`{(y=-2), (x=-2):}` 

  

Odczytaj z wykresu dziedzinę...

Dziedziną funkcji jest zbiór:

`[-5,5]` 

Zbiorem wartości funkcji jest zbiór:

`[-5,1]` 

 

`"Dla" \ x in [-1,4]` 

Wartość największa to y = 1 dla x = 1

Wartość najmniejsza to y = -3 dla x = 4

Przekształć w symetrii

`a)` 

Zapiszmy wartości funkcji dla kilku argumentów: 

`f(-4)=-1/4*(-4)+2=1+2=3` 

`f(0)=-1/4*0+2=0+2=2` 

`f(4)=-1/4*4+2=-1+2=1` 

 

Odbijając symetrycznie względem osi x druga współrzędna, czyli y, zmienia znak na przeciwny. 

 

 

`b)` 

`f(-2)=(-2)^2=(-2)*(-2)=4` 

`f(-1)=(-1)^2=(-1)*(-1)=1` 

`f(0)=0^2=0*0=0` 

`f(1)=1^2=1*1=1` 

`f(2)=2^2=2*2=4` 

   

 

 

 

Wyznacz zbiory

`a)`

`AuuB=(1,\ 6)`

`AnnB=(2,\ 4)`

`A\\B=(1,\ 2>>`

`B\\A=<<4,\ 6)`

 

 

 

`b)`

`AuuB=<<-4,\ 3)`

`AnnB={1}`

`A\\B=<<-4,\ 1)`

`B\\A=(1,\ 3)`

 

 

`c)`

 

`AuuB=<<-5,\ 3>>`

`AnnB=<<1,\ 3>>`

`A\\B=emptyset`

`B\\A=<<-5,\ 1)`

 

 

`d)`

`AuuB=(-3,\ 2>>`

`AnnB=(-1,\ 2>>`

`A\\B=(-3,\ -1>>`

`B\\A=emptyset`

Do wykresu funkcji f(x) nie należy punkt

Podstawiamy współrzędne punktów do równania funkcji i sprawdzamy, czy współrzędne spełniają to równanie - jeśli tak, to punkt należy do wykresu. 

 

`A.`

`f(-8)#=^?12`

`f(-8)=-3/strike4^1*(-strike8^2)+6=6+6=12`

Równość zachodzi, więc ten punkt należy do wykresu funkcji.

 

 

`B.`

`f(5 1/3)#=^?2`

`f(5 1/3)=-3/4*5 1/3+6=-strike3^1/strike4^1*strike16^4/strike3^1+6=-4+6=2`

Równość zachodzi, więc ten punkt należy do wykresu funkcji.

 

 

`C.`

`f(-16)#=^?15`

`f(-16)=-3/strike4^1*(-strike16^4)+6=12+6=18ne15`

Równość nie zachodzi, więc ten punkt nie należy do wykresyu funkcji.

 

 

`D.`

`f(-32)#=^?30`

`f(-3)=-3/strike4^1*(-strike32^8)+6=24+6=30`

 

`odp. \ C`

Dane są punkty A, B, C ...

`S_x(A)=(-2,\ 2)`

`S_y(A)=(2,\ -2)`

 

`S_x(B)=(3,\ -6)`

`S_y(B)=(-3,\ 6)`

 

`S_x(C)=(-5,\ 0)`

`S_y(C)=(5,\ 0)`