Pierwiastki - matura-podstawowa - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Pierwiastki - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Obliczanie pierwiastków kwadratowych

Aby obliczyć pierwiastek kwadratowy musimy znaleźć liczbę, która podniesiona do kwadratu da nam wynik, który jest pod pierwiastkiem.

Przykłady:

  • $√64=8$ ,ponieważ $8^2=64$ ; $8×8=64$
  • $√256=16$ ponieważ ${16}^2=256$ ; $16×16=256$
  • $√100=10$ ponieważ ${10}^2=100$ ; $10×10=100$

Obliczanie pierwiastków wyższego stopnia

Stopień pierwiastka będzie podany nad nim, oznacza on potęgę do jakiej należy podnieść liczbę, aby osiągnęła wartość tę, którą mamy pod pierwiastkiem.

Przykłady:

  • $∛125=5$, ponieważ $5^3=125$ ; $5×5×5=125$
  • $∜16=2$, ponieważ $2^4=16$ ; $2×2×2×2=16$
  • $∜625=5$, ponieważ $5^4=625$ ; $5×5×5×5=625$

Dodawanie i odejmowanie pierwiastków

Każdy pierwiastek, który jest tego samego stopnia oraz który posiada tę samą liczbę pod pierwiastkiem możemy wyciągnąć przed nawias.

Przykłady:

  • $√2+√2=(1+1)√2=2√2$
  • $√3+√2=√3+√2$
  • $∛5+5∛5=(1+5)∛5=6∛5$

Identycznie wygląda to przy odejmowaniu:

  • $5√2-√2=(5-1)√2=4√2$
  • $10√10-2√10=(10-2)√10=8√10$
 

Mnożenie i dzielenie pierwiastków

W przypadku mnożenia i dzielenia pierwiastków wygląda to znacznie łatwiej. Pierwiastki mnożymy metodą "rozbicia i składania". Polega ona na tym, że liczbę pod pierwiastkową rozbijamy tak, aby jedną (lub więcej) z rozbitych liczb wyłączyć przed znak pierwiastka.

Przykłady mnożenia pierwiastków:

  • $√2×√3=√{2×3}=√6$
  • $√20×√5=√{20×5}=√{100}=10 $

Przykłady dzielenia pierwiastków:

  • ${√{24} }/{√6}=√{24÷6}=√4=2$
  • ${√{63} }/ {√7}=√{63÷7}=√9=3$

Wyłączanie czynnika przed znak pierwiastka

Podczas wyłączania czynnika przed znak pierwiastka korzystamy z zasady, z której korzystaliśmy podczas mnożenia:
$√{a×b}=√a×√b$

Najprościej jest to przedstawić na przykładzie:

Wyłącz czynnik sprzed znak w $√{18}$.

Na początku musimy rozłożyć liczbę na takie czynniki, aby przynajmniej pierwiastek jednego z nich był liczbą naturalną. Dlatego $√{18}$ rozkładam w ten sposób:

$√{18}=√{9×2}$

Wiemy, że $√{9}$ wynosi 3, dlatego wystawiamy 3 przed znak pierwiastka:

$√{18}=√{9×2}=3√{2}$

Przykłady:

  • $√{32}=√{16×2}=4√2$
  • $∛{54}=∛{27×2}=3∛2$

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Oblicz: $√{27}-√{12}+√{48}=$

Musimy każdy z pierwiastków odpowiednio rozbić

$√27-√12+√48=$

$√{9×3}-√{3×4}+√{16×3}=$

I wyciągamy odpowiednie pierwiastki

$√{9×3}-√{3×4}+√{16×3}=3√3-2√3+4√3=$

Sumujemy na końcu

$3√3-2√3+4√3=5√3$

Zadanie 2.

Oblicz:
$√3(√{18}+√{15}-√{12})=$

Możemy najpierw wyciągnąć złożone pierwiastki

$√3(√{18}+√{15}-√{12})=$

Z pierwiastka z 12 wyciągamy przed znak pierwiastka 2

$=√3(√{9×2}+√{15}-√{4×3})=√3(3√2+√{15}-2√3)=$

I dalej mnożymy każdy wyraz przez liczbę stojącą przed nawiasem
$=3√6+√{15×3}-2√{3×3}= $

$=3√6+√{45}-6= $

Pierwiastek z 45 rozbijamy na $9×5$

$=3√6+√(9×5)-6= $

Przed znak pierwiastka z 5 wystawiamy 3

$=3√6+3√5-6 $

Zadanie 3.

Oblicz: ${√8+√{16}-3√{72} }/{2√5-3√2}=$

 

Najpierw wykonajmy wszelakie działania z licznika, niestety w mianowniku nic nie możemy na razie zrobić
${√8+√{16}-3√{72} }/{2√5-3√2}={√{4×2}+4-3√{36×2} }/{2√5-3√2}$

Wyciągamy:

${√{4×2}+4-3√{36×2} }/{2√5-3√2}={2√2+4-3×6√2}/{2√5-3√2}$

Porządkujemy:

${2√2+4-18√2}/{2√5-3√2}={4-16√2}/{2√5-3√2}$

Mamy niewymierność w mianowniku, więc musimy ją usunąć wzorem skróconego mnożenia
${4-16√2}/{2√5-3√2}{×{2√5+3√2}/{2√5+3√2} }={4×2√5+4×3√2-32√{5×2}-48×2}/{4×5-9×2}=$

${4×2√5+4×3√2-32√{5×2}-48×2}/{4×5-9×2}={8√5+12√2-32√{10}-96}/2$
Pozostaje nam podzielić przez 2

$=4√5+6√2-16√10-48=2(2√5+3√2-8√10-24)$

Spis treści

Rozwiązane zadania
Liczby x_1 i x_2 są...

Wyznaczmy pierwiastki równania:

  

  {premium}

 

 

Zatem:

 

 

Odp.: A

Naszkicuj wykres funkcji y=f(m)...

a)  

Przypadek dla  

 

 

 

Przypadek dla  

 

{premium}  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


b)  

Przypadek dla  

 

 

Przypadek dla  

 

 

 

Przypadek dla  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

    

Określ liczbę cyfr potrzebnych...

 {premium}

Zatem w zapisie liczby 1230 będą 32+1=33 cyfry.


 

Zatem w zapisie liczby 1515 będzie 17+1=18 cyfr.


 

Zatem w zapisie liczby 4040 będzie 64+1=65 cyfr.


 

Zatem w zapisie liczby 6060 będzie 106+1=107 cyfr.

Znajdź największą oraz najmniejszą ...

 

Z postaci kanonicznej możemy odczytać współrzędne wierzchołka paraboli: (4, 7). 

Zatem:

 


 

Zauważmy, że:  {premium}

 

 

 

 

Odp. Największa wartość w tym przedziale wynosi   a najmniejsza wartość w tym przedziale wynosi   


 

Zauważmy, że:

 

Ponieważ p należy do rozpatrywanego przedziału i ramiona funkcji są skierowane w dół, więc największą wartością jest wartość funkcji dla x=4.

 

 

 

 

Odp. Największa wartość w tym przedziale wynosi   a najmniejsza wartość w tym przedziale wynosi   


 

Zauważmy, że:  {premium}

 

 

 

 

Odp. Największa wartość w tym przedziale wynosi   a najmniejsza wartość w tym przedziale wynosi   

 

 

Podaj interpretację geometryczną układu...

a) Pierwsza nierówność opisuje koło o środku w punkcie (0,0) i promieniu 4. Zauważmy, że

 

opisuje koło bez brzegów, o środku w punkcie (0,0) i promieniu 2. Zatem jeżeli wytniemy z dużego koła mniejsze koło bez brzegów to zostanie nam obszar opisany przez układ nierówności. Rysunek:

 

b) Pierwsza nierówność opisuje koło bez brzegów o środku w punkcie (0,2), druga opisuje zbiór wszystkich punktów, które nie należą do koła o środku w punkcie (3,2) i promieniu 2. 

 

c) Przekształćmy obie nierówności tak aby łatwo było odczytać jakie koło jest przez nie opisywane.

 

{premium}  

 

 

Pierwsza nierówność opisuje koło o środku (-4, 3) i promieniu 1, druga nierówność opisuje koło o środku (0,3) i promieniu 4.

 

d) Przekształćmy obie nierówności tak aby łatwo było odczytać jakie koło jest przez nie opisywane.

 

 

 

 

Pierwsza nierówność opisuje koło o środku (1,5) i promieniu 4. Druga nierówność opisuje wszystkie punkty, które nie należą do koła o środku (3,5) i promieniu 4.

Uzasadnij, że podane zdanie...

a) Kontrprzykład różnica liczb -2 i -3 jest liczbą dodatnią:  {premium}

  

b) Kontrprzykład liczba 36 jest podzielna przez 4 i przez 6, ale nie jest podzielna przez 24.

c) Kontrprzykład: średnia arytmetyczna liczb 2, 4, 6 i 10 nie jest liczbą parzystą.

d) Kontrprzykład: trapez równoramienny, który nie jest prostokątem również ma przekątne tej samej długości. 

Zapisz wyrażenie w jak najprostszej ...

 

Upraszczamy podane wyrażenie. {premium}

 


 

Upraszczamy podane wyrażenie.

 

Dla jakich wartości x ma sens podane ...

 

Mianownik ułamka nie może być równy 0, więc:

 

 


Czyli: {premium}

 


Podane wyrażenie ma sens liczbowy, gdy:

 


 

Mianownik ułamka nie może być równy 0, więc:

 

 


Wartość bezwzględna jest liczbą nieujemną, więc podane wyrażenie ma sens liczbowy dla wszystkich liczb rzeczywistych, czyli:

 


 

Mianownik ułamka nie może być równy 0, więc:

 


Rozważmy dwa przypadki:

1 

Stąd otrzymujemy, że:

 

 

 

Czyli:

 

2 

Stąd otrzymujemy, że:

 

 

Powyższe wyrażenie jest fałszywe, ponieważ liczba 0 jest równa liczbie 0. Czyli:

 


Podane wyrażenie ma sens liczbowy, gdy:

 


 

Mianownik ułamka nie może być równy 0, więc:

 


Rozważmy dwa przypadki:

1 

Stąd otrzymujemy, że:

 

 

Powyższe wyrażenie jest fałszywe, ponieważ liczba 0 jest równa liczbie 0. Czyli:

 

2 

Stąd otrzymujemy, że:

 

 

 

Czyli:

 

Podane wyrażenie ma sens liczbowy, gdy:

 

Wskaż funkcję liniową, której wykres przechodzi...

Funkcja liniowa jest dana wzorem:{premium}

 

Jeżeli funkcja przechodzi przez początek układu współrzędnych to:

 

 

 

A więc funkcja musi być postaci:

 

Zauważmy, że dla a=3 otrzymujemy:

 

Odp. C

Wyznacz najmniejszą wspólną wielokrotność ...

a)

 

 

     {premium}

 

b)

 

 

 

 

c)

 

 

 

 

d)

 

 

 

 

 

e)