Pierwiastki - matura-podstawowa - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Pierwiastki - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Obliczanie pierwiastków kwadratowych

Aby obliczyć pierwiastek kwadratowy musimy znaleźć liczbę, która podniesiona do kwadratu da nam wynik, który jest pod pierwiastkiem.

Przykłady:

  • $√64=8$ ,ponieważ $8^2=64$ ; $8×8=64$
  • $√256=16$ ponieważ ${16}^2=256$ ; $16×16=256$
  • $√100=10$ ponieważ ${10}^2=100$ ; $10×10=100$

Obliczanie pierwiastków wyższego stopnia

Stopień pierwiastka będzie podany nad nim, oznacza on potęgę do jakiej należy podnieść liczbę, aby osiągnęła wartość tę, którą mamy pod pierwiastkiem.

Przykłady:

  • $∛125=5$, ponieważ $5^3=125$ ; $5×5×5=125$
  • $∜16=2$, ponieważ $2^4=16$ ; $2×2×2×2=16$
  • $∜625=5$, ponieważ $5^4=625$ ; $5×5×5×5=625$

Dodawanie i odejmowanie pierwiastków

Każdy pierwiastek, który jest tego samego stopnia oraz który posiada tę samą liczbę pod pierwiastkiem możemy wyciągnąć przed nawias.

Przykłady:

  • $√2+√2=(1+1)√2=2√2$
  • $√3+√2=√3+√2$
  • $∛5+5∛5=(1+5)∛5=6∛5$

Identycznie wygląda to przy odejmowaniu:

  • $5√2-√2=(5-1)√2=4√2$
  • $10√10-2√10=(10-2)√10=8√10$
 

Mnożenie i dzielenie pierwiastków

W przypadku mnożenia i dzielenia pierwiastków wygląda to znacznie łatwiej. Pierwiastki mnożymy metodą "rozbicia i składania". Polega ona na tym, że liczbę pod pierwiastkową rozbijamy tak, aby jedną (lub więcej) z rozbitych liczb wyłączyć przed znak pierwiastka.

Przykłady mnożenia pierwiastków:

  • $√2×√3=√{2×3}=√6$
  • $√20×√5=√{20×5}=√{100}=10 $

Przykłady dzielenia pierwiastków:

  • ${√{24} }/{√6}=√{24÷6}=√4=2$
  • ${√{63} }/ {√7}=√{63÷7}=√9=3$

Wyłączanie czynnika przed znak pierwiastka

Podczas wyłączania czynnika przed znak pierwiastka korzystamy z zasady, z której korzystaliśmy podczas mnożenia:
$√{a×b}=√a×√b$

Najprościej jest to przedstawić na przykładzie:

Wyłącz czynnik sprzed znak w $√{18}$.

Na początku musimy rozłożyć liczbę na takie czynniki, aby przynajmniej pierwiastek jednego z nich był liczbą naturalną. Dlatego $√{18}$ rozkładam w ten sposób:

$√{18}=√{9×2}$

Wiemy, że $√{9}$ wynosi 3, dlatego wystawiamy 3 przed znak pierwiastka:

$√{18}=√{9×2}=3√{2}$

Przykłady:

  • $√{32}=√{16×2}=4√2$
  • $∛{54}=∛{27×2}=3∛2$

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Oblicz: $√{27}-√{12}+√{48}=$

Musimy każdy z pierwiastków odpowiednio rozbić

$√27-√12+√48=$

$√{9×3}-√{3×4}+√{16×3}=$

I wyciągamy odpowiednie pierwiastki

$√{9×3}-√{3×4}+√{16×3}=3√3-2√3+4√3=$

Sumujemy na końcu

$3√3-2√3+4√3=5√3$

Zadanie 2.

Oblicz:
$√3(√{18}+√{15}-√{12})=$

Możemy najpierw wyciągnąć złożone pierwiastki

$√3(√{18}+√{15}-√{12})=$

Z pierwiastka z 12 wyciągamy przed znak pierwiastka 2

$=√3(√{9×2}+√{15}-√{4×3})=√3(3√2+√{15}-2√3)=$

I dalej mnożymy każdy wyraz przez liczbę stojącą przed nawiasem
$=3√6+√{15×3}-2√{3×3}= $

$=3√6+√{45}-6= $

Pierwiastek z 45 rozbijamy na $9×5$

$=3√6+√(9×5)-6= $

Przed znak pierwiastka z 5 wystawiamy 3

$=3√6+3√5-6 $

Zadanie 3.

Oblicz: ${√8+√{16}-3√{72} }/{2√5-3√2}=$

 

Najpierw wykonajmy wszelakie działania z licznika, niestety w mianowniku nic nie możemy na razie zrobić
${√8+√{16}-3√{72} }/{2√5-3√2}={√{4×2}+4-3√{36×2} }/{2√5-3√2}$

Wyciągamy:

${√{4×2}+4-3√{36×2} }/{2√5-3√2}={2√2+4-3×6√2}/{2√5-3√2}$

Porządkujemy:

${2√2+4-18√2}/{2√5-3√2}={4-16√2}/{2√5-3√2}$

Mamy niewymierność w mianowniku, więc musimy ją usunąć wzorem skróconego mnożenia
${4-16√2}/{2√5-3√2}{×{2√5+3√2}/{2√5+3√2} }={4×2√5+4×3√2-32√{5×2}-48×2}/{4×5-9×2}=$

${4×2√5+4×3√2-32√{5×2}-48×2}/{4×5-9×2}={8√5+12√2-32√{10}-96}/2$
Pozostaje nam podzielić przez 2

$=4√5+6√2-16√10-48=2(2√5+3√2-8√10-24)$

Spis treści

Rozwiązane zadania
Wstaw brakującą współrzędną , tak aby punkty...

 Wyznaczamy równanie prostej przechodzącej przez punkty  i   

Wstawiamy do równania prostej  współrzędne punktu  Otrzymujemy:

 

Wstawiamy do równania prostej  współrzędne punktu  Otrzymujemy:

 

Zapisujemy wyznaczone równania jako układ równań i wyliczamy z niego  

 

Dodajemy równania stronami i dopisujemy jedno równanie z pierwszego układu.

 

 

 

 

Zatem prosta przechodząca przez punkty  i   dana jest wzorem:

{premium}  

Obliczamy, jaką liczbę należy wstawić w miejsce  by punkty  były współliniowe.

 

Odp.  

 

 Wyznaczamy równanie prostej przechodzącej przez punkty  i   

Wstawiamy do równania prostej  współrzędne punktu  Otrzymujemy:

 

Wstawiamy do równania prostej  współrzędne punktu  Otrzymujemy:

 

Zapisujemy wyznaczone równania jako układ równań i wyliczamy z niego  

 

Dodajemy równania stronami i dopisujemy jedno równanie z pierwszego układu.

 

 

 

 

Zatem prosta przechodząca przez punkty  i   dana jest wzorem:

 

Obliczamy, jaką liczbę należy wstawić w miejsce  by punkty  były współliniowe.

 

 

 

Odp.  

 

 

 Wyznaczamy równanie prostej przechodzącej przez punkty  i   

Wstawiamy do równania prostej  współrzędne punktu  Otrzymujemy:

 

Wstawiamy do równania prostej  współrzędne punktu  Otrzymujemy:

 

Zapisujemy wyznaczone równania jako układ równań i wyliczamy z niego  

 

Dodajemy równania stronami i dopisujemy jedno równanie z pierwszego układu.

 

 

 

 

Zatem prosta przechodząca przez punkty  i   dana jest wzorem:

 

Obliczamy, jaką liczbę należy wstawić w miejsce  by punkty  były współliniowe.

 

 

 

 

Odp.  

 

 Wyznaczamy równanie prostej przechodzącej przez punkty  i   

Wstawiamy do równania prostej  współrzędne punktu  Otrzymujemy:

 

Wstawiamy do równania prostej  współrzędne punktu  Otrzymujemy:

 

Zapisujemy wyznaczone równania jako układ równań i wyliczamy z niego  

 

Dodajemy równania stronami i dopisujemy jedno równanie z pierwszego układu.

 

 

 

 

Zatem prosta przechodząca przez punkty  i   dana jest wzorem:

 

Obliczamy, jaką liczbę należy wstawić w miejsce  by punkty  były współliniowe.

 

Odp.     

Cięciwy AB i CD koła przecinają się pod kątem...

Rysunek pomocniczy:

{premium}


Mamy dane:

 

 

 


Kąty DCA i DBA są oparte na tym samym łuku AD, więc mają równe miary. W takim razie trójkąty AEC i BED są podobne na podstawie cechy kkk. Oznaczmy skalę podobieństwa trójkąta AEC do trójkąta BED jako k.

Obliczamy skalę k:

 


Obliczamy pole trójkąta BED:

 


Stosunek pól trójkątów podobnych jest równy kwadratowi skali podobieństwa, więc:

 

 

 

 


Odp. Pole trójkąta AEC jest równe 6 cm2.

Na rysunku obok przedstawiono wykres funkcji

Wystarczy przesunąć wykres funkcji f o 2 jednostki w prawo wzdłuż osi OX. 

 

{premium}

 

Wystarczy przesunąć wykres funkcji f o 3 jednostki w prawo wzdłuż osi OX. 

 

 

Wystarczy przesunąć wykres funkcji f o 1 jednostkę w lewo. 

 

 

Wystarczy przesunąć wykres funkcji f o 2 jednostki w lewo. 

Zbadaj monotoniczność funkcji:

Funkcję liczbową f: X→Y nazywamy funkcją rosnącą w zbiorze A, A⊂X, wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnych argumentów x1, x2, należących do zbioru A, z nierówności x1<x2 wynika nierówność f(x1)<f(x2).

Funkcję liczbową f: X→Y nazywamy funkcją malejącą w zbiorze A, A⊂X, wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnych argumentów x1, x2, należących do zbioru A, z nierówności x1<x2 wynika nierówność f(x1)>f(x2).

Uwaga: Z powyższych definicji wynika, że{premium} gdy dla dowolnych argumentów x1, x2, takich, że x1<x2, wyrażenie f(x1)-f(x2jest jest ujemne, to funkcja jest rosnąca. Natomiast, gdy jest dodatnie, funkcja jest malejąca. [Aby otrzymać te spostrzeżenia, wystarczy przenieść f(x2) na lewą stronę nierówności w definicji.]

Zgodnie z powyższym, aby zbadać, która funkcja jest rosnąca, a która jest malejąca, wystarczy zbadać znak wyrażenia f(x1)-f(x2).



a) Zakładamy, że x1<x2, czyli x1-x2<0, gdzie x1, x∈ (3,+∞).

Pod koniec obliczeń przyda nam się spostrzeżenie, że dla x1, x∈ (3,+∞) mamy:

 

 


 

W liczniku mamy iloczyn liczby dodatniej i liczby ujemnej, więc licznik jest liczbą ujemną.

W mianowniku mamy iloczyn liczb ujemnych, więc mianownik jest liczbą dodatnią. 

Iloraz liczby ujemnej przez liczbę dodatnią jest liczbą ujemną.

Funkcja f jest rosnąca w danym przedziale.



b) Zakładamy, że x1<x2, czyli x1-x2<0, gdzie x1, x∈ (5,+∞).

Pod koniec obliczeń przyda nam się spostrzeżenie, że dla x1, x∈ (5,+∞) mamy:

 

 

 

 

 


 

Funkcja f jest malejąca w danym przedziale.



c) Zakładamy, że x1<x2, czyli x1-x2<0, gdzie x1, x∈ (-1,+∞).

Pod koniec obliczeń przyda nam się spostrzeżenie, że dla x1, x∈ (-1,+∞) mamy:

 

 


 

W liczniku mamy iloczyn liczby dodatniej i liczby ujemnej, więc licznik jest liczbą ujemną.

W mianowniku mamy iloczyn liczb dodatnich, więc mianownik jest liczbą dodatnią. 

Iloraz liczby ujemnej przez liczbę dodatnią jest liczbą ujemną.

Funkcja f jest rosnąca w danym przedziale.



d) Wyrażenie pod pierwiastkiem jest liczbą nieujemną, więc dziedziną tej funkcji jest przedział <-4, ∞). Nie możemy więc zbadać monotoniczności funkcji w przedziale podanym w zadaniu (częścią wspólną przedziałów <-4, ∞) i (-∞, -4> jest zbiór jednoelementowy {4}). W treści zadania najprawdopodobniej podany miał być przedział <-4, ∞). Zakładamy więc, że x1<x2, czyli x1-x2<0, gdzie x1, x∈ <-4, ∞).

 

W liczniku mamy iloczyn liczby dodatniej i liczby ujemnej, więc licznik jest liczbą ujemną.

W mianowniku mamy sumę liczb dodatnich, więc mianownik jest liczbą dodatnią.

Iloraz liczby ujemnej przez liczbę dodatnią jest liczbą ujemną.

Funkcja f jest rosnąca w danym przedziale.

W trójkącie równoramiennym ABC...

Wykonajmy rysunek pomocniczy:

 

Symetralna przecina odcinek pod kątem prostym 0 wyznaczmy więc prosta prostopadłą do symetralnej, która dodatkowo przechodzi przez punkt C - wyznaczona prosta będzie prostą zawierającą bok AC.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  

{premium}

 

Symetralna przecina odcinek w połowie - zatem punkt przecięcia się wyznaczonej prostej i symetralnej jest połową odcinka AC.

Wyznaczmy jego współrzędne:

 

 

 

 

Dodajmy stronami oba równania:

 

 

 

 

 

 

        

 

A więc:

 

 

 

Wyznaczmy współrzędne wektora  : 

  

 

Współrzędne punktu A możemy wyznaczyć przesuwając punkt S o wektor  :

 

  

 

Wiemy, że prosta   jest wysokością opuszczona na bok AB - możemy więc wyznaczyć równanie prostej zawierającej bok AB:

 

 

 

 

  

 

        

 

Wiemy, że trójkąt ABC jest równoramienny, a bok AB jest jego podstawą - a więc wysokość opuszczona na bok AB zawiera się w jego symetralnej.

Wyznaczmy miejsce przecięcia się prostej zawierającej bok AB i prostej zawierającej wysokość opuszczona na bok AB - wyznaczony punkt będzie środkiem odcinka AB:

 

 

Dodajmy stronami oba równania:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  - współrzędne środka odcinka AB.

 

Wyznaczmy współrzędne wektora  

 

 

Współrzędne punktu B możemy wyznaczyć przesuwając punkt   o wektor   :

  

 

              

 

       

Narysuj w jednym układzie współrzędnych ...

{premium}  

   

   

  

Wykres funkcji f jest równoległy do wykresu funkcji h...

Do wykresu funkcji f należy punkt (3; 2), wiemy również, że wykres funkcji f jest równoległy do wykresu funkcji h, zatem:

    {premium}

 

 

 

 

 


Obliczmy miejsce zerowe funkcji f:

 

 

 

 

 

 

Rozwiąż układ równań ...

 

 

 

 


      {premium}

 

 

 

 


 

 

 

 

 


 

 

 

 

 

 

 

 

 


 

 

 

 

 

 

 


 

 

 

 

 

 

 

Rozwiąż równanie:

 

 

        {premium}

 

 


 

 

 

 

 


 

 

to równanie nie ma rozwiązań


 

 

 

 

 

 


 

 

to równanie nie ma rozwiązań


 

 

 

 

 


 

 

 

 


 

 


 

 

 

 


 

 

 

 

 

 

Przedstaw w najprostszej...

   {premium}