Pierwiastki - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Obliczanie pierwiastków kwadratowych

Aby obliczyć pierwiastek kwadratowy musimy znaleźć liczbę, która podniesiona do kwadratu da nam wynik, który jest pod pierwiastkiem.

Przykłady:

  • $$√64=8$$ ,ponieważ $$8^2=64$$ ; $$8×8=64$$
  • $$√256=16$$ ponieważ $${16}^2=256$$ ; $$16×16=256$$
  • $$√100=10$$ ponieważ $${10}^2=100$$ ; $$10×10=100$$

Obliczanie pierwiastków wyższego stopnia

Stopień pierwiastka będzie podany nad nim, oznacza on potęgę do jakiej należy podnieść liczbę, aby osiągnęła wartość tę, którą mamy pod pierwiastkiem.

Przykłady:

  • $$∛125=5$$, ponieważ $$5^3=125$$ ; $$5×5×5=125$$
  • $$∜16=2$$, ponieważ $$2^4=16$$ ; $$2×2×2×2=16$$
  • $$∜625=5$$, ponieważ $$5^4=625$$ ; $$5×5×5×5=625$$

Dodawanie i odejmowanie pierwiastków

Każdy pierwiastek, który jest tego samego stopnia oraz który posiada tę samą liczbę pod pierwiastkiem możemy wyciągnąć przed nawias.

Przykłady:

  • $$√2+√2=(1+1)√2=2√2$$
  • $$√3+√2=√3+√2$$
  • $$∛5+5∛5=(1+5)∛5=6∛5$$

Identycznie wygląda to przy odejmowaniu:

  • $$5√2-√2=(5-1)√2=4√2$$
  • $$10√10-2√10=(10-2)√10=8√10$$
 

Mnożenie i dzielenie pierwiastków

W przypadku mnożenia i dzielenia pierwiastków wygląda to znacznie łatwiej. Pierwiastki mnożymy metodą "rozbicia i składania". Polega ona na tym, że liczbę pod pierwiastkową rozbijamy tak, aby jedną (lub więcej) z rozbitych liczb wyłączyć przed znak pierwiastka.

Przykłady mnożenia pierwiastków:

  • $$√2×√3=√{2×3}=√6$$
  • $$√20×√5=√{20×5}=√{100}=10 $$

Przykłady dzielenia pierwiastków:

  • $${√{24} }/{√6}=√{24÷6}=√4=2$$
  • $${√{63} }/ {√7}=√{63÷7}=√9=3$$

Wyłączanie czynnika przed znak pierwiastka

Podczas wyłączania czynnika przed znak pierwiastka korzystamy z zasady, z której korzystaliśmy podczas mnożenia:
$$√{a×b}=√a×√b$$

Najprościej jest to przedstawić na przykładzie:

Wyłącz czynnik sprzed znak w $$√{18}$$.

Na początku musimy rozłożyć liczbę na takie czynniki, aby przynajmniej pierwiastek jednego z nich był liczbą naturalną. Dlatego $$√{18}$$ rozkładam w ten sposób:

$$√{18}=√{9×2}$$

Wiemy, że $$√{9}$$ wynosi 3, dlatego wystawiamy 3 przed znak pierwiastka:

$$√{18}=√{9×2}=3√{2}$$

Przykłady:

  • $$√{32}=√{16×2}=4√2$$
  • $$∛{54}=∛{27×2}=3∛2$$

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Oblicz: $$√{27}-√{12}+√{48}=$$

Musimy każdy z pierwiastków odpowiednio rozbić

$$√27-√12+√48=$$

$$√{9×3}-√{3×4}+√{16×3}=$$

I wyciągamy odpowiednie pierwiastki

$$√{9×3}-√{3×4}+√{16×3}=3√3-2√3+4√3=$$

Sumujemy na końcu

$$3√3-2√3+4√3=5√3$$

Zadanie 2.

Oblicz:
$$√3(√{18}+√{15}-√{12})=$$

Możemy najpierw wyciągnąć złożone pierwiastki

$$√3(√{18}+√{15}-√{12})=$$

Z pierwiastka z 12 wyciągamy przed znak pierwiastka 2

$$=√3(√{9×2}+√{15}-√{4×3})=√3(3√2+√{15}-2√3)=$$

I dalej mnożymy każdy wyraz przez liczbę stojącą przed nawiasem
$$=3√6+√{15×3}-2√{3×3}= $$

$$=3√6+√{45}-6= $$

Pierwiastek z 45 rozbijamy na $$9×5$$

$$=3√6+√(9×5)-6= $$

Przed znak pierwiastka z 5 wystawiamy 3

$$=3√6+3√5-6 $$

Zadanie 3.

Oblicz: $${√8+√{16}-3√{72} }/{2√5-3√2}=$$

 

Najpierw wykonajmy wszelakie działania z licznika, niestety w mianowniku nic nie możemy na razie zrobić
$${√8+√{16}-3√{72} }/{2√5-3√2}={√{4×2}+4-3√{36×2} }/{2√5-3√2}$$

Wyciągamy:

$${√{4×2}+4-3√{36×2} }/{2√5-3√2}={2√2+4-3×6√2}/{2√5-3√2}$$

Porządkujemy:

$${2√2+4-18√2}/{2√5-3√2}={4-16√2}/{2√5-3√2}$$

Mamy niewymierność w mianowniku, więc musimy ją usunąć wzorem skróconego mnożenia
$${4-16√2}/{2√5-3√2}{×{2√5+3√2}/{2√5+3√2} }={4×2√5+4×3√2-32√{5×2}-48×2}/{4×5-9×2}=$$

$${4×2√5+4×3√2-32√{5×2}-48×2}/{4×5-9×2}={8√5+12√2-32√{10}-96}/2$$
Pozostaje nam podzielić przez 2

$$=4√5+6√2-16√10-48=2(2√5+3√2-8√10-24)$$

Spis treści

Rozwiązane zadania
Zapisz w postaci iloczynu

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

 

 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

 

 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

 

 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne  

rownanie matematyczne   

 

Rozwiąż graficznie układ równań. Sprawdź otrzymane rozwiązanie

W każdym układzie przekształcamy równania do postaci kierunkowej. Dla każdej prostej wyznaczamy współrzędne dwóch punktów, które do niej należą (dzięki temu będziemy mogli narysować wykres, prowadząc prostą przez te punkty). 

 

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

 

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

 

 

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

 

Narysowane proste nie mają punktów wspólnych, więc układ jest sprzeczny - nie ma rozwiązania. 

 

 

Sprawdzamy metodą algebraiczną, że układ faktycznie jest sprzeczny: 

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

Pierwsze równanie jest sprzeczne, więc układ jest spreczny. 

 

 

rownanie matematyczne

 

 

 

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

 

Obydwa równania opisują tę samą prostą. Układ ma nieskończenie wiele rozwiązań - wszystkie leżą na narysowanej prostej. 

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

Układ jest nieoznaczony, ma nieskończenie wiele rozwiązań. Spełnia go każda taka para liczb, że: 

rownanie matematyczne

 

Sprawdzamy metodą algebraiczną, że układ faktycznie jest nieoznaczony:

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

Druga równość jest zawsze prawdziwa, więc układ jest nieoznaczony.

 

 

rownanie matematyczne

 

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

 

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

 

 

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

 

rownanie matematyczne

 

Sprawdzamy, podstawiając do początkowego układu równań: 

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

Równości zachodzą, więc rozwiązanie jest poprawne. 

 

rownanie matematyczne

 

 

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

 

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

 

 

rownanie matematyczne

 

Sprawdzamy, podstawiając do początkowego układu równań: 

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

Równości zachodzą, więc rozwiązanie jest poprawne. 

 

 

rownanie matematyczne

 

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

 

 

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

 

 

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

 

 

Narysowane proste nie mają punktów wspólnych, więc układ jest sprzeczny - nie ma rozwiązania. 

 

 

 

Sprawdzamy metodą algebraiczną, że układ faktycznie jest sprzeczny: 

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

Druga równość jest nieprawdziwa, więc układ jest sprzeczny. 

 

 

rownanie matematyczne

 

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

 Obydwa równania opisują tę samą prostą. Układ ma nieskończenie wiele rozwiązań - wszystkie leżą na narysowanej prostej. 

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

Układ jest nieoznaczony, ma nieskończenie wiele rozwiązań. Spełnia go każda taka para liczb, że: 

rownanie matematyczne

 

Sprawdzamy metodą algebraiczną, że układ faktycznie jest nieoznaczony:

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

Druga równość jest zawsze spełniona, więc układ jest nieoznaczony - ma nieskończenie wiele rozwiązań.

Rozwiąż układ równań i podaj jego ...

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne  

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne  

 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne   

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne  

rownanie matematyczne      

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne  

Sprzedawca sprzedaje zegarki

Oznaczmy cenę zegarka bez marży jako x. 

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

 

Obliczamy, o ile procent staniały zegarki, czyli jakim procentem ceny bez promocji jest różnica cen:

rownanie matematyczne

 

Korzystając z tożsamości trygonometrycznych, oblicz pozostałe...

Wiemy, że jeżeli  rownanie matematyczne jest kątem ostrym, to wartości sinusa, cosinusa i tangensa kąta rownanie matematyczne są dodatnie.

Będziemy korzystać z jedynki trygonometrycznej -> otrzymamy dwa rozwiązania - jedno dodatnie i jedno ujemne. 

Ujemne odrzucimy zgodnie z powyższym. 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne to odrzucamy

Dla rownanie matematyczne obliczamy tangens kąta rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

Otrzymaliśmy:

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

 

rownanie matematyczne              

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne odrzucamy

Dla rownanie matematyczne obliczamy tangens kąta rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

Otrzymaliśmy:

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

Zapisujemy jedynkę trygonometryczną i wstawiamy w miejsce sinusa wyżej wyznaczoną wartość.

rownanie matematyczne     

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne odrzucamy 

Dla rownanie matematyczne obliczamy sinus kąta rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

Otrzymaliśmy:

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

Zapisujemy jedynkę trygonometryczną i wstawiamy w miejsce sinusa wyżej wyznaczoną wartość.

rownanie matematyczne     

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne odrzucamy 

Dla rownanie matematyczne obliczamy sinus kąta rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

Otrzymaliśmy:

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

W trójkącie ostrokątnym ABC poprowadzono ...

Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku. Kąty zaznaczone takim samym kolorem mają równe miary.

a) Trójkąty podobne do trójkąta AMC (miary kątów zaznaczone kolorem niebieskim, czarnym - kąt prosty oraz fioletowym):

ALB, MOB, LOC

b) Trójkąty podobne do trójkąta CLB (miary kątów zaznaczone kolorem czerwonym, czarnym - kąt prosty oraz żółtym):

KOB, LOA, CKA

c) Trójkąty podobne do trójkąta COK (miary kątów zaznaczone kolorem jasnozielonym, czarnym - kąt prosty oraz zielonym):

AMO, CBM, AKB

Rozwiąż równanie

rownanie matematyczne 

Sprawdźmy, dla jakich wartości x wyrażenie pod wartością bezwzględną przyjmuje wartości ujemne:

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

 

Musimy rozpatrzeć dwa przypadki. 

rownanie matematyczne 

W zadanym przedziale wyrażenie pod wartością bezwzględną jest ujemne, więc opuszczamy wartość bezwzględną ze zmianą znaku.

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

Otrzymane rozwiązanie należy do zadanego przedziału.

 

 

rownanie matematyczne 

W zadanym przedziale wyrażenie pod wartością bezwzględną jest dodatnie, więc opuszczamy wartość bezwzględną bez zmiany znaku.

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

Otrzymane rozwiązanie nie należy do zadanego przedziału, dlatego odrzucamy je. 

 

Ostatecznie równanie ma tylko jedno rozwiązanie:

rownanie matematyczne 

 

 

rownanie matematyczne 

 

 

 

rownanie matematyczne 

Sprawdźmy, dla jakich liczb wyrażenia pod wartościami bezwzględnymi przyjmują wartość 0. Tak otrzymane liczby podzielą zbiór liczb rzeczywistych na trzy przedziały, w których będziemy rozpatrywać równanie. 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

 

Rozpatrujemy równanie w odpowiednich przedziałach. 

 

Nad wyrażeniami znadującymi się pod wartościami bezwzględnymi zapiszemy +, jeśli wyrażenie przyjmuje w zadanym przedziale wartości nieujemne (większe lub równe 0) lub -, gdy wyrażenie przyjmuje w zadanym przedziale wartości niedodatnie (mniejsze lub równe 0).

 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

Otrzymane rozwiązanie należy do zadanego przedziału. 

 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

Otrzymane rozwiązanie nie należy do zadanego przedziału, więc odrzucamy je. 

 

 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

Otrzymane rozwiązanie należy do zadanego przedziału.

 

Ostatecznie równanie ma dwa rozwiązania:

rownanie matematyczne  

 

 

Naszkicuj wykres funkcji

rownanie matematyczne 

Aby otrzymać wykres funkcji f należy przesunąć wykres funkcji y=2x² o 1 jednostkę w dół wzdłuż osi OY. 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

 

 

rownanie matematyczne 

Aby otrzymać wykres funkcji f należy przesunąć wykres funkcji y=2x² o 3 jednostki w górę wzdłuż osi OY. 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

 

 

 

rownanie matematyczne 

Aby otrzymać wykres funkcji f należy przesunąć wykres funkcji y=-2x² o 1 jednostkę w dół wzdłuż osi OY. 

 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

 

 

rownanie matematyczne 

Aby otrzymać wykres funkcji f należy przesunąć wykres funkcji y=-2x² o 3 jednostki w górę wzdłuż osi OY. 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

Zaznacz zbiór A w układzie współrzędnych

Dane są punkty ...

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne   

 

rownanie matematyczne   

rownanie matematyczne  

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

 

rownanie matematyczne