Zgoda na przetwarzanie danych osobowych

25 maja 2018 roku zacznie obowiązywać Rozporządzenie Parlamentu Europejskiego i Rady (UE) 2016/679 z dnia 27 kwietnia 2016 r. znane jako RODO.

Dlatego aby dalej móc dostarczać Ci materiały odpowiednie do Twojego etapu edukacji, potrzebujemy zgody na lepsze dopasowanie treści do Twojego zachowania. Dzięki temu możemy zapamiętywać jakie materiały są Ci potrzebne. Dbamy o Twoją prywatność, więc nie zwiększamy zakresu naszych uprawnień. Twoje dane są u nas bezpieczne, a zgodę na ich zbieranie możesz wycofać na podstronie polityka prywatności.

Klikając "Przejdź do Odrabiamy", zgadzasz się na wskazane powyżej działania. W przeciwnym wypadku, nie jesteśmy w stanie zrealizować usługi kompleksowo i prosimy o opuszczenie strony.

Polityka prywatności

Drogi Użytkowniku w każdej chwili masz prawo cofnąć zgodę na przetwarzanie Twoich danych osobowych. Cofnięcie zgody nie będzie wpływać na zgodność z prawem przetwarzania, którego dokonano na podstawie wyrażonej przez Ciebie zgody przed jej wycofaniem. Po cofnięciu zgody wszystkie twoje dane zostaną usunięte z serwisu. Udzielenie zgody możesz modyfikować w zakładce 'Informacja o danych osobowych'

Pierwiastki - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Obliczanie pierwiastków kwadratowych

Aby obliczyć pierwiastek kwadratowy musimy znaleźć liczbę, która podniesiona do kwadratu da nam wynik, który jest pod pierwiastkiem.

Przykłady:

  • $$√64=8$$ ,ponieważ $$8^2=64$$ ; $$8×8=64$$
  • $$√256=16$$ ponieważ $${16}^2=256$$ ; $$16×16=256$$
  • $$√100=10$$ ponieważ $${10}^2=100$$ ; $$10×10=100$$

Obliczanie pierwiastków wyższego stopnia

Stopień pierwiastka będzie podany nad nim, oznacza on potęgę do jakiej należy podnieść liczbę, aby osiągnęła wartość tę, którą mamy pod pierwiastkiem.

Przykłady:

  • $$∛125=5$$, ponieważ $$5^3=125$$ ; $$5×5×5=125$$
  • $$∜16=2$$, ponieważ $$2^4=16$$ ; $$2×2×2×2=16$$
  • $$∜625=5$$, ponieważ $$5^4=625$$ ; $$5×5×5×5=625$$

Dodawanie i odejmowanie pierwiastków

Każdy pierwiastek, który jest tego samego stopnia oraz który posiada tę samą liczbę pod pierwiastkiem możemy wyciągnąć przed nawias.

Przykłady:

  • $$√2+√2=(1+1)√2=2√2$$
  • $$√3+√2=√3+√2$$
  • $$∛5+5∛5=(1+5)∛5=6∛5$$

Identycznie wygląda to przy odejmowaniu:

  • $$5√2-√2=(5-1)√2=4√2$$
  • $$10√10-2√10=(10-2)√10=8√10$$
 

Mnożenie i dzielenie pierwiastków

W przypadku mnożenia i dzielenia pierwiastków wygląda to znacznie łatwiej. Pierwiastki mnożymy metodą "rozbicia i składania". Polega ona na tym, że liczbę pod pierwiastkową rozbijamy tak, aby jedną (lub więcej) z rozbitych liczb wyłączyć przed znak pierwiastka.

Przykłady mnożenia pierwiastków:

  • $$√2×√3=√{2×3}=√6$$
  • $$√20×√5=√{20×5}=√{100}=10 $$

Przykłady dzielenia pierwiastków:

  • $${√{24} }/{√6}=√{24÷6}=√4=2$$
  • $${√{63} }/ {√7}=√{63÷7}=√9=3$$

Wyłączanie czynnika przed znak pierwiastka

Podczas wyłączania czynnika przed znak pierwiastka korzystamy z zasady, z której korzystaliśmy podczas mnożenia:
$$√{a×b}=√a×√b$$

Najprościej jest to przedstawić na przykładzie:

Wyłącz czynnik sprzed znak w $$√{18}$$.

Na początku musimy rozłożyć liczbę na takie czynniki, aby przynajmniej pierwiastek jednego z nich był liczbą naturalną. Dlatego $$√{18}$$ rozkładam w ten sposób:

$$√{18}=√{9×2}$$

Wiemy, że $$√{9}$$ wynosi 3, dlatego wystawiamy 3 przed znak pierwiastka:

$$√{18}=√{9×2}=3√{2}$$

Przykłady:

  • $$√{32}=√{16×2}=4√2$$
  • $$∛{54}=∛{27×2}=3∛2$$

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Oblicz: $$√{27}-√{12}+√{48}=$$

Musimy każdy z pierwiastków odpowiednio rozbić

$$√27-√12+√48=$$

$$√{9×3}-√{3×4}+√{16×3}=$$

I wyciągamy odpowiednie pierwiastki

$$√{9×3}-√{3×4}+√{16×3}=3√3-2√3+4√3=$$

Sumujemy na końcu

$$3√3-2√3+4√3=5√3$$

Zadanie 2.

Oblicz:
$$√3(√{18}+√{15}-√{12})=$$

Możemy najpierw wyciągnąć złożone pierwiastki

$$√3(√{18}+√{15}-√{12})=$$

Z pierwiastka z 12 wyciągamy przed znak pierwiastka 2

$$=√3(√{9×2}+√{15}-√{4×3})=√3(3√2+√{15}-2√3)=$$

I dalej mnożymy każdy wyraz przez liczbę stojącą przed nawiasem
$$=3√6+√{15×3}-2√{3×3}= $$

$$=3√6+√{45}-6= $$

Pierwiastek z 45 rozbijamy na $$9×5$$

$$=3√6+√(9×5)-6= $$

Przed znak pierwiastka z 5 wystawiamy 3

$$=3√6+3√5-6 $$

Zadanie 3.

Oblicz: $${√8+√{16}-3√{72} }/{2√5-3√2}=$$

 

Najpierw wykonajmy wszelakie działania z licznika, niestety w mianowniku nic nie możemy na razie zrobić
$${√8+√{16}-3√{72} }/{2√5-3√2}={√{4×2}+4-3√{36×2} }/{2√5-3√2}$$

Wyciągamy:

$${√{4×2}+4-3√{36×2} }/{2√5-3√2}={2√2+4-3×6√2}/{2√5-3√2}$$

Porządkujemy:

$${2√2+4-18√2}/{2√5-3√2}={4-16√2}/{2√5-3√2}$$

Mamy niewymierność w mianowniku, więc musimy ją usunąć wzorem skróconego mnożenia
$${4-16√2}/{2√5-3√2}{×{2√5+3√2}/{2√5+3√2} }={4×2√5+4×3√2-32√{5×2}-48×2}/{4×5-9×2}=$$

$${4×2√5+4×3√2-32√{5×2}-48×2}/{4×5-9×2}={8√5+12√2-32√{10}-96}/2$$
Pozostaje nam podzielić przez 2

$$=4√5+6√2-16√10-48=2(2√5+3√2-8√10-24)$$

Spis treści

Rozwiązane zadania
Przekrój poprzeczny wału ochronnego...

a) Rysunek poglądowy:

`cos 40^o = x/6` 

`x = cos40^o * 6 approx 0,7660*6 approx 4,596` 

Szerokość wału u podstawy:

`d_("sz") = 2x+5 = 2*4,596 + 5 = 14,192 approx  14 \ ["m"]` 

 

b) Wysokość trapezu:

`sin 40^o = h/6` 

`h = sin40^o * 6 approx 0,6428 * 6 = 3,8568` 

 

`P = (14,192+5)/2*3,8568 approx 37,0098 \ ["m"^2]` 

 

Wał ma mieć szerokość 0,5 km czyli 500m. Zatem jego objętość wynosi:

`V_("w") = 37,0098 * 500 =18504,9 approx 18505 \ ["m"^3]` 

Ile jest liczb naturalnych mniejszych od 201 podzielnych przez

`a)`

0, 5 - 2 liczby

10, 15 - 2 liczby

20, 25 - 2 liczby

.

.

.

180, 185 - 2 liczby

190, 195 - 2 liczby

200 - 1 liczba

 

W każdej z 20 dziesiątek (liczby od 0 do 199 składają się z 20 dziesiątek) mamy 2 liczby podzielne przez 5. Liczba 200 także jest podzielna przez 5 i mniejsza od 200, razem mamy więc:

`2*20+1=41\ liczb`

 

 

`b)`

0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27 - 10 liczb

30, 33, 36, 39, 42, 45, 48, 51, 54, 57 - 10 liczb

.

.

.

150, 153, 156, 159, 162, 165, 168, 171, 174, 177 - 10 liczb

180, 183, 186, 189, 192, 195, 198, 201 - 7 liczb 

 

W każdej trzydziestce liczb jest 10 liczb podzielnych przez 3. Od 0 do 179 mamy 6 takich trzydziestek (0-29, 30-59, 60-89...)

Potem jest jeszcze 7 liczb podzielnych przez 3 większych od 179 i mniejszych od 201

`6*10+7=67\ liczb`

 

 

`c)`

`0,\ 11,\ 22,\ 33,\ 44,\ 55,\ 66,\ 77,\ 88,\ 99,\ 110,`

`121,\ 132,\ 143,\ 154,\ 165,\ 176,\ 187,\ 198`

`19\ liczb`

 

 

`d)`

0 ,7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63 - 10 liczb

70, 77, ..., 133 - 10 liczb

140, 147, ..., 203 - 10 liczb

Ale 203 jest za duże, więc mamy: 

`3*10-1=29\ liczb`

 

`e)`

`0,\ 39,\ 78,\ 117,\ 156,\ 195`

`6 \ liczb`

 

 

To zadanie można rozwiązać także wykorzystując dzielenie.

0 także jest liczbą naturalną, więc niezależnie od wyniku, zaokrąglamy go w górę. 

Gdyby 0 nie było liczbą naturalną, to wynik zaokrąglalibyśmy w dół.

 

`a)\ 201:5=40,2~~41\ liczb`

`b)\ 201:3=67\ liczb`

`c)\ 201:11=18,2727...~~19\ liczb`

`d)\ 201:7=28,7142...~~29\ liczb`

`e)\ 201:39=5,15384...~~6\ liczb`

Przekształcając wykres odpowiedniej funkcji...

`"a)"` Należy przesunąć wykres funkcji `y=6/x` o trzy jednostki w lewo.

`"b)"` Należy przesunąć wykres funkcji `y=3/x` o pięć jednostek w dół.    

`"c)"` Należy przesunąć wykres funkcji `y=8/x` o jedną jednostkę w górę.

`"d)"` Należy przesunąć wykres funkcji `y=2/x` o dwie jednostki w prawo.    

Wyznacz miarę kąta ostrego ( z dokładnością ...

`"a)"\ P=(6,2),\ \ Q=(3,-1)` 

Kąt jaki tworzy prosta PQ z osią x ma taką samą miarę jak kąt RQP (są to kąty odpowiadające).

`|PR|=3` 

`|QR|=3` 

Mamy wyznaczyć miarę kąta α. Najprościej będzie obliczyć tangens kąta α:

`"tg"\ alpha=|PR|/|QR|=3/3=1` 

`alpha=45^"o"` 

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))` 

`"b)"\ P=(-1,1),\ \ Q=(2,2)`   

 

Kąt jaki tworzy prosta PQ z osią x ma taką samą miarę jak kąt RPQ (są to kąty odpowiadające).

`|PR|=3` 

`|QR|=1` 

Mamy wyznaczyć miarę kąta α. Najprościej będzie obliczyć tangens kąta α:

`"tg"\ alpha=|QR|/|PR|=1/3~~0,3333` 

`alpha~~18^"o"`  

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))` 

`"c)"\ P=(3,-2),\ \ Q=(6,5)` 

Kąt jaki tworzy prosta PQ z osią x ma taką samą miarę jak kąt RPQ (są to kąty odpowiadające).

`|PR|=3` 

`|QR|=7` 

Mamy wyznaczyć miarę kąta α. Najprościej będzie obliczyć tangens kąta α:

`"tg"\ alpha=|QR|/|PR|=7/3~~2,3333` 

`alpha~~67^"o"`  

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))` 

`"d)"\ P=(-2,-3),\ Q=(2,-1)` 

Kąt jaki tworzy prosta PQ z osią x ma taką samą miarę jak kąt RPQ (są to kąty odpowiadające).

`|PR|=4` 

`|QR|=2` 

Mamy wyznaczyć miarę kąta α. Najprościej będzie obliczyć tangens kąta α:

`"tg"\ alpha=|QR|/|PR|=2/4=1/2`  

`alpha~~27^"o"`  

Wykonaj działania. a) 5 17/23- (-2 3/8)

a)

`5 17/24- (-2 3/8)= 5 17/24+2 9/24=7 26/24= 8 2/24=8 1/12`

b)

`3 1/4*(-0,4)+ 3 1/4*(-15,6)= 13/(strike4)*(-(strike2)/5)+ 13/4 * 15 3/5=`

`=13/2*(-1/5)+13/(strike4)*(-(strike78)/5)= -13/10+13/2*(-39/5)=-13/10-507/10=-520/10=-52`

c)

`(5 4/15- 3 7/24):0,8= (5 (4*8)/(120)-3 (7*5)/(120)):4/5= (5 32/120 -3 35/120)*5/4= `

`=(4 152/120-3 35/120)*5/4= 1 117/20 * 5/4= 237/(strike120)* (strike5)/4=237/24*1/4=(strike237)/(strike96)=79/32` 

d)

 

`( ((1,2+2 5/7)*4,375)/(5/2-2) -((7 3/4- 6 5/6)*21)/(10,15-2 9/20))*2/67=(((1 1/5+2 5/7)*4 3/8)/(1/2) - ((7 9/12-6 10/12)*21)/(10 3/20-2 9/20))*2/67= `

`=((1 7/35+2 25/35)* 35/8) *2/1 - (11/12*21)/(9 23/20-2 9/20)) *2/67 =(3 32/35* 35/(strike8) *(strike2)/1 -(11/(strike12)*strike21)/(7 14/20))*2/67= (137/(strike35)*(strike35)/4-(77/4)/(7 14/20))*2/67=`

`=(137/4-77/4:2154:20)*2/67=(137/4-(strike77)/(strike4)*(strike20)/(strike154))*2/67=(137/4 -1/2-10/2)*2/67=`

`=(137/4-10/4)*2/67=127/4*2/67=127/(strike4)*(strike2)/67=127/134`

Przekształć wyrażenie (x-y)². Skorzystaj ...

Korzystamy z definicji potęgi:

`(x-y)^2=(x-y)(x-y)=x^2-xy-yx+y^2=x^2-2xy+y^2` 

 

 

Otrzymujemy wzór:

`(a-b)^2=a^2-2ab+b^2` 

Wyrażenie zapisz w najprostszej postaci

`(2x-y)(2x+y)-3(x-y)^2-2x(3y+x)=`

`=4x^2-y^2-3(x^2-2xy+y^2)-6xy-2x^2=`

`=4x^2-y^2-3x^2+6xy-3y^2-6xy-2x^2=`

`=-x^2-4y^2`

 

Obliczamy wartość wyrażenia dla podanych wartości x oraz y:

`-sqrt3^2-4*sqrt2^2=-3-4*2=-3-8=-11`

 

Oceń prawdziwość podanych zdań

`A.\ "fałsz"` 

Zauważmy, że na przykład dla x=0 wyrażenie x-7 przyjmuje wartość -7, a więc wartość ujemną, co oznacza, że należy opuścić wartość bezwzględną ze zmianą znaku. 

Równość wtedy nie zachodzi:

`|0-7|=|-7|=7` 

`0-7=-7` 

 

`B.\ "prawda"` 

Dla każdej liczby z zadanego przedziału wyrażenie x-7 przyjmuje wartości dodatnie, co oznacza, że opuszczamy wartość bezwzględną ze zmianą znaku. 

 

`C.\ "prawda"` 

`|7-7|=|0|=0` 

`7-7=0` 

 

Podaj przykład liczby leżącej na osi

`1/20=5/100=0,05`

`1/19=0,05263157...`

 

`a)`

`0,051`

`0,0512`

`0,05109`

 

 

`b)`

`0,05222...=0,05(2)`

`0,05101010...=0,05(10)`

`0,050505...=0,(05)`

 

 

 

`c)`

`0,0512345678910...`

`0,05101100111000...`

`0,0501011011101111...`

Cenę telewizora

`"początkowa cena telewizora:"\ \ \ x\ ["zł"]` 

`"cena po podwyżce o p%:"\ \ \ (100%+p%)*x=(1+p/100)x\ ["zł"]` 

`"cena po obniżce o p%:"\ \ \ (100%-p%)*(1+p/100)x=(1-p/100)(1+p/100)x\ ["zł"]` 

Korzystając ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów możemy zapisać poprzedni iloczyn w innej postaci:

`(1-p/100)(1+p/100)x=(1^2-(p/100)^2)x=(1-p^2/(10\ 000))x`   

 

Wiemy, że cena końcowa jest o 1% niższa od początkowej, więc stanowi 100%-1%=99% ceny początkowej:

`(1-p^2/(10\ 000))x=99%*x` 

`(1-p^2/(10\ 000))x=99/100*x` 

Możemy podzielić obustronnie przez x, ponieważ x oznacza cenę, więc jest liczbą różną od zera. 

`1-p^2/(10\ 000)=99/100\ \ \ \ |-1` 

`-p^2/(10\ 000)=-1/100\ \ \ \ |*(-10\ 000)` 

`p^2=100` 

`p=10`