Pierwiastki - matura-podstawowa - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Pierwiastki - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Obliczanie pierwiastków kwadratowych

Aby obliczyć pierwiastek kwadratowy musimy znaleźć liczbę, która podniesiona do kwadratu da nam wynik, który jest pod pierwiastkiem.

Przykłady:

  • $√64=8$ ,ponieważ $8^2=64$ ; $8×8=64$
  • $√256=16$ ponieważ ${16}^2=256$ ; $16×16=256$
  • $√100=10$ ponieważ ${10}^2=100$ ; $10×10=100$

Obliczanie pierwiastków wyższego stopnia

Stopień pierwiastka będzie podany nad nim, oznacza on potęgę do jakiej należy podnieść liczbę, aby osiągnęła wartość tę, którą mamy pod pierwiastkiem.

Przykłady:

  • $∛125=5$, ponieważ $5^3=125$ ; $5×5×5=125$
  • $∜16=2$, ponieważ $2^4=16$ ; $2×2×2×2=16$
  • $∜625=5$, ponieważ $5^4=625$ ; $5×5×5×5=625$

Dodawanie i odejmowanie pierwiastków

Każdy pierwiastek, który jest tego samego stopnia oraz który posiada tę samą liczbę pod pierwiastkiem możemy wyciągnąć przed nawias.

Przykłady:

  • $√2+√2=(1+1)√2=2√2$
  • $√3+√2=√3+√2$
  • $∛5+5∛5=(1+5)∛5=6∛5$

Identycznie wygląda to przy odejmowaniu:

  • $5√2-√2=(5-1)√2=4√2$
  • $10√10-2√10=(10-2)√10=8√10$
 

Mnożenie i dzielenie pierwiastków

W przypadku mnożenia i dzielenia pierwiastków wygląda to znacznie łatwiej. Pierwiastki mnożymy metodą "rozbicia i składania". Polega ona na tym, że liczbę pod pierwiastkową rozbijamy tak, aby jedną (lub więcej) z rozbitych liczb wyłączyć przed znak pierwiastka.

Przykłady mnożenia pierwiastków:

  • $√2×√3=√{2×3}=√6$
  • $√20×√5=√{20×5}=√{100}=10 $

Przykłady dzielenia pierwiastków:

  • ${√{24} }/{√6}=√{24÷6}=√4=2$
  • ${√{63} }/ {√7}=√{63÷7}=√9=3$

Wyłączanie czynnika przed znak pierwiastka

Podczas wyłączania czynnika przed znak pierwiastka korzystamy z zasady, z której korzystaliśmy podczas mnożenia:
$√{a×b}=√a×√b$

Najprościej jest to przedstawić na przykładzie:

Wyłącz czynnik sprzed znak w $√{18}$.

Na początku musimy rozłożyć liczbę na takie czynniki, aby przynajmniej pierwiastek jednego z nich był liczbą naturalną. Dlatego $√{18}$ rozkładam w ten sposób:

$√{18}=√{9×2}$

Wiemy, że $√{9}$ wynosi 3, dlatego wystawiamy 3 przed znak pierwiastka:

$√{18}=√{9×2}=3√{2}$

Przykłady:

  • $√{32}=√{16×2}=4√2$
  • $∛{54}=∛{27×2}=3∛2$

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Oblicz: $√{27}-√{12}+√{48}=$

Musimy każdy z pierwiastków odpowiednio rozbić

$√27-√12+√48=$

$√{9×3}-√{3×4}+√{16×3}=$

I wyciągamy odpowiednie pierwiastki

$√{9×3}-√{3×4}+√{16×3}=3√3-2√3+4√3=$

Sumujemy na końcu

$3√3-2√3+4√3=5√3$

Zadanie 2.

Oblicz:
$√3(√{18}+√{15}-√{12})=$

Możemy najpierw wyciągnąć złożone pierwiastki

$√3(√{18}+√{15}-√{12})=$

Z pierwiastka z 12 wyciągamy przed znak pierwiastka 2

$=√3(√{9×2}+√{15}-√{4×3})=√3(3√2+√{15}-2√3)=$

I dalej mnożymy każdy wyraz przez liczbę stojącą przed nawiasem
$=3√6+√{15×3}-2√{3×3}= $

$=3√6+√{45}-6= $

Pierwiastek z 45 rozbijamy na $9×5$

$=3√6+√(9×5)-6= $

Przed znak pierwiastka z 5 wystawiamy 3

$=3√6+3√5-6 $

Zadanie 3.

Oblicz: ${√8+√{16}-3√{72} }/{2√5-3√2}=$

 

Najpierw wykonajmy wszelakie działania z licznika, niestety w mianowniku nic nie możemy na razie zrobić
${√8+√{16}-3√{72} }/{2√5-3√2}={√{4×2}+4-3√{36×2} }/{2√5-3√2}$

Wyciągamy:

${√{4×2}+4-3√{36×2} }/{2√5-3√2}={2√2+4-3×6√2}/{2√5-3√2}$

Porządkujemy:

${2√2+4-18√2}/{2√5-3√2}={4-16√2}/{2√5-3√2}$

Mamy niewymierność w mianowniku, więc musimy ją usunąć wzorem skróconego mnożenia
${4-16√2}/{2√5-3√2}{×{2√5+3√2}/{2√5+3√2} }={4×2√5+4×3√2-32√{5×2}-48×2}/{4×5-9×2}=$

${4×2√5+4×3√2-32√{5×2}-48×2}/{4×5-9×2}={8√5+12√2-32√{10}-96}/2$
Pozostaje nam podzielić przez 2

$=4√5+6√2-16√10-48=2(2√5+3√2-8√10-24)$

Spis treści

Rozwiązane zadania
Zaznacz zbiór punktów...

a) Pierwsza współrzędna jest stale równa 0 a druga jest dowolna.

Np.

 

 

b) Pierwsza współrzędna jest stale równa 2 a druga jest dodatnia.

 

c) Pierwsza współrzędna jest mniejsza bądź równa 1 a druga jest stale równa 3.

 

d) Pierwsza współrzędna jest stale równa 2 a druga jest silnie mniejsza od -2.

Wiedząc, że przybliżenie liczby...

 {premium}


 


 

 


 

 

Narysuj wykres funkcji ...

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

     

 

W turnieju tenisowym...

Oznaczmy liczbę tenisistów przez x, każdy ma rozegrać jeden mecz z pozostałymi a więc każdy z nich rozegra x-1 meczy. Wtedy wzór opisujący tą zależność ma postać:

 

Zauważmy, jednak, że nasz wzór ma w sobie sytuacje w której tenisista nr. 1 gra z tenisistą nr. 2 jak również tenisista nr. 2 gra z tenisistą nr. 1, a więc nasz wzór musimy jeszcze podzielić przez połowę

 

 

Sprawdźmy kiedy nasza funkcja jest równa 28

 

 

 

 

 

 

 

 

W turnieju było 8 tenisistów.

Odpowiedź B

Oblicz współczynnik kierunkowy prostej

czy wykres funkcji f(x), gdzie x...

Wykres funkcji f {premium}nie ma punktu wspólnego z osią OY, bo argument x=0 nie należy do dziedziny tej funkcji.

Dla jakich wartości parametru p nierówność...

 

1. Jeżeli nierówność ma być spełniona dla każdego x to parabola musi być skierowana ramionami ku górze, czyli musi być spełniony warunek:

 

 

2. Dodatkowo funkcja może mieć co najwyżej jeden punkt wspólny z osią x , który jednocześnie będzie miejscem zerowym funkcji, czyli musi być spełniony warunek:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Częścią wspólną obu warunków jest:

  

 

 

1. Parabola musi mieć ramiona skierowane ku dołowi a więc:

 

 

2. Funkcja kwadratowa nie może mieć pierwiastków:

 

 

 

 

Parabola ma ramiona skierowane ku górze a więc:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Część wspólna obu warunków:

 

Prosta l jest styczna do okręgu ...

Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku. Zauważmy, że:

  

 

 

 

Trójkąt ROP jest trójkątem równoramiennym, ponieważ |OR|=|OP|.

Miary kątów przy podstawie PR są sobie równe i wynoszą 42o.

Korzystając z tw. o sumie miar kątów w trójkącie (dla trójkata ROP) obliczamy miarę kąta ß:

 

 

 

 

 

Odp: Cięciwa wyznacza kąt środkowy o mierze 96o.

Na rysunku obok przedstawiono

 

Aby otrzymać wykres funkcji g wystarczy odbić symetrycznie względem osi OX tę część wykresu funkcji f, która {premium}znajduje się pod osią OX. 

 

Liczba rozwiązań równania g(x)=1 jest równa 10, ponieważ wykresy funkcji y=g(x) oraz y=1 mają 10 punktów wspólnych:

 

 

 

 

Aby otrzymać wykres funkcji g musimy odbić symetrycznie względem osi OY tę część wykresu funkcji f, która znajduje się po prawej stronie osi OY. 

 

Liczba rozwiązań równania g(x)=1 jest równa 6, ponieważ wykresy funkcji y=g(x) oraz y=1 mają 6 punktów wspólnych:

 

 

 

 

 

Wykres funkcji y=f(-|x|) otrzymujemy z wykresu funkcji f, korzystając z tego, że:

- dla x≤0 (należących do dziedziny) zachodzi równość f(-|x|)=f(x). 

- wykres funkcji y=f(-|x|) jest symetryczny względem osi OY. 

Wystarczy więc odbić symetrycznie względem osi OY tę część wykresu, która znajduje się po lewej stronie osi OY. 

 

 

Zauważmy, że wykres funkcji y=f(x) jest symetryczny względem początku układu współrzędnych, więc jest wykresem funkcji nieparzystej. 

Dla funkcji nieparzystej zachodzi warunek:

  

Jeśli za argument x weźmiemy |x| to otrzymujemy:

  

Oznacza to, że wystarczy odbić symetrycznie względem osi OX wykres otrzymany w podpunkcie b). 

 

Każdy z tych sposobów prowadzi do otrzymania następującego wykresu:

Liczba rozwiązań równania g(x)=1 jest równa 4, ponieważ wykresy funkcji y=g(x) oraz y=1 mają 4 punkty wspólne:

 

Oblicz wartość wyrażenia...

 

{premium}