Obliczenia procentowe - matura-podstawowa - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Obliczenia procentowe - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Obliczanie procentu liczby

Posiadając procent danej liczby wystarczy pomnożyć liczba razy procent, aby uzyskać wartość tego procentu. Pokażemy dwa sposoby na rozwiązanie poniższego przykładu.

Przykład:

Przykład: Komputer kosztował 1500zł, w sklepie nastały czasy promocji, więc obniżono jego cenę o 20%. Ile kosztuje teraz?

  • Sposób I

    Liczymy ile wynosiła obniżka, część obliczamy mnożąc procent i całość:

    $20%*1500$

    Pamiętamy, że procent to ułamek o mianowniku 100

    ${20}/{100}×1500$

    Skracamy w mnożeniu, więc skróćmy 1500 i 100 przez 100

    ${20}/{1}×15=300$

    Znamy obniżkę, więc odejmujemy ją od ceny pierwotnej

    $1500-300=1200$

    Odp.: Komputer po obniżce kosztuje 1200zł
     

  • Sposób II

    Liczymy od razu cenę po obniżce, skoro całość to 100%, a obniżono o 20% to cena po obniżce to 80% liczby

    Liczymy więc tak samo jak w pierwszym

    $ 80%×1500 $

    $ {80}/{100}×1500 $

    Znów skracamy przez 100

    $ {80}/{1}×15=1200$

Obliczanie liczby mając procent i część

W tym przypadku liczymy całą liczbę, posiadając jedynie procent i jego wartość (część tej liczby).

Przykład:

Komputer po 30% obniżce kosztuje 910zł. Ile kosztował przed obniżeniem ceny?

Tym razem musimy wprowadzić niewiadomą:

x - cena przed obniżką, czyli nasza całość

Pamiętamy, że 30% jest naszą obniżką, zatem 910zł to 70% ceny.

$70%×x=910$ -> trzeba było pomnożyć przez 70% razy naszą całość, aby uzyskać 910zł. Pozostaje nam znaleźć całość:

${70}/{100}×x=910$ $|×100$

$70x=91000$ $|:70$

$x=1300$

Odp.: Komputer kosztował 1300zł.
 

Obliczanie obniżki/podwyżki ceny

Zacznijmy od obniżek:

Przykład:

Komputer kosztował 1000zł po obniżce jego cena wynosi 750zł. O ile procent została obniżona cena?

Na początek obliczamy obniżkę:

$1000-750=250$

Tym razem nasze równanie wygląda tak:

$x%*1000=250$

Skróćmy przez 1000

$x%×1=x%=0,25$

Pamiętajmy, że % to ułamek o mianowniku 100

$x=25%$

Odp.: Obniżka wyniosła 25%.
 

Teraz podwyżka. Wzór na obliczanie podwyżki wygląda następująco:

$ ext"podwyżka" = { ext"cena po podwyżce" - ext"cena przed podwyżką"}/{ ext" cena przed podwyżką"} × 100% $

Przykład:

Benzyna kosztowała 5zł za litr. Niestety nadeszła fala podwyżek i cena wzrosła do 5zł 40gr. Oblicz o ile procent wzrosła cena.

Na początku zamiana:

5zł 40gr=5,4zł

Wystarczy, że podstawimy nasze liczby pod wzór:

$ ext"podwyżka" = { ext"cena po podwyżce" - ext"cena przed podwyżką"}/{ ext" cena przed podwyżką"} × 100% = { 5,4 - 5}/{5} × 100%=$
$={ 0,4}/{5}× 100%=8/{100}× 100%=8%$

Odp.: Podwyżka wyniosła 8%.
 

UWAGA! Obniżka i następnie podwyżka o tą samą kwotę nie dają takiej samej liczby!

Procent składany

Jest to zestawienie, które służy nam w finansach. Obliczamy dzięki niemu zyski z lokat.

Tym razem posłużymy się wzorem, lecz wpierw będziemy potrzebować:

  • kapitału
  • stopy procentowej
  • czasu trwania, czyli okresu oraz ich ilości

Używamy następującego wzoru

$K_n=K{(1+r/{100})}^n$

gdzie:

K - kapitał

r - stopa procentowa

n - ilość okresów
 

Przyjrzyjmy się na chwilę wartości n.

O ile łatwo można odczytać K i r tu trzeba chwilę pomyśleć.

Są lokaty np. 3 miesięczne i możemy je założyć na 3 lata.

Zatem musimy najpierw policzyć ile okresów lokaty (3 miesiące) mieści się podczas składania przez nas lokaty (3 lata), tak więc:

3lata=36miesięcy

$36÷3=12$ -> z tego wynika, że w tym przypadku n=12
 

Przejdźmy teraz do przykładu:

Pan Jan wpłacił 1000zł na 6-miesieczną lokatę o oprocentowaniu równym 2%. Oblicz ile będzie miał pieniędzy po 3 latach.

Napierw wypiszmy dane:

$K=1000zł$

$r=2$

teraz n

Okres to 6 miesięcy, czas to 3 lata, więc

3lata=36 miesięcy

$36÷6=6$ -> czyli n=6

Pozostaje podstawić do wzoru

$K_6=1000{(1+2/{100})}^6$

I obliczamy

$K_6=1000×{(1,02)}^6≈1126,16$
 

Uwaga!

Obniżka i następnie podwyżka o tą samą kwotę nie dają takiej samej liczby!
Wzór na procent składany jest w karcie wzorów maturalnych.

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Rower kosztował 1200zł, cenę tą obniżono o 25%, a następnie podwyższono o tyle samo. Ile kosztuje rower teraz?

Najpierw liczymy cenę po obniżce.

Pamiętamy, że licząc cenę a nie obniżkę musimy odjąć procenty $100%-25%=75%$

Teraz liczymy już cenę

$75%*1200={75}/{100}×1200={75}/{1}×12=900$

Teraz liczymy podwyżkę, tak samo musimy dodać procenty, aby mieć cenę podwyższoną, teraz 900 jest naszym 100%

$100%+25%=125%$

$125%×900={125}/{100}×900={125}/1×9=1175$

Jak widać cena nie jest taka sama, rower kosztuje teraz 1175zł  

Zadanie 2.

Ania zmieszała 100g wody z 20g soli. Ile % soli znajduje się w tej miksturze?

Mamy tutaj mieszankę, więc mikstura ma razem $100+20=120g$

To jest najważniejsze w całym tym zadaniu, aby to zauważyć.

Teraz wystarczy obliczyć ile % całości zajmuje nasza sól.

x - procent objętości roztworu dla soli $x%×120=20$

$x/{100%}×120=20$ /×100%

$120x=2000%$ /÷120

$x≈16,6%$

Odp.: Sól zajmuję ok. $16,6%$ mikstury.

Zadanie 3.

Konrad dostał wypłatę 5000zł brutto, po odliczeniu 40% podatku postanowił wszystko pozostałe wpłacić na lokatę kwartalną na okres 2 lat. Oprocentowanie tej lokaty to 3%. Ile zarobi przez te 2 lata?

Najpierw musimy odliczyć podatek. Zamiast obliczać ile odjąć obliczmy ile mu zostało czyli:

$100%-40%=60%$

Obliczamy ile to jest 60% z 5000zł

$60%×5000={60}/{100}×5000={60}/1×50=3000zł $

Teraz nasza lokata.

Kapitał znamy:

$K=3000$ Procent też:

$r = 3%$ Pozostaje n

$n={2} ÷$ ${1}/{4}=2×4=8$ (okres to 1/4 roku, czas to 2 lata)

Podmieniamy we wzorze

$K_n=K{(1+r/{100})}^n$

$K_8=3000{(1+3/{100})}^8$

$K_8=3000{(1,03)}^8≈3800,31$
 

Spis treści

Rozwiązane zadania
Dwie przecinające się proste wyznaczają cztery kąty wypukłe...

Rysunek pomocniczy:

Thumb zad4.30str99

Katy  i  są przyległe, stąd:{premium}

 

 

 

 

Odp. Miary szukanych kątów to  i  

Oblicz miary kątów wielokątów,...

Trójkąt ABC jest oparty na średnicy zatem:

 


Trójkąt o wierzchołkach w punktach B i C i w środku okręgu (S) jest równoramienny, zatem:  {premium}

 


Suma miar kątów wewnętrznych w każdym trójkącie wynosi 180o, zatem:

 

Odp.: Miary kątów w tym trójkącie to 90o, 65o i 25o


Trójkąty DGF i DEF są oparte na średnicy, zatem trójkąty te są prostokątne:

 

 

Obliczmy miarę kąta EFD:

 

Kąty EFD i DGE to kąty wpisane oparte na tym samym łuku zatem mają one równe miary:

 


Obliczmy miarę kąta GDF:

 


Obliczmy miarę kąta GDE:

 


Suma miar kątów wewnętrznych w każdym czworokącie wynosi 360o, zatem:

 

Odp.: Miary kątów w tym czworokącie to: 90o, 90o, 65o i 115o


Trójkąt JHI jest oparty na średnicy zatem:

 

Kąty HJI i kąt o mierze 70o to kąty wpisane oparte na tym samym łuku zatem:

 


Obliczmy miarę kąta JIH:

 


Odp.: Miary kątów w tym trójkącie to: 90o, 70o i 20o


Kąt MLN to kąt środkowy oparty na tym samym łuku co kąt wpisany MKN, zatem:

 

trójkąt NML jest równoramienny i kąt między jego ramionami wynosi 60o, więc jest on równoboczny, zatem:

 

 

Trójkąt  KLN jest równoramienny, zatem:

 

 


Obliczmy miarę kąta KNM:

 


Obliczmy miarę kąta KLM:

 


Odp.: Miary kątów w tym czworokącie to: 45o, 150o, 65o i 105o

Na rysunku obok odcinek AB jest ...

a)

{premium}

 


b)

 

Niech A={x in RR: x <-9...

Zauważmy, że:

            {premium}

 

zatem:

 

Odp.: D

a) Dla jakich argumentów wartości...

a) Obliczamy, dla jakich argumentów wartości funkcji są dodatnie:{premium}

 

 

 


b) Obliczamy, dla jakiego argumentu wartość funkcji jest równa  

 

 

 

 

 

 


c) Obliczamy, dla jakich argumentów funkcja przyjmuje wartości ujemne:

 

 

 


d) Obliczamy, dla jakich argumentów wartości funkcji są większe od 100:

 

 

 

 


e) Obliczamy, dla jakich argumentów wartości funkcji są mniejsze od -50:

 

 

 

 

 

Funkcja y=f(x) określona w zbiorze ...

 

Wykres funkcji  powstał po przesunięciu wykresu funkcji  o 6 jednostek w prawo wzdłuż osi 

Jeżeli miejscami zerowymi funkcji  są: -4 i 5, to miejscami zerowymi funkcji  są: {premium}

 

 

Czyli:

 


 

Wykres funkcji  powstał po przesunięciu wykresu funkcji  o 4 jednostki w lewo wzdłuż osi 

Jeżeli miejscami zerowymi funkcji  są: -4 i 5, to miejscami zerowymi funkcji  są:

 

 

Czyli:

 

a) Dane są zbiory: A={1, 3, 5, 7, 9, 11, ..., 29, 31}...

Zbiór A ma 16 elementów (ponieważ {premium}zawiera wszystkie liczby nieparzyste od 1 do 31)

Zbiór B ma 30 elementów (ponieważ są to wszystkie liczby naturalne od 21 do 50)

Zauważmy, że:

 

zbiór ten składa się z 30+16-6=46-6=40 elementów


b) Zbiór C ma 20 elementów

Zbiór D ma 50 elementów 

Wiemy również, że:

 

zatem:

 

 

 


c) Zbiory E i F mają po 15 elementów

Wiemy, również, że:

 

zatem:

 

 

 

Ciąg (an) jest określony wzorem ...

Wyznaczamy dwa kolejne wyrazy ciągu (an). 

 
{premium}

 


Wyrazy an+1 oraz an to dwa kolejne wyrazy ciągu (an). Wyznaczamy ich sumę. 

  

n jest liczbą naturalną, więc 2n także jest liczbą naturalną, zatem 2n + 2 jest też liczbą naturalną. 

Suma każdych dwóch kolejnych wyrazów tego ciągu jest więc kwadratem liczby naturalnej. 

C.N.D.

Oprocentowanie lokaty dwuletniej wynosi...

Wprowadźmy oznaczenie:

x- kwota, którą należy wpłacić na dwuletnią lokatę oprocentowaną 10% w skali roku, aby po dwóch latach odsetki wynosiły 200 zł


Obliczmy, ile będą wynosiły odsetki po roku:  {premium}

 


Obliczmy, ile będą wynosiły dopisane odsetki po drugim roku:

 


Obliczmy, jaką część wpłaconej kwoty będą stanowiły łącznie odsetki po dwóch latach:

  


Obliczmy, ile złotych należy wpłacić na lokatę aby odsetki po dwóch latach wynosiły 200 zł:

 

 

 


Odp.: Należy wpłacić na tę lokatę kwotę w wysokości 952,38 zł. 

Uzasadnij, że równość ...

Należy pokazać, że podana równość jest prawdziwa. 


 
{premium} 

 

Uzasadnienie: 

 

 

 

 

 


  

Uzasadnienie: 

 



 

Podana równość jest prawdziwa. 

C.N.D.