Obliczenia procentowe - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Obliczanie procentu liczby

Posiadając procent danej liczby wystarczy pomnożyć liczba razy procent, aby uzyskać wartość tego procentu. Pokażemy dwa sposoby na rozwiązanie poniższego przykładu.

Przykład:

Przykład: Komputer kosztował 1500zł, w sklepie nastały czasy promocji, więc obniżono jego cenę o 20%. Ile kosztuje teraz?

  • Sposób I

    Liczymy ile wynosiła obniżka, część obliczamy mnożąc procent i całość:

    $$20%*1500$$

    Pamiętamy, że procent to ułamek o mianowniku 100

    $${20}/{100}×1500$$

    Skracamy w mnożeniu, więc skróćmy 1500 i 100 przez 100

    $${20}/{1}×15=300$$

    Znamy obniżkę, więc odejmujemy ją od ceny pierwotnej

    $$1500-300=1200$$

    Odp.: Komputer po obniżce kosztuje 1200zł
     

  • Sposób II

    Liczymy od razu cenę po obniżce, skoro całość to 100%, a obniżono o 20% to cena po obniżce to 80% liczby

    Liczymy więc tak samo jak w pierwszym

    $$ 80%×1500 $$

    $$ {80}/{100}×1500 $$

    Znów skracamy przez 100

    $$ {80}/{1}×15=1200$$

Obliczanie liczby mając procent i część

W tym przypadku liczymy całą liczbę, posiadając jedynie procent i jego wartość (część tej liczby).

Przykład:

Komputer po 30% obniżce kosztuje 910zł. Ile kosztował przed obniżeniem ceny?

Tym razem musimy wprowadzić niewiadomą:

x - cena przed obniżką, czyli nasza całość

Pamiętamy, że 30% jest naszą obniżką, zatem 910zł to 70% ceny.

$$70%×x=910$$ -> trzeba było pomnożyć przez 70% razy naszą całość, aby uzyskać 910zł. Pozostaje nam znaleźć całość:

$${70}/{100}×x=910$$ $$|×100$$

$$70x=91000$$ $$|:70$$

$$x=1300$$

Odp.: Komputer kosztował 1300zł.
 

Obliczanie obniżki/podwyżki ceny

Zacznijmy od obniżek:

Przykład:

Komputer kosztował 1000zł po obniżce jego cena wynosi 750zł. O ile procent została obniżona cena?

Na początek obliczamy obniżkę:

$$1000-750=250$$

Tym razem nasze równanie wygląda tak:

$$x%*1000=250$$

Skróćmy przez 1000

$$x%×1=x%=0,25$$

Pamiętajmy, że % to ułamek o mianowniku 100

$$x=25%$$

Odp.: Obniżka wyniosła 25%.
 

Teraz podwyżka. Wzór na obliczanie podwyżki wygląda następująco:

$$ ext"podwyżka" = { ext"cena po podwyżce" - ext"cena przed podwyżką"}/{ ext" cena przed podwyżką"} × 100% $$

Przykład:

Benzyna kosztowała 5zł za litr. Niestety nadeszła fala podwyżek i cena wzrosła do 5zł 40gr. Oblicz o ile procent wzrosła cena.

Na początku zamiana:

5zł 40gr=5,4zł

Wystarczy, że podstawimy nasze liczby pod wzór:

$$ ext"podwyżka" = { ext"cena po podwyżce" - ext"cena przed podwyżką"}/{ ext" cena przed podwyżką"} × 100% = { 5,4 - 5}/{5} × 100%=$$
$$={ 0,4}/{5}× 100%=8/{100}× 100%=8%$$

Odp.: Podwyżka wyniosła 8%.
 

UWAGA! Obniżka i następnie podwyżka o tą samą kwotę nie dają takiej samej liczby!

Procent składany

Jest to zestawienie, które służy nam w finansach. Obliczamy dzięki niemu zyski z lokat.

Tym razem posłużymy się wzorem, lecz wpierw będziemy potrzebować:

  • kapitału
  • stopy procentowej
  • czasu trwania, czyli okresu oraz ich ilości

Używamy następującego wzoru

$$K_n=K{(1+r/{100})}^n$$

gdzie:

K - kapitał

r - stopa procentowa

n - ilość okresów
 

Przyjrzyjmy się na chwilę wartości n.

O ile łatwo można odczytać K i r tu trzeba chwilę pomyśleć.

Są lokaty np. 3 miesięczne i możemy je założyć na 3 lata.

Zatem musimy najpierw policzyć ile okresów lokaty (3 miesiące) mieści się podczas składania przez nas lokaty (3 lata), tak więc:

3lata=36miesięcy

$$36÷3=12$$ -> z tego wynika, że w tym przypadku n=12
 

Przejdźmy teraz do przykładu:

Pan Jan wpłacił 1000zł na 6-miesieczną lokatę o oprocentowaniu równym 2%. Oblicz ile będzie miał pieniędzy po 3 latach.

Napierw wypiszmy dane:

$$K=1000zł$$

$$r=2$$

teraz n

Okres to 6 miesięcy, czas to 3 lata, więc

3lata=36 miesięcy

$$36÷6=6$$ -> czyli n=6

Pozostaje podstawić do wzoru

$$K_6=1000{(1+2/{100})}^6$$

I obliczamy

$$K_6=1000×{(1,02)}^6≈1126,16$$
 

Uwaga!

Obniżka i następnie podwyżka o tą samą kwotę nie dają takiej samej liczby!
Wzór na procent składany jest w karcie wzorów maturalnych.

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Rower kosztował 1200zł, cenę tą obniżono o 25%, a następnie podwyższono o tyle samo. Ile kosztuje rower teraz?

Najpierw liczymy cenę po obniżce.

Pamiętamy, że licząc cenę a nie obniżkę musimy odjąć procenty $$100%-25%=75%$$

Teraz liczymy już cenę

$$75%*1200={75}/{100}×1200={75}/{1}×12=900$$

Teraz liczymy podwyżkę, tak samo musimy dodać procenty, aby mieć cenę podwyższoną, teraz 900 jest naszym 100%

$$100%+25%=125%$$

$$125%×900={125}/{100}×900={125}/1×9=1175$$

Jak widać cena nie jest taka sama, rower kosztuje teraz 1175zł  

Zadanie 2.

Ania zmieszała 100g wody z 20g soli. Ile % soli znajduje się w tej miksturze?

Mamy tutaj mieszankę, więc mikstura ma razem $$100+20=120g$$

To jest najważniejsze w całym tym zadaniu, aby to zauważyć.

Teraz wystarczy obliczyć ile % całości zajmuje nasza sól.

x - procent objętości roztworu dla soli $$x%×120=20$$

$$x/{100%}×120=20$$ /×100%

$$120x=2000%$$ /÷120

$$x≈16,6%$$

Odp.: Sól zajmuję ok. $$16,6%$$ mikstury.

Zadanie 3.

Konrad dostał wypłatę 5000zł brutto, po odliczeniu 40% podatku postanowił wszystko pozostałe wpłacić na lokatę kwartalną na okres 2 lat. Oprocentowanie tej lokaty to 3%. Ile zarobi przez te 2 lata?

Najpierw musimy odliczyć podatek. Zamiast obliczać ile odjąć obliczmy ile mu zostało czyli:

$$100%-40%=60%$$

Obliczamy ile to jest 60% z 5000zł

$$60%×5000={60}/{100}×5000={60}/1×50=3000zł $$

Teraz nasza lokata.

Kapitał znamy:

$$K=3000$$ Procent też:

$$r = 3%$$ Pozostaje n

$$n={2} ÷$$ $${1}/{4}=2×4=8$$ (okres to 1/4 roku, czas to 2 lata)

Podmieniamy we wzorze

$$K_n=K{(1+r/{100})}^n$$

$$K_8=3000{(1+3/{100})}^8$$

$$K_8=3000{(1,03)}^8≈3800,31$$
 

Spis treści

Rozwiązane zadania
Poniżej dane są wykresy pewnych funkcji.

a)

`f(x)=2 \ \ dla \ \ x={-3,0}`

b)

`g(x)=2 \ \ \ dla \ \ x={-4} u<-2,3)`

argument 3 ,,wykluczamy" poprzez nawias okrągły, gdyż nie należy on do dziedziny funkcji

c)

`h(x)=2 \ \ dla \ \ x=2`

Wskaz punkt należący do prostej przechodzącej...

Wyznaczamy równanie prostej przechodzącej przez podane punkty.  

Wstawiamy do równania prostej `y=ax+b` współrzędne pierwszego punktu. Otrzymujemy:

`3=b` 

Wstawiamy do równania prostej `y=ax+b` współrzędne drugiego punktu. Otrzymujemy:

`5=6a+b` 

Zapisujemy wyznaczone równania jako układ równań i wyliczamy z niego `a,\ b.` 

`{(6a+b=5),(b=3):}` 

`{(6a+3=5),(b=3):}` 

`{(6a=2\ "/":6),(b=3):}` 

`{(a=1/3),(b=3):}` 

Zatem szukana prosta wyraża się wzorem

`y=1/3x+3` 

Zauważmy teraz, że wszystkie podane punkty mają drugą współrzędną równą `37.` 

Dlatego, zamiast wstawiać po kolei współrzędne do wzoru funkcji, obliczymy,

dla jakich argumentów funkcja przyjmuje wartość `37,` czyli: 

`37=1/3x+3` 

`34=1/3x\ "/"*3` 

`x=102` 

Prawidłowa odpowiedź to `"C."` 

Farba w pewnym sklepie jest sprzedawana

a)

I pojemnik- cena za litr:

`12,5 "zł": 0,75= 50/3 "zł"=16 2/3 "zł"`

II pojemnik- cena za 1 litr:

`30 "zł": 2= 30/2 "zł"= 15 "zł"`

III pojemnik- cena za 1 litr:

`80 "zł" : 5= 16 "zł"`

 

Najtańszy jest 1 litr farby w puszce 2-litrowej.

b)

`(5l +- 0,05l) : 5= 1l +- 0,01l`

c)

Cena 1 l farby w puszce 5 litrowej - 16 zł, cena za 1 l

Cena 1 l farby w puszce 5 litrowej w której jest minimalna ilość farby:

Minimalna ilość farby:

`5l- 0,05 l = 4,95 l`

Cena za litr, biorąc pod uwagę ilość farby w puszcze:

`4,95l :5= 16,(16) "zł"`

 

Błąd względny:

`(|16,(16)-16|)/16=(|0,(16)|)/16= 0,01=ul(ul(1%))`

Korzystając z diagramu wyznacz zbiory

`a)`

`AuuB={1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6,\ 7}`

`AuuC={1,\ 2,\ 3,\ 5,\ 6,\ 7,\ 8,\ 9}`

`BuuC={2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6,\ 7,\ 8,\ 9}`

`AuuBuuC={1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6,\ 7,\ 8,\ 9}`

 

`b)`

`AnnB={2, \ 3}`

`AnnC={3,\ 7}`

`BnnC={3,\ 5,\ 6}`

`AnnBnnC={3}`

Dane są punkty ...

`A=(-6;2)` 

`B=(3;8)`  

`C=(7;-6)` 

`P=(x;y)` 

`vec(AB)=vec(CP)` 

 

`vec(AB)=[3+6;8-2]=[9;6]` 

`vec(CP)=[x-7;y+6]` 

`[9;6]=[x-7;y+6]` 

`x-7=9\ implies\ x=16` 

`y+6=6\ implies\ y=0` 

`P=(16;0)` 

 

`"Odpowiedź D."`  

Wyznacz miejsce zerowe funkcji y=f(x).

Miejsce zerowe funkcji to taki argument dziedziny, dla którego funkcja przyjmuje wartość zero.

Wystarczy zatem rozwiązać równanie `f(x)=0.` 

`"a)"\ 5x-2=0` 

`5x=2\ "/":5` 

`x=2/5->` miejsce zerowe funkcji `y=f(x)`       

 

`"b)"\ -1/3x+1=0` 

`-1/3x=-1\ "/"*(-3)` 

`x=3->`  miejsce zerowe funkcji `y=f(x)`      

 

`"c)"\ x-sqrt2=0` 

 `x=sqrt2->`  miejsce zerowe funkcji `y=f(x)`      

 

`"d)"\ sqrt2x=0\ "/":sqrt2` 

`x=0->`  miejsce zerowe funkcji `y=f(x)`

 

`"e)"` Funkcja `f(x)=-4` nie ma miejsc zerowych, ponieważ `ZW={-4}.` 

 

`"f)"\ sqrt3x-3=0` 

`sqrt3x=3\ "/":sqrt3` 

`x=3/sqrt3*sqrt3/sqrt3=sqrt3` 

`x=sqrt3->`  miejsce zerowe funkcji `y=f(x)`   

Dane są liczby

Wiemy, że liczba y występuje w rozwinięciu dziesiętnym liczby a na 22. miejscu po przecinku:

`a=3,21(x7895)=3,21x7\ 895x\ 7895\ x789\ 5x78\ 9ul(ul(5))x7\ 895...` 

Czyli:

`y=5` 

 

Wtedy możemy zapisać liczbę b bez niewiadomej y. Wiemy, że liczba x występuje w rozwinięciu dziesiętnym liczby b na 28. miejscu po przecinku:

`b=2,3(y647)=2,3(5647)=2,3564\ 7564\ 7564\ 7564\ 7564\ 7564\ 756ul(ul(4))\ 7564...` 

Czyli:

`x=4` 

      

W trójkąt równoboczny wpisano koło...

Rysunek poglądowy:

Promień koła wpisanego w trójkąt równoboczny jest równy 1/3 długości wysokości tego trójkąta.

 

Wysokość w trójkącie równobocznym o boku długości a jest dana wzorem:

`h = (asqrt3)/2` 

`24 = (asqrt3)/2` 

`a = 24*2/sqrt3 = 48/sqrt3 *sqrt3/sqrt3 = (48sqrt3)/3 = 16sqrt3` 

 

Pole koła:

`P = pir^2 = pi*8^2 = 64pi`  

 

Pole trójkąta:

`P_t = (a^2sqrt3)/4 = ((16sqrt3)^2 *sqrt3)/4 = (256*3*sqrt3)/4 = 192sqrt3` 

 

Obliczmy różnicę pól trójkąta i koła i przyrównajmy ją do pola koła.

`(P_t - P)/P = (192 sqrt3 - 64pi)/(64pi) = (3sqrt3-pi)/pi approx 0,654` 

Zamieńmy ułamek na procent:

`0,64 * 100% = 65,4%` 

Pole jednej kratki jest równe 1. Oblicz pola

Pole jednej kratki wynosi 1. Obliczamy bok tej kratki:

`a*a=1`              `i`       `a>0`

`a=1`

Dzielimy figury na prostsze i obliczamy pole każdej z nich.

a)

`P_1= ((a+b)*h)/2=((5+2)*2)/2= 7`

`P_2= 1*5=5`

`P_3=P_1=7`

`P_1+P_2+P_3=7+5+7=ul(ul19)`

b)

`P_1=1/2a*h=1/2*1*6=3`

`P_2=((a+b)*h)/2= ((3+4)*3)/2= 10,5`

`P_3=1/2a*h=1/2*4*3=6`

`P_4=1/2a*h=1/2*1*4=2`

`P_1+P_2+P_3+P_4=ul(ul(21,5))`

c)

,,Odcinamy" pewne cześci i składamy nową figurę (jak w przykładzie na stronie 196)

Części figury ponumerowano tylko po to, aby było widoczne gdzie je przeniesiono:

`P=6*4=ul(ul24)`

d)

`P_(1,2)=((a+b)*h)/2=((2+4)*3)/2=9`

`P_(3,4)=2*4=8`

`P=9+8=ul(ul17)`

 

Połącz w pary nierówność z jej zbiorem rozwiązań

`A.\ \ \ IV`

`(3x-1)/2+5/3x<3x+2\ \ \ \ \ \ |*6`

`3(3x-1)+2*5x<18x+12`

`9x-3+10x<18x+12`

`19x-3<18x+12\ \ \ |-18x`

`x-3<12\ \ \ \ \ |+3`

`x<15`

 

 

 

`B.\ \ \ III`

`(2-x)/3-2/5x>=(3-2x)/5\ \ \ \ \ \ |*15`

`5(2-x)-3*2x>=3(3-2x)`

`10-5x-6x>=9-6x`

`10-11x>=9-6x\ \ \ \ |+6x`

`10-5x>=9\ \ \ \ \|-10`

`-5x>=-1\ \ \ \ \ \ |:(-5)`

`x<=1/5`

 

 

`C.\ \ \ II`

Przydatny będzie wzór skróconego mnożenia na kwadrat różnicy: 

`(a-b)^2=^2-2ab+b^2`

 

`(x-3)^2+5/3x>x^2+(3-x)/3`

`x^2-6x+9+5/3x>x^2+(3-x)/3\ \ \ \ \ |-x^2`

`-6x+9+5/3x>(3-x)/3\ \ \ \ \ |*3`

`-18x+27+5x>3-x`

`-13x+27>3-x\ \ \ \ \ |+x`

`-12x+27>3\ \ \ \ |-27`

`-12x> -24\ \ \ \ |:(-12)`

`x<2`

 

 

 

`D.\ \ \ I`

`(5-x)^2/2+x^2<=3/2(x+1)^2-(2(x+1))/3`

`(25-10x+x^2)/2+x^2<=3/2(x^2+2x+1)-(2(x+1))/3\ \ \ \ \ \ |*6`

`3(25-10x+x^2)+6x^2<=9(x^2+2x+1)-2*2(x+1)`

`75-30x+3x^2+6x^2<=9x^2+18x+9-4x-4`

`75-30x+9x^2<=9x^2+14x+5\ \ \ \ \ \ |-9x^2`

`75-30x<=14x+5\ \ \ \ \ \ \ |-14x`

`75-44x<=5\ \ \ \ |-75`

`-44x<-70\ \ \ \ |:(-44)`

`x> 70/44`

`x>35/22`