Zgoda na przetwarzanie danych osobowych

25 maja 2018 roku zacznie obowiązywać Rozporządzenie Parlamentu Europejskiego i Rady (UE) 2016/679 z dnia 27 kwietnia 2016 r. znane jako RODO.

Dlatego aby dalej móc dostarczać Ci materiały odpowiednie do Twojego etapu edukacji, potrzebujemy zgody na lepsze dopasowanie treści do Twojego zachowania. Dzięki temu możemy zapamiętywać jakie materiały są Ci potrzebne. Dbamy o Twoją prywatność, więc nie zwiększamy zakresu naszych uprawnień. Twoje dane są u nas bezpieczne, a zgodę na ich zbieranie możesz wycofać na podstronie polityka prywatności.

Klikając "Przejdź do Odrabiamy", zgadzasz się na wskazane powyżej działania. W przeciwnym wypadku, nie jesteśmy w stanie zrealizować usługi kompleksowo i prosimy o opuszczenie strony.

Polityka prywatności

Drogi Użytkowniku w każdej chwili masz prawo cofnąć zgodę na przetwarzanie Twoich danych osobowych. Cofnięcie zgody nie będzie wpływać na zgodność z prawem przetwarzania, którego dokonano na podstawie wyrażonej przez Ciebie zgody przed jej wycofaniem. Po cofnięciu zgody wszystkie twoje dane zostaną usunięte z serwisu. Udzielenie zgody możesz modyfikować w zakładce 'Informacja o danych osobowych'

Obliczenia procentowe - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Obliczanie procentu liczby

Posiadając procent danej liczby wystarczy pomnożyć liczba razy procent, aby uzyskać wartość tego procentu. Pokażemy dwa sposoby na rozwiązanie poniższego przykładu.

Przykład:

Przykład: Komputer kosztował 1500zł, w sklepie nastały czasy promocji, więc obniżono jego cenę o 20%. Ile kosztuje teraz?

  • Sposób I

    Liczymy ile wynosiła obniżka, część obliczamy mnożąc procent i całość:

    $$20%*1500$$

    Pamiętamy, że procent to ułamek o mianowniku 100

    $${20}/{100}×1500$$

    Skracamy w mnożeniu, więc skróćmy 1500 i 100 przez 100

    $${20}/{1}×15=300$$

    Znamy obniżkę, więc odejmujemy ją od ceny pierwotnej

    $$1500-300=1200$$

    Odp.: Komputer po obniżce kosztuje 1200zł
     

  • Sposób II

    Liczymy od razu cenę po obniżce, skoro całość to 100%, a obniżono o 20% to cena po obniżce to 80% liczby

    Liczymy więc tak samo jak w pierwszym

    $$ 80%×1500 $$

    $$ {80}/{100}×1500 $$

    Znów skracamy przez 100

    $$ {80}/{1}×15=1200$$

Obliczanie liczby mając procent i część

W tym przypadku liczymy całą liczbę, posiadając jedynie procent i jego wartość (część tej liczby).

Przykład:

Komputer po 30% obniżce kosztuje 910zł. Ile kosztował przed obniżeniem ceny?

Tym razem musimy wprowadzić niewiadomą:

x - cena przed obniżką, czyli nasza całość

Pamiętamy, że 30% jest naszą obniżką, zatem 910zł to 70% ceny.

$$70%×x=910$$ -> trzeba było pomnożyć przez 70% razy naszą całość, aby uzyskać 910zł. Pozostaje nam znaleźć całość:

$${70}/{100}×x=910$$ $$|×100$$

$$70x=91000$$ $$|:70$$

$$x=1300$$

Odp.: Komputer kosztował 1300zł.
 

Obliczanie obniżki/podwyżki ceny

Zacznijmy od obniżek:

Przykład:

Komputer kosztował 1000zł po obniżce jego cena wynosi 750zł. O ile procent została obniżona cena?

Na początek obliczamy obniżkę:

$$1000-750=250$$

Tym razem nasze równanie wygląda tak:

$$x%*1000=250$$

Skróćmy przez 1000

$$x%×1=x%=0,25$$

Pamiętajmy, że % to ułamek o mianowniku 100

$$x=25%$$

Odp.: Obniżka wyniosła 25%.
 

Teraz podwyżka. Wzór na obliczanie podwyżki wygląda następująco:

$$ ext"podwyżka" = { ext"cena po podwyżce" - ext"cena przed podwyżką"}/{ ext" cena przed podwyżką"} × 100% $$

Przykład:

Benzyna kosztowała 5zł za litr. Niestety nadeszła fala podwyżek i cena wzrosła do 5zł 40gr. Oblicz o ile procent wzrosła cena.

Na początku zamiana:

5zł 40gr=5,4zł

Wystarczy, że podstawimy nasze liczby pod wzór:

$$ ext"podwyżka" = { ext"cena po podwyżce" - ext"cena przed podwyżką"}/{ ext" cena przed podwyżką"} × 100% = { 5,4 - 5}/{5} × 100%=$$
$$={ 0,4}/{5}× 100%=8/{100}× 100%=8%$$

Odp.: Podwyżka wyniosła 8%.
 

UWAGA! Obniżka i następnie podwyżka o tą samą kwotę nie dają takiej samej liczby!

Procent składany

Jest to zestawienie, które służy nam w finansach. Obliczamy dzięki niemu zyski z lokat.

Tym razem posłużymy się wzorem, lecz wpierw będziemy potrzebować:

  • kapitału
  • stopy procentowej
  • czasu trwania, czyli okresu oraz ich ilości

Używamy następującego wzoru

$$K_n=K{(1+r/{100})}^n$$

gdzie:

K - kapitał

r - stopa procentowa

n - ilość okresów
 

Przyjrzyjmy się na chwilę wartości n.

O ile łatwo można odczytać K i r tu trzeba chwilę pomyśleć.

Są lokaty np. 3 miesięczne i możemy je założyć na 3 lata.

Zatem musimy najpierw policzyć ile okresów lokaty (3 miesiące) mieści się podczas składania przez nas lokaty (3 lata), tak więc:

3lata=36miesięcy

$$36÷3=12$$ -> z tego wynika, że w tym przypadku n=12
 

Przejdźmy teraz do przykładu:

Pan Jan wpłacił 1000zł na 6-miesieczną lokatę o oprocentowaniu równym 2%. Oblicz ile będzie miał pieniędzy po 3 latach.

Napierw wypiszmy dane:

$$K=1000zł$$

$$r=2$$

teraz n

Okres to 6 miesięcy, czas to 3 lata, więc

3lata=36 miesięcy

$$36÷6=6$$ -> czyli n=6

Pozostaje podstawić do wzoru

$$K_6=1000{(1+2/{100})}^6$$

I obliczamy

$$K_6=1000×{(1,02)}^6≈1126,16$$
 

Uwaga!

Obniżka i następnie podwyżka o tą samą kwotę nie dają takiej samej liczby!
Wzór na procent składany jest w karcie wzorów maturalnych.

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Rower kosztował 1200zł, cenę tą obniżono o 25%, a następnie podwyższono o tyle samo. Ile kosztuje rower teraz?

Najpierw liczymy cenę po obniżce.

Pamiętamy, że licząc cenę a nie obniżkę musimy odjąć procenty $$100%-25%=75%$$

Teraz liczymy już cenę

$$75%*1200={75}/{100}×1200={75}/{1}×12=900$$

Teraz liczymy podwyżkę, tak samo musimy dodać procenty, aby mieć cenę podwyższoną, teraz 900 jest naszym 100%

$$100%+25%=125%$$

$$125%×900={125}/{100}×900={125}/1×9=1175$$

Jak widać cena nie jest taka sama, rower kosztuje teraz 1175zł  

Zadanie 2.

Ania zmieszała 100g wody z 20g soli. Ile % soli znajduje się w tej miksturze?

Mamy tutaj mieszankę, więc mikstura ma razem $$100+20=120g$$

To jest najważniejsze w całym tym zadaniu, aby to zauważyć.

Teraz wystarczy obliczyć ile % całości zajmuje nasza sól.

x - procent objętości roztworu dla soli $$x%×120=20$$

$$x/{100%}×120=20$$ /×100%

$$120x=2000%$$ /÷120

$$x≈16,6%$$

Odp.: Sól zajmuję ok. $$16,6%$$ mikstury.

Zadanie 3.

Konrad dostał wypłatę 5000zł brutto, po odliczeniu 40% podatku postanowił wszystko pozostałe wpłacić na lokatę kwartalną na okres 2 lat. Oprocentowanie tej lokaty to 3%. Ile zarobi przez te 2 lata?

Najpierw musimy odliczyć podatek. Zamiast obliczać ile odjąć obliczmy ile mu zostało czyli:

$$100%-40%=60%$$

Obliczamy ile to jest 60% z 5000zł

$$60%×5000={60}/{100}×5000={60}/1×50=3000zł $$

Teraz nasza lokata.

Kapitał znamy:

$$K=3000$$ Procent też:

$$r = 3%$$ Pozostaje n

$$n={2} ÷$$ $${1}/{4}=2×4=8$$ (okres to 1/4 roku, czas to 2 lata)

Podmieniamy we wzorze

$$K_n=K{(1+r/{100})}^n$$

$$K_8=3000{(1+3/{100})}^8$$

$$K_8=3000{(1,03)}^8≈3800,31$$
 

Spis treści

Rozwiązane zadania
Wskaż układ nierówności

Prawidłowa jest odpowiedź B (nierówność -x> -2 jest równoważna nierówności x<2)

Okręgi...

Zauważmy, że trójkąty KAC i CBL są równoramienne, zatem kąty przy podstawie KC są równe

`/_ AKC = 46^o = /_KCA` 

 

Analogicznie z podstawą CL

`/_LCB = /_ BLC` 

 

Zauważmy ponadto, że

`/_KCA = /_ LCB` 

są równe gdyż są to kąty wierzchołkowe.

 

A więc:

`beta = 46^o` 

 

Suma miar kątów w trójkącie wynosi 180o, zatem:

`2 beta + alpha = 180^o` 

`92^o + alpha = 180^o` 

`alpha = 88^o` 

Odpowiedź D

Podaj współrzędne środka i promień ...

`a)` 

`(x-2)^2+(y-5)^2=16` 

`S=(2;5)` 

`r=sqrt16=4` 

 

`b)` 

`(x+1/2)^2+(y-3/4)^2=2 7/9` 

`S=(-1/2;3/4)` 

`r=sqrt(2 7/9)=sqrt(25/9)=5/3` 

 

`c)` 

`x^2+(y+9/4)^2=10` 

`S=(0;-9/4)` 

`r=sqrt10` 

 

`d)` 

`(x-sqrt2)^2+(y-sqrt3)^2=8` 

`S=(sqrt2;sqrt3)` 

`r=sqrt8=2sqrt2` 

 

`e)` 

`(x+5)^2+(y+9)^2=225` 

`S=(-5;-9)` 

`r=sqrt225=15` 

 

`f)` 

`(x-1 1/6)^2+y^2=45` 

`S=(1 1/6;0)` 

`r=sqrt45=3sqrt5` 

Czy na rysunku przedstawiono wykres funkcji

`a)`

Na rysunku nie przedstawiono wykresu funkcji, ponieważ jedynym argumentem, dla którego odwzorowanie przyjmuje jedną wartość, jest 0. Można poprowadzić nieskończenie wiele prostych pionowych, które przetną wykres więcej niż w jednym miejscu. 

 

`b)`

Na rysunku przedstawiono wykres funkcji, ponieważ nie da się poprowadzić prostej pionowej tak, aby przecięła wykres więcej niż w jednym miejscu - każdemu argumentowi przypisano dokładnie jedną wartość. 

W trójkącie jeden kąt jest

`x\ -\ "miara drugiego kąta"`

`x+7^o\ -\ "miara pierwszego kąta"`

 

Wiemy, że pierwszy kąt jest o 13° mniejszy od trzeciego, więc trzeci kąt jest o 13° większy od pierwszego. 

`x+7^o +13^o=x+20^o\ -\ "miara trzeciego kata"`

 

Korzystając z faktu, że suma miar kątów w trójkącie jest równa 180°, możemy zapisać:

`x+x+7^o +x+20^o=180^o`

`3x+27^o=180^o\ \ \ |:3`

`x+9^o=60^o\ \ \ |-9^o`

`x=51^o`

`x+7^o=51^o +7^o=58^o`

`x+20^o =51^o +20^o=71^o`

Narysuj wykres funkcji liniowej

W każdym przykładzie wyznaczymy punkty przecięcia z osiami układu współrzędnych, a następnie przez te punkty poprowadzimy wykres. 

 

Dla ułatwienia zapisu oznaczmy punkt przecięcia z osią x jako X, a punkt przecięcia z osią y jako Y. 

 

`a)`

`a=0,4,\ \ \ \ \ b=3`

`X=(-3/(0,4);\ \ 0)=(-30/4;\ 0)=(-15/2;\ 0)=(-7 1/2;\ 0)`

`Y=(0,\ 3)`

 

 

 

 

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))`

 

 

 

`b)`

`a=-0,25,\ \ \ \ b=-2`

`X=(2/(-0,25);\ 0)=(-200/25;\ 0)=(-8,\ 0)`

`Y=(0,\ -2)`

    

 

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))`

 

 

`c)`

`a=-1,\ \ \ b=3`

`X=((-3)/(-1),\ 0)=(3,\ 0)`

`Y=(0,\ 3)`

 

 

 

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))`

 

 

`d)`

`a=0,\ \ \ b=-4`

Zauważmy, że jest to funkcja stale równa -4. Jej punktem przecięcia z osią y jest punkt (0, -4). Funkcja nie ma punktu przecięcia z osią x (ponieważ nigdy nie przyjmuje wartości 0). 

  

Dla której spośród

Zauważmy, że jeśli mamy pewną parabolę i punkt o odciętej x=1, to odległość tego punktu od osi OX jest równa drugiej współrzędnej tego punktu (jeśli jest ona dodatnia) lub liczbie przeciwnej do drugiej współrzędnej (jeśli jest ujemna). 

 

`a)` 

Obliczamy wartości y dla kolejnych funkcji:

`y=1^2=1\ \ \ ->\ \ \ "odległość"=1`  

`y=4*1^2=4*1=4\ \ \ ->\ \ \ "odległość"=4`  

`y=-6*1^2=-6*1=-6\ \ \ ->\ \ \ "odległość"=6`  

Odległość jest najmniejsza dla pierwszej z podanych funkcji. 

 

 

`b)` 

`y=3/2*1^2=3/2*1=3/2=1 1/2=1,5\ \ \ ->\ \ \ "odległość"=1,5` 

`y=sqrt2*1^2=sqrt2\ \ \ ->\ \ \ "odległość"=sqrt2~~1,41` 

`y=2*1^2=2\ \ \ ->\ \ \ "odległość"=2` 

Odległość jest najmniejsza dla drugiej z podanych funkcji. 

 

 

`c)` 

`y=-1/2*1^2=-1/2\ \ \ ->\ \ \ "odległość"=1/2` 

`y=3*1^2=3\ \ \ ->\ \ \ "odległość"=3` 

`y=2sqrt3*1^2=2sqrt3\ \ \ ->\ \ \ "odległość"=2sqrt3~~2*1,73=3,46` 

Odległość jest najmniejsza dla pierwszej z podanych funkcji.

 

 

`d)` 

`y=-3*1^2=-3\ \ \ ->\ \ \ "odległość"=3` 

`y=pi*1^2=pi\ \ \ ->\ \ \ "odległość"=pi~~3,14151`  

`y=3,14*1^2=3,14\ \ \ ->\ \ \ "odległość"=3,14` 

Odległość jest najmniejsza dla pierwszej z podanych funkcji. 

Wyznacz biory wartości funkcji: a) f(x)=x²

a)

`f(x)=x^2-4`

`x in{-3,-2,-1,4,6}`

Dziedzinę określa pięć argumentów. Znajdujemy wartości przyporządkowane podanym argumentom podstawiając za x konkretne argumenty i obliczając w ten sposób f(x).

`f(-3)=(-3)^2-4=9-4=5`

`f(-2)=(-2)^2-4=4-4=0`

`f(-1)=(-1)^2-4=1-4=(-3)`

`f(4)=4^2-4=16-4=12`

`f(6)=6^2-4=36-4=32`

`Z_w={5 \ ,0 \ ,-3 \ ,12 \ ,32 \ }`

b)

Dziedzinę funkcji określa zbiór argumentów większych i równych -2. Znajdujemy wartości przyporządkowane kilku wybranym argumentom należącym do dziedziny.

`f(-2)=-2+9=ul(ul(7))`

`f(-1)=-1+9=8`

`f(0)=0+9=9`

`f(1)=1+9=10`

Zauważamy, że podstawiając kolejne argumenty, przyporządkowane im wartości są coraz większe. Gdybyśmy tak podstawiali kolejne argumenty: 2,3,4,5.. , dostawalibyśmy coraz większe wartości w nieskończoność. Zbiór wartości zaczyna się więc od liczby 7 (wartość dla najmniejszego argumentu dziedziny funkcji) i jest nieograniczony z prawej strony. 

`Z_w=<7,+oo)`

Przekątna kwadratu jest o 2 cm ...

Oznaczmy:

a - długośc boku kwadratu

a2 - długość przekątnej w kwadracie 

Z treści zadania wiemy, że przekątna jest o 2 cm dłuższa od boku kwadratu:

a+2 - długość przekątnej w kwadracie 

 

Długość przekątnej kwadratu mamy wyrażoną na dwa sposoby. Zapiszmy równość:

`asqrt2=a+2` 

`asqrt2-a=2` 

`a(sqrt2-1)=2` 

`a=2/(sqrt2-1)\ ["cm"]`  

Usuńmy niewymierność z mianownika:

`a=(2(sqrt2+1))/((sqrt2-1)(sqrt2+1))=(2sqrt2+2)/((sqrt2)^2-1^2)=(2sqrt2+2)/1=2sqrt2+2\ ["cm"]`  

 

Obliczmy pole kwadratu o boku długości a:

`P_k=a^2` 

`P_k=(2sqrt2+2)^2=8+8sqrt2+4=12+8sqrt2=4(3+2sqrt2)\ ["cm"^2]`     

 

Odp: Pole tego kwadratu jest równe 4(3+22) cm2.

Oblicz. Odpowiedź podaj w notacji wykładniczej

`a)\ (7,2*10^18*strike(4,9)^7*10^7)/(strike(5,6)^8*10^32)=(strike(7,2)^(0,9)*7*10^18*10^7)/(strike8^1*10^32)=(6,3*10^25)/10^32=6,3*10^(25-32)=6,3*10^-7`

`b)\ (1,44*10^11*strike(5,4)^3*10^23)/(strike(1,8)^1*10^5*3,6*10^8)=(1,44*10^11*10^23*strike3^1)/(10^5*10^8*strike(3,6)^(1,2))=(strike(1,44)^(1,2)*10^34)/(10^13*strike(1,2)^1)=1,2*10^(34-13)=1,2*10^21`

`c)\ 4\ 410\ 000\ 000:0,021=(4,41*10^9):(21*10^-3)=(4,41*10^9)/(21*10^-3)=(4,41)/21*10^9/10^-3=`

`\ \ \ =0,21*10^(9-(-3))=0,21*10^(9+3)=0,21*10^12=0,21*10*10^11=2,1*10^11`

`d)\ 10\ 240:0,000\ 000\ 08=(1,024*10^4):(8*10^-8)=(1,024*10^4)/(8*10^-8)=(1,024)/8*10^4/10^-8=`

`\ \ \ =0,128*10^(8-(-4))=0,128*10^(8+4)=0,128*10^12=0,128*10*10^11=1,28*10^11`

`e)\ 0,000\ 000\ 216:360\ 000=(216*10^-9):(36*10^4)=(216*10^-9)/(36*10^4)=216/36*10^-9/10^4=`

`\ \ \ =6*10^(-9-4)=6*10^-13`

`f)\ 0,000\ 000\ 000\ 08:2,5=(8*10^-11):2,5=(8*10^-11)/(2,5)=8/(2,5)*10^-11=80/25*10^-11=`

`\ \ \ =16/5*10^-11=3,2*10^-11`