Obliczenia procentowe - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Obliczanie procentu liczby

Posiadając procent danej liczby wystarczy pomnożyć liczba razy procent, aby uzyskać wartość tego procentu. Pokażemy dwa sposoby na rozwiązanie poniższego przykładu.

Przykład:

Przykład: Komputer kosztował 1500zł, w sklepie nastały czasy promocji, więc obniżono jego cenę o 20%. Ile kosztuje teraz?

  • Sposób I

    Liczymy ile wynosiła obniżka, część obliczamy mnożąc procent i całość:

    $$20%*1500$$

    Pamiętamy, że procent to ułamek o mianowniku 100

    $${20}/{100}×1500$$

    Skracamy w mnożeniu, więc skróćmy 1500 i 100 przez 100

    $${20}/{1}×15=300$$

    Znamy obniżkę, więc odejmujemy ją od ceny pierwotnej

    $$1500-300=1200$$

    Odp.: Komputer po obniżce kosztuje 1200zł
     

  • Sposób II

    Liczymy od razu cenę po obniżce, skoro całość to 100%, a obniżono o 20% to cena po obniżce to 80% liczby

    Liczymy więc tak samo jak w pierwszym

    $$ 80%×1500 $$

    $$ {80}/{100}×1500 $$

    Znów skracamy przez 100

    $$ {80}/{1}×15=1200$$

Obliczanie liczby mając procent i część

W tym przypadku liczymy całą liczbę, posiadając jedynie procent i jego wartość (część tej liczby).

Przykład:

Komputer po 30% obniżce kosztuje 910zł. Ile kosztował przed obniżeniem ceny?

Tym razem musimy wprowadzić niewiadomą:

x - cena przed obniżką, czyli nasza całość

Pamiętamy, że 30% jest naszą obniżką, zatem 910zł to 70% ceny.

$$70%×x=910$$ -> trzeba było pomnożyć przez 70% razy naszą całość, aby uzyskać 910zł. Pozostaje nam znaleźć całość:

$${70}/{100}×x=910$$ $$|×100$$

$$70x=91000$$ $$|:70$$

$$x=1300$$

Odp.: Komputer kosztował 1300zł.
 

Obliczanie obniżki/podwyżki ceny

Zacznijmy od obniżek:

Przykład:

Komputer kosztował 1000zł po obniżce jego cena wynosi 750zł. O ile procent została obniżona cena?

Na początek obliczamy obniżkę:

$$1000-750=250$$

Tym razem nasze równanie wygląda tak:

$$x%*1000=250$$

Skróćmy przez 1000

$$x%×1=x%=0,25$$

Pamiętajmy, że % to ułamek o mianowniku 100

$$x=25%$$

Odp.: Obniżka wyniosła 25%.
 

Teraz podwyżka. Wzór na obliczanie podwyżki wygląda następująco:

$$ ext"podwyżka" = { ext"cena po podwyżce" - ext"cena przed podwyżką"}/{ ext" cena przed podwyżką"} × 100% $$

Przykład:

Benzyna kosztowała 5zł za litr. Niestety nadeszła fala podwyżek i cena wzrosła do 5zł 40gr. Oblicz o ile procent wzrosła cena.

Na początku zamiana:

5zł 40gr=5,4zł

Wystarczy, że podstawimy nasze liczby pod wzór:

$$ ext"podwyżka" = { ext"cena po podwyżce" - ext"cena przed podwyżką"}/{ ext" cena przed podwyżką"} × 100% = { 5,4 - 5}/{5} × 100%=$$
$$={ 0,4}/{5}× 100%=8/{100}× 100%=8%$$

Odp.: Podwyżka wyniosła 8%.
 

UWAGA! Obniżka i następnie podwyżka o tą samą kwotę nie dają takiej samej liczby!

Procent składany

Jest to zestawienie, które służy nam w finansach. Obliczamy dzięki niemu zyski z lokat.

Tym razem posłużymy się wzorem, lecz wpierw będziemy potrzebować:

  • kapitału
  • stopy procentowej
  • czasu trwania, czyli okresu oraz ich ilości

Używamy następującego wzoru

$$K_n=K{(1+r/{100})}^n$$

gdzie:

K - kapitał

r - stopa procentowa

n - ilość okresów
 

Przyjrzyjmy się na chwilę wartości n.

O ile łatwo można odczytać K i r tu trzeba chwilę pomyśleć.

Są lokaty np. 3 miesięczne i możemy je założyć na 3 lata.

Zatem musimy najpierw policzyć ile okresów lokaty (3 miesiące) mieści się podczas składania przez nas lokaty (3 lata), tak więc:

3lata=36miesięcy

$$36÷3=12$$ -> z tego wynika, że w tym przypadku n=12
 

Przejdźmy teraz do przykładu:

Pan Jan wpłacił 1000zł na 6-miesieczną lokatę o oprocentowaniu równym 2%. Oblicz ile będzie miał pieniędzy po 3 latach.

Napierw wypiszmy dane:

$$K=1000zł$$

$$r=2$$

teraz n

Okres to 6 miesięcy, czas to 3 lata, więc

3lata=36 miesięcy

$$36÷6=6$$ -> czyli n=6

Pozostaje podstawić do wzoru

$$K_6=1000{(1+2/{100})}^6$$

I obliczamy

$$K_6=1000×{(1,02)}^6≈1126,16$$
 

Uwaga!

Obniżka i następnie podwyżka o tą samą kwotę nie dają takiej samej liczby!
Wzór na procent składany jest w karcie wzorów maturalnych.

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Rower kosztował 1200zł, cenę tą obniżono o 25%, a następnie podwyższono o tyle samo. Ile kosztuje rower teraz?

Najpierw liczymy cenę po obniżce.

Pamiętamy, że licząc cenę a nie obniżkę musimy odjąć procenty $$100%-25%=75%$$

Teraz liczymy już cenę

$$75%*1200={75}/{100}×1200={75}/{1}×12=900$$

Teraz liczymy podwyżkę, tak samo musimy dodać procenty, aby mieć cenę podwyższoną, teraz 900 jest naszym 100%

$$100%+25%=125%$$

$$125%×900={125}/{100}×900={125}/1×9=1175$$

Jak widać cena nie jest taka sama, rower kosztuje teraz 1175zł  

Zadanie 2.

Ania zmieszała 100g wody z 20g soli. Ile % soli znajduje się w tej miksturze?

Mamy tutaj mieszankę, więc mikstura ma razem $$100+20=120g$$

To jest najważniejsze w całym tym zadaniu, aby to zauważyć.

Teraz wystarczy obliczyć ile % całości zajmuje nasza sól.

x - procent objętości roztworu dla soli $$x%×120=20$$

$$x/{100%}×120=20$$ /×100%

$$120x=2000%$$ /÷120

$$x≈16,6%$$

Odp.: Sól zajmuję ok. $$16,6%$$ mikstury.

Zadanie 3.

Konrad dostał wypłatę 5000zł brutto, po odliczeniu 40% podatku postanowił wszystko pozostałe wpłacić na lokatę kwartalną na okres 2 lat. Oprocentowanie tej lokaty to 3%. Ile zarobi przez te 2 lata?

Najpierw musimy odliczyć podatek. Zamiast obliczać ile odjąć obliczmy ile mu zostało czyli:

$$100%-40%=60%$$

Obliczamy ile to jest 60% z 5000zł

$$60%×5000={60}/{100}×5000={60}/1×50=3000zł $$

Teraz nasza lokata.

Kapitał znamy:

$$K=3000$$ Procent też:

$$r = 3%$$ Pozostaje n

$$n={2} ÷$$ $${1}/{4}=2×4=8$$ (okres to 1/4 roku, czas to 2 lata)

Podmieniamy we wzorze

$$K_n=K{(1+r/{100})}^n$$

$$K_8=3000{(1+3/{100})}^8$$

$$K_8=3000{(1,03)}^8≈3800,31$$
 

Spis treści

Rozwiązane zadania
Zbiory A, B i C są ...

`"a)"\ AcapB={3,\ 4,\ 14,\ 21}`

`"b)"\ BcapC={4,\ 13,\ 21,\ 22}` 

`"c)"\ AcapBcapC={4,\ 21}` 

`"d)"\ AcupB={1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 11,\ 12,\ 13,\ 14,\ 21,\ 22,\ 23}` 

`"e)"\ A\\B={1,\ 2,\ 5,\ 23}` 

`"f)"\ B\\(AcupC)={11,\ 12}`  

Zakładając, że...

`p = x/(sqrt(x^2)) + sqrt(y^2)/y = x/(|x|) + (|y|)/y` 

 

  • Jeżeli x>0 i y>0

`p = x/x+y/y = 1+1=2` 

 

  • Jeżeli x>0 i y<0

`p = x/x -y/y = 1-1=0` 

 

  • Jeżeli x<0 i y>0

`p = -x/x +y/y = -1+1=0` 

 

  • Jeżeli x<0 i y<0

`p = -x/x-y/y =-1-1=-2` 

 

A więc:

`p in {-2,0,2}` 

Kwadrat ABCD ma boki...

`|DR| = |BP|` 

`|AR|=|AP|` 

Wyjaśnienie

Zauważmy, że jeżeli oznaczymy bok CR przez x i bok CP przez y to wtedy boki DR i BP mają długości odpowiednio 10-x i 10-y. Ich pola są równe oraz oba mają taką samą wysokość a więc podstawa musi być takiej samej długości. Stąd x = y.

 

Oznaczmy długość odcinka RC przez x , wtedy:

`|DR|= 10-x` 

 

Pole trójkąta ADR

`P=1/2 * |AD| * |DR| = 1/2 * 10 * (10-x) = 5*(10-x) = 50 - 5x` 

 

Pole trójkąta PCR

`P^' = 1/2*x*x = (x^2)/2` 

 

Wiemy, że pole trójkąta ADR jest cztery razy większe od pola trójkąta PCR a więc

`P = 4*P^'` 

`50- 5x = 4*(x^2)/2` 

`50 - 5x = 2x^2` 

`2x^2 + 5x - 50 =0` 

`Delta = 5^2 - 4*2*(-50) = 25 + 400 = 425` 

`sqrtDelta = sqrt425 = sqrt(25*17) = 5sqrt17` 

`x_1 = (-5 -5sqrt17)/4 = -(5+5sqrt17)/4<0` 

`x_2 = (-5 + 5sqrt17)/4` 

 

`|DR|=|BP| = 10 -(-5+5sqrt17)/4 = 40/4 + (5- 5sqrt17)/4 = (45 - 5sqrt17)/4 = (5(9-sqrt17))/4` 

Na rysunku obok przedstawiono wykres ...

`a)` 

`g(x)<0` 

`"Miejsca zerowe funkcji g(x) to:"` 

`x_1=-1` 

`x_2=3` 

 

`g(x)<0\ "dla"\ x in(-1,3)` 

 

`b)` 

`h(x)<=0` 

`"Miejsca zerowe funkcji h(x):"` 

`x_1=-4` 

`x_2=0` 

 

`h(x)<=0\ "dla"\ x in <-4,0>`

Przedstawione na rysunku proste k, l ...

`l: y=- 1/2x+2` 

 

`k: y=-1/2x+3` 

`m:y=-1/2x` 

`n: y=-1/2x-1` 

Ile wynosi suma miar kątów wewnętrznych

`a)`

Pięciokąt można podzielić na 3 trójkąty. 

Suma miar kątów w tym pięciokącie to trzykrotność sumy miar kątów trójkąta:

`3*180^o=ul(ul(540^o))`

 

 

 

`b)`

  

`4*180^o=720^o`

 

 

`c)`

Zwróć uwagę, że w poprzednich punktach trójkąty powstawały poprzez poprowadzenie przekątnych z jednego wybranego wierzchołka. 

Mamy n-3 przekątnych (możemy porowadzić przekątną do każdego z n wierzchołków poza tym, w którym aktualnie się znajdujemy i poza 2 sąsiednimi wierzchołkami), które wyznaczają n-2 trójkąty, 

Zatem suma miar kątów w n-kącie wynosi: 

`ul(ul(180^o*(n-2)))`

Dziedziną funkcji f jest przedział

Zauważmy najpierw, że do dziedziny funkcji D nie należy x=-6, więc możemy od razu odrzucić tą odpowiedź. 

Odrzucamy także odpowiedź A, ponieważ funkcja A ma inny zbiór wartości:

`Z_(w_A)\ =<<-1,\ 2>>uu{3}ne<<-1,\ 3>>`

Odrzucamy odpowiedź B, ponieważ dla argumentu x=-5 nie jest przyjmowana wartość 2.

Funkcja C spełnia wszystkie warunki, więc prawidłowa jest odpowiedź C.  

Punkt P ...

`P=(1/(sqrt3-1);(2+sqrt3)/3)` 

`f(x)=ax^2` 

`(2+sqrt3)/3=a(1/(sqrt3-1)^2)` 

`2+sqrt3=3a*1/(3-2sqrt3+1)` 

`(2+sqrt3)(3-2sqrt3+1)=3a` 

`6-4sqrt3+2+3sqrt3-6+sqrt3=3a` 

`3a=2` 

`a=2/3`  

`f(x)=2/3x^2` 

 

`"Rozważmy Q z podpunktu B:"` 

`Q=(-sqrt3/2;1/2)` 

`2/3*(-sqrt3/2)^2=2/3*3/4=1/2`   

`"Punkt Q należy do wykresu funkcji"\ f(x)=ax^2."` 

`"Odpowiedź B."` 

Ramiona trójkąta równoramiennego...

Pole trójkąta:

`P = 1/2*8*8*sin120^o = 32*sin(180^o - 60^o) = 32 * sin60^o = 32 * sqrt3/2 = 16sqrt3` 

 

Przekształćmy wyrażenie z podpunktu C by sprawdzić czy jest równe naszemu:

`(8sqrt3log_3 2)/(log_3 sqrt2) = (8sqrt3*(log_2 2)/(log_2 3))/((log_2 sqrt2)/(log_2 3))=8sqrt3 * (log_2 2)/(log_2 3) *(log_2 3)/(log_2 sqrt2)=8sqrt3 *1/(1/2) = 8sqrt3*2 = 16sqrt3` 

 

Odpowiedź C

W układzie współrzędnych narysowane są...

Zwróćmy uwagę na punkt A=(1,1), obraz tego punktu w przesuniętym wykresie ma współrzędne (-4, -1)

Zatem musimy się przesunąć o 5 jednostek w lewo i 2 jednostki w dół, wzór funkcji g to:

`g(x) = f(x+5) - 2` 

Odpowiedź: C