Obliczenia procentowe - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Obliczanie procentu liczby

Posiadając procent danej liczby wystarczy pomnożyć liczba razy procent, aby uzyskać wartość tego procentu. Pokażemy dwa sposoby na rozwiązanie poniższego przykładu.

Przykład:

Przykład: Komputer kosztował 1500zł, w sklepie nastały czasy promocji, więc obniżono jego cenę o 20%. Ile kosztuje teraz?

  • Sposób I

    Liczymy ile wynosiła obniżka, część obliczamy mnożąc procent i całość:

    $$20%*1500$$

    Pamiętamy, że procent to ułamek o mianowniku 100

    $${20}/{100}×1500$$

    Skracamy w mnożeniu, więc skróćmy 1500 i 100 przez 100

    $${20}/{1}×15=300$$

    Znamy obniżkę, więc odejmujemy ją od ceny pierwotnej

    $$1500-300=1200$$

    Odp.: Komputer po obniżce kosztuje 1200zł
     

  • Sposób II

    Liczymy od razu cenę po obniżce, skoro całość to 100%, a obniżono o 20% to cena po obniżce to 80% liczby

    Liczymy więc tak samo jak w pierwszym

    $$ 80%×1500 $$

    $$ {80}/{100}×1500 $$

    Znów skracamy przez 100

    $$ {80}/{1}×15=1200$$

Obliczanie liczby mając procent i część

W tym przypadku liczymy całą liczbę, posiadając jedynie procent i jego wartość (część tej liczby).

Przykład:

Komputer po 30% obniżce kosztuje 910zł. Ile kosztował przed obniżeniem ceny?

Tym razem musimy wprowadzić niewiadomą:

x - cena przed obniżką, czyli nasza całość

Pamiętamy, że 30% jest naszą obniżką, zatem 910zł to 70% ceny.

$$70%×x=910$$ -> trzeba było pomnożyć przez 70% razy naszą całość, aby uzyskać 910zł. Pozostaje nam znaleźć całość:

$${70}/{100}×x=910$$ $$|×100$$

$$70x=91000$$ $$|:70$$

$$x=1300$$

Odp.: Komputer kosztował 1300zł.
 

Obliczanie obniżki/podwyżki ceny

Zacznijmy od obniżek:

Przykład:

Komputer kosztował 1000zł po obniżce jego cena wynosi 750zł. O ile procent została obniżona cena?

Na początek obliczamy obniżkę:

$$1000-750=250$$

Tym razem nasze równanie wygląda tak:

$$x%*1000=250$$

Skróćmy przez 1000

$$x%×1=x%=0,25$$

Pamiętajmy, że % to ułamek o mianowniku 100

$$x=25%$$

Odp.: Obniżka wyniosła 25%.
 

Teraz podwyżka. Wzór na obliczanie podwyżki wygląda następująco:

$$ ext"podwyżka" = { ext"cena po podwyżce" - ext"cena przed podwyżką"}/{ ext" cena przed podwyżką"} × 100% $$

Przykład:

Benzyna kosztowała 5zł za litr. Niestety nadeszła fala podwyżek i cena wzrosła do 5zł 40gr. Oblicz o ile procent wzrosła cena.

Na początku zamiana:

5zł 40gr=5,4zł

Wystarczy, że podstawimy nasze liczby pod wzór:

$$ ext"podwyżka" = { ext"cena po podwyżce" - ext"cena przed podwyżką"}/{ ext" cena przed podwyżką"} × 100% = { 5,4 - 5}/{5} × 100%=$$
$$={ 0,4}/{5}× 100%=8/{100}× 100%=8%$$

Odp.: Podwyżka wyniosła 8%.
 

UWAGA! Obniżka i następnie podwyżka o tą samą kwotę nie dają takiej samej liczby!

Procent składany

Jest to zestawienie, które służy nam w finansach. Obliczamy dzięki niemu zyski z lokat.

Tym razem posłużymy się wzorem, lecz wpierw będziemy potrzebować:

  • kapitału
  • stopy procentowej
  • czasu trwania, czyli okresu oraz ich ilości

Używamy następującego wzoru

$$K_n=K{(1+r/{100})}^n$$

gdzie:

K - kapitał

r - stopa procentowa

n - ilość okresów
 

Przyjrzyjmy się na chwilę wartości n.

O ile łatwo można odczytać K i r tu trzeba chwilę pomyśleć.

Są lokaty np. 3 miesięczne i możemy je założyć na 3 lata.

Zatem musimy najpierw policzyć ile okresów lokaty (3 miesiące) mieści się podczas składania przez nas lokaty (3 lata), tak więc:

3lata=36miesięcy

$$36÷3=12$$ -> z tego wynika, że w tym przypadku n=12
 

Przejdźmy teraz do przykładu:

Pan Jan wpłacił 1000zł na 6-miesieczną lokatę o oprocentowaniu równym 2%. Oblicz ile będzie miał pieniędzy po 3 latach.

Napierw wypiszmy dane:

$$K=1000zł$$

$$r=2$$

teraz n

Okres to 6 miesięcy, czas to 3 lata, więc

3lata=36 miesięcy

$$36÷6=6$$ -> czyli n=6

Pozostaje podstawić do wzoru

$$K_6=1000{(1+2/{100})}^6$$

I obliczamy

$$K_6=1000×{(1,02)}^6≈1126,16$$
 

Uwaga!

Obniżka i następnie podwyżka o tą samą kwotę nie dają takiej samej liczby!
Wzór na procent składany jest w karcie wzorów maturalnych.

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Rower kosztował 1200zł, cenę tą obniżono o 25%, a następnie podwyższono o tyle samo. Ile kosztuje rower teraz?

Najpierw liczymy cenę po obniżce.

Pamiętamy, że licząc cenę a nie obniżkę musimy odjąć procenty $$100%-25%=75%$$

Teraz liczymy już cenę

$$75%*1200={75}/{100}×1200={75}/{1}×12=900$$

Teraz liczymy podwyżkę, tak samo musimy dodać procenty, aby mieć cenę podwyższoną, teraz 900 jest naszym 100%

$$100%+25%=125%$$

$$125%×900={125}/{100}×900={125}/1×9=1175$$

Jak widać cena nie jest taka sama, rower kosztuje teraz 1175zł  

Zadanie 2.

Ania zmieszała 100g wody z 20g soli. Ile % soli znajduje się w tej miksturze?

Mamy tutaj mieszankę, więc mikstura ma razem $$100+20=120g$$

To jest najważniejsze w całym tym zadaniu, aby to zauważyć.

Teraz wystarczy obliczyć ile % całości zajmuje nasza sól.

x - procent objętości roztworu dla soli $$x%×120=20$$

$$x/{100%}×120=20$$ /×100%

$$120x=2000%$$ /÷120

$$x≈16,6%$$

Odp.: Sól zajmuję ok. $$16,6%$$ mikstury.

Zadanie 3.

Konrad dostał wypłatę 5000zł brutto, po odliczeniu 40% podatku postanowił wszystko pozostałe wpłacić na lokatę kwartalną na okres 2 lat. Oprocentowanie tej lokaty to 3%. Ile zarobi przez te 2 lata?

Najpierw musimy odliczyć podatek. Zamiast obliczać ile odjąć obliczmy ile mu zostało czyli:

$$100%-40%=60%$$

Obliczamy ile to jest 60% z 5000zł

$$60%×5000={60}/{100}×5000={60}/1×50=3000zł $$

Teraz nasza lokata.

Kapitał znamy:

$$K=3000$$ Procent też:

$$r = 3%$$ Pozostaje n

$$n={2} ÷$$ $${1}/{4}=2×4=8$$ (okres to 1/4 roku, czas to 2 lata)

Podmieniamy we wzorze

$$K_n=K{(1+r/{100})}^n$$

$$K_8=3000{(1+3/{100})}^8$$

$$K_8=3000{(1,03)}^8≈3800,31$$
 

Spis treści

Rozwiązane zadania
Obwód równoległoboku ograniczonego ...

 

 

 

 

Zauważmy, że nastepujące układy, złożone z powyższych równań, mają jedno rozwiązanie:

 

Rozwiążmy powyższe układy graficznie.

 

 

 

 

 

 

 

   

Dany jest zbiór...

Zauważmy, że graficzną interpretacją zbioru F jest kwadrat bo:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Rysunek poglądowy:

Zauważmy, że jeżeli okrąg będzie miał promień równy 4 to będzie miał z kwadratem cztery punkty wspólne(będzie okręgiem opisanym na naszym kwadracie). Zauważmy, że jeżeli będziemy zmniejszać promień okręgu, to będzie on miał osiem punktów wspólnych z kwadratem aż do momentu w którym okrąg będzie się stykał ze środkami boków kwadratu. Obliczmy długość promienia okręgu w drugiej sytuacji.

Weźmy pod uwagę środek boku znajdującego się w I ćwiartce, jego współrzędne to:

 

zatem:

 

Zatem jeżeli promień będzie z przedziału:

 

to okrąg będzie miał 8 punktów wspólnych z kwadratem.

 

Odpowiedź C

Oblicz wartość wyrażenia:

 

 

 

Kąty α jest kątem ostrym ...

 

 

 

  

 

 

 

 

 

Wartości funkcji trygonometrycznych kąta ostrego są dodatnie.   

 

     

Jeśli a=5^40 i b=7^30, to: A. a-b

Odpowiedź D.

Pozostałe równości nie zachodzą. Nie możliwe jest mnożenie(odpowiedź D), odejmowanie (odpowiedź B)czy dodawanie liczb podniesionych do  jakiejś potęgi, gdyż w kolejności wykonywania działań najpierw wykonujemy potęgowanie, a później pozostałe działania. Nie dodajemy też potęg dwóch różnych liczb(jak zrobiono to w odpowiedzi C).

Wykresem funkcji f(x)= ...

 

 

 

     

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

        

  

 

      

 

 

 

 

 

      

 

 

 

 

 

    

       

 

 

   

 

   

 

  

 

   

    

 

    

W tabelce przedstawiono wartości funkcji f

Piotr i Stefan wyruszają na wycieczkę

Piotr startuje z miasta B, czyli ma do pokonania 105 km. Prędkość Piotra wynosi 15 km/h - oznacza to, że w ciągu każdej godziny Piotr pokonuje 15 km. W ciągu x godzin pokona więc 15x kilometrów. 

Zapiszmy wyrażenie opisujące odległość Piotra od miasta C wyrażoną w kilometrach (y) w zależności od czasu (x):

Oczywiście wartość x musi być nieujemna (ponieważ oznacza ona czas):

 

podobnie wartość y musi być nieujemna, ponieważ opisuje odległość: 

 

Wartość x jest więc liczbą nie mniejszą niż 0 i nie większą niż 7:

Wiemy, że dla 0 wyrażenie przyjmuje wartość 105, a dla 7 wyrażenie przyjmuje wartość 0. 

Zaznaczamy podane punkty i kreślimy wykres pokazujący odległość Piotra od miasta C:

 

 

 

Stefan startuje z miasta A, czyli ma do pokonana 135 km (30+105=135). Prędkość Stefana wynosi 22,5 km/h - oznacza to, że w ciągu każdej godziny Stefan pokonuje 22,5 km. W ciągu x godzin Stefan pokona więc 22,5 x kilometrów.

Zapiszmy wyrażenie opisując odległość Stefana od miasta C wyrażoną w kilometrach (y) w zależności od czasu (x):

Oczywiście wartość x musi być nieujemna:

podobnie wartość y musi być nieujemna: 

 

Wartość x jest więc liczbą nie mniejszą niż 0 i nie większą niż 6:

 

Wiemy, że dla 0 wyrażenie przyjmuje wartość 135, a dla 6 wyrażenie przyjmuje wartość 0. 

Teraz dorysujemy wykres pokazujący odległość Stefana od miasta C:

 

 

 

 

Z wykresu odczytujemy, że Stefan dogoni Piotra po 4 godzinach. 

 

 

 

Wiemy, że Stefan potrzebuje 6 godzin na dotarcie do miasta C. Jeśli Stefan ma dogonić Piotra dopiero w mieście C, to Piotr musi dotrzeć do miasta C także w czasie 6 godzin.

Oznaczmy nową prędkość Piotra (wyrażoną w km/h) jako 15+x. Piotr ma pokonać 105 km. Jeśli w ciągu jednej godziny pokonuje (15+x) kilometrów, to w ciągu 6 godzin pokona (15+x) kilometrów. Możemy zapisać równanie:

Piotr musiałby zwiększyć swoją średnią prędkość o 2,5 km/h. 

Rozłóż wyrażenia na czynniki, korzystając z odpowiedniego...

Przypomnijmy wzory, które będą nam potrzebne:

 

 


 


 {premium}


 


 


 


 


 


 


 

Prosta równoległa do osi OY przecina ...

 

  

 

 

 

 

   

Skoro prosta k jest równoległ do osi Y to jest postaci:

    

 

  

 

 

 

 

 

Podstawmy pod równanie okręgu współrzędne punktów A i B.

 

 

 

 

 

 

 

 

Podstawmy współrzędne punktu B do równania okręgu:

  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  

 

 

Skoro prosta k jest równoległ do osi Y to jest postaci:

    

   

 

 

   

 

 

  

  

 

Podstawmy pod równanie okręgu współrzędne punktów A i B.

 

 

 

  

 

     

     

  

Podstawmy współrzędne punktu B do równania okręgu:

  

 

    

   

  

  

  

 

 

 

  

 

 

Skoro prosta k jest równoległ do osi Y to jest postaci:

   

   

 

 

   

 

 

 

  

 

Podstawmy pod równanie okręgu współrzędne punktów A i B.

 

 

 

 

 

 

 

 

Podstawmy współrzędne punktu B do równania okręgu:

  

 

  

  

  

 

  

   

 

 

  

 

 

Skoro prosta k jest równoległ do osi Y to jest postaci:

   

   

 

 

   

 

 

 

  

 

Podstawmy pod równanie okręgu współrzędne punktów A i B.

 

 

 

 

 

 

 

 

Podstawmy współrzędne punktu B do równania okręgu: