Obliczenia procentowe - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Obliczanie procentu liczby

Posiadając procent danej liczby wystarczy pomnożyć liczba razy procent, aby uzyskać wartość tego procentu. Pokażemy dwa sposoby na rozwiązanie poniższego przykładu.

Przykład:

Przykład: Komputer kosztował 1500zł, w sklepie nastały czasy promocji, więc obniżono jego cenę o 20%. Ile kosztuje teraz?

  • Sposób I

    Liczymy ile wynosiła obniżka, część obliczamy mnożąc procent i całość:

    $$20%*1500$$

    Pamiętamy, że procent to ułamek o mianowniku 100

    $${20}/{100}×1500$$

    Skracamy w mnożeniu, więc skróćmy 1500 i 100 przez 100

    $${20}/{1}×15=300$$

    Znamy obniżkę, więc odejmujemy ją od ceny pierwotnej

    $$1500-300=1200$$

    Odp.: Komputer po obniżce kosztuje 1200zł
     

  • Sposób II

    Liczymy od razu cenę po obniżce, skoro całość to 100%, a obniżono o 20% to cena po obniżce to 80% liczby

    Liczymy więc tak samo jak w pierwszym

    $$ 80%×1500 $$

    $$ {80}/{100}×1500 $$

    Znów skracamy przez 100

    $$ {80}/{1}×15=1200$$

Obliczanie liczby mając procent i część

W tym przypadku liczymy całą liczbę, posiadając jedynie procent i jego wartość (część tej liczby).

Przykład:

Komputer po 30% obniżce kosztuje 910zł. Ile kosztował przed obniżeniem ceny?

Tym razem musimy wprowadzić niewiadomą:

x - cena przed obniżką, czyli nasza całość

Pamiętamy, że 30% jest naszą obniżką, zatem 910zł to 70% ceny.

$$70%×x=910$$ -> trzeba było pomnożyć przez 70% razy naszą całość, aby uzyskać 910zł. Pozostaje nam znaleźć całość:

$${70}/{100}×x=910$$ $$|×100$$

$$70x=91000$$ $$|:70$$

$$x=1300$$

Odp.: Komputer kosztował 1300zł.
 

Obliczanie obniżki/podwyżki ceny

Zacznijmy od obniżek:

Przykład:

Komputer kosztował 1000zł po obniżce jego cena wynosi 750zł. O ile procent została obniżona cena?

Na początek obliczamy obniżkę:

$$1000-750=250$$

Tym razem nasze równanie wygląda tak:

$$x%*1000=250$$

Skróćmy przez 1000

$$x%×1=x%=0,25$$

Pamiętajmy, że % to ułamek o mianowniku 100

$$x=25%$$

Odp.: Obniżka wyniosła 25%.
 

Teraz podwyżka. Wzór na obliczanie podwyżki wygląda następująco:

$$ ext"podwyżka" = { ext"cena po podwyżce" - ext"cena przed podwyżką"}/{ ext" cena przed podwyżką"} × 100% $$

Przykład:

Benzyna kosztowała 5zł za litr. Niestety nadeszła fala podwyżek i cena wzrosła do 5zł 40gr. Oblicz o ile procent wzrosła cena.

Na początku zamiana:

5zł 40gr=5,4zł

Wystarczy, że podstawimy nasze liczby pod wzór:

$$ ext"podwyżka" = { ext"cena po podwyżce" - ext"cena przed podwyżką"}/{ ext" cena przed podwyżką"} × 100% = { 5,4 - 5}/{5} × 100%=$$
$$={ 0,4}/{5}× 100%=8/{100}× 100%=8%$$

Odp.: Podwyżka wyniosła 8%.
 

UWAGA! Obniżka i następnie podwyżka o tą samą kwotę nie dają takiej samej liczby!

Procent składany

Jest to zestawienie, które służy nam w finansach. Obliczamy dzięki niemu zyski z lokat.

Tym razem posłużymy się wzorem, lecz wpierw będziemy potrzebować:

  • kapitału
  • stopy procentowej
  • czasu trwania, czyli okresu oraz ich ilości

Używamy następującego wzoru

$$K_n=K{(1+r/{100})}^n$$

gdzie:

K - kapitał

r - stopa procentowa

n - ilość okresów
 

Przyjrzyjmy się na chwilę wartości n.

O ile łatwo można odczytać K i r tu trzeba chwilę pomyśleć.

Są lokaty np. 3 miesięczne i możemy je założyć na 3 lata.

Zatem musimy najpierw policzyć ile okresów lokaty (3 miesiące) mieści się podczas składania przez nas lokaty (3 lata), tak więc:

3lata=36miesięcy

$$36÷3=12$$ -> z tego wynika, że w tym przypadku n=12
 

Przejdźmy teraz do przykładu:

Pan Jan wpłacił 1000zł na 6-miesieczną lokatę o oprocentowaniu równym 2%. Oblicz ile będzie miał pieniędzy po 3 latach.

Napierw wypiszmy dane:

$$K=1000zł$$

$$r=2$$

teraz n

Okres to 6 miesięcy, czas to 3 lata, więc

3lata=36 miesięcy

$$36÷6=6$$ -> czyli n=6

Pozostaje podstawić do wzoru

$$K_6=1000{(1+2/{100})}^6$$

I obliczamy

$$K_6=1000×{(1,02)}^6≈1126,16$$
 

Uwaga!

Obniżka i następnie podwyżka o tą samą kwotę nie dają takiej samej liczby!
Wzór na procent składany jest w karcie wzorów maturalnych.

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Rower kosztował 1200zł, cenę tą obniżono o 25%, a następnie podwyższono o tyle samo. Ile kosztuje rower teraz?

Najpierw liczymy cenę po obniżce.

Pamiętamy, że licząc cenę a nie obniżkę musimy odjąć procenty $$100%-25%=75%$$

Teraz liczymy już cenę

$$75%*1200={75}/{100}×1200={75}/{1}×12=900$$

Teraz liczymy podwyżkę, tak samo musimy dodać procenty, aby mieć cenę podwyższoną, teraz 900 jest naszym 100%

$$100%+25%=125%$$

$$125%×900={125}/{100}×900={125}/1×9=1175$$

Jak widać cena nie jest taka sama, rower kosztuje teraz 1175zł  

Zadanie 2.

Ania zmieszała 100g wody z 20g soli. Ile % soli znajduje się w tej miksturze?

Mamy tutaj mieszankę, więc mikstura ma razem $$100+20=120g$$

To jest najważniejsze w całym tym zadaniu, aby to zauważyć.

Teraz wystarczy obliczyć ile % całości zajmuje nasza sól.

x - procent objętości roztworu dla soli $$x%×120=20$$

$$x/{100%}×120=20$$ /×100%

$$120x=2000%$$ /÷120

$$x≈16,6%$$

Odp.: Sól zajmuję ok. $$16,6%$$ mikstury.

Zadanie 3.

Konrad dostał wypłatę 5000zł brutto, po odliczeniu 40% podatku postanowił wszystko pozostałe wpłacić na lokatę kwartalną na okres 2 lat. Oprocentowanie tej lokaty to 3%. Ile zarobi przez te 2 lata?

Najpierw musimy odliczyć podatek. Zamiast obliczać ile odjąć obliczmy ile mu zostało czyli:

$$100%-40%=60%$$

Obliczamy ile to jest 60% z 5000zł

$$60%×5000={60}/{100}×5000={60}/1×50=3000zł $$

Teraz nasza lokata.

Kapitał znamy:

$$K=3000$$ Procent też:

$$r = 3%$$ Pozostaje n

$$n={2} ÷$$ $${1}/{4}=2×4=8$$ (okres to 1/4 roku, czas to 2 lata)

Podmieniamy we wzorze

$$K_n=K{(1+r/{100})}^n$$

$$K_8=3000{(1+3/{100})}^8$$

$$K_8=3000{(1,03)}^8≈3800,31$$
 

Spis treści

Rozwiązane zadania
Dany jest trójkąt ABC o bokach długości ...

`a)` 

 Obliczmy skalę podobieństwa trójkąta ABC do trójkąta A'B'C'  (dzieląc długość najdłuższego boku trójkąta ABC przez długość najdłuższego boku trójkąta A'B'C')

`k=12/16=3/4` 

 

Stosunek obwodów trójątów także jest równy skali podobieństwa, więc możemy zapisać:

`(O_(DeltaABC))/(O_(DeltaA'B'C'))=` `3/4` 

`(6+8+12)/(O_(DeltaA'B'C'))=3/4` 

`26/(O_(DeltaA'B'C'))=3/4` 

`4*26=3*O_(DeltaA'B'C')` 

`O_(DeltaA'B'C')=104/3=34 2/3`    

 

`b)` 

`k=(O_(DeltaABC))/(O_(DeltaA'B'C'))=` `55/(4+8+10)=55/22=5/2` 

 

Oznaczmy długości boków trójkąta ABC przez x, y, z:

`x/4=y/8=z/10=5/2` 

 

`x/4=5/2\ \ \ =>\ \ \ 2x=4*5\ \ \ =>\ \ \ x=20/2=10` 

`y/8=5/2\ \ \ =>\ \ \ 2y=5*8\ \ \ =>\ \ \ y=40/2=20` 

`z/10=5/2\ \ \ =>\ \ \ 2z=5*10\ \ \ =>\ \ \ z=50/2=25` 

Długości boków trójkąta ABC wynoszą 10, 20, 25

Odczytaj z rysunku rozwiązanie

Szukamy współrzędnych punktu przecęcia prostych o zadanych równaniach, ma on współrzędne (2; 3). Sprawdzamy, czy współrzędne tego punktu spełniają pierwsze równanie układu:

`3#=^?2*2-1`

`3#=^?4-1`

`3#=^?3`

Współrzędne punktu (2; 3) spełniają pierwsze równanie układu. 

 

 

Sprawdzamy, czy współrzędne tego punktu spełniają drugie równanie układu: 

`3#=^?1/2*2+2`

`3#=^?1+2`

`3#=^?3`

Współrzędne punktu (2; 3) spełniają drugie równanie układu. 

 

Jeśli współrzędne punktu (2; 3) spełniają oba równania układu równań, to punkt (2; 3) jest rozwiązaniem tego układu. 

Zaznacz na osi liczbowej i zapisz w postaci przedziału

Uzasadnij, że suma trzech kolejnych

`a)`

`k,\ \ k+1,\ \ k+2\ \ \ -\ \ \ "trzy kolejne liczby naturalne"`

 

Zapiszmy sumę tych liczb. Jeśli uda się ją przedstwić jako iloczyn trójki i pewnej liczby naturalnej, to będzie to oznaczać, że ta suma jest podzielna przez 3. 

`k+k+1+k+2=3k+3=3*#underbrace((k+1))_("l. naturalna")`

 

 

 

 

`b)`

Liczba parzysta jest podzielna przez 2, jest więc iloczynem dwójki i pewnej liczby całkowitej k. Oznacza to, że liczba parzysta jest postaci 2k. Co druga liczba jest parzysta, więc liczba o 2 większa od parzystej także jest parzysta. 

`2k,\ \ 2k+2,\ \ 2k+4\ \ -\ \ \ "trzy kolejne liczby parzyste"`

 

 

Zapiszmy sumę tych liczb. Jeśli uda się ją przedstwić jako iloczyn szóstki i pewnej liczby naturalnej, to będzie to oznaczać, że ta suma jest podzielna przez 6. 

`2k+2k+2+2k+4=6k+6=6*#underbrace((k+1))_("l. naturalna")`

 

 

 

`c)`

Wiemy już, że liczba parzysta jest postaci 2k. Liczba o 1 większa od liczby parzystej jest nieparzysta, więc liczba nieparzysta to liczba postaci 2k+1. Kolejna liczba nieparzysta jest o 2 większa od tej liczby (co druga liczba jest nieparzysta). 

`2k+1,\ 2k+3,\ 2k+5,\ 2k+7,\ 2k+9\ \ \ -\ \ \ "pięć kolejnych liczb nieparzystych"`

 

Zapiszmy sumę tych liczb. Jeśli uda się ją przedstwić jako iloczyn piątki i pewnej liczby naturalnej, to będzie to oznaczać, że ta suma jest podzielna przez 5. 

`2k+1+2k+3+2k+5+2k+7+2k+9=10k+25=5*#underbrace((2k+5))_("l. naturalna")`

Punkt A' położony jest symetrycznie ...

`a)` 

`O=(0;0)` 

`A=(3;4)` 

`|A A'|=2|OA|=2sqrt(3^2+4^2)=2sqrt25=10`  

 

`b)` 

`A=(-1;4)` 

`|A A'|=2|OA|=2sqrt((-1)^2+4^2)=2sqrt17=2sqrt17`    

 

`c)` 

`A=(-6;-8)` 

`|A A'|=2|AO|=2sqrt(6^2+8^2)=2sqrt100=20`   

 

`d)` 

`A=(a;a)` 

`|A A'|=2|AO|=2sqrt(a^2+a^2)=2sqrt(2a^2)=2sqrt2|a|`    

Wyznacz kąty trójkąta ABC ...

 

Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku.

Dorysowujemy promienie SD oraz SB, a także styczna do okręgu w punkcie B.

Miejsce przecięcia obu stycznych (prostej AC i prostej EB) oznaczamy literą E.

 

Zauważmy, że:

`75^"o"+60^"o"+alpha=180^"o"` 

`135^"o"+alpha=180^"o"` 

`alpha=45^"o"` 

Mamy więc wyznaczoną miarę kata BAC:

`ul(ul(|/_BAC|=45^"o"))` 

 

Z tw. o odcinkach stycznych mamy:

`|EA|=|EB|` 

Stąd trójkąt BEA jest trójkątem równoramiennym i miary kątów przy podstawie AB są sobie równe, czyli:

`|/_BAE|=|/_ABE|=45^"o"` 

 

Kąt środkowy DSB jest oparty na tym samym łuku, co kąt wpisany DAB, stąd (z tw. o kącie wpisanym i środkowym opartych na tym samym łuku) mamy:

`beta=2*60^"o"=120^"o"` 

Trójkąt DBS jest trójkątem równoramiennym, ponieważ |SD|=|SB|. Miary kątów przy podstawie są równe. Obliczmy miarę kąta γ:

`2gamma+120^"o"=180^"o"` 

`2gamma=60^"o"`  

`gamma=30^"o"` 

`|/_BDA|=|/_DBS|=30^"o"` 

 

W punkcie B znajduje się punkt styczności, więc promień poprowadzony do tego punktu tworzy ze styczną kąt prosty, czyli:

`|/_SBE|=90^"o"` 

Obliczmy miarę kąta δ:

`gamma+90^"o"+delta=180^"o"` 

`30^"o"+90^"o"+delta=180^"o"` 

`120^"o"+delta=180^"o"` 

`delta=60^"o"` 

Możemy wyznaczyć miarę kata CBA:

`|/_CBA|=alpha+delta` 

`|/_CBA|=45^"o"+60^"o"` 

`ul(ul(|/_CBA=105^"o"))` 

 

Z tw. o sumie miar kątów w trójkącie (dla trójkąta ABC) obliczamy miarę kąta BCA:

`lambda=180^"o"-45^"o"-105^"o"`  

`lambda=30^"o"` 

`ul(ul(|/_BCA|=30^"o"))` 

 

Odp: Miary kątów wewnętrznych w trójkącie wynoszą 30o, 45o i 105o.

 

Uzasadnij równość

`a)` 

Zaczniemy rozpisywać prawą stronę równości, aż dojdziemy do lewej strony. 

`(1-x^2)(1+x+x^2)(1-x+x^2)=(1^2-x^2)(1+x+x^2)(1-x+x^2)=(1-x)(1+x)(1+x+x^2)(1-x+x^2)=` 

`=(1-x)(1+x+x^2)(1+x)(1-x+x^2)=(1^3-x^3)(1^3+x^3)=(1-x^3)(1+x^3)=1^2-(x^3)^2=1-x^6` 

 

 

`b)` 

Zaczniemy rozpisywać prawą stronę równości, aż dojdziemy do lewej strony. 

`(x+y)^6-(x-y)^6=((x+y)^3)^2-((x-y)^3)^2=[(x+y)^3-(x-y)^3]*[(x+y)^3+(x-y)^3]=` 

`=[(x^3+3x^2y+3xy^2+y^3)-(x^3-3x^2y+3xy^2-y^3)]*[(x^3+3x^2y+3xy^2+y^3)+(x^3-3x^2y+3xy^2-y^3)]=`  

`=[6x^2y+2y^3]*[2x^3+6xy^2]=2y*(3x^2+y^2)*2x(x^2+3y^2)=4xy(3x^2+y^2)(x^2+3y^2)`   

Oblicz miarę kąta...

Z twierdzenia sinusów:

`R = b/(2 sin beta) = (10sqrt3)/(2*1/4) = (10sqrt3)/(1/2) = 20sqrt3` 

 

A więc:

`R = a/(2sin alpha)` 

`R sin alpha = a/2` 

`sin alpha = a/(2R)` 

`sin alpha = (20sqrt3)/(2*20sqrt3) = 1/2` 

`alpha = 30^o \ \ vv alpha = 150^o` 

Oblicz

`a)\ (sqrt7+1)^2=sqrt7^2+2*sqrt7*1+1^2=7+2sqrt7+1=8+2sqrt7`

`b)\ (sqrt5-3)^2=sqrt5^2-2*sqrt5*3+3^2=5-6sqrt5+9=14-6sqrt5`

`c)\ (6-sqrt3)^2=6^2-2*6*sqrt3+sqrt3^2=36-12sqrt3+3=39-12sqrt3`

`d)\ (sqrt3+sqrt2)^2=sqrt3^2+2*sqrt3*sqrt2+sqrt2^2=3+2sqrt6+2=5+2sqrt6`

`e)\ (sqrt6+sqrt15)^2=sqrt6^2+2*sqrt6*sqrt15+sqrt15^2=6+2sqrt90+15=21+2*sqrt9*sqrt10=21+2*3sqrt10=21+6sqrt10`

`f)\ (sqrt2/2-sqrt6)^2=(sqrt2/2)^2-2*sqrt2/2*sqrt6+sqrt6^2=2/4-sqrt12+6=1/2-sqrt4*sqrt3+6=6 1/2-2sqrt3`

Napisz równanie prostej równoległej

Proste równoległe mają jednakowe współczynniki kierunkowe, więc szukana prosta ma współczynnik kierunkowy m. 

 

`a)`

`y=-2/3x+b`

Aby obliczyć wartość współczynnika b wystarczy podstawić współrzędne punktu A do powyższego równania: 

`5=-2/3*3+b`

`5=-2+b\ \ \ |+2`

`b=7`

 

`ul(ul(y=-2/3x+7))`

 

 

 

`b)`

`y=x+b`

 

Podstawiamy współrzędne punktu A:

`-1=-2+b\ \ \ \ |+2`

`b=1`

 

`ul(ul(y=x+1)`

 

 

`c)`

`y=3x+b`

 

Podstawiamy współrzędne punktu A:

`1=3*3+b`

`1=9+b\ \ \ |-9`

`b=-8`

 

`ul(ul(y=3x-8))`