Zgoda na przetwarzanie danych osobowych

25 maja 2018 roku zacznie obowiązywać Rozporządzenie Parlamentu Europejskiego i Rady (UE) 2016/679 z dnia 27 kwietnia 2016 r. znane jako RODO.

Dlatego aby dalej móc dostarczać Ci materiały odpowiednie do Twojego etapu edukacji, potrzebujemy zgody na lepsze dopasowanie treści do Twojego zachowania. Dzięki temu możemy zapamiętywać jakie materiały są Ci potrzebne. Dbamy o Twoją prywatność, więc nie zwiększamy zakresu naszych uprawnień. Twoje dane są u nas bezpieczne, a zgodę na ich zbieranie możesz wycofać na podstronie polityka prywatności.

Klikając "Przejdź do Odrabiamy", zgadzasz się na wskazane powyżej działania. W przeciwnym wypadku, nie jesteśmy w stanie zrealizować usługi kompleksowo i prosimy o opuszczenie strony.

Polityka prywatności

Drogi Użytkowniku w każdej chwili masz prawo cofnąć zgodę na przetwarzanie Twoich danych osobowych. Cofnięcie zgody nie będzie wpływać na zgodność z prawem przetwarzania, którego dokonano na podstawie wyrażonej przez Ciebie zgody przed jej wycofaniem. Po cofnięciu zgody wszystkie twoje dane zostaną usunięte z serwisu. Udzielenie zgody możesz modyfikować w zakładce 'Informacja o danych osobowych'

Obliczenia procentowe - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Obliczanie procentu liczby

Posiadając procent danej liczby wystarczy pomnożyć liczba razy procent, aby uzyskać wartość tego procentu. Pokażemy dwa sposoby na rozwiązanie poniższego przykładu.

Przykład:

Przykład: Komputer kosztował 1500zł, w sklepie nastały czasy promocji, więc obniżono jego cenę o 20%. Ile kosztuje teraz?

  • Sposób I

    Liczymy ile wynosiła obniżka, część obliczamy mnożąc procent i całość:

    $$20%*1500$$

    Pamiętamy, że procent to ułamek o mianowniku 100

    $${20}/{100}×1500$$

    Skracamy w mnożeniu, więc skróćmy 1500 i 100 przez 100

    $${20}/{1}×15=300$$

    Znamy obniżkę, więc odejmujemy ją od ceny pierwotnej

    $$1500-300=1200$$

    Odp.: Komputer po obniżce kosztuje 1200zł
     

  • Sposób II

    Liczymy od razu cenę po obniżce, skoro całość to 100%, a obniżono o 20% to cena po obniżce to 80% liczby

    Liczymy więc tak samo jak w pierwszym

    $$ 80%×1500 $$

    $$ {80}/{100}×1500 $$

    Znów skracamy przez 100

    $$ {80}/{1}×15=1200$$

Obliczanie liczby mając procent i część

W tym przypadku liczymy całą liczbę, posiadając jedynie procent i jego wartość (część tej liczby).

Przykład:

Komputer po 30% obniżce kosztuje 910zł. Ile kosztował przed obniżeniem ceny?

Tym razem musimy wprowadzić niewiadomą:

x - cena przed obniżką, czyli nasza całość

Pamiętamy, że 30% jest naszą obniżką, zatem 910zł to 70% ceny.

$$70%×x=910$$ -> trzeba było pomnożyć przez 70% razy naszą całość, aby uzyskać 910zł. Pozostaje nam znaleźć całość:

$${70}/{100}×x=910$$ $$|×100$$

$$70x=91000$$ $$|:70$$

$$x=1300$$

Odp.: Komputer kosztował 1300zł.
 

Obliczanie obniżki/podwyżki ceny

Zacznijmy od obniżek:

Przykład:

Komputer kosztował 1000zł po obniżce jego cena wynosi 750zł. O ile procent została obniżona cena?

Na początek obliczamy obniżkę:

$$1000-750=250$$

Tym razem nasze równanie wygląda tak:

$$x%*1000=250$$

Skróćmy przez 1000

$$x%×1=x%=0,25$$

Pamiętajmy, że % to ułamek o mianowniku 100

$$x=25%$$

Odp.: Obniżka wyniosła 25%.
 

Teraz podwyżka. Wzór na obliczanie podwyżki wygląda następująco:

$$ ext"podwyżka" = { ext"cena po podwyżce" - ext"cena przed podwyżką"}/{ ext" cena przed podwyżką"} × 100% $$

Przykład:

Benzyna kosztowała 5zł za litr. Niestety nadeszła fala podwyżek i cena wzrosła do 5zł 40gr. Oblicz o ile procent wzrosła cena.

Na początku zamiana:

5zł 40gr=5,4zł

Wystarczy, że podstawimy nasze liczby pod wzór:

$$ ext"podwyżka" = { ext"cena po podwyżce" - ext"cena przed podwyżką"}/{ ext" cena przed podwyżką"} × 100% = { 5,4 - 5}/{5} × 100%=$$
$$={ 0,4}/{5}× 100%=8/{100}× 100%=8%$$

Odp.: Podwyżka wyniosła 8%.
 

UWAGA! Obniżka i następnie podwyżka o tą samą kwotę nie dają takiej samej liczby!

Procent składany

Jest to zestawienie, które służy nam w finansach. Obliczamy dzięki niemu zyski z lokat.

Tym razem posłużymy się wzorem, lecz wpierw będziemy potrzebować:

  • kapitału
  • stopy procentowej
  • czasu trwania, czyli okresu oraz ich ilości

Używamy następującego wzoru

$$K_n=K{(1+r/{100})}^n$$

gdzie:

K - kapitał

r - stopa procentowa

n - ilość okresów
 

Przyjrzyjmy się na chwilę wartości n.

O ile łatwo można odczytać K i r tu trzeba chwilę pomyśleć.

Są lokaty np. 3 miesięczne i możemy je założyć na 3 lata.

Zatem musimy najpierw policzyć ile okresów lokaty (3 miesiące) mieści się podczas składania przez nas lokaty (3 lata), tak więc:

3lata=36miesięcy

$$36÷3=12$$ -> z tego wynika, że w tym przypadku n=12
 

Przejdźmy teraz do przykładu:

Pan Jan wpłacił 1000zł na 6-miesieczną lokatę o oprocentowaniu równym 2%. Oblicz ile będzie miał pieniędzy po 3 latach.

Napierw wypiszmy dane:

$$K=1000zł$$

$$r=2$$

teraz n

Okres to 6 miesięcy, czas to 3 lata, więc

3lata=36 miesięcy

$$36÷6=6$$ -> czyli n=6

Pozostaje podstawić do wzoru

$$K_6=1000{(1+2/{100})}^6$$

I obliczamy

$$K_6=1000×{(1,02)}^6≈1126,16$$
 

Uwaga!

Obniżka i następnie podwyżka o tą samą kwotę nie dają takiej samej liczby!
Wzór na procent składany jest w karcie wzorów maturalnych.

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Rower kosztował 1200zł, cenę tą obniżono o 25%, a następnie podwyższono o tyle samo. Ile kosztuje rower teraz?

Najpierw liczymy cenę po obniżce.

Pamiętamy, że licząc cenę a nie obniżkę musimy odjąć procenty $$100%-25%=75%$$

Teraz liczymy już cenę

$$75%*1200={75}/{100}×1200={75}/{1}×12=900$$

Teraz liczymy podwyżkę, tak samo musimy dodać procenty, aby mieć cenę podwyższoną, teraz 900 jest naszym 100%

$$100%+25%=125%$$

$$125%×900={125}/{100}×900={125}/1×9=1175$$

Jak widać cena nie jest taka sama, rower kosztuje teraz 1175zł  

Zadanie 2.

Ania zmieszała 100g wody z 20g soli. Ile % soli znajduje się w tej miksturze?

Mamy tutaj mieszankę, więc mikstura ma razem $$100+20=120g$$

To jest najważniejsze w całym tym zadaniu, aby to zauważyć.

Teraz wystarczy obliczyć ile % całości zajmuje nasza sól.

x - procent objętości roztworu dla soli $$x%×120=20$$

$$x/{100%}×120=20$$ /×100%

$$120x=2000%$$ /÷120

$$x≈16,6%$$

Odp.: Sól zajmuję ok. $$16,6%$$ mikstury.

Zadanie 3.

Konrad dostał wypłatę 5000zł brutto, po odliczeniu 40% podatku postanowił wszystko pozostałe wpłacić na lokatę kwartalną na okres 2 lat. Oprocentowanie tej lokaty to 3%. Ile zarobi przez te 2 lata?

Najpierw musimy odliczyć podatek. Zamiast obliczać ile odjąć obliczmy ile mu zostało czyli:

$$100%-40%=60%$$

Obliczamy ile to jest 60% z 5000zł

$$60%×5000={60}/{100}×5000={60}/1×50=3000zł $$

Teraz nasza lokata.

Kapitał znamy:

$$K=3000$$ Procent też:

$$r = 3%$$ Pozostaje n

$$n={2} ÷$$ $${1}/{4}=2×4=8$$ (okres to 1/4 roku, czas to 2 lata)

Podmieniamy we wzorze

$$K_n=K{(1+r/{100})}^n$$

$$K_8=3000{(1+3/{100})}^8$$

$$K_8=3000{(1,03)}^8≈3800,31$$
 

Spis treści

Rozwiązane zadania
Dziedziną funkcji f(x)...

`x-4x^2>=0` 

`-4x^2+x>=0` 

`x(-4x+1)>=0` 

`x_1=0, x_2=1/4` 

 

Odp. A

Punkt W(2,-3) jest wierzchołkiem...

`f(x)=x^2+bx+c` 

Korzystając z postaci kanonicznej mamy:

`f(x)=1(x-2)^2-3` 

`f(x)=x^2-4x+4-3` 

`f(x)=x^2-4x+1` 

`b=-4, c=1` 

 

`"brak rozwiązań" \ \ \ m in (-oo, 0)` 

`"dwa rozwiązania" \ \ m in {0}uu (3,+oo)` 

`"cztery rozwiązania" \ \ \ m in (0, 3)` 

`"trzy rozwiązania" \ \ \ m=3`

Oblicz

`a)\ root(3)(-27)=-3`

`b)\ root(3)(-64)=-4`

`c)\ root(3)(-125)=-5`

`d)\ root(3)(-1/27)=-1/3`

`e)\ root(3)(-27/1000)=-3/10`

 

Zbiorem rozwiązań nierówności jest...

`x^2>6x` 

`x^2-6x>0` 

`x(x-6)>0` 

`x=0\ \ \ vv\ \ \ x=6` - miejsca zerowe trójmianu `x^2-6x` 

Szkicujemy wykres:

Odczytujemy rozwiązanie:

`x in (-oo,\ 0)uu(6,+oo)` 

Prawidłowa odpowiedź to `"D."` 

Wyznacz zbiór argumentów...

`a) \ y leq 4`  

`3x-5 leq 4` 

`3x leq 9` 

`x leq 3` 

 

`x in (-oo. 3]` 

 

`b) \ 1< y` 

`1 < 3x-5` 

`6 < 3x` 

`2 < x` 

 

`x in (-oo, 2)` 

 

`c) \ -4 leq y leq 4` 

`-4 leq 3x-5 leq 4` 

`1 leq 3x leq 9` 

`1/3 leq x leq 3` 

 

`x in [1/3 , 3]` 

 

`d) \ -1 < y < 1` 

`-1 < 3x-5 < 1` 

`4 < 3x < 6` 

`4/3 < x < 2` 

 

`x in (4/3 , 2)`  

Wyznacz zbiory

`a)`

`AuuB=(1,\ 6)`

`AnnB=(2,\ 4)`

`A\\B=(1,\ 2>>`

`B\\A=<<4,\ 6)`

 

 

 

`b)`

`AuuB=<<-4,\ 3>>`

`AnnB={1}`

`A\\B=<<-4,\ 1)`

`B\\A=(1,\ 3>>`

 

 

`c)`

 

`AuuB=<<-5,\ 3>>`

`AnnB=<<1,\ 3>>`

`A\\B=emptyset`

`B\\A=<<-5,\ 1)`

 

 

`d)`

`AuuB=(-3,\ 2>>`

`AnnB=(-1,\ 2>>`

`A\\B=(-3,\ 1>>`

`B\\A=emptyset`

Liczba 1 jest pewnym przybliżeniem liczby x

`|x-1|/|x|<=4%` 

Jeśli przybliżenie liczby x jest równe 1 (jest dodatnie), to liczba x także jest dodatnia, więc możemy opuścić wartość bewzględną  w mianowniku bez zmiany znaku:

`|x-1|/x<=4/100` 

`|x-1|/x<=1/25\ \ \ \ \|*x>0` 

`|x-1|<=1/25x` 

 

Musimy rozpatrzeć dwa przypadki:

`1)\ x in (-infty;\ 1)` 

`\ \ \ \ |x-1|<=1/25x` 

`\ \ \ \ -(x-1)<=1/25x` 

`\ \ \ \ -x+1<=1/25x\ \ \ \ |*(-25)` 

`\ \ \ \ 25x-25>=-x\ \ \ |+x` 

`\ \ \ \ 26x-25>=0\ \ \ |+25` 

`\ \ \ \ 26x>=25\ \ \ |:26` 

`\ \ \ \ x>=25/26`  

Weryfikujemy otrzymane rozwiązanie z zadanym przedziałem:

`x in <<25/26;\ 1) ` 

 

`2)\ x in <<1;\ +infty)` 

`\ \ \ \ |x-1|<=1/25x` 

`\ \ \ \ x-1<=1/25x\ \ \ |*25` 

`\ \ \ \ 25x-25<=x\ \ \ |-x` 

`\ \ \ \ 24x-25<=0\ \ \ |+25` 

`\ \ \ \ 24x<=25\ \ \ |:24` 

`\ \ \ \ x<=25/24` 

Weryfikujemy otrzymane rozwiązanie z zadanym przedziałem:

`x in <<1;\ 25/24>>`  

 

Minimalny przedział, do którego należy liczba x, to suma otrzymanych przedziałów;

`x in <<25/26;\ 1)uu<<1;\ 25/24>>\ \ \ =>\ \ \ ul(ul(x in <<25/26;\ 25/24>>`  

Naszkicuj wykres funkcji f ...

`a)` 

Zauważmy, że:

`f(x)=-f(-x)` 

Czyli funkcja jest symetryczna względem punktu P=(0;0).

Środek symetrii funkcji f to punkt (0;0).

 

`b)` 

`f(x)=(x-1)^3` 

`g(x)=x^3` 

Zauważmy, że wykres funkcji f(x), to wykres funkcji g(x) przesunięty o jednostkę w prawo.

Tym samym środek symetrii funkcji f to środek symetrii funkcji g przesunięty o jednostkę w prawo.

`P=(1;0)`  

 

`c)` 

`f(x)=(x+2)^3-1`  

`g(x)=x^3`  

Zauważmy, że wykres funkcji f(x), to wykres funkcji g(x) przesunięty o dwie jednostki w 

lewo i jedną jednostkę w dół. Tym samym środek symetrii funkcji f to środek symetrii

funkcji g przesunięty o dwie jednostki w lewo i jedną jednostkę w dół.

`P=(-2;-1)`   

Na rysunku przedstawiono parabolę ...

`a)`  

`x_1=1` 

`x_2=3` 

`f(x)=a(x-1)(x-3)` 

`f(0)=3a=3` 

`a=1` 

`f(x)=(x-1)(x-3)-"postac iloczynowa funkcji kwadratowej f"` 

`f(x)= (x-1)(x-3)= (x^2-3x-x+3)= x^2-4x+3-"postać ogólna funkcji kwadratowej f"`  

 

`b)` 

`x_1=-1` 

`x_2=3` 

`f(x)=a(x+1)(x-3)` 

`f(0)=-3a=-3/2` 

`a=1/2` 

 

`f(x)=1/2(x+1)(x-3)-"postac iloczynowa funkcji kwadratowej f"`  

`f(x)=1/2(x+1)(x-3)=1/2(x^2-3x+x-3)=1/2x^2-x-3/2-"postać ogólna funkcji kwadratowej f"` 

 

`c)` 

`x_1=-4` 

`x_2=0` 

`f(x)=ax(x+4)` 

`f(-3)=-3a=3` 

`a=-1`   

 

`f(x)=-x(x+4)-"postac iloczynowa funkcji kwadratowej f"`   

`f(x)=-x(x+4)=-x^2-4x-"postać ogólna funkcji kwadratowej f"`  

Sprawdź, czy podana równość jest tożsamością...

`"a)"\ (sinalpha+cosalpha)^2+(sinalpha-cosalpha^2)=` 

`=sin^2alpha+2sinalphacosalpha+cos^2alpha+sin^2alpha-2sinalphacosalpha+cos^2alpha=` 

`=2(sin^2alpha+cos^2alpha)=2`  

Przekształcając wyrażenie po lewej stronie równania, otrzymaliśmy równanie po prawej stronie. Oznacza to, że

równość jest tożsamością.

 

`"b)"\ (cosalpha+sinalpha)^2-(cosalpha-sinalpha)^2=`   

`=cos^2alpha+2sinalphacosalpha+sin^2alpha-(cos^2alpha-2sinalphacosalpha+sin^2alpha)=` 

`=cos^2alpha+2sinalphacosalpha+sin^2alpha-cos^2alpha+2sinalphacosalpha-sin^2alpha=4sinalphacosalpha` 

Przekształcając wyrażenie po lewej stronie równania, otrzymaliśmy równanie po prawej stronie. Oznacza to, że

równość jest tożsamością.

 

`"c)"\ sin^4alpha-cos^4alpha=(sin^2alpha+cos^2alpha)(sin^alpha-cos^2alpha)=sin^2alpha-cos^2alpha` 

Przekształcając wyrażenie po lewej stronie równania, otrzymaliśmy równanie po prawej stronie. Oznacza to, że

równość jest tożsamością.

 

`"d)"\ sin^4alpha-cos^4alpha=(sin^2alpha+cos^2alpha)(sin^alpha-cos^2alpha)=sin^2alpha-cos^2alpha=` 

`=1-cos^2alpha-cos^2alpha=1-2cos^2alpha` 

Przekształcając wyrażenie po lewej stronie równania, otrzymaliśmy równanie po prawej stronie. Oznacza to, że

równość jest tożsamością.

 

`"e)"\ 1/cosalpha-"tg"alpha=1/cosalpha-sinalpha/cosalpha=(1-sinalpha)/cosalpha*(1+sinalpha)/(1+sinalpha)=(1-sin^2alpha)/(cosalpha(1+sinalpha))=` 

`=cos^2alpha/(cosalpha(1+sinalpha))=cosalpha/(1+sinalpha)`  

Przekształcając wyrażenie po lewej stronie równania, otrzymaliśmy równanie po prawej stronie. Oznacza to, że

równość jest tożsamością.

 

`"f)"\ 1/sinalpha-1/("tg"alpha)=1/sinalpha-1/(sinalpha/cosalpha)=1/sinalpha-cosalpha/sinalpha=(1-cosalpha)/sinalpha*(1+cosalpha)/(1+cosalpha)=`  

`=sin^2alpha/(sinalpha(1+cosalpha))=sinalpha/(1+cosalpha)!=sinalpha/(1-cosalpha)` 

Przekształcając równanie po lewej stronie równania, nie udało nam się otrzymać równania po prawej stronie.

Oznacza to, że równość nie jest tożsamością trygonometryczną.