Zgoda na przetwarzanie danych osobowych

25 maja 2018 roku zacznie obowiązywać Rozporządzenie Parlamentu Europejskiego i Rady (UE) 2016/679 z dnia 27 kwietnia 2016 r. znane jako RODO.

Dlatego aby dalej móc dostarczać Ci materiały odpowiednie do Twojego etapu edukacji, potrzebujemy zgody na lepsze dopasowanie treści do Twojego zachowania. Dzięki temu możemy zapamiętywać jakie materiały są Ci potrzebne. Dbamy o Twoją prywatność, więc nie zwiększamy zakresu naszych uprawnień. Twoje dane są u nas bezpieczne, a zgodę na ich zbieranie możesz wycofać na podstronie polityka prywatności.

Klikając "Przejdź do Odrabiamy", zgadzasz się na wskazane powyżej działania. W przeciwnym wypadku, nie jesteśmy w stanie zrealizować usługi kompleksowo i prosimy o opuszczenie strony.

Polityka prywatności

Drogi Użytkowniku w każdej chwili masz prawo cofnąć zgodę na przetwarzanie Twoich danych osobowych. Cofnięcie zgody nie będzie wpływać na zgodność z prawem przetwarzania, którego dokonano na podstawie wyrażonej przez Ciebie zgody przed jej wycofaniem. Po cofnięciu zgody wszystkie twoje dane zostaną usunięte z serwisu. Udzielenie zgody możesz modyfikować w zakładce 'Informacja o danych osobowych'

Obliczanie odległości dwóch punktów - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Obliczanie odległości dwóch punktów

Obliczanie odległości dwóch punktów w układzie współrzędnych ogranicza się do korzystania z dość skomplikowanie wyglądającego wzoru:
$$|AB|=√{(x_2- x_1 )^2+(y_2-y_1 )^2}$$

Na szczęście wzór ten jedynie wygląda "groźnie", ponieważ aby go wyprowadzić wystarczy znajomość Twierdzenia Pitagorasa.

Przykład:

Mamy dwa punkty A(1,1) oraz B(4,5). Znajdźmy ich odległość.
img01
Dorysujmy linie pomocnicze:

img02

I szukaną odległość:

img03

Jak widać szukana odległość jest niczym innym jak przeciwprostokątną, oznaczmy boki:

img04

Zatem przypomnijmy Twierdzenie Pitagorasa:
$$a^2+b^2=c^2$$
C będzie naszym szukanym bokiem, czyli odcinkiem |AB|.

Jak znaleźć a i b? Tak samo jak na przykładowym rysunku, odejmujemy współrzędne punktu początkowego od końcowego dla każdego odcinka, więc dla $$A(1,1)$$ i $$B(4,5)$$ to po prostu:

$$a=4-1$$
$$b=5-1$$
czyli ostatecznie:
a=3
b=4

pozostaje nam obliczyć wzór:
$$3^2+4^2=c^2$$
$$9+16=c^2$$
$$c^2=25$$
$$c=5$$
$$c=|AB|=5$$

Uzyskaliśmy poprawny wynik nie korzystając z wymienionego na początku tematu wzoru, ale teraz czas z niego skorzystać.
Obliczenie za pomocą wzoru:
Skoro $$A(1,1)$$ to przy wzorze ogólnym na punkt $$A(x_1,y_1)$$ wartość
$$x_1=1$$
$$y_1=1$$
Skoro B(4,5) to:
$$x_2=4$$
$$y_2=5$$

Mamy wzór:

$$|AB|=√{(x_2- x_1 )^2+(y_2-y_1 )^2}$$

Podmieniamy litery na ich wartości:

$$|AB|=√{(4- 1)^2+(5-1)^2}$$
$$|AB|=√{3^2+4^2}$$
$$|AB|=√{25}$$
$$|AB|=5$$

 

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Oblicz odległość pomiędzy A(1;3) oraz B(13;8)

Dla A(1,3) i B(13,8) odejmujemy współrzędne:
$$a=13-1$$
$$b=8-3$$
$$a=12$$
$$b=5$$
$$c=|AB|$$

pozostaje nam obliczyć wzór:

$$12^2+5^2=c^2$$
$$144+25=c^2$$
$$c^2=169$$
$$c=13$$

Odp.: Odległość wynosi 13.

Zadanie 2.

Wykaż, że trójkąt ABC, gdzie A=(−2,1), B=(3,4), C=(−5,6) jest prostokątny.

Aby to wykazać musimy standardowo posłużyć się twierdzeniem pitagorasa, i to wiele razy.
Standardowo zacznijmy od policzenia za pomocą wzoru na odległość punktu poszczególnych kombinacji czyli:

$$|CA| = √{(-5+2)^2 + (6-1)^2}=√{9 + 25}= √{34} $$

$$|AB| = √{(3+2)^2 + (4-1)^2}=√{25 + 9}= √{34} $$

$$|BC| = √{(-5-3)^2 +(6-4)^2}=√{64 + 4}=√{68} $$

BC jest największą liczbą zatem jest przeciwprostokątną. Użyjmy pitagorasa $$|CA|^2 + |AB|^2 = |BC|^2$$

$$34+34=68$$
$$68=68$$

Twierdzenie Pitagorasa działa tylko dla trójkątów prostokątnych, zatem trójkąt jest prostokątny

Spis treści

Rozwiązane zadania
Wierzchołkiem paraboli jest punkt

Zapiszmy równanie paraboli w postaci kanonicznej, wtedy z łatwością odczytamy współrzędne wierzchołka: 

`y=x^2+4x=x^2+4x+4-4=(x+2)^2-4\ \ \ =>\ \ \ W=(-2,\ -4)`

Sprawdź, czy podana równość...

`L=(sin x)/(1+cosx) + (1+cosx)/sinx = (sin^2x)/(sinx(1+cosx)) +((1+cosx)^2)/(sinx(1+cosx))=(sin^2x + 1 + 2cosx + cos^2x)/(sinx(1+cosx))=` 

`(2+2cosx)/(sinx(1+cosx)) = (2(1+cosx))/(sinx(1+cosx)) = 2/sinx=P` 

Jest to tożsamość trygonometryczna.

Do prostej przechodzącej przez punkty ...

`P=(sqrt2;-1)` 

`Q=(-sqrt2;1)` 

 

`PQ:\ y= ax+b` 

`{(-1=sqrt2a+b),(1=-sqrt2a+b):}` 

`{( 1=-sqrt2a-b),(1=-sqrt2a+b):}` 

`2=-2sqrt2a `  

`sqrt2a=-1`  

`a=-1/sqrt2=-sqrt2/2` 

`b=1+sqrt2a=1+sqrt2*(-sqrt2)/2=0`    

`PQ:\ y=-sqrt2/2x`  

 

Sprawdźmy punkt z podpunktu D:

`(4;-2sqrt2)` 

`-2sqrt2=-sqrt2/2*4` 

`-2sqrt2=-2sqrt2` 

`0=0` 

Punkt z podpunktu D należy do prostej przechodzącej przez punkty P i Q.

`"Odpowiedź D."`   

 

Wyznacz taką wartość m, aby wykres funkcji...

Punkt `(2,-3)` musi spełniać równanie prostej, czyli:

`-3=2m+3`  

`-6=2m\ "/":2` 

`m=-3`     

Odp. Dla `m=-3` podany punkt należy do wykresu funkcji. 

Zapisz nierówności, które są spełnione przez liczby

`a)\ -3<x<2`

`b)\ 0<x<4`

`c)\ -1/3<x<1/2`

`d)\ 100<x<150`

 

 

Ile elementów należy do zbioru X?

Wykres funkcji f(x) przekształcono symetrycznie

`g(x)=f(-x)=4*(-x)-5=-4x-5\ \ \ \ \ \ \ odp.\ B`

Jeden z uczniów z poprzedniego zadania

Mamy teraz następujące dane:

  • klasa nadal liczy 30 osób
  • 15 uczniów ma psa (jeden uczeń dostał psa na urodziny)
  • 9 uczniów ma kota
  • 3 uczniów ma świnki morskie
  • 8 nie ma żadnego z wymienionych zwierząt
  • 1 uczeń mający świnkę morską ma też psa

 

Żadnego ze zwierząt nadal nie ma 8 osób: 

 

Osoby, które nie mają ani psa ani kota, to osoby, które nie mają żadnego ze zwierząt plus te, które mają świnkę morską, ale nie mają psa - są 2 takie osoby. 

Zatem liczba osób, które nie mają ani psa ani kota jest równa 8+2=10. 

Obliczamy, jaki to procent wszystkich uczniów; 

`10/30=1/3=1/3*100%=100/3%=33 1/3%`

Suma dwóch kolejnych liczb

Liczba parzysta to taka, która dzieli się przez 2, jest więc iloczynem dwójki i pewnej liczby naturalnej n. Liczbę parzystą można oznaczyć więc jako 2n. Liczba o 1 większa od liczby parzystej jest nieparzysta, więc pierwszą z szukanych liczb możemy oznaczyć jako 2n+1. Kolejna liczba nieparzysta jest o 2 większa, więc możemy oznaczyć ją jako 2n+3. 

Suma tych liczb nie przekracza 16, więc możemy zapisać nierówność:

`2n+1+2n+3<=16`

`4n+4<=16\ \ \ |-4`

`4n<=12\ \ \ |:4`

`n<=3`

 

Liczby naturalne spełniające tą nierówność to: 0, 1, 2, 3. Mamy więc następujące pary liczb:

`1)\ n=0\ \ \ =>\ \ \ 2n+1=2*0+1=1,\ \ \ 2n+3=2*0+3=3\ \ \ =>\ \ \ ul("para"\ 1,\ \ 3)`

`2)\ n=1\ \ \ =>\ \ \ 2n+1=2*1+1=3,\ \ \ 2n+3=2*1+3=5\ \ \ =>\ \ \ ul("para"\ 3,\ \ 5)`

`3)\ n=2\ \ \ =>\ \ \ 2n+1=2*2+1=5,\ \ \ 2n+3=2*2+3=7\ \ \ =>\ \ \ ul("para"\ 5,\ \ 7)`

`4)\ n=3\ \ \ =>\ \ \ 2n+1=2*3+1=7,\ \ \ 2n+3=2*3+3=9\ \ \ =>\ \ \ ul("para"\ 7,\ \ 9)`

Podaj trzy pary liczb

`a)`

Zauważmy, że drugie równanie powstało przez pomnożenie pierwszego równania razy 3. Jeśli jedno równanie jest wielokrotnością drugiego, to układ jest nieoznaczony. Każda para liczb spełniająca jedno równanie, spełnia także drugie równanie. Wyznaczmy więc trzy pary liczb spełniające pierwsze równanie.  Najpierw wyznaczymy y z pierwszego równania - pozwoli to łatwo znajdować pary liczb. 

`2x-y=3\ \ \ |-2x`

`-y=-2x+3\ \ \ |*(-1)`

`y=2x-3`

 

Wyznaczmy trzy pary liczb spełniające pierwsze równanie, a więc spełniające cały układ równań:

`x=0\ \ \ ->\ \ \ y=2*0-3=0-3=-3\ \ \ ->\ \ \ "para"\ (0;\ -3)`

`x=3\ \ \ ->\ \ \ y=2*3-3=6-3=3\ \ \ ->\ \ \ "para"\ (3;\ 3)`

`x=10\ \ \ ->\ \ \ y=2*10-3=20-3=17\ \ \ ->\ \ \ "para"\ (10;\ 17)`

 

 

 

`b)`

Zauważmy, że drugie równanie powstało przez pomnożenie pierwszego równania razy -2. Jeśli jedno równanie jest wielokrotnością drugiego, to układ jest nieoznaczony. Każda para liczb spełniająca jedno równanie, spełnia także drugie równanie. Wyznaczmy więc trzy pary liczb spełniające pierwsze równanie.  Najpierw wyznaczymy y z pierwszego równania - pozwoli to łatwo znajdować pary liczb. 

`2x-3y=4\ \ \ \ |-2x`

`-3y=-2x+4\ \ \ |:(-3)`

`y=2/3x-4/3`

 

Wyznaczmy trzy pary liczb spełniające pierwsze równanie, a więc spełniające cały układ równań:

`x=0\ \ \ ->\ \ \ y=2/3*0-4/3=0-4/3=-4/3\ \ \ ->\ \ \ "para"\ (0;\ -4/3)`

`x=2\ \ \ ->\ \ \ y=2/3*2-4/3=4/3-4/3=0\ \ \ ->\ \ \ "punkt"\ (2;\ 0)`

`x=-1\ \ \ ->\ \ \ y=2/3*(-1)-4/3=-2/3-4/3=-6/3=-2\ \ \ ->\ \ \ "punkt"\ (-1;\ -2)`

 

 

`c)`

Zauważmy, że pierwsze równanie powstało przez pomnożenie drugiego równania razy -6. Jeśli jedno równanie jest wielokrotnością drugiego, to układ jest nieoznaczony. Każda para liczb spełniająca jedno równanie, spełnia także drugie równanie. Wyznaczmy więc trzy pary liczb spełniające pierwsze równanie.  Najpierw wyznaczymy y z pierwszego równania - pozwoli to łatwo znajdować pary liczb. 

`-3x+4y=6\ \ \ |+3x`

`4y=3x+6\ \ \ |:4`

`y=3/4x+6/4`

`y=3/4x+3/2`

 

 

Wyznaczmy trzy pary liczb spełniające pierwsze równanie, a więc spełniające cały układ równań:

`x=0\ \ \ ->\ \ \ y=3/4*0+3/2=0+3/2=3/2\ \ \ ->\ \ \ "para"\ (0;\ 3/2)`

`x=2\ \ \ ->\ \ \ y=3/4*2+3/2=3/2+3/2=6/2=3\ \ \ ->\ \ \ "para"\ (2;\ 3)`

`x=-2\ \ \ ->\ \ \ y=3/4*(-2)+3/2=-3/2+3/2=0\ \ \ ->\ \ \ "para"\ (-2;\ 0)`