Obliczanie odległości dwóch punktów - matura-podstawowa - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Obliczanie odległości dwóch punktów - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Obliczanie odległości dwóch punktów

Obliczanie odległości dwóch punktów w układzie współrzędnych ogranicza się do korzystania z dość skomplikowanie wyglądającego wzoru:
$|AB|=√{(x_2- x_1 )^2+(y_2-y_1 )^2}$

Na szczęście wzór ten jedynie wygląda "groźnie", ponieważ aby go wyprowadzić wystarczy znajomość Twierdzenia Pitagorasa.

Przykład:

Mamy dwa punkty A(1,1) oraz B(4,5). Znajdźmy ich odległość.
img01
Dorysujmy linie pomocnicze:

img02

I szukaną odległość:

img03

Jak widać szukana odległość jest niczym innym jak przeciwprostokątną, oznaczmy boki:

img04

Zatem przypomnijmy Twierdzenie Pitagorasa:
$a^2+b^2=c^2$
C będzie naszym szukanym bokiem, czyli odcinkiem |AB|.

Jak znaleźć a i b? Tak samo jak na przykładowym rysunku, odejmujemy współrzędne punktu początkowego od końcowego dla każdego odcinka, więc dla $A(1,1)$ i $B(4,5)$ to po prostu:

$a=4-1$
$b=5-1$
czyli ostatecznie:
a=3
b=4

pozostaje nam obliczyć wzór:
$3^2+4^2=c^2$
$9+16=c^2$
$c^2=25$
$c=5$
$c=|AB|=5$

Uzyskaliśmy poprawny wynik nie korzystając z wymienionego na początku tematu wzoru, ale teraz czas z niego skorzystać.
Obliczenie za pomocą wzoru:
Skoro $A(1,1)$ to przy wzorze ogólnym na punkt $A(x_1,y_1)$ wartość
$x_1=1$
$y_1=1$
Skoro B(4,5) to:
$x_2=4$
$y_2=5$

Mamy wzór:

$|AB|=√{(x_2- x_1 )^2+(y_2-y_1 )^2}$

Podmieniamy litery na ich wartości:

$|AB|=√{(4- 1)^2+(5-1)^2}$
$|AB|=√{3^2+4^2}$
$|AB|=√{25}$
$|AB|=5$

 

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Oblicz odległość pomiędzy A(1;3) oraz B(13;8)

Dla A(1,3) i B(13,8) odejmujemy współrzędne:
$a=13-1$
$b=8-3$
$a=12$
$b=5$
$c=|AB|$

pozostaje nam obliczyć wzór:

$12^2+5^2=c^2$
$144+25=c^2$
$c^2=169$
$c=13$

Odp.: Odległość wynosi 13.

Zadanie 2.

Wykaż, że trójkąt ABC, gdzie A=(−2,1), B=(3,4), C=(−5,6) jest prostokątny.

Aby to wykazać musimy standardowo posłużyć się twierdzeniem pitagorasa, i to wiele razy.
Standardowo zacznijmy od policzenia za pomocą wzoru na odległość punktu poszczególnych kombinacji czyli:

$|CA| = √{(-5+2)^2 + (6-1)^2}=√{9 + 25}= √{34} $

$|AB| = √{(3+2)^2 + (4-1)^2}=√{25 + 9}= √{34} $

$|BC| = √{(-5-3)^2 +(6-4)^2}=√{64 + 4}=√{68} $

BC jest największą liczbą zatem jest przeciwprostokątną. Użyjmy pitagorasa $|CA|^2 + |AB|^2 = |BC|^2$

$34+34=68$
$68=68$

Twierdzenie Pitagorasa działa tylko dla trójkątów prostokątnych, zatem trójkąt jest prostokątny

Spis treści

Rozwiązane zadania
Wyznacz dziedzinę funkcji...

 

Liczba pod pierwiastkiem musi być nieujemna, a więc:

 

 

 

 

 

 

 

{premium}  

Liczba pod pierwiastkiem musi być nieujemna oraz liczba w mianowniku musi być różna od zera. Z tych dwóch warunków wynika, że pod pierwiastkiem musi być liczba większa od 0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Liczby pod pierwiastkami muszą być nieujemne a więc:

 

 

 

Skoro

 

to znaczy, że nasze wyrażenie musi być równe 0

 

 

 

 

 

 

 

Pod pierwiastkiem w liczniku musi być liczba nieujemna, natomiast pod pierwiastkiem w mianowniku musi być liczba dodatnia 

 

 

Znajdźmy przedział rozwiązań drugiej nierówności:

   

 

 

 

A więc:

 

  

 

 

Znajdźmy zbiór rozwiązań pierwszej nierówności:

 

 

 

 

 

Część wspólna obu nierówności będzie dziedziną funkcji:

 

W pierwszej urnie jest 5 kul białych...

Rozważmy 4 przypadki.

1)

  - z obu urn wylosowany kule białe

 

 

  - z trzeciej urny wylosowany kulę białą

 

 

2)

  - z pierwszej urny wylosowano kulę białą, a z drugiej - czarną

 

 

  - z trzeciej urny wylosowano kulę białą (zauważmy, że w urnie mamy 1 kulę białą i jedną kulę czarną).

          

 

3)

  - z pierwszej urny wylosowano kulę czarną, a z drugiej - białą.

 

 

{premium}

   -  z trzeciej urny wylosowano kulę białą

 

 

4)

  - z obu urn wylosowano kule czarne

 

 

 - z trzeciej urny wylosowano kulę białą.

Zauważmy, że w trzeciej urnie nie mamy białej kuli - a więc:

 

 

Zdarzenia   są rozłączne, a więc:

 

 

 

 

  - wiemy, że  , a więc   - możemy więc pomnożyć obie strony przez mianownik:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A więc największą wartością   jest:

      

                

Wykaż, że dla dowolnych dodatnich liczb rzeczywistych a oraz b zachodzi...

Zakładamy, że liczby a i b są dodatnimi liczbami rzeczywistymi, chcemy udowodnić, że wówczas zachodzi nierówność

przekształcając otrzymamy{premium}

zauważmy, że kwadrat dowolnej liczby rzeczywistej jest liczbą nieujemną, z założenia wiemy, że liczby a i b są dodatnimi liczbami rzeczywistymi, suma liczby nieujemnej i liczb dodatnich jest liczbą dodatnią, zatem powyższa nierówność jest prawdziwa. 

 

c.n.d.

Rozwiąż nierówność...

 

 

zatem:   {premium}

 

 

 

 


 

 

zatem:

 

 

 

 

 


 

 

zatem:

 

 

 

  


 

 

 

zatem:

 

 

 

 


 

 

zatem:

 

 

 

 

 


 

 

 

 

ta nierówność nie ma rozwiązań

Zapisz w postaci kwadratu sumy lub ...

Korzystamy ze wzorów na kwadrat sumy oraz kwadrat różnicy:

 

 

 {premium}


 


 


 


 


 

Wypisz wszystkie liczby całkowite...

  

 

{premium}  

 

 

 

 

Parabola ma ramiona skierowane ku dołowi a więc:

 

Liczby całkowite należące do tego zbioru to:

 

Dana jest parabola y = ...

 

 

  - równanie szukanej stycznej do paraboli

 

Wiemy również, że współczynnik kierunkowy prostej jest równy tangensowi nachylenia tej prostej do osi OX, a więc:

 

 

A więc szukamy prostej o równaniu

  

 

{premium}

Wyznaczmy współrzędne punktu styczności.

 

 

 

 

 

 

  

 

  

 

Wyznaczmy wartość współczynnika   szukanej prostej:

 

 

 

 

  

 

 

       

 

          

Obwód czworokąta ABCD wynosi 50 cm, przy ...

Obwód czworokąta ABCD jest równy 50 cm, więc

 

Trójkąty ABD i BCD mają obwody równe odpowiednio 46 cm i 36 cm. Możemy zatem zapisać: {premium}

 

 

Po dodaniu stronami dwóch powyższych nierówności otrzymujemy:

 

czyli

 

skąd

 

więc

 


Odpowiedź: Przekątna BD ma długość 16 cm.

Wykres przedstawia funkcję

Funkcja przechodzi przez punkt  {premium}  zatem:

 

Prawidłowa odpowiedź to   

Oblicz...

 {premium}