Zgoda na przetwarzanie danych osobowych

25 maja 2018 roku zacznie obowiązywać Rozporządzenie Parlamentu Europejskiego i Rady (UE) 2016/679 z dnia 27 kwietnia 2016 r. znane jako RODO.

Dlatego aby dalej móc dostarczać Ci materiały odpowiednie do Twojego etapu edukacji, potrzebujemy zgody na lepsze dopasowanie treści do Twojego zachowania. Dzięki temu możemy zapamiętywać jakie materiały są Ci potrzebne. Dbamy o Twoją prywatność, więc nie zwiększamy zakresu naszych uprawnień. Twoje dane są u nas bezpieczne, a zgodę na ich zbieranie możesz wycofać na podstronie polityka prywatności.

Klikając "Przejdź do Odrabiamy", zgadzasz się na wskazane powyżej działania. W przeciwnym wypadku, nie jesteśmy w stanie zrealizować usługi kompleksowo i prosimy o opuszczenie strony.

Polityka prywatności

Drogi Użytkowniku w każdej chwili masz prawo cofnąć zgodę na przetwarzanie Twoich danych osobowych. Cofnięcie zgody nie będzie wpływać na zgodność z prawem przetwarzania, którego dokonano na podstawie wyrażonej przez Ciebie zgody przed jej wycofaniem. Po cofnięciu zgody wszystkie twoje dane zostaną usunięte z serwisu. Udzielenie zgody możesz modyfikować w zakładce 'Informacja o danych osobowych'

Obliczanie odległości dwóch punktów - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Obliczanie odległości dwóch punktów

Obliczanie odległości dwóch punktów w układzie współrzędnych ogranicza się do korzystania z dość skomplikowanie wyglądającego wzoru:
$$|AB|=√{(x_2- x_1 )^2+(y_2-y_1 )^2}$$

Na szczęście wzór ten jedynie wygląda "groźnie", ponieważ aby go wyprowadzić wystarczy znajomość Twierdzenia Pitagorasa.

Przykład:

Mamy dwa punkty A(1,1) oraz B(4,5). Znajdźmy ich odległość.
img01
Dorysujmy linie pomocnicze:

img02

I szukaną odległość:

img03

Jak widać szukana odległość jest niczym innym jak przeciwprostokątną, oznaczmy boki:

img04

Zatem przypomnijmy Twierdzenie Pitagorasa:
$$a^2+b^2=c^2$$
C będzie naszym szukanym bokiem, czyli odcinkiem |AB|.

Jak znaleźć a i b? Tak samo jak na przykładowym rysunku, odejmujemy współrzędne punktu początkowego od końcowego dla każdego odcinka, więc dla $$A(1,1)$$ i $$B(4,5)$$ to po prostu:

$$a=4-1$$
$$b=5-1$$
czyli ostatecznie:
a=3
b=4

pozostaje nam obliczyć wzór:
$$3^2+4^2=c^2$$
$$9+16=c^2$$
$$c^2=25$$
$$c=5$$
$$c=|AB|=5$$

Uzyskaliśmy poprawny wynik nie korzystając z wymienionego na początku tematu wzoru, ale teraz czas z niego skorzystać.
Obliczenie za pomocą wzoru:
Skoro $$A(1,1)$$ to przy wzorze ogólnym na punkt $$A(x_1,y_1)$$ wartość
$$x_1=1$$
$$y_1=1$$
Skoro B(4,5) to:
$$x_2=4$$
$$y_2=5$$

Mamy wzór:

$$|AB|=√{(x_2- x_1 )^2+(y_2-y_1 )^2}$$

Podmieniamy litery na ich wartości:

$$|AB|=√{(4- 1)^2+(5-1)^2}$$
$$|AB|=√{3^2+4^2}$$
$$|AB|=√{25}$$
$$|AB|=5$$

 

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Oblicz odległość pomiędzy A(1;3) oraz B(13;8)

Dla A(1,3) i B(13,8) odejmujemy współrzędne:
$$a=13-1$$
$$b=8-3$$
$$a=12$$
$$b=5$$
$$c=|AB|$$

pozostaje nam obliczyć wzór:

$$12^2+5^2=c^2$$
$$144+25=c^2$$
$$c^2=169$$
$$c=13$$

Odp.: Odległość wynosi 13.

Zadanie 2.

Wykaż, że trójkąt ABC, gdzie A=(−2,1), B=(3,4), C=(−5,6) jest prostokątny.

Aby to wykazać musimy standardowo posłużyć się twierdzeniem pitagorasa, i to wiele razy.
Standardowo zacznijmy od policzenia za pomocą wzoru na odległość punktu poszczególnych kombinacji czyli:

$$|CA| = √{(-5+2)^2 + (6-1)^2}=√{9 + 25}= √{34} $$

$$|AB| = √{(3+2)^2 + (4-1)^2}=√{25 + 9}= √{34} $$

$$|BC| = √{(-5-3)^2 +(6-4)^2}=√{64 + 4}=√{68} $$

BC jest największą liczbą zatem jest przeciwprostokątną. Użyjmy pitagorasa $$|CA|^2 + |AB|^2 = |BC|^2$$

$$34+34=68$$
$$68=68$$

Twierdzenie Pitagorasa działa tylko dla trójkątów prostokątnych, zatem trójkąt jest prostokątny

Spis treści

Rozwiązane zadania
Rozwiąż nierówność

`a)`

`(x+1)^2<(x-1)^2`

`x^2+2x+1<x^2-2x+1\ \ \ \ |-x^2`

`2x+1<-2x+1\ \ \ |+2x`

`4x+1<1\ \ \ |-1`

`4x<0\ \ \ |:4`

`x<0`

 

 

 

`b)`

`(x+1)^2-5(x-2)>=(x+sqrt13)(x-sqrt13)`

`x^2+2x+1-5x+10>=x^2-13`

`x^2-3x+11>=x^2-13\ \ \ |-x^2`

`-3x+11>=-13\ \ \ |-11`

`-3x>=-24\ \ \ |:(-3)`

`x<=8`

 

 

 

 

`c)`

`(2x-1)^2-1+5(sqrt3-2)(sqrt3+2)<4x^2`

`4x^2-4x+1-1+5(3-4)<4x^2`

`4x^2-4x+5*(-1)<4x^2`

`4x^2-4x-5<4x^2\ \ \ |-4x^2`

`-4x-5<0\ \ \ |+5`

`-4x<5\ \ \ |:(-4)`

`x> -5/4`

`x> -1 1/4`

 

 

 

 

 

 

`d)`

`3-(2x-5)(5+2x)<=1-(2x-3)^2`

`3-(2x-5)(2x+5)<=1-(4x^2-12x+9)`

`3-(4x^2-25)<=1-(4x^2-12x+9)`

`3-4x^2+25<=1-4x^2+12x-9`

`28-4x^2<=-8-4x^2+12x\ \ \ |+4x^2`

`28<=-8+12x\ \ \ |+8`

`36<=12x\ \ \ |:12`

`3<=x`

`x>=3`

Wyznacz zbiór liczb rzeczywistych

`a)` 

`2x+1in (3;\ +infty)` 

`2x+1>3\ \ \ |-1` 

`2x>2\ \ \ |:2` 

`x>1` 

`x in (1;\ +infty)` 

 

 

`b)` 

`1-2x in <<-1;\ +infty)` 

`1-2x>=-1\ \ \ |-1` 

`-2x>=-2\ \ \ |:(-2)` 

`x<=1` 

`x in (-infty;\ 1>>` 

 

 

`c)` 

`3x-2 in (-5;\ 4)` 

`-5<3x-2<4\ \ \ \ |+2` 

`-3<3x<6\ \ \ \|:3` 

`-1<x<2` 

`x in (-1;\ 2)` 

 

 

`d)` 

`3x+4in <<-5;\ 1>>` 

`-5<=3x+4<=1\ \ \ |-4` 

`-9<=3x<=-3\ \ \ |:3` 

`-3<=x<=-1` 

`x in <<-3;\ -1>>` 

 

 

`e)` 

`2-x in (-1;\ 4>>` 

`-1<2-x<=4\ \ \ |-2` 

`-3<-x<=2\ \ \ |*(-1)` 

Należy pamiętać,  że przy mnożeniu przez liczbę ujemną należy zmienić kierunek nierówności:

`3>x>=-2` 

`-2<=x<3` 

`x in <<-2;\ 3)`   

 

 

`f)` 

`1-2x in <<-3;\ 5)`  

`-3<=1-2x<5\ \ \ |-1` 

`-4<=-2x<4\ \ \ |:(-2)` 

`2>=x> -2` 

`-2<x<=2` 

`x in (-2;\ 2>>` 

 

 

 

Wymień wszystkie elementy

`a)` 

Pamiętamy, że:

`pi~~3,14` 

Liczby całkowite należące do tego przedziału to: -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3. 

 

`b)` 

`3sqrt2~~3*1,41=4,23` 

Liczby całkowite należące do tego przedziału to 1, 2., 3, 4.

 

 

`c)` 

`sqrt10-1~~3,16-1=2,16` 

Liczby naturalne należące do tego przedziału to 0, 1, 2.

Czy podany rysunek przedstawia...

Jeżeli na rysunku którykolwiek argument miałby przyporządkowane dwie wartości albo więcej to wtedy nie będzie wykresem funkcji.

 

a) Widzimy, że dla każdego argumentu jest przypisana tylko jedna wartość a więc jest to wykres funkcji.

 

b) Widzimy, że dla każdego argumentu jest przypisana tylko jedna wartość a więc jest to wykres funkcji.

 

c) Widzimy, że dla każdego argumentu jest przypisana tylko jedna wartość a więc jest to wykres funkcji.

 

d) Widzimy, że każdemu argumentowi z przedziału (-4, 1) są przyporządkowane dwie wartości, nie jest to wykres funkcji.

Proste są wyznaczone przez punkty

Proste są równoległe, jeśli funkcje liniowe opisujące te proste mają jednakowe współczynniki kierunkowe. 

Mamy wzór na współczynnik kierunkowy prostej przechodzącej przez dwa punkty:

`A=(x_A,\ y_A),\ \ \ B=(x_B,\ y_B)\ \ \ =>\ \ \ a=(y_B-y_A)/(x_B-x_A)`

 

`a)`

Wyznaczamy współczynnik kierunkowy prostej przechodzącej przez punkty A i B:

`a_(AB)=(5-(-1))/(1-(-2))=(5+1)/(1+2)=6/3=2`

 

Wyznaczamy współczynnik kierunkowy prostej przechodzącej przez punkty C i D:

`a_(CD)=(3-(-1))/(4-2)=(3+1)/2=4/2=2`

 

Otrzymane współczynniki kierunkowe są jednakowe, więc te proste są równoległe. 

 

 

 

`b)`

`a_(AB)=(5-2)/(5-(-3))=3/(5+3)=3/8`

`a_(CD)=(2-0)/(5-0)=2/5`

Otrzymane współczynniki kierunkowe są różne, więc te proste nie są równoległe. 

Wskaż funkcję liniową, której wykres przechodzi...

Prawidłowa odpowiedź to `"C."\ f(x)=3x.` 

Wyraź w stopniach, minutach i sekundach ...

 

 

`1^o = 60 '` 

`1^o = 3600 ''` 

 

`a)` 

`1/100*360^o=3,6 ^o` 

`3,6^o = 3,6*60 ' =216 '` 

`3,6^o = 3,6*3600 ''=12960 ''` 

 

`b)` 

`1/100*4^o=0,04 ^o` 

`0,04^o = 0,04*60 ' =2,4 '` 

`0,04^o = 0,04*3600 ''=144 ''` 

 

`c)` 

`1/100*15^o=0,15 ^o` 

`0,15^o = 0,15*60 ' =9 '` 

`0,15^o = 0,15*3600 ''=540 ''` 

 

`d)` 

`1/100*12^o=0,12 ^o` 

`0,12^o = 0,12*60 ' =7,2 '` 

`0,12^o = 0,12*3600 ''=432 ''` 

 

`e)` 

`1/100*42^o=0,42 ^o` 

`0,42^o = 0,42*60 ' =25,2 '` 

`0,42^o = 0,42*3600 ''=1512 ''` 

Rozwiąż nierówność. Zbiór rozwiązań przedstaw...

`a) \ 0,5(2+5x) geq 2/3(15-3x)` 

`1 + 5/2x geq 10 - 2x` 

`9/2x geq 9 \ \ \ |*2/9`  

`x geq 2` 

 

 

`b) \ (6x-2)^2 -(4x+1)^2 > 5(2x-3)^2+14` 

`36x - 24x + 4 -(16x^2 + 8x + 1) > 5(4x^2-12x+9)+14` 

`36x-24x+4 -16x^2-8x-1 > 20x^2-60x+45 + 14` 

`20x^2 - 32x + 3 > 20x^2 -60x+59` 

`28x > 56` 

`x > 2` 

 

 

`c) \ x/3 - (1-x)/4 leq (5x-1)/6 \ \ \ |*12` 

`4x - 3(1-x) leq 2(5x-1)` 

`4x - 3 + 3x leq 10x - 2` 

`7x - 3 leq 10 x - 2` 

`-1 leq 3x` 

`-1/3 leq x` 

 

 

`d) \ (3-x)/2 - (x+12)/4 < (3x+3)^2/6 - 3/2x^2 \ \ \ |*12` 

`6(3-x) - 3(x+12) < 2(3x+3)^2 -18x^2` 

`18-6x -3x-36 < 2(9x^2+18x+9)-18x^2` 

`-9x -18 < 18x^2 + 36x + 18 - 18x^2` 

`-9x-18 < 36x+18` 

`-45x < 36` 

`x > -4/5` 

Sprawdź, czy proste przechodzące przez punkty A i B oraz C i D są prostopadłe

Proste są prostopadłe, jeśli iloczyn współczynników kierunkowych tych prostych jest równy -1.

Mamy wzór na współczynnik kierunkowy prostej przechodzącej przez dwa punkty:

`A=(x_A,\ y_A),\ \ \ B=(x_B,\ y_B)\ \ \ =>\ \ \ a=(y_B-y_A)/(x_B-x_A)`

 


`a)` 

Wyznaczamy współczynnik kierunkowy prostej przechodzącej przez punkty A i B:

`a_(AB)=(4-(-3))/(6-5)=(4+3)/1=7/1=7`

`a_(CD)=(5-(-1))/(1-5)=(5+1)/(-4)=6/(-4)=-3/2`

 


`a_(AB)*a_(CD)=7*(-3/2)=-21/2ne-1` 

 

Te proste nie są prostopadłe. 

 

 

`b)`

`a_(AB)=(4-1)/(6-(-3))=3/(6+3)=3/9=1/3`

`a_(CD)=(6-0)/(0-2)=6/(-2)=-3`

 

`a_(AB)*a_(CD)=1/3*(-3)=-1`

 

Te proste są prostopadłe. 

 

 

Oblicz współrzędne wierzchołka ...

`a)` 

`y=x^2-2x+5` 

`Delta=(-2)^2-4*1*5=4-20=-16` 

 

`x_w=(-b)/(2a)=2/2=1` 

`y_w=-Delta/(4a)=16/4=4` 

`y=(x-1)^2+4` 

 

`b)` 

`y=x^2+6x+3` 

`Delta=6^2-4*3=36-12=24` 

 

`x_w=-b/(2a)=-6/2=-3` 

`y_w=-Delta/(4a)=-24/4=-6` 

 `y=(x-(-3))^2-6=(x+3)^2-6` 

`c)` 

`y=-x^2+x-1` 

`Delta=1-4(-1)(-1)=-3` 

 

`x_w=-b/(2a)=-1/(-2)=1/2` 

`y_w=-Delta/(4a)=3/(-4)=-3/4` 

`a=-1` 

`y=a(x-x_w)^2+y_w=-(x-1/2)^2-3/4`