Obliczanie odległości dwóch punktów - matura-podstawowa - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Obliczanie odległości dwóch punktów - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Obliczanie odległości dwóch punktów

Obliczanie odległości dwóch punktów w układzie współrzędnych ogranicza się do korzystania z dość skomplikowanie wyglądającego wzoru:
$|AB|=√{(x_2- x_1 )^2+(y_2-y_1 )^2}$

Na szczęście wzór ten jedynie wygląda "groźnie", ponieważ aby go wyprowadzić wystarczy znajomość Twierdzenia Pitagorasa.

Przykład:

Mamy dwa punkty A(1,1) oraz B(4,5). Znajdźmy ich odległość.
img01
Dorysujmy linie pomocnicze:

img02

I szukaną odległość:

img03

Jak widać szukana odległość jest niczym innym jak przeciwprostokątną, oznaczmy boki:

img04

Zatem przypomnijmy Twierdzenie Pitagorasa:
$a^2+b^2=c^2$
C będzie naszym szukanym bokiem, czyli odcinkiem |AB|.

Jak znaleźć a i b? Tak samo jak na przykładowym rysunku, odejmujemy współrzędne punktu początkowego od końcowego dla każdego odcinka, więc dla $A(1,1)$ i $B(4,5)$ to po prostu:

$a=4-1$
$b=5-1$
czyli ostatecznie:
a=3
b=4

pozostaje nam obliczyć wzór:
$3^2+4^2=c^2$
$9+16=c^2$
$c^2=25$
$c=5$
$c=|AB|=5$

Uzyskaliśmy poprawny wynik nie korzystając z wymienionego na początku tematu wzoru, ale teraz czas z niego skorzystać.
Obliczenie za pomocą wzoru:
Skoro $A(1,1)$ to przy wzorze ogólnym na punkt $A(x_1,y_1)$ wartość
$x_1=1$
$y_1=1$
Skoro B(4,5) to:
$x_2=4$
$y_2=5$

Mamy wzór:

$|AB|=√{(x_2- x_1 )^2+(y_2-y_1 )^2}$

Podmieniamy litery na ich wartości:

$|AB|=√{(4- 1)^2+(5-1)^2}$
$|AB|=√{3^2+4^2}$
$|AB|=√{25}$
$|AB|=5$

 

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Oblicz odległość pomiędzy A(1;3) oraz B(13;8)

Dla A(1,3) i B(13,8) odejmujemy współrzędne:
$a=13-1$
$b=8-3$
$a=12$
$b=5$
$c=|AB|$

pozostaje nam obliczyć wzór:

$12^2+5^2=c^2$
$144+25=c^2$
$c^2=169$
$c=13$

Odp.: Odległość wynosi 13.

Zadanie 2.

Wykaż, że trójkąt ABC, gdzie A=(−2,1), B=(3,4), C=(−5,6) jest prostokątny.

Aby to wykazać musimy standardowo posłużyć się twierdzeniem pitagorasa, i to wiele razy.
Standardowo zacznijmy od policzenia za pomocą wzoru na odległość punktu poszczególnych kombinacji czyli:

$|CA| = √{(-5+2)^2 + (6-1)^2}=√{9 + 25}= √{34} $

$|AB| = √{(3+2)^2 + (4-1)^2}=√{25 + 9}= √{34} $

$|BC| = √{(-5-3)^2 +(6-4)^2}=√{64 + 4}=√{68} $

BC jest największą liczbą zatem jest przeciwprostokątną. Użyjmy pitagorasa $|CA|^2 + |AB|^2 = |BC|^2$

$34+34=68$
$68=68$

Twierdzenie Pitagorasa działa tylko dla trójkątów prostokątnych, zatem trójkąt jest prostokątny

Spis treści

Rozwiązane zadania
Wyprowadź wzór

{premium}

 

 

 

 

   

Oblicz miary kątów wierzchołkowych...

Dwa kąty mniejsze od kąta półpełnego nazywamy kątami wierzchołkowymi wtedy,

gdy ramiona jednego kąta są przedłużeniami ramion drugiego kąta.

Kąty wierzchołkowe są równe.


 Oznaczmy:

 

Kąt  jest przyległy do kąta o mierze  Stąd:

 

Odp.  {premium}


 stąd:

 

 

Zatem:

 

Odp.  


 Oznaczmy:

 

Kąty  i  również są wierzchołkowe, stąd:

 

 

Zatem:

 

Kąty  i  są przyległe. Stąd:

 

Odp.  


 Zauważmy, że kąty oznaczone jako  tworzą kąt półpełny. Stąd:

 

 

Odp.  

Z prostokątnego arkusza blachy...

Rysunek poglądowy:

Pole powierzchni bocznej to suma dwóch pól prostokąta o bokach x80-2x i dwóch pól prostokąta o bokach x120-2x

 

Pole powierzchni bocznej można wyrazić funkcją:

 

Ramiona paraboli są skierowane ku dołowi a więc wartość największa będzie w wierzchołku. Obliczymy odciętą wierzchołka paraboli licząc średnią arytmetyczną miejsc zerowych (gdyż są równo odległe od wierzchołka paraboli).

 

Odpowiedź: Każdy z wycinanych kwadratów powinien mieć bok długości 25cm.

Z punktu leżącego na zewnątrz kąta ABC o mierze...

Rysunek pomocniczy:

Thumb zad4.42str101{premium}


Zauważmy, że miara kąta między prostymi  i  jest taka sama jak miara kąta  

bo są to kąty odpowiadające.


Obliczamy miarę kąta  z sumy kątów trójkąta:

 


Odp. Kąt między narysowanymi prostymi ma miarę  

Znajdź obrazy następujących figur w przesunięciu...

{premium}




W pewnym zakładzie fotograficznym...

Pamiętajmy, że

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Wykres:

Oblicz wartości funkcji trygonometrycznych...

 

Z twierdzenia Pitagorasa:

  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Z twierdzenia Pitagorasa:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Z twierdzenia Pitagorasa:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Z twierdzenia Pitagorasa:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

W trapezie ACD podstawy AB i DC mają długość

|angleASB|=|angleCSD| ( kąty wierzchołkowe)

|angleDCA|=|angleCAB| (kąty naprzemianległe)

|angleCDB|=|angleDAB| (kąty naprzemianległe)

Z zasady kkk trójkąty CDS i ABS są podobne.

Stosunek pól trójkątów CDS i ABS jest równy kwadratowi skali podobieństwa.

Podaj liczbę punktów wspólnych okręgu opisanego...

Równanie okręgu o środku w punkcie S=(1,3) i promieniu r:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Odległość środków:

 

 

  • 0 punktów wspólnych

Okręgi rozłączne zewnętrznie dla:

 

 

 

 

Okręgi rozłączne wewnętrznie dla:

 

 

 

 

 

Suma obu przypadków:

 

 

  • 1 punkt wspólny:

 

 

  • 2 punkty wspólne:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Odległość środków:

 

 

 

  • 0 punktów wspólnych

Okręgi rozłączne zewnętrznie dla:

 

 

 

 

Okręgi rozłączne wewnętrznie dla:

 

 

 

 

 

Suma obu przypadków:

 

 

  • 1 punkt wspólny:

 

 

  • 2 punkty wspólne:

 

Wyznacz równanie prostej przedstawionej na rysunku

Prosta ma równanie y=ax+b. W celu wyznaczenia współczynników a oraz b podstawiamy współrzędne punktów (na każdej prostej wyraźnie zaznaczono dwa punkty) w miejsce x i y - mamy układ równań, z którego wyznaczymy a i b. Mając równanie prostej, podstawiamy współrzędne punktu (-10, -5) do równania - jeśli jest ono spełnione, to punkt należy do prostej, a jeśli nie, to punkt nie należy do prostej .{premium}

 

 

 

Mamy punkty o współrzędnych:

 

 

 

Warto zauważyć, że pierwszy punkt to miejsce przecięcia wykresu z osią OY, zatem jego druga współrzędna jest równa współczynnikowi b (wiemy to z twierdzenia na stronie 101). 

Zatem prosta ma równanie:

 

 

Teraz wystarczy podstawić współrzędne drugiego punktu w miejsce x i y:

 

 

 

 

Mamy więc równanie prostej:

 

 

Sprawdzamy, czy punkt (-10, -5) należy do tej prostej:

 

 

równość nie jest spełniona, więc punkt (-10, -5) nie należy do tej prostej

 

 

 

 

 

Mamy zaznaczone dwa punkty:

 

 

 

Tworzymy układ równań:

 

 

 

 

 

 

 

Prosta ma więc równanie: 

 

 

Sprawdzamy, czy punkt (-10, -5) należy do tej prostej: 

 

 

 

 

`` równość nie jest spełniona, więc punkt (-10, -5) nie należy do tej prostej

 

 

 

 

Mamy zaznaczone dwa punkty:

 

 

 

Tworzymy układ równań:

 

     odejmujemy równania stronami

  

   

 

Wstawiamy do pierwszego równania:

 

 

Zatem prosta ma równanie:

 

 

Sprawdzamy, czy punkt (-10, -5) należy do tej prostej:

 

 

 

równość jest spełniona, więc punkt (-10, -5) należy do tej prostej