Obliczanie odległości dwóch punktów - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Obliczanie odległości dwóch punktów

Obliczanie odległości dwóch punktów w układzie współrzędnych ogranicza się do korzystania z dość skomplikowanie wyglądającego wzoru:
$$|AB|=√{(x_2- x_1 )^2+(y_2-y_1 )^2}$$

Na szczęście wzór ten jedynie wygląda "groźnie", ponieważ aby go wyprowadzić wystarczy znajomość Twierdzenia Pitagorasa.

Przykład:

Mamy dwa punkty A(1,1) oraz B(4,5). Znajdźmy ich odległość.
img01
Dorysujmy linie pomocnicze:

img02

I szukaną odległość:

img03

Jak widać szukana odległość jest niczym innym jak przeciwprostokątną, oznaczmy boki:

img04

Zatem przypomnijmy Twierdzenie Pitagorasa:
$$a^2+b^2=c^2$$
C będzie naszym szukanym bokiem, czyli odcinkiem |AB|.

Jak znaleźć a i b? Tak samo jak na przykładowym rysunku, odejmujemy współrzędne punktu początkowego od końcowego dla każdego odcinka, więc dla $$A(1,1)$$ i $$B(4,5)$$ to po prostu:

$$a=4-1$$
$$b=5-1$$
czyli ostatecznie:
a=3
b=4

pozostaje nam obliczyć wzór:
$$3^2+4^2=c^2$$
$$9+16=c^2$$
$$c^2=25$$
$$c=5$$
$$c=|AB|=5$$

Uzyskaliśmy poprawny wynik nie korzystając z wymienionego na początku tematu wzoru, ale teraz czas z niego skorzystać.
Obliczenie za pomocą wzoru:
Skoro $$A(1,1)$$ to przy wzorze ogólnym na punkt $$A(x_1,y_1)$$ wartość
$$x_1=1$$
$$y_1=1$$
Skoro B(4,5) to:
$$x_2=4$$
$$y_2=5$$

Mamy wzór:

$$|AB|=√{(x_2- x_1 )^2+(y_2-y_1 )^2}$$

Podmieniamy litery na ich wartości:

$$|AB|=√{(4- 1)^2+(5-1)^2}$$
$$|AB|=√{3^2+4^2}$$
$$|AB|=√{25}$$
$$|AB|=5$$

 

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Oblicz odległość pomiędzy A(1;3) oraz B(13;8)

Dla A(1,3) i B(13,8) odejmujemy współrzędne:
$$a=13-1$$
$$b=8-3$$
$$a=12$$
$$b=5$$
$$c=|AB|$$

pozostaje nam obliczyć wzór:

$$12^2+5^2=c^2$$
$$144+25=c^2$$
$$c^2=169$$
$$c=13$$

Odp.: Odległość wynosi 13.

Zadanie 2.

Wykaż, że trójkąt ABC, gdzie A=(−2,1), B=(3,4), C=(−5,6) jest prostokątny.

Aby to wykazać musimy standardowo posłużyć się twierdzeniem pitagorasa, i to wiele razy.
Standardowo zacznijmy od policzenia za pomocą wzoru na odległość punktu poszczególnych kombinacji czyli:

$$|CA| = √{(-5+2)^2 + (6-1)^2}=√{9 + 25}= √{34} $$

$$|AB| = √{(3+2)^2 + (4-1)^2}=√{25 + 9}= √{34} $$

$$|BC| = √{(-5-3)^2 +(6-4)^2}=√{64 + 4}=√{68} $$

BC jest największą liczbą zatem jest przeciwprostokątną. Użyjmy pitagorasa $$|CA|^2 + |AB|^2 = |BC|^2$$

$$34+34=68$$
$$68=68$$

Twierdzenie Pitagorasa działa tylko dla trójkątów prostokątnych, zatem trójkąt jest prostokątny

Spis treści

Rozwiązane zadania
Uporządkuj w kolejności rosnącej liczby:

`a) \ sin 130^o = sin(180^o - 50^o) = sin 50^o` 

`cos 170^o = cos(90^o + 80^o) = - sin 80^o` 

`sin75^o` 

`cos 25^o = cos(90^o -65^o) = sin 65^o` 

`sin 140^o = (180^o - 40^o) = sin 40^o` 

 

A więc:

`- sin 80^o < sin 40^o < sin 50^o < sin 65^o < sin 75^o` 

czyli

`cos 170^o < sin 140^o < sin 130^o < cos 25^o < sin 75^o` 

 

`b) \ tg \ 100^o = tg \ (180^o - 80^o) = - tg \ 80^o` 

`tg \ 50^o` 

`tg \ 140^o = tg \ (180^o - 40^o) = - tg \ 40 ^o` 

`tg 10^o` 

 

A więc:

`- tg \ 80^o < - tg \ 40^o < tg \ 10^o < tg \ 50^o` 

czyli

`tg \ 100^o < tg \ 140^o < tg \ 10^o < tg \ 50^o` 

Wyznacz A∩B, gdy A={0,2,4,6,8,10} i B={0,1,3,5,7}

`AnnB={0}`

Wysokość nad ziemią piłki wyrzuconej ...

`h(t)=-4,9t^2+12t+2` 

`h~~9,3m` 

`s-"droga przebyta przez piłkę"` 

`s~~2*9,3-2=18,6-2=16,6`  

 

`b)` 

`"W okolicy t=2 parabola jest bardziej 'stroma' niz w okolicy t=1."` 

`"Oznacza to, że dla t=2 prędkość piłki jest większa niż dla t=1."` 

Punkty A, B, C i D są kolejnymi wierzchołkami rombu

Romb ma prostopadłe przekątne. Jeśli A, B, C, D to koeljne wierzchołki rombu, to jego przekątne zawierają się w prostych AC i BD. 

 

`a)`

Korzystając z twierdzenia podanego na stronie 109 wyznaczamy współczynnik kierunkowy prostej AC:

`a=(4-(-6))/(8-(-2))=(4+6)/(8+2)=10/10=1`

Korzystając z twierdzenia podanego na stronie 114 mamy od razu współczynnik kierunkowy prostej BD (jako prostej prostopadłej do AC) i możemy zapisać:

`prosta\ AC:\ \ \ y=x+b`

`prosta\ BD:\ \ \ y=-1/1x+c=-x+c`

 

Podstawiamy współrzędne punktu A do równania prostej AC:

`-6=-2+b`

`b=-6+2=-4`

`ul(ul(prosta\ AC:\ \ \ y=x-4))`

 

Podstawiamy współrzędne punktu B do równania prostej BD: 

`-3=-5+c`

`c=-3+5=2`

`ul(ul(prosta\ BD:\ \ \ y=-x+2))`

 

 

 

 

`b)`

Wyznaczamy współczynnik kierunkowy prostej BD:

`a=(3-(-1))/(-6-6)=(3+1)/(-12)=4/(-12)=-1/3`

Korzystając z twierdzenia podanego na stronie 114 mamy od razu współczynnik kierunkowy prostej AC (jako prostej prostopadłej do BD) i możemy zapisać:

`prosta\ BD:\ \ \ y=-1/3x+b`

`prosta\ AC:\ \ \ y=-1/(-1/3)x+c=3x+c`

 

Podstawiamy współrzędne punktu B do równania prostej BD: 

`-1=-1/3*6+b`

`-1=-2+b`

`b=-1+2=1`

`ul(ul(prosta\ BD:\ \ \ y=-1/3x+1))`

 

 

Podstawiamy współrzędne punktu A do równania prostej AC:

`-2=3*(-1)+c`

`-2=-3+c`

`c=-2+3=1`

`ul(ul(prosta\ AC:\ \ \ y=3x+1))`

Zbiór można zapisać w postaci

`RR\\(-1,\ 1)=(-infty,\ -1>>uu<<1,\ +infty)\ \ \ \ \ \ \ \ \ odp.\ C`

Na rysunku przedstawiono wykres funkcji f

UWAGA:

Funkcja jest malejąca w każdym z tych przedziałów z osobna, ale nie jest malejąca w całej swej dziedzinie - dla coraz większych argumentów z całej dziedziny wcale nie przyjmuje coraz mniejszych wartości - np. dla argumentu 2 nie przyjmuje mniejszej wartości niż dla argumentu -2.

 

Prawidłowa jest odpowiedź D. 

Punkty A(-3;-1) i C(2;1) są wierzchołkami ...

Wyznaczmy równanie prostej zawierającej odcinek AC.

`A=(-3;-1)`  

`C=(2;1)` 

`AC:\ y=ax+b` 

`{(-1=-3a+b),(1=2a+b):}` 

`{( 1=3a-b),(1=2a+b):}`  

`2=5a` 

`a=2/5` 

Prostokąt ABCD jest kwadratem wtedy i tylko wtedy, gdy jego przekątne przecinąją się pod kątem prostym.

Podsumowując, ABCD jest kwadratem gdy prosta zawierająca przekątną BD jest prostopadła do prostej 

zawierającej przekątną BD.

`a_1-"współczynnik kierunkowy prostej zawierającej odcinek BD"` 

`a_1=-1/a` 

`a_1=-5/2` 

 

`"Odpowiedź B."` 

Wypisz dzielniki podanej liczby

`a)\ 14:\ \ \ 1,\ 2,\ 7,\ 14`

`b)\ 18:\ \ \ 1,\ 3,\ 6,\ 18`

`c)\ 42:\ \ \ 1,\ 2,\ 3,\ 6,\ 7,\ 14,\ 21,\ 42`

`d)\ 51:\ \ \ 1,\ 3,\ 17,\ 51`

`e)\ 55:\ \ \ 1,\ 5,\ 11,\ 55`

`f)\ 59:\ \ \ 1,\ 59`

 

Wyznacz dziedzinę funkcji ...

`a)` 

`f(x)=sqrt(2x)` 

 

`D:` 

`2x>=0\ implies\ x>=0` 

`D=[0;+oo)` 

 

`"Funkcja f jest rosnąca na przedziale P, gdy:"` 

`x_1,x_2 in P:\ x_1<x_2\ implies\ f(x_1)<f(x_2)`  

 

`x_1 in [0;+oo)`  

`t in RR_+` 

`x_2=x_1+t` 

`x_2>x_1`  

 

`f(x_1)=sqrt(2x_1)` 

`f(x_2)=sqrt(2x_1+2t)`  

`f(x_2)>f(x_1)`  

`"Na podstawie definicji funkcji rosnącej możemy stwierdzić, że f jest funkcją rosnącą."`  

 

`b)` 

`f(x)=sqrt(x-4)` 

 

`D:` 

`x-4>=0\ implies \ x>=4` 

`D=[4;+oo)` 

 

`"Funkcja f jest rosnąca na przedziale P, gdy:"` 

`x_1,x_2 in P:\ x_1<x_2\ implies\ f(x_1)<f(x_2)`  

 

`x_1 in [4;+oo)` 

`t in RR_+` 

`x_2=x_1+t` 

`x_2>x_1`  

 

`f(x_1)=sqrt(x_1-4) ` 

`f(x_2)=sqrt(x_1+t-4)` 

`f(x_2)>f(x_1)`  

`"Na podstawie definicji funkcji rosnącej możemy stwierdzić, że f jest funkcją rosnącą."` 

 

`c)` 

`f(x)=sqrt(x+1)-2` 

 

`D:` 

`x+1>=0\ implies\ x>=-1` 

`D=[-1;+oo)` 

 

`"Funkcja f jest rosnąca na przedziale P, gdy:"` 

`x_1,x_2 in P:\ x_1<x_2\ implies\ f(x_1)<f(x_2)`  

 

`x_1 in [-1;+oo)` 

`t in RR_+` 

`x_2=x_1+t` 

`x_2>x_1` 

 

`f(x_1)=sqrt(x_1+1)-2` 

`f(x_2)=sqrt(x_1+t+1)-2` 

`f(x_2)>f(x_1)` 

`"Na podstawie definicji funkcji rosnącej możemy stwierdzić, że f jest funkcją rosnącą."` 

Wyznacz równania okręgów ...

`a)` 

`r=sqrt5` 

`(x-a)^2+(y-b)^2=5` 

`A=(4;2)` 

`B=(1;3)`  

`(4-a)^2+(2-b)^2=5` 

`(1-a)^2+(3-b)^2=5` 

`5=5` 

`(4-a)^2+(2-b)^2=(1-a)^2+(3-b)^2` 

`16-8a+a^2+4-4b+b^2=1-2a+a^2+9-6b+b^2` 

`16-8a+4-4b=1-2a+9-6b` 

`6a=2b+10` 

`b=3a-5` 

 

`5=(4-a)^2+(2-b)^2=(4-a)^2+(2-3a+5)^2=5` 

`16-8a+a^2+49-42a+9a^2=5` 

`10a^2-50a+60=0` 

`a^2-5a+6=0` 

`Delta=25-24=1` 

`sqrtDelta=1` 

`a_1=(5-1)/2=2` 

`a_2=(5+1)/2=3` 

`b_1=3a_1-5=1` 

`b_2=3a_2-5=4`   

`{(a=2),(b=1):}\ \ \vv\ \ \{(a=3),(b=4):}` 

Równania okręgów są następujące:

`(x-2)^2+(y-1)^2=5` `\ \ \"lub"\`    `(x-3)^2+(y-4)^2=5` 

 

`b)` 

`r=2` 

`(x-a)^2+(y-b)^2=4` 

`A=(1;2)` 

`B=(-1;0)`   

`(1-a)^2+(2-b)^2=4` 

`(-1-a)^2+(-b)^2=4` 

`4=4` 

`(1-a)^2+(2-b)^2=(-1-a)^2+(-b)^2` 

`1-2a+a^2+4-4b+b^2=1+2a+a^2+b^2` 

`1-2a+4-4b=1+2a` 

`4a=-4b+4` 

`a=-b+1` 

 

`(-1-a)^2+(-b)^2=4=(-1+b-1)^2+(-b)^2` 

`b^2-4b+4+b^2=4` 

`b^2-2b=0` 

`b(b-2)=0` 

`b_1=0` 

`b_2=2` 

`a_1=-b_1+1=1` 

`a_2=-b_2+1=-1`   

`{(a=1),(b=0):}\ \ \vv\ \ \{(a=-1),(b=2):}` 

Równania okręgów są następujące:

`(x-1)^2+y^2=4` `\ \ \"lub"\`    `(x+1)^2+(y-2)^2=4` 

 

 

`c)` 

`r=3` 

`(x-a)^2+(y-b)^2=9` 

`A=(0;0)`  

`B=(1;1)`   

`(-a)^2+(-b)^2=9`  

`(1-a)^2+(1-b)^2=9` 

`9=9` 

`a^2+b^2=1-2a+a^2+1-2b+b^2` 

`2a=2-2b` 

`a=1-b` 

 

`(-a)^2+(-b)^2=9=(-1+b)^2+(-b)^2` 

`1-2b+b^2+b^2=9` 

`2b^2-2b-8=0` 

`b^2-b-4=0` 

`Delta=1+16=17` 

`sqrtDelta=sqrt17` 

`b_1=(1-sqrt17)/2` 

`b_2=(1+sqrt17)/2`    

`a_1=1-b_1=(1+sqrt17)/2` 

`a_2=1-b_2=(1-sqrt17)/2` 

Równania okręgów są następujące:

`(x-((1+sqrt17)/2))^2+(y-((1-sqrt17)/2))^2=9`    `\ \ \"lub"\`   

`(x-((1-sqrt17)/2))^2+(y-((1+sqrt17)/2))^2=9`  

 

`d)` 

`r=sqrt13` 

`(x-a)^2+(y-b)^2=13`  

`A=(5;2)` 

`B=(0;1)` 

`(5-a)^2+(2-b)^2=13`  

`(0-a)^2+(1-b)^2=13`  

`13=13` 

`25-10a+a^2+4-4b+b^2=a^2+1-2b+b^2` 

`25-10a+4-4b=1-2b` 

`10a=-2b+28` 

`b=-5a+14` 

 

`(0-a)^2+(1-b)^2=13=a^2+(1+5a-14)^2` 

`a^2+25a^2-130a+169=13` 

`26a^2-130a+156=0` 

`a^2-5a+6=0`  

`Delta=25-24=1` 

`sqrtDelta=1` 

`a_1=(5-1)/2=2` 

`a_2=(5+1)/2=3` 

`b_1=-5a_1+14=4` 

`b_2=-5a_2+14=-1`    

`{(a=2),(b=4):}\ \ \vv\ \ \{(a=3),(b=-1):}`  

Równania okręgów są następujące:

`(x-2)^2+(y-4)^2=13` `\ \ \"lub"\`    `(x-3)^2+(y+1)^2=13`