Obliczanie odległości dwóch punktów - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Obliczanie odległości dwóch punktów

Obliczanie odległości dwóch punktów w układzie współrzędnych ogranicza się do korzystania z dość skomplikowanie wyglądającego wzoru:
$$|AB|=√{(x_2- x_1 )^2+(y_2-y_1 )^2}$$

Na szczęście wzór ten jedynie wygląda "groźnie", ponieważ aby go wyprowadzić wystarczy znajomość Twierdzenia Pitagorasa.

Przykład:

Mamy dwa punkty A(1,1) oraz B(4,5). Znajdźmy ich odległość.
img01
Dorysujmy linie pomocnicze:

img02

I szukaną odległość:

img03

Jak widać szukana odległość jest niczym innym jak przeciwprostokątną, oznaczmy boki:

img04

Zatem przypomnijmy Twierdzenie Pitagorasa:
$$a^2+b^2=c^2$$
C będzie naszym szukanym bokiem, czyli odcinkiem |AB|.

Jak znaleźć a i b? Tak samo jak na przykładowym rysunku, odejmujemy współrzędne punktu początkowego od końcowego dla każdego odcinka, więc dla $$A(1,1)$$ i $$B(4,5)$$ to po prostu:

$$a=4-1$$
$$b=5-1$$
czyli ostatecznie:
a=3
b=4

pozostaje nam obliczyć wzór:
$$3^2+4^2=c^2$$
$$9+16=c^2$$
$$c^2=25$$
$$c=5$$
$$c=|AB|=5$$

Uzyskaliśmy poprawny wynik nie korzystając z wymienionego na początku tematu wzoru, ale teraz czas z niego skorzystać.
Obliczenie za pomocą wzoru:
Skoro $$A(1,1)$$ to przy wzorze ogólnym na punkt $$A(x_1,y_1)$$ wartość
$$x_1=1$$
$$y_1=1$$
Skoro B(4,5) to:
$$x_2=4$$
$$y_2=5$$

Mamy wzór:

$$|AB|=√{(x_2- x_1 )^2+(y_2-y_1 )^2}$$

Podmieniamy litery na ich wartości:

$$|AB|=√{(4- 1)^2+(5-1)^2}$$
$$|AB|=√{3^2+4^2}$$
$$|AB|=√{25}$$
$$|AB|=5$$

 

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Oblicz odległość pomiędzy A(1;3) oraz B(13;8)

Dla A(1,3) i B(13,8) odejmujemy współrzędne:
$$a=13-1$$
$$b=8-3$$
$$a=12$$
$$b=5$$
$$c=|AB|$$

pozostaje nam obliczyć wzór:

$$12^2+5^2=c^2$$
$$144+25=c^2$$
$$c^2=169$$
$$c=13$$

Odp.: Odległość wynosi 13.

Zadanie 2.

Wykaż, że trójkąt ABC, gdzie A=(−2,1), B=(3,4), C=(−5,6) jest prostokątny.

Aby to wykazać musimy standardowo posłużyć się twierdzeniem pitagorasa, i to wiele razy.
Standardowo zacznijmy od policzenia za pomocą wzoru na odległość punktu poszczególnych kombinacji czyli:

$$|CA| = √{(-5+2)^2 + (6-1)^2}=√{9 + 25}= √{34} $$

$$|AB| = √{(3+2)^2 + (4-1)^2}=√{25 + 9}= √{34} $$

$$|BC| = √{(-5-3)^2 +(6-4)^2}=√{64 + 4}=√{68} $$

BC jest największą liczbą zatem jest przeciwprostokątną. Użyjmy pitagorasa $$|CA|^2 + |AB|^2 = |BC|^2$$

$$34+34=68$$
$$68=68$$

Twierdzenie Pitagorasa działa tylko dla trójkątów prostokątnych, zatem trójkąt jest prostokątny

Spis treści

Rozwiązane zadania
Zapisz warunek, który spełniają liczby należące do danego przedziału

Wyznacz równanie prostej przechodzącej ...

`a)` 

`P=(-2;3)` 

`Q=(4;9)` 

`y=ax+b` 

`{(3=-2a+b),(9=4a+b):}` 

`{(-3=2a-b),(9=4a+b):}` 

`6=6a` 

`a=1` 

`3=-2a+b\ implies\ b=3+2a=5` 

`y=x+5` 

`ul(x-y+5=0` 

 

`b)` 

`P=(6;2)` 

`Q=(-3;6)` 

`y=ax+b` 

`{(2=6a+b),(6=-3a+b):}` 

`{(-2=-6a-b),(6=-3a+b):}` 

`4=-9a`  

`a=-4/9` 

`b=2-6a=18/9+24/9=42/9`  

`y=-4/9x+42/9`  

`ul(-9y-4x+42=0`          

 

`c)` 

`P=(-3;7)` 

`Q=(-3;8)` 

`y=ax+b` 

`{(7=-3a+b),(8=-3a+b):}`  

Zauważmy, że oba punkty mają wspólną pierwszą współrzędną.

Zatem: x=-3

`ul(x+3=0)` 

 

`d)` 

`P=(1;2)` 

`Q=(-4;-4)` 

`y=ax+b` 

`{(2=a+b),(-4=-4a+b):}` 

`{(-2=-a-b),(-4=-4a+b):}` 

`-6=-5a` 

`a=6/5` 

`b=2-a=4/5` 

`y=6/5x+4/5` 

`ul(6/5x-y+4/5=0` 

 

`e)` 

`P=(7;4)` 

`Q=(-12;4)` 

`y=ax+b` 

`{(4=7a+b),(4=-12a+b):}`   

`{(-4=-7a-b),(4=-12a+b):}`    

`0=-19a` 

`a=0` 

`b=4-7a=4` 

`y=4` 

`ul(-y+4=0` 

 

`f)` 

`P=(12;0)` 

`Q=(12;-13)` 

`y=ax+b` 

`{(0=12x+b),(-13=12x+b):}` 

Zauważmy, że oba punkty mają wspólną pierwszą współrzędną.

Zatem: x=12

`ul(x-12=0)`  

Wskaż wartość, którą funkcja...

`f(x) = 1/(3x)` 

Obliczmy wartość funkcji w punkcie x = -6

`f(-6) = 1/(3*(-6)) = -1/18` 

Odpowiedź A

Wskaz punkt należący do prostej przechodzącej...

Wyznaczamy równanie prostej przechodzącej przez podane punkty.  

Wstawiamy do równania prostej `y=ax+b` współrzędne pierwszego punktu. Otrzymujemy:

`3=b` 

Wstawiamy do równania prostej `y=ax+b` współrzędne drugiego punktu. Otrzymujemy:

`5=6a+b` 

Zapisujemy wyznaczone równania jako układ równań i wyliczamy z niego `a,\ b.` 

`{(6a+b=5),(b=3):}` 

`{(6a+3=5),(b=3):}` 

`{(6a=2\ "/":6),(b=3):}` 

`{(a=1/3),(b=3):}` 

Zatem szukana prosta wyraża się wzorem

`y=1/3x+3` 

Zauważmy teraz, że wszystkie podane punkty mają drugą współrzędną równą `37.` 

Dlatego, zamiast wstawiać po kolei współrzędne do wzoru funkcji, obliczymy,

dla jakich argumentów funkcja przyjmuje wartość `37,` czyli: 

`37=1/3x+3` 

`34=1/3x\ "/"*3` 

`x=102` 

Prawidłowa odpowiedź to `"C."` 

Na rysunku przedstawiony jest wykres funkcji f.

a)

  • `y=1 \ \ \ dla \ \ \ x=3`
  • `y=-2 \ \ \dla \ \ \ x in {-2}uu(0,2>>`

b)

  • `f(4)=4`
  • funkcja nie przyjmuje żadnej wartości dla argumentu 5- dziedzina funkcji nie zawiea argumentu 5
Wykres funkcji f(x)= ...

`f(x)=2x^2` 

 

`a)` 

`g(x)-"funkcja, któej wykresem jest wykres funkcji f przesunięty o wektor"\ vec v` 

`vec v=[0;-2]` 

`g(x)=2x^2-2` 

`ZW_(g)=[-2;+oo)` 

 

`b)` 

`vecv=[4;0]` 

`g(x)=2(x-4)^2` 

`ZW_(g)=[0;+oo)`  

 

`c)` 

`vec v=[-3;2]` 

`g(x)=2(x+3)^2+2` 

`ZW_(g)=[2;+oo)`   

 

`d)` 

`vecv=[sqrt2;-1]` 

`g(x)=2(x-sqrt2)^2-1`   

`ZW_(g)=[-1;+oo)`  

Dane są zbiory A=(-∞,5),B=<a,9) i A\B=(-∞,-1).

a) Sporządzamy rysunek pomocniczy:

Na podstawie rysunku można stwierdzić, że: `B=<<-1,9)`

Sprzedawca sprzedaje zegarki

Oznaczmy cenę zegarka bez marży jako x. 

`"cena zegarka bez promocji:"\ \ \ (100%+20%)*x=120%*x=1,2x`

`"cena zegarka z promocją:"\ \ \ (100%+10%)*x=110%*x=1,1x`

 

Obliczamy, o ile procent staniały zegarki, czyli jakim procentem ceny bez promocji jest różnica cen:

`(1,2x-1,1x)/(1,2x)=(0,1x)/(1,2x)=(0,1)/(1,2)=1/12=0,08333...=8,333...%~~8,3%`

 

Adam i Marek pokonali rowerami ...

a) Prawda. O godzinie 11:00 mieli pokonane 10 km trasy. O godzinie 12:30 obaj mieli pokonane 40 km drogi.

b) Fałsz. O 12:00 bliżej celu był Marek. Marek wyruszył w trasę pół godzinie po Adamie, więc wykres zaznaczony kolorem czerwonym należy do Marka. 

c) Fałsz. Od 11:30 do 12:00 droga pokonana przez Adama nie uległa zmianie. Stąd wnioskujemy, że jego prędkość wynosiła 0 km/h.

d) Prawda. Obaj pokonali 50 km. Obaj pokonali trasę w czasie 3,5 godziny (w czasie uwzględniamy także czas postoju). Stąd ich prędkość średnia także jest taka sama.

Wskaż liczbę równą

`root(5)64=root(5)(32)*root(5)2=2root(5)2\ \ \ \ \ \ \ \ \ odp.\ A`