Obliczanie odległości dwóch punktów - matura-podstawowa - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Obliczanie odległości dwóch punktów - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Obliczanie odległości dwóch punktów

Obliczanie odległości dwóch punktów w układzie współrzędnych ogranicza się do korzystania z dość skomplikowanie wyglądającego wzoru:
$|AB|=√{(x_2- x_1 )^2+(y_2-y_1 )^2}$

Na szczęście wzór ten jedynie wygląda "groźnie", ponieważ aby go wyprowadzić wystarczy znajomość Twierdzenia Pitagorasa.

Przykład:

Mamy dwa punkty A(1,1) oraz B(4,5). Znajdźmy ich odległość.
img01
Dorysujmy linie pomocnicze:

img02

I szukaną odległość:

img03

Jak widać szukana odległość jest niczym innym jak przeciwprostokątną, oznaczmy boki:

img04

Zatem przypomnijmy Twierdzenie Pitagorasa:
$a^2+b^2=c^2$
C będzie naszym szukanym bokiem, czyli odcinkiem |AB|.

Jak znaleźć a i b? Tak samo jak na przykładowym rysunku, odejmujemy współrzędne punktu początkowego od końcowego dla każdego odcinka, więc dla $A(1,1)$ i $B(4,5)$ to po prostu:

$a=4-1$
$b=5-1$
czyli ostatecznie:
a=3
b=4

pozostaje nam obliczyć wzór:
$3^2+4^2=c^2$
$9+16=c^2$
$c^2=25$
$c=5$
$c=|AB|=5$

Uzyskaliśmy poprawny wynik nie korzystając z wymienionego na początku tematu wzoru, ale teraz czas z niego skorzystać.
Obliczenie za pomocą wzoru:
Skoro $A(1,1)$ to przy wzorze ogólnym na punkt $A(x_1,y_1)$ wartość
$x_1=1$
$y_1=1$
Skoro B(4,5) to:
$x_2=4$
$y_2=5$

Mamy wzór:

$|AB|=√{(x_2- x_1 )^2+(y_2-y_1 )^2}$

Podmieniamy litery na ich wartości:

$|AB|=√{(4- 1)^2+(5-1)^2}$
$|AB|=√{3^2+4^2}$
$|AB|=√{25}$
$|AB|=5$

 

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Oblicz odległość pomiędzy A(1;3) oraz B(13;8)

Dla A(1,3) i B(13,8) odejmujemy współrzędne:
$a=13-1$
$b=8-3$
$a=12$
$b=5$
$c=|AB|$

pozostaje nam obliczyć wzór:

$12^2+5^2=c^2$
$144+25=c^2$
$c^2=169$
$c=13$

Odp.: Odległość wynosi 13.

Zadanie 2.

Wykaż, że trójkąt ABC, gdzie A=(−2,1), B=(3,4), C=(−5,6) jest prostokątny.

Aby to wykazać musimy standardowo posłużyć się twierdzeniem pitagorasa, i to wiele razy.
Standardowo zacznijmy od policzenia za pomocą wzoru na odległość punktu poszczególnych kombinacji czyli:

$|CA| = √{(-5+2)^2 + (6-1)^2}=√{9 + 25}= √{34} $

$|AB| = √{(3+2)^2 + (4-1)^2}=√{25 + 9}= √{34} $

$|BC| = √{(-5-3)^2 +(6-4)^2}=√{64 + 4}=√{68} $

BC jest największą liczbą zatem jest przeciwprostokątną. Użyjmy pitagorasa $|CA|^2 + |AB|^2 = |BC|^2$

$34+34=68$
$68=68$

Twierdzenie Pitagorasa działa tylko dla trójkątów prostokątnych, zatem trójkąt jest prostokątny

Spis treści

Rozwiązane zadania
Narysuj dowolny czworokąt i konstruując...

Przykładowe rozwiązanie:   {premium}



Symetralne boków tego czworokąta nie przecinają się w jednym punkcie, zatem na tym czworokącie nie można opisać okręgu.

Rozwiązaniem...

Dane jest równanie

Zauważmy, że równanie jest określone, gdy

więc

Przekształcając równanie otrzymujemy{premium}

 

 

Odp. B.    

Na rysunku obok przedstawiono wykresy ...

 

Z rysunku odczytujemy zbiór argumentów, dla których funkcja  przyjmuje wartości mniejsze od wartości funkcji  (wykres funkcji  znajduje się pod wykresem funkcji ). {premium}

 

Odpowiedź: D


 

Iloczyn dwóch liczb jest dodatni, gdy obie te liczby są dodatnie lub obie są ujemne. Z rysunku odczytujemy zbiór argumentów, dla których funkcje  jednocześnie przyjmują wartości dodatnie lub jednocześnie przyjmują wartości ujemne (wykresy funkcji  znajdują się jednocześnie nad osią   lub jednocześnie pod osią ).

 

Odpowiedź: B

Na rysunku przedstawiono wykres...

Z wykresu odczytujemy, że{premium} w temperaturze 22°C wykiełkowało 65 siewek.

Prawidłowa odpowiedź to C.

Każdej liczbie x ze zbioru X przyporządkowujemy element...

Funkcją f ze zbioru X w zbiór Y (zbiory X i Y są niepuste) nazywamy takie odwzorowanie, w którym każdemu elementowi ze zbioru X został przyporządkowany dokładnie jeden element ze zbioru Y. Funkcję tę oznaczamy f:X→Y.

Zbiór X nazywamy dziedziną funkcji f. Oznaczmy ją symbolem Df.

Zbiór Y nazywamy przeciwdziedziną funkcji f.

Zbiór tych elementów ze zbioru Y, które zostały przyporządkowane elementom ze zbioru X nazywamy zbiorem wartości funkcji f. Oznaczamy go symbolem ZWf.


a) Przyporządkowanie jest funkcją, bo {premium}każdemu elementowi ze zbioru X został przyporządkowany dokładnie jeden element ze zbioru Y.

b) 5

c) 3

d) 1

Naszkicuj wykres funkcji danej wzorem ...

a) Sporządzamy tabelkę jej wartości.

           
           

Wykres funkcji f: {premium}


b) Sporządzamy tabelkę jej wartości.

           
           

Wykres funkcji f:


c) Sporządzamy tabelkę jej wartości.

           
          `16` 

Wykres funkcji f:

Przedstaw podane wyrażenie jako...

   {premium}

 

 

 

 

 

Udowodnij, że odcinek łączący środki ...

Skoro punkt E jest środkiem odcinka |AD|, to punkt F jest środkiem odcinka |DG|.

Podobnie, jeżeli punkt I jest środkiem odcinka |CB|, to punkt J jest środkiem odcinka |CH|.

Zauważmy, że trójkąty EDF i ADG są prostokątne i mają wspólny kąt ostry. Tym samym, pozostały kąt mają również tej samej miary.

Z cechy kkk wspomniane trójkąty są podobne.

Analogicznie - podobnie są trójkąty CJI oraz HCB.

Z podobieństwa trójkątów EDF i ADG otrzymujemy:

 

Zauważmy, że:

 

Zatem:

{premium}   

Czyli:

 

Z podobieństwa trójkątów CJI i HCB otrzymujemy:

 

Zauważmy, że:

 

Zatem:

 

Czyli:

 

Mamy więc:

 

Stąd:

 

Funkcja g jest określona następująco...

Liczby ze zbioru {10, 11, 12, ..., 99, 100}, których iloczyn{premium} cyfr jest równy 6 to: 16, 23, 32, 61. W takim razie funkcja g przyjmuje wartość 6 dla czterech argumentów.


Prawidłowa odpowiedź to A.

Przeczytaj paradoks pokazujący...

Przypuśćmy, że Achilles{premium} startuje w chwili, gdy żółw znajduje się już w odległości 100 m (czyli zakładamy, że trasa ma 200 m). Wówczas przykładowy wykres ruchu Achillesa i żółwia wygląda następująco:


Półproste będące wykresami ruchu Achillesa i żółwia zbliżają się do siebie coraz bardziej, ale przecinają się dopiero w punkcie (20, 200). Żółw za każdym razem pokonuje połowę zaplanowanej trasy, więc nigdy nie pokona odległości 200 m (będzie bardzo blisko tej odległości, ale nigdy jej nie osiągnie). W takim razie punkt (20, 200) nie należy do dziedziny żadnej z funkcji, a stąd wynika, że Achilles nigdy nie dogoni żółwia (wykres ruchu Achillesa będzie nieskończenie blisko wykresu ruchu żółwia, ale wykresy nigdy się nie przetną).