Obliczanie odległości dwóch punktów - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Obliczanie odległości dwóch punktów

Obliczanie odległości dwóch punktów w układzie współrzędnych ogranicza się do korzystania z dość skomplikowanie wyglądającego wzoru:
$$|AB|=√{(x_2- x_1 )^2+(y_2-y_1 )^2}$$

Na szczęście wzór ten jedynie wygląda "groźnie", ponieważ aby go wyprowadzić wystarczy znajomość Twierdzenia Pitagorasa.

Przykład:

Mamy dwa punkty A(1,1) oraz B(4,5). Znajdźmy ich odległość.
img01
Dorysujmy linie pomocnicze:

img02

I szukaną odległość:

img03

Jak widać szukana odległość jest niczym innym jak przeciwprostokątną, oznaczmy boki:

img04

Zatem przypomnijmy Twierdzenie Pitagorasa:
$$a^2+b^2=c^2$$
C będzie naszym szukanym bokiem, czyli odcinkiem |AB|.

Jak znaleźć a i b? Tak samo jak na przykładowym rysunku, odejmujemy współrzędne punktu początkowego od końcowego dla każdego odcinka, więc dla $$A(1,1)$$ i $$B(4,5)$$ to po prostu:

$$a=4-1$$
$$b=5-1$$
czyli ostatecznie:
a=3
b=4

pozostaje nam obliczyć wzór:
$$3^2+4^2=c^2$$
$$9+16=c^2$$
$$c^2=25$$
$$c=5$$
$$c=|AB|=5$$

Uzyskaliśmy poprawny wynik nie korzystając z wymienionego na początku tematu wzoru, ale teraz czas z niego skorzystać.
Obliczenie za pomocą wzoru:
Skoro $$A(1,1)$$ to przy wzorze ogólnym na punkt $$A(x_1,y_1)$$ wartość
$$x_1=1$$
$$y_1=1$$
Skoro B(4,5) to:
$$x_2=4$$
$$y_2=5$$

Mamy wzór:

$$|AB|=√{(x_2- x_1 )^2+(y_2-y_1 )^2}$$

Podmieniamy litery na ich wartości:

$$|AB|=√{(4- 1)^2+(5-1)^2}$$
$$|AB|=√{3^2+4^2}$$
$$|AB|=√{25}$$
$$|AB|=5$$

 

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Oblicz odległość pomiędzy A(1;3) oraz B(13;8)

Dla A(1,3) i B(13,8) odejmujemy współrzędne:
$$a=13-1$$
$$b=8-3$$
$$a=12$$
$$b=5$$
$$c=|AB|$$

pozostaje nam obliczyć wzór:

$$12^2+5^2=c^2$$
$$144+25=c^2$$
$$c^2=169$$
$$c=13$$

Odp.: Odległość wynosi 13.

Zadanie 2.

Wykaż, że trójkąt ABC, gdzie A=(−2,1), B=(3,4), C=(−5,6) jest prostokątny.

Aby to wykazać musimy standardowo posłużyć się twierdzeniem pitagorasa, i to wiele razy.
Standardowo zacznijmy od policzenia za pomocą wzoru na odległość punktu poszczególnych kombinacji czyli:

$$|CA| = √{(-5+2)^2 + (6-1)^2}=√{9 + 25}= √{34} $$

$$|AB| = √{(3+2)^2 + (4-1)^2}=√{25 + 9}= √{34} $$

$$|BC| = √{(-5-3)^2 +(6-4)^2}=√{64 + 4}=√{68} $$

BC jest największą liczbą zatem jest przeciwprostokątną. Użyjmy pitagorasa $$|CA|^2 + |AB|^2 = |BC|^2$$

$$34+34=68$$
$$68=68$$

Twierdzenie Pitagorasa działa tylko dla trójkątów prostokątnych, zatem trójkąt jest prostokątny

Spis treści

Rozwiązane zadania
Naszkicuj parabolę. Podaj współrzędne jej wierzchołka

`a)`

Parabola powstaje poprzez przesunięcie wykresu funkcji y=-x² o 3 jednostki w górę.

Rysujemy pomocniczy układ współrzędnych (przesunięty o 3 jednostki w górę) i w nim rysujemy wykres funkcji y=-x².

 

`W=(0,\ 3)`

 

 

`b)`

Parabola powstaje poprzez przesunięcie wykresu funkcji y=-x² o 3 jednostki w prawo. 

 

Rysujemy pomocniczy układ współrzędnych (przesunięty o 3 jednostki w prawo) i w nim rysujemy wykres funkcji y=-x².

`W=(3,\ 0)`

 

 

`c)`

Parabola powstaje poprzez przesunięcie wykresu funkcji y=x² o 1 jednostkę w lewo i 4 jednostki w dół.

 

Rysujemy pomocniczy układ współrzędnych (przesunięty o 1 jednostkę w lewo i 4 jednostki w dół) i w nim rysujemy wykres funkcji y=x².

`W=(-1,\ -4)`

 

 

`d)`

Parabola powstaje poprzez przesunięcie wykresu funkcji y=2x² o 1 jednostkę w prawo i 1 jednostkę w dół.

 

Rysujemy pomocniczy układ współrzędnych (przesunięty o 1 jednostkę w prawo i 1 jednostkę w dół) i w nim rysujemy wykres funkcji y=2x².

`W=(1,\ -1)`

 

 

`e)`

Parabola powstaje poprzez przesunięcie wykresu funkcji y=-½x² o 2 jednostki w prawo i 2 jednostki w dół.

 

Rysujemy pomocniczy układ współrzędnych (przesunięty o 2 jednostki w prawo i 2 jednostki w dół) i w nim rysujemy wykres funkcji y=-½x².

`W=(2,\ -2)`

 

 

`f)\ y=(2-x)^2+1=(x-2)^2+1`

Parabola powstaje poprzez przesunięcie wykresu funkcji y=x² o 2 jednostki w prawo i 1 jednostkę w górę.

Rysujemy pomocniczy układ współrzędnych (przesunięty o 2 jednostki w prawo i 1 jednostkę w górę) i w nim rysujemy wykres funkcji y=x².

 

`W=(2,\ 1)`

Przekątne...

`(|DE|)/(|CD|)= (|BE|)/(|AB|)`

`(3x)/a = (4x)/b`

`3bx = 4ax`

`3bx-4ax =0`

`x(3b-4a)=0 \ \ \ |:x`

`3b-4a=0`

`3b=4a`  

 

Wiemy, że:

`(a+b)/2 = 14 \ \ \|*2`

`a+b=28 \ \ \ |-a`

`b=28-a`  

 

A więc wystarczy rozwiązać układ równań:

`{(3b=4a),(b=28-a):}`

`{(3(28-a)=4a),(b=28-a):}`

`{(84-3a = 4a \ \ \ |+4a),(b=28-a):}`

`{(7a=84 \ \ \ |:7),(b=28-a):}`

`{(a=12),(b=28-12):}`

`{(a=12),(b=16):}`

 

Odczytaj z wykresu wartość ...

`a)` 

`f(x)=-x^2+6x-6` 

`f(x)_max=3` 

`f(x)_min=-1` 

 

`b)` 

`f(x)=-1/3x^2+2/3x+5/3` 

`f(x)_max=2` 

`f(x)_min=-1` 

 

`c)` 

`f(x)=1/5x^2-11/5` 

`f(x)_max=1` 

`f(x)_min=-2`   

Oblicz wartości funkcji trygonometrycznych...

Prosta równoległa do prostej danej równaniem `y = 1/3x + 4` przechodząca przez początek układu współrzędnych ma wzór:

`y = 1/3x`  

 

Argumenty i wartości są wprost proporcjonalne. Wyznaczmy zatem punkt który należy do wykresu funkcji, najlepiej tak aby obie współrzędne były całkowite.

`"Dla" \ x = 3` 

`y = 1/3 * 3 =1` 

`P=(3,1)` 

 

Wyznaczmy funkcje trygonometryczne wiedząc , że punkt P należy do wykresu funkcji.

`r = sqrt(3^2 +1^2) = sqrt(9 + 1) = sqrt10` 

`sin alpha = y/r = 1/sqrt10 *sqrt10/sqrt10 = (sqrt10)/10` 

`cos alpha = x/r = 3/sqrt10 * sqrt10/sqrt10 = (3sqrt10)/10` 

`tg \ alpha = y/x = 1/3` 

`ctg \ alpha = x/y = 3/1 = 3` 

Wykaż, że suma odległości...

Pole dużego trójkąta jest dane wzorem:

`P = 1/2a*h` 

Pole dużego trójkąta jest równe trzem trójkątom wewnątrz niego.

`P = P_1 + P_2 + P_3 = 1/2ax + 1/2ay + 1/2az` 

A więc:

`1/2a*h = 1/2a(x+y+z)` 

`1/2ah - 1/2a(x+y+z)=0` 

`1/2a(h - (x+y+z)) =0` 

`a> 0` 

`h - (x+y+z)=0 \ \ \ |+(x+y+z)` 

`h = x+y+z` 

Co kończy dowód

Przedstaw liczbę w postaci

`a)\ root(3)16+root(3)54=root(3)8*root(3)2+root(3)27*root(3)2=2root(3)(2)+3root(3)2=5root(3)2`

`b)\ root(3)250-2root(3)128=root(3)125*root(3)2-2*root(3)64*root(3)2=5root(3)(2)-2*4*root(3)(2)=`

`\ \ \ =5root(3)(2)-8root(3)(2)=-3root(3)2`

`c)\ root(3)81+2root(3)24-root(3)375=root(3)27*root(3)(3)+2*root(3)8*root(3)(3)-root(3)125*root(3)3=`

`\ \ \ =3root(3)(3)+2*2*root(3)(3)-5root(3)3=3root(3)3+4root(3)(3)-5root(3)(3)=2root(3)3`

Wyznacz dopełnienie zbioru A

`a)\ A'=(-infty;\ 3)uu<<5;\ +infty)`

`b)\ A'=(-infty;\ -3>>`

`c)\ A'=(-infty;\ 1)uu<<4;\ 6)`

`d)\ A'=(-infty;\ -3>>uu<<2;\ 5)uu(5;\ +infty)`

 

Wyznacz wszystkie liczby rzeczywiste m dla których ...

`a)`

`{(x+y=3\ \ \ |*(-1)), (mx+y=0):}`

`{(-x-y=-3), (mx+y=0):}\ \ \ \ |+`

`(-x-y)+(mx+y)=-3+0`

`-x+mx=-3`

`{(x(-1+m)=-3\ \ \ \ \ |:(-1+m)ne0\ \ \ \ ("czyli"\ \ mne1)), (x+y=3\ \ \ |-3\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ):}`

`{(x=(-3)/(-1+m)=3/(1-m)), (y=3-x):}`

`{(x=3/(1-m)\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ), (y=3-3/(1-m)=(3(1-m)-3)/(1-m)=(3-3m-3)/(1-m)=(-3m)/(1-m)):}`

 

Dla m≠1 układ jest oznaczony - ma jedno rozwiązanie dane powyżej.

Dla m=1 układ jest postaci:

`{(x+y=3), (x+y=0):}`

Wtedy jest sprzeczny, bo suma liczb x i y nie może być równa jednocześnie 3 i 0.

Nie istnieje takie m, dla którego układ byłby nieoznaczony.

 

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))`

 

`b)`

`{(2x-4y=m\ \ \ |*(-2)), (4x+my=9):}`

`{(-4x+8y=-2m), (4x+my=9):}\ \ \ \ |+`

`(-4x+8y)+(4x+my)=-2m+9`

`8y+my=-2m+9`

 

`{(y(8+m)=-2m+9\ \ \ \ |:(8+m)ne0\ \ \ ("czyli"\ \ mne-8)), (2x-4y=m\ \ \ |+4y \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ):}`

`{(y=(-2m+9)/(8+m)), (2x=4y+m\ \ \ |:2):}`

`{(y=(-2m+9)/(8+m)), (x=2y+1/2m):}`

`{(y=(-2m+9)/(8+m)\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ), (x=2*(-2m+9)/(8+m)+1/2m=(-4m+18)/(8+m)+1/2m):}`

 

Dla m≠-8 układ jest oznaczony - ma jedno rozwiązanie dane powyżej. 

Dla m=-8 układ jest postaci:

`{(2x-4y=-8\ \ \ |*(-2)), (4x-8y=9):}`

`{(-4x+8y=16), (4x-8y=9):}\ \ \ |+`

`0=25`

Otrzymaliśmy sprzeczność, więc dla m=-8 układ jest sprzeczny. 

Nie istnieje takie m, dla którego ten układ jest nieoznaczony. 

 

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))`

 

`c)`

`{(mx+y=2m\ \ \ |-mx), (x+3my=-2):}`

`{(y=2m-mx), (x+3m(2m-mx)=-2):}`

`{(y=2m-mx), (x+6m^2-3m^2x=-2\ \ \ \ |-6m^2):}`

`{(y=2m-mx), (x-3m^2x=-2-6m^2):}`

`{(y=2m-mx), (x(1-3m^2)=-2-6m^2):}`

 

Teraz chcemy podzielić (jak w poprzednich przykładach) przez wyrażenie znajdujące się przy x. Oczywiście nie może ono przyjmować wartości 0, więc zapiszmy założenia (są one ciut trudniejsze niż poprzednio, dlatego robimy to w osobnym kroku):
`1-3m^2ne0\ \ \ |-1` 

`-3m^2ne-1\ \ \ \ |:(-3)`

`m^2ne1/3`

`mnesqrt(1/3)\ \ \ \ "i"\ \ \ \ mne-sqrt(1/3)`

`mne1/sqrt3\ \ \ \ "i"\ \ \ \ mne-1/sqrt3`

`mnesqrt3/(sqrt3*sqrt3)\ \ \ \ "i"\ \ \ \ mne (-sqrt3)/(sqrt3*sqrt3)`

`mnesqrt3/3\ \ \ \ "i"\ \ \ \ mne -sqrt3/3`

 

Powyżej mamy założenia w najprostszej postaci, przechodzimy do dalszego rozwiązywania układu równań: 

`{(y=2m-mx), (x=(-2-6m^2)/(1-3m^2)=(2+6m^2)/(-1+3m^2)):}`

`{(y=2m-m*(2+6m^2)/(-1+3m^2)=2m-(2m+6m^3)/(-1+3m^2)=(2m(-1+3m^2))/(-1+3m^2)-(2m+6m^3)/(-1+3m^2)=(-2m+6m^3)/(-1+3m^2)-(2m+6m^3)/(-1+3m^2)=(-4m)/(-1+3m^2)), (x=(2+6m^2)/(-1+3m^2)\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \):}`

Dla m różnego `sqrt3/3` i różnego od `-sqrt3/3` układ jest oznaczony - ma jedno rozwiązanie dane powyżej. 

Zobaczmy, jakiej postaci jest układ dla tych dwóch "wyrzuconych" m:

`m=sqrt3/3`

`{(sqrt3/3x+y=(2sqrt3)/3\ \ \ |*3), (x+sqrt3y=-2\ \ \ |*(-sqrt3)):}`

`{(sqrt3x+3y=2sqrt3), (-sqrt3x-3y=2sqrt3):}\ \ \ \ \ |+`

`0=4sqrt3`

Dla m równego `sqrt3/3` układ jest sprzeczny. 

 

`m=-sqrt3/3`

`{(-sqrt3/3x+y=(-2sqrt3)/3\ \ \ |*3), (x-sqrt3y=-2\ \ \ |*sqrt3):}`

`{(-sqrt3x+3y=-2sqrt3), (sqrt3x-3y=-2sqrt3):}\ \ \ \ |+`

`0=0`

Dla m równego `-sqrt3/3` układ jest nieoznaczony. 

Oblicz

`a)\ 22^2=(20+2)^2=20^2+2*20*2+2^2=400+80+4=484`

`b)\ 39^2=(40-1)^2=40^2-2*40*1+1^2=1600-80+1=1521`

`c)\ 1003^2=(1000+3)^2=1000^2+2*1000*3+3^2=1\ 000\ 000+6000+9=1\ 600\ 009`

`d)\ 498^2=(500-2)^2=500^2-2*500*2+2^2=250\ 000-2000+4=248\ 004`

Dawne prawo chińskie określało minimalny wiek ...

`x-"wiek mężczyzny"` 

`y-"wiek kobiety"` 

 

`{(x+y>52),(x>=22),(y>=20):}` 

`{(y> -x+52),(x>=22),(y>=20):}`  

`"Czerwona powierzchnia jest rozwiązaniem naszego układu nierówności."`