Obliczanie miar kąta na podstawie wartości - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Obliczanie miar kąta na podstawie wartości

Znamy już metody obliczania odpowiednich wartości przy znajomości funkcji trygonometrycznych (zobacz poprzednie tematy: Trygonometria w liceum). Tym razem policzymy trochę na odwrót, będziemy szukać kąta mając już podaną wartość. Skorzystamy również tutaj z naszej tablicy wartości funkcji trygonometrycznych:

tab1

Tym razem znajdźmy, dla jakiego $$ß$$ zachodzi $$cos ß=0,788$$

Wyszukujemy najpierw w kolumnie cosinusowej wartość kąta, a następnie odczytujemy jego miarę:

tab2

Jak widać $$ß=38^o$$. Przykład:

Znajdź wszystkie kąty w trójkącie, wiedząc, że $$sin α=0,65$$.

rys1

Oczywiście znamy już na miejscu jeden kąt, kąt prosty o mierze 90 stopni.

Obliczmy teraz kąt α. Odczytajmy jego wartość z tablic tak jak z poprzednim kątem:

tab3

Najbliższa miara kąta tej wartości to 41 stopni.

Zatem $$α=41^o$$.

Jak obliczyć drugi kąt? Z własności, trójkąta prostego. Pamiętamy, że suma kątów w trójkącie to 180°.

Zatem $$ß=180°-90°-41°=49°$$

Kąty w naszym trójkącie to: $$90°$$,$$41°$$,$$49°$$.

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Planujesz zbudować w swoim nowym domu spadzisty dach, pod jakim kątem należy go postawić, jeśli planowana długość dachu to 2m, a maksymalna wysokość to 1m.

Pokażmy plan domu:

zad1

Interesuje nas tylko trójkąt. Aby obliczyć ten kąt musimy poznać jego wartość, najłatwiej za pomocą sinusa, bierzemy bok naprzeciwko kąta oraz przeciwprostokątną.

$$sin α=1/2$$

Zatem pozostaje nam jedynie sprawdzić dla jakiej wartości jest to $$1/2$$. Odczytujemy z tablic, że to $$α=30$$.

Zadanie 2.

Znajdź wartości kątów na rysunku:

zad2

Bierzemy dowolną funkcję trygonometryczną, ja użyje tangensa α.

Zatem biorę bok naprzeciwko i bok obok:

$$ g α=6/8=0,75$$

Szukamy w tablicy najbliższej miary:

zad22

Zatem:

$$ g 37=0,75$$ Oczywiście jest to wartość przybliżona. Zatem drugi kąt policzmy już z własności trójkąta:

$$ß=180-90-37=53$$

Spis treści

Rozwiązane zadania
Odwrotność największej spośród liczb

`(5sqrt5)^-2=1/(5sqrt5)^2=1/(5^2*sqrt5^2)=1/(25*5)=1/125=8/1000=0,008`  

`0,2^3=0,008`  

`0,04^2=0,0016` 

`((1/5)^2)^-1=(1/5)^-2=5^2=25` 

 

Największą liczbą jest ostatnia z powyższych liczb, jej odwrotność to `1/25` , więc należy zaznaczyć odpowiedź C.

Rozwiązaniem układu ...

`{(mx+2ny=2),(3nx-2my=10):}` 

`x=-2` 

`y=1` 

`{(-2m+2n=2),(-6n-2m=10):}` 

`{(2m-2n=-2),(-6n-2m=10):}` 

`"Dodajmy równania do siebie:"` 

`-8n=8`  

`n=-1` 

`-2m+2n=2\ implies m=n-1=-2`  

`{(m=-2),(n=-1):}`  

`"Odpowiedź C."`   

 

Naszkicuj wykres funkcji f, a następnie odczytaj z niego ...

`a)` 

 

`f(x)=-1` 

`x=-3\ \ \vee \ \ \x=5` 

 

`f(x)>=-1` 

`x in [-3;5]` 

 

`b)` 

`f(x)=-1` 

`x in (-infty;-1]` 

 

`f(x)>=-1` 

`x in (-infty;+infty)=RR` 

 

`c)`  

`f(x)=-1` 

`x=-2\ \ \vee \ \ \ x=1/2` 

 

`f(x)>=-1` 

`x in (-infty;-2] cup [1/2;+infty) ` 

 

`d)` 

`f(x)=-1` 

`x=-3` 

 

`f(x)>=-1` 

`x in [-3;+infty)` 

Określ dziedzinę funkcji

`b)` 

`x-2ne0\ \ \ |+2` 

`xne2` 

 

`D_f\ =RR\\{2}` 

 

 

`c)` 

`x+3ne0\ \ \ |-3` 

`xne-3` 

 

`D_f\ =RR\\{-3}` 

 

 

`d)` 

`2x-6ne0\ \ \ |+6` 

`2xne6\ \ \ |:2` 

 

 

`D_f\ =RR\\{3}` 

 

 

`e)` 

`3x+1ne0\ \ \ |-1` 

`3xne-1\ \ \ \|:3` 

`xne-1/3` 

 

`D_f\ =RR\\{-1/3}` 

 

 

`f)` 

` ` `0,5x+2ne0\ \ \ |-2` 

`0,5xne-2\ \ \ |*2` 

`xne-4` 

 

`D_f\ =RR\\{-4}` 

 

 

Na rysunku przedstawiono wykres funkcji...

Punkty przecięcia z osią x:

`(-1,0) \ , \ (4,0)` 

Punkt przecięcia z osią y:

`(0, -1)` 

 

Zapiszmy wpierw funkcję w postaci iloczynowej, miejscami zerowymi są liczby -1 i 4

`f(x) = a(x+1)(x-4)` 

Wiemy, że

`f(0)=-1` 

`a(0+1)(0-4)=-1` 

`-4a = -1` 

`a = 1/4` 

 

`f(x) = 1/4 (x+1)(x-4)` 

Zamieńmy postać iloczynową na ogólną

`f(x) = 1/4 (x+1)(x-4) = 1/4 (x^2-4x+x-4) = 1/4(x^2 -3x-4) = 1/4x^2 -3/4x - 1` 

Mamy 240 metrów bieżących siatki ...

`a,b-"długości boków prostokąta"` 

 

`2a+2b=240` 

`a+b=120` 

`a=120-b` 

 

`a*b=(120-b)*b=-b^2+120b` 

`f(b)=-b^2+120b` 

`"Szukamy wartości największej funkcji f."` 

`"Wykres f jest parabolą o ramionach zwróconych w doł, zatem wartość największa to"\ f(x_w).` 

`x_w=-120/(-2)=60` 

`f(60)=-(60)^2+120*60=-3600+7200=3600` 

`ul(b=60)` 

`ul(a=120-b=60` 

Dana jest liczba a, gdzie a=(k-1)k(k+1)

`a)`

k jest parzyste, więc dzieli się przez 2, zatem a także dzieli się przez 2 (bo k jest czynnikiem, który wchodzi w skład a). 

Ponadto liczby (k-1)k(k+1) to 3 kolejne liczby całkowite, więc jedna z nich na pewno dzieli się przez 3 (druga daje resztę 1, a trzecia daje resztę 2). 

Wiemy więc, że wśród czynników (k-1)k(k+1) znajduje się na pewno czynnik podzielny przez 2 i czynnik podzielny przez 3, co oznacza, że liczba a jest podzielna przez 6. 

 

 

`b)`

k jest nieparzyste, więc liczby k-1 i k+1 są parzyste, dodatkowo wśród 2 kolejnych liczb parzystych znajduje się jedna podzielna przez 4 (co druga liczba parzysta dzieli się przez 4). Zatem mamy czynnik podzielny przez 2 i podzielny przez 4. Dodatkowo jedna z liczb k-1, k, k+1 dzieli się przez 3 (są to 3 kolejne liczby całkowite), więc liczba a dzieli się przez 24, bo 24=2∙4∙3

 

Wyznacz wszystkie pary liczb naturalnych

Jeśli NWD(n, k)=15, to liczby n oraz k dzielą się przez 15 i nie mają innego wspólnego dzielnika. Stąd liczby n oraz k można zapisać jako: n=15a oraz k=15b. Liczby a oraz b są naturalne i NWD(a, b)=1 (inaczej NWD(n, k) byłby większy od 15). Liczba a jest mniejsza od b, ponieważ liczba n jest mniejsza od k. Korzystając z tych równości rozwiążemy zadanie. 

 

`a)` 

`n+k=180` 

`15a+15b=180\ \ \ \ |:15` 

`a+b=12` 

Szukamy liczb naturalnych a, b (a<b) które nie mają wspólnych dzielników i których suma jest równa 12. 

Mamy następujące możliwości:

`1)\ a=1,\ \ b=11\ \ \ =>\ \ \ n=15*1=15,\ \ k=15*11=165\ \ \ =>\ \ \ "para"\ (15,\ 165)`  

`2)\ a=5,\ \ b=7\ \ \ \ =>\ \ \ n=15*5=75,\ \ \ k=15*7=105\ \ \ =>\ \ \ "para"\ (75,\ 105)` 

 

 

`b)` 

`nk=4500` 

`15a*15b=4500\ \ \ |:15` 

`15a*b=300\ \ \ |:15` 

`a*b=20` 

Szukamy liczb naturalnych a, b (a<b) które nie mają wspólnych dzielników i których iloczyn jest równy 20.

Mamy następujące możliwości:

`1)\ a=1,\ \ b=20\ \ \ =>\ \ \ n=15*1=15,\ \ k=15*20=300\ \ \ =>\ \ \ "para"\ (15,\ 300)` 

`2)\ a=4,\ b=5\ \ \ =>\ \ \ n=15*4=60,\ \ k=15*5=75\ \ \ =>\ \ \ "para"\ (60,\ 75)` 

 

napisz wzór funkcji kwadratowej g...

Skorzystamy ze wzoru na postać kanoniczną funkcji kwadratowej.

`y=a(x-p)^2+q,` gdzie `W=(p,\ q)` to wierzchołek paraboli.

W naszym zadaniu `a=3.` 

Zatem wzór funkcji przesuniętej tak, że jej wierzchołek znalazł się w punkcie `A` to:

`g(x)=3(x-2)^2+5`  

`"a)"` Jeżeli mamy wzór funkcji `y=g(x),` to wykres funkcji przekształconej symetrycznie względem osi `x` 

dany jest wzorem `y=-g(x).` 

Czyli mamy:

`y=-g(x)=-(3(x-2)^2+5)=-3(x-2)^2-5`  

 

`"b)"` Jeżeli mamy wzór funkcji `y=g(x),` to wykres funkcji przekształconej symetrycznie względem punktu `(0,\ 0)` 

dany jest wzorem `y=-g(-x).` 

Czyli mamy:

`y=-g(-x)=-(3(-x-2)^2+5)=-3(x+2)^2-5`  

 

`"c)"` Jeżeli mamy wzór funkcji `y=g(x),` to wykres funkcji przekształconej symetrycznie względem osi `y` 

dany jest wzorem `y=g(-x).` 

Czyli mamy:

`y=g(-x)=3(-x-2)^2+5=3(x+2)^2+5`      

Oceń prawdziwość podanych zdań

`A.\ "P"`  

Sprawdźmy, dla jakich wartości x wyrażenie 3x-12 przyjmuje wartości ujemne:

`3x-12<0\ \ \ |+12` 

`3x<12\ \ \ |:3` 

`x<4` 

`x in (-infty;\ 4)` 

 

Wyrażenie 3x-12 przyjmuje wartości ujemne dla liczb z przedziału (-∞; 4), więc wartość bezwzględną należy opuścić ze zmianą znaku. Równość jest prawdziwa. 

 

 

`B.\ "P"` 

Wiemy, że dla wartości x z przedziału (-∞, 4) wyrażenie 3x-12 przyjmuje wartości ujemne, więc dla wartości x z przedziału (-∞, 4> wyrażenie to przyjmuje wartości niedodatnie (mniejsze lub równe 0). Opuszczamy więc wartość bezwzględną ze zmianą znaku, więc równość jest prawdziwa. 

 

 

`C.\ "F"` 

Wiemy, że dla wartości x przedziału (-∞, 4) zachodzi równość:

`|3x-12|=-(3x-12)=-3x+12` 

Zmieniając kolejność składników sumy otrzymujemy:

`|3x-12|=12-3x`