Obliczanie miar kąta na podstawie wartości - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Obliczanie miar kąta na podstawie wartości

Znamy już metody obliczania odpowiednich wartości przy znajomości funkcji trygonometrycznych (zobacz poprzednie tematy: Trygonometria w liceum). Tym razem policzymy trochę na odwrót, będziemy szukać kąta mając już podaną wartość. Skorzystamy również tutaj z naszej tablicy wartości funkcji trygonometrycznych:

tab1

Tym razem znajdźmy, dla jakiego $$ß$$ zachodzi $$cos ß=0,788$$

Wyszukujemy najpierw w kolumnie cosinusowej wartość kąta, a następnie odczytujemy jego miarę:

tab2

Jak widać $$ß=38^o$$. Przykład:

Znajdź wszystkie kąty w trójkącie, wiedząc, że $$sin α=0,65$$.

rys1

Oczywiście znamy już na miejscu jeden kąt, kąt prosty o mierze 90 stopni.

Obliczmy teraz kąt α. Odczytajmy jego wartość z tablic tak jak z poprzednim kątem:

tab3

Najbliższa miara kąta tej wartości to 41 stopni.

Zatem $$α=41^o$$.

Jak obliczyć drugi kąt? Z własności, trójkąta prostego. Pamiętamy, że suma kątów w trójkącie to 180°.

Zatem $$ß=180°-90°-41°=49°$$

Kąty w naszym trójkącie to: $$90°$$,$$41°$$,$$49°$$.

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Planujesz zbudować w swoim nowym domu spadzisty dach, pod jakim kątem należy go postawić, jeśli planowana długość dachu to 2m, a maksymalna wysokość to 1m.

Pokażmy plan domu:

zad1

Interesuje nas tylko trójkąt. Aby obliczyć ten kąt musimy poznać jego wartość, najłatwiej za pomocą sinusa, bierzemy bok naprzeciwko kąta oraz przeciwprostokątną.

$$sin α=1/2$$

Zatem pozostaje nam jedynie sprawdzić dla jakiej wartości jest to $$1/2$$. Odczytujemy z tablic, że to $$α=30$$.

Zadanie 2.

Znajdź wartości kątów na rysunku:

zad2

Bierzemy dowolną funkcję trygonometryczną, ja użyje tangensa α.

Zatem biorę bok naprzeciwko i bok obok:

$$ g α=6/8=0,75$$

Szukamy w tablicy najbliższej miary:

zad22

Zatem:

$$ g 37=0,75$$ Oczywiście jest to wartość przybliżona. Zatem drugi kąt policzmy już z własności trójkąta:

$$ß=180-90-37=53$$

Spis treści

Rozwiązane zadania
Skonstruuj kąt ostry α, wiedząc ...

 

Konstruujemy taki trójkąt, w którm przyprostokątna leżąca naprzeciwko kąta α ma długość równą 1 jednostkę, a przyprostokątna przyległa do tego kąta ma długość równą 3 jednostki.

Ustalmy jako 1 jednostkę 1 cm.

 

 

Konstruujemy taki trójkąt, w którm przyprostokątna leżąca naprzeciwko kąta α ma długość równą 2 jednostki, a przeciwprostokątna ma długość równą3 jednostki.

Ustalmy jako 1 jednostkę 1 cm.

 

 

Konstruujemy taki trójkąt, w którm przyprostokątna przyległa do kąta α ma długość równą 1 jednostkę, a przeciwprostokątna ma długość równą 2 jednostki.

Ustalmy jako 1 jednostkę 1 cm.

 

 

Ustalmy jako 1 jednostkę 1 cm.

W pierwszej części wyznaczymy konstrukcyjnie długość 3 cm. Zauważmy jednak, że z poprzedniej konstrukcji c) długość odcinka EC wynosi 3 cm.

Wiemy, że:

 

 

Z tw. Pitagorasa mamy:

 

 

 

 

 

Następnie skonstruujemy taki trójkąt, w którm przyprostokątna leżąca naprzeciwko kąta α ma długość równą 3 jednostki, a przyprostokątna przyległa do tego kąta ma długość równą 1 jednostkę. Ponownie zauważmy, że takie warunki spełnia trójkąt skonstruowany w punkcie c).

Kąt α zaznaczony w trójkącie CDE spełnia warunek:

 

Zbiorem wartości funkcji f...

 
Aby otrzymać wykres funkcji y = |f(x)|, przekształcamy przez symetrię względem osi x tylko te fragmenty wykresu funkcji y=f(x), które leżą poniżej osi x , a pozostałe zachowujemy bez zmian. Dziedziny obu funkcji są identyczne.

 

Skoro zbiorem wartości funkcji jest przedział [-4; 2] to po odbiciu symetrycznym tej części wykresu, która leży poniżej osi x względem tej osi otrzymamy funkcję o zbiorze wartości wynoszącym:

 

Bo:

 

 

Wartość najmniejsza to:

 

Wartość największa to:

 

Wyznacz dziedzinę funkcji.

 

Pod pierwiastkiem musimy mieć liczbę nieujemną.

 

 

 

 

Pod pierwiastkiem musimy mieć liczbę nieujemną.

 

 

 

 

 

Pod pierwiastkiem musimy mieć liczbę nieujemną.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Oba pierwiastki muszą być nieujemne.

 

 

Dla nieujemnych argumentów jeden pierwiastek jest nieujemny lecz drugi nie jest. Musimy wybrać ograniczenie, które powoduje, że oba pierwiastki będą zawsze nieujemne.

 

 

 

 

Oba pierwiastki muszą być nieujemne.

 

 

 

Skoro x musi być jednocześnie większy bądź równy 3 i mniejszy bądź równy 3 to widać, że:

 

 

 

Jeśli sin...

Z jedynki trygonometrycznej:

 

 

 

 

  

Z tego wynika, że:

  

Zatem:

 

 

 

 

 

Odpowiedź A

Wyznacz dziedzinę funkcji ...

 

Wyznaczamy dziedzinę funkcji:

 

oraz

 

Otrzymujemy:

 

 

 

 

 

Wyznaczamy dziedzinę:

 

 

(ponieważ pierwiastek znajduje się w mianowniku, więc nie może być równy 0, dlatego rozpatrujemy tylko sytuację, w której liczby podpierwiastkowe są dodatnie)

oraz

 

Mamy:

 

 

 

Wyznaczamy dziedzinę:

 

Dowolna liczba rzeczywista podniesiona do kwadratu jest liczbą nieujemną, więc:

 

 

Stąd mamy:

 

 

 

 

 

 

Mamy:

 

Stąd dziedzina funkcji to:

 

Sprawdź, czy któraś z liczb wpisanych

 

Sprawdzamy, czy zachodzi równość:

Równość nie zachodzi. 

 

 

 

Sprawdzamy, czy zachodzi równość:

Równość zachodzi. 

 

 

 

 

 

 

 

Sprawdzamy, czy równość zachodzi: 

Równość zachodzi. 

 

 

Sprawdzamy, czy równość zachodzi:

Równość zachodzi. 

 

 

 

 

Równość nie zachodzi. 

 

 

Równość nie zachodzi. 

 

 

 

 

 

Nierówność zachodzi. 

 

 

Równość zachodzi.

 

 

 

 

 

Sprawdzamy, czy nierówność zachodzi:

Nierówność zachodzi.

 

 

 

 

Sprawdzamy, czy nierówność zachodzi:

Nierówność nie zachodzi.

 

 

 

 

 

 

Sprawdzamy, czy nierówność zachodzi:

Nierówność nie zachodzi.

 

 

 

Sprawdzamy, czy nierówność zachodzi:

Nierówność nie zachodzi.  

 

` `

Przyjrzyj się powyższym rysunkom i, stosując metodę Talesa ...

{premium}

Za 6 lat Wojtek będzie cztery razy starszy

 

 

Wiemy, że za 6 lat Wojtek będzie 4 razy starszy od Aleksandry oraz że 4 lata temu był od niej 14 razy starszy:

 

Wśród poniższych liczb wskaż liczby niewymierne

{premium}

 

 

Kąt rozwarty rombu...

Pole rombu o boku a i kącie   zawartym pomiędzy dwoma jego bokami możemy obliczyć ze wzoru:

 

 

Zatem:

 

 

 

 

 

 

 

Obwód: