Zgoda na przetwarzanie danych osobowych

25 maja 2018 roku zacznie obowiązywać Rozporządzenie Parlamentu Europejskiego i Rady (UE) 2016/679 z dnia 27 kwietnia 2016 r. znane jako RODO.

Dlatego aby dalej móc dostarczać Ci materiały odpowiednie do Twojego etapu edukacji, potrzebujemy zgody na lepsze dopasowanie treści do Twojego zachowania. Dzięki temu możemy zapamiętywać jakie materiały są Ci potrzebne. Dbamy o Twoją prywatność, więc nie zwiększamy zakresu naszych uprawnień. Twoje dane są u nas bezpieczne, a zgodę na ich zbieranie możesz wycofać na podstronie polityka prywatności.

Klikając "Przejdź do Odrabiamy", zgadzasz się na wskazane powyżej działania. W przeciwnym wypadku, nie jesteśmy w stanie zrealizować usługi kompleksowo i prosimy o opuszczenie strony.

Polityka prywatności

Drogi Użytkowniku w każdej chwili masz prawo cofnąć zgodę na przetwarzanie Twoich danych osobowych. Cofnięcie zgody nie będzie wpływać na zgodność z prawem przetwarzania, którego dokonano na podstawie wyrażonej przez Ciebie zgody przed jej wycofaniem. Po cofnięciu zgody wszystkie twoje dane zostaną usunięte z serwisu. Udzielenie zgody możesz modyfikować w zakładce 'Informacja o danych osobowych'

Obliczanie miar kąta na podstawie wartości - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Obliczanie miar kąta na podstawie wartości

Znamy już metody obliczania odpowiednich wartości przy znajomości funkcji trygonometrycznych (zobacz poprzednie tematy: Trygonometria w liceum). Tym razem policzymy trochę na odwrót, będziemy szukać kąta mając już podaną wartość. Skorzystamy również tutaj z naszej tablicy wartości funkcji trygonometrycznych:

tab1

Tym razem znajdźmy, dla jakiego $$ß$$ zachodzi $$cos ß=0,788$$

Wyszukujemy najpierw w kolumnie cosinusowej wartość kąta, a następnie odczytujemy jego miarę:

tab2

Jak widać $$ß=38^o$$. Przykład:

Znajdź wszystkie kąty w trójkącie, wiedząc, że $$sin α=0,65$$.

rys1

Oczywiście znamy już na miejscu jeden kąt, kąt prosty o mierze 90 stopni.

Obliczmy teraz kąt α. Odczytajmy jego wartość z tablic tak jak z poprzednim kątem:

tab3

Najbliższa miara kąta tej wartości to 41 stopni.

Zatem $$α=41^o$$.

Jak obliczyć drugi kąt? Z własności, trójkąta prostego. Pamiętamy, że suma kątów w trójkącie to 180°.

Zatem $$ß=180°-90°-41°=49°$$

Kąty w naszym trójkącie to: $$90°$$,$$41°$$,$$49°$$.

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Planujesz zbudować w swoim nowym domu spadzisty dach, pod jakim kątem należy go postawić, jeśli planowana długość dachu to 2m, a maksymalna wysokość to 1m.

Pokażmy plan domu:

zad1

Interesuje nas tylko trójkąt. Aby obliczyć ten kąt musimy poznać jego wartość, najłatwiej za pomocą sinusa, bierzemy bok naprzeciwko kąta oraz przeciwprostokątną.

$$sin α=1/2$$

Zatem pozostaje nam jedynie sprawdzić dla jakiej wartości jest to $$1/2$$. Odczytujemy z tablic, że to $$α=30$$.

Zadanie 2.

Znajdź wartości kątów na rysunku:

zad2

Bierzemy dowolną funkcję trygonometryczną, ja użyje tangensa α.

Zatem biorę bok naprzeciwko i bok obok:

$$ g α=6/8=0,75$$

Szukamy w tablicy najbliższej miary:

zad22

Zatem:

$$ g 37=0,75$$ Oczywiście jest to wartość przybliżona. Zatem drugi kąt policzmy już z własności trójkąta:

$$ß=180-90-37=53$$

Spis treści

Rozwiązane zadania
Oblicz

`([(1 1/3)^-2-10/2^4]:(-2)^-5)/([(3 1/3)^-1*3^0-1,25^-1*(3/2)^2]^-1)=([(4/3)^-2-10/16]:1/(-2)^5)/([(10/3)^-1*1-(1 1/4)^-1*9/4]^-1)=`

`=([(3/4)^2-10/16]:1/(-32))/([3/10-(5/4)^-1*9/4]^-1)=([9/16-10/16]*(-32/1))/([3/10-strike4^1/5*9/strike4^1]^-1)=`

`=(-1/16*(-32/1))/([3/10-9/5]^-1)=(32/16)/([3/10-18/10]^-1)=`

`=2/(-15/10)^-1=2/(-10/15)=2:(-10/15)=`

`=2*(-15/10)=2*(-3/2)=-3`

Rozłóż liczbę na czynniki ...

Na rysunku obok przedstawiono wykres funkcji

Funkcja f powstała przez przesunięcie wykres funkcji y=x² o 1 jednostkę w górę. 

`f(x)=x^2+1`

 

Funkcja g powstała przez przesunięcie funkcji y=x² o 4 jednostki w dół. 

`g(x)=x^2-4`

Maciej obecne jest dwa razy starszy...

Niech `m` oznacza wiek Macieja, a `s` wiek jego siostry.

Maciej jest obecnie dwa razy starszy od swojej siostry, czyli:

`m=2s` 

`5` lat temu był od niej starszy o `8` lat, czyli:

`m-5=(s-5)+8` 

Zapisujemy równania jako układ równań i wyznaczamy `m``s:` 

`{(m=2s),(m-5=s-5+8):}` 

`{(m-2s=0),(m-s=8):}` 

Odejmujemy równania stronami, otrzymując:

`-s=-8\ "/"*(-1)` 

`s=8` 

Podstawiamy `s=8` do dowolnego równania z `m:` 

`m=2s` 

`m=2*8=16` 

Rozwiązaniem układu równań jest para liczb:

`{(m=16),(s=8):}` 

Odp. Maciej ma `16` lat, a jego siostra `8` lat.         

       

Dla jakich wartości parametru a ...

`a)` 

`x^2+ax+5>=0` 

`"Współczynnik przy najwyższej potędze jest dodatni, czyli zbiór liczb rzeczywistych jest zbiorem"` 

`"rozwiązań nierówności, gdy"\ Delta<=0."`   

`"Gdy"\ Delta<=0\ "to:"`  

`"Parabola będąca wykresem równania kwadratowego znajduje się nad osią X lub ma z nią punkt wspólny."`  

`"Innymy słowy, nasza funkcja kwadratowa przyjmuję tylko wartości nieujemne."` 

`Delta=a^2-20` 

`a^2-20<=0` 

`a^2<=20` 

`a<=sqrt20=2sqrt5\ \ \vee\ \ \a>= -sqrt20=-2sqrt5`  

`ul (a in [-2sqrt5;2sqrt5]` 

 

`b)` 

`-x^2+(a+2)x-3<0` 

`"Współczynnik przy najwyższej potędze jest ujemny, czyli zbiór liczb rzeczywistych jest zbiorem"` 

`"rozwiązań nierówności, gdy"\ Delta <0.`     

`"Parabola znajduje się pod osią X."`  

 

`Delta=(a+2)^2-12=a^2+4a-8` 

`a^2+4a-8<0` 

`Delta_a=16+32=48` 

`sqrtDelta_a=4sqrt3` 

 

`a_1=(-4-4sqrt3)/2=-2-2sqrt3` 

`a_2=(-4+4sqrt3)/2=-2+2sqrt3` 

`a_1,a_2\ "odpowiada"\ x_1,x_2\ "na poniższym rysunku."` 

  

 

`ul(a in (-2-2sqrt3;-2+2sqrt3)`   

 

`c)` 

`(a+1)x^2+2ax+a>0` 

`"Rozwarzmy współczynnik przy najwyższej potędze:"` 

`"I."\ a+1>0` 

`a+1>0` 

`a> -1` 

 

`"Zbiorem rozwiązań będzie zbiór liczb rzeczywistych, gdy"\ Delta<0.` 

`Delta=4a^2-4a(a+1)=4a^2-4a^2-4a=-4a` 

`-4a<0` 

`a>0` 

 

`a> -1\ \ \^^\ \ \a>0 \ implies \ ul( a>0` 

 

`"II."\ a+1<0` 

`a<-1` 

`"Ramiona paraboli na wykresie równania są zwrócone w dół. "` 

`"Tym samym, funkcja przyjmuje również wartosci ujemne."` 

`"W tym wypadku nie ma takiego a."` 

 

`"III."\ a+1=0` 

`a=-1` 

`(a+1)x^2+2ax+a=-2x-1` 

`-2x-1>0` 

`-2x>1` 

`x<1/2` 

`"W tym wypadku, zbiór rozwiązań nierówności nie jest zbiorem liczb rzeczywistych."` 

 

`"Podsumowując wszystkie przypadki, zbiorem rozwiązań nierówności jest zbiór rzeczywisty dla"\ a>0. ` 

 

`d)` 

`(a-2)x^2+2x+a-2<=0` 

`"Rozwarzmy współczynnik przy najwyższej potędze:"` 

`"I."\ a-2>0` 

`a>2` 

 

`"Ramiona paraboli będącej wykrese funkcji kwadratowej są zwrócone w górę. "` 

`"Tym samym funkcja przyjmuję wartości dodatnie."` 

`"W tym wypadku nie ma takiego a dla którego zbiorem rozwiązań nierówności jest zbiór liczb rzeczywistych."` 

    

`"II."\ a-2<0` 

`a<2` 

`"Zbiór liczb rzeczywistych będzie zbiorem rozwiązań nierówności gdy"\ Delta<=0.` 

`Delta=4-4(a-2)^2=4-4a^2+16a-16=-4a^2+16a-12` 

`-4a^2+16a-12<=0` 

`Delta_a=256-192=64` 

`sqrtDelta_a=8` 

 

`a_1=(-16+8)/-8=1` 

`a_2=(-16-8)/-8=3` 

`a_1,a_2\ "odpowiada"\ x_1,x_2\ "na poniższym rysunku."` 

`a in (-infty;1)cup(3;+infty)` 

 

`a<2\ \ \^^\ \ \a in (-infty;1)cup(3;+infty)\ implies \ ul((-infty;1)` 

 

`"III."\ a-2=0` 

`a=2` 

`(a-2)x^2+2x+a-2=2x<=0`  

`x<=0`   

`"W tym wypadku, zbiór rozwiązań nierówności nie jest całym zbiorem liczb rzeczywistych."` 

`"Podsumowując wszystkie przypadki, zbiorem rozwiązań nierówności jest zbiór rzeczywisty dla"\ a in (-infty;1).` 

 

Liczba (5-3√2)/(2√2+5) jest równa

`(5-3sqrt2)/(2sqrt2+5)*(2sqrt2-5)/(2sqrt2-5)=((5-3sqrt2)(2sqrt2-5))/((2sqrt2)^2-5^2)=`

`=(10sqrt2-25-6(sqrt2)^2+15sqrt2)/(4*(sqrt2)^2-25)=(25sqrt2-25-6*2)/(4*2-25)=`

`=(25sqrt2-37)/(-17)=-(25sqrt2-37)/17=(37-25sqrt2)/17`

Rozwiąż nierówność

`a)` 

`4x^2-(2x+1)^2<3` 

`4x^2-(4x^2+4x+1)<3` 

`4x^2-4x^2-4x-1<3` 

`-4x-1<3\ \ \ \ \ |+1` 

`-4x<4\ \ \ \ \ |:(-4)` 

`x> -1` 

 

 

`b)` 

`(3-x)^2>=x^2+12` 

`9-6x+x^2>=x^2+12 \ \ \ \ \ \ |-x^2` 

`9-6x>=12\ \ \ \ |-9` 

`-6x^2>=3\ \ \ \ |:(-6)` 

`x^2<=-3/6` 

`x^2<=-1/2` 

 

 

`c)` 

`(2x+1)(2x-1)>4x^2-9x` 

`4x^2-1>4x^2-9x\ \ \ \ |-4x^2` 

`-1> -9x\ \ \ \ |:(-9)` 

` ` `1/9<x` 

`x>1/9` 

 

 

`d)` 

`2-(2x-1)^2<=(3-2x)(2x+3)` 

`2-(4x^2-4x+1)<=(3-2x)(3+2x)` 

`2-4x^2+4x-1<=9-4x^2` 

`-4x^2+4x+1<=9-4x^2\ \ \ \ \ |+4x^2` 

`4x+1<=9\ \ \ \ \ |-1` 

`4x<=8\ \ \ \ \ \ |:4` 

`x<=2` 

Porównaj liczby.

`a) \ 14^2/7^2 = (14/7)^2 = 2^2 = 4` 

`15^2/5^2 = (15/5)^2 = 3^2 = 9` 

 

`14^2/7^2 = 4 < 9 = 15^2/5^2` 

 

`b) \ (2^6*64^2)/32^3 = (2^6*(2^6)^2)/((2^5)^3) = (2^6*2^12)/2^15 = 2^18/2^15 = 2^(18-15)=2^3 = 8` 

`(9^3*3^3)/27^3 = ((3^2)^3*3^3)/((3^3)^3) = (3^6*3^3)/(3^9) = 3^9/3^9 = 1` 

 

`(2^6*64^2)/32^3=8 > 1 = (9^3*3^3)/27^3` 

Na podstawie danych z diagramu...

1 - Minimalne w ścisłym centrum

Malejąca w całej dziedzinie

 

2 - Minimalne poza ścisłym centrum

Malejąca w całej dziedzinie

 

3 - Maksymalne w ścisłym centrum

Malejąca w latach 2001 - 2004, stała w latach 2004-2005

 

4 - Maksymalne poza ścisłym centrum 

Malejąca w latach 2001-2004, rosnąca w latach 2004-2005

 

Widać, że funkcja 1 jest stale większa od funkcji 2, natomiast funkcja 3 jest stale większa od funkcji 4.

Odpowiedź: Stawki czynszu poza centrum Nowograjek były niższe od stawek w ścisłym centrum.

Liczba -2 jest rozwiązaniem równania...

Podstawiamy `x=-2` i wyznaczamy `a:` 

`(a-1)*(-2)+2*(-2)=3(a-1)` 

`-2(a-1)-4=3(a-1)` 

`5(a-1)=-4\ "/":5` 

`a-1=-4/5` 

`a=-4/5+1` 

`a=1/5` 

Prawidłowa odpowiedź to `"D."`