Obliczanie miar kąta na podstawie wartości - matura-podstawowa - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Obliczanie miar kąta na podstawie wartości - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Obliczanie miar kąta na podstawie wartości

Znamy już metody obliczania odpowiednich wartości przy znajomości funkcji trygonometrycznych (zobacz poprzednie tematy: Trygonometria w liceum). Tym razem policzymy trochę na odwrót, będziemy szukać kąta mając już podaną wartość. Skorzystamy również tutaj z naszej tablicy wartości funkcji trygonometrycznych:

tab1

Tym razem znajdźmy, dla jakiego $ß$ zachodzi $cos ß=0,788$

Wyszukujemy najpierw w kolumnie cosinusowej wartość kąta, a następnie odczytujemy jego miarę:

tab2

Jak widać $ß=38^o$. Przykład:

Znajdź wszystkie kąty w trójkącie, wiedząc, że $sin α=0,65$.

rys1

Oczywiście znamy już na miejscu jeden kąt, kąt prosty o mierze 90 stopni.

Obliczmy teraz kąt α. Odczytajmy jego wartość z tablic tak jak z poprzednim kątem:

tab3

Najbliższa miara kąta tej wartości to 41 stopni.

Zatem $α=41^o$.

Jak obliczyć drugi kąt? Z własności, trójkąta prostego. Pamiętamy, że suma kątów w trójkącie to 180°.

Zatem $ß=180°-90°-41°=49°$

Kąty w naszym trójkącie to: $90°$,$41°$,$49°$.

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Planujesz zbudować w swoim nowym domu spadzisty dach, pod jakim kątem należy go postawić, jeśli planowana długość dachu to 2m, a maksymalna wysokość to 1m.

Pokażmy plan domu:

zad1

Interesuje nas tylko trójkąt. Aby obliczyć ten kąt musimy poznać jego wartość, najłatwiej za pomocą sinusa, bierzemy bok naprzeciwko kąta oraz przeciwprostokątną.

$sin α=1/2$

Zatem pozostaje nam jedynie sprawdzić dla jakiej wartości jest to $1/2$. Odczytujemy z tablic, że to $α=30$.

Zadanie 2.

Znajdź wartości kątów na rysunku:

zad2

Bierzemy dowolną funkcję trygonometryczną, ja użyje tangensa α.

Zatem biorę bok naprzeciwko i bok obok:

$ g α=6/8=0,75$

Szukamy w tablicy najbliższej miary:

zad22

Zatem:

$ g 37=0,75$ Oczywiście jest to wartość przybliżona. Zatem drugi kąt policzmy już z własności trójkąta:

$ß=180-90-37=53$

Spis treści

Rozwiązane zadania
W trójkącie ABC wybrano na boku...

Wykonajmy rysunek pomocniczy:

  

Wiemy, że:{premium}

 

 

 


 

 

 

  

zatem:

 


Odp.: Trójkąt ABC ma pole 27. 

Wartość a jest równa

{premium}  

Rozwiąż nierówność ...

Szukamy argumentów, dla których funkcja  przyjmuje wartości nie większe niż 4. {premium}

W tym celu szkicujemy wykres funkcji  oraz prostą  i wyznaczamy ich punkty przecięcia, a następnie na osi OX zaznaczamy te argumenty, dla których wykres funkcji  znajduję się nie wyżej niż prosta .

Rozwiązaniem nierówności  jest zbiór

 

Z podanych wzorów wyznacz wskazane wielkości:

 

 


 

 

 {premium}



 

 


 

 

 

 



 

 

 

 

 


 

 

 

 

 



 

 


 

 

 


 

 

 

 

 

Narysuj wykres takiej funkcji...

a) Przykładowy wykres: {premium}

 

b) Przykładowy wykres:

Czy punkt P należy do paraboli

Podstawiamy pierwszą współrzędną punktu w miejsce x, a drugą współrzędną punktu w miejsce y

{premium}

 

 

 

 

Odpowiedz ba pytania.

a) Istnieją{premium} dwie liczby, których kwadrat jest równy 64. Są to liczby 8 i -8.

b) Istnieje jedna liczba, której kwadrat jest równy 0. Jest to liczba 0.

c) Nie istnieje liczba rzeczywista, której kwadrat jest równy -9, ponieważ kwadrat dowolnej liczby rzeczywistej jest nieujemny.

d)

  •  

Liczbami, których kwadrat jest równy 4 są liczby 2 oraz -2.

W takim razie równanie x2=4 spełniają liczby 2 oraz -2.

  •  

 

Liczbami, których kwadrat jest równy 9 są liczby 3 oraz -3.

W takim razie równanie y2-9=0 spełniają liczby 3 oraz -3.

  •  

 

Jedyną liczbą, której kwadrat jest równy 0 jest liczba 0.

W takim razie równanie 2z2=0 spełnia liczba 0.

  •  

Liczbami, których kwadrat jest równy 5 są liczby √5 oraz -√5.

W takim razie równanie t2=5 spełniają liczby √5 oraz -√5.

Czworokąty ABCD i EFGH są podobne

{premium}

{premium}

 

 

 

O trójkątach ABC i A'B'C' wiemy, że...

Rysunek poglądowy:

Z twierdzenia Pitagorasa:

{premium}   

Wiemy, że:

 

 

 

zatem:

  

 

 

 

Skoro BD jest równe B'D' oraz AD jest równe A'D' a kąty pomiędzy nimi jest taki sam to trójkąty są przystające na podstawie cechy bok-kąt-bok.

W trójkącie ABC mamy dane...

Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku poniżej:


Obliczamy c z tw. cosinusów:

 {premium}

 

 

 

 

 


Z tw. sinusów obliczamy sin𝛼:

 

 

 

 

 


Z tw. sinusów obliczamy sinβ: