Obliczanie miar kąta na podstawie wartości - matura-podstawowa - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Obliczanie miar kąta na podstawie wartości - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Obliczanie miar kąta na podstawie wartości

Znamy już metody obliczania odpowiednich wartości przy znajomości funkcji trygonometrycznych (zobacz poprzednie tematy: Trygonometria w liceum). Tym razem policzymy trochę na odwrót, będziemy szukać kąta mając już podaną wartość. Skorzystamy również tutaj z naszej tablicy wartości funkcji trygonometrycznych:

tab1

Tym razem znajdźmy, dla jakiego $ß$ zachodzi $cos ß=0,788$

Wyszukujemy najpierw w kolumnie cosinusowej wartość kąta, a następnie odczytujemy jego miarę:

tab2

Jak widać $ß=38^o$. Przykład:

Znajdź wszystkie kąty w trójkącie, wiedząc, że $sin α=0,65$.

rys1

Oczywiście znamy już na miejscu jeden kąt, kąt prosty o mierze 90 stopni.

Obliczmy teraz kąt α. Odczytajmy jego wartość z tablic tak jak z poprzednim kątem:

tab3

Najbliższa miara kąta tej wartości to 41 stopni.

Zatem $α=41^o$.

Jak obliczyć drugi kąt? Z własności, trójkąta prostego. Pamiętamy, że suma kątów w trójkącie to 180°.

Zatem $ß=180°-90°-41°=49°$

Kąty w naszym trójkącie to: $90°$,$41°$,$49°$.

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Planujesz zbudować w swoim nowym domu spadzisty dach, pod jakim kątem należy go postawić, jeśli planowana długość dachu to 2m, a maksymalna wysokość to 1m.

Pokażmy plan domu:

zad1

Interesuje nas tylko trójkąt. Aby obliczyć ten kąt musimy poznać jego wartość, najłatwiej za pomocą sinusa, bierzemy bok naprzeciwko kąta oraz przeciwprostokątną.

$sin α=1/2$

Zatem pozostaje nam jedynie sprawdzić dla jakiej wartości jest to $1/2$. Odczytujemy z tablic, że to $α=30$.

Zadanie 2.

Znajdź wartości kątów na rysunku:

zad2

Bierzemy dowolną funkcję trygonometryczną, ja użyje tangensa α.

Zatem biorę bok naprzeciwko i bok obok:

$ g α=6/8=0,75$

Szukamy w tablicy najbliższej miary:

zad22

Zatem:

$ g 37=0,75$ Oczywiście jest to wartość przybliżona. Zatem drugi kąt policzmy już z własności trójkąta:

$ß=180-90-37=53$

Spis treści

Rozwiązane zadania
Pole trójkąta o bokach długości...

Obliczamy połowę obwodu trójkąta:{premium}

 

Obliczamy pole trójkąta, korzystając ze wzoru Herona:

 

Prawidłowa odpowiedź to C.

Rozwiąż równanie

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Z dwóch plantacji truskawek w pierwszym roku...

Oznaczmy liczbę zebranych truskawek z pierwszej plantacji przez x oraz liczbę zebranych truskawek z drugiej plantacji przez y. Wtedy:

 

W drugim roku na pierwszej plantacji odnotowano 20% wzrost natomiast na drugiej 30% wzrost, łącznie zebrano 14,21 tony truskawek.

 

 

Rozwiążmy układ równań:

 

 

 

 

 

 

 

Podstawmy pod pierwsze równanie:

 

 

 

 

W pierwszym roku zebrano z pierwszej plantacji 10 ton truskawek a w roku drugim zebrano:

 

 

W pierwszym roku zebrano z drugiej plantacji 1,7 tony truskawek a w roku drugim zebrano:

 

Oblicz. W

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Nie używając kalkulatora, oblicz wartość wyrażenia:

 {premium} 

Podpisz zbiory punktów

 

{premium}

 

  

 

Zapisz w postaci x^k

`a)\ (x^4*x^6)/(x^3*x^-5)=(x^(4+6))/(x^(3+(-5)))=x^10/x^-2=x^(10-(-2))=x^(10+2)=x^12`{premium}

Zbiorem wartości funkcji...

Funkcja g powstaje poprzez przesunięcie wykresu funkcji f o 3 jednostki w górę. Zbiór wartości funkcji to zbiór:

 

Widać, że funkcja jest stale większa od zera, zatem nie ma miejsc zerowych.

Wykaż, że czworokąt ABCD...

Rysunek poglądowy:

Jeżeli czworokąt ABCD ma być trapezem równoramiennym to trzeba pokazać, że odcinki AB i CD są równoległe i mają różne długości oraz długości ramion są równe.

Jeżeli odcinki są równoległe to wektory je zawierające muszą mieć ten sam kierunek, a więc jeżeli istnieje stała k taka, że:

 

to wektory są równoległe.

Zatem:

 

 

 

 

Porównajmy współrzędne wektorów:

 

 

A więc wektory są rownoległe, czyli odcinki AB i DC są podstawami trapezu.

 

Długości podstaw:

  

 

 

Ramiona trapezu:

 

 

 

 

 

 

A więc czworokąt jest trapezem równoramiennym gdyż ma dwie podstawy równoległe do siebie mające różne długości, natomiast jego ramiona mają równą długość.

Przez punkty M, N i K...

Styczna i promień są do siebie prostopadłe, łatwo zatem sobie wyobrazić, że przy wierzchołku leżącym na przeciwko kąta o mierze 120o będzie kąt o mierze:{premium}

 

Odejmujemy od kąta półpełnego miarę znanego nam kąta gdyż styczne z promieniami tworzą kąty proste. A więc za każdym razem powstaje nam czworokąt którego suma kątów wewnętrznych jest równa 360o a my znamy zawsze trzy z czterech miar.

 

Przy wierzchołku leżącym na przeciwko kąta prostego będzie kąt o mierze:

 

 

Suma miar kątów wewnętrznych w trójkącie jest równa 180o, zatem ostatni kąt ma miarę:

 

Odpowiedź C