Obliczanie miar kąta na podstawie wartości - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Obliczanie miar kąta na podstawie wartości

Znamy już metody obliczania odpowiednich wartości przy znajomości funkcji trygonometrycznych (zobacz poprzednie tematy: Trygonometria w liceum). Tym razem policzymy trochę na odwrót, będziemy szukać kąta mając już podaną wartość. Skorzystamy również tutaj z naszej tablicy wartości funkcji trygonometrycznych:

tab1

Tym razem znajdźmy, dla jakiego $$ß$$ zachodzi $$cos ß=0,788$$

Wyszukujemy najpierw w kolumnie cosinusowej wartość kąta, a następnie odczytujemy jego miarę:

tab2

Jak widać $$ß=38^o$$. Przykład:

Znajdź wszystkie kąty w trójkącie, wiedząc, że $$sin α=0,65$$.

rys1

Oczywiście znamy już na miejscu jeden kąt, kąt prosty o mierze 90 stopni.

Obliczmy teraz kąt α. Odczytajmy jego wartość z tablic tak jak z poprzednim kątem:

tab3

Najbliższa miara kąta tej wartości to 41 stopni.

Zatem $$α=41^o$$.

Jak obliczyć drugi kąt? Z własności, trójkąta prostego. Pamiętamy, że suma kątów w trójkącie to 180°.

Zatem $$ß=180°-90°-41°=49°$$

Kąty w naszym trójkącie to: $$90°$$,$$41°$$,$$49°$$.

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Planujesz zbudować w swoim nowym domu spadzisty dach, pod jakim kątem należy go postawić, jeśli planowana długość dachu to 2m, a maksymalna wysokość to 1m.

Pokażmy plan domu:

zad1

Interesuje nas tylko trójkąt. Aby obliczyć ten kąt musimy poznać jego wartość, najłatwiej za pomocą sinusa, bierzemy bok naprzeciwko kąta oraz przeciwprostokątną.

$$sin α=1/2$$

Zatem pozostaje nam jedynie sprawdzić dla jakiej wartości jest to $$1/2$$. Odczytujemy z tablic, że to $$α=30$$.

Zadanie 2.

Znajdź wartości kątów na rysunku:

zad2

Bierzemy dowolną funkcję trygonometryczną, ja użyje tangensa α.

Zatem biorę bok naprzeciwko i bok obok:

$$ g α=6/8=0,75$$

Szukamy w tablicy najbliższej miary:

zad22

Zatem:

$$ g 37=0,75$$ Oczywiście jest to wartość przybliżona. Zatem drugi kąt policzmy już z własności trójkąta:

$$ß=180-90-37=53$$

Spis treści

Rozwiązane zadania
Dla jakich wartości...

a) Równanie okręgu:

`(x-3)^2 + (y-4)^2=9`

Znajdźmy punkty wspólne:

`{(y=mx+1),((x-3)^2 +(y-4)^2=9):}`

`{(y=mx+1),((x-3)^2 + (mx+1-4)^2=9):}`

`{(y=mx+1),((x-3)^2 +(mx-3)^2=9):}`

Policzmy osobno drugie równanie:

`(x-3)^2 +(mx-3)^2 =9`

`x^2 -6x + 9 + m^2x^2 - 6mx +9=9`

`(m^2+1)x^2 +(-6-6m)x +9=0`

`(m^2+1)x^2 - (6+6m)x +9=0`

Jeżeli współczynnik przy x będzie równy zero to otrzymamy równanie sprzeczne.

`6+6m ne 0` 

`6m ne -6 \ \ \ |:6`

`m ne -1` 

Policzmy teraz delte dla m różnych od 1.

`Delta = (-(6+6m))^2 -4*(m^2+1)*9= 36 + 72m + 36m^2 -36m^2 -36 = 72m` 

Delta musi być większa bądź równa zero żeby istniały rozwiązania.

`72m >= 0`  

`m>=0`

 

 

 

 

b) Równanie okręgu:

`(x-3)^2 + (y-4)^2 = 4`

Znajdźmy punkty wspólne:

`{(y=mx+1),((x-3)^2 + (y-4)^2 =4):}`

`{(y=mx+1),((x-3)^2 + (mx+1-4)^2=4):}`

`{(y=mx+1),((x-3)^2 + (mx-3)^2=4):}`

Policzmy osobno drugie równanie:

`(x-3)^2 + (mx-3)^2 =4`

`x^2 -6x + 9 + m^2 x^2 -6mx +9=4`

`(1+m^2)x^2 -(6+6m)x +18=4 \ \ \ |-4`

`(1+m^2) x^2 - (6+6m)x + 14=0`

`m ne 1`

Policzmy deltę:

`Delta = (-(6+6m))^2 -4(1+m^2)*14 = 36 + 72m + 36m^2 -56 - 56 m^2 = -20m^2 +72m - 20` 

Delta musi być większa bądź równa zero żeby istniały rozwiązania.

`-20m^2 +72m-20 >= 0 \ \ \ |:(-4)`

`5m^2 -18m + 5 leq 0`

`Delta_m = 18^2 -4*5*5 = 324 -100 = 224`

`sqrt(Delta_m) = sqrt224 = sqrt(16*14) = 4sqrt14`

`m_1 = (-(-18) -4sqrt14)/10 = (18-4sqrt14)/10`

`m_2 = (18+4sqrt14)/10`

 

interesuje nasz obszar pod osią czyli:

`m in [(18-4sqrt14)/10,(18+4sqrt14)/10]`

Dwa okręgi o środkach ...

`O=(0;0)` 

`A=(11;0)` 

`B=(8;0)` 

`r_O-"promień okręgu o środku w punkcie O"`  

`r_A-"promień okręgu o środku w punkcie A"`  

`r_B-"promień okręgu o środku w punkcie B"` 

`r_O+r_A=11\ implies r_O=11-r_A`  

`8+r_O=r_B\ implies \ 8+11-r_A=r_B`  

`2r_B=2r_A+2r_O\ implies\ r_B=r_A+11-r_A` 

`r_B=11` 

`r_A=19-r_B=8` 

`r_O=11-r_A=3`    

  

`P-"pole zacieniowanego obszaru"` 

`P=pir_B^2-pir_A^2-pir_O^2=121pi-64pi-9pi=ul(48pi`    

Oblicz

`a)\ 31*29=(30+1)*(30-1)=30^2-1^2=900-1=899`

`b)\ 1005*995=(1000+5)*(1000-5)=1000^2-5^2=1\ 000\ 000-25=999\ 975`

`c)\ 38*42=(40-2)*(40+2)=40^2-2^2=1600-4=1596`

`d)\ 53*47=(50+3)*(50-3)=50^2-3^2=2500-9=2491`

Wyznacz wszystkie liczby x spełniające podany

a)

`x=-2sqrt3`

`x=2sqrt3`

b)

`x>=-7 \ \ \ \ vv \ \ \ \ x<=7`

`x in<<-7,7>>`

c)

`x>5 \ \ \ vv \ \ \ \ x<-5`

`x(-oo,-5>>uu<<5,+oo)`

 

 

Rozwiąż trójkąt prostokątny.

`a) \ tg 30^o = b/6 \ \ \ |*6`

`sqrt3/3 *6 = b`

`b = 2sqrt3`

 

`cos30^o = 6/c`

`sqrt3/2 = 6/c`

`sqrt3 c = 12 \ \ \ |*sqrt3`

`3c = 12 sqrt3 \ \ \ |:3`

`c = 4 sqrt3`

 

Można zauważyć od razu ile ma ostatni kąt wiedząc, że kąty wewnętrzne w trójkącie wynoszą 180° lub użyć funkcji trygonometrycznych:

`tg alpha = 6/b`

`tg alpha = 6/(2sqrt3) * sqrt3/sqrt3 = (6sqrt3)/(2*3) = sqrt3`

taką wartość tangens przyjmuje dla α=60°

 

 

 

`b) \ sin beta = 4/(4sqrt2) = 1/sqrt2 * sqrt2/sqrt2 = sqrt2/2`

`beta = 45^o`

A więc:

`alpha = 45^o`

Trójkąt jest równoramienny czyli:

`a=4`

Sprawdź, czy punkty ...

`a)` 

`P=(2;-1)` 

`Q=(-2;4)` 

`R=(10;-11)` 

 

`vec(PQ)=[-2-2;4+1]=[-4;5]` 

`vec(PR)=[10-2;-11+1]=[8;-10]` 

`vec(PR)=-2vec(PQ)` 

Zatem punkty P, Q i R są współliniowe.

 

`b)` 

`P=(-5;2)`  

`Q=(13;8)`  

`R=(19;10)` 

 

`vec(PQ)=[13+5;8-2]=[18;6]` 

`vec(PR)=[19+5;10-2]=[24;8]` 

`vec(PQ)=3/4vec(PR)` 

 

`c)` 

`P=(4;-3)` 

`Q=(0;-1)` 

`R=(-20;10)` 

 

`vec(PQ)=[0-4;-1+3]=[-4;2]` 

`vec(PR)=[-20-4;10+3]=[-24;13]` 

Nie istnieje taka liczba a, że zachodzi:

`vec(PQ)=avec(PR)` 

Punkty P, Q i R nie są współliniowe.

 

`d)` 

`P=(sqrt2;1)` 

`Q=(0;sqrt2)` 

`R=(sqrt2-1;3-sqrt2)` 

 

`vec(PQ)=[0-sqrt2;sqrt2-1]=[-sqrt2;sqrt2-1]` 

`vec(PR)=[sqrt2-1-sqrt2;3-sqrt2-1]=[-1;2-sqrt2]` 

`alphavec(PQ)=[-alphasqrt2;alphasqrt2-alpha]=vec(PR)=[-1;2-sqrt2]` 

`-alphasqrt2=-1\ implies \ alpha=1/sqrt2=sqrt2/2`  

`alpha(sqrt2-1)=2-sqrt2\ implies \ alpha=(2-sqrt2)/(sqrt2-1)=((2-sqrt2)(sqrt2+1))/1=(2sqrt2+2-2-sqrt2)=sqrt2` 

Nie istnieje takie alfa, zatem punkty P, Q i R nie są współliniowe.       

Uzasadnij, że jeśli liczba ...

Zał: 

`log_(1/2)a>log_(sqrt2)a^2` 

Teza:

`log_(2)a<0`

 

`log_(1/2)a>log_(sqrt2)a^2` 

Korzystając z tw. o zmianie podstawy logarytmu oba logarytmy doprowadzamy do podstawy 2:

`(log_(2)a)/(log_(2)1/2)>(log_(2)a^2)/(log_(2)sqrt2)` 

`(log_(2)a)/(-1)>(log_(2)a^2)/(1/2)`

`-log_(2)a>2log_(2)a^2\ \ \ \ \ \ \ |*(-1)` 

`log_2a< -2log_(2)a^2`  

`log_(2)a+2log_(2)a^2<0` 

`log_(2)a+log_(2)a^4<0` 

`log_(2)(a*a^4)<0` 

`Log_(2)a^5<0` 

`5log_(2)a<0\ \ \ \ \ \ \ \ |:5`  

`log_(2)a<0`

Wychodząc od założeń otrzymaliśmy tezę.

Podaj przykład funkcji liniowej

`a)`

Jeśli funkcja liniowa ma przyjmować tylko jedną wartość, to musi być funkcją stałą. Przykłady takich funkcji: 

`f(x)=1\ \ \ =>\ \ \ Z_w\ ={1}`

`f(x)=sqrt2+sqrt3\ \ \ =>\ \ \ Z_w\ ={sqrt2+sqrt3}`

`f(x)=-2016\ \ \ =>\ \ \ Z _w\ ={-2016}`

 

 

`b)`

Funkcja liniowa ma nieskończenie wiele miejsc zerowych, jeśli jest stale równa 0 (wtedy każdy argument jest miejscem zerowym)

`f(x)=0`

 

 

`c)`

Funkcja liniowa nie ma miejsc zerowych jeśli jest funkcją stałą różną od funkcji stale równej zero. Przykłady takich funkcji: 

`f(x)=2`

`f(x)=1/3`

`f(x)=sqrt2/5`

 

 

`d)`

Każda funkcja liniowa niestała ma jedno miejsce zerowe. Jeśli funkcja jest malejąca, to współczynnik a musi być ujemny. Przykłady takich funkcji: 

`f(x)=-2x+3`

`f(x)=-sqrt5x+2`

`f(x)=-1/3x+10`

 

 

`e)`

Przykłady funkcji stałych: 

`f(x)=3`

`f(x)=0`

`f(x)=1/2016`

`f(x)=pi`

Odległość środka okręgu od cięciwy...

Wysokość poprowadzona z wierzchołka S dzieli bok AB na połowy bo ABS jest trójkątem równoramiennym.

Z twierdzenia Pitagorasa:

`9^2 + 12^2 = |AS|^2` 

`81 + 144 = |AS|^2` 

`|AS|^2 = 225` 

`|AS| = 15` 

Ramię AS to promień okręgu, skoro średnica to podwojona długość promienia to:

`d = 2*|AS| = 2*15 = 30 \ ["cm"]` 

Koniec dowodu.

Ile liczb niewymiernych

`1+root(3)9` 

`1-sqrt9=1-3=-2` 

`2-root(3)(64)=2-4=-2` 

`2+root(3)(64)=2+4=6` 

 

Tylko pierwsza liczba jest niewymierna, więc należy zaznaczyć odpowiedź A.