Obliczanie miar kąta na podstawie wartości - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Obliczanie miar kąta na podstawie wartości

Znamy już metody obliczania odpowiednich wartości przy znajomości funkcji trygonometrycznych (zobacz poprzednie tematy: Trygonometria w liceum). Tym razem policzymy trochę na odwrót, będziemy szukać kąta mając już podaną wartość. Skorzystamy również tutaj z naszej tablicy wartości funkcji trygonometrycznych:

tab1

Tym razem znajdźmy, dla jakiego $$ß$$ zachodzi $$cos ß=0,788$$

Wyszukujemy najpierw w kolumnie cosinusowej wartość kąta, a następnie odczytujemy jego miarę:

tab2

Jak widać $$ß=38^o$$. Przykład:

Znajdź wszystkie kąty w trójkącie, wiedząc, że $$sin α=0,65$$.

rys1

Oczywiście znamy już na miejscu jeden kąt, kąt prosty o mierze 90 stopni.

Obliczmy teraz kąt α. Odczytajmy jego wartość z tablic tak jak z poprzednim kątem:

tab3

Najbliższa miara kąta tej wartości to 41 stopni.

Zatem $$α=41^o$$.

Jak obliczyć drugi kąt? Z własności, trójkąta prostego. Pamiętamy, że suma kątów w trójkącie to 180°.

Zatem $$ß=180°-90°-41°=49°$$

Kąty w naszym trójkącie to: $$90°$$,$$41°$$,$$49°$$.

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Planujesz zbudować w swoim nowym domu spadzisty dach, pod jakim kątem należy go postawić, jeśli planowana długość dachu to 2m, a maksymalna wysokość to 1m.

Pokażmy plan domu:

zad1

Interesuje nas tylko trójkąt. Aby obliczyć ten kąt musimy poznać jego wartość, najłatwiej za pomocą sinusa, bierzemy bok naprzeciwko kąta oraz przeciwprostokątną.

$$sin α=1/2$$

Zatem pozostaje nam jedynie sprawdzić dla jakiej wartości jest to $$1/2$$. Odczytujemy z tablic, że to $$α=30$$.

Zadanie 2.

Znajdź wartości kątów na rysunku:

zad2

Bierzemy dowolną funkcję trygonometryczną, ja użyje tangensa α.

Zatem biorę bok naprzeciwko i bok obok:

$$ g α=6/8=0,75$$

Szukamy w tablicy najbliższej miary:

zad22

Zatem:

$$ g 37=0,75$$ Oczywiście jest to wartość przybliżona. Zatem drugi kąt policzmy już z własności trójkąta:

$$ß=180-90-37=53$$

Spis treści

Rozwiązane zadania
Jeden z boków prostokąta ma długość 18 cm ...

 

Oznaczmy długość szukanego boku przez x. Aby prostokąty były podobne, musi być prawdziwa

jedna z proporcji:

   

  

Długość drugiego boku powinna być równa 12 cm lub 27 cm.

 

 Obliczmy jaką długość ma przekątna pierwszego prostokąta: 

 

Stosunek długości przekątnej pierwszego prostokąta do długości przekątnej drugiego prostokąta: 

 

Sprawdźmy, czy stosunek długości któregoś z boków pierwszego prostokąta do długości 20 cm boku drugiego prostokąta wynosi `4/5` 

Prostokąty są więc podobne, a skala podobieństwa wynosi `4/5` 

 

Obliczmy obwód pierwszego prostokąta: 

 

Obliczmy jaką długość ma przekątna większego prostokąta: 

 

Stosunek długości przekątnych także jest równy skali podobieństwa, oznaczmy długośc przekątnej mniejszego prostokąta przez y:


`3sqrt41*2=3y\ \ \ |:3` 

Wyznacz punkty wspólne wykresów ...

 

 

  

      

  

 

 

 

    

  

  

 

 

 

 

 

 

 

 

Naszkicuj wykres dowolnej funkcji...

a) Wykres:

 

b) Wykres:

 

Funkcje fg mają takie samo miejsce zerowe.

 

Funkcje fh przecinają się w tym samym punkcie z osią y.

 

Wszystkie funkcje mają taką samą dziedzinę i zbiór wartości.

Nierówność spełniają:

Odpowiedź A jest fałszywa, ponieważ np. liczba  jest mniejsza od  ale  {premium}

Odpowiedź B jest fałszywa np. z tego samego powodu, co A.

Odpowiedź C jest fałszywa np. z tego samego powodu, co A.


Prawidłowa odpowiedź to D.

Podaj przykłady liczb niewymiernych, których:

a)

b)

Jakim liczbom odpowiadają punkty zaznaczone na osi?

Aby obliczyć jednostkę, odejmujemy od wybranej większej zaznaczonej liczby mniejszą zaznaczoną liczbę i dzielimy na ilość odcinków jednostkowych znajdujących się między tymi liczbami. 

 

 

 

 

 {premium}

 

 

 

 

 

 

 `-3 +9/7=-3+1 2/7=` `=-1 5/7` 

 

 

 

 

 `4/3=1 1/3` 

 `3 6/15-1 5/15=` `2 1/15` 

 `3 2/5+8/3=` `3 2/5+2 2/3=` 

 `5 16/15=6 1/15` 

 `7 6/15+1 5/15=` `8 11/15` 

 

 

 

 `(1 5/11+2/11)/3=` `1 7/11:3=` `18/11*1/3=6/11` 

 

 

 `1 5/11+12/11=` `1 5/11+1 1/11=` `2 6/11` 

 

W tabeli podano długości

Długość połowy obwodu różni się od liczby pi o mniej niż 0,01 dla dwóch ostatnich wielokątów (wyniki zostały podkreślone). 

 

Kurtki uszyte w zakładzie krawieckim...

a) Skoro kurtka jest sprzedawana po 190 zł a koszt jej produkcji to 110 zł to znaczy, że dochód z każdej sprzedanej kurtki wynosi 80 zł. Zatem wzór funkcji to:

 

 

b) Sprawdźmy dla jakiego x wartość funkcji będzie dodatnia:

 

 

 

 

 

 

Odpowiedź: Szycie kurtek zacznie przynosić zyski jeżeli zostanie sprzedanych co najmniej 188 kurtek.

 

c) Sprawdźmy kiedy wartość funkcji będzie większa bądź równa 2000.

 

 

 

 

 

Odpowiedź: Szycie kurtek wygeneruje 2000 zł dochodu jeżeli zostanie sprzedanych co najmniej 213 kurtek.

Wyznacz dziedzinę i zbiór rozwiązań równania:

 Wyznaczamy dziedzinę:

 

 

 

Rozwiązujemy równanie:

 

 

 

Zbiór rozwiązań równania:  


 Wyznaczamy dziedzinę:

 

 

 

Rozwiązujemy równanie: {premium}

 

 

 

 

Zbiór rozwiązań równania:  


 Wyznaczamy dziedzinę:

 

Rozwiązujemy równanie:

 

  

 

 

Zbiór rozwiązań równania:  


 Wyznaczamy dziedzinę:

 

Rozwiązujemy równanie:

 

  

 

 

Zbiór rozwiązań równania:  


 Wyznaczamy dziedzinę:

 

 

 

Rozwiązujemy równanie:

 

 

 

Zbiór rozwiązań równania:  


 Wyznaczamy dziedzinę:

 

 

 

 

Rozwiązujemy równanie:

 

 

 

Zbiór rozwiązań równania:  

Wykres funkcji f(x) ...