Obliczanie miar kąta na podstawie wartości - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Obliczanie miar kąta na podstawie wartości

Znamy już metody obliczania odpowiednich wartości przy znajomości funkcji trygonometrycznych (zobacz poprzednie tematy: Trygonometria w liceum). Tym razem policzymy trochę na odwrót, będziemy szukać kąta mając już podaną wartość. Skorzystamy również tutaj z naszej tablicy wartości funkcji trygonometrycznych:

tab1

Tym razem znajdźmy, dla jakiego $$ß$$ zachodzi $$cos ß=0,788$$

Wyszukujemy najpierw w kolumnie cosinusowej wartość kąta, a następnie odczytujemy jego miarę:

tab2

Jak widać $$ß=38^o$$. Przykład:

Znajdź wszystkie kąty w trójkącie, wiedząc, że $$sin α=0,65$$.

rys1

Oczywiście znamy już na miejscu jeden kąt, kąt prosty o mierze 90 stopni.

Obliczmy teraz kąt α. Odczytajmy jego wartość z tablic tak jak z poprzednim kątem:

tab3

Najbliższa miara kąta tej wartości to 41 stopni.

Zatem $$α=41^o$$.

Jak obliczyć drugi kąt? Z własności, trójkąta prostego. Pamiętamy, że suma kątów w trójkącie to 180°.

Zatem $$ß=180°-90°-41°=49°$$

Kąty w naszym trójkącie to: $$90°$$,$$41°$$,$$49°$$.

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Planujesz zbudować w swoim nowym domu spadzisty dach, pod jakim kątem należy go postawić, jeśli planowana długość dachu to 2m, a maksymalna wysokość to 1m.

Pokażmy plan domu:

zad1

Interesuje nas tylko trójkąt. Aby obliczyć ten kąt musimy poznać jego wartość, najłatwiej za pomocą sinusa, bierzemy bok naprzeciwko kąta oraz przeciwprostokątną.

$$sin α=1/2$$

Zatem pozostaje nam jedynie sprawdzić dla jakiej wartości jest to $$1/2$$. Odczytujemy z tablic, że to $$α=30$$.

Zadanie 2.

Znajdź wartości kątów na rysunku:

zad2

Bierzemy dowolną funkcję trygonometryczną, ja użyje tangensa α.

Zatem biorę bok naprzeciwko i bok obok:

$$ g α=6/8=0,75$$

Szukamy w tablicy najbliższej miary:

zad22

Zatem:

$$ g 37=0,75$$ Oczywiście jest to wartość przybliżona. Zatem drugi kąt policzmy już z własności trójkąta:

$$ß=180-90-37=53$$

Spis treści

Rozwiązane zadania
Uporządkuj liczby od najmniejszej do największej

`a)` 

`0,25^-4=(1/4)^-4=4^4=256` 

`4^-3=1/4^3=1/64` 

`(sqrt2)^8=((sqrt2)^2)^4=2^4=16` 

`0,125=125/1000=1/8` 

 

`"liczby w kolejności od najmniejszej do największej:"` 

`4^-3<0,125<(sqrt2)^8<0,25^-4` 

 

 

 

`b)` 

`(root(3)3)^6=((root(3)3)^3)^2=3^2=9` 

`0,(1)=1/9` 

Zamiana ułamka okresowego na ułamek zwykły:

`\ \ \ \ \ \ x=0,1111...` 

`\ \ \ 10x=1,1111...` 

`\ \ \ 10x-x=1,1111...-0,1111...` 

` \ \ \ 9x=1\ \ \ |:9` 

`\ \ \ x=1/9` 

`81^-1=1/81` 

`(1/9)^-3=9^3=729` 

 

`"liczby w kolejności od najmniejszej do największej:"` 

`81^-1<0,(1)<(root(3)3)^6<(1/9)^-3` 

 

Napisz wzór funkcji liniowej...

Funkcja liniowa o współczynniku kierunkowym równym a i wyrazie wolnym b jest dana wzorem:

`f(x) = ax+b` 

 

Niech punkty (3,0) i (0,-2) należą do wykresu funkcji. Wtedy:

`{(f(3)=0),(f(0)=-2):}` 

`{(3a+b=0),(b=-2):}` 

`{(3a=2),(b=-2):}` 

`{(a=2/3),(b=-2):}` 

Wzór funkcji to:

`y=2/3x -2`  

Jeśli liczbę zapisano w postaci

Skorzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na sześcian różnicy: 

`(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3`

 

`(5-2sqrt3)^3=5^3-3*5^2*2sqrt3+3*5*(2sqrt3)^2-(2sqrt3)^3=`

`=125-3*25*2sqrt3+3*5*4*3-8*3sqrt3=`

`=125-150sqrt3+180-24sqrt3=`

`=305-174sqrt3\ \ \ \ \ \ \ odp.\ D`

Środek okręgu opisanego na trójkącie ABC ...

Prawidłowe odpowiedzi to: B, C i D.

Jeżeli środek okręgu opisanego na trójkącie leży na jednym z boków trójkąta, to trójkąt ten jest trójkątem prostokątnym. 

Środek okręgu opisanego leży na boku AB, więc kąt prosty znajduje się przy wierzchołku C, stąd:

`|/_ACB|=90^"o"` 

Równocześnie przeciwprostokątna tego trójkata, czyli odcinek AB, jest średnicą opisanego okręgu. Środek okręgu opisanego jest także środkiem odcinka AB.

Przeciwprostokątna jest bokiem najdłuższym, czyli odcinek AB jest najdłuższy.

Zaznacz w układzie współrzędnych...

`a) \ B={(x,y) in R^2 : x^2 - 6x + y^2 leq 0}` 

`x^2 - 6x + y^2 leq 0 \ \ \ |+9`

`x^2 - 6x + 9 + y^2 leq 9`

`(x-3)^2 + y^2 leq 9`

 

`A= {(x,y) in R^2:x^2 + y^2 leq 9 }`

 

`A cap B`

 

 

`A \\ B`

 

 

`b) \ A={(x,y) in R^2 : x^2 + y^2 - 2y leq 15}`

`x^2 + y^2 - 2y + 1 leq 16`

`x^2 + (y-1)^2 leq 16`

 

`B= {(x,y) in R^2 : x^2 + y^2 + 4y leq 9 }`

`x^2 + y^2 + 4y + 4 leq 13`

`x^2 + (y+2)^2 leq 13`

 

`A cap B`

 

`A \\ B`

 

 

`c) \ A={(x,y) in R^2 : y geq x^2 -4 }`

 

`B={(x,y) in R^2 : x^2 + y^2 - 8y + 7 leq 0}`

`x^2 + y^2 -8y + 7 leq 0 \ \ \ |+9`

`x^2 + y^2 - 8y + 16 leq 9`

`x^2 + (y-4)^2 leq9`

 

`A cap B`

 

`A \\ B`

Wśród liczb

Liczba 87 jest liczbą złożoną, ponieważ dzieli się przez 3 (suma jej cyfr jest równa 8+7=15, a 15 dzieli się przez 3). 

Liczba 93 także jest liczbą złożoną, ponieważ dzieli się przez 3 (suma jej cyfr jest równa 9+3=12, a 12 dzieli się przez 9). 

Liczba 91 jest liczbą złożoną, ponieważ dzieli się przez 7 i przez 13. 

Oblicz sinus kąta ...

`sinalpha=3cosalpha` 

`cosalpha=sinalpha/3` 

`sin^2alpha+cos^2alpha=1` 

`sin^2alpha+(sinalpha/3)^2=1` 

`(10sin^2 alpha)/9=1` 

 

`sin^2=9/10` 

`sinalpha=3/sqrt10\ \ \vv\ \ \sinalpha=-3/sqrt10` 

Ujemny wynik odrzucamy, ponieważ dla sinusa ujemnego cosinus byłby równy:

`3*cosalpha=-9/sqrt10~~-2,85` 

Cosinus nie może przyjąc wartości mniejszych od -1.  

`sinalpha=3/sqrt10=(3sqrt10)/10~~0,9487`  

Odczytujemy z tablic:

`alpha=71^o30'` 

Podaj wszystkie liczby całkowite x

Wartość bezwzględna określa odległość liczby od 0 na osi liczbowej. 

 

`a)`

Szukamy takich liczb całkowitych, które są na osi liczbowej odległe od zera o mniej lub 4 lub o doładnie 4. Te liczby to -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4.

 

 

`b)`

Szukamy takich liczb całkowitych, które są na osi liczbowej odległe od zera o mniej niż 3, ale więcej niż 0. Te liczby to  -2, -1, 1, 2.

 

 

`c)`

Szukamy takich liczb całkowitych, które są na osi liczbowej odległe od zera o nie mniej niż 2, ale jednocześnie nie więcej niż 4. Te liczby to -4 -3, -2, 2, 3, 4.

Jeśli cos...

Z jedynki trygonometrycznej:

`sin^2 alpha + cos^2 alpha = 1` 

`sin^2 alpha + (-sqrt3/2)^2= 1` 

`sin^2 alpha + 3/4 = 1` 

`sin^2 alpha = 1/4` 

`|sin alpha| = 1/2` 

`"Skoro" \ cos alpha < 0 \ \ , "to" \ alpha in (90^o, 180^o) \ "a więc" \ sin alpha > 0`  

`sin alpha = 1/2` 

Odpowiedź B

Wśród poniższych liczb wskaż liczby niewymierne

`a)`

`sqrt7inNW`

`sqrt9=3notinNW`

`sqrt16=4notinNW`

`sqrt18=sqrt(9*2)=3sqrt2inNW`

`sqrt44=sqrt(4*11)=2sqrt11inNW`

`sqrt144=12notinNW`

 

 

`b)`

`root(3)1=1notinNW`

`root(3)2inNW`

`root(3)10inNW`

`root(3)16=root(3)(8*2)=2root(3)2inNW`

`root(3)25inNW`

`root(3)27=3notinNW`