Nierówności kwadratowe - matura-podstawowa - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Nierówności kwadratowe - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Rozwiąż nierówność: $-x^2-x-6 < 0$

Wyznaczamy parametry:
$a=-1$
$b=-1$
$c=-6$
Następnie obliczamy deltę: $∆=b^2-4ac$

$∆=(-1)^2-4×(-1)×6$

$∆=1+24=25$

Pierwiastek z delty: $√{∆}=5$

Obliczamy nasze rozwiązania:

$x_1={-b+√{∆} }/{2a} $

$x_1={1+5}/{-2}=-3 $

$x_2={-b-√{∆} }/{2a} $

$x_2={1-5}/{-2}=2 $

Mamy więc rozwiązania:

$x_1=-3$ oraz $x_2=2$

Pozostaje nam wykres:

Tym razem parabola jest w kształcie smutnej buźki

roz1

I ucinamy górę, ponieważ tym razem szukamy <0

roz2

Zatem:

$x∈(-∞;-3)∪(2;∞) $
 

Zadanie 2.

Rozwiąż nierówność: $x^2+10x+25 > 0$.

Wyznaczamy parametry:

$a=1$

$b=10$

$c=25$

Następnie obliczamy deltę:

$∆=b^2-4ac$

$∆=10^2-4×1×25$

$∆=100-100=0$

Mamy deltę równą zero, więc tylko jedno rozwiązanie.

Obliczamy:

$x={-b}/{2a} $

$x_1={-10}/2=-5 $

Pozostaje nam wykres:

Tym razem parabola wesoła, jednakże pamiętamy, że mamy tylko jedno miejsce zerowe:

roz3

Musimy znaleźć >0

Jak widać do tego zbioru będą należeć wszystkie liczby oprócz samej -5.

Zatem:

$x∈R ∖${-5}

Spis treści

Rozwiązane zadania
Posługując się wykresem funkcji...
  • Funkcja f:

Dziedzina:

 

Miejsca zerowe:

 

 

  • Funkcja h:

Wykres:

Dziedzina:

 

Miejsca zerowe:

 

Podaj przykłady liczb niewymiernych, których:

a)

b)

Hotel dla kotów o psów ...

  

 

 

 

 

Naszkicuj parabolę y=7(x+2)^2+5...

Obliczmy współrzędne kilku punktów należących do wykresu funkcji y=7(x+2)2+5

x -3 -2 -1
y 12 5 12


a)
Obliczmy współrzędne kilku punktów należących do wykresu funkcji y=-1/3(x+2)2+5  {premium}

x -5 -2 1
y 2 5 2





te funkcje mają 1 punkt wspólny


b) 
Obliczmy współrzędne kilku punktów należących do wykresu funkcji y=1/10(x+2)2+6

x -12 -2 8
y 16 6 16





te funkcje mają 2 punkty wspólne

c) 
Obliczmy współrzędne kilku punktów należących do wykresu funkcji y=10(x+2)2+10

x -3 -2 -1
y 20 10 20




te funkcje nie mają punktów wspólnych

Trapez równoramienny o podstawach 6√3 cm i 2√3 cm ...

 

Zastanawiamy się, dla jakiego kąta funkcja tangens przyjmuje taką wartość

Suma miar kątów leżących przy jednym ramieniu trapezu wynosi 180o, zatem miara kąta rozwartego trapezu:

Miary kątów tego trapezu: 60o,60o,120o,120o.

 

     

Miejscami zerowymi funkcji kwadratowej są...

Wiemy, że miejscami funkcji kwadratowej są liczby -5 i 1:

 

oraz, że wykres przecina oś y w punkcie (0, 5), zatem wzór tej funkcji ma postać:  {premium}

 

 

 

 


zatem wzór tej funkcji ma postać:

 


Odp.: C

Naszkicuj w jednym układzie współrzędnych ...

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  

 

 

Wykres funkcji g(x)...

Jeżeli przesuniemy wykres funkcji f o 2 jednostki w prawo to otrzymamy:

 

Odpowiedź C

Gdyby w ankiecie wzięło udział kolejne 100 osób

Z poprzedniego zadania wiemy już, że:

  • na program X zagłosowało 288 osób
  • na program Y zagłosowało 224 osób
  • w tym na oba programy zagłosowało 112 osób

 

Gdyby w ankiecie wzięlo udział kolejne 100 osób, to ilość ankietowanych wynosiłaby 400+100=500 osób. Każda z tych 100 osób głosowałaby jedynie na program Y, więc ilość głosów na program Y wynosiłaby 224+100=324. Wtedy poparcie dla programu Y wynosiłoby:

 

 

 

 

Pytanie zostało sformułowane nie do końca jasno. Treść pytania "O ile punktów procentowych popularniejszych okazałby się ten program?" sugeruje, że należy zbadać różnicę między początkowym poparciem dla programu Y, a poparciem dla tego programu przy 500 ankietowanych. Tymczasem autorowi chodziło o zbadanie różnicy między poparciem dla programu Y a poparciem dla programu X przy 500 głosujących osobach. Pytanie powinno brzmieć więc: "O ile punktów procentowych popularniejszy niż program X okazałby się wtedy program Y?".

 

Obliczmy, jakie byłoby poparcie dla programu X, gdyby w ankiecie brało udział dodatkowych 100 osób, a wszyscy z nich głosowaliby na program Y. Wtedy na program X głosowałoby tyle samo osób, co na początku (288), a liczba wszystkich głosujących osób wynosiłaby 500.

 

 

Obliczamy, o ile punktów procentowych popularniejszy niż program X okazałby się wtedy program Y:

  

 

Dane są dwa okręgi współśrodkowe...

Możemy dorysować{premium} jeszcze dwie cięciwy, wychodzące z punktów A i B, o długości 10 cm, które będą styczne do mniejszego okręgu. Utworzą one trójkąt równoboczny. Wówczas większe koło jest kołem opisanym na trójkącie, a mniejsze -  kołem wpisanym w trójkąt. Oznaczmy promienie tych kół odpowiednio jako R i r. Ze wzorów na promień koła opisanego i wpisanego w trójkąt równoboczny mamy:

 

 


Obliczamy pole większego koła:

 

Obliczamy pole mniejszego koła:

 


Obliczamy pole pierścienia kołowego wyznaczonego przez te okręgi:

 


Prawidłowa odpowiedź to A.