Nierówności kwadratowe - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Rozwiąż nierówność: $$-x^2-x-6 < 0$$

Wyznaczamy parametry:
$$a=-1$$
$$b=-1$$
$$c=-6$$
Następnie obliczamy deltę: $$∆=b^2-4ac$$

$$∆=(-1)^2-4×(-1)×6$$

$$∆=1+24=25$$

Pierwiastek z delty: $$√{∆}=5$$

Obliczamy nasze rozwiązania:

$$x_1={-b+√{∆} }/{2a} $$

$$x_1={1+5}/{-2}=-3 $$

$$x_2={-b-√{∆} }/{2a} $$

$$x_2={1-5}/{-2}=2 $$

Mamy więc rozwiązania:

$$x_1=-3$$ oraz $$x_2=2$$

Pozostaje nam wykres:

Tym razem parabola jest w kształcie smutnej buźki

roz1

I ucinamy górę, ponieważ tym razem szukamy <0

roz2

Zatem:

$$x∈(-∞;-3)∪(2;∞) $$
 

Zadanie 2.

Rozwiąż nierówność: $$x^2+10x+25 > 0$$.

Wyznaczamy parametry:

$$a=1$$

$$b=10$$

$$c=25$$

Następnie obliczamy deltę:

$$∆=b^2-4ac$$

$$∆=10^2-4×1×25$$

$$∆=100-100=0$$

Mamy deltę równą zero, więc tylko jedno rozwiązanie.

Obliczamy:

$$x={-b}/{2a} $$

$$x_1={-10}/2=-5 $$

Pozostaje nam wykres:

Tym razem parabola wesoła, jednakże pamiętamy, że mamy tylko jedno miejsce zerowe:

roz3

Musimy znaleźć >0

Jak widać do tego zbioru będą należeć wszystkie liczby oprócz samej -5.

Zatem:

$$x∈R ∖$${-5}

Spis treści

Rozwiązane zadania
Suma dwóch liczb jest równa...

Niech będą liczbami, o których mowa w zadaniu.

Suma tych liczb jest równa co zapiszemy następująco:

 

Natomiast różnica wynosi  czyli:

 

Zapisujemy równania jako układ równań i go rozwiązujemy:

 

Dodajemy równania stronami, otrzymując:

 

 

Podstawiamy  do dowolnego równania z igrekiem i wyznaczamy  

 

 

 

Rozwiązaniem układu równań jest para liczb:

 

Odp. Szukane liczby to               

Boki prostokąta mają długość 30 cm i 20 cm...

Krótszy bok po wydłużeniu ma długość:

 

Dłuższy bok po skróceniu ma długość:

 

 

Pole prostokąta ma zmianach długości boków:

 

Największa wartość funkcji będzie w wierzchołku zatem:

 

 

Odpowiedź C

Uzasadnij, że jeżeli

 

 

 

Przeprowadzimy dowód przez sprowadzenie do sprzeczności. Zastanówmy się, co by było, gdyby teza nie była spełniona. Iloczyn xy musiałby być wtedy ujemny. Iloczyn dwóch liczb jest ujemny, jeśli jedna z nich jest dodatnia, a druga ujemna. Mamy więc dwie możliwości.

 

 

 

Przeanalizujmy pierwszy przypadek. 

 

 

Wtedy lewa strona równości z założenia może przyjmować 2 wartości:

 

 

Prawa strona równości:

 

 

Nie zachodzi więc równość z tezy, co jest sprzecznością z założeniem. Pierwszy przypadek nie jest więc możliwy.

Przeanalizujmy teraz drugi przypadek:

 

 

Wtedy lewa strona równości z założenia może przyjmować 2 wartości:

 

Prawa strona równości:

 

 

Nie zachodzi więc równość z tezy, co jest sprzecznością z założeniem. Drugi przypadek nie jest więc możliwy.

 

Oba przypadki doprowadziły do sprzeczności, co oznacza, że nie zachodzi nierówność xy<0, czyli xy≥0, co należało dowieść. 

Wiedząc, że przybliżenie liczby...

 {premium}


 


 


 

Na podstawie wykresu funkcji...

a) Przesuwamy wykres funkcji o 2 jednostki w lewo i 2 jednostki w górę.

 

b) Przesuwamy wykres funkcji o 2 jednostki w prawo i 1 jednostkę w dół.

 

c) Przesuwamy wykres o 4 jednostki w prawo i 4 jednostki w dół.

Mamy c cukierków i rozdajemy...

Skoro mamy c cukierków i rozdając je dzieciom sprawimy, że każde będzie miało po k cukierków wtedy wiemy, że zajdzie wzór:

 

A więc n są wielkościami odwrotnie proporcjonalnymi.

 

A. Fałsz

B. Prawda

C. Fałsz

Wyłącz czynnik przed pierwiastek

{premium}

Wyznacz równanie paraboli, wiedząc, że przecina ona osie układu współrzędnych

Wykorzystując podane współrzędne, zapisujemy jakie wartości osiąga funkcja dla danych argumentów: 

Mając miejsca zerowe możemy zapisać postać iloczynową:

 

Wykorzystując punkt A znajdujemy parametr a:

 

 

 

 

 

 

 

Naszkicuj wykres funkcji

Aby narysować wykres funkcji liniowej, wyznaczamy współrzędne dwóch punktów, zaznaczamy je w układzie współrzędnych i prowadzimy przez nie prostą.

 

Aby sprawdzić, czy podany punkt należy do wykresu funkcji, podstawiamy pierwszą współrzędną punktu w miejsce x i obliczamy y - jeśli jest równy drugiej współrzędnej, to punkt należy do wykresu, a jeśli jest różny od drugiej współrzędnej, to punkt nie należy do wykresu. 

 

Sześcian S2 jest obrazem sześcianu ...