Nierówności kwadratowe - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Rozwiąż nierówność: $$-x^2-x-6 < 0$$

Wyznaczamy parametry:
$$a=-1$$
$$b=-1$$
$$c=-6$$
Następnie obliczamy deltę: $$∆=b^2-4ac$$

$$∆=(-1)^2-4×(-1)×6$$

$$∆=1+24=25$$

Pierwiastek z delty: $$√{∆}=5$$

Obliczamy nasze rozwiązania:

$$x_1={-b+√{∆} }/{2a} $$

$$x_1={1+5}/{-2}=-3 $$

$$x_2={-b-√{∆} }/{2a} $$

$$x_2={1-5}/{-2}=2 $$

Mamy więc rozwiązania:

$$x_1=-3$$ oraz $$x_2=2$$

Pozostaje nam wykres:

Tym razem parabola jest w kształcie smutnej buźki

roz1

I ucinamy górę, ponieważ tym razem szukamy <0

roz2

Zatem:

$$x∈(-∞;-3)∪(2;∞) $$
 

Zadanie 2.

Rozwiąż nierówność: $$x^2+10x+25 > 0$$.

Wyznaczamy parametry:

$$a=1$$

$$b=10$$

$$c=25$$

Następnie obliczamy deltę:

$$∆=b^2-4ac$$

$$∆=10^2-4×1×25$$

$$∆=100-100=0$$

Mamy deltę równą zero, więc tylko jedno rozwiązanie.

Obliczamy:

$$x={-b}/{2a} $$

$$x_1={-10}/2=-5 $$

Pozostaje nam wykres:

Tym razem parabola wesoła, jednakże pamiętamy, że mamy tylko jedno miejsce zerowe:

roz3

Musimy znaleźć >0

Jak widać do tego zbioru będą należeć wszystkie liczby oprócz samej -5.

Zatem:

$$x∈R ∖$${-5}

Spis treści

Rozwiązane zadania
Oblicz pierwiastki trójmianu i przedstaw ...

`"a)"\ y=6x^2+x-1` 

`Delta=1^2-4*6*(-1)=1+24=25` 

`sqrtDelta=sqrt25=5` 

`x_1=(-1-5)/12=-6/12=-1/2` 

`x_2=(-1+5)/12=4/12=1/3` 

Postać iloczynowa trójmianu:` `

`y=6(x+1/2)(x-1/3)` 

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))`

`"b)"\ y=2x^2-5x+2`  

`Delta=(-5)^2-4*2*2=25-16=9`  

`sqrtDelta=sqrt9=3`  

`x_1=(-(-5)-3)/4=2/4=1/2` 

`x_2=(-(-5)+3)/4=8/4=2`  

Postać iloczynowa trójmianu:``

`y=2(x-1/2)(x-2)`  

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))` 

`"c)"\ y=1/2x^2-3x-7/2`   

`Delta=(-3)^2-4*1/2*(-7/2)=9+28/4=7+7=16`    

`sqrtDelta=sqrt16=4`   

`x_1=(-(-3)-4)/1=-1`  

`x_2=(-(-3)+4)/1=1`  

Postać iloczynowa trójmianu:``

`y=1/2(x-1)(x+1)`   

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))` 

`"d)"\ y=x^2+sqrt2x-4`    

`Delta=(sqrt2)^2-4*1*(-4)=2+16=18`      

`sqrtDelta=sqrt18=3sqrt2`    

`x_1=(-sqrt2-3sqrt2)/2=(-4sqrt2)/2=-2sqrt2`   

`x_2=(-sqrt2+3sqrt2)/2=(2sqrt2)/2=sqrt2`   

Postać iloczynowa trójmianu:``

`y=(x-sqrt2)(x+2sqrt2)`   

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))` 

`"e)"\ y=-9x^2+1`    

`Delta=0^2-4*(-9)*1=0+36=36`     

`sqrtDelta=sqrt36=6`    

`x_1=(-0-6)/-18=1/3`   

`x_2=(-0+6)/-18=-1/3`   

Postać iloczynowa trójmianu:``

`y=-9(x-1/3)(x+1/3)`    

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))` 

`"f)"\ y=3/2x^2-9x`    

`Delta=(-9)^2-4*3/2*0=81-0=81`     

`sqrtDelta=sqrt81=9`    

`x_1=(-(-9)-9)/3=0/3=0`   

`x_2=(-(-9)+9)/3=18/3=6`   

Postać iloczynowa trójmianu:``

`y=3/2x(x-6)`    

Spośród dwóch samochodów

`"długość trasy:"\ \ \ s\ [km]` 

`"czas jazdy drugiego samochodu:"\ \ \ t\ [h]` 

`"czas jazdy pierwszego samochodu:"\ \ \ (100%-20%)*t=80%*t=0,8t\ [h]` 

`"średnia prędkość drugiego samochodu:"\ \ s/t\ [km//h]` 

`"średnia prędkość pierwszego samochodu:"\ \ s/(0,8t)=1/(0,8)*s/t=10/8*s/t=5/4*s/t=1,25s/t\ [km//h]` 

 

 

Obliczamy, o ile większą średnią prędkość od drugiego samochodu miał pierwszy samochód (czyli jakim procentem różnicy prędkości jest prędkość drugiego samochodu):


`(1,25s/t-s/t)/(s/t)=(0,25s/t)/(s/t)=0,25=25%` 

 

a) W trójkącie ostrokątnym poprowadzono

`a)` 

 

 

 

 

`b)` 

 

 

 `DeltaDBC:\ \ \ |angleCBD|=180^o-(90^o +20^o)=` `180^o-110^o=70^o` 


`DeltaCFB:\ \ \ |angleCFB|=180^o-(40^o +20^o)=180^o-60^o=120^o` 


`\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \|angleDFE|=120^o`   (kąty wierzchołkowe)

`ADFE:\ \ \ |angleEAD|=360^o-(90^o +120^o +90^o)=360^o-300^o=60^o` 

`DeltaABC:\ \ \ |angleACB|=180^o-(70^o +60^o)=180^o-130^o=50^o` 

 

Miary kątów tego trójkąta wynoszą 50°, 60°, 70°.  

Wykres funkcji ...

`f(x)=-2sqrt(-x)+3` 

`g(x)=-f(x)=2sqrt(-x)-3` 

 

`"Odpowiedź A."`  

Dla jakiej wartości parametru m

Wiemy, że proste są równoległe, jeśli ich współczynniki kierunkowe w równaniu kierunkowym są jednakowe. Przekształćmy więc równanie ogólne prostej 4x+3y+7=0 do postaci kierunkowej: 

`4x+3y+7=0\ \ \ \ \ |-4x-7` 

`3y=-4x-7\ \ \ |:3` 

`y=-4/3x-7/3` 

 

 

`a)` 

Przekształćmy równanie prostej do postaci kierunkowej: 

`mx+6y-1=0\ \ \ |-mx+1` 

`6y=-mx+1\ \ \ |:6` 

`y=-m/6x+1/6` 

 

Aby proste były równoległe, musi zachodzić równość:

`-m/6=-4/3\ \ \ |*(-6)` 

`m=-4/strike3^1*(-strike6^2)=8` 

`ul(ul(m=8))` 

 

 

 

`b)` 

Przekształćmy równanie prostej do postaci kierunkowej: 

`(2m+1)x-y=0\ \ \ |-(2m+1)x` 

`-y=-(2m+1)x\ \ \ |*(-1)` 

`y=(2m+1)x` 

 

Aby proste były równoległe, musi zachodzić równość:

`2m+1=-4/3\ \ \ |-1` 

`2m=-4/3-1` 

`2m=-4/3-3/3` 

`2m=-7/3\ \ \ |*1/2` 

`ul(ul(m=-7/6))` 

 

 

`c)` 

Przekształćmy równanie prostej do postaci kierunkowej: 

`(m-1/2)x-1/2y=0\ \ \ |-(m-1/2)x` 

`-1/2y=-(m-1/2)x\ \ \ \ |*(-2)` 

`y=2(m-1/2)x` 

`y=(2m-1)x` 

 

 

Aby proste były równoległe, musi zachodzić równość:

`2m-1=-4/3\ \ \ |+1` 

`2m=-4/3+1` 

`2m=-4/3+3/3` 

`2m=-1/3\ \ \ |*1/2` 

`ul(ul(m=-1/6))` 

 

 

 

`d)` 

Przekształćmy równanie prostej do postaci kierunkowej: 

`m/6x-3/4y+3=0\ \ \ |-m/6x-3` 

`-3/4y=-m/6x-3\ \ \ |*(-4/3)` 

` ` `y=4/18m+4` 

`y=2/9m+4` 

 

Aby proste były równoległe, musi zachodzić równość:

`2/9m=-4/3\ \ \ |*9/2` 

`m=-strike4^2/strike3^1*strike9^3/strike2^1=-6` 

`ul(ul(m=-6))` 

 

 

`e)` 

Przekształćmy równanie prostej do postaci kierunkowej: 

`x+my+9=0\ \ \ |-x-9` 

`my=-x-9\ \ \ |:mne0` 

`y=-1/mx-9/m` 

Przy dzieleniu zakładamy, że parametr m jest niezerowy. Gdyby parametr m był równy zero, to wtedy równanie byłoby postaci x+9=0, czyli x=-9. Wykresem byłaby prosta pionowa - na pewno nie byłaby ona równoległa do prostej danej w treści zadania, stąd założenie może zostać przyjęte. 

 

Aby proste były równoległe, musi zachodzić równość:

`-1/m=-4/3\ \ \ \ |*m` 

`-1=-4/3m\ \ \ |*(-3/4)` 

`ul(ul(m=3/4))` 

 

 

`f)` 

Przekształćmy równanie prostej do postaci kierunkowej: 

`1/3x-2my=0\ \ \ |-1/3x` 

`-2my=-1/3x\ \ \ \ |:(-2m)ne0` 

`y=1/(6m)x` 

Przy dzieleniu zakładamy, że parametr m jest niezerowy. Gdyby parametr m był równy zero, to wtedy równanie byłoby postaci 1/₃x=0, czyli x=0. Wykresem byłaby prosta pionowa - na pewno nie byłaby ona równoległa do prostej danej w treści zadania, stąd założenie może zostać przyjęte. 

 

Aby proste były równoległe, musi zachodzić równość:

`1/(6m)=-4/3\ \ \ \ |*6m` 

`1=-(24m)/3` 

`1=-8m\ \ \ |:(-8)` 

`ul(ul(m=-1/8))` 

 

Odpowiedz na pytania...

a) Funkcja kwadratowa może mieć 0, 1 lub 2 miejsca zerowe.

 

b) Rzędna wierzchołka i kierunek ramion paraboli lub można powiedzieć, że wartość wyróżnika paraboli. Oba przypadki są równoważne gdyż wiąże je wzór:

`q = (-Delta)/(4a)` 

`4aq = -Delta` 

 

c) Funkcja kwadratowa, która nie ma miejsc zerowych nie posiada postaci iloczynowej. 

Utwórz zaprzeczenie zdania i oceń jego wartość

a)

Zaprzeczenie:

`-3>0`

Wartość logiczna zaprzeczenia:

Fałsz.

 

b)

Zaprzeczenie:

`5^0!=5`

Wartość logiczna zaprzeczenia:

Prawda.

 

c)

Zaprzeczenie:

`sqrt17<4`

Wartość logiczna zaprzeczenia:

Fałsz

 

d)

Zaprzeczenie:

`3/4*8/3=2`

Wartość logiczna zaprzeczenia:

Prawda

 

e)

Zaprzeczenie:

`sqrt(4+9)!=5`

Wartość logiczna zaprzeczenia:

Prawda

 

f)

Zaprzeczenie:

`5/8+2/(strike3)*(strike3)/8=<1`

`5/8+2/8=<1`

`7/8=<1`

Wartość logiczna zaprzeczenia:

Prawda

 

Na diagramie obok przedstawiono liczbę poszczególnych ocen

`a)\ (4+1)/(1+2+4+1)*100%=` `5/8*100%=500/8%=62,5%` 

`b)\ (3+2+2+4+1+1+3+2)/(3+1+2+3+2+2+4+1+1+3+2)*100%=` 

`\ \ \ =18/24*100%=` `3/4*100%=75%` 

Liczba jest k-krotnie

`((1,4*10^6)*(5,4*10^-8))/((3,6*10^-3)*(3,5*10^-4))=(1,4*strike(5,4)^3*10^6*10^-8)/(strike(3,6)^2*3,5*10^-3*10^-4)=(strike(1,4)^2*3*10^-2)/(2*strike(3,5)^5*10^-7)=(6*10^-2)/(10*10^-7)=`

`=(6*10^-2)/(10^-6)=6*10^(-2-(-6))=6*10^(-2+6)=6*10^4=60\ 000`

     

 

`k=60\ 000:3000=60:3=20\ \ \ \ \ \ odp.\ D`

 

Czy na rysunku przedstawiony jest...

Rysunek nie przedstawia wykresu funkcji gdyż dla dowolnego argumentu z przedziału (-2,1) funkcja przyjmuje dwie wartości: -1 i 2. A więc wybierzmy np. x = 0:

`f(0) = -1 \ \ ^^ \ \ f(0) = 2`

Z tego wychodziłoby, że:

`-1=2` 

Co jest oczywiście nieprawdą.