Nierówności kwadratowe - matura-podstawowa - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Nierówności kwadratowe - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Rozwiąż nierówność: $-x^2-x-6 < 0$

Wyznaczamy parametry:
$a=-1$
$b=-1$
$c=-6$
Następnie obliczamy deltę: $∆=b^2-4ac$

$∆=(-1)^2-4×(-1)×6$

$∆=1+24=25$

Pierwiastek z delty: $√{∆}=5$

Obliczamy nasze rozwiązania:

$x_1={-b+√{∆} }/{2a} $

$x_1={1+5}/{-2}=-3 $

$x_2={-b-√{∆} }/{2a} $

$x_2={1-5}/{-2}=2 $

Mamy więc rozwiązania:

$x_1=-3$ oraz $x_2=2$

Pozostaje nam wykres:

Tym razem parabola jest w kształcie smutnej buźki

roz1

I ucinamy górę, ponieważ tym razem szukamy <0

roz2

Zatem:

$x∈(-∞;-3)∪(2;∞) $
 

Zadanie 2.

Rozwiąż nierówność: $x^2+10x+25 > 0$.

Wyznaczamy parametry:

$a=1$

$b=10$

$c=25$

Następnie obliczamy deltę:

$∆=b^2-4ac$

$∆=10^2-4×1×25$

$∆=100-100=0$

Mamy deltę równą zero, więc tylko jedno rozwiązanie.

Obliczamy:

$x={-b}/{2a} $

$x_1={-10}/2=-5 $

Pozostaje nam wykres:

Tym razem parabola wesoła, jednakże pamiętamy, że mamy tylko jedno miejsce zerowe:

roz3

Musimy znaleźć >0

Jak widać do tego zbioru będą należeć wszystkie liczby oprócz samej -5.

Zatem:

$x∈R ∖${-5}

Spis treści

Rozwiązane zadania
W trójkącie ABC wybrano na boku...

Wykonajmy rysunek pomocniczy:

  

Wiemy, że:{premium}

 

 

 


 

 

 

  

zatem:

 


Odp.: Trójkąt ABC ma pole 27. 

Wartość a jest równa

{premium}  

Rozwiąż nierówność ...

Szukamy argumentów, dla których funkcja  przyjmuje wartości nie większe niż 4. {premium}

W tym celu szkicujemy wykres funkcji  oraz prostą  i wyznaczamy ich punkty przecięcia, a następnie na osi OX zaznaczamy te argumenty, dla których wykres funkcji  znajduję się nie wyżej niż prosta .

Rozwiązaniem nierówności  jest zbiór

 

Z podanych wzorów wyznacz wskazane wielkości:

 

 


 

 

 {premium}



 

 


 

 

 

 



 

 

 

 

 


 

 

 

 

 



 

 


 

 

 


 

 

 

 

 

Narysuj wykres takiej funkcji...

a) Przykładowy wykres: {premium}

 

b) Przykładowy wykres:

Czy punkt P należy do paraboli

Podstawiamy pierwszą współrzędną punktu w miejsce x, a drugą współrzędną punktu w miejsce y

{premium}

 

 

 

 

Odpowiedz ba pytania.

a) Istnieją{premium} dwie liczby, których kwadrat jest równy 64. Są to liczby 8 i -8.

b) Istnieje jedna liczba, której kwadrat jest równy 0. Jest to liczba 0.

c) Nie istnieje liczba rzeczywista, której kwadrat jest równy -9, ponieważ kwadrat dowolnej liczby rzeczywistej jest nieujemny.

d)

  •  

Liczbami, których kwadrat jest równy 4 są liczby 2 oraz -2.

W takim razie równanie x2=4 spełniają liczby 2 oraz -2.

  •  

 

Liczbami, których kwadrat jest równy 9 są liczby 3 oraz -3.

W takim razie równanie y2-9=0 spełniają liczby 3 oraz -3.

  •  

 

Jedyną liczbą, której kwadrat jest równy 0 jest liczba 0.

W takim razie równanie 2z2=0 spełnia liczba 0.

  •  

Liczbami, których kwadrat jest równy 5 są liczby √5 oraz -√5.

W takim razie równanie t2=5 spełniają liczby √5 oraz -√5.

Czworokąty ABCD i EFGH są podobne

{premium}

{premium}

 

 

 

O trójkątach ABC i A'B'C' wiemy, że...

Rysunek poglądowy:

Z twierdzenia Pitagorasa:

{premium}   

Wiemy, że:

 

 

 

zatem:

  

 

 

 

Skoro BD jest równe B'D' oraz AD jest równe A'D' a kąty pomiędzy nimi jest taki sam to trójkąty są przystające na podstawie cechy bok-kąt-bok.

W trójkącie ABC mamy dane...

Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku poniżej:


Obliczamy c z tw. cosinusów:

 {premium}

 

 

 

 

 


Z tw. sinusów obliczamy sin𝛼:

 

 

 

 

 


Z tw. sinusów obliczamy sinβ: