Nierówności kwadratowe - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Rozwiąż nierówność: $$-x^2-x-6 < 0$$

Wyznaczamy parametry:
$$a=-1$$
$$b=-1$$
$$c=-6$$
Następnie obliczamy deltę: $$∆=b^2-4ac$$

$$∆=(-1)^2-4×(-1)×6$$

$$∆=1+24=25$$

Pierwiastek z delty: $$√{∆}=5$$

Obliczamy nasze rozwiązania:

$$x_1={-b+√{∆} }/{2a} $$

$$x_1={1+5}/{-2}=-3 $$

$$x_2={-b-√{∆} }/{2a} $$

$$x_2={1-5}/{-2}=2 $$

Mamy więc rozwiązania:

$$x_1=-3$$ oraz $$x_2=2$$

Pozostaje nam wykres:

Tym razem parabola jest w kształcie smutnej buźki

roz1

I ucinamy górę, ponieważ tym razem szukamy <0

roz2

Zatem:

$$x∈(-∞;-3)∪(2;∞) $$
 

Zadanie 2.

Rozwiąż nierówność: $$x^2+10x+25 > 0$$.

Wyznaczamy parametry:

$$a=1$$

$$b=10$$

$$c=25$$

Następnie obliczamy deltę:

$$∆=b^2-4ac$$

$$∆=10^2-4×1×25$$

$$∆=100-100=0$$

Mamy deltę równą zero, więc tylko jedno rozwiązanie.

Obliczamy:

$$x={-b}/{2a} $$

$$x_1={-10}/2=-5 $$

Pozostaje nam wykres:

Tym razem parabola wesoła, jednakże pamiętamy, że mamy tylko jedno miejsce zerowe:

roz3

Musimy znaleźć >0

Jak widać do tego zbioru będą należeć wszystkie liczby oprócz samej -5.

Zatem:

$$x∈R ∖$${-5}

Spis treści

Rozwiązane zadania
Mamy 240 metrów bieżących siatki ...

Oznaczmy długości boków prostokąta jako x i z.

Wiemy, że obwód ogródka ma długość 240 metrów, stąd:

 

Wyznaczamy z powyższego równania długość boku z:

 

 

 

 

Chcemy, aby pole powierzchni ogródka było jak największe.

Zapiszmy funkcję określającą pole ogródka:

 

(zakładając, że długości boków są większe od 0 otrzymujemy dziedzinę funkcji (0;120)).

 

Wykres funkcji f(x) jest parabolą o ramionach skierowanych w dół (a=-1), więc największa wartość funkcji to f(xw).

 

 

 

Ogródek będzie miał największe pole równa 3600 m2, jeżeli jeden z boków będzie miał długość równą 60m:

 

wówczas długość drugiego boku musi wynosić:

 

 

Odp: Ogródek powinien być kwadratem o boku długości 60 m.

Rozwiąż równanie.

 

 

 

 

 

 

 

   

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

        

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

    

` `

W prostokątnym układzie współrzędnych naszkicuj...

a) Zróbmy tabelkę wartości funkcji f dla kilku argumentów z dziedziny funkcji:

x -1  0 1 2
y=x3 -1 0 1 8

{premium}

Rysujemy wykres funkcji f(x)=x3 i proste o równaniach:  y=-1,  y=8.

Na podstawie wykresów funkcji odczytujemy, że:

 

 


b) Zróbmy tabelkę wartości funkcji f dla kilku argumentów z dziedziny funkcji:

             
             

 

Rysujemy wykres funkcji f(x)=1/x i proste o równaniach:  y=2, y=-1/4.

Na podstawie wykresów funkcji odczytujemy, że:

 

 

Naszkicuj wykresy funkcji g i h...

Wykres funkcji  otrzymujemy po przesunięciu paraboli  równolegle

do osi  o  jednostki w lewo.    

Wykres funkcji  otrzymujemy po przesunięciu paraboli  równolegle

do osi  o  jednostki w prawo.    

Zachował się zbiór wartości funkcji  

Drabina o długości 3,6 m oparta o ścianę...

a) Rysunek:

Z twierdzenia Talesa:

  

 

 

 

 

Odpowiedź: Drabina sięga na wysokość 1,8 m.

 

b) Rysunek:

Z twierdzenia Talesa:

 

 

 

 

Odpowiedź: Drabina ma długość 4,4 m.

Rozłóż na czynniki pierwsze następujące liczby:

 

Thumb zad2.10astr27{premium}


 

Thumb zad2.10bstr27


 

Thumb zad2.10cstr27


 

Thumb zad2.10dstr27

Jola wykonała obliczenia:

Sprawdzamy, które obliczenia są poprawne:

 {premium}

 

 


Prawidłowa odpowiedź to B.

Funkcja f jest określona za pomocą wzoru f(x)=x^2

           
           

Funkcja jest rosnąca - dla coraz większych argumentów przyjmuje coraz większe wartości. 

{premium}

 

         
         

Funkcja jest malejąca - dla coraz mniejszych argumentów przyjmuje coraz mniejsze wartości. 

 

 

 

         
          

Funkcja nie jest monotoniczna. Gdyby była rosnąca, to dla coraz większych argumentów przyjmowałaby coraz większe watości, a dla -2 przyjmuje przecież większą wartość niż dla 1. Gdyby była malejąca, to dla coraz mniejszych wartości przyjmowałaby coraz mniejsze wartości, a dla 0 przyjmuje przecież mniejszą wartość niż dla 1. 

Konrad wybrał się w podróż z miasta A ...

Zauważmy, że Konrad podróżował pociągiem przez 6h.

 

    

 

 

 

 

   

 

 

 

Odległość między miastami A i B wynosi 440 km.

 

  

Na rysunku przedstawione są wykresy funkcji ...

 

Pierwsze współrzędne punktów A, B, C zostały zwiększone o 4, dzięki czemy otrzymane zostały punkty A', B', C'.