Zgoda na przetwarzanie danych osobowych

25 maja 2018 roku zacznie obowiązywać Rozporządzenie Parlamentu Europejskiego i Rady (UE) 2016/679 z dnia 27 kwietnia 2016 r. znane jako RODO.

Dlatego aby dalej móc dostarczać Ci materiały odpowiednie do Twojego etapu edukacji, potrzebujemy zgody na lepsze dopasowanie treści do Twojego zachowania. Dzięki temu możemy zapamiętywać jakie materiały są Ci potrzebne. Dbamy o Twoją prywatność, więc nie zwiększamy zakresu naszych uprawnień. Twoje dane są u nas bezpieczne, a zgodę na ich zbieranie możesz wycofać na podstronie polityka prywatności.

Klikając "Przejdź do Odrabiamy", zgadzasz się na wskazane powyżej działania. W przeciwnym wypadku, nie jesteśmy w stanie zrealizować usługi kompleksowo i prosimy o opuszczenie strony.

Polityka prywatności

Drogi Użytkowniku w każdej chwili masz prawo cofnąć zgodę na przetwarzanie Twoich danych osobowych. Cofnięcie zgody nie będzie wpływać na zgodność z prawem przetwarzania, którego dokonano na podstawie wyrażonej przez Ciebie zgody przed jej wycofaniem. Po cofnięciu zgody wszystkie twoje dane zostaną usunięte z serwisu. Udzielenie zgody możesz modyfikować w zakładce 'Informacja o danych osobowych'

Nierówności kwadratowe - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Rozwiąż nierówność: $$-x^2-x-6 < 0$$

Wyznaczamy parametry:
$$a=-1$$
$$b=-1$$
$$c=-6$$
Następnie obliczamy deltę: $$∆=b^2-4ac$$

$$∆=(-1)^2-4×(-1)×6$$

$$∆=1+24=25$$

Pierwiastek z delty: $$√{∆}=5$$

Obliczamy nasze rozwiązania:

$$x_1={-b+√{∆} }/{2a} $$

$$x_1={1+5}/{-2}=-3 $$

$$x_2={-b-√{∆} }/{2a} $$

$$x_2={1-5}/{-2}=2 $$

Mamy więc rozwiązania:

$$x_1=-3$$ oraz $$x_2=2$$

Pozostaje nam wykres:

Tym razem parabola jest w kształcie smutnej buźki

roz1

I ucinamy górę, ponieważ tym razem szukamy <0

roz2

Zatem:

$$x∈(-∞;-3)∪(2;∞) $$
 

Zadanie 2.

Rozwiąż nierówność: $$x^2+10x+25 > 0$$.

Wyznaczamy parametry:

$$a=1$$

$$b=10$$

$$c=25$$

Następnie obliczamy deltę:

$$∆=b^2-4ac$$

$$∆=10^2-4×1×25$$

$$∆=100-100=0$$

Mamy deltę równą zero, więc tylko jedno rozwiązanie.

Obliczamy:

$$x={-b}/{2a} $$

$$x_1={-10}/2=-5 $$

Pozostaje nam wykres:

Tym razem parabola wesoła, jednakże pamiętamy, że mamy tylko jedno miejsce zerowe:

roz3

Musimy znaleźć >0

Jak widać do tego zbioru będą należeć wszystkie liczby oprócz samej -5.

Zatem:

$$x∈R ∖$${-5}

Spis treści

Rozwiązane zadania
Prosta y = -2x + 4 jest osią symetrii trapezu równoramiennego...

Prosta prostopadła do prostej y = -2x + 4:

`y = 1/2x + q` 

 

 

  • Współrzędne wierzchołka C

Wstawiamy współrzędne wierzchołka D do równania prostej prostopadłej do osi symetrii.

`y = 1/2x + q`  

`1 = 1/2*(-1) + q` 

`1 = -1/2 + q` 

`q = 3/2` 

Prosta CD jest dana równaniem:

`CD: \ y = 1/2x +3/2` 

 

Wyznaczmy punkt przecięcia prostej CD i osi symetrii

`{(y=1/2x+3/2),(y=-2x+4):}` 

`1/2x+3/2 = -2x + 4` 

`5/2x = 5/2`  

`x = 1` 

stąd

`y = 1/2*1 +3/2`  

`y = 1/2+3/2`  

`y = 2` 

 

`S = (1 , 2)` 

 

A więc:

`stackrel(->)(DS) = stackrel(->)(SC)` 

`[x_S - x_D , y_S - y_D] = [x_C - x_S , y_C - y_S]` 

`[1 +1 , 2 -1] = [x_C - 1 , y_C - 2]` 

`[2 , 1] = [x_C - 1 , y_C - 2]` 

`{(2 = x_C - 1),(1 = y_C - 2):}` 

`{(x_C = 3),(y_C = 3):}` 

`C = (3 , 3)` 

 

Współrzędne wierzchołka B:

Wstawiamy współrzędne wierzchołka A do równania prostej prostopadłej do osi symetrii.

`y = 1/2x + q`  

`-4 = 1/2*(-1) + q` 

`-4 = -1/2 + q` 

`q = -7/2` 

Prosta AB jest dana równaniem:

`AB: \ y = 1/2x -7/2` 

 

Wyznaczmy punkt przecięcia prostej AB i osi symetrii

`{(y=1/2x-7/2),(y=-2x+4):}` 

`1/2x-7/2 = -2x + 4` 

`5/2x = 15/2`  

`5x = 15`

`x = 3` 

stąd

`y = 1/2*3 - 7/2`  

`y = 3/2 - 7/2`  

`y = -2` 

 

`S = (3 , -2)` 

 

A więc:

`stackrel(->)(AS) = stackrel(->)(SB)` 

`[x_S - x_A , y_S - y_A] = [x_B - x_S , y_B - y_S]` 

`[3 +1 , -2 +4] = [x_B - 3 , y_B +2]` 

`[4 , 2] = [x_B - 3 , y_B +2]` 

`{(x_B-3=4),(y_B+2 = 2):}` 

`{(x_B = 7),(y_B = 0):}` 

`B = (7 , 0)`

Rozwiąż równanie

`a)` 

Sprawdźmy, dla jakich wartości x wyrażenie pod wartością bezwzględną przyjmuje wartości ujemne:

`1/3x-2<0\ \ \ |+2` 

`1/3x<2\ \ \ |*3` 

`x<6` 

 

Musimy rozpatrzeć dwa przypadki. 

`1)\ x in (-infty;\ 6)` 

W zadanym przedziale wyrażenie pod wartością bezwzględną jest ujemne, więc opuszczamy wartość bezwzględną ze zmianą znaku.

`-(1/3x-2)-2x=5` 

`-1/3x+2-2x=5\ \ \ |*3` 

`-x+6-6x=15` 

`-7x+6=15\ \ \ |-6` 

`-7x=9\ \ \ |:(-7)` 

`x=-9/7` 

`x=-1 2/7` 

Otrzymane rozwiązanie należy do zadanego przedziału.

 

 

`2)\ x in <<6;\ +infty)` 

W zadanym przedziale wyrażenie pod wartością bezwzględną jest dodatnie, więc opuszczamy wartość bezwzględną bez zmiany znaku.

`1/3x-2-2x=5\ \ \ |*3` 

`x-6-6x=15` 

`-5x-6=15\ \ \ |+6` 

`-5x=21\ \ \ |:(-5)` 

`x=-21/5` 

`x=-4 1/5` 

Otrzymane rozwiązanie nie należy do zadanego przedziału, dlatego odrzucamy je. 

 

Ostatecznie równanie ma tylko jedno rozwiązanie:

`ul(ul(x =-1 2/7))` 

 

 

`ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ )` 

 

 

 

`b)` 

Sprawdźmy, dla jakich liczb wyrażenia pod wartościami bezwzględnymi przyjmują wartość 0. Tak otrzymane liczby podzielą zbiór liczb rzeczywistych na trzy przedziały, w których będziemy rozpatrywać równanie. 

`2x-5=0,\ \ \ "jeśli"\ \ \ 2x=5,\ \ \ "czyli"\ \ \ x=5/2=2 1/2` 

`3x+6=0,\ \ \ "jeśli"\ \ \ 3x=-6,\ \ \ "czyli"\ \ \ x=-2` 

 

Rozpatrujemy równanie w odpowiednich przedziałach. 

 

Nad wyrażeniami znadującymi się pod wartościami bezwzględnymi zapiszemy +, jeśli wyrażenie przyjmuje w zadanym przedziale wartości nieujemne (większe lub równe 0) lub -, gdy wyrażenie przyjmuje w zadanym przedziale wartości niedodatnie (mniejsze lub równe 0).

 

`1)\ x in (-infty;\ -2)` 

`\ \ \ |#(2x-5)^(^(-))|+|#(3x+6)^(^(-))|=16` 

`\ \ \ -(2x-5)-(3x+6)=16` 

`\ \ \ -2x+5-3x-6=16` 

`\ \ \ -5x-1=16\ \ \ |+1` 

`\ \ \ -5x=17\ \ \ |:(-5)` 

`\ \ \ x=-17/5` 

`\ \ \ x=-3 3/5` 

Otrzymane rozwiązanie należy do zadanego przedziału. 

 

`2)\ x in <<-2;\ 2 1/2)` 

`\ \ \ |#(2x-5)^(^(-))|+|#(3x+6)^(^(+))|=16` 

`\ \ \ -(2x-5)+(3x+6)=16` 

`\ \ \ -2x+5+3x+6=16` 

`\ \ \ x+11=16\ \ \ |-11` 

`\ \ \ x=5` 

Otrzymane rozwiązanie nie należy do zadanego przedziału, więc odrzucamy je. 

 

 

`3)\ x in <<2 1/2;\ +infty)` 

`\ \ \ |#(2x-5)^(^(+))|+|#(3x+6)^(^(+))|=16` 

`\ \ \ 2x-5+3x+6=16` 

`\ \ \ 5x+1=16\ \ \|-1` 

`\ \ \ 5x=15\ \ \ |:5` 

`\ \ \ x=3` 

Otrzymane rozwiązanie należy do zadanego przedziału.

 

Ostatecznie równanie ma dwa rozwiązania:

`ul(ul(x= -3 3/5\ \ \ "lub"\ \ \ x=3))`  

 

 

W równoramiennym trójkącie...

 

Promień okręgu wpisanego w trójkąt o bokach długości a,b,c wyraża się wzorem:

`r = (2P)/(a+b+c)` 

`2 = (2P)/(a+a+b)` 

`2*(2a+b) = 2P` 

`2a + b = P` 

 

`cos \ 70^o = (1/2b)/a` 

`cos 70^o = b/(2a)` 

`0,3420 = b/(2a)` 

`b/a = 0,684` 

`b = 0,684a` 

 

`sin \ 70^o = h/a` 

`sin \ 70^o = h/a` 

`0,9397 = h/a` 

`h = 0,9397a` 

 

Pole dużego trójkąta:

`P = (bh)/2 = (0,684a * 0,9397a)/2 approx 0,3213 a^2` 

 

Przyrównajmy do siebie obie wielkości wyrażające pole:

`2a+b = 0,3213a^2` 

`2a + 0,684a = 0,3213a^2` 

`2,684a - 0,3213a^2 =0` 

`a(2,684 - 0,3213a) =0` 

`2,684 - 0,3213a = 0` 

`0,3213a = 2,684` 

`a = 8,3536 approx 8,4 \ ["cm"]` 

`b= 0,684 * 8,3536 approx 5,7 \ ["cm"]` 

Opisz położenie paraboli będącej wykresem...

a) Współczynnik kierunkowy jest dodatni zatem parabola ma ramiona skierowane ku górze, druga współrzędna wierzchołka jest dodatnia zatem parabola leży stale ponad osią x. A więc parabola znajduje się w III ćwiartce.

 

b) Współczynnik kierunkowy jest ujemny zatem parabola ma ramiona skierowane ku dołowi, druga współrzędna wierzchołka jest dodatnia zatem wierzchołek jest ponad osią x. Z tego wynika, że parabola przechodzi przez wszystkie ćwiartki układu współrzędnych.

 

c) Wierzchołek znajduje się w punkcie (0,0) oraz ramiona paraboli są skierowane ku górze bo współczynnik kierunkowy jest dodatni. A więc parabola znajduje się w III ćwiartce.

 

d) Wierzchołek znajduje się w punkcie (0,0) oraz ramiona paraboli są skierowane ku dołowi bo współczynnik kierunkowy jest ujemny. A więc parabola znajduje się w IIIIV ćwiartce.

Funkcja f przedstawiona na wykresie...

Zauważmy dla jakich argumentów jest spełniona nierówność:

`f(x) >= 1` 

A więc w jakim przedziale funkcja znajduje się ponad prostą daną równaniem:

`y=1` 

Tym przedziałem jest:

`x in (-2, 2)`  

Gdyż dla dowolnego x z tego przedziału funkcja przyjmuje wartości stale większe od 1.

Odpowiedź B 

Z poczty położonej w punkcie O

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa obliczymy długości odcinków OA, OB, OC, OD. 

`4^2+1^2=|OA|^2`

`16+1=|OA|^2`

`|OA|^2=17`

`|OA|=sqrt17\ km`

 

 

`3^2+2^2=|OB|^2`

`9+4=|OB|^2`

`|OB|^2=13`

`|OB|=sqrt13\ km`

 

`2^2+3^2=|OC|^2`

`|OC|=sqrt13\ km`

 

`1^2+4^2=|OD|^2`

`|OD|=sqrt17\ km`

 

Listonosz musi pokonać każdy odcinek dwukrotnie:

  • wyrusza z punktu O do punktu A
  • wraca z punktu A do punktu O (wraca na pocztę)
  • wyrusza z punktu O do punktu B
  • wraca z punktu B do punktu O (wraca na pocztę)
  • wyrusza z punktu O do punktu C
  • wraca z punktu C do punktu O (wraca na pocztę)
  • wyrusza z punktu O do punktu D
  • wraca z punktu D do punktu O (wraca na pocztę)

 

Obliczamy, jaką odległość pokona listonosz:

`2*sqrt17\ km+2*sqrt13\ km+2*sqrt13\ km+2*sqrt17\ km=4sqrt17\ km+4sqrt13\ km~~`

`~~4*4,1231\ km+4*3,6056\ km=16,4924\ km+14,4224\ km=30,9148\ km>30\ km`

 

Listonoszowi należy się służbowy motorower.  

Wyznacz (o ile istnieją) miejsca zerowe...

`f(x) = x - |x+2|+3` 

`f(x) =0` 

`x - |x+2| + 3 =0` 

`- |x+2| = -x - 3` 

`|x+2| = x+3` 

Z definicji wartości bezwzględnej:

`x+2=x+3 \ \ vv \ \ x+ 2 = - x - 3`  

`2 = 3 \ \ vv \ \ 2x = -5` 

Pierwsze równanie jest sprzeczne.

`2x = -5`  

`x = -5/2` 

Odpowiedź: Miejscem zerowym jest liczba -5/2.

Spośród funkcji liniowych wybierz te

Funkcja jest rosnąca, jeśli jej współczynnik kierunkowy (współczynnik stojący przy x) jest liczbą dodatnią. 

 

`f(x)=(3-sqrt11)x+1`

`a=3-sqrt11=sqrt9-sqrt11<0\ \ \ \ (bo\ \ sqrt9<sqrt11)`

 

 

 

`g(x)=1/(sqrt3-2)x+10`

`a=1/(sqrt3-2)=1/(sqrt3-sqrt4)<0\ \ \ (bo\ \ sqrt3<sqrt4)`

 

 

 

`h(x)=|-4+2sqrt2|x-7`

`a=|-4+2sqrt2|>0`

(wartość bezwzględna z dowolnej niezerowej liczby jest dodatnia)

 

 

`k(x)=root(3)(-27)x+3`

`a=root(3)(27)=-3<0`

 

 

Funkcją rosnącą jest tylko funkcja h(x). 

Liczba 120 jest przybliżeniem z nadmiarem

Jeśli liczba 120 jest przybliżeniem z nadmiarem liczby x, to 120>x, więc 120-x>0, czyli x-120<0, dlatego opuszczając wartość bezwzględną zmienimy znak na przeciwny. 

Wiemy, że błąd bezwzględny przybliżenia wynosi 2, więc możemy zapisać równanie:

`|x-120|=2`

`-(x-120)=2`

`-x+120=2\ \ \ |-120`

`-x=-118\ \ \ |*(-1)`

`x=118\ \ \ \ \ \ \ odp.\ B`

 

Wyznacz najmniejszą liczbę

`a)`

`(3x-1)^2-(2-3x)^2>=0`

`((3x)^2-2*3x*1+1^2)-(2^2-2*2*3x+(3x)^2)>=0`

`(9x^2-6x+1)-(4-12x+9x^2)>=0`

`9x^2-6x+1-4+12x-9x^2>=0`

`6x-3>=0\ \ \ |+3`

`6x>=3\ \ \ |:6`

`x>=3/6`

`x>=1/2`

Najmniejsza liczba całkowita spełniająca nierówność to 1. 

 

 

 

`b)`

`(x-sqrt8)^2+(sqrt8-x)(sqrt8+x)<=0`

`(x^2-2*x*sqrt8+sqrt8^2)+(sqrt8^2-x^2)<=0`

`x^2-2sqrt8x+8+8-x^2<=0`

`-2sqrt8x+16<=0\ \ \ |:(-2)`

`sqrt8x-8>=0\ \ \ \ |+8`

`sqrt8x>=8\ \ \ |:sqrt8`

`x>=8/sqrt8`

`x>=(8sqrt8)/(sqrt8*sqrt8)`

`x>=(8sqrt8)/8`

`x>=sqrt8`

`x>=sqrt4*sqrt2`

`x>=2sqrt2`

 

`2sqrt2~~2*1,41=2,82`

Najmniejsza liczba całkowita spełniająca nierówność to 3.