Nierówności kwadratowe - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Rozwiąż nierówność: $$-x^2-x-6 < 0$$

Wyznaczamy parametry:
$$a=-1$$
$$b=-1$$
$$c=-6$$
Następnie obliczamy deltę: $$∆=b^2-4ac$$

$$∆=(-1)^2-4×(-1)×6$$

$$∆=1+24=25$$

Pierwiastek z delty: $$√{∆}=5$$

Obliczamy nasze rozwiązania:

$$x_1={-b+√{∆} }/{2a} $$

$$x_1={1+5}/{-2}=-3 $$

$$x_2={-b-√{∆} }/{2a} $$

$$x_2={1-5}/{-2}=2 $$

Mamy więc rozwiązania:

$$x_1=-3$$ oraz $$x_2=2$$

Pozostaje nam wykres:

Tym razem parabola jest w kształcie smutnej buźki

roz1

I ucinamy górę, ponieważ tym razem szukamy <0

roz2

Zatem:

$$x∈(-∞;-3)∪(2;∞) $$
 

Zadanie 2.

Rozwiąż nierówność: $$x^2+10x+25 > 0$$.

Wyznaczamy parametry:

$$a=1$$

$$b=10$$

$$c=25$$

Następnie obliczamy deltę:

$$∆=b^2-4ac$$

$$∆=10^2-4×1×25$$

$$∆=100-100=0$$

Mamy deltę równą zero, więc tylko jedno rozwiązanie.

Obliczamy:

$$x={-b}/{2a} $$

$$x_1={-10}/2=-5 $$

Pozostaje nam wykres:

Tym razem parabola wesoła, jednakże pamiętamy, że mamy tylko jedno miejsce zerowe:

roz3

Musimy znaleźć >0

Jak widać do tego zbioru będą należeć wszystkie liczby oprócz samej -5.

Zatem:

$$x∈R ∖$${-5}

Spis treści

Rozwiązane zadania
Rozwiąż układ równań

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

 

 

 

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

 

 

 

 

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

Rozwiąż równanie

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

Drugie równanie nie ma rozwiązania, ponieważ kwadrat dowolnej liczby rzeczywistej jest nieujemny.

Rozwiązaniami pierwszego równania są:

rownanie matematyczne 

 

 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

 

 

 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

 

 

 

rownanie matematyczne 

Musimy rozpatrzeć dwa przypadki.

rownanie matematyczne 

Opuszczamy wartość bezwzględną ze zmianą znaku.

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne       

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

Pierwsze rozwiązanie nie należy do zadanego przedziału, więc odrzucamy je. Ostatecznie mamy tylko jedno rozwiązanie:

rownanie matematyczne 

 

 

rownanie matematyczne 

Opuszczamy wartość bezwzględną bez zmiany znaku:

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

Oba rozwiązania należą do zadanego przedziału.

 

Ostatecznie równanie ma trzy rozwiązania:

rownanie matematyczne 

 

Korzystając z geometrycznej interpretacji

rownanie matematyczne 

Na osi liczbowej odległość liczby x od zera jest większa lub równa niż odległość liczby x od 2. 

Odległość ta będzie równa, gdy x będzie znajdował się dokładnie w połowie między liczbami 0 i 2, czyli gdy będzie równy 1. 

Ta odległość ma być większa lub równa, więc zaznaczamy liczby większe lub równe 1. 

 

 

rownanie matematyczne 

Na osi liczbowej odległość liczby x od zera jest mniejsza lub równa niż odległość liczby x od 6. 

Odległość ta będzie równa, gdy x będzie znajdował się dokładnie w połowie między liczbami 0 i 6, czyli gdy będzie równy 3. 

 

Ta odległość ma być mniejsza lub równa, więc zaznaczamy liczby mniejsze lub równe 3. 

 

 

rownanie matematyczne 

Na osi liczbowej odległość liczby x od liczby 2 jest większa niż odległość liczby x od -2. 

Odległość ta będzie równa, gdy x będzie znajdował się dokładnie w połowie między liczbami 2 i -2, czyli gdy będzie równy 0. 

 

Ta odległość ma być większa, więc zaznaczamy liczby większe od 0.

Przekątne trapezu równoramiennego przecinają ...

 

Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku.

Trapez jest równoramienny, więc trójkąt ABP jest równoramienny.

Kąty przy podstawie AB trójkąta ABP oznaczamy jako α. Obliczamy miare α:

rownanie matematyczne 

Przekątne trapezu są także dwusiecznymi kątów przy podstawie AB. Stąd:

rownanie matematyczne 

kąt przy podstawie trapezu oznaczmy jako ß, jest on równy dwóm kątom α.

rownanie matematyczne 

W trójkącie ABC miary dwóch kątów wynoszą 30o oraz 60o, więc miara trzeciego kąta to 90o. Trójkąt ten jest więc trójkątem prostokątnym.

Korzystając z własnosci w trójkącie o kątach 30o, 60o oraz 90mamy:

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne   

rownanie matematyczne  

Dłuższa podstawa AB ma 12 cm.

 

W trapezie równoramiennym suma miar kątów przy ramieniu wynosi 90o. Stąd:

rownanie matematyczne 

Trójkąt ACD jest więc trójkątem równoramiennym (miary kątów przy podstawie AC są równe). Stąd:

rownanie matematyczne 

Krótsza podstawa DC ma 6 cm.

 

Aby obliczyć pole trapezu musimy znać długość wysokości, czyli odcinka DE.

Wysokości poprowadzone na dłuższą podstawę dzielą ją na trzy odcinki:

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne 

Zauważmy, że trójkąt EBD jest trójkątem prostokątnym.

Wyznaczmy dlugość odcinka EB:

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

  Miary kątów w trójkącie EBD wynoszą 90o, 60o oraz 30o. Z własności trójkąta o takich kątach mamy:

rownanie matematyczne

 rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

 

Obliczamy pole trapezu:

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

 

Odp: Pole trapezu jest równe 273 cm2.

Wyznacz współrzędne wektora ...

rownanie matematyczne 

 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

Wypisz wszystkie elementy

rownanie matematyczne 

 

rownanie matematyczne 

Powyższe rozwiązanie wynika z tego, że jeśli wyrażenie rownanie matematyczne ma być liczbą naturalną, to wartość wyrażenia (n+1) musi być dzielnikiem liczby 6. Mamy więc następujące możliwości:

  • n+1=1, czyli n=0
  • n+1=2, czyli n=1
  • n+1=3, czyli n=2
  • n+1=6, czyli n=5

 

rownanie matematyczne 

Zbiór C to zbiór liczb naturalnych mniejszych od 10, które nie dzielą się przez 2.

 

Umieścimy zbiory na diagramie.

Zaczniemy od wpisania elementów, które należą jednocześnie do wszystkich trzech zbiorów.

Jedynym takim elementem jest 5.

Teraz uzupełniamy diagram o elementy, które należą jednocześnie do dokładnie dwóch zbiorów. 

Uzupełniamy pozostałe elementy, które należą do dokładnie jednego zbioru:

 

Korzystając z diagramu, odczytujemy kolejne zbiory:

rownanie matematyczne 

Powyższy zbiór to zbiór elementów, które należą do zbioru A lub należą jednocześnie do zbiorów B i C.

 

Poniżej znajduje się ilustracja graficzna (mamy sumę, więc bierzemy wszystkie zamalowane elementy).

 

 

rownanie matematyczne    

Powyższy zbiór to zbiór elementów, które należą jednocześnie do jednego ze zbiorów A lub B oraz do jednego ze zbiorów A lub C. 

Poniżej znajduje się ilustracja graficzna (mamy iloczyn, więc bierzemy część wspólną zamalowanego obszaru). 

 

rownanie matematyczne  

Bierzemy elementy, które należą do zbioru C, ale nie należą do zbioru A ani do zbioru B. 

 

 

rownanie matematyczne 

Bierzemy elementy, które należą do zbioru A lub do zbioru B, ale nie należą do zbioru C. 

 

 

rownanie matematyczne 

Bierzemy elementy, które należą do zbioru A i nie należą do zbioru C, a następnie odrzucamy z nich elementy, które należą do zbioru C. 

 

 

rownanie matematyczne  

Elementy, które należą do zbioru B i nie należą do zbioru C, to 0, 2. Wyrzucamy te elementy ze zbioru A. 

Błąd względny przybliżenia

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

 

Spośród podanych odpowiedzi do powyższego przedziału nie należy liczba 4,229, więc należy zaznaczyć odpowiedź C.    

Wysokość nad poziomem morza możemy w przybliżeniu

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne         `/*27`

rownanie matematyczne         `/:500`

rownanie matematyczne    

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

Zgodnie z definicją logarytmu:

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

 

W prostokącie jeden z boków...

Oznaczmy boki prostokąta przez ab. Wtedy jego pole można wyrazić wzorem:

rownanie matematyczne 

 

Jeden bok zwiększamy o x% drugi zmniejszamy o x%

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

 

Po manipulacji długościami boków pole prostokąta zmalało o 8% a więc:

rownanie matematyczne 

 

Nowe pole

rownanie matematyczne 

A więc:

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

 

Zamieńmy procent na liczbę

rownanie matematyczne 

Oblicz

rownanie matematyczne  `1 18/30-2 5/30=` `-(2 5/30-1 18/30)=` 

rownanie matematyczne `- 17/30` 

{premium}

 

rownanie matematyczne `3 9/24+2 20/24=` `5 29/24=6 5/24` 

 

 

rownanie matematyczne `1/2-(-1/6-2/6)=` `1/2-(-3/6)=1/2+3/6=1/2+1/2=1` 

 

 

rownanie matematyczne  `7/6+(-1 1/4-1 1/3)=` `14/12+(-1 3/12-1 4/12)=` 

rownanie matematyczne `1 2/12-2 7/12=` `-(2 7/12-1 2/12)=` `-1 5/12` 

 

 

rownanie matematyczne `2 2/3+7/15=` `2 10/15+7/15=` `2 17/15=3 2/15` 

 

 

rownanie matematyczne `-1 27/48+44/48=` `44/48-75/48=-31/48` 

 

 

rownanie matematyczne `1 5/8-(-2 2/3+1/4)=`  

rownanie matematyczne `1 5/8-(-2 5/12)=` 

rownanie matematyczne `1 15/24+2 10/24=` `3 25/24=4 1/24` 

 

 

rownanie matematyczne `1 2/5-3 7/8-1/8=` 

rownanie matematyczne `-(4-1 2/5)=-2 3/5` 

 

 

rownanie matematyczne `3/6-2/6-(5/20-4/20)=` 

rownanie matematyczne `10/60-3/60=7/60`