Nierówności kwadratowe - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Rozwiąż nierówność: $$-x^2-x-6 < 0$$

Wyznaczamy parametry:
$$a=-1$$
$$b=-1$$
$$c=-6$$
Następnie obliczamy deltę: $$∆=b^2-4ac$$

$$∆=(-1)^2-4×(-1)×6$$

$$∆=1+24=25$$

Pierwiastek z delty: $$√{∆}=5$$

Obliczamy nasze rozwiązania:

$$x_1={-b+√{∆} }/{2a} $$

$$x_1={1+5}/{-2}=-3 $$

$$x_2={-b-√{∆} }/{2a} $$

$$x_2={1-5}/{-2}=2 $$

Mamy więc rozwiązania:

$$x_1=-3$$ oraz $$x_2=2$$

Pozostaje nam wykres:

Tym razem parabola jest w kształcie smutnej buźki

roz1

I ucinamy górę, ponieważ tym razem szukamy <0

roz2

Zatem:

$$x∈(-∞;-3)∪(2;∞) $$
 

Zadanie 2.

Rozwiąż nierówność: $$x^2+10x+25 > 0$$.

Wyznaczamy parametry:

$$a=1$$

$$b=10$$

$$c=25$$

Następnie obliczamy deltę:

$$∆=b^2-4ac$$

$$∆=10^2-4×1×25$$

$$∆=100-100=0$$

Mamy deltę równą zero, więc tylko jedno rozwiązanie.

Obliczamy:

$$x={-b}/{2a} $$

$$x_1={-10}/2=-5 $$

Pozostaje nam wykres:

Tym razem parabola wesoła, jednakże pamiętamy, że mamy tylko jedno miejsce zerowe:

roz3

Musimy znaleźć >0

Jak widać do tego zbioru będą należeć wszystkie liczby oprócz samej -5.

Zatem:

$$x∈R ∖$${-5}

Spis treści

Rozwiązane zadania
O trzech różnych prostych k, l, m wiadomo

Proste k i m są równoległe. 

Podaj liczbę...

a) Trójkąt rónoramienny ma jedną oś symetrii opuszczoną z wierzchołka łączącego ramiona

 

b) Deltoid ma jedną oś symetrii, która zawiera dłuższą przekątną deltoidu.

 

c) Pięciokąt foremny ma pięć osi symetrii. Każda przechodzi przez wierzchołek pięciokąta i środek boku leżącego naprzeciwko wierzchołka.

 

d) Sześciokąt foremny ma sześć osi symetrii. Trzy osie przechodzą przez środki boków leżących naprzeciwko siebie oraz trzy zawierające najdłuższe przekątne sześciokąta foremnego.

Oblicz wyróżnik ...

`a)` 

`x^2-3x+4=0` 

`Delta=b^2-4ac=(-3)^2-4*1*4=9-16=-7<0` 

`"Równanie nie ma pierwiastków rzeczywistych."`  

 

`b)` 

`5x^2+3x-2=0` 

`Delta=3^2-4*5*(-2)=9+40=49>0` 

`"Równanie ma dwa pierwiastki rzeczywiste."` 

 

`c)` 

`4x^2+20x+25=0` 

`Delta=20^2-4*4*25=400-400=0` 

`"Równanie ma jeden pierwiastek rzeczywisty."` 

Na rysunku przedstawiono wykres funkcji ...

`f(x)={(-2-x,\ x<-1),(3x+2,\ -1<=x<=0),(2-x,\ x>0):}` 

`f(x)=x+m` 

`ul(m in [0;2]`  

Rozwiąż

`a)` 

`|3x+2|=|6x+4|-2` 

`|3x+2|=|2*(3x+2)|-2` 

`|3x+2|=|2|*|3x+2|-2` 

`|3x+2|=2|3x+2|-2\ \ \ |-2|3x+2|` 

`-|3x+2|=-2\ \ \ |*(-1)` 

`|3x+2|=2` 

`3x+2=2\ \ \ |-2\ \ \ \ \ \ \ "lub"\ \ \ \ \ \ 3x+2=-2\ \ \ |-2`  

`3x=0\ \ \ |:3\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ "lub"\ \ \ \ \ \ 3x=-4\ \ \ |:3` 

`x=0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ "lub"\ \ \ \ \ \ x=-4/3` 

`ul(ul(x in {-4/3;\ 0}` 

 

 

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))` 

 

 

`b)` 

`|4x-3|-|x-0,75|=7` 

`|4*(x-3/4)|-|x-3/4|=7` 

`|4|*|x-3/4|-|x-3/4|=7` 

`4|x-3/4|-|x-3/4|=7` 

`3|x-3/4|=7\ \ \ |:3` 

`|x-3/4|=7/3` 

`x-3/4=7/3\ \ \ |+3/4\ \ \ \ \ \ "lub"\ \ \ \ \ \ x-3/4=-7/3\ \ \ |+3/4` 

`x=28/12+9/12\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ "lub"\ \ \ \ \ \ x=-28/12+9/12` 

`x=37/12\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ "lub"\ \ \ \ \ \ x=-19/12` 

`x=3 1/12\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ "lub"\ \ \ \ \ \ x=-1 5/12` 

`ul(ul( x in {-1 5/12;\ 3 1/12}))` 

 

   

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))` 

 

 

`c)` 

`|3x-1|=|6x-2|` 

`|3x-1|=|2*(3x-1)|` 

`|3x-1|=|2|*|3x-1|` 

`|3x-1|=2|3x-1|\ \ \ |-2|3x-1|` 

`-|3x-1|=0 \ \ \ |*(-1)` 

`|3x-1|=0` 

`3x-1=0\ \ \ |+1` 

`3x=1\ \ \ |:3` 

`ul(ul(x=1/3))`  

 

 

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))` 

 

 

`d)` 

`|5x|-8=sqrt(x^2)` 

`|5|*|x|-8=|x|` 

`5|x|-8=|x|\ \ \ |-|x|` 

`4|x|-8=0\ \ \ |+8` 

`4|x|=8\ \ \ |:4` 

`|x|=2` 

`x=2\ \ \ \ \ \ "lub"\ \ \ \ \ \ x=-2` 

`ul(ul(x in {-2;\ 2}))` 

 

 

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))` 

 

 

`e)` 

`|2x+3|<|4x+6|` 

`|2x+3|<|2*(2x+3)|` 

`|2x+3|<|2|*|2x+3|` 

`|2x+3|<2|2x+3|\ \ \ \ |-2|2x+3|` 

`-|2x+3|<0\ \ \ |*(-1)` 

`|2x+3|>0` 

Wartość bezwzględna jest zawsze nieujemna, więc aby powyższa nierówność zachodziła; musimy zadbać o to, aby wyrażenie pod wartością bezwzględną nie przyjmowało wartości 0: 

`2x+3ne0\ \ \ \|-3` 

`2xne-3\ \ \ |:2` 

`xne-3/2`  

`ul(ul(x in (-infty;\ -3/2)uu(-3/2;\ +infty)))` 

 

 

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))` 

 

 

`f)` 

`|x+1,5|+|6+4x|>=15` 

`|x+1,5|+|4*(1,5+x)|>=15` 

`|x+1,5|+|4|*|x+1,5|>=15` 

`|x+1,5|+4|x+1,5|>=15` 

`5|x+1,5|>=15\ \ \ \ |:5` 

`|x+1,5|>=3` 

`x+1,5>=3\ \ \ |-1,5\ \ \ \ \ \ "lub"\ \ \ \ \ \ x+1,5<=-3\ \ \ |-1,5` 

`x>=1,5\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ "lub"\ \ \ \ \ \ x<=-4,5` 

`ul(ul(x in (-infty;\ -4,5>>uu<<1,5;\ +infty)))` 

 

 

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))` 

 

 

`g)` 

`|1-3x|+|9x-3|<=4-|6x-2|` 

`|3x-1|+|3*(3x-1)|<=4-|2*(3x-1)|` 

`|3x-1|+|3|*|3x-1|<=4-|2|*|3x-1|` 

`|3x-1|+3|3x-1|<=4-2|3x-1|` 

`4|3x-1|<=4-2|3x-1|\ \ \ \ |+2|3x-1|` 

`6|3x-1|<=4\ \ \ \ |:6` 

`|3x-1|<=2/3` 

`3x-1<=2/3\ \ \ |+1\ \ \ \ \ \ "i"\ \ \ \ \ \ 3x-1>=-2/3\ \ \ |+1` 

`3x<=5/3\ \ \ |*1/3\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ "i"\ \ \ \ \ \ 3x>=1/3\ \ \ |*1/3`  

`x<=5/9\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ "i" \ \ \ \ \ \ x>=1/9` 

`ul(ul(x in <<1/9;\ 5/9>>))` 

 

 

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))`    

 

 

`h)` 

`sqrt(9x^2+12x+4)>|6x+4|-9` 

`sqrt((3x)^2+2*3x*2+2^2)>|2*(3x+2)|-9`  

`sqrt((3x+2)^2)>|2|*|3x+2|-9` 

`|3x+2|>2|3x+2|-9\ \ \ \ |-2|3x+2|` 

`-|3x+2|> -9\ \ \ |*(-1)` 

`|3x+2|<9` 

`3x+2<9\ \ \ |-2\ \ \ \ \ \ \ \ "i"\ \ \ \ \ \ 3x+2> -9\ \ |-2`  

` ` `3x<7\ \ \ |:3\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ "i"\ \ \ \ \ \ 3x> -11\ \ \ |:3` 

`x<7/3\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ "i"\ \ \ \ \ \ x> -11/3` 

`ul(ul(x in (-11/3;\ 7/3)))` 

  

 

 

 

Za pomocą odpowiedniego diagramu

Każdy podpunkt został wykonany etapami, po kolei zaznaczono odpowiednie zbiory. 

 

`a)` 

 

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))`     

 

 

 

`b)` 

 

 `ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))` 

 

 

 

`c)` 

 

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))` 

 

 

`d)`  

Jadąc na rowerze...

Jola i Krysia mieszkają w takiej samej odległości od szkoły, obliczmy w jakiej odległości mieszka Jola. (Pamiętajmy o jednostkach)

`30 \ "min" = 0,5 \ "h"` 

 

`14 * 0,5 = 7 \ "km"` 

 

Obliczmy teraz prędkość Krysi, oznaczmy ją przez v

`v*20/60 = 7`  

`v * 1/3 = 7` 

`v = 7*3` 

`v = 21 \ ("km")/("h")` 

Franek i Ania płynęli łodzią motorową. Pierwszą

Gdyby całą drogę wiosłowali to podróż zajęłaby 6 h i 40 min, zatem połowa tej drogi zajęłaby im wtedy:

`(6h \ \ 40 min) :2=3h \ \ 20 min`

Zatem połowa drogi, podczas wyprawy 5-godzinnej, kiedy wiosłowali, również zajęła 3 h 20 min, a pozostały czas, czyli czas przebycia drugiej części drogi łodzią motorową, to reszta czasu tej podróży:

`5h- (3h \ \ 20 min)= 1 h \ \ 40 min `

Wyznacz punkty przecięcia ...

`P_x-"punkt przecięcia prostej z osią OX"`   

`P_y-"punkt przecięcia prostej z osią OY"`   

 

`a)` 

`3x+y-1=0` 

`x=0` 

`y=1` 

`P_y=(0;1)` 

`y=0` 

`x=1/3` 

`P_x=(1/3;0)` 

`y=-3x+1`   

 

`b)` 

`3x-2y-4=0` 

`x=0` 

`3*0-2y=4` 

`y=-2` 

`P_y=(0;-2)`  

`y=0` 

`3x-4=0` 

`x=4/3` 

`P_x=(4/3;0)`   

`y=3/2x-2` 

 

`c)` 

`x-4y+12=0` 

`x=0` 

`-4y=-12` 

`y=3` 

`P_y=(0;3)` 

`y=0` 

`x=-12` 

`P_x=(-12;0)` 

`y=x/4+3` 

Naszkicuj wykres funkcji

Wykonajmy tabelę wartości funkcji:

 
`x`  `0`  `1`  `4`  `9` 
`f(x)`    `0`  `1`  `2`  `3` 

 

  Rysujemy wykres:     `a)`  Zauważmy, że funkcja jest rosnąca w całej swojej dziedzinie.  Stąd szukany zbiór będzie postaci: `(f(0);\ f(1/4)>>=(sqrt0;\ sqrt(1/4)>>=(0;\ 1/2>>`      `b)`  `f(1/4)=sqrt(1/4)=1/2`  `f(1)=sqrt1=1`  Szukany zbiór: `(1/2;\ 1)`      `c)`  `f(4)=2`  `f(9)=3`    Szukany zbiór: `<<2;\ 3>>`      `d)`  `f(2 1/4)=f(9/4)=3/2`  `f(6 1/4)=f(25/4)=5/2`    Szukany zbiór: `<<3/2;\ 5/2>>`