Minimum i maksimum funkcji kwadratowej w danym przedziale - matura-podstawowa - Baza Wiedzy
Minimum i maksimum funkcji kwadratowej w danym przedziale
W celu znalezienia wartości minimalnej i maksymalnej w funkcji kwadratowej musimy wykorzystać to czego się nauczyliśmy w poprzednich .
Naszym celem jest znalezienie wartości najmniejszej lub największej, do tego zależnie od zadania będziemy potrzebować:
- Obliczenia równania
- Wykresu
- Wierzchołka paraboli
- Granic przedziału
- Wartości osiąganych na krańcach
Wszystko już potrafimy, kluczem jest narysowanie wykresu i granic oraz wskazanie punktu.
No to pokażmy na przykładzie:
Przykład:
Znajdź maksymalną wartość funkcji $$f(x)=-x^2-2x+3$$ na przedziale (-2;0).
Najlepiej najpierw ją sobie narysować, w tym celu znajdźmy miejsca zerowe:
$$a=-1$$
$$b=-2$$
$$c=3$$
Obliczmy deltę:
$$∆=b^2-4ac$$
$$∆=(-2)^2-4×(-1)×3$$
$$∆=4+12$$
$$∆=16$$
Obliczmy od razu pierwiastek z delty
$$√{∆}=√{16}=4$$
No i teraz nasze rozwiązania:
$$x_1={-b+√{∆} }/{2a}$$
$$x_1={2+4}/{-2}=6/{-2}=-3$$
$$x_2={-b-√{∆} }/2a$$
$$x_2={2-4}/{-2}=-{-2}/2=1$$
Narysujmy prowizoryczną parabolę (jest smutna, bo $$a<0$$:
Zaznaczmy granice przedziału. Z racji, że nawiasy są (), linia jest przerywana
Jak widzimy wierzchołek paraboli jest pomiędzy nimi, więc to on będzie naszym maksimum
No to liczymy wierzchołek, zaczynając od P, które jest średnią $$x_1$$ i $$x_2$$.
$$P={-3+1}/2=-1$$
Faktycznie P mieści się w naszym przedziale.
Teraz liczymy drugi współczynnik, czyli Q:
$$Q={-∆}/{4a}$$
$$Q={-16}/{-8}$$
$$Q=2$$
Piszemy odpowiedź:
$$F_{max}=2$$ lub słownie: wartość maksymalna to 2
Jeśli proszą nas o argument, dla jakiego funkcja przyjmuje maksymalną wartość, piszemy:
$$F(1)=2=F_{max}$$
Argument to oczywiście nasze P.
Naszym celem jest znalezienie wartości najmniejszej lub największej, do tego zależnie od zadania będziemy potrzebować:
- Obliczenia równania
- Wykresu
- Wierzchołka paraboli
- Granic przedziału
- Wartości osiąganych na krańcach
Wszystko już potrafimy, kluczem jest narysowanie wykresu i granic oraz wskazanie punktu.
No to pokażmy na przykładzie:
Przykład:
Znajdź maksymalną wartość funkcji $$f(x)=-x^2-2x+3$$ na przedziale (-2;0).
Najlepiej najpierw ją sobie narysować, w tym celu znajdźmy miejsca zerowe:
$$a=-1$$
$$b=-2$$
$$c=3$$
Obliczmy deltę:
$$∆=b^2-4ac$$
$$∆=(-2)^2-4×(-1)×3$$
$$∆=4+12$$
$$∆=16$$
Obliczmy od razu pierwiastek z delty
$$√{∆}=√{16}=4$$
No i teraz nasze rozwiązania:
$$x_1={-b+√{∆} }/{2a}$$
$$x_1={2+4}/{-2}=6/{-2}=-3$$
$$x_2={-b-√{∆} }/2a$$
$$x_2={2-4}/{-2}=-{-2}/2=1$$
Narysujmy prowizoryczną parabolę (jest smutna, bo $$a<0$$:
Zaznaczmy granice przedziału. Z racji, że nawiasy są (), linia jest przerywana
Jak widzimy wierzchołek paraboli jest pomiędzy nimi, więc to on będzie naszym maksimum
No to liczymy wierzchołek, zaczynając od P, które jest średnią $$x_1$$ i $$x_2$$.
$$P={-3+1}/2=-1$$
Faktycznie P mieści się w naszym przedziale.
Teraz liczymy drugi współczynnik, czyli Q:
$$Q={-∆}/{4a}$$
$$Q={-16}/{-8}$$
$$Q=2$$
Piszemy odpowiedź:
$$F_{max}=2$$ lub słownie: wartość maksymalna to 2
Jeśli proszą nas o argument, dla jakiego funkcja przyjmuje maksymalną wartość, piszemy:
$$F(1)=2=F_{max}$$
Argument to oczywiście nasze P.
Zadania powtórzeniowe
Zadanie 1.
Znajdź minimum funkcji $$f(x)=x^2+2x-8$$ na przedziale $$<3;7>$$ .
Postępujemy identycznie jak w przykładzie:
$$a=1$$
$$b=2$$
$$c=-8$$
Obliczmy deltę:
$$∆=b^2-4ac$$
$$∆=2^2-4×1×(-8)$$ $$∆=4+32$$
$$∆=36$$
Obliczmy od razu pierwiastek z delty.
$$√{∆}=√{36}=6$$
No i teraz nasze rozwiązania:
$$x_1={-b+√{∆} }/{2a}$$
$$x_1={-2+6)/2=4/2=2$$
$$x_2={-b-√{∆} }/{2a}$$
$$x_2={-2-6)/2={-8}/2=-4$$
Narysujmy prowizoryczną parabolę z granicami:
Musimy znaleźć minimum więc widzimy, że najmniejsza wartość jest na lewej granicy, dla $$x=3$$.
Musimy więc podstawić $$x=3$$ pod naszą funkcję:
$$f(x)=x^2+2x-8$$
$$f(3)=3^2+2×3-8$$
$$f(3)=9+6-8$$
$$f(3)=7$$
Funkcja osiąga minimum w punkcie 3
$$F_{max}=f(3)=7$$
Zadanie 2.
Znajdź minimum funkcji $$f(x)=x^2+4x+3$$ na przedziale $$(-5;-2>$$
Postępujemy identycznie jak w przykładzie podanym powyżej:
$$a=1$$
$$b=4$$
$$c=3$$
Obliczmy deltę:
$$∆=b^2-4ac$$
$$∆=4^2-4×3×1$$
$$∆=16-12$$
$$∆=4$$
Obliczmy od razu pierwiastek z delty:
$$√{∆}=√{4}=2$$
br/> No i teraz nasze rozwiązania:
$$x_1={-b+√{∆} }/{2a} $$
$$x_1={-4+2}/2={-2}/2=-1 $$
$$x_2={-b-√{∆} }/{2a} $$
$$x_2={-4-2}/2={-6}/2=-3 $$
Narysujmy prowizoryczną parabolę z granicami:
Jak widzimy granica przecina nam wierzchołek, bo współrzędna x wierzchołka jest średnią:
$$P={-3-1}/2=-2$$
Aby obliczyć Q, najprościej po prostu podstawić P pod x.
$$f(x)=x^2+4x+3$$
$$f(P)=f(-2)=(-2)^2+4×(-2)+3$$
$$f(x)=4-8+3=-1$$
Zatem wartość minimum jest osiągana dla x=-2
$$F_{min}=f(-2)=-1$$
Zadanie 3.
Znajdź maksimum funkcji $$f(x)=-x^2-3x-2$$ na przedziale $$(-∞;-3>$$.
Tutaj także rozwiązujemy tak samo:
$$a=-1$$
$$b=-3$$
$$c=-2$$
Obliczmy deltę:
$$∆=b^2-4ac$$ $$∆=(-3)^2-4×(-2)×(-1)$$
$$∆=9-8$$
$$∆=1$$
Obliczmy od razu pierwiastek z delty:
$$√{∆}=√{1}=1$$
No i teraz nasze rozwiązania:
$$x_1={-b+√{∆} }/{2a} $$
$$x_1={3+1}/{-2}=4/{-2}=-2 $$
$$x_2={-b-√{∆} }/{2a} $$ $$x_2={3-1}/{-2}=2/{-2}=-1$$
Tutaj rysujemy tylko jedną granicę, ponieważ druga to minus nieskończoność:
Teraz mamy do policzenia maksimum, widzimy, że wykres najwięcej w tym przedziale osiąga dla $$x=-3$$, dlatego czas na kolejne podstawianie:
$$f(x)=-x^2-3x-2$$
$$f(-3)=-(-3)^2-3×(-3)-2$$
$$f(-3)=-9+9-2$$
$$F_{max}=f(-3)=-2$$
Spis treści
Rozwiązane zadania
Oblicz wyróżnik trójmianu kwadratowego
`a)\ a=1,\ \ b=4,\ \ c=-3`
`\ \ \ Delta=4^2-4*1*(-3)=`
`\ \ \ \ \ \ \ =` `16+12=28`
`\ \ \ x_w=-4/(2*1)=` `-4/2=-2`
`\ \ \ y_w=-28/(4*1)=-28/4=7`
`\ \ \ W=(-2,\ 7)`
`b)\ a=1,\ \ b=-2,\ \ c=6`
`\ \ \ Delta=(-2)^2-4*1*6=`
`\ \ \ \ \ \ \ =4-24=-20`
`\ \ \ x_w=-(-2)/(2*1)=2/2=1`
`\ \ \ y_w=-(-20)/(4*1)=20/4=5`
`\ \ \ W=(1,\ 5)`
`c)\ a=-1,\ \ b=6,\ \ c=-1`
`\ \ \ Delta=6^2-4*(-1)*(-1)=`
`\ \ \ \ \ \ \ =36-4=32`
`\ \ \ x_w=-6/(2*(-1))=-6/(-2)=3`
`\ \ \ y_w=-32/(4*(-1))=-32/(-4)=8`
`\ \ \ W=(3,\ 8)`
`d)\ a=2,\ \ b=4,\ \ c=-5`
`\ \ \ Delta=4^2-4*2*(-5)=`
`\ \ \ \ \ \ \ =16+40=56`
`\ \ \ x_w=-4/(2*2)=-4/4=-1`
`\ \ \ y_w=-56/(4*2)=-56/8=-7`
`\ \ \ W=(-1,\ -7)`
`e)\ a=-2,\ \ b=-1,\ \ c=2`
`\ \ \ Delta=(-1)^2-4*(-2)*2=`
`\ \ \ \ \ \ \ =1+16=17`
`\ \ \ x_w=-(-1)/(2*(-2))=` `-1/4`
`\ \ \ y_w=-17/(4*(-2))=` `17/8=2 1/8`
`\ \ \ W=(-1/4,\ 2 1/8)`
`f)\ a=-3,\ \ b=6,\ \ c=-2`
`\ \ \ Delta=6^2-4*(-3)*(-2)=`
`\ \ \ \ \ \ \ =36-24=12`
`\ \ \ x_w=-6/(2*(-3))=-6/(-6)=1`
`\ \ \ y_w=-12/(4*(-3))=-12/(-12)=1`
`\ \ \ W=(1,\ 1)`
`g)\ a=3,\ \ b=-2,\ \ c=1/2`
`\ \ \ Delta=(-2)^2-4*3*1/2=`
`\ \ \ \ \ \ \ =4-6=-2`
`\ \ \ x_w=-(-2)/(2*3)=1/3`
`\ \ \ y_w=-(-2)/(4*3)=` `1/6`
`\ \ \ W=(1/3,\ 1/6)`
`h)\ a=-3/4,\ \ b=1,\ \ c=1`
`\ \ \ Delta=1^2-4*(-3/4)*1=`
`\ \ \ \ \ \ =1+3=4`
`\ \ \ x_w=-1/(2*(-3/4))=` `1/(3/2)=1:3/2=1*2/3=2/3`
`\ \ \ y_w=-strike4/(strike4*(-3/4))=` `1/(3/4)=1:3/4=1*4/3=4/3=1 1/3`
`\ \ \ W=(2/3,\ 1 1/3)`
`i)\ a=2,\ \ b=0,\ \ c=-5`
`\ \ \ Delta=0^2-4*2*(-5)=`
`\ \ \ \ \ \ =0+40=40`
`\ \ \ x_w=-0/(2*2)=0`
`\ \ \ y_w=-40/(4*2)=-40/8=-5`
`\ \ \ W=(0,\ -5)`
Oblicz:
`a) \ (cos110^o)/(cos70^o) - tg \ 160^o * tg \ 70^o = (cos(180^o - 70^o))/(cos70^o) - tg(180^o-20^o) * 1/(tg(90^o - 20^o)) = -(cos70^o)/(cos70^o) +tg20^o*1/(tg \ 20^o)=-1+1=0`
`b) \ (cos(90^o +40^o))/(sin(180^o-40^o)) + tg(180^o - 30^o)*tg \ 60^o = (- sin40^o)/(sin 40^o) - tg \ 30^o *1/(tg(90^o-30^o))=-1 - tg \ 30^o *1/(tg \ 30^o)= -1-1=-2`
Wyznacz oś symetrii wykresu funkcji ...
`f(x)=(x+5)(-x-3)=-(x+5)(x+3)`
`x_1=-5`
`x_2=-3`
`p=(x_1+x_2)/2`
`p=(-5-3)/2=-4`
`ul(x=-4) -"oś smetrii wykresu funkcji f(x)"`
Wykaż, że...
Jeżeli okrąg jest styczny do prostej to odległość środka okręgu od prostej musi być równa długości promienia tego okręgu.
a) Policzmy odległość środka okręgu od prostej.
Współrzędne punktu:
`x_0 = 1, \ \ y_0 = 2`
Równanie ogólne prostej:
`-x+y+3=0`
Współczynniki:
`A=-1, \ \ B=1, \ \ C=3`
Podstawmy do wzoru:
`d= (|Ax_0 + By_0 + C|)/(sqrt(A^2 + B^2)) = (|-1*1 + 1 * 2 + 3|)/(sqrt((-1)^2 + 1^2))= 4/sqrt2 = (4sqrt2)/2 = 2sqrt2 =r`
A więc rzeczywiście prosta jest styczna do okręgu.
b) analogicznie do poprzedniego podpunktu:
Współrzędne punktu:
`x_0 = 5, \ \ y_0 = 1`
Równanie ogólne prostej:
`2x+y-1=0`
Współczynniki:
`A=2, \ \ B=1, \ \ C=-1`
Podstawmy do wzoru:
`d=(|Ax_0 + By_0 + C|)/(sqrt((A)^2 +(B)^2)) = (|2*5+1*1 -1|)/(sqrt(4+1)) = 10/sqrt5 = (10sqrt5)/5 = 2sqrt5=r`
Wykazaliśmy, że prosta jest styczna do okregu.
Wyznacz równanie ogólne prostej przechodzącej...
Postać ogólna prostej:
`Ax+By+C=0`
a) Weźmy postać kierunkową pewnej prostej:
`y = ax+b`
Jeżeli prosta przechodzi przez punkt P, to punkt P spełnia równanie tej prostej zatem:
`y_1 = ax_1 + b`
stąd:
`b = y_1 - ax_1`
czyli nasze równanie ma postać:
`y = ax + y_1 - ax_1`
`y= ax - ax_1+y_1`
`y = a(x-x_1) + y_1`
Podstawmy współrzędne punktu P:
`y = a(x+1)+2`
`y=ax+a + 2`
`-ax + y - a - 2=0`
Odległość naszej prostej od początku układu współrzędnych wynosi `(4sqrt5)/5`
`(4sqrt5)/5 = (|-a*0+1*0 -a-2|)/sqrt((-a)^2+1^2)`
`4/sqrt5 = (|-a-2|)/sqrt(a^2+1)`
Podnieśmy do kwadratu obustronnie równanie:
`16/5 = (|a+2|^2)/(a^2+1)`
Możemy opuścić wartość bezwzględną gdyż cały dwumian jest podnoszony do kwadratu:
`16/5 = (a+2)^2/(a^2+1)`
`16(a^2+1) = 5(a+2)^2`
`16a^2 + 16 = 5(a^2+4a+4)`
`16a^2 + 16 = 5a^2 + 20a + 20`
`11a^2 -20a -4=0`
`Delta = (-20)^2 -4*11*(-4) = 400 + 16*11 = 400 + 176 = 576`
`sqrtDelta = sqrt576 = 24`
`a_1 = (20 - 24)/22 = -4/22 = -2/11`
`a_2 = (20+24)/22 = 44/22 =2`
A więc:
`y = -2/11(x+1)+2 \ \ \ vv \ \ \ y = 2 (x+1) + 2`
`y = -2/11x -2/11 + 2 \ \ \ vv \ \ \ y = 2x+2+2`
`y = -2/11x +20/11 \ \ \ vv \ \ \ y = 2x+4`
`2/11x + y - 20/11=0 \ \|*11 \ \ \ vv \ \ \ -2x+y-4=0`
`2x+11y - 20 =0 \ \ \ vv \ \ \ -2x+y-4=0`
`b) \ {(x-y=1 \ \ \ |*2),(2x+y=8):}`
`{(2x-2y=2),(2x+y=8):}`
`underline(underline(stackrel(\)(-) \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \))`
`-3y = -6`
`y = 2`
stąd:
`x -2=1`
`x = 3`
punkt przecięcia ma współrzędne:
`P = (3, 2)`
Analogicznie jak w podpunkcie a, współrzędne punktu P spełniają równanie kierunkowe prostej:
`y = a(x-3) + 2`
`y = ax-3a + 2`
`-ax + y + 3a - 2=0`
Odległość od początku układu współrzędnych wynosi `6/5`
`6/5 = (|-a*0+1*0 + 3a -2|)/sqrt((-a)^2+1^2)`
`6/5 = (|3a-2|)/sqrt(a^2+1)`
Podnieśmy równanie obustronnie do kwadratu:
`36/25 = (3a-2)^2/(a^2+1)`
`36(a^2+1) = 25(3a-2)^2`
`36a^2 + 36 = 25(9a^2 -12a + 4)`
`36a^2 + 36 = 225a^2 - 300a + 100`
`-189a^2 + 300a - 64 =0`
`Delta = 300^2 - 4*(-189)*(-64) = 90000 - 48384 = 41616`
`sqrtDelta = sqrt41616 =204`
`a_1 = (-300 - 204)/(-378) = (-504)/(-378) = 252/189 = 28/21 = 4/3`
`a_2 = (-300+204)/(-378) = (-96)/(-378) = 48/189 = 16/63`
Stąd:
`y = 4/3(x-3)+2 \ \|*3 \ \ \ vv \ \ \ y = 16/63 (x-3)+2 \ \ |*63`
`3y = 4(x-3) + 6 \ \ \ vv \ \ \ 63y = 16(x-3)+126`
`3y = 4x - 12 + 6 \ \ \ vv \ \ \ 63y = 16x - 48 + 126`
`3y = 4x - 6 \ \ \ vv \ \ \ 63y = 16x +78`
`-4x+3y+6=0 \ \ \ vv \ \ \ -16x + 63y - 78 =0`
Oblicz
`a)\ 15%*50=15/strike100^2*strike50^1=15/2=7 1/2`
`b)\ 25%*9,6=25/100*9,6=1/4*9,6=2,4`
`c)\ 124%*450=124/100*450=62/strike50^1*strike450^9=558`
`d)\ 6,5%*320=0,065*320=20,8`
`e)\ 1,1%*3,75=0,011*3,75=0,04125`
`f)\ 3%_o*5,5=0,003*5,5=0,0165`
Uporządkuj rosnąco liczby...
`(3-2sqrt2)^3 = 27 - 3*3^2*(2sqrt2) + 3*3*(2sqrt2)^2 - (2sqrt2)^3 = 27 - 3*9*2sqrt2 + 9*8 - 8*2sqrt2=`
`27 -54 sqrt2 + 72 - 16 sqrt2 = 99 - 70 sqrt2`
`((sqrt2-1)/(sqrt2+1))^3 = ((sqrt2-1)/(sqrt2+1)*(sqrt2-1)/(sqrt2-1))^3 = ((sqrt2-1)^2)^3 = (2-2sqrt2+1)^3 = (3-2sqrt2)^3=99-70sqrt2`
`(5sqrt2-7)^2 = (5sqrt2)^2 -2*5sqrt2*7 + 7^2 = 50 - 70sqrt2 + 49 = 99 - 70sqrt2`
Wszystkie liczby są równe.
Dany jest układ równań...
Przekształćmy równania prostych w układzie do postaci `y=ax+b.`
`{(x-3y-1=0),(x+3y-1=0):}`
`{(3y=x-1\ "/":3),(3y=-x+1\ "/":3):}`
`{(y=1/3x-1/3),(y=-1/3x+1/3):}`
Widzimy, że proste nie są równoległe, więc prawidłowa odpowiedź to `"D."`
Konrad wybrał się w podróż z miasta A ...
Zauważmy, że Konrad podróżował pociągiem przez 6h.
`v_p-"prędkość pociągu"`
`v_p=60(km)/h`
`v=s/t\ implies\ s=vt`
`s_p=6h*v_p=360\ km`
`v_b-"prędkość autobusu"`
`v_b=40 (km)/h`
`s_b=2*v_b=80\ km`
`360+80=440`
Odległość między miastami A i B wynosi 440 km.
`s(t)={(60t,\ t in[0;6]),(360,\ t in (6;7)),(40t+80,\ t in [7;9]):}`
Narysuj wykres funkcji...
Wyznaczmy miejsca zerowe obu funkcji by narysować wykres:
`y_1=2x^2 -4x - 6`
`Delta = (-4)^2 -4*2*(-6) = 16 + 48 = 64`
`sqrtDelta = sqrt64 = 8`
`x_1 = (-(-4)-8)/4 = (-4)/4 = -1`
`x_2 = (-(-4)+8)/4 = 12/4 = 3`
`y_1 = 2(x+1)(x-3)`
`y_2 = -1/2x^2 + x + 3/2`
`Delta = 1^2 -4*(-1/2)*3/2) = 1 + 3 = 4`
`sqrtDelta = sqrt4 =2`
`x_1 = (-1 - 2)/(-1) = 3`
`x_2 = (-1+2)/(-1) = -1`
`y_2 = -1/2(x-3)(x+1)`
Wierzchołek znajduje się w
`p = (x_1 + x_2)/2 = (3-1)/2 = 1`
`q = (-Delta)/(4a) = (-4)/(4*(-1/2)) = 2`
Wykres funkcji:
`a) \ "Funkcja malejąca dla" \ x in(-oo, -1] \ "i" \ [1, 3]`
`"Funkcja rosnąca dla" \ x in [-1,1] \ "i" \ [3, oo)`
`b) \ M_z = {-1,3}`
`c) \ f(-3) = 2*(-3)^2 -4*(-3) - 6 = 2*9 + 12 - 6 = 18+12-6=30-6=24`
`f(2) = -1/2*2^2 + 2 + 3/2 = -2 + 2 + 3/2 = 3/2`
d) Funkcja nie przyjmuje wartości ujemnych
© 2018 Odrabiamy.pl