Minimum i maksimum funkcji kwadratowej w danym przedziale - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Minimum i maksimum funkcji kwadratowej w danym przedziale

W celu znalezienia wartości minimalnej i maksymalnej w funkcji kwadratowej musimy wykorzystać to czego się nauczyliśmy w poprzednich .

Naszym celem jest znalezienie wartości najmniejszej lub największej, do tego zależnie od zadania będziemy potrzebować:

- Obliczenia równania
- Wykresu
- Wierzchołka paraboli
- Granic przedziału
- Wartości osiąganych na krańcach

Wszystko już potrafimy, kluczem jest narysowanie wykresu i granic oraz wskazanie punktu.

No to pokażmy na przykładzie:

Przykład:

Znajdź maksymalną wartość funkcji $$f(x)=-x^2-2x+3$$ na przedziale (-2;0).
Najlepiej najpierw ją sobie narysować, w tym celu znajdźmy miejsca zerowe:

$$a=-1$$

$$b=-2$$

$$c=3$$

Obliczmy deltę:

$$∆=b^2-4ac$$

$$∆=(-2)^2-4×(-1)×3$$

$$∆=4+12$$

$$∆=16$$

Obliczmy od razu pierwiastek z delty

$$√{∆}=√{16}=4$$


No i teraz nasze rozwiązania:

$$x_1={-b+√{∆} }/{2a}$$

$$x_1={2+4}/{-2}=6/{-2}=-3$$

$$x_2={-b-√{∆} }/2a$$

$$x_2={2-4}/{-2}=-{-2}/2=1$$

Narysujmy prowizoryczną parabolę (jest smutna, bo $$a<0$$:

par1

Zaznaczmy granice przedziału. Z racji, że nawiasy są (), linia jest przerywana

par2

Jak widzimy wierzchołek paraboli jest pomiędzy nimi, więc to on będzie naszym maksimum

par3

No to liczymy wierzchołek, zaczynając od P, które jest średnią $$x_1$$ i $$x_2$$.

$$P={-3+1}/2=-1$$

Faktycznie P mieści się w naszym przedziale.

Teraz liczymy drugi współczynnik, czyli Q:

$$Q={-∆}/{4a}$$

$$Q={-16}/{-8}$$

$$Q=2$$

Piszemy odpowiedź:

$$F_{max}=2$$ lub słownie: wartość maksymalna to 2

Jeśli proszą nas o argument, dla jakiego funkcja przyjmuje maksymalną wartość, piszemy:

$$F(1)=2=F_{max}$$

Argument to oczywiście nasze P.
 

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Znajdź minimum funkcji $$f(x)=x^2+2x-8$$ na przedziale $$<3;7>$$ .

Postępujemy identycznie jak w przykładzie:

$$a=1$$

$$b=2$$

$$c=-8$$

Obliczmy deltę:

$$∆=b^2-4ac$$

$$∆=2^2-4×1×(-8)$$ $$∆=4+32$$

$$∆=36$$

Obliczmy od razu pierwiastek z delty.

$$√{∆}=√{36}=6$$


No i teraz nasze rozwiązania:

$$x_1={-b+√{∆} }/{2a}$$

$$x_1={-2+6)/2=4/2=2$$

$$x_2={-b-√{∆} }/{2a}$$

$$x_2={-2-6)/2={-8}/2=-4$$

Narysujmy prowizoryczną parabolę z granicami:

zad1

Musimy znaleźć minimum więc widzimy, że najmniejsza wartość jest na lewej granicy, dla $$x=3$$.

Musimy więc podstawić $$x=3$$ pod naszą funkcję:

$$f(x)=x^2+2x-8$$

$$f(3)=3^2+2×3-8$$

$$f(3)=9+6-8$$

$$f(3)=7$$

Funkcja osiąga minimum w punkcie 3

$$F_{max}=f(3)=7$$

Zadanie 2.

Znajdź minimum funkcji $$f(x)=x^2+4x+3$$ na przedziale $$(-5;-2>$$

Postępujemy identycznie jak w przykładzie podanym powyżej:

$$a=1$$

$$b=4$$

$$c=3$$

Obliczmy deltę:

$$∆=b^2-4ac$$

$$∆=4^2-4×3×1$$

$$∆=16-12$$

$$∆=4$$

Obliczmy od razu pierwiastek z delty:

$$√{∆}=√{4}=2$$

br/> No i teraz nasze rozwiązania:

$$x_1={-b+√{∆} }/{2a} $$

$$x_1={-4+2}/2={-2}/2=-1 $$

$$x_2={-b-√{∆} }/{2a} $$

$$x_2={-4-2}/2={-6}/2=-3 $$

Narysujmy prowizoryczną parabolę z granicami:

zad2

Jak widzimy granica przecina nam wierzchołek, bo współrzędna x wierzchołka jest średnią:

$$P={-3-1}/2=-2$$

Aby obliczyć Q, najprościej po prostu podstawić P pod x.

$$f(x)=x^2+4x+3$$

$$f(P)=f(-2)=(-2)^2+4×(-2)+3$$

$$f(x)=4-8+3=-1$$

Zatem wartość minimum jest osiągana dla x=-2

$$F_{min}=f(-2)=-1$$

Zadanie 3.

Znajdź maksimum funkcji $$f(x)=-x^2-3x-2$$ na przedziale $$(-∞;-3>$$.

Tutaj także rozwiązujemy tak samo:

$$a=-1$$

$$b=-3$$

$$c=-2$$

Obliczmy deltę:

$$∆=b^2-4ac$$ $$∆=(-3)^2-4×(-2)×(-1)$$

$$∆=9-8$$

$$∆=1$$

Obliczmy od razu pierwiastek z delty:

$$√{∆}=√{1}=1$$

No i teraz nasze rozwiązania:

$$x_1={-b+√{∆} }/{2a} $$

$$x_1={3+1}/{-2}=4/{-2}=-2 $$

$$x_2={-b-√{∆} }/{2a} $$ $$x_2={3-1}/{-2}=2/{-2}=-1$$

Tutaj rysujemy tylko jedną granicę, ponieważ druga to minus nieskończoność:

zad3

Teraz mamy do policzenia maksimum, widzimy, że wykres najwięcej w tym przedziale osiąga dla $$x=-3$$, dlatego czas na kolejne podstawianie:

$$f(x)=-x^2-3x-2$$

$$f(-3)=-(-3)^2-3×(-3)-2$$

$$f(-3)=-9+9-2$$

$$F_{max}=f(-3)=-2$$

Spis treści

Rozwiązane zadania
Rozwiązaniem układu równań jest

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

Rozwiąż równanie.

rownanie matematyczne 

Podstawienie pomocnicze:

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

 

rownanie matematyczne 

Podstawienie pomocnicze:

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

Po uwzględnieniu dziedziny.

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

 

rownanie matematyczne 

Zauważmy, że:

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

Jeżeli sumy liczb niedodatnich odejmiemy liczbę ujemną to całe równanie będzie stale mniejsze od zera. Stąd otrzymujemy, że nasze równanie jest sprzeczne.

 

Przeczytaj podany w ramce przykład

rownanie matematyczne{premium}

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

 

Oblicz

rownanie matematyczne `24/10=2,4`  {premium}

rownanie matematyczne `(15*12)/100=180/100=18/10=1,8` 

rownanie matematyczne `5/10000*64=` `320/10000=32/1000=0,032` 

rownanie matematyczne `164/1000=0,164`           

Rozwiąż równanie.

Liczba pod pierwiastkiem musi być nieujemna.

rownanie matematyczne

 

Założenie:

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

 

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

 

Wykonajmy podstawienie:

rownanie matematyczne

 

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne 

 

rownanie matematyczne

Z definicji wartości bezwzględnej:

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne  

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

 

rownanie matematyczne

Z definicji wartości bezwzględnej:

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne  

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

 

A więc nasze możliwe wartości zmiennej t to:

rownanie matematyczne 

 

Wróćmy się do naszego początkowego podstawienia:

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne  

Dla t=-3 wynik będzie taki sam gdyż liczba podniesiona do kwadratu jest zawsze dodatnia.

 

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

Dla t=-4 wynik będzie tak sam gdyż liczba podniesiona do kwadratu jest zawsze dodatnia.

 

Założenie początkowe mówiło, że x muszą spełniać nierówność:

rownanie matematyczne

A więc rozwiązaniem równania są liczby 10 i 17.

 

 

 

rownanie matematyczne

 

Założenie:

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne  

 

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

 

Wykonajmy podstawienie:

rownanie matematyczne

 

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

 

rownanie matematyczne

Z definicji wartości bezwzględnej:

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne 

t2 jest większe od zera a sprawdzamy w tym przypadku dla t ujemnych,  rozwiązaniem tej nierówności będzie liczba -6 

 

rownanie matematyczne

Z definicji wartości bezwzględnej:

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

t3 jest mniejsze od zera a sprawdzamy w tym przypadku dla t nieujemnych, rozwiązaniem tej nierówności będzie liczba 6.

 

A więc nasze możliwe wartości zmiennej t to:

rownanie matematyczne

 

Wróćmy się do początkowego podstawienia:

rownanie matematyczne 

 

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

 

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

 

Założenie początkowe mówiło , że x muszą spełniać nierówność:

rownanie matematyczne 

 

Rozwiązaniem początkowego równania jest liczba 38.

 

Trójkąt prostokątny wpisano w okrąg...

Skoro trójkąt prostokątny wpisano w okrąg to długość przeciwprostokątnej jest równa podwojonej długości promienia, czyli 10 cm.

 

a) Oznaczmy długość krótszej przyprostokątnej przez a, wtedy dłuższa ma długość 2a. Z twierdzenia Pitagorasa:

rownanie matematyczne   

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

 

Pole trójkąta prostokątnego jest równe połowie iloczynu przyprostokątnych:

rownanie matematyczne 

 

b) Oznaczmy długość krótszej przyprostokątnej przez a, wtedy dłuższa ma długość a+2. Z twierdzenia Pitagorasa:

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

a musi być dodatnie zatem:

rownanie matematyczne 

 

Pole trójkąta prostokątnego jest równe połowie iloczynu przyprostokątnych:

rownanie matematyczne 

Rozpatrujemy prostokąty położone w I ćwiartce układu ...

a) Zauważmy, że jeżeli współrzędne punktu A to (x0,0), to współrzędne punktu B wynoszą (x0,-2/3x0+4).

Długości odcinków OA oraz CB wynoszą:

rownanie matematyczne 

Natomiast długości odcinków OC i AB to:

rownanie matematyczne 

Wyznaczamy wzór na pole prostokąta w zależności od współrzędnej x0 punktu A:

rownanie matematyczne  

 

 

b) Z podpunktu a) znamy wzór na pole prostokąta w zależności od współrzędnej x0 punktu A:

rownanie matematyczne  

Ramiona paraboli skierowane są w dół, gdyż współczynnik a jest liczbą mniejszą od 0.

Największą wartość funkcja ma w wierzchołku paraboli.

Wyznaczamy współrzędną x-ową wierzchołka:

rownanie matematyczne 

Największe pole będzie miał prostokąt, którego współrzęne punktu A wynoszą:

rownanie matematyczne 

Wyznaczamy współrzędne punktu B:

rownanie matematyczne 

Wówczas:

rownanie matematyczne     

Współrzędne prstokąta mającego największe pole to A(3,0), B(3,2), C(0,2) oraz O(0,0).

 

 

c) Korzystając z tw. Pitagorasa wyznaczamy długość przekątnej OB w zależności od współrzędnej x0 punktu A:

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne   

rownanie matematyczne 

Wiemy, że po pierwiastkiem musi znajdować się liczba większa od 0 (nie może być równa 0, bo długości są większe od 0).

Rozwiązujemy nierówność:

rownanie matematyczne 

Zauważmy, że ramiona paraboli będą skierowane do góry, więc funkcja posiada wartość największą w wierzchołku paraboli.

Wyznaczamy argument, dla którego długość odcinka OB jest najmniejsza:

rownanie matematyczne 

Dla x0=24/15 przekątna prostokąta będzie najkrótsza.  

Dane są zbiory

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

 

Wszystkie elementy zbioru C należą do zbioru B, więc zbiór C jest podzbiorem zbioru B. 

Wszystkie elementy zbioru B należą do zbioru D, więc zbiór B jest podzbiorem zbioru D. 

Wszystkie elementy zbioru D należą do zbioru A, więc zbiór D jest podzbiorem zbioru A. 

 

rownanie matematyczne 

 

 

Każda z trzech figur - koło, kwadrat ...

Koło, kwadrat oraz trójkat równoboczny mają obwód równy 10 dm.

Obliczamy pola tych figur.

 

KOŁO:

Obliczmy długość promienia (r) tego koła:

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

Obliczamy pole koło o wyznaczonym promieniu:

rownanie matematyczne 

 

KWADRAT:

Obliczamy długość boku (a) kwadratu:

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

Obliczamy pole kwadratu o boku długosci a:

rownanie matematyczne 

 

TRÓJKĄT RÓWNOBOCZNY

Obliczamy długość boku (b) trójkąta równobocznego:

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne  

Obliczamy pole trójkąta równobocznego o boku długosci b:

rownanie matematyczne 

 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

 

Odp: Największe pole ma koło. Najmniejsze pole ma trójkąt równoboczny.  

Przedstaw w inny sposób każdą ...

rownanie matematyczne 

Przedstawimy wyżej opisana funkcję np. w postaci wykresu:

 

rownanie matematyczne 

Przedstawimy funkcję jako np. zbiór uporządkowanych par:

rownanie matematyczne 

 

c) Przedstawimy funkcję np. w postaci tabelki:

x

-2

-1

0

1

2

f(x)=y

1

2

2

4

3

 

d) Przedstawiamy funkcję np. w postaci grafu: