Zgoda na przetwarzanie danych osobowych

25 maja 2018 roku zacznie obowiązywać Rozporządzenie Parlamentu Europejskiego i Rady (UE) 2016/679 z dnia 27 kwietnia 2016 r. znane jako RODO.

Dlatego aby dalej móc dostarczać Ci materiały odpowiednie do Twojego etapu edukacji, potrzebujemy zgody na lepsze dopasowanie treści do Twojego zachowania. Dzięki temu możemy zapamiętywać jakie materiały są Ci potrzebne. Dbamy o Twoją prywatność, więc nie zwiększamy zakresu naszych uprawnień. Twoje dane są u nas bezpieczne, a zgodę na ich zbieranie możesz wycofać na podstronie polityka prywatności.

Klikając "Przejdź do Odrabiamy", zgadzasz się na wskazane powyżej działania. W przeciwnym wypadku, nie jesteśmy w stanie zrealizować usługi kompleksowo i prosimy o opuszczenie strony.

Polityka prywatności

Drogi Użytkowniku w każdej chwili masz prawo cofnąć zgodę na przetwarzanie Twoich danych osobowych. Cofnięcie zgody nie będzie wpływać na zgodność z prawem przetwarzania, którego dokonano na podstawie wyrażonej przez Ciebie zgody przed jej wycofaniem. Po cofnięciu zgody wszystkie twoje dane zostaną usunięte z serwisu. Udzielenie zgody możesz modyfikować w zakładce 'Informacja o danych osobowych'

Minimum i maksimum funkcji kwadratowej w danym przedziale - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Minimum i maksimum funkcji kwadratowej w danym przedziale

W celu znalezienia wartości minimalnej i maksymalnej w funkcji kwadratowej musimy wykorzystać to czego się nauczyliśmy w poprzednich .

Naszym celem jest znalezienie wartości najmniejszej lub największej, do tego zależnie od zadania będziemy potrzebować:

- Obliczenia równania
- Wykresu
- Wierzchołka paraboli
- Granic przedziału
- Wartości osiąganych na krańcach

Wszystko już potrafimy, kluczem jest narysowanie wykresu i granic oraz wskazanie punktu.

No to pokażmy na przykładzie:

Przykład:

Znajdź maksymalną wartość funkcji $$f(x)=-x^2-2x+3$$ na przedziale (-2;0).
Najlepiej najpierw ją sobie narysować, w tym celu znajdźmy miejsca zerowe:

$$a=-1$$

$$b=-2$$

$$c=3$$

Obliczmy deltę:

$$∆=b^2-4ac$$

$$∆=(-2)^2-4×(-1)×3$$

$$∆=4+12$$

$$∆=16$$

Obliczmy od razu pierwiastek z delty

$$√{∆}=√{16}=4$$


No i teraz nasze rozwiązania:

$$x_1={-b+√{∆} }/{2a}$$

$$x_1={2+4}/{-2}=6/{-2}=-3$$

$$x_2={-b-√{∆} }/2a$$

$$x_2={2-4}/{-2}=-{-2}/2=1$$

Narysujmy prowizoryczną parabolę (jest smutna, bo $$a<0$$:

par1

Zaznaczmy granice przedziału. Z racji, że nawiasy są (), linia jest przerywana

par2

Jak widzimy wierzchołek paraboli jest pomiędzy nimi, więc to on będzie naszym maksimum

par3

No to liczymy wierzchołek, zaczynając od P, które jest średnią $$x_1$$ i $$x_2$$.

$$P={-3+1}/2=-1$$

Faktycznie P mieści się w naszym przedziale.

Teraz liczymy drugi współczynnik, czyli Q:

$$Q={-∆}/{4a}$$

$$Q={-16}/{-8}$$

$$Q=2$$

Piszemy odpowiedź:

$$F_{max}=2$$ lub słownie: wartość maksymalna to 2

Jeśli proszą nas o argument, dla jakiego funkcja przyjmuje maksymalną wartość, piszemy:

$$F(1)=2=F_{max}$$

Argument to oczywiście nasze P.
 

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Znajdź minimum funkcji $$f(x)=x^2+2x-8$$ na przedziale $$<3;7>$$ .

Postępujemy identycznie jak w przykładzie:

$$a=1$$

$$b=2$$

$$c=-8$$

Obliczmy deltę:

$$∆=b^2-4ac$$

$$∆=2^2-4×1×(-8)$$ $$∆=4+32$$

$$∆=36$$

Obliczmy od razu pierwiastek z delty.

$$√{∆}=√{36}=6$$


No i teraz nasze rozwiązania:

$$x_1={-b+√{∆} }/{2a}$$

$$x_1={-2+6)/2=4/2=2$$

$$x_2={-b-√{∆} }/{2a}$$

$$x_2={-2-6)/2={-8}/2=-4$$

Narysujmy prowizoryczną parabolę z granicami:

zad1

Musimy znaleźć minimum więc widzimy, że najmniejsza wartość jest na lewej granicy, dla $$x=3$$.

Musimy więc podstawić $$x=3$$ pod naszą funkcję:

$$f(x)=x^2+2x-8$$

$$f(3)=3^2+2×3-8$$

$$f(3)=9+6-8$$

$$f(3)=7$$

Funkcja osiąga minimum w punkcie 3

$$F_{max}=f(3)=7$$

Zadanie 2.

Znajdź minimum funkcji $$f(x)=x^2+4x+3$$ na przedziale $$(-5;-2>$$

Postępujemy identycznie jak w przykładzie podanym powyżej:

$$a=1$$

$$b=4$$

$$c=3$$

Obliczmy deltę:

$$∆=b^2-4ac$$

$$∆=4^2-4×3×1$$

$$∆=16-12$$

$$∆=4$$

Obliczmy od razu pierwiastek z delty:

$$√{∆}=√{4}=2$$

br/> No i teraz nasze rozwiązania:

$$x_1={-b+√{∆} }/{2a} $$

$$x_1={-4+2}/2={-2}/2=-1 $$

$$x_2={-b-√{∆} }/{2a} $$

$$x_2={-4-2}/2={-6}/2=-3 $$

Narysujmy prowizoryczną parabolę z granicami:

zad2

Jak widzimy granica przecina nam wierzchołek, bo współrzędna x wierzchołka jest średnią:

$$P={-3-1}/2=-2$$

Aby obliczyć Q, najprościej po prostu podstawić P pod x.

$$f(x)=x^2+4x+3$$

$$f(P)=f(-2)=(-2)^2+4×(-2)+3$$

$$f(x)=4-8+3=-1$$

Zatem wartość minimum jest osiągana dla x=-2

$$F_{min}=f(-2)=-1$$

Zadanie 3.

Znajdź maksimum funkcji $$f(x)=-x^2-3x-2$$ na przedziale $$(-∞;-3>$$.

Tutaj także rozwiązujemy tak samo:

$$a=-1$$

$$b=-3$$

$$c=-2$$

Obliczmy deltę:

$$∆=b^2-4ac$$ $$∆=(-3)^2-4×(-2)×(-1)$$

$$∆=9-8$$

$$∆=1$$

Obliczmy od razu pierwiastek z delty:

$$√{∆}=√{1}=1$$

No i teraz nasze rozwiązania:

$$x_1={-b+√{∆} }/{2a} $$

$$x_1={3+1}/{-2}=4/{-2}=-2 $$

$$x_2={-b-√{∆} }/{2a} $$ $$x_2={3-1}/{-2}=2/{-2}=-1$$

Tutaj rysujemy tylko jedną granicę, ponieważ druga to minus nieskończoność:

zad3

Teraz mamy do policzenia maksimum, widzimy, że wykres najwięcej w tym przedziale osiąga dla $$x=-3$$, dlatego czas na kolejne podstawianie:

$$f(x)=-x^2-3x-2$$

$$f(-3)=-(-3)^2-3×(-3)-2$$

$$f(-3)=-9+9-2$$

$$F_{max}=f(-3)=-2$$

Spis treści

Rozwiązane zadania
Oblicz wyróżnik trójmianu kwadratowego

`a)\ a=1,\ \ b=4,\ \ c=-3` 

`\ \ \ Delta=4^2-4*1*(-3)=` 

`\ \ \ \ \ \ \ =` `16+12=28` 

`\ \ \ x_w=-4/(2*1)=` `-4/2=-2` 

`\ \ \ y_w=-28/(4*1)=-28/4=7` 

`\ \ \ W=(-2,\ 7)` 

 

 

 

`b)\ a=1,\ \ b=-2,\ \ c=6` 

`\ \ \ Delta=(-2)^2-4*1*6=` 

`\ \ \ \ \ \ \ =4-24=-20` 

`\ \ \ x_w=-(-2)/(2*1)=2/2=1` 

`\ \ \ y_w=-(-20)/(4*1)=20/4=5` 

`\ \ \ W=(1,\ 5)` 

 

 

 

`c)\ a=-1,\ \ b=6,\ \ c=-1`  

`\ \ \ Delta=6^2-4*(-1)*(-1)=` 

`\ \ \ \ \ \ \ =36-4=32` 

`\ \ \ x_w=-6/(2*(-1))=-6/(-2)=3` 

`\ \ \ y_w=-32/(4*(-1))=-32/(-4)=8` 

`\ \ \ W=(3,\ 8)` 

 

 

 

`d)\ a=2,\ \ b=4,\ \ c=-5` 

`\ \ \ Delta=4^2-4*2*(-5)=` 

`\ \ \ \ \ \ \ =16+40=56` 

`\ \ \ x_w=-4/(2*2)=-4/4=-1` 

`\ \ \ y_w=-56/(4*2)=-56/8=-7` 

`\ \ \ W=(-1,\ -7)` 

 

 

 

`e)\ a=-2,\ \ b=-1,\ \ c=2` 

`\ \ \ Delta=(-1)^2-4*(-2)*2=` 

`\ \ \ \ \ \ \ =1+16=17` 

`\ \ \ x_w=-(-1)/(2*(-2))=` `-1/4` 

`\ \ \ y_w=-17/(4*(-2))=` `17/8=2 1/8` 

`\ \ \ W=(-1/4,\ 2 1/8)` 

 

 

 

`f)\ a=-3,\ \ b=6,\ \ c=-2` 

`\ \ \ Delta=6^2-4*(-3)*(-2)=` 

`\ \ \ \ \ \ \ =36-24=12` 

`\ \ \ x_w=-6/(2*(-3))=-6/(-6)=1` 

`\ \ \ y_w=-12/(4*(-3))=-12/(-12)=1` 

`\ \ \ W=(1,\ 1)` 

 

 

 

`g)\ a=3,\ \ b=-2,\ \ c=1/2` 

`\ \ \ Delta=(-2)^2-4*3*1/2=` 

`\ \ \ \ \ \ \ =4-6=-2` 

`\ \ \ x_w=-(-2)/(2*3)=1/3` 

`\ \ \ y_w=-(-2)/(4*3)=` `1/6` 

`\ \ \ W=(1/3,\ 1/6)` 

 

 

 

`h)\ a=-3/4,\ \ b=1,\ \ c=1` 

`\ \ \ Delta=1^2-4*(-3/4)*1=` 

`\ \ \ \ \ \ =1+3=4` 

`\ \ \ x_w=-1/(2*(-3/4))=` `1/(3/2)=1:3/2=1*2/3=2/3` 

`\ \ \ y_w=-strike4/(strike4*(-3/4))=` `1/(3/4)=1:3/4=1*4/3=4/3=1 1/3` 

`\ \ \ W=(2/3,\ 1 1/3)` 

 

 

 

`i)\ a=2,\ \ b=0,\ \ c=-5` 

`\ \ \ Delta=0^2-4*2*(-5)=` 

`\ \ \ \ \ \ =0+40=40` 

`\ \ \ x_w=-0/(2*2)=0` 

`\ \ \ y_w=-40/(4*2)=-40/8=-5` 

`\ \ \ W=(0,\ -5)`                      

 

Oblicz:

`a) \ (cos110^o)/(cos70^o) - tg \ 160^o * tg \ 70^o = (cos(180^o - 70^o))/(cos70^o) - tg(180^o-20^o) * 1/(tg(90^o - 20^o)) = -(cos70^o)/(cos70^o) +tg20^o*1/(tg \ 20^o)=-1+1=0` 

 

`b) \ (cos(90^o +40^o))/(sin(180^o-40^o)) + tg(180^o - 30^o)*tg \ 60^o = (- sin40^o)/(sin 40^o) - tg \ 30^o *1/(tg(90^o-30^o))=-1 - tg \ 30^o *1/(tg \ 30^o)= -1-1=-2` 

Wyznacz oś symetrii wykresu funkcji ...

`f(x)=(x+5)(-x-3)=-(x+5)(x+3)` 

`x_1=-5` 

`x_2=-3` 

`p=(x_1+x_2)/2` 

`p=(-5-3)/2=-4` 

`ul(x=-4) -"oś smetrii wykresu funkcji f(x)"`     

Wykaż, że...

Jeżeli okrąg jest styczny do prostej to odległość środka okręgu od prostej musi być równa długości promienia tego okręgu.

 

a) Policzmy odległość środka okręgu od prostej.

Współrzędne punktu:

`x_0 = 1, \ \ y_0 = 2`

Równanie ogólne prostej:

`-x+y+3=0`

Współczynniki:

`A=-1, \ \ B=1, \ \ C=3`  

Podstawmy do wzoru:

`d= (|Ax_0 + By_0 + C|)/(sqrt(A^2 + B^2)) = (|-1*1 + 1 * 2 + 3|)/(sqrt((-1)^2 + 1^2))= 4/sqrt2 = (4sqrt2)/2 = 2sqrt2 =r`

A więc rzeczywiście prosta jest styczna do okręgu.

 

 

b) analogicznie do poprzedniego podpunktu:

Współrzędne punktu:

`x_0 = 5, \ \ y_0 = 1`

Równanie ogólne prostej:

`2x+y-1=0`

Współczynniki:

`A=2, \ \ B=1, \ \ C=-1`

Podstawmy do wzoru:

`d=(|Ax_0 + By_0 + C|)/(sqrt((A)^2 +(B)^2)) = (|2*5+1*1 -1|)/(sqrt(4+1)) = 10/sqrt5 = (10sqrt5)/5 = 2sqrt5=r`

Wykazaliśmy, że prosta jest styczna do okregu.

Wyznacz równanie ogólne prostej przechodzącej...

Postać ogólna prostej:

`Ax+By+C=0` 

 

a) Weźmy postać kierunkową pewnej prostej:

`y = ax+b` 

Jeżeli prosta przechodzi przez punkt P, to punkt P spełnia równanie tej prostej zatem:

`y_1 = ax_1 + b` 

stąd:

`b = y_1 - ax_1` 

 

czyli nasze równanie ma postać:

`y = ax + y_1 - ax_1` 

`y= ax - ax_1+y_1` 

`y = a(x-x_1) + y_1` 

 

Podstawmy współrzędne punktu P:

`y = a(x+1)+2`  

`y=ax+a + 2` 

`-ax + y - a - 2=0` 

 

Odległość naszej prostej od początku układu współrzędnych wynosi `(4sqrt5)/5` 

`(4sqrt5)/5 = (|-a*0+1*0 -a-2|)/sqrt((-a)^2+1^2)` 

`4/sqrt5 = (|-a-2|)/sqrt(a^2+1)`   

Podnieśmy do kwadratu obustronnie równanie:

`16/5 = (|a+2|^2)/(a^2+1)`   

Możemy opuścić wartość bezwzględną gdyż cały dwumian jest podnoszony do kwadratu:

`16/5 = (a+2)^2/(a^2+1)` 

`16(a^2+1) = 5(a+2)^2` 

`16a^2 + 16 = 5(a^2+4a+4)` 

`16a^2 + 16 = 5a^2 + 20a + 20` 

`11a^2 -20a -4=0` 

`Delta = (-20)^2 -4*11*(-4) = 400 + 16*11 = 400 + 176 = 576` 

`sqrtDelta = sqrt576 = 24` 

`a_1 = (20 - 24)/22 = -4/22 = -2/11` 

`a_2 = (20+24)/22 = 44/22 =2` 

 

A więc:

`y = -2/11(x+1)+2 \ \ \ vv \ \ \ y = 2 (x+1) + 2` 

`y = -2/11x -2/11 + 2 \ \ \ vv \ \ \ y = 2x+2+2` 

`y = -2/11x +20/11 \ \ \ vv \ \ \ y = 2x+4` 

`2/11x + y - 20/11=0  \ \|*11 \ \ \ vv \ \ \ -2x+y-4=0`  

`2x+11y - 20 =0 \ \ \ vv \ \ \ -2x+y-4=0` 

 

`b) \ {(x-y=1 \ \ \ |*2),(2x+y=8):}` 

`{(2x-2y=2),(2x+y=8):}` 

`underline(underline(stackrel(\)(-) \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \))` 

`-3y = -6` 

`y = 2` 

stąd:

`x -2=1` 

`x = 3` 

punkt przecięcia ma współrzędne:

`P = (3, 2)` 

 

Analogicznie jak w podpunkcie a, współrzędne punktu P spełniają równanie kierunkowe prostej:

`y = a(x-3) + 2`  

`y = ax-3a + 2` 

`-ax + y + 3a - 2=0` 

 

Odległość od początku układu współrzędnych wynosi `6/5` 

`6/5 = (|-a*0+1*0 + 3a -2|)/sqrt((-a)^2+1^2)` 

`6/5 = (|3a-2|)/sqrt(a^2+1)` 

Podnieśmy równanie obustronnie do kwadratu:

`36/25 = (3a-2)^2/(a^2+1)`  

`36(a^2+1) = 25(3a-2)^2` 

`36a^2 + 36 = 25(9a^2 -12a + 4)` 

`36a^2 + 36 = 225a^2 - 300a + 100` 

`-189a^2 + 300a - 64 =0` 

`Delta = 300^2 - 4*(-189)*(-64) = 90000 - 48384 = 41616` 

`sqrtDelta = sqrt41616 =204` 

`a_1 = (-300 - 204)/(-378) = (-504)/(-378) = 252/189 = 28/21 = 4/3` 

`a_2 = (-300+204)/(-378) = (-96)/(-378) = 48/189 = 16/63` 

 

Stąd:

`y = 4/3(x-3)+2  \ \|*3 \ \ \ vv \ \ \ y = 16/63 (x-3)+2 \ \ |*63` 

`3y = 4(x-3) + 6 \ \ \ vv \ \ \ 63y = 16(x-3)+126` 

`3y = 4x - 12 + 6 \ \ \ vv \ \ \ 63y = 16x - 48 + 126` 

`3y = 4x - 6 \ \ \ vv \ \ \ 63y = 16x +78` 

`-4x+3y+6=0 \ \ \ vv \ \ \ -16x + 63y - 78 =0` 

Oblicz

`a)\ 15%*50=15/strike100^2*strike50^1=15/2=7 1/2`

`b)\ 25%*9,6=25/100*9,6=1/4*9,6=2,4`

`c)\ 124%*450=124/100*450=62/strike50^1*strike450^9=558`

`d)\ 6,5%*320=0,065*320=20,8`

`e)\ 1,1%*3,75=0,011*3,75=0,04125`

`f)\ 3%_o*5,5=0,003*5,5=0,0165`

Uporządkuj rosnąco liczby...

`(3-2sqrt2)^3 = 27 - 3*3^2*(2sqrt2) + 3*3*(2sqrt2)^2 - (2sqrt2)^3 = 27 - 3*9*2sqrt2 + 9*8 - 8*2sqrt2=` 

`27 -54 sqrt2 + 72 - 16 sqrt2 = 99 - 70 sqrt2` 

 

`((sqrt2-1)/(sqrt2+1))^3 = ((sqrt2-1)/(sqrt2+1)*(sqrt2-1)/(sqrt2-1))^3 = ((sqrt2-1)^2)^3 = (2-2sqrt2+1)^3 = (3-2sqrt2)^3=99-70sqrt2`  

 

`(5sqrt2-7)^2 = (5sqrt2)^2 -2*5sqrt2*7 + 7^2 = 50 - 70sqrt2 + 49 = 99 - 70sqrt2` 

 

Wszystkie liczby są równe.

Dany jest układ równań...

Przekształćmy równania prostych w układzie do postaci `y=ax+b.` 

`{(x-3y-1=0),(x+3y-1=0):}`  

`{(3y=x-1\ "/":3),(3y=-x+1\ "/":3):}` 

`{(y=1/3x-1/3),(y=-1/3x+1/3):}` 

Widzimy, że proste nie są równoległe, więc prawidłowa odpowiedź to `"D."`    

Konrad wybrał się w podróż z miasta A ...

Zauważmy, że Konrad podróżował pociągiem przez 6h.

`v_p-"prędkość pociągu"` 

`v_p=60(km)/h`    

`v=s/t\ implies\ s=vt` 

`s_p=6h*v_p=360\ km` 

 

`v_b-"prędkość autobusu"` 

`v_b=40 (km)/h`   

`s_b=2*v_b=80\ km` 

`360+80=440` 

 

Odległość między miastami A i B wynosi 440 km.

 

`s(t)={(60t,\ t in[0;6]),(360,\ t in (6;7)),(40t+80,\ t in [7;9]):}`  

Narysuj wykres funkcji...

Wyznaczmy miejsca zerowe obu funkcji by narysować wykres:

`y_1=2x^2 -4x - 6` 

`Delta = (-4)^2 -4*2*(-6) = 16 + 48 = 64` 

`sqrtDelta = sqrt64 = 8` 

`x_1 = (-(-4)-8)/4 = (-4)/4 = -1` 

`x_2 = (-(-4)+8)/4 = 12/4 = 3`

`y_1 = 2(x+1)(x-3)` 

 

 

`y_2 = -1/2x^2 + x + 3/2`

`Delta = 1^2 -4*(-1/2)*3/2) = 1 + 3 = 4`

`sqrtDelta = sqrt4 =2` 

`x_1 = (-1 - 2)/(-1) = 3`

`x_2 = (-1+2)/(-1) = -1`     

`y_2 = -1/2(x-3)(x+1)`

Wierzchołek znajduje się w

`p = (x_1 + x_2)/2 = (3-1)/2 = 1` 

`q = (-Delta)/(4a) = (-4)/(4*(-1/2)) = 2` 

 

Wykres funkcji:

 

`a) \ "Funkcja malejąca dla" \ x in(-oo, -1] \ "i" \ [1, 3]` 

`"Funkcja rosnąca dla" \ x in [-1,1] \ "i" \ [3, oo)` 

 

`b) \ M_z = {-1,3}` 

 

`c) \ f(-3) = 2*(-3)^2 -4*(-3) - 6 = 2*9 + 12 - 6 = 18+12-6=30-6=24` 

`f(2) = -1/2*2^2 + 2 + 3/2 = -2 + 2 + 3/2 = 3/2` 

 

d) Funkcja nie przyjmuje wartości ujemnych