Minimum i maksimum funkcji kwadratowej w danym przedziale - matura-podstawowa - Baza Wiedzy
Minimum i maksimum funkcji kwadratowej w danym przedziale
W celu znalezienia wartości minimalnej i maksymalnej w funkcji kwadratowej musimy wykorzystać to czego się nauczyliśmy w poprzednich .
Naszym celem jest znalezienie wartości najmniejszej lub największej, do tego zależnie od zadania będziemy potrzebować:
- Obliczenia równania
- Wykresu
- Wierzchołka paraboli
- Granic przedziału
- Wartości osiąganych na krańcach
Wszystko już potrafimy, kluczem jest narysowanie wykresu i granic oraz wskazanie punktu.
No to pokażmy na przykładzie:
Przykład:
Znajdź maksymalną wartość funkcji $f(x)=-x^2-2x+3$ na przedziale (-2;0).
Najlepiej najpierw ją sobie narysować, w tym celu znajdźmy miejsca zerowe:
$a=-1$
$b=-2$
$c=3$
Obliczmy deltę:
$∆=b^2-4ac$
$∆=(-2)^2-4×(-1)×3$
$∆=4+12$
$∆=16$
Obliczmy od razu pierwiastek z delty
$√{∆}=√{16}=4$
No i teraz nasze rozwiązania:
$x_1={-b+√{∆} }/{2a}$
$x_1={2+4}/{-2}=6/{-2}=-3$
$x_2={-b-√{∆} }/2a$
$x_2={2-4}/{-2}=-{-2}/2=1$
Narysujmy prowizoryczną parabolę (jest smutna, bo $a<0$:
Zaznaczmy granice przedziału. Z racji, że nawiasy są (), linia jest przerywana
Jak widzimy wierzchołek paraboli jest pomiędzy nimi, więc to on będzie naszym maksimum
No to liczymy wierzchołek, zaczynając od P, które jest średnią $x_1$ i $x_2$.
$P={-3+1}/2=-1$
Faktycznie P mieści się w naszym przedziale.
Teraz liczymy drugi współczynnik, czyli Q:
$Q={-∆}/{4a}$
$Q={-16}/{-8}$
$Q=2$
Piszemy odpowiedź:
$F_{max}=2$ lub słownie: wartość maksymalna to 2
Jeśli proszą nas o argument, dla jakiego funkcja przyjmuje maksymalną wartość, piszemy:
$F(1)=2=F_{max}$
Argument to oczywiście nasze P.
Naszym celem jest znalezienie wartości najmniejszej lub największej, do tego zależnie od zadania będziemy potrzebować:
- Obliczenia równania
- Wykresu
- Wierzchołka paraboli
- Granic przedziału
- Wartości osiąganych na krańcach
Wszystko już potrafimy, kluczem jest narysowanie wykresu i granic oraz wskazanie punktu.
No to pokażmy na przykładzie:
Przykład:
Znajdź maksymalną wartość funkcji $f(x)=-x^2-2x+3$ na przedziale (-2;0).
Najlepiej najpierw ją sobie narysować, w tym celu znajdźmy miejsca zerowe:
$a=-1$
$b=-2$
$c=3$
Obliczmy deltę:
$∆=b^2-4ac$
$∆=(-2)^2-4×(-1)×3$
$∆=4+12$
$∆=16$
Obliczmy od razu pierwiastek z delty
$√{∆}=√{16}=4$
No i teraz nasze rozwiązania:
$x_1={-b+√{∆} }/{2a}$
$x_1={2+4}/{-2}=6/{-2}=-3$
$x_2={-b-√{∆} }/2a$
$x_2={2-4}/{-2}=-{-2}/2=1$
Narysujmy prowizoryczną parabolę (jest smutna, bo $a<0$:
Zaznaczmy granice przedziału. Z racji, że nawiasy są (), linia jest przerywana
Jak widzimy wierzchołek paraboli jest pomiędzy nimi, więc to on będzie naszym maksimum
No to liczymy wierzchołek, zaczynając od P, które jest średnią $x_1$ i $x_2$.
$P={-3+1}/2=-1$
Faktycznie P mieści się w naszym przedziale.
Teraz liczymy drugi współczynnik, czyli Q:
$Q={-∆}/{4a}$
$Q={-16}/{-8}$
$Q=2$
Piszemy odpowiedź:
$F_{max}=2$ lub słownie: wartość maksymalna to 2
Jeśli proszą nas o argument, dla jakiego funkcja przyjmuje maksymalną wartość, piszemy:
$F(1)=2=F_{max}$
Argument to oczywiście nasze P.
Zadania powtórzeniowe
Zadanie 1.
Znajdź minimum funkcji $f(x)=x^2+2x-8$ na przedziale $<3;7>$ .
Postępujemy identycznie jak w przykładzie:
$a=1$
$b=2$
$c=-8$
Obliczmy deltę:
$∆=b^2-4ac$
$∆=2^2-4×1×(-8)$ $∆=4+32$
$∆=36$
Obliczmy od razu pierwiastek z delty.
$√{∆}=√{36}=6$
No i teraz nasze rozwiązania:
$x_1={-b+√{∆} }/{2a}$
$x_1={-2+6)/2=4/2=2$
$x_2={-b-√{∆} }/{2a}$
$x_2={-2-6)/2={-8}/2=-4$
Narysujmy prowizoryczną parabolę z granicami:
Musimy znaleźć minimum więc widzimy, że najmniejsza wartość jest na lewej granicy, dla $x=3$.
Musimy więc podstawić $x=3$ pod naszą funkcję:
$f(x)=x^2+2x-8$
$f(3)=3^2+2×3-8$
$f(3)=9+6-8$
$f(3)=7$
Funkcja osiąga minimum w punkcie 3
$F_{max}=f(3)=7$
Zadanie 2.
Znajdź minimum funkcji $f(x)=x^2+4x+3$ na przedziale $(-5;-2>$
Postępujemy identycznie jak w przykładzie podanym powyżej:
$a=1$
$b=4$
$c=3$
Obliczmy deltę:
$∆=b^2-4ac$
$∆=4^2-4×3×1$
$∆=16-12$
$∆=4$
Obliczmy od razu pierwiastek z delty:
$√{∆}=√{4}=2$
br/> No i teraz nasze rozwiązania:
$x_1={-b+√{∆} }/{2a} $
$x_1={-4+2}/2={-2}/2=-1 $
$x_2={-b-√{∆} }/{2a} $
$x_2={-4-2}/2={-6}/2=-3 $
Narysujmy prowizoryczną parabolę z granicami:
Jak widzimy granica przecina nam wierzchołek, bo współrzędna x wierzchołka jest średnią:
$P={-3-1}/2=-2$
Aby obliczyć Q, najprościej po prostu podstawić P pod x.
$f(x)=x^2+4x+3$
$f(P)=f(-2)=(-2)^2+4×(-2)+3$
$f(x)=4-8+3=-1$
Zatem wartość minimum jest osiągana dla x=-2
$F_{min}=f(-2)=-1$
Zadanie 3.
Znajdź maksimum funkcji $f(x)=-x^2-3x-2$ na przedziale $(-∞;-3>$.
Tutaj także rozwiązujemy tak samo:
$a=-1$
$b=-3$
$c=-2$
Obliczmy deltę:
$∆=b^2-4ac$ $∆=(-3)^2-4×(-2)×(-1)$
$∆=9-8$
$∆=1$
Obliczmy od razu pierwiastek z delty:
$√{∆}=√{1}=1$
No i teraz nasze rozwiązania:
$x_1={-b+√{∆} }/{2a} $
$x_1={3+1}/{-2}=4/{-2}=-2 $
$x_2={-b-√{∆} }/{2a} $ $x_2={3-1}/{-2}=2/{-2}=-1$
Tutaj rysujemy tylko jedną granicę, ponieważ druga to minus nieskończoność:
Teraz mamy do policzenia maksimum, widzimy, że wykres najwięcej w tym przedziale osiąga dla $x=-3$, dlatego czas na kolejne podstawianie:
$f(x)=-x^2-3x-2$
$f(-3)=-(-3)^2-3×(-3)-2$
$f(-3)=-9+9-2$
$F_{max}=f(-3)=-2$
Spis treści
Rozwiązane zadania
Posługując się wykresem funkcji...
- Funkcja f:
Dziedzina:
Miejsca zerowe:
- Funkcja h:
Wykres:
Dziedzina:
Miejsca zerowe:
Podaj przykłady liczb niewymiernych, których:
a)
b)
Hotel dla kotów o psów ...
Naszkicuj parabolę y=7(x+2)^2+5...
Obliczmy współrzędne kilku punktów należących do wykresu funkcji y=7(x+2)2+5
| x | -3 | -2 | -1 |
| y | 12 | 5 | 12 |
a)
Obliczmy współrzędne kilku punktów należących do wykresu funkcji y=-1/3(x+2)2+5 {premium}
| x | -5 | -2 | 1 |
| y | 2 | 5 | 2 |
te funkcje mają 1 punkt wspólny
b)
Obliczmy współrzędne kilku punktów należących do wykresu funkcji y=1/10(x+2)2+6
| x | -12 | -2 | 8 |
| y | 16 | 6 | 16 |
te funkcje mają 2 punkty wspólne
c)
Obliczmy współrzędne kilku punktów należących do wykresu funkcji y=10(x+2)2+10
| x | -3 | -2 | -1 |
| y | 20 | 10 | 20 |
te funkcje nie mają punktów wspólnych
Trapez równoramienny o podstawach 6√3 cm i 2√3 cm ...
Zastanawiamy się, dla jakiego kąta funkcja tangens przyjmuje taką wartość
Suma miar kątów leżących przy jednym ramieniu trapezu wynosi 180o, zatem miara kąta rozwartego trapezu:
Miary kątów tego trapezu: 60o,60o,120o,120o.
Miejscami zerowymi funkcji kwadratowej są...
Wiemy, że miejscami funkcji kwadratowej są liczby -5 i 1:
oraz, że wykres przecina oś y w punkcie (0, 5), zatem wzór tej funkcji ma postać: {premium}
zatem wzór tej funkcji ma postać:
Odp.: C
Naszkicuj w jednym układzie współrzędnych ...
Wykres funkcji g(x)...
Jeżeli przesuniemy wykres funkcji f o 2 jednostki w prawo to otrzymamy:
Odpowiedź C
Gdyby w ankiecie wzięło udział kolejne 100 osób
Z poprzedniego zadania wiemy już, że:
- na program X zagłosowało 288 osób
- na program Y zagłosowało 224 osób
- w tym na oba programy zagłosowało 112 osób
Gdyby w ankiecie wzięlo udział kolejne 100 osób, to ilość ankietowanych wynosiłaby 400+100=500 osób. Każda z tych 100 osób głosowałaby jedynie na program Y, więc ilość głosów na program Y wynosiłaby 224+100=324. Wtedy poparcie dla programu Y wynosiłoby:
Pytanie zostało sformułowane nie do końca jasno. Treść pytania "O ile punktów procentowych popularniejszych okazałby się ten program?" sugeruje, że należy zbadać różnicę między początkowym poparciem dla programu Y, a poparciem dla tego programu przy 500 ankietowanych. Tymczasem autorowi chodziło o zbadanie różnicy między poparciem dla programu Y a poparciem dla programu X przy 500 głosujących osobach. Pytanie powinno brzmieć więc: "O ile punktów procentowych popularniejszy niż program X okazałby się wtedy program Y?".
Obliczmy, jakie byłoby poparcie dla programu X, gdyby w ankiecie brało udział dodatkowych 100 osób, a wszyscy z nich głosowaliby na program Y. Wtedy na program X głosowałoby tyle samo osób, co na początku (288), a liczba wszystkich głosujących osób wynosiłaby 500.
Obliczamy, o ile punktów procentowych popularniejszy niż program X okazałby się wtedy program Y:
Dane są dwa okręgi współśrodkowe...
Możemy dorysować{premium} jeszcze dwie cięciwy, wychodzące z punktów A i B, o długości 10 cm, które będą styczne do mniejszego okręgu. Utworzą one trójkąt równoboczny. Wówczas większe koło jest kołem opisanym na trójkącie, a mniejsze - kołem wpisanym w trójkąt. Oznaczmy promienie tych kół odpowiednio jako R i r. Ze wzorów na promień koła opisanego i wpisanego w trójkąt równoboczny mamy:
Obliczamy pole większego koła:
Obliczamy pole mniejszego koła:
Obliczamy pole pierścienia kołowego wyznaczonego przez te okręgi:
Prawidłowa odpowiedź to A.
© 2019 Odrabiamy.pl