Minimum i maksimum funkcji kwadratowej w danym przedziale - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Minimum i maksimum funkcji kwadratowej w danym przedziale

W celu znalezienia wartości minimalnej i maksymalnej w funkcji kwadratowej musimy wykorzystać to czego się nauczyliśmy w poprzednich .

Naszym celem jest znalezienie wartości najmniejszej lub największej, do tego zależnie od zadania będziemy potrzebować:

- Obliczenia równania
- Wykresu
- Wierzchołka paraboli
- Granic przedziału
- Wartości osiąganych na krańcach

Wszystko już potrafimy, kluczem jest narysowanie wykresu i granic oraz wskazanie punktu.

No to pokażmy na przykładzie:

Przykład:

Znajdź maksymalną wartość funkcji $$f(x)=-x^2-2x+3$$ na przedziale (-2;0).
Najlepiej najpierw ją sobie narysować, w tym celu znajdźmy miejsca zerowe:

$$a=-1$$

$$b=-2$$

$$c=3$$

Obliczmy deltę:

$$∆=b^2-4ac$$

$$∆=(-2)^2-4×(-1)×3$$

$$∆=4+12$$

$$∆=16$$

Obliczmy od razu pierwiastek z delty

$$√{∆}=√{16}=4$$


No i teraz nasze rozwiązania:

$$x_1={-b+√{∆} }/{2a}$$

$$x_1={2+4}/{-2}=6/{-2}=-3$$

$$x_2={-b-√{∆} }/2a$$

$$x_2={2-4}/{-2}=-{-2}/2=1$$

Narysujmy prowizoryczną parabolę (jest smutna, bo $$a<0$$:

par1

Zaznaczmy granice przedziału. Z racji, że nawiasy są (), linia jest przerywana

par2

Jak widzimy wierzchołek paraboli jest pomiędzy nimi, więc to on będzie naszym maksimum

par3

No to liczymy wierzchołek, zaczynając od P, które jest średnią $$x_1$$ i $$x_2$$.

$$P={-3+1}/2=-1$$

Faktycznie P mieści się w naszym przedziale.

Teraz liczymy drugi współczynnik, czyli Q:

$$Q={-∆}/{4a}$$

$$Q={-16}/{-8}$$

$$Q=2$$

Piszemy odpowiedź:

$$F_{max}=2$$ lub słownie: wartość maksymalna to 2

Jeśli proszą nas o argument, dla jakiego funkcja przyjmuje maksymalną wartość, piszemy:

$$F(1)=2=F_{max}$$

Argument to oczywiście nasze P.
 

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Znajdź minimum funkcji $$f(x)=x^2+2x-8$$ na przedziale $$<3;7>$$ .

Postępujemy identycznie jak w przykładzie:

$$a=1$$

$$b=2$$

$$c=-8$$

Obliczmy deltę:

$$∆=b^2-4ac$$

$$∆=2^2-4×1×(-8)$$ $$∆=4+32$$

$$∆=36$$

Obliczmy od razu pierwiastek z delty.

$$√{∆}=√{36}=6$$


No i teraz nasze rozwiązania:

$$x_1={-b+√{∆} }/{2a}$$

$$x_1={-2+6)/2=4/2=2$$

$$x_2={-b-√{∆} }/{2a}$$

$$x_2={-2-6)/2={-8}/2=-4$$

Narysujmy prowizoryczną parabolę z granicami:

zad1

Musimy znaleźć minimum więc widzimy, że najmniejsza wartość jest na lewej granicy, dla $$x=3$$.

Musimy więc podstawić $$x=3$$ pod naszą funkcję:

$$f(x)=x^2+2x-8$$

$$f(3)=3^2+2×3-8$$

$$f(3)=9+6-8$$

$$f(3)=7$$

Funkcja osiąga minimum w punkcie 3

$$F_{max}=f(3)=7$$

Zadanie 2.

Znajdź minimum funkcji $$f(x)=x^2+4x+3$$ na przedziale $$(-5;-2>$$

Postępujemy identycznie jak w przykładzie podanym powyżej:

$$a=1$$

$$b=4$$

$$c=3$$

Obliczmy deltę:

$$∆=b^2-4ac$$

$$∆=4^2-4×3×1$$

$$∆=16-12$$

$$∆=4$$

Obliczmy od razu pierwiastek z delty:

$$√{∆}=√{4}=2$$

br/> No i teraz nasze rozwiązania:

$$x_1={-b+√{∆} }/{2a} $$

$$x_1={-4+2}/2={-2}/2=-1 $$

$$x_2={-b-√{∆} }/{2a} $$

$$x_2={-4-2}/2={-6}/2=-3 $$

Narysujmy prowizoryczną parabolę z granicami:

zad2

Jak widzimy granica przecina nam wierzchołek, bo współrzędna x wierzchołka jest średnią:

$$P={-3-1}/2=-2$$

Aby obliczyć Q, najprościej po prostu podstawić P pod x.

$$f(x)=x^2+4x+3$$

$$f(P)=f(-2)=(-2)^2+4×(-2)+3$$

$$f(x)=4-8+3=-1$$

Zatem wartość minimum jest osiągana dla x=-2

$$F_{min}=f(-2)=-1$$

Zadanie 3.

Znajdź maksimum funkcji $$f(x)=-x^2-3x-2$$ na przedziale $$(-∞;-3>$$.

Tutaj także rozwiązujemy tak samo:

$$a=-1$$

$$b=-3$$

$$c=-2$$

Obliczmy deltę:

$$∆=b^2-4ac$$ $$∆=(-3)^2-4×(-2)×(-1)$$

$$∆=9-8$$

$$∆=1$$

Obliczmy od razu pierwiastek z delty:

$$√{∆}=√{1}=1$$

No i teraz nasze rozwiązania:

$$x_1={-b+√{∆} }/{2a} $$

$$x_1={3+1}/{-2}=4/{-2}=-2 $$

$$x_2={-b-√{∆} }/{2a} $$ $$x_2={3-1}/{-2}=2/{-2}=-1$$

Tutaj rysujemy tylko jedną granicę, ponieważ druga to minus nieskończoność:

zad3

Teraz mamy do policzenia maksimum, widzimy, że wykres najwięcej w tym przedziale osiąga dla $$x=-3$$, dlatego czas na kolejne podstawianie:

$$f(x)=-x^2-3x-2$$

$$f(-3)=-(-3)^2-3×(-3)-2$$

$$f(-3)=-9+9-2$$

$$F_{max}=f(-3)=-2$$

Spis treści

Rozwiązane zadania
Miejscem zerowym funkcji ...

Odp: D

 

`f(x)=(sqrt(x^2-1))/(x-1`  

Wyznaczmy dziedzinę funkcji:

`x-1!=0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x^2-1>=0`  

`x!=1\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x^2>=1` 

`\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x in (-oo;-1>> cup<<1;+oo)` 

`D_(f)=(-oo;-1>> cup (1;+oo)` 

 

Wyznaczamy miejsce zerowe:

`sqrt(x^2-1)=0` 

`x^2-1=0` 

`x^2=1` 

`#underbrace(x=-1)_(in D_(f))\ \ "lub"\ \ #underbrace(x=1)_(!in D_(f))` 

  

Miejscem zerowym funkcji f(x) jest x=-1.

Stosunek długości boków prostokąta jest równy...

Pole trójkąta równobocznego o boku długości a wynosi:

`P = (a^2sqrt3)/4 = (9sqrt3)/4` 

 

Oznaczmy długość krótszego boku prostokąta przez b, wtedy drugi ma długość 3b. Pole prostokąta jest równe polu trójkąta równobocznego.

`P_("pr") = P` 

`b*3b = (9sqrt3)/4` 

`3b^2 = (9sqrt3)/4` 

`b^2 = (3sqrt3)/4` 

`b^2 = (3^1 * 3^(1/2))/4` 

`b^2 = (3^(3/2))/4` 

`b = (3^(3/4))/2 = (root(4)(27))/2` 

 

Dłuższy bok:

`3b = (3root(4)(27))/2` 

Posługując się wykresami odpowiednio dobranych

a)

Musimy się dowiedzieć, dla jakich argumentów wartości funkcji f(x)=2x+5 są równe wartościom funkcji g(x)= -3x-5.

Przedstawiamy w układzie współrzędnych wykresy obu funkcji i znajdujemy ich punkt przecięcia się.

`f(x)= g(x) \ \ dla \ \ \ ul(ul(x=-2))`

 b)

Musimy się dowiedzieć, dla jakich argumentów wartości funkcji f(x)=x²  są równe wartościom funkcji g(x)=|x|.

Przedstawiamy w układzie współrzędnych wykresy obu funkcji i znajdujemy ich punkty przecięcia się.

`f(x)=g(x) \ \ dla\ \ x in{-1,0,1}`

Na rysunku przedstawiono wykres ...

`a)` 

`ZW_f=<-4,1>` 

`ZW_(-f)=<-1,4>` 

 

`b)` 

`ZW_f=<-3,2>` 

`ZW_(-f)=<-2,3>` 

 

`c)` 

`ZW_f=<-4,4>` 

`ZW_(-f)=<-4,4>` 

Wyznacz dziedzinę równania

Liczba pod pierwiastkiem musi być nieujemna: 

`x^2>=0\ \ \ =>\ \ \ x inRR\ \ \ =>\ \ \ D=RR`

 

`x=-1`

`L=sqrt((-1)^2)=sqrt1=1`

`P=-1`

`L neP`

-1 nie spełnia równania

 

 

 

`x=0`

`L=sqrt(0^2)=sqrt0=0`

`P=0`

`L=P`

0 spełnia to równanie. 

 

 

`x=3`

`L=sqrt(3^2)=sqrt9=3`

`P=3`

`L=P`

3 spełnia to równanie 

W ciągu 1 minuty...

Jeżeli w ciągu minuty wypływa ze zbiornika 10 litrów wody to wykres opisuje funkcję malejącą.

Tę funkcję opisuje wykres B.

Odpowiedź B

Która z podanych liczb jest równa sumie

`13\ 000\ 000+13\ 000+1300=13\ 014\ 300\ \ \ \ \ \ odp.\ C`

 

A jest zbiorem spółgłosek w słowie lampart

`A={l,\ m,\ p,\ r,\ t}`

`B={l, \ n,\ g,\ s,\ t}`

`C={m,\ "ł",\ p,\ k}`

 

 

`a)`

Suma zbiorów A oraz B to zbiór tych elementów, które należą do zbioru A lub należą do zbioru B.

`AuuB={l,\ m,\ p,\ r,\ t,\ n,\ g,\ s}`

 

 

`b)`

Iloczyn zbiorów A i C to zbiór tych elementów, które należą jednocześnie do zbioru A oraz zbioru C. 

`AnnC={m, \ p}`

 

`c)`

Różnica zbiorów A oraz C to zbiór tych elementów, które należą do zbioru A, ale nie należą do zbioru C.

`A\\C={l,\ r,\ t}`

 

 

`d)`

Różnica zbiorów C oraz A to zbiór tych elementów, które należą do zbioru C, ale nie należą do zbioru A. 

`C\\A={"ł",\ k}`

Oblicz

`a)` 

`3 2/5+2 1/3-4 1/2=3 6/15+2 5/15-4 1/2=5 11/15-4 1/2=5 22/30-4 15/30=1 7/30`   

 

`b)` 

`5 -4 5/6+2 1/8=1/6+2 1/8=4/24+2 3/24=2 7/24`  

 

`c)` 

`7 3/4-2,2-(3 1/2-1,8+5 1/4)=7 3/4-2 2/10-(3 5/10-1 8/10+5 1/4)=7 15/20-2 4/20-(2 15/10-1 8/10+5 1/4)=`  

`=5 11/20-(1 7/10+5 1/4)=5 11/20-(1 14/20+5 5/20)=5 11/20-6 19/20=-(6 19/20-5 11/20)=-1 8/20=-1 2/5` 

 

`d)` 

`1 5/12-(3 7/15-2 3/10)=1 5/12-(3 14/30-2 9/30)=1 5/12-1 5/30=1 5/12-1 1/6=1 5/12-1 2/12=3/12=1/4` 

 

`e)` 

`2 1/4-(4 1/12+3 2/9-3 1/18)=2 1/4-(4 3/36+3 8/36-3 2/36)=2 1/4-4 9/36=2 1/4-4 1/4=-(4 1/4-2 1/4)=-2`  

    

`f)` 

`2 3/20-(17/10-2 1/15)-3 5/6=2 3/20-(1 7/10-2 1/15)-3 5/6=2 3/20-(1 21/30-2 2/30)-3 5/6=`  

`=2 3/20+(2 2/30-1 21/30)-3 5/6=2 3/20+(1 32/30-1 21/30)-3 5/6=2 3/20+11/30-3 5/6=`    

`=2 9/60+22/60-3 50/60=2 31/60-3 50/60=-(3 50/60-2 31/60)=-1 19/60`       

Oblicz a) -3/4+5/6

`a)\ -3/4+5/6=-9/12+10/12=1/12` 

`b)\ 5/6-8/9=15/18-16/18=-1/18` 

`c)\ 1 1/6-7/9=` `7/6-7/9=`  `21/18-14/18=7/18` 

`d)\ 3/5-1 2/3=` `3/5-5/3=` `9/15-25/15=-16/15=-1 1/15` 

`e)\ 2 2/9+1 5/12=` `2 8/36+1 15/36=` `3 23/36` 

`f)\ 1 1/7+2 2/3=` `1 3/21+2 14/21=` `3 17/21` 

`g)\ 3 2/5-5 2/3=` `3 6/15-5 10/15=` `-(5 10/15-3 6/15)=` `- 2 4/15` 

`h)\ 4 1/6-2 7/15=` `4 5/30-2 14/30=` `3 35/30-2 14/30=` `1 21/30=1 7/10`