Minimum i maksimum funkcji kwadratowej w danym przedziale - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Minimum i maksimum funkcji kwadratowej w danym przedziale

W celu znalezienia wartości minimalnej i maksymalnej w funkcji kwadratowej musimy wykorzystać to czego się nauczyliśmy w poprzednich .

Naszym celem jest znalezienie wartości najmniejszej lub największej, do tego zależnie od zadania będziemy potrzebować:

- Obliczenia równania
- Wykresu
- Wierzchołka paraboli
- Granic przedziału
- Wartości osiąganych na krańcach

Wszystko już potrafimy, kluczem jest narysowanie wykresu i granic oraz wskazanie punktu.

No to pokażmy na przykładzie:

Przykład:

Znajdź maksymalną wartość funkcji $$f(x)=-x^2-2x+3$$ na przedziale (-2;0).
Najlepiej najpierw ją sobie narysować, w tym celu znajdźmy miejsca zerowe:

$$a=-1$$

$$b=-2$$

$$c=3$$

Obliczmy deltę:

$$∆=b^2-4ac$$

$$∆=(-2)^2-4×(-1)×3$$

$$∆=4+12$$

$$∆=16$$

Obliczmy od razu pierwiastek z delty

$$√{∆}=√{16}=4$$


No i teraz nasze rozwiązania:

$$x_1={-b+√{∆} }/{2a}$$

$$x_1={2+4}/{-2}=6/{-2}=-3$$

$$x_2={-b-√{∆} }/2a$$

$$x_2={2-4}/{-2}=-{-2}/2=1$$

Narysujmy prowizoryczną parabolę (jest smutna, bo $$a<0$$:

par1

Zaznaczmy granice przedziału. Z racji, że nawiasy są (), linia jest przerywana

par2

Jak widzimy wierzchołek paraboli jest pomiędzy nimi, więc to on będzie naszym maksimum

par3

No to liczymy wierzchołek, zaczynając od P, które jest średnią $$x_1$$ i $$x_2$$.

$$P={-3+1}/2=-1$$

Faktycznie P mieści się w naszym przedziale.

Teraz liczymy drugi współczynnik, czyli Q:

$$Q={-∆}/{4a}$$

$$Q={-16}/{-8}$$

$$Q=2$$

Piszemy odpowiedź:

$$F_{max}=2$$ lub słownie: wartość maksymalna to 2

Jeśli proszą nas o argument, dla jakiego funkcja przyjmuje maksymalną wartość, piszemy:

$$F(1)=2=F_{max}$$

Argument to oczywiście nasze P.
 

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Znajdź minimum funkcji $$f(x)=x^2+2x-8$$ na przedziale $$<3;7>$$ .

Postępujemy identycznie jak w przykładzie:

$$a=1$$

$$b=2$$

$$c=-8$$

Obliczmy deltę:

$$∆=b^2-4ac$$

$$∆=2^2-4×1×(-8)$$ $$∆=4+32$$

$$∆=36$$

Obliczmy od razu pierwiastek z delty.

$$√{∆}=√{36}=6$$


No i teraz nasze rozwiązania:

$$x_1={-b+√{∆} }/{2a}$$

$$x_1={-2+6)/2=4/2=2$$

$$x_2={-b-√{∆} }/{2a}$$

$$x_2={-2-6)/2={-8}/2=-4$$

Narysujmy prowizoryczną parabolę z granicami:

zad1

Musimy znaleźć minimum więc widzimy, że najmniejsza wartość jest na lewej granicy, dla $$x=3$$.

Musimy więc podstawić $$x=3$$ pod naszą funkcję:

$$f(x)=x^2+2x-8$$

$$f(3)=3^2+2×3-8$$

$$f(3)=9+6-8$$

$$f(3)=7$$

Funkcja osiąga minimum w punkcie 3

$$F_{max}=f(3)=7$$

Zadanie 2.

Znajdź minimum funkcji $$f(x)=x^2+4x+3$$ na przedziale $$(-5;-2>$$

Postępujemy identycznie jak w przykładzie podanym powyżej:

$$a=1$$

$$b=4$$

$$c=3$$

Obliczmy deltę:

$$∆=b^2-4ac$$

$$∆=4^2-4×3×1$$

$$∆=16-12$$

$$∆=4$$

Obliczmy od razu pierwiastek z delty:

$$√{∆}=√{4}=2$$

br/> No i teraz nasze rozwiązania:

$$x_1={-b+√{∆} }/{2a} $$

$$x_1={-4+2}/2={-2}/2=-1 $$

$$x_2={-b-√{∆} }/{2a} $$

$$x_2={-4-2}/2={-6}/2=-3 $$

Narysujmy prowizoryczną parabolę z granicami:

zad2

Jak widzimy granica przecina nam wierzchołek, bo współrzędna x wierzchołka jest średnią:

$$P={-3-1}/2=-2$$

Aby obliczyć Q, najprościej po prostu podstawić P pod x.

$$f(x)=x^2+4x+3$$

$$f(P)=f(-2)=(-2)^2+4×(-2)+3$$

$$f(x)=4-8+3=-1$$

Zatem wartość minimum jest osiągana dla x=-2

$$F_{min}=f(-2)=-1$$

Zadanie 3.

Znajdź maksimum funkcji $$f(x)=-x^2-3x-2$$ na przedziale $$(-∞;-3>$$.

Tutaj także rozwiązujemy tak samo:

$$a=-1$$

$$b=-3$$

$$c=-2$$

Obliczmy deltę:

$$∆=b^2-4ac$$ $$∆=(-3)^2-4×(-2)×(-1)$$

$$∆=9-8$$

$$∆=1$$

Obliczmy od razu pierwiastek z delty:

$$√{∆}=√{1}=1$$

No i teraz nasze rozwiązania:

$$x_1={-b+√{∆} }/{2a} $$

$$x_1={3+1}/{-2}=4/{-2}=-2 $$

$$x_2={-b-√{∆} }/{2a} $$ $$x_2={3-1}/{-2}=2/{-2}=-1$$

Tutaj rysujemy tylko jedną granicę, ponieważ druga to minus nieskończoność:

zad3

Teraz mamy do policzenia maksimum, widzimy, że wykres najwięcej w tym przedziale osiąga dla $$x=-3$$, dlatego czas na kolejne podstawianie:

$$f(x)=-x^2-3x-2$$

$$f(-3)=-(-3)^2-3×(-3)-2$$

$$f(-3)=-9+9-2$$

$$F_{max}=f(-3)=-2$$

Spis treści

Rozwiązane zadania
Rozwiąż równanie.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

       

  

 

  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

    

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

   

Za wykonanie pewnej usługi, do której dolicza...

 cena usługi bez podatku

 cena usługi z podatkiem  


Wiemy, że za usługę razem z podatkiem klient zapłacił  Stąd: {premium}

 

 


Obliczamy, ile wynosi  podatku od ceny usługi:

 


Obliczamy, ile klient zapłaci za usługę razem z podatkiem  

 


Odp. Gdyby podatek VAT wynosił  klient zapłaciłby  

Poniższa tabela pokazuje średnie kursy euro...

Średnia arytmetyczna liczb jest równa

 


 {premium}

 


Odp. Średni kurs euro wynosił  

Pokoloruj...

a) Rysunek:

 

b) Rysunek:

 

c) Rysunek:

 

d) Rysunek:

Korzystając ze wzorów podanych w poprzednim zadaniu ...

 

 

  

 

 

 

 

Prosta prostopadła do prostej l, przechodząca przez punkt P wyraża się wzorem:

   

Podstawmy odpowiednie wartości.

 

 

 

       

Prosta równoległa do prostej l, przechodząca przez punkt P wyraża się wzorem:

    

Podstawmy odpowiednie wartości.

 

 

 

 

 

 

  

 

 

   

 

Prosta prostopadła do prostej l, przechodząca przez punkt P wyraża się wzorem:

   

Podstawmy odpowiednie wartości.

 

  

       

Prosta równoległa do prostej l, przechodząca przez punkt P wyraża się wzorem:

    

Podstawmy odpowiednie wartości.

 

 

 

 

 

  

 

 

   

 

Prosta prostopadła do prostej l, przechodząca przez punkt P wyraża się wzorem:

   

Podstawmy odpowiednie wartości.

 

 

       

       

Prosta równoległa do prostej l, przechodząca przez punkt P wyraża się wzorem:

    

Podstawmy odpowiednie wartości.

  

   

Bez obliczania miejsc zerowych funkcji...

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Zauważmy, że w podpunkcie e) dowiedzieliśmy się, że:

 

zatem:

 

czyli

 

 

Wiedząc, że x/y=m/n

 

 

 

 

` `

Wykaż, że liczba

 

  

  

 

Liczby 3 i 19 są czynnikami tworzącymi daną liczbę, więc dana liczba jest podzielna przez 3 oraz przez 19. 

 

 

 

Niech n będzie dowolną liczbą naturalną

 

Zapiszmy sumę trzech kolejnych potęg naturalnych liczby 7. 

 

 

 

Liczby 3 i 19 są czynnikami tworzącymi daną liczbę, więc dana liczba jest podzielna przez 3 oraz przez 19. 

Na podstawie definicji logarytmu (logab=c <=>

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

 

Podaj przykład dwóch liczb wymiernych...

 bo

 

 {premium}


 bo

 

 


 bo