Minimum i maksimum funkcji kwadratowej w danym przedziale - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Minimum i maksimum funkcji kwadratowej w danym przedziale

W celu znalezienia wartości minimalnej i maksymalnej w funkcji kwadratowej musimy wykorzystać to czego się nauczyliśmy w poprzednich .

Naszym celem jest znalezienie wartości najmniejszej lub największej, do tego zależnie od zadania będziemy potrzebować:

- Obliczenia równania
- Wykresu
- Wierzchołka paraboli
- Granic przedziału
- Wartości osiąganych na krańcach

Wszystko już potrafimy, kluczem jest narysowanie wykresu i granic oraz wskazanie punktu.

No to pokażmy na przykładzie:

Przykład:

Znajdź maksymalną wartość funkcji $f(x)=-x^2-2x+3$ na przedziale (-2;0).
Najlepiej najpierw ją sobie narysować, w tym celu znajdźmy miejsca zerowe:

$a=-1$

$b=-2$

$c=3$

Obliczmy deltę:

$∆=b^2-4ac$

$∆=(-2)^2-4×(-1)×3$

$∆=4+12$

$∆=16$

Obliczmy od razu pierwiastek z delty

$√{∆}=√{16}=4$

No i teraz nasze rozwiązania:

$x_1={-b+√{∆} }/{2a}$

$x_1={2+4}/{-2}=6/{-2}=-3$

$x_2={-b-√{∆} }/2a$

$x_2={2-4}/{-2}=-{-2}/2=1$

Narysujmy prowizoryczną parabolę (jest smutna, bo $a<0$:

par1

Zaznaczmy granice przedziału. Z racji, że nawiasy są (), linia jest przerywana

par2

Jak widzimy wierzchołek paraboli jest pomiędzy nimi, więc to on będzie naszym maksimum

par3

No to liczymy wierzchołek, zaczynając od P, które jest średnią $x_1$ i $x_2$.

$P={-3+1}/2=-1$

Faktycznie P mieści się w naszym przedziale.

Teraz liczymy drugi współczynnik, czyli Q:

$Q={-∆}/{4a}$

$Q={-16}/{-8}$

$Q=2$

Piszemy odpowiedź:

$F_{max}=2$ lub słownie: wartość maksymalna to 2

Jeśli proszą nas o argument, dla jakiego funkcja przyjmuje maksymalną wartość, piszemy:

$F(1)=2=F_{max}$

Argument to oczywiście nasze P.

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Znajdź minimum funkcji $f(x)=x^2+2x-8$ na przedziale $<3;7>$ .

Zobacz rozwiązanie

Postępujemy identycznie jak w przykładzie:

$a=1$

$b=2$

$c=-8$

Obliczmy deltę:

$∆=b^2-4ac$

$∆=2^2-4×1×(-8)$ $∆=4+32$

$∆=36$

Obliczmy od razu pierwiastek z delty.

$√{∆}=√{36}=6$

No i teraz nasze rozwiązania:

$x_1={-b+√{∆} }/{2a}$

$x_1={-2+6)/2=4/2=2$

$x_2={-b-√{∆} }/{2a}$

$x_2={-2-6)/2={-8}/2=-4$

Narysujmy prowizoryczną parabolę z granicami:

Musimy znaleźć minimum więc widzimy, że najmniejsza wartość jest na lewej granicy, dla $x=3$.

Musimy więc podstawić $x=3$ pod naszą funkcję:

$f(x)=x^2+2x-8$

$f(3)=3^2+2×3-8$

$f(3)=9+6-8$

$f(3)=7$

Funkcja osiąga minimum w punkcie 3

$F_{max}=f(3)=7$

Zadanie 2.

Znajdź minimum funkcji $f(x)=x^2+4x+3$ na przedziale $(-5;-2>$

Zobacz rozwiązanie

Postępujemy identycznie jak w przykładzie podanym powyżej:

$a=1$

$b=4$

$c=3$

Obliczmy deltę:

$∆=b^2-4ac$

$∆=4^2-4×3×1$

$∆=16-12$

$∆=4$

Obliczmy od razu pierwiastek z delty:

$√{∆}=√{4}=2$

br/> No i teraz nasze rozwiązania:

$x_1={-b+√{∆} }/{2a} $

$x_1={-4+2}/2={-2}/2=-1 $

$x_2={-b-√{∆} }/{2a} $

$x_2={-4-2}/2={-6}/2=-3 $

Narysujmy prowizoryczną parabolę z granicami:

Jak widzimy granica przecina nam wierzchołek, bo współrzędna x wierzchołka jest średnią:

$P={-3-1}/2=-2$

Aby obliczyć Q, najprościej po prostu podstawić P pod x.

$f(x)=x^2+4x+3$

$f(P)=f(-2)=(-2)^2+4×(-2)+3$

$f(x)=4-8+3=-1$

Zatem wartość minimum jest osiągana dla x=-2

$F_{min}=f(-2)=-1$

Zadanie 3.

Znajdź maksimum funkcji $f(x)=-x^2-3x-2$ na przedziale $(-∞;-3>$.

Zobacz rozwiązanie

Tutaj także rozwiązujemy tak samo:

$a=-1$

$b=-3$

$c=-2$

Obliczmy deltę:

$∆=b^2-4ac$ $∆=(-3)^2-4×(-2)×(-1)$

$∆=9-8$

$∆=1$

Obliczmy od razu pierwiastek z delty:

$√{∆}=√{1}=1$

No i teraz nasze rozwiązania:

$x_1={-b+√{∆} }/{2a} $

$x_1={3+1}/{-2}=4/{-2}=-2 $

$x_2={-b-√{∆} }/{2a} $ $x_2={3-1}/{-2}=2/{-2}=-1$

Tutaj rysujemy tylko jedną granicę, ponieważ druga to minus nieskończoność:

Teraz mamy do policzenia maksimum, widzimy, że wykres najwięcej w tym przedziale osiąga dla $x=-3$, dlatego czas na kolejne podstawianie:

$f(x)=-x^2-3x-2$

$f(-3)=-(-3)^2-3×(-3)-2$

$f(-3)=-9+9-2$

$F_{max}=f(-3)=-2$

Spis treści

Rozwiązane zadania

Dana jest funkcja f(x)=-x^2. Wykaż, że...

{premium}

Mamy więc:

Ile boków ma wielokąt, który ma 20...

Korzystając z wzoru na liczbę przekątnych w n-kącie: {premium}

Obliczmy, liczbę boków wielokąta, która ma 20 przekątnych:

Odp.: C

Znajdź wzór funkcji liniowej...

a) Niech szukana funkcja dana będzie wzorem:

Wstawiamy{premium} współrzędne punktów A=(3, 7) i B=(5, 1) do wzoru funkcji - otrzymujemy układ równań, z którego wyznaczamy a oraz b.

Podstawiamy b=1-5a do pierwszego równania.

Podstawiamy a=-3 do drugiego równania.

Zatem szukana funkcja ma wzór y=-3x+16.

b) Niech szukana funkcja dana będzie wzorem:

Wstawiamy współrzędne punktów P=(-2, 7) i R=(-1, -3) do wzoru funkcji - otrzymujemy układ równań, z którego wyznaczamy a oraz b.

Podstawiamy b=a-3 do pierwszego równania.

Podstawiamy a=-10 do drugiego równania.

Zatem szukana funkcja ma wzór y=-10x-13.

Na rysunku obok przedstawiono wykresy...

Zauważmy, że do wykresu funkcji f(x) należą między innymi punkty: {premium}

(-4, 0); (0, 0) i (4, 0)

a do wykresu funkcji g(x) należą między innymi punkty:

(-1, 0); (0, 0) i (1, 0)

zatem wykres funkcji g(x) powstał w wyniku ścieśniania w kierunku poziomym wykresu funkcji f(x).

Związek między tymi funkcjami opisuje wzór:

g(x)=f(4x)

Odp.: C

Jaka jest najmniejsza, a jaka największa...

Ustalmy jaki jest wzór tej funkcji:

(1, 3) -współrzędne wierzchołka

(3, 2) - współrzędne punktu należącego do paraboli {premium}

zatem wzór tej funkcji ma postać:

Z wykresu łatwo możemy odczytać, że:

-największa wartość tej funkcji w podanym przedziale przyjmowana jest dla x=3 wierzchołka i wynosi:

- najmniejsza wartość funkcji w podanym przedziale przyjmowana jest dla x=4

Wyznacz miary kątów trójkąta

{premium}

Odczytaj z wykresu dziedzinę...

Funkcja przyjmuje{premium} wartość największą, równą 3, dla argumentu -2.

Funkcja przyjmuje wartość najmniejszą, równą -5, dla argumentu 2.

Funkcja przyjmuje wartość największą, równą 1, dla każdego argumentu z przedziału <-2, 1>.

Funkcja przyjmuje wartość najmniejszą, równą -5, dla argumentu 5.

Funkcja przyjmuje wartość największą, równą 4, dla argumentu -2.

Funkcja nie przyjmuje wartości najmniejszej.

Funkcja przyjmuje wartość największą, równą 3, dla argumentu -2.

Funkcja przyjmuje wartość najmniejszą, równą -3, dla argumentu 2.

Funkcja przyjmuje wartość największą, równą 3, dla argumentu 2.

Funkcja przyjmuje wartość najmniejszą, równą -3, dla argumentu -4.

Funkcja przyjmuje wartość największą, równą 6, dla argumentu -1.

Funkcja przyjmuje wartość najmniejszą, równą 0, dla argumentu -3.

Wskaż wzór, w którym ...

Sprawdźmy A.

Z postaci kanonicznej wiemy, że wierzchołek ma współrzędne (-3,-6).

Wiemy, że a>0, zatem ramiona paraboli skierowane są do góry.

Zatem:

Sprawdźmy B.

Z postaci kanonicznej wiemy, że wierzchołek ma współrzędne (3,0).

Wiemy, że a<0, zatem ramiona paraboli skierowane są w dół.

Zatem:

Sprawdźmy C.

Z postaci kanonicznej wiemy, że wierzchołek ma współrzędne (2,-6).

Wiemy, że a<0, zatem ramiona paraboli skierowane są w dół.

Zatem:

Odp. C

Wyznacz współrzędne końców odcinka...

A więc jeżeli przesuniemy punkt P o wektor przeciwny do wektora PQ to otrzymamy punkt A:

Jeżeli przesuniemy punkt A o trzykrotnie większy wektor od wektora PQ to otrzymamy punkt B:

b) Oznaczmy punkty A i B jako:

Pierwszy przypadek:

{premium}

A więc:

Drugi przypadek:

Jeden z dwóch stosunków będzie odwrotny.

A więc:

Pozostałe dwa przypadki będą równoważne któremuś z powyższych warunków.

Zapisz wzór funkcji, której wykres otrzymasz...

Jeżeli przekształcamy wykres funkcji w symetrii względem punktu to zachodzi zależność:

W oparciu o tę wiedzę wyznaczymy wzory funkcji, jakie otrzymamy po przekształceniu wykresów. {premium}

Wzór nowej funkcji oznaczymy jako Mamy: