Minimum i maksimum funkcji kwadratowej w danym przedziale - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Minimum i maksimum funkcji kwadratowej w danym przedziale

W celu znalezienia wartości minimalnej i maksymalnej w funkcji kwadratowej musimy wykorzystać to czego się nauczyliśmy w poprzednich .

Naszym celem jest znalezienie wartości najmniejszej lub największej, do tego zależnie od zadania będziemy potrzebować:

- Obliczenia równania
- Wykresu
- Wierzchołka paraboli
- Granic przedziału
- Wartości osiąganych na krańcach

Wszystko już potrafimy, kluczem jest narysowanie wykresu i granic oraz wskazanie punktu.

No to pokażmy na przykładzie:

Przykład:

Znajdź maksymalną wartość funkcji $f(x)=-x^2-2x+3$ na przedziale (-2;0).
Najlepiej najpierw ją sobie narysować, w tym celu znajdźmy miejsca zerowe:

$a=-1$

$b=-2$

$c=3$

Obliczmy deltę:

$∆=b^2-4ac$

$∆=(-2)^2-4×(-1)×3$

$∆=4+12$

$∆=16$

Obliczmy od razu pierwiastek z delty

$√{∆}=√{16}=4$

No i teraz nasze rozwiązania:

$x_1={-b+√{∆} }/{2a}$

$x_1={2+4}/{-2}=6/{-2}=-3$

$x_2={-b-√{∆} }/2a$

$x_2={2-4}/{-2}=-{-2}/2=1$

Narysujmy prowizoryczną parabolę (jest smutna, bo $a<0$:

par1

Zaznaczmy granice przedziału. Z racji, że nawiasy są (), linia jest przerywana

par2

Jak widzimy wierzchołek paraboli jest pomiędzy nimi, więc to on będzie naszym maksimum

par3

No to liczymy wierzchołek, zaczynając od P, które jest średnią $x_1$ i $x_2$.

$P={-3+1}/2=-1$

Faktycznie P mieści się w naszym przedziale.

Teraz liczymy drugi współczynnik, czyli Q:

$Q={-∆}/{4a}$

$Q={-16}/{-8}$

$Q=2$

Piszemy odpowiedź:

$F_{max}=2$ lub słownie: wartość maksymalna to 2

Jeśli proszą nas o argument, dla jakiego funkcja przyjmuje maksymalną wartość, piszemy:

$F(1)=2=F_{max}$

Argument to oczywiście nasze P.

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Znajdź minimum funkcji $f(x)=x^2+2x-8$ na przedziale $<3;7>$ .

Zobacz rozwiązanie

Postępujemy identycznie jak w przykładzie:

$a=1$

$b=2$

$c=-8$

Obliczmy deltę:

$∆=b^2-4ac$

$∆=2^2-4×1×(-8)$ $∆=4+32$

$∆=36$

Obliczmy od razu pierwiastek z delty.

$√{∆}=√{36}=6$

No i teraz nasze rozwiązania:

$x_1={-b+√{∆} }/{2a}$

$x_1={-2+6)/2=4/2=2$

$x_2={-b-√{∆} }/{2a}$

$x_2={-2-6)/2={-8}/2=-4$

Narysujmy prowizoryczną parabolę z granicami:

Musimy znaleźć minimum więc widzimy, że najmniejsza wartość jest na lewej granicy, dla $x=3$.

Musimy więc podstawić $x=3$ pod naszą funkcję:

$f(x)=x^2+2x-8$

$f(3)=3^2+2×3-8$

$f(3)=9+6-8$

$f(3)=7$

Funkcja osiąga minimum w punkcie 3

$F_{max}=f(3)=7$

Zadanie 2.

Znajdź minimum funkcji $f(x)=x^2+4x+3$ na przedziale $(-5;-2>$

Zobacz rozwiązanie

Postępujemy identycznie jak w przykładzie podanym powyżej:

$a=1$

$b=4$

$c=3$

Obliczmy deltę:

$∆=b^2-4ac$

$∆=4^2-4×3×1$

$∆=16-12$

$∆=4$

Obliczmy od razu pierwiastek z delty:

$√{∆}=√{4}=2$

br/> No i teraz nasze rozwiązania:

$x_1={-b+√{∆} }/{2a} $

$x_1={-4+2}/2={-2}/2=-1 $

$x_2={-b-√{∆} }/{2a} $

$x_2={-4-2}/2={-6}/2=-3 $

Narysujmy prowizoryczną parabolę z granicami:

Jak widzimy granica przecina nam wierzchołek, bo współrzędna x wierzchołka jest średnią:

$P={-3-1}/2=-2$

Aby obliczyć Q, najprościej po prostu podstawić P pod x.

$f(x)=x^2+4x+3$

$f(P)=f(-2)=(-2)^2+4×(-2)+3$

$f(x)=4-8+3=-1$

Zatem wartość minimum jest osiągana dla x=-2

$F_{min}=f(-2)=-1$

Zadanie 3.

Znajdź maksimum funkcji $f(x)=-x^2-3x-2$ na przedziale $(-∞;-3>$.

Zobacz rozwiązanie

Tutaj także rozwiązujemy tak samo:

$a=-1$

$b=-3$

$c=-2$

Obliczmy deltę:

$∆=b^2-4ac$ $∆=(-3)^2-4×(-2)×(-1)$

$∆=9-8$

$∆=1$

Obliczmy od razu pierwiastek z delty:

$√{∆}=√{1}=1$

No i teraz nasze rozwiązania:

$x_1={-b+√{∆} }/{2a} $

$x_1={3+1}/{-2}=4/{-2}=-2 $

$x_2={-b-√{∆} }/{2a} $ $x_2={3-1}/{-2}=2/{-2}=-1$

Tutaj rysujemy tylko jedną granicę, ponieważ druga to minus nieskończoność:

Teraz mamy do policzenia maksimum, widzimy, że wykres najwięcej w tym przedziale osiąga dla $x=-3$, dlatego czas na kolejne podstawianie:

$f(x)=-x^2-3x-2$

$f(-3)=-(-3)^2-3×(-3)-2$

$f(-3)=-9+9-2$

$F_{max}=f(-3)=-2$

Spis treści

Rozwiązane zadania

Oblicz...

{premium}

Trójkąt jest równoramienny:

Znajdź trójkę liczb x, y, z spełniającą ...

Wiemy, że:

Możemy więc zapisać: {premium}

oraz

Zatem:

Wyznaczamy .

Czyli:

Znajdź współrzędne takiego punktu P ...

Z treści zadania wiemy, że:

Zatem: {premium}

Funkcja f jest opisana wzorem...

Zdanie A jest fałszywe, bo{premium}

Zdanie B jest fałszywe, bo w przedziale (-∞, 0> funkcja jest malejąca.

Zdanie C jest fałszywe, bo ZW_f=<0,+∞).

Zdanie D jest prawdziwe.

Prawidłowa odpowiedź to D.

Mając dane wektory...

Musimy podwoić długość wektora u by powstał wektor 2u.

Musimy zmienić zwrot wektora v i skrócić go o połowę a następnie wziąć pięciokrotnie większy wektor.

Jeżeli oznaczymy teraz nasze nowe wektory przez:

{premium}

To wektor w ma postać:

Czyli:

W Krasnolandii każdy obywatel...

Wprowadźmy oznaczenia:

x- liczba mieszkańców Krasnolandii

50% x - liczba bogatych Krasnolandian {premium}

50%x - liczba pięknych, ale niebogatych Krasnolandian

50 000 -liczba pięknych Krasnolandian (z czego 70% to niebogaci)

Obliczmy, ilu jest pięknych, ale niebogatych Krasnolandian:

Obliczmy, ilu jest pięknych i bogatych Krasnolandian:

Obliczmy, ilu jest mieszkańców Krasnolandii:

Obliczmy, ile procent mieszkańców stanowią piękni i zarazem bogaci mieszkańcy:

Odp.: W Krasnolandii mieszka 70 000 mieszkańców.
21 ³/₇% mieszkańców Krasnolandii jest zarazem pięknych i bogatych.

Na każdym rysunku są przedstawione...

Do rysunku A:

a) Dziedzina funkcji f to:

dziedzina funkcji g to: {premium}

b) Zbiór wartości funkcji f to:

Zbiór wartości funkcji g to:

c) Funkcja f ma 1 miejsce zerowe.

Funkcja g ma 2 miejsca zerowe.

d) Argumenty, dla których wartości funkcji g są dodatnie:

Argumenty, dla których wartości funkcji f są dodatnie:

e) Argumenty, dla których wartości funkcji f i g są równe:

Argumenty, dla których wartości funkcji f są większe od wartości funkcji g:

`(-2; 2)`

Do rysunku B:

a) Dziedzina funkcji f to:

dziedzina funkcji g to:

b) Zbiór wartości funkcji f to:

Zbiór wartości funkcji g to:

c) Funkcja f nie ma miejsc zerowych.

Funkcja g ma 1 miejsce zerowe.

d) Argumenty, dla których wartości funkcji g są dodatnie:

Argumenty, dla których wartości funkcji f są dodatnie:

e) Argumenty, dla których wartości funkcji f i g są równe:

Argumenty, dla których wartości funkcji f są większe od wartości funkcji g:

Do rysunku C:

a) Dziedzina funkcji f to:

dziedzina funkcji g to:

b) Zbiór wartości funkcji f to:

Zbiór wartości funkcji g to:

c) Funkcja f ma 2 miejsca zerowe.

Funkcja g ma 1 miejsce zerowe.

d) Argumenty, dla których wartości funkcji g są dodatnie:

Argumenty, dla których wartości funkcji f są dodatnie:

e) Argumenty, dla których wartości funkcji f i g są równe:

Argumenty, dla których wartości funkcji f są większe od wartości funkcji g:

Rozwiąż graficznie układ ...

{premium}

Zatem rozwiązaniem tego układu jest para liczb (2, -5).

Zatem rozwiązaniem tego układu jest para liczb (-1, 2).

Zatem rozwiązaniem tego układu jest para liczb (6, 3).

Zatem rozwiązaniem tego układu jest para liczb (1, 0).

Włącz czynnik pod znak pierwiastka:

{premium}

Naszkicuj wykres funkcji ...

Wykres funkcji f: {premium}

Zbiór argumentów, dla których funkcja f przyjmuje wartości ujemne: