Minimum i maksimum funkcji kwadratowej w danym przedziale - matura-podstawowa - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Minimum i maksimum funkcji kwadratowej w danym przedziale - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Minimum i maksimum funkcji kwadratowej w danym przedziale

W celu znalezienia wartości minimalnej i maksymalnej w funkcji kwadratowej musimy wykorzystać to czego się nauczyliśmy w poprzednich .

Naszym celem jest znalezienie wartości najmniejszej lub największej, do tego zależnie od zadania będziemy potrzebować:

- Obliczenia równania
- Wykresu
- Wierzchołka paraboli
- Granic przedziału
- Wartości osiąganych na krańcach

Wszystko już potrafimy, kluczem jest narysowanie wykresu i granic oraz wskazanie punktu.

No to pokażmy na przykładzie:

Przykład:

Znajdź maksymalną wartość funkcji $f(x)=-x^2-2x+3$ na przedziale (-2;0).
Najlepiej najpierw ją sobie narysować, w tym celu znajdźmy miejsca zerowe:

$a=-1$

$b=-2$

$c=3$

Obliczmy deltę:

$∆=b^2-4ac$

$∆=(-2)^2-4×(-1)×3$

$∆=4+12$

$∆=16$

Obliczmy od razu pierwiastek z delty

$√{∆}=√{16}=4$


No i teraz nasze rozwiązania:

$x_1={-b+√{∆} }/{2a}$

$x_1={2+4}/{-2}=6/{-2}=-3$

$x_2={-b-√{∆} }/2a$

$x_2={2-4}/{-2}=-{-2}/2=1$

Narysujmy prowizoryczną parabolę (jest smutna, bo $a<0$:

par1

Zaznaczmy granice przedziału. Z racji, że nawiasy są (), linia jest przerywana

par2

Jak widzimy wierzchołek paraboli jest pomiędzy nimi, więc to on będzie naszym maksimum

par3

No to liczymy wierzchołek, zaczynając od P, które jest średnią $x_1$ i $x_2$.

$P={-3+1}/2=-1$

Faktycznie P mieści się w naszym przedziale.

Teraz liczymy drugi współczynnik, czyli Q:

$Q={-∆}/{4a}$

$Q={-16}/{-8}$

$Q=2$

Piszemy odpowiedź:

$F_{max}=2$ lub słownie: wartość maksymalna to 2

Jeśli proszą nas o argument, dla jakiego funkcja przyjmuje maksymalną wartość, piszemy:

$F(1)=2=F_{max}$

Argument to oczywiście nasze P.
 

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Znajdź minimum funkcji $f(x)=x^2+2x-8$ na przedziale $<3;7>$ .

Postępujemy identycznie jak w przykładzie:

$a=1$

$b=2$

$c=-8$

Obliczmy deltę:

$∆=b^2-4ac$

$∆=2^2-4×1×(-8)$ $∆=4+32$

$∆=36$

Obliczmy od razu pierwiastek z delty.

$√{∆}=√{36}=6$


No i teraz nasze rozwiązania:

$x_1={-b+√{∆} }/{2a}$

$x_1={-2+6)/2=4/2=2$

$x_2={-b-√{∆} }/{2a}$

$x_2={-2-6)/2={-8}/2=-4$

Narysujmy prowizoryczną parabolę z granicami:

zad1

Musimy znaleźć minimum więc widzimy, że najmniejsza wartość jest na lewej granicy, dla $x=3$.

Musimy więc podstawić $x=3$ pod naszą funkcję:

$f(x)=x^2+2x-8$

$f(3)=3^2+2×3-8$

$f(3)=9+6-8$

$f(3)=7$

Funkcja osiąga minimum w punkcie 3

$F_{max}=f(3)=7$

Zadanie 2.

Znajdź minimum funkcji $f(x)=x^2+4x+3$ na przedziale $(-5;-2>$

Postępujemy identycznie jak w przykładzie podanym powyżej:

$a=1$

$b=4$

$c=3$

Obliczmy deltę:

$∆=b^2-4ac$

$∆=4^2-4×3×1$

$∆=16-12$

$∆=4$

Obliczmy od razu pierwiastek z delty:

$√{∆}=√{4}=2$

br/> No i teraz nasze rozwiązania:

$x_1={-b+√{∆} }/{2a} $

$x_1={-4+2}/2={-2}/2=-1 $

$x_2={-b-√{∆} }/{2a} $

$x_2={-4-2}/2={-6}/2=-3 $

Narysujmy prowizoryczną parabolę z granicami:

zad2

Jak widzimy granica przecina nam wierzchołek, bo współrzędna x wierzchołka jest średnią:

$P={-3-1}/2=-2$

Aby obliczyć Q, najprościej po prostu podstawić P pod x.

$f(x)=x^2+4x+3$

$f(P)=f(-2)=(-2)^2+4×(-2)+3$

$f(x)=4-8+3=-1$

Zatem wartość minimum jest osiągana dla x=-2

$F_{min}=f(-2)=-1$

Zadanie 3.

Znajdź maksimum funkcji $f(x)=-x^2-3x-2$ na przedziale $(-∞;-3>$.

Tutaj także rozwiązujemy tak samo:

$a=-1$

$b=-3$

$c=-2$

Obliczmy deltę:

$∆=b^2-4ac$ $∆=(-3)^2-4×(-2)×(-1)$

$∆=9-8$

$∆=1$

Obliczmy od razu pierwiastek z delty:

$√{∆}=√{1}=1$

No i teraz nasze rozwiązania:

$x_1={-b+√{∆} }/{2a} $

$x_1={3+1}/{-2}=4/{-2}=-2 $

$x_2={-b-√{∆} }/{2a} $ $x_2={3-1}/{-2}=2/{-2}=-1$

Tutaj rysujemy tylko jedną granicę, ponieważ druga to minus nieskończoność:

zad3

Teraz mamy do policzenia maksimum, widzimy, że wykres najwięcej w tym przedziale osiąga dla $x=-3$, dlatego czas na kolejne podstawianie:

$f(x)=-x^2-3x-2$

$f(-3)=-(-3)^2-3×(-3)-2$

$f(-3)=-9+9-2$

$F_{max}=f(-3)=-2$

Spis treści

Rozwiązane zadania
Uprość wyrażenie.

    {premium}

 

 

 

 

 

 

Narysowane koło ma promień...

a) Pole tej figury to różnica pól: koła o promieniu 5 i dwóch trójkątów równoramiennych: o ramionach długości 5 i kącie między ramionami 80o i o ramionach długości 5 i kącie między ramionami 100o: {premium}

 

 


b) Pole tej figury to różnica pól: wycinka koła o promieniu 5 i kącie 80o i trójkąta równoramiennego: o ramionach długości 5 i kącie między ramionami 80o :

 


c) Pole tej figury to różnica pól: wycinka koła o promieniu 5 i kącie 104o i trójkąta równoramiennego o ramionach długości 5 i kącie między ramionami 104o :

 


 


d) Pole tej figury to suma pól dwóch trójkątów równoramiennych o ramionach długości 5 i kącie między ramionami 110o:


 

Zasady płacenia podatku dochodowego od osób...

 Z tabeli (pierwszy wiersz) odczytujemy, że osoby o dochodzie  nie płaca podatku płacą  {premium}


 Dla kwoty   podatek obliczamy ze wzoru podanego w drugim wierszu tabeli:

 

Odp. Podatek wyniósłby  


 Dla kwoty   podatek obliczamy ze wzoru podanego w trzecim wierszu tabeli:

 

 

Odp. Podatek wyniósłby  


 Dla kwoty   podatek obliczamy ze wzoru podanego w czwartym wierszu tabeli:

 

 

Odp. Podatek wyniósłby  

Skorzystaj ze wzoru ...

Merkury:

Wenus:

{premium}

Ziemia:

Mars:

Jowisz:

Saturn:

Uran:

Neptun:

 

Pluton:

Trzy z kątów czworokąta mają miary...

Suma miar kątów wewnętrznych w każdym czworokącie wynosi 360o.

  -miara czwartego kąta tego czworokąta


Obliczmy miarę czwartego kąta tego czworokąta:    {premium}

 

 

 



Odp.: Czwarty kąt tego czworokąta ma miarę 100o

Oblicz, stosując prawo rozdzielności mnożenia...

 

 {premium}


 

 


 

 


 

  

Rozwiąż równanie ...

`"a)"` 

`root(3)(x-2)=4` 

`x-2=4^3` 

`x-2=64` 

`x=66`  {premium}


`"b)"` 

`root(3)(x+6)=-3` 

`x+6=(-3)^3` 

`x+6=-27` 

`x=-33` 


`"c)"` 

`root(5)(x)=2` 

`x=2^5` 

`x=32` 


`"d)"` 

`root(4)(x+8)=2` 

`x+8=2^4` 

`x+8=16` 

`x=8` 


`"e)"` 

`root(4)(3-x)=-2` 

Pierwiastek parzystego stopnia jest liczbą nieujemną, więc równanie nie ma rozwiązań.


`"f)"` 

`root(6)(250x)=10` 

`250x=10^6` 

`250x=1  000  000` 

`x=4000` 

W drodze do pracy Ewa ...

a) Ewa pokonuje 5 km autobusem (6-1=5).

 

b) Ewa pokonuje pieszo 2 km (1+1=2).

{premium}

 

c) Droga do pracy zajmuje pani Ewie 40 minut.

Wychodzi z domu o 7:15, a dociera do pracy o 7:55.

 

d) Autobus pokonuje drogę równą 5 km w czasie 15 min=1/4h. Obliczamy jego prędkość:

  

Autobus jedzie z prędkością 20 km/h.

 

e) Ewa czeka 5 minut na autobus.

Skróć ułamki x i y

 

 

 

        {premium}


 

 

 

 


 

 

   

 

Podaj przykłady liczb całkowitych dodatnich...

Rozszerzamy ułamki:{premium}

 

 

Zatem:

 

Otrzymujemy, że:

 

Stąd k=1, m=2.


Rozszerzamy ułamki do jeszcze większego mianownika:

 

 

Zatem:

 

Otrzymujemy, że:

 

Stąd k=13, m=27.

lub 

 

Stąd k=14, m=27.