Minimum i maksimum funkcji kwadratowej w danym przedziale - matura-podstawowa - Baza Wiedzy
Minimum i maksimum funkcji kwadratowej w danym przedziale
Naszym celem jest znalezienie wartości najmniejszej lub największej, do tego zależnie od zadania będziemy potrzebować:
- Obliczenia równania
- Wykresu
- Wierzchołka paraboli
- Granic przedziału
- Wartości osiąganych na krańcach
Wszystko już potrafimy, kluczem jest narysowanie wykresu i granic oraz wskazanie punktu.
No to pokażmy na przykładzie:
Przykład:
Znajdź maksymalną wartość funkcji $f(x)=-x^2-2x+3$ na przedziale (-2;0).
Najlepiej najpierw ją sobie narysować, w tym celu znajdźmy miejsca zerowe:
$a=-1$
$b=-2$
$c=3$
Obliczmy deltę:
$∆=b^2-4ac$
$∆=(-2)^2-4×(-1)×3$
$∆=4+12$
$∆=16$
Obliczmy od razu pierwiastek z delty
$√{∆}=√{16}=4$
No i teraz nasze rozwiązania:
$x_1={-b+√{∆} }/{2a}$
$x_1={2+4}/{-2}=6/{-2}=-3$
$x_2={-b-√{∆} }/2a$
$x_2={2-4}/{-2}=-{-2}/2=1$
Narysujmy prowizoryczną parabolę (jest smutna, bo $a<0$:
Zaznaczmy granice przedziału. Z racji, że nawiasy są (), linia jest przerywana
Jak widzimy wierzchołek paraboli jest pomiędzy nimi, więc to on będzie naszym maksimum
No to liczymy wierzchołek, zaczynając od P, które jest średnią $x_1$ i $x_2$.
$P={-3+1}/2=-1$
Faktycznie P mieści się w naszym przedziale.
Teraz liczymy drugi współczynnik, czyli Q:
$Q={-∆}/{4a}$
$Q={-16}/{-8}$
$Q=2$
Piszemy odpowiedź:
$F_{max}=2$ lub słownie: wartość maksymalna to 2
Jeśli proszą nas o argument, dla jakiego funkcja przyjmuje maksymalną wartość, piszemy:
$F(1)=2=F_{max}$
Argument to oczywiście nasze P.
Zadania powtórzeniowe
Zadanie 1.
Znajdź minimum funkcji $f(x)=x^2+2x-8$ na przedziale $<3;7>$ .
Postępujemy identycznie jak w przykładzie:
$a=1$
$b=2$
$c=-8$
Obliczmy deltę:
$∆=b^2-4ac$
$∆=2^2-4×1×(-8)$ $∆=4+32$
$∆=36$
Obliczmy od razu pierwiastek z delty.
$√{∆}=√{36}=6$
No i teraz nasze rozwiązania:
$x_1={-b+√{∆} }/{2a}$
$x_1={-2+6)/2=4/2=2$
$x_2={-b-√{∆} }/{2a}$
$x_2={-2-6)/2={-8}/2=-4$
Narysujmy prowizoryczną parabolę z granicami:
Musimy znaleźć minimum więc widzimy, że najmniejsza wartość jest na lewej granicy, dla $x=3$.
Musimy więc podstawić $x=3$ pod naszą funkcję:
$f(x)=x^2+2x-8$
$f(3)=3^2+2×3-8$
$f(3)=9+6-8$
$f(3)=7$
Funkcja osiąga minimum w punkcie 3
$F_{max}=f(3)=7$
Zadanie 2.
Znajdź minimum funkcji $f(x)=x^2+4x+3$ na przedziale $(-5;-2>$
Postępujemy identycznie jak w przykładzie podanym powyżej:
$a=1$
$b=4$
$c=3$
Obliczmy deltę:
$∆=b^2-4ac$
$∆=4^2-4×3×1$
$∆=16-12$
$∆=4$
Obliczmy od razu pierwiastek z delty:
$√{∆}=√{4}=2$
br/> No i teraz nasze rozwiązania:
$x_1={-b+√{∆} }/{2a} $
$x_1={-4+2}/2={-2}/2=-1 $
$x_2={-b-√{∆} }/{2a} $
$x_2={-4-2}/2={-6}/2=-3 $
Narysujmy prowizoryczną parabolę z granicami:
Jak widzimy granica przecina nam wierzchołek, bo współrzędna x wierzchołka jest średnią:
$P={-3-1}/2=-2$
Aby obliczyć Q, najprościej po prostu podstawić P pod x.
$f(x)=x^2+4x+3$
$f(P)=f(-2)=(-2)^2+4×(-2)+3$
$f(x)=4-8+3=-1$
Zatem wartość minimum jest osiągana dla x=-2
$F_{min}=f(-2)=-1$
Zadanie 3.
Znajdź maksimum funkcji $f(x)=-x^2-3x-2$ na przedziale $(-∞;-3>$.
Tutaj także rozwiązujemy tak samo:
$a=-1$
$b=-3$
$c=-2$
Obliczmy deltę:
$∆=b^2-4ac$ $∆=(-3)^2-4×(-2)×(-1)$
$∆=9-8$
$∆=1$
Obliczmy od razu pierwiastek z delty:
$√{∆}=√{1}=1$
No i teraz nasze rozwiązania:
$x_1={-b+√{∆} }/{2a} $
$x_1={3+1}/{-2}=4/{-2}=-2 $
$x_2={-b-√{∆} }/{2a} $ $x_2={3-1}/{-2}=2/{-2}=-1$
Tutaj rysujemy tylko jedną granicę, ponieważ druga to minus nieskończoność:
Teraz mamy do policzenia maksimum, widzimy, że wykres najwięcej w tym przedziale osiąga dla $x=-3$, dlatego czas na kolejne podstawianie:
$f(x)=-x^2-3x-2$
$f(-3)=-(-3)^2-3×(-3)-2$
$f(-3)=-9+9-2$
$F_{max}=f(-3)=-2$
Spis treści
{premium}
a) Pole tej figury to różnica pól: koła o promieniu 5 i dwóch trójkątów równoramiennych: o ramionach długości 5 i kącie między ramionami 80o i o ramionach długości 5 i kącie między ramionami 100o: {premium}
b) Pole tej figury to różnica pól: wycinka koła o promieniu 5 i kącie 80o i trójkąta równoramiennego: o ramionach długości 5 i kącie między ramionami 80o :
c) Pole tej figury to różnica pól: wycinka koła o promieniu 5 i kącie 104o i trójkąta równoramiennego o ramionach długości 5 i kącie między ramionami 104o :
d) Pole tej figury to suma pól dwóch trójkątów równoramiennych o ramionach długości 5 i kącie między ramionami 110o:
Z tabeli (pierwszy wiersz) odczytujemy, że osoby o dochodzie nie płaca podatku płacą {premium}
Dla kwoty podatek obliczamy ze wzoru podanego w drugim wierszu tabeli:
Odp. Podatek wyniósłby
Dla kwoty podatek obliczamy ze wzoru podanego w trzecim wierszu tabeli:
Odp. Podatek wyniósłby
Dla kwoty podatek obliczamy ze wzoru podanego w czwartym wierszu tabeli:
Odp. Podatek wyniósłby
Merkury:
Wenus:
{premium}
Ziemia:
Mars:
Jowisz:
Saturn:
Uran:
Neptun:
Pluton:
Suma miar kątów wewnętrznych w każdym czworokącie wynosi 360o.
-miara czwartego kąta tego czworokąta
Obliczmy miarę czwartego kąta tego czworokąta: {premium}
Odp.: Czwarty kąt tego czworokąta ma miarę 100o.
{premium}
`"a)"`
`root(3)(x-2)=4`
`x-2=4^3`
`x-2=64`
`x=66` {premium}
`"b)"`
`root(3)(x+6)=-3`
`x+6=(-3)^3`
`x+6=-27`
`x=-33`
`"c)"`
`root(5)(x)=2`
`x=2^5`
`x=32`
`"d)"`
`root(4)(x+8)=2`
`x+8=2^4`
`x+8=16`
`x=8`
`"e)"`
`root(4)(3-x)=-2`
Pierwiastek parzystego stopnia jest liczbą nieujemną, więc równanie nie ma rozwiązań.
`"f)"`
`root(6)(250x)=10`
`250x=10^6`
`250x=1 000 000`
`x=4000`
a) Ewa pokonuje 5 km autobusem (6-1=5).
b) Ewa pokonuje pieszo 2 km (1+1=2).
{premium}
c) Droga do pracy zajmuje pani Ewie 40 minut.
Wychodzi z domu o 7:15, a dociera do pracy o 7:55.
d) Autobus pokonuje drogę równą 5 km w czasie 15 min=1/4h. Obliczamy jego prędkość:
Autobus jedzie z prędkością 20 km/h.
e) Ewa czeka 5 minut na autobus.
{premium}
Rozszerzamy ułamki:{premium}
Zatem:
Otrzymujemy, że:
Stąd k=1, m=2.
Rozszerzamy ułamki do jeszcze większego mianownika:
Zatem:
Otrzymujemy, że:
Stąd k=13, m=27.
lub
Stąd k=14, m=27.
