Minimum i maksimum funkcji kwadratowej w danym przedziale - matura-podstawowa - Baza Wiedzy
Minimum i maksimum funkcji kwadratowej w danym przedziale
W celu znalezienia wartości minimalnej i maksymalnej w funkcji kwadratowej musimy wykorzystać to czego się nauczyliśmy w poprzednich .
Naszym celem jest znalezienie wartości najmniejszej lub największej, do tego zależnie od zadania będziemy potrzebować:
- Obliczenia równania
- Wykresu
- Wierzchołka paraboli
- Granic przedziału
- Wartości osiąganych na krańcach
Wszystko już potrafimy, kluczem jest narysowanie wykresu i granic oraz wskazanie punktu.
No to pokażmy na przykładzie:
Przykład:
Znajdź maksymalną wartość funkcji $$f(x)=-x^2-2x+3$$ na przedziale (-2;0).
Najlepiej najpierw ją sobie narysować, w tym celu znajdźmy miejsca zerowe:
$$a=-1$$
$$b=-2$$
$$c=3$$
Obliczmy deltę:
$$∆=b^2-4ac$$
$$∆=(-2)^2-4×(-1)×3$$
$$∆=4+12$$
$$∆=16$$
Obliczmy od razu pierwiastek z delty
$$√{∆}=√{16}=4$$
No i teraz nasze rozwiązania:
$$x_1={-b+√{∆} }/{2a}$$
$$x_1={2+4}/{-2}=6/{-2}=-3$$
$$x_2={-b-√{∆} }/2a$$
$$x_2={2-4}/{-2}=-{-2}/2=1$$
Narysujmy prowizoryczną parabolę (jest smutna, bo $$a<0$$:
Zaznaczmy granice przedziału. Z racji, że nawiasy są (), linia jest przerywana
Jak widzimy wierzchołek paraboli jest pomiędzy nimi, więc to on będzie naszym maksimum
No to liczymy wierzchołek, zaczynając od P, które jest średnią $$x_1$$ i $$x_2$$.
$$P={-3+1}/2=-1$$
Faktycznie P mieści się w naszym przedziale.
Teraz liczymy drugi współczynnik, czyli Q:
$$Q={-∆}/{4a}$$
$$Q={-16}/{-8}$$
$$Q=2$$
Piszemy odpowiedź:
$$F_{max}=2$$ lub słownie: wartość maksymalna to 2
Jeśli proszą nas o argument, dla jakiego funkcja przyjmuje maksymalną wartość, piszemy:
$$F(1)=2=F_{max}$$
Argument to oczywiście nasze P.
Naszym celem jest znalezienie wartości najmniejszej lub największej, do tego zależnie od zadania będziemy potrzebować:
- Obliczenia równania
- Wykresu
- Wierzchołka paraboli
- Granic przedziału
- Wartości osiąganych na krańcach
Wszystko już potrafimy, kluczem jest narysowanie wykresu i granic oraz wskazanie punktu.
No to pokażmy na przykładzie:
Przykład:
Znajdź maksymalną wartość funkcji $$f(x)=-x^2-2x+3$$ na przedziale (-2;0).
Najlepiej najpierw ją sobie narysować, w tym celu znajdźmy miejsca zerowe:
$$a=-1$$
$$b=-2$$
$$c=3$$
Obliczmy deltę:
$$∆=b^2-4ac$$
$$∆=(-2)^2-4×(-1)×3$$
$$∆=4+12$$
$$∆=16$$
Obliczmy od razu pierwiastek z delty
$$√{∆}=√{16}=4$$
No i teraz nasze rozwiązania:
$$x_1={-b+√{∆} }/{2a}$$
$$x_1={2+4}/{-2}=6/{-2}=-3$$
$$x_2={-b-√{∆} }/2a$$
$$x_2={2-4}/{-2}=-{-2}/2=1$$
Narysujmy prowizoryczną parabolę (jest smutna, bo $$a<0$$:
Zaznaczmy granice przedziału. Z racji, że nawiasy są (), linia jest przerywana
Jak widzimy wierzchołek paraboli jest pomiędzy nimi, więc to on będzie naszym maksimum
No to liczymy wierzchołek, zaczynając od P, które jest średnią $$x_1$$ i $$x_2$$.
$$P={-3+1}/2=-1$$
Faktycznie P mieści się w naszym przedziale.
Teraz liczymy drugi współczynnik, czyli Q:
$$Q={-∆}/{4a}$$
$$Q={-16}/{-8}$$
$$Q=2$$
Piszemy odpowiedź:
$$F_{max}=2$$ lub słownie: wartość maksymalna to 2
Jeśli proszą nas o argument, dla jakiego funkcja przyjmuje maksymalną wartość, piszemy:
$$F(1)=2=F_{max}$$
Argument to oczywiście nasze P.
Zadania powtórzeniowe
Zadanie 1.
Znajdź minimum funkcji $$f(x)=x^2+2x-8$$ na przedziale $$<3;7>$$ .
Postępujemy identycznie jak w przykładzie:
$$a=1$$
$$b=2$$
$$c=-8$$
Obliczmy deltę:
$$∆=b^2-4ac$$
$$∆=2^2-4×1×(-8)$$ $$∆=4+32$$
$$∆=36$$
Obliczmy od razu pierwiastek z delty.
$$√{∆}=√{36}=6$$
No i teraz nasze rozwiązania:
$$x_1={-b+√{∆} }/{2a}$$
$$x_1={-2+6)/2=4/2=2$$
$$x_2={-b-√{∆} }/{2a}$$
$$x_2={-2-6)/2={-8}/2=-4$$
Narysujmy prowizoryczną parabolę z granicami:
Musimy znaleźć minimum więc widzimy, że najmniejsza wartość jest na lewej granicy, dla $$x=3$$.
Musimy więc podstawić $$x=3$$ pod naszą funkcję:
$$f(x)=x^2+2x-8$$
$$f(3)=3^2+2×3-8$$
$$f(3)=9+6-8$$
$$f(3)=7$$
Funkcja osiąga minimum w punkcie 3
$$F_{max}=f(3)=7$$
Zadanie 2.
Znajdź minimum funkcji $$f(x)=x^2+4x+3$$ na przedziale $$(-5;-2>$$
Postępujemy identycznie jak w przykładzie podanym powyżej:
$$a=1$$
$$b=4$$
$$c=3$$
Obliczmy deltę:
$$∆=b^2-4ac$$
$$∆=4^2-4×3×1$$
$$∆=16-12$$
$$∆=4$$
Obliczmy od razu pierwiastek z delty:
$$√{∆}=√{4}=2$$
br/> No i teraz nasze rozwiązania:
$$x_1={-b+√{∆} }/{2a} $$
$$x_1={-4+2}/2={-2}/2=-1 $$
$$x_2={-b-√{∆} }/{2a} $$
$$x_2={-4-2}/2={-6}/2=-3 $$
Narysujmy prowizoryczną parabolę z granicami:
Jak widzimy granica przecina nam wierzchołek, bo współrzędna x wierzchołka jest średnią:
$$P={-3-1}/2=-2$$
Aby obliczyć Q, najprościej po prostu podstawić P pod x.
$$f(x)=x^2+4x+3$$
$$f(P)=f(-2)=(-2)^2+4×(-2)+3$$
$$f(x)=4-8+3=-1$$
Zatem wartość minimum jest osiągana dla x=-2
$$F_{min}=f(-2)=-1$$
Zadanie 3.
Znajdź maksimum funkcji $$f(x)=-x^2-3x-2$$ na przedziale $$(-∞;-3>$$.
Tutaj także rozwiązujemy tak samo:
$$a=-1$$
$$b=-3$$
$$c=-2$$
Obliczmy deltę:
$$∆=b^2-4ac$$ $$∆=(-3)^2-4×(-2)×(-1)$$
$$∆=9-8$$
$$∆=1$$
Obliczmy od razu pierwiastek z delty:
$$√{∆}=√{1}=1$$
No i teraz nasze rozwiązania:
$$x_1={-b+√{∆} }/{2a} $$
$$x_1={3+1}/{-2}=4/{-2}=-2 $$
$$x_2={-b-√{∆} }/{2a} $$ $$x_2={3-1}/{-2}=2/{-2}=-1$$
Tutaj rysujemy tylko jedną granicę, ponieważ druga to minus nieskończoność:
Teraz mamy do policzenia maksimum, widzimy, że wykres najwięcej w tym przedziale osiąga dla $$x=-3$$, dlatego czas na kolejne podstawianie:
$$f(x)=-x^2-3x-2$$
$$f(-3)=-(-3)^2-3×(-3)-2$$
$$f(-3)=-9+9-2$$
$$F_{max}=f(-3)=-2$$
Spis treści
Rozwiązane zadania
Rozwiąż równanie.
Za wykonanie pewnej usługi, do której dolicza...
cena usługi bez podatku
cena usługi z podatkiem
Wiemy, że za usługę razem z podatkiem klient zapłacił Stąd: {premium}
Obliczamy, ile wynosi podatku od ceny usługi:
Obliczamy, ile klient zapłaci za usługę razem z podatkiem
Odp. Gdyby podatek VAT wynosił klient zapłaciłby
Poniższa tabela pokazuje średnie kursy euro...
Średnia arytmetyczna liczb jest równa
{premium}
Odp. Średni kurs euro wynosił
Pokoloruj...
a) Rysunek:
b) Rysunek:
c) Rysunek:
d) Rysunek:
Korzystając ze wzorów podanych w poprzednim zadaniu ...
Prosta prostopadła do prostej l, przechodząca przez punkt P wyraża się wzorem:
Podstawmy odpowiednie wartości.
Prosta równoległa do prostej l, przechodząca przez punkt P wyraża się wzorem:
Podstawmy odpowiednie wartości.
Prosta prostopadła do prostej l, przechodząca przez punkt P wyraża się wzorem:
Podstawmy odpowiednie wartości.
Prosta równoległa do prostej l, przechodząca przez punkt P wyraża się wzorem:
Podstawmy odpowiednie wartości.
Prosta prostopadła do prostej l, przechodząca przez punkt P wyraża się wzorem:
Podstawmy odpowiednie wartości.
Prosta równoległa do prostej l, przechodząca przez punkt P wyraża się wzorem:
Podstawmy odpowiednie wartości.
Bez obliczania miejsc zerowych funkcji...
Zauważmy, że w podpunkcie e) dowiedzieliśmy się, że:
zatem:
czyli
Wiedząc, że x/y=m/n
` `
Wykaż, że liczba
Liczby 3 i 19 są czynnikami tworzącymi daną liczbę, więc dana liczba jest podzielna przez 3 oraz przez 19.
Niech n będzie dowolną liczbą naturalną
Zapiszmy sumę trzech kolejnych potęg naturalnych liczby 7.
Liczby 3 i 19 są czynnikami tworzącymi daną liczbę, więc dana liczba jest podzielna przez 3 oraz przez 19.
Na podstawie definicji logarytmu (logab=c <=>
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
Podaj przykład dwóch liczb wymiernych...
bo
{premium}
bo
bo
© 2018 Odrabiamy.pl