Minimum i maksimum funkcji kwadratowej w danym przedziale - matura-podstawowa - Baza Wiedzy
Minimum i maksimum funkcji kwadratowej w danym przedziale
W celu znalezienia wartości minimalnej i maksymalnej w funkcji kwadratowej musimy wykorzystać to czego się nauczyliśmy w poprzednich .
Naszym celem jest znalezienie wartości najmniejszej lub największej, do tego zależnie od zadania będziemy potrzebować:
- Obliczenia równania
- Wykresu
- Wierzchołka paraboli
- Granic przedziału
- Wartości osiąganych na krańcach
Wszystko już potrafimy, kluczem jest narysowanie wykresu i granic oraz wskazanie punktu.
No to pokażmy na przykładzie:
Przykład:
Znajdź maksymalną wartość funkcji $$f(x)=-x^2-2x+3$$ na przedziale (-2;0).
Najlepiej najpierw ją sobie narysować, w tym celu znajdźmy miejsca zerowe:
$$a=-1$$
$$b=-2$$
$$c=3$$
Obliczmy deltę:
$$∆=b^2-4ac$$
$$∆=(-2)^2-4×(-1)×3$$
$$∆=4+12$$
$$∆=16$$
Obliczmy od razu pierwiastek z delty
$$√{∆}=√{16}=4$$
No i teraz nasze rozwiązania:
$$x_1={-b+√{∆} }/{2a}$$
$$x_1={2+4}/{-2}=6/{-2}=-3$$
$$x_2={-b-√{∆} }/2a$$
$$x_2={2-4}/{-2}=-{-2}/2=1$$
Narysujmy prowizoryczną parabolę (jest smutna, bo $$a<0$$:
Zaznaczmy granice przedziału. Z racji, że nawiasy są (), linia jest przerywana
Jak widzimy wierzchołek paraboli jest pomiędzy nimi, więc to on będzie naszym maksimum
No to liczymy wierzchołek, zaczynając od P, które jest średnią $$x_1$$ i $$x_2$$.
$$P={-3+1}/2=-1$$
Faktycznie P mieści się w naszym przedziale.
Teraz liczymy drugi współczynnik, czyli Q:
$$Q={-∆}/{4a}$$
$$Q={-16}/{-8}$$
$$Q=2$$
Piszemy odpowiedź:
$$F_{max}=2$$ lub słownie: wartość maksymalna to 2
Jeśli proszą nas o argument, dla jakiego funkcja przyjmuje maksymalną wartość, piszemy:
$$F(1)=2=F_{max}$$
Argument to oczywiście nasze P.
Naszym celem jest znalezienie wartości najmniejszej lub największej, do tego zależnie od zadania będziemy potrzebować:
- Obliczenia równania
- Wykresu
- Wierzchołka paraboli
- Granic przedziału
- Wartości osiąganych na krańcach
Wszystko już potrafimy, kluczem jest narysowanie wykresu i granic oraz wskazanie punktu.
No to pokażmy na przykładzie:
Przykład:
Znajdź maksymalną wartość funkcji $$f(x)=-x^2-2x+3$$ na przedziale (-2;0).
Najlepiej najpierw ją sobie narysować, w tym celu znajdźmy miejsca zerowe:
$$a=-1$$
$$b=-2$$
$$c=3$$
Obliczmy deltę:
$$∆=b^2-4ac$$
$$∆=(-2)^2-4×(-1)×3$$
$$∆=4+12$$
$$∆=16$$
Obliczmy od razu pierwiastek z delty
$$√{∆}=√{16}=4$$
No i teraz nasze rozwiązania:
$$x_1={-b+√{∆} }/{2a}$$
$$x_1={2+4}/{-2}=6/{-2}=-3$$
$$x_2={-b-√{∆} }/2a$$
$$x_2={2-4}/{-2}=-{-2}/2=1$$
Narysujmy prowizoryczną parabolę (jest smutna, bo $$a<0$$:
Zaznaczmy granice przedziału. Z racji, że nawiasy są (), linia jest przerywana
Jak widzimy wierzchołek paraboli jest pomiędzy nimi, więc to on będzie naszym maksimum
No to liczymy wierzchołek, zaczynając od P, które jest średnią $$x_1$$ i $$x_2$$.
$$P={-3+1}/2=-1$$
Faktycznie P mieści się w naszym przedziale.
Teraz liczymy drugi współczynnik, czyli Q:
$$Q={-∆}/{4a}$$
$$Q={-16}/{-8}$$
$$Q=2$$
Piszemy odpowiedź:
$$F_{max}=2$$ lub słownie: wartość maksymalna to 2
Jeśli proszą nas o argument, dla jakiego funkcja przyjmuje maksymalną wartość, piszemy:
$$F(1)=2=F_{max}$$
Argument to oczywiście nasze P.
Zadania powtórzeniowe
Zadanie 1.
Znajdź minimum funkcji $$f(x)=x^2+2x-8$$ na przedziale $$<3;7>$$ .
Postępujemy identycznie jak w przykładzie:
$$a=1$$
$$b=2$$
$$c=-8$$
Obliczmy deltę:
$$∆=b^2-4ac$$
$$∆=2^2-4×1×(-8)$$ $$∆=4+32$$
$$∆=36$$
Obliczmy od razu pierwiastek z delty.
$$√{∆}=√{36}=6$$
No i teraz nasze rozwiązania:
$$x_1={-b+√{∆} }/{2a}$$
$$x_1={-2+6)/2=4/2=2$$
$$x_2={-b-√{∆} }/{2a}$$
$$x_2={-2-6)/2={-8}/2=-4$$
Narysujmy prowizoryczną parabolę z granicami:
Musimy znaleźć minimum więc widzimy, że najmniejsza wartość jest na lewej granicy, dla $$x=3$$.
Musimy więc podstawić $$x=3$$ pod naszą funkcję:
$$f(x)=x^2+2x-8$$
$$f(3)=3^2+2×3-8$$
$$f(3)=9+6-8$$
$$f(3)=7$$
Funkcja osiąga minimum w punkcie 3
$$F_{max}=f(3)=7$$
Zadanie 2.
Znajdź minimum funkcji $$f(x)=x^2+4x+3$$ na przedziale $$(-5;-2>$$
Postępujemy identycznie jak w przykładzie podanym powyżej:
$$a=1$$
$$b=4$$
$$c=3$$
Obliczmy deltę:
$$∆=b^2-4ac$$
$$∆=4^2-4×3×1$$
$$∆=16-12$$
$$∆=4$$
Obliczmy od razu pierwiastek z delty:
$$√{∆}=√{4}=2$$
br/> No i teraz nasze rozwiązania:
$$x_1={-b+√{∆} }/{2a} $$
$$x_1={-4+2}/2={-2}/2=-1 $$
$$x_2={-b-√{∆} }/{2a} $$
$$x_2={-4-2}/2={-6}/2=-3 $$
Narysujmy prowizoryczną parabolę z granicami:
Jak widzimy granica przecina nam wierzchołek, bo współrzędna x wierzchołka jest średnią:
$$P={-3-1}/2=-2$$
Aby obliczyć Q, najprościej po prostu podstawić P pod x.
$$f(x)=x^2+4x+3$$
$$f(P)=f(-2)=(-2)^2+4×(-2)+3$$
$$f(x)=4-8+3=-1$$
Zatem wartość minimum jest osiągana dla x=-2
$$F_{min}=f(-2)=-1$$
Zadanie 3.
Znajdź maksimum funkcji $$f(x)=-x^2-3x-2$$ na przedziale $$(-∞;-3>$$.
Tutaj także rozwiązujemy tak samo:
$$a=-1$$
$$b=-3$$
$$c=-2$$
Obliczmy deltę:
$$∆=b^2-4ac$$ $$∆=(-3)^2-4×(-2)×(-1)$$
$$∆=9-8$$
$$∆=1$$
Obliczmy od razu pierwiastek z delty:
$$√{∆}=√{1}=1$$
No i teraz nasze rozwiązania:
$$x_1={-b+√{∆} }/{2a} $$
$$x_1={3+1}/{-2}=4/{-2}=-2 $$
$$x_2={-b-√{∆} }/{2a} $$ $$x_2={3-1}/{-2}=2/{-2}=-1$$
Tutaj rysujemy tylko jedną granicę, ponieważ druga to minus nieskończoność:
Teraz mamy do policzenia maksimum, widzimy, że wykres najwięcej w tym przedziale osiąga dla $$x=-3$$, dlatego czas na kolejne podstawianie:
$$f(x)=-x^2-3x-2$$
$$f(-3)=-(-3)^2-3×(-3)-2$$
$$f(-3)=-9+9-2$$
$$F_{max}=f(-3)=-2$$
Spis treści
Rozwiązane zadania
Mamy 240 metrów bieżących siatki ...
Oznaczmy długości boków prostokąta jako x i z.
Wiemy, że obwód ogródka ma długość 240 metrów, stąd:
Wyznaczamy z powyższego równania długość boku z:
Chcemy, aby pole powierzchni ogródka było jak największe.
Zapiszmy funkcję określającą pole ogródka:
(zakładając, że długości boków są większe od 0 otrzymujemy dziedzinę funkcji (0;120)).
Wykres funkcji f(x) jest parabolą o ramionach skierowanych w dół (a=-1), więc największa wartość funkcji to f(xw).
Ogródek będzie miał największe pole równa 3600 m2, jeżeli jeden z boków będzie miał długość równą 60m:
wówczas długość drugiego boku musi wynosić:
Odp: Ogródek powinien być kwadratem o boku długości 60 m.
Rozwiąż równanie.
` `
W prostokątnym układzie współrzędnych naszkicuj...
a) Zróbmy tabelkę wartości funkcji f dla kilku argumentów z dziedziny funkcji:
| x | -1 | 0 | 1 | 2 |
| y=x3 | -1 | 0 | 1 | 8 |
{premium}
Rysujemy wykres funkcji f(x)=x3 i proste o równaniach: y=-1, y=8.
Na podstawie wykresów funkcji odczytujemy, że:
b) Zróbmy tabelkę wartości funkcji f dla kilku argumentów z dziedziny funkcji:
Rysujemy wykres funkcji f(x)=1/x i proste o równaniach: y=2, y=-1/4.
Na podstawie wykresów funkcji odczytujemy, że:
Naszkicuj wykresy funkcji g i h...
Wykres funkcji otrzymujemy po przesunięciu paraboli równolegle
do osi o jednostki w lewo.
Wykres funkcji otrzymujemy po przesunięciu paraboli równolegle
do osi o jednostki w prawo.
Zachował się zbiór wartości funkcji
Drabina o długości 3,6 m oparta o ścianę...
a) Rysunek:
Z twierdzenia Talesa:
Odpowiedź: Drabina sięga na wysokość 1,8 m.
b) Rysunek:
Z twierdzenia Talesa:
Odpowiedź: Drabina ma długość 4,4 m.
Rozłóż na czynniki pierwsze następujące liczby:
{premium}
Jola wykonała obliczenia:
Sprawdzamy, które obliczenia są poprawne:
{premium}
Prawidłowa odpowiedź to B.
Funkcja f jest określona za pomocą wzoru f(x)=x^2
Funkcja jest rosnąca - dla coraz większych argumentów przyjmuje coraz większe wartości.
{premium}
Funkcja jest malejąca - dla coraz mniejszych argumentów przyjmuje coraz mniejsze wartości.
Funkcja nie jest monotoniczna. Gdyby była rosnąca, to dla coraz większych argumentów przyjmowałaby coraz większe watości, a dla -2 przyjmuje przecież większą wartość niż dla 1. Gdyby była malejąca, to dla coraz mniejszych wartości przyjmowałaby coraz mniejsze wartości, a dla 0 przyjmuje przecież mniejszą wartość niż dla 1.
Konrad wybrał się w podróż z miasta A ...
Zauważmy, że Konrad podróżował pociągiem przez 6h.
Odległość między miastami A i B wynosi 440 km.
Na rysunku przedstawione są wykresy funkcji ...
Pierwsze współrzędne punktów A, B, C zostały zwiększone o 4, dzięki czemy otrzymane zostały punkty A', B', C'.
© 2019 Odrabiamy.pl