Minimum i maksimum funkcji kwadratowej w danym przedziale - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Minimum i maksimum funkcji kwadratowej w danym przedziale

W celu znalezienia wartości minimalnej i maksymalnej w funkcji kwadratowej musimy wykorzystać to czego się nauczyliśmy w poprzednich .

Naszym celem jest znalezienie wartości najmniejszej lub największej, do tego zależnie od zadania będziemy potrzebować:

- Obliczenia równania
- Wykresu
- Wierzchołka paraboli
- Granic przedziału
- Wartości osiąganych na krańcach

Wszystko już potrafimy, kluczem jest narysowanie wykresu i granic oraz wskazanie punktu.

No to pokażmy na przykładzie:

Przykład:

Znajdź maksymalną wartość funkcji $$f(x)=-x^2-2x+3$$ na przedziale (-2;0).
Najlepiej najpierw ją sobie narysować, w tym celu znajdźmy miejsca zerowe:

$$a=-1$$

$$b=-2$$

$$c=3$$

Obliczmy deltę:

$$∆=b^2-4ac$$

$$∆=(-2)^2-4×(-1)×3$$

$$∆=4+12$$

$$∆=16$$

Obliczmy od razu pierwiastek z delty

$$√{∆}=√{16}=4$$


No i teraz nasze rozwiązania:

$$x_1={-b+√{∆} }/{2a}$$

$$x_1={2+4}/{-2}=6/{-2}=-3$$

$$x_2={-b-√{∆} }/2a$$

$$x_2={2-4}/{-2}=-{-2}/2=1$$

Narysujmy prowizoryczną parabolę (jest smutna, bo $$a<0$$:

par1

Zaznaczmy granice przedziału. Z racji, że nawiasy są (), linia jest przerywana

par2

Jak widzimy wierzchołek paraboli jest pomiędzy nimi, więc to on będzie naszym maksimum

par3

No to liczymy wierzchołek, zaczynając od P, które jest średnią $$x_1$$ i $$x_2$$.

$$P={-3+1}/2=-1$$

Faktycznie P mieści się w naszym przedziale.

Teraz liczymy drugi współczynnik, czyli Q:

$$Q={-∆}/{4a}$$

$$Q={-16}/{-8}$$

$$Q=2$$

Piszemy odpowiedź:

$$F_{max}=2$$ lub słownie: wartość maksymalna to 2

Jeśli proszą nas o argument, dla jakiego funkcja przyjmuje maksymalną wartość, piszemy:

$$F(1)=2=F_{max}$$

Argument to oczywiście nasze P.
 

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Znajdź minimum funkcji $$f(x)=x^2+2x-8$$ na przedziale $$<3;7>$$ .

Postępujemy identycznie jak w przykładzie:

$$a=1$$

$$b=2$$

$$c=-8$$

Obliczmy deltę:

$$∆=b^2-4ac$$

$$∆=2^2-4×1×(-8)$$ $$∆=4+32$$

$$∆=36$$

Obliczmy od razu pierwiastek z delty.

$$√{∆}=√{36}=6$$


No i teraz nasze rozwiązania:

$$x_1={-b+√{∆} }/{2a}$$

$$x_1={-2+6)/2=4/2=2$$

$$x_2={-b-√{∆} }/{2a}$$

$$x_2={-2-6)/2={-8}/2=-4$$

Narysujmy prowizoryczną parabolę z granicami:

zad1

Musimy znaleźć minimum więc widzimy, że najmniejsza wartość jest na lewej granicy, dla $$x=3$$.

Musimy więc podstawić $$x=3$$ pod naszą funkcję:

$$f(x)=x^2+2x-8$$

$$f(3)=3^2+2×3-8$$

$$f(3)=9+6-8$$

$$f(3)=7$$

Funkcja osiąga minimum w punkcie 3

$$F_{max}=f(3)=7$$

Zadanie 2.

Znajdź minimum funkcji $$f(x)=x^2+4x+3$$ na przedziale $$(-5;-2>$$

Postępujemy identycznie jak w przykładzie podanym powyżej:

$$a=1$$

$$b=4$$

$$c=3$$

Obliczmy deltę:

$$∆=b^2-4ac$$

$$∆=4^2-4×3×1$$

$$∆=16-12$$

$$∆=4$$

Obliczmy od razu pierwiastek z delty:

$$√{∆}=√{4}=2$$

br/> No i teraz nasze rozwiązania:

$$x_1={-b+√{∆} }/{2a} $$

$$x_1={-4+2}/2={-2}/2=-1 $$

$$x_2={-b-√{∆} }/{2a} $$

$$x_2={-4-2}/2={-6}/2=-3 $$

Narysujmy prowizoryczną parabolę z granicami:

zad2

Jak widzimy granica przecina nam wierzchołek, bo współrzędna x wierzchołka jest średnią:

$$P={-3-1}/2=-2$$

Aby obliczyć Q, najprościej po prostu podstawić P pod x.

$$f(x)=x^2+4x+3$$

$$f(P)=f(-2)=(-2)^2+4×(-2)+3$$

$$f(x)=4-8+3=-1$$

Zatem wartość minimum jest osiągana dla x=-2

$$F_{min}=f(-2)=-1$$

Zadanie 3.

Znajdź maksimum funkcji $$f(x)=-x^2-3x-2$$ na przedziale $$(-∞;-3>$$.

Tutaj także rozwiązujemy tak samo:

$$a=-1$$

$$b=-3$$

$$c=-2$$

Obliczmy deltę:

$$∆=b^2-4ac$$ $$∆=(-3)^2-4×(-2)×(-1)$$

$$∆=9-8$$

$$∆=1$$

Obliczmy od razu pierwiastek z delty:

$$√{∆}=√{1}=1$$

No i teraz nasze rozwiązania:

$$x_1={-b+√{∆} }/{2a} $$

$$x_1={3+1}/{-2}=4/{-2}=-2 $$

$$x_2={-b-√{∆} }/{2a} $$ $$x_2={3-1}/{-2}=2/{-2}=-1$$

Tutaj rysujemy tylko jedną granicę, ponieważ druga to minus nieskończoność:

zad3

Teraz mamy do policzenia maksimum, widzimy, że wykres najwięcej w tym przedziale osiąga dla $$x=-3$$, dlatego czas na kolejne podstawianie:

$$f(x)=-x^2-3x-2$$

$$f(-3)=-(-3)^2-3×(-3)-2$$

$$f(-3)=-9+9-2$$

$$F_{max}=f(-3)=-2$$

Spis treści

Rozwiązane zadania
Proste k, l m są równoległe

`ul(ul("prosta"\ l))`

Proste równoległe mają jednakowe współczynniki kierunkowe, więc prosta l ma równanie: 

`y=1/2x+b`

Do prostej l należy punkt P=(4, 1). Możemy podstawić jego współrzędne do powyższego równania, dzięki czemu obliczymy wartość współczynnika b: 

`1=1/2*4+b`

`1=2+b\ \ \ |-2`

`b=-1`

 

Zapisujemy równanie prostej l:

`ul(l:\ \ \ y=1/2x-1)`

 

 

`ul(ul("prosta"\ m))`

Proste równoległe mają jednakowe współczynniki kierunkowe, więc prosta m ma równanie: 

`y=1/2x+b`

Do prostej m należy punkt Q=(1; -1). Możemy podstawić jego współrzędne do powyższego równania, dzięki czemu obliczymy wartość współczynnika b: 

`-1=1/2*1+b`

`-1=1/2+b\ \ \ |-1/2`

`b=-1 1/2`

 

Zapisujemy równanie prostej m:

`ul(m:\ \ \ y=1/2x-1 1/2)`

 

 

Teraz musimy sprawdzić, które z punktów należą do jednej z prostych k, l, m. 

Sprawdzamy, czy kolejne punkty należą do prostej k. 

`G:\ \ \ 1/2x+1=1/2*8+1=4+1=5`

`E:\ \ \ 1/2x+1=1/2*2+1=1+1=2ne3`

`A:\ \ \1/2x+1=1/2*(-6)+1=-3+1=-2ne-4`

`L:\ \ \1/2x+1=1/2*(-6)+1=-2`

`M:\ \ \1/2x+1=1/2*4+1=2+1=2ne2`

`N:\ \ \1/2x+1=1/2*1/2+1=1/4+1=1 1/4ne1`

`O:\ \ \1/2x+1=1/2*7+2=3,5+2=5,5ne2`

`I:\ \ \1/2x+1=1/2*(-9)+1=-4,5+1=-3,5ne-6`

`R:\ \ \1/2x+1=1/2*1+1=1/2+1=1 1/2ne-2`

`S:\ \ \1/2x+1=1/2*(-2)+1=-1+1=0`

Do prostej k należą punkty G, L, S. 

 

Sprawdzamy, które z pozostałych punktów należą do prostej l: 

`E:\ \ \ 1/2x-1=1/2*2-1=1-1=0ne3`

`A:\ \ \1/2x-1=1/2*(-6)-1=-3-1=-4`

`M:\ \ \1/2x-1=1/2*4-1=2-1=1ne2`

`N:\ \ \1/2x-1=1/2*1/2-1=1/4-1=3/4ne1`

`O:\ \ \1/2x-1=1/2*7-1=3,5-1=2,5ne2`

`I:\ \ \1/2x-1=1/2*(-9)-1=-4,5-1=-5,5ne-6`

`R:\ \ \1/2x-1=1/2*1-1=1/2-1=-1/2ne-2`

Do prostej l należy jedynie punkt A. 

 

Sprawdzamy, które z pozostałych punktów należą do prostej m: 

`E:\ \ \ 1/2x-1 1/2=1/2*2-1 1/2=1-1 1/2=-1/2ne3`

`M:\ \ \ 1/2x-1 1/2=1/2*4-1 1/2=2-1 1/2=1/2ne2`

`N:\ \ \ 1/2x-1 1/2=1/2*1/2-1 1/2=1/4-1 2/4=-1 1/4ne1`

`O:\ \ \ 1/2x-1 1/2=1/2*7-1 1/2=3 1/2-1 1/2=2`

`I:\ \ \ 1/2x-1 1/2=1/2*(-9)-1 1/2=-4 1/2-1 1/2=-6`

`R:\ \ \ 1/2x-1 1/2=1/2*1-1 1/2=1/2-1 1/2=-1ne-2`

Do prostej m należą punkty O oraz I. 

 

`"hasło:"\ \ \ GALOIS`

 

 

 

Wśród poniższych wypowiedzi wskaż zdania

`a)`

Jest to zdanie - możemy stwierdzić, że jest ono fałszywe. 

 

`b)`

Nie jest to zdanie - wypowiedź jest pytaniem, a nie wypowiedzią oznajmującą.

 

`c)`

Jest to zdanie - możemy stwierdzić, że jest ono prawdziwe.

 

`d)`

Nie jest to zdanie - dla różnych x przyjmuje ono różną wartość logiczną, np. dla 3 jest prawdziwe, ale dla 2 jest nieprawdziwe.

 

`e)`

Jest to zdanie - możemy stwierdzić, że jest ono fałszywe.

 

`f)\`

`(-100)^3=-100*(-100)*(-100)=-1\ 000\ 000`

`-100^3=-1*100^3=-1*100*100*100=-1\ 000\ 000`

Jest to zdanie - możemy stwierdzić, że jest ono fałszywe. 

 

`g)`

Nie jest to zdanie - na końcu znajduje się wykrzynik. 

 

`h)`

Jest to zdanie - możemy stwierdzić, że jest ono prawdziwe.

Wyznacz (o ile istnieje) miejsce zerowe...

`f(x) = 0` 

`12x - 3 =0` 

`12x = 3` 

`x = 1/4` 

`1/4 notin C` 

A więc funkcja nie ma miejsc zerowych

Na wykresie przedstawiono zależność

`A.\ "fałsz"`

Przyspieszenie to iloraz przyrostu prędkości przez czas, w jakim ten przyrost nastąpił, więc jednostką przyspieszenia byłyby metry na sekundę kwadrat, a nie metry na sekundę. 

 

`B.\ "prawda"`

Jeśli mamy wykres zależności prędkości od czasu, to pokonaną drogę możemy obliczyć jako pole obszaru pod wykresem, ograniczonego osiami. 

Ten obszar jest trapezem o podstawach 12 i 5 oraz wysokości 4. 

`P=(12+5)*strike4^2*1/strike2^1=17*2=34\ m`

 

 

`C.\ "fałsz"`

Przez 4 sekundy sportowiec zwiększał swoją prędkość (rozpędzał się od 0 m/s do 4 m/s), a potem przez 5 sekund biegł ze stałą prędkością równą 4 m/s.

 

 

`D.\ "fałsz"`

Z B. wiemy już, że w tym czasie pokonał 34 m. 

 

 

`odp.\ B`

Wykaż, że istnieje tylko jeden trójkąt prostokątny ...

`a)`

Kolejne liczby naturalne: n, n+1, n+2

Przeciwprostokątna to najdłuższy bok trójkąta prostokątnego, ma więc długość n+2. 

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa możemy zapisać: 

`n^2+(n+1)^2=(n+2)^2`

`n^2+n^2+2n+1=n^2+4n+4`

`2n^2+2n+1=n^2+4n+4\ \ \ |-n^2-4n-4`

`n^2-2n-3=0`

 

`Delta=(-2)^2-4*1*(-3)=4+12=16`

`sqrtDelta=sqrt16=4`

`n_1=(2-4)/2notin NN`

`n_2=(2+4)/2=6/2=3`

 

`n=3,\ \ n+1=4,\ \ n+2=5`

 

Równanie kwadratowe miało tylko jeden pierwiastek naturalny, co oznacza, że jedynym trójkątem o bokach, których długości są kolejnymi liczbami naturalnymi, jest trójkąt o bokach 3, 4, 5. 

 

`b)`

Kolejne naturalne liczby parzyste: 2n, 2n+2, 2n+4

Przeciwprostokątna to najdłuższy bok trójkąta prostokątnego, ma więc długość 2n+4. 

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa zapisujemy: 

`(2n)^2+(2n+2)^2=(2n+4)^2`

`4n^2+4n^2+8n+4=4n^2+16n+16`

`8n^2+8n+4=4n^2+16n+16\ \ \ \ |-4n^2-16n-16`

`4n^2-8n-12=0\ \ \ |:4`

`n^2-2n-3=0`

Dostaliśmy takie samo równanie, jak w a, jego jedynym naturalnym rozwiązaniem jest n=3.

`2n=2*3=6,\ \ 2n+2=8,\ \ 2n+4=10`

 

Równanie kwadratowe miało tylko jeden pierwiastek naturalny, co oznacza, że jedynym trójkątem o bokach, których długości są kolejnymi parzystymi liczbami naturalnymi, jest trójkąt o bokach 6, 8, 10.

Narysuj wykres funkcji f(x) ...

`f(x)=-1/x` 

`g(x)=-f(-x)` 

`g(x)=1/(-x)=-1/x` 

`f(x)=g(x)` 

`"Wykresy funkcji g i f są identyczne. Symetria wykresu f wględem punktu (0;0) nie modyfikuje wykresu f."` 

Na rysunku obok przedstawiono

Aby narysować wykres funkcji g wystarczy przesunąć wykres funkcji f o 2 jednostki w lewo.

`g(x)=f(x+2)=sqrt(x+2)`

Liczba pod pierwiastkiem kwadratowym musi być nieujemna:

`x+2>=0\ \ \ |-2`

`x>=-2`

`D_g\ =<<-2,\ +infty)`

 

 

Aby narysować wykres funkcji h wystarczy przesunąć wykres funkcji f o 3 jednostki w prawo. 

`h(x)=f(x-3)=sqrt(x-3)`

Liczba pod pierwiastkiem kwadratowym musi być nieujemna:

`x-3>=0\ \ \ |+3`

`x>=3`

`D_h\ =<<3,\ +infty)`

 

Zapisz liczbę bez

`a)\ |(11-sqrt13)/(sqrt13-11)|=|((-1)*(sqrt13-11))/(sqrt13-11)|=|-1|=1` 

`b)\ |3-sqrt15|/|sqrt30-3sqrt2|=|(3-sqrt15)/(sqrt30-3sqrt2)|=|(sqrt9-sqrt15)/(sqrt30-sqrt9*sqrt2)|=|(sqrt9-sqrt15)/(sqrt30-sqrt18)|=|(sqrt9-sqrt15)/((-2)*(sqrt9-sqrt15))|=|1/(-2)|=|-1/2|=1/2` 

`c)\ |(2-4sqrt6)/(2sqrt6-1)|=|((-2)*(2sqrt6-1))/(2sqrt6-1)|=|-2|=2` 

`d)\ |(1-sqrt2+sqrt3)/(sqrt2-sqrt3-1)|=|((-1)*(sqrt2-sqrt3-1))/(sqrt2-sqrt3-1)|=|-1|=1`      

Rozwiąż układ równań

`a)`

`{(3x+y=-3\ \ \ \ |-3x), (-x+3y=11):}`

`{(y=-3-3x), (-x+3(-3-3x)=11):}`

`{(y=-3-3x), (-x-9-9x=11\ \ \ \ |+9):}`

`{(y=-3-3x), (-10x=20\ \ \ \ \|:(-10)):}`

`{(y=-3-3x), (x=-2):}`

`{(y=-3-3*(-2)=-3+6=3), (x=-2):}`

 

`"sprawdzenie:"`

`3*(-2)+3=-6+3=-3`

`-(-2)+3*3=2+9=11`

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \))`

 

`b)`

`{(x-y+2=0\ \ \ \ |+y-2), (2y=x+6):}`

`{(x=y-2), (2y=(y-2)+6):}`

`{(x=y-2), (2y=y+4\ \ \ \ |-y):}`

`{(x=y-2), (y=4):}`

`{(x=4-2=2), (y=4):}`

 

`"sprawdzenie:"`

`2-4+2=-2+2=0`

`2*4=2+6`

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \))`

 

`c)`

`{(3x-2=2y\ \ \ |+2), (y-6x=-5/2):}`

`{(3x=2y+2\ \ \ |:3), (y-2*(2y+2)=-5/2):}`

`{(x=1/3(2y+2)), (y-4y-4=-5/2):}`

`{(x=1/3(2y+2)), (-3y-4=-5/2\ \ \ \ |*2):}`

`{(x=1/3(2y+2)), (-6y-8=-5\ \ \ \ \ | +8):}`

`{(x=1/3(2y+2)), (-6y=3\ \ \ \ |:(-6)):}`

`{(x=1/3(2y+2)), (y=-1/2):}`

`{(x=1/3*(2*(-1/2)+2)=1/3*(-1+2)=1/3), (y=-1/2):}`

 

`"sprawdzenie:"`

`3x-2=3*1/3-2=1-2=-1,\ \ \ \ 2y=2*(-1/2)=-1`

`-1/2-6*1/3=-1/2-2=-2 1/2=-5/2`

 

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \))`

 

 

Oblicz wartość wyrażenia

`a)` 

`(16,8:(-0,7))/(3 1/3-4 11/12*0,8)=` `(168:(-7))/(3 1/3-59/strike(12)^ 3*strike(0,8)^(0,2))=` `((140+28):(-7))/(10/3-(11,8)/3)=` 

`=(-20+(-4))/((-1,8)/3)=` `(-24)/(-0,6)=(-240)/(-6)=40` 

 

 

`b)` 

`5 1/2-3*[1 1/4-(-2 2/3)]:[(-0,5):0,25]=` 

`=5 1/2-3*[1 1/4+2 2/3]:[(-50):25]=`   

`=5 1/2-3*[1 3/12+2 8/12]:(-2)=` 

`=5 1/2-3*3 11/12:(-2)=` 

`=5 1/2-strike3^1*47/strike12^4*(-1/2)=` 

`=5 1/2+47/8=` `5 4/8+5 7/8=` 

`=10 11/8=11 3/8`