Minimum i maksimum funkcji kwadratowej w danym przedziale - matura-podstawowa - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Minimum i maksimum funkcji kwadratowej w danym przedziale - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Minimum i maksimum funkcji kwadratowej w danym przedziale

W celu znalezienia wartości minimalnej i maksymalnej w funkcji kwadratowej musimy wykorzystać to czego się nauczyliśmy w poprzednich .

Naszym celem jest znalezienie wartości najmniejszej lub największej, do tego zależnie od zadania będziemy potrzebować:

- Obliczenia równania
- Wykresu
- Wierzchołka paraboli
- Granic przedziału
- Wartości osiąganych na krańcach

Wszystko już potrafimy, kluczem jest narysowanie wykresu i granic oraz wskazanie punktu.

No to pokażmy na przykładzie:

Przykład:

Znajdź maksymalną wartość funkcji $f(x)=-x^2-2x+3$ na przedziale (-2;0).
Najlepiej najpierw ją sobie narysować, w tym celu znajdźmy miejsca zerowe:

$a=-1$

$b=-2$

$c=3$

Obliczmy deltę:

$∆=b^2-4ac$

$∆=(-2)^2-4×(-1)×3$

$∆=4+12$

$∆=16$

Obliczmy od razu pierwiastek z delty

$√{∆}=√{16}=4$


No i teraz nasze rozwiązania:

$x_1={-b+√{∆} }/{2a}$

$x_1={2+4}/{-2}=6/{-2}=-3$

$x_2={-b-√{∆} }/2a$

$x_2={2-4}/{-2}=-{-2}/2=1$

Narysujmy prowizoryczną parabolę (jest smutna, bo $a<0$:

par1

Zaznaczmy granice przedziału. Z racji, że nawiasy są (), linia jest przerywana

par2

Jak widzimy wierzchołek paraboli jest pomiędzy nimi, więc to on będzie naszym maksimum

par3

No to liczymy wierzchołek, zaczynając od P, które jest średnią $x_1$ i $x_2$.

$P={-3+1}/2=-1$

Faktycznie P mieści się w naszym przedziale.

Teraz liczymy drugi współczynnik, czyli Q:

$Q={-∆}/{4a}$

$Q={-16}/{-8}$

$Q=2$

Piszemy odpowiedź:

$F_{max}=2$ lub słownie: wartość maksymalna to 2

Jeśli proszą nas o argument, dla jakiego funkcja przyjmuje maksymalną wartość, piszemy:

$F(1)=2=F_{max}$

Argument to oczywiście nasze P.
 

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Znajdź minimum funkcji $f(x)=x^2+2x-8$ na przedziale $<3;7>$ .

Postępujemy identycznie jak w przykładzie:

$a=1$

$b=2$

$c=-8$

Obliczmy deltę:

$∆=b^2-4ac$

$∆=2^2-4×1×(-8)$ $∆=4+32$

$∆=36$

Obliczmy od razu pierwiastek z delty.

$√{∆}=√{36}=6$


No i teraz nasze rozwiązania:

$x_1={-b+√{∆} }/{2a}$

$x_1={-2+6)/2=4/2=2$

$x_2={-b-√{∆} }/{2a}$

$x_2={-2-6)/2={-8}/2=-4$

Narysujmy prowizoryczną parabolę z granicami:

zad1

Musimy znaleźć minimum więc widzimy, że najmniejsza wartość jest na lewej granicy, dla $x=3$.

Musimy więc podstawić $x=3$ pod naszą funkcję:

$f(x)=x^2+2x-8$

$f(3)=3^2+2×3-8$

$f(3)=9+6-8$

$f(3)=7$

Funkcja osiąga minimum w punkcie 3

$F_{max}=f(3)=7$

Zadanie 2.

Znajdź minimum funkcji $f(x)=x^2+4x+3$ na przedziale $(-5;-2>$

Postępujemy identycznie jak w przykładzie podanym powyżej:

$a=1$

$b=4$

$c=3$

Obliczmy deltę:

$∆=b^2-4ac$

$∆=4^2-4×3×1$

$∆=16-12$

$∆=4$

Obliczmy od razu pierwiastek z delty:

$√{∆}=√{4}=2$

br/> No i teraz nasze rozwiązania:

$x_1={-b+√{∆} }/{2a} $

$x_1={-4+2}/2={-2}/2=-1 $

$x_2={-b-√{∆} }/{2a} $

$x_2={-4-2}/2={-6}/2=-3 $

Narysujmy prowizoryczną parabolę z granicami:

zad2

Jak widzimy granica przecina nam wierzchołek, bo współrzędna x wierzchołka jest średnią:

$P={-3-1}/2=-2$

Aby obliczyć Q, najprościej po prostu podstawić P pod x.

$f(x)=x^2+4x+3$

$f(P)=f(-2)=(-2)^2+4×(-2)+3$

$f(x)=4-8+3=-1$

Zatem wartość minimum jest osiągana dla x=-2

$F_{min}=f(-2)=-1$

Zadanie 3.

Znajdź maksimum funkcji $f(x)=-x^2-3x-2$ na przedziale $(-∞;-3>$.

Tutaj także rozwiązujemy tak samo:

$a=-1$

$b=-3$

$c=-2$

Obliczmy deltę:

$∆=b^2-4ac$ $∆=(-3)^2-4×(-2)×(-1)$

$∆=9-8$

$∆=1$

Obliczmy od razu pierwiastek z delty:

$√{∆}=√{1}=1$

No i teraz nasze rozwiązania:

$x_1={-b+√{∆} }/{2a} $

$x_1={3+1}/{-2}=4/{-2}=-2 $

$x_2={-b-√{∆} }/{2a} $ $x_2={3-1}/{-2}=2/{-2}=-1$

Tutaj rysujemy tylko jedną granicę, ponieważ druga to minus nieskończoność:

zad3

Teraz mamy do policzenia maksimum, widzimy, że wykres najwięcej w tym przedziale osiąga dla $x=-3$, dlatego czas na kolejne podstawianie:

$f(x)=-x^2-3x-2$

$f(-3)=-(-3)^2-3×(-3)-2$

$f(-3)=-9+9-2$

$F_{max}=f(-3)=-2$

Spis treści

Rozwiązane zadania
Posługując się wykresem funkcji...
  • Funkcja f:

Dziedzina:

 

Miejsca zerowe:

 

 

  • Funkcja h:

Wykres:

Dziedzina:

 

Miejsca zerowe:

 

Podaj przykłady liczb niewymiernych, których:

a)

b)

Hotel dla kotów o psów ...

  

 

 

 

 

Naszkicuj parabolę y=7(x+2)^2+5...

Obliczmy współrzędne kilku punktów należących do wykresu funkcji y=7(x+2)2+5

x -3 -2 -1
y 12 5 12


a)
Obliczmy współrzędne kilku punktów należących do wykresu funkcji y=-1/3(x+2)2+5  {premium}

x -5 -2 1
y 2 5 2





te funkcje mają 1 punkt wspólny


b) 
Obliczmy współrzędne kilku punktów należących do wykresu funkcji y=1/10(x+2)2+6

x -12 -2 8
y 16 6 16





te funkcje mają 2 punkty wspólne

c) 
Obliczmy współrzędne kilku punktów należących do wykresu funkcji y=10(x+2)2+10

x -3 -2 -1
y 20 10 20




te funkcje nie mają punktów wspólnych

Trapez równoramienny o podstawach 6√3 cm i 2√3 cm ...

 

Zastanawiamy się, dla jakiego kąta funkcja tangens przyjmuje taką wartość

Suma miar kątów leżących przy jednym ramieniu trapezu wynosi 180o, zatem miara kąta rozwartego trapezu:

Miary kątów tego trapezu: 60o,60o,120o,120o.

 

     

Miejscami zerowymi funkcji kwadratowej są...

Wiemy, że miejscami funkcji kwadratowej są liczby -5 i 1:

 

oraz, że wykres przecina oś y w punkcie (0, 5), zatem wzór tej funkcji ma postać:  {premium}

 

 

 

 


zatem wzór tej funkcji ma postać:

 


Odp.: C

Naszkicuj w jednym układzie współrzędnych ...

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  

 

 

Wykres funkcji g(x)...

Jeżeli przesuniemy wykres funkcji f o 2 jednostki w prawo to otrzymamy:

 

Odpowiedź C

Gdyby w ankiecie wzięło udział kolejne 100 osób

Z poprzedniego zadania wiemy już, że:

  • na program X zagłosowało 288 osób
  • na program Y zagłosowało 224 osób
  • w tym na oba programy zagłosowało 112 osób

 

Gdyby w ankiecie wzięlo udział kolejne 100 osób, to ilość ankietowanych wynosiłaby 400+100=500 osób. Każda z tych 100 osób głosowałaby jedynie na program Y, więc ilość głosów na program Y wynosiłaby 224+100=324. Wtedy poparcie dla programu Y wynosiłoby:

 

 

 

 

Pytanie zostało sformułowane nie do końca jasno. Treść pytania "O ile punktów procentowych popularniejszych okazałby się ten program?" sugeruje, że należy zbadać różnicę między początkowym poparciem dla programu Y, a poparciem dla tego programu przy 500 ankietowanych. Tymczasem autorowi chodziło o zbadanie różnicy między poparciem dla programu Y a poparciem dla programu X przy 500 głosujących osobach. Pytanie powinno brzmieć więc: "O ile punktów procentowych popularniejszy niż program X okazałby się wtedy program Y?".

 

Obliczmy, jakie byłoby poparcie dla programu X, gdyby w ankiecie brało udział dodatkowych 100 osób, a wszyscy z nich głosowaliby na program Y. Wtedy na program X głosowałoby tyle samo osób, co na początku (288), a liczba wszystkich głosujących osób wynosiłaby 500.

 

 

Obliczamy, o ile punktów procentowych popularniejszy niż program X okazałby się wtedy program Y:

  

 

Dane są dwa okręgi współśrodkowe...

Możemy dorysować{premium} jeszcze dwie cięciwy, wychodzące z punktów A i B, o długości 10 cm, które będą styczne do mniejszego okręgu. Utworzą one trójkąt równoboczny. Wówczas większe koło jest kołem opisanym na trójkącie, a mniejsze -  kołem wpisanym w trójkąt. Oznaczmy promienie tych kół odpowiednio jako R i r. Ze wzorów na promień koła opisanego i wpisanego w trójkąt równoboczny mamy:

 

 


Obliczamy pole większego koła:

 

Obliczamy pole mniejszego koła:

 


Obliczamy pole pierścienia kołowego wyznaczonego przez te okręgi:

 


Prawidłowa odpowiedź to A.