Minimum i maksimum funkcji kwadratowej w danym przedziale - matura-podstawowa - Baza Wiedzy
Minimum i maksimum funkcji kwadratowej w danym przedziale
W celu znalezienia wartości minimalnej i maksymalnej w funkcji kwadratowej musimy wykorzystać to czego się nauczyliśmy w poprzednich .
Naszym celem jest znalezienie wartości najmniejszej lub największej, do tego zależnie od zadania będziemy potrzebować:
- Obliczenia równania
- Wykresu
- Wierzchołka paraboli
- Granic przedziału
- Wartości osiąganych na krańcach
Wszystko już potrafimy, kluczem jest narysowanie wykresu i granic oraz wskazanie punktu.
No to pokażmy na przykładzie:
Przykład:
Znajdź maksymalną wartość funkcji $$f(x)=-x^2-2x+3$$ na przedziale (-2;0).
Najlepiej najpierw ją sobie narysować, w tym celu znajdźmy miejsca zerowe:
$$a=-1$$
$$b=-2$$
$$c=3$$
Obliczmy deltę:
$$∆=b^2-4ac$$
$$∆=(-2)^2-4×(-1)×3$$
$$∆=4+12$$
$$∆=16$$
Obliczmy od razu pierwiastek z delty
$$√{∆}=√{16}=4$$
No i teraz nasze rozwiązania:
$$x_1={-b+√{∆} }/{2a}$$
$$x_1={2+4}/{-2}=6/{-2}=-3$$
$$x_2={-b-√{∆} }/2a$$
$$x_2={2-4}/{-2}=-{-2}/2=1$$
Narysujmy prowizoryczną parabolę (jest smutna, bo $$a<0$$:
Zaznaczmy granice przedziału. Z racji, że nawiasy są (), linia jest przerywana
Jak widzimy wierzchołek paraboli jest pomiędzy nimi, więc to on będzie naszym maksimum
No to liczymy wierzchołek, zaczynając od P, które jest średnią $$x_1$$ i $$x_2$$.
$$P={-3+1}/2=-1$$
Faktycznie P mieści się w naszym przedziale.
Teraz liczymy drugi współczynnik, czyli Q:
$$Q={-∆}/{4a}$$
$$Q={-16}/{-8}$$
$$Q=2$$
Piszemy odpowiedź:
$$F_{max}=2$$ lub słownie: wartość maksymalna to 2
Jeśli proszą nas o argument, dla jakiego funkcja przyjmuje maksymalną wartość, piszemy:
$$F(1)=2=F_{max}$$
Argument to oczywiście nasze P.
Naszym celem jest znalezienie wartości najmniejszej lub największej, do tego zależnie od zadania będziemy potrzebować:
- Obliczenia równania
- Wykresu
- Wierzchołka paraboli
- Granic przedziału
- Wartości osiąganych na krańcach
Wszystko już potrafimy, kluczem jest narysowanie wykresu i granic oraz wskazanie punktu.
No to pokażmy na przykładzie:
Przykład:
Znajdź maksymalną wartość funkcji $$f(x)=-x^2-2x+3$$ na przedziale (-2;0).
Najlepiej najpierw ją sobie narysować, w tym celu znajdźmy miejsca zerowe:
$$a=-1$$
$$b=-2$$
$$c=3$$
Obliczmy deltę:
$$∆=b^2-4ac$$
$$∆=(-2)^2-4×(-1)×3$$
$$∆=4+12$$
$$∆=16$$
Obliczmy od razu pierwiastek z delty
$$√{∆}=√{16}=4$$
No i teraz nasze rozwiązania:
$$x_1={-b+√{∆} }/{2a}$$
$$x_1={2+4}/{-2}=6/{-2}=-3$$
$$x_2={-b-√{∆} }/2a$$
$$x_2={2-4}/{-2}=-{-2}/2=1$$
Narysujmy prowizoryczną parabolę (jest smutna, bo $$a<0$$:
Zaznaczmy granice przedziału. Z racji, że nawiasy są (), linia jest przerywana
Jak widzimy wierzchołek paraboli jest pomiędzy nimi, więc to on będzie naszym maksimum
No to liczymy wierzchołek, zaczynając od P, które jest średnią $$x_1$$ i $$x_2$$.
$$P={-3+1}/2=-1$$
Faktycznie P mieści się w naszym przedziale.
Teraz liczymy drugi współczynnik, czyli Q:
$$Q={-∆}/{4a}$$
$$Q={-16}/{-8}$$
$$Q=2$$
Piszemy odpowiedź:
$$F_{max}=2$$ lub słownie: wartość maksymalna to 2
Jeśli proszą nas o argument, dla jakiego funkcja przyjmuje maksymalną wartość, piszemy:
$$F(1)=2=F_{max}$$
Argument to oczywiście nasze P.
Zadania powtórzeniowe
Zadanie 1.
Znajdź minimum funkcji $$f(x)=x^2+2x-8$$ na przedziale $$<3;7>$$ .
Postępujemy identycznie jak w przykładzie:
$$a=1$$
$$b=2$$
$$c=-8$$
Obliczmy deltę:
$$∆=b^2-4ac$$
$$∆=2^2-4×1×(-8)$$ $$∆=4+32$$
$$∆=36$$
Obliczmy od razu pierwiastek z delty.
$$√{∆}=√{36}=6$$
No i teraz nasze rozwiązania:
$$x_1={-b+√{∆} }/{2a}$$
$$x_1={-2+6)/2=4/2=2$$
$$x_2={-b-√{∆} }/{2a}$$
$$x_2={-2-6)/2={-8}/2=-4$$
Narysujmy prowizoryczną parabolę z granicami:
Musimy znaleźć minimum więc widzimy, że najmniejsza wartość jest na lewej granicy, dla $$x=3$$.
Musimy więc podstawić $$x=3$$ pod naszą funkcję:
$$f(x)=x^2+2x-8$$
$$f(3)=3^2+2×3-8$$
$$f(3)=9+6-8$$
$$f(3)=7$$
Funkcja osiąga minimum w punkcie 3
$$F_{max}=f(3)=7$$
Zadanie 2.
Znajdź minimum funkcji $$f(x)=x^2+4x+3$$ na przedziale $$(-5;-2>$$
Postępujemy identycznie jak w przykładzie podanym powyżej:
$$a=1$$
$$b=4$$
$$c=3$$
Obliczmy deltę:
$$∆=b^2-4ac$$
$$∆=4^2-4×3×1$$
$$∆=16-12$$
$$∆=4$$
Obliczmy od razu pierwiastek z delty:
$$√{∆}=√{4}=2$$
br/> No i teraz nasze rozwiązania:
$$x_1={-b+√{∆} }/{2a} $$
$$x_1={-4+2}/2={-2}/2=-1 $$
$$x_2={-b-√{∆} }/{2a} $$
$$x_2={-4-2}/2={-6}/2=-3 $$
Narysujmy prowizoryczną parabolę z granicami:
Jak widzimy granica przecina nam wierzchołek, bo współrzędna x wierzchołka jest średnią:
$$P={-3-1}/2=-2$$
Aby obliczyć Q, najprościej po prostu podstawić P pod x.
$$f(x)=x^2+4x+3$$
$$f(P)=f(-2)=(-2)^2+4×(-2)+3$$
$$f(x)=4-8+3=-1$$
Zatem wartość minimum jest osiągana dla x=-2
$$F_{min}=f(-2)=-1$$
Zadanie 3.
Znajdź maksimum funkcji $$f(x)=-x^2-3x-2$$ na przedziale $$(-∞;-3>$$.
Tutaj także rozwiązujemy tak samo:
$$a=-1$$
$$b=-3$$
$$c=-2$$
Obliczmy deltę:
$$∆=b^2-4ac$$ $$∆=(-3)^2-4×(-2)×(-1)$$
$$∆=9-8$$
$$∆=1$$
Obliczmy od razu pierwiastek z delty:
$$√{∆}=√{1}=1$$
No i teraz nasze rozwiązania:
$$x_1={-b+√{∆} }/{2a} $$
$$x_1={3+1}/{-2}=4/{-2}=-2 $$
$$x_2={-b-√{∆} }/{2a} $$ $$x_2={3-1}/{-2}=2/{-2}=-1$$
Tutaj rysujemy tylko jedną granicę, ponieważ druga to minus nieskończoność:
Teraz mamy do policzenia maksimum, widzimy, że wykres najwięcej w tym przedziale osiąga dla $$x=-3$$, dlatego czas na kolejne podstawianie:
$$f(x)=-x^2-3x-2$$
$$f(-3)=-(-3)^2-3×(-3)-2$$
$$f(-3)=-9+9-2$$
$$F_{max}=f(-3)=-2$$
Spis treści
Rozwiązane zadania
Rozwiązaniem układu równań jest
Rozwiąż równanie.
Podstawienie pomocnicze:
Podstawienie pomocnicze:
Po uwzględnieniu dziedziny.
Zauważmy, że:
Jeżeli sumy liczb niedodatnich odejmiemy liczbę ujemną to całe równanie będzie stale mniejsze od zera. Stąd otrzymujemy, że nasze równanie jest sprzeczne.
Przeczytaj podany w ramce przykład
Oblicz
Rozwiąż równanie.
Liczba pod pierwiastkiem musi być nieujemna.
Założenie:
Wykonajmy podstawienie:
Z definicji wartości bezwzględnej:
Z definicji wartości bezwzględnej:
A więc nasze możliwe wartości zmiennej t to:
Wróćmy się do naszego początkowego podstawienia:
Dla t=-3 wynik będzie taki sam gdyż liczba podniesiona do kwadratu jest zawsze dodatnia.
Dla t=-4 wynik będzie tak sam gdyż liczba podniesiona do kwadratu jest zawsze dodatnia.
Założenie początkowe mówiło, że x muszą spełniać nierówność:
A więc rozwiązaniem równania są liczby 10 i 17.
Założenie:
Wykonajmy podstawienie:
Z definicji wartości bezwzględnej:
t2 jest większe od zera a sprawdzamy w tym przypadku dla t ujemnych, rozwiązaniem tej nierówności będzie liczba -6
Z definicji wartości bezwzględnej:
t3 jest mniejsze od zera a sprawdzamy w tym przypadku dla t nieujemnych, rozwiązaniem tej nierówności będzie liczba 6.
A więc nasze możliwe wartości zmiennej t to:
Wróćmy się do początkowego podstawienia:
Założenie początkowe mówiło , że x muszą spełniać nierówność:
Rozwiązaniem początkowego równania jest liczba 38.
Trójkąt prostokątny wpisano w okrąg...
Skoro trójkąt prostokątny wpisano w okrąg to długość przeciwprostokątnej jest równa podwojonej długości promienia, czyli 10 cm.
a) Oznaczmy długość krótszej przyprostokątnej przez a, wtedy dłuższa ma długość 2a. Z twierdzenia Pitagorasa:
Pole trójkąta prostokątnego jest równe połowie iloczynu przyprostokątnych:
b) Oznaczmy długość krótszej przyprostokątnej przez a, wtedy dłuższa ma długość a+2. Z twierdzenia Pitagorasa:
a musi być dodatnie zatem:
Pole trójkąta prostokątnego jest równe połowie iloczynu przyprostokątnych:
Rozpatrujemy prostokąty położone w I ćwiartce układu ...
a) Zauważmy, że jeżeli współrzędne punktu A to (x0,0), to współrzędne punktu B wynoszą (x0,-2/3x0+4).
Długości odcinków OA oraz CB wynoszą:
Natomiast długości odcinków OC i AB to:
Wyznaczamy wzór na pole prostokąta w zależności od współrzędnej x0 punktu A:
b) Z podpunktu a) znamy wzór na pole prostokąta w zależności od współrzędnej x0 punktu A:
Ramiona paraboli skierowane są w dół, gdyż współczynnik a jest liczbą mniejszą od 0.
Największą wartość funkcja ma w wierzchołku paraboli.
Wyznaczamy współrzędną x-ową wierzchołka:
Największe pole będzie miał prostokąt, którego współrzęne punktu A wynoszą:
Wyznaczamy współrzędne punktu B:
Wówczas:
Współrzędne prstokąta mającego największe pole to A(3,0), B(3,2), C(0,2) oraz O(0,0).
c) Korzystając z tw. Pitagorasa wyznaczamy długość przekątnej OB w zależności od współrzędnej x0 punktu A:
Wiemy, że po pierwiastkiem musi znajdować się liczba większa od 0 (nie może być równa 0, bo długości są większe od 0).
Rozwiązujemy nierówność:
Zauważmy, że ramiona paraboli będą skierowane do góry, więc funkcja posiada wartość największą w wierzchołku paraboli.
Wyznaczamy argument, dla którego długość odcinka OB jest najmniejsza:
Dla x0=24/15 przekątna prostokąta będzie najkrótsza.
Dane są zbiory
Wszystkie elementy zbioru C należą do zbioru B, więc zbiór C jest podzbiorem zbioru B.
Wszystkie elementy zbioru B należą do zbioru D, więc zbiór B jest podzbiorem zbioru D.
Wszystkie elementy zbioru D należą do zbioru A, więc zbiór D jest podzbiorem zbioru A.
Każda z trzech figur - koło, kwadrat ...
Koło, kwadrat oraz trójkat równoboczny mają obwód równy 10 dm.
Obliczamy pola tych figur.
KOŁO:
Obliczmy długość promienia (r) tego koła:
Obliczamy pole koło o wyznaczonym promieniu:
KWADRAT:
Obliczamy długość boku (a) kwadratu:
Obliczamy pole kwadratu o boku długosci a:
TRÓJKĄT RÓWNOBOCZNY
Obliczamy długość boku (b) trójkąta równobocznego:
Obliczamy pole trójkąta równobocznego o boku długosci b:
Odp: Największe pole ma koło. Najmniejsze pole ma trójkąt równoboczny.
Przedstaw w inny sposób każdą ...
Przedstawimy wyżej opisana funkcję np. w postaci wykresu:
Przedstawimy funkcję jako np. zbiór uporządkowanych par:
c) Przedstawimy funkcję np. w postaci tabelki:
|
x |
-2 |
-1 |
0 |
1 |
2 |
|
f(x)=y |
1 |
2 |
2 |
4 |
3 |
d) Przedstawiamy funkcję np. w postaci grafu:
© 2018 Odrabiamy.pl